بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة رقم 12 في مساق
تحليل حقيقه 2 لطلاب و طالبات الجامعة الإسلامية
كلية العلوم قسم رياضيات وهي المحاضرة الثانية بعد
الطوارئ لمواجهة فيروس كورونا
السيكشن اليوم ان شاء الله اللي هنبدأ فيه اللي هو
سيكشن سبعة اتنين اللي هو عبارة عن البروبارتيز of
the Riemann Integral او اللي هو خواص اللي هو
الريمان انتيجرالبندب على عدد من الأسئلة اليوم أنه
لو كانت عندي في عندي اللي هو two functions f و g
اللي هو عبارة عن integrable functions على some
bounded closed interval I هل مجموحين هيكون
integrable ولا لأ؟ هل حاصل ضرب ثابت؟في اللي هو الـ
F اللي هي الـ integrable function هيطلع اللي هو
الـ K F is integrable؟ هل حاصل ضرب دالتين F و G is
integrable؟ هل لو أجينا كان في عندي two functions
F و G integrable؟ وكان اللي هو معرفات على أساس ال
composition بينهين يكون معرف؟ وكان التنتين
integrable؟ هل اللي هو F composite G integrable
ولا لأ؟أيضًا لو مش Integrable طب إيش نحط condition
على واحدة منه عشان يصير Integrable؟ هتجاوب عليه
نظرية اللي هو هنحكي عنها أنه لو كانت إحداهما اللي
هي continuous فهيكون عندي اللي هو أو إذا كانت ال F
is continuous يكون F composite G is Integrable
وحنشوف هذا الكلام إن شاء الله خلال اللي هو هذا ال
section وحنوظف اللي هو نظرية ال composition هذه في
إثباتاللي هو بعض الدول كيف هتكون اللي هو
integrable نبدأ الآن في اللي هو النظرية الأولى
اللي هتجاوبلنا على اللي سألناه السؤال الأول انه لو
كانت عندي الية theorem 711 لو كانت I عبارة عن
closed bounded interval A وBهو الـ F و الـ G عبارة
عن two functions من I لعند R وفرضنا إن هنا دولة ال
two functions أيه شمال هنا؟ Are integrable يعني
نفترض let F and G be two integrable functions on I
الآن if K element in R عبارة عن .. عبارة عن ثابت
then the functions اللي هو الإجابة الآن K في F و K
في G يعني حاصل ضرب الثابت في الـ F هيطلع عند عبارة
عن integrable functionوهيطلع f زائد g integrable
function يعني هيكون اللي هو اللي هي بدر دول f زائد
g is integrable وطبعا لو أثبتنا هذا integrable
وهذا integrable على طول ال f ناقص g is integrable
ليش؟ لأن f is integrable و g is integrable هيعطيني
اللي هو f زائد f و k في g برضه integrable حسب اللي
هو مين اللي حاكيناها هذا في حالة إثباتهمدام اتكافى
g is integrable لكل k طبعا element are من ضمنها
ناقص واحد يعني هيصير عند اف وناقص g integrable
يعني هيصير عند حسب اللي هو ال F زائد g بصير F زائد
ناقص g is integrable يعني F ناقص g برضه هيطلع ايه
شماله is integrable هذه ملاحظات سريعة ايضا هيطلع
عند حسب اللي هو النظرية هذه انه in general Fزائد k
في g هيكون integrable و لو كان في عندي constant
تاني k prime هيطلع ال linear combination بينهم k
prime f زائد g برضه is integrable هذا كله في حال
أثبتنا ان ال kf و ال f زائد g is integrable عندما
تكون f و d is integrable خلينا نبدأ الآن اللي هو
نثبت ال kf is integrable قبل ما نثبت خليني أذكركم
ببعض اللي هي ال ..القوانين أو اللي هو ال
definitions اللي احنا حكيناها سابقا عشان هستخدمها
اليوم اللي هو lower sum لل partition B وG ال
partition B هو عبارة عن ال partition لل interval I
اللي معرف عليها G هو عبارة عن summation MK في XK
minus XK minus 1 والMK زي ما انتوا عارفين هي عبارة
عن ال infimumلقيمة الدالة على اللي هي الـ
Subinterval اللي بنحكي عنها XK-1 و XK والـ L of G
اللي هو الـ Lower Integral اللي هو عبارة عن الـ
Supremum لكل الـ P و G لكل P element in the set of
all partition P of I و أيضًا الـ UPGهي عبارة عن
summation نفس اللي فوق بس بدل اللي هي ال infimum
بنحط M كابيتال K اللي هي عبارة عن اللي هي ال
supremum لقيمة ال functions زي ما انتوا عارفين أو
زي ما شرحناها سابقاً و ال U of G في هذه الحالة
اللي هو عبارة عن ال other integral هو عبارة عن ال
infimum لاللي هي كل ال other sumsلع ال partitions
بيه element in B of I هذا خلّيه على أساس أنه بدأ
استخدمه بعد شوية في هذه البرهان للنظريةالان بدأ
ابرهن اللي هو KF is Integra بالواحد و بعد هيك بدأ
اثبت لكم ان ال integration ل KFF بيساوي كيف ال
integration لمين لLF الان بدأ اخد تلات حالات بدأ
اخد طبعا هذا كل K ألمت نهار بدأ اخد حالة K بتساوي
سفر و حالة K أصغر من سفر و حالة K أكبر من إياش من
سفروكل حالة فيها بروحانها الحالة الأولى k بساوة
سفر حالة سهلة وحالة trivial لماذا؟ لأن إذا كانت kf
بساوة سفر هيصير الـ kf عبارة عن الـ zero function
و ال zero function is continuous يعني constantما
دام continuous حسب النظرية المرة الماضية هتكون
اللي هو إيه شمالها is integrable إذا في حالة الـ K
بيساوي صفر trivial K F is integrable ومش هيك كمان
و K في ال integration لل F هذا عبارة عن integrable
يعني قيمة عددية وهذا Zero بيصير بيساوي Zero و ال
integration لل Zero function على الفترة A B اللي
هو عبارة عن ال K في ال F في هذه الحالة هيساوي صفر
إذا صار عندي من اللي هو الجهتين هذه ل Kفي ال
integration لل F بيساوي ال integration لل K F من A
ل B من A ل B بيساوي 0 in the case of ك بتساوي أياش
0 إذا زي ما قلنا فعلا لحالة ك بتساوي سفر حالة سهلة
و trivial case نيجي الآن بدنا نحكي عن مين يا جماعة
عن الحالة التانية اللي هو إذا كانت ك أصغر من 0 في
حالة ال K أصغر من 0 إذا نشغلنا الآن على ال K أصغر
من 0طيب لحظة
ما هي ليه؟ خلّينا نركز على الحالة اللي هو K أصغر
من 0 عندي K أصغر من 0 عندي
بدي أوجد ال L بي و K فئةالـ LBQF الـ B أشماله Any
Partition أخدت الـ B أشماله Any Partition بسوء X
نوت X1 لعند XN Any Partition of مين؟ Of the
interval I اللي بنحكي عنهاإذا الـ BKF حسب التعريف
اللي كاتبه فوق إيش بيساوي الـ summation للـ M
لمين؟ الـ M للـ function الجديدة اللي هي اسمها
إيش؟ KF اللي هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum هذه
الـ K اللي هي إيش؟ الـ MK small اللي هي الـ
infimumلأ اللي هي الدالة تبعتنا K F of X لكل X وين
موجودة في ال sub interval هذه بس بلاش عشان مايصيرش
conflict بين ال K اللي هنا و ال K اللي هنا خليني
أسميها بعد إذنكم اسمهااللي هي I I اللي هي ال sub
interval اللي هو X I minus واحد لعند مين لعند X I
هذه I من عند واحد لعند N مضروبة في مين في طول
الفترة هذه اللي هي X I minus X I minus واحد هذه
اللي هي ال B K و F Y ساوينك ايش يا جماعة احنا
بنشتغل ك أصغر من سفر بنشتغل على الحالة ك أشملها
أصغر من سفر إذا حيساو ال summation الـ K لما تطلع
برا ال infimum و هي سالبة على طول بتجلب ال infimum
إلى إيش إلى supremum إذا بيصير ك في ال supremum لل
