PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/5K4iv00tzI0.srt

1
00:00:05,060 --> 00:00:11,580
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 28 مساق

2
00:00:11,580 --> 00:00:16,020
تحليل الحقيقة 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية 

3
00:00:16,020 --> 00:00:20,360
العلوم قسم الرياضيات الآن هنبدأ في ال section 9-3

4
00:00:20,360 --> 00:00:24,990
اللي هو tests for non-absolute convergence tests

5
00:00:24,990 --> 00:00:29,770
for non-absolute convergence الآن لو لاحظنا اللي

6
00:00:29,770 --> 00:00:33,570
هو حديثنا في السابق كان على اللي هو tests for

7
00:00:33,570 --> 00:00:36,490
absolute convergence كل اللي هي ال series اللي

8
00:00:36,490 --> 00:00:41,510
فحصناها اللي هي بواسطة اللي هي series of positive

9
00:00:41,510 --> 00:00:45,670
terms أو اللي هي absolute convergence للي هي ال

10
00:00:45,670 --> 00:00:49,150
series الآن لو كانت عندي ال series مش اللي هي

11
00:00:49,860 --> 00:00:53,660
positive terms لو كانت اللي هي series متغيرة

12
00:00:53,660 --> 00:00:57,160
الإشارة زي عندنا لو جينا summation ناقص واحد ثم 

13
00:00:57,160 --> 00:01:00,560
نزيد واحد على n وsummation ناقص واحد ثم نزيد واحد

14
00:01:00,560 --> 00:01:04,000
على جذر ال n الآن بدنا اللي هو نعمل testing for

15
00:01:04,000 --> 00:01:08,980
absolute convergence أو for convergence test for

16
00:01:08,980 --> 00:01:12,420
convergence لهذه ال series مش في .. بدنا نحكي الآن

17
00:01:12,420 --> 00:01:14,700
عن test for convergence لأن absolute convergence

18
00:01:14,700 --> 00:01:19,700
بنعرفها من اللي هو خلال السابق الآن بلزمنا إذا 

19
00:01:19,700 --> 00:01:23,320
الحديث عن حاجة اسمها alternating series إيش ال

20
00:01:23,320 --> 00:01:26,720
alternating series لو كانت عندي X بالساوية XN of

21
00:01:26,720 --> 00:01:29,940
non-zero real numbers يعني هدولة عبارة عن real

22
00:01:29,940 --> 00:01:33,500
numbers مش صفار اللي هو ممكن تاخد موجبة أو سالبة

23
00:01:33,500 --> 00:01:36,840
ولكن ال set to be alternating الآن لما بنقول عنه

24
00:01:36,840 --> 00:01:41,660
ال alternating بدنا نيجي أنه انقيدهم بمعنى أخر it

25
00:01:41,660 --> 00:01:45,780
is set to be alternating if the terms ناقص واحد

26
00:01:45,780 --> 00:01:49,760
أس n زائد واحد XN are all positive or all

27
00:01:49,760 --> 00:01:53,620
negative يعني يا كلها دولة أيش موجبات يا كلها أيش 

28
00:01:53,620 --> 00:01:59,200
سالبات if the sequence X بيساوي XN اللي هي is

29
00:01:59,200 --> 00:02:04,400
alternating we say that the series summation اللي

30
00:02:04,400 --> 00:02:09,180
هي it generates is an alternating أيش ما لها

31
00:02:09,180 --> 00:02:12,400
series مدام هذه كلها positive أو كلها negative صارت

32
00:02:12,400 --> 00:02:15,360
على بعض و هذه تنساش أنه مرة بتاخد positive و مرة 

33
00:02:15,360 --> 00:02:19,300
بتاخد negative إذا ال series ال Xn أو ال Xn الأصلي

34
00:02:19,300 --> 00:02:22,720
هذه هتكون مرة بتاخد موجب و مرة بتاخد سالب أو مرة 

35
00:02:22,720 --> 00:02:26,200
بتاخد سالب و مرة بتاخد موجب فعشان هيك بدل ما

36
00:02:26,200 --> 00:02:29,660
نكتبها زيك و نقول هذه دايما كلها موجبة بنيجي

37
00:02:29,660 --> 00:02:33,900
بنكتبها بصورة ثانية بنقول خلينا نكتب ال series Xn

38
00:02:33,900 --> 00:02:39,760
تساوي ناقص واحد أس n زائد واحد في مين في Zn وبتصير الآن

39
00:02:39,760 --> 00:02:44,280
Zn هي اللي دايما positive و هذه هي اللي بتحدد

40
00:02:44,280 --> 00:02:47,920
الإشارة عشان هيك اللي لما نحكي عن ال alternating

41
00:02:47,920 --> 00:02:52,520
series هنصير نكتبها على الصورة هذه ناقص واحد أس أن

42
00:02:52,520 --> 00:02:58,140
زائد واحد أو ناقص واحد أس n في Zn و Zn دايما تكون 

43
00:02:58,140 --> 00:03:02,040
موجبة و الناقص واحد أس n زائد واحد أو ناقص واحد

44
00:03:02,040 --> 00:03:07,650
أس n هتتحدد لي هياللي هو إنها مرة موجبة و مرة

45
00:03:07,650 --> 00:03:12,390
سالبة هل هتحدد اللي هو في الأول موجب وبعدين سالب 

46
00:03:12,390 --> 00:03:18,010
حسب اللي هو الأس n زائد واحد أو الأس n الآن نيجي

47
00:03:18,010 --> 00:03:22,830
اللي هو بدنا نفحص ال series اللي منها النوع هل هذه 

48
00:03:22,830 --> 00:03:26,770
ال series اللي هي converge ولا diverge وهذا اللي هو

49
00:03:26,770 --> 00:03:31,270
الشيء الجديد عن اللي هو ال section السابق الآن

50
00:03:31,270 --> 00:03:35,830
اللي بنقوله alternating series test let Z بتساوي

51
00:03:35,830 --> 00:03:40,090
ZN be a decreasing sequence of strictly positive

52
00:03:40,090 --> 00:03:46,050
numbers with limit ZN بساوي صفر إذا في عندي شروط

53
00:03:46,050 --> 00:03:50,020
الآن لل series اللي أنا بده أفحصها أول حاجة بدي

54
00:03:50,020 --> 00:03:54,520
أكون عندي Zn عبارة عن decreasing sequence وكل

55
00:03:54,520 --> 00:03:57,500
واحدة of strictly positive numbers وكل واحدة إيه

