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OnlineMathContest-1.4k

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[ { "content": "　「$X$ さん以外の平均年齢」の $4$ 倍は「$X$ さん以外の $4$ 人の年齢の合計」に一致するため，各平均年齢の $4$ 倍の総和は全員の合計年齢の $4$ 倍に一致する．その値を $4$ で割って「$E$ さん以外の $4$ 人の年齢の合計」を引けば $E$ さんの年齢がわかる．実際に計算すれば $(56+53+49+45+37)\\times 4\\/4-37\\times 4=\\textbf{92}$ 歳である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/3254" } ]

[ { "content": "　与多項式の奇数次のみを取り出したものは\r\n$$x(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nで与えられ，与多項式の偶数次のみを取り出したものは\r\n$$-2(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nで与えられる．すなわち，偶数次の係数のみがすべて負であるから，\r\n$$(x+2)(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)(x^2+4)$$\r\nによって与多項式の係数にすべて絶対値を施したものが得られる．\\\r\n　その総和は $x=1$ を代入することで得られるから，$3×2×3×4×5=\\mathbf{360}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4905" } ]

[ { "content": "　$BC$ が $BA$ に重なるように，$B$ を中心に三角形 $QBC$ を回転させたものを $Q^\\prime BA$ とすると，$QBQ^\\prime$ は直角二等辺三角形であるから $QQ^\\prime=9\\sqrt{2}$ である．また $\\angle PAQ^\\prime=90^\\circ$ であるから，位置関係としてあり得るものに留意することで，$CQ=AQ^\\prime=8+\\sqrt{(9\\sqrt{2})^2-10^2}=8+\\sqrt{62}$ を得る. 特に解答すべき値は $\\textbf{70}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/1707" }, { "content": "　$B$ から $AP$ に下ろした垂線の足を $R$，$BR$ と $CQ$ の交点を $S$ とすれば，四角形 $PQSR$ は長方形で，三角形 $ABR$ と三角形 $BCS$ は合同である．よって $AR=x$ とおけば，$$QS=PR=10-x，BS=x，CS=BR=x+8，CQ=CS-QS=2x-2$$ が成り立つ．三角形 $QSB$ に三平方の定理を適用すると $x=5\\pm\\dfrac{\\sqrt{62}}{2}$ であるが，$x =5-\\dfrac{\\sqrt{62}}{2}$ の方は $P$ が正方形の外部に出てしまい，不適．よって $CQ=2\\times\\left(5+\\dfrac{\\sqrt{62}}{2}\\right)-2=8+\\sqrt{62}$ で，解答すべき値は $\\bf{70}$ ．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/1707/327" } ]

[ { "content": "　正の整数 $m$ について，$m$ の正の約数の個数を $d(m)$ で表す．次のような問題を考える．\r\n\r\n- $\\dfrac{m}{x},\\dfrac{m}{y},\\dfrac{m}{z}$ が全て整数となるような $1$ 以上 $n$ 以下の整数の組 $(m,x,y,z)$ はいくつあるか．\r\n\r\n　$(x,y,z)$ を固定して考えると，問題の条件を満たす $m$ は $\\bigg \\lfloor \\dfrac{n}{\\mathrm{lcm}(x,y,z)} \\bigg \\rfloor$ 個あるため，問題の答えは $S_n$ である．一方，$m$ を固定したとき，問題の条件を満たす $(x,y,z)$ は $d(m)^3$ 個あるため，問題の答えは $d(1)^3+d(2)^3+\\cdots+d(n)^3$ とも表せる．以上より，$S_n = \\sum\\limits_{k=1}^{n}d(n)^3$ である．\\\r\n　$d(i)^3$ は $i$ が平方数のとき奇数であり，そうでないとき偶数であるから $S_n$ の偶奇は $\\lfloor \\sqrt{n} \\rfloor$ の偶奇に等しい．任意の正の整数 $k$ に対し，$\\lfloor \\sqrt{n} \\rfloor=k$ なる $n$ が $2k+1$ 個存在することに留意すれば，求める答えは\r\n$$\\sum_{k=1}^{2^9} \\big(2(2k-1) + 1\\big)=\\mathbf{524800}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686" }, { "content": "　$x,y,z$ を相異なる正整数とすれば，$$\\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(x,y,z)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(x,z,y)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm} (y,x,z)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(y,z,x)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(z,x,y)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(z,y,x)}\\right\\rfloor$$ \r\n$$\\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm} (x,x,y)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(x,y,x)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(y,x,x)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(y,y,x)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(y,x,y)}\\right\\rfloor= \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(x,y,y)}\\right\\rfloor$$ となるから，$$T_{n}=\\sum_{k=1}^{n} \\left\\lfloor\\frac{n}{\\mathrm{lcm}(k,k,k)}\\right\\rfloor$$ とすれば，$S_{n}\\equiv{T_{n}} \\pmod6$ である. よって $T_{n}$ が奇数となるような $n$ の総和を求めれば良い. \r\n\r\n　$f(n,k)=\\left\\lfloor\\dfrac{n}{k}\\right\\rfloor$ とすれば，$$T_{n}=\\sum_{k=1}^{n}f(n,k)$$ \r\n　また $f(n+1,k)-f(n,k)$ は $0$ または $1$ で， $$f(n+1,k) \\neq f(n,k) \\iff k|n+1$$であるから， $T_{n+1}- T_{n}$ は，$n+1$ が平方数の時に奇数となり，それ以外は偶数となる. $T_{1}=1$ だから，結局 $T_{n}$ の偶奇は $\\lfloor\\sqrt{n}\\rfloor$ の偶奇と等しいことが確認できる. （後は公式解説と同様）", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686/328" }, { "content": "(以下はconan_kunさんやImLさんなどの方が公開していた解法です) \r\n本質的に $T_n = \\displaystyle\\sum_{k=1}^{n} \\Big\\lfloor\\dfrac{n}{k}\\Big\\rfloor$ の偶奇を調べればよい，という所までは[ユーザー解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc188\\/editorial\\/5686\\/328)と同様． \r\n$T_n$ は $xy$ 平面上で，$xy = n, x=1, y=1$ で囲まれてできる領域内（ただし，境界も含む）の格子点を数えていると思うことができる．一方で，本領域が $y=x$ を軸に線対称となっていることから ，$T_n$ の偶奇は領域内での $y=x$ となる格子点の数の偶奇と一致する．これは $1 \\leq x^2 \\leq n$ を満たす整数 $x$ の数の偶奇と一致しており，$\\lfloor\\sqrt{n}\\rfloor$ の偶奇に一致する．", "text": "対称性を利用した偶奇判定", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/5686/337" } ]

[ { "content": "点 $F$ を直線 $AB$ を対称の軸として移動した点を $F_1$ ，直線 $AC$ を対称の軸として移動した点を $F_2$ とする．\r\n$$\\angle F_1 A F_2 =2 \\angle FAB +2 \\angle FAC =2 \\angle BAC,\\quad \r\n\\angle FBF_1 =2 \\angle FBA,\\quad \r\n\\angle FCF_2 =2 \\angle FCA$$\r\nであり，また条件から \r\n$\\angle FBA= \\angle BAC= \\angle FCA$ \r\nが分かるため，\r\n$$\\angle F_1AF_2=\\angle FBF_1=\\angle FCF_2$$\r\nとなる．また，\r\n$$AF_1=AF=AF_2,\\quad BF_1=BF,\\quad CF_2=CF$$\r\nであるから，$\\triangle AF_1F_2,\\triangle BFF_1,\\triangle CFF_2$ は相似であり，その相似比は $AF:BF:CF=10:4:7$ である．\\\r\nよって $\\triangle FF_1F_2$ において $FF_1:FF_2:F_1F_2=4:7:10$ が成立するため，余弦定理から\r\n$$\\cos \\angle F_1FF_2 =\\frac{4^2+7^2-10^2}{2×4×7}=-\\frac{5}{8}$$\r\nとなる．ここで，$180°- \\angle F_1FF_2=\\angle BAC$ となるため，\r\n$$\\cos \\angle BAC= -\\cos \\angle F_1FF_2= \\frac{5}{8}$$\r\nとなる．$\\angle BFC=3\\angle BAC$ であるから，$$\\cos BFC=4(\\cos \\angle BAC)^3-3\\cos \\angle BAC=-\\displaystyle \\frac{115}{128}$$ となり，余弦定理から $$BC^2=4^2+7^2+2×4×7×\\frac{115}{128}=\\frac{1845}{16}$$ を得る．\\\r\nしたがって答えは $\\mathbf{1861}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4425" }, { "content": "　条件より　$$\\angle{ABD}=\\angle{BAC}=\\angle{ACE}$$ なので，円周角の定理の逆より $4$ 点 $B,C,D,E$ は同一円周上にある．よって方冪の定理より，$$BF×DF=CF×EF$$ で，$DF=7x$ とおけば $$EF=4x，AE=CE=4x+7，AD=BD=7x+4$$ となる． $\\angle{ADF}=2θ$ とおくと，条件より $\\angle{AEF}=2θ$ で，余弦定理を三角形 $ADF$ と三角形 $AEF$ にそれぞれ適用することで，$$\\frac{(7x)^2+(7x+4)^2-10^2}{2×7x×(7x+4)}=\\frac{(4x)^2+(4x+7)^2-10^2}{2×4x×(4x+7)}=\\cos{2θ}$$ が成り立つ．これを解いて $x=\\dfrac{4}{5}$ で，$$\\cos2θ=\\frac{7}{32}，\\sinθ=\\frac{5}{8}，\\cos(\\angle{BAC})=\\sinθ=\\frac{5}{8}$$ が順にわかる.（後は公式解説と同様）", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4425/330" }, { "content": "直線 $AB$ 上に $AF=PF$ を満たす $A$ でない点 $P$ を, 直線 $AC$ 上に $AF=QF$ を満たす $A$ でない点 $Q$ をとる.\r\nすると, \r\n - $\\angle FBP=\\angle FCQ=180^\\circ -\\angle BAC$.\r\n - $\\angle CFQ=\\angle ACE-\\angle AQF=\\angle BAC-\\angle FAQ=\\angle FAP=\\angle BPF$.\r\n\r\nよって, $\\triangle{BFP}$ と $\\triangle{CQF}$ は相似であり, さらに $FP=FQ=10$ よりこれらは合同.\\\r\n以上より, $BP=CF=7$ なので, $\\triangle{BFP}$ に対する余弦定理より $\\displaystyle \\mathrm{cos} \\ \\angle FBP=-\\frac{5}{8}$ が計算でき, $\\displaystyle \\mathrm{cos} \\ \\angle BAC=\\mathrm{cos} \\ (\\pi-\\angle FBP)=\\frac{5}{8}$ となる. 以下公式解説参照.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4425/335" } ]

[ { "content": "　選んだ $3$ 点をすべて内部または周上に含むどの辺も $x$ 軸または $y$ 軸に平行な最小の長方形を $R$ とする．\r\n\r\n<details><summary>形式的な $R$ の定義<\\/summary>\r\n選んだ $3$ 点の $x$ 座標のうち最大のもの，最小のものをそれぞれ $M_x, m_x$ として，$y$ 座標についても同様に定めたとき，$4$ 直線 $x = m_x, x = M_x, y = m_y, y = M_y$ で囲まれる長方形を $R$ とする．\r\n<\\/details>\r\n\r\n　$R$ の $4$ 頂点のうちいくつに選ばれた点があるかで場合分けを行う．少なくとも $1$ 以上であることに注意する．\r\n\r\n- $3$ つあるとき：$R$ の $x$ 軸に平行な辺と $y$ 軸に平行な辺の長さの和は $10$ 以上であるから，$R$ は $5\\times5$ の正方形となる他ない．よって，この場合は $4$ 通りである. \r\n- $2$ つあるとき：それらの $x$ 座標も $y$ 座標も違う場合と，片方は同じ場合がある.\r\n\t- 前者の場合：$3$ つ置かれているときと同様の議論により $R$ は $5\\times5$ の正方形となる他なく，残り $1$ つは対角線上に並ぶから，$2×4=8$ 通り．\r\n\t- 後者の場合：$R$ の頂点の $2$ 点は $y$ 座標が等しく，残りの $1$ つより $y$ 座標が小さいとする．このとき，頂点の $2$ 点の $x$ 座標の差は $5$ 以上であるから片方が $0$，もう片方が $5$ になる他ない．また，$y$ 座標は，$0,1,2$ のいずれかになる他ないが，それぞれもう $1$ つの点として考えられる位置は $10,6,2$ 通りあることが確かめられる．すなわち全体では $4\\times(10+6+2) = 72$ 通りある．\r\n- $1$ つあるとき：まず $R$ が $a\\times b$ のとき，$R$ としてあり得るものは $(7-a)\\times (7-b)$ 通り存在する．これを踏まえて，$R$ を固定して考える．$R$ の頂点のうち選ばれた点は $x$ 座標も $y$ 座標も最大の頂点であるとしてよい．このとき，残り $2$ つの点は $R$ の頂点でない $x$ 座標が最小の辺と $y$ 座標が最小の辺にある．これより，$R$ の外周は $15$ 以上でなければならないから，$a+b\\ge 8$ が必要である．$(a,b)=(3,5),(4,4),(4,5),(5,5)$ のとき，それぞれ残り $2$ 点の配置は $1,3,6,10$ 通りあることが確かめられるので，全体では\r\n$$4\\times(2\\times 3\\times 1+ 4\\times 3+2\\times 2\\times 6+1\\times 10)=208$$\r\n通りある．\r\n\r\n　以上より，解答すべき値は $4+8+72+208=\\bf{292}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc188/editorial/4037" } ]

[ { "content": "　$AB = a, BC = b$ とすれば，\r\n$$a^2+b^2=85^2,\\quad ab=2772$$\r\nが分かるので $|a-b|=\\sqrt{a^2+b^2-2ab}=\\bf{41}$ ．\r\n\r\nなお， $\\\\{AB,BC\\\\}=\\\\{36,77\\\\}$ なる三角形が実際に条件を満たす．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4222" }, { "content": "　一辺の長さが $85$ の正方形 $EFGH$ の内部に，$4$ 点 $I,J,K,L$ を $\\triangle{EFI}\\equiv\\triangle{FGJ}\\equiv\\triangle{GHK}\\equiv\\triangle{HEL}\\equiv\\triangle{ACB}$ となるようにとると，四角形 $IJKL$ は面積が $85^2-1386\\times4=1681$ の正方形となり，求める値はこの正方形の一辺の長さなので，$\\sqrt{1681}=\\textbf{41}$ となる．", "text": "あえて図形的設定を生かすなら…", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4222/334" } ]

[ { "content": "　全体の総和から，奇数の総和を引くことで求められる：\r\n$$(1+2+...+9)(1+2+...+9)-(1+3+5+7+9)(1+3+5+7+9)=45^2-25^2=\\textbf{1400}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4142" } ]

[ { "content": "　長針は短針より $1$ 分あたり $5.5^\\circ$ だけ多く進む．\r\nなす角が一度 $90^\\circ$ になったあと次に $90^\\circ$ になるのは長針が短針に関してちょうど $180°$ 進んだ時であるから，それにかかる時間は $\\dfrac{360}{11}(=t)$ 分．\r\nよって $11$ 回目に $90^\\circ$ になるのは $11t\\times 60=\\textbf{21600}$ 秒後である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/3198" } ]

[ { "content": "　方べきの定理より $FB\\times{FA}=FC\\times{FD}$ であるから $FD=16$ である．従って，Menelausの定理より\r\n$$\\frac{CE}{EA} = \\frac{BF\\times DC}{AB\\times FD} = \\frac{13}{32},\\quad \\frac{DE}{EB} = \\frac{AF\\times CD}{BA\\times FC} = \\frac{13}{2}$$\r\nである．また，方べきの定理より $CE\\times EA = DE\\times EB$ であるので，三式を合わせることで\r\n$$AE : BE : CE : DE = 32 : 8 : 13 : 52$$\r\nを得る．$AE = 32x$ などと置けば，Ptolemyの定理より\r\n$$45x\\times60x = 8\\times 13 + 52$$\r\nであるから $AE^2 = 1024x^2 = \\dfrac{13312}{225}$ を得る．特に解答すべき値は $\\mathbf{13537}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4182" }, { "content": "Menelausの定理を使わなくても解けます．\\\r\n$\\triangle{AFD}\\sim\\triangle{CFB}$ より $AD:BC=4:1$ なので，$AD\\times BC=52$ から $AD=4\\sqrt{13},BC=\\sqrt{13}$ となります．よって，$\\triangle{ABE}\\sim\\triangle{DCE},\\triangle{ADE}\\sim\\triangle{BCE}$ に注意すると，$AE:BE:CE:DE=32:8:13:52$ が分かります．あとは本解と同様です．", "text": "相似で解く", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4182/332" }, { "content": "　解説の最後について，Ptoremyの定理を使わない方法を紹介します．\\\r\n三角形 $BCF$ と $DAF$ は相似なので，$BC = y , AD = 4y$ とおけ，$y = \\sqrt{13}$ がわかります．ここで，三角形 $BCF$ で余弦定理より，$\\angle{BFC} = 60^{\\circ}$ なので，あとは三角形 $AFC$ で余弦定理を使って $AC$ が求められるので省略します．", "text": "トレミーの定理を知らない場合", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4182/333" } ]

[ { "content": "　$P, Q, R, S, T$ がこの順に $1$ 回ずつ碁石をとっていくことを**ターン**と呼ぶことにする．一人が碁石を取ると正方形の一辺は $2$ だけ小さくなるので, $n\\times n$ の碁石が並んだ状態から $1$ つのターンのうちに，$P$ と $Q$ の取り去った碁石の数の差は $n\\geq 4$ のとき $8$ , $n=3$ のとき $7$ , $n=2$ のとき $4$ , $n=1$ のとき $1$ である．\\\r\n　$999=8\\times124+7$ に注意すると，$124$ ターンを終えたあと，$P, Q$ が $1$ 回ずつ碁石を取り去って終わるとわかる．$Q$ が取り去った碁石の数については，最後は $1$ 個で，$124$ ターン目には $40$ 個，$123$ ターン目には $80$ 個というように $40$ ずつ変化するから，それらの総和は\r\n$$1+40\\times{\\displaystyle\\sum_{k=1}^{124}k}=\\mathbf{310001}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/4406" } ]

[ { "content": "　$n$ を $2 \\leq n \\leq 10000$ なる整数とする． $\\sigma (n) \\geq n + 1$ であり，また，以下 $3$ つの事実が成り立つ．\r\n- $n$ が素数のとき，$\\sigma (n) = n + 1$\r\n- $n$ が素数の平方のとき，$\\sigma (n) = n + \\sqrt{n} + 1$\r\n- $n$ が正の約数を $4$ つ以上もつとき，$\\sigma (n) \\gt n + 2 \\sqrt{n} + 1$\r\n\r\nなお，上から $3$ 番目の事実は，$ab = n$ かつ $1 \\lt a \\lt b \\lt n$ を満たす $n$ の約数 $a, b$ を選ぶことで，相加平均・相乗平均の大小関係によって次のように示すことができる．\r\n$$\\sigma (n) \\geq 1 + a + b + n \\gt 1 + 2 \\sqrt{ab} + n = n + 2 \\sqrt{n} + 1$$\r\n上の三つを用いれば，以下の場合分けから求める最小値は $\\dfrac{8012}{7921}$ と分かるので，特に解答すべき値は $\\bf{15933}$ である．\r\n----\r\n- $n$ が素数の場合\\\r\n　$\\dfrac{\\sigma( \\sigma (2))}{2} = 2$ が確かめられ，$n \\geq 3$ だとすると少なくとも $1, \\dfrac{n + 1}{2}, n + 1$ の $3$ つが $n + 1$ の約数であることに注意すれば，\r\n$$\\sigma (\\sigma (n)) = \\sigma (n + 1) \\geq \\dfrac{3n + 5}{2}$$\r\nが得られる．したがってこの場合 $\\dfrac{\\sigma( \\sigma (n))}{n} \\gt \\dfrac{3}{2}$ である．\r\n- $n$ が素数の平方の場合\\\r\n$$\\sigma (\\sigma (97^2)) = \\sigma(9507) = 1 + 3 + 3169 + 9507 = 12680$$\r\nより $\\dfrac{\\sigma( \\sigma (97^2))}{97^2} = \\dfrac{12680}{9409}$ であり，$8011$ が素数であることに注意すれば，\r\n$$\\sigma (\\sigma (89^2)) = \\sigma(8011) = 8012$$\r\nより $\\dfrac{\\sigma( \\sigma (89^2))}{89^2} = \\dfrac{8012}{7921}$ が得られる．$n \\lt 89^2$ だとすれば\r\n$$\\dfrac{\\sigma( \\sigma (n))}{n} = \\dfrac{\\sigma (n + \\sqrt{n} + 1)}{n} \\geq \\dfrac{n + \\sqrt{n} + 2}{n} = 1 + \\dfrac{1}{\\sqrt{n}} + \\dfrac{2}{n} \\gt 1 + \\dfrac{1}{\\sqrt{89^2}} + \\dfrac{2}{89^2} = \\dfrac{8012}{7921}$$\r\nが成り立つ．したがってこの場合 $\\dfrac{\\sigma( \\sigma (n))}{n}$ は $n = 89^2$ のときに最小値 $\\dfrac{8012}{7921}$ をとる．\r\n- $n$ が正の約数を $4$ つ以上もつ場合\r\n$$\\dfrac{\\sigma( \\sigma (n))}{n} \\geq \\dfrac{\\sigma(n) + 1}{n} \\gt \\dfrac{n + 2 \\sqrt{n} + 2}{n} = 1 + \\dfrac{2}{\\sqrt{n}} + \\dfrac{2}{n} \\geq 1 + \\dfrac{2}{\\sqrt{10000}} + \\dfrac{2}{10000} = \\dfrac{5101}{5000}$$\r\nなので，これより $\\dfrac{\\sigma( \\sigma (n))}{n} \\gt \\dfrac{8012}{7921}$ であることが分かる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc187/editorial/6668" } ]

[ { "content": "　直線 $FE$ と辺 $AB$ との交点を $G$ とする． \r\n　$\\angle{BAD} = x$ とすると，$AD$ は $\\angle{A}$ の二等分線であるから $\\angle{CAD} = \\angle{BAD} = x$ となる．$AC \\parallel EF$ より $\\angle{AEG} = \\angle{CAE} = x$ であるから，三角形 ${AGE}$ は二等辺三角形となり $AG = EG$ が従う．また，$\\angle{BEG} = 90\\degree - x = \\angle{EBG}$ より$\\triangle{BEG}$ は二等辺三角形であるから $EG = BG$ であるので，結局 $AG=BG$ が分かる．従って，$BF = CF$ となり，これより $CF = \\dfrac{19}{2}$ である． \r\n　さらに，$AD$ が $\\angle{A}$ の二等分線であることに留意すれば $CD = \\dfrac{23 \\times 19}{40}$ であるから，求める答えは\r\n$$DF = CD-CF = \\dfrac{23 \\times 19}{40}-\\dfrac{19}{2} = \\dfrac{57}{40}$$\r\nである．特に，解答すべき値は $\\bold{97}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5989" }, { "content": "　$F$ が $BC$ の中点であることの証明の別解です． \r\n\r\n $BE$ と $AC$ の交点を $P$ とする．三角形 $ABE$ と三角形 $APE$ は合同となり，$E$ は $BP$ の中点である．よって，三角形 $BCP$ で中点連結定理より，$F$ は $BC$ の中点である．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5989/322" } ]

[ { "content": "　与えられた不等式の左辺を $S(n)$ とする．まず，ある正整数 $m$ によって，$n=m^2$ と表された場合について考える．\\\r\n　$1 \\leq k \\leq m^2$ なる正整数 $k$ について，$k$ が平方数のとき，$\\sqrt{k}$ は整数であるから，\r\n$$\r\n\\Bigl\\lceil \\sqrt{k} \\ \\Bigl\\rceil ^2\\ -\\ \\Bigl\\lfloor \\sqrt{k}\\ \\Bigl\\rfloor^2=0\r\n$$\r\nである．一方，$k$ が平方数でないとき，$k$ は $1\\leq t \\leq m-1$ なる正整数 $t$ によって $t^2 \\lt k \\lt (t+1)^2$ と表される．この不等式を満たす整数 $k$ は $2t$ 個存在し，この制約のもとで\r\n$$\r\n\\Bigl\\lceil \\sqrt{k} \\ \\Bigl\\rceil ^2\\ -\\ \\Bigl\\lfloor \\sqrt{k}\\ \\Bigl\\rfloor^2=2t+1\r\n$$\r\nである．したがって，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS(m^2) &= \\sum_{t=1}^{m-1} 2t(2t+1)\\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{3} (m-1)m(4m+1)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nと計算でき，特に $S(42^2)\\lt 10^5 \\lt S(43^2)$ である．\\\r\n　さらに，$1\\leq d \\leq 84$ なる正整数 $d$ を用いて $n=42^2+d$ と表すことにすると，先と同様の考察により\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS(n) &= S(42^2)+ (2\\cdot 42+1)d\\\\\\\\\r\n&=97006+85d\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nとなる．これが $10^5$ を上回るのは $d\\geq 36$ のときであるから，求めるべき値は $42^2+36=\\mathbf{1800}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/4015" } ]

[ { "content": "　与えられた連立方程式が実数解 $(x, y, z, w)$ をもつことは，以下の $x,y,z,w$ についての連立方程式\r\n\r\n$$\r\n \\begin{cases}\r\n (x+w)(y+z) = a+b\\\\\\\\\r\n (x+y)(z+w) = b+c\\\\\\\\\r\n (x+z)(y+w) = c+a\\\\\\\\\r\n x+y+z+w = 20\r\n \\end{cases}\r\n$$ \r\n\r\nが実数解 $(x, y, z, w)$ をもつことと同値である．さらに $Y=x+y, Z=x+z, W=x+w$ と置けば，次をみたす実数 $Y,Z,W$ が存在することと同値である．\r\n\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\nW(20-W) = a+b\\\\\\\\\r\nY(20-Y) = b+c\\\\\\\\\r\nZ(20-Z) = c+a\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\n\r\n実数 $t$ に対し $t(20-t)$ のとり得る値は $100$ 以下の実数全体であるから，問の条件をみたすための $(a, b, c)$ についての必要十分条件は\r\n\r\n$$\r\na+b \\leq 100,\\quad \r\nb+c \\leq 100,\\quad \r\nc+a \\leq 100\r\n$$\r\n\r\nとわかる．ここで $c$ を $1\\leq c\\lt 100$ の範囲で固定したとき，上の条件をみたす正整数の組 $(a,b)$ の個数は\r\n- $2(100-c)\\leq 100$（すなわち $c\\geq 50$） のとき：$(100-c)^2$ 個\r\n- $2(100-c)\\gt 100$（すなわち $c\\lt 50$） のとき：$(100-c)^2-(100-2c)(101-2c)\\/2$ 個\r\n\r\nであるから，求める値は次で計算できる．\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n&\\quad\\sum_{c=50}^{99}(100-c)^2+\\sum_{c=1}^{49}\\left((100-c)^2-(100-2c)(101-2c)\\/2\\right)\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{c=1}^{99}(100-c)^2-\\sum_{c=1}^{49}(50-c)(101-2c)\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{c=1}^{99}c^2-\\sum_{c=1}^{49}c(2c+1)\\\\\\\\\r\n&=\\frac{99\\times 100\\times 199}{6}-2\\times\\frac{49\\times 50\\times 99}{6}-\\frac{49\\times 50}{2}\\\\\\\\\r\n&={\\bf 246275}\r\n\\end{aligned}\r\n$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/2602" }, { "content": "$$(x+y+z+w)^2=(x^2+y^2+z^2+w^2)+2(xy+zw+xz+yw+xw+yz)$$\r\n\r\nより,\r\n\r\nこのとき,\r\n$$0\\leq (x+y-z-w)^2=(x+y+z+w)^2-4(x+y)(z+w)$$\r\n$$=400-4(xz+yw+xw+yz)=400-4(b+c)$$\r\n同様にして,\r\n$$0\\leq (x-y+z-w)^2=400-4(c+a)$$\r\n$$0\\leq (x-y-z+w)^2=400-4(a+b)$$\r\n\r\nより,\r\n$$400-4(b+c)\\geq 0,400-4(c+a)\\geq 0,400-4(a+b)\\geq 0$$\r\n\r\nつまり,\r\n$$a+b,b+c,c+a\\leq 100$$\r\nが必要である.\r\n\r\n逆にこのとき,ある実数$p,q,r$が存在して\r\n\r\n$$x+y-z-w=p$$\r\n$$x-y+z-w=q$$\r\n$$x-y-z+w=r$$\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$\\left(\\begin{matrix}1&1&1&1\\\\\\\\1&1&-1&-1\\\\\\\\1&-1&1&-1\\\\\\\\1&-1&-1&1\\\\\\\\\\end{matrix}\\right)\\left(\\begin{matrix}x\\\\\\\\y\\\\\\\\z\\\\\\\\w\\\\\\\\\\end{matrix}\\right)=\\left(\\begin{matrix}20\\\\\\\\p\\\\\\\\q\\\\\\\\r\\\\\\\\\\end{matrix}\\right)$$\r\n\r\nという連立方程式に解が存在するかどうかを判定すれば良い.\r\n\r\nここで,左辺にある4x4行列は正則なので（具体的には、アダマール行列の列を入れ替えたものになる。）右辺のベクトルに逆行列をかければ実際に解を構成することができる。つまり、解は存在する。\r\n\r\n結局、実数解が存在することの必要十分条件は\r\n$$a+b\\leq 100,b+c\\leq 100,c+a\\leq 100$$\r\nである。この条件を満たすような正の整数$(a,b,c)$の組を数えればOK\r\n\r\nあとは公式解説と同じ", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/2602/325" } ]

