question
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1.16k
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|---|---|
세 다항식 $A=-x^3+2x^2-x$, $B=3x^3+4x+2$, $C=-x^2+x-5$에 대하여 $3A-2(B-C)$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $3A-2(B-C)$ $=$$3A-2B+2C$ $=$$3(-x^3+2x^2-x)-2(3x^3+4x+2)+2(-x^2+x-5)$ $=$$-3x^3+6x^2-3x-6x^3-8x-4-2x^2+2x-10$ $=$$-9x^3+4x^2-9x-14$ |
세 다항식 $A=2x^3-4x^2+5$, $B=x^2+x-6$, $C=4x^2+5x-2$에 대하여 $A-B-C$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B-C$ $=$$(2x^3-4x^2+5)-(x^2+x-6)-(4x^2+5x-2)$ $=$$2x^3-4x^2+5-x^2-x+6-4x^2-5x+2$ $=$$2x^3-9x^2-6x+13$ |
세 다항식 $A=2x^2+3y^2-y$, $B=x^2+4y$, $C=3y^2-y+5$에 대하여 $2A-B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2A-B+C$ $=$$2(2x^2+3y^2-y)-(x^2+4y)+(3y^2-y+5)$ $=$$4x^2+6y^2-2y-x^2-4y+3y^2-y+5$ $=$$3x^2+9y^2-7y+5$ |
두 다항식 $A=-x^2+12xy+5y^2$, $B=3x^2+2xy+5y^2$에 대하여 $X+A=2A-B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $X+A=2A-B$ $X=2A-B-A$ $∴X=A-B$ $=$ $(-x^2+12xy+5y^2)-(3x^2+2xy+5y^2)$ $=$ $-x^2+12xy+5y^2-3x^2-2xy-5y^2$ $=$ $-4x^2+10xy$ |
두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X ◇ Y$$=X-Y$, $X △ Y$$=X+2Y$라 할 때, 세 다항식 $A=2x^2+x-3y^2$, $B=x+5y-7y^2$, $C=-5x^2+4y^2$에 대하여 $(A ◇ B) △ C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $(A ◇ B) △ C$ $=$$(A-B) △ C$ $=$$A-B+2C$ $=$$(2x^2+x-3y^2)-(x+5y-7y^2)+2(-5x^2+4y^2)$ $=$$2x^2+x-3y^2-x-5y+7y^2-10x^2+8y^2$ $=$$-8x^2+12y^2-5y$ |
두 다항식 $A=4x^2-y^2+2x$, $B=-x^2-4y^2-3y$에 대하여 $2A-(A+2B)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2A-(A+2B)$ $=$$2A-A-2B$ $=$$A-2B$ $=$$(4x^2-y^2+2x)-2(-x^2-4y^2-3y)$ $=$$4x^2-y^2+2x+2x^2+8y^2+6y$ $=$$6x^2+2x+7y^2+6y$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A$$☆$$B$$=2A-B$라 할 때, 다음을 계산하시오. $(3x^2-x+2)☆(x^2-5x+3)$ | $(3x^2-x+2)☆(x^2-5x+3) $ $=$$2(3x^2-x+2)-(x^2-5x+3)$ $=$$6x^2-2x+4-x^2+5x-3$ $=$$5x^2+3x+1$ |
두 다항식 $A=4x^2-2xy+y^2$, $B=-x^2-3xy+4y^2$에 대하여 $A+3(A-B)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+3(A-B) =A+3A-3B =4A-3B =4(4x^2-2xy+y^2)-3(-x^2-3xy+4y^2) =16x^2-8xy+4y^2+3x^2+9xy-12y^2 =19x^2+xy-8y^2$ |
두 다항식 $A=4x^2-4xy+6y^2$, $B=-8x^2+12xy-2y^2$에 대하여 $2X-A=A-2B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2X-A=A-2B$ $2X=A-2B+A$ $2X=2A-2B$ $∴$$X=A-B =(4x^2-4xy+6y^2)-(-8x^2+12xy-2y^2) =4x^2-4xy+6y^2+8x^2-12xy+2y^2 =$$12x^2-16xy+8y^2$ |
두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X ◇ Y$$=X-Y$, $X △ Y$$=X+2Y$라 할 때, 세 다항식 $A=2x^2+x-3y^2$, $B=x+5y-7y^2$, $C=-5x^2+4y^2$에 대하여 $A ◇ (B △ C)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A ◇ (B △ C)$ $=$$A ◇ (B+2C)$ $=$$A-(B+2C)$ $=$$A-B-2C$ $=$$(2x^2+x-3y^2)-(x+5y-7y^2)-2(-5x^2+4y^2)$ $=$$2x^2+x-3y^2-x-5y+7y^2+10x^2-8y^2$ $=$$12x^2-4y^2-5y$ |