56
00:03:57,500 --> 00:04:01,720
شمالها عبارة عن positive number يعني أكبر من 0

57
00:04:01,720 --> 00:04:07,400
strictly و اللي هو لكل N فصار عندى اللي هو شرطين

58
00:04:07,400 --> 00:04:12,120
إنها تكون decreasing و limit و الـ Zn أكبر من 0

59
00:04:12,120 --> 00:04:17,250
strictly لكل N و الشرط الثالث اللي هو limit الـ ZN

60
00:04:17,250 --> 00:04:22,550
يساوي صفر إذا صارت الـ sequence اللي بده أكوّن

61
00:04:22,550 --> 00:04:26,230
منها ال alternating series تحقق ثلاث شروط ZN

62
00:04:26,230 --> 00:04:29,890
decreasing sequence strictly positive numbers الـ

63
00:04:29,890 --> 00:04:34,030
ZN و limit الـ ZN بساوي صفر اللي أنا بقول لذن الآن

64
00:04:34,030 --> 00:04:38,790
النتيجة ال alternating series الصممش ناقص واحد أس n زائد

65
00:04:38,790 --> 00:04:44,630
واحد ZN إشمالها is convergent إيش مالها؟ هتكون 

66
00:04:44,630 --> 00:04:49,050
Convergent وأنت مغمض يعني لو جينا على اللي هو ال

67
00:04:49,050 --> 00:04:53,790
series اللي فوق عندي اللي هي اللي تعرضناها في

68
00:04:53,790 --> 00:04:59,270
الأول اللي هي ال 1 على n اللي هو نصف اللي هو أكبر 

69
00:04:59,270 --> 00:05:02,350
من ثلث أكبر من ربع أكبر يعني decreasing و limitها

70
00:05:02,350 --> 00:05:06,990
بساوي صفر وهي alternating وكل واحد ما هو positive

71
00:05:06,990 --> 00:05:13,130
ده هذه ال series إيش مالها؟ Converges حسب نظرية

72
00:05:13,430 --> 00:05:16,990
طبعا it's not absolutely convergent لأن لو في

73
00:05:16,990 --> 00:05:20,110
absolute convergence بترجعلنا للواحد على n series

74
00:05:20,110 --> 00:05:27,890
ماشي الحال الآن عندي نشوف اللي عندنا اللي هو برهان 

75
00:05:27,890 --> 00:05:30,330
النظرية let z بالساوية zn be decreasing of

76
00:05:30,330 --> 00:05:33,490
strictly positive numbers with limit zn بساوية 0

77
00:05:33,490 --> 00:05:37,490
then the series summation ناقص واحد أس n زائد واحد zn is

78
00:05:37,490 --> 00:05:39,410
convergent خلينا نشوف يا جماعة

79
00:05:42,290 --> 00:05:48,990
عندي الآن خلّينا نطلّع وين بدنا نروح احنا بدنا

80
00:05:48,990 --> 00:05:54,530
نثبت انه ال .. اللي هو ال series ناقص واحد أس n

81
00:05:54,530 --> 00:06:02,810
زائد واحد زد n n من واحد إلى ما لا نهاية converges

82
00:06:02,810 --> 00:06:06,390
هذا اللي بدنا نثبته ماشي الحال خلّينى نشوف إيش

83
00:06:06,390 --> 00:06:09,370
اللي عندي summation هذا الآن من واحد إلى ما لا

84
00:06:09,370 --> 00:06:13,590
نهاية converges نشوف احسب الأول إيش إيه اللي هو ال

85
00:06:13,590 --> 00:06:18,390
partial sum S 2n S 2n إيش هيساوي عبارة

86
00:06:18,390 --> 00:06:25,700
عن Z واحد ناقص Z 2 زائد Z 3 ناقص Z 4 بفك في ال series هذه

87
00:06:25,700 --> 00:06:29,640
من ال N بتساوي واحد عندي N بتساوي واحد بيصير ناقص

88
00:06:29,640 --> 00:06:35,220
واحد أس n زائد واحد و Z n زي واحد زي ZN ماشي الحال الآن صار عندي

89
00:06:35,220 --> 00:06:41,160
ال S الآن من هاي ال series هاي ال series عندي ماشي

90
00:06:41,160 --> 00:06:45,360
الآن عندي أس 2n زد واحد ناقص زد اثنين زائد

91
00:06:45,360 --> 00:06:48,160
زد ثلاثة ناقص زد أربعة زائد زد خمسة ناقص زد ستة 

92
00:06:48,160 --> 00:06:53,680
لما أصل لآخر two two زد 2n ناقص واحد ناقص زد

93
00:06:53,680 --> 00:06:58,860
2n  هد مين هي الأس 2n الآن ال sequence

94
00:06:58,860 --> 00:07:04,360
الأصلية زد k decreasing ما دام decreasing إذا zk

95
00:07:04,360 --> 00:07:08,320
ناقص zk زائد واحد أكبر أو يساوي صفر يعني z واحد

96
00:07:08,320 --> 00:07:13,620
ناقص z اثنين أكبر أو يساوي صفر و z اثنين ناقص z

97
00:07:13,620 --> 00:07:17,660
ثلاثة ناقص z أربعة برضه أكبر أو يساوي صفر وهذه أكبر

98
00:07:17,660 --> 00:07:21,680
أو يساوي صفر يعني وكأنه أس 2 اللي هي is

99
00:07:21,680 --> 00:07:26,890
increasing sequence of partial sums ليش؟ الآن it

100
00:07:26,890 --> 00:07:29,730
follows that the subsequence S2 of partial sums is

101
00:07:29,730 --> 00:07:34,510
increasing ليش increasing؟ خلّينا نشوف عندي لاحظ

102
00:07:34,510 --> 00:07:42,250
الآن الآن لو أخدت S2 و S4 و S6 هتلاقي كل مرة إيش مالك 

103
00:07:42,250 --> 00:07:45,830
بتضيف term هذا ال term اللي بنضاف اللي هو positive

104
00:07:45,830 --> 00:07:49,710
إذا حيكون الـ S2 as a sequence of partial sums إيش

105
00:07:49,710 --> 00:07:54,970
مالها عبارة عن اللي هو increasing sequence ليش؟ خد

