Datasets:

rafalposwiata

/

open-coursebooks-pl

like 3

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc f:[a,b]\\times \\mathbb R^2\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\) Rozważmy funkcjonał", "w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc {\\cal M}\\hskip 0.3pc \\) funkcji dopuszczalnych \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) określonych wzorem:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\alpha ,\\beta \\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) (W dalszym ciągu w zapisie całkowym postaci (1) argument funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) na ogół będziemy pomijać).", "Przypuśćmy, że funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F} \\hskip 0.3pc \\) posiada w punkcie \\( \\hskip 0.3pc u_0\\in {\\cal M}\\hskip 0.3pc \\) minimum lokalne. Dla \\( \\hskip 0.3pc u \\in {\\cal M}\\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0\\hskip 0.3pc \\) oraz \\( \\hskip 0.3pc u_0+th\\in \\cal M\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t \\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) Ustalmy \\( \\hskip 0.3pc \\varepsilon >0\\hskip 0.3pc \\) tak, aby", "Połóżmy", "Oczywiście \\( \\hskip 0.3pc \\phi (0)={\\cal F}(u_0),\\hskip 0.3pc \\) a ponieważ w punkcie \\( \\hskip 0.3pc u_0\\hskip 0.3pc \\) funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) posiada minimum, \\( \\hskip 0.3pc \\phi (0)\\leq \\phi (t)\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc t\\in (-\\varepsilon ,\\varepsilon ).\\hskip 0.3pc \\) Stąd i różniczkowalności funkcji \\( \\hskip 0.3pc \\phi \\hskip 0.3pc \\) wynika, że \\( \\hskip 0.3pc \\phi ^\\prime(0)=0.\\hskip 0.3pc \\)", "Ponieważ", "warunek \\( \\hskip 0.3pc \\phi^\\prime(0)=0\\hskip 0.3pc \\) jest równoważny warunkowi", "Dla \\( \\hskip 0.3pc u\\in {\\cal M}\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc h\\in {\\cal M}_0\\hskip 0.3pc \\) rozważmy", "Na mocy twierdzenia Taylora", "gdzie", "Wykorzystując ( 6 ) i ( 4 ) wzór ( 5 ) można zapisać w postaci", "Stąd", "Załóżmy teraz, że \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2.\\hskip 0.3pc \\) Na mocy twierdzenia Taylora", "gdzie", "Jeśli pierwsza wariacja jest równa zeru, wówczas" ]

[ { "name": "Definicja 1: Pierwsza wariacja.", "content": " Połóżmy\n\n\t\t\t\t\t(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( {\\cal M}_0=\\big\\{h \\in C([a,b])\\,:\\,h(a)=h(b)=0\\big\\}. \\)\n\nNiech \\( \\hskip 0.3pc u \\in {\\cal M}.\\hskip 0.3pc \\) Odwzorowanie \\( \\hskip 0.3pc \\delta{\\cal F}(u):{\\cal M}_0\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) dane wzorem\n\n(4)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\delta{\\cal F}(u)(h)= \\displaystyle\\int_a^b\\Big(f_u\\big(x,u(x),u^\\prime(x)\\big)h(x)+ f_{u^\\prime} \\big(x,u(x),u^\\prime(x)\\big)h^\\prime(x)\\Big)dx \\)\n\nnazywa się pierwszą wariacją funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Druga wariancja.", "content": " Wyrażenie\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\delta^2{\\cal F}(u)(h)= \\displaystyle\\int_a^b\\Big(f_{uu}h^2+2f_{uu^\\prime}hh^\\prime +f_{u^\\prime u^\\prime} {h^\\prime}^2\\Big)dx \\)\n\nnazywamy drugą wariacją funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" } ]

[ "Omówimy teraz szczególne równania Eulera-Lagrange'a.", "W tej części modułu znajdziemy równania Eulera-Lagrange'a dla szczególnych postaci funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc \\cal F.\\hskip 0.3pc \\)", "Przypadek 1. Przypuśćmy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) nie zależy bezpośrednio od \\( \\hskip 0.3pc u,\\hskip 0.3pc \\) czyli", "Wówczas równanie Eulera - Lagrange'a ma postać", "lub", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc C \\hskip 0.3pc \\) jest dowolną stałą.", "Przypadek 2. Przypuśćmy teraz, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) nie zależy bezpośrednio od \\( \\hskip 0.3pc x,\\hskip 0.3pc \\) czyli", "Równanie Eulera - Lagrange'a ma postać", "Zauważmy, że", "Zatem", "Jeśli zachodzi równanie ( 5 ) to prawa strona ostatniej równości jest równa zeru. Odwrotnie, jeśli lewa strona ostatniej równości jest równa zeru i \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) nie jest funkcją stałą, to zachodzi ( 5 ). Zatem równanie Eulera-Lagrange'a jest równoważne równaniu", "a w konsekwencji równowaniu", "Przypadek 3. Rozważmy funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) postaci", "Oczywiście", "Ponieważ", "równanie Eulera - Lagrange'a ma postać" ]

[ { "name": "Definicja 1: Równaniem Eulera-Lagrange'a. ", "content": " Równanie\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\dfrac d{dx} f_{u^\\prime}\\big(x,u(x),u^\\prime(x)\\big)- f_u\\big(x,u(x),u^\\prime(x)\\big)=0 \\)\n\nnazywa się równaniem Eulera-Lagrange'a. Jest to podstawowe równanie w rachunku wariacyjnym.\n\n" } ]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc f:[a,b]\\times\\mathbb R^{2n}\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\) Rozważmy funkcjonał", "w zbiorze funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^1([a,b], \\mathbb R^n),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc u=(u_1,\\ldots ,u_n).\\hskip 0.3pc \\) Rozwiązania będziemy szukać w zbiorze funkcji dopuszczalnych", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc A,B\\in \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) są dane.", "Korzystając z lematu 1 i powtarzając argumenty dowodu twierdzenia 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące twierdzenie." ]

[]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc f:[a,b]\\times\\mathbb R^{n+1}\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^n.\\hskip 0.3pc \\) Szukamy minimum funkcjonału", "w zbiorze funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^n([a,b])\\hskip 0.3pc \\) spełniających warunki:", "Można pokazać, że każda ekstremala funkcjonału ( 1 ) musi spełniać równanie Eulera-Poissona", "a wariacja określona jest wzorem", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc u_0\\hskip 0.3pc \\) jest ekstremalą, a ponadto druga wariacja jest określona dodatnio, funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) osiąga na \\( \\hskip 0.3pc u_0\\hskip 0.3pc \\) minimum lokalne, jeśli jest określona ujemnie, maksimum lokalne." ]

[]

[ "Rozważmy teraz funkcjonał zależny od funkcji n-zmiennych. Ponieważ rozważania są analogiczne ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) będzie obszarem zawartym w \\( \\hskip 0.3pc\\mathbb R^2.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc f:\\Omega\\times\\mathbb R^3\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\) Poszukujemy funkcji \\( \\hskip 0.3pc z=u(x,y),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) o zadanych wartościach \\( \\hskip 0.3pc u=\\varphi \\hskip 0.3pc \\) na brzegu \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\) obszaru \\( \\hskip 0.3pc \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) na której funkcjonał", "osiąga wartość ekstremalną. Zakładając, że \\( \\hskip 0.3pc f\\hskip 0.3pc \\) jest klasy \\( \\hskip 0.3pc C^2\\hskip 0.3pc \\) i rozumując jak poprzednio, można wyprowadzić następujący wzór na wariację funkcjonału", "Wykorzystując wzór na całkowanie przez części i zakładając, że \\( \\hskip 0.3pc h(x,y)=0\\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in \\partial \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy", "Stąd i stosownego odpowiednika lematu 1 z modułu Równanie Eulera-Lagrange’a-1 otrzymamy następujące równanie Eulera-Lagrange'a", "Równanie to wraz z zadanym warunkiem brzegowym \\( \\hskip 0.3pc u(x,y)=\\varphi (x,y) \\hskip 0.3pc \\) dla \\( \\hskip 0.3pc (x,y)\\in \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\), daje warunek konieczny istnienia ekstremum." ]

[]

[ "Przez problem izoperymetryczny rozumiemy zagadnienie znalezienia ekstremów funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip .3pc \\) w zbiorze funkcji dopuszczalnych \\( \\hskip 0.3pc {\\cal M},\\hskip 0.3pc \\) spełniających ponadto warunek \\( \\hskip 0.3pc {\\cal K}(u)=L,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc {\\cal K}\\hskip 0.3pc \\) jest funkcjonałem podobnej natury jak funkcjonał \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) jest ustaloną stałą. Niech \\( \\hskip 0.3pc f,g:[a,b]\\times\\mathbb R^2\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będą funkcjami klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc {\\cal M}\\hskip 0.3pc \\) będzie następującą klasą funkcji", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc \\alpha ,\\beta \\in \\mathbb R.\\hskip 0.3pc \\) Rozważmy funkcjonały:", "oraz", "określone na zbiorze funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^1([a,b]).\\hskip 0.3pc \\) Szukamy ekstremów funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc {\\cal F}\\hskip 0.3pc \\) w zbiorze funkcji \\( \\hskip 0.3pc u \\in {\\cal M},\\hskip 0.3pc \\) spełniających ponadto warunek \\( \\hskip 0.3pc {\\cal K}(u)=L.\\hskip 0.3pc \\) Problem ten możemy rozwiązać adoptując znaną z klasycznej teorii ekstremów warunkowych metodę mnożników Lagrange'a (szczegóły wyprowadzenia pomijamy). W tym celu rozważamy nowy funkcjonał", "Zgodnie z poprzednimi wynikami ekstremale funkcjonału \\( \\hskip 0.3pc {\\cal J}\\hskip 0.3pc \\) są rozwiązaniami równania Eulera-Lagrange'a", "Jeśli ponadto spełniają one warunek \\( \\hskip 0.3pc {\\cal K}(u)=L,\\hskip 0.3pc \\) to są funkcjami na których badany problem izometryczny może osiągać ekstremum." ]

[]

[ "Rozważmy równanie", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc f:\\Omega\\to \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) jest zadaną funkcją, a \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\subset \\mathbb R\\times \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) zbiorem otwartym. Oczywiście równanie to możemy zapisać we współrzędnych w postaci układu równań", "Widać natychmiast, że prawdziwa jest następująca uwaga:", "Przypomnijmy, że punkt \\( \\hskip 0.3pc (t_0,\\stackrel{o}{x})\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) nazywamy punktem równowagi układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli", "Rozważmy teraz układ autonomiczny", "Załóżmy, że \\( \\hskip 0.3pc f_n(x_1,\\ldots ,x_n)\\neq 0.\\hskip 0.3pc \\) Dla \\( \\hskip 0.3pc i=1, \\ldots ,n-1\\hskip 0.3pc \\) połóżmy", "Zatem układ (4) możemy zapisać w formie:", "Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, w otoczeniu dowolnego punktu nie będącego punktem równowagi, układ ten posiada \\( \\hskip 0.3pc n-1\\hskip 0.3pc \\) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych", "Ponadto, jeśli \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) jest całką pierwszą w tym otoczeniu, to \\( \\hskip 0.3pc g=F\\circ (g_1,\\ldots ,g_{n-1}),\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Funkcje \\( \\hskip 0.3pc g:\\Omega\\to\\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1\\hskip 0.3pc \\) nazywamy całką pierwszą układu równań ( 2 ) jeśli dla dowolnego rozwiązania \\( \\hskip 0.3pc x_1=x_1(t),\\, \\ldots ,\\hskip 0.5pc x_n= x_n(t),\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc t \\in I,\\hskip 0.3pc \\) tego układu\n\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( g\\big(t,x_1(t), \\ldots ,x_n(t)\\big)= {\\rm const} \\qquad {\\rm dla}\\quad t \\in I, \\)\n\n\ntzn. funkcja \\( \\hskip 0.3pc g\\hskip 0.3pc \\) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Całki pierwsze \\( \\hskip 0.3pc g_1, \\ldots , g_m \\in C^1(\\Omega )\\hskip 0.3pc \\) ( \\( \\hskip 0.3pc m\\leq n\\hskip 0.3pc \\)) nazywamy funkcyjnie niezależnymi w zbiorze \\( \\hskip 0.3pc \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) jeśli dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc (t,x)\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) rząd macierzy jakobianu\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{bmatrix} \\dfrac{\\partial g_1}{\\partial x_1}(t,\\hskip 0.2pc x) &\\ldots & \\dfrac{\\partial g_1}{\\partial x_n}(t,\\hskip 0.2pc x)\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots\\\\ \\dfrac{\\partial g_m}{\\partial x_1}(t,\\hskip 0.2pc x)& \\ldots & \\dfrac{\\partial g_m}{\\partial x_n}(t,\\hskip 0.2pc x)\\end{bmatrix} \\)\n\nwynosi \\( \\hskip 0.3pc m,\\hskip 0.3pc \\) tzn. w każdym punkcie \\( \\hskip 0.3pc (t,x_1,\\ldots ,x_n)\\in \\Omega\\hskip 0.3pc \\) wiersze tej macierzy są wektorami liniowo niezależnymi.\nW szczególności, jeśli \\( \\hskip 0.3pc m =n\\hskip 0.3pc \\) to wyznacznik powyższej macierzy jest różny od zera.\n\n" } ]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc \\Omega\\hskip 0.3pc \\) będzie otwartym ograniczonym jednospójnym podzbiorem przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb R^n\\hskip 0.3pc \\) z gładkim brzegiem \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega,\\hskip 0.3pc \\) co oznacza że w każdym punkcie \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega\\hskip 0.3pc \\) istnieje wektor normalny do \\( \\hskip 0.3pc \\partial \\Omega.\\hskip 0.3pc \\)", "Jeśli \\( \\hskip 0.3pc F=(0,\\ldots,0,F_k,0,\\ldots ,0)\\hskip 0.3pc \\) wówczas wzór ( 1 ) ma postać", "W szczególności ze wzoru ( 2 ) wynika, że dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc u\\in C^2(\\overline \\Omega)\\hskip 0.3pc \\) mamy", "Niech \\( \\hskip 0.3pc g:\\Omega\\to \\mathbb R\\hskip 0.3pc \\) będzie funkcją klasy \\( \\hskip 0.3pc C^1.\\hskip 0.3pc \\) Podstawiając we wzorze ( 3 ) funkcje \\( \\hskip 0.3pc g u\\hskip 0.3pc \\) w miejsce \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\), otrzymamy tzw. wzór na całkowanie przez części" ]

[]

[]

[]

[]

[]

[ "Czym są równania różniczkowe i do czego one służą? Zacznijmy od pewnych analogii. W kursie matematyki elementarnej rozwiązuje się równania algebraiczne. Przykładem może służyć układ równań liniowych", "lub równanie", "zwane równaniem kwadratowym. Rozwiązywanie obu równań polega na znalezieniu liczb, które po podstawieniu do odpowiednich równań czyniły by z nich tożsamości. W przypadku układu równań w naszym przypadku są to liczby \\( x=y=1/2 \\), które są określone jednoznacznie. Podane równanie kwadratowe spełniają dwie liczby: \\( x=3 \\) oraz \\( x=-2 \\). W przypadku równań różniczkowych nie chodzi o znalezienie rozwiązań liczbowych. Rozwiązaniami są funkcje różniczkowalne spełniające równanie, przy czym niejednoznaczność rozwiązania jest raczej regułą niż wyjątkiem. Przejdźmy jednak do definicji.", "Rozwiązać równanie ( 2 ) oznacza znaleźć \\( n \\) razy różniczkowalną funkcję \\( x=\\varphi(t) \\), która, będąc podstawioną do równania ( 2 ), uczyni z niego tożsamość. Rzędem równania ( 2 ) nazywamy największy rząd pochodnej szukanej funkcji \\( x=\\varphi(t) \\), występującej w tym równaniu. Najprostsze równanie różniczkowe dyktuje problem znalezienia funkcji pierwotnej \\( x(t) \\) do zadanej funkcji ciągłej \\( f(t) \\):", "Zatem rozwiązanie tego równania dane jest wzorem", "opisującym nieskończenie wiele funkcji pierwotnych funkcji \\( x(t) \\), rózniących się o dowolną stałą." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nRównaniem różniczkowym zwyczajnym (RRZ) nazywamy równanie\n\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( F(t,x(t),x'(t),\\ldots, x^{(n)}(t))=0, \\)\n\ngdzie \\( F \\) jest funkcją różniczkowalną w każdym ze swoich argumentów. W równaniu ( 2 ) niewiadomą jest \\( n- \\)krotnie różniczkowana funkcja \\( x=x(t) \\), zatem równanie ( 2 ) jest równaniem funkcyjnym.\nJeżeli jesteśmy w stanie rozwiązać równanie ( 2 ) względem ostatniej zmiennej, wówczas możemy go napisać w postaci równoważnej\n\n(3)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( x^{(n)}=\\Psi\\left(t,\\,\\,x(t),\\,\\,x(t),\\,...,x^{(n-1)} \\right), \\)\n\n\t\t\t\t\t\nzwanej postacią kanoniczną skalarnego RRZ \\( n \\)-tego rzędu." } ]

[ "zwaną postacią kanoniczną RRZ rzędu 1. Takiego równania nie można scałkować przy dowolnej prawej stronie. Poniżej przedstawimy podstawowe typy funkcji, dla których potrafimy podać rozwiązanie bądź to w postaci analitycznej bądź w postaci całek (kwadratur).", "1. Funkcja \\( \\varphi \\) nie zależy od zmiennej \\( t \\):", "Przepisując równanie w postaci \\( \\frac{d\\,x}{\\varphi(x)}=d\\,t \\), a następnie całkując, otrzymujemy rozwiązanie w postaci uwikłanej:", "2. Funkcja \\( \\varphi \\) nie zależy od zmiennej \\( x \\):", "Przepisując równanie w postaci \\( {d\\,x}=\\psi(t)\\,d\\,t \\), a następnie całkując, otrzymujemy rozwiązanie w postaci:", "3. Równanie typu", "Rozwiązanie sprowadza się do warunku", "Oznaczenie. Wszystkie równania rozpatrzone w tym punkcie nazywamy RR rzędu 1 o zmiennych rozdzielonych." ]

[]

[ "Całkowanie równań różniczkowych (RR) rzędu pierwszego wiąże się, na ogół, z przedstawieniem ich w postaci równań o zmiennych rozdzielonych.", "1. Równanie postaci", "Stosujemy podstawienie \\( z=a\\,t+b\\,x \\). Różniczkując \\( z \\) względem \\( t, \\) otrzymamy \\( z'=a+b\\,x' \\) i wówczas wyjściowe równanie ma postać", "lub, po rozdzieleniu zmiennych,", "Całkując powyższe wyrażenie, otrzymamy", "2. Równania jednorodne. Są to równania, które nie zmieniają kształtu przy transformacjach \\( x \\to \\alpha\\,x, t\\to\\alpha\\,t \\), gdzie \\( \\alpha \\) jest dowolną stałą nie równą się zeru. Równanie takie może być sprowadzone do postaci", "Stosujemy podstawienie \\( z=\\frac{x}{t} \\). Wówczas \\( x=z\\,t \\) i \\( x'=t\\,z'+z. \\) Otrzymamy wtedy", "a po rozdzieleniu zmiennych", "Całkując stronami, otrzymamy:", "3. Do jednorodnego równania sprowadza się równanie postaci", "Rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny", "Wprowadzamy podstawienie:", "Ponieważ \\( x=x(t), \\) więc \\( p=p(t), \\) zatem zmienną \\( r \\) będziemy traktować jako nową zmienną niezależną, zaś funkcja \\( p \\) będzie nową zmienną zależną. Zauważmy że zachodzą równości \\( d\\,t=d\\,r, \\) oraz \\( d\\,x=d\\,p \\). Równanie można zatem przepisać w postaci", "gdzie", "Przypomnijmy kiedy układ równań liniowych", "można rozwiązać względem zmiennych \\( \\alpha,\\,\\,\\beta \\). Postać macierzowa tego układu jest następująca:", "Z twierdzenia Cramera wynika, iż układ ma jedno rozwiązanie \\( \\alpha,\\,\\,\\beta \\), o ile", "Jeżeli warunek powyższy zachodzi, wówczas możemy w sposób jednoznaczny dobrać stałe \\( \\alpha,\\,\\,\\beta \\) w taki sposób że \\( h_1,\\,\\,h_2 \\) znikną. Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania ( 4 ) przez \\( r \\), otrzymamy wtedy", "Jest to jednorodne równanie, które poprzez podstawienie \\( z=\\frac{p}{r} \\) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli \\( \\det M=a_1\\,b_2-a_2\\,b_1=0 \\), wówczas nie można wyeliminować opisanym wyżej sposobem parametrów \\( h_1,\\,\\,h_2 \\). Niemniej jednak ten przypadek również jest całkowalny. Rzeczywiście, równość \\( J=0 \\) oznacza, że współczynniki są proporcjonalne, tzn. istnieje stała \\( k\\neq 0 \\) taka że \\( a_1=k\\,a_2 \\), \\( b_1=k\\,b_2 \\). A zatem równanie ( 3 ) można przepisać w postaci równania ( 1 )", "I tak jak w równaniu ( 1 ) wprowadzamy podstwienie \\( z=a_2 t+b_2 x, \\) otrzymując równanie", "które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Przypadek ogólny, czyli równanie ( 2 ), przekształcamy w podobny sposób: jeżeli \\( a_1 t+b_1 x\\neq k(a_2 t+b_2 x) \\), to wówczas przechodzimy do zmiennych \\( \\xi=t-t_0 \\), \\( \\eta=x-x_0 \\), gdzie stałe \\( t_0,\\,\\,x_0 \\) określamy jako rozwiązania układu równań", "W wyniku dla funkcji \\( \\eta(\\xi) \\) otrzymujemy równanie", "jest to równanie jednorodne. W przypadku gdy \\( a_1 t+b_1 x= k(a_2 t+b_2 x) \\), równanie ( 2 ) można zapisać jako", "Podstawienie \\( z=a_2 t+b_2 x \\), sprowadza go do równania o zmiennych rozdzielonych:", "4. Równania jednorodne uogólnione. Jest to klasa równań, które się nie zmieniają przy jednoczesnym skalowaniu zmiennej zależnej i niezależnej \\( t\\to\\alpha\\,t,\\,\\,\\,\\,x\\to\\alpha^k\\,x \\), gdzie \\( 0\\neq\\alpha,\\,\\,k \\)-stałe. Równania takie można przedstawić w postaci", "Podstawienie \\( z=x\\,t^{-k} \\) sprowadza równanie ( 8 ) do równania o zmiennych rozdzielonych:" ]

[]

[ "Ważnym wnioskiem wynikającym z powyższego przykładu jest, że przy znajdowaniu rozwiązania równania \\( d\\,^2\\,x(t)/d\\,t^2=0 \\),", "które jest najprostszym skalarnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu 2, musieliśmy dwa razy zastosować procedurę całkowania i stąd w rozwiązaniu", "( 7 ) pojawiły się dwie dowolne stałe. Należy więc założyć, iż w przypadku równania \\( n \\)-go rzędu", "znalezienie rozwiązania będzie wymagać \\( n \\)-krotnego całkowania, a to z kolei wyprodukuje nam \\( n \\) dowolnych stałych. Domniemanie to jest jak najbardziej słuszne: prawdziwe jest następujące twierdzenie.", "Wróćmy teraz do rozwiązania ( 7 ), równania ( 6 ) i zadajmy sobie pytanie odnośnie jego praktycznego", "wykorzystania w celu przewidywania położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Otóż, żeby wyeliminować nieoznaczoności tkwiące w tym", "równaniu w postaci dowolności stałych całkowania, musimy dodatkowo znać zarówno położenie \\( x_0 \\), w którym znajdował się", "punkt materialny w chwili początkowej \\( t_0 \\), jak i prędkość \\( v_0 \\), z jaką punkt się", "porusza. Daje to układ równań algebraicznych", "z którego możemy łatwo określić stałe \\( C_0, \\,\\,C_1 \\):", "A zatem położenie w czasie \\( t \\) punktu materialnego spełniającego zadane warunki początkowe", "jest jednoznacznie określone wzorem" ]

[]

[ "Powstaje pytanie: co należy zrobić, by rozwiązanie skalarnego RRZ nie zależało od dowolnych stałych? W innym sformułowaniu pytanie to brzmi następująco: przy jakich warunkach rozwiązanie RRZ będzie jednoznaczne? Otóż, skoro rozwiązanie ogólne skalarnego RRZ \\( n \\)-go rzędu zależy od \\( n \\) dowolnych stałych, to, żeby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, wystarczy, jak się wydaje, podać \\( n \\) dodatkowych warunków algebraicznych. Domniemanie to jest słuszne w większości przypadków, z którymi stykamy się w praktyce.", "Jednak w pewnych wyjątkowych sytuacjach, a mianowicie wówczas, gdy dane początkowe są zadane niepoprawnie, rozwiązanie wciąż będzie niejednoznaczne. Może też powstać sytuacja, że przy źle postawionych danych początkowych rozwiązanie nie będzie w ogóle istnieć.", "Dla przykładu rozpatrzmy następujące równanie:", "Równanie to można przepisać w postaci równości", "które ma równowazną postać różniczkową", "Implikuje to następujący ciąg równości:", "Podstawiając funkcję \\( x=C\\,t \\) do równania wyjściowego, możemy przekonać się, że czyni ona z niego tożsamość. Lewa strona:", "Prawa strona:", "Zatem", "i rozwiązując równanie algebraiczne \\( x(t_0)=a=C\\,t_0 \\) względem \\( C \\), otrzymamy jedyne rozwiązanie \\( x(t)=a\\,\\frac{t}{t_0}. \\)", "otrzymamy niedorzeczność: \\( b=C\\,\\cdot\\,0. \\) Przyczyną tego jest nieokreśloność prawej strony równania przy \\( t=0 \\).", "jest spełniony przy dowolnej wartości stałej \\( C \\).Przyczynę tego można zrozumieć, gdy rozpatrzymy zbiór wszystkich możliwych rozwiązań równania ( 1 ) postaci ( 2 ). Obrazuje go na płaszczyźnie fazowej \\( \\left(t,\\,\\,x\\right) \\) pęk linii prostych przechodzących przez początek współrzędnych, (zob. Rys. 1 ). Widzimy że początek współrzędnych jest jedynym punktem na płaszczyźnie, przez który przechodzą wszystkie rozwiązania równania. Dlatego właśnie zadanie warunków początkowych w tym punkcie prowadzi do nieijednoznaczności.", "Podsumowując to co powiedzieliśmy, wprowadzimy następujące oznaczenie: Punkt \\( (t_0,\\,x_0) \\) płaszczyzny fazowej nazywa się punktem osobliwym, jeżeli w tym punkcie prawa strona RRZ", "przybiera wartość zerową, lub jest nieoznaczona. Ogólna reguła więc brzmi następująco:", "Postawienie warunków początkowych w punkcie osobliwym prowadzi do niejednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego, lub do niedorzeczności." ]

[]

[ "Liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci", "gdzie \\( p(t),\\,\\,q(t) \\) - wiadome funkcje, przy czym zakładamy że \\( q(t) \\) nie równa się tożsamosciowo zeru. Stowarzyszonym równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci", "Po przemnożeniu tego równania przez \\( \\frac{dt}{{\\overset{\\circ}{x}}} \\) otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:", "Stąd, po stałkowaniu otrzymjemy", "Rozwiązanie problemu niejednorodnego uzyskujemy metodą uzmienniania stałej. Polega ona na zamianie stałej \\( C \\) w powyższeym wzorze przez pewną nieznaną funkcję \\( C(t) \\). Rozwiązanie poszukujemy w postaci \\( x(t)=C(t)\\,e^{-F(t)} \\), \\( F(t)=\\int{p(t)\\,d\\,t} \\). Po podstawieniu do równania wyjściowego otrzymamy:", "Zatem \\( C(t)=C_0+\\int{q(t)\\,e^{{}F(t)}\\,d\\,t } \\). Stąd już łatwo można otrzymać postać rozwiązania ogólnego problemu niejednorodnego:", "Rozwiązanie Rozwiązanie ogólne równania ( 2 ) ma postać \\( x(t)=e^{-t}(C_0+e^t(t-1)). \\)" ]

[]

