Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
Найдите значение выражения $ тангенс альфа ,$ если $ косинус альфа = минус дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 10 конец дроби $ и $ альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка . $ | Поскольку угол альфа лежит во второй четверти, его тангенс отрицателен. Поэтому $ тангенс альфа = минус корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби минус 1= минус корень из 10 минус 1= минус 3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите значение выражения: $ дробь: числитель: 32 косинус 26 градусов, знаменатель: синус 64 градусов конец дроби }. $ | Сходственные функции дополнительных углов равны, поэтому$ дробь: числитель: 32 косинус 26 градусов , знаменатель: синус 64 градусов конец дроби = дробь: числитель: 32 косинус левая круглая скобка 90 градусов минус 64 градусов правая круглая скобка , знаменатель: синус 64 градусов конец дроби = дробь: числитель: 32 синус 64 градусов, знаменатель: синус 64 градусов конец дроби =32. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 32. | Ответ: 32 |
Найдите значение выражения $ корень из 50 косинус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус корень из 50 синус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби . $ | Используем формулу косинуса двойного угла $ косинус в квадрате альфа минус синус в квадрате альфа = косинус 2 альфа $:$ корень из 50 косинус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус корень из 50 синус в квадрате дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби = корень из 50 косинус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = корень из 50 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = корень из 50 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 100, знаменатель: 2 конец дроби = 5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
Найдите $2 косинус 2 альфа ,$ если $ синус альфа = минус 0,7.$ | Используем формулу косинуса двойного угла: $ косинус 2 альфа =1 минус 2 синус в квадрате альфа .$ Получаем:$2 косинус 2 альфа =2 левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате альфа правая круглая скобка =2 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 0,7 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =2 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 умножить на 0,49 правая круглая скобка =0,04.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,04. | Ответ: 0,04 |
Найдите $ косинус альфа ,$ если $ синус альфа = дробь: числитель: 2 корень из 6, знаменатель: 5 конец дроби $ и $ альфа принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая круглая скобка . $ | Поскольку угол $ альфа $ лежит во второй четверти, его косинус отрицателен. Поэтому$ косинус альфа = минус корень из 1 минус синус в квадрате альфа = минус корень из 1 минус дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = минус 0,2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −0,2. | Ответ: -0,2 |
Найдите $ синус 2 альфа ,$ если $ косинус альфа = 0,6$ и $ Пи меньше альфа меньше 2 Пи .$ | Воспользуемся формулой $ синус 2 альфа = 2 синус альфа косинус альфа .$ Так как угол лежит в третьей и четвертой четверти, значения синуса отрицательные. Таким образом, $ синус альфа = минус корень из 1 минус 0,6 в квадрате = минус 0,8.$ Следовательно,$ синус 2 альфа = 2 умножить на 0,6 умножить на левая круглая скобка минус 0,8 правая круглая скобка = минус 0,96.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −0,96. | Ответ: -0,96 |
Найдите значение выражения: $4 корень из 2 косинус в квадрате дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 2 корень из 2. $ | Используем формулу косинуса двойного угла $2 косинус в квадрате альфа минус 1= косинус 2 альфа $:$4 корень из 2 косинус в квадрате дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 2 корень из 2 = 2 корень из 2 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 1 правая круглая скобка = 2 корень из 2 косинус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби . $Теперь воспользуемся периодичностью и четностью косинуса:$2 корень из 2 косинус дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 4 конец дроби = 2 корень из 2 косинус левая круглая скобка 4 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = 2 корень из 2 косинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка = 2 корень из 2 косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = 2 корень из 2 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = 2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=109603" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой <i>y</i> = 6 или совпадает с ней. | Поскольку касательная параллельна прямой <i>y</i> = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой <i>y</i> = 6 или совпадает с ней в 4 точках. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=109601" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции <i>f(x)</i> параллельна прямой <i>y</i> = −2<i>x</i> − 11 или совпадает с ней. | <img src="/get_file?id=109602" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой <i>y</i> = −2<i>x</i> − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны −2. Найдем количество точек, в которых $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 2,$ это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой <i>y</i> = −2. На данном интервале таких точек 5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=109646" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции <i>y=f(x)</i> и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции <i>f(x)</i> в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=109645" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу <i>ACB</i>:$y'~ левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс \angle ACB= дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс 4, знаменатель: 1 плюс 2 конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=109654" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub><sub>0</sub></sub>. Найдите значение производной функции <i>f</i>(<i>x</i>) в точке <i>x</i><sub><sub>0</sub></sub>. | <img src="/get_file?id=109653" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i> (−3; 6), <i>B</i> (−3; 4), <i>C</i> (5; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом <i>ACB</i>:$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ACB правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACB= минус дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби = минус 0,25. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −0,25. | Ответ: -0,25 |
<img src="/get_file?id=109656" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции <i>f</i>(<i>x</i>) в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=109655" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i> (−2; −2), <i>B</i> (−2; −5), <i>C</i> (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом <i>ACB</i>:$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ACB правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACB= минус дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 6 конец дроби = минус 0,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −0,5. | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=109604" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой <i>y</i> = −6. | Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 7. | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=109658" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции <i>y=f(x)</i> и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub><sub>0</sub></sub>. Найдите значение производной функции <i>f(x)</i> в точке <i>x</i><sub><sub>0</sub></sub>. | <img src="/get_file?id=109657" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i> (2; 4), <i>B</i> (2; 2), <i>С</i> (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу <i>ABC</i>. Поэтому$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс \angle ACB= дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби =0,25. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,25. | Ответ: 0,25 |