[ { "content": "　以下の補題を示す．$(a_0, b_0)$ を初期値として操作をおこない， $N$ 回目の更新の直後に操作が停止したものとする．また，\r\n$$\r\n\\frac{\\max \\\\{a_{n}, b_{n}\\\\}}{\\min \\\\{a_{n}, b_{n}\\\\}}=k_{n}\r\n$$\r\nと表記することにする．\r\n---\r\n**補題 1.** $0$ 以上 $N-1$ 以下の任意の整数 $n$ に対し，以下が成立する． （ただし，$a_{N} = b_{N} =1$ となる場合は考えないものとする．）\r\n$$\r\na_{n} \\gt b_{n} \\Longleftrightarrow a_{n+1} \\lt b_{n+1}\r\n$$\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　$a_{n} \\gt b_{n}$ かつ $a_{n+1} \\gt b_{n+1}$ とすると，\r\n$$\r\na_{n} a_{n+1} -b_{n} b_{n+1} \\gt b_{n} (a_{n+1}-b_{n+1})\\gt 1\r\n$$\r\nとなり，$a_{n} a_{n+1} -b_{n} b_{n+1}=1$ に矛盾する．$a_{n} \\lt b_{n}$ かつ $a_{n+1} \\lt b_{n+1}$ と仮定した場合でも同様である．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**補題 2.** $0$ 以上 $N$ 以下の任意の整数 $n$ に対し，以下が成立する．\r\n$$\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor \\leq k_{n} \\leq \\lfloor k_{0} \\rfloor +1\r\n$$\r\nなお，いずれかの不等式の等号が成立するのは，$n=N$ のときのみである．\r\n\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　数学的帰納法で示す．$n=0$ は明らか．以下，ある整数 $n$ で補題 2 の成立を仮定し，$n+1$ でも補題 2 が成立することを，背理法を用いて示す．$a_{n} \\gt b_{n}$ のとき\r\n$$\r\na_{n} a_{n+1} - b_{n} b_{n+1} =1 \\Longrightarrow k_{n+1} = \\frac{a_{n} a_{n+1} -1}{a_{n+1}b_{n}} \\lt k_{n} \\leq \\lfloor k_{0} \\rfloor +1.\r\n$$\r\nここで $k_{n+1} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor$ を仮定すると，\r\n$$\r\n1=a_{n} a_{n+1} - b_{n} b_{n+1}= a_{n+1} ( a_{n} -k_{n+1} b_{n} ) \\gt a_{n+1}(a_{n} - \\lfloor k_{0} \\rfloor b_{n}) \\geq 1\r\n$$\r\nとなり矛盾する．以上より $\\lfloor k_{0} \\rfloor \\leq k_{n} \\leq \\lfloor k_{0} \\rfloor +1$ である．$a_{n} \\lt b_{n}$ のときも同様である．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**補題 3.** $a_{n}, b_{n}, a_{n+1}, b_{n+1}$ がいずれも $3$ 以上の整数であるとき，以下が成立する． \r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor \\lt k_{n} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}\r\n& \\Longleftrightarrow \r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor \\lt k_{n+1} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}\r\n\\\\\\\\\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2} \\lt k_{n} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1 & \\Longleftrightarrow \r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2} \\lt k_{n+1} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　はじめに，$\\Longrightarrow$ について示す．\\\r\n　$a_{n} \\gt b_{n} \\geq 3$ とし，$a_{n}= \\lfloor k_{0} \\rfloor b_{n}+r_{n}$ とおく．補題 2 より $\\lfloor k_{0} \\rfloor = \\lfloor k_{n} \\rfloor $ であるから，$r_{n}$ は $1$ 以上 $b_{n}$ 未満の整数となる．また，$a_{n}$ と $b_{n}$ が互いに素であるから，$b_{n}$ の偶奇によらず $r_{n}={b_{n}}\\/{2}$ になりえないことに注意してほしい．\r\n\r\n - $k_{n} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor+1\\/2$ のとき，$r_{n}\\lt b_{n}\\/2$ である．補題 2 と合わせて以下の不等式が成り立つ．\r\n$$\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor +\\frac{1}{2} \\gt k_{n} = \\frac{b_n b_{n+1}+1}{b_{n} a_{n+1}} \\gt k_{n+1} \r\n$$\r\n\r\n - $k_{n} \\gt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1\\/2 $ のとき，$r_n\\gt b_{n}\\/2$ である．ここで $k_{n+1} \\leq \\lfloor k_{0} \\rfloor + 1\\/2$ を仮定すると，\r\n$$\r\n1=a_n a_{n+1} - b_n b_{n+1}= a_{n+1} (a_n - k_{n+1} b_n ) \\geq a_{n+1}\\Bigl(r_n - \\frac{b_n}{2}\\Bigl) \\geq \\frac{a_{n+1}}{2} \\gt 1\r\n$$\r\nとなり矛盾する．補題 2 と合わせて所望の結果を得る．\r\n\r\n　$b_n \\gt a_n \\geq 3$ のときも同様に示すことができる．\\\r\n　さらに，$\\Longleftarrow$ についても同様の示し方ができる．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**補題 4 .** 以下の一次不定方程式\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n(2 \\lfloor k_{0} \\rfloor +1) x - 2y = 1 \\\\\\\\\r\n2x - (2 \\lfloor k_{0} \\rfloor +1) y = 1 \\\\\\\\\r\nx - \\lfloor k_{0} \\rfloor y = 1 \\\\\\\\\r\n(\\lfloor k_{0} \\rfloor +1)x - y = 1 \r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\nの正の整数の組の一般解は，ある非負整数 $t$ を用いることにより，上から順に次のように表される．\r\n$$\r\n(x,y) = ( 2t+1, 2 \\lfloor k_{0} \\rfloor t + t +\\lfloor k_{0} \\rfloor ) \\tag{1}\r\n$$\r\n$$\r\n(x,y) = (2 \\lfloor k_{0} \\rfloor t + t +\\lfloor k_{0} \\rfloor +1, 2t+1 ) \\tag{2}\r\n$$\r\n$$\r\n(x,y) = (\\lfloor k_{0} \\rfloor t + \\lfloor k_{0} \\rfloor+1, t+1)\\tag{3}\r\n$$\r\n$$\r\n(x,y) = ( t+1, \\lfloor k_{0} \\rfloor t + \\lfloor k_{0} \\rfloor + t ) \\tag{4}\r\n$$\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　実際に計算することによって示される．\\\r\n　ここで，$\\min\\\\{x,y\\\\} \\geq 3$ の場合，$(1), (3)$ の解の比は $\\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}$ より小さく，$(2), (4)$ の解の比は $\\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}$ より大きくなっていることに留意してほしい．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**補題 5 .** $\\min\\\\{a_{0}, b_{0}\\\\} \\geq 3$ のとき，以下が成立する．\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor \\lt k_{0} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2} \r\n& \\Longleftrightarrow (a_{N}, b_{N})=(1, \\lfloor k_{0} \\rfloor)\\\\\\\\\r\n\\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2} \\lt k_0 \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1 \r\n& \\Longleftrightarrow (a_{N}, b_{N})=(\\lfloor k_{0} \\rfloor+1,1)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\nはじめに $\\Longleftarrow$ について示す．\r\n\r\n - $\\min \\\\{a_{N-1}, b_{N-1}\\\\} \\geq 3$ の場合．\r\n - $(a_{N}, b_{N}) = (1, \\lfloor k_{0} \\rfloor)$ のとき．\r\n$(x,y)=(a_{N-1}, b_{N-1})$ は $x-\\lfloor k_{0} \\rfloor y=1$ の整数解の $1$ つである．補題 4 より $k_{N-1} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +\\frac{1}{2}$ だから，補題 3 より $\\lfloor k_{0} \\rfloor \\lt k_{0} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2}$ が従う．\r\n - $(a_{N}, b_{N})=( \\lfloor k_{0} \\rfloor +1, 1)$ のとき．\r\n$(x,y)=(a_{N-1}, b_{N-1})$ は $(\\lfloor k_{0} \\rfloor +1)x - y = 1$ の整数解の $1$ つである．補題 4 より $k_{N-1} \\gt \\lfloor k_{0} \\rfloor +\\frac{1}{2}$ だから，補題 3 より $\\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2} \\lt k_0 \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1$ が従う．\r\n\r\n - $\\min \\\\{a_{N-1}, b_{N-1}\\\\} =2$ の場合．補題 2 をふまえれば，$\\max \\\\{a_{N-1}, b_{N-1}\\\\} = 2 \\lfloor k_{0} \\rfloor+1$ である．\r\n - $(a_{N}, b_{N})=(1, \\lfloor k_{0} \\rfloor)$ のとき．\r\n $(a_{N-1}, b_{N-1})=(2 \\lfloor k_{0} \\rfloor+1, 2)$ である．また，$(x,y)=(a_{N-2}, b_{N-2})$ は $(2 \\lfloor k_{0} \\rfloor +1) x - 2y = 1$ の整数解の $1$ つである．補題 4 より $k_{N-2} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}$ となり，補題 3 より $\\lfloor k_{0} \\rfloor \\lt k_{0} \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2}$ が従う．\r\n - $(a_{N}, b_{N})=(\\lfloor k_{0} \\rfloor +1, 1)$ のとき．\r\n $(a_{N-1}, b_{N-1})=(2, 2 \\lfloor k_{0} \\rfloor +1)$ である．また，$(x,y)=(a_{N-2}, b_{N-2})$ は $2x - (2 \\lfloor k_{0} \\rfloor +1) y = 1$ の整数解の $1$ つである．補題 4 より $k_{N-2} \\gt \\lfloor k_{0} \\rfloor + \\frac{1}{2}$ となり，補題 3 より $\\lfloor k_{0} \\rfloor+\\frac{1}{2} \\lt k_0 \\lt \\lfloor k_{0} \\rfloor +1$ が従う．\r\n\r\n　$\\Longrightarrow$ については，対偶をとることによって示される．\r\n<\\/details>\r\n\r\n---\r\n　$x=1$ の場合，$N=0$ であるから，更新が停止したとき $ (2^{25}, 1), (1, 2^{25})$ が残る．\\\r\n　$x \\geq 3$ の場合を考えよう．補題5より，$x \\in S \\setminus \\\\{1\\\\}$ がある正整数 $m$ によって，$m \\lt 2^{26}\\/x \\lt m+1$ と評価されているとき，\r\n\r\n - $m$ が偶数ならば，正整数の組 $(2^{25}, x), (x, 2^{25})$ は操作によって $(1, m\\/2)$ になる．\r\n - $m$ が奇数ならば，正整数の組 $(2^{25}, x), (x, 2^{25})$ は操作によって $((m+1)\\/2, 1)$ になる．\r\n\r\nことがわかる．したがって，今回の問題は上記の不等式を満たす $x \\in S$ が存在するような整数 $m$ が何種類存在するかということに帰着される．これは $\\lfloor {2^{26}}\\/{x} \\rfloor$ が異なる整数を何種類もつかという問題そのものである．\\\r\n　$n = 2, 3, \\cdots , 2^{24}$ に対し，数列$\\\\{p_n\\\\}$ を次のように定める．\r\n$$\r\np_n = \\frac {2^{26}}{2n-1}\r\n$$\r\nまた，$\\\\{p_n\\\\}$ が単調減少であることを踏まえ， $2 \\leq n \\leq 2^{24}-1$ に対し，$\\\\{d_n\\\\}$ を以下のように定める．\r\n$$\r\nd_{n} = p_{n} - p_{n+1} = \\frac{2^{27}}{(2n-1)(2n+1)}\r\n$$\r\n\r\n - $2 \\leq n \\leq 5792$ のとき\\\r\n$d_{n} \\gt 1$ であるから，$\\lfloor p_{n} \\rfloor$ と $\\lfloor p_{n+1} \\rfloor$ は相異なる．\r\n\r\n - $5793 \\leq n \\leq 2^{24}-1$のとき\\\r\n$d_n \\lt 1$ であることから， $\\lfloor p_{n} \\rfloor$ は $\\lfloor p_{2^{24} } \\rfloor =2$ から $\\lfloor p_{5793} \\rfloor = 5792$ までのすべての値をとりうる．\r\n\r\n　以上より，求める答えは $2 + 5791 + 5791= \\textbf{11584}$ 種類である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5815" }, { "content": "初期値が $(x,2^{25})$ であるようなものの最終的な値は以下のようにして求まる .\r\n\r\n---\r\n\r\n[Stern-Brocot tree](https:\\/\\/en.wikipedia.org\\/wiki\\/Stern–Brocot_tree) 上で $\\dfrac{x}{2^{25}}$ の値を持つ頂点から始めて, 以下の操作を分子が $1$ になるまで繰り返す.\r\n\r\n- 今いる頂点の親へと進み続ける.ただし,\r\n - 奇数回目の操作では ,今いる頂点より小さい値の親へ進んだ時点で操作をやめる.\r\n - 偶数回目の操作では, 今いる頂点より大きい値の親へ進んだ時点で操作をやめる.\r\n\r\n操作終了後にいる頂点の値を $\\frac{1}{a}$ としたとき, 操作をした回数が奇数回なら $(a,1)$, 偶数回なら$(1,a)$ が最終的な値.\r\n\r\n---\r\n\r\nこれを用いると, $x\\neq 1$ であれば以下が成り立つ.\r\n\r\n- $\\frac{2}{2a}\\lt \\frac{x}{2^{25}}\\lt \\frac{2}{2a+1}$ を満たす正整数 $a$ が存在するなら, $(x,2^{25})$ の最終的な値は $(1,a)$\r\n- $\\frac{2}{2a+1}\\lt \\frac{x}{2^{25}}\\lt \\frac{2}{2a+2}$ を満たす正整数 $a$ が存在するなら, $(x,2^{25})$ の最終的な値は $(a+1,1)$\r\n\r\nここまでくれば, 上の二式を満たす $x$ が存在するような $a$ を数える問題になる.\r\n\r\n以降は公式解説と同じなので省略することにする.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5815/320" }, { "content": "不変量を作って解く方法を解説する．\r\n\r\n**アイディア**\r\n\r\n$a_n$と$b_n$の（大きい方）\\/（小さい方）の値を$k_n$とする．$k_n$は遷移によってあまり変わらないので，$k_n$を利用して不変量を作るのが良さそうである．そこで小さい数で$k_n$の遷移を観察しよう．例えば\r\n$$(32,5)\\to (3,19)\\to (13,2)\\to (1,6)$$\r\nという遷移の場合，$k_n$は\r\n$$6.4\\to 6.33\\dots\\to 6.5\\to 6$$\r\nとなり，$6$から$6.5$の間を動く．また\r\n$$(7,32)\\to (23,5)\\to (2,9)\\to (5,1)$$\r\nという遷移の場合，$k_n$は\r\n$$4.57\\dots\\to 4.6\\to 4.5\\to 5$$\r\nとなり，$4.5$から$5$の間を動く．\r\nこのような例から，$k_n$以下の最大の**0.5の倍数**が不変であることが予想できる．ただし一つ目の例の$6.5$は$6.4999\\dots$と解釈する（つまり$6.5$より小さいかのように扱う）必要があり，二つ目の例の$5$は$4.9999\\dots$と解釈する（つまり$5$より小さいかのように扱う）必要がある．このような発想で不変量を作ると以下のようになる．\r\n\r\nなお，ここまでの考察をもとに正しく不変量を予想できれば，それが不変量であることを証明せずとも答えを導くことができる．\r\n\r\n**解答**\r\n\r\n実数$x$に対し，$x$以下の最大の$0.5$の倍数を$\\langle x\\rangle$で表すことにする．\r\n定義から$a_n$と$b_n$は常に互いに素であり，したがって$a_n=b_n$となるのは$(a_n,b_n)=(1,1)$の場合のみである．また，$(a_n,b_n)\\neq (1,1)$ならば$a_{n-1}-b_{n-1}$と$a_n-b_n$の符号は異なる（公式解説参照）．ここで十分小さい正の実数$\\varepsilon$（例えば$\\varepsilon=2^{-100000000000}$）を取り，\r\n$$P_n=\\begin{cases}\\langle k_n-\\varepsilon\\rangle&(a_n\\gt b_n)\\\\\\ \\langle k_n+\\varepsilon\\rangle&(a_n\\leq b_n)\\end{cases}$$\r\nと定める．ただし$k_n=\\max\\\\{a_n,b_n\\\\}\\/\\min\\\\{a_n,b_n\\\\}$である．このとき$P_{n-1}=P_n$が成り立つことを示そう．\r\n- $a_{n-1}\\gt b_{n-1}$の場合，前述のように$a_n\\leq b_n$であり，$(a_{n-1},b_{n-1})$が終状態でないことから$b_{n-1}\\geq 2$である．これらと$a_{n-1}a_n-b_{n-1}b_n=1$を合わせると\r\n$$\\dfrac{b_n}{a_n}\\lt\\dfrac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\\leq\\dfrac{b_n+0.5}{a_n}$$\r\nが得られる．したがって$k_n+\\varepsilon, k_{n-1}-\\varepsilon$はいずれも$\\dfrac{b_n}{a_n}\\lt x\\lt \\dfrac{b_n+0.5}{a_n}$の範囲にあるが，この範囲には$\\dfrac{0.5}{a_n}$の倍数が存在しないので，特に0.5の倍数は存在しない．よってこれらに対する$\\langle{x}\\rangle$の値は一致する．\r\n- $a_{n-1}\\lt b_{n-1}$の場合，$(a_n,b_n)\\neq(1,1)$となるため$a_n\\gt b_n$であり，$(a_{n-1},b_{n-1})$が終状態でないことから$a_{n-1}\\geq 2$である．これらと$a_{n-1}a_n-b_{n-1}b_n=1$を合わせると\r\n$$\\dfrac{a_n-0.5}{b_n}\\leq\\dfrac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\\lt\\dfrac{a_n}{b_n}$$\r\nが得られる．したがって$k_{n-1}+\\varepsilon, k_n-\\varepsilon$はいずれも$\\dfrac{a_n-0.5}{b_n}\\lt x\\lt \\dfrac{a_n}{b_n}$の範囲にあるが，この範囲には$\\dfrac{0.5}{b_n}$の倍数が存在しないので，特に0.5の倍数は存在しない．よってこれらに対する$\\langle{x}\\rangle$の値は一致する．\r\n\r\n以上より$P_n$の値は$n$によらず一定である．終状態$(a_N,b_N)$における値は\r\n$$\\begin{aligned}&(a_N,b_N)=(m,1),m\\gt1\\implies P_N=m-0.5,\\\\\\ &(a_N,b_N)=(1,m),m\\geq 1\\implies P_N=m\\end{aligned}$$\r\nとなり全て異なるため，**終状態としてあり得る組の総数は，$P_0$としてあり得る値の総数に等しい**．初期状態$(a_0,b_0)$における値は\r\n$$\\begin{aligned}&(a_0,b_0)=(2^{25},1),(1,2^{25})\\implies P_0=2^{25}-0.5,2^{25},\\\\\\ &(a_0,b_0)=(2^{25},x),(x,2^{25})\\implies P_0=\\langle 2^{25}\\/x\\rangle=\\dfrac{1}{2}\\lfloor 2^{26}\\/x\\rfloor\\quad(x=3,5,7,\\dots,2^{25}-1)\\end{aligned}$$\r\nとなるため，$x=3,5,7,\\dots,2^{25}-1$に対する$\\lfloor 2^{26}\\/x\\rfloor$としてあり得る値の総数に$2$を加えたものが答えである．あとは公式解説と同様である．", "text": "不変量を作る", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5815/323" } ]

[ { "content": "　まず\r\n$$ \\alpha \\coloneqq \\angle ABO = \\angle BAO,\\qquad \\beta \\coloneqq \\angle ACO = \\angle CAO $$\r\nとすると，$DQ = DR$ より $\\angle AED = \\angle AFD$ となることを用いて\r\n$$ \\angle ADE = \\frac{90^\\circ - \\alpha + \\beta}2 = \\angle BDE,\\qquad \\angle ADF = \\frac{90^\\circ + \\alpha - \\beta}2 = \\angle CDF. $$\r\nこれより\r\n$$ \\frac{AE}{EB} \\times \\frac{BD}{DC} \\times \\frac{CF}{FA} = \\frac{AD}{BD} \\times \\frac{BD}{CD} \\times \\frac{CD}{AD} = 1 $$\r\nとなり，$AD, BF, CE$ は一点で交わる．また方べきの定理より \r\n$$\\frac{AE}{FA} = \\frac{RA}{AQ}, \\quad \\frac{BD}{EB} = \\frac{QB}{BP}, \\quad \\frac{CF}{DC} = \\frac{PC}{CR}$$\r\nであるので，\r\n$$1 = \\frac{AE}{FA} \\times \\frac{BD}{EB} \\times \\frac{CF}{DC}\r\n = \\frac{RA}{AQ} \\times \\frac{QB}{BP} \\times \\frac{PC}{CR}\r\n = \\frac{QB}{AQ} \\times \\frac{PC}{BP} \\times \\frac{RA}{CR}\r\n$$\r\nより $AP, BR, CQ$ も一点で交わるから，$DQ = DR$ より\r\n$\\angle BPQ = \\angle DRQ = \\angle CPR$ となることと合わせて，$AP \\perp BC$ を得る． \r\n　このとき $\\angle BAD = \\angle CAP,\\\\, \\angle BAP = \\angle CAD$ であるから\r\n$$ \\frac{BD}{CD} = \\frac{\\triangle ABD}{\\triangle ACD} = \\frac{AB^2}{AC^2} \\times \\frac{\\triangle ACP}{\\triangle ABP} = \\frac{AB^2}{AC^2} \\times \\frac{CP}{BP} $$\r\nとなり，$AP \\perp BC$ から $AB = \\dfrac{95}{12},\\\\, AC = \\dfrac{121}{12}$ が得られるので，$\\displaystyle \\frac{BD}{CD} = \\frac{14440}{14641}$．よって $DP = \\dfrac{3255}{2237}$ と分かり，解答すべき値は $\\textbf{5492}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5984" }, { "content": "この問題では $AP \\perp BC$ を示すのが最大のポイントになるかと思います．これは定規とコンパスを使ってきれいな図を描くことで簡単に予想できます．問題文の点の取り方の順に作図しようとすると正確に描くのが難しいですが，以下のように順番を工夫することで比較的簡単に正確な図が描けます．\r\n\r\n$(1)$ 点 $A,E,F$ を鋭角三角形をなすように定める．\r\n\r\n$(2)$ $EF $を直径とする円 $Γ$ と $AE,AF$ の交点をそれぞれ $Q,R$ とする．\r\n\r\n$(3)$ $QR$ の垂直二等分線と $Γ$ の交点のうち，直線 $EF$ に関して $Q,R$ と反対側にあるものを $D$ とする．\r\n\r\n$(4)$ 角 $EAF$ の 二等分線に関して $AD$ と対称な直線 $l$ を描き，$D$ を通り $l$ に垂直な直線と直線 $AE,AF$ の交点をそれぞれ $B,C$ とする．\r\n\r\n$(5)$ $Γ$ と $BC$ の交点を $P$ とする． \r\n\r\n幾何の問題ではきれいな作図をすることでキーとなる性質がすぐに分かることがあるので，最初の図は工夫をしてきれいに描くのがおすすめです．", "text": "補足 - 作図法について", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/5984/321" } ]

[ { "content": "　一般に $N=1000$ とおく．条件をみたす道の引き方において都市を頂点（都市 $i$ を頂点 $i$ と同一視する），道を無向辺と見なしたグラフ $G$ を考えると，一つ目の条件より $G$ は木である．$G$ を頂点 $3N$ を根とする根付き木と見て，次の操作を $3N-2$ 回行うことを考える．\r\n- **操作．** $G$ の葉である頂点のうち番号が最小であるものおよびそれに繋がる辺を取り除く．\r\n\r\n$n$ 回目の操作で取り除かれる辺が結ぶ頂点のうち，辺と共に取り除かれる頂点の番号を $a_n$，そうでない方の番号を $p_n$ とする．このとき\r\n$$a_n=\\min\\bigl(\\\\{1,2,\\dots,3N\\\\}\\setminus\\\\{a_1,a_2,\\dots,a_{n-1},p_n,p_{n+1},\\dots,p_{3N-2}\\\\}\\bigr)$$\r\n\r\nが成り立つため，$p_1,\\dots,p_{3N-2}$ を定めれば $a_1,\\dots,a_{3N-2}$ が定まる．また操作を逆に考えていくことで，はじめの道の組み合わせも一意に定まる．頂点 $i$ の次数は $(p_n=i$ なる $n$ の個数$)+1$ であることに注意すれば，$M$ は $$N+1,N+2,\\dots,2N,2N+1,2N+1,2N+2,2N+2,\\dots,3N,3N$$ の $3N$ 個の数から $3N-2$ 個を選び，それらを同じ数は区別せずに一列に並べる場合の数に等しいことがわかる．これは簡単な議論により\r\n$$ M = \\frac{9N - 1}{2^{N+1} \\times 3 \\left(3N - 1\\right)} \\times \\left(3N\\right)! $$\r\nと求められる．\r\n<details><summary>「簡単な議論」<\\/summary>\r\n$$ S_1 \\coloneqq \\left\\\\{N + 1, \\ldots, 2N\\right\\\\}\\mathclose{},\\qquad S_2 \\coloneqq \\left\\\\{2N + 1, \\ldots, 3N\\right\\\\} $$\r\nとする．$S_1$ の相異なる $2$ 頂点から取り除いた場合の数は\r\n$$ {}\\_N\\mathrm C\\_2 \\times \\frac{\\left(3N - 2\\right)!}{\\left(1!\\right)^{N-2} \\left(2!\\right)^N} = \\frac{N \\left(N - 1\\right) \\left(3N - 2\\right)!}{2^{N+1}}, $$\r\n$S_1, S_2$ それぞれの頂点から取り除いた場合の数は\r\n$$ N^2 \\times \\frac{\\left(3N - 2\\right)!}{\\left(1!\\right)^N \\left(2!\\right)^{N-1}} = \\frac{N^2 \\left(3N - 2\\right)!}{2^{N-1}}, $$\r\n$S_2$ の相異なる $2$ 頂点から取り除いた場合の数は\r\n$$ {}\\_N\\mathrm C\\_2 \\times \\frac{\\left(3N - 2\\right)!}{\\left(1!\\right)^{N+2} \\left(2!\\right)^{N-2}} = \\frac{N \\left(N - 1\\right) \\left(3N - 2\\right)!}{2^{N-1}}, $$\r\n$S_2$ の同じ頂点から取り除いた場合の数は\r\n$$ N \\times \\frac{\\left(3N - 2\\right)!}{\\left(1!\\right)^N \\left(2!\\right)^{N-1}} = \\frac{N \\left(3N - 2\\right)!}{2^{N-1}} $$\r\nであるから，これらを足し合わせると\r\n$$ M = \\frac{N \\left(9N - 1\\right) \\left(3N - 2\\right)!}{2^{N+1}}. $$ \r\n\r\n　あるいは展開した様子を考えれば次が成り立つことからも求められる．\r\n$$M=\\left(\\frac{(1\\times N+2\\times N)^2-(1^2\\times N+2^2\\times N)}{2}+2!\\times N\\right)\\times\\frac{(3N-2)!}{(1!)^N(2!)^N}$$\r\n<\\/details> \r\n　したがって $N=1000$ を代入して $\\dfrac pq = \\dfrac{8999}{2^{1001} \\times 3 \\times 2999}$ が得られ，Euler の定理などにより求める余りは $\\mathbf{2256}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/4335" }, { "content": "　都市を頂点, 道を辺としたグラフを考えると, 一つ目の条件はグラフが木であることに対応します. \r\n次数が $i=1,2,3$ の頂点の個数を $e\\_i$ とすると, 各頂点の次数の決め方は \r\n$$\\binom{1000}{e\\_{3}}\\binom{2000-e\\_{3}}{e\\_{2}}$$ \r\nとなります. ($e\\_{3},e\\_{2},e\\_{1}$ の順に割り当てていくことを考えると良いです. ) \r\nここで, 以下の事実が次数制限付き $\\mathrm{Cayley}$ の定理等の通称で知られています. \r\n\r\n---\r\n各頂点に $1,2,\\dots,n$ とラベルの付いた $n$ 頂点の木であって, 頂点 $i$ の次数が $d(i)$ (ただし, 頂点数と辺の個数の関係式 $\\sum d(i)=2n-2$ は満たすとする. )であるようなものの個数は, \r\n\r\n$$\\frac{(n-2)!}{\\prod\\_{i=1}^{n}(d(i)-1)!}$$\r\n個である. \r\n---\r\n\r\n特に, 今の状況に当てはめると, $e$ を固定したもとで, 条件を満たす木の個数は\r\n\r\n$$\\frac{(2998)!}{2\\^{e\\_3}}$$\r\nとなります. \r\n\r\n後は $e$ を走らせれば良いです. \r\n頂点数に関する条件 $e\\_{1}+e\\_{2}+e\\_{3}=3000$ 及び, 辺の本数に関する条件 $e\\_{1}+2e\\_{2}+3e\\_{3}=2999\\times 2$ から, $e\\_{2}=2998-2e\\_{3}$ が必要なので, 上述した二項係数が意味を持つ(すなわちそのような木が実際に存在する) $e\\_{3} $ は, $e\\_{3}=998,999,1000$ に限られます. よって \r\n$$M=2998!\\left(\\frac{1000\\*999}{2\\^{999}}+\\frac{1000\\*1001}{2\\^{999}}+\\frac{1000\\*999}{2\\^{1001}}\\right)$$ \r\n\r\nと計算できます.", "text": "Cayleyの定理を用いた解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc186/editorial/4335/319" } ]

[ { "content": "　$(x-14)=4(x-68)$ が成り立つので，これを解いて $x=\\textbf{86}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/6469" } ]

[ { "content": "　$465\\equiv 52 \\pmod{59}$ で，またFermatの小定理より $52^{58}\\equiv1\\pmod{59}$ だから，\r\n$$465^{465}\\equiv52^{465}\\equiv(52^{58})^{8}\\times52\\equiv\\mathbf{52}\\pmod{59}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/7127" } ]

[ { "content": "　まず，$2$ の倍数どうしが隣り合わないためには\r\n\r\n- 偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数→奇数→偶数\r\n\r\nの順に並べればよく，$5! \\times 6!$ 通りである．このうち，$5$ の倍数が隣り合うには，奇数を並べた後に $10$ を $5$ の左右のどちらかに並べればよい．よって，$5! \\times 2 \\times 5!$ 通り．すなわち，条件を満たす並べ方は，$5! \\times 6! - 5! \\times 2 \\times 5! = \\mathbf{57600}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5831" } ]

[ { "content": "　$b=a+n$ とおくと，与式は以下のように変形できる．\r\n$$(a+1)(n+1)=N+1$$\r\n$a\\ge1$ に気をつければ，$N+1$ の $2$ 以上の任意の約数 $p$ に対して $(a,n)=(p-1,(N+1)\\/p-1)$ が上式の解となり，また，解はこれで尽くされている．以上より，問題の条件を満たす $N$ は $513$ 以下の素数から $1$ を引いたものであるから，求める答えは $\\bf{97}$ 個である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/6859" } ]

[ { "content": "　$n$ 個のグラフ $y=x,y=x^2,y=x^3,\\ldots,y=x^n$ によって分割される個数を $a_n$ とすると，$a_1=2, a_2=5$ が分かる．また，$n\\geq3$ のとき $a_n=a_{n-1}+4$ であることが以下のように確認できる：\r\n\r\n- $n$ が偶数のとき\\\r\n$y=x^n$ のグラフは $(0,1)$ を含む領域を $3$ つに，$(1,0)$ を含む領域を $2$ つに，$(-1,0)$ を含む領域を $2$ つに分割する．\r\n\r\n- $n$ が奇数のとき\\\r\n$y=x^n$ のグラフは $(0,1)$ を含む領域を $2$ つに，$(1,0)$ を含む領域を $3$ つに，$(-1,0)$ を含む領域を $2$ つに分割する．\r\n\r\n　よって，$a_n=1293$ を満たす $n$ は $\\mathbf{324}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5390" } ]

[ { "content": "　三角形 $ABC$ の $\\angle{A}$ に対する傍心を $P$ とする．このとき，四角形 $BPCI$ は $PI$ を直径とする円に内接する．また，この円の中心，すなわち線分 $PI$ の中点を $M$ とする．\\\r\n　円周角の定理より $\\angle{BPI}=\\angle{BCI},\\ \\angle{BMI}=2\\angle{BPI}$ であり，$I$ が三角形 $ABC$ の内心であることから，$2\\angle{BCI}=\\angle{ACB}$ が成り立つ．よって，$\\angle{ACB}=2\\angle{BCI}=2\\angle{BPI}=\\angle{BMI}=\\angle{BMA}$．すなわち，円周角の定理の逆より四角形 $ABMC$ は円に内接する． \\\r\n　$AI:CD=5:4$ より，$AI=5x,\\ CD=4x$ とする．円周角の定理より $\\angle{BPI}=\\angle{BCI}=\\angle{ACI}$ であり，\r\n- $\\angle{BAD}=\\angle{CAD}$ であるから，三角形 ${APB}$ と ${ACI}$ は相似．\r\n- $\\angle{CDI}=\\angle{PDB}$ であるから，三角形 ${CDI}$ と ${PDB}$ は相似．\r\n\r\n従って，\r\n$$PD:CD=PB:CI=AB:AI=1:x$$\r\nであり，$CD=4x$ であるから $PD=4$ である．ここで，外角の二等分線に関する定理より$AB:BD=AP:PD$ であるから，\r\n$$BD\\times(AD+4)=4\\times5$$\r\nが成り立つ．今，$AD\\times BD=8$ であるから，$BD=3$ が分かる．従って，$AD=\\dfrac{8}{3}$ もわかる．\\\r\n　よって，$ID=AD-AI=\\dfrac{8}{3}-5x$ であるから，方べきの定理より\r\n$$BD\\times CD=3\\times 4x = 4\\left\\(\\frac{8}{3}-5x\\right\\) = DI\\times PD$$\r\nであり，これを解けば $x = \\dfrac13$ を得る．よって，$AI=\\dfrac{5}{3},\\ CD=\\dfrac{4}{3},\\ DI=1$ である．従って，\r\n$$AC = CD\\times \\frac{AI}{DI} = \\frac{20}{9}$$\r\nである．以上より，$AB=5,\\ BC=\\dfrac{13}{3},\\ CA=\\dfrac{20}{9}$ であるから，三角形 ${ABC}$ の面積はHeronの公式より，\r\n$$\\sqrt{\\frac{52}{9}\\left\\(\\frac{52}{9}-5\\right\\)\\left\\(\\frac{52}{9}-\\frac{13}{3}\\right\\)\\left\\(\\frac{52}{9}-\\frac{20}{9}\\right\\)}=\\frac{104\\sqrt{14}}{81}$$\r\nである．特に解答すべき値は $81+104+14=\\mathbf{199}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5475" }, { "content": "　OMC184(D) で見た\"Stewart の定理の系\"を用いる方法です．式は $AD^2=AB×AC-BD×CD$ です．（余談ですが，OMC184でTesterをし，解説を詳細に読み込んだので，思いついた解法です．）\r\n\r\n---\r\n\r\n　$BD=a$ と置く．角二等分線の性質を用いて，$AI=5x$，$DI=ax$ と置ける．このように置くと，$AI:CD=5:4$ より $CD=4x$ である．再度，角二等分線の性質より $AC=\\frac{20x}{a}$ である．先述の Stewart の定理の系より，\r\n$$(5x+ax)^2=5×\\dfrac{20x}{a}-a×4x$$\r\n　また，$AD×BD=8$ より $(5x+ax)a=8$．あとは，連立方程式を解けば，三辺の長さが求まる．以下は公式解説を参照．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc185/editorial/5475/318" } ]

[ { "content": "　$8008=2^3\\times 7\\times 11\\times 13$ に注意すれば, 各素因数の分配を考えることで $ {}_5 \\mathrm{ C }_2\\times3^3=\\textbf{270}$ 個である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/1782" } ]

[ { "content": "　$n$ 回操作を施した後の溶液の濃度を $a_n\\\\%$ とする. $n-1$ 回目の操作終了後, 溶液は $50n+50\\rm{mL}$ ある. ここへ $n$ 回目の操作を施すと, $n-1$ 回目の操作終了時の溶液 $50n\\rm{mL}$ と真水 $100\\rm{mL}$ を混ぜた溶液であるから,\r\n$$a_n=\\displaystyle \\frac{50na_{n-1}}{50n+100}=\\frac{n}{n+2}a_{n-1}$$\r\n$a_0=1$ に留意して, この漸化式を順次適用することで, \r\n$$a_n=\\displaystyle \\frac{n}{n+2} \\cdot \\displaystyle \\frac{n-1}{n+1} \\cdot \\cdots \\cdot \\displaystyle \\frac{2}{4} \\cdot \\displaystyle \\frac{1}{3} \\cdot 1=\\displaystyle \\frac{2}{(n+1)(n+2)}$$\r\nしたがって, $a_n$ が $1\\/2023$ 以下となるには以下の条件が必要であり, 特に求める値は $\\bf{63}$ である. \r\n$$(n+1)(n+2) \\geq 4046 \\implies n\\geq \\displaystyle \\frac{\\sqrt{16185}-3}{2}\\approx 62.1$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2773" }, { "content": "　 $n$ 回目の操作で食塩水を取り除いたあと，水の量が $\\frac{n}{n+1}$ になるので，食塩も $\\frac{n}{n+1}$ になる．よって，n回目の食塩の量は， $1 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot\\frac{2}{3} \\cdots \\frac{n}{n+1} =\\frac{1}{n+1}$ である．また， $n$ 回目の操作のあとの水の量は $100+50n $ なので，濃度は $\\frac{\\frac{1}{n+1}}{100+50n} \\cdot 100 = \\frac{1}{\\frac{(n+1)(n+2)}{2}}$ となることがわかる．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2773/317" } ]

[ { "content": "　$1\\/7 = 0.\\dot{1}4285\\dot{7}$ に気をつければ, 以下が分かる. \r\n$$\\begin{aligned}\r\n142857142857142861 \\times 7\r\n&= 10^{18} + 27\\\\\\\\\r\n&= (10^6 + 3)(10^{12} - 3\\times10^6 + 9)\\\\\\\\\r\n&= (10^6 + 3)((10^6+3)^2 - 3000^2)\\\\\\\\\r\n&= 1000003\\times 1003003\\times 997003\r\n\\end{aligned}$$\r\nまた，$997003 = 7^2\\times 20347$ であるから, \r\n$$142857142857142861 = 7\\times 20347\\times 1000003\\times 1003003$$\r\nである. これ以上素因数分解できないことが保証されているので, これが求める答えである. 特に, 解答すべき値は $\\bf{2023353}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/5363" } ]