106
00:07:54,970 --> 00:08:01,110
بشكل أوضح من اللي حكيته فوق خد S2 خد Z1 ناقص Z2

107
00:08:01,110 --> 00:08:12,870
ناقص Z3 ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

108
00:08:12,870 --> 00:08:13,170
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

109
00:08:13,170 --> 00:08:15,710
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

110
00:08:15,710 --> 00:08:16,350
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص

111
00:08:16,350 --> 00:08:29,550
ناقص ناقص ناقص ن

112
00:08:30,430 --> 00:08:34,770
is decreasing يعني هيكون الـ Z أس 2n هذا لما

113
00:08:34,770 --> 00:08:39,090
انضفنا له هذولة ال terms الآن هيكون أصغر أو يساوي 

114
00:08:39,090 --> 00:08:43,290
آسف هذولة negative terms بيصير ال negative الآن 

115
00:08:43,290 --> 00:08:47,690
لإن هذا negative بيصير ناقص اللي هو هنا Z 2

116
00:08:47,690 --> 00:08:54,070
ناقص Z 3 أصغر اللي هو أكبر أو يساوي صفر وهذا 

117
00:08:54,070 --> 00:08:56,750
أكبر أو يساوي صفر وهذا أكبر أو يساوي سفريعني

118
00:08:56,750 --> 00:09:03,750
مضيوفات له صارن سالبات لما نشيلهن هيكبر الـ Z1 لأنه 

119
00:09:03,750 --> 00:09:06,690
نكون اتخلصنا من كل السوالب هدولة بيصير أس 2

120
00:09:06,690 --> 00:09:10,170
أصغر و سوء اللي هي ميانة Z1 إذا صارت اللي عند ال

121
00:09:10,170 --> 00:09:12,690
sub sequence هذا ال partial sums اللي هو

122
00:09:12,690 --> 00:09:19,090
increasing بتتزايد ومش هيك was bounded above مدام

123
00:09:19,090 --> 00:09:23,330
increasing و bounded إذا it follows by monotone

124
00:09:23,330 --> 00:09:27,790
convergence theorem that S 2N convert to some

125
00:09:27,790 --> 00:09:34,110
number S يعني الآن S 2N لو حسبناها هتطلع لك

126
00:09:34,110 --> 00:09:40,510
increasing زائد bounded اللي هنقولنا S 2N 

127
00:09:40,510 --> 00:09:45,800
أصغر أو يساوي زائد واحد بدون حتى absolute value الآن 

128
00:09:45,800 --> 00:09:50,000
ومش هيك كمان و لو حسبت الاس 2n ناقص اس 2

129
00:09:50,000 --> 00:09:54,780
في n ناقص واحد يعني عبارة عن اس 2n ناقص اس 

130
00:09:54,780 --> 00:09:59,680
2n ناقص 2 هتلاقيها بتساوي عبارة عن اللي

131
00:09:59,680 --> 00:10:06,860
هي ال term اللي بطلع اللي هو عبارة عن زد واحد اللي

132
00:10:06,860 --> 00:10:11,420
هو ناقص زد 2 زائد

133
00:10:14,090 --> 00:10:24,970
z2n-1-z2n ناقص اللي هو s2n-2 s2n-2 هذا كله لما

134
00:10:24,970 --> 00:10:31,070
أشيله وأشيل هذا مع هذا بيظل z2n-1-z2n وهذا أكبر

135
00:10:31,070 --> 00:10:33,950
أو سوى 0 لأن ال sequence الأصلية decreasing إذا

136
00:10:33,950 --> 00:10:38,990
صار s2n ناقص S2 فان ناقص واحد أكبر و سوء صفر يعني

137
00:10:38,990 --> 00:10:43,270
صار عند الـ S2 أن هذه الـ sequence of partial sums

138
00:10:43,270 --> 00:10:47,710
عبارة عن increasing sequence وهي bounded إذا بتكون

139
00:10:47,710 --> 00:10:51,870
monotone الـ monotone اللي هو bounded sequence إذا

140
00:10:51,870 --> 00:10:55,010
حسب الـ monotone convergence theorem هتكون ليها

141
00:10:55,010 --> 00:11:00,350
هذا الـ subsequence اللي هي sequence of partial sums is

142
00:11:00,350 --> 00:11:04,350
convergent خلّينا نقول converges to some S element

143
00:11:04,350 --> 00:11:09,070
of R الآن من هذه الـ subsequence اللي هي بدي 

144
00:11:09,070 --> 00:11:14,570
أثبت لك إن الـ sequence الـ S and نفسها converges

145
00:11:14,570 --> 00:11:19,200
للـ S شوف كيف خذ أي إبسلون أكبر من صفر، there

146
00:11:19,200 --> 00:11:23,500
exists K، such that إذا كانت N أكبر أو يساوي K، بما أن

147
00:11:23,500 --> 00:11:27,880
هذا الـ sequence S2 N converges، إذا سيكون S2 N

148
00:11:27,880 --> 00:11:31,500
ناقص S أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون

149
00:11:31,500 --> 00:11:37,970
على 2 لكن أنا بعرف إنه limit zn يساوي 0 مش جالين إن

150
00:11:37,970 --> 00:11:40,310
هو الـ zn الـ sequence الأصلية يساوي .. limitها

151
00:11:40,310 --> 00:11:45,110
يساوي 0 إذن أكيد limit الـ z2n زائد 1 الباقي اللي

152
00:11:45,110 --> 00:11:48,570
هي الـ .. الـ subsequence منها برضه يساوي 0  مزام

153
00:11:48,570 --> 00:11:52,790
يساوي 0 إذن من عند K معينة و نازل بيكون اللي هو

154
00:11:52,790 --> 00:11:56,350
قيمتها أصغر من أي إبسلون في الدنيا وليكن إبسلون

155
00:11:56,350 --> 00:11:59,580
على 2 عند اللي هي هذه إلها K واحد و هذه إلها K

156
00:11:59,580 --> 00:12:02,900
اثنين أخذت الـ K maximum للتانين و سميتها K إذا

157
00:12:02,900 --> 00:12:05,940
صارت هذه أصغر من نصف إبسلون و هذه أصغر من نصف إبسلون

158
00:12:05,940 --> 00:12:10,840
لكل N أكبر أو يساوي K لماذا؟ لإن الـ limit هذه

159
00:12:10,840 --> 00:12:14,800
يساوي هذه و لإن الـ limit هذه يساوي صفر إذا الآن