[ "Omówiliśmy kilka rodzajów RRZ rzędu pierwszego, których rozwiązania można uzyskać za pomocą procesu całkowania. Niestety, nawet jeśli ograniczymy się do RRZ rzędu pierwszego, to większości z nich nie jesteśmy w stanie rozwiązać poprzez ich całkowanie, co więcej, rozwiązania takich równań nie są funkcjami elementarnymi. Dlatego powinniśmy w dalszym ciągu omówić bardziej uniwersalne metody.", "Rozpatrzmy parę \\( x, y \\), gdzie \\( x \\) jest zmienną niezależną, natomiast \\( y \\) jest pewną różniczkowalną funkcją zmiennej \\( x. \\) Zadamy sobie pytanie, co oznacza równość", "Odpowiedź, którą już znamy, brzmi następująco: prawa strona równania zadaje w każdym punkcie \\( (x_0,\\,y_0) \\) płaszczyzny fazowej wielkość pochodnej rozwiąznia \\( y=\\phi(x;\\,C) \\) przechodzącego przez ten punkt. Można to przeformułować jeszcze w taki sposób: prosta", "jest styczna do rozwiązania \\( y=\\phi(x;\\,C) \\) równania ( 1 ) spełniającego warunek początkowy \\( y(x_0)=y_0. \\) Rozwinięcie tego rozwiązania w szereg Taylora", "pozwala wnioskować że \"dokładne\" rozwiązanie w małym otoczeniu punktu \\( x_0 \\) różni się od linii prostej ( 2 ), o wyraz który jest rzędu \\( |x-x_0|^2 \\). A więc, dokładne rozwiązanie można przybliżać odcinkami prostej postaci", "gdzie \\( (x_k,\\,y_k), \\quad k=0,1,.... \\) - zbiór punktów leżących w pobliżu poszukiwanej krzywej. W poszukiwaniu takiego przybliżenia korzystamy z pojęcia pola kierunków, które można określić jako pole taz zwanych infinitezymalnych odcinków zadanych w każdym punkcie \\( (x,\\,y) \\) za pomocą wzoru", "Obraz graficzny takiego pola kierunków można uzyskać w każdym z dostępnych pakietów matematyki komputerowej (MathCad, MathLab, Maple, Mathematica ). Tutaj i dalej będziemy przytaczać \"orfografię\" pakietu Mathematica. Zobrazujemy, dla przykładu, pole kierunków funkcji", "Komórka 1.1.", "Wynikiem jest wykres pola kierunków przedstawiony na Rys. 1", "Na Rys. 2 przedstawione zostało pole kierunków z kilkoma rozwiązaniami dokładnymi równania", "które dane są wzorem", "Widać na nim wyraźnie, że pole kierunków jest styczne do rozwiązania w każdym punkcie.", "Znajomość pola kierunków w celu konstrukcji przybliżonego rozwiązania równania różniczkowego wykorzystał po raz pierwszy Leonard Euler. Jego algorytm dotyczy poszukiwania rozwiązania przybliżonego zadadnienia Cauchyego", "Traktując stałe \\( x_0, \\,\\,y_0 \\) oraz funkcję \\( f(x,\\,y) \\) jako znane wielkości, Euler zaproponował opis łamanej przybliżającej rozwiązanie na odcinku \\( [a=x_0,\\,b] \\) w postaci następującego algorytmu:", "gdzie \\( h=\\frac{b-a}{N} \\).", "Do tego, by przybliżenie dostatecznie dobrze opisywało poszukiwane rozwiązanie, należy stosować dostatecznie mały krok \\( h \\) (czyli duże \\( N \\)). Do zastosowania powyższego algorytmu, w zasadzie, wystarczy umieć posługiwać się kalkulatorem, jednak odpowiednie obliczenia są bardzo żmudne. Podamy, zgodnie z 1,", "dwie wersje algorytmu Eulera, zaimplentowane w pakiecie Mathematica dla rozwiązywania zagadnienia początkowego", "na odcinku \\( (0,\\,4) \\) z krokiem \\( h=0.2 \\).", "Prosty kod wygląda następująco: Komórka 1.2.", "Jeżeli teraz dodać moduł Komórka 1.3.", "to otrzymamy poszukiwane przybliżone rozwiązanie w postaci tabelki. Powyższy algorytm przy dużej liczbie iteracji \\( N \\) będzie pracować wolno, ponieważ przy każdej kolejnej liczbie \\( n \\) obliczenia rozpoczynają się od punktu \\( y[0] \\). Algorytm można jednak zmodyfikować w taki sposób że wielkości \\( v[0],\\,v[1],\\,...v[n] \\) będą zapamiętywane, co znacznie usprawni obliczenia. Kolejną rzeczą jest zastąpienie tabelki \\( sol \\) przez funkcję interpolacyjną \\( vEul[t_{-}] = Interpolation[sol][t] \\). Wszystko to razem wzięte tworzy następujący szybko działający algorytm: Komórka 1.4.", "W wyniku implementacji tego algorytmu uzyskujemy rozwiązanie przybliżone na tle rozwiązania dokładnego, co ilustruje Rys. 3." ]

[]

[ "Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych." ]

[ { "name": "Definicja 1: Równania liniowego rzędu n-tego", "content": "\nRównaniem różniczkowym liniowym rzędu \\( n \\) nazywamy równanie postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\\cdots + a_{1}(t)y^{\\prime}(t)+a_{0}(t)y(t)=f(t) \\)\n\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc y(t)\\hskip 0.3pc \\) jest szukaną funkcją \\( \\hskip 0.3pcy: I\\rightarrow \\mathbb{R},\\hskip 0.3pc \\) a dane funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc a_{i}(t),\\hskip 0.3pc i=0,\\ldots, n\\hskip 0.3pc \\) są ciągłe i określone w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\subset \\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\) o wartościach rzeczywistych. Przez przedział \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) rozumiemy jeden z następujących zbiorów: \\( \\hskip 0.3pc(a,b),\\hskip 0.3pc(-\\infty,a), \\) \\( \\hskip 0.3pc (a,+\\infty ) \\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R} \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Rozwiązania", "content": "\nRozwiązaniem równania ( 1 ) nazywamy funkcję \\( \\hskip 0.3pc y(t)\\hskip 0.3pc \\) określoną w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\)-krotnie różniczkowalną, spełniającą dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I\\hskip 0.3pc \\) równanie ( 1 ).\n\n" }, { "name": "Definicja 3: Problemu początkowego", "content": "\nZagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania ( 1 ), które dla ustalonego \\( \\hskip 0.3pc t_{0}\\in I\\hskip 0.3pc \\) spełnia \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\)-równości:\n\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( y(t_0)=b_0,\\hskip 0.5pc y^{\\prime}(t_0)=b_1,\\ldots ,\\hskip 0.4 pc y^{n-1}(t_0)=b_{n-1}, \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc b_0,\\ldots ,b_{n-1}\\hskip 0.3pc \\) są danymi stałymi, będziemy nazywać problemem początkowym.\n\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Liniowej zależności zbioru funkcji", "content": "\nMówimy, że zbiór funkcji \\( \\hskip 0.3pc f_1(t),\\ldots,f_n(t) \\hskip 0.3pc \\) określonych na przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\subset\\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\) jest liniowo zależny, jeżeli istnieją stałe \\( \\hskip 0.3pc c_1,\\ldots ,c_n \\hskip 0.3pc \\) nie wszystkie równe zero, takie że \\( \\hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\\cdots +c_nf_n(t)=0\\hskip 0.3pc , \\) dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I\\hskip 0.3pc \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Liniowej niezależności zbioru funkcji", "content": "\nMówimy, że zbiór funkcji \\( \\hskip 0.3pc f_1(t),\\ldots,f_n(t)\\hskip 0.3pc \\) określonych na przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny. Inaczej mówiąc, równość \\( \\hskip 0.3pc c_1f_1(t)+\\cdots +c_nf_n(t)=0\\hskip 0.3pc \\) zachodzi dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I\\hskip 0.3pc \\) jedynie w przypadku, gdy wszystkie współczynniki \\( \\hskip 0.3pc c_i, \\hskip 0.3pc i=1,\\dots,n\\hskip 0.3pc \\) są równe zero.\n\n" } ]

[ "Niech", "będzie równaniem różniczkowym liniowym rzędu \\( \\hskip 0.3pc n,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc y(t)\\hskip 0.3pc \\) jest nieznaną funkcją a dane funkcje \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc a_{k}(t),\\: k=0,\\ldots n\\hskip 0.3pc \\) są ciągłe i określone w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\subset \\mathbb{R}.\\hskip 0.3pc \\) Przez przedział \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) rozumiemy jeden z następujących zbiorów: \\( \\hskip 0.3pc (a,b),\\hskip 0.3pc (-\\infty,a), \\) \\( (a,+\\infty ) \\hskip 0.3pc \\) lub \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Fundamentalnego zbioru rozwiązań", "content": "\nZbiór rozwiązań \\( \\hskip 0.3pc \\{y_1(t),\\dots,\\hskip 0.3pc y_n(t)\\},\\hskip 0.3pc \\) równania ( 2 ) będziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiązań , jeżeli dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I\\hskip 0.3pc \\) wrońskian \\( \\hskip 0.3pc W(y_1(t),\\ldots ,y_n(t))\\hskip 0.3pc \\) jest różny od zera.\n\n" } ]

[ "Wyznaczenie fundamentalnego zbioru rozwiązań równania", "gdy współczyniki \\( \\hskip 0.3pc a_i(t)\\hskip 0.3pc \\) nie są stałymi, jest z reguły trudnym zadaniem. Jeżeli znamy jedno rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc y_1(t)\\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) to kolejne, liniowo niezależne rozwiązanie szukamy w postaci \\( \\hskip 0.3pc y(t)=u(t)y_1(t),\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc u(t)\\hskip 0.3pc \\) jest nieznaną funkcją. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia rozwiązania równania różniczkowego liniowego rzędu \\( \\hskip 0.3pc n-1,\\hskip 0.3pc \\) gdzie niewiadomą jest funkcja \\( \\hskip 0.3pc u(t)\\hskip 0.3pc \\). W praktyce metoda ta jest użyteczna dla równań rzędu drugiego." ]

[]

[ "Rozwiązania równania ( 1 ) szukamy w postaci funkcji \\( \\hskip 0.3pc y(t)=e^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\).", "Dzieląc powyższe równanie przez \\( \\hskip 0.3pc e^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\) dostajemy tak zwane równanie charakterystyczne", "Zauważmy, że równanie charakterystyczne można otrzymać podstawiając do równania ( 1 ) w miejsce \\( \\hskip 0.3pc y^{\\prime\\prime}(t),\\hskip 0.3pc y^{\\prime}(t),\\hskip 0.3pc y(t)\\hskip 0.3pc \\) odpowiednio \\( \\hskip 0.3pc \\lambda ^2,\\hskip 0.3pc \\lambda,\\hskip 0.3pc 1\\hskip 0.3pc \\). Równanie kwadratowe może mieć deltę dodatnią, równą zeru lub ujemną. Gdy \\( \\hskip 0.3pc \\Delta >0\\hskip 0.3pc \\) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne rzeczywiste pierwiastki", "Mamy wtedy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )", "Funkcje te są liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać", "Gdy \\( \\hskip 0.3pc \\Delta =0\\hskip 0.3pc \\) wtedy równanie ( 2 ) ma jeden pierwiastek rzeczywisty \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =-\\frac{a_1}{2a_2}.\\hskip 0.3pc \\) Funkcja \\( \\hskip 0.3pc y_1(t)=e^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 2 ). Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie twierdzenia Liouville'a i ma postać", "Rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać", "Gdy \\( \\hskip 0.3pc \\Delta <0\\hskip 0.3pc \\) wtedy równanie ( 2 ) ma dwa różne pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone", "Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 1 )", "Funkcje te są liniowo niezależne. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) ma w tym przypadku postać", "Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc y_1(t)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y_2(t)\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami o wartościach zespolonych. Wyznaczymy teraz liniowo niezależne funkcje o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 1 ). W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia", "Wtedy pierwiastki \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_1,\\hskip 0.3pc \\lambda_2\\hskip 0.3pc \\) możemy zapisać następująco", "Stąd mamy, że", "Na podstawie twierdzenia 1 dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 1 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 1 ).", "Na podstawie wniosku 3 funkcje te są liniowo niezależne. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) w tym przypadku ma postać" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nRównaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( a_2y^{\\prime\\prime}(t)+a_1y^{\\prime}(t)+a_0y(t)=0. \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc a_0,\\hskip 0.3pc a_1\\hskip 0.3pc a_2\\hskip 0.3pc \\) są stałymi i \\( \\hskip 0.3pc a_2\\neq 0\\hskip 0.3pc \\).\n\n" } ]

[ "Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania ( 1 ). Tak jak w przypadku dla \\( \\hskip 0.3pc n=2,\\hskip 0.3pc \\) szukamy rozwiązania równania ( 1 ) w postaci funkcji \\( \\hskip 0.3pc y(t)=e^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\). Równanie charakterystyczne odpowiadające równaniu ( 1 ) ma postać", "Przpadek I. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_1, \\ldots ,\\lambda_k\\hskip 0.3pc \\) są rzeczywistymi jednokrotnymi pierwiastki równania ( 2 ) wtedy z przykładu 7 z modułu \"Liniowa zależność i niezależność funkcji\" wynika, że funkcje", "Przpadek II. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_0\\hskip 0.3pc \\) jest \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.2pc \\) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) wtedy funkcje", "Istotnie, dla dowolnej liczby naturalnej \\( \\hskip 0.3pc i,\\hskip 0.3pc 1\\le i\\le k-1\\hskip 0.3pc \\) prawdziwa jest następująca zależność:", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_0\\hskip 0.3pc \\) jest \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.2pc \\) - krotnym pierwiatkiem równania ( 2 ) więc", "Zatem funkcja \\( \\hskip 0.3pc y_{i+1}(t)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 1 ). Liniowa niezależność rozwiązań \\( \\hskip 0.3pc y_1(t),\\hskip 0.3pc\\ldots ,y_k(t)\\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) wynika z wniosku 2. Przpadek III. Niech \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =\\alpha +\\beta i\\hskip 0.3pc \\) będzie jednokrotnym zespolonym pierwiastkiem równania ( 2 ). Wtedy liczba sprzężona \\( \\hskip 0.3pc \\bar{\\lambda }=\\alpha -\\beta i\\hskip 0.3pc \\) też jest pierwiatkiem jednokrotnym równania ( 2 ) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak dla równań rzędu drugiego pokazuje się, że pierwiastkom tym odpowiadają następujące linowo niezależne rozwiązania równania ( 1 ):", "Przpadek IV.Niech \\( \\hskip 0.3pc \\lambda =\\alpha +\\beta i\\hskip 0.3pc \\) będzie pierwiastkiem zespolonym równania ( 2 ) o krotności \\( \\hskip 0.3pc k,\\hskip 0.3pc \\) Wtedy liczba sprzężona \\( \\hskip 0.3pc \\bar{\\lambda }=\\alpha -\\beta i\\hskip 0.3pc \\) też jest pierwiatkiem równania ( 2 ) o krotności \\( \\hskip 0.3pc k,\\hskip 0.3pc \\) gdyż współczynniki równania ( 2 ) są rzeczywiste. Analogicznie jak w \"Przypadku II\" dowodzi się, że następujące funkcje", "Postępując tak samo jak dla równań rzędu drugiego można wykazać, że rozwiązaniom", "będące rozwiązaniami równania ( 1 ). Na podstawie wniosku 3 wynika, że powyższe rozwiązania równania ( 1 ) są liniowo niezależne." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nRównaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\) o stałych współczynikach nazywamy równanie postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( L(y(t)):=a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\\cdots + a_{1}y^{\\prime}(t)+a_{0}y(t)=0, \\hskip 1pc t\\in\\mathbb{R} \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc a_0,\\ldots ,a_n\\hskip 0.3pc \\) są stałymi i \\( \\hskip 0.3pc a_n\\neq 0\\hskip 0.3pc \\).\n\n" } ]

[ "W module tym omówimy wyznaczanie rozwiązań dla równań liniowych niejednorodnych postaci", "gdy znamy fundamentalny zbiór rozwiązań równania jednorodnego", "Zachodzi następujące twierdzenie:" ]

[]

[ "Jedną z metod rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach jest metoda uzmienniania stałych opisana jest w module Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych niejednorodnych wyższych rzędów metodą uzmieniania stałych. Podamy teraz przykłady jej zastosowania do równan liniowych o stałych współczynnikach." ]

[]

[ "Metodę przewidywań można stosować jedynie do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach. Zaletą tej metody jest to, że unika się całkowania, jak to ma miejsce w metodzie współczynników nieoznaczonych. Natomiast wadą jest to, że ma zastosowanie tylko dla pewnego typu funkcji. Rozważmy równanie", "gdzie prawa strona jest funkcją postaci", "a \\( \\hskip 0.3pc P_k(t)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc R_m(t)\\hskip 0.3pc \\) są wielomianami odpowiednio stopnia \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc m.\\hskip 0.3pc \\) Oznaczmy przez \\( \\hskip 0.3pc \\phi (\\lambda)\\hskip 0.3pc \\) wielomian występujący po lewej stronie równania charakterystycznego", "Przypadek gdy \\( \\hskip 0.3pc \\beta=0\\hskip 0.3pc \\). W tym przypadku funkcja \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) ma postać", "1. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha\\hskip 0.3pc \\) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc W_k(t) \\) jest nieznanym wielomianem stopnia \\( \\hskip 0.3pc k.\\hskip 0.3pc \\) 2. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\hskip 0.3pc \\) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności \\( \\hskip 0.3pc r,\\hskip 0.3pc \\) to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc W_k(t)\\hskip 0.3pc \\) jest nieznanym wielomianem stopnia \\( \\hskip 0.3pc k.\\hskip 0.3pc \\) Przypadek gdy \\( \\hskip 0.3pc \\beta\\neq 0\\hskip 0.3pc \\). W tym przypadku funkcja \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) ma postać ( 2 ). 1. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\pm\\beta i \\hskip 0.3pc \\) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci", "2. Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc \\alpha \\pm\\beta i\\hskip 0.3pc \\) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności \\( \\hskip 0.3pc r,\\hskip 0.3pc \\) to przewidujemy rozwiązanie szczególne równania ( 1 ) w postaci" ]

[]

[ "Przy pomocy równań liniowych rzędu drugiego opisuje sie wiele zagadnień fizycznych, np. zagadnienia związane z ruchem drgającym. Drganiami harmonicznymi nazywamy drgania wykonywane przez ciało, na które działa siła: \\( \\hskip 0.3pc \\vec{F}=-k\\vec{r}.\\hskip 0.3pc \\) W jednowymiarowym przypadku Rys. 1 można ją zapisać jako: \\( \\hskip 0.3pc F=-kx,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) to stała dodatnia, a \\( \\hskip 0.3pc x\\hskip 0.3pc \\) jest to wartość wychylenia z położenia równowagi. Znak minus związany jest z tym, że siła działająca na ciało jest przeciwnie skierowana, niż wychylenie z położenia równowagi." ]

[]

[ "W module tym będziemy rozpatrywać równania rzędu drugiego postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc F\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją ciągłą ze względu na wszystkie swoje zmienne. Rozpatrzymy trzy przypadki.", "Przypadek I. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc F(t,y^{\\prime},y^{\\prime\\prime})=0.\\hskip 0.3pc \\) W tym równaniu \\( \\hskip 0.3pc y\\hskip 0.3pc \\) nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:", "wtedy \\( \\hskip 0.3pc y^{\\prime\\prime}(t)=u^{\\prime}(t)\\hskip 0.3pc \\) i rozpatrywane równanie sprowadza się do równania rzędu pierwszego", "Przypadek II. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc F(y,y^{\\prime},y^{\\prime\\prime})=0.\\hskip 0.3pc \\) W tym równaniu \\( \\hskip 0.3pc t\\hskip 0.3pc \\) nie występuje w sposób jawny. Dokonujemy podstawienia:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc u\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją zależną od \\( \\hskip 0.3pc y\\hskip 0.3pc \\).", "Przypadek III. Równania różniczkowe jednorodne rzędu drugiego.", "W celu rozwiązania równania ( 5 ) dokonujemy podstawienia", "Po dwukrotnym zróżniczkowaniu powyższej funkcji: \\( \\hskip 0.3pc y^{\\prime}=e^uu^{\\prime}, \\hskip 0.3pc \\hskip 0.3pc y^{\\prime\\prime}=e^u((u^{\\prime})^2+u^{\\prime\\prime})\\hskip 0.3pc \\) i podstawieniu do równanie ( 5 ) przyjmuje ono postać" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nRównanie\n\n(5)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( F(t,y,y^{\\prime},y^{\\prime\\prime})=0 \\)\n\nnazywamy równaniem jednorodnym stopnia \\( \\hskip 0.3pc n,\\hskip 0.3pc \\) jeżeli dla każdego \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\in\\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\) mamy\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( F(t,\\lambda y,\\lambda y^{\\prime},\\lambda y^{\\prime\\prime})=\\lambda^nF(t,y,y^{\\prime},y^{\\prime\\prime}). \\)\n\n" } ]

[ "Chcąc wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania ( 1 ) musimy najpierw wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego", "Omówimy wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań dla \\( \\hskip 0.3pc n=2,\\hskip 0.3pc \\) czyli dla równania:", "Rozwiązania równania ( 3 ) szukamy w postaci funkcji \\( \\hskip 0.3pc y(t)=t^k\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) jest stałą. Wtedy \\( \\hskip 0.3pc y(t)=t^k\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc y^\\prime(t)=kt^{k-1}\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y^{\\prime\\prime}(t)=k(k-1)t^{k-2}\\hskip 0.3pc \\) podstawiamy do równania ( 3 ) i dostajemy", "Dzieląc powyższe równanie przez \\( \\hskip 0.3pc t^k\\hskip 0.3pc \\) otrzymamy równanie", "Rozważymy trzy przypadki w zależności od \\( \\hskip 0.3pc \\Delta =(a_1-a_2)^2-4a_2a_0 \\hskip 0.3pc \\) . Przypadek I. \\( \\hskip 0.3pc \\Delta >0.\\hskip 0.3pc \\) Równanie ( 4 ) ma wtedy dwa różne rzeczywiste pierwiastki", "Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 3 )", "Funkcje te są liniowo niezależne ponieważ ich wrońskian", "jest różny od zera. Zatem rozwiązanie ogólne równania( 3 ) w tym przypadku ma postać", "Przypadek II. \\( \\hskip 0.3pc \\Delta =0.\\hskip 0.3pc \\) Równanie ( 4 ) ma wtedy jeden pierwiastek rzeczywisty \\( \\hskip 0.3pc k =\\frac{a_2-a_1}{2a_2}.\\hskip 0.3pc \\) Funkcja \\( \\hskip 0.3pc y_1(t)=t^{k}\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem równania ( 3 ). Dzieląc obustronnie równanie ( 3 ) przez \\( \\hskip 0.3pc a_2t^2\\hskip 0.3pc \\) otrzymujemy", "Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy na podstawie twierdzenia Liouville'a", "Rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać", "Przypadek III. \\( \\Delta <0. \\) Równanie ( 1 ) ma wtedy dwa różne pierwiastki zespolone wzajemnie sprzężone", "Wtedy mamy dwie funkcje będące rozwiązaniem równania ( 3 )", "Funkcje te są liniowo niezależne. Uzasadnienie jest identyczne jak w przypadku pierwszym. Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać", "Niedogodnością tego przedstawienia jest to, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc y_1(t)\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc y_2(t)\\hskip 0.3pc \\) są funkcjami o wartościach zespolonych. Wyznaczymy teraz funkcje liniowo niezależne o wartościach rzeczywistych, spełniające równanie ( 3 ). W celu uproszczenia zapisów wprowadzamy następujące oznaczenia", "Wtedy pierwiastki \\( \\hskip 0.3pc k_1, \\hskip 0.3pc k_2\\hskip 0.3pc \\) równania ( 4 ) możemy zapisać następująco", "i faktu, że \\( \\hskip 0.3pc t=e^{\\ln t}.\\hskip 0.3pc \\) Stąd otrzymujemy", "Na podstawie twierdzenia 1 dowolna kombinacja liniowa rozwiązań równania ( 3 ) jest rozwiązaniem tego równania, stąd następujące funkcje są rozwiązaniami równania ( 3 ).", "Ponieważ funkcje te są liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 3 ) w tym przypadku ma postać", "W przypadku gdy \\( \\hskip 0.3pc n>2,\\hskip 0.3pc \\) postępuje się analogicznie jak dla równań o stałych współczynnikach. Szuka się rozwiązania równania w postaci funkcji \\( \\hskip 0.3pc y(t)=t^k\\hskip 0.3pc \\). Licząc kolejno pochodne \\( \\hskip 0.3pc y^\\prime(t),\\ldots, y^{n}(t)\\hskip 0.3pc \\) i podstawiając do równania ( 2 ) otrzymuje się wielomian stopnia \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\) zmiennej \\( \\hskip 0.3pc k,\\hskip 0.3pc \\) który będziemy oznaczać \\( \\hskip 0.3pc \\psi _n(k)\\hskip 0.3pc \\). Analogicznie jak w przypadku \\( \\hskip 0.3pc n=2,\\hskip 0.3pc \\) rozpatrzymy trzy przypadki, w zależności od pierwiastków równania", "Przypadek I. Pierwiastki \\( \\hskip 0.3pc k_1, \\ldots ,k_s\\hskip 0.3pc \\) równania ( 5 ) są rzeczywiste i jednokrotne. Wtedy funkcje", "stanowią liniowo niezależny zbiór rozwiązań równania ( 2 ). Przypadek II. Niech \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\) będzie pierwiatkiem rzeczywistym równania ( 5 ) o krotności \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc r>1.\\hskip 0.3pc \\) Wtedy funkcje", "są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 ) Przypadek III. Niech \\( \\hskip 0.3pc k =\\alpha +\\beta i\\hskip 0.3pc \\) będzie pierwiastkiem równania ( 5 ) o krotności \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc r\\ge1\\hskip 0.3pc \\). Wtedy liczba sprzężona \\( \\hskip 0.3pc \\bar{k }=\\alpha -\\beta i\\hskip 0.3pc \\) też jest pierwiatkiem tego równania o krotności \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\). Pierwiastkom tym odpowiadają nastepujące funkcje", "będące liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania ( 2 )." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nRównaniem różniczkowym Eulera rzędu \\( \\hskip 0.3pc n\\hskip 0.3pc \\) nazywamy równanie postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( a_nt^ny^{(n)}(t)+a_{n-1}t^{n-1}y^{(n-1)}(t)+\\cdots + a_{1}ty^\\prime(t)+a_{0}y(t)=f(t) \\)\n\ngdzie: \\( \\hskip 0.3pc a_0,\\ldots ,a_n\\hskip 0.3pc \\) są to stałe, \\( \\hskip 0.3pc a_n\\neq 0\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) jest funkcją ciągłą określoną w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\subset \\mathbb{R}. \\)\n\n" } ]

