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OnlineMathContest-1.4k

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[ { "content": "　銀将が座標 $(x, y)$ にあるとき，$1$ 手操作後に $ (x - 1, y + 1), (x, y + 1), (x + 1, y + 1), (x - 1, y - 1), (x + 1, y - 1)$ に移動する操作をそれぞれ $ T_{ul}, F, T_{ur}, T_{dl}, T_{dr}$ とする．\\\r\n　操作 $T$ の前後で座標の和の偶奇は変わらない．$(x, y) = (10, 11)$ は $(x, y) = (0, 0)$ と座標の和の偶奇が異なるため，操作 $F$ は奇数回行われたことが分かる．操作 $F$ の回数を $k$ を $0$ 以上の整数として，$2k+1 $ 回とする．このとき，操作 $T$ の行われた回数は $14-2k$ となる．\\\r\n　操作 $T_{ul}, T_{dl}$が行われた回数の和を $L$，操作 $T_{ur}, T_{dr}$が行われた回数の和を $R$ とすると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& L + R = 14 - 2k\\\\\\\\\r\n& L - R = 10 \r\n\\end{aligned}$$\r\nとなり，$L = 12 - k, R = 2 - k$と求まる. \\\r\n　同様に，操作 $T_{ul}, T_{ur}$が行われた回数の和を $U$，操作 $T_{dl}, T_{dr}$が行われた回数の和を $D$ とすると，$U = 12 - 2k, D = 2$ と求まる．\\\r\n　以上より，$R \\geq 0$ から $ k \\leq 2$ となることも踏まえ，求める答えは以下のように計算できる．\r\n$$\r\n\\sum\\limits_{k=0}^{2} \\Big( {}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{2k+1} \\times {}\\_{14-2k}\\mathrm{C}\\_{2-k} \\times {}\\_{14-2k}\\mathrm{C}\\_{2} \\Big)\r\n= \\mathbf{619710}\r\n$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/6118" } ]

[ { "content": "　辺 $BC$ と直線 $AE$ の交点を $P$ とする．このとき，\r\n$$\\angle ACP = \\angle CBD,\\quad \\angle CAP = \\angle BCD$$\r\nより三角形 $ACP$ と三角形 $CBD$ は相似である．さらに，\r\n$$\\angle CAP = \\angle ECP,\\quad \\angle APC = \\angle CPE$$\r\nより三角形 $ACP$ と三角形 $CEP$ も相似である．従って，\r\n$$AB = AC = CE\\times\\frac{AP}{CP} = CE\\times\\frac{CD}{BD} = 1476$$\r\nが分かる．よって，$AD = AB - BD = \\bf{1474}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/5402" }, { "content": "　$\\angle ABC = \\angle AED = \\theta$，$\\angle BCD= \\angle CAE =\\phi$ とおく．\\\r\n　$\\triangle BCD$ に正弦定理を用いて $\\dfrac{72}{\\sin \\theta}=\\dfrac{2}{\\sin \\phi}$，よって $\\sin \\theta = 36 \\sin \\phi$．\\\r\n　$\\triangle ACE$ に正弦定理を用いて $\\dfrac{AC}{\\sin (180^{\\circ}-\\theta)}=\\dfrac{41}{\\sin \\phi}$，これより\r\n$$AC=\\dfrac{41 \\sin \\theta}{\\sin \\phi}=41×36=1476$$\r\n従って，$AD=AB-BD=\\mathbf{1474}$．", "text": "三角比を用いる方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc201/editorial/5402/399" } ]

[ { "content": "　桁数ごとに適するものの個数を数えれば，以下のように計算できる：\r\n$$ 4 + 4\\times 4 + 4\\times 4\\times 3 + 4\\times 4\\times 3\\times 2 + 4\\times 4\\times 3 \\times 2\\times 1=\\mathbf{260}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5320" } ]

[ { "content": "　$\\angle IAB=\\angle IAQ$ かつ $IB=IQ$ より，三角形 $AIB$ と三角形 $AIQ$ は合同．また，$\\angle ICB=\\angle ICP$ かつ $IB=IP$ より，三角形 $CIB$ と三角形 $CIP$ も合同．したがって，$AC=x$ とすると，$AB=x-11, ~ BC=x-10$ だから，三平方の定理より $(x-11)^2+(x-10)^2=x^2$．よって $x\\gt 21$ に注意して $x=21+2\\sqrt{55}$ だから，解答すべき値は $\\textbf{241}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5479" } ]

[ { "content": "　求める正整数を $N=1599n$ とおくと，$N$ の $4$ 番目に小さい正の約数が $n$ となればよい．\r\n $N$ は $1,3,13,39$ を約数にもつので，$n\\leq39$ が必要．また，$n$ の正の約数は高々 $4$ 個なので，（相異なるとは限らない）素数 $p\\le q$ を用いて $n=p, pq, p^3$ のいずれかの形で表せる．\r\n- $n=p$ の場合\\\r\n　$13\\lt n\\lt 39$ となればよく，これを満たす素数の総和は $156$．\r\n- $n=pq$ の場合\\\r\n　$q$ が $5$ 以上であるとき，$N$ は $1,3,p,3p$ を約数に持つので条件を満たさない．従って，$n=4,6,9$ のみが考えられ，$n = 4,6$ が条件を満たす．\r\n- $n = p^3$の場合\\\r\n　$n\\le39$ より $p=2,3$ のみが考えられるが，いずれの場合も不適である．\r\n\r\n以上より, 求める総和は $1599\\times(156+4+6)=\\mathbf{265434}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5301" } ]

[ { "content": "　$a=x+y-z, b=y+z-x, c=z+x-y$ とすれば，\r\n$$\\begin{cases}\r\na+b+c\\le40\\\\\\\\\r\na\\equiv b\\equiv c\\pmod2\r\n\\end{cases}$$ \r\nを満たす正整数の組 $(a, b, c)$ の数を求めればいいと分かる．\r\n- $a,b,c$ が全て偶数の場合\\\r\n　$a=2(p+1),b=2(q+1),c=2(r+1)$ とすることで，$p+q+r\\le17$ を満たす非負整数の組 $(p,q,r)$ の数を求めることに帰着される．これは ${}\\_{4+17-1}\\mathrm{C}\\_{17}=1140$ 個である．\r\n\r\n- $a,b,c$ が全て奇数の場合\\\r\n　$a=2p+1,b=2q+1,c=2r+1$ とすることで，$p+q+r\\le 18.5$ を満たす非負整数の組 $(p,q,r)$ の数を求めることに帰着される．これは ${}\\_{4+18-1}\\mathrm{C}\\_{18}=1330$ 個である．\r\n\r\n以上より，求める答えは $1140 + 1330 = \\bf{2470}$ である．\\\r\n　なお，冒頭の変換はRavi変換と呼ばれている．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124" }, { "content": "　 $a,b$ を固定した時， $c$ としてありうる値の個数は， $\\mathrm{min}(2a-1,2b-1,40-2a,40-2b)$ となることがわかる．(演習：なぜ？)よって，求めるべき値は，表などでまとめれば， $\\sum\\limits_{1\\leq x\\leq 19} x(39-2x)=\\textbf{2470}$ となる．", "text": "多変数の問題は固定して考える", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124/391" }, { "content": "　$z$ を固定して条件を満たす $x, y$ の組を $xy$ 平面上に図示することを考える．すると，求めるべきは $1 \\leq z \\leq 19$ のもとで，$4$ 点 $$(z, 0), (0, z), (20-z, 20), (20, 20-z)$$ 　を頂点に持つ平行四辺形の(境界を除く)内部に，または $2$ 点 $(20-z, 20), (20, 20-z)$ を結ぶ(両端点を除く)線分上にある格子点の数を求めて足し合わせた値と分かる．平行四辺形の周上にある格子点が $40$ 個であり，平行四辺形の面積が $40z - 2z^{2}$ であることから，前者は Pick の定理より $40z - 2z^{2} - 19$ と分かる．また，後者は $z - 1$ であると容易に分かる．よって，これらの和を $1 \\leq z \\leq 19$ のもとで足し合わせればよく，計算すれば答えは $\\mathbf{2470}$ となる．", "text": "Pickの定理の利用", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/5124/397" } ]

[ { "content": "　$|x|\\gt1$ のとき，$|y|=|x(4x^2-3)| \\gt |x| \\gt 1$ を得る．よって $|x| =|2y^2-1| \\gt |y|$ となるが，これは矛盾．従って $|x|\\leq1$ であるから，$x = \\cos \\theta$ なる実数 $0\\le\\theta\\le\\pi$ が存在する．このとき $y = \\cos3\\theta$ かつ $y^2 = \\cos^2\\dfrac{\\theta}{2}$\r\nが成立するから，$\\theta=0,\\dfrac{2\\pi}{7},\\dfrac{2\\pi}{5},\\dfrac{4\\pi}{7},\\dfrac{4\\pi}{5},\\dfrac{6\\pi}{7}$ を得る．\\\r\n　ここで，\r\n$$\\cos^4\\theta = \\Bigg(\\frac{1+\\cos2\\theta}{2}\\Bigg)^2=\\frac{\\cos4\\theta+4\\cos2\\theta+3}{8}$$\r\nであるから，任意の正の整数 $n$ について\r\n$$\r\n\\sum_{k = 1}^{n}\\cos^4\\frac{2k\\pi}{2n+1} = \\frac{1}{8}\\sum_{k=1}^{n}\\Bigg(4\\cos\\frac{4k\\pi}{2n+1} + \\cos\\frac{8k\\pi}{2n+1}\\Bigg) + \\frac{3n}{8} = \\frac{5}{8}\\sum_{k=1}^{n}\\cos\\frac{2k\\pi}{2n+1} + \\frac{3n}{8}\r\n$$\r\nを得る．また，$n$ 個のベクトル\r\n$$\r\n\\Bigg(\\cos\\frac{2\\pi}{2n+1}, \\cos\\frac{2\\pi}{2n+1}\\Bigg) \\quad \\Bigg(\\cos\\frac{4\\pi}{2n+1}, \\cos\\frac{4\\pi}{2n+1}\\Bigg)\\quad\\dots \\quad \\Bigg(\\cos\\frac{2n\\pi}{2n+1}, \\cos\\frac{2n\\pi}{2n+1}\\Bigg)\r\n$$\r\nの合成を考えることで\r\n$$\r\n\\sum_{k=1}^{n}\\cos\\frac{2k\\pi}{2n+1} = -\\frac{1}{2}\r\n$$\r\nが分かるから，\r\n$$\r\n\\sum_{k = 1}^{n}\\cos^4\\frac{2k\\pi}{2n+1} = \\frac{6n - 5}{16}\r\n$$\r\nである．以上より，求める総和は\r\n$$\r\n\\cos^40 + \\cos^4\\frac{2\\pi}{5} + \\cos^4\\frac{4\\pi}{5} + \\cos^4\\frac{2\\pi}{7} + \\cos^4\\frac{4\\pi}{7} + \\cos^4\\frac{6\\pi}{7} = 1 + \\frac{7}{16} + \\frac{13}{16} = \\frac{9}{4}\r\n$$\r\nである．特に，解答すべき値は $\\bf{13}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101" }, { "content": "　まず，$x$ だけの方程式にすると，$32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - x - 1 = 0$ が得られる（これが $6$ つの実数解をもつことは，微分を用いて確認することができる）．ここで，今回聞かれているのは $4$ 乗の総和なので，実質的には $2(4x^2 - 3) = 32x^4 - 48x^2 + 18 = 2(4x^2 - 3)^2 = 0$ の $4$ 乗の総和を求めればよく（解説：[ユーザー解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc200\\/editorial\\/4101\\/395)），これは $\\dfrac{9}{4}$ と求まる．", "text": "解を求めずに", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101/392" }, { "content": "　一般に $n$ 次方程式 $f(x)=0$ の解の $k$ 乗和を $s_k$ とすると $\\dfrac{xf^\\prime(x)}{f(x)}=\\displaystyle\\sum_{k=0}^{\\infty}\\dfrac{s_k}{x^k}$ となるので，筆算していけば簡単に求まります．筆算の際には $x$ すら書かずに係数だけでやっていくのがおすすめです．\r\n証明は[こちら](http:\\/\\/wwu.phoenix-c.or.jp\\/~tokioka3\\/k_power\\/k_power.pdf)のpdfが明快なので，参考にしてみてください．", "text": "n次方程式の解のk乗和", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101/394" }, { "content": "注：これは[ユーザー解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc200\\/editorial\\/4101\\/392)のユーザー解説です．[OMC118(E)の公式解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc118\\/editorial\\/2506)の「別解」も参考になると思います．\r\n\r\n---\r\n\r\n　一般に，変数 $x_1, \\cdots, x_n$ の $k$ 次対称式を $S_k$ で表すとき，$x_1,\\cdots, x_n$ の $m$ 乗和は $S_1, \\cdots, S_m$ の整数係数多項式として表せることが知られています．これは例えば [Newton の恒等式](https:\\/\\/manabitimes.jp\\/math\\/1304)から示せます．\r\n\r\n　これを仮定すれば，求めるべき $4$ 乗和は $4$ 次までの対称式のみで表せます．解と係数の関係を踏まえれば，$1$ 次以下の項の係数を任意に設定しても解の $4$ 乗和は変化しません．すなわち，次の $2$ つの和は等しいです．\r\n\r\n- $32x^6 - 48x^4+18x^2 - x - 1=0$ の（重複込みの）複素数解の $4$ 乗和．\r\n- $32x^6 - 48x^4+18x^2 = 0$ の（重複込みの）複素数解の $4$ 乗和．\r\n\r\n解 $x=0$ を含めなくても $4$ 乗和は変化しないので，後者の式の左辺を $x^2$ で割っても変化しません．これで行間が埋まりました．", "text": "nmoonさんのユーザー解説の解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/4101/395" } ]

[ { "content": "　三角形 $ABC$ の重心を $G$ とし，直線 $AM$ と三角形 $ABC$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $X$ とする．\\\r\n　直線 $AM$ と $HO$ は $G$ で直交するので，$AO = OX$ と併せて直線 $HO$ は線分 $AX$ の垂直二等分線なので，$AG = GX$ である．また，$AG : GM = 2:1$ であるから，$AM = 3MX$ である．\\\r\n　ここで，$BM = CM = x$ と置くと，方べきの定理より $x^2 = \\dfrac13AM^2$ であるから，$AM = \\sqrt3x$ である．従って，$\\sqrt3\\cos\\angle AMB = y$ とすると，余弦定理より $AB = 24 = x\\sqrt{4 - 2y}$ である．よって，再び余弦定理より $\\cos \\angle BAM = \\dfrac{3-y}{\\sqrt{12-6y}}$ と計算できるので，\r\n$$AP = 17 = \\frac{AG}{\\cos\\angle BAM} = \\frac{2\\sqrt3x}{3\\cos\\angle BAM} = \\dfrac{2\\sqrt{4-2y}}{3-y}x$$\r\nである．以上より，$AB$ の式と $AP$ の式を併せて解くことで $x = 24\\sqrt{\\dfrac{17}{62}},y = \\dfrac{3}{17}$ を得る．従って，余弦定理より，\r\n$$AC = x\\sqrt{4 + 2y} = 24\\sqrt{\\frac{37}{31}}$$\r\nである．特に，解答すべき値は $\\bf{21343}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/7339" }, { "content": "$HO$ と $AM$ の交点を $G$ とすると，$G$ は三角形 $ABC$ の重心である. $BC$ について $G$ と対称な点を $I$，$GI$ と $BC$ の交点を $D$ とする. $I$ は三角形 $ABC$ の外接円上にある. いま，$A, B, C, M$ から $HO$ に下ろした垂線の足を $H_A, H_B, H_C, H_M$ とすると，$$H_A=\\dfrac{AG}{GM}H_M=2H_M=H_B+H_C$$ より，三角形 $AHO$ の面積は $BHO, CHO$ の面積の和に等しい. よって，$HO$ と $AC$ の交点を $Q$ とすると，$AQ:QC=|AHO|:|CHO|=|AHO|:|AHO|-|BHO|=17:10$ が成り立つ. \r\nここで，三角形 $GBC$ の垂心を $H_G$ とすると，角度追跡により三角形 $H_GBC$ と三角形 $AQP$ は相似であり，よって $$BD:DC=H_GB×IB:H_GC×IC=17x×8\\sqrt 3:10×9\\sqrt 3x=8:9$$ が成り立つ. したがって，$AH$ と $BC$ の交点を $E$ とすると，$AE$ と $GD$ は平行だから，$EM=3DM$ なので，$BE=14y, EC=20y$ とおける. よって，$AE=\\sqrt{AM^2-EM^2}=\\sqrt{858}y$ より，$$AB=\\sqrt{AE^2+EB^2}=\\sqrt{1054}y,　AC=\\sqrt{AE^2+EC^2}=\\sqrt{1258}y.$$ したがって，$AB=24$ より，$AC=24\\sqrt{\\dfrac{1258}{1054}}=24\\sqrt{\\dfrac{37}{31}}$ がわかり，解答すべき値は $\\textbf{21343}$.", "text": "初等解（提出時の解法）です", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/7339/389" }, { "content": "　 $xy$ 平面上で $A=(24,0),B=(0,0),P=(7,0),C=(2a,2b)$ とおく．すると， $M=(a,b)$ となり，直線 $AM$ は $y=\\frac{b}{a-24}x-\\frac{24b}{a-24}$ を満たす．\r\n\r\n　また， $H=(2a,(24-2a)\\frac{a}{b})$ となり，直線 $OH$ は， $y=\\frac{(24-2a)a}{(2a-7)b}x-\\frac{7(24-2a)a}{(2a-7)b}$ を満たす．\r\n\r\n　 $OH$ と $AM$ が直交していることより， $\\frac{(24-2a)a}{(2a-7)(a-24)}=-1$ となりこれを満たすのは $a=168\\/31$ である．よって， $O=(12,\\frac{2880}{31b}$ となる．\r\n\r\n $$OC^2=OB^2=(12-336\\/31)^2+(2b-\\frac{2880}{31b})^2=12^2+\\frac{2880}{31b}^2$$ より， $b=\\frac{12\\sqrt{858}}{31}$ となるので，求めるべき値は， $$AC^2=(24-\\frac{336}{31})^2+\\frac{24\\sqrt{858}}{31}^2=\\frac{21312}{31}$$ より， $\\textbf{21343}$ となる．", "text": "ごり押し解法(非推奨)", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc200/editorial/7339/390" } ]

[ { "content": "　$1$ 回目の解答が正解である確率は $1\\/3312$，$2$ 回目の解答が正解である確率は\r\n$$\\dfrac{3311}{3312}\\times \\dfrac{1}{3311}=\\dfrac{1}{3312}$$\r\nであり，同様にして $n$ 回目の解答が正解である確率は常に $1\\/3312$ である．よって，全体で求める確率は $5\\/1656$ であり，解答すべき値は $\\mathbf{1661}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/3312" } ]

[ { "content": "　 $p \\neq 2,3$ のとき $p \\equiv \\pm 1 \\pmod 6$ なので正整数 $k$ を用いて $p=6k \\pm 1$ と表せば次が成り立つ．$$p^2=36k^2\\pm 12k+1\\equiv 12k^2+12k+1\\equiv 12k(k+1)+1\\equiv 1\\pmod {24}$$\r\nしたがって $p^2$ を $24$ で割ったあまりは $p=2,3,5,7,\\ldots$ と動かせば $4,9$ の後は $1$ が続く．\\\r\n　また，$m\\geq 4$ のとき $m!$ は $4!=24$ で割り切れるので，$m!$ を $24$ で割ったあまりは $m=1,2,3,4,\\ldots$ と動かせば $1,2,6$ の後は $0$ が続く．\\\r\n　以上より条件を満たす $(p,m)$ の組は $(2,3),(3,1)$ のみである．特に解答すべき値は $\\bf{9}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/4289" } ]

[ { "content": "　与えられた $6$ 次方程式は次のように（実数係数の範囲で）因数分解できる．\r\n$$(x^2+2)(x+2)(x-2)(x+\\sqrt{5})(x-\\sqrt{5})=0$$\r\nこれより求める実数解は $x=\\pm{2},\\pm{\\sqrt{5}}$ なので，求める積は $\\textbf{20}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/3238" } ]

[ { "content": "　$n$ 個の点が与えられたとき，それらを用いてできる四面体は最大で ${}_{n}\\mathrm{C}_4$ 個ある．従って，${}_n \\mathrm{C}_4 \\geq 999$ を満たす最小の $n$ を求めればよく，これは $\\mathbf{14}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/6949" } ]

[ { "content": "　直線 $\\ell$ の方程式を $y=g(x)$ とすると，条件より\r\n$$g(1) = 1, \\quad f(x)-g(x)=(x-3)^2(x-7)^2$$\r\nが成立する．従って, 以下より求める答えは $\\bf{145}$ である：\r\n$$f(1)=(1-3)^2(1-7)^2 + g(1) = 145.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/4162" } ]

[ { "content": "　$AD\\parallel BC$ から $\\angle PBC =\\angle PCB$ が分かり，従って $BP = CP$ である．また二角相等から三角形 $ PAB$ と三角形 $PCD$ は相似であり，その相似比は $3:4$ である．よって\r\n$$AP : CP = BP : DP = 3 : 4$$\r\nであるから，$BP = CP$ に気をつけることで $AP : DP = 9 : 16$ が分かる. 以上より\r\n$$AP = 10\\times\\frac{9}{25} = \\frac{18}{5}$$\r\nを得る. 特に解答すべきは $\\bf{23}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/3476" } ]

[ { "content": "　$274428=28 \\times 99^2$ である．$x$ の $100,10,1$ の位の数字をそれぞれ $a,b,c$ とすると $x-X=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$ より $x \\equiv X \\pmod {99}$ が成り立つ．これと $99^2\\mid xX$ より，$x \\equiv X\\equiv 0 \\pmod {99}$ である．よって，整数 $a,A$ を用いて $x=99a,X=99A$ とおけ，次の式が成り立つ．\r\n$$aA=28, ~ 2\\leq a \\leq 10, ~ 2\\leq A \\leq 10$$\r\nこれを満たす $(a,A)$ の組は $(4,7),(7,4)$ の $2$ つであり，このとき $(x,X)=(396,693),(693,396)$ であるので条件を満たしている．以上より，$x$ の総和は $\\bf1089.$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/2529" } ]

[ { "content": "　一般性を失わず $AB=3$ としてよく，座標平面上で $A(0,0),B(3,0)$ と設定すれば，$\\tan\\angle ABC=2\\sqrt{3}$ および $\\tan\\angle BAD=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ に留意することで $C(2,2\\sqrt{3}),D(-2,\\sqrt{3})$ として埋め込めることがわかる．このとき $\\tan\\angle ACD=\\dfrac{3\\sqrt{3}}{7}$ と計算でき，その平方は $\\dfrac{27}{49}$ である．特に解答すべきは $\\bf76.$ \\\r\n　余談だが，$AB=3$ のとき，四角形の各頂点は一辺が $1$ の正三角形によって敷き詰められた格子の点上に存在する．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc199/editorial/1685" } ]

[ { "content": "　求めるべき値は，$(1,2,\\ldots,24)$ の並び替え $(a_1,a_2,\\ldots,a_{24}), (b_1,b_2,\\ldots,b_{24})$ すべてについての\r\n$$ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \\cdots + a_{24} b_{24} $$\r\nの相加平均であることに注意する．\\\r\n　並び替え $(a_1,a_2,\\ldots,a_{24})$ に対して，別の並び替え $(25-a_1, 25-a_2,\\ldots,25-a_{24})$ を対応させることで，並び替えのペアを作ることができる．ペアの関係にある $2$ つの並べ替えに対して，それらのスコアの和は\r\n$$(b_1+b_2+\\cdots+b_{24}) \\times 25 = 7500$$\r\nになり，また全体でペアは $\\dfrac{24!}{2}$ 個できる．よって，解答すべき値は\r\n$$7500 \\times \\frac{24!}{2}×\\frac{1}{24!}=\\mathbf{3750}$$\r\nとなる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/6043" }, { "content": "　$b_i$ は固定してよいのでここでは $(1,2,\\cdots,24)$ とする．つまり，\r\n$$a_1+2a_2+\\cdots+24a_{24}$$\r\nの期待値を考えればよい．ここで，$i(1\\leq i\\leq24)$ の寄与を考える．$i$ が $a_j$ に一致するとき，寄与は\r\n$$23!\\times\\sum_{j=1}^{24}ij=23!\\times300i$$\r\nより，$i$ を動かすと，この総和は $23!\\times300^2$ なので，これを $24!$ で割れば答えが求まる．\r\n***\r\nお年玉の額が渋いので増やしてあげましょう．(JMO的中しろ！)\\\r\n**問題**: OMC君のもらえる額の期待値が $10000$ 円を初めて超えるのは $1,2,\\cdots,N$ の順列でゲームをしたときです．$N$ を求めてください．\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n\\\r\n**解説**: 以下の補題が成立する．\\\r\n**お年玉の補題**: $1,2,\\cdots,N$ の順列でゲームをしたときにOMC君がもらえる額の期待値は $\\dfrac{N(N+1)^2}{4}$\\\r\nよって $\\mathbf{34}$ ．", "text": "別解＆OMC君を幸せにしよう", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/6043/388" } ]

[ { "content": "　商品 $X, Y, Z$ が入った福袋の個数をそれぞれ $x, y, z$ とすると，$x+y+z \\leq n$ が成り立つ．$2023$ 個の福袋を買えば必ず商品 $X$ を $1$ つ以上手に入れられるため，商品 $X$ が入っていない福袋は $2022$ 個以下である，すなわち $n - x \\leq 2022$ が成り立つ．同様に，\r\n$$ n - y \\leq 2023, \\quad n - z \\leq 2024 $$\r\nが成り立つので，これらを足し合わせて\r\n$$ 2022 + 2023 + 2024 \\geq 3n - x - y - z \\geq 2n $$\r\nとなり，$n \\leq 3034$ が成り立つ．等号は例えば $(x, y, z) = (1012, 1011, 1010)$ のときに成り立つ（このとき何も入っていない福袋が $1$ つあることに注意）．以上より，$n$ の最大値は $\\bf{3034}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/9609" } ]

[ { "content": "　非負整数 $x, y, z$ が\r\n$$7x + 10y + 16z = 2024$$\r\nを満たしているとき，$n = x+y+z$ としてありうる値の総和を求めればよい．いま，\r\n$$ x+y+z \\equiv 7x+10y+16z \\equiv 2024 \\equiv 2 \\pmod{3} $$\r\nであり，また\r\n$$ \\frac{2024}{16} = \\frac{7x+10y+16z}{16} \\leq x+y+z \\leq \\frac{7x+10y+16z}{7} = \\frac{2024}{7} $$\r\nより $127 \\leq x+y+z \\leq 289$ を得る．以上 $2$ つを合わせると，$x+y+z$ としてありうる値は\r\n$$3a+128 \\quad (a = 0, 1, \\ldots, 53)$$\r\nに限られる．これらは，\r\n$$ (x, y, z) = \r\n\\begin{cases}\r\n(4a, 2a+4, -3a+124) & (0 \\leq a \\leq 41) \\\\\\\\\r\n(10a-246, -7a+373, 1) & (42 \\leq a \\leq 53)\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nによってすべて達成できるので，解答すべき値は\r\n$$ 128 + 131 + \\cdots + 287 = \\bf{11205} $$\r\nである．なお，具体的に構成しなくとも，始点 $a = 0$ と終点 $a = 53$ が達成できれば，$x, y, z$ を適宜調整することで $1 \\leq a \\leq 52$ が達成可能であることがわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/10720" } ]

[ { "content": "　まずは小円（鼻）を無視して考える．下図のように接点や円の中心にラベルづけする．$A$ は中円どうしの接点，$O$ は大円の中心，$M$ は半円の中心，$P$ は右側の中円の中心，$Q$ は大円と右側の中円の接点である．\\\r\n　中円の半径を $r$ とする．四角形 $AMRP$ が正方形となることに注意すると，$AP = r$ および\r\n$$ OP = OQ - PQ = 24 - r $$\r\n$$ OA = AM - OM = r - (24 - 20) = r-4 $$\r\nを得る．三平方の定理から $OP^2 = OA^2 + AP^2$，すなわち\r\n$$ (24-r)^2 = (r-4)^2 + r^2 $$\r\nが成り立つので，これを $r \\gt 0$ のもとで解くことで $r = -20 + 8\\sqrt{15}$ を得る．\r\n\r\n\r\n\r\n　つぎに小円を含めて考える．小円の中心を $O^\\prime$ とし，半径を $r^\\prime$ とする．先程と同様の議論を行うと， \r\n$$O^\\prime A = r - r^\\prime, \\quad O^\\prime P = r + r^\\prime$$\r\nであるから，三平方の定理より $O^\\prime P^2 = O^\\prime A^2 + AP^2$，すなわち\r\n$$ (r + r^\\prime)^2 = (r - r^\\prime)^2 + r^2 $$\r\nを得る．これより $r^\\prime = \\dfrac{r}{4} = -5+2\\sqrt{15} = -5+\\sqrt{60}$ がわかるので，解答すべき値は $\\mathbf{65}$ である．\r\n\r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc008/editorial/10565" } ]

[ { "content": "　$P,Q$ それぞれの中心の $x$ 座標を $p,q$，半径を $u,v$ とおく．このとき，$P,Q$ の双方と互いに外接し，半径が $k$ である円の中心 $(x,y)$ がみたすべき方程式は，\r\n$$(x-p)^2+y^2=(k+u)^2, \\quad (x-q)^2+y^2=(k+v)^2$$\r\nである．これを解けば，$x$ として $k$ の $1$ 次式が得られる．つまり，求める値を $t$ とおくと，$(k, x) = (4,8),(16,11),(2023,t)$ は同一直線上に並ぶから，$t=\\dfrac{2051}4$ である．特に，解答すべき値は $\\textbf{2055}$ である．\\\r\n　なお，$p=2$，$q=10$，$u=5$，$v=3$ として条件は実現可能である（$B$ の中心の $x$ 座標は $10$）．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/8713" } ]

[ { "content": "\r\n\r\n　$1$ つの $2\\times 2$ のタイルは上の図の黒マスの部分をちょうど $1$ つ含むので $6$ つの黒マスと $6$ つの $2\\times 2$ のタイルが一対一対応する．従って，数えるべきものは，$6$ つの黒マスを含むような $6$ つの $2\\times 2$ のタイルの置き方であって，$2\\times 2$ のタイル同士が重ならないものと言い換えられる．\\\r\n　黒マスとそれを含む $2\\times 2$ のタイルとの位置関係は $4$ 通りあるが，これを「縦」と「横」の二つのパラメタに分離して考える．つまり，黒マスが $2\\times2$ のタイルの上下どちらの側にあるかという情報と，左右どちらの側にあるかという情報を分離して考える．\r\n\r\n\r\n- 横のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの「横」のパラメタの決め方は $4\\times 4=16$ 通り．\r\n- 縦のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの「縦」のパラメタの決め方は $3\\times 3 \\times 3=27$ 通り．\r\n\r\nよって，横のタイル同士と縦のタイル同士が重ならないような $6$ つのタイルの置き方は $16\\times 27=432$ 通りある．しかし，これは斜めのタイル同士が重なる場合を考慮していないので，そのような場合を引く必要がある．\\\r\n　重なり合う斜めのタイルの組みは，下の図において同じ円で囲まれている二つの黒タイルの組みに対応して $4$ パターン考えられるが，対称性から $1$ パターンを考えて $4$ 倍すれば良い．\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n　左上の黒タイルと下段中央の黒タイルに対応するタイル同士が重なっている場合，左側四つの $2\\times2$ タイルの置き方は上の図のような置き方に限られ，残りの $2$ つのタイルの置き方は $6$ 通りである．\\\r\n　以上より，求める答えは $432-6\\times 4=\\bold{408}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/7030" } ]

[ { "content": "$$\\angle CQP = \\angle DAP = \\angle RAP$$\r\nであり，同様に $\\angle ARP = \\angle QCP$ が成り立つので，三角形 $APR$ と三角形 $QPC$ は相似である．また，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle BAC &= \\angle BDC = \\angle PDC = \\angle PRC,\\\\\\\\\r\n\\angle ABC &= 180^\\circ - \\angle ADC = 180^\\circ - \\angle RDC = \\angle RPC\r\n\\end{aligned}$$\r\nがそれぞれ成り立つので，三角形 $ABC$ と三角形 $RPC$ も相似である．よって，\r\n$$AR : CQ = PR : CP = AB : BC = 5 : 7$$\r\nである．また，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle ABP &= \\angle ABD = \\angle ACD = \\angle ACQ\\\\\\\\\r\n\\angle APB &= 180^\\circ - \\angle APD = 180^\\circ - \\angle AQD = \\angle ACQ\r\n\\end{aligned}$$\r\nであるから，三角形 $ABP$ と三角形 $ACQ$ は相似である．よって，\r\n$$AC : CQ = AB : BP = 5 : 2$$\r\nである．以上より，\r\n$$CQ:DQ=2:3,\\quad DR:AR=4:5$$\r\nとあわせて計算することで，\r\n$$AC : CD : DA = 35 : 35 : 18$$\r\nを得る．よって，三角形 $ACD$ は $C$ を頂角とする二等辺三角形であるので，\r\n$$\\cos \\angle ADC = \\frac{AD}{2AC} = \\frac{9}{35}$$\r\nである．したがって，$\\cos \\angle ABC = - \\cos \\angle ADC$ に気をつければ，余弦定理より，\r\n$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\\cdot BC\\cos\\angle ABC = 92$$\r\nを得る．よって，\r\n$$AD^2 = \\frac{18^2AC^2}{35^2} = \\frac{29808}{1225}$$\r\nである．特に，解答すべき値は $\\bf{31033}$ である．\r\n\r\n---\r\n\r\n**別解.**　点 $D$ を中心に半径 $\\sqrt{CD\\times DA}$ の反転を行う．反転後の点を $^{\\prime}$ を付けた記号で表す．このとき，\r\n$$ DC^{\\prime}:C^{\\prime}Q^{\\prime}=3:2, \\quad DA^{\\prime}:A^{\\prime}R^{\\prime}=4:5 $$\r\nが成り立つ．よって，チェバの定理より $A^{\\prime} B^{\\prime} :B^{\\prime} C^{\\prime}=25:18$，さらにメネラウスの定理より $D^{\\prime} B^{\\prime} :D^{\\prime} P^{\\prime}=33:43$ が成り立つ．よって， $DP :DB=33:43$ であるため $DB=43\\/5$ であることが分かる．\\\r\n　いま，$DA=DC^{\\prime} ,DC=DA^{\\prime}$ であることから，$\\triangle ADC\\equiv\\triangle C^{\\prime}DA^{\\prime}$ に注意する．ここで， $CX:XA=25:18$ なる点 $X$ を対角線 $AC$ 上にとると，$\\triangle XDC\\equiv\\triangle B^{\\prime}DA^{\\prime}$ であることから，$\\angle XDC = \\angle B^{\\prime}DA^{\\prime} =\\angle BDA$．また，円周角の定理より $\\angle ABD=\\angle XCD$ であることから，$\\triangle ABD \\sim \\triangle XCD$ が成り立つ．同様の議論から，$\\triangle CBD \\sim \\triangle XAD$ も成り立つ．以上により，\r\n$$\r\nXC:CD=AB:BD=25:43, \\quad XA:AD=CB:BD=35:43\\\\\\\\\r\n \\implies DA:AX:XC:CD=(43\\times 18):(35\\times 18):(35\\times 25):(35\\times 43)\r\n$$\r\nとなる．これにより，$AB:AD=CX:XD=175:36\\sqrt{23}$ であるから，\r\n$$DA^2=\\frac{5^2 \\times 36^2\\times 23}{175^2}=\\frac{29808}{1225}$$\r\nである．特に，解答すべき値は $\\bf{31033}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/9321" }, { "content": "トレミーの定理でlength-chaseします．\r\n___\r\n\r\n　一般に，円に内接する凸四角形 $XYZW$ において，トレミーの定理と正弦定理より，\r\n\r\n$$ XY \\cdot \\sin \\angle ZXW + XW \\cdot \\sin \\angle YXZ = XZ \\cdot \\sin \\angle YXW$$\r\n\r\n(両辺を外接円の直径で割ったのである)\r\n\r\n　四角形 $DABC, DAPQ, DRPC$ は凸である[*1]から，\r\n\r\n$$ DA \\cdot \\sin \\angle BDC + DC \\cdot \\sin \\angle ADB = DB \\cdot \\sin \\angle ADC \\\\\\\\\r\nDA \\cdot \\sin \\angle BDC + DQ \\cdot \\sin \\angle ADB = DP \\cdot \\sin \\angle ADC \\\\\\\\\r\nDR \\cdot \\sin \\angle BDC + DC \\cdot \\sin \\angle ADB = DP \\cdot \\sin \\angle ADC $$\r\n\r\nここで，$\\sin \\angle BDC : \\sin \\angle ADB : \\sin \\angle ADC = BC : AB : AC = 7 : 5 : AC$ より，\r\n\r\n$$ DA \\cdot 7 + DC \\cdot 5 = DB \\cdot AC \\\\\\\\\r\nDA \\cdot 7 + \\frac{3}{5} DC \\cdot 5 = \\left( DB-2 \\right) \\cdot AC \\\\\\\\\r\n\\frac{4}{9} DA \\cdot 7 + DC \\cdot 5 = \\left( DB-2 \\right) \\cdot AC $$\r\n\r\nしたがって，\r\n\r\n$$ \\frac{2}{5} DC \\cdot 5 = \\frac{5}{9} DA \\cdot 7 = 2AC$$\r\n\r\nこれを整理すると $DC = AC, DA = \\dfrac{18}{35}AC$ が得られ，後は公式解説と同様．\r\n___\r\n[*1] 位置関係の議論をすれば証明できる．(実は，有向角を利用して凸性の議論を省くこともできる)", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/9321/385" } ]