두 다항식 $A=-x^2+2xy-y^2-4$, $B=5x^2-3xy+y^2+6$에 대하여 $(A-B)+2(A+B)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $(A-B)+2(A+B)$ $=$$A-B+2A+2B$ $=$$3A+B$ $=$$3(-x^2+2xy-y^2-4)+(5x^2-3xy+y^2+6)$ $=$$-3x^2+6xy-3y^2-12+5x^2-3xy+y^2+6$ $=$$2x^2+3xy-2y^2-6$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A+B=6x^2+8xy+2y^2$, $A-B=4x^2-6xy-10y^2$일 때, $2A-3B$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=6x^2+8xy+2y^2$ $······ ㉠$ $A-B=4x^2-6xy-10y^2$$ ······ ㉡$ $㉠+㉡$ : $2A=10x^2+2xy-8y^2$ $∴ A=5x^2+xy-4y^2$ $A$를 $㉠$에 대입하면 $(5x^2+xy-4y^2)+B=6x^2+8xy+2y^2$ $∴ B=(6x^2+8xy+2y^2)-(5x^2+xy-4y^2)$ $=6x^2+8xy+2y^2-(5x^2-xy+4y^2)$ $=$$x^2+7xy+6y^2$ $∴ 2A-3B=2(5x^2+xy-4y^2)-3(x^2+7xy+6y^2)$ $=10x^2+2xy-8y^2-3x^2-21xy-18y^2$ $=$$7x^2-19xy-26y^2$ |
다항식 $(x-2y+3)(2x+y-1)$을 전개하시오. | $(x-2y+3)(2x+y-1)=2x^2+xy-x-4xy-2y^2+2y+6x+3y-3=2x^2-3xy+5x-2y^2+5y-3$ |
두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X ◇ Y$$=3X+Y$, $X △ Y$$=X-2Y$라 할 때, 세 다항식 $A=2x^2+x-3y^2$, $B=x+5y-7y^2$, $C=-5x^2+4y^2$에 대하여 $(A ◇ B) △ C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $(A ◇ B) △ C$ $=$$(3A+B) △ C$ $=$$3A+B-2C$ $=$$3(2x^2+x-3y^2)+(x+5y-7y^2)-2(-5x^2+4y^2)$ $=$$6x^2+3x-9y^2+x+5y-7y^2+10x^2-8y^2$ $=$$16x^2+4x-24y^2+5y$ |
세 다항식 $A=-6x^2-x+3y^2$, $B=x^2-y$, $C=3y-2x+5$에 대하여 $A+B+2C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B+2C$ $=$$(-6x^2-x+3y^2)+(x^2-y)+2(3y-2x+5)$ $=$$-6x^2-x+3y^2+x^2-y+6y-4x+10$ $=$$-5x^2-5x+3y^2+5y+10$ |
두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X ◇ Y$$=X-Y$, $X △ Y$$=2X+Y$라 할 때, 세 다항식 $A=x^2+2x-y^2$, $B=2x+y-3y^2$, $C=-x^2+4y^2$에 대하여 $A ◇ (B △ C)$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A ◇ (B △ C)$ $=$$A ◇ (2B+C)$ $=$$A-(2B+C)$ $=$$A-2B-C$ $=$$(x^2+2x-y^2)-2(2x+y-3y^2)-(-x^2+4y^2)$ $=$$x^2+2x-y^2-4x-2y+6y^2+x^2-4y^2$ $=$$2x^2-2x+y^2-2y$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A$$☆$$B$$=A+3B$라 할 때, 다음을 계산하시오. ($x^2+xy-7y^2)☆(4x^2+2xy-4y^2$) | ($x^2+xy-7y^2)☆(4x^2+2xy-4y^2$) $=$$(x^2+xy-7y^2)+3(4x^2+2xy-4y^2)$ $=$$x^2+xy-7y^2+12x^2+6xy-12y^2$ $=$$13x^2+7xy-19y^2$ |
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B=-3x^2-2xy+6y^2$, $B+C=4x^2-11xy+13y^2$, $C+A=13x^2-15xy+3y^2$일 때, $A+B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=-3x^2-2xy+6y^2 ······ ㉠$ $B+C=4x^2-11xy+13y^2 ······ ㉡$ $C+A=13x^2-15xy+3y^2 ······ ㉢$ $㉠+㉡+㉢$을 하면 $2(A+B+C)=14x^2-28xy+22y^2$ $∴ A+B+C=7x^2-14xy+11y^2$ |
다항식 $(x-3y)(-x^2-xy-4y^2)$을 전개하시오. | $(x-3y)(-x^2-xy-4y^2) =-x^3-x^2y-4xy^2-4xy^2+3x^2y+3xy^2+12y^3$ $=$$-x^3+2x^2y-xy^2+12y^3$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A-B=-9x^2+2xy+10y^2$, $2A+B=6x^2-5xy+5y^2$일 때, $A-2B$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B=-9x^2+2xy+10y^2$ ······ $㉠$ $2A+B=6x^2-5xy+5y^2$ ······ $㉡$ $㉠+㉡$ : $3A=-3x^2-3xy+15y^2$ $∴ A=-x^2-xy+5y^2$ $A$를 $㉠$에 대입하면 $(-x^2-xy+5y^2)-B=-9x^2+2xy+10y^2$ $∴ B=(-x^2-xy+5y^2)$ $-$ $(-9x^2+2xy+10y^2)$ $=$ $-x^2-xy+5y^2$ $+$ $9x^2-2xy-10y^2$ $=$ $8x^2-3xy-5y^2$ $∴ A -2B= (-x^2-xy+5y^2)$ $-$ $2(8x^2-3xy-5y^2)$ $=$ $-x^2-xy+5y^2$ $-$ $16x^2+6xy+10y^2$ $=$ $-17x^2+5xy+15y^2$ |
두 다항식 $A=3x^3-3x^2+5x$, $B=x^2-3x+6$에 대하여 $A-3B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-3B$ $=$$(3x^3-3x^2+5x)-3(x^2-3x+6)$ $=$$3x^3-3x^2+5x-3x^2+9x-18$ $=$$3x^3-6x^2+14x-18$ |
