Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 3x плюс 4$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 2;0 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: В точке $x= минус 1$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в степени 7 плюс 5x в кубе минус 16$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 9;1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке: <img src="/get_file?id=108640" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке$ левая квадратная скобка минус 9;1 правая квадратная скобка $ функция является возрастающей, поэтому достигает наибольшего значения на правой границе отрезка. Найдем его:<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span>−10. Корень четной кратности. Не убирать из каталога | Ответ: -10 |
Найдите наименьшее значение функции <i>y</i> = 15 + 12<i>x</i> + <i>x</i><sup>3</sup> на отрезке [−2; 2]. | Найдем производную заданной функции: Заметим, что производная не обращается в нуль и принимает положительные значения на всём отрезке. Значит, наименьшее значение функции будет в точке −2 и равно −17. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −17. | Ответ: -17 |
Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 18x плюс 29.$ | Функция определена на$ левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдём её производную: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 18.$Найдем нули производной: $ дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 18=0 равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =12 равносильно x=144 . $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108569" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x_min=144.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 144. | Ответ: 144 |
Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 21x плюс 11.$ | Функция определена на$ левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдём её производную: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 21.$Найдем нули производной: $ дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 21=0 равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =14 равносильно x=196. $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108415" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Искомая точка минимума $x_min=196.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 196. | Ответ: 196 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 4x в квадрате плюс 4x$ на отрезке [−4; −1]. | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной:$3x в квадрате минус 8x плюс 4=0 равносильно совокупность выражений x=2,x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности . $ Поскольку полученные точки экстремума не принадлежат отрезку [−4; −1], функция на этом отрезке либо только возрастает, либо только убывает. Изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:<img src="/get_file?id=108639" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Таким образом, наибольшее значение функция на данном отрезке принимает в точке −1. Тогда $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в кубе минус 4 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 1= минус 1 минус 4 минус 4= минус 9.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −9. | Ответ: -9 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 6; 8 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка правая круглая скобка '=e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка .$ Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка y'=0, новая строка 6 меньше или равно x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка =0, новая строка 6 меньше или равно x меньше или равно 8 конец системы . равносильно система выражений новая строка x минус 7=0, новая строка 6 меньше или равно x меньше или равно 8 конец системы . равносильно x=7.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67530" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Наименьшим значением заданной функции на отрезке $ левая квадратная скобка 6; 8 правая квадратная скобка $ будет $y левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка правая круглая скобка '=e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 17 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x плюс 17 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 16 правая круглая скобка =0 равносильно x= минус 17.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67533" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 17.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −17. | Ответ: -17 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка правая круглая скобка '= минус e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =0 равносильно x=8.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67539" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=8.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= минус e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка .$ Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка =0 равносильно x=4.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67550" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 16 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 16 плюс x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x плюс 15 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка .$ Найдем нули производной: $ минус левая круглая скобка x плюс 15 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка =0 равносильно x= минус 15.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=87871" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 15.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −15. | Ответ: -15 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$$= левая круглая скобка 6x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x в квадрате минус 30x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка =3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 36 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0, x=10. конец совокупности $ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67554" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=10.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $= левая круглая скобка 6x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x в квадрате минус 30x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка =3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x плюс 36 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0, x=10. конец совокупности $ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67554" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$$= левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 20 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2, x=10. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67560" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=10.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка {e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка '=2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2, x=0. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67564" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2, x=0. конец совокупности $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67566" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка =$$= минус левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка .$$ минус левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус 4, x= минус 6. конец совокупности .$<img src="/get_file?id=67568" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4. | Ответ: -4 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка =$$= минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус 1, x= минус 3. конец совокупности .$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67572" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $= левая круглая скобка 2x минус 8 правая круглая скобка умножить на e в степени левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 8 правая круглая скобка умножить на e в степени левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 16 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка .$<img src="/get_file?id=87920" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 3;10 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= минус e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка .$ Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка =0 равносильно x=9.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке: <img src="/get_file?id=67576" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=9$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:$y левая круглая скобка 9 правая круглая скобка = левая круглая скобка 8 минус 9 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 9 минус 9 правая круглая скобка = минус 1 умножить на 1= минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 3;10 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка минус e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка = левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ система выражений новая строка левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка =0 новая строка 3 меньше или равно x меньше или равно 10 конец системы . равносильно x=7.$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67578" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=7$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =1$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 11;11 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка плюс e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка = левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ система выражений новая строка левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =0, новая строка минус 11 меньше или равно x меньше или равно 11 конец системы . равносильно x=10. $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=88336" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=10$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка 10 правая круглая скобка =1$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 8;11 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= левая круглая скобка 6x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x в квадрате минус 30x правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка =3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка .$ Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка 3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка =0, новая строка 8 меньше или равно x меньше или равно 11. конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x=0, новая строка x=10, конец системы . новая строка 8 меньше или равно x меньше или равно 11 конец совокупности . равносильно x=10.