F of X such that X element in II من عند 1 لعند N
ومضروب هذا في XI minus XI minus 1 ويساوي الآن
خلّينا نطلع ال K هذه برا ال summation بالمرة لأن
ال K عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن K عبارة عن ثابت
وبيطلع برا ال summation عادي وكأنه عامل مشترك
بيصير K في ال summation الآن لمين لل supremum لل F
of Xوالـ x element in I I في مضروب في مين؟ في الـ
x I minus x I minus واحد اللي هو طول الـ interval
و هذا الكلام I من عند واحد لعند N إلى أن هذا يا
شباب كلهعبارة عن ايش عبارة عن بالظبط تعريف ال U بي
و مين و ال function اللي عندي هنا ايش هي اللي
بشتغل عليها هنا F اذا حيساوي K في ال U ل بي و مين
و F اذا اللي وصلتله يا جماعة ان عندي اللي هو ال L
of K و P و F بيساوي K في الـ U P و F Similarly
وبنفس الطريقة بقدر أحصل على ال U بنفس الطريقة ال U
لأ ال P و K F اللي هو هتساوي K في ال L P و Fهتساوي
بنفس الطريقة كفي ال L, P و F خلّي
هذا في الذاكرة أنه اللي حصلنا عليه اللي قلته هاي
هذا الكلام خلّيني أسجلها اللي حصلت عليها لإني بدي
أستخدمها بعد شوية اللي هو بساوي K
في الـ U,B وF وزي ما قلنا similarly الـ U الـ U,B
,K وF بساوي K في الـ L,B وFماشي الحال طبعا هذه لو
لو حد حاب يعرف التفاصيل التفاصيل سهلة خليني بس على
السريع أحكيها شفوي ال U P Q F إيش هيصير هنا بصير
ال summation لأن ال supremum بدل ال M K capital
هذي بصير اللي هي supremum لمين بدل ال G K F فلمّا
.. لما أطلع ال K برا عام المشترك بصير ال supremum
infimumفبصير اللي هو الـ K برا وهنا الـ infimum مع
هذه اللي هي بالظبط تعريف مين ال L of B أو F باشي
الحال؟ طيب، الآن بكون احنا أثبتنا الجهتين أنا وين
رايح؟ أنا بدي أثبت إن الـ K في الـ Fis integrable
in the case K أصغر من 100 من 0 طيب احسبولي يا
جماعة احسبولي ال L of K F ايش بتساوي حسب تعريفنا
اللي فوق عبارة عن ال supremum لمين لل L of B و K F
حيث B element in the set of partitions B of I ماشي
الحل يا جماعة ويساوي الآن
الـ LBKF أنا حضرتله أصلا بيساوي K في الـ U ويساوي
بطلع ال K برا هذه بيصير ال supremum لـ K الـ U, B
و F such that B element in B of Iو يساوي بطلع ال K
برا بيصير K لأن K سالب يا شباب بيصير K في مين؟ في
ال infimum لل U بي و F واضح أه؟ such that B
element in B of I الآن ال infimum لل Uللـ B و F
على الشغل عمين الآن عن الـ function F ديروا بالكم
إذاً هيساوي ك .. في مين هذه تعريف؟ تعريف بالظبط
الـ infimum لهذه اللي هو عبارة عن الـ U of F الـ U
of F هاي واحد اتنين من جهة أخرى نعتبد على هذه اللي
هو الـ U ofب .. آسف ال U of K F بدوجتها ال U of K
و F إيش حيساوي؟ حيساوي ال infimum له اللي هي ال L
ال U of B و K F such that B element in B of I
هتلاقوها بتشبه اللي فوق و يساوي هذه أثبتناها إيش
بتساوي كفي ال L و يساوي ال infimum لأ بدل ال U إيش
بده يصير عنده ك ال B و F الان such that B element
in B of I و يساويالان ال K بضطلحها برا ال M في
مامي الجماعة ال K سالبة إذا إيش هتصير عبارة عن
إيش؟ عن K في ال supremum إذا و يساوي K في ال
supremum لل L بي و F such that B element in B of I
الان هذه الـ supremum هذه هي بالظبط تعريف من ال L
of F إذا بيصير و يساوي K في L of F K في L of F إذا
صارت الآن بتصور الصورة جربت توضح هاي عندي L of K
of F أثبتناها بتساوي K of U of Fو ال U K of F
بتساوي K L of F خلّيني ألخصها يا شباب فوق و نقارن
بينها و نصل لنتجتنا اللي بدنا إياها طيب صار عندي
يا جماعة اللي هي L of K F بتساوي K U of F و في نفس
الوجهة U of K F بتساوياللي هو K L of F طيب ما احنا
بنقول ايش احنا مفترضين ما احنا مفترضين ان F is
integrable ما زم F is integrable اذا ايش هيكون
عندي L of F هي نفس ال U of F اذا الان من هذه و من
اللي فوق بيصير عندي Lof K F التي بتساوي K في U of
F التي بتساوي K
في U
of Fإذن بين الجهتين طلع عندي L of K of F بيساوي U
K F وهذا يعني إذن K F is integrable إذن صار عندي
ال K F is integrable طيب الآن اللي بعده سهل نشوف
إيش اللي بعده ضل إيش أثبت إنه ال integrationالـ
integration للـ KF بيساوي KF ال integration لل F
اللي في الأول اللي هو اللي حكيناه في الأول يا شباب
تشوفوه حاضر أيوة
يا جماعة بدنا نثبت انه ال جيت أثبتنا ان KF is
integrable دلقا تبت هذه بتساوي هذهسهل الأمر طيب
احنا الآن مادام اللي هو KF is integrable إذا ال
integration من A ل B لل KF اللي هي صارت integrable
بساوي اللي هو ال L of K of F و ال U of K of F
بساوي U of K F مثلاو يساوي ال U K of F أيش هتساوي
من هنا اللي هتبتنعها ده K في ال L of F أو ال U of
F مش مشكلة كتير و يساوي ما هي ال F is integrable
إذا ال L of F هو عبارة عن إيش؟ ع ال integration من
A ل B لل F و ال K براتهلأن الـ F هو من ال
integration من A ل B ل F لأن الـ F is integrable
إذا صار عند الآن ال integration من A ل B ك F سواء
كيف ال integration من A ل B ل F الآن ظلت الحالة
الأخيرة يا شباب اللي هي حالة أن Kاللي هو أكبر من
سفر K أكبر من سفر Similarly تماما زي الحالة اللي
هي مين هي اللي قبل بشوية K أصغر من سفر بس لما نطلع
ال K برا ال supremum بتظل ال supremum supremum و
لما نطلع ال K برا ال infimum بتظل ال infimum
infimum مدام كله بظل زي بعضه بناء عليه اللي توه
قبل بشوية احنا أثبتنا بصير عندي ال L ال Lالـ L of
F أو الـ L of B و KF هيصير عبارة عن K في الـ L، B
و F لأن كل الدنيا هتظلها ماشية طبيعية لإن الـ K
أكبر من 0 لما تطلع من ال Infant Mom بتظلها زي ما
هي Infant Mom و لما تطلع من ال Supremum بتظلها زي
ما هي Supremumو ال U of K,B و K,F هتطلع بساوي K في
ال U,B و F و بناء عليه حيصير عندي ال U of K,F
هيساوي K في U of F و Lof K F هي ساوي K في ال L of
F ومن الجهتين بنحصل بما انه زي اللي فوق بالظبط انه
ال F is integrable بيصيه U of F بساوي L of F وعلى
طول بتطلع هذه بتساوي هذه وبنكمل زي ما كملنا هنا
بالظبطإذا اللي تركينه إحنا exercise K أكبر من 0 هي
الحالة الأسهل وهي نشرحت اللي هو الـ hint على كيف
تكون اللي هو نثبت ال integration للـ K F بساوي كيف
ال integration لل F وبذلك بكون أن هنا هذا الجزء من
النظرية لكل K element in R طيب نيجي الآن يا شباب
نثبت اللي هو الجزء الثاني من النظرية اللي هو الـ
integration أنه لو كانت F و G are integrable هيطلع
عندي برضه F زائد G is integrable خلّينا نشوف يا
جماعة مع بعض نفترض أنه F و G F و G من I لعند R are
integrable functionsبدنا نثبت أنه اللي هو الـ F
زائد G is integrable وكأني بد أثبت أن الـ L of F
زائد G بساوي الـ U لمين للـ F زائد G ماشي يا جماعة
طيب بد أثبت الآن زي ما قلنا أنه F زائد G is
integrable
بس في شغلتين هيك يعني ب .. ب .. بذكركم فيه إن اللي
هو من .. من الـ real واحد هنستخدمهم بعد شوية عندي