[ { "content": "　まず，$f(n,m)$ について考察する．$m^n$ 個の数列のうち，特に各項が $k$ の倍数であるものは $\\lfloor m\\/k \\rfloor ^ n$ 個存在するが，その中には最大公約数が $2k$ や $3k$ などといったものも含まれているため，愚直には足し合わせられない．そこで，整数列 $p=(p_1,p_2,\\dots)$ であって，以下の条件をみたすものがあったとしよう：\r\n\r\n- 任意の正整数 $n$ に対して，$\\displaystyle\\sum_{d\\mid n}^{} p_d = n$ をみたす．\r\n\r\nすると，各項が $k$ の倍数であるような数列を $p_k$ 回重ねて勘定することで，すべての数列に対してちょうど最大公約数分の寄与が与えられる．実際，最大公約数が $k$ である数列に対して，$k$ の約数を $d_1,d_2,\\dots,d_t$ とするとそれは $p_{d_1}+\\cdots+p_{d_t}$ 回カウントされていて，$p$ の定義よりこれは $k$ に等しい．\\\r\n　さて，$p$ について考察する．結論から述べれば，Euler の totient関数 $\\varphi$ が $p$ としての条件をみたす．実際，任意の $n$ の約数 $d$ に対して，$1 \\le i \\le n$ かつ $\\gcd(i,n) = d$ をみたす整数 $i$ は $\\varphi(n\\/d)$ 個存在するので，\r\n$$ \\sum_{d\\mid n}^{} \\varphi(d) = \\sum_{d\\mid n} \\varphi\\left(\\frac{n}{d}\\right) = n $$\r\nが成り立つ．ただし，一つ目の等号では $d$ を $n\\/d$ におきかえた．以上より数列 $(a_1,\\dots,a_{g(m)})$ には，各 $1 \\le i \\le m$ に対して $\\lfloor m\\/i \\rfloor$ が $\\varphi(i)$ 個ずつ含まれており，$g(m)=\\varphi(1)+\\cdots+\\varphi(m)$ である．特に，\r\n$$g(1001) - g(999) = \\varphi(1001) + \\varphi(1000) = 720 + 400 = \\textbf{1120}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/8686" } ]

[ { "content": "　結論から述べれば，ある状態から始めて後手が勝つことは以下と同値である：\r\n\r\n- 各山の石の数を二進法で表したとき，どの位についてもそれが $1$ であるものが $3$ の倍数個存在する．\r\n\r\nこの状態を以下では**良い状態**とよび，そうでない状態を**良くない状態**とよぶ．\\\r\n　最後が良い状態であることに注意すれば，以下の二つを示せばよい：\r\n\r\n- どの良い状態からどのように $1$ 回操作しても良くない状態の盤面になること．\r\n- どの良くない状態からも，適当に $1$ 回操作することで良い状態の盤面にできること．\r\n\r\n以下，特に断りなく「位」などといったとき，二進法による表記で考えるものとする．\\\r\n　まず前者から示す．どの位についても，それが $1$ であるような山の数の差は， $1$ 回の操作の前後で $2$ 以下である．よって，良い状態から操作して再び良い状態であるためには，どの位についても操作前と後でその位が $1$ であるような山の数が変わらない必要がある．これは操作の前後で石の総数が変わらないことを意味するので不適である．\\\r\n　以下，後者を示す．各位についてその位が $1$ であるような山の数を $3$ で割った余りを考える：\r\n\r\n\r\n- $0$ でない最上位の位の余りの数が $2$ の場合に行うべき操作：\\\r\n　その位が $1$ であるような $2$ つの石の山を選び，その位がそれぞれ $0$ になるようにする．\\\r\n　それより下の位についても，同様にして調整が可能である．\r\n\r\n- $0$ でない最上位の位の余りの数が $1$ の場合に行うべき操作：\\\r\n　まず，その位が $1$ であるような $1$ つの石の山を選び，その位を $0$ になるようにする．\\\r\n　それより下の位について，先に選択した以外の山であってその位が $1$ であるようなもの数を $3$ で割った余りを考える．このとき，余りが $1$ である位がなければ，先に選択した石の山での調整のみですべての位の余りを $0$ にできる．そうでない場合も，余りが $1$ である位の最上位が $1$ であるような石の山を新たに $2$ つ目として選択すれば，これらを利用して調整が可能である．\r\n\r\n　最後に，最初が良い状態になるような $N$（以下，これを**良い数**とよぶ）の条件を考える．\\\r\n　まず，$N$ 以下の正整数であって， $2^k$ の位が $1$ であるものの個数は，以下のように表せる：\r\n$$\r\n\\begin{cases}\r\n\\biggl\\lfloor \\dfrac{N}{2^{k+1}} \\biggr\\rfloor \\times 2^k & N\\ の\\ 2^k\\ の位が\\ 0\\ のとき \\\\\\\\\r\n\\\\\\\\\r\nN- \\biggl(\\biggl\\lfloor \\dfrac{N}{2^{k+1}} \\biggr\\rfloor+1\\biggr) \\times 2^k & N\\ の\\ 2^k\\ の位が\\ 1\\ のとき\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\n　いま，$2^a$ の位と $2^b$ の位（$a\\lt b$）が $1$ で，その間の位がすべて $0$ であるような良い数 $N$ について，\r\n$$\r\n\\biggl(\\biggl\\lfloor \\frac{N}{2^{a+1}}\\biggr\\rfloor+1\\biggr) \\times 2^a \\equiv \\biggl(\\biggl\\lfloor \\frac{N}{2^{b+1}} \\biggr\\rfloor+1\\biggr) \\times 2^b\\pmod 3\r\n$$\r\nが成立する一方で，\r\n$$\r\n\\biggl\\lfloor \\frac{N}{2^{a+1}}\\biggr\\rfloor= \\biggl\\lfloor \\frac{N}{2^{b+1}} \\biggr\\rfloor \\times 2^{b-a}+2^{b-a-1}\r\n$$\r\nも成り立つ．これらをあわせれば，$2^{a} \\equiv 2^{b-1} \\pmod 3$，すなわち $a$ と $b$ の偶奇は異なることがわかる．言いかえれば，$2$ つの $1$ に連続して挟まれる $0$ は偶数個である．同様にして，$2$ つの $0$ に挟まれる $1$ も偶数個であることがわかる．したがって，良い数は上位から見ると $2$ 桁ごとに同じものが並ぶ（例：$1111000000110\\cdots$）．\\\r\n　これらに加えて，偶数であること・桁数が奇数であることの $3$ つで必要十分条件となることがわかる．\\\r\n　$0$ 以上 $2047~(=2^{11}-1)$ 以下にこのような数は $2^5$ 個存在する．$a$ が良い数ならば $2046-a$ も良い数であることに注意し，範囲外の $0,2040,2046$ を除けば，総和は\r\n$$2046 \\times 2^5 \\times \\frac{1}{2}-0-2040-2046=28650$$\r\nとなる．特に，求める値は，$(1+2+\\cdots+2023)-28650=\\mathbf{2018626}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/7033" } ]

[ { "content": "　$(x+a, y+b, z+c) \\in B$ をみたす正の整数 $x, y, z, a, b, c$ について，\r\n\r\n$$ \\begin{aligned} \r\ng(x, y, z, a, b, c) = ~&f(x,y,z)+f(x,y+b,z+c)+f(x+a,y,z+c)+f(x+a,y+b,z)\\\\\\\\\r\n&-f(x+a,y,z)-f(x,y+b,z)-f(x,y,z+c)-f(x+a,y+b,z+c)\r\n\\end{aligned} $$\r\n\r\nにより関数 $g(x, y, z, a, b, c)$ を定める．良い関数であるための条件式は $g(x,y,z,a,a,a)\\geq 1$ と表せる．\r\nここで，式の打ち消しあいを考えることで，\r\n$$\r\n\\sum_{i=0}^{a-1}g(x+i,y,z,1,b,c)=g(x,y,z,a,b,c)\\\\\\\\\r\n\\sum_{i=0}^{b-1}g(x,y+i,z,a,1,c)=g(x,y,z,a,b,c)\\\\\\\\\r\n\\sum_{i=0}^{c-1}g(x,y,z+i,a,b,1)=g(x,y,z,a,b,c)\r\n$$\r\nが成り立つため，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{i=0}^{a-1}\\sum_{j=0}^{b-1}\\sum_{k=0}^{c-1}g(x+i,y+j,z+k,1,1,1) &= \\sum_{i=0}^{a-1}\\sum_{j=0}^{b-1}g(x+i,y+j,z,1,1,c) \\\\\\\\\r\n &= \\sum_{i=0}^{a-1}g(x+i,y,z,1,b,c) \\\\\\\\\r\n &= g(x,y,z,a,b,c)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nとなる．これより，$g(x,y,z,a,b,c)\\geq abc$ が成り立つこと，また $f$ が良い関数であるためには任意の $(x, y, z) \\in B$ について $g(x,y,z,1,1,1)\\geq 1$ であれば十分であることがわかる．さて，\r\n\r\n$$ \\begin{aligned} \r\ng(x,y,z,a,b,c)\\leq \r\n~&|f(x,y,z)|+|f(x,y+b,z+c)|+|f(x+a,y,z+c)|+|f(x+a,y+b,z)|\\\\\\\\\r\n&+|f(x+a,y,z)|+f(x,y+b,z)|+|f(x,y,z+c)|+|f(x+a,y+b,z+c)|\r\n\\end{aligned} $$\r\n\r\nであることから，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS=\\sum_{i=1}^{5}\\sum_{j=1}^{6}\\sum_{k=1}^{7} |f(i,j,k)| &\\geq \\sum_{i=1}^{2}\\sum_{j=1}^{3}\\sum_{k=1}^{3} g(i,j,k,3,3,4)\\\\\\\\\r\n&\\geq \\sum_{i=1}^{2}\\sum_{j=1}^{3}\\sum_{k=1}^{3} 3\\times 3\\times 4\\\\\\\\\r\n&=648\r\n\\end{aligned}\r\n$$ \r\nが成り立ち，この等号が成立するのは，$f$ の値が以下の条件を全て満たす時になる．\r\n$$\r\n\\begin{cases} \r\nf(x,y,z)\\geq 0 \\quad ((x-3)(y-3.5)(z-4)\\lt 0)\\\\\\\\\r\nf(x,y,z)=0 \\quad ((x-3)(z-4) = 0)\\\\\\\\\r\nf(x,y,z)\\leq 0\\quad ((x-3)(y-3.5)(z-4)\\gt 0)\\\\\\\\\r\ng(x,y,z,1,1,1)=1\r\n\\end{cases} \r\n$$\r\nこれはたとえば $f(x,y,z)=-(x-3)(y-4)(z-4)$ などで満たされるので，$S_{\\mathrm{min}}=648$ と分かる．\\\r\n　対称性より，$x\\lt 3, z\\lt 4$ の部分について考えればよい．$f(x,3,z), f(x,4,z)$ のそれぞれの値が決まれば，残りの値を $g(x,y,z,1,1,1)=1$ を満たすように一意に決めることができる．さらに $f(x,3,z)\\geq 0$ ならば ，$y\\lt 3$ について $f(x,y,z)=f(x,3,z)+g(x,y,z,3-x,3-y,4-z)\\gt 0$ となり，$f(x,4,z)\\leq 0$ ならば $y\\gt 4$ について $f(x, y, z) = f(x,4,z)-g(x,4,z,3-x,y-4,4-z)\\lt 0$ となるので，$f(x,3,z)\\geq 0, f(x,4,z)\\leq 0$ をみたすように $f(x,3,z), f(x,4,z)$ を定めれば十分性は担保される．したがって $f(x,3,z),f(x,4,z) $ の値が何通りあるか考えればよい．いま，\r\n$$f(x,3,z)-f(x,4,z)=g(x,3,z,3-x,1,4-z)=(3-x)(4-z)$$\r\nが成り立ち，逆に全ての $(x,z)$ についてこれを満たせば $g(x,3,z,1,1,1)=1$ は保証される．したがって\r\n$$f(x,3,z)-f(x,4,z)=(3-x)(4-z), \\quad f(x,3,z)\\geq 0, \\quad f(x,4,z)\\leq 0$$\r\nを満たす $(f(x,3,z),f(x,4,z))$ の組の個数を求めればよく，これは各 $x, z$ について $(3-x)(4-z)+1$ 組存在する．これを $x\\lt 3,z\\lt 4$ を満たす $(x,z)$ についてかけ合わせて，\r\n$$7\\times 5\\times 3\\times 4\\times 3\\times 2=2520$$\r\nより，$x\\lt 3, z\\lt 4$ の部分について $f$ の値は $2520$ 通りあると分かった．\\\r\n　$(x\\lt 3, z\\gt 4),(x\\gt 3, z\\lt 4),(x\\gt 3, z\\gt 4)$ の場合も対称性により $2520$ 通りと分かるので，答えの値は $2520^4=\\mathbf{40327580160000}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc198/editorial/9322" } ]

[ { "content": "　$1224569$ の倍数が $1,2,2,4,5,6,8$ の並び替えになるかどうかを順に確認していけば良い．\\\r\n　具体的には $\\mathbf{6122845}$ が条件を満たす．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/2737" } ]

[ { "content": "$$A(AB+C)=\\displaystyle{ \\sum_{k=C}^{AB}k}=\\dfrac{1}{2}(AB+C)(AB-C+1)$$\r\nを整理することで $A(B-2)=C-1$ であり，特に $B\\geq 2$ である．ここで $A\\geq C$ より\r\n$$A(B-2)\\leq A-1 \\implies A(3-B)\\geq 1.$$\r\nすなわち $B=2$ であり，$C=1$ となる．このとき，\r\n$$\\displaystyle \\frac{1}{6}A(A+1)(2A+1)= \\sum_{k=1}^{A} k^2 = A(2A+1)$$\r\nより $A=5$ であるから，解答すべき値は $5\\times(5\\times 2+1)=\\bm{55}$ となる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/4229" } ]

[ { "content": "　$n$ の素因数分解を $n=p_1^{a_1}\\times p_2^{a_2}\\times \\cdots$ と表せば，\r\n$$n^2f(n)=p_1^{2a_1+1}\\times p_2^{2a_2+1}\\times \\cdots$$\r\nである．ここで，\r\n$$1+p+\\cdots+p^{2n+1}=\\left(1+p^{n+1}\\right)\\left(1+p+p^2+\\cdots +p^n\\right)$$\r\nであるから，与式について\r\n$$\\dfrac{S\\big(n^2f(n)\\big)}{S(n)}=\\left(1+p_1^{a_1+1}\\right)\\left(1+p_2^{a_2+1}\\right)\\cdots$$\r\nが成り立つ．したがって，$k$ が奇数であるのは $n$ が $2$ べきの場合であり，これより \r\n$$n_{i}=2^{i-1},\\quad k_{i}=1+2^{i}$$\r\nである（ただし $k_1=1$）．特に，$k_{4000}\\equiv \\textbf{108} \\pmod{3989}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/2660" } ]

[ { "content": "　well-known factとして $I$ は $J_AJ_BJ_C$ の垂心であり，かつ点 $A, B, C$ はそれぞれ三角形 $J_AJ_BJ_C$ の各頂点から対辺に下ろした垂線の足である．また，簡単な角度計算によって\r\n$$\\angle AJ_BC = \\angle CIJ_A = \\angle AIJ_C = 60^\\circ$$\r\nが分かるので，\r\n$$AJ_A = AI + IJ_A = AI + \\frac{CI}{\\cos60^\\circ} = 43, \\quad J_AJ_B = \\frac{AJ_A}{\\sin60^\\circ} = \\frac{86}{\\sqrt3}$$\r\nを得る．また，同様にして $CJ_C = 41$ であるから，三角形 $J_AJ_BJ_C$ の面積は\r\n$$41×\\dfrac{86}{\\sqrt 3}×\\dfrac{1}{2}={\\dfrac{1763}{\\sqrt3}}$$\r\nである．特に解答すべき値は $\\bf{1766}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/somc007/editorial/4198" } ]

[ { "content": "　条件に適する正整数は，$61$ 以上の素因数しかもたない．合成数であるとすると，適するものは最小で $61^2=3721$ であることに注意すれば，素数である $\\textbf{3607}$ が最小であることがわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4884" } ]

[ { "content": "$N$ から線分 $BC$ に下ろした垂線の足を $H_1$，$D$ から $NC$ におろした垂線の足を $H_2$ とする．このとき，\r\n$$NH_1 : H_1C : CN = 2 : 3 : \\sqrt{13}$$\r\nである．また，三角形 $NH_1C$ と $CH_2D$ は相似であるので，\r\n$$CD=12 \\cdot \\frac{\\sqrt{13}}{3} = 4\\sqrt{13}$$\r\nがわかり，求める面積は $\\bf{208}$ と計算できる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4879" } ]

[ { "content": "　$i$ 行 $j$ 列目のマスを $(i,j)$ と表す．OMC君は $(2,2)$ と $(8,8)$ を必ず通る．$(1,1)$ から $(2,2)$ まで移動する方法は $2$ 通り，$(2,2)$ から $(8,8)$ まで移動する方法は ${}_6 \\mathrm{ C }_3=20$ 通り，$(8,8)$ から $(9,9)$ まで移動する方法は $2$ 通りであるから，移動方法は $2\\times20\\times2=\\textbf{80}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/5227" } ]

[ { "content": "$$x+y+z+w=100, \\quad x,y,z,w\\leq 30$$\r\nをみたす正整数の組 $(x,y,z,w)$ を数えればよい．ここで\r\n$$x^\\prime=30-x, \\quad y^\\prime=30-y, \\quad z^\\prime=30-z, \\quad w^\\prime=30-w$$\r\nとすれば，$x^\\prime+y^\\prime+z^\\prime+w^\\prime=20$ なる非負整数の組 $(x^\\prime,y^\\prime,z^\\prime,w^\\prime)$ を数えればよく（大小関係より今回は負になることはない），これは ${}\\_{23}\\mathrm{C}\\_{3}=\\bf{1771}$ 通りである.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4960" }, { "content": "　$100$ 本を $4$ 人に分ける分け方のうち, (少なくとも)特定の $k$ $(k=0,1,2,3)$ 人が $31$ 本以上のボールペンを受け取る方法は $\\binom{103-31k}{3}$ \r\n通りです. \r\n$4$ 人の中から $k$ 人を選ぶ方法は $\\binom{4}{k}$ 通りであるので, 包除原理を用いれば求める答えは\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum\\_{k=0}\\^{3}(-1)\\^{k}\\binom{4}{k}\\binom{103-31k}{3}&=\\binom{103}{3}-4\\binom{72}{3}+6\\binom{41}{3}-4\\binom{10}{3}\\\\\\\\\r\n&=1771\r\n\\end{aligned}$$\r\nとなります.", "text": "包除原理を利用した方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4960/379" } ]

[ { "content": "　実際のOMC 君の体重を $x$ kg，おもり一つの重さを $y$ kg とすると，条件より\r\n$$55\\leq x+2y\\leq 65, \\quad 85\\leq x+5y\\leq 95.$$\r\nこれを満たす領域を図示すれば $\\dfrac{85}{3}\\leq x \\leq \\dfrac{155}{3}$ がわかり，求める総和は $29+30+\\cdots+51=\\bf{920}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4548" }, { "content": "　公式解説の不等式は図示しなくても解けます．\r\n$$\\begin{cases}\r\n55 \\leq x+2y \\leq 65\\\\\\\\\r\n85 \\leq x+5y \\leq 95\r\n\\end{cases}$$\r\n$$\\Longleftrightarrow \r\n\\begin{cases}\r\n275-5x \\leq 10y \\leq 325-5x\\\\\\\\\r\n170-2x \\leq 10y \\leq 190-2x\r\n\\end{cases}$$\r\n $x$ を固定することでこの $2$ 式は $y$ についての連立不等式とみなすことができます．そしてこの連立不等式が解を持つことは次と同値です．\r\n$$\\begin{cases}\r\n275-5x \\leq 190-2x\\\\\\\\\r\n170-2x \\leq 325-5x\r\n\\end{cases}$$\r\nこの $x$ についての連立不等式を解くことで $\\dfrac{85}{3}\\leq x\\leq \\dfrac{155}{3}$ が得られます．", "text": "図示せずに不等式を解く", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/4548/377" } ]

[ { "content": "　非負整数 $n$ に対して $n$ の各位の和を $S(n)$ と表す．$S(n)\\equiv n\\mod 9$ に留意すれば条件 $C,D$ が同時に満たされることはない．よって $N$ が条件 $A,B,C$ を満たす場合と条件 $A,B,D$ を満たす場合に分けて考えれば良い．\\\r\n　$N$ が条件 $A,B,C$ を満たすとする．条件 $C$ から $N\\equiv 2 \\mod 9$ が導かれるので，条件 $A,B$ と合わせて，\r\n$$\\begin{cases}\r\n1 \\leq N \\leq 1000\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0 \\mod 11\\\\\\\\\r\nN\\equiv 2 \\mod 9\r\n\\end{cases}\r\n\\Longleftrightarrow\r\n\\begin{cases}\r\n1 \\leq N \\leq 1000\\\\\\\\\r\nN\\equiv 11 \\mod 99\\\\\\\\\r\n\\end{cases}\r\n\\Longleftrightarrow\r\nN=11+99k　(k=0,1,...,8)\r\n$$\r\nを得る．$11+99k=100k+(11-k)$ より次が成り立つ．\r\n$$S(N)=k+S(11-k)=\r\n\\begin{cases}\r\n2　(k=0,1)\\\\\\\\\r\n11　(k=2,3,...,9)\r\n\\end{cases}$$\r\nしたがって $N=11+99k~(k=2,3,...,9)$ が条件 $A,B,C$ を満たす．これらの総和は $\\displaystyle\\sum_{k=2}^9 (11+99k)=4444$．\\\r\n　次に $N$ が条件 $A,B,D$ を満たすとする．このとき\r\n$$\\begin{cases}\r\n1 \\leq N \\leq 1000\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0 \\mod 11\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0 \\mod 3\r\n\\end{cases}\r\n\\Longleftrightarrow\r\n\\begin{cases}\r\n1 \\leq N \\leq 1000\\\\\\\\\r\nN\\equiv 0 \\mod 33\\\\\\\\\r\n\\end{cases}\r\n\\Longleftrightarrow\r\nN=33k　(k=1,...,30)\r\n$$\r\nよって条件 $A,B,D$ を満たす $N$ の総和は $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{30} (33k)=15345$．\\\r\n　以上より求める整数 $N$ の総和は $4444+15345=\\textbf{19789}$．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/8209" } ]

[ { "content": "　$4$ 点 $P,B,C,Q$ は同一円周上にあることと，$AB=PB$ が成り立つことにより．\r\n　$$\\angle{BCQ}=\\angle{BPA}=\\angle{BAP}$$\r\nであるから，$Q$ は線分 $BD$ 上にあり，特に $\\angle{CBQ}=45^{ \\circ }$ である．よって，中線定理と余弦定理より以下がそれぞれ成り立つ．\r\n$$AB^2+BQ^2=2(BP^2+AP^2)$$$$CQ^2=4AP^2=BQ^2+BC^2-2BQ \\times BC \\times \\cos \\angle{CBQ}$$\r\nこれらを連立させて解くことで $BQ=\\sqrt{126}-\\sqrt{18}$ が得られる．特に, 解答すべき値は $\\textbf{144}$ である．\r\n\r\n　", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/5661" }, { "content": "　公式解説と同様に，$\\angle BCQ=45^{\\circ}$ を示したあと，座標を使うことも可能です．\\\r\n　（より正確には，$\\angle BCQ=45^{\\circ}$ を示す前から座標のみで解くことも可能だと思いますが，かなりの計算量になりそうです．）\r\n\r\n---\r\n\r\n　点 $B$ を原点，点 $A(0,6)$，点 $C(6,0)$ となるように座標平面を定める．このとき点 $Q(2t,2t)$ とおくと，点 $P(t,t+3)$ である．\\\r\n　$BP=6$ より方程式を解いて，$t=\\dfrac{3 \\sqrt{7}-3}{2}$ を得る．あとは $BQ=2 \\sqrt{2} t$ を用いればよい．", "text": "座標を用いる方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/5661/380" } ]

[ { "content": "$$x^{200} + x^{199} + 3x^2 - 3 = (x+1)(x^{199} + 3x - 3)$$\r\nであるから，$-1$ は解の一つである．また，$x^{199} + 3x - 3 = 0$ の解を $a_1,a_2,\\ldots,a_{199}$ とする．\\\r\n　　まず，$A_{199}$ を求める．解と係数の関係より $\\displaystyle \\sum_{k=1}^{199}a_k= 0$ である．よって，\r\n$$\\sum_{k=1}^{199}a_k^{199} = \\sum_{k=1}^{199}(3-3a_k) = \\sum_{k=1}^{199}3- 3\\sum_{k=1}^{199}a_k= 597$$\r\nであるから，$A_{199} = 597 + (-1)^{199} = 596$ である．\\\r\n　次に，$A_{200}$ を求める．\r\n$$\\sum_{k = 1}^{199}a_k^{200} = \\sum_{k=1}^{199}(3 - 3a_k^2 - a_k^{199}) = \\sum_{k=1}^{199}3-3\\sum_{k=1}^{199}a_k^2-\\sum_{k=1}^{199}a_k^{199}=-3\\sum_{k=1}^{199}a_k^2$$\r\nである．また，\r\n$$\\sum_{k=1}^{199}a_k^2 = \\Bigg(\\sum_{k=1}^{199}a_k\\Bigg)^2 - 2\\sum_{1\\le i\\lt j \\le 199}a_ia_j$$\r\nである．ここで，解と係数の関係より\r\n$$\\sum_{k=1}^{199}a_k = \\sum_{1\\le i\\lt j \\le 199}a_ia_j = 0$$\r\nであるから，結局 $\\displaystyle\\sum_{k=1}^{199}a_k^{200} = 0$ である．よって，$A_{200} = 0 + (-1)^{200} = 1$ である．\\\r\n　以上より，解答すべき値は $1000\\cdot596+1= \\bf596001$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009" }, { "content": "　問題文中で述べられている, 重解が存在しないことの証明です. \r\n以下の補題を用います. \r\n\r\n---\r\n\r\n**補題.**　$f(x)$ を実数係数多項式とする時, 以下は同値である.\r\n\r\n1. $f(x)$ は (複素数の範囲で) 重根をもつ. \r\n2. $f(x)$ と $f\\^{\\prime}(x)$ は共通の複素数根をもつ.\r\n\r\n**証明.**\r\n \r\n$(1.)\\Rightarrow(2.)$: \r\n$f(x)$ の重根を $\\alpha$ とする. この時, 複素数係数多項式 $g(x)$ であって, $f(x)=(x-\\alpha)\\^2g(x)$ を満たすものが存在する. \r\n$f\\^{\\prime}(x)=2(x-\\alpha)g(x)+(x-\\alpha)\\^2g\\^{\\prime}(x)$ であるので, $f(\\alpha)=f\\^{\\prime}(\\alpha)=0$ である. \r\n\r\n$(2.)\\Rightarrow(1.)$: \r\n$f(x), f\\^{\\prime}(x)$ の共通根を $\\alpha$ とする. \r\n$f(\\alpha)=0$ より, 複素数係数多項式 $g(x)$ であって, $f(x)=(x-\\alpha)g(x)$ を満たすものが存在する. \r\n$f\\^{\\prime}(x)=g(x)+(x-\\alpha)g\\^{\\prime}(x)$ であり, $x=\\alpha$ を代入すれば, $g(\\alpha)=0$ を得る. \r\nよって, 複素数係数多項式 $h(x)$ であって, $g(x)=(x-\\alpha)h(x)$ を満たすものが存在する. \r\n以上より, $f(x)=(x-\\alpha)\\^{2}h(x)$ と書けるので, $f(x)$ は重根 $x=\\alpha$ をもつ. (証明終)\r\n\r\n---\r\n\r\n　今回の多項式についての話に移ります. \r\n$x\\^{200}+x\\^{199}+3x\\^{2}-3=(x+1)(x\\^{199}+3x-3)$ であり, $x=-1$ は明らかに重根でないため, \r\n$f(x):=x\\^{199}+3x-3$ が重根をもたないことを示せばよいです. \r\n\r\n補題から, $f\\^{\\prime}(x)$ の根が $f(x)$ の根でないことを示せば十分です. \r\n$f\\^{\\prime}(x)$ の根の一つを $\\alpha$ とします. \r\n$f\\^{\\prime}(\\alpha)=199\\alpha\\^{198}+3=0$ より, $\\alpha\\^{198}=-\\dfrac{3}{199}\\lt 0$ であるため, $\\alpha$ は非実数です. \r\nよって, $f(\\alpha)=\\alpha\\^{199}+3\\alpha-3=-\\dfrac{3}{199}\\alpha+3\\alpha-3=\\dfrac{594}{199}\\alpha-3$ も非実数であり, 特に $0$ ではありません. \r\n\r\n以上から, $f\\^{\\prime}(x)$ の根は $f(x)$ の根になり得ないことが分かり, 問題文中の多項式は重根をもたないことが示されました.", "text": "重解の非存在について", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/381" }, { "content": "ここでは，$A_{199} + A_{200}$ を求めていく．\\\r\nまず，$A_{1} = −1$ から $A_{2} = 1$ がすぐにわかる．\\\r\nまた，$x^{200} + x^{199} + 3x^{2} - 3 = 0$ の解全てについて，それぞれ代入して足し合わせると\r\n\r\n$$A_{200} + A_{199} + 3A_{2} - 600 = 0$$\r\n\r\nがわかるので，$A_{199} + A_{200} = 597$ と求まる．", "text": "A_{199}+A_{200}を求める", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/383" }, { "content": "方針として\r\n\r\n$$F(t):=\\sum_{n=0}^{\\infty} A_n t^n$$\r\nという級数を考える.これは\r\n\r\n$x^{200}+x^{199}+3x^2-3$の根を$\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_{200}$とおくと,\r\n\r\n\r\n$$F(t)=\\sum_{k=1}^{200}\\dfrac{1}{1-\\alpha_k t}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nこれを通分すると\r\n\r\n$$F(t)=\\dfrac{\\sum_{k=1}^{200}\\prod_{j\\neq k}(1-\\alpha_j t)}{\\prod_{k=1}^{200}(1-\\alpha_k t)}$$\r\n\r\nである.これについて\r\n\r\n分母は\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\\prod_{k=1}^{200}(1-\\alpha_k t)&=t^{200}\\cdot \\prod_{k=1}^{200}\\left(\\dfrac{1}{t}-\\alpha_k\\right)\\\\\\\\&=t^{200}\\cdot\\left(\\dfrac{1}{t^{200}}+\\dfrac{1}{t^{199}}+\\dfrac{3}{t^2}-3\\right)\\\\\\\\&=1+t+3t^{198}-3t^{200}\\end{aligned}$$\r\n\r\n一方分子は,\r\n\r\n$$\\dfrac{d}{du}\\prod_{k=1}^{200}(u-\\alpha_k)=\\sum_{k=1}^{200} \\prod_{j\\neq k} (u-\\alpha_j )$$\r\n\r\nと\r\n\r\n$$\\dfrac{d}{dx}(x^{200}+x^{199}+3x^2-3)=200x^{199}+199x^{198}+6x$$\r\n\r\nを利用することで,\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\\sum_{k=1}^{200}\\prod_{j\\neq k}(1-\\alpha_j t)&=t^{199}\\sum_{k=1}^{200}\\prod_{j\\neq k}\\left(\\dfrac{1}{t}-\\alpha_j \\right)\\\\\\\\&=t^{199}\\left(\\dfrac{200}{t^{199}}+\\dfrac{199}{t^{198}}+\\dfrac{6}{t}\\right)\\\\\\\\&=200+199t+6t^{198}\\end{aligned}$$\r\n\r\nよって，\r\n\r\n$$F(t)=\\dfrac{200+199t+6t^{198}}{1+t+3t^{198}-3t^{200}}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nまた,$1+t+3t^{198}-3t^{200}=(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})$より,\r\n\r\n$$\\begin{aligned}F(t)-\\dfrac{1}{1+t}&=\\dfrac{200+199t+6t^{198}-1-3t^{198}+3t^{199}}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\\\\\&=\\dfrac{199+199t+3t^{198}+3t^{199}}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\\\\\&=\\dfrac{(1+t)(199+3t^{198})}{(1+t)(1+3t^{198}-3t^{199})}\\\\\\\\&=\\dfrac{199+3t^{198}}{1+3t^{198}-3t^{199}}\\end{aligned}$$\r\n\r\nより,\r\n\r\n$$F(t)=\\dfrac{1}{1+t}+\\dfrac{199+3t^{198}}{1+3t^{198}-3t^{199}}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nこのとき,$F(t)-\\dfrac{1}{1+t}$をマクローリン展開したときの係数は\r\n\r\n$$(199+3t^{198})(1-3t^{198}+3t^{199}+O(t^{396}))=199-594t^{198}+597t^{199}+O(t^{396})$$\r\n\r\nより,\r\n\r\n$$F(t)=\\dfrac{1}{1+t}+199-594t^{198}+597t^{199}+O(t^{396})$$\r\n\r\nである.$\\drac{1}{1+t}=\\sum_{n=0}^{\\infty}(-1)^n t^n$であるため,\r\n\r\n$$A_0=200$$\r\n$$A_n=(-1)^n;(1\\leq n\\leq 197)$$\r\n$$A_{198}=-594+(-1)^{198}=-593$$\r\n$$A_{199}=597+(-1)^{199}=596$$\r\n$$A_{n}=(-1)^n;(200\\leq n \\leq 395)$$\r\n\r\nとなる.特に,$A_{199}=596,A_{200}=1$である.", "text": "FPS解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc197/editorial/6009/384" } ]

[ { "content": "　$S$ のすべての元の和を $s$ とおく．$S$ から $2$ つの要素を選んでその和が $m$ であったとき，選ばれなかった $2$ つの要素の和は $s-m$ となる．いま，$S$ から $2$ つの要素を選ぶ方法 $6$ 通りのうち $3$ 通りについて，選ばれた要素の和が $1,4,9$ であるので，残りの $3$ 通りの選び方について，選ばれた要素の和は $s-1, s-4, s-9$ となる．ここで\r\n$$ s-9 \\lt s-4 \\lt s-1 $$\r\nであるから，$s-9= x, \\ s-4 = y, \\ s-1 = 36$ を得る．これにより，\r\n$$ xy = (36+1-9) (36+1-4) = 28 \\cdot 33 = \\mathbf{924} $$\r\nを得る．なお，$S = \\\\{ -2, \\ 3, \\ 6, \\ 30 \\\\}$ もしくは $S = \\left\\\\{ -\\dfrac{23}{2}, \\dfrac{25}{2}, \\dfrac{31}{2}, \\dfrac{41}{2} \\right\\\\}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/9815" } ]

[ { "content": "　正二十面体の各面は正三角形で，辺は全部で $30$ 本あることから，全ての辺の塗り方は ${}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{22}$ 通り，ある面に対してその面の辺が全て赤で塗られているような辺の塗り方は ${}\\_{27}\\mathrm{C}\\_{22}$ 通りある．\r\nよって求める期待値は次のように求められる．\r\n$$\\frac{{}\\_{27}\\mathrm{C}\\_{22}\\times 20}{{}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{22}}=\\frac{8}{29}$$ \r\n特に，解答すべき値は $\\bf37$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/2450" } ]

[ { "content": "　四角形 $ABCD$ の外接円の中心を $O$ とすると，$\\angle AOB,\\angle BOC,\\angle COD,\\angle DOA$ がすべて $360^\\circ\\/N$ の整数倍になるような整数 $N\\geq 4$ の最小値を求めればよい．\\\r\n　$\\angle ABC+\\angle CDA=180^{\\circ}$ であるから，$d=180^{\\circ}\\/44$ とすると与式より次が分かる．\r\n$$\\angle CAB=20d,\\quad \\angle ABC=21d,\\quad \\angle BCD=22d,\\quad \\angle CDA=23d$$\r\nこれらより，円周角の定理などを用いて計算すると次が得られる．\r\n$$\\angle AOB=6d,\\quad \\angle BOC=40d,\\quad \\angle COD=4d,\\quad \\angle DOA=38d$$\r\nこれらがすべて $360^\\circ\\/N$ の整数倍になるような $N$ の最小値は $\\bm{44}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/2251" } ]