두 다항식 $A=2x^2-4xy+6y^2$, $B=-2x^2+6xy-4y^2$에 대하여 $2X+B=A-B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2X+B=A-B$ $2X=A-B-B$ $2X=A-2B$ $∴X=\frac{1}{2}A-B$ $=\frac{1}{2}(2x^2-4xy+6y^2)-(-2x^2+6xy-4y^2)$ $=x^2-2xy+3y^2+2x^2-6y^2=4y^2$ $=$$3x^2-8xy+7y^2$ |
다항식 $(3a-2)(9a^2+6a+4)$를 전개하시오. | $(3a-2)(9a^2+6a+4)$$=(3a)^3-2^3$$=27a^3-8$ |
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B=5x^2+4xy-y^2$, $B+C=-2x^2-xy$, $C+A=x^2-3xy-3y^2$일 때, $A+B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=5x^2+4xy-y^2$$ ······ ㉠$ $B+C=-2x^2-xy$$ ······ ㉡$ $C+A=x^2-3xy-3y^2$ $······ ㉢$ $㉠+㉡+㉢$을 하면 $2(A+B+C)=4x^2-4y^2$ $∴$ $A+B+C=2x^2-2y^2$ |
두 다항식 $A=2x^2-4xy+6y^2$, $B=-2x^2+6xy-4y^2$에 대하여 $2X-B=3A+B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2X-B=3A+B$ $2X=3A+B+B$ $2X=3A+2B$ $∴X=\frac{3}{2}A+B$ $=\frac{3}{2}(2x^2-4xy+6y^2)+(-2x^2+6xy-4y^2)$ $=3x^2-6xy+9y^2-2x^2+6xy-4y^2$ $=$$x^2+5y^2$ |
두 다항식 $X$, $Y$에 대하여 $X \diamondsuit Y =X-Y$, $X \triangle Y =X+2Y$라 할 때, 세 다항식 $A=-x^3-2x^2+4x$, $B=2x^3+5x-3$, $C=-7x^2+3x-4$에 대하여 $A \diamondsuit (B \triangle C)$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A ◇ (B △ C)$ $=$$A ◇ (B+2C)$ $=$$A-(B+2C)$ $=$$A-B-2C$ $=$$(-x^3-2x^2+4x)-(2x^3+5x-3)-2(-7x^2+3x-4)$ $=$$-x^3-2x^2+4x-2x^3-5x+3+14x^2-6x+8$ $=$$-3x^3+12x^2-7x+11$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A+B=8x^2-6xy+y^2$, $2A-B=19x^2-6xy+14y^2$일 때, $A+2B$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=8x^2-6xy+y^2$ ······ $㉠$ $2A-B=19x^2-6xy+14y^2$ ······ $㉡$ $㉠+㉡$ : $3A=27x^2-12xy+15y^2$ ∴ $A=9x^2-4xy+5y^2$ $A$를 $㉠$에 대입하면 $(9x^2-4xy+5y^2)+B=8x^2-6xy+y^2$ $=$$-x^2-2xy-4y^2$ $=$$7x^2-8xy-3y^2$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A-B=5x^3+2x^2-11x+3$, $2A+B=19x^3-2x^2-7x+6$일 때, $A-2B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B=5x^3+2x^2-11x+3$ ······ $㉠$ $2A+B=19x^3-2x^2-7x+6$ ······ $㉡$ $㉠+㉡$ : $3A=24x^3-18x+9$ $∴ A=8x^3-6x+3$ $A$를 $㉠$에 대입하면 $(8x^3-6x+3)-B=5x^3+2x^2-11x+3$ $∴ B=(8x^3-6x+3)-(5x^3+2x^2-11x+3)$ $=8x^3-6x+3-5x^3-2x^2+11x-3$ $=$$3x^3-2x^2+5x$ $∴ A-2B=(8x^3-6x+3)-2(3x^3-2x^2+5x)$ $=8x^3-6x+3-6x^3+4x^2-10x$ $=$$2x^3+4x^2-16x+3$ |
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B=-x^2-4xy-4y^2$, $B+C=x^2+3xy$, $C+A=6x^2+xy+6y^2$일 때, $A+B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=-x^2-4xy-4y^2$ ······ ㉠ $B+C=x^2+3xy$ ······ ㉡ $C+A=6x^2+xy+6y^2$ ······ ㉢ $㉠+㉡+㉢$을 하면 $2(A+B+C)=6x^2+2y^2$ $∴ A+B+C=3x^2+y^2$ |
다항식 $(x-y+z)^2$을 전개하시오. | $(x-y+z)^2$ $=x^2+(-y)^2+z^2+2\times$$x$$\times$$(-y)+2$$\times$$(-y)$$\times$$z+2$$\times$$z$$\times$$x$$ $ $=$$x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx$ |
다항식 $(x^2-3x+5)(2x-1)$을 전개하시오. | $\left(x^{2}-3 x+5\right)(2 x-1) =2 x^{3}-x^{2}-6 x^{2}+3 x+10 x-5$ $=2x^3-7x^2+13x-5$ |
다항식 $(x-1)(x-3)(x-5)$를 전개하시오. | $(x-1)(x-3)(x-5)$ $=$$x^3+(-1-3-5)x^2+(3+15+5)x+(-1)\times(-3)\times(-5)$ $=$$x^3-9x^2+23x-15$ |
