Datasets:

foldl

/

99problems

like 1

Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.

Вот один из возможных вариантов.

Имеется два стакана, в первом стакане налито некоторое количество воды, а во втором – такое же количество спирта. Разрешается переливать некоторое количество жидкости из одного стакана в другой (при этом раствор равномерно перемешивается). Можно ли с помощью таких операций получить в первом стакане раствор, в котором процентное содержание спирта больше, чем во втором?

  Для определенности примем количество жидкости, налитое в каждом из стаканов, равным 100 г. Докажем, что в первом стакане процентное содержание спирта никогда не превысит 50%, а во втором никогда не будет ниже 50%.   В начальный момент данное утверждение верно. Пусть оно верно в некоторый момент: в первом стакане воды не меньше, чем спирта, а во втором спирта не меньше, чем воды. Пусть мы перелили некоторое количество жидкости из первого стакана во второй. Тогда процентное содержание спирта в первом стакане осталось тем же, то есть в нём по-прежнему воды не меньше, чем спирта. Но во втором стакане в сумме с первым 100 г воды и 100 г спирта. Следовательно, во втором стакане после переливания спирта будет не меньше, чем воды. Итак, утверждение остается верным при переливаниях.

Нельзя.

Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству.

  Пусть M – некоторое такое множество точек. Рассмотрим выпуклую оболочку V этого множества. У многоугольника V не может быть тупого угла. В самом деле, если A, B, C – три последовательные вершины многоугольника V, и угол ABC тупой, то ортоцентр треугольника ABC лежит вне угла ABC, и следовательно, вне V. Итак, отсюда следует, что V – это прямоугольный или остроугольный треугольник или квадрат.   1) Пусть это остроугольный треугольник ABC. Обозначим через H его ортоцентр, принадлежащий M. Пусть кроме точек A, B, C, H есть еще одна точка K из множества M. K лежит в одном из треугольников ABH, BCH, CAH (поскольку лежит внутри V), для определенности, пусть в треугольнике BCH. При этом  ∠BAC + ∠BHC = 180°.  Поскольку K лежит в треугольнике BCH, то  ∠BHC < ∠BKC  (докажите!). Ортоцентр L треугольника BCK лежит внутри V, поэтому  ∠BLC ≥ ∠A,  а ∠BKC + ∠BLC > 180°  вопреки свойству ортоцентра. Противоречие.   2) Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Аналогично 1) можно показать, что кроме вершин V ни одной точки не может принадлежать множеству M.   3) Пусть V – квадрат, то ортоцентр любого треугольника, образованного его тремя вершинами, совпадает с одной из этих вершин. Деля квадрат диагональю на две части и рассуждая аналогично 2), получаем, что множество M не содержит других точек, кроме вершин квадрата.

Три вершины и ортоцентр остроугольного треугольника, три вершины прямоугольного треугольника или четыре вершины квадрата.

Каждую букву исходного сообщения заменили её двузначным порядковым номером в русском алфавите согласно таблице:

Пользуйтесь арифметикой остатков от деления на 1000.

Условимся писать  a ≡ b вместо a ≡ b (mod 1000).  Для нахождения последней буквы исходного сообщения нужно решить cравнение  77n = 355.  Заметим, что n ≡ 1001n = 13·77n ≡ 13·355 = 4165,  то есть  n = 615.  Аналогично решаем уравнения  77n = ***,  в правой части которых стоят другие трёхзначные цифровые группы шифра сообщения (850, 547, 550 и т.д.). Искомая цифровая последовательность имеет вид  121332252610221801150111050615.

Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (-) между словами, преобразуется в цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр согласно следующей таблице: Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок некоторой последовательности с периодом 1 4 7 6 5 6 3 6 9 0 1 6 3 6 5 6 7 4 9 0 (при этом неизвестно, с какого места начинается последовательность). При зашифровании каждая цифра сообщения складывается с соответствующей цифрой отрезка и заменяется последней цифрой полученной суммы. Восстановите сообщение: 2339867216458160670617315588 (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

Для того, чтобы найти исходное сообщение, найдем сначала цифровое сообщение, полученное из него с помощью таблицы замены. Согласно этой таблице на нечетных местах цифрового образа исходного сообщения могут быть только цифры 0, 1, 2 и 3. Последовательно рассматривая эти значения для каждого нечетного места цифрового сообщения с использованием соответствующей цифры шифрованного сообщения, найдем соответствующие варианты значений цифр шифрующего отрезка. Для этого вычислим остатки от деления разностей цифр шифрованного и варианта цифрового сообщений: порядковый номер места1357911 1315171921232527 шифрованное сообщение S(k) 2 3 8 7 1 4 8 6 6 0 1 3 5 8 вариант 0 для Г(k) 2 3 8 7 1 4 8 6 6 0 1 3 5 8 вариант 1 для Г(k) 1 2 7 6 0 3 7 5 5 9 0 2 4 7 вариант 2 для Г(k) 0 1 6 5 9 2 6 4 4 8 9 1 3 6 вариант 3 для Г(k) 9 0 5 4 8 1 5 3 3 7 8 0 2 5 По условию последовательность, из которой выбран шифрующий отрезок, является периодической с периодом 20. Из таблицы вариантов значений цифр шифрующего отрезка видим, что 5-я его цифра может быть равна 5, 6, 7 или 8, а его 25-я цифра - 2, 3, 4 или 5. Отсюда получаем, что Г5=Г25=5. На периоде последовательности, из которой выбран шифрующий отрезок, есть две цифры 5: C5 и C15 (на 5-ом и 15-ом местах). Поэтому рассмотрим два случая. Если Г5=C5, то Г7=C7=3. Это противоречит таблице вариантов значений цифр шифрующего отрезка, в которой Г7 может быть равна 4, 5, 6 или 7. Если же Г5=С15, то соответствующий шифрующий отрезок: 1636567490147656369016365674 хорошо согласуется с таблицей вариантов значений его цифр. Вычитая цифры найденного отрезка из соответствующих цифр шифрованного сообщения и заменяя разности их остатками от деления на 10, получим по таблице замены пар цифр на буквы исходное сообщение: шифрованное сообщение 23 39 86 72 16 45 81 60 67 06 17 31 55 88 шифрующий отрезок 16 36 56 74 90 14 76 56 36 90 16 36 56 74 цифровое сообщение 17 03 30 08 26 31 15 14 31 16 01 05 09 14 исходное сообщение С В Я З Ь - П О - Р А Д И О

На стороне AB квадрата ABCD построили (снаружи) равносторонний треугольник AKB. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CKD, если AB=1.