الآن لو
كان عندي two functions و بده أشوف اللي هو ال
supremumلل F of X زائد G of X such that X element
in some interval اللي بدكم إياها اسمها I I زي ما
هم سميها هيكون أصغر أو يساوي ال supremum لل F of X
such that X element in I I زائد ال supremumلـ g of
x such that x element in I I هذه معلومة سابقة من
اللي هو تحليل واحد نذكركوا فيها الـ infimum برضه
إشي مشابه بس بعكس اللي موجود زائد g of x طبعا كله
.. كله .. هذا إيه الإثبات وكله أسباب واخدناها في
تحليل واحد x element in I I أكبر أوي ساوي اللي هو
الـ infimum ل اللي هو f of xsuch that x element in
I I زائد ال infimum ل g of x such that x element
in I I هدولة الآن بدي اللي هي استخدمهم عشان اللي
هو أصل اللي بدي إياه الآن لو أجينا حسبنا اللي هو
ال U لL of B of F زائد Gعشان نصل لـ L F زي الـ G
بسوء الـ U F زي الـ G اعتمادا على ان الـ F و الـ G
انتجربل يعني اعتماده على ان القلة الـ F هي الـ U
الـ F و القلة الـ G هي الـ U G شوفوا معايا تبقوا
معايا هذا حسب التعريف أشهر سبب هو يسوي الـ
summation الان ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. M
small K بس لمين هذه لمين للـ Fزائد G هذي لمين يا
جماعة لل F زائد G مضروبة في XI minus XI minus 1 أو
XK زي ما هو نسميها زي ما بدكم نسميها سميناها فوق I
خلينا نسميها I I minus 1 I من عند 1 لعند Nالـ M I
هذه إيه يا شباب؟ الـ F زائد G هي عبارة على جهة
عشان منها هننطلق الـ M I F زائد G يعني الـ M I هذه
لمين؟ للـ function الجديدة اللي اسمها F زائد G
بساوي الـ infimumللـ F زائد G of X such that X
element in I, I وهذه من اللي كتبته الآن هنا اللي
قدمتله يا جماعة الانفمام اللي هنا أكبر يساوي
الانفمام لهذه زائد الانفمام لهذهالـ infimum لهذه
اللي هو اللي احنا بنسميها M K Small للـ function F
وهذه اللي بنسميها مين الـ M K Small للـ function
مين؟ للـ function G ماعليش الرموز لكن واضح انه
اللي هو احنا بنحكي عن إيش عساس ان نميز بين الـ M K
أو الـ M I سنة مسمينها I الـ M I هنا و الـ M I للـ
F و للـ J و للـ F زائد Jللـ F زائد J هيها وهي من
اللي فوق هذه أكبر أو يساوي الـ infimum على الأولى
للـ F زايد الـ infimum على الـ M على الـ J يعني
هذا بمعنى آخر لأن هذا قيمة موجة بقى صار أكبر أو
يساوي الـ summation اللي هو لمين للـ MI F زائد M I
J هذا أكبر أو يساوي من ال equality اللي فوق في X I
ناقص X I minus واحد I من عند واحد لعند N نوزع ال N
هذا بالظبط بساوي summation لل M I Fفي xi-xi-1 i من
عند 1 لعند n زائد ال summation نفسه على مين الآن
mij في xi-xi-1 i من 1 لعند n واضح يا شباب اه
المفروض ان الكلام واضحصيرنا عيدين الفكرة عدة مرات
وكلنا .. كله بندور حول اللي هو فعلا التعريف لل
upper thumb والlower thumb وال upper integral
والlower integral بس الواحد يستذكر التعريف هيلاقي
الأمور سهلة بإذن الله هذه بتساوي .. هذه مين هي
بالظبط يا شباب؟ هي عبارة عن الللـ Partition B اللي
بدأنا فيه الـ Arbitrary بالنسبة لمين الآن؟ للـ
Function F زائد هذا بين هذا الـ L of B و بالنسبة
لمين؟ لـ G صار عند الـ LB و F زائد G أصغر أو يساوي
آسف أكبر يساوي ال B و F زائد مين ال B of G خلّينا
نخزّن هذه المعلومة يا شباب و خلّيني أكتبها بعد
إذنكم هان أخزّن المعلومة لإن بعد بشوية هاجي
أستعملها أنا وصلت لل L B F زائد G هيكون أكبر أو
يساوي ال LP و F زائد ال L D و G هذه المعلومة
حصلناها هحصلك على إيش مشابه جدا لل U هتصير ال U P
و F زائد G أصغر أو يساوي تبعا للخاصية هذه اللي
اعتمدنا على البرهان فيها هنعتمد عليه الآن برهان في
ال U إيش اللي بقوله بقول ما يليه عارفين؟بدي اشتغل
على هذه او ارجوكم جدش الامور سهلة شيل هذه و احكي
عن مين عن ال U لان مدام حكيت عن ال U اذا بدي يصير
بدل ما هي M small مين بحكي بدل ال infinite بدي
يصير مين M I اللي هي ال supremum اللي هي ال
supremum اذا M I هذه لل F زائد G هي عبارة عن ال
supremum لل F of X زائد G of XX element in I لان
ال supremum للمجموع اللي هو هذهللـ F زائد G بدل ما
هيكون أكبر إيش هيساوي يا شباب أصغر أو يساوي ال
supremum هذا اللي هو عبارة عن M I F وهذا مين هو يا
شباب ال M I G إذا صار الموضوع واضح هيصير أصغر أو
يساوي اللي هو MI F و M I J و نفسه بظله زي ما هو و
هنا مسواة حقيقية M I بغير M I وزعت زي ما وزعت قبل
هذا عبارة عن مين صار يا شباب مدام ال M I capital
إذا صار U B F و هذا صار مين عبارة عن U B J إذا
اللي حصلنا الآن ال U B F زائد Gأصغر أو يساوي UBF
زاد UBJ وهي كما نكون حصلنا أو بدنا نخزن المعلومة
الثانيةUBF زائد G أصغر أو يساوي UBF زائد UBG هذا
الآن بيكون احنا حصلنا اللي هي ال ال two
inequalities هدولة اللي هم هم هم هم هم هم هم هم هم
هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم
هم هم هم هم هم هم هم هم هم هم
عبارة عن على كل partition بيه لكل partition بيه في
الدنيا الآن أنا عشان أصل لل Integrability ياما
بأثبت ال U ofأف زائد جي بيساوي الال بيقل أف زائد
جي وهذه يمكن شوية سنة بتغلب أو أن أستخدم اللي هو
انتجراميتي كريتيريا ان اوصل انه لكل أبسلون أكبر من
سفر there exist a partitionبإبسلون بحيث أن U
بيبسلون و F زائد G ناطس ال بيبسلون و F زائد G يكون
أصغر من إبسلون إذا حصلت هيك بكون على طول أثبتت أن
ال F زائد G is integrable واضح؟ طيب، وحروح بهذا
الاتجاه طيب، شوفوا معايا الآن إحنا فرضين أن F is
integrable إذن، مدام F is integrable إذن، by
Integrability criterion there exist لكل إبسلون
طبعا أخدت الآن إبسلون أكبر من سفر given أنا إبسلون
ماشي مدام F is integrable فانحارس بال
Integrability criterion there exist B F و إبسلون
partition B F و إبسلون such that U B F و إبسلون
والـ Function F ناقص .. ناقص ال .. معايا شباب
تذكرتوا هالنظرية؟ F و Epsilon و F أصغر من مين؟
أصغر من Epsilon على 2 للحسابات الـ Epsilon على 2
ماشي .. الآن خليني بس عشان أسهل عملية الحسابات
إليه بتدنقل هذه هنا بعد إذنكم و أقول هذا الكلام
أصغر من اللي هو هذا زائد هذاواضح ايش اللي بعمله؟
اللي صار عندي الان بما انه F is integrable إذا
بلاقي partition F إبسلون بحيث أنه هذا أصغر من هذا
زائد هذا واضح Similarly for G G is integrable
Similarly for G G is integrable بيعطيني
for every ε أكبر من 0 there exists بي ابسلون خاص
بال G خلّيني أسميه بعد ذلك بي جي ابسلون such that
طبعا partition of نفس ال interval اللي بنشتر عليها
لإن ال F و ال G دير بالكم معرفة على نفس ال
interval such that اللي هو ال U بي G و ابسلون و G
الآن ال function اللي بحكي عنها أصغر من Lبجي
وإبسلون أو الـ function ash جي زائد برضه مين
إبسلون على اتنين واضح يا جماعة؟ إذا من الـ
integrability للـ F لجي تلها partition و من ال
