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Ramsey Graph

Live Demo

本仓库托管了一些与经典 拉姆齐数(Ramsey Number) 相关的图。

Ramsey(s,t,n) 图 是具有 $n$ 个顶点的图,它不包含大小为 $s$ 的团,也不包含大小为 $t$ 的独立集。通常将 n 省略,用 Ramsey(s,t) 图 代指某些 $n$ 的 Ramsey(s,t,n) 图。 Ramsey 定理表示,对于给定的 $s$ 和 $t$,Ramsey(s,t) 图的数量是有限的。我们称满足 Ramsey 图的最小顶点数为拉姆齐数(Ramsey Number)。然而,找到所有这样的图,甚至确定它们存在的最大 $n$,都是一个著名的组合数学难题。

人类已知的拉姆齐数非常有限,大部分只能知道该数的上界和下界。一个方法是寻找最大 Ramsey 图,它的顶点数就是 Ramsey 数的下界。

如果你对这个主题感兴趣,可以尝试找一下 最大的 Ramsey(5,5) 图。人们已经将 42 顶点的 Ramsey(5,5) 图全部找到了,但是不确定有没有 43 顶点的 Ramsey(5,5) 图。拉姆齐数 Ramsey(5,5) 的下界最后一次被改进是在 1989 年。只要你找到一个,那就是这个领域 35 年来的重要进展!

有关 Ramsey 图的最新研究,请参见 Radziszowski 的动态综述,持续更新刊登于 电子组合学期刊

Ramsey 数

Ramsey 数 是指满足 Ramsey 图的最小顶点数。以下是一些已知的 Ramsey 数:

s\t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 - 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 - - 6 9 14 18 23 28 36 40 - 41
4 - - - 18 25 36 - 40 49 - 58 59 - 79 73 - 106 92 - 136
5 - - - - 43 - 48 59 - 85 80 - 133 101 - 194 133 - 282 149 - 381
6 - - - - - 102 - 161 115 - 273 134 - 427 183 - 656 204 - 949
7 - - - - - - 205 - 497 219 - 840 252 - 1379 292 - 2134
8 - - - - - - - 282 - 1532 329 - 2683 343 - 4432
9 - - - - - - - - 565 - 5366 581 - 9797
10 - - - - - - - - - 798 - 17730

进展

目前人们已经找到了许多 Ramsey 图,但仍有许多图尚未找到。以下是一些已知的 Ramsey 图:

  • 所有最大 Ramsey(3,7) 图
  • 所有最大 Ramsey(3,8) 图
    • 1992 年 McKayZhang 证明最大 Ramsey(3,8) 图有 27 个顶点,但完整的 Ramsey(3,8,27) 图集直到 2012 年才由 Gunnar BrinkmannJan Goedgebeur 确定。
    • 27 个顶点 (压缩文件) (477142 个图)
  • 所有最大 Ramsey(3,9) 图
    • 最大 Ramsey(3,9) 图有 35 个顶点,由 Kalbfleisch 很久以前发现,但直到 2013 年才证明其唯一性。参见 GoedgebeurRadziszowski论文
    • 35 个顶点 (1 个图)
  • 所有最大 Ramsey(4,5) 图
    • 1995 年,McKayRadziszowski 证明不存在超过 24 个顶点的 Ramsey(4,5) 图,并找到了 350904 个 24 顶点的图。剩下的图在 2016 年由 McKayAngeltveit 发现。总共有 352366 个图,参见 r45_24.g6
  • 已知最大的 Ramsey(4,6) 图
    • 2012 年初,Geoffrey Exoo 发现了 37 个 Ramsey(4,6,35) 图。这可能还有更多,甚至可能存在 36 到 40 个顶点的图。参见 r46_35some.g6
  • 已知最大的 Ramsey(5,5) 图
    • 1989 年,Geoffrey Exoo 发现了几个 Ramsey(5,5,42) 图。McKayRadziszowski 将其扩展至 656 个图,并推测不可能有更大的图。然而,可能还有更多 42 顶点的图,甚至可能存在 43 到 47 个顶点的图。r55_42some.g6 包含其中 328 个图,其他 328 个是它们的补图。
  • Ramsey(4,4;3)-超图
    • Ramsey(4,4;3) 超图 是一个 3-均匀超图,不能包含 4-顶点的完全子图,也不能包含 4-顶点的完全独立集。Steve ButlerAaron Wootton 在 2010 年发现了 42 个这样的超图,每个都有 13 个顶点。

Huggingface datasets

本仓库的数据集已经发布到了 Huggingface datasets (https://huggingface.co./datasets/linxy/RamseyGraph)。你可以使用以下代码安装:

pip install datasets
>>> from datasets import load_dataset
>>> dataset = load_dataset("linxy/RamseyGraph", "r44_3", trust_remote_code=True)
>>> for i in dataset["train"]:
>>>     print(i)
{'edges': [], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[1, 2]], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[0, 2], [1, 2]], 'num_nodes': 3}
{'edges': [[0, 1], [0, 2], [1, 2]], 'num_nodes': 3}

Thanks

Gunnar BrinkmannJan Goedgebeurramsey 数据库

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