question
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| answer
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1.16k
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|---|---|
$2x^2-3x-1=0$일 때, $2x^4-5x^3-12x^2+22x+15$의 값을 구하시오. | $∴ $$2x^4-5x^3-12x^2+22x+15=(2x^2-3x-1)(x^2-x-7)+8$ $2x^2-3x-1=0$이므로 구하는 식의 값은 $8$이다. |
다항식 $x^4+x^3+3x+5$를 $x^2-2x+1$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q-R$를 구하시오. | $∴ Q=x^2+3x+5$, $R=10x$ $∴Q-R=$$x^2-7x+5-10x=x^2-7x+5$ |
다항식 $x^3+3x^2-4x+5$를 $x-2$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q+R$를 구하시오. | $∴$ $Q=x^2+5x+6$, $R=17$ $\therefore Q+R= (x^2+5x+6)+17=x^2+5x+6+17$ $=$ $x^2+5x+23$ |
가로의 길이가 $2a^2-a+3$인 직사각형의 넓이가 $2a^3-5a^2+5a-6$일 때, 세로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 세로의 길이를 $P$라 하면 $(2a^2-a+3)P=2a^3-5a^2+5a-6$ $∴$ $P=(2a^3-5a^2+5a-6)\div(2a^2-a+3)$ $∴$ $P$$=a-2$ 따라서 직사각형의 세로의 길이는 $a-2$이다. |
다항식 $x^4+2x^2-3x+5$를 다항식 $A$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+x-4$, 나머지가 $-14x+33$일 때, 다항식 $A$를 구하시오. | $x^4+2x^2-3x+5=A(x^2+x-4)-14x+33$이므로 $=$$x^4+2x^2+11x-28$ ∴ $A=(x^4+2x^2+11x-28)\div(x^2+x-4)$ ∴ $A$$=x^2-x+7$ $x^4+2x^2-3x+5=A(x^2+x-4)-14x+33$이므로 $A(x^2+x-4)=(x^4+2x^2-3x+5)-(-14x+33)$ $=x^4+2x^2+11x-28$ $\therefore$ $A=(x^4+2x^2+11x-28)\div(x^2+x-4)$ $\therefore$ $A$$=x^2-x+7$ |
다항식 $x^4+2x^3+4x^2-3x+7$을 $x^2+x-5$로 나눈 몫을 $A$, $x^2-2x-8$로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A-B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $\therefore$ $A=x^2+x+8$ $\therefore B=x^2+4x+20$ $\therefore A-B =(x^2+x+8)-(x^2 +4x+20) =x^2 + x + 8 -x^2-4x-20 =-3x-12$ |
다항식 $P(x)$를 $x^2-3x+1$로 나누었을 때의 몫이 $2x-4$이고, 나머지가 $5x+2$일 때, 다항식 $P(x)$를 구하시오.$\\$ | $P(x)=(x^2-3x+1)(2x-4)+(5x+2)$ $=2x^3-4x^2-6x^2+12x+2x-4+5x+2$ $=2x^3-10x^2+19x-2$ |
다음 등식이 $x$, $y$에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. $a(x+y)+b(x-y)+4=5x+y+c$ | $(a+b)x+(a-b)y+4=5x+y+c$ 이므로 $a+b=5$, $a-b=1$, $4=c$ $∴ a=3$, $b=2$, $c=4$ |
$x^2-4x-3=0$일 때, $2x^4-7x^3-5x^2-23x-10$의 값을 구하시오. | $∴ 2x^4-7x^3-5x^2-23x-10=(x^2-4x-3)(2x^2+x+5)+5$ $x^2-4x-3=0$이므로 구하는 식의 값은 $5$이다. |
다항식 $x^4-x^3+2x-1$을 $x^2+2x-1$로 나눈 몫을 $P(x)$라 할 때, $P(x)$를 $x-1$로 나눈 몫과 나머지를 구하시오. | $∴ P(x)$$=x^2-3x+7$ $∴ 몫 : x-2$, $나머지 : 5$ |
부피가 $x^3+2x^2+3x-4$인 물통에 가득 채워진 물을 부피가 같은 여러 개의 컵에 나누어 담으려고 한다. 컵의 부피가 $x^2+x-6$일 때, 물을 가득 채운 컵의 최대 개수와 물통에 남은 물의 양을 구하시오. | 따라서 컵의 개수는 $x+1$, 남은 물의 양은 $8x+2$이다. |
$x^2-3x-1=0$일 때, $2x^4-7x^3+4x^2-8x+6$의 값을 구하시오. | $∴ 2x^4-7x^3+4x^2-8x+6=(x^2-3x-1)(2x^2-x+3)+9$ $x^2-3x-1=0$이므로 구하는 식의 값은 $9$이다. |
다항식 $x^4-2x^2+x+1$을 $x^2+2x-4$로 나눈 몫을 $A$, $x^2-3x+1$로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A-B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $∴ A=x^2-2x+6$ $∴ B=x^2+3x+6$ $∴ A-B=(x^2-2x+6)-(x^2+3x+6)=x^2-2x+6-x^2-3x-6$ $=$$-5x$ |
다항식 $x^4+3x^3+2x+5$를 $x^2+2x-1$로 나눈 몫을 $Q(x)$라 할 때, $Q(x)$를 $x-3$으로 나눈 몫과 나머지를 구하시오. | $∴$ $Q(x)$$=x^2+x-1$ $∴$ 몫 : $x+4$, 나머지 : $11$ |
다항식 $x^4+x^2+6x-3$을 $x^2+3x-2$로 나눈 몫을 $P(x)$라 할 때, $P(x)$를 $x-1$로 나눈 몫과 나머지를 구하시오. $\\$ | $∴ P(x)$$=x^2-3x+12$ $∴$ 몫 : $x-2$, 나머지 : $10$ |
다항식 $x^4+5x^3+2x+3$을 $x^2-3x+1$로 나눈 몫을 $A$, $x^2+2x-4$로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A+B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{x^2 +8x +23~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ x^2 -3x+1 ) x^4 + 5x^3 ~~~~~~~~~ + 2x +3 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{x^4 -3x^3 + x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8x^3 -x^2 +2x \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{~~~~~~~~~8x^3 -24x^2 +8x~~~~~~~~~~~} \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 23x^2 -6x +3 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~23x^2 - 69x + 23} \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 63x - 20 \\$ $∴ A=x^2+8x+23$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{x^2 +3x-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ x^2+2x-4 ) x^4 + 5x^3 ~~~~~~~~~ + 2x +3 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{x^4 +2x^3-4 x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3x^3 +4x^2 +2x \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{~~~~~~~~~3x^3 +6x^2 -12x~~~~~~~~~~~} \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ -2x^2 +14x +3 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\underline{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2x^2 -~~4x + 8} \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 18x - 5 \\$ $∴ B=x^2+3x-2\\$ $∴ A+B = (x^2 +8x +23) + (x^2+3x-2) \\ = x^2 +8x +23 + x^2 + 3x -2 \\ = 2x^2 +11x +21 \\$ |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $a+1$, 높이가 $2a-5$인 직육면체의 부피가 $2a^3-19a^2+19a+40$일 때, 세로의 길이를 구하시오. | 밑면의 세로의 길이를 $A$라 하면 $(a+1)A(2a-5)=2a^3-19a^2+19a+40$ $(2a^2-3a-5)A=2a^3-19a^2+19a+40$ $∴ A=(2a^3-19a^2+19a+40)\div(2a^2-3a-5)$ $∴ A$$=a-8$ 따라서 밑면의 세로의 길이는 $a-8$이다. |
다항식 $(x+1)(2x-3)(x-2)$를 전개하시오. | $(x+1)(2x-3)(x-2)$=$\lbrace(x+1)$$(2x-3)\rbrace(x-2)$ $=(2x^2-x-3)(x-2)$ $=$$2x^3-5x^2-x+6$ |
다항식 $x^4-3x^2+x+7$을 $x^2+x-2$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q-R$를 구하시오. | $∴$ $Q=x^2-x$, $R=-x+7$ $∴$ $Q-R=(x^2-x)-(-x+7)=x^2-x+x-7$ $=$$x^2-7$ |
가로의 길이가 $a^2-a+4$인 직사각형의 넓이가 $3a^3-8a^2+17a-20$일 때, 세로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 세로의 길이를 $P$라 하면 $(a^2-a+4)P=3a^3-8a^2+17a-20$ $∴ P=(3a^3-8a^2+17a-20)\div(a^2-a+4)$ $∴ P$$=3a-5$ 따라서 직사각형의 세로의 길이는 $3a-5$이다. |
부피가 $x^3-x^2+2x+8$인 물통에 가득 채워진 물을 부피가 같은 여러 개의 컵에 나누어 담으려고 한다. 컵의 부피가 $x^2-2x-3$일 때, 물을 가득 채운 컵의 최대 개수와 물통에 남은 물의 양을 구하시오. | 따라서 컵의 개수는 $x+1$, 남은 물의 양은 $7x+11$이다. |
부피가 $x^4+3x^3+x+2$인 물통에 가득 채워진 물을 부피가 같은 여러 개의 컵에 나누어 담으려고 한다. 컵의 부피가 $x^2+2x+3$일 때, 물을 가득 채운 컵의 최대 개수와 물통에 남은 물의 양을 구하시오. | 따라서 컵의 개수는 $x^2+x-5$, 남은 물의 양은 $8x+17$이다. |
크기가 다른 두 공의 반지름의 길이의 합은 $5$이고, 겉넓이의 합은 $60\pi$이다. 이 두 공의 부피의 합을 구하시오. | 두 공의 반지름의 길이를 각각 $a$, $b$라 하면 반지름의 길이의 합은 $5$이므로 $a+b=5$ 겉넓이의 합은 $60\pi$이므로 $4\pi(a^2+b^2)=60\pi$ $∴$ $a^2+b^2=15$ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$이므로 $15=5^2-2ab$ $2ab=10$ $∴$ $ab=5$ $∴$ $a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$=5^3-3\times5\times5$$=50$ 따라서 두 공의 부피의 합은 $\frac{4}{3}\pi a^3+\frac{4}{3}\pi b^3$$=\frac{4}{3}\pi(a^3+b^3)$$=\frac{4}{3}\pi\times50$$=\frac{200}{3}\pi$ |
다항식 $x^4+x^2-6x+5$를 $x^2-2x-2$로 나눈 몫을 $P(x)$라 할 때, $P(x)$를 $x-2$로 나눈 몫과 나머지를 구하시오. | $∴ P(x)=x^2+2x+7$ $∴ 몫 : x+4$, $나머지 :15$ |
다항식 $x^4+2x^2+6x+11$을 $x^2+2x-3$으로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q-R$를 구하시오. | $∴$ $Q=x^2-2x+9$, $R=-18x+38$ $Q-R=(x^2-2x+9)-(-18x+38)=x^2-2x+9+18x-38$$=x^2+16x-29$ |
세로의 길이가 $4a-1$인 직사각형의 넓이가 $4a^3+3a^2-29a+7$일 때, 가로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 가로의 길이를 $A$라 하면 $A(4a-1)=4a^3+3a^2-29a+7$ $∴ A=(4a^3+3a^2-29a+7)\div(4a-1)$ $∴ A$$=a^2+a-7$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $a^2+a-7$이다. |
다항식 $x^4+2x^2+x-4$를 $x^2+x-4$로 나눈 몫을 $Q(x)$라 할 때, $Q(x)$를 $x+1$로 나눈 몫과 나머지를 구하시오. | $∴$ $Q(x)$$=x^2-x+7$ $∴$ 몫 : $x-2$, 나머지 : $9$ |
다항식 $x^3-x^2+3x+5$를 $x-2$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q-R$를 구하시오. | $∴ Q=x^2+x+5$, $R=15$ $∴ Q-R=(x^2+x+5)-15=x^2+x+5-15$ $=x^2+x-10$ |
세 다항식 $A=x^2+3xy-4y^2, $$B=-2x^2+xy+3y^2, $$C=5x^2-2xy-y^2$에 대하여 다음을 계산하여 $x, $$y$에 대한 식으로 나타내시오. | (1) $2A+3B-C$ $=$$2(x^2+3xy-4y^2)+3(-2x^2+xy+3y^2)-(5x^2-2xy-y^2)$ $=$$2x^2+6xy-8y^2-6x^2+3xy+9y^2-5x^2+2xy+y^2$ $=$$-9x^2+11xy+2y^2$ (2) $(3C+B)-(2A-C)$ $=$$3C+B-2A+C$ $=$$-2A+B+4C$ $=$$-2(x^2+3xy-4y^2)+(-2x^2+xy+3y^2)+4(5x^2-2xy-y^2)$ $=$$-2x^2-6xy+8y^2-2x^2+xy+3y^2+20x^2-8xy-4y^2$ $=$$16x^2-13xy+7y^2$ |
