1
00:00:05,090 --> 00:00:08,030
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:08,030 --> 00:00:11,070
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه

3
00:00:11,070 --> 00:00:18,250
أجمعين هذه المحاضرة رقم 24 مساق تحليل حقيقي 2 طلاب

4
00:00:18,250 --> 00:00:22,650
وطالبات الجامعة الإسلامية قسم رياضيات كلية العلوم

5
00:00:23,470 --> 00:00:26,630
اليوم هنكمل إن شاء الله الـ section الأخير في

6
00:00:26,630 --> 00:00:29,870
chapter 8 اللي هو 8.4 تحت عنوان the

7
00:00:29,870 --> 00:00:35,170
trigonometric functions وهو أيضا اللي هو الـ section

8
00:00:35,170 --> 00:00:42,210
أو موضوع تطبيق على اللي هو الـ pointwise and

9
00:00:42,210 --> 00:00:46,030
uniform convergence للـ sequence of functions وكيف

10
00:00:46,030 --> 00:00:50,510
بدنا نعرف بطريقة مشابهة جدا لمعرفناها المرة

11
00:00:50,510 --> 00:00:53,330
الماضية أو اللي قبلها بخصوص الـ exponential

12
00:00:53,330 --> 00:00:58,710
function هنعرف اليوم اللي هو بنفس الطريقة كيف نعرف 

13
00:00:58,710 --> 00:01:03,510
اللي هو الـ sine والـ cosine as a limit اللي هو

14
00:01:03,510 --> 00:01:07,390
of a uniformly convergent sequence of functions

15
00:01:07,950 --> 00:01:11,230
العنوان is in the trigonometric functions اللي هو

16
00:01:11,230 --> 00:01:15,450
section 8.4 النظرية

17
00:01:15,450 --> 00:01:21,950
الأولى اللي عندنا اللي مشابهة لنظرية سابقة اللي هي

18
00:01:21,950 --> 00:01:25,870
الـ exponential اللي من خلالها بدنا نصل للي هو

19
00:01:25,870 --> 00:01:31,370
تعريف اللي هي الـ cosine والـ sineالنظرية بتقول

20
00:01:31,370 --> 00:01:35,190
مالها there exist functions يوجد دوال  الامنّان في 

21
00:01:35,190 --> 00:01:40,570
بتوجد دوال C من R لـ R وS من R لـ R such that

22
00:01:40,570 --> 00:01:44,690
اللي هي طبعا مستقبلا هنتسمي الـ C اللي هي الـ cosine

23
00:01:44,690 --> 00:01:48,910
ومستقبلا هنتسمي الـ S اللي هي الـ sine اللي احنا 

24
00:01:48,910 --> 00:01:54,090
بنعرفها الآن بنقول في ده اللي ثاني واحدة اسمها c

25
00:01:54,090 --> 00:01:59,950
واحدة s تحقق ما يلي اللي هي c' of x بيساوي

26
00:01:59,950 --> 00:02:04,870
ناقص c of x s' of x بيساوي ناقص s of x ولو

27
00:02:04,870 --> 00:02:08,730
استذكرت أنت الـ sine والـ cosine دي ما سيحدث لاحقا

28
00:02:08,730 --> 00:02:12,270
طبعا لو استذكرت الـ cosine لما ان.. ان.. ان.. ان

29
00:02:12,270 --> 00:02:16,130
فاضلها مرتين هتصير اللي هي ناقص اللي هي نفسها ولو

30
00:02:16,130 --> 00:02:19,570
فاضلت الـ sine برضه فاضلها مرتين هتلاقيها إيش هي

31
00:02:19,960 --> 00:02:23,840
بتطلع سالب S الخاصية الثانية اللي هي C of Zero

32
00:02:23,840 --> 00:02:27,780
بساوة واحد ولو استذكرت الكوسين كوسين الـ Zero بساوة

33
00:02:27,780 --> 00:02:31,240
واحد ولو استذكرت الكوسين لما تاخدها الـ derivative

34
00:02:31,240 --> 00:02:35,160
هتصير عبارة عن سالب Sin عند Zero هتطلع 0 بساوة

35
00:02:35,160 --> 00:02:38,960
Zero and S of Zero بساوة Zero وS' of Zero

36
00:02:38,960 --> 00:02:45,330
بساوة واحد يعني بمعنى آخر يوجد دالتين الـ دالتين

37
00:02:45,330 --> 00:02:49,770
واحدة من C لـ R اسمها S واحدة اسمها C من R لـ R

38
00:02:49,770 --> 00:02:56,690
تحقق الشرطين التاليين C' بساوة ناقص C وS' بساوة

39
00:02:56,690 --> 00:03:01,330
ناقص S على كل R وC عند الـ 0 هي 1 وC' عند الـ 0

40
00:03:01,330 --> 00:03:05,650
بساوة 0 وS عند الـ 0 بساوة 0 وS' عند الـ 0 بساوة 1

41
00:03:05,650 --> 00:03:11,250
وبعد شوية هقولك لا يوجد في الدنيا دالتين بحقق أنّ 

42
00:03:11,250 --> 00:03:17,300
الشروط هذولة إلا هي واحدة اسمها C واحدة اسمها S

43
00:03:17,300 --> 00:03:22,640
يعني التنتين واحدات وهذا يجعلنا نسميهم التسمية بعد

44
00:03:22,640 --> 00:03:26,380
ذلك واحدة اسمها cosine واحدة اسمها sine ومن ثم

45
00:03:26,380 --> 00:03:29,320
بنجيب كل الخواص اللي احنا بنعرفها عن الـ sine والـ 

46
00:03:29,320 --> 00:03:34,020
cosine من هذا البناء إذن الآن أنا ببني ببني ببني

47
00:03:34,020 --> 00:03:36,980
وجود الـ sine والـ cosine وبعد شوية ببني اللي هو

48
00:03:36,980 --> 00:03:40,960
الـ uniqueness طبقا لهذه الشروط اللي موجودة عندي

49
00:03:42,380 --> 00:03:45,860
الآن كيف بدنا نعمل زي ما عملنا المرة الماضية في

50
00:03:45,860 --> 00:03:48,340
الـ.. في الـ.. اللي هو الـ Exponential عشانك

51
00:03:48,340 --> 00:03:52,060
هتلاقوني شوية مسرع لأن اللي بيحضر اللي هي محاضرة

52
00:03:52,060 --> 00:03:56,620
الـ Exponential هيلاقي أنّ هذا في كثير من الحديث في

53
00:03:56,620 --> 00:04:00,640
إعادة We define the sequence cn as n of continuous

54
00:04:00,640 --> 00:04:05,240
functions inductively as بدنا نعرف اللي هي.. اللي

55
00:04:05,240 --> 00:04:09,640
هو two sequences واحدة نسميها cn وواحدة نسميها sn

56
00:04:10,270 --> 00:04:13,890
كيف بدنا نعرفها؟ زي ما عرفنا الـ exponential بنعرف

57
00:04:13,890 --> 00:04:19,250
C1 of X إيش بتساوي واحد وS1 of X إيش بدنا نسميها

58
00:04:19,250 --> 00:04:26,490
بساوة X الآن S2 of X S2 of X هيساوي الـ integration

59
00:04:26,490 --> 00:04:31,990
من صفر لعند X C2 of T DT طب C2 من وين أجيبها؟ C2

60
00:04:31,990 --> 00:04:36,050
بتجيبها من هنا C اللي هي واحد زائد واحد يعني C2

61
00:04:36,050 --> 00:04:41,470
بساوة واحد ناقص الـ integration من صفر لـ X لـ S1 of

62
00:04:41,470 --> 00:04:48,870
T اللي هذا DT فبكون جيبت الـ C2 وبتجيب الـ S2 من

63
00:04:48,870 --> 00:04:55,530
الـ C2 لأن S3 وC3 بنفس الطريقة in general اللي أنا

64
00:04:55,530 --> 00:04:59,170
عملت sequence of functions اللي هو بدأت اللي هي الـ

65
00:04:59,170 --> 00:05:05,120
C1 بـ 1 S1 بـ X ومن ثم S N بتساوي من صفر لـ X

66
00:05:05,120 --> 00:05:10,760
integration C N of T DT يعني كمالة C N of T DT وC

67
00:05:10,760 --> 00:05:13,460
N زائد واحد of X بتساوي واحد نقص integration من

68
00:05:13,460 --> 00:05:18,700
صفر لـ X S N of T DT الآن هو بيقول اللي هو هذه

69
00:05:18,700 --> 00:05:21,820
sequence of continuous functions طب sequence of

70
00:05:21,820 --> 00:05:25,840
continuous functions هذا الكلام بده إثبات طيب، الآن

71
00:05:25,840 --> 00:05:29,500
عندي اللي هو by induction زي ما أنتم عارفين الآن

72
00:05:29,500 --> 00:05:33,600
عندي الـC1 continuous لأن الثابتة S1 continuous

73
00:05:33,600 --> 00:05:38,880
لأن هي شمالها بتساوي X بناء عليه هتطلع عندي اللي

74
00:05:38,880 --> 00:05:44,920
هي C2 continuous ومن ثم C3 وC4 الآخرين الآن لو

75
00:05:44,920 --> 00:05:49,000
بدنا نثبتها by induction بدنا نفترض أنّ هذولة

76
00:05:49,000 --> 00:05:52,560
الـSn والـCn

77
00:05:53,920 --> 00:06:00,700
continuous سنثبت هنا continuous لأن S1 إيش بتساوي

78
00:06:00,700 --> 00:06:06,860
X؟ C1 إيش بتساوي 1؟ continuous إذا صارت هذه اللي

79
00:06:06,860 --> 00:06:12,340
هي الجملة is true for N بتساوي 1 نفترض الآن

80
00:06:12,340 --> 00:06:19,900
suppose by induction بتأدي suppose that اللي هو star

81
00:06:19,900 --> 00:06:25,960
هذه is true for n إيش بتساوي n بتساوي k معناته

82
00:06:25,960 --> 00:06:33,820
صارت الـ S K والـ CK are continuous بتثبت الآن من 

83
00:06:33,820 --> 00:06:38,520
الصحيحة لـ K زائد واحد يعني بتثبت اللي هو CK زائد

84
00:06:38,520 --> 00:06:42,700
واحد وSK زائد واحد أنّ هنا شمال هنا continuous طيب

85
00:06:42,700 --> 00:06:48,000
الآن شوف CK زائد واحد بتساوي حسب اللي هي عندي هان

86
00:06:48,000 --> 00:06:51,740
إيش بتساوي اللي هو عبارة عن CK واحد of X بتساوي الـ

87
00:06:51,740 --> 00:06:58,020
integration واحد نقص الـ integration من صفر X Sk..

88
00:06:58,020 --> 00:07:03,020
هذا Kz واحد.. هذا ك.. of DT طيب أنا مفترض أنّ Sk

89
00:07:03,020 --> 00:07:06,600
من الـ hypothesis induction أنّها continuous إذا

90
00:07:06,600 --> 00:07:11,040
صارت هذه كلها إيش مالها؟ اللي هي Sk integrable

91
00:07:11,040 --> 00:07:15,600
وصارت هذه كلها على بعض by fundamental theorem of

92
00:07:15,600 --> 00:07:20,980
calculus اللي هي الـ derivative إلها موجودة إذا

93
00:07:20,980 --> 00:07:23,440
صارت هذه كلها الـ derivative إلها وموجودة بالنسبة

94
00:07:23,440 --> 00:07:27,680
للـ X إذا صارت مدام هيك هاذ is differentiable إذا

95
00:07:27,680 --> 00:07:30,940
continuous إذا صارت اللي هي Ck زائد واحد

96
00:07:30,940 --> 00:07:35,200
continuous اللي ثبت الآن is Sk زائد واحد Sk زائد

97
00:07:35,200 --> 00:07:39,280
واحد of x إيش بتساوي حسب اللي التعريف بتساوي الـ

98
00:07:39,280 --> 00:07:47,660
integration من صفر لعند x Ck of t زائد واحد هذا N

99
00:07:47,660 --> 00:07:52,620
هذا N K زائد واحد K زائد واحد DT وأنا مثبت فوق أنّ

100
00:07:52,620 --> 00:07:56,160
Ck زائد واحد is continuous إذا صارت هذه كلها على

101
00:07:56,160 --> 00:07:59,500
بعض integrable اللي هي Ck زائد واحد صار هذا الـ

102
00:07:59,500 --> 00:08:02,000
integration exist ومش هيك by fundamental theorem

103
00:08:02,000 --> 00:08:04,720
of calculus برضه الـ derivative له إيه شمالها

104
00:08:04,720 --> 00:08:07,700
موجودة إذا صارت هذه الـ differentiable إذا

105
00:08:07,700 --> 00:08:11,060
continuous إذا صارت Ck زائد واحد وSk زائد واحد are

106
00:08:11,060 --> 00:08:16,160
continuous إذا صارت الجملة هذه صحيحة لـ K زائد واحد

107
00:08:16,160 --> 00:08:21,000
إذا صارت صحيحة دائما إذا صارت عندي الآن مفرغ منه

108
00:08:21,000 --> 00:08:26,360
الـ CN والـ SN are continuous functions وبناء عليه

109
00:08:26,360 --> 00:08:29,860
مدام continuous functions by fundamental theorem

110
00:08:29,860 --> 00:08:35,460
of calculus هتكون هذه الـ SN differentiable والـ CN

