text
stringlengths 0
1.95k
|
|---|
8 end function |
if 𝑎[𝑖] = 𝑥 then |
return 𝑖 |
end if |
Лучший случай (best case) – экземпляр задачи (набор входных дан- |
ных), на котором алгоритм выполняет наименьшее число операций. В на- |
шем примере – входной массив, первый элемент которого содержит иско- |
мое значение 𝑥. В этой ситуации требуется выполнить |
𝑇𝐵𝑒𝑠𝑡(𝑛) = 3 |
операции: проверка условия окончания цикла, условие в цикле (строка 3) |
и возврат найденного значения (строка 4). Таким образом, время работы |
алгоритма в лучшем случае – теоретическая нижняя граница времени его |
работы. |
Худший случай (worst case) – экземпляр задачи, на котором алгоритм |
выполняет наибольшее число операций. Для рассматриваемого алгоритма |
– массив, в котором отсутствует искомый элемент или он расположен в |
последней ячейке. В этой ситуации требуется выполнить |
𝑇𝑊 𝑜𝑟𝑠𝑡(𝑛) = 2𝑛 + 1 |
операций: 𝑛 раз проверить условие окончания цикла и условие в нем, за- |
тем вернуть значение −1. Время работы алгоритма в худшем случае – |
теоретическая верхняя граница времени его работы. |
Средний случай (average case) – «средний» экземпляр задачи, набор |
«усредненных» входных данных. В среднем случае оценивается математи- |
ческое ожидание количества операций, выполняемых алгоритмом. Стоит |
заметить, что не всегда очевидно, какие входные данные считать «усред- |
ненными» для задачи. Часто делается предположение, что все наборы дан- |
ных поступают на вход алгоритма с одинаковой вероятностью. |
Вернемся к нашему примеру и проведем анализ его эффективности |
для среднего случая. Обозначим вероятность успешного поиска элемента |
в массиве через 𝑝 ∈ [0, 1]. Тогда вероятность отсутствия значения 𝑥 в |
массиве равна 1 − 𝑝. Будем считать, что искомый элемент с одинаковой |
вероятностью 𝑝/𝑛 может находится в любой из 𝑛 ячеек массива. |
Если искомый элемент 𝑥 находится в ячейке 1, то для его поиска тре- |
1.3. Подсчет числа операций алгоритма |
15 |
буется выполнить 3 операции (проверить условие окончания цикла, усло- |
вие в цикле и вернуть значение 1); если элемент находится в ячейке 2, |
то требуется 5 операций, и т.д. В общем случае, если искомый элемент 𝑥 |
расположен в ячейке 𝑖, то это требует выполнения 2𝑖 + 1 операций. |
Запишем математическое ожидание (среднее значение) числа опера- |
ций, выполняемых алгоритмом. По определению, математическое ожида- |
ние есть сумма произведений значения дискретной случайной величины |
на вероятность принятия случайной величиной этого значения. Наша слу- |
чайная величина – число операций, выполняемых алгоритмом. Как мы |
условились выше, она может принимать с одинаковой вероятностью 𝑝/𝑛 |
следующие значения: 3, 5, . . . , (2𝑖 + 1), . . . , 2𝑛 + 1. Поэтому |
𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) = 3 |
𝑝 |
𝑛 |
+ 5 |
𝑝 |
𝑛 |
+ · · · + (2𝑖 + 1) |
𝑝 |
𝑛 |
+ · · · + (2𝑛 + 1) |
𝑝 |
𝑛 |
. |
В нашей оценке мы должны учесть тот факт, что искомое значение 𝑥 |
с вероятностью 1 − 𝑝 может отсутствовать в массиве. Тогда выражение |
примет следующий вид: |
𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) = |
𝑝 |
𝑛 |
[3 + 5 + · · · + (2𝑖 + 1) + · · · + (2𝑛 + 1)] + (1 − 𝑝)(2𝑛 + 1). |
Нетрудно заметить, что в квадратных скобках записана сумма членов |
арифметической прогрессии (см. приложение). Вычислим ее: |
𝑇𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒(𝑛) = |