[ "Przez \\( \\hskip 0.3pc D\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać operator różniczkowania - przyporządkowujący funkcji \\( \\hskip 0.3pc x(t)\\hskip 0.3pc \\) jej funkcję pochodną: \\( \\hskip 0.3pc Dx(t):=x^\\prime(t).\\hskip 0.3pc \\) Przez \\( \\hskip 0.3pc D^k\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\)-krotne złożenie operatora \\( \\hskip 0.3pc D\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc D^kx(t):=x^{(k)}(t).\\hskip 0.3pc \\) Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc L\\hskip 0.3pc \\) jest operatorem określonym następująco", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc a_0,\\ldots,a_k\\hskip 0.3pc \\)-są to dowolne stałe, to dla dowolnej funkcji \\( \\hskip 0.3pc x(t)\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc k\\hskip 0.3pc \\)-krotnie różniczkowalnej mamy:", "Stosując powyższe oznaczenia układ równań ( 1 ) można zapisać następująco:", "gdzie : \\( \\hskip 0.3pc L_{11}=D^2+1, \\hskip 0.3pc L_{12}=2D, \\hskip 0.3pc L_{13}=-1, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc L_{21}=D^2-1,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc L_{22}=D^2+1, \\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc L_{23}=D,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc L_{31}=-D,\\hskip 0.3pc \\) \\( \\hskip 0.3pc L_{32}=D,\\hskip 0.3pc L_{33}=2D^2+1.\\hskip 0.3pc \\) Omówimy teraz rozwiązywanie układów równań postaci:", "gdzie operatory \\( \\hskip 0.3pc L_{ij}\\hskip 0.3pc \\) są postaci ( 2 ) Powyższy układ rozwiązuje się podobnie jak układ równań liniowych, z wykorzystaniem wzorów Cramera:", "gdzie", "Mnożeniu elementów przy liczeniu wyznacznika \\( W \\) odpowiada złożenie operatorów. Przy liczeniu wyznaczników \\( \\hskip 0.3pc W_i\\hskip 0.3pc \\) najpierw składamy odpowiednie operatory, a następnie wyliczamy wartość tak otrzymanego operatora dla funkcji \\( \\hskip 0.3pc f_k(t)\\hskip 0.3pc \\). Na przykład mnożąc elementy na przekątnej dostajemy :", "Pokażemy prawdziwość wzorów ( 4 ) dla \\( \\hskip 0.3pc n=2\\hskip 0.3pc \\). Rozważmy układ równań", "Pierwsze równanie układu ( 6 ) obkładamy obustronie operatorem \\( \\hskip 0.3pc L_{22}\\hskip 0.3pc \\) a drugie operatorem \\( \\hskip 0.3pc L_{12}\\hskip 0.3pc \\) i otrzymujemy następujący układ równań:", "dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach odpowiedniego rzędu zmiennej \\( \\hskip 0.3pc x_1\\hskip 0.3pc \\):", "Analogicznie jeżeli pierwsze równanie układu ( 6 ) obłożymy obustronnie operatorem \\( \\hskip 0.3pc L_{21}\\hskip 0.3pc \\) a drugie \\( \\hskip 0.3pc L_{11}\\hskip 0.3pc \\) i odejmiemy stronami to otrzymamy", "Stąd mamy", "są takie, same." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": " Przez układ równań różniczkowych będziemy rozumieli dwa lub więcej równań zawierających pochodne dwóch lub więcej nieznanych funkcji jednej zmiennej.\n" } ]

[]

[]

[]

[]

[ "Istotnie, określmy następująco nowe zmienne", "Wtedy równanie ( 3 ) można zapisać w postaci układu równań" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nUkładem normalnym równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{cases}x_1^\\prime(t)=f_1(t,x_1(t),\\ldots , x_n(t))&\\\\x_2^\\prime(t)=f_2(t,x_1(t),\\ldots ,x_n(t))&\\\\\\hskip 0.3 pc\\hskip 0.3 pc \\vdots &\\\\x_n^\\prime(t)=f_n(t,x_1(t),\\ldots ,x_n(t))& \\end{cases} \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc x_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n\\hskip 0.3pc \\) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej \\( \\hskip 0.3pc t\\in I,\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc f_1,\\ldots,\\hskip 0.3pc f_n\\hskip 0.3pc \\) są danymi funkcjami określonymi w \\( \\hskip 0.3pc I\\times U,\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc I=(a,b),\\hskip 0.3pc \\), \\( \\hskip 0.3pc a\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc b\\hskip 0.3pc \\) mogą być nieskończonościami, \\( \\hskip 0.3pc U\\subset \\mathbb{R}^n.\\hskip 0.3pc \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": "\nPrzez rozwiązanie układu równań rózniczkowych ( 1 ) rozumiemy funkcje różniczkowalne\n \\( \\hskip 0.3pc x_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n\\hskip 0.3pc \\) spełniające dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I\\hskip 0.3pc \\) układ równań ( 1 ).\n\n" }, { "name": "Definicja 3:", "content": " Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc x_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n\\hskip 0.3pc \\) są rozwiązaniem układu ( 1 ) to trajektorią rozwiązania nazywamy zbiór punktów w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R}^n\\hskip 0.3pc \\) określony następująco\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\{(x_1(t),x_2(t),\\ldots ,x_n(t)),\\hskip 0.3 pc\\hskip 0.3 pc t\\in I \\}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 4:", "content": " Problem początkowy (Cauchy'ego) dla układu ( 1 ) polega na znalezieniu w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) rozwiązania \\( \\hskip 0.3pc x_1(t),\\hskip 0.3pc x_2(t),\\ldots ,\\hskip 0.3pcx_n(t) \\) układu ( 1 ) spełniającego warunki początkowe\n\n\t\t\t\t\t(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( x_1(t_0)=x_{01},\\hskip 0.3pc x_2(t_0)=x_{02},\\ldots ,\\hskip 0.3pcx_n(t_0)=x_{0n}, \\)\n\n\t\t\t\t\t\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc x_{01},\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_{0n}\\hskip 0.3pc \\) są dane, a \\( \\hskip 0.3pc t_0\\hskip 0.3pc \\) jest ustalonym punktem przedziału \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\)." } ]

[ "Zapis macierzowy układu ( 1 ). Wprowadzając następujące oznaczenia:", "układ ( 1 ) można zapisać w postaci", "a warunek początkowy ( 2 )", "Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module \"Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych\".", "Struktura zbioru rozwiązań układu jednorodnego:", "Niech", "będzie zbiorem wszystkich rozwiązań układu \\( \\hskip 0.3pc (5)\\hskip 0.3pc \\).", "Podamy teraz jak wyznacza się rozwiązanie układu niejednorodnego ( 3 ) gdy znamy już układ fundamentalny rozwiązań układu jednorodnego ( 5 )." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nUkładem normalnym równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{cases}x_1^\\prime(t)=a_{11}(t)x_1(t)+\\cdots +a_{1n}(t)x_n(t)+f_1(t)&\\\\ \\hskip 0.3 pc \\hskip 0.3 pc \\vdots &\\\\x_n^\\prime(t)=a_{n1}(t)x_1(t)+\\cdots +a_{nn}(t)x_n(t)+f_n(t)& \\end{cases} \\)\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc x_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n\\hskip 0.3pc \\) są nieznanymi funkcjami zmiennej niezależnej \\( \\hskip 0.3pc t\\in I,\\hskip 0.3pc \\) a współczynniki \\( \\hskip 0.3pc a_{ij}(t)\\hskip 0.3pc \\) i funkcje \\( \\hskip 0.3pc f_i(t)\\hskip 0.3pc \\) są danymi funkcjami określonymi w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I =(a,b)\\hskip 0.3pc \\), gdzie \\( \\hskip 0.3pc a\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc b\\hskip 0.3pc \\) mogą być nieskończonościami.\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": "\nJeżeli \\( \\hskip 0.3pc f_i(t)=0,\\hskip 0.3 pc \\hskip 0.3 pc i=1,\\ldots, n,\\hskip 0.3 pc \\hskip 0.3 pc t\\in I,\\hskip 0.3pc \\) to układ ( 1 ) nazywamy jednorodnym.\n\n" }, { "name": "Definicja 3:", "content": "Rozwiązaniem układu ( 1 ) nazywamy funkcje \\( \\hskip 0.3pc x_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n\\hskip 0.3pc \\) ciągłe i różniczkowalne w przedziale \\( \\hskip 0.3pc I,\\hskip 0.3pc \\) spełniające układ ( 1 ) dla każdego \\( \\hskip 0.3pc t\\in I.\\hskip 0.3pc \\)" }, { "name": "Definicja 4:", "content": "Warunkiem początkowym dla układu ( 1 ) nazywamy układ równości :\n\n\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( x_1(t_0)=x_{01},\\hskip 0.5 pc x_2(t_0)=x_{02},\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_n(t_0)=x_{0n} \\)\n\n\n\ngdzie \\( \\hskip 0.3pc x_{01},\\ldots ,\\hskip 0.3pc x_{0n}\\hskip 0.3pc \\) są danymi stałymi, a \\( \\hskip 0.3pc t_0\\hskip 0.3pc \\) jest ustalonym punktem przedziału \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\)." }, { "name": "Definicja 5:", "content": " Dowolną bazę \\( \\hskip 0.3pc x_1(t),\\ldots, x_n(t)\\hskip 0.3pc \\) przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V\\hskip 0.3pc \\) będziemy nazywać układem fundamentalnym dla równania ( 5 ). " }, { "name": "Definicja 6:", "content": "\nJeżeli \\( \\hskip 0.3pc x_1(t),\\ldots, x_n(t)\\hskip 0.3pc \\) jest układem fundamentalnym dla układu \\( \\hskip 0.3pc (5),\\hskip 0.3pc \\) to macierz \n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( X(t)=\\begin{bmatrix} x_{11}(t)& x_{12}(t)&\\ldots &x_{1n}(t)\\\\ \\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots\\\\ x_{n1}(t)& x_{n2}(t)&\\ldots &x_{nn}(t) \\end{bmatrix} \\)\n\nnazywamy macierzą fundamentalną i spełnia ona równanie macierzowe\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( X^\\prime(t)=A(t)\\cdot X(t). \\)\n\n" } ]

[ "Rozważmy układ równań postaci", "gdzie", "Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań dla układu równań różniczkowych ( 1 ) gdy wartości własne macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) są rzeczywiste i jednokrotne. Rozwiązania układu ( 1 ) szukamy w postaci funkcji", "Podstawiamy \\( \\hskip 0.3pc x(t)\\hskip 0.3 pc \\) i \\( \\hskip 0.3 pc x^\\prime(t)=\\lambda ve^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\) do równania ( 1 )", "Dzielimy powyższą równość obu stronie przez \\( \\hskip 0.3pc e^{\\lambda t}\\hskip 0.3pc \\)", "Stąd wynika, że \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) jest wartością własną macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\)- wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej. Z powyższych rozważań wynika, że chcąc wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań układu ( 1 ) należy w pierwszej kolejności wyznaczyć wartości własne macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) i odpowiadające im wektory własne. Wartości własne macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) są pierwiastkami wielomianu:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc I\\hskip 0.3pc \\) oznacza macierz jednostkową a \\( \\hskip 0.3pc p_0,\\ldots,p_n\\hskip 0.3pc \\)- są to liczby rzeczywiste. Jeśli \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\hskip 0.3pc \\) jest wartością własną macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) to przez", "oznaczać będziemy zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda\\hskip 0.3pc \\)." ]

[]

[ "Rozważmy układ równań różniczkowych postaci", "gdzie", "Omówimy wyznaczanie układu fundamentalnego dla układu ( 1 ) gdy wartości własne macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) są jednokrotne, ale nie wszyskie rzeczywiste.", "Wartości własne macierzy \\( \\hskip 0.3pcA\\hskip 0.3pc \\) są miejscami zerowymi wielomianu:", "Z uwagi 1 wynika, że jeżeli \\( \\hskip 0.3pc\\lambda\\hskip 0.3pc \\) jest zespoloną wartością własną macierzy \\( \\hskip 0.3pcA\\hskip 0.3pc \\) to \\( \\hskip 0.3pc\\overline{\\lambda}\\hskip 0.3pc \\) jest też wartością własną macierzy \\( \\hskip 0.3pcA\\hskip 0.3pc \\).", "Niech \\( \\hskip 0.3pc\\lambda =\\alpha+\\beta i\\hskip 0.3pc \\) będzie zespoloną wartością własną macierzy \\( \\hskip 0.3pcA\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) wektorem własnym odpowiadającym tej wartości własnej.", "Z uwagi 2 wynika, że funkcje \\( \\hskip 0.3pc ve^{\\lambda t},\\hskip 0.3pc \\overline {v}e^{\\overline{\\lambda} t}\\hskip 0.3pc \\) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu ( 1 ). Korzystając z zależności", "funkcje \\( \\hskip 0.3pc ve^{\\lambda t},\\hskip 0.3pc \\overline {v}e^{\\overline{\\lambda} t}\\hskip 0.3pc \\) można zapisać następująco:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc\\Re\\hskip 0.3pc \\) oznacza część rzeczywistą a \\( \\hskip 0.3pc\\Im\\hskip 0.3pc \\) część urojoną. Ponieważ zbiór rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ) jest przestrzenią wektorową to następujące funkcje,", "Stąd wynika, że dla wartości własnych zespolonych \\( \\hskip 0.3pc\\lambda\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc\\overline {\\lambda}\\hskip 0.3pc \\) wystarczy wyznaczyć tylko wektor własny \\( \\hskip 0.3pc v\\hskip 0.3pc \\) dla wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda \\)." ]

[]

[ "Rozważmy układ równań postaci", "gdzie", "Z kursu algebry liniowej wiemy, że macierz \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) jest diagonalizowalna jeżeli dla każdej watrości własnej wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej tej wartości jest równy jej krotności.", "Jeżeli układ wektorów \\( \\hskip 0.3pc \\{v_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc v_k\\}\\hskip 0.3pc \\) jest bazę przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V_\\lambda\\hskip 0.3pc \\) to następujące funkcje" ]

[]

[ "Rozważmy układ równań postaci", "gdzie", "Z algebry liniowej wiadomo, że macierz nie jest diagonalizowalna, jeżeli istnieje wartość własna, której krotność jest większa niż odpowiadający jej wymiar podprzestrzeni własnej.", "Na początek wprowadzimy pewne oznaczenia:", "Zbiory \\( \\hskip 0.3pc V_{\\lambda}^{(i)} \\hskip 0.6pc i=1,\\hskip 0.3pc 2,\\ldots \\hskip 0.3pc \\) - są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R}^n\\hskip 0.3pc \\) i będziemy nazywać je podprzestrzeniami wektorów głównych rzędu \\( \\hskip 0.3pc i\\hskip 0.3pc \\). Podprzestrzenie wektorów głównych dla wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda\\hskip 0.3pc \\) tworzą ciąg wstępujący", "Dokładniej mówiąc, istnieje liczba naturalna \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\) taka, że" ]

[]

[ "Rozważmy układ równań postaci", "gdzie" ]

[]

[ "Przez \\( \\hskip 0.3pc M(n\\times n,\\hskip 0.3pc\\mathbb{C})\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać zbiór macierzy o wymiarach \\( \\hskip 0.3pc n\\times n\\hskip 0.3pc \\) i wartościach zespolonych.", "Łatwo zauważyć, że zachodzi nierówność", "Dla \\( \\hskip 0.3pc t\\in \\mathbb{R}\\hskip 0.3pc \\) definiujemy ciąg macierzy \\( \\hskip 0.3pc\\{S_k(t)\\}\\hskip 0.3pc \\)", "Elementy macierzy \\( \\hskip 0.3pc S_k(t)\\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać \\( \\hskip 0.3pc b_{ij}^{(k)}(t)\\hskip 0.3pc \\)", "Ponieważ dla każdego \\( \\hskip 0.6pc i,\\hskip 0.3pc j=1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc n\\hskip 0.6pc \\) mamy nierówność", "więc z uwagi 1 wynika, że ciąg \\( \\hskip 0.3pc \\{b_{ij}^{(k)}(t)\\}\\hskip 0.3pc \\) jest ciągiem Cauchy'ego. Zatem istnieje granica tego ciągu", "Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 7 ) przy użyciu macierzy \\( \\hskip 0.3pc e^{tA}\\hskip 0.3pc \\) można zapisać następująco:", "Natomiast rozwiązanie równania ( 7 ) z warunkiem początkowym \\( \\hskip 0.3pc x(t_0)=x_0\\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc x_0=\\begin{bmatrix}x_{01}\\\\ \\vdots \\\\x_{0n}\\end{bmatrix}\\hskip 0.3pc \\) można zapisać następująco:" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nNormę w przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc M(n\\times n,\\hskip 0.3pc\\mathbb{C})\\hskip 0.3pc \\) określamy następująco:\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\lVert A\\lVert =\\max \\{|a_{ij}|,\\hskip 0.3pc\\hskip 0.3pci,j=1,\\ldots,n\\}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": " Macierz wykładniczą \\( \\hskip 0.3pc e^{tA}\\hskip 0.3pc \\) definujemy jako granicę ciągu macierzy \\( \\hskip 0.5pc \\{S_k(t)\\}\\hskip 0.5pc \\):\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( e^{tA}=\\begin{bmatrix}b_{11}(t)\\ldots b_{1n}(t)\\\\ \\vdots \\ddots\\vdots\\\\ b_{n1}(t)\\ldots b_{nn}(t)\\end{bmatrix}=\\lim\\limits_{k\\rightarrow \\infty}\\begin{bmatrix}b_{11}^{(k)}(t)\\ldots b_{1n}^{(k)}(t)\\\\ \\vdots \\ddots\\vdots \\\\b_{n1}^{(k)}(t)\\ldots b_{nn}^{(k)}(t)\\end{bmatrix}=\\lim\\limits_{k\\rightarrow \\infty}S_k(t)=\\displaystyle\\sum_{i=0}^{\\infty }\\dfrac{t^i}{i!}A^i. \\)\n\n" } ]

[ "Do wyznaczania macierzy wykładniczej \\( \\hskip 0.3pc e^{tA}\\hskip 0.3pc \\) wykorzystamy następujące twierdzenie:", "Omówimy teraz jak wyznacza się klatki Jordana i macierz nieosobliwą P.", "Niech \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru \\( \\hskip 0.3pc n\\times n,\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_1, \\ldots ,\\lambda_k,\\hskip 0.5pck\\le n\\hskip 0.3pc \\) będą wartościami własnymi macierzy \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\). Niech", "będzie podprzestrzenią własną odpowiadająca wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_i\\hskip 0.3pc \\). Rozważymy następujące przypadki.", "1. Wymiar przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V_i^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) jest równy krotności wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_i.\\hskip 0.3pc \\) Niech \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\)- oznacza krotność wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_i\\hskip 0.3pc \\) i niech układ wektorów \\( \\hskip 0.3pc \\{v_{i_1}^{(0)},\\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\\}\\hskip 0.3pc \\) będzie bazą przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V_i^{(0)}\\hskip 0.3pc \\). Każdemu wektorowi \\( v_{i_j}^{(0)} \\) odpowiada pojedyncza klatka Jordana, którą będziemy oznaczać \\( \\hskip 0.3pc J_{i_j}=[\\lambda_i].\\hskip 0.3pc \\) W tym przypadku mamy \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\) jednakowych pojedynczych klatek Jordana.", "2. Wymiar przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V_i^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) jest mniejszy od krotności wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_i\\hskip 0.3pc \\). Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\)- jest krotnością wartości własnej \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_i\\hskip 0.3pc \\) a \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\)- wymiarem przestrzeni własnej \\( \\hskip 0.3pc V_i^{(0)},\\hskip 0.3pc \\) wtedy mamy \\( \\hskip 0.3pc m\\hskip 0.3pc \\) wektorów \\( \\hskip 0.3pc\\{v_{i_1}^{(0)},\\ldots ,v_{i_m}^{(0)}\\},\\hskip 0.3pc \\) z których tylko pierwszych \\( \\hskip 0.3pc r\\hskip 0.3pc \\) stanowi bazę przestrzeni \\( \\hskip 0.3pc V_i^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) a pozostałe \\( \\hskip 0.3pc m-r\\hskip 0.3pc \\) wektorów są wektorami głównymi odpowiednich rzędów związanymi niekoniecznie ze wszystkimi wektorami własnymi \\( \\hskip 0.3pc\\{v_{i_1}^{(0)},\\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\\}\\hskip 0.3pc \\). Każdemu wektorowi własnemu \\( \\hskip 0.3pc v_{i_1}^{(0)},\\ldots ,v_{i_r}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) odpowiada odpowiednio klatka Jordana \\( \\hskip 0.3pcJ_{i_1},\\ldots ,J_{i_r}. \\) Jeżeli wektorowi \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\)- nie odpowiada żaden wektor główny, to klatka Jordana odpowiadająca wektorowi \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) jest jednoelementowa \\( \\hskip 0.3pc J_{i_j}=[\\lambda_i].\\hskip 0.3pc \\) Jeżeli natomiast wektorowi własnemu \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) odpowiadają wektory główne \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\\ldots ,v_{i_j}^{(k)}\\hskip 0.3pc \\) związane z wektorem \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\) zależnościami:", "W macierzy \\( \\hskip 0.3pc J_{i_j}\\hskip 0.3pc \\) jej pierwszej kolumnie odpowiada wektor własny \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(0)}\\hskip 0.3pc \\), drugiej wektor główny \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(1)},\\hskip 0.3pc \\) odpowiednio \\( \\hskip 0.3pc k+1\\hskip 0.2pc \\)-kolumnie wektor główny \\( \\hskip 0.3pc v_{i_j}^{(k)}\\hskip 0.3pc \\). Kolumnami macierzy nieosobliwej \\( \\hskip 0.3pc P\\hskip 0.3pc \\) są wektory własne i główne. Konstrukcje macierzy \\( \\hskip 0.3pc P\\hskip 0.3pc \\) wyjaśnimy na przykładzie. Niech macierz \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) wymiaru \\( \\hskip 0.3pc 5\\times 5\\hskip 0.3pc \\) ma dwie wartości własne: \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_1\\hskip 0.3pc \\) o krotności \\( \\hskip 0.3pc 3,\\hskip 0.3pc \\) której odpowiadają wektory \\( v_1^{(0)},\\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\\hskip 0.3pc \\) określone zależnością ( 1 ) oraz wartość własną \\( \\hskip 0.3pc\\lambda_2\\hskip 0.3pc \\) o krotności 2 , której odpowiadają wektory \\( \\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\\hskip 0.3pc v_2^{(1)}\\hskip 0.3pc \\) określone zależnością ( 1 ). Wówczas klatki Jordana odpowiadające wartościom własnym \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_1\\hskip 0.3pc \\) (odpowiednio \\( \\hskip 0.3pc \\lambda_2\\hskip 0.3pc \\)) mają postać", "Macierz Jordana \\( \\hskip 0.3pc J\\hskip 0.3pc \\) ma wtedy postać:", "a kolumnami macierzy \\( \\hskip 0.3pc P\\hskip 0.3pc \\) są odpowiednio współrzędne wektorów \\( \\hskip 0.3pc v_1^{(0)},\\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\\hskip 0.3pc v_1^{(2)},\\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\\hskip 0.3pc v_2^{(1)}.\\hskip 0.3pc \\) Macierz Jordana \\( \\hskip 0.3pc J\\hskip 0.3pc \\) można zapisać też w postaci", "ale wtedy kolumnami macierzy \\( \\hskip 0.3pc P\\hskip 0.3pc \\) są odpowiednio współrzędne wektorów \\( \\hskip 0.3pc v_2^{(0)},\\hskip 0.3pc v_2^{(1)},\\hskip 0.3pc v_1^{(0)},\\hskip 0.3pc v_1^{(1)},\\hskip 0.3pc v_1^{(2)}\\hskip 0.3pc \\).", "Niech \\( \\hskip 0.3pc J_i\\hskip 0.3pc \\) będzie klatką Jordana wymiaru \\( \\hskip 0.3pc s\\times s\\hskip 0.3pc \\)", "Macierz \\( \\hskip 0.3pc J_i\\hskip 0.3pc \\) możemy zapisać jako sumę macierzy", "gdzie", "Ponieważ \\( \\hskip 0.3pc D_i\\cdot M_i=M_i\\cdot D_i\\hskip 0.3pc \\) więc na mocy uwagi 4 mamy", "Policzymy teraz \\( \\hskip 0.3pc e^{tD_i}\\hskip 0.3pc \\). Ponieważ", "więc", "Policzymy teraz \\( \\hskip 0.3pc e^{tM_i}\\hskip 0.3pc \\).", "Zatem", "Wyznaczymy teraz macierze \\( \\hskip 0.3pc J,\\hskip 0.3pc P,\\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc e^{tJ}\\hskip 0.3pc \\) dla niektórych przykładów z następujących modułów: \"Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są różne, ale nie wszystkie rzeczywiste\", \"Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu jest diagonalizowalna\", \"Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna\"." ]

[]

[ "Przykład 2 pokazuje, że jeżeli macierz \\( \\hskip 0.3pc A\\hskip 0.3pc \\) ma wartości własne zespolone, to macierz \\( \\hskip 0.3pc P\\cdot e^{tJ}\\hskip 0.3pc \\) jest zespolona, natomiast macierz \\( \\hskip 0.3pc P\\cdot e^{tJ}\\cdot P^{-1}\\hskip 0.3pc \\) jest rzeczywista, dlatego musimy wyznaczyć macierz \\( \\hskip 0.3pc P^{-1},\\hskip 0.3pc \\) bo inaczej otrzymalibyśmy rozwiązanie zespolone układu." ]

[]

[ "Rozważmy układ równań:", "gdzie", "Jeżeli funkcje", "stanowią układ fundamentalny rozwiązań dla układu jednorodnego :", "nazywamy macierzą fundamentalną układu ( 2 ). Z twierdzenia 3 wynika, że rozwiązanie ogólne układu równań ( 1 ) jest postaci", "gdzie \\( \\hskip 0.5pc C=\\begin{bmatrix}c_1\\\\ \\vdots \\\\c_n\\end{bmatrix}\\hskip 0.5pc \\), a \\( \\hskip 0.6pc c_1,\\ldots ,\\hskip 0.3pc c_n\\hskip 0.3pc \\)-są to dowolne stałe. Natomiast rozwiązanie układu równań ( 1 ) spełniającego warunek początkowy", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc x_{01},\\hskip 0.3pc \\ldots ,\\hskip 0.3pc x_{0n},\\hskip 0.3pc \\) są dane, a \\( \\hskip 0.3pc t_0\\hskip 0.3pc \\) jest ustalonym punktem przedziału \\( \\hskip 0.3pc I,\\hskip 0.3pc \\) jest postaci:" ]

[]

[ "Rozważmy układ równań:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc x(t)= \\begin{bmatrix} x_1(t) \\\\ \\vdots \\\\x_n(t) \\end{bmatrix}, \\hskip 1pc A=\\begin{bmatrix} a_{11} & \\ldots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{n1} & \\ldots & a_{nn} \\end{bmatrix}, \\hskip 1pc f(t)= \\begin{bmatrix} f_1(t) \\\\\t\\vdots \\\\ f_n(t) \\end{bmatrix}.\\hskip 0.3pc \\) Jeżeli \\( \\hskip 0.3pc x_c(t)\\hskip 0.3pc \\) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego:", "Metoda przewidywań ma zastosowanie , jeżeli elementy macierzy \\( \\hskip 0.3pc f(t)\\hskip 0.3pc \\) są wielomianami, funkcjami wykładniczymi, funkcjami sinus lub cosinus, ewentualnie sumami lub iloczynami wymienionych funkcji.", "Algorytm postępowania przy wyznaczaniu rozwiązania układu ( 1 ) metodą przewidywań.", "3. Dla każdej funkcji \\( \\hskip 0.3pc f_i(t),\\hskip 0.3pc i=1,\\ldots,k \\hskip 0.3pc \\) wyznaczamy rozwiązanie szczególne \\( \\hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \\hskip 0.3pc \\) układu równań", "W zależności od postaci funkcji \\( \\hskip 0.3pc f_i(t) \\hskip 0.3pc \\) przewidujemy rozwiązanie szczególne \\( \\hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \\hskip 0.3pc \\) w postaci ( 3 ), ( 4 ) i ( 6 ) lub ( 7 ). Podstawiając \\( \\hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pc x_{p_i}^\\prime (t) \\hskip 0.3pc \\) do równania ( 8 ) otrzymamy równanie macierzowe, z kórego wyliczamy stałe \\( \\hskip 0.3pc d_{lj},\\hskip 0.3pc c_{lj}. \\)", "4. Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) zapisujemy jako sumę wyżej wymienionych rozwiązań:" ]

[]

[]

[]

[ "Układy równań różniczkowych mają zastosowanie przy opisie wielu zagadnień fizycznych, technicznych i ekonomicznych." ]

[]