111
00:08:35,460 --> 00:08:39,800
زائد واحد differentiable ومش هيك كمان وهيعطيني الـ

112
00:08:39,800 --> 00:08:43,440
SN prime of X حسب الـ fundamental theorem of

113
00:08:43,440 --> 00:08:46,820
calculus الـ differentiation بتضايق الـ integration

114
00:08:46,820 --> 00:08:54,580
بتضال بساوة Cn of x الآن والـ derivative لهذه برضه

115
00:08:54,580 --> 00:08:59,900
exist Cn زائد واحد prime of x اللي هو هي ساوي اللي

116
00:08:59,900 --> 00:09:10,170
هو مين هتطلع ناقص Sn of X إذا صار عندي الآن اللي هي

117
00:09:10,170 --> 00:09:15,610
الـ sequence اللي عندي صارت well defined كلها و

118
00:09:15,610 --> 00:09:20,270
continuous كلها ولأ وdifferentiable كمان الـ SN

119
00:09:20,270 --> 00:09:25,150
prime of X بيساوي CN of X وCN زائد واحد prime of

120
00:09:25,150 --> 00:09:31,730
X بيساوي ناقص SN of X زي ما أنا أثبتها وأوضحت لكم

121
00:09:31,730 --> 00:09:38,710
إياها هنا الآن induction arguments برضه induction

122
00:09:38,710 --> 00:09:42,970
arguments بقول لي we leave this argument for you

123
00:09:42,970 --> 00:09:46,890
خلينا نشوفها مع بعض ما هي اللي بنقصده زي ما عملت

124
00:09:46,890 --> 00:09:49,870
بالضبط لو طلعت على الخطوات هتلاقيها مشابه لخطوات

125
00:09:49,870 --> 00:09:54,970
تبعات الـ exponential عند الـ Sn of X زي ما قلنا

126
00:09:54,970 --> 00:10:02,060
بساوة الـ integration من 0 لـ X Cn of T dt C N زائد

127
00:10:02,060 --> 00:10:06,140
واحد of X بساوة واحد مقص الـ integration من C لـ X S

128
00:10:06,140 --> 00:10:15,360
N of T DT ومعطينا طبعا احنا اخذنا الـ C واحد of X

129
00:10:15,360 --> 00:10:22,530
بساوة واحد والـ c وS1 of x بساوة x هذه اللي هي الـ

130
00:10:22,530 --> 00:10:25,370
sequence of functions اللي أثبتناها هذه الـ

131
00:10:25,370 --> 00:10:27,990
sequence of functions الـ sn والـ cn زائد واحد

132
00:10:27,990 --> 00:10:32,230
التنتين are continuous for every n وهمش هي

133
00:10:32,230 --> 00:10:34,850
codifferentiable والـ derivative إلها زي ما قلنا

134
00:10:34,850 --> 00:10:39,430
Sn prime of x بساوة Cn of x والـ Cn زائد واحد prime

135
00:10:39,430 --> 00:10:44,190
of x بساوة ناقص Sn of x وخلّينا نسجلها هذه لأنّ

136
00:10:44,190 --> 00:10:52,370
هنحتاجها بعد شوية اللي هي S N prime of X بساوي

137
00:10:52,370 --> 00:11:00,310
C N of X and C N زائد واحد prime of X بساوي ناقص S

138
00:11:00,310 --> 00:11:09,070
N of X طيب الآن بدنا اللي هو by induction نثبت

139
00:11:09,070 --> 00:11:12,570
اللي هو CN زائد واحد of X بساوي اللي هو اللي 

140
00:11:12,570 --> 00:11:18,460
أمامي هذا طبعا أكيد اللي هو بعضكم قال ما هي by

141
00:11:18,460 --> 00:11:24,960
induction نتطلع على C2 of X C1 في القرآن بتساوي

142
00:11:24,960 --> 00:11:31,720
واحد نثبتها يعني الآن C2 of X ايش بتساوي حسب

143
00:11:31,720 --> 00:11:35,960
القانون بتساوي واحد ناقص ال integration من صفر ل X

144
00:11:35,960 --> 00:11:41,020
أس واحد لأنه بواحد هنا أس واحد اللي هي جداء أس واحد

145
00:11:41,020 --> 00:11:46,060
الـ X integration اللي هي T DT ويساوي التفاضل اللي

146
00:11:46,060 --> 00:11:49,820
هذه بيصير واحد ناقص X تربيع على مين على اثنين إذا 

147
00:11:49,820 --> 00:11:54,410
فعلا اللي هي C اللي هي هذه اثنين is true for any

148
00:11:54,410 --> 00:11:58,870
ايش بتساوي n بتساوي واحد بدنا نثبت الثانية معها

149
00:11:58,870 --> 00:12:01,730
اللي هي true for any بتساوي واحد لأنها دي جملة

150
00:12:01,730 --> 00:12:05,690
واحدة بدأ أثبتها أن true for every any الآن for

151
00:12:05,690 --> 00:12:10,590
any بتساوي واحد بيصير عندي أس اثنين of x بدأ أتأكد

152
00:12:10,590 --> 00:12:15,990
أنه اللي هي بتحقق اللي هي الـ .. اللي .. ايه هذه الـ

153
00:12:15,990 --> 00:12:19,960
equation S2 of X بيساوي من وين بده أجيبها من

154
00:12:19,960 --> 00:12:23,480
التعريف اللي فوق بيساوي ال integration من صفر ل X

155
00:12:23,480 --> 00:12:29,180
C2 of X ايش C2 of X هايه اللي هو واحد ناقص T تربيع

156
00:12:29,180 --> 00:12:34,800
على اثنين لكل ما له DT ويساوي الكملة هذا بيصير

157
00:12:34,800 --> 00:12:40,200
عبارة عن X ناقص X تكعيب على ثلاثة وفي اثنين بيصير

158
00:12:40,200 --> 00:12:44,980
X تكعيب على مين على ثلاثة factorial اللي هي جداء

159
00:12:44,980 --> 00:12:50,380
اللي هي ستة إذا فعلا فعلا طلع عندي اللي هو C أس

160
00:12:50,380 --> 00:12:55,400
اثنين هي عبارة عن أنا بواحد يعني أس اثنين بيساوي X

161
00:12:55,400 --> 00:12:59,380
ناقص X تكعيب على ثلاثة factorial يعني صارت الجملة

162
00:12:59,380 --> 00:13:02,900
هذه برضه صحيحة for n بتساوي واحد إذا كلها على بعض

163
00:13:02,900 --> 00:13:09,650
هذه صارت صحيحة for n بتساوي جداء الآن بدنا نفترض

164
00:13:09,650 --> 00:13:13,430
أنها

165
00:13:13,430 --> 00:13:19,490
true for n بتساوي k ونجيب منها مين اللي هو k زائد

166
00:13:19,490 --> 00:13:25,950
واحد نفترض suppose that this is true for n بتساوي

167
00:13:25,950 --> 00:13:30,690
k يعني بمعنى آخر صار عندي ck زائد واحد بتساوي هذا

168
00:13:30,690 --> 00:13:37,260
وهنا اثنين k وهنا k وهنا اثنين K وهنا نفس الشيء

169
00:13:37,260 --> 00:13:41,640
اللي هو نفترض أن صحيحة for N بتساوي K صارت عبارة

170
00:13:41,640 --> 00:13:48,460
عن اثنين K و اثنين K أو أس K ماشي الحال نثبت أن

171
00:13:48,460 --> 00:13:53,480
هذه صحيحة for من؟ for K بتساوي .. for N بتساوي

172
00:13:53,480 --> 00:14:02,020
كدهش؟ K زائد واحد يعني بدي أديب Cك زائد جداء اثنين

173
00:14:02,020 --> 00:14:07,480
لأن في الأصل هي K زائد واحد في الأصل سن زائد واحد

174
00:14:07,480 --> 00:14:11,620
فرضتها صحيحة في القرآن بتساوي k لأن بتثبتها صحيحة

175
00:14:11,620 --> 00:14:15,520
لأن بتساوي K زائد واحد يعني K زائد واحد واحد بيصير

176
00:14:15,520 --> 00:14:22,820
K زائد اثنين of X ماذا يعني حساب تعريفها؟ تعريفها واحد

177
00:14:22,820 --> 00:14:29,300
ناقص ال integration من 0 إلى X هذا K زائد اثنين إذا هذا K

178
00:14:29,300 --> 00:14:34,420
N زائد 1 وهذا N K زائد 2 ماذا؟ هذا سيصبح SK زائد 1

179
00:14:34,420 --> 00:14:36,340
of DT

180
00:14:38,530 --> 00:14:42,870
و يساوي واحد ناقص الفكرة أنت فاهم من صفر لمين

181
00:14:42,870 --> 00:14:47,910
لـ X مين هكامل هكامل S K زائد واحد أنا فرضت أن أنا

182
00:14:47,910 --> 00:14:52,750
أتروه في القرآن بتساوي K اللي هي عبارة عن T ناقص

183
00:14:52,750 --> 00:15:00,450
T تكعيب على ثلاثة factorial لما أصل لآخر واحد زائد

184
00:15:00,450 --> 00:15:12,390
ناقص واحد أس K فيه T 2K 1 2 T 1 كل ايه ايش مالها

185
00:15:12,390 --> 00:15:16,110
factorial الكل دي تي حسابات والله يا جماعة اللي

186
00:15:16,110 --> 00:15:22,660
حالكم بتعملوها دي تي و يساوي واحد ناقص نفتح قوس هذه

187
00:15:22,660 --> 00:15:26,700
T بيصير T تربيع على اثنين factorial هذه ايش بيصير

188
00:15:26,700 --> 00:15:32,820
ناقص T أس أربعة على أربعة في ثلاثة factorial عن

189
00:15:32,820 --> 00:15:36,980
أربعة factorial زائد لما أصل الأخر واحد ناقص واحد

190
00:15:36,980 --> 00:15:43,580
أس K زي ما هي لأن إشارة هذه T بيصير اثنين K زائد

191
00:15:43,580 --> 00:15:49,130
واحد زائد واحد يعني زائد اثنين على اللي هو اثنين K

192
00:15:49,130 --> 00:15:54,490
زائد اثنين في هذا بتطلع اثنين K زائد اثنين الكل

193
00:15:54,490 --> 00:15:59,550
ايه شمالها؟ factorial ماشي الحال هذا طبعا كله من

194
00:15:59,550 --> 00:16:04,630
صفر ل X إذا بتصير هذا عبارة عن X وهذا X وهذا

195
00:16:04,630 --> 00:16:09,010
الأخير برضه ايه؟ X اللي هي هذا عبارة عن ايه؟ هو

196
00:16:09,010 --> 00:16:16,350
يساوي واحد ناقص x تربيع على اثنين factorial زائد x أس 4

197
00:16:16,350 --> 00:16:20,310
على أربعة factorial ضربت الناقص جوا لأن أنا لما أصل

198
00:16:20,310 --> 00:16:24,910
ناقص لما أصل الأخر واحد زائد ناقص واحد K وناقص أنا

199
00:16:24,910 --> 00:16:31,050
بيصير K زائد 1 في X أس 2K

200
00:16:31,910 --> 00:16:37,130
زائد اثنين على اثنين K زائد اثنين لكل vector يعني

201
00:16:37,130 --> 00:16:41,890
صارت هذه CK زائد واحد زائد اثنين of X بتساوي هذا

202
00:16:41,890 --> 00:16:49,290
المقدار هذا المقدار صحيح صار بالظبط هو هذا اللي هو

203
00:16:49,290 --> 00:16:53,830
المقدار اللي عندي أثبتت و كإلمي يعني الآن أن هذا

204
00:16:54,470 --> 00:16:59,490
اللي عندي is true for mean for k زائد لواحد لأن

205
00:16:59,490 --> 00:17:03,950
لما أحط مكان n بتساوي K زائد واحد بيصير هذه K زائد

206
00:17:03,950 --> 00:17:09,030
اثنين أشوف اللي طلعته صح ولا لأ بيساوي تبحانة واحد

207
00:17:09,030 --> 00:17:12,990
ناقص x تربيع على اثنين فيكتوريا لما أثر الأخر واحد

208
00:17:12,990 --> 00:17:17,790
اللي هي ناقص واحد نقص مين K زائد واحد في x نقص اثنين

209
00:17:17,790 --> 00:17:20,970
في K زائد واحد يعني اثنين K زائد اثنين وها اثنين K

210
00:17:20,970 --> 00:17:25,760
زائد اثنين كل فيكتوريا الآن صارت هذه صحيحة for n

211
00:17:25,760 --> 00:17:30,600
ايش بتساوي K زائد واحد الثاني بنفس الأسلوب بثبتها

212
00:17:30,600 --> 00:17:35,260
صحيحة for ايش for K زائد واحد يعني بدي أحسب مين يا

213
00:17:35,260 --> 00:17:42,300
جماعة بدي أحسب SK زائد اثنين ايش حسب اللي فوق

214
00:17:42,300 --> 00:17:47,180
بتساوي بتساوي ال integration من صفر ل X ل CK زائد

215
00:17:47,180 --> 00:17:54,020
اثنين of T DT و باجي بعوضها هنا و بكملها و بتطلع

216
00:17:54,020 --> 00:17:57,800
عندي بالظبط ال formula هذه يعني صح بيصير عندي

217
00:17:57,800 --> 00:18:01,620
بتعملها لحالك لأن حسابات نفس الأسلوب بتطلع عندي

