PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2__gojdcGsw.srt

1
00:00:04,940 --> 00:00:07,660
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:07,660 --> 00:00:10,500
والصلاة والسلام على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه 

3
00:00:10,500 --> 00:00:17,340
أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 23 في مساق تحليل حقيقي

4
00:00:17,340 --> 00:00:22,200
للطلاب والطالبات الجامعة الإسلامية قسم الرياضيات

5
00:00:22,200 --> 00:00:27,900
كلية العلوم، المحاضرة اللي هي اليوم هي عبارة عن

6
00:00:27,900 --> 00:00:33,180
تكملة لـ section 8.3 الجزء الثاني من .. من

7
00:00:33,180 --> 00:00:36,580
.. من هذا .. اللي هو الـ chapter، الجزء الأول من هذا 

8
00:00:36,580 --> 00:00:39,320
الـ section، الجزء الأول تحدثنا عن الـ exponential 

9
00:00:39,320 --> 00:00:44,670
function وكيف أثبتنا وجودها، وأخذنا خواصها، الآن بدنا 

10
00:00:44,670 --> 00:00:47,910
نحكي عن الجزء الثاني من اللي هو الـ section اللي هو 

11
00:00:47,910 --> 00:00:51,050
الـ logarithmic function، الـ logarithmic function

12
00:00:51,050 --> 00:00:55,290
اللي هو نشوف كيف بدنا نثبت وجودها وكيف اللي هو

13
00:00:55,290 --> 00:01:00,410
ناخد خواصها بنفس البناء اللي أو نبنِي البناء اللي

14
00:01:00,410 --> 00:01:05,820
بنيناه المحاضرة الماضية، الآن لما حكينا عن الـ

15
00:01:05,820 --> 00:01:10,020
exponential function E، جينا أن الـ exponential E

16
00:01:10,020 --> 00:01:12,780
is strictly increasing differentiable function

17
00:01:12,780 --> 00:01:18,160
with domain R and range اللي هو Y أكبر من 0، يعني

18
00:01:18,160 --> 00:01:22,480
لما حكينا عن الـ E، حكينا عن الـ E من R اللي هي الـ

19
00:01:22,480 --> 00:01:26,600
exponential لعند الفترة 0 و ∞، هذه الـ

20
00:01:26,600 --> 00:01:31,560
function هي rangeها وهي domainها وكانت strictly 

21
00:01:31,560 --> 00:01:35,700
increasing، Strictly increasing معناته اللي هو عبارة

22
00:01:35,700 --> 00:01:40,020
عن 1-1، يعني بمعنى آخر في لها الـ function هذه on 

23
00:01:40,020 --> 00:01:43,940
to two، وكانت differentiable، الآن الـ function اللي هي

24
00:01:43,940 --> 00:01:46,840
الـ exponential طبعًا ما أنتم عارفين كيف رسمتها لو 

25
00:01:46,840 --> 00:01:50,460
جينا جربنا نرسمها هنلاقي الرسمة اللي هو هذه اللي

26
00:01:50,460 --> 00:01:56,180
هي عبارة عن رسمة الـ exponential، الآن أنا بدي آجي 

27
00:01:56,180 --> 00:02:00,300
اللي هو من خلال اللي هو الـ function الـ exponential

28
00:02:00,300 --> 00:02:05,980
أعرف الـ inverse لها وأسميه اللي هو logarithmic

29
00:02:05,980 --> 00:02:10,860
function أو بدي أسميه الـ logarithm الطبيعي اللي هي

30
00:02:10,860 --> 00:02:16,020
الـ ln function، مشروع الكلام اه لإن ايه عبارة عن

31
00:02:16,020 --> 00:02:19,240
function one to one و one to one، إذا صار الـ

32
00:02:19,240 --> 00:02:23,580
inverse لها موجود لأنها strictly increasing، إذا

33
00:02:23,580 --> 00:02:29,560
صار الـ L من عند zero و ∞ لعند الـ R، هادي

34
00:02:29,560 --> 00:02:34,100
اللي هي الـ function الجديدة هي اللي بدي أسميها الـ