[ { "content": "　$F,G\\colon S\\to S$ を以下のように定める．\r\n$$F(x) = \\begin{cases}\r\nf(x) & (xは奇数)\\\\\\\\\r\ng(x) & (xは偶数)\r\n\\end{cases},\\quad \r\nG(x) = \\begin{cases}\r\ng(x) & (xは奇数)\\\\\\\\\r\nf(x) & (xは偶数)\r\n\\end{cases}$$\r\n　また，任意の $S$ の元 $x$ について $xy$ 平面上の点 $P_x$ を $P_x = \\big(F(x), G(x)\\big)$ で定める．さらに，平面上の $2$ 点 $P,Q$ のマンハッタン距離（$x$ 座標の差の絶対値と $y$ 座標の差の絶対値の和）を $d(P,Q)$ とする．\\\r\n　このとき，問題の二つ目の条件は，\r\n- 任意の $S$ の元 $x,y$ について，$x$ と $y$ の偶奇が異なり $x\\gt y$ ならば $d(P_x,P_y) = a_x - a_y$ である．\r\n\r\nと言い換えられる．今，$x$ を $0$ 以上 $4$ 以下の整数とすると，三角不等式より\r\n$$d(P_{x+1},P_{x}) + d(P_{x+2},P_{x+1}) + d(P_{x+3}, P_{x+2}) \\ge d(P_{x+3},P_{x})$$\r\nであるが，$a_0, a_1, \\ldots, a_7$ は広義単調増加であるから，左辺と右辺はともに $a_{x+3} - a_x$ に等しいので，等号が成立する．従って，三角不等式の等号成立条件より，$F(x), F(x+1), F(x+2), F(x+3)$ は広義単調減少または広義単調増加であり，$G$ についても同様である．よって，$F,G$ は広義単調減少または広義単調増加である．\\\r\n　逆に，$F, G$ がとも広義単調減少または広義単調増加であるとき，条件をみたすような $a_0,a_1,\\ldots, a_7$ が存在する．また，$(f,g)$ の組と $(F,G)$ の組は一対一対応するので，ともに広義単調増加または広義単調減少であるような $(F,G)$ の組の数を求めれば良い．\\\r\n　広義単調増加な $F\\colon S\\to S$ の数は，$(0,0)$ から $(8,7)$ まで隣り合う格子点を通って最短距離で行く方法の数と等しく，${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{7}$ 通りある．広義単調減少な $F\\colon S\\to S$ の数もこれに等しいので，定値関数の存在に気をつけて，求める答えは $(2\\times{}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{7} - 8)^2 = \\bf165431044$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/8081" } ]

[ { "content": "　対称性より $p\\le q\\le r$ として考えてよい．\\\r\n　$p$ を法とする $4$ の位数を $a$ とする．フェルマーの小定理と仮定より\r\n$$4^{p-1}\\equiv4^{2qr}\\equiv 1\\pmod p$$\r\nであるから，$a\\mid\\gcd(p-1, 2qr)$ である．ここで，$q,r$ はいずれも $p-1$ より大きい素数であることより $p-1$ と互いに素であるので，$\\gcd(p-1,2qr) = \\gcd(p-1,2) = 2$ である．よって，$4^{2} - 1 = 15$ は $p$ で割り切れるから $p$ は $3$ または $5$ である．$p = 3$ であるとすると，\r\n$$4^{qr}+1 \\equiv 1^{qr}+1 = 2 \\pmod 3$$\r\nとなり矛盾するので，$p = 5$ である．\\\r\n　$q$ を法とする $4$ の位数を $b$ とする．フェルマーの小定理と仮定より\r\n$$4^{q-1}\\equiv4^{10r}\\equiv 1\\pmod q$$\r\nであるから，$b\\mid\\gcd(q-1, 10r)$ である．ここで，$r$ は $q-1$ より大きい素数であることより $q-1$ と互いに素であるので，$\\gcd(q-1,10r) = \\gcd(q-1,10)\\mid10$ である．よって，\r\n$$4^{10} - 1 = (2^{10} - 1)(2^{10} + 1)$$\r\nは $q$ で割り切れる．また，\r\n$$4^{5r} + 1 = 2^{10r} + 1 = (2^{10} - 1)\\times\\frac{2^{10r} -1}{2^{10} - 1} + 2$$\r\nが $q$ の倍数であることより，$q$ は $2^{10} - 1$ の約数でない．よって，$q$ は $2^{10} + 1 = 5^2 \\times41$ の素因数であるから $5$ または $41$ である．\\\r\n　$r$ を法とする $4$ の位数を $c$ とし，$q$ の値で場合分けして $r$ を求める．ここで，次の補題が成り立つことに気をつける．\r\n\r\n**補題．**任意の $-1$ でない整数 $x$ と奇素数 $P$ について，$\\dfrac{x^P + 1}{x + 1}$ の素因数は $P$ か $P$ で割って $1$ 余る素数である．\r\n<details><summary>証明<\\/summary>\r\n　$x$ を $-x$ に置き換えて，任意の $1$ でない整数 $x$ について $\\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の素因数は $P$ か $P$ で割って $1$ 余る素数であることを示す．\\\r\n　素数 $Q$ が $\\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の約数であって $P$ でないとする．$Q$ を法とする $x$ の位数を $d$ とすると，\r\n$$d\\mid\\gcd(P,Q-1)\\mid P$$\r\nであるから $d$ は $1$ か $P$ である．$d = 1$ であるとすると $Q\\mid x - 1$ であるから，LTEの補題より $$v_Q(x^P - 1) = v_Q(x - 1) + v_Q(P) = v_Q(x - 1)$$\r\nとなり，$Q$ が $\\dfrac{x^P - 1}{x - 1}$ の約数であることに矛盾する．よって $d = P$ であるが，このとき $P \\mid Q - 1$ であるから $Q$ は $P$ で割って $1$ 余る．よって示された．\r\n<\\/details>\r\n\r\n- $q = 5$ であるとき\\\r\n　$r\\mid 2^{50} + 1 = (2^{10} + 1)\\times\\dfrac{(2^{10})^5 + 1}{2^{10}+1}$ であるから，まず $2^{10} + 1 = 5^2 \\times41$ の素因数 $5, 41$ は $r$ として適する．次に，補題より$\\dfrac{(2^{10})^5 + 1}{2^{10}+1}$ の $5$ でも $41$ でもない素因数のうち $150$ 以下であるものがあるとすれば$$11, ~ 31, ~ 61, ~ 71, ~ 101, ~ 131$$\r\nの中のいずれかである．ここで，$5$ と互いに素な整数 $k$ を用いて $r = 10k + 1$ と表されるとすると， $c\\mid\\gcd(r-1,50)=10$ であるから，$q$ のときと同様の議論をすることで $101$ 以外の全ての候補が $2^{50} + 1$ を割り切らず $r$ として適さないとわかる．また，$101$ については，$2^{50} + 1$ の約数であることが確認できるので $r$ として適する．\r\n- $q = 41$ であるとき\\\r\n　$r\\mid 2^{410} + 1 = (2^{10} + 1)\\times\\dfrac{(2^{10})^{41} + 1}{2^{10}+1}$ であるから，まず $2^{10} + 1 = 5^2 \\times41$ の素因数 $5, 41$ のうち $q$ 以上である $41$ は $r$ として適する．次に，補題より$\\dfrac{(2^{10})^{41} + 1}{2^{10}+1}$ の $41$ でない素因数のうち $150$ 以下であるものがあるとすれば $83$ のみであるが，$83\\mid2^{82\\times5} - 1 = 2^{410} - 1$ なので，$83$ は $2^{410} + 1$ は割り切らず $r$ として適さない．\r\n\r\n以上より，$(p,q, r)$ の候補として\r\n$$(5,5,5), \\quad (5,5,41), \\quad (5,5,101),\\quad (5,41,41)$$\r\nとその並べ替えが挙げられ，これらは全て条件を満たすので，これが求める全ての組である．特に解答すべき値は $\\bf{12080}$ である．\r\n　", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/10426" } ]

[ { "content": "　三角形 $QXY$ の外接円を $\\Omega$ とする．また，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし，直線 $AH$ と $\\omega$ の交点のうち $A$ でない方を $K$ とする．\r\n$$\\angle AXB = \\angle APB + \\angle PBQ = \\angle ACB + \\angle PBQ = 180^\\circ - \\angle ACB = \\angle AHB$$\r\nより $4$ 点 $A, B, H, X$ は同一円周上にあり，同様にして$A, C, H, Y$ も同一円周上にある．さらに，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle BQC &= 360^\\circ - \\angle PBQ - \\angle PCQ - \\angle BPC\\\\\\\\\r\n&= 360^\\circ - (180^\\circ - 2\\angle ACB) - (180^\\circ - 2\\angle ABC) - (180^\\circ - \\angle BAC)\\\\\\\\\r\n&= 2(\\angle ABC + \\angle BCA + \\angle CAB) - 180^\\circ - \\angle BAC\\\\\\\\\r\n&= 180^\\circ - \\angle BAC \\\\\\\\\r\n&= \\angle BHC\r\n\\end{aligned}$$\r\nより $4$ 点 $B, C, H, Q$ も同一円周上にある．以上を用いて計算すると\r\n$$\\angle HAX =\\angle HBQ = \\angle HCY = \\angle PAK$$\r\nが分かるが，$\\omega$ の半径と三角形 $ABH ,BCH, CAH$ の外接円の半径はすべて等しいことから\r\n$$HQ = HX = HY = PK$$\r\nが分かる．\r\n従って $H$ は $\\Omega$ の中心であるので，これらの値は全て $10$ であることが分かる．よって，$K$ を中心とする半径 $10$ の円と $\\omega$ の交点を $B$ に近い順に $P_1, P_2$ とすれば，$P$ はこの二つのいずれかである．$i = 1,2$ について，$P_i$ に対して定義される $Q, X, Y$ をそれぞれ $Q_i, X_i, Y_i$ とすると，$X_2$ は直線 $AH$ に関して $B$ と反対の側にあり，$Q_1$ は 直線 $CH$ に関して $B$ と反対の側にあるので，\r\n$$\\angle BAX_2 = \\angle BAH + \\angle HAX_2 = \\angle BCH + \\angle HAX_1 = \\angle BCH + \\angle HCQ_1 = \\angle BCQ_1$$\r\nが分かる．従って，三角形 $ABH$ の外接円半径と三角形 $BCH$ の外接円半径が等しいことより $BX_2 = BQ_1$ である．また，任意の $i = 1,2$ について，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle BX_iP_i = 180^\\circ - \\angle AX_iB = 180^\\circ - \\angle AHB= \\angle ACB = \\angle APB = \\angle X_iP_iB\r\n\\end{aligned}$$\r\nより $BP_i = BX_i$ であるから，\r\n$$BP_1\\times BP_2 = BX_1 \\times BX_2 = BX_1\\times BQ_1$$\r\nが分かり，これは $B$ から $\\Omega$ への方べきである．以上から，$AA^\\prime$ が $\\omega$ の直径となるような $A^\\prime$ を取ると，\r\n$$BP_1\\times BP_2 = BH^2 - 10^2 = A^\\prime C^2 - 10^2 = AA^{\\prime2} - AC^2 - 10^2 = \\bf{1916}$$\r\nを得る.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/4655" }, { "content": "(方針を示す目的なので、諸々省略していることはご容赦ください)\r\n\r\nangle chaseにより, $\\triangle ABC$と$\\triangle QYX$は相似. よって外接円半径の比を考えて$BC:YX=9:2$である. また, $BP=BX, CP=CQ$だから, $B,C$から$AP$に下ろした垂線の足を$M,N$とすると, これらはそれぞれ$XP, YP$の中点で, $BC:XY:MN=9:2:1$.\r\n\r\n従って, $\\angle CBM=\\theta$とすると, $\\sin\\theta=\\dfrac{1}{9}$で, また$\\cos\\theta=\\dfrac{\\sqrt{80}}{9}$となる. $\\angle ABC=\\beta$とおくと正弦定理などより$\\sin\\beta=\\dfrac{78}{90}, \\cos\\beta=\\dfrac{\\sqrt{2016}}{90}$となることを用いると, $\\angle ABX=\\beta\\pm\\theta, \\angle BAP=90^\\circ-\\beta\\mp\\theta$となることから, \r\n\r\n$$BP=2\\cdot45\\sin(90^\\circ-\\beta\\mp\\theta)=90\\cos(\\beta\\pm\\theta)=90\\left(\\frac{\\sqrt{80}}{9}\\cdot\\frac{\\sqrt{2016}}{90}\\mp\\frac{1}{9}\\cdot\\frac{78}{90}\\right)=\\frac{1}{9}(\\sqrt{80\\cdot2016}\\mp78)$$\r\n\r\nと計算でき, 求める総積は\r\n\r\n$$\\frac{1}{9}(\\sqrt{80\\cdot2016}-78)\\times\\frac{1}{9}(\\sqrt{80\\cdot2016}+78)=\\mathbf{1916}$$\r\nとわかる.", "text": "垂心を利用せずに解く方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc196/editorial/4655/382" } ]

[ { "content": "　$BI_A,CI_A$ はそれぞれ $\\angle B,\\angle C$ の外角を二等分することに注意すると，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\angle B I_A C &= 180^\\{\\circ} - \\angle BCI_A - \\angle CBI_A \\\\\\\\\r\n&=180^\\{\\circ} - \\dfrac{1}{2}(180^\\{\\circ} -\\angle BCA) - \\dfrac{1}{2}(180^\\{\\circ} -\\angle CBA) \\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{1}{2}(\\angle BCA+\\angle CBA) \\\\\\\\\r\n&=90^\\{\\circ} -\\dfrac{1}{2}\\angle BAC \\\\\\\\\r\n&=87^{\\circ}\r\n\\end{aligned}$$\r\nしたがって，求める答えは $\\angle BI_AC=\\bf{87}^\\circ$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4886" }, { "content": "　今回は使わなくても解けますが，重要な定理なので抑えておくことを推奨します．\r\n***\r\n　内心を $I$ とする．$AI$ と円 $ABC$ の交点を $D$ とすると，$B,I,C,I_A$ は共円で，$D$ はその円の中心なので，\r\n$$\\angle{BI_AC}=\\dfrac12(180^\\circ-\\angle{BAC})=87^\\circ$$", "text": "トリリウムの定理", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4886/378" } ]

[ { "content": "$$\\log_2 \\biggl(1+\\dfrac{1}{k}\\biggl)=\\log_2 \\dfrac{k+1}{k}=\\log_2 (k+1) -\\log_2 k$$\r\nより，\r\n$$5=\\displaystyle \\sum_{k=1}^{n} \\log_2 \\biggl(1+\\dfrac{1}{k}\\biggr)=\\log_2 (n+1)$$\r\nが成り立つ．よって，$n=2^{5}-1=\\mathbf{31}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4909" } ]

[ { "content": "　選ばれた $i=1,2,3,4,5$ が問題の数列内で $a_i$ 番目に現れた $i$ であったとすると，この選び方が問題の条件を満たすことは次が成り立つことと同値である．\r\n$$1 \\leq a_1 \\leq a_2 \\leq a_3 \\leq a_4 \\leq a_5 \\leq 100$$\r\nこのような数列 $\\lbrace a_i \\rbrace$ はボール $99$ 個と仕切り $5$ 個を一列に並べる方法に対応するから，求める選び方は ${}\\_{104}\\mathrm{C}\\_5=\\textbf{91962520}$ 通りである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4357" } ]

[ { "content": "　まず，互いに素な正整数 $s,t$ であって\r\n$$\\dfrac{1}{8}\\lt \\dfrac{s}{t}\\lt \\dfrac{1}{7} \\quad \\Bigl(\\iff 7s\\lt t\\lt 8s \\Bigr)$$\r\nをみたすものを考える．$s$ が小さい方から（等しい場合は $t$ が小さい方から）列挙すれば，\r\n$$\\frac{2}{15},\\frac{3}{22},\\frac{3}{23},\\frac{4}{29},\\frac{4}{31},\\frac{5}{36},\\frac{5}{37},\\frac{5}{38},\\frac{5}{39},\\frac{6}{43},\\dfrac{6}{47},\\dfrac{7}{50},\\ldots$$\r\nと並ぶ．この範囲では $s+t$ の昇順が同時に実現されている$^{(*)}$ことに注意する．\\\r\n　さて，それぞれに $3$ を加えることで $\\dfrac{p}{q}$ として適するものが対応するが，$t$ が昇順であることから，$3$ を加えた後においても $p+q$ の昇順が実現される．よって，求めるべき値は $(6+43\\times 3)+43=\\mathbf{178}$ である．\r\n\r\n----\r\n$^{(*)}$ $s \\geq 10$ においては分子 $s$ の変わり目，すなわち $\\dfrac{s}{8s-1},~\\dfrac{s+1}{7s+8}$ については，次が成り立つので，分数の列挙順と $s+t$ の大小が一致しない．\r\n$$s+(8s-1) \\geq (s+1)+(7s+8)$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4751" } ]

[ { "content": "　辺 $AC$ の中点を $M$ とする．中点連結定理より三角形 $ABC$ と三角形 $APM$ は相似である．よって，\r\n$$\\angle RMP = \\angle AMP = \\angle ACB = \\angle RQP$$\r\nより $4$ 点 $P,Q,R,M$ は同一円周上にある．よって，\r\n$$\\angle AMQ = \\angle RMQ = 180^\\circ - \\angle QPR = 90^\\circ = \\angle ABQ$$\r\nより $4$ 点 $A,B,Q,M$ は同一円周上にある．よって，方べきの定理より\r\n$$CB\\times CQ = CA\\times CM = \\frac{1}{2}CA^2 = \\frac{1}{2}(AB^2 + BC^2)=4. $$\r\nまた $CB = \\sqrt{7}$ であるから $CQ = \\dfrac{4}{\\sqrt{7}}$ であるので $QB = CB-CQ=\\dfrac{3}{\\sqrt{7}}$ を得る．よって，\r\n$$\\triangle PQR = \\frac{1}{2}PR\\times PQ = \\frac{1}{2\\sqrt{7}} PQ^2 = \\frac{1}{2\\sqrt{7}} (PB^2 + QB^2) = \\frac{43\\sqrt{7}}{392}.$$\r\n特に解答すべき値は $\\bf442$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/3989" } ]

[ { "content": "　$113$ は $10$ と互いに素であるから，小数第 $1$ 位よりただちに循環節に入る．いま，循環節の長さが $112$ であることから，筆算の要領で割り算を行う過程を考えることで，循環節の中には\r\n$$10÷113,\\quad 20÷113,\\quad \\ldots, \\quad ,1120÷113$$\r\nの商がそれぞれ一度ずつ現れることがわかる．すなわち循環節の中には $0,1,2,4,5,7,8,9$ が $11$ 回ずつ，$3,6$ は $12$ 回ずつ出現する．したがって循環節の $0$ を除く数字の総積は $(9!)^{11}\\cdot 3\\cdot 6=2^{78} \\cdot 3^{46} \\cdot 5^{11} \\cdot 7^{11}$ である．\\\r\n　これと $227=112\\times 2+3$ および $\\dfrac{355}{113}=3.141\\cdots$ より，$P=(2^{78} \\cdot 3^{46} \\cdot 5^{11} \\cdot 7^{11})^2\\cdot 1 \\cdot 4 \\cdot 1=2^{158} \\cdot 3^{92} \\cdot 5^{22} \\cdot 7^{22}$ であるので $P$ の約数の個数は $\\bf{7822323}$ ．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc195/editorial/4748" } ]

[ { "content": "　$b_i=a_i+1$ とおけば，$b_1+b_2+\\cdots +b_{6}=20$ を満たす非負整数の組 $(b_1,b_2,\\ldots ,b_{6})$ の数を求めることに帰着される．これは，${}\\_{6}\\mathrm{H}\\_{20} = \\bf53130$ 通り存在する．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2351" } ]

[ { "content": "　条件より $5n$ がもつ素因数の集合は $\\\\{2,5,7\\\\}$ であるから，$n=2^a5^b7^c$ と表せる．このとき，\r\n$$\\frac{f(5n)}{f(n)}=\\frac{(5n)^{(a+1)(b+2)(c+1)\\/2}}{n^{(a+1)(b+1)(c+1)\\/2}}=5^{(a+1)(b+2)(c+1)\\/2}n^{(a+1)(c+1)\\/2}$$\r\nである．これが $140^{90}=2^{180}5^{90}7^{90}$ に等しいことから，各素因数の指数を比較して\r\n$$a(a+1)(c+1)=360,\\quad (a+1)(b+1)(c+1)=90,\\quad (a+1)c(c+1)=180. $$\r\nこれは $(a,b,c)=(8,1,4)$ を唯一の解にもつから，特に解答すべき値は $\\textbf{3073280}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2002" }, { "content": "　 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}…p_m^{a_m}$ と素因数分解されるすると， $f(n)=n^{\\frac{1}{2}(a_1+1)(a_2+1)…(a_m+1)}$ であることを示す．\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nf(n)&=f\\left(\\prod_{k=1}^{m}p_k^{a_k}\\right) \\\\\\\\\r\n&=\\prod_{i_1=0}^{a_1}\\prod_{i_2=0}^{a_2}…\\prod_{i_m=0}^{a_m}\\left(\\prod_{k=1}^{m}p_k^{i_k}\\right) \\\\\\\\\r\n&=\\prod_{k=1}^{m}p_k^{\\sum_{i_1=0}^{a_1}\\sum_{i_2=0}^{a_2}…\\sum_{i_m=0}^{a_m}i_k} \\\\\\\\\r\n&=\\prod_{k=1}^{m}p_k^{\\frac{1}{2}(a_k+1)\\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)} \\\\\\\\\r\n&=n^{\\frac{1}{2}\\prod_{i=1}^{m}(a_i+1)}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n　特に本問では， $n=2^a5^b7^c$ と置くと， $f(n)=n^{\\frac{1}{2}(a+1)(b+1)(c+1)}$ となる．", "text": "公式解説の補足", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/2002/372" } ]

[ { "content": "　$K=\\dfrac{k}{10^5}$ とする．漸化式から\r\n$$a_{n+2}-a_{n+1}=K(\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil )$$\r\nである．右辺について，\r\n$$\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil =\\lceil K \\lceil a_n \\rceil +1 \\rceil -\\lceil a_n \\rceil = \\lceil K \\lceil a_n \\rceil \\rceil -\\lceil a_n \\rceil +1$$\r\nであり，$0\\lt K\\lt 1$ および $a_n\\gt 0$ により $\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil \\leq 1$ である．さらに，\r\n$$\\lceil a_{n+2}-a_{n+1} \\rceil -1 \\leq \\lceil a_{n+2} \\rceil -\\lceil a_{n+1} \\rceil \\leq \\lceil a_{n+2}-a_{n+1} \\rceil = \r\n\\lceil K(\\lceil a_{n+1} \\rceil -\\lceil a_n \\rceil ) \\rceil$$\r\nであり，以下が成り立つことが分かる：\r\n- $\\lceil a_{n+1} \\rceil - \\lceil a_n \\rceil =1$ のとき $\\lceil a_{n+2} \\rceil -\\lceil a_{n+1} \\rceil =0$ または $1$\r\n- $\\lceil a_{n+1} \\rceil - \\lceil a_n \\rceil =0$ のとき $\\lceil a_{n+2} \\rceil -\\lceil a_{n+1} \\rceil =0$\r\n- $\\lceil a_{n+1} \\rceil - \\lceil a_n \\rceil \\lt 0$ のとき $\\lceil a_{n+2} \\rceil -\\lceil a_{n+1} \\rceil \\leq 0$\r\n\r\nこれにより $\\\\{\\lceil a_n\\rceil \\\\}$ は広義単調増加または広義単調減少である．ここで，$\\\\{\\lceil a_n\\rceil \\\\}$ が広義単調減少のとき $\\lceil a_{N+1} \\rceil =\\lceil a_N \\rceil$ となるような $998$ 以下の正整数 $N$ が存在し，このとき $a_{N+1}=a_{N+2}$ であるから条件を満たさない．したがって，$\\\\{\\lceil a_n\\rceil \\\\}$ は広義単調増加である必要があり，このとき\r\n$$\\lceil a_2 \\rceil - \\lceil a_1 \\rceil = \\lceil 500K+1 \\rceil - 500 =1 \\iff \\lceil 500K \\rceil =500$$\r\nすなわち $\\dfrac{499}{500} \\lt K (\\leq 1)$ が必要である．以下の議論では $K$ がこれを満たすものとする．\\\r\n　次に，初めて $\\lceil a_{N+1} \\rceil = \\lceil a_N \\rceil$ となる $N$ について考える．漸化式および天井関数の定義から\r\n$$\\lceil a_N \\rceil -1 \\lt K\\lceil a_N \\rceil +1 \\leq \\lceil a_N \\rceil \\iff \\frac{1}{1-K} \\leq \\lceil a_N \\rceil \\lt \\frac{2}{1-K}$$\r\nである．$\\lceil a_1 \\rceil, \\lceil a_2 \\rceil, \\ldots , \\lceil a_N \\rceil$ は公差 $1$ の等差数列であり，また上の不等式の区間は $1$ より大きいから，これを満たす $N$ が必ず存在する．これより $a_1, a_2, \\ldots ,a_{1000}$ が全て相異なるには\r\n$$\\lceil a_{998} \\rceil = 1497 \\lt \\frac{1}{1-K} \\iff 1-\\frac{1}{1497} \\lt K = \\frac{k}{10^5}$$\r\nであればよく，$k=99934,99935,\\ldots ,99999$ がこれを満たす．特に解答すべき値は $\\bf{6597789}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/8117" }, { "content": "　$a_1, \\cdots, a_{1000}$ が相異なるためには，$\\lceil a_1 \\rceil \\cdots \\lceil a_{999}\\rceil $ が相異なることが必要条件である．そこで，漸化式を次のように変形する：\\\r\n$$\\lceil a_{n+1} \\rceil = \\left\\lceil \\dfrac{k}{10^5}\\lceil a_n \\rceil+1 \\right\\rceil=\\left\\lceil \\dfrac{k}{10^5}\\lceil a_n \\rceil \\right\\rceil +1 \\leq \\left\\lceil \\lceil a_n \\rceil \\right\\rceil +1= \\lceil a_n \\rceil +1\\ \\cdots(※)$$ \r\n　ここで $\\lceil a_2 \\rceil \\leq 500$ と仮定すると，次のいずれかを満たす：\\\r\n(i) $\\lceil a_1 \\rceil \\cdots \\lceil a_{501} \\rceil $ はいずれも $500$ 以下の自然数であり，鳩の巣原理より，$\\lceil a_x \\rceil = \\lceil a_y \\rceil $ となるものが存在する．\\\r\n(ii) $\\lceil a_3 \\rceil \\cdots \\lceil a_{501} \\rceil $ のいずれかが $500$ より大きい自然数である．このとき，式 $(※)$ より，$\\lceil a_x \\rceil = 500 $ となるものが存在する．\\\r\nどちらの条件を満たしても，$a_1, \\cdots, a_{1000}$ が相異なるという条件に反するため，$\\lceil a_2 \\rceil \\gt 500$ でなければならない．すなわち $\\lceil a_2 \\rceil = 501$．\r\n\r\n　次に，$\\lceil a_n \\rceil \\lt \\lceil a_{n+1} \\rceil$ と仮定する．このとき漸化式より $a_{n+1} \\lt a_{n+2}$ である．一方，式 $(※)$ より，\r\n$$\\lceil a_{n+1} \\rceil \\leq \\lceil a_{n+2} \\rceil \\leq \\lceil a_{n+1} \\rceil+1$$\r\nとなる．従って，$a_1, \\cdots, a_{1000}$ が相異なるための必要十分条件は，$n=1, \\cdots,999$ の範囲で $\\lceil a_n \\rceil=n+499$ を満たすことである．\\\r\n　ここで，次の連立不等式を考える：$\\lceil a_N \\rceil \\lt \\lceil a_{N+1} \\rceil $，$a_{N+1} = \\dfrac{k}{10^5}\\lceil a_N \\rceil+1$．この不等式が $1 \\leq N \\leq 998$ で成り立つような $k$ を求めればよい．\\\r\n　$\\lceil a_N \\rceil \\lt \\lceil a_{N+1} \\rceil \\iff \\lceil a_N \\rceil \\lt a_{N+1}$ を用いれば，次の解を得る：\r\n$$k \\gt \\dfrac{\\lceil a_N \\rceil -1}{\\lceil a_N \\rceil}× 10^5$$\r\n　$a_N$ が大きくなるほど右辺も大きくなるので，$N=998$ を代入して $k \\geq 99934$ を得る．", "text": "a_2=501 を求める別の方法（鳩の巣原理）", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/8117/370" } ]

[ { "content": "　三角形の各辺の長さを $a,b,c$ とし，面積，周長，内接円の半径を $S,2s,r$，傍接円の各半径を $r_a,r_b,r_c$ とおく．このとき，\r\n$$S=sr=(s-a)r_a=(s-b)r_b=(s-c)r_c$$\r\nが成り立つので，$a+b+c=2s$ に留意することで以下の成立がわかる (L'Huilierの定理)：\r\n$$\\displaystyle \\frac{1}{r_a}+\\frac{1}{r_b}+\\frac{1}{r_c}=\\frac{1}{r}$$\r\n一方で，Heronの公式より以下が成立する：\r\n$$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=rr_ar_br_c$$\r\nよって，相加・相乗平均の不等式より\r\n$$ \\frac{1}{3r}=\\dfrac{1}{3}\\left(\\frac{1}{r_a}+\\frac{1}{r_b}+\\frac{1}{r_c}\\right)\\geq\\sqrt[3]{\\frac{1}{r_ar_br_c}}=\\sqrt[3]{\\frac{r}{S^2}}$$\r\nが成り立つ．したがって，$S^2\\geq 27r^4$ であるから $S\\leq 20$ より $r=1$ に限られ，L'Huilierの定理より，傍接円の半径の組としてあり得るものは\r\n$$(3,3,3),~ (2,4,4),~ (2,3,6)$$\r\nの $3$ つである．このとき $S^2=27,32,36$ はいずれも条件をみたすので，求める $2s=\\dfrac{2S}{r}$ の平方和は $\\textbf{380}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/1839" } ]

[ { "content": "　$N = 10^5$ とする．\\\r\n　$b_n = 3n + 2 - a_n$ とすると，問題の条件は以下のように書き換えられる．\r\n$$0\\leq b_n\\leq n+1,\\quad b_n\\leq b_{n+1}$$\r\nただし，例外として $b_1 = 3$ となり得ることに注意せよ．\r\n- $b_1\\lt 3$ の場合\\\r\n　座標平面上で，$(1,0)$ から $(N+1,N+2)$ へ隣り合う格子点を通って行く最短経路のうち，領域 $y \\le x+1$ 内の点のみを通るものを一つ選び，$i = 1,2,\\ldots,N$ について，その経路の中で最も最初に $x$ 座標が $i + 1$ になった点の $y$ 座標を $b_i$ とすると，得られた数列 $\\\\{b_n\\\\}$ は上の条件を満たす．また，上の条件を満たす $\\\\{b_n\\\\}$ について，\r\n$$(1,0),\\quad (1,b_1),\\quad (2,b_1),\\quad (2,b_2),\\quad (3,b_2),\\quad \\ldots,\\quad (N+1,b_{N}),\\quad (N+1,N+2)$$\r\nを通るような $(1,0)$ から $(N+1,N+2)$ への最短経路は，常に領域 $y\\le x+1$ 内を通る．従って，$\\\\{b_n\\\\}$ の数とこのような経路の数は等しい．このような経路の数は，$(-1,0)$ から $(N+1,N+2)$ まで領域 $y\\le x+1$ 内を通って行く最短経路のうち，$(0,1)$ を通らない経路の数と一致するので，Catalan数 $C_n = \\dfrac{2n!}{(n+1)!\\ n!}$ を用いて $C_{N+2} - C_{N+1}$ と表せる．\r\n\r\n- $b_1 = 3$ の場合\\\r\n　$b_1\\le b_2 \\le 3$ より $b_2 = 3$ であることに注意すると，上の場合と同様にして，$(2,3)$ から $(N+1,N+2)$ へ領域 $y\\le x+1$ 内を通っていく最短経路の数を求めればよく，これは $C_{N-1}$ である．\r\n\r\n　以上より，\r\n$$X = C_{N+2} - C_{N+1} + C_{N-1} = \\frac{(2N-2)!(N+1)(49N^2 + 5N - 6)}{(N-1)!(N+3)!}$$\r\nであるから，$11$ 桁の素数は $49N^2 + 5N - 6$ の約数である．\r\n$49N^2 + 5N - 6 = 2\\times3\\times81666749999$ と素因数分解されるので，$\\bf81666749999$ が求める答えである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6880" } ]