218
00:18:01,620 --> 00:18:06,310
اللي هي هذه صحيحة for mean برضه for n بتساوي k

219
00:18:06,310 --> 00:18:11,050
زائد واحد إذا هذا صار المقدار صحيح دائما for mean

220
00:18:11,050 --> 00:18:20,430
for any k for any n element in n الآن واضح أن

221
00:18:20,430 --> 00:18:26,310
الخطوات مشابهة لخطوات ال exponential نيجي الآن

222
00:18:26,310 --> 00:18:28,970
قصّل n prime

223
00:18:38,770 --> 00:18:45,020
نيجي الآن وين رايح؟ زي اللي بكونت رايحي الأيام الـ

224
00:18:45,020 --> 00:18:49,060
exponential هثبتلك أن الـ sequence هذه converged

225
00:18:49,060 --> 00:18:52,220
uniformly وهذه طبعا هتصبح converged uniformly

226
00:18:52,220 --> 00:18:55,000
automatically فهتصبح اللي هي differentiable لأن بيصير

227
00:18:55,000 --> 00:18:57,860
طبقة النظرية اللي هي تبعها الـ differentiability

228
00:18:57,860 --> 00:19:01,200
بيصير عند مادام differentiable اللي هي الـ

229
00:19:01,200 --> 00:19:04,580
derivative اللي لها exist و هتكون الـ derivative

230
00:19:04,580 --> 00:19:07,960
متحقق الشروط و بيكون خلاص نعم نشوف ايش بقول طيب

231
00:19:07,960 --> 00:19:12,530
الآن بعد ما طلعنا هدولة let a أكبر من صفر b given

232
00:19:12,530 --> 00:19:15,790
نفس الخطوات تبعت ال exponential then if الـ absolute

233
00:19:15,790 --> 00:19:19,970
value of x أصغر من a and m أكبر من n أكبر من 2a

234
00:19:19,970 --> 00:19:25,510
يعني بتداخد اللي هي الامات لأكبر من n و أكبر من 2a

235
00:19:25,510 --> 00:19:29,650
يعني الآن أنا بشتغل على n يا جماعة الفترة من ناقص

236
00:19:29,650 --> 00:19:34,570
a لعند a وأخدت ال a arbitrarily أكبر من صفر لكن

237
00:19:34,570 --> 00:19:41,850
fixed الآن we have عندي اللي هو .. عندي اللي هي الـ

238
00:19:41,850 --> 00:19:50,630
A الـ A على اللي هي 2N بما أنه N أكبر من 2A اقسم

239
00:19:50,630 --> 00:19:56,790
الجهتين على 2N هنا على 2N و هنا على 2N بيصير عند الـ

240
00:19:56,790 --> 00:20:07,710
A على N .. A على N أصغر من النص، صح؟ هي a تروح

241
00:20:07,710 --> 00:20:11,090
الاثنين مع الاثنين وهذه n مع ال n بيصير a أعليها أصغر

242
00:20:11,090 --> 00:20:16,050
من نص يعني A على 2n أصغر من 1 على 4 قسمت الاثنين

243
00:20:16,050 --> 00:20:22,400
عالميا على اثنين إذا لما تكون ال n أكبر من 2a هتطلع

244
00:20:22,400 --> 00:20:24,640
عندها get بتعرف ليش هذه لأن بتلزمنا في الحسابات

245
00:20:24,640 --> 00:20:28,580
بعد شوية هتكون اللي هي لما الاثنين a أصغر من n

246
00:20:28,580 --> 00:20:31,960
بتكون عند A على اثنين n أصغر من مين من ربع المرة

247
00:20:31,960 --> 00:20:35,460
اللي فاتت كان لازمنا A على n أصغر من نص وكملنا الـ

248
00:20:35,460 --> 00:20:40,650
series اللي متذكر اللي عملنا في اللي هي الـ

249
00:20:40,650 --> 00:20:43,330
Exponential أنا بحكيش تفاصيله و مفترض أن أنتم 

250
00:20:43,330 --> 00:20:47,570
فاهمين حسب حكينا اللي هو في الـ Exponential الآن

251
00:20:47,570 --> 00:20:52,290
للامات اللي أكبر من M أكبر من 2A بدي أحسب الـ CM

252
00:20:52,290 --> 00:20:59,870
ناقص اثنين الـ SN عشان تظلها قدامكم اللي فوق هذه عندي

253
00:20:59,870 --> 00:21:06,960
الآن الـ CM الـ C M الـ C M شايفينها؟ بتظلها ماشية

254
00:21:06,960 --> 00:21:10,940
واحد لو ف .. الآن هذه M بدأ الـ N زاد واحد ايش

255
00:21:10,940 --> 00:21:14,880
اسمها؟ M بتظلها ماشية واحد ناقص X أربعة على اثنين

256
00:21:14,880 --> 00:21:18,820
فيكتوريال X أربعة على أربعة فيكتوريال والـ M أكبر من

257
00:21:18,820 --> 00:21:23,160
الـ N هتجيه يقبل في طريقها من الـ N الـ N بيصير

258
00:21:23,160 --> 00:21:27,540
الـ N طبعا ايه شمالها؟ الـ N عبارة عن في جبل الـ

259
00:21:27,540 --> 00:21:33,590
term هذا اللي هو الـ N ناقص واحد اه فبيصير زائد اللي

260
00:21:33,590 --> 00:21:39,350
هو ناقص واحد أس N ناقص واحد في X أس اثنين M ناقص

261
00:21:39,350 --> 00:21:44,050
اثنين على اثنين M ناقص اثنين الكل factorial و

262
00:21:44,050 --> 00:21:48,390
بتكمل هذا و بتبقى مكمل ايه أنت لما اتصل لعند X أس

263
00:21:48,390 --> 00:21:54,670
اثنين M ناقص اثنين لأن هذا لـ M مش لـ N زائد

264
00:21:54,670 --> 00:21:59,730
واحد على اثنين M ناقص اثنين الكل شمالها factorial

265
00:22:00,420 --> 00:22:08,320
لما تطرح ال CM نقص ال CN اللي هو لها بيصير المتبقي

266
00:22:08,320 --> 00:22:12,600
هيه زي ما عملنا بالظبط قبل هيك فبيصير ال CM نقص الـ

267
00:22:12,600 --> 00:22:18,080
CN بتساوي الناقص واحد طبعا في absolute value عند X 2N

268
00:22:18,080 --> 00:22:21,200
عشان هيك طيرنا مش فارقة كتير نقص و سالب أخذنا له

269
00:22:21,200 --> 00:22:25,900
absolute value مش هتفرج معنا ال X 2N على 2N

270
00:22:25,900 --> 00:22:32,490
vectorial ناقص X أس 2 M زائد 2 اللي بعيدها على 2 M

271
00:22:32,490 --> 00:22:35,990
زائد 2 كله factorial لما أصل لآخر term اللي هو X

272
00:22:35,990 --> 00:22:41,170
أس 2 M ناقص 2 على 2 M ناقص 2 كله factorial هذا

273
00:22:41,170 --> 00:22:46,670
الآن هذا نفسه أخذنا احنا ال absolute value لـ X

274
00:22:46,670 --> 00:22:50,350
أصغر من A في هذه الفترة احنا شغالين في الفترة الـ

275
00:22:50,350 --> 00:22:54,430
absolute value X أصغر من A الآن بيصير عند الـ X

276
00:22:54,430 --> 00:23:05,180
نفسها أس 2n أصغر أو يساوي هذه اللي هي a أس 2n على

277
00:23:05,180 --> 00:23:09,240
2n الكل factorial الأولى زائد استخدمت triangle

278
00:23:09,240 --> 00:23:13,440
inequality هذه زائد هذه زائد هذه زائد هذه الآن

279
00:23:13,440 --> 00:23:18,240
زائد اللي بعيدها لما أصل لآخر واحدة x أو اللي جاب

280
00:23:18,240 --> 00:23:23,420
اللي خليني أكتبها عشان x اللي هي بيصير a أس اثنين n 

281
00:23:23,420 --> 00:23:28,060
زائد اثنين على اثنين إن زائد اثنين لكل factorial

282
00:23:28,060 --> 00:23:37,020
زائد لما أصل لآخر term عندي هنا لما أصل لآخر term

283
00:23:37,020 --> 00:23:43,160
اللي هو زائد

284
00:23:43,160 --> 00:23:57,230
هذا ال term اللي هو زائد A 2M-2 2M-2 كل A شماله

285
00:23:57,230 --> 00:24:03,930
فكتوريا خلّيني أخد هذا A 2N 2N كل فكتوريا العام

286
00:24:03,930 --> 00:24:11,460
المشترك، بظل عندي 1 زائد a تربيع لأنه بيصير a يساوي 2

287
00:24:11,460 --> 00:24:17,960
a تربيع على مين؟ على 2n زائد 2، أكيد ال 1 على 2n

288
00:24:17,960 --> 00:24:23,280
زائد 2 أصغر من 1 على 2n لأنه 2n أصغر من هذه

289
00:24:23,280 --> 00:24:27,240
فمقلوبها بيصير أكبر، ماشي، وبضل زي ما عملته المرة

290
00:24:27,240 --> 00:24:32,700
اللي فاتت، أسحب منه A أس 2 على N، وفي الآخر أستبدل

291
00:24:32,700 --> 00:24:37,680
اللي هو 2N هذه عن الرقم اللي أكبر منه N، فبيصير هي

292
00:24:37,680 --> 00:24:41,400
مقلوبها أكبر، فبتضلها اللي هي ال inequality زي هيك

293
00:24:41,400 --> 00:24:45,840
وبكون سحبت 2 من هذه، بيصير 2 ام نقص 2، ام نقص ايش؟

294
00:24:45,840 --> 00:24:53,350
نقص 2، وصلنا لعند ال inequality هذه الآن، احنا قلنا a

295
00:24:53,350 --> 00:24:58,950
على 2n أصغر من مين؟ من ربعه، يعني بيصير هذا المقدار

296
00:24:58,950 --> 00:25:05,310
كله أصغر أو يساوي a أس 2n على 2n لكل factorial

297
00:25:05,310 --> 00:25:09,550
مضروب في مين؟ أصغر أو يساوي، لأن الربع أكبر منهم بس

298
00:25:09,550 --> 00:25:14,930
تبدأ كل واحد وقت ما كانوا إياه ربع، واحد زاد واحد

299
00:25:14,930 --> 00:25:23,510
على أربعة تربيع، زائد لما أصل لآخر واحد a اللي هو

300
00:25:23,510 --> 00:25:31,370
عبارة عن واحد على أربعة الكل أس اثنين ام ناقص

301
00:25:31,370 --> 00:25:36,590
اثنين ام ناقص ايش؟ اثنين، هذه الآن الـ الـ الـ الـ

302
00:25:36,590 --> 00:25:39,710
finite geometric series أصغر أو يساوي ال infinite

303
00:25:39,710 --> 00:25:45,770
اللي هي a أس اثنين ان على اثنين ان لكل factorial

304
00:25:45,770 --> 00:25:53,570
في اللي هو الـ summation ده، واحد زائد ربع تربيع

305
00:25:53,570 --> 00:26:00,310
زائد ربع تكعيب، زائد لما أصل ربع أس أربعة، زائد إلى

306
00:26:00,310 --> 00:26:05,070
ما لا نهاية، هذه الآن أساسها جداش وكأنه أساسها كل

307
00:26:05,070 --> 00:26:11,750
مرة بتمّد واحد على ستة عشر، فبتصير هذه المجموحة اللي

308
00:26:11,750 --> 00:26:16,470
هي واحد، مجموحة بتعرفوها، واحد ناقص واحد على ستة عشر

309
00:26:17,250 --> 00:26:21,750
Passive واحد على واحد ناقص واحد على ستة عشر، ويساوي

310
00:26:21,750 --> 00:26:27,810
جداش خمسة عشر أو ستة عشر على خمسة عشر، لأن هذه واحد

311
00:26:27,810 --> 00:26:29,870
ناقص واحد على ستة عشر، تطلع خمسة عشر على ستة عشر

312
00:26:29,870 --> 00:26:34,830
مقلوبة، بيصير ستة عشر على خمسة عشر، المفهوم المقصود هو

313
00:26:34,830 --> 00:26:38,670
باسمها Geometric Series، بضل بقول هذه أصغر أو يساوي

314
00:26:38,670 --> 00:26:41,930
الصمّاشن إلى ما له نهاية، وبزبدل هذا باللي أكبر

315
00:26:41,930 --> 00:26:46,070
منها، فبتظل هذه أكبر، الآن مجموحها بيصير عبارة عن 16

316
00:26:46,070 --> 00:26:51,010
في المقدار هذا اللي بدّله موخود عام المشترك، فبيصير

317
00:26:51,010 --> 00:26:58,940
عندي الآن يا جماعة اللي هو ال CM نقص الـCN زي ما

318
00:26:58,940 --> 00:27:04,460
حكينا قبل ذلك بالظبط، أصغر من هذا المقدار اللي هذا

319
00:27:04,460 --> 00:27:09,000
limit، و اين بيروح as N goes to infinity بيروح لـ 0

320
00:27:09,000 --> 00:27:13,760
إذا بيصير هذا المقدار زي ما قلنا المرة الماضية، CM