[ "Rozpatrzmy układ \\( n \\) równań różniczkowych zwyczajnych, których prawe strony nie zależą od zmiennej \\( t \\):", "Będziemy zakładać, że funkcje \\( f_i, \\,\\,i=1,...n,\\, \\) są różniczkowalne w sposób ciągły po wszystkich zmiennych \\( x_i. \\) Układ ( 1 ) nazywa się układem autonomicznym, albo też układem dynamicznym.", "Zamiast pełnego układu ( 1 ), w małym otoczeniu punktu stacjonarnego można rozpatrywać jego linearyzację . Rozpatrzmy prawą stronę tego układu. Każdą funkcję \\( f_i(x_{1},\\,x_{2},...x_{n}) \\) można w otoczeniu punktu \\( \\left(x_{1,0},\\,x_{2,0},...x_{n,0}\\right) \\) przedstawić, zgodnie ze wzorem Taylora, w postaci", "gdzie \\( \\xi=\\sqrt{\\sum_{k=1}^n\\left(x_k-x_{k,0}\\right)^2} \\) oraz", "Zatem zachodzi", "Układ (2) nazywa się linearyzacją układu dynamicznego ( 1 ) w otoczeniu punktu stacjonarnego \\( (x_{1,0},\\,x_{2,0},...x_{n,0}) \\). Okazuje się, że przy pewnych warunkach, rozwiązania układu ( 1 ) oraz rozwiąznia układu liniowego ( 2 ) są w małym otoczeniu punktu stacjonarnego \"jakościowo identyczne\". Ponieważ rozwiązywać (analizować) układ liniowy jest na ogół niezmiernie prościej, niż układ pełny, opłaca się spróbować znaleźć warunki umożliwiające taką podmianę. To, czy zachowanie pełnego układu w otoczeniu punktu stacjonarnego jest rzeczywiście reprezentowane przez jego linearyzację, zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji układu ( 2 ). Przeanalizujemy to na przykładzie układu w \\( R^2 \\), podając przy okazji klasyfikację prostych punktów stacjonarnych. Rozpatrzmy zatem układ równań", "Portretem fazowym układu ( 3 ) nazywamy zbiór krzywych sparametryzowanych", "które tworzą rozwiązania tego układu. Posługując się terminologią zapożyczoną w mechanice punktu materialnego, krzywe ( 4 ) nazywają też często trajektoriami lub trajektoriami fazowymi.", "Przystępujemy do klasyfikacji punktów stacjonarnych układu ( 3 ).", "1. Przypadek, gdy wartości własne \\( \\lambda_1,\\,\\,\\lambda_2 \\) macierzy \\( \\hat A \\) są rzeczywiste, różne, dodatnie. Niech na przykład \\( 0\\lt \\lambda_1\\,\\lt\\,\\lambda_2 \\). Wtedy punkt \\( (0,\\,0) \\) przestrzeni fazowej nazywa się źródłem. Wówczas da się znaleźć taką liniową zamianę zmiennych", "że układ ( 3 ) przybierze postać", "Rozwiązaniem tego układu są wówczas funkcje", "W przypadku, gdy \\( C_1 \\neq 0 \\), rozwiązanie to można przedstawić w postaci równoważnej, przedstawiając \\( y_2 \\) jako funkcję \\( y_1 \\) poprzez wyrugowanie \\( t \\):", "Portret fazowy układu ( 5 ) wygląda w tym przypadku tak, jak jest to pokazane na Rys. 1.", "Zwróćmy uwagę na to, że osie współrzędnych są trajektoriami fazowymi układu. Oś pozioma odpowiada przypadku \\( C_2=0 \\), zaś oś pionowa odpowiada przypadkowi osobliwemu \\( C_1=0 \\). Te dwie trajektorie fazowe nie są ujęte we wzorze ( 6 ).", "2. Wartości własne \\( \\lambda_1,\\,\\,\\lambda_2 \\) macierzy \\( \\hat A \\) są rzeczywiste, różne, ujemne.", "Niech na przykład \\( \\lambda_2\\,\\lt\\,\\lambda_1\\,\\lt\\,0 \\). Punkt \\( (0,\\,0) \\) przestrzeni fazowej nazywa się wówczas zlewem. Podobnie jak w przypadku poprzednim, istnieje liniowa zamiana zmiennych \\( (\\xi,\\,\\eta)\\rightarrow (y_1,\\,y_2) \\) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać", "Zauważmy teraz, że zamiana zmiennej niezależnej \\( t\\rightarrow\\tau=-t \\) odzworowuje układ ( 7 ) w układ", "równoważny układowi ( 5 ). Przekształcenie \\( t\\rightarrow\\tau=-t \\) nazywa się odbiciem zmiennej czasowej. Prowadzi ono do tego, że ruch wzdłuż każdej trajektorii fazowej odbywa się w przeciwnym kierunku. Poza tym portret fazowy pozostaje bez zmian. Wynika stąd, że portret fazowy układu ( 7 ) będzie taki, jak pokazano na Rys. 2.", "3. Przypadek gdy wartości własne \\( \\lambda_1,\\,\\,\\lambda_2 \\) macierzy \\( \\hat A \\) są rzeczywiste, niezerowe i mają różne znaki. Niech, na przykład, \\( \\lambda_1\\,\\gt\\,0\\,\\gt\\,\\lambda_2 \\). Wtedy punkt \\( (0,\\,0) \\) przestrzeni fazowej nazywa się siodłem. Wówczas istnieje liniowa zamiana zmiennych \\( (\\xi,\\,\\eta)\\rightarrow (y_1,\\,y_2) \\) taka że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać", "Rozwiązanie tego układu dane jest wzorami", "W przypadku, gdy \\( C_1 \\neq 0 \\), rozwiązanie to można też przepisać w postaci równoważnej, przedstawiając \\( y_2 \\) jako funkcję \\( y_1 \\) poprzez wyrugowanie zmiennej \\( t \\):", "gdzie", "Portret fazowy układu ( 9 ) w tym przypadku wygląda tak, jak to jest pokazane na Rys. 3. Zwrócmy uwagę na to, że osie współrzędnych są również trajektoriami fazowymi układu ( 10 ). Oś pozioma odpowiada przypadkowi \\( C_2=0 \\); oś pionowa odpowiada przypadku osobliwemu \\( C_1=0 \\). Te dwie trajektorie fazowe nie są wyrażone poprzez wzór ( 9 )", "4. Przypadek gdy wartości własne \\( \\lambda_1,\\,\\,\\lambda_2 \\) macierzy \\( \\hat A \\) są czysto urojone i róznią się znakiem: \\( \\lambda_{1,2}= \\pm\\,i\\,\\omega \\).", "W tym przypadku punkt \\( (0,\\,0) \\) przestrzeni fazowej nazywa się środkiem. Istnieje liniowa zamiana zmiennych \\( (\\xi,\\,\\eta)\\rightarrow (y_1,\\,y_2) \\) taka, że w nowych zmiennych układ ( 3 ) ma postać", "Rozwiązanie tego układu dane jest wzorami", "Rozwiązania te są funkcjami okresowymi. W płaszczyźnie fazowej na rysunku Rys. 4 są one przedstawione w postaci krzywych (orbit) zamkniętych.", "5. Przpadek gdy wartości własne \\( \\lambda_1,\\,\\,\\lambda_2 \\) macierzy \\( \\hat A \\) są zespolone, czyli \\( \\lambda_{1,2}=\\alpha\\,\\pm\\,i\\,\\omega \\). W tym przypadku punkt \\( (0,\\,0) \\) przestrzeni fazowej nazywa się ogniskiem niestabilnym w przypadku gdy \\( \\alpha\\,\\gt\\,0 \\) oraz stabilnym gdy \\( \\alpha\\lt 0 \\). Portret fazowy ogniska niestabilnego przedstawionno na Rys. 5. Portret fazowy ogniska stabilnego wygląda podobnie, przy czym trajektorie są tu skierowane do początku układu współrzędnych.", "Zachodzi" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nPunkt \\( (x_{1,0},\\,x_{2,0},...x_{n,0})\\in R^n \\) nazywa się punktem stacjonarnym układu ( 1 ), jeżeli \\( f_i(x_{1,0},\\,x_{2,0},...x_{n,0})=0, \\,\\,i=1,...n \\).\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": "\nZbiór zmiennych \\( (\\xi,\\,\\eta)\\in\\,R^2 \\) nazywamy płaszczyzną fazową układu ( 3 )\n\n" } ]

[ "Kompletne badanie układu dynamicznego polega na znalezieniu rozwiązania analitycznego dla dowolnego dobrze postawionego zagadnienia początkowego. Cel ten, jednak, jest osiągalny dla bardzo niewielkiej rodziny układów liniowych i to zwykle o stałych współczynnikach oraz tylko dla niektórych układów nieliniowych, które udaje się w ten czy inny sposób scałkować, wykorzystując ich szczególną sprzyjającą całkowaniu postać. W teorii jakościowej układów dynamicznych badania układu równań traktuje się nieco inaczej, gdyż główny nacisk w tym podejściu kładzie się na opis rozwiązań chzrakterystycznych dla danego układu. Badania jakościowe układu dynamicznego włączają takie elementy jak odnajdywanie punktów stacjonarnych oraz badanie ich charakteru, czy też badanie istnienia trajektorii okresowych oraz obserwacje zachowania się rozwiązań, przy wartościach argumentu dążących do nieskończoności. Zatem, zamiast próby scałkowania układu, która rzadko kiedy bywa skuteczna, usiłujemy uzyskać informację o charakterze rozwiązań jedynie na podstawie samej postaci układu dynamicznego. Okazuje się że analiza jakościowa jest wyjątkowo skuteczna w sytuacji, gdy układ dynamiczny jest hamiltonowski. Analizie pewnej rodziny układów hamiltonowskich, ważnej z punktu widzenia zastosowań, poświęcony jest w całości niniejszy moduł.", "Układ dynamiczny", "nazywa się układem hamiltonowskim, jeżeli istnieje różniczkowalna funkcja \\( H(x,\\,y) \\) taka, że zachodzą równości", "Dowód Niech funkcje \\( x(t),\\,\\,\\,y(t) \\) będą rozwiązaniami układu hamiltonowskiego. Wówczas, różniczkując funkcję \\( H[x(t),\\,\\,y(t)] \\) względem \\( t \\), otrzymamy:", "Równaniem które można sprowadzić do układu hamiltonowskiego, jest równanie", "opisujące ruch punktu materialnego o masie jednostkowej w polu sił potencjalnych. Wprowadzając zmienną \\( y(t)=\\dot x(t) \\), równanie to można przedstawić w postaci układu dynamicznego", "Dowód Rozpatrzmy układ równań", "Całkując względem zmiennej \\( y \\) pierwsze równanie otrzymamy funkcję", "gdzie nieznana funkcja \\( V(x) \\) pełni rolę stałej całkowania. Podstawiając ten wynik do drugiego równania, otrzymamy", "Zatem nieznaną funkcję można przedstawić w postaci", "Jak widać ze wzoru ( 2 ), dodanie do funkcji Hamiltona stałej adytywnej nie wpływa na postać funkcji \\( F(x,\\,y) \\) oraz \\( G(x,\\,y) \\). Dlatego, bez straty ogólności, możemy przyjąć, że \\( C_1=0. \\)", "1. Wszystkie punkty stacjonarne (zob. moduł Układy dynamiczne. Klasyfikacja punktów stacjonarnych na płaszczyźnie ) układu ( 6 ) znajdują się na osi \\( OX \\). Współrzędna \\( x_0 \\) punktu stacjonarnego spełnia równanie \\( \\phi(x_0)=0 \\).", "2. Każdą trajektorię fazową układu ( 6 ) można przedstawić w płaszczyźnie fazowej \\( (x,\\,y) \\) w postaci poziomicy funkcji \\( H(x,\\,y) \\);", "przy pewnej stałej \\( C \\).", "3. Funkcja Hamiltona układu ( 6 ) nie zmienia się pod działaniem transformacji \\( \\bar y=-y \\). Własność ta wynika bezpośrednio ze wzoru ( 7 ).", "4. Trajektorie fazowe przecinają oś \\( OX \\) pod kątem prostym, wszędzie za wyjątkiem, ewentualnie, punktów stacjonarnych.", "Dowód. Z ( 6 ) wynika równość", "Prawa strona tej równości dąży do \\( \\pm\\infty, \\) gdy \\( y \\) dąży do zera, chyba że \\( \\phi(x)=0 \\) (czyli \\( x \\) jest punktem stacjonarnym). Ponieważ \\( \\frac{d\\,y}{d\\,x} \\) pokrywa się z tangensem kąta stycznej do trajektorii, więc w miarę zbliżania się do punktu \\( (x,\\,0) \\) kąt ten dąży do \\( \\pm \\pi/2 \\).", "5. Następująca własność jest bardzo przydatna z punktu widzenia konstrukcji portretów fazowych. Z tego, że hamiltonian przybiera stałą wartość na rozwiązaniach układu dynamicznego, wynika równość", "Ponieważ człon po lewej stronie (energia kinetyczna) nie może być ujemny, więc trajektoria nie może mieć współrzędnej \\( x, \\) której odpowiada wartość funkcji \\( V(x)\\,\\gt\\,H_0 \\). Dlatego jeśli założymy, na przykład, że \\( V(x) \\) monotonicznie rośnie, to wówczas dla danej trajektorii istnieje maksymalna wartość \\( x_{M} \\) współrzędnej \\( x \\), określonej jako współrzędna przecięcia się wykresów odpowiednich funkcji, zob. Rys. 1.", "Z własności ( 3 ), ( 4 ), z kolei, wynika, że w punkcie \\( x_M \\) trajektoria fazowa doznaje odbicia, zob. Rys. 2", "6. Współrzędna \\( x \\) punktu stacjonarnego odpowiada ekstremum funkcji \\( V(x) \\). Punkt stacjonarny \\( (x_0,\\,0) \\) jest środkiem, jeżeli \\( V \\) ma w \\( x_0 \\) minimum lokalne; punkt stacjonarny \\( (x_1,\\,0) \\) jest siodłem, jeżeli w \\( V(x_1) \\) ma w \\( x_1 \\) maksimum lokalne. Dowód. Jeżeli \\( x_\\nu \\) jest punktem stacjonarnym, to \\( \\phi(x_\\nu)=0 \\). Stąd \\( V'(x_\\nu)=-\\phi(x_\\nu)=0 \\), a zatem punkt \\( x_\\nu \\) jest podejrzany o to, że jest on punktem ekstremalnym dla funkcji \\( V(x) \\). Licząc dalej macierz linaryzacji układu w punkcie \\( x_\\nu , \\) otrzymamy:", "Jak wiadomo, charakter punktu stacjonarnego zależy od wartości własnych macierzy linearyzacji. Obliczamy więc warości własne macierzy \\( M|_{x=x_\\nu}: \\)", "Zatem", "i punkt \\( (x_\\nu,\\,0) \\) jest środkiem;", "i punkt \\( (x_\\nu,\\,0) \\) jest siodłem.", "7. Trajektoria odpowiadająca poziomicy \\( H=H_0 \\), przecinającej jamę potencjalną (zob. Rys. 3, góra) jest trajektorią zamkniętą (zob. Rys. 3, dół), reprezentującą rozwiązanie okresowe." ]

[]

[ "W r. 1918 G. Duffing wyprowadził równanie, opisujące drgania rdzenia sprężystego, podwieszonego w silnym polu magnetycznym (zob. Rys. 1 ):", "Równanie to jest równoważne układowi hamiltonowskiemu", "z funkcją Hamiltona", "Przeanalizujemy energię potencjalną", "Ponieważ \\( V'(x)=x \\,(x-1)\\, (x+1) \\), więc ekstrema funkcji \\( V(x) \\) mogą się znajdywać w punktach \\( x_0=0,\\,\\,\\,x_{\\pm}=\\pm 1 \\). Badanie drugiej pochodnej pozwala orzec że w punkcie \\( x_0 \\) jest maksimum lokalne, natomiast w punktach \\( x_{\\pm}=\\pm 1 \\) znajdują się minima lokalne. Konsekwentnie, w punkcie \\( (0,\\,0) \\) płaszczyzny fazowej \\( (x,\\,y) \\) znajduje się siodło, natomiast w punktach \\( (\\pm1,\\,0) \\) znajdują się środki. Przebieg zmienności funkcji \\( V(x) \\) jest przedstawiony na Rys. 2.", "Funkcja \\( V(x) \\) ma dwa minima lokalne (zwane jamami potencjalnymi). Dąży ona asymptotycznie do \\( +\\infty , \\) gdy \\( |x| \\to \\pm \\infty \\). Na Rys. 2 przedstawione są również poziomice funkcji \\( H_0=H(x,\\,y) \\). Na Rys. 3 przedstawione są trajektorie fazowe odpowiadające tym poziomicom. Trajektorie okresowe otaczające środki odpowiadają poziomicom leżącym wewnątrz jam potencjalnych; trajektorie homokliniczne, bi-asymptotyczne do siodła, odpowiadają poziomicom przechodzącym przez maksimum lokalne (pogrubione linie przerywane na Rys. 2; poziomicy najwyżej położonej odpowiada trajektoria okresowa otaczająca oba środki.", "Interpretacja fizyczna omawianych rozwiązań jest następująca: ruchy okresowe dookoła punktów środkowych odpowiadają sytuacji, gdy rdzeń dokonuje małych drgań wokół jednego ze stabilnych punktów równowagi, które w obecności pola magnetycznego rdzeń posiada, gdy jest on odchylony od pionu w kierunku jednego z biegunów magnesu. Duże trajektorie okresowe otaczające oba środki odpowiadają dostatecznie dużym odchyleniom początkowym rdzenia. Trajektorie homokliniczne odpowiadają ruchom granicznym, oddzielającym małe lokalne drgania od dużych.", "Omówione rozwiązania wyczerpują wszystkie możliwe ruchy rdzenia wyprowadzonego z położenia równowagi w polu magnetycznym." ]

[]

[ "Rozpatrzmy model opisujący ruch płaski (czyli dwuwymiarowy) punktu materialnego o masie \\( m, \\) podwieszonego na nierozciągliwej nici długości \\( L, \\) w polu grawitacyjnym. Model fizyczny przedstawiony jest na Rys. 1.", "Na punkt materialny działa siła grawitacyjna \\( F_{gr}=m\\cdot g \\) skierowana w dół oraz siła naciągu nici \\( T \\), która w każdej chwili rekompensuje współrzędną podłużną siły grawitacji (warunek nierozciągliwości nici). Siłą wypadkową działającą na punkt materialny jest wówczas składowa poprzeczna siły grawitacji, wynosząca \\( m\\cdot g\\cdot \\sin{x} \\), gdzie \\( x \\) oznacza kąt odchylenia nici od pionu. Punkt materialny porusza się wzdłuż okręgu o promieniu \\( L \\); jego prędkość i przyspieszenie wynoszą odpowiednio \\( L \\dot x(t) \\) i \\( L \\ddot x(t) \\). Zgodnie z Zasady dynamiki Newtona-Druga zasada dynamiki Newtona, równanie ruchu ma postać", "Znak minus w prawej stronie wzoru odzwierciedla to, że siła poprzeczna, skierowana ku położeniu równowagi wahadła przeciwdziała wzrostowi kąta odchylenia. Napiszmy równanie ruchu w postaci:", "W przypadku gdy \\( |x|<<1 \\) (relacja \\( |x|<<1 \\) oznacza, że wartość bezwzględna \\( x \\) jest znacznie mniejsza od jedynki), \\( \\sin{x} \\) można zastąpić funkcją \\( x \\). Wówczas otrzymamy dobrze znane równanie liniowe, opisujące małe drgania punktu wokół położenia równowagi:", "Ogólne rozwiązanie równania ( 2 ) dane jest wzorem \\( x(t)=A\\,\\sin{(\\omega \\, t +\\phi)} \\). Poniżej przedstawiamy analizę zbioru rozwiazań równania ( 1 ). Ponieważ rozwiązań tych nie można opisać dokładnie poprzez funkcje elementarne, do ich analizy stosuje się metody jakościowe.", "Napiszmy równanie ( 1 ) w postaci równoważnego układu równań rzędu pierwszego:", "Dowód przeprowadza się bezpośrednim sprawdzeniem.", "Dowód wynika z niezmienniczości funkcji Hamiltona względem odbić \\( x\\rightarrow -x, \\) \\( y\\rightarrow -y \\) oraz okresowości funkcji \\( cos x \\). Przypomnijmy sobie, że każdą trajektorię fazową układu hamiltonowskiego można przedstawić w postaci \\( H(x,\\,y)=C, \\) przy pewnej stałej \\( C \\). Trajektorie układu (3) są symetryczne względem odbić od obu osi współrzędnych. Ponadto, na mocy trzeciej własności funkcji \\( H \\), wystarczy przeanalizować przebieg trajektorii fazowych na odcinku \\( (-\\pi,\\,\\,\\pi) \\) i dalej przedłużyć je na kolejne sąsiadujące ze sobą odcinki krotności \\( 2\\,\\pi \\).", "Wszystkie punkty stacjonarne układu (3) leżą na osi poziomej. Współrzędna \\( x \\) punktu stacjonarnego należy do zbioru \\( \\left\\{0,\\,\\pm \\pi,\\,\\pm 2\\,\\pi,...,\\pm\\,k\\,\\pi,...\\right\\} \\) \\( \\left\\{0,\\,\\pm \\pi,\\,\\pm 2\\,\\pi,...,\\pm\\,k\\pi,...\\right\\}, k\\in\\ N \\). Typy poszczególnych punktów stacjonarnych określa zachowanie funkcji", "opisującej energię potencjalną układu. Z wykresu tej funkcji, przedstawionego na Rys. 2 odczytujemy że punkty stacjonarne o współrzędnych \\( (\\pm 2\\,k\\,\\pi,\\,\\,0) \\) są środkami, wtedy gdy punkty stacjonarne o współrzędnych \\( \\left(\\pm ( 2\\,k+1)\\,\\pi,\\,\\,0\\right) \\) są siodłami.", "Fragment portretu fazowego układu (3) jest przedstawiony na Rys. 3.", "Fragmenty, nie pokazane na przedstawionym rysunku, uzyskuje się przeniesieniem portretu odpowiadającego odcinkowi \\( (-\\pi,\\,\\,\\pi) \\) o \\( 2\\,\\pi \\) w lewo i w prawo. Zauważmy że trajektoriom zamkniętym (oznaczonym kolorem niebieskim) odpowiadają nieliniowe rozwiązania okresowe, trajektoriom łączącym siodła (oznaczonym kolorem czerwonym) - rozwiązania heterokliniczne, trajektoriom leżacym poniżej lub powyżej heteroklinik (oznaczonym kolorem zielonym) - rozwiazania nieograniczone względem współrzędnej \\( x \\)." ]

[]

[ "W module poświęconym klasyfikacji punktów stacjonarnych nie wchodząc w szczegóły wspominaliśmy o tym, że wszystkie omawiane punkty stacjonarne, poza środkiem, są odporne na małe zaburzenia. Zaburzenia takie mają rozmaity charakter. Zauważmy przede wszystkim, że układy dynamiczne służące do modelowania procesów naturalnych, uwzględniają zależności od rozmaitych parametrów, jak na przykład masy, przyspieszenia siły grawitacyjnej, współczynnika tarcia i wielu innych, dlatego typowy układ dynamiczny należałoby zapisać w postaci", "gdzie \\( \\mu=(\\mu_1,\\,...\\mu_m)\\,\\in\\,R^m \\) - zbiór parametrów. Charakter punktu stacjonarnego w ogólnym przypadku zależy od tego, jakie konkretne wartości przybierają parametry. Innym źródłem zaburzeń jest dodanie do układu zlinearyzowanego w małym otoczeniu punktu stacjonarnego odrzuconych członów szeregu Taylora:", "gdzie \\( \\xi^i=x^i-x_0^i \\), \\( DF[x_0]_j^i,\\,\\,D^2F[x_0]_{jk}^i,,... \\)- są to odpowiednio pierwsza, druga oraz wyższe pochodne cząstkowe \\( i \\)-tej skladowej wektor funkcji \\( F \\) obliczone w punkcie \\( x_0 \\). Otóż środek zmienia swój charakter pod wpływem zaburzeń zarówno pierwszego jak i drugiego rozaju. Rzeczywiście, przejście od macierzy niezaburzonej", "do macierzy zaburzonej", "czyni ze środka ognisko niestabilne przy dowolnie małym \\( \\mu>0 \\). Dodanie do układu zlinearyzowanego, opisujacego środek części nieliniowej, może mieć podobny efekt, jak w przypadku układu", "który opisuje ognisko stabilne. Można się o tym przekonać przechodząc do zmiennych biegunowych \\( \\rho=\\sqrt{x^2+y^2}, \\quad \\phi= \\arctan(y/x) \\). W zmiennych tych układ przekształca się w parę równań od siebie niezależnych", "Rozwiązania tych równań, jak łatwo się można przekonać, mają postać", "Widać, ze zmienna \\( \\rho(t) \\) dąży do zera gdy \\( t \\) dąży do \\( +\\infty \\), a więc portret fazowy układu w płaszczyźnie zmiennych ( \\( x,\\,\\,y \\)) powinien przypominać ognisko stabilne. Zauważmy też że przy \\( \\mu>0 \\) efekt zaburzenia części liniowej oraz efekt od dodania wyżej opisanej nieliniowości działają niejako w przeciwnych kierunkach. W wyniku takich jednoczesnych zburzeń, pojawia się nieliniowe rozwiązanie okresowe, zwane cyklem granicznym. Przebieg powstania takiego rozwiązania jest opisany niżej.", "Rozpatrzmy układ dwuwymiarowy", "Zakładamy, że układ ma punkt stacjonarny w zerze oraz, że przy \\( \\mu=0 \\) macierz linearyzacji \\( DF_0(0)=\\hat A \\) ma parę czysto urojonych wartości własnych \\( \\lambda_{1,\\,2}=\\pm\\,i\\,\\omega \\), natomiast przy \\( |\\mu|<<1 \\) — parę zespolonych wartości własnych \\( \\lambda_{1,\\,2}=\\mu\\,\\pm\\,i\\,\\omega(\\mu) \\). Zakładamy ponadto, że \\( |\\omega|=O(1) \\) oraz, że \\( \\omega(\\mu) \\) w sposób różniczkowalny zależy od parametra \\( \\mu \\), a zatem \\( \\omega(\\mu)=\\omega+O(|\\mu|) \\).", "Opiszemy poniżej procedurę przejścia do współrzędnych kanonicznych, w których macierz linearyzacji ma specyficzną postać. Punktem wyjścia będzie dla nas układ", "gdzie \\( \\hat A=D\\,F_\\mu[0] \\). Zakładamy, jak wyżej, że macierz ma parę zespolonych wartości własnych \\( \\lambda_{\\pm}=\\mu\\,\\pm\\,i\\,\\omega(\\mu) \\), którym odpowiada para zespolonych wektorów własnych \\( V_{\\pm}=R\\,\\pm i\\,I \\), \\( R,\\,I\\,\\in\\,R^2 \\). Założenie to można przedstawić w postaci wzoru", "lub, zapisując osobno część rzeczywistą i urojoną dla tej równości, w wposób następujący:", "Określmy macierz \\( P=\\left(R,\\,-I \\right) \\) oraz macierz \\( P^{-1} \\) do niej odwrotną", "gdzie \\( R^{-1}=(a_1,\\,a_2), \\,\\, I^{-1}=(b_1,\\,b_2) \\) są to wektory spełniające warunki", "Wykorzystując powyższe wzory, łatwo możemy wykazać następujący", "Dowód Działając na równanie ( 1 ) operatorem \\( P^{-1} \\) z lewej strony otrzymujemy:", "gdzie \\( (z_1,\\,z_2)^{tr} \\) oznacza operację transponowania wiersza. Rozważmy teraz macierz linearyzacji układu. Wykorzystując wzory ( 2 ) oraz relacje ortogonalności ( 3 ) otrzymamy:", "Zatem w nowych zmiennych układ przyjmuje postać", "gdzie", "Kolejnym krokiem jest sprowadzenie części nieliniowej układu ( 4 ) do postaci kanonicznej, umożliwiającej analizę powstania cyklu granicznego oraz jego stabilności (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych ). Najprościej można to zrobić, przechodząc na zmienne zespolone \\( z=x+\\,i\\,y \\). Przejście to pozwala przedstawić układ ( 4 ) w postaci", "gdzie", "Interesować nas będą dwa pierwsze człony rozkładu funkcji \\( F[z,\\,\\bar z] \\) w szereg Taylora, dlatego funkcję \\( F[z,\\,\\bar z] \\) przedstawimy jako", "Dokonamy zamiany zmiennej", "gdzie \\( \\,\\,P_2= \\sum_{a+b=2}P^2_{a\\,b}w^a \\bar w^b\\,\\, \\), \\( P^2_{a\\,b} \\) będą na początek oznaczały dowolne współczynniki zespolone. Podstawiając ten wzór do równania ( 5 ), otrzymamy:", "gdzie \\( I_2 \\) jest to dwuwymiarowa macierz jednostkowa,", "Odtąd będziemy traktować przekształcenie ( 6 ) jako asymptotyczne, zatem obliczenia będziemy dokonywali z dokładnoscią do \\( O(|w|^3) \\). Mnożąc równanie ( 7 ) przez operator \\( \\left[ I_2-D\\,P_2\\right]+ \\) z lewej strony, otrzymujemy z żądaną dokładnością równanie", "gdzie", "Załóżmy, że \\( \\lambda = i \\omega \\). Założenie to nie wpłynie na wynik ostateczny, gdyż parametr \\( \\mu \\) jest niezależny i można go wybrać jako dowolnie mały. W nowych zmiennych współczynnik przy jednomianie \\( w^a \\bar w^b \\) zniknie jeżeli dokonamy następujacego wyboru \\( P^2_{a\\,b} \\):", "Wzór ( 10 ) ma sens, jeżeli \\( 1 - a + b \\neq 0 \\). Jednomiany dla których wzór ( 10 ) nie jest dobrze określony, noszą nazwę jednomianów nieusuwalnych, lub jednomianów rezonansowych. Obecność takich jednomianów drugiego stopnia można przeanalizować, rozwiązując układ równań", "Układ powyższy ma jedyne rozwiązanie \\( a=3/2,\\,\\,b=1/2 \\), więc nie spełnia go żadna para liczb \\( a,\\,\\,b\\,\\in \\,N \\bigcup\\,\\{0\\} \\). Wynika stąd, że wszystkie jednomiany stopnia 2 są usuwalne i przy odpowiednim doborze stałych \\( P^2_{a\\,b}, \\) układ ( 8 ) da się sprowadzić do postaci", "W celu usunięcia nierezonansowych jednomianów stopnia trzeciego, wykorzystamy zamianę zmiennych", "Po podstawieniu tego wyrażenia do ( 11 ) oraz po przemnożeniu uzyskanego wyrażenia przez operator \\( I_2 - D P_3 \\), otrzymamy układ (zob. też moduł Skalarne równanie quasiliniowe dla funkcji n zmiennych niezależnych )", "gdzie", "Zatem co najmniej niektóre z jednomianów trzeciego stopnia da się wyeliminować, dobierając \\( P^3_{m\\,n} \\) w postaci", "W celu sprawdzenia obecności jednomianów rezonansowych, rozważmy układ równań", "Układ ten ma jedyne rozwiązanie \\( m=2,\\,\\,n=1 \\), które, tym razem, należy do zbioru \\( N \\bigcup\\,\\{0\\}. \\) Tak więc, przy odpowiednim doborze współczynników \\( P^3_{m\\,n}, \\) pierwsze równanie układu (z ponownym uwzględnieniem parametru zaburzającego) można przedstawić w postaci", "Zmienną \\( v \\) można zapisać w postaci trygonometrycznej:", "Wstawiając to do powyższego wzoru, a następnie zapisując odpowiednie równania dla części rzeczywistej i zespolonej, otrzymamy układ dynamiczny", "Parametr \\( a \\), występujący w dwóch poprzednich wzorach, jest częścią rzeczywistą tzw. pierwszego indeksu Floqueta. Odgrywa on wiodącą rolę w badaniu narodzin cyklu granicznego oraz określeniu jego stabilności. Rozważamy równanie", "Ma ono zawsze punkt stacjonarny \\( \\rho_0=0 \\), a oprócz tego punkt stacjonarny \\( \\rho_1=\\sqrt{-\\frac{\\mu}{a}}\\,\\, \\) jednakże pod warunkiem, że \\( -\\frac{\\mu}{a}>0 \\). Zachodzą tu dwa przypadki:", "drugiego równania układu reprezentują na płaszczyźnie zmiennych fizycznych \\( \\left( Re (v),\\,\\,Im(v) \\right) \\) stabilne rozwiązanie okresowe. Ze względu na stabilność punktu stacjonarnego \\( \\rho_1, \\) wszystkie pobliskie trajektorie w trakcie ewolucji są przyciągane do opisanego wyżej rozwiazania okresowego, co właśnie cechuje jego stabilność.", "Na zakończenie tego punktu, przedstawimy wzór pozwalający określić parametr \\( a \\). W zmiennych występujących we wzorze ( 4 ), można go policzyć zgodnie z następującym wzorem 1", "gdzie" ]