Построим на стороне CD внутрь квадрата ABCD равносторонний треугольник CDM. Тогда CM=1 и DM=1. Кроме того, треугольник ABK получается из треугольника CDM параллельным переносом на вектор CB, длина которого равна 1. Отсюда следует, что KM равно 1. Таким образом, точка M удалена от точек C, D, K на расстояние 1. Это означает, что M является центром описанной окружности треугольника CDK, и радиус этой окружности равен 1.

1.00

Ковровая дорожка покрывает лестницу из 9 ступенек. Длина и высота лестницы равны 2 метрам. Хватит ли этой ковровой дорожки, чтобы покрыть лестницу из 10 ступенек длиной и высотой 2 метра?

Пусть дорожка покрывает лестницу с некоторым количеством ступенек, длина и высота которой равна 2 метрам. Мысленно спроектируем дорожку на горизонталь и на вертикаль. Суммарная длина горизонтальных участков дорожки равна длине лестницы, т.е. 2 метрам, а длина вертикальных участков дорожки равна высоте лестницы, т.е. также равна 2 метрам. Таким образом, для того, чтобы покрыть данную лестницу вне зависимости от числа ее ступенек, дорожка должна иметь длину не меньше 2+2=4 метров.

хватит.

  На каждой из трёх осей установлено по одной вращающейся шестерёнке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестерёнке 33 зубца, на второй – 10, на третьей – 7. На каждом зубце первой шестерёнки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:

Определим моменты остановок после начала шифрования. Пронумеруем буквы русского алфавита:  А – 0,  Б – 1,  и т.д. Буквам шифруемого слова будут соответствовать номера:  О – 15,  Л – 12,  И – 9,  М – 13,  П – 16,  А – 0,  Д – 4.  Моменты остановок будем указывать числом одношаговых (на один зубец) поворотов первого колеса до соответствующей остановки.

515355128523864354.

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Пусть ABCDS – выпуклый четырёхгранный угол с вершиной S. Плоскости противоположных граней ASB и CSD пересекаются по прямой a, а граней ASD и BSD – по прямой b, проходящим через S. Через пересекающиеся прямые a и b проведём плоскость П. Любая плоскость, проведённая через произвольную точку ребра данного четырёхгранного угла, пересекает этот угол по некоторому четырёхугольнику. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей противоположные стороны этого четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Докажите, что графики функций  y = x²  и  y = 2x²  являются подобными фигурами.

Сколько существует пятизначных чисел, получаемых из числа 12345 перестановкой цифр и у которых чётные цифры не стоят рядом?

В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны.

Пусть M, N и K - середины сторон AB, CD и BC четырехугольника ABCD, причем прямая MN образует равные углы с диагоналями. Поскольку MK и KN - средние линии треугольников ABC и BCD, то углы KMN и KMN равны. Поэтому треугольник MKN - равнобедренный, MK=KN. Следовательно, AC=BD.

Вам пришло зашифрованное сообщение: Ф В М Ё Ж Т И В Ф Ю Найдите исходное сообщение, если известно, что шифрпреобразование заключалось в следующем. Пусть x1, x2 - корни трехчлена x2+3x+1. К порядковому номеру каждой буквы в стандартном русском алфавите (33 буквы) прибавлялось значение многочлена f(x)=x6+3x5+x4+x3+4x2+4x+3, вычисленное либо при x=x1, либо при x=x2 (в неизвестном нам порядке), а затем полученное число заменялось соответствующей ему буквой. (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

Легко видеть, что f(x)=(x2+3x+1)(x4+x+1)+2. Отсюда f(x1)=f(x2)=2, где x1, x2 - корни многочлена x2+3x+1. Получаем Буква с.ш.ФВМЁЖТ ИВФЮ Номер 22 3 14 7 8 20 10 3 22 32 Номер - 220 1 12 5 6 18 8 1 20 30 Буква о.с.ТАКДЕР ЖАТЬ Ответ: ТАКДЕРЖАТЬ

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m2+1 точек с целыми координатами. Докажите, что в нем найдется m+1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

По принципу Дирихле среди m2+1 точек с целыми координатами найдутся такие две точки (k, l) и (k1, l1), что k=k1 (mod m) и l=l1 (mod m). Тогда m+1 точек , , имеют целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки (k, l) и (k1, l1).

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9; либо, вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

Пусть на доске написано число abcd. Тогда рассматриваемые операции не изменяют число M=(d+b)-(a+c), так как они увеличивают (уменьшают) на единицу одно число из первой скобки, и одно число - из второй. Для числа 1234 число M=(4+2)-(1+3)=2, для числа 2002 число M=(2+0)-(2+0)=0. Поэтому требуемое невозможно.

Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Пусть в треугольнике ABC точки H, D и M - основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершины B. Опишем около треугольника ABC окружность. Пусть P - точка пересечения прямой BD с этой окружностью. Тогда P - середина дуги AC. Поэтому прямая, проведенная через точку P параллельно BH, перпендикулярна хорде AC и проходит через ее середину, т. е. точку M. Поскольку точки B и P лежат по разные стороны от прямой AC, то точка D лежит между проекциями концов отрезка BP, т. е. между точками H и M.

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку, лежащую внутри данного угла, прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.

