Datasets:

foldl

/

MathSet

like 1

<img src="/get_file?id=108674" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $c=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $b=2.$По графику $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка =3,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: минус 5 плюс 2 конец дроби плюс 4=3 равносильно a=3. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс 4. $ Найдём $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: минус 7 плюс 2 конец дроби плюс 4=3,4. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3,4.

Ответ: 3,4

<img src="/get_file?id=108675" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 2,$ значит, $c= минус 2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=1,$ значит, $b= минус 1.$По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 0 минус 1 конец дроби минус 2= минус 4 равносильно a=2. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби минус 2. $ Найдём $f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: минус 7 минус 1 конец дроби минус 2= минус 2,25. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2,25.

Ответ: -2,25

<img src="/get_file?id=108676" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 3,$ значит, $c= минус 3.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $b= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 1 минус 2 конец дроби минус 3=1 равносильно a= минус 4. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 4, знаменатель: x минус 2 конец дроби минус 3. $ Найдём $f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка 12 правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 4, знаменатель: 12 минус 2 конец дроби минус 3= минус 3,4. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −3,4.

Ответ: -3,4

<img src="/get_file?id=108677" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 2,$ значит, $c= минус 2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 1,$ значит, $b=1.$По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 3,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 0 плюс 1 конец дроби минус 2= минус 3 равносильно a= минус 1. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 2. $ Найдём $f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1 конец дроби минус 2= минус 2,75. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −2,75.

Ответ: -2,75

<img src="/get_file?id=108678" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=7,$ значит, $b= минус 7.$По графику $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 3 минус 7 конец дроби плюс 2=1 равносильно a=4. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби плюс 2. $ Найдём $f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: минус 3 минус 7 конец дроби плюс 2=1,6. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1,6.

Ответ: 1,6

<img src="/get_file?id=108679" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 4,$ значит, $c= минус 4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 1,$ значит, $b=1.$По графику $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 6,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 0 плюс 1 конец дроби минус 4= минус 6 равносильно a= минус 2. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби минус 4. $ Найдём $f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$$f левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 2, знаменатель: минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби плюс 1 конец дроби минус 4=2. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2.

Ответ: 2

<img src="/get_file?id=91555" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a плюс дробь: числитель: b, знаменатель: x минус c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите $f левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка .$

Заметим, что асимптоты графика данной гиперболы это прямые <i>x</i> = –2 и <i>y</i> = 1, откуда <i>a</i> = 1, <i>c</i> = –2. Учитывая, что $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =0,$ получим уравнение $1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: минус 1 плюс 2 конец дроби =0, $ откуда <i>b</i> = –1. Вычислим теперь $f левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 6 плюс 2 конец дроби =1,25. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 1,25. <b>Примечание.</b>Обратим внимание на необходимость внимательного подхода к использованию стандартных приемов преобразования графиков функции. График функции $f левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка $ сдвинут относительно графика функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка $ влево на $a.$ На графике гипербола сдвинута влево на две единицы, что соответствует формуле $f левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$ Заметим, однако, что в приведенной в задании формуле используется не выражение $f левая круглая скобка x плюс c правая круглая скобка ,$ а выражение $f левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка ,$ следовательно, <i>c</i>  =  −2.

Ответ: 1,25

<img src="/get_file?id=108680" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>a</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $a=2.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. <b>Приведем решение Алисы Ильичевой.</b>График представляет собой гиперболу, уравнение которой можно записать в виде $y= дробь: числитель: k, знаменатель: x плюс p конец дроби плюс q. $ Вертикальная асимптота гиперболы <i>x</i>  =  3, следовательно, <i>p</i>  =  −3. Горизонтальная асимптота гиперболы <i>y</i>  =  2, следовательно, <i>q</i>  =  2. График проходит через точку с координатами (2; 1), подставив их в уравнение, получим <i>k</i>  =  1.Преобразуем получившееся уравнение: $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 2= дробь: числитель: 1 плюс 2x минус 6, знаменатель: x минус 3 конец дроби = дробь: числитель: 2x минус 5, знаменатель: x минус 3 конец дроби , $откуда <i>a</i>  =  2.

Ответ: 2

<img src="/get_file?id=108681" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>c</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $c= минус 3.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −3.

