Datasets:

nyuuzyou
/

svitppt

Dataset card Viewer Files Files and versions Community

Split (1)

train · 49k rows

url stringlengths 34 301	title stringlengths 0 255	download_url stringlengths 0 77	filepath stringlengths 6 43	text stringlengths 0 104k ⌀
https://svitppt.com.ua/algebra/navchalnometodichne-zabezpechennya-vikladannya-matematiki-u-klasah.html	Навчально-методичне забезпечення викладання математики у 5–11 класах	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/453302bc2573c92e0942705b436b4a32.ppt	files/453302bc2573c92e0942705b436b4a32.ppt	www.themegallery.com www.themegallery.com L/O/G/O www.themegallery.com 10 11 10 11 10 11 10 11 3 3 - - - - - - - - 2 3 5 5 5 5 - - 2 2 4 4 4 4 www.themegallery.com www.themegallery.com
https://svitppt.com.ua/algebra/navchalniy-posibnik.html	Навчальний посібник	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/386706c22f9b442bb910a85864b3f034.ppt	files/386706c22f9b442bb910a85864b3f034.ppt	ax=b ax+by=c 0 1. 2. 1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y y=10 - x y=x+2 0 2 -2 0 0 10 10 0 \|\|·(-3) + ____________ -80 7 2 17 6 = 7·6 - 2·17 = 42 - 34 = 8 1 2 -9 6 = 1·6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24 7 1 17 -9 = 7·(-9) - 1·17 = - 63 -17= -80 = 24 8 = 3; = 8 = -10.
https://svitppt.com.ua/algebra/i2.html	і	https://svitppt.com.ua/uploads/files/21/bf5370b10903eb99006944420bb3b118.ppt	files/bf5370b10903eb99006944420bb3b118.ppt	D D N M C B D N M C B A P C N M D B A P C N M D B N D N D K H G C B D D1 C1 B1 K N M C B D D1 C1 B1 K N M C B D D1 C1 B1 K N M F C B D D1 C1 B1 K N M F G H C B D D1 C1 B1 K N M F G H M N K M N K Q P D D1 B A C D Q M R P M N K M N K K M N M X Y A A1 N M1 N1 T D1=T1 B C D E E1 C1 B1 A C B M D E A1 C1 B1 D1 E1 K N M1 N1 K1 A2 Q P R B D C B1 C1 D1 S B D C B1 C1 D1 Q P R S V T U
https://svitppt.com.ua/algebra/istoriya-nauki-trigonometrii.html	Історія науки тригонометрії	https://svitppt.com.ua/uploads/files/38/7e58582eadf770d507b383bca9845491.ppt	files/7e58582eadf770d507b383bca9845491.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/metodka-rozvyazuvannya-zadach-za-dopomogoyu-liniynih-rivnyan.html	Методка розв’язування задач за допомогою лінійних рівнянь	https://svitppt.com.ua/uploads/files/60/f42694a186ced52677cff03c2a595f1d.ppt	files/f42694a186ced52677cff03c2a595f1d.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/mnozhennya-mnogochleniv.html	Множення многочленів	https://svitppt.com.ua/uploads/files/31/571cb96d695d46a390fbc471af392ca0.ppt	files/571cb96d695d46a390fbc471af392ca0.ppt	1. 2 ( ) ( )
https://svitppt.com.ua/algebra/mnozhina-ta-ii-elementi0.html	Множина та її елементи	https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/79ee7f15d31cd3f968411406f71f62e2.ppt	files/79ee7f15d31cd3f968411406f71f62e2.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/nayprostishi-peretvorennya-grafikiv-funkciy.html	Найпростіші перетворення графіків функцій	https://svitppt.com.ua/uploads/files/8/1856f29b0e07b73176c715ca21b89eb4.ppt	files/1856f29b0e07b73176c715ca21b89eb4.ppt	y = kx (b = 0)k>0, k<0 y = b (k = 0)b>0, b<0 0 k < 0 k > 0 b 0 k < 0 k > 0 k k 1 0 b b > 0 b b < 0 0 0 0 1 1 4 9 2 3 -1 -3 -2 -1 0 1 2 3 0,5 -2 -3,5 -4 -3,5 -2 0,5 0 1 1 4 9 2 3 -1 -3 -2 -1 0 -4 -5 -6 0 0,5 2 4,5 0,5 2 4,5 1 1 4 9 2 3 -1 2 1 1 4 9 3 -1 1 1 4 9 2 3 -1 1 1 4 9 2 3 -1 2 1 1 4 9 3 -1 2 1 1 4 9 3 -1 1 1 4 9 2 3 -1 1 1 4 9 2 3 -1 1 1 4 9 2 3 -1 2 1 1 4 9 3 -1
https://svitppt.com.ua/algebra/arifmetichniy-kvadratniy-korin2.html	арифметичний квадратний корінь	https://svitppt.com.ua/uploads/files/62/66bec24a59aaa934480db89c7d421326.pptx	files/66bec24a59aaa934480db89c7d421326.pptx
https://svitppt.com.ua/algebra/arifmetichniy-kvadratniy-korin1.html	арифметичний квадратний корінь	https://svitppt.com.ua/uploads/files/62/3985dca3af82ef16c1148eea29f5f562.pptx	files/3985dca3af82ef16c1148eea29f5f562.pptx
https://svitppt.com.ua/algebra/aksioma.html	аксіома	https://svitppt.com.ua/uploads/files/63/16222ad452cf2557477b4c851e098306.pptx	files/16222ad452cf2557477b4c851e098306.pptx	Аксіоми, теореми, Означення Андрійчук Олександри Аксіо́ма (грец. axiōma — загальноприйняте, безперечне, від axio — вважаю гідним, наполягаю, вимагаю) __ вхідне положення, самоочевидний принцип. В дедуктивних наукових теоріях аксіомами називають основні вихідні положення чи твердження якоїсь теорії, що приймаються без доведень, і з яких шляхом дедукції, тобто чисто логічними засобами, одержують весь інший її зміст. (Див. Аксіоматичний метод). у переносному значенні те, що не потребує жодних доведень. заперечення якого заперечує основи логічного мислення... . ЕВКЛІД Евклі́д (грец. Ευκλείδης; близько 365 — близько 270 до н. е.) — старогрецький математик і визнаний основоположник Біографічних даних про життя Евкліда майже не збереглося. Відомо, що народився він в Афінах, жив в Александріїпри Птолемеї І, царювання якого припадає на 306—283 роки до н. е[2]. Вважають, що Евклід вчився в Афінах і був учнем Платона. Більшість афінських геометрів були послідовниками Платона, проте цього не можна сказати про Евкліда. Як розповідає Папп Александрійський (друга половина ІІ ст. н. е.), Евклід заснував в Александрії свою школу. Папп повідомляє також, що Евклід був м'якою і люб'язною людиною з усіма, хто міг хоча б в найменшій мірі сприяти розвитку математичних наук[3]. Евклід є автором найдавніших трактатів з математики, що збереглись до сьогодення. В них підсумовано досягнення давньогрецької математики. Наукова діяльність Евкліда проходила в Александрійській бібліотеці — суспільній інституції, що являла собою бібліотечний, науковий, навчальний, інформаційно-аналітичний і культурологічний комплекс. Основна праця Евкліда «Начала» (грец. Στοιχεῖα у латинізованому варіанті — лат. Elementa, «Елементи») складається із серії книжок, у яких міститься систематизований виклад геометрії, а також деяких питань теорії чисел. «Начала» відіграли винятково важливу роль у подальшому розвитку математичної науки. Історичне значення цієї праці полягає в тому, що в ній уперше здійснено спробу логічної побудови геометрії на основі аксіоматики. Зміст «Начал» свідчить про велику повагу їх автора до традиції, оскільки він зберіг в них деякі поняття, які в його час не вживались. Прокл (410—485 рр. н.е) розповідає, ніби-то Птолемей І запитав Евкліда, чи немає коротшого шляху для розуміння геометрії, ніж той, який викладений в «Началах», на що Евклід відповів: «В геометрії немає царського шляху!» Мав також роботи з астрономії, оптики, теорії музики. У трактатах «Оптика» (грец. ὀπτικά) і «Катоптика» (грец. κατοπτρικά) Евклід описує результати своїх досліджень з оптики. Слідом за Платоном він визнає теорію зорових променів у вигляді прямих ліній. Сформулював закон прямолінійного поширення світла. У своїх працях розглядав утворення тіні, отримання зображення за допомогою малих отворів, явища, пов'язані з відбиттям променів від плоских і сферичних дзеркал, що дає підстави вважати Евкліда Основоположником геометричної оптики[4]. Евклід дає опис монохорда — однострунного приладу для визначення висоти тону звучання струни та її частин. Вважають, що монохорд придумав Піфагор, а Евклід лише детально описав його («Ділення канону»). Евклід із властивим йому завзяттям займався числовою системою інтервальних відношень у музиці. На основі цих математичних досліджень, згодом, замість однієї струни стали використовувати дві або три. Так було покладено початок створенню клавішних інструментів: клавесина а згодом фортепіано математики, автор перших теоретичних трактатів з математики, що дійшли до сучасності Миха́йло Єго́рович Ва́щенко-Заха́рченко Миха́йло Єго́рович Ва́щенко-Заха́рченко (* 31 жовтня (12 листопада за новим стилем) 1825, Маліївка, ниніЗолотоніського району Черкаської області — † 14 серпня (27 серпня за новим стилем) 1912, Київ) — український матемаНавчався в Золотоніському повітовому училищі та в 2-ій Київській гімназії. Математичну освіту здобув частково в Київському університеті, частково в Парижі. Від 1867 року — професор Київського університету. Ващенко-Захарченко з початку 1870-х років став читати курс проективної геометрії, а з 1878 року — курс неевклідової геометрії (основи геометрії Лобачевського). 1880 року він опублікував переклад «Начал» Евкліда з великим вступом, де були розглянуті основні питання геометрії Лобачевського. тикНавчався в Золотоніському повітовому училищі та в 2-ій Київській гімназії. Математичну освіту здобув частково в Київському університеті, частково в Парижі. Від 1867 року — професор Київського університету. Ващенко-Захарченко з початку 1870-х років став читати курс проективної геометрії, а з 1878 року — курс неевклідової геометрії (основи геометрії Лобачевського). 1880 року він опублікував переклад «Начал» Евкліда з великим вступом, де були розглянуті основні питання геометрії Лобачевського.
https://svitppt.com.ua/algebra/olrb.html	олрб	https://svitppt.com.ua/uploads/files/47/a7fb5fcde9a26cf04c7e270592c2da2c.ppt	files/a7fb5fcde9a26cf04c7e270592c2da2c.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/obernena-trigonometrichna-funkciya-yarcsin-.html	Обернена тригонометрична функція y=arcsin x	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/f56af0214a064a82b13027046a5337b7.ppt	files/f56af0214a064a82b13027046a5337b7.ppt	x y 1 -1 0 x y 1 -1 0 x y 1 -1 0 [-1 ; 1] x y 1 -1 0 1 - 1 [-1 ; 1] y = arcsin x - 45° 45° 30° 0° - 90° 1) arcsin 0,7 2) arcsin (-0,35) 1) arcsin 2) arcsin + arcsin x y 1 -1 0 y = arcsin x ± n y = arcsin x y = arcsin x + 1 x y 1 -1 0 y = arcsin x y = - arcsin x x y 1 -1 0 y = arcsin x y = - arcsin x y = arcsin (- x) x y 1 -1 0 y = arcsin x y = arcsin (-x) y = k·arcsin x 0 -1 1 2 -2 y = arcsin x y = 2arcsin x -3 3 y = \|arcsin x\| x y 1 -1 0 y = arcsin x y = \|arcsin x\| y = arcsin \|x\| x y 1 -1 0 y = arcsin x y = arcsin \|x\| y = arcsin (x - ) y = arcsin \|x - \| y = - arcsin \|x - \| y = 2 - arcsin \|x - \| x y 1 -1 0
https://svitppt.com.ua/algebra/nuli-funkcii.html	Нулі функції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/8c4c08b722ecc813c645d20167fc2c7d.ppt	files/8c4c08b722ecc813c645d20167fc2c7d.ppt	http://ostrovskaliudmila.blogspot.com 0 = x
https://svitppt.com.ua/algebra/odnochlen-standartniy-viglyad-odnochlena.html	Одночлен/ Стандартний вигляд одночлена	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/0129c1d3a9fed647e48c5bdfc2b2560d.ppt	files/0129c1d3a9fed647e48c5bdfc2b2560d.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/odnochlen-standartniy-viglyad-odnochlena1.html	ОДНОЧЛЕН. СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ОДНОЧЛЕНА	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/6532150591a42ed517f41e3cdc5c9ae3.ppt	files/6532150591a42ed517f41e3cdc5c9ae3.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/obchislennya-plosch-figur-z-dopomogoyu-integrala.html	Обчислення площ фігур з допомогою інтеграла	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/3482e7c111a39858e733bf1db5eab10c.ppt	files/3482e7c111a39858e733bf1db5eab10c.ppt	x y 0 a b x 0 a b y x y 0 1 1 3 11 4 x y 0 1 1 2 3 y=f(x) x y x y 0 0 y=f(x) a b a b
https://svitppt.com.ua/algebra/funkciya-ta-ii-osnovni-vlastivosti.html	Функція та її основні властивості	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/2ca4daaedc6974f04c9aa96895e07a74.pptx	files/2ca4daaedc6974f04c9aa96895e07a74.pptx	Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Функція та її основні властивості(2 уроки) Функція та її основні властивості У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція. Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y. Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y = f (x). Незалежну змінну ще називають аргументом функції. Функція та її основні властивості Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y). Наприклад, областю визначення функції є множина D (y) = (–∞; –1)  (–1; 1)  (1; +∞). Множину значень, яких набуває залежна змінна y, тобто множину Y, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Наприклад, областю значень функції y = x2 + 1 є множина E (y) = [1; +∞). Функція та її основні властивості Елементами множин D (f) і E (f) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи. Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел. Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня. Коли D (f) ⊂ R і E (f) ⊂ R, функцію f називають числовою. Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної з області значень. Задання функції Функцію можна задати одним з таких способів: описово; за допомогою формули; за допомогою таблиці; графічно. Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули. Наприклад, якщо функція f задана формулою то її областю визначення є область визначення виразу , тобто проміжок (1; +∞). Графік функції Означення. Графіком числової функ ції f називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції f. Сказане означає, що коли якась фігура є графіком функції f, то виконуються дві умови: якщо x0 — деяке значення аргументу, а f (x0) — відповідне значення функції, то точка з координатами (x0; f (x0)) належить графіку; якщо (x0; y0) — координати довільної точки графіка, то x0 і y0 — відповідні значення незалежної і залежної змінних функції f, тобто y0 = f (x0). Фігура на координатній площині може бути графіком деякої числової функції, якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не більше однієї спільної точки. Наприклад, коло не може слугувати графіком жодної функції: тут за заданим значенням аргументу x не завжди однозначно знаходиться значення змінної y (рис. 7). Графік функції Графічний спосіб задання функції широко застосовується при дослідженні реальних процесів. Існують прилади, які видають оброблену інформацію у вигляді графіків. Так, у медицині використовують електрокардіограф. Цей прилад рисує криві, які характеризують роботу серця. Графік функції На рисунку 8 зображено графік деякої функції y = f (x). Її областю визначення є проміжок [–4; 7], а областю значень — проміжок [–4; 4]. При x = –3, x = 1, x = 5 значення функції дорівнює нулю. Нулі функції Означення. Значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції. Так, числа –3, 1, 5 є нулями даної функції. Проміжки знакосталості Зауважимо, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) графік функції f розташований над віссю абсцис, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — під віссю абсцис. Це означає, що на проміжках [–4; –3) і (1; 5) функція набуває додатних значень, а на проміжках (–3; 1) і (5; 7] — від’ємних. Означення. Проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції. Проміжки знакосталості Наприклад, проміжки (–∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції y = x2. Зауваження. Під час пошуку проміжків знакосталості функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Наприклад, проміжок (–2; –1) є проміжком знакосталості функції f (рис. 8), але до відповіді увійде проміжок (–3; 1), який містить проміжок (–2; –1). Зростання функції Якщо переміщатися по осі абсцис від –4 до –1, то можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. Кажуть, що на проміжку [–4; –1] функція спадає. Із збільшенням x від –1 до 3 графік функції йде вгору, тобто значення функції збільшуються. Кажуть, що на проміжку [–1; 3] функція зростає. Означення. Функцію f називають зростаючою на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) < f (x2). Спадання функції Означення. Функцію f називають спадною на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) > f (x2). Часто використовують коротше формулювання. Зростання та спадання функції Означення. Функцію f називають зростаючою (спадною) на множині M, якщо для будь-яких значень аргументу з цієї множини більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції. Наприклад, функція y = x2 – 2x (рис. 9) спадає на множині (–∞; 1] і зростає на множині [1; +∞). Зростання та спадання функції Також кажуть, що проміжок (–∞; 1] є проміжком спадання, а проміжок [1; +∞) є проміжком зростання функції y = x2 – 2x. У задачах на пошук проміжків зростання і спадання функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою. Якщо функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною. Приклади зростаючої та спадної функції Зростаюча: Спадна: y = –x Приклад 1 Приклад 1 Доведіть, що функція спадає на кожному з проміжків (–∞; 0) і (0; +∞). Розв’язання. Нехай x1 і x2 — довільні значення аргументу з проміжку (0; +∞), причому x1 < x2. Тоді за властивістю числових нерівностей . Отже, дана функція спадає на проміжку (0; +∞). Аналогічно доводять, що функція f спадає на проміжку (–∞; 0). Зауважимо, що не можна стверджувати, що дана функція спадає на всій області визначення D (f) = (–∞; 0)  (0; +∞), тобто є спадною. Дійсно, якщо, наприклад, x1 = –2, x2 = 3, то з нерівності x1 < x2 не випливає, що . Приклад 2 Приклад 2 Доведіть, що лінійна функція f (x) = kx + b є зростаючою при k > 0 і спадною при k < 0. Розв’язання. Нехай x1 і x2 — довільні значення аргументу, причому x1 < x2. Маємо: f (x1) – f (x2) = (kx1 + b) – (kx2 + b) = kx1 – kx2 = k (x1 – x2). Оскільки x1 < x2, то x1 – x2 < 0. Якщо k > 0, то k (x1 – x2) < 0, тобто f (x1) < f (x2). Отже, при k > 0 дана функція є зростаючою. Якщо k < 0, то k (x1 – x2) > 0, тобто f (x1) > f (x2). Отже, при k < 0 дана функція є спадною. Найбільше і найменше значення функції Нехай у множині M ⊂ D (f) існує таке число x0, що для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) ≥ f (x). У такому випадку говорять, що число f (x0) — найбільше значення функції f на множині M, і записують Якщо для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) ≤ f (x), то число f (x0) називають найменшим значенням функції f на множині M і записують Приклади Найменше і найменше значення функції Якщо c — деяке число і f (x) = c для будь-якого x ∈ M, то число c є і найбільшим, і найменшим значенням функції f на множині M. Найбільше і найменше значення функції Не будь-яка функція на заданій множині M ⊂ D (f) має найменше або найбільше значення. Найбільшого значення на множині R ця функція не має. Функція на множині M = (0; +∞) не має ні найбільшого, ні найменшого значень. Найменше значення функції Часто для знаходження найбільшого і найменшого значень функції зручно користуватися таким очевидним фактом: Первинне закріплення вивченого матеріалу 1 . Що таке функція? 2 . Що називають аргументом функції? 3 . Що називають областю визначення функції? 4 . Що називають значенням функції? 5 . Що називають областю значень функції? 6 . Що треба вказати, щоб функція вважалася заданою? 7 . Які способи задання функції ви знаєте? 8 . Що вважають областю визначення функції, якщо вона задана формулою і при цьому не вказано область визначення? 9 . Що називають графіком числової функції? 10. Яке значення аргументу називають нулем функції? 11. Поясніть, що називають проміжком знакосталості функції. 12. Яку функцію називають зростаючою на множині? 13. Яку функцію називають спадною на множині? 14. Яку функцію називають зростаючою? 15. Яку функцію називають спадною? 16. Поясніть, що називають найбільшим (найменшим) значенням функції на множині. 17. Як записують, що число f(x0) є найбільшим (найменшим) значенням функції f на множині M? Вправи 46.° Функцію задано формулою f (x) = –3x2 + 2x. Знайдіть: f (1); f (0); f (1/3); f (–2). Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 0; –1; –56. Чи є правильною рівність: f (–1) = 5; f (2) = –8? 47.° Функцію задано формулою Знайдіть: f (4); f (0); f (9); f (–3). Знайдіть значення x, при якому: f (x) = 9; f (x) = 0,5; f (x) = –10. 48.° Кожному натуральному числу, більшому за 15, але меншому від 25, поставили у відповідність остачу від ділення цього числа на 4. Яким способом задано цю функцію? Яка область значень цієї функції? Задайте дану функцію таблично. Вправи 49.° Функцію задано формулою y = x + 2 . Заповніть таблицю відповідних значень x і y: 50.° Функцію задано формулою y = –0,5x + 3. Заповніть таблицю відповідних значень x і y: 51.° Укажіть на рисунку 16 фігуру, яка не може слугувати графіком функції. Вправи 52.° На рисунку 17 зображено графік функції y = f (x), визначеної на проміжку [–4; 5]. Користуючись графіком, знайдіть: f (–3,5); f (–2,5); f (–1); f (2); значення x, при яких f (x) = –2,5; f (x) = –2; f (x) = 2; область значень функції; нулі функції; проміжки знакосталості функції; проміжки зростання і проміжки спадання функції; найбільше і найменше значення функції на проміжку: а) [1; 2]; б) [–2,5; 1]; в) [–2,5; 3,5]. Складання алгоритму виконання вправи Складання алгоритму виконання вправи Тренувальні вправи з коментуванням Користуючись побудованим графіком, знайдіть нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання даної функції. Самостійне виконання вправи 67.° Накресліть графік якої-небудь функції, визначеної на проміжку [–5; 4], яка: зростає на проміжку [–5; 1] і спадає на проміжку [1; 4]; спадає на проміжках [–5; –1] і [2; 4] та зростає на проміжку [–1; 2]. Обговорення алгоритмів розв'язування вправи Тренувальні вправи 73. Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є: 1) множина дійсних чисел, крім чисел –2 і 3; 2) множина дійсних чисел, не більших за 3; 3) множина дійсних чисел, не менших від –4, крім числа 5; 4) множина, яка складається з одного числа –1. 74. Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є: множина дійсних чисел, крім чисел –1, 0 і 1; множина дійсних чисел, менших від 7; множина дійсних чисел, не менших від 2, крім чисел 5 і 6. 75. Чи є правильним твердження: будь-яка пряма, паралельна осі ординат, перетинає графік будь-якої функції в одній точці; пряма, паралельна осі абсцис, може не перетинати графік функції; пряма, паралельна осі ординат, не може перетинати графік функції більше ніж в одній точці; існують функції, графік яких симетричний відносно осі ординат; існують функції, графік яких симетричний відносно осі абсцис; існують функції, графік яких симетричний відносно початку координат? Робота в парах Закріплення вивченого матеріалу Вправи для повторення Домашнє завдання Читати § 2 Вивчити означення Готувати відповіді на контрольні запитання 1-17 (ст. 26) Виконати вправи (диференційовано): 1 урок – 47, 53, 55, 57, 59, 61, 64 2 урок – 66, 68, 70, 72, 74, 78, 81, 83
https://svitppt.com.ua/algebra/oznachennya-kvadratnogo-rivnyannya.html	Означення квадратного рівняння	https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/952eb2a20329dd17423669fcdba8c4d9.ppsx	files/952eb2a20329dd17423669fcdba8c4d9.ppsx	null
https://svitppt.com.ua/algebra/mnozhennya-i-dilennya-zvichaynih-drobiv.html	Множення і ділення звичайних дробів	https://svitppt.com.ua/uploads/files/8/cb4e6eb13abcd15b353f33151dcd8266.ppt	files/cb4e6eb13abcd15b353f33151dcd8266.ppt	10:100 % 3 17%=0,17 85:0,17= =500 500 115,2 13; 10; 3 3 4 3 5 2 4 1 0 5 9 7 8 < ? ? IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovni-pravila-kombinatoriki2.html	Основні правила комбінаторики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/64/eb94ed782f435eba89ca9b771ea012b6.ppt	files/eb94ed782f435eba89ca9b771ea012b6.ppt	2(a+b) (a+b)2 a2+b2 (a-b)2 a2-b2 3(a+b) 2(a+b)2 a3+b3 (a-b)3 =(2a)2-(3b)2= =4a2-9b2 (x+y)(x-y)= (cd-k)(cd+k)= (c2+1/2y)(c2-1/2y)= (5f2-2z)(5f2+2z)= (0,2a+0,5b)(0,5b-0,2a)= (2/3x5-6x)(6x+2/3x5)= (3+12y3)(3-12y3)= x2-y2 c2d2-k2 c4-1/4y2 25f4-4z2 0,25b2-0,04a2 4/9x10-36x2 9-144y6
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovni-pravila-kombinatoriki1.html	Основні правила комбінаторики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/23feb977c1ed0614ba1e123507e5ac6a.ppt	files/23feb977c1ed0614ba1e123507e5ac6a.ppt	3 123 2 2 1 3 2 1 3 1 1 2 312 231 1 3 3 2 132 213 321 (n-k)! n! k = k = n! (n-k)! K!