두 다항식 $A=x^2-2xy+2y^2$, $B=-x^2-xy-3y^2$에 대하여 $2X+B=4A-B$를 만족시키는 다항식 $X$를 구하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2X+B=4A-B$ $2X=4A-B-B$ $2X=4A-2B$ $∴X-2A-B$ $=2(x^2-2xy+2y^2)-(-x^2-xy-3y^2)$ $=2x^2-4xy+4y^2+x^2+xy+3y^2$ $=$$3x^2-3xy+7y^2$ |
다항식 $(x+y)(x^2+xy-3y^2)$을 전개하시오. | $(x+y)(x^2+xy-3y^2)=x^3+x^2y-3xy^2+x^2y+xy^2-3y^3$ $=$$x^3+2x^2y-2xy^2-3y^3$ |
다항식 $(a+2b)(a^2-ab+b^2)$을 전개하시오. | $(a+2b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+2a^2b-2ab^2+2b^3$ $=$$a^3+a^2b-ab^2+2b^3$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A$$☆$$B$$=A-2B$라 할 때, 다음을 계산하시오. ($x^2-3x+4)☆(4x^2+2x+1$)$\square$ | ($x^2-3x+4)☆(4x^2+2x+1$) $=$$(x^2-3x+4)-2(4x^2+2x+1)$ $=$$x^2-3x+4-8x^2-4x-2$ $=$$-7x^2-7x+2$ |
다항식 $(x^2-2x+4)(x^2-2x-4)$를 전개하시오. | $x^2-2x=t$로 놓으면 $(x^2-2x+4)(x^2-2x-4)$ $=\lbrace(x^2-2x)+4\rbrace\lbrace(x^2-2x)-4\rbrace$ $=(t+4)(t-4)$ $=t^2-16$ $=(x^2-2x)^2-16$ $=x^4-4x^3+4x^2-16$ |
다항식 $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)+(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$을 간단히 하시오. | $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)+(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$ $=$$8x^3-y^3+x^3+8y^3$ $=$$9x^3+7y^3$ |
다항식 $(2x-y)(3x^2+xy-y^2)$을 전개하시오. | $(2x-y)(3x^2+xy-y^2)=6x^3+2x^2y-2xy^2-3x^2y-xy^2+y^3$ $=$$6x^3-x^2y-3xy^2+y^3$ |
다항식 $(2x^2+4x-1)(3x^2-x+k)$의 전개식에서 $x$의 계수가 $5$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. | $(2x^2+4x-1)(3x^2-x+k)$의 전개식에서 $x$항은 $4x\times k+(-1)\times(-x)$$=(4k+1)x$ $x$항의 계수가 $5$이므로 $4k+1=5$ $∴ k=1$ |
다항식 $(x^2-xy+4y^2)(x+y)$를 전개하시오. | $(x^2-xy+4y^2)(x+y)$$=$$x^3+x^2y-x^2y-xy^2+4xy^2+4y^3$ $=$$x^3+3xy^2+4y^3$ |
다항식 $(x-3y)^3$을 전개하시오. | $(x-3y)^3$ $=$$x^3-3\times x^2\times3y+3\times x\times(3y)^2-(3y)^3$ $=$$x^3-9x^2y+27xy^2-27y^3$ |
다항식 $(3x^3+2x^2-4x-3)(2x^2-4x-2)$의 전개식에서 $x^3$의 계수를 구하시오. | $(3x^3+2x^2-4x-3)(2x^2-4x-2)$의 전개식에서 $x^3$항은 $3x^3\times(-2)+2x^2\times(-4x)+(-4x)\times2x^2$$=-22x^3$ 따라서 $x^3$의 계수는 $-22$이다. |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A-B=4x^2+2xy+5y^2$, $2A-B=7x^2+3xy+9y^2$일 때, $A+2B$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B=4x^2+2xy+5y^2$ ······ ㉠ $2A-B=7x^2+3xy+9y^2$ ······ ㉡ $㉠-㉡$ : $-A=-3x^2-xy-4y^2$ $∴$ $A=3x^2+xy+4y^2$ $A$를 ㉠에 대입하면 $(3x^2+xy+4y^2)-B=4x^2+2xy+5y^2$ $∴$ $B=(3x^2+xy+4y^2)-(4x^2+2xy+5y^2)$ $=3x^2+xy+4y^2-4x^2-2xy-5y^2$ $=$$-x^2-xy-y^2$ $∴$ $A+2B=(3x^2+xy+4y^2)+2(-x^2-xy-y^2)$ $=3x^2+xy+4y^2-2x^2-2xy-2y^2$ $=$$x^2-xy+2y^2$ |
다항식 $(x^2+4x+3)(-3x^2+x+k)$의 전개식에서 $x$의 계수가 $15$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. | $(x^2+4x+3)(-3x^2+x+k)$의 전개식에서 $x$항은 $4x\times k+3\times x$$=(4k+3)x$ $x$항의 계수가 $15$이므로 $4k+3=15$ $∴$ $k=3$ |
다항식 $(a-1)(a^2+a+1)$을 전개하시오. | $(a-1)(a^2+a+1)$$=a^3-1^3$$=a^3-1$ |
다항식 $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)+(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$을 간단히 하시오. | $(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)+(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$ $=$$x^3+27y^3+8x^3-y^3$ $=$$9x^3+26y^3$ |