[ { "content": "　簡単な角度計算により $AD$ は角 $CAE$ を二等分するから, $CE=x$ とおけば\r\n$$DC=\\frac{7x}{10},\\quad DE=\\frac{3x}{10}$$\r\n一方で, $AD^2$ について有名事実として (Stewartの定理の系)\r\n$$AD^{2}=AC\\times AE-CD\\times DE＝84-\\frac{21x^{2}}{100}$$\r\nまた $EAD$ と $ECB$ の相似より $AE:AD=CE:CB$ であるから, 上の諸値を代入して整理することで\r\n$$x\\sqrt{84-\\frac{21x^{2}}{100}}=30\\sqrt{7}$$\r\nこの式を解くことで $x=10,10\\sqrt{3}$ の $2$ 解を得る. ここで $x=10$ のとき $E$ の位置関係の条件に適合しないから, $x=10\\sqrt{3}$ であり, $AD=\\sqrt{21}$ さらに方べきの定理より $AB=9$ であるから, 解答すべき値は $\\textbf{30}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2344" }, { "content": "　公式解説の Stewart の定理の系を知らなかった場合の方法です．\r\n\r\n　$CE=x$ と置く．角二等分線の性質より $CD=\\dfrac{7}{10}x$，$DE=\\dfrac{3}{10}x$．\\\r\n　また，$\\triangle ADE \\sim \\triangle CBE$ より，$6:\\dfrac{3}{10}x:AD=x:(6+AB):5 \\sqrt{7}$．これより，$AD=\\dfrac{30 \\sqrt{7}}{x}$，$AB=\\dfrac{1}{20}x^2-6$．\\\r\n　トレミーの定理より，$AD×BC+AB×CD=AC×BD$．この式に今までの式を代入することで，\r\n$$\\dfrac{30 \\sqrt{7}}{x}×5\\sqrt{7}+\\left( \\dfrac{1}{20}x^2-6 \\right)×\\dfrac{7}{10}x=14×\\dfrac{7}{10}x$$\r\n　$200x$ 倍して整理すれば，$x^4-400x^2+30000=0$ を得る．以下は公式解説を参照．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/2344/309" } ]

[ { "content": "　$P(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ とする．このとき条件を満たすことは，任意の実数の組 $(x,y)$ に対して\r\n$$\\dfrac{P(2x)+P(2y)}{2} \\geq P(x+y)　...(1)$$\r\nが成り立つと言い換えることができる．\r\n\r\n　$(1)$ と $P^{\\prime \\prime}(x) \\geq 0$ が同値であることを示そう．今，$n,m$ を $m\\leq 2^n$ なる非負整数とすれば\r\n$$\\frac{m}{2^n}P(x)+\\frac{2^n-m}{2^n}P(y) \\geq P \\Big(\\dfrac{mx+(2^n-m)y}{2^n} \\Big)$$\r\nが成り立つ．任意の $0$ 以上 $1$ 以下の実数 $\\lambda$ について，$m\\/2^n$ を限りなく $\\lambda$ に近付けることで，$P$ が連続であることから\r\n$$\\lambda P(x)+(1-\\lambda)P(y) \\geq P(\\lambda x+(1-\\lambda)y)$$\r\nが分かる．よって $P$ は下に凸な関数であり，特に $P^{\\prime \\prime}(x) \\geq 0$ である．\r\n$$P^{\\prime \\prime}(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2$$\r\nであり，$x$ についての判別式は $36{a_3}^2-96a_2a_4$ であるから，結局\r\n$$a_4 \\gt 0,　3{a_3}^2 \\leq 8a_2a_4　... (2)$$\r\nを満たす $(a_2,a_3,a_4)$ の個数を求めれば良い．\\\r\n　$a_2$ が負であるとき，$(2)$ は満たされず，正であるとき，$a_3$ の値によって場合分けすることで $128-2×(0+1+5+8)=100$ 個あると分かる．以上より，求める答は $8×100=\\mathbf{800}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563" }, { "content": "　与式の左辺を展開すると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& a_2 (2(x^2+y^2)-(x+y)^2)+a_3(4(x^2+y^3)-(x+y)^3)+a_4(8(x^4+y^4)-(x+y)^4)\\\\\\\\\r\n& = a_2(x^2-2xy+y^2)+a_3(3x^3-3x^2y-3xy^2+3y^3)+a_4(7x^4-4x^3y-6x^2y^2-4xy^3+7y^4)\\\\\\\\\r\n& = a_2(x-y)^2+3a_3(x-y)^2(x+y)+a_4(x-y)^2(7x^2+10xy+7y^2)\\\\\\\\\r\n& =(x-y)^2\\lbrace a_2+3a_3(x+y)+a_4(7x^2+10xy+7y^2) \\rbrace\r\n\\end{aligned}$$\r\n　以上の計算より，$a_2+3a_3(x+y)+a_4(7x^2+10xy+7y^2)≧0$ が任意の実数 $(x,y)$ について成り立てばよい．$(x,y)=(0,0)$ について考えれば $a_2≧0$ がわかり，$x,y \\to \\infty$ を考えれば $a_4≧0$ であることがわかる．\\\r\n　$|x+y|=t$ と置くと，$xy≦\\frac{t^2}{4}$ ．従って，$7x^2+10xy+7y^2=7(x+y)^2-4xy≧6t^2$．\\\r\n　以上の計算から，$6a_4t^2 \\pm 3a_3t+a_2$ が任意の実数 $t$ について $0$ 以上であればよい．そのための必要十分条件は，$(3a_3)^2-24a_2a_4≦0$ である． \\\r\n　以下は公式解説を参照．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563/311" }, { "content": "$X=x+y, Y=x-y$ とすると, $X+Y=2x, X-Y=2y$ なので, \\\r\n - $2(x^2+y^2)-(x+y)^2=\\frac{(X+Y)^2+(X-Y)^2}{2}-X^2=Y^2$\r\n - $4(x^3+y^3)-(x+y)^3=\\frac{(X+Y)^3+(X-Y)^3}{2}-X^3=3XY^2$\r\n - $8(x^4+y^4)-(x+y)^4=\\frac{(X+Y)^4+(X-Y)^4}{2}-X^4=6X^2Y^2+Y^4$\r\n\r\n以上より, 与えられた不等式は, $t=Y^2$ として, $$t\\\\{a_4t+(6a_4X^2+3a_3X+a_2)\\\\}\\geq0$$\r\nと変形できる.\r\n\r\nここで, 任意の実数 $X$ と非負実数 $t$ に対して対応する実数 $x,y$ が存在する. よって, 上の不等式が任意の実数 $x,y$ に対して成り立つことと, $t\\gt0$ について必ず $$a_4t+(6a_4X^2+3a_3X+a_2)\\geq0$$ であることは同値であり, \r\n - $a_4\\geq0$ (問題文の条件より, $a_4\\gt0$)\r\n - $6a_4X^2+3a_3X+a_2\\geq0$\r\n\r\nを同時に満たせばよい. \\\r\n後者は $X$ に対する二次不等式である. $a_4\\gt0$ より, 判別式 $D=(3a_3)^2-24a_2a_4$ が $0$ 以下ならよい. \\\r\n以上より, $a_4\\gt0, 3a_3^2-8a_2a_4\\leq0$を同時に満たす $(a_2,a_3,a_4)$ の組を数え上げればよい. 以下は公式解説参照.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/6563/316" } ]

[ { "content": "　$7$ 行 $7$ 列あるマス目の盤面の, $i$ 行 $j$ 列目にそれぞれ $7(i-1)+(j-1)$ を書き込むことを考える. すると問題は, 任意の黒く塗られた $4$ つのマス目の中心がマス目の各辺に平行な長方形の頂点とならないように, 盤面のマス目を $N$ 個黒く塗る通り数に言い換えられる. これ以降, 上記の塗り方でマス目が $N$ 個黒く塗られた盤面を **良い塗り方** と呼ぶ. \r\n\r\n　良い塗り方において左列から順に $a\\_1, a\\_2, a\\_3, a\\_4, a\\_5, a\\_6, a\\_7$ 個のマス目が黒く塗られていたとすると, 任意の $2$ つの列において, 任意の黒く塗られたマス目がある行 $2$ つの組を選んだときにその組が重複することはないので, \r\n$${}\\_{a_1}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_2}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_3}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_4}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_5}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_6}\\mathrm{C}\\_{2} + {}\\_{a_7}\\mathrm{C}\\_{2} \\leq {}\\_{7}\\mathrm{C}\\_{2} =21$$\r\n　をみたす. 特に $a\\_1 + a\\_2 + a\\_3 + a\\_4 + a\\_5 + a\\_6 + a\\_7$ を最大にするような組 $(a\\_1, a\\_2, a\\_3, a\\_4, a\\_5, a\\_6, a\\_7)$ は $(3,3,3,3,3,3,3)$ に限られ, $N=21$ である. \r\n\r\n　良い塗り方かどうかは各列を並び替えても不変のため, 各列を **辞書順** に並び替える. ここで各マス目に対してスコアを, $i$ 行目でありかつ黒く塗られているなら $2^{-i}$, そうでないなら $0$ としたときに, 辞書順を列の $7$ マスすべてのスコアの合計が左列から降順に並ぶ盤面と定義する. 左列から順番に黒く塗るマス目を決定する. $1$ 列目から $3$ 列目はすべて $1$ 行目のマス目が黒く塗られているので, 残りの $6$ 行を各列で $2$ 行ずつ辞書順を保って分け合う方法は $15$ 通りである. $4$ 列目から $5$ 列目まではすべて $2$ 行目のマスが黒く塗られているので, $4$ 行を各列で $2$ 行ずつ辞書順を保って分け合う方法は $3$ 通りだが, 特に良い塗り方のものは $2$ 通りである. $6$ 列目から $7$ 列目までは自動的に決定する. したがって, 良い集合の総数, すなわち良い塗り方の総数は, 各列を辞書順に並び替える前のものも含め $15\\cdot 2 \\cdot 7! = \\mathbf{151200}$ 個存在する.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/4552" }, { "content": "　$N=3+3+3+3+3+3+3=21$ のあとの計算について，辞書式を使わない方針です．部分集合 $T$ を実際に構成します．以下の説明を読む際は，$7×7$ の表を作ったうえで実際に構成しながら読むことを推奨します．\r\n\r\n　説明しやすさのため，集合 $\\lbrace 0, 1, 2, \\cdots 48 \\rbrace$ を $7$ 進法で記し，$\\lbrace 0, 1, 2, \\cdots 66 \\rbrace$ と表記する．また，以下の説明で，$p,q,r,s,t,u,v$ は一の位を意味し，$P,Q,R,S,T,U$ は十の位を意味する（十のくらいが $6$ 種類しかないのは，$0,1,\\cdots,6$があるため）．\\\r\n　まず，$1$ 桁の数が $3$ つある．それらを $p,q,r$ とする．→ $_7 C_3$ 通り\\\r\n　一の位が $p$ であるものが $2$ つある．それらの十の位を $P,Q$ とする（数としては $Pp=7P+p$ と $Qp=7Q+p$）．→ $_6 C_2$ 通り\\\r\n　一の位が $q$ であるものも $2$ つある．十の位を $R,S$ とする．→ $_4 C_2$ 通り\\\r\n　一の位が $r$ であるものは残りの $T,U$ である．（ここまでで構成した数は $p,q,r,Pp,Qp,Rq,Sq,Tr,Ur$）\\\r\n　十の位が $P$ であるものが，$p$ の他に $2$ つある．$q,r$ は使えない点に注意．$s,t$ とする．→ $_4 C_2$ 通り\\\r\n　十の位が $Q$ であるものが，$p$ の他に $2$ つある．$q,r,s,t$ は使えない．$u,v$ である．（$Ps,Pt,Qu,Qv$ が増えた）\\\r\n　十の位が $R$ であるものが，$q$ の他，$s,t$ のうちいずれか一方と，$u,v$ のうちいずれか一方．→$2^2$ 通り\\\r\n　十の位が $S$ であるものは，上で使わなかった $2$ つである．（例として $Rs,Ru,St,Sv$）\\\r\n　十の位が $T,U$ であるものは，残り $2$ 通り考えられる．\\\r\n　以上より，${}_7 C_3×{}_6 C_2×{}_4 C_2×{}_4 C_2×2^2×2$ を計算すればよい．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc184/editorial/4552/312" } ]

[ { "content": "　条件を満たす数に $1$ を足すと，$9$ でも $6$ でも割り切れる数，すなわち $18$ の倍数となる．したがって，条件をみたす数は正の整数 $n$ を用いて $18n-1$ と表すことができるので答えは $\\bf{89}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4292" } ]

[ { "content": "　与式は以下のように変形できる．\r\n$$(x-2)^2+(y-1)^2=50$$\r\nここで $x, y$ は正の整数であるから，$x-2\\geq -1, ~ y-1\\geq 0$ に注意すれば，\\\r\n$$(x-2, y-1)=(-1,7),(1, 7),(7, 1),(5, 5)$$\r\nが適する組である．すなわち\r\n$$(x, y)=(1, 8),(3, 8),(9, 2),(7, 6).$$\r\n特に解答すべき値は $\\mathbf{92}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/5220" } ]

[ { "content": "　$\\dfrac{1^2}{82}, \\dfrac{2^2}{82}, \\dfrac{3^2}{82},\\cdots, \\dfrac{41^2}{82}$ においては，隣り合う数の差は $1$ 未満であるから，それぞれの整数部分には $\\bigg\\lfloor\\dfrac{41^2}{81}\\bigg\\rfloor=20$ 以下の非負整数がすべて含まれる．一方で，$\\dfrac{41^2}{82}, \\dfrac{42^2}{82}, \\dfrac{43^2}{82},\\ldots, \\dfrac{1000^2}{82}$ においては隣り合う数の差は $1$ 以上なので，これらの整数部分はすべて相異なる．以上より，求める整数の種類数は $21+959=\\bf{980}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2162" } ]

[ { "content": "　一般に $2$ 行 $n$ 列のマス目に条件を満たすように塗る方法の総数を $a_{n}$ とおく．$n\\ge2$ のとき，最左の $2$ マスをともに塗らない場合の残りの塗り方は $a_{n-1}$ 通りであるから，最左の $2$ マスのうち上側 $1$ マスを塗る方法は，対称性より $(a_n-a_{n-1})\\/2$ 通りである．一方で，最左の $2$ マスのうち上側 $1$ マスを塗る場合は，$2$ 列目は $2$ マスをともに塗らないか，下側 $1$ マスを塗るかいずれかであるから，$n\\ge3$ のとき\r\n$$\\dfrac{1}{2}(a_n-a_{n-1}) = a_{n-2} + \\dfrac{1}{2}(a_{n-1}-a_{n-2})\\$$\r\nすなわち\r\n$$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$$\r\nを得る．これより，$a_1 = 3, a_2 = 7$ と合わせて順に計算することで $a_{7}=\\bf{577}$ を得る．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4102" } ]

[ { "content": "　$n = 100$ とする．相加相乗平均の不等式より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nP(a,b,c)&=\\sqrt{ab}+\\sqrt{bc}+\\sqrt{ca}-(a+b+c^n)\\\\\\\\\r\n&\\leq\\dfrac{a+b}{2}+\\dfrac{b+c}{2}+\\dfrac{c+a}{2}-(a+b+c^n)\\\\\\\\\r\n&=c-c^n\r\n\\end{aligned}$$\r\nであり，等号は $a=b=c$ のときのみ成立する．\r\nまた再度相加相乗平均の不等式より\r\n$$\r\nc - c^n\r\n= \\big(nc^n\\big(n^{-1\\/(n - 1)}\\big)^{n - 1}\\big)^{1\\/n} - c^n\r\n\\leq \\cfrac{nc^n + \\cfrac{n - 1}{n^{1\\/(n - 1)}}}{n} - c^n\r\n= \\dfrac{n-1}{n^{n\\/(n-1)}}$$\r\nであり，等号は $c=n^{-1\\/(n-1)}$ のときのみ成立する．なお，微分を用いても同様のことが確認できる．以上より次が確認できる：\r\n$$M=\\dfrac{n-1}{n^{n\\/(n-1)}},\\quad A=\\dfrac{1}{n^{1\\/(n-1)}}$$\r\nこのとき $\\dfrac{M}{A}=\\dfrac{n-1}{n} = \\dfrac{99}{100}$ であるから，解答すべき値は ${\\bf 199}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4732" }, { "content": "　厳密性には欠けますが，最大値の存在を仮定して解く方法です．\r\n***\r\n　$P(a,b,c)$ を $a,b,c$ でそれぞれ偏微分すると\r\n$$ \\frac{\\partial P}{\\partial a} = \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{a}} + \\frac{\\sqrt{c}}{2 \\sqrt{a}} - 1$$\r\n$$ \\frac{\\partial P}{\\partial b} = \\frac{\\sqrt{a}}{2 \\sqrt{b}} + \\frac{\\sqrt{c}}{2 \\sqrt{b}} - 1$$\r\n$$ \\frac{\\partial P}{\\partial c} = \\frac{\\sqrt{b}}{2 \\sqrt{c}} + \\frac{\\sqrt{a}}{2 \\sqrt{c}} - 100c^{99}$$\r\nとなる．ここで，$P(a,b,c)$ が極大値をとるとき $ \\displaystyle \\frac{\\partial P}{\\partial a} = \\frac{\\partial P}{\\partial b} = \\frac{\\partial P}{\\partial c} = 0$ が成り立つ．これを解いて $a = b = c = 100^{-1\\/99}$ を得る．\\\r\n　あとは公式解説と同様に $M,A$ が求まり，答えは $\\mathbf{199}$ となる．", "text": "偏微分による解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4732/308" }, { "content": "僕が本番中にした解法です．\r\n***\r\n$$P(a,b,c)=-\\dfrac12\\lbrace(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})^2+(\\sqrt{b}-\\sqrt{c})^2+(\\sqrt{c}-\\sqrt{a})^2\\rbrace+c-c^{100}$$\r\nと変形でき，$-\\dfrac12\\lbrace(\\sqrt{a}-\\sqrt{b})^2+(\\sqrt{b}-\\sqrt{c})^2+(\\sqrt{c}-\\sqrt{a})^2\\rbrace$ を $0$ にし，$c-c^{100}$ を最大化したいが，これは $c-c^{100}$ が最大値を取る $c$ を $\\alpha$ とすると，$P(\\alpha,\\alpha,\\alpha)$ で実現可能である．", "text": "知っておくとたまに便利な式変形", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/4732/313" } ]

[ { "content": "　$\\angle PAR=\\theta$ とおくと，三角形 $ARS$ と三角形 $APQ$ が相似であることと，正弦定理から以下が分かる.\r\n$$RS=PQ\\cos \\theta,\\quad AB=\\frac{PQ}{\\sin \\theta}$$\r\nしたがって，$\\cos\\theta\\sin\\theta = \\dfrac{2}{5}$ であるから，$\\tan\\theta = 2, \\dfrac{1}{2}$ を得る．\r\nまた，\r\n$$\\angle PAB = \\angle PQB = 90^\\circ - \\angle AQP = 90^\\circ - \\angle ASR$$\r\nより直線 $AB$ と $RS$ は直交するので，求める面積は\r\n$$\\frac{1}{2}\\times AB\\times RS=\\dfrac{PQ^2}{2\\tan\\theta} =\\dfrac{288}{\\tan\\theta}$$\r\n以上より，求める総和は $288\\times\\left(2+\\dfrac{1}{2}\\right)=\\textbf{720}$ である．なお，$BP=7$ は余剰な条件である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192" }, { "content": "$PR$ と $QS$ の交点を $H$ とすると，$H$ は三角形 $APQ$ の垂心である. $\\angle PSQ=\\angle PRQ=90^{\\circ}$ より，$P, S, R, Q$ は共円だから，三角形 $ARS$ と $APQ$ は相似. さらに，$$\\angle ASH=\\angle ARH=90^{\\circ},　\\angle AQB=\\angle APB=90^{\\circ}$$ より，この相似において $H$ と $B$ は対応する. よって，$AH:RS=AB:PQ$ だから，$AB:RS=5:2$ より $AB=5x, RS=2x, AH=\\dfrac{5}{12}x^2$ とおける. いま，三角形 $APQ$ の外接円を $\\Gamma$，外心を $O$ とし ($O$ は明らかに線分 $AB$ の中点である)，$QO$ と三角形 $APQ$ の外接円の交点を $X$ とすると，これは $H$ を $AB$ の中点で折り返した点であるから，$$AH^2+PQ^2=XP^2+PQ^2=XQ^2=AB^2=25x^2$$ である. よって，$\\dfrac{25}{144}x^4+576=25x^2$ だから，これを解いて $x^2=\\dfrac{576}{5}, \\dfrac{144}{5}$. いま，$HS\\parallel BP, HR\\parallel BQ$ より，以下が成立する. \r\n$$|RASB|=|ASHR|+|SHB|+|RHB|=|ASHR|+|SHP|+|RHQ|=|APHQ|=\\dfrac{AH×BC}{2}=5x^2$$\r\nよって，$RASB$ の面積としてありうる値の総和は $5×\\left(\\dfrac{576}{5}+\\dfrac{144}{5}\\right)=\\textbf{720}$.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192/314" }, { "content": "　$AB=5x,RS=2x$ とおく．三角形 $APQ$ の垂心を $H$，その外接円の中心を $O$，線分 $PQ$ の中点を $M$，$PO$ と外接円との交点を $T(\\neq P)$，$AB$ と $PQ$ の交点を $U$ とする．$P, Q, R, S$ および $A, B, P, Q$ はそれぞれ共円より $\\angle ASR = \\angle AQP = \\angle ABP$ となるから，$B, P, S, U$ は共円で $\\angle AUS=\\angle APB = 90^{\\circ}$ となる．ゆえに四角形 $ARBS$ の面積は $\\dfrac{1}{2} \\times AB \\times RS = 5x^2$．また，$AH=2OM=TQ=\\sqrt{PT^2-PQ^2}=\\sqrt{25x^2-576}$ である．三角形 $ARS$ と三角形 $APQ$ の相似比は，それらの外接円の直径の比に等しいから，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nRS:PQ=AH:AB &\\Leftrightarrow 2x:24=\\sqrt{25x^2-576}:5x\\\\\\\\\r\n&\\Leftrightarrow(5x^2)^2-720(5x^2)+82944=0\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\nしたがって，解と係数の関係より求めるべき総和は $\\bf{720}$ となる(厳密には $2$ 解が問題の条件に適しているか確認しなければならない)．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc183/editorial/2192/315" } ]

[ { "content": "　与式に $y=x-f(x)$ を代入すると，任意の実数 $x$ に対し $$f(f(x)+(x-f(x)))=f(x)+{2}\\cdot{x}+{2}\\cdot{(x-f(x))}+4$$ すなわち，$$f(x)=2x+2$$ が成立し，確かにこれは与式を満たすから，$f(2023)=\\mathbf{4048}$ と分かる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/7890" } ]

[ { "content": "　$20$ 以下の素数は $2,3,5,7,11,13,17,19$ の $8$ つである．$3\\times17\\times19=969\\lt1000$ であるから，$N$ は $2,3$ を約数に持たない．よって $N$ は奇数である．$13\\times17\\times19=4199\\lt5000$ と合わせれば，$N$ の一の位及び千の位は $1$ または $3$ である．一般に偶数桁の回文数が $11$ の倍数であることにも注意すれば，$N$ の素因数の組み合わせは $$(7,11,13),(7,11,19),(11,13,17),(11,17,19)$$\r\nのいずれかである．これらのうち積が回文数となるのは $(7,11,13),(11,17,19)$ のみであり，求める答えは $\\bold{4554}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/4161" } ]

[ { "content": "　全体を，頂点が正 $3n$ 角形の頂点，辺（有向）が各頂点とその頂点から操作を一回行った時のコインの行き先の頂点を結ぶ有向グラフとみなす．このグラフが閉路を持つのは明らかであり，その閉路の大きさの最小値は $n$ であるから，条件を満たす頂点はこのときの閉路上のすべての頂点のみである． \\\r\n　従って，条件を満たす頂点は $\\bmod\\ 3$ で等しい頂点 $n$ 個の組でなければならず，これらの頂点にはすべて $3$ が書き込まれていることがわかる． \\\r\n　ここで上記のように頂点 $n$ 個の組からなる閉路を持ち，かつ，他にも閉路を持つとき，その閉路は頂点をちょうど $n$ 個持つ．\r\n　<details><summary>証明<\\/summary>\r\n　まず， $n$ 個の頂点の組からなる閉路の頂点の組を $\\bmod\\ 3$ で $0$ と等しい $n$ 個の頂点の組としても一般性を失わない． \\\r\n　他にも $A_i(i \\equiv 1\\pmod3)$ を含む閉路が存在するとき，$A_i$ からのコインの行先は $A_{i+2}$ もしくは $A_{i+3}$ となるが，この閉路には，$\\bmod\\ 3$ で $0$ と等しい頂点を持たないから，$A_i$ からのコインの行先は $A_{i+3}$ であり，$A_{i+3}$ も閉路に属す．\\\r\n　以下，同様に繰り返すことで，この閉路の頂点の組は $\\bmod\\ 3$ で $1$ と等しい $n$ 個の頂点の組であることがわかる．\\\r\n　また， $A_i(i \\equiv 1\\pmod3)$ を含まない他の閉路が存在するとき，この閉路は $\\bmod\\ 3$ で $0$ と等しい頂点を持たないから，この閉路は $\\bmod 3$ で $2$ と等しい $n$ 個の頂点の組からなることがわかる．\\\r\n　よって，いずれの場合も閉路を構成する頂点の個数は $n$ 個である．（証明終）\r\n<\\/details>\r\n\r\n　ここで，長さ $n$ の閉路をちょうど二つ持つ書き込み方は $3\\times2^{n}-3$ 通り，ちょうど三つ持つような書き込み方は $1$ 通りであるから\r\n $$ \\begin{aligned} \r\n a_n &=3 \\times 2^{2n}-2 \\times (3 \\times 2^{n}-3)-3 \\times 1 \\\\\\\\\r\n &=3 \\times 4^{n}-6 \\times 2^{n}+3 \r\n \\end{aligned} $$\r\nである．あるいは，長さ $n$ の閉路の選び方 $3$ 通りに，閉路を $1$ つずつずらした $n$ 頂点の決め方 $(2^n-1)^2$ を乗じることでも同じ表式を得る． \\\r\n　よって求めるべき値は\r\n $$ \\begin{aligned} \r\n \\sum_{n=1}^{2023}a_n &=\\sum_{n=1}^{2023}(3 \\times 4^{n}-6 \\times 2^{n}+3) \\\\\\\\\r\n & \\equiv 3 \\times \\sum_{n=1}^{7}4^{n}-6 \\times \\sum_{n=1}^{14}2^{n}+3 \\times 2023\\\\\\\\\r\n &=3 \\times \\frac{4^{8}-4}{3}-6 \\times (2^{15}-2)+3 \\times 2023 \\\\\\\\\r\n & \\equiv -4+12+6069\\\\\\\\\r\n &=\\mathbf{6077} \\pmod{2^{16}}\r\n \\end{aligned} $$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/6961" } ]

[ { "content": "　$x^2f(x,y)$ は $y^2$ を因数に持ち，さらに交代式であるから $y-x$ も因数に持つ．これより $f(x,y)$ は多項式 $g(x,y)$ を用いて $y^2(y-x)g(x,y)$ と表せる．さらに $g(x,y)$ は $2$ 次の対称式であるため，実数 $a,b,c,d$ を用いて\r\n$$g(x,y)=a(x^2+y^2)+bxy+c(x+y)+d$$\r\nと表すことができる．このとき $f(x,y)$ の $y^5,xy^4,y^4$ の係数はそれぞれ $a,b-a,c$ であるから，問の条件と合わせて $a=1,b=c=3$ を得る．また $g(2,3)=111$ が分かるから $d=65$ である．\\\r\n　以上より，\r\n$$f(x,y)=y^2(y-x)(x^2+y^2+3xy+3x+3y+65)$$\r\nであるから，求める答えは $f(5, 7) = \\mathbf{27440}$ である．\r\n\r\n<details> <summary> 交代式について\r\n<\\/summary>\r\n　ある $2$ 変数多項式 $u(x,y)$ が\r\n$$u(x,y)= -u(y,x)$$\r\nをみたすとき，$u$ を**交代式**という．このような交代式は $u(x,x)=0$\r\nをみたしているため，$x$ の $1$ 変数多項式とみれば，因数定理より $x-y$ を因数に持つことが分かる．したがってある $2$ 変数多項式 $v(x, y)$ により $u(x, y) = (x-y) v(x, y)$ とかけるが，このとき\r\n$$ (x-y) v(x, y) = u(x, y) = -u(y, x) = - (y-x) v(y, x) $$\r\nであるので，$v(x, y) = v(y, x)$，すなわち $v$ が対称式であることも従う．\r\n<\\/details>", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/7040" } ]

[ { "content": "　$∠BDC=∠BEC=90^\\circ$ より $4$ 点 $B,C,D,E$ は同一円周上にあるから，$∠DBE=∠DCE$ である．ゆえに $∠DFB=∠CGE$ であるから，$4$ 点 $D,E,F,G$ は同一円周上にあり，$P$ はこの円の中心である．よって，\r\n$$\\begin{aligned}∠BPC&=∠BAC+∠ABP+∠ACP\\\\\\\\\r\n&=∠BAC+\\frac{1}{2}∠ABD+\\frac{1}{2}∠ACE\\\\\\\\\r\n&=∠BAD+∠ABD\\\\\\\\\r\n&=90^\\circ \\end{aligned}$$\r\nとなり，$P$ は線分 $BC$ を直径とする円周上にある．これより $BC=2PQ=40$ である．また $∠ABD=\\dfrac{1}{2}∠EQD$ となるから，\r\n$$\\sin∠BAC=\\sin∠QED=\\frac{\\sqrt{20^2-\\left( \\dfrac{9}{2} \\right)^2}}{20}=\\frac{\\sqrt{1519}}{40}$$\r\nとなる．よって，正弦定理より三角形 $ABC$ の外接円の半径は $\\dfrac{BC}{2\\sin∠BAC}=\\dfrac{800}{\\sqrt{1519}}$\r\nであり，解答すべき値は $800^2 + 1519 = \\bm{641519}$ である．\r\n\r\n　なお，問題文で与えられている $AQ = 23$ の条件は，この問題を解答するにあたっては必要ない．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/2762" }, { "content": "　$5$ 点 $B$，$C$，$D$，$E$，$P$ が同一円周上にあることに気づけなかった場合の解法です．\\\r\n　点 $Q$ 中心の円上に $4$ 点 $B$，$C$，$D$，$E$ があり，点 $P$ 中心の円上に $4$ 点 $D$，$E$，$F$，$G$ があることは前提とします（公式解説参照）．\r\n\r\n　$\\triangle{ABC} \\sim \\triangle{ADE}$ であり，相似比は $1:\\cos A$，$BC=\\dfrac{9}{\\cos A}$．さらに正弦定理より，$\\triangle ABC$ の外接円の半径は $\\dfrac{9}{2\\sin A\\cos A}$．よって，$\\sin A$ を求めることが目的となる．\\\r\n　$2$ つの円の交点が $D$，$E$ であることから，$DE \\perp PQ$．また，$PD=PE$，$QD=QE$（以下の議論には全く無関係だが，このような四角形をたこ型という）．この四角形については，$DE=9$，$PQ=20$ と長さがわかっているため，四角形 $DPEQ$ の角度を $\\angle A$ を用いて表し，そこから $\\sin A$ を求めたい．\\\r\n　$\\angle ABD=90^{\\circ}-A$ であり，$BD=BF$ より $\\angle BFD=45^{\\circ}+\\frac{A}{2}$，円周角の定理より $\\angle DPE=90^{\\circ}+A$．\\\r\n　$QB=QE$ より $\\angle BQE=180^{\\circ}-2\\angle B$，$QC=QD$ より $\\angle CQD=180^{\\circ}-2\\angle C$．これらより，$\\angle DQE=180^{\\circ}-2A$．\\\r\n　ここから $\\angle PDE$，$\\angle QDE$ を求めることで，次の式を得る：$9 \\tan (45^{\\circ}-\\frac{A}{2})+9 \\tan A=40$\\\r\n　加法定理を用いて，$\\dfrac{1-\\tan \\frac{A}{2}}{1+\\tan \\frac{A}{2}}+\\dfrac{2 \\tan \\frac{A}{2}}{1-\\tan ^2 \\frac{A}{2}}=\\dfrac{40}{9}$ ．以下，$\\tan \\frac{A}{2}$ を計算し，そこから $\\sin A$ 等を求めればよい．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/2762/306" } ]