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovni-elementi-kombinatoriki.html	Основні елементи комбінаторики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/6/ea58c9075df4f5159473d6e9b0bd290d.ppt	files/ea58c9075df4f5159473d6e9b0bd290d.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/oberneni-trigonometrichni-funkcii1.html	Обернені тригонометричні функції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/34/1dd05913eec3ce9b37e93b020776ebee.ppt	files/1dd05913eec3ce9b37e93b020776ebee.ppt	y x 2 p - 2 p 0 2 1 2 1 3 2 3 2 2 2 2 2 6 p - 6 p 4 p - 4 p 3 p - 3 p 0 1 -1 arcsin a a a x y -1 1 = f(x) y - = f(x) y - = f(x) y = f(x) y x y 2 p - 2 p -1 1 - arcsin = x y x y -1 1 = f(x) y = f(-x) y = f(-x) y = f(x) y x y 2 p - 2 p -1 1 arcsin = (-x) y x y 2 p - 2 p -1 1 arcsin = x y 1. D (arctg) = R
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovna-vlastivist-drobu.html	Основна властивість дробу	https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/7f9b493886850b5fa10fd739412119a6.ppt	files/7f9b493886850b5fa10fd739412119a6.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/istoriya-viniknennya-pohidnoi1.html	Історія виникнення похідної	https://svitppt.com.ua/uploads/files/46/3905ff45591379a238e8c0f4e65be01f.ppt	files/3905ff45591379a238e8c0f4e65be01f.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/osoblivosti-zakinchennya-navchalnogo-roku-ta-provedennya-derzhavnoi-pidsumkovoi-atestacii.html	Особливості закінчення 2010/2011 навчального року та проведення державної підсумкової атестації	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/2927b4d3e863bf9932aefbc9f3025626.ppt	files/2927b4d3e863bf9932aefbc9f3025626.ppt	40 2 42 262 46 308 4. 3. 1. 2. 5. 6. 1. 2. 3. 4.
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovna-vlastivist-drobu-skorochennya-drobiv.html	Основна властивість дробу. Скорочення дробів	https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/7caeb2a8ed97cd99ed73f1796d7b00a4.ppt	files/7caeb2a8ed97cd99ed73f1796d7b00a4.ppt	2a-b ab x2+4 x = 2 ± 4 4 16 x2+3x x = 2 x = 5 x = ± 5 x = 25 a2 + 1 ? ?
https://svitppt.com.ua/algebra/oznachennya-stepenya-z-cilim-videmnim-pokaznikom.html	Означення степеня з цілим від’ємним показником	https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/fb343a7a3aad081ac469cedf365bdbaf.ppt	files/fb343a7a3aad081ac469cedf365bdbaf.ppt	1 2 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn 4 5
https://svitppt.com.ua/algebra/pedagogichni-programni-zasobi-z-matematiki.html	Педагогічні програмні засоби з математики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/e16a45ead4bde9eaaf71597f433cc2dd.ppt	files/e16a45ead4bde9eaaf71597f433cc2dd.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/algoritmi0.html	Алгоритми	https://svitppt.com.ua/uploads/files/21/f7cd1be4820ae2b168167f3bed61e422.pptx	files/f7cd1be4820ae2b168167f3bed61e422.pptx	Вказівники. Використання динамічної пам’яті.Практична робота № 21 «Побудова алгоритмів з використанням покажчиків» 10 –В клас 18.05.2013 Види пам‘яті Звичайна(статична) динамічна Може розмістити обмежену кількість даних,змінних (VAR) Вивільняється лише після виконання програми Використовується тоді, коли невідомо скільки змінних буде потрібно або заздалегідь знають, що даних буде багато Var a,b,c:integer;d,k;real; Si:char; Var a,b,c:^ integer; Або Type VkazNaCili=^integer;var a,b,c:VkazNaCili; Поняття про динамічну пам’ять Принцип динамічної організації пам’яті полягає в тому, що змінні займають пам'ять за необхідністю, опрацьовуються і в потрібний момент вивільняють пам'ять. Такі змінні називаються динамічними. Для роботи з динамічними змінними використовують тип даних – вказівник. УВАГА!!! Var a,b,c:integer;d,k;real; Si:char; Var a,b,c:^ integer; Або Type VkazNaCili=^integer;var a,b,c:VkazNaCili; Ім’я статичної змінноїзадає адресу даного в оперативній пам’яті А вказівник на динамічну змінну - лише тип даного, а не його розташування в пам’яті. Основні поняття Тип даних вказівник описують за допомогою символу ^ у розділі type type назва типу = ^базовий тип; Вказівники на динамічні змінні оголошують у розділі var: var список вказівників на змінні : назва типу; Приклад1. Опис і оголошення вказівників на динамічні змінні: type vkazivka=^integer; vkazivkamasiv=^array[1..100] of real; vkazivkazapis=^Zapis; var c1,c2: vkazivka; mas1,mas2: vkazivkamasiv; zap1,zap2: vkazivkazapis; Вказівник попереджає про можливість появи даних. Пам'ять для даних, буде надана на етапі виконання програми за допомогою процедури new: new(c1) - new( вказівник на змінну) с1^ Розрізняють операції над вказівником на динамічну змінну та операції над самою динамічною змінною. З динамічною змінною можна виконувати операції, визначені для даних відповідного базового типу. Над вказівниками визначені дві операції пере адресації 1) вказівник 1:=вказівник 2; 2) вказівник:=nil; nil- вільний А також використовуються процедури, зокрема new та dispose Після опрацювання динамічної змінної пам'ять можна вивільнити за допомогою процедури: dispose(вказівник на динамічну змінну) Завдання1. Операції над вказівником на динамічну змінну та операції над самою динамічною змінною. Var c1,c2:^integer; С1 С2
https://svitppt.com.ua/algebra/oznachennya-kvadratnogo-rivnyannya-nepovni-kvadratni-rivnyannya-ta-ih1.html	Означення квадратного рiвняння. Неповнi квадратнi рiвняння та їх розв’язування	https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/7f59c919327be0a0fedd27dc60bc46e5.ppt	files/7f59c919327be0a0fedd27dc60bc46e5.ppt	? a)
https://svitppt.com.ua/algebra/kombinatorika.html	Комбінаторика	https://svitppt.com.ua/uploads/files/6/0b8e928f8487c9c8d84a6cd2a17479de.ppt	files/0b8e928f8487c9c8d84a6cd2a17479de.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/osoblivosti-zakinchennya-navchalnogo-roku-ta-provedennya-dpa.html	ОСОБЛИВОСТІ закінчення 2009/2010 навчального року та проведення ДПА	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/b5b6be07a6c938fc154ed611dedc6ce4.ppt	files/b5b6be07a6c938fc154ed611dedc6ce4.ppt	1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6.
https://svitppt.com.ua/algebra/oporni-konspekti-z-algebri.html	Опорні конспекти з алгебри	https://svitppt.com.ua/uploads/files/3/0f5d96f8ccdbcb1a2c54d05e4f79d5f4.ppt	files/0f5d96f8ccdbcb1a2c54d05e4f79d5f4.ppt	9 4 1 0 3 2 1 0 -4 0 2 2 0 -4 4 3 2 1 0 -1 0 3 k>0 k<0 b=0 k=0 K=0,b=0 0 1 4 1 -2 y x -3 0 -3 6 x - 3y = 6 2 -3 3 1 0 1 -3 0 3 2 0 1 104
https://svitppt.com.ua/algebra/grafichniy-metod-rozvyazuvannya-sistem-liniynih-rivnyan.html	ГРАФІЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/81148557df0bc382e69d2d560dc38d43.pptx	files/81148557df0bc382e69d2d560dc38d43.pptx	ГРАФІЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Косюга Л.І. 2012 Взаємне розташування графіків рівнянь а₁х+в₁у=с₁ і а₂х+в₂у=с₂ Дві прямі на площині можуть: перетинатися, бути паралельними, збігатися. Прямі перетинаються, якщо Прямі паралельні, якщо Прямі збігаються, якщо Розв’язати систему рівнянь-це означає знайти множину всіх її розв’язків (знайти спільні розв’язки усіх її рівнянь). Один із способів розв’язування системи рівнянь є графічний спосіб. Побудувати на одній координатній площині графіки обох рівнянь. Визначити координату(ти) їх спільних точок чи зазначити їх відсутність. Розв’яжіть графічно систему рівнянь : х-у=5 2х-у=5 (0;-5) Графіки перетинаються Системає має один розв’язок (0;-5) Розв’яжіть графічно систему рівнянь : х-5у=4 -2х+10у=-8 Графіки зівпадають Системає має безліч розв’язків Розв’яжіть графічно систему рівнянь : х-0,5у=2 2х-у=-2 Графіки паралельні Системає не має жодного розв’язку Розв’яжіть графічно систему рівнянь : х+3у=5 8х+9у=10 (-1;2)
https://svitppt.com.ua/algebra/mnozhini.html	Множини	https://svitppt.com.ua/uploads/files/21/0e8c3318702f4632c970b71571f51480.pptx	files/0e8c3318702f4632c970b71571f51480.pptx	Презентація по темі: Множини Визначення Множина Це не впорядкований набір даних, що повторюються. Приклади Цілі числа: [1,4,67,34,5] Символи типу char: [‘G’, ’!’, ‘o’] Великі та малі латинські літери (діапазон символів): [‘A’…’Z’, ’a’…’z’] Опис множин Операції Входження A<=B TRUE деякі елементи А не входять у В всі елементи А входять у В FALSE A:=[1,2,5], B:=[3,7,2,5,1] - TRUE A:=[1,2,5,4], B:=[3,7,2,5,1] – FALSE (цифра 4 - не входить у множину В) Операції Рівність A=B TRUE A:=[1,2,5], B:=[2,5,1] - TRUE A<>B Не рівність TRUE A:=[1,2,5], B:=[3,7,9] - TRUE Операції Об’єднання C:=A+B Якщо A:=[1,2,5], B:=[3,7,8,1], то буде отримано множину C:=[1,2,3,5,7,8] ! Елементи в множину можуть входити лише по разу! Операції Виключення C:=A-B C:=В-А Якщо A:=[9,2,5], B:=[3,7,2,5,1], то буде отримано множину C:=[9] Якщо A:=[9,2,5], B:=[3,7,2,5,1], то буде отримано множину C:=[3,7,1] Операції Переріз C:=А*В елементи, які одночасно входять в А і В Якщо A:=[9,2,5], B:=[3,7,2,5,3], то буде отримано множину C:=[2,5] Операції Входження елемента X in A TRUE X:=5, A:=[1,2,5] - TRUE Задача 1. Кожний учень у класі вивчає англійську або французьку мову. Англійську мову вивчають 25 учнів, французьку — 27 учнів, а обидві мови — 18 учнів. Скільки учнів у класі? Только англ. учат: 25-18=7 уч., только франц.: 27-18=9 уч. Всего в классе=7+9+18=34 уч.
https://svitppt.com.ua/algebra/integrali.html	Інтеграли	https://svitppt.com.ua/uploads/files/16/8f3a5399ed6dd52e8ed9f69b3a031554.pptx	files/8f3a5399ed6dd52e8ed9f69b3a031554.pptx	ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛІВ Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов’язана з потребою в обчисленні площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.). Поняття інтегралу з'явилося в результаті практичної діяльності людини, використовується сьогодні в самих різних сферах науково-практичної діяльності людини, а саме: фізиці, хімії, біології, механіці, економіці, філології і т.д. Тому на уроці ми будемо розв'язувати задачі прикладного характеру, що допоможе зрозуміти місце і роль математики в сучасному світі. Ми з вами познайомилися з другим поняттям математичного аналізу без якого не збудувати сучасного будинка, космічного корабля, субмарини. Застосування визначеного інтеграла Обчислення площ плоских фігур Застосування в економіці й техніці Обчислення об'ємів тіл Обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості Обчислення роботи змінної сили та потужності Обчислення кількості електрики та кількості теплоти Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу, прийшовши із рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби. Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі. Інтеграл широко застосовують під час розв'язування фізико-технічних задач різного характеру, а також задач економічного змісту. Приклад 1 Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою f(t)= -0.0033t2 - 0.089t + 20.96, де t — робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі — 62. Розв'язання. Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому . Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме: =62(-0.001∙512 -2.848 + 167.68) = 62∙164.27≈ 10185 (од.). Приклад 2 Експериментальне встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q = 18 - 0,3v +0,003v2, де 30 ≤ v ≤110. Визначити середню витрату бензину, якщо швидкість руху 50 - 60 км/год. Розв'язання. Середня витрата бензину становить = 1/10(18∙60-0.3∙1800+0.003∙72000-18∙50-0.3∙1250-0.003∙41667) = = 1/10(1080-540 + 216-900 + 375- 125) = 10,6 (л). Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50 - 60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м., що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води ρ=103кг/м3. Розв'язання: Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(x), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м2, визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже
https://svitppt.com.ua/algebra/osnovni-elementi-rozdilu-kombinatoriki.html	Основні елементи розділу комбінаторики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/29/0154a31ee72a91e19e75c5ed82517a4e.ppt	files/0154a31ee72a91e19e75c5ed82517a4e.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/integruvannya-drobovi-racionalnih-funkciy.html	Інтегрування дробові - раціональних функцій	https://svitppt.com.ua/uploads/files/5/82470ea32efb45cd706074ca58ac45c5.pptx	files/82470ea32efb45cd706074ca58ac45c5.pptx	Інтегрування дробові - раціональних функцій Виконала студентка 7 групи 1 курсу Фадєєва Оксана План Означення Методи інтегрування Поняття дробово –раціональної функції Функція, яка дорівнює відношенню двох многочленів де n , m- цілі додатні числа, - дійсні числа, називається дробово- раціональною функцією. Якщо то дріб буде неправильний, якщо n<m то дріб правильний. Методи інтегрування дробово- раціональних функцій Метод виділення квадрата двочлена Наприклад Метод розкладання на прості дроби Наприклад Дякую за увагу
https://svitppt.com.ua/algebra/fransua-viet1.html	Франсуа Вієт	https://svitppt.com.ua/uploads/files/42/19126bb093aa06f47d3f5489f55dffc8.pptx	files/19126bb093aa06f47d3f5489f55dffc8.pptx	Презентація учня 7-А класу КЗШ №113 Мошкова Іллі “Батько” алгебри Франсуа Вієт Презентація учня 7-А класу КЗШ №113 Мошкова Іллі Алгебра в своєму розвитку пройшла три стадії: період алгебри риторичної або розповідної (Евклід, IV-III ст. до н.е., Архімед, ІІІ ст. до н.е. та інші), період синкопічної , коли використовуються символи для позначення лише невідомих, а все інше записується словами (Діофант) період символічної , коли для розв’язання прикладів і рівнянь використовуються символи(умовне позначення,знак) (Франсуа Вієт і його послідовники)... Вказані нами періоди значною мірою покладались один на один. Можливо, правильніше було б говорити не про три періоди, а про три види, що виникли на шляху розвитку науки. Евклід Архімед Діофант Вієт Франсуа Вієт (1540-1603) народився у містечку Фонтене-ле-Конт провінції Пуату, неподалік знаменитої фортеці Ла-Ро-шель. Син прокурора, Вієт отримав юридичну освіту й почав адвокатську практику у місті. Але невдовзі він став учителем у домі знатного дворянина-гугенота де Партеней. (Гугеноти - послідовники кальвінізму, однієї з основних течій Реформації Церкви.) Тоді Вієт дуже захопився вивченням астрономії і тригонометрії і навіть отримав деякі важливі результати. В 1571 р. Вієт переїхав до Парижа, де відновив адвокатську практику, та став радником парламенту. Знайомство з Генріхом Наваррським, майбутнім королем Франції Генріхом IV, допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду - таємного радника - спочатку при королі Генріхові III, та був і за Генріхом IV. Вієт Цікаві історії з життя Вієта Генріх IV Голандський математик Андріан ван-Роумен, відомий, мабуть, тим, що обчислив число p, наприкінці 16 століття вирішив кинути виклик всім математикам світу. Він розіслав в усі європейські країни рівняння 45-ого степіня: x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... + 95634x5 - 3795x3 + 45x = a. Французьким математикам вирішив це рівняння не посилати, вважаючи, що немає здатних справитися з цим завданням . Найбільше було ущемлено самолюбство Генріха IV . - І все-таки я маю математика! - вигукнув король. - Покличте Вієта! В приймальню короля ввійшов п'ятидесятилітній сивоволосий радник короля Франсуа Вієт. Він відразу, в присутності короля, міністрів та гостей, знайшов один корінь запропонованого рівняння. Король радів, всі поздоровляли придворного радника. Наступного дня Вієт знайшов ще 22 кореня рівняння, описувані вираженням: при n=1,2,...,22. Після такого успіху Вієта упорядник горезвісного рівняння Роумен став його шанувальником . Гучну славу Вієт одержав ще раніше, при Генріхові III під час франко-іспанської війни. Іспанські інквізитори винайшли дуже складний тайнопис (шифр) 600 знаків, який дедалі змінювався і доповнювався. Завдяки цьому шифру войовнича й сильна тоді Іспанія могла вільно листуватися із супротивниками французького короля, і це листування залишалося нерозгаданим. Після безплідних спроб знайти ключі до шифру, король звернувся безпосередньо до Вієта. Розповідають, що Вієт, два тижні поспіль просидів над роботою, знайшов-таки ключі до іспанського шифру. Після цього, несподівано для іспанців, Франція стала вигравати бій. Іспанці довго дивувалися. Нарешті, їм стало відомо, що винуватець розшифровки - Вієт. Будучи впевненими, в неможливості розгадати спосіб тайнопису людьми, вони звинуватили Францію перед Папою Римським і інквізицією в підступі диявола, а Вієта звинуватили у спілці з дияволом і засудили до спалення на вогнищі. На щастя науки, він не був виданий інквізиції. В останні роки життя Вієт пішов з державної служби, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, наприклад, що він вступив у полеміку з приводу введення нового григоріанського календаря. І навіть хотів створити свій календар. У мемуарах деяких придворних Франції є вказівки, що Вієт був одружений, що в нього була дочка, єдина спадкоємниця імення, за яким Вієт звався синьйор де ла Біготьє. У придворних новинах маркіз Летуаль писав: “...14 лютого 1603 р. Господин Вієт, рекетмейстр, людина великого розуму і розмірковування і один з найбільш вчених математиків століття помер... в Парижі, маючи, за загальною думкою, 20 екю. Йому було більше шістидесяти років”. ДосягненняВієта Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори классиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомпеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, яка полягала у важкості розуміння через словесну символіку.Майже всі дії і знаки записувалися словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємось. Вієт прийшов до висновку, що числа можна позначити якимись абстрактними знаками. Правда, в самого Вієта алгебраїчні символи були ще мало схожі на наші. Зі знаків дій він використовував “+” і “-”, знак радикалу і горизонтальну риску для ділення. Добуток позначав словом “in”. Вієт першим став використовувати дужки, які, правда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над мноогочленом. Але багато знаків, які були введені до нього, він не використовував. Так, квадрат, куб і т. д. Позначав словами або першими буквами слів. Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад стародавних, він чітко розмежував числа, величини та відношення, зібравши їх у деяку систему “видів”. У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби і т.д. Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначивши їх прописними буквами латинського алфавіту. Для невідомих величин застосовувалися голосні букви, для змінних – приголосні. Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені. Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями. Вієт показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який пристосований до будь–яких величин, тобто розв’язати задачу в загальному вигляді. Це поклало початок корінній зміні у розвитку алгебри: стало можливим буквенне обчислення. Не випадково, що за це Вієта називають «батьком» алгебри, основоположником буквенної символики. Великих успіхів досяг вчений і в геометрії. Математиків протягом столітть цікавило питання розв’язування трикутників, так як він диктувався потребами астрономії, архітектури, геодезії. У Вієта методи, які використовувалися раніше придбали більш завершеного вигляду. Так він першим явно сформулював у словесній формі теорему косинусів, хоча положення, еквівалентні їй, епізодично використовувались з першого століття нашої ери. Відомий раніше своїю важкістю випадок розв’язування трикутника по двум даним сторонам і одному з протилежних їм кутів отримав у Вієта вичерпний розгляд. Було ясно сказано, що рішення не завжди можливе. Якщо ж рішення є, то може бути одне або два. Бажаю успіхів
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-viraziv.html	ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗIВ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/746ce33ff0938a1173916cba1a8f5cb1.ppt	files/746ce33ff0938a1173916cba1a8f5cb1.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/funkciya-yabc-ii-grafik-i-vlastivosti.html	Функція y=ax2+bx+c, її графік і властивості	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/d4efc22bf054419ac176eab0fa329975.pptx	files/d4efc22bf054419ac176eab0fa329975.pptx	“Закінчи речення одним словом”. Уміти мислити необхідно для того, щоб жити! Cogito, ergo sum! Думаю, тому існую! Рене Декарт Функція y=ax2+bx+c, її графік і властивості Cogito, ergo sum! Знайди пару 1. y = x2 – 4 2. y = x2 + 4 3. y = 4 – x2 4. y = ( x – 4 )2 5. y = ( x – 4 )2 – 2 6. y = ( x – 2 )2 + 4 Знайди пару 1. y = x2 – 4 2. y = x2 + 4 3. y = 4 – x2 4. y = ( x – 4 )2 5. y = ( x – 4 )2 – 2 6. y = ( x – 2 )2 + 4 1. Побудувати графік функції y = – x2 – 8х – 1 за допомогою елементарних перетворень графіка функції y = x2. y= - ( x + 4 )2 + 4 Побудувати графік функції y = 3x2 – 12х + 9. y = 3x2 – 12x + 9 Хвилинка відпочинку! Розв’язування вправ Не будуючи графіка у=-3х2+12х+1 знайдіть: а)проміжки зростання і спадання б) найбільше або найменше значення функції в)знайти кількість нулів функції Графік функції y = - 3x2 + 12x +1 Практична задача Якими мають бути розміри прямокутної ділянки, периметр якої дорівнює 20 м, аби площа її була найбільшою? Smax = ? x в = a = 5 м, y(x в ) = S = 25 м2 Ода параболі Домашнє завдання Повторити §2 п. 12 А. 324(а, б) Б. 340, 333 Творче завдання: підготувати повідомлення про цікавий факт з життя Рене Декарта Дякую за співпрацю! До побачення
https://svitppt.com.ua/algebra/chislovi-nerivnosti-osnovni-vlastivosti-chislovih-nerivnostey.html	Числові нерівності. Основні властивості числових нерівностей	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/46275a07e0c783b95f3c411b5d13e21b.pptx	files/46275a07e0c783b95f3c411b5d13e21b.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 1 Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Поняття числової нерівності. Властивості числових нерівностей Розв’язування вправ. Самостійна робота Почленне додавання і множення числових нерівностей. Розв’язування вправ. Самостійна робота Застосування властивостей числових нерівностей для оцінювання значення виразу Пункт 1.1. Означення поняття “більше”, “менше”. Пприклади Знаки нерівностей. Порівняння двох чисел. Приклади Означення числової нерівності. Приклади Взаємне розташування на координатній прямій точок, що відповідають різним за величиною числам. Приклади Очевидні властивості Поняття числової нерівності. Очевидні властивості Запитання для самоперевірки Як порівняти між собою два числа? У якому випадку число а більше від числа b? У якому випадку число m менше від числа n? Яке з чисел лежить на координатній прямій між двома іншими, якщо a>c та c>b?
https://svitppt.com.ua/algebra/naybilshe-i-naymenshe-znachennya-funkcii-na-vidrizku1.html	Найбільше і найменше значення функції на відрізку	https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/14f6509b24b3a252f8a973dca0f48635.pptx	files/14f6509b24b3a252f8a973dca0f48635.pptx	«Просто передати знання людині неможливо. Оволодіти ними людина може шляхом власної діяльності. « Наповнити» розум не можна, він сам повинен усе засвоїть.»А.Дістеверг Приватні підприємства ПП “Легенда” ПП “Ботанік” ПП “Функція” Знайти область визначення функції а) у = б) у = в) у= D(y) = R D(y) = R/-2;2 D(y) = [2;+∞) Знайти похідну функції а) у = б) у = в) y = г) y= Знайти критичні точки функції а) y = Розв'язання: D(y)=R y ́=10x – 20 y ́=0, 10x – 20 =0 10x=20 x=2 Відповідь: 2. б) у = D(y)=R y ́=x³ – 4х y ́=0, x³ – 4х =0 х(х²-4)=0 х(х – 2)(х + 2) =0 x₁=0 ; х₂= 2; х₃=-2 Відповідь: -2; 0; 2. Розв'язання: Тема уроку Найбільше і найменше значення функції на відрізку x₁ max f(x) =f(х₀) [a;b] min f(x)= f(х₁) [a;b] Якщо функція f(x) неперервна на відрізку і має на ньому скінченну кількість критичних точок, то вона набуває найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або на кінцях відрізку, або в критичних точках, що належать даному відрізку. Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на вказаному відрізку, якщо f(x)=3х4- 6х2 +1, [0;2] Розв’язання: D(f)=R [0;2] Є D(f) f ́ (x)=12x3 -12x f́(x)=0, 12x(x2 – 1)=0 12x(x-1)(x+1)=0 x=0; x=1; x=-1 5. 0 є [0;2], 1 є [0;2], -1 ¢ [0;2] 6. f(0)=1 f(1)=-2 f(2)=3·16 - 6·4+1= 48 – 24 + 1=25 7. max f(x)= f(2)=25 [0;2] min f(x)= f(1)=-2 [0;2] Алгоритмзнаходження найбільшого і найменшого значення функцій на відрізку 1) Знайти область визначення функції D(f). 2) Визначити чи належить заданий відрізок D(f). 3) Знайти похідну функції f́̕(x). 4) Знайти критичні точки функції, розв’язавши рівняння f̕(x)=0. 5) Визначити, які з критичних точок належать даному проміжку. 6) Знайти значення функції на кінцях проміжку та в критичних точках, що належать даному проміжку. 7) Вибрати з одержаних значень найбільше і найменше. Записати відповідь. Фізкультхвилинка Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на даному проміжку ПП “Легенда” f(x)=х4- 2х2 +5, [0;2] Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на даному проміжку ПП “Ботанік” f(x)= х4/4 - 8х2, [-1;2] Знайти найбільше і найменше значення функції f(x) на даному проміжку ПП “Функція” f(x)= , [-3;0]. Домашнє завдання §1, п. 13 виконати №13.6(1), №13.2, №13.4 (с.127) Дякую за роботу на уроці!
https://svitppt.com.ua/algebra/olsho.html	олшо	https://svitppt.com.ua/uploads/files/65/1db490f8c2091af7a133ce7ffa1f32d3.pptx	files/1db490f8c2091af7a133ce7ffa1f32d3.pptx	Тарас Шевченко Тарас Шевченко Тарас Шевченко народився 9 березня 1814 року в селі Моринці. Нині Звенигородський район Черкаської області. Хата Тараса Шевченка Тарас Шевченко Згідно родинними переказами . Тарасові діди й прадіди з батьківського боку від козака Андрія який прийшов зі Запорізької січі
https://svitppt.com.ua/algebra/intervali.html	Інтервали	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/90c7d9f160896c0ca40fc2c180103e2d.pptx	files/90c7d9f160896c0ca40fc2c180103e2d.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 5.3. Коли квадратний тричлен має два корені, то нерівність чи можна розв'язати способом, який називається методом інтервалів. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Метод інтервалів Пункт 5.3. Розв'язання Розкладемо на множники тричлен, що стоїть у лівій частині нерівності. Оскільки коренями тричлена є: х1=3, х2=4, то х2-7х+12=(х-3)(х-4). Отже, дана нерівність рівносильна нерівності (х-3)(х-4) < 0. Числа 3 і 4 розбивають числову пряму на три проміжки (інтервали): (-∞; 3), (3; 4), (4; ∞). Позначимо їх на координатній прямій (рис.). Визначимо знак добутку на кожному з них. 1). Проміжок (інтервал) (-∞; 3), тобто х < 3. За цієї умови обидва множники набувають від'ємних значень: x – 3 < 0 і x – 4 < 0. Отже, їх добуток є додатним числом: (x - 3) (x - 4) > 0. 2). Інтервал (3; 4), тобто 3 < x < 4. За цієї умови x – 3 < 0 і x – 4 > 0. Отже, (x - 3) (x - 4) < 0. 3). Інтервал (4; ∞), тобто x > 4. За цієї умови x – 3 > 0 і x – 4 > 0. Отже, (x - 3) (x - 4) > 0. Те, як змінюється знак даного добутку показуємо на рисунку. Таким чином, (x - 3) (x - 4) < 0 при 3 < x < 4, тобто на проміжку (3; 4). Суть методу інтервалів Приклад 1. Розв'язати нерівність: Х2-7х+12<0 х 3 4 + _ + Пункт 5.3. Для встановлення загального способу розв'язання аналогічних нерівностей розглянемо функцію f(x) = х2 - 7х + 12, або f(х)=(х–3)(x-4). Проаналізуємо зміну знака функції на визначених числових проміжках. На інтервалі (-∞; 3), тобто х < 3 функція набуває додатних значень. При переході через точку х=3 вона змінює свій знак на протилежний, тобто на інтервалі (3; 4) значення функції від'ємні. При переході через точку х=4 функція знову змінює свій знак - на інтервалі (4; ∞) її значення є додатними. Таким чином, при русі по координатній прямій зліва направо від одного інтервалу до іншого знак функції f(х) = (х – 3)(х - 4) почергово змінюється. Послідовність розв'язання Пункт 5.3. Нерівність (х – 3)(х - 4) < 0 можна розв'язати так: 1). Знаходимо нулі функції f(х) = (х – 3)(х – 4): х=3 і х=4. 2). Позначаємо отримані числа на координатній прямій і знаходимо відповідні інтервали. 3). Визначаємо знак функції, наприклад, на крайньому зліва інтервалі. Для цього можна взяти будь-яке значення х з цього інтервалу і, підставивши його у формулу, що задає функцію, знайти знак кожного множника, а потім і добутку. 4). Визначаємо знак функції на наступних інтервалах, розставивши їх у порядку чергування. 5). З усіх інтервалів вибираємо ті, на яких значення функції мають вказаний в умові знак. Алгоритм розв'язання Первинне закріпленням вивченого матеріалу Розв'язати нерівність графічним способом та методом інтервалів Розв'язання Нульових значень відповідна функція набуває в точках: х=2, х=-5, х=3, х=-8. Покажемо їх на координатній прямій і позначимо відповідні інтервали: З'ясуємо знак добутку на крайньому зліва інтервалі (-; -8): х<-8. (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) Якщо х= - 9: (-9 - 2)(-9+ 5)(3 – (-9))(-9 + 8) (-11)(-4)(+12)(-1) < 0 Знаки добутку на наступних інтервалах визначаємо в порядку їх чергування. Отже, (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0, якщо х належить двом проміжкам: (-8; -5) і (2; 3). Відповідь. х(-8; -5)  (2; 3). Розв'язування нерівностей вищих степенів Приклад. Розв'язати нерівність (x - 2)(x+ 5)(3 - x)(x + 8) > 0 Запитання для самоперевірки Які квадратні нерівності можна розв'язати методом інтервалів? У чому суть методу інтервалів? Які ще нерівності, крім квадратних, можна розв'язати методом інтервалів?
https://svitppt.com.ua/algebra/grafichne-zobrazhennya-statistichnih-danih1.html	Графічне зображення статистичних даних	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/a916c7737bf37e8fa4cd43a69879f38f.pptx	files/a916c7737bf37e8fa4cd43a69879f38f.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 5 Елементи прикладної математики Математичне моделювання Відсоткові розрахунки. Поняття про теорію імовірностей. Основні поняття теорії імовірностей. Ймовірність випадкової події Початкові відомості про математичну статистику. Статистичні дані. Способи подання даних Середнє значення. Розв'язування вправ Пункт 9.2. Полігон частот Статистичні дані можна подавати не тільки у вигляді статистичного ряду та статистичної таблиці, а й графічним способом. Якщо на осі абсцис прямокутної системи координат розмістити варіанти хі, а на осі ординат – відповідні їм частоти nі, то можна побудувати ряд точок з координатами (хі; nі). З'єднавши послідовно побудовані точки відрізками, отримаємо ламану лінію, яку називають полігон частот. Графічне зображення статистичних даних Пункт 9.2. Полігон частот Аналіз тарифних розрядів працівників одного з цехів заводу. Графічне зображення статистичних даних Гістограма Статистичний розподіл вибірки може задаватися у вигляді послідовності інтервалів значень варіант хі та їх частот nі і графічно зображатися східчастою фігурою, яка складається з прямокутників, побудованих на інтервалах, як на основах, з висотами, пропорційними частотам інтервалів. Таке зображення називається гістограмою. Графічне зображення статистичних даних Гістограма Приклад . Побудуємо гістограму за зведеними результатами бігу 24 учнів 9-го класу. На осі абсцис відкладаємо інтервали Над кожним з них будуємо прямокутник з висотою, яка дорівнює відповідній частоті. Графічне зображення статистичних даних 407. Побудувати полігон частот та гістограму для даного статистичного розподілу вибірки: 409. За даними про врожайність пшениці на різних ділянках посівної площі побудуйте гістограму Назвіть відомі вам способи графічного подання статистичних даних. Що таке гістограма? Наведіть приклад. Що таке полігон частот? Наведіть приклад. В яких випадках доцільніше вдаватися до полігону частот як способу подання статистичних даних? Запитання для самоперевірки
https://svitppt.com.ua/algebra/istoriya-viniknennya-ekstremalnih-zadach.html	Історія виникнення екстремальних задач	https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/13560592f81f9222ab6fe9a1dea281e5.pptx	files/13560592f81f9222ab6fe9a1dea281e5.pptx	Історія виникнення екстремальних задач Міні-проект №1 План Задачі оптимізації. Задача Дідони. Внесок видатних математиків у розв’язування задач оптимізації. Задачі оптимізації це задачі на відшукання оптимального варіанта з погляду наміченої цілі (знаходження найбільшого і найменшого, найкращого і найгіршого та ін.) Задача Дідони Зайняти стільки землі, скільки можна вкрити шкурою вола. Який з прямокутників із заданим периметром має найбільшу площу? Розв’язання: х м – одна сторона прямокутника ( - х)м – друга сторона прямокутника S(x)= ( - х)·х – площа прямокутника S(x)= ·х- х² S'(x)= - 2х S'(x)= 0, - 2х=0 х= . Найбільшу площу має квадрат. Р 2 Р 2 Р 2 Р 2 Р 2 Р 4 П.Ферма знайшов перший загальний алгоритм розв’язування задач оптимізації. Він виклав його в праці “Метод відшукання найбільших і найменших значень” Рішучий крок у розвитку загальної теорії екстремумів зробили І.Ньютон і Г. Лейбніц, створивши теорію диференціального числення.