$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67586" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=10$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка 10 правая круглая скобка =3 умножить на 100 минус 36 умножить на 10 плюс 36= минус 24.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −24. | Ответ: -24 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 1;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= левая круглая скобка 6x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 3x в квадрате минус 36x плюс 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 3x в квадрате минус 30x правая круглая скобка e в степени x .$Найдем нули производной: $3x левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка e в степени x =0 равносильно совокупность выражений новая строка x=0, новая строка x=10. конец совокупности . $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67587" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=0$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =36.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 36. | Ответ: 36 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;7 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $= левая круглая скобка 2x минус 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 8 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 10x минус 16 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: <img src="/get_file?id=67590" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=2$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =4 минус 8 умножить на 2 плюс 8= минус 4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4. | Ответ: -4 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 5;11 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '=$ $= левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 10x плюс 10 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 12x минус 20 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка .$ Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 20 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка =0 равносильно x в квадрате минус 12x плюс 20 =0 равносильно совокупность выражений новая строка x=2, новая строка x=10. конец совокупности . $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67592" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=10$ функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка 10 правая круглая скобка = левая круглая скобка 100 минус 100 плюс 10 правая круглая скобка e в степени 0 =10.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка '=2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =$$= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ система выражений новая строка x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =0, новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 4 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x=2, новая строка x=0, конец системы . 1 меньше или равно x меньше или равно 4 конец совокупности . равносильно x=2$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67594" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=2$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 5;1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс x минус 2 правая круглая скобка e в степени x =x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67596" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=0$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =1 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате =4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 5; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус 3 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67597" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 3$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка =0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 6; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 'e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка '= левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка в квадрате e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$$= левая круглая скобка 2x плюс 12 минус x в квадрате минус 12x минус 36 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x в квадрате плюс 10x плюс 24 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка минус 4 минус x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке: <img src="/get_file?id=67601" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 4 плюс 6 правая круглая скобка в квадрате умножить на 1=4$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 5.$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка ' плюс левая круглая скобка 5 правая круглая скобка '=$$=2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=2, x= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности . $<img src="/get_file?id=67604" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 1.$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка ' минус левая круглая скобка 1 правая круглая скобка '= $ $=2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 13 правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $ левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 13 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x= минус 3, x= минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 . конец совокупности .$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67606" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите наименьшее значение функции $y= левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 1$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $ =2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 13 правая круглая скобка .$Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс 13 правая круглая скобка =0, новая строка минус 4 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= минус 3, x= минус целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 , конец системы . новая строка минус 4 меньше или равно x меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно x= минус 3.$Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67608" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>$y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 3 плюс 3 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка минус 3 плюс 5 правая круглая скобка минус 1= минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите наибольшее значение функции $y= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'= левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка ' левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка ' плюс левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ' =2 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка . \endalign$$ система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 10 правая круглая скобка =0, новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x=2, x= целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 , конец системы . новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 3 конец совокупности . равносильно x=2.$Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67612" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=2$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус 4 правая круглая скобка плюс 5=5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
Найдите точку максимума функции $y= минус дробь: числитель: x в квадрате плюс 289, знаменатель: x конец дроби . $ | Найдем производную заданной функции:$y'= минус левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 289, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 289, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 289, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 289 минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $x в квадрате =289 равносильно совокупность выражений новая строка x=17, новая строка x= минус 17. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108512" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=17.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 17. <b>Примечание.</b>Заметим, что функция имеет разрыв при (при <i>x</i> = 0), и ее значение в точке минимума (при <i>x</i> = −17) больше, чем значение в точке максимума (при <i>x</i> = 17). | Ответ: 17 |
Найдите точку минимума функции $y= минус дробь: числитель: x в квадрате плюс 1, знаменатель: x конец дроби . $ | Область определения функции: $x не равно 0.$Найдём производную заданной функции: $y'= минус левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x в квадрате правая круглая скобка = минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 минус x в квадрате , знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдём нули производной: $1 минус x в квадрате =0 равносильно x в квадрате =1 равносильно совокупность выражений новая строка x=1, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108520" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;10 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции:$y'= левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Производная обращается в нуль в точках 5 и −5. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке: <img src="/get_file?id=108524" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/><img style="margin:10px" src="/get_file?id=3240"> Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет ее значение в точке 5. Найдем его: $y левая круглая скобка 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 25 плюс 25, знаменатель: 5 конец дроби =10. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите наибольшее значение функции $y= дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 10; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Функция непрерывна и дифференцируема на заданном отрезке. Найдем ее производную: $y'= левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $ Производная обращается в нуль в точках 5 и −5, заданному отрезку принадлежит только число −5. Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел $y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $y левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка $ и $y левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка .$ Найдем их: $y левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 100 плюс 25, знаменатель: минус 10 конец дроби = минус 12,5, $ $y левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 25 плюс 25, знаменатель: минус 5 конец дроби = минус 10, $$y левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс 25, знаменатель: минус 1 конец дроби = минус 26. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −10. | Ответ: -10 |
Найдите точку максимума функции $y= дробь: числитель: 16, знаменатель: x конец дроби плюс x плюс 3. $ | Область определения функции: $x не равно 0.$Найдем производную заданной функции: $y'=1 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $1 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0 равносильно x в квадрате =16 равносильно совокупность выражений новая строка x=4, новая строка x= минус 4. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67502" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4. <b>Примечание.</b>Внимательный читатель может заметить, что значение функции $y= дробь: числитель: 16, знаменатель: x конец дроби плюс x плюс 3 $ в точке <i>x</i> = −4 меньше, чем в точке <i>x</i> = 4. Тем не менее точка −4 является точкой локального максимума, поскольку слева от нее функция возрастает, а справа убывает, а точка 4 является точкой локального минимума. Значение в точке максимума оказалось меньше, чем в точке минимума, поскольку функция имеет разрыв при <i>x</i> = 0. | Ответ: -4 |
Найдите точку минимума функции $y= дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби плюс x плюс 25. $ | Найдем производную заданной функции: $y'=1 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $1 минус дробь: числитель: 25, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0 равносильно x в квадрате =25 равносильно совокупность выражений новая строка x=5, новая строка x= минус 5. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67477" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: x конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'=1 минус дробь: числитель: 36, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной:$ система выражений новая строка 1 минус дробь: числитель: 36, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0, новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 9. конец системы . равносильно система выражений x в квадрате =36, 1 меньше или равно x меньше или равно 9 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x=6, новая строка x= минус 6, конец системы . новая строка 1 меньше или равно x меньше или равно 9 конец совокупности . равносильно x=6.$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67511" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=6$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =6 плюс 6=12.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: $y'=1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 9, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $ Найденная производная обращается в нуль в точках 3 и −3, из них на отрезке [−4; −1] лежит только точка −3. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67516" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 3$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 3 минус 3= минус 6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −6. | Ответ: -6 |
Найдите точку максимума функции $y= минус дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 289 конец дроби . $ | Найдем производную заданной функции: $y'= минус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 289 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1 умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс 289 правая круглая скобка минус x умножить на левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 289 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 289, знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 289 правая круглая скобка в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $x в квадрате минус 289=0 равносильно x в квадрате =289 равносильно совокупность выражений новая строка x=17, новая строка x= минус 17. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67520" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 17.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −17. | Ответ: -17 |
Найдите точку минимума функции $y= минус дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 1 конец дроби . $ | Найдем производную заданной функции: $y'= минус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: x в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус дробь: числитель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус x левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате минус 1, знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $x в квадрате минус 1=0 равносильно x в квадрате =1 равносильно совокупность выражений новая строка x=1, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67524" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите точку максимума функции $y= дробь: числитель: 98, знаменатель: x конец дроби плюс 2x плюс 15. $ | Область определения функции: $x не равно 0.$Найдите точку максимума функции $y= дробь: числитель: 98, знаменатель: x конец дроби плюс 2x плюс 15. $ Найдем производную заданной функции: $y'=2 минус дробь: числитель: 98, знаменатель: x в квадрате конец дроби . $Найдем нули производной: $1 минус дробь: числитель: 49, знаменатель: x в квадрате конец дроби =0 равносильно x в квадрате =49\Rightarrow совокупность выражений новая строка x=7 новая строка x= минус 7. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67503" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Искомая точка максимума $x= минус 7.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −7. | Ответ: -7 |
Из пункта <i>A</i> в пункт <i>B</i> одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт <i>B</i> одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна <nobr>$ v плюс 16$ км/ч.</nobr> Примем расстояние между пунктами за 1. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем: $ \underset v больше 0\mathop равносильно 48 левая круглая скобка v плюс 16 правая круглая скобка = v левая круглая скобка v плюс 40 правая круглая скобка равносильно v в квадрате минус 8 v минус 768=0 равносильно совокупность выражений v =32, v = минус 24 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =32.$ Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 32 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 32. | Ответ: 32 |
Из пункта <i>A</i> в пункт <i>B</i> одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $ v минус 13$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 2, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 78 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: v минус 13 конец дроби \underset v больше 48\mathop равносильно 2 умножить на 78 левая круглая скобка v минус 13 правая круглая скобка = v в квадрате минус 13 v плюс 78 v равносильно $$ равносильно v в квадрате минус 91 v плюс 52 умножить на 39=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =52; новая строка v =39 конец совокупности . \underset v больше 48\mathop равносильно v =52.$ Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 52. <b>Примечание.</b>По условию, оба автомобиля проехали одинаковое расстояние за одно и то же время, а значит, средние скорости их движения равны. Поэтому из приведенного решения следует, что средняя скорость второго автомобиля равна 52 км/ч, его скорость на первой половине пути составляет 52 − 13 = 39 км/ч, а скорость на второй половине пути — 78 км/ч. Невнимательный читатель мог бы решить, что в решении ошибка, поскольку $ дробь: числитель: 39 плюс 78, знаменатель: 2 конец дроби не равно 52. $ Однако противоречия нет.Первую половину пути автомобиль ехал с меньшей скоростью, значит, он затратил на первую половину пути больше времени, чем на вторую. Поэтому среднюю скорость нельзя находить по формуле $ дробь: числитель: 39 плюс 78, знаменатель: 2 конец дроби . $ Пусть половина пути между пунктами <i>А</i> и <i>В</i> равна <i>х</i> км, тогда для прохождения первой половины пути второму автомобилю потребовалось $ дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби $ часов, для прохождения второй половины пути $ дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби $ часов, а всего $ дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби $ часов. Тогда средняя скорость второго автомобиля составит $ дробь: числитель: 2x, знаменатель: дробь: числитель: x, знаменатель: 39 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 78 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 39 умножить на 78, знаменатель: 39 плюс 78 конец дроби =52 $ км/ч, то есть действительно будет равна скорости первого автомобиля. | Ответ: 52 |
Из пункта <i>A</i> в пункт <i>B</i>, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт <i>B</i> на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна $ v плюс 40$ км/ч. Велосипедист был в пути на 6 часов больше, отсюда имеем: Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч. <span style="letter-spacing:2px">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города <i>A</i> в город <i>B</i>, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в <i>A</i> со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из <i>A</i> в <i>B</i>. Найдите скорость велосипедиста на пути из <i>B</i> в <i>A</i>. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость велосипедиста на пути из <i>B</i> в <i>A</i>, тогда скорость велосипедиста на пути из <i>A</i> в <i>B</i> равна $ v минус 3$ км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из <i>A</i> в <i>B</i>, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 70, знаменатель: v конец дроби плюс 3= дробь: числитель: 70, знаменатель: v минус 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 70 плюс 3 v , знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 70, знаменатель: v минус 3 конец дроби \underset v больше 3\mathop равносильно 70 v =70 v минус 210 плюс 3 v в квадрате минус 9 v равносильно $$ равносильно v в квадрате минус 3 v минус 70=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =10; новая строка v = минус 7 конец совокупности .\underset v больше 3\mathop равносильно v =10.$ Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города <i>A</i> в город <i>B</i>, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из <i>A</i> в <i>B</i>. Найдите скорость велосипедиста на пути из <i>A</i> в <i>B</i>. Ответ дайте в км/ч. | Пусть υ км/ч — скорость велосипедиста на пути из <i>A</i> в <i>B</i>, тогда скорость велосипедиста на пути из <i>B</i> в <i>A</i> равна $ v плюс 7$ км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 7 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из <i>A</i> в <i>B</i>. Отсюда имеем: $ дробь: числитель: 98, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 98, знаменатель: v плюс 7 конец дроби плюс 7 равносильно дробь: числитель: 98, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 98 плюс 7 v плюс 49, знаменатель: v плюс 7 конец дроби равносильно $$ \underset v больше 0 \mathop равносильно 98 v плюс 7 умножить на 98 = v левая круглая скобка 147 плюс 7 v правая круглая скобка равносильно v в квадрате плюс 7 v минус 98=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =7, v = минус 14 конец совокупности .\underset v больше 0 \mathop равносильно v =7.$Таким образом, скорость велосипедиста была равна 7 км/ч. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 7. | Ответ: 7 |
Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста — $ v минус 1$ км/ч, $ v больше 1.$ Первый велосипедист прибыл к финишу на 1 час раньше второго, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 240, знаменатель: v конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 240, знаменатель: v минус 1 конец дроби равносильно дробь: числитель: 240 плюс v , знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 240, знаменатель: v минус 1 конец дроби \underset v больше 1\mathop равносильно 240 v плюс v в квадрате минус 240 минус v =240 v равносильно $$ равносильно v в квадрате минус v минус 240=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =16; новая строка v = минус 15 конец совокупности .\underset v больше 1\mathop равносильно v =16.$ Значит, первым финишировал велосипедист, двигавшийся со скоростью 16 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. | Ответ: 16 |
Два велосипедиста одновременно отправились в 88−километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, тогда скорость первого велосипедиста равна $ v плюс 3$ км/ч. Первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 88, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 88, знаменатель: v плюс 3 конец дроби плюс 3\underset v больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 88, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 88 плюс 3 v плюс 9, знаменатель: v плюс 3 конец дроби равносильно 88 v плюс 3 умножить на 88=88 v плюс 3 v в квадрате плюс 9 v равносильно $$ равносильно v в квадрате плюс 3 v минус 88=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =8; новая строка v = минус 11 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =8.$ Таким образом, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 8 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
Из двух городов, расстояние между которыми равно 560 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны 65 км/ч и 75 км/ч? | Пусть <i>t</i> ч — время движения автомобилей до встречи. Первый автомобиль пройдет расстояние 65<i>t</i> км, а второй − 75<i>t</i> км. Тогда имеем: $65t плюс 75t=560 равносильно 140t=560 равносильно t=4.$ Таким образом, автомобили встретятся через 4 часа. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Из городов <i>A</i> и <i>B</i>, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города $B.$ Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A.$ Ответ дайте в км/ч. | Автомобиль, выехавший из города <i>A</i>, преодолел расстояние (330 − 180) км = 150 км за 3 часа. Пусть $ v $ км/ч — скорость данного автомобиля. Таким образом, $ v = дробь: числитель: 150, знаменатель: 3 конец дроби =50 $ км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 50. | Ответ: 50 |
Расстояние между городами <i>A</i> и <i>B</i> равно 435 км. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города <i>B</i> выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города <i>A</i> автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах. | Пусть автомобили встретятся на расстоянии <i>S</i> км от города <i>A</i>, тогда второй автомобиль пройдет расстояние $435 минус S$ км. Второй автомобиль находился в пути на 1 час меньше первого, отсюда имеем:$ дробь: числитель: S, знаменатель: 60 конец дроби = дробь: числитель: 435 минус S, знаменатель: 65 конец дроби плюс 1 равносильно дробь: числитель: S, знаменатель: 60 конец дроби = дробь: числитель: 435 минус S плюс 65, знаменатель: 65 конец дроби равносильно $$ равносильно 65S=60 умножить на 500 минус 60S равносильно 125S=30 000 равносильно S=240.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 240. | Ответ: 240 |
Расстояние между городами <i>A</i> и <i>B</i> равно 470 км. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города <i>B</i> выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города $A.$ Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость первого автомобиля. Автомобиль, выехавший из города <i>B</i>, преодолел расстояние (470 − 350) км = 120 км. Первый автомобиль находился в пути на 3 часа больше, чем второй. Таким образом, $ дробь: числитель: 350, знаменатель: v конец дроби =3 плюс дробь: числитель: 120, знаменатель: 60 конец дроби равносильно v =70. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 70. | Ответ: 70 |
Из городов <i>A</i> и <i>B</i> навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в <i>B</i> на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в <i>A</i>, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из <i>B</i> в <i>A</i> велосипедист? | Примем расстояние между городами 1. Пусть время движения велосипедиста равно <i>x</i> ч, тогда время движения мотоциклиста равно $x минус 3$ ч, $x больше 3.$ К моменту встречи они находились в пути 48 минут и в сумме преодолели всё расстояние между городами, поэтому $ левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x минус 3 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 48, знаменатель: 60 конец дроби =1 \underset x больше 3\mathop равносильно 4 левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка =5 левая круглая скобка x в квадрате минус 3x правая круглая скобка равносильно 5x в квадрате минус 23x плюс 12=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=4; новая строка x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . \undersetx больше 3\mathop равносильно x=4.$Таким образом, велосипедист находился в пути 4 часа. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч. | Скорость товарного поезда меньше, чем скорого на 750 м/мин или на $ дробь: числитель: 0,75 км, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби ч конец дроби =45 км/ч. $Пусть υ км/ч — скорость товарного поезда, тогда скорость скорого поезда $ v плюс 45$ км/ч. На путь в 180 км товарный поезд тратит времени на 2 часа больше, чем скорый, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180, знаменатель: v плюс 45 конец дроби плюс 2 равносильно дробь: числитель: 180, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 2 v плюс 90, знаменатель: v плюс 45 конец дроби равносильно 180 v плюс 180 умножить на 45=270 v плюс 2 v в квадрате равносильно $<br/>$ равносильно 2 v в квадрате плюс 90 v минус 180 умножить на 45=0 равносильно v в квадрате плюс 45 v минус 90 умножить на 45=0 равносильно совокупность выражений новая строка v =45; новая строка v = минус 90 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =45.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 45. | Ответ: 45 |
Расстояние между городами <i>A</i> и <i>B</i> равно 150 км. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе <i>C</i> и повернул обратно. Когда он вернулся в <i>A</i>, автомобиль прибыл в $B.$ Найдите расстояние от <i>A</i> до $C.$ Ответ дайте в километрах. | Обозначим <i>S</i> км — расстояние от <i>A</i> до <i>C</i>, $ v $ км/ч — скорость автомобиля, <i>t</i> ч — время движения мотоциклиста от <i>A</i> до <i>C</i>. Тогда $ левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 90t$ и $ левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150.$ Решим систему полученных уравнений: $ система выражений новая строка левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 90t, новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v , знаменатель: левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v конец дроби = дробь: числитель: 90t, знаменатель: 150 конец дроби новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150 конец системы . равносильно система выражений новая строка дробь: числитель: 2t плюс 1, знаменатель: 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 6t, знаменатель: 5 конец дроби , новая строка левая круглая скобка 2t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка v = 150 конец системы . равносильно система выражений новая строка t=1, новая строка v =60. конец системы . $Тогда $ S = 90t= 90$ км. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 90. <b>Приведём другой способ решения.</b>Обозначим υ км — скорость автомобиля. В момент выезда мотоциклиста между автомобилем и мотоциклом было 0,5υ км, и мотоциклист догонит автомобиль в городе <i>C</i> за $ дробь: числитель: 0,5 v , знаменатель: 90 минус v конец дроби $ ч. За это же время мотоцикл вернётся в <i>A</i>, а автомобиль доедет до <i>B</i>. Всего автомобиль затратит времени $2 умножить на дробь: числитель: 0,5 v , знаменатель: 90 минус v конец дроби плюс 0,5. $ За это время он со скоростью υ проедет 150 км. Получим уравнение:$ левая круглая скобка дробь: числитель: v , знаменатель: 90 минус v конец дроби плюс 0,5 правая круглая скобка умножить на v =150 равносильно 0,5 v в квадрате плюс 45 v =150 умножить на 90 минус 150 v равносильно v в квадрате плюс 390 v минус 300 умножить на 90=0. $Положительный корень уравнения $ v =60.$ Тогда мотоцикл затратит на дорогу до <i>C</i> $ дробь: числитель: 30, знаменатель: 30 конец дроби =1 $ час, а поскольку его скорость равна 90, то расстояние до <i>C</i> равно 90 км. <span style="letter-spacing: 2pv;">Ответ:</span> 90. | Ответ: 90 |
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам? | Пусть $ v $ км/ч — скорость второго пешехода, тогда скорость первого − $ v плюс 1,5$км/ч. Пусть через <i>t</i> часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 километра. Таким образом, $0,3= левая круглая скобка v плюс 1,5 правая круглая скобка t минус v t равносильно 0,3=1,5t равносильно t=0,2,$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч. | Пусть $ v $ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а <i>t</i> ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста. Таким образом, $ v t=10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка равносильно v = дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби . $$ v умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =15 умножить на левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 10 умножить на левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 3t плюс 7 правая круглая скобка , знаменатель: 3t конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 3t плюс 13 правая круглая скобка равносильно $$ равносильно 6t в квадрате плюс 20t плюс 14=9t в квадрате плюс 39t равносильно 3t в квадрате плюс 19t минус 14=0 равносильно $$ равносильно совокупность выражений новая строка t= дробь: числитель: минус 19 плюс корень из 19 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 14, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; новая строка t= дробь: числитель: минус 19 минус корень из 19 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 14, знаменатель: 6 конец дроби = минус 7 конец совокупности .\undersett больше 0\mathop равносильно t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 25. <b>Приведем другое решение.</b>Примем за <i>х</i> км/ч скорость третьего велосипедиста. Тогда скорость сближения второго и третьего велосипедистов равна <nobr>$x минус 10$ км/ч,</nobr> а скорость сближения первого и третьего велосипедистов равна <nobr>$x минус 15$ км/ч.</nobr> Второй велосипедист выехал на час раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 10 км. Чтобы преодолеть это расстояние, третьему велосипедисту понадобилось <nobr>$ дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 10 конец дроби $ часа.</nobr> Первый велосипедист выехал на два часа раньше третьего, поэтому изначально их разделяло 30 км. Следовательно, третий велосипедист догнал первого за <nobr>$ дробь: числитель: 30, знаменатель: x минус 15 конец дроби $ часа.</nobr> Третий велосипедист догнал первого через 7/3 часа после того, как он догнал второго, поэтому можно составить уравнение:$ дробь: числитель: 10, знаменатель: x минус 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: x минус 15 конец дроби . $При условии $x больше 15,$ избавляясь от знаменателей, получаем:$30 левая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка плюс 7 левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка = 90 левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка равносильно 7x в квадрате минус 235x плюс 1500 = 0.$ Найдем дискриминант:$235 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 1500 = левая круглая скобка 47 умножить на 5 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на левая круглая скобка 25 умножить на 60 правая круглая скобка = 25 умножить на левая круглая скобка 47 в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 60 правая круглая скобка =$<br/>$= 25 умножить на левая круглая скобка 2209 минус 1680 правая круглая скобка = 25 умножить на 529 = левая круглая скобка 5 умножить на 23 правая круглая скобка в квадрате = 115 в квадрате .$ Следовательно, $x = дробь: числитель: 235 \pm 115, знаменатель: 14 конец дроби . $ Меньший корень $x = дробь: числитель: 60, знаменатель: 7 конец дроби $ меньше 15, а потому не подходит. Больший корень, равный 25, подходит. Скорость третьего велосипедиста равна 25 км/ч. | Ответ: 25 |
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. | Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть автомобиль находился в пути $2t$ часов, тогда его средняя скорость равна:$ дробь: числитель: 74t плюс 66t, знаменатель: 2t конец дроби =70 $ км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 70. | Ответ: 70 |
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. | Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть $3S$ км — весь путь автомобиля, тогда средняя скорость равна:$ дробь: числитель: 3S, знаменатель: дробь: числитель: S, знаменатель: 60 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: 120 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: 110 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: дробь: числитель: 1 умножить на 2 умножить на 11 плюс 1 умножить на 11 плюс 1 умножить на 12, знаменатель: 12 умножить на 10 умножить на 11 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 12 умножить на 10 умножить на 11, знаменатель: 45 конец дроби =4 умножить на 2 умножить на 11=88 $ км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 88. | Ответ: 88 |
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. | Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость равна:$ дробь: числитель: 2 умножить на 50 плюс 1 умножить на 100 плюс 2 умножить на 75, знаменатель: 2 плюс 2 плюс 1 конец дроби =70 $ км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 70. | Ответ: 70 |
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. | Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Средняя скорость автомобиля равна $ дробь: числитель: 190 плюс 180 плюс 170, знаменатель: дробь: числитель: 190, знаменатель: 50 конец дроби плюс дробь: числитель: 180, знаменатель: 90 конец дроби плюс дробь: числитель: 170, знаменатель: 100 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 540, знаменатель: 3,8 плюс 2 плюс 1,7 конец дроби = дробь: числитель: 540, знаменатель: 7,5 конец дроби =72 $ км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 72. | Ответ: 72 |
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах. | Скорость поезда равна $80~км/ч= дробь: числитель: 80000 м, знаменатель: 3600 с конец дроби = дробь: числитель: 800, знаменатель: 36 конец дроби ~м/с. $ За 36 секунд поезд проходит мимо придорожного столба расстояние, равное своей длине:$ дробь: числитель: 800, знаменатель: 36 конец дроби умножить на 36 =800~м. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 800. | Ответ: 800 |
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах. | Скорость поезда равна 60 км в час, значит, за 1 минуту поезд проезжает 1 км. За это время поезд проезжает мимо лесополосы, то есть проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда. Поэтому длина поезда равна $1000 минус 400=600$ метров. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 600. | Ответ: 600 |
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах. | Скорость сближения поездов равна 60 км/ч или 1 км/мин. Следовательно, за 1 минуту пассажирский поезд сместится относительно товарного на 1 км. При этом он преодолеет расстояние, равное сумме длин поездов. Поэтому длина пассажирского поезда равна 1000 − 600 = 400 м. <b>Приведём другое решение.</b>Скорость сближения поездов равна $90 минус 30 = 60 км/ч= дробь: числитель: 50, знаменатель: 3 конец дроби м/с. $ Пусть длина пассажирского поезда равна <i>х</i> метров. За 60 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть преодолевает расстояние <i>х</i> + 600. Тогда: $ x плюс 600 = дробь: числитель: 50, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 60 равносильно x плюс 600 = 1000 равносильно x = 400. $ Поэтому длина пассажирского поезда 400 м. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 400. | Ответ: 400 |
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах. | Относительная скорость поездов равнаЗа 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние, равное сумме их длин: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 300. | Ответ: 300 |
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,4 км от дома. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах. | Пусть <i>х</i> км — искомое расстояние, его проходит путник, движущийся медленнее, за $ дробь: числитель: x, знаменатель: конец дроби 2,5$ часов. Другой путник вначале проходит 4,4 км до опушки, а затем возвращается на $4,4 минус x$ км назад, то есть всего он проходит $8,8 минус x$ км за $ дробь: числитель: 8,8 минус x, знаменатель: 3 конец дроби $ часа. Времена движения путников равны, тогда: $ дробь: числитель: x, знаменатель: конец дроби 2,5 = дробь: числитель: 4,4, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 4,4 минус x, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2x, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 8,8 минус x, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 6x = 44 минус 5x равносильно 11 x = 44 равносильно x=4. $Тем самым, искомое расстояние равно 4 км. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. <b>Приведем другое решение.</b>Пусть <i>x</i> км — расстояние, которое не дошел до опушки первый путник, оно равно расстоянию, которое прошел от опушки до места встречи второй путник. Путники затратили одно и то же время, поэтому $ дробь: числитель: 4,4 плюс x}3 = дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби ,4 минус x, знаменатель: 2,5 конец дроби равносильно 2,5 левая круглая скобка 4,4 плюс x правая круглая скобка = 3 левая круглая скобка 4,4 минус x правая круглая скобка равносильно 5,5 x = 0,5 умножить на 4,4 равносильно x = 0,4. $Не дойдя 0,4 км до опушки, первый путник оказался на расстоянии 4,4 − 0,4 = 4 км от дома. Это и есть искомое расстояние. <b>Приведем другое решение.</b>Пусть <i>x</i> ч — время, прошедшее от начала движения до момента встречи пешеходов. Тогда к моменту их встречи тот, кто шёл медленнее, прошёл 2,5<i>x</i> км, а тот, кто шёл быстрее, прошёл 3<i>x</i> км, из которых 4,4 км до опушки, а 3<i>х</i> − 4,4 в обратном направлении. Пешеходы встретились на одном и том же расстоянии от опушки, поэтому расстояние, которое ещё осталось пройти до опушки более медленному из них, равно расстоянию, на которое более быстрый от неё уже удалился. Следовательно, 4,4 − 2,5<i>х</i> = 3<i>х</i> − 4,4, откуда <i>х</i> = 1,6 ч, а искомое расстояние равно 2,5 · 1,6 = 4 км.<i>Комментарий.</i> Уравнение можно было бы составить несколько по-другому. По каждому участку либо прошли оба пешехода, либо один пешеход дважды, поэтому общий пройденный путь равен удвоенному расстоянию от дома до опушки: 3<i>х</i> + 2,5<i>х</i> = 8,8. <b>Приведем другое решение.</b>Тот, кто идет быстрее, дойдет до опушки за 4,4 : 3 = 22/15 часа. За это время тот, кто идет медленнее, пройдет 2,5 · 22/15 = 11/3 км и окажется на расстоянии 4,4 − 11/3 = 11/15 км от опушки. Далее они пойдут на встречу друг другу со скоростью сближения 5,5 км/час и преодолеют разделяющее их расстояние за (11/15) : 5,5 = 2/15 часа. За это время медленно идущий пешеход пройдет еще 2,5 · 2/15 = 1/3 км и окажется на расстоянии 11/3 + 1/3 = 4 км от точки отправления. <b>Приведем ещё одно решение.</b>Условие задачи равносильно тому, что два человека, каждый из которых находится на расстоянии 4,4 км от опушки, идут навстречу друг другу. Скорость их сближения равна 5,5 км/час. Встреча произойдёт через 8,8 : 5,5 = 1,6 часа на расстоянии 2,5 · 1,6 = 4 км от дома. | Ответ: 4 |
Дорога между пунктами <i>А</i> и <i>В</i> состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Путь из <i>А</i> в <i>В</i> занял у туриста 5 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч. | Пусть скорость, с которой турист спускался, равна <i>х</i> км/час, тогда его скорость на подъёме равна <i>х</i> − 3 км/ч, длина спуска равна <i>х</i> км, длина подъёма равна 4(<i>х</i> − 3) км. Поскольку весь путь равен 8 км, имеем: <i>х</i> + 4(<i>х</i> − 3) = 8, откуда <i>х</i> = 4 км/ч. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
Автомобиль выехал с постоянной скоростью 75 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 275 км. Одновременно с ним из города С в город В, расстояние между которыми равно 255 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 50 минут. В результате автомобиль и мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч. | Время, необходимое, чтобы доехать до города, равно 275 : 75 = 11/3 часа или 3 часа 40 минут. Поскольку мотоциклист должен сделать 50-минутную остановку, у него остаётся 2 часа 50 минут или 17/6 часа на движение. За это время он должен проехать 255 км, поэтому его скорость должна быть равной 255 : (17/6) = 90 км/час. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 90. | Ответ: 90 |
Иван и Алексей договорились встретиться в Н-ске. Они едут к Н-ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н-ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н-ска и ещё должен по дороге сделать 30-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н-ск одновременно с Алексеем? | Алексей приедет в Н-ск через$ дробь: числитель: 168, знаменатель: 72 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби ч. $ Обозначим скорость Ивана за $ v .$ Поскольку время его движения с учётом получасовой остановки равно времени движения Алексея, получаем уравнение:$ дробь: числитель: 165, знаменатель: v конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 165, знаменатель: v конец дроби = дробь: числитель: 11, знаменатель: 6 конец дроби равносильно 11 v = 990 равносильно v = 90 км/ч. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 90. | Ответ: 90 |
Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими | Скорость удаления автомобилей друг от друга составляет: 70 − 40 = 30 км/ч.Переведем минуты в часы: 15 минут составляют $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби $ часа.Таким образом, через 15 минут после обгона расстояние составит: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 30 = 7,5 $ км. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 7,5. | Ответ: 7,5 |
Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, по параллельным путям отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Второй поезд вышел на 1 ч позже первого со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость первого поезда. Найдите скорость второго поезда. Ответ дайте <nobr>в км/ч.</nobr> | Пусть скорость первого поезда равна <nobr><i>x</i> км/ч,</nobr> тогда он проходит свой путь за $ дробь: числитель: 360, знаменатель: x конец дроби $ ч. Скорость второго поезда равна <nobr><i>x</i> + 4 км/ч.</nobr> Второй поезд проходит путь за $ дробь: числитель: 360, знаменатель: x плюс 4 конец дроби $ ч. Второй поезд вышел на 1 ч позже первого, тогда $ дробь: числитель: 360, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 360, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 1 \undersetx больше 0\mathop равносильно 360 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка =360x плюс x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка равносильно $<br/>$ равносильно 360x плюс 1440=360x плюс x в квадрате плюс 4x равносильно x в квадрате плюс 4x минус 1440=0 равносильно совокупность выражений x=36,x= минус 40 конец совокупности . \undersetx больше 0\mathop равносильно x=36.$Таким образом, скорость второго поезда равна <nobr>36 + 4 = 40 км/ч.</nobr> <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 40. | Ответ: 40 |
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? | Пусть υ км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна υ + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через <i>t</i> часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому $ левая круглая скобка v плюс 21 правая круглая скобка t минус v t=7 равносильно 21t=7 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. <b>Приведём другое решение.</b>Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа. | Ответ: 20 |
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. | Пусть скорость второго автомобиля равна $ v $ км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем$80 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = v умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 14 равносильно 2 v =80 умножить на 2 минус 14 умножить на 3 равносильно v =59. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 59. | Ответ: 59 |
Из пункта <i>A</i> круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт <i>А</i> и из пункта <i>А</i> следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. | К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за <i>x</i> км/час, то скорость мотоциклиста будет равна <i>4x</i>, а скорость их сближения — 3<i>x</i> км/час.C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час. Итак, 3<i>х</i> = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 80. | Ответ: 80 |
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? | До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние <i>L</i> делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:$ дробь: числитель: L, знаменатель: 1 конец дроби = дробь: числитель: 8 плюс 36 плюс L, знаменатель: 12 конец дроби равносильно 12L=L плюс 44 равносильно L=4. $Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 240. <b>Приведем арифметическое решение.</b>Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12$ круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна $ дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби $ круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или $ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби $ круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего $ дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 = дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби $ круга. Поэтому необходимое время равно $ дробь: числитель: 11}3 : дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 1, знаменатель: 12 конец дроби = 4 $ часа или 240 минут. <b>Приведем другое решение.</b>Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут. <b>Помещаем решение в общем виде.</b>Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время <i>h</i> часов <i>m</i> минут часовая стрелка повернута на 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> градусов, а минутная — на 6<i>m</i> градусов относительно 12-часового деления. Пусть в первый раз стрелки встретятся через <i>t</i><sub>1</sub> минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6<i>m</i> + 6<i>t</i><sub>1</sub> = 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> + 0,5<i>t</i><sub>1</sub>, т. е. <i>t</i><sub>1</sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i>)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6<i>m</i> + 6<i>t</i><sub>1</sub> = 30<i>h</i> + 0,5<i>m</i> + 0,5<i>t</i><sub>1</sub> + 360, откуда <i>t</i><sub>1</sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720)/11 (**).Пусть во второй раз стрелки встретятся через <i>t</i><sub>2</sub> минут после первого, тогда 0,5<i>t</i><sub>2</sub> = 6<i>t</i><sub>2</sub> − 360, откуда <i>t</i><sub>2</sub> = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.Поэтому для встречи с номером <i>n</i> из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: <i>t</i><sub><i>n</i></sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720(<i>n</i> − 1))/11 или <i>t</i><sub><i>n</i></sub> = (60<i>h</i> − 11<i>m</i> + 720<i>n</i> − 720)/11. | Ответ: 240 |
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. | Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна $3: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =12 $ км/ч. Обозначим скорость второго гонщика <i>x</i> км/ч, тогда скорость первого $ левая круглая скобка x плюс 12 правая круглая скобка $ км/ч. Составим и решим уравнение: $ дробь: числитель: 180, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 180, знаменатель: x плюс 12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби равносильно дробь: числитель: 180x плюс 180 умножить на 12 минус 180x, знаменатель: x левая круглая скобка x плюс 12 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби равносильно x в квадрате плюс 12x=180 умножить на 12 умножить на 6 $ $ равносильно x в квадрате плюс 12x минус 108 умножить на 120=0 равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 108 минус 120 правая круглая скобка x плюс 108 умножить на левая круглая скобка минус 120 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка x= минус 120, новая строка x=108. конец совокупности $Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 108. | Ответ: 108 |
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость течения реки, тогда скорость лодки по течению равна $11 плюс u$ км/ч, а скорость лодки против течения равна $11 минус u$ км/ч. На обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 112, знаменатель: 11 минус u конец дроби минус дробь: числитель: 112, знаменатель: 11 плюс u конец дроби =6 равносильно дробь: числитель: 224u, знаменатель: левая круглая скобка 11 минус u правая круглая скобка левая круглая скобка 11 плюс u правая круглая скобка конец дроби =6 равносильно дробь: числитель: 112u, знаменатель: 121 минус u в квадрате конец дроби =3\undersetu больше 0\mathop равносильно $$ равносильно 112u=3 левая круглая скобка 121 минус u в квадрате правая круглая скобка равносильно 3u в квадрате плюс 112u минус 363=0 равносильно $$ равносильно совокупность выражений новая строка u= дробь: числитель: минус 56 плюс корень из 56 в квадрате плюс 3 умножить на 363, знаменатель: 3 конец дроби ; новая строка u= дробь: числитель: минус 56 минус корень из 56 в квадрате плюс 3 умножить на 363, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка u=3; новая строка u= минус дробь: числитель: 121, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=3.$ Таким образом, скорость течения реки равна 3 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. <b>Примечание.</b>Заметим, что при решении квадратного уравнения использована формула корней уравнения с четным коэффициентом <i>b</i>:$x= дробь: числитель: минус дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби \pm корень из левая круглая скобка дробь: числитель: b, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус ac, знаменатель: a конец дроби . $ | Ответ: 3 |
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна $u плюс 1$ км/ч, а скорость лодки против течения равна $u минус 1$ км/ч. На путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 255, знаменатель: u минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 255, знаменатель: u плюс 1 конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 255 умножить на 2, знаменатель: u в квадрате минус 1 конец дроби =2 равносильно u в квадрате =256 равносильно совокупность выражений новая строка u=16; новая строка u= минус 16 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=16.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. | Ответ: 16 |
Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — собственная скорость моторной лодки, тогда скорость лодки по течению равна $u плюс 1$ км/ч, а скорость лодки против течения равна $u минус 1$ км/ч. На весь путь лодка затратила $8 минус 2,5=5,5$ (часов), отсюда имеем:$ дробь: числитель: 30, знаменатель: u минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 30, знаменатель: u плюс 1 конец дроби =5,5 равносильно дробь: числитель: 60u, знаменатель: u в квадрате минус 1 конец дроби =5,5 равносильно 11u в квадрате минус 120u минус 11=0 равносильно $$ равносильно совокупность выражений новая строка u= дробь: числитель: 120 плюс корень из 120 в квадрате плюс 4 умножить на 11 в квадрате , знаменатель: 22 конец дроби =11; новая строка u= дробь: числитель: 120 минус корень из 120 в квадрате плюс 4 умножить на 11 в квадрате , знаменатель: 22 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=11.$ Таким образом, собственная скорость лодки равна 11 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость течения, тогда скорость теплохода по течению равна $15 плюс u$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $15 минус u$ км/ч. На весь путь теплоход затратил 40 − 10 = 30 часов, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 200, знаменатель: 15 минус u конец дроби плюс дробь: числитель: 200, знаменатель: 15 плюс u конец дроби =30 равносильно дробь: числитель: 200 умножить на 15 умножить на 2, знаменатель: 225 минус u в квадрате конец дроби =30 равносильно дробь: числитель: 200, знаменатель: 225 минус u в квадрате конец дроби =1\underset0 меньше u меньше 15 равносильно 200=225 минус u в квадрате равносильно $$ равносильно u в квадрате =25 равносильно совокупность выражений новая строка u=5; новая строка u= минус 5 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=5.$ Таким образом, скорость течения реки равна 5 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна $u плюс 1$ км/ч, а скорость теплохода против течения равна $u минус 1$ км/ч. На весь путь теплоход затратил 34 − 2 = 32 часов, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 255, знаменатель: u плюс 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 255, знаменатель: u минус 1 конец дроби =32 равносильно дробь: числитель: 255 умножить на 2u, знаменатель: u в квадрате минус 1 конец дроби =32 равносильно 255u=16u в квадрате минус 16 равносильно $$ равносильно 16u в квадрате минус 255u минус 16=0 равносильно совокупность выражений новая строка u= дробь: числитель: 255 плюс корень из 255 в квадрате плюс 4 умножить на 16 в квадрате , знаменатель: 32 конец дроби ; новая строка u= дробь: числитель: 255 минус корень из 255 в квадрате плюс 4 умножить на 16 в квадрате , знаменатель: 32 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка u=16; новая строка u= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби конец совокупности . \undersetu больше 0\mathop равносильно u=16.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. <b>Примечание.</b>Корни квадратного уравнения $16u в квадрате минус 255u минус 16=0$ можно найти по теореме, обратной теореме Виета. Действительно, $u_1 плюс u_2= дробь: числитель: 255, знаменатель: 16 конец дроби =16 плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка , $ при этом $u_1 умножить на u_2 = минус 1 = 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка . $ Поэтому корни уравнения суть числа $16$ и $ минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби . $ | Ответ: 16 |
От пристани <i>A</i> к пристани <i>B</i>, расстояние между которыми равно 420 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость первого теплохода, тогда скорость второго теплохода по течению равна <i>u</i> + 1 км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда получаем:$ дробь: числитель: 420, знаменатель: u конец дроби минус дробь: числитель: 420, знаменатель: u плюс 1 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 420, знаменатель: u в квадрате плюс u конец дроби =1 \undersetu больше 0\mathop равносильно 420=u в квадрате плюс u равносильно u в квадрате плюс u минус 420=0 равносильно совокупность выражений u=20, u= минус 21 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=20. $Таким образом, скорость первого теплохода равна 20 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
От пристани <i>A</i> к пристани <i>B</i>, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт <i>B</i> он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость второго теплохода, тогда скорость первого теплохода равна $u минус 1$ км/ч. Первый теплоход находился в пути на 1 час больше, чем второй, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 110, знаменатель: u минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 110, знаменатель: u конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 110, знаменатель: u в квадрате минус u конец дроби =1 равносильно 110=u в квадрате минус u равносильно u в квадрате минус u минус 110=0 равносильно $$ равносильно совокупность выражений новая строка u=11; новая строка u= минус 10 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=11.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
Баржа в 10:00 вышла из пункта <i>A</i> в пункт <i>B</i>, расположенный в 15 км от $A.$ Пробыв в пункте <i>B</i> 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт <i>A</i> в 16:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна $7$ км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость течения реки, тогда скорость баржи по течению равна $7 плюс u$ км/ч, а скорость баржи против течения равна $7 минус u$ км/ч. Баржа вернулась в пункт <i>A</i> через 6 часов, но пробыла в пункте <i>B</i> $1$ час 20 минут, поэтому общее время движения баржи дается уравнением: $ дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 минус u конец дроби плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 плюс u конец дроби =6 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 15 умножить на левая круглая скобка 7 плюс u правая круглая скобка плюс 15 умножить на левая круглая скобка 7 минус u правая круглая скобка , знаменатель: 49 минус u в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 14, знаменатель: 3 конец дроби равносильно $ $ \undersetu больше 0\mathop равносильно 30 умножить на 7 умножить на 3=14 умножить на 49 минус 14u в квадрате равносильно u в квадрате =4 равносильно совокупность выражений новая строка u=2; новая строка u= минус 2 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=2.$Поэтому скорость течения реки равна 2 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Пристани <i>A</i> и <i>B</i> расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из <i>A</i> в $B.$ На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из <i>A</i> в $B.$ Найдите скорость баржи на пути из <i>A</i> в $B.$ Ответ дайте в км/ч. | Пусть <i>u</i> км/ч — скорость баржи на пути из <i>A</i> в <i>B</i>, тогда скорость баржи на пути из <i>B</i> в <i>A</i> $u плюс 3$ км/ч. На обратном пути баржа сделала остановку на 9 часов, и в результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько и на прямой, отсюда имеем: $ дробь: числитель: 390, знаменатель: u конец дроби = дробь: числитель: 390, знаменатель: u плюс 3 конец дроби плюс 9 равносильно дробь: числитель: 390, знаменатель: u конец дроби = дробь: числитель: 390 плюс 9u плюс 27, знаменатель: u плюс 3 конец дроби равносильно 3 умножить на 390=27u плюс 9u в квадрате равносильно $ $ равносильно 9u в квадрате плюс 27u минус 3 умножить на 3 умножить на 130=0 равносильно u в квадрате плюс 3u минус 130=0 равносильно совокупность выражений новая строка u=10; новая строка u= минус 13 конец совокупности .\undersetu больше 0\mathop равносильно u=10.$Поэтому собственная скорость баржи равна 10 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс? | Пусть весь путь теплохода равен $2S$ км. Время в пути составляет 30 часов, из которых 5 часов — стоянка: $ дробь: числитель: S, знаменатель: 25 минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: 25 плюс 3 конец дроби =30 минус 5 равносильно дробь: числитель: 50S, знаменатель: 22 умножить на 28 конец дроби =25 равносильно S=308. $Тем самым, весь пути теплохода составляет 2 · 308 = 616 км. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 616. | Ответ: 616 |
Расстояние между пристанями <i>A</i> и <i>B</i> равно 120 км. Из <i>A</i> в <i>B</i> по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт <i>B</i>, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A.$ К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в $км/ч.$ | Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому составляет 2 км/ч. Пусть <i>u</i> км/ч — скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна $u плюс 2$ км/ч, а скорость яхты против течения равна $u минус 2$ км/ч, причем $u больше 2.$ Яхта, прибыв в пункт <i>B</i>, тотчас повернула обратно и возвратилась в <i>A</i>, а плоту, чтобы пройти те же 24 км, понадобилось на час больше времени. Составим и решим уравнение:$ равносильно совокупность выражений новая строка u= дробь: числитель: 240 плюс корень из 240 в квадрате плюс 44 в квадрате , знаменатель: 22 конец дроби =22; новая строка u= дробь: числитель: 240 минус корень из 240 в квадрате плюс 44 в квадрате , знаменатель: 22 конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 конец дроби конец совокупности .\underset u больше 2 \mathop равносильно u=22.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 22. <b>Примечание.</b>Вычисления можно было бы упростить, используя формулу для четного коэффициента при <i>х</i>:$u_ плюс = дробь: числитель: 120 плюс корень из 120 в квадрате плюс 11 умножить на 44 , знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 120 плюс 122, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 121 плюс 121, знаменатель: 11 конец дроби = 22, $где корень можно вычислить так: $ корень из 120 в квадрате плюс 11 умножить на 44 = корень из 4 в квадрате умножить на 30 в квадрате плюс 4 умножить на 11 в квадрате = корень из 4 левая круглая скобка 4 умножить на 900 плюс 121 правая круглая скобка = корень из 4 умножить на 3721 = корень из 2 в квадрате умножить на 61 в квадрате = 2 умножить на 61 = 122.$ Чтобы догадаться, что число 3721 является квадратом 61 можно либо заметить, что <nobr>60<sup>2</sup> = 3600</nobr> и проверить ближайшее целое число, заканчивающееся на 1, либо представить число 3721 в виде полного квадрата суммы:$3721 = 3600 плюс 120 плюс 1 = 60 в квадрате плюс 2 умножить на 60 умножить на 1 плюс 1 = левая круглая скобка 60 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 61 в квадрате .$ | Ответ: 22 |
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. | Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть $2S$ км — весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:$2S: левая круглая скобка дробь: числитель: S, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: S, знаменатель: 480 конец дроби правая круглая скобка =2S: дробь: числитель: 24S плюс S, знаменатель: 480 конец дроби = дробь: числитель: 2S умножить на 480, знаменатель: 25S конец дроби =38,4км/ч. $Поэтому средняя скорость путешественника 38,4 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 38,4. | Ответ: 38,4 |
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго? | Пока сухогрузы перейдут из первого положения во второе, второй сухогруз переместился относительно первого на$120 плюс 400 плюс 80 плюс 600=1200 м.$Пусть <i>u</i> — разность скоростей сухогрузов, тогда$u= дробь: числитель: 1200 м, знаменатель: 12 мин конец дроби = дробь: числитель: 6000 м, знаменатель: 60 мин конец дроби = 100 м/мин = 6 км/ч. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Весной катер идёт против течения реки в $ целая часть: 1, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 $ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $ целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 $ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). | Пусть <i>x</i> (км/ч) — собственная скорость катера, $y $ (км/ч) — скорость течения реки весной. Тогда летом она составит $y минус 1$ (км/ч); $x больше y больше 1.$ Составим таблицу по данным задачи: Решим систему уравнений: $ система выражений дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: x минус y конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: x плюс y минус 1, знаменатель: x минус y плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно система выражений 3 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =5 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка , 2 левая круглая скобка x плюс y минус 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x минус y плюс 1 правая круглая скобка конец системы равносильно система выражений x=4y, x минус 5y= минус 5 конец системы равносильно система выражений x=20, y=5. конец системы $ Таким образом, скорость течения весной равна 5 км/ч. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше? | Обозначим <i>n</i> — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает $n плюс 1$ деталь. На изготовление 110 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 110, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 1= дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 110 плюс n плюс 1, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби \undersetn больше 0 равносильно 110n плюс 110=n в квадрате плюс 111n равносильно $$ равносильно n в квадрате плюс n минус 110=0 равносильно совокупность выражений новая строка n=10; новая строка n= минус 11 конец совокупности .\undersetn больше 0\mathop равносильно n=10.$Таким образом, второй рабочий изготавливает 10 деталей в час. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго? | Обозначим <i>n</i> — число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает $n минус 1$ деталь, $n больше 1.$ На изготовление 156 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 156, знаменатель: n минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 156, знаменатель: n конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 156, знаменатель: n в квадрате минус n конец дроби =1\undersetn больше 1\mathop равносильно 156=n в квадрате минус n $$ равносильно n в квадрате минус n минус 156=0 равносильно совокупность выражений новая строка n=13; новая строка n= минус 12 конец совокупности .\undersetn больше 1\mathop равносильно n=13.$ Таким образом, первый рабочий изготавливает 13 деталей в час. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 13. | Ответ: 13 |
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? | Обозначим <i>n</i> − число деталей, которые изготавливает за час первый рабочий, тогда второй рабочий за час изготавливает $n минус 3$ деталей, $n больше 3.$ На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 475, знаменатель: n конец дроби плюс 6= дробь: числитель: 550, знаменатель: n минус 3 конец дроби \undersetn больше 3\mathop равносильно дробь: числитель: 475 плюс 6n, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 550, знаменатель: n минус 3 конец дроби \undersetn больше 3\mathop равносильно 475n минус 3 умножить на 475 плюс 6n в квадрате минус 18n=550n\undersetn больше 3\mathop равносильно $$\undersetn больше 3\mathop равносильно 6n в квадрате минус 93n минус 3 умножить на 475=0\undersetn больше 3\mathop равносильно 2n в квадрате минус 31n минус 475=0\undersetn больше 3\mathop равносильно $$\undersetn больше 3\mathop равносильно совокупность выражений новая строка n= дробь: числитель: 31 плюс корень из 31 в квадрате плюс 4 умножить на 2 умножить на 475, знаменатель: 4 конец дроби =25; новая строка n= дробь: числитель: 31 минус корень из 31 в квадрате плюс 4 умножить на 2 умножить на 475, знаменатель: 4 конец дроби = минус 9.5 конец совокупности .\undersetn больше 3\mathop равносильно n=25.$ Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 25. | Ответ: 25 |
На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? | Обозначим <i>n</i> — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает $n плюс 1$ деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 99, знаменатель: n плюс 1 конец дроби плюс 2= дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно дробь: числитель: 101 плюс 2n, знаменатель: n плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: n конец дроби равносильно 110 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =n левая круглая скобка 101 плюс 2n правая круглая скобка равносильно $$ равносильно 2n в квадрате минус 9n минус 110=0 равносильно совокупность выражений новая строка n= дробь: числитель: 9 плюс корень из 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110, знаменатель: 4 конец дроби =10; новая строка n= дробь: числитель: 9 минус корень из 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110, знаменатель: 4 конец дроби = минус 5,5 конец совокупности .\undersetn больше 0\mathop равносильно n=10.$Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? | Пусть первый рабочий, работая отдельно, выполнит работу за <i>х</i> дней, $x больше 12.$ Второй рабочий делает за 3 дня то, что первый делает за 2 дня, поэтому, работая отдельно, он выполнит всю работу за <nobr>$ дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x$ дней.</nobr> Объем работы не задан, примем его за 1. Производительность равна отношению работы ко времени ее выполнения: $ v = дробь: числитель: A, знаменатель: t конец дроби .$ Составим таблицу по данным задачи. Работая вместе, рабочие выполняют всю работу за 12 дней, то есть выполняют $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12$ часть работы ежедневно. Производительности складываются, поэтому можно составить уравнение:$ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 3x= дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 равносильно дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 3x = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12 равносильно 3x = 5 умножить на 12 равносильно x = 20.$Следовательно, первый рабочий, работая отдельно, выполнит всю работу за 20 дней. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 20. <b>Приведем другое решение: сведем задачу к системе уравнений.</b>Обозначим $ v _1$ и $ v _2$ — объёмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объём работ примем за 1. Тогда по условию задачи $12 левая круглая скобка v _1 плюс v _2 правая круглая скобка =1$ и $2 v _1=3 v _2.$ Решим полученную систему:$ система выражений новая строка 12 левая круглая скобка v _1 плюс v _2 правая круглая скобка =1, новая строка 2 v _1=3 v _2 конец системы . равносильно система выражений новая строка 12 левая круглая скобка v _1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v _1 правая круглая скобка =1, новая строка v _2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v _1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 20 v _1= 1, новая строка v _2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби v _1 конец системы . равносильно система выражений новая строка v _1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби , новая строка v _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби . конец системы .$Тем самым первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней (а второй рабочий — за 30 дней). <b>Приведем арифметическое решение.</b>Пусть первый рабочий, работая один, выполняет в день некоторую часть работы; назовем ее нормой. Тогда второй выполняет две трети нормы, а вместе рабочие выполняют пять третьих нормы. За 12 дней рабочие выполнят всю работу или $12 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби = 20$ норм. Следовательно, первый рабочий один может выполнить всю работу за 20 дней. <b>Приведем еще одно арифметическое решение (Павел Юкляев).</b>Первый рабочий работает в 1,5 раза быстрее второго. Тогда, работая вместе, рабочие будут работать в 2,5 раза быстрее, чем один второй рабочий. Следовательно, один второй рабочий потратил бы на выполнение заказа 12 · 2,5 = 30 дней, тогда один первый рабочий потратил бы 30 : 1,5 = 20 дней. | Ответ: 20 |
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? | Обозначим <i>x</i> — количество литров воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает $x плюс 1$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 110, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 110, знаменатель: x плюс 1 конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 110, знаменатель: x в квадрате плюс x конец дроби =1\undersetx больше 0\mathop равносильно 110=x в квадрате плюс x равносильно $$ равносильно x в квадрате плюс x минус 110=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=10; новая строка x= минус 11 конец совокупности .\undersetx больше 0\mathop равносильно x=10.$ Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |