question
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| answer
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1.16k
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|---|---|
$101^3-(100+1)(10001-100)$의 값을 구하시오. | $101^3-(100+1)(10001-100)$ $=$$(100+1)^3-(100+1)(100^2-100+1^2)$ $=$$(100^3+3\times100^2\times1+3\times100\times1^2+1^3)-(100^3+1^3)$ $=$$30300$ |
$199^2+299\times301$이 $n$자리 자연수일 때, $n$의 값을 구하시오. $n=$ $\square$ | $199^2+299\times301$ $=$$(200-1)^2+(300-1)(300+1)$ $=$$40000-400+1+90000-1$ $=$$129600$ 여섯 자리 자연수이므로 $n=6$ |
$x^2+\frac{1}{x^2}=2$일 때, $x^3+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. (단, $x>0$) | $(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=2+2=4$ $x>0$이므로 $x+\frac{1}{x}=2$ $∴$ $x^3+\frac{1}{x^3}$$=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})$$=2^3-3\times2$$=2$ |
$x-y=1$, $x^3-y^3=7$일 때, $x^4+y^4$의 값을 구하여라. | $(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)$ $1^3=7-3xy\times1$ $∴$ $xy=2$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=1^2+2\times2$$=5$ $∴$ $x^4+y^4$$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$=5^2-2\times2^2$$=17$ |
$x^2-4x-1=0$일 때, $x^3-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x$$\ne$$0$이므로 $x^2-4x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-4-\frac{1}{x}=0$ $∴$ $x-\frac{1}{x}$$=4$ $∴$ $x^3-\frac{1}{x^3}$$=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})$$=4^3+3\times4$$=76$ |
$99^2+198\times202$가 $n$자리 자연수일 때, $n$의 값을 구하시오. | $99^2+198\times202$ $=$$(100-1)^2+(200-2)(200+2)$ $=$$10000-200+1+40000-4$ $=$$49797$ 다섯 자리 자연수이므로 $n=5$ |
다음 그림은 밑면의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x$, 높이가 $x-3$인 직육면체에서 한 모서리의 길이가 $x-3$인 정육면체 모양의 구멍을 뚫은 것이다. 이 도형의 부피를 구하시오. (단, 전개하여 동류항을 계산한 식으로 나타내시오.) | $x\times x\times(x-3)-(x-3)^3$ $=$$(x^3-3x^2)-(x^3-9x^2+27x-27)$ $=$$6x^2-27x+27$ |
$x+y=1$, $x^3+y^3=7$일 때, $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$의 값을 구하시오. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $1^3=7+3xy\times1$ $∴$ $xy=-2$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=1^2-2\times(-2)$$=5$ $∴$ $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$$=\frac{x^2+y^2}{xy}$$=\frac{5}{-2}$$=-\frac{5}{2}$ |
$x+y=1$, $x^3+y^3=3$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하시오. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $1^3=3+3xy\times1$ $∴ xy=-\frac{2}{3}$ $∴ x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=$$1^2-2\times(-\frac{2}{3})=\frac{7}{3}$ |
$x+y=1$, $x^3+y^3=13$일 때, $x^4+y^4$의 값을 구하여라. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $1^3=13+3xy\times1$ $∴ xy=-4$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=1^2-2\times(-4)$$=9$ $∴ x^4+y^4$$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$=9^2-2\times(-4)^2$$=49$ |
다음 그림과 같이 지름의 길이가 $14$인 원에 둘레의 길이가 $36$인 직사각형이 내접할 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오. | 직사각형의 가로의 길이를 $a$, 세로의 길이를 $b$라 하면 $a^2+b^2=14^2$ $a+b$$=\frac{1}{2}\times36$$=18$ 직사각형의 넓이는 $ab$이므로 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ $14^2=18^2-2ab$ $2ab=128$ $∴ ab=64$ 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 $64$이다. |