321
00:27:13,760 --> 00:27:20,800
of X نقص CN of X، اللي هو أصغر أو يساوي Y for very

322
00:27:20,800 --> 00:27:28,700
large M and N، M and N، لأنه لما تكبر M كثير، N كثير

323
00:27:28,700 --> 00:27:33,100
تروح لنا لنهاية، لأنه limit بروح لها صفر as N goes

324
00:27:33,100 --> 00:27:37,080
to infinity، ال M برضه بتكبر، إذا for very large M

325
00:27:37,080 --> 00:27:40,800
هيكون هذا أصغر أو يساوي إبسلون لأي إبسلون في

326
00:27:40,800 --> 00:27:44,480
الدنيا، لأنه هذا بيقدي للصفر فبيصير صغير صغير صغير

327
00:27:44,480 --> 00:27:48,720
صغير لدرجة إنه مضروب في هذا يكون أصغر من إبسلون

328
00:27:48,720 --> 00:27:53,360
وهذه اللي قلنا عنها اللي هي الـ Cauchy criterion

329
00:27:53,360 --> 00:28:00,040
for uniform continuity، هذا الكلام كله لمين؟ صحيح

330
00:28:00,040 --> 00:28:06,880
لأي X، وين؟ على الفترة اللي هو absolute value X أصغر

331
00:28:06,880 --> 00:28:11,220
أو يساوي A، يعني على الفترة المولّقة من ناقص A لعند

332
00:28:11,220 --> 00:28:19,110
A، وهذا بيعطيني أن الـ is uniformly continuous على

333
00:28:19,110 --> 00:28:24,150
الفترة من ناقص A لعند A، is as if is uniformly is

334
00:28:24,150 --> 00:28:28,330
uniformly convergence على الفترة من ناقص A لـ A، يعني

335
00:28:28,330 --> 00:28:35,790
بمعنى آخر، صارت عندي ال sequence هذه اللي هي CNN

336
00:28:35,790 --> 00:28:43,150
converges uniformly to some function عالمياً على

337
00:28:43,150 --> 00:28:50,730
الفترة من ناقص a لعند مين؟ لعند a، الآن، طب ما هو اللي

338
00:28:50,730 --> 00:28:53,930
عملناه أنا على الفترة هذه نقدر نعمله على أي شيء

339
00:28:53,930 --> 00:28:58,310
ثاني، يعني بمعنى آخر لو جيت أخدت x element in R

340
00:28:58,310 --> 00:29:04,400
هلاقي number a بحيث أن هذا ال number a هي ال x في

341
00:29:04,400 --> 00:29:10,180
ال R، بقدر ألاقي a بحيث أن ناقص a و a تكون ال x في

342
00:29:10,180 --> 00:29:15,340
الفترة بين ناقص a و a، يعني بمعنى آخر هعمل نفس اللي

343
00:29:15,340 --> 00:29:18,100
عملته في الأول وهحصر على c أن uniformly

344
00:29:18,100 --> 00:29:23,030
convergence على هذه الفترة، يعني بمعنى آخر الآن صار

345
00:29:23,030 --> 00:29:29,450
عندي limit cn of x for any x exist، بدي أسميها هذه

346
00:29:29,450 --> 00:29:35,190
limit c of x، وبناء عليه بدي أعرف الآن in

347
00:29:35,190 --> 00:29:38,710
particular، this means that cn of x converge for

348
00:29:38,710 --> 00:29:42,710
each x element in R، we define c من R لـR by c of x

349
00:29:42,710 --> 00:29:45,650
بساواية limit cn of x for x element in R

350
00:29:53,570 --> 00:29:59,630
الآن، بما أنه الآن الـCn مرتبط بشكل مرتبط لـC زي ما

351
00:29:59,630 --> 00:30:04,690
قلنا أو الـCn of X كلهم مرتبط حسب اللي هو

352
00:30:04,690 --> 00:30:08,030
النظرية في الـpointwise، الـuniform convergence

353
00:30:08,030 --> 00:30:12,360
اللي هو the limit، the uniform، limit أو الـ

354
00:30:12,360 --> 00:30:15,220
uniform convergence of a sequence of continuous

355
00:30:15,220 --> 00:30:18,480
functions، مصمّد كونتنوياس، الـ limit تبعتها يعني

356
00:30:18,480 --> 00:30:21,160
هتطلع عندي C of X continuous، مثلًا C of X

357
00:30:21,160 --> 00:30:25,000
continuous، إذا عندي اللي هو صار عندي الـ

358
00:30:25,000 --> 00:30:28,160
function هذه continuous اللي هي الـ C اللي احنا

359
00:30:28,160 --> 00:30:33,730
بدنا إياها، ومش هيك، و limitCn of 0 as n goes to

360
00:30:33,730 --> 00:30:37,270
infinity بساوي limit اللي هي Cn of 0 ايش بتساوي؟

361
00:30:37,270 --> 00:30:41,910
واحد، وهي ساوية واحد اللي هي عبارة عن مين؟ الـC of

362
00:30:41,910 --> 00:30:47,370
ايش؟ of 0، لأن احنا متّفقين الـC of X بساوي limit Cn

363
00:30:47,370 --> 00:30:51,310
of X، و in particular for X بتساوي صفر، بساوي limit

364
00:30:51,310 --> 00:30:55,430
Cn of 0 بساوي C of 0، وCn of 0 كلها واحد أيضاً،

365
00:30:55,430 --> 00:30:57,730
limit الواحد اللي هو بساوي واحد، يعني الـC of 0

366
00:30:57,730 --> 00:31:05,970
ايش هتساوي؟ هتساوي واحد، خصّلت كمان شغلة، إنه حصلت

367
00:31:05,970 --> 00:31:10,070
عندي أن الـ c of zero بيساوي واحد

368
00:31:13,750 --> 00:31:19,670
لأ اللي هو الـS، الـCN بعمل شيء مشابه له لمين؟ للـSN

369
00:31:19,670 --> 00:31:25,250
عشان نثبت الآن اللي أثبتناه إنه صار في عندي ده

370
00:31:25,250 --> 00:31:31,730
اللي عرفناها اسمها الـC of X اللي عبارة عن limit

371
00:31:31,730 --> 00:31:38,970
CN of X، حيث الـC من R إلى R، طيب

372
00:31:41,560 --> 00:31:45,380
الآن نأخذ أيضاً ال absolute value X أصغر من مين؟ من

373
00:31:45,380 --> 00:31:49,960
أيه، وال M أكبر أو يساوي N، وأصغر من مين؟ من اثنين

374
00:31:49,960 --> 00:32:00,360
أيه، الآن نحسب ل SM ناقص SN، SM أيه قيمتها؟ DT من صفر

375
00:32:00,360 --> 00:32:05,400
الاندكس، SN، وهي SM

376
00:32:05,400 --> 00:32:11,240
ناقص هذه، هي قيمتها، إذا صار هذه ناقص هذه هي قيمتها

377
00:32:11,240 --> 00:32:19,680
الآن هذه سهل إثباتها أنها تتعامل ال absolute value

378
00:32:19,680 --> 00:32:24,200
لهذه أصغر أو يساوي الـ absolute value لهذه أصغر أو

379
00:32:24,200 --> 00:32:27,700
يساوي ال integration من 0 ل X ل absolute value CM

380
00:32:27,700 --> 00:32:35,600
of T نقص CN of T شماله DT، ماشي الحال، أو بنكمل

381
00:32:35,600 --> 00:32:39,580
اللي هو بنستخدم هذه الخاصية اللي هو بيكون أصغر أو

382
00:32:39,580 --> 00:32:42,820
يساوي من الحسابات اللي حسبناها قبل شوية هذا

383
00:32:42,820 --> 00:32:45,380
حسبناها أصغر من مين؟ الحسابات اللي قبل شوية، أصغر أو

384
00:32:45,380 --> 00:32:52,510
يساوي A أس 2N على 2N الكل factorial، مضروبة في اللي

385
00:32:52,510 --> 00:32:58,130
هو ستة عشر على مين؟ على خمسة، في ال integration من

386
00:32:58,130 --> 00:33:02,750
صفر لل X ل DT، هذا ال integration ايش بيساوي؟ بيساوي

387
00:33:02,750 --> 00:33:08,230
X، ماشي، وال X عندي احنا ماخدينها أصغر أو يساوي مين؟

388
00:33:08,230 --> 00:33:13,010
أيه، أصغر أو يساوي أيه، فبيصير عندي هذا المقدار بيكون

389
00:33:13,680 --> 00:33:18,020
لما نبعد مكانه بيطلع X قيمته أصغر أو يساوي A

390
00:33:18,020 --> 00:33:22,040
فبيصير هذا مضروب في مين؟ في أيه اللي هو هاي المقدار

391
00:33:22,040 --> 00:33:26,680
وهي 16 على 5، وهي ايش؟ ال A، صار هذا أصغر أو يساوي

392
00:33:26,680 --> 00:33:31,600
هذا المقدار نفس ما عملنا قبل بشوية، الآن as N goes

393
00:33:31,600 --> 00:33:36,690
to infinity هذه قيمتها بيساوي 0، إذا هذا المقدار for

394
00:33:36,690 --> 00:33:41,470
very large M و N هيكون أصغر أو يساوي Y، وبالكوشي

395
00:33:41,470 --> 00:33:45,350
criterion بيصير عندي اللي هي ال S N converges

396
00:33:45,350 --> 00:33:49,470
uniformly، والآن على الفترة ناقص A و A، وال A كانت

397
00:33:49,470 --> 00:33:53,730
arbitrary، إذا S من R لـ R بنقدر نعرفها بحيث إنه

398
00:33:53,730 --> 00:33:57,880
limit S N of X اللي صارت موجودة على هذه، وبناء على

399
00:33:57,880 --> 00:34:00,460
الـ A-arbitrary صارت موجودة على كل الـ R زي ما

400
00:34:00,460 --> 00:34:04,340
قلنا، كيف هذا الكلام؟ بسمّي limit S N of X اليمين S

401
00:34:04,340 --> 00:34:08,980
of X، وهذه اللي هي ال function الثانية، بنفس الأسلوب

402
00:34:08,980 --> 00:34:13,380
وبنفس اللي هو المنطق، وبنفس الأسباب، بما أن ال S N

403
00:34:13,380 --> 00:34:16,860
converges uniformly to S، وS N continuous، إذا حدّ

404
00:34:16,860 --> 00:34:22,340
طلع ال S برضه نفس شماله continuous، وأيضًا limit

405
00:34:22,340 --> 00:34:28,540
of S of 0 هو عبارة عن S of 0، وبما أن S of 0 دائمًا

406
00:34:28,540 --> 00:34:31,640
0، إذًا limitها سيكون as N goes to infinity 0، يعني

407
00:34:31,640 --> 00:34:35,300
ستظهر لدي S of 0 ايش؟ بساوي 0، إذًا الآن طلعنا

408
00:34:35,300 --> 00:34:45,840
كمان شغلة أثبتناها، أن S of 0 بساوي 0، و C of 0 بساوي

409
00:34:45,840 --> 00:34:54,400
1، وعرفنا هذولة الدالتين اسمها S و اسمها C اللي هي من R لعند

410
00:34:54,400 --> 00:34:59,680
مين؟ لعند R، إذن الآن احنا الدالتين اللي أثبتنا لوجودهما الآن، اللي بحكي عنهم هذولة الدالتين، اللي هي

411
00:35:05,430 --> 00:35:10,190
الدالة الأولى سمّيتها S، الثانية C، ولاقيت إنه C of

412
00:35:10,190 --> 00:35:15,790
0 بساوي واحد، و S of 0 بساوي 0، وظلّ أثبت هذه وأثبت

413
00:35:15,790 --> 00:35:22,910
هذه وأثبت هذولة اللي أستبعتنا بتحققهم، فخلينا نشوف

414
00:35:22,910 --> 00:35:29,670
كيف نثبتها، طيب الآن أوصلنا لعند اللي هو المنطقة

415
00:35:29,670 --> 00:35:39,670
هذه، لأن احنا اتّفقنا على ما يلي، اتّفقنا أن الـ S N

416
00:35:39,670 --> 00:35:47,170
تتعامل بشكل عام لتعمل S، والـ C N تتعامل بشكل عام

417
00:35:47,170 --> 00:35:54,280
لتعمل C، لكن الآن احنا أثبتنا في الأول هي إن ما

418
00:35:54,280 --> 00:36:00,880
محتاجش ال S N برايم بساوي ال C N، مظبوط؟ يعني وكأنه

419
00:36:00,880 --> 00:36:04,860
بناء على هذا مزام ال S N برايم بساوي ال C N، فبيصير 

421
00:36:04,860 --> 00:36:09,520
الـ S N برايم، هذه، مكانها دي S N برايم بصير الـ S N

422
00:36:09,520 --> 00:36:15,340
برايم converges uniformly to some function mean C

423
00:36:15,340 --> 00:36:22,060
الآن بما أن الـ S N برايم converges uniformly to C الآن

424
00:36:22,060 --> 00:36:28,900
والـ S N converged to S uniformly برضه حسب نظرية

425
00:36:28,900 --> 00:36:32,360
بتطلع عندي بما أن الـ s n prime differentiable هتكون

426
00:36:32,360 --> 00:36:37,140
الـ limit هـ differentiable والـ c prime اللي هي الـ

427
00:36:37,140 --> 00:36:42,340
s prime هذه هي مين الـ c اللي طلعت هنا يعني الـ s n 

