Datasets:

foldl

/

99problems

like 1

Дан куб 4×4×4. Расставьте в нем 16 ладей так, чтобы они не били друг друга.

Решение аналогично решению задачи 32089. Требуемое расположение ладей приведено явно на рисунке:

Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

В булке за 10 копеек оказался запечен изюм двух сортов. Докажите, что внутри булки найдутся две такие точки, удаленные на расстояние 1 см, что они либо не принадлежат никаким из изюмин, либо принадлежат изюминам одного сорта.

Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром 1 см, расположенный целиком внутри булки. Для каждой из его вершин существует одна из трех возможностей — либо находиться внутри изюмины одного из двух сортов, либо не принадлежать никакой изюмине. Поскольку всего вершин четыре, а возможностей — три, то для каких-то двух вершин выполнена одна и та же возможность. Эти две вершины и будут искомыми точками.

На плоскости отмечены четыре точки. Докажите, что их можно разбить на две группы так, что эти группы точек нельзя будет отделить одну от другой никакой прямой.

Рассмотрим отдельно всевозможные способы расположения четырех точек на плоскости.

По окружности стоит 6 чисел; каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна 1.

a) Найдите набор чисел, удовлетворяющий данному условию.

Через центр окружности  ω 1 проведена окружность  ω 2; A и B — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности  ω 2 в точке B пересекает окружность  ω 1 в точке C. Докажите, что AB = BC.

Пусть O — центр окружности  ω 1 (см. рис.). Тогда в силу симметрии дуги AO и OB окружности  ω 2 равны. Кроме того, угол OBC равен половине дуги OB, как угол между касательной и хордой, а угол OBA равен половине дуги OA, как вписанный. Поэтому углы OBC и OBA равны, и прямые BC и BA симметричны относительно радиуса OB окружности  ω 1. Значит, при этой симметрии их точки A и C пересечения с окружностью  ω 1 переходят друг в друга. Отсюда следует, что AB = BC.

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что ,. Докажите, что угол C — тупой.

Теорема синусов, примененная к треугольникам ABC и ADC, дает

Шеренга солдат называется неправильной, если никакие три подряд стоящих солдата не стоят по росту (ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания). Сколько неправильных шеренг можно построить из n солдат разного роста, если

  а)  n = 4;

  б)  n = 5?

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

По условию  BC > AC.  Следовательно,  2BC > BC + AC > AB.

Автор: Bong-Gyun Koh

Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

Заметим, что  (n + 7)³ – (n + 6)³ – (n + 5)³ + (n + 4)³ – (n + 3)³ + (n + 2)³ + (n + 1)³ – n³ = 48.  С другой стороны, число  (48k + 1)³  при любом k даёт при делении на 48 остаток 1. Складывая такие кубы, можно получить сумму с любым наперёд заданным остатком от деления на 48, а потом, прибавляя или вычитая нужное количество раз комбинации, равные 48 и состоящие из разных чисел, получить любое число с таким остатком.

В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.

Пусть через через одну из отмеченных точек A проходит не более десяти красных прямых. На этих прямых лежат, не считая A, 100 отмеченных точек. Значит, на одной из этих прямых l лежит не менее десяти из них. Вместе с A, прямая l содержит по крайней мере 11 отмеченных точек. Рассмотрим точку B, не лежащую на l. Она соединена красными прямыми с 11 отмеченными точками, лежащими на l.

На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

Пусть ABCDEF – данный шестиугольник, и нам нужно восстановить число в вершине A. Заметим, что сумма чисел в вершинах A, C и E равна сумме чисел в вершинах B, D и F: обе эти суммы равны сумме чисел, стоявших исходно на всех сторонах шестиугольника. Поэтому, чтобы восстановить число в вершине A нужно из суммы чисел в вершинах B, D и F вычесть числа в вершинах C и E.

Можно.

Вершины A, B, C треугольника соединены с точками A1, B1, C1, лежащими на противоположных сторонах (не в вершинах). Могут ли середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежать на одной прямой?

Средняя линия B2C2 треугольника ABC параллельна основанию BC. Отсюда следует, что эта прямая содержит среднюю линию треугольника CAA1. Поэтому середина отрезка AA1 лежит на отрезке B2C2. Аналогично середины отрезков BB1 и CC1 лежат на двух других средних линиях треугольника ABC (см. рис.). Поскольку прямая не может пересекать три стороны треугольника во внутренних точках, три указанные точки не могут лежать на одной прямой.

Не могут.

Автор: Фольклор

На плоскости даны две окружности одна внутри другой. Построить такую точку O, что одна окружность получается из другой гомотетией относительно точки O (другими словами – чтобы растяжение плоскости от точки O с некоторым коэффициентом переводило одну окружность в другую).

Какая из дробей больше: 29/73 или 291/731?

1 – 29/73 = 44/73 = 440/730 > 440/731 = 1 – 291/732.  Значит,  291/731 > 29/73.

291/731.

Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.   а) Какая последняя цифра этого числа?   б) Каковы десять последних цифр этого числа?

а) Среди множителей есть число 10. Значит, все произведение делится на 10, следовательно, кончается на 0.

б) В данном произведении есть по крайней мере 10 множителей, делящихся на 5: например, 5, 10, 15, ..., 50. Значит, само число делится на 510. Кроме того, в произведении есть множители 2, 4, 8 и 16, значит, оно делится на их произведение, равное 210. Следовательно, данное число делится на 210·510 = 1010,  а значит, последние 10 цифр произведения – нули.

Рейс 608 "Аэрофлота" вылетает из Москвы в 12:00, а прилетает в Бишкек в 18:00 (по местному времени). Обратный рейс 607 вылетает в 8:00, а прилетает в 10:00. Сколько времени длится полет?

Самолёт отсутствует в Москве 22 часа, из которых 14 часов находится в Бишкеке. Значит, в воздухе он находится  22 – 14 = 8  часов, что составляет два полёта.

4 часа.

В строчку написано 37 чисел так, что сумма каждых шести подряд идущих чисел равна 29. Первое число 5. Каким может быть последнее число?

Сумма 36 первых чисел равна 6·29, сумма последних 36 чисел – тоже. Значит, последнее число равно первому.

5.

Двое лыжников шли с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров друг от друга. Потом они стали подниматься в большую горку, и скорость упала до 4 км/ч. Потом оба лыжника съехали с горки со скоростью 7 км/ч и попали в глубокий снег, где их скорость стала всего 3 км/ч. Каким стало расстояние между ними?