$x-y=-2$, $x^3-y^3=10$일 때, $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$의 값을 구하시오. | $(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)$ $\\$ $(-2)^3=10-3xy\times(-2)$ $\\$ $∴$ $xy=-3$ $\\$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=(-2)^2+2\times(-3)$$=-2$ $\\$ $∴$ $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$$=\frac{x^2+y^2}{xy}$$=\frac{-2}{-3}$$=\frac{2}{3}$ |
$x^2+\frac{1}{x^2}=5$일 때, $x^3+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. (단, $x>0)\\$ | $(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=5+2=7$ $x>0$이므로 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{7}$ $∴ x^3+\frac{1}{x^3}$$=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})$$=(\sqrt{7})^3-3\sqrt{7}$$=4\sqrt{7}$ |
$x-y=3$, $x^2+y^2=2$일 때, $x^3-y^3$의 값을 구하시오. | $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$ $2=3^2+2xy$ $∴$ $xy=-\frac{7}{2}$ $∴$ $x^3-y^3$$=(x-y)^3+3xy(x-y)$$=3^3+3\times(-\frac{7}{2})\times3$$=-\frac{9}{2}$ |
$a+b+c=7$, $a^2+b^2+c^2=33$, $abc=-2$일 때, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $7^2=33+2(ab+bc+ca)$ $∴ ab+bc+ca=8$ $∴ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{ab+bc+ca} {abc}$$=\frac{8}{-2}$$=-4$ |
$a-b=5$, $b-c=3$일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$의 값을 구하시오. | $a-b=5$, $b-c=3$을 변끼리 더하면 $a-c=8$ $∴ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=$$\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace5^2+3^2+(-8)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\times98$ $=$$49$ |
$x+y=3$, $x^3+y^3=18$일 때, $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$의 값을 구하시오. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $3^3=18+3xy\times3$ $∴$ $xy=1$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=3^2-2\times1$$=7$ $∴$ $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$$=\frac{x^2+y^2}{xy}$$=\frac{7}{1}$$=7$ |
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$, $ab=2$일 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a<b$) | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$=\frac{a+b}{ab}$$=4$ $ab=2$이므로 $\frac{a+b}{2}$$=4$ $∴ a+b=8$ $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$ $=8^2-4\times2$ $=56$ $a<b$이므로 $a-b$ $=-2\sqrt{14}$ |
$101\times(10000-100+1)-99\times(10000+100+1)$의 값을 구하시오. | $101\times(10000-100+1)-99\times(10000+100+1)$ $=$$(100+1)(100^2-100+1^2)-(100-1)(100^2+100+1^2)$ $=$$(100^3+1^3)-(100^3-1^3)$ $=$$2$ |
어느 직육면체의 겉넓이가 $57$이고 대각선의 길이가 $2\sqrt{6}$일 때, 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 겉넓이가 $57$이므로 $2(ab+bc+ca)=57$ 대각선의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\sqrt{6}$이므로 $∴$ $a^2+b^2+c^2=24$ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$=24+57$$=81$ $a$, $b$, $c$는 양수이므로 $a+b+c=9$ 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)=4\times9=36$ |
$x^2+\frac{1}{x^2}=3$일 때, $x^3+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. (단, $x>0$) | $(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2=3+2=5$ $x>0$이므로 $x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$ $∴ x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})^3-3(+\frac{1}{x})$$=(\sqrt{5})^3-3\sqrt{5}$$=2\sqrt{5}$ |
$x^2+\frac{1}{x^2}=4$일 때, $x^3-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. (단, $x>1)\\$ | $(x-\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2=4-2=2$ $x>1$이므로 $x-\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ $∴$ $x^3-\frac{1}{x^3}$$=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})$$=(\sqrt{2})^3+3\sqrt{2}$$=5\sqrt{2}$ |