https://svitppt.com.ua/algebra/pobudova-grafikiv-funkciy-ta-rivnyan-z-modulem.html	Побудова графіків функцій та рівнянь з модулем	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/db19f41486900c9355ab4ed0149ea773.pptx	files/db19f41486900c9355ab4ed0149ea773.pptx	Додаток до уроку Повторення з теми « Побудова графіків функцій та рівнянь з модулем.» 9 клас, поглиблений рівень. Вчитель вищої категорії спеціалізованої природничо - математичної школи м. Нікополь Перекрест О.О. 2014 рік. 1. ; 2. ; 3. . . . . . .
https://svitppt.com.ua/algebra/oznachennya-kvadratnogo-rivnyannya-nepovni-kvadratni-rivnyannya-ta-ih2.html	Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв’язування	https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/4e7ac10dd78b78c14e72a02742082159.ppt	files/4e7ac10dd78b78c14e72a02742082159.ppt	b = 0, ax2+c = 0 c=0, ax2+bx=0 c=b=0, ax2=0 x2+px+q=0 a) a b c 4 1 3 1 0 3 0 7 0 0
https://svitppt.com.ua/algebra/perestanovki-rozmischennya-kombinacii.html	Перестановки, розміщення, комбінації	https://svitppt.com.ua/uploads/files/24/9d3cc0e069a12a65f1571301750dbabf.ppt	files/9d3cc0e069a12a65f1571301750dbabf.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-grafikiv-trigonometrichnih-funkciy.html	Перетворення графіків тригонометричних функцій	https://svitppt.com.ua/uploads/files/23/993088d62b447163914196bb5bfdeb3e.ppt	files/993088d62b447163914196bb5bfdeb3e.ppt	y=sin x y=sin x+2 y=sinx y=sin(x-a) y=sinx y=2sinx y=1/2sinx y=cosx y=cos2x y=cos(1/2x) y=cosx y=-cosx y=tgx y=tg(-x) y=cosx y=\|cosx\| y=sinx y=sin\|x\|
https://svitppt.com.ua/algebra/pobudova-grafika-kvadratichnoi-funkcii1.html	Побудова графіка квадратичної функції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/35/2706711cd8e3f5f8445f2444a258ee0d.pptx	files/2706711cd8e3f5f8445f2444a258ee0d.pptx	null
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-cilih-viraziv-u-mnogochleni.html	Перетворення цілих виразів у многочлени	https://svitppt.com.ua/uploads/files/28/7cb2fdf35eb1de351e312a2f5d98543f.ppt	files/7cb2fdf35eb1de351e312a2f5d98543f.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-viraziv-povtorennya-ta-sistematizaciya-materialu-klasiv.html	ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. ПОВТОРЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ МАТЕРІАЛУ 5–6 КЛАСІВ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/74e8b8fa992cd006cac1eac6ef1bbb18.ppt	files/74e8b8fa992cd006cac1eac6ef1bbb18.ppt	1) 2) .
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-cilih-viraziv1.html	ПЕРЕТВОРЕННЯ ЦІЛИХ ВИРАЗІВ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/8eb99c83a60dfb28bbd4f25537f8baec.ppt	files/8eb99c83a60dfb28bbd4f25537f8baec.ppt	.
https://svitppt.com.ua/algebra/naybilshe-y-naymenshe-znachennya-funkcii.html	Найбільше й найменше значення функції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/39/009774b28616a18022cba1ad48991438.pptx	files/009774b28616a18022cba1ad48991438.pptx	Знайди собі вірного друга,маючи його, ти можеш обійтися без богів. . «Найбільше й найменше значення функції». Якщо функція f(x)↑ зростає на [a; b], то max f(x) = f(b) , min f(x) = f(a) Якщо функція f(x)↓ спадає на [a; b], то max f(x) = f(а) , min f(x) = f(b) max min Сьогодні на уроці я… Я вмію… Я можу … Мені цей урок… Домашнє завдання. Опрацювати п.6. Виконати № 6.2, 6.5, 6.31*
https://svitppt.com.ua/algebra/funkciya-ta-ii-vlastivosti.html	Функція та її властивості	https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/e65cf7de6f0580cbc0d06fd3de60a47c.pptx	files/e65cf7de6f0580cbc0d06fd3de60a47c.pptx	17.12. Класна робота «Математику не можна вивчити спостерігаючи як це робить сусід» А. Нівен Девіз нашого уроку: 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 1 6 3 4 5 2 7 8 9 Гіпербола (ὑπερβολή – греч.) –проходжу через щось або перебільшення Відкрита математиками древньогрецької школи приблизно в IV в. до нашої еры Одним з перших, хто почав вивчати цю криву був учень знаменитого Платона, давньогрецький математик Менехм в IV в. до н.е., але так і не зумів її повністю вивчити. А от повністю досліджував властивості гіперболи й дав їй назву найкращій геометр стародавності Аполоний Пергский в III в. до н.е. S=24 дм2 х у Х*У=24 S=24 дм2 х у Нехай х =8, тоді після зменшення х=2, знайдемо чому буде дорівнювати у висновок Збільшиться в 4 рази S=24 дм2 S=24 дм2 х у Нехай х =6, тоді після збільшення х=12, знайдемо чому буде дорівнювати у висновок Зменшиться в 4 рази S=24 дм2 Означення Властивості функції 1 Областтю визначення функції є множина усіх чисел, відмінних від нуля. 2 Областтю значень функції є множина усіх чисел, відмінних від нуля. 3 Графік функції - гіпербола 4 5 Відповіді до Самостійної роботи Д/з: № 561, №568 (а, б) №569(б) Урок Цікавий, хвилюючий Удосконалювали, досліджували та вчилися Наступний етап підготовки до життя Заняття 1. Перший рядок має містити слово, яке позначає тему (звичайно, це іменник) 2. Другий рядок – це опис теми, який складається з двох слів (два прикметника) 3. Третій рядок називає дію, пов’язану з темою, і складається з трьох слів (звичайно це дієслова). 4. Четвертий рядок є фразою, яка складається з чотирьох слів і висловлює ставлення до теми, почуття з приводу обговорюваного. 5. Останній рядок складається з одного слова — синоніма до першого слова, в ньому висловлюється сутність теми, ніби робиться підсумок. Дякую за урок!
https://svitppt.com.ua/algebra/grafichniy-sposib-rozvyazuvannya-rivnyan-ta-sistem-rivnnyan-z-parametr.html	Графічний спосіб розв’язування рівнянь та систем рівннянь з параметрами	https://svitppt.com.ua/uploads/files/45/71e4c3fbd90d506b54ec9b6e53c87cfd.pptx	files/71e4c3fbd90d506b54ec9b6e53c87cfd.pptx	Графічний спосіб розв’язування рівнянь та систем рівннянь з параметрами. 9кл. Урок повторення Вчитель: Перекрест О.О. Спеціалізована природничо-математична школа, м. Нікополь, 2014 рік. Мета: вдосконалення знань учнів з побудови графіків функцій та рівнянь з двома змінними; розвивати логічне мислення, математичну інтуїцію; культуру записів та мови. №1 Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а? Перевірте себе: 1)Якщо а<0, то коренів немає; 2)якщо а=0, то рівняння має два корені; 3)якщо 0<a<4, то рівняння має 6 коренів; 4)якщо а=4, то рівняння має 4 корені;5)якщо а>4, то рівняння має 2 корені. 1) Якщо а<0, то коренів немає; 2) якщо а=0, або 1<a<3,то рівняння має чотири корені; 3)якщо 0<a<1, то рівняння має вісім коренів; 4)якщо а=1, то рівняння має шість коренів; то рівняння має два корені; то рівняння має два корені; 5)якщо а=3, то рівняння має три корені; 6)якщо а>3, то рівняння має два корені. №2 При яких значеннях параметра а рівняння має три корені? Даний рисунок дозволяє зробити висновок, що рівняння має 3 корені при а = -2, або а =-0,5 . №3 Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має чотири розв’язки. Перевірте себе Квадрат та коло мають чотири спільних точки, якщо а = 4, або а = 2. №4 Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь не має розв’язку. Перевірте себе Квадрат та коло не мають спільних точок при а < 0,5 або а > 1. № 5 При яких значеннях параметра а система рівнянь має три розв’язки? Перевірте себе Якщо а < , або а >3, то розв’язків немає; <a<1, то чотири розв’язки; 3)якщо а=1,то три розв’язки; 4)якщо 1<a<3, то два розв’язки; 5) якщо а=3, то один розв’язок. 2)якщо №6 Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень параметра а? Перевірте себе 1) якщо , то розв’язків немає; , то два розв’язки; або a > , то чотири розв’язки; 2) якщо а = або а = 3) якщо а < Використана література: М.Л Галицький, А.М Гольдман, Л.И Звавич Збірник задач з алгебри. Москва «Просвещение» 1999 Підручник А.Г. Мерзляк, В.Б Полонський, М.С. Якір Алгебра 9кл.(для класів з поглибленим вивченням математики). Харків «Гімназія» 2009. А.Г. Мерзляк, В.Б Полонський, М.С. Якір. Збірник задач і контрольних робіт. Харків, « Гімназія» 2012.
https://svitppt.com.ua/algebra/nerivnosti3.html	Нерівності	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/6c8b5588aeed8621d174d8eb23fa0a08.pptx	files/6c8b5588aeed8621d174d8eb23fa0a08.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 2 Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Лінійна нерівність з однією змінною. Рівносильні нерівності Система (та сукупність) нерівностей з однією змінною Числові проміжки. Переріз і об'єднання проміжків Нерівності, що містять модуль Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування систем ( та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 2.3. Нерівність Нерівність Приклади Нерівності, що містять модуль Пригадайте Чому дорівнює модуль додатного числа? Чому дорівнює модуль від'ємного числа? Чому дорівнює модуль нуля? Чому дорівнює модуль числа, яке позначене на координатній прямій? Пункт 2.3. Приклади: 1). Якщо х=5, а=3, то \|5-3\|=2 – відстань між точками 5 і 3 2). Якщо х=-3, а=2, то \|-3-2\|=\|-5\|=5 – відстань між точками -3 і 2 3). Нерівність \|х\|≤3, або \|х-0\|≤3, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 не більша від 3, тобто не перевищує 3.Таку властивість мають усі точки х, що належать проміжку [-3; 3]. Отже, нерівність \|х\|≤3 рівносильна подвійній нерівності -3≤x≤3. Нерівність \|x\|<a (a>0) \|x-a\| - відстань на координатній прямій між точками з координатами x і a. 2). Нерівність виду \|x\|<a (a>0) рівносильна подвійній нерівності -а<х<а. 1). Нерівність виду \|x\|≤a (a>0) рівносильна подвійній нерівності -а≤х≤а. Пункт 2.3. Дану умову задовольняють точки, що розміщені на координатній прямій праворуч від точки з координатою а (x>a) і ліворуч від точки з координатою –а (x<-a). Нерівність \|x\|>a (a>0) рівносильна сукупності двох нерівностей: x>a і x<-a Нерівність \|x\|>a (a>0), тобто \|x-0\|>a, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 на координатній прямій більша від а. Пункт 2.3. Розв'язання \|x-1\|≤3 -3≤x-1≤3, -3≤x≤4. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 1 добудь-якої точки цього проміжку не перевищує 3. Відповідь. х[-2; 4]. Окремі приклади Приклад 1. Розв'язати нерівність \|x-1\|≤3 Пункт 2.3. Розв'язання \|x-2\|>3 x-2>3 і x-2<-3, х>3+2 і x<-3+2, х>5 і x<-1. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 2 до будь-якої точки координатної прямої, що лежить справа від точки з координатою 5 (x>5) і зліва від точки з координатою -1 (x<-1), більша від 3. Відповідь. х(-∞; -1)(5; ∞). Окремі приклади Приклад 2. Розв'язати нерівність \|x-2\|>3 Пункт 2.3. Розв'язання \|2x-3\|<5 -5<2x-3<5, -5+3<2x-3+3<5+3, -2<2x<8, -1<x<4. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 1,5 до будь-якої точки цього проміжку буде меншою від 2,5, бо нерівність -5<2x-3<5 (після ділення на 2) рівносильна нерівності -2,5<x-1,5>2,5. Відповідь. х(-1; 4). Окремі приклади Приклад 3. Розв'язати нерівність \|2x-3\|<5 Пункт 2.3. Розв'язання \|x-1\|+2х<5. За означенням модуля числа, Тому дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей: і Розв'яжемо кожну з них. Відповідь. х(-∞; 2). Окремі приклади Приклад 4. Розв'язати нерівність \|x-1\|+2х<5 1). Якій нерівності рівносильна нерівність \|x\|≤6? 2). Об'єднання розв'язків яких нерівностей є розв'язок нерівності \|x\|>10? Закріплення вивченого матеріалу
https://svitppt.com.ua/algebra/perevirka-dilennya-mnozhennyam.html	Перевірка ділення множенням	https://svitppt.com.ua/uploads/files/34/262da04b21b260aa74af3b17209c1df8.ppt	files/262da04b21b260aa74af3b17209c1df8.ppt	76 : 2 = 38 38 * 2 = 76 85 : 5 = 62 : 2 = * 5 = * 2 = 84 : 6 = 81 : 3 = * = * = 76 : 2 = 38 38 * 2 = 76 85 : 5 = 62 : 2 = * 5 = * 2 = 84 : 6 = 81 : 3 = * = * =
https://svitppt.com.ua/algebra/metod-matematichnoi-indukcii.html	Метод математичної індукції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/61/3e308de174c86b6f9126cd5d4df65f4e.pptx	files/3e308de174c86b6f9126cd5d4df65f4e.pptx	Метод математичної індукції Фетіщева Поліна, 10-В У основі будь-якого математичного дослідження лежать дедуктивний і індуктивний методи. Дедуктивний метод міркувань - це міркування від загального до окремого. Індукція є методом, протилежним дедуктивному, тобто перехід від окремих результатів до загального. Хоча і виросла область застосування методу математичної індукції, у шкільній програмі йому відводиться мало часу. Але ж це так важливо - вміти міркувати індуктивно! За своїм первісним змістом слово "індукція" застосовується до міркувань, за допомогою яких отримують загальні висновки, спираючись на ряд приватних тверджень. Найпростішим методом міркувань такого роду є повна індукція. Повна індукція Ось приклад подібного міркування. Нехай потрібно встановити, що кожне натуральне парне число n в межах 4 <n <20 представлено у вигляді суми двох простих чисел. Для цього візьмемо всі такі числа і випишемо їх відповідні розклади: 4 = 2 +2 , 6 = 3 +3 ; 8 = 5 +3 ; 10 = 7 +3 ; 12 = 7 +5 ; 14 = 7 +7 ; 16 = 11 +5 , 18 = 13 +5 , 20 = 13 +7 . Ці дев'ять рівностей показують , що кожне з чисел, що нас цікавлять, дійсно представляється у вигляді суми двох простих доданків. Повна індукція Таким чином, повна індукція полягає в тому, що загальне твердження доводиться окремо в кожному з кінцевого числа можливих випадків. Повна індукція Іноді загальний результат вдається вгадати після розгляду не всіх, а досить великого числа окремих випадків (так звана неповна індукція ). Результат, отриманий неповної індукцією, залишається, однак, лише гіпотезою , поки він не доведений точним математичним міркуванням , що охоплює всі окремі випадки. Іншими словами, неповна індукція в математиці не вважається законним методом суворого доказу, але є потужним методом відкриття нових істин. Неповна індукція Нехай, наприклад, потрібно знайти суму перших n послідовних непарних чисел. Розглянемо окремі випадки : 1=1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 Неповна індукція Після розгляду цих кількох окремих випадків напрошується наступний загальний висновок: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 тобто сума n перших послідовних непарних чисел дорівнює n2 Зрозуміло, зроблене спостереження ще не може служити доказом справедливості наведеної формули. Повна індукція має в математиці лише обмежене застосування. Багато цікавих математичні твердження охоплюють нескінченне число окремих випадків , а провести перевірку для нескінченного числа випадків ми не взмозі. Неповна ж індукція часто призводить до помилкових результатів . У багатьох випадках вихід з такого роду затруднення полягає у зверненні до особливого методу міркувань , званому методом математичної індукції . Він полягає в наступному: Нехай потрібно довести справедливість деякого твердження для будь-якого натурального числа n (наприклад потрібно довести, що сума перших n непарних чисел дорівнює n2 ). Безпосередня перевірка цього твердження для кожного значення n неможлива, оскільки множина натуральних чисел нескінченна. Щоб довести це твердження, перевіряють спочатку його справедливість для n=1 . Потім доводять, що за будь-якого натурального значення k, із вірності аналізованого твердження при n=k, випливає його справедливість і при n=k+1 . Метод математичної індукції Тоді твердження вважається доведеним для всіх n. Справді, твердження справедливе при n = 1 . Але тоді воно справедливо і для наступного числа n=1 +1 = 2 . З справедливості твердження для n=2 випливає його справедливість для n= 2+1 = 3 . Звідси випливає справедливість твердження для n =4 і т.д. Ясно, що , зрештою, ми дійдемо до будь-якого натурального числа n. Значить , твердження вірне для будь-якого n. Метод математичної індукції Узагальнюючи сказане, сформулюємо наступний загальний принцип. Принцип математичної індукції доведення твердження методом математичної індукції. Крок 1. Перевіряють істинність твердження Крок 2. Припускаючи істинність твердження доводять істинність твердження Якщо доведення правдиве для кожного натурального значення то, відповідно до принципу математичної індукції, твердження є істинним для будь-яких натуральних значень Принцип методу математичної індукції Приклади Задача 1. Доведіть, що число, яке складається з 243 одиниць, ділиться на 243. Розв’язування: Помітимо, що 243 = 35. Спробуємо довести більш загальне твердження, що число, складене з 3n одиниць, поділяється на Зn. Виявляється, це простіше. Для n = 1 твердження вірне (111 поділяється на 3). Помітимо, що 111111111 = 111 • 1001001, і взагалі число з 3n одиниць розкладається на множники: I ... 1 = 1 ... 1 *10...010... 01 причому, другий множник ділиться на 3 (по ознаці подільності на 3).Отже, у послідовності чисел 111, 111111111, ..., «Зn одиниць» кожне наступне дорівнює попередньому, помноженому на число, кратне трьом. Тому, якщо 1...1 ділиться на 3n-1, то і 1...1 ділиться на Зn. Приклади Задача 2. Довести методом математичної індукції наступнурівність: 1+2 +3 + 4 + ... + m = 0,5n(n + 1) Доведення. 1. Перевіримо правильність даного твердження для n = 1: , тобто, 1 = 1. 2. Припустимо, що дана рівність виконується для k доданків, тобто,для n=k істинна рівність: 1+2 +3 + 4 + ... + k = 0,5k(k+ 1) 3. На основі припущення 2 доведемо справедливість даноїрівності для n=k +1 1+ ...+ 4 + ... + k + k +1 = 0,5k(k+1) + k + 1. тоді слідує 0,5k(k+1) + k + 1 = 0,5(k +1)(k +2). Скористаємося істиною рівністю m = k+1, то 1+2 +3 + 4 + ... + m = 0,5m(m + 1) Тепер можна зробити висновок про те, що дана рівність справедлива для будь-якого m є N. Приклади Задача 2. Довести, що при будь-якому натуральному n число 32n+1+2n+2 +2 ділиться на 7. Рішення Проведемо доказ методом математичної індукції . Позначимо А(n)=32n+1+2n+2. База індукції . Якщо n = 1 , то А(1)=33+23=35 і , очевидно , ділиться на 7 . Припущення індукції . Нехай А ( k ) ділиться на 7 . Індукційний перехід. Доведемо , що А ( k +1 ) ділиться на 7 , тобто справедливість твердження завдання при n = k +1 . А(k+1)=32(k+1)+1+2(k+1)+2=32k+1·32+2k+2·21=32k+1·9+2k+2·2= =32k+1·9+2k+2·(9–7)=(32k+1+2k+2)·9–7·2k+2=9·А(k)–7·2k+2. Останнє число ділиться на 7 , тому що являє собою різницю двох цілих чисел, що діляться на 7 . Отже , 32n+1+2n+2 ділиться на 7 при будь-якому натуральному n . Задічі Задача 1. Довести, що при будь-якому натуральному n число 23n+1 ділиться на 3n+1 і не ділиться на 3n+2. Задача 2. Відомо, що х +1 / x - ціле число. Довести, що хn+1/хn - так само ціле число при будь-якому цілому n. Задача 3. Довести, що при будь-якому натуральному n більшому 1 справедливо подвійна нерівність Задічі Задача 4. Опуклий багатокутник будемо називати «красивим», якщо виконуються наступні умови: 1) кожна його вершина пофарбована в один з трьох кольорів; 2) будь-які дві сусідні вершини пофарбовані в різні кольори; 3) у кожний з трьох кольорів пофарбована, принаймні, одна вершина багатокутника. Довести, що будь-який красивий n-кутник можна розрізати непересічними діагоналями на «красиві» трикутники. Задача 5. На площині дано n кіл. Довести, що при будь-якому розташуванні цих кіл утворену ними карту можна правильно розфарбувати двома фарбами. Задача 6. Довести, що при натуральному n> 1 і \| х \| <1 справедлива нерівність (1–x)n+(1+x)n < 2n. Задічі Задача 7. Довести, що в опуклому n - косинці не можна вибрати більше n діагоналей так , щоб будь-які дві з них мали спільну точку . Задача 8. У площині проведено n прямих , з яких ніякі дві не паралельні і жодні три не проходять через одну точку. На скільки частин розбивають площину ці прямі. Задача 9. У виразі х1 : х2 : ... : хn для вказівки порядку дій розставляються дужки і результат записується у вигляді дробу: ( при цьому кожна з букв х1 , х2 , ... , хn стоїть або в чисельнику дробу , або в знаменнику ) . Скільки різних виразу можна таким чином отримати при всіляких способах розстановки дужок ? Дякую за увагу!
https://svitppt.com.ua/algebra/pervisna.html	Первісна	https://svitppt.com.ua/uploads/files/20/316caf3876190a4fbe92c2f05eb17faf.ppt	files/316caf3876190a4fbe92c2f05eb17faf.ppt	kx+C sin x - cos x+C cos x sin x+C tg x + C - ctg x + C x y F(x)=x2+2 F(x)=x2 F(x)=x2-4 F(x)=x2-7 F(x)=x2-2 x y x y x y y x y
https://svitppt.com.ua/algebra/planuvannya-ta-obrobka-rezultativ-bagatofaktornih-eksperimentiv.html	ПЛАНУВАННЯ ТА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ БАГАТОФАКТОРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/23/b0c37ff431b4f29e7c036550ca8e6956.ppt	files/b0c37ff431b4f29e7c036550ca8e6956.ppt	- + - + - + - + - - + + - - + + - - - - + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 x3 x2 - + + - + - - + + - - + + - - + + - + - - + - + + + - - - - + + - + - + - + - + - - + + - - + + - - - - + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 x3 x2 + + - - - - + + - + + - + - - + - + - + - + - + - - + + - - + + - - - - + + + + 1 2 3 4 5 6 7 8 x3 x2
https://svitppt.com.ua/algebra/pismove-mnozhennya-na-odnocifrove-chislo.html	Письмове множення на одноцифрове число	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/fc7e24053859b34859e81dd955cbeafe.ppt	files/fc7e24053859b34859e81dd955cbeafe.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/pidruchnik-algebri-dlya-klasu.html	ПІДРУЧНИК АЛГЕБРИ ДЛЯ 11 КЛАСУ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/9/4234149498a942b4ae61bd0658808888.ppt	files/4234149498a942b4ae61bd0658808888.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/matematichni-osnovi-teorii-algoritmiv.html	МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ТЕОРІЇ АЛГОРИТМІВ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/1/dafe69cce3b5f9b48dbcc14e7cddc500.pptx	files/dafe69cce3b5f9b48dbcc14e7cddc500.pptx	Тема 2 МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ТЕОРІЇ АЛГОРИТМІВ Те, що я зрозумів, - прекрасно. Із цього я роблю висновок, що й те, чого я не зрозумів, також прекрасно. ( Сократ ) Пізнання завжди шукало способи опису алгоритмів. І застосовуючи природну мову пізнання – математикові, необхідно визначити у ній ті цеглинки, з яких дослідники створили ці прекрасно величні будови – Алгоритми, а заодно і їх теорію й аналіз. Основними математичними складової теорії алгоритмів виявилися теорія множин, математична логіка й теорія графів. Тому іноді теорію алгоритмів іменують як теорію алгоритмів і вирахувань ( у нашім курсі ми її називаємо «Теорія алгоритмів і математична логіка» ) і розділяють на дві частини. Перша - загальна теорія, що має справу з будовою алгоритмів і вирахувань самих по собі. Друга являє собою прикладну теорію, що має справу із проблемами, пов'язаними із практичними застосуваннями алгоритмів і виникаючими в різних областях математики. 2.1 Асимптотичний аналіз функцій При аналізі поводження функції трудомісткості алгоритму часто використовують прийняті в математику асимптотичні позначення, що дозволяють показати швидкість росту функції, маскуючи при цьому конкретні коефіцієнти. Така оцінка функції трудомісткості алгоритму називається складністю алгоритму й дозволяє визначити переваги у використанні того або іншого алгоритму для більших значень розмірності вихідних даних. В асимптотичному аналізі прийняті наступні позначення:  Оцінка (тетта) Нехай f(n) і g(n) - додатні функції аргументу, n ≥1 (кількість об'єктів на вході й кількість операцій - додатні числа), тоді: Оцінка (тетта) f(n) = (g(n)), якщо існують такі додатні с1, с2, n0, що:с1 * g(n) ≤ f(n) ≤ c2 * g(n), при n > n0 Звичайно говорять, що при цьому функція g(n) є асимптотичною точною оцінкою функції f(n), тому що по визначенню функція f(n) не відрізняється від функції g(n) з точністю до постійного множника. Відзначимо, що з f(n) =  (g(n)) слідує, що g(n) = (f(n)). Приклади: 1) f(n)=4n2+nlnn+174 – f(n)= (n2); 2) f(n)= (1) – запис означає, що f(n) або дорівнює константі, не рівної нулю, або f(n) обмежена константою на ∞: f(n) = 7+1/n = (1). 2 Оцінка О (О велике) На відміну від оцінки , оцінка О вимагає тільки, що б функція f(n) не перевищувала g(n), починаючи з n > n0, з точністю до постійного множника: Оцінка О (О велике) c > 0, n0 > 0 : 0 ≤ f(n) ≤ c * g(n), n > n0. Взагалі, запис O(g(n)) позначає клас функцій, таких, що всі вони ростуть не швидше, ніж функція g(n) з точністю до постійного множника, тому іноді говорять, що g(n) мажорує функцію f(n). Наприклад, для всіх функцій: f(n)=1/n, f(n)= 12, f(n)=3n+17, f(n)=nLn(n), f(n)=6* n2+24n+77 буде справедлива оцінка О(n2) Указуючи оцінку О є зміст указувати найбільше «близьку» мажоруючи функцію, оскільки, наприклад, для f(n)= n2 справедлива оцінка О(n2), однак вона не має практичного змісту. 3. Оцінка Ω(Омега) На відміну від оцінки О, оцінка є оцінкою знизу – тобто визначає клас функцій, які ростуть не повільніше, ніж g(n) з точністю до постійного множника: Оцінка Ω(Омега) c > 0, n0 >0 : 0 ≤ c g(n) ≤ f(n) Наприклад, запис Ω(nLn(n)) позначає клас функцій, які ростуть не повільніше, ніж g(n) = nLn(n), у цей клас попадають всі поліноми зі ступенем більшої одиниці, так само як і всі статечні функції з підставою більшим одиниці. Асимптотичне позначення О віднесемо до підручника Бахмана по теорії простих чисел (Bachman, 1892),  позначення , уведені Д. Кнутом (Donald Knuth). В асимптотичному аналізі алгоритмів розроблені спеціальні методи одержання асимптотичних оцінок, особливо для класу рекурсивних алгоритмів. Очевидно, що оцінка  є більше кращої, чим оцінка О. Знання асимптотики поводження функції трудомісткості алгоритму, його складності, дає можливість робити прогнози на вибір більше раціонального з погляду трудомісткості алгоритму для великих розмірностей вихідних даних. 2.2 Елементи теорії множин, відношення, функції і перетворення, алгебраїчні структури. Те, що Георг Кантор своєю теорією множин зробив революцію в математиці, загальновідомо. Поняття множини належить до числа первісних математичних понять і може бути пояснено тільки за допомогою прикладів. У сучасній математиці поняття множини вважається одним з основних, з його починається виклад традиційних математичних дисциплін і побудова нових математичних теорій. Теорія множин була створена в основному працями математиків XIX століття Її сучасні положення викладені в літературі по дискретній математиці. Поняття множини вводиться на аксіоматичному рівні, аналогічно тому, як у математику – крапка, в інформатиці -інформація, а саме: “Множина є багато чого, мислиме як єдине”(Г.Кантор), тобто множина як «поєднання в одне ціле об'єктів, помічених нашою інтуїцією або думкою». Опускаючи елементарні операції і властивості, діаграми Ейлера-Венна, приведемо схему подальшого розвитку поняття множини . Нагадаємо,що при доказі тотожностей у теорії множин, діаграми Эйлера-Венна служать лише графічною ілюстрацією, а основним методом доказу є метод двох включень. Наприклад, потрібно довести, що A Δ B = (A B)/(AB). Доведемо методом двох включень. Фіксуємо довільно елемент x . Нехай x (А Δ В) . Тоді, відповідно до визначення симетричної різниці х (А\В) (В\А) . Це означає, що х (А\В) або х (В\А) . Якщо х (А\В) , то х  А и x В , тобто х (A  B) і при цьому x (A  B) . Якщо ж х (В\А), то х  B і x  А, звідкіля х (A  B) і при цьому x (A  B) . Отже, у будь-якому випадку з x (А Δ В) випливає х (A  B) і x (A  B), тобто x (A  B)/(A  B). Скорочений запис вищенаведеного доказу з використанням логічної символіки виглядає так: Тим найперше включення, тобто включення A Δ B  (A  B)/(A  B), установлено. Покажемо зворотне включення, тобто включення (A  B)/(A  B)  A Δ B. Запис доказу зворотного включення з використанням логічної символіки виглядає так: Обоє включення мають місце, отже тотожність доведена. Звертаємо увагу на те, що при доказі тотожностей методом двох включень рекомендується скрупульозно проводити доказ обох включень. Можливі приклади того, що „зворотний" доказ є не зовсім точним оберненням „прямого". Повернемося до запропонованої схеми. Відповідно до неї, основною операцією для множин є операція декартового добутку, що надалі породжує поняття :відношення, бінарні відношення і функції. Властивості бінарних відношень на схемі докладно описані. Зупинимося на функціональних відношеннях. Визначення 2.1. Бінарним відношенням між елементами множин А і В називається будь-яка підмножина R множини декартового добутку . Якщо А=В, то відношення називається бінарним відношенням на А. Позначається – xRy. Визначення 2.2. Відношення f на називається функцією з А в В і позначається f:А→В , якщо для кожного існує єдиний елемент такий, що (a,b)  f. Функція f: називається також відображенням; при цьому говорять, що f відображає А в В. Якщо , то множина f (Е)={b:f(a)=b для деякого a з E} називається образом множини E. Якщо , то множина f -1 (F)={a:f(a) F} називається прообразом множини F. Подальше дослідження властивостей і операцій на множинах приводить до поняття алгебраїчних структур. Якщо в минулих століттях і на початку XX століття алгебра вивчала досить обмежене число алгебраїчних структур, то зараз можна дати дуже загальне визначення алгебри – а саме: наука про властивості множин, на яких визначена та або інша система операцій і відношень. В розвиток такого погляду на алгебру уніс великий вклад академік А.И. Мальцев. Зокрема, він увів поняття алгебраїчної системи, що і є підтемою даного розділу. Завдяки роботам А.И. Мальцева стало зрозуміло, що алгебра і математична логіка – дві тісно зв'язані між собою дисципліни. Визначення 2.3. n-арним (n-містним) відношенням на множині A називається підмножина n-ого декартового ступеня An множини A. Визначення 2.4. n-арною (n-містною) алгебраїчною операцією (або просто операцією), визначеною на множині A називається n-містна функція f: An → A. Число n для n-арної операції f (n-арного відношення r) називається арносттю операції f (відношення r) і позначається n(f) (n(r)). Арності відносин – це числа більше нуля. Арність операцій – це числа більші або рівні нулеві. Операції арности 0 являють собою функції з областю визначення, що складає з одного елемента (n-ки довжини 0) і ототожнюються зі значенням функції. Для унарних операцій ми будемо використовувати префіксну і постфіксну нотацію, а для бінарних – як правило інфіксну. На закінчення цього розділу представимо загальну схему взаємозв'язків від теорії множин та системою класифікацій загальної алгебри, що починається з поняття категорії як сукупності однотипних математичних структур (об'єктів) і відображень (морфізмів) між ними. У категорії множин об'єктами є множини; морфізмами – їх відображення друг у друга; множення морфізмів збігається із суперпозицією або послідовним виконанням відображень; одиничними морфізмами є тотожні відображення множин у себе. У категорії бінарних відношень над категорією множин об'єктами виступають довільні множини; морфізмами – бінарні відношення; множення морфізмів є множення бінарних відношень.
https://svitppt.com.ua/algebra/arifmetichna-progresiya-i-formula-ii-zagalnogo-chlena.html	Арифметична прогресія і формула її загального члена	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/1959850ffbb6a19f5a926249bf691026.pptx	files/1959850ffbb6a19f5a926249bf691026.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (\|q\| < 0) та її сума Розв’язування вправ Пункт 10.2. Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються у папірусах II тисячоліття до н.е. На зв’язок між прогресіями вперше звернув увагу великий АРХІМЕД ( 287–212 рр. до н.е) Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Древній Єгипет Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на скільки третій одержав більше другого і т. д . У V ст. до н. е. греки знали слідуючі прогресії і їх суми: Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Правило для знаходження суми членів арифметичної прогресії дається у «Книзі абака» (1202 р.) італійського вченого-математика Леонардо Фібоначчі. Правило для суми скінченної геометричної прогресії зустрічається у книзі Н. Шюке «Наука про числа», яка побачила світ у 1484 році. Наука про числа Цікаво знати В англійських підручниках з’явилось позначення арифметичної і геометричної прогресій: Англія XVIII століття Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Поняття арифметичної прогресії Розглянемо числові послідовності та звернемо увагу на їх особливості: а) 7; 10; 13; 16; 19; (а — діаметри шківів (у см), насаджених на спільний вал). Кожен член цієї послідовності, починаючи з другого, можна отримати, додавши до попереднього члена число 3. б) 6; 4,5; 3; 1,5; 0; -1,5; ... У послідовності кожен член, починаючи з другого, можна отримати, віднявши 1,5 від попереднього члена (або додавши до попереднього члена -1,5). Такі послідовності називають арифметичною прогресією. Поняття арифметичної прогресії Числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому членові, до якого додають одне і те саме число, називається арифметичною прогресією. Інакше кажучи, числова послідовність a1 , a2 , а3, ..., аn, ... є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова an+1 = a n + d. З цієї рівності випливає рівність an+1 - a n = d яка означає, що різниця між будь-яким наступним і попереднім членами арифметичної прогресії дорівнює одному і тому самому числу, яке тому і називають різницею прогресії (d). Якщо різниця прогресії d > 0, то прогресія є зростаючою, якщо різниця d < 0, то прогресія є спадною, а при d = 0 — сталою. Поняття арифметичної прогресії Приклад 1. прогресія 20; 24; 28; ... є зростаючою (d = 4 > 0); Приклад 2. прогресія 11; 8; 5; ... є спадною (d = -3 < 0); Приклад 3. прогресія 2; 2; 2; ... є сталою (d = 0). Формула загального члена арифметичної прогресії Нехай маємо арифметичну прогресію: -12; -8; -4; 0; 4; ... . Закономірність утворення її членів очевидна: в даному випадку різниця прогресії d = 4. Продовжуючи додавати це число до кожного нового члена прогресії, можемо обчислити значення її члена, який стоїть на будь-якому місці (з будь-яким порядковим номером). Однак цей шлях громіздкий і не досить раціональний. Уявімо, скільки потрібно виконати обчислень, щоб знайти значення, наприклад, сотого члена даної прогресії. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d З означення арифметичної прогресії випливає: а2 = а1 + d а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d; а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = a1 + 3d; а5 = а4 + d = (а1 + 3d) + d = а1 + 4d і т.д. Аналізуючи здобуті формули, помічаємо, що відповідний член прогресії отримують додаванням до першого її члена а1 різниці прогресії d, помноженої на число, яке на 1 менше від порядкового номера шуканого члена. Поширюючи за аналогією цей висновок на наступні члени , можемо записати, що аn = а1 + (n-1)d. Таким чином, ми отримали формулу загального члена арифметичної прогресії. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d Приклад 1. Знайти 7-й член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 9, d = -2. Розв'язання. а7 = а1 + 6d = 9 + 6  (-2) = -3; а7 = -3. Приклад 2. Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), якщо її п'ятий член дорівнює 12, а різниця становить 4. Розв'язання. а5 = a1 + 4d; 12 = а1 + 4  4; а1 = 12 - 16 = -4; а1 = -4. Формула загального члена арифметичної прогресії аn = а1 + (n-1)d Приклад 3. Знайти перший член і різницю арифметичної прогресії (аn), якщо а6 = 18 і а11 = З0. Розв'язання. Знайдемо d.а6 = а1 + 5d, a11 = а1 + 10d; a11 - а6 = (а1 + 10d ) - (а1 + 5d) = 5d; 30-18 =5d, d = 2,4 Знайдемо а1 : а6 = а1 + 5d 18 = а1 + 52,4; 18 = а1 + 12; а1 =18 - 12 = 6; a1 = 6. Відповідь. a1 = 6, d = 2,4. Запитання для самоперевірки Яку числову послідовність називають арифметичноюпрогресією? Що таке різниця арифметичної прогресії? Як обчислити будь-який член арифметичної прогресії,знаючи її перший член і різницю? Чи правильне твердження: арифметичну прогресіюможна задати її першим членом і різницею прогресії? Чи правильне твердження: арифметичну прогресіюзадають будь-які два її члени? Первинне закріплення вивченого матеріалу 471. Які з послідовностей є арифметичними прогресіями:а) 2; 5; 8; 11; ...; б) 2; 6; 12; 24;...; в) 7; 4; 1; -2;...; г) 1; 2; 3; 5; 8;... ? 472°. Сходи, що ведуть на веранду, мають 8 східців. Перший східець — бетонна плита заввишки 10 см; усі інші східці мають висоту 15 см. На якій висоті від землі розташовані 2-й, 3-й, 4-й східці та підлога веранди? Первинне закріплення вивченого матеріалу 483. На стороні АВ кута ABC відкладено рівні відрізки BA1 , А1С4 , А2С3, ..., А7С8 і через їхні кінці проведено паралельні прямі до перетину зі стороною ВС. Довжина відрізка А1С1 дорівнює 2,5 см. Знайдіть довжину відрізків А4С4 і А8С8
https://svitppt.com.ua/algebra/masiv.html	Масив	https://svitppt.com.ua/uploads/files/21/84eda2f785995573c10cbcae341a5e29.pptx	files/84eda2f785995573c10cbcae341a5e29.pptx	Масив Підготувала учениця 11-А класу Гулько Марія Одновимірний та двовимірний Структурний тип даних, який складається з фіксованого числа елементів одного й того ж типу. Масив Масив лінійна таблиця прямокутна таблиця квадратна таблиця = Порядок роботи з масивом Одновимірні масиви Однотипні занумеровані дані, що мають спільне ім`я. Опис одновимірного масиву Заповнення масиву За формулою for i:=1 to n dо a[i]:=2+ii; З клавіатури for :=1 to n do begin write('vvesti a[',i,']='); readln(a[i]);end; Випадковими числами for i:=1 to n do a[i]:=random (100)+1; У рядок Виведення масиву Цілі числа for i:=1 to n do write( a[i]:4); Дійсні числа for i:=1 to n do write( a[i]:6:2); У стовпчик Цілі числа for i:=1 to n do writeln( a[i]:4); Дійсні числа for i:=1 to n do writeln( a[i]:6:2); Дано одновимірний масив перших ста натуральних чисел.Вивести на екран елементи масиву, що кратні 5 по 10 чисел у кожному рядку. Приклад програми program pr1;var a:array[1..100] of integer;k,i:nteger; Begin for i:=1 to n do a[i]:=i; k:=0; for i:=1 to n do beginif a[i] mod 5 =0 then begin k:=k+1; write(a[i]:4); if (k mod 10) =0 then writeln;end; end. Двовимірні масиви Двовимірний масив - це таблиця, у якій кожному елементу ставиться у відповідність два індекси, які визначають його місце (рядок, стовпець) у таблиці. j i A[i,j] Ім’я -індекс -індекс A[2,4] -елемент Опис двовимірного масиву За формулою for i:=1 to n do for j:=1 to m do a[i,j]:=2+ij; З клавіатури for i:=1 to n dofor j:=1 to m doreadln(a[i,j]; Заповнення масиву Випадковими числами for i:=1 to n doa[i,j]:=random(50)-10; Сталими числами Const a:array[1..3,1..5] of integer=… Виведення елементів двовимірного масиву на екран for i:=1 to n dobegin for j:=1 to m do write(a[i,j]: 4); writeln; end; кількість рядків = кількість стовпців Квадратна таблиця j i Головна діагональ A[1,1] … A[6,6] i=j Побічна діагональ A[6,1] … A[1,6] i+j=n+1 Під – i>j, - i<j Під - i+j>n+1, над - i+j<n+1
https://svitppt.com.ua/algebra/porivnyannya-velichin-i-chisel-znahodzhennya-znachen-viraziv-na-dii-ri.html	Порівняння величин і чисел. Знаходження значень виразів на дії різного ступеня	https://svitppt.com.ua/uploads/files/31/acc43cc14b49d57250f21f01b9d03374.ppt	files/acc43cc14b49d57250f21f01b9d03374.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/obernena-funkciya.html	Обернена функція	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/75fc96e96ce81760cdc460807b1445c4.pptx	files/75fc96e96ce81760cdc460807b1445c4.pptx	Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Обернена функція Поняття оберненої функції На рисунках 47, 48 зображено графіки функцій f і g. Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції f не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу y0 ∈ E (f) відповідає єдине число x0 ∈ D (f) таке, що y0 = f (x0). Функція g такої властивості не має. Справді, з рисунка 48 видно, що значенню y0 відповідають два значення аргументу x1 і x2 такі, що y0 = g (x1) і y0 = g (x2). Оборотна функція Означення. Функцію y = f (x) називають оборотною, якщо для будь-якого y0 ∈ E (f) існує єдине x0 ∈ D (f) таке, що y0 = f (x0). Функція f (рис. 47) є оборотною. Функція g (рис. 48) не є оборотною. Приклади оборотних функцій Функції є прикладами оборотних функцій (рис. 49). а) б) в) Функція y = x2 не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу x1 = –2 і x2 = 2. Теорема 6.1 Теорема 6.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною. Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція f, яка не є оборотною. Тоді знайдеться y0 ∈ E (f), для якого існують x1 і x2 (x1 < x2) такі, що f (x1) = f (x2) = y0. Разом з тим функція f — зростаюча, і з нерівності x1 < x2 випливає, що f (x1) < f (x2). Отримали суперечність. Аналогічно розглядається випадок, коли функція f є спадною. Розглянемо функцію y = f (x), задану таблично: Функція f є оборотною. Поміняємо рядки таблиці місцями і розглянемо функцію y = g (x), задану отриманою таблицею: Функції f і g зв’язані такими властивостями: Ці рівності означають, що коли f (x0) = y0, то g (y0) = x0. У таких випадках говорять, що функція g є оберненою до функції f, а функція f — оберненою до функції g. Такі функції f і g називають взаємно оберненими. Взаємно обернені функції Означення. Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо: D (f) = E (g) і E (f) = D (g); для будь-якого x0 ∈ D (f) з рівності f (x0) = y0 випливає, що g (y0) = x0, тобто g (f ( x0)) = x0. Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити на таке: для будь-якого x0 ∈ D (g) з рівності g (x0) = y0 випливає, що f (y0) = x0, тобто f (g (x0)) = x0. Коли функція f не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену. Приклад Доведену теорему 6.2 ілюструють графіки взаємно обернених функцій, що розглядалися вище (рис. 51). Первинне закріплення вивченого матеріалу Яку функцію називають оборотною? Сформулюйте теорему про оборотність зростаючої (спадної) функції. Як пов’язані область визначення функції та область значень оберненої до неї функції? Як пов’язані область значень функції та область визначення оберненої до неї функції? Які дві функції називають взаємно оберненими? Як розташовані графіки взаємно обернених функцій? Якою є функція, обернена до зростаючої функції? до спадної функції? Тренувальні вправи Коментоване виконання вправ Напівсамостійне виконання вправ Вправи для повторення 195. Через першу трубу басейн можна наповнити водою за 9 год., а через другу — за 12 год. Спочатку 3 год. була відкрита перша труба, потім її закрили, але відкрили другу. За скільки годин було наповнено басейн? Домашнє завдання Читати § 6 Вивчити означення та теореми Виконати вправи №№ 182, 185, 187, 189, 191 Прочитати розповідь про львівську математичну школу Розв'язати задачу на повторення № 196
https://svitppt.com.ua/algebra/koordinatnoparametrichniy-metod-rozvyazuvannya-rivnyan-i-nerivnostey-fakultativ.html	Координатно-параметричний метод розв`язування рівнянь і нерівностей. (Факультатив)	https://svitppt.com.ua/uploads/files/8/69f46693b340c6f9200ed7e7a5baf4d6.ppt	files/69f46693b340c6f9200ed7e7a5baf4d6.ppt	0 0 a< 0 0 - X=-1 a x X=-1 -1 -1 0 1 a x a=x -1 0 2
https://svitppt.com.ua/algebra/prikladi-ta-rivnyannya-na-uroci.html	Приклади та рівняння на уроці	https://svitppt.com.ua/uploads/files/43/3e6748970e6009bd2a579df8979fa6b8.ppt	files/3e6748970e6009bd2a579df8979fa6b8.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/ponyattya-pro-zapisuvannya-imenovaniy-chisel-ta-ih-peretvorennya-rozvy.html	Поняття про записування іменований чисел та їх перетворення. Розв’язування задачі на два дії та складання оберненої задачі.	https://svitppt.com.ua/uploads/files/42/29d0eae6600d4dbecfe5713e547c346a.ppt	files/29d0eae6600d4dbecfe5713e547c346a.ppt	123565, 890562, 405262, 669020 300000+50000+6000+800= 500000+6000+60+2= 900000+60000+500= 800000+5000+600+9= 356800 506062 960500 805609 568 356 + 598 6 6 11 + 959 5 1 14 999 491 + 627 6 2 16 + 959 0 5 14 1000 100 1000 1000 10 100 10
https://svitppt.com.ua/algebra/prikladi-ta-rivnyannya.html	Приклади та рівняння	https://svitppt.com.ua/uploads/files/10/09a02d85d1ae565ea0f74fc12aba842a.ppt	files/09a02d85d1ae565ea0f74fc12aba842a.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/pidsumkoviy-urok-z-temi-arifmetichniy-kvadratniy-korin-z-chisla-ta-yog.html	Пiдсумковий урок з теми «Арифметичний квадратний корiнь з числа та його властивостi. Перетворення iррацiональних виразiв»	https://svitppt.com.ua/uploads/files/44/9daf97c6497f9818c20f33725bc3333a.ppt	files/9daf97c6497f9818c20f33725bc3333a.ppt	2 16 (9; 81) (81; 9) (3; 9) (9; 3)
https://svitppt.com.ua/algebra/odnochleni.html	ОДНОЧЛЕНИ	https://svitppt.com.ua/uploads/files/2/40d3cdd5f2499653994aaba762d0b689.pptx	files/40d3cdd5f2499653994aaba762d0b689.pptx	Алгебра ОДНОЧЛЕНИ 7 клас Корніяшик Л.І. Вчитель математики Широківська СЗШ №2 Найпростіші вирази – числа, змінні, їх степені й добутки, називають одночленами. Наприклад: 5; 2ав; -1/2ху; -х²; 3а·5с. Які з даних виразів є одночленами? 78а+в 3х⁵у⁶ 6(а²-в²) 8 -1/3х³у⁵ 8т⁴к³:11а⁵ т⁶т Перевір себе ! Ні Так Ні Так Так Ні Так Якщо одночлен містить тільки один числовий множник, до того ж поставлений на перше місце, і якщо кожна змінна, яка входить в одночлен, зустрічається лише один раз, такий одночлен називається одночленом стандартного вигляду. Чи в стандартному вигляді одночлен ?1) 2х²·3у;2) 7а⁴в⁶с³;3) –хух⁵;4) т12;5) 45ав;6) тк⁸т⁹;7) 3/4а³в². Перевір себе ! Ні Так Ні Ні Так Ні Так Числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Наприклад: 34с⁸ав⁴ 34 – коефіцієнт ; -х²у⁵ -1 – коефіцієнт ; 8/9т³к⁵ 8/9 – коефіцієнт. Щоб перемножити одночлени, числові множники перемножають, а до буквенихзастосовують правило множення степенівз однаковими основами.Наприклад: 5ав²·(-0,3а²в³)=5·(-0,3)аа²в²в³==-1,5а³в⁵ Суму показників змінних в одночлені називають степенем одночлена.Наприклад:-а²в³с⁴ степінь одночлена 9,тому що 2+3+4=9 Щоб піднести до степеня одночлен, слід піднести до цього степеня кожний множник одночлена і знайдені степені перемножити.Наприклад:(3mу²)⁴=3⁴m⁴(у²)⁴=81m⁴у⁸ СПРОБУЙ СВОЇ СИЛИПеремножте одночлени.1) 2ав·3а²с2) -аm²·3m³p3) 0,2ху·(-5ху)4) авсd·(-ав²с³)5) -2а²у⁴·0,7аус ПЕРЕВІР СЕБЕ !1) 6а³вс;2) -3аm⁵p;3) –х²у²;4) –а²в³с⁴d;5) -1,4а³у⁵с. Піднесіть до квадрата і до кубу одночлен:1) 2ах;2) -3а²;3) 5вс²;4) 0,2х³m;5) -0,5хс²;6) -4а²х³ ПЕРЕВІР СЕБЕ !Квадрат Куб1) 4а²х² 8а³х³2) 9а⁴ 27а⁶3) 25в²с⁴ 125в³с⁶4) 0,04х⁶m² 0,008x⁹m³5) 0,25х²с⁴ -0,125х³с⁶6) 16а⁴х⁶ -64а⁶х⁹ Спростіть вираз:1) х⁵·(2ах²)³2) (2ах²)²·(ах)³3) (-2х²у³)²·(-5ху²)³4) 0,5mn⁴·(-2m)⁵5) 3х²·(-5х³у⁴) Замініть зірочку одночленом так, щоб утворилась правильна рівність.1) 0,6а²в· * =6а²в³;2) 5m²n³· * =-m⁵n⁶ Було цікаво? ДЯКУЮ ЗА УВАГУ
https://svitppt.com.ua/algebra/parabola.html	парабола	https://svitppt.com.ua/uploads/files/62/5463d88368db42f1597104a89def5b4b.pptx	files/5463d88368db42f1597104a89def5b4b.pptx	Виконала:учениця 9-б класусавко маріанна ЗАХИСТ ДАНИХ.ШКІДЛИВІ ПРОГРАМИ,ЇХ ТИПИ,ПРИНЦИПИ ДІЇ І БОРОТЬБА З НИМИ Захист даних Захист даних — сукупність методів і засобів, щозабезпечують цілісність, конфіденційність і доступність інформації за умов впливу на неї загроз природного або штучного характеру, реалізація яких може призвести до завдання шкоди власникам і користувачам інформації. Термін вживається в Україні для опису комплексу заходів по забезпеченню інформаційної безпеки. Захист даних Захист даних Загрози інформації Відповідно до властивостей І., виділяють такі загрози її безпеці: загрози цілісності: знищення; модифікація; загрози доступності: блокування; знищення; загрози конфіденційності: несанкціонований доступ (НСД); витік; розголошення. Захист даних Види захисту даних Технічний — забезпечує обмеження доступу до носія повідомлення апаратно-технічними засобами (антивіруси, фаєрволи, маршрутизатори, токіни, смарт-карти тощо): попередження витоку по технічним каналам; попередження блокування ; Інженерний — попереджує руйнування носія внаслідок навмисних дій або природного впливу інженерно-технічними засобами (сюди відносять обмежуючі конструкції, охоронно-пожежна сигналізація). Криптографічний — попереджує доступ за допомогою математичних перетворень повідомлення (ІП): попередження несанкціонованої модифікації ; попередження НС розголошення. Організаційний — попередження доступу на об'єкт інформаційної діяльності сторонніх осіб за допомогою організаційних заходів (правила розмежування доступу). Шкідливі програми Крім корисних програм, які допомагають користувачеві опрацьовувати дані, існують і шкідливі програми. Для шкідливих комп’ютерних програм характерно: •швидке розмноження шляхом приєднання своїх копій до інших програм, копіювання на інші носії даних, пересилання копій комп’ютерними мережами; •автоматичне виконання деструктивних дій, які вносять дезорганізацію в роботу комп’ютера Шкідливі програми Шкідливі програми За принципами розповсюдження і функціонування шкідливі програми розподіляють на:•комп’ютерні віруси• хробаки (черв’яки) комп’ютерних мереж • троянські програми Комп'ютерний вірус Комп'ютерний вірус — комп'ютерна програма, яка має здатність до прихованого самопоширення. Одночасно зі створенням власних копій вірус можуть завдавати шкоди: знищувати, пошкоджувати, викрадати дані, знижувати або й зовсім унеможливлювати подальшу працездатність операційної системи комп'ютера. Комп'ютерний вірус Комп'ютерні віруси бувають чотирьох типів: Шкідник Знищувач Хробак Жарт Походження терміну Назва програми «комп'ютерний вірус» походить від однойменного терміну з біології за її здатність до саморозмноження. Саме поняття «комп'ютерного вірусу» з'явилося на початку 1970-х і використовувалося у програмуванні та літературі, зокрема, у фантастичному оповіданні «Людина в рубцях» Грегорі Белфорда. Проте, автором терміну вважається Фред Коен, який у 1984 році опублікував одну з перших академічних статей, що були присвячені вірусам, де і було використано цю назву. ДЯКУЮ ЗА УВАГУ
https://svitppt.com.ua/algebra/prezentaciya-po-progresiyam.html	Презентація по прогресіям	https://svitppt.com.ua/uploads/files/34/b574db7408a18922d79dc143f1014b7d.ppt	files/b574db7408a18922d79dc143f1014b7d.ppt	.
https://svitppt.com.ua/algebra/perspektivi-stvorennya-it-kampusiv-v-ukraini.html	Перспективи створення ІТ кампусів в Україні	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/3fea0171f3e00f1217bb11f4f126d4c7.ppt	files/3fea0171f3e00f1217bb11f4f126d4c7.ppt
https://svitppt.com.ua/algebra/nerivnosti-scho-mistyat-modul.html	Нерівності, що містять модуль	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/55cfea3946a485b95538c7ad251f8453.pptx	files/55cfea3946a485b95538c7ad251f8453.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 2 Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Лінійна нерівність з однією змінною. Рівносильні нерівності Система (та сукупність) нерівностей з однією змінною Числові проміжки. Переріз і об'єднання проміжків Нерівності, що містять модуль Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування систем ( та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 2.3. Нерівність Нерівність Приклади Нерівності, що містять модуль Пригадайте Чому дорівнює модуль додатного числа? Чому дорівнює модуль від'ємного числа? Чому дорівнює модуль нуля? Чому дорівнює модуль числа, яке позначене на координатній прямій? Пункт 2.3. Приклади: 1). Якщо х=5, а=3, то \|5-3\|=2 – відстань між точками 5 і 3 2). Якщо х=-3, а=2, то \|-3-2\|=\|-5\|=5 – відстань між точками -3 і 2 3). Нерівність \|х\|≤3, або \|х-0\|≤3, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 не більша від 3, тобто не перевищує 3.Таку властивість мають усі точки х, що належать проміжку [-3; 3]. Отже, нерівність \|х\|≤3 рівносильна подвійній нерівності -3≤x≤3. Нерівність \|x\|<a (a>0) \|x-a\| - відстань на координатній прямій між точками з координатами x і a. 2). Нерівність виду \|x\|<a (a>0) рівносильна подвійній нерівності -а<х<а. 1). Нерівність виду \|x\|≤a (a>0) рівносильна подвійній нерівності -а≤х≤а. Пункт 2.3. Дану умову задовольняють точки, що розміщені на координатній прямій праворуч від точки з координатою а (x>a) і ліворуч від точки з координатою –а (x<-a). Нерівність \|x\|>a (a>0) рівносильна сукупності двох нерівностей: x>a і x<-a Нерівність \|x\|>a (a>0), тобто \|x-0\|>a, означає, що відстань від точки з координатою х до точки 0 на координатній прямій більша від а. Пункт 2.3. Розв'язання \|x-1\|≤3 -3≤x-1≤3, -3≤x≤4. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 1 добудь-якої точки цього проміжку не перевищує 3. Відповідь. х[-2; 4]. Окремі приклади Приклад 1. Розв'язати нерівність \|x-1\|≤3 Пункт 2.3. Розв'язання \|x-2\|>3 x-2>3 і x-2<-3, х>3+2 і x<-3+2, х>5 і x<-1. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 2 до будь-якої точки координатної прямої, що лежить справа від точки з координатою 5 (x>5) і зліва від точки з координатою -1 (x<-1), більша від 3. Відповідь. х(-∞; -1)(5; ∞). Окремі приклади Приклад 2. Розв'язати нерівність \|x-2\|>3 Пункт 2.3. Розв'язання \|2x-3\|<5 -5<2x-3<5, -5+3<2x-3+3<5+3, -2<2x<8, -1<x<4. Геометрична ілюстрація Відстань від точки з координатою 1,5 до будь-якої точки цього проміжку буде меншою від 2,5, бо нерівність -5<2x-3<5 (після ділення на 2) рівносильна нерівності -2,5<x-1,5>2,5. Відповідь. х(-1; 4). Окремі приклади Приклад 3. Розв'язати нерівність \|2x-3\|<5 Пункт 2.3. Розв'язання \|x-1\|+2х<5. За означенням модуля числа, Тому дана нерівність рівносильна сукупності двох систем нерівностей: і Розв'яжемо кожну з них. Відповідь. х(-∞; 2). Окремі приклади Приклад 4. Розв'язати нерівність \|x-1\|+2х<5 1). Якій нерівності рівносильна нерівність \|x\|≤6? 2). Об'єднання розв'язків яких нерівностей є розв'язок нерівності \|x\|>10? Закріплення вивченого матеріалу
https://svitppt.com.ua/algebra/funkciya3.html	Функція	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/ff5dd4a90203170e00c503587eb8ccd9.pptx	files/ff5dd4a90203170e00c503587eb8ccd9.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 3 Функція. Квадратична функція Поняття квадратичної функції. Графік функції y=x2+n. Графік функції y=(x+m)2 Графік функції y=(x+m)2+n. Графік функції y=ax2 Графік функції y=a(x+m)2+n Графік функції y=ax2+bx+c Властивості квадратичної функції Найпростіші перетворення графіків функцій Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 3.6. Графік функції y=a(x+m)2+n Пункт 3.6. Будуємо графік функції y=2(x+1)2 Графік цієї функції можна отримати перетвореннями графіка функції у = х2 у такій послідовності: у = х2у = (х + 1)2  y=2(x+1)2 Перетворення (І) означає паралельне перенесення параболи у = х2 вздовж осі Oх вліво на 1 одиницю, а перетворення (ІІ) — розтягнення одержаної параболи вздовж новоїосі симетрії у 2 рази. Який вигляд має графік функції y=a(x+m)2+n Пункт 3.4-3.5. Будуємо графік функції y=2(x+1)2 ІІ спосіб Графік цієї функції можна отримати перетвореннями графіка функції у = х2 у такій послідовності: у = х2у = 2х2  y=2(x+1)2 Графіком функції у = 2(х + 1)2 є парабола виду у = 2х2, паралельно перенесена вздовж осі Ох вліво на 1 одиницю. Який вигляд має графік функції y=a(x+m)2+n Пункт 3.4-3.5. Висновок: Графіком функції у=а(х+т)2 є парабола виду у = ах2 з координатами вершини (0; -т). Який вигляд має графік функції y=a(x+m)2 Пункт 3.4-3.5. Що є графіком функції у = а(х + т)2 + n. Графік функції у = -3(х - 2)2 + 1 можна побудувати, виконавши такі перетворення графіків: у = -3х2  у = -3(х - 2)2  у = -3(х - 2)2 + 1. У результаті отримаємо параболу виду у = -3х2 з координатами вершини (2; 1) і віссю симетрії х = 2. Отже, графік функції у = а(х + т)2 + n є параболою виду у = ах2, вершина якої має координати (—т; n), а віссю симетрії є пряма х= - т. Тренувальні вправи Крок 1 Приклад 1 Тренувальні вправи Крок 2 Приклад 1 Тренувальні вправи Крок 3 Приклад 1 Тренувальні вправи Крок 4 Приклад 1 Тренувальні вправи Крок 1 Приклад 2 Тренувальні вправи Крок 2 Приклад 2 Тренувальні вправи Крок 3 Приклад 2 Тренувальні вправи Крок 4 Приклад 2 Тренувальні вправи Крок 1 Приклад 3 Тренувальні вправи Крок 2 Приклад 3 Тренувальні вправи Крок 3 Приклад 3 Тренувальні вправи Крок 4 Приклад 3 Тренувальні вправи Крок 5 Приклад 3 Первинне закріплення вивченого матеріалу (№196) Графіки функцій, зображених на малюнках, побудовано з використанням шаблона параболи у=1,5х2. Задайте кожну з цих функцій формулою (наприклад, зліва зображено графік побудований з шаблоном параболи у=2х2. Графік, зображений внизу – графік функції у=2х2-3). Шаблон: у=1,5х2 Встановіть відповідність Завдання для самоконтролю Який вигляд має графік функції у = а(х+т)2+т? Яка пара чисел позначає координати вершини параболи, що є графіком функції у = а(х+т)2+т: а) (т;n); б) (m; -n); в) (-т; n); г) (-т; -n)? 3. Як побудувати графік функції у = а(х+т)2+n?