다항식 $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$을 전개하시오. | $(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$=(2x)^3-y^3$$=8x^3-y^3$ |
다항식 $(2a+b-c)^2$을 전개하시오. | $(2a+b-c)^2$ $=(2a)^2+b^2+(-c)^2+2 \times 2a \times b+2 \times b \times (-c)+2 \times (-c) \times 2a$ $=4a^2+b^2+c^2+4ab-2bc-4ca$ |
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$, $ab=2$일 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a<b$) | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$=\frac{a+b}{ab}$$=3$ $ab=2$이므로 $\frac{a+b}{2}$$=3$ $∴ a+b=6$ $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=6^2-4\times2$$=28$ $a<b$이므로 $a-b$$=-2\sqrt{7}$ |
다항식 $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)-(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$을 간단히 하시오. | $(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)-(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$ $=$$x^3+8y^3-(27x^3+y^3)$ $=$$x^3+8y^3-27x^3-y^3$ $=$$-26x^3+7y^3$ |
$x+y=1$, $x^3+y^3=4$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하시오. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $1^3=4+3xy\times1$ $∴ xy=-1$ $∴ x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=1^2-2\times(-1)$$=3$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A-B=7x^3-6x^2+11x-7$, $A+2B=16x^3-x-4$일 때, $A+B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B=7x^3-6x^2+11x-7 ······ ㉠$ $A+2B=16x^3-x-4 ······ ㉡$ $㉠-㉡$ : $-3B=-9x^3-6x^2+12x-3$ $∴ B=3x^3+2x^2-4x+1$ $B$를 $㉠$에 대입하면 $A-(3x^3+2x^2-4x+1)=7x^3-6x^2+11x-7$ $∴ A=(7x^3-6x^2+11x-7)+(3x^3+2x^2-4x+1) =7x^3-6x^2+11x-7+3x^3+2x^2-4x+1$ $=$$10x^3-4x^2+7x-6$ $∴ A+B=(10x^3-4x^2+7x-6)+(3x^3+2x^2-4x+1) =10x^3-4x^2+7x-6+3x^3+2x^2-4x+1$ $=$$13x^3-2x^2+3x-5$ |
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B=4x^2+2xy+4y^2$, $B+C=x^2-6xy-7y^2$, $C+A=7x^2-2xy-y^2$일 때, $A+B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=4x^2+2xy+4y^2$ ······ $㉠$ $B+C=x^2-6xy-7y^2$ ······ $㉡$ $C+A=7x^2-2xy-y^2$ ······ $㉢$ $㉠+㉡+㉢$을 하면 $2(A+B+C)=12x^2-6xy-4y^2$ $∴$ $A+B+C=6x^2-3xy-2y^2$ |
$x-y=3$, $xy=2$일 때, $x^2+xy+y^2$의 값을 구하시오. | $x^2+xy+y^2$$=(x-y)^2+3xy$$=3^2+3\times2$$=15$ |
다항식 $(3x+y)^3$을 전개하시오. | $(3x+y)^3$ $=$$(3x)^3+3\times(3x)^2\times y+3\times3x\times y^2+y^3$ $=$$27x^3+27x^2y+9xy^2+y^3$ |
다항식 $(x^2+4x+3)(-3x^2+x+k)$의 전개식에서 $x^2$의 계수가 $3$일 때, 상수 $k$의 값을 구하시오. | $(x^2+4x+3)(-3x^2+x+k)$의 전개식에서 $x^2$항은 $x^2\times k+4x\times x+3\times(-3x^2)$$=(k-5)x^2$ $x^2$항의 계수가 $3$이므로 $k-5=3$ $∴ k=8$ |
다항식 $(2x-1)^3$을 전개하시오. | $(2x-1)^3$ $=$$(2x)^3-3\times(2x)^2\times1+3\times2x\times1^2-1^3$ $=$$8x^3-12x^2+6x-1$ |
다항식 $(x^2+2xy-y^2)(-x+3y)$를 전개하시오. | $(x^2+2xy-y^2)(-x+3y) = -x^3+3x^2y - 2x^2y +6xy^2 + xy^2 -3y^3$ $=$$-x^3+x^2y+7xy^2-3y^3$ |
다항식 $(x+3)^3$을 전개하시오. | $(x+3)^3$ $=$$x^3+3\times x^2\times3+3\times x\times3^2+3^3$ $=$$x^3+9x^2+27x+27$ |
$x-y=4$, $xy=2$일 때, $x^2+xy+y^2$의 값을 구하시오. | $x^2+xy+y^2$$=(x-y)^2+3xy$$=4^2+3\times2$$=22$ |