Ответ: -3

<img src="/get_file?id=108682" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>a</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $a= минус 1.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −1.

Ответ: -1

<img src="/get_file?id=108683" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>a</i>.

Преобразуем выражение, задающее функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 4,$ значит, $a= минус 4.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −4.

Ответ: -4

<img src="/get_file?id=108684" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>a</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=5,$ значит, $a=5.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 5.

Ответ: 5

<img src="/get_file?id=108685" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>c</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $c=2.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2.

Ответ: 2

<img src="/get_file?id=108686" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>c</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $c= минус 5.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −5.

Ответ: -5

<img src="/get_file?id=108687" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>b</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $a=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $c= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: b минус 2 умножить на левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 3 конец дроби плюс 2=1 равносильно b= минус 5. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −5.

Ответ: -5

<img src="/get_file?id=108688" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>b</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=5,$ значит, $a=5.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2,$ значит, $c= минус 2.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$5 плюс дробь: числитель: b минус 5 умножить на левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 2 конец дроби =4 равносильно b= минус 13. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −13.

Ответ: -13

<img src="/get_file?id=108689" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби , $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите <i>b</i>.

Преобразуем данную функцию:$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: ax плюс b, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac плюс b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби = дробь: числитель: ax плюс ac, знаменатель: x плюс c конец дроби плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби =a плюс дробь: числитель: b минус ac, знаменатель: x плюс c конец дроби . $График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=4,$ значит, $a=4.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x= минус 2,$ значит, $c=2.$По графику $f левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка =3,$ тогда$4 плюс дробь: числитель: b минус 4 умножить на 2, знаменатель: минус 5 плюс 2 конец дроби =3 равносильно b=11. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 11.

Ответ: 11

<img src="/get_file?id=108690" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите значение <i>x</i>, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 1,125.$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y= минус 1,$ значит, $c= минус 1.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=5,$ значит, $b= минус 5.$По графику $f левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =0,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 6 минус 5 конец дроби минус 1=0 равносильно a=1. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби минус 1. $ Решим уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 1,125.$$ дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби минус 1= минус 1,125 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 5 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно x= минус 3. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −3.

Ответ: -3

<img src="/get_file?id=108691" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите значение <i>x</i>, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2,5.$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=2,$ значит, $c=2.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=7,$ значит, $b= минус 7.$По графику $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =1,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 3 минус 7 конец дроби плюс 2=1 равносильно a=4. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби плюс 2. $ Решим уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =2,5.$$ дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби плюс 2=2,5 равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби =0,5 равносильно x=15. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 15.

Ответ: 15

<img src="/get_file?id=108693" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: a, знаменатель: x плюс b конец дроби плюс c, $ где числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>  — целые. Найдите значение <i>x</i>, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 5.$

График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=3,$ значит, $c=3.$График функции имеет вертикальную асимптоту $x=3,$ значит, $b= минус 3.$По графику $f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =4,$ тогда$ дробь: числитель: a, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби плюс 3=4 равносильно a=2. $Таким образом, $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 3. $ Решим уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 5.$$ дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби плюс 3= минус 5 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: x минус 3 конец дроби = минус 8 равносильно x=2,75. $  <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2,75.

Ответ: 2,75

<img src="/get_file?id=123379" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>На рисунке изображён график функции вида $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: k, знаменатель: x плюс a конец дроби . $ Найдите значение <i>x</i>, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 0,125.$

По графику находим, что $k= минус 5,$ $a=2,$ тогда $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: минус 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби . $ Решим уравнение:$ дробь: числитель: минус 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби = минус 0,125 равносильно дробь: числитель: 40, знаменатель: x плюс 2 конец дроби =1 равносильно x=38. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 38.

Ответ: 38

<img src="/get_file?id=11490" style="float:right;margin:10px"/> Сумма трёх углов выпуклого четырёхугольника равна 322°. Найдите его четвёртый угол. Ответ дайте в градусах.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°, поэтому четвертый угол равен 360° − 322°  =  38°.   <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>38.

Ответ: 38

<img src="/get_file?id=261" style="float:right" width="180px"/>Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Пусть радиус окружности равен <i>R</i>. Тогда сторона описанного вокруг нее квадрата равна 2<i>R</i>, а его площадь, равная квадрату стороны, равна 4<i>R</i>². Диагональ вписанного квадрата также равна 2<i>R</i>, поэтому его площадь, равная половине произведения диагоналей, равна 2<i>R</i>². Следовательно, отношение площади описанного квадрата к площади вписанного равно 2. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2.