https://svitppt.com.ua/algebra/koordinati0.html	Координати та їх властивості	https://svitppt.com.ua/uploads/files/27/6ab69e78dde7ccd76b0aac747ff41b22.ppt	files/6ab69e78dde7ccd76b0aac747ff41b22.ppt	1. 1 2. 2 3. 10 4. 2 5. 20 6. 6 7. 3 8. 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 25 24 22 23 -4 -2 0 2 4 4 1 0 1 4 y= x y= \|x\| 0 1 1
https://svitppt.com.ua/algebra/sposobi-podannya-chisel-u-riznih-sistemah-chislennya.html	Способи подання чисел у різних системах числення	https://svitppt.com.ua/uploads/files/42/88f0641640aeaca745edbd94550d441d.ppt	files/88f0641640aeaca745edbd94550d441d.ppt	250 150 100 1000 1111 111 1110 111 1101
https://svitppt.com.ua/algebra/ponyattya-pro-zastosuvannya-integrala.html	ПОНЯТТЯ ПРО ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА	https://svitppt.com.ua/uploads/files/42/85e547b9f63562f214636ecf1ffcf526.ppt	files/85e547b9f63562f214636ecf1ffcf526.ppt	.
https://svitppt.com.ua/algebra/funkcii5.html	Функції	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/bdd7607d7607c1aac2763f6ad57972b5.pptx	files/bdd7607d7607c1aac2763f6ad57972b5.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 3 Функція. Квадратична функція Поняття квадратичної функції. Графік функції y=x2+n. Графік функції y=(x+m)2 Графік функції y=(x+m)2+n. Графік функції y=ax2 Графік функції a(x+m)2+n Графік функції ax2+bx+c Властивості квадратичної функції Найпростіші перетворення графіків функцій Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 3.1. Як позначають функцію Значення функції Що таке квадратична функція Поняття квадратичної функції Пригадайте Яку залежність між двома змінними називають функціональною? Які два поняття визначає термін ”функція”? Наведіть кілька прикладів функцій, заданих формулою. Пункт 3.1. Функціональною називають таку залежність між двома змінними (наприклад, х і y), при якій кожному значенню змінної х відповідає лише одне значення змінної y. Змінна х – аргумент Змінна y – функція y=f(x) – змінна y є функцією від змінної х. F(a) – значення функції в точці а (якщо x=a). Наприклад: f(x)=x2, f(3)=32=9, f(-0,5)=(-0,5)2=0,25, f(0)=02=0. Як позначають функцію Узагальноюче повторення Пункт 3.1. Функція задана формулою y=ax2+ba+c, де x – змінна, a, b, c – дані числа, причому а≠0, називається квадратичною функцією. Наприклад, y=2x2-3x+5; y=x2+4x-7; f(x)=-x2-7x-1. Що таке квадратична функція Пункт 3.1. Якщо у формулі y=ax2+bx+c b=0 або c=0 або b=c=0, то матимемо окремі види квадратичної функції: 1). b=c=0, y=ax2 2). b=0, c≠0, y=ax2+c 3). b≠0, c=0, y=ax2+bx. Що таке квадратична функція Запитання для самоперевірки 1. Що таке функція? 2. Як розуміти записи: f(x)=x2-4x; h(x)=3x+2? 3. Що означає запис f(a) для функції f? 4. Як знайти f(3), якщо f(x)=5x-4? 5. Яка функція називається квадратичною? Серед наведених прикладів вкажіть ті функції, які є квадратичними. Для квадратичних функцій назвіть коефіцієнти.
https://svitppt.com.ua/algebra/peretvorennya-grafikivtrigonometrichnih-funkciy.html	Перетворення графіківтригонометричних функцій	https://svitppt.com.ua/uploads/files/8/b4529cfb1d2567d6c96c549ad297f1bc.ppt	files/b4529cfb1d2567d6c96c549ad297f1bc.ppt	y=sin x y=sin x+2 y=sinx y=sin(x-a) y=sinx y=2sinx y=1/2sinx y=cosx y=cos2x y=cos(1/2x) y=cosx y=-cosx y=tgx y=tg(-x) y=cosx y=\|cosx\| y=sinx y=sin\|x\|
https://svitppt.com.ua/algebra/metod-intervaliv1.html	Метод інтервалів	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/c95a0e5997eb1cacf3c16fbab59c4871.pptx	files/c95a0e5997eb1cacf3c16fbab59c4871.pptx	Алгебра і початки аналізу. 10 клас(за підручником Мерзляк А. Г.) Тема уроку: Метод інтервалів (2 уроки) Проміжки знакосталості На рисунку 59 зображено графік деякої функції f, у якої D (f) = R і нулями є числа x1, x2 і x3. Ці числа розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості (–∞; x1), (x1; x2), (x2; x3), (x3; +∞). Проміжки знакосталості Для функції g, графік якої зображено на рисунку 60, проміжок (x2; x3) не є проміжком знакосталості. Справді, якщо x ∈ (x2; x0), то g (x) > 0, а якщо x ∈ (x0; x3), то g (x) < 0. Неперервність функції Принципова відмінність між функціями f і g полягає в тому, що графіком функції f є неперервна крива, а графік функції g такої властивості не має. Говорять, що функція f неперервна в кожній точці області визначення, або, як ще прийнято говорити, неперервна на D (f), а функція g у точці x0 ∈ D (g) має розрив. Теорема 8.1 Теорема 8.1. Якщо функція f неперервна і не має нулів на деякому проміжку, то вона на цьому проміжку зберігає постійний знак. Ілюстрацією до цієї теореми слугує графік функції, зображений на рисунку 59. Ця теорема дозволяє, не будуючи графіка функції f, розв’язувати нерівності f (x) > 0 і f (x) < 0. Теорема 8.1. Доведення Уявімо собі, що з цього рисунка «зникли» всі точки графіка функції f, за винятком точок A (x1; 0), B (x2; 0), C (x3; 0) (рис. 61). Очевидно, що кожний з проміжків (–∞; x1), (x1; x2), (x2; x3), (x3; +∞) не містить нулів функції f. Тоді, пам’ятаючи, що функція f неперервна на D (f) = R, можна стверджувати: указані проміжки є проміжками знакосталості функції f. Залишається лише з’ясувати, якого знака набувають значення функції f на цих проміжках. Це можна зробити за допомогою «пробних точок». Нехай, наприклад, a ∈ (–∞; x1) і f (a) > 0. Тоді для будь-якого x ∈ (–∞; x1) виконується нерівність f (x) > 0. Аналогічно можна «взяти пробу» з кожного проміжку знакосталості. Описаний метод розв’язування нерівностей називають методом інтервалів. Неперервність функції Приклад 1 Розв’яжіть нерівність (x + 3) (x – 1) (x – 2) > 0. Первинне закріплення вивченого матеріалу Чи завжди нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості? Чи кожна неперервна функція зберігає постійний знак на про- міжку з області визначення, який не містить її нулів? Опишіть метод інтервалів розв’язування нерівностей. Коментоване розв'язування вправ Коментоване розв'язування вправ Робота в групах Кометроване розв'язування нерівностей Робота в парах, коментарі вчителя та учнів, складання алгоритму розв'язування Самостійна робота (робота за зразком) Тренувальні вправи Розв'язування нерівностей з параметрами Узагальнююче повторення теми При вивченні матеріалу параграфа «Повторення та розширення відомостей про функцію» ви повторили, що: функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y. Незалежну змінну ще називають аргументом функції. Множину значень, яких набуває аргумент функції y = f (x), називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y). Множину значень, яких набуває залежна змінна, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Коли D (f) ⊂ R і E (f) ⊂ R, функцію f називають числовою; графіком числової функції f називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції f; значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції; проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції; Функцію f називають зростаючою на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) < f (x2); Функцію f називають спадною на множині M ⊂ D (f), якщо для будь-яких двох значень аргументу x1 і x2, які належать множині M, таких, що x1 < x2, виконується нерівність f (x1) > f (x2); якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою. Якщо функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною; графік функції y = f (x) + b можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції y = f (x) на b одиниць угору, якщо b > 0, і на –b одиниць униз, якщо b < 0; графік функції y = f (x + a) можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції y = f (x) на a одиниць уліво, якщо a > 0, і на –a одиниць управо, якщо a < 0; графік функції y = kf (x) можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = f (x) на точку з тією самою абсцисою і ординатою, помноженою на k; Рівняння f1 (x) = g1 (x) і f2 (x) = g2 (x) називають рівносильними, якщо множини їх коренів рівні; нерівності називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків рівні. Узагальнююче повторення теми Ви дізналися, що: якщо для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) m f (x), де x0 ∈ M, то число f (x0) називають найменшим значенням функції f на множині M і записують якщо для всіх x ∈ M виконується нерівність f (x0) l f (x), де x0 ∈ M, то число f (x0) називають найбільшим значенням функції f на множині M і записують функцію f називають парною, якщо для будь-якого x з області визначення f (–x) = f (x); функцію f називають непарною, якщо для будь-якого x з області визначення f (–x) = –f (x); вісь ординат є віссю симетрії графіка парної функції; початок координат є центром симетрії графіка непарної функції; графік функції y = f (kx), де k > 0, можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції y = f (x) на точку з тією самою ординатою і абсцисою, поділеною на k; функцію y = f (x) називають оборотною, якщо для будь-якого y0 ∈ E (f) існує єдине x0 ∈ D (f) таке, що y0 = f (x0); якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною; Функції f і g називають взаємно оберненими, якщо: 1) D (f) = E (g) і E (f) = D (g); 2) для будь-якого x0 ∈ D (f) з рівності f (x0) = y0 випливає, що g (y0) = x0, тобто g (f (x0)) = x0; графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої y = x; якщо функція f є зростаючою (спадною), то обернена функція g є також зростаючою (спадною); якщо множина коренів рівняння f2 (x) = g2 (x) містить множину коренів рівняння f1 (x) = g1 (x), то рівняння f2 (x) = g2 (x) називають наслідком рівняння f1 (x) = g1 (x); якщо множина розв’язків першої нерівності є підмножиною множини розв’язків другої нерівності, то другу нерівність називають наслідком першої нерівності. Домашнє завдання Читати §§ 1-8 Готуватися до тематичної контрольної роботи Виконати №№ 215, 217, 219, 221, 224, 227 (завдання самостійно розподілити на 2 уроки)
https://svitppt.com.ua/algebra/kompyuterna-vektorna-grafika.html	Комп'ютерна векторна графіка	https://svitppt.com.ua/uploads/files/37/85d2b02a9780a43293a26d0c86f18175.pptx	files/85d2b02a9780a43293a26d0c86f18175.pptx	Артдизайн www.themegallery.com Company Logo Комп♥ютерна векторна графіка www.themegallery.com Company Logo www.themegallery.com Company Logo Від моделі до втілення Створення віртуальної моделі черепа людини, що жила близько 6000 років тому. Для наукових досліджень Полтавська вишивка www.themegallery.com Company Logo Дякуємо за увагу!