[ { "content": "　$P = 2752752752753$ とおき，$1001^{11011011011011} = (7 \\cdot 11 \\cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数 $d$ のうち $f(d)$ が $4$ で割って $0, 1, 2, 3$ 余るものの総和をそれぞれ $A, B, C, D$ とおく．ここで複素数 $z$ を\r\n$$z = (1 + 7i + \\cdots + (7i)^{4P - 1})(1 + 11i + \\cdots + (11i)^{4P - 1})(1 + 13i + \\cdots + (13i)^{4P - 1})$$\r\n\r\nと定めれば，\r\n$$z = (A - C) + (B - D)i$$\r\n\r\nが成り立つ．\\\r\n　各 $p \\in \\\\{7, 11, 13\\\\}$ に対し，\r\n$$1 + pi + \\cdots + (pi)^{4P - 1} = (1 + pi) \\cdot \\dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2}$$\r\nであり，Fermatの小定理を用いることで，\r\n$$\\dfrac{1 - p^{4P}}{1 + p^2} \\equiv \\dfrac{1 - p^4}{1 + p^2} = 1 - p^2 \\pmod{P}$$\r\nであるから，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nA - C &\\equiv \\mathrm{Re}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \\times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\\\\\\\\r\n&= (-310) \\times (-48) \\times (-120) \\times (-168) \\\\\\\\\r\n&= 299980800 \\pmod{P} \\\\\\\\\r\nB - D &\\equiv \\mathrm{Im}((1 + 7i)(1 + 11i)(1 + 13i)) \\times (1 - 7^2)(1 - 11^2)(1 - 13^2) \\\\\\\\\r\n&= (-970) \\times (-48) \\times (-120) \\times (-168) \\\\\\\\\r\n&= 938649600 \\pmod{P}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nが成り立つ．\\\r\n　一方で，各 $p \\in \\\\{7, 11, 13\\\\}$ に対し，再びFermatの小定理を適用させることで\r\n$$1 + p + \\cdots + p^{4P - 1} = \\dfrac{p^{4P} - 1}{p - 1} \\equiv \\dfrac{p^4 - 1}{p - 1} = (p + 1)(p^2 + 1) \\pmod{P}$$\r\n\r\nが得られるので，$(7 \\cdot 11 \\cdot 13)^{4P-1}$ の正の約数の総和 $A + B + C + D$ について\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nA + B + C + D &\\equiv (7 + 1)(7^2 + 1)(11 + 1)(11^2 + 1)(13 + 1)(13^2 + 1) \\\\\\\\\r\n&= 1393728000 \\pmod{P}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nが成り立つ．以上より，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS &= B + C \\\\\\\\\r\n&= \\dfrac{(A + B + C + D) - (A - C) + (B - D)}{2} \\\\\\\\\r\n&\\equiv \\dfrac{1393728000 - 299980800 + 938649600}{2} = \\mathbf{1016198400} \\pmod{P}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667" }, { "content": "　 $p=2752752752753$ とし，特に断りのない場合，合同式の法は全て $p$ とする．\\\r\n　 $x$ の多項式 $f(x)$ について，次数を $4$ で割った余りが $0,1,2,3$ となる項の係数の総和をそれぞれ $A,B,C,D$ とする．このとき，以下の等式が成り立つ．（ $i$ は虚数単位）\r\n\r\n$$A=\\dfrac{1}{4}(1^0\\times f(1)+i^0\\times f(i)+(-1)^0\\times f(-1)+(-i)^0\\times f(-i))$$\r\n$$B=\\dfrac{1}{4}(1^3\\times f(1)+i^3\\times f(i)+(-1)^3\\times f(-1)+(-i)^3\\times f(-i))$$\r\n$$C=\\dfrac{1}{4}(1^2\\times f(1)+i^2\\times f(i)+(-1)^2\\times f(-1)+(-i)^2\\times f(-i))$$\r\n$$D=\\dfrac{1}{4}(1^1\\times f(1)+i^1\\times f(i)+(-1)^1\\times f(-1)+(-i)^1\\times f(-i))$$\r\n\r\n　本問では， $f(x)=\\dfrac{(7x)^{4p}-1}{7x-1}\\times\\dfrac{(11x)^{4p}-1}{11x-1}\\times\\dfrac{(13x)^{4p}-1}{13x-1}$ としたときの $S=B+C$ を答えればよい．\\\r\n　これは， $g(x)=(x^2+x^3)f(x)$ とすると， $S=\\dfrac{1}{4}(g(1)+g(i)+g(-1)+g(-i))$ である．\\\r\n　また， $p$ は $4$ で割って $1$ 余る素数より， $n^2\\equiv -1 (\\bmod p)$ なる整数 $n$ が存在するから，それぞれFermatの小定理より，\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\ng(1)&= 2\\times\\dfrac{7^{4p}-1}{7-1}\\times\\dfrac{11^{4p}-1}{11-1}\\times\\dfrac{13^{4p}-1}{13-1} \\\\\\\\\r\n&\\equiv 2\\times\\dfrac{7^4-1}{7-1}\\times\\dfrac{11^4-1}{11-1}\\times\\dfrac{13^4-1}{13-1} \\\\\\\\\r\n&\\equiv 2787456000\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\ng(i)&= (-1-i)\\times\\dfrac{(7i)^{4p}-1}{7i-1}\\times\\dfrac{(11i)^{4p}-1}{11i-1}\\times\\dfrac{(13i)^{4p}-1}{13i-1} \\\\\\\\\r\n&\\equiv (-1-i)\\times\\dfrac{(7i)^4-1}{7i-1}\\times\\dfrac{(11i)^4-1}{11i-1}\\times\\dfrac{(13i)^4-1}{13i-1} \\\\\\\\\r\n&= (-1-i)\\times 48(-1-7i)\\times 120(-1-11i)\\times 168(-1-13i) \\\\\\\\\r\n&= 967680(1+i)(1+7i)(1+11i)(1+13i) \\\\\\\\\r\n&= 967680(660-1280i)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\ng(-1)&= 0\\times\\dfrac{(-7)^{4p}-1}{-7-1}\\times\\dfrac{(-11)^{4p}-1}{-11-1}\\times\\dfrac{(-13)^{4p}-1}{-13-1} \\\\\\\\\r\n&= 0\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\ng(-i)&= \\overline{g(i)} \\\\\\\\\r\n&\\equiv 967680(660+1280i)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n　よって，\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nS&= \\dfrac{1}{4}(g(1)+g(i)+g(-1)+g(-i)) \\\\\\\\\r\n&\\equiv \\dfrac{1}{4}(2787456000+967680(660-1280i)+0+967680(660+1280i)) \\\\\\\\\r\n&= \\mathbf{1016198400}\r\n\\end{aligned}\r\n$$", "text": "多項式（形式的冪級数）を用いた解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667/369" }, { "content": "　$P=2752752752753$ とする．$11011011011011=4P-1$ である．\\\r\n　$N$ の正の約数 $d$ であって，$f(d)$ を $4$ で割った余りが $1$ または $2$ となるものの総和を $g(N)$ で表す（$S=g(1001^{4P-1})$ である）．このとき，$S=g(1001^{4P-1}) \\equiv g(1001^3) \\mod P$ であることを示す．\\\r\n$f(7^{(4k+a)} \\ 11^{(4l+b)} \\ 13^{(4m+c)}) \\equiv f(7^a \\ 11^b \\ 13^c) \\mod 4$ であることに注目すると，次のように計算できる．\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS & = g(1001^3)(1+7^4+ \\cdots + 7^{4(P-1)}) (1+11^4+ \\cdots + 11^{4(P-1)}) (1+13^4+ \\cdots + 13^{4(P-1)}) \\\\\\\\\r\n& = g(1001^3) \\dfrac{7^{4P}-1}{7^4-1}\\cdot \\dfrac{11^{4P}-1}{11^4-1}\\cdot \\dfrac{13^{4P}-1}{13^4-1} \\\\\\\\\r\n& \\equiv g(1001^3)\r\n\\end{aligned}$$\r\n最後の合同式では，Fermat の小定理を用いた．\\\r\n　よって以下，$g(1001^3)$ の値を求めることが目標となる．（なお，$1001^3$ の約数の総和は，高々 $1001^3×\\frac{7}{6}×\\frac{11}{10}×\\frac{13}{12} \\lt 2×1001^3 \\lt 10^{10} \\lt P$ より，$g(1001^3)$ が求めるべき解である．）\\\r\n　$1001^3$ の正の約数は $64$ 個なので，あとは，$64$ 個以下の整数の和を求めればよいことになる．多少の時間があれば計算可能である．\r\n\r\n　ここでは，$f(d)$ の値によって分けて考える．\\\r\n(i) $f(d)=1$ のとき：$7+11+13=31$\\\r\n(ii) $f(d)=2$ のとき：$7^2+11^2+13^2+7 \\cdot 11+11 \\cdot 13 +13 \\cdot 7=650$\\\r\n(iii) $f(d)=5$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．\\\r\n$7 \\cdot 11 \\cdot 13(7^2+11^2+13^2+7 \\cdot 11+11 \\cdot 13 +13 \\cdot 7)+7^2 \\ 11^2 (7+11)+11^2 \\ 13^2 (11+13)+13^2 \\ 7^2 (13+7)=1413768$\\\r\n$(7^2 \\ 11^2+11^2 \\ 13^2+13^2 \\ 7^2)(7+11+13)+7 \\cdot 11 \\cdot 13 (7^2+11^2+13^2)=1413768$\\\r\n(iv) $f(d)=6$ のとき：次のいずれかの式から考えるのがよい．\\\r\n$7^3 \\ 11^3 +11^3 \\ 13^3 + 13^3 \\ 7^3 + 7 \\cdot 11 \\cdot 13 (7^2 \\ 11+7^2 \\ 13 +11^2 \\ 13 + 11^2 \\ 7+ 13^2 \\ 7+13^2 \\ 11)+7^2 \\ 11^2 \\ 13^2=11780950$\\\r\n$(7^2 \\ 11^2+11^2 \\ 13^2+13^2 \\ 7^2)( 7 \\cdot 11+11 \\cdot 13 +13 \\cdot 7)+7^2 \\ 11^2 \\ 13^2=11780950$\\\r\n(v) $f(d)=9$ のとき：$7^3 \\ 11^3 \\ 13^3=1003003001$\\\r\nよって，以上の和を計算して，$\\mathbf{1016198400}$ が解答である．", "text": "がんばって計算する方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc194/editorial/6667/375" } ]

[ { "content": "　以下の場合分けより求める答えは $\\bf{17390}$ である．\r\n\r\n- $m\\le 4$ の場合\\\r\n順に確かめることで $m =1,3$ の $2$ 個が条件を満たすことが分かる．\r\n\r\n- $m \\ge 5$ の場合\\\r\n$T(m)$ は $10$ の倍数であるから，$2S(m)=m(m+1)$ が $20$ の倍数になるような $m$ の数を求めれば良く，これは $m\\equiv 0,4,15,19\\mod{20}$ と同値．したがって $5 \\leq m\\leq 86939(=4347\\cdot 20-1)$ の範囲には $4347\\cdot 4-2$ 個，$86940 \\leq m\\leq 86952$ の範囲に $2$ 個あるので条件を満たす $m$ は $17388$ 個ある．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/4217" } ]

[ { "content": "　$ \\log_{a}{b}+\\log_{a}{c}=\\log_{a}{bc} $ に留意すると，条件は $bc$ が $a$ の正の整数乗であることと同値であり，これを満たす組 $(a,b,c)$ は次の $23$ 個である． \r\n$$\\begin{aligned}\r\n&(2,1,2),(2,2,1),(2,1,4),(2,2,2),(2,4,1),(2,2,4),(2,4,2),(2,4,4),\\\\\\\\\r\n&(3,1,3),(3,3,1),(3,3,3),\\\\\\\\\r\n&(4,1,4),(4,2,2),(4,4,1),(4,4,4),\\\\\\\\\r\n&(5,1,5),(5,5,1),(5,5,5),\\\\\\\\\r\n&(6,1,6),(6,2,3),(6,3,2),(6,6,1),(6,6,6)\r\n\\end{aligned}$$\r\nよって求めたい確率は $\\dfrac{23}{6^3}$ であり，特に解答すべき値は $\\textbf{239}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/3521" } ]

[ { "content": "　一辺の長さが $28$ の正三角形 $DEF$ において，それぞれ辺 $DE,EF,FD$ 上にある点 $X,Y,Z$ が\r\n$$DX=14,\\quad EY=16,\\quad FZ=16$$\r\nをみたすとき，三角形 $PQR$ は三角形 $XYZ$ と合同である．よって，その面積は\r\n$$\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\times\\lbrace28\\times28-(12\\times14+14\\times16+12\\times16) \\rbrace =50\\sqrt{3}=\\sqrt{\\textbf{7500}}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861" }, { "content": "　余弦定理より，\r\n $$PQ = \\sqrt{14^2 + 16^2 - 2 \\cdot 14 \\cdot 16 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\sqrt{228} \\\\\\\\\r\nPR = \\sqrt{14^2 + 12^2 - 2 \\cdot 14 \\cdot 12 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\sqrt{172} \\\\\\\\\r\nQR = \\sqrt{16^2 + 12^2 - 2 \\cdot 16 \\cdot 12 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\sqrt{208}$$ \r\nである．\r\n\r\n　ヘロンの公式亜種([参照](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc189\\/editorial\\/4875\\/344))より，求めるべき値は，三角形 $PQR$ の面積が\r\n $$\\frac{\\sqrt{2(228 \\cdot 172 + 172 \\cdot 208 + 208 \\cdot 228) - (228^2 + 172^2 + 208 ^2)}}{4} = \\frac{\\sqrt{120000}}{4} = \\sqrt{7500}$$ \r\nとなることより $\\textbf{7500}$ である．", "text": "計算で求める方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861/368" }, { "content": "　余弦定理より，\r\n- $PQ^2 = 14^2 + 16^2 - 2 \\cdot 14 \\cdot 16 \\cdot \\cos 60^{\\circ} = 228$\r\n- $PR^2 = 14^2 + 12^2 - 2 \\cdot 14 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60^{\\circ} = 172$\r\n\r\nとなる．ここで，$\\overrightarrow{OA}, \\overrightarrow{OB}, \\overrightarrow{OC}$ と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ $\\overrightarrow{\\vphantom{b}a}, \\overrightarrow{b}, \\overrightarrow{\\vphantom{b}c}$ とすると，\r\n$$\\overrightarrow{\\vphantom{b}a} \\cdot \\overrightarrow{b} = \\overrightarrow{b} \\cdot \\overrightarrow{\\vphantom{b}c} = \\overrightarrow{\\vphantom{b}c} \\cdot \\overrightarrow{\\vphantom{b}a} = 1 \\cdot 1 \\cdot \\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2}$$\r\nが成立する．このとき，\r\n$$ \\overrightarrow{PQ} \\cdot \\overrightarrow{PR} = (16\\overrightarrow{b} - 14\\overrightarrow{\\vphantom{b}a}) \\cdot (12\\overrightarrow{\\vphantom{b}c} - 14\\overrightarrow{\\vphantom{b}a}) = 96$$\r\nとなるから，三角形 $PQR$ の面積の $2$ 乗は\r\n$$\\dfrac{1}{4} \\Bigl\\\\{ |\\overrightarrow{PQ}|^2 |\\overrightarrow{PR}|^2 - (\\overrightarrow{PQ} \\cdot \\overrightarrow{PR})^2 \\Bigr\\\\} = \\dfrac{1}{4} (228 \\cdot 172 - 96^2) = \\mathbf{7500}$$\r\nと求まる．", "text": "ベクトルで求める方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/2861/371" } ]

[ { "content": "　左から $i$ 個目の石が良い石となるような並べ方の個数を $f(i)$ とする．このとき，求める値は $f(1)+f(2)+\\cdots+f(12)$ に等しい．\\\r\n　$i$ が奇数のときは明らかに $f(i)=0$，$i$ が偶数のときは $f(i)={}\\_{i}\\mathrm{C}\\_{i\\/2}\\times\\_{12-i}\\mathrm{C}\\_{6-i\\/2}$ となる．よって，求める答えは\r\n$$\\sum_{k=1}^6 {}\\_{2k} \\mathrm{C}\\_k×\\_{12-2k}\\mathrm{C}\\_{6-k}=\\mathbf{3172}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/6525" } ]

[ { "content": "　$\\displaystyle a_n = \\frac{180(n-2)}{n}$ であるので次が成り立つ．\r\n$$\\displaystyle P_n = \\sqrt{\\frac{180\\cdot 1}{3}\\cdot\\frac{180\\cdot 2}{4}\\cdots\\frac{180\\cdot (n-3)}{n-1}\\cdot\\frac{180\\cdot (n-2)}{n}}=\\sqrt{\\frac{2\\cdot 180^{n-2}}{n(n-1)}}$$\r\n\r\n　まずは $n$ は偶数であるとする．$2 \\leq k \\leq 250$ である整数 $k$ を用いて $n = 2k$ とおく．すると，\r\n$$P_{2k} = \\frac{{180}^{k - 1}}{\\sqrt{k(2k-1)}}$$\r\nと表され，これが有理数となる必要十分条件は $k(2k-1)$ が平方数となることである．$k$ と $2k-1$ は互いに素であるので，この $2$ つはいずれも平方数である．したがって $2m^2-1$ が平方数となるような $2$ 以上の整数 $m$ を求める問題に帰着され，$k=m^2\\leq 250$ の範囲では $m=5$ のみが条件を満たす．このとき $n=50$ である．\\\r\n　次に $n$ は奇数であるとする．$1 \\leq k \\leq 249$ である整数 $k$ を用いて $n = 2k + 1$ とおく．すると，\r\n$$P_{2k+1} = 6 \\cdot {180}^{k-1} \\cdot \\sqrt{\\frac{5}{k(2k+1)}}$$\r\nと表され，これが有理数となる必要十分条件は $k(2k+1)$ が平方数の $5$ 倍となることである．$k$ と $2k+1$ は互いに素であるので，どちらかが平方数であり，もう一方が平方数の $5$ 倍となる． $k$ が平方数だとすると $k\\equiv 0,1,4\\mod 5$ より $2k+1\\equiv 1,3,4\\mod 5$ であり，$2k+1$ は平方数の $5$ 倍にはなり得ない．したがって $k$ は平方数の $5$ 倍であるので，$10m^2+1$ が平方数となるような正の整数 $m$ を求める問題に帰着され，$k=5m^2\\leq 249$ の範囲では $m=6$ のみが条件を満たす．このとき $n=361$ である．\r\n\r\n　以上より，解答すべきは $50+361=\\mathbf{411}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/4752" } ]

[ { "content": "　$0, 2 ,3, 5, 7, 11$ の目が出る確率をそれぞれ $\\dfrac{n_0}{5555}, \\dfrac{n_2}{5555}, \\dfrac{n_3}{5555}, \\dfrac{n_5}{5555}, \\dfrac{n_7}{5555}, \\dfrac{n_{11}}{5555}$ と表す．\\\r\n$i,j\\in\\\\{2,3,5,7,11\\\\}$ として，\r\n$$S=\\sum_{i}\\Big(\\frac{i n_i}{5555}\\Big)^2,　T=\\sum_{i\\neq j}\\frac{i n_i}{5555}\\cdot\\frac{j n_j}{5555}$$\r\nなので以下が成り立つ．\r\n$$5555^2 (4S - T) =4 \\sum_{i}(in_i)^2-\\sum_{i\\neq j}(in_i)\\cdot(j n_j)=\\sum_{i\\gt j}(in_i-jn_j)^2\\geq 0$$\r\nしたがって $\\dfrac{T}{S} \\leq 4$ であり，等号成立は，\r\n$$2n_2 = 3n_3 = 5n_5 = 7n_7 = 11n_{11}$$\r\nのとき，つまり，\r\n$$n_2 : n_3 : n_5 : n_7 : n_{11} = 1155 : 770 : 462 : 330 : 210$$\r\nのときなので，$n_2 + n_3 + n_5 + n_7 + n_{11} \\lt 5555$ に注意すれば\r\n$$(n_0, n_2, n_3, n_5, n_7, n_{11}) = (2628, 1155, 770, 462, 330, 210)$$\r\nのときのみ $\\dfrac{T}{S} = 4$ になることが分かり，特に $n = \\mathbf{2628}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/6328" }, { "content": "　$S+T$ が綺麗になることに着目して、Radonの不等式を利用する方針です．(Radonの不等式についてはOMC162(C)のユーザー解説を参照) \r\n $$\\dfrac{T}{S}=\\dfrac{S+T}{S}-1=\\dfrac{{(2n_2+\\cdots+11n_{11})}^2}{2^2{n_2}^2+\\cdots+11^2{n_{11}}^2}-1\\leq\\dfrac{{(2n_2)}^2}{2^2{n_2}^2}+\\cdots+\\dfrac{{(11n_{11})}^2}{11^2{n_{11}}^2}-1=4$$であり，等号成立条件は $2n_2:2^2{n_2}^2=\\cdots=11n_{11}:11^2{n_{11}}^2$ つまり $n_2:\\cdots:n_{11}=\\dfrac{1}{2}:\\cdots:\\dfrac{1}{11}$ である． \r\n　あとは公式解説と同様にして等号が成り立つ $n_0,n_2,\\ldots,n_{11}$ を求めればよい．", "text": "Radonの不等式", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc193/editorial/6328/374" } ]

[ { "content": "　対称性から $x^2+2yz,y^2+2zx,z^2+2xy$ それぞれの総和は等しいので，条件を満たすように $x,y,z$ が動くときの\r\n$$(x^2+2yz)+(y^2+2zx)+(z^2+2xy) = (x+y+z)^2=40000$$\r\nの総和を $3$ で割った値が求める答えとなる．条件を満たす $x,y,z$ の組の数は ${}\\_{202}\\mathrm{C}\\_{2}=20301$ であるので，求める答えは\r\n$$\\frac{20301×40000}3=\\mathbf{270680000}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7141" } ]

[ { "content": "　$16$ 数 $a_0, a_1, …, a_7, b_0, b_1, …, b_7$ のうち $4$ つにまず $6, 7$ を割り当てる方法は $4$ 通りあるが，その中で唯一 $\r\na_7 \\leq 5$ を満たすものは以下の場合である．\r\n$$a_0 = b_7 = 7，a_6 = b_0 = 6$$\r\n\r\n$A$ が最小の状況を調べる上では，この場合を仮定し条件を満たす数の割り当てが見つけられれば十分であるので，まずはこれを仮定しよう．\\\r\n　ここで，以下 $2$ つの事実が得られる．\r\n- $a_n b_n = 0$ なる $n$ はちょうど $1$ つである．\r\n- $a_m = b_n$ かつ $a_n = b_m$ なる $m, n\\ (m \\neq n)$ は存在しない． \r\n\r\nこのことから $a_0 b_0, a_1 b_1, …, a_7 b_7$ の中に重複があるとすれば，その値は $1 \\times 6 = 2 \\times 3 = 6$ または $2 \\times 6 = 3 \\times 4 = 12$ であることが分かる．特に $a_6 b_6$ は $6, 12$ のいずれかとならざるを得ないので，これより $b_6$ のとり得る値は $1, 2$ のいずれかに絞られる．すると $a_7 = b_2 = 5$ が従い，また，値が $4$ となる変数の組み合わせは $a_1, b_5$ または $a_5, b_1$ に限られる．\\\r\n　ここで $a_5 = b_1 = 4$ であるとすると，$a_4 = b_6 = 2$，$a_3 = b_3 = 0$ が順次従う．この時点で値が確定していない変数は $a_1, a_2, b_4, b_5$ の $4$ つであるが，この中の $2$ つに $1$ を割り当てるのは不可能である．よってこれは不適である．\\\r\n　一方で $a_1 = b_5 = 4$ であるとすると，$a_4 = b_1 = 3$，$a_5 = b_6 = 1$ が順次従い，さらに $a_3 = b_3 = 0$，$a_2 = b_4 = 2$ も確定する．これは $a_4 b_4 = a_6 b_6 = 6$ を確かに満たしており，条件を満たす $16$ 数が確定したことになる．このとき $A = \\mathbf{56130247}$ であり，これが求める最小値である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6978" } ]

[ { "content": "　$S = p + q + r + s + t + u + v + w$ とおく．与えられた等式を変形することで，\r\n$$\\frac{p^2 - 145}{t} = \\frac{q^2 - 145}{u} = \\frac{r^2 - 145}{v} = \\frac{s^2 - 145}{w}$$\r\nが得られる．$p \\leq 11$ のときは $\\dfrac{p^2 - 145}{t} \\lt \\dfrac{q^2 - 145}{u}$ となるので $p \\geq 13$ が必要である．つまり与えられた $8$ つの素数はすべて $13$ 以上である．\\\r\n　一般に $2$ でも $3$ でも割り切れない整数 $n$ はすべて，$n^2$ を $24$ で割ると余りが $1$ となることが確かめられる．このことから，$13$ 以上の素数から正整数への関数 $F$ を以下のように定めることができる．\r\n$$F(x) = \\frac{x^2 - 145}{24}$$\r\n\r\n　$F(p), F(q), F(r), F(s)$ の最大公約数を $g$ としたとき，$F(p) : F(q) : F(r) : F(s) = t : u : v : w$ より\r\n$$F(p) = gt, \\quad F(q) = gu, \\quad F(r) = gv, \\quad F(s) = gw$$\r\nであることが分かる．また，$13$ 以上の素数から相異なる $5$ つを選んだとき，これらの最大値と最小値の差の絶対値は $12$ 以上であることが確かめられるので，$t \\geq p + 12$ が成り立ち，したがって $F(p) \\geq g(p + 12)$ が得られる．\\\r\n　$g = 1$ のとき，不等式 $F(p) \\geq p + 12$ を満たす $p$ の範囲は $p \\geq 37$ であり，$F(p), F(q), F(r), F(s)$ はいずれも素数となる必要がある．そこで $37$ 以上の素数 $x$ であって $F(x)$ が素数となるものを小さい順に列挙すると $43, 59, 61, 67, ...$ であり，\r\n$$F(43) = 71,\\quad F(59) = 139,\\quad F(61) = 149,\\quad F(67) = 181$$\r\nが成り立つ．よって\r\n$$(p, q, r, s, t, u, v, w) = (43, 59, 61, 67, 71, 139, 149, 181)$$\r\n\r\nは，$g = 1$ で条件を満たす組のうち $S$ が最小となるものであり，このとき $S = 770$ である．\\\r\n　$g = 2$ のとき，不等式 $F(p) \\geq 2(p + 12)$ を満たす $p$ の範囲は $p \\geq 61$ であり，$F(p)$ は素数の $2$ 倍となる必要があるが，$F(x)$ が素数の $2$ 倍となるような $61$ 以上の素数 $x$ のうち最も小さいのは $x = 79$ であり，$F(79) = 2 \\times 127$ が成り立つ．したがってこの場合では $p \\geq 79, t \\geq 127$ が必要となるので，\r\n$$S \\geq 79 + 83 + 89 + 97 + 127 + 131 + 137 + 139 \\gt 770$$\r\n\r\nである．$g \\geq 3$ のときについては $F(p) \\geq 3(p + 12)$ であるから $p \\geq 89$ が必要となるため，\r\n$$S \\geq 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 \\gt 770$$\r\n\r\nが得られる．\\\r\n　以上より，$S$ の最小値は $\\mathbf{770}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6235" } ]

[ { "content": "　$BO_1 = CO_1 = DO_1$ と直線 $O_1O_2$ が面 $BCD$ と垂直であることより，$BO_2 = CO_2 = DO_2$ が分かる．これを $d$ とすれば，$B,C,D$ から四面体 $APQR$ の外接球への方べきを考えると\r\n$$d^2 - AO_2^2 = BP\\times AB = CQ\\times AC = DR\\times AD$$\r\nが分かる．これらの値は全て $BP\\times AB = 60$ に等しいので，$CQ = \\dfrac{15}{4},DR = \\dfrac{20}{7}$ を得る．よって，常に\r\n$$\\frac{V_2}{V_1}\r\n= \\frac{AP\\times AQ \\times AR}{AB\\times AC\\times AD}\r\n= \\frac{AP(AC-CQ)(AD-DR)}{AB\\times AC\\times AD}\r\n= \\frac{1397}{2880}$$\r\nであると分かる．特に，解答すべき値は $\\bf{4277}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7188" } ]

[ { "content": "　$2$ つの複素数 $s, t$ であって\r\n$$s + t = 2b，s^2 + t^2 = 2a$$\r\nを満たすものを考えると，\r\n$$st = \\frac{(s + t)^2 - (s^2 + t^2)}{2} = 2b^2 - a$$\r\nが成り立つので，問題にある方程式は\r\n$$x^4 + (s + t)x^3 + (s + t + st)x^2 + (s^2 + t^2)x + st = 0$$\r\nと表すことができ，これを因数分解すると\r\n$$(x^2 + sx + t)(x^2 + tx + s) = 0 \\tag{1}$$\r\nとなる．ここで $2$ つの $2$ 次式\r\n$$f(x) = x^2 + sx + t，g(x) = x^2 + tx + s$$\r\nを定め，$f(x), g(x)$ の判別式をそれぞれ $D_f, D_g$ とおこう．\\\r\n　$|b| \\gt \\sqrt{a}$ のときは $s, t$ がともに虚数であることが確かめられるので，$f(x), g(x)$ はいずれも実根をたかだか $1$ 個しかもたず，不適である．また，$|b| = \\sqrt{a}$ のときは $s = t$ なので $f(x)$ と $g(x)$ は同一の式となり，この場合も不適である．以後 $|b| \\lt \\sqrt{a}$ とする．このとき $s, t$ は相異なる実数である．\\\r\n　方程式 $(1)$ がちょうど $3$ つの実数解をもつには以下 $2$ つのうちどちらかを満たさなければならない．\r\n- **条件 1.** $f(x), g(x)$ は共通の実根をもつ．\r\n- **条件 2.** $D_f, D_g$ のうち一方は $0$ である．\r\n\r\n$f(x) = g(x)$ なる実数 $x$ は $x = 1$ に限るので，条件 1.を満たすには $s + t = -1$，つまり $b = -\\dfrac{1}{2}$ が必要である．条件 2.を満たす場合，変数 $s, t$ の対称性から $D_f = 0$ の場合のみを考えればよく，このとき\r\n$$D_f = s^2 - 4t = -t^2 - 4t + 2a = 0$$\r\nであることと $|t| \\leq \\sqrt{s^2 + t^2} = \\sqrt{2a}$ から $t = \\sqrt{2a + 4} - 2$ が得られる．したがって $\\alpha = \\sqrt{2a + 4} - 2$ とおき，$\\alpha^2 + \\beta^2 = 2a$ なる正の実数 $\\beta$ を定めれば，条件 2.を満たすには $b = \\dfrac{\\alpha \\pm \\beta}{2}$ が必要であることがわかる．\\\r\n　これらのことから，$f(x)g(x)$ が実根を $3$ つもつような $b$ の値となり得るのは\r\n$$- \\frac{1}{2}，\\frac{\\alpha + \\beta}{2}，\\frac{\\alpha -\\beta}{2}$$\r\nの $3$ 通りである．したがってこのような $b$ が $3$ つ存在するならばその積は\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n-\\frac{1}{2} \\times \\frac{\\alpha + \\beta}{2} \\times \\frac{\\alpha - \\beta}{2} &= - \\frac{\\alpha^2 - \\beta^2}{8} = - \\frac{\\alpha^2 - a}{4} \\\\\\\\\r\n&= - \\frac{a + 8 - 4\\sqrt{2a + 4}}{4} \\\\\\\\\r\n&= - \\frac{(\\sqrt{a + 2} - 2\\sqrt{2})^2 - 2}{4}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nと表される．これが $-1200$ となるとき，\r\n$$(\\sqrt{a + 2} - 2\\sqrt{2})^2 = 4802$$\r\nから\r\n$$\\sqrt{a + 2} = 2\\sqrt{2} + 49\\sqrt{2} = 51\\sqrt{2}$$\r\nが得られ，ゆえに\r\n$$a = 51^2 \\times 2 - 2 = \\mathbf{5200}$$\r\nである．逆に $a = 5200$ が条件を満たすことは，次のように確かめられる．\r\n---\r\n　$a = 5200$ のときは $\\alpha = 100, \\beta = 20$ であり，$b = - \\dfrac{1}{2}, 40, 60$ のそれぞれの場合で $f(x)g(x)$ を調べると以下のようになり，いずれの場合も確かに実根を $3$ つもつことがわかる．\r\n- $b = -\\dfrac{1}{2}$ のときは\r\n$$f(x)g(x) = (x-1)^2(x^2 + x - \\frac{10399}{2})$$\r\n- $b = 40$ のときは\r\n$$f(x)g(x) = (x - 10)^2(x^2 + 100x - 20)$$\r\n- $b = 60$ のときは\r\n$$f(x)g(x) = (x + 10)^2(x^2 + 100x + 20)$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7146" }, { "content": "　公式解説の $s,t$ の設定が唐突に見えるかもしれないが，式を $a,b$ で整理して平方完成を意識すると見通しが立ちやすい．すなわち\\\r\n$$x^4+2bx^3+(2b^2+2b-a)x^2+2ax+2b^2-a=0$$\r\n$$\\rArr a(x-1)^2=(x^2+bx+b)^2+b^2(x-1)^2$$\r\n$$\\rArr (x^2+bx+b)^2=(a-b^2)(x-1)^2$$\r\n$$\\rArr \\big(x^2+(b+\\sqrt{a-b^2})x+b-\\sqrt{a-b^2}\\big)\\big(x^2+(b-\\sqrt{a-b^2})x+b+\\sqrt{a-b^2}\\big)=0$$\r\nとなるので，$x^2+(b+\\sqrt{a-b^2})x+b-\\sqrt{a-b^2}=0$ と $x^2+(b-\\sqrt{a-b^2})x+b+\\sqrt{a-b^2}=0$ が共通解を一つ持つ，もしくはどちらか一方だけ重解を持つ場合を検討すれば良い．以降は公式解説の通り．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/7146/367" } ]

[ { "content": "　$\\omega_2$ と辺 $AB, AC$ の交点のうち $A$ でない方ををそれぞれ $P,Q$ とし，$\\angle BAC$ の二等分線を $\\alpha$ とする．中心を点 $A$，半径を $\\sqrt{AB\\times AQ} = \\sqrt{AC\\times AP}$ とする反転を行った後に直線 $\\alpha$ に関して対称移動させる操作を行うと，直線 $BC$ と $\\omega_2$，直線 $PQ$ と $\\Omega$ がそれぞれ移り合う．従って，$\\omega_1$ に上記操作を行なって得られる円は四角形 $BCQP$ に内接する．よって，$BC+PQ=PB+QC$ から \r\n$$AP+AQ+PQ=AB+AC-BC$$\r\nを得る．また，三角形 $ABC$ と三角形 $APQ$ の相似比は $12345:6789$ であるから，\r\n$$\\dfrac{AB+AC}{BC} =\\dfrac{12345+6789}{12345-6789}=\\dfrac{3189}{926}$$\r\nとなる．ここで，\r\n$$2FM=|BF-CF|=\\frac {|BF^2-CF^2|} {BF+CF} =\\frac {|AB^2-AC^2|} {BC} =|AB-AC| \\cdot \\frac {AB+AC} {BC} $$\r\nであり，$|AB-AC|=|BD-CE|=100$ より $FM=\\dfrac{79725}{463}$ となる．特に解答すべき値は $\\mathbf{80188}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6935" }, { "content": "　角 $A$ 内の傍接円と $BC$ の接点を $P$ とし， $PQ$ が角 $A$ 内の傍接円の直径となる点 $Q$ を取る．\\\r\n　 $\\Omega$ ， $\\omega_2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径をそれぞれ $R,r,r_A$ とする．\\\r\n　中心を点 $A$ ，半径を $\\sqrt{AB\\times AC}$ とする反転を行った後， $∠BAC$ の二等分線に関して対称移動する操作を行うと， $\\Omega$ は直線 $BC$ に， $\\omega_2$ は角 $A$ 内の傍接円の $Q$ での接線に移る．したがって， $r:R=AF:AF+2r_A$ ．（詳しくはSchwarzeKatze9さんの記事が参考になります． https:\\/\\/mathlog.info\\/articles\\/3944 ）\\\r\n　 $|BD-CE|$ を $R,A,B-C$ で表すと，\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n|BD-CE|&=|AC-AB| \\\\\\\\\r\n&=|2R\\sin B-2R\\sin C| \\\\\\\\\r\n&=2R\\left|2\\cos \\dfrac{B+C}{2}\\sin \\dfrac{B-C}{2}\\right| \\\\\\\\\r\n&=4R\\sin \\dfrac{A}{2}\\sin \\dfrac{|B-C|}{2}\r\n\\end{aligned}\r\n$$ \r\n\r\n　すなわち $\\sin \\dfrac{A}{2}\\sin \\dfrac{|B-C|}{2}=\\dfrac{|BD-CE|}{4R}$ ．\r\n\r\n　また $r:R=AF:AF+2r_A$ より，\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\dfrac{R}{r}&=\\dfrac{AF+2r_A}{AF} \\\\\\\\\r\n&=1+\\dfrac{2\\times4R\\sin \\dfrac{A}{2}\\cos \\dfrac{B}{2}\\cos \\dfrac{C}{2}}{2R\\sin B\\sin C} \\\\\\\\\r\n&=1+\\dfrac{\\sin \\dfrac{A}{2}}{\\sin \\dfrac{B}{2}\\sin \\dfrac{C}{2}} \\\\\\\\\r\n&=1+\\dfrac{2\\sin \\dfrac{A}{2}}{\\cos \\dfrac{B-C}{2}-\\sin \\dfrac{A}{2}}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n　すなわち $\\dfrac{\\cos \\dfrac{B-C}{2}}{\\sin \\dfrac{A}{2}}=\\dfrac{R+r}{R-r}$ ．\r\n\r\n　よって，\r\n\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nFM&=\\dfrac{1}{2}|CF-BF| \\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{1}{2}|2R\\sin B\\cos C-2R\\sin C\\cos B| \\\\\\\\\r\n&=R\\sin |B-C| \\\\\\\\\r\n&=2R\\times \\sin \\dfrac{A}{2}\\sin \\dfrac{|B-C|}{2}\\times\\dfrac{\\cos \\dfrac{B-C}{2}}{\\sin \\dfrac{A}{2}} \\\\\\\\\r\n&=2R\\times \\dfrac{|BD-CE|}{4R}\\times \\dfrac{R+r}{R-r} \\\\\\\\\r\n&=\\dfrac{79725}{463}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n\r\n　より答えるべき値は $\\mathbf{80188}$ ．", "text": "三角関数を使った解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc192/editorial/6935/373" } ]

[ { "content": "　各位の値が互いに異なるような $4$ 桁の正整数において，各位の和は高々 $30$ である．したがって，条件をみたす数において，一の位と千の位の和は最大で $9$（$15$ 以下で最大の平方数）である．千の位から大きい数を入れることで，最大値は $\\mathbf{9810}$ であるとわかる．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/4771" } ]

[ { "content": "$$a^3-b^3-c^3+d^3=a^3-(a+1)^3-(a+2)^3+(a+3)^3=6(2a+3)$$\r\nに注意すれば，求める個数は $6\\times 5,6\\times 7,\\ldots,6\\times 1665$ の $\\textbf{831}$ 個である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3534" } ]

[ { "content": "　条件より $\\displaystyle\\lim_{x \\to -1} f(x) = 0$ および $\\displaystyle\\lim_{x \\to 4}f(x)=0$ が必要であるから，\r\n$$f(x)=\\alpha(x+1)(x-4)(x-\\beta)$$\r\nと表せ，このとき二つの条件は\r\n$$\\displaystyle\\lim_{x \\to -1}\\alpha(x-4)(x-\\beta)=\\frac{1}{2}, \\qquad \\displaystyle\\lim_{x \\to 4}\\alpha(x+1)(x-\\beta)=-3$$\r\nとなる．これを解いて $ \\alpha = -1\\/10 , \\beta = -2 $ がわかるから， \r\n$$\\begin{aligned}\\displaystyle\r\nf(x) & = -\\frac{1}{10}(x+1)(x+2)(x-4) \\\\\\\\\r\n& = -\\frac{1}{10}(x^3-x^2-10x-8) \\\\\\\\\r\n& = -\\frac{1}{10}x^3+\\frac{1}{10}x^2+x+\\frac{4}{5}.\r\n\\end{aligned}$$\r\n係数の総和は $\\dfrac{9}{5}$ となり，解答すべき値は $\\mathbf{14}$ である．\\\r\n　なお $f(x)$ の係数の総和が $f(1)$ に等しいことを利用すれば展開せずに済む．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3947" } ]

[ { "content": "　$p, q, r$ の大小関係を無視すれば，$p+q+r+89=pq$ および $p+q+r+89=pqr$ について考えればよい．\\\r\n　前者の場合，$(p-1)(q-1)=r+90$ と変形でき，$p, q, r$ の偶奇を考えれば $r=2$ がわかる．したがって\r\n$$(p-1)(q-1)=92$$\r\nを満たす $p, q$ を探索すれば，元の大小関係で $(p, q, r)=(2, 3, 47)$を得る．\\\r\n　後者の場合，$p, q, r$ のうちいずれか二つは偶数とわかるから，元の大小関係で $(p, q, r)=(2, 2, 31)$ を得る．\\\r\n　以上より，求める総積は $(2+3+47)\\times (2+2+31)=\\textbf{1820}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3086" } ]