  Когда первый лыжник подошел к основанию горки, второй отставал отставал от него на 200 м. За время, которое потребовалось второму на эти 200 м, первый прошел только 200·4/6 м, то есть начальное расстояние умножилось на отношение скоростей.   Рассуждая аналогично, получим, что в конце расстояние между лыжниками равно  200·4/6·7/4·3/7 = 100 м.

100 м.

У кассира есть только 72-рублевые купюры, а у вас – только 105-рублевые (у обоих в неограниченном количестве).   а) Сможете ли вы уплатить кассиру один рубль?   б) А 3 рубля?

а) Так как и 72 и 105 кратны 3, то уплатить можно только сумму, кратную 3.

б) Например, вы дадите кассиру 11 купюр, а он вам отдаст 16 купюр.

За круглым столом сидят 33 представителя четырех племен: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди не сидят рядом с гоблинами, а эльфы не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.

1) Посмотрим, кого за столом больше: людей с гоблинами или эльфов с гномами. Без ограничения общности можно считать, что людей с гоблинами больше; тогда их по крайней мере 17, так как всего за столом сидят 33 существа.   2) Пусть теперь эльфы с гномами встанут со своих мест. Из оставшихся какие-то двое обязательно сидят на соседних местах, поскольку занятых мест больше половины. Но эти двое не могут из разных племен, так как по условию люди не сидят рядом с гоблинам; значит, рядом сидят представители одного племени, что и требовалось доказать.

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

Очевидно, 8 ладей поставить можно: например, по диагонали из a1 в h8. Докажем, что 9 ладей, не бьющих друг друга, поставить нельзя.   На одной горизонтали не может стоять больше одной ладьи - иначе они будут бить друг друга; значит, ладей можно поставить не больше, чем горизонталей у доски, а их восемь. Следовательно, больше 8 ладей поставить на доску нельзя.

Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.   а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.   б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

а) Действительно, предположим, что в каждой из аудиторий сидят не более двух учеников из этой школы. Но тогда во всех девяти аудиториях сидят не больше 18 таких школьники - противоречие. Значит, в какой-то аудитории сидят по крайней мере три ученика из этой школы.   б) Нет, неверно. Например, все эти школьники могли оказаться в одной аудитории.

б) нет.

На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что угол между любыми двумя из этих прямых не меньше 17 градусов. Данные прямые разбивают плоскость на 24 угла, поэтому их сумма не менее 24*17=408 градусов, но, с другой стороны, их сумма равна 360 градусам, - противоречие. Значит, найдутся две прямые, угол между которыми меньше 17 градусов.

Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких двух из них не равнялась 100?

Предположим, что такие 57 двузначных чисел выбрать можно. Тогда из каждой пары вида (n, 100-n), где n принимает значения от 10 до 49, выбрано не более одного числа; таких пар - 40, значит, из чисел от 10 до 90 выбрано не более 41 числа (могло быть выбрано также и число 50). Остается еще 9 чисел от 91 до 99; значит, всего выбрано не более 50 чисел, но мы предположили, что выбрано 57 чисел, - противоречие. Значит, наше предположение было неверно.

Нет, нельзя.

На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?

На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата).  Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.

Предположим, что нам это удалось. Тогда на каждой из граней куба стоит одно из пяти чисел: -4, -2, 0, 2 или 4. Но граней шесть, значит, на каких-то двух гранях стоит одно и то же число; противоречие. Значит, так расставить числа нельзя.

Этого сделать нельзя.

Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один -- взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

Заметим, что в правительстве Лимонии ровно один честный чиновник. Действительно, по условию один честный там есть; но двух честных там быть не может - тогда из них не было бы ни одного взяточника, что противоречит условию. Значит, честный в правительстве ровно один, следовательно, взяточников - 19.

В правительстве 19 взяточников.

Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каждый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зелёным – 70%, третий синим – 65%. Какая часть пола заведомо закрашена всеми тремя красками?

  Оценка. Красным цветом не закрашено 25% пола, зелёным цветом не закрашено 30% пола, синим цветом не закрашено 35% пола. 25 + 30 + 35 = 90.  Отсюда следует, что всеми тремя красками закрашено не менее 10%.   Пример, когда тремя красками закрашено ровно 10%, ясен из оценки: 25% пола закрашено в два цвета: синий и зелёный, 30% – в красный и зелёный, 35% – в красный и синий.

10%.

Государство Диполия населено лжецами и рыцарями, причем лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Путешественник едет по этой стране в сопровождении официального гида и знакомится с другим жителем. "Вы, конечно, рыцарь?" -- спрашивает он. Туземец его понимает и отвечает "Ырг", что значает то ли "да", то ли "нет". На просьбу перевести гид говорит: "Он сказал -- да. Добавлю, что на самом деле он лжец". А вы как думаете?

1) Заметим сначала, что путешественник и без помощи гида мог определить, что слово "Ырг" обозначает "да". Действительно, независимо от того, является ли житель острова рыцарем или лжецом, на вопрос "Вы, конечно, рыцарь?" он ответит "да".   2) Значит, гид является рыцарем и говорит правду, но из его слов следует, что туземец - лжец. Следовательно, так оно и есть.

Действительно, "Ырг" обозначает "да", а туземец - лжец.

В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- волшебники?

Сначала немного переформулируем условия задачи. Итак, нам известны два утверждения:   1) По крайней мере один маг не является чародеем;   2) Если маг - также и волшебник, то он является и чародеем. Посмотрим теперь на любого мага, не являющегося чародеем (такой существует из 1-го условия). Если бы он был еще и волшебником, то по 2-му условию он был бы и чародеем, но он не чародей, значит, он и не волшебник. Следовательно, не все маги являются волшебниками.

Да, правда.

(Продолжение задачи 32792) Путешественник, попавший в государство, встретил четырех людей из задачи 3 и задал им вопрос:"Кто вы?".   Он получил такие ответы: 1-ый: "Все мы лжецы". 2-ой: "Среди нас 1 лжец". 3-ий: "Среди нас 2 лжеца". 4-ый: "Я ни разу не соврал и сейчас не вру". Путешественник быстро сообразил, кем является четвертый житель. Как он это сделал?