Пусть M - точка внутри данного угла, A - вершина угла, 2p - данный периметр. Отложим на сторонах данного угла точки L и C так, что AL=AC=p. Впишем в угол окружность, касающуюся его сторон в точках L и C, и проведем через точку M касательные к этой окружности (если это возможно). В данном построении использовалось известное свойство вневписанной окружности: длина отрезка касательной от вершины до точки касания с противоположной вневписанной окружностью равно полупериметру треугольника.

Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.

Рассмотрим правильный пятиугольник, вписанный в данную окружность. Из его пяти вершин хотя бы три окрашены в один цвет. Они и являются вершинами равнобедренного треугольника с вершинами одного цвета.

Цифры 0, 1, ..., 9 разбиты на несколько непересекающихся групп. Из цифр каждой группы составляются всевозможные числа, для записи каждого из которых все цифры группы используются ровно один раз (учитываются и записи, начинающиеся с нуля). Все полученные числа расположили в порядке возрастания и k-му числу поставили в соответствие k-ю букву алфавита АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ. Оказалось, что каждой букве соответствует число и каждому числу соответствует некоторая буква. Шифрование сообщения осуществляется заменой каждой буквы соответствующим ей числом. Если ненулевое число начинается с нуля, то при шифровании этот нуль не выписывается. Восстановите сообщение 873146507381 и укажите таблицу замены букв числами.

  Группу из k цифр будем обозначать Gk. Заметим, что числам, составленным из цифр этой группы, соответствует ровно k! букв. Поскольку в сообщении отсутствуют цифры 2 и 9, эти цифры образуют либо две группы по одной цифре, либо одну группу из двух цифр. В обоих случаях эти цифры могут быть использованы для зашифрования ровно двух букв алфавита. Так как 31 = 1! + 3! + 4!,  то множество  {1, 3, 4, 5, 6, 8, 0}  является объединением множеств G1, G3, G4. Если  G1 ≠ {1},  то из сообщения находим:   а)  G4 = {1, 3, 7, 8},  G3 = {0, 5, 6},  G1 = {4},  либо   б)  G4 = {1, 3, 7, 8},  G3 = {4, 5, 6},  G1 = {0}.

Квадратный трёхчлен  ax² + bx + c  имеет два действительных корня. Верно ли, что трёхчлен  a101x² + b101x + c101  также имеет два действительных корня?

Дискриминант первого трёхчлена больше нуля, то есть  b² > 4ac.  Отсюда следует, что  (b101)² > (4ac)101.  Если  ac ≥ 0,  то  (4ac)101 ≥ 4a101c101,  то есть дискриминант второго трёхчлена положителен. Если же  ac < 0,  то это ясно и так.

Верно.

Комбинация  (x, y, z)  трёх натуральных чисел, лежащих в диапазоне от 10 до 20 включительно, является отпирающей для кодового замка, если  3x² – y² – 7z = 99.  Найдите все отпирающие комбинации.

Заметим, что  3x² – y² ≡ 1 (mod 7).  Таких пар остатков 8:  (1, 3),  (1, 4),  (2, 2),  (2, 5),  (5, 2),  (5, 5),  (6, 3),  (6, 4).  Учитывая диапазон значений x и y, получаем 19 возможных пар:  (15, 10),  (15, 17),  (16, 16),  (16, 12),  (16, 19),  (12, 16),  (19, 16),  (12, 12),  (12, 19),  (19, 12),  (19, 19),  (13, 10),  (13, 17),  (20, 10),  (20, 17), (13, 11),  (13, 18),  (20, 11),  (20, 18).  Для каждой пары  (x, y)  находим соответствующее значение z. В диапазон  [10, 20]  попадают только три варианта: (12, 16, 11),  (13, 17, 17),  (13, 18, 12).

(12, 16, 11),  (13, 17, 17),  (13, 18, 12).

Зашифрование сообщения состоит в замене букв исходного текста на пары цифр в соответствии с некоторой (известной только отправителю и получателю) таблицей, в которой разным буквам алфавита соответствуют разные пары цифр. Криптографу дали задание восстановить зашифрованный текст. В каком случае ему будет легче выполнить задание: если известно, что первое слово второй строки – "термометр" или что первое слово третьей строки – "ремонт"?

Во втором случае известны пары цифр, которыми шифруются буквы из множества  {р, е, м, о, н, т},  а в первом – пары цифр для букв того же множества, за исключением буквы "н".

Во втором.

Докажите, что не существует многогранника, у которого было бы ровно семь рёбер.

Если у многогранника четыре вершины, то это тетраэдр, имеющий шесть рёбер. Пусть число n вершин многогранника не меньше пяти. В каждой вершине многогранника сходится по крайней мере три грани, таким образом, из каждой вершины многогранника выходит не меньше трёх рёбер. Значит, всего ребёр не меньше чем  3n/2 > 7.

В древнем шифре, известном под названием "Сцитала", использовалась полоска папируса, которая наматывалась на круглый стержень виток к витку без просветов и нахлестов. Далее, при горизонтальном положении стержня, на папирус построчно записывался текст сообщения. После этого полоска папируса с записанным на ней текстом посылалась адресату, имеющему точно такой же стержень, что позволяло ему прочитать сообщение. В наш адрес поступило сообщение, зашифрованное с помощью шифра "Сцитала". Однако его автор, заботясь о том, чтобы строчки были ровные, во время письма проводил горизонтальные линии, которые остались на полоске в виде черточек между буквами. Угол наклона этих черточек к краю ленты равен α, ширина полоски равна d, а ширина каждой строки равна h. Укажите, как, пользуясь имеющимися данными, прочитать текст.

Рассмотрим один виток ленты на развертке цилиндра (разрез по горизонтальной линии).

Имеется полоска 1×99, разбитая на 99 клеток 1×1, которые раскрашены через одну в чёрный и белый цвет. Разрешается перекрашивать одновременно все клетки любого клетчатого прямоугольника 1×k. За какое наименьшее число перекрашиваний можно сделать всю полоску одноцветной?