두 다항식 $A=2x^2+3xy-y^2, $$B=-x^2-4xy+3y^2$에 대하여 다음을 계산하여 $x, $$y$에 대한 식으로 나타내시오. (1) $A+2B=\square$ (2) $(A-B)-(2A-3B)=\square$ | (1) \[ \begin{aligned} A+2 B & =\left(2 x^{2}+3 x y-y^{2}\right)+2\left(-x^{2}-4 x y+3 y^{2}\right) \\ & =2 x^{2}+3 x y-y^{2}-2 x^{2}-8 x y+6 y^{2} \\ & =-5 x y+5 y^{2} \end{aligned} \] (2) \[ \begin{aligned} (A-B)-(2 A-3 B) & =A-B-2 A+3 B \\ & =-A+2 B \\ & =-\left(2 x^{2}+3 x y-y^{2}\right)+2\left(-x^{2}-4 x y+3 y^{2}\right) \\ & =-2 x^{2}-3 x y+y^{2}-2 x^{2}-8 x y+6 y^{2} \\ & =-4 x^{2}-11 x y+7 y^{2} \end{aligned} \] |
다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. $(ax+2)(x-b)+1=3x^2-cx-5$ | $ax^2+(-ab+2)x-2b+1=3x^2-cx-5$이므로 $a=3$, $-ab+2=-c$, $-2b+1=-5$ $∴ a=3$, $b=3$, $c=7$ |
세로의 길이가 $a-3$인 직사각형의 넓이가 $2a^3-7a^2-2a+15$일 때, 가로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 가로의 길이를 $P$라 하면 $\\$ $P(a-3)=2a^3-7a^2-2a+15$ $\\$ $∴ P=(2a^3-7a^2-2a+15)\div(a-3)$ $\\$ $\begin{array} {r} 2a^2-a-5~~~~~~~~~~~~~~~ \\ a-3 {\overline{{\big)} 2a^3-7a^2-2a+15}} \\ \underline{~~2a^3-6a^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ -~~a^2~-~2a~~~~~~~~~ \\ \underline{-~~a^2~+~3a~~~~~~~~~~} \\ -5a+15 \\ \underline{~~~~~~~~~~~~~~~~-5+15} \\0 \end{array}$ $\\$ $∴ P$$=2a^2-a-5$ $\\$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $2a^2-a-5$이다. |
등식 $a(2x+y)-(x+by)+6=5x-y+c$가 $x$, $y$에 대한 항등식일 때, 상수 $a,b,c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오. | $(2a-1)x+(a-b)y+6=5x-y+c$ $2a-1=5$, $a-b=-1$, $6=c$ $\therefore$ $a=3$, $b=4$, $c=6$ $\therefore$ $a+b+c$$=3+4+6$$=13$ |
등식 $(2x^2+ax+2)(x-b)=2x^3-11x^2+cx-10$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a,b,c$에 대하여 $abc$의 값을 구하시오. | $2x^3+(a-2b)x^2+(-ab+2)x-2b=2x^3-11x^2+cx-10$ $a-2b=-11$, $-ab+2=c$, $-2b=-10$ $∴ a=-1$, $b=5$, $c=7$ $∴ abc$$=(-1)\times5\times7$$=-35$ |
$x$에 대한 다항식 $f(x)$에 대하여 $(x-1)(x^2-2)f(x)=3x^6+px^2+q$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $0=3+p+q$ $\therefore$ $p+q=-3······ ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=24+2p+q$ $\therefore$ $2p+q=-24 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $p=-21$, $q=18$ $\therefore$ $p-q$$=-21-18$$=-39$ |
모든 실수 $x$에 대하여 다음 등식이 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오. $(x^2-1)(x+2)+a(x^2-1)+b(x-1)+c=x^3+3x+2$ | 주어진 등식의 양변에 $x=1$, $x=-1$, $x=-2$를 각각 대입하면 $c=6$, $-2b+c=-2$, $3a-3b+c=-12$ $∴$ $a=-2$, $b=4$, $c=6$ $∴$ $a+b+c$$=-2+4+6$$=8$ |
$x$에 대한 다항식 $f(x)$에 대하여 $(x+1)(x^2-2)f(x)=x^6-px^2+q$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $0=1-p+q$ ∴ $p-q=1$ ······ ㉠ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=8-2p+q$ ∴ $2p-q=8$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $p=7$, $q=6$ ∴ $pq$$=7\times6$$=42$ |
$x$에 대한 이차방정식 $2x^2+(k-1)x+(k+3)m+n-1=0$이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 $-1$을 근으로 가질 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $m-n$의 값을 구하시오. | $x=-1$을 대입하면 $2-k+1+(k+3)m+n-1=0$ $(-1+m)k+3m+n+2=0$ 이 등식이 $k$에 대한 항등식이므로 $-1+m=0$, $3m+n+2=0$ $∴ m=1$, $n=-5$ $∴ m-n$$=1-(-5)$$=6$ |
모든 실수 $x$에 대하여 다음 등식이 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하시오. $x^3-x^2+2x=(x^2-1)(x-2)+a(x^2-1)+b(x-1)+c$ | 주어진 등식의 양변에 $x=1$, $x=-1$, $x=2$를 각각 대입하면 $2=c$, $-4=-2b+c$, $8=3a+b+c$ $\therefore$ $a=1$, $b=3$, $c=2$ $\therefore$ $abc$$=1\times3\times2$$=6$ |
가로의 길이가 $2a-5$인 직사각형의 넓이가 $2a^3-7a^2-a+15$일 때, 세로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 세로의 길이를 $A$라 하면 $(2a-5)A=2a^3-7a^2-a+15$ $∴ A=(2a^3-7a^2-a+15)\div(2a-5)$ $∴ A$$=a^2-a-3$ 따라서 직사각형의 세로의 길이는 $a^2-a-3$이다. |
가로의 길이가 $3a^2-2a+1$인 직사각형의 넓이가 $3a^3-14a^2+9a-4$일 때, 세로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 세로의 길이를 $P$라 하면 $(3a^2-2a+1)P=3a^3-14a^2+9a-4$ $∴$ $P=(3a^3-14a^2+9a-4)\div(3a^2-2a+1)$ $∴$ $P$$=a-4$ 따라서 직사각형의 세로의 길이는 $a-4$이다. |