160
00:12:14,800 --> 00:12:20,260
بدي أوصل اللي بدي أُثبته اللي هو الـ subsequence

161
00:12:20,260 --> 00:12:25,060
التانية اللي هي الـ S2 N زائد واحد ناقص S برضه

162
00:12:25,060 --> 00:12:28,410
هتكون أصغر من إبسلون زي اللي فاتت يعني الآن S

163
00:12:28,410 --> 00:12:32,930
اثنين N زائد واحد ناقص S  ايش يساوي اللي هو عبارة

164
00:12:32,930 --> 00:12:38,250
عن هذه عبارة عن S 2n مضاف إليها من مين الـ term

165
00:12:38,250 --> 00:12:43,730
اللي هو z2n زائد 1 z2n زائد 1 إشارته موجبة لأنه

166
00:12:43,730 --> 00:12:47,870
الأصل في الـ sequence ناقص 1 و S n زائد 1 ف 2n زائد

167
00:12:47,870 --> 00:12:52,130
1 زائد 1 بيصير 2n زائد 2 يعني موجبة يعني فعلاً

168
00:12:52,130 --> 00:12:56,470
بتكون هذه عبارة عن الـ S 2n زائد 1 يساوي S 2n

169
00:12:56,470 --> 00:13:07,840
زائد z2n زائد 1 ناقص الـ S الآن هذا أصغر من نصف

170
00:13:07,840 --> 00:13:10,660
إبسلون و هذا أصغر من إبسلون و هذا المقدار أصغر من

171
00:13:10,660 --> 00:13:17,080
إبسلون إذا صار عندي لأي إبسلون أكبر من صفر there

172
00:13:17,080 --> 00:13:23,790
exists such that دائماً بغض النظر S2 N زائد 1 ولا S2

173
00:13:23,790 --> 00:13:29,410
سيكون الـ S N لأن الفردي و السوي إله ناقص الـ S

174
00:13:29,410 --> 00:13:33,450
هيُطلع أصغر من إبسلون و هذا يعني أنه limit الـ S N

175
00:13:33,450 --> 00:13:38,050
اللي هو exists و يساوي S يعني بمعنى آخر الـ summation

176
00:13:38,050 --> 00:13:46,270
هذا converges و هو المطلوب طيب الـ N بكون هيك احنا

177
00:13:46,270 --> 00:13:50,250
أثبتنا اللي هو مين اللي هو الـ alternating

178
00:13:50,250 --> 00:13:54,350
series أنها converges إذا حققت الشروط اللي حكيناها

179
00:13:55,010 --> 00:13:59,530
الآن it is an exercise to show that if S is the

180
00:13:59,530 --> 00:14:04,810
sum of the alternating series and if S N is its

181
00:14:04,810 --> 00:14:09,170
Nth partial sum اثبت لي إن الـ absolute value دائماً

182
00:14:09,170 --> 00:14:17,810
S ناقص S N أصغر أو يساوي مين Z N زائد واحد الآن 

183
00:14:17,810 --> 00:14:23,220
بدنا نأخذ اللي هو اللي هي نحكي عن test اسمه 

184
00:14:23,220 --> 00:14:29,100
Dirichlet test و قبل test لكن جايب لهنا بدنا 

185
00:14:29,100 --> 00:14:34,100
نأخذ هاللمة اللي هي قبل اللمة نشوف كيف اللي هو

186
00:14:34,100 --> 00:14:40,600
نحاول أن هو أن نبرهن هذه اللمة و أعتقد برهانها سهل لأن

187
00:14:40,600 --> 00:14:45,780
شكلها بالظبط زي كما كنا نعمل integration by 

188
00:14:45,780 --> 00:14:50,960
parts في calculus با خلينا نشوف ايش اللي هو اللمة

189
00:14:50,960 --> 00:14:55,040
بتقول و كيف هذه اللمة بتفيدنا في إثبات النظريات

190
00:14:55,040 --> 00:15:00,770
المتبقية في هذا ال section قبل اللمة لت X يساوي 

191
00:15:00,770 --> 00:15:06,330
XN و Y يساوي YN بـ Sequences in R ماشي؟ نفترض أن X

192
00:15:06,330 --> 00:15:11,410
و YN عبارة .. و Y Sequences in R and let the

193
00:15:11,410 --> 00:15:17,350
partial sums of summation YN be denoted by Sn الآن

194
00:15:17,350 --> 00:15:19,990
الـ sequence of partial sums للـ yn سميناها Sn

195
00:15:19,990 --> 00:15:24,750
ونفترض نسميه للأس n0 يساوي صفر عشان هيلزمنا لأن 

196
00:15:24,750 --> 00:15:28,750
بيقول لي if M أكبر من N then إذا كانت M أكبر من N

197
00:15:28,750 --> 00:15:34,350
يساوي إذا يساوي الـ summation Xk Yk K من N زيادة 

198
00:15:34,350 --> 00:15:42,990
واحد عند M يساوي Xm Sm ناقص Xn زيادة واحد Sm Xm Xm

199
00:15:43,670 --> 00:15:51,250
ناقص xn زائد واحد sn زائد الـ summation xk ناقص xk زائد

200
00:15:51,250 --> 00:15:55,710
واحد sk k من n زائد واحد عند m ناقص واحد اتخيل

201
00:15:55,710 --> 00:15:58,170
هذا الـ integration وهذا الـ integration هتلاقي اللي

202
00:15:58,170 --> 00:16:02,510
هو مشابه ل اللي هو الـ integration by parts اللي

203
00:16:02,510 --> 00:16:06,620
كنا نعمله زمان الآن هذه اللمّات .. ليش هي اللمّات؟

204
00:16:06,620 --> 00:16:08,860
اللمّات عشان تستخدمها في برهان نظرية بعد شوية بس

205
00:16:08,860 --> 00:16:14,640
مش أكثر الآن خلينا نشوف ايش البرهان ويقول لي since

206
00:16:14,640 --> 00:16:18,640
yk يساوي sk ناقص sk ناقص واحد عارفينها اللي هي sk

207
00:16:18,640 --> 00:16:22,920
ناقص sk ناقص واحد ايش هيساوي لك الـ yk عارفين ليش

208
00:16:22,920 --> 00:16:26,480
for k يساوي واحد و اثنين و الآخرين الآن the left