428
00:36:42,340 --> 00:36:45,960
prime differentiable أو الـ s n differentiable و

429
00:36:45,960 --> 00:36:48,560
converges to some function إذا بتتذكر كنا نسميها g

430
00:36:48,560 --> 00:36:52,520
وهذه كنا نسميها f فكنا نقول بما أن الـ s n بتروح للـ f

431
00:36:52,520 --> 00:36:56,740
والـ s n prime بتروح للـ g إذا نتيجة النظرية هتكون

432
00:36:56,740 --> 00:37:00,000
اللي هي الـ F هي الـ Differentiable والـ Derivative

433
00:37:00,000 --> 00:37:04,940
لها إيش بتطلع؟ D يعني الـ Derivative للـ S' إيش

434
00:37:04,940 --> 00:37:12,260
هتطلع عبارة عن مين؟ C' آسف C هتطلع مين؟ اللي هي الـ

435
00:37:12,260 --> 00:37:21,000
C إذا أثبتت أنا الآن الـ S' of X بتساوي الـ C of X هذه

436
00:37:21,000 --> 00:37:28,190
اللي أثبتته هنا الآن من جهة أخرى من جهة أخرى إحنا

437
00:37:28,190 --> 00:37:35,850
أثبتنا اللي هي قبل هيك أن الـ C N برايم بسوء ناقص الـ S N

438
00:37:35,850 --> 00:37:42,450
ناقص واحد الـ C N برايم بسوء ناقص الـ S N of واحد يعني

439
00:37:42,450 --> 00:37:47,790
بمعنى آخر الـ C N برايم of X أثبتنا بسوء ناقص الـ S N

440
00:37:47,790 --> 00:37:54,640
ناقص واحد of X الآن بما أن الـ S N converted زي الـ S

441
00:37:54,640 --> 00:38:00,260
خلصنا هذه اه خلصنا هذه المنطقة خليني أشرح بلغة

442
00:38:00,260 --> 00:38:05,060
ثانية عشان أميز بين الكلامين عندي الآن انتبهوا

443
00:38:05,060 --> 00:38:08,860
بتعمل نفسي إشي بس بالنسبة لمن الآن بالنسبة عشان

444
00:38:08,860 --> 00:38:13,780
أجيب الـ derivative للـ S للـ C prime عندي الآن الـ C N

445
00:38:13,780 --> 00:38:19,740
prime of X بسوء نقص الـ S N نقص واحد of X بما أن الـ S N

446
00:38:19,740 --> 00:38:23,500
راحت للـ S إذا اللي هي الـ derivative هي اللي

447
00:38:23,500 --> 00:38:30,280
بتساويها اللي هي الـ C N زائد واحد prime of X هتروح

448
00:38:30,280 --> 00:38:36,770
لمين؟ اللي هي مش هي ناقصها لأن الـ S N ناقص واحد اللي

449
00:38:36,770 --> 00:38:40,730
هي بتساوي ناقص هذه أنجل ناقصها بعد إذنكم يعني بدي

450
00:38:40,730 --> 00:38:44,810
أستبدل الـ S N بمين؟ بقيمتها هذه صارت ناقص الـ C N

451
00:38:44,810 --> 00:38:50,330
prime of X إيش بتساوي؟ بتروح للـ S أو بمعنى آخر صار

452
00:38:50,330 --> 00:38:56,620
عندي من هنا من هنا اللي بتطلع عندي هنا صار عندي

453
00:38:56,620 --> 00:39:03,640
الآن من هنا اللي هو الـ c n زائد واحد prime of x بتروح

454
00:39:03,640 --> 00:39:08,080
لناقص طبعا uniformly بتروح لمين؟ ناقص الـ s لأنه ناقصها

455
00:39:08,080 --> 00:39:13,040
بتروح للـ s إذا هي بتروح لناقص الـ s وفي نفس الوقت

456
00:39:13,040 --> 00:39:19,840
أنا بقول الـ C N نفسها بتروح uniform لمين؟ للـ C بنفس

457
00:39:19,840 --> 00:39:24,740
الإسلوب اللي قبل بشوية اللي هي بما أنه هذه اللي هي

458
00:39:24,740 --> 00:39:27,580
differentiable sequence of functions و converge

459
00:39:27,580 --> 00:39:31,260
uniform to some function إذا هذه هتكون اللي هي

460
00:39:31,260 --> 00:39:35,600
عبارة عن اللي هي الـ C الأصلية differentiable والـ

461
00:39:35,600 --> 00:39:40,070
derivative فيها لها مين؟ ناقص الـ S فبصير عندي الـ C'

462
00:39:40,530 --> 00:39:45,970
of X بسوء ناقص S of X بكون هذه اللي هي النتيجة

463
00:39:45,970 --> 00:39:50,330
الثانية اللي طبقنا عليها طلعت عندي اللي هو هذه

464
00:39:50,330 --> 00:39:54,050
الخاصية وهذه الخاصية متحققة يعني الآن صار عندي

465
00:39:54,050 --> 00:40:02,590
اللي هو تحقق ما يليه أنه تبعتنا هذه الـ C' of X

466
00:40:02,590 --> 00:40:08,530
بيساوي ناقص S of X وطلع عندي اللي هي S prime of X

467
00:40:08,530 --> 00:40:16,290
بيساوي C of X ماشي الحال بيكون هيك إحنا ضال علينا

468
00:40:16,290 --> 00:40:21,230
شغل أخرى لحاول نثبتها بيكون أثبتنا اللي هو كل

469
00:40:21,230 --> 00:40:27,630
الصفات المطلوبة اللي تتحقق في الـ S وحددت هوية الـ S

470
00:40:27,630 --> 00:40:28,050
والـ C

471
00:40:38,700 --> 00:40:48,060
الجزء الثاني سهل فضل الـ c w prime of x

472
00:41:00,590 --> 00:41:05,470
بتصير c double prime هيها وهذه فضلها بنفعلها

473
00:41:05,470 --> 00:41:09,550
لأنها قبل التفاضل اللي فضلناها وبتصير ناقص اللي هي

474
00:41:09,550 --> 00:41:15,030
s prime of x اللي هي s prime of x إيش بتساوي؟ c of 

475
00:41:15,030 --> 00:41:20,350
x فبصير ناقص مين؟ c of x والآن S W' of X من أين بدي

476
00:41:20,350 --> 00:41:23,650
أجيبها؟ من هنا S W' بيساوي اللي هو هذه الـ

477
00:41:23,650 --> 00:41:26,050
derivative اللي هي الـ derivative اللي هي عبارة عن

478
00:41:26,050 --> 00:41:31,530
ناقص S of X فبصير عبارة عن ناقص S of X فبصير عندي

479
00:41:31,530 --> 00:41:38,910
هذا برضه إيش تحقق؟ آخر إشي اللي هي C' of Zero C' of

480
00:41:38,910 --> 00:41:42,410
Zero بيساوي ناقص S of Zero و S of Zero بيساوي صفر

481
00:41:42,410 --> 00:41:47,030
إذا C' of Zero بيساوي Zero الـ S' of Zero

482
00:41:52,540 --> 00:41:56,800
وهكذا أثبتنا وجود دالة

483
00:41:59,570 --> 00:42:04,970
اللي هي حققت لي اللي هي الشرط الأول هذا والدالتين

484
00:42:04,970 --> 00:42:09,710
آسف والشرط الثاني اه اللي بعده هذه بتكون أثبتنا

485
00:42:09,710 --> 00:42:15,290
وجود الـ C والـ S لأن بعض النتائج الأخرى على اللي هي

486
00:42:15,290 --> 00:42:18,830
الدالتين

487
00:42:18,830 --> 00:42:19,790
اللي أوجدناهم

488
00:42:24,500 --> 00:42:28,960
نشوف إيش الـ Corollary الأولى بقول لي if C and S

489
00:42:28,960 --> 00:42:33,680
are the functions in 3x, 8x, 4x, 1 then C' of X

490
00:42:33,680 --> 00:42:39,560
بيساوي نقص S of X أثبتناها هيها and طبعا في طريقنا

491
00:42:39,560 --> 00:42:44,020
في البرهان S' of X بيساوي C of X هيها اللي هي خواص

492
00:42:44,020 --> 00:42:50,340
اللي هي أثبتناها طيب الآن بقول لي moreover these

493
00:42:50,340 --> 00:42:54,630
functions have derivatives of all order يعني بأي

494
00:42:54,630 --> 00:42:57,710
order الـ derivative موجودة طبعا هذا by induction

495
00:42:57,710 --> 00:43:01,550
by induction اللي هو بدك تثبت إنه اللي هو اللي هو

496
00:43:01,550 --> 00:43:06,670
C N هتكون موجودة وبيساوي ناقص a of x أو زائد a of x

497
00:43:06,670 --> 00:43:11,450
حسب اللي هي جداش درجة الـ n وممكن تساوي C of x أو

498
00:43:11,450 --> 00:43:16,930
اللي هي ناقص C of x حسب درجة الـ n اللي موجودة إذا

499
00:43:16,930 --> 00:43:19,990
الآن هذه by induction بنقدر نثبت إن الـ derivative

500
00:43:19,990 --> 00:43:26,390
اللي هو موجودة for any order بناء على اللي حكيناه

501
00:43:26,390 --> 00:43:32,300
نيجي الآن لـ Corollary اللي بعدها بقول الآن الـ

502
00:43:32,300 --> 00:43:38,280
function C and S بحقق اللي هي الـ Pythagorean

503
00:43:38,280 --> 00:43:42,280
Identity اللي كنا نعرفها كـ جيب تربيع زائد جتا تربيع

504
00:43:42,280 --> 00:43:47,660
إيش بتساوي؟ بتساوي واحد فكرة البرهان سهلة بسمي هذه

505
00:43:47,660 --> 00:43:51,520
كلها بسميها function اسمها F of X بقول سمي هذه

506
00:43:51,520 --> 00:43:56,080
اللي هي F of X بتساوي هذه فضليها بلا بتفضليها F

507
00:43:56,080 --> 00:44:01,200
prime of X بتساوي اثنين في C of X في تفاضل اللي جوا

508
00:44:01,200 --> 00:44:06,300
اللي هو ناقص S of X والتانية زائد اثنين في S of X

509
00:44:06,300 --> 00:44:11,880
فتفاضلها هي C of X هذه هي هذه بس بالسالب إذا حصل

510
00:44:11,880 --> 00:44:15,100
طرح حلو اسم يساوي صفر إذا صارت عند الـ derivative للـ

511
00:44:15,100 --> 00:44:18,320
function هذه إسمها بتساوي صفر يعني بمعنى آخر

512
00:44:18,320 --> 00:44:22,490
الدالة هي دالة ثابتة يعني F is a constant function

513
00:44:22,490 --> 00:44:27,210
يعني قيمة الـ F عند أي قيمة إيش بتساوي؟ مقدار ثابت

514
00:44:27,210 --> 00:44:31,310
إذا اتفاجأ أنها ثابتة أسهل إشي أسهل إشي أوجد لي F of

515
00:44:31,310 --> 00:44:34,670
Zero عشان أتعرف إيش هذه اللي بتساوي بالضبط C of

516
00:44:34,670 --> 00:44:38,730
Zero واحد S of Zero صفر إذا صار عندي F of Zero

517
00:44:38,730 --> 00:44:42,170
بتساوي واحد وهي ثابتة إذا صارت F of X دائما

518
00:44:42,170 --> 00:44:46,270
بتساوي واحد يعني هذا المقدار بتساوي واحد دائما

519
00:44:46,270 --> 00:44:48,690
طيب نيجي الآن

520
00:44:51,700 --> 00:44:57,820
لأ الـ theorem اللي بعدها الـ functions C and S

521
00:44:57,820 --> 00:45:02,820
satisfy the properties I and II of theorem 8-4-1

522
00:45:02,820 --> 00:45:07,020
are unique لما بقول لي برضه هتلاقي الـ uniqueness

523
00:45:07,020 --> 00:45:13,020
بشبه الـ uniqueness لمن؟ لأ اللي هو الـ .. الـ ..