[ { "content": "　任意の隣り合う $2$ マスについて，$A$ 君はその間の辺をちょうど $1$ 方向にしか横切れず，全ての辺は一方通行である．逆に $28$ 本の辺のどのような一方通行のパターンに対してもそれに対応する\"開\"・\"閉\"の初期状態が存在するため，$A$ 君が移動するごとに全ての辺の\"開\"・\"閉\"状態が入れ替わることは全ての辺が一方通行であることと同値である．したがって，$A$ 君が成功する経路が存在する一方通行のパターンを求めれば良い．\\\r\n　一番左の列の上下 $2$ マスについては，上から下へ移動，下から上へ移動のどちらか $2$ 通りであり，左から $2$ 列目〜右から $2$ 列目の $8$ 列について，\r\n- 上下のマス間の移動がなく一方通行が下から上向き\r\n- 上下のマス間の移動がなく一方通行が上から下向き\r\n- 上下のマス間の移動がある\r\n\r\nのいずれかをそれぞれ定めることで成功する経路を持つ一方通行のパターンが網羅されるので，求めるパターンの数は $2×3^8=$ $\\mathbf {13122}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/7421" } ]

[ { "content": "$$(AB+BC+CA) : BC = \\triangle ABC:\\triangle IBC = 2AR : PR = 14 : 5$$\r\nである．また，辺 $AB$ と $\\omega$ の接点を $E$ とすると，方べきの定理などから次が従う．\r\n$$AE:DR=\\sqrt{AP\\cdot AQ}:\\sqrt{PR\\cdot QR}=\\sqrt{254 \\times 875} : \\sqrt{14 \\times 635} = 5 : 1$$\r\nここで，有名事実として $BD=CR$ が成り立つので，\r\n$$AB=AE+BD,\\quad BC=2BD+DR,\\quad AC=AE+DR+BD$$\r\nが成り立つ．以上より計算すれば $AB:AC=43:47$ が得られるため，解答すべき値は $\\bf{90}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3176" }, { "content": "　三角比を用いて，鬼のような計算をする方法です．\r\n\r\n---\r\n\r\n　$AP=254,PQ=621,QR=14$ とする．\\\r\n　$ \\triangle PDR$ に注目すれば，$PD=3 \\sqrt{43815}$（この値を見た時点で，普通はこの方針を断念すべきです）．\\\r\n　辺 $AB$ と内接円の接点を $E$ とすると，$ \\triangle AEI$は直角三角形である．方べきの定理より $AI=5 \\sqrt{8890}$．さらに $EI=PD\\/2$ を用いれば，$\\tan \\angle IAE=\\dfrac{3\\sqrt{69}}{10\\sqrt{14}}$（以下，$\\angle IAE=\\theta$ とする）．\\\r\n　次に，点 $A$ から辺 $BC$ に向けて垂線を下ろす．その垂線上に，$\\angle AFI=90^{\\circ}$ となるように点 $F$ をとる．適当な相似などを用いれば，$AF=\\dfrac{9}{10} PD$，$FI=\\dfrac{2}{5}DR$ などとわかる．これらを用いて，$\\tan \\angle IAF=\\dfrac{4\\sqrt{14}}{27\\sqrt{69}}$．（以下，$\\angle IAF=\\phi$ とする）\\\r\n　いま求めるべき比は，$AB:AC=\\cos \\angle CAF:\\cos\\angle BAF=\\cos(\\theta+\\phi):\\cos(\\theta-\\phi)$ である．\\\r\n　加法定理を用いれば，\r\n　$$\\cos(\\theta \\pm \\phi)=\\dfrac{10 \\sqrt{14}}{\\sqrt{2021}}\\cdot\\dfrac{27\\sqrt{69}}{5 \\sqrt{2021}} \\mp \\dfrac{3 \\sqrt{69}}{\\sqrt{2021}}\\cdot\\dfrac{4\\sqrt{14}}{5 \\sqrt{2021}}$$\r\nとなり，あとは簡単な計算で $AB:AC$ を求められる．", "text": "三角比を用いる方法（非推奨）", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3176/355" }, { "content": "　ここでは，公式解説に使われている有名事実の紹介をしていきます．\r\n\r\n**有名事実．** $BD = CR$ である．\r\n\r\nこの構図は，高難易度Gでも使われることがあるので，Gを得意にしたい人は証明を含めて覚えておくことをお勧めします．ここから先は，証明に使う補題と有名事実を初等的に示していきます．\r\n\r\n**補題1．**三角形 $ABC$ の $\\angle{A}$ 内の傍心を $I_{A}$，傍接円を $\\omega_{A}$ とすると，$\\omega$ と $\\omega_{A}$ の相似の中心は $A$ である．\r\n<details><summary>証明<\\/summary>\r\n$A , I , I_{A}$ は同一直線上でかつ，$\\omega$ と $\\omega_{A}$ はそれぞれ直線 $AB , AC$ に接していることから従う．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**補題2．**$I_{A}$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足を $R’$ とすると，$R = R’$ である．\r\n<details><summary>証明<\\/summary>\r\n補題1より，$A , P , R’$ が同一直線上にあることから従う．\r\n<\\/details>\r\n\r\n**有名事実．**$BD = CR$ である．\r\n<details><summary>証明<\\/summary>\r\n補題2より，$R$ は$I_{A}$ から直線 $BC$ に下ろした垂線の足である．また，$I$ から直線 $AB , AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $E , F$ とし，$I_{A}$ から直線 $AB , AC$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $S , T$ とすると，\r\n\r\n$$AE = AF , AS = AT , BD = BE , BR = BS , CD = CF , CR = CT$$\r\n\r\nから $FT = BC$ がわかるので，ここから $BD = CR$ を得る．\r\n<\\/details>", "text": "有名事実の証明 ver1", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3176/364" }, { "content": "内心が登場する図では角度の情報が多いので，長さ計算がうまくいくことがよくあります．\\\r\n長さ計算は，**面積の比**，**正弦定理**，**三角比**を主な道具として示したい式を得る，幾何分野の解法の一つと思ってもらえばいいです．\r\n\r\n----\r\n**Well-known fact**\\\r\n　三角形 $ABC$ において内心を $I$ ，内接円と辺 $BC,CA,AB$ の交点をそれぞれ $D,E,F$ とする．線分 $DP$ が内接円の直径となるように取り，$AP$ と $BC$ の交点を $R$ とすると次が成り立つ．\r\n$$BR=CD$$\r\n\r\n----\r\n**証明**\\\r\n$$AE=AF=a,　BF=BD=b,　CD=CE=c$$\r\nとし，内接円の半径を $r$ とする．示すべきは $BR:RC=c:b$ である．\r\n$$\\begin{aligned}\r\nBR:RC&=|\\triangle ABR|:|\\triangle ACR|\\\\\\\\\r\n&=|\\triangle ABP|:|\\triangle ACP|\\\\\\\\\r\n&=\\frac{a+b}{a}\\cdot|\\triangle AFP|:\\frac{a+c}{a}\\cdot|\\triangle AEP|\\\\\\\\\r\n&=(a+b)\\cdot d(P,AB):(a+c)\\cdot d(P,AC)\\\\\\\\\r\n&=(a+b)(2r-d(D,AB)):(a+c)(2r-d(D,AC))　(\\because I \\text{ is the midpoint of } DP)\\\\\\\\\r\n&=(a+b)\\sin^2\\frac{B}{2}:(a+c)\\sin^2\\frac{C}{2}\\\\\\\\\r\n&(\\because 2r-d(D,AB)=2r-b\\sin B=2r-2b\\tan\\frac{B}{2}\\cos^2\\frac{B}{2}=2r-2r\\cos^2\\frac{B}{2}=2r\\sin^2\\frac{B}{2})\r\n\\end{aligned}$$\r\nここで正弦定理より次が成り立つ．\r\n$$\\sin\\dfrac{B}{2}:\\sin\\dfrac{C}{2}=\\frac{\\sin B}{\\cos\\frac{B}{2}}:\\frac{\\sin C}{\\cos\\frac{C}{2}}=\\frac{a+c}{\\cos\\frac{B}{2}}:\\frac{a+b}{\\cos\\frac{C}{2}}$$\r\nしたがって\r\n$$\\begin{aligned}\r\n(a+b)\\sin^2\\frac{B}{2}:(a+c)\\sin^2\\frac{C}{2}&=(a+b)\\sin\\frac{B}{2}\\cdot\\frac{a+c}{\\cos\\frac{B}{2}}:(a+c)\\sin\\frac{C}{2}\\frac{a+b}{\\cos\\frac{C}{2}}\\\\\\\\\r\n&=\\tan\\frac{B}{2}:\\tan\\frac{B}{2}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{r}{b}:\\frac{r}{c}\\\\\\\\\r\n&=c:b\r\n\\end{aligned}$$\r\n以上より所望の式： $BR:RC=c:b$ を得る．$\\square$", "text": "有名事実の証明 ver2", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3176/365" }, { "content": "　座標計算でも（一応）解けます．\r\n\r\n---\r\n\r\n　$xy$ 平面上で各点を次のようにおく．このとき $\\omega$ は中心 $(0,0)$ 半径 $1$ の円で，$B,C$ は直線 $y=-1$ 上にある．\r\n$$I(0,0),\\quad D(0,-1),\\quad P(0,1)$$\r\nまた $B$ の $x$ 座標は正，$C$ の $x$ 座標は負であるとする．このとき $AB\\lt AC$ より $A$ の $x$ 座標は正．\r\n\r\n　$A(p,q)\\ (p,q\\gt 0)$ とおき，直線 $AI$ と $y=-1$ の交点を $S$ とおくと $S(-\\frac{p}{q},-1)$ で，$AB:AC=BS:CS$ である．\r\nここで $u=\\frac{p}{p^2+q^2},v=\\frac{q\\sqrt{p^2+q^2-1}}{p^2+q^2}$ とおくと $u,v\\gt 0$ であり，$B,C$ の $x$ 座標 $x_B,x_C$ は\r\n$$x_B=\\frac{q+1}{q(u+v)}-\\frac{p}{q},\\quad x_C=\\frac{q+1}{q(u-v)}-\\frac{p}{q}$$\r\nとなる．\r\n\r\n<details>\r\n\r\n　直線 $AB$ は $\\omega$ の接線なので，その方程式は $a^2+b^2=1:(1)$ となる実数 $a,b$ を用い $ax+by=1$ とおける．\r\nこれは $A(p,q)$ を通るから $ap+bq=1:(2)$，また $x_B=\\frac{b+1}{a}=\\frac{1-ap+q}{aq}=\\frac{1+q}{aq}-\\frac{p}{q}$ である．\\\r\n　$(1),(2)$ より $b$ を消去すると $(p^2+q^2)a^2-2pa+1-q^2=0$ となり，$a$ について解くと\r\n$$a=\\frac{p\\pm\\sqrt{p^2-(1-q^2)(p^2+q^2)}}{p^2+q^2}=u\\pm v$$\r\nとなる．符号を確認すれば $a=u+v$ の方が適することがわかり，$x_B=\\frac{1+q}{q(u+v)}-\\frac{p}{q}$ が従う．$x_C$ についても同様．\r\n\r\n<\\/details>\r\n\r\nこれより $BS:CS=\\frac{q+1}{q(u+v)}:\\frac{q+1}{q(v-u)}=(v-u):(v+u)$ である．\r\n\r\n　ここで $\\angle DPQ=\\theta$ とおけば $PQ:PR=\\cos\\theta:\\frac{1}{\\cos\\theta}=621:635$ より $\\cos^2\\theta=\\frac{621}{635}$ であり，このとき \r\n$$p^2=\\left(\\frac{254}{635}\\cdot DR\\right)^2\r\n=\\left(\\frac{2}{5}\\right)^2PD^2\\tan^2\\theta\r\n=\\left(\\frac{2}{5}\\right)^2PD^2\\left(\\frac{1}{\\cos^2\\theta}-1\\right)\r\n=\\left(\\frac{2}{5}\\right)^2\\cdot 4\\cdot\\frac{14}{621},$$\r\n$$q^2=\\left(1+\\frac{254}{635}\\cdot DP\\right)^2\r\n=\\left(1+\\frac{2}{5}\\cdot 2\\right)^2\r\n=\\left(\\frac{9}{5}\\right)^2,$$\r\n$$p^2+q^2-1=\\frac{2^2\\cdot4\\cdot 14+9^2\\cdot 621-5^2\\cdot 621}{5^2\\cdot 621}=\\frac{1400}{621}$$\r\n\r\nより $u^2:v^2=p^2:q^2(p^2+q^2-1)=2^2:45^2$ が従う．$u,v\\gt 0$ より $u:v=2:45$ で，このとき $BS:CS=43:47$．", "text": "座標計算", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc191/editorial/3176/366" } ]

[ { "content": "　$0$ 以上 $999$ 以下の整数 $N$ によって $0.abc=N\\/1000$ と表せる．このとき，以下が成り立つ：\r\n\r\n- $N\\/1000$ が二進法で有限小数である $\\iff$ $N$ が $125$ で割り切れる\r\n- $N\\/1000$ が五進法で有限小数である $\\iff$ $N$ が $8$ で割り切れる\r\n\r\nしたがって，求める総和は $\\displaystyle\\sum_{N=0}^{999} \\frac{N}{1000}-\\sum_{N=0}^{8-1}\\frac{125N}{1000}-\\sum_{N=0}^{125-1}\\frac{8N}{1000}=\\textbf{434}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/2318" } ]

[ { "content": "$$f\\left(\\dfrac{1}x\\right)=\\left(\\dfrac{1}x\\right)^8+a_1\\left(\\dfrac{1}x\\right)^7+a_2\\left(\\dfrac{1}x\\right)^6+\\cdots +a_7\\left(\\dfrac{1}x\\right)+a_8=\\dfrac{1}{x^8}g(x)$$\r\nが成り立つため，$g(6)=6^8×f\\left(\\dfrac{1}{6}\\right)=0$ より $f\\left(\\dfrac{1}6\\right)=0$ である．同様にして $$f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=f\\left(\\dfrac16\\right)= f\\left(\\dfrac17\\right)= f\\left(\\dfrac18\\right)= f\\left(\\dfrac19\\right)=0$$ を得る．よって，最高次の係数が $1$ であることと因数定理より\r\n$$f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)\\left(x-\\dfrac16\\right)\\left(x-\\dfrac17\\right)\\left(x-\\dfrac18\\right)\\left(x-\\dfrac19\\right)$$\r\nであるため，\r\n$a_1+a_2+\\cdots+a_8=f(1)-1=\\dfrac{37}3$ より解答すべき値は $\\bf{40}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4774" } ]

[ { "content": "　$a$ と $a+1$ は互いに素であるから，$\\gcd(a+1,b)$ と $\\gcd(a,b+1)$ は互いに素である．したがって，条件は\r\n$$\\gcd(a+1,b)\\times\\gcd(a,b+1)=36$$\r\nで，両数の組み合わせとしてあり得るものは $(1,36),(4,9),(9,4),(36,1)$ である．\\\r\n　$(1,36)$ となる $(a,b)$ は以下の $3$ つであり，対称性より $(36,1)$ も同様である．\r\n$$(36,35),(36,71),(72,35)$$\r\n　$(4,9)$ となる $(a,b)$ は以下の $5$ つであり，対称性より $(9,4)$ も同様である．\r\n$$(27,8),(27,44),(63,44),(99,8),(99,44)$$\r\nここで $a+1$ と $a$ がそれぞれ $4,9$ の倍数となる $a$ は $27,63,99$ であることなどを利用すると早いだろう．\\\r\n　以上より，求める場合の数は $\\textbf{16}$ 通りである.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/2404" } ]

[ { "content": "　頂点を $8$ つ持ち，$i=1,2,\\ldots,8$ について頂点 $i$ から頂点 $p_i$ に辺を張ったグラフを考える．また，それぞれの頂点を何種類かの色で塗る．ただしこのとき，対応するひよこが同じ箱に入っているなら同じ色で塗り，異なる箱に入っているなら異なる色で塗る．このように塗り分けることで，元の問題はグラフを最適彩色する問題に帰着された．次の補題を示そう．\r\n\r\n---\r\n\r\n**補題.**　$n$ を $2$ 以上の整数とし，$G_n$ を $n$ 頂点 $v_1,v_2,\\ldots,v_n$ からなり $v_1→v_2→ \\cdots →v_n→v_1$ のように辺を張ったグラフとする．このとき，$G_n$ を最適彩色するために必要な色数は，$n$ が奇数のとき $3$ 色，偶数のとき $2$ 色である．\r\n\r\n**証明.**　\\\r\n　$n$ が偶数のとき，明らかに $1$ 色では不可能なため $2$ 色以上である．逆に，$2$ 色を交互に塗ることで可能である．\\\r\n　$n$ が奇数のとき，明らかに $1$ 色では不可能であり，$2$ 色ではどちらか一方の色が $\\dfrac{n+1}{2}$ 個以上必要なため，どこかで同じ色が隣り合ってしまい不可能である．逆に，ある $1$ 頂点を $1$ 色で塗り，残りの頂点を別の $2$ 色で交互に塗ることで $3$ 色で可能である．\r\n\r\n---\r\n\r\n　さて，元のグラフはいくつかの閉路に分けられ，その分け方は次の $7$ つに限られる．\r\n$$G_8,G_6+G_2,G_5+G_3,G_4+G_4$$\r\n$$G_4+G_2+G_2,G_3+G_3+G_2,G_2+G_2+G_2+G_2$$\r\n　必要な箱の個数は，$G_{奇数}$ が少なくとも $1$ つ含まれれば $3$ 個，含まれなければ $2$ 個であるため，$G_3+G_3+G_2,G_5+G_3$ の場合のみが $3$ 個となる．これらはそれぞれ\r\n$$({}_8 \\mathrm C_2×{}_6 \\mathrm C_3÷2)×(3-1)!×(3-1)!×(2-1)!=1120$$\r\n$${}_8 \\mathrm C_3×(5-1)!×(3-1)!=2688$$\r\n通り存在するから，求める答えは $2×14833+(1120+2688)=\\mathbf{33474}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/8459" }, { "content": "　Bonus：一般にひよこが $N$ 匹いる場合の答え $f(N)$ を，ある程度簡単な形で表す．\r\n\r\n---\r\n\r\n　まず $(1,\\dots,n)$ の並び替え $(P_1,\\dots,P_n)$ で $P_i\\neq i$ を満たすものの個数を求めよう．\r\nこのような並び替えは**攪乱順列**と呼ばれ，その個数を $g(n)$ とおけば次が成り立つ．\r\n$$g(n)=\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k}(-1)^k(n-k)!$$\r\n\r\n<details>\r\n<summary>証明<\\/summary>\r\n　包除原理を用いる．\\\r\n　$1\\leq i\\leq n$ に対して，$(1,\\dots,n)$ の並び替え $(P_1,\\dots,P_n)$ で $P_i=i$ を満たすもの全体の集合を $A_i$ と定める．\r\nこのとき $I\\subset\\\\{1,\\dots,n\\\\},I\\neq\\emptyset$ に対し $\\left|\\bigcap_{i\\in I}A_i\\right|=(n-|I|)!$ であることは容易にわかるから，包除原理より\r\n$$\\begin{aligned}\r\n|A_1\\cup\\cdots\\cup A_n|\r\n&=\\sum_{I\\subset\\\\{1,\\dots,n\\\\},I\\neq\\emptyset}(-1)^{|I|-1}\\left|\\bigcap_{i\\in I}A_i\\right|\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{I\\subset\\\\{1,\\dots,n\\\\},I\\neq\\emptyset}(-1)^{|I|-1}(n-|I|)!\\\\\\\\\r\n&=\\sum_{k=1}^{n}\\binom{n}{k}(-1)^{k-1}(n-k)!\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nとなる．$A_1\\cup\\cdots\\cup A_n$ は $(1,\\dots,n)$ の並び替え $(P_1,\\dots,P_n)$ であって，ある $i$ で $P_i=i$ をみたすもの全体の集合なので，求める値 $g(n)$ は $g(n)=n!-|A_1\\cup\\cdots\\cup A_n|$ として得られる．\r\n\r\n<\\/details>\r\n\r\n　実際に $n=8$ として計算してみれば $g(8)=14833$ が成り立ち，問題で与えられた値と一致することが確認できる．\r\n\r\n　元の問題に戻ろう．公式解説の補題の部分までは公式解説と同様である．公式解説のように順列から作られるグラフを**正しいグラフ**と呼ぶことにする．このとき，正しいグラフはいくつかのループからなる有向グラフである．補題を踏まえれば，$f(N)=3g(N)-($ 偶数長の閉路しか含まない $N$ 頂点の正しいグラフの個数 $)$ である．\\\r\n　偶数長の閉路しか含まない $N$ 頂点の正しいグラフの個数を求めたい．結論から述べれば，それは $N$ が奇数のとき $0$，$N$ が偶数のとき $((N-1)!!)^2$ である（ $!!$ は二重階乗）．\r\n\r\n<details>\r\n<summary>解法1：組み合わせ論的に解く<\\/summary>\r\n　$N$ が奇数のとき $0$ なのは明らかである．以下 $N$ は偶数であるとし，偶数長の閉路しか含まない $N$ 頂点の正しいグラフを**良いグラフ**と呼ぶことにする．\\\r\n　各良いグラフについて，次の操作Aによって $N$ 頂点を $N\\/2$ 個のペアに分ける分け方（以下**正しい分け方**とする）が得られる．ただし，ペア内の順序，ペア間の順序はいずれも区別しない．\r\n\r\n- **操作A**：各閉路において頂点番号が最小の頂点から $2$ 個ずつに区切る（例：$4\\to 2\\to 1\\to 3\\to 4$ を $(1,3),(2,4)$ にする）．\r\n\r\nこれによって，各良いグラフから正しい分け方が $1$ つずつ得られる．逆に，各正しい分け方に対し次の操作を考える．\r\n\r\n- **操作B**：「ペア内の頂点番号の最小値」が小さい順にペアを並び替え，各ペアに含まれる頂点を順にグラフに追加していく．これまでに $k$ ペア追加済みであるとき，次のペア $(u,v)\\ (u\\lt v)$ は次のいずれかを満たすように追加する．\r\n - 新しい連結成分として長さ $2$ の閉路 $u\\to v\\overset{\\star}\\to u$ を追加する．この追加の仕方は一意．\r\n - すでにある辺のうち $\\star$ のついた辺（$k$ 本ある）のいずれか一つを選ぶ．その辺を $x\\overset{\\star}\\to y$ としたとき，その辺を削除した上で $x\\overset{\\star}\\to u\\to v\\overset{\\star}\\to y$ または $x\\overset{\\star}\\to v\\to u\\overset{\\star}\\to y$ となるよう辺を追加する．この追加の仕方は $2k$ 通り．\r\n\r\nこのとき，次のようなことが確認できる．\r\n\r\n- 任意の正しい分け方に対し，どのように操作Bを行っても得られるグラフは良いグラフであり，そのグラフに操作Aを行うと元の正しい分け方が得られる．また操作B内での操作の方法は $1\\cdot 3\\cdot\\cdots\\cdot(N-1)=(N-1)!!$ 通りあるが，最終的にできるグラフは全て相異なる．\r\n- 任意の良いグラフに対し，それに操作Aを行って得られる正しい分け方について，操作Bを適切に行えば元の良いグラフが復元できる．\r\n\r\n従って，操作A・操作Bによって正しい分け方 $1$ つに対し良いグラフが $(N-1)!!$ 個対応する．正しい分け方，すなわち $N$ 頂点を $N\\/2$ 個のペアに分ける分け方は $(N-1)!!$ 通りあるから，良いグラフは $((N-1)!!)^2$ 個存在する．\r\n\r\n<\\/details>\r\n<details>\r\n<summary>解法2：形式的冪級数を用いる<\\/summary>\r\n\r\n　$k\\geq 1$ に対して，長さ $2k$ の閉路が $b_k$ 個含まれる $N$ 頂点の正しいグラフの個数は次のように表せる．\r\n$$\\frac{N!}{\\prod_{k\\geq 1}b_k!((2k)!)^{b_k}}\\cdot\\prod_{k\\geq 1}\\left((2k-1)!\\right)^{b_k}=N!\\prod_{k\\geq 1}\\frac{1}{b_k!}\\left(\\frac{1}{2k}\\right)^{b_k}$$\r\n\r\n　従って，偶数長の閉路しか含まない $N$ 頂点の正しいグラフの個数は次の形式的冪級数の $x^N$ の係数に等しい．\r\n$$N!\\prod_{k\\geq 1}\\left(\\sum_{i\\geq 0}\\frac{1}{i!}\\left(\\frac{x^{2k}}{2k}\\right)^{i}\\right)$$\r\n\r\n　ここで，上式は次のように変形していくことができる．\r\n$$\\begin{aligned}\r\nN!\\prod_{k\\geq 1}\\left(\\sum_{i\\geq 0}\\frac{1}{i!}\\left(\\frac{x^{2k}}{2k}\\right)^{i}\\right)\r\n&=N!\\prod_{k\\geq 1}\\exp\\left(\\frac{x^{2k}}{2k}\\right)\\\\\\\\\r\n&=N!\\exp\\left(\\sum_{k\\geq 1}\\frac{x^{2k}}{2k}\\right)\\\\\\\\\r\n&=N!\\exp\\left(\\frac{1}{2}\\sum_{n\\geq 1}\\frac{x^n+(-x)^n}{n}\\right)\\\\\\\\\r\n&=N!\\exp\\left(-\\frac{\\log(1-x)+\\log(1+x)}{2}\\right)\\\\\\\\\r\n&=N!\\left((1-x)(1+x)\\right)^{-1\\/2}\\\\\\\\\r\n&=N!(1-x^2)^{-1\\/2}\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n　最終的な式の $x^N$ の係数は $N$ が奇数のとき $0$，偶数のとき $N!\\cdot\\dfrac{(N-1)!!}{N!!}=((N-1)!!)^2$ である．\r\n\r\n<\\/details>\r\n\r\n　求める値 $f(N)$ は\r\n$$f(N)=3\\sum_{k=0}^{N}\\binom{N}{k}(-1)^k(N-k)!-\\begin{cases}\r\n0&(N:\\text{odd})\\\\\\\\\r\n((N-1)!!)^2&(N:\\text{even})\r\n\\end{cases}$$\r\nとなる．$N=8$ とすれば $f(8)=3\\cdot 14833-(7!!)^2=33474$ となり，元の問題の答えと確かに一致する．", "text": "ひよこの匹数を一般化", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/8459/352" } ]

[ { "content": "　直線 $BC$ と直線 $DE, DF$ との交点をそれぞれ $Q, R$ とする．このとき，$\\angle ADE = \\angle ABF \\lt \\angle ABC$ より $Q$ は辺 $BC$ の $B$ 側の延長線上にあり，$P$ は $C$ を含まない弧 $AB$ 上にある．したがって，\r\n$$\\angle AFD = \\angle PAD = \\angle PCB \\lt \\angle ACB$$\r\nより，$R$ は辺$BC$ の $C$ 側の延長線上にあるので，\r\n$\\angle APB=\\angle FCR$ である．また，接弦定理より \r\n$$\\angle BAP=\\angle AFD=\\angle CFR$$\r\nであることから三角形 $ABP$ と三角形 $FRC$ は相似である．よって $\\angle DBP = \\angle FRB$ を得る．また，miquel点の性質から $P$ は三角形 $BDQ$ の外接円上にあるので，\r\n$$\\angle FBR = \\angle DQR = \\angle DPB$$\r\nである．したがって，三角形 $BDP$ と三角形 $RFB$ も相似であるから，\r\n$$BR:CR=BP : BP\\times\\frac{BD}{BP}\\times\\frac{BP}{AB} = AB : BD = 21 : 11$$\r\nを得る．よって，メネラウスの定理より\r\n$$\\dfrac{AF}{FC}=\\frac{AD}{DB}\\times\\frac{BR}{RC}=\\frac{10}{11}\\times\\frac{10+11}{11}=\\frac{210}{121}$$\r\nである．以上より，\r\n$$CF = \\frac{CF}{AF+CF}AC = \\frac{121\\times 21}{331} = \\frac{2541}{331}$$ \r\nを得る．特に解答すべきは $\\bf{2872}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054" }, { "content": "　接弦定理と円周角の定理から\r\n$$\\angle{AFD} = \\angle{PAB} = \\angle{PED} = \\angle{PCB}$$\r\n\r\n$$\\angle{DPE} = \\angle{DAF} = \\angle{BPC}$$\r\n\r\nなので，三角形 $ADF$ と三角形 $PDE$ と三角形 $PBC$ はそれぞれ相似なことがわかる．ここで，$DE \\parallel BF$ より $AE = 10x , EF = 11x$ とおける．よって\r\n\r\n$$PB : PC = AD : AF = 10 : 21x$$\r\n\r\nが得られる．また，回転相似から三角形 $BPD$ と三角形 $CPE$ は相似なので\r\n\r\n$$PB : PC = BD : CE = 11 : 21 - 10x$$\r\n\r\nなので，あとはこれらを連立させて解くと $x = \\dfrac{210}{331}$ が得られる．以上より，\r\n\r\n$$CF = 21 - 21x = \\dfrac{2541}{331}.$$\r\n\r\nよって，求める答えは $\\bf{2872}$ である．", "text": "補助線を使わずに", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054/340" }, { "content": "　一般に，$2$ 円 $O_1,O_2$ が $2$ 点 $P,Q$ で交わっており，$P$ を通る直線と円 $O_1,O_2$の交点のうち $P$ でないものをそれぞれ $A,B$ とし，$Q$ を通る直線と円 $O_1,O_2$の交点のうち $Q$ でないものをそれぞれ $C,D$ とすると，$AC\\/\\/BD$ となることが知られている． \r\n(これは，aminoの補題という愛称で一部の人たちに知られているが，これは正式名称ではない．なお，この性質は角度追跡により容易に証明が出来る．) \r\n\r\n　今回は，$PE$ と $BF$ の交点を考えることでaminoの補題の構図が作れることに着目しよう． \r\n\r\n　$PE$ と $BF$ の交点を $Q$ とする．$\\angle{PQB}=\\angle{PED}=\\angle{PAB}$ より，$Q$ は三角形 $ABC$ の外接円上にある． \r\n$\\angle{DEF}=\\angle{EFQ},\\angle{DFE}=\\angle{DAP}=\\angle{EQF}$ より，$\\triangle{DEF}$ と $\\triangle{EFQ}$ は相似． \r\nよって，$AE=10x,EF=11x,FC=21-21x,DE=10y,BF=21y$ とおくと，$10y:11x=11x:FQ$ より，$FQ=\\dfrac{121x^2}{10y}$ となる． \r\n方べきの定理より，$AF\\times FC=BF\\times FQ$ から，$21x(21-21x)=21y\\times\\dfrac{121x^2}{10y}$ なので，$x=\\dfrac{210}{331}$ となり，$CF=\\dfrac{2541}{331}$．", "text": "aminoの補題", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/4054/362" } ]

[ { "content": "　$\\varphi = \\dfrac{1 + \\sqrt5}{2}$ とし，$a_n = \\lfloor\\varphi n\\rfloor + 1$ であることを示す．\\\r\n　$n = 1$ のとき，明らかに成立する．また，$n = 1,2,\\ldots,k$ で成立しているとき，\r\n$$\\begin{aligned}\r\na_{k+1} &= k+2 + \\\\#\\big(\\\\{1,2,\\ldots,k+1\\\\}\\cap\\\\{a_1,a_2,\\ldots,a_k\\\\}\\big)\\\\\\\\\r\n&= k+2 + \\\\#\\big(\\\\{0,1,\\ldots,k\\\\}\\cap\\\\{\\lfloor\\varphi\\rfloor,\\lfloor2\\varphi\\rfloor,\\ldots,\\lfloor k\\varphi\\rfloor\\\\}\\big)\r\n\\end{aligned}$$\r\nである．ここで，$\\\\#\\big(\\\\{0,1,\\ldots,k\\\\}\\cap\\\\{\\lfloor\\varphi\\rfloor,\\lfloor2\\varphi\\rfloor,\\ldots,\\lfloor k\\varphi\\rfloor\\\\}\\big)$ は，$\\lfloor t\\varphi\\rfloor \\lt k+1$ なる正の整数 $t$ の個数であるので，$\\varphi$ が無理数であることと併せて $\\bigg\\lfloor \\dfrac {k+1}\\varphi\\bigg\\rfloor$ である．従って，$\\varphi = 1 + \\dfrac 1\\varphi$ より，\r\n$$a_{k+1} = k+2 + \\bigg\\lfloor \\dfrac {k+1}\\varphi\\bigg\\rfloor = k+2 + \\lfloor (k+1)\\varphi - (k+1)\\rfloor = \\lfloor (k+1)\\varphi\\rfloor + 1$$\r\nである．以上より，帰納法によって示された．\\\r\n　特に，求める答えは，\r\n$$a_{10^{5}} = \\lfloor 10^{5}\\varphi\\rfloor + 1 = \\bf{161804}$$\r\nである．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/6631" }, { "content": "　ここではどこから $\\dfrac{1 + \\sqrt{5}}{2}$ がでてきたか(自分の場合の話ですが)書いていきたいと思います．\\\r\nまず，$a_{n}$ を小さな値から順に求めていくと，Fibonacci数列( $b_{n + 2} = b_{n + 1} + b_{n} , b_{1} = b_{2} = 1$ ) が $a_{b_{n}} = b_{n + 1}$ または $a_{b_{n}} = b_{n + 1} + 1$ という形で出てきていることがわかります(実際に帰納法で示すことができます)．ここで思い出すのが数列 ${b_{n}}$ の比率の話で\r\n\r\n$$\\lim_{n \\to \\infty} {\\dfrac{b_{n + 1}}{b_{n}}} = \\dfrac{1 + \\sqrt{5}}{2}$$\r\n\r\nになることが知られてます．そこから漸化式の形も考慮すると公式解説のような予測が立ちます．", "text": "公式解説のような予想を立てるまで", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/6631/339" }, { "content": "　$a_n=\\lfloor\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}n\\rfloor+1$ の別証です． \r\n \r\n　明らかに $a_{n+1}\\gt a_n\\geq n+1$ なので，題意より \r\n$$a_n=a_1+1×(n-1-\\\\#(k|a_k\\leq n))+2×\\\\#(k|a_k\\leq n)=n+1+\\\\#(k|a_k\\leq n)$$\r\nがわかる． \r\n　以降，数学的帰納法で $a_n=\\lfloor\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}n\\rfloor+1$ を示す． \r\n　$n=1$ のときは明らかに成り立つ． \r\n　$n\\leq m$ のとき成り立つとする．このとき，$m+1\\geq 2，a_{n+1}-a_n\\leq 2$ より $a_l=m+1$ または $a_l=m+2$ なる整数 $l$ をとれる． \r\n　$a_l=m+1$ なる $l$ が存在するとき，\r\n$$a_{m+1}=a_{a_l}= a_l+1+\\\\#(k|a_k\\leq a_l)=l+m+2$$\r\nである．$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l$ が整数となることは明らかにないので，$a_l=m+1$ より $$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l-1\\lt m\\lt \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l$$\r\nであることから\r\n$$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}(m+1)=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}m+m+\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\gt \\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}(\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l-1)+m+\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}=l+m+1$$\r\n$$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}(m+1)=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}m+m+\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}\\lt l+m+2$$\r\nとなるため\r\n$$\\lfloor \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}(m+1)\\rfloor+1=l+m+2=a_{m+1}$$\r\nがわかる． \r\n　そうでないときは，$a_l=m+2$ なる $l$ が存在するので\r\n$$a_{m+1}=a_{a_l-1}= (a_l-1)+1+\\\\#(k|a_k\\leq a_l-1)=l+m+1$$\r\nである．$a_l=m+2$ より\r\n$$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l-2\\lt m\\lt \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}l-1$$\r\nとなり，先程と同様の議論から\r\n$$l+m\\lt \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}(m+1)\\lt l+m+1$$\r\nがわかるので\r\n$$\\lfloor \\frac{1+\\sqrt{5}}{2}(m+1)\\rfloor+1=l+m+1=a_{m+1}$$\r\nである． \r\n　以上より，$n=m+1$ のときも成立することが示せた． \r\n　したがって，$a_n=\\lfloor\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}n\\rfloor+1$ がわかる． \r\n \r\n　余談ですが，\r\n$$a_{a_n}=a_n+1+\\\\#(k|a_k\\leq a_n)=a_n+n+1$$\r\nより，$b_1=n，b_{n+1}=a_{b_n}$ とおいて $b_n$ についての三項間漸化式の特性方程式を解くことで $\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}$ という値が何とは無しに見えたりします．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc190/editorial/6631/356" } ]

