1 00:00:04,910 --> 00:00:08,190 بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين 2 00:00:08,190 --> 00:00:12,270 والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على 3 00:00:12,270 --> 00:00:18,470 آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 22 في مساق 4 00:00:18,470 --> 00:00:23,930 تحليل حقيقة نيل لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم 5 00:00:23,930 --> 00:00:29,530 الرياضيات في كلية العلوم عنوان المحاضرة اليوم 6 00:00:29,530 --> 00:00:32,850 هنكمل chapter ثمانية هيكون في عندي اللي هو 7 00:00:32,850 --> 00:00:37,130 applications على اللي هي ثمانية اللي هي واحد و 8 00:00:37,130 --> 00:00:41,630 ثمانية اثنين المحاضرة اليوم اللي هي هنحكي عن the 9 00:00:41,630 --> 00:00:46,730 exponential and the logarithmic functions هنحكي عن 10 00:00:46,730 --> 00:00:51,830 اللي هو دالة ال E to the X ودالة ال ln أو دالة ال 11 00:00:51,830 --> 00:00:57,660 log الآن هنثبت اللي هو من خلال .. في البداية هنحكي 12 00:00:57,660 --> 00:01:03,280 عن اللي هو ال exponential function أو هنثبت اللي 13 00:01:03,280 --> 00:01:05,740 هو وجود ال exponential function 14 00:01:09,490 --> 00:01:13,630 احنا استخدمناها قبل هيك مجرد أمثلة بعيدا عن اللي 15 00:01:13,630 --> 00:01:18,730 هو انه اللي هي مفترضنا انه معلومات موجودة مسبقا 16 00:01:18,730 --> 00:01:22,170 ولا تناقض اللي هو انه نثبتها اليوم لإنه اثباتها 17 00:01:22,170 --> 00:01:25,410 اليوم لا يعتمد على اللي حكيناه سابقا بما يخص 18 00:01:25,410 --> 00:01:29,350 بأمثلة اللي ذكرت فيها ال exponential الآن ال 19 00:01:29,350 --> 00:01:34,310 exponential function بدنا نثبت وجودها ايش اللي 20 00:01:34,310 --> 00:01:38,820 بنقوله نشوف عبر ال theorem 8.3.1 theorem بقول there 21 00:01:38,820 --> 00:01:44,060 exists a function U دالة E من R ل R إذا في عندنا 22 00:01:44,060 --> 00:01:49,680 دالة اسمها E من R ل R such that الـ E prime of X 23 00:01:49,680 --> 00:01:55,280 لها بساوي E of X لكل X element in R اثنين E of Zero 24 00:01:55,280 --> 00:01:58,820 بساوي ايش واحد يعني الآن النظرية دي بتقولي إنه 25 00:01:58,820 --> 00:02:02,920 يوجد عندنا دالة domainها كل ال R و rangeها بروح 26 00:02:02,920 --> 00:02:10,220 بصوب في ال R هذه الدالة تحقق شرطين اللي هي E prime 27 00:02:10,220 --> 00:02:14,500 of X بساوي E of X و E of Zero بساوي ايش واحد الآن 28 00:02:14,500 --> 00:02:19,920 نجي اللي هو بدنا نثبت وجود هذه الدالة ايه التي 29 00:02:19,920 --> 00:02:25,380 تحقق اللي هو الخواص اللي عندنا المذكورة فيه اللي 30 00:02:25,380 --> 00:02:29,960 هي نظريا الآن خلينا عشان نروح باتجاه اثبات وجود 31 00:02:29,960 --> 00:02:34,080 هذه الدالة خلينا ناخد we inductively define a 32 00:02:34,080 --> 00:02:37,900 sequence of continuous functions as follows بدي 33 00:02:37,900 --> 00:02:43,590 الآن اعرف اللي هو sequence of functions الأولى 34 00:02:43,590 --> 00:02:48,790 اسمها E1 of X بتساوي واحد زائد X طبعا هذه الدالة 35 00:02:48,790 --> 00:02:52,790 موجودة E1 of X بتساوي واحد زائد X هي دالة خطية 36 00:02:52,790 --> 00:02:58,590 الآن بدي أعرف ال E2 ال E2 of X بساوي ال 37 00:02:58,590 --> 00:03:04,170 integration واحد زائد ال integration من صفر لعند X 38 00:03:04,170 --> 00:03:13,140 اللي هو E1 of X dT أو E1 of T dT إذاً الـ E2 بدي 39 00:03:13,140 --> 00:03:17,960 أجيبها من مين؟ من الـ E1 طبعاً بتيجي الـ E و الـ E2 40 00:03:17,960 --> 00:03:23,500 اللي هي عبارة عن واحد زائد هذه واحد زائد T اللي هو 41 00:03:23,500 --> 00:03:27,730 تفاضلها زي ما انتوا عارفين تكملها اللي هي T زائد 42 00:03:27,730 --> 00:03:32,910 اللي هي T تربيع على اثنين من صفر لعند X ويساوي واحد 43 00:03:32,910 --> 00:03:38,490 زائد X زائد X تربيع على اثنين هذه الدالة من 44 00:03:38,490 --> 00:03:45,020 هي E2 of X E3 of X بتعرفها بنفس الأسلوب بالساوي 1 45 00:03:45,020 --> 00:03:49,840 زائد الـ integration من 0 ل X لدالة اللي وجدتها 46 00:03:49,840 --> 00:03:56,140 قبلها اللي هي E2 of T dT بضل أساسي ساير في التعريف 47 00:03:56,140 --> 00:04:03,760 بقول in general بتعرف ال E N زائد 1 of X بساوي الـ 48 00:04:03,760 --> 00:04:11,420 1 زائد ال integration من 0 ل X E N of T dT إذن الآن 49 00:04:11,420 --> 00:04:16,020 عرفت اللي هي ال E1 of X بساوي 1 زائد X ومنها عرفت 50 00:04:16,020 --> 00:04:21,840 اللي هي E2 و E2 عرفت منها E3 و E3 عرفت منها E4 وهكذا 51 00:04:21,840 --> 00:04:26,120 ال E N زائد 1 of X هتساوة 1 زائد ال integration من 0 52 00:04:26,120 --> 00:04:31,440 ل X لل E N اللي جاب الها دي of T dT لكل N element 53 00:04:31,440 --> 00:04:36,720 in N و لكل X element in M in R نيجي الآن نطلع على 54 00:04:36,720 --> 00:04:40,920 الملاحظات اللي بدنا نحكيها عشان نستخدمها الآن 1 55 00:04:40,920 --> 00:04:46,840 زائد X دالة متصلة مش متصلة أصلا بس هي أصلا قابلة 56 00:04:46,840 --> 00:04:51,900 للتفاضل أيضا اللي هي differentiable الآن بناء عليه 57 00:04:51,900 --> 00:05:00,140 مدام ال E1 is continuous هتكون اللي هي E2 E2 هي 58 00:05:00,140 --> 00:05:03,940 الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 59 00:05:03,940 --> 00:05:04,180 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ 60 00:05:04,180 --> 00:05:07,840 E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 61 00:05:07,840 --> 00:05:11,080 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ 62 00:05:11,080 --> 00:05:12,820 E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش 63 00:05:12,820 --> 00:05:14,980 للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي 64 00:05:14,980 --> 00:05:18,980 الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 65 00:05:18,980 --> 00:05:22,820 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 ال 66 00:05:25,750 --> 00:05:27,270 الآن F.E.L 67 00:05:31,050 --> 00:05:34,950 if f is continuous on R then it is integrable over any bounded 68 00:05:34,950 --> 00:05:39,590 interval زي ما قلنا مدام هذا continuous اللي هي E 69 00:05:39,590 --> 00:05:45,210 اللي هي 2 continuous ومن هنا هتطلع E 3 continuous 70 00:05:45,210 --> 00:05:49,530 و E 4 continuous إذا صارت هذي دايما continuous وده 71 00:05:49,530 --> 00:05:53,170 continuous وده integration exist و by fundamental 72 00:05:53,170 --> 00:05:57,250 theorem هذا ال integration كله على بعض can be 73 00:05:57,250 --> 00:06:01,160 differentiated وهتكون الهو ايش is differentiable 74 00:06:01,160 --> 00:06:05,520 ومنه so E N زائد واحد is well defined by the above 75 00:06:05,520 --> 00:06:09,300 formula moreover زي ما قلت it is from fundamental 76 00:06:09,300 --> 00:06:12,400 theorem of calculus ال second form اللي هي سبعة 77 00:06:12,400 --> 00:06:15,920 ثلاثة خمسة هيكون عند ال E N زائد واحد is 78 00:06:15,920 --> 00:06:19,280 differentiable ومش هيك وتفاضل هذه زي ما احنا 79 00:06:19,280 --> 00:06:24,540 عارفين بساوي بنشيل ال integration طبعا التفاضل بلغ 80 00:06:24,540 --> 00:06:29,220 ال integration بيصير E N of X فبصير عندي ال E N زائد 81 00:06:29,220 --> 00:06:34,240 واحد prime of X موجودة ويساوي E N X for all n 82 00:06:34,240 --> 00:06:37,720 element in N إذن الآن عملنا sequence ال sequence 83 00:06:37,720 --> 00:06:40,580 هذه طلعت sequence of differentiable functions و ال 84 00:06:40,580 --> 00:06:43,860 derivative لل E N زائد واحد prime هي بترجع لمين 85 00:06:43,860 --> 00:06:50,320 بتيجي اللي هي ال E N of X طيب الآن هذا كله و ده 86 00:06:50,320 --> 00:06:53,900 خليني اسميها ثلاثة و خليني نحضر حالنا نصل للي بدنا 87 00:06:53,900 --> 00:06:59,500 ياجولكم وين هنصل في الآخر هوصلكم انه اللي هو ال 88 00:06:59,500 --> 00:07:05,400 limit لهذه ال sequence أو لهذه ال sequence هي ال E 89 00:07:05,400 --> 00:07:12,300 of X اللي أنا بثبت وجودها وستكون اللي هي بتحقق 90 00:07:12,300 --> 00:07:16,440 الشروط اللي حكيناها خلينا نشوف ما لاستعجلش نشوف 91 00:07:16,440 --> 00:07:19,900 ايش اللي بدنا نصلله إذا اللي عملناه كوننا 92 00:07:19,900 --> 00:07:23,380 sequence sequence زي ما قلنا اللي هي ال sequence 93 00:07:23,380 --> 00:07:28,160 بدأت عشان يبقى لكم الذاكرين E1 of X بساوي واحد 94 00:07:28,160 --> 00:07:34,760 زائد X E N زائد واحد of X بساوي الانتجرأت واحد 95 00:07:35,450 --> 00:07:39,790 بساوي واحد زائد الـ integration من صفر لعدد X E N of 96 00:07:39,790 --> 00:07:47,450 T dT خلينا هذولة أمامنا طبعا N element in N عندي 97 00:07:47,450 --> 00:07:54,630 و X أي element وين in R طيب إذا الآن سار عندي اللي 98 00:07:54,630 --> 00:07:58,430 هو ال .. ده اللي هذي is differential لان بقول لي 99 00:07:58,430 --> 00:08:03,230 انه ابن الدعي ويمكن لو حد شاف قبل بشوية ما وصلنا ل 100 00:08:03,230 --> 00:08:08,450 E2 E2 كانت عبارة عن واحد زائد X تربيع على اثنين 101 00:08:08,450 --> 00:08:13,070 اللي هو اللي هي اثنين factorial لو كملنا هيكون E N 102 00:08:13,070 --> 00:08:16,910 of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial X تربيع على 2 103 00:08:16,910 --> 00:08:21,170 factorial زائد X أُس N على N factorial لكل 104 00:08:21,170 --> 00:08:25,750 X element in R هذه الـ N صحيحة اللي هي لكل N 105 00:08:25,750 --> 00:08:31,470 element in R اللي هو طبعا اثباتها سهل نثبتها by 106 00:08:31,470 --> 00:08:36,010 induction خلينا نشوف كيفنا نثبت أربعة by induction 107 00:08:58,380 --> 00:09:01,020 أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 108 00:09:01,020 --> 00:09:04,640 أربعة 109 00:09:04,640 --> 00:09:06,540 أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 110 00:09:06,540 --> 00:09:06,720 أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 111 00:09:06,720 --> 00:09:06,900 أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 112 00:09:06,900 --> 00:09:08,610 أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة four is 113 00:09:08,610 --> 00:09:16,450 a true four and بتساوي كتابة يعني صار عند الالالـ 114 00:09:16,450 --> 00:09:23,550 E K of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial زائد X 115 00:09:23,550 --> 00:09:29,170 تربيع على 2 factorial زائد X أُس K على K factorial 116 00:09:29,170 --> 00:09:33,890 هذا لما نفرض إن اللي هي .. اللي هي الأربعة is true 117 00:09:33,890 --> 00:09:39,150 for N بتساوي K بدنا نثبت إن E K زائد 1 هتطلع اللي 118 00:09:39,150 --> 00:09:43,870 هي هذه زائد X أُس K على K زائد واحد factorial اللي 119 00:09:43,870 --> 00:09:48,790 على ال net بتطلع أربعة صحيحة for K زائد واحد ده 120 00:09:48,790 --> 00:09:56,070 نحسب خلينا نحسب الآن E K زائد واحد of X حسب اللي 121 00:09:56,070 --> 00:10:01,370 احنا مفترضينه أو معرفين ال sequence على أساسه E K 122 00:10:01,370 --> 00:10:04,830 زائد واحد of X ايش بتساوي واحد زائد ال integration 123 00:10:04,830 --> 00:10:14,410 من صفر ل X E K of T dT مظبوط؟ طيب الآن بدي اعوض عن 124 00:10:14,410 --> 00:10:20,030 E K of T احنا مفترضينها صحيحة ل K إذا E K of X 125 00:10:20,030 --> 00:10:24,230 هيها إذا باجي بعوض بيصير Y يساوي واحد زائد ال 126 00:10:24,230 --> 00:10:29,250 integration من صفر ل X E K of T اللي هي واحد زائد 127 00:10:29,250 --> 00:10:33,170 T زائد T تربيع طبعا واحد factorial اللي هي واحد 128 00:10:33,170 --> 00:10:40,080 على اثنين factorial زائد لما أصل X أو T أُس K على K 129 00:10:40,080 --> 00:10:46,520 factorial الكل داخلها dT لأن اللي هي أكيد وضحت 130 00:10:46,520 --> 00:10:49,660 الصورة بدل الفاضل نطلع قيمة التفاصيل الكامل و نطلع 131 00:10:49,660 --> 00:10:54,360 قيمة التكامل و يساوي واحد هيوزايد ما هو جاعد زاد 132 00:10:54,360 --> 00:11:00,520 هذا ال integration اللي هو عبارة عن T زائد T تربيع 133 00:11:00,520 --> 00:11:06,140 على 2 في 1 يعني 2 factorial زائد T تكعيب على 3 في 134 00:11:06,140 --> 00:11:10,920 2 factorial يعني 3 factorial زائد لما أصل لآخر 1 T 135 00:11:10,920 --> 00:11:15,640 أُس K زائد 1 على K زائد 1 في K factorial هي K زائد 136 00:11:15,640 --> 00:11:22,230 1 factorial هذا الكلام من 0 لمين؟ لعند X واضحة 137 00:11:22,230 --> 00:11:26,550 الصورة ويساوي عبارة عن لما أعوض من 0 ل X بيصير 1 138 00:11:26,550 --> 00:11:32,090 زائد X زائد X تربيع على 2 factorial لما أصل لأخر 139 00:11:32,090 --> 00:11:38,210 واحد X أُس K زائد 1 على K زائد 1 factorial إذا فعلا 140 00:11:38,210 --> 00:11:42,110 طلعت عندي E K زائد واحد بساوي هذا المقدار يعني 141 00:11:42,110 --> 00:11:46,450 بمعنى آخر أربعة طلعت الـ true for n بتساوي k زائد 142 00:11:46,450 --> 00:11:51,830 واحد إذاً من كل هذا الـ induction بنكون أثبتنا أن الـ e 143 00:11:51,830 --> 00:11:56,430 n of x بتساوي هذا الكلام لكل x element in R لكل n 144 00:11:56,430 --> 00:12:00,630 element in N إذاً هذه صورة اللي هي الـ EN of X صورة 145 00:12:00,630 --> 00:12:05,150 غير الصورة اللي عرفناها فوق استنتجناها منها الآن 146 00:12:05,150 --> 00:12:11,770 خلّينا نروح باتجاه إثبات إنه الـ limit للـ EN هذه أو 147 00:12:11,770 --> 00:12:17,910 الـ EK أو الـ EN أو اللي هي is uniformly convergent 148 00:12:18,680 --> 00:12:23,900 to some function هذه الـ some function هي اللي 149 00:12:23,900 --> 00:12:29,120 بتدعي أنها هتكون الـ exponential طيب اللي بنسميها 150 00:12:29,120 --> 00:12:32,840 exponential بعد شوية اللي هي بتحقق شرطين اللي 151 00:12:32,840 --> 00:12:35,400 حكينا عنهم لسه احنا بنعرف الـ exponential احنا 152 00:12:35,400 --> 00:12:38,340 بنعرف الدالة هذه لكن لأن معلوماتنا عارفين من أول 153 00:12:38,340 --> 00:12:43,000 الـ exponential الآن احنا الدالة هذه اللي هنثبت 154 00:12:43,000 --> 00:12:46,540 وجودها اليوم هي اللي بعد شوية بعد ما نثبت الـ 155 00:12:46,540 --> 00:12:50,880 uniqueness لها بنسميها الـ exponential زي ما هنشوف 156 00:12:50,880 --> 00:12:56,620 بعد شوية الآن إذا الـ sequence اللي عندي هذه 157 00:12:56,620 --> 00:13:05,300 هيوضعها الآن قلنا E N of X هذه المعادلة الثانية هي 158 00:13:05,300 --> 00:13:11,560 واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين factorial زائد 159 00:13:11,560 --> 00:13:15,600 X أس N على N factorial وهذا الشكل طبعًا أنتم مش 160 00:13:15,600 --> 00:13:20,240 غريب عليكم بتعرفوه الآن خليني آخذ الآن let A أكبر 161 00:13:20,240 --> 00:13:24,120 من صفر بـ given افترض أن A اللي هو real 162 00:13:24,120 --> 00:13:28,660 number أكبر من مين من صفر بآخذه arbitrarily لكن 163 00:13:28,660 --> 00:13:33,470 خليني نحكي عن A محددة الآن if absolute value of X 164 00:13:33,470 --> 00:13:37,910 أصغر أو تساوي A يعني بتحكي الحديث هنا على الـ Xات 165 00:13:37,910 --> 00:13:43,590 اللي في الـ R اللي من عند ناقص A لعند مين الـ A يعني 166 00:13:43,590 --> 00:13:48,610 الـ absolute value لهن هذول أصغر أو تساوي الـ A 167 00:13:48,610 --> 00:13:52,390 يعني في الفترة المغلقة اللي أمامي اللي بين ناقص الـ 168 00:13:52,390 --> 00:13:58,870 A و الـ A بتتحدث شوف الآن احسب لي Em of X ناقص En of 169 00:13:58,870 --> 00:14:03,750 X و يساوي و بدنا نفترض لكم أن الـ n ايه شمالها أكبر 170 00:14:03,750 --> 00:14:07,910 من الـ n و الـ n أكبر من اثنين A اثنين A مكتوب 171 00:14:07,910 --> 00:14:10,850 اثنين A لغرض الحسابات اللي جايين نشوفها بنفع 172 00:14:10,850 --> 00:14:13,270 ثلاثة A، بنفع أربعة A، بنفع خمسة A، بنفع ستة 173 00:14:13,270 --> 00:14:16,550 A، بنفع كلّه بنفع هذا الكلام على أساس أنك ما ينفعش 174 00:14:16,550 --> 00:14:19,550 أقول نصف A أو ثلث A أو ربع A لأنها مش هتقدر 175 00:14:19,550 --> 00:14:23,910 الغرض اللي بدي إياه الآن مين اخترت أنا اخترت اللي هو 176 00:14:23,910 --> 00:14:29,650 الـ m والـ n اللي أكبر منين من اثنين في الـ A 177 00:14:29,650 --> 00:14:34,390 اللي هي قيمة مين الـ A اللي هي نصف الفترة اللي عندي 178 00:14:34,390 --> 00:14:39,210 أو طول نصف الفترة طيب، احسب لي ايه M of X ناقص Y of 179 00:14:39,210 --> 00:14:44,360 X؟ E M of X اللي هي عبارة عن واحد زائد X زائد X 180 00:14:44,360 --> 00:14:49,360 تربيع و هجابل في الطريق من الـ X M لأنه M أكبر من X 181 00:14:49,360 --> 00:14:52,720 تربيع على M factorial زائد X M زائد واحد على M زائد 182 00:14:52,720 --> 00:14:57,280 واحد factorial لما أصل الأخر واحد من X أس M على M 183 00:14:57,280 --> 00:15:03,400 factorial يعني الآن هذي هيكون زي هيك لما أصل طبعًا X 184 00:15:03,400 --> 00:15:10,500 M زائد واحد على M زائد واحد factorial زائد لمّا أصل 185 00:15:10,500 --> 00:15:15,760 لعند X أس M على M factorial هذه مين هي هذه عبارة 186 00:15:15,760 --> 00:15:24,220 عن الـ EM يعني الـ EM هتساوي اللي هي E of X E N of X 187 00:15:24,220 --> 00:15:30,020 زائد المتبقي هذا الآن حاصل طرح الاثنتين هيكون 188 00:15:30,020 --> 00:15:33,480 عبارة عن لإن المفترض الـ M أكبر من L زي ما قلنا 189 00:15:33,480 --> 00:15:37,700 حاصل طرح اللي هيكون اللي هو المتبقي هذا X N زائد 190 00:15:37,700 --> 00:15:40,840 واحد على N زائد واحد factorial لما أصل ل X M على M 191 00:15:40,840 --> 00:15:46,240 ايش factorial ماشي الحال إذا الآن أوصلنا لحاصل طرح 192 00:15:46,240 --> 00:15:51,340 دول بتساوي هذا المقدار نيجي نكمل الآن عندي 193 00:15:53,560 --> 00:15:58,460 عند الـ absolute value للـ X أصغر من 100 من A 194 00:16:10,590 --> 00:16:17,130 زائد absolute value زائد xn زائد اثنين على n زائد 195 00:16:17,130 --> 00:16:22,710 اثنين factorial زائد لما أصل لأخر واحد x أسم m على 196 00:16:22,710 --> 00:16:28,150 m factorial ماشي الحال طيب الآن إن إن كل x من 197 00:16:28,150 --> 00:16:31,270 هدول الـ absolute value هي أصغر يساوي منين A إذا 198 00:16:31,270 --> 00:16:36,650 صار هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار اللي هنا 199 00:16:36,650 --> 00:16:45,550 أصغر أو يساوي M زائد واحد على N آسف A أس N زائد 200 00:16:45,550 --> 00:16:49,970 واحد لأن الـ absolute value X أصغر تساوي A إذا X N 201 00:16:49,970 --> 00:16:54,510 زائد واحد أصغر أو ساوي الـ A أس N زائد واحد على N 202 00:16:54,510 --> 00:17:00,870 زائد واحد factorial زائد الثاني اللي هو A N زائد 203 00:17:00,870 --> 00:17:07,130 اثنين على n زائد 2 factorial زائد لما أصل لآخر واحد 204 00:17:07,130 --> 00:17:14,870 اللي هو عبارة عن a أس m على m factorial ماشي الحال 205 00:17:14,870 --> 00:17:21,080 طيب الآن خليني آخذ من هدول الـ a n زائد واحد على الـ 206 00:17:21,080 --> 00:17:24,480 n زائد واحد factorial عامل مشترك قبل ما اصلح هذه 207 00:17:24,480 --> 00:17:28,520 الخطوة لسه اه خليني آخذ عامل مشترك بيصير عندي a n 208 00:17:28,520 --> 00:17:33,180 زائد واحد على n زائد واحد factorial فاش اللي بيضل 209 00:17:33,180 --> 00:17:39,420 هنا فيه اللي بيضل هنا واحد زائد هنا بيضل a على n 210 00:17:39,420 --> 00:17:46,280 زائد اثنين أكيد زائد اللي بعدها a تربيع على n زائد 211 00:17:46,280 --> 00:17:52,160 اثنين فان زائد ثلاثة زائد لما أصل لآخر واحد مين 212 00:17:52,160 --> 00:17:57,080 آخر واحد بشيل منه n زائد واحد بيصير a أس m ناقص 213 00:17:57,080 --> 00:18:03,000 n ناقص واحد على اللي بيضل من n زائد اثنين مضروب 214 00:18:03,000 --> 00:18:09,250 لعند n m ناقص n ناقص واحد هذول الأنماشي الحال 215 00:18:09,250 --> 00:18:13,470 هذا أخذ تمين يا جماعة معليش دخل الكلام مع بعضه بس 216 00:18:13,470 --> 00:18:18,130 أكيد أنتم مستوعبين ايش بقول طلعت الـ a n زائد واحد 217 00:18:18,130 --> 00:18:21,090 على n زائد واحد factorial العام المشترك طلع عندي 218 00:18:21,090 --> 00:18:26,550 هذا المقدار الآن عندي أكيد الـ n زائد اثنين أكبر من 219 00:18:26,550 --> 00:18:32,050 مين من الـ n فمقلوبه أصغر أه فبيصير عندي اللي هو 220 00:18:32,050 --> 00:18:38,050 عندي اللي هي هذا المقدار a n على l زائد 2 أصغر أو 221 00:18:38,050 --> 00:18:42,170 ساوي a على n و اللي بعده a تربيع أصغر أو ساوي a 222 00:18:42,170 --> 00:18:44,370 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 223 00:18:44,370 --> 00:18:44,410 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 224 00:18:44,410 --> 00:18:45,090 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 225 00:18:45,090 --> 00:18:46,010 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 226 00:18:46,010 --> 00:18:47,730 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 227 00:18:47,730 --> 00:18:48,010 ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 228 00:18:51,320 --> 00:18:55,380 أكبر من أنه وهذه أكبر من أنه فمقلوبهم بيصير هذا 229 00:18:55,380 --> 00:19:00,980 المقدار أصغر اللي هو أو يساوي المقدار اللي بعده 230 00:19:00,980 --> 00:19:07,730 بيصير عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا زي ما هو و 231 00:19:07,730 --> 00:19:13,670 هذه واحد هذه a على n لأنها هتكون أكبر a تربيع على 232 00:19:13,670 --> 00:19:19,170 n تربيع n تربيع هتكبر لما أصل ل a m minus n نقص 233 00:19:19,170 --> 00:19:25,420 واحد على m minus n نقص واحد لأن هنا دول عددهم من 234 00:19:25,420 --> 00:19:30,200 نقص واحد من الـ n هيكون n طبعًا استبدلت كل واحدة 235 00:19:30,200 --> 00:19:34,400 بـ n فهيطلع بالشكل هذا وبتظل الـ inequality صحيحة 236 00:19:34,400 --> 00:19:38,540 خلصنا من هذا طيب دعونا نشوف كيف أضبح لكم هذا دعونا 237 00:19:38,540 --> 00:19:48,770 نخلص منه نجي الآن اللي هو نرجع نكمل الحسبة هذا 238 00:19:48,770 --> 00:19:57,670 الآن المقدار عندي اللي هو المقدار هذا هيه اتطلعوا 239 00:19:57,670 --> 00:20:06,710 عندي الـ a الـ a على n ايش أنا ماخذ الـ n ماخذ الـ n 240 00:20:06,710 --> 00:20:12,930 أكبر من مين من اثنين a يعني الـ a أصغر من n على مين 241 00:20:13,680 --> 00:20:21,900 على اثنين مظبوط الـ A أصغر من N على اثنين واضحة الجسم 242 00:20:21,900 --> 00:20:25,660 الـ N على اثنين و N على اثنين صارت N على اثنين أكبر 243 00:20:25,660 --> 00:20:29,940 من مين من A بدي استخدمها الآن هذه الـ N بيصير أصغر 244 00:20:29,940 --> 00:20:34,020 أو يساوي هذا المقدار بيصير أصغر أو يساوي هذا بحكي 245 00:20:34,020 --> 00:20:39,590 عن هذا بيصير أصغر أو يساوي اللي هو A أس n زائد 246 00:20:39,590 --> 00:20:45,410 واحد على n زائد واحد الكل factorial فيه اللي هو 247 00:20:45,410 --> 00:20:56,830 واحد زائد a على n زائد a تربيع على n تربيع زائد 248 00:20:56,830 --> 00:21:06,530 a اللي هو a تكعيب على n تكعيب زائد مش بتصل لهذا 249 00:21:06,530 --> 00:21:11,670 زائد و بتظل ماشيها شمالها إلى ما لا نهاية يعني 250 00:21:11,670 --> 00:21:17,110 بتضيف عليها a على n أس m ناقص n a على n أس m 251 00:21:17,110 --> 00:21:20,290 ناقص n زائد واحد وهكذا تظلها إلى ما لا نهاية يعني 252 00:21:20,290 --> 00:21:23,850 بتحولها لمين لـ infinite series طيب احنا قلنا الـ a 253 00:21:23,850 --> 00:21:28,670 أصغر من n على 2 يعني الـ a n على n أصغر من مين؟ من 254 00:21:28,670 --> 00:21:32,930 نصف عرفته الآن ايش بدأ أسأل صار عندي هذا المقدار 255 00:21:32,930 --> 00:21:39,310 أصغر أو يساوي a أس n زائد واحد على n زائد واحد لكل 256 00:21:39,310 --> 00:21:45,690 factorial مضروب في مين؟ اللي هو واحد زائد نصف زائد 257 00:21:45,690 --> 00:21:50,670 نصف تربيع اه لأن a على n أصغر من مين يا جماعة؟ من 258 00:21:50,670 --> 00:21:57,850 نصف زائد تربيع زائد نصف تتعيد زائد الآخرين لأن هذه صارت 259 00:21:57,850 --> 00:22:02,470 عبارة عن geometric series مجموعها هذه بتساوي مجموع 260 00:22:02,470 --> 00:22:07,050 هذه عبارة عن واحد على واحد ناقصّه اللي هو نصف وهي 261 00:22:07,050 --> 00:22:12,730 ساوي جدّاش اثنين ماشي إذا هذا المقدار اللي هو صار 262 00:22:12,730 --> 00:22:16,510 عبارة عن اثنين في هذا المقدار اللي هو وصلنا له 263 00:22:16,510 --> 00:22:20,650 أصغر أو يساوي a n زائد واحد على n زائد واحد 264 00:22:20,650 --> 00:22:23,890 factorial مضروب في مين؟ في اثنين يعني حسابات هذه 265 00:22:23,890 --> 00:22:28,770 طيب إذا صار عندي الآن هاي اللي بدي أوصل له و اللي 266 00:22:28,770 --> 00:22:31,630 كاتبّه باختصار هو لإنه بيعتبر أن الباقية حساباتي 267 00:22:31,630 --> 00:22:36,950 بتعرفوا تحسبوها em-n of x of x أصغر أو يساوي هذا 268 00:22:36,950 --> 00:22:43,450 المقدار على مين؟ على اثنين الآن شوف ما يليه الآن as 269 00:22:43,450 --> 00:22:49,590 n goes to infinity هذا المقدار هذا المقدار as n 270 00:22:49,590 --> 00:22:54,230 goes to infinity الـ limit بتروح للصفر لأن a n زائد 271 00:22:54,230 --> 00:22:57,110 واحد على n زائد واحد كل factorial as n goes to 272 00:22:57,110 --> 00:23:01,190 infinity ايش بدّه يروح للصفر يعني بمعنى آخر مدام 273 00:23:01,190 --> 00:23:04,430 بدّه يروح للصفر طبعًا وذا كبرت الـ n بتكبر مين برضه 274 00:23:04,430 --> 00:23:07,850 مباشرة m لأن m أكبر منها إذا for 275 00:23:10,880 --> 00:23:19,800 for large n و m we get 276 00:23:23,490 --> 00:23:31,050 E M of X ناقص E N of X اللي هي أصغر أو يساوي من 277 00:23:31,050 --> 00:23:38,070 هذه هذه أصلاً for large N as N goes to infinity هذا 278 00:23:38,070 --> 00:23:43,470 المقدار بيصير أصغر من أي ε في الدنيا اللي هي بيصير 279 00:23:43,470 --> 00:23:49,330 أصغر من مين من ε أو أصغر أو يساوي ε as N و M 280 00:23:49,330 --> 00:23:54,630 become very very large ماشي الحال لإنه الـ limit لل 281 00:23:54,630 --> 00:23:59,110 إن على n فكتوره ليش بيساوي بيساوي صفر إذا صار 282 00:23:59,110 --> 00:24:05,950 عندي الآن اللي هي E m of X E n of X أصغر أو شوي من Y 283 00:24:05,950 --> 00:24:15,250 لكل X وين موجودة في الفترة من ناقص A إلى A ماشي 284 00:24:15,250 --> 00:24:23,160 الحال الآن بناء عليه الآن لكل X بغض النظر عن ال X 285 00:24:23,160 --> 00:24:28,000 اللي هو بيكون عندي أنه I'm very large وبيعطيني هذا 286 00:24:28,000 --> 00:24:32,560 أصغر أو شوي من إبسلون وهذه اللي سميناها Cauchy's 287 00:24:32,560 --> 00:24:37,470 criterion for uniform اللي هو convergence في ال .. 288 00:24:37,470 --> 00:24:43,590 اللي هو section 81 بناء عليها بطلع عندي E and اللي 289 00:24:43,590 --> 00:24:47,090 هو converges uniformly to some function مش 290 00:24:47,090 --> 00:24:51,410 عارفينها اللي هي .. اللي هي converges uniformly on 291 00:24:51,410 --> 00:24:59,770 mean ناقص a أو a ماشي الحالة الآن عندي it 292 00:24:59,770 --> 00:25:02,610 follows the sequence من ناقص a إلى a converge uniformly on 293 00:25:02,610 --> 00:25:07,210 the interval ناقص a و a where a أكبر من 0 لكن a 294 00:25:07,210 --> 00:25:11,670 أكبر من 0 was a شمالها arbitrarily يعني اللي وصلنا 295 00:25:11,670 --> 00:25:18,110 له ما ياليا يا جماعة اللي وصلنا له أنه عندي اللي هي 296 00:25:18,110 --> 00:25:23,210 الـ sequence هذه لو جيت أخدت for every a element 297 00:25:23,210 --> 00:25:27,130 in R و a أكبر من صفر لو وصلنا له اللي كانت a 298 00:25:27,130 --> 00:25:32,130 arbitrarily وجدنا أنه هيكون عند الـ E L converges 299 00:25:32,130 --> 00:25:39,550 uniformly on ناقص a و مين و a ماشي الحال طيب بناء 300 00:25:39,550 --> 00:25:48,200 عليه لو أنت جيت أخدت خد الآن let X element in R، أي 301 00:25:48,200 --> 00:25:53,540 X element in R، مدام X في R، إذا أكيد الـ X عشرة، 302 00:25:53,540 --> 00:25:59,250 عشرين، ثلاثين، مليون، ممكن ما تكون، بقدر ألاقي A 303 00:25:59,250 --> 00:26:05,890 بحيث أن X تنتمي إلى الفترة من ناقص A لعند مين لعند 304 00:26:05,890 --> 00:26:11,590 A يعني مثلا ال X لجيتها 100 باخد ال A 110 بصير 305 00:26:11,590 --> 00:26:17,850 ال X بين اللي هي ناقص 110 و 100 إيش ما تيجي X بلاقي 306 00:26:17,850 --> 00:26:24,470 لها A إذا there exists a such that x element in ناقص a 307 00:26:24,470 --> 00:26:31,410 من ناقص a إلى a أكبر من صفر طبعا من ناقص a ومين أو a أكيد طب 308 00:26:31,410 --> 00:26:34,390 ما هو احنا قد أثبتنا أنه لكل a element in R 309 00:26:38,870 --> 00:26:44,730 Converge uniformly للـ a اللي لاجناها هذه On ناقص 310 00:26:44,730 --> 00:26:49,690 a و a لهذه الـ a يعني بمعنى معناه مدام Converge 311 00:26:49,690 --> 00:26:55,030 uniformly إلى إذا E N of X اللي هو converges point 312 00:26:55,030 --> 00:26:58,250 -wise to some function عند مين؟ عند الـ X اللي 313 00:26:58,250 --> 00:27:03,670 أخدتها هنا هذه إذا الآن for any X element in R 314 00:27:03,670 --> 00:27:11,450 for any X element in R هنلاقي E N of X converges ما 315 00:27:11,450 --> 00:27:15,250 دام ال E N of X is convergent for every X element 316 00:27:15,250 --> 00:27:22,230 in R إذا صارت عندي limit ال E N of X as N goes to 317 00:27:22,230 --> 00:27:27,830 infinity exists for every X element in R ما دام 318 00:27:27,830 --> 00:27:34,210 exist حسب اللي قلناها إذا الآن شرعت لتعريف الدالة 319 00:27:34,210 --> 00:27:40,600 التالية الآن أنا بقول إنه احنا صار عندنا اللي هو 320 00:27:40,600 --> 00:27:47,760 مشروع أن نقول we define E من R إلى R by limit E N of 321 00:27:47,760 --> 00:27:53,940 X اللي هي موجودة سميتها إيش اسمها E of X for X 322 00:27:53,940 --> 00:28:00,760 element of R وجود اللي هو دالة اسمها E أنا سميتها E 323 00:28:00,760 --> 00:28:06,400 من R إلى R بحيث أن E of X هي limit ال E N of X 324 00:28:06,400 --> 00:28:11,480 اللي أثبتت وجوده بدي أثبت لك الآن أن E of X هذه هي 325 00:28:11,480 --> 00:28:16,120 الدالة المبتغة اللي بتحقق الشروط اللي طلبها في 326 00:28:16,120 --> 00:28:21,740 النظرية نشوف كيف طيب صلوا على النبي عليه الصلاة 327 00:28:21,740 --> 00:28:22,160 والسلام 328 00:28:35,970 --> 00:28:39,830 الآن عندي ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 329 00:28:39,830 --> 00:28:39,910 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 330 00:28:39,910 --> 00:28:39,970 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 331 00:28:39,970 --> 00:28:40,290 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 332 00:28:40,290 --> 00:28:42,410 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 333 00:28:42,410 --> 00:28:42,810 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 334 00:28:42,810 --> 00:28:44,810 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 335 00:28:44,810 --> 00:28:49,770 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 336 00:28:49,770 --> 00:28:51,450 .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 337 00:28:51,450 --> 00:28:51,610 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 338 00:28:51,610 --> 00:28:52,610 ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال 339 00:28:52,610 --> 00:28:55,710 .. ال .. 340 00:29:00,330 --> 00:29:06,370 converge such that x element من ناقص a إلى a كلها هذه 341 00:29:06,370 --> 00:29:12,330 الـ en converged uniformly الآن لمن؟ للـ e معايا 342 00:29:12,330 --> 00:29:19,190 converged uniformly للـ e for every أو on من ناقص a إلى 343 00:29:19,190 --> 00:29:23,010 a لأنه سميناها إيش اللي هي ال limit بتروح لها اسمها 344 00:29:23,010 --> 00:29:27,670 إيه الآن en اتفجنا إنه أثبتناها إنها إيش معها 345 00:29:28,810 --> 00:29:34,050 continuous مدام continuous و en اللي هو طبعا 346 00:29:34,050 --> 00:29:36,330 continuous مش بس على ناقص a و a continuous وين 347 00:29:36,330 --> 00:29:39,690 مكان احنا الآن هنحكي عن ناقص a و a continuous صارت 348 00:29:39,690 --> 00:29:42,910 ال en continuous sequence converts uniformly to e 349 00:29:42,910 --> 00:29:48,110 على ناقص a و a إذا صارت ال e هذه حسب نظريتنا هتكون 350 00:29:48,110 --> 00:29:53,560 continuous نظرية الأولى في سيكشن 8 اللي هو 2 هتكون 351 00:29:53,560 --> 00:29:57,800 الـ E is continuous على ناقص a و a قولنا if E N is 352 00:29:57,800 --> 00:30:00,200 a sequence of continuous functions that converge 353 00:30:00,200 --> 00:30:03,200 uniformly to some function then this function or 354 00:30:03,200 --> 00:30:06,880 some function is continuous on من ناقص a إلى a إذا صارت 355 00:30:06,880 --> 00:30:10,200 ال E continuous على من ناقص a إلى a يعني ال E continuous 356 00:30:10,200 --> 00:30:14,520 عند من؟ عند ال X و since X was arbitrary in R then 357 00:30:14,520 --> 00:30:21,180 E هتكون is continuous على كل ال R إذا صارت عندي E 358 00:30:21,180 --> 00:30:26,560 is continuous at any X element in R الآن لو جينا 359 00:30:26,560 --> 00:30:31,600 حسبنا ال E N of 0 و E 1 of 0 و E 1 of 0 أشو 360 00:30:31,600 --> 00:30:39,410 بالساوية؟ هي واحد E اللي هو N زائد واحد of Zero 361 00:30:39,410 --> 00:30:45,630 اللي هو بيساوي من صفر إلى صفر هيطلع صفر وهذا واحد يعني 362 00:30:45,630 --> 00:30:52,470 دايما ال E N of Zero هتطلع إيش؟ Zero مدام E N of 363 00:30:52,470 --> 00:31:00,670 Zero Zero وبما أنه E is continuous إذن limit ال E N 364 00:31:00,670 --> 00:31:05,930 of zero as n goes to infinity بيساوي اللي هو E of 365 00:31:05,930 --> 00:31:10,990 zero أو E of X أسف E of X as n goes to infinity 366 00:31:10,990 --> 00:31:18,450 بيساوى E of X وبما أنه اللي هو ال ال ال ال ال 367 00:31:18,450 --> 00:31:20,590 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 368 00:31:20,590 --> 00:31:21,370 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 369 00:31:21,370 --> 00:31:22,190 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 370 00:31:22,190 --> 00:31:25,670 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 371 00:31:25,670 --> 00:31:30,470 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 372 00:31:30,470 --> 00:31:32,430 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 373 00:31:32,430 --> 00:31:32,790 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 374 00:31:32,790 --> 00:31:32,950 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 375 00:31:32,950 --> 00:31:35,550 ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال 376 00:31:35,550 --> 00:31:39,680 ال أنا كنت بخلطها أنا بقول E n of 0 بيساوي 1 377 00:31:39,680 --> 00:31:43,540 limit E n of X بيساوي E of X وال E is continuous 378 00:31:43,540 --> 00:31:48,900 إذا الحيكون ال E of 0 هذه هتساوي إيش؟ هيساوي 1 379 00:31:48,900 --> 00:31:53,800 لأنه limit E n of 0 point twice بيساوي E of 0 اللي 380 00:31:53,800 --> 00:31:58,580 هي 0 الآن e n of zero بتساوي واحد for all n infim 381 00:31:58,580 --> 00:32:04,940 therefore e of zero بتساوي واحد لأن اللي هي e 382 00:32:04,940 --> 00:32:11,240 نفسها is continuous إذا حصلنا على اللي هو الجزء 383 00:32:11,240 --> 00:32:16,080 الأول أذكركم في النظرية على اللي هو المطلوب أو 384 00:32:16,080 --> 00:32:20,770 الخاصية الأولى الخاصية الأولى هي الخاصية الأولى هي 385 00:32:20,770 --> 00:32:25,430 عندي أثبتنا .. الثاني أسف أثبتنا E اللي هي E of 386 00:32:25,430 --> 00:32:29,370 Zero بالساوية واحد بدي أثبت لك الآن E prime of X 387 00:32:29,370 --> 00:32:34,750 هتساوي E of X عشان أثبتها بدنا نذكركم في نظرية 388 00:32:34,750 --> 00:32:45,750 أخدناها المرة الماضية اللي هي بتقول ما يلي أذكركم 389 00:32:45,750 --> 00:32:51,350 يا جماعة بالنظرية اللي بستخدمها كانت أن عندي لو في 390 00:32:51,350 --> 00:32:56,330 عندي fn sequence of functions و هذه fn ال 391 00:32:56,330 --> 00:33:00,050 differentiable لأن fn برايم بتروح ل g uniformly 392 00:33:00,050 --> 00:33:08,330 ماشي on some interval on some j وكان عندي fn of x 393 00:33:08,330 --> 00:33:11,050 not converge 394 00:33:12,940 --> 00:33:21,240 converges to f of x not مثلا on j اه for x not 395 00:33:21,240 --> 00:33:31,300 element in j then بقول لي اللي هو ال f هذه f prime 396 00:33:31,300 --> 00:33:39,230 exists و FN converts uniformly to this F أو FN 397 00:33:39,230 --> 00:33:46,950 converges uniformly to this F and F' هي مين؟ هي الـ 398 00:33:46,950 --> 00:33:50,370 G هذا حكيناه المرة الماضية طيب، بدأ استخدمها الآن 399 00:33:50,370 --> 00:33:54,510 شوف عنده، إن شوف عنده الـ N أثبتنا أو الـ N 400 00:33:54,510 --> 00:33:57,110 interval من ناقص a إلى a we have the uniform 401 00:33:57,110 --> 00:34:02,350 convergence of the sequence EN اللي هو هتكون EN 402 00:34:04,720 --> 00:34:12,400 converge uniformly ماشي الحال of you of me of 403 00:34:12,400 --> 00:34:15,900 ثلاثة اللي هو ثلاثة اللي حكيناها قبل بشوية خليني 404 00:34:15,900 --> 00:34:21,540 بس نذكركم فيها اللي هي ثلاثة هي عندي اللي هي ثلاثة 405 00:34:21,840 --> 00:34:25,980 عندي الآن conversion formally to some function E 406 00:34:25,980 --> 00:34:30,140 سميناها الآن بناء عليه بدلا من n زائد واحد هي 407 00:34:30,140 --> 00:34:34,820 صفراً الآن إذا صارت n زائد واحد prime برضه 408 00:34:34,820 --> 00:34:38,140 conversion هادي هادي أصلا conversion formally to 409 00:34:38,140 --> 00:34:46,280 مين؟ to ال E اللي عندي الآن وضحت الصورة الآن صارت 410 00:34:46,280 --> 00:34:53,410 الصورة واضحة الآن اللي حصلنا عليه انتبه عليا، on any 411 00:34:53,410 --> 00:34:56,010 interval من ناقص a إلى a, we have the inferred 412 00:34:56,010 --> 00:35:01,170 convergence of E n وفي ضوء اللي هو ثلاثة, we also 413 00:35:01,170 --> 00:35:04,290 have the inferred convergence E n prime of the 414 00:35:04,290 --> 00:35:08,350 derivatives الآن من ال theorem 8.2.3 اللي حكيتها 415 00:35:08,350 --> 00:35:13,700 هنا، مدام F n prime converges إلى G ماشي الحال و ال 416 00:35:13,700 --> 00:35:17,160 .. أو ال Fn X0 بتروح ل F of X0 for X0 اللي بتنجح 417 00:35:17,160 --> 00:35:21,880 اللي هو أكثر من النقطة و أصلا على أساس عرفنا أن Fn 418 00:35:21,880 --> 00:35:27,420 of X بيساوي اللي هو مين E of X بتروح لمين؟ إلى E of 419 00:35:27,420 --> 00:35:31,780 X إذا أكيد هذه متحققة كمان بالنسبة لمين؟ لل E N 420 00:35:31,780 --> 00:35:36,760 صارت هذه متحققة و هذه متحققة من تحقق هذه هذه يا 421 00:35:36,760 --> 00:35:42,140 عزيزي التحقق هذه إذا إذا هيكون عنده الـ F N بتروح 422 00:35:42,140 --> 00:35:46,020 للـ F اللي هي الـ E N بتروح للـ E ثبتناها بس 423 00:35:46,020 --> 00:35:51,720 إيش المهم أنه الـ F prime لهذه اللي بتروح لها هذه 424 00:35:51,720 --> 00:35:57,080 اللي هي الـ E prime هي مين اللي هي اللي بتروح لها الـ 425 00:35:57,080 --> 00:36:02,340 E N الـ F الـ F N prime عند الـ E N زائد واحد prime 426 00:36:02,340 --> 00:36:03,260 بتروح للـ E 427 00:36:06,460 --> 00:36:13,560 إذا من نظرية إيان ستذهب إلى الـ E برضه وليس كذلك 428 00:36:13,560 --> 00:36:20,250 الـ E' لهذه هي هذه يعني بمعنى آخر E N زي دول prime 429 00:36:20,250 --> 00:36:25,830 prime limitها الـ E prime زي ما هي مين الـ E يعني 430 00:36:25,830 --> 00:36:29,950 مدام الـ limitها هي الـ E و هي نفسها limitها من 431 00:36:29,950 --> 00:36:33,370 النظرية اللي بنستنتجها E prime إذا صارت الـ E هي 432 00:36:33,370 --> 00:36:38,610 مين الـ E prime أو بطريقة أخرى limit الـ E N prime 433 00:36:38,610 --> 00:36:43,440 حسب النظرية بتساوي الـ E prime ومن جهة أخرى limit en 434 00:36:43,440 --> 00:36:50,500 prime هو نفسه limit en نفسها و limit en اللي هي طبعا 435 00:36:50,500 --> 00:36:53,280 أنا مسميها n و n نقص واحد احنا مسميينها n و n زاد 436 00:36:53,280 --> 00:36:57,740 واحد طبيعي en prime هي limit من limit en نقص واحد 437 00:36:57,740 --> 00:37:02,620 لحالها لأن هذه بتساوي هذه و هذه أصلاً limit احنا 438 00:37:02,620 --> 00:37:07,140 أثبتنا إيش بتساوي الـ E إذا صارت عند الـ E prime هي 439 00:37:07,140 --> 00:37:10,720 إيش بتساوي الـ E يعني هذه الـ E prime استنتاجا من 440 00:37:10,720 --> 00:37:16,260 النظرية و هذه اللي هو من اللي أثبتنا في البداية و 441 00:37:16,260 --> 00:37:19,800 أيضاً نقدر نستخدم .. لسه نتجه من النظرية لكن احنا 442 00:37:19,800 --> 00:37:25,540 أثبتنا فيها قبل ما نستعمل المظلة طيب هذا الكلام 443 00:37:25,540 --> 00:37:30,680 صحيح وين لكل x وين موجودة في ناقص a و a لكن a احنا 444 00:37:30,680 --> 00:37:35,600 أخدناها إجمالها arbitrary يعني الآن بيصير عندي 445 00:37:35,600 --> 00:37:40,740 اللي هو لكل x بلقي لواحدة زي هيك بتحقق الكلام هذا 446 00:37:40,740 --> 00:37:44,560 الآن فبيصير عندي a prime of x بساوي e of x لكل x 447 00:37:44,560 --> 00:37:50,720 element in R وهيك بيكون احنا أثبتنا وجود اللي هو 448 00:37:50,720 --> 00:37:58,390 الـ E of X أثبتنا وجود دالة أثبتنا 449 00:37:58,390 --> 00:38:06,100 وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة بتحقق شرطين اللي 450 00:38:06,100 --> 00:38:11,900 هو E prime of X بساوي E of X وبتحقق الشرط الثاني E 451 00:38:11,900 --> 00:38:20,680 of 0 بساوي 1 السؤال الآن هل في غيرها؟ هل في غيرها 452 00:38:20,680 --> 00:38:25,860 ولا لأ؟ طبعاً لحظة الحظ أنه لا يوجد دالة غير هذه 453 00:38:25,860 --> 00:38:31,140 الدالة اللي بتحقق هذا الكلام بس قبل ما نثبت الـ 454 00:38:31,140 --> 00:38:35,740 uniqueness خلّينا ناخد بعض النتائج بشكل سريع و 455 00:38:35,740 --> 00:38:39,900 نتائج سهلة واللي هي إن شاء الله ما تاخدش وقتها 456 00:38:39,900 --> 00:38:43,040 شوفوا يا جماعة صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام 457 00:38:43,040 --> 00:38:48,080 الـ function E has a derivative of every order and 458 00:38:48,080 --> 00:38:51,260 E N of X بيساوي E of X for all N element in N و X 459 00:38:51,260 --> 00:38:54,480 element in R يعني الآن لو فضلناها كمان مرة و مرتين 460 00:38:54,480 --> 00:38:56,980 و تلاتة و أربعة هتطلع إيش نفس الدالة طبعا هذا 461 00:38:56,980 --> 00:39:00,360 الكلام سهل و by induction زي ما أنتم عارفين أول 462 00:39:00,360 --> 00:39:03,120 حاجة ما أثبتناها فور n بالساوية 1 فور n بالساوية 463 00:39:03,120 --> 00:39:06,480 واحد ما احنا أثبتنا E prime of X إيش بالساوية E of X 464 00:39:06,480 --> 00:39:11,070 إذا هذه is true فور n بالساوية 1 طيب لان افترض 465 00:39:11,070 --> 00:39:15,510 أنها هذه صحيحة في n بيساوي K بيصير E K of X 466 00:39:15,510 --> 00:39:20,010 بيساوي E of X لما ان اتبتها ل K زائد واحد طيب ل K 467 00:39:20,010 --> 00:39:23,870 زائد واحد خد A K زائد واحد of X إيش هذه؟ هذه اللي 468 00:39:23,870 --> 00:39:30,840 هي A K of X الكل اشمالها إبراهيم الآن a k of x 469 00:39:30,840 --> 00:39:33,540 فرضناها إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه 470 00:39:33,540 --> 00:39:33,940 بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية 471 00:39:33,940 --> 00:39:34,880 إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه 472 00:39:34,880 --> 00:39:35,180 إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه 473 00:39:35,180 --> 00:39:37,200 بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية 474 00:39:37,200 --> 00:39:43,180 إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه 475 00:39:43,180 --> 00:39:54,500 بالساوية إيه بالساوية إيه بالسا 476 00:39:55,640 --> 00:40:01,620 وضلك فاضل إلى ما لا نهاية حيظل تطلع نفس الدالة نجي 477 00:40:01,620 --> 00:40:07,340 الآن لـ Corollary أو الخاصية اللي بعدها لهذه 478 00:40:07,340 --> 00:40:15,040 الدالة هذه الدالة Fx أكبر من 0 بقول لك دائماً حيكون 479 00:40:15,040 --> 00:40:21,280 الواحد زائد X strictly أصغر من مين من E of X من E 480 00:40:21,280 --> 00:40:32,910 of X إن إن عندي اللي هي أربعة أربعة عشان تشوف إيش 481 00:40:32,910 --> 00:40:40,550 أربعة الأربعة اللي هي الـ E prime of X أظن هيك كنا 482 00:40:40,550 --> 00:40:51,590 حاكين الـ E الناس في الـ E of X عندي 483 00:40:51,590 --> 00:40:53,390 E 484 00:40:55,380 --> 00:41:03,750 أنا of X أقبى أو أصغر strictly من E N زائد واحد of 485 00:41:03,750 --> 00:41:09,850 X لكل X أكبر من مين من صفر ليه؟ لأن هذه هيزيد 486 00:41:09,850 --> 00:41:12,630 عليها term اللي هو X أسوان زائد واحد على N زائد 487 00:41:12,630 --> 00:41:15,630 واحد فكتوريا وهذا ال term الاكساتي اللي أكبر من 488 00:41:15,630 --> 00:41:19,810 صفر أشماله اللي هو مودة إذا صارت الـ sequence اللي 489 00:41:19,810 --> 00:41:25,010 عندي يا جماعة هذه عبارة عن strictly increasing 490 00:41:25,680 --> 00:41:29,120 sequence strictly increasing sequence بناءً عليه 491 00:41:29,120 --> 00:41:36,240 هيكون عند E1 of X أصغر strictly من E2 of X وهذا 492 00:41:36,240 --> 00:41:42,020 أصغر strictly من E N of X لكل N أكبر أو يساوي 493 00:41:42,020 --> 00:41:51,440 تلاتة والـ X أشمالها أكبر من سفر ماشي الحال طيب E1 494 00:41:51,440 --> 00:42:02,170 of X مين هي؟ واحد زاد X وهذا أصغر من E2 of X وهذا 495 00:42:02,170 --> 00:42:08,170 أصغر من E N of X إذا ناخد الـ limit لكل الجهات as N 496 00:42:08,170 --> 00:42:10,670 goes to infinity وهذا independent of N وهذا 497 00:42:10,670 --> 00:42:15,590 independent of N إذا سيصبح أصغر أو يساوي limit E N 498 00:42:15,590 --> 00:42:20,430 of X as N goes to infinity و limit E n of X as n 499 00:42:20,430 --> 00:42:25,350 goes to infinity هو عبارة عن مين قلنا عنه E of X 500 00:42:25,350 --> 00:42:31,350 إذا صارت 1 زائد X strictly أصغر من E of X أو E of 501 00:42:31,350 --> 00:42:39,850 X أكبر strictly من 1 زائد X طيب نيجي اللي هو نثبت 502 00:42:39,850 --> 00:42:45,310 الـ uniqueness للدالة اللي أثبتنا وجودها الآن إذا 503 00:42:45,310 --> 00:42:51,290 أثبتنا وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة تحقق 504 00:42:51,290 --> 00:43:01,390 الشرطين اللي قلناهن اللي هو E of E primeof X بساوي 505 00:43:01,390 --> 00:43:07,430 E of X لكل X element in R الشرط الأول والشرط 506 00:43:07,430 --> 00:43:14,350 الثاني اللي هو E of Zero بتساوي إيش واحد الآن هذه 507 00:43:14,350 --> 00:43:17,390 الشرط ده اللي أكبرنا وجودها لنتبت إنها إيش وحيدة 508 00:43:17,700 --> 00:43:22,860 الآن الـ function E من R لـ R that satisfies I and 509 00:43:22,860 --> 00:43:29,200 I I هكذا of theorem 8.3.1 is unique إذا ما لها هذه 510 00:43:29,200 --> 00:43:32,940 الدالة وحيدة ونشوف كيف نثبت وحيدة طبعا أنتم 511 00:43:32,940 --> 00:43:36,140 عارفين الـ .. الاستراتيجية تثبت إنها وحيدة ونفترض 512 00:43:36,140 --> 00:43:39,340 إن في دالتين وفي الآخر يا بنسأل لتناقض أو بنسأل 513 00:43:39,340 --> 00:43:43,260 لإن الدالتين أشمالهم متساويتين خلينا نشوف 514 00:43:47,010 --> 00:43:52,110 لأن let E1 and E2 be two functions on R ماشي الحال 515 00:43:52,110 --> 00:43:59,470 E1 و E2 عبارة عن دالتين من R ل R تحقيقان البرو بارتز 516 00:43:59,470 --> 00:44:03,010 I and I I of T والمتمنى هو تلاتة واحد اللي كتبه إن 517 00:44:03,010 --> 00:44:08,700 أنا على الجنب هناك الآن وخلّينا نسمي E1 - E2 يتساوي 518 00:44:08,700 --> 00:44:14,840 F رايحكم باتجاهة F يتساوي 0 إذا أثبتنا F يتساوي 0 519 00:44:14,840 --> 00:44:21,630 إذا سيصبح E1 يتساوي E2 يكون خلصنا طيب then فضلي هذه 520 00:44:21,630 --> 00:44:24,510 .. فضلي هذه لأن هذا قبل التفاضل وهذا قبل التفاضل 521 00:44:24,510 --> 00:44:27,350 إذا F prime of X بيساوي E1 prime of X ناقص E2 522 00:44:27,350 --> 00:44:32,230 prime of X E1 prime of X إيش هتساوي اللي هو نفسها 523 00:44:32,230 --> 00:44:35,730 لأن مفترضين احنا و E2 prime of X برضه هتساوي نفسها 524 00:44:35,730 --> 00:44:39,770 إذا E1 ناقص E2 يعني مين بيساوي F يعني صارت F prime 525 00:44:39,770 --> 00:44:44,610 تبعتنا مين هي بيساوي F of X لكل X element المين 526 00:44:44,610 --> 00:44:50,090 إنا احسب اللي دي إيش يا جماعة احسب لولي F في صفر أف 527 00:44:50,090 --> 00:44:53,350 اف صفر بيساوي ا واحد اف صفر ناقص اتنين اف صفر ا 528 00:44:53,350 --> 00:44:56,710 واحد اف صفر واحد و اتنين اف صفر برضه إيش بتساوي 529 00:44:56,710 --> 00:44:59,510 واحد لأن مفترضين ا واحد و اتنين بتحقق اللي هي 530 00:44:59,510 --> 00:45:02,970 الشرط الامامنا إذا بيساوي واحد ناقص واحد و أي ساوي 531 00:45:02,970 --> 00:45:04,350 إيش صفر 532 00:45:07,320 --> 00:45:13,380 by induction f double prime هتساوي f نفسها f 533 00:45:13,380 --> 00:45:18,060 triple بتساوي f نفسها fn of x بيساوي f of x وعملت 534 00:45:18,060 --> 00:45:21,920 قبل بشوية واحدة زيها إذا by induction fn of x 535 00:45:21,920 --> 00:45:28,280 بيساوي f of x لكل x element in R إذا حققت الآن f 536 00:45:28,280 --> 00:45:34,500 of 0 بيساوي 0 و fn of x بيساوي مين؟ f of x شوف 537 00:45:34,500 --> 00:45:42,870 الآن إذا صار عندي F of Zero بساوي Zero أو F 538 00:46:10,090 --> 00:46:17,830 بساوة 0 طب إيش علاقتنا أبوها الجيت بتشوف عشان بدنا 539 00:46:17,830 --> 00:46:20,690 نطبق اللي هو taylor's theorem تبعت ال derivative 540 00:46:20,690 --> 00:46:25,930 نص اللي اللي بدنا يعني برهان حلو let x element in 541 00:46:25,930 --> 00:46:29,550 R be arbitrary أخدنا إذا x element in R arbitrary 542 00:46:29,550 --> 00:46:33,810 x اللي يعني let I x be the closed interval with 543 00:46:33,810 --> 00:46:40,760 end point 0 x يعني I x هناخدها بتساوي 0 و X أو اللي 544 00:46:40,760 --> 00:46:47,080 هي X و 0 على .. على اللي هو اللي هي حسب X اللي هي 545 00:46:47,080 --> 00:46:51,980 سالبة أو موجبة إذا أخدنا ال I X عبارة عن اللي هي ال 546 00:46:51,980 --> 00:46:56,600 closed interval اللي within point 0 X الآن F is 547 00:46:56,600 --> 00:47:01,020 continuous on I X على الـ closed interval مدام 548 00:47:01,020 --> 00:47:03,320 continuous على closed interval and function that 549 00:47:03,320 --> 00:47:06,460 is continuous على closed interval then it is 550 00:47:06,460 --> 00:47:09,200 bounded on this interval يعني بمعنى آخر there 551 00:47:09,200 --> 00:47:12,880 exist k بحيث أن absolute value of f of t أصغر أو 552 00:47:12,880 --> 00:47:17,960 يساوي k for all t element in I X يعني f is bounded 553 00:47:17,960 --> 00:47:23,580 on this interval الآن بدنا نطبق if we apply 554 00:47:23,580 --> 00:47:27,540 taylor's theorem 6 4 1 to F بدنا نطبقها على 555 00:47:27,540 --> 00:47:31,800 النقطتين النقطة الأولى اللي هي ال X X و X naught 0 556 00:47:31,800 --> 00:47:35,640 يعني بنطبقها على مين اللي هي X X اللي هي طبعاً 557 00:47:35,640 --> 00:47:41,370 أنتم متذكرين F of X أف of X تيلر سيوريم there 558 00:47:41,370 --> 00:47:46,370 exists C in اللي هي ال interval مثلاً X not و X 559 00:47:46,370 --> 00:47:52,690 such that F of X بيساوي اللي هو F of X not زائد F 560 00:47:52,690 --> 00:47:58,490 prime of X not على واحد factorial في X minus X not 561 00:47:58,490 --> 00:48:05,910 زائد زائد Fn of x0 على n factorial في x minus x0 562 00:48:05,910 --> 00:48:11,610 الكلوس n زائد ال remainder اللي هو fn زائد واحد of 563 00:48:11,610 --> 00:48:15,730 اللي هي ال c اللي لاجيناها there exists c اللي هي 564 00:48:15,730 --> 00:48:19,170 of c طبعا ال c هنا هتعتمد على ال n اللي احنا 565 00:48:19,170 --> 00:48:24,850 اختارناها واشتغلنا عليها هو مسميها cn على اللي هو 566 00:48:24,850 --> 00:48:28,670 n زائد واحد factorial في x 567 00:48:33,180 --> 00:48:37,920 الـ N هو 568 00:48:37,920 --> 00:48:42,580 ما أخذها لعند مين بدل ما هو remainder N زائد واحد 569 00:48:42,580 --> 00:48:45,880 نسميه remainder N نفس الشيء ما في مشكلة احنا 570 00:48:45,880 --> 00:48:51,880 كملناها يعني بدل ما اشتغل على N زي ما اشتغل على N 571 00:48:51,880 --> 00:48:54,460 زائد واحد اشتغل على ال N هو أما هي ال Taylor's 572 00:48:54,460 --> 00:48:59,460 theorem طيب المهم انتبهوا عن ديلنبن Taylor's 573 00:48:59,460 --> 00:49:03,580 theorem على ال interval Ix اللي X0 بيساوي 0 574 00:49:03,580 --> 00:49:08,040 وخلينا نستخدم Fk of 0 اللي كتبتها هناك اللي هو 575 00:49:08,040 --> 00:49:12,020 هتساوي Fk of 0 هتساوي 0 دائماً اللي هو و لكل k 576 00:49:12,020 --> 00:49:15,740 element n it follows that for each n unlimited on 577 00:49:15,740 --> 00:49:20,000 there exist a point cn unlimited on x هذه اللي هي 578 00:49:20,000 --> 00:49:23,920 ال cn