[ { "content": "　 $d$ を $n$ の正の約数とする．$\\gcd(k,n)=d$ となる必要十分条件は， $k$ が $d$ の倍数かつ $\\gcd \\left( \\dfrac kd, \\dfrac nd \\right) = 1$ となることである．したがって，$\\gcd(k,n)$ を固定して数え上げると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(n) &= \\sum_{d \\mid n}d\\times\\phi\\bigg(\\frac{n}{d}\\bigg) \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{d\\mid n}\\frac{n}{d}\\times\\phi(d) \\\\\\\\\r\n&= n\\sum_{d\\mid n}\\dfrac{\\phi(d)}{d}\r\n\\end{aligned}$$\r\nを得る．ここで， $g(d)=\\dfrac{\\phi(d)}{d}$ は乗法的関数（任意の互いに素な正整数 $\\ell, m$ に対して $g(\\ell m)=g(\\ell)g(m)$ が成り立つ関数）であるから，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nn\\sum_{d\\mid n}\\frac{\\phi(d)}{d}\r\n&= n\\prod_{p|n}\\sum_{k=0}^{\\mathrm{ord}_ p(n)}\\frac{\\phi(p^k)}{p^k} \\\\\\\\\r\n&= n\\prod_{p|n}\\left(1+\\sum_{k=1}^{\\mathrm{ord}_ p(n)}\\frac{p-1}{p}\\right) \\\\\\\\\r\n&= n\\prod_{p|n}\\frac{(p-1)\\mathrm{ord}_ p(n)+p}{p} \\\\\\\\\r\n&= \\prod_{p|n} p^{\\mathrm{ord}_ p(n)-1}\\big((p-1)\\mathrm{ord}_ p(n)+p\\big)\r\n\\end{aligned}$$\r\nとなる．ここで $p$ が奇素数のとき，$ p^{\\mathrm{ord}_ p(n)-1}\\big((p-1)\\mathrm{ord}_ p(n)+p\\big)$ は奇数になるから，\r\n\r\n$$\\mathrm{ord}_ 2(f(n))=\\mathrm{ord}_ 2(\\mathrm{ord}_ 2(n)+2)+\\mathrm{ord}_ 2(n)-1$$\r\n\r\nとなる．いま $e=\\mathrm{ord}_ 2(n)+2$ とおくと問題文の条件は\r\n\r\n$$\\mathrm{ord}_ 2(e)+e=2^{2023}+2059$$\r\n\r\nと同値である．$e\\leq2^{2023}$ のとき，$\\mathrm{ord}_ 2(e)+e\\le2023+2^{2023}$ より不適である．$e\\gt2^{2023}$ のとき，$e=2^{2023}+2059-t$（ $t$ は $2059$ 未満の非負整数）とおくと，$\\mathrm{ord}_ 2(2059-t)=t$ より $t=0,1,3,11$，すなわち $e=2^{2023}+2048+k$（ $k=0,8,10,11$ ）のとき適することがわかる．\\\r\n　以上より，$\\mathrm{ord}_ 2(f(n))=2^{2023}+2056$ の必要十分条件は $\\mathrm{ord}_ 2(n)=2^{2023}+2046+k$（ $k=0,8,10,11$ ）が成り立つことである．これを満たす正整数 $n$ は周期的であることに留意して，$10000$ 番目に小さい正整数 $n$ は $19891\\times2^{2^{2023}+2046}$ と求まる．よって，求めるべき値は $19891+2^{2023}+2046\\equiv\\mathbf{876}\\pmod{1009}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471" }, { "content": "　$\\mathrm{ord}_2(f(n))$ の求め方についてです．\\\r\n　数学的に好ましい方法ではない（厳密性に欠ける）のですが，この手の整数論の問題は公式解説のように乗法的関数が絡む可能性が高いので，$n$ の素因数が $1$ 個の場合，素因数が $2$ 個の場合を考えて，そこから帰納的に推測することも可能です．以下，実際に計算してみます．\\\r\n　$n=p^x$ とすると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(n) &= 1×n \\left( 1-\\dfrac{1}{p}\\right)+p×n \\left( \\dfrac{1}{p}-\\dfrac{1}{p^2}\\right)+p^2×n \\left( \\dfrac{1}{p^2}-\\dfrac{1}{p^3}\\right)+ \\cdots +p^{x-1}×n\\left( \\dfrac{1}{p^{x-1}}-\\dfrac{1}{p^x}\\right)+p^x \\\\\\\\\r\n& = n \\left\\lbrace \\left( 1-\\dfrac{1}{p}\\right)x+1 \\right\\rbrace\r\n\\end{aligned}$$\r\n　$n=p^x q^y$ とすると（ここがやや難しいです），\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(n) & = \\sum_{i≦x-1,j≦y-1} p^i q^j×n \\left( \\dfrac{1}{p^i}-\\dfrac{1}{p^{i+1}}\\right)\\left( \\dfrac{1}{q^j}-\\dfrac{1}{q^{j+1}}\\right) \\\\\\\\\r\n& + \\sum_{i=x,j≦y-1} p^x q^j×n \\cdot \\dfrac{1}{p^x}\\left( \\dfrac{1}{q^j}-\\dfrac{1}{q^{j+1}}\\right) +\\sum_{i≦x-1,j=y} p^i q^y×n \\cdot \\dfrac{1}{q^y}\\left( \\dfrac{1}{p^i}-\\dfrac{1}{p^{i+1}}\\right) +p^xq^y\\\\\\\\\r\n& = xyn\\left( 1-\\dfrac{1}{p}\\right)\\left( 1-\\dfrac{1}{q}\\right)+yn\\left( 1-\\dfrac{1}{q}\\right)+xn\\left( 1-\\dfrac{1}{p}\\right)+n\\\\\\\\\r\n& = n\\left\\lbrace \\left( 1-\\dfrac{1}{p}\\right)x+1 \\right\\rbrace\\left\\lbrace \\left( 1-\\dfrac{1}{q}\\right)y+1 \\right\\rbrace\r\n\\end{aligned}$$ \r\n　以上の結果より，$n=p_1^{x_1} p_2^{x_2} \\cdots$ であれば，$f(n)=n\\left\\lbrace \\left( 1-\\dfrac{1}{p_1}\\right)x_1+1 \\right\\rbrace\\left\\lbrace \\left( 1-\\dfrac{1}{p_2}\\right)x_2+1 \\right\\rbrace \\cdots$ であると推測できます．\\\r\n　公式解説とは見た目が全く違いますが，上式が $\\prod\\limits_{p|n}p^{\\mathrm{ord}_p(n)-1}((p-1)\\mathrm{ord}_p(n)+p)$ と一致しています．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471/307" }, { "content": "　乗法的関数に関する知識がなくても、以下のようにして解くことができる。\r\n　 $n={p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}\\cdots {p_m}^{q_m}$ において， $\\mathrm{gcd}(k,n)=\\mathrm{gcd}(k,{p_1}^{q_1})\\mathrm{gcd}(k,{p_2}^{q_2})\\cdots \\mathrm{gcd}(k,{p_m}^{q_m})$ である．また，中国剰余定理より， $1$ 以上 $n$ 以下の整数 $i$ は，以下を満たす $m$ 個の整数の組と一対一対応できる．$$A_i=({a_i}\\_{1},{a_i}\\_{2},\\cdots,{a_i}\\_{m})(0\\leq a_j \\leq {p\\_{j-1}}^{q\\_{j-1}},i \\equiv {a_i}_s \\pmod {{p_s}^{q_s}})$$\r\n　ここで， $\\mathrm{gcd}(k,{p_s}^{q_s})=\\mathrm{gcd}(k \\pmod {{p_s}^{q_s}},{p_s}^{q_s})=\\mathrm{gcd}({a_k}\\_s,{p_s}^{q_s})$ となるので，\r\n\r\n $\\mathrm{gcd}(k,n)=\\mathrm{gcd}({a_k}\\_1,{p_1}^{q_1})\\mathrm{gcd}({a_k}\\_2,{p_2}^{q_2})\\cdots \\mathrm{gcd}({a_k}\\_m,{p_m}^{q_m})$ と書き換えられる．よって， $a_k\\_s$ に， $0$ 以上 ${p_s}^{q_s}$ 以下の数が全て同じ回数現れることより，\r\n\r\n $f(n)=\\sum\\limits\\_{k=1}^{n} \\mathrm{gcd}(k,n) $\r\n\r\n $= (\\mathrm{gcd}(0,{p_1}^{q_1})+\\mathrm{gcd}(1,{p_1}^{q_1})+\\cdots +\\mathrm{gcd}({p_1}^{q_1}-1,{p_1}^{q_1})) \\cdots (\\mathrm{gcd}(0,{p_m}^{q_m})+\\mathrm{gcd}(1,{p_m}^{q_m})+\\cdots +\\mathrm{gcd}({p_m}^{q_m}-1,{p_m}^{q_m})) $\r\n\r\n$=\\prod\\limits\\_{x=1}^{m} ((q_x+1)p_x-q_x){p_x}^{q_x-1}$ となり，\r\n\r\nこれは本解説の $\\prod\\limits\\_{p|n} p^{\\mathrm{ord}_p (n)-1}((p-1)\\mathrm{ord}_p (n) +p)$ と同値である．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc182/editorial/9471/310" } ]

[ { "content": "　$1$ 以上 $9$ 以下の正の整数 $x_1, \\ldots, x_n$ が $x_1 x_2 \\cdots x_n = 9!$ を満たしているとき，\r\n$$ N = x_1 + 10 x_2 + \\cdots + 10^{n-1} x_n $$\r\nとしてありうる最小の値を求めればよい．$9! = 2^7 \\cdot 3^4 \\cdot 5 \\cdot 7$ であるので，$5$ と $7$ は $N$ の桁に含まれる．ここで $n \\le 6$ と仮定すると，\r\n$$9! = x_1 x_2 \\cdots x_n \\le 5 \\cdot 7 \\cdot 9^4$$\r\nより $128 \\le 81$ を得るが，これは不適である．よって $n \\ge 7$ となる．\\\r\n　$n = 7$ の場合を，$N$ が小さい方から考える．$x_7 = 1$ のとき，$N^\\prime = x_1 + 10 x_2 + \\cdots + 10^5 x_6$ が $6$ 桁かつ各位の積が $9!$ となる正の整数となるが，これは $n \\ge 7$ に矛盾する．$x_7 = 2$ のとき，$x_1 x_2 \\cdots x_6 = 2^6 \\cdot 3^4 \\cdot 5 \\cdot 7$ より $(x_1, x_2, \\ldots, x_6)$ は $(5, 7, 8, 8, 9, 9)$ の並び替えとなることがわかり，このうち $N$ が最小となるのは $N = \\mathbf{2578899}$ のときである．\\\r\n　なお，$n=7$ かつ $x_7 \\ge 3$ および $n \\ge 8$ の場合は，$N \\ge 2578899$ となるので考える必要はない．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/9637" } ]

[ { "content": "　$(a, b, c)$ が満たす条件は，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n0 &= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \\\\\\\\\r\n&= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \\\\\\\\\r\n&= \\frac{1}{2}(a + b + c)((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nと同値．よって，$a + b + c = 0$ または $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ が成立する．従って，以下の場合分けより求める答えは $37 + 7 - 1 = \\bf{43}$ である．\r\n\r\n- $a + b + c = 0$ である場合\\\r\nこの場合の $(a, b, c)$ の組の数は，$|a + b| \\le 3$ を満たす組 $(a, b)$ の数と一致する．$a$ を固定したとき $b$ の必要十分条件は $\\max(-a - 3, -3) \\le b \\le \\min(3 - a, 3)$ であるから，このような $b$ は $7 - |a|$ 個存在する．従ってこの場合の求める $(a, b, c)$ の組の数は\r\n\r\n$$\r\n7 + 2\\sum_{k = 1}^{3}(7 - k) = 37.\r\n$$\r\n\r\n- $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ である場合\\\r\n明らかに $a = b = c$ と同値であるから，この場合の $(a, b, c)$ の組は $7$ 組．\r\n\r\n- $a + b + c = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$ である場合\\\r\n$a = b = c$ かつ $a + b + c = 0$ であるから，この場合の $(a, b, c)$ の組は $(0, 0, 0)$ の $1$ 組．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3427" } ]

[ { "content": "　二人が南北の道路を合計で $k$ 回通ったとするとき，明らかに $k$ は偶数である．また，そのうち左側から $2i-1$ 本目と $2i$ 本目の南北の道路を使った人は同じである．南北の道路の使う場所の決め方は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{k}$ 通り，左側から $1,3,\\ldots,k\\/2-1$ 本目の南北の道路を使う人の決め方はそれぞれ $2$ 通りあるから，求める総数は\r\n$$ {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{0}\\times 2^0 + {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 2^1 + \\cdots + {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{8}\\times 2^4 + {}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{10}\\times 2^5 = \\bf{3363}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3197" }, { "content": "　一般に $2\\times n$ の長方形で二人が左から右に行く道順の数を $a_n$ とします．すなわち求めたいのは $a_9$ です．\\\r\n漸化式を使って解きましょう．\r\n\r\n・二人が最初にどちらも右に移動するならば残りの道順は $a_{n-1}$ だけあります．\\\r\n・小野寺さんが初手で下に行き， $1\\leq k\\leq n-1$ 回右に行った後で上に移動すると残りの道順は $a_{n-k-1}$ だけあります．( $a_0=1$ とします)\\\r\n・芹沢さんが初手で上に行き， $1\\leq k\\leq n-1$ 回右に行った後で上に移動すると残りの道順は $a_{n-k-1}$ だけあります．\\\r\n・小野寺さんが初手で下に行き， $n$ 回右に行った後で上に移動すると残りの道順は $1$ だけあります．\\\r\n・芹沢さんが初手で上に行き， $n$ 回右に行った後で上に移動すると残りの道順は $1$ だけあります．\r\n\r\nしたがって次の漸化式が得られます．\r\n$$a_n=a_{n-1}+2(a_{n-2}+\\cdots+a_0)+2$$\r\nこれと $n$ を $n+1$ とした式の差をとって次を得ます．\r\n$$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}　(n=2,3,...)$$ \r\n $a_1=3,a_2=7$ なのでこの漸化式を用いて $a_3=17,a_4=41,a_5=99,a_6=239,a_7=577,a_8=1393,a_9=\\mathbf{3363}$ を得ます．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3197/300" }, { "content": "東西の道をそれぞれ北から北道，中央道，南道とする．\\\r\n南北の道が $n+1$ 本あるとき，小野田と芹沢が東西の道のうち最後に通るのがそれぞれ北道と南道である場合の数を $a_n$ ，北道と中央道である場合の数を $b_n$ ，中央道と南道である場合の数を $c_n$ とする．\\\r\n対称性より $b_n=c_n$ である．\\\r\n小野田と芹沢は同じ南北の道を通れないので，\r\n$$a_{n+1}=a_n+b_n+c_n=a_n+2b_n$$ $$b_{n+1}=a_n+b_n$$ $$a_1=1，b_1=1$$\r\n求めたいのは $a_9+2b_9$ なのであとは頑張りましょう．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3197/303" }, { "content": "　中段にある東西方向の $9$ 本の道に対し，小野田が通る道を $x$ とし，芹沢が通る道を $y$ とし，二人とも通らない道を $z$ とすると，$x$ と $y$ は隣り合ってはならず，逆に，中段にある東西方向の $9$ 本の道に対し，$x$ と $y$ が隣り合わないように $x,y,z$ を振り分けることで，二人の経路がただ一つに定まる． \r\nよって，問題は「 $x,y,z$ を計 $n$ 個並べる方法のうち $x$ と $y$ が隣り合わないようなものの総数を $a_n$ とするとき，$a_9$ を求めよ」という問題に帰着された． \r\n 条件を満たす $n+2$ 文字の文字列において，$z$ から始まるものは $a_{n+1}$ 通りあり，$x,z$ から始まるものは $a_n$ 通りあり，$x,x$ か $y,y$ か $y,z$ から始まるものは(条件を満たす $n+1$ 文字の文字列において $x$ からはじまるものの左に $x$ をおくか $y$ からはじまるものの左に $y$ をおくか $z$ からはじまるものの左に $y$ をおく操作を考えて) $a_{n+1}$ 通り． \r\n以上より，$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ となり，あとは natu_math さんのユーザー解説と同様にして $a_9=\\textbf{3363}$ が得られる．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3197/304" } ]

[ { "content": "　線分 $BE$ の中点を $K$ とし，$N$ に関して $K$ と対称な点を $L$ とする．四角形 $KBDL$ と $KBCM$ は平行四辺形なので，三角形 $KML$ と三角形 $BCD$ は合同であり，特に $\\angle KML = 90^\\circ$．これと $N$ が線分 $KL$ の中点であることから，$N$ は三角形 $KLM$ の外心であり，特に $MN = NK$．以上より，\r\n$$MN^2 = NK^2 = \\bigg(\\frac{AD}{2}\\bigg)^2 + \\bigg(\\frac{AB}{2}\\bigg)^2 = \\textbf{69593}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3610" }, { "content": "　四角形 $ABCD$ の外心を $O$ とする．三角形 $DBE$ で中点連結定理より，$\\overrightarrow{NO}=\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{EB}=\\dfrac{1}{2}\\overrightarrow{FC}=\\overrightarrow{MC}$ となるので，四角形 $OCMN$ は平行四辺形． \r\nよって，$NM=OC=\\dfrac{BD}{2}$ となり，$MN^2=\\dfrac{{AB}^2+{AD}^2}{4}=\\textbf{69593}$．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/3610/302" } ]

[ { "content": "　$(n_1, n_2, \\ldots, n_{11})$ が条件を満たす必要十分条件は，すべて $1110 = 2 \\times 3 \\times 5 \\times 37 $ の約数であり，その上で各 $p \\in \\\\{2, 3, 5, 37\\\\}$ に対し，任意の $1 \\leq i \\leq 10$ なる整数 $i$ について以下が成り立つことであることが確認できる．\r\n- $n_i$ と $n_{i+1}$ のうち少なくとも一方は $p$ で割り切れる．\r\n\r\n　したがって，$n_1, n_2, \\ldots, n_k$ が $p$ で「割り切れる」か「割り切れないか」決める方法は，\r\n$n_1, n_2, \\ldots, n_k$ を順に，$p$で割り切れるならば $P$，割り切れないならば $Q$ と置き換えて $k$ 文字の文字列をつくるとき，$Q$ が $2$ つ連続しないような文字列の個数 $X_k$ に対応する．また，各 $p \\in \\\\{2, 3, 5, 37\\\\}$ に対し，$p$ で割り切れるか割り切れないか定めることで $1110$ の約数が一意に定まるので，求める組の個数は $X^4_{11}$ に等しい．\\\r\n　$X_1 = 2, X_2 = 3$ を満たし，$k \\geq 3$ のときは一番右に $P, Q$ を配置した場合の個数がそれぞれ $X_{k-1}, X_{k-2}$ であることが分かるので，$X_k = X_{k-1} + X_{k-2}$ が成り立つ．以上で $X_{11} = 233$ が導けるので，条件を満たす組は全部で $\\mathbf{2947295521}$ 個である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/7977" } ]

[ { "content": "　$11$ 以下の正整数 $n$ に対し $T_n$ を\r\n$$T_n = \\sum_{k = n}^{11} a_k$$\r\nと定めると，$\\displaystyle A = \\prod_{n=1}^{11} T_n$ と表すことができる．一方で\r\n$$\\sum_{n=1}^{11} n^2 a_n = \\sum_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n$$\r\nが成り立つので，\r\n$$N = \\prod_{n=1}^{11} (2n - 1) = 3^5 \\times 5^2 \\times 7^2 \\times 11 \\times 13 \\times 17 \\times 19$$\r\nとすると，相加平均・相乗平均の不等式から\r\n$$\\prod_{n=1}^{11} T_n = \\frac{1}{N} \\prod_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n \\leq \\frac{1}{N} \\left ( \\frac{1}{11} \\sum_{n=1}^{11} (2n - 1)T_n \\right )^{11} = \\frac{1}{N} \\left ( \\frac{1110}{11} \\right )^{11}$$\r\nが成り立つ．また，この不等式の等号成立条件 $T_1 = 3T_2 = \\cdots = (2n - 1)T_n = \\cdots = 21T_{11}$ をみたすような $a_1, ..., a_{11}$ は確かに存在する．\r\n<details><summary>構成例<\\/summary>\r\n具体的に $a_1, ..., a_{11}$ を以下のように定めればよい．\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\na_n = \\frac{2220}{11(4n^2 - 1)}\\ (n = 1,\\ldots, 10),\\qquad a_{11} = \\frac{370}{77}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n<\\/details>\r\n\r\n　ゆえに求める最大値は\r\n$$\\frac{1}{N} \\left ( \\frac{1110}{11} \\right )^{11} = \\frac{2^{11} \\times 3^6 \\times 5^9 \\times 37^{11}}{7^2 \\times 11^{12} \\times 13 \\times 17 \\times 19}$$\r\nであり，解答すべき値は\r\n$$(1 + 1)^3(2 + 1)(6 + 1)(9 + 1)(11 + 1)^2(12 + 1) = \\mathbf{3144960}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc181/editorial/7327" } ]

[ { "content": "　$y=a(x-a)$ と $y=b(x-b)$ の交点は $(a+b,ab)$ であるから，$ab=n$ を満たすような組 $1\\leq a \\lt b\\leq 2023$ がちょうど $7$ 個存在するような最小の正の整数 $n$ を求めればよい．$n\\leq 2023$ のとき，これは $n$ が正の約数を $14$ 個または $15$ 個もつことと同値であり，これを満たす最小の $n$ は $2^4×3^2=\\textbf{144}$ であるとわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4494" } ]

[ { "content": "　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする．三平方の定理から $\\angle PQR = 90^\\circ$ であるので，簡単な計算により \r\n$$\\angle ABC =\\angle BAP = \\angle BCR = 45^\\circ$$\r\nが分かる．従って，三角形 $APB$ と三角形 $CPH$が直角二等辺三角形であるから，三角形 $ACP$ と三角形 $BHP$ は合同である．同様にして三角形 $ACR$ と三角形 $HBR$ も合同である．また，$D$ と $H$ は線分 $AC$ に関して対称であることと合わせて，求めるものは次のように変形できる． \r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n|ABCD| &= |ABC| + |ADC| \\\\\\\\\r\n&= |ABC| + |AHC| \\\\\\\\\r\n&= |ACP| + |ACR| + |HPB| + |HRB| \\\\\\\\\r\n&= 2(|APC| + |ARC|)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nここで，三角形 $CPQ$ と三角形 $RPB$ は相似であるから\r\n$$|APC| = \\frac{1}{2}\\times CP\\times AP = \\frac{1}{2}\\times CP\\times PB = \\frac12\\times QP\\times RP = \\frac{175}{2}$$\r\nであり，同様にして\r\n$$|ARC| = \\frac{1}{2}\\times QR\\times PR = 300$$\r\nが分かる．以上より求める面積は $\\bf{775}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4338" }, { "content": "　三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とする. $$\\angle CRB=\\angle CQB=90^{\\circ},　\\angle HQC=\\angle CPH=90^{\\circ}$$ より $R, Q, B, C$ と $Q, H, P, C$ はそれぞれ共円なので，$$\\angle RQH=\\angle RCB=\\angle HCP=\\angle HQP,　\\angle RBQ=\\angle RCQ=\\angle HCQ=\\angle HPQ$$ より，三角形 $HPQ$ と $RBQ$ は相似. よって，$QH×QB=QP×QR=168$. また，$\\angle PQR=90^{\\circ}$ が三平方の定理の逆から得られる．$$\\angle RBP=90^{\\circ}-\\angle BCR=90^{\\circ}-\\angle BQR=90^{\\circ}-\\angle PQR\\/2=45^{\\circ}.$$\r\nよって，$PR=BH\\sin 45^{\\circ}$ より，$BH=25\\sqrt 2$. これと $QH×QB=QR×QP=168$ より，$QH=3\\sqrt 2$. また，三角形 $AHC$ と三角形 $ADC$ は合同なので，$QD=3\\sqrt 2$. さらに，$\\angle BAH=\\angle HCB=45^{\\circ}$ より，$RA=RH, RC=RB$ だから，三角形 $RAC$ と三角形 $RHB$ は合同. よって，$AC=HB=25\\sqrt 2$. したがって，四角形 $ABCD$ の面積は，$AC×BD\\/2=25\\sqrt 2×31\\sqrt 2\\/2=\\textbf{775}$.", "text": "計算はやや重いが思いつきやすそう？な解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4338/294" } ]

[ { "content": "　$1$ 以上 $22$ 以下の整数からなる組 $(a,b)$ について，$ab$ を $23$ で割った余りが $A$ に属するものと $B$ に属するものは同数存在する．また，$1$ 以上 $22$ 以下の整数からなる組 $(a,b)$ について，$a$ と $b$ の属する集合が異なるものと同じものも同数存在する．ゆえに，$A$ の任意の元 $a$ と $B$ の任意の元 $b$ について $ab$ を $23$ で割った余りが $A$ に属することと，属する集合が同じである任意の整数 $a,b$ について $ab$ を $23$ で割った余りが $B$ に属することは同値である．よって，任意の $1$ 以上 $22$ 以下の整数 $a$ について $a^2$ を $23$ で割った余りが $B$ に属する．このことから\r\n$$B=\\\\{ 1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\\\\}$$ \r\nと分かる．この時，$B$ の各元が $23$ の平方剰余で $A$ がそれ以外であることから条件を満たすことが分かる．従って解答すべき値は $$12\\times 13 \\times 16 \\times 18=\\mathbf{44928}$$ である．\r\n\r\n<details>\r\n<summary>解答前半の補足<\\/summary>\r\n\r\n　以下では $a, b \\in \\\\{ 1, 2, \\ldots, 22 \\\\} $ とする．問題の条件より，$ \\\\{ (a, b) \\mid a \\in A, b \\in B \\\\}$ および $ \\\\{ (a, b) \\mid a \\in B, b \\in A \\\\}$ は共通部分を持たない $ \\\\{ (a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in A \\\\} $ の部分集合であり，\r\n$$ \\\\# \\\\{ (a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in A \\\\} \\ge \\\\# \\\\{ (a, b) \\mid a \\in A, b \\in B \\\\} + \\\\# \\\\{ (a, b) \\mid a \\in B, b \\in A \\\\} = \\frac{22^2}{2} \\tag{☆} $$\r\nが成り立つ．一方で，各 $x = 1, 2, \\ldots, 22$ について $ab \\equiv x \\pmod{23}$ なる $(a, b)$ の個数は $x$ によらず $22$ 個なので，\r\n$$ \\\\# \\\\{(a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in A \\\\} = \\\\# \\\\{ (a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in B \\\\} = \\frac{22^2}{2} $$ \r\nとなる．したがって $(☆)$ は等号が成立し，\r\n$$ \\\\{ (a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in A \\\\} = \\\\{ (a, b) \\mid a \\in A, b \\in B \\\\} \\cup \\\\{ (a, b) \\mid a \\in B, b \\in A \\\\} $$\r\nとなる．これの補集合をとると (正確には，上の解では $ab \\bmod 23 \\in B$ となる $(a, b)$ の個数を上から抑えることで以下の式を得ている)，\r\n$$ \\\\{ (a, b) \\mid ab \\bmod 23 \\in B \\\\} = \\\\{ (a, b) \\mid a, b \\in A \\\\} \\cup \\\\{ (a, b) \\mid a, b \\in B \\\\} $$\r\nとなる．任意の $(a, a)$ はこの集合に含まれるから，$a^2 \\bmod 23 \\in B$，すなわち $B$ にはすべての平方剰余が含まれることがわかる．\r\n<\\/details>\r\n\r\n<details>\r\n<summary>別解 (略解)<\\/summary>\r\n　${} \\bmod 23$ の原始根 $r$ をとる．このとき $A = \\\\{ r^{c_1}, \\ldots, r^{c_{11}} \\\\}, B = \\\\{ r^{d_1}, \\ldots, r^{d_{11}} \\\\}$ と表せるので，$C = \\\\{ c_1, \\ldots, c_{11} \\\\}, D = \\\\{ d_1, \\ldots, d_{11} \\\\}$ とする．このとき問題の条件より，\r\n$$C \\cap D = \\empty, \\quad C \\cup D = \\\\{ 0, 1, \\ldots, 21 \\\\}$$\r\nおよび任意の $i, j \\in \\\\{ 1, 2, \\ldots, 11\\\\}$ について $(c_i + d_j) \\bmod 22 \\in C$ が成り立つ．背理法により $0 \\in D, 1\\in C$ がわかる．$D$ の元 $d$ であって $22$ と互いに素なものが存在するとき，$1+d, 1+2d, 1+3d, \\ldots \\in C$ となり $|C| = 11$ に矛盾するから，\r\n$$ D \\subset \\\\{0, 2, 4, \\ldots, 20 \\\\} \\cup \\\\{ 11 \\\\} $$\r\nとなる．いずれにせよ $2$ と $6$ の一方は $D$ に含まれるので，これを $1$ に加えていくことで\r\n$$ C = \\\\{ 1, 3, 5, \\ldots, 21 \\\\}, \\quad D = \\\\{ 0, 2, 4, \\ldots, 20 \\\\} $$\r\nを得る．これは $D$ が ${} \\bmod 23$ での平方剰余のみからなる集合であることを意味する ( $r = 5$ に対して具体的に計算してもよい)．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/3888" }, { "content": "　まず，頑張ると$1$が$B$に，$22$が$A$に属することが分かります．$1$が$A$にないので，$\\bmod 23$での逆元の組（$(2,12),(3,8),(4,6)\\dots$など）がそれぞれ同じ集合にあることから頑張ってパズルをする（ちょっとだけ重いです）と解けます．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/3888/297" } ]