[ { "content": "$$D(0,1,0), \\quad E(1,0,0), \\quad F(1,0,1), \\quad G(1,1,0)$$\r\nとすると，四面体 $OABC$，$OAFC$，$OEFC$，$OEGC$，$ODGC$，$ODBC$ は全て合同で，立方体 $OABD-EFCG$ を重複なく埋め尽くす．点 $O$ にはこれら $6$ つの四面体の対応する頂点が集まっているので，$O$ を中心とする半径 $1$ の球 $O$ との共通部分の体積はどれも等しい．一方，球 $O$ と立方体 $OABD-EFCG$ の共通部分の体積は，半径 $1$ の球 $O$ の体積の $8$ 分の $1$ なので，$\\dfrac{1}{8}\\cdot\\dfrac{4}{3}\\pi=\\dfrac{1}{6}\\pi$ である．よって，求める体積は，このさらに $6$ 分の $1$ だから，$\\dfrac{1}{36}\\pi$ である．従って，求める値は $1+36=\\mathbf{37}$ ．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840" }, { "content": "以下の重積分を求めればよい.\r\n\r\n$$V=\\iiint_D dxdydz$$\r\nただし領域$D$の定義は以下の通りである.\r\n$$D=\\lbrace (x,y,z)\\in\\mathbb{R}^3;x^2+y^2+z^2\\leq 1,0\\leq x\\leq y\\leq z\\leq 1\\rbrace$$\r\n\r\n以下の変数変換をする.\r\n\r\n$$x=r\\sin{\\theta}\\cos{\\phi},y=r\\sin{\\theta}\\sin{\\phi},z=r\\cos{\\theta}$$\r\n\r\nこのとき,ヤコビアンは$r^2\\sin{\\theta}$であるので,\r\n\r\n$$dxdydz=r^2\\sin{\\theta} dr d\\theta d\\phi $$\r\n\r\nである.\r\n\r\nここで,変数変換後のパラメータの取りうる値の範囲を計算する.\r\n\r\n$\\theta,\\phi$の値にかかわらず$0\\leq r\\leq 1$である.\r\n\r\nさらに,$\\pi\\/4 \\leq \\phi\\leq \\pi\\/2$が成り立つ.\r\n\r\nこのときの$\\theta$の取りうる値の範囲は$0\\leq \\tan{\\theta}\\leq 1\\/\\sin{\\phi}$\r\n\r\nより,$0\\leq \\theta \\leq \\tan^{-1} (1\\/\\sin{\\phi})$\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$V=\\int_{0}^{1} \\int_{\\pi\\/4 }^{\\pi\\/2} \\int_{0}^{\\tan^{-1} (1\\/\\sin{\\phi})}r^2 \\sin{\\theta} d\\theta d\\phi dr$$\r\n\r\n$$V=\\int_{0}^{1}r^2 dr\\cdot \\int_{\\pi\\/4 }^{\\pi\\/2} \\int_{0}^{\\tan^{-1} (1\\/\\sin{\\phi})} \\sin{\\theta} d\\theta d\\phi$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{1}{3} \\cdot \\int_{\\pi\\/4}^{\\pi\\/2} \\left[-\\cos{\\theta}\\right]_{\\theta=0}^{\\theta=\\tan^{-1} (1\\/\\sin{\\phi})} d\\phi$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{1}{3} \\cdot \\int_{\\pi\\/4}^{\\pi\\/2} 1-\\cos (\\tan^{-1} (1\\/\\sin{\\phi})) d\\phi$$\r\n\r\nここで,実数$t$について$\\cos(\\tan^{-1}(t))=\\dfrac{1}{\\sqrt{t^2+1}}$が成り立つため,\r\n\r\n$$V=\\dfrac{1}{3} \\cdot \\int_{\\pi\\/4}^{\\pi\\/2} 1-\\dfrac{1}{\\sqrt{1+(1\\/\\sin{\\phi})^2}} d\\phi$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{1}{3} \\cdot \\int_{\\pi\\/4}^{\\pi\\/2} 1-\\dfrac{\\sin{\\phi}}{\\sqrt{1+\\sin^2{\\phi}}} d\\phi$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{\\pi}{4}-\\dfrac{1}{3} \\int_{\\pi\\/4}^{\\pi\\/2} \\dfrac{\\sin{\\phi}}{\\sqrt{2-\\cos^2{\\phi}}} d\\phi$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} \\int_{0}^{1\\/\\sqrt{2}} \\dfrac{1}{\\sqrt{2-u^2}} du$$\r\n\r\n(ただし$\\cos{\\phi}=u$と置換)\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} \\int_{0}^{1\\/2} \\dfrac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{2-2v^2}} dv$$\r\n\r\n(ただし$u=\\sqrt{2}v$と置換)\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} \\int_{0}^{1\\/2} \\dfrac{1}{\\sqrt{1-v^2}} dv$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} \\left[\\sin^{-1}(v)\\right]_{0}^{1\\/2}$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} (\\sin^{-1}(1\\/2)-\\sin^{-1}(0))$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{1}{3} \\cdot \\dfrac{\\pi}{6}$$\r\n\r\n$$V=\\dfrac{\\pi}{12}-\\dfrac{\\pi}{18}=\\dfrac{\\pi}{36}$$\r\n\r\nよって体積は$\\dfrac{1}{36}\\pi$と書けるので、解答するべき値は$1+36=37$である.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840/342" }, { "content": "　$xyz$ 空間内において， $x^2+y^2+z^2\\leq1,x\\geq0,y\\geq0,z\\geq0$ で表される立体を $D$ とし，$D$ のうち $x\\leq y\\leq z$ を満たす部分の立体を $E$ とする． \r\n$D,E$ の体積をそれぞれ $V,W$ とすると，$V=\\dfrac{4}{3}\\pi\\cdot\\dfrac{1}{8}=\\dfrac{\\pi}{6}$ である． \r\nまた，$\\dfrac{W}{V}$ は領域 $D$ 内から無作為にとった点 $(x,y,z)$ が $x\\leq y\\leq z$ を満たす確率なので，それは $\\dfrac{1}{3!}=\\dfrac{1}{6}$ に等しい． \r\n以上より，求める体積は $W=\\dfrac{V}{6}=\\dfrac{\\pi}{36}$．", "text": "確率で求める体積", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9840/358" } ]

[ { "content": "　$x$ についての多項式 $(x+1)^{2024}$ を $x^2+1$ で割った余りは $2^{1012}$ である．これは $x$ に虚数単位 $i$ を代入すれば分かる．よって $2^{130}+1$ を法として $(2^{65}+1)^{2024}\\equiv 2^{1012}$ が成り立つ．\r\n$1012=130\\times 7+102$ なので $2^{1012}\\equiv -2^{102}$となり，$n$ として条件を満たす最小のものは $ \\mathbf{102}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9838" }, { "content": "以降,合同式のmodは具体的な言及がない限り$M=2^{130}+1$とする.\r\n\r\n$$(2^{65}+1)^{2024}=(2^{130}+2^{66}+1)^{1012}\\equiv 2^{66\\times 1012}$$\r\n\r\nここで,\r\n\r\n$$2^{66\\times 1012}+2^n\\equiv 0$$\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$2^{66\\times 1012}\\equiv -2^n$$\r\n\r\nであるためには,2と$M$は互いに素なので,\r\n\r\n$$2^{66\\times 1012-n}\\equiv -1$$\r\n\r\nであることが必要十分である.\r\n\r\nここで,$\\mod{M}$における$2$の位数は260であるため,\r\n\r\n$$66\\times 1012-n\\equiv 130\\pmod{260}$$\r\n\r\nであることが問の必要十分条件である.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$n\\equiv 66\\times 1012-130\\equiv 102\\pmod{260}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nつまり,条件を満たす$n$の最小値は102である.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9838/351" } ]

[ { "content": "　$g(x)$ を，条件 $\\rm(i),\\rm(ii)$ を満たす $11$ 次以下の多項式とする．因数定理より $\\rm(ii)$ は $g(-1)=0$ と同値である．\r\n\r\n$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots+a_{11}x^{11}$$\r\n\r\nとおく（$a_0,a_1,\\cdots,a_{11}$ は $0$ または $1$)．\r\n\r\n$$g(-1)=(a_0+a_2+\\cdots+a_{10})-(a_1+a_3+\\cdots+a_{11})$$\r\n\r\nであるので，$a_i=0,1~(i=1,2,\\cdots,11)$ かつ $g(-1)=0$ となるためには，$i=0,2,4,6,8,10$ のうち $a_i=1$ となるものの個数と，$i=1,3,5,7,9,11$ のうち $a_i=1$ となるものの個数が等しければよい．両者の個数が $k$ 個 ($1\\leq k\\leq 6$) になるような $a_i ~ (i=0,1,2,\\ldots,11)$ の選び方は ${}\\_6\\mathrm{C}\\_k\\cdot {}\\_6\\mathrm{C}\\_k=({}\\_6\\mathrm{C}\\_k)^2$ 通りあるので，$g(x)$ の個数は，\r\n\r\n$$\\sum_{k=0}^6({}\\_6\\mathrm{C}\\_k)^2={}\\_{12}\\mathrm{C}\\_6=924.$$\r\n\r\nまた，$h(x)=1+x+x^2+\\cdots+x^{11}$ とおくと，任意の $g(x)$に対し，$h(x)-g(x)$ も $\\rm(i)$，$\\rm(ii)$を満たす$11$次以下の多項式になり，$g(x)$ と $h(x)-g(x)$ のうちちょうど一方が $11$ 次式である．よって，求めるべき $f(x)$ の個数は，$g(x)$ のうち $11$ 次であるものの個数であるので，\r\n$$\\frac{924}{2}=\\mathbf{462}.$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9843" }, { "content": "$a_i(i=0,\\ldots,10)$が$0$または$1$の値をとり,かつ$a_{11}=1$であるとき,\r\n\r\n$$g(x)=a\\_0+a\\_1x+a\\_2x^2+\\cdots +a\\_{10}x^{10}+a\\_{11}x^{11}$$\r\n\r\nについて\r\n\r\n$$(a\\_0+a\\_2+\\cdots + a\\_{10})-(a\\_1+a\\_3+\\cdots + a\\_{9}+1)=0$$\r\n\r\n$$(a\\_0+a\\_2+\\cdots + a\\_{10})-(a\\_1+a\\_3+\\cdots + a\\_{9})=1$$\r\n\r\n\r\n\r\nとなるような場合の数を求める.これはFPS(形式的べき級数)で計算することができる.\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$\\left[x^{1}\\right]\\sum\\_{a\\_0\\in\\lbrace 0,1\\rbrace}\\sum\\_{a\\_1\\in\\lbrace 0,1\\rbrace}\\cdots \\sum\\_{a\\_{10}\\in\\lbrace 0,1\\rbrace} x^{(a\\_0+a\\_2+\\cdots + a\\_{10})-(a\\_1+a\\_3+\\cdots + a\\_{9})}$$\r\n\r\nを求めればよいが,これは因数分解することができる.\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$\\left[x^{1}\\right] (1+x)\\cdot (1+x^{-1})\\cdot (1+x)\\cdot (1+x^{-1})\\cdot \\cdots \\cdot (1+x)$$\r\n\r\nであり,これは\r\n\r\n$$\\left[x^{1}\\right] (1+x)^6(1+x^{-1})^5$$\r\n\r\n全体を$x^5$で掛けると\r\n\r\n$$\\left[x^{6}\\right] (1+x)^6(1+x)^5$$\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$\\left[x^{6}\\right] (1+x)^{11}$$\r\n\r\nとなるため,答えは${}\\_{11}\\mathrm{C}\\_{6}=462$である.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9843/348" } ]

[ { "content": "　チェバの定理，および相加・相乗平均の不等式より\r\n$$\r\n\\dfrac{AR}{RB} + 2d\\cdot \\dfrac{BP}{PC} + 4d^2\\cdot \\dfrac{CQ}{QA} \\geq 6d\r\n$$\r\nであり，等号が成立するのはある正の数 $k$ によって\r\n$$\r\n\\dfrac{AR}{RB} = 4d^2k,\\quad \\dfrac{BP}{PC} = 2dk ,\\quad \\dfrac{CQ}{QA} = k \r\n$$\r\nと表せるときである．このとき，再びチェバの定理より $4d^2k \\cdot 2dk \\cdot k = 1$ なので $k = 1\\/2d$． このとき $X$ は内心なのであったから，$X$ と各頂点を結んだ $3$ 直線はいずれも角の $2$ 等分線であり，辺の比を考えることで\r\n$$\r\n4d^2k = 2d = \\dfrac{b}{a}, \\quad 2dk = 1 = \\dfrac{c}{b}, \\quad k = \\dfrac{1}{2d} = \\dfrac{a}{c}\r\n$$\r\nとなる．よって $(a,b,c,d) = (a,2da,2da,d)$ となる．逆にこのように与えられる $a,b,c$ は三角不等式を満たしている． \\\r\n　条件より $a+b+c = a(1+4d) = 30!$ である．よって $1+4d$ は，$30!$ の正の約数であって，$1$ より大きく $4$ で割って $1$ 余るものに対応するので，そのようなものの個数を $K$ とおく．求める組の個数は $K$ である． \\\r\n　ルジャンドルの公式から，$30!$ の素因数分解は\r\n$$30! = 2^{26}\\cdot 3^{14}\\cdot5^{7}\\cdot7^{4}\\cdot11^{2}\\cdot13^{2}\\cdot17\\cdot 19\\cdot 23\\cdot 29$$ \r\nとなる．$N = \\dfrac{30!}{2^{26}}$ とおき，$N$ の $4$ で割って $1$ 余る $1$ より大きい約数の個数を求めればよい．\\\r\n　$N$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数 $d$ に対し，$d$ が $23$ で割れるときは $\\dfrac{d}{23}$ が $\\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $3$ 余る正の約数であり，$d$ が $23$ で割れないとき $d$ は $\\dfrac{N}{23}$ の $4$ で割って $1$ 余る正の約数である．この対応で，$30!$ の任意の $4$ で割って $1$ 余る正の約数は，$\\dfrac{N}{23}$ の正の約数と $1:1$ に対応する．以上より \r\n$$\r\nK = (14 + 1)(7 + 1)(4+1)(2+1)^2(1+1)^3 - 1= \\mathbf{43199}.\r\n$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837" }, { "content": "行間を埋める\r\n\r\n問1.\r\n\r\n$$(\\dfrac{AR}{RB},\\dfrac{BP}{PC},\\dfrac{CQ}{QA})$$\r\n\r\nは,点$X$を動かしたときに,任意の$\\lbrace (x,y,z)\\in \\mathbb{R}^3\\_{\\gt 0};xyz=1\\rbrace$上の点を取りうるか？\r\n\r\n答1.\r\n\r\n結論から言うと取りうる.\r\n\r\n$\\dfrac{AR}{RB}=s,\\dfrac{CQ}{QA}=t$となるように辺$AB,AC$を内分するように点$R,Q$を取る.\r\n\r\nこのとき,\r\n\r\n$$\\overrightarrow{AR}=\\dfrac{s}{1+s}\\overrightarrow {AB},\\overrightarrow{AQ}=\\dfrac{1}{1+t}\\overrightarrow{AC}$$\r\n\r\nである.任意の$s,t\\in (0,\\infty)$に対して,うまく点$R,Q$をそれぞれ線分$AB,AC$から取ってくれば条件が満たされる.さらに,点の取り方は一意である.\r\n\r\nこのとき,$X$の位置は$RC$と$BQ$の交点であると定める.\r\n\r\nさらに,\r\n\r\n$\\dfrac{AR}{RB}=s,\\dfrac{CQ}{QA}=t$となるような$X$の取り方はこの場合しか無いのである.\r\n\r\n問2. \r\n\r\nこのような$X$の取り方において,$X$は必ず三角形の内部(周上を除く)領域に存在しているか?\r\n\r\n答2.\r\n\r\n結論から言うと常に三角形の内部にあることが保証される.\r\n\r\nチェバの定理により,$\\dfrac{BP}{PC}=\\dfrac{1}{st}$である.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$\\overrightarrow{AP}=\\dfrac{st}{1+st}\\overrightarrow{AB}+\\dfrac{1}{1+st}\\overrightarrow{AC}$$\r\n\r\nとなる.\r\n\r\nさらに,メネラウスの定理より,\r\n\r\n$$\\dfrac{AX}{XP}\\cdot \\dfrac{PC}{CB}\\cdot \\dfrac{BR}{RA}=1$$\r\n\r\nであるため,\r\n\r\n$$\\dfrac{AX}{XP}\\cdot \\dfrac{st}{1+st}\\cdot \\dfrac{1}{s}=1$$\r\n\r\nより,\r\n\r\n$$\\dfrac{AX}{XP} =s\\cdot \\dfrac{1+st}{st}$$\r\n\r\nである.よって,\r\n\r\n$$\\overrightarrow{AX}=\\dfrac{1+st}{1+t+st}\\overrightarrow{AP}$$\r\n\r\nより,\r\n\r\n$$\\overrightarrow{AX}=\\dfrac{st}{1+t+st}\\overrightarrow{AB}+\\dfrac{1}{1+t+st}\\overrightarrow{AC}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nここで,$s,t\\in (0,\\infty)$ならば,\r\n\r\n$$0\\lt \\dfrac{st}{1+t+st}\\land 0\\lt \\dfrac{1}{1+t+st} \\land \\dfrac{st}{1+t+st}+\\dfrac{1}{1+t+st}=\\dfrac{1+st}{1+t+st}\\lt 1$$\r\n\r\nであるため,点$X$は三角形内部に存在することが保証される.\r\n\r\n注:点$X;\\overrightarrow{AX}=x\\overrightarrow{AB}+y\\overrightarrow{AC}$が三角形$ABC$の周上を除く内部に存在することの必要十分条件は\r\n\r\n$$0\\lt x\\land 0\\lt y\\land x+y\\lt 1$$\r\n\r\nである.さらに,三角形内部の点$X;\\overrightarrow{AX}=x\\overrightarrow{AB}+y\\overrightarrow{AC}$に対して,\r\n\r\n$$s=\\dfrac{x}{1-x-y},t=\\dfrac{1-x-y}{y}$$\r\n\r\nとなるような$(s,t)$が対応する.\r\n\r\n結局,\r\n\r\n$\\lbrace (x,y,z)\\in \\mathbb{R}^3\\_{\\gt 0};xyz=1\\rbrace$上の点と三角形ABCの(周上を除く)内部の点が一対一対応しているため,以降の公式解説における議論が成立することが保証される.", "text": "補足", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837/354" }, { "content": "本解法は, 公式解説と本質的には同じである.\r\n\r\n\r\n点 $X$ は三角形 $ABC$ の内部にあるので, $x, y, z \\in \\mathbb{R}_{\\gt 0} \\, (x+y+z=1)$ を用いて\r\n$$\r\n\\overrightarrow{OX}=x\\overrightarrow{OA}+y\\overrightarrow{OB}+z\\overrightarrow{OC}\r\n$$\r\nと一意に表せる.\r\n$$\r\n\\frac{AR}{RB}=\\frac{y}{x}, \\quad \\frac{BP}{PC}=\\frac{z}{y}, \\quad \\frac{CQ}{QA}=\\frac{x}{z} \\quad (\\ast)\r\n$$\r\nであるから,\r\n$$\r\nf(x,y,z)=\\frac{A R}{R B}+2 d \\cdot \\frac{B P}{P C}+4 d^2 \\cdot \\frac{C Q}{Q A}=2d\\left(\\frac{y}{2dx}+\\frac{z}{y}+\\frac{2dx}{y}\\right)\r\n$$\r\nとおくと, これが最小になるための必要条件は, \r\n$$\\frac{\\partial f}{\\partial x}=\\frac{\\partial f}{\\partial y}=\\frac{\\partial f}{\\partial z}=0 \\quad (\\ast\\ast)\r\n$$\r\nすなわち $2dx=y=z$ であり, このとき点 $X$ は三角形 $ABC$ の内心 $I$ と一致するので, $2da=b=c \\ (\\ast\\ast\\ast)$ を得る.\r\n\r\n以降は[公式解説](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/nfhai2023\\/editorial\\/9837)を参照のこと.\r\n\r\n\r\n<details><summary>$(\\ast)$ <\\/summary>\r\n点$P$ は $AX$ 上にあるので, $k \\in \\mathbb{R}$ を用いて\r\n$$\r\n\\overrightarrow{OP}=\\overrightarrow{OA}+\\overrightarrow{AP}=\\overrightarrow{OA}+k\\overrightarrow{AX}=\\overrightarrow{OA}+k\\left(\\overrightarrow{OX}-\\overrightarrow{OA}\\right)=(kx-k+1)\\overrightarrow{OA}+ky\\overrightarrow{OB}+kz\\overrightarrow{OC}\r\n$$\r\nと表せる. また, 点$P$ は 線分 $BC$ 上にあるので, $\\frac{BP}{PC}=l \\in \\mathbb{R}_{\\gt 0}$ を用いて\r\n$$\r\n\\overrightarrow{OP}=\\frac{1}{1+l}\\overrightarrow{OB}+\\frac{l}{1+l}\\overrightarrow{OC}\r\n$$\r\nと表せる. 以上より, $\\frac{BP}{PC}=\\frac{z}{y}$ を得る. $\\frac{CQ}{QA}$と $\\frac{AR}{RB}$ も同様である.\r\n<\\/details>\r\n\r\n<details><summary>$(\\ast\\ast)$<\\/summary>\r\n$x+y+z=1$ より $x, y, z$ は 内 2 つが定まると残り 1 つも定まるので, 実際には等号は 2 つで十分である.\r\n<\\/details>\r\n\r\n<details><summary>$(\\ast\\ast\\ast)$<\\/summary>\r\n一般に\r\n$$\r\n\\overrightarrow{OI}=\\frac{a}{a+b+c}\\overrightarrow{OA}+\\frac{b}{a+b+c}\\overrightarrow{OB}+\\frac{c}{a+b+c}\\overrightarrow{OC}\r\n$$\r\nが成り立つ.\r\n<\\/details>", "text": "点Xを明示的に変数設定する", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9837/361" } ]

[ { "content": "　まず一般の $n$ に対し，黒を向いた石が $1$ つあり，その右側に白を向いた石が $n$ 個ある場合の方法の数 $a_n$ について考える．$a_1=1, ~ a_2=2$ である．\\\r\n　$n\\geq3$ の場合について，次のように場合分けして考える：\r\n\r\n(i)　最初に左から2番目にある石を裏返す場合：\\\r\n　残りの石の状態は $n-1$ での初期状態と同じとみなせるので，この場合は $a_{n-1}$ 通り.\r\n\r\n(ii)最初に左から3番目にある石を裏返す場合：\\\r\n　左から3番目以降にある石の状態は $n-2$ での初期状態と同じとみなせるので，左から4番目以降のオセロを裏返す順番は $a_{n-2}$ 通りある．そのうち一つを選んだあと，左から2番目にある石を任意のタイミングで裏返すことができるから，まとめるとこの場合は $(n-1)a_{n-2}$ 通りである．\r\n\r\nよって，$n\\geq3$ のとき $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ が成り立つ．順次計算することで，$a_{10}=\\mathbf{9496}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10083" }, { "content": "黒石が$x$個あって,かつ一番左の黒石から一番右までの黒石までの間に白石が$y$個ある状態にするための操作列の場合の数を$dp(x,y)$とおくと,\r\n\r\n$$dp(1,0)=1$$\r\n\r\n$$dp(1,y)=0;(y\\neq 0)$$\r\n\r\n$$dp(x,y)=dp(x-1,y-1)+dp(x-1,y)+dp(x-1,y+1)(y+1);(x\\gt 1,y\\gt 0)$$\r\n\r\n$$dp(x,y)=dp(x-1,y)+dp(x-1,y+1)(y+1);(x\\gt 1,y= 0)$$\r\n\r\n\r\nという漸化式が成立する.これをもとにして表を書くと\r\n\r\n$$\r\n\\begin{array}{r | r r r r r r r r r r r r }\r\ndp(x,y) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\\\\\\\\r\n\\hline\r\n1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n3 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n4 & 4 & 6 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n5 & 10 & 16 & 12 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n6 & 26 & 50 & 40 & 20 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n7 & 76 & 156 & 150 & 80 & 30 & \\color{blue} 6 & \\color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n8 & 232 & 532 & 546 & 350 & \\color{blue} 140 & \\color{blue} 42 & \\color{blue} 7 & \\color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n9 & 764 & 1856 & 2128 & \\color{blue} 1456 & \\color{blue} 700 & \\color{blue} 224 & \\color{blue} 56 & \\color{blue} 8 & \\color{blue} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n10 & 2620 & 6876 & \\color{blue} 8352 & \\color{blue} 6384 & \\color{blue} 3276 & \\color{blue} 1260 & \\color{blue} 336 & \\color{blue} 72 & \\color{blue} 9 & \\color{blue} 1 & 0 & 0 \\\\\\\\\r\n11 & \\color{red} 9496 & \\color{blue} 26200 & \\color{blue} 34380 & \\color{blue} 27840 & \\color{blue} 15960 & \\color{blue} 6552 & \\color{blue} 2100 & \\color{blue} 480 & \\color{blue} 90 & \\color{blue} 10 & \\color{blue} 1 & 0 \\\\\\\\\r\n\\end{array}\r\n$$\r\n\r\nより,答えは$dp(11,0)=9496$である.なお,この問題を解答するにあたっては,上記の表における青文字の部分は計算する必要は無いことに注意.\r\n\r\n----\r\n\r\n余談だが,\r\n\r\n$$a_N=dp(N+1,0)=\\sum_{n=0}^{\\lfloor N\\/2\\rfloor }{}\\_{N}\\mathrm{C}_{2n}\\cdot (2n-1)!!$$\r\n\r\nが成立する.\r\n\r\nここで,シグマの各項は「黒を向いた石の2つ隣にある白石をひっくり返す」操作をちょうど$n$回行うときの操作列の場合の数となっている.", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10083/349" } ]

[ { "content": "　$x=ab+bc+ca$ とおき，$p=2017$ とする．$a=p$ のとき，$x$ が $p$ で割り切れるとすると，$b=c=p$ となるから不適．よって問題は，$1$ 以上 $p-1$ 以下の相異なる整数の組 $(a,b,c)$ であって，$x$ が $p$ の倍数になるようなものを求めることに帰着する．まず，相異なるという条件を考慮せずに組を求める．\\\r\n　以下, 合同式の法は $p$ とする．また，\r\n\r\n- $S_1$ を $1\\leq a,b,c\\leq p-1,a\\neq b$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．\r\n- $S_2$ を $1\\leq a,b,c\\leq p-1,a\\neq b,b=c$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．\r\n- $S_3$ を $1\\leq a,b,c\\leq p-1,a\\neq b,c=a$ を満たす整数の組 $(a,b,c)$ の集合とする．\r\n\r\n求めるべきは $|S_1|-|(S_2\\cup S_3)|=|S_1| - |S_2| - |S_3| + |S_2\\cap S_3|$である.\r\n\r\n- $|S_2|$ を求める．$b=c$ より，$x = ab + b^2 + ab = b(2a + b)$．$b$ は $p$ で割れないので $2a + b$ が $p$ で割れる．$a$ を任意に一つ定めたとき，$b$ を $b\\equiv -2a$ を満たすように $1$ 通りだけ取ることができるため，$2a + b$ が $p$ の倍数になる場合の数は $p-1$ 通りである. よって $|S_2| = p-1$．対称性より $|S_3| = p-1$ でもある．\r\n- $S_2\\cap S_3$ について，$a=b=c$とすると $x = 3a^2$ であり，これは$p$で割れない．よって $|S_2\\cap S_3| = 0$．\r\n\r\nよって $|S_1| - 2(p-1)$ を求めればよい．以下，$|S_1|$を求める．$x=(a+b)c + ab$ に注目し，$a+b$ が $p$ で割れるかで場合分けを行う．\r\n\r\n- $a+b$ が $p$ で割れないとき，$s(a+b)\\equiv 1$ となる $p$ で割れない整数 $s$ があるので，\r\n$x\\equiv 0$ ならば $c\\equiv -abs$ となる．$-abs\\not\\equiv 0$ であり，このよう な$c$ は一つに定まるから，$a+b$ が $p$ の倍数 ($\\iff a+b = p$) でないような組 $(a,b)$ で $a\\neq b$ を満たすものの分だけ，題意を満たす $(a,b,c)$ が得られる．$a = b$ と $a+b = p$ は両立しないことに注意すると，そのような $(a,b)$ の個数は $(p-1)^2 - (p-1) - (p-1) = (p-1)(p-3)$ 個と求まる．\r\n- $a+b$ が $p$ で割れるとき，$ab$ が $p$ で割れるが，$1\\leq a,b\\leq p-1$ かつ $p$ が素数だからそれは起こらない．\r\n\r\n以上より $|S_1| = (p-1)(p-3)$である．\\\r\n　よって，求める場合の数は $(p-1)(p-3) - 2(p-1) = (p-1)(p-5)$ なので，求める確率は\r\n$$\\frac{(p-1)(p-5)}{p(p-1)(p-2)}=\\frac{p-5}{p(p-2)}$$\r\nである．特に，$p=2017$ のとき，\r\n$$\\frac{2012}{2017\\cdot2015}=\\frac{2012}{4064255}.$$\r\nよって，求める値は $2012+4064255=\\mathbf{4066267}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9836" }, { "content": "以降,合同式の法は$p$である.\r\n\r\n$ab+bc+ca\\equiv 0$であるが,$a\\equiv 0$ならば$b\\equiv 0$または$c\\equiv 0$となる.しかし,$a,b,c$に重複がないという条件があるため,これは不適である.\r\n\r\nよって,$a,b,c\\neq 0\\pmod{p}$\r\nである.\r\n\r\nこのとき,$x,y,z$を\r\n\r\n$$x=a^{-1},y=b^{-1},z=c^{-1}$$\r\n\r\nと定義すると,求めるべき答えは\r\n\r\n$$X:=\\lbrace (x,y,z)\\in \\mathbb{F}_p^3;x+y+z\\equiv 0,\\|\\lbrace x,y,z\\rbrace\\|=3,0\\notin \\lbrace x,y,z\\rbrace \\rbrace$$\r\n\r\nとしたときの$X$の元の個数である.\r\n\r\nここで,$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\\in\\mathbb{F}_p^3\\setminus\\lbrace 0\\rbrace$に対して\r\n\r\n$$(x_1,y_1,z_1)\\sim (x_2,y_2,z_2)\\equiv\\_{\\mathrm{def}} \\exists t\\in\\mathbb{F}\\_p\\setminus\\lbrace 0\\rbrace,\\mathrm{s.t.}x_1=tx_2,y_1=ty_2,z_1=tz_2 $$\r\n\r\nと定める.\r\n\r\nさらに,$v \\in \\mathbb{F}_p^3\\setminus\\lbrace 0\\rbrace$に対して,\r\n\r\n$$\\left[v\\right]\\equiv\\_{\\mathrm{def}} \\lbrace u\\in\\mathbb{F}_p^3;u\\sim v\\rbrace$$\r\n\r\nと定める.ここで,$\\forall v \\in \\mathbb{F}_p^3\\setminus\\lbrace 0\\rbrace$について,$\\|\\left[v\\right]\\|=p-1$であることに注意である.\r\n\r\nさらに,$u\\sim v$ならば$u\\in X$と$v\\in X$が同値であるため,\r\n\r\n$$X=\\sqcup_{k=1}^{m} \\left[v_k\\right]$$\r\n\r\nとなる.ここで,$v_i\\sim v_j$ならば$i=j$が成り立つ.\r\n\r\nこのような$v_1,\\ldots,v_m$の組み合わせを取ることができて,$|X|=(p-1)m$となる.\r\n\r\nよって,$m$を求めればよい.\r\n\r\n$$Y:=\\lbrace (x,y,z)\\in \\mathbb{F}_p^3\\setminus \\lbrace 0\\rbrace ; x+y+z\\equiv 0\\rbrace $$\r\n\r\nとしたとき,\r\n\r\n$$|Y|=p^2-1=(p-1)(p+1)$$\r\n\r\nとなる.さらに,$Y$はベクトルを定数倍したときに集合に入っているかが不変なので,ある$v_1,\\ldots,v_{p+1}$が存在して,\r\n\r\n$$Y=\\sqcup_{k=1}^{p+1} \\left[v_k\\right]$$\r\n\r\nと書くことができる.ここで,$v_i\\sim v_j$ならば$i=j$である.\r\n\r\nこの中から,$\\|\\lbrace x,y,z\\rbrace\\|=3,0\\notin \\lbrace x,y,z\\rbrace$という条件を満たす元を取り除くことを考える.\r\n\r\n結論から言うと,取り除かれる対象は\r\n\r\n$$\\left[(0,1,-1)\\right],\\left[(-1,0,1)\\right],\\left[(1,-1,0)\\right],\\left[(-2,1,1)\\right],\\left[(1,-2,1)\\right],\\left[(1,1,-2)\\right]$$\r\n\r\nの6つで全てである.このとき,これら6つには重複は無い.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$X=Y\\setminus \\lbrace(6つのベクトル)\\rbrace $$\r\n\r\nなので,$m=p+1-6=p-5$である.よって,$\\|X\\|=(p-1)(p-5)$である.\r\n\r\n求めるべき確率の分母は$p(p-1)(p-2)$であるため,答えは\r\n\r\n$$\\dfrac{(p-1)(p-5)}{p(p-1)(p-2)}=\\dfrac{p-5}{p(p-2)}=\\dfrac{2012}{2015\\cdot 2017}$$", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9836/353" } ]

[ { "content": "　$F_N$ が $2$ で割り切れる回数と $3$ で割り切れる回数を求めればよい．結論から述べれば，一般に\r\n$${\\rm ord}\\_2(F_{6m})={\\rm ord}\\_2(m)+3, \\quad {\\rm ord}\\_3(F_{4m})={\\rm ord}\\_3(m)+1$$\r\nが成立する．このことを示す．まず，$\\alpha=\\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2},~\\beta=\\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$ とすると，\r\n$$F_n=\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alpha}$$\r\nとなる．ここで，$L_n:=\\alpha^n+\\beta^n$ と定める．\\\r\n　このとき，$L_n\\mod{4}$ および $F_n\\mod{4}$ は，以下によりともに周期 $6$ をもつ．\r\n$$\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\r\nn & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \\cdots \\\\\\\\ \\hline\r\nL_n \\mod{4} & 2 & 1 & 3 & 0 & 3 & 3 & 2 & 1 & \\cdots \\\\\\\\ \\hline\r\nF_n \\mod{4} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & \\cdots \\\\\\\\\r\n\\end{array}$$\r\n　$x_n=F_{6n}\\/8$ とおくと，$x_0=0, ~ x_1=1, ~ x_{n+2}=18x_{n+1}-x_n$ であるから，$m$ が奇数のとき $F_{6m}\\/8$ は奇数である．すなわち，$F_{6m}$ は $2$ でちょうど $3$ 回だけ割れる．さらに，$n$ が $6$ の倍数であるとき，\r\n$$\\dfrac{F_{2n}}{F_n}=L_n\\equiv 2\\pmod{4}$$\r\nであるため，$F_{2n}\\/F_n$ は $2$ でちょうど $1$ 回だけ割れる．以下，帰納的に議論することで，\r\n$${\\rm ord}\\_2(F\\_{6m})={\\rm ord}\\_2(m)+3$$\r\nが従う．\\\r\n　$L_n\\mod{9}$ および $F_n\\mod{9}$ は，以下によりともに周期 $24$ をもつ．\r\n$$\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\r\nn & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\\\\\\\ \\hline\r\nL_n \\mod{9} & 2 & 1 & 3 & 4 & 7 & 2 & 0 & 2 & 2 & 4 & 6 & 1 & 7 & 8 & 6 \\\\\\\\ \\hline\r\nF_n \\mod{9} & 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 4 & 3 & 7 & 1 & 8 & 0 & 8 & 8 \\\\\\\\\r\n\\end{array}$$\r\n$$\\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\r\nn & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & \\cdots \\\\\\\\ \\hline\r\nL_n \\mod{9} & 5 & 2 & 7 & 0 & 7 & 7 & 5 & 3 & 8 & 2 & 1 & \\cdots \\\\\\\\ \\hline\r\nF_n \\mod{9} & 7 & 6 & 4 & 1 & 5 & 6 & 2 & 8 & 1 & 0 & 1 & \\cdots \\\\\\\\\r\n\\end{array}$$\r\n　$n$ が $4$ の倍数であって $3$ の倍数でないとき，表により $F_n \\mod{9}=3,6$ である．すなわち，$F_n$ は $3$ でちょうど $1$ 回だけ割り切れる．\\\r\n　また，$n$ が $4$ の倍数であるとき，\r\n$$\\dfrac{F_{3n}}{F_n}=\\alpha^{2n}+\\alpha^n\\beta^n+\\beta^{2n}=L_{2n}+1$$\r\nとなる．ここで，$2n$ は $8$ の倍数であることに注意すると，表から\r\n$$L_{2n}+1\\equiv 2+1\\equiv 3\\pmod{9}$$\r\nとなるため，$F_{3n}\\/F_n$ は $3$ でちょうど $1$ 回だけ割り切れる．よって帰納的に\r\n$${\\rm ord}\\_3(F_{4m})={\\rm ord}\\_3(m)+1$$\r\nが成り立つ．\\\r\n　$N$ は $6$ の倍数であり，かつ $N$ が $2$ で割り切れる回数は $97$ 回なので，$F_N$ が $2$ で割り切れる回数は $97-1+3=99$ 回である．また，$N$ は $4$ の倍数であり，$N$ が $3$ で割り切れる回数は $48$ 回なので，$F_N$ が $3$ で割り切れる回数は $48+1=49$ 回である．$99,49\\lt N=100!$ に注意すると，\r\n$${\\rm gcd}(F_N,6^N)=2^{99}\\cdot 3^{49}$$\r\nなので，正の約数の個数は $(99+1)\\times (49+1)=\\bm{5000}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9864" }, { "content": "この解説は __ImL__ が書いたものを代理投稿したものです.\r\n\r\n----\r\n\r\n公式解答の序盤に現れた\r\n$$ \\mathrm{ord}\\_{2} (F_{6m}) = {\\rm ord}\\_{2}(m) + 3$$\r\n$$ {\\rm ord}\\_{3}(F_{4m}) = {\\rm ord}\\_{3}(m) + 1$$\r\nは，「代数体上のLTEの補題」から得ることもできる（参考: https:\\/\\/mathlog.info\\/articles\\/886 ）．\r\n\r\n　$K$を代数体，$\\mathfrak{p}$をその整数環 $\\mathcal{O}_{K}$の極大イデアル，$p$ を 剰余体 $\\mathcal{O}_K\\/\\mathfrak{p}$の標数，$e$を$\\mathfrak{p}\\/p\\mathbb{Z}$の分岐指数，すなわち $p(\\mathcal{O}_K)_\\mathfrak{p} = \\mathfrak{p}^{e}(\\mathcal{O}_K)_\\mathfrak{p} $を満たす正の整数$e$とする．\r\n\r\n$v: K\\to \\mathbb{Z}\\cup \\\\{\\infty \\\\}$ を$\\mathfrak{p}$進付値とする．$v(p)=e$である.\r\n\r\n**定理.**\r\n$x,y \\in K$ が $v(x) = 0, v(y) = 0, v(x-y) \\gt \\frac{e}{p-1}$を満たすとき，$n$ を任意の整数とすると\r\n$$ v(x^n - y^n) = v(x-y) + v(n) $$\r\nが成立する．\r\n\r\n　本問では，$K = \\mathbb{Q}(\\sqrt{5})$，$\\mathfrak{p} = p\\mathcal{O}_K$ で定理を適用する．なお，$p$ は不分岐 ($e=1$) であり，$p\\mathcal{O}_K$ は 極大イデアルとなることに注意せよ．\r\n\r\n　$p=2, 3$ に対して，$K$ 上の $p$進付値も${\\rm ord}_{p}$で表す．$\\alpha = \\dfrac{1+\\sqrt{5}}{2}$，$\\beta = \\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}$として $x=\\alpha^{6}$, $y=\\beta^{6}$ とする．$x-y= 8\\sqrt{5}$ だから${\\rm ord}\\_{2}(x-y) = 3 \\gt \\frac{1}{2-1}$ であり，定理が適用できて，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n {\\rm ord}\\_{2}(F\\_{6m}) &= {\\rm ord}\\_{2}\\left( \\alpha\\^{6m} - \\beta\\^{6m} \\right) - {\\rm ord}\\_{2}(\\alpha^6 - \\beta^6) + {\\rm ord}\\_{2}\\left( \\dfrac{\\alpha^{6} - \\beta^{6}}{\\sqrt{5}} \\right) \\\\\\\\\r\n& \\overset{\\text{LTE}}{=} {\\rm ord}\\_{2} (m) + {\\rm ord}\\_{2}\\left( 8 \\right) \\\\\\\\\r\n& = {\\rm ord}\\_{2} (m) + 3\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nを得る．\r\n\r\n　${\\rm ord}\\_{3}(F_{4m}) = {\\rm ord}\\_{3}(m) + 1$ についても，$x = \\alpha^4$, $y=\\beta^4$として定理を適用すれば得られる．(${\\rm ord}\\_{3}(x-y) = {\\rm ord}\\_{3}(3\\sqrt{5}) = 1 \\gt \\frac{1}{3-1}$なので適用可能)．", "text": "解説（ImLの代理投稿）", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9864/357" } ]