524
00:45:13,020 --> 00:45:18,030
قولوا معايا الـ uniqueness للـ exponential وسمناها

525
00:45:18,030 --> 00:45:21,170
اللي هو let E واحد .. نفترض أنه في E واحد و E

526
00:45:21,170 --> 00:45:24,070
اثنين وسمها فرق بيساوي D وفي الآخر روحنا لفرق

527
00:45:24,070 --> 00:45:28,390
بيساوي إيش؟ بيساوي صفر هنا نفس الإشي هنشتغل وبرضه

528
00:45:28,390 --> 00:45:31,590
هنستخدم اللي هو الـ Taylor's theorem زي ما استخدمنا

529
00:45:31,590 --> 00:45:34,470
هناك الـ Taylor's theorem يعني هتلاقيه الـ sketch

530
00:45:34,470 --> 00:45:37,470
للبرهان هو نفس الـ sketch الأولاني عشان هيك

531
00:45:37,470 --> 00:45:43,110
هتلاقوني سريع فيه بدنا نثبت أن الـ C والـ S are

532
00:45:43,110 --> 00:45:47,930
unique functions طبعا الطريقة let c1 and c2 be two

533
00:45:47,930 --> 00:45:52,290
functions on R that satisfy it satisfies مين الـ

534
00:45:52,290 --> 00:45:55,850
conditions اللي إحنا بنقول عنهم اللي هي الـ I و II

535
00:45:55,850 --> 00:46:00,930
اللي هو بحيث إنه c1 double prime of x بساوي c1 of

536
00:46:00,930 --> 00:46:01,150
x

537
00:46:16,750 --> 00:46:18,150
2

538
00:46:18,550 --> 00:46:24,010
لأن نفترض أن دي بتساوي C1-C2 وبدنا نصل في النهاية

539
00:46:24,010 --> 00:46:27,410
أن دي هذه لازم تطلع إيش بتساوي؟ بتساوي 0 مدام دي

540
00:46:27,410 --> 00:46:32,710
بتساوي 0 مدام C1 بتساوي إيش؟ C2 لاحظ الآن D W' of

541
00:46:32,710 --> 00:46:38,190
X فاضل هذا مرتين تصير C1W'-C2W'

542
00:46:39,860 --> 00:46:47,500
الآن بتساوي هتطلع إيش بتساوي؟ ناقص اللي هي مين؟ D of

543
00:46:47,500 --> 00:46:59,700
X نعملها اللي هي حسابات D of X بتساوي D of X بتساوي

544
00:46:59,700 --> 00:47:08,540
C1 ناقص C2 D prime of X إيش هيساوي؟ اللي هو عبارة

545
00:47:08,540 --> 00:47:16,670
عن S واحد ناقص S واحد ناقص بيصير اللي هو مين؟ الـ S

546
00:47:16,670 --> 00:47:19,810
واحد اللي هي بالنسبة لهذه اللي أوجدناها ناقص S

547
00:47:19,810 --> 00:47:25,350
اثنين بيصير زائد لأن دي double prime بتساوي بتفاضل

548
00:47:25,350 --> 00:47:30,030
هذا كمان مرة اللي هي بترجع مين؟ نفسها C واحد وهذه

549
00:47:30,030 --> 00:47:38,390
ترجع نفسها C2 التي هي ناقص D التي هي ناقص D طيب

550
00:47:38,390 --> 00:47:43,410
إذا الـ D لأنه مفترضين الـ C1 و C2 اسمها بتحقق

551
00:47:43,410 --> 00:47:52,470
الشروط اللي فوق اللي قلنا عنها Double prime بتساوي D

552
00:47:52,470 --> 00:48:02,390
of X أو D double prime بتساوي D double prime بتساوي

553
00:48:06,030 --> 00:48:11,870
بتساوي D W' ناقص D W' D W' ناقص C1 و D W' اللي

554
00:48:11,870 --> 00:48:15,870
هي ناقص ناقص C زائدة سارة D W' بتساوي ناقص D و X

555
00:48:15,870 --> 00:48:21,890
هيك اللي هو دعنا نقول أسلم طيب الآن بستعجل لأن

556
00:48:21,890 --> 00:48:29,470
الكلام معاد يعني أو الأفكار معادة الآن احط لي D of 0

557
00:48:29,470 --> 00:48:34,530
إيش هيساوي؟ Zero لأن D of 0 بيساوي هذه ناقص هذه و

558
00:48:34,530 --> 00:48:37,630
هذه عند الـ zero واحد وهذه عند الـ zero واحد

559
00:48:37,630 --> 00:48:40,010
الاثنتين عند الـ zero واحد انحصل طرحي إن إيش هيساوي

560
00:48:40,010 --> 00:48:47,160
صفر الآن D prime عند الـ zero و D W' عند الـ zero و و 

561
00:48:47,160 --> 00:48:48,760
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

562
00:48:48,760 --> 00:48:50,140
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

563
00:48:50,140 --> 00:48:52,320
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

564
00:48:52,320 --> 00:48:52,380
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

565
00:48:52,380 --> 00:48:55,440
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

566
00:48:55,440 --> 00:48:59,220
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

567
00:48:59,220 --> 00:48:59,240
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

568
00:48:59,240 --> 00:49:00,380
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

569
00:49:00,380 --> 00:49:01,520
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

570
00:49:01,520 --> 00:49:05,260
.. و

571
00:49:05,260 --> 00:49:15,970
.. و .. و .. و .. و .. و .. وبحكي عن الـ 

572
00:49:15,970 --> 00:49:25,410
derivative الـ dw prime عبارة عن اللي هي ناقص d of 

573
00:49:25,410 --> 00:49:30,410
0 عند الـ 0 و الـ d عند الـ 00 إذن هذه الـ 0 هذه

574
00:49:30,410 --> 00:49:34,330
لمن؟ لـ k اللي هي إتنين و أربعة و ستة و تمانية

575
00:49:34,330 --> 00:49:37,870
بنفس السبب هتطلع صفر الفرديات بيجي من مين؟ من هذه

576
00:49:38,330 --> 00:49:44,430
فردية الـ Derivative لإيش؟ لأن D' of 0 هتساوي C1'

577
00:49:44,890 --> 00:49:51,110
ناقص C2' C1' عند الصفر صفر و C2' عند ال 0 0 إذا هذه

578
00:49:51,110 --> 00:49:56,730
دي K عند ال 0 بالساوية 0 لكل K سواء زوجية أو إيش

579
00:49:56,730 --> 00:50:01,230
أو فردية إذا جهزنا هذا اللي جهزناه قبل هيك يعمل 

580
00:50:01,230 --> 00:50:05,940
Exponential وبتنا نطبّق اللي هو مين الـ Taylor's 

581
00:50:05,940 --> 00:50:09,000
theorem نطبّق الـ Now let x element in R be

582
00:50:09,000 --> 00:50:12,760
arbitrary element in R and let I x be the interval

583
00:50:12,760 --> 00:50:18,940
within point 0x طبّقنا عليها إذا since D بتساوي C1

584
00:50:18,940 --> 00:50:25,220
ناقص C2 وT بتساوي S1 ناقص S2 اللي هي مفترضين S1

585
00:50:25,220 --> 00:50:28,400
وS2 اللي هو two functions such that اللي بيحققوا 

586
00:50:28,400 --> 00:50:34,170
تبعات الـ sine اللي هي بالساوية S1 ايش هي مسميها

587
00:50:34,170 --> 00:50:39,950
أنا اللي هي بدل C2 prime أو هي C2 prime والـ S2

588
00:50:39,950 --> 00:50:46,510
اللي هي C2 A prime العكسية

589
00:50:46,510 --> 00:50:50,530
ال derivative بيصيح بالنقص are continuous on mean

590
00:50:50,530 --> 00:50:55,930
on Ix عارفين continuous انه احنا مفترضين ان نحقق

591
00:50:55,930 --> 00:51:00,160
نفس اللي هو اللي قبله مدام continuous الـ D والـ T

592
00:51:00,160 --> 00:51:07,440
continuous على closed bounded interval I X إذا في

593
00:51:07,440 --> 00:51:12,810
اللي هو K واحد للأولى و K2 للتانية خدوا ال maximum

594
00:51:12,810 --> 00:51:18,470
إليها واسموها K إذا في K للجهتين بحيث ان ال D of T

595
00:51:18,470 --> 00:51:22,930
bounded علي هذه أصغر شيء T كي على كل الفترة اللي 

596
00:51:22,930 --> 00:51:27,390
بنحكي عنها IX وT of T أصغر شيء K for all T

597
00:51:27,390 --> 00:51:30,290
elements of IX لأنه زي ما أقول continuous function

598
00:51:30,290 --> 00:51:33,930
in a closed bounded interval must be bounded الآن

599
00:51:33,930 --> 00:51:39,170
جاهزين نطبق مين؟ الـ Taylor's theorem to d من Ix

600
00:51:39,170 --> 00:51:44,970
and use the fact دي اللي أثبتناه دي 0 سواء 0 دي K0

601
00:51:44,970 --> 00:51:50,030
سواء 0 الآن بنقول for each n unlimited n عملناها 

602
00:51:50,030 --> 00:51:56,510
عشان هيك بس ماشي عنه بسرعة عملناها قبل هيك there

603
00:51:56,510 --> 00:51:59,630
exist a point Cn unlimited Ix such that هذا

604
00:51:59,630 --> 00:52:03,890
remainder بتعملي remainderD ب X بيساوي D of 0 زي

605
00:52:03,890 --> 00:52:06,850
دي prime of 0 زائد زائد زائد زائد X ان نقص واحد 

606
00:52:06,850 --> 00:52:12,630
لما أصل لمين لل remainder كل هذول أصفار بسبب مين

607
00:52:12,630 --> 00:52:16,430
انه D0 وD prime of 0 وD ان نقص واحد وزير وكلهم إيه

608
00:52:16,430 --> 00:52:20,090
شمالهم بيساوي أصفار عند الصفر بيظل هذا المقدار

609
00:52:20,090 --> 00:52:24,010
يساوي اللي هو المقدار اللي عندي اللي تحت هذا هذا

610
00:52:24,010 --> 00:52:27,490
ال derivative هذا ال derivative أنا بعرفش إيش هي

611
00:52:27,490 --> 00:52:31,230
ما أنتوا عارفين ال derivative لل .. لل .. لل C

612
00:52:34,160 --> 00:52:41,940
أو ال derivative للـC إذا فضلت مرة واحدة بتطلع

613
00:52:41,940 --> 00:52:47,120
الـS أو سلبها فظلت تلت مرات بترجع ليها S بس

614
00:52:47,120 --> 00:52:53,180
بالموجة فظلت خمسة بترجع ناقص S فظلت زوجي بتطلع هي

615
00:52:53,180 --> 00:52:58,920
نفسها أو سلبها عشان هي كادل أنا بعرفش طبعا هنا

616
00:52:58,920 --> 00:53:02,400
عندك اللي هي بتتوزع على مرة derivative تنتين

617
00:53:02,400 --> 00:53:04,620
derivative تلاتة derivative أربعة derivative و

618
00:53:04,620 --> 00:53:08,180
بترجع الدورة زي ما هي لإنه في الأول بيكون اللي هي

619
00:53:08,180 --> 00:53:15,520
تفاضل الـC ناقص S بعدها بتتفاضل بترجع اللي هي ناقص

620
00:53:15,520 --> 00:53:18,770
حالتها بعدها بترجع اللي هي

621
00:53:18,770 --> 00:53:36,410
ببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببببب

622
00:53:36,660 --> 00:53:40,180
اللي هي الـC ويصير ناقص C كمان مرة بترجع اللي هي 

623
00:53:40,180 --> 00:53:45,740
الـS وكمان مرة بترجع اللي هي الـC بعد هيك بتصير

624
00:53:45,740 --> 00:53:51,920
اللي هي تكرر نفسها يعني بمعنى آخر جربوها أنتم 

625
00:53:51,920 --> 00:53:59,920
هتلاقوا أنه حسب الأُس هنا بتطلع اللي هي عبارة عن

626
00:53:59,920 --> 00:54:11,180
هي أو سلبها أو الـS أو سلبها بكل الأحوال بغض النظر

627
00:54:11,180 --> 00:54:15,600
اللي هي DN of CN هي حاصل طرح التنتين اللي هي سمنها

628
00:54:15,600 --> 00:54:23,280
يا D يا T الـ D تبعت الـ C الفرق طبعا والـ T اللي 

629
00:54:23,280 --> 00:54:29,010
هي الفرق بين الأسات يعني في الآخر زائد أو ناقص و زاد

630
00:54:29,010 --> 00:54:33,810
أو ناقص سواء هذه أو سواء هذه حضرنا من الأصل انها

631
00:54:33,810 --> 00:54:38,870
bounded و كله أصغر أو يساوي من K أصغر أو يساوي إيش

632
00:54:38,870 --> 00:54:45,860
K بناء عليه هتطلع هذه هيك absolute value أصغر أو 

633
00:54:45,860 --> 00:54:51,780
يساوي هذه أي إن كانت K في X أُس N absolute value 

634
00:54:51,780 --> 00:54:56,880
على N factorial  باشي الحال إذا صلعت عندي هذا

635
00:54:56,880 --> 00:55:00,860
المقدار أصغر أو يساوي هذا as N goes to infinity

636
00:55:00,860 --> 00:55:05,540
هذا بروح لمن؟ للصفر وهذا independent of N بيصير

637
00:55:05,540 --> 00:55:08,100
أكبر أو يساوي الصفر يعني هذا اللي جوا بده يصير صفر

638
00:55:08,100 --> 00:55:12,930
إذا ال D of X هاشي بدها تساوي بتساوي صفر وبكون

639
00:55:12,930 --> 00:55:21,090
أثبتنا ان الـ C1 والـ C2 are equivalent الآن 

640
00:55:21,090 --> 00:55:27,700
similar arguments بنفس الأسلوب وخليها إليكم إنه 

641
00:55:27,700 --> 00:55:32,120
اللي هي بنثبت إنه S إذا كان S1 وS2 are two

642
00:55:32,120 --> 00:55:36,320
functions such that بيحققوا اللي هما الخواص اللي

643
00:55:36,320 --> 00:55:41,700
بنقولها عنها في النظرية اللي هي S1 double prime

644
00:55:41,700 --> 00:55:46,400
بيساوي نفس S1 ونفس ال S2 وهذا عند Zero بيساوي Zero