Предположим, что четвертый житель - лжец. Заметим, что первый житель - тоже лжец, так как иначе он будет противоречить собственным словам. Значит, лжецов среди них не меньше двух, следовательно, второй житель - тоже лжец; но тогда и третий житель - лжец, то есть первый житель сказал правду, но он, как мы уже решили, лжец, - противоречие. Значит, четвертый житель - рыцарь.

На международный конгресс приехало 578 делегатов из разных стран. Любые три делегата могут поговорить между собой без помощи остальных (при этом, возможно, одному из них придется переводить разговор двух других). Докажите, что всех делегатов можно поселить в двухместных номерах гостиницы таким образом, чтобы любые двое, живущие в одном номере, могли поговорить без посторонней помощи.

Возьмем произвольных трех делегатов; какие-то два из них точно могут поговорить между собой без переводчика. Поселим их в один номер.   Будем повторять эту операцию до тех пор, пока не останется 4 делегата. Как нетрудно проверить перебором, их всегда можно разделить в 2 номера так, чтобы живущие в каждом из номеров могли поговорить друг с другом без посторонней помощи.

Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?

Поскольку часы бьют каждый час, то дедушка насчитал 1+2+3+...+12 = 78 "ку-ку".

Дедушка насчитал 78 "ку-ку".

Клайв прокрутил минутную стрелку, так же как в задаче 32796.)   а) Сколько раз за это время минутная стрелка совпала с часовой?   б) В какие моменты это происходило?

Можно считать, что Клайв крутит стрелку ровно 12 часов. За это время минутная стрелка сделала 12 оборотов, а часовая – один. Значит, минутная стрелка обогнала часовую ровно 11 раз. Если бы Клайв начал крутить стрелку не в 12:05, а в 12:00, то моменты обгона разделили бы 12 часов на 11 равных частей. Поэтому в каждом промежутке по 12/11 часа, то есть 1 час и 55/11 минуты.

  а) 11 раз.   б) Первый раз это произошло, когда часы показывали 1 час 55/11 минуты. После этого часовая и минутная стрелки совмещались (по показаниям часов) каждые 1 час 60/11 минуты.

(Продолжение задачи 32796)   Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?

Поскольку у работающих часов угол между часовой и минутной стрелками принимает все возможные значения, то Клайв сможет нужным образом повернуть циферблат.

Сможет.

После того, как Клайв собрал и завел свои часы (см. задачу 32798), поставив их по дедушкиным, они стали идти в обратную сторону. Сколько раз в сутки они покажут правильное время?

Первый раз часовые стрелки на часах Клайва и на правильных часах "совпадут" в момент установки "правильного" времени. В следующий раз это произойдет через 6 часов после установки, когда каждая из них сделает по полоборота. Разумеется, тогда совпадут и минутные стрелки. И так далее.

4 раза.

Очень скучно смотреть на черно-белый циферблат, поэтому Клайв ровно в полдень закрасил число 12 красным цветом и решил через каждые 57 часов закрашивать текущий час в красный цвет.   а) Сколько чисел на циферблате окажутся покрашенными?   б) Сколько окажется красных чисел, если Клайв будет красить их каждый 1913-й час?

а) Поскольку  НОД(12, 57) = 3,  то красным окажется каждый третий час: 12, 3, 6 и 9 часов.

б) Так как  НОД(12, 1913) = 1,  то все числа на часах окажутся красными. (Произойдёт это, правда, почти через 3 года.)

Когда Клайв поступил в математическую школу, ему подарили новые часы, на которых была ещё секундная стрелка. Сколько раз за сутки все три стрелки на таких часах совпадут?

  За 12 часов часовая стрелка делает один оборот, а минутная – 12, то есть минутная обгоняет часовую на 11 оборотов. Значит, минутная и часовая стрелки совпадают каждые 12/11 часа (за это время минутная обгоняет часовую на 1 оборот). Аналогично, минутная и секундная стрелки совпадают каждые 12/59 часа.   Назовём мигом 1/59·11 часа. Все три стрелки совпадают через число мигов, кратное как 12·59, так и 11, то есть через 12·59·11 мигов, что равно 12 часам.

Дважды: в полдень и в полночь.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть  ∠A = 2α.  Достроим треугольник ABC до ромба ABCF.  BF = 2BD = AE,  следовательно, трапеция ABEF – равнобедренная. Значит, ∠AFE = ∠BAF = 4α,  а  ∠BFE = ∠BAE = α.  Поэтому  ∠ABF = ∠AFB = 3α.  Из прямоугольного треугольника ABD получаем  2α + 3α = 90°,  откуда  α = 18°.

36°, 36° и 108°.

На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.   а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.   б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.

а) Проделаем описанную операцию с данной шашкой и со всеми шашками в тех же строке и столбце. Тогда данная шашка сменит цвет 11 раз и, следовательно, перевернётся, а все остальные шашки на доске перевернутся чётное число раз и, значит, не сменят цвет.

б) Заметим, что при каждом выполнении описанной операции меняется цвет чётного числа шашек. Далее см. задачу 35111.

а) Какое максимальное количество слонов можно расставить на доске 1000 на 1000 так, чтобы они не били друг друга? б) Какое максимальное количество коней можно расставить на доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?

  а) Поскольку на одной диагонали не может стоять больше одного слона, а всего диагоналей, идущих снизу-слева направо-вверх, ровно 1999, причём на двух крайних (состоящих из одной клетки) может стоять не больше одного слона (они расположены на одной перпендикулярной диагонали), то на доску нельзя поставить больше 1998 не бьющих друг друга слонов.   Это число достигается: например, можно поставить 1000 слонов на верхний ряд доски и 998 слонов – на нижний ряд, кроме угловых клеток.

  б) 32 коня можно поставить на все белые клетки.   Разобьём доску на 8 прямоугольников 4×2, а каждый из них – на четыре пары клеток, соединённых ходом коня. Всего получилось 32 пары, и в каждой из них может стоять не более одного коня.

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?   б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

а) Да, можно. Легко привести пример такого замощения.   б) Нет, нельзя. Действительно, мы вырезали две белые клетки; но каждая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку, поэтому если бы мы замостили всю доску, то белых и черных клеток было бы покрыто одинаковое число, но белых клеток осталось 30, а черных 32. Значит, покрыть получившуюся доску доминошками нельзя.

а) Да; б) нет.