다음 식을 전개하시오. (1) $(x-2y+z)^2=$ (2) $(2x+y)^3=$ (3) $(x-4y)(x^2+4xy+16y^2)=$ | (1)$(x-2y+z)^2$ $=$$x^2+(-2y)^2+z^2+2\times x\times(-2y)+2\times(-2y)\times z+2\times z\times x=x^2+4y^2+z^2-4xy-4yz+2zx$ (2)$(2x+y)^3$ $=$$(2x)^3+3\times(2x)^2\times y+3\times2x\times y^2+y^3$ $=$$8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3$ (3)$(x-4y)(x^2+4xy+16y^2)$ $=$$x^3-(4y)^3$ $=$$x^3-64y^3$ |
크기가 다른 두 공의 반지름의 길이의 합은 $6$이고, 겉넓이의 합은 $56\pi$이다. 이 두 공의 부피의 합을 구하시오. | 두 공의 반지름의 길이를 각각 $a$, $b$라 하면 반지름의 길이의 합은 $6$이므로 $a+b=6$ 겉넓이의 합은 $56\pi$이므로 $4\pi(a^2+b^2)=56\pi$ $∴ a^2+b^2=14$ $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$이므로 $14=6^2-2ab$ $2ab=22$ $∴ ab=11$ $∴ a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$=6^3-3\times11\times6$$=18$ 따라서 두 공의 부피의 합은 $\frac{4}{3}\pi a^3+\frac{4}{3}\pi b^3$$=\frac{4}{3}\pi(a^3+b^3)$$=\frac{4}{3}\pi\times18$$=24\pi$ |
$x$에 대한 이차방정식 $x^2-(k-3)x-km-n-5=0$이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 $2$를 근으로 가질 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하시오. | $x=2$를 대입하면 $4-2k+6-km-n-5=0$ $(-2-m)k-n+5=0$ 이 등식이 $k$에 대한 항등식이므로 $-2-m=0$, $-n+5=0$ $∴ m=-2$, $n=5$ $∴ m+n$$=-2+5$$=3$ |
다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. $(ax-4)(3x+b)+5=6x^2+cx+9$ | $3ax^2+(ab-12)x-4b+5=6x^2+cx+9$이므로 $3a=6$, $ab-12=c$, $-4b+5=9$ $∴ a=2$, $b=-1$, $c=-14$ |
등식 $a(x-y)+b(2x+y)+3=8x+y+c$가 $x$, $y$에 대한 항등식일 때, 상수 $a$,$b$,$c$에 대하여 $4a+b-c$의 값을 구하시오. | $(a+2b)x+(-a+b)y+3=8x+y+c$ $a+2b=8$, $-a+b=1$, $3=c$ $∴$ $a=2$, $b=3$, $c=3$ $∴$ $4a+b-c$$=4\times2+3-3$$=8$ |
등식 $(x+a)(bx-1)=2x^2+cx-3$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a,$$b,$$c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오. | $bx^2+(ab-1)x-a=2x^2+cx-3$ $b=2$, $ab-1=c$, $-a=-3$ $∴ a=3$, $b=2$, $c=5$ $∴ a+b+c$$=3+2+5$$=10$ |
다음 등식이 $x$에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. $(ax-3)(5x+b)+3=10x^2-cx-3$ | $5ax^2+(ab-15)x-3b+3=10x^2-cx-3$이므로 $5a=10$, $ab-15=-c$, $-3b+3=-3$ $∴$ $a=2$, $b=2$, $c=11$ |
$x$에 대한 다항식 $f(x)$에 대하여 $(x+1)(x^2-2)f(x)=x^6+px^4-q$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $0=1+p-q$ $∴$ $p-q=-1$ ······ ㉠ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=8+4p-q$ $∴$ $4p-q=-8$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $p=-\frac{7}{3}$, $q=-\frac{4}{3}$ $∴$$p+q$$=$$(\frac{7}{3})+(-\frac{4}{3})$$=$$-\frac{11}{3}$ |
등식 ($x^2-x+2)^3$=$a_6x^6$+$a_5x^5$+$a_4x^4$+$ ··· $+$a_1x$+$a_0$이 $x$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_5$, $a_6$에 대하여 $a_0+a_2+a_4+a_6$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $8=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0\cdots \cdots ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $64=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0\cdots \cdots ㉡$ $㉠+㉡$을 하면 $8+64=2(a_6+a_4+a_2+a_0)$ $∴ a_0+a_2+a_4+a_6$$=36$ |
등식 $(2x^2-x+2)^3=a_6x^6-a_5x^5+a_4x^4-···-a_1x+a_0$이 $x$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_5$, $a_6$에 대하여 $a_0+a_2+a_4+a_6$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $27=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ ······ ㉠ 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $125=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ ······ ㉡ $㉠+㉡$을 하면 $27+125=2(a_6+a_4+a_2+a_0)$ $∴ a_0+a_2+a_4+a_6$$=76$ |
다음 등식이 $x$, $y$에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. $a(x+y)-b(x-y)-5=-6x-2y+c$ | $(a-b)x+(a+b)y-5=-6x-2y+c$이므로 $a-b=-6$, $a+b=-2$, $-5=c$ $∴$ $a=-4$, $b=2$, $c=-5$ |
다항식 $P(x)$에 대하여 $(x-1)(x^2-2)P(x)=x^4+ax^2+b$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(2)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수) | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $0=1+a+b$ $∴$ $a+b=-1$ ······ ㉠ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=4+2a+b$ $∴$ $2a+b=-4$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=-3$, $b=2$ $∴$ $(x-1)(x^2-2)P(x)=x^4-3x^2+2$ 양변에 $x=2$를 대입하면 $(2-1)(2^2-2)P(2)=2^4-3\times2^2+2$ $2P(2)=6$ $∴$ $P(2)=3$ |