다항식 $(2x-3y+1)(-x+3y-6)$의 전개식에서 $xy$의 계수를 구하시오. | $(2x-3y+1)(-x+3y-6)$의 전개식에서 $xy$항은 $2x\times3y+(-3y)\times(-x)=9xy$ 따라서 $xy$의 계수는 $9$이다. |
두 다항식 $A=3x^2-4xy+y^2$, $B=2x^2-xy+5y^2$에 대하여 $2A-B$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $2A-B$ $=$$2(3x^2-4xy+y^2)-(2x^2-xy+5y^2)$ $=$$6x^2-8xy+2y^2-2x^2+xy-5y^2$ $=$$4x^2-7xy-3y^2$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A-B=-6x^3-7x^2+5x-12$, $2A+B=3x^3+x^2+10x$일 때, $A-2B$를 계산하여 $x$에 대한 식으로 나타내시오. | $A-B=-6x^3-7x^2+5x-12 ······ ㉠$ $2A+B=3x^3+x^2+10x ······ ㉡$ $㉠+㉡$ : $3A=-3x^3-6x^2+15x-12$ ∴ $A=-x^3-2x^2+5x-4$ $A$를 $㉠$에 대입하면 $(-x^3-2x^2+5x-4)-B=-6x^3-7x^2+5x-12$ $=$$5x^3+5x^2+8$ $=$$-11x^3-12x^2+5x-20$ |
다항식 $(a+2)^3$을 전개하시오. | $(a+2)^3$ $=$$a^3+3\times a^2\times2+3\times a\times2^2+2^3$ $=$$a^3+6a^2+12a+8$ |
다항식 $(a-2b-c)^2$을 전개하시오. | $(a-2b-c)^2$ $=a^2+(-2b)^2+(-c)^2+2\times a \times(-2b)+2\times(-2b)\times(-c)+2\times(-c)\times a$ $=a^2+4b^2+c^2-4ab+4bc-2ca$ |
$299\times301+198^2$이 $n$자리 자연수일 때, $n$의 값을 구하시오. | $299\times301+198^2$ $=$$(300-1)(300+1)+(200-2)^2$ $=$$90000-1+40000-800+4$ $=$$129203$ 여섯 자리 자연수이므로 $n=6$ |
$a+b=3$, $ab=-1$일 때, 보기의 식을 이용하여 $a^3+b^3$의 값을 구하시오. 보기 $a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$ | $a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$=3^3-3\times(-1)\times3$$=36$ |
세 다항식 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B=2x^2+y^2$, $B+C=8x^2-2xy+3y^2$, $C+A=4x^2-6xy-6y^2$일 때, $A+B+C$를 계산하여 $x$, $y$에 대한 식으로 나타내시오. | $A+B=2x^2+y^2 ······ ㉠$ $B+C=8x^2-2xy+3y^2 ······ ㉡$ $C+A=4x^2-6xy-6y^2 ······ ㉢$ $㉠+㉡+㉢$을 하면 $2(A+B+C)=14x^2-8xy-2y^2$ $∴ A+B+C=7x^2-4xy-y^2$ |
다항식 $(x^2+3xy+9y^2)(x^2-3xy+9y^2)$을 전개하시오. | $(x^2+3xy+9y^2)(x^2-3xy+9y^2)$ $=$$x^4+x^2\times(3y)^2+(3y)^4$ $=$$x^4+9x^2y^2+81y^4$ |
다항식 $(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$를 전개하시오. | $(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ $=$$x^4+x^2\times2^2+2^4$ $=$$x^4+4x^2+16$ |
다항식 $(x+3)(x^2-3x+9)$를 전개하시오. | $(x+3)(x^2-3x+9)$$=x^3+3^3$$=x^3+27$ |
다항식 $(a+b-c)(a-b+c)$를 전개하시오. | $b-c=t$라 하면 $(a+b-c)(a-b+c)$ $=$$\lbrace a+(b-c)\rbrace\lbrace a-(b-c)\rbrace$ $=$$(a+t)(a-t)$ $=$$a^2-t^2$ $=$$a^2-(b-c)^2$ $=$$a^2-(b^2-2bc+c^2)$ $=$$a^2-b^2-c^2+2bc$ |
$x+y=4$, $xy=2$일 때, $x^2-xy+y^2$의 값을 구하시오. | $x^2-xy+y^2$$=(x+y)^2-3xy$$=4^2-3\times2$$=10$ |
다항식 $(2x^2+x+2)(2x^2+x-3)$을 전개하시오. | $2x^2+x=t$로 놓으면 $(2x^2+x+2)(2x^2+x-3)$ $=$$\lbrace(2x^2+x)+2\rbrace\lbrace(2x^2+x)-3\rbrace$ $=$$(t+2)(t-3)$ $=$$t^2-t-6$ $=$$(2x^2+x)^2-(2x^2+x)-6$ $=$$4x^4+4x^3+x^2-2x^2-x-6$ $=$$4x^4+4x^3-x^2-x-6$ |
다항식 $(x+3y-2)^2$을 전개하시오. | $(x+3y-2)^2$ $=x^2+(3y)^2+(-2)^2+2\times x\times 3y + 2 \times 3y \times(-2)+ 2\times(-2)\times x $ $=x^2+9y^2+6xy-4x-12y+4$ |
다항식 $(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)$을 전개하시오. | $(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)$ $=$$\lbrace(x+1)(x-2)\rbrace\lbrace(x+2)(x-3)\rbrace$ $=$$(x^2-x-2)(x^2-x-6)$ $x^2-x=t$라 하면 $(x^2-x-2)(x^2-x-6)$ $=$$(t-2)(t-6)$ $=$$t^2-8t+12$ $=$$(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$ $=$$x^4-2x^3+x^2-8x^2+8x+12$ $=$$x^4-2x^3-7x^2+8x+12$ |
다항식 $(x+2)(x+3)(x+4)$를 전개하시오. | $(x+2)(x+3)(x+4)$ $=$$x^3+(2+3+4)x^2+(6+12+8)x+2\times3\times4$ $=$$x^3+9x^2+26x+24$ |
$x^2-2x-1=0$일 때, $x^3-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x$$\ne$$0$이므로 $x^2-2x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-2-\frac{1}{x}=0$ $∴ $$x-\frac{1}{x}$$=2$ $∴$ $x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})=2^3+3\times2=14$ |
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $A$$☆$$B$$=2A-3B$라 할 때, 다음을 계산하시오. ($3x^2-x+1)☆(x^2-5x-9)\\$ | $(3x^2-x+1)☆(x^2-5x-9)$ $\\$ $=$$2(3x^2-x+1)-3(x^2-5x-9)$ $\\$ $=$$6x^2-2x+2-3x^2+15x+27$ $\\$ $=$$3x^2+13x+29$ |
$x-y=-1$, $x^3-y^3=4$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하시오. | $(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)$ $(-1)^3=4-3xy\times(-1)$ $∴$ $xy=-\frac{5}{3}$ $∴ $$x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=$$(-1)^2$$+$$2\times$$-$$(\frac{5}{3})$=$-\frac{7}{3}$ |
다항식 $(a+2b+1)^2$을 전개하시오. | $(a+2b+1)^2$ $=a^2+(2b)^2+1^2+2 \times a \times 2b + 2 \times 2b \times 1 + 2 \times 1 \times a$ $=$$a^2+4b^2+4ab+2a+4b+1$ |
다항식 $(x+1)^2(x-2)^2$을 전개하시오. | $(x+1)^2(x-2)^2 =\lbrace(x+1)(x-2)\rbrace^2 =(x^2-x-2)^2 =(x^2)^2+(-x)^2+(-2)^2+2\times x^2\times(-x)+2\times(-x)\times(-2)+2\times(-2)\times x^2 =x^4-2x^3-3x^2+4x+4$ |
$a-b=3$, $ab=-2$일 때, 보기의 식을 이용하여 $a^3-b^3$의 값을 구하시오. $a^3-b^3$$=(a-b)^3+3ab(a-b)$ | $a^3-b^3$$=(a-b)^3+3ab(a-b)$$=3^3+3\times(-2)\times3$$=9$ |
$x-y=4$, $x^2+y^2=10$일 때, $x^3-y^3$의 값을 구하시오. | $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$ $10=4^2+2xy$ $∴$ $xy=-3$ $∴$ $x^3-y^3$$=(x-y)^3+3xy(x-y)$$=4^3+3\times(-3)\times4$$=28$ |
$a+b=2$, $ab=-1$일 때, $a^3+b^3$의 값을 구하시오. | $a^3+b^3$$=(a+b)^3-3ab(a+b)$$=2^3-3\times(-1)\times2$$=14$ |
$x+y=2$, $x^3+y^3=2$일 때, $x^4+y^4$의 값을 구하여라. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $2^3=2+3xy\times2$ $∴ xy=1$ $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2^2-2\times1=2$ $∴ x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$=2^2-2\times1^2$$=2$ |
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$, $ab=-2$일 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a>b$) | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$=\frac{a+b}{ab}$$=3$ $ab=-2$이므로 $\frac{a+b}{-2}$$=3$ $∴$ $a+b=-6$ $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=(-6)^2-4\times(-2)$$=44$ $a>b$이므로 $a-b$$=2\sqrt{11}$ |
다항식 $(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)$을 전개한 식이 $x^4+ax^3+bx^2+cx+12$일 때, 상수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하시오. | $(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)$ $=$$\lbrace(x-2)(x+3)\rbrace\lbrace(x-1)(x+2)\rbrace$ $=$$(x^2+x-6)(x^2+x-2)$ $x^2+x=t$라 하면 $(x^2+x-6)(x^2+x-2)$ $=$$(t-6)(t-2)$ $=$$t^2-8t+12$ $=$$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12$ $=$$x^4+2x^3+x^2-8x^2-8x+12$ $=$$x^4+2x^3-7x^2-8x+12$ 따라서 $a=2$, $b=-7$, $c=-8$이므로 $a+b+c$$=2+(-7)+(-8)$$=-13$ |
$x+y=2$, $x^3+y^3=14$일 때, $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$의 값을 구하시오. | $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ $2^3=14+3xy\times2$ $∴$ $xy=-1$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=2^2-2\times(-1)$$=6$ $∴$ $\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$$=\frac{x^2+y^2}{xy}$$=\frac{6}{-1}$$=-6$ |
$x=2\sqrt{2}+1$, $y=2\sqrt{2}-1$일 때, $x^3-y^3$의 값을 구하시오. | $x-y$$=(2\sqrt{2}+1)-(2\sqrt{2}-1)$$=2$ $xy$$=(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)$$=7$ $∴ x^3-y^3$$=(x-y)^3+3xy(x-y)$$=2^3+3\times7\times2$$=50$ |
$x+y=2$, $xy=-2$일 때, $\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$의 값을 구하시오. | $x^3+y^3$$=(x+y)^3-3xy(x+y)$$=2^3-3\times(-2)\times2$$=20$ $∴$ $\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$$=\frac{x^3+y^3}{xy}$$=\frac{20}{-2}$$=-10$ |
다항식 $(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$을 전개하시오. | $(2a+b)(4a^2-2ab+b^2)$$=(2a)^3+b^3$$=8a^3+b^3$ |
다항식 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$를 전개하시오. | $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$ $=$$\lbrace(x+1)(x-2)\rbrace\lbrace(x+3)(x-4)\rbrace$ $=$$(x^2-x-2)(x^2-x-12)$ $x^2-x=t$라 하면 $(x^2-x-2)(x^2-x-12)$ $=$$(t-2)(t-12)$ $=$$t^2-14t+24$ $=$$(x^2-x)^2-14(x^2-x)+24$ $=$$x^4-2x^3+x^2-14x^2+14x+24$ $=$$x^4-2x^3-13x^2+14x+24$ |
$x=3-\sqrt{2}$, $y=3+\sqrt{2}$일 때, $x^3+y^3$의 값을 구하시오. | $x+y$$=(3-\sqrt{2})+(3+\sqrt{2})$$=6$ $xy$$=(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})$$=7$ $∴$ $x^3+y^3$$=(x+y)^3-3xy(x+y)$$=6^3-3\times7\times6$$=90$ |
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$, $ab=2$일 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a>b$) | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$=\frac{a+b}{ab}$$=4$ $ab=2$이므로 $\frac{a+b}{2}$$=4$ $∴ a+b=8$ $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=8^2-4\times2$$=56$ $a>b$이므로 $a-b$$=2\sqrt{14}$ |
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3$, $ab=2$일 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a>b$) | $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$=\frac{a+b}{ab}$$=3$ $ab=2$이므로 $\frac{a+b}{2}$$=3$ $∴ a+b=6$ $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=6^2-4\times2$$=28$ $a>b$이므로 $a-b$$=2\sqrt{7}$ |
$x-y=3$, $xy=1$일 때, $\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}$의 값을 구하시오. | $x^3-y^3$$=(x-y)^3+3xy(x-y)$$=3^3+3\times1\times3$$=36$ ∴ $\frac{x^2}{y}-\frac{y^2}{x}$$=\frac{x^3-y^3}{xy}$$=\frac{36}{1}$$=36$ |
다항식 $(4x^2+2x+1)(4x^2-2x+1)$을 전개하시오. | $(4x^2+2x+1)(4x^2-2x+1)$ $=$$(2x)^4+(2x)^2\times1^2+1^4$ $=$$16x^4+4x^2+1$ |
$x-\frac{1}{x}=4$일 때, $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$의 값을 구하시오. | $x^2+\frac{1}{x^2}$$=(-\frac{1}{x})^2+2$$=4^2+2$$=16+2$$=18$ $x^3-\frac{1}{x^3}$$=(x-\frac{1}{x})^3+3(x-\frac{1}{x})$$=4^3+3\times4$$=76$ $∴$ $x^3+x^2+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}$$=18+76$$=94$ |