<img src="/get_file?id=109660" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции <i>y=f(x)</i> и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции <i>f(x)</i> в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=109659" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i> (−2; −9), <i>B</i> (−2; −3), <i>C</i> (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом <i>ACB</i>. Поэтому$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ACB правая круглая скобка = минус тангенс левая круглая скобка \angle ACB правая круглая скобка = минус дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 3 конец дроби = минус 2. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=109662" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к нему в точке с абсциссой <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции <i>f(x)</i> в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=109661" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i> (2; −2), <i>B</i> (2; 0), <i>C</i> (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом <i>ACB</i>:$y'~ левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle ACB правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACB= минус дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби = минус 0,25. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: − 0,25. | Ответ: -0,25 |
На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите $f' левая круглая скобка 8 правая круглая скобка .$ | Поскольку касательная проходит через начало координат, её уравнение имеет вид <i>y = kx</i>. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · <i>k</i>, откуда <i>k</i> = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: $f ' левая круглая скобка 8 правая круглая скобка =1,25.$<img src="/get_file?id=110014" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/><span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,25. | Ответ: 1,25 |
<img src="/get_file?id=110030" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ параллельна прямой $y=2x минус 2$ или совпадает с ней. | <img src="/get_file?id=110031" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой $y=2x минус 2$ или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =2.$ Осталось найти, при каких <i>x</i> производная принимает значение 2. Искомая точка $x_0=5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=110028" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. | Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид $y=b,$ и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка $x= минус 3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Прямая $y=7x минус 5$ параллельна касательной к графику функции $y=x в квадрате плюс 6x минус 8.$ Найдите абсциссу точки касания. | Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой $y=7x минус 5$ их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения $y'=7$: $ левая круглая скобка x в квадрате плюс 6x минус 8 правая круглая скобка '=~7 равносильно 2x плюс 6=7 равносильно x=0,5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5. | Ответ: 0,5 |
Прямая $y= минус 4x минус 11$ является касательной к графику функции $y=x в кубе плюс 7x в квадрате плюс 7x минус 6.$ Найдите абсциссу точки касания. | Условие касания графика функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и прямой $y=kx плюс b$ задаётся системой требований:$ левая фигурная скобка \beginalign f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =k, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b. \endalogn . $В нашем случае имеем:$ система выражений 3x в квадрате плюс 14x плюс 7= минус 4, x в кубе плюс 7x в квадрате плюс 7x минус 6= минус 4x минус 11 конец системы . равносильно система выражений новая строка 3x в квадрате плюс 14x плюс 11=0, новая строка x в кубе плюс 7x в квадрате плюс 11x плюс 5=0 конец системы равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби , x= минус 1, конец системы } новая строка x в кубе плюс 7x в квадрате плюс 11x плюс 5=0 левая круглая скобка * правая круглая скобка . конец совокупности . $ Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Прямая <i>y</i> = 3<i>x</i> + 1 является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =$ <i>ax</i><sup>2</sup> + 2<i>x</i> + 3. Найдите <i>a</i>. | Прямая $y=kx плюс b$ является касательной к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда одновременно $f левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =y левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка $ и $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =k.$ В нашем случае имеем:$ система выражений новая строка 2ax_0 плюс 2=3, новая строка ax_0 в квадрате плюс 2x_0 плюс 3=3x_0 плюс 1 конец системы . равносильно система выражений новая строка ax_0=0,5, новая строка 0,5x_0 минус x_0= минус 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка a=0,125, новая строка x_0=4. конец системы .$ Искомое значение <i>а</i> равно 0,125. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,125. <b>Приведем другое решение.</b>По смыслу задачи <i>a</i> ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение <i>ax</i><sup>2</sup> + 2<i>x</i> + 3 = 3<i>x</i> + 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8<i>а </i> уравнения <i>ax</i><sup>2</sup> − <i>x</i> + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби =0,125.$ | Ответ: 0,125 |
Прямая $y=3x плюс 4$ является касательной к графику функции $y=3x в квадрате минус 3x плюс c.$ Найдите $c.$ | Условие касания графика функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и прямой $y=kx плюс b$ задаётся системой требований:$ левая фигурная скобка \beginalign f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =k, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс b. \endalogn . $В нашем случае имеем:$ система выражений 6x минус 3=3, 3x в квадрате минус 3x плюс c=3x плюс 4 конец системы . равносильно левая фигурная скобка \beginalign x=1, 3x в квадрате минус 6x плюс c минус 4=0 \endalogn . равносильно левая фигурная скобка \beginalign x=1, c=7. \endalogn . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7. | Ответ: 7 |
Прямая $y= минус 5x плюс 8$ является касательной к графику функции $y=28x в квадрате плюс bx плюс 15.$ Найдите <i>b</i>, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. | Условие касания графика функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и прямой $y=kx плюс l$ задаётся системой требований:$ левая фигурная скобка \beginalign f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =k, f левая круглая скобка x правая круглая скобка =kx плюс l. \endalogn . $В нашем случае имеем:$ левая фигурная скобка \beginalign 56x плюс b= минус 5, 28x в квадрате плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, 28x в квадрате плюс левая круглая скобка минус 5 минус 56x правая круглая скобка x плюс 15= минус 5x плюс 8 \endalogn . равносильно левая фигурная скобка \beginalign b= минус 5 минус 56x, x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . \endalogn . $ По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому <i>x</i> = 0,5, откуда <i>b</i> = −33. <b>Приведём другое решение.</b>Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение $28x в квадрате плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8$ должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения $28x в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка x плюс 7=0. $ Найдем его: $D= левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 7 умножить на 28 = левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка в квадрате минус 28 в квадрате = левая круглая скобка b плюс 5 плюс 28 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс 5 минус 28 правая круглая скобка = левая круглая скобка b плюс 33 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 23 правая круглая скобка .$ Дискриминант обращается в нуль при $b= минус 33$ или $b=23.$ Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение $28x в квадрате плюс левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка x плюс 7=0. $ При $b= минус 33$ имеем: $28x в квадрате минус 28x плюс 7=0 равносильно 4х в квадрате минус 4x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Аналогично при $b=23$ имеем: $28x в квадрате плюс 28x плюс 7=0 равносильно 4х в квадрате плюс 4x плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$Точка касания имеет положительную абсциссу при $b= минус 33.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −33. | Ответ: -33 |
<img src="/get_file?id=110042" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f</i>(<i>x</i>). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>) параллельна прямой <i>y</i> = 6<i>x</i> или совпадает с ней. | <img src="/get_file?id=110041" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Поскольку касательная параллельна прямой <i>y</i> = 6<i>x</i> или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 6. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Осталось найти, в какой точке <i>x</i> производная принимает значение 6: искомая точка <i>x</i> = 5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=110045" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции <i>g</i>(<i>x</i>) = 6<i>f</i>(<i>x</i>) − 3<i>x</i> в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=110043" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):По рисунку найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$Тогда для искомого значения получаем <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −7. | Ответ: -7 |