https://svitppt.com.ua/algebra/koordinatna-ploschina.html	КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА	https://svitppt.com.ua/uploads/files/6/7ece22c94757417b95f4b4904962282d.pptx	files/7ece22c94757417b95f4b4904962282d.pptx	КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА «Щоб щось пізнати, треба вже щось знати» Станіслав Лем В і с ь а б с ц и с y x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 0 О Р Д И Н А Т Алгоритм побудови точки А(х;у) в прямокутній системі координат На вісі абсцис знайти точку х. Через неї провести прямую, перпендикулярну вісі абсцис. На вісі ординат знайти точку у. Через неї провести пряму, перпендикулярну вісі ординат. Точка перетину проведених прямих и є шукана точка A с координатами ( х ; у ) Які координати має точка A? А ( -3 ; 3) А(x;y) y x Алгоритм знаходження координат точки На площині задана точка P. Знайти її координати. P Через точку Р проведемо пряму перпендикулярну вісі Ох. Точка перетину прямої з віссю – значення абсциси точки Р: x=-3. Аналогічно, проводимо пряму перпендикулярну вісі Oy. Точка перетину прямої з віссю – значення ординати точки Р: y=2. Точка Р(-3;2). -3 2 P (-3;2) Рене Декарт (1596-1650) французький філософ, математик. Метою Декарта було опис природи за допомогою математичних законів. Автор координатної площини, тому її часто називають декартовою системою координат. y x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 А В С M N L F y x -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 A B C D
https://svitppt.com.ua/algebra/kvadratichna-funkciya1.html	Квадратична функція	https://svitppt.com.ua/uploads/files/36/3791ef73074c5d8927aaeddbb8d8bf19.ppt	files/3791ef73074c5d8927aaeddbb8d8bf19.ppt	0 y= ax + bx + c 2 2 / a>0 a<0 y y x x 0 0 b 2a b b D 4a b b - 2 2 2 b 0 b 2a -b +4ac 2 4a -4 2*1 0 2 b , 2 4 5 3 8 0 (0;3) (4;3) (1;0) (2;-1) (3;0) , 2 2 2 2 y y x x 0 0 (- 8 ; 8 ) 8 (- ; 8 ) 2 b y b y b ; 8 ) (- 8 ; b 0 0 x x b b y y x x (- 8 b x b ; 8 ) (- 8 ; b x b ; 8 ) y y y x x 0 0 y b x b y b x b y b y b 2 ( 2 ; - 1 ) 8 8 8 8 8 2
https://svitppt.com.ua/algebra/prikladi-vikoristannya-vektoriv.html	Приклади використання векторів	https://svitppt.com.ua/uploads/files/37/af67ed6ddce4f88277e32f58dcc494c5.ppt	files/af67ed6ddce4f88277e32f58dcc494c5.ppt	Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level www.themegallery.com Company Logo Click to edit Master title style LOGO Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Click to edit Master title style www.themegallery.com Company Logo www.themegallery.com Company Logo www.themegallery.com Company Logo www.themegallery.com Company Logo Company Logo www.themegallery.com Company Logo www.themegallery.com Company Logo
https://svitppt.com.ua/algebra/pro-provedennya-pidsumkovih-kontrolnih-robit-z-matematiki.html	Про проведення підсумкових контрольних робіт з математики	https://svitppt.com.ua/uploads/files/13/d4769f2e6b0797329a445fb20b81a9ad.ppt	files/d4769f2e6b0797329a445fb20b81a9ad.ppt	1 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
https://svitppt.com.ua/algebra/analitika0.html	Аналітика	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/583cb568c59f4af028a4387b5a19ccdd.pptx	files/583cb568c59f4af028a4387b5a19ccdd.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 5.2. Пригадайте Як розкласти квадратний тричлен на лінійні множники? В якому випадку це можна зробити? За якої умови добуток двох множників: а) додатне число; б) від'ємне число? Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичні способи. Пункт 5.2. Якщо квадратний тричлен ах2 + bх + с має два корені х1 і x2 то його можна розкласти на множники: ах2 + bх + с=а(х—х 1)(х—х2). У такому випадку розв'язування квадратної нерівності зводиться до розв'язання двох систем лінійних нерівностей. Спосіб розкладання лівої частини нерівності на множники Пункт 5.2. Розв'язання Розв'язків немає Відповідь. Спосіб розкладання лівої частини нерівності на множники Приклад 1. Розв'язати нерівність: 2х2 - х - 1 < 0. Пункт 5.2. Розв'язання Відповідь. Спосіб розкладання лівої частини нерівності на множники Приклад 2. Розв'язати нерівність: Пункт 5.2. Розв'язання Відповідь. Розв'язків немає Спосіб розкладання лівої частини нерівності на множники Приклад 3. Розв'язати нерівність: Дана нерівність немає розв’язку, бо при будь-якому дійсному значенні х. Пункт 5.2. Якщо дискримінант квадратного тричлена, що стоїть у лівій частині нерівності є від'ємним числом, то вираз на множники розкласти не можна. У цьому випадку для розв'язання нерівності аналітичним способом вдаються до відомого перетворення – виділення квадрата двочлена з квадратного тричлена. Спосіб виділення з лівої частини нерівності квадрата двочлена Пункт 5.2. Розв'язання Виділимо з тричлена квадрат двочлена. Маємо: Очевидно, що вираз при будь-якому дійсному значенні х набуває додатного значення, тобто при всіх дійсних значеннях х. Тому нерівність не має розв'язків. Спосіб виділення з лівої частини нерівності квадрата двочлена Приклад 4. Розв'язати нерівність: Пункт 5.2. Розв'язання Спосіб виділення з лівої частини нерівності квадрата двочлена Приклад 5. Розв'язати нерівність: Відповідь. Х  (- ∞; ∞) Запитання для самоперевірки Які два випадки слід розрізняти, розв'язуючи квадратну нерівність аналітичним способом? Як розв'язують квадратну нерівність, якщо їх ліву частину можна розкласти на множники? Як розв'язують квадратну нерівність, якщо їх ліву частину не можна розкласти на множники? Первинне закріплення вивченого матеріалу Встановіть відповідність між даними нерівностями та їх розв'язками 1. 2. 4. 3. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. А В Д Г Е Б Є Ж З И І Ї Й К Л
https://svitppt.com.ua/algebra/mnozhennya-odnochlena-na-mnogochlen.html	Множення одночлена на многочлен	https://svitppt.com.ua/uploads/files/6/45144eecfacdf99241d65af5012f5187.pptx	files/45144eecfacdf99241d65af5012f5187.pptx	Множення одночлена на многочлен “Вважай нещасливим той день і ту годину, в якій ти не засвоїв нічого нового і нічого нового не додав до своїх знань” Я.А. Коменський Перевірка домашнього завдання №442 А) 2,7 Г) -5 №449 А) Б) В) Г) Знайди помилку №452(а) 3(2х-5)+7(3Х-4)=3Х+77 6Х-15+21Х-28=3Х+77 6Х+21Х+3Х=77-15+28 30Х=90 Х=3 Многочлен Що називається многочленом? Це сума одночленів Одночлен Що називається одночленом? Добуток числових та буквених множників Цікаво знати Як можна інакше назвати многочлен? Многочлен -Поліном Як можна назвати одночлен? Одночлен – МОНОМ Як можна назвати двочлен? Двочлен -Біном Як інакше можна назвати тричлен? Тричлен – Трином Як називається многочлен такого виду? Многочлен з однією змінною Відповіді на тестові завдання 1. Б 7. А 2. Б 8. В 3. А 9. Б 4. В 10. Г 5. Г 11. В 6. Б 12. А Діофант Древня Греція. Вчений– математик. III ст. до н.е. В книзі «Арифметика» - початки буквеної символіки та спеціальні позначення степеня. Зустрічаються твердження про тотожні перетворення многочленів, застосування формул та правил. Як звати математика? Вніс вагомий вклад в алгебру та теорію чисел. Створив понад 800 підручників та посібників, які зайняли 27 томів. Був консультантом та експертом з різних питань науки та техніки Серед науковців більш відомий як фізик, який побудував теорію руху Місяця з врахуванням сили тяжіння не тільки Землі, а ще і Сонця. Останні 17 років був сліпий, але продовжував працювати. Помер в Росії Його напрацювання Заповни клітинки добутками, використовуючи дану схему Відповідь до завдання Перевір правильність розв’язку (7α5b2c)(-3αb4c)= 21α6b6c2 23α + 19b–12α +11b–9=11α +30b–9 (7m2–4mn–n2)–(2m2–mn+n2)=5m–3mn 5x2y(4xy + 3y2) = 20x3y2 + 15x2y3 (12n3k3 – 15n2k4 ) (3nk) = 4n2k2–5nk3 (2m – b)(4m2+2mb+b2)=8m3–4m2b+2mb2 №463 Одне з двох чисел у 6 разів більше за друге. Якщо менше з них збільшити на 5, то їх добуток збільшиться на 75. Знайди ці числа. РОЗВ’ЯЖИ ЗАДАЧУ Розв’язок задачі Нехай друге число – х. Тоді перше -6х. Менше з них збільшили на 5 – (х+5). Був добуток х 6х, став – 6х (х+5). Новий добуток збільшився на 75. 6х (х+5)- =75 +30х - =75 30х=75 Х=2,5 – друге число 6 2,5=15 – перше число МАТЕМАТИЧНИЙ СЛОВНИЧОК Одночлен Многочлен(поліном, біном, моном, трином) Стандартний вигляд многочлена Степінь одночлена Зведення подібних доданків Правила додавання, віднімання многочленів та множення одночлена на многочлен Діофант Підсумки уроку Мені все сподобалось. Було цікаво Нормально. Але є запитання Мені не сподобалось. Було сумно і нецікаво Домашнє завдання Повторити параграфи 11 ТА 12 Розв’язати № №455(в,г), 464, 468 (Г-Д). Дякую за урок
https://svitppt.com.ua/algebra/oznachennya-i-vlastivosti-geometrichnoi-progresii1.html	Означення і властивості геометричної прогресії	https://svitppt.com.ua/uploads/files/32/c77be1565e01adc7512e84b4723da5b7.pptx	files/c77be1565e01adc7512e84b4723da5b7.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 6 Арифметична та геометрична прогресії Числові послідовності. Властивості числових послідовностей Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії Сума перших n членів арифметичної прогресії Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Сума перших n членів геометричної прогресії Нескінченна геометрична прогресія (\|q\| < 0) та її сума Розв’язування вправ Пункт 11.1. Пригадайте 1. Яку числову послідовність називають арифметичною прогресією? 2. Чи можуть члени арифметичної прогресії дорівнювати нулю? 3. Чи може різниця арифметичної прогресії дорівнювати нулю? Означення і властивості геометричної прогресії Розглянемо числові послідовності: 1) 1; 2; 4; 8; 16; ...; Особливість цих послідовностей полягає в тому, що кожний наступний член є результатом множення попереднього члена на одне й те саме для даної послідовності число. Зокрема, кожен член першої послідовності множили на 2; другої — на ; третьої — на . Поняття геометричної прогресії Числова послідовність b1, b2, b3, ..., bn, … є геометричною прогресією, якщо для всіх натуральних n виконується умова bn+1 = bn q, де q  0, bn 0. З цієї рівності випливає, що Відношення будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, до попереднього члена дорівнює одному і тому самому числу q, яке називається знаменником геометричної прогресії. Щоб задати геометричну прогресію, досить мати її перший член і знаменник. Наприклад. 1). b1= 4 і q = 3. Прогресія має вигляд 4; 12; 36; 108; ... . 2). b1= - 12 і q= - 1/3. Маємо таку прогресію: Числова послідовність, у якій перший член відмінний від нуля, а кожний наступний член дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число, називається геометричною прогресією. Геометрична прогресія. Встановимо формулу загального члена геометричної прогресії b1, b2, b3, ..., bn, … Згідно з означенням геометричної прогресії, b2 = b1 q b3 = b2 q b4 = b3 q ………………. bn-1 = bn-2 q bn = bn-1 q Помноживши почленно ці рівності, маємо: b2 b3 ... bn-1 bn= b1 b2  b3  … bn-2  bn-1 qn-1 Поділимо обидві частини одержаної рівності на підкреслений добуток. Отримаємо шукану формулу: bn = b1 qn-1 Формула n-го члена геометричної прогресії bn = b1 qn-1 Приклад 1. Знайти шостий член геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 8, а знаменник становить 1/2. Розв'язання. b6 = b1q5; Приклад 2. Другий член геометричної прогресії дорівнює 1/27, a п'ятий член дорівнює 1. Знайти перший член і знаменник прогресії. Розв'язання. b2 = b1q, b5 = b1q4 b1 знаходимо з рівності b2 = b2 q Формула n-го члена геометричної прогресії Приклад 3. Знайти четвертий член геометричної прогресії (bn), якщо п'ятий її член дорівнює -6, а сьомий член дорівнює -54. Розв'язання. Виразимо сьомий член прогресії через її п'ятий член і знаменник. Маємо: b7 = b5 q2. Звідси 3 рівняння q2 = 9 маємо два значення q: q1 = З, q2 = - З. Щоб знайти четвертий член прогресії, досить п'ятий член поділити на q. Якщо q = З, то b4 = (-6)/3=-2 якщо q = -3, то b4 = (-6)/(-3)=2 Отже, отримали два розв'язки: bn = -2, bn - 2. Геометрична прогресія. Формула n-го члена геометричної прогресії Геометрична прогресія має наступні властивості. 1. Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів. Тобто квадрат кожного члена геометричної прогресії, крім першого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Якщо bm-1, bm, bm+1 - три послідовні члени геометричної прогресії, то Властивості геометричної прогресії Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів. 2. Властивості геометричної прогресії Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім пропорційним, (геометричним) двох сусідніх з ним, членів. 2. Добуток двох членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від крайніх членів, дорівнює добутку крайніх членів. Доведемо цю властивість у загальному вигляді. Доведення. Нехай геометрична прогресія (bn) має n членів. Члени прогресії, що стоять на k-му місці від початку та на k-му місці від її кінця, відповідно дорівнюють: bk=b1  qk-1 bn-k+1=b1  qn-k Утворимо їх добуток: bk  bn-k+1 = b1  qk-1  b1  qn-k = b1  b1  qn-1= = b1  bn, що й треба було довести. Яку числову послідовність називають геометричноюпрогресією? Що називають знаменником геометричної прогресії? Чи може хоча б один член геометричної прогресії дорівнювати нулю? Як обчислити будь-який член геометричної прогресії, знаючи її перший член і знаменник? Запитання для самоперевірки
https://svitppt.com.ua/algebra/grafika1.html	Графіка	https://svitppt.com.ua/uploads/files/25/801d85561023abff5d09b3a608ce3365.pptx	files/801d85561023abff5d09b3a608ce3365.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 4 Квадратні нерівності та системи рівнянь другого степеня Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Аналітичний спосіб Метод інтервалів Степінь рівняння з двома змінними. Розв’язування систем рівнянь з двома змінними Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними Пункт 5.1. Пригадайте: Що таке квадратний тричлен? На проміжку (а; b) значення функції є додатними. Як розміщені точки графіка цієї функції на даному проміжку відносно осі Ох? Як за графіком функції встановити числові проміжки, де вона набуває від'ємних значень? Де розміщені точки графіка функції, в яких її значення дорівнюють нулю? Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Розв'язування таких нерівностей можна звести до з'ясування того, при яких значеннях змінної х відповідна квадратична функція набуває додатного (невід'ємного) або від'ємного (недодатного) значення. Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Нерівність, ліва частина якої є квадратний тричлен, а права — нуль, називають нерівністю другого степеня з однією змінною, або квадратною нерівністю. Наприклад: 2х2 - 5х - 6 > 0, Зх2 - 8 < 0, х2 + 7х≥ 0, 7 – 2х – 5х2 > 0. Пункт 5.1. Щоб розв'язати нерівність другого степеня, досить знати спрямування гілок відповідної параболи і наявність у неї спільних точок з віссю Ох, тобто точок, у яких значення даної функції дорівнюють нулю (нулі функції). Наприклад, гілки параболи у = —х2 + 5х - 6 спрямовані вниз. Для знаходження нулів цієї функції розв'яжемо рівняння -х2 + 5х - 6 = 0. Маємо: х1 = 2, х2 = 3. Отже, графік функції у = —х2 + 5х - 6 розміщений відносно осі Ох так, як зображено на рисунку. Додатні значення функції — це значення ординат тих точок її графіка, що лежать над віссю Ох (відповідну частину графіка виділено на рисунку жирною лінією). Абсциси усіх цих точок належать проміжку (2; 3). Отже, розв'язком нерівності —х2 + 5х — 6 > 0 є проміжок (2; 3): х(2; 3). Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Очевидно, що для розв'язання нерівності -х2 + 5х - 6 < 0 слід знайти абсциси тих точок графіка функції у = —х2 + 5х - 6, які розміщені під віссю 0х. З рис. бачимо, що графік розміщений під віссю 0х ліворуч від точки х = 2 — на координатній прямій це відповідає проміжку (-∞; 2) — і праворуч від точки х = З, тобто на числовому проміжку (3; ∞). Отже, розв'язком нерівності - х2 + 5х — 6 < 0 є об'єднання двох числових проміжків (—∞; 2) і (3; ∞): х(—∞; 2) (3; ∞ ). Розв’язування нерівностей другого степеня з однією змінною. Графічний спосіб. Пункт 5.1. Якщо схематичне зображення розміщення графіка функції у = ах2 + bх + с відносно осі 0x має вигляд, як на рис., то очевидно, що при всіх дійсних значеннях х ця функція набуває додатних значень. У такому випадку розв'язком нерівності ах2 + bх + с > 0 буде множина всіх дійсних чисел, тобто числовий проміжок (-∞; ∞), а нерівність ах2 + bх + с < 0 не матиме розв'язків. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Пункт 5.1. Розв'язання. Для спрощення розв'язання замінимо дану нерівність рівносильною нерівністю, помноживши обидві її частини на -1. Маємо: Зх2 + 5х + 2 > 0. Знайдемо корені рівняння Зх2 + 5х + 2 = 0. D = 25-24= 1; Побудуємо схематичне зображення розміщення графіка функції у = Зх2 + 5х + 2 відносно осі Ох. Знайдемо значення х, при яких гілки параболи розміщені над віссю Ох (Зx2 + 5х + 2 > 0). З рисунка видно, що це ті значення, що знаходяться на координатній прямій ліворуч від точки х = —1 (числовий проміжок (-∞; —1)), а також праворуч від точки х=-2/3 (числовий проміжок (-2/3; ∞ ). Відповідь, х є (-∞; -1) U (-2/3;∞) Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 1. Розв'язати нерівність: — Зх2 — 5х — 2 < 0. Пункт 5.1. Розв'язання. Знайдемо корені тричлена 4х2 + 4х + 1, тобто нулі функції у = 4х2 + 4х+ 1. 4х2 + 4х + 1 = 0; (2x+ 1)2 = 0; Побудуємо схематичне зображення графіка цієї функції відносно осі 0х. Бачимо, що над віссю 0x (4x2 + 4х + 1 > 0) розміщені всі точки параболи, крім однієї —з абсцисою . Отже, розв'язком даної нерівності є всі дійсні числа, крім . Відповідь. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 2. Розв'язати нерівність: 4х2 + 4х + 1 > 0. Пункт 5.1. Розв'язання. З рис. бачимо, що дану нерівність задовольняє лише одне значення Тоді 4х2 + 4х + 1 = 0. При всіх інших значеннях х значення тричлена додатні, тобто 4х2 + 4х + 1 > 0. Відповідь. х = Розглянутий спосіб розв'язування квадратних нерівностей називають графічним способом. Приклади розв’язування квадратних нерівностей Графічний спосіб. Приклад 3. Розв'язати нерівність: 4х2 + 4х + 1 ≤ 0. Первинне закріплення вивченого матеріалу Тренувальні вправи Запитання для самоперевірки У чому суть графічного способу розв'язування нерівностей другого степеня з однією змінною? Скільки розв'язків може мати квадратна нерівність? Наведіть відповідні графічні ілюстрації. Тренувальні вправи Тренувальні вправи Тренувальні вправи
https://svitppt.com.ua/algebra/postroenie-i-preobrazovanie-grafikov-trigonometricheskih-funkciy.html	Построение и преобразование графиков тригонометрических функций	https://svitppt.com.ua/uploads/files/8/9d401c03a117f4596a732b2b458c0676.ppt	files/9d401c03a117f4596a732b2b458c0676.ppt	Y 1 -1 y=sin x Y 1 -1 y=cos x Y 1 -1 y = sin x y = sin x + 2 2 Y 1 -1 y = cos x y = cos x - 1 2 Y 1 -1 y = sin x 2 Y 1 -1 y = cos x Y 1 -1 y = sin x y = 2sin x Y 1 -1 y = cos x y = 0.5cos x Y 1 -1 y = sin x y = sin 2x Y 1 -1 y = sin x y = 2sin x y = 2sin x + 1 Y 1 -1 y = cos x y = 0.5cos x y = 0.5cos x + 2
https://svitppt.com.ua/algebra/dovedennya-nerivnostey1.html	Доведення нерівностей	https://svitppt.com.ua/uploads/files/39/58e74251562296627a0081d78af7be3a.pptx	files/58e74251562296627a0081d78af7be3a.pptx	Матеріали до уроків За підручником «Алгебра. 9 клас» Ю.І. Мальованого, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк 9 клас Готуємося до уроку Використано матеріали Бібліотеки електронних наочностей “Алгебра 7-9 клас”. Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів № 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т. Мультимедійні технології на уроках алгебри 2011 рік Зміст Для роботи виберіть потрібну тему, в якій слід вказати тему уроку. Для переходу між слайдами: 1 клік миші, або використати кнопки керування діями назад на початок вперед на кінець на 1 слайд повернутися (додому) Тема 1. Числові нерівності. Властивості числових нерівностей Тема2. Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Тема 3. Функція. Квадратична функція Тема 4. Квадратичні нерівності та системи рівнянь другого степеня Тема 5. Елементи прикладної математики Тема 6. Арифметична та геометрична прогресії Тема 2 Розв’язування лінійних нерівностей і систем нерівностей з однією змінною Лінійна нерівність з однією змінною. Рівносильні нерівності Система (та сукупність) нерівностей з однією змінною Числові проміжки. Переріз і об'єднання проміжків Нерівності, що містять модуль Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв’язування систем ( та сукупностей) лінійних нерівностей з однією змінною. Доведення нерівностей Розв’язування вправ. Самостійна робота Розв'язування вправ Пункт 2.4. Доведення нерівностей на основі означення понять “більше” і ”менше”. Приклади Інші способи доведення. Приклади Доведення нерівностей Пригадайте 1). У чому достатньо пересвідчитись, щоб стверджувати, що а) m>n б) m<n? 2). Які нерівності можна почленно додавати? 3). Які нерівності можна почленно множити? Пункт 2.4. Щоб довести цим способом, що A>B, досить утворити різницю лівої і правої частин нерівності і показати, що вона додатна (A-B>0). Аналогічно, щоб довести, що A<B, досить довести, що A-B<0. Доведення нерівностей на основі означення понять “більше” і ”менше”. Пункт 2.4. Доведення. Покажемо, що різниця a2+b2-2ab – невід'ємне число. a2+b2-2ab=a2 -2ab+b2=(a-b)2≥0, бо квадрат будь-якого дійсного числа є невід'ємним числом. Отже, a2+b2≥2ab. Приклад 1. Довести, що при будь-яких значеннях a і b нерівність a2+b2≥2ab - правильна Пункт 2.4. Доведення. Покажемо, що різниця a(a-2)-6(a-3)>0. Перетворимо вираз a(a-2)-6(a-3)=a2-2a-6a+18= =a2-8a+18. Виділимо з тричлена a2-8a+18 квадрат двочлена. a2-8a+18= a2-2а·4+42-42+18= =(а-4)2-16+18=(а-4)2+2. (а-4)2≥0 при будь-якому а, тому (а-4)2+2≥0. Оскільки a(a-2)-6(a-3)=(а-4)2+2 >0, то a(a-2)>6(a-3). Приклад 2. Довести, що a(a-2)>6(a-3) Пункт 2.4. Розв'язання. Визначимо знак різниці виразів і : Отже, середнє арифметичне двох невід'ємних чисел не менше від їх середнього геометричного. Приклад 3. Порівняти середнє арифметичне двох невід'ємних чисел a≥0 і b≥0 із середнім геометричним цих чисел. - середнє арифметичне чисел a і b - середнє геометричне чисел a і b Пункт 2.4. Інші способи доведення Приклад4. Довести, що, якщо a, b, c – невід'ємні числа. Доведення. На основі встановленої нерівності, можемо стверджувати, що Додамо почленно ці нерівності. Маємо: або Поділимо обидві частини нерівності на 2, отримаємо: Пункт 2.4. Доведення. Помножимо почленно записані нерівності. Маємо: Враховуючи умову, що a, b, c – невід'ємні числа, можемо записати: Отже, (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc Приклад 5. Довести, що (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc, якщо a, b, c – невід'ємні числа Пункт 2.4. Доведення. Перетворимо вираз, що стоїть у лівій частині нерівності, виділивши у ньому квадрати двочленів: m2+2n2+2mn+6n+10= =m2+n2+n2+2mn+6n+10= =(m2+2mb+ n2)+ n2+6n+10= =(m+n)2+(n2 +6n+9)+1= =(m+n)2+(n+3)2+1. Оскільки (m+n)2≥0, (n+3)2≥0, то =(m+n)2+(n+3)2+1>0. Отже, m2+2n2+2mn+6n+10>0 Приклад 6. Довести, що m2+2n2+2mn+6n+10>0 для будь-яких m і n Тренувальні вправи