[]

[ "Rozpatrzmy równanie (zob. też moduł Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym ):", "Równanie to można przedstawić w postaci układu dynamicznego", "Rozwiązując równanie charakterystyczne", "otrzymamy:", "Zatem, przy \\( \\alpha=0, \\) macierz linearyzaji układu ( 2 ) w punkcie stacjonarnym \\( (0,\\,\\,0) \\) ma parę czysto urojonych wartości własnych \\( \\lambda_{\\pm}(0)=\\pm\\,i \\). Przeanalizujemy teraz warunki powstania cyklu granicznego w otoczeniu tego punktu, kładąc \\( \\alpha =0 \\). Obliczmy w tym celu macierz", "której kolumny \\( R=(R_1,\\,R_2)^{tr} \\), \\( -I=-(I_1,\\,I_2)^{tr} \\) spełniają równanie", "Równanie to jest równoważne układowi", "Zapiszmy pierwszy układ w postaci", "Zatem uklad ( 3 )-( 6 ) jest spełniony gdy \\( R_1=I_2 \\), \\( R_2=-I_1 \\), przy czym \\( I_1 \\), \\( I_2 \\) mogą być wybrane w dowolny sposób (eliminujemy, oczywiście, przypadek \\( I_1=I_2=0 \\)).", "Przyjmując, że \\( I_1=-1 \\), \\( I_2=0 \\) otrzymujemy następujący wzór:", "Mnożąc układ ( 1 ) z lewej strony przez \\( P^{-1}=P \\) oraz stosując zamianę zmiennych", "otrzymujemy", "Wykorzystując wzór na obliczenie pierwszego indeksu Floqueta 1", "gdzie", "otrzymujemy, że", "Z powyższego wzoru wynika, że w przypadku, gdy \\( \\beta>0 \\), układ posiada stabilne rozwiązanie okresowe przy małych \\( \\alpha>0 \\). Przy \\( \\beta<0 \\) oraz przy małych ujemnych wartościach \\( \\alpha, \\) w układzie realizują się niestabilne rozwiązania okresowe. Poniżej przedstawiono implementację w pakiecie \"Mathematica\" symulacji numerycznej równania Van der Pola. Na Rys. 1 przedstawiony jest portret fazowy ilustrujący przebieg rozwiązań w otoczeniu stabilnej trajektorii okresowej." ]

[]

[ "Równania cząstkowe, są to równania wiążące funkcje wielu zmiennych oraz ich pochodne cząstkowe. Rozwiązywanie równań cząstkowych (w tych przypadkach, gdy jest to możliwe) wymaga opracowania metod istotnie różniących się od tych, które stosuje się w przypadku równań zwyczajnych. Istnieje jednak ważna klasa równań cząstkowych, która jest ściśle związana z układami równań zwyczajnych i których rozwiązywanie w dużej mierze opiera się na podejściach stosowanych w teorii równań zwyczajnych.", "Jeżeli funkcje \\( \\left\\{P_j\\right\\}_{j=1}^n \\) nie zależą od zmiennej \\( z \\), natomiast prawa strona równania ( 1 ) jest tożsamościowo równa zeru, wówczas równanie nazywa się liniowym jednorodnym. Wśród równań quasiliniowych wyróżniamy ważną podklasę równań o dwóch zmiennych niezależnych, dopuszczającą klarowną interpretację geometryczną. Będzie ona rozpatrzona w pierwszej kolejności, a następnie metody opracowane dla niej zostaną przeniesione na równania quasiliniowe o dowolnej ilości zmiennych niezależnych.", "Rozpatrzmy równanie postaci", "gdzie \\( z=z(x,\\,y) \\). Zakładamy że \\( P,\\,Q,\\,R \\) — są funkcjami ciągłymi w pewnym zbiorze otwartym \\( U\\,\\subset\\,R^3. \\) Ponadto zakładamy, że w zbiorze \\( U \\) nie ma żadnego punktu, w którym te funkcje zerują się jednocześnie. Rozpatrzmy funkcję wektorową", "gdzie \\( \\vec i,\\,\\vec j,\\,\\vec k \\) są to wektory o jednostkowej długości, skierowane odpowiednio wzdłuż osi \\( OX,\\,OY,\\,OZ. \\) Mówimy wówczas, że wzór ( 3 ) przyporządkowujący każdemu punktowi \\( (x,\\,y,\\,z) \\) pewien wektor przestrzenny, zadaje w obszarze \\( U\\,\\subset\\,R^3 \\) pole wektorowe.", "Rozpatrzmy teraz krzywą sparametryzowaną", "która w całości leży w \\( U \\) oraz spełnia warunek transwersalności", "Warunek ( 5 ) oznacza, że krzywa \\( \\Gamma \\) w żadnym punkcie nie jest styczna do pola \\( \\vec F(x,\\,y,\\,z). \\) W dalszym ciągu rozpatrzmy dwuparametrową rodzinę funkcji \\( x(t,\\,s),\\,y(t,\\,s),\\,z(t,\\,s) \\) będących rozwiązaniami zagadnienia początkowego", "Rodzina ta opisuje powierzchnię \\( \\Sigma \\) ( tzw. powierzchnię wektorową pola \\( \\vec F \\)), która cechuje się tym, że pole \\( \\vec F=(P,\\,Q,\\,R) \\) jest styczne do niej w każdym punkcie. Potocznie mówi się że powierzchnia \\( \\Sigma=(x(t,\\,s),\\,y(t,\\,s),\\,z(t,\\,s) ) \\) jest utkana z trajektorii pola wektorowego \\( \\vec F \\). Opis powierzchni \\( \\Sigma \\) można oprzeć na takiej obserwacji: jeżeli wzór", "opisuje pewną gładką powierzchnię w \\( R^3 \\), wówczas pole wektorowe", "zwane polem gradientowym powierzchni \\( \\Phi=C, \\) jest prostopadłe do tej powierzchni. Warunek prostopadłości można przedstawić w następującej postaci:", "Powyższy warunek wynika z tego, że pole \\( \\vec F \\) jest styczne do powierzchni \\( \\Sigma \\). Wówczas pole gradientowe jest w każdym punkcie do tej powierzchni prostopadłe. Powierzchnię tę można przedstawic w postaci funkcji", "Wówczas można przyjąć, że \\( \\Phi=\\phi(x,\\,y)-z \\) i warunek styczności przybiera postać równania", "które po dokonaniu podstawienia \\( \\phi(x,\\,y;\\,C)=z \\) oraz po przeniesieniu ostatniego wyrazu na prawą stronę, pokrywa się z ( 2 ). Jeżeli dla pewnego punktu \\( \\rho_0=(x_0,\\,y_0,\\,z_0) \\) spełniony jest warunek", "wówczas w pewnej kuli otwartej", "wzór \\( \\Phi (x,\\,y,\\,z)=C \\) zadaje w postaci uwikłanej pewną funkcję \\( z=\\psi(x,\\,y) \\), która jest określona w sposób jednoznaczny, przy ustalonej wartości parametru \\( C \\). Warunek prostopadłości zapisuje się wówczas w postaci jednorodnego równania liniowego", "Między quasiliniowym niejednorodnym równaniem ( 2 ), a liniowym jednorodnym równaniem ( 7 ) istnieje ścisły związek, który jest przedstawiony poniżej.", "Dowód Rzeczywiście, załóżmy że funkcja \\( z=\\phi(x,\\,y;\\,C) \\) jest określona równaniem", "Wówczas, różniczkując powyższą tożsamość najpierw względem \\( x \\), a następnie względem \\( y, \\) otrzymamy:", "Stąd mamy, że", "Podstawiając te wzory do ( 2 ) i mnożąc wynik przez \\( -{\\partial\\,\\Phi}/{\\partial\\,z}\\,\\, \\) otrzymamy, po elementarnych przeksztalceniach, żądaną tezę." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\n Skalarnym niejednorodnym równaniem cząstkowym quasiliniowym nazywa się równanie postaci\n\n(1)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( P_1(x_1,x_2,...x_n;z)\\frac{\\partial z}{\\partial x_1}+...+P_n(x_1,x_2,...x_n;z)\\frac{\\partial z}{\\partial x_n}=R(x_1,x_2,...x_n;z). \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2:", "content": "\n Liniami pola wektorowego \\( \\vec F(x,\\,y,\\,z) \\) nazywamy rozwiązania zagadnienia początkowego\n\n(4)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\begin{cases}\\frac{d\\,x}{d\\,t}=P(x,\\,y,\\,z),& \\qquad x(t_0)=x_0, \\\\ \\\\ \\frac{d\\,y}{d\\,t}=Q(x,\\,y,\\,z),& \\qquad y(t_0)=y_0, \\\\ \\\\ \\frac{d\\,z}{d\\,t}=R(x,\\,y,\\,z),& \\qquad z(t_0)=z_0,\\end{cases} \\)\n\n\ngdzie \\( (x_0,\\,y_0,\\,z_0)\\,\\in\\,U. \\) Z interpretacji geometrycznej układu wynika, że pole wektorowe \\( \\vec F=(P,\\,Q,\\,R) \\) jest styczne do krzywej całkowej \\( \\left(x(t),\\,y(t),\\,z(t) \\right) \\) w każdym jej punkcie.\n\n" } ]

[ "Ponieważ każda powierzchnia całkowa równania", "może byc utkana z rozwiązań Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe-( 2 )", "to znalezienie rozwiązania ogólnego równania quasiliniowego sprowadza się do scałkowania stowarzyszonego z nim układu dynamicznego.", "Algorytm uzyskania rozwiązania ogólnego układu jest następujący:", "1. Rozwiązując układ ( 2 ), znajdujemy dwie niezależne całki pierwsze", "Funkcje te nazywamy charakterystykami. Sprawdzając, czy otrzymane charakterystyki sa niezależne, stosujemy następujące kryterium:", "2. Wybieramy dowolną gładką funkcję dwóch zmiennych \\( \\Phi(z_1,\\,z_2) \\), następnie rugując stałe \\( C_1,\\,\\, C_2 \\) z układu", "otrzymujemy równanie opisujące (dowolną) powierzchnię całkową", "Należy oczywiście sprawdzić, czy wzór rzeczywiście w sposób niejawny zadaje funkcję \\( z(x,\\,y) \\), spełniającą równanie. Dla sprawdzenia zrózniczkujmy więc wzór ( 3 ) względem \\( x \\) i \\( y \\):", "gdzie", "jest to pochodna zupełna względem \\( x \\), \\( D_y \\) określa się analogicznie; \\( \\Phi_1, \\,\\,\\Phi_2 \\) są to odpowiednio pochodne cząstkowe względem pierwszej i drugiej zmiennej funcji \\( \\Phi \\). Pochodne cząstkowe funkcji \\( z \\) mają wówczas postać", "Podstawiając powyższe wzory do lewej strony równania ( 1 ), otrzymamy:", "Ponieważ \\( \\psi^i \\) dla \\( i=1,\\,2 \\) spełniają układ ( 2 ) , zatem", "Podstawiając je do prawej strony wzoru ( 4 ), otrzymujemy równanie ( 1 ) i to konczy dowód." ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "\nUkład\n\n(2)\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\frac{d\\,x}{{}P(x,y,z)}=\\frac{dy}{{}Q(x,y,z)}=\\frac{dz}{{}R(x,y,z)}=dt \\)\n\nnazywa się postacią charakterystyczną równania ( 1 ).\n\n" } ]

[]

[]

[ "Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, przypomnijmy sobie, że rozwiazanie ogólne równania", "opisuje rodzinę powierzchni wektorowych pola \\( \\vec F=\\left(P,\\,Q,\\,R \\right) \\) (zob. moduł Skalarne quasiliniowe równanie cząstkowe ) lub, innymi słowy, rodzinę powierzchni gładkich, do których pole \\( \\vec F \\) jest styczne w każdym punkcie. Powierzchnie te są utkane z krzywych całkowych stowarzyszonego z równaniem układu dynamicznego", "Konkretna powierzchnia będzie zadana w sposób jednoznaczny, jeżeli wskazana będzie gładka krzywa przestrzenna, w całości należąca do tej powierzchni. Ponieważ krzywa w \\( R^3 \\) jest miejscem geometrycznym przecięcia się pary powierzchni, można ją zadać podając parę równań", "opisujących te krzywą. Procedura znalezienia powierzchni całkowej pola \\( \\vec F \\), przechodzacej przez krzywą zadaną układem ( 3 ), polega na wspólnym rozwiązaniu układu", "Drugą parę równań tego układu stanowią równania niezależnych charakterystyk, spełniających układ", "Techniczne znalezienie powierzchni, przechodzącej przez linię zadaną równaniami, polega na wykluczeniu współrzędnych \\( (x,\\,y,\\,z) \\) z układu ( 4 ),( 5 ). Daje to w efekcie funkcję, wiążącą stałe \\( C_1 \\) i \\( C_2 \\)." ]

[]

[ "Schemat rozwiązywania równania quasiliniowego można uogólnić na przypadek funkcji zależnej od \\( n \\) zmiennych ( \\( n\\,>\\,2 \\)). Rozpoczniemy od rozwiązywania równania liniowego jednorodnego", "Załóżmy że \\( P_i,\\,i=1...n, \\) są funkcjami ciągłymi, które nie zerują się jednocześnie w żadnym punkcie pewnego zbioru \\( U\\,\\subset\\,R^n. \\) Schemat rozwiązania równania jest następujący: zapisujemy układ równań", "i znajdujemy \\( \\,n-1\\, \\) niezależnych całek pierwszych", "tego układu. Funkcje \\( \\psi^1,....\\psi^{n-1} \\) nazywane są charakterystykami. Żeby przekonać się, że charakterystyki są niezależne, wystarczy sprawdzić, czy rząd macierzy Jacobiego", "w każdym punkcie \\( (x_1,\\,x_2,...x_n)\\,\\in\\,U \\) jest maksymalny, czyli równy \\( n-1 \\). Wykażemy", "Dowód Różniczkując równanie \\( \\,\\,\\psi^k(x_1,\\,x_2,....x_n)=C_k,\\, \\) otrzymujemy", "Ponieważ różniczka \\( d\\,t \\) nie jest równa zeru, więc", "Dowód Każda charakterystyka zachowuje stałą wartość na każdym rozwiązaniu układu ( 2 ), więc każda funkcja gładka, zależna wyłącznie od charakterystyk danego układu, również zachowuje stałą wartość na jego rozwiązaniach.", "Dowód Skorzystajmy ze wzoru na pochodną cząstkową złożonej funkcji", "Zatem", "Zmieniając kolejność sumowania, otrzymamy", "Ostatnia równość wynika stąd, że, na mocy lematu 1, suma w nawiasach klamrowych jest równa zeru. Zachodzi również", "Dowód tego twierdzenia pomijamy.", "Rozwiązanie", "1. Zapisujemy układ charakterystyczny:", "Całkując ostatnie równanie układu, otrzymujemy charakterystykę", "Przyrównując teraz po kolei pierwsze wyrażenie do drugiego, trzeciego i t.d., otrzymamy całkując pozostałe charakterystyki:", "2. Obliczamy macierz Jacobiego", "Skreślając pierwszą kolumnę macierzy \\( J \\), otrzymamy macierz kwadratową wymiaru \\( (n-1)\\,\\times\\,(n-1) \\)", "Rozwijając wyznacznik tej oraz kolejnych macierzy względem pierwszej kolumny, otrzymamy:", "Wyrażenie to nie jest równe zeru i jest dobrze okreslone w dowolnym obszarze, który nie przecina żadnej z osi współrzędnych.", "3. Przedstawiamy rozwiązanie ogólne równania w postaci", "Okazuje się, że rozwiązywanie quasiliniowego niejednorodnego równania skalarnego zawsze można sprowadzić do rozwiązywanie równania liniowego jednorodnego, w którym poszukiwana funkcja ma o jedną zmienną więcej. Rozpatrzmy równanie postaci u", "Analogicznie, jak dla przypadku funkcji zależnej od dwóch zmiennych, można poszukiwać rózwiązania równania ( 4 ) w postaci uwikłanej", "dodając warunek \\( u_z\\left(x_1,\\,x_2,....x_n;\\,z \\right)\\,\\neq\\,0, \\) który umożliwia przejście do jawnej postaci. Traktując w powyższym wzorze \\( z \\) jako funkcję zmiennych \\( x_1,\\,x_2,....x_n \\) i różniczkując względem \\( x_i \\) lewą i prawą stronę wzoru", "otrzymamy:", "Zatem", "Podstawiając ( 6 ) do równania ( 1 ), mnożąc przez \\( -u_z \\) i przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę, otrzymamy liniowe jednorodne równanie względem funkcji \\( u \\):", "Żeby zatem określić rozwiązanie równania ( 4 ), należy rozwiązać równanie ( 7 ) wzlędem funkcji \\( u \\), a następnie, o ile jest to możliwe, uzyskać jawną postać \\( z=\\varphi(x_1,...x_n) \\), rozwikłując wzór \\( u\\left(x_1,\\,x_2,....x_n;\\,z \\right)=0 \\) względem ostatniej zmiennej. Procedura rozwiązania równania ( 7 ) jest nam już znana z poprzednimch rozważań: zapisujemy stowarzyszone równanie charakterystyczne", "znajdujemy \\( n \\) niezależnych całek pierwszych", "a następnie konstruujemy z nich rozwiązanie ogólne postaci", "gdzie \\( \\Phi \\) jest to dowolna funkcja \\( n \\) zmiennych, różniczkowalna w sposób ciągły po każdym ze swoich argumentów.", "Pokażemy że pole wektorowe skojarzone z rozpatrzonym wcześniej układem, w którym, na skutek bifurkacji Hopfa (zob. moduł Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym ), powstaje nieliniowe rozwiązanie okresowe, posiada co najmniej jedno rozwiązanie osobliwe.", "Rozpatrzmy znany z Nieliniowe rozwiązania okresowe w dwuwymiarowym układzie dynamicznym układ dynamiczny", "dopełniony równaniem", "Układ jest postacią charakterystyczną równania", "Ponieważ analiza problemu w układzie katrezjańskim jest bardzo trudna, skorzystajmy, jak wyżej przy rozpatrzeniu bifurkacji Hopfa, z reprezentacji biegunowej. Najprościej można do niej przejść, wprowadzając zmienną zespolonąc \\( z=x+i\\,y \\) i zapisując postać zespoloną układu ( 10 ), ( 11 ) :", "(równanie ( 12 ) przy tym, oczywiście, nie ulegnie zmianie). Przechodząc dalej do reprezentacji biegunowej \\( z=r\\,e^{i\\,\\varphi} \\), otrzymamy równanie:", "Przyrównując do siebie części rzeczywiste i zespolone występujące w równaniu, oraz dodając ( 12 ), otrzymamy następujący układ charakterystyczny:", "Układowi temu odpowiada biegunowa reprezentacja równania ( 13 ):", "Przyrównując do siebie i całkując najpierw pierwszy i drugi, a następnie, na przykład, drugi i trzeci wyraz układu charakterystyk", "otrzymamy następujące całki pierwsze:", "Zatem równanie", "gdzie \\( \\Phi \\) jest to dowolna różniczkowalna funkcja dwóch zmiennych, określa w postaci niejawnej rozwiązanie ogólne równania ( 18 ).", "Rozpatrzmy teraz funkcję", "Działając na nią operatorem występującym w ( 18 ) otrzymamy, że", "Równanie \\( \\Phi_1=r^2-\\mu=0 \\) określa zatem rozwiązanie osobliwe nie należące do rodziny ( 19 ). Interpretację geometryczną wyjaśniającą genezę rozwiązania osobliwego można pokazać na Rys. 1. Jest tam pokazane pole wektorowe, odpowiadające prawym stronom układu ( 10 ) - ( 11 ) oraz trajektoria fazowa, odpowiadająca rozwiązaniu okresowemu, które jest reprezentowane równaniem \\( r^2-\\mu=0. \\)" ]

[]

[ "Niech \\( \\hskip 0.3pc x=(x_1,\\ldots,x_n)\\in \\mathbb{R}, \\hskip 0.3pc \\) przez \\( \\hskip 0.3pc\\|x\\| \\hskip 0.3pc \\) będziemy oznaczać normę w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R}^n \\hskip 0.3pc \\)określoną następująco:", "Niech \\( \\hskip 0.3pc I\\times \\Omega\\subset \\mathbb{R}^{n+1} \\hskip 0.3pc \\) gdzie \\( \\hskip 0.3pc I \\hskip 0.3pc \\) przedział w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R} \\hskip 0.3pc \\)a \\( \\hskip 0.3pc\\Omega \\hskip 0.3pc \\) podzbiór w \\( \\hskip 0.3pc \\mathbb{R}^n. \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1:", "content": "Mówimy, że funkcja \\( \\hskip 0.3pc f : \\)\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( I\\times \\Omega\\ni (t,x)\\rightarrow f(t,x)=(f_1(t,x),\\ldots ,f_n(t,x))\\in \\mathbb{R}^n \\)\n\nspełnia warunek Lipschitza ze względu na \\( \\hskip 0.3pc x \\hskip 0.3pc \\) jeżeli\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\exists L>0\\,\\forall (t,x),\\,(t,\\tilde {x})\\in I\\times \\Omega:\\hskip 0.5pc \\|f(t,x)-f(t,\\tilde{x})\\|\\le L\\|x-\\tilde{x}\\|. \\)\n\n" } ]

[ "Powyższy moduł jest poświęcony określeniu stabilności rozwiązań równań skalarnych i wektorowych rzędu pierwszego. Potocznie mówiąc rozwiązanie równania różniczkowego rzędu pierwszego jest stabine jeżeli niewiele zmieni się warunki początkowe to rozwiązania też niewiele się różnią od siebie.", "Rozważmy równanie:", "gdzie \\( \\hskip 0.3pc x=(x_1,\\ldots ,x_n),\\hskip 0.3pc t\\ge t_0 \\hskip 0.3pc \\) i \\( \\hskip 0.3pcf(t,x)=(f_1(t,x),\\ldots ,f_n(t,x)). \\)" ]

[ { "name": "Definicja 1: Stabilność w sensie Lapunowa", "content": "Rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc y(t) \\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) jest stabilne w sensie Lapunowa, jeśli dla dowolnego \\( \\hskip 0.3pc \\varepsilon >0 \\hskip 0.3pc \\)istnieje \\( \\hskip 0.3pc \\delta>0, \\hskip 0.3pc \\) że każde rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc x(t) \\hskip 0.3pc \\) tego równania, gdy warunki początkowe spełniają nierówność\n\n\t\t\t\t\t\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\|x(t_0)-y(t_0)\\|<\\delta \\)\n\nto\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\|x(t)-y(t)\\|<\\varepsilon \\hskip 0.3pc{\\rm dla \\hskip 0.2pc każdego \\hskip0.4pc } t\\ge t_0\\hskip 0.3pc {\\rm gdzie \\hskip 0.2pc określone \\hskip 0.2pc są \\hskip 0.2pc oba \\hskip 0.2pc rozwiązania}. \\)\n\n" }, { "name": "Definicja 2: Asymptotyczna stabilność", "content": "Rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc y(t) \\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) jest asymptotycznie stabilne jeżeli\ni. \\( \\hskip 0.3pc \\) jest stabilne w sensie Lapunowa\nii. \\( \\hskip 0.3pc \\) określone jest na przedziale \\( \\hskip 0.3pc [t_0,\\,\\infty ] \\hskip 0.3pc \\)\niii. \\( \\hskip 0.3pc \\) istnieje \\( \\hskip 0.3pc \\delta>0, \\hskip 0.3pc \\)że każde rozwiązanie \\( \\hskip 0.3pc x(t) \\hskip 0.3pc \\) równania ( 1 ) jest określone na przedziale \\( \\hskip 0.3pc [t_0,\\,\\infty ] \\hskip 0.3pc \\) gdy\n\n\n\t\t\t\t\t\t\t\t\\( \\|x(t_0)-y(t_0)\\|< \\delta \\hskip 0.8pc {\\rm i} \\hskip 0.8pc \\displaystyle\\lim\\limits_{t\\rightarrow \\infty}\\|x(t)-y(t)\\|=0. \\)\n\n\n\n" } ]