integrability للـ G لجي تلها partition الآن زي ما
عملنا المرة الفاتة بدي أخد partition عشان أستخدم
هذه و أستخدم هذه فبقول letبأبسلون وهذا بقول اللي
بتدعي ان اللي حلقيه اللي يثبت الـ Integrability أو
اللي هي criterion Integrability خدوا مين هو أكيد
كلكم حتقوله خد F و E اتحاد B G و E عساس ان يصير
بيبسلون refinement لهذهللأولى و refinement للثانية
و تظبط معانا ان ال refinement تحسين بيصير ال lower
للتحسين يكبر عشان يروح للاش .. لنساحة تحت المنحنى
بالظبط في حالة الموجة بقى و التحسين اللي يصير ال U
يصغر فبلتجن مع بعض فبعملنا بعملنا ال ال
integrability ماشي الحال سيانا عادينا كتير هذا
الكلامطيب صلى على النبي عليه الصلاة والسلام صلى
عليه الصلاة والسلام الآن عندي صار هذا عندي موجود
وهذا عندي ايش موجود انا غرض مين غرض هيه لهذه اه
عندي U الان بدأ ابدا احضر ان اصل U بإبسلول وافذائت
Gاللي هو ناقص الـ P Y و F زائد G أصغر من إبسلون
بيكون خلصت بيصير عندي ال F زائد G is integrable
إذا خلّينا نقول U بي إبسلون و F زائد G ماشي شباب
طيب هذه الآن أكيدأصغر أو يساوي من اللي أثبت هذا
أثبتنا لمين يا جماعة في الأول اللي حضرناه وقلنا
اتعبنا عليه هذا قلنا صحيح لكل partition في الدنيا
من ضمنه مين الـ BY اللي جاته إذن هذا بيصير أصغر أو
يساوي U BY و F زائد U BY و Gماشي يا أبو حسن؟ منيح
هيك بيكون أصغر أو يساوي هذه زي أن أصغر أو يساوي
اللي هي الثانية طيب الآن ال .. ال U P Y الان ال P
Y refinement لمين؟ لل P F Y و refinement لمين برضه
يا جماعة؟ ل P G Y مدام refinement إذن اللي هو
التحسين .. التحسين للـ U بصغر إذا هيصير عندي هذا
التحسين أكيد أصغر أو يساوي من الـ U بـ F وإبسلون
اللي هو هذا تحسين لهذا و F زائد برضه التحسين هذا
هيكون أصغر من اللي اتحسنله اللي هو الـ U بـ G
وإبسلون أو G ماشي الحال طيبنفس الأشياء عند احنا
بنعرف ان هذا المقدار U بإبسلون و F F و إبسلون
طلعوا على هنا هيو أصغر يساوي هذه زائد إبسلون ع
اتنين وهذه هيها اصلا بالعمد ان احنا عملنا الأسرع
عشان نعوض بيصير من هذه و من هذه بيصير أصغر من الof
B F و Epsilon مع ال F زائد Epsilon ع 2 زائد بدل
هذه اللي هي هيها منها نقل L B G و Epsilon و G زائد
Epsilon ع 2 ان شاء الله ما خرب 12 لأ ما خرب 12الان
صار عندى هذى y على اتنين و y على اتنين و اتنين
و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و
اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و
اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين و اتنين
و اتنين و اتنين و اتنين و امن أو يساوي الـ
refinement للـ L of B ε و F زائد اللي هو L أو B ε
OG سبحان الله كل الأمور متناسقة عشان في الآخر برضه
هذه الخاصية نستخدم اللي فوق و هذا تناسق في الخلق
ما بين ما ينتجه العقل و ما تنتجه الطبيعةاللي هو
هذا الان المقدار ال بيبسولون ال بيبسولون هي هذا
المقدار تطلع عليه من هنا أصغر أو يساوي ال بي أف
زائد إيش جي فبصير هذا أصغر أو يساوي عوضت من هنا يا
شباب الof B و F زائد G يعني إبسلون طبعاً لأن هذا
الكلام صحيح لكل partition زي ما قلنا من ضمن إن الـ
B إبسلون زائد إيش إبسلونصار عندى الان اللى بديها
الـ U بيبسلون F زائد G أصغر أو سوى L بيبسلون F
زائد G زايد Y يعني عشان اللى وصلت له أخدت Y
arbitrary لجهة partition بيبسلون بحيث ان الـ U
بيبسلون F زائد Gناقص القلبي Y F زائد G أصغر من Y
وهذا يعني انه احنا حققنا الـ Integrable criterion
بمعنى انه صارت الـ F زائد G is integrable إذن الآن
أثبتنا ان الـ F زائد G is integrable نيجي الآن
نحاول تخلينا بس هدولة اللي هستخدمن بعد شويةهنخلّيه
الموجودات و ده يعني مسحناها نضطرنا مسحناها نرجع
للتلخيص ركزوا معايا إيش اللي بقوله إيش اللي بحكيه
عندي
الان بدي اثبت ان ال integration لل F زي ال G يا
شباب سواء ال integration لل F زي ال integration لل
G يعني الخطوة الأولى احنا اثبتنا ان F زي ال G
integrable الان بدي اثبت ان ال integration لل F زي
ال G سواء ال integration لل F زي ال integration لل
G شوفوا عليها نيجي الآن ال integration من A ل B لل
F زي ال G ماهي الحالة ال integration لل F زي ال G
بتساوي الـ U of F زائد G صح ولا لأ؟ أه لأن الـ
Sort of زائد G is integrable إذا بتساوي الـ U of F
زائد G الـ U of F زائد G هي عبارة عن إيش يا جماعة؟
هي عبارة عن الـ infimum لكل الـ U of زائد G مع
الpartition Bإذن أي واحدة من اللي بموجود عليهم الـ
infimum هتكون هذا أصغر منها، هيصير عندي هذه أصغر
أو يساوي الـ U بيبسلون الـ F زائد D، أه أكيد،
عارفين ليش؟ لأن هذه الـ infimum لكل الـ U زلة زي
هيكحيث الـ PY عبارة عن الـ partition وين موجودة في
P of I هذه الـ U عبارة عن الـ infimum إلهم إذا
الواحد منهم أكبر أو يساوي اللي هو هذا الـ infimum
اللي هو الرابع .. ال grades اللي هو الرابع طيب هذا
U PY F زائد G U PY F زائد G لجناه أصغر أو يساوي
اللي هو ال بي أبسلون و F و بي أبسلون جي زائد
إبسلون شايفين هو من هنا يا شباب هاي اللي بدأ
استخدمه الآن هاي اللي بدأ تلزمني هنا هاي هذه هاي
هذه أثبتناها أصغر أو يساوي هذه خليني الآن أستخدمها
فوق فده ننجلها فوق هذه أصغر أو يساوي اللي بالأزرق
هذه أصغر أو يساوي الجيت بتعرفي أشي بتسوي ال بي
أبسلون و F
معايا شباب طيب ما هو ال F is integrable إذا ال
integration لل F بسوء L و F أكيد بسوء U و Fلأن هذه
الـ L of F هي عبارة عن الـ Supremum لهذه كلها إذاً
أكيد هذا أصغر أوي يساوي الـ L of F زائد و L of G
برضه أكبر أوي يساوي هذه لأن هذه عبارة عن الـ
Supremum لكل الأشكال اللي زي هذه و L of F هي عبارة
عن الـ Supremum لكل الـ B's و F لكل اللي هو ال
partitions اللي في set of all partitions
partitions B of Iزائد مين زائد أبسلون ولأن F is
integrable إذا هذا بيساوي بالظبط ال integration من
A ل B لل F زائد ال integration لأن G is integrable
ماعطينايها أصلاً G من A ل B زائد H زائد أبسلون صار
عندي الآن ال integration اللي حصلته يا شباب اللي
حصلته مالي اللي حصلته أنه صار عندي ال integration
لل F زائد Gمن a ل b ا اشماله اصغر او يساوي ال
integration لل F من a ل عند b زاد ال integration
لل g من a ل b زاد ابسلون هذا لكل ابسلون في الدنيا
لكل ابسلون في الدنيا هذا صحيحإذا المدام صحيح لكل
إبسلون إذا أكيد هيطلع لل integration لل F زائد G
من A ل B أصغر أو ساوي ال integration لل F زايد ال
integration لل G من A ل B من A ل B لأن اللي فوق
صحيح لمين لأي إبسلون في الدنيا اللي بتستشكل عليه
الاب أنه يفهمها عن طريق انه since إبسلون was
arbitrary then هذا أصغر أو ساوي هذايأخذ الحالة
الخاصة للإبسلونات لأن لكل إبسلون هذا صحيح من ضمنها
الإبسلونات اللي بيساوي 1 على N لكل N بيظل هذا ال
integration لل F زائد G أصغر اذا كان ال
integration لل F زاد ال integration لل G زائد 1