بتعتمد على مين على n يعني الأن لو أخدت ببدل 579 00:49:23,920 --> 00:49:28,860 اللي هنا على اللي هي on بتساوي مثلاً اتنين أخد on 580 00:49:28,860 --> 00:49:31,660 بتساوي ثلاثة أخد بتساوي on بتساوي أربعة ده هتختلف 581 00:49:31,660 --> 00:49:35,740 من ال cn اللي بنلاقيها such that f of x بيساوي f 582 00:49:35,740 --> 00:49:39,420 of zero زائد f prime of zero على واحد factorial في 583 00:49:39,420 --> 00:49:44,390 x طبعاً ناقص صفر X هتظلها زائد FN ناقص واحد لأن ناقص 584 00:49:44,390 --> 00:49:47,630 واحد factorial في X minus X note اللي هي صفر طبعاً 585 00:49:47,630 --> 00:49:52,830 هتصير X ناقص واحد زائد FN of CN على N factorial X 586 00:49:52,830 --> 00:49:56,530 اثنين يعني هنا نأخذ ال remainder اللي هو RN مش RN 587 00:49:56,530 --> 00:50:01,410 زائد واحد زي ما نعمله طبعاً ما تفرجش بتزيده وبتشتغل 588 00:50:01,410 --> 00:50:04,910 عليه نفس الشيء الآن بس ال cn اللي بتختلف من n زائد 589 00:50:04,910 --> 00:50:07,650 واحد بصير cn زائد واحد مثلاً لأنه حاجة ثانية ممكن 590 00:50:07,650 --> 00:50:11,290 تيجي غير ال cn اللي لاجيناها حسب النظرية ويساوي 591 00:50:11,290 --> 00:50:16,350 لأن كل هدول التاريج زي شمال هي الصفار لإنه fk of 592 00:50:16,350 --> 00:50:21,290 00 إذا هذا صفر وهذا صفر طبعا هذا عند مين محسب عند 593 00:50:21,290 --> 00:50:25,800 الصفر وهذا عند الصفر إلى آخره إذا كل هذول هيكون 594 00:50:25,800 --> 00:50:30,700 الصفار هيظل عندي بس القيمة هذه ايش القيمة هذه اللي 595 00:50:30,700 --> 00:50:35,320 هي fn of cn طبيعي هتكون f of min of cn لأنه احنا 596 00:50:35,320 --> 00:50:41,070 عرفنا أنه ال derivative f prime أف دابل برايم أف 597 00:50:41,070 --> 00:50:45,710 تريبل كل نياش بيساوي الأف إذا حيكون أف of CN على N 598 00:50:45,710 --> 00:50:50,710 فيكتوريال في X أس N إذا وصلنا له الآن أنه بعد ما 599 00:50:50,710 --> 00:50:57,170 طبقنا Taylor's theorem طلع عندي الآن F of X هذه 600 00:50:57,170 --> 00:51:04,710 اللي بنصبه إلى أن نثبتها بتساوي صفر طلعت عندي F of 601 00:51:04,710 --> 00:51:10,230 X بيساوي F of CN على N فيكتوريال في X أس N الآن خذ 602 00:51:10,230 --> 00:51:14,510 لل absolute value لها absolute value لل F of X 603 00:51:14,510 --> 00:51:20,090 هيصير أصغر أو يساوي ال absolute value أو بيساوي 604 00:51:20,090 --> 00:51:26,870 بالضبط absolute value F of C N فال absolute value 605 00:51:27,400 --> 00:51:33,440 للـ X أس N على N فكتوريال، مظبوط؟ لكن F of C N 606 00:51:33,440 --> 00:51:37,200 هذه is .. الـ F is bounded على الفترة اللي لجيناها 607 00:51:37,200 --> 00:51:40,180 اللي هي الفترة اليمين اللي قلت عنها اللي هي الـ I 608 00:51:40,180 --> 00:51:44,380 X مدان bounded قلنا هذه أصغر أو يساوي الـ K إذا 609 00:51:44,380 --> 00:51:47,380 هذه بيصير أصغر أو يساوي الـ K في ال absolute value 610 00:51:47,380 --> 00:51:52,750 X أس N على N فكتوريال نيجي الآن هذه as n goes to 611 00:51:52,750 --> 00:51:56,770 infinity هذه independent of n هذه أكبره يساوي صفر 612 00:51:56,770 --> 00:51:59,430 و أصغره يساوي هذه as n goes to infinity هذه بتروح 613 00:51:59,430 --> 00:52:05,590 للصفر إذا هذه بتروح شمالها بدها تصير f of x تساوي 614 00:52:05,590 --> 00:52:11,230 الصفر ومنه ال E1 بتساوي ال E2 لأن f بتساوي E1 ناقص 615 00:52:11,230 --> 00:52:17,350 E إثنين وهو المطلوب وهذا الكلام صحيح لكل X element 616 00:52:17,350 --> 00:52:25,050 in R لأن X اللي أخذناها arbitrary element in R هيك 617 00:52:25,050 --> 00:52:31,990 بنكون أثبتنا وجود ال E واحد ال E التي تحقق الشرطين 618 00:52:31,990 --> 00:52:38,590 اللي عندنا وفي نفس الوقت أثبتنا أن هذه الدالة اللي 619 00:52:38,590 --> 00:52:46,680 بتحقق الشرطين هي دالة وحيدة مدام الدالة واحدة إذن 620 00:52:46,680 --> 00:52:53,280 الآن يعني شرّعنا إنه نعطيها اسم إنه نقدر نعرف 621 00:52:53,280 --> 00:52:59,200 الدالة اللي بتحقق هذول الشرطين إنها اسمها كذا the 622 00:52:59,200 --> 00:53:02,660 unique definition ثمانية ثلاثة خمسة the unique 623 00:53:02,660 --> 00:53:06,140 function E من R لR such that E prime of X بساوي E 624 00:53:06,140 --> 00:53:10,120 of X for all X elements in R وتحقق ال E زيرو 625 00:53:10,120 --> 00:53:15,190 بساوي واحد موجودة ووحيدة إذا بحق اللي أقول is 626 00:53:15,190 --> 00:53:18,450 called the exponential function وهي الـ 627 00:53:18,450 --> 00:53:22,350 exponential اللي أنتو مبسوطين عليها وبتستخدموها 628 00:53:22,350 --> 00:53:27,530 أثبتنا الآن من خلال اللي هو اللي هي الترتيب اللي 629 00:53:27,530 --> 00:53:31,690 رتبناه في المادة differentiability integrability و 630 00:53:31,690 --> 00:53:36,350 بعدين اللي هو sequences of functions وصلنا إلى 631 00:53:36,350 --> 00:53:41,190 اللي هو ال exponential هذه function exists التي 632 00:53:41,190 --> 00:53:43,850 سميناها الـ Exponential Function 633 00:53:48,710 --> 00:53:53,850 بدنا نسمي الـ E of واحد قيمة الدالة القيمة الدالة 634 00:53:53,850 --> 00:53:58,650 الـ E هذه عند الواحد بدنا نسميها E E و هذا اللي 635 00:53:58,650 --> 00:54:04,410 بنسميه Ehlers number و احنا يعني بعد هيك هيصير 636 00:54:04,410 --> 00:54:09,410 عندي اللي هو الرمز E of X إن هو ال exponential X 637 00:54:09,410 --> 00:54:15,710 أو أسهلنا في الاستخدام ال E of X ايش هتساوي الـ E X 638 00:54:15,710 --> 00:54:21,530 هذا الـ E واحد قيمة الدالة عند مين عند اللي هو 639 00:54:21,530 --> 00:54:26,750 الرقم واحد سمناها E ماشي الحالة الآن E of X 640 00:54:26,750 --> 00:54:32,610 بساوي E to the X هذه عبارة عن اللي هي الدالة E 641 00:54:32,610 --> 00:54:37,550 of X بساوي X notation لها لكن بعد شوية هنلاقي ال 642 00:54:37,550 --> 00:54:42,310 notation consistent of اللي هو مع مين مع اللي هو 643 00:54:42,310 --> 00:54:47,480 ال exponent يعني هيصير الـ E to the exponent X هو 644 00:54:47,480 --> 00:54:51,960 عبارة عن بالضبط اللي هو قيمة الـ E of X لأن الـ E 645 00:54:51,960 --> 00:54:54,620 of X بيساوي E to the X و ال E of واحد بيساوي E 646 00:54:54,620 --> 00:54:59,440 واحد بيصير عندي E لما أرفعها للقوة X يطلع قيمتها 647 00:54:59,440 --> 00:55:05,840 هي عبارة عن اللي هي قيمة دل E of X حسب اللي احنا 648 00:55:05,840 --> 00:55:11,550 معرفينه هنا يعني من الإحسابات ومن تعريفنا للدالة 649 00:55:11,550 --> 00:55:23,070 هيكون فيه consistent it is consistent في الحالتين 650 00:55:23,070 --> 00:55:28,990 طيب نيجي الآن لما الكلام هذا ال number E can be 651 00:55:28,990 --> 00:55:32,570 obtained as a limit and thereby approximated in 652 00:55:32,570 --> 00:55:36,410 several different ways طبعا احنا مادام عنده اللي 653 00:55:36,410 --> 00:55:42,990 هو عبارة عن limit لل E N of X اللي هي بتطلع عندي 654 00:55:42,990 --> 00:55:47,450 limit عند ال .. ال .. ال .. ال end of واحد لأنها 655 00:55:47,450 --> 00:55:52,130 continuous بصير عندي مدام limit إذا بصير أقدر أقرب 656 00:55:52,130 --> 00:55:56,490 هذه القيمة اللي هي و نحصل على قيمة تقريبية بال E و 657 00:55:56,490 --> 00:56:00,010 هذا مش شغلنا شغل تبعين اللي هو numerical analysis 658 00:56:00,010 --> 00:56:05,530 أو الناس اللي بدأت .. اللي هي تشتغل في التقريب أو 659 00:56:05,530 --> 00:56:09,270 مش شغل نهاني يعني بصدي إلى أن الـ use of notation E 660 00:56:09,270 --> 00:56:15,050 و X of E X زي ما قلنا كله تمام تمام consistent إلى 661 00:56:15,050 --> 00:56:19,910 أن يجي اللي هو لبعض الخواص الأخرى لهذه اللي هي 662 00:56:19,910 --> 00:56:24,130 الدالة إلى أن الـ exponential function satisfies 663 00:56:24,130 --> 00:56:26,150 the following properties 664 00:56:32,620 --> 00:56:35,960 أول حاجة أن الـ E of X لا تساوي صفر لكل X element 665 00:56:35,960 --> 00:56:40,140 in R هي أول حاجة أن هذه الدالة دائماً لا تساوي صفر 666 00:56:40,140 --> 00:56:45,980 طبعا شغالة على R E of X زي Y بساوي E of X في E of Y 667 00:56:45,980 --> 00:56:50,880 for all X element .. Y element in R الآن E of R 668 00:56:50,880 --> 00:56:56,080 هنا اللي هي E of R قيمة الـ function هذه هتطلع لنا 669 00:56:56,080 --> 00:57:00,260 بالضبط هي عبارة عن الـ E اللي قلنا عنها الرقم اللي 670 00:57:00,260 --> 00:57:06,000 قبل و شوية لما نرفع للقوة R فبصير الآن consistency 671 00:57:06,000 --> 00:57:11,440 between the definition of the exponential and the 672 00:57:11,440 --> 00:57:15,700 exponent of E to the power R بس هذي الـ R ايش اللي 673 00:57:15,700 --> 00:57:21,880 من الين؟ NQ لأن ماشي الحالة ده نشوف نبرهن اللي هو 674 00:57:21,880 --> 00:57:27,390 الأولى by contradiction بدي أفترض إنه في عندي E of 675 00:57:27,390 --> 00:57:31,930 α for some α element in R والـ E of α ايش تساوي 676 00:57:31,930 --> 00:57:35,870 تساوي صفر ونوصل لcontradiction لان suppose that 677 00:57:35,870 --> 00:57:39,550 there exists α element in R such that E of α ايش 678 00:57:39,550 --> 00:57:44,750 بساوي بساوي صفر الآن and let G α be the closed 679 00:57:44,750 --> 00:57:49,710 interval with endpoints mean α و 0 يعني الـ G of α 680 00:57:49,710 --> 00:57:54,230 زي اللي فوق يا بساوي اللي هو 0 ألفة أو ألف و زيرو 681 00:57:54,230 --> 00:57:59,440 حسب قيمة الألف موجبة أو سالبة طيب الآن زي ما قلت 682 00:57:59,440 --> 00:58:02,480 قبل بشوية بما أن E is continuous on a closed 683 00:58:02,480 --> 00:58:07,700 interval Iα او Jα اللي هو مسميها then there exist 684 00:58:07,700 --> 00:58:10,280 case such that اللي هو ال absolute value E of D 685 00:58:10,280 --> 00:58:16,030 صفر بساوي K لكل T element in G الآن مشابه للي قبل دي 686 00:58:16,030 --> 00:58:19,930 ربالكم الآن بدنا نستخدم mean taylor theorem اللي 687 00:58:19,930 --> 00:58:24,890 هو على اللي هي ال function اللي عندي هذه اللي هو 688 00:58:24,890 --> 00:58:29,310 بس في مين الآن في ال end points ألف ومين ألف وصفر 689 00:58:29,310 --> 00:58:32,610 إذا there exist cn element in dn such that مسرع 690 00:58:32,610 --> 00:58:35,950 لأنه قاعد بعيد نفس البرهان اللي قبله شوية such 691 00:58:35,950 --> 00:58:42,200 that اللي هو E of صفربطبق عند e of 0 بساوي e of 692 00:58:42,200 --> 00:58:44,340 alpha زائد e prime of alpha على واحد factorial في 693 00:58:44,340 --> 00:58:47,280 ناقص alpha اللي هي zero ناقص alpha زائد e n ناقص 694 00:58:47,280 --> 00:58:50,780 واحد على ناقص واحد factorial alpha ناقص alpha أس 695 00:58:50,780 --> 00:58:54,160 n ناقص واحد لما أصل لعند ال remainder e n of alpha 696 00:58:54,160 --> 00:59:00,060 على n factorial في ناقص alpha أس n الآن أخذ هذه 697 00:59:00,060 --> 00:59:05,770 مش e alpha هذه الـCn هذه الـ C أنا مخربط بصراحة الله 698 00:59:05,770 --> 00:59:11,430 ماشي الحالة الآن E of Zero طبيعي ايش يساوي واحد 699 00:59:11,430 --> 00:59:14,510 ما احنا عارفين إن خلاص عرضناها الدالة هذه E of Zero 700 00:59:14,510 --> 00:59:17,630 بتساوي واحد تساوي واحد يساوي E of Zero ويساوي 701 00:59:20,060 --> 00:59:23,400 الآن E of Alpha فرضناها إيش بالساوية صفر هيك 702 00:59:23,400 --> 00:59:28,280 مفترضينها E prime of Alpha اللي هي نفس E of Alpha 703 00:59:28,280 --> 00:59:32,880 إذا صفر برضه وهذا نفس الشيء إذا كلنا دول صفر مع 704 00:59:32,880 --> 00:59:36,100 الحدين الأخيرة إذا هتساوي E of Cn على N factorial 705 00:59:36,100 --> 00:59:42,340 ناقص Alpha أس N وزي ما قلنا إنه احنا الآن هذا 706 00:59:42,340 --> 00:59:48,390 المقدار عندي صار .. نوضح لكم هذه نشوف كيف نصل لـ 707 00:59:48,390 --> 00:59:53,770 contradiction هالحد صار عند مايا ليه يا جماعة 708 00:59:53,770 --> 00:59:57,190 صارت عند الواحد هذه اللي بيساوي E to the zero 709 00:59:57,190 --> 01:00:03,630 بيساوي E to the zero اللي هي أصغر أو يساوي ال 710 01:00:03,630 --> 01:00:07,510 absolute value لهذه بيساويها بعد إنه أصغر أو يساوي 711 01:00:07,510 --> 01:00:14,420 بيساوي ال absolute value E of CL على N factorial في 712 01:00:14,420 --> 01:00:22,320 absolute value ناقص Alpha أُس N وهذه زي ما قلنا E 713 01:00:22,320 --> 01:00:25,880 of C N إيش ما اللي قلنا قبل بشوية هذه أصغر أو يساوي و 714 01:00:25,880 --> 01:00:32,960 ساوي K إذا K على N factorial في ناقص Alpha أُس N 715 01:00:32,960 --> 01:00:38,710 ماشي الآن هذا المقدار as n goes to infinity بيروح 716 01:00:38,710 --> 01:00:42,910 لـ0 هذا independent of n وهذا independent of n 717 01:00:42,910 --> 01:00:48,650 صار عندي الآن هذا الآن هي الواحد أصغر أو يساوي 718 01:00:48,650 --> 01:00:53,390 اللي هو هذا المقدار خد ال limit as n goes to 719 01:00:53,390 --> 01:00:57,430 infinity بيصير الواحد أصغر أو يساوي صفر وهذا إيش 720 01:00:57,430 --> 01:01:03,250 ماله contradiction إذا صار في عندي الفرضية الأولى 721 01:01:03,250 --> 01:01:07,770 خاطئة إذا there is no such Alpha اللي هو بتكون 722 01:01:07,770 --> 01:01:10,530 عندها ال K of Alpha بتساوي صفر إذا ال K of Alpha 723 01:01:10,530 --> 01:01:16,090 بتساوي أكبر لا تساوي صفر دائما إذا صار عندي اللي 724 01:01:16,090 --> 01:01:22,150 هو قيمة اللي هي E to the X لا تساوي صفر أبدا نيجي 725 01:01:22,150 --> 01:01:29,110 الآن إن بدنا نثبت أنه نثبت الخاصية اللي بعدها اللي 726 01:01:29,110 --> 01:01:38,430 هي عبارة عن E of X زائد Y بساوي E of X في E of Y 727 01:01:38,430 --> 01:01:42,670 لكل X و Y element in R هذه الخاصية اللي بدنا 728 01:01:42,670 --> 01:01:48,410 نثبتها شوف طريقته حلوة في الإثبات بيقول ليه نفترض 729 01:01:48,410 --> 01:01:53,030 Y fixed arbitrary لكن ليهاش fixed بنحكي عن Y محددة 730 01:01:53,030 --> 01:01:59,760 arbitrary لكن نحكي عن Y محددة الآن مادام Y اللي هي 731 01:01:59,760 --> 01:02:05,240 ال E of Y أكيد يشملها لا تساوي صفر اتفقنا عليها 732 01:02:05,240 --> 01:02:11,520 الآن عرف لي الآن function G من R لR عرفها كيف؟ G of 733 01:02:11,520 --> 01:02:15,720 X المتغير X الآن Y اللي هي عبارة عن شيء Fix ثابت 734 01:02:15,720 --> 01:02:19,080 بنحكي عنه لكن كان arbitrary اللي هي G of X بيساوي E 735 01:02:19,080 --> 01:02:24,420 of X زائد Y على E of Y for X element in R أخذنا 736 01:02:24,420 --> 01:02:30,060 هذه الدالة الآن شوف هذه الدالة اعمل G prime لها G 737 01:02:30,060 --> 01:02:33,920 prime of X بالفضل بالنسبة لي XY ثابتة اللي هي بيصير 738 01:02:33,920 --> 01:02:38,280 هذه E prime of X زائد Y على E of Y عدد ما لاش 739 01:02:38,280 --> 01:02:43,080 علاقة فيه Y ساوي الـ E' هي نفس مين؟ الـ E of X زي Y 740 01:02:43,080 --> 01:02:48,720 على E of Y ماشي؟ طيب، الآن صار هذا الـ E X زي Y 741 01:02:48,720 --> 01:02:53,280 على E of Y هو مين؟ رجع G إذا رجعت إن الـ G' مش 742 01:02:53,280 --> 01:03:01,770 بيساوي الـ G الآن and احسب لي g of 0 بساوي e of 0 743 01:03:01,770 --> 01:03:06,070 زائد y على e of y يعني بساوي واحد إذا الدالة 744 01:03:06,070 --> 01:03:11,050 اللي عرفناها هذه g of x طلعت لي g prime لها نفسها 745 01:03:11,050 --> 01:03:15,310 وطلعت لي g of 0 واحد وعلمنا قبل قليل عمال بيقول 746 01:03:15,310 --> 01:03:18,610 ما فيش غير واحد في الدنيا بتهبها الخاصيتين اللي 747 01:03:18,610 --> 01:03:23,190 هي مين ال E of X إذا هذه غصب عننا لازم تطلع مين ال 748 01:03:23,190 --> 01:03:27,080 E of X because of the uniqueness of E إذا صحيح أنا 749 01:03:27,080 --> 01:03:31,000 عندي E of X بساوي E X زائد Y على E of Y يعني E X زائد 750 01:03:31,000 --> 01:03:37,940 Y بساوي E of Y في ال E of X وهو المطلوب طيب نيجي 751 01:03:37,940 --> 01:03:46,800 الآن نثبت اللي بعدها اللي هي بدنا نثبت E of R 752 01:03:46,800 --> 01:03:54,870 بساوي E to the R R المنتنين LQ اللي هو rational 753 01:03:54,870 --> 01:04:00,870 number طيب جماعة فيكم تصلوا على النبي عليه الصلاة 754 01:04:00,870 --> 01:04:09,370 والسلام لنشوف كيف نيجي 755 01:04:09,370 --> 01:04:14,690 للبرهان اللي هو الجزء الثالث أو هذا جزء من النظرية 756 01:04:14,690 --> 01:04:18,830 أول 757 01:04:18,830 --> 01:04:24,560 حاجة هذه صحيحة لكل أنهي المتناوبة كيف؟ by induction 758 01:04:24,560 --> 01:04:53,330 E of X بساوي E of X أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد 759 01:04:53,330 --> 01:04:56,270 أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد 760 01:04:56,270 --> 01:04:56,330 أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد 761 01:04:56,330 --> 01:04:57,110 أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد 762 01:04:57,110 --> 01:05:00,170 أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد 763 01:05:00,170 --> 01:05:02,740 أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكE 764 01:05:02,740 --> 01:05:08,660 of K في X زائد X ويساوي من الخاصية اللي احنا لسه 765 01:05:08,660 --> 01:05:12,880 ما خلصناهاش هذه بساوي E للأول زائد في E للتاني اللي 766 01:05:12,880 --> 01:05:17,960 هي E للأول اللي هو KX في E للتاني اللي هي EX 767 01:05:17,960 --> 01:05:22,780 ويساوي EKX اللي هو E of X أُس K لأنه فرضنا أنا 768 01:05:22,780 --> 01:05:31,260 صحيحة اللي هي K بيصير عندي E of X أُس K في E of X و 769 01:05:31,260 --> 01:05:39,800 يساوي E of X الكل أُس K زائد واحد إذا صارت 770 01:05:39,800 --> 01:05:49,580 هذه is true for all N element in N طيب .. الآن شوف 771 01:05:49,580 --> 01:05:53,920 ما يليه نلاحظ ما يليه 772 01:06:02,460 --> 01:06:06,080 Let x بتساوي إيش؟ واحد على N ناخذ الـ x إيش 773 01:06:06,080 --> 01:06:10,540 بتساوي واحد على N؟ بتصير هذا E of واحد لأن N في 774 01:06:10,540 --> 01:06:13,840 واحد على N واحد ال E of واحد رمزناها من رمز إيش 775 01:06:13,840 --> 01:06:17,940 يا جماعة؟ E وهذا اللي بدأ أصله هذا رمزناها من رمز 776 01:06:17,940 --> 01:06:22,420 E وال E عبارة عن رقم ال E of واحد هي قيمة الدالة 777 01:06:22,420 --> 01:06:28,100 اللي تبعتنا عند اللي هي الواحد سميناها E الآن E of N 778 01:06:28,100 --> 01:06:33,380 في 1 على N تساوي اللي هي عبارة عن ال X هذه اللي هي 779 01:06:33,380 --> 01:06:40,720 عبارة عن 1 على N E of 1 على N الكل اسمه أُس N يعني 780 01:06:40,720 --> 01:06:48,380 الآن عندي هذه ال X E N X بساوي E X أُس N X مين 1 781 01:06:48,380 --> 01:06:53,210 على N E of 1 على N أُس N إذا صار عندي الآن هي هذا 782 01:06:53,210 --> 01:06:59,010 القيمة بساوي هذا إذا بمعنى آخر E of واحدة الآن 783 01:06:59,010 --> 01:07:05,830 بساوي E العدد أس واحد على N هذا الآن E of واحدة 784 01:07:05,830 --> 01:07:14,050 الآن بساوي E أس واحد على N الآن من جهة أخرى لو 785 01:07:14,050 --> 01:07:23,700 جيت E أس minus M هتساوي واحد على E أُس M خد 786 01:07:23,700 --> 01:07:26,760 ال 787 01:07:26,760 --> 01:07:33,460 E of M ناقص M اللي هي بيساوي E of Zero اللي هي 788 01:07:33,460 --> 01:07:41,020 بيساوي واحد صح وإيه يساوي E of M في E of ناقص M حسب 789 01:07:41,020 --> 01:07:45,900 الخاصية اللي هي زائد ناقص M هذه X وهذه ال Y E 790 01:07:45,900 --> 01:07:49,760 الأولى في E التانية الآن صار عندي هذا المقدار 791 01:07:49,760 --> 01:07:57,600 بساوي واحد يعني إذا E of ناقص M بساوي بنقل هدهان 792 01:07:57,600 --> 01:08:03,260 واحد على E of M إذا صارت عندي E of ناقص M بساوي 793 01:08:03,260 --> 01:08:09,360 واحد على E of M وال E of M ال E of M من فوق E of M 794 01:08:09,360 --> 01:08:14,280 هذا X بواحد يعني بيساوي E of واحد أُس M يعني عبارة 795 01:08:14,280 --> 01:08:19,500 عن E أُس M وهي فوق إيش واحد الآن هذه اللي هو عدد 796 01:08:19,500 --> 01:08:23,800 عادي اللي هو E مرفوع للأُس M اللي هو نفسه E to the 797 01:08:23,800 --> 01:08:27,360 minus M لأن هذه معلومة قديمة لذا إنصار عندي الآن E 798 01:08:27,360 --> 01:08:34,820 of minus M بيساوي E أُس ناقص M وال E أُس واحد على 799 01:08:34,820 --> 01:08:43,460 N بيساوي E أُس واحد على N نيجي 800 01:08:43,460 --> 01:08:46,780 الآن احنا غايتنا مين؟ E of R الـ R إيش اللي نقدر 801 01:08:46,780 --> 01:08:50,640 نكتبها؟ الـ R في الـ Q إذا الـ R بتنكتب على صورة M 802 01:08:50,640 --> 01:08:54,780 على N إذا ناخذ R في اللي نمتني Q إذا there exists M 803 01:08:54,780 --> 01:08:58,820 و N أي واحدة في زد واحدة في N صحيح ده؟ R بتساوي M 804 01:08:58,820 --> 01:09:03,320 على N بتثبت لك إن E of M على N بساوي E to the M على 805 01:09:03,320 --> 01:09:12,580 N شوف كيف E of M على N إيش هيساوي E أُس واحد على N 806 01:09:12,580 --> 01:09:21,400 الكل أُس M أُس M E of واحد على N أُس M مين 807 01:09:21,400 --> 01:09:28,870 اللي شرع لي اللي هوعندي اللي هي E ناقص M وهي سالبة طلعت 808 01:09:28,870 --> 01:09:33,870 E أُس مينس M واللي شرع لي E وواحد على N و N مودبة 809 01:09:33,870 --> 01:09:41,130 هي E أُس واحد على N فبيصير عندي الآن E أُس M على N أُس 810 01:09:41,130 --> 01:09:45,970 M على N بساوي E أُس واحد على N هذه اللي جوا الكل 811 01:09:45,970 --> 01:09:53,650 أُس M الكل أُس M ماشي الحال هو يساوي E 812 01:09:58,010 --> 01:10:03,730 هذه شرع لي إي وواحد الآن الكل أُس M وهذا عدد عادي 813 01:10:03,730 --> 01:10:08,730 الآن وهذا عدد عادية بيصير إي أُس M عالميا على N و 814 01:10:08,730 --> 01:10:14,850 هذه بيكون عندي إي أُس إي او M على N بساوي اللي هو 815 01:10:14,850 --> 01:10:18,870 عبارة عن إي أُس M على N و M على N was our 816 01:10:18,870 --> 01:10:21,710 arbitral rational number إذا صار عندي إي أُس R 817 01:10:21,710 --> 01:10:24,210 بساوي إي أُس R 818 01:10:29,400 --> 01:10:35,160 نيجي الآن للنظرية اللي هي ثمانية ثلاثة سبعة اللي هي 819 01:10:35,160 --> 01:10:39,980 النظرية الأخيرة في اللي هي الحديث عن اللي هو ال 820 01:10:39,980 --> 01:10:45,260 exponential function وبعدها طبعا بنحكي عن اللي هو 821 01:10:45,260 --> 01:10:48,060 ال logarithmic function بس خلينا الآن نحكي عالميا 822 01:10:48,060 --> 01:10:54,340 نكمّل نظريتنا على ال exponential function بنشوف 823 01:10:55,540 --> 01:11:00,240 الآن بقول لي الـ exponential function E is strictly 824 01:11:00,240 --> 01:11:04,840 increasing on R يعني الـ derivative إلها أكبر من 825 01:11:04,840 --> 01:11:11,460 صفر ماشي؟ and this range اللي هو Y المتنرسج ده Y 826 01:11:11,460 --> 01:11:16,720 أكبر من صفر يعني الـ E هتكون بالضبط ده اللي من R 827 01:11:16,720 --> 01:11:24,080 بتصب إلى R positive إلى R positive يعني عبارة عن 828 01:11:24,080 --> 01:11:31,370 صفر وما له نهاية هي التي هي range دالة range دالة 829 01:11:31,370 --> 01:11:34,610 هذه هي من صفر إلى ما له نهاية لأن كتابة على صورة 830 01:11:34,610 --> 01:11:40,210 function is on to طيب مش هيك limit E of X لما X 831 01:11:40,210 --> 01:11:43,470 تروح لسالب ما له نهاية بتساوي صفر and limit E of X 832 01:11:43,470 --> 01:11:47,110 لما X تروح لما له نهاية إيش بتساوي؟ بتساوي ما له 833 01:11:47,110 --> 01:11:55,670 نهاية يعني الدالة هذه في حالة الـ E of X اللي 834 01:11:55,670 --> 01:11:59,070 احنا سميناها الـ X exponential للـ X هذه الدالة هذه 835 01:11:59,070 --> 01:12:03,130 الدالة زي ما أنتم عارفين لما X تروح إلى سالب ما له 836 01:12:03,130 --> 01:12:06,830 نهاية هذا هيروح للصفر الـ E of X هتروح للصفر ولما 837 01:12:06,830 --> 01:12:10,890 الـ X تروح لما له نهاية الـ E of X هتروح إيش إلى ما له 838 01:12:10,890 --> 01:12:14,810 نهاية نشوف أول شيء بالنسبة لمين؟ لل range 839 01:12:19,570 --> 01:12:24,250 الآن we know that E of 0 بيساوي إيش واحد أكبر من 840 01:12:24,250 --> 01:12:29,770 إيش من صفر أكيد، ضبط ولا لا؟ and E of X ده بيساوي 841 01:12:29,770 --> 01:12:36,390 سفر for X element in R صار عندي الآن هذه دالة E of 842 01:12:36,390 --> 01:12:38,650 0 إلها واحد، ماشي؟ 843 01:12:40,360 --> 01:12:46,000 أو E of X مش سفر يعني إيه شمالها لا تقطع محور 844 01:12:46,000 --> 01:12:51,910 السينات إطلاقًا اللي E of X نفسها و 0 من سفرها الآن 845 01:12:51,910 --> 01:12:57,110 أنا أقول مستحيل تكون فيها قيم سالبة يعني مستحيل 846 01:12:57,110 --> 01:13:02,030 نلاقي E of X naught اللي هي أصغر من 0 ليش؟ لأنه لو 847 01:13:02,030 --> 01:13:05,990 لجينا E of X naught سالبة لو هالجيت عندنا X naught 848 01:13:05,990 --> 01:13:09,910 و هيها قيمتها E of X naught اللي هو سالبة يعني 849 01:13:09,910 --> 01:13:16,460 هتكون تحت، ما هي الدالة متصلة مدام متصلة إذا غصب 850 01:13:16,460 --> 01:13:20,940 عنها هتيجي تقطع اللي هو ما هتيجي منها لها هتقطع 851 01:13:20,940 --> 01:13:24,760 محور السينات إذا هتصير سفر وهذا Contradiction من 852 01:13:24,760 --> 01:13:28,380 أين الكلام هذا؟ By Bolzano Intermediate Value 853 01:13:28,380 --> 01:13:32,760 Theorem بما أنه إحنا في عندنا X0 فرضناها ال E of 854 01:13:32,760 --> 01:13:39,260 X0 أصغر من سفر وفي عندي اللي هي E of Zero بتساوي 855 01:13:39,260 --> 01:13:40,980 واحد اللي هي 856 01:13:44,440 --> 01:13:48,620 أه لو فرضنا أن في X نوت X نوت تكون اللي هو 857 01:13:48,620 --> 01:13:56,300 سالبة X نوت أصغر من سفر فعندي E of X naught أصغر 858 01:13:56,300 --> 01:14:05,740 من سفر وعندي اللي هو في اللي هو E of X بتساوي 859 01:14:05,740 --> 01:14:14,470 واحد أه وهادي أكبر من سفر أه وفرضنا وجود هذه وفرضنا 860 01:14:14,470 --> 01:14:18,810 وجود هذه إذا by intermediate value theorem غصبن 861 01:14:18,810 --> 01:14:23,650 عنها there exists c element الفترة اللي إحنا بنحكي 862 01:14:23,650 --> 01:14:28,510 عنها R such that f of هذه الـ c اللي هي E of C 863 01:14:28,510 --> 01:14:33,330 بتساوي كمية اللي بينين اللي هي اسمها سفر وهذا 864 01:14:33,330 --> 01:14:41,860 contradiction بالتالي بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على 865 01:14:41,860 --> 01:14:47,060 أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها 866 01:14:47,060 --> 01:14:47,260 مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق 867 01:14:47,260 --> 01:14:47,280 البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض 868 01:14:47,280 --> 01:14:47,700 لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق 869 01:14:47,700 --> 01:14:48,880 على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي 870 01:14:48,880 --> 01:14:49,100 انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها 871 01:14:49,100 --> 01:14:51,280 مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق 872 01:14:51,280 --> 01:14:54,390 البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقمن سفر طيب مدام ال 873 01:14:54,390 --> 01:14:57,010 E of X أكبر من سفر وإحنا بنعرف أن ال E prime of X 874 01:14:57,010 --> 01:15:00,690 بتساوي E of X إذا صارت ال E prime أكبر من مين من 875 01:15:00,690 --> 01:15:04,890 سفر كل X element ال R ومن ثم هذا معناته أن E is 876 01:15:04,890 --> 01:15:10,450 strictly increasing on R إذا اللي هو المطلوب الأول 877 01:15:10,450 --> 01:15:15,810 أثبتناه أن E is strictly increasing on R طيب 878 01:15:24,230 --> 01:15:30,250 عندي اثنين strictly increasing ال function مظبوط 879 01:15:30,250 --> 01:15:41,510 يعني اثنين أصغر من مين من اياش من ال E ليش لأن 880 01:15:41,510 --> 01:15:53,730 عندي الواحد E واحد أو E of X قلنا أصغر strictly ولا 881 01:15:53,730 --> 01:15:57,890 أكبر strictly من واحد زاد X صح؟ هذه الكورولا 882 01:15:57,890 --> 01:16:02,810 remained ثمانية ثلاثة ثلاثة اثبتناها إذا صار عند E 883 01:16:02,810 --> 01:16:08,050 of واحد أكبر strictly من واحد زائد وا أكبر strictly 884 01:16:08,050 --> 01:16:13,970 من واحد زائد واحد وال E of واحد مين هو E أس واحد 885 01:16:13,970 --> 01:16:17,390 مش هيك اتفاجنا يعني هذا اياش اثنين يعني ال E أكبر 886 01:16:17,390 --> 01:16:22,450 strictly من مين من الاثنين اتفاجنا طيب اتفاجنا إذا 887 01:16:22,450 --> 01:16:26,410 صار عند ال E of اثنين أكبر strictly ال E أكبر من 888 01:16:26,410 --> 01:16:29,950 مين من اثنين خلينا نبدأ عليها هذه ال E أكبر من 889 01:16:29,950 --> 01:16:41,000 اياش من اثنين الآن أكيد عنده ال E of R اللي بيساوي E 890 01:16:41,000 --> 01:16:48,440 R أو E N خليني أقول E N أكبر من اثنين هتكون أصغر 891 01:16:48,440 --> 01:16:53,700 اللي هي أكبر من اثنين أس N الآن as N goes to 892 01:16:53,700 --> 01:16:57,680 infinity إذا 893 01:16:57,680 --> 01:17:04,230 أكيد هذه هتروح لمين لإنفينيتي والـ E نفسها اللي هي 894 01:17:04,230 --> 01:17:08,750 is strictly increasing is strictly increasing إذا 895 01:17:08,750 --> 01:17:12,370 ال E of X تبعتها برضه هتروح لمين ل Infinity لما X 896 01:17:12,370 --> 01:17:18,650 تروح إلى وين إلى مالانهاية ليش لأن لكل L في X 897 01:17:18,650 --> 01:17:24,670 أكبر منها بحيث أن اللي هو تصير E of X اللي هي 898 01:17:24,670 --> 01:17:30,110 بتساوي E to the X أكبر من E to the N لكل N في X 899 01:17:30,110 --> 01:17:33,850 أكبر منها بتصير E of X أكبر منها لأنها strictly 900 01:17:33,850 --> 01:17:37,710 increasing فلان لما تروح هذه إلى مالانهاية الكبار 901 01:17:37,710 --> 01:17:41,170 تبعتها وهذه طبعًا أكبر دايمًا موجودة هذا هتروح إلى 902 01:17:41,170 --> 01:17:45,540 أين برضه إلى مالانهاية يعني limit ال E of X لما X 903 01:17:45,540 --> 01:17:48,980 تروح إلى مالانهاية بتساوي مالانهاية وقول لكم اللي 904 01:17:48,980 --> 01:17:54,040 هو لو تجربته اللي هو يثبته أنه بما أنه limit E of 905 01:17:54,040 --> 01:17:58,840 N بتروح إلى مالانهاية by اللي هي limit definition 906 01:17:58,840 --> 01:18:03,020 إذا limit E of X لما X تروح إلى مالانهاية بتساوي 907 01:18:03,020 --> 01:18:08,080 مالانهاية الآن similarly for mean for اللي هو 908 01:18:08,080 --> 01:18:11,120 limit 909 01:18:12,620 --> 01:18:16,560 الـ E of X لما X تروح لسالب مالانهاية هذه الآن 910 01:18:16,560 --> 01:18:22,840 بيصير اثنين أو minus N أكبر من E أو minus N ماشي 911 01:18:22,840 --> 01:18:28,000 الحال الآن ال limit لهذه as N goes to infinity 912 01:18:28,000 --> 01:18:31,940 أكبر أو يساوي ال limit لهذه as N goes to infinity 913 01:18:31,940 --> 01:18:33,420 الآن 914 01:18:35,300 --> 01:18:40,100 هذه إيش مالها بيساوي سفر وهذه أوتوماتيك هيساوي إيش؟ 915 01:18:40,100 --> 01:18:44,840 هيساوي سفر الآن as N goes to infinity يعني ال E to 916 01:18:44,840 --> 01:18:49,720 the minus N بتروح للسفر من وين؟ من اليمين، مظبوط أو 917 01:18:49,720 --> 01:18:53,060 تروح للـ Zero، مظبوط لأن at E minus N تروح لما 918 01:18:53,060 --> 01:18:57,440 لنهاية As N goes to infinity E to the minus N تروح 919 01:18:57,440 --> 01:19:03,460 لإنفينيتي لأن as X بتروح إلى سالب مالانهاية ال E 920 01:19:03,460 --> 01:19:07,560 to the minus X برضه هتروح إلى وين؟ إلى السفر يعني 921 01:19:07,560 --> 01:19:11,220 ال E to the X نفسها لما ناخد ال limit لما X تروح 922 01:19:11,220 --> 01:19:14,580 بدل مالانهاية تروح إلى مين؟ سالب مالانهاية برضه 923 01:19:14,580 --> 01:19:20,200 هتساوي إيش؟ السفر إذا صار عندي limit E ضو X لما X 924 01:19:20,200 --> 01:19:23,560 تروح السلمة لها يابسة أو سفر و بعتمد على اللي هو 925 01:19:23,560 --> 01:19:26,780 الجهتين على ال strictly increasing تبع ال E و 926 01:19:26,780 --> 01:19:30,580 التفاصيل اللي هي ال definition بتظهر عندكم أنا 927 01:19:30,580 --> 01:19:34,220 ما فصلتاش لإنه هو إيه هذا القائم