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

Назовем клетку доски выигрышной, если игрок, который ходит из этой клетки, выигрывает при правильной игре. Остальные клетки назовем проигрышными.   Будем обозначать выигрышные клетки знаком "+", а проигрышные - знаком "-". Начнем заполнять доску. Клетки g7, g8 и h7 - очевидно, выигрышные, так как из них можно первым же ходом попасть в h8. Далее, клетки f8 и h6 - проигрышные, потому что из них можно попасть только в выигрышные клетки. Продолжая таким образом заполнять доску, увидим, что в клетке a1 стоит "+". Значит, при правилльной игре побеждает первый игрок.

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

Пусть первый игрок первым ходом ставит крестик в центр поля. У второго игрока есть две различные возможности: поставить нолик в угол или в середину боковой стороны. Как несложно проверить перебором, в каждом из этих случаев первый игрок может не допустить победы второго.

Лена и Ира покупали на рынке виноград. Когда взвешивали Ленину покупку, весы показывали два килограмма, когда Ирину --- то три. Потом они вместе положили свой виноград на весы, и стрелка остановилась на 4,5 кг. Сколько на самом деле весили их покупки?

Пусть Ленина и Ирина покупки на самом деле вместе весят x кг, а шкала весов сдвинута на y кг. Получаем систему уравнений x+2y=2+3, x+y=4.5, откуда y=0.5. Следовательно, Ленина покупка на самом деле весила 2-0.5=1.5 кг, а Ирина покупка - 3-0.5=2.5 кг.

Ленина покупка на самом деле весила 1.5 кг, а Ирина - 2.5 кг.

а) Есть 10 монет. Известно, что одна из них фальшивая (по весу тяжелее настоящих). Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?     б) Как определить фальшивую монету за три взвешивания, если монет 27?

а) Положим сначала на каждую чашу весов по кучке из пяти монет. Из той кучки, которая окажется тяжелее (фальшивая монета обязательно там), положим на чаши весов по две монеты. Если массы частей окажутся равны, то фальшивой является пятая монета из более тяжелой кучки; иначе положим на чаши весов по одной монете из более тяжелой части (фальшивая монета заведомо среди них). Та из монет, которая окажется тяжелее, и есть фальшивая.   б) Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую; кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части.

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

а) Например, можно в первый карман положить монеты достоинством в 20, 19, 18 и 13 мунгу, во второй карман – 17, 16, 15, 14 и 8 мунгу, и в третий карман – 12, 11, 10, 9, 7, 6, 5, 4, 3, 2 и 1 мунгу. Таким образом, в каждом кармане окажется по 70 мунгу.

Фальшивомонетчик Вася изготовил четыре монеты достоинством 1, 3, 4, 7 квача, которые должны весить 1, 3, 4, 7 граммов соответственно. Но одну из этих монет он сделал некачественно – с неправильным весом. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить "неправильную" монету?

Сначала положим на одну чашу монеты в 1 квач и 3 квача, а на другую - монету в 4 квача; затем на одну чашу положим монеты в 3 квача и 4 квача, а на другую - монету в 7 квачей.   Если при одном из взвешиваний весы показали равенство, то некачественная монета - та, которая в этом взвешивании не участвовала. Если при обоих взвешиваниях тяжелее оказалась одна и та же чаша весов, то некачественная монета - достоинством в 3 квача, иначе - достоинством в 4 квача.

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет а) 100; б) 99; в) 98?

а) Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Затем возьмем более тяжелую часть, разобьем ее на кучки по 25 монет и взвесим их. Если их массы равны, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее остальных.   б) Разделим монеты на 3 кучки по 33 монеты и взвесим любые две из них. Если их массы равны, то сравним любую из них с третьей; если третья кучка легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе фальшивая монета тяжелее остальных. Если же массы первых двух кучек различны, то взвесим более тяжелую из них с третьей. Если их массы окажутся равны, то фальшивая монета легче остальных, если же третья окажется легче, то фальшивая монета тяжелее остальных.   в) Отложим сначала две монеты в сторону, а остальные разобьем на 2 части по 48 монет и взвесим их. Если их массы равны, то взвесим две отложенные монеты с любыми двумя другими; если отложенные монеты окажутся легче, то и фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее. Если же массы первых двух кучек различны, то аналогично пункту а) разобьем более тяжелую на 2 части по 24 монеты и взвесим их. Если весы покажут равенство, то фальшивая монета легче остальных, иначе - тяжелее.

Фальшивомонетчик Вася стал выпускать золотые слитки. Сделав пять таких слитков, он замерил вес каждой пары. Получились величины в 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120 и 121 унцию. Сколько весит каждый брусок?

Заметим, что веса любых двух слитков различны, поскольку все приведенные суммы различны. Обозначим веса слитков через x1, x2, x3, x4 и x5, причем x1<x2<x3<x4<x5. Сумма весов слитков равна сумме приведенных чисел, деленной на 4, т.е. 1156/4=289 унций. Поскольку мы упорядочили слитки, то, очевидно, выполняются равенства: x1+x2=110, x1+x3=112, x3+x5=120, x4+x5=121. Складывая первое и последнее равенство, получим x1+x2+x4+x5=231, следовательно, x3=289-231=58 унций. Теперь последовательно находим x1=112-58=54, x2=110-54=56, x5=120-58=62, x4=121-62=59 унций.

54, 56, 58, 59 и 62 унции.

В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Каждая команда играет с каждой из остальных по 2 матча.   а) Сколько матчей за сезон должен сыграть "Уралан"?   б) Сколько всего матчей играется за один сезон?

  а) "Уралан" должен сыграть по два раза с каждой из оставшихся 15 команд, следовательно, за сезон он должен провести  2·15 = 30  матчей.

  б) Первый способ. Каждая из 16 команд должна сыграть по 30 матчей. При этом каждый матч мы посчитали два раза, следовательно, общее число сыгранных матчей за сезон равно  16·30 : 2 = 240.   Второй способ. Каждая из 16 команд должна сыграть по 15 матчей на своём поле. Следовательно, общее число матчей равно  16·15 = 240.

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой – 17 игр. Мог ли третий участник сыграть   а) 34;   б) 35;   в) 56 игр?

