Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
<img src="/get_file?id=29491" style="float:right;margin:10px"/>Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции. | <img src="/get_file?id=113332" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>=$AH= дробь: числитель: AB минус CD, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 26 минус 14, знаменатель: 2 конец дроби =6, $ Откуда, $S= дробь: числитель: левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка умножить на DH, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка AB плюс CD правая круглая скобка умножить на корень из AD в квадрате минус AH в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 40 умножить на 8, знаменатель: 2 конец дроби =160. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 160. | Ответ: 160 |
<img src="/get_file?id=113154" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции. | <img src="/get_file?id=113332" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдем высоту трапеции <i>DH</i> из формулы для площади$ дробь: числитель: 7 плюс 13, знаменатель: 2 конец дроби DH=40 равносильно DH=4. $Применим теорему Пифагора: $AD= корень из AH в квадрате плюс DH в квадрате = корень из левая круглая скобка дробь: числитель: AB минус CD, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс DH в квадрате = корень из 9 плюс 16=5. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=66767" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции. | <img src="/get_file?id=113333" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Введём обозначения, как показано на рисунке. Заметим, что острый угол трапеции равен 30° и найдем высоту <i>DH</i> из прямоугольного треугольника <i>AHD</i>:$DH=AD синус DAH=7 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =3,5 $Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:$S_ABCD= дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби DH= дробь: числитель: 18 плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3,5=42. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 42. | Ответ: 42 |
<img src="/get_file?id=113156" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах. | <img src="/get_file?id=113157" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Пусть высота равна <i>h</i>, тогда откуда <i>h</i> = 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции (см. рис.). Длина катета равна половине гипотенузы, следовательно, он лежит напротив угла 30°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. <b>Примечание.</b>Заметим, что трапеция не является равнобедренной. Заинтересованные читатели могут самостоятельно найти вторую боковую сторону этой трапеции. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=29491" style="float:right;margin:10px"/>Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах. | Разность противолежащих углов равна 50°, а их сумма равна 180°, имеем:$ система выражений новая строка \angle C минус \angle A=50 градусов , новая строка \angle C плюс \angle A=180 градусов конец системы .\Rightarrow \angle C=115 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 115. | Ответ: 115 |
<img src="/get_file?id=113334" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции. | Пусть большее основание равно <i>x</i>. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому 18 + <i>x</i> = 2 · 28, откуда <i>x</i> = 38. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 38. | Ответ: 38 |
<img src="/get_file?id=113337" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. | Больший отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника <i>ADB</i>, а значит, равен половине его основания.$EO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10=5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=29491" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренной трапеции большее основание равно 25, боковая сторона равна 10, угол между ними $60 градусов.$ Найдите меньшее основание. | <img src="/get_file?id=113332" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Проведем высоту $DH.$ $DC=AB минус 2AH=AB минус 2AD косинус A=25 минус 20 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =15. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 15. | Ответ: 15 |
<img src="/get_file?id=29491" style="float:right;margin:10px"/>В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен $60 градусов .$ Найдите ее периметр. | <img src="/get_file?id=113332" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Проведем высоту <i>DH</i>, в равнобедренной трапеции $AH = дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби .$ Имеем:$P_ABCD=AB плюс DC плюс 2AD=AB плюс DC плюс 2 дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби = $$=AB плюс DC плюс дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: косинус A конец дроби =39 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: косинус 60 градусов конец дроби =69. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 69. | Ответ: 69 |
<img src="/get_file?id=113339" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции. | Заметим, что <i>EDCB</i> — параллелограмм. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны. Поэтому$P_ABCD=AB плюс BC плюс CD плюс AD=AB плюс BC плюс BE плюс левая круглая скобка AE плюс ED правая круглая скобка =$$=AB плюс BE плюс AE плюс BC плюс ED= левая круглая скобка AB плюс BE плюс AE правая круглая скобка плюс 2BC=P_ABE плюс 2BC=15 плюс 8=23.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 23. | Ответ: 23 |
<img src="/get_file?id=113340" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции. | Cредняя линия трапеции равна: $ дробь: числитель: AB плюс DC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка AE плюс EB правая круглая скобка плюс левая круглая скобка AE минус EB правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =AE=10. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 10. <b>Примечание.</b>Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований (средней линии), а меньший — полуразности оснований. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=113341" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен $45 градусов.$ Найдите высоту трапеции. | <img src="/get_file?id=113342" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Проведем высоту $DH.$$DH=AH умножить на тангенс A= дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на тангенс A= дробь: числитель: 15 минус 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на тангенс 45 градусов =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=113343" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. | Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен (3 − 2):2 = 0,5. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,5. | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=113344" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию. | Треугольники <i>CFO</i> и <i>BEO</i> равнобедренные, так как $\angle OCF=\angle COF=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка $ и $\angle OBE=\angle BOE=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Треугольники <i>DOF</i> и <i>COF</i> равны по катету и гипотенузе, следовательно, $DF=FC= дробь: числитель: DC, знаменатель: 2 конец дроби . $ Аналогично $AE=BE= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби . $ Следовательно, средняя линия равна$ дробь: числитель: DC плюс AB, знаменатель: 2 конец дроби =FC плюс EB=FO плюс OE=FE=12. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
<img src="/get_file?id=113345" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону. | Треугольники <i>ADH</i> и <i>BCK</i> равны ($AD=CB;DH=CK$), значит, $AH=KB.$$AD= дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB минус CD, знаменатель: 2 косинус A конец дроби = дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 корень из 1 минус синус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 1 минус 0,64 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 0,6 конец дроби =5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=113346" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Высота трапеции равна 5, площадь равна 75. Найдите среднюю линию трапеции. | Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Выразим её из формулы площади трапеции:$S= дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби умножить на h равносильно дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 75 равносильно дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби =15. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 15. | Ответ: 15 |
<img src="/get_file?id=110216" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°. | Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 умножить на 12 умножить на синус 30 градусов= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 умножить на 12 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =24. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=110221" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь треугольника <i>ABC</i> равна 4, <i>DE </i> — средняя линия, параллельная стороне <i>AB</i>. Найдите площадь треугольника <i>CDE</i>. | Средняя линия отсекает от треугольника подобный ему с коэффициентом подобия $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Тогда$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 4=1. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=110302" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? | Выразим площадь двумя способами:$S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CH умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AK умножить на CB . $Тогда, $AK= дробь: числитель: CH умножить на AB, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: 4 умножить на 9, знаменатель: 6 конец дроби =6 $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=110307" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен $40 градусов,$ внешний угол при вершине <i>B</i> равен $102 градусов.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах. | Внешний угол треугольника равен сумме несмежных с ним углов этого треугольника. Поэтому $\angle C= \angle B_внешн минус \angle A = 102 градусов минус 40 градусов =62 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 62. | Ответ: 62 |
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах. | Пусть углы треугольника равны 2<i>x</i>, 3<i>x</i> и 4<i>x</i>. Их сумма равна 180°, то есть 9<i>x</i> = 180°, откуда <i>x</i> = 20. Значит, меньший угол равен 2<i>x</i> = 2 · 20° = 40°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 40. | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=110340" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 30°, угол <i>В</i> — тупой, <i>CH</i> — высота, угол <i>BCH</i> равен 22°. Найдите угол <i>ACB</i>. Ответ дайте в градусах. | $\angle ACB=\angle ACH минус \angle BCH= левая круглая скобка 90 градусов минус \angle A правая круглая скобка минус \angle BCH= левая круглая скобка 90 градусов минус 30 градусов правая круглая скобка минус 22 градусов =38 градусов .$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 38. | Ответ: 38 |
<img src="/get_file?id=110365" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AD</i> — биссектриса, угол <i>C</i> равен 50°, угол <i>CAD</i> равен 28°. Найдите угол <i>B</i>. Ответ дайте в градусах. | Так как <i>AD</i> — биссектриса, она делит угол пополам. Имеем$\angle B=180 градусов минус \angle A минус \angle C=180 градусов минус 2\angle CAD минус \angle C=180 градусов минус 2 умножить на 28 градусов минус 50 градусов =74 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 74. | Ответ: 74 |
<img src="/get_file?id=110368" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AD</i> — биссектриса, угол <i>C</i> равен 30°, угол <i>BAD</i> равен 22°. Найдите угол <i>ADB</i>. Ответ дайте в градусах. | Поскольку <i>AD</i> — биссектриса $\angle CAD= \angle BAD = 22 градусов.$ Угол <i>ADB</i> является внешним углом треугольника <i>ADC,</i> поэтому он равен сумме двух не смежных с ним углов: $\angle ADB = \angle CAD плюс \angle ACD=52 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 52. | Ответ: 52 |
<img src="/get_file?id=110372" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC = BC</i>, <i>AD</i> — высота, угол <i>BAD</i> равен 24°. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы при его основании равны. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 48. | Ответ: 48 |
<img src="/get_file?id=110374" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен $65$°. <i>BD</i> и <i>CE</i> — высоты, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите угол <i>DOE</i>. Ответ дайте в градусах. | Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,$\angle DOE=360 градусов минус \angle ADO минус \angle OEA минус \angle A=360 градусов минус 90 градусов минус 90 градусов минус 65 градусов =115 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 115. | Ответ: 115 |
<img src="/get_file?id=110405" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах. | Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике <i>DOEC</i> равна 360°, следовательно,$\angle DOE=360 градусов минус \angle CDO минус \angle CEO минус \angle C=360 градусов минус 90 градусов минус 90 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 58 градусов минус 72 градусов правая круглая скобка =130 градусов .$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 130. <b>Приведём другое решение.</b>Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен 58° + 72° = 130°. | Ответ: 130 |
<img src="/get_file?id=110409" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 58°, <i>AD</i> и <i>BE</i> — биссектрисы, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите угол <i>AOB</i>. Ответ дайте в градусах. | Рассмотрим угол <i>AOB</i> в треугольнике <i>AOB</i>:$\angle AOB=180 градусов минус левая круглая скобка \angle OAB плюс \angle OBA правая круглая скобка =180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle A плюс \angle B правая круглая скобка = $$=180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle C правая круглая скобка =180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус 58 градусов правая круглая скобка =180 градусов минус 61 градусов =119 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 119. | Ответ: 119 |
<img src="/get_file?id=110415" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>CH</i> — высота, <i>AD</i> — биссектриса, <i>O</i> — точка пересечения прямых <i>CH</i> и <i>AD,</i> угол <i>BAD</i> равен 26°. Найдите угол <i>AOC</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол <i>AOC</i> внешний угол треугольника <i>AOН</i>, поэтому он равен сумме углов <i>НAO</i> и <i>AНO</i>. Тем самым, угол <i>AOC</i> равен 26° + 90° = 116°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 116. | Ответ: 116 |
<img src="/get_file?id=29537" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i> и <i>AB = AD = CD</i>. Найдите меньший угол треугольника <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ADC</i> — равнобедренный, значит, угол <i>DAC</i> равен углу <i>ACD</i>, как углы при его основании. Треугольник <i>ADB</i> тоже равнобедренный, значит, угол <i>ADB</i> равен углу <i>ABD</i>, как углы при его основании, причем$\angle ADB=180 градусов минус \angle ADC=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 2\angle ACD правая круглая скобка =2\angle ACD.$$\angle A плюс \angle B плюс \angle C=180 градусов равносильно \angle BAD плюс \angle DAC плюс \angle ABD плюс \angle ACD=180 градусов равносильно $$ равносильно 5\angle ACD=180 градусов равносильно \angle ACD=36 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 36. <b>Приведём другое решение.</b>Пусть ∠<i>DAB</i> = α, тогда ∠<i>DAC</i> = α, поскольку <i>AD</i> — биссектриса. Тогда ∠<i>ACD</i> = α, поскольку треугольник <i>ADC</i> равнобедренный. Тогда ∠<i>ADB</i> = 2α как внешний угол треугольника <i>ADC</i>, и ∠<i>ABD</i> = 2α, поскольку треугольник <i>DAB</i> равнобедренный. Получили, что в треугольнике <i>DAB</i> углы α, 2α и 2α. Вместе 5α = 180°, тогда α = 36°. Это и есть искомый наименьший угол <i>С</i> треугольника <i>АВС</i>. | Ответ: 36 |
<img src="/get_file?id=66623" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="23%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен $44$°, угол <i>C</i> равен $62$°. На продолжении стороны <i>AB</i> за точку <i>B</i> отложен отрезок <i>BD</i>, равный стороне <i>BC</i>. Найдите угол <i>D</i> треугольника <i>BCD</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>CBD</i> равнобедренный, углы <i>C</i> и <i>D</i> при его основании равны, а их сумма равна внешнему углу при вершине <i>В</i>, то есть углу <i>В</i> треугольника <i>ABC</i>. Сумма углов треугольника <i>ABC</i> равна 180°, поэтому ∠<i>B</i> = 180° − ∠<i>A</i> − ∠<i>C</i> = 74°. Следовательно, ∠<i>С</i> = ∠<i>D</i> = 37°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 37. <b>Приведем решение Расиля Садыкова.</b>Угол <i>CBD</i> — внешний угол треугольника <i>ABC</i>, равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, следовательно, <i>∠CBD</i> = 44° + 62° = 106°. Треугольник <i>CBD</i> равнобедренный, углы <i>C</i> и <i>D</i> в нем равны, следовательно, $\angle D = дробь: числитель: 180 градусов минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 градусов минус 106 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =37 градусов. $ | Ответ: 37 |
<img src="/get_file?id=29541" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 45°, угол <i>C</i> равен 85°, <i>AD</i> — биссектриса, <i>E</i> — такая точка на <i>AB</i>, что <i>AE = AC</i>. Найдите угол <i>BDE</i>. Ответ дайте в градусах. | треугольники <i>CAD</i> и <i>EAD</i> равны по двум сторонам и углу, лежащему между ними, значит, $\angle C=\angle DEA=85 градусов .$ Тогда$\angle BDE=180 градусов минус \angle B минус \angle BED=180 градусов минус 45 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 85 градусов правая круглая скобка =40 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 40. | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=66627" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="21%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 30°, угол <i>B</i> равен 86°, <i>CD</i> — биссектриса внешнего угла при вершине <i>C</i>, причем точка <i>D</i> лежит на прямой <i>AB</i>. На продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i> выбрана такая точка <i>E</i>, что <i>CE = CB</i>. Найдите угол <i>BDE</i>. Ответ дайте в градусах | Треугольники <i>CBD</i> и <i>ECD</i> равны по двум сторонам и углу, лежащему между ними, значит, ∠<i>BDC</i> = ∠<i>CDE</i>. Тогда$\angle BDE=2\angle BDC=2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BCD минус \angle CBD правая круглая скобка .$Учитывая, что $\angle BCD=\angle BCE/2\;= левая круглая скобка \angle A плюс \angle B правая круглая скобка /2\;=58 градусов $ и $\angle CBD=180 градусов минус \angle B=94 градусов ,$ получим $\angle BDE=56 градусов. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 56. | Ответ: 56 |
<img src="/get_file?id=29153" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 60°, угол <i>B</i> равен 82°. <i>AD</i>, <i>BE</i> и <i>CF</i> — биссектрисы, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите угол <i>AOF</i>. Ответ дайте в градусах. | ##$\angle AOF=180 градусов минус \angle OAF минус \angle OFA=180 градусов минус дробь: числитель: \angle A, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка 180 градусов минус \angle A минус дробь: числитель: \angle C, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = $$= дробь: числитель: \angle A, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle A плюс 180 градусов минус \angle A минус \angle B правая круглая скобка =90 градусов минус дробь: числитель: \angle B, знаменатель: 2 конец дроби =49 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 49. <b>Приведем решение Дани Хикканова.</b>В треугольнике <i>ABC</i> $\angle C=180 градусов минус \angle A минус \angle B = 180 градусов минус 60 градусов минус 82 градусов =38 градусов.$В треугольнике <i>ACF</i> $\angle F = 180 градусов минус \angle A минус \angle ACF = 180 градусов минус 60 градусов минус дробь: числитель: 38 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =101 градусов. $В треугольнике <i>AOF</i> $\angle AOF=180 градусов минус \angle OAF минус \angle F = 180 градусов минус дробь: числитель: 60 градусов , знаменатель: 2 конец дроби минус 101=49 градусов. $ | Ответ: 49 |
<img src="/get_file?id=29544" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 60°, угол <i>B</i> равен 82°. <i>AD</i>, <i>BE</i> и <i>CF</i> — высоты, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите угол <i>AOF</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены: $AOF = \angle B=82 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 82. | Ответ: 82 |
Два угла треугольника равны 33° и 105°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=110407" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Выполним построения, как показано на рисунке. Найдем вначале острый угол между продолжениями высот — угол <i>DOB</i>, искомый угол является смежным с ним. Прямоугольные треугольники <i>ADC</i> и <i>AEO</i> имеют равные вертикальные острые углы <i>А</i>, поэтому другие их острые углы также равны. Следовательно, $\angle AOE = \angle ACD = 180 градусов минус левая круглая скобка 33 градусов плюс 105 градусов правая круглая скобка = 42 градусов.$Смежный с найденным угол равен $180 градусов минус 42 градусов = 138 градусов.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 138. <b>Приведём другое решение.</b>Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен 33° + 105° = 138°. <b>Примечание.</b>Формулировка задания некорректна: высоты тупоугольного треугольника не пересекаются. Составители хотели спросить про угол между продолжениями высот. Этот угол мы и нашли. | Ответ: 138 |
В треугольнике <i>ABC</i> <i>CH</i> — высота, <i>AD</i> — биссектриса, <i>O</i> — точка пересечения прямых <i>CH</i> и <i>AD</i>, угол <i>BAD</i> равен $66 градусов.$ Найдите угол <i>AOC</i>. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=38846" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>$\angle AOC=\angle AOH = 180 градусов минус \angle OHA минус \angle HAO=$<br/>$= 180 градусов минус 90 градусов минус \angle BAD =90 градусов минус 66 градусов =24 градусов. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. <b>Примечание.</b>Заметим, что треугольник является тупоугольным, поскольку половина одного из его углов по условию равна 66°, следовательно, этот угол равен 132 градуса. | Ответ: 24 |
В треугольнике <i>ABC</i> отрезок <i>DE</i> — средняя линия. Площадь треугольника <i>CDE</i> равна 38. Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>. | Рассмотрим два случая.<img src="/get_file?id=66614" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>1. Средняя линия <i>DE</i> параллельна стороне <i>AB</i>.Треугольник <i>ABC</i> подобен треугольнику <i>DEC</i> с коэффициентом 2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому$S_ABC=2 в квадрате умножить на 38=152.$ <img src="/get_file?id=90185" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>2. Средняя линия <i>DE</i> не параллельна стороне <i>AB</i>. Пусть для определёности <i>D</i> — середина стороны <i>AC</i>. Тогда <i>DE</i> — медиана треугольника <i>ACE</i>, и площади треугольников <i>CDE</i> и <i>AED</i> равны. <i>CE</i> — медиана треугольника <i>ABC</i>, и площади треугольников <i>CBE</i> и <i>ACE</i> равны. $S_ABC= S_AEC плюс S_CBE=S_CDE плюс S_ADE плюс S_CBE=4S_CDE=4 умножить на 38=152.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 152. -------Задача исключена из открытого банка. | Ответ: 152 |
Площадь треугольника <i>ABC </i> равна 10, <i>DE </i> — средняя линия, параллельная стороне <i>AB</i>. Найдите площадь трапеции <i>ABED.</i> | <img src="/get_file?id=66614" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>Треугольник <i>CDE</i> подобен треугольнику <i>CAB</i> с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому$S_CDE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 10=2,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 7,5. | Ответ: 7,5 |
<img src="/get_file?id=29154" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 46°, углы <i>B</i> и <i>C</i> — острые, высоты <i>BD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $DOE.$ Ответ дайте в градусах. | Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360 градусам, следовательно,$\angle DOE=360 градусов минус \angle ADO минус \angle OEA минус \angle A=360 градусов минус 90 градусов минус 90 градусов минус 46 градусов =134 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 134. | Ответ: 134 |
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 43 градусам, углы <i>B</i> и <i>C</i> - острые, высоты <i>BD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $DOE.$ Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=29154" style="float:right;margin:10px"/>Cумма углов в выпуклом многоугольнике равна 360 градусам, следовательно,$\angle DOE=360 градусов минус \angle ADO минус \angle OEA минус \angle A=360 градусов минус 90 градусов минус 90 градусов минус 43 градусов =137 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 137. | Ответ: 137 |
<img src="/get_file?id=66613" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="23%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 14°, внешний угол при вершине <i>B</i> равен 91°. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | Сумма внешнего угла при вершине <i>B</i> и самого угла <i>B</i> равна 180°. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол <i>C</i> равен$180 градусов минус \angle A минус левая круглая скобка 180 градусов минус \angle B правая круглая скобка =180 градусов минус 14 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 91 градусов правая круглая скобка =77 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 77. | Ответ: 77 |
<img src="/get_file?id=29159" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>А</i> равен 41°, а углы <i>B</i> и <i>C</i> — острые, <i>BD</i> и <i>CE</i> — высоты, пересекающиеся в точке <i>О</i>. Найдите угол <i>DOE</i>. Ответ дайте в градусах. | Cумма углов в выпуклом четырехугольнике <i>ADOE</i> равна 360 градусам, следовательно,$\angle DOE=360 градусов минус \angle ADO минус \angle OEA минус \angle A=360 градусов минус 90 градусов минус 90 градусов минус 41 градусов =139 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 139. | Ответ: 139 |
<img src="/get_file?id=29547" style="float:right;margin:10px"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 135°. Продолжения высот <i>BD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Найдите угол <i>DOE</i>. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=29547" style="float:right;margin:10px"/>Угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним, поэтому ∠<i>DOE</i> = ∠<i>CAE</i> = 180° −∠<i>CAB</i> = 45°. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 45. | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=81074" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> — тупой, <i>AB</i> = 5, <i>BC</i> = 6. Найдите величину угла, противолежащего стороне<i> AC</i>, если площадь треугольника равна 7,5. Ответ дайте в градусах. | Выразим величину угла <i>B</i> из формулы площади треугольника:$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AB умножить на BC умножить на синус \angle B равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 умножить на 6 умножить на синус \angle B=7,5 равносильно синус \angle B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно \angle B=150 градусов. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 150. <b>Примечание.</b>Значение синуса, равное $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ соответствует острому углу в 30° и тупому углу в 150°. По условию угол <i>B</i> — тупой, поэтому он равен 150°. | Ответ: 150 |
<img src="/get_file?id=113139" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В параллелограмме <i>ABCD</i> <i>AB</i> = 3, <i>AD</i> = 21, $ синус A= дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби . $ Найдите большую высоту параллелограмма. | Большая высота проведена к меньшей стороне. Имеем:$DH=AD синус A=21 умножить на дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби =3 умножить на 6=18. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. <b>Приведем примечание Дмитрия Д. </b>Заметим, что точка <i>H</i> лежит на продолжении стороны <i>AB</i> параллелограмма. В самом деле, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольник <i>ADH</i> имеем:$AH= корень из AD в квадрате минус DH в квадрате = корень из 441 минус 324= корень из 117 больше 3.$Заметим, что расположение точки <i>H</i> на рисунке не влияет на правильность решения, задачу можно решить вовсе без рисунка. | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=113306" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1. | Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей. Поэтому она равна 0,5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,5. | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=113140" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Площадь прямоугольника равна 18. Найдите его большую сторону, если она на 3 больше меньшей стороны. | Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна <i>a</i>, тогда вторая равна <i>a</i> + 3. Поэтому <i>S</i> = <i>a</i> · (<i>a</i> + 3) = 18, получаем <i>a</i><sup>2</sup> + 3<i>a</i> − 18 = 0. Решая квадратное уравнение, получаем, что <i>a</i> = 3. Тогда большая сторона будет равна 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113141" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 18, а отношение соседних сторон равно 1:2. | Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна <i>a</i>, тогда вторая равна 2<i>a</i>. Площадь прямоугольника будет соответственно равна <i>S</i> = 2<i>a</i><sup>2</sup> = 18, тогда одна из сторон равна 3, а другая 6. Поэтому <i>P</i> = 2 · 3 + 2 · 6 = 18. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=113142" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника. | Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна <i>a</i>, вторая равна <i>b</i>. Площадь и периметр прямоугольника будут соответственно равны <i>S</i> = <i>a</i> · <i>b</i> = 98, <i>P</i> = 2 · <i>a</i> + 2 · <i>b</i> = 42. Тогда имеем:$ система выражений a плюс b=21,ab=98 конец системы . равносильно система выражений b=21 минус a,a левая круглая скобка 21 минус a правая круглая скобка =98 конец системы . равносильно система выражений b=21 минус a, совокупность выражений a=14,a=7 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений a=14,b=7 конец системы . система выражений a=7,b=14. конец системы . конец совокупности . $Поэтому большая сторона равна 14. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 14. | Ответ: 14 |
<img src="/get_file?id=113307" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника. | Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна <i>a</i>, вторая равна <i>b</i>. Периметр прямоугольника будет соответственно равен <i>P</i> = 2 · <i>a</i> + 2 · <i>b</i> = 28. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора <i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> = 100. Тогда имеем: $ система выражений a плюс b=14, a в квадрате плюс b в квадрате =100 конец системы . равносильно система выражений a плюс b=14 , левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате правая круглая скобка =196 минус 100 конец системы . равносильно система выражений a плюс b=14 , 2ab=96 конец системы . равносильно система выражений a плюс b=14 , ab=48. конец системы .$Тем самым, <i>S</i> = <i>a · b</i> = 48. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 48. | Ответ: 48 |
<img src="/get_file?id=113308" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника. | Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Обозначим длины сторон <i>a</i> и $b.$ Тогда периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P=2 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =34$ и $S=ab=60.$ Решим систему:$ левая фигурная скобка \beginalign новая строка a плюс b = 17, новая строка a b = 60 \endalign равносильно левая фигурная скобка \beginalign новая строка a = 17 минус b, новая строка 17 b минус b в квадрате = 60 \endalign равносильно левая фигурная скобка \beginaligna = 17 минус b, новая строка левая квадратная скобка \beginalign b=5, b=12 \endalign \endalign равносильно левая квадратная скобка \beginalign \ левая фигурная скобка \beginarrayl a=12, b=5, \endarray левая фигурная скобка \beginarrayl a=5, b=12. \endarray \endalign $ Тем самым, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12. Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна <i>c</i>, тогда по теореме Пифагора $c = корень из 5 в квадрате плюс 12 в квадрате = корень из 25 плюс 144=13.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 13. <i>Примечание 1.</i> Можно заметить, что система уравнений $a плюс b=17, ab=60$ является системой Виета. Поэтому её решения — корни квадратного уравнения $t в квадрате минус 17t плюс 60=0,$ откуда $t=5$ и $t=12.$ <i>Примечание 2.</i>Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно, $с в квадрате =a в квадрате плюс b в квадрате = левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 2ab=17 в квадрате минус 2 умножить на 60=169 = 289 минус 120=169,$откуда $c=13.$ | Ответ: 13 |
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна <i>a</i>, а вторая равна <i>b</i>, а острый угол параллелограмма равен $ альфа .$ Тогда площадь параллелограмма равна $S_1=a умножить на b умножить на синус альфа ,$ а площадь прямоугольника равна $S_2=a умножить на b.$ По условию площадь прямоугольника вдвое больше: $S_2=2S_1.$ Следовательно, <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
|
Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма. | Пусть <i>x</i> — искомая высота. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Вычислим площадь параллелограмма двумя способами: <i>S</i> = 9 · 10 = 15 · <i>x</i>.Из полученного уравнения находим <i>x</i> = 6. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6.<img src="/get_file?id=113309" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/><b>Примечание.</b>Раньше к этому заданию составители давали рисунок, приведённый справа. Внимательный читатель заметит, что он неверный. Действительно, если в прямоугольном треугольнике <i>DGC</i> вычислить длину катета <i>CG</i>, то окажется, что <br/><br/> <img src="/get_file?id=113310" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Связано это с тем, что на самом деле основание высоты параллелограмма падает на продолжение стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> (см. рис.). Для решения задачи рисунок не нужен. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=29623" style="float:right;margin:10px"/> Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма. | Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Пусть высоты равны соответственно <i>a</i> и <i>b</i>. Тогда <i>S</i> = 5 · <i>a</i> = 10 · <i>b</i> = 40. Поэтому <i>a</i> = 8, <i>b</i> = 4. Большая высота равна 8. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=113311" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°. | Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус его угла. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его основания на высоту, опущенную на это основание. Поэтому если сторона ромба равна <i>a</i>, то$a в квадрате умножить на синус 30 градусов=2 умножить на a.$ Из полученного уравнения $a=4,$ поэтому $S=2 умножить на 4=8.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. <b>Приведем решение Владика Юрченко.</b>Пусть острым углом ромба является угол <i>A</i>. Проведем высоту ромба из вершины <i>D</i> к стороне <i>AB</i> и рассмотрим прямоугольный треугольник <i>ADH</i>, где <i>H</i> — точка пересечения высоты и стороны <i>AB</i>. Угол <i>A</i> равен 30°, следовательно, <i>AD</i> = 2<i>DH</i>, поскольку катет, лежащей против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Тогда <i>AD</i> = 2 · 2 = 4. В ромбе все стороны равны, тогда площадь ромба$S_ABCD=AB умножить на DH=AD умножить на DH=2 умножить на 4 =8.$ | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=113312" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12. | Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 12=24. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=113313" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ. | Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, следовательно, $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a умножить на 12=18, $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=113314" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Площадь ромба равна 6. Одна из его диагоналей в 3 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ. | Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Пусть меньшая из диагоналей равна <i>a</i>, тогда большая равна 3<i>a</i>. Следовательно,$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a умножить на 3a=6. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=29623" style="float:right;margin:10px"/>Сумма двух углов параллелограмма равна 100°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. | Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°, значит, сумма двух противоположных острых углов параллелограмма равна 100°. Острый угол равен 50°, значит, тупой угол равен 180° − 50° = 130°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 130. | Ответ: 130 |
<img src="/get_file?id=29623" style="float:right;margin:10px"/>Один угол параллелограмма больше другого на $70 градусов.$ Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах. | сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна $180 градусов ,$ а их разница равна $70 градусов .$$\angle B плюс левая круглая скобка \angle B минус 70 градусов правая круглая скобка =180 градусов равносильно 2\angle B=250 градусов равносильно \angle B=125 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 125. | Ответ: 125 |
<img src="/get_file?id=113315" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $26 градусов$ и $34 градусов.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах. | сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна $180 градусов .$$\angle D=180 градусов минус \angle A=180 градусов минус левая круглая скобка \angle DAC плюс \angle CAB правая круглая скобка =180 градусов минус 60 градусов =120 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 120. | Ответ: 120 |
<img src="/get_file?id=66633" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма. | Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит,$P=2 левая круглая скобка AD плюс AB правая круглая скобка =2 левая круглая скобка AD плюс AD плюс 3 правая круглая скобка =4AD плюс 6.$Зная, что периметр параллелограмма равен 46, находим <i>AD</i> = 10. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=113308" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Найдите больший из углов, который образует диагональ со сторонами прямоугольника? Ответ выразите в градусах. | Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника. Так как она вдвое больше одной из сторон прямоугольника, являющейся катетом того же треугольника, то угол, лежащий против этой стороны, равен $30 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка .$ Больший угол равен $90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60. | Ответ: 60 |
<img src="/get_file?id=113316" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите высоту ромба, сторона которого равна $ корень из 3,$ а острый угол равен 60°. | По определению синуса$DH=AD синус A= корень из 3 синус 60 градусов = корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5. | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=66633" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как $3 : 7.$ Ответ дайте в градусах. | сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна $180 градусов .$ Тогда$\angle B= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби \angle A= дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle B правая круглая скобка равносильно \angle B=126 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 126. | Ответ: 126 |
<img src="/get_file?id=29623" style="float:right;margin:10px"/>Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=114407" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Cумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180 градусов .$ Тогда искомый угол равен$180 градусов минус дробь: числитель: \angle A, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: \angle D, знаменатель: 2 конец дроби =180 градусов минус дробь: числитель: \angle A плюс \angle D, знаменатель: 2 конец дроби =180 градусов минус 90 градусов =90 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 90. | Ответ: 90 |
<img src="/get_file?id=66633" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма. | Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, значит,$P=2 левая круглая скобка AD плюс AB правая круглая скобка =2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AB плюс AB правая круглая скобка =3,5AB. $Зная, что периметр параллелограмма равен 70, находим: <i>AB</i> = 20. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. <b>Приведем решение Расиля Садыкова.</b>Пусть меньшая сторона параллелограмма равна 3<i>x</i>, тогда большая сторона равна 4<i>x</i>, получим уравнение$2 левая круглая скобка 3x плюс 4x правая круглая скобка =70 равносильно x=5.$Тогда большая сторона параллелограмма равна 4 · 5 = 20. | Ответ: 20 |
<img src="/get_file?id=113317" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88. | Заметим, что $\angle CDL=\angle ALD$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей. Значит, треугольник <i>ADL</i> − равнобедренный. Пусть $AL=4x,$ тогда $AD=4x,$ $AB=7x.$ Противоположные стороны параллелограмма <i>ABCD</i> попарно равны, тогда$P_ABCD=2 левая круглая скобка AD плюс AB правая круглая скобка =22x=88,$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 28. | Ответ: 28 |
<img src="/get_file?id=113318" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону. | <i>∠CBE</i> = <i>∠BEA</i> как накрестлежашие углы при пересечении параллельных прямых <i>AD</i> и <i>BC</i> секущей <i>BE</i>. При этом <i>∠ABE</i> = <i>∠CBE</i>, поскольку <i>BE</i> — биссектриса. Следовательно, <i>∠ABE</i> = <i>∠BEA</i>, тогда треугольник <i>ABE</i> — равнобедренный, <i>AE = AB</i> = 5. Аналогично докажем, что <i>DE = DC</i> = 5. Следовательно, <i>AD = AE + DE </i>= 5 + 5 = 10.-<p><img src="https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/14/14c63e8dc1b6c2e56acfd75456a89bdf.svg" class="tex" style="vertical-align:-1.8pt" alt="\angle CBE=\angle BEA" /> и <img src="https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/91/91b7c4657d5169f693e6106f57e5609c.svg" class="tex" style="vertical-align:-1.8pt" alt="\angle BCE=\angle CED" /> как углы при параллельных прямых, значит, треугольники <i>ABE</i> и <i>ECD</i> − равнобедренные.<p class="left_margin"><p align="center"><img src="https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/43/43974e28717fe2cfd65901cf4fc4b8d4.svg" class="tex" style="vertical-align:-1.8pt" alt="AD=AE плюс ED=AB плюс CD=2AB=10." /></p> - <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=113319" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна $ корень из 3,$ а острый угол равен 60°. | Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Воспользуемся теоремой косинусов:$AC= корень из AD в квадрате плюс DC в квадрате минус 2AD умножить на DC умножить на косинус D= корень из 2AD в квадрате минус 2AD в квадрате умножить на косинус D=$<br/>$= корень из 2AD в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус 120 градусов правая круглая скобка = корень из 6 левая круглая скобка 1 плюс 0,5 правая круглая скобка =3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. <b>Приведем решение Лены Кисловой.</b>Тупой угол ромба равен 180° − 60° = 120°. Диагональ ромба делит угол пополам, поэтому получим треугольник с углами 120°, 30° и 30°, тогда по теореме синусов$ дробь: числитель: AC, знаменатель: синус 120 градусов конец дроби = дробь: числитель: DC, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби , $ откуда $AC= дробь: числитель: корень из 3 умножить на синус 120 градусов, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =3. $ <b>Приведем решение Алексея Лащенова.</b>Пусть <i>K</i> — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник <i>ADK</i> — прямоугольный. Диагональ ромба делит угол пополам, поэтому угол <i>DAK</i> = 30°. Тогда$ AK=AD косинус 30 градусов= корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , $ откуда $AC=2 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <b>Приведем решение Владимира Митителу.</b>Пусть <i>O</i> — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник <i>ADO</i> — прямоугольный. Диагональ ромба делит угол пополам, поэтому угол <i>DAO</i> = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, $DO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AD= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби . $ Найдем отрезок <i>AO</i> по теореме Пифагора:$ левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс AO в квадрате = левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби плюс AO в квадрате =3 равносильно AO в квадрате = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . $ Отсюда $AO= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, диагональ $AC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=3.$ | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=113144" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба. | Заметим, что сторона ромба равна 50. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть <i>OB</i> = 3<i>x</i>, тогда <i>AO</i> = 4<i>x</i>. По теореме Пифагора <i>AO</i><sup>2</sup> + <i>OB</i><sup>2</sup> = <i>AB</i><sup>2</sup>, поэтому 25<i>x</i><sup>2</sup> = 2500, откуда <i>x</i> = 10. Тогда для высоты треугольника <i>AOB</i> имеем $h= дробь: числитель: AO умножить на OB, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 4x умножить на 3x, знаменатель: 5x конец дроби = дробь: числитель: 12x, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 10, знаменатель: 5 конец дроби =24. $Следовательно, высота ромба равна 2<i>h</i> = 48. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 48. <b>Приведем решение Расиля Садыкова.</b>Заметим, что сторона ромба равна 50. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть <i>OB</i> = 3<i>x</i>, тогда <i>AO</i> = 4<i>x</i>. По теореме Пифагора <i>AO</i><sup>2</sup> + <i>OB</i><sup>2</sup> = <i>AB</i><sup>2</sup>, поэтому 25<i>x</i><sup>2</sup> = 2500, откуда <i>x</i> = 10, <i>d</i><sub>1</sub> = 2 · 3<i>x</i> = 60, <i>d</i><sub>2</sub> = 2 · 4<i>x</i> = 80. Площадь ромба $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на d_1 умножить на d_2 = 2400,$ с другой стороны, $S=ah,$ получим уравнение 2400 = 50 · <i>h</i>, откуда <i>h</i> = 48. | Ответ: 48 |
<img src="/get_file?id=113320" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. | Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,$P= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DB плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BD плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CA=AC плюс BD=9. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. | Ответ: 9 |
В ромбе <i>ABCD</i> угол <i>ABC</i> равен 122°. Найдите угол <i>ACD</i>. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=113321" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Сумма углов <i>B</i> и <i>C</i> равна 180°, поэтому угол <i>С</i> равен 58°. Диагональ ромба <i>AC</i> является биссектрисой угла <i>С</i>, поэтому искомый угол <i>ACD</i> равен 29°. <span style="letter-spacing:2px">Ответ</span>: 29. | Ответ: 29 |
В ромбе <i>ABCD</i> угол <i>ACD</i> равен 43°. Найдите угол <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=113322" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Диагональ ромба <i>AC</i> является биссектрисой угла <i>С</i>, поэтому он равен 86°. Сумма углов <i>B</i> и <i>C</i> равна 180°, поэтому искомый угол <i>B</i> равен 94°. <span style="letter-spacing:2px">Ответ</span>: 94. | Ответ: 94 |
Площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 189. Точка <i>E</i> — середина стороны <i>AD</i>. Найдите площадь трапеции <i>AECB</i>. | <img src="/get_file?id=113323" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:$S_п= AD умножить на h.$Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Выразим площадь трапеции через площадь параллелограмма:$S_ABCE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AE плюс BC правая круглая скобка умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD плюс AD правая круглая скобка h= $<br/>$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AD умножить на h= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби S_ABCD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 189=141,75 $ . <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>141,75. | Ответ: 141,75 |
Площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 153. Найдите площадь параллелограмма <i>A'B'C'D'</i>, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма. | <img src="/get_file?id=113324" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом, площадь которого равна половине площади исходного четырехугольника (см. <a href="http://www.fmclass.ru/math.php?id=4850e30433b03" rel="nofollow" target="_blank">параллелограмм Вариньона</a>). Поэтому его площадь равна 76,5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span>76,5. | Ответ: 76,5 |
Площадь параллелограмма <i>ABCD</i> равна 176. Точка <i>E</i> — середина стороны <i>CD</i>. Найдите площадь треугольника <i>ADE</i>. | <img src="/get_file?id=113326" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Пусть <i>AH</i> — перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i> на продолжение стороны <i>CD.</i> Выразим площадь треугольника <i>ADE</i> через площадь параллелограмма <i>ABCD</i>:$S_ADE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AH умножить на DE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AH умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби DC= $ $= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AH умножить на DC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_ABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 176=44. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> 44. <b>Приведём другое решение:</b>Диагональ <i>AC</i> делит параллелограмм на два равных треугольника, площадь каждого из которых равна половине площади параллелограмма. Медиана <i>AE</i> делит треугольник <i>ADC</i> на два равновеликих треугольника.Значит, площадь треугольника <i>ADE</i> равна четверти площади параллелограмма$S_ADE= дробь: числитель: S_ABCD, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 176, знаменатель: 4 конец дроби =44. $ | Ответ: 44 |
<img src="/get_file?id=114408" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол между стороной и диагональю ромба равен $54 градусов.$ Найдите острый угол ромба. | Диагональ ромба является биссектрисой тупого угла, поэтому тупой угол равен 108°. Сумма тупого и острого углов ромба равна 180°, поэтому острый угол равен 180° − 108° = 72°. <span style="letter-spacing:2px">Ответ</span>: 72. | Ответ: 72 |
Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Найдите угол <i>BOC</i>, если угол <i>BAC</i> равен 32°. | <img src="/get_file?id=66762" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду.$\angle BAC= дробь: числитель: \angle BOC, знаменатель: 2 конец дроби . $$\angle BOC=2 умножить на \angle BAC=2 умножить на 32 градусов=64 градусов$<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 64. | Ответ: 64 |
Найдите центральный угол <i>AOB</i>, если он на $15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка $ больше вписанного угла <i>ACB</i>, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=3443" style="float:right;margin:10px"/>Пусть центральный и вписанный угол опираются на дугу <i>A</i> градусов. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, а вписанный равен её половине, поэтому их величины равны соответственно <i>A</i> и 0,5<i>A</i> градусов. Тогда <i>A</i> − 0,5<i>A</i> = 15°, откуда <i>A</i> = 30°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=66761" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=66760" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Рассмотрим треугольник <i>AOB</i>. Он равносторонний, так как <i>AO = OB = AB = R</i>. Поэтому угол <i>AOB</i> = 60. Вписанный угол <i>ACB</i> равен половине дуги, на которую он опирается. Тем самым, он равен 30°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. <b>Приведем решение Александра Тищенко.</b>Воспользуемся теоремой синусов для треугольника <i>ABC</i>, где <i>∠ACB</i> — искомый угол, а <i>AB</i> — хорда, на которую он опирается:$ дробь: числитель: AB, знаменатель: синус \angle C конец дроби =2R равносильно синус \angle C= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: R, знаменатель: 2R конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , $откуда искомый угол равен 30°. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=66763" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="18%"/>Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=66765" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="18%"/>Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°. Треугольник <i>AOB</i> является равносторонним, т. к. <i>AO = OB = AB = R</i>, поэтому угол <i>AOB</i> = 60°. Тогда <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 150. | Ответ: 150 |
<img src="/get_file?id=66756" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби $ окружности. Ответ дайте в градусах. | Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно$\angle ACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 360 градусов =36 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 36. | Ответ: 36 |
<img src="/get_file?id=66754" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Дуга окружности <i>AC</i>, не содержащая точки <i>B</i>, составляет 200°. А дуга окружности <i>BC</i>, не содержащая точки <i>A</i>, составляет 80°. Найдите вписанный угол <i>ACB</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.$\angle ACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \cup AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 360 градусов минус \cup AC минус \cup CB правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 360 градусов минус 280 градусов правая круглая скобка =40 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 40. | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=66751" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В окружности с центром <i>O</i> отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> — диаметры. Вписанный угол <i>ACB</i> равен 38°. Найдите центральный угол <i>AOD</i>. Ответ дайте в градусах. | вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, значит, $\angle AOD=180 градусов минус \angle AOB=180 градусов минус 2\angle ACB=180 градусов минус 76 градусов =104 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 104. | Ответ: 104 |
<img src="/get_file?id=66751" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В окружности с центром <i>O</i> отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> — диаметры. Центральный угол <i>AOD</i> равен 110°. Найдите вписанный угол <i>ACB</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, значит,$\angle ACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle AOB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle AOD правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 70 градусов =35 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 35. | Ответ: 35 |
<img src="/get_file?id=66749" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите угол <i>ACB</i>, если вписанные углы <i>ADB</i> и <i>DAE</i> опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно $118 градусов$ и $38 градусов.$ Ответ дайте в градусах. | Угол между двумя секущими равен полуразности высекаемых ими дуг: $\angle ACB= дробь: числитель: \cup AB минус \cup DE, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 118 градусов минус 38 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =40 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 40. | Ответ: 40 |
<img src="/get_file?id=66749" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ACB</i> равен 42°. Градусная величина дуги <i>AB</i> окружности, не содержащей точек <i>D</i> и <i>E</i>, равна 124°. Найдите угол <i>DAE</i>. Ответ дайте в градусах. | Пусть искомый угол равен <i>x</i>. Тогда дуга <i>DE</i>, равна 2<i>x</i>. Угол между секущими <i>CB</i> и <i>CA</i> равен полуразности дуг <i>AB</i> и <i>DE</i>:$ дробь: числитель: 124 градусов минус 2x, знаменатель: 2 конец дроби =42 градусов равносильно 62 градусов минус x = 42 градусов равносильно x=20 градусов. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
<img src="/get_file?id=66748" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABD</i> равен 61°, угол <i>CAD</i> равен 37° Найдите угол <i>ABC</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, поэтому $\angle CBD = \angle CAD = 37 градусов.$ Следовательно, $\angle ABC = \angle ABD плюс \angle CBD = 61 градусов плюс 37 градусов = 98 градусов.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 98 | Ответ: 98 |
<img src="/get_file?id=66747" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол <i>ABD</i> равен 53°. Угол <i>ВСА</i> равен 38°. Найдите вписанный угол <i>BCD</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности равны, поэтому $\angle ABD = \angle ACD = 53 градусов.$ Следовательно, $\angle BCD = \angle BCA плюс \angle ACD = 38 градусов плюс 53 градусов = 91 градусов.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 91. | Ответ: 91 |
Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, равен 160°. Найдите число вершин многоугольника. | Пусть <i>n</i> — число сторон правильного многоугольника. Сумма углов в правильном многоугольнике вычисляется по формуле 180°(<i>n</i> − 2), откуда получаем, что угол между сторонами правильного многоугольника можно вычислить по формуле $180 градусов левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка . $ Решим уравнение$180 градусов левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: n конец дроби правая круглая скобка = 160 градусов равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 160 градусов, знаменатель: 180 градусов конец дроби минус 1 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: n конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно n = 18. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 18. | Ответ: 18 |
<img src="/get_file?id=66748" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность. Угол <i>ABC</i> равен 102° , угол <i>CAD</i> равен 46°. Найдите угол <i>ABD</i>. Ответ дайте в градусах. | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности равны, поэтому $\angle CBD = \angle CAD = 46 градусов.$ Следовательно, $\angle ABD = \angle ABC минус \angle CBD = 102 градусов минус 46 градусов = 56 градусов.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 56. | Ответ: 56 |
<img src="/get_file?id=53577" style="float:right;margin:10px;max-width:100%; width:20%"/>В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AB</i> равна $3 корень из 2,$ угол <i>С</i> равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. | Воспользуемся теоремой синусов: $ дробь: числитель: AB, знаменатель: синус \angle C конец дроби = 2R равносильно R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 2, знаменатель: 2 синус 135 градусов конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=53577" style="float:right;margin:10px;max-width:100%; width:20%"/>В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>AB</i> равна $2 корень из 3,$ угол <i>С</i> равен 120°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. | Воспользуемся теоремой синусов: $ дробь: числитель: AB, знаменатель: синус \angle C конец дроби = 2R равносильно R= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 синус \angle C конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 2. | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=29559" style="float:right;margin:10px"/> Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 3. | <img src="/get_file?id=66741" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Заметим, что $\angle ACB=30 градусов .$ Значит, $\angle AOB=60 градусов ,$ т. к. является центральным углом, опирающимся на ту же хорду. Соответственно, треугольник <i>AOB</i> — равносторонний, так как <i>AO = OB = AB = R = 3</i>. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=29032" style="float:right; margin:10px"/>Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса $ корень из 3.$ | <img src="/get_file?id=66743" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Применим теорему синусов к треугольнику <i>ABC</i>:$AB=2R синус C = 2 умножить на корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби = 3. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. <i>Приведём другое решение.</i>Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°, значит, $\angle AOB=2 левая круглая скобка 180 градусов минус 120 градусов правая круглая скобка =120 градусов .$ По теореме косинусов: | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=29034" style="float:right; margin:10px"/>Хорда <i>AB</i> делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки <i>C</i>, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. | Из точки <i>C</i> хорда <i>АВ</i> видна под углом <i>АCВ</i>. Пусть большая часть окружности равна 7<i>x</i>, тогда меньшая равна 5<i>x</i>.$7x плюс 5x=360 градусов равносильно 12x=360 градусов равносильно x=30 градусов .$Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол <i>АCВ</i> равен 105°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 105. | Ответ: 105 |
<img src="/get_file?id=29035" style="float:right; margin:10px"/>Хорда <i>AB</i> стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол <i>ABC</i> между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку <i>B</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Поэтому он равен 46. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 46. | Ответ: 46 |
<img src="/get_file?id=66775" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/>Через концы <i>А</i> и <i>В</i> дуги окружности с центром <i>О</i> проведены касательные <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Угол <i>СAB</i> равен 32°. Найдите угол <i>AОB</i>. Ответ дайте в градусах. | Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Поэтому величина меньшей дуги <i>АВ</i> окружности равна 64°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому угол <i>АОВ</i> равен 64°. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 64. <img src="/get_file?id=66727" style="float:right;margin:10px;max-width:100%" width="20%"/><b>Примечание об изменении задания.</b>Ранее это задание и аналогичные к нему в Открытом банке были формулированы иначе.<i>Задание.</i>Угол между хордой <i>AB</i> и касательной <i>BC</i> к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой <i>AB</i>. Ответ дайте в градусах.<i>Решение. </i> Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Значит, искомая величина дуги равна 64°. <i>Ответ:</i> 64. | Ответ: 64 |