  Оценка. Назовём перемычкой отрезок, разделяющий две клетки разных цветов. В начале у нас имеется 98 перемычек. Каждое перекрашивание изменяет число перемычек не более чем на 2. Значит, 48 перекрашиваний не хватит.   Алгоритм. Перекрасим все клетки со второй по 98-ю, затем все клетки с третьей по 97-ю, ..., наконец, одну 50-ю клетку. После этого полоска станет одноцветной.

За 49 перекрашиваний.

Нарисуйте на плоскости шесть точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

Например, можно взять вершины и середины сторон произвольного треугольника.

Найдите последние две цифры в десятичной записи числа  1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.

Заметим, что 10! делится на 100, и n! при  n > 10  будет тем более делиться на 100. Значит, последние две цифры числа  1! + 2! + ... + 2001! + 2002!  совпадают с последними двумя цифрами числа   1! + 2! + ... + 9!.  Последние две цифры этого числа нетрудно найти непосредственно (вычисления облегчаются тем, что, начиная с  n = 5,  число n! делится на 10).

13.

Укажите такое шестизначное число N, состоящее из различных цифр, что числа 2N, 3N, 4N, 5N, 6N отличаются от него перестановкой цифр.

Возьмём  N = 142857.  Непосредственная проверка показывает, что  2N = 285714,  3N = 428571,  4N = 571428,  5N = 714285,  6N = 857142.

N = 142857.

Существует ли непрерывная функция, принимающая каждое действительное значение ровно 3 раза?

Один из возможных вариантов – функция $f(x) = \frac{x}{3} + \arcsin(\sin x)$, график которой есть "пила", изображенная на картинке.

Другой вариант - функция $f(x) = \frac{2x}{3\pi} + \sin x$. Это пример "сглаженной пилы".

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Пусть M - точка пересечения прямой AB и плоскости П, а T - точка касания некоторой сферы, проходящей через A, B, и плоскости П. Тогда согласно известной теореме о квадрате длины касательной получаем: MT2=MA*MB. Мы видим тем самым, что длина отрезка MT постоянна и равна (MA*MB)1/2. Таким образом, все точки T лежат на окружности с центром M и радиусом R=(MA*MB)1/2.

На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость 5 отрезков?

Пусть n отрезков уже проведено, и они делят плоскость на K(n) частей. Проведем (n+1)-ый отрезок. Он пересекается с n уже проведенными не более, чем в n точках, которые высекают на нем не более (n-1) отрезков. Каждый из этих отрезков может поделить на две уже имеющуюся часть плоскости. Таким образом, проведение (n+1)-го отрезка добавляет не более (n-1) новых частей плоскости, т.е. K(n+1) не превосходит K(n)+n-1 (при n>1). Отсюда легко получить (поскольку K(2)=1), что K(5) не превосходит 1+(1+2+3)=7. Пример с семью частями плоскости строится так. Проводятся 5 прямых общего положения и на этих прямых берутся 5 отрезков, содержащих все попарные точки пересечения этих прямых.

7.00

Найдите наибольшее значение выражения .

При выражение равно 1. Покажем, что значение, превышающее 1, приниматься не может. Выражение не превосходит Найдутся углы из отрезка такие, что и . Тогда , что, очевидно, не превосходит 1.

1.00

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

Отложим от одной точки O пространства три равных по длине вектора a=OA, b=OB, c=OC, попарные углы между которыми равны и отличны от 900. После этого отложим от точки O векторы OD=a+b, OE=b+c, OF=c+a, OG=a+b+c. Нетрудно видеть, что вершины O, A, B, C, D, E, F будут являться вершинами параллелепипеда, гранями которого служат равные ромбы.

Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?

Если предположить, что среди пойманных и непойманных во второй раз рыб помеченные рыбы распределились одинаково, то доля помеченных рыб в пруду составляет  2/40 = 1/20.  Всего в пруду 30 помеченных рыб, значит, общее количество рыб в 20 раз больше.

Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.

Предположим, что выпуклый многоугольник разбит на 100 различных правильных треугольников. Рассмотрим наименьший из всех треугольников, примыкающих к границе многоугольника. Пусть это треугольник ABC, у которого сторона AB примыкает к границе многоугольника. Поскольку многоугольник выпуклый, то он весь лежит по одну сторону с точкой C от прямой AB. К одной из сторон AC, BC треугольника ABC должен примыкать еще хотя бы один треугольник (иначе многоугольник совпадал бы с треугольником ABC). Пусть, например, к стороне AC примыкает ещё один треугольник T. Тогда сторона треугольника T больше стороны треугольниика ABC, и поэтому его сторона, примыкающая к AC, продолжается за точку C. Если бы существовал треугольник, примыкающий к стороне BC треугольника ABC, то мы таким же образом заключили бы, что его сторона, примыкающая к BC, продолжается за точку C. Тем самым этот треугольник пересекался бы с треугольником T. Противоречие. Значит, нет треугольника, примыкающего к стороне BC треугольника ABC. Но это означает, что точка C является вершиной угла многоугольника, большего 180°. Противоречие с выпуклостью многоугольника.

Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег на 100 метров. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться?

Пусть в трёх забегах бегуны финишировали в таком порядке: АБВ, БВА, ВАБ. Тогда А был быстрее Б в двух случаях из трёх, Б был быстрее В в двух случаях из трёх, и В был быстрее А в двух случаях из трёх.

Могло.

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?

Например, числа 69999 и 70000.

Существуют.

На круглой сковороде площади 1 испекли выпуклый блин площади больше ½. Докажите, что центр сковороды находится под блином.