  а) Например, первый с третьим сыграли 21 игру, второй с третьим – 13 игр, а первый со вторым – 4 игры.   б) Пусть это произошло. Тогда общее число игр было бы равно  (25 + 17 + 35) : 2 = 38.5  игр – не целое число. Противоречие.   в) Третий игрок не может сыграть больше партий, чем первый и второй вместе взятые. Не играл же он сам с собой!

а) Мог;  б)-в) не мог.

Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом  9 : 5.  Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Туниса.

Рассмотрим тот момент матча, когда всего было забито 9 голов. Пусть сборная России к этому моменту забила n мячей; тогда Тунис забил 9 – n  мячей. Но России осталось забить как раз  9 – n  мячей, что и требовалось доказать.

Учащиеся 57-й школы решили провести чемпионат по мини-футболу. Так как ворота на школьном дворе разного размера, то игроки хотят составить расписание игр так, чтобы:   1) Каждая команда сыграла с каждой ровно по одному разу.   2) Каждая команда чередовала свои игры – то на плохой стороне, то на хорошей стороне двора.     а) Удастся ли это сделать, если в турнире принимают участие 10 команд?     б) Можно ли при этом составить расписание так, чтобы каждый день каждая команда играла ровно одну игру?

  а) Например, пусть игры проходят в следующем порядке (первой указан номер команды, которая играет на хорошей стороне двора): (1, 2),  (3, 1),  (1, 4),  (5, 1),  ...,  (1, 10),  (2, 3),  (4, 2),  (2, 5),  (6, 2),  ...,  (10, 2),  (3, 4),  (5, 3),  (3, 6),  ...,  (3, 10),  ...,  (8, 9),  (10, 8),  (9,10).

  б) Рассмотрим любые две команды, которые в первый день играли на плохих воротах. На следующий день они будут играть на хороших воротах, на следующий день – опять на плохих воротах, и так далее, а друг с другом они сыграть так и не смогут.

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю. Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены. Сколько стоит сейчас один штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?

После первого повышения цен штрюдель стал стоить  80·1,5 = 120  рублей; после второго повышения цен –  120·1,5 = 180  рублей; наконец, после двукратного снижения цены он стал стоить  180 : 2 = 90  рублей.

90 рублей.

Федя К. вышел из некоторой точки, прошел 1км на север, затем - 1км на восток, затем - 1км на юг и вернулся в исходную точку.   а) Где такое могло произойти?   б) Найдите все такие точки на Земле.

а) Например, на Южном полюсе.   б) Помимо Южного полюса, это также концентрические окружности, отстоящие от Северного полюса на 1+1/(2πk) км, где k - натуральное число.

В Трансильвании живут беспартийные (которые всегда говорят правду) и члены одной единственной партии (которые всегда лгут). Кроме того, половина трансильванцев не в своем уме, и считает все истинные утверждения ложными и наоборот. Как с помощью одного вопроса (допускающего ответ "да-нет") выяснить,   а) в своем ли уме ваш собеседник из Трансильвании;   б) является ли он членом партии?

а) Ты член партии?   б) Ты в своем уме?

Является ли число 102030405060708090807060504030201 квадратом какого-нибудь целого числа?

Да. Оно равно (10101010101010101)2.

Да.

Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги, каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади одной клеточки?

Да. Например, треугольник с вершинами в точках (-1, 0), (100, 1) и (200, 2).

Да.

а) Вот пример "снежного кома" на английском языке: I do not know where family doctors acquired illegibly perplexing handwriting; nevertheless, extraordinary pharmaceutical intellectuality, counterbalancing indecipherability, transcendentalizes intercommunications' incomprehensibleness. Приведите пример осмысленного снежного кома на русском языке.   б) Большой, зеленый, живет под землей и питается камнями. Кто это?

а) Например, "Я не пою, жаль, песен, баллад..."   б) Большой зеленый камнеед.

В Старой Калитве живет 50 школьников, а в Средних Болтаях — 100 школьников. Где нужно построить школу, чтобы сумма расстояний, проходимых всеми школьниками, была наименьшей?

Возьмем по 50 школьников из Старой Калитвы и Средних Болтаев и разобьем их на 50 пар, в каждую из которых войдет по одному школьнику из каждого города. Для каждой такой пары расстояние, проходимое ей до школы, не зависит от расположения школы (конечно, ее надо строить где-то на дороге между городами), но остались еще 50 школьников из Средних Болтаев. Значит, для минимизации расстояния, проходимого всеми школьниками, школу надо построить в Средних Болтаях.

В Средних Болтаях.

В Москве живет 2000 скалолазов, в Санкт-Петербурге и Красноярске — по 500, в Екатеринбурге — 200, а остальные 100 рассеяны по территории России. Где нужно устроить чемпионат России по скалолазанию, чтобы транспортные расходы участников были минимальны?

Сопоставим каждому скалолазу, живущему не в Москве, по одному москвичу. Каждой такой паре (всего их 1300) все равно, где устраивать чемпионат, на отрезке между Москвой и соответствующим городом. Но остается еще 700 скалолазов-москвичей, которым, конечно, выгоднее устраивать чемпионат в Москве. Значит, там его и нужно устроить.

В Москве.

Вадим и Лёша спускались с горы. Вадим шёл пешком, а Лёша съезжал на лыжах в семь раз быстрее Вадима. На полпути Лёша упал, сломал лыжи и ногу и пошёл в два раза медленней Вадима. Кто первым спустится с горы?

Леша шёл пешком с половины горы столько же времени, сколько Вадим спускался с вершины.

Вадим.

Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?

  Посмотрим, куда путник сможет дойти за час, выйдя из точки M (Морозки). Если он пойдёт по полю, то через час окажется в пределах круга радиуса 3 (км) с центром M. Если он пойдёт по дороге, то окажется в какой-то точке отрезка KL длины 8 с серединой в M (мы считаем, что дорога горизонтальна). Докажем, что за час он не сможет выйти за пределы фигуры F, ограниченной указанной окружностью и касательными, проведёнными к ней из точек K и L (рис. слева). Действительно, если он дойдёт по дороге до точки P, затратив время  1 – t,  а потом свернёт в поле, то через час окажется в пределах круга радиуса 3t с центром в точке P. Так как  PK = 4t,  то в силу подобия этот круг касается границы фигуры F. Это значит, что он будет находиться внутри (или на границе) F. С другой стороны, ясно, что за час можно попасть в любую точку границы F, подобрав подходящую точку поворота P.   Если путник будет идти не час, а другое время T, то он может оказаться на границе фигуры, гомотетичной F с центром M и коэффициентом T. Таким образом, следует найти минимальную такую фигуру, на границе которой находится точка B (водокачка).

Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

Представим себе, что в тот момент, когда Джеф начал спускаться, его двойник начал в точности повторять вчерашний путь Джефа. Поскольку Джеф идет вниз, а его двойник - вверх, то в какой-то момент они обязательно встретятся. Место встречи и будет искомой точкой.

При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник 1) может нести вверх не больше трех баллонов, 2) сам тратит в день ровно один баллон кислорода. Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)

Заметим, что для того, чтобы из одного высотного лагеря перенести один баллон в следующий, требуется 3 баллона: один, собственно, нужно занести, и еще два тратит участник экспедиции по пути туда и обратно. Следовательно, для выполнения задачи нужно доставить не меньше трех баллонов в третий лагерь; для этого нужно доставить не меньше 3*3=9 баллонов во второй лагерь; рассуждая аналогично, получаем, что из базового лагеря нужно унести не меньше 81 баллона. Легко показать, что имея в базовом лагере 81 баллон, можно выполнить поставленную задачу.

81 баллон.

Три косца за три дня скосили траву с трёх гектаров. С какой площади скосят траву пять косцов за пять дней?

Три косца за пять дней скосят траву с 5 га. А пять косцов – с  5/3·5 = 81/3 га.

С 81/3 га.

Тройкина положила в общую печь три полена, Пятеркина положила пять поленьев, а Бестопливный не положил ни одного. Все трое уверены, что тепла от печки им досталось поровну. В возмещение расходов Бестопливный уплатил соседкам 80 копеек. Как они должны поделить эти деньги?

Бестопливному "досталось" 8/3 полена, значит, 1/3 полена стоит 10 копеек. Тройкина 8/3 полена "использовала" сама, а Бестопливному от неё досталась 3 – 8/3 = 1/3  полена. Следовательно, ей нужно заплатить 10 копеек.

Тройкиной – 10 коп., Пятеркиной – 70 коп.

Имеется необычный калькулятор. При включении калькулятора на экране возникает дробь 1/1. При нажатии на кнопку * к числителю дроби, изображенной на экране, прибавляется знаменатель, а знаменатель остается прежним. При нажатии на кнопку числительизнаменательдробименяютсяместами.Другихкнопокнакалькуляторенет.а)Чтопокажеткалькуляторпослевыполненияследующейпоследовательностикоманд: * * * * * * * * * * $ ? Как добиться того, чтобы калькулятор показал:   б) 1/2,   в) 7/3,   г) 4/11,   д) 57/91 ?

а) 1/11,   б) * * ,в)∗∗ * *,   г) * * ∗ * *,   д) * * * * * * * * * * ∗∗ * ∗ * * $.

Что больше:   а)  1/101 + 1/102 + ... + 1/199 + 1/200  или 1/2 ?   б) 1/2·3/4·5/6·...·97/98·99/100  или 1/10 ?

а) См. задачу 61391.

б) См. задачу 30859 а).

В поселке 20 жительниц. 1 марта одна из них узнала интересную новость и сообщила её всем своим подругам. 2 марта те сообщили новость всем своим подругам, и так далее. Может ли так случиться, что:   а) 15 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 18 марта уже все?   б) 25 марта ещё не все жительницы будут знать новость, а 28 марта уже все?

а) Пример. Пусть 1-я дружит только со 2-й, 2-я – еще и с 3-й, 3-я – с 4-й, ..., 16-я – с 17-й, а 17-я – еще и с остальными тремя.

б) Кратчайший путь соединяющий две данные вершины графа, не может содержать какую-либо вершину дважды. Поэтому все женщины, которые в принципе могут узнать новость, будут знать её не позже 20 марта.

а) Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета. б) Каждые две из девяти ЭВМ соединены своим проводом. Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из восьми цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило восемь проводов разного цвета?

а) См. задачу 79450.

б) См. решение задачи 65000.

Страна называется пятёрочной, если в ней каждый город соединён авиалиниями ровно с пятью другими городами (международных рейсов нет).   а) Нарисуйте схему авиалиний для пятёрочной страны из 10 городов.   б) Сколько авиалиний в пятёрочной стране из 50 городов?   в) Может ли существовать пятёрочная страна, в которой ровно 46 авиалиний?

а) В правильном десятиугольнике проведём все стороны, все малые диагонали (соединяющие вершины через одну) и все большие диагонали (соединяющие противоположные вершины).

б)  50·5 : 2 = 125.

Мимо наблюдателя поезд проходит за 10 секунд, а мимо моста длиной 400 метров – за 30 секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.

См. задачу 76417.

200 м,  20 м/с = 72 км/ч.

Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?

  Первый способ. Пусть первый путник прошёл 24 км. На это он затратил 5 часов: 3 часа – на первую половину и 2 – на вторую. То же он мог сделать, двигаясь всё время со скоростью  24 : 5 = 4,8 км/ч.   Второй путник за каждые два часа ("быстрый" и "медленный") проходил 10 км. То же он мог сделать, двигаясь всё время со скоростью 5 км/ч.

  Второй способ. Средняя скорость второго путника равна среднему арифметическому указанных скоростей, а средняя скорость первого путника – их среднему гармоническому.

Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 часов утра и пошёл навстречу машине. Встретив машину, он сел в неё и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Сколько времени инженер шёл пешком? Скорости автомобиля и инженера постоянны.

За 20 минут автомобиль дважды проехал бы путь, который прошёл инженер. Следовательно, автомобиль встретил инженера в 7:50.

50 минут.

Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за каждый отрезок времени длительностью 1 час он проезжал ровно 100 км. Можно ли утверждать, что:   а) поезд ехал с постоянной скоростью?   б) поезд проехал 550 км?

См. задачи 35291 и 73652.

Нельзя.

Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:   1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.   2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр. Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?

  Пример. Разделим все время движения улитки на 30 промежутков по 12 минут. Пусть улитка за каждый из 10 промежутков с номерами 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19, 24, 25 и 30 проползает по 1 м, а остальное время отдыхает. Учёные наблюдают за ней в промежутках 1–5 (с 1-го по 5-й – ровно час), 2–6, 7–11, 8–12, 13–17, 14–18, 19–23, 20–24, 25–29, 26–30.   Оценку см. в задаче 73652.

10 м.

Автор: Фольклор

Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.

Рассмотрим над полем Z2 из двух элементов многочлен  (1 + x)n.  Нас интересует число его отличных от нуля коэффициентов (назовём это число весом многочлена). Действительно, коэффициент при xk равен 1, если    нечётно, и нулю в противном случае. Заметим, теперь, что над нашим полем (1 + x)² = 1 + x²,  (1 + x)4 = (1 + x²)² = 1 + x4,  ...,   (1 + x)2m = 1 + x2m.  Кроме того, если f(x) – многочлен степени, меньшей m, то вес многочлена  f(x)(1 + xm)  в два раза больше веса  f(x) (при раскрытии скобок не появляется подобных членов). Отсюда ясно, что если n = 2m1 + 2m2 + ... + 2mk  (m1 < m2 < ... < mk)  – двоичное разложение числа n, то вес многочлена   (1 + x)n = (1 + x)2m1(1 + x)2m2... = (1 + x2m1)(1 + x2m2)...  равен 2k.

Автор: Фольклор

Доказать, что если несократимая рациональная дробь  p/q  является корнем многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то  P(x) = (qx – p)Q(x),  где многочлен Q(x) также имеет целые коэффициенты.

Предположим, что утверждение неверно, и рассмотрим многочлен  P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an  наименьшей степени, для которого это не так. Ясно, что  n > 0.  Согласно задаче 61013 a0 кратно q:  a0 = qb0,  поэтому  R(x) = P(x) – (qx – p)b0xn–1  – многочлен степени  n – 1  с целыми коэффициентами.  p/q  – корень многочлена R(x), следовательно, по выбору n,  R(x) = (qx – p)T(x),  где T(x) – многочлен с целыми коэффициентами (если  n = 1,  то  R(x) ≡ T(x) ≡ 0).  Значит,  P(x) = (qx – p)(b0xn–1 + T(x)).  Противоречие.

Автор: Шейпак И.А.

Ваня записал несколько простых чисел, использовав ровно по одному разу все цифры от 1 до 9. Сумма этих простых чисел оказалась равной 225. Можно ли, использовав ровно по одному разу те же цифры, записать несколько простых чисел так, чтобы их сумма оказалась меньше?

Например,  207 = 2 + 3 + 5 + 41 + 67 + 89 = 2 + 3 + 5 + 47 + 61 + 89 = 2 + 5 + 7 + 43 + 61 + 89.

Автор: Блинков Ю.А.

Треугольник ABC равнобедренный  (AB = BC).  Точка M – середина стороны AB, точка P – середина отрезка CM, точка N делит сторону BC в отношении  3 : 1  (считая от вершины B). Докажите, что  AP = MN.

Автор: Френкин Б.Р.

На занятии кружка 10 школьников решали 10 задач. Все школьники решили разное количество задач; каждую задачу решило одинаковое количество школьников. Один из этих десяти школьников, Боря, решил задачи с первой по пятую и не решил задачи с шестой по девятую. Решил ли он десятую задачу?

  Если бы школьников было 11 и они решили разное количество задач, то были бы реализованы все возможные варианты (от 0 до 10 задач) и всего было бы решено  0 + 1 + ... + 10 = 55  задач. Так как школьников десять, то отсутствует один из вариантов, и количество решений равно  55 – x,  где x – целое число от 0 до 10.   Поскольку каждая из 10 задач решена одинаковым количеством школьников, количество решений всех задач кратно 10. Поэтому  x = 5,  то есть нет школьника, решившего ровно 5 задач. Так как Боря решил задачи с первой по пятую, он решил еще хотя бы одну задачу, и это может быть только десятая.

Автор: Френкин Б.Р.

Возьмем чёрное число a и рядом с ним белое число ab. По этим числам следующие шесть восстанавливаются однозначно:  b,  b – ab, 1 – a,  (1 – a)(1 – b), 1 – b,  a(1 – b).  Сумма этих 8 чисел равна 3. Имеющиеся 1000 чисел разбиваются на 125 таких восьмёрок, отсюда ответ.

Автор: Полянский А.

Автор: Хачатурян А.В.

На доске записано целое положительное число N. Два игрока ходят по очереди. За ход разрешается либо заменить число на доске на один из его делителей (отличных от единицы и самого числа), либо уменьшить число на единицу (если при этом число остается положительным). Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. При каких N первый игрок может выиграть, как бы ни играл соперник?

  Будем называть число N выигрышным, если при начале игры с него выигрывает первый, и проигрышным, если второй. Число является выигрышным тогда и только тогда, когда существует ход из него в проигрышное число, а проигрышным – тогда и только тогда, когда любой ход из него ведёт в выигрышное число.

Автор: Кострикин И.А.

На круглом столе через равные промежутки лежат пирожные. Игорь ходит вокруг стола и съедает каждое третье встреченное пирожное (каждое пирожное может быть встречено несколько раз). Когда на столе не осталось пирожных, он заметил, что последним взял пирожное, которое встретил первым, и прошёл ровно семь кругов вокруг стола. Сколько было пирожных?

  Так как Игорь прошёл целое число кругов, то он встретил первое пирожное в момент подхода к столу. Кроме того, последовательность поедания пирожных не изменится, если убрать требование о "равных промежутках".

Автор: Лопатников А.А.

В треугольнике ABC, где угол B прямой, а угол A меньше угла C, проведена медиана BM. На стороне AC взята точка L так, что  ∠ABM = ∠MBL.  Описанная окружность треугольника BML пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что  AN = BL.

Автор: Богданов И.И.

Про положительные числа a, b, c, d, e известно, что  a² + b² + c² + d² + e² = ab + ac + ad + ae + bc + bd + be + cd + ce + de. Докажите, что среди этих чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.

Автор: Ши Вэй Ли

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две равные части.

Автор: Полянский А.

Автор: Нетай И.В.

Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.)