209
00:16:26,480 --> 00:16:32,440
side of تلاتة هذا الـ left side of تلاتة is seen to

210
00:16:32,440 --> 00:16:40,620
be obtained to be equal to summation اللي هو XK في

211
00:16:40,620 --> 00:16:51,080
SK ناقص K ناقص واحد الآن هذا هو هذا بنفكه

212
00:16:51,080 --> 00:16:54,800
بيطلع هذا بتشوف كيف انتبهوا عليها حساباتي أنا

213
00:16:54,800 --> 00:17:00,700
متأكد إنكم هتجيبوها لحالكم الآن summation XK YK K

214
00:17:00,700 --> 00:17:05,920
من عند واحد N زائد واحد لعند مين لعند M يساوي

215
00:17:05,920 --> 00:17:11,260
انتبه عليها يساوي بدي أعوض مكان الـ YK اللي هو SK

216
00:17:11,260 --> 00:17:17,720
ناقص SK ناقص واحد يساوي الـ summation XK في YK

217
00:17:17,720 --> 00:17:25,140
اللي هي قلنا SK-SK-1 K من عند N زائد واحد لعند

218
00:17:25,140 --> 00:17:30,300
مين لعندها M يساوي نفرط هذا خلينا نفكه بيصير

219
00:17:30,300 --> 00:17:37,260
عبارة عن KN زائد واحد يعني XN زائد واحد في SN زائد

220
00:17:37,260 --> 00:17:45,360
واحد ناقص SN زائد اللي بعدها XN زائد اثنين في SN

221
00:17:46,180 --> 00:17:52,140
زائد اثنين ناقص SM زائد واحد و يكون خربط زائد اللي

222
00:17:52,140 --> 00:17:59,300
بعدها لما أوصل لآخر واحد اللي هو عبارة عن XM في SM

223
00:17:59,300 --> 00:18:07,280
ناقص SM ناقص واحد و يساوي الآن بدي آخذ اللي هو اضرب

224
00:18:07,280 --> 00:18:13,350
هذا جوا بيصير XN زائد واحد اللي هو في ناقص في ..

225
00:18:13,350 --> 00:18:20,690
بيصير xn اسمحوا لي أكتب هادي xn زائد واحد في Sn زائد

226
00:18:20,690 --> 00:18:27,950
واحد ماشي ناقص عندي xn زائد واحد في Sn ناقص خليني

227
00:18:27,950 --> 00:18:34,130
أكتبها دي لأن xn زائد واحد في Sn ضربت هادي هيها

228
00:18:34,130 --> 00:18:39,130
و ضربت هادي في هادي هيها زائد خلصت من الأولى لأن هذي

229
00:18:39,130 --> 00:18:46,750
بتضاف هنا بعد شوية زائد اللي بعدها xn زائد خلينك

230
00:18:46,750 --> 00:18:52,130
تبقى ضربها تصبح ضناقص اضرب هذه قبلها xn زائد اثنين

231
00:18:52,130 --> 00:18:59,710
sn زائد اثنين زائد واحد ضربت هذه في هذه زائد اللي

232
00:18:59,710 --> 00:19:06,100
هو xn زائد اثنين sn زائد اثنين خذوا الفكرة

233
00:19:06,100 --> 00:19:09,520
أنتم بتحسبوا لحالكم آخر شيء اللي هو عبارة عن XM

234
00:19:09,520 --> 00:19:19,720
في SM أين أكتبها ال XM في SM هذه ناقص اللي هو XM

235
00:19:19,720 --> 00:19:27,620
SM ناقص واحد و يساوي عبارة

236
00:19:27,620 --> 00:19:34,360
عن هذه اللي هي اللي بدنا إياها ال XM سم ناقص xn

237
00:19:34,360 --> 00:19:44,820
زائد واحد سم الآن زائد الآن خذوا لي اللي هو xn

238
00:19:44,820 --> 00:19:57,940
زائد واحد ناقص xn هذا يعني xn زائد واحد xn زائد

239
00:19:57,940 --> 00:20:04,760
واحد و هنا S N زائد واحد ناقص X N زائد اثنين هدول

240
00:20:04,760 --> 00:20:08,720
الاثنتين مع بعض الاثنتين المضروبات في مين؟ في S N

241
00:20:08,720 --> 00:20:13,940
زائد واحد اللي بعيد ده نفس الشيء هلاقي عبارة عن

242
00:20:13,940 --> 00:20:22,420
اللي هو S N زائد اثنين مضروبة في X N زائد اثنين

243
00:20:22,420 --> 00:20:24,600
ناقص

244
00:20:25,460 --> 00:20:30,200
xn زائد تلاتة و أضرب لما آخر الأصل لآخر شيء

245
00:20:30,200 --> 00:20:34,220
هلاجيها عبارة عن هذا راح بيظل اللي جاب له اللي هو

246
00:20:34,220 --> 00:20:41,560
هلاجي اللي هو xm ناقص واحد ناقص xm مضروبة في 100

247
00:20:41,560 --> 00:20:52,840
في Sn الآن هذه هي الأولى هذه و هذا الـ summation

248
00:20:54,060 --> 00:20:58,800
summation هذا هو الـ summation هذا و لو فرضت لك

249
00:20:58,800 --> 00:21:02,740
كمان اثنين تلاتة هيكون تتأكد من هذا الكلام تماماً

250
00:21:02,740 --> 00:21:06,460
هاي عندي اللي هو في حالة K بصي و N زائد واحد بيصير

251
00:21:06,460 --> 00:21:11,400
X N زائد واحد ناقص X N زائد اثنين هاي ها X N زائد

252
00:21:11,400 --> 00:21:14,940
واحد ناقص X N زائد اثنين مضروبة في S N زائد واحد و

253
00:21:14,940 --> 00:21:19,800
لما أوصل عند آخر واحد إذن اللي بيكون هيك احنا أثبتنا

254
00:21:19,800 --> 00:21:23,800
اللي هو هذه اللي هو اللمّة و الآن بدي أستخدم هذه

255
00:21:23,800 --> 00:21:29,660
اللمّة في إثبات اللي هو النظريات اللي بعد هيك طيب،

256
00:21:29,660 --> 00:21:38,820
الآن ما أدريش الـ test بيقول لي بدنا عرض علينا إنه

257
00:21:38,820 --> 00:21:43,100
نعرف اللي هو summation لحاصل ضرب اللي هو XN في YN