645
00:55:46,400 --> 00:55:50,160
وهذا ال prime عند Zero بيساوي Zero هيتلعلك غصب 

646
00:55:50,160 --> 00:55:52,240
عنها في الأخر S1 بيساوي S2

647
00:55:55,620 --> 00:55:59,960
بس بدل ما تعملوا على ال D يعني سموا اللي هو T

648
00:55:59,960 --> 00:56:04,040
بتساوي S1 نقص S2 وطبقوا الشروط وامشوا نفس اللي 

649
00:56:04,040 --> 00:56:07,580
امشيناها هتلاقوا حالكم انه لازم تطلع ال S1 بيساوي

650
00:56:07,580 --> 00:56:11,800
S2 وبناء عليه صار ال ال two functions ال C والS

651
00:56:11,800 --> 00:56:17,820
are unique functions طيب 

652
00:56:17,820 --> 00:56:24,720
ال answer المؤهلين نذهب بالاتجاه نثبت أن افترض أن

653
00:56:24,720 --> 00:56:27,880
الـ Definition of the unique function C من R لR و

654
00:56:27,880 --> 00:56:32,400
اسم الـ R لR اللي يتحقق CW prime of X بيساوية نقطة

655
00:56:32,400 --> 00:56:36,650
C of X هو الاصل الـ differential equation الثاني S 

656
00:56:36,650 --> 00:56:40,990
w برامج و X ناقص بيساوي ناقص S X لكل X element in R

657
00:56:40,990 --> 00:56:43,470
و ال C of Zero اللي هو ال condition ال condition 

658
00:56:43,470 --> 00:56:46,350
بيساوي واحد و C برامج و Zero بيساوي Zero و ال S of

659
00:56:46,350 --> 00:56:49,710
Zero بيساوي Zero و ال S برامج و Zero بيساوي Zero

660
00:56:49,710 --> 00:56:57,150
الدالتين اللي بحقق إن الكلام هذا اللي أثبتنا إنه 

661
00:56:57,150 --> 00:57:02,740
unique بنسميهم respectively the cosine function and 

662
00:57:02,740 --> 00:57:07,600
the sine function اللي أنتم بتعرفوها وهي cosine X

663
00:57:07,600 --> 00:57:12,620
اللي بتعرفوها وهي sin X اللي أنتم بتعرفوها نيجي 

664
00:57:12,620 --> 00:57:17,930
الآن نأخذ بعض الخواص خلينا نأخذ اللي هو الخاصية 

665
00:57:17,930 --> 00:57:23,430
اللي هي نظرية 4.6 بتقول لي إذا كانت f من R ل R is

666
00:57:23,430 --> 00:57:27,890
such that f double prime of x بيساوي ناقص f of x for 

667
00:57:27,890 --> 00:57:30,370
x element in R يعني هذه ال differential equation

668
00:57:30,370 --> 00:57:32,810
بتقول لي هذه ال differential equation هي حلولها

669
00:57:32,810 --> 00:57:37,690
مالي then there exist Alpha و Beta Such that F of X

670
00:57:37,690 --> 00:57:41,390
بيساوي Alpha CX زائد Beta S of X بيقول لي هذه ال

671
00:57:41,390 --> 00:57:45,110
differential equation حالة انها عبارة عن linear أو

672
00:57:45,110 --> 00:57:47,870
خليني أقول combination أو linear combination

673
00:57:47,870 --> 00:57:55,890
between F C of X S of X خليني آخذ نسمي g of x إيش

674
00:57:55,890 --> 00:57:59,590
بتساوي اللي هي عبارة عن اللي هي ال c of x و ال a

675
00:57:59,590 --> 00:58:03,770
sub x نسمي هذه f of zero و f prime of zero for x 

676
00:58:03,770 --> 00:58:10,330
element in R الآن لو حسبت ال gw prime of x احسبها

677
00:58:10,330 --> 00:58:15,270
فاضل هذه 

678
00:58:15,270 --> 00:58:18,550
مرتين هدول ثوابت طبعا و هدول اللي بتنزلك

679
00:58:18,550 --> 00:58:23,970
هتلاقيهم اللي هو بيساوي ناقص g of x أه .. و لو حسبت 

680
00:58:23,970 --> 00:58:26,730
الـ g of zero .. g of zero هتلاقيها بيساوي of zero

681
00:58:26,730 --> 00:58:30,110
لإن هذا صفر وهذا .. هذا واحد وهذا صفر الآن صار

682
00:58:30,110 --> 00:58:33,850
عندي gw prime of x بيساوي ناقص g of x و g of zero

683
00:58:33,850 --> 00:58:40,410
بيساوي f of zero الآن احسب الـ g prime of x صار عندي

684
00:58:40,410 --> 00:58:43,450
ثلاث معلومات معلمين جي دابل برايم of X بيساوي ناقص

685
00:58:43,450 --> 00:58:45,990
جي of X و جي of Zero بيساوي أف of Zero خلينا نجيب

686
00:58:45,990 --> 00:58:50,330
جي برايم of X جي برايم of X مش بتساوي فاضل اللي هي 

687
00:58:50,330 --> 00:58:55,430
عبارة عن ناقص أس of X و هذا تفضلها اللي هي C of X

688
00:58:55,430 --> 00:58:58,830
صار عندي اللي هي جي برايم of X بيساوي هذا الكلام

689
00:58:58,830 --> 00:59:04,720
زائد هذا الكلام الآن احسب لي g prime of 0 هيصير

690
00:59:04,720 --> 00:59:08,420
عبارة عن هذا طبعا صفر وهذا هتصير واحد فبصير F

691
00:59:08,420 --> 00:59:13,750
prime of 0 صار عندي الآن g prime of 0 إيش بيساوي يا

692
00:59:13,750 --> 00:59:18,090
جماعة؟ جي برايم اف زيرو خليني أطلعلك إياها لفوق

693
00:59:18,090 --> 00:59:21,750
صارت جي برايم اف زيرو بيساوي أف برايم اف زيرو و جي 

694
00:59:21,750 --> 00:59:26,730
اف زيرو بيساوي أف اف زيرو الآن بديش ناشر نعيد اللي

695
00:59:26,730 --> 00:59:30,950
هو therefore الآن the functions h بتساوي f ناقص g

696
00:59:30,950 --> 00:59:35,990
is such that يعني عرف لي function h أيش بيساوي؟ f

697
00:59:35,990 --> 00:59:43,220
ناقص مين ناقص g الآن الـ H double prime لها لو جيت 

698
00:59:43,220 --> 00:59:46,840
حسبت الـ H double prime اللي هي هتلاقيها بتساوي 

699
00:59:46,840 --> 00:59:50,260
ناقص H of X بتحسبوها لحالكم H double prime of X

700
00:59:50,260 --> 00:59:55,140
عشان بتساوي ناقص H of X لكل X element in R لو حسبت 

701
00:59:55,140 --> 00:59:59,670
اللي هي H of Zero هتساوي اللي هي zero لأنه احنا

702
00:59:59,670 --> 01:00:03,010
أثبتنا أن g of zero ساوي f of zero و h prime of

703
01:00:03,010 --> 01:00:07,110
zero h prime of zero اللي هي عبارة عن f prime ناقص

704
01:00:07,110 --> 01:00:09,210
g prime عند ال zero الثانية و التساويات إذا إيه مش 

705
01:00:09,210 --> 01:00:15,170
ساوي صفر الآن it then thus it follows as in the

706
01:00:15,170 --> 01:00:19,430
proof of the preceding theorem النظرية الماضية إن

707
01:00:19,430 --> 01:00:22,170
h of x إيه مش ساوي صفر يعني بدك تعمل نفس اللي

708
01:00:22,170 --> 01:00:25,180
عملناها قبل هيك على ال Taylor's theorem والآخرين 

709
01:00:25,180 --> 01:00:29,300
تصل ال H of X بساوية 0 لكل X ومنه هتقول F of X

710
01:00:29,300 --> 01:00:33,320
بساوية G of X مدام F of X بساوية G of X إذن هذه

711
01:00:33,320 --> 01:00:38,580
اللي هي F of X بتطلع F of X بتساوي اللي هي هذا

712
01:00:38,580 --> 01:00:42,780
اسمها Alpha وهذا اسمها Beta وبكون عندي هي اللي هو

713
01:00:42,780 --> 01:00:46,280
solution لـ اللي هي ال differential equation اللي

714
01:00:46,280 --> 01:00:50,260
احنا حكينا عنها بديش أعيد نفس الكلام عشان هي كأنا

715
01:00:50,260 --> 01:00:52,780
اختصرت لأن الحسابات كلها مشابهة

716
01:01:00,220 --> 01:01:03,430
الآن بدنا اللي هي 8 4 7 the function C is even and 

717
01:01:03,430 --> 01:01:07,570
S is odd in the sense that هو بتكون الصحيحة دي 

718
01:01:07,570 --> 01:01:10,610
الأصل كلها تكون أو معظمها اللي هي عبارة عن

719
01:01:10,610 --> 01:01:14,430
exercises لإنها تطبيقات على النظرية اللي قلتها في

720
01:01:14,430 --> 01:01:19,630
الأول ال C ناقص X هيساوي C of X يعني عبارة عن even

721
01:01:19,630 --> 01:01:23,230
function S ناقص X بيساوي ناقص S of X لكل X element

722
01:01:23,230 --> 01:01:28,590
in R الآن if x,y المتنار then we have the addition

723
01:01:28,590 --> 01:01:32,230
formula c of x زي اد y بيسبب c of x في c of y ناقص

724
01:01:32,230 --> 01:01:35,950
s of x وs of y اللي هي اللي بتعرفوها انتوا sign ال

725
01:01:35,950 --> 01:01:38,350
x زي اد y بيسبب sign ال x بكسان ال y زي اد كسان ال

726
01:01:38,350 --> 01:01:42,090
y في sign ال x وهكذا هي هذه الخواص اللي احنا

727
01:01:42,090 --> 01:01:47,570
عارفينها قبل هيك وبدنا نشوف كيف اللي هي نبرهن 

728
01:01:47,570 --> 01:01:53,660
النظرية نشوف البرهان تبع النظرية الآن سمي لي Phi of 

729
01:01:53,660 --> 01:01:59,370
X بيساوي C of ناقص X لكل X element in R احسب لي الـ

730
01:01:59,370 --> 01:02:05,010
phi w prime of x لو اتيت فضلت هذه مرتين هتلاقيها 

731
01:02:05,010 --> 01:02:09,950
ناقص phi of x وهذا الكلام تفضله سهل وبتجيبه لحالك 

732
01:02:09,950 --> 01:02:15,050
الآن احسب لي ال phi of 0 phi of 0 هتساوي إيش؟

733
01:02:15,050 --> 01:02:19,350
بتساوي واحد phi prime of 0 هتطلع اللي هي عبارة عن

734
01:02:19,350 --> 01:02:24,430
اللي هي ال sign ال sign إيش معناها؟ بتساوي 0 عند 

735
01:02:24,430 --> 01:02:30,730
ال zero الآن صار عندي الآن الفاى هي مين؟ هي الـC

736
01:02:30,730 --> 01:02:35,710
ليش الفاى هي الـC؟ لأن حققت الفاى اللي فرضتها

737
01:02:35,710 --> 01:02:40,790
بساوية C-X شروط الـC والـC is unique إذا الفاى هـ

738
01:02:40,790 --> 01:02:47,200
بتساوي C إذا صار عندي الآن C-X بيساوي C of X الفكرة 

739
01:02:47,200 --> 01:02:52,060
واضحة أنه أنا جبت سميت الـC-X هي الفاية واتبتت أن

740
01:02:52,060 --> 01:02:57,060
هذه الفاية بتحقق الشرطين اللي احنا حكينا عنهم في

741
01:02:57,060 --> 01:03:01,300
الأول الدالة اللي بتخلي الـC is unique فصارت 

742
01:03:01,300 --> 01:03:07,080
الفاية إيش بتساوي الـC الآن بمعنى آخر صارت C of X

743
01:03:07,080 --> 01:03:10,720
هي C من ناقص X اللي فرضناها الـ Phi in a similar

744
01:03:10,720 --> 01:03:16,040
way برضه بدك تعملاش S of ناقص X اللي هو بتسمي اللي

745
01:03:16,040 --> 01:03:20,480
هي ال .. الفا .. بتسميها بـ Psi مثلا Psi بتساوي

746
01:03:20,480 --> 01:03:25,020
مين؟ بتساوي اللي هو ناقص هتجيبها سامي بصي بيساوي

747
01:03:25,020 --> 01:03:29,540
ناقص S ناقص X و تجيب الشروط اللي هي تبعها ال sign

748
01:03:29,540 --> 01:03:33,500
هتلاقيها متطابق متحققة وبما أن ال S is unique أو 

749
01:03:33,500 --> 01:03:37,240
ال sign is unique إذا اللي هي اللي حققتها اللي

750
01:03:37,240 --> 01:03:41,500
كتبتها بتساوي ال S وصارتين إيه جهتين متساويات بنفس

751
01:03:41,500 --> 01:03:47,980
الأسلوب طيب الآن نيجي نثبت اللي هو مين VI شوفوا

752
01:03:47,980 --> 01:03:52,850
صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام هنثبت الآن إن VI

753
01:03:52,850 --> 01:03:55,830
let y المتن عار بيجيبنا let f of x بيساوي c of x

754
01:03:55,830 --> 01:04:00,070
زي dash زي y for x المتن عار الآن a calculation 

755
01:04:00,070 --> 01:04:04,230
shows that يعني فضلي هذا مرتين التفاضل سهل والله