<img src="/get_file?id=110050" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0=2.$ Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=110051" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):По рисунку найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =f' левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби =0,4.$Тогда для искомого значения получаем <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3,6. | Ответ: 3,6 |
<img src="/get_file?id=110054" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 7f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 21x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 441 конец дроби $ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 42. | Ответ: 42 |
<img src="/get_file?id=110088" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка f' левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка умножить на 6$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 13. | Ответ: 13 |
<img src="/get_file?id=110089" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =12f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 6, знаменатель: конец дроби 13$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −8. | Ответ: -8 |
<img src="/get_file?id=110047" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =9f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби x плюс 7$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=110046" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):По рисунку найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=110052" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0= минус 3.$ Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | <img src="/get_file?id=110053" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):По рисунку найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Поэтому $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка =f' левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = минус 0,2.$Тогда для искомого значения получаем <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 26,8. | Ответ: 26,8 |
<img src="/get_file?id=110090" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби x минус 4$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=110055" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 5f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби 11x плюс \ln3$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём производную функции <i>g</i>(<i>x</i>):Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=110056" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к этому графику, проведённая в точке <i>x</i><sub>0</sub>. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =f' левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3$ в точке <i>x</i><sub>0</sub>. | Найдём значение $f' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка .$ Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Тогда искомое значение <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,75. | Ответ: 0,75 |
<img src="/get_file?id=110092" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ в точке $x_0.$ | <img src="/get_file?id=110091" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках <i>A</i>(8; 8), <i>B</i>(8; 1), <i>C</i>(3; 1). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу <i>ACB</i>:$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс \angle ACB = дробь: числитель: AB, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби =1,4 $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1,4. | Ответ: 1,4 |
<img src="/get_file?id=109796" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ в точке $x_0.$ | <img src="/get_file?id=109797" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:$y' левая круглая скобка x_0 правая круглая скобка = тангенс \angle альфа = дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби =1,8 $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1,8. | Ответ: 1,8 |
<img src="/get_file?id=87560" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определённой на интервале (−4; 4). Найдите корень уравнения <i>f '</i>(<i>x</i>) = 0. | Производная изображенной на рисунке функции <i>f</i>(<i>x</i>) равна нулю в точке, в которой касательная к графику функции параллельна оси <i>Ox</i>, а именно в точке 2. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =6t в квадрате минус 48t плюс 17$ (где <i>x</i> — расстояние от точки отсчета в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени <i>t</i> = 9 с. | Найдем закон изменения скорости:$ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка =12t минус 48.$ При <i>t</i> = 9 c имеем: $ v левая круглая скобка 9 правая круглая скобка =12 умножить на 9 минус 48=60$ м/с.<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60. | Ответ: 60 |
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в кубе минус 3t в квадрате плюс 2t $ (где <i>x</i> — расстояние от точки отсчета в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени <i>t</i> = 6 с. | Найдем закон изменения скорости: $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате минус 6t плюс 2 $ м/с. Тогда находим: $ v левая круглая скобка 6 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 36 минус 6 умножить на 6 плюс 2=20 $ м/с. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в степени 4 плюс 6t в кубе плюс 5t плюс 23$ (где <i>x</i> — расстояние от точки отсчета в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени $t=3$ с. | Скорость — производная координаты по времени: $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус 4t в кубе плюс 18t в квадрате плюс 5$ м/с. При $t=3$ имеем: $ v левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = минус 4 умножить на 3 в кубе плюс 18 умножить на 9 плюс 5=59$ м/с.<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 59. | Ответ: 59 |
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 13t плюс 23$ (где <i>x</i> — расстояние от точки отсчета в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? | Найдем закон изменения скорости: $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка =2t минус 13 м/с.$Чтобы найти, в какой момент времени <i>t</i> скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. <b>Примечание.</b>В условии и под законом движения, и под скоростью авторами подразумеваются проекции, а не модули векторов. Пожалуй, стоило бы указать на это более четко. Чтобы не возникало разночтений, задание можно было бы сформулировать так: «Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси <i>Ох</i>. Скалярная проекция радиус-вектора этой точки на ось <i>Ох</i> зависит от времени по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 13t плюс 23,$ где <i>x</i> — расстояние от начала отсчета <i>О</i> в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) скалярная проекция вектора скорости на ось <i>Ох</i> была равна 3 м/с?». Полагаем, такая формулировка отпугнула бы непосвященных. | Ответ: 8 |
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе минус 3t в квадрате минус 5t плюс 3 $ (где <i>x</i> — расстояние от точки отсчета в метрах, <i>t</i> — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с? | Найдем закон изменения скорости: $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 6t минус 5$ м/с. Чтобы найти, в какой момент времени <i>t</i> скорость была равна 2 м/с, решим уравнение:$t в квадрате минус 6t минус 5=2 равносильно t в квадрате минус 6t минус 7=0 равносильно совокупность выражений новая строка t= минус 1; новая строка t=7 конец совокупности .\undersett больше 0\mathop равносильно t=7$с. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 7. | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=109501" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Материальная точка <i>M</i> начинает движение из точки <i>A</i> и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки <i>A</i> до точки <i>M</i> со временем. На оси абсцисс откладывается время <i>t</i> в секундах, на оси ординат — расстояние <i>s</i>. | Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции <i>s</i>(<i>t</i>). Точек экстремума на графике 6. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=110094" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $ левая круглая скобка минус 6; 6 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки возрастания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых ее производная неотрицательна, то есть промежуткам (−6; −5,2] и [2; 6). Данные промежутки содержат целые точки 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 14. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. Важный клон, из каталога не убирать! | Ответ: 14 |