Ответ: 2

В таблице показано количество билетов и возможные выигрыши беспроигрышной денежной лотереи. Цена билета лотереи равна 50 рублей. Всего билетов выпущено 1000 штук. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше, чем математическое ожидание выигрыша?

Математическое ожидание E случайной дискретной величины <i>X</i>, которая может принимать четыре возможных значения, равно$EX=x_1 p_1 плюс x_2 p_2 плюс x_3 p_3 плюс x_4 p_4.$По условию:$x_1=10, p_1= дробь: числитель: 990, знаменатель: 1000 конец дроби , $ $x_2=50, p_2= дробь: числитель: 6, знаменатель: 1000 конец дроби , $ $x_3=100, p_3= дробь: числитель: 3, знаменатель: 1000 конец дроби , $$x_4=5000, p_4= дробь: числитель: 1, знаменатель: 1000 конец дроби . $  Тогда для математического ожидания выигрыша получаем:$EX=10 умножить на 0,99 плюс 50 умножить на 0,006 плюс 100 умножить на 0,003 плюс 5000 умножить на 0,001=15,5,$что на $50 минус 15,5=34,5 $ рубля меньше стоимости билета. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 34,5. <b>Примечание.</b>Понятие матожидания является относительно новым для российской школы, поэтому сделаем небольшое замечание. Матожидание выигрыша это характеристика, показывающая сколько в среднем получит или потеряет игрок, если при неизменных условиях будет играть достаточно долго. Полученный выше результат говорит о том, что каждый раз выигрывая (лотерея  — беспроигрышная) купивший билет, тем не менее, в среднем будет терять 34,5 рубля за игру.

Ответ: 34,5

В таблице показано распределение случайной величины <i>X</i>. Найдите <nobr>$EX$ —</nobr> математическое ожидание этой случайной величины.

Математическое ожидание E случайной дискретной величины <i>X</i>, которая может принимать четыре возможных значения, равно$EX=x_1 p_1 плюс x_2 p_2 плюс x_3 p_3 плюс x_4 p_4.$По условию:$x_1= минус 4,p_1= 0,2 ,$ $x_2=0,p_2=0,1,$ $x_3=1,p_3=0,4,$$x_4=3,p_4=0,3.$ Тогда $EX= минус 4 умножить на 0,2 плюс 0 умножить на 0,1 плюс 1 умножить на 0,4 плюс 3 умножить на 0,3=0,5.$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,5.

Ответ: 0,5

Монету подбрасывают до тех пор, пока орёл не выпадет два раза (не обязательно подряд). Найдите математическое ожидание числа бросков.