다항식 $P(x)$에 대하여 $(x+1)(x^2-2)P(x)=3x^4-ax^2-b$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수) | 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $0=3-a-b$ $\therefore$ $a+b=3 \cdots \cdots ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=12-2a-b$ $\therefore$ $2a+b=12 \cdots \cdots㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=9$, $b=-6$ $\therefore$ $(x+1)(x^2-2)P(x)=3x^4-9x^2+6$ 양변에 $x=3$을 대입하면 $(3+1)(3^2-2)P(3)=3\times3^4-9\times3^2+6$ $28P(3)=168$ $\therefore$ $P(3)=6$ |
등식 $a(x+4y)+bx+5=2x-4y-c$가 $x$, $y$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | 주어진 등식의 좌변을 $x$, $y$에 대하여 정리하면 $(a+b)x+4ay+5=2x-4y-c$ 이 식은 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a+b=2$, $4a=-4$, $5=-c$ $∴ a=-1$, $b=3$, $c=-5$ |
$x$에 대한 이차방정식 $x^2-(k-3)x-(k+1)m-n-5=0$이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 $-1$을 근으로 가질 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하시오. | $x=-1$을 대입하면 $1+k-3-(k+1)m-n-5=0$ $(1-m)k-m-n-7=0$ 이 등식이 $k$에 대한 항등식이므로 $1-m=0$, $-m-n-7=0$ ∴ $m=1$, $n=-8$ ∴ $m+n$$=1+(-8)$$=-7$ |
다항식 $x^3+ax+b$가 $x^2+x-2$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. | $x^3+ax+b$를 $x^2+x-2$로 나누었을 때의 몫을 $x+c$($c$는 상수)라 하면 $x^3+ax+b=(x^2+x-2)(x+c)$ $=x^3+(c+1)x^2+(c-2)x-2c$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=c+1$, $a=c-2$, $b=-2c$ $∴ a=-3$, $b=2$, $c=-1$ $∴ a+b$$=-3+2$$=-1$ |
다항식 $2x^3+ax^2+bx+c$를 $x^2+2$로 나누었을 때의 몫이 $2x+1$, 나머지가 $x-3$이 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | $2x^3+ax^2+bx+c=(x^2+2)(2x+1)+x-3=2x^3+x^2+5x-1$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $a=1$, $b=5$, $c=-1$ |
등식 $a(x-2y)+b(3x-y)-4=x-2y+c$가 $x$, $y$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | 주어진 등식의 좌변을 $x$, $y$에 대하여 정리하면 $(a+3b)x-(2a+b)y-4=x-2y+c$ 이 식은 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a+3b=1$, $2a+b=2$, $c=-4$ ∴ $a=1$, $b=0$, $c=-4$ |
등식 $a(x+2y)-b(x-y)+2=-x-y+c$가 $x$, $y$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | 주어진 등식의 좌변을 $x$, $y$에 대하여 정리하면 $(a-b)x+(2a+b)y+2=-x-y+c$ 이 식은 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a-b=-1$, $2a+b=-1$, $c=2$ $∴ a=-\frac{2}{3}$, $b=\frac{1}{3}$, $c=2$ |
$x$에 대한 다항식 $f(x)$에 대하여 $(x-1)(x^2-2)f(x)=x^8-px^2+q$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $0=1-p+q$ $∴$ $p-q=1$ $\cdots \cdots$㉠ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=16-2p+q$ $∴$ $2p-q=16$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $p=15$, $q=14$ $∴$ $p+q$$=15+14$$=29$ |
$2x-y=1$을 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $px^2+qx-y^2-xy-2ry-1=0$이 성립할 때, 상수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $pqr$의 값을 구하시오. | $2x-y=1$에서 $y=2x-1$이므로 등식에 대입하면 $px^2+qx-(2x-1)^2-x(2x-1)-2r(2x-1)-1=0$ ∴ $(p-6)x^2+(q-4r+5)x+2r-2=0$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=p-6$, $0=q-4r+5$, $0=2r-2$ ∴ $p=6$, $q=-1$, $r=1$ ∴ $pqr$$=6\times(-1)\times1$$=-6$ |
$x$에 대한 이차방정식 $x^2-2(k-1)x+km-n+3=0$이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 $1$을 근으로 가질 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하시오. | $x=1$을 대입하면 $1-2k+2+km-n+3=0$ $(-2+m)k-n+6=0$ 이 등식이 $k$에 대한 항등식이므로 $-2+m=0$, $-n+6=0$ ∴ $m=2$, $n=6$ ∴ $mn$$=2\times6$$=12$ |
다항식 $2x^3+ax+b$가 $x^2+x-2$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. | $2x^3+ax+b$를 $x^2+x-2$로 나누었을 때의 몫을 $2x+c$($c$는 상수)라 하면 $2x^3+ax+b=(x^2+x-2)(2x+c)$ $=2x^3+(c+2)x^2+(c-4)x-2c$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=c+2$, $a=c-4$, $b=-2c$ $∴ a=-6$, $b=4$, $c=-2$ $∴ a+b$$=-6+4$$=-2$ |
$x$에 대한 다항식 $f(x)$에 대하여 $(x+1)(x^2-2)f(x)=x^8+px^2-q$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $0=1+p-q$ $∴ p-q=-1$ $······ $㉠ 주어진 등식의 양변에 $x^2=2$를 대입하면 $0=16+2p-q$ $∴ 2p-q=-16$ $······$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $p=-15$, $q=-14$ $∴ p+q=(-15)+(-14)=-29$ |
다항식 $P(x)$에 대하여 $(x+2)(x^2-1)P(x)=x^4+ax^2-b$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수) | 주어진 등식의 양변에 $x=-2$를 대입하면 $0=16+4a-b$ $∴ 4a-b=-16 ······ ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x^2=1$을 대입하면 $0=1+a-b$ $∴ a-b=-1 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-5$, $b=-4$ $∴ (x+2)(x^2-1)P(x)=x^4-5x^2+4$ 양변에 $x=3$을 대입하면 $(3+2)(3^2-1)P(3)=3^4-5\times3^2+4$ $40P(3)=40$ $∴ P(3)=1$ |
다항식 $x^3+x^2+ax-b$가 $x^2+3x+1$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. | $x^3+x^2+ax-b$를 $x^2+3x+1$로 나누었을 때의 몫을 $x+c$($c$는 상수)라 하면 $x^3+x^2+ax-b=(x^2+3x+1)(x+c) =x^3+(c+3)x^2+(3c+1)x+c$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $1=c+3$, $a=3c+1$, $-b=c$ $∴ a=-5$, $b=2$, $c=-2$ $∴ a+b=-5+2=-3$ |
다항식 $4x^3+ax^2+bx+c$를 $4x^2+x-1$로 나누었을 때의 몫이 $x+1$, 나머지가 $4x$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | $4x^3+ax^2+bx+c=(4x^2+x-1)(x+1)=4x$ $=$$4x^3+5x^2+4x-1$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $a=5$, $b=4$, $c=-1$ |
$x-y=2$를 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $px^2+qx+y^2-3xy-ry-1=0$이 성립할 때, 상수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $p+q+r$의 값을 구하시오. | $x-y=2$에서 $y=x-2$이므로 등식에 대입하면 $px^2+qx+(x-2)^2-3x(x-2)-r(x-2)-1=0$ $∴ (p-2)x^2+(q-r+2)x+2r+3=0$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=p-2$, $0=q-r+2$, $0=2r+3$ $∴ p=2$, $q=-\frac{7}{2}$, $r=-\frac{3}{2}$ $∴ p+q+r$$=2+(-\frac{7}{2})+(-\frac{3}{2})$$=-3$ |
$x$, $y$의 값에 관계없이 $\frac{ax-by+1}{3x-2y+5}$의 값이 항상 일정할 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. (단, $3x-2y+5 ≠ 0$) | $\frac{ax-by+1}{3x-2y+5}=k(k는 상수)$로 놓으면 $ax-by+1=k(3x-2y+5)$ 이 등식이 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a=3k$, $b=2k$, $1=5k$ $∴ a=\frac{3}{5}$, $b=\frac{2}{5}$, $k=\frac{1}{5}$ $∴ a+b=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}$$=1$ |
등식 $(x^2-x+2)^4$=$a_8x^8$+$a_7x^7$+$a_6x^6$+···+$a_1x+a_0$이 $x$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_7$, $a_8$에 대하여 $a_0+a_2+a_4+a_6+a_8$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $16=a_8+a_7+a_6+···+a_1+a_0$ ······ $㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $256=a_8-a_7+a_6-···-a_1+a_0$ ······ $㉡$ $㉠+㉡$을 하면 $16+256=2(a_8+a_6+a_4+a_2+a_0)$ ∴ $a_0+a_2+a_4+a_6+a_8$$=136$ |
등식 $(x^2+2x-1)^4=a_8x^8+a_7x^7+a_6x^6+ ··· +a_1x+a_0$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a_0, a_1, a_2, ···, a_7, a_8$에 대하여 $a_1+a_2+a_3+{···}+a_7+a_8$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=0$을 대입하면 $1=a_0$ 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $16=a_8+a_7+a_6+\cdots+a_1+a_0$ ∴ $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_7+a_8$$=16-a_0$$=16-1$$=15$ |
가로의 길이가 $a^2+2a$인 직사각형의 넓이가 $3a^3+5a^2-2a$일 때, 세로의 길이를 구하여라. | 직사각형의 세로의 길이를 $A$라 하면 $(a^2+2a)A=3a^3+5a^2-2a$ $∴$ $A=(3a^3+5a^2-2a)\div(a^2+2a)$ $∴$ $A$$=3a-1$ 따라서 직사각형의 세로의 길이는 $3a-1$이다. |
등식 $kx^2+x+ky^2+y-8k+2=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오. | $k$에 대하여 정리하면 $(x^2+y^2-8)k+x+y+2=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $x^2+y^2-8=0$, $x+y+2=0$ $∴ x^2+y^2=8$, $x+y=-2$ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ $8=(-2)^2-2xy$ $∴ xy=-2$ |
다항식 $x^3+ax^2+bx+c$를 $x^2-4$로 나누었을 때의 몫이 $x-3$, 나머지가 $5$가 되도록 하는 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | $x^3+ax^2+bx+c=$$(x^2-4)(x-3)+5=x^3-3x^2-4x+17$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $a=-3$, $b=-4$, $c=17$ |
등식 $(x^2+2x-4)^3 = a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+\cdots+a_1x+a_0$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_5$, $a_6$에 대하여 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=0$을 대입하면 $-64=a_0$ 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $-1=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ $∴ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$$=-1-a_0$$=(-1)-(-64)$$=63$ |
등식 $a(x-y)+b(3x+y)-3=3x+y-c$가 $x$, $y$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오.$\\$ | 주어진 등식의 좌변을 $x$, $y$에 대하여 정리하면 $(a+3b)x+(-a+b)y-3=3x+y-c$ 이 식은 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a+3b=3$, $-a+b=1$, $c=3$ $∴ $$a=0$, $b=1$, $c=3$ |
등식 $(2x^2+2x+1)^4=a_8x^8+a_7x^7+a_6x^6+{···}+a_1x+a_0$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_7$, $a_8$에 대하여 $a_1+a_2+a_3+{···}+a_7+a_8$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=0$을 대입하면 $1=a_0$ 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $625=a_8+a_7+a_6+···+a_1+a_0$ $∴ a_1+a_2+a_3+ ···+a_7+a_8=625-a_0=625-1=624$ |
등식 $x(2k+1)+y(3-k)-7=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x$, $y$의 값을 각각 구하시오. | 주어진 등식의 좌변을 $k$에 대하여 정리하면 $(2x-y)k+x+3y-7=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $2x-y=0$, $x+3y-7=0$ $∴ x=1$, $y=2$ |
$x-y=-1$을 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 $px^2-2qx+y^2+xy-ry-5=0$이 성립할 때, 상수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $pqr$의 값을 구하시오. | $x-y=-1$에서 $y=x+1$이므로 등식에 대입하면 $px^2-2qx+(x+1)^2+x(x+1)-r(x+1)-5=0$ $∴ (p+2)x^2+(-2q-r+3)x-r-4=0$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=p+2$, $0=-2q-r+3$, $0=-r-4$ $∴ p=-2$, $q=\frac{7}{2}$, $r=-4$ $∴pqr$$=(-2)\times\frac{7}{2}\times(-4)$$=28$ |
등식 $kx^2+x+ky^2+y-13k+5=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오. | $k$에 대하여 정리하면 $(x^2+y^2-13)k+x+y+5=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $x^2+y^2-13=0$, $x+y+5=0$ $∴ x^2+y^2=13$, $x+y=-5$ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ $13=(-5)^2-2xy$ $∴ xy=6$ |
등식 $kx^2+x+ky^2+y-12k-4=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x, y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오. | $k$에 대하여 정리하면 $(x^2+y^2-12)k+x+y-4=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $x^2+y^2-12=0$, $x+y-4=0$ $∴$ $x^2+y^2=12$, $x+y=4$ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ $12=4^2-2xy$ $∴$ $xy=2$ |
다항식 $(x^4+2x^3-x+1)^4(5x-3)^2$을 전개했을 때, 상수항을 포함한 모든 계수들의 합을 구하시오. | $(x^4+2x^3-x+1)^4(5x-3)^2=a_0+a_1x+a_2x^2+{···}+a_{17}x^{17}+a_{18}x^{18}$ 양변에 $x=1$을 대입하면 $(1+2-1+1)^4(5-3)^2=a_0+a_1+a_2+{···}+a_{17}+a_{18}$ $∴$$a_0+a_1+a_2+{···}+a_{17}+a_{18}=324$ 따라서 상수항을 포함한 모든 계수들의 합은 $324$이다. |
다항식 $x^3+ax-b$를 $x^2+x$로 나누었을 때의 나머지가 $-7$일 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하시오. | $x^3+ax-b$를 $x^2+x$로 나누었을 때의 몫을 $x+c$($c$는 상수)라 하면 $=$$x^3+(c+1)x^2+cx-7$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $0=c+1$, $a=c$, $-b=-7$ $∴ a=-1$, $b=7$, $c=-1$ $∴ a+b$$=-1+7$$=6$ |
다항식 $x^3+ax+b$를 $(x+1)(x+2)$로 나누었을 때의 몫이 $Q(x)$, 나머지가 $-x-6$일 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오. | $x^3+ax+b=(x+1)(x+2)Q(x)-x-6$ 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $-1-a+b=-5$ $∴$ $a-b=4 ······ ㉠$ 등식의 양변에 $x=-2$를 대입하면 $-8-2a+b=-4$ $∴$ $2a-b=-4 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-8$, $b=-12$ |
$x-y=-1$을 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 등식 $ax^2+2xy+by^2=-1$이 성립할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.$\\$ | $x-y=-1$에서 $x=y-1$ $a(y-1)^2+2(y-1)y+by^2=-1$ 주어진 등식의 양변에 $y=1$, $y=0$을 각각 대입하면 $b=-1$, $a=-1$ $∴ a=-1$, $b=-1$ |
다항식 $x^3+ax^2+b$가 $x^2+x+4$로 나누어떨어질 때, 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하시오. | $x^3+ax^2+b$를 $x^2+x+4$로 나누었을 때의 몫을 $x+c$($c$는 상수)라 하면 $x^3+(c+1)x^2+(c+4)x+4c$ 이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로 $a=c+1$, $0=c+4$, $b=4c$ $∴ a=-3$, $b=-16$, $c=-4$ $∴ ab=(-3)\times(-16)=48$ |
다항식 $2x^2+kx-5$를 $x-3$으로 나누었을 때의 나머지를 $R_1$, $x+3$으로 나누었을 때의 나머지를 $R_2$라 하자. $R_1R_2=25$일 때, 양수 $k$의 값을 구하시오. | $P(x)=2x^2+kx-5$라 하면 나머지정리에 의하여 $R_1=P(3)=3k+13$, $R_2=P(-3)=-3k+13$ $R_1R_2=25$이므로 $(3k+13)(-3k+13)=25$ $-9k^2+169=25$ $k^2=16$ $k$는 양수이므로 $k=4$ |
다항식 $P(x)$에 대하여 $(x-2)(x^2-1)P(x)=ax^4+x^2-b$가 $x$에 대한 항등식일 때, $P(3)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 상수) | 주어진 등식의 양변에 $x=2$를 대입하면 $0=16a+4-b$ ∴ $16a-b=-4 ······ ㉠$ 주어진 등식의 양변에 $x^2=1$을 대입하면 $0=a+1-b$ ∴ $a-b=-1 ······ ㉡$ $\\$$㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-\frac{1}{5}$, $b=\frac{4}{5}$ ∴ $(x-2)(x^2-1)P(x)=-\frac{1}{5}x^4+x^2-\frac{4}{5}$ 양변에 $x=3$을 대입하면 $(3-2)(3^2-1)P(3)=-\frac{1}{5}\times3^4+3^2-\frac{4}{5}$ $8P(3)=-8$ ∴ $P(3)=-1$ |
등식 $a(x+y)+b(2y-x)-2=3x+4y-c$가 $x$, $y$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하시오. | 주어진 등식의 좌변을 $x$, $y$에 대하여 정리하면 $(a-b)x+(a+2b)y-2=3x+4y-c$ 이 식은 $x$, $y$에 대한 항등식이므로 $a-b=3$, $a+2b=4$, $c=2$ $∴ a=\frac{10}{3}$, $b=\frac{1}{3}$, $c=2$ |
$x+y=1$을 만족시키는 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 등식 $ax^2+4xy+by^2=2$가 성립할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. | $x+y=1$에서 $x=-y+1$ $a(-y+1)^2+4(-y+1)y+by^2=2$ 주어진 등식의 양변에 $y=1$, $y=0$을 각각 대입하면 $b=2$, $a=2$ $∴ a=2$, $b=2$ |
다항식 $P(x)=x^3-ax+1$을 $x-1$로 나누었을 때의 나머지가 $-5$일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. | 나머지정리에 의하여 $P(1)=-5$ $1-a+1=-5$ $-a=-7$ $∴ a=7$ |
다항식 $(2x^2-3x+2)^4(x-3)^3$을 전개했을 때, 상수항을 포함한 모든 계수들의 합을 구하시오. | $(2x^2-3x+2)^4(x-3)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+$ ···$+a_{10}x^{10}+a_{11}x^{11}$ 양변에 $x=1$을 대입하면 $(2-3+2)^4(1-3)^3=a_0+a_1+a_2+$· ·· $+a_{10}+a_{11}$ ∴ $a_0+a_1+a_2+$ ··· $+a_{10}+a_{11}=-8$ 따라서 상수항을 포함한 모든 계수들의 합은 $-8$이다. |
다항식 $(x^3+3x^2-2x+1)^5(2x-3)^3$을 전개했을 때, 상수항을 포함한 모든 계수들의 합을 구하시오. | $(x^3+3x^2-2x+1)^5(2x-3)^3=a_0+a_1x+a_2x^2+$···$+a_{17}x^{17}+a_{18}x^{18}$ 양변에 $x=1$을 대입하면 $(1+3-2+1)^5(2-3)^3=a_0+a_1+a_2+$···$+a_{17}+a_{18}$ ∴ $a_0+a_1+a_2+$···$+a_{17}+a_{18}=-243$ 따라서 상수항을 포함한 모든 계수들의 합은 $-243$이다. |
등식 $(2x^2+x-5)^3=a_6x^6-a_5x^5+a_4x^4-$ ··· $-a_1x+a_0$이 $x$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_5$, $a_6$에 대하여 $a_0+a_2+a_4+a_6$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $-8=a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ ······ ㉠ 주어진 등식의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $-64=a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ ······ ㉡ $㉠+㉡$을 하면 $-8-64=2(a_6+a_4+a_2+a_0)$ ∴ $a_0+a_2+a_4+a_6$$=-36$ |
등식 $(x^2-2x+5)^4=a_8x^8+a_7x^7+a_6x^6+···+a_1x+a_0$이 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a_0$, $a_1$, $a_2$, ···, $a_7$, $a_8$에 대하여 $a_1+a_2+a_3+···+a_7+a_8$의 값을 구하시오. | 주어진 등식의 양변에 $x=0$을 대입하면 $625=a_0$ 주어진 등식의 양변에 $x=1$을 대입하면 $256=a_8+a_7+a_6+ ··· +a_1+a_0$ ∴ $a_1+a_2+a_3+ ··· +a_7+a_8$$=256-a_0$$=256-625$$=-369$ |
다항식 $x^3+ax-b$를 ($x-2$)($x-3$)으로 나누었을 때의 몫이 $Q$($x$), 나머지가 $x-1$일 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하시오. | $x^3+ax-b=(x-2)(x-3)Q(x)+x-1$ 등식의 양변에 $x=2$를 대입하면 $8+2a-b=1$ $∴ 2a-b=-7 ······ ㉠$ 등식의 양변에 $x=3$을 대입하면 $27+3a-b=2$ $∴ 3a-b=-25 ······ ㉡$ $㉠, ㉡$을 연립하여 풀면 $a=-18$, $b=-29$ |
$x-y=1$을 만족시키는 모든 실수 $x,y$에 대하여 등식 $2ax^2+8xy+by^2=-4$가 성립할 때, 상수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. | $x-y=1$에서 $x=y+1$ $2a(y+1)^2+8(y+1)y+by^2=-4$ 주어진 등식의 양변에 $y=-1$, $y=0$을 각각 대입하면 $b=-4$, $2a=-4$ $∴ a=-2$, $b=-4$ |
$x$에 대한 다항식 $3x^3-ax^2+5x-7$을 $x^2+2$로 나누었을 때의 몫이 $3x-1$일 때, 나머지를 구하시오. (단, $a$는 상수) | 나머지를 $px+q$($p$, $q$는 상수)라 하면 $3x^3-ax^2+5x-7 $=$(x^2+2)(3x-1)+px+q $=$3x^3-x^2+(p+6)x+q-2$ 이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 $-a=-1$, $5=p+6$, $-7=q-2$ $∴ a=1$, $p=-1$, $q=-5$ 따라서 나머지는 $-x-5$이다. |
등식 $kx^2+x+ky^2-y-10k+4=0$이 $k$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 상수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하시오. | $k$에 대하여 정리하면 $(x^2+y^2-10)k+x-y+4=0$ 이 식은 $k$에 대한 항등식이므로 $x^2+y^2-10=0$, $x-y+4=0$ $∴ x^2+y^2=10$, $x-y=-4$ $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$ $10=(-4)^2+2xy$ $∴ xy=-3$ |