<img src="/get_file?id=110097" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. | Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=110254" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции <i>f</i>(<i>x</i>). | Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 44. | Ответ: 44 |
<img src="/get_file?id=110263" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка $ — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ принимает наибольшее значение? | Функция, дифференцируемая на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. На заданном отрезке производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ неположительна, функция на этом отрезке убывает. Следовательно, наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
<img src="/get_file?id=110402" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] <i>f</i>(<i>x</i>) принимает наименьшее значение? | На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке $ минус 7.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −7. | Ответ: -7 |
На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции <i>f(x)</i> на отрезке [−6; 9]. <img src="/get_file?id=110416" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума <i>x</i> = 7. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
На рисунке изображен график производной функции <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [−13;1]. <img src="/get_file?id=111102" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−13;1] функция имеет одну точку минимума <i>x</i> = −9. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции <i>f(x)</i> на отрезке [−10; 10]. <img src="/get_file?id=111107" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=111111" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции <i>f(x)</i>. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Функция, дифференцируемая на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. Поэтому промежутки убывания функции <i>f(x)</i> соответствуют промежуткам, на которых производная функции неположительна, то есть отрезку [−2,5; 6,5]. Данный отрезок содержит следующие целые точки: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=111117" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции <i>f(x)</i>. В ответе укажите длину наибольшего из них. | Функция, дифференцируемая на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. Поэтому промежутки возрастания функции <i>f(x)</i> соответствуют промежуткам, на которых производная функции неотрицательна, то есть промежуткам (−11; −10], [−7; −1] и [2; 3). Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции <i>f(x)</i>. В ответе укажите длину наибольшего из них. <img src="/get_file?id=111124" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Функция, дифференцируемая на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], непрерывна на нем. Если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. Производная функции неположительна на отрезках [−1; 5] и [7; 11]. Значит, функция убывает на отрезке [−1; 5] длиной 6 и на отрезке [7; 11] длиной 4. Длина наибольшего из них равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=111130" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график производной функции <i>f(x)</i>, определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции <i>f(x)</i> на отрезке [−2; 6]. | Если производная в некоторой точке равна нулю и меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [−2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=111137" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>), определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) равна 0. | Производная изображенной на рисунке функции <i>f</i>(<i>x</i>) равна нулю в точках экстремумов: −2; −1; 1; 4 и 6. Производная равна нулю в 5 точках. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка $ — производной функции <i>f</i>(<i>x</i>). На оси абсцисс отмечены восемь точек: <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>8</sub>. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции <i>f</i>(<i>x</i>)? | Возрастанию дифференцируемой функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют неотрицательные значения её производной. Производная неотрицательна в точках <i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>5</sub>, <i>x</i><sub>6</sub>. Таких точек 3. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка $ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots ,$$x_8.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ убывает? <img src="/get_file?id=111299" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Убыванию дифференцируемой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ соответствуют неположительные значения её производной. Производная неположительна в точках $x_1,x_2,x_3,x_4,x_8$: точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательны. Таких точек 5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 5. | Ответ: 5 |
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. <img src="/get_file?id=111306" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> | Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=111314" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график дифференцируемой функции <i>y</i> = <i>f</i>(<i>x</i>). На оси абсцисс отмечены девять точек: <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, ..., <i>x</i><sub>9</sub>. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. | <img src="/get_file?id=111312" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Две из отмеченных точек являются точками экстремума функции <i>f</i>(<i>x</i>). Это точки <i>x</i><sub>3</sub> и <i>x</i><sub>6</sub> (выделены красным). В них производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) равна нулю.В точках <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>7</sub> и <i>x</i><sub>8</sub> функция <i>f</i>(<i>x</i>) возрастает (выделены синим). В этих четырёх точках производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) положительна. В точках <i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>5</sub> и <i>x</i><sub>9</sub> функция <i>f</i>(<i>x</i>) убывает (выделены зеленым). В этих <b>трёх</b> точках производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) отрицательна. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=121679" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $у = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка $ — производной функции <i>f</i>(<i>x</i>) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции <i>f</i>(<i>x</i>). | Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума <i>x</i> = 9. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=111321" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции <i>y = f</i>(<i>x</i>) и отмечены семь точек на оси абсцисс: <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>5</sub>, <i>x</i><sub>6</sub>, <i>x</i><sub>7</sub>. В скольких из этих точек производная функции <i>f</i>(<i>x</i>) отрицательна? | Производная функции отрицательна в тех точках, которые принадлежат участкам убывания функции. Это точки <i>x</i><sub>3</sub>, <i>x</i><sub>4</sub>, <i>x</i><sub>7</sub> — всего 3 точки. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=121699" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Функция <i>y</i> = <i>f</i> (<i>x</i>) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку <i>x</i><sub>0</sub>, в которой функция принимает наименьшее значение, если <i>f</i> (−5) ≥ <i>f</i> (5). | <img src="/get_file?id=111324" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (<i>a</i>; <i>b</i>), то функция возрастает (убывает) на отрезке [<i>a</i>; <i>b</i>]. Тем самым функция <i>f</i>, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].Из этого следует, что <i>f</i> принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума <i>х</i><sub>min</sub> = 3. В силу возрастания <i>f</i> на отрезке [3; 5] справедливо неравенство <i>f</i> (5) > <i>f</i> (3). Поскольку по условию <i>f</i> (−5) не меньше, чем <i>f</i> (5), справедлива оценка <i>f</i> (−5) > <i>f</i> (3).Таким образом, наименьшего значения функция <i>f</i> достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетворяющих условию, приведён на рисунке. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span>3. <img src="/get_file?id=123830" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><b>Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).</b>Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция <i>f</i> имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение <i>f</i> (5) могло оказаться меньше значения <i>f</i> (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5. <b>Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.</b>Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников. <b>Примечание Александра Ларина (Москва).</b>В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу — ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=121698" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Функция $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена на промежутке $ левая круглая скобка минус 6;4 правая круглая скобка .$ На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ принимает наибольшее значение. | Cмена знака производной с положительного на отрицательный соответствует точке максимума, следовательно, в точке с абсциссой −2 достигается наибольшее значение функции. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=65726" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_8.$ В скольких из этих точек производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ положительна? | Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция $ f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ возрастает. На них лежат точки $ x_1,x_2, x_5, x_6,x_7.$ Таких точек 5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 5. | Ответ: 5 |
На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и двенадцать точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_12.$ В скольких из этих точек производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ отрицательна? | Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $ f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ убывает. В этих интервалах лежат точки $ x_4, x_5,x_6,x_7,x_8,x_11,x_12. $ Таких точек 7. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>7. | Ответ: 7 |
<img src="/get_file?id=65738" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. | <img src="/get_file?id=65739" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>−2. | Ответ: -2 |
<img src="/get_file?id=111302" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $ левая круглая скобка минус 8;3 правая круглая скобка $ . Сколько из отмеченных точек $x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 , x_6 , x_7, x_8$ принадлежат промежуткам убывания функции? | Точки $x_1, x_2, x_3, x_6$ принадлежат промежуткам убывания функции. Таких точек 4. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=65594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите количество точек максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащих интервалу (−4; 7). | <img src="/get_file?id=82196" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Точки максимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт возрастать и начинает убывать. На интервале (−4; 7) функция имеет четыре точки максимума. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=65594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащих интервалу (−4; 7). | <img src="/get_file?id=82191" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Точки минимума соответствуют точкам, в которых функция перестаёт убывать и начинает возрастать. На интервале (−4; 7) функция имеет пять точек минимума. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=121696" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка $ — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−5; 5). Найдите точку минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ | Точке минимума соответствует изменение знака производной с минуса на плюс. Поэтому $x_min=4.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=69864" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена и непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка минус 6; 5 правая квадратная скобка .$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки возрастания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть полуинтервалам (−6; −5,2] и [1,7; 5). В силу непрерывности функция <i>f</i>(<i>x</i>) возрастает на отрезках [−6; −5,2] и [1,7; 5]. Данные промежутки содержат целые точки −6, 2, 3, 4 и 5. Их сумма равна 8. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. <b>Примечание.</b>Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка $ и монотонна на интервале $ левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ то функция монотонна на всем отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка .$ Обобщением этого утверждения служит следующая <span style="letter-spacing: 2px;">теорема:</span> функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби = система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 0, дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно 0 конец системы . $ не существует в точке $x=0$ и положительна во всех остальных точках. Функция <i>f</i> в точке $x=0$ непрерывна, следовательно, она возрастает на $ R .$ | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=69897" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена и непрерывна на интервале $ левая круглая скобка минус 3; 4 правая круглая скобка .$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки возрастания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалам (−3; 1) и (1; 4). В силу непрерывности функция <i>f</i>(<i>x</i>) возрастает на интервале (−3; 4). Данный промежуток содержит целые точки −2, −1, 0, 1, 2 и 3. Их сумма равна 3. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. <b>Примечание.</b>Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка $ и монотонна на интервале $ левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ то функция монотонна на всем отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка .$ Обобщением этого утверждения служит следующая <span style="letter-spacing: 2px;">теорема:</span> функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби = система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 0, дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно 0 конец системы . $ не существует в точке $x=0$ и положительна во всех остальных точках. Функция <i>f</i> в точке $x=0$ непрерывна, следовательно, она возрастает на $ R .$ Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551782" target="_blank">551782</a> и <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551783" target="_blank">551783</a> и обратить внимание на границы промежутка задания функции. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=69898" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена и непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка минус 5; 6 правая квадратная скобка .$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки убывания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть полуинтервалам (−5; −3,5] и [3,5; 6). В силу непрерывности функция <i>f</i>(<i>x</i>) убывает на отрезках [−5; −3,5] и [3,5; 6]. Данные промежутки содержат целые точки −5, −4, 4, 5 и 6. Их сумма равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. <b>Примечание.</b>Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка $ и монотонна на интервале $ левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ то функция монотонна на всем отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка .$ Обобщением этого утверждения служит следующая <span style="letter-spacing: 2px;">теорема:</span> функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби = система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 0, дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно 0 конец системы . $ не существует в точке $x=0$ и положительна во всех остальных точках. Функция <i>f</i> в точке $x=0$ непрерывна, следовательно, она возрастает на $ R .$ | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=69899" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена и непрерывна на полуинтервале $ левая квадратная скобка минус 4; 5 правая круглая скобка .$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки убывания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых её производная неположительна, то есть интервалу (−4; −1). В силу непрерывности функция <i>f</i>(<i>x</i>) убывает на отрезке [−4; −1]. Данный промежуток содержит целые точки −4, −3, −2 и −1. Их сумма равна −10. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −10. <b>Примечание.</b>Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка $ и монотонна на интервале $ левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ то функция монотонна на всем отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка .$ Обобщением этого утверждения служит следующая <span style="letter-spacing: 2px;">теорема:</span> функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби = система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 0, дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно 0 конец системы . $ не существует в точке $x=0$ и положительна во всех остальных точках. Функция <i>f</i> в точке $x=0$ непрерывна, следовательно, она возрастает на $ R .$ Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551780" target="_blank">551780</a> и <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551783" target="_blank">551783</a> и обратить внимание на границы промежутка задания функции. | Ответ: -10 |
<img src="/get_file?id=69899" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ определена и непрерывна на полуинтервале $ левая квадратная скобка минус 4; 5 правая круглая скобка .$ На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. | Промежутки возрастания данной функции <i>f</i>(<i>x</i>) соответствуют промежуткам, на которых её производная неотрицательна, то есть интервалу (−1; 5). В силу непрерывности функция <i>f</i>(<i>x</i>) возрастает на полуинтервале [−1; 5). Данный промежуток содержит целые точки −1, 0, 1, 2, 3 и 4. Их сумма равна 9. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. <b>Примечание.</b>Напомним, что если функция непрерывна на каком-либо из концов промежутка возрастания или убывания, то граничную точку присоединяют к этому промежутку. В частности, если функция непрерывна на отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка $ и монотонна на интервале $ левая круглая скобка a; b правая круглая скобка ,$ то функция монотонна на всем отрезке $ левая квадратная скобка a; b правая квадратная скобка .$ Обобщением этого утверждения служит следующая <span style="letter-spacing: 2px;">теорема:</span> функция монотонна на промежутке, если ее производная сохраняет знак всюду на этом промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция непрерывна. Например, производная функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x плюс дробь: числитель: |x|, знаменатель: 2 конец дроби = система выражений дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби , x меньше 0, дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби , x больше или равно 0 конец системы . $ не существует в точке $x=0$ и положительна во всех остальных точках. Функция <i>f</i> в точке $x=0$ непрерывна, следовательно, она возрастает на $ R .$ Рекомендуем сравнить данную задачу с задачами <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551780" target="_blank">551780</a> и <a href="https://math-ege.sdamgia.ru/problem?id=551782" target="_blank">551782</a> и обратить внимание на границы промежутка задания функции. | Ответ: 9 |
<img src="/get_file?id=111129" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале (−9; 4). Найдите промежутки убывания функции <i>f</i>(<i>x</i>). В ответе укажите длину наибольшего из них. | Из графика видно, что функция убывает на следующих отрезках: [−8; −7], [−6; −4], [−3; 0] и [1; 2]. Наибольший из этих отрезков — [−3; 0], его длина равна 3. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
При температуре $0 градусов C$ рельс имеет длину $l_0 =10$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка = l_0 левая круглая скобка 1 плюс альфа умножить на t градусов правая круглая скобка ,$ где $ альфа = 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка градусов C правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $ — коэффициент теплового расширения, $t градусов $ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. | Задача сводится к решению уравнения $l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3$ мм при заданных значениях длины $l_0=10$ м и коэффициента теплового расширения $ альфа =1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка градусов C правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $:$l левая круглая скобка t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно l_0 левая круглая скобка 1 плюс альфа умножить на t градусов правая круглая скобка минус l_0 = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно l_0 альфа t градусов = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно $$ равносильно 10 умножить на 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка t градусов = 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка равносильно t градусов = дробь: числитель: 3 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 1,2 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка конец дроби равносильно t градусов = 25 градусов C. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 25. | Ответ: 25 |
Некоторая компания продает свою продукцию по цене $p=500$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $ v =300$ руб., постоянные расходы предприятия $f=700000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $ Пи левая круглая скобка q правая круглая скобка =q левая круглая скобка p минус v правая круглая скобка минус f.$ Определите месячный объeм производства <i>q</i> (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300000 руб. | Задача сводится к нахождению решения уравнения $ Пи левая круглая скобка q правая круглая скобка = 300000$ руб. при заданных значениях цены за единицу $p=500$ руб., переменных затрат на производство одной единицы продукции $ v =300$ руб. и постоянных расходов предприятия $f=$ $700 000$ руб. в месяц:$ Пи левая круглая скобка q правая круглая скобка =300000 равносильно q левая круглая скобка p минус v правая круглая скобка минус f_0= 300000 равносильно $ $ равносильно q левая круглая скобка 500 минус 300 правая круглая скобка минус 700000= 300000 равносильно q= 5000.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5000. | Ответ: 5000 |
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время <i>t</i> падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h=5t в квадрате ,$ где <i>h</i> − расстояние в метрах, <i>t</i> − время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах. | Пусть $h_1$ − расстояние до воды до дождя, $h_2$ − расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным $t=0,6 минус 0,2=0,4$ с. Уровень воды поднимется на $h_1 минус h_2$ метров. $h_1 минус h_2=5 умножить на 0,6 в квадрате минус 5 умножить на 0,4 в квадрате =1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Зависимость объeма спроса <i>q</i> (единиц в месяц) на продукцию предприятия — монополиста от цены <i>p</i> (тыс. руб.) задаeтся формулой $q=100 минус 10p.$ Выручка предприятия за месяц <i>r</i> (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p.$ Определите наибольшую цену <i>p</i>, при которой месячная выручка $r левая круглая скобка p правая круглая скобка $ составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. | Задача сводится к решению неравенства $r левая круглая скобка p правая круглая скобка больше или равно 240$:$r левая круглая скобка p правая круглая скобка =q умножить на p= левая круглая скобка 100 минус 10p правая круглая скобка p=100p минус 10p в квадрате ,$$r левая круглая скобка p правая круглая скобка больше или равно 240 равносильно 10p в квадрате минус 100p плюс 240 меньше или равно 0 равносильно p в квадрате минус 10p плюс 24 меньше или равно 0 равносильно 4 меньше или равно p меньше или равно 6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате ,$ где <i>h</i> − высота в метрах, <i>t</i> − время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров? | Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =3$:$h левая круглая скобка t правая круглая скобка =3 равносильно 1,6 плюс 8t минус 5t в квадрате =3 равносильно 5t в квадрате минус 8t плюс 1,4=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=0,2; новая строка t=1,4. конец совокупности .$Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени $t=0,2$ (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени $t=1,4$ (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,4 − 0,2 = 1,2 секунды. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,2. | Ответ: 1,2 |
Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P= m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка , $ где <i>m</i> − масса воды в килограммах, $ v $ скорость движения ведeрка в м/с, <i>L</i> − длина верeвки в метрах, <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$ в квадрате $). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с. | Задача сводится к решению неравенства $P левая круглая скобка v правая круглая скобка больше или равно 0$ при заданной длине верёвки $L=0,4$ м:$P больше или равно 0 равносильно m левая круглая скобка дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: L конец дроби минус g правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: v в квадрате , знаменатель: 0,4 конец дроби минус 10 больше или равно 0 равносильно v в квадрате больше или равно 4 равносильно v больше или равно 2м/с. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = H_0 минус корень из 2gH_0 kt плюс дробь: числитель: g, знаменатель: 2 конец дроби k в квадрате t в квадрате , $ где <i>t</i> − время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0=20$ − начальная высота столба воды, $k = дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби $ − отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g=10$ м/с$ в квадрате $). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды? | Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является$H левая круглая скобка t правая круглая скобка =20 минус корень из 2 умножить на 10 умножить на 20 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби t плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 50 конец дроби правая круглая скобка в квадрате t в квадрате =0,002t в квадрате минус 0,4t плюс 20. $$ 0,002t в квадрате минус 0,4t плюс 20=5 равносильно t в квадрате минус 200t плюс 7500=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=50; новая строка t=150. конец совокупности .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 50. | Ответ: 50 |
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону $H левая круглая скобка t правая круглая скобка = at в квадрате плюс bt плюс H_0,$ где $H_0 = 4$ − начальный уровень воды, $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби $ м/мин<sup>2</sup>, и $b= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби $ м/мин постоянные, <i>t</i> − время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. | Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени является $H левая круглая скобка t правая круглая скобка =0,01t в квадрате минус 0,4t плюс 4.$$H левая круглая скобка t правая круглая скобка =0 равносильно 0,01t в квадрате минус 0,4t плюс 4=0 равносильно t в квадрате минус 40t плюс 400=0 равносильно t=20.$Это означает, что по прошествии 20 минут вся вода вытечет из бака. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой $y = ax в квадрате плюс bx,$ где $a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби $ м$ в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$ $b=1$ − постоянные параметры, $x левая круглая скобка м правая круглая скобка $ − смещение камня по горизонтали, $y левая круглая скобка м правая круглая скобка $ − высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? | Задача сводится к решению неравенства $y больше или равно 9$: при заданных значениях параметров <i>a</i> и <i>b</i>:$y больше или равно 9 равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби x в квадрате плюс x больше или равно 9 равносильно x в квадрате минус 100x плюс 900 меньше или равно 0 равносильно 10 меньше или равно x меньше или равно 90 $м. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 90. | Ответ: 90 |
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T левая круглая скобка t правая круглая скобка = T_0 плюс bt плюс at в квадрате ,$ где <i>t</i> − время в минутах, $T_0 = 1400$ К, $a = минус 10$ К/мин$ в квадрате ,$ $b = 200$ К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах. | Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной $1760$ К. Задача сводится к решению неравенства $T левая круглая скобка t правая круглая скобка \leqslant1760$ при заданных значениях параметров <i>a</i> и <i>b</i>:Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t плюс дробь: числитель: бета t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , $ где <i>t</i> — время в минутах, $\omega = 20 градусов/$мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а $ бета = 4 градусов/$мин<sup>2</sup> — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $1200 градусов.$ Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах. | Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $\varphi меньше или равно 1200$ при заданных значениях параметров $\omega$ и $ бета $:$\varphi меньше или равно 1200 равносильно 2t в квадрате плюс 20t меньше или равно 1200 равносильно t в квадрате плюс 10t минус 600 меньше или равно 0 равносильно минус 30 меньше или равно t меньше или равно 20$ $мин.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $ v _0 = 57$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 12$ км/ч<sup>2</sup>. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S = v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , $ где <i>t</i> — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте в минутах. | Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если $S меньше или равно 30$ км. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $S меньше или равно 30$ при заданных значениях параметров $ v _0$ и <i>a</i>:$S меньше или равно 30 равносильно 6t в квадрате плюс 57t меньше или равно 30 равносильно 6t в квадрате плюс 57t минус 30 меньше или равно 0 равносильно 2t в квадрате плюс 19t минус 10 меньше или равно 0 равносильно $ $ равносильно дробь: числитель: минус 19 минус корень из 361 плюс 80, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: минус 19 плюс корень из 361 плюс 80, знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус 10 меньше или равно t меньше или равно 0,5. $Учитывая, что время — неотрицательная величина, получаем $t меньше или равно 0,5$ ч, то есть $t меньше или равно 30.$ мин.<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $ v _0 = 20$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 5$ м/с<sup>2</sup>. За <i>t</i> − секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v _0 t минус дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби $ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах. | Найдем, за какое время, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров: $20t минус 2,5t в квадрате =30 равносильно t в квадрате минус 8t плюс 12=0 равносильно совокупность выражений t=6, t=2. конец совокупности . $Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. <b>Примечание о выборе корня.</b>Формула $S = 20t минус 2,5t в квадрате $ описывает движение автомобиля от начала торможения до полной остановки. Моменту остановки соответствует наибольший пройденный путь. Наибольшее значение квадратного трехчлена $at в квадрате плюс bt плюс c$достигается в точке $t_0 = минус дробь: числитель: b, знаменатель: конец дроби 2a,$ в нашем случае $t_0 = дробь: числитель: минус 20, знаменатель: минус 5 конец дроби = 4 \с. $ Следовательно, через 4 секунды после начала движения автомобиль остановится. Поэтому больший корень уравнения не подходит по смыслу задачи. Если бы автомобиль после остановки продолжил движение в соответствии с заданной формулой, он поехал бы назад, увеличивая скорость. В некоторый момент времени автомобиль вновь оказался бы на заданном расстоянии от начального положения. Этот момент определяется большим корнем решенного уравнения.Для читателей, закончивших 9 класс, приведем объяснение в общем виде, опираясь на знания курса физики. При равноускоренном движении $S левая круглая скобка t правая круглая скобка =S_0 плюс v _0 t плюс дробь: числитель: at в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $ v левая круглая скобка t правая круглая скобка = v _0 плюс at.$ Из формулы скорости следует, что при торможении скорость тела достигает нуля в момент времени $t_0 = минус дробь: числитель: v _0, знаменатель: a конец дроби .$ Поэтому при решении задач на пройденный при торможении путь допустимыми являются моменты времени, не большие <i>t</i><sub>0</sub>.Рекомендуем сравнить это задание с заданиями <a href="/problem?id=27961">27961</a> и <a href="/problem?id=27962">27962</a>. | Ответ: 2 |