  Первый способ. Пусть центр сковородки O лежит вне выпуклого блина B.   Проведём через O прямую, не пересекающую B (это можно сделать, поскольку B – выпуклая фигура). Эта прямая делит сковороду на две половины; блин B находится в одной из этих половин, поэтому его площадь не больше ½. Противоречие.   Второй способ. Тогда для каждой точки A блина B симметричная ей относительно O точка A' лежит вне B (поскольку B – выпуклая фигура). Эти точки образуют "блин" B', симметричный B и не пересекающийся с ним. Но общая площадь этих блинов больше площади сковородки. Противоречие.

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 клетки и одна плитка 1×1. Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

В каждой клетке запишем число, равное номеру её столбца. Тогда сумма чисел во всех клетках  7(1 + 2 + ... + 7) ≡ 1 (mod 3).  С другой стороны, сумма чисел в каждой плитке 1×3 будет кратна 3. Таким образом, в плитке 1×1 должно быть написано число, которое дает остаток 1 от деления на 3. Значит, плитка 1×1 может находиться только в первом, четвёртом или седьмом столбце. Точно также показывается, что она может находиться только в первой, четвёртой или седьмой строке. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

В пространстве даны параллелограмм ABCD и плоскость M. Расстояния от точек A, B и C до плоскости M равны соответственно a, b и c. Найти расстояние d от вершины D до плоскости M.

Можно считать, что плоскость M перпендикулярна оси абсцисс. Суммы абсцисс противоположных вершин параллелограмма равны (это удвоенная абсцисса центра O параллелограмма). Абсциссы точек могут отличаться от расстояний знаками. Поэтому ответ зависит от расположения вершин параллелограмма относительно плоскости M. Например, если точки A, B и C имеют положительные абсциссы, то абцисса точки D равна a – b + c.

d = |a ± c ± b|.

Для передачи сообщений по телеграфу каждая буква русского алфавита (Е и Ё отождествлены) представляется в виде пятизначной комбинации из нулей и единиц, соответствующих двоичной записи номера данной буквы в алфавите (нумерация букв начинается с нуля). Например, буква А представляется в виде 00000, буква Б - 00001, буква Ч – 10111, буква Я – 11111. Передача пятизначной комбинации производится по кабелю, содержащему пять проводов. Каждый двоичный разряд передается по отдельному проводу. При приеме сообщения Криптоша перепутал провода, поэтому вместо переданного слова получен набор букв ЭАВЩОЩИ. Найдите переданное слово.

Выпишем под каждой буквой полученного текста ЭАВЩОЩИ все буквы, в представлении которых то же количество единиц, что и в исходной. Далее пробуем "прочитать" осмысленный текст, выбирая из каждого столбца полученной таблицы по одной букве. Единственным вариантом оказывается слово ПАРОХОД.

ПАРОХОД.

Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является степенью (большей 1) другого натурального числа?

Среди четырёх последовательных натуральных чисел одно дает остаток 2 от деления на 4. Значит, оно делится на 2 и не делится на 4, то есть не может являться степенью, большей 1.

Не существуют.

Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки. Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.

Проведём прямую через эти две точки. Пусть она пересекает две стороны AB и CD многоугольника. Тогда отрезок этой прямой лежит внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D, следовательно, две данные точки лежат внутри четырёхугольника с вершинами A, B, C, D. (Если некоторые две из точек A, B, C, D совпадут, то добавим к этим точкам ещё одну вершину многоугольника.)

Какую минимальную сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 99?

  Пример с суммой цифр 18 очевиден – это само число 99. Покажем, что числа с меньшей суммой цифр, делящегося на 99, не существует. Если число n делится на 99, то оно делится на 9, следовательно, его сумма цифр делится на 9. Осталось показать, что сумма цифр не может быть равной 9.   По признаку делимости на 11 разность между суммами цифр на чётных и на нечётных местах в числе n должна делиться на 11. Пусть сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна A, а сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна B, то есть  A – B  кратно 11. Предположим, сумма цифр  A + B  числа n равна 9. Тогда  |A – B| ≤ 9 < 11.  Кроме того,  A – B ≠ 0,  поскольку из чисел A, B ровно одно нечётно. Противоречие.

18.

У Сережи и у Лены есть несколько шоколадок, каждая весом не более 100 граммов. Как бы они ни поделили эти шоколадки, у одного из них суммарный вес шоколадок не будет превосходить 100 граммов. Какой наибольший суммарный вес могут иметь все шоколадки?

  Отдадим вначале все шоколадки Сереже и будем отдавать по одной шоколадке Лене. Вначале у Сережи вес шоколадок больше, но наступит момент, когда у Лены шоколадки будут весить не меньше, чем у Сережи. Пусть в этот момент шоколадки Сережи весят A г (по условию  A ≤ 100),  шоколадки Лены – B г, а последняя шоколадка, которую мы переложили, весила C г. До перекладывания суммарный вес  B – C  шоколадок Лены был не больше 100 г. Таким образом, суммарный вес всех шоколадок  A + (B – C) + C ≤ 3·100 = 300 г.   Пример: три шоколадки по 100 г.

300 граммов.

Даны многочлены P1, P2, ... , P5, имеющие суммы коэффициентов, равные 1, 2, 3, 4, 5 соответственно. Найдите сумму коэффициентов многочлена  Q = P1P2...P5.

Сумма коэффициентов многочлена Q равна  Q(1) = P1(1)P2(1)...P5(1) = 1·2·3·4·5 = 120.

120.

Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой. Докажите, что сами грани равны между собой.

  Обозначим длины рёбер одной из граней через a, b, c. Рёбра, скрещивающиеся с a, b, c обозначим соответственно через a', b', c'. Запишем равенство периметров граней, имеющих общее ребро a:  a + b + c = a + b' + c',  откуда  b + c = b' + c'.  Аналогично получаем  a + b = a' + b',  c + a = c' + a'.  Из этих трёх уравнений выводим:  b – b' = c' – c = a – a' = b' – b.  Таким образом,  b' – b = b – b',  откуда следует, что b = b'.  Аналогично  a = a'  и  c = c'.  Значит, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра равны, и тетраэдр является равногранным.