[ "Komentarz Zauważamy, że w szeregu \\( ( (a_n ),(S_n ) ) \\) wyrazy ciągu sum częściowych \\( (S_n) \\) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \\( (a_n) \\). Również wyrazy ciągu \\( (a_n) \\) są wyznaczone jednoznacznie przez wyrazy ciągu \\( (S_n) \\) wzorem rekurencyjnym", "Możemy zatem podawać postać tylko jednego z tych ciągów, aby jednoznacznie określić postać szeregu \\( ( (a_n ),(S_n ) ) \\).", "Komentarz Zauważmy, że \\( R_{mn}=a_m+a_{m+1}+⋯+a_n \\) i jeżeli szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest zbieżny do sumy \\( S \\), to \\( m \\)-tą resztę szeregu możemy wyrazić wzorem \\( R_m=S-S_{m-1} \\)." ]

[ { "name": "Definicja 1: Szereg liczbowy", "content": " Niech \\( (a_n) \\) , dla \\( n \\in \\mathbb{N}_+ \\) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach \\( a_n \\) nazywamy uporządkowaną parę ciągów \\( ( (a_n ),(S_n ) ) \\) , gdzie wyrazy ciągu \\( S_n \\) określone są jako \\( S_n=a_1+a_2+⋯+a_n \\) i nazywane \\( n \\)-tymi sumami częściowymi szeregu." }, { "name": "Definicja 2: Szereg zbieżny", "content": " Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest zbieżny do sumy \\( S \\), jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum częściowych \\( (S_n) \\) szeregu równa \\( S \\) tzn. \\( \\lim\\limits_{n \\to \\infty}⁡S_n =S \\). Mówimy wtedy, że liczba \\( S \\) jest sumą szeregu \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\)." }, { "name": "Definicja 3: Szereg rozbieżny do \\( + \\infty \\) albo do \\( - \\infty \\)", "content": "\n\n\nJeżeli ciąg sum częściowych \\( (S_n) \\) szeregu \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) ma granicę niewłaściwą \\( + \\infty \\), albo \\( - \\infty \\) to mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest rozbieżny do \\( + \\infty \\), albo do \\( - \\infty \\). " }, { "name": "Definicja 4: Szereg rozbieżny", "content": "Jeżeli ciąg sum częściowych \\( (S_n) \\) szeregu \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) nie ma granicy, to mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest rozbieżny." }, { "name": "Definicja 5: Reszta szeregu", "content": " Jeżeli przez \\( R_{mn} \\), dla \\( m \\lt n \\) oznaczymy różnicę \\( n \\)-tej i \\( (m-1) \\)-szej sumy częściowej szeregu \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) , tzn. \\( R_{mn}=S_n-S_{m-1} \\), to \\( m \\)-tą reszta szeregu \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) nazywamy liczbę \\( R_m=\\lim\\limits_{n \\to \\infty} ⁡R_{mn } \\). " } ]

[ "Komentarz Zbadanie warunku koniecznego zbieżności szeregu nic nie mówi o zbieżności wtedy, gdy jest spełniony, ale gdy nie jest spełniony, to wiemy, że szereg jest rozbieżny (na podstawie prawa kontrapozycji: \\( (p \\Rightarrow q) \\Leftrightarrow ( \\sim q \\Rightarrow \\sim p) \\), gdzie \\( p \\) i \\( q \\) są zdaniami logicznymi)." ]

[ { "name": "Definicja 1: szeregu o wyrazach nieujemnych", "content": " Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, jeżeli wszystkie wyrazy \\( a_n \\) szeregu są nieujemne.\n" }, { "name": "Definicja 2: szeregu o wyrazach dodatnich", "content": " Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest szeregiem o wyrazach dodatnich, jeżeli wszystkie wyrazy \\( a_n \\) szeregu są dodatnie.\n" }, { "name": "Definicja 3: szeregu naprzemiennego", "content": " Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}a_n \\) jest szeregiem naprzemiennym, jeżeli dla każdej liczby naturalnej \\( n \\), zachodzi warunek \\( a_{n+1} \\cdot a_n < 0 \\).\n" } ]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Szereg harmoniczny rzędu \\( \\alpha >1 \\) ", "content": " Szeregiem harmonicznym rzędu \\( \\alpha \\) nazywamy szereg postaci \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{\\alpha}} \\), gdzie \\( \\alpha \\in \\mathbb{R} \\)." }, { "name": "Definicja 2: Szereg geometryczny", "content": " Szeregiem geometrycznym o ilorazie \\( q \\in \\mathbb{R} \\) nazywamy szereg postaci \\( \\sum_{n=1}^{\\infty} aq^{n-1} \\), gdzie \\( a \\in \\mathbb{R} \\). " } ]

[ "Komentarz Zauważamy, że kryterium porównawcze można zastosować zarówno wtedy, gdy chcemy pokazać, że badany szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, jak i w przypadku gdy pokazujemy, że jest on rozbieżny. Istota kryterium porównawczego kryje się w tym, czy wyrazy badanego szeregu o wyrazach nieujemnych ograniczamy od góry, czy od dołu. Oczywiście ograniczenie od góry przez wyrazy nowego szeregu, który jest zbieżny, stosujemy, gdy podejrzewamy, że badany szereg jest zbieżny, natomiast w przeciwnym przypadku szukamy szeregu o wyrazach mniejszych, o którym wiemy, że jest rozbieżny. Cała trudność kryterium porównawczego leży w znalezieniu odpowiedniego szeregu, który ma wyrazy większe, albo mniejsze od badanego i którego zbieżność potrafimy określić. W tym celu często stosuje się standardowe zasady mówiące jak ograniczać ułamki, a także znane nierówności dla funkcji elementarnych lub też wykorzystuje się monotoniczność tych funkcji." ]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[]

[ { "name": "Definicja 1: Bezwzględna zbieżność szeregu", "content": "Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}{a_n} \\) jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}{|a_n|} \\) jest zbieżny." }, { "name": "Definicja 2: Warukowa zbieżność szeregu", "content": "Mówimy, że szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}{a_n} \\) jest warunkowo zbieżny, jeżeli szereg \\( \\sum_{n=1}^{\\infty}{a_n} \\) jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny. " } ]

[ "Komentarz Kryterium Leibniza stosujemy dla szeregów naprzemiennych wtedy, gdy nie działa WK bezwzględnej zbieżności, czyli w przypadku, gdy szereg naprzemienny nie jest bezwzględnie zbieżny. Jeżeli okazuje się, że szereg, który nie jest bezwzględnie zbieżny, jest zbieżny, to mamy zbieżność warunkową tego szeregu." ]

[]

[]

[]

[ "E-podręcznik jest skierowany do studentów i doktorantów uczelni technicznych, którzy nie posiadają specjalistycznej wiedzy ekonomicznej, ale również do wszystkich zainteresowanych wiedzą na temat finansów. Jest on napisany w miarę prostym językiem, aby umożliwić szerokiemu gronu Czytelników zapoznanie się z podstawowymi pojęciami i zagadnieniami ze świata finansów. Niektóre moduły oraz terminy tylko sygnalizują istnienie danego tematu lub problemu, aby zachęcić do jego samodzielnego zgłębiania.", "Modułowa konstrukcja podręcznika oraz liczne podlinkowania umożliwiają łatwe poruszanie się pomiędzy modułami i zagadnieniami, które w ten sposób tworzą całość obrazu finansów sfery finansowej i realnej. Podręcznik zawiera dużą liczbę przykładów, ilustrujących poszczególne treści i pomagających Czytelnikowi lepiej je zrozumieć.", "E-podręcznik jest finansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Wiedza Edukacja Rozwój 2014-2020, Zintegrowany Program Rozwoju Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie, nr POWR.03.05.00-00-Z309/18 oraz POWR.03.05.00-00-Z307/17." ]

[]

[ "Za system ekonomiczny uważa się gospodarkę oddzielnego kraju. Tworzą go podmioty gospodarcze o różnym profilu działalności. Wyjątkową funkcję w gospodarce krajowej pełnią jednak instytucje finansowe, które dostarczają podmiotom gospodarczym pieniądz i organizują jego obieg. Poza tym, umożliwiają przekształcenie oszczędności w inwestycje rzeczowe i kontrolują wielkość masy pieniężnej oraz pieniądza kredytowego w celu stabilizacji cen w gospodarce.", "W ramach gospodarki krajowej finanse można poklasyfikować według kryterium podmiotowego dzieląc je na ( Rys. 1):", "Oddzielną dziedzinę stanowią finanse międzynarodowe, które obejmują finanse organizacji międzynarodowych, systemy walutowe różnych krajów i ich współdziałanie, bilanse płatnicze poszczególnych państw, międzynarodowy rynek finansowy oraz międzynarodowe organizacje finansowe.", "Niniejszy podręcznik składa się z trzech części (wprowadzenie w temat finansów, finanse sfery finansowej, finanse sfery realnej) i skupia swoją uwagę na finansach krajowych.", "Pierwsza część podręcznika przytacza krótką historię rozwoju gospodarczego i wprowadza Czytelnika w świat finansów. Ponieważ każda gospodarka składa się z dwóch sfer – sfery realnej (produkującej dobra i świadczącej usługi) oraz sfery finansowej (obsługującej podmioty sfery realnej i finansowej), to kolejne dwie części poświęcono roli, strukturze i mechanizmom sfery finansowej oraz gospodarce finansowej typowych przedstawicieli sfery realnej (przedsiębiorstw). Na pierwszą część składają się dwa rozdziały:", "Druga część podręcznika dostarcza Czytelnikowi ogólną wiedzę dotyczącą struktury systemu finansowego i roli, jaką odgrywają w nim poszczególne grupy jednostek. Szczególną uwagę zwrócono na rynek finansowy, jego sektory, regulację i segmentację. Opisano cechy podstawowych rodzajów papierów wartościowych oraz instrumentów pochodnych. W podręczniku skrótowo wspomniano o roli systemu bankowego, jednak pominięto analizę finansów publicznych i finansów międzynarodowych, które są przedmiotem licznych opracowań naukowych i dydaktycznych. Do drugiej części podręcznika można zaliczyć następujące rozdziały:", "Celem trzeciej części podręcznika jest przedstawienie podstawowych zagadnień związanych z finansami przedsiębiorstw. Opisano w niej własne i obce źródła finansowania podmiotów gospodarczych oraz omówiono sposoby ustalania kosztu kapitału własnego i obcego. Pokazano, jak można ocenić zyskowność działalności gospodarczej na podstawie analizy progu rentowności. Opisano możliwe formy opodatkowania podatkiem dochodowym, w zależności od formy organizacyjno-prawnej prowadzonej działalności gospodarczej. Omówiono sprawozdanie finansowe przedsiębiorstwa i pokazano, jak na jego podstawie można ocenić kondycję finansową przedsiębiorstw w aspekcie ich płynności, zadłużenia, sprawności działania i rentowności. Przedstawiono również metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych. Do trzeciej części zalicza się więc poniższe rozdziały:", "Oczywiście każdy z rozdziałów można rozbudować w oddzielny podręcznik, jednak celem autorek było przekazanie najważniejszych informacji, które pomogą Czytelnikowi odnaleźć się w świecie finansów i będą przydatne w podejmowaniu trafnych decyzji finansowych związanych z lokowaniem kapitału (inwestycjami) na rynku finansowym i/lub prowadzeniem własnej działalności gospodarczej." ]

[]

[ "Choć w kolejnych etapach rozwoju społecznego ludzie zaczęli uprawiać rolę i hodować zwierzęta, jednak cała ich działalność była nastawiona jedynie na zaspokojenie naturalnych potrzeb własnej społeczności.", "Zostało to odzwierciedlone w nazwie tego typu gospodarki – gospodarka naturalna. Obecnie gospodarka naturalna występuje jedynie w społecznościach odizolowanych geograficznie.", "Do najważniejszych cech gospodarki naturalnej można zaliczyć:", "Z biegiem lat w gospodarstwach zaczęły powstawać nadwyżki, które można było wymieniać na inne dobra, których dana społeczność nie posiadała i nie produkowała. Jedno dobro można było wymienić na inne – w określonej proporcji, pod warunkiem spełnienia kryterium zgodności potrzeb obu stron transakcji wymiennej.", "Z rozwojem gospodarczym i cywilizacyjnym zaczął kształtować się rynek (miejsce, gdzie dokonywano wymiany), a dobra stały się towarem wymiennym. Stąd nazwa gospodarki – towarowa (wymienna, barterowa). Jej uwarunkowania przyczyniły się do powstania prywatnej własności, społecznego podziału pracy i specjalizacji w wytwarzaniu określonych dóbr. W rezultacie wzrósł stopień wykorzystania zasobów lokalnej gospodarki i efektywności jej funkcjonowania.", "Niestety wymiana „towar za towar” była dość kosztowna i skomplikowana, wymagała bowiem dużo czasu i wysiłku, aby strony osiągnęły postawiony cel – niekiedy należało dokonać wielu kolejnych transakcji wymiennych, aby zdobyć upragnione dobra lub usługi. Problemów też przysparzały przeliczniki wymiany jednego towaru na inny, z uwagi na to, że były wyrażone w jednostkach fizycznych. Poza tym, trudno (a czasem nawet niebezpiecznie) było je przewozić na większe odległości.", "Wymianę towarów ułatwił pieniądz – specyficzny towar, który dostawał sprzedawca za swoje dobra lub usługi. Jego specyfika polegała z jednej strony na powszechnym zaufaniu społecznym, z drugiej zaś – na jego cechach fizycznych (był bowiem trwały, podzielny i łatwy do przenoszenia). W ten sposób gospodarka towarowa przekształciła się w gospodarkę towarowo-pieniężną.", "Kupno-sprzedaż towarów usprawniła też grupa zawodowych pośredników handlowych – kupców. Przyczynili się oni do zwiększenia dostępności towarów oraz zmniejszenia czasu i kosztów transakcji. Do rozwoju swego biznesu (m.in. wynajęcia statków do wypraw dalekomorskich) potrzebowali dodatkowego kapitału, który zdobywali dzięki pożyczkom lub udziałom pieniężnym. W ten sposób potrzeba finansowania przedsięwzięć handlowych przyczyniła się do rozwoju rynku finansowego, najpierw w postaci kredytu a następnie – papierów wartościowych." ]

[]

[ "W odniesieniu do pieniędzy emitowanych w innych krajach używa się określenia waluta obca albo pieniądz dewizowy. Służą one do rozrachunków w transakcjach zagranicznych, tzn. między podmiotami mającymi swoje siedziby w różnych krajach. Transakcje mogą mieć charakter handlowy (eksport, import) lub przepływów kapitałowych z innych operacji rynkowych.", "Banki centralne wielu krajów na wypadek wystąpienia kryzysów tworzą rezerwy z metali szlachetnych (złoto, srebro) oraz walut obcych – najczęściej są to waluty kilku krajów wysoko rozwiniętych gospodarczo (np. dolar USA, euro, frank szwajcarski, funt brytyjski czy jen japoński). Importerzy również utrzymują część swoich kapitałów w walucie obcej, na poczet przyszłych rozrachunków za dostarczone dobra lub usługi. Walutę obcą mogą też gromadzić inwestorzy, pragnący obniżyć ryzyko utraty wartości posiadanych oszczędności.", "Ponieważ pieniądz na przestrzeni historii przyjmował wiele różnych form, w ramach ogólnej klasyfikacji można wyodrębnić takie jego grupy i podgrupy:", "Rozróżnia się dwie grupy funkcji, jakie we współczesnej gospodarce pełni pieniądz:", "Do pierwszej grupy zalicza się takie funkcje:", "Funkcja behawioralna (zachowawcza)", "Pieniądz jest środkiem determinującym ludzkie zachowania, ponieważ jest ekwiwalentem wszystkiego, co jest człowiekowi niezbędne do życia. Kształtuje pragnienia, sposób myślenia, styl życia i konsumpcji. Stał się przedmiotem pragnień, co nie zawsze prowadzi do pozytywnych zjawisk (np. chciwość, skąpstwo, przekupstwo itp.) [2].", "Funkcja motywacyjna", "Chęć posiadania pieniądza motywuje ludzi do podejmowania działań w celu jego pozyskania. Działania te mogą mieć dwojaki charakter: 1) społecznie uznane – uczciwa praca za odpowiednim wynagrodzeniem; 2) nieuczciwe – wynikające z chęci szybkiego wzbogacenia się, np. płatne zabójstwa, handel ludźmi, korupcja itp. Funkcja motywacyjna pieniądza jest powszechnie stosowana przez pracodawców w celu pobudzenia pracowników do efektywniejszej pracy [2].", "Funkcja informacyjna (komunikacyjna)", "Pieniądze stanowią źródło informacji o sytuacji ekonomicznej państwa, które je emituje. Z kolei wygląd, technika wykonania, oraz materiał z jakiego został wykonany pieniądz informują o poziomie kultury danego społeczeństwa. Płaca natomiast nie jest jedynie miarą wysiłku pracownika, ale informacją co we własnym i społecznym interesie zrobił [2].", "Funkcja dezintegracyjna", "Pieniądz powoduje rozpad struktur społecznych i powstawanie nowych. Dążenie do wzbogacenia się wywołuje wiele różnic między grupami społecznymi. Uwidacznia się rozwarstwienie społeczeństwa pod względem ilości posiadanego pieniądza, a co za tym idzie - władzy, wpływów, sławy itp. Pokusa zdobycia pieniędzy za wszelką cenę determinuje rozwój przestępczości. Środki z nielegalnej działalności wprowadzane do państwowego obiegu wpływają niekorzystnie na stabilność finansową państwa [2].", "Funkcja integrująco-instytucjonalna", "Pieniądz wpływa na powstanie i kształtowanie się stosunków między ludźmi. Na ich podłożu powstają instytucje społeczno-finansowe (banki, giełdy, fundacje, zakłady ubezpieczeniowe), które mają za zadanie zaspokajanie społecznych potrzeb. Pieniądz jest też efektywnym narzędziem kontrolowania działalności tych instytucji [2].", "Z kolei do drugiej grupy zaliczamy następujące funkcje:", "Funkcja cyrkulacyjna", "Ta funkcja oznacza, że pieniądz stał się środkiem wymiany, za który oddawano towar (świadczono usługę); można było go następnie wymienić na inny towar lub usługę. Dzięki tej funkcji transakcja wymienna została podzielona na dwie części (pieniądz stał się zaufanym pośrednikiem) i nastąpiło ich rozdzielenie w czasie i przestrzeni.", "Funkcja miernika wartości", "Funkcja miernika wartości wynika z tego, że pieniądz służy do określenia ekonomicznej wartości nabywanych dóbr (usług), wyrażonej w ich cenie. Dzięki tej funkcji stało się możliwe łatwe porównywanie wartości towarów i usprawniło handel nimi. Co ważne, ta funkcja nie wymaga posiadania pieniędzy, gdyż ceny możemy porównywać abstrakcyjnie. Ta funkcja również jest użyteczna do określenia siły nabywczej pieniądza.", "Funkcja środka płatniczego", "Pełnienie przez pieniądz funkcji środka płatniczego jest możliwe dzięki oddzieleniu się ruchu towarów od ruchu pieniądza. Dzięki temu zapłata za towar nie musi być zgrana w czasie z jego dostawą – może nastąpić w terminie późniejszym lub na raty. Oznacza to, że pieniądz spełnia funkcję płatniczą w sytuacji, gdy najpierw powstaje zobowiązanie, a dopiero później jego spłata. Z rozwojem gospodarczym ta funkcja nabiera większego znaczenia, ponieważ coraz częściej zakupów dokonuje się na kredyt i dominują rozliczenia bezgotówkowe (które trwają nieco dłużej niż gotówkowe).", "Funkcja tezauryzacyjna", "Wynika ona z gromadzenia i przechowywania bogactwa poza systemem bankowym. Przejawia się wówczas, gdy uzyskane dochody nie są wydatkowane w całości, więc powstają oszczędności. Mogą one zostać przekształcone w inne aktywa (kruszce szlachetne, dzieła sztuki, nieruchomości), lecz pieniądz gotówkowy ma najwyższą płynność. Pojęcie płynność tu oznacza szybkość i pewność, z jaką dane aktywo zostanie zamienione na gotówkę.", "Funkcja pieniądza światowego", "Ta funkcja dotyczy tylko niektórych walut, które były lub nadal są uznawane za środek płatniczy w innych krajach. Pełniąc tę funkcję pieniądz światowy ułatwił przebieg procesów produkcji, wymiany i podziału na całym świecie, umożliwił też intensyfikację wykorzystania przewagi konkurencyjnej poszczególnych krajów. Dzięki specjalizacji gospodarek nastąpiła racjonalizacja procesów gospodarowania w skali globalnej, z której efektów korzysta ludzkość. Oficjalnie – na mocy porozumienia z Bretton Woods – funkcję pieniądza światowego od 1944 roku do 1971 roku pełnił dolar USA." ]

[ { "name": " Definicja 1: Pieniądz ", "content": " Pieniądz to powszechnie akceptowany (z mocy prawa lub zwyczaju)\nekwiwalent dóbr i usług, służący do dokonywania płatności i regulowania innych zobowiązań w danej grupie\nspołecznej. " } ]

[ "Mianem społeczeństwa określa się grupę obywateli zamieszkujących wyodrębnione terytorium.", "System polityczny tworzą partie polityczne, organizacje i grupy społeczne. Z kolei system prawny (organizacyjno-regulacyjny) to zestaw norm prawnych akceptowanych przez dane społeczeństwo. Tworzą go:", "System ekonomiczny w swojej ewolucji przechodził różne etapy, poczynając od gospodarki naturalnej, przez gospodarkę kapitalistyczną i nakazowo-rozdzielczą, aż po gospodarkę mieszaną.", "Gospodarka naturalna opierała się na naturalnym podziale pracy i była nastawiona na zaspokojenie własnych potrzeb konsumpcyjnych. Podstawą jej organizacji i funkcjonowania były zwyczaje i tradycje, a nie prawo własności.", "Podstawą gospodarki kapitalistycznej jest prywatna własność, która stanowi podstawę prowadzenia działalności gospodarczej. Aby mogła ona sprawnie funkcjonować, musi być dobrze rozwinięty i zorganizowany system wymiany towarowo-pieniężnej, czyli rynek i jego otoczenie regulacyjno-prawne. Poza tym, ważnymi warunkami są swoboda prowadzenia działalności gospodarczej i konkurencja między podmiotami gospodarczymi. Rola państwa jest ograniczona do niezbędnego minimum.", "Gospodarka wolnorynkowa (rynkowa) to idealny typ gospodarki – gospodarki, którą rządzi rynek. Istnieje tylko prywatna własność, która jest rozdzielona między członkami danego społeczeństwa. Wszystkie decyzje dotyczące produkcji i konsumpcji są podejmowane przez podmioty gospodarcze, które kierują się zasadami racjonalnego postępowania i własnym interesem. W swoich decyzjach muszą jednak uwzględniać informacje płynące z rynku, m.in. dotyczące dostępności oraz cen czynników produkcji (pracy, ziemi, kapitału). Pewne cechy gospodarki rynkowej można dostrzec również w gospodarce kapitalistycznej.", "Całkowitą odwrotnością do gospodarki rynkowej jest gospodarka nakazowo-rozdzielcza (centralnie planowana), w której wiodącą rolę pełni państwo – przejmuje ono dużą część własności materialnej (tworząc własność publiczną), dokonuje alokacji zasobów w gospodarce oraz decyduje o tym, co, jak i dla kogo wytwarzać. W tego typu gospodarkach prywatna własność odgrywa minimalną rolę, nie ma konkurencji między producentami, często zdarzają się braki niektórych grup towarów, a bezrobocie nosi ukryty charakter. Kraje, w których występuje gospodarka nakazowo-rozdzielcza nie mają szans na szybki rozwój ekonomiczno-społeczny.", "Obecnie w większości krajów mamy do czynienia z gospodarką mieszaną, w której sektor prywatny współpracuje z sektorem państwowym. Sektor prywatny w swojej działalności kieruje się własnym interesem, jednak to państwo decyduje o zakresie swobód ekonomicznych uczestników relacji rynkowych. Państwo finansuje sektor publiczny, a w razie potrzeby (w interesie społecznym), podejmuje interwencje rynkowe. Inni uczestnicy relacji rynkowych muszą dzielić się swoimi dochodami z państwem (w postaci różnych podatków i opłat)." ]

[ { "name": " Definicja 1: System ekonomiczny ", "content": " System ekonomiczny to system norm prawnych, regulacyjnych i\nzwyczajowych, które obowiązują wszystkich uczestników procesów gospodarczych w danym kraju i są przez nich\nakceptowane. Składa się ze sfery realnej i finansowej. " } ]

[ "Na sferę realną składa majątek rzeczowy takich podmiotów (Rys. 2):", "Pierwsze cztery z nich tworzą rynkowy system realny, natomiast ostatni – publiczny system realny.", "Sfera finansowa służy do usprawniania funkcjonowania gospodarki towarowo-pieniężnej. Tworzą ją m.in. banki, giełdy, elektroniczne systemy obrotu instrumentami finansowymi, towarzystwa ubezpieczeniowe, fundusze zbiorowego inwestowania, fundusze emerytalne oraz inne instytucje związane z organizacją i funkcjonowaniem rynku finansowego. Ich rola sprowadza się do dwóch głównych zadań:", "Obydwie sfery muszą ściśle współpracować z systemem prawnym oraz innymi systemami w gospodarce (Rys. 3).", "Sfera finansowa obejmuje tę część gospodarki, w której się dokonuje kreacji pieniądza oraz organizuje przepływ jego strumieni. Główną jej rolą jest zaopatrywanie gospodarki realnej w pieniądz. Sferę tę tworzą instytucje finansowe, z udziałem innych podmiotów danego systemu ekonomicznego (społeczno-gospodarczego).", "W gospodarkach mieszanych za skuteczność i bezpieczeństwo funkcjonowania tej sfery odpowiada państwo.", "System finansowy to inne określenie sfery finansowej gospodarki. Z upływem lat jego rola i wpływy stawały się coraz większe, a w ślad za tym jego struktura oraz wzajemne powiązania stawały się coraz bardziej rozbudowane i skomplikowane. Obecnie system finansowy jest nazywany „układem krwionośnym” sfery realnej, gdyż bez niego gospodarka już nie może funkcjonować. Ułatwia on nie tylko krążenie siły nabywczej (pieniądza), lecz również:", "Sferę finansową można podzielić na dwa obszary (Rys. 4):", "System finansowy jest nierozerwalnie związany z systemem politycznym i prawnym danego kraju. Zasady jego funkcjonowania są tworzone przez organy administracji centralnej i znajdują swój wyraz w zatwierdzanych aktach prawnych.", "System finansowy służy przede wszystkim do zaopatrzenia gospodarki w pieniądz. Do emisji pieniądza krajowego jest upoważniony jedynie bank centralny (w Polsce – Narodowy Bank Polski), który drukuje pieniądze papierowe i bije monety (bilon) o różnych nominałach. Poza tym do zadań banku centralnego należy m.in.:", "Podkreślić należy, że większość gotówki, którą operuje system bankowy (w ramach akcji kredytowych) pochodzi z oszczędności podmiotów niefinansowych, głównie gospodarstw domowych.", "Aby jednak możliwe stało się bezpieczne funkcjonowanie systemu finansowego, system bankowy musi cieszyć się wysokim stopniem zaufania ze strony wszystkich obywateli. Jest to jedno z najważniejszych zadań państwa – rząd oraz inne organy nadzorcze (bank centralny, komisja nadzoru finansowego, urząd skarbowy, służba celna etc.) muszą stale monitorować i kontrolować działanie systemu finansowego." ]

[ { "name": " Definicja 1: System finansowy ", "content": " „System finansowy jest układem wzajemnie powiązanych instytucji\nfinansowych, rynków finansowych oraz elementów infrastruktury systemu finansowego; poprzez ten układ\npodmioty sfery realnej (przede wszystkim gospodarstwa domowe, przedsiębiorstwa i rząd) mogą pozyskiwać\nfundusze, inwestować oszczędności oraz zaspokajać pozostałe potrzeby związane z finansową sferą\nfunkcjonowania” [1]. " } ]