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой $m = 8$ кг и радиуса $R = 10$ см, и двух боковых с массами $M = 1$ кг и с радиусами $R плюс h.$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в $кг умножить на см в квадрате ,$ даeтся формулой $I = дробь: числитель: левая круглая скобка m плюс 2M правая круглая скобка R в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс M левая круглая скобка 2Rh плюс h в квадрате правая круглая скобка . $ При каком максимальном значении <i>h</i> момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 $кг умножить на см в квадрате $? Ответ выразите в сантиметрах. | Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $I меньше или равно 625$ при заданных значениях параметров <nobr><i>m</i>, <i>M</i> и <i>R</i>:</nobr>$I меньше или равно 625 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 8 плюс 2 правая круглая скобка умножить на 10 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1 умножить на левая круглая скобка 2 умножить на 10 умножить на h плюс h в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 625 равносильно h в квадрате плюс 20h минус 125 меньше или равно 0. $Решая квадратное неравенство методом интервалов, получим $ минус 25 меньше или равно h меньше или равно 5.$ Наибольшее решение двойного неравенства — число 5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho gl в кубе ,$ где <i>l</i> − длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000$ кг/м<sup>3</sup> − плотность воды, а <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g = 9,8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах. | Задача сводится к решению неравенства $F_A меньше или равно 78400$ при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:$F_А меньше или равно 78400 равносильно 1000 умножить на 9,8 умножить на l в кубе меньше или равно 78400 равносильно l в кубе меньше или равно 8 равносильно l меньше или равно 2$ м. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = альфа \rho gr в кубе ,$ где $ альфа = 4,2$ − постоянная, <i>r</i> − радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000$ кг/м<sup>3</sup> − плотность воды, а <i>g</i> − ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах. | Задача сводится к решению неравенства $F_A меньше или равно 336000$ при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:$F_А меньше или равно 336000 равносильно 4,2 умножить на 1000 умножить на 10 умножить на r в кубе меньше или равно 336000 равносильно r в кубе меньше или равно 8 равносильно r меньше или равно 2$ м. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST в степени 4 , $ где <i>P</i> — мощность излучения звезды (в ваттах),$\sigma = 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка $ $ дробь: числитель: Вт, знаменатель: м в квадрате умножить на К в степени 4 конец дроби $ — постоянная, <i>S </i> — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а <i>T</i> — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка $ м$ в квадрате ,$ а мощность её излучения равна $9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка $ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах. | Задача сводится к решению уравнения $P = 9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка $ при известном значениях постоянной $\sigma =5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка $ и заданной площади звезды $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка : $$\sigma ST в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = 9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка равносильно T в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 9,12 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка , знаменатель: \sigma S конец дроби равносильно T = корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 9,12 умножить на 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка , знаменатель: \sigma S конец дроби , $ откуда$ T = корень 4 степени из левая круглая скобка дробь: числитель: 9,12 умножить на 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 25 правая круглая скобка , знаменатель: 5,7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка 20 правая круглая скобка конец дроби = корень 4 степени из левая круглая скобка 25,6 умножить на 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка = корень 4 степени из левая круглая скобка 256 умножить на 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка =4000K.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4000. | Ответ: 4000 |
Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой $h левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус 5t в квадрате плюс 18t,$ где <i>h</i> — высота в метрах, <i>t</i> — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров? | Определим моменты времени, когда камень находился на высоте ровно 9 метров. Для этого решим уравнение $h левая круглая скобка t правая круглая скобка =9$:$h левая круглая скобка t правая круглая скобка =9 равносильно минус 5t в квадрате плюс 18t=9 равносильно минус 5t в квадрате плюс 18t минус 9=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=3; новая строка t=0,6. конец совокупности .$Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи камень брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени $t=0,6$(с) камень находился на высоте 9 метров, двигаясь снизу вверх, а в момент времени $t=3$(с) камень находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее девяти метров 2,4 секунды. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2,4. | Ответ: 2,4 |
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV в степени k = 10 в степени 5 $ Па$ умножить на $м<sup>5</sup>, где <i>p</i> − давление газа в паскалях, <i>V</i> − объeм газа в кубических метрах, $k= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите, какой объём <i>V</i> (в куб. м) будет занимать газ при давлении <i>p</i>, равном $3,2 умножить на 10 в степени 6 $ Па. | Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно $3,2 умножить на 10 в степени 6 Па,$ при заданных значениях параметров $k= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби $ и $\mathrmconst=10 в степени 5 Па умножить на м в степени 5 $ имеем равенство:$3,2 умножить на 10 в степени 6 V в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = 10 в степени 5 равносильно V в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби равносильно V = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка равносильно V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби м в кубе . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,125. | Ответ: 0,125 |
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка , $ где $m_0$ — начальная масса изотопа, <i>t</i> — время, прошедшее от начального момента, <i>T</i> — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг. | Задача сводится к решению уравнения $m левая круглая скобка t правая круглая скобка = 5$ при заданных значениях параметров $m_0=40$ мг и $T=10$ мин:$m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка = 5 равносильно 40 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = 5 равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: t, знаменатель: 10 конец дроби = минус 3 равносильно t=30 $ мин.<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. <b>Приведем решение Ильи Князева.</b>За каждый период полураспада <i>t = T</i> масса изотопа уменьшается вдвое. Следовательно, за первый период масса уменьшилась с 40 мг до 20 мг, за второй период с 20 мг до 10 мг, за третий период с 10 мг до 5 мг. Всего прошло три периода полураспада или 30 минут. | Ответ: 30 |
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где <i>p</i> (Па) − давление газа, <i>V</i> − объeм газа в кубических метрах, <i>a</i> − положительная константа. При каком наименьшем значении константы <i>a</i> уменьшение в два раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза? | Пусть $p_1$ и $V_1$ − начальные, а $p_2$ и $V_2$ − конечные значения давления и объема газа, соответственно. Условие $pV в степени a = const$ означает, что $p_1V_1 в степени a = p_2V_2 в степени a ,$ откуда $ дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби = дробь: числитель: V_1 в степени a , знаменатель: V_2 в степени a конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a . $ Задача сводится к решению неравенства $ дробь: числитель: p_2, знаменатель: p_1 конец дроби больше или равно 4, $ причем по условию $ дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби =2 $:$ левая круглая скобка дробь: числитель: V_1, знаменатель: V_2 конец дроби правая круглая скобка в степени a больше или равно 4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка a правая круглая скобка больше или равно 4 равносильно a больше или равно 2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где <i>p</i> (атм.) − давление газа, <i>V</i> − объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах. | пусть $p_1$ и $V_1$ - начальные, а $p_2$ и $V_2$ - конечные значения объема и давления газа, соответственно. Тогда задача сводится к решению неравенства$V_2 больше или равно левая круглая скобка дробь: числитель: p_1V_1 в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка , знаменатель: p_2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 1,4 конец дроби правая круглая скобка , $ где $p_1=1$ атм., $V_1=1,6$ л., $p_2=128$ атм.$V_2 больше или равно левая круглая скобка дробь: числитель: 1,6 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 128 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка равносильно V_2 больше или равно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка умножить на 1,6 равносильно V_2 больше или равно дробь: числитель: 1,6, знаменатель: 32 конец дроби равносильно V_2 больше или равно 0,05. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,05. | Ответ: 0,05 |