$x+\frac{1}{x}=5$일 때, $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x^2+{\frac{1}{x}}^2=(x+\frac{1}{x})^2-2=5^2-2=25-2=23$ $x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})^3-3(x+\frac{1}{x})=5^3-3\times5=110$ $∴$ $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$$=23+110=133$ |
$x+y+z=12$, $xy+yz+zx=10$일 때, 보기의 식을 이용하여 $x^2+y^2+z^2$의 값을 구하시오. 보기 $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$ | $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$ $=$$12^2-2\times10$$=$$124$ |
$x+\frac{1}{x}=6$일 때, $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x^2+\frac{1}{x^2}$$=x+\frac{1}{x}^2-2$$=6^2-2$$=36-2$$=34$ $x^3+\frac{1}{x^3}$$=x+\frac{1}{x}^3-3+\frac{1}{x}=6^3-3\times6$$=198$ ∴ $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$$=34+198$$=232$ |
$a+b+c=11$, $ab+bc+ca=9$일 때, $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. | $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) =11^2-2\times9=103$ |
$x-\frac{1}{x}=3$일 때, $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x^2+\frac{1}{x^2}$$=(x-\frac{1}{x})^2+2$$=3^2+2$$=9+2$$=11$ $x^3-\frac{1}{x^3}$$=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})$$=3^3+3\times3$$=36$ $∴ x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$$=11+36$$=47$ |
$x+y+z=9$, $xy+yz+zx=8$일 때, $x^2+y^2+z^2$의 값을 구하시오. | $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) $ $=$$9^2-2\times8$$=$$65$ |
$x-y=-2$, $x^2+y^2=8$일 때, $x^3-y^3$의 값을 구하시오. | $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$ $8=(-2)^2+2xy$ $∴ xy=2$ $∴ x^3-y^3$$=(x-y)^3+3xy(x-y)$$=(-2)^3+3\times2\times(-2)$$=-20$ |
$a+b+c=12$, $ab+bc+ca=9$일 때, $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. | $a^2+b^2+c^2= (a+b+c)^2$ $-$ $2(ab+bc+ca)$ $=$$12^2-2\times9$$=$$126$ |
$a+b+c=\sqrt{3}$, $ab+bc+ca=-\frac{1}{4}$, $abc=-\frac{\sqrt{3}}{4}$일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $(\sqrt{3})^2=a^2+b^2+c^2+2\times(-\frac{1}{4})$ $∴$ $a^2+b^2+c^2=\frac{7}{2}$ $ a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc $ $=\sqrt{3} \times \{\frac{7}{2}-(-\frac{1}{4})\}+3 \times -(\frac{\sqrt{3}}{4})$ $=$$3\sqrt{3}$ |
$a-b=5$, $b-c=-1$일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$의 값을 구하시오. | $a-b=5$, $b-c=-1$을 변끼리 더하면 $a-c=4$ $∴ a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=$$\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace5^2+(-1)^2+(-4)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\times42$ $=$$21$ |
$(3x^3-5x+1)\div(x+2)$의 몫과 나머지를 구하시오. | $∴$ 몫 : $3x^2-6x+7$, 나머지 : $-13$ |
$(4x^3+5x^2-2x-6)\div(x^2+2x-3)$의 몫과 나머지를 구하시오. | $ \begin{array} {r} 4x-3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ x^2+2x-3 {\overline{{\big)} 4x^3+5x^2-2x-6}} \\ \underline{ 4x^3+8x^2-12x\;\;\;\;\;} \\ -3x^2+10x-6 \\ \underline{-3x^2-6x+9} \\ 16x-15 \end{array} $ $\therefore$몫 : $4x-3$, 나머지 : $16x-15$ |
다음 그림은 밑면의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x$, 높이가 $x-5$인 직육면체에서 한 모서리의 길이가 $x-5$인 정육면체 모양의 구멍을 뚫은 것이다. 이 도형의 부피를 구하시오. (단, 전개하여 동류항을 계산한 식으로 나타내시오.) | $x\times x\times(x-5)-(x-5)^3$ $=$$(x^3-5x^2)-(x^3-15x^2+75x-125)$ $=$$10x^2-75x+125$ |
$a+b+c=9$, $ab+bc+ca=7$일 때, $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. | $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9^2-2\times7=67$ |
$a+b+c=6$, $a^2+b^2+c^2=18$, $abc=2$일 때, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $6^2=18+2(ab+bc+ca)$ $∴ ab+bc+ca=9$ $∴ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$=\frac{9}{2}$ |
$x+y+z=11$, $xy+yz+zx=10$일 때, $x^2+y^2+z^2$의 값을 구하시오. | $x^2+y^2+z^2$=$(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=11^2$$-2\times10$=$101$ |
$a+b+c=\sqrt{5}$, $ab+bc+ca=-\frac{1}{5}$, $abc=-\frac{\sqrt{5}}{5}$일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $(\sqrt{5})^2=a^2+b^2+c2+2\times (-\frac{1}{5})$ $∴ $ $a^2+b^2+c^2=\frac{27}{5}$ $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$ $=\sqrt{5}\times\lbrace\frac{27}{5}-(-\frac{1}{5})\rbrace+3\times(-\frac{\sqrt{5}}{5})$ $=5\sqrt{5}$ |
$a+b+c=10$, $a^2+b^2+c^2=50$, $abc=3$일 때, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $10^2=50+2(ab+bc+ca)$ $∴ ab+bc+ca=25$ $∴ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$=\frac{25}{3}$ |
$a+b+c=11$, $ab+bc+ca=9$일 때, 보기의 식을 이용하여 $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. 보기 $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$ | $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=$$11^2-2\times9$$=$$103$ |
다항식 $2x^3-5x^2+3x+4$를 $x^2+x-1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하시오. | 몫은 $2x-7$, 나머지는 $12x-3$이므로 $a=2$, $b=-7$, $c=12$, $d=-3$ $∴ ab-cd$$=2\times(-7)-12\times(-3)$$=22$ |
$a+b+c=\sqrt{5}$, $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}$, $abc=-\frac{\sqrt{5}}{2}$일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $(\sqrt{5})^2=a^2+b^2+c^2+2\times(-\frac{1}{2})$ $∴ a^2+b^2+c^2=6$ $a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab -bc-ca) +3abc = \sqrt{5} \times \{ 6-(-\frac{1}{2})\} +3 \times (-\frac{\sqrt{5}}{2}) = 5 \sqrt{5} $ |
$103^3-103\times(10000-300+9)$의 값을 구하시오. | $103^3-103\times(10000-300+9)$ $=$$(100+3)^3-(100+3)(100^2-300+3^2)$ $=$$(100^3+3\times100^2\times3+3\times100\times3^2+3^3)-(100^3+3^3)$ $=$$92700$ |
$a+b+c=\sqrt{3}$, $ab+bc+ca=-\frac{1}{2}$, $abc=-\frac{\sqrt{3}}{2}$일 때, $a^3+b^3+c^3$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $(\sqrt{3})^2=a^2+b^2+c^2+2\times(-\frac{1}{2})$ $∴ a^2+b^2+c^2=4$ $=a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$ $=\sqrt{3}\times\lbrace4-(-\frac{1}{2})\rbrace +3\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})=3\sqrt{3}$ |
다음 그림은 한 모서리의 길이가 $x+3$인 정육면체에서 밑면의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x$, 높이가 $x+3$인 직육면체 모양의 구멍을 뚫은 것이다. 이 도형의 부피를 구하시오. (단, 전개하여 동류항을 계산한 식으로 나타내시오.) | $(x+3)^3-x\times x\times(x+3)$ $=$$(x^3+9x^2+27x+27)-(x^3+3x^2)$ $=$$6x^2+27x+27$ |
$a+b+c=9$, $ab+bc+ca=8$일 때, 보기의 식을 이용하여 $a^2+b^2+c^2$의 값을 구하시오. 보기 $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$ | $a^2+b^2+c^2$$=$$ (a^2+b^2+c^2)^2$$-$$2(ab+bc+ca)$$ =$$9^2-2\times8$$=$$65$ |
모든 모서리의 길이의 합이 $48$이고 대각선의 길이가 $3\sqrt{6}$인 직육면체의 겉넓이를 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 $48$이므로 $4(a+b+c)=48$ $∴ a+b+c=12$ 대각선의 길이가 $3\sqrt{6}$이므로 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=3\sqrt{6}$ $∴ a^2+b^2+c^2=54$ 직육면체의 겉넓이는 $2(ab+bc+ca)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $12^2=54+2(ab+bc+ca)$ $∴ 2(ab+bc+ca)=90$ 따라서 직육면체의 겉넓이는 $90$이다. |
다음 그림은 밑면의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x$, 높이가 $x-4$인 직육면체에서 한 모서리의 길이가 $x-4$인 정육면체 모양의 구멍을 뚫은 것이다. 이 도형의 부피를 구하시오. (단, 전개하여 동류항을 계산한 식으로 나타내시오.) | $x\times x\times(x-4)-(x-4)^3$ $=$$(x^3-4x^2)-(x^3-12x^2+48x-64)$ $=$$8x^2-48x+64$ |
$a+b+c=5$, $a^2+b^2+c^2=15$, $abc=-1$일 때, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $5^2=15+2(ab+bc+ca)$ $∴$ $ab+bc+ca=5$ $∴$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$=\frac{5}{-1}$$=-5$ |
$a-b=4$, $b-c=-2$일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$의 값을 구하시오. | $a-b=4$, $b-c=-2$를 변끼리 더하면 $a-c=2$ $\\$ $∴$ $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $=$$\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\lbrace4^2+(-2)^2+(-2)^2\rbrace$ $=$$\frac{1}{2}\times24$ $=$$12$ |
다음 그림과 같이 지름의 길이가 $13$인 원에 둘레의 길이가 $34$인 직사각형이 내접할 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오. | 직사각형의 가로의 길이를 $a$, 세로의 길이를 $b$라 하면 $a^2+b^2=13^2$ $a+b=\frac{1}{2}\times34=17$ 직사각형의 넓이는 $ab$이므로 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ $13^2=17^2-2ab$ $2ab=120$ $∴ ab=60$ 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 $60$이다. |
다음 그림은 한 모서리의 길이가 $x+2$인 정육면체에서 밑면의 가로의 길이가 $x$, 세로의 길이가 $x$, 높이가 $x+2$인 직육면체 모양의 구멍을 뚫은 것이다. 이 도형의 부피를 구하시오. (단, 전개하여 동류항을 계산한 식으로 나타내시오.) | $(x+2)^3-x\times x\times(x+2)$ $=$$(x^3+6x^2+12x+8)-(x^3+2x^2)$ $=$$4x^2+12x+8$ |
모든 모서리의 길이의 합이 $36$이고 대각선의 길이가 $2\sqrt{13}$인 직육면체의 겉넓이를 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 $36$이므로 $4(a+b+c)=36$ $∴ a+b+c=9$ 대각선의 길이가 $2\sqrt{13}$이므로 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\sqrt{13}$ $∴ a^2+b^2+c^2=52$ 직육면체의 겉넓이는 $2(ab+bc+ca)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $9^2=52+2(ab+bc+ca)$ $∴ 2(ab+bc+ca)=29$ 따라서 직육면체의 겉넓이는 $29$이다. |
$a+b+c=3$, $a^2+b^2+c^2=15$, $abc=-1$일 때, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$의 값을 구하시오. | $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $3^2=15+2(ab+bc+ca)$ $∴$ $ab+bc+ca=-3$ $∴$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=\frac{ab+bc+ca}{abc}$$=\frac{-3}{-1}$$=3$ |
다항식 $x^3-4x^2+x+3$을 $x^2+x-1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab+cd$의 값을 구하시오. | 몫은 $x-5$, 나머지는 $7x-2$이므로 $a=1$, $b=-5$, $c=7$, $d=-2$ $\therefore$ $ab+cd=1\times(-5)+7\times(-2)=-19$ |
$(2x^3-5x^2+3x-1)\div(x-2)$의 몫과 나머지를 구하시오. | $∴$ 몫 : $2x^2-x+1$, 나머지 : $1$ |
다항식 $x^3+3x^2+x+1$을 $x^2-x+1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하시오. | $\begin{array} {r} x+4\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,\;\, \\ x^2-x+1 {\overline{{\big)} x^3+3x^2+x+1}} \\ \underline{ x^3-x^2+x \;\;\;\;\;\;\;\,} \\ 4x^2\;\;\;\;\;\;\;\;+1 \\ \underline{ 4x^2-4x+4} \\ 4x-3 \end{array}$ 몫은 $x+4$, 나머지는 $4x-3$이므로 $a=1$, $b=4$, $c=4$, $d=-3$ $∴ a+b+c+d$$=1+4+4+(-3)$$=6$ |
다항식 $x^4-x^3-2x+1$을 $x^2-2x+2$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q-R$를 구하시오. | $∴ Q=x^2+x$, $R=-4x+1$ $∴ Q-R=(x^2+x)-(-4x+1)=x^2+x+4x-1$ $=x^2+5x-1$ |
다음 그림과 같이 지름의 길이가 $17$인 원에 둘레의 길이가 $42$인 직사각형이 내접할 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오. | 직사각형의 가로의 길이를 $a$, 세로의 길이를 $b$라 하면 $a^2+b^2=17^2$ $a+b=\frac{1}{2}\times42=21$ 직사각형의 넓이는 $ab$이므로 $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ $17^2=21^2-2ab$ $2ab=152$ $∴ ab=76$ 따라서 구하는 직사각형의 넓이는 $76$이다. |
다항식 $3x^3+x^2-5x+2$를 $x^2-x+1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a, b,c, d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하시오. | $\begin{array} {r} 3x+4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ x^2 -x+1 {\overline{{\big)} 3x^3 +~x^2 -5x +2}} \\ \underline{3x^3-3x^2+3x \;\;\;\;\,} \\ 4x^2-8x+2 \\ \underline{ 4x^2-4x+4} \\ -4x-2 \end{array}$ 몫은 $3x+4$, 나머지는 $-4x-2$이므로 $a=3$, $b=4$, $c=-4$, $d=-2$ $\therefore$$ ab-cd$$=3\times4-(-4)\times(-2)$$=4$ |
다항식 $x^3-x^2+5x-4$를 $x^2+x-1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하시오. | 몫은 $x-2$, 나머지는 $8x-6$이므로 $a=1$, $b=-2$, $c=8$, $d=-6$ $∴ ab-cd=1\times(-2)-8\times(-6)=46$ |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $2x-3$, 세로의 길이가 $x+1$인 직육면체의 부피가 $2x^3+9x^2-8x-15$일 때, 높이를 구하시오. | 직육면체의 높이를 $A$라 하면 $(2x-3)(x+1)A=2x^3+9x^2-8x-15$ $(2x^2-x-3)A=2x^3+9x^2-8x-15$ $∴$ $A=(2x^3+9x^2-8x-15)\div(2x^2-x-3)$ $∴$ $A$$=x+5$ 따라서 직육면체의 높이는 $x+5$이다. |
$x-\frac{1}{x}=2$일 때, $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x^2+\frac{1}{x^2}$$=(x-\frac{1}{x})^2+2$$=2^2+2$$=4+2$$=6$ $x^3-\frac{1}{x^3}$$=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})$$=2^3+3\times2$$=14$ $∴$ $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$$=6+14$$=20$ |
모든 모서리의 길이의 합이 $40$이고 대각선의 길이가 $\sqrt{51}$인 직육면체의 겉넓이를 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 모든 모서리의 길이의 합이 $40$이므로 $4(a+b+c)=40$ $∴ a+b+c=10$ 대각선의 길이가 $\sqrt{51}$이므로 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{51}$ $∴ a^2+b^2+c^2=51$ 직육면체의 겉넓이는 $2(ab+bc+ca)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $10^2=51+2(ab+bc+ca)$ $∴ 2(ab+bc+ca)=49$ 따라서 직육면체의 겉넓이는 $49$이다. |
다항식 $P(x)$를 $x+3$으로 나누었을 때의 몫이 $x-2$, 나머지가 $5$일 때, $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. | $P(x)$$=(x+3)(x-2)+5$$=x^2-2x+3x-6+5$$=x^2+x-1$ $∴$ 몫 : $x+2$, 나머지 : $1$ |
다항식 $x^4-2x^3+2x^2+3x-4$를 $x^2+x+1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(2)+R(-1)$의 값을 구하시오. | $Q(x)=x^2-3x+4$, $R(x)=2x-8$이므로 $Q(2)+R(-1)$$=(2^2-3\times2+4)+\lbrace2\times(-1)-8\rbrace$$=2+(-10)$$=-8$ |
다항식 $2x^3+3x^2+5$를 $x^2+2x-1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(1)+R(3)$의 값을 구하시오. | $Q(x)=2x-1$, $R(x)=4x+4$이므로 $Q(1)+R(3)$$=(2\times1-1)+(4\times3+4)$$=1+16$$=17$ |
다항식 $a^3-a^2+2a+2$를 $a^2-3a-1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(a)$, 나머지를 $R(a)$라 할 때, $Q(2)-R(1)$의 값을 구하시오. | $Q(a)=a+2$, $R(a)=9a+4$이므로 $Q(2)-R(1)$$=(2+2)-(9\times1+4)$$=4-13$$=-9$ |
$(2x^3-x^2+x-7)\div(x^2+3x-1)$의 몫과 나머지를 구하시오. | $∴$ 몫 : $2x-7$, 나머지 : $24x-14$ |
다항식 $4x^3-5x^2+x-5$를 $x^2-x+2$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a-b-c+d$의 값을 구하시오. | 몫은 $4x-1$, 나머지는 $-8x-3$이므로 $a=4$, $b=-1$, $c=-8$, $d=-3$ $∴ a-b-c+d$$=4-(-1)-(-8)+(-3)$$=10$ |
어느 직육면체의 겉넓이가 $62$이고 대각선의 길이가 $\sqrt{38}$일 때, 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 겉넓이가 $62$이므로 $2(ab+bc+ca)=62$ 대각선의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{38}$이므로 $∴ a^2+b^2+c^2=38$ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$=38+62$$=100$ $a$, $b$, $c$는 양수이므로 $a+b+c=10$ 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)=4\times10=40$ |
다항식 $2x^4-x^3+9x^2-12x+13$을 다항식 $P$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+3$, 나머지가 $-9x+4$일 때, 다항식 $P$를 구하시오. | $2x^4-x^3+9x^2-12x+13=P(x^2+3)-9x+4$이므로 $P(x^2+3=(2x^4-x^3=9x^2-12x+13)-(-9x+4)$ $=$$2x^4-x^3+9x^2-3x+9$ $∴$ $P=(2x^4-x^3+9x^2-3x+9)\div(x^2+3)$ $\begin{array} {r} 2x^2-x+3 \\ x^2+5 {\overline{{\big)} 2x^4-x^3+9x^2-3x+9}} \\ \underline{2x^4~~~~~~~~~+6x^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,} \\ -x^3+3x^2-3x~~~~~~~ \\ \underline{ -x^3~~~~~~~~~~~-3x\;\;\;\;\;\;} \\ 0 \end{array}$ $\therefore P=2x^2-x+3$ |
등식 $(x+a)(x^2+bx-1)=x^3+cx+2$가 $x$에 대한 항등식일 때, 상수 $a, $$b, $$c$에 대하여 $abc$의 값을 구하시오. | $x^3+(a+b)x^2+(ab-1)x-a=x^3+cx+2$ $a+b=0$, $ab-1=c$, $-a=2$ $∴ a=-2$, $b=2$, $c=-5$ $∴ abc$$=(-2)\times2\times(-5)$$=20$ |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $3a-2$, 세로의 길이가 $a+1$인 직육면체의 부피가 $3a^3-11a^2-6a+8$일 때, 높이를 구하시오. | 직육면체의 높이를 $A$라 하면 $(3a-2)(a+1)A=3a^3-11a^2-6a+8$ $(3a^2+a-2)A=3a^3-11a^2-6a+8$ $∴ A=(3a^3-11a^2-6a+8)\div(3a^2+a-2)$ $ \begin{array} {r} a-4 \\ 3a^2+a-2 {\overline{{\big)} 3a^3-11a^2-6a+8}} \\ \underline{3a^3+~~~~a^2-2a \;\;\;\;\;\;} \\ -12a^2-4a+8 \\ \underline{-12a^2-4a+8} \\ 0 \end{array} $ $∴ A=a-4$ 따라서 직육면체의 높이는 $a-4$이다. |
어느 직육면체의 겉넓이가 $37$이고 대각선의 길이가 $2\sqrt{3}$일 때, 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하시오. | 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 겉넓이가 $37$이므로 $2(ab+bc+ca)=37$ 대각선의 길이는 $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=2\sqrt{3}$이므로 $∴$ $a^2+b^2+c^2=12$ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)$이므로 $(a+b+c)^2$$=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$=12+37$$=49$ $a$, $b$, $c$는 양수이므로 $a+b+c=7$ 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+c)=4\times7=28$ |
$(x^3+4x^2-8)\div(x+3)$의 몫과 나머지를 구하시오. | $\begin{array} {r} x^2+x-3 \\ x+3 {\overline{{\big)} x^3+4x^2-8}} \\ \underline{- x^3+3x^2 \;\;\;\;\,} \\ x^2 \\ \underline{ x^2+3x} \\ - 3x-8\\ \underline{ -3x-9}\\1 \end{array}$ $\therefore$ 몫 : $x^2+x-3$, 나머지 : $1$ |
다항식 $2x^3-7x^2-4$를 $x^2-3x+2$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(4)-R(3)$의 값을 구하시오. | $Q(x)=2x-1$, $R(x)=-7x-2$이므로 $Q(4)-R(3)$$=(2\times4-1)-(-7\times3-2)$$=7-(-23)$$=30$ |
다항식 $2x^3-x^2-3x+5$를 $x^2+x-1$로 나누었을 때의 몫이 $ax+b$이고, 나머지가 $cx+d$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하시오. | 몫은 $2x-3$, 나머지는 $2x+2$이므로 $a=2$, $b=-3$, $c=2$, $d=2$ $∴ ab-cd$$=2\times(-3)-2\times2$$=-10$ |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $a+3$, 세로의 길이가 $2a+1$인 직육면체의 부피가 $2a^3+3a^2-11a-6$일 때, 높이를 구하시오. | 직육면체의 높이를 $A$라 하면 $(a+3)(2a+1)A=2a^3+3a^2-11a-6$ $(2a^2+7a+3)A=2a^3+3a^2-11a-6$ $∴ A=(2a^3+3a^2-11a-6)\div(2a^2+7a+3)$ $∴ A=a-2$ 따라서 직육면체의 높이는 $a-2$이다. |
다항식 $A(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 몫이 $x+3$, 나머지가 $5$일 때, $A(x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. | $A(x)$$=(x-2)(x+3)+5$$=x^2+3x-2x-6+5$$=x^2+x-1$ $∴$ 몫 : $x$, 나머지 : $-1$ |
다항식 $x^4+x^3+x^2-7$을 다항식 $P$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+x+3$, 나머지가 $2x-1$일 때, 다항식 $P$를 구하시오. | $x^4+x^3+x^2-7=P(x^2+x+3)+2x-1$이므로 $4P(x^2+x+3)=(x^4+x^3+x^2-7)-(2x-1)=x^4+x^3+x^2-2x-6$ $=$$x^4+x^3+x^2-2x-6$ ∴ $P=(x^4+x^3+x^2-2x-6)\div(x^2+x+3)$ ∴ $P$$=x^2-2$ |
다항식 $2x^3-5x^2+x+3$을 다항식 $A$로 나누었을 때의 몫이 $x^2-3x+1$, 나머지가 $2x+2$일 때, 다항식 $A$를 구하시오. | $2x^3-5x^2+x+3=A(x^2-3x+1)+2x+2$이므로 $A(x^2-3x+1)=(2x^3-5x^2+x+3)-(2x+2)$ $=$$2x^3-5x^2-x+1$ $∴ A=(2x^3-5x^2-x+1)\div(x^2-3x+1)$ $∴ 3A$$=2x+1$ |
다항식 $P(x)$를 $x-4$로 나누었을 때의 몫이 $x+2$, 나머지가 $8$일 때, $P(x)$를 $x+3$으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. | $P(x)$$=(x-4)(x+2)+8$$=x^2+2x-4x-8+8$$=x^2-2x$ $\\\begin{array} {r} x-5~~~~~~~~~ \\ x+3 {\overline{{\big)} x^2-2x}}~~~~~ \\\underline{x^2+3x \;\;\;\;\,} \\ -5x~~~~~ \\\underline{~~-{5x-15}} \\15 \end{array}$ $\\∴$ 몫 : $x-5$, 나머지 : $15$ |
다항식 $x^3+3x^2-9x+1$을 $x^2-x-6$으로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 할 때, $Q(1)+R(2)$의 값을 구하시오. | $Q(x)=x+4$, $R(x)=x+25$이므로 $Q(1)+R(2)$$=(1+4)+(2+25)$$=5+27$$=32$ |
다항식 $x^4+2x^2+5x-3$을 $x^2+3x-3$으로 나눈 몫을 $A$, $x^2-2x+1$로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A-B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $\therefore A=x^2-3x+14$ $\therefore B=x^2+2x+5$ $\therefore A-B=(x^2-3x+14)-(x^2+2x+5) = x^2-3x+14-x^2-2x-5 =-5x+9$ |
다항식 $P(x)$를 $3x+1$로 나누었을 때의 몫이 $x^2+2x+6$이고, 나머지가 $7$일 때, 다항식 $P(x)$를 구하시오. | $P(x)$=$(3x+1)(x^2+2x+6)+7=3x^3=6x^2+18x+x^2+2x+6+7= 3x^3+7x^2+20x+13$ |
$x^2-2x+4=0$일 때, $x^4-5x^3+11x^2-14x+7$의 값을 구하시오. | $∴ x^4-5x^3+11x^2-14x+7=(x^2-2x+4)(x^2-3x+1)+3$ $x^2-2x+4=0$이므로 구하는 식의 값은 $3$이다. |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $2a-1$, 높이가 $a+3$인 직육면체의 부피가 $2a^3+7a^2+2a-3$일 때, 세로의 길이를 구하시오. | 밑면의 세로의 길이를 $A$라 하면 $(2a-1)A(a+3)=2a^3+7a^2+2a-3$ $(2a^2+5a-3)A=2a^3+7a^2+2a-3$ $∴ A=(2a^3+7a^2+2a-3)\div(2a^2+5a-3)$ $∴ A$$=a+1$ 따라서 밑면의 세로의 길이는 $a+1$이다. |
다항식 $Q(x)$를 $x^2-2x$로 나누었을 때의 몫이 $x+4$이고, 나머지가 $5x+3$일 때, 다항식 $Q(x)$를 구하시오. | $Q(x)$$=(x^2-2x)(x+4)+(5x+3)$ $=x^3+4x^2-2x^2-8x+5x+3$ $=$$x^3+2x^2-3x+3$ |
다항식 $x^4-4x^2+3x-5$를 $x^2+2x-1$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라 할 때, $Q+R$를 구하시오. | $∴ Q=x^2-2x+1$, $R=-x-4$ $∴ Q+R=(x^2-2x+1)+(-x-4)=x^2-2x+1-x-4$ $=x^2-3x-3$ |
다항식 $x^4-x^3+2x+5$를 $x^2-2x+2$로 나눈 몫을 $A$, $x^2+x-3$으로 나눈 몫을 $B$라 할 때, $A+B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $∴ $$A=x^2+x$ $∴$ $B=x^2-2x+5$ $∴$$ A+B=(x^2+x)+(x^2-2x+5)$ $=x^2+x+x^2-2x+5$ $=2x^2-x+5$ |
다항식 $P(x)$를 $x^2-x+2$로 나누었을 때의 몫이 $x+3$이고, 나머지가 $4x-3$일 때, 다항식 $P(x)$를 구하시오. | $P(x)$=$(x^2-x+2)(x+3)+(4x-3)$ =$x^3+3x^2-x^2-3x+2x+6+4x-3$ =$x^3+2x^2+3x+3$ |
다항식 $x^3+2x^2-4x+5$를 다항식 $A$로 나누었을 때의 몫이 $x+1$, 나머지가 $10$일 때, 다항식 $A$를 구하시오. | $x^3+2x^2-4x+5=A(x+1)+10$이므로 $=$$x^3+2x^2-4x-5$ $∴$$A=(x^3+2x^2-4x-5)\div(x+1)$ $∴$ $A$$=x^2+x-5$ |
부피가 $x^4+2x^3+6x^2+8x-3$인 물통에 가득 채워진 물을 부피가 같은 여러 개의 컵에 나누어 담으려고 한다. 컵의 부피가 $x^2-x+1$일 때, 물을 가득 채운 컵의 최대 개수와 물통에 남은 물의 양을 구하시오. | 따라서 컵의 개수는 $x^2+3x+8$, 남은 물의 양은 $13x-11$이다. |
다항식 $A(x)$를 $2x-3$으로 나누었을 때의 몫이 $x+1$, 나머지가 $7$일 때, $A(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. | $A(x)$$=(2x-3)(x+1)+7$$=2x^2+2x-3x-3+7$$=2x^2-x+4$ $∴$ 몫 : $2x+3$, 나머지 : $10$ |
다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이가 $a-1$, 높이가 $a+3$인 직육면체의 부피가 $a^3+8a^2+9a-18$일 때, 세로의 길이를 구하시오. | 밑면의 세로의 길이를 $A$라 하면 $(a-1)A(a+3)=a^3+8a^2+9a-18$ $(a^2+2a-3)A=a^3+8a^2+9a-18$ $∴$ $A=(a^3+8a^2+9a-18)\div(a^2+2a-3)$ $∴$ $A$$=a+6$ 따라서 밑면의 세로의 길이는 $a+6$이다. |
$x^2-x+1=0$일 때, $2x^4-5x^3+4x^2-2x+8$의 값을 구하시오. | ∴ $2x^4-5x^3+4x^2-2x+8=(x^2-x+1)(2x^2-3x-1)+9$ $x^2-x+1=0$이므로 구하는 식의 값은 $9$이다. |
다항식 $x^4+x^3+5x^2-x+3$을 다항식 $P$로 나누었을 때의 몫이 $x^2-x+4$, 나머지가 $-6x-9$일 때, 다항식 $P$를 구하시오. | $x^4+x^3+5x^2-x+3=P(x^2-x+4)-6x-9$이므로 $=$$P(x^2-x+4)=(x^4+x^3+5x^2-x+3)-(-6x-9)=x^4+x^3+5x^2+5x+12)$ ∴ $P=(x^4+x^3+5x^2+5x+12)\div(x^2-x+4)$ ∴ $P$$=x^2+2x+3$ |
세 다항식 $A=-2x^2+xy-3y^2, $$B=x^2-4xy+y^2, $$C=3x^2+2xy-y^2$에 대하여 다음을 계산하여 $x, $$y$에 대한 식으로 나타내시오. (1) $A-(3A-B)=\square$ (2) $(3A+C)-(B+2C)=\square$ | (1) $A-(3A-B)$ $=$$A-3A+B$ $=$$-2A+B$ $=$$-2(-2x^2+xy-3y^2)+(x^2-4xy+y^2)$ $=$$4x^2-2xy+6y^2+x^2-4xy+y^2$ $=$$5x^2-6xy+7y^2$ (2) $(3A+C)-(B+2C)$ $=$$3A+C-B-2C$ $=$$3A-B-C$ $=$$3(-2x^2+xy-3y^2)-(x^2-4xy+y^2)-(3x^2+2xy-y^2)$ $=$$-6x^2+3xy-9y^2-x^2+4xy-y^2-3x^2-2xy+y^2$ $=$$-10x^2+5xy-9y^2$ |