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие. Суд знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, и что фальшивые монеты легче настоящих. В распоряжении эксперта – чашечные весы без гирь. Как с помощью трёх взвешиваний эксперту доказать, что монеты с 1-й по 7-ю фальшивые, а с 8-й по 14-ю – настоящие?

При первом взвешивании положим на левую чашу 1-ю монету, а на правую – 8-ю монету. Суд увидит, что 1-я легче, значит, 1-я – фальшивая, а 8-я – настоящая. Обозначим через r разность весов настоящей и фальшивой монет. При втором взвешивании добавим на левую чашу 9-ю и 10-ю монеты, а на вторую – 2-ю и 3-ю. Теперь перевесит левая чаша. Это возможно только в случае, когда 2-я и 3-я монеты фальшивые, а 9-я и 10-я – настоящие, иначе разность между добавленными на левую и правую чаши весами не будет превосходить r. При третьем взвешивании положим на левую чашу монеты 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14. а на правую чашу – монеты 8, 9, 10, 4, 5, 6, 7. Перевесит левая чаша. Однако суд знает, что разность между весами монет 8, 9, 10 и 1, 2, 3 равна 3r, следовательно, разность между весами монет 11, 12, 13, 14 и 4, 5, 6, 7 должна быть не меньше 4r. Таким образом, однозначно определяется, что 11, 12, 13, 14 – настоящие, а 4, 5, 6, 7 – фальшивые.

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора. Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

  Оценка. Из 20 дорожек суммарной длиной  1000 = 20·50 м  длина хотя бы одной не меньше 50 м. Таким образом, даже одна из дорожек покрывает не меньше 50 м.   Пример. Возьмём 20 дорожек по 50 м и положим их точно друг на друга.

50 м.

Может ли произведение 2002 последовательных натуральных чисел являться 2002-й степенью натурального числа?

См. задачу 32074.

Не может.

В одной урне лежат два белых шара, в другой два черных, в третьей - один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающее ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Некто перевесил таблички так, что теперь каждая табличка указывает содержимое урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех трех урн?

Вынем шар из урны с табличкой БЧ. Если мы вынули белый шар, то в этой урне два белых шара (иначе табличка указывала бы на содержимое правильно). Далее определяем, что в урне с табличкой ЧЧ может быть только один белый и один черный шар (иначе табличка указывала бы на содержимое правильно). Осталась единственная возможность - в урне с табличкой ББ находятся два черных шара. Если же мы вынули из урны с табличкой БЧ черный шар, то аналогичным образом определяем, что в ней два черных шара, в урне с табличкой ББ находится один белый и один черный шар, а в урне с табличкой ЧЧ находятся два белых шара.

достаточно одного извлечения!

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

Рассмотрим тетраэдр OABS, в котором плоские углы SOA и SOB - прямые. Далее, на ребрах OA и OB выберем соответственно точки D и C. Теперь отрежем от тетраэдра OABS тетраэдр OCDS. Оставшаяся фигура - четырехугольная пирамида SABCD - искомая.

существует.

Внутри круглого блина радиуса 10 запекли монету радиуса 1. Каким наименьшим числом прямолинейных разрезов можно наверняка задеть монету?

Каждому прямолинейному разрезу соответствует полоса шириной 2, отвечающая множеству возможных центров монеты, задетой этим разрезом. поэтому данная задача эквивалентна следующей: найти минимальное число полос ширины 2, покрывающих круг радиуса 10. Ясно, что десять полос будет достаточно. Покажем, что меньшим числом не обойтись. Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости. К прямым, ограничивающим полосу, восставим перпендикулярные плоскости - получим слой между параллельными плоскостями шириной 2. Получена еще одна переформулировка исходной задачи - как покрыть сферу радиуса 10 минимальным числом слоев ширины 2? Используем замечательное свойство сферы - площадь сферы, заключенная между параллельными плоскостями, пересекающими сферу, зависит только от расстояния между этими плоскостями. (Докажите это замечательное свойство!) Отсюда следует, что слой ширины 2 покрывает не более 1/10 площади сферы радиуса 10. В применении к исходной задаче мы доказали, что меньше, чем 10 разрезами наверняка задеть монету не удастся.

10.00

Докажите, что если из числа 111...1 (2002 единицы) вычесть число 22...2 (1001 двойка), то получится полный квадрат.

Обозначим A = 11...1 (1001 единица), В = 111...1 (2002 единицы), С = 22...2 (1001 двойка). Тогда C=2A, B=D*A, где D=100..01 (1002 цифры). Таким образом, B-C = (D-2)A = 99..9*A (1001 девятка). Окончательно, B-C = 9A*A = (3A)2 - полный квадрат.

Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.

Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник, a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон. Обозначим также за ha, hb, hc длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c. Запишем выражение для площади S треугольника. С одной стороны, S=(a+b+c)r/2. С другой стороны, S=aha/2. Отсюда следует равенство ha/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a. Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1. Таким образом, ha=ha/r не превосходит 3, что и требовалось доказать.

Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Ясно, что правильный 36-угольник переходит в себя при повороте на угол 100 вокруг его центра. Следовательно, он переходит в себя и при повороте на угол 700 вокруг его центра. Покажем, что многоугольник, о котором идет речь в условии, не может иметь меньше 36 вершин. Рассмотрим одну из его вершин A0. Пусть мы совершили поворот на угол в 700 вокруг точки O. Многоугольник самосовместился, а вершина A0 перешла в некоторую вершину A1 (при повороте вершина переходит в вершину!). Поскольку угол поворота не кратен 360 градусам, A1 будет отлична от A0. Далее, повернем многоугольник на 2*700, 3*700, 4*700, ... , 35*70A0, он снова будет самосовмещаться. При этом вершина A переходит в вершины A2, A3, ... , A35. Никакие две из вершин A0, A1, ... , A35 не будут совпадать, так как любая пара из этих вершин совмещается поворотом вокруг точки O на угол, не кратный 3600.