258
00:21:43,100 --> 00:21:49,230
is convergent ولا مش convergent طيب لو عرفت معلومات

259
00:21:49,230 --> 00:21:54,210
عن هذه XN و معلومات عن هذه YN هل بعرف اللي هو الـ

260
00:21:54,210 --> 00:21:58,170
convergence الآن هذه الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. الـ

261
00:21:58,170 --> 00:22:02,670
theory معاه الـ test الـ Dirichlet test هذا هذا الـ Dirichlet test

262
00:22:02,670 --> 00:22:08,910
الآن هو اللي هيعمل لي testing للـ summation XN في YN

263
00:22:08,910 --> 00:22:14,530
converge اللي عندنا .. نشوف كيف بيقول لي let X

264
00:22:14,530 --> 00:22:18,410
يساوي Xn is a decreasing sequence إذا أول حاجة

265
00:22:18,410 --> 00:22:22,430
مفترض لأن Xn decreasing و limit Xn هيش يساوي صفر

266
00:22:22,430 --> 00:22:27,810
and if the partial sums Sn of Yn are bounded then

267
00:22:27,810 --> 00:22:32,150
Xn is Y of Yn is convergent يعني بتعرض علينا الـ

268
00:22:32,150 --> 00:22:36,390
series بالشكل هذا بعدي بفحص إذا نجيت الـ limit للـ Xn

269
00:22:36,390 --> 00:22:39,930
يساوي صفر و هي decreasing و كانت الـ sequence of

270
00:22:39,930 --> 00:22:44,470
partial sums Yn bounded على طول بقول هذه الـ series

271
00:22:44,470 --> 00:22:48,630
ايش ما لها is convergent إذا بتفحص لي الـ

272
00:22:48,630 --> 00:22:55,380
convergence لهذه الـ series ده نشوف الآن summation

273
00:22:55,380 --> 00:23:01,180
XN YN convergence إذا كانت اللي هي limit XN يساوي

274
00:23:01,180 --> 00:23:04,320
صفر و decreasing و الـ sequence of partial sums

275
00:23:04,320 --> 00:23:09,320
اللي هي للـ YN هذه اللي هو عبارة عن bounded ماشي ايش

276
00:23:09,320 --> 00:23:12,720
معناه bounded؟ يعني اللي هو عند الـ absolute value

277
00:23:12,720 --> 00:23:17,020
لـ S N أصغر أو يساوي B for all N and for some B إذا

278
00:23:17,020 --> 00:23:21,380
بما أن S N is bounded إذا there exist B أكبر من 0

279
00:23:21,380 --> 00:23:25,200
such that اللي هو الـ absolute value لـ S N أصغر أو 

280
00:23:25,200 --> 00:23:27,060
يساوي B for all N element N 

281
00:23:30,240 --> 00:23:38,820
بما أنه .. بما أنه اللي هو عند .. ال .. ال .. ال

282
00:23:38,820 --> 00:23:39,680
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

283
00:23:39,680 --> 00:23:39,720
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

284
00:23:39,720 --> 00:23:39,820
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

285
00:23:39,820 --> 00:23:40,260
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

286
00:23:40,260 --> 00:23:41,380
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

287
00:23:41,380 --> 00:23:41,560
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

288
00:23:41,560 --> 00:23:41,840
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

289
00:23:41,840 --> 00:23:42,760
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

290
00:23:42,760 --> 00:23:42,880
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

291
00:23:42,880 --> 00:23:43,720
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

292
00:23:43,720 --> 00:23:50,980
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

293
00:23:50,980 --> 00:23:57,480
ال .. ال .. ومفترضين أنها decreasing يعني الـ XK نقص

294
00:23:57,480 --> 00:24:00,920
XK زيادة واحد أكبر ويساوي صفر إذا الشروط اللي قبل

295
00:24:00,920 --> 00:24:07,420
لمّا متحققة أنه الـ absolute summation لـ XK YK K من

296
00:24:07,420 --> 00:24:10,660
N زيادة واحد لعند الـ M اللي هي حتساوي لمّا أخد الـ

297
00:24:10,660 --> 00:24:14,200
absolute value حتساوي بالظبط بتاخد الـ absolute

298
00:24:14,200 --> 00:24:20,300
value يصير أصغر أو يساوي اللي هو الـ SN في الـ XM

299
00:24:20,300 --> 00:24:26,100
زيادة الـ XN زيادة واحد ماشي؟ متذكرين الابلزمة؟ هي

300
00:24:26,100 --> 00:24:27,200
الابلزمة

301
00:24:33,240 --> 00:24:38,140
الآن الـ absolute value

302
00:24:38,140 --> 00:24:41,540
لهذه أصغر أو يساوي الـ absolute value لِهذه مضروبة

303
00:24:41,540 --> 00:24:47,320
في مين؟ اللي هو الـ absolute value لِهذه اللي هي أسأم

304
00:24:47,320 --> 00:24:51,600
وأسئن طبعا absolute value لهن زي الـ absolute value

305
00:24:51,600 --> 00:24:56,510
لهذه الـ absolute value لِهذه اللي هي أصغر أو يساوي

306
00:24:56,510 --> 00:25:00,870
الـ absolute هذه زائد هذه في مين؟ في اللي هي الـB

307
00:25:00,870 --> 00:25:04,550
الـB إيش هي؟ الـbound للـSM والـSN لأن مفترضين

308
00:25:04,550 --> 00:25:07,330
الـsequence of partial sums is bound إذن يعني

309
00:25:07,330 --> 00:25:10,970
بيصير عندي الكلام هذا صحيح يعني هذا أصغر أو يساوي

310
00:25:10,970 --> 00:25:15,410
الـXM زائد الـXN زيادة واحد في مين؟ في إيش؟ في الـB

311
00:25:15,410 --> 00:25:19,030
لأن هدول positive terms فبيصير الـ absolute value

312
00:25:19,030 --> 00:25:24,610
نفس الشيء زائد الـ summation لـ xk-xk-xk-xk-xk-xk

313
00:25:24,610 --> 00:25:37,290
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk

314
00:25:37,290 --> 00:25:42,010
-xk

315
00:25:42,010 --> 00:25:47,090
-xk-xk

316
00:25:47,090 --> 00:25:47,950
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk

317
00:25:47,950 --> 00:25:49,100
-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-xk-لو