  Есть хотя бы два вагона, в каждом из которых хотя бы 9 мудрецов, иначе всего их не более чем  9 + 8·11 = 97 < 100.  Значит, контролёры смогут сразу же поймать 18 мудрецов.   Покажем, что все мудрецы, кого не получится поймать сразу, не будут пойманы никогда. После появления контролёров до их первого хода каждый мудрец имеет три возможности перебежать в другой вагон. Назовём вагон хорошим, если в момент начала ходов контролёров в нём и в соседних с ним вагонах контролёров нет. В хорошем вагоне мудрец не будет пойман в первый ход контролёров.   Допустим, мудрец находится в первой половине электрички (для второй половины рассуждения симметричны) в вагоне  k ≠ 1.  Тогда мудрец может действовать следующим образом.   Если он может остаться на месте (то есть в соседних вагонах нет контролёров), то остаётся. Допустим, это не так.   Смотрим, есть ли контролёр в вагоне  k + 2.  Если есть, то с помощью перебежек  k → k + 3 → k + 4  можно оказаться в хорошем вагоне.   Если нет, переместимся в вагон  k + 2  и посмотрим, есть ли контролёр в одном из двух следующих вагонов. Если в обоих нет, то хорош вагон  k + 3,  если есть в  k + 3,  перебежим в  k + 5,  иначе перебежим в  k + 5 , а потом в  k + 6.   Мудрец из вагона 1 может оказаться в хорошем вагоне следующим образом.   Если в вагоне 2 есть контролёр, то он может действовать аналогично предыдущей ситуации для  k = 1.   Если контролёра во 2-м вагоне нет, перебежим во 2-й вагон. Если в 3-м нет контролёров, то второй вагон нас устроит.   Если в 3-м вагоне есть контролёр, посмотрим на 4-й.   Если там контролёр есть, то перебегаем в 5-й, а потом в 6-й. Если нет, перебегаем в 4-й и смотрим на следующие два. Если и там нет контролёров, идём в 5-й, если есть в 5-м – идем в 7-й, а если есть в 6-м, то возвращаемся в 1-й.   Заметим, что использовано не более трёх перебежек. И оказаться в крайнем вагоне мудрец мог только в случае, если он – в 1-м, контролёры – в 3-м и 6-м, или (для  k = 6)  он – в 12-м, а контролёры – в 10-м, 7-м или 10-м и 5-м. В последнем случае рассмотрим симметричную ситуацию, в которой мудрец – в вагоне 1, а контролёры – в 3-м и 6-м или 3-м и 8-м. Поэтому далее рассматриваем только мудрецов из вагонов с 1-го по 6-й.   Покажем, что делать, когда контролеры начнут ходить. Назовём активным контролера, который будет следующим ходить и пассивным того, кто только что ходил. Если мудрец видит контролёра, то он знает, является ли тот активным или пассивным: если в его поле зрения появился контролёр или контролёр совершил перемещение по вагонам, то он был активным перед прошлым перегоном, а значит, теперь будет пассивным; если он не совершал перемещения, то будет активным.   Пусть мудрец находится в одном из вагонов 3, 4, 5, 6.   Допустим, мудрец не в вагонах 2, 11. Тогда ему видно пять вагонов, а перемещаться нельзя разве что в четыре (три из-за активного контролёра и один из-за пассивного). Тогда можно перебежать в оставшийся. Так и сделаем, если этот вагон – не 1-й. В противном случае заметим, что мудрец находится в вагоне 3, а оба контролёра – в соседних с ним вагонах, и мудрец может перебежать в вагон 6.   Допустим, мудрец находился в вагоне 2. Ему видно четыре вагона. Если среди них нет безопасного, то безопасен вагон 5, куда он и перебежит. Пусть есть безопасный.   Если это не 1-й, то перебежим туда. Допустим, безопасен только вагон 1. Если видно двух контролёров, то они в 3-м и 4-м, и можно перебежать в 5-й или остаться во 2-м (в зависимости от того, какой контролёр активен).   Если видно только одного контролёра, тогда он – в вагоне 3. Тогда сначала надо перебежать в 1-й, а после хода этого контролёра (возможно, его придётся подождать) перебежать туда, где был он (в вагон 3). Отметим, что только этот вариант предписывает действия на два хода.   Заметим, что в результате выполнения каждого из вариантов мы оказываемся не в вагоне 1. Это могло случиться только при изначальном расположении, так что контролёры расположены в 3-м и 6-м или 3-м и 8-м. Тогда мудрецу следует подождать хода контролёра из вагона 3 и тогда сразу перебежать на его место. А для начального расположения не в крайнем вагоне перебежки мудреца уже разобраны.   Итак, чтобы было поймано не больше 18 мудрецов, они должны расположиться по 8 в восьми вагонах и по 9 – еще в четырёх, а далее следовать указанному алгоритму.

Авторы: Блинков А.Д., Шноль Д.Э.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

Автор: Бакаев Е.В.

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. К ним по одному подошли еще 20 детей, и каждый из них садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – отважным, если он садился между двумя соседними девочками. Когда все сели, оказалось, что мальчики и девочки сидят на скамейке, чередуясь. Сколько из них были отважными?

  Первый способ. Посмотрим на количество пар из соседних мальчика и девочки. Изначально оно равно 1. Заметим, что если мальчик сел между двумя мальчиками, то количество таких пар не изменилось. Если же он сел между мальчиком и девочкой, то он одну такую пару "разрушил" и одну "создал", и количество таких пар тоже не изменилось. И только в случае, если мальчик был отважным, он увеличивает количество таких пар на две. Аналогичные рассуждения верны и для девочек. Так как в конце у нас таких пар 21, то отважных детей было  (21 – 1) : 2 = 10.

Авторы: Николаев С.А., Ивлев Ф.

Дан правильный 4n-угольник A1A2...A4n площади S, причём  n > 1.  Найдите площадь четырёхугольника A1AnAn +1An+2.

A1 и A2n+1 – противоположные вершины многоугольника. Следовательно, диагональ A1A2n+1 проходит через центр O (см. рисунок). В силу равенства дуг A1An и An+2A2n+1 описанной окружности  A1A2n+1 || AnAn+2.  Значит, площади треугольников A1AnAn+2 и OAnAn +2 равны. Отсюда  SA1AnAn+1An+2 = SOAnAn+1An+2 = S/2n .

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

Встречается. Например,  

Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля   а) больше трёх раз.   б) больше четырёх раз.

  а) Таким будет любое число вида     где  1 < k < n/2.  Оно встречается дважды в n-й строке и дважды в m-й строке. Наименьшее из этих чисел –   

  б) Первый способ. Просматривая первые строки треугольника Паскаля, заметим, что     Это число по два раза встречается в 10-й, 16-й и 120-й строках.