على N لكل N في الدنيا لأن هذا صحيح على كل إبسلون
من ضمنها ال 1 على أنمات ال N every Nيعني الآن مدام
هذه صحيحة بناء على هذه صحيحة خد ال limit للجهتين
as n goes to infinity ال limit للجهتين as n goes
to infinity هذا independent of n وهذا independent
of n وهذا as n goes to infinity بتروح للصفر بيصير
عنده اللي هو ال integration لل F زائد G هيكون أصغر
السهولة integration لل F زائد integration لمن؟ لل
G هذا فهم آخر اللي بشوية بتغلب من قصة since Y هو
الواضع الاربتردن كذا كدهطيب اذا صار عندى الآن
اثباتة ال integration ل F زي ال G اظهر سواء ال
integration ل F زي ال integration ل Gاللي هان بده
أثبت المساواة بده أثبت العكس بده أخد الـ
integration للـ F زي الـ integration للـ G و أصل
للي بديه شوف كيف اتفجنا الآن ايش أثبتنا يا شباب
خليني أسجلها هان أخزنها ال integration للـ F زي
الـ G من A ل B أصغر أصول ال integration للـ F من A
ل B زي ال integration للـ G من A ل Bوهذا أثبتناه
بالدفت بت اللي هو conversely برضه اعتمادا على
الحديث الأولاني خليني
اكتب بالأسود هنا عشان اتميز بين الجهتين عند الان
ال integration لل F من A ل B زاد ال integration لل
G من A ل Bماشي الحال هذا اللي هو أصغر أو يساوي
اللي هو نفس المنطق الأولاني هذا اللي هو عبارة عن
اللي بالظبط بيساوي ال U of F زائد ال U of G و ال U
of F هذه عبارة عن ال infimum على كل ال U's اللي هي
ال lower ال upper sums اللي هي أصغر أو يساوي ال U
لل بي إبسلون و F زائد ال U لل بي إبسلونوجي مظبوط
ولا لأ اكيد مظبوط لان هذا عبارة عن الام في مملكة
كل هذول وهذه عبارة عن ال supreme مملكة لكل هذول
ماشي الان عندي هذا نفسه ال U بي إبسلن و أف و ال U
بي أل إبسلن و أفأثبتناها نتطلع عليها نستخدم حاجة
هنا يو بي إبسل و أف و يو بي إبسل و أف أصغر يساوي
مين هايها ال بي إبسلون و أف زائد جي صحيح؟ مواضح
عشان بابا يعني بدت استخدم الآن هاي هذي يو بي
إبسلونشايفينها؟ هي اللي بحكي بشويش عشان تتركزوا
معايا اللي بالأزرق هذا اللي بالأصمر آسف معها دي
هذا كله أثبتناه إذا مين ده استخدمه؟ إذا هذا أصمر
او يساوي اللي هي L بي أبسلون و F زائد G زائد 100
زائد أبسلون معايا يا شباب أكيد اللي هو وضحت إيش
بدي أسوي هذا نفسهاللي هو أصغر أو ساوي L of F زي
الـ G زي الـ Epsilon لأن L of F مين زي الـ G
يقولونها كتير إيش هي دي؟ عبارة عن الـ Supremum لكل
دولةأه على كل ال partitions إذا أكيد ال L of F هو
أكبر أو يساوي هذا المقدر ال L of F زائد G عبارة عن
ال sobremom لكل اللي هي lower sums اللي انصار عندي
و هذا لأن F زائد G أثبتناها inintegrable بساوة ال
integration من A ل B لل F زائد G لكل أشماله زائد Y
إذا حصلنا الـ F زائد الـ integration للـ A للـ F
من A إلى B زائد الـ integration للـ G من A إلى B
أصغر أو يساوي ال integration من A إلى B للـ F زائد
G زائد مين زائد إبسنون مظبوط يا شباب الآن نفس
القصة الأولىبما أن إبسلون كان مخصصًا وبنفس المنطق
اللي حكيته قبل بشوية إذا ال integration لل F من A
لعند B زائد ال integration لل G من A لعند B هيكون
أصغر أو يساوي ال integration لل F زائد G هذه الآن
اللي بالأصمر مع هذه اللي بالأحمربيعطينا ان ال
integration للـ F زائد G من A لعند B يساوي بالظبط
integration من A لB للF زائد integration من A لB
للG وهو المطلوب
و بكون احنا هي كأثبتنا الجزء الثاني من النظرية
اللي هي الأولى اللي هو ال integration لل F زي ال G
بسبب ال integration لل F زائد ال integration لمين؟
لل G فيكم تصلوا علنا بيه؟ عليه الصلاة والسلام وصلى
الله عليه وسلم يا حمد طيب يا شباب شوفوا النظرية
اللي عندى كما يالي نظريتنا بقول لو كانت Fمن الـ
closed bounded interval A وB لعند الـ R بـ
Integrable function On I اللي هي دالة قابلة
للتكامل بالنسبة للرمان وكانت الدالة F of X أكبر أو
يساوي سفر يعني المنحنى وين فوق اللي هو محور
السينات إذا حيكون ال integration للـ F نفسه برضه
أشماله أكبر أو يساوي سفر يعني الآن بقولي F of X
أكبر أو يساوي سفر on I اللي بيعطيني ال integration
على ال I من A ل B لل F أكبر أو يساوي أيش برضه سفر
و proof سهل الأمر و ماعطيك F integrable كمان
ماعطيك F أشمالة is integrable معايا مدام ال F is
integrable إذا أكيد ال integrationللأف من عند A ل
B بساوي L of F مثلا أو بساوي U of F زي ما بدك
بساوي L of F ال L of F أكيد أكبر أوي لإنه ال L of
F عبارة عن إيش يا شباب عبارة عن طبعا ال L of F هنا
بتظبط معنا ال L of F عبارة عن إيش عبارة عن ال
Supermanلمين؟ لكل ال partitions اذا اكيد هي اكبر
او يساوي ال of بي او بي او اف ايش ال بي او بي اف؟
some partition انا بديهاPartition مين؟ للفترة A وB
اللي هي الفترة مين؟ I اللي هي A وB هذا فترة نهار
الآن أنا بقول ال L of F اللي هو ال supremum على كل
ال partitions دولة لل L على كل ال partitions دولة
أكيد هيكون أكبر أو يساوي طيب هذا ايش معنى هذا
اخترته هل جيت بتشوفوا ايش معنى اخترته؟ ايش ال
partition هذا B A وB؟ هذا ال partition هو B A وB
هو بس ال partition اللي في نقطتينأول نقطة و أخر
نقطة يعني ما .. ماجزقتش ال interval إلا لحالها هي
.. هي التجزئة هي ال interval a و b بصحيح اللي هو
طبعا I partition لل a و ال b طيب إيش تعريفه هذا ..
هذا .. هذا .. إيش تعريفه هذا بساوي اللي هو ال
summation مش هنحتاج ال summation لأنه بس إيش مالها
مافيش تغير صفر ال interval واحدة إذا بساوي اللي هو
ال M summation لل M Kأه في ايش في xk-xk-1 لكن اصلا
انا ناخد بس اللي هو فيش غير sub interval واحدة
اللي هي ال a و ال b يعني هذه بمعنى اخر b minus
mean minus a و ال mk هنا واحدة بس مين هي ال
maximum اللي هي خلينا نسميها m a و bهذه MAP ماذا
بتساوي حسب التعريف الـ infimum لل F of X حيث الـ X
موجودة في ال sub interval هذه اللي هي I نفسهالأن
هيك باخد ال .. ال .. ال .. ال partition صار عندي
الآن هذا أكبر يساوي ام او بي في مين؟ فانا هذه
infimum من ال F of X واحنا فرضين إن ال F of X أكبر
يساوي سفر يعني ال infimum غصب بين عنا هيطلع F أكبر
يساوي سفر إذا هذه أكبر أو يساوي سفر وهذه أكبر أو
يساوي سفر إذا مع بعض التنتين إيه شماله؟ أكبر أو
يساوي سفر إذا ال integration من A ل B لل F أكبر أو
يساوي سفر
هذه هي النظرية 722 نجي الآن لل remark اللي بعدها و
ال remark اللي بعدها يعني على اللي هي النظرية
الفهم النظرية هذه على طول بنستوعبها ان شاء الله و
بنفهمها
ما هي النظرية اللي تريد أن تقولها؟ إذا كانت f من I
a و b لعند R is integrable لكل x element in I
لجينا أن f of x بين مين؟ بين قيمتين بين M و بين
مين؟ بين M capital دائما الـ f of x يعني كأنه
دلتنا دلتنا هي ها هي عنا ال function أي إن كانت
وهي الفترة a و b عندنا من هنا a و bو B و هاي اللي
هو M small و هاي M capital يعني الدالة بين ..