36.00

Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке. Удастся ли это ему?

Число циклических порядков следования шпилей равно 6! (см. задачу 60373). Пусть турист в некоторый момент видит здания в каком-то циклическом порядке. Порядок следования шпилей не изменится, пока турист не пересечет прямую, проходящую через некоторые два шпиля. Проведем прямые через каждую пару шпилей (таких прямых всего  7·6 : 2 = 21).  Эти прямые разобьют плоскость не более, чем на  21·22 : 2 + 1 = 232  области (см. задачу 60323). Поскольку 232 < 720,  не все порядки могут быть увидены.

Не удастся.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 1999?

Не могло.

98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

Сумма 19 чисел чётна, поэтому все слагаемые нечётными быть не могут.

Не может.

а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх? б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.

а) См. задачу 35111.

б) Сначала перевернём все монеты, кроме первой, потом – все, кроме второй, и т.д. В результате каждая монета перевернётся по 19 раз.

Имеется таблица 1999×2001. Известно, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Докажите, что найдётся столбец, произведение чисел в котором тоже отрицательно.

По условию в каждой строке находится нечётное количество отрицательных чисел (и нет нулей). Так как количество строк нечётно, то всего в таблице нечётное число отрицательных чисел. Значит, по крайней мере в одном из столбцов (точнее, в нечётном числе столбцов) их тоже нечётное число. Произведение чисел этого столбца отрицательно.

Найти наибольшее значение, которое может принимать выражение  aek – afh + bfg – bdk + cdh – ceg,  если каждое из чисел a, b, c, d, e, f, g, h, k равно ±1.

  Оценка. Произведение всех слагаемых равно   – (abcdefghk)²,  то есть отрицательно. Значит, число минус единиц среди слагаемых нечётно и поэтому не равно нулю. Следовательно, сумма не превосходит 4.   Пример. Пусть  a = c = d = e = g = h = k = 1,  b = f = – 1.  Тогда данное выражение равно 4.

4.

От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет обратно? У какой из мух выше средняя скорость движения?

Пока вторая муха доберётся до верха, первая успеет сползать туда и обратно (так как её скорость в это время в два раза больше).

Первая муха; у первой мухи.

Двое одновременно отправились из A в B. Первый поехал на велосипеде, второй – на автомобиле со скоростью, в пять раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в B?

Велосипедист двигается в два раза быстрее пешехода, поэтому может проехать весь путь за время, которое потребуется пешеходу на половину пути. Но в момент, когда пешеход стартовал, велосипедист уже проехал некоторое расстояние. Поэтому велосипедист приехал раньше.

Велосипедист.

Группа туристов должна была прибыть на вокзал в 5 часов. К этому времени с турбазы за ними должен был прийти автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3:10, туристы пошли пешком на турбазу. Встретив на дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 20 минут раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?

Туристы сэкономили 20 минут, за это время автобус дважды проехал бы путь, который они прошли. Следовательно, на пути к вокзалу автобус сэкономил 10 минут, то есть встретил туристов в 4:50. Значит, туристы прошли расстояние от вокзала до встречи с автобусом 100 минут, то есть в 10 раз медленнее автобуса.

6 км/ч.

Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из A в B?

До встречи пешеход прошёл расстояние, в 5 раз меньшее, чем проехал велосипедист, то есть 1/6 всего пути. К моменту возвращения велосипедиста в пункт А пешеход прошёл еще столько же, то есть ему осталось еще 2/3 пути. На это он потратил 30 минут. Следовательно, на все расстояние ему потребовалось в полтора раза больше времени.

45 минут.

Пловец плывёт вверх против течения Невы. Возле Дворцового моста он потерял пустую фляжку. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил потерю и вернулся догонять флягу; догнал он её возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

Относительно фляги пловец двигается с постоянной скоростью в обоих направлениях, поэтому он догонит флягу за 20 минут. Значит, течение за 40 минут "проходит" 2 км.

3 км/ч.

Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так она бегала до тех пор, пока охотники не встретились. Сколько километров она пробежала?

До встречи охотников пройдёт два часа, за это время собака пробежала 16 км.

16 км.

Андрей ведёт машину со скоростью 60 км/ч. Он хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее. На сколько ему следует увеличить скорость?

Андрей на километр тратит только минуту времени, поэтому на минуту быстрее проехать километр не получится.

Ему это не удастся.

Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км. Следует ли из этого, что его средняя скорость равна 5 км/час?

Пусть он идёт по такому графику: переходы по полчаса со скоростью 10 км/ч и привалы по полчаса. Тогда за 3,5 часа он пройдёт 20 км, и его средняя скорость равняется  20 : 3,5 = 55/7 км/ч.

Не следует.

Существует ли треугольник, градусная мера каждого угла которого выражается простым числом?

  Так как сумма углов треугольника равна 180°, то градусные меры всех углов треугольника не могут выражаться нечётными числами. Следовательно, градусная мера одного из углов равна 2°. Остается подобрать два простых числа, сумма которых равна 178.   Вот все возможные примеры:  5 + 173,  11 + 167,  29 + 149,  41 + 137,  47 + 131,  71 + 107,  89 + 89.

Существует.

В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что  BD = BC.  Найдите CD, если  AD = 4.

  Пусть  ∠A = α,  ∠ACD = φ,  тогда  ∠C = 3α,  ∠BCD = α + φ.  Поэтому  φ + (α + φ) = 3α,  то есть  φ = α.   Таким образом, треугольник АDC – равнобедренный с основанием АС. Следовательно,  СD = AD = 4.

CD = 4.

Автор: Волчкевич М.А.

В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е — середина CD, F — середина АD, K — точка пересечения АС и ВЕ. Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС.

Автор: Фольклор

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

Автор: Шарыгин И.Ф.

Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек M таких, что ∠AMB = ∠CMD.

Автор: Заславский А.А.

Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке P. Точки X и Y — ортогональные проекции точки P на прямые AC и BC. Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC, проведенной из вершины C.

Автор: Панов М.Ю.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.

Автор: Акопян А.В.

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

Автор: Волчкевич М.А.

Точки Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырёхугольника АВСD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

Автор: Шаповалов А.В.

Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

Рассмотрим треугольную призму АВСA'B'C' (см. рис.). Замкнутая ломаная AB'CA'BC'A удовлетворяет условию, так как боковые грани призмы – параллелограммы.

Автор: Богданов И.И.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Кожевников П.А.

В треугольнике АВС  М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС, то точка О равноудалена от середин сторон АВ и АС.

Автор: Заславский А.А.

Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.

Автор: Шарыгин И.Ф.

В тетраэдре DABC  ∠ACB = ∠ADB,  ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.

  Пусть в тетраэдре DABC точка Р – основание перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из точки С, тогда по теореме о трёх перпендикулярах  DP ⊥ AB  (рис. слева).  Так как  ∠ACB = ∠ADB,  то равны и радиусы описанных окружностей граней ABC и ABD. Так как  СD ⊥ (АВС),  то эти грани не могут быть равными.   Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АВD', равный треугольнику АВD, вписав их в одну окружность (рис. справа). Так как  ∠ACB = ∠AD'B,  то они расположены в одной полуплоскости относительно АВ. Кроме того, перпендикуляры, проведённые к прямой АВ из точек С и D', попадут в одну и ту же точку Р.

Докажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. По принципу Дирихле найдутся две вершины, лежащие в одной полуплоскости. Сторона, соединяющая эти вершины, не пересекает прямую.

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

  Пусть центр O окружности лежит на стороне AB вписанного угла BAC (рис. слева). Поскольку BOC – внешний угол равнобедренного треугольника AOC, то  ∠BOC = ∠BAC + ∠ACO = 2∠BAC.  Следовательно, ∠BAC = ½ ∠BOC, то есть вписанный угол BAC равен половине центрального угла BOC, или половине дуги BC, не содержащей точки A.

По неподвижной окружности, касаясь её изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

Пусть O — центр неподвижной окружности, K0 — первоначальная точка касания окружностей, O1 — новый центр катящейся окружности, M — новая точка касания, K — движущаяся точка. Тогда MK0 = MK. Поэтому

Хорды AB и CD пересекаются в точке M, лежащей внутри круга. Докажите, что треугольники AMD и CMB подобны.

Поскольку угол BAD равен углу BCD (как вписанные углы, опирающиеся на одну и те же дугу), то треугольники AMD и CMB подобны по двум углам.

Точка P удалена на расстояние, равное 7, от центра окружности, радиус которой равен 11. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой P?

Пусть O — центр данной окружности, AB — данная хорда, AB = 18, OP = 7. Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O на хорду AB. Тогда M — середина AB и

Пусть O — центр окружности, AB — данная хорда. Проведём диаметр CD, содержащий точку P (P между O и D). Обозначим PB = x. Тогда

В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.

Пусть O — центр окружностей, AB — данная хорда большей окружности, M — её точка касания с меньшей окружностью, r — радиус меньшей окружности. Тогда M — середина AB (т.к. OM AB).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMO:

Докажите, что у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180o.

Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. Кроме того, AB = 3, BC = 4, CD = 5 и AD = 2. Найдите AC.

Обозначим угол ABC = . Тогда

Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.

Первый способ. Пусть M – середина катета AC прямоугольного треугольника ABC, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к катету BC с гипотенузой AB. По теореме Фалеса Q – середина гипотенузы AB, то есть  QA = QB.  Аналогично  QC = QA.  Следовательно, Q – центр описанной окружности треугольника ABC.

Около трапеции ABCD описана окружность радиуса 6. Центр этой окружности лежит на основании AD,  BC = 4.  Найдите площадь трапеции.

  Пусть K – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на AD. Найдём CK.   Первый способ.  CK² = AK·KD = ½ (AD + BC) · ½ (AD – BC) = 8·4 = 32.   Второй способ.  CK² = OC² – OK² = 6² – (OD – ½ BC)² = 6² – 2² = 32.

32.

В окружность радиуса 2 вписана трапеция ABCD, причём её основание AD является диаметром, а угол BAD равен 60o. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P, причём AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

Пусть O — центр окружности. Тогда треугольники ABO, OBC, COD -- равносторонние, а т.к. P — середина AO, то BP — высота треугольника ABO,

Поскольку

Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN = 4, LM = 2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS : SN = 1 : 3. Найдите площадь треугольника STN.

.

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Пусть AB — данный отрезок, а данный угол равен . Построим два треугольника ABC и ABC' так, чтобы точки C и C' лежали по разные стороны от прямой AB и ACB = AC'B = . Опишем окружности около этих треугольников. Докажем, что искомое геометрическое место точек — это две дуги построенных окружностей: дуга AB описанной окружности треугольника ABC, содержащая точку C, и дуга AB описанной окружности треугольника ABC', содержащая точку C'.

Если точка M, отличная от A и B, лежит на первой из этих дуг, то по теореме о вписаных углах, опирающихся на одну и ту же дугу

В данную окружность впишите прямоугольный треугольник, катеты которого проходили бы через две данные точки внутри окружности.

Если окружность, построенная на отрезке с концами в данных точках как на диаметре, пересекает данную окружность, то каждая точка пересечения — вершина искомого треугольника.

В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC – в точке N. Известно, что  AC = 2,  AB = 3,  AM : MB = 2 : 3.  Найдите AN.

  Поскольку точки M и N лежат на окружности с диаметром AC, то  ∠AMC = ∠ANC = 90°.   По теореме Пифагора  MC² = AC² – AM² = 2² – (6/5)² = 64/25,  BC² = MC² + BM² = 64/25 + (9/5)² = 29/5.   Следовательно,  AN = 2SABC/BC = AM·MC/BC = .

.