Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба? | Пусть <i>x</i> литров — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает <i>х</i> − 1 литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:Значит, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров? | Пусть <i>x</i> литров — объем воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает $x плюс 1$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 99, знаменатель: x плюс 1 конец дроби плюс 2= дробь: числитель: 110, знаменатель: x конец дроби равносильно дробь: числитель: 99 плюс 2x плюс 2, знаменатель: x плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 110, знаменатель: x конец дроби \undersetx больше 0\mathop равносильно 101x плюс 2x в квадрате =110x плюс 110 равносильно $$ равносильно 2x в квадрате минус 9x минус 110=0 равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: 9 плюс корень из 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= дробь: числитель: 9 минус корень из 81 плюс 4 умножить на 2 умножить на 110, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности равносильно совокупность выражений x=10,x= минус 5,5. конец совокупности \undersetx больше 0\mathop равносильно x=10.$ Значит, первая труба пропускает 10 литров, а вторая — 11 литров воды в минуту. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров? | Обозначим $ v $ — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает $ v минус 5$ литров воды в минуту. Известно, что резервуар объемом 375 литров вторая труба заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 500, знаменатель: v минус 5 конец дроби = дробь: числитель: 375, знаменатель: v конец дроби плюс 10\underset v больше 0\mathop равносильно дробь: числитель: 500, знаменатель: v минус 5 конец дроби = дробь: числитель: 375 плюс 10 v , знаменатель: v конец дроби \underset v больше 0\mathop равносильно 500 v =375 v минус 5 умножить на 375 плюс 10 v в квадрате минус 50 v \underset v больше 0\mathop равносильно $$\underset v больше 0\mathop равносильно 2 v в квадрате минус 35 v минус 375=0 равносильно совокупность выражений новая строка v = дробь: числитель: 35 плюс корень из 35 в квадрате плюс 4 умножить на 2 умножить на 375, знаменатель: 4 конец дроби =25; новая строка v = дробь: числитель: 35 минус корень из 35 в квадрате плюс 4 умножить на 2 умножить на 375, знаменатель: 4 конец дроби = минус 7.5 конец совокупности .\underset v больше 0\mathop равносильно v =25.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 25. | Ответ: 25 |
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? | Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную производительность: $ дробь: числитель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби =6 $ часов. Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. <b>Приведем другое решение.</b>Один рабочий работал 3 часа и должен был бы еще 12, но к нему присоединился второй рабочий, и они стали работать в два раза быстрее. Поэтому вдвоем они работали только 6 часов. Значит, полное время работы 9 часов. | Ответ: 9 |
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? | Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно, работая вместе, мастера выполняют $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби $ работы в час. Поэтому всю работу мастера выполнят за 4 часа. <i>Другое рассуждение.</i> Время работы равно отношению объёма к скорости её выполнения. Поэтому два мастера, работая вместе, выполнят заказ за $ дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби =4 $ часа. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно? | Обозначим объем бака за 1. Тогда три насоса, работая вместе, заполнят бак за$ дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 60 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 3 плюс 2 плюс 1 конец дроби =10 $ минут. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10.<b>Приведем другое решение.</b>Первый насос за минуту наполняет одну двадцатую бака, второй — одну тридцатую, третий — одну шестидесятую. Работая вместе, за минуту они наполнят шесть шестидесятых или одну десятую бака. Значит, весь бак насосы наполнят за 10 минут. <b>Приведем другое решение.</b>За один час первый насос наполнит 3 бака, второй — 2 бака, а третий — 1 бак. Работая вместе, за один час они наполнят 6 баков. Значит, один бак насосы наполнят в шесть раз быстрее, т. е. за 10 минут. | Ответ: 10 |
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем? | Обозначим выполняемую мальчиками работу по покраске забора за 1. Пусть за $ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _1 конец дроби , $ $ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _2 конец дроби , $ $ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _3 конец дроби $ часов Игорь, Паша и Володя, соответственно, покрасят забор, работая самостоятельно. Игорь и Паша красят забор за 9 часов: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _1 плюс v _2 конец дроби =9 равносильно v _1 плюс v _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби $$ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _3 плюс v _2 конец дроби =12 равносильно v _3 плюс v _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби , $$ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _1 плюс v _3 конец дроби =18 равносильно v _1 плюс v _3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби $$ система выражений новая строка v _1 плюс v _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка v _3 плюс v _2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби , новая строка v _1 плюс v _3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби . конец системы .$$2 левая круглая скобка v _1 плюс v _2 плюс v _3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби равносильно 2 левая круглая скобка v _1 плюс v _2 плюс v _3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно v _1 плюс v _2 плюс v _3= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно $$ равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: v _1 плюс v _2 плюс v _3 конец дроби =8. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8.<b>Приведём ещё одно решение.</b> За один час Игорь и Паша красят 1/9 забора, Паша и Володя красят 1/12 забора, а Володя и Игорь — 1/18 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 36 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби $ забора.Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 4 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 8 часов. <b>Примечание Дмитрия Гущина.</b> Заметим, что за 36 часов Игорь и Паша могут покрасить 4 забора, Паша и Володя — 3 забора, а Володя и Игорь — 2 забора. Работая вместе, за 36 часов они могли бы покрасить 9 заборов. Следовательно, один забор два Игоря, два Паши и два Володи могут покрасить за 4 часа. Поэтому, работая втроем, Игорь, Паша и Володя покрасят забор за 8 часов. | Ответ: 8 |
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? | За минуту Маша пропалывает одну двадцатую грядки, а Маша с Дашей вместе — одну двенадцатую. Поэтому за одну минуту Даша пропалывает $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби $ грядки. Всю грядку она прополет за 30 минут. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба? | Пусть объем бассейна равен 1. Обозначим $ v _1$ и $ v _2$ $ч в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка $ — скорости наполнения бассейна первой и второй трубой, соответственно. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: v _1 плюс v _2 конец дроби =3,6 равносильно v _2= дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби минус v _1. $$ v _2= дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 5 минус 3, знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9.<b>Приведем другое решение.</b> Первая труба за час наполняет 1/6 бассейна, значит, за 3 ч 36 мин = 3,6 часа она заполнит 0,6 бассейна. Следовательно, вторая труба за 3,6 часа заполнит 0,4 бассейна. Поэтому весь бассейн она заполнит за время 3,6:0,4 = 9 часов. | Ответ: 9 |
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? | Пусть вторая труба наполняет резервуар за <i>x</i> минут, а первая — за <i>x</i> + 6 минут. В одну минуту они наполняют соответственно $1/x$ и $1/ левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка $ часть резервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняют одну четвертую часть резервуара:$ дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби x плюс 6 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных <i>x</i> функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения $x=6$ — единственно. Поскольку вторая труба заполняет $1/6$ резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды? | Скорость совместной работы насосов <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? | Обозначим <i>N</i> — число вопросов теста. Тогда время, необходимое Пете, равно $ левая круглая скобка N/8 правая круглая скобка $ часа, а время, необходимое Ване, равно $ левая круглая скобка N/9 правая круглая скобка $ часа. Петя закончил отвечать на тест через $1/3$ часа после Вани. Поэтому:$\beginalign новая строка дробь: числитель: N, знаменатель: 8 конец дроби минус дробь: числитель: N, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: N, знаменатель: конец дроби 72= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно N= дробь: числитель: 72, знаменатель: 3 конец дроби равносильно N=24. новая строка \endalign$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
Плиточник планирует уложить 175 м<sup>2</sup> плитки. Если он будет укладывать на 10 м<sup>2</sup> в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник? | Пусть плиточник планирует укладывать <i>x</i> кв. м плитки в течение <i>y</i> дней. Если он будет укладывать $x плюс 10$ кв. м плитки в течение $y минус 2$ дней, то выполнит ту же работу. Поскольку всего нужно уложить 175 кв. м плитки, можно составить систему уравнений: $ система выражений xy= левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка ,xy=175 конец системы . равносильно система выражений x=5y минус 10, левая круглая скобка 5y минус 10 правая круглая скобка y=175 конец системы . равносильно система выражений x=5y минус 10, y в квадрате минус 2y минус 35=0 конец системы . равносильно система выражений x=5y минус 10, совокупность выражений y=7,y= минус 5 конец системы . конец совокупности . \undersety больше 0\mathop равносильно система выражений x=25,y=7. конец системы . $Таким образом, плиточник планирует в течение 7 дней укладывать по 25 кв. м плитки в день. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 25. <b>Приведём другое решение.</b>Пусть плиточник планирует укладывать <i>x</i> кв. м плитки в день и справиться с работой за $ 175/x$ дней. Если укладывать $x плюс 10$ кв. м плитки в день, то работа будет выполнена за $ 175/x минус 2$ дня. Имеем:$ левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 175, знаменатель: x конец дроби минус 2 правая круглая скобка = 175 \undersetx больше 0\mathop равносильно левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка левая круглая скобка 175 минус 2x правая круглая скобка =175x равносильно $$ равносильно x в квадрате плюс 10x минус 875 =0 равносильно совокупность выражений x=25,x= минус 35 конец совокупности \undersetx больше 0\mathop равносильно x=25.$Таким образом, плиточник должен укладывать по 25 кв. м плитки в день. <b>Приведём другое решение.</b>Пусть плиточник планирует был укладывать <i>x</i> кв. м плитки в день. Тогда он уложит всю плитку за $ дробь: числитель: 175, знаменатель: x конец дроби $ дней. Если бы он укладывал на 10 кв. м в день больше, то уложил бы плитку на два дня раньше и сделал это за $ дробь: числитель: 175, знаменатель: x плюс 10 конец дроби $ дней. Получаем уравнение:$ дробь: числитель: 175, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 175, знаменатель: x плюс 10 конец дроби = 2 равносильно 175 левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка минус 175x = 2x левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс 10 x минус 875 = 0 равносильно совокупность выражений новая строка x = минус 35, новая строка x = 25. конец совокупности . $Отрицательный корень не подходит по условию задачи, следовательно, плиточник планирует ежедневно укладывать по 25 кв. м плитки. <b>Примечание редакции Решу ЕГЭ.</b>В открытом банке заданий первое предложение таково: «плиточник <i>должен</i> уложить...». Мы отредактировали условие для более ясного его понимания. | Ответ: 25 |
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? | Наименьшее общее кратное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) заполнят 14 + 9 + 7 = 30 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, первый, второй и третий насосы заполняют 15 бассейнов за 126 минут, а значит, 1 бассейн за 8,4 минуты. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 8,4. <b>Приведём другое решение.</b>За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/9 бассейна, второй и третий — 1/14 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби = дробь: числитель: 14 плюс 9 плюс 7, знаменатель: 126 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 21 конец дроби $ бассейна.Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 21/5 минуты или за 4,2 минуты. Поскольку каждый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, второй и третий насосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 8,4 минуты. <b>Приведем алгебраическое решение Тимура Алиева.</b>Пусть <i>x</i> — производительность первого насоса, <i>y</i> — производительность второго насоса, <i>z</i> — производительность третьего насоса. Тогда$ система выражений 9 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =1, 14 левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка =1, 18 левая круглая скобка x плюс z правая круглая скобка =1. конец системы . равносильно система выражений x плюс y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , y плюс z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби , x плюс z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби . конец системы . $ Сложив уравнения, получим $2x плюс 2y плюс 2z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби равносильно x плюс y плюс z= дробь: числитель: 5, знаменатель: 42 конец дроби . $Тогда при совместной работе всех трех насосов время заполнения бассейна составит $ дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс y плюс z конец дроби = дробь: числитель: 42, знаменатель: 5 конец дроби =8,4 $ минуты. | Ответ: 8,4 |
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов. | Пусть производительность каждого из рабочих равна $1/x$ заказа в день, и пусть в новом составе бригады доделывали заказы <i>y</i> дней. Тогда за первые 7 дней работы бригадами в 16 и 25 человек было сделано $16 умножить на 7/x$ и $25 умножить на 7/x$ частей заказов, а за следующие <i>y</i> дней бригадами в 24 человека и 17 человек были доделаны оставшиеся $24 умножить на y/x $ и $17 умножить на y/x $ частей заказов. Поскольку в результате были целиком выполнены два заказа, имеем:$ система выражений дробь: числитель: 16 умножить на 7, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 24y, знаменатель: x конец дроби =1, дробь: числитель: 25 умножить на 7, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 17y, знаменатель: x конец дроби =1 конец системы равносильно система выражений 112 плюс 24y = x, 175 плюс 17y=x конец системы равносильно система выражений 112 плюс 24y = 175 плюс 17y, x=175 плюс 17y конец системы равносильно система выражений y=9, x=328. конец системы $Значит, в новом составе бригады работали 9 дней. Таким образом, потребовалось 7 + 9 = 16 дней на выполнение заказов. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. <b>Приведем решение Алисы Грант.</b>Пусть <i>k</i> заказов в день — производительность каждого из рабочих (0 < <i>k</i> < 1), и пусть в новом составе бригады доделывали заказы <i>x</i> дней. В сумме до и после перехода рабочих каждая из бригад выполнила всю работу, поэтому$16k умножить на 7 плюс 24k умножить на x = 25k умножить на 7 плюс 17k умножить на x \undersetk больше 0\mathop равносильно 16 умножить на 7 плюс 24x = 25 умножить на 7 плюс 17x равносильно 7x = 9 умножить на 7 равносильно x = 9. $Значит, в новом составе бригады работали 9 дней, а на всего на выполнение заказов понадобилось 7 + 9 = 16 дней. <b>Приведем решение Павла Юкляева.</b>Изначально трудозатраты второй бригады на (25 − 16) · 7 = 63 человеко-дня больше, чем трудозатраты первой бригады. Поэтому после того, как в первую бригаду перешли рабочие из второй, первой бригаде придется выполнить на 63 человеко-дня больше работы, чем второй за то же время. Пусть <i>x</i> — количество дней работы после перехода рабочих, тогда 24 человеко-дня работы первой бригады превосходят 17 человеко-дней работы второй бригады на 63 человеко-дня: 24<i>х</i> = 17<i>х</i> + 63, откуда <i>x</i> = 9. Следовательно, на выполнение работы всей работы необходимо 16 дней. | Ответ: 16 |
Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить 20 задач? Ответ дайте в часах. | Обозначим <i>n</i> — число задач, которые решает за час Гоша, тогда Вова за час решает $n плюс 2$ задач. Вместе они решат 33 задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова, отсюда имеем:$ дробь: числитель: 33, знаменатель: n плюс 2 конец дроби минус 1,25= дробь: числитель: 33, знаменатель: n плюс n плюс 2 конец дроби \mathop равносильно дробь: числитель: 33 левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка минус 33 левая круглая скобка 2n плюс 2 правая круглая скобка плюс 1,25 левая круглая скобка 2n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2n плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка конец дроби =0\mathop равносильно $$ \undersetn больше или равно 1\mathop равносильно 33n плюс 66 минус 66n минус 66 плюс 2,5n в квадрате плюс 7,5n плюс 5=0 равносильно $$\mathop равносильно 5n в квадрате минус 51n плюс 10 =0 равносильно совокупность выражений n= дробь: числитель: 51 плюс 49, знаменатель: 10 конец дроби =10, n= дробь: числитель: 51 минус 49, знаменатель: 10 конец дроби =0,2. конец совокупности . $Поскольку за час мальчики решают целое количество задач $n=10.$ Таким образом, Гоша решает 10 задач в час и решит 20 задач за 2 часа. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 30 минут. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если известно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый. | Пусть первый фильтр очищает цистерну за <i>t</i> минут, тогда второй — за $t минус 25$ минут. Работая вместе с производительностью $ дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t минус 25,$ фильтры за минуту очищают $ дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 30$ цистерны. Из уравнения $ дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t минус 25 = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 30$ подбором находим: $t=75.$ Искомое решение единственно в силу убывания левой части уравнения на луче $ левая круглая скобка 25; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Тем самым, второй насос очистит цистерну за 50 мин. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 50. | Ответ: 50 |
При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй. | Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за <i>t</i> минут, тогда второй — за $t плюс 10$ минут. Принтеры расходуют бумагу со скоростью $ дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 10 конец дроби $ пачки в минуту, при этом за минуту принтеры расходуют $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби $ пачки бумаги. Из уравнения $ дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 10 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби $ подбором находим $t=20.$ Искомое решение единственно в силу убывания левой части уравнения на луче $ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Тем самым, первый принтер израсходует пачку бумаги за 20 минут. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 20. <b>Приведем примечание Михаила Бабинчука о решении уравнения.</b>По смыслу задачи <i>t</i> > 0, следовательно, можно домножить обе части уравнения на 12 <i>t</i> (<i>t</i> + 10), получим$12t плюс 10 умножить на 12 плюс 12t=t в квадрате плюс 10t равносильно t в квадрате минус 14t минус 120=0.$Корнями данного уравнения являются числа − 6 и 20, из которых по смыслу задачи подходит число 20. | Ответ: 20 |
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8 \%,$ а в 2010 году на $9 \%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? | В 2009 году число жителей стало $40000 плюс 0,08 умножить на 40000=43200$ человек, а в 2010 году число жителей стало $43200 плюс 0,09 умножить на 43200=47088$ человек. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 47 088. | Ответ: 47088 |
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $4 \%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? | Обозначим первоначальную стоимость акций за 1. Пусть в понедельник акции компании подорожали на $c умножить на 100 \%,$ и их стоимость стала составлять $1 плюс c умножить на 1.$ Во вторник акции подешевели на $c умножить на 100 \%,$ и их стоимость стала составлять $1 плюс c минус c левая круглая скобка 1 плюс c правая круглая скобка .$ В результате они стали стоить на $4 \%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник, то есть 0,96. Таким образом,$1 плюс c минус c левая круглая скобка 1 плюс c правая круглая скобка =0,96 равносильно 1 минус c в квадрате =0,96 равносильно c в квадрате =0,04 \undersetc больше 0\mathop равносильно c=0,2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки? | Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит, стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стоимость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает стоимость куртки на 15%. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 15. | Ответ: 15 |
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? | Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет $100\% минус 67\% минус 6\%=27\%$ дохода семьи. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 27. | Ответ: 27 |
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей. | Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на <i>p</i> процентов в год. Тогда за два года она снизилась на $ левая круглая скобка 1 минус 0,01p правая круглая скобка в квадрате ,$ откуда имеем: $20\thinspace000 левая круглая скобка 1 минус 0,01p правая круглая скобка в квадрате =15\thinspace842 равносильно левая круглая скобка 1 минус 0,01p правая круглая скобка в квадрате =0,7921 равносильно $$\underset1 минус 0,01p больше 0\mathop равносильно 1 минус 0,01p=0,89 равносильно p=11.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. | Антон внес $ дробь: числитель: 42000, знаменатель: 200000 конец дроби умножить на 100 \% =21 \% $ уставного капитала. Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается 0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 530 000. | Ответ: 530000 |
В сосуд, содержащий 5 литров 12−процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? | Концентрация раствора равна $C= дробь: числитель: V_в минус ва, знаменатель: V_р минус ра конец дроби умножить на 100\%. $ Объем вещества в исходном растворе равен $0,12 умножить на 5=0,6$ литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:$ дробь: числитель: 0,6, знаменатель: 5 плюс 7 конец дроби умножить на 100\%= дробь: числитель: 0,6, знаменатель: 12 конец дроби умножить на 100 \%=5 \%. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 5. <b>Примечание.</b>В текстовых задачах по математике предполагается, что объем раствора, образованного при сливании двух жидкостей, равен сумме их объемов. Это такая же условность, как «мгновенный разворот» в задачах на движение. В действительности, объем (в отличие от массы) не всегда обладает таким свойством. | Ответ: 5 |
Смешали некоторое количество 15%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? | Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна $\omega= дробь: числитель: m_в минус ва, знаменатель: m_р минус ра конец дроби умножить на 100\%. $ Пусть масса получившегося раствора $2m.$ Таким образом, концентрация полученного раствора равна:$\omega= дробь: числитель: 0,15m плюс 0,19m, знаменатель: 2m конец дроби умножить на 100\%= дробь: числитель: 0,34, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 100\%=17\% $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 17. | Ответ: 17 |
Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? | Концентрация раствора равна $C= дробь: числитель: V_в минус ва, знаменатель: V_р минус ра конец дроби умножить на 100\%. $ Таким образом, концентрация получившегося раствора равна:$ дробь: числитель: 0,15 умножить на 4 плюс 0,25 умножить на 6, знаменатель: 4 плюс 6 конец дроби умножить на 100\%= дробь: числитель: 2,1, знаменатель: 10 конец дроби умножить на 100\%=21\%. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 21. | Ответ: 21 |
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды? | Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм — 95%. Поэтому 20 кг изюма содержат $20 умножить на 0,95=19$ кг питательного вещества. Таким образом, для получения 20 килограммов изюма требуется $ дробь: числитель: 19, знаменатель: 0,1 конец дроби =190 $ кг винограда. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 190. | Ответ: 190 |
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? | Пусть масса первого сплава $m_1$ кг, а масса второго − $m_2$ кг. Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах $0,1m_1$ и $0,3m_2,$ соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. Получаем систему уравнений:$ система выражений новая строка m_1 плюс m_2=200, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3m_2=0,25 умножить на 200, конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,1m_1 плюс 0,3 левая круглая скобка 200 минус m_1 правая круглая скобка =50 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2=200 минус m_1, новая строка 0,2m_1=10 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=50, новая строка m_2=150. конец системы .$Таким образом, первый сплав легче второго на 100 килограммов. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 100. | Ответ: 100 |
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. | Пусть масса первого сплава <i>m</i> кг, а масса второго − $m плюс 3$ кг, масса третьего сплава − $2m плюс 3$ кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй − 40% меди, третий сплав − 30% меди. Тогда:$0,1m плюс 0,4 левая круглая скобка m плюс 3 правая круглая скобка =0,3 левая круглая скобка 2m плюс 3 правая круглая скобка равносильно 0,5m плюс 1,2=0,6m плюс 0,9 равносильно m=3 равносильно 2m плюс 3=9.$Таким образом, масса первого сплава равна 3 кг, тогда масса третьего сплава равна 9 кг. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. | Ответ: 9 |
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? | Пусть масса 30-процентного раствора кислоты − $m_1$ кг, а масса 60-процентного − $m_2.$ Если смешать 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавить $10$ кг чистой воды, получится 36-процентный раствор кислоты: $0,3m_1 плюс 0,6m_2=0,36 левая круглая скобка m_1 плюс m_2 плюс 10 правая круглая скобка .$ Если бы вместо 10 кг воды добавили $10$ кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты: $0,3m_1 плюс 0,6m_2 плюс 0,5 умножить на 10=0,41 левая круглая скобка m_1 плюс m_2 плюс 10 правая круглая скобка .$ Решим полученную систему уравнений:$ система выражений новая строка 0,3m_1 плюс 0,6m_2=0,36m_1 плюс 0,36m_2 плюс 3,6, новая строка 0,3m_1 плюс 0,6m_2 плюс 5=0,41m_1 плюс 0,41m_2 плюс 4,1 конец системы . равносильно система выражений новая строка 0,24m_2 минус 0,06m_1=3,6, новая строка 0,11m_1 минус 0,19m_2=0,9 конец системы . равносильно $$ равносильно система выражений новая строка 4m_2 минус m_1=60, новая строка 11m_1 минус 19m_2=90 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=4m_2 минус 60, новая строка 11 левая круглая скобка 4m_2 минус 60 правая круглая скобка минус 19 m_2=90 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=4m_2 минус 60, новая строка 25m_2=750 конец системы равносильно система выражений новая строка m_1=60, новая строка m_2=30. конец системы .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60. | Ответ: 60 |
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй − 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? | Пусть концентрация первого раствора кислоты − $c_1,$ а концентрация второго − $c_2.$ Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты: $30c_1 плюс 20c_2=50 умножить на 0,68.$ Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты: $mc_1 плюс mc_2=2m умножить на 0,7.$ Решим полученную систему уравнений:$ система выражений новая строка c_1 плюс c_2=1,4, новая строка 30c_1 плюс 20c_2=34 конец системы . равносильно система выражений новая строка c_2=1,4 минус c_1, новая строка 30c_1 плюс 28 минус 20c_1=34 конец системы . равносильно система выражений новая строка c_2=1,4 минус c_1, новая строка 10c_1=6 конец системы . равносильно система выражений новая строка c_2=0,8, новая строка c_1=0,6. конец системы .$Поэтому $ m_1=0,6 умножить на 30=18.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. | Ответ: 18 |
Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам? | Пусть банк начислял $p \%$ годовых. Тогда клиент А. за два года получил $7700 левая круглая скобка 1 плюс 0,01p правая круглая скобка в квадрате $ руб., а клиент Б. за один год получил $7700 левая круглая скобка 1 плюс 0,01p правая круглая скобка $ руб. Обозначим $x=1 плюс 0,01p,$ тогда поскольку А. получил на 847 руб. больше, имеем:$7700x в квадрате минус 7700x = 847 равносильно 100x в квадрате минус 100x минус 11 = 0 равносильно равносильно совокупность выражений x= 1,1, x= минус 0,1. конец совокупности $Поскольку $x больше 0$ получаем: $x=1,1,$ откуда $p=10.$ Тем самым, банк начислял вкладчикам по 10% годовых. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 10. | Ответ: 10 |
Имеется два сплава. Первый содержит 15% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго? | Пусть масса первого сплава $m_1кг,$ а масса второго — $m_2кг.$ Тогда массовое содержание никеля в первом и втором сплавах $0,15m_1$ и $0,35m_2,$ соответственно. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 140 кг, содержащий 30% никеля. Получаем систему уравнений:$ система выражений новая строка m_1 плюс m_2=140, новая строка 0,15m_1 плюс 0,35m_2=0,3 умножить на 140, конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2=140 минус m_1, новая строка 0,15m_1 плюс 0,35 левая круглая скобка 140 минус m_1 правая круглая скобка =42 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2=140 минус m_1, новая строка 0,2m_1= 7 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_1=35, новая строка m_2=105. конец системы .$Таким образом, первый сплав легче второго на 70 килограммов. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 70. | Ответ: 70 |
Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор. | Пусть бригада в первый день покрасила $a_1$ метров забора, во второй — $a_2,$ … , в последний — $a_n$ метров забора. Тогда $a_1 плюс a_n=60$ м, а за <i>n</i> дней было покрашено$S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n=30n $ метров забора. Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: $30n=240 равносильно n=8.$ Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней. | Пусть рабочие в первый день проложили $a_1$ метров тоннеля, во второй — $a_2$ , …, в последний — $a_10$ метров тоннеля. Длина тоннеля $S_n=500 $ метров. $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n, $ $n=10$ дней. Тогда в последний день рабочие проложили$a_10= дробь: числитель: 2S_n, знаменатель: n конец дроби минус a_1= дробь: числитель: 1000, знаменатель: 10 конец дроби минус 3=97 $ метров. Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 97. | Ответ: 97 |
Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней. | В первый день Вася решил $a_1=5$ задач, в последний — $a_14$ задач. Всего надо решить $S_14=434$ задач. Поскольку $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n, $ где $a_1 = 5, n=14$ имеем: $S_14= дробь: числитель: a_1 плюс a_14, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14 = 7 левая круглая скобка 5 плюс a_14 правая круглая скобка . $$7 левая круглая скобка 5 плюс a_14 правая круглая скобка =434 равносильно 5 плюс a_14= 62 равносильно a_14= 57$ задач. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 57. | Ответ: 57 |
Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров. | В первый день турист прошел $a_1=10$ км, во второй — $a_2,$ …, в последний — $a_6$ км. Всего он прошел $S_n= 120$ км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на <i>d</i> км, то $S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d умножить на левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n, $где $n=6$ дней, $a_1=10$ км. Таким образом,$ дробь: числитель: 2 умножить на 10 плюс 5d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6=120 равносильно 5d=20 равносильно d=4. $Тогда за третий день турист прошел$a_3=a_1 плюс 2d=10 плюс 2 умножить на 4=18 км.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. | Ответ: 18 |
Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней. | Пусть в первый день грузовик перевез $a_1=2$ тонны щебня, во второй — $a_2,$ …, в последний — $a_14$ тонн; всего было перевезено $S_14=210$ тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на <i>d</i> тонн. Таким образом,$S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d умножить на левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n $$S_14= дробь: числитель: 2a_1 плюс d умножить на левая круглая скобка 14 минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14 равносильно 210= дробь: числитель: 2 умножить на 2 плюс 13d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14 равносильно 30=4 плюс 13d равносильно d=2. $Имеем:$a_9=a_1 плюс 8d=2 плюс 8 умножить на 2=18.$Следовательно, за девятый день было перевезено 18 тонн щебня. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 18. | Ответ: 18 |
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам. | Пусть улитка проползла в первый день $a_1$ метров, во второй − $a_2,$ … , в последний − $a_n$ метров. Тогда $a_1 плюс a_n=10$ м, а за <i>n</i> дней проползла $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби n=5n $ метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: $5n=150,$ откуда $n=30.$ Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней. | В первый день Вера подписала $a_1=10$ открыток, во второй — $a_2,$ …, в последний — $a_16$ открыток. Всего было подписано $S_n=640$ открыток. Если количество подписываемых открыток увеличивалось на <i>d</i> каждый день, то $S_n= дробь: числитель: 2a_1 плюс d умножить на левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби n равносильно 640= дробь: числитель: 2 умножить на 10 плюс 15d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 равносильно 80=20 плюс 15d равносильно d=4. $Тогда Следовательно, за четвертый день было подписано 22 открытки. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 22. | Ответ: 22 |
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год? | Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на 300%, она увеличивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Ищем четвертый член геометрической прогрессии: за 2003 год Бубликов заработал $5000 умножить на 4 в кубе =320000$ руб. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 320 000. <b>Примечание.</b>Прибыли можно было найти последовательно: за 2001 год — 20 тыс. руб., за 2002 год — 80 тыс. руб., за 2003 год — 320 тыс. руб. <b>Примечание.</b>В задаче речь идет о прибыли, то есть о сумме, заработанной за год, а не о капитале на конец года. Поэтому не следует отнимать о суммы, заработанной в текущем году, сумму, заработанную в предыдущем году. | Ответ: 320000 |
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась? | Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма$5000 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2006 минус 2001 правая круглая скобка =5000 умножить на 3 в степени 5 =5000 умножить на 243=1215000$ долларов.Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма $10000 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2006 минус 2003 правая круглая скобка = 10000 умножить на 5 в кубе =10000 умножить на 125=1250000.$ Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 35 000. | Ответ: 35000 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i> = 5, $ синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите <i>АВ</i>. | Треугольник <i>АВС </i>равнобедренный, поэтому высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда$=2 умножить на 5 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =10 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =9,6. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 9,6. | Ответ: 9,6 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>, <i>AB</i> = 9,6, $ синус A = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите <i>AC</i>. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, значит, высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда $AC= дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 корень из 1 минус синус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 9,6, знаменатель: 2 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4,8 умножить на 25, знаменатель: 24 конец дроби =5. $ | Ответ: 5 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i> = 8, $ косинус A = 0,5.$ Найдите <i>АВ</i>. | Треугольник <i>АВС </i>равнобедренный, поэтому высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда$AB=2AH=2AC косинус A=2 умножить на 8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =8. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>, <i>AB</i> = 8, $ косинус A=0,5.$ Найдите <i>AC</i>. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, значит, высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда $AC= дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 косинус A конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби =8. $ | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i> = 7, $ тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби . $ Найдите <i>AB</i>. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, значит, высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда $AB=2AH=2AC косинус A=2AC умножить на корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс tg в квадрате A конец дроби =2 умножить на 7 умножить на корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 33, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби =2 умножить на 7 умножить на корень из дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби =8. $ | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=109592" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>, <i>AB</i> = 8, $ тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби . $ Найдите <i>AC</i>. | Треугольник <i>АВС</i> равнобедренный, поэтому высота <i>СН</i> делит основание <i>АВ</i> пополам. Тогда $AC= дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 косинус A конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс tg в квадрате A конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 2 корень из дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби конец дроби =7. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 7. | Ответ: 7 |
В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>, <i>AB</i> = 8, $ синус BAC = 0,5.$ Найдите высоту <i>AH</i>. | <img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Треугольник <i>АВС </i>равнобедренный, поэтому углы <i>ВАС</i> и <i>АВН</i> равны как углы при его основании. Тогда$AH=AB синус \angle ABH=AB синус \angle BAC=8 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =4. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ <i>AH</i> − высота, $AB = 5,$ $ синус BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите $BH.$ | <img src="/get_file?id=109595" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании. $BH=AB косинус \angle ABH=AB косинус \angle BAC=AB корень из 1 минус синус в квадрате \angle BAC=$ $=5 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =5 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =4,8. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 4,8. | Ответ: 4,8 |
В треугольнике $ABC AC = BC,AB = 5, косинус \angle BAC = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби . $ Найдите высоту $AH.$ | <img src="/get_file?id=113293" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании. $AH=AB синус \angle ABH=AB синус \angle BAC=AB корень из 1 минус косинус в квадрате \angle BAC=$ $=5 корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =5 умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =4,8. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 4,8. | Ответ: 4,8 |
<img src="/get_file?id=113294" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ <i>AH</i> − высота, $AB = 8,$ $ косинус BAC = 0,5.$ Найдите $BH.$ | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании. $BH=AB косинус \angle ABH=AB косинус \angle BAC=4.$<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 4. <b>Приведем другое решение:</b>$ косинус BAC = 0,5,$ значит, $\angle BAC =60 градусов$ и треугольник <i>ABC</i> равносторонний. Тогда высота <i>AH</i> является и медианой. Откуда, $BH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB=4.$<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=113295" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ $AB = 7,$ $ тангенс BAC = дробь: числитель: 4 корень из 33, знаменатель: 33 конец дроби . $ Найдите высоту $AH.$ | Последовательно получаем:$AH=AB синус ABH=AB синус ABC = AB корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс \ctg в квадрате ABC конец дроби =7 умножить на корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 33, знаменатель: 16 конец дроби конец дроби =4. $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=113296" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ <i>AH</i> − высота, $AB = 7,$ $ тангенс BAC = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 корень из 33 конец дроби . $ Найдите $BH.$ | Найдем <i>BH</i>: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=113360" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 4 корень из 15,$ $ синус BAC = 0,25.$ Найдите высоту $AH.$ | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании и высота, проведенная из точки <i>C</i> делит основание <i>AB</i> пополам. $AH=AB умножить на синус \angle ABH=AB умножить на синус \angle BAC=2AK умножить на синус \angle BAC=$ $=2AC умножить на косинус \angle BAC умножить на синус \angle BAC=2AC умножить на синус \angle BAC умножить на корень из 1 минус синус в квадрате \angle BAC=$ $=2 умножить на 4 корень из 15 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби =7,5. $ <b>Приведем другое решение.</b>Проведем из вершины <i>C</i> высоту <i>CK</i>. Тогда: $ косинус CAK= дробь: числитель: AK, знаменатель: AC конец дроби . $ Кроме того $ косинус CAK= корень из 1 минус синус в квадрате CAK= дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 4 конец дроби . $ Поэтому $AB=2AK=2 умножить на дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 4 конец дроби умножить на 4 корень из 15=30. $ Тогда высота $AH= синус BAC умножить на AB=0,25 умножить на 30=7,5.$ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 7,5. | Ответ: 7,5 |
В треугольнике <i>ABC</i> $AC=BC=27,$ <i>AH</i> — высота, $ синус BAC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $BH.$ | <img src="/get_file?id=113361" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки <i>C</i>, делит основание <i>AB</i> пополам. Имеем: $BH=AB косинус \angle ABH=AB косинус \angle BAC=2AK косинус \angle BAC=2AC косинус в квадрате \angle BAC=$$=2AC левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате \angle BAC правая круглая скобка =2 умножить на 27 умножить на левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка =30. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. ----------------<b>Примечание.</b> <img src="/get_file?id=109520" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Внимательный читатель заметит, что расстояние <i>BH</i> получилось больше, чем длина <i>BС</i>. Связано это с тем, что на самом деле описанный в условии треугольник является тупоугольным. Однако это не влияет на корректность решения задачи. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=113362" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 4 корень из 15,$ $ косинус BAC = 0,25.$ Найдите высоту $AH.$ | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки <i>C</i>, делит основание <i>AB</i> пополам. $AH=AB синус \angle ABH=AB синус \angle BAC=2AK синус \angle BAC=$ $=2AC косинус \angle BAC синус \angle BAC=2AC косинус \angle BAC корень из 1 минус косинус в квадрате \angle BAC=$ $=2 умножить на 4 корень из 15 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби =2 корень из 15 корень из дробь: числитель: 15, знаменатель: 16 конец дроби =2 корень из 15 дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби =7,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 7,5. | Ответ: 7,5 |
<img src="/get_file?id=113363" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 27,$ <i>AH</i> — высота, $ косинус BAC = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $BH.$ | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании и высота, проведенная из точки <i>C</i> делит основание <i>AB</i> пополам. $BH=AB косинус \angle ABH=AB косинус \angle BAC=2AK косинус \angle BAC=$ $=2AC косинус в квадрате \angle BAC=2 умножить на 27 умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби =24. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ высота <i>AH</i> равна 20, $AB = 25.$ Найдите $ косинус BAC.$ | <img src="/get_file?id=113296" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании. $ косинус \angle BAC= косинус \angle ABH= дробь: числитель: BH, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: корень из AB в квадрате минус AH в квадрате , знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: корень из 625 минус 400, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби =0,6 $ | Ответ: 0,6 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 8,$ высота <i>AH</i> равна 4. Найдите $ синус ACB.$ | Синусы смежных углов равны, поэтому $ синус ACB= синус ACH= дробь: числитель: AH, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,5. <b>Приведём другое решение.</b>В прямоугольном треугольнике <i>АСН</i> катет <i>АН</i> = 4, а гипотенуза <i>АС</i> = 8. Катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в 30°. Значит, угол <i>АСН</i> равен 30°, а смежный с ним угол <i>АСB</i> равен 150°. Далее находим: $ синус 150 градусов = синус левая круглая скобка 180 градусов минус 30 градусов правая круглая скобка = синус 30 градусов = 0,5.$ <b>Приведём ещё одно решение.</b>Выразим площадь треугольника двумя способами: $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC умножить на CB синус ACB = 32 синус ACB, $ $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AH умножить на CB = 16. $ Приравнивая, получаем $32 синус ACB=16,$ откуда $ синус ACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . $ | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 25,$ высота <i>AH</i> равна 20. Найдите $ косинус ACB.$ | Косинусы смежных углов противоположны, поэтому $ косинус \widehatACB= минус косинус \widehatACH= минус дробь: числитель: HC, знаменатель: AC конец дроби = минус дробь: числитель: корень из AC в квадрате минус AH в квадрате , знаменатель: AC конец дроби = минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 25 конец дроби = минус 0,6. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: –0,6. | Ответ: -0,6 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 4 корень из 5,$ высота <i>AH</i> равна 4. Найдите $ тангенс ACB.$ | Используем свойство смежных углов, формулу приведения, определение тангенса и теорему Пифагора:$ тангенс \angle ACB= тангенс левая круглая скобка Пи минус \angle ACH правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACH= минус дробь: числитель: AH, знаменатель: HC конец дроби = минус дробь: числитель: AH, знаменатель: корень из AC в квадрате минус AH в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 8 конец дроби = минус 0,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: –0,5. | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 8,$ <i>AH</i> − высота, $CH = 4.$ Найдите $ косинус ACB.$ | ##<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> –0,5. | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = корень из 17,$ <i>AH</i> − высота, $CH = 4.$ Найдите $ тангенс ACB.$ | ##$ тангенс \angle ACB= тангенс левая круглая скобка 180 градусов минус \angle ACH правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACH= минус дробь: числитель: AH, знаменатель: CH конец дроби = $$= минус дробь: числитель: корень из AC в квадрате минус CH в квадрате , знаменатель: CH конец дроби = минус дробь: числитель: корень из 17 минус 16, знаменатель: 4 конец дроби = минус 0,25 $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: − 0,25. | Ответ: -0,25 |
В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ высота <i>AH</i> равна 7, $CH = 24.$ Найдите $ синус ACB.$ | <img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>$= дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 49 плюс 576 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби =0,28. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,28. | Ответ: 0,28 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ высота <i>AH</i> равна 24, $CH = 7.$ Найдите $ косинус ACB.$ | ##$ косинус \angle ACB= косинус левая круглая скобка Пи минус \angle ACH правая круглая скобка = минус косинус \angle ACH= минус дробь: числитель: CH, знаменатель: AC конец дроби = $$= минус дробь: числитель: CH, знаменатель: корень из CH в квадрате плюс AH в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 625 конец дроби = минус 0,28. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: –0,28. | Ответ: -0,28 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В тупоугольном треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ высота <i>AH</i> равна 4, $CH = 8.$ Найдите $ тангенс ACB.$ | Вычислим:$ тангенс \angle ACB= тангенс левая круглая скобка Пи минус \angle ACH правая круглая скобка = минус тангенс \angle ACH= минус дробь: числитель: AH, знаменатель: CH конец дроби = минус 0,5. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: –0,5. | Ответ: -0,5 |
<img src="/get_file?id=113364" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10 в квадрате умножить на синус 30 градусов =25. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 25. | Ответ: 25 |
<img src="/get_file?id=110131" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 20 умножить на 20 умножить на синус 150 градусов =200 синус 30 градусов=100. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 100. | Ответ: 100 |
<img src="/get_file?id=113365" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника. | Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, опущенную на это основание. Высота в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора высота будет определяться соотношением <i>h</i><sup>2</sup> = 25 − 9 = 16, откуда <i>h</i> = 4. Поэтому $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 4=12. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
<img src="/get_file?id=113366" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25. | Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно, $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a в квадрате умножить на синус 30 градусов =25, $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=110133" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 100. | Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно, $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на a в квадрате умножить на синус 150 градусов =100, $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
<img src="/get_file?id=113367" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен 38°, <i>AC</i> = <i>BC</i>. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, углы при его основании равны. Поэтому$\angle C=180 градусов минус \angle A минус \angle B=180 градусов минус 2\angle A=104 градусов .$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 104. | Ответ: 104 |
<img src="/get_file?id=113368" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 118°, <i>AC</i> = <i>BC</i>. Найдите угол <i>A</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, углы при его основании равны. Поэтому$\angle A= дробь: числитель: 180 градусов минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 62 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =31 градусов . $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 31. | Ответ: 31 |
<img src="/get_file?id=113129" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>, угол <i>C</i> равен 52°. Найдите внешний угол <i>CBD</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, углы при его основании равны. Поэтому$\angle CBD=180 градусов минус \angle B=180 градусов минус дробь: числитель: 180 градусов минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби =180 градусов минус 64 градусов =116 градусов . $ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 116. | Ответ: 116 |
<img src="/get_file?id=113131" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC</i> = <i>BC</i>. Внешний угол при вершине <i>B</i> равен 122°. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, углы при его основании равны. Поэтому$\angle C=180 градусов минус 2\angle B=180 градусов минус 2 левая круглая скобка 180 градусов минус \angle CBD правая круглая скобка =180 градусов минус 116 градусов =64 градусов .$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 64. | Ответ: 64 |
<img src="/get_file?id=113133" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>AB = BC</i>. Внешний угол при вершине <i>B</i> равен 138°. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | Так как треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, то углы при его основании равны.$\angle C= дробь: числитель: 180 градусов минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 138 градусов правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =69 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 69. | Ответ: 69 |
<img src="/get_file?id=113369" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | Углы при основании равнобедренного равны и являются острыми углами. Тогда данный в условии угол является углом при вершине, откуда $\angle A= дробь: числитель: 180 градусов минус 98 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =41 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 41. | Ответ: 41 |
<img src="/get_file?id=110133" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. | Треугольник равнобедренный, значит, углы при его основании равны. Обозначим за <i>x</i> меньший угол, тогда больший угол равен $x плюс 90 градусов .$ Имеем$2x плюс левая круглая скобка x плюс 90 градусов правая круглая скобка =180 градусов равносильно 3x=90 градусов равносильно x=30 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=109586" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> $AB = BC = AC = 2 корень из 3.$ Найдите высоту $CH.$ | треугольник <i>ABC</i> − равносторонний, значит, все углы в треугольнике равны $60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $CH=AC синус A=2 корень из 3 синус 60 градусов =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =3. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=109586" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В равностороннем треугольнике <i>ABC</i> высота <i>CH</i> равна $2 корень из 3.$ Найдите стороны этого треугольника. | треугольник <i>ABC</i> − равносторонний, значит, все углы в треугольнике равны $60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$$AC= дробь: числитель: CH, знаменатель: синус A конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: синус 60 градусов конец дроби =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби =4. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
<img src="/get_file?id=109586" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> <i>AC = BC</i>, <i>AB</i> = 4, высота <i>CH</i> равна $2 корень из 3.$ Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах. | Высота в равнобедренном треугольнике является медианой, поэтому <i>AH</i> = 2. Рассмотрим треугольник <i>AHC</i>, по теореме Пифагора: $AC= корень из AH в квадрате плюс CH в квадрате = корень из 4 плюс 12=4.$Угол <i>АСН</i>, лежащий против катета, равного половине гипотенузы, равен 30°. Поскольку искомый угол <i>ACB</i> вдвое больше, он равен 60°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 60. | Ответ: 60 |
<img src="/get_file?id=113303" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 4,$ угол <i>C</i> равен $30 градусов.$ Найдите высоту $AH.$ | $AH=AC синус C=4 синус 30 градусов =4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =2. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. <b>Приведем решение Святослава Волкова.</b>Треугольник <i>AHC</i> прямоугольный, <i>AC</i> — гипотенуза, <i>AH</i> — катет, лежащий напротив угла в 30°, следовательно, $AH= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби =2. $ | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113304" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> известно, что <i>AC = BC</i> = 6, высота <i>AH</i> равна 3. Найдите угол <i>C</i>. Ответ дайте в градусах. | В треугольнике <i>AHC</i> угол <i>C</i> лежит против катета, равного половине гипотенузы, поэтому этот угол равен 30°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=113305" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ высота <i>AH</i> равна 4, угол <i>C</i> равен $30 градусов.$ Найдите $AC.$ | Найдем <i>AC</i> из прямоугольного треугольника <i>ACH</i>:$AC= дробь: числитель: AH, знаменатель: синус C конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби =4 умножить на 2=8. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
<img src="/get_file?id=109594" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC = 2 корень из 3,$ угол <i>C</i> равен $120 градусов.$ Найдите высоту $AH.$ | ##$AH=AC синус \angle ACH=AC синус левая круглая скобка 180 градусов минус \angle C правая круглая скобка =$$=2 корень из 3 умножить на синус 60 градусов =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =3. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
<img src="/get_file?id=113134" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ угол <i>C</i> равен $120 градусов,$ $AB = 2 корень из 3.$ Найдите $AC.$ | Воспользуемся теоремой косинусов:$AB в квадрате =AC в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AC умножить на BC умножить на косинус C=2AC в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус C правая круглая скобка ,$$AC= корень из дробь: числитель: AB в квадрате , знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 минус косинус C правая круглая скобка конец дроби = корень из дробь: числитель: 12, знаменатель: 2 левая круглая скобка 1 плюс 0,5 правая круглая скобка конец дроби =2. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. <b>Приведем другое решение.</b>Углы при основании данного равнобедренного треугольника равны по 30°. Применим теорему синусов $ дробь: числитель: AC, знаменатель: синус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: синус 120 градусов конец дроби . $ Тогда$AC = AB умножить на дробь: числитель: синус 30 градусов, знаменатель: синус 120 градусов конец дроби = 2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = 2. $ | Ответ: 2 |
<img src="/get_file?id=113135" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> В треугольнике <i>ABC</i> $AC = BC,$ угол <i>C</i> равен $120 градусов,$ $AC = 2 корень из 3.$ Найдите $AB.$ | Воспользуемся теоремой косинусов:$AB= корень из AC в квадрате плюс BC в квадрате минус 2AC умножить на BC умножить на косинус C= корень из 2AC в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус C правая круглая скобка =$$= корень из 2 умножить на 12 левая круглая скобка 1 минус косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =6.$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=113136" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> известно, что <i>AC</i> = <i>BC</i> = 21, $ тангенс \angle A=2 корень из 2.$ Найдите длину стороны <i>AB</i>. | <img src="/get_file?id=113138" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Проведём высоту <i>CH</i>. Пусть <i>AH</i> = <i>x</i>, тогда $ дробь: числитель: CH, знаменатель: AH конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: x конец дроби =2 корень из 2, $ откуда $CH=2 корень из 2x.$ По теореме Пифагора, $ левая круглая скобка 2 корень из 2x правая круглая скобка в квадрате плюс x в квадрате =21 в квадрате равносильно 8x в квадрате плюс x в квадрате =441 равносильно 3x=21 равносильно x=7.$ Тогда <i>AB</i> = 14. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 14. | Ответ: 14 |
<img src="/get_file?id=113372" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции. | Пусть CE — высота$EB= дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби =7. $Тогда $ синус B= дробь: числитель: CE, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 25 конец дроби =0,96. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,96. | Ответ: 0,96 |
<img src="/get_file?id=113373" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции равен $ дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби . $ Найдите боковую сторону. | $EB= дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби =15, CB= дробь: числитель: EB, знаменатель: косинус B конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби конец дроби =21. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 21. | Ответ: 21 |
<img src="/get_file?id=113374" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен $ дробь: числитель: 2 корень из 10, знаменатель: 7 конец дроби . $ Найдите меньшее основание. | Заметим, что $CD=AB минус 2EB=AB минус 2CB косинус A=AB минус 2CB корень из 1 минус синус в квадрате A=34 минус 2 умножить на 14 корень из 1 минус дробь: числитель: 40, знаменатель: 49 конец дроби =34 минус 12=22. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 22. | Ответ: 22 |
<img src="/get_file?id=113375" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 51. Тангенс острого угла равен $ дробь: числитель: 5, знаменатель: 11 конец дроби . $ Найдите высоту трапеции. | ##$CE=EB тангенс B= дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на тангенс B= дробь: числитель: 44, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 11 конец дроби =10. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
<img src="/get_file?id=113376" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 23. Высота трапеции равна 39. Тангенс острого угла равен $ дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби . $ Найдите большее основание. | ##$AB=DC плюс 2EB=DC плюс 2 дробь: числитель: CE, знаменатель: тангенс B конец дроби =23 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 39, знаменатель: дробь: числитель: 13, знаменатель: 8 конец дроби конец дроби =71. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 71. | Ответ: 71 |
<img src="/get_file?id=113377" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите тангенс острого угла. | $ тангенс B= дробь: числитель: CE, знаменатель: EB конец дроби = дробь: числитель: 14, знаменатель: дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 14, знаменатель: 35 конец дроби =0,4. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0,4. | Ответ: 0,4 |
<img src="/get_file?id=105791" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции. | <img src="/get_file?id=113331" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Трапеция равнобедренная, значит,$AH= дробь: числитель: AB минус DC, знаменатель: 2 конец дроби =6 $ и $AD= дробь: числитель: P_ABCD минус левая круглая скобка AB плюс DC правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =10. $$S= дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на DH=20 умножить на 8=160. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 160. | Ответ: 160 |
<img src="/get_file?id=105791" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции. | <img src="/get_file?id=113332" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Из формулы для площади $S_ABCD= дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на DH $найдем высоту:$DH= дробь: числитель: 2S_ABCD, знаменатель: AB плюс CD конец дроби = дробь: числитель: 80, знаменатель: 20 конец дроби =4. $По теореме Пифагора$AD= корень из DH в квадрате плюс AH в квадрате = корень из DH в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: AB минус CD, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = корень из 16 плюс 9=5, $Откуда $P_ABCD=2AD плюс AB плюс CD=30.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 30. | Ответ: 30 |
<img src="/get_file?id=66804" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°. | <img src="/get_file?id=114421" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Проведем высоту <i>CH</i>. Треугольник <i>CHB</i> — прямоугольный с $\angle B=45 градусов ,$ значит, он также равнобедренный: <i>CH = HB</i> = 4.$S_ABCD= дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на CH=4 умножить на 4=16. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. | Ответ: 16 |
<img src="/get_file?id=66804" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах. | <img src="/get_file?id=114422" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>$S_ABCD= дробь: числитель: AB плюс CD, знаменатель: 2 конец дроби умножить на CH равносильно CH= дробь: числитель: 2S_ABCD, знаменатель: AB плюс CD конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 64, знаменатель: 16 конец дроби =8. $Рассмотрим прямоугольный треугольник <i>CHB</i>. $BH=AB минус CD=8.$ $CH=HB,$ значит, треугольник <i>CHB</i> — равнобедренный, тогда его острые углы равны 45°. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45. | Ответ: 45 |