دايما واجع بين هدول النغطين اللي هو بين M small و
بين M capital إذا ال integration تبعها من A ل B لل
F أكبر يساوي M في B minus A و أصغر من M في B minus
A capital واضح؟ طيب شوف
الآنأول حاجة مدام F is integrable إذا بدك تلاحظ أن
ال L of F بساوي ال U of F بساوي قيمة ال
integration من A ل B لل F of X DX، مظبوط؟ هذا من
تعريف أن ال F أشمالها F is integrable تعالي ال L
of F زي ما عملنا قبل بشوية L of Fاللي هي أشمالها
أكبر أو يساوي لإن السبرمام على كل مين على ال
partitions اللي لها إذا أكبر أو يساوي اللي هو ال
ال L of P أو P و F اللي قبل شوية عملته ماشي اللي
هو L أو P و F بساوي اللي هو ال infimum لل F of X
such that X element in the interval A و Bهذا الـ
sub interval في الشغل هي واحدة اللي هو مضروب في
مين؟ في طول ال interval اللي هي مين طول ال
interval في هذه الحالة؟ أو ال sub interval B minus
A هي سماشي لكن أنا أصلا ماعنديش غير sub interval
واحدة هيك مجزقة أنا الفترة إلى جزء واحد بس الآن ال
infimum هذا عمالي بقول أنا ال F of X أكبر يساوي
مين؟ Mإذاً، حيكون عند الـ infimum له أكيد هيكون
أكبر أو يساوي الـ M هذه في مين؟ في الـ B minus A
كمان مرة الـ F of X أكبر أو يساوي M إذاً، الـ
infimum تبعه أكيد هيظل أكبر أو يساوي مين؟ أكبر أو
يساوي M هذه من جهةه الآن، صار عندي الآناللي عملته
L of F هذا أتبعته أكبر أو يساوي M في B minus A
Similarly الآن بدي أشتغل على مين يا شباب بدي أشتغل
على ال U عشان أسيب أجيب اللي هي أصغر أو يساوي شوف
كيف بدي أعملها ال U of Fأيش بيساوي؟ طبعا الـ U في
F أيش ماله؟ هو الـ infimum على كل ال other sums
إذن هيكون أصغر أو يساوي الـ U على ال B .. ال B A و
B نفس ال partition بتاخده ومين و ال Fالـ U of F هو
عبارة عن الـ infimum على كل ال other sums هذا الأن
إيش بيساوي؟ بيساوي اللي هو بس ال sub interval
واحدة مين هي؟ أنا ماخدها اللي بردش إن أنا بس
نوجدتين إذا ال sub interval واحدة اللي هي B minus
A بيصير عند ال supremum لم K Capital لأ ال F of X
such that X element in A وBهو مضروب في مين في طول
الفترة اللي هي ال sub interval عند بي minus ايه
الان و يساوي هذا السبري ما معلقها يا شبابأكيد
مدامة الـ F of X أصغر أو يساوي M إذاً هيكون الـ
Supremum لأن هذا الـ Supremum إيه شماله؟ الـ Least
Upper Bound مدامة الـ M عبارة عن Upper Bound للـ F
of X لأنها أكبر يساوي F of X إذاً هيكون عند الـ
Least Upper Bound اللي هو الـ Supremum أصغر أو
يساوي الـ Upper Bound M في الـ B minus A إذاً صار
Luv F أصغر أو يساوي B M في B minus Aهذا صار عندى
اللى هو اصغر او يساوي ال M في B minus A اللى هو
بيساوي هذا طبعا معطى بيصير اصغر او يساوي M في B
minus A فبصير فعلا ال integration تبعى بين M في B
minus A و بين M في B minus A capital Mاللي
ماوضحتلهوش هذه بنفس الطريقة اللي هنا عند ال M صارت
lower bound لهذه و ال infimum هذه عبارة عن
greatest lower bound مدام greatest lower bound ده
الأكبر أوي سوى واحد من ال lower bound اللي هو مين
اللي هو ال M ماشي الحالة والباقي زي ما هو هيك
بيكون أثبتنا اللي هي ال remark اللي عندي
إن ييجي إلى الـ Corollary للنظرية اللي قبل بشوية
برضه
الإثبات ان شاء الله سهل شوفوا
يا شباب عندي الآنالـ Corollary بتقول ما يالي F F و
G من I لعند R ر انتيجرابل on I فعندي F و G
انتيجرابل و F of X أصغر يساوي G of X لكل X element
on I ده ال integration من A لB للF أصغر ال
integration من A لB لمن لل G ماشي الحال فبصير عندى
الآن ال integration أنه لو كانت ال F of X أصغر
يساوي G of Xon I بيعطيني ال integration لل F على
ال I اللي هو من A و لا B نظرها لتعرف ال
integration من A لB لمن لجي طيب عندي F و G
integrable صح ولا لأ اذا اكيد زي ما حكيت في اول
المحاضرة حسب اللي هو انه F integrable و G
integrable اذا مجموح انتجرابلأو حصل طرح الـ
Integrable بناء على انه K في F انتجرابل أو K في G
انتجرابل أو بناء على انه بيصير ناقص G is
integrable بيطلع عندي ال F ناقص G أشماله is
integrable مش الحال طيب ومش هيك كمان وقلنا ال
integrationللـ F ناقص G أو الـ G-F تلزمني أنا الـ
G-F فهن الـ G-F is integrable مدام G-F is
integrable إذا الـ G-Fحسب اللي .. النظرية قبل
بشوية الـ G minus F من هنا بصير G ناقص F of X أكبر
أو يساوي سفر من I إذا حيكون الـ G minus F على من A
لB أكبر أو يساوي سفر حسب النظرية اللي هاد
الكورولار إلها طيب ومن جهة أخرى بالنظرية اللي
حكيناها في الأول اللي هو مجموع دلتين أو حصل طرحين
بساوة ال integration إن الـ G من A لB زائدالـ
integration من A إلى B للـ
G ناقص الـ integration من A إلى B للـ Fاعتمدت هانا
في التوزيع و في إخراج النقص على الـ K F Integrable
و الـ K في ال integration بيساوي ال integration
للـ K و اللي هو اعتمادا على ال integration لل F زي
ال G بيساوي ال integration لل F زي ال integration
لل G من هنا صار عندي أنقل هذا بس على الجهة الثانية
بيصير ال integration لل G من A ل B لما انقل هذا
على الجهة الثانية أكبر أو يساوي ال integration لل
F من A ل B وهو المطلوبطيب يا شباب نيجينا النظرية
اللي بعدها اخلونا نركز شوية لأنه البرهان يعني طويل
شوية لكن ان شاء الله ابتستوعبوه نشوف ايش النظرية
بتقول النظرية
تقول ما يليlet I عبارة عن فترة من A لعند B هاي
الفترة اللي عندي هاي الفترة من A لعند B وعندي ماخد
أنا C نقطة في داخل الفترة A وB طبعا النظرية
هتلاقوها مش غريبة عليكم مرة تلاقوكم الكلكولات ولكن
البرمان اللي بده شغلlet I بيساوي من A لعند B and
let C be an element in A و B and let F من كل I
لعند R be a bounded function يعني ال function اللي
بنشتغل عليها bounded جاهزة يعني and then النتيجة
بقولي F is integrable on I هتكون ال F integrable
على كل الفترة اللي هي I من A و B إذا و فقط إذا F
is integrable على مين على on both I واحد من A لCو
I2 من C لعند B ومش هيك بقولك وكمان هيكون عند ال
integration من A ل B ل F سوى ال integration من A ل
C ل F زاد ال integration من C ل عند B ل F اللي هي
الاشي المعود عندنا إذا الأن بقولي الإعلان اللي
بقوله مالي إذا كانت F is a bounded function on the
interval كلها I اللي سمينها من A ل عند B Iأه إذا
كانت F is bounded function عليها إذا F is
integrable on I if and only if F is integrableon
I1 and F is integrable on I2 وفي هذه الحالة سيكون
عنده ال integration من A لعند B سوى ال integration
من A ل C زي ال integration من C لعند Bبدنا نفترض
في الأول أن F is integrable على I1 وI2 ونصل أنه
اللي هو إيه شماله اللي هو ال function is
integrable عالميا على كل الفترة اللي هي I إذا الأن
أول حاجة بدنا نفترضها انتبهوا عندي إيش بنسوي صبوز
that F is integrable on I1 and I2 ستجدون أننا
نعتمد كثير على الـ Integrable criterion ستجدون كم
هي مهمة في إثبات هذه النظريات مادام F is
integrableعلى I1 خلّينا ناخد Y أكبر من سفر
arbitrary for every Y أكبر من سفر بما أن F is
integrable on I1 then there exists B1Y هذا
partition عالميا على I1 such that لأن F is
integrable على I1 such that الـ UB1 و Epsilon و
الـ function F ناقص الـ B1 و Epsilon و الـ
function F أصغر من مين من Epsilon على 2 للحسابات
ماشي الحال هذا
استخداما للـ integrability للـ function F عالمين
على الـ I1 SimilarlyThere exist B2
و Epsilon بما أن F Integra بالعالم I2 إذاً there
exist B2 و Epsilon Such that U B2 و Epsilon هذا
partition لمين؟ للفترة التانية I2 اللي هي من C
لعند Bو F ناقص ال B إتنين و إبسلون و F أصغر من مين
يا جماعة أصغر برضه من إبسلون على اتنين ماشي الحال
الآن أنا غرضي أن أثبت أن F is Integra بالعالمين
على كل الفترة I من A لعند مين لعند B الان letما
دام بده .. بده اللي هو أثبت الـ Integrability للـ
F يا شباب على كل الـ I إذا بدي partition على كل
الـ I ال partition المؤهل ليكون الـ I الـ B1 و Y
جزء هذه و الـ B2 و Y جزء هذه إذا حاكيد عند let B
اللي هو بساوي أو بي اللي هو .. امسميه بي ابسلون
بساوي بي واحد و ابسلون اتحادبتنين او ابسلون واضحة؟
وهذا هيكون اشمال و partition partition لمين؟ لكل
ال I معايا يا شباب اه؟ اذا صار عندي الآن اخترت انا
ال ال بي ابسلون عبارة عن ب واحد ابسلون اتحاد بتنين
ابسلون وبدأ اصل لل U بي ابسلون نال أقل ال بي
ابسلون اصغر من ابسلونواضح أه؟ عشان أثبت أنه الـ
function F is integrable على كل الـ I هذا إيش ماله
صار let BY بسوا كده which هذا المهم is a partition
of I كلها لأن الأولان جزء هذا العندلهان والتاني
جزء هذا العندلهان إذا إتحادا هيجزء كل المنطقة
المطلوبة طيب شوف الآن احسبلي الآنU,B,Y,F-L,B,Y,F
ويساوي ال
U,B,Y,F عبارة عن إيش يا جماعة ال U,B,Y,F خلينا
نقول U,B,Y,F اللي هو عبارة عن some U بتحت عشان
تشوفوا إيش اللي بعمله U,B,Y,F عبارة
عن summationلأ ال M K ال N و X K minus X K minus
واحد K مثلا من واحد لعند مين لعند N هذه اللي
بتجزئلي من عند A لعند مين لعند B و أكيد هتمر في C
ليش؟أكيد C هتكون نقطة من النقاط، ليش هتكون نقطة من
النقاط؟ لأنه أنا أخدت بي إبسلون هي اتحاد هذه مع
هذه و آخر نقطة في هذه هي الـ C و أول نقطة في هذه
هي الـ C كيف هذه partition لهذه و هذه partition
لهذه؟ مش لما نعمل partition لكل الفترة بيكون أول
نقطة و أخر نقطة من ضمن ال partition؟ أكيدوالذن ال
partition للفترة الصغيرة هتكون اللي هي من عند A
لعند C إذا ال C هنا و ال C هنا إذا مضمون ال C
واحدة من هدول ماشي الحال إذا هذا الآن باجي ال MK
هي عبارة عن نفترض أنه من عند X Note لعند XNوهنا
الـ XL اللي هي الـ C واحدة من عناصر اللي هي ال ..