318
00:25:49,100 --> 00:25:50,780
جينا فكّينا هذا المقدار

319
00:25:54,980 --> 00:25:59,820
اللي عندي هذا xk نقص xk زائد واحد كله بيروح بيظل عند

320
00:25:59,820 --> 00:26:04,020
الـ N زائد واحد والـ M ماي .. اللي هي الـ M آخر term

321
00:26:04,020 --> 00:26:07,780
M نقص واحد زائد واحد اللي هي الـ M فبيصير عندي الـ B

322
00:26:07,780 --> 00:26:11,400
طبعا متاخدة عامل مشترك كلها و بيظل هذا زي ما هو و

323
00:26:11,400 --> 00:26:15,220
هذا اللي هو الـ telescoping أو اللي هو بما آخر as

324
00:26:15,220 --> 00:26:18,480
if اللي هو هذا اللي هو كل شيء .. كل term بيضيع اللي

325
00:26:18,480 --> 00:26:22,320
بعده بيظل أول واحد و آخر واحد Xm زائد واحد ناقص Xm

326
00:26:22,320 --> 00:26:26,300
هذه صارت حركة معروفة عندكم الآن هذه بتروح مع هذه

327
00:26:26,300 --> 00:26:30,800
بيصير بيظل هذه و هذه نتين بيصير اثنين Xm زائد بي

328
00:26:30,800 --> 00:26:36,100
في مين؟ في بي الآن قلنا limit الـ Xn as n goes to

329
00:26:36,100 --> 00:26:40,760
infinity إيش معطينيها؟ بساوي صفر بدأ بساوي صفر إذا

330
00:26:40,760 --> 00:26:46,320
الآن بقدر أزغرها لأصغر من أي ي في الدنيا من ضمنها

331
00:26:46,320 --> 00:26:50,650
اللي هي أي شمالها اللي هي إبسلون بساوي إبسلون

332
00:26:50,650 --> 00:26:55,930
على اثنين بيه يعني بمعنى آخر as N goes to infinity

333
00:26:55,930 --> 00:26:59,630
as N goes to infinity طبعاً M أكيد هتروح لـ

334
00:26:59,630 --> 00:27:06,310
infinity يعني بمعنى آخر هيكون اللي هو الـ SM لِهذه

335
00:27:06,800 --> 00:27:12,820
هذه S M ناقص لـ S N هيكون أصغر من أي Y في الدنيا

336
00:27:12,820 --> 00:27:19,120
for very large N و M لأن الـ N و الـ M لمّا N تروح

337
00:27:19,120 --> 00:27:23,000
لمّا النهاية دي بتروح لـ 0 و الـ M هتكبر برضه بمعنى

338
00:27:23,000 --> 00:27:26,800
آخر for very large N هذا هيزغرها جداً ما بدّه يعني

339
00:27:26,800 --> 00:27:30,100
هذا المقدار أصغر ما يمكن و هذا المقدار هو عبارة عن

340
00:27:30,100 --> 00:27:34,260
مين يا جماعة؟ عبارة عن الـ SM لِهذه الـ sequence X

341
00:27:34,260 --> 00:27:38,310
M هذه الأسماء هي Sequence of Partial Sums لمين؟ لأن

342
00:27:38,310 --> 00:27:42,010
هذه كلها على بعض وهذه نفس الشيء فسأقرر Sequence of

343
00:27:42,010 --> 00:27:45,890
Partial Sums هذه اللي هو الـ Cauchy Criterion

344
00:27:45,890 --> 00:27:50,070
تبعها متحققة مدام الـ Cauchy Criterion متحققة إذن

345
00:27:50,070 --> 00:27:53,650
صارت السيريز الأصلية Converges إذن هذه summation

346
00:27:53,650 --> 00:27:57,810
XKYK follows from Cauchy Convergence الـ Criterion

347
00:27:57,810 --> 00:28:03,820
اللي هو is convergent طيب الآن نجي لِـ اللي هو الـ

348
00:28:03,820 --> 00:28:08,420
test اللي بعده اللي هو الـ Abel's test الآن اللي هو

349
00:28:08,420 --> 00:28:12,960
الـ test الأخير عندنا في هذا الـ section بنشوف كيف

350
00:28:12,960 --> 00:28:17,900
بدنا .. اللي هو برضه نحكم على الـ summation للـ XN YN is

351
00:28:17,900 --> 00:28:24,280
convergent كيف؟ بيقول لي لو كانت عندك الـ XN is a

352
00:28:24,280 --> 00:28:27,860
convergent monotone sequence convergent monotone

353
00:28:27,860 --> 00:28:31,580
بغض النظر إنه هذه الـ sequence decreasing ولا

354
00:28:31,580 --> 00:28:37,560
increasing أو حتى Converge لـ 0 أو غير 0 المهم تكون

355
00:28:37,560 --> 00:28:42,480
الـ Xn عبارة عن مونوتون Convergent Sequence

356
00:28:42,480 --> 00:28:49,020
والسيريز Yn بديها بس شوية الآن مش bounded بديها

357
00:28:49,020 --> 00:28:52,980
تكون Convergent إذا بيقولي لو كانت الـ Yn

358
00:28:52,980 --> 00:28:59,410
Convergent والـ Xn مش convergent بس convergence to

359
00:28:59,410 --> 00:29:03,750
monotone يعني يا increasing يا decreasing يعني

360
00:29:03,750 --> 00:29:06,110
ما حدش يجي يقول الـ Xn هو convergent و Yn

361
00:29:06,110 --> 00:29:08,710
convergent إذا التلتين الـ summation convergent

362
00:29:08,710 --> 00:29:12,910
ليس شرطا الآن اللي بيقوله أنه لو كانت الواحدة

363
00:29:12,910 --> 00:29:17,190
convergent والتانية convergent to نتفة يعني

364
00:29:17,190 --> 00:29:20,330
convergent النتفة هذه اللي هي تكون increasing أو

365
00:29:20,330 --> 00:29:23,560
decreasing يعني monotone خلّينا نشوف كيف اللي هو

366
00:29:23,560 --> 00:29:27,560
البرهن النظري البرهان سهل و بيعتمد على اللي جابلها

367
00:29:27,560 --> 00:29:42,030
مباشرة إذا Xn كانت تتقارب لنقطة X إذا Xn

368
00:29:42,030 --> 00:29:47,250
كانت تتقارب لنقطة X إذا Xn كانت تتقارب لنقطة X

369
00:29:47,250 --> 00:29:52,130
إذا Xn

370
00:29:52,130 --> 00:29:59,650
ناقص X صارت الآن الـ xn ناقص x مدام الـ xn

371
00:29:59,650 --> 00:30:02,630
decreasing وده راحنا منه إيش ثابت حتظلها

372
00:30:02,630 --> 00:30:06,250
decreasing إذا صارت الـ yn decreasing ومش

373
00:30:06,250 --> 00:30:10,270
decreasing كمان و limit الـ yn الـ un بساوي limit

374
00:30:10,270 --> 00:30:14,170
الـ xn ناقص الـ x هذه ما هي ثابت يعني limit xn x

375
00:30:14,170 --> 00:30:18,870
ناقص x صفر يعني limit الـ un صفر يعني حولت الـ

376
00:30:18,870 --> 00:30:23,430
sequence اللي عند الـ xn إلى sequence yn تكون

377
00:30:23,430 --> 00:30:28,830
decreasing و limitها بساوي صفر I saw that UN

378
00:30:28,830 --> 00:30:35,130
decreases to zero then XN بيساوي X زائد UN ومنه

379
00:30:35,130 --> 00:30:40,310
once الـ XN في الـ YN صارت عندي الـ sequence XN في YN

380
00:30:40,310 --> 00:30:49,630
بيساوي X في YN زائد UN في YN ماشي الآن عندي

381
00:30:50,650 --> 00:30:55,130
الـ Sequence اللي هي الـ y .. from Dirichlet Test

382
00:30:55,130 --> 00:30:59,990
الدنيا اللي هي صارت منيحة، ليش؟ لأنه بما أنه اللي

383
00:30:59,990 --> 00:31:03,650
هو الـ u .. هذه طبعاً ال .. ال .. ال y unconverges

384
00:31:03,650 --> 00:31:06,810
إذا ال .. هي ال .. ال series summation x في y

385
00:31:06,810 --> 00:31:15,380
unconverges، مظبوط؟ و هذه ..UNYN بما أنها تتقارب أو

386
00:31:15,380 --> 00:31:21,460
تتقارب وفي نفس الوقت ليمتها بساوي صفر وهذه ال YN

387
00:31:21,460 --> 00:31:26,200
التي هي is convergent إذا صارت اللي هو حسب اللي هو

388
00:31:26,200 --> 00:31:32,330
قبل اللي هي الـ Dirichlet theorem هيها حققت الشروط

389
00:31:32,330 --> 00:31:37,250
بس على الـ U N الآن الآن عندي Y N bounded احنا قلنا

390
00:31:37,250 --> 00:31:40,550
Y N نفسها convergent مدام convergent إذا الـ

391
00:31:40,550 --> 00:31:42,870
sequence of partial sums إشماله is bounded لأن

392
00:31:42,870 --> 00:31:45,650
convergence is then bounded any sequence is

393
00:31:45,650 --> 00:31:48,890
convergent must be bounded إذا صارت هذه bounded

394
00:31:48,890 --> 00:31:52,110
ماشي أو بمعنى آخر sequence of partial sums bounded

395
00:31:52,540 --> 00:31:56,140
وعندها دي كثرة الـ UN اللي قبل بشوية Decreasing

396
00:31:56,140 --> 00:31:59,800
وLimited بساوي 0 إذا اللي هي دي test is

397
00:31:59,800 --> 00:32:04,400
applicable لنشوف كيف الآن صارت عندي ال XYN

398
00:32:04,400 --> 00:32:10,950
converges و ال UN YN اللي هو هذي converges هذه تتقل

399
00:32:10,950 --> 00:32:16,590
إلى 0 وهذه مجموعة إذا صار عند الـ summation X UN

400
00:32:16,590 --> 00:32:21,970
في XN تتقل لأن الـ summation XN تتقل بسبب الـ

401
00:32:21,970 --> 00:32:24,490
assumption of convergence of the series summation

402
00:32:24,490 --> 00:32:27,750
YN لأن هذه السيريز مفترضة أنها تتقل وهذا ثابت

403
00:32:27,750 --> 00:32:32,010
بالنسبة لها صارت هذا converge وهذا converge من D

404
00:32:32,010 --> 00:32:35,890
test إذا صار مجموع على بعض اللي هو summation xn yn

405
00:32:35,890 --> 00:32:39,650
is convergent الآن في حالة الـ increasing إشي مش

406
00:32:39,650 --> 00:32:44,410
شابه الآن نفترض اللي xn is increasing with limit x

407
00:32:44,410 --> 00:32:51,120
الآن خذ الـ vn بدل ما هي xn ناقص x خذ x ناقص xn صارت

408
00:32:51,120 --> 00:32:55,120
اللي هي الـ sequence اللي increasing اللي هي الـ

409
00:32:55,120 --> 00:32:58,900
XN لمّا ضربت بناقص صارت decreasing وضفت لها limitها

410
00:32:58,900 --> 00:33:03,340
صار عندك اللي هو limit H بساوي صفر صارت VN

411
00:33:03,340 --> 00:33:09,040
decreases to zero ماشي؟ إذا صارت الـ XN بساوي x

412
00:33:09,040 --> 00:33:13,200
ناقص vn وضرب زي قبل بشوية في xn في yn بساوي هذه

413
00:33:13,200 --> 00:33:18,100
ناقص هذه هذه نفس الأسباب اللي قبل بشوية متحققة بالـ

414
00:33:18,100 --> 00:33:23,420
test إذا صارت اللي هي converges وهذه converges اللي

415
00:33:23,420 --> 00:33:25,380
هو طبعا الـ summation بحكي عن الـ summation series

416
00:33:25,380 --> 00:33:28,440
إذا صار الـ series converges وهذا converges إذا صار

417
00:33:28,440 --> 00:33:33,240
الـ xn yn converges وكل هيك واحنا اللي هو أنهينا

418
00:33:33,240 --> 00:33:37,650
اللي هو اللي الـ tests اللي في هذا الـ .. الـ section

419
00:33:37,650 --> 00:33:41,230
بيظل اللي هو examples هدول أنتو بتحاولوا تطلعوا

420
00:33:41,230 --> 00:33:47,210
لحالكم فيهم و بكون هيك أنه احنا بكون أنهينا section 

421
00:33:47,210 --> 00:33:51,910
اللي هو تسعة ثلاثة  وإلى لقاء آخر والسلام عليكم