[ { "content": "　部分分数分解することで，求める値は次のように変形できる．\r\n$$\\sum_{i=1}^{10}\\frac{1}{a_i^6+a_i^5}=-\\sum_{i=1}^{10} \\frac{1}{a_i+1} + \\sum^{10}_{i=1} \\left( \\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_i^2}+\\frac{1}{a_i^3}-\\frac{1}{a_i^4}+\\frac{1}{a_i^5} \\right)$$\r\n\r\nここで $f(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+2x^4+4x^3+8x^2+16x+32$ とおけば，$\\displaystyle \\sum_{i=1}^{10} \\frac{1}{a_i+1}$ は $f(x-1)=0$ の解の逆数の総和と等しい．この値は解と係数の関係を用いて簡単に求めることが出来る．\r\n$$\r\n\\sum_{i=1}^{10} \\frac{1}{a_i+1}=-\\frac{(f(x-1)の1次の係数)}{(f(x-1)の0次の係数)}=-\\frac{1}{22}\r\n$$\r\n\r\n\r\nところで，$\\displaystyle t=\\frac{2}{x} $ とおけば $f(x)=0$ は次のように変形できる．\r\n$$\\frac{1024}{t^{10}}+\\frac{512}{t^9}+\\frac{256}{t^8}+\\frac{128}{t^7}+\\frac{64}{t^6}+\\frac{32}{t^5}+\\frac{32}{t^4}+\\frac{32}{t^3}+\\frac{32}{t^2}+\\frac{32}{t}+32=0$$\r\nこの両辺を $\\displaystyle \\frac{t^{10}}{32}$ 倍すると，\r\n$$ t^{10}+t^9+t^8+t^7+t^6+t^5+2t^4+4t^3+8t^2+16t+32=0 $$\r\nとなるので，$x$ が方程式の解である事と $\\displaystyle \\frac{2}{x}$ が解である事は同値である．$f(x)=\\dfrac{2}{x}$ は単射であるため，集合 $\\displaystyle \\left\\\\{\\frac{2}{a_1},\\frac{2}{a_2},\\dots,\\frac{2}{a_{10}}\\right\\\\}$ は $\\\\{a_1,a_2,\\dots,a_{10}\\\\}$ と等しい．よって，\r\n$$\r\n\\sum_{i=1}^{10} \\left( \\frac{1}{a_i}-\\frac{1}{a_i^2}+\\frac{1}{a_i^3}-\\frac{1}{a_i^4}+\\frac{1}{a_i^5} \\right) =\\sum_{i=1}^{10} \\left( \\frac{a_i}{2}-\\frac{a_i^2}{4}+\\frac{a_i^3}{8}-\\frac{a_i^4}{16}+\\frac{a_i^5}{32} \\right)\r\n$$\r\nと変形できる．\r\n$5$ 次以下の対称式の値について，係数の $4$ 次以下の部分は干渉しないことから，\r\n$$g(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$$\r\nの根を $b_1,b_2,...,b_{10}$ とおくと，\r\n$$\r\n\\sum_{i=1}^{10} \\left( \\frac{a_i}{2}-\\frac{a_i^2}{4}+\\frac{a_i^3}{8}-\\frac{a_i^4}{16}+\\frac{a_i^5} {32} \\right) =\\sum_{i=1}^{10} \\left( \\frac{b_i}{2}-\\frac{b_i^2}{4}+\\frac{b_i^3}{8}-\\frac{b_i^4}{16}+\\frac{b_i^5}{32} \\right)\r\n$$\r\n$$\r\n=\\frac{-1}{2}-\\frac{-1}{4}+\\frac{-1}{8}-\\frac{-1}{16}+\\frac{-1}{32}=\\frac{11}{32}\r\n$$\r\nを得る．ここで $\\\\{ b_1, b_2, \\dots, b_{10} \\\\} = \\left\\\\{ \\exp \\left(\\dfrac{2n\\pi i}{11} \\right) \\mathrel{}\\middle|\\mathrel{} n = 1, 2, \\dots, 10 \\right\\\\}$であることを用いた．したがって求める値は $\\displaystyle \\frac{1}{22}-\\frac{11}{32}=-\\frac{105}{352}$ であり，答えるべき値は $105\\times 352 = \\mathbf{36960}$ となる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/7032" }, { "content": "　まず\r\n$$ z^{10} + z^9 + z^8 + z^7 + z^6 + z^5 + 2z^4 + 4z^3 + 8z^2 + 16z + 32 = \\left(z + 1\\right) \\left(z^9 + z^7 + z^5 + 2z^3 + 2z^2 + 6z + 10\\right) + 22 $$\r\nより\r\n$$ \\sum\\_{i=1}^{10}\\frac1{a\\_i^6 + a\\_i^5} = -\\frac1{22}\\sum_{i=1}^{10} \\left(a\\_i^4 + a\\_i^2 + 1 + \\frac2{a\\_i^2} + \\frac2{a\\_i^3} + \\frac6{a\\_i^4} + \\frac{10}{a\\_i^5}\\right)\\mathclose{}. $$\r\n次に\r\n$$ \\left(z - 1\\right) \\left(z - 2\\right) \\left(z^{10} + z^9 + z^8 + z^7 + z^6 + z^5 + 2z^4 + 4z^3 + 8z^2 + 16z + 32\\right) = z^{12} - 2z^{11} + z^6 - 64z + 64 \\eqqcolon f(z) $$\r\nであって，$f(0) \\ne 0$ かつ\r\n$$ \\frac{f(z)}{z^6} = z^6 - 2z^5 + 1 - 2 \\left(\\frac2z\\right)^5 + \\left(\\frac2z\\right)^6 $$\r\nより $\\rule[-12pt]{0pt}{0pt}f(z) = 0 \\\\;\\Longrightarrow\\\\; f\\mathopen{}\\left(\\dfrac2z\\right) = 0$． \r\nよって，解と係数の関係と合わせることで $n = 1, \\ldots, 5$ のとき\r\n$$ \\sum\\_{f(z) = 0}z^n = \\left(\\sum\\_{f(z) = 0}z\\right)^n = 2^n,\\qquad \\sum\\_{f(z) = 0}\\frac1{z^n} = \\frac1{2^n}\\sum\\_{f(z) = 0}\\left(\\frac2z\\right)^n = \\frac1{2^n}\\sum\\_{f(z) = 0}z^n = 1, $$\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n\\therefore&\\sum_{i=1}^{10} \\left(a\\_i^4 + a\\_i^2 + 1 + \\frac2{a\\_i^2} + \\frac2{a\\_i^3} + \\frac6{a\\_i^4} + \\frac{10}{a\\_i^5}\\right)\\\\\\\\\r\n&\\mathopen{}= \\sum\\_{f(z) = 0} \\left(z^4 + z^2 + 1 + \\frac2{z^2} + \\frac2{z^3} + \\frac6{z^4} + \\frac{10}{z^5}\\right) - \\sum\\_{z = 1, 2} \\left(z^4 + z^2 + 1 + \\frac2{z^2} + \\frac2{z^3} + \\frac6{z^4} + \\frac{10}{z^5}\\right)\\\\\\\\\r\n&\\mathopen{}= 10 - \\left(1 + 1 + \\frac2{2^2} + \\frac2{2^3} + \\frac6{2^4} + \\frac{10}{2^5}\\right) = \\frac{105}{16}.\r\n\\end{aligned} $$\r\nこれより\r\n$$ \\sum\\_{i=1}^{10}\\frac1{a\\_i^6 + a\\_i^5} = -\\frac1{22} \\times \\frac{105}{16} = -\\frac{105}{352} $$\r\nであるから，求める値は $\\bm{36960}$．", "text": "発想の部分を計算で", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/7032/298" }, { "content": "　与式は $x=0$ を解に持たないことに注意して与式は両辺を $x^5$ で割った式である$$x^5+\\dfrac{32}{x^5}+x^4+\\dfrac{16}{x^4}+x^3+\\dfrac{8}{x^3}+x^2+\\dfrac{4}{x^2}+x+\\dfrac{2}{x}+1=0\\cdots(1)$$と同値である． \r\nここで，$t=x+\\dfrac{2}{x},x_n=x^n+\\dfrac{2^n}{x^n}$ とおくと，$x_{n+2}=tx_{n+1}-2x_n$ より，$$x_2=t^2-4,x_3=t^3-6t,x_4=t^4-8t^2+8,x_5=t^5-10t^3+20t,x_6=t^6-12t^4+36t^2-16\\cdots(2)$$であるから，$(1)\\Leftrightarrow t^5+t^4-9t^3-7t^2+15t+5=0\\cdots(3)$ となる． \r\n$(3)$ の $5$ 解を $t_1,t_2,\\ldots,t_5$ とおき，$t_i=x+\\dfrac{2}{x}\\Leftrightarrow x^2-t_ix+2=0$ の $2$ 解を $a_i,b_i$ とおくと $$\\dfrac{1}{{a_i}^6+{a_i}^5}+\\dfrac{1}{{b_i}^6+{b_i}^5}=\\dfrac{{a_i}^6+{b_i}^6+{a_i}^5+{b_i}^5}{{a_i}^5{b_i}^5(a_ib_i+a_i+b_i+1)}=\\dfrac{{t_i}^6+{t_i}^5-12{t_i}^4-10{t_i}^3+36{t_i}^2+20t_i-16}{32(t_i+3)}\\cdots(4)$$となる．(${a_i}^6+{b_i}^6,{a_i}^5+{b_i}^5$ は $t_i=a_i+\\dfrac{2}{a_i},{a_i}^n+{b_i}^n={a_i}^n+\\dfrac{2^n}{{a_i}^n}$ であることから $(2)$ を利用して求めた．) \r\n$t=t_i$ で $(3)$ は成り立つので， \r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& \\phantom{=} {t_i}^6+{t_i}^5-12{t_i}^4-10{t_i}^3+36{t_i}^2+20t_i-16 \\\\\\\\\r\n& = t_i({t_i}^5+{t_i}^4-9{t_i}^3-7{t_i}^2+15t_i+5)-3{t_i}^4-3{t_i}^3+21{t_i}^2+15t_i-16 \\\\\\\\\r\n& = -3{t_i}^4-3{t_i}^3+21{t_i}^2+15t_i-16 \\\\\\\\\r\n& = (t_i+3)(-3{t_i}^3+6{t_i}^2+3t_i+6)-34\r\n\\end{aligned}$$\r\nであり，$(4)=\\dfrac{1}{32}\\Bigl(-3{t_i}^3+6{t_i}^2+3t_i+6-\\dfrac{34}{t_i+3}\\Bigr)$ となる．$i=1,2,\\ldots,5$ のときのこの式の値の総和を求めればよい． \r\n 解と係数の関係より，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& A=t_1+t_2+\\cdots+t_5=-1 \\\\\\\\\r\n& B=t_1t_2+t_1t_3+\\cdots+t_4t_5=-9 \\\\\\\\\r\n& C=t_1t_2t_3+t_1t_2t_4+\\cdots+t_3t_4t_5=7\r\n\\end{aligned}$$であり，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& D={t_1}^2+{t_2}^2+\\cdots+{t_5}^2=A^2-2B=19 \\\\\\\\\r\n& E={t_1}^2t_2+{t_1}^2t_3+\\cdots+{t_5}^2t_4=AB-3C=-12 \\\\\\\\\r\n& F={t_1}^3+{t_2}^3+\\cdots+{t_5}^3=AD-E=-7\r\n\\end{aligned}$$となる． \r\nまた，$f(t)=t^5+t^4-9t^3-7t^2+15t+5=(t-t_1)(t-t_2)\\cdots(t-t_5)$ より，$$f^{\\prime}(t)=5t^4+4t^3-27t^2-14t+15=(t-t_2)(t-t_3)(t-t_4)(t-t_5)+\\cdots+(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)(t-t_4)$$ なので，$$G=\\dfrac{1}{t_1+3}+\\dfrac{1}{t_2+3}+\\cdots+\\dfrac{1}{t_5+3}=-\\dfrac{f^{\\prime}(-3)}{f(-3)}=\\dfrac{111}{22}$$となる． \r\n以上より，求める値は$\\dfrac{1}{32}(-3F+6D+3A+30-34G)=-\\dfrac{105}{352}$ であり，特に，解答すべき値は $\\textbf{36960}$．", "text": "相反方程式の亜種", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/7032/299" } ]

[ { "content": "　$36$ 個の実数 $(s_1,s_2, \\ldots,s_{36})$ を変数とする以下の連立方程式を $P$ とよぶ．\r\n$$ s_{b_1}+s_{c_1}=1, \\quad s_{b_2}+s_{c_2}=2 ,\\quad \\ldots,\\quad s_{b_{35}}+s_{c_{35}}=35 $$\r\n一般論として，連立 $n$ 元一次方程式の解が一意に定まるには，少なくとも $n$ 本の式が必要である．したがって，$P$ に式を $1$ 本加えることで唯一解が生まれることから，$P$ の中に過剰な式，あるいは矛盾した式は存在してはならない．\\\r\n　$1,2,\\ldots, 36$ を頂点とし，$b_i,c_i$ の間に辺を張った無向グラフ $Q$ を考える．頂点 $x$ を含む連結成分が木であるとき，$s_x$ の値をどのように定めても，辺に沿って残りの値を矛盾なく定めることが出来るため，$P$ において $s_x$ の値は一意に定まらない．いま，$Q$ は辺数が頂点数より少ないため，木の連結成分が存在することに注意する．\\\r\n　ここで，木の連結成分が $2$ つ以上存在したとき，$Q$ にどのように辺を $1$ 本追加しても，木の連結成分が $1$ つ以上存在したままになる．これは，$P$ に $s_x-s_y=z$ の形式の式をどのように追加しても，唯一解になり得ないことを意味する．したがって，$Q$ は連結成分のうち，木をちょうど $1$ つもつ（以下，単に**木**といえばこの連結成分をさす）．また，木でない連結成分は，それぞれ辺と頂点の数が同じでなければならないから，すべて閉路である．\\\r\n　ある閉路の長さが偶数 $2n$ のとき，含まれる頂点を順に $q_1, q_2 ,\\ldots, q_{2n}$ とすると，\r\n$$\r\n(s_{q_1}+s_{q_2})-(s_{q_2}+s_{q_3})+(s_{q_3}+s_{q_4})\\cdots +(s_{q_{2n-1}}+s_{q_{2n}})=s_{q_1}+s_{q_{2n}}\r\n$$\r\nから，$P$ において $s_{q_1}+s_{q_{2n}}=z$ は過剰または矛盾した式となる．すなわち，偶数長の閉路は存在しない．\\\r\n　逆に閉路の長さが奇数 $2n+1$ のとき，含まれる頂点を順に $q_1, q_2 ,\\ldots, q_{2n+1}$ とすると，\r\n$$\r\n(s_{q_1}+s_{q_2})-(s_{q_2}+s_{q_3})+(s_{q_3}+s_{q_4})\\cdots -(s_{q_{2n}}+s_{q_{2n+1}})+(s_{q_{2n+1}}+s_{q_{1}})=2s_{q_1}\r\n$$\r\nなどによって，$P$ において $s_{q_i}$ の値はすべて矛盾なく一意に定まる．よって,\r\n$$M=36-(\\text{木の頂点数})．$$\r\n　さて，$P$ に $s_x+s_y=36$ を付け足したとき，$P$ が唯一解をもつような $(x,y)$ の条件について考える．$x,y$ のいずれかは木に含まれていなければならず，いずれか一方のみが木に含まれている場合は明らかに適する．\\\r\n　以下，$x,y$ がともに木に含まれている場合について考える．基本的には上と同様である．\r\n\r\n- 頂点 $x,y$ の距離が偶数である場合 \\\r\n　$x,y$ 間のパスに含まれる頂点を順に $q_1(=x), q_2 ,\\cdots q_{2n+1}(=y)$ とすると，\r\n$$\r\n(s_{q_1}+s_{q_2})-(s_{q_2}+s_{q_3})+(s_{q_3}+s_{q_4})\\cdots -(s_{q_{2n}}+s_{q_{2n+1}})=s_{q_1}-s_{q_{2n+1}}=s_x-s_y\r\n$$\r\nとなり，$s_x-s_y=36$ は過剰または矛盾した式となるから不適．\r\n- 頂点 $x,y$ の距離が奇数である場合 \\\r\n　$x,y$ 間のパスに含まれる頂点を順に $q_1(=x), q_2 ,\\cdots q_{2n}(=y)$ とすると，\r\n$$\r\n(s_{q_1}+s_{q_2})-(s_{q_2}+s_{q_3})+(s_{q_3}+s_{q_4})\\cdots +(s_{q_{2n-1}}+s_{q_{2n}})+(s_{q_1}-s_{q_{2n}})=2s_{q_1}\r\n$$\r\nなどによって，$P$ において $s_{q_i}$ の値はすべて矛盾なく一意に定まる．\r\n\r\n　さて，これを踏まえて木の頂点を赤と青の二色で塗る．ここで，同じ色の頂点が辺で隣り合わないようにする．これは可能である（木は二部グラフである）．このとき，$2$ 頂点間の距離が偶数であることと，同色であることは同値である．赤，青で塗られた頂点の数をそれぞれ $V,W$ とすると，$(x,y)$ として**不適**な組は $M^2+V^2+W^2$ 個である．\\\r\n　逆に，$V,W\\gt 0$ のとき，赤，青で塗られた頂点がそれぞれ $V,W$ 個の木が構築できる．よって，\r\n$$M+V+W=36,\\quad M^2+V^2+W^2=36^2-736=560$$\r\nのとき $M$ としてあり得る値の $3$ 乗和を求めれば良く，これは $4^3 + 12^3 + 20^3 = \\mathbf{9792}$ とわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/4112" } ]

[ { "content": "　三角形 $ABC$ の外接円を $\\omega$ とし，半直線 $FE,EF$ と $\\omega$ の交点をそれぞれ $Y,Z$ とする．\\\r\n　$A$ を中心とする半径 $\\sqrt{AD\\times AH}$ の円による反転によって，$\\omega$ と直線 $EF$ は互いに移り合うので，$Y,Z$ は不変である．また，$\\angle APH = \\angle ADP$ より $AP^2 = AD\\times AH$ であるので $P$ もこの反転によって変わらない．したがって，$AP = AY = AZ$ である．さらに，三角形 $BCH$ の外接円は三角形 $ABC$ の九点円に移り，$P$ は不変であるから，$P$ は三角形 $ABC$ の九点円上にある．三角形の九点円と外接円の相似の中心は垂心であり，その相似比は $1 : 2$ であるので，半直線 $HD$ と $\\omega$ の交点を $T$ とすると，直線 $DP$ と $TX$ は平行であり，$HP = PX = 4$ である．よって，\r\n$$\\angle APX = 180^\\circ - \\angle APH = 180^\\circ - \\angle ADP = 180^\\circ - \\angle ATX = \\angle AYX$$\r\nを得る．さらに，$AP = AY$ であることを併せれば，三角形 $APX$ と三角形 $AYX$ は合同である．特に，$\\angle AXP = \\angle AXY$ であるから，直線 $XP$ と $\\omega$ の $X$ でない方の交点を $Z^\\prime$ とすると，$AZ^\\prime = AY = AZ$ が成立する．したがって $Z= Z^\\prime$ である．よって，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n \\angle ZCT\r\n&= \\angle ZXT\\\\\\\\\r\n&= \\angle HPD\\\\\\\\\r\n&= \\angle DPE - \\angle EPH\\\\\\\\\r\n&= (180^\\circ - \\angle DFE) - \\angle AGE\\\\\\\\\r\n&= \\big(180^\\circ - (180^\\circ - 2\\angle ACB)\\big) - (\\angle BAD + \\angle AFE)\\\\\\\\\r\n&= 2\\angle ACB - (90^\\circ - \\angle ABC + \\angle ACB)\\\\\\\\\r\n&= 90^\\circ - \\angle BAC\\\\\\\\\r\n&= \\angle ACH\r\n\\end{aligned}$$\r\nである．また，$\\angle TZC = \\angle HAC, TC = HC$ も成立するので，三角形 $AHC$ と $ZTC$ は合同である．特に，$AH = TZ$ である．\\\r\n　ここで，三角形 $AHP$ と $APD$ は相似であるから，$AH : AP = AP : AD = 4 : 5$ である．したがって，$AH : AP : DH = 16 : 20 : 9$ である．また，$DH = DT$ や $AH = TZ$ であったことに気をつければ，三角形 $AHX$ と $ZHT$ は相似であるので\r\n$$AX = \\frac{HX\\times TZ}{HT} = \\frac{64}{9}$$\r\nを得る．ここで，$AP = 20x$ とおくと，中線定理より以下が成立する．\r\n$$(16x)^2 + \\bigg(\\frac{64}{9}\\bigg)^2 = 2((20x)^2 + 4^2)$$\r\nしたがって，$x^2 = \\dfrac{47}{1377}$ を得るから，$AP^2 = 400x^2 = \\dfrac{18800}{1377}$ である．特に，解答すべき値は $\\bf{20177}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc180/editorial/5512" } ]

[ { "content": "$$ad=\\frac{ab×cd}{bc}=\\frac{300}{20}=\\mathbf{15}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5392" } ]

[ { "content": "　$3$ 点 $A,B,D$ と $3$ 点 $B,C,D$ について，それぞれ三角不等式により以下を得る．\r\n\r\n$$5 \\leq BD \\leq 9, \\qquad 2 \\leq BD \\leq 8$$\r\n\r\nしたがって， $5 \\leq BD \\leq 8$ となる．実際，問題の条件を満たしながら， $BD=5,BD=8$ となるようにできるので，求める値は $5+8= \\mathbf{13} $ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5951" } ]

[ { "content": "　$0.475$ 以上 $0.485$ 未満の有理数のうち，分母が最小のものを求めればよい．\\\r\n　分母が偶数 $2k$ のとき，$0.5$ 未満で最大のもの $(k-1)\\/2k$ が $0.475$ 以上である必要があることから，$k\\geq 20$ が必要である．同様に，分母が奇数 $2k+1$ のとき，$0.5$ 未満で最大のもの $k\\/(2k+1)$ が $0.475$ 以上である必要があることから，$k\\geq 10$ が必要である．逆に $10\\/21\\approx0.4762$ は条件をみたすから，求める値は $\\textbf{21}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/3093" } ]

[ { "content": "　与式を $f(x)$ とすると，倍角の公式を用いて，\r\n$$f(x)\r\n= \\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2 + \\frac{1}{1 + \\cos x}\r\n= \\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2 + \\frac{1}{2(1 + \\cos x)} + \\frac{1}{2(1 + \\cos x)}$$\r\nと変形できる．従って，$1 + \\cos x \\gt 0$ であるから，相加相乗平均の不等式より\r\n$$f(x)\r\n\\ge 3\\bigg(\\frac{1}{4}(1 + \\cos x)^2\\times \\frac{1}{2(1 + \\cos x)}\\times \\frac{1}{2(1 + \\cos x)}\\bigg)^{1\\/3}\r\n= \\bigg(\\frac{27}{16}\\bigg)^{1\\/3}$$\r\nであり，等号は $\\cos x = 2^{1\\/3} - 1$ のときに成立する．以上より，$P(x) = x^3 - \\dfrac{27}{16}$ であるから，$P(100) = \\dfrac{15999973}{16}$ であり，特に解答すべき値は $\\bf{15999989}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5946" } ]

[ { "content": "$$0\\leq a_{1,1} \\lt a_{2,1} \\lt \\cdots \\lt a_{i,1} \\lt a_{i,2} \\lt \\cdots \\lt a_{i,j}$$ \r\nより, $i+j-2 \\leq a_{i,j}$ である．また，\r\n$$13 \\ge a_{7,7} \\gt a_{6,7} \\gt \\cdots \\gt a_{i,7} \\gt a_{i,6} \\gt \\cdots \\gt a_{i,j}$$\r\nより，$a_{i,j} \\leq i+j-1$ である．よって，$b_{i,j}=a_{i,j}-(i+j-2)$ とすると，$b_{i,j}$ は $0$ または $1$ である．ここで，$b_{i,j} = 1$ なる $(i,j)$ に対し上から $i$ 行目，左から $j$ 列目のマスを黒く塗り，それ以外のマスを白く塗ることを考える．このとき，黒のマスの一つ右のマス，一つ下のマスは必ず黒のマスであるから，黒のマスと白のマスの境界線は，マス目の左下の頂点から右上の頂点へマスの境界を通っていく最短経路となる．逆に，黒のマスと白のマスのマス目の境界線がこのようになっているとき，明らかに一つ目の条件を満たす．従って，一つ目の条件を満たす数の書き方は ${}\\_{14}\\mathrm{C}\\_{7}$ 通りである．\\\r\n　一つ目の条件を満たしている書き込み方に対し，マス目を $180^\\circ$ 回転させた後，各マスについて書かれている数が $k$ なら $13 - k$ に書き換えるという操作を行うと，操作後に得られる書き方も１つ目の条件を満たし，操作前後でマス目に書かれている数の総和の偶奇は異なる．従って，一つ目の条件を満たす書き込み方のうちちょうど半分が二つ目の条件も満たすので，求める答えは $\\dfrac{{}\\_{14}\\mathrm{C}\\_{7}}{2} = \\bf{1716}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5563" }, { "content": "　形式的べき級数を用いた解法です．\r\n\r\n\r\n　公式解説と同様にマス目を白黒に塗り分けるとき， $c_i=（i+1行目にある黒マスの数）-（i行目にある黒マスの数）$ とする．（ただし $c_0=（1行目にある黒マスの数）,c_7=7-（7行目にある黒マスの数）$ とする） \\\r\n　公式解説より， $c_0,…,c_7$ は非負整数であり，総和は $7$ である．黒マスの個数は $7c_0+6c_1+…+c_6$ 個で，条件よりこれは奇数． \\\r\n　また，非負整数の組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ と各マスの数の割り当て方は一対一対応していることから，上記を満たす組 $(c_0,c_1,…,c_7)$ の個数を数えればよい． \\\r\n　ここで， $7c_0+6c_1+…+c_6$ が奇数という条件は $c_0+c_2+c_4+c_6$ が奇数であることに等しい． \\\r\n　したがって， $f(x,y)=\\left(\\dfrac{1}{1-xy}\\right)^4\\left(\\dfrac{1}{1-x}\\right)^4$ とすると，求めるべき値は， $f(x,y)$ の $x$ の次数が $7$ で $y$ の次数が奇数である項の係数の総和である．これは以下のように求められる．\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\n[x^7]\\dfrac{1}{2}(f(x,1)-f(x,-1))&=[x^7]\\dfrac{1}{2}\\left\\lbrace\\dfrac{1}{(1-x)^8}-\\dfrac{1}{(1-x)^4(1+x)^4}\\right\\rbrace \\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{1}{2}(_{14}\\mathrm{C}_7-0) \\\\\\\\\r\n&=\\mathbf{1716}\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n　ただし，以下の式を用いた．\r\n$$\\dfrac{1}{(1-x)^n}=\\sum_{i=0}^{\\infty}\\binom{i+n-1}{n-1}x^i$$", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/5563/295" } ]

[ { "content": "　$x=q+r, y=r+p, z=p+q$ とすれば，条件式は\r\n$$q^2+qr+r^2=\\frac{25}{4},\\quad r^2+rp+p^2=\\frac{49}{4},\\quad p^2+pq+q^2=16$$\r\nと置き換えられる．ここで，$X$ を中心とする一辺 $\\sqrt3$ の正三角形 $ABC$ に対して，\r\n$$\\overrightarrow{XP} = p\\overrightarrow{XA},\\quad \r\n\\overrightarrow{XQ} = q\\overrightarrow{XB},\\quad \r\n\\overrightarrow{XR} = r\\overrightarrow{XC}$$\r\nとなるように $3$ 点 $P, Q, R$ をとると，$QR=5\\/2, RP = 7\\/2, PQ=4$ となる．また，直線 $QR$ について点 $P$ と反対側に点 $S$ を，三角形 $QRS$ が正三角形となるように取れば，\r\n$$p+q+r=XP+XQ+XR=PS$$\r\nとなる．$\\angle PQR =60^\\circ,QS=QR=5\\/2$ であるから，\r\n$$PS=\\sqrt{PQ^2 + QS^2 + PQ\\times QS} = \\frac {\\sqrt{129}} 2$$ となるので，$x+y+z=2(p+q+r)=\\sqrt{129}$ であるから，求める値は $\\mathbf {129}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/6934" }, { "content": "1つめの式\r\n$$(y-z)^2+3x^2=25$$\r\n\r\n2つめの式\r\n$$(z-x)^2+3y^2=49$$\r\n\r\n3つめの式\r\n$$(x-y)^2+3z^2=64$$\r\n\r\n1つめの式から2つめの式を引くと\r\n$$(y-z)^2+3x^2-(z-x)^2-3y^2=25-49=-24$$\r\n実は因数分解できる.\r\n$$2(x+y+z)(x-y)=-24$$\r\n$$(x+y+z)(x-y)=-12$$\r\n\r\n他のペアについても同様にすると\r\n$$(x+y+z)(y-z)=-\\dfrac{15}{2}$$\r\n$$(x+y+z)(z-x)=\\dfrac{39}{2}$$\r\n\r\nここで,$x+y+z=k$とおく.\r\n\r\n$k^2$を求めればOK\r\n\r\n\r\n$$x-y=-\\dfrac{12}{k},y-z=-\\dfrac{15}{2k},z-x=\\dfrac{39}{2k}$$\r\n\r\n最初の式をすべて足す\r\n\r\n$$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+3(x^2+y^2+z^2)=25+49+64=138$$\r\n\r\nこのとき,簡単な計算より,左辺は\r\n\r\n$$(x+y+z)^2+2(y-z)^2+2(z-x)^2+2(z-x)^2$$\r\n\r\nと等しいことが分かる.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$k^2+\\dfrac{576}{2k^2}+\\dfrac{225}{2k^2}+\\dfrac{1521}{2k^2}=138$$\r\n\r\nまとめると\r\n\r\n$$k^2+\\dfrac{1161}{k^2}=138$$\r\n\r\n$$k^4-138k^2+1161=0$$\r\n\r\n$1161=3^3\\times 43$に注意すると\r\n\r\n$$(k^2-9)(k^2-129)=0$$\r\n\r\nここで,$k^2=9$であるならば,\r\n\r\n$$(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=9$$\r\n$$5(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)=138$$\r\nであるため,\r\n$$x^2+y^2+z^2=\\dfrac{49}{2},xy+yz+zx=-\\dfrac{31}{4}\\lt 0$$\r\nとなって,$x,y,z$が正の実数であることに矛盾.\r\n\r\nよって,$k^2=129$でなくてはいけない.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc179/editorial/6934/296" } ]

[ { "content": "　$1$ 桁の正整数の総和は $45$ であり，また，$m$ 以上 $n$ 以下の整数の総和は $4$ 以上の $2$ べきになりえないから，$9,\\\\, 25,\\\\, 27,\\\\, 36$ になるものを考えればよい．平均値に注目することで，仮定を満たす組 $(m, n)$ は\r\n$$ (4, 5),\\quad (2, 4),\\quad (3, 7),\\quad (2, 7),\\quad (1, 8) $$\r\nであることが分かり，求める総和は $\\bm{1041}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9379" } ]

[ { "content": "　三角形 $ABC$ の外接円を $\\Gamma$ とし，直線 $AD$ と $\\Gamma$ の交点を $D^{\\prime}\\ (\\neq A)$，直線 $AE$ と $\\Gamma$ の交点を $E^{\\prime}\\ (\\neq A)$ とする．角度追跡により $D,\\ D^{\\prime},\\ E,\\ E^{\\prime}$ は同一円周上にあることがわかる．したがって，\r\n$$\r\nAB=AC=a,\\quad AD=x,\\quad DD^{\\prime}=x^{\\prime},\\quad AE=y,\\quad EE^{\\prime}=y^{\\prime}\r\n$$\r\nとすれば，方べきの定理および三平方の定理などより，以下が成立する：\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\n x^2+y^2 &=23^2\\\\\\\\\r\n a^2 &= x\\left(x+x^{\\prime}\\right)=y\\left(y+y^{\\prime}\\right)\\\\\\\\\r\n xx^{\\prime} &= 24\\times 32\\\\\\\\\r\n yy^{\\prime} &= 9 \\times 47\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nこれを解くことで $x^2=92,\\ y^2=437$ を得るので，$a^2=\\bm{860}$ である．\r\n ---\r\n**別解.**　$DE$ の中点を $M$ とすると\r\n$$ AM = \\frac{23}2,\\quad BM = 9 + \\frac{23}2 = \\frac{41}2,\\quad CM = 24 + \\frac{23}2 \r\n= \\frac{71}2 $$\r\nであるから，Stewart の定理より，求める値は\r\n$$ \\left(\\frac{23}2\\right)^2 + \\frac{41}2 \\times \\frac{71}2 = \\bm{860}. $$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9392" }, { "content": "[方針 $1$ ] 二等辺三角形はまっぷたつに&よくある直角三角形の相似で解決 \r\n\r\n$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする．$BH=CH=28$ より，$DH=19,EH=4$ となる． \r\nここで，角度追跡により $\\triangle{DHA}$ と $\\triangle{AHE}$ は相似とわかる． \r\n\r\nよって， ${AH}^2=DH\\times EH=76$ より，${AB}^2={BH}^2+{AH}^2=28^2+76=\\textbf{860}$ \r\n\r\n[方針 $2$ ]方べきの値を利用して補助線を引かずに解決 \r\n\r\n中心 $A$ で半径 $AB=AC=r$ の円 $\\omega$ に対する点 $P$ の方べきの値を $Pow_{\\omega}(P)$ で表すことにする． \r\n$-Pow_{\\omega}(D)=r^2-{AD}^2=9\\times47$ \r\n$-Pow_{\\omega}(E)=r^2-{AE}^2=32\\times24$ \r\n${AD}^2+{AE}^2=23^2$ \r\nより，$3$ 式を足し合わせて $2$ で割ることで，$r^2=\\textbf{860}$ を得る．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9392/291" } ]

[ { "content": "　合同式の法は $9$ とする．\\\r\n　正整数 $n$ について，その桁和を $S(n)$ で表すことにすると，$n \\equiv S(n)$ が成立する．$A,\\ Y$ に入れた数字を $a,\\ y$，使わない数字を $x_1\\lt x_2$ とおくと，$\\text{YAGAMIFES}$ に $1$ 桁の数字を入れて出来た数字が $9$ の倍数になるためには，\r\n$$\r\n45+a-x_1-x_2\\equiv x_1+x_2-a \\equiv 0\r\n$$\r\nが必要がある．ここで，もし $x_1$ が $0$ または $9$ であったとすると，$x_2 \\equiv a$ かつ $x_2, a$ がいずれも $1$ 桁の整数であることから $x_2=a$ となってしまうが，これは不適である．同様なことは $x_2$ についてもいえるから，$x_1,x_2$ はいずれも $1$ 以上 $8$ 以下の整数である．以下，$x_1+x_2=k$ とおく．$3\\leq k \\leq 15$ に留意せよ．\r\n - $k \\not \\equiv 0$ のとき\\\r\n$k\\equiv a$ なる $a\\ (a\\neq x_1, x_2)$ がただ $1$ つ存在する．各$k$に対し，$x_1<x_2$ かつ $x_1+x_2=k$ を満たすような組$(x_1,x_2)$の数は，$3 \\leq k \\lt 9$ のとき $\\left\\lfloor (k-1)\\/2 \\right\\rfloor$通り，$9 \\lt k\\leq 15$ のとき $\\left\\lfloor (17-k)\\/2 \\right\\rfloor$通り存在し，合計で $24$ 通りある．これら $24$ 通りの場合のいずれにおいても，$\\text A$ 以外の $7$ つのアルファベットに（$0$ を含む）$7$ つの $1$ 桁の数字をあてはめる必要があり，この場合の数は $y \\neq 0$ を鑑みると $6\\times 6!$ 通りである．\r\n - $k=9$ のとき\\\r\n$a=0$ または $9$ が適する．また，$x_1\\lt x_2$ かつ $x_1+x_2=9$ を満たすような組 $(x_1,x_2)$ の数は $4$ 通り存在する．$\\text A$ 以外の $7$ つのアルファベットに $7$ つの一桁の数字をあてはめる場合の数は $a=9$ のとき $6\\times 6!$ 通り，$a=0$ のとき $7!$ 通り存在する．\r\n\r\n　以上より，求める場合の数は $24\\times 6 \\times 6! + 4\\times (6\\times 6!+7!) = \\bm{141120}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9393" } ]

[ { "content": "　$\\triangle{ABC}$ の垂心を $H$，外接円を $\\Gamma$ とする．簡単な角度追跡から四角形 $HBDC$ が平行四辺形であることがわかるので，$D$ は $\\Gamma$ 上に存在し，$AD$ は $\\Gamma$ の直径である．同様なことが $E,F$ についてもいえる．\\\r\n　$\\triangle{ABC}$ の面積を $S$ とおくと，$R_1, R_2, R_3$ の面積はすべて $2S$ である．また，$\\triangle{ABF}\\equiv \\triangle{DEC}$ などがわかるから，\r\n$$\r\nx+y+z+S= \\operatorname{Area}(R_2) = 2S \\Longrightarrow\\ x+y+z=S\r\n$$\r\nを得る．さらに，$\\triangle{BDE},\\ \\triangle{CEF},\\ \\triangle{AFD}$ について以下が成り立つ：\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\n\\operatorname{Area}(\\triangle{BDE}) = S - x = 23\\\\\\\\\r\n\\operatorname{Area}(\\triangle{CEF}) = S - y = 24\\\\\\\\\r\n\\operatorname{Area}(\\triangle{AFD}) = S - z = 25\r\n\\end{cases}.\r\n$$\r\n　これを解くことで，$x=13,\\ y=12,\\ z=11$ を得るから，回答すべき値は $\\textbf{1716}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9394" } ]