ال .. ال .. ال partition إذن الآن بقدر أجزء هذا
لجزئين MK في XK minus XK minus 1 من كامن عند 1لعند
اللي هي النقطة الـ K اللي خلّيني أسميها M حيث الـ
XM هي الـ C زائد الـ summation للـ MK الـ XK minus
XK minus 1 كامن
عند واحد آسف كامن عند مين اللي بعدها اللي هي الـ M
اللي عند الـ Mالعند الـ N هذه اللي هي مين XM بساوي
الـ C إذا في الحالتين هنا عند هذا زائد هذا ال
summation هو ال summation هذا على ال intervals
بضلي أجزء أجزء لمن أصل العند هذه بكون اللي هو
التجزئة الأولى و بعدين التجزئة الثانية بكمل من هنا
و بضلي طالعة و بوجد ال MKللنهانة و ال MK للنهانة
المجموع النهانة هو عبارة عن هيعمله اللي هو ال U بي
ابسلون طبعا MK capital آسف هذه و هذا MK capital
لأنه بحكي عن ال other اللي مهم الفكرة ال U بي
ابسلون واحد F اللي هي ال partition الأول اللي بنيت
عليه ميناللي هو partition بي إبسلون سميته واحد و
إبسلون زائد اللي هو mean المتبقى اللي هو U بي نين
و إبسلون و F هذا كله mean الـ U بي إبسلون و F
similarly mean الآن
Similarly mean ال L of B, Epsilon و F برضه هذا
بجزء المنطقة ككل و هو مبني على أساس تجزئة اللي هو
B 1 و Epsilon اتحاد B 2 و Epsilon إذا بالظبط هذا
برضه بساوي ناقص اللي هو ال L B 1 و Epsilon و F
زائد L الجزء التانيB2 Epsilon و F و يساوي الان
هذا ناقص هذا U B1 Epsilon و F ناقص ال B1 Epsilon و
F أخدت هذا يا جماعة مع هذا خلصنا منه زائد اللي هو
اللي متبقياللي هو هذا ناقص هذا اللي هو U بي تنين و
إبسلون و F ناقص L بي تنين و إبسلون و F هذا الآن
هيه من فوق اللي حضرناله أصغر من إبسلون على اتنين و
هذا حضرناله برضه أصغر من إبسلون على اتنينإذا صار
هذا الطرح بينهم أصغر من مين من إبسلون صرنا مثل تين
لكل إبسلون أكبر من سفر there exist B2 there exist
بإبسلون such that U بإبسلون و F ناقصها بيبسلون و F
أصغر من مين من إبسلون إذا صارت عندي F is
integrable on I اللي لجينا ال partition لهاهذا
الجزء الأول من النظرية الآن بدنا نثبت اللي هو
conversely بدنا نفترض أنه F is integrable على كل
الفترة ومن ثم نثبت أنه integrable على كل
subinterval من التنتين اللي موجودة إذا الآن الجزء
الثاني بنقول suppose
that F is integrable on I لها بتساوي A و B و بدنا
نثبت أنها integrable عالميا على الفترة الأولى A و
C و الفترة الثانية Cطيب خلّينا نكمل اللي هو نقول
conversely
مدام اللي هي F is integrable إذا بالـ Cauchy
criterion لكل ي أكبر من صفر there exists B اللي هو
partition اللي هو مسميه B ممكن نسميه احنا بي
أبسلون element in B of I هذا طبعا ال partition
بيعتمد على مين؟ على إبسلون such that U, B و F ناقص
ال U of F أصغر من مين من إبسلون هذا لإن F is
integrable اللي هي by Cauchy .. by .. by
integrability criterion حصلنا على هذهالان انا لمين
رايح بدي اثبت الـ Integrability لعالفترة A وC و
Integrability لفترة B وC فانا بدي في الـ partition
اللي أصلله بدي أصل للـ U لل partition B مثلا معينة
B' وF- L B' و F بديه أصغر من مين أصل أصغر من
إبسلون وهذه تكون الـ B' partition لمين للفترة
الأولى فعشان تكون للفترة الأولى لازم تكون ال C
موجودة فيها فبناء عليه أنا مش عارف ال B' ال B اللي
لجيته فيه ال C ولا لأ إذا بتاخدوا بعين الاعتبار
عشان أصل لمين لل B' اللي تكون فيها ال C عشان هيك
أنا إيش جيتقلنا لما لجينا الـ B هذه وفقا للـ F is
integrable و بتحقق هذه جيت خليني و قولت خليني ناخد
B' أيش بتساوي يا شباب بتساوي B اتحاد الـ C يعني
ضفت لل partition اللي لجيته من الـ C و هو هذا الـ
B' برضه هيحقق للي بدياه اللي هو A شماله صار B'
refinement للـ Bما دام الـ Refinement للـ B إذا
UB' و F أكيد الـ Refinement هذا هيصغر عن الأصل
اللي هو الـ UBFبينما ال B' of F هيكبر عن مين؟ عن
الأصل فلمّا أضربه في سالب هيصغر إذا حيصير عند U B'
F ناقص ال B' F أصغر يساوي U B و F ناقص ال B و F
وهذا أصلا أصغر من مين؟ من Epsilon إذا طلع عند ال
B' اللي أنا احتجتهاللي في الأصل هو الـ B الأصلية
اللي لجيتها اتحاد الـ C طلع برضه الـ U B' F ناقص
الـ B' F أصغر من إبسلون اللي أنا بعد شوية هحتاجه
في عملية إثبات أنه اللي هو الـ F is integrable على
الجزء الأول اللي هو I1 و F is integrable على الجزء
الثاني اللي هو I2 طب كيف بده أحصل هنا؟ شوف كيف بده
أحصل الـ Partition الأولانيب1 براين مثلا ب1 براين
اللي بيخللي هذا أصغر من إبسلون وهذا partition
للجزء الأول مما يؤدي لو وجدته هذا أن ال F is
integrable على الفترة الأولى و similarly حلاجة على
الفترة التانية وبكون خلصت النظرية هيك نشوف كيفالآن
وجدنا الـ B' أو اللي هو B اتحاد الـ C يحقق هذه
اللي هي المعادلة أو هذه المتباينة أصغر من مين من
Epsilon شوف الآن كيف دي بارتشني للجزء الأول من A
لعين C بكل بساطة قطع للـ B' هذا مع مين؟ مع A و C
أكيد هذا في C أكيدوفي A إذا النقطة الأولى موجودة
والنقطة C موجودة إذا هو فعلا partition لمين؟ هيكون
B' partition للـ A والـ C وبنفس الطريقة and let B
T2' بيساوي B'تقاطع الـC والـB إذا الـC موجودة هنا
والـB موجودة هنا إذا صار هذا بحتوى ال partition
على الـC وعلى الـB إذا فعلا هو partition المين
للفترة الثانية is a partition of C وB so that إذا
الآن بحضر إن لجيتاللي هو B1' وB2' واحد partition
للـA والـC والتاني للـC والـB وبدّعي إن هما ال
partitions اللي هوصلني على هذه وsimilarly زيها
للتانية اللي بتعطيني الintegrability للـF على
الأولى وintegrability للـF على الثانية نشوف إيش
اللي بقوله يلا صلوا عنا يا شباب صلاة والسلام عندي
أحسبني الآن بس خليني بس عشان تكون واضحة قدامك اللي
هي واحد اللي بدي استخدمها بعد شوية طيب شوفوا يا
جماعة أحسبني الآن U بي برايم و F اللي هو بتساوي U
بي برايم واحد و F زي U بي اتنين برايم و Fاللي قبل
بشوية عملناها هو ال partition هذا بي برايم هو
عبارة عن اتحاد هذا اتحاد هذا ماشي الحالماشي الان و
نفس الاشي عملتها قبل هيك ال b prime of f سواء ال b
prime واحد او ال b2 prime حيث بي اتنين برايم بي
واحد برايم يبوسأ اتحاد هنا شماله هو بي برايم اذا
زي ما عملنا قبل بشوية هذه اللي هي ال equality
التانيةالان من واحد و من اتنين بدي اصل اللي بديه
ايش اللي بديه احسبلي الان UB1' F زي UB2' F ناقص ال
B1' F زي ال B2' of F اللي هو من وين هذا جبت اللي
هو عند هي من واحد هي هذه اتقوط عنها بالقيمة هذه من
وين هذه من الان من هناشيلت اللي هو .. هاي من هذولة
يا جماعة من اللي حاطط عليهم أحمر أنات ثلاثة ..