[ "W pierwszym modelu to banki pełnią wiodącą rolę w dostarczaniu oszczędności przedsiębiorstwom na realizację celów inwestycyjnych. Gromadzą je w operacjach depozytowych (głównie lokaty bankowe), a udostępniają w postaci kredytów średnio- i długoterminowych. Mogą też udzielać kredytów na krótkie okresy czasu, które wspomagają ciągłość działania przedsiębiorstw.", "Natomiast w drugim modelu podstawowym źródłem inwestycyjnych środków pienieżnych jest emisja i sprzedaż papierów wartościowych. W tym modelu udział banków sprowadza się do zaspokajania krótkoterminowego popytu na kapitał i pełnienia roli pośrednika na rynku papierów wartościowych.", "Niezależnie od modelu organizacyjnego, każdy system finansowy (sfera finansowa) dzieli się na dwa podstawowe segmenty (Rys. 1):", "Głównymi instytucjami rynkowego systemu finansowego są:", "Zaopatrywanie gospodarki realnej w pieniądz odbywa się za pomocą dwustopniowego systemu bankowego, tworzonego przez bank centralny i banki komercyjne. Banki komercyjne zaopatrują gospodarkę w pieniądz kredytowy, prowadzą konta bankowe podmiotów rynkowych i umożliwiają rozrachunki między nimi. Tworząc pieniądz kredytowy stają się pośrednikami pomiędzy podmiotami deficytowymi sfery realnej a podmiotami nadwyżkowymi (w sensie gotówki), co umożliwia transformację wolnych środków pienieżnych w inwestycje gospodarcze.", "W pełnieniu tej funkcji bierze też udział rynek papierów wartościowych. Emitenci sprzedając swoje papiery na rynku pierwotnym pozyskują wolne środki pieniężne na inwestycje. Z kolei inwestorzy, którzy je zakupili mogą sprzedać papiery wartościowe na rynku wtórnym przed terminem ich wygaśnięcia, co zwiększa płynność takich inwestycji.", "Strukturę rynkowego systemu finansowego tworzą (Rys. 2):", "Instytucja finansowa to podmiot, który świadczy usługi o charakterze finansowym. Do instytucji finansowych zalicza się: banki, domy maklerskie, fundusze inwestycyjne, towarzystwa ubezpieczeniowe, fundusze emerytalne, inne podmioty świadczące usługi finansowe.", "Ogólnie można powiedzieć, że rynek finansowy to miejsce, w którym odbywa się obrót instrumentami finansowymi. Tworzą go giełdy papierów wartościowych, giełdy walutowe, elektroniczne systemy obrotu.", "Do instrumentów finansowych zaliczamy:", "Zasady i regulacje dla instytucji, rynków i instrumentów finansowych tworzą zarówno organy krajowe (Parlament, Komisja Nadzoru Finansowego, Krajowy Depozyt Papierów Wartościowych), jak i organizacje międzynarodowe (np. organy UE, Bank Światowy).", "Głównym zadaniem publicznego systemu finansowego jest finansowanie dóbr publicznych i usług społecznych. Strukturę publicznego systemu finansowego tworzą:", "Obydwa systemy finansowe ściśle ze sobą współpracują tworząc jeden spójny rynek finansowy w danym kraju." ]

[ { "name": " Definicja 1: Rynkowy system finansowy ", "content": " Rynkowy system finansowy to taki system, który tworzy\nmechanizm przepływu środków pieniężnych i ich współtworzenia przez instytucje finansowe oraz inne\npodmioty rynkowe. " }, { "name": " Definicja 2: Publiczny system finansowy ", "content": " Publiczny system finansowy to taki system, który\nzapewnia przepływ środków pieniężnych i ich współtworzenie, a także umożliwią dostarczanie dóbr i usług\npublicznych oraz świadczeń społecznych. " } ]

[ "Do najważniejszych funkcji rynkowego systemu finansowego można zaliczyć:", "Z kolei publiczny system finansowy pełni takie funkcje:", "System finansowy z uwagi na pełnione funkcje jest bardzo wrażliwy na różne informacje i zmiany w otoczeniu zewnętrznym. Do najważniejszych czynników zewnętrznych zaliczyć można:" ]

[]

[ "Instrumenty pożyczkowe działają na zasadzie zwrotności po określonym czasie użytkowania kapitału – kredyty, pożyczki, instrumenty dłużne. Instrumenty udziałowe umożliwiają nabycie części majątku, nabywane są przez inwestorów rynku finansowego w celach zarobkowych. Instrumenty rozrachunkowe służą do natychmiastowego rozrachunku między podmiotami rynkowymi. Z kolei instrumenty terminowe służą do rozrachunku w terminie późniejszym niż zawarcie umowy między podmiotami.", "Biorąc pod uwagę powyższe, wszystkie instrumenty rynku finansowego można podzielić na trzy grupy (Rys. 1):", "Rynek finansowy pełni wiele różnych funkcji, które można ułożyć w kilka grup:", "Popyt na rynku finansowym kreują jednostki, potrzebujące kapitału do realizacji zamierzonych przedsięwzięć konsumpcyjnych i produkcyjnych. Nazywa się ich użytkownikami kapitału.", "Wszystkich użytkowników kapitału można podzielić na cztery podstawowe grupy (Rys. 2):", "Gospodarstwa domowe mogą potrzebować kapitału do sfinansowania zakupu dóbr trwałego użytku, pojazdów czy nieruchomości. Najczęściej taki popyt jest zaspokajany poprzez zaciągnięcie kredytów bankowych. Przedsiębiorstwa i instytucje finansowe korzystają z dwóch możliwości – kredytów bankowych oraz emisji i sprzedaży papierów wartościowych (dłużnych i udziałowych).", "Podobnie lokalne organy państwowe – korzystają z pożyczek w systemie bankowym oraz na rynku papierów wartościowych (komunalne papiery dłużne). Centralne organy państwowe preferują (w niektórych przypadkach jest to wymóg ustawowy) emisję skarbowych papierów dłużnych.", "Podaż na rynku finansowym generują jednostki dysponujące wolnymi środkami pieniężnymi. Ich celem jest ulokowanie tych środków w taki sposób, aby z upływem czasu nie traciły one na wartości (z powodu inflacji), a nawet przynosiły dodatkowy dochód.", "Czynność zyskownego lokowania pieniędzy jest nazywana inwestowaniem, a tych, którzy tworzą podaż kapitału na rynku finansowym – inwestorami. Inwestorem może być:", "Pierwsza grupa dysponuje oszczędnościami, które pochodzą z niewydatkowanego na bieżącą konsumpcję dochodu. Choć pojedyncze kwoty oszczędności są stosunkowo niewielkie, to sumaryczna wartość kapitału jest imponująca – z uwagi na dużą liczbę osób fizycznych. Choć osoby prawne również mogą lokować czasowo wolne środki pieniężne na rynku finansowym, jednak częściej występują po stronie popytowej (jako użytkownicy kapitału).", "Dzięki uplasowaniu kapitału na rynku finansowym – w systemie bankowym lub na rynku papierów wartościowych – zwiększa się efektywność jego wykorzystania w gospodarce, na czym korzysta całe społeczeństwo, powstają bowiem nowe miejsca pracy, rosną dochody podmiotów gospodarczych, a co za tym idzie – zwiększają się wpływy do budżetu państwa (z tytułu podatków i innych opłat), co przekłada się na wzrost dobrobytu społeczeństwa i jego ochronę socjalną." ]

[ { "name": " Definicja 1: Rynek finansowy ", "content": "\nRynek finansowy to miejsce zorganizowane w sensie instytucjonalnym, w którym spotyka się popyt na\nkapitał (środki pieniężne) z jego podażą. Służy do transformacji wolnych środków pieniężnych w\ninne formy majątkowe (materialne, niematerialne), za pośrednictwem instrumentów finansowych.\n" } ]

[ "Zatem każdego, kto lokuje w nie środki pieniężne można nazwać inwestorem, aczkolwiek w kontekście rozważań na temat rynku finansowego, jego instrumentów i uczestników, pojęcia inwestor używa się zwykle do osób nabywających instrumenty finansowe w celu uzyskania dochodu.", "Pod względem zachowania na rynku finansowym inwestorów dzieli się na dwie grupy – aktywnych i pasywnych. Odpowiednio inwestowanie nazywano aktywnym lub pasywnym.", "Aktywni inwestorzy ciągle monitorują zmiany na rynku finansowym w celu uniknięcia negatywnych skutków ryzyka oraz wykorzystania pozytywnych skutków zachodzących zmian. W rezultacie często zmieniają skład portfela inwestycyjnego i poświęcają dużo czasu na zbieranie i analizę informacji oraz prognozowanie przyszłych trendów na rynku finansowym. Zanim jednak podejmą decyzję inwestycyjną, wykonują szereg analiz, takich jak na przykład analiza techniczna, analiza portfelowa czy analiza fundamentalna. Podkreślić należy, że aktywne portfele zwykle są skoncentrowane na pewnej grupie instrumentów (ew. rynków, branż) a ich ryzyko jest dość wysokie.", "Oprócz samodzielnego zarządzania portfelem inwestycyjnym istnieje też możliwość nabycia jednostek funduszy inwestycyjnych zarządzanych aktywnie. Różnorodność takich funduszy na polskim rynku jest dość duża, poczynając od funduszy o bardzo zachowawczych ryzyku (czyli niskiego ryzyka) aż po fundusze nastawione na wyższą stopę zwrotu (czyli wysokiego ryzyka). Ta pierwsza grupa skupia się głównie na papierach dłużnych z przewagą skarbowych, natomiast druga – na akcjach.", "Pasywni inwestorzy stosują zwykle strategię „kup i trzymaj”. Portfele pasywne są bardziej zdywersyfikowane (pod względem rodzajów instrumentów, emitentów, branż, walut etc.), a tym samym nie ma potrzeby pilnego śledzenie trendów na rynku finansowym, bo ryzyko portfela jest stosunkowo niskie. Przy czym zamiast kupowania oddzielnych grup/rodzajów instrumentów finansowych, inwestorzy stosujący takie podejście mogą wybrać odpowiadające ich preferencjom pasywne fundusze inwestycyjne i dokonać zakupu emitowanych przez nie jednostek uczestnictwa.", "Pasywne fundusze skupiają swoją uwagę na znanych indeksach giełdowych (np. WIG20), co ułatwia śledzenie zmian na rynku kapitałowym. Takie fundusze są nazywane indeksowymi. W ciągu ostatniej dekady coraz bardziej popularną staje się odmiana tych funduszy nazywana ETF (ang. Exchange Traded Fund). Różni się ona od zwykłych funduszy indeksowych tym, że jej jednostki są dopuszczone do obrotu giełdowego." ]

[]

[ "Podstawowymi źródłami prawa, jakie regulują działalność na rynku finansowym są ustawy, dyrektywy i rozporządzenia europejskie oraz rozporządzenia krajowe.", "Poniżej wymieniono wybrane akty prawne z każdej grupy.", "Ustawy", "Dyrektywy i rozporządzenia organów UE", "Rozporządzenia organów UE", "Rozporządzenia krajowe", "Istnieje też szereg innych aktów prawnych, które zawierają regulacje oraz wytyczne dotyczące operacji na rynku finansowym oraz działalności poszczególnych jego uczestników.", "Nadzór nad rynkiem finansowym w Polsce sprawuje Komisja Nadzoru Finansowego (KNF), która została powołana na mocy ustawy z dnia 21 lipca 2006 r. o nadzorze nad rynkiem finansowym (t.j. Dz. U. z 2023 r. poz. 753) [1]. Jest to centralny organ administracji rządowej odpowiedzialny za prawidłowość funkcjonowania instytucji finansowych oraz operacji dokonywanych na rynku finansowym.", "19 września 2006 roku KNF przejęła kompetencje Komisji Nadzoru Ubezpieczeń i Funduszy Emerytalnych, Komisji Papierów Wartościowych i Giełd oraz Rzecznika Ubezpieczonych. Od 1 stycznia 2008 roku nadzór finansowy sprawowany przez Komisję objął także nadzór bankowy oraz nadzór nad instytucjami pieniądza elektronicznego sprawowany wcześniej przez Komisję Nadzoru Bankowego https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/Komisja-Nadzoru-Finansowego;4653183.html.", "Obecnie głównym zadaniem KNF jest sprawowanie nadzoru nad sektorem bankowym, rynkiem kapitałowym, ubezpieczeniowym, emerytalnym, nadzór nad instytucjami płatniczymi i biurami usług płatniczych, instytucjami pieniądza elektronicznego oraz nad sektorem kas spółdzielczych. Z kolei celem nadzoru jest zapewnienie prawidłowego funkcjonowania tego rynku, jego stabilności, bezpieczeństwa oraz przejrzystości, zaufania do rynku finansowego, a także zapewnienie ochrony interesów uczestników tego rynku. Nadzór nad działalnością Urzędu Komisji sprawuje Prezes Rady Ministrów https://www.knf.gov.pl/o_nas/komisja.", "Powyższe cele KNF realizuje pełniąc następujące funkcje: licencyjną, regulacyjną, kontrolną i dyscyplinującą. KNF wydaje bowiem zezwolenia na prowadzenie działalności przez banki, spółdzielcze kasy oszczędnościowo-kredytowe, krajowe instytucje płatnicze, zakłady ubezpieczeń i zakłady reasekuracji, otwarte fundusze emerytalne, fundusze inwestycyjne czy firmy inwestycyjne. Ustawodawca nadał KNF także szereg kompetencji w zakresie stosowania środków nadzorczych. KNF na bieżąco analizuje raporty przesyłane przez instytucje finansowe oraz ocenia, czy wypełniają one określone przepisami prawa wymogi kapitałowe. Do kompetencji KNF należy również prowadzenie kontroli w podmiotach nadzorowanych https://www.knf.gov.pl/dla_konsumenta/Ochrona_klienta_na_rynku_uslug_finansowych/KNF." ]

[]

[ "Pierwsze trzy segmenty nie funkcjonują odosobniono, zachodzą bowiem między nimi różne relacje i powiązania (Rys. 2). Dlatego to na nich będzie skupiona uwaga w danym podręczniku. Skrótowo natomiast zostanie poddany analizie rynek depozytowo-kredytowy, z uwagi na ten fakt, że jest on szczegółowo opisany w podręcznikach z bankowości.", "Obecnie w Polsce, zgodnie z art. 3 ustawy z dnia 29 lipca 2005 r. o obrocie instrumentami finansowymi (t.j. Dz. U. z 2022 r. poz. 1500, 1488, 1933, 2185) [1], przez papiery wartościowe rozumie się:", "Tradycyjnie mianem papierów wartościowych określano instrumenty finansowe, które były handlowane na rynku kasowym (tzw. rynku spot). Najbardziej znane wśród nich są akcje i obligacje. Na przestrzeni wieków były one emitowane w postaci papierowej, a ich zabezpieczenie przed podrabianiem było podobne do zabezpieczenia banknotów (pieniędzy papierowych). Pod koniec ubiegłego stulecia sytuacja na rynku finansowym zaczęła szybko się zmieniać. Przyczyniły się ku temu m.in.:", "Wymusiło to wprowadzenia nowych form handlu na rynku oraz ewidencji instrumentów finansowych. W rezultacie, aby sprostać nowym uwarunkowaniom zaczęto wprowadzać zdematerializowaną formę papierów wartościowych, które istnieją w postaci zapisu elektronicznego. Co więcej, zmniejszyły się też koszty emisji i obsługi tych instrumentów. W odniesieniu do dematerializacji powyższa Ustawa (art. 5. ust. 1) wskazuje, że: „Papiery wartościowe:", "– nie mają formy dokumentu od chwili ich zarejestrowania na podstawie umowy, której przedmiotem jest rejestracja tych papierów wartościowych w depozycie papierów wartościowych (dematerializacja)”.", "W kontekście zagadnień rynku finansowego często zamiennie używa się pojęć papiery wartościowe i instrumenty finansowe. Jednak pojęcie instrumentu finansowego jest szersze od pojęcia papieru wartościowego. Obejmuje ono wiele instrumentów o różnym działaniu i przeznaczeniu, będących obecnie przedmiotem transakcji na rynku finansowym.", "Ustawa z dnia 29 lipca 2005 r. o obrocie instrumentami finansowymi [1] w art. 2 ust. 1 określa pojęcie instrumentu finansowego, którym mogą być:", "Dlatego pojęcie instrumentu finansowego jest używane zarówno w odniesieniu do papierów wartościowych, jak i innych instrumentów rynku finansowego, w tym instrumentów pochodnych." ]

[]

[ "W pierwszym przypadku zawarcie umowy kupna-sprzedaży określonego towaru/waloru po wyznaczonej cenie zbiega się w czasie z zapłatą za nie. W przypadku rozliczeń bezgotówkowych dopuszcza się 2-3 dni robocze na zapłatę. Tego typu transakcje najczęściej dotyczą papierów wartościowych i walut.", "W drugim przypadku, w dniu zawarcia umowy kupna-sprzedaży ustala się wszystkie szczegóły transakcji co do ilości i cech przedmiotu umowy oraz przyszły termin jego dostawy i formę rozrachunku. Zatem dostawa i rozliczenie będą miały miejsce w pewnym terminie w przyszłości. Dlatego tego typu umowy potocznie są nazywane kontraktami terminowymi. Inna ich nazwa to instrumenty pochodne – nawiązuje ona do faktu, że każdy kontrakt opiewa na jakiś towar (dobro, walor) albo „pochodzi od jakiegoś towaru”.", "Derywaty mogą być wystawiane na całą gamę instrumentów pierwotnych (Rys. 2):", "Obrót derywatów odbywa się na rynkach terminowych.", "Te obietnice mogą mieć formę kontraktów terminowych typu forward lub futures, kontraktów wymiany swap oraz opcji i warrantów. Mogą one być handlowane na rynku giełdowym i pozagiełdowym, w zależności od rodzaju derywatu." ]

[ { "name": " Definicja 1: Instrument pochodny ", "content": " Instrument pochodny to taki instrument finansowy, którego\nwartość zależy od wartości innego instrumentu (zwanego bazowym, pierwotnym lub podstawowym), a\nrozliczenie następuje w pewnym momencie (okresie) czasu w przyszłości. W odniesieniu do instrumentów\npochodnych używa się również nazwy „derywaty” (ang. derivatives). " }, { "name": " Definicja 2: Rynek terminowy ", "content": " Rynek terminowy to taki segment rynku finansowego, w którym\nhandluje się obietnicami (zobowiązaniami) kupna-sprzedaży instrumentów pierwotnych w przyszłości.\n \n \n" } ]

[ "Istnieje też szereg innych powodów niezmiennie wysokiego popytu na wybrane waluty, mianowicie:", "Kurs walutowy (cena waluty) kształtuję się na podstawie popytu i podaży na rynku walutowym (w systemie kursu płynnego).", "Kupno i sprzedaż poszczególnych walut organizują banki, kantory i giełdy walutowe. Oprócz tego walutowymi derywatami handlują inne giełdy, np. Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie czy Warszawska Giełda Towarowa.", "Rynek depozytowo-kredytowy tworzą banki komercyjne, które prowadzą tradycyjną działalność bankową – przyjmują depozyty i udzielają kredytów. Najważniejsze w pełnieniu tej funkcji jest to, że banki kumulują kapitał pieniężny (powstający z drobnych wpłat depozytowych), aby móc udzielać kredytów inwestycyjnych opiewających na duże kwoty.", "Poza tym banki świadczą wiele innych usług, których liczba i zakres stają się coraz bardzie rozbudowane (z wykorzystaniem najnowocześniejszych technologii) i dopasowane do wymogów współczesnego społeczeństwa.", "Co ważne, ryzyko związane z udzielanymi kredytami banki komercyjne biorą na siebie. Zatem ryzyko klientów, którzy ulokowali swoje oszczędności w systemie bankowym nie jest wysokie. Tym bardziej, że o bezpieczeństwo klientów dbają też bank centralny i nadzór bankowy – w Polsce to Narodowy Bank Polski, Komisją Nadzoru Finansowego i Bankowy Fundusz Gwarancyjny.", "Podstawowym celem działalności NBP jest utrzymanie stabilnego poziomu cen, przy jednoczesnym wspieraniu polityki gospodarczej rządu, o ile nie ogranicza to podstawowego celu NBP. Zapewnia on sprawne działanie systemu płatniczego, który umożliwia szybki i bezpieczny przepływ pieniędzy pomiędzy ludźmi, jak i podmiotami gospodarczymi. W tym celu NBP:", "NBP działa na rzecz stabilności systemu finansowego oraz kształtuje warunki niezbędne do rozwoju systemu bankowego. W tym celu:", "Komisja Nadzoru Finansowego sprawuje nadzór nad sektorem bankowym, rynkiem kapitałowym, ubezpieczeniowym, emerytalnym, nadzór nad instytucjami płatniczymi i biurami usług płatniczych, instytucjami pieniądza elektronicznego oraz nad sektorem kas spółdzielczych. Celem nadzoru nad rynkiem finansowym jest zapewnienie prawidłowego funkcjonowania tego rynku, jego stabilności, bezpieczeństwa oraz przejrzystości, zaufania do rynku finansowego, a także zapewnienie ochrony interesów uczestników tego rynku. Do zadań KNF należy ponadto:", "Bankowy Fundusz Gwarancyjny (BFG) działa na rzecz stabilności krajowego systemu finansowego: gwarantuje depozyty zgromadzone w bankach i kasach oraz odpowiada za przeprowadzanie przymusowej restrukturyzacji instytucji finansowych zagrożonych bankructwem. Podstawowe zadania BFG:", "Narodowy Bank Polski wraz Ministerstwem Finansów, Komisją Nadzoru Finansowego i Bankowym Funduszem Gwarancyjnym tworzą Komitet Stabilności Finansowej, który sprawuje nadzór makroostrożnościowy w Polsce.", "Nadzór makroostrożnościowy obejmuje identyfikację, ocenę i monitorowanie ryzyka systemowego oraz działania mające na celu ograniczenie tego ryzyka poprzez zastosowanie instrumentów makroostrożnościowych. Celem nadzoru makroostrożnościowego jest ograniczanie ryzyka systemowego, w szczególności poprzez wzmacnianie odporności systemu finansowego i w konsekwencji wspieranie długookresowego i zrównoważonego wzrostu gospodarczego kraju. https://nbp.pl/system-finansowy/nadzor-makroostroznosciowy/" ]

[ { "name": " Definicja 1: Rynek walutowy ", "content": " Rynek walutowy to całokształt transakcji oraz warunków\nw jakich się one odbywają, dotyczących wymiany waluty jednego kraju na walutę kraju innego.\n" } ]

[ "Poszczególne papiery wartościowe (instrumenty finansowe) mogą być kwalifikowane jednocześnie do różnych segmentów, w zależności od stosowanego kryterium.", "Jednym z najważniejszych kryteriów podziału jest termin zwrotu kapitału, który wyodrębnia:", "Jeśli termin zwrotu kapitału jest krótszy aniżeli jeden rok, mamy do czynienia z rynkiem pieniężnym. Jeśli jest dłuższy lub nieoznaczony – z rynkiem kapitałowym.", "Jest to ważny podział, z uwagi na ryzyko dla inwestora – im dłuższy bowiem jest termin zwrotu kapitału, tym większe ryzyko wiąże się z danym walorem (zob. Zakup papierów wartościowych a ryzyko inwestora).", "Ryzyko wynika z dłuższego czasu oddziaływania czynników zewnętrznych, które mogą spowodować pogorszenie się wyników finansowych emitenta, a nawet doprowadzić do jego upadłości.", "Dla inwestora (zob. Inwestycje i inwestorzy) nabywającego walor danego emitenta, oznacza to częściową lub całkowitą utratę zainwestowanego kapitału i ewentualnego zysku. Wobec tego regulacje rynku kapitałowego są bardziej restrykcyjne niż rynku pieniężnego." ]

[]

[ "Obrót papierami wartościowymi w tym segmencie rynku określa się mianem obrotu pierwotnego. W roli emitentów występują przedsiębiorstwa, instytucje finansowe oraz państwo. Największą grupę pod względem liczebności tworzą jednak przedsiębiorstwa zabiegające o wolne środki pieniężne, które następnie zamierzają wykorzystać do sfinansowania różnego rodzaju przedsięwzięć, z przewagą tych o charakterze inwestycyjnym.", "Rynek pierwotny umożliwia efektywną alokację kapitału, czyli dopływ do tych emitentów, którzy najlepiej sobie radzą gospodarczo, a tym samym zapewniają wyższe stopy zwrotu ze swoich papierów wartościowych, znajdujących się w posiadaniu inwestorów.", "Rynek, na którym obrót instrumentami finansowymi odbywa się już między inwestorami nazywamy wtórnym, a handel na tym rynku – obrotem wtórnym. Tu dokonuje się realokacji kapitału – inwestorzy pod wpływem wielu czynników podejmują decyzje o kupnie lub sprzedaży papierów wartościowych. Większy popyt oznacza, że rentowność tych walorów wzrasta, co przekłada się na ich wyższą cenę rynkową i zwiększenie dopływu kapitału z kolejnych emisji do tego samego emitenta." ]

[]

[ "W Unii Europejskiej kwestie oferty publicznej reguluje Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2017/1129 z dnia 14 czerwca 2017 r. w sprawie prospektu, który ma być publikowany w związku z ofertą publiczną papierów wartościowych lub dopuszczeniem ich do obrotu na rynku regulowanym oraz uchylenia dyrektywy 2003/71/WE (tzw. Rozporz. 1129) (Dziennik Urzędowy Unii Europejskiej 168/12) [1]. W myśl art. 3 tego rozporządzenia, papiery wartościowe są przedmiotem oferty publicznej i mogą być dopuszczone do obrotu na rynku regulowanym w Unii Europejskiej dopiero po opublikowaniu prospektu emisyjnego (wg zasad określonych w tym rozporządzeniu) (dalej: Rozporządzenie 1129).", "Wspomniane rozporządzenie nie ma zastosowania do oferty publicznej papierów wartościowych o łącznej wartości w UE mniejszej niż 1 000 000 EUR, przy czym kwota ta jest obliczana za okres 12 miesięcy (Rozporządzenie 1129, art. 1 ust. 3).", "W Polsce tę kwestię reguluje Ustawa z dnia 29 lipca 2005 r. o ofercie publicznej i warunkach wprowadzania instrumentów finansowych do zorganizowanego systemu obrotu oraz o spółkach publicznych (t.j. Dz. U. z 2022 r. poz. 2554) [2]. Określa ona nie tylko zasady i warunki oferty publicznej, lecz również wprowadzenia do obrotu na rynku regulowanym, a także obowiązki emitentów i pośredników na tym rynku i ważne kwestie związane ze spółkami publicznymi. Według art. 3 ust. 1a, oferta publiczna papierów wartościowych, w przypadku której liczba osób, do których jest ona kierowana, wraz z liczbą osób, do których kierowane były oferty publiczne tego samego rodzaju papierów wartościowych, dokonane w okresie poprzednich 12 miesięcy, przekracza 149, wymaga opublikowania memorandum informacyjnego. W kolejnych ustępie zaznaczono, że przedmiotem oferty publicznej w Polsce nie mogą być jednostki uczestnictwa w instytucjach wspólnego inwestowania typu otwartego.", "Rynek niepubliczny to każdy rynek, który nie jest rynkiem regulowanym. Nie ma więc wymogu dostosowania dokonywanych na nim transakcji do powyższych regulacji. Oferta sprzedaży papierów wartościowych na tym rynku jest określana mianem oferty prywatnej." ]

[]