[ { "content": "　まずはじめに，数列 $\\\\{F_n\\\\}$ に関して成り立つ不等式を示しておく．$F_0=0$ とする．\r\n\r\n---\r\n\r\n**補題.** $n\\geq 3$ に対し $F_1+F_2+\\cdots+F_n \\lt 2(F_n+F_{n-2})$．\\\r\n**証明.** $F_1+F_2+\\cdots+F_{n-1} = F_{n+1}-1$ に留意すると，示すべき不等式は $F_{n+1}-1\\lt F_n+2F_{n-2}$ と同値．さらに，漸化式を繰り返し用いて整理することにより，示すべき不等式は $F_{n-3}-1\\lt F_{n-2}$ と同値になるが，$n \\geq 3$ でこれは真．以上より元の不等式も真である．\r\n\r\n---\r\n\r\n　では，$f(p,q) \\gt 0$ となる $(p,q)$ の条件を考えよう．$2(F_{q}+F_{q-2}) \\lt 2F_{q}+F_{q-2}+F_{q-1}=3F_{q}$ であるから，補題より\r\n$$\r\nF_1+F_2+\\cdots F_{q-1} \\lt 2F_{q}\r\n$$\r\nである．$p\\geq 3$ の時，どのような分割を施しても，$F_{q}$を要素に含まない集合 $S$ であって\r\n$$\r\n\\sum_{k\\in S} F_k \\leq \\dfrac{F_1+F_2+\\cdots+F_{q-1}}{2}\r\n$$\r\nとなるものが存在する．したがって，分割によってできた集合のうち $F_{q}$ を要素に含む集合を $S^{\\prime}$ とすれば，$\\sum_{k\\in S} F_k \\lt \\sum_{k\\in S^{\\prime}} F_k$ が成立するため，$f(p,q)=0$ である．\\\r\n　$p=2$ のとき， $F_{1}+F_{2}+\\cdots +F_{q}$ の値を $2$ を法としてみれば，それらは $1,0,0,1,0,0,1,\\ldots$ と周期的に変化していることがわかる．$q\\equiv 1 \\pmod{3}$ のとき，$F_{1}+F_{2}+\\cdots +F_{q}$ の値は奇数であるから，条件を満たすような $2$ つの集合の分割は存在せず，$f(p,q)=0$ である．一方，$q\\equiv 0,2 \\pmod{3}$ のとき，$q=2$ であれば $\\\\{\\\\{1\\\\},\\\\{1\\\\}\\\\}$ が，$q=3$ であれば $\\\\{\\\\{1,1\\\\},\\\\{2\\\\}\\\\}$ が条件を満たす．漸化式 $F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}$ より，ある $n$ で条件を満たす分割が存在するならば，$n+3$ でも条件を満たす分割が存在するので $f(p,q)\\geq 1$ が言える．\r\n\r\n　最後に，$f(2,q)\\geq 1$ なる正整数 $q$ に対し，$f(2,q)$ の具体的な値を決定しよう．分割後の$2$ つの集合について，その集合の要素の総和は $(F_1+F_2+\\cdots+F_{q})\\/2$ であることに注意してほしい．$q\\geq4$ の場合において，もし $F_{q-2},\\ F_{q}$ が同一の集合 $S$ に含まれているとすると，補題より\r\n$$\r\n\\sum_{k\\in S} k \\geq F_{q}+F_{q-2} \\gt \\dfrac{F_1+F_2+\\cdots+F_{q}}{2}\r\n$$\r\nであるから，このとき条件を満たすように分割することができない．$F_{q-1},\\ F_{q}$ が同一の集合 $S$ に含まれているとした場合でも，同様の結論を得ることができるから，$F_{q}$ と $F_{q-2},\\ F_{q-1}$ は別の集合に含まれていることになる．ところで $F_{q}=F_{q-2}+F_{q-1}$であるから，$U_{q}$ の分割の仕方は $U_{q-3}$の分割の仕方に帰着することができる．$q=2,3,5$ の分割の方法がいずれも$1$種類として数えられることに注意すれば，\r\n$$\r\nf(2,q)=\r\n\\begin{cases}\r\n 1 &(q=2,3,5)\\\\\\\\\r\n 2^{\\frac{q}{3}-1} &(q=6,9,12,\\ldots)\\\\\\\\\r\n 2^{\\frac{q-2}{3}-1} &(q=8,11,14,\\ldots)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nとなる．以上より，求める値は以下のように計算できる：\r\n$$\r\n\\sum_{2\\leq p\\leq q\\leq 100} f(p,q) = 3+(2+2^{2}+\\cdots +2^{31})+(2+2^{2}+\\cdots + 2^{32})=\\textbf{12884901887}.\r\n$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9395" }, { "content": "[追記] 問題文が修正されました. 現在公開されている問題は, 公式解説と整合しています.\r\n\r\n<details><summary>元の問題文<\\/summary>\r\n実数列 $\\left\\\\{F_{n}\\right\\\\}$ は以下の漸化式をみたすものとします：\r\n$$\r\nF_{1}=F_{2}=1, \\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \\quad (n \\geq 1).\r\n$$\r\nいま, 正整数 $p \\leq q$ に対し, $U_{q}=\\\\{1,2, \\ldots, q\\\\}$ とし, $U_{q}$ を空でない $p$ 個の集合に分割する方法（分割後の集合の順序は区別しない）であって，以下の条件をみたすものの個数を $f(p, q)$ とおきます：\r\n\r\n- 分割後の $p$ 個の集合を $S_{1}, S_{2}, \\ldots S_{p}$ としたとき,\r\n$$\r\n\\sum_{k \\in S_{1}} F_{k}=\\sum_{k \\in S_{2}} F_{k}=\\cdots=\\sum_{k \\in S_{p}} F_{k}.\r\n$$\r\n\r\n$2 \\leq p \\leq q \\leq 100$ をみたす正整数の組 $(p, q)$ すべてに対し $f(p, q)$ を求め, それらの総和を解答してください.\r\n\r\n<details><summary>集合の分割について<\\/summary>\r\n\r\n$p$ 個の集合 $S_{1}, S_{2}, \\ldots S_{p}$ が以下の条件をみたすとき, 集合 $U_{q}$ の **分割** であるといいます：\r\n- $1 \\leq i \\lt j \\leq p$ ならば $S_{i} \\cap S_{j}=\\varnothing$.\r\n- $S_{1} \\cup S_{2} \\cup \\cdots \\cup S_{p}=U_{q}$\r\n<\\/details>\r\n<\\/details>\r\n\r\n---\r\n\r\n【公式解説誤りの指摘】\r\n\r\n$U_{q}$ を分割する方法は, 各要素が $S_{1}, S_{2}, \\ldots , S_{p}$ のいずれに属するかで区別される (分割後の集合の順序は区別しない). そのため, $F_{1}=F_{2}$ であっても, $1 \\in S_{1}, 2 \\in S_{2}$ と $1 \\in S_{2}, 2 \\in S_{1}$ を区別して計上される.\r\n\r\n公式解説では, 誤ってこれらを区別していないため, $q=5, 8, 11, \\ldots$ のときの $f(p, q)$ の値を本来の $\\frac{1}{2}$ 倍として算出している.\r\n\r\n<details><summary>[公式解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/yagamihai2023\\/editorial\\/9395)の該当箇所<\\/summary>\r\n$q=2,3,5$ の分割の方法がいずれも 1 種類として数えられることに注意すれば,\r\n$$\r\nf(2,q)=\\begin{cases}\r\n 1 & (q=2,3,5) \\\\\\\\\r\n 2^{\\frac{q}{3}-1} & (q=6, 9, 12, \\ldots) \\\\\\\\\r\n 2^{\\frac{q-2}{3}-1} & (q=8, 11, 14, \\ldots)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nとなる. 以上より, 求める値は以下のように計算できる：\r\n$$\r\n \\sum_{2 \\leq p \\leq q \\leq 100} f(p, q)=3+\\left(2+2^{2}+\\cdots+2^{31}\\right)+\\left(2+2^{2}+\\cdots+2^{32}\\right)=\\mathbf{12884901887}.\r\n$$\r\n<\\/details>\r\n\r\n<details><summary>修正後<\\/summary>\r\n$$\r\nf(2,q)=\\begin{cases}\r\n 2^{\\frac{q}{3}-1} & (q=3, 6, 9, \\ldots) \\\\\\\\\r\n 2^{\\frac{q-2}{3}} & (q=2, 5, 8, \\ldots)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nとなる. 以上より, 求める値は以下のように計算できる：\r\n$$\r\n\\sum_{2 \\leq p \\leq q \\leq 100} f(p, q)=2\\left(2^{0}+2^{1}+\\cdots+2^{32}\\right)=2\\left(2^{33}-1\\right)=\\mathbf{17179869182}.\r\n$$\r\n<\\/details>", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9395/290" } ]

[ { "content": "　まず，補題として以下の二つが成り立つことを証明する．\r\n\r\n 1. 　$k=1,2,3,4,5$ に対し，$x_1+x_2+⋯+x_k=\\frac12a_k(a_k+1)$ を満たす非負整数 $a_k$ が存在する．\r\n 2. 　$\\lbrace a_k\\rbrace$ に対し，$a_1 \\in \\lbrace0,1 \\rbrace$ であり，$k=1,2,3,4$ に対して$a_{k+1}-a_k\\in\\lbrace-1,0,1\\rbrace$ が成立する．\r\n\r\nこれらは数学的帰納法によって次のように証明できる．\r\n\r\n(i)　$k=1$ のとき，$x_1^2=x_1^3 \\iff x_1\\in\\lbrace 0,1\\rbrace$ であり，それぞれ $a_k=0,1$ に対応する．\r\n\r\n(ii)　$k=n$ のとき成立するとして，$k=n+1$ のとき，条件は\r\n$$\\left\\lbrace\\frac12 a_n (a_n+1)+x_{n+1} \\right\\rbrace^2=\\left\\lbrace\\frac12 a_n (a_n+1)\\right\\rbrace^2+x_{n+1}^3$$\r\nこれを整理すれば，\r\n$$x_{n+1}^3-x_{n+1}^2-a_n(a_n+1) x_{n+1}=0 \\iff x_{n+1}\\in \\lbrace-a_n,0,a_n+1\\rbrace$$\r\nであり，それぞれ $a_{n+1}=a_n-1,a_n,a_n+1$ に対応することがわかる（$a_n=0$ のときは，$a_{n+1}=a_n-1$ と $a_{n+1}=a_n$ が同じ結果を与えるから，$a_n$ はつねに非負整数であるとすることできる）．\r\n\r\n　逆に，証明の過程から二つの条件が与式を導くことも従う．いま，\r\n$$a_1\\in\\lbrace 0,1\\rbrace,\\quad \\ a_{m+1}-a_{m}\\in\\lbrace -1,0,1\\rbrace\\quad (m=1,2\\ldots,n-1),\\quad \\ a_n=k$$\r\nをみたす非負整数の組 $(a_1,a_2,\\ldots,a_n)$ の個数を $f(n,k)$ で表すと，これは次の漸化式をみたす：\r\n$$\r\nf(1,k) = \\begin{cases} 1 & (k=0,1) \\\\\\\\ 0 & (k\\ge 2) \\end{cases}, \\quad\r\nf(n+1,k) = \\begin{cases} f(n,0)+f(n,1) & (k=0) \\\\\\\\ f(n,k-1)+f(n,k)+f(n,k+1) & (k\\ge 1) \\end{cases}\r\n$$\r\n\r\nこれを用いて，$n=1,2,3,4,5$について$f(n,k)$の値を計算すると，次のようになる．\r\n\r\n$$\\begin{array}{c||c|c|c|c|c}\r\nf(n,k) & n=1 & n=2 & n=3 & n=4 & n=5 \\\\\\\\ \\hline \\hline\r\nk=0 & 1 & 2 & 4 & 9 & 21 \\\\\\\\ \\hline\r\nk=1 & 1 & 2 & 5 & 12 & 30 \\\\\\\\ \\hline\r\nk=2 & 0 & 1 & 3 & 9 & 25 \\\\\\\\ \\hline\r\nk=3 & 0 & 0 & 1 & 4 & 14 \\\\\\\\ \\hline\r\nk=4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\\\\\\\ \\hline\r\nk=5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\\\\\ \\hline\r\nk\\geq 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\r\n\\end{array}$$\r\n\r\nしたがって，求める値は $\\displaystyle\\sum_{k=0}^{\\infty}f\\left(5,k\\right)=21+30+25+14+5+1=\\textbf{96}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9440" } ]

[ { "content": "　$\\operatorname{ord}\\_{p}(N)$ で整数 $N$ が素数 $p$で割り切れる最大の回数を，$\\operatorname{s}\\_{p}(N)$ で整数 $N$を $p$ 進数表示したときの桁和を表すものとする．\\\r\n　$n$ 以下の素数 $p$ を任意にとる（$n$より大きい素数については分母・分子のいずれにも表れないので考える必要はない）．分子について，$\\operatorname{ord}\\_{p}(\\operatorname{lcm}\\\\{1,2,\\cdots ,n\\\\})=\\lfloor \\log\\_{p}{n} \\rfloor$ である．分母が$p$で割り切れる回数について考察するために，以下の定理（クンマーの定理）を示す．\r\n\r\n---\r\n\r\n**定理.** $x+y=z$ なる正整数 $x,\\ y,\\ z$ について，${}\\_{z} \\mathrm{C}\\_{x}$ が素数 $p$ で割り切れる最大の回数は $\\dfrac{s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}}{p-1}$ であり，この値は，$p$ 進法での $x+y=z$ の筆算で起こる繰り上がりの回数に等しい．\r\n\r\n**証明.** $n=n_{r}p^r+n_{r-1}p^{r-1}+\\cdots +n_0p^{0}$ と $p$ 進数表記されているとき，$n!$ が $p$ で割り切れる最大の回数はルジャンドルの定理より，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{\\infty} \\Bigl\\lfloor \\dfrac{n}{p^k} \\Bigl\\rfloor \r\n&= (n_{r}p^{r-1}+n_{r-1}p^{r-2}+\\cdots +n_1p^{0})+(n_{r}p^{r-2}+n_{r-1}p^{r-3}+\\cdots +n_2p^{0}) + \\cdots + n_{r}p^{0}\\\\\\\\\r\n& = n_{r} \\dfrac{p^r-1}{p-1} +n_{r-1} \\dfrac{p^{r-1}-1}{p-1} + \\cdots+ n_{1} \\dfrac{p^1-1}{p-1} +n_{0} \\dfrac{p^0-1}{p-1}\\\\\\\\\r\n& = \\dfrac{n-s_p(n)}{p-1}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nであるから，${}\\_{x} \\mathrm{C}\\_{y}$ は素数 $p$ で最大 $\\dfrac{s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}}{p-1}$回割り切れる．\\\r\n　繰り上がりについて，$p$ 進数での $x+y$ の筆算で繰り上がりが起こらないとき，$s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}=s_{p}{(z)}$となるから，主張は正しい．次に，$r$ 桁目のみで繰り上がりが起こるとすると，$x,\\ y,\\ z$ の $r$ 桁目の数字を $x_r,\\ y_r,\\ z_r$ とすれば $x_r+y_r=z_r+p$ となり，$r+1$ 桁目では繰り上がりにより $1+x_{r+1}+y_{r+1}=z_{r+1}$ となるから，$s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}$ の値は $p-1$ だけ増加する．繰り上がりの回数が増えても同様な議論ができ，一回の繰り上がりにつき $s_{p}{(x)}+s_{p}{(y)}-s_{p}{(z)}$ の値は $p-1$ だけ増加することがいえるので，定理を示すことができた．（証明終）\r\n\r\n---\r\n\r\n　クンマーの定理より，ある素数 $p$ によって $n+1=p^r$ と表されるとき，例えば $x=(p^r-1)\\/(p-1)$ とすれば， $p$ 進数での $x+(n-x)$ の筆算において $r$ 回繰り上がりが生じるので，\r\n$$\r\n\\operatorname{ord}\\_{p}\\\\{{}\\_{n+1} \\mathrm{C}\\_{1},{}\\_{n+1} \\mathrm{C}\\_{2},\\ldots,{}\\_{n+1} \\mathrm{C}\\_{n}\\\\}=r\\gt \\lfloor \\log\\_{p}{n} \\rfloor\r\n$$\r\nである．したがって，与えられた値は整数値になりえない．\\\r\n　一方，$p^{r} \\lt n+1 \\lt p^{r+1}$ を満たす非負整数 $r$ が存在するとき，どのような整数 $1\\leq x \\leq n$ をとってきても $p$ 進数での $x+(n-x)$ の筆算において繰り上がりは高々 $r\\leq \\lfloor \\log\\_{p}{n} \\rfloor$ 回しか生じないので，約分をおこなうことで分母には素因数 $p$ が現れない．以上より，題意を満たす必要十分条件は $n+1$ が素数べきではないことである．\r\n\r\n　$3$ 以上 $1001$ 以下の整数は $999$ 個あり，素数表より $1001$ 未満の素数は $168$ 個存在する．この範囲において，\r\n - $2$ の素数べき：$2^2$ から $2^9$ までの $8$ 個\r\n - $3$ の素数べき：$3^1$ から $3^6$ までの $6$ 個\r\n - $5$ の素数べき：$5^1$ から $5^4$ までの $4$ 個\r\n - $7$ の素数べき：$7^1$ から $7^3$ までの $3$ 個\r\n - $11,13,17,19,23,29,31$ の素数べき：指数として考えられるものは $1,2$ であり合計 $14$ 個\r\n - $37$ 以降の素数の素数べき：指数として考えられるものは $1$ のみであり合計 $157$ 個\r\n\r\nであるから，題意を満たす整数は $999-(8+6+4+3+14+157)=\\textbf{807}$ 個存在する．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9396" } ]

[ { "content": "　与式を $S\\_n$ とおくと $S\\_1 = -1$．以下 $n\\ge 2$ とする． \r\n　$s = r + k$ として\r\n$$ S\\_n = \\sum\\_{s=0}^ns^n\\\\, \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r\\left(s - r + 1\\right) \\binom nr. $$\r\nまた\r\n$$ \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r \\binom nr = \\sum\\_{r=0}^s \\left(\\left(-1\\right)^r \\binom{n - 1}r - \\left(-1\\right)^{r-1} \\binom{n - 1}{r - 1}\\right) = \\left(-1\\right)^s \\binom{n - 1}s, $$\r\n$$ \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r \\left(s - r + 1\\right) \\binom nr = \\sum\\_{r=0}^s \\sum\\_{i=r}^s \\left(-1\\right)^r \\binom nr = \\sum\\_{i=0}^s \\sum\\_{r=0}^i \\left(-1\\right)^r \\binom nr = \\left(-1\\right)^s \\binom{n - 2}s. $$\r\n<details>\r\n<summary>因みに<\\/summary>\r\n\r\n　同様の議論により，一般に\r\n$$ \\sum\\_{r=0}^s \\left(-1\\right)^r \\mathinner{\\binom{s - r + m}m} \\binom nr = \\left(-1\\right)^s \\binom{n - m - 1}s $$\r\nが成立する．\r\n<\\/details>\r\n\r\n　よって\r\n$$ \\left(-1\\right)^n S\\_n = \\sum\\_{s=0}^n \\left(-1\\right)^{n+s} \\mathinner{\\binom{n - 2}s} s^n = \\sum\\_{s=0}^{n-2} \\left(-1\\right)^{n-s-2} \\mathinner{\\binom{n - 2}s} s^n $$ となるが，これは OMC008(F) 公式解説中の「補題」と同様に，$n$ 個のボールをちょうど $(n - 2)$ 色で塗り分ける場合の数に等しい．したがって\r\n$$ \\left(-1\\right)^n S\\_n = \\binom{n - 2}2 \\times \\frac{n!}{(2!)^2} + \\binom{n - 2}1 \\times \\frac{n!}{3!} = \\frac{\\left(n - 2\\right) \\left(3n - 5\\right) n!}{24} $$\r\nが分かり，特に $S\\_2 = 0$． \r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{0pt}3 \\le n \\le 16$ のとき \r\n　$n - 2,\\\\, 3n - 5 \\gt 0$ は互いに素より，同時に $17$ の倍数にならず，常に $2023 \\nmid S\\_n$． \r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{14pt}17 \\le n \\le 33$ のとき \r\n　$\\color{red}{2023 \\mid S\\_n}$ と，$\\color{red}{n - 2,\\hspace{314705sp} 3n - 5\\\\ の一方が\\\\ 17\\\\ の倍数であること}$ は同値で，それは $n = 19, 30$．\r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{14pt}n \\ge 34$ のとき \r\n　常に $2023 \\mid S\\_n$．\r\n\r\n　ゆえに，求める総和は\r\n$$ 1 + \\mathord{\\stackrel{\\widehat 2,\\\\, \\widehat{19},\\\\, \\widehat{30}}{\\cdots\\cdots}} + 33 = \\frac{34 \\times 33}2 - 2 - 19 - 30 = \\bm{510}. $$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9381" } ]

[ { "content": "　任意の正整数 $x$ に対して $(x + n)^{x+n} \\equiv x^x \\pmod m$ となる正整数 $n$ を周期と呼び，最小の周期を基本周期と呼ぶことにする．また以下では $m$ を法とする． \r\n　素数 $p$，整数 $k \\ge p + 1$ に対し $m = p^k$ となるとき，基本周期が存在すると仮定して，それを $\\ell$ とおくと，$\\ell m$ は周期になるはずであるが\r\n$$ (p + \\ell m)^{p+\\ell m} = p^{p+\\ell m} \\left(1 + \\ell p^{k-1}\\right)^{p+\\ell m} \\equiv 0,\\qquad 0 \\lt p^p \\lt m $$\r\nより $(p+\\ell m)^{p+\\ell m} \\not\\equiv p^p$ であるから，$\\ell m$ は周期ではなく矛盾．よって基本周期は存在しない． \r\n　素数 $p$，正整数 $k \\le p$ に対し $m = p^k$ となるとき，$p \\mid x$ なる任意の正整数 $x$ で $x^x \\equiv 0$，$p\\nmid x$ なる任意の正整数 $x$ に対して，Euler の定理より\r\n$$ \\left(x + p^k \\left(p-1\\right)\\right)^{x+p^k(p-1)} \\equiv x^x \\times x^{p\\varphi(p^k)} \\equiv x^x $$\r\nであるから，$p^k \\left(p - 1\\right)$ は周期．$m$ の原始根 $r$ がとれて $(p=2$ の場合も！$)$，任意の $t = 0, 1, \\ldots, p - 2$ に対し $0 \\lt tp^{k-1} \\lt \\varphi\\mathopen{}\\left(p^k\\right)$ より\r\n$$ \\left(r + tp^k\\right)^{r+tp^k} \\equiv r^r \\times r^{t\\varphi(p^k)} \\times r^{tp^{k-1}} \\equiv r^r \\times r^{tp^{k-1}} \\not\\equiv r^r $$\r\nであるから $tp^k$ は周期でない．また $k=1$ のときは\r\n$$ (1 + (p - 1))^{1+(p-1)} = p^p \\equiv 0 \\not\\equiv 1^1 $$\r\nであって，$k \\ge 2$ のときは\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n\\left(1 + p^{k-1} \\left(p - 1\\right)\\right)^{1+p^{k-1}(p-1)} &= \\sum_{i=0}^{1+p^{k-1}(p-1)}\\binom{1 + p^{k-1} \\left(p - 1\\right)}i \\left(p^{k-1} \\left(p - 1\\right)\\right)^i \\\\\\\\\r\n&\\equiv 1 + \\left(1 + p^{k-1} \\left(p - 1\\right)\\right) p^{k-1} \\left(p - 1\\right) \\\\\\\\\r\n&\\equiv 1^1 + p^{k-1} \\left(p - 1\\right)\r\n\\end{aligned} $$\r\nおよび $0 \\lt p^{k-1} \\left(p - 1\\right) \\lt m$ より $\\left(1 + p^{k-1} \\left(p - 1\\right)\\right)^{1+p^{k-1} \\left(p - 1\\right)} \\not\\equiv 1^1$ であるから，$p^{k-1} \\left(p - 1\\right)$ は周期ではない．したがって $p^k \\left(p - 1\\right)$ は基本周期． \r\n　$m = p\\_1^{k\\_1} \\times\\cdots\\times p\\_a^{k\\_a}\\hspace{303000sp} (p\\_1 \\lt\\cdots\\lt p\\_a,\\hspace{314705sp} k\\_i \\ge 1)$ と素因数分解できるときは，上の結果より，各 $i$ で $k\\_i \\le p\\_i$ のときに基本周期が存在し，そのとき $\\operatorname*{lcm}\\mathopen{}\\left(p\\_1^{k\\_1} \\left(p\\_1 - 1\\right)\\mathclose{}, \\ldots, p\\_a^{k\\_a} \\left(p\\_a - 1\\right)\\right)$ が基本周期．これが $m$ に等しいというのは，指数の条件を満たしたうえで，$\\operatorname*{lcm}(p\\_1 - 1, \\ldots, p\\_a - 1) \\mid m$ と同値．$\\operatorname*{lcm}(p\\_1 - 1, \\ldots, p\\_a - 1)$ は偶数より $m$ も偶数で $p\\_1 = 2$． \r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{8pt}a = 1$ のとき \r\n　$m = 2, 4$ のみ． \r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{14pt}a = 2$ のとき \r\n　$k\\_1 = 1$ ならば $p\\_2 = 3$，$k\\_1 = 2$ ならば $p\\_2 = 3, 5$ より\r\n$$ m = 6, 12, 18, 20, 36, 54, 100, 108. $$\r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{0pt}a = 3$ のとき \r\n　$p\\_2 - 1 \\lt p\\_2$ が $p\\_1^{k\\_1}$ の約数でなければならないことから，$p\\_2$ の条件は $a = 2$ のときと同じ． \r\n　$m^\\prime \\coloneqq p\\_1^{k\\_1}\\\\, p\\_2^{k\\_2}$ として，$m^\\prime = 6$ ならば $p\\_3 = 7$，$m^\\prime = 12$ ならば $p\\_3 = 5, 7, 13$，$m^\\prime = 18$ ならば $p\\_3 = 7, 19$，$m^\\prime = 20$ ならば $p\\_3 = 11$，$m^\\prime = 36$ ならば $p\\_3 = 5, 7$，$m^\\prime = 54$ ならば $p\\_3 = 7$，それ以外については上の同値条件を満たさないか，$m$ が $390$ を超えてしまう．このとき\r\n$$ m = 42, 60, 84, 126, 156, 180, 220, 252, 294, 300, 342, 378. $$\r\n* $\\rule[-8pt]{0pt}{0pt}a = 4$ のとき \r\n　そもそも $390$ 以下になるものが $210,\\\\, 330,\\\\, 390$ しかなく，またこれらは不適．\r\n\r\n　$390$ 以下であることから $a \\ge 5$ にはならず，求める値は $\\bm{2794}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9380" } ]

[ { "content": "　$N = 2520$ とする．頂点 $1,\\\\, \\ldots,\\\\, N$ をそれぞれの人に対応させ，頂点を辺で結ぶことを，対応する $2$ 人が仲良しであることに対応させたグラフを $G$ とする．このとき仲良し $n$ 人組はクリーク $K\\_n$ に対応し，$G$ の $K\\_n$ 全体の集合を $K\\_n(G)$ で表すことにする．ここで総和が $N$ である非負整数の組 $\\bm x \\coloneqq (x\\_1, \\ldots, x\\_N)$ に対し，$f\\_r(\\bm x)$ を\r\n$$ f\\_r(\\bm x) = \\sum\\_{|k\\_1\\cdots k\\_r|\\in K_r(G)}\\prod\\_{i=1}^rx_{k_i} $$\r\nで定めると，$v \\ne w,\\hspace{314705sp} vw \\not\\in E(G),\\hspace{314705sp} x\\_v, x\\_w \\ne 0$ なる $v,\\\\, w$ に対し\r\n$$ S\\_v \\coloneqq \\sum\\_{|vk_1\\cdots k_{r-1}|\\in K_r(G)}\\prod\\_{i=1}^{r-1}x\\_{k\\_i} \\ge \\sum\\_{|wk_1\\cdots k_{r-1}|\\in K_r(G)}\\prod\\_{i=1}^{r-1}x\\_{k\\_i} \\eqqcolon S\\_w $$\r\nとしても一般性を失わず\r\n$$ y\\_k \\coloneqq \\begin{cases}\r\nx\\_v + x\\_w & (k = v) \\\\\\\\\r\n0 & (k = w) \\\\\\\\\r\nx\\_k & (\\text{otherwise})\r\n\\end{cases} $$\r\nとすれば，$f\\_r(\\bm y) - f\\_r(\\bm x) = x\\_w \\left(S\\_v - S\\_w\\right) \\ge 0$ より $f\\_r(\\bm y) \\ge f\\_r(\\bm x)$． \r\n　ここで $G$ が $K\\_{n+1}$ を持たないとき，$\\bm x$ から $\\bm y$ への変換を可能な限り繰り返して，組の中の正の数を $n$ 個以下にできる．$(1, \\ldots, 1)$ に対しこれを行ったものを $\\bm c$ とおき，$\\bm c$ から $(N - n)$ 個の $0$ を取り去ったものを $(\\alpha\\_1, \\ldots, \\alpha\\_n)$ とすると\r\n$$ |K\\_r(G)| = f\\_r(1, \\ldots, 1) \\le f\\_r\\mathopen{}\\left(\\bm c\\right) \\le \\sum\\_{1\\le k\\_1\\lt\\cdots\\lt k\\_r\\le n}\\prod\\_{i=1}^r \\alpha\\_{k\\_i}. $$\r\n等号は，$G$ が大きさ $\\alpha\\_1, \\ldots, \\alpha\\_n$ の部集合を持つ完全 $n$-部グラフのときに成立．さらに Muirhead の不等式より\r\n$$ \\sum\\_{1\\le k\\_1\\lt\\cdots\\lt k\\_r\\le n}\\prod\\_{i=1}^r\\alpha\\_{k\\_i}\\le\\mathinner{\\binom nr} n^{-r} \\left(\\sum_{k=1}^n \\alpha\\_k\\right)^r = \\binom nr \\left(\\frac Nn\\right)^r\\mathclose{}. $$\r\nよって $|K_r(G)| \\le \\dbinom nr \\left(\\dfrac Nn\\right)^r$ を得る．$n \\mid N$ のときは，上の部集合の大きさを揃えれば等号が成立する． \r\n　これより，$n = 2, \\ldots, 10$ のとき\r\n$$ M\\_{n+1} = \\sum\\_{r=2}^n r \\mathinner{\\binom nr} \\left(\\frac Nn\\right)^r = N\\sum_{r=1}^{n-1} \\mathinner{\\binom{n-1}r} \\left(\\frac Nn\\right)^r=N \\left(\\left(\\frac Nn+1\\right)^{n-1} - 1\\right) $$\r\nが分かり，$2521 = N + 1$ を法として $M\\_{n+1} - 1 \\equiv -\\mathopen{}\\left(\\dfrac{n - 1}n\\right)^{n-1}$ であるから\r\n$$ \\prod\\_{n=2}^{10} (M\\_{n+1} - 1) \\equiv -\\prod_{n=2}^{10} \\left(\\dfrac{n - 1}n\\right)^{n-1} = -\\frac{9!}{10^9} \\equiv \\bm{355}. $$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9382" } ]

[ { "content": "　良い点の一意存在は保障されているから，半直線 $ZX,\\\\, ZY$ 上にそれぞれ点 $\\widetilde X,\\\\, \\widetilde Y$ を，$X\\widetilde X,\\\\, Y\\widetilde Y$ が微小で，また $XY = \\widetilde X\\widetilde Y$ となるようにとったとき，$XY$ と $\\widetilde X\\widetilde Y$ の交点 $\\widetilde W$ に対して，$W\\widetilde W$ は微小．よって簡単な長さ計算により，$Z$ から $XY$ に下した垂線の足 $W^\\prime$ に対して，$XW = YW^\\prime$ となることが分かる． \r\n　$BC,\\\\, AC,\\\\, AB,\\\\, CD,\\\\, BE$ の中点を，それぞれ $M\\_A,\\\\, M\\_B,\\\\, M\\_C,\\\\, M\\_D,\\\\, M\\_E$ とすると，$M\\_C\\\\,M\\_D$ と $M\\_B\\\\,M\\_E$ の交点は $T$ で，$M\\_D,\\\\, M\\_E$ はそれぞれ線分 $M\\_A\\\\,M\\_B,\\\\, M\\_A\\\\,M\\_C$ 上にあって\r\n$$ 2M\\_A\\\\,M\\_D = BD,\\qquad 2M\\_A\\\\,M\\_E = CE. $$\r\nよって $\\triangle ABC$ の重心を中心とした $-2$ 倍の相似拡大により $M\\_D,\\\\, M\\_E$ が移る点を，それぞれ $H\\_1,\\\\, H\\_2$ とすれば，それぞれ辺 $AB,\\\\, AC$ 上にあって，$AH\\_1 = BD,\\hspace{314705sp} AH\\_2 = CE$ が成立するので，$H\\_1,\\\\, H\\_2$ はそれぞれ，$C$ から $AB$ に，$B$ から $AC$ に下した垂線の足で，$CH\\_1$ と $BH\\_2$ の交点は $\\triangle ABC$ の垂心．この点は，上の相似拡大により $T$ が移る点に一致するから，$T$ は $\\triangle ABC$ の外心であることが分かった． \r\n　したがって，$\\triangle ABC$の外接円，内接円の半径を，それぞれ $R,\\\\, r$ とすれば，$R = \\dfrac{2468}3$ であるから，$\\triangle ABC$ の外心が三角形の内部にあることと合わせて，長さに関する Carnot の定理より\r\n$$ r = \\frac{1858\\times1202}{2001} - \\frac{2468}3 = \\frac{195720}{667}. $$\r\nこれより，求める面積は $\\dfrac{3939r}2 = \\dfrac{385470540}{667}$ であるから，解答すべき値は $\\bm{385471207}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9383" }, { "content": "　良い点の一意存在は以下のようにシムソン線から示される．\\\r\n\\\r\n　三角形 $XYZ$ の外接円を $\\Omega$ とし，辺 $XY$ 上に点 $P$ を取る．$\\Omega$ の劣弧 $XY$ 上に点 $Q$ を $PQ\\perp XY$ を満たすように取る．点 $Q$ から $ZX, ZY$ に下ろした垂線の足を順に $R, S$ とすればシムソン線から $R, P, S$ は同一直線上であり，角度評価から三角形 $PXY$ と三角形 $PRS$ の相似が分かる．相似比から $RS:XY=QR:QX$ であり $\\angle QRZ=90\\degree$ から $QR\\leq QX$ すなわち $RS\\leq XY$ が言える．\\\r\n　したがって $XY$ の最小性が満たされるのは直線 $XY$ がシムソン線となるときのみであり，これは $W$ を通り $XY$ に垂直な直線と劣弧 $XY$ の交点 $V$ が $VX\\perp ZX, VY\\perp ZY$ を満たすとき，すなわち $ZV$ が $\\Omega$ の直径となるときであり，直線 $ZW$ が $Z$ から $XY$ への垂線の等長共役点であるときだけであることが示される．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/yagamihai2023/editorial/9383/292" } ]

[ { "content": "　まず，$ 2023 = 7 × 17^2 $ と素因数分解できる．ここで，$ n, n+1, n+2$ の中に $17$ の倍数が $2$ つ以上含まれることはないため，この中に $289$ の倍数が含まれる必要があると分かる．これより，$ 1 \\leq n \\leq 1000$ と合わせて，$n$ は\r\n$$287, 288, 289, \\quad 576, 577, 578, \\quad 865, 866, 867 $$\r\nのいずれかである．このうち，$ n(n+1)(n+2)$ が $7$ の倍数にもなる，つまり，$ n, n+1, n+2$ の中に $7$ の倍数が含まれるのは\r\n$$287,\\quad 866,\\quad 867 $$\r\nのときであると分かる．よって，求める答えは $287 + 866 + 867 = \\mathbf{2020}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7908" } ]