التنتين هذولة عنده شيلت هذولة .. هذه و حطيت هذه
مكانها طلعت هذه .. هيها .. فارحة؟ و شيلت هذه و
حطيت هذه مكانها
صارت هذه مكانها إذا هذه ناقص هذه اللي هي هذه ناقص
هذه اللي كانت أصغر من إبسلون هتصير أصغر من إبسلون
إذا صار عندي هذا اللي هو ال U أوضح لكي أنا U بواحد
برايم و F زائد U بيتنين برايم و F ناقص ال of بواحد
برايم و Fزائد ال B2 prime و F هذا كله أصغر من
إبسلون لأن هذا أصلا كله .. ليش هذا صح؟ لأن هذا
أصلا هو عبارة عن U B prime و F و هذا ال B prime و
F اللي هو في الأصل هذامن عندي من هنا أصغر من إيش
من إبسلون إذاً هذا صار أصغر من إبسلون خلّي هذا
الكلام في الذاكر أصغر من إبسلون لأنه هيفيدني بعد
بشوية شوفلان فوزع خلّيني بس أمسح اللي على اللوح
ووزع الآن عندي هذا بيصير إيش هو هذا بيصير U ب U
ب1 برايم و F ناقص
ال ب واحد برايم و F كل هذا مع بعضه زائد U ب اتنين
برايم و F ناقص ال ب اتنين برايم و F هذا كله أصغر
من مين يا جماعة من إبسلون هذول الكميتين هذهزائد
هذه أصغر من إبسلون وهذه موجبة وهذه موجبة إذا
الكمية هذه أكيد لحالها أصغر من إبسلون والكمية هذه
لحالها إيش أصغر من إبسلون هذه أصغر من إبسلونتعني
أن لكل إبسلون لجينا partition بي واحد برايم بحيث
أن هذا ناقص هذا أصغر من إبسلون يعني F is
integrable on I واحد اللي هي من A ل Cلجينا
partition B2' بحيث أنه هذا نقص B2' لمين ل I2 هيكون
هذا نقص هذا أصغر من إبسلون وهذا يعني أن F is
integrable on I2 كده نكون هي كاحنا وصلنالا اللي
بدني من ناحية اثبات ان F is integrable on I if and
only if F is integrable on I واحد and on I اتنين
دل علي الجزء الأخير اللي اثبته ان عندي اللي هوالـ
integration من A إلى B أصغر أو يساوي بالبساوي ال
integration من A إلى C زائد ال integration من C
لعند B ركزوا معايا عشان نختصر الوقتشبيه باللي
شرحته قبل بشوية في النظرية اللي قبلها ال
integration من A ل B لل F مدام ان F is Integra
بالفرضينا احنا اذا هذا بيساوي عبارة عن ال U of F و
ال U of F اكيد اللي هي M في مملة كل هذوله اذا اظهر
يساوي U B prime و F B prime بارتشن من A لعند مين
لعند B و هذا قبل بشوية ايش قلنا عنه بساوي UB1 of F
زاد UB2 of Fهذا أكيد أصغر يساوي الأل تبعه و هذا
أكيد أصغر يساوي الأل اللي إله زائد 2 إبسلون من وين
جبته هذا قلنا بما أن F is integrable إذا U ناقص
هذا أصغر من إبسلون و U ناقص هذا أصغر من إبسلونإذا
صار عندى U زائد هذا أصغر من هذا زائد هذا زائد مين
اتنين إبسلون من وين جبت هذا يا جماعة من اللي هي
الـ integrability criterion for مين for F on the
interval I واحد حيكون ال U بواحد برايم و F ماقص ال
بواحد برايم و F أصغر من إبسلون أو بمعنى آخر ال U
بواحد
أصغر من L بي واحد إبراهيم و F زائد إبسلون هذا جبته
من سببه أن ال F is integrable on I واحد كلها
Similarly since F is integrable on I واحد كلهاI2
كلها إذا بيلاقي بي اتنين برايم بحيث ان U بي اتنين
برايم و F أصغر من L بي اتنين برايم و F زاد إبسلون
مع بعض صار هذا زاد هذا زادياش اتنين إبسلونبنفس
الطريقة اللي حكيتها قبل بشوية F is Integrable وهذا
أقله في F فالأقل في F هو ال supremum لها دول إذا
هذا أكبر وشوية هذا و هذا أكبر وشوية هذا إذا صار
عندي هذا المقدار أكبر أصغر وشوية هذا زائد هذا زائد
إيه شمالهاتنين إبسلون وزي ما حكينا قبل بشوية since
إبسلون was arbitrary وبنفس التوضيح الأولاني بطلع
عند ال integration من LB لLF أخر شهر ال
integration للأول زاد ال integration للتاني بدون
الإبسلون وقلنا ليش هذا الكلام صحيح الآن الاتجاه
الثاني similarly برضه هتلاقي اللي هو البرهين
متشابهة الآن بنفس المنطق وبنفس الطريقة وsimilarly
طبعا عارفين ايه رايح انا؟ انا راح اثبت ان هذا
المقدار اصغر أو ساوى هذا المقدار عند ال
integration هذا زائد ال integration هذا F is
integrable اذا هي بساوة ال U ال U of F ال U of F
هي ال infimum اذا اكيد اصغر او ساوية ال U واحدة
منهم وهذه برضه ال U of F على الفترة هذه برضه اصغر
او ساوية واحدة منهم اذا اصغر او ساوية ال U هذه
زائد ال U هذهفي مقابله قبل قليل أثبتنا أنه .. قلنا
أنه مدام تفز integrable إذا بال .. integrability
criterion الفرق بين هذه وهذه أصغر من إبسلون إذا
صار هذه أصغر من هذه زائد إبسلون وهذه نفس الشيء
للأفز integrable على الفترة التانية نفس اللي قلته
أصغر من هذه زائد إبسلون إذا صار المقدار هذا كله
على بعضه أصغر من هذه زائد هذه زائد اتنين إبسلون
لكن هذولا الثنتين اللي هنابساوين اللي هو LB'F في
هنا إيش مالها مساواة بساوين هذا المقدار لأن ال LB
'F إيش مالها عبارة عن هذه اتحاد هذه عملناها قبل
شوية و هذا المقدار عندى اللي هو أصغر أو ساوي هذا
لأن هذا عبارة عن LF و LF على هذه الفترة اللي هو
عبارة عن ال supreme أو أكبر أو ساوي هذه إذا صار
فيه عندى هذا المقدارأصغر أو يساوي ال integration
زي اتنين إبسلون إذا حصلنا على هذا المقدار أكبر أو
يساوي هذا for every إبسلون بنفس المنطق since
إبسلون was arbitrary إذا ال integration هذا زائد
ال integration هذا أصغر أو يساوي من هذه ومن اللي
جابلها هذه بطلع عندي المساواة و هو المطلوب و هيك
بنكون احنا برهن هذه النظرية أيضا بشكل كامل في
ملاحظة أخيرةعلى النظرية النظرية بتقول انه عندي لو
كانت c1 أصغر من c2 أصغر من cn حيث و c1 و c2 و cn
في الفترة a و b اللي هو هيكون اللي هو بنقدر اللي
هي نطبق النظرية هذه عدة مرات فعندي هي a و هي b و
هي c1هذه C2 وهذه C3 لعند Cn مثلا بيصير أو خلّيني
أقول C1 من هنا وهنا Cn من هنا بيصير ال integration
من A ل B بيساوي ال integration من A ل C1 زياد ال
integration من C1 ل C2 زياد المقصر اللي عند أخر
واحدة ال integration من Cn لعند B لل function وهذه
اللي هو الملاحظة معهودةالان في عندى اللى هي
النظرية اللى .. ال .. ال .. ال .. المشهورة اللى هي
composition theorem ان لو كان عندى F is a function
من I لعند R وفى function من اللى هو domain ال I من
range ال I .. ال F كاسف لعند ال .. لعند ال R
و كانت had integrable و كانت had integrable هل ال
composition بينهم integrable طبعا هذا الكلام need
not to be true in general هنشوف مثال بعد شوية لكن
لو كانت الـ Phi continuous يعني قوّينا الشرط الآن
شوية هيصير عنده ال Phi composite ف F is integrable
يعني بمعنى أخر لو كانت F is integrableالـ Phi is
continuous حيكون الـ Phi composition أفضل لما يكون
ال composition معرف عبارة عن integrable function
وإحنا إن شاء الله المرة القادمة بنكمل وإلى لقاء