756
01:04:04,230 --> 01:04:08,010
يا جماعة عشانك أنا يعني ما بديش نضيع وقتنا في 

757
01:04:08,010 --> 01:04:12,190
التفاضل أو في الحسابات f w prime of x طبعا فاضل 

758
01:04:12,190 --> 01:04:15,430
بالنسبة لي x y إيش ما على f x ثابت أسيبك منها لأن

759
01:04:15,430 --> 01:04:18,590
لو فضلت مرتين هتلاقي ناقص f of x for x element in

760
01:04:18,590 --> 01:04:22,550
R مدام f w prime بيساوي ناقص f of x بالحصارة اللي

761
01:04:22,550 --> 01:04:26,850
هي حل المعادلة التفاضلية هذه اللي هي بالنظرية اللي

762
01:04:26,850 --> 01:04:32,880
قبل شوية هي 8 4 6 هتكون اللي هي ال f of x عبارة عن

763
01:04:32,880 --> 01:04:36,300
linear combination هذه اللي هو α C of X زي Beta S

764
01:04:36,300 --> 01:04:39,840
of X والـ F of X مين هي احنا فرضينا C of XY صارت 

765
01:04:39,840 --> 01:04:43,180
هذه عبارة عن هذه يعني هذه بتساوي هذه من حال

766
01:04:43,180 --> 01:04:47,260
المعادلة التفاضلية هذه بواسطة النظرية هذه وهذه

767
01:04:47,260 --> 01:04:51,330
أصلًا أنا نسميها هيك صارت هذه بتساوي هذا المقطع الآن 

768
01:04:51,330 --> 01:04:55,350
جيب له F prime F prime of X اللي هي هذه التفضيلة

769
01:04:55,350 --> 01:04:59,070
بـ C ناقص S of X زائد Y وفاضل هذه بيطلع اللي هو

770
01:04:59,070 --> 01:05:02,910
عبارة عن ناقص Alpha S of X زائد Beta C of X ثم 

771
01:05:02,910 --> 01:05:09,710
فضلت ماشي الآن خد X بيساوي 0 X بيساوي 0 لما X

772
01:05:09,710 --> 01:05:18,250
بتساوي 0 بنحصل الآن عندي .. بيصير عندي عوض X بتساوي

773
01:05:18,250 --> 01:05:25,190
صفر في اللي هي المعادلة اللي عندي هنا بيصير عندي S

774
01:05:25,190 --> 01:05:31,360
of Zero و C of Zero بيساوي مين؟ F of Zero F of Zero

775
01:05:31,360 --> 01:05:40,100
اللي هي عبارة عن F of Zero هي C of Y هذه فاهمين 

776
01:05:40,100 --> 01:05:44,560
عليها؟ خليني أقولها واضحة أحسن الآن بدنا ناخد F

777
01:05:44,560 --> 01:05:52,600
مين؟ F عند Zero فاشر؟ بيصير هذا C of Y بيساوي مين؟

778
01:05:52,600 --> 01:05:58,190
Alpha في c of zero واحد وهذه beta s of zero زيرو

779
01:05:58,190 --> 01:06:03,890
إذا صارت عندي ال alpha بتساوي c of y هاي واحدة لأن

780
01:06:03,890 --> 01:06:09,990
similarly اللي هو ناقص خد عند ال zero عند ال zero 

781
01:06:09,990 --> 01:06:15,570
بيصير ناقص s of y بيساوي هذي بيصير صفر وهذه بيصير 

782
01:06:15,570 --> 01:06:20,070
beta بيساوي beta الآن بنعوض وين؟ في ال formula

783
01:06:20,070 --> 01:06:26,370
الأولى بيصير عندي الآن ال formula اللي عندي اللي هي 

784
01:06:26,370 --> 01:06:30,010
بتحط مكان C of Y بيساوي Alpha والفورمولة الأولى

785
01:06:30,010 --> 01:06:35,770
اللي احنا عملناها بيصير عندي اللي هي C

786
01:06:38,530 --> 01:06:43,570
Half X زائد Y بيساوي Alpha اللي هي اسمها قلنا طلعت

787
01:06:43,570 --> 01:06:48,310
عندنا C of Y بيصير C of Y في C of X هيها مظبوطة 

788
01:06:48,310 --> 01:06:53,130
وهذه ناقص S مكان ال Beta بيصير ناقص S of Y في S of

789
01:06:53,130 --> 01:07:01,740
X صحيحة إذا بكون إحنا خلصنا اللي بدنا إياه وهذه بتعوض 

790
01:07:01,740 --> 01:07:08,240
عن اللي هي Alpha C of Y بـ C ناقص C of Y وهذه بتعوضها

791
01:07:08,240 --> 01:07:13,440
هنا بتطلع هذه بتساوي ناقص هذه اعمل الحساب الأخير

792
01:07:13,440 --> 01:07:17,400
وضروف الدقيقتين بنقص بتطلع عندك هذا المخضر يعني

793
01:07:17,400 --> 01:07:23,840
هذه التعويض فيها عن قيمة Alpha و Beta بهذه هنا 

794
01:07:23,840 --> 01:07:30,860
بتطلع هذه وهذه التعويض هذه عن alpha و beta هنا اللي

795
01:07:30,860 --> 01:07:35,420
بتطلع الأولى بكون إحنا خلصنا اللي هو اثبات هذه 

796
01:07:35,420 --> 01:07:42,800
اللي هي النظرية وضال عندي اللي هو النظرية هذه

797
01:07:42,800 --> 01:07:47,350
الأخيرة والباقي اللي هو لو اتطلعتوا على اللي هي 

798
01:07:47,350 --> 01:07:52,450
باقي النظريات اللي هي بس اتطلع لعند الها بيكون

799
01:07:52,450 --> 01:07:55,990
إحنا بيكون خلصنا chapter اللي هو المطلوب في

800
01:07:55,990 --> 01:08:00,350
chapter في ثمانية أربعة هذه اللي هي ال theorem

801
01:08:00,350 --> 01:08:03,530
خليني أطلع لك عليها على السريع لإن حسابات كلها

802
01:08:03,530 --> 01:08:07,840
بتعملها لحالك أكيد بتعرف إذا كان الـ x أكبر أو أقل

803
01:08:07,840 --> 01:08:12,880
من 0، فهناك Sx بنقص الـ x والـ x والـ c of x بين

804
01:08:12,880 --> 01:08:16,780
الواحد ناقص x أربع عذر تو واحد والـ c of x بقدر 

805
01:08:16,780 --> 01:08:18,820
أكمل الـ polynomial

806
01:08:21,810 --> 01:08:25,650
باللي عملناها اللي هي الـ CN of X اللي جابله شوية و

807
01:08:25,650 --> 01:08:28,430
الـ SN of X لأنه في النهاية limitها ال series

808
01:08:28,430 --> 01:08:30,790
الأولى as N goes to infinity ما أنتو عارفين اللي

809
01:08:30,790 --> 01:08:34,990
هي نقدر نكتب الـ C of X على صورة ال series اللي في 

810
01:08:34,990 --> 01:08:38,130
الأول و الـ S of X عبارة عن limit ال series الثانية

811
01:08:38,130 --> 01:08:43,390
ال terms إضافة term و طرح term و وجوف عند حدود بال

812
01:08:43,390 --> 01:08:47,090
term بتعمل ال inequality اللي عندنا اللي هو كل هذه 

813
01:08:47,090 --> 01:08:49,810
شغلات اللي أخذناها في ال calculus مافيش داعي 

814
01:08:49,810 --> 01:08:55,650
للتفصيل فيها الآن الأولى عندي ال .. ال .. احنا قلنا 

815
01:08:55,650 --> 01:08:59,990
sign تربيع زائد plus sign تربيع بيساوي واحد يعني في 

816
01:08:59,990 --> 01:09:02,670
النهاية ال C of T بين ناقص واحد و واحد ده ممكن 

817
01:09:02,670 --> 01:09:06,710
هتتجاوزها لأنه بتختل اللي هي ال C .. لو كانت أكبر 

818
01:09:06,710 --> 01:09:10,750
من واحد معناته بـ C .. C of T تربيع زائد S of T

819
01:09:10,750 --> 01:09:14,550
تربيع يتجاوز من واحد لكن مجموعها بيساوي واحد إذا هدي

820
01:09:14,550 --> 01:09:18,630
بين .. يعني هدي اللي وين جاية من C تربيع زائد S

821
01:09:18,630 --> 01:09:23,030
تربيع بيساوي واحد طيب اللي هنعمل integration لجهتين 

822
01:09:23,030 --> 01:09:26,990
من صفر لعين DX هذه اللي هي بتطلع اللي هي main ال S

823
01:09:26,990 --> 01:09:30,750
of X وهذه بتطلع ناقص X وهذه بتطلع X فالمعمل ال

824
01:09:30,750 --> 01:09:35,990
integration هدول الآن بدي

825
01:09:35,990 --> 01:09:43,300
أجيب التانية فضلي ال S of T هذه وهذه فاضليها هذه

826
01:09:43,300 --> 01:09:48,460
فاضليها بنقل صفر عند X بتطلع اللي هي بين هذه وهذه 

827
01:09:48,460 --> 01:09:53,660
هيتفاضوا لهذه وهذه الآن بدنا اللي هو نجيب الواحد

828
01:09:53,660 --> 01:09:58,280
ناقص X التربيع اللي هو هذا قيمته اللي هو عبارة عن 

829
01:09:58,280 --> 01:10:02,600
C في X بيساوي واحد ناقص هذه بنضرب الناقص و بنجمع

830
01:10:02,600 --> 01:10:08,280
الجهتين واحد بيطلع عندي اللي هي ال inequality اللي

831
01:10:08,280 --> 01:10:13,190
عندي هذه زي ما قلنا ضربنا في ناقص و جمعنا واحد طلعت

832
01:10:13,190 --> 01:10:16,590
هذه أو عوضنا هذه مكان هذه تعويض عادي وبعدين ضربنا 

833
01:10:16,590 --> 01:10:20,690
في ناقص فبيصير عندي هذه المقدار اللي عندي c of x

834
01:10:20,690 --> 01:10:24,310
أكبر سواء هذه و ناقص هذه واللي بتستخدم الثانية 

835
01:10:24,310 --> 01:10:27,670
بتطلع نفس الشيء الموضوع موضوع حسابات بحت عشان هيك 

836
01:10:27,670 --> 01:10:31,510
بحت عشان هيك ما في داعي للتكميل وانتو بتكملوا 

837
01:10:31,510 --> 01:10:35,150
باقي الحسابات اللي هي المطلوبة في هذا اللي هي 

838
01:10:35,150 --> 01:10:42,700
النظرية الآن الجزء المتبقي هذا حبيته تطلعوا عليه

839
01:10:42,700 --> 01:10:46,880
لكن اللي هو مش مطلوب من ضمن حديثنا وهيك ممكن 

840
01:10:46,880 --> 01:10:52,700
نخلصنا اللي هو section ثمانية أربعة متسمة سبتر 

841
01:10:52,700 --> 01:10:58,420
ثمانية هذا اللي هو الجزء الثالث من المادة الجزء

842
01:10:58,420 --> 01:11:00,160
الأول كان الـ differentiation والثاني الـ

843
01:11:00,160 --> 01:11:01,960
integration والثالث اللي هو pointwise 

844
01:11:01,960 --> 01:11:05,700
convergence المرة الجاية إن شاء الله اللي هو بنبدأ 

845
01:11:05,700 --> 01:11:09,880
في الجزء الرابع من المادة اللي هو الـ series وأن

846
01:11:09,880 --> 01:11:16,590
شاء الله بقدر الإمكان هأحكي الجزء الخامس في .. من

847
01:11:16,590 --> 01:11:20,510
المادة اللي هو عبارة عن اللي هو Topology in ℝ أو

848
01:11:20,510 --> 01:11:23,570
اللي هو اللي هي العلاقة بين اللي هي Topological

849
01:11:23,570 --> 01:11:27,410
Spaces والـ Normed Spaces والـ Hilbert Spaces إلى آخره

850
01:11:27,410 --> 01:11:33,530
ويمكن بتكون هي اتجاوزت خلينا نقول حد الـ .. الـ .. الـ

851
01:11:33,530 --> 01:11:37,150
.. المطلوب في المادة لكن على أساس إنه لو يكون

852
01:11:37,150 --> 01:11:42,210
الوصف كامل للـ .. للوصف اللي أنا اقترحته أو اللي

853
01:11:42,210 --> 01:11:47,230
هو الوصف اللي مقترح في الجسم اللي هو لعين نهاية الـ

854
01:11:47,230 --> 01:11:49,990
series وطبعًا هذا الكلام قلنا احنا فيه له سبب لما

855
01:11:49,990 --> 01:11:53,450
بدأنا في الأول إنه الـ series بتأخذوها في advanced

856
01:11:53,450 --> 01:11:56,990
calculus واحد فعشان هيك يمكن اللي هو

857
01:12:00,350 --> 01:12:03,810
هيكون منطقي إنه ما نأخذش الـ series ونأخذ بدلًا منها

858
01:12:03,810 --> 01:12:07,110
اللي هو الـ topology in ℝ أو اللي هو العلاقة بين الـ

859
01:12:07,110 --> 01:12:10,550
topological spaces والـ metric spaces وإلى لقاءٍ و

860
01:12:10,550 --> 01:12:12,650
السلام آخر والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته