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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
17428 | ["8904.jpg", "8905.jpg", "8906.jpg"] | B | null | 高二 | 函数 $y=1-\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 的大致图象是( ) | <ImageHere>A.
<ImageHere>C.
<ImageHere>B.
D. | 变换几何 | |
19143 | [] | B | null | 高二 | (2013 山东) 将函数 $y=\sin (2 x+\varphi)$ 的图像沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位后, 得到一个偶函数的图像, 则 $\varphi$
的一个可能取值为 | A. $\frac{3 \pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{4}$
c. 0
D. $-\frac{\pi}{4}$ | 变换几何 | 将函数 $y=\sin (2 x+\varphi)$ 的图像沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 得到函数
$y=\sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)+\varphi\right]=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}+\varphi\right)$, 因为此时函数为偶函数,
所以 $\frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z$ ，即 $\varphi=\frac{\pi}{4}+k \pi, k \in Z$ ，所以选 B. |
18176 | [] | D | null | 高二 | 函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图象的相邻两条对称轴间的距离是 $\frac{\pi}{2}$. 若将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 再把图像上每个点的横坐标缩小为原来的一半, 得到 $g(x)$, 则 $g(x)$ 的解析式为 $(\quad)$ | A. $g(x)=\sin \left(4 x+\frac{\pi}{6}\right)$
B. $g(x)=\sin \left(8 x-\frac{\pi}{3}\right)$
C. $g(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$
D. $g(x)=\sin 4 x$ | 变换几何 | 试题分析： $\because$ 函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图象的相邻两条对称轴间的距离是 $\frac{1}{2} T=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}$,
$\therefore \omega=2$. 若将函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 可得 $\mathrm{y}=\sin \left[2\left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=\sin 2 \mathrm{x}$ 的图象,再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半, 得到 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\sin 4 \mathrm{x}$ 的图象 |
18178 | [] | D | null | 高二 | 函数 $f(x)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$, 则 $(\quad)$ | A. 函数的最小正周期为 $\pi$, 且在 $\left(-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right)$ 上是增函数
B. 函数的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$, 且在 $\left(-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}\right)$ 上是减函数
C. 函数的最小正周期为 $\pi$, 且在 $\left(\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right)$ 上是减函数
D. 函数的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$, 且在 $\left(\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right)$ 上是增函数 | 变换几何 | 对于函数 $f(x)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$, 因为 $f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\tan \left[2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=$ $\tan \left(\pi+2 x+\frac{\pi}{3}\right)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=f(x)$, 所以它的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$, 当 $x \in\left(\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right)$ 时,
$2 x+\frac{\pi}{3} \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$, 函数 $f(x)=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 单调递增,
故选 D. |
18191 | [] | B | null | 高二 | 要得到函数 $y=\sin x$ 的图象, 只需将函数 $y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象上所有的点( ) | A. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变), 再向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 再向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度 | 变换几何 | 将函数 $y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象上所有的点横伸长到原来的 2 倍,可得 $y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象,
再向右平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位, 可得 $y=\operatorname{Cos}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$ 的图象,
故选: $B$. |
18193 | [] | D | null | 高二 | 设 $g(x)$ 的图象是由函数 $f(x)=\cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位得到的, 则 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 等于 ( ) | A. 1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. -1 | 变换几何 | 由 $f(x)=\cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位得到的是 $g(x)=\cos \left[2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right]$ 的图象,则 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left[2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)\right]=\cos \pi=-1$.
故选 D. |
17612 | [] | B | null | 高二 | 将函数 $f(x)=\sin x$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变),再向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位, 得到函数 $g(x)$ 的图象, 若函数 $g(x)$ 图象关于 $y$ 轴对称, 则 $\varphi$ 的最小值为 $(\quad)$
$\begin{array}{llll}\text { | A. } \frac{\pi}{6} & \text { B. } \frac{\pi}{4} & \text { C. } \frac{\pi}{3} & \text { D. } \frac{\pi}{2}\end{array}$ | 变换几何 | 根据题意函数 $f(x)=\sin x$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍(纵坐标不变), 得到 $y=\sin 2 x$,
再向右平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位, 得到函数 $g(x)=\sin (2 x-2 \varphi)$,
由于函数 $g(x)$ 图象关于 $y$ 轴对称,
所以 $-2 \varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathrm{Z}$, 即 $\varphi=-\frac{\pi}{4}-\frac{k \pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$,
因为 $\varphi>0$, 故 $\varphi$ 的最小值为 $\frac{\pi}{4}$, 故选 B. |
17635 | ["8936.jpg"] | B | null | 高二 | 函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)$ (其中 $A>0, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ) 的图象如图所示. 为了得到 $g(x)=-A \cos \omega x$ 的图象, 只需把 $y=f(x)$ 的图象上所有的点 ( )
<ImageHere> | A. 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度
B. 向右平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个单位长度
C. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度
D. 向左平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个单位长度 | 变换几何 | 由图知: $A=1, T=4\left(\frac{7 \pi}{12}-\frac{\pi}{3}\right)=\pi$,
所以 $\omega=\frac{2 \pi}{T}=2, f(x)=\cos (2 x+\varphi)$,
当 $x=\frac{7 \pi}{12}$ 时, $f(x)=\cos (2 x+\varphi)$ 有最小值,
所以 $2 \times \frac{7 \pi}{12}+\varphi=\pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$, 所以 $\varphi=-\frac{\pi}{6}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$,
又因为 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$, 所以 $k=0, \varphi=-\frac{\pi}{6}$,
所以 $f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right), g(x)=-\cos 2 x=\cos (2 x-\pi)$,
所以只需要把 $f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{5 \pi}{12}$ 个单位长度得
$\cos \left[2\left(x-\frac{5 \pi}{12}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\cos (2 x-\pi)=-\cos 2 x=g(x)$,
故选 B. |
18318 | ["9084.jpg"] | D | null | 高二 | 如图,<ImageHere> 已知四边形 $A B C D$ 是梯形, $E, F$ 分别是腰的中点, $M, N$ 是线段 $E F$ 上的两个点, 且 $E M=M N=N F$, 下底是上底的 2 倍, 若 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{B C}=\vec{b}$, 则 $\overrightarrow{D N}=(\quad)$ | $-\frac{1}{2} \vec{a}-\frac{1}{2} \vec{b}$
B. $\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$
C. $\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$
D. $\frac{1}{4} \vec{a}-\frac{1}{2} \vec{b}$ | 变换几何 | $\because \overrightarrow{E F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}=\frac{3}{4} \vec{a}, \overrightarrow{C F}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=-\frac{1}{2} \vec{b}$, 则 $\overrightarrow{D N}=\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{C F}+\overrightarrow{F N}=\frac{1}{2} \vec{a}-\frac{1}{2} \vec{b}-\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} \vec{a}=-\frac{1}{2} \vec{b}+\frac{1}{4} \vec{a}$, 故选 D. |
18335 | ["9091.jpg"] | C | null | 高二 | 如图,<ImageHere> 若 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\vec{b}, \overrightarrow{O C}=\vec{c}, B$ 是线段 $A C$ 靠近点 $C$ 的一个四等分点, 则下列等式成立的是 ( ) | A. $\vec{c}=\frac{2}{3} \vec{b}-\frac{1}{6} \vec{a}$
B. $\vec{c}=\frac{4}{3} \vec{b}+\frac{1}{3} \vec{a}$
C. $\vec{c}=\frac{4}{3} \vec{b}-\frac{1}{3} \vec{a}$
D. $\vec{c}=\frac{2}{3} \vec{b}+\frac{1}{6} \vec{a}$ | 变换几何 | $\vec{C}=\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})=\frac{4}{3} \overrightarrow{O B}-\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}=\frac{4}{3} \vec{b}-\frac{1}{3} \vec{a}$. 故选 C. |
18351 | ["9094.jpg"] | C | null | 高二 | 如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{D C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}, E$ 为 $B C$ 的中点, 且 $\overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$, 则 $2 x-y=$ ( )
<ImageHere> | A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. 1
D. 2 | 变换几何 | 由题意, 得 $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2}(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})=\overrightarrow{A B}+$
$\frac{1}{2}\left(-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} A B\right)=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D} . \because \overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}, \quad \therefore x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$
$+\frac{1}{2} \overrightarrow{A D} . \because \overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{A D}$ 不共线, $\therefore$ 由平面向量基本定理, 得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{4} \\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$.
$\therefore 2 x-y=2 \times \frac{3}{4}-\frac{1}{2}=1$, 故选 C. |
17699 | ["8948.jpg"] | B | null | 高二 | 我国东汉末数学家赵夾在《周骾算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证
明, 后人称其为“赵爽弦图”, 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形, 如图所示. 在“赵爽弦图”中, 若 $\overrightarrow{B C}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{B A}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{B E}=3 \overrightarrow{E F}$,则 $\overrightarrow{B F}=(\quad)$
<ImageHere> | A. $\frac{12}{25} a+\frac{9}{25} b$
B. $\frac{16}{25} \boldsymbol{a}+\frac{12}{25} \boldsymbol{b}$
C. $\frac{4}{5} a+\frac{3}{5} b$
D. $\frac{3}{5} a+\frac{4}{5} \boldsymbol{b}$ | 变换几何 | 由题得 $\overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{B C}+\frac{3}{4} \overrightarrow{E A}=\overrightarrow{B C}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{E B}+\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{B C}+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4} \overrightarrow{B F}+\overrightarrow{B A}\right)$,
即 $\overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B C}+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4} \overrightarrow{B F}+\overrightarrow{B A}\right)$, 解得 $\overrightarrow{B F}=\frac{16}{25} \overrightarrow{B C}+\frac{12}{25} \overrightarrow{B A}$,
即 $\overrightarrow{B F}=\frac{16}{25} a+\frac{12}{25} \boldsymbol{b}$, 故选 $\mathrm{B}$. |
17543 | [] | D | null | 高二 | 要得到函数 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只需将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象( ) | A. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位
B. 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位
C. 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位
D. 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位 | 变换几何 | $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right]$, 故要得到函数 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只需将函数 $y=\sin 2 x$的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位。
## 【答案】 $\mathrm{D}$ |
17545 | [] | B | null | 高二 | 为了得到函数 $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象, 可以将函数 $y=\cos 2 x$ 的图象( ) | 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度
B. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
C. 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度
D. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度 | 变换几何 | $y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
$=\cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)\right]=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-2 x\right)$
$=\cos \left(2 x-\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos 2\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$.
故选 B. |
17547 | [] | B | null | 高二 | 要得到 $y=\tan 2 x$ 的图象, 只需把 $y=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象( ) | A. 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位得到
B. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位得到
C. 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位得到
D. 向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位得到 | 变换几何 | 设向左平移 $\varphi$ 个单位得到 $y=\tan 2 x$ 的图象, $y=\tan \left[2(x+\varphi)-\frac{\pi}{6}\right]$
$=\tan \left(2 x+2 \varphi-\frac{\pi}{6}\right), \therefore 2 \varphi-\frac{\pi}{6}=0, \quad \therefore \varphi=\frac{\pi}{12}$,
$\therefore$ 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位得到.
## 【答案】 B |
17404 | [] | C | null | 高二 | 将余弦函数 $y=\cos x$ 的图象向右至少平移 $m$ 个单位，可以得到函数 $y=-\sin x$ 的图象，则 $m=(\quad)$ | A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\frac{3 \pi}{2}$
D. $\frac{3 \pi}{4}$ | 变换几何 | 根据诱导公式得, $y=-\sin x=\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)=\cos \left(x-\frac{3 \pi}{2}\right)$, 故欲得到 $y=-\sin x$ 的图象, 需将
$y=\cos x$ 的图象向右至少平移 $\frac{3 \pi}{2}$ 个单位长度.
## 【答案】C |
18129 | [] | D | null | 高二 | 已知 $A, B, C$ 是 $\triangle A B C$ 的三个内角, 设 $f(B)=4 \sin B \cdot \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{B}{2}\right)+\cos 2 B$. 若 $f(B)-m<2$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围是 | A. $(-\infty, 1)$
B. $(-3,+\infty)$
C. $(-\infty, 3)$
D. $(1,+\infty)$ | 图论 | 解析: $f(B)=4 \sin B \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{B}{2}\right)+\cos 2 B=4 \sin B \frac{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-B\right)}{2}+\cos 2 B=2 \sin B(1+\sin B)+(1$
$\left.-2 \sin ^{2} B\right)=2 \sin B+1$.
$\because f(B)-m<2$ 恒成立，即 $m>2 \sin B-1$ 恒成立.
$\because 0<B<\pi, \quad \therefore 0<\sin B \leqslant 1 . \therefore-1<2 \sin B-1 \leqslant 1$,
$\therefore m>1$.故选 D.
答案: D |
18630 | ["9137.jpg"] | A | null | 高二 | 在坐标平面上有两个区域 $M$ 和 $N$, 其中区域 $M=\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{l}y \geqslant 0 \\ y \leqslant x \\ y \leqslant 2-x\end{array}\right.\right\}$, 区域 $N=$ $\{(x, y) \mid t \leqslant x \leqslant t+1,0 \leqslant t \leqslant 1\}$, 区域 $M$ 和 $N$ 公共部分的面积用函数 $f(t)$ 表示, 则 $f(t)$ 的表达式为( ) | A. $-t^{2}+t+\frac{1}{2}$
B. $-2 t^{2}+2 t$
C. $1-\frac{1}{2} t^{2}$
$\mathrm{D} \cdot \frac{1}{2}(t-2)^{2}$ | 组合几何学 | 解析
<ImageHere>
作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}y \geqslant 0 \\ y \leqslant x \\ y \leqslant 2-x\end{array}\right.$ 所表示的平面区域.
由 $t \leqslant x \leqslant t+1,0 \leqslant t \leqslant 1$, 得
$f(t)=S_{\triangle O E F}-S_{\triangle A O D}-S_{\triangle B F C}$
$=1-\frac{1}{2} t^{2}-\frac{1}{2}(1-t)^{2}$
$=-t^{2}+t+\frac{1}{2}$. |
19879 | ["9262.jpg"] | B | null | 高二 | 在平面直角坐标系中, 不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geq 0, \\ x+y-3 \leq 0, \text { 表示的平面区域的面积是 ( ) } \\ y \geq 0\end{array}\right.$ | A. $\frac{9}{2}$
B. $\frac{9}{4}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{9}{8}$ | 组合几何学 | 作出不等式组对应的平面区域如图,
<ImageHere>
由 $\left\{\begin{array}{l}x-y=0, \\ x+y=3\end{array}\right.$ 得 $x=y=\frac{3}{2}$, 即 $\mathrm{A}\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 则三角形的面积 $S=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3=\frac{9}{4}$. |
19272 | ["9208.jpg"] | C | null | 高二 | （2013 陕西）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 $300 m^{2}$ 的内接矩形花园(阴影部分),
则其边长 $x($ 单位 $m)$ 的取值范围是
<ImageHere> | A. $[15,20]$
B. $[12,25]$
C. $[10,30]$
D. $[20,30]$ | 组合几何学 | 如图 $\triangle A D E \backsim \triangle A B C$, 设矩形的另一边长为 $y$, 则 $\frac{S_{\triangle A D E}}{S_{\triangle A B C}}=\left(\frac{40-y}{40}\right)^{2}$,
所以 $y=40-x$, 又 $x y \geqslant 300$, 所以 $x(40-x) \geqslant 300$, 即 $x^{2}-40 x+300 \leq 0$, 解得 $10 \leqslant x \leqslant 30$. |
18829 | [] | B | null | 高二 | 甲、乙两人同时从寝室到教室, 甲一半路程步行, 一半路程跑步, 乙一半时间步行,一半时间跑步, 如果两人步行速度、跑步速度均相同, 则( ) | A. 甲先到教室
C. 两人同时到教室
B. 乙先到教室
D. 谁先到教室不确定 | 组合几何学 | 解析 [设甲用时间 $T$, 乙用时间 $2 t$, 步行速度为 $a$, 跑步速度为 $b$, 距离为 $s$, 则 $T=$ $\frac{\frac{s}{2}}{a}+\frac{\frac{s}{2}}{b}=\frac{s}{2 a}+\frac{s}{2 b}=s \times \frac{a+b}{2 a b}, \quad t a+t b=s \Rightarrow 2 t=\frac{2 s}{a+b}$,
$\therefore T-2 t=\frac{s(a+b)}{2 a b}-\frac{2 s}{a+b}=s \times \frac{(a+b)^{2}-4 a b}{2 a b(a+b)}=\frac{s(a-b)^{2}}{2 a b(a+b)}>0$,
故选 B.] |
18373 | ["9097.jpg"] | B | null | 高二 | 正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, E$ 为 $C D$ 中点, 则向量 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}=(\quad)$. | A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 0
D. 1 | 组合几何学 | 如图:
<ImageHere>则 $A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1), \because E$ 为 $C D$ 中点, $\therefore E\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
则 $\overrightarrow{A E}=\left(\frac{1}{2}, 1\right), \overrightarrow{B D}=(-1,1), \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B D}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$
故选: B |
18751 | [] | C | null | 高二 | $\triangle A B C$ 的两边长分别为 2,3 , 其夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$, 则其外接圆的半径为 ( ) | A. $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{9 \sqrt{2}}{8}$
D. $9 \sqrt{2}$ | 立体几何学 | 解析 设另一条边为 $x$,
则 $x^{2}=2^{2}+3^{2}-2 \times 2 \times 3 \times \frac{1}{3}$,
$\therefore x^{2}=9, \quad \therefore x=3$. 设 $\cos \theta=\frac{1}{3}$, 则 $\sin \theta=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
$\therefore 2 R=\frac{3}{\sin \theta}=\frac{3}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=\frac{9 \sqrt{2}}{4}, R=\frac{9 \sqrt{2}}{8}$. |
18755 | [] | B | null | 高二 | 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=7, A C=6, M$ 是 $B C$ 的中点, $A M=4$, 则 $B C$ 等于 ( ) | A. $\sqrt{21}$
B. $\sqrt{106}$
C. $\sqrt{69}$
D. $\sqrt{154}$ | 立体几何学 | 解析 设 $B C=a$, 则 $B M=M C=\frac{a}{2}$.
在 $\triangle A B M$ 中, $A B^{2}=B M^{2}+A M^{2}-2 B M \cdot A M \cdot \cos \angle A M B$,
即 $7^{2}=\frac{1}{4} a^{2}+4^{2}-2 \times \frac{a}{2} \times 4 \cdot \cos \angle A M B$
在 $\triangle A C M$ 中, $A C^{2}=A M^{2}+C M^{2}-2 A M \cdot C M \cdot \cos \angle A M C$
即 $6^{2}=4^{2}+\frac{1}{4} a^{2}+2 \times 4 \times \frac{a}{2} \cdot \cos \angle A M B$
(1) +(2)得: $7^{2}+6^{2}=4^{2}+4^{2}+\frac{1}{2} a^{2}, \therefore a=\sqrt{106}$. |
19061 | [] | B | null | 高二 | 已知 $\triangle A B C$ 中, $a 、 b 、 c$ 分别是角 $A 、 B 、 C$ 所对的边, 已知 $b c=b^{2}-2 c^{2}$, 若 $a=\sqrt{3}$, $\cos A=\frac{3}{4}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积等于（） | A. $\frac{15}{4}$
B. $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$
C. $\frac{9}{4}$
D. $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ | 立体几何学 | 由条件 $b c=b^{2}-2 c^{2}$, 得 $b^{2}-b c-2 c^{2}=0$, 即 $(b+c)(b-2 c)=0$, 从而可知 $b=2 c$, 根据余弦定理推论得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{4 c^{2}+c^{2}-6}{4 c^{2}}=\frac{3}{4}$, 解得 $c=\sqrt{3}$, 所以 $b=2 \sqrt{3}$, 因此 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}=\frac{3 \sqrt{7}}{4}$. 故选 B. |
18781 | [] | B | null | 高二 | $\triangle A B C$ 的三内角 $A 、 B 、 C$ 所对边的长分别是 $a 、 b 、 c$, 设向量 $\boldsymbol{p}=(a+c, b), \boldsymbol{q}=$ $(b-a, c-a)$, 若 $\boldsymbol{p} / / \boldsymbol{q}$, 则角 $C$ 的大小为 $(\quad)$ | A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{2 \pi}{3}$ | 立体几何学 | $[\because \boldsymbol{p} / / \boldsymbol{q}, \therefore(a+c)(c-a)-b(b-a)=0$.
$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}-a b, \because c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$,
$\therefore \cos C=\frac{1}{2}$, 又 $\because 0<C<\pi, \quad \therefore C=\frac{\pi}{3}$.
$\therefore|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \sin A$
$=\frac{1}{2} \times 4 \times 1 \times \sin A=\sqrt{3}$.
$\therefore \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 又 $\because 0^{\circ}<A<180^{\circ}$,
$\therefore A=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$. |
18790 | [] | B | null | 高二 | 下列判断中正确的是 $(\quad)$ | A. $\triangle A B C$ 中, $a=7, b=14, A=30^{\circ}$, 有两解
B. $\triangle A B C$ 中, $a=30, b=25, A=150^{\circ}$, 有一解
C. $\triangle A B C$ 中, $a=6, b=9, A=45^{\circ}$, 有两解
D. $\triangle A B C$ 中, $b=9, c=10, B=60^{\circ}$, 无解 | 立体几何学 | [A: $a=b \sin A$, 有一解;
B: $A>90^{\circ}, a>b$, 有一解;
C: $a<b \sin A$, 无解;
D: $c>b>c \sin B$, 有两解. ] |
19107 | [] | A | null | 高二 | (2018 四川成都七中 3 月模拟) 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $B$ 为 $\frac{3 \pi}{4}, B C$ 边上的高恰为 $B C$ 边长的一半,则 $\cos A=$ | A. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$ | 立体几何学 | 作 $A H \perp B C$, 垂足点 $H$ 在 $C B$ 的延长线上, $\triangle A H B$ 为等腰直角三角形, 设 $B C=2 a$, 则 $A B=\sqrt{2} a, A H=a, C H=3 a$, 由勾股定理得 $A C=\sqrt{10} a$, 由余弦定理得 $\cos A=\frac{2 a^{2}+10 a^{2}-4 a^{2}}{2 \times \sqrt{2} a \times \sqrt{10} a}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 故选 A. |
19111 | [] | D | null | 高二 | 【2018 届重庆市高三上学期期中】已知 $I$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, $\cos A=\frac{7}{8}$, 若 $\overrightarrow{A I}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$,则 $x+y$ 的最大值为 | A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
c. $\frac{5}{6}$
D. $\frac{4}{5}$ | 立体几何学 | 点 $O$ 是平面 $A B C$ 上任意一点, 点 1 是 $\triangle A B C$ 内心的充要条件是:
$\overrightarrow{O I}=\frac{a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}}{a+b+c}$ 其中 $\mathrm{BC}=\mathrm{a} 、 \mathrm{AC}=\mathrm{b} 、 \mathrm{AB}=\mathrm{c}$, 将 $\mathrm{O}$ 点取作 $\mathrm{A}$ 点带入得到
$\overrightarrow{A I}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}$, 故 $x+y=\frac{b+c}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{x+y}=1+\frac{a}{b+c}$
由余弦定理得到 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{7}{8} \Rightarrow b^{2}+c^{2}-\frac{7}{4} b c=a^{2}$ ，
$\frac{a}{b+c}=\sqrt{\frac{b^{2}+c^{2}-\frac{7}{4} b c}{b^{2}+c^{2}+2 b c}}=\sqrt{1-\frac{\frac{15}{4}}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+2}}$ 又因为 $\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2$, 最终求得 $\frac{1}{x+y}=1+\frac{a}{b+c} \geq \frac{5}{4}$,故 $x+y \leq \frac{4}{5}$. 故答案选 D. |
20159 | [] | C | null | 高二 | 把一个周长为 $12 \mathrm{~cm}$ 的长方形围成一个圆柱, 当圆柱的体积最大时, 该圆柱底面周长与高的比为 ( ) | A. 12
B. $1 \pi$
C. 21
D. $2 \pi$ | 立体几何学 | 解析 :设圆柱高为 $x$, 底面半径为 $r$, 则 $r=\frac{6-x}{2 \pi}$, 圆柱体积 $V=$ $\pi\left(\frac{6-x}{2 \pi}\right)^{2} \cdot x=\frac{1}{4 \pi}\left(x^{3}-12 x^{2}+36 x\right)(0<x<6), V^{\prime}=\frac{3}{4 \pi}(x-2)(x-6)$, 当 $x=2$时, $V$ 最大.
此时底面周长为 4 , 底面周长 高 $=4 \quad 2=2 \quad 1$.
答案: C |
20164 | [] | C | null | 高二 | 正三棱柱体积是 $V$, 当其表面积最小时, 底面边长为 ( ) | A. $\sqrt[3]{V}$
B. $\sqrt[3]{2 V}$
C. $\sqrt[3]{4 V}$
D. $2 \sqrt[3]{V}$ | 立体几何学 | 解析 :设底面边长为 $x$, 侧棱长为 $l$,
则 $V=\frac{1}{2} x^{2} \cdot \sin 60^{\circ} \cdot l, \quad \therefore l=\frac{4 V}{\sqrt{3} x^{2}}$,
$\therefore S_{\text {表 }}=2 S_{\text {底 }}+S_{\text {似 }}=x^{2} \cdot \sin 60^{\circ}+3 \cdot x \cdot l$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}+\frac{4 \sqrt{3} V}{x}$,
$S^{\prime}=\sqrt{3} x-\frac{4 \sqrt{3} V}{x^{2}}=0$,
$\therefore x^{3}=4 V$, 即 $x=\sqrt[3]{4 V}$.
又当 $x \in(0, \sqrt[3]{4 V})$ 时, $y^{\prime}<0$;
当 $x \in(\sqrt[3]{4 V}, V)$ 时, $y^{\prime}>0$,
$\therefore$ 当 $x=\sqrt[3]{4 V}$ 时，表面积最小.
答案 :$\mathrm{C}$ |
20166 | [] | B | null | 高二 | 用边长为 $120 \mathrm{~cm}$ 的正方形铁皮做一个无盖水箱, 先在四周分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转 $90^{\circ}$ 角, 再焊接成水箱, 则水箱的最大容积为( ) | A. $120000 \mathrm{~cm}^{3}$
B. $128000 \mathrm{~cm}^{3}$
C. $150000 \mathrm{~cm}^{3}$
D. $158000 \mathrm{~cm}^{3}$ | 立体几何学 | 解析 :设水箱的高为 $x \mathrm{~cm}(0<x<60)$, 则水箱底面边长为 $(120-$ $2 x) \mathrm{cm}$, 水箱的容积 $V=(120-2 x)^{2} \cdot x=\left(120^{2}-480 x+4 x^{2}\right) \cdot x$,
$\therefore V^{\prime}=12 x^{2}-960 x+120 \times 120$, 解 $V^{\prime}=0$, 得 $x=20$ 或 $x=60$ (舍去).
当 $0<x<20$ 时, $V^{\prime}>0$; 当 $20<x<60$ 时, $V^{\prime}<0$;
$\therefore$ 当 $x=20$ 时, $V$ 有最大值, 且最大值为 $128000 \mathrm{~cm}^{3}$.
答案 :$B$ |
19925 | [] | C | null | 高二 | 已知下列三个命题:
(1)若一个球的半径缩小到原来的 $\frac{1}{2}$, 则其体积缩小到原来的 $\frac{1}{8}$;
(2)若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
(3)直线 $\mathrm{x}+\mathrm{y}+1=0$ 与圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\frac{1}{2}$ 相切.
其中真命题的序号是 ( ) | A.(1)(2)(3)
B.(1)(2)
C.(1)(3)
D.(2)(3) | 立体几何学 | 解析: 解答: 命题(1), 由球的体积公式可知, 当一个球的半径缩小到原来的 $\frac{1}{2}$, 则其体积缩小到原来的 $\frac{1}{8}$, 故该命题正确; 命题(2), 两组数据的平均数相等, 若离散程度不同, 则它们的标准差就不相等, 故该命题错误; 命题 (3), 直线 $x+y+1=0$ 到圆心 $(0,0)$ 的距离
$\mathrm{d}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 与圆 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=\frac{1}{2}$ 的半径相等, 故直线与圆相切, 该命题正确.故选 C.
分析：本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。 |
19952 | [] | B | null | 高二 | 设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $m$ 是直线且 $m \subset \alpha$. “ $m / / \beta$ ”是 “ $\alpha / / \beta$ ”的 | A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 | 立体几何学 | 解析: 解答: 因为 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $m$ 是直线且 $m \subset \alpha$. 若 “ $m / / \beta$ ”, 则平面 $\alpha 、 \beta$可能相交也可能平行, 不能推出 $\alpha / / \beta$, 反过来若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha$, 则有 $m / / \beta$, 则“ $m / / \beta$ ”是“ $\alpha / / \beta$ ”的必要而不充分条件., 故选B.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$, 方可解决; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19686 | [] | D | null | 高二 | 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $A=\frac{\pi}{3}, b=16$, 此三角形面积 $S=220 \sqrt{3}$, 则 $a$ 的值是 ( ) | A. $20 \sqrt{6}$
B. 75
C. 51
D. 49 | 立体几何学 | 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}, \mathrm{~b}=16$, 此三角形面积 $\mathrm{S}=220 \sqrt{3}$,
$\therefore \frac{1}{2} b c \sin A=220 \sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=55$, 由余弦定理得, $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$
$=16^{2}+55^{2}-2 \times 16 \times 55 \times \frac{1}{2}=2401$, 则 $\mathrm{a}=49$, 故选 D. |
19691 | [] | A | null | 高二 | $\triangle A B C$ 三边上的高依次为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$, 则 $\triangle A B C$ 为 ( ) | A. 针角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 不存在这样的三角形 | 立体几何学 | 设 $\triangle A B C$ 三边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, 则根据三角形面积公式得:
$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} b \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2} c \cdot \frac{1}{4}$, 所以 $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$,
设 $a=2 k, b=3 k, c=4 k(k>0)$. 因为 $2 k+3 k>4 k$, 故能构成三角形,
取大角 C, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{(2 k)^{2}+(3 k)^{2}-(4 k)^{2}}{2 \times 2 k \cdot 3 k}=-\frac{1}{4}<0$ ，
所以 $\mathrm{C}$ 为钝角, 所以 $\triangle A B C$ 为针角三角形. 故选 $\mathrm{A}$. |
18503 | [] | A | null | 高二 | 平行四边形中, $A C=\sqrt{65}, B D=\sqrt{17}$, 周长为 18 , 则平行四边形面积是 ( ) | A. 16
B. 17.5
C. 18
D. 18.53 | 立体几何学 | 解析 设两邻边 $A D=b, A B=a, \angle B A D=\alpha$,
则 $a+b=9, a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha=17$,
$a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=65$
解得: $a=5, b=4, \cos \alpha=\frac{3}{5}$ 或 $a=4, b=5, \cos \alpha=\frac{3}{5}$,
$\therefore S_{\triangle A B C D}=a b \sin \alpha=16$ |
19980 | [] | D | null | 高二 | 设 $\alpha, \beta$ 为两个不同的平面, $m, n$ 为两条不同的直线, $m \subset \alpha, n \subset \beta$, 有两个命题: $p$ : 若 $m / / n$ ，则 $\alpha / / \beta ; q$ : 若 $m \perp \beta ，$ 则 $\alpha \perp \beta$, 那么( ) | A.“ $p$ 或 $q$ ”是假命题
B. $p$ 且 $q$ ”是真命题
C.“非 $p$ 或 $q$ ”是假命题
D.“非 $p$ 且 $q$ ”是真命题 | 立体几何学 | 解析：解答：显然命题 $p$ 是假命题, 则非 $p$ 为真命题.由面面垂直的判定定理知命题 $q$ 为真命题 , 所以非 $p$ 且 $q$ 是真命题., 故选D.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀（或命题：有真则真; 且命题：有假则假；非命题：真假相反。 |
20089 | ["9295.jpg", "9296.jpg"] | A | null | 高二 | 水以匀速注入如图容器中, 试找出与容器对应的水的高度 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系图象 ( )
<ImageHere> | A.<ImageHere>B.C.D. | 立体几何学 | 解答: 由于容器上细下粗, 所以水以横速注入水, 开始阶段高度增加的慢, 以后高度增加的越来越快, 因此 $h$ 与 $t$ 图象越来越陡峭, $ rac{\Delta h}{\Delta t}$ 原来越大, 选 $A$分析: 本题主要考查了变化的快慢与变化率, 解决问题的关键是根据 $ rac{\Delta h}{\Delta t}$ 进行具体分析即可. |
17671 | [] | A | null | 高二 | 已知 $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}, \cos (\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}$, 则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的值为 ( ) | A. 0
B. $\frac{4}{5}$
C. 0 或 $\frac{4}{5}$
D. 0 或 $\pm \frac{4}{5}$ | 立体几何学 | $\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\frac{4}{5}$ ，
$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{4}{5}$,
两式相加可得 $2 \cos \alpha \cos \beta=0$, 即 $\cos \alpha \cos \beta=0$, 故选 $\mathrm{A}$. |
17673 | [] | C | null | 高二 | 已知 $\cos \alpha+\sin ^{2} \beta=\frac{3}{2}, \sin \alpha+\sin \beta \cos \beta=\frac{1}{3}$, 则 $\cos (\alpha+2 \beta)=(\quad)$ | A. $\frac{4}{9} $B. $ \frac{5}{9}$ C. $\frac{5}{36}$D. $-\frac{5}{18}$ | 立体几何学 | 由 $\cos \alpha+\sin ^{2} \beta=\frac{3}{2}$, 知 $2 \cos \alpha-\cos 2 \beta=2$ (1),
在 $\sin \alpha+\sin \beta \cos \beta=\frac{1}{3}$ 两边同时乘以 2 得 $2 \sin \alpha+\sin 2 \beta=\frac{2}{3}$ (2),
将(1)(2)两个等式平方相加得 $4+1-4 \cos (2 \beta+\alpha)=4+\frac{4}{9}$, 解得 $\cos (\alpha+2 \beta)=\frac{5}{36}$,
故选 C. |
18239 | [] | C | null | 高二 | 已知 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}<\beta<\pi, \cos \alpha=\frac{3}{5}, \sin (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}$, 则 $\cos \beta$ 的值为() | A. -1
B. -1 或 $-\frac{7}{25}$
C. $-\frac{24}{25}$
D. $\pm \frac{24}{25}$ | 立体几何学 | $\because 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<\beta<\pi, \therefore \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\frac{3}{2} \pi$,
$\therefore \sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}, \quad \therefore \cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]$ $=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha=\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right) \times \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$, 故选 C. |
20210 | [] | B | null | 高二 | 以下三个命题: (1)分别在两个平面内的直线一定是异面直线; (2)过平面 $\alpha$ 的一条斜线有且只有一个平面与 $\alpha$ 垂直; (3)平行于同一条直线的两个平面平行. 其中真命题的个数是 ( ) | A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 | 立体几何学 | 解析 :(1)错, 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线, (2)正确, (3)错.
答案 :$B$ |
18324 | [] | D | null | 高二 | 已知 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面内一点, 向量 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_{1}} 、 \overrightarrow{\mathrm{OP}_{2}} 、 \overrightarrow{\mathrm{OP}_{3}}$ 满足条件 $\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}_{3}}=\overrightarrow{0}$, 且 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{3}}\right|=1$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是 ( ) | A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形 | 立体几何学 | 由 $\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{O P_{2}}+\overrightarrow{O P_{3}}=\overrightarrow{0}$ 得 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的重心; 由 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{3}}\right|=1$ 得 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的
外心，故重心与外心重合, 所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形, 选 D. |
18336 | [] | B | null | 高二 | 已知 $A=\{$ 与 $\vec{a}$ 共线的向量 $\}, B=\{$ 与 $\vec{a}$ 长度相等的向量 $\}, C=\{$ 与 $\vec{a}$ 长度相等且方向相反的向量 $\}$,其中 $\vec{a}$ 为非零向量, 则下列命题中错误的是（ ） | A. $C \subseteq A$
B. $A \cap B=\{\vec{a}\}$
C. $C \subseteq B$
D. $A \cap B \neq\{\vec{a}\}$ | 立体几何学 | $\because A \cap B$ 表示与向量 $\vec{a}$ 长度相等且共线（方向相同或相反）的向量, 结合选项知 B 错误. |
18343 | [] | A | null | 高二 | 已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, $D$ 为 $B C$ 边中点, 且 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$, 那么 () | A. $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$
B. $\overrightarrow{A O}=2 \overrightarrow{O D}$
C. $\overrightarrow{A O}=3 \overrightarrow{O D}$
D. $2 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$ | 立体几何学 | $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, $D$ 为 $B C$ 边中点,
$\therefore \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O D}$, 且 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$,
$\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$, 即 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$, 故选 A. |
18369 | [] | B | null | 高二 | 已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 且 $\vec{a}^{2}<\vec{b}^{2}<\vec{c}^{2}$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b} 、 \vec{b} \cdot \vec{c} 、 \vec{a} \cdot \vec{c}$ 中最小的值是 ( ) | A. $\vec{a} \cdot \vec{b}$
B. $\vec{b} \cdot \vec{c}$
C. $\vec{a} \cdot \vec{c}$
D. 不能确定 | 立体几何学 | 因为 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 所以 $\vec{b}=-(\vec{a}+\vec{c})$,
所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot(\vec{a}-\vec{c})=-(\vec{a}+\vec{c})(\vec{a}-\vec{c})=-\left(\vec{a}^{2}-\vec{c}^{2}\right)>0$, 所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}>\vec{b} \cdot \vec{c}$ ，同理可得, $\vec{a} \cdot \vec{c}>\vec{b} \cdot \vec{c}$, 故 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 最小.故选 $B$. |
17676 | [] | D | null | 高二 | 下列命题正确的是 ( ) | A. 若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线, $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线
B. 三个向量共面, 即它们所在的直线共面
C. 若 $\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}$, 则存在唯一的实数 $\lambda$, 使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$
D. 零向量是模为 0 , 方向任意的向量 | 立体几何学 | $\mathrm{A}$ 选项，若 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$, 则根据零向量方向的任意性，可以 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线， $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线; 但 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 不一定共线, 故 A 错;
$\mathrm{B}$ 选项, 因为向量是可以自由移动的量, 因此三个向量共面, 其所在的直线不一定共面; 故 B 错;
$\mathrm{C}$ 选项, 根据共线向量定理, 若 $\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}$, 其中 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$, 则存在唯一的实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$; 故 $\mathrm{C}$ 错;
$\mathrm{D}$ 选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为 0 , 方向任意的向量, 即 D 正确,
故选 D. |
17567 | [] | A | null | 高二 | 已知 $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}, \cos (\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}$, 则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的值为( A ) | A. 0
B. $\frac{4}{5}$
C. 0 或 $\frac{4}{5}$
D. 0 或 $\pm \frac{4}{5}$ | 立体几何学 | [解析] 由条件得, $\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\frac{4}{5}$,
$\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{4}{5}$,
左右两边分别相加可得 $\cos \alpha \cdot \cos \beta=0$. |
18422 | [] | C | null | 高二 | 设 $a=\sqrt{2}\left(\cos ^{2} 16^{\circ}-\sin ^{2} 16^{\circ}\right), b=\sin 15^{\circ}+\cos 15^{\circ}, c=\sqrt{1+\cos 56^{\circ}}$, 则 $a, b$, $c$ 的大小关系为 ( ) | A. $c<b<a$
B. $b<c<a$
C. $a<b<c$
D. $b<a<c$ | 立体几何学 | $a=\sqrt{2}\left(\cos ^{2} 16^{\circ}-\sin ^{2} 16^{\circ}\right)=\sqrt{2} \cos 32^{\circ}$,
$b=\sin 15^{\circ}+\cos 15^{\circ}=\sqrt{2} \sin 60^{\circ}=\sqrt{2} \cos 30^{\circ}$,
$c=\sqrt{1+\cos 56^{\circ}}=\sqrt{2 \cos ^{2} 28^{\circ}}=\sqrt{2} \cos 28^{\circ}$
又 $\because y=\cos x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减, $\therefore \cos 28^{\circ}>\cos 30^{\circ}>\cos 32^{\circ}$,
$\therefore c>b>a$. 故选: C. |
18887 | [] | D | null | 高二 | 已知函数 $f(n)=\left\{\begin{array}{l}n^{2}, n \text { 为奇数 } \\ -n^{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 且 $a_{n}=f(n)+f(n+1)$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2014}$ 等于 ( ) | A. -2013
B. -2014
C. 2013
D. 2014 | 组合数学 | 当 $n$ 为奇数时, $a_{n}=n^{2}-(n+1)^{2}=-2 n-1$, 当 $n$ 为偶数时 $a_{n}=-n^{2}+(n+1)^{2}$
$=2 n+1$, 所以 $a_{1}=-3, a_{2}=5, a_{3}=-7, a_{4}=9, \cdots$, 故 $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=\cdots$
$=a_{2013}+a_{2014}=2$, 所以 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2014}=2 \times \frac{2014}{2}=2014$, 故选 D. |
19158 | [] | B | null | 高二 | 诗歌是一种抒情言志的文学载体, 用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感, 诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律, 人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋, 是抽象理性的数学问题诗词化, 比如诗歌: “十里长街闹盈盈, 庆祝祖国万象新; 佳节礼花破长空, 长街灯笼胜繁星; 七七数时余两个, 八个一数恰为零; 三数之时剩两盛, 灯笼几盛放光明”, 则此诗歌中长街灯笼最少几盏 ( ) | A. 70
B. 128
C. 140
D. 150 | 组合数学 | : 根据题意和选项发现 $\frac{128}{7}=18 \cdots 2, \frac{128}{8}=16, \frac{128}{3}=42 \cdots 2$ 满足题意, 即选 B 选项. |
19169 | [] | B | null | 高二 | 我国古代数学典籍《九章算术》第七章 “盈不足” 章中有一道 “两鼠穿墙” 问题: 有厚墙 5 尺,两只
老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺, 以后每天加倍; 小老鼠第一天也进一尺,以每
天减半。问两鼠在第几天相遇？（） | A. 第 2 天
B. 第 3 天
C. 第 4 天
D. 第 5 天 | 组合数学 | 第一天: 大老鼠 $1+$ 小老鼠 $1=2$; 第二天: 大老鼠 2+小老鼠 $1，.5=3，.5$ 第三天: 大老鼠 $4+$ 小老鼠 $1，.75=5，.75$ 相遇 |
19174 | ["9204.jpg"] | D | null | 高二 | 【山东省、湖北省部分重点中学 2018 届高三第二次 (12 月) 联考】已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表, 第一行为 1 , 第二行为 3,5 , 第三行为 $7,9,11$, 第四行为 $13,15,17$, 19, 如图所示, 在宝塔形数表中位于第 $i$ 行, 第 $j$ 列的数记为 $a_{i, j}$, 比如 $a_{3,2}=9, a_{4,2}=15, a_{5,4}=23$,若 $a_{i, j}=2017$, 则 $i+j=(\quad)$
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## ...... | A. 64
B. 65
C. 71
D. 72 | 组合数学 | 奇数数列 $a_{n}=2 n-1=2017 \Rightarrow n=1009$, 即 2017 为底 1009 个奇数. 学科\&网按照蛇形排列, 第 1 行到第 $\mathrm{i}$ 行末共有 $1+2+\cdots+i=\frac{i(1+i)}{2}$ 个奇数,则。第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数; 第 1 行到第 45 行末共有 1035 个奇数; 则 2017 位于第 45 行; 而第 45 行是从右到左依次递增,且共有 45 个奇数; 故 2017 位于第 45 行, 从右到左第 19 列, 则 $i=45, j=27 \Rightarrow i+j=72$, 故选 D. |
19175 | [] | A | null | 高二 | 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时, 发现有这样的一列数: $1,1,2,3,5,8, \ldots$,该数列的特点是: 前两个数均为 1 , 从第三个数起, 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的一列数组成的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 称为斐波那契数列. 则 $\sum_{i=1}^{8}\left(a_{i} a_{i+2}\right)-\sum_{i=1}^{8} a_{i+1}^{2}=(\quad)$ | A. 0
B. -1
C. 1
D. 2 | 组合数学 | 由题意, 得 $a_{1} a_{3}-a_{2}^{2}=1 \times 2-1=1, a_{2} a_{4}-a_{3}^{2}=1 \times 3-4=-1, a_{3} a_{5}-a_{4}^{2}=2 \times 5-9=1$ ， $a_{4} a_{6}-a_{5}^{2}=3 \times 8-25=-1, \cdots, a_{8} a_{10}-a_{9}^{2}=21 \times 55-34^{2}=-1$, 所以 $\sum_{i=1}^{8}\left(a_{i} a_{i+2}\right)-\sum_{i=1}^{8} a_{i+1}^{2}=0$; 故选
A |
19234 | [] | A | null | 高二 | （2017 新课标 I ）几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \cdots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是( ) | A. 440
B. 330
C. 220
D. 110 | 组合数学 | 对数列进行分组如图
则该数列前 $k$ 组的项数和为 $1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$
由题意可知 $N>100$, 即 $\frac{k(k+1)}{2}>100$, 解得 $k \geqslant 14, n \in \mathbf{N}^{*}$
即 $N$ 出现在第 13 组之后.
又第 $k$ 组的和为 $\frac{1-2^{k}}{1-2}=2^{k}-1$
前 $k$ 组的和为
$1+(1+2)+\cdots+\left(1+2+\cdots+2^{k}\right)=\left(2^{1}-1\right)+\left(2^{2}-1\right)+\cdots+\left(2^{k}-1\right)$
$=\left(2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{k}\right)-k=2^{k+1}-k-2$,
设满足条件的的 $N$ 在第 $k+1\left(k \in \mathbf{N}^{*}, k \geqslant 13\right)$ 组, 且第 $N$ 项为第 $k+1$ 的第 $m\left(m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 个数,
第 $k+1$ 组的前 $m$ 项和为 $1+2+2^{2}+\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$,
要使该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂,
即 $2^{m}-1$ 与 $-k-2$ 互为相反数,
即 $2^{m}-1=2+k ，$
所以 $k=2^{m}-3$,
由 $k \geqslant 14$, 所以 $2^{m}-3 \geqslant 14$, 则 $m \geqslant 5$, 此时 $k=2^{5}-3=29$
对应满足的最小条件为 $N=\frac{29(29+1)}{2}+5=440$, 故选 A. |
18866 | [] | C | null | 高二 | 已知数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \cdots$, 则 $\frac{5}{6}$ 是数列中的( ) | A. 第 48 项
B. 第 49 项
C. 第 50 项
D. 第 51 项 | 组合数学 | 解析 将数列分为第 1 组一个, 第 2 组二个, , 第 $n$ 组 $n$ 个,
即 $\left(\frac{1}{1}\right),\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{1}\right),\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}\right), \cdots,\left(\frac{1}{n}, \frac{2}{n-1}, \cdots, \frac{n}{1}\right)$,
则第 $n$ 组中每个数分子分母的和为 $n+1$, 则 $\frac{5}{6}$ 为第 10 组中的第 5 个, 其项数为 $(1+2+$ $3+\cdots+9)+5=50$. |
18513 | [] | C | null | 高二 | 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}2 a_{n} & \left(0 \leqslant a_{n}<\frac{1}{2}\right), \\ 2 a_{n}-1 & \left(\frac{1}{2} \leqslant a_{n}<1\right) .\end{array} \quad\right.$ 若 $a_{1}=\frac{6}{7}$, 则 $a_{2010}$ 的值为 $(\quad)$ | A. $\frac{6}{7}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{1}{7}$ | 组合数学 | 解析 计算得 $a_{2}=\frac{5}{7}, a_{3}=\frac{3}{7}, a_{4}=\frac{6}{7}$, 故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为周期的周期数列,
又知 2010 除以 3 能整除, 所以 $a_{2010}=a_{3}=\frac{3}{7}$. |
18551 | [] | B | null | 高二 | 现有 200 根相同的钢管, 把它们堆成正三角形垛, 要使剩余的钢管尽可能少, 那么剩余钢管的根数为 ( ) | A. 9
B. 10
C. 19
D. 29 | 组合数学 | 解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列, 最上面一层钢管数为 1 , 逐层增加 1 个.
$\therefore$ 钢管总数为: $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
当 $n=19$ 时, $S_{19}=190$.
当 $n=20$ 时, $S_{20}=210>200$.
$\therefore n=19$ 时, 剩余钢管根数最少, 为 10 根. |
19480 | [] | C | null | 高二 | 有 2 位同学报名参加 5 个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法有 ( ) | A. 10 种
B. 20 种
C. 25 种
D. 32 种 | 组合数学 | 解析：每位同学都有 5 种选择, 则不同的报名方法有 $5 \times 5=25$ 种.故选 C. |
19927 | [] | B | null | 高二 | 下列命题中是假命题的是 | A. $\exists \alpha, \beta \in \mathrm{R}$, 使 $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$
B. $\forall \varphi \in \mathrm{R}$, 函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 都不是偶函数
C. $\exists m \in R$, 使 $f(x)=(m-1) \cdot x m^{2}-4 m+3$ 是幂函数, 且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减
D. $\forall a>0$, 函数 $f(x)=\ln ^{2} x+\ln x-a$ 有零点 | 逻辑题 | 解析：解答：对于 $\mathrm{A}$, 当 $\alpha=0$ 时, $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$ 成立; 对于 $\mathrm{B}$, 当 $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时, $f(x)$ $=\sin (2 x+\varphi)=\cos 2 x$ 为偶函数; 对于 C, 当 $m=2$ 时, $f(x)=(m-1) \cdot x m^{2}-4 m+3=x^{-1}=\frac{1}{x}$,满足条件; 对于 $\mathrm{D}$, 令 $\ln x=t, \forall a>0$, 对于方程 $t^{2}+t-a=0, \Delta=1-4(-a)>0$, 方程恒有解, 故满足条件. 综上可知, 故选 B.
分析：本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。 |
19928 | [] | D | null | 高二 | 命题 $p$ : “不等式 $\frac{x}{x-1} \geq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 1\}$ ”; 命题 $q$ : “不等式 $x^{2}>4$ 的解集为 $\{x \mid x>2\}$ ”, 则 | A. $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 假
B. $\mathrm{p}$ 假 q 真
C. 命题“ $\mathrm{p}$ 且 $q$ ”为真
D. 命题“ $\mathrm{p}$ 或 $\mathrm{q}$ ”为假 | 逻辑题 | 解析: 解答: 不等式 $\frac{x}{x-1} \geq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 1\}$, 故命题 $p$ 为假;不等式 $x^{2}>4$ 的解集为 $\{x \mid x>2$ 或 $x<-2\}$,故命题 $q$ 为假.于是命题“ $p$ 或 $q$ ”为假, 故选 D.
分析：先判断命题 $P$ 和命题 $q$ 为的真假, 命题 $P$ 为真命题。命题 $q$ 为假命题,
再由真值表对照答案逐一排除即可。 |
19933 | [] | B | null | 高二 | 下列语句中, 命题的个数为 ( )
(1)空集是任何非空集合的真子集；(2)三角函数是周期函数吗？
(3)若 $x \in \mathrm{R}$ ，则 $x^{2}+4 x+7>0$; (4)指数函数的图象真漂亮! | A. 1
B. 2
C. 3
D. 0 | 逻辑题 | 解析：解答：由命题的定义可知, (1)(3)语句是命题, 而(2)(4)不是命题,故选 B.
分析：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说, 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.在数学或其他领域, 有一类陈述句,如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇质数的和”, 目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假, 因此通常把它也算作命题. |
19940 | [] | D | null | 高二 | 下列说法正确的是 | A. 命题“若 $x^{2}>1$, 则 $x>1$ ”的否命题为“若 $x^{2}>1$, 则 $x \leq 1$ ”
B. 命题“ $\exists x_{0} \in \mathrm{R}, x_{0}^{2}>1$ ” 的否定是“ $\forall x \in \mathrm{R}, x^{2}>1$ ”
2004 年 10 月 01 日是国庆节, 又是中秋节;
(2) 10 的倍数一定是 5 的倍数;
(3)梯形不是矩形;
(4) 方程 $x^{2}=1$ 解 $\mathrm{x}= \pm 1$;
其中使用逻辑连接词的命题有 ( ) | A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个 | 逻辑题 | 解析：解答：(1)2004 年 10 月 1 日是国庆节, 又是中秋节, 是且的形式; (2) 10 的倍数一定是 5 的倍数, 没有使用逻辑连接词; (3)梯形不是矩形, 是非的形式; (4)方程 $x^{2}=1$ 解 $\mathrm{x}= \pm 1$,是或的形式; 故选 C。
分析：(1)是且的形式; (2)没有使用逻辑连接词; (3)是非的形式; (4)是或的形式.
复合命题: 所谓复合命题是指由简单命题用连接词连接而成的命题. 不含逻辑连接词的命题叫简单命题. 含逻辑连接词 (“或”, “且”, “非”) 的命题叫复合命题. |
19942 | [] | B | null | 高二 | 命题“若一个数是负数, 则它的平方是正数”的逆命题是( ) | A. “若一个数是负数, 则它的平方不是正数”
B. “若一个数的平方是正数, 则它是负数”
C. “若一个数不是负数, 则它的平方不是正数”
D. “若一个数的平方不是正数, 则它不是负数” | 逻辑题 | 解析: 解答: 原命题的逆命题是: 若一个数的平方是正数, 则它是负数.
答案 B
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;
否命题: 同时否定原命题的条件和结论;
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定. |
19943 | [] | C | null | 高二 | 命题“若 $x, y$ 都是偶数, 则 $x+y$ 也是偶数”的逆否命题是( ) | 若 $x+y$ 是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 不都是偶数
B. 若 $x+y$ 是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 都不是偶数
C. 若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 不都是偶数
D. 若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 都不是偶数 | 逻辑题 | 解析: 解答: 由于“ $x, y$ 都是偶数”的否定表达是“ $x, y$ 不都是偶数”, “ $x+y$ 是偶数”的否定表达是 “ $x+y$ 不是偶数”, 故原命题的逆否命题为 “若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x, y$ 不都是偶数”,故选 C.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;
否命题：同时否定原命题的条件和结论；
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定. |
19944 | [] | C | null | 高二 | 命题“若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha=1$ ”的逆否命题是( ) | A. 若 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
B. 若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
C. 若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$
D. 若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha=\frac{\pi}{4}$ | 逻辑题 | 解析: 解答: 命题“若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha=1$ ”的逆否命题是“若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$ ”, 故选 C.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;
否命题: 同时否定原命题的条件和结论;
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定. |
19945 | [] | D | null | 高二 | 命题“若 $f(x)$ 是奇函数, 则 $f(-x)$ 是奇函数”的否命题是 ( ). | A. 若 $f(x)$ 是偶函数, 则 $f(-x)$ 是偶函数
B. 若 $f(-x)$ 不是奇函数, 则 $f(x)$ 不是奇函数
C. 若 $f(-x)$ 是奇函数, 则 $f(x)$ 是奇函数
D. 若 $f(x)$ 不是奇函数, 则 $f(-x)$ 不是奇函数 | 逻辑题 | 解析: 解答: 否命题是条件和结论都否定, 奇函数的否定应为不是奇函数, 故选 D.
分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;
否命题: 同时否定原命题的条件和结论;
逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定. |
19947 | [] | B | null | 高二 | 命题p: $(x-1)(y-2)=0$; 命题 $q:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0$, 则命题 $p$ 是命题 $q$ 的 ( ) | A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: 命题 $p:(x-1)(y-2)=0 \Rightarrow x=1$ 或 $y=2$.
命题 $q:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0 \Rightarrow x=1$ 且 $y=2$.
由 $q \Rightarrow p$ 成立, 而由 $P \not \Rightarrow q$ 成立. 故选 $B$.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19948 | [] | B | null | 高二 | 若 $\mathrm{A}$ 是 $\mathrm{B}$ 成立的充分条件, $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{C}$ 成立的必要条件, $\mathrm{C}$ 是 $\mathrm{B}$ 成立的充要条件, 则 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{A}$ 成立的（）。 | A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件分析 | 逻辑题 | 解析：解答: $\because \mathrm{A}$ 是B的充分条件, $\therefore \mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}(1)$
$\because \mathrm{D}$ 是C成立的必要条件, $\therefore \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{D}(2)$
$\because \mathrm{C}$ 是B成立的充要条件, $\therefore \mathrm{C} \Leftrightarrow \mathrm{B}(3)$
由(1)(3)得 $A \Rightarrow C(4$, 由(2)(4)得 $A \Rightarrow D$.
$\therefore \mathrm{D}$ 是 $\mathrm{A}$ 成立的必要条件. 选 $\mathrm{B}$.
分析: 解答此类问题的关键是搞清楚 $A 、 B 、 C 、 D$ 之间的关系, 通过 B、C 作为桥梁联系
A、D. |
19956 | [] | D | null | 高二 | 以下说法错误的是 ( ) | A. 命题 “若 $x^{2}-3 x+2=0$, 则 $x=1$ ” 的逆否命题是 “若 $x \neq 1$, 则 $x^{2}-3 x+2 \neq 0$ ”
B. “ $x=1$ ”是“ $x^{2}-3 x+2=0$ ”的充分不必要条件
C. 命题 “若 $\alpha=\beta$, 则 $\sin \alpha=\sin \beta$ ” 的逆否命题为真
D. 命题“若 $x^{2}=1$, 则 $x=1$ ”的否命题为“若 $x^{2}=1$, 则 $x \neq 1$ ” | 逻辑题 | 解析: 解答: 逆否命题的条件与结论分别是原命题的结论的否定与条件的否定,故A正确;若 $x=1$, 则 $x^{2}-3 x+2=0$, 反之不一定成立, 故 $\mathrm{B}$ 正确; 逆否命题与原命题真假性相同, 而原命题为真, 故逆否命题也为真,即 $C$ 正确;否命题既否定条件也否定结论,故 $D$ 错误.,故选D.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$;注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19962 | [] | B | null | 高二 | 若 $a, b \in \mathrm{R}$, 则“ $|a+b|=|a|+|b|$ ”是“ “ $a b>0$ ”的 ( ) | A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: 因为当 $a=0, b=1$ 时, $|a+b|=|a|+|b|$, 但 $a b>0$ 不成立, 反之若 $a b>0$, 则 $|a+b|=|a|+|b|$ 成立,故“ $|a+b|=|a|+|b|$ ”是“ $a b>0$ ”的必要不充分条件.,故选B.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$;注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19964 | [] | A | null | 高二 | 设原命题 “若 $p$ 则 $q$ ” 真而逆命题假, 则 $p$ 是 $q$ 的（） | A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 | 逻辑题 | 解析：解答：原命题 “若 $p$ 则 $q$ ” 真而逆命题假, 则 $p$ 是 $q$ 充分不必要条件,故选A.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19965 | [] | A | null | 高二 | 若命题 $p: \varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 命题 $q: f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega \neq 0)$ 是偶函数, 则 $p$ 是 $q$ 的 $(\quad)$ | A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: 当 $\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ 时, $f(x)= \pm \cos \omega x$ 是偶函数, 所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件; 若函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega \neq 0)$ 是偶函数, 则 $\sin \varphi= \pm 1$, 即 $\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 所以 $p$ 是 $q$ 的必要条件, 故 $p$ 是 $q$ 的充要条件, 故选A.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19967 | [] | B | null | 高二 | 设集合 $M=\{x \mid 0<x \leq 3\}, N=\{x \mid 0<x \leq 2\}$, 那么“ “ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的( ) | A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: $M=\{x \mid 0<x \leq 3\}, N=\{x \mid 0<x \leq 2\}$, 所以 $N \subseteq M$, 故 $a \in M$ 是 $a \in N$ 的必要不充分条件 ,故选B.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19968 | [] | A | null | 高二 | 下面四个条件中,使 $a>b$ 成立的充分而不必要的条件是 ( ) | A. $a>b+1$
B. $a>b-1$
C. $a^{2}>b^{2}$
D. $a^{3}>b^{3}$ | 逻辑题 | 解析: 解答: $a>b+1 \Rightarrow \mathrm{a}>\mathrm{b}$; 反之, 例如 $a=2, b=1$ 满足 $a>b$, 但 $a=b+1$ 即 $a>b$ 推不出 $a>b+1$, 故 $a>b+1$是 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件.故选A.
分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性. |
19969 | [] | D | null | 高二 | 已知命题 $p$ 所有有理数都是实数; 命题 $q$ : 正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( ) | A. $(\neg p) \vee q$
B. $p \wedge q$
C. $(\neg p) \wedge(\neg q)$
D. $(\neg p) \vee(\neg q)$ | 逻辑题 | 解析：解答：不难判断命题 $p$ 为真命题, 命题 $q$ 为假命题, 从而只有 $(\neg p) \vee(\neg q)$ 为真命题,故选D.
分析：先判断命题 $\mathrm{P}$ 和命题 $\mathrm{q}$ 为的真假, 命题 $\mathrm{P}$ 为真命题。命题 $\mathrm{q}$ 为假命题,再由真值表对照答案逐一排除即可。 |
19970 | [] | D | null | 高二 | 下列语句: (1) $\sqrt{3}$ 的值是无限循环小数; (2) $x^{2}>x$; (3) $\triangle A B C$ 的两角之和; (4)毕业班的学生. 其中不是命题的是( ) | A. (1)(2)(3)
B. (1)(2)(4)
C. (1)(3)(4)
D. (2)(3)(4) | 逻辑题 | 解析：解答：对于(1)能判断真假, 对于(2)、(3)、(4)均不能判断真假. 故选D(1)是命题, (2)
、(3)、(4)均不是命题, 故选D.
分析：根据命题的定义分别去判断即可。 |
19971 | [] | D | null | 高二 | 已知命题 $p$ : 若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=0$, 则 $x, y$ 全为 0 ; 命题 $q$ : 若 $a>b$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, 给出下列四个命题: (1) $p \wedge q$; (2) $p \vee q$; (3) $\neg p$; (4) ᄀq.
其中真命题是（ ）. | A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)4
D. (2)(4) | 逻辑题 | 解析: 解答: 命题 $p$ 为真命题, 命题 $q$ 为假命题, $\therefore p \vee q$ 与 $\neg q$ 为真命题, 故填(2)(4), 故选D
分析: 先判断命题 $p ; q ; \neg p ; \neg q$ 的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀（或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19972 | [] | C | null | 高二 | 设 $p$ : 函数 $f(x)=2^{|x-a|}$ 在区间 $(4,+\infty)$ 上单调递增; $q: \log _{a} 2<1$. 如果 “非 $p$ ”是真命题 , “ $p$ 或 $q$ ”也是真命题, 那么实数 $a$ 的取值范围是 ( ). | A. $(-\infty, 4)$
B. $(-\infty, 4]$
C. $(4,+\infty)$
D. $[4,+\infty)$ | 逻辑题 | 解析：解答：由题意知： $p$ 为假命题, $q$ 为真命题. 当 $a>1$. 时, 由 $q$ 为真命题得 $a>2$. ; 由 $p$ 为假命题结合图像可知: $a>4$. 当 $0<a<1$ 时, 无解. 所以 $a>4$. 故选C.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀 (或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19973 | [] | C | null | 高二 | 已知 $P: “ x^{2}-x-6<0 ", q$ “ $x^{2}>1$ ”, 若“ $p$ 且 $q$ ”为真命题, 试求 $x$ 的取值范围 ( ). | A. $\{x \mid-2<x<-1\}$
B. $\{x \mid 1<x<3\}$
C. $\{x \mid-2<x<-1$ 或 $1<x<3\}$
D. $\{x \mid-2 \leq x<-1$ 或 $1 \leq x<3\}$ | 逻辑题 | 解析: 解答: 若 $p: x^{2}-x-6<0$ 成立, 则 $-2<x<3$. 若 $q$ 成立, 则 $x<-1$ 或 $x>1$.
若“ $p$ 且 $q$ ”为真命题, 则 $p$ 真 $q$ 真, 所以 $x$ 的取值范围是 $\{x \mid-2<x<-1$ 或 $1<x<3\}$. 故选C.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀 (或命题：有真则真；且命题：有假则假；非命题：真假相反。) |
19974 | [] | B | null | 高二 | 已知命题 $P:$ 函数 $f(x)=\log _{0.5}(3-x)$ 的定义域为 $(-\infty, 3)$; 命题 $q$ : 若 $k<0$, 则函数 $h(x)=\frac{k}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数, 则下列结论:
(1)命题“ $p$ 且 $q$ ”为真; (2)命题“ $p$ 或 $\neg q$ ”为假; (3)命题“ $p$ 或 $q$ ”为假;
(4)命题“ $\neg p$ 且 $\neg q$ ”为假, 其中错误的是 ( )。 | A. (1)(2)(3) (4)
B. (1)(2)(3)
C. (2) (4)
D. (1)(2) | 逻辑题 | 解析: 解答: 由 $3-x>0$, 得 $x<3$, 故命题 $p$ 为真, $\neg p$ 为假. 又由 $k<0$, 得函数 $h(x)=\frac{k}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数, 命题 $q$ 为假, $\neg q$ 为真,所以命题 $~ p ~$ 且 $q$ ”为假, 命题 “ $p$ 或 $\neg q$ ”为真, 命题“ $p$ 或 $q$ ”为真, 命题“ $\neg p$ 且 $\neg q$ ”为假.故选B.
分析: 先判断命题 $p, q \neg p, \neg q$ 的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀（或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19975 | [] | D | null | 高二 | 已知 $p$ : 关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $x^{2}+2 a x+4>0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立; $\mathrm{q}$ : 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-(5-2 a)^{x}$ 在 $R$ 上是减函数.若“ $p$ 或 $q$ ”为真, “ $p$ 且 $q$ ”为假, 求实数 $a$ 的取值范围 ( )。 | A. $a \leq-2$
B. $a<-2$
C. $a>2$
D. $a \geq-2$ | 逻辑题 | 解析: 解答: 设 $g(x)=x^{2}+2 a x+4$. 因为关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $x^{2}+2 a x+4>0$ 对一切 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$ 恒成立,所以函数 $g(x)$ 的图像开口向上且与 $x$ 轴没有交点,故 $\Delta=4 a^{2}-16<0$, 所以 $-2<a<2$, 所以命题 $p:-2<a<2$.
函数 $f(x)=-(5-2 a)^{x}$ 是减函数, 则有 $5-2 a>1$, 即 $a<2$. 所以命题 $q: a<2$.
又由于 $p$ 或 $q$ 为真, $p$ 且 $q$ 为假, 可知 $p$ 和 $q$ 为一真一假.
若 $p$ 真 $q$ 假, 则 $\left\{\begin{array}{l}-2<a<2 \\ a \geq 2,\end{array}\right.$ 此不等式组无解.
若 $p$ 假 $q$ 真, 则 $\left\{\begin{array}{l}a \leq-2, a \geq a \\ a<2,\end{array}\right.$ 所以 $a \leq-2$.
综上可知, 所求实数 $a$ 的取值范围为 $a \leq-2$. 故选D.
分析：根据“ $p$ 或 $q$ ”为真, “ $p$ 且 $q$ ”为假, 判断复合命题的口诀 (或命题: 有真则真; 且命题:有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19987 | [] | B | null | 高二 | 已知命题 $p$ : 任意 $x \in R R, 2^{x}<3^{x}$; 命题 $q$ : 存在 $x \in R, x^{3}=1-x^{2}$, 则下列命题中为真命题的是 | A. $p$ 且 $q$
B. $\neg p$ 且 $q$
C. $p$ 且 $\neg q$
D. $\neg p$ 且 $\neg q$ | 逻辑题 | 解析: 解答: 对于命题 $p$ : 取 $x=-1$, 可知为假命题,命题 $\mathrm{q}$ : 令 $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$, 且 $f(0) f(1)<0$, 故 $f(x)$ 有零点 ,即方程 $x^{3}+x^{2}-1=0$ 有解, 可知 $q$ 为真命题,所以 $\neg p$ 且 $q$ 为真命题, 故选B.
分析：对命题p:采用特殊值法判断为假命题, 命题 $q$ 利用存在零点的条件 $f(0) f(1)<0$ 判断为真命题,然后根据四种命题的关系求解. |
19988 | [] | A | null | 高二 | 已知命题 $p: x^{2}+2 x-3>0$, 命题 $q: 5 x-6>x^{2}$, 则 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的 ( ) | A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: 因为命题 $\mathrm{p}$ : $\{x \mid x>1$ 或 $x<-3\}$, 命题 $\mathrm{q}:\{x \mid 2<x<3\}$. 则命题 $\neg p:\{x \mid-3 \leq x \leq 1\}$, 命题 $\neg q:\{x \mid x \geq 3$ 或 $x \leq 2\} . \therefore \neg p \Rightarrow \neg q$ 且 $\neg q \nRightarrow \neg p$, 故选A.
分析: 由命题p: $x^{2}+2 x-3>0$, 求出命题 $\neg p$, 由命题 $q: 5 x-6>x^{2}$, 求出命题 $\neg q$, 综合考虑即可。 |
19989 | [] | D | null | 高二 | 若命题 $p$ 是真命题, 命题 $q$ 是假命题, 则( ) | A. $p \wedge q$ 是真命题
B. $p \vee q$ 是假命题
C. $\neg p$ 是真命题
D. $\neg q$ 是真命题 | 逻辑题 | 解析: 解答: 因为命题 $q$ 是假命题, 故 $q q$ 是真命题, 故选D.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口决 (或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19990 | [] | B | null | 高二 | 若命题 $p: 0$ 是偶数, 命题 $q: 2$ 是 3 的约数, 则下列结论中正确的是( ) | A. “ $p \vee q$ ”为假
B. $" p \vee q$ ”为真
C. “ $p \wedge q$ ”为真
D. 以上都不对 | 逻辑题 | 解析：解答：命题 $p$ 为真命题, 命题 $q$ 为假命题, 故“ $p \vee q$ ”为真命题,
故选B.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口决 (或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。) |
19991 | [] | D | null | 高二 | 已知:命题 $p: “ a=1$ 是 $x>0, x+\frac{a}{x} \geq 2$ 的充分必要条件”;命题 $q$ : “ $\exists x \in R, x^{2}+x-2>0$, ”则下列结论正确的是 ( | A. 命题 “ $p \wedge q$ ” 是真命题
B. 命题“ $(\neg p) \wedge q$ ”是真命题
C. 命题 “ $p \wedge(\neg q)$ ”是真命题
D.命题“ $(\neg p) \wedge(\neg q)$ ”是真命题 | 逻辑题 | 解析: 解答: 对于命题 $p$, 当 $a=1$ 时, 由均值不等式知, 若 $x>0$, 则 $x+\frac{a}{x} \geq 2$ 显然成立.但当 $x>0, x+\frac{a}{x} \geq 2$ 时, $a$ 未必取 1 , 所以 $a=1$ 是 $x>0, x+\frac{a}{x} \geq 2$ 的充分不必要条件, 故 $p$ 为假命题, $\neg p$ 为真命题. 对于命题 $q$, 取 $x=2$, 显然成立, 所以 $q$ 为真命题, $\neg q$ 为假命题.故命题“ $(\neg p) \wedge q$ ”是真命题, 故选D.
分析: 先判断命题p: “ $a=1$ 是 $x>0, x+\frac{a}{x} \geq 2$ 的充分必要条件”的真假, 及判断命题 $q$ : “ $\exists x \in R, x^{2}+x-2>0$, ”的真假, 再判断复合命题的真假性即可 |
19992 | [] | C | null | 高二 | 下列命题:
(1) $2>1$ 或 $1<3$; (2)方程 $x^{2}-3 x-4=0$ 的判别式大于或等于 0 ;
(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
(4)集合 $A \cap B$ 是集合 $A$ 的子集，且是 $A \cup B$ 的子集.
其中真命题的个数是( ) | A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 | 逻辑题 | 解析：解答： “或”命题为真, 只需至少一个为真; “且”命题为真, 需全为真., 故选C.
分析：先逐一命题的真假性, 得出结论即可; |
19993 | [] | A | null | 高二 | 已知命题 $p, q$, , “非 $p$ ”为假命题是“ $p$ 或 $q$ ”为真命题的 ( ) | A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件 | 逻辑题 | 解析：解答： $\because$ 非 $p$ 为假命题, $\therefore p$ 是真命题, $\therefore p$ 或 $q$ 是真命题.当 $p$ 或 $q$ 为真命题时, $p$ 真 $q$假或 $p$ 假 $q$ 真或 $p$ 真 $q$ 真., 故选A.
分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀 (或命题：有真则真；且命题：有假则假；非命题：真假相反。) |
19994 | [] | D | null | 高二 | 下列命题为特称命题的是 ( )
A、偶函数的图象关于 $\mathrm{y}$ 轴对称
B、正四棱柱都是平行六面体
C、不相交的两条直线是平行直线
D、存在实数大于或等于 3 | A. 对任意的 $a, b \in R$, 都有 $a^{2}+b^{2}-2 a-2 b+2<0$ ；
B. 菱形的两条对角线相等;
C. $\exists x, \sqrt{x^{2}}=x$;
D. 对数函数在定义域上是单调函数。 | 逻辑题 | 解析：解答： A 中含有全称量词“任意”, 因为 $a^{2}+b^{2}-2 a-2 b+2$
$=(a-1)^{2}+(b-1)^{2} \geq 0$; 是假命题, $\mathrm{B}, \mathrm{D}$ 在叙述上没有全称量词, 实际上是指“所有的”,菱形的对角线不相等; $\mathrm{C}$ 是特称命题。.故选 D.
分析：判定一个语句是全称命题还是特称命题,可分三个步骤:(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题, 就当然不是全称命题或特称命题.(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.(3)当命题中不含量词时, 要注意理解命题含义的实质. |
19995 | [] | C | null | 高二 | 若命题 $\mathrm{p}$ : 任意 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-1>0$, 则该命题的否定是 ( ) | A. 任意 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-1<0$
B. 任意 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-1 \leq 0$
C. 存在 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-1 \leq 0$
D. 存在 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-1>0$ | 逻辑题 | 解析：解答：命题 $\mathrm{p}$ 的否定为存在一个实数 $x, 2 x^{2}-1 \leq 0$; . 故选 C.
分析：根据“全称命题的否定是存在命题, 存在命题的否定是全称命题,
即: 若命题 $p: \forall x \in D, q(x)$ ，则 $\neg p: \exists x_{0} \in D, \neg q\left(x_{0}\right)$;
若命题 $p: \exists x_{0} \in D, q\left(x_{0}\right)$, 则 $\neg p: \forall x \in D, \neg q(x)$,
12、下列特称命题中真命题的个数是 ( )
(1) $\exists x \in R, x \leq 0$ (2) 至少有一个整数, 它既不是合数, 也不是素数
(3) $\exists x \in\{x \mid x$ 是无理数 $\}, x^{2}$ 是无理数.
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
答案: D
解析: 解答: 根据特称命题的真假判断, 可得(1)(2)(3)是正确; . 故选 D.
分析：判断命题的真假, 直接利用相关定义、定理、公理判断即可。 |
19996 | [] | B | null | 高二 | 下列说法中, 正确的是( ) | A. 命题“若 ${a m^{2}}^{2}<\mathrm{bm}^{2}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ”的逆命题是真命题
B. 命题“存在 $x \in \mathbf{R}, x^{2}-x>0$ ” 的否定是 “任意 $x \in \mathbf{R}, x^{2}-x \leq 0$ ”
C. 命题“ $\mathrm{p}$ 或 $\mathrm{q}$ ”为真命题, 则命题“ $\mathrm{p}$ ”和命题“ $\mathrm{q}$ ”均为真命题
D. 已知 $x \in \mathbf{R}$, 则 “ $x>1$ ”是“ $x>2$ ”的充分不必要条件 | 逻辑题 | 解析: 解答: “存在 $x \in \mathbf{R}, x^{2}-x>0$ ” 为特称命题, 则它的否定应为全称命题, 即“任意 $x \in \mathbf{R}$, $x^{2}-x \leq 0$ ”，故选 B.
分析: 判断命题的真假, 直接利用相关定义、定理、公理判断即可。 |
19997 | [] | A | null | 高二 | 已知命题 $\mathrm{p}$ : “任意 $x \in[1,2], x^{2}-\mathrm{a} \geq 0$ ”, 命题 $\mathrm{q}:$ “存在 $x \in \mathbf{R}, x^{2}+2 \mathrm{a} x+2-\mathrm{a}=0$ ”. 若命题 “ $\mathrm{p}$ 且 $\mathrm{q}$ ”是真命题, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为 ( ) | A. $a \leq-2$ 或 $a=1$
B. $a \leq-2$ 或 $1 \leq a \leq 2$
C. $a \geq 1$
D. $-2 \leq \mathrm{a} \leq 1$ | 逻辑题 | 解析: 解答: “由已知可知 $\mathrm{p}$ 和 $\mathrm{q}$ 均为真命题, 由命题 $\mathrm{p}$ 为真得 $\mathrm{a} \leq 1$, 由命题 $\mathrm{q}$ 为真得 $\mathrm{a} \leq-2$或 $\mathrm{a} \geq 1$, 所以 $\mathrm{a} \leq-2$ 或 $\mathrm{a}=1$.故选 $\mathrm{A}$.
分析: 因为命题“ $\mathrm{p}$ 且 $\mathrm{q}$ ”是真命题, 所以 $\mathrm{p}$ 和 $\mathrm{q}$ 同时为真命题; 判断命题的真假, 直接利用相关定义、定理、公理判断即可。 |
19998 | [] | D | null | 高二 | 设命题 $\mathrm{p}$ : 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\lg \left(a x^{2}-x+\frac{1}{4} \mathrm{a}\right)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$; 命题 $\mathrm{q}$ : 不等式 $3^{x}-9^{x}<\mathrm{a}$ 对一切正实数均成立. 如果命题 $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ " 为真命题, " $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ " 为假命题, 求实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围 ( ). | A. $0 \leq \mathrm{a}<1$.
B. $0 \leq a . C . a \leq 1 . D .0 \leq a \leq 1$. | 逻辑题 | 解析: 解答: 若命题 $\mathrm{p}$ 为真, 即 $\mathrm{ax} x^{2}-x+\frac{1}{4} \mathrm{a}>0$ 恒成立,
则 $\left\{\begin{array}{l}a>0, \\ \Delta<0,\end{array}\left\{\begin{array}{l}a>0, \\ 1-a^{2}<0,\end{array} \therefore a>1\right.\right.$
令 $\mathrm{y}=3^{x}-9^{x}=-\left(3^{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$,
由 $x>0$ 得 $3^{x}>1$,
$\therefore y=3^{x}-9^{x}$ 的值域为 $(-\infty, 0)$.
$\therefore$ 若命题 $\mathrm{q}$ 为真, 则 $\mathrm{a} \geq 0$.
由命题“ $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ ”为真, “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ”为假, 得命题 $\mathrm{p} 、 \mathrm{q}$ 一真一假, 当 $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 假时, $\mathrm{a}$ 不存在; 当 $\mathrm{p}$假 $\mathrm{q}$ 真时, $0 \leq \mathrm{a} \leq 1$.
$\therefore \mathrm{a}$ 的取值范围是 $0 \leq \mathrm{a} \leq 1$. 故选 D.
分析：因为命题 " $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ " 为真命题, “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ " 为假命题, 所以 $\mathrm{p} 、 \mathrm{q}$ 一真一假; 判断命题的真假,直接利用相关定义、定理、公理判断即可。 |
20007 | [] | D | null | 高二 | 将 $a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$ 改写成全称命题是 $(\quad)$ | A. $\exists a, b \in \mathbf{R}, a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$
B. $\exists a<0, b>0, a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$
C. $\forall a>0, b>0, a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$
D. $\forall a, b \in \mathbf{R}, a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$ | 逻辑题 | 解析：解答：全称命题含有量词 “ $\forall$ ”, 故排除 $A 、 B$, 又等式 $a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2}$ 对于全体实数都成立, 故选 D.
分析：判定一个语句是全称命题还是特称命题,可分三个步骤:(1)首先判定语句是否为命题,
若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质. |
20008 | [] | A | null | 高二 | 下列命题的否定不正确的是 ( ) | A. 存在偶数 $2 n$ 是 7 的倍数;
B. 在平面内存在一个三角形的内角和大于 $180^{\circ}$;
C. 所有一元二次方程在区间 $[-1,1]$ 内都有近似解;
D. 存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。 | 逻辑题 | 解析: 解答: 写出原命题的否定, 注意对所含量词的否定。故选 A.
分析：判定一个语句是全称命题还是特称命题,可分三个步骤:(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题, 就当然不是全称命题或特称命题.(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.(3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质 |
20009 | [] | A | null | 高二 | 命题“ $\forall x \in \mathbf{R}, \quad x^{2} \neq x$ ”的否定是 ( ) | A. $\forall x \notin \mathbf{R}, x^{2} \neq x$
B. $\forall x \in \mathbf{R}, x^{2}=x$
C. $\exists x \notin \mathbf{R}, x^{2} \neq x$
D. $\exists x \in \mathbf{R}, x^{2}=x$ | 逻辑题 | 解析：解答：全称命题的否定是特称命题, 所以命题“ $\forall x \in \mathbf{R}, x^{2} \neq x$ ”的否定是 “ $\exists x \in \mathbf{R}$, $x^{2}=x$ ”。故选 D.
分析：从一般形式来看, 全称命题“对 $\mathrm{M}$ 中任意一个 $x$, 有 $\mathrm{p}(x)$ 成立”, 它的否定并不是简单地对结论部分 $\mathrm{p}(x)$ 进行否定, 还需对全称量词进行否定, 使之成为存在量词, 也即“任意 $x \in M, p(x)$ ”的否定为“ $\exists x_{0} \in M, \neg p\left(x_{0}\right)$ ”. |
20010 | [] | B | null | 高二 | 设命题 $p: \forall x \in R, x^{2}+1>0$, 则 $\neg p$ 为 ( ) | A. $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2}+1>0$
B. $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2}+1 \leq 0$
C. $\exists x_{0} \in R, x_{0}^{2}+1<0$
D. $\forall x_{0} \in R, x_{0}^{2}+1 \leq 0$ | 逻辑题 | 解析: 解答: 根据命题 $p: \forall x \in R, x^{2}+1>0$, 则 $\neg p: \exists x_{0} \in R, x_{0}{ }^{2}+1 \leq 0$.
故选 B.
分析：根据“全称命题的否定是存在命题, 存在命题的否定是全称命题,
即: 若命题 $p: \forall x \in D, q(x)$, 则 $\neg p: \exists x_{0} \in D, \neg q\left(x_{0}\right)$;
若命题 $p: \exists x_{0} \in D, q\left(x_{0}\right)$, 则 $\neg p: \forall x \in D, \neg q(x)$, |