[ "Funkcjonowanie rynku regulowanego w Polsce podlega pod ustawę z dnia 29 lipca 2005 r. o obrocie instrumentami finansowymi (t.j. Dz. U. z 2022 r. poz. 1500, 1488, 1933, 2185) [1] (dalej: Ustawa). Art. 14 ust. 1 tej Ustawy definiuje rynek regulowany jako „działający w sposób stały wielostronny system zawierania transakcji, których przedmiotem są instrumenty finansowe dopuszczone do obrotu w tym systemie, zapewniający inwestorom powszechny i równy dostęp do informacji rynkowej w tym samym czasie przy kojarzeniu ofert nabycia i zbycia instrumentów finansowych oraz jednakowe warunki nabywania i zbywania tych instrumentów, zorganizowany i podlegający nadzorowi właściwego organu na zasadach określonych w przepisach ustawy, jak również uznany przez państwo członkowskie za spełniający te warunki i wskazany Komisji Europejskiej jako rynek regulowany”.", "W myśl art. 21 ust. 1 rynek regulowany może być prowadzony wyłącznie przez spółkę akcyjną.", "Art. 31 wspomnianej ustawy [1] określa, kto może być stroną transakcji na rynku regulowanym. Zalicza się do nich:", "Poza tym, na określonych warunkach mogą zostać do nich dopuszczone inne podmioty nabywające i zbywające instrumenty finansowe we własnym imieniu i na własny rachunek:", "Przy czym o dopuszczeniu instrumentów finansowych do obrotu na rynku regulowanym decyduje zarząd spółki, która prowadzi rynek regulowany – ma na to 14 dni od dnia złożenia wniosku.", "W Ustawie rozróżnia się też pojęcia rozliczenia i rozrachunku. W myśl art. 45b, rozliczenie – to ustalenie wysokości świadczeń pieniężnych i niepieniężnych wynikających z zawartych transakcji, w ramach przyjętego sposobu rozliczeń; natomiast pod rozrachunkiem rozumie się obciążenie lub uznanie konta depozytowego, rachunku zbiorczego lub rachunku papierów wartościowych…, odpowiednio w związku z transakcją zbycia lub nabycia instrumentów finansowych, a także odpowiednio do ustalonych w trakcie rozliczenia kwot świadczeń, uznanie lub obciążenie rachunku bankowego lub rachunku pieniężnego wskazanego przez uczestnika będącego stroną transakcji albo stroną rozliczenia.", "Dzięki nadzorowi regulatora finansowego rynek regulowany zapewnia jego uczestnikom większą transparentność emitentów (poprzez regularne dostarczanie informacji finansowych i niefinansowych o ich działalności) i bezpieczeństwo zawieranych transakcji.", "Rynek nieregulowany to każdy inny rynek. Handluje się na nim wszystkimi papierami wartościowymi – dopuszczonymi do obrotu giełdowego i niedopuszczonymi. Transakcje na tym rynku najczęściej zawierane pomiędzy instytucjami finansowymi (np. bankami, domami maklerskimi) oraz innym klientami. Warunkiem bezpieczeństwa jest zawieranie transakcji z jednostkami, które się znają i darzą wzajemnym zaufaniem." ]

[]

[ "Ich obrót i emisja są regulowane odmiennymi przepisami, niż obrót papierami wartościowymi rynku kapitałowego. Przepisy te są mniej rygorystyczne, z uwagi na krótszą żywotność krótkoterminowych papierów dłużnych (tj. do 1 roku), a co za tym idzie – niższe ryzyko dla inwestora. Termin ważności krótkoterminowych papierów dłużnych może być wyrażony w dniach (np. 7 dni), tygodniach (np. 13, 26, 52 tygodni) lub miesiącach (np. 3, 6 miesięcy). Dochód inwestora posiadającego walory tego typu może być liczony w dwojaki sposób:", "Dla inwestora zakup krótkoterminowych papierów dłużnych jest alternatywą do lokowania wolnych środków pieniężnych na lokacie bankowej lub na rynku kapitałowym. Taka inwestycja ma liczne zalety:", "Dla emitentów krótkoterminowych papierów wartościowych są one instrumentami stosunkowo szybkiego pozyskiwania środków pieniężnych na krótkie okresy, zamiast zaciągania kredytu bankowego. Umożliwiają one szybkie pozyskanie gotówki w razie nagłego zapotrzebowania (np. spadku płynności finansowej emitenta).", "Zalety emisji krótkoterminowych papierów dłużnych w porównaniu do kredytu bankowego:", "Na rynku handluje się dwoma rodzajami tych walorów, w zależności od tego, do kogo skierowana jest oferta:", "Jak już zostało wspomniane, dochód z tych walorów może mieć dwie postacie, w zależności od tego, jaki był stosowany tryb sprzedaży tych instrumentów na rynku pierwotnym:", "Wobec tego istnieją dwa sposoby sprzedaży krótkoterminowych papierów dłużnych:", "W pierwszym przypadku wszyscy chętni nabywają walory po tej samej cenie (np. nominalnej). Natomiast w drugim – każdy potencjalny nabywca zgłasza swoją cenę (pomniejszoną o dyskonto) a organizator emisji wybiera spośród nich najbardziej atrakcyjne, z zastrzeżeniem, że nie mogą one być niższe niż cena minimalna zgłoszona w warunkach emisji.", "Tego typu przetarg jest nazywany aukcją amerykańską." ]

[]

[ "Instrumenty rynku kapitałowego można podzielić na dwie podstawowe grupy (Rys. 1):", "Wspólną cechą instrumentów dłużnych jest to, że zaciągnięta przez emitenta pożyczka musi zostać zwrócona wierzycielowi w określonym czasie wraz z opłatą za jej korzystanie. Najbardziej popularne w tej grupie instrumentów są obligacje, które mogą być emitowane zarówno przez instytucje finansowe, jak i niefinansowe.", "Emisję i rozprowadzenie obligacji na rynku pierwotnym często nazywa się pożyczką obligacyjną. Cecha zbywalności korzystnie wyróżnia ten rodzaj pożyczki w porównaniu do kredytów bankowych, które najczęściej uważa się za jej alternatywę. Oznacza to, że posiadacz obligacji może w łatwy sposób przekazać tę wierzytelność innej osobie, co jest o wiele trudniejsze (a niekiedy nawet niemożliwe) w przypadku kredytu bankowego. Podobną funkcję pełnią też listy zastawne, z tym że grupa potencjalnych emitentów tych walorów jest ograniczona jedynie do banków hipotecznych.", "Instrumenty udziałowe z kolei poświadczają, że ich posiadacz ma prawo do części majątku emitenta. W tym przypadku nie chodzi o pożyczkę, lecz o nabycie części tego majątku – nie powstaje więc żadne zobowiązanie ze strony emitenta i nie ma on obowiązku zwrotu otrzymanych środków. Inwestor może zamienić zakupione aktywa na gotówkę lub inne walory sprzedając je na rynku wtórnym. Typowymi papierami wartościowymi w tym przypadku są akcje, reprezentujące określoną część majątku spółki akcyjnej (lub komandytowo-akcyjnej). Zatem emisja akcji to forma pozyskiwania lub powiększenia własnego kapitału przez wspomniane spółki.", "Uogólniając można sformułować takie podstawowe funkcje rynku kapitałowego:", "Sprawnie funkcjonujący rynek kapitałowy przynosi korzyści emitentom papierów wartościowych (poszukujących kapitału), inwestorom (lokującym wolne środki pieniężne w zyskowny sposób) oraz gospodarce jako całości. Dlatego państwo czuwa nad bezpieczeństwem funkcjonowania tego rynku, organizując obrót (giełdy papierów wartościowych, systemy obrotu) i sprawując nadzór nad nim (ustawodawstwo, Komisja Nadzoru Finansowego)." ]

[]

[ "Giełda handluje zarówno instrumentami kasowymi, jak i pochodnymi. Wśród kasowych należy wymienić m.in. akcje, prawa do akcji, prawa poboru, prawa pierwszeństwa, obligacje, certyfikaty inwestycyjne.", "Natomiast wśród terminowych – kontrakty futures (na akcje, indeksy giełdowe, obligacje skarbowe i kurs walutowy) oraz opcje (na akcje oraz indeksy giełdowe).", "Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie prowadzi:", "W ramach GPW funkcjonują Rynek Regulowany GPW (GPW RR) oraz Rynek Alternatywny GPW (GPW ASO).", "Najważniejszymi indeksami giełdowymi rynku głównego są: WIG, WIG20, MWIG40 i SWIG80.", "W skład grupy kapitałowej GPW wchodzą też: spółka BondSpot i Towarowa Giełda Energii.", "BondSpot S.A. prowadzi:", "Przy czym dwa ostatnie rynki funkcjonują w ramach, organizowanego wspólnie z GPW, systemu rynków obligacji Catalyst https://www.bondspot.pl/o_spolce.", "Rynek Treasury BondSpot Poland jest integralną częścią systemu Dealerów Skarbowych Papierów Wartościowych (DSPW), opracowanego przez Ministerstwo Finansów przy współudziale Narodowego Banku Polskiego oraz środowiska bankowego. Jest to hurtowy rynek obrotu obligacjami skarbowymi oraz bonami skarbowymi. Minimalna jednostka obrotu wynosi 5 mln zł https://www.bondspot.pl/o_rynku.", "Rynek Regulowany BondSpot i Alternatywny Systemu Obrotu BondSpot zostały włączone do systemu obrotu Catalyst jako jego platformy. Zasady notowań sesyjnych na rynkach regulowanych i alternatywnych są identyczne. Jedyne różnice dotyczą sposobu zawierania transakcji pakietowych. Na wszystkich rynkach tworzących Catalyst realizacja transakcji gwarantowana jest przez Krajowy Depozyt Papierów Wartościowych, a na emitentach spoczywają obowiązki informacyjne dotyczące raportów bieżących i okresowych https://www.bondspot.pl/rynek_regulowany.", "System obrotu Catalyst prowadzony jest na platformach transakcyjnych GPW S.A. i BondSpot S.A. Tworzą go cztery platformy obrotu (Rys. 1):", "Na pierwszych dwóch platformach jednostką transakcyjną jest jedna obligacja, natomiast na dwóch ostatnich jednostka transakcyjna wyrażona wartościowo – ma wartość co najmniej 100 tys. zł lub odpowiednio 100 tys. waluty obcej. Przedmiotem transakcji na rynku mogą być zdematerializowane obligacje, listy zastawne i inne dłużne instrumenty finansowe inkorporujące prawa majątkowe odpowiadające prawom wynikającym z zaciągnięcia długu, emitowane na podstawie właściwych przepisów prawa polskiego lub obcego, wprowadzone do obrotu na rynku. Taka architektura Catalyst sprawia, że jest on dostosowany do emisji o różnych wielkościach i różnej charakterystyce, a także do potrzeb różnych inwestorów – hurtowych i detalicznych, instytucjonalnych i indywidualnych https://www.bondspot.pl/rynek_regulowany.", "Przykładowo w lutym 2023 roku na rynku Catalyst były dostępne takie rodzaje papierów dłużnych: obligacje skarbowe, komunalne, spółdzielcze, korporacyjne oraz listy zastawne. Przy czym były one notowane zarówno w walucie krajowej (PLN) jak i zagranicznej (EUR) https://gpwcatalyst.pl/." ]

[]

[ "Bonami też handluje Bank Gospodarstwa Krajowego (BGK), który ma w swojej ofercie nie tylko bony skarbowe, lecz również bony pieniężne NBP https://www.bgk.pl/files/public/Pliki/Przedsiebiorstwa/Produkty_skarbowe/Prezentacja_-_informacja_o_skarbowych_DPW.pdf.", "Biuro maklerskie PKO BP też sprzedaje obligacje skarbowe (klientom indywidualnym i instytucjonalnym). W stałej ofercie detalicznej banku zawsze znajduje się cały wachlarz instrumentów dłużnych, o różnym oprocentowaniu, strukturze i terminach wygaśnięcia.", "Przykładowo w lutym 2023 roku znajdowały się wśród nich:", "Dla klientów indywidualnych Biuro Maklerskie ma w ofercie również obligacje korporacyjne https://www.bm.pkobp.pl/oferta/klient-indywidualny/obligacje/obligacje-korporacyjne/.", "Z kolei dla klientów instytucjonalnych świadczy usługi kupna i sprzedaży zarówno obligacji, jak i akcji https://www.bm.pkobp.pl/klient-instytucjonalny/. Wtórny obrót obligacjami organizują też rynek Catalyst (sprzedaż detaliczna) i platforma BondSpot (sprzedaż hurtowa). Można tam znaleźć obligacje skarbowe, komunalne, spółdzielcze i korporacyjne. Przy czym są one notowane zarówno w walucie krajowej (PLN), jak i zagranicznej (EUR).", "Oferta listów zastawnych na rynku pierwotnym jest zwykle kierowana do podmiotów instytucjonalnych, m.in. do banków, funduszy inwestycyjnych, funduszy emerytalnych i towarzystw ubezpieczeniowych.", "Wtórny obrót listów zastawnych organizuje rynek Catalyst (oferta detaliczna) i platforma BondSpot (oferta hurtowa). Przykładowo w lutym 2023 roku w ofercie rynku Catalyst były listy zastawne wyemitowane przez ING Bank Hipoteczny, MBank Hipoteczny, PEKAO Bank Hipoteczny https://gpwcatalyst.pl/notowania-obligacji-listy-zastawne.", "Mogą nimi też handlować banki – na przykład informuje o tym BGK https://www.bgk.pl/files/public/Pliki/Przedsiebiorstwa/Produkty_skarbowe/Broszura_informacyjna.pdf.", "Można tu nabyć certyfikaty inwestycyjne funduszy zamkniętych (oraz jednostki uczestnictwa funduszy otwartych) https://www.aliorbank.pl/biuro-maklerskie/fundusze-inwestycyjne.html.", "Akcje i certyfikaty inwestycyjne można też zakupić w ofercie wtórnej na rynku giełdowym i pozagiełdowym.", "W przypadku transakcji giełdowej konieczny jest udział instytucji finansowej uprawnionej do zawierania transakcji na danej giełdzie (najczęściej są to biura i domy maklerskie)." ]

[]

[ "Są to papiery dłużne o krótkim terminie ważności, nie przekraczającym jednego roku. Wśród nich to bony dominują pod względem liczbowym i rodzajowym.", "Bon skarbowy ma charakter dyskontowy, tzn. odsetki z tego papieru wartościowego są liczone jako różnica między jego nominałem (ceną, po której będzie wykupywany przez emitenta) a ceną zapłaconą przez inwestora. Wielkość odsetek jest niezmienna w czasie.", "Bony skarbowe są emitowane przez Ministerstwo Finansów (w imieniu Rządu). Wartość nominalna bonów wynosi 10 000 zł, a okres ważności może być ustalony w dniach (od 1 do 90) lub tygodniach (od 1 do 52) https://www.bgk.pl/files/public/Pliki/Przedsiebiorstwa/Produkty_skarbowe/Prezentacja_-_informacja_o_skarbowych_DPW.pdf.", "Standardowe terminy to 13 i 52 tygodni.", "Na rynku pierwotnym oferta jest kierowana do banków, które posiadają status dealera skarbowych papierów wartościowych (DSPW). Sprzedaż bonów skarbowych odbywa się na przetargach organizowanych przez Ministerstwo Finansów za pośrednictwem NBP.", "Na rynku wtórnym bony skarbowe mogą być kupowane i sprzedawane przez osoby prawne lub spółki nieposiadające osobowości prawnej. Obrót odbywa się za pośrednictwem banków, a minimalna kwota transakcji wynosi 50 000 PLN https://www.bgk.pl/male-i-srednie-przedsiebiorstwa/produkty-skarbowe/zarzadzanie-nadwyzkami-finansowymi/bony-skarbowe/.", "Za pomocą bonów skarbowych państwo finansuje przejściowe braki gotówki, niezbędnej do finansowania bieżących zobowiązań wobec własnego społeczeństwa. Braki te wynikają z rozbieżności między terminami wpływu do budżetu państwa strumieni pienieżnych (podatki, cła, opłaty skarbowe, sądowe, notarialne etc.) a terminami wydatkowania środków na pokrycie własnych zobowiązań.", "Choć bony skarbowe są emitowane na krótkie okresy, termin korzystania z pożyczki można wydłużyć dokonując systematycznych emisji tych papierów wartościowych, z czego często korzystają rządy wielu państw, regularnie powtarzając emisje.", "Bony mogą nabywać zarówno inwestorzy indywidualni, jak i instytucjonalni. Jednym z nich jest Narodowy Bank Polski, który następnie wykorzystuje te walory w operacjach otwartego rynku – w celu regulowania ilości pieniądza w obiegu, w ramach polityki drogiego lub taniego pieniądza, realizowanej na zlecenie rządu." ]

[ { "name": " Definicja 1: Bony skarbowe ", "content": " Bony skarbowe to takie papiery wartościowe, które potwierdzają\nzaciągnięcie pożyczki przez Skarb Państwa i zobowiązanie do jej zwrotu w okresie krótszym aniżeli jeden rok,\nwraz z należnymi odsetkami. " } ]

[ "Bony są emitowane na okaziciela i wystawiane na okresy od 1 do 364 dni (1, 7, 14, 28, 91, 182 oraz 364), jednak najczęściej – jest to 7 dni. Rentowność bonów jest stała i równa stopie referencyjnej NBP. W przetargach mogą brać udział tylko te banki krajowe i oddziały banków zagranicznych działających w Polsce, które posiadają status dealera rynku pieniężnego. Bony pieniężne NBP może też nabyć Bankowy Fundusz Gwarancyjny https://www.bgk.pl/files/public/Pliki/Przedsiebiorstwa/Produkty_skarbowe/Informacja_dla_klienta_o_dluznych_papierach_wartosciowych.pdf.", "Banki komercyjne oraz inne instytucje finansowe mogą handlować bonami pieniężnymi NBP na rynku wtórnym. Bony cieszą się dużym zainteresowaniem wśród inwestorów instytucjonalnych, z uwagi na wysoki poziom bezpieczeństwa i stosunkowo wysoką rentowność.", "Bony pieniężne NBP to podstawowe instrumenty realizacji restrykcyjnej i ekspansywnej polityki monetarnej, są kupowane i sprzedawane na rynku międzybankowym w operacjach otwartego rynku. Celem polityki monetarnej jest oddziaływanie na wysokość stóp procentowych, regulowanie ilości pieniędzy w obiegu i płynności sektora bankowego w krótkim horyzoncie czasowym.", "Bank emituje certyfikat depozytowy (dewizowy), aby pozyskać czasowo wolne środki pieniężne, które ma zamiar wykorzystać w celach zarobkowych w krótkim okresie. Wystawia je klientom powierzającym mu określoną kwotę pieniężną na określony czas, po upływie którego bank jest zobowiązany zwrócić posiadaczowi certyfikatu zdeponowaną w nim kwotę powiększoną o należne odsetki. Dokument certyfikatu powinien zawierać wszystkie niezbędne informacje m.in.:", "Zaletą tych walorów w porównaniu do zwykłej lokaty jest ich zbywalność – certyfikaty są handlowane na rynku wtórnym. Oznacza to o wiele wyższą płynność certyfikatów niż lokat bankowych. Na cenę rynkową certyfikatu na rynku wtórnym składa się bieżąca cena tego waloru oraz odsetki przypadające za miniony okres. Wierzycielem, który otrzyma środki pieniężne od emitenta jest ostatni posiadacz tego dokumentu.", "Certyfikat może też mieć formę zdematerializowaną – w postaci zapisu komputerowego w odpowiedniej bazie danych. Obecnie większość certyfikatów ma właśnie taką formę, co upraszcza i przyspiesza ich obrót.", "Choć większą popularnością cieszą się zbywalne certyfikaty depozytowe wystawione na okaziciela, to istnieje również możliwość uzyskania niezbywalnego certyfikatu – na wyraźne żądanie klienta.", "Zaletą certyfikatu jest wyższe oprocentowanie, w porównaniu do papierów skarbowych. Wynika to z ogólnej zasady rynku finansowego – im większe ryzyko, tym większa cena kapitału inwestycyjnego.", "Istnieją cztery podstawowe rodzaje certyfikatów depozytowych:", "Certyfikaty depozytowe często wykorzystują w swojej działalności banki inwestycyjne, zamiast lokowania nadwyżek gotówki na lokatach międzybankowych. Stosunkowo wysoka płynność tych instrumentów pozwala bankom na szybkie i sprawne regulowanie swojej płynności finansowej." ]

[]

[ "Nazwy tych papierów dłużnych są ściśle związane z podstawą prawną ich emisji. Jeśli jest to:", "Celem emisji bonów komercyjnych jest pozyskanie zewnętrznych źródeł finansowania bieżącej działalności przedsiębiorstw. Dla emitentów bony są alternatywą dla kredytu bankowego oraz emisji długoterminowych papierów wartościowych. Emitent może przedłużyć okres korzystania z pozyskanych kapitałów poprzez tzw. rolowanie długu, jeśli wykupi wcześniej emitowane bony za środki pozyskane dzięki nowej emisji papierów wartościowych.", "Bony komercyjne mogą być emitowane jako papiery imienne lub na okaziciela, w postaci materialnej lub zdematerializowanej. Ostatnio przewagę zyskały bony zdematerializowane.", "Szczegółowe warunki dla każdej emisji podaje się w memorandum informacyjnym, który przygotowuje agent emisyjny – instytucja, pośrednicząca w jej organizacji (najczęściej rolę pośrednika pełnią banki i biura maklerskie). Typowe terminy ważności bonów ustala się w przedziale od 7 do 12 miesięcy https://businessinsider.com.pl/gielda/bon-komercyjny-co-to-jest-i-do-czego-sluzy/3ht39xf.", "Oferta na rynku pierwotnym najczęściej ma charakter niepubliczny, a zadaniem agenta emisyjnego jest znalezienie potencjalnych nabywców i uplasowanie walorów na rynku. Poszukuje się ich głównie wśród inwestorów instytucjonalnych, ponieważ bony opiewają na dość wysokie kwoty nominalne. Wtórny obieg tych papierów wartościowych odbywa się na rynku pozagiełdowym (ang. Over-the-counter, OTC).", "Główną zaletą bonów jest ich zbywalność, czyli obrót na zorganizowanych rynkach wtórnych, co zapewnia im większą płynność. Poza tym, dla emitenta zazwyczaj ten rodzaj pożyczki jest tańszy niż zaciągnięcie kredytu bankowego, nawet po uwzględnieniu kosztów emisji.", "Dla inwestora bony są alternatywą do lokaty bankowej oraz zakupu innych instrumentów na rynku pieniężnym i/lub kapitałowym. Z punktu widzenia świadczeń dla inwestora, bony komercyjne dzieli się na dwie podstawowe grupy:", "W pierwszej grupie walory są sprzedawane z dyskontem a wykupywane według wartości nominalnej. Wysokość dyskonta często jest przywiązana do pewnej wartości rynkowej, np. stopy WIBOR lub innej stopy rynkowej (często rynku międzybankowego). W drugiej zaś grupie walory są sprzedawane po cenie emisyjnej a dochód nabywcy jest określony przez wyraźnie oznaczoną stopę procentową.", "Bony komercyjne to niezabezpieczone papiery wartościowe, w związku z czym ich ryzyko jest wysokie, ale w ślad za tym – wyższy dochód dla inwestora. Głównym zabezpieczeniem bonów komercyjnych jest renoma firmy-emitenta, dlatego po ten rodzaj pożyczki na rynku pieniężnym najczęściej sięgają duże firmy o wysokiej kapitalizacji, które działają na rynku od wielu lat i mają wysoką wiarygodność kredytową. W Polsce głównymi emitentami bonów komercyjnych zazwyczaj są spółki giełdowe oraz polskie oddziały wielkich koncernów zagranicznych." ]

[]

[ "\\(F_b\\) – wartość nominalna bonu otrzymywana w momencie wykupu,", "\\(r_b\\) – wymagana stopa zwrotu z inwestycji w bony,", "\\(t\\) – liczba dni do wykupu,", "\\(D\\) – liczba dni w roku (może być 360, 365 lub 366)." ]

[]

[ "W obiegu gospodarczym znajdują się dwa rodzaje weksli:", "Weksel własny zawiera przyrzeczenie jego wystawcy do zapłaty wymienionej na nim sumy pieniężnej. W tym przypadku to wystawca weksla jest głównym dłużnikiem wekslowym.", "W wekslu trasowanym wystawca (trasant) zleca trasatowi zapłatę wymienionej sumy pieniężnej na rzecz remitenta (posiadacza weksla, wierzyciela). Dopiero po akceptacji weksla przez trasata (który staja się akceptantem) staje się on głównym dłużnikiem wekslowym.", "Zaznaczony na wekslu termin płatności może mieć takie oznaczenia:", "W gospodarce weksel pełni wiele ważnych funkcji, m.in.:", "Należy podkreślić, że weksel stanowi podstawę i jednocześnie przyczynę zobowiązania wekslowego (czyli opiewa na wierzytelność) a jego egzekucja jest wyposażona w specjalny rygor – tzw. rygor wekslowy, który oznacza, że weksel nie może zawierać żadnych uwarunkowań dotyczących zapłaty." ]

[ { "name": " Definicja 1: Weksel ", "content": " Weksel jest to dokument sporządzony w formie przewidzianej przez prawo, który\nzawiera bezwzględne zobowiązanie do zapłaty określonej osobie (remitentowi) wymienionej na nim sumy\npieniężnej, w ustalonym miejscu i czasie. " } ]

[ "Jeśli dokument nie będzie zawierał co najmniej jednego z tych elementów, nie będzie uważany za weksel własny. Od tej reguły są pewne wyjątki:", "Zgodnie z ustawą Prawo wekslowe powinien on zawierać takie elementy:", "Dokument, w którym zabraknie któregoś z wymienionych wyżej elementów, nie może być uznany za weksel trasowany, z takimi wyjątkami:", "W myśl art. 3 Prawa wekslowego, trasatem może być zarówno sam wystawca weksla trasowanego, jak i osoba trzecia. W dwóch rodzajach weksli (płatnym za okazaniem, płatnym w pewien czas po okazaniu) wystawca może zastrzec oprocentowanie sumy wekslowej w postaci stopy odsetek – w przeciwnym razie zastrzeżenie uważa się za nienapisane. Odsetki są liczone albo od daty wystawienia weksla, albo od daty w nim wskazanej." ]

[ { "name": " Definicja 1: Weksel własny ", "content": " Weksel własny jest to dokument sporządzony maszynowo lub\nodręcznie, w którym jego wystawca bezwarunkowo zobowiązuje się wypłacić wymienioną na nim sumę\npieniężną, we wskazanym miejscu i czasie, określonej osobie (remitentowi). " }, { "name": " Definicja 2: Weksel trasowany ", "content": " Weksel trasowany jest to dokument, w którym wystawca (trasant)\nzleca trasatowi zapłatę wymienionej sumy pieniężnej na rzecz remitenta. " } ]

[ "Każdy poręczyciel odpowiada wekslowo na równi z osobą, której poręczenia udzielił.", "Głównymi dłużnikami wekslowymi są:", "Do ubocznych dłużników zalicza się:" ]

[]

[ "Takie rozróżnienie ma istotne znaczenie, ponieważ jeszcze przed wygaśnięciem weksla remitent może starać się o pozyskanie kredytu dyskontowego w banku komercyjnym. Bank chętniej udzieli kredytu, jeśli jest on zabezpieczony wekslem towarowym.", "Wynika to z prowadzonej przez bank centralny polityki redyskontowej (nastawionej na wsparcie małych i średnich przedsiębiorstw), w ramach której bank komercyjny (w razie trudności z utrzymaniem płynności) może zwrócić się do banku centralnego po kredyt redyskontowy. Taki kredyt może być zabezpieczony jedynie wekslem towarowym, przy czym termin do jego wygaśnięcia nie może przekraczać 90 dni.", "Weksel można wykorzystać jako zabezpieczenie zaciągniętego kredytu, wówczas jest nazywany wekslem gwarancyjnym.", "Jeśli ma posłużyć jako potwierdzenie, że dłużnik zdeponował określoną sumę pieniężną, która stanowi przyszłe świadczenia na rzecz wierzyciela, nazywa się go wekslem depozytowym.", "Jeśli jego rola sprowadza się do gwarantowania wykonania pewnego zobowiązania i będzie stanowić odszkodowanie w razie jego niedopełnienia – wekslem kaucyjnym.", "Weksel może też być wystawiony in blanco – jako niewypełniony weksel. Musi jednak zawierać podpis wystawcy weksla własnego lub te elementy weksla trasowanego, od których zależy jego ważność.", "Weksel in blanco może posłużyć do zabezpieczenia przyszłych roszczeń, których wielkość w chwili jego wystawienia jest nieznana. Zobowiązanie z tego weksla wiąże się z podpisaniem dodatkowej umowy (tzw. deklaracji wekslowej) między wystawcą weksla a remitentem. Umowa ta powinna zawierać szczegółowy opis sposobu wypełnienia weksla – w razie zaistnienia uwarunkowań umownych. Weksel in blanco może być przenoszony przez indos, podobnie jak inne rodzaje weksli." ]

[]