Datasets:

foldl

/

MathSet

like 1

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где <i>p</i> (Па)  — давление газа, <i>V</i>  — объeм газа в кубических метрах, <i>a</i>  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы <i>a</i> уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?

Пусть $p_1$ и $V_1$ − начальные, а $p_2$ и $V_2$ − конечные значения объема и давления газа, соответственно. Условие $pV в степени a = const$ означает, что $p_1V_1 в степени a = p_2V_2 в степени a ,$ откуда $ дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби = дробь: числитель: V_1 в степени a , знаменатель: V_2 в степени a конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a . $ Задача сводится к решению неравенства $ дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби больше или равно 5, $ причем по условию $ дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби =25 $:$ левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a больше или равно 5 равносильно 25 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка больше или равно 5 равносильно a больше или равно 0,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5.

Ответ: 0,5

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ где $p_1$ и $p_2$  — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_1$ и $V_2$  — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Подставим в формулу $p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка =p_2V_2 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка ,$ данные из условия: $p_1=1 атм,$ $V_1=256 л,$ $p_2=128 атм.$ Решим полученное уравнение, заметив, что $1,4 = дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби $ и возведя обе части уравнения в степень $ дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби $:$1 умножить на 256 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка = 128 умножить на V_2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно 256 = левая круглая скобка 2 в степени 7 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка умножить на V_2 равносильно 256=32V_2 равносильно V_2=8 левая круглая скобка л правая круглая скобка . $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 8.

Ответ: 8

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 1,25 умножить на 10 в степени 8 Па умножить на м в степени 4 ,$ где <i>p</i>  — давление газа (в Па), <i>V</i>  — объём газа (в м³), $k = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите, какой объём <i>V</i> (в м3) будет занимать газ при давлении <i>p</i>, равном 2·10⁵ Па.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно $2 умножить на 10 в степени 5 Па,$ при заданных значениях параметров $k= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби $ и $\mathrmconst=1,25 умножить на 10 в степени 8 Па умножить на м в степени 4 $ имеем равенство:<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 125.

Ответ: 125

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $C = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка $ Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением $R = 5 умножить на 10 в степени 6 $ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения <i>U</i> (кВ) за время, определяемое выражением $t= альфа RC логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: U_0 , знаменатель: U конец дроби $ (с), где $ альфа =0,7$ − постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 21 с. Ответ дайте в киловольтах.

Задача сводится к решению уравнения $t= 21$ при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе $U_0=16$ кВ, сопротивления резистора $R=5 умножить на 10 в степени 6 $ Ом и ёмкости конденсатора $C=2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка $ Ф:$t= 21 равносильно 0,7 умножить на 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 10 в степени 6 умножить на логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 16, знаменатель: U конец дроби =21 равносильно логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 16, знаменатель: U конец дроби = 3 равносильно дробь: числитель: 16, знаменатель: U конец дроби = 8 равносильно U= 2 $ кВ. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2.

Ответ: 2

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_п = 20 градусов C,$ через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0,3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние <i>x</i>, вода охлаждается от начальной температуры $T_в = 60 градусов C$ до температуры $T левая круглая скобка градусовC правая круглая скобка ,$ причeм $x = альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби логарифм по основанию 2 дробь: числитель: T_в минус T_п , знаменатель: T минус T_п конец дроби , $ где $c = 4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби $  — теплоeмкость воды, $ гамма = 21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на градусов C конец дроби $  — коэффициент теплообмена, а $ альфа =0,7$  — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

Задача сводится к решению уравнения $ альфа дробь: числитель: cm, знаменатель: гамма конец дроби \log _2 дробь: числитель: T_в минус T_п, знаменатель: T минус T_п конец дроби =84 $ при заданных значениях теплоёмкости воды $c=4200 дробь: числитель: Дж, знаменатель: кг умножить на градусов C конец дроби , $ коэффициента теплообмена $ гамма =21 дробь: числитель: Вт, знаменатель: м умножить на в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка C конец дроби , $ постоянной $ альфа =0,7,$ температуры помещения $T_п=20 градусов C$ и расхода воды $m=0,3кг/c$:$0,7 умножить на дробь: числитель: 4200 умножить на 0,3, знаменатель: 21 конец дроби \log _2 дробь: числитель: 60 минус 20, знаменатель: T минус 20 конец дроби =84 равносильно \log _2 дробь: числитель: 40, знаменатель: T минус 20 конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 40, знаменатель: T минус 20 конец дроби =4 равносильно T=30 градусовC. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 30.

Ответ: 30

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $ v = 3$ моль воздуха объeмом $V_1=8$ л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма $V_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа v T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: V_1 , знаменатель: V_2 конец дроби $ (Дж), где $ альфа =5,75$ − постоянная, а $T = 300К$ − температура воздуха. Какой объeм $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

Задача сводится к решению уравнения $ альфа v T\log _2 дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби =10350 $ при заданных значениях постоянной $ альфа =5,75,$ температуры воздуха $T=300$ К, количества вещества воздуха $ v =3$ моль и объема воздуха $V_1=8$ л:$5,75 умножить на 3 умножить на 300 умножить на \log _2 дробь: числитель: 8, знаменатель: V_2 конец дроби =10350 равносильно \log _2 дробь: числитель: 8, знаменатель: V_2 конец дроби =2 равносильно дробь: числитель: 8, знаменатель: V_2 конец дроби =4 равносильно V_2=2 $ л. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2.

Ответ: 2

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моль воздуха при давлении $p_1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = альфа \nu T логарифм по основанию 2 дробь: числитель: p_2 , знаменатель: p_1 конец дроби , $ где $ альфа =5,75$  — постоянная, $T = 300$ К  — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Задача сводится к решению уравнения $ альфа \nu T\log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби = 6900 $ при заданных значениях постоянной $ альфа =5,75,$ температуры воздуха $T=300$ К, начального давления $p_1=1,5$ атм и количества воздуха $\nu =2$ моль:$5,75 умножить на 2 умножить на 300 умножить на \log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби = 6900 равносильно \log _2 дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби = 2 равносильно дробь: числитель: p_2, знаменатель: 1,5 конец дроби = 4 равносильно p_2= 6 $ атм. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6.

Ответ: 6

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda=400$ нм на дифракционную решeтку с периодом <i>d</i> нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi $ (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума <i>k</i> связаны соотношением $d синус \varphi= k\lambda.$ Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Задача сводится к решению неравенства $d меньше или равно 1600$ нм на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях длины волны света $\lambda =400$ нм и номера максимума $k=2$: $ дробь: числитель: k\lambda , знаменатель: синус \varphi конец дроби меньше или равно 1600\underset0 градусов меньше \varphi меньше 90 градусов\mathop равносильно 1600 синус \varphi больше или равно 800 равносильно синус \varphi больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше \varphi меньше 90 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно \varphi меньше 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $ v =10$ м/с под углом $2 альфа $ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением $Q = m v в квадрате синус в квадрате альфа .$ Под каким наименьшим углом $2 альфа $ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?

Задача сводится к решению неравенства $Q больше или равно 50$ Дж на полуинтервале $2 альфа принадлежит левая круглая скобка 0 градусов ; 180 градусов правая квадратная скобка $ при заданных значениях массы тел $m=2$ кг и их скоростей $ v =10$ м/с: $m v в квадрате синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно 200 синус в квадрате альфа больше или равно 50 равносильно синус в квадрате альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно синус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше или равно 90 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно альфа \leqslant90 градусов . $ Значит, наименьший угол $2 альфа = 2 умножить на 30 градусов = 60 градусов.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 60.

Ответ: 60

Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м и со скоростью течения $u =0,5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \mathop\rm ctg\nolimits альфа , $ где $ альфа $ − острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $ альфа $ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Задача сводится к решению неравенства $ дробь: числитель: L, знаменатель: u конец дроби \operatorname\ctg альфа меньше или равно 200 $ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях длины реки $L=100$ м и скорости течения $u=0,5$ м/с:$ дробь: числитель: 100, знаменатель: 0,5 конец дроби \operatorname\ctg альфа меньше или равно 200 равносильно \operatorname\ctg альфа меньше или равно 1\underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 45 градусов меньше или равно альфа меньше 90 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45.

Ответ: 45

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью $ v = 3$ м/с под острым углом $ альфа $ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = дробь: числитель: m, знаменатель: m плюс M конец дроби v косинус альфа $ (м/с), где $m = 80$ кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 400$ кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом $ альфа $ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

Задача сводится к решению неравенства $u больше или равно 0,25$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях массы скейтбордиста $m=80$ кг и массы платформы $M=400$ кг:$u больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: m, знаменатель: m плюс M конец дроби v косинус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно дробь: числитель: 80, знаменатель: 80 плюс 400 конец дроби умножить на 3 умножить на косинус альфа больше или равно 0,25 равносильно $$ равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 0 градусов меньше альфа меньше или равно 60 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60.

Ответ: 60

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $ v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби , $ где <i>t</i>  — время с момента начала колебаний, <i>T</i>  =  12 с  — период колебаний, $ v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия <i>E</i> (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , $ где <i>m</i>  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:$ v = v _0 синус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби =0,5 умножить на синус дробь: числитель: 2 Пи умножить на 1, знаменатель: 12 конец дроби =0,5 умножить на синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби =0,5 умножить на 0,5=0,25 $м/сНайдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний:$E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 0,08 умножить на 0,25 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =0,0025 $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ: 0,0025</span>

Ответ: 0,0025

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону $ v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби , $ где <i>t</i>  — время с момента начала колебаний, <i>T</i>  =  2 с  — период колебаний, $ v _0=0,5$ м/с. Кинетическая энергия <i>E</i> (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , $ где <i>m</i>  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Найдем скорость груза через 1 секунду после начала колебаний:$ v = v _0 косинус дробь: числитель: 2 Пи t, знаменатель: T конец дроби =0,5 умножить на косинус дробь: числитель: 2 Пи умножить на 1, знаменатель: 2 конец дроби =0,5 умножить на косинус Пи =0,5 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 0,5 $м/сНайдем кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний:$E= дробь: числитель: m v в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 0,08 умножить на левая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =0,01 $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ: 0,01</span>

Ответ: 0,01

Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка = 5 синус Пи t$ (см/с), где <i>t</i> − время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения была не менее 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Задача сводится к решению неравенства $ v больше или равно 2,5$ cм/с при заданном законе изменения скорости $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =5 синус Пи t$:$5 синус Пи t больше или равно 2,5 равносильно синус Пи t больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 меньше t меньше 1 \mathop равносильно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно Пи t меньше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,67.

Ответ: 0,67

Мяч бросили под углом $ альфа $ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле $t = дробь: числитель: 2 v _0 синус альфа , знаменатель: g конец дроби . $ При каком значении угла $ альфа $ (в градусах) время полeта составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $ v _0= 30$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10$ м/с$ в квадрате .$

Задача сводится к решению уравнения $t левая круглая скобка альфа правая круглая скобка =3$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:$ дробь: числитель: 2 умножить на 30 умножить на синус альфа , знаменатель: 10 конец дроби = 3 равносильно синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно альфа =30 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н$ умножить на $м) определяется формулой $M = NIBl в квадрате синус альфа ,$ где $I = 2A$ − сила тока в рамке, $B = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка $ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l =0,5$ м  — размер рамки, $N = 1000$ − число витков провода в рамке, $ альфа $ − острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла $ альфа $ (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент <i>M</i> был не меньше 0,75 Н$ умножить на $м?

Задача сводится к решению неравенства $NIBl в квадрате синус альфа больше или равно 0,75$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях силы тока в рамке $I=2A,$ размера рамки $l=0,5$ м, числа витков провода $N=1000$ и индукции магнитного поля $B=3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка $ Тл:$1000 умножить на 2 умножить на 0,5 в квадрате умножить на 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка синус альфа больше или равно 0,75 равносильно синус альфа больше или равно 0,5\underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно альфа меньше 90 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка ,$ где <i>t</i> − время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega = 120 градусов$/с, фаза $\varphi = минус 30 градусов.$ Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Задача сводится к решению неравенства $U_0 синус левая круглая скобка \omega t плюс \varphi правая круглая скобка больше или равно 1$ при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:$2 синус левая круглая скобка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно 1 равносильно синус левая круглая скобка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно система выражений новая строка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка больше или равно 30 градусов плюс 360 градусов n, новая строка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка меньше или равно 150 градусов плюс 360 градусов n, конец системы n принадлежит Z равносильно $$ равносильно система выражений новая строка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t больше или равно 60 градусов плюс 360 градусов n, новая строка 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка t меньше или равно 180 градусов плюс 360 градусов n конец системы равносильно система выражений новая строка 2t больше или равно 1 плюс 6n, новая строка 2t меньше или равно 3 плюс 6n конец системы равносильно 3n плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3n \underset0 меньше или равно t меньше или равно 1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше или равно 1. $На протяжении первой секунды лампочка будет гореть $1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =0,5 $ с, то есть $50$% времени.  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 50.

Ответ: 50

Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка $ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $ v = 5$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции <i>B</i> которого лежит в той же плоскости и составляет угол $ альфа $ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка $ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_л = q v B синус альфа $ (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $ альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка $ шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_л$ была не менее чем $2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка $ Н? Ответ дайте в градусах.

Задача сводится к решению неравенства $q v B синус альфа больше или равно 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка $ на интервале $ альфа принадлежит левая квадратная скобка 0 градусов ;180 градусов правая квадратная скобка $ при заданных значениях заряда шарика $q=2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка $ Кл, индукции магнитного поля $B=4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка }$ Тл и скорости $ v =5$ м/с:$2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка синус альфа больше или равно 2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка равносильно синус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно $$ равносильно 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка n меньше или равно альфа меньше или равно 150 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка n\underset0 градусов меньше альфа меньше 180 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно альфа меньше или равно 150 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Небольшой мячик бросают под острым углом $ альфа $ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $H= дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: 4g конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 2 альфа правая круглая скобка , $ где $ v _0 = 20$ м/с  — начальная скорость мячика, а <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$ в квадрате $). При каком наименьшем значении угла $ альфа $ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Задача сводится к решению неравенства $H больше или равно 5$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях начальной скорости $ v _0=20м/с$ и ускорения свободного падения $g=10м/с в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка $:$ дробь: числитель: 20 в квадрате , знаменатель: 40 конец дроби левая круглая скобка 1 минус косинус 2 альфа правая круглая скобка больше или равно 5 равносильно 1 минус косинус 2 альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно косинус 2 альфа меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше 2 альфа меньше 180 градусов \mathop равносильно $$\underset0 градусов меньше 2 альфа меньше 180 градусов \mathop равносильно 60 градусов меньше или равно 2 альфа меньше 180 градусов \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка меньше или равно альфа меньше 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Небольшой мячик бросают под острым углом $ альфа $ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L= дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: g конец дроби синус 2 альфа $ (м), где $ v _0=20$ м/с  — начальная скорость мячика, а <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$ в квадрате $). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

Задача сводится к решению неравенства $L больше или равно 20$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях начальной скорости $ v _0=20м/с$ и ускорения свободного падения $g=10м/с в квадрате $:$ дробь: числитель: 20 в квадрате , знаменатель: 10 конец дроби синус 2 альфа больше или равно 20 равносильно синус 2 альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно $$ равносильно 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка n меньше или равно 2 альфа меньше или равно 150 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка n\underset0 градусов меньше 2 альфа меньше 180 градусов \mathop равносильно $$\underset0 градусов меньше 2 альфа меньше 180 градусов \mathop равносильно 30 градусов меньше или равно 2 альфа меньше или равно 150 градусов \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка меньше или равно альфа меньше или равно 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 15.

Ответ: 15

Плоский замкнутый контур площадью $S = 0,5 м в квадрате $ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $\mathcal E_i = aS косинус альфа ,$ где α  — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, <nobr>$a = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка Тл/с$ —</nobr> постоянная, <i>S</i>  — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле  (в  м²). При каком минимальном угле α  (в  градусах) ЭДС индукции не будет превышать $10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка В ?$

Задача сводится к решению неравенства $\mathcal E_i меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка }$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ; 90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях площади контура $S = 0,5 м в квадрате $ и постоянной $a = 4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка Тл / с :$$4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка умножить на 0,5 косинус альфа меньше или равно 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка } равносильно косинус альфа меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset 0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 60 градусов меньше или равно альфа меньше 90 градусов .$ Искомый наименьший угол равен 60°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60.

Ответ: 60

Трактор тащит сани с силой $F=80$ кН, направленной под острым углом $ альфа $ к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной $S=50$ м вычисляется по формуле $A=FS косинус альфа .$ При каком максимальном угле $ альфа $ (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2000 кДж?

Задача сводится к решению неравенства $A больше или равно 2000$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях силы $F=80$ кН и длины пути $S=50$ м:$A больше или равно 2000 равносильно 80 умножить на 50 умножить на косинус альфа больше или равно 2000 равносильно косинус альфа больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно 0 градусов меньше альфа меньше или равно 60 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60.

Ответ: 60

Двигаясь со скоростью $ v =3$ м/с, трактор тащит сани с силой $F=50$ кН, направленной под острым углом $ альфа $ к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле $N = F v косинус альфа .$ Найдите, при каком угле $ альфа $(в градусах) эта мощность будет равна 75 кВт $ левая круглая скобка \phantom дробь: числитель: a, знаменатель: a конец дроби $кВт  — это $ дробь: числитель: кН умножить на м, знаменатель: с конец дроби правая круглая скобка . $

Задача сводится к решению уравнения$N= 75$ на интервале $ левая круглая скобка 0 градусов ;90 градусов правая круглая скобка $ при заданных значениях силы $F=50$ кН и скорости $ v =3$ м/с:$F v косинус альфа = 75 равносильно 50 умножить на 3 косинус альфа = 75 равносильно косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \underset0 градусов меньше альфа меньше 90 градусов \mathop равносильно альфа = 60 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60.

Ответ: 60

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана  — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $ дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: f конец дроби . $ Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Поскольку $f=30$ имеем: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби . $ Наименьшему возможному $d_1$ значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби $ в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого $ дробь: числитель: 1, знаменатель: d_2 конец дроби , $ которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя $d_2.$ Поэтому $d_2=180,$ откуда$ дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 180 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 180 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: d_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно d_1=36 $ см.По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 36.

Ответ: 36

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0 = 440$ Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка <i>f</i> больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону $f левая круглая скобка v правая круглая скобка = дробь: числитель: f_0 , знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби $ (Гц), где <i>c</i> − скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c = 315$ м/с. Ответ выразите в м/с.

Задача сводится к решению неравенства $f левая круглая скобка v правая круглая скобка минус f_0 больше или равно 10$ при известном значении постоянной $f_0=440$ Гц:$f левая круглая скобка v правая круглая скобка минус f_0 больше или равно 10 равносильно дробь: числитель: f_0, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: c конец дроби конец дроби минус f_0 больше или равно 10 равносильно дробь: числитель: 440, знаменатель: 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: 315 конец дроби конец дроби минус 440 больше или равно 10 равносильно 1 минус дробь: числитель: v , знаменатель: 315 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 44, знаменатель: 45 конец дроби равносильно v больше или равно дробь: числитель: 315, знаменатель: 45 конец дроби =7м/с. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7.

Ответ: 7

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс r конец дроби , $ где $\varepsilon $ − ЭДС источника (в вольтах), $r = 1$ Ом  — его внутреннее сопротивление, <i>R</i> − сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_кз = дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: r конец дроби $ ? (Ответ выразите в омах.)

Задача сводится к решению неравенства $I меньше или равно 0,2I_кз$ при известном значении внутреннего сопротивления $r=1$ Ом:$I меньше или равно 0,2I_кз равносильно дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: R плюс 1 конец дроби меньше или равно 0,2 умножить на дробь: числитель: \varepsilon , знаменатель: 1 конец дроби равносильно R плюс 1 больше или равно 5 равносильно R больше или равно 4 $ Ом. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4.

Ответ: 4

Сила тока в цепи <i>I</i> (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I = дробь: числитель: U, знаменатель: R конец дроби , $ где <i>U</i> − напряжение в вольтах, <i>R</i> − сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Задача сводится к решению неравенства $I меньше или равно 4$ А при известном значении напряжения $U=220$ В: $I меньше или равно 4 равносильно дробь: числитель: 220, знаменатель: R конец дроби меньше или равно 4 равносильно R больше или равно 55 $ Ом. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 55.

Ответ: 55

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле $A левая круглая скобка \omega правая круглая скобка = дробь: числитель: A_0 \omega _p в квадрате , знаменатель: |\omega_p в квадрате минус \omega в квадрате | конец дроби , $ где $\omega $ − частота вынуждающей силы (в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $), $A_0 $ − постоянный параметр, $\omega_p = 360c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $ − резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega ,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0 $ не более чем на $12,5\%.$ Ответ выразите в $c в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$

Задача сводится к решению неравенства $A меньше или равно 1,125A_0$ при известном значении резонансной частоты $\omega _р=360с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $ и условии, что частота $\omega $ меньше резонансной:$A меньше или равно 1,125A_0 равносильно дробь: числитель: A_0 умножить на 360 в квадрате , знаменатель: 360 в квадрате минус \omega в квадрате конец дроби меньше или равно 1,125A_0 равносильно 360 в квадрате меньше или равно 1,125 умножить на 360 в квадрате минус 1,125\omega в квадрате равносильно $$ равносильно 1,125\omega в квадрате меньше или равно 0,125 умножить на 360 в квадрате равносильно \omega меньше или равно 120с в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 120. <b>Примечание.</b>Заметим, что 12,5%  — это 0,125. Если амплитуда колебаний <i>A</i> превосходит амплитуду <i>A</i>₀ не более, чем на 12,5%, то $A меньше или равно A_0 плюс 0,125 A_0, $ упростив правую часть неравенства, получим $A меньше или равно 1,125 A_0.$

Ответ: 120

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_1=90 Ом.$ Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_1 Ом$ и $R_2 Ом$ их общее сопротивление даeтся формулой $R_общ = дробь: числитель: R_1 R_2 , знаменатель: R_1 плюс R_2 конец дроби левая круглая скобка Ом правая круглая скобка , $ а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Задача сводится к решению неравенства $R_общ больше или равно 9 Ом$ при известном значении сопротивления приборов $R_1=90 Ом:$$R_общ больше или равно 9 равносильно дробь: числитель: 90R_2, знаменатель: 90 плюс R_2 конец дроби больше или равно 9 равносильно 81R_2 больше или равно 810 равносильно R_2 больше или равно 10 Ом. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10.

Ответ: 10

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = дробь: числитель: T_1 минус T_2 , знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100\% , $ где $T_1$ − температура нагревателя (в градусах Кельвина), $T_2$ − температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя $T_1$ КПД этого двигателя будет не меньше $15\%,$ если температура холодильника $T_2 = 340$ К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Задача сводится к решению неравенства $\eta больше или равно 15%$ при известном значении температуры холодильника $T_2=340К$: $\eta больше или равно 15 равносильно дробь: числитель: T_1 минус 340, знаменатель: T_1 конец дроби умножить на 100 больше или равно 15 равносильно 100T_1 минус 34000 больше или равно 15T_1 равносильно T_1 больше или равно 400 $ К. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 400.

Ответ: 400

Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой $m_\textrmв$ (в килограммах) от температуры $t_1$ до температуры $t_2$ (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы $m_\textrmдр$ кг. Он определяется формулой $\eta = дробь: числитель: c_\textrmв m_\textrmв левая круглая скобка t_2 минус t_1 правая круглая скобка , знаменатель: q_\textrmдр m_\textrmдр конец дроби умножить на 100\%, $ где $c_\textrmв = 4,2 умножить на 10 в кубе $ Дж/(кг$ умножить на $К) − теплоёмкость воды, $q_\textrmдр = 8,3 умножить на 10 в степени 6 $ Дж/кг  — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшую массу дров, которую понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть $m_\rm = 83$ кг воды от 10 °C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.

Задача сводится к решению неравенства $\eta меньше или равно 21 \%$ при известных значениях теплоёмкости воды $c_в=4,2 умножить на 10 в кубе $ Дж/кг, удельной теплоты сгорания дров $q_др=8,3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка $ Дж/кг, массы воды $m_в=83$ кг и изменения температуры $t_2 минус t_1=100 минус 10=90$ К:<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18.

Ответ: 18

Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу $m = 1260$ тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной $l = 18$ метров и шириной <i>s</i> метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $p = дробь: числитель: mg, знаменатель: 2ls конец дроби , $ где <i>m</i> − масса экскаватора (в тоннах), <i>l</i> − длина балок в метрах, <i>s</i> − ширина балок в метрах, <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g=10$м/с$ в квадрате $). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление <i>p</i> не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

Задача сводится к решению неравенства $p меньше или равно 140$ кПа при известных значениях длины балок $l=18$ м, массы экскаватора $m=1260$ т:$p меньше или равно 140 равносильно дробь: числитель: 1260 умножить на 10, знаменатель: 2 умножить на 18s конец дроби меньше или равно 140 равносильно s больше или равно 2,5 $ м. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2,5.

Ответ: 2,5

К источнику с ЭДС $\varepsilon = 55$ В и внутренним сопротивлением $r = 0,5$ Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением <i>R</i> Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой $U = дробь: числитель: \varepsilon R, знаменатель: R плюс r конец дроби . $ При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В? Ответ выразите в омах.

Задача сводится к решению неравенства $U больше или равно 50$ В при известных значениях внутреннего сопротивления $r=0,5$ Ом, ЭДС $\varepsilon =55$ В: $U больше или равно 50 равносильно дробь: числитель: 55R, знаменатель: R плюс 0,5 конец дроби больше или равно 50 равносильно R больше или равно 5 $ Ом. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5.

Ответ: 5

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0 = 150$ Гц и определяется следующим выражением: $f =f_0 дробь: числитель: c плюс u, знаменатель: c минус v конец дроби $ (Гц), где <i>c</i> − скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u=10$ м/с и $ v =15$ м/с  — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости <i>c</i> (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике <i>f</i> будет не менее 160 Гц?

Задача сводится к решению неравенства $f больше или равно 160$ Гц при известных значениях $u=10$ м/с и $ v =15$ м/с  — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно:$f больше или равно 160 равносильно 150 умножить на дробь: числитель: c плюс 10, знаменатель: c минус 15 конец дроби больше или равно 160 равносильно дробь: числитель: 15 левая круглая скобка c плюс 10 правая круглая скобка минус 16 левая круглая скобка c минус 15 правая круглая скобка , знаменатель: c минус 15 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 390 минус c, знаменатель: c минус 15 конец дроби больше или равно 0 равносильно 15 меньше c меньше или равно 390 $ м/с. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 390.

Ответ: 390

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле $ v = c умножить на дробь: числитель: f минус f_0 , знаменатель: f плюс f_0 конец дроби , $ где $c=1500$ м/с  — скорость звука в воде, $f_0 $  — частота испускаемых импульсов, <i>f</i>  — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

Задача сводится к решению уравнения $ v = 2$ м/с при известных значениях $c=1500$ м/с  — скорости звука в воде и $f_0=749$ МГц  — частоты испускаемых импульсов: $ v = 2 равносильно 1500 умножить на дробь: числитель: f минус 749, знаменатель: f плюс 749 конец дроби = 2 равносильно 750 умножить на дробь: числитель: f минус 749, знаменатель: f плюс 749 конец дроби = 1 равносильно 750f минус 750 умножить на 749= f плюс 74 9 равносильно $$ равносильно 749f= 749 умножить на 751 равносильно f= 751$ МГц.<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 751.

Ответ: 751

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление <i>P</i> (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби , $ где $m = 1200$ кг  — общая масса навеса и колонны, <i>D</i> − диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с$ в квадрате ,$ а $ Пи = 3,$ определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Найдем, при котором диаметре колонны давление, оказываемое на опору, станет равным 400 000 Па. Задача сводится к решению уравнения $ дробь: числитель: 4mg, знаменатель: Пи D в квадрате конец дроби =400 000 $ при заданном значении массы навеса и колонны $m=1200$ кг:$ дробь: числитель: 4 умножить на 1200 умножить на 10, знаменатель: 3 умножить на D в квадрате конец дроби =400000 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: D в квадрате конец дроби }=25 равносильно D в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби \undersetD больше 0\mathop равносильно D= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби равносильно D=0,2 . $Если диаметр колонны будет меньше найденного, то давление, оказываемое на опору, будет больше 400 000 Па, поэтому наименьший возможный диаметр колонны равен 0,2 м.  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,2.

Ответ: 0,2

Автомобиль, масса которого равна $m = 2160$ кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение <i>t</i> секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь $S = 500$ метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно $F = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби . $ Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила <i>F</i>, приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Найдем, за какое время автомобиль пройдет путь $S=500$ метров, учитывая, что сила <i>F</i> при заданном значении массы автомобиля 2400 H. Задача сводится к решению неравенства $ дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби больше или равно 2400 $ при заданном значении массы автомобиля $m=2160$ кг:$ дробь: числитель: 2 умножить на 2160 умножить на 500, знаменатель: t в квадрате конец дроби больше или равно 2400 равносильно t в квадрате меньше или равно 900\undersett больше 0\mathop равносильно t меньше или равно 30 $ с. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30.

Ответ: 30

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением <i>a</i> км/ч². Скорость вычисляется по формуле $ v = корень из 2la$ , где <i>l</i>  — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч² .

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения $ корень из 2la=100$ при известном значении длины пути $l=1$ км:$ корень из 2la=100 равносильно корень из 2a=100 равносильно 2a=10000 равносильно a=5000$ км/ч².Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 5000 км/ч².  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 5000.

Ответ: 5000

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону $l = l_0 корень из 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби , $ где $l_0 = 5$ м  — длина покоящейся ракеты, $c = 3 умножить на 10 в степени 5 $ км/с  — скорость света, а $ v $ − скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 4 м. Задача сводится к решению уравнения $l_0 корень из 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби =4 $ при заданном значении длины покоящейся ракеты $l_0=5$ м и известной величине скорости света $c=3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка $ км/с:$5 корень из 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби =4 равносильно 1 минус дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби равносильно дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 9 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби равносильно v в квадрате = дробь: числитель: 81, знаменатель: 25 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка равносильно v =180 000 $ км/с.Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180 000 км/с.  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 180000.

Ответ: 180000

Наблюдатель находится на высоте <i>h</i>, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = корень из дробь: числитель: Rh, знаменатель: 500 конец дроби , $ где $R = 6400$ км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Задача сводится к решению уравнения $l=4$ при заданном значении <i>R</i>:$ корень из дробь: числитель: 6400h, знаменатель: 500 конец дроби = 4 равносильно корень из дробь: числитель: 64h, знаменатель: 5 конец дроби = 4 равносильно дробь: числитель: 64h, знаменатель: 5 конец дроби } = 16 равносильно h= дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби равносильно h=1,25 $ м. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,25. <b>Примечание.</b>Иногда в физике или технике бывает удобно записать какую-либо формулу в определённых единицах измерения, особенно часто это используется при инженерных расчётах. При этом, длины, например, могут быть выражены в различных единицах измерения. Здесь удобно использовать величины <i>R</i> и <i>L</i>, выраженные в километрах, а <i>h</i>, выражать в метрах. Если бы в этой формуле все величины измерялись в одних и тех же единицах измерения, то формула выглядела бы так: $l= корень из 2Rh.$ В формуле, приведённой в задании, коэффициент 500 как раз отражает, то что все величины, за исключением <i>h</i>, выражены в километрах.

Ответ: 1,25

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте <i>h</i> м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = корень из дробь: числитель: Rh, знаменатель: 500 конец дроби , $ где $R = 6400$ км  — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Задача сводится к решению уравнений $l=4,8$ и $l=6,4$ при заданном значении <i>R</i>:$ корень из дробь: числитель: 6400h, знаменатель: 500 конец дроби = 4,8 равносильно 8 корень из дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 24}5 равносильно корень из д робь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби } равносильно дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: 9 конец дроби , знаменатель: 25 конец дроби равносильно h= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби равносильно h = 1,8. $$ корень из дробь: числитель: 6400h, знаменатель: 500 конец дроби = 6,4 равносильно 8 корень из дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 32}5 равносильно корень из д робь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби } равносильно дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби равносильно h= дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 6, знаменатель: 5 конец дроби равносильно h = 3,2. $Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на $3,2 минус 1,8 = 1,4$ метра. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,4.  <b>Примечание Дмитрия Гущина.</b>Внимательный читатель заметит, что в условии задачи радиус Земли и расстояние до горизонта выражены в километрах, а рост человека  — в метрах. В этих единицах их требуется подставлять в формулу. В этом нет ошибки: за согласование единиц отвечает коэффициент 500. Если бы в этой формуле все длины были выражены в километрах, она выглядела бы так: $l= корень из 2Rh.$ Но в таком виде формула менее удобна, поскольку при каждом вычислении рост человека необходимо переводить в километры. Вот почему иногда в физике или технике формулы выводят так, чтобы величины в них были выражены хоть и в несогласованных, но удобных для вычислений единицах. Приведем пример из школьного курса физики. Когда необходимо вычислить электрическое сопротивление проводника известной длины и поперечного сечения, используют формулу $R=\rho дробь: числитель: l, знаменатель: S конец дроби .$ Удельное сопротивление <i>ρ</i> в таблицах физических величин приводится в $ дробь: числитель: Ом умножить на мм в квадрате , знаменатель: м конец дроби . $ Поэтому чтобы сопротивление было в омах, длину <i>l</i> подставляют в формулу в метрах, а сечение <i>S</i>  — в квадратных миллиметрах (но не в квадратных метрах, как могло бы показаться неопытному читателю). Подумайте, почему принято именно так. <img src="/get_file?id=65737" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%;width:50%"/>

Ответ: 1,4

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте <i>h</i> м над землeй, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = корень из дробь: числитель: Rh, знаменатель: 500 конец дроби , $ где $R = 6400$ км  — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Задача сводится к решению уравнений $l=4,8$ и $l=6,4$ при заданном значении <i>R</i>:$ корень из дробь: числитель: 6400h, знаменатель: 500 конец дроби = 4,8 равносильно 8 корень из дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 24}5 равносильно корень из д робь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби } равносильно дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: {, знаменатель: 9 конец дроби , знаменатель: 25 конец дроби равносильно h= дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби равносильно h = 1,8 $ м.$ корень из дробь: числитель: 6400h, знаменатель: 500 конец дроби = 6,4 равносильно 8 корень из дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 32}5 равносильно корень из д робь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби } равносильно дробь: числитель: h, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби равносильно h= дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 6, знаменатель: 5 конец дроби равносильно h = 3,2 $ м.Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на $3,2 минус 1,8 = 1,4$ метра. Для этого ему необходимо подняться на $1,4 : 0,2 = 14 : 2 = 7$ ступенек. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7. <b>Примечание.</b>Иногда в физике или технике используют формулы, в которых величины имеют разные единицы измерения. Например, удобно вывести такую формулу, чтобы при ее использовании радиус планеты не приходилось выражать в метрах, а рост человека не надо было вычислять в долях километра. Особенно часто такой подход применяется в инженерных расчётах. В данной задаче величины <i>R</i> и <i>l</i>, выражены в километрах, а <i>h</i>  — в метрах, о чем сказано в условии. Если бы все величины в этой формуле измерялись в одних и тех же единицах измерения, она выглядела бы так: $l= корень из 2Rh.$ Коэффициент 500 отражает то, что все величины, за исключением <i>h</i>, выражены в километрах. Проверьте это.

Ответ: 7

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением <i>a</i>  =  5000 км/ч². Скорость вычисляется по формуле $ v = корень из 2la$ , где <i>l</i>  — пройденный автомобилем путь в км. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.

Преобразуем данную в условии формулу:$ v = корень из 2la равносильно v в квадрате = 2la равносильно l = дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 2a конец дроби . $Подставим значения и вычислим:$l = дробь: числитель: 100 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 5000 конец дроби = дробь: числитель: 10000, знаменатель: 2 умножить на 5000 конец дроби = 1км. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1.

Ответ: 1

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте <i>h</i> километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = корень из 2Rh,$ где $R = 6400$ (км)  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Задача сводится к решению уравнения $l=4$ при заданном значении <i>R</i>:$ корень из 2 умножить на 6400h = 4 равносильно 2 умножить на 6400h = 16 равносильно h= дробь: числитель: 16, знаменатель: 2 умножить на 6400 конец дроби равносильно h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 800 конец дроби равносильно h= дробь: числитель: 125, знаменатель: 100 \thinspace 000 конец дроби равносильно h = 0,00125. $<b>Примечание.</b> Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т. е. соответствует уровню глаз ребенка.  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,00125.

Ответ: 0,00125

Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². <nobr>Скорость $ v $ в конце</nobr> пути вычисляется по формуле $ v = корень из 2la,$ где <i>l</i>  — пройденный автомобилем путь в км. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 250 метров, приобрести скорость 60 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Выразим ускорение из формулы для скорости и найдём его:$ a= дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 2l конец дроби = дробь: числитель: 60 в квадрате , знаменатель: 2 умножить на 0,25 конец дроби =7200км/ч в квадрате . $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 7200.

Ответ: 7200

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной <i>l</i> км с постоянным ускорением <i>a</i> км/ч ², вычисляется по формуле $ v = корень из 2la.$ Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения $ корень из 2la=100$ при известном значении длины пути $l=1$ км:$ корень из 2la=100 равносильно корень из 2a=100 равносильно 2a=10000 равносильно a=5000$ км/ч². <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5000.

Ответ: 5000

Автомобиль массой <i>m</i> кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь <i>S</i> м. Сила трения <i>F</i> (в Н), масса автомобиля <i>m</i> (в кг), время <i>t</i> (в с) и пройденный путь <i>S</i> (в м) связаны соотношением $F= дробь: числитель: 2mS, знаменатель: t в квадрате конец дроби . $ Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля  — 1500 кг, путь  — 600 м.

Преобразуем данную в условии формулу:$t в квадрате = дробь: числитель: 2mS, знаменатель: F конец дроби равносильно t = корень из дробь: числитель: 2ms, знаменатель: F конец дроби . $Подставим значения и вычислим:$t = корень из дробь: числитель: 2ms, знаменатель: F конец дроби = корень из дробь: числитель: 2 умножить на 1500 умножить на 600, знаменатель: 2000 конец дроби = корень из 900=30. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 30.

Ответ: 30

Найдите наибольшее значение функции $y=12 косинус x плюс 6 корень из 3x минус 2 корень из 3 Пи плюс 6$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 12 синус x плюс 6 корень из 3.$ Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка минус 12 синус x плюс 6 корень из 3=0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби . $  Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67771" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби $ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =12 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 6 корень из 3 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 корень из 3 Пи плюс 6=12. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12.

Ответ: 12

Найдите наименьшее значение функции $y=3 плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 5x минус 5 корень из 2 косинус x $ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции:  $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =5 корень из 2 синус x минус 5$Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка 5 корень из 2 синус x минус 5=0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка синус x= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $<img src="/get_file?id=67768" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби $ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =3 плюс дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 5 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 5 корень из 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = минус 2. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: -2.

Ответ: -2

Найдите наименьшее значение функции $y=5 косинус x минус 6x плюс 4$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 5 синус x минус 6.$ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5 косинус 0 минус 6 умножить на 0 плюс 4=5 плюс 4=9.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9.

Ответ: 9

Найдите наибольшее значение функции $y=15x минус 3 синус x плюс 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=15 минус 3 косинус x.$ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =15 умножить на 0 минус 3 умножить на 0 плюс 5=5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5.

Ответ: 5

Найдите наименьшее значение функции $y=9 косинус x плюс 14x плюс 7$на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 9 синус x плюс 14.$ Найденная производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =9 косинус 0 плюс 14 умножить на 0 плюс 7=16.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16.

Ответ: 16

Найдите наименьшее значение функции $y=7 синус x минус 8x плюс 9$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=7 косинус x минус 8.$ Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =7 синус 0 минус 8 умножить на 0 плюс 9=9.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9.

Ответ: 9

Найдите наименьшее значение функции $y=6 косинус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 5 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции $y=6 косинус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 5, y'= минус 6 синус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби . $ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =6 косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 5= минус 14. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −14.

Ответ: -14

Найдите наибольшее значение функции $y=10 синус x минус дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 7 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка $

Найдем производную заданной функции: $y'=10 косинус x минус дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи конец дроби . $ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =10 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 7= минус 5 плюс 30 плюс 7=32. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 32.

Ответ: 32

Найдите наибольшее значение функции $y=2 косинус x минус дробь: числитель: 18, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 4 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 2 синус x минус дробь: числитель: 18, знаменатель: Пи конец дроби . $ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =2 косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 18, знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4=15. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 15.

Ответ: 15

Найдите наименьшее значение функции $y=5 синус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби x плюс 6 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=5 косинус x плюс дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби . $ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей.  Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =5 синус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 24, знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 6= минус 16,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −16,5.

Ответ: -16,5

Найдите наибольшее значение функции $y=3\operatorname тангенс x минус 3x плюс 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 3=3 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =3\operatorname тангенс в квадрате x. $ Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5.

Ответ: 5

Найдите наименьшее значение функции $y=5 тангенс x минус 5x плюс 6$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 5, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби } минус 5=5 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =5 тангенс в квадрате x. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6.

Ответ: 6

Найдите наибольшее значение функции $y=16 тангенс x минус 16x плюс 4 Пи минус 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 16, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 16=16 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =16 тангенс в квадрате x. $$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =16 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 16 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 4 Пи минус 5=11. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11.

Ответ: 11

Найдите наименьшее значение функции $y=4 тангенс x минус 4x минус Пи плюс 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 4, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4=4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка =4 тангенс в квадрате x. $$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =4 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус Пи плюс 5=1. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1.

Ответ: 1

Найдите наибольшее значение функции $y=3x минус 3 тангенс x минус 5$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =3 умножить на 0 минус 3 умножить на 0 минус 5= минус 5.$  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −5.

Ответ: -5

Найдите наименьшее значение функции $y=4x минус 4 тангенс x плюс 12$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=4 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби }= минус 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 1 правая круглая скобка = минус 4\operatorname тангенс в квадрате x. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12.

Ответ: 12

Найдите наименьшее значение функции $y=2\operatorname тангенс x минус 4x плюс Пи минус 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 4= дробь: числитель: минус 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: минус 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби . $Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:$ система выражений новая строка косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67762" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка $ и $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . $ Найдем их: $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 4 левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи минус 3= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 2 корень из 3 минус 3 больше 0, $$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =2 умножить на 1 минус 4 левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи минус 3= минус 1. $Заметим, что $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка больше y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , $ поэтому наименьшее значение функции на отрезке равно −1.  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1.

Ответ: -1

Найдите наибольшее значение функции $y=14x минус 7 тангенс x минус 3,5 Пи плюс 11$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=14 минус 7 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби . $Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка 2x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . новая строка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 2x меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67761" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка $ и $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . $ Найдем их: $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =14 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 7\operatorname тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс 11= минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 7 корень из 3 плюс 11, $$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 7\operatorname тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби Пи плюс 11=4. $Заметим, что $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка больше y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , $ поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.  <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4.

Ответ: 4

Найдите наибольшее значение функции $y=7 косинус x плюс 16x минус 2$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 7 синус x плюс 16.$ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =7 косинус 0 плюс 16 умножить на 0 минус 2=5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5.

Ответ: 5

Найдите наименьшее значение функции $y=13x минус 9 синус x плюс 9$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=13 минус 9 косинус x.$ Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =13 умножить на 0 минус 9 синус 0 плюс 9=9.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9.

Ответ: 9

Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка косинус x минус 2 синус x плюс 5,$ принадлежащую промежутку $ левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=2 косинус x минус левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка синус x минус 2 косинус x= левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка синус x.$На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной  — число 1,5. Определим знаки производной функции: она положительна при <i>x</i> < 1,5 и отрицательна при <i>x</i> > 1,5. Поэтому искомая точка максимума  — число 1,5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5.

Ответ: 1,5

Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка 0,5 минус x правая круглая скобка косинус x плюс синус x,$ принадлежащую промежутку $ левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . $

Найдем производную заданной функции:   Найдем нули производной на заданном промежутке:  Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67757" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5.

Ответ: 0,5

Найдите наибольшее значение функции $y= минус 2 тангенс x плюс 4x минус Пи минус 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: минус 2, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: 2 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби $Найдем нули производной:$ система выражений новая строка 2 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67756" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Наибольшее значение функции достигается либо в точке $ минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , $ либо в точке $ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $ Найдем эти значения: $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 тангенс левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус 4 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус Пи минус 3=2 корень из 3 минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби минус 3, $$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 2 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи минус Пи минус 3= минус 5. $ Значение −5 больше. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −5.

Ответ: -5

Найдите наименьшее значение функции $y= минус 14x плюс 7 тангенс x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 7, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 14= дробь: числитель: минус 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби . $Найдем нули производной:$ система выражений новая строка 7 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67753" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби $ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $ Найдем их:$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 = минус 7 корень из 3 плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 11 , $ $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 3,5 Пи плюс 3,5 Пи плюс 11=18. $Поскольку $ y левая круглая скобка минус Пи /3 правая круглая скобка больше минус 14 плюс 24 плюс 11 = 21,$ наименьшее из найденных чисел равно 18. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18.

Ответ: 18

Найдите наибольшее значение функции $y=4 косинус x минус 20x плюс 7$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0}; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'= минус 4 синус x минус 20.$Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4 косинус левая круглая скобка 0 правая круглая скобка плюс 7=11.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11.

Ответ: 11

Найдите наибольшее значение функции $y=5 синус x минус 6x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=5 косинус x минус 6.$Уравнение $y'=0$ не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наибольшим значением функции на заданном отрезке является $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =5 синус 0 плюс 3=3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3.

Ответ: 3

Найдите наибольшее значение функции $y=12 синус x минус 6 корень из 3x плюс корень из 3 Пи плюс 6$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y'=12 косинус x минус 6 корень из 3.$Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка 12 косинус x минус 6 корень из 3=0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби . $Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67752" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби $ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =12 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус 6 корень из 3 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс корень из 3 Пи плюс 6=12. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12.

Ответ: 12

Найдите наименьшее значение функции $y=3 минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 5x минус 5 корень из 2 синус x $ на отрезке $ левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . $

Найдем производную заданной функции: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =5 минус 5 корень из 2 косинус x.$ Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка 5 минус 5 корень из 2 косинус x=0, новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка косинус x= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $ Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67749" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби $ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 5 дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 5 корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = минус 2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2.

Ответ: -2

Найдите точку максимума функции $y= левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка косинус x минус 2 синус x плюс 2$ принадлежащую промежутку $ левая круглая скобка 0; 2 Пи правая круглая скобка .$

Найдем производную заданной функции: $y'=2 косинус x плюс левая круглая скобка 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка минус синус x правая круглая скобка минус 2 косинус x = левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка синус x.$На заданном промежутке синус обращается в нуль в точке π, поэтому нулями производной являются $ дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби $ и π. Определим знаки производной функции: <img src="/get_file?id=68884" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%; width:30%"/> Функция положительна при 0 < <i>x</i> < 1,5 и при π < <i>x</i> < 2π и при отрицательна при 1,5 < <i>x</i> < π. Поэтому искомая точка максимума  — число 1,5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5.

Ответ: 1,5

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, $AC = 4,8,$ $ синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите $AB.$

Имеем:$AB = AC \over косинус A = AC \over корень из 1 минус синус в квадрате A = 4,8 \over корень из 1 минус 49 \over 625 = 4,8 умножить на 25 \over 24 = 5.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. <b>Приведём другое решение.</b>Пусть искомая длина гипотенузы равна <i>x</i>. По определению синуса, $ синус A = дробь: числитель: CB, знаменатель: AB конец дроби , $ а по условию, $ синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби , $ следовательно, $ дробь: числитель: CB}x = дробь: числитель: {, знаменатель: 7 конец дроби , знаменатель: 25 конец дроби , $ откуда $CB = дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x.$ Применим теорему Пифагора:$x в квадрате = 4,8 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: конец дроби 25 x правая круглая скобка в квадрате равносильно x в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 24}5 правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате равносильно дробь: числитель: 576, знаменатель: 625 конец дроби x в квадрате = дробь: числитель: 576, знаменатель: 25 конец дроби равносильно x в квадрате = 25 \underset x больше 0 , знаменатель: \mathop{ равносильно конец дроби x = 5. $

Ответ: 5

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, $AC = 2,$ $ синус A = дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби . $ Найдите  <i>BC</i>.

Имеем:$BC = AC тангенс A = AC синус A \over корень из 1 минус синус в квадрате A = 2 умножить на корень из 17 \over 17 \over корень из 1 минус 17 \over 289 = 2 умножить на корень из 17 \over 17 умножить на 17 \over корень из 272 =2 умножить на корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби = 0,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5. <b>Приведем решение Алишера Простова.</b>Найдем косинус угла <i>А</i>:$ косинус A= корень из 1 минус синус в квадрате A= корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 17 конец дроби . $Найдем гипотенузу <i>AB</i>:$AB= дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 17 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 2 конец дроби . $По теореме Пифагора найдем <i>BC</i>:$BC= корень из AB в квадрате минус AC в квадрате = корень из левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 2 в квадрате = корень из дробь: числитель: 17 минус 16, знаменатель: 4 конец дроби = корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби =0,5. $

Ответ: 0,5

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>АС</i>  =  4, $ косинус A = 0,5.$ Найдите <i>АВ</i>.

По определению косинуса:$AB = AC \over косинус A = 4 \over 0,5 = 8.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8.

Ответ: 8

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, $ тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби , $ <i>АС</i>  =  4. Найдите <i>АВ</i>.

Имеем:$AB= дробь: числитель: AC, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 33, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби конец дроби =4 умножить на корень из дробь: числитель: 49, знаменатель: 16 конец дроби =7. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7. <b>Приведем другое решение:</b>Найдем <i>BC</i>:$BC=AC умножить на тангенс A=4 умножить на дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби = корень из 33. $По теореме Пифагора найдем <i>AB</i>:$AB= корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате = корень из 16 плюс 33= корень из 49=7.$

Ответ: 7

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>АС</i>  =  8, $ тангенс A = 0,5.$ Найдите <i>BC</i>.

По определению тангенса:$BC=AC тангенс A=8 умножить на 0,5=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4.

Ответ: 4

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>BC</i>  =  4, $ синус A = 0,5.$ Найдите <i>АВ</i>.

По определению синуса:$AB= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 0,5 конец дроби =8. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8.

Ответ: 8

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, $ косинус A = дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби , $ <i>ВС</i>  =  2. Найдите <i>АС</i>.

Имеем:$AC= дробь: числитель: BC, знаменатель: тангенс A конец дроби = дробь: числитель: BC косинус A, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: BC косинус A, знаменатель: корень из 1 минус косинус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби , знаменатель: корень из 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 17 конец дроби конец дроби =2 умножить на дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 17 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 17, знаменатель: 4 конец дроби =0,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5.

Ответ: 0,5

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, $ тангенс A = 0,5,$ <i>ВС</i>  =  4. Найдите <i>АС</i>.

По определению тангенса:$AC= дробь: числитель: BC, знаменатель: \operatorname тангенс A конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 0,5 конец дроби =8. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8.

Ответ: 8

<img src="/get_file?id=66778" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>AC</i>  =  24, <i>BC</i>  =  7. Найдите $ синус A.$

Имеем: $ синус A= дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: корень из BC в квадрате плюс AC в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 576 плюс 49 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби =0,28. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,28.

Ответ: 0,28

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, $AB = 13,$ $ тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби . $ Найдите $AH.$

Имеем:$AH=AC косинус A= левая круглая скобка AB косинус A правая круглая скобка косинус A = AB косинус в квадрате A=AB умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате A конец дроби =13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби конец дроби =13 умножить на дробь: числитель: 25, знаменатель: 26 конец дроби =12,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 12,5. <b>Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).</b> Из треугольника <i>ACH</i> найдем $ тангенс A= дробь: числитель: CH, знаменатель: AH конец дроби , $ значит, $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: CH , знаменатель: AH конец дроби , $ откуда $ CH = дробь: числитель: AH , знаменатель: 5 конец дроби . $ По свойству прямоугольного треугольника $ CH в квадрате = AH умножить на HB .$ Пусть $AH=x ,$ тогда $ HB =13 минус x,$ следовательно,$ левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =x левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 25 конец дроби =13 x минус x в квадрате равносильно x в квадрате =13 умножить на 25 x минус 25 x в квадрате равносильно 26 x в квадрате минус 13 умножить на 25 x=0 равносильно 13 x левая круглая скобка 2 x минус 25 правая круглая скобка =0 , $ откуда $x=0,$ что не подходит, или$2 x минус 25=0 равносильно 2x=25 равносильно x=12,5.$

Ответ: 12,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С</i> равен 90°, <i>СН</i>  — высота, $AB = 13,$ $ тангенс A = 5.$ Найдите <i>ВН</i>.

Углы <i>А</i> и <i>НСВ</i> равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$BH=CB синус \widehatHCB=CB синус A=AB синус в квадрате A=AB левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате A правая круглая скобка =$ $AB левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс tg в квадрате A конец дроби правая круглая скобка =13 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 26 конец дроби правая круглая скобка =12,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 12,5. <b>Приведем решение Александра Широкова.</b>Пусть <i>BH</i>  =  <i>x</i>, тогда <i>AH</i>  =  13 − <i>x</i>. Из прямоугольного треугольника <i>ACH</i> находим: $CH=AH тангенс A= левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка тангенс A.$Углы <i>А</i> и <i>НСВ</i> равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, из прямоугольного треугольника <i>HCB</i> имеем: $CH= дробь: числитель: BH, знаменатель: тангенс A конец дроби = дробь: числитель: x, знаменатель: тангенс A конец дроби . $Приравняв правые части полученных выражений, получим:$5 левая круглая скобка 13 минус x правая круглая скобка = дробь: числитель: x, знаменатель: 5 конец дроби равносильно 26 x=325 равносильно x=12,5. $

Ответ: 12,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C </i>равен 90°, $AB = 13,$ $ тангенс A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби . $ Найдите высоту <i>CH</i>.

Поскольку $CH=AC синус A,$ $AC=AB косинус A$ имеем:$CH=AB синус A косинус A=AB умножить на дробь: числитель: синус A, знаменатель: косинус A конец дроби косинус в квадрате A=AB умножить на тангенс альфа дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс тангенс в квадрате альфа конец дроби =13 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 2,5.  <b>Приведем другое решение.</b>Пусть длина катета <i>ВС</i> равна <i>х</i>, тогда длина <i>АС</i> равна 5<i>х</i>, а длина гипотенузы равна $x корень из 26.$ Зная, что гипотенуза равна 13, находим: $x= дробь: числитель: 13, знаменатель: корень из 26 конец дроби . $ Поскольку проведенная к гипотенузе высота равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, имеем: $CH = дробь: числитель: CB умножить на CA, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 5x в квадрате , знаменатель: x корень из 26 конец дроби = дробь: числитель: 5x, знаменатель: корень из 26 конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 13, знаменатель: 26 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . $

Ответ: 2,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С </i>равен 90°, <i>CH</i>  — высота, $BC = 3,$ $ синус A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . $ Найдите <i>АН</i>.

Имеем:$AH=AC косинус A= дробь: числитель: BC, знаменатель: tgA конец дроби умножить на косинус A= дробь: числитель: BC косинус в квадрате A, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: BC левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате A правая круглая скобка , знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 3 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби =17,5. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 17,5. <b>Приведем решение Расиля Садыкова.</b>Из прямоугольного треугольника <i>ABC</i>$ синус \angle A = дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби равносильно AB= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби =18. $Заметим, что <i>∠HCB = ∠CAB</i>, тогда из прямоугольного треугольника <i>CHB</i>$ синус \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: BC конец дроби равносильно HB=BC умножить на синус \angle HCB=3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби =0,5. $Тогда <i>AH  =  AB − HB  =  </i>18 − 0,5  =  17,5. <b>Приведем решение Ларисы Максименко.</b>Из прямоугольного треугольника <i>ABC</i>$ синус \angle A = дробь: числитель: BC, знаменатель: AB конец дроби равносильно AB= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби =18. $По теореме Пифагора$AC в квадрате =AB в квадрате минус BC в квадрате =324 минус 9=315.$В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:$ AC в квадрате =AB*AH равносильно AH= дробь: числитель: AC в квадрате , знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 315, знаменатель: 18 конец дроби =17,5. $

Ответ: 17,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i>  — высота, <i>BC </i>  =  8, $ синус A = 0,5.$ Найдите <i>BH</i>.

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому$BH=BC синус \angle HCB=BC синус A=8 умножить на 0,5=4.$

Ответ: 4

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С</i> равен 90°, $BC = 5,$ $ синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите высоту <i>СН</i>.

Углы <i>А</i> и <i>НСВ </i>равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому$CH=BC косинус \angle HCB=BC косинус A=BC корень из 1 минус синус в квадрате A=5 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =5 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =4,8. $

Ответ: 4,8

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>СН</i>  — высота, <i>BC</i>  =  3, $ косинус A = дробь: числитель: корень из 35, знаменатель: 6 конец дроби . $ Найдите <i>АН</i>.

Имеем:$AH=AC косинус A= дробь: числитель: BC, знаменатель: tgA конец дроби умножить на косинус A= дробь: числитель: BC косинус в квадрате A, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: BC косинус в квадрате A, знаменатель: корень из 1 минус косинус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на дробь: числитель: 35, знаменатель: 36 конец дроби , знаменатель: корень из 1 минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 36 конец дроби конец дроби =17,5. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 17,5. <b>Приведем решение Алены Терентьевой.</b>Найдем синус угла <i>A</i>: $ синус A = корень из 1 минус косинус в квадрате A= корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 35, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . $ Заметим, что <i>∠CAB = ∠BCH</i>, тогда $AB= дробь: числитель: BC, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби =18, $ $HB=BC умножить на синус A = 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби =0,5. $ Следовательно, <i>AH</i>  =  <i>AB − HB</i>  =  18 − 0,5  =  17,5.

Ответ: 17,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>АВС </i>угол <i>С</i> равен 90°, <i>СН</i>  — высота, $BC = 5,$ $ косинус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите <i>ВН</i>.

Углы <i>А</i> и <i>НСВ</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$BH=BC синус \angle HCB=BC синус A=BC корень из 1 минус косинус в квадрате A=5 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =5 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =4,8. $

Ответ: 4,8

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С</i> равен 90°, $BC = 8,$ $ косинус A = 0,5.$ Найдите <i>СН</i>.

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$CH=BC косинус \widehatНСВ=BC косинус A=8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =4. $

Ответ: 4

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, $AC = 3,$ $ косинус A = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби . $ Найдите $BH.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$BH=BC синус \angle HCB=BC синус A=ACtgA синус A= дробь: числитель: AC синус в квадрате A, знаменатель: косинус A конец дроби = $$= дробь: числитель: AC левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате A правая круглая скобка , знаменатель: косинус A конец дроби =3 умножить на левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби правая круглая скобка умножить на 6=17,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 17,5.

Ответ: 17,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i>  — высота, <i>BC</i> = 8, <i>BH</i> = 4. Найдите $ синус A.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому$ синус A= синус \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 8 конец дроби =0,5. $

Ответ: 0,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i>  — высота, <i>BC</i>  =  25, <i>BH</i>  =  20. Найдите $ косинус A.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ косинус A= косинус \angle HCB= дробь: числитель: CH, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: корень из CB в квадрате минус HB в квадрате , знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: корень из 625 минус 400, знаменатель: 25 конец дроби =0,6. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,6.

Ответ: 0,6

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, $BC = 4 корень из 5,$ $BH = 4.$ Найдите $ тангенс A.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ тангенс A= тангенс \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: HB, знаменатель: корень из CB в квадрате минус HB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из 80 минус 16 конец дроби =0,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,5.

Ответ: 0,5

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 20, <i>BC</i>  =  25. Найдите $ синус A.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ синус A= синус \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: корень из CB в квадрате минус CH в квадрате , знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: корень из 625 минус 400, знаменатель: 25 конец дроби =0,6. $

Ответ: 0,6

<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 4, <i>BC</i>  =  8. Найдите $ косинус A.$

Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ косинус A= косинус \angle HCB= дробь: числитель: CH, знаменатель: CB конец дроби =0,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,5.

Ответ: 0,5