[ { "content": "　$ 1,2, \\cdots ,5 $ の番号を付けた $5$ 個の頂点に対して，点 $n$ から点 $f(n)$ への有向辺を加えたグラフを\r\n$G$ とする．このとき，$f$ が条件を満たすことは次のように言い換えられる．\r\n- ある $1$ 以上 $5$ 以下の整数 $m$ が存在し，点 $m$ からは点 $m$ 自身に向かって有向辺が伸びている．また，点 $m$ 以外の頂点からは 点 $m$ に向かう単純有向パスが存在する．\r\n\r\n　これを満たすような $G$ としてあり得るものの総数を求めればいい．対称性より, $m = 1$ の場合を数え上げて，それを $5$ 倍したものが答えである．まず，点 $1$ に直接有向辺が伸びている，点 $1$ 以外の頂点の個数で場合分けする. \r\n- 頂点の個数が $4$ 個のとき\\\r\n　全ての頂点から点 $1$ に有向辺が伸びていることになるため，条件を満たすグラフは $1$ 通りである．\r\n- 頂点の個数が $3$ 個のとき\\\r\n　点 $1$ に直接有向辺が伸びている $3$ 点の選び方が $4$ 通り，残りの $1$ 点からどの $3$ 点に有向辺が伸びているかで $3$ 通りあるため，条件を満たすグラフは $12$ 通りある．\r\n- 頂点の個数が $2$ 個のとき\\\r\n　点 $1$ に直接有向辺が伸びている $2$ 点の選び方が $6$ 通りある．ここで，一般性を失わずに，その $2$ 点を点 $2, 3$ とする．このとき，点 $4$ と点 $5$ が共に点 $2$ に向かって有向辺を伸ばしている場合，以下の $3$ 通りある．（以下, $ a \\rightarrow b $ で点 $a$ から点 $b$ に有向辺が伸びていることを表す）\r\n$$ 4 \\rightarrow 2 \\ かつ \\ 5 \\rightarrow 2 ,\\quad 4 \\rightarrow 5 \\ かつ \\ 5 \\rightarrow 2 ,\\quad 4 \\rightarrow 2 \\ かつ \\ 5 \\rightarrow 4$$\r\n点 $4$ と点 $5$ が共に点 $3$ に向かって有向辺を伸ばしている場合も同様に $3$ 通りある. そして, 点 $4$ と点 $5$ が異なる頂点に向かって有向辺を伸ばしている場合は, $2$ 通りあるため, 条件を満たすグラフは全部で $6 × 8 = 48$ 通りある.\r\n- 頂点の個数が $1$ 個のとき\\\r\n　 点 $1$ に直接有向辺が伸びている $1$ 点の選び方が $4$ 通りある．ここで，一般性を失わずに，その $1$ 点を点 $2$ とする．このとき，残りの $3$ 点からどのように有向辺が伸びているかについては，点 $2$ に直接有向辺が伸びている頂点の個数で場合分けするとよい．以下より，全部で $16$ 通りあるので，条件を満たすグラフは全部で $4 × 16 = 64$ 通りある．\r\n - $3$ 個のとき・・・ $1$ 通り\r\n - $2$ 個のとき・・・ $2$ 点の選び方が $3$ 通り，残りの $1$ 点からの有向辺の伸ばし方が $2$ 通りで計 $6$ 通り\r\n - $1$ 個のとき・・・ $1$ 点の選び方が $3$ 通り，残りの $2$ 点からの有向辺の伸ばし方が $3$ 通りで計 $9$ 通り\r\n\r\n以上を踏まえて，$m = 1$ の場合に $G$ としてあり得るものが $125$ 通りあるため，答えは $125 × 5 = \\mathbf{625}$ 通りと分かる．\r\n\r\n----\r\n**参考.**　一般に，$n$ 個のラベル付き頂点を持つ木は $n^{n-2}$ 種類あり（Cayleyの公式），簡潔な証明が複数知られる．\\\r\n　この問題において，自己ループになる頂点の番号を固定したとき，数え上げるものは $5$ 個のラベル付き頂点を持つ木の数であり，これは $5^{5-2} = 125$ 個ある．よって求める答えは $125\\times5=\\bf625$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7909" } ]

[ { "content": "　以下，合同式の法は $2017$ とする．$x \\neq y$ のとき，与式は\r\n$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \\cdots + xy^{2016} + y^{2017} = \\frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} $$\r\nと変形できる．ここで $x-y$ は $2017$ で割り切れないので，Fermat の小定理より，\r\n$$ \\frac{x^{2018} - y^{2018}}{x - y} \\equiv \\frac{x^2 - y^2}{x - y} \\equiv x+y $$\r\nとなる．一方で $x = y$ のとき，再び Fermat の小定理より\r\n$$ x^{2017} + x^{2016}y + x^{2015}y^2 + \\cdots + xy^{2016} + y^{2017} \\equiv 2018 x^{2017} \\equiv x $$\r\nとなる．$0 \\le x+y \\le 2017$, $0 \\le x \\le 2017$ に注意すると，求めるべき値は \r\n$$ \\begin{aligned}\r\n\\sum_{0 \\leq x \\leq 1000, \\ 0 \\leq y \\leq 1000,\\ x \\neq y} (x + y) \\ + \\sum_{ 0 \\leq x \\leq 1000} x = \\sum_{x=0}^{1000}\\sum_{y=0}^{1000} (x + y) - \\sum_{y = 1}^{1000} \\ y \\ \\ = \\mathbf{1001500500}\r\n\\end{aligned}$$\r\nとなる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7911" } ]

[ { "content": "　$AM = MB = x$ とすると，方べきの定理より $AD^2 = AM × AB = 2x^2$ から $AN = NC = \\sqrt{2}x $ とわかる．ここで，$MN = y$ とすると，方べきの定理より $NC^2 = DC × BC$ から $DC = \\dfrac{x^2}{y}$ と分かる．また，$MN \\parallel BD$ から円に内接する四角形 $BMND$ は等脚台形であるので，$DN = x$ ともわかる．これより，三角形 $ADC$ に中線定理を用いて，\r\n$$AD = x \\sqrt{6-\\left( \\frac{x}{y} \\right)^2} $$\r\nとなることが分かる．よって，\r\n$$ \\sqrt{11} : 1 = AD : DC = \\sqrt{6-\\left( \\frac{x}{y} \\right)^2} : \\dfrac{x}{y}$$\r\nとなるので，$y = \\sqrt{2}x$ を得る.\r\nこれより，$\\sqrt{14} = DC = \\cfrac{x}{\\sqrt{2}}$ となり，$ x = 2\\sqrt{7}, y = 2\\sqrt{14}$ と分かる．これにより三角形 $ABC$ の面積が $28\\sqrt{7}$ とわかる一方，辺の比より三角形 $ABC$ と四角形 $BMND$ の面積比は $8 : 5$ なので，四角形 $BMND$ の面積は $\\cfrac{35\\sqrt{7}}{2}$ である．よって，解答すべき値は $35^2 × 7 + 2^2 = \\mathbf{8579} $ と分かる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7910" } ]

[ { "content": "　ある正整数 $m$ について，$a_m = 1$ ならば任意の $ n \\geq m $ を満たす正整数 $n$ について，$a_n = 1$ となることから，ある $1 \\leq n \\leq 2023$ を満たす正整数 $n$ に対して $a_n = 1$ となるような $a_1$ であって，かつ $a_1 \\gt 3$ を満たすようなものの個数を求めるとよい．\\\r\n　ここで，$a_n \\gt 0$ ならば常に $a_{n+1} \\gt 0$ であることが確認できるから，$a_1 \\gt 3$ の場合を考えると，$a_n$ は常に正と考えてよいことが分かる．このとき，ある $0 \\lt \\theta_n \\lt \\cfrac{\\pi}{2}$ を満たす $\\theta_n$ によって $a_n = \\tan^2\\theta_n$ と一意に表すことができる．\r\nすると，$a_n \\neq 1$ ならば，\r\n$$a_{n+1} = \\frac{4a_n}{(a_n-1)^2} = \\left(\\frac{2\\tan\\theta_n}{1 - \\tan^2\\theta_n}\\right)^2 = \\tan^2(2\\theta_n)$$\r\nとなる．\r\nここで，$\\tan^2(2\\theta_n) = \\tan^2(\\pi - 2\\theta_n)$ であることから，数列 $\\lbrace \\theta_n \\rbrace$ は\r\n$$\r\n\\theta_{n+1} = \\begin{cases}\r\n\\pi - 2\\theta_n & \\bigg( \\cfrac{\\pi}{4} \\lt \\theta_n \\lt \\cfrac{\\pi}{2}\\bigg)\\\\\\\\\r\n2\\theta_ n & \\bigg( 0 \\lt \\theta_n \\lt \\cfrac{\\pi}{4}\\bigg)\\\\\\\\\r\n\\dfrac{\\pi}{4} & \\bigg(\\theta_n = \\cfrac{\\pi}{4}\\bigg)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nをみたす．求めるべきは，ある $1 \\leq n \\leq 2023$ を満たす正の整数 $n$ に対して $\\theta_n = \\dfrac{\\pi}{4}$ となるような $\\theta_1$ であって， $ \\dfrac{\\pi}{3} \\lt \\theta_1 \\lt \\dfrac{\\pi}{2}$ をみたすものの個数である．\\\r\n　ここで，$\\theta_n = \\dfrac{\\pi}{4}$ となる $n$ のうち最小のものが $m$ となるような $\\theta_1$ は，以下の\r\n$2^{m-1}$ 個である．\r\n$$\r\n\\frac{1}{2^{m+1}}\\pi,\\quad\r\n\\frac{3}{2^{m+1}}\\pi,\\quad\r\n\\ldots,\\quad\r\n\\frac{2^m - 1}{2^{m+1}}\\pi\r\n$$\r\nこのうち $\\dfrac{\\pi}{3}$ より大きなものの個数は，$m$ が偶数のとき $\\dfrac{2^{m-1}+1}{3}$ 個，$m$が奇数のとき $\\dfrac{2^{m-1}-1}{3}$ 個であるので，求める個数は\r\n$$ \\sum_{k=1}^{1011} \\cfrac{2^{2k-1} + 1}{3} \\ + \\ \\sum_{k=0}^{1011} \\cfrac{2^{2k} - 1}{3} = \\cfrac{2^{2023} - 2}{3}$$\r\nである．Fermatの小定理より，これを素数 $2017$ で割った余りは $\\dfrac{2^7-2}{3} = \\mathbf{42} $ である.　", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7912" }, { "content": "【$a_{n}$ の挙動から遷移図を作る】\r\n\r\n$$\r\nf(x)=\\begin{cases}\r\n 1 & (x=1) \\\\\\\\\r\n \\frac{4 x}{(x-1)^{2}} & (x\\neq1)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\n\r\nとすると, $a_{n+1}=f(a_{n})$.\r\n\r\n$f(x)=1$ の実数解は, $x=1, 3\\pm2\\sqrt{2}$ である.\r\nまた, $y=f(x)$ のグラフから, $f(x) \\in (0, 3)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ と区間 $(3, \\infty)$ に 1つずつ, $f(x) \\in (3, \\infty)$ を満たす実数 $x$ は区間 $(0, 3)$ にちょうど 2 つ存在する.\r\n\r\nよって, $k=1, 2, \\\\ldots$ に対して, $f^{(k)}(x) \\in (0, 3)$ となる実数 $x$ の個数を $p_{n}$, $f^{(k)}(x) \\in (3, \\infty)$ となる実数 $x$ の個数を $q_{n}$とすると, \r\n$$p_{n+1}$$\r\n\r\n編集中", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7912/289" } ]

[ { "content": "　直線 $BE$ 上に点 $F$ を，$DE = EF$ かつ $3$ 点 $B, E, F$ がこの順に並ぶように取る．すると $\\angle CEF = \\angle CED = 108^\\circ$ より三角形 $CEF$ と三角形 $CED$ は合同なので，$\\angle ECF = \\angle ECD = 30^\\circ$ となる．また $\\angle CBF = \\angle CBE = 30^\\circ$ より，三角形 $ECF$ と三角形 $CBF$ が相似なので，$FE \\times FB = FC^2$ となる．さらに $CD = CF$ と $\\angle DCF = 2\\angle DCE = 60^\\circ$ より三角形 $DCF$ は正三角形なので，$DF = FC$ である．よって，\r\n$$FE \\times FB = FC^2 = DF^2$$\r\nより三角形 $FED$ と 三角形 $FDB$ は相似なので，$FD = DB$ を得る．これより，$DB = DF = DC$ が従い，$\\angle DBC = \\angle DCB = 48^\\circ$ から $\\angle DAE = \\angle BAC = 54^\\circ$ となる．さらに $\\angle ADE = 54^\\circ$ および $DE = AE = 5$ も従うので，正弦定理より \r\n$$BD^2 = DC^2 = 100 \\sin^2{108^\\circ} = \\dfrac{125 + 25\\sqrt{5}}{2}$$ \r\nとなる．解答すべき値は $\\mathbf{3252}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7916" }, { "content": "　実は $BD = CD$ は様々な方法で示すことができます. ($BD = CD$ を示した後の方針は公式解説と同様です.) そこで, ここでは $BD = CD$ を示す $2$ つの方法の大まかな流れを紹介します. $ \\\\\\ $\r\n**方針1**\r\n- 三角形 $BEC$ の外心を $F$ とする. すると, 三角形 $FEC$ は正三角形となる.\r\n- $∠FCD = ∠ECD = 30^\\circ$ より, 三角形 $FCD$ と三角形 $ECD$ は合同と分かり, $∠FDC = ∠EDC = 42^\\circ$ と分かる.\r\n- $DF \\perp BC$, 及び $BF = CF$ から直線 $DF$ が $BC$ の垂直二等分線と分かり, $BD = CD$ が従う.\r\n\r\n**方針2**\r\n- 三角形 $DEC$ の外心を $L$ とする. すると, 三角形 $DLE$ は正三角形となり, 簡単な角度計算により $∠BCL = 30^\\circ$ が分かる.\r\n- 直線 $CL$ と直線 $BE$ の交点を $K$ とすると, $BK = CK$ , 及び $∠LKE = 60^\\circ$ が分かる.\r\n- $∠LKE = ∠LDE = 60^\\circ$ より, 四点 $K, D, E, L$ が共円と分かり, 円周角の定理より $∠KDL = ∠KEL = 24^\\circ$ が分かる.\r\n- $∠KDC = ∠KDL + ∠LDC = 42^\\circ$ より $DK \\perp BC$ が, $BK = CK$ より直線 $DK$ が $BC$ の垂直二等分線であることが従い, $BD = CD$ が従う.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7916/288" }, { "content": "　自分がコンテスト中に解いた方法を，整理した解法です．\r\n\r\n---\r\n\r\n\r\n　$\\\\ \\triangle BCE$ の外心を $P$ とすると，$\\angle CBE = 30^\\circ$ より，$\\angle CPE = 60^\\circ$ となり $\\triangle CEP$ は正三角形で，以下が分かる：\r\n$$ \\angle DCP = 30^\\circ,\\quad \\angle PBC = \\angle PCB = 18^\\circ,\\quad \\angle BPC = 144^\\circ. $$\r\nまた $E$ と $P$ は $CD$ に対して対称な位置にあるから，$DE = DP$ で\r\n$$ \\angle DPE = \\angle DEP = 48^\\circ,\\quad \\angle PDE = 84^\\circ. $$\r\n$\\triangle DPE \\equiv \\triangle QBP$ となるように $Q$ をとると，$\\angle DPQ = 60^\\circ$ より $\\triangle DPQ$ は正三角形で，以下が分かる：\r\n$$ \\angle BQD = 144^\\circ,\\quad \\angle QBD = \\angle QDB = 18^\\circ,\\quad \\angle ADE = 54^\\circ = \\angle DAE. $$\r\nこれより $AE = DE$ となって\r\n$$ BQ = DQ = DP = DE = AE = 5 $$\r\nより\r\n$$ BD^2 = (2 \\times 5\\cos18^\\circ)^2 = 50 \\left(1 + \\cos 36^\\circ\\right) = 50 \\left(1 + \\frac{1 + \\sqrt5}4\\right) = \\frac{125 + 25\\sqrt5}2. $$\r\nしたがって求める値は $\\bm{3252}$．\r\n---\r\n\r\n**【補足】**$\\hspace{300000sp}$一般に整角四角形の問題は「外心 $3$ つ法」により単純化できる．すなわち，$\\triangle BCE$ の外心を $P$，$\\triangle CDE$ の外心を $P^\\prime$，$\\triangle CPP^\\prime$ の外心を $P^{\\prime\\prime}$ とし，$\\triangle BQP$ と $\\triangle CP^\\prime\\\\, E$，$\\triangle DRP^\\prime$ と $\\triangle CPE$ がそれぞれ相似になるように $Q,\\\\, R$ を定める．このとき，各線分の長さの等しい折れ線 $BQPP^{\\prime\\prime}\\\\,P^\\prime\\\\, RD$ を考えると，各線分の $CE$ に対する偏角は既知であるから，$BD$ の $CE$ に対する偏角を知ることができる． \r\n　今回は\r\n$$ BQPP^{\\prime\\prime}\\\\,P^\\prime\\\\, RD \\stackrel{①}{\\longrightarrow} BQPP^{\\prime\\prime}\\\\,P^\\prime\\\\, D \\stackrel{②}{\\longrightarrow} BQPD \\stackrel{③}{\\longrightarrow} BQD $$\r\nとして得られる．ただし $①$ は $\\triangle DP^\\prime\\\\, R$ が正三角形であること，$②$ は四角形 $DPP^{\\prime\\prime}\\\\,P^\\prime$ が平行四辺形であること，$③$ は $\\triangle DPQ$ が正三角形であることを利用して変形した．", "text": "外心 3 つ法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc178/editorial/7916/293" } ]

[ { "content": "　$AB=AC=AD$ であるから，$B,C,D$ はいずれも $A$ を中心とする半径 $AB$ の円上にある．また，$\\angle{BAC}=60^{\\circ}$ であるから，$D$ が直線 $BC$ に関してどちらの側にあるかによって $\\angle BDC$ は $30^\\circ$ または $150^\\circ$ となることが分かる．よって求める値は $\\bf{4500}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/4145" } ]

[ { "content": "　題意により $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$ が $1822$ の倍数であるから，$n=\\textbf{1825}$ は条件をみたし，これが $1818$ に最も近いものであることも確認される.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/1822" } ]

[ { "content": "　$\\angle ABC=2x$ とおく．三角形 $ABP$ が正三角形であることから $\\angle BAC=60^{\\circ}$ である．一方で，三角形 $ABQ$ と三角形 $QAC$ が二等辺三角形であることから，$\\angle BAC$ は\r\n$$\\angle{BAQ}+\\angle{QAC}=(180^\\circ-4x)+x=180^{\\circ}-3x$$\r\nと表されるから，$x=40^{\\circ}$ がわかり，解答すべき値は $\\textbf{80}$ とわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/3130" } ]

[ { "content": "　$f(a,b,c,d)$ が最小値をとるとき，$4$ 点\r\n$$(-1995, -2229) ,\\quad (c, d),\\quad (a, b), \\quad (1881,2103) $$\r\nがこの順に一直線上にある．すなわち，$(a, b), (c, d)$ は線分\r\n $$17y=19x+12 \\qquad (-1995\\leq x \\leq 1881)$$\r\n 上の格子点\r\n$$(x,y)=(11+17m, 13+19m) \\qquad (m=-118, -117, \\ldots, 109, 110)$$\r\nに属する．これらの格子点から（相異なると限らない）$2$ 点を選ぶ方法は，$-118\\le c^\\prime \\le a^\\prime\\le 110$ なる整数の組 $(a^\\prime,c^\\prime)$ の数に一致し，\r\n $\\_{229}\\mathrm{C}\\_{2} + 229=\\bf26335$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/5582" }, { "content": "[類題：OMC???-?](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc015\\/tasks\\/97)", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/5582/285" } ]

[ { "content": "　各操作とそれに伴う移動は，以下の3つのいずれかに分類できる．\r\n\r\n1. 　1番目の操作を選ぶことにより, 初めて訪れるマスに到達する\r\n2. 　2番目の操作を選ぶことにより, マス $x$ からマス $x-1$ に戻る\r\n3. 　いずれかの操作を選ぶことにより, マス $x$ から既に訪れたことのあるマス $x+1$ に移る\r\n\r\nこのうち，1.は24回または25回行われ，3.は 2.の直後のみに行われる．\\\r\n　1.が24回行われる時，2.および 3.は3回ずつ行われる．何回目の 1.の後に 2. および 3.を行うか，また 3.においてどちらの操作を行うかの選択があるので，この場合は ${}\\_{26}\\mathrm{C}\\_{3}\\times 2\\^{3}$ 通りである．\\\r\n　1.が25回行われる時，30回目の移動は 2.であり，それ以外で 2. および 3.は2回ずつ行われる．上と同様に考えれば，この場合は ${}\\_{26}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 2\\^{2}$ 通りである．\\\r\n　よって，求める答えは ${}\\_{26}\\mathrm{C}\\_{3}\\times 2\\^{3}+{}\\_{26}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 2\\^{2}=\\mathbf{22100}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/4323" }, { "content": "　$n$ 回の操作後にマス $k$ にいるような操作方法の総数を $a_{n,k}$ とおく． \r\n$n$ 回の操作後にマス $k$ にいるのは $n-1$ 回の操作後にマス $k-1$ にいて操作 $1$ を行うか，$n-2$ 回の操作後にマス $k$ にいて $n-1$ 回目の操作に操作 $1$ か操作 $2$ を行った後に $n$ 回目の操作で操作 $2$ を行うときなので，$a_{n,k}=a_{n-1,k-1}+2a_{n-2,k}$ となる． \r\n $a_{n,n}=1(n\\geqq2)$ および $a_{2n,0}=2^{n-1}(n\\geqq1)$ から漸化式を解くと，$$a_{n+2,n}=2n+1\\ ,\\ a_{n+4,n}=\\displaystyle\\sum_{k=0}^{n}2(2k+1)=2{(n+1)}^2\\ ,\\ a_{n+6,n}=\\displaystyle\\sum_{k=0}^{n}4{(k+1)}^2=\\dfrac{2}{3}(n+1)(n+2)(2n+3)$$ となり，求める操作方法の総数は $a_{30,24}=\\dfrac{2}{3}\\cdot25\\cdot26\\cdot51=\\textbf{22100}$．", "text": "漸化式を立てる", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/4323/286" } ]

[ { "content": "　与式より $xz = xw + yz$ であるから，$g = \\gcd(x,z), x = ga, z = gb$ とすれば，$y,w$ はそれぞれ $a, b$ の倍数である．従って，$y = as, w = bt$ とすれば $s, t$ は正の整数であり $s + t = g$ を満たす．よって，これらを与式に代入し，\r\n$$ab(s^2 + st + t^2) = 10!\\tag{1}$$\r\nを得る．以下では，今までの $a,b,s,t$ の意味を忘れ，(1)を不定方程式として見ることにする．(1)を満たす $\\gcd(a,b)=1$ なる $(a,b,s,t)$ の組と与式を満たす $(x,y,z,w)$ の組が一対一対応し，(1)を満たす $\\gcd(a,b) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組と(1)を満たす $\\gcd(s,t) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組も一対一対応するので，以下では(1)を満たす $\\gcd(s,t) = 1$ なる $(a,b,s,t)$ の組の数を求める．\r\n\r\n----\r\n**補題.**　$s^2 + st + t^2$ としてあり得る値は，$3,7,21$ のみである．\\\r\n**証明.**　$s$ と $t$ が互いに素であることから，$\\bmod\\ 2, \\bmod\\ 5, \\bmod\\ 9$ を考えることで，$s^2 + st + t^2$ は $2,5$ で割れず，$3$ で高々 $1$ 回しか割り切れないことが確認できる．また，$s^2 + st + t^2$ は $10!$ の約数であるから，以上のことと併せることで，$s^2 + st + t^2$ は $3\\times7$ の約数であることがわかる．$21$ の約数に対して順に $s,t$ の存在を確認すれば，$3,7,21$ のときに存在することが確かめられる．\r\n----\r\n\r\n- $s^2 + st + t^2 = 3$ である場合\\\r\n　$s^2 + st + t^2 = 3$ を満たす $(s,t)$ の組は $1$ 通りであり，$ab = 10!\\/3 = 2^8\\times3^3\\times5^2\\times7$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(3+1)(2+1)(1+1) = 216$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $1\\times216 = 216$ 組．\r\n- $s^2 + st + t^2 = 7$ である場合\\\r\n　$s^2 + st + t^2 = 7$ を満たす $(s,t)$ の組は $2$ 通りであり，$ab = 10!\\/7 = 2^8\\times3^4\\times5^2$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(4+1)(2+1) = 135$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $2\\times135 = 270$ 組．\r\n- $s^2 + st + t^2 = 21$ である場合\\\r\n　$s^2 + st + t^2 = 21$ を満たす $(s,t)$ の組は $2$ 通りであり，$ab = 10!\\/21 = 2^8\\times3^3\\times5^2$ を満たす $(a,b)$ の組は $(8+1)(3+1)(2+1) = 108$ 通りあるので，この場合の $(a,b,s,t)$ の組の数は $2\\times108 = 216$ 組．\r\n\r\n以上より，求める答えは $216 + 270 + 216 = \\bf{702}$ 組である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/6586" }, { "content": "　公式解説、唐突すぎませんか？私はそう思いました（OMC038-E を知っていれば最大公約数を取るお気持ちは生まれるにしろ...）。\\\r\n　本質を先に書く形としましたが，（※）の部分も一番下に記述しています．そちらを先に読んでもいいかもしれないです．\r\n\r\n---\r\n\r\n　なんやかんや（※）ありまして，F に戻ってきたので気分転換をしたくなりました．とりあえず条件を見やすい形にします．\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\nxz &= yw + 10! \\\\\\\\\r\nxw + yz &= yw + 10!\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n少し見やすくて落ち着きますね．そしてこの条件が，$x-y = a, z-w = b$ とおけば\r\n$$ab=yw,　(y+a)(w+b) - yw = 10!$$\r\nという，少し綺麗な形に書けることも，（※）の部分で分かっています．\r\n\r\n\r\n　もう少し気分転換にお付き合いください．これを脳内でビジュアル化してみます．$(y+a)(w+b)$ は掛け算の形なので，長方形の面積と見ることができますね．これを「田」の字のように，横の長さを $y,a$ で区切り，縦の長さを $w,b$ で区切った図をイメージします．\\\r\n　すると，$yw$ にあたる長方形と，$ab$ にあたる長方形が，面積が等しくなっており，そしてその等しい面積を全体から引いたものが $10!$ になるんですね．\r\n\r\n　ここで漸く，$(y,w)$ と，$(a,b)$ が対称的であることに気付きます．言われてみれば，何も $y,w$ を固定して $a,b$ を変数として見る必要はないんですね．これは，$(a,b,y,w)$ と $(x,z,y,w)$ が一対一に対応するからです．\r\n\r\n　つまり，$y,w,a,b$ はそれぞれ，全く等価な対象として捉えることが可能です．このことを念頭に置いて進めてみます．\\\r\n　すると，$ab=yw$ という式に **Four Number Lemma** を適用できそうです．その主張は（私は MONT (※1) を見てしまいましたが...）\r\n- 正整数 $a,b,c,d$ が $ab=cd$ を満たすなら，$\\gcd (p,q)=1$ かつ\r\n$$a=pr,　c=qr,　d=ps,　b=qs$$\r\nを満たすような $p,q,r,s$ がただ一つ存在する．\r\n\r\nというものです．順番が変なのは，証明のときに $a\\/c=d\\/b=p\\/q$ と既約分数の表示を用いたことに由来します（私の怠惰かもしれません）．\r\n\r\n　試しに，これを用いて式を書き換えてみましょう．$y\\/a = b\\/w$ (※2) ですから，ある $p,q,r,s$ （ただし $(p,q)=1$ ）について\r\n$$(y,a) = (pr, qr),　(w,b) = (qs, ps)$$\r\nと書けます．このとき，条件の式は次のように書き換えられます．\r\n$$(pr+qr)(ps+qs) = 10! + pqrs$$\r\n何が嬉しいかと言うと，もともと $yw$ だった（ $ab$ にも書き換えられるので，あまり対称的ではなかった）ものが，$pqrs$ というかなり対称的な見た目をしたものに書き換えられたことです．覚えていませんが，これを読んで Four Number Lemma を適用したのかもしれません．\r\n\r\n　脱線しました．上式を整理すると，\r\n$$rs (p+q)^2 = 10! + pqrs　\\iff　rs = \\frac{10!}{(p+q)^2-pq} = \\frac{10!}{p^2+pq+q^2}$$\r\nとなります．何ということでしょう，$p,q$ と $r,s$ が完全に分離できてしまいました！これは大きな進捗です．\r\n\r\n　最後に $p^2+pq+q^2=t$ とでも置けば，あとは公式解説と同様に（多少の思考は必要ですが）答えを求めることができます (※3)．\r\n\r\n---\r\n\r\n　(※1)　[MONT](https:\\/\\/www.academia.edu\\/44512122\\/Modern_Olympiad_Number_Theory) とは，Aditya Khurmi 氏が著した数オリの整数論の本です．なんと無料です．本当に良いんでしょうか．ちなみに私は PDF を保存しているので見ても反則ではないです．\r\n\r\n　(※2)　くどいようですが，ここでも対称性を考慮しています．$y\\/a$ か $y\\/b$ かなら，$(y+a)(w+b)$ という式を見れば前者を選ぶでしょう．\r\n\r\n　(※3)　公式解説では $t$ を絞ることを考えていますが，これは「 $p^2+pq+q^2=t$ という不定方程式（の解の個数）を考えるのがとても難しいように思われる」ことを考慮すれば自然です．私は，$t=9$ のときに $(p,q)$ が存在しないことから $t$ が絞れることを疑いました．\r\n\r\n---\r\n\r\n　（※）　以下は，私が最初にいろいろ式変形を試した過程です．**参考にしないでください（して不利益を被っても責任を取れません）．**\\\r\n　　　　　（物理的に）行間が狭いのは，ノートの行間の狭さの再現です．見にくいですね．\r\n\r\n　$-yw$ が条件に 2 回現れているので，とりあえず差を取ります．$xw-xz+yz=0$．これを変形すると $(x-y)(z-w)=yw$ です（ここで私は時間を食いましたが，本来はスピーディーにすべき作業です...）．\\\r\n　なるほど，差の積が $yw$ になるんですね．何となく便利そうなので $x-y$ と $z-w$ にそれぞれ $a,b$ と名前を付けておきましょう（☆）．\\\r\n　$ab=yw$ ですね．今度は逆に $x,z$ を $y,w,a,b$ で表すと，$(y+a)(w+b)-yw=10!$ になりますね．$yw+aw+by=10!$．うーん，まだ不明瞭なので $yw=c, aw=d$ とでも置きますか．そうすると，\r\n$$c+d+\\frac{c^2}{d}=10!　\\implies　\\left(\\frac{c}{d}+1\\right)(c+d)=10!+c$$\r\nになります．うーんごちゃごちゃしてきました．流石に両辺を $d$ で割りましょう．\r\n$$\\left(\\frac{c}{d}+1\\right)^2 = \\frac{10!+c}{d} = \\frac{c}{d} + \\frac{10!}{d}.$$\r\n若干いいかもしれません．$c\\/a=e$ とおくと，$(e+1)^2 = e+ 10!\\/a$．文字が少なくて良いかもしれません．でも迷走してる感じもあります．$e$ を全て左辺に持ってくると $e^2+e+1 = 10!\\/a$．え，左辺の形ヤバいですね（★）．というか $e$ って整数なんでしょうか，いや $yw\\/aw$ なので整数とは限らないですね．うーーんなんか違う気がします．\r\n\r\n　その後もちょっとだけ式変形をしますが，ここは本当に参考になりません．仕方がないのでとりあえず A~E を解いて，戻ってきます．\r\n\r\n　（☆，★）これ，実は後々「ちょっと見覚えあるな～」となって役立ちました．というか，今見ると★の方はかなり本質に近づいていますね．いろいろ変形するのも良いもんですね．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc177/editorial/6586/287" } ]

[ { "content": "　$\\angle BAD=90^\\circ$ であるから，$BD=\\sqrt{1^2+7^2}=5\\sqrt{2}$ である．円周角の定理より $\\angle CBD=\\angle CDB=45^\\circ$ であるから，$BC=CD=5$ である．よって四角形 $ABCD$ の面積は\r\n$$\\frac{1}{2}\\times1\\times7 + \\frac{1}{2} \\times 5\\times 5 = \\bf{16}$$\r\nである. \r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4646" }, { "content": "　$\\angle{CAB}=\\angle{CAD}=45^{\\circ}$ であり，四角形 $ABCD$ が円に内接する四角形であることから，$\\angle{BAD}=\\angle{BCD}=90^\\{\\circ}$ および $CB=CD$ が成り立つ． \r\nよって，四角形 $ABCD$ を $C$ を中心に反時計回りに $90^{\\circ},180^{\\circ},270^{\\circ}$ 回転した図形をくっつけると一辺 $8$ の正方形が出来るので，求める面積は $8^2\\div4=\\textbf{16}$", "text": "辺の長さは求めずに", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4646/281" } ]

[ { "content": "　$x=4, 6, 8$ について $f(x)=x-1$ であるから，$3$ 次多項式 $f(x)$ は実数 $a$ を用いて\r\n$$f(x)=a(x-4)(x-6)(x-8)+x-1$$\r\nと表される．仮定より $f(1)=-105a=2$ であるから，$a=-\\dfrac{2}{105}$ である．したがって，求める答えは\r\n$$|f(18)|=\\bigg|-\\frac{2}{105}\\cdot 14\\cdot 12\\cdot 10+17\\bigg|=\\bf{15}$$\r\nである.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6981" }, { "content": "　この問題が解けなかった方，もしくは愚直に解いた方は，まずは本解法に至る動機を理解しましょう．この問題では，$4$ つのうち $3$ つの条件に規則を見出しています( $f(x)=x-1$ )．規則が見つかれば，$f(x)=(hogehoge)+x-1$ かつ，$x=4,6,8$ のとき $(hogehoge)$ の値が $0$ になればよいです．$f(x)$ は $3$ 次多項式ですから，$(hogehoge)$ は $a(x-4)(x-6)(x-8)$ に他なりません．この問題のように明らかに正攻法が愚直以外に存在する場合は，与えられた条件のうちのいくつかに共通する規則を見出すことで楽に解ける場合があります．\r\n\r\n　その上で，愚直に連立方程式を解く方法もありますし，次に示す方法でも解けます．\r\n***\r\n**ラグランジュ補間：** $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\\cdots(x_{n+1},y_{n+1})$ を通る $n$ 次関数 $P(x)$ は次で与えられる．ただし，$1\\leq i\\lt j\\leq n+1$ なる任意の整数 $i,j$ に対し，$x_i\\neq x_j$ を条件とする．\\\r\n$$P(x)=\\sum_{k=1}^{n+1}\\Big(y_i\\prod_{l\\neq k}\\dfrac{x-x_l}{x_k-x_l}\\Big)$$", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6981/283" } ]

[ { "content": "　$\\lfloor x \\rfloor =X,\\lfloor y \\rfloor =Y$ とすると，$x,y$ は無理数であることから $\\lceil x \\rceil =X+1,\\lceil y \\rceil =Y+1$ であり，これに留意すれば与式は以下のように言い換えられる．\r\n- $X^3+Y^3-3XY=251$\r\n- $(X+Y)^2+2(X+Y)+1=144$\r\n\r\n後者より $X+Y=11$ が導け，これを前者に代入することにより $(X,Y)=(6,5),(5,6)$ がわかる．前者のとき $(m,n)$ は存在せず, 後者のとき $(m,n)=(4,3)$ が適するから, このとき $\\lfloor xy \\rfloor=\\lfloor 12\\sqrt{10} \\rfloor=\\textbf{37}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/4385" } ]

[ { "content": "　$n_{(2)}$ で $n$ を $2$ 進法表記したものとすると，操作は次のように書き換えられる. \r\n- $n_{(2)}$ の一の位が $1$ ならば，それを $0$ にする\r\n- $n_{(2)}$ の一の位が $0$ ならば，それを消去する\r\n\r\nこのように考えることで，以下のように表せることがわかる．\r\n$$f(n)=\\big(n_{(2)}の桁数\\big)+\\big(n_{(2)}に含まれる 1 の数\\big)-1$$\r\n　ここで，$S_N=f(2^{N-1})+\\cdots+f(2^N-1)$ を考えると，桁数の寄与はつねに $N$ ずつであり，最上位を除いてちょうど半数で $1$ と $0$ が現れることから，$1$ の数の寄与は平均すると $(N+1)\\/2$ とわかる．よって，\r\n$$ S_N=\\biggl(N+\\dfrac{N+1}{2}-1\\biggr) \\times 2^{N-1} = (3N-1)2^{N-2}$$\r\nであるから，一般に $24$ を $M$ とおけば求める総和は\r\n$$ \\sum_{N=1}^{M} S_N = (3M-4)2^{M-1}+2$$\r\nであり，$M=24$ のときこれは $\\textbf{570425346}$ である．ただし，以下の等式を用いた．\r\n$$\\sum_{k=1}^{M} k2^{k-1} = (M-1)2^M+1$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/5246" }, { "content": "- 一般に整数$n$を二進数表記したときの桁和を$\\mathrm{popcount}(n)$と表すことがあります．OMCでは比較的頻出です．\r\n- この問題のように総和で足す方向(順番)を変えることを「主客転倒」と呼ぶことがあります．\r\n- 公式解説の最後の等式は，総和を$t$として$2t-t$を計算することにより証明できます．「等差×等比」などとググれば詳細が出てくると思います．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/5246/280" } ]

[ { "content": "　盤面に対して**スコア**を以下で定義すると，これは操作を行っても一定である．\r\n- マス $(m,n)$ に $2^{101-m-n}$ を書き込む．\r\n- 表を上にしてコインが置かれているマスに書き込まれた数の総和と，裏を上にしてコインが置かれているマスに書き込まれた数の逆数の総和の和を**スコア**とする．\r\n\r\n条件のようにコインを置いたとき，スコアは $396_{(10)} = 110,001,100_{(2)}$ であるから，最初に $2^{2}, 2^{3}, 2^7, 2^8$ が書き込まれたマスに $1$ つずつコインを置いたとき，またそのときに限り，最初にコインが置かれていたマスの個数が最小となる．従って，最初のコインの配置とありうるものは\r\n$$98\\times97\\times93\\times92 = {81333336}$$\r\n通りあり，これらの配置から目標の状態を作ることができることが確認できるので，求める答えは $\\bf{81333336}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/7315" }, { "content": "　公式解説の**スコア**が天下り的に登場しているので，その発想に至る思考について書きます．なお，本解説は厳密性には欠けています．\\\r\n　表向きのコインについて考えると，問題文の条件１は，「$m+n$ の値を $1$ 増やすと，コインの枚数が $2$ 倍になる」と読み替えられます．また，問題文の条件４については，「$m+n$ の値を変えない範囲では，コインは自由に動かせる」と読み替えられます．\\\r\n　裏向きのコインに関する条件は，問題文の条件２を，「$m+n$ の値を $1$ 減らすと，コインの枚数が $2$ 倍になる」と読み替えられ，条件３は，「コインを裏返すことで，$m+n=k$ の値を $202-k$ とできる」といった具合に読み替えられます．\\\r\n　以上のことから，問題文に書かれている最終状況は，ちょっと乱暴ですが「$m+n=100$ のところに，表向きのコインが $198$ 枚ある」と考えることが可能です．\r\n\r\n　次に，このコインに適切な操作をして，コインを最小の枚数にもっていきます．\\\r\n　まず $198$ 枚のコインを全て $m+n=99$ のところにもっていけば，コインは半分の枚数になり，$99$ 枚になります．このうち $1$ 枚はどうやっても $m+n=98$ のところにもっていけないので，$1$ 枚を除いて，残る $98$ 枚を $m+n=98$ のところにもっていき，$49$ 枚にします．また奇数なので，$1$ 枚は $m+n=98$ のところに置いたまま，$m+n=97$ のところにコイン $48$ 枚をもっていきます．……以下同様に考えると，最終的に，$m+n=99,98,94,93$ のところにコインが $1$ 枚ずつあることになり，この場合が最小の場合です．\r\n\r\n　以上の議論は最初に書いた通り，厳密性には欠けますが，感覚的にはこんな説明でもよさそうです．これを厳密に書くと，例えば公式解説のように操作の間で変化しない**スコア**を導入するなどの方法が考えられると思います．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/7315/282" } ]

[ { "content": "　$MX = 12x$ と置く. このとき, $BM = 18x$ である. また, \r\n$$\\angle XHC=\\angle XBC=\\angle XDM,\\quad \\angle XCH=\\angle XBH=\\angle XMD$$ より三角形 $XDM$ と $XHC$ は相似であり, よって三角形 $XDH$ と $XMC$ も相似である.さらに, 直線 $BH$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点の内 $B$ でない方を $Y$ とすると,\r\n$$HY=2HD,\\quad CB=2CM$$\r\nであるから, 三角形 $XBC$ と $XYH$ は相似である. また,\r\n$$\\angle XYB=\\angle XBM=\\angle XDM$$\r\nより, 三角形 $DMX$ と $YMD$ は相似である. よって, $DM=BM=18x$ より, \r\n$$XY=MY-MX=DM\\times\\frac{DM}{MX}-12x=15x,\\quad BX=XY\\times\\frac{CX}{HX}=20x$$\r\nである. 以上と中線定理より\r\n$$(20x)^2+4^2=2((12x)^2+(18x)^2)$$\r\nが成立するので, これを解いて $x=\\dfrac{2}{\\sqrt{134}}$ を得る. 従って, $BC=36x=\\dfrac{72}{\\sqrt{134}}$ である. 特に, 解答すべき値は $\\bf{206}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900" }, { "content": "　三角形 $HBC$ の外接円と直線 $XM$ の $X$ ではない交点を $P$ とする．$BC=12x$ とすれば $BM=6x, XM=4x$ から $BP=6, PM=9x$ であり\\\r\n$\\angle HPC =\\angle HBM = \\angle HDM = \\angle BXM$ から $CH=BP=6, PH=BC=12x$ で，四角形 $CPHX$ にトレミーの定理を適用して $CP=10x$となる．よって $BX=\\dfrac{20}3x$ となり，あとは公式解説と同様の中線定理を用いれば良い．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900/279" }, { "content": "　特に新しい点を取らない方法です．\r\n\r\n　公式解説と同様に，$\\triangle{XHC} \\sim \\triangle{XDM}$，$\\triangle{XDH} \\sim \\triangle{XMC}$ ．さらに，点 $M$ 中心，直径 $BC$ の円を考えればわかるが，$MB=MC=MD$ である．\\\r\n　求めたい $BC$ の長さを $x$ と置くと，$MB=MC=MD=\\dfrac{x}{2}$，$MX=\\dfrac{x}{3}$．さらに，先ほどの相似を使って，$HC=6$，$HD=\\dfrac{3}{8}x$ である．ここで，$CD$ の長さを $x$ で表すことができれば，$\\triangle{CDH}$ に三平方の定理を用いることで，$x$ の値が求まる．そこで，$\\angle C$ の余弦（正弦でもよい）がわからないかと図をよく見れば，$\\triangle{HXC}$ に目が行く．\\\r\n　具体的には，$\\triangle{HXC}$ の $3$ 辺の長さが分かっているので，余弦定理から $\\angle HXC$ の余弦が求まる．$\\angle HXC=90^\\circ+\\angle C$ を用いて，$\\angle C$ の余弦が求まり，$CD$ の長さが $\\dfrac{\\sqrt{455}}{24}x$ であるとわかる．あとは，先述の三平方の定理を使えばよい．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc176/editorial/6900/284" } ]

[ { "content": "　 $D$ の発言が真だとすると， $A \\sim D$ のうち二人以上の発言が真であることになり，条件に反する．よって， $D$ の発言は偽であり， $A$ と $B$ の発言もともに偽である．したがって， $C$ の発言は真である．結局求める値は， $7$ の倍数でなく， $16$ の倍数であり， $100$ 以上 $200$ 以下の最小の整数，すなわち $\\mathbf{128}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5091" } ]

[ { "content": "　$Z$ の表面のうち $X$ の表面である部分の面積は，$X$ の表面から半径 $2$，中心角 $90^\\circ$ の扇型を $3$ 枚取り除いた面積に等しく, \r\n\r\n$$3^{2} \\times 6-2^{2} \\times \\pi \\times \\frac{1}{4} \\times 3=54-3 \\pi $$\r\n\r\nである．また，$Y$ のうち $X$ の内側にある部分は $Y$ の体積の $\\frac{1}{8}$ であるから，$Z$ の表面のうち $Y$ の表面である部分の面積は，\r\n\r\n$$4 \\times 2^{2} \\times \\pi \\times \\frac{7}{8} =14 \\pi $$\r\n\r\nである．よって， $Z$ の表面積は $54+11 \\pi $ ．特に解答すべき値は $ \\mathbf{65} $ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5102" } ]

[ { "content": "　求める値は，以下の式を計算することで得られることが，展開した形を考えることでわかる．\r\n$$(1^{2}+2^{2}+\\cdots+9^{2}) (0^2+1^{2}+\\cdots+9^{2}) (0^2+1^{2}+\\cdots+9^{2}) $$\r\nこれを実際に計算すると， $\\mathbf{23149125}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5095" } ]

[ { "content": "　 $x+y+z$ が $3$ で割って $1$ 余り， $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ が $3$ の倍数になるとき，$x,y,z$ をそれぞれ $3$ で割ったときの余りの組み合わせとしてありうるのは以下の $3$ 通りである．\r\n\r\n$$(2,1,1), \\quad (1,2,1), \\quad (1,1,2)$$\r\n\r\n対称性より，$(2,1,1)$ の場合を求め， \r\n$3$ 倍すればよい．このとき，$0$ 以上の整数 $a,b,c$ を用いて\r\n\r\n$$x=3a+2, \\quad y=3b+1, \\quad z=3c+1$$\r\n\r\nと表され，$a+b+c=332$ が成り立つ．この $(a,b,c)$ の組み合わせは ${}\\_{334}\\mathrm{C}\\_{2}=55611$ 通り．したがって，求める個数は $55611 \\times 3= \\mathbf{166833}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5096" } ]

[ { "content": "　 $ \\angle BAC=120^\\circ$ であることから次を得る．\r\n\r\n$$ \\angle BIC=150^\\circ , \\quad \\angle BOC=120^\\circ$$\r\n\r\n　ここで，直線 $OC$ に関して $B$ と反対側に点 $D$ を，三角形 $BOI$ と三角形 $COD$ が合同となるようにとる．このとき，$ \\angle DCI=90^\\circ, \\angle IOD=120^\\circ$ であるから，\r\n\r\n$$IB^{2}+IC^{2}=CD^{2}+IC^{2}=DI^{2}= \\bigl (20 \\sqrt{3} \\bigr )^{2}=1200$$\r\n\r\nこれより $IC=\\sqrt{359}$ を得るから，三角形 $IBC$ について余弦定理を適用すれば，\r\n\r\n$$BC^{2}=1200 +29 \\sqrt{1077} $$\r\n\r\n　したがって，解答すべき値は $ \\mathbf{2306} $ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5098" }, { "content": "　以下, 三角形 $ABC$ の外接円の半径を$R$, 内接円の半径を $r$, $CI = x$ とする. まず, オイラーの定理より, $R^{2} - 2Rr = OI^{2} = 400$ が従う. また, $∠BIC = 150^{\\circ}$ であることから, 余弦定理を用いることで, $x^{2} + 841 + 29\\sqrt{3}x = BC^{2} = 3R^{2}$ が従う. ($BC = \\sqrt{3}R$ は $OB = OC = R, ∠BOC = 120^{\\circ}$ から分かる.) そして, 三角形 $BIC$ の面積を $2$ 通りで表すことで, $\\sqrt{3}Rr = \\cfrac{29x}{2}$ も従う. 未知数が $3$ つ, 式が $3$ つなので, 後はこれを解けばよく, 計算すると $x = \\sqrt{359}$ が求まるので, $x^{2} + 841 + 29\\sqrt{3}x = BC^{2}$ に代入すると, $BC^{2} = 1200 + 29\\sqrt{1077}$ が得られる.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5098/278" } ]

[ { "content": "　 $1$ つ目の条件から， $f(x)$ は以下のようにかける．$c=f(0)$ は整数である．\r\n\r\n$$f(x)=ax^{2}+bx+c \\quad (a \\gt 0)$$\r\n\r\n　いま，$f(x)$ が下に凸であることから，$0 \\leq x \\leq 1$ の範囲での最大値は $x=0$ または $x=1$ でとる．ここで $x=0$ で最大値をとるとき，$-1 \\leq x \\leq 0$ の範囲での最小値も $x=0$ でとらねばならないが，これは矛盾である．したがって，$3$ つ目の条件は $f(1)=200$ と言い換えられる．\\\r\n　以下， $f(x)$ のグラフの軸 $x=-b\\/2a$ の場所によって $3$ つの場合を考える．\r\n\r\n$(1)$　$-b\\/2a \\lt -1 $ のとき\\\r\n　このとき， $f(-1)=100, f(1)=200$ であるので， $b=50,a+c=150$ を得る．これと $-b\\/2a \\lt -1$ から $ c \\gt 125 $ がわかる．また $a\\gt 0$ から $c \\lt 150 $ である．したがって， $f(0)=c$ は $126$ 以上 $149$ 以下の整数であり， $c$ の値に応じて $f(x)$ は $1$ つに定まるので， $f(x)$ としてありうるものは $24$ 個ある．\r\n\r\n$(2)$　$-1 \\leq -b\\/2a \\lt 0$ のとき\\\r\n　このとき， $f(-b\\/2a)=100,f(1)=200$ であるから，以下が成り立つ．\r\n\r\n$$- \\frac{b^{2}}{4a} +c =100, \\quad a+b+c=200$$\r\n\r\nこの $2$ 式から $a$ を消去し， $b$ を $c$ によって表すと， \r\n\r\n$$b=-2(c-100) \\pm 20 \\sqrt{c-100}$$\r\n\r\n　ここで，$b$ が正の実数であることから $c \\gt 100$ であり，$\\pm$ は $+$ に限られる．また，$f(-1)=a-b+c$ が整数となることから， $2b$ は整数である．したがって， $c-100$ は平方数である．また，$-1 \\leq -b\\/2a \\lt 0$ は $100 \\lt c \\leq 125$ と言い換えられる．よって， $c$ としては $101,104,109,116,125$ の $5$ つがありうる．それぞれについて，$c$ の値によって $f(x)$ は $1$ つに定まるから， $f(x)$ としてありうるものも $5$ 個ある．\r\n\r\n$(3)$　$0 \\leq -b\\/2a$ のとき\\\r\n　このとき $f(0)=100,f(1)=200$ であり，また軸が $x \\geq 0$ の範囲にあることから $f(-1) \\geq 200$ である．逆に， $f(-1)$ の値を $200$ 以上 $300$ 以下の整数で定めると，それぞれについて適する $f(x)$ が $1$ つ定まる．よって， $f(x)$ としてありうるものは $101$ 個ある．\r\n\r\n　以上より， $f(x)$ としてありうるものは $ \\mathbf{130} $ 個ある．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5097" }, { "content": "　公式解説の $(2)$ に関して別解です．式 $y=a(x-p)^2+q$ を用いようとした方向けです．\r\n\r\n　最小値の条件より，$f(x)=a(x-p)^2+100$ とおける（$a \\gt 0$，$-1 ≦ p \\lt 0$）．\\\r\n　最大値の条件より，$a(1-p)^2=100$ である．\\\r\n　$f(-1),f(0) \\in \\mathbb{Z}$ より，$ap^2,a(p+1)^2 \\in \\mathbb{Z}$ であり，さらに，$a(p-1)^2+a(p+1)^2-2ap^2=2a \\in \\mathbb{Z}$，$a(p+1)^2-a(p-1)^2=4ap \\in \\mathbb{Z}$ である．以上から，$p \\in \\mathbb{Q}$ を得る．\\\r\n　$p=-\\dfrac{t}{s}$ （既約分数）とおくと，$a(1-p)^2=100$ より $\\dfrac{a(s+t)^2}{s^2}=100$．$2a \\in \\mathbb{Z}$ だったので，$(s+t)^2$ は $200$ の約数であることがわかる．よって，$s+t$ の候補は $2$，$5$，$10$ である．\\\r\n　$-1 ≦ p \\lt 0$ より $s≧t$ であることに注意すると，$(s,t)$ 候補は，$(1,1)$，$(3,2)$，$(4,1)$，$(7,3)$，$(9,1)$ である．あとは，これら全ての場合について条件を満たしていることを確かめて，$(2)$ は $5$ 通りであることがわかる．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc175/editorial/5097/276" } ]

[ { "content": "　$x, y, z, w$ の整数部分をそれぞれ $A, B, C, D$ とおき，小数部分をそれぞれ $a, b, c, d$ とおく．\r\nただし実数 $t$ に対し $t$ の**整数部分**とは $\\lfloor t\\rfloor$，**小数部分**とは $t-\\lfloor t\\rfloor$ のこととする．\\\r\n　$x=A+a$ などに注意して $1$ 番目の式を整理すると，\r\n$$A^2 + B^2 = a^2 + 52.19$$\r\n\r\nが得られる．この式の左辺が整数であり，かつ $0 \\leq a \\lt 1$ であることから\r\n$$A^2 + B^2 = 53，a = 0.9$$\r\n\r\nが従う．同様に $2, 3$ 番目の式から\r\n$$B^2 + C^2 = 85，C^2 + D^2 = 565，b = 0.7，c = 0.5$$\r\nが得られる．$53$ を $2$ つの平方数の和で表す方法は $2^2 + 7^2 = 53$ のみなので組 $(A^2, B^2)$ としてあり得るものは $2$ 組あり，それぞれに対して $4$ 数の組 $(A^2, B^2, C^2, D^2)$ は以下のように，すべて平方数となるように決まる．\r\n$$(2^2, 7^2, 6^2, 23^2)，(7^2, 2^2, 9^2, 22^2)$$\r\n\r\n　また $a + b + c = 2.1$ であることから $x + y + z + w$ が整数となるのは $d = 0.9$ のときに限られ，このとき $a + b + c + d = 3$ となる．ゆえに，$x + y + z + w$ のとり得る整数値は以下どちらかの形式で表される数である（各々の形式に対し複号の決め方は任意である）．\r\n- **形式 1.**　$\\pm 2 \\pm 6 \\pm 7 \\pm 23 + 3$\r\n- **形式 2.**　$\\pm 2 \\pm 7 \\pm 9 \\pm 22 + 3$\r\n\r\n形式 1. で表される数は大きい方から $41, 37, 29, \\dots$ であり，形式 2. で表される数は大きい方から $43, 39, 29, \\dots$ である．ゆえに解答すべき値は\r\n$$43 \\times 41 \\times 39 \\times 37 \\times 29 = \\mathbf{73776261}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7162" } ]

[ { "content": "　$\\mathcal{P}$ の軸が $y$ 軸と平行であるような直交座標を考えると，たとえば $A$ の $x$ 座標は $S$ と $U$ の $x$ 座標の平均となることが知られている．\\\r\n　今回の設定でこの事実からの帰結をまとめることで，以下の成立が分かる：\r\n$$ SB:BA=BT:TC=AC:CU=3:2. $$\r\nここで，線分 $SU$ 上に $SX:XU=3:2$ なる点 $X$ をとると，四角形 $ABXC$ は長方形であるから，$X$ は $ABC$ の外接円上にあり，これにより $A$ から $SU$ におろした垂線の足 $H$ も同じ円上にある．辺の比を考えれば，\r\n$$SH:HU=SA^2:UA^2=\\left(4\\times \\dfrac{5}{2}\\right)^2:\\left(7\\times \\dfrac{5}{3}\\right)^2=36:49.$$\r\nこれにより $H=K$, $X=L$ と対応し，求める比は $ SK:KL:LU=36:15:34$ となるから，解答すべき値は $\\textbf{18360}$ である．\r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/2211" }, { "content": "　解説 $4$ 行目までは同様．図は相似拡大を除き一意であるので，辺の長さが整数になるように $AB=12,AC=21$ なる相似拡大を施す．$SU=5\\sqrt{85}$ であり，$2$ 点 $S,U$ から方べきの定理を適用することを考える．\\\r\n$SK=\\sqrt{85}x,KL=\\sqrt{85}y,LU=\\sqrt{85}z$ とおく．(単に $x,y,z$ と置くより，この置き方ならば後の連立に根号が登場しないため，計算が楽になる．)\\\r\n　方べきの定理より，以下の成立がわかる．\\\r\n$$x+y+z=5,\\quad x(x+y)=\\dfrac{108}{17},\\quad z(z+y)=\\dfrac{98}{17}$$\r\n　いずれの文字も正であることに注意すれば，$(x,y,z)=\\Big(\\dfrac{36}{17},\\dfrac{15}{17},\\dfrac{34}{17}\\Big)$ となり，$x:y:z=36:15:34$ であるので，解答すべき値は $\\mathbf{18360}$ である．", "text": "方べきの定理を用いると", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/2211/274" } ]

[ { "content": "　$1, 2, \\ldots, 100$ の番号のついた頂点を用意し，番号の和が $101, 103, 105$ のいずれかである頂点の間に辺を張ることで（無向）グラフ $G$ を構成すると，$G$ は図1のようになる．ただし図1において，\r\n$$a_{2n-1}=4n-3,\\quad a_{2n}=104-4n,\\quad b_{2n-1}=4n-1,\\quad b_{2n}=102-4n\\quad (n=1, 2, \\ldots, 25)$$\r\nである．スコアが $7$ となるような $7$ 枚のカードの選び方は，頂点の個数が $7$，辺の本数が $7$ である $G$ の誘導部分グラフに対応し，その誘導部分グラフを図1の頂点の位置関係で考えたときの形は図2の (i)\\~(v) のいずれかである（それぞれ回転や反転したものも含む）．\\\r\n　(i) は連結な $6$ 頂点の位置で場合分けして考えれば $91\\times 2 + 90\\times 45=4232$ 通り．また (ii)\\~(v) については反転および回転を考えると (ii) は $182$ 通り，(iii), (iv), (v) は $184$ 通りずつとわかる．\\\r\n　以上より，求める場合の数は $\\bm{4966}$ 通り．\r\n\r\n<details>\r\n<summary>誘導部分グラフとは<\\/summary>\r\n　もとのグラフからいくつかの頂点を選ぶとき，それらの頂点の間の辺の有無がもとのグラフと一致する部分グラフを**誘導部分グラフ**と呼ぶ．\r\n<\\/details>\r\n\r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/8150" }, { "content": "　[公式解説](.\\/)の $G$ について，各辺が結ぶ $2$ 頂点の偶奇は異なるから，$G$ は奇数の頂点の集合と偶数の頂点の集合をそれぞれ部集合に持つ二部グラフであることに注目する．上部に奇数の頂点を，下部に偶数の頂点を並べ，また辺で結ばれる頂点同士が近くなるように，奇数は $1,\\\\, 3,\\\\, \\ldots,\\\\, 99$，偶数は $100,\\\\, 98,\\\\, \\ldots,\\\\, 2$ の順に並べ，そして和 $103$ の辺が鉛直になるようにすれば，グラフの形をイメージしやすい．公式解説では，和が $103$ の頂点の組に対し，$1$ 組おきにひっくり返すことでさらに見やすくしているが，そのままでも十分であるから，ここではそうしよう． \r\n　次に，公式解説の誘導部分グラフについて，頂点の数と辺の数が等しいことから，木では辺の数が足りない．よってどこかにサイクルができていて，$G$ の形状から $\\Join$ の形を持たなければならないことが分かる．あとは $\\Join$ を二つくっつけたもの${}+1$ 点とするか，$\\Join$ に合計 $3$ 辺の木をつなげればよい．後者の場合について，$\\Join$ の同じ側において $\\Join$ に隣接する $2$ 点を両方選ぶことはできないことに注意すると\r\n$$\\mathord\\Join\\\\!\\mathord\\vee\\\\!\\backslash \\qquad\r\n\\mathord\\Join\\\\!\\mathord\\vee\\\\!| \\qquad\r\n\\/\\\\!\\mathord\\Join\\\\!\\mathord\\vee \\qquad\r\n\\/\\\\!\\mathord\\Join\\\\!\\mathord\\wedge$$\r\nに大別され，これが公式解説の図 $2$ に対応している．公式解説では，これをそれぞれ数えているが，$\\Join$ の位置ごとにまとめて数えても良い．$\\Join$ が端から $1,\\\\, 2,\\\\, 3$ 番目，それ以外の場合について，それぞれ $6,\\\\, 10,\\\\, 15,\\\\, 16$ 通りであることが分かり，これより\r\n$$ 2 \\times (6 + 10 + 15) + 42 \\times 16 = 734 $$\r\n通り．したがって $\\mathord\\Join\\\\!\\mathord\\Join + 1$ 点の場合を公式解説と同様に数え上げれば，その $4232$ 通りと上を合わせて，求める場合の数は $\\bm{4966}$ 通り．", "text": "公式解説の補足", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/8150/272" } ]

[ { "content": "　$y_n = x_{n+1} - x_n$ とすると，与えられた等式は\r\n$$y_n^2 - 2c_{n+1} y_n + 2c_{n+1}c_n = 0$$\r\nと変形することができる．これを $y_n$ についての $2$ 次方程式とみなしたときの判別式（の $4$ 分の $1$）を\r\n$$D_n = c_{n+1} (c_{n+1} - 2c_n)$$\r\nとおくと，条件より $D_1, D_2, ..., D_8$ のうち $1$ つのみが正で，残りは $0$ でなければならない．先ほどの $2$ 次方程式を実際に解くと，$D_n \\gt 0$ ならば\r\n$$y_n = c_{n+1} \\pm \\sqrt{D_n}$$\r\nが解であり，$D_n = 0$ ならば\r\n$$y_n = c_{n+1}$$\r\nが解である．したがって $D_n \\gt 0$ なるただ一つの $n$ を $r$ とすると\r\n$$x_9 = \\sum_{k = 1}^9 c_k \\pm \\sqrt{D_r}$$\r\nであるので，これより以下をみたせばよい．\r\n$$\\sum_{k = 1}^9 c_k = 0，D_r = 3^2 \\cdot 73 \\tag{1}$$\r\nここで次の事実に注意せよ．\r\n- $c_1, …, c_9$ の中に正のものと負のものが，どちらも $1$ つ以上含まれる．\r\n- $D_n = 0$ ならば $c_{n+1} = 2 c_n$ が成り立つ．\r\n\r\nこれらの事実により $C$ は次のような形で表される．ただし $\\alpha, \\beta$ は $0$ でない整数であり，互いに同符号であるとする．\r\n$$(\\alpha, 2 \\alpha, …, 2^{r-1} \\alpha, -\\beta, -2 \\beta, …, -2^{8-r} \\beta)$$\r\n\r\nすると条件 $(1)$ から\r\n$$\\alpha = \\frac{2^{9-r} - 1}{2^r - 1}\\beta，\\beta(\\beta + 2^r \\alpha) = 3^2 \\cdot 73$$\r\nがしたがい，これより\r\n$$|\\beta| = 3 \\sqrt{\\frac{2^r - 1}{7}}$$\r\nが得られる．$\\alpha, \\beta$ がともに整数となるのは $r = 3, 6$ のときであり，したがって以下の $C$ が適する（それぞれ複号同順である）．\r\n$$\r\n(\\pm 27, \\pm 54, \\pm 108, \\mp 3, \\mp 6, \\mp 12, \\mp 24, \\mp 48, \\mp 96) \\\\\\\\\r\n(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4, \\pm 8, \\pm 16, \\pm 32, \\mp 9, \\mp 18, \\mp 36)\r\n$$\r\n\r\n　以上の議論から，適する $C$ は複号の定め方の違いを含めて全部で $4$ 個あることが分かり，それぞれの最大値の和は以下のように計算できる．\r\n$$108 + 96 + 32 + 36 = \\mathbf{272}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7484" } ]

[ { "content": "　一般に $\\mathcal P$ を凸 $2n$ 角形として考える．相異なる $2$ 頂点を結ぶ線分の**長さ**を，$2$ 点の間にある辺の本数（のうち大きくない方）と定義する．\\\r\n　着色された線分の長さが奇数ならば，必ず偶数本の着色された線分と交わり，長さが偶数ならば，必ず奇数本の着色された線分と交わる．よって，この問題では，長さが偶数の着色された線分同士の交点の個数の（相加）平均を求めればよい．\\\r\n　着色する $n$ 本の選び方すべてについて，長さが偶数の着色された線分同士の交点の個数の総和を $S_n$ とおく．（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士のある交点に着目するとき，この点が「長さが偶数の着色された線分同士の交点」として計上され $S_n$ に寄与する回数は，この点を通る線分以外の $n-2$ 本の選び方の場合の数\r\n$$\\dbinom{2n-4}{2}\\dbinom{2n-6}{2}\\cdots\\dbinom{2}{2}\\times\\dfrac{1}{(n-2)!}=\\dfrac{(2n-4)!}{2^{n-2}(n-2)!}\\quad\\cdots(1)$$\r\nに等しい．（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士の交点の個数は，$2n$ 個の頂点から相異なる $4$ 点を選ぶとき，隣り合う点の間にある辺の本数が (i) すべて偶数である場合の数と (ii) すべて奇数である場合の数の和に等しい．\r\n- (i) は，$1\\leq a\\lt b\\lt c\\lt d\\leq 2n$ をみたし，すべての偶奇が一致する整数の組 $(a, b, c, d)$ の数に等しい．\r\n- (ii) は，$1\\leq a\\lt b\\lt c\\lt d\\leq 2n$ をみたし，偶数と奇数が互い違いに並ぶ $(a, b, c, d)$ の数に等しい．これは，$1\\leq a\\lt b+1\\lt c+2\\lt d+3\\leq 2n+3$ をみたし，すべての偶奇が一致する $(a, b+1, c+2, d+3)$ の数に等しい．\r\n\r\nしたがって，（着色の有無によらない）長さが偶数の線分同士の交点の個数は，\r\n$$\\dbinom{n}{4}\\times2+\\dbinom{n+2}{4}+\\dbinom{n+1}{4}=\\dfrac{1}{6}(n-1)n(n^2-2n+3)\\quad\\cdots(2)$$\r\n　$S_n$ は (1), (2) の積である．また，着色する $n$ 本の選び方の総数は，\r\n$$\\dbinom{2n}{2}\\dbinom{2n-2}{2}\\cdots\\dbinom{2}{2}\\times\\dfrac{1}{n!}=\\dfrac{(2n)!}{2^{n}n!}$$\r\nであるから，求める平均値は，\r\n$$S_n\\times\\dfrac{2^{n}n!}{(2n)!}=\\dfrac{(n-1)n(n^2-2n+3)}{6(2n-1)(2n-3)}$$\r\nとわかる．$n=100$ を代入すれば，（分母と分子が $6$ で割り切れることに注意して）特に解答すべき値 $\\bm{16214153}$ を得る．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7626" }, { "content": "　[公式解説](.\\/)において，式 $(1)$ や着色する $n$ 本の選び方は，頂点に任意に $1,\\\\, \\ldots,\\\\, 2n$ とラベリングし，まだ選ばれていない最も若い頂点について，辺で接続する頂点の選び方をその都度考えることで，それぞれ $(2n - 5)!!,\\\\ (2n - 1)!!$ と分かる（公式解説の式を変形してもこれに等しいことは分かる）．これを使うと少しだけ計算回数が減る．", "text": "少しだけ計算をラクに", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc174/editorial/7626/273" } ]