[ { "content": "　まず，次を示す． \r\n\r\n---\r\n\r\n**補題**．$m$，$k$ を自然数で $1\\leq k\\leq m$ を満たすとする．このとき\r\n$$\r\nf^{2}(m^2 + k) = (m+1)^2 + k.\r\n$$\r\n\r\n**(証明)**　$m \\lt \\sqrt{m^2 + k} \\leq \\sqrt{m^2 + m} \\lt m+\\frac{1}{2}$ なので, \r\n$$\\begin{aligned}\r\n f(m^2 + k) & = m^2 + k + \\lfloor\\sqrt{m^2 + k} + \\frac{1}{2}\\rfloor \\\\\\\\\r\n & = m^2 + m + k.\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nまた, $m+\\frac{1}{2} \\lt \\sqrt{m^2 + m + k} \\lt m+1$なので\r\n$$ \r\nf(m^2 + m + k) = m^2 + m + k + (m+1) = (m+1)^2 + k.\r\n$$ \r\n\r\n---\r\n\r\n　求める和は\r\n$$\r\n\\sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) + \r\n\\sum_{n=1}^{9}\\sum_{k=1}^{n} \\left( f^{100}(n^2 + k) + f^{100}(n^2 + n + k)\\right)\r\n$$\r\nである．補題を使って，それぞれの総和を調べる．\r\n　まず\r\n $$\\begin{aligned}\r\nf^{100}(n^2) & = f^{99}(n^2 + n) \\\\\\\\\r\n&= f((n+49)^2 + n) \\\\\\\\\r\n&= (n+49)^2 + 2n+49 \\\\\\\\ \r\n&= n^2 + 100n + 2450\r\n\\end{aligned}$$ \r\nより，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=1}^{10} f^{100}(n^2) &= 3550 + \\sum_{n=1}^{9} (n^2 + 100n + 2450)\r\n\\end{aligned}$$\r\n　次に\r\n $$f^{100}(n^2 + k) = (n+50)^2 + k$$\r\n\r\n $$\\begin{aligned} \r\nf^{100}(n^2 + n + k) &= f^{99}((n+1)^2 + k) \\\\\\\\\r\n &= f((n+50)^2 + k) \\\\\\\\ \r\n & = (n+50)^2 + n + 50 + k\r\n\\end{aligned}$$\r\nより，\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&\\sum_{k=1}^{n}\\left(f^{100}(n^2 + k) + f^{100}(n^2 + n + k)\\right) \\\\\\\\ \r\n&= \\sum_{k=1}^{n} \\left( 2(n+50)^2 + n + 50 + 2k\\right) \\\\\\\\\r\n&= 2n(n+50)^2 + n(n+50) + n(n+1) \\\\\\\\\r\n&= 2n^3 + 202n^2 + 5051n \r\n\\end{aligned}$$\r\n　以上の計算より，求める和は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& 3550 + \\sum_{n=1}^{9} (2n^3 + 203n^2 + 5151n + 2450) \\\\\\\\\r\n&= 3550 + \\dfrac{(9\\cdot 10)^2}{2} + 203\\cdot \\frac{9\\cdot 10\\cdot 19}{6} + 5151\\cdot \\frac{9\\cdot 10}{2} + 2450\\cdot 9 \\\\\\\\\r\n&= 3550 + 4050 + 57855 + 231795 + 22050 \\\\\\\\\r\n&= \\mathbf{319300}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9844" } ]

[ { "content": "条件を満たす$x$の集合を$S(n)$で表す. \r\n\r\n**補題.**\r\n$x\\in S(n)$ならば $x^{22} = 1$または$x^{24} = 1$である．\r\n\r\n(**証明**) $x\\in S(n)$のとき$x^{2024} = 1$なので，とくに$|x| = 1$．よって$x^{n}(x-1) = x^{23} - 1$ から $|x-1| = |x^{23}-1|$ を得る．この式を複素数平面上で考えれば，$x,x^{23}$ は単位円周 $|z| = 1$ 上にあり，かつ $1$ から等距離であるので，$x = \\overline{x^{23}}$ または $x = x^{23}$ となる．前者のとき，$|x| = 1$ より$x^{24} = 1$となる．$x\\neq 0$なので後者のときは $x^{22} = 1$ となる．(**証明終**)\r\n\r\nこの補題をもとに方程式を整理する．以下に注意する．\r\n\r\n- $x^{22} = 1$のとき，$x^{n}(x-1) = x^{23} - 1 = x-1$ なので $x^{n}=1$となる．$x^{2024} = 1$ かつ $x^{22} = 1$ かつ $x^n = 1$ であることは $x^{\\mathrm{gcd}(n,22)} = 1$ であることと同値である． \r\n- $x^{24} = 1$ のとき，$x^{n}(x-1) = x^{23} - 1 = x^{-1} - 1$ を整理して $x^{n+1} = -1$ を得る．このとき $x^{2n+2} = 1$ であり，複素数$x$に対して $x^{2024} = 1$ かつ $x^{24} = 1$ かつ $x^{2n+2} = 1$ であることは $x^{{\\rm gcd}(8,2n+2)} = 1$ であることと同値である．\r\n- $x^{22} = 1$ かつ $x^{24} = 1$ を満たす 複素数 $x$ は $x=\\pm 1$ のみである．常に $1\\notin S(n)$ であり， $-1\\in S(n)$ であるのは $n$ が偶数のときに限る． \r\n\r\n　ここで，$g(n)={\\rm gcd}(n,22)$，$h(n) = {\\rm gcd}(8,2n+2)$ とおく．上より $S(n)$ は次の3種類の集合 $A(n), B(n), C(n)$ に分割される：\r\n$$\\begin{aligned} \r\nA(n)&= \\\\{ x\\neq \\pm 1 \\mid x^{{\\rm gcd}(n,22)} = 1\\\\}\\\\\\\\ \r\nB(n)&= \\\\{ x\\neq \\pm 1 \\mid x^{\\mathrm{gcd}(8,2n+2)} = 1, \\quad x^{n+1} = -1\\\\} \\\\\\\\ \r\nC(n)&= \r\n\\begin{cases}\r\n\\varnothing \\quad (n\\text{が奇数})\\\\\\\\\r\n\\\\{ -1 \\\\} \\quad (n\\text{が偶数}) \r\n\\end{cases}\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n　$f(n) = |A(n)| + |B(n)| + |C(n)|$ と書けるので，以下の場合に分けて計算する．\r\n\r\n- $n$ が偶数のとき，$h(n)=2$ なので $B(n) = \\varnothing $ である．よって\r\n$$f(n) = (\\mathrm{gcd}(n,22) - 2) + 0 + 1 = g(n) - 1.$$\r\n- $n$ が奇数のときは $A(n) = \\\\{ x \\mid x^{g(n)} = 1 \\\\}\\setminus{\\\\{ 1 \\\\}}$ なので $f(n) = g(n) - 1 + |B(n)|$ である．\r\n\r\n$n$ が奇数のときの $|B(n)|$ を調べるために，以下の3つの場合分けを行う．$k$は $0$ 以上の整数とする．\r\n\r\n　(**Case 1.**) $n = 4k+1$ のとき，$h(n) = 4$ なので $B(n) = \\\\{x\\neq \\pm 1\\mid x^{4} = 1, x^{2} = -1\\\\}$ より $|B(n)| = 2$．\r\n\r\n　(**Case 2.**) $n=8k+3$のとき，$h(n) = 8$，$x^{n+1} = (x^{8})^k \\cdot x^4$ なので $B(n) =\\\\{x\\neq \\pm 1\\mid x^8 = 1, x^4 = -1\\\\}$ より $|B(n)| = 4$． \r\n\r\n　(**Case 3.**) $n = 8k+7$ のとき， $h(n) = 8$，$x^{n+1} = (x^8)^{k+1}$ である．$x\\in B(n)$ のとき $x^{n+1} = 1 \\neq -1$ となるため $B(n) = \\varnothing$である．\r\n \r\n　以上をまとめると，$f(n)$ は 以下で与えられる．\r\n$$\r\nf(n) = g(n) + r(n),\\quad \\text{ただし} r(n) = \r\n\\begin{cases} \r\n-1 & (n \\text{は偶数, または} n\\equiv 7 \\pmod{8}) \\\\\\\\\r\n1 & (n \\equiv 1\\pmod{4}) \\\\\\\\ \r\n3 & (n \\equiv 3 \\pmod{8}) \r\n\\end{cases} \r\n$$\r\n　これにより，求めるべき総和は以下のように計算される： \r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=0}^{2023} f(n) &= \\sum_{k=0}^{253} \\\\{g(8k) + \\dots + g(8k+7) + (r(8k) + \\dots + r(8k+7))\\\\} \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{k=0}^{252} \\\\{g(8k) + \\dots + g(8k+7) + 0\\\\} \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{n=0}^{2023} \\mathrm{gcd}(n,22) \\\\\\\\ \r\n&= 92\\sum_{n=0}^{21} \\mathrm{gcd}(n,22) \\\\\\\\\r\n&= 92(1\\times \\varphi(22) + 2\\times \\varphi(11) + 11\\times \\varphi(2) + 22\\times \\varphi(1)) \\\\\\\\ \r\n&= 92(10 + 20 + 11 + 22) \\\\\\\\ \r\n&= 92\\times 63\\\\\\\\ \r\n&= \\mathbf{5796}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9847" } ]

[ { "content": "${P}$から${BC}$に下ろした垂線の足を${H}$とする. $4$点${A,B,P,C}$は同一円周上にあるので,\r\n$$\r\n\\angle{ ABP}+\\angle{ ACP}=180^\\circ. \\tag{1}\r\n$$\r\nまた, 円周角の定理の逆より, $4$点${M,B,P,H}$は同一円周上にあり,\r\n$$\r\n\\angle{ ABP}=\\angle{ MBP}=180^\\circ-\\angle{ PHM}.\r\n$$\r\n$4$点${N,C,H,P}$は同一円周上にあり,\r\n$$\r\n\\angle{ ACP}=180^\\circ-\\angle{ PCN}=180^\\circ-\\angle{ PHN}.\r\n$$\r\nよって(1)が,\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&\\quad (180^\\circ-\\angle{ PHM})+(180^\\circ-\\angle{ PHN})=180^\\circ \\\\\\\\\r\n&\\iff \\angle{ PHM}+\\angle{ PHN}=180^\\circ\r\n\\end{aligned}$$\r\nとなるので$3$点${H,M,N}$は同一直線上にある. すなわち, ${H}$は${MN}$と${BC}$の交点で${Q}$と一致する(Simsonの定理の逆). 円周角の定理の逆より,$4$点${M,B,P,Q}$は同一円周上にあり$\\angle{ PBC}=\\angle{ PMN}$,$4$点${N,C,Q,P}$は同一円周上にあり$\\angle{ PCB}=\\angle{ PNM}$であるから\r\n$$\r\n\\triangle{ PBC}\\sim\\triangle{ PMN}.\r\n$$\r\nまた, $4$点${A,M,P,N}$も同一円周上にあるので, Ptolemyの定理より,\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&\\quad {AP}\\cdot {MN}={AM}\\cdot {PN}+{AN}\\cdot {PM} \\\\\\\\\r\n&\\iff 25\\cdot {MN}=20\\cdot \\sqrt{25^2-24^2}+24\\cdot \\sqrt{25^2-20^2} \\\\\\\\\r\n&\\iff {MN}=20.\r\n\\end{aligned}$$\r\n$\\triangle{ PBC}$と$\\triangle{ PMN}$の相似比を$k:1~(k\\gt0)$とすると, ${PB}=15k,{PC}=7k,{BC}=20k$となり, Heronの公式から,\r\n$$\r\n\\triangle{ PBC}=\\sqrt{21k\\cdot 6k\\cdot 14k\\cdot k}=42k^2.\r\n$$\r\nまた, ${PQ}\\perp {BC}$より,\r\n$$\r\n\\triangle{ PBC}=\\dfrac{1}{2}\\cdot {BC}\\cdot {PQ}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 20k\\cdot 5=50k.\r\n$$\r\nこれらが等しいことから,\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&\\quad 42k^2=50k \\\\\\\\\r\n&\\iff k=\\dfrac{25}{21}\r\n\\end{aligned}$$\r\nであり,\r\n$$\r\n{BC}=\\dfrac{500}{21}.\r\n$$\r\nここで, 三角形の面積公式から,\r\n$$\r\n\\triangle{ PBC}=\\dfrac{1}{2}\\cdot {PB}\\cdot {PC}\\cdot\\sin{\\angle{ BPC}}\r\n=\\dfrac{1}{2}\\cdot 15k\\cdot 7k\\cdot\\sin{\\angle{ BPC}}\r\n=\\dfrac{105}{2}k^2\\sin{\\angle{ BPC}}.\r\n$$\r\nこれが$42k^2$と等しいことから,\r\n$$\r\n\\sin{\\angle{ BPC}}=\\dfrac{4}{5}.\r\n$$\r\nしたがって, 正弦定理から$\\Gamma$の半径$R$は\r\n$$\r\nR=\\dfrac{{BC}}{2\\sin{\\angle{ BPC}}}=\\dfrac{625}{42}.\r\n$$\r\nすなわち,求める値は$625+42=\\textbf{667}$.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10037" }, { "content": "シムソン線に気づかなくても，（回転）相似を見つければ以下のように容易に解けます．「シムソンの定理の逆」の証明を埋めているだけですが、$PQ\\perp BC$ には気づかなくてもよいです．\r\n\r\n---\r\n三平方の定理により，$MP=15,NP=7$ が得られる． \r\n条件により，$A,B,P,C$ は同一円周上にあるから，円周角の定理より，$\\angle{CAP} = \\angle{CBP} = \\angle{QBP}$ \r\nまた，$A,M,P,N$ も同一円周上にあるため，円周角の定理より，$\\angle{CAP} = \\angle{NAP} = \\angle{NMP}=\\angle{QMP}$ \r\nよって，$\\angle{QBP} = \\angle{QMP}$ となるから，$Q,M,B,P$ は同一円周上にある． \r\n円周角の定理を使うことで，以下の二つが示せる．\r\n$$\r\n\\angle{QPM}=\\angle{QBM}=\\angle{CBA}=\\angle{CPA} \\\\\\\\\r\n\\angle{PMQ}=\\angle{PMN}=\\angle{PAN}=\\angle{PAC}\r\n$$\r\nしたがって，$\\triangle{QPM} \\sim \\triangle{CPA}$ となるため，辺の比の条件から，\r\n$$\r\nPC = \\frac{AP\\cdot QP}{MP} = \\frac{25}{3}\r\n$$\r\nとなり，$\\sin \\angle{PAC} = \\sin \\angle{PAN} = \\dfrac{7}{25}$ となるので，正弦定理から半径 $R$ は，\r\n$$\r\nR = \\frac{PC}{2\\sin \\angle{PAC}} = \\frac{625}{42}\r\n$$\r\nとなる．", "text": "相似と正弦定理", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10037/360" } ]

[ { "content": "　条件より$f$は全射，ゆえに全単射である．\r\n\r\n　$n$に対し, $f^{d_n}(n) = n$を満たす最小の正の整数 $d_n$ がある．これを $n$ の**周期**と呼ぶことにする．条件より周期 $d_n$ は $n$ の約数である． ここで非負整数 $i,j$ に対し，単射性から\r\n　$$f^{j}(f^{i}(n)) = f^{i}(n) \\iff f^{j}(n) = n \\iff d_n \\mid j$$ \r\nなので，$n,f(n),\\dots, f^{d_n -1}(n)$の周期もまた $d_n$ となる．$0\\leq i \\lt d_n$とし， $a = f^{i}(n)$とおくと，$f^{a}(a) = a$ かつ $a$ の周期は $d_n$ なので，周期の最小性から $a$ が $d_n$ の倍数でなければならない．$a\\in \\\\{ 1,2,\\dots, 13 \\\\}$ なので，$1$ から $13$ までの整数の中に $d_n$ の倍数が $d_n$ 個以上あることになる．よって$d_n\\cdot d_n \\leq 13$ が従うから，$d_n = 1,2,3$でなければならない．これらと $d_n | n$ を考慮することで，特に次が分かる: \r\n\r\n- $n$ が $2,3$と互いに素である場合( $n = 1,5,7,11,13$ )，$d_n = 1$，すなわち $f(n) = n$ でなければならない．よって $f$ は $8$元集合 $S = \\\\{ 2,3,4,6,8,9,10,12 \\\\}$ の置換で決まる．\r\n- $n\\in S$ が $3$ の倍数でない場合 ( $n = 2,4,8,10$ )，$d_n \\neq 3$．\r\n- $n\\in S$ が 偶数でない場合 ( $n = 3,9$ )，$d_n \\neq 2$．\r\n- $n = 6, 12$ の場合，$d_n$ は $1,2,3$ のどの可能性もある．\r\n\r\n　以降，$n\\in S$ に対して $O_n$ は $n$ の$f$による軌道，すなわち集合 $\\left\\\\{ n, f(n), \\dots, f^{d_n - 1(n)} \\right\\\\}$ を表すとする．$O_n$ の**長さ** (元の個数) は $d_n$ であり，集合 $S$ は $O_n$ ($n\\in S $) のいくつかで分割される． この分割の可能性について考察する．\r\n\r\n　まず，$S$ の分割に**長さ $3$ の軌道は高々 $1$ つしか含まれない**．実際，長さ $3$ の軌道に含まれる数は $3$ の倍数でなければならず，集合$S$ に 含まれる $3$ の倍数は $6$ 個未満であるからである．同様の議論で，$S$ に属す 偶数は $6$ 個なので，**長さ $2$ の軌道は $3$ 個以下である.** \r\n\r\n　長さ $2,3$ の軌道の数をそれぞれ $x_2,x_3$ として，$(x_2,x_3)$ に関して場合分けすると以下のようになる．\r\n\r\n- $(x_2,x_3) = (0,0)$ のとき，すべてが固定点なので $1$ 個． \r\n- $(x_2,x_3) = (1,0)$ のとき，長さ $2$ の軌道に入るべき数は $2,4,6,8,10,12$ の $6$ 個なので ${}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{2} = 15$ 個． \r\n- $(x_2,x_3) = (0,1)$ のとき，長さ $3$ の軌道に入るべき数は $3,6,9,12$の4個であり，円順列を考えることで $\\dfrac{{}\\_{4}\\mathrm{P}\\_{3}}{3} = 8$個．\r\n- $(x_2,x_3) = (2,0)$ のとき，$2,4,6,8,10,12$ から 4 つ選んで 2 つずつに分ける方法を考え，$\\dfrac{{}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{4}\\cdot {}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2}}{2!} = 45$個． \r\n- $(x_2,x_3) = (1,1)$ のとき，長さ$2, 3$の軌道をそれぞれ $S_2, S_3$ とする．$S_3$ には $6$ か $12$ の少なくとも一方が入っており，以下の3ケースに分けて考えることで，$24+20+20 = 64$個の$f$を得る．\r\n\r\n (**Case 1.1.**) $6,12\\in S_3$ のとき, $S_3$としてありうるのは $12\\mapsto 6 \\mapsto i\\mapsto 12$と$12\\mapsto i\\mapsto 6\\mapsto 12$ ($i=3,9$) の4パターンである．$S_2$ は $2,4,8,10$ から2つの数字を選んで構成すればよいので, ${}_\\{4}\\mathrm{C}_\\{2} = 6$パターンがある. よって24個の $f$ を得る．\r\n\r\n (**Case 1.2.**) $12\\in S_3$ かつ $6\\notin S_3$ のとき，$S_3$は $12\\mapsto 3\\mapsto 9$ か $12\\mapsto 9\\mapsto 3$ の2個. $S_2$は $2,4,6,8,10$ から2つの数字を選んで構成すればよいので ${}\\_{5}\\mathrm{C}\\_{2} = 10$ 個．よって20個の$f$を得る．\r\n\r\n (**Case 1.3.**) $6\\in S_3$ かつ $12\\notin S_3$ のときも **Case 1.2.** と同様に同様に 20個．\r\n \r\n- $(x_2,x_3) = (3,0)$ のとき，長さ2の軌道3つを $2,4,6,8,10,12$ から作る方法の個数だけ$f$が得られるので，$\\dfrac{{}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{2}\\cdot {}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2}\\cdot {}\\_{2}\\mathrm{C}\\_{2}}{3!} = 15$個．\r\n- $(x_2,x_3) = (2,1)$ のとき，以下のように$12 + 30 + 30 = 72$個の$f$を得る．唯一の長さ3の軌道を$S_3$とする．\r\n\r\n (**Case 2.1.**) $6,12 \\in S_3$ のとき，*Case 1.1*と同様に 4通りの $S_3$ がある．長さ2の軌道2つの分け方は$2,4,8,10$ を二つに分ける方法だけあるので $\\dfrac{{}\\_{4}\\mathrm{C}\\_{2}}{2!} = 3$ 通り．よって12個の$f$を得る．　\r\n \r\n (**Case 2.2.**) $12\\in S_3, 6\\notin S_3$の場合，$S_3$は2通り( **Case 1.2** と同様). 長さ2の軌道2つは$2,4,6,8,10$ を二つに分ける方法だけあるので, $\\dfrac{{}\\_{5}\\mathrm{C}\\_{2} \\cdot {}\\_{3}\\mathrm{C}\\_{2}}{2!} = 15$ 個. よって30個の $f$ を得る. \r\n\r\n (**Case 2.3.**) $6\\in S_3,\\quad 12\\notin S_3$の場合，**Case 2.2.**と同様に30個得られる. \r\n\r\n　以上より，求める $f$ の個数は\r\n$$\r\n1 + 15 + 8 + 45 + 64 + 15 + 72 = \\mathbf{220}\r\n$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9845" } ]

[ { "content": "$AC$ と $PQ$ の交点を $E$ とすると, $AE:CE=3:2$ より, $CE=6$ である. $PQ \\parallel BC$ であるから, $4$ 点 $A, P, Q, D$ は同一円周上にある. よって, $\\angle{ABD}=\\angle{QCE}$, $\\angle{BAD}=\\angle{CQE}$ が成り立つから, $\\triangle{BAD}\\sim \\triangle{CQE}$ である. $BA:BD=CQ:CE$ であるから, $CQ=\\dfrac{90}{13}$, $DQ=\\dfrac{60}{13}$ である. $AD$ と $BC$, $PQ$ の交点をそれぞれ $F$, $G$ とおくと, $EG=\\dfrac{3}{5}CF$, $QG=\\dfrac{2}{5}CF$ より, $EQ:GQ=1:2$ である. 三角形 $ABC$ が二等辺三角形であることから, \r\n$$\\angle{CEQ}=\\angle{ACB}=\\angle{ABC}=\\angle{QDG}$$\r\nであり, $4$ 点 $C, E, D, G$ は同一円周上にあると分かる. よって, 方べきの定理より, $EQ\\cdot QG=CQ\\cdot DQ=\\dfrac{60}{13}\\cdot\\dfrac{90}{13}$ である. $EQ:GQ=1:2$ とあわせて, $EQ=\\dfrac{30}{13}\\sqrt{3}$, $GQ=\\dfrac{60}{13}\\sqrt{3}$ である. $\\angle{BDA}=\\angle{CDF}$ より, $DF$ は $\\angle{BDC}$ の外角の二等分線であるから, $BF:FC=BD:CD$ であり, $BC:CF=19:150$ である. よって, $PE:EG=BC:CF=19:150$ であるから, $PE=\\dfrac{57}{65}\\sqrt{3}$ を得る. 以上より, $PQ=PE+EQ=\\dfrac{207}{65}\\sqrt{3}$ であり, 解答すべき値は $\\mathbf{128612}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10050" }, { "content": "コンテスト中に実施した計算を紹介します．相似を見つけたりきれいな補助線を見つけるのが苦手だったりする人には良いかもしれません．ただし，方べきの定理や平行線の比を用いていたり，三平方の定理を活用するための補助線を引いているので，純粋な計算のみの手法ではありません．\r\n___\r\n$D$ を通り，$BC$に平行な直線と $AB,AC$ の交点を順に $X,Y$ とする．$XP:PB=DQ:QC=2:3$ より，$XP=4,AX=AY=5$ を得る．\r\n$XY,BC$ の中点を順に $N,M$ とする．$\\triangle ABC$は二等辺三角形であったから，$A,N,M$ は同一直線上で，$AM \\perp BC$ である．\r\n$\\angle{BAM}=\\dfrac{1}{2}\\angle{BAC}=\\theta$ とおく．また，$DX$ と外接円の交点($\\neq D$) を $D^{\\prime}$ とおく． \r\n$\\theta$ を用いて $BD(=13)$ を表し，それをもとに三角比を計算するのが第一目標である．(そのために，長さがつかみやすい平行線や三平方の定理を使いやすい垂直な線を引いた．)\r\n$YD=l$ とおく．方べきの定理から $D^{\\prime}Y\\cdot YD = AY\\cdot YC =50$ である．一方，$YD^{\\prime} = 2YN+XD^{\\prime} = 10\\sin\\theta+l$ と合わせると，$l(l+10\\sin\\theta) =50$ を得るので，これを解くと，$l \\gt 0$ から，\r\n$$\r\nl = -5\\sin\\theta + 5\\sqrt{\\sin^{2}\\theta+2}\r\n$$\r\nとなる．これにより，$ND = NY+YD =5\\sqrt{\\sin^{2}\\theta+2}$ であり，$BM=15\\sin\\theta$ と合わせると，三平方の定理から以下の方程式が立つ．\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n13^2 &= BD^2 = (BM+ND)^2+NM^2 \\\\\\\\\r\n&= (15\\sin\\theta + 5\\sqrt{\\sin^{2}\\theta+2})^2 + (10\\cos\\theta)^2\\\\\\\\\r\n&= 25(10\\sin^2\\theta+2+6\\sqrt{\\sin^2\\theta(\\sin^2\\theta+2)})+100(1-\\sin^2\\theta)\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\n上式で $\\sin^2\\theta = t$ と置いて再度整理すると以下の通り\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n169 &= 150+150t+150\\sqrt{t(t+2)}\\\\\\\\\r\n\\Leftrightarrow (\\frac{19}{150}-t)&=\\sqrt{t(t+2)}\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nこれを解いて(結局 $t$ の一次式になるため大変ではない)，$\\sin^2\\theta = t = \\dfrac{361}{50700}$ を得る．一方で，今回要求されている $PQ$ に関しては，平行線の性質から，\r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\nPQ &= \\frac{3XD+2BC}{5} \\\\\\\\\r\n&= \\frac{15\\sin\\theta + 15\\sqrt{\\sin^{2}\\theta+2}+60\\sin\\theta}{5}\\\\\\\\\r\n&=15\\sin\\theta + 3\\sqrt{\\sin^{2}\\theta+2} \\\\\\\\\r\n&=15\\sqrt{t} + 3\\sqrt{t+2}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{15\\cdot 19\\sqrt{3}}{390} + \\frac{3\\cdot 319\\sqrt{3}}{390}\\\\\\\\\r\n&=\\frac{207\\sqrt{3}}{65}\r\n\\end{aligned}\r\n$$\r\nとなる．", "text": "三角関数を用いた計算", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/10050/359" } ]

[ { "content": "$2^{n! + 1} - 1$ が $2n+3$ で割り切れるような $n$ の必要十分条件を求める．$n=1$は不適であるので，以降 $n\\geq 2$とする．\r\n\r\nまず，$2^{n! + 1} - 1$ が $2n+3$ で割り切れると仮定する． \r\n\r\n　$2n+3$ の 素因数 $p$ を任意にとり，$p\\lt 2n+3$ であると仮定する．$2n+3$ は奇数なので $p$ も奇数である．$2n+3=pk$ ($k\\geq 2$)と書けたとすると，$p \\leq \\frac{2n+3}{2} $ より $p\\leq n+1$．よって $n!+1$ を $p-1$ で割った余りは $1$ である．条件より $2^{n! + 1} \\equiv 1 \\pmod{p}$ であり，フェルマーの小定理より $2^{p-1}\\equiv 1\\pmod{p}$ であるから， \r\n$$2^{\\mathrm{gcd}(p-1, n!+1)} = 2^1 \\equiv 1 \\pmod{p}$$ \r\nを得るが，明らかに矛盾である．よって **$2n+3$ は素数である必要がある**ので，$2n+3 = p$ とおく．$2^{(\\frac{p-3}{2})! + 1} \\equiv 1\\pmod{p}$ となるような素数 $p$ を決定しよう．\r\n \r\n　$2^{d} \\equiv 1\\pmod{p}$ を満たす最小の正の整数 $d$ ($2 \\bmod{p}$ の位数) を考える．明らかに $d\\leq p-1$．いま $d\\leq n$ と仮定すると，$2^d, 2^{n! + 1}\\equiv 1 \\pmod{p}$ から同様に $2\\equiv 1 \\pmod{p}$ が得られるから不適．よって $n \\lt d$，すなわち $\\frac{p-1}{2} \\leq d$ を得る． \r\n\r\n　位数の一般論により，$d$ は $p-1$ と $n! + 1$ を割り切る．$d = p-1$ と仮定すると $p-1$ が $n! + 1$ を割り切るが，$n!+1$は奇数 ( $\\because n\\geq 2$ )であり $p-1$は偶数なので不適．よって $d \\lt p-1$ である．$\\frac{p-1}{2} \\leq d \\lt p-1$ かつ $d$ は $p-1$の約数なので \r\n$$d = \\frac{p-1}{2}$$ \r\nが確定する．さらにこのとき，$2^{\\frac{p-1}{2}}\\equiv 1\\pmod{p}$ より $2\\bmod{p}$ は平方剰余なので，平方剰余第二補充則により $p\\equiv 1,7\\pmod{8}$ である．$d-1 = \\frac{p-3}{2}$ に注意して，\r\n$$2^{(d-1)! + 1} \\equiv 1\\pmod{p}, \\quad 2^d \\equiv 1\\pmod{p}$$ \r\nを得る．よって\r\n$$2^{\\mathrm{gcd}((d-1)! + 1, d)} \\equiv 1\\pmod{p}$$\r\nが導かれる．ここで指数について，次に注意せよ．\r\n\r\n**補題.** $d = \\frac{p-1}{2}$ が $1$， または合成数であるとき \r\n$$\\mathrm{gcd}((d-1)! + 1, d) = 1.$$\r\n\r\n**(証明)**\r\nそれぞれの場合において $(d-1)!$ が $d$ の倍数であることを示せばよい．\r\n$d=1$のときは明らか．$p\\neq 9$ なので $d\\neq 4$ に注意．$d$が $4$ と異なる合成数である場合，$d$ は ある奇素数 $q$ の二乗であるか，$1 \\lt a \\lt b \\lt d$ であるような整数 $a,b$ によって $d = ab$ と書ける．前者の場合，$(d-1)!$ は　$q\\cdot 2q$ で割れるから $d$ の倍数である．後者の場合，$(d-1)!$ は $a\\cdot b$ で割れるから $d$ の倍数である．(**証明終**)\r\n\r\n　よって 補題のような $d$ に関しては $2^1 \\equiv 1 \\pmod{p}$ となるので不適．よって **$d$は素数でなければならない．** \r\n\r\n　また，$p\\equiv 1\\pmod{8}$ の場合は $d$ が $4$ の倍数になるので不適．よって　$p\\equiv 7\\pmod{8}$，すなわち $d\\equiv 3\\pmod{4}$であることが必要．\r\n\r\n以上をまとめると， **「$4$ で割って $3$ 余るソフィージェルマン素数$d$ (すなわち $d$ と $2d+1$ が素数) を用いて $n = d-1$ と書けること」が必要である．**\r\n\r\n　逆に上のような $n$ が十分であることを示す．実際，$(d-1)! + 1$ はウィルソンの定理 より $dr$ (ただし $r$ は奇数) と書くことができ，$2d + 1 \\equiv 7\\pmod{8}$ および第二補充則より $2\\bmod{(2d+1)}$ は平方剰余であるので，フェルマーの小定理，$r$ が奇数であることから \r\n$$2^{dr}\\equiv 2^{d(r-1) + d} \\equiv 1 \\pmod{(2d+1)}$$\r\nとなる．つまり，$\\frac{2^{(d-1)! + 1} -1}{2d+1}$は整数となる．\r\n\r\n　よって解答するべきは $2\\leq d \\leq 201$ なるソフィージェルマン素数 $d$ であって$d\\equiv 3\\pmod{4}$ となるものすべてに対する $(d-1)$ の総積である．このような $d$ は\r\n$$ 3,11,23,83,131,179,191$$\r\nである ( $d \\gt 3$ のときは $d\\equiv 11\\pmod{12}$ を利用すると探しやすい)． \r\n\r\n　以上より, 求める総積は\r\n$$\\begin{aligned}\r\n& (3-1)(11-1)(23-1)(83-1)(131-1)(179-1)(191-1) \\\\\\\\\r\n=& \\mathbf{158629328000}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9846" } ]

[ { "content": "　特性方程式は\r\n$$t^2-xt-y=0$$\r\nである．$x,y$ を固定したとき，これの解を $\\alpha,\\beta$ とすると，以下が成り立つ：\r\n$$a_n=\\begin{cases}\r\n\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alpha} & (\\alpha\\neq \\beta) \\\\\\\\\r\nn\\alpha^{n-1} & (\\alpha=\\beta)\r\n\\end{cases}$$\r\n　以下，特性方程式を $\\mathbb{F}_p$ 係数として考え，以下の三つのパターンに場合分けして考える．ただし，$\\mathbb{F}_p$ は位数 $p$ の有限体である．\r\n\r\n+ (1) $\\alpha=\\beta$であるような場合 $(p-1)$通り\r\n+ (2) $\\alpha\\neq \\beta$かつ解が$\\mathbb{F}_p$上に存在する場合 $\\dfrac{(p-1)(p-2)}{2}$通り\r\n+ (3) 解 $\\alpha,\\beta$ が $\\mathbb{F}\\_p$ 上に存在しない場合．このとき解は$\\mathbb{F}_{p^2}\\setminus \\mathbb{F}_p$の元である．$\\dfrac{p(p-1)}{2}$通り\r\n\r\n\r\n(1)について\r\n\r\nこのとき,一般項は\r\n$$a_n=n\\alpha^{n-1}$$\r\nである.そして, $k$を周期としたとき\r\n$$n\\alpha^{n-1}\\equiv (n+k)\\alpha^{n+k-1}$$\r\n十分大きな整数$m$について,$n=mp$としたときに等号が成立する.\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\nmp\\alpha^{mp-1}&\\equiv (mp+k)\\alpha^{mp+k-1}\\\\\\\\\r\n0&\\equiv k\\alpha^{mp+k-1}\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nよって,$k$が$p$の倍数であることが必要である.さらに,$n=mp+1$の場合について考察すると\r\n$$\\begin{aligned}\r\n(mp+1)\\alpha^{mp}&\\equiv (mp+1+k)\\alpha^{mp+k}\\\\\\\\\r\n\\alpha^{mp}&\\equiv \\alpha^{mp+k}\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\nよって,$\\alpha^k=1$であることが必要である.\r\n\r\nよって,周期となるためには,$p$と$\\alpha$の位数で両方割り切れることが必要である.逆にこの場合$a_{n+k}\\equiv a_n \\forall n\\in\\mathbb{N}$なので周期としての条件を満たしている.よって,$f(x,y)$は$p$と${\\rm ord}(\\alpha)$の最小公倍数である.\r\n\r\nここで,$\\alpha$の位数は$p-1$の約数となる.これは$p$とは互いに素なので$f(x,y)=p\\cdot {\\rm ord}(\\alpha)$である.さらに,$\\mathbb{F}\\_p$の乗法群は$\\mathbb{Z}\\/(p-1)\\mathbb{Z}$に同型であることに気をつけると,\r\n位数が$d$であるような$\\alpha\\in \\mathbb{F}\\_p^{\\times}$の個数はトーシェント関数を使って$\\varphi(d)$と書ける.\r\nよって,(1)の範囲での総和は\r\n$$\\sum_{d|(p-1)}dp\\varphi(d)$$\r\nである.\r\n\r\n\r\n\r\n(2)について\r\n\r\nこのとき,一般項は\r\n\r\n$$a_n=\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alpha}$$\r\n\r\nである.\r\n\r\nさらに,\r\n$$(\\alpha,\\beta);1\\leq \\alpha\\lt \\beta\\leq p-1$$\r\nのペアがそれぞれ1つずつ登場するので,これらについての総和を求める.\r\n\r\n周期が$k$だとした場合,ある整数$m$が存在して,\r\n$$a_{m(p-1)}\\equiv a_{m(p-1)+k}\\pmod{p}$$\r\nであるため,\r\n$$\\beta^{m(p-1)}-\\alpha^{m(p-1)}=\\beta^{m(p-1)+k}-\\alpha^{m(p-1)+k}$$\r\nである.ここで,フェルマーの小定理より,\r\n$$0=\\beta^{k}-\\alpha^{k}$$\r\n\r\nさらに,\r\n$$a_{m(p-1)+1}\\equiv a_{m(p-1)+k+1}\\pmod{p}$$\r\nであるため,\r\n$$\\beta^{m(p-1)+1}-\\alpha^{m(p-1)+1}=\\beta^{m(p-1)+k+1}-\\alpha^{m(p-1)+k+1}$$\r\nであるが,\r\n$$\\beta-\\alpha=\\beta^{k+1}-\\alpha^{k+1}$$\r\nが必要だが,\r\n$$\\beta^{k+1}-\\alpha^{k+1}=\\beta^{k+1}-\\alpha \\cdot \\beta^{k}=\\beta^k (\\beta-\\alpha)$$\r\nである.よって,$k$が周期であるためには\r\n$$\\alpha^k\\equiv \\beta^k\\equiv 1\\pmod{p}$$\r\nが必要である.逆にこのときに周期となる.\r\nよって,\r\n$$f(x,y)={\\rm lcm}({\\rm ord}(\\alpha),{\\rm ord}(\\beta))$$\r\n\r\nである.\r\n$1\\leq \\alpha,\\beta\\leq p-1$の範囲内での${\\rm lcm}({\\rm ord}(\\alpha),{\\rm ord}(\\beta))$の総和は\r\n$$\\sum_{d_1|(p-1)}\\sum_{d_2|(p-1)}\\varphi(d_1)\\varphi(d_2){\\rm lcm}(d_1,d_2)$$\r\nである.さらに,$1\\leq \\alpha=\\beta\\leq p-1$の範囲内での${\\rm lcm}({\\rm ord}(\\alpha),{\\rm ord}(\\beta))$の総和は\r\n$$\\sum_{d|(p-1)}d\\varphi(d)$$\r\nである.\r\n\r\nよって,(2)の場合の答えの総和は\r\n\r\n$$\\dfrac{1}{2}\\sum_{d_1|(p-1)}\\sum_{d_2|(p-1)}\\varphi(d_1)\\varphi(d_2){\\rm lcm}(d_1,d_2)-\\dfrac{1}{2}\\sum_{d|(p-1)}d\\varphi(d)$$\r\nである.\r\n\r\n(3)について\r\n\r\nこのときも(2)と同様に一般項は\r\n\r\n$$a_n=\\dfrac{\\beta^n-\\alpha^n}{\\beta-\\alpha}$$\r\n\r\nである.ただし,$\\alpha,\\beta$は$\\mathbb{F}_{p^2}\\setminus \\mathbb{F}_p$の範囲内を動く.ただし,$\\alpha$と$\\beta$を入れ替えているものは同一視しているため,該当の$(x,y)$の組み合わせは$\\dfrac{p(p-1)}{2}$通りである.\r\n\r\n(2)と同様にすると,\r\n$$f(x,y)={\\rm lcm}({\\rm ord}(\\alpha),{\\rm ord}(\\beta))$$\r\nだが,このときのordとは,$\\mathbb{F}_{p^2}^{\\times}$における位数である.\r\n\r\nさらにこのとき,$\\alpha,\\beta$は$\\mathbb{F}\\_{p^2}$の元の中で共役元の関係になっている.よって位数は等しい.\r\nつまり${\\rm ord}(\\alpha)={\\rm ord}(\\beta)$ということである.なので,結局周期の総和は\r\n$$\\dfrac{1}{2}\\sum_{\\alpha\\in\\mathbb{F}\\_{p^2}\\setminus\\mathbb{F}\\_p}{\\rm ord}(\\alpha)$$\r\nここで,実は$\\mathbb{F}_{p^2}^{\\times}$は群$\\mathbb{Z}\\/(p^2-1)\\mathbb{Z}$に同型であることに注意.\r\nさらにこのとき,$\\mathbb{Z}\\/(p^2-1)\\mathbb{Z}$の元の中で$(p+1)$の倍数であるようなもの$(p-1)$個が$\\mathbb{F}_p$の元に対応している.\r\nよって,(3)についての総和は\r\n\r\n$$\\dfrac{1}{2}\\sum_{d|(p^2-1)}d\\varphi(d)-\\dfrac{1}{2}\\sum_{d|(p-1)}d\\varphi(d)$$\r\n\r\nである.\r\n\r\n結局合計すると,最終的な答えは\r\n\r\n$$(p-1)\\sum_{d|(p-1)}d\\varphi(d) + \\dfrac{1}{2}\\sum_{d|(p^2-1)}d\\varphi(d)+\\dfrac{1}{2}\\sum_{d_1|(p-1)}\\sum_{d_2|(p-1)}\\varphi(d_1)\\varphi(d_2){\\rm lcm}(d_1,d_2)$$\r\n\r\nとなる.この値を$p-1$や$p^2-1$の約数全てについて値を求めるのは人力では大変である.\r\n\r\n便宜上以下のように関数$F(n),G(n)$を定める.\r\n\r\n$$F(n):=\\sum_{d|n} d\\varphi(d); G(n):=\\sum_{d_1|n}\\sum_{d_2|n}\\varphi(d_1)\\varphi(d_2){\\rm lcm}(d_1,d_2)$$\r\n\r\nこのとき,求めるべき答えは\r\n\r\n$$(p-1)F(p-1) + \\dfrac{1}{2}F(p^2-1)+\\dfrac{1}{2}G(p-1)$$\r\n\r\nつまり,$p=2017$であるため,\r\n\r\n$$2016\\cdot F(2016) + \\dfrac{1}{2}F(2016\\cdot 2018)+\\dfrac{1}{2}G(2016)$$\r\n\r\n実は$F(n),G(n)$は乗法的関数である.つまり,$n,m$が互いに素な正の整数とした場合,$F(nm)=F(n)F(m),G(nm)=G(n)G(m)$となるという性質がある.\r\n\r\nこの性質を使うことで,求めるべき答えは\r\n\r\n$$2016\\cdot F(2^5)F(3^2)F(7) + \\dfrac{1}{2}F(2^6)F(3^2)F(7)F(1009)+\\dfrac{1}{2}G(2^5)G(3^2)G(7)$$\r\n\r\nであるとわかる.それぞれについて答えを求める.\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\nF(7)&=&1\\cdot \\varphi(1)+7\\cdot \\varphi(7)&=&1\\cdot 1+7\\cdot 6&=&43\\\\\\\\\r\nF(1009)&=&1\\cdot \\varphi(1)+1009\\cdot \\varphi(1009)&=&1\\cdot 1+1009\\cdot 1008&=&1017073\\\\\\\\\r\nF(3^2)&=&1\\cdot \\varphi(1)+3\\cdot \\varphi(3)+9\\cdot \\varphi(9)&=&1+6+54&=&61\\\\\\\\\r\nF(2^5)&=&1\\cdot 1+2\\cdot 1+4\\cdot 2+\\cdots+32\\cdot 16&=&1+2(1+4+\\cdots +4^{4})&=&683\\\\\\\\\r\nF(2^6)&=&1\\cdot 1+2\\cdot 1+4\\cdot 2+\\cdots+64\\cdot 32&=&1+2(1+4+\\cdots +4^{5})&=&2731\\\\\\\\\r\nG(7)&=&1\\cdot 1+(7^2-1)\\cdot 7&&&=&337\\\\\\\\\r\nG(3^2)&=&1\\cdot 1+(3^2-1)\\cdot 3+(3^4-3^2)\\cdot 9&&&=&673\\\\\\\\\r\nG(2^5)&=&1\\cdot 1+ (2^2-1)\\cdot 2+\\cdots+ (2^{10}-2^8)\\cdot 2^5&=& 1+6\\cdot(1+8+\\cdots+8^4)&=&28087\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\nよって答えは\r\n\r\n$$\\begin{aligned}\r\n&2016\\cdot 683\\cdot 61\\cdot 43+\\dfrac{1}{2}\\cdot (2731\\cdot 61\\cdot 43\\cdot 1017073+28087\\cdot 673\\cdot 337)\\\\\\\\\r\n&=3611682144+\\dfrac{1}{2}\\cdot(7285713950149+6370159687)\\\\\\\\\r\n&=\\bm{3649653737062}\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9862" }, { "content": "ここの解説では, $f(x,y)$ がwell-definedであることの証明を行います.\r\n\r\n$f(x,y)$の定義は,「～～～を満たす最小の正の整数$k$」と書かれています. ここで,「～～～を満たす正の整数$k$」が1つでも存在することが言えれば,well-definedであることが言えます. \r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$$X=\\lbrace k\\in\\mathbb{Z}_{\\gt 0} ; \\exists N,\\forall n\\geq N, s.t. a\\_{n+k}\\equiv a\\_{n}\\pmod{p}\\rbrace$$\r\n\r\nという集合に対して,\r\n\r\n$$f(x,y):=\\min X$$\r\n\r\nとしているわけですが,\r\n\r\n$X$が空集合でなかったら$X$は(正の整数からなる集合なので)最小値の存在が保証されるわけです.\r\n\r\n逆に言えば,$X$が空集合だったらまずいので,$X$が空集合でないことを証明すればよいことになります.\r\n\r\nというわけで証明\r\n\r\n集合$A$を以下で定めます.\r\n\r\n$$A=\\lbrace (a,b);0\\leq a,b\\leq p-1\\rbrace$$\r\n\r\nこのとき,$|A|=p^2\\lt \\infty$となります.\r\n\r\n$\\lbrace (a_n\\mod{p} ,a_{n+1}\\mod{p})\\rbrace_{n=0,1,\\ldots}$\r\n\r\nという列を考えると,各項は全て$A$の元となります.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$(a_0,a_1),(a_1,a_2),\\ldots,(a_{p^2},a_{p^2+1})$$\r\n\r\nの$p^2+1$個の組を考えると,鳩の巣論法によって,一致するペアが存在することが言えます.\r\n\r\nつまり,ある$0\\leq i\\lt j\\leq p^2$という整数$i,j$が存在して,\r\n\r\n$$(a_i,a_{i+1}) \\equiv (a_j,a_{j+1}) \\Leftrightarrow a_i\\equiv a_j \\land a_{i+1}\\equiv a_{j+1}$$\r\n\r\nとなります.このとき,数列$\\lbrace a\\rbrace$は三項間漸化式で定義されるので,2項さえ一致していればそれ以降はずっと同じです.\r\n\r\nよって,\r\n\r\n$$a_{i+2}\\equiv a_{j+2} \\land a_{i+3}\\equiv a_{j+3}\\land a_{i+4}\\equiv a_{j+4}\\land \\cdots $$\r\n\r\nとなります.\r\n\r\nこのとき,$N=i$とすれば,$n\\geq N$なる任意の整数$n$について\r\n\r\n$$a_{n+(j-i)}\\equiv a_{n}\\pmod{p}$$\r\n\r\nが成立します.\r\n\r\nよって,$(j-i)\\in X$となるため,$X$が空でないことが言えました.\r\n\r\n----\r\n\r\n余談の余談\r\n\r\n周期の定義をこのようにしていますが,実は$0\\leq x\\lt p,1\\leq y\\lt p$の条件ならば$N=0$としても問題ないです.つまり,周期の定義を\r\n\r\n「任意の非負整数$n$に対して,$a_{n+k}\\equiv a_n$が恒等的に成り立つような最小の正の整数$k$」\r\n\r\nとしても問題ないわけです. つまり,この問題で問われている状況の範囲内では,正直どっちでもいいのですが,この定義にすると$y=0$のときに問題が発生します.\r\n\r\n$y=0,x\\neq 0$ならば,$a_n$は\r\n\r\n$$0,1,x,x^2,x^3,\\ldots $$\r\n\r\nとなります.$a_n=0$となるような$n$は1個しか無いので周期が定義できません.\r\n\r\n特に,$x=0$かつ$y=0$だと\r\n\r\n$$0,1,0,0,0,\\ldots$$\r\n\r\nとなると,こっちもうまく周期が定義できなくなってしまいます.\r\n\r\nちなみに,問題で採用している,「ある正整数$N$が存在し～」だと,$y=0$の場合でも問題なく周期を定義することができます.\r\n\r\n実はこの問題の原案はシグマを取る範囲が$1\\leq y\\lt p$ではなく$0\\leq y\\lt p$でした.さらに,周期の定義も「ある正整数$N$が存在し～」ではないものでした.もしこのままだと$y=0$の場合に$f(x,y)$を定義できなくなるため,問題不備になってしまいます. \r\n\r\n有志コン作問のメンバーに上記の点を指摘されたとき,「とりあえず周期の定義を変えれば問題不備はなくなる」と思ったため現在のような周期の定義に変えたのですが,その上で特性方程式の解に0がある場合の例外処理があまり好きじゃないと思ったため,$y=0$の場合を省くことにしたわけです.\r\n\r\n結果,より広い場合でも適用できるような定義だけが残ったという裏話でした.", "text": "余談　f(x,y)がwell-definedであることの証明", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9862/343" }, { "content": "（公式解説の補足）\r\n\r\n周期を特性方程式の解$\\alpha,\\beta$の位数で表す部分は，有限体上の行列を考えると楽である．\r\n\r\n以下，$x$を$\\mathbb{F_p}$の元とし，$y$を$\\mathbb{F_p^\\times}$の元とする．\r\n$\\mathbb{F_p}$上の行列$A_n$および$B$を\r\n$$\r\nA_n=\\begin{pmatrix}a_{n+2}&a_{n+1}\\\\\\ a_{n+1}&a_n\\end{pmatrix},\\quad B=\\begin{pmatrix}x&y\\\\\\ 1&0\\end{pmatrix}\r\n$$\r\nにより定めると，$a_n$の初期値及び漸化式は次のように言い換えられる：\r\n$$\r\nA_0=\\begin{pmatrix}x&1\\\\\\ 1&0\\end{pmatrix},\\quad A_{n+1}=BA_n.\r\n$$\r\n$A_0,B$は正則行列なので$A_n$は常に正則行列である．\r\n数列$a_n$のmod $p$での周期は，任意の$n$に対して$B^kA_n=A_n$が成り立つような最小の正整数$k$に等しい．\r\n$A_n$は正則なのでこれは$B$の$\\mathrm{GL_2}(\\mathbb{F_p})$における位数に等しいことがわかる．\r\n\r\n$B$の固有方程式$t^2-xt-y=0$（これは数列$a_n$の特性方程式でもある）の解を$\\alpha,\\beta$とする．$y\\in \\mathbb{F_p^\\times}$より$\\alpha,\\beta\\in \\mathbb{F_{p^2}^\\times}$である．\r\n\r\n- $\\alpha,\\beta\\in \\mathbb{F_p^\\times}$の場合：$\\alpha\\neq \\beta$ならば$B$は\r\n$$\r\n\\begin{pmatrix}\\alpha&0\\\\\\ 0&\\beta\\end{pmatrix}\r\n$$\r\nと対角化されるため，その位数は$\\mathrm{lcm}(\\mathrm{ord}(\\alpha),\\mathrm{ord}(\\beta))$に等しい．$\\alpha=\\beta$の場合，$B$はスカラー行列ではないことに注意すると，$B$のJordan標準形は\r\n$$\r\n\\begin{pmatrix}\\alpha&1\\\\\\ 0&\\alpha\\end{pmatrix}\r\n$$\r\nとなり，その位数は$p\\cdot \\mathrm{ord}(\\alpha)$である．\r\n\r\n- $\\alpha,\\beta\\in \\mathbb{F_{p^2}^\\times} \\setminus\\mathbb{F_p^\\times}$の場合，$\\alpha$と$\\beta$は$\\mathbb{F_p}$上共役である．$\\alpha\\neq \\beta$なので$B$は以下のように対角化される：\r\n$$\r\n\\begin{pmatrix}\\alpha&0\\\\\\ 0&\\beta\\end{pmatrix}.\r\n$$\r\nよって$B$の位数は$\\mathrm{lcm}(\\mathrm{ord}(\\alpha),\\mathrm{ord}(\\beta))=\\mathrm{ord}(\\alpha)$である．", "text": "行列を使って周期を求める方法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/nfhai2023/editorial/9862/363" } ]

[ { "content": "　この三角錐の各面を平面上で適当に繋ぎ合わせると一辺 $3$ の正方形となるので，求める値は\r\n$$9 - 3 \\times 1 \\times \\frac{1}{2} - 3 \\times 2 \\times \\frac{1}{2} - 2 \\times 1 \\times \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}$$\r\nである．特に解答すべき値は $\\bf{9}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/4875" }, { "content": "　$AB=\\sqrt{13},BD=\\sqrt5,DA=\\sqrt{10}$ が直ちに分かる．よって次の公式より，$\\triangle{ABD}=\\dfrac72$ である．\\\r\n**公式(ヘロンの公式亜種):** 三辺の長さが $a,b,c$ で与えられる三角形の面積は\r\n$$\\dfrac{\\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$$\r\nである．\\\r\n\\\r\nこの式は，ヘロンの公式の証明の途中部分を変形することで得られる．本問のように，辺の長さが $\\sqrt{n}$ で表される三角形の面積を求める際に大変有用である．", "text": "ヘロンの公式亜種を用いた解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/4875/344" }, { "content": "　一般に，$OA,OB,OC$ が互いに直交する四面体 $OABC$ について，面 $OAB,OBC,OCA,ABC$ の面積をそれぞれ $S_1,S_2,S_3,S_4$ とすると，${S_1}^2+{S_2}^2+{S_3}^2={S_4}^2$ が成り立つことが知られている． \r\nよって，今回の場合，求める面積を $S$ とすると，$S^2=1^2+3^2+(\\dfrac{3}{2})^2=\\dfrac{49}{4}$ より，$S=\\dfrac{7}{2}$ となる．", "text": "4平方の定理", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/4875/345" } ]

[ { "content": "　$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすれば，互いに素な整数の組 $(p,q)$ (ただし$p\\lt q$ ) によって $a=gp,b=gq$ と表せる．このとき $L=gpq$ であるから，条件は\r\n$$112=ab-L=g^2pq-gpq=g(g-1)pq$$\r\nと表せる．いま，$g(g-1)$ が $112$ の約数であることから，$g=2,8$ が必要である．\r\n $g=2$ のとき $(p,q)=(1,56),(7,8)$ が，$g=8$ のとき $(p,q)=(1,2)$ が適するから，それぞれを $(a,b)$ に直すことで求める値は $224+224+128=\\mathbf{576}$ である．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/3976" } ]

[ { "content": "　三辺の長さを $x\\geq y\\geq z$ としたとき，条件は $x\\lt y+z$ である．$x$ を固定したときこの条件を満たす組 $(y,z)$ の数を $f(x)$ とすると $y+z$ の値で場合分けすることで，\r\n$$\\begin{aligned}\r\nf(x)&=\r\n\\begin{cases}\r\n\\dfrac{x+1}{2}+\\dfrac{x-1}{2}+\\dfrac{x-1}{2}+\\cdots+1+1&=\\dfrac{(x+1)^2}{4} & (x~ が奇数) \\\\\\\\\r\n\\dfrac{x}{2}+\\dfrac{x}{2}+\\cdots+1+1&=\\dfrac{x(x+2)}{4} & (x~ が偶数)\r\n\\end{cases}\\\\\\\\\r\n\\end{aligned}$$\r\nであることがわかる．これを $x=1,\\ldots,28$ について足し合わせればよく，求める値は次のように計算できる．\r\n$$\\sum_{k=1}^{14}(f(2k-1)+f(2k))=\\sum_{k=1}^{14}(2k^2+k)=\\bf{2135}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478" }, { "content": "　$3$ 辺の長さ $1\\leq z\\leq y\\leq x\\leq 28$ とし，次の $a,b,c$ に変換する．\r\n$$a=\\dfrac{-x+y+z}{2},　b=\\dfrac{x-y+z}{2},　c=\\dfrac{x+y-z}{2}$$\r\nこのとき $a,b,c$ は整数 $l\\leq m\\leq n$ を用いて次の $2$ パターンのいずれかで表せる．$(\\because -x+y+z\\equiv x-y+z\\equiv x+y-z\\mod 2)$\r\n$$(a,b,c)=(l,m,n),(l-\\frac{1}{2},m-\\frac{1}{2},n-\\frac{1}{2})$$\r\n- 前者の場合，条件は次の通り．\r\n$$1\\leq l\\leq m\\leq n,　m+n\\leq28\\Longleftrightarrow 1\\leq l\\leq m,　n\\leq m\\leq28-n$$\r\nこれを満たす$(l,m,n)$ は $\\displaystyle\\sum_{m=1}^{14}m(29-2m)$ だけある．\r\n- 後者の場合，条件は次の通り．\r\n$$\\frac{1}{2}\\leq l-\\frac{1}{2}\\leq m-\\frac{1}{2}\\leq n-\\frac{1}{2},　m+n-1\\leq28\\Longleftrightarrow 1\\leq l\\leq m,　n\\leq m\\leq29-n$$\r\nこれを満たす $(l,m,n)$ は $\\displaystyle\\sum_{m=1}^{14}m(30-2m)$ だけある．\r\n\r\nしたがって条件を満たす $(a,b,c)$ の組の数は $\\displaystyle\\sum_{m=1}^{14}m(29-2m)+\\sum_{m=1}^{14}m(30-2m)=\\sum_{m=1}^{14}(59m-4m^2)=\\bf{2135}.$", "text": "Ravi変換", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478/336" }, { "content": "整数の組 $(x,y,z)$ であって $0 \\lt x \\leq y \\leq z \\leq t = 28$ および $z \\lt x+y$ を満たすものを数えることと同値． \r\n本領域を$z=k$ でカットして考えると $0 \\lt x \\leq y \\leq k$ かつ $k \\lt x+y$ を満たす $(x,y)$ の組を数え，$k$ に関して総和を計算すればよい．（ここまで公式解説と同様） \r\n$y=x$ と $x+y=k$ の交点を $P$ とする． $P$ を中心に $90^{\\circ}$ ずつ回転させた $4$ つの領域の和集合を考えると，ちょうど一辺 $k$ の正方形の領域から $P$ を取り除いたものと一致する．正方形内に格子点は $(k+1)^2$ 個存在し，$k$ が偶数の時のみ $P$ が格子点となるので，組の個数を $f(k)$ とおけば，\r\n$$\r\nf(k)=\r\n\\begin{cases}\r\n& \\dfrac{(k+1)^2}{4} &(k\\text{が奇数のとき})\\\\\\\\\r\n& \\dfrac{(k+1)^2-1}{4}& (k\\text{が偶数のとき})\r\n\\end{cases}\r\n$$\r\nが得られる．これらの和は以下のようにすると素早く計算できる． \r\n$$\r\n\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=1}^{28} f(k) &= (\\sum_{k=1}^{28} \\frac{(k+1)^2}{4}) - 14\\times \\frac{1}{4} \\\\\\\\\r\n&= (\\sum_{k=2}^{29} k^2 - 14)\\times \\frac{1}{4} \\\\\\\\\r\n&= (\\frac{29(29+1)(2\\times29+1)}{6} -1 - 14)\\times \\frac{1}{4} \\\\\\\\\r\n& =2135\r\n\\end{aligned}\r\n$$", "text": "対称性の活用による格子点数え上げ", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2478/350" } ]

[ { "content": "　$x$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $a$ 回あったとすると，以下のように計算できる：\r\n- $x$ 軸方向に $1$ 動く動作が $a+2$ 回．\r\n- $y$ 軸方向に $-1$ 動く動作が $6-a$ 回．\r\n- $y$ 軸方向に $1$ 動く動作が $7-a$ 回．\r\n\r\nこれにより，求める場合の数は以下のように計算できる：\r\n$$ \\sum_{a=0}^{6}\\frac{15!}{a!(a+2)!(6-a)!(7-a)!}=\\frac{15!}{6!9!}\\sum_{a=0}^{6}\\frac{6!}{a!(6-a)!}\\frac{9!}{(a+2)!(7-a)!} ={}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{6} \\times \\sum_{a=0}^{6} \\bigl({}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{a}\\times{}\\_{9}\\mathrm{C}\\_{7-a}\\bigr) = {}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{6} \\times {}\\_{6+9}\\mathrm{C}\\_{7} = \\mathbf{32207175}. $$\r\n　ここで，以下の等式\r\n$$\\sum_{a=0}^{6} \\bigl({}\\_{6}\\mathrm{C}\\_{a}\\times{}\\_{9}\\mathrm{C}\\_{7-a}\\bigr) = {}\\_{6+9}\\mathrm{C}\\_{7} $$\r\nはVandermondeの畳み込みの一例であるが，$8\\times 7$ の格子の移動で距離 $6$ 進んだ時点の位置を考えても導ける．", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665" }, { "content": "　$|A|=7,|B|=9$ を満たす $\\\\{1,2,...,15\\\\}$ の部分集合 $A,B$ と題意を満たす動作の行い方は次の一対一対応が可能である．\r\n\r\n$i=1,2,...,15$ について\r\n- $i\\in A\\backslash B\\Longleftrightarrow x$ 軸方向に $1$ 動く\r\n- $i\\in B\\backslash A\\Longleftrightarrow x$ 軸方向に $-1$ 動く\r\n- $i\\in A\\cap B\\Longleftrightarrow y$ 軸方向に $1$ 動く\r\n- $i\\notin A\\cup B\\Longleftrightarrow y$ 軸方向に $-1$ 動く\r\n\r\nこのような集合 $A,B$ は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{7}\\cdot {}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{9}=\\bf{32207175}$ だけあるのでこれが求めたい値である．（論が雑）", "text": "部分集合との対応", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/331" }, { "content": "　testerの **ojamesi1357** さんの解法が秀逸だったので共有します．\r\n\r\n----\r\n　$x(y)$ 軸方向に $\\pm1$ だけ進むことを $x^{\\pm1}(y^{\\pm1})$ と表現すれば求めるべきは次の式を展開したときの $x^2y$ の係数である．\r\n$$\\Big(x+\\frac{1}{x}+y+\\frac{1}{y}\\Big)^{15}$$\r\n $(xy)^{15}$ をかけて整理すると，上式の$x^2y$ の係数は次の式の $x^{17}y^{16}$ の係数に等しい．\r\n$$(x+y)^{15}(xy+1)^{15}$$\r\n $(x+y)^{15}$ の展開式において一般項は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{s}x^sy^{15-s}　(s=0,1,...,15)$，\\\r\n$(xy+1)^{15}$の展開式において一般項は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{t}x^ty^t　(t=0,1,...,15)$なので，この $s,t$ を用いて\\\r\n $\\Big(x+\\dfrac{1}{x}+y+\\dfrac{1}{y}\\Big)^{15}$ の展開式において一般項は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{s}\\cdot{}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{t}x^{s+t}y^{15-s+t}　(t=0,1,...,15)$ と表される．\\\r\n特に $s+t=17,15-s+t=16$ となるのは $s=8,t=9$ のときに限られるので所望の係数は\r\n$${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{8}\\cdot{}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{9}=\\bf{32207175}.$$", "text": "形式的べき級数", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/338" }, { "content": "座標を45°回転させます.\r\n\r\nすると、$(x+y,x-y)$の挙動を見れば良くなります.\r\n\r\nこうするとどうなるかと言うと,4通りの動作(xまたはy方向に$\\pm 1$進む)が\r\n\r\n$ (x+y)$が1増える or 1減る\r\n\r\nと\r\n\r\n$(x-y)$が1増える or 1減る\r\n\r\nの$2\\times 2=4$通りとなります.こうなると何が嬉しいかと言うと,座標ごとに場合の数を独立に考えても良くなります.\r\n\r\nつまり,\r\n\r\n$+1$または$-1$を15回繰り返して3に行き着く場合の数は${}\\_{15}C\\_{9}$通り\r\n\r\n$+1$または$-1$を15回繰り返して1に行き着く場合の数は${}\\_{15}C\\_{8}$通り\r\n\r\nで,最終的な答えとしてはこの2つの積${}\\_{15}C\\_{9} \\times {}\\_{15}C\\_{8}$通り\r\n\r\nとなります.\r\n\r\n----\r\n\r\n余談\r\n\r\nOMC電卓でこれを計算する方法の例\r\n\r\nこれは${}\\_{15}C\\_{6} \\times {}\\_{15}C\\_{7}$でもあることに注意.\r\n\r\n$15\\times 14\\times \\cdots \\times 10$を計算する\r\n\r\n↓\r\n\r\n\r\n$6!=720$で割る\r\n\r\n↓\r\n\r\n全体を2乗する\r\n\r\n↓\r\n\r\n全体に9を掛けて7で割る\r\n\r\n↓\r\n\r\n答えが出てくる", "text": "座標を45°回転させる", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5665/346" } ]

[ { "content": "**補題.**　$n$ の二進法表記に $1$ が $k$ 回現れるとき，$n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である．\r\n\r\n**証明.**　$n=1$ のとき明らかに成立するから，以下ある $m\\geq 2$ について $n\\lt m$ で成立を仮定し，$m=n$ で成立を示せばよい．$m$ が偶数のとき，帰納法の仮定より $f(m\\/2)=m\\/2-k$ であるから，Legendreの定理より\r\n$$f(m)=\\dfrac{m}{2}+f\\left(\\dfrac{m}{2}\\right)=m-k$$\r\nを得る．$m$ が奇数の場合も同様である．なお，$f(m)$ を $f(m-1)$ によって表す方針でも示される．(証明終)\r\n----\r\n　明らかに $N$ は以下のように表される：\r\n$$N=\\frac{(1023×1024)!}{1!2!\\cdots 1023!(1023×512)!}.$$\r\nここで，$0$ 以上 $1023$ 以下の整数を $10$ 桁の二進数で書き表すと，合計 $10×1024$ 桁のちょうど半分が $1$ であるから，$f(0)=0$ に注意して，\r\n$$f(1)+f(2)+\\cdots+f(1023)=1+2+\\cdots+1023-\\dfrac{1}{2}\\times 10\\times 1024=1023\\times512-5120.$$\r\nまた以下と併せて，$N$ が $2$ で割り切れる回数は $\\textbf{5120}$ 回である．\r\n$$f(1023\\times 1024)=1023\\times 1024-10,\\quad f(1023\\times 512)=1023\\times 512-10$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2210" }, { "content": "　解説の補題を知らなかった（思いつかなかった）場合の解法です．（ただし，それなりに有名な補題だと思うので，覚えて使えるようにしておいた方が良いと思います．）\r\n\r\n---\r\n\r\n$$N=\\dfrac{(1023×1024)!}{1!\\ 2! \\cdots 1023! \\ (1023×512)!}$$\r\nであり，$\\dfrac{(1023×1024)!}{(1023×512)!}$ が $2$ で割り切れる回数は容易に求められる（$1023×512$ 回である）．\\\r\n　よって，$1!\\ 2 ! \\cdots 1023!$ が $2$ で何回割り切れるかを求めればよい．\\\r\n　$0!\\ 1! \\cdots (2^{n}-1)!$ が $2$ で割り切れる回数を $S_n$ とおく． 以下，$S_{n+1}$ を $S_n$ で表すことを考える．\r\n\r\n　自然数 $m$ が $2$ で割り切れる回数を $v_2(m)$ で表す．（なお，この記法は一般的である．）\\\r\n　$1≦k≦2^n-1$ とすると $v_2(2^n+k)=v_2(k)$．このことから $v_2((2^n+k)!)=v_2(2^n!)+v_2(k!)=v_2(k!)+2^n-1$ である．よって，\r\n$$S_{n+1}=S_n+\\sum\\limits_{k=0}^{2^n-1} v_2((2^n+k)!)=S_n+\\sum\\limits_{k=0}^{2^n-1} (v_2(k!)+2^n-1)=2S_n+2^n(2^n-1)$$\r\n　漸化式を解いて，$S_n=2^n(2^{n-1}-1)-2^{n-1}(n-1)$ を求めるか，$S_1=0$ から始めて漸化式に従って順次計算すれば，$S_{10}=518656$ を得る．求めるべき値は $1023×512-518656=\\mathbf{5120}$ である．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/2210/329" } ]

[ { "content": "　$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, 三角形 $APQ$ の外心を $O^\\prime$ とする. \r\n$$\\angle APQ = 90^\\circ - \\angle BAO = \\frac{1}{2}\\angle AOB = \\angle ACB$$\r\nであり, $\\angle BAC = \\angle QAP$ は共通であるから, 三角形 $ABC$ と三角形 $AQP$ は相似であると分かる. この相似において $H$ と $O$, $O$ と $O^\\prime$ が対応する. 従って, $O^\\prime$ は直線 $AH$ 上にあることが分かり, 三角形 $APQ$ の外接円は $H$ で直線 $BC$ と接することが分かる. よって, 以下を得る. \r\n$$AH:AO=AO : AO^\\prime = AO:\\frac{1}{2}AH \\implies AH=\\sqrt{2} AO$$\r\n　ここで, 三角形 $ABC$ の面積に着目すると,\r\n$$\\frac{1}{2}\\times AB\\times AC\\times \\sin{A} = \\frac{1}{2}\\times AH\\times BC$$\r\nであり, 正弦定理と上の式より\r\n$$\\frac{1}{2}\\times AB\\times AC\\times \\frac{BC}{2AO} = \\frac{1}{2}\\times \\sqrt{2} AO\\times BC \\implies AB\\times AC = 2\\sqrt{2} AO^2$$\r\nである. 従って, $AC = \\sqrt{\\dfrac{625}{8}}$ と計算できるので, 特に解答すべき値は $\\bf{633}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5017" }, { "content": "　以下の解説にあたり，直交座標を設定すると長さや余弦がより簡潔に求まる．\\\r\n　円 $APQ$ と $BC$ の接点を $T$ とする．簡単な計算により，$BP=\\dfrac74$ なので，方べきの定理から，$BT=\\sqrt{14}$．ここで，$\\triangle{ABC}\\sim\\triangle{AQP}$ より，$AQ\\times AC=50$．$CT=k$ とおくと，方べきの定理より，$AC\\times CQ=k^2\\iff AC(AC-AQ)=k^2$．$AQ\\times AC=50$ より，$AC=\\sqrt{k^2+50}$．$\\cos{\\angle ACB}=\\dfrac35$ に注意して，余弦定理より，\r\n$$64=k^2+50+(k+\\sqrt{14})^2-2(k+\\sqrt{14})\\sqrt{k^2+50}\\times\\dfrac35$$\r\nよく眺めると，$k+\\sqrt{14}$ で括れる(！)．結局，\r\n$$(k+\\sqrt{14})(3\\sqrt{k^2+50}-5k)=0$$\r\nとなり，$k\\gt0$ から，$k^2=\\dfrac{225}{8}$ である．よって，$AC=\\sqrt{k^2+50}=\\sqrt{\\dfrac{625}{8}}$．", "text": "少し計算寄りな解法", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc189/editorial/5017/347" } ]