Ниже мы докажем, что если некоторое событие наступает с вероятностью <i>p</i>, то в серии испытаний это событие в среднем первый раз будет наступать на шаге с номером $ дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби .$ В данной задаче вероятность выпадения орла равна 0,5, поэтому при многократных бросаниях в среднем первый раз орел будет выпадать на втором шаге. Второй орел  — еще через два шага. Два орла в среднем будут выпадать за 4  броска. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. <b>Вычисление математического ожидания количества испытаний до первого успеха.</b>Проведем серию испытаний, результатом каждого из которых является либо успех с вероятностью <i>р</i>, где 0 < <i>p</i> < 1, либо неудача с вероятностью $q = 1 минус p.$ При наступлении успеха испытания прекращается. Определим при таких условиях матожидание количества испытаний до первого успеха.Вероятность того, что успех наступит при первом испытании равна <i>р</i>. Вероятность успеха на втором испытании означает, что первое должно окончиться неудачей, а потому она равна <i>qр</i>. На третьем испытании успех наступает с вероятностью <i>q</i>²<i>р</i> и так далее. Описанные события несовместные, следовательно, вероятность того, что успех наступит на каком-то шаге равна сумме найденных вероятностей:$p плюс qp плюс q в квадрате p плюс q в кубе p плюс q в кубе p плюс \ldots .$Все слагаемые в полученном выражении положительны и не превосходят единицы, поэтому она представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом <i>р</i> и знаменателем <i>q</i>. Сумма членов этой прогрессии равна $ дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби 1 минус q,$ откуда получаем:$p плюс qp плюс q в квадрате p плюс q в кубе p плюс q в кубе p плюс \ldots = дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби 1 минус q.$ Будем считать теперь левую и правую части найденного тождества функциями, зависящими от <i>q</i>. Из тождественного равенства выражений следует равенства из производных, поэтому, вычисляя производную по <i>q</i>, получим:$1p плюс 2qp плюс 3q в квадрате p плюс 4q в кубе p плюс \ldots = дробь: числитель: p, знаменатель: конец дроби левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате .$Осталось заметить, что левая часть последнего равенства есть матожидание количества испытаний до первого успеха. Тем самым для геометрического распределения с вероятностью успеха <i>р</i> в каждом испытании матожидание количества испытаний до первого успеха равно$ Е = дробь: числитель: p, знаменатель: левая круглая скобка 1 минус q правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: p, знаменатель: p в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби . $Таким образом, если некоторое событие наступает с вероятностью <i>p</i>, то в серии испытаний это событие в среднем первый раз будет наступать на шаге с номером $ дробь: числитель: 1, знаменатель: p конец дроби .$ Это мы и хотели доказать. <b>Примечание.</b>На первый взгляд, кажется естественным вычислить искомое математическое ожидание по определению. Для этого поступим рассмотрим следующие случаи.Случай двух бросаний: возможные комбинации ОО, ОР, РО, РР. Вероятность каждой из них равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Подходящей является лишь  ОО, вероятность такого события равна $p_2 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$Случай трех бросаний: возможные комбинации ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Вероятность каждой из них <nobr>равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$</nobr> Комбинацию  ООО и ООР отбрасываем, поскольку она выпадение двух орлов подряд относится к предыдущему случаю. Из оставшихся подходящими комбинациями являются ОРО, РОО вероятность такого события равна $p_3 = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$Случай четырех бросаний: возможные комбинации ОООО, ОООР, ООРО, ООРР, ОРОО, ОРОР, ОРРО, ОРРР, РООО, РООР, РОРО, РОРР, РРОО, РРОР, РРРО, РРРР. Вероятность каждой из них равна $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16.$ Комбинации, содержащие двух орлов до наступления четвертого шага, отбрасываем как учтенные ранее. Из оставшихся подходящими являются ОРРО, РОРО, РРОО. вероятность такого события равна $p_4 = 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 16.$Видим закономерность: для <i>n</i> бросков вероятность равна $p_n = дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 в степени n конец дроби . $ Тогда по определению математическое ожидание равно$E левая круглая скобка X правая круглая скобка = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 8 конец дроби плюс 4 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: конец дроби 16 плюс \ldots плюс n умножить на дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 в степени n конец дроби . $Компьютерные вычисления показывают, что при стремлении количества бросков  <i>n</i> к бесконечности, найденная сумма неограниченно приближается к числу  4. Этот предел и можно считать искомым математическим ожиданием. Проблема лишь в том, как вычислить этот предел без использования компьютерной техники. <b>Примечание редакции Решу ЕГЭ.</b>Приведенное задание взято нами из Открытого банка математических задач, составленного разработчиками ЕГЭ.

Ответ: 4

Монету подбрасывают 8 раз. Найдите математическое ожидание количества выпавших орлов.

Вероятность каждого исхода (последовательность выпадения орлов и решек) в описанном эксперименте составляет $p= левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 8 .$ Количество исходов, соответствующих событию "Выпало ровно <i>k</i> орлов", равно $C_8 в степени k ,$ а вероятность этого события, равна $p умножить на C_8 в степени k .$Тогда математическое ожидание E количества выпавших орлов (<i>X</i>) равно$EX=0 умножить на p умножить на C_8 в степени 0 плюс 1 умножить на p умножить на C_8 в степени 1 плюс 2 умножить на p умножить на C_8 в квадрате плюс 3 умножить на p умножить на C_8 в кубе плюс 4 умножить на p умножить на C_8 в степени 4 плюс 5 умножить на p умножить на C_8 в степени 5 плюс 6 умножить на p умножить на C_8 в степени 6 плюс 7 умножить на p умножить на C_8 в степени 7 плюс 8 умножить на p умножить на C_8 в степени 8 .$Учитывая, что $C_8 в степени k =C_8 в степени левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка ,$ получаем$EX=p умножить на 8 умножить на левая круглая скобка C_8 в степени 0 плюс C_8 в степени 1 плюс C_8 в квадрате плюс C_8 в кубе правая круглая скобка плюс p умножить на 4 умножить на C_8 в степени 4 =8p левая круглая скобка 1 плюс 8 плюс 28 плюс 56 правая круглая скобка плюс 4p умножить на 70=1024p= дробь: числитель: 1024, знаменатель: 2 в степени 8 конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени 8 конец дроби =2 в квадрате =4. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. <b>Примечание.</b>В решении выше фактически выведена формула Бернулли. Читатель, знакомый с этим материалом, мог бы сразу построить распределение количества выпавших орлов. Покажем, как это сделать.Орел может не выпасть или выпасть от 1 до 8 раз, а вероятность каждого из этих событий определяются по формуле Бернулли. Напомним ее: если вероятность наступления некоторого события в каждом испытании равна <i>p</i>, то вероятность того, что при <i>n</i> независимых испытаниях данное событие наступит ровно <i>k</i> раз, равна $P_n в степени k = C_n в степени k p в степени k левая круглая скобка 1 минус p правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус k правая круглая скобка .$ Для симметричной монеты вероятность выпадения орла при однократном испытании $p = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому вероятность, что при 8 бросаниях орел выпадет ровно <i>k</i> раз равна $P_8 в степени k = C_8 в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка = C_8 в степени k левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени 8 = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени 8 C_8 в степени k .$ Получаем распределение: По построенному распределению находим математическое ожидание E количества выпавших орлов <i>X</i>:$E левая круглая скобка X правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2 в степени 8 левая круглая скобка 0 умножить на C_8 в степени 0 плюс 1 умножить на C_8 в степени 1 плюс 2 умножить на C_8 в квадрате плюс 3 умножить на C_8 в кубе плюс 4 умножить на C_8 в степени 4 плюс 5 умножить на C_8 в степени 5 плюс 6 умножить на C_8 в степени 6 плюс 7 умножить на C_8 в степени 7 плюс 8 умножить на C_8 в степени 8 правая круглая скобка = 4. $ <b>Приведем еще три способа решения (Дмитрий Гущин, Санкт-Петербург).</b>1.  Читатель, знакомый с механическим смыслом математического ожидания, сразу вспомнит, что матожидание дискретной случайной величины численно совпадает с абсциссой центра тяжести единичной массы, распределенной в точках <i>x_i</i> в количествах <i>p</i>(<i>x_i</i>). При помощи этой аналогии, построив распределение случайной величины, матожидание можно получить без вычислений: случайная величина принимает последовательные значения от 0 до 8, а $p_i = p_8 минус i,$ поэтому центр масс находится в точке 4, что и равно матожиданию.2.  Читатель, знающий, что понимается под суммой дискретных случайных величин, мог бы воспользоваться тем, что математическое ожидание суммы двух случайных (зависимых или независимых) величин равно сумме их математических ожиданий: $M левая круглая скобка X плюс Y правая круглая скобка = M левая круглая скобка X правая круглая скобка плюс M левая круглая скобка Y правая круглая скобка .$ Если взять за <i>Х</i> количество выпавших орлов, а за <i>Y</i>  — количество выпавших решек, то, поскольку делается восемь бросаний, получаем: $M левая круглая скобка X плюс Y правая круглая скобка = M левая круглая скобка X правая круглая скобка плюс M левая круглая скобка Y правая круглая скобка = 8.$ Тогда из симметричности монетки следует, что $M левая круглая скобка X правая круглая скобка = M левая круглая скобка Y правая круглая скобка = 4.$ Отметим, что приведенное свойство математического ожидания вовсе не очевидно, а его доказательство требует некоторой работы.3.  Читатель, изучавший в вузе статистику, знает следующую <span style="letter-spacing: 2px;">теорему:</span>  В нашем случае вероятность выпадения орла для каждого бросания равна 0,5. Поэтому математическое ожидание количества выпавших орлов при 8 бросаниях равно 8 · 0,5  =  4. Вероятно, именно так следует решать эту задачу на экзамене.

Ответ: 4