35
00:02:34,100 --> 00:02:38,320
logarithmic function، وهي رسمتها اللي أمامنا اللي

36
00:02:38,320 --> 00:02:42,460
هي الـ inverse لهذه الدالة اللي بدي أعرفها الآن

37
00:02:42,460 --> 00:02:47,000
وتعريفها الآن صار شرعي بناء على وجود الـ exponential

38
00:02:47,000 --> 00:02:50,930
اللي بدي أعرفه اللي هو الـ inverse، سبّبَتْها العمل

39
00:02:50,930 --> 00:02:57,030
المعرفي للـ E هو

40
00:02:57,030 --> 00:03:02,850
الـ Logarithm أو الـ Natural Logarithm اللي هي It 

41
00:03:02,850 --> 00:03:07,870
will be denoted by L or by ln، الأكثر شيوعًا طبعًا 

42
00:03:07,870 --> 00:03:11,810
اللي هو مين الـ ln، لأن بما أن الـ E و L انعكاس 

43
00:03:11,810 --> 00:03:17,110
لبعض، إذا أكيد الـ E composite L composite E of X

44
00:03:17,110 --> 00:03:22,920
هيساوي الـ X لكل الـ x واللي موجودة في الـ R لأن

45
00:03:22,920 --> 00:03:26,540
الـ E بتشتغل على كل الـ xات اللي في الـ R لأن

46
00:03:26,540 --> 00:03:30,740
بينما E composite L of Y، E composite L of Y، الـ L

47
00:03:30,740 --> 00:03:34,660
بتشتغل .. بتشتغل مين على مين بس على الـ positive، E

48
00:03:34,660 --> 00:03:38,240
composite L of Y بيساوي لكل Y element in R و Y

49
00:03:38,240 --> 00:03:44,900
أشملها أكبر من 0، الآن connotations .. connotations

50
00:03:44,900 --> 00:03:49,860
بناء عليه الـ N، الـ E of X لأن الـ N هي الـ L والـ 

51
00:03:49,860 --> 00:03:53,880
E هي الـ E، وعندي الـ E to the N اللي هو بسوء الـ Y

52
00:03:53,880 --> 00:03:57,780
وهو بسوء الـ X، بناء على أن الواحدة inverse للتانية

53
00:04:01,010 --> 00:04:04,750
أو كل واحدة inverse للأخرى، الـ logarithm is a

54
00:04:04,750 --> 00:04:08,630
strictly increasing function L with domain اللي هو

55
00:04:08,630 --> 00:04:12,150
مين اللي هو الـ domain اللي عندي اللي هو تعرفنا هيك 

56
00:04:12,150 --> 00:04:16,210
أصلًا الآن الـ derivative of L is given by L prime

57
00:04:16,210 --> 00:04:19,750
of X ايش بتساوي؟ 1/X، for X أكبر من صفر، الآن

58
00:04:19,750 --> 00:04:23,430
الـ logarithm satisfy the functional equation، تحقق

59
00:04:23,430 --> 00:04:27,010
المعادلة الدالية التالية اللي هي L of X في Y بساوي

60
00:04:27,010 --> 00:04:31,000
L of X زائد L of Y، for X أكبر من صفر، Y أكبر من

61
00:04:31,000 --> 00:04:34,560
صفر، Y أكبر 

62
00:04:34,560 --> 00:04:38,260
من صفر

63
00:04:38,260 --> 00:04:40,560
Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر

64
00:04:40,560 --> 00:04:40,580
من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من

65
00:04:40,580 --> 00:04:40,640
أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر

66
00:04:40,640 --> 00:04:40,700
من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من

67
00:04:40,700 --> 00:04:41,020
صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من

68
00:04:41,020 --> 00:04:47,140
أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر من صفر Y أكبر، L of

69
00:04:47,140 --> 00:04:51,420
X<sup>R</sup> بساوي R لـ L of X، لأن X أكبر من 0، و R المتر كيو، 

70
00:04:51,420 --> 00:04:54,840
كلهن اللي هي خواص أنتم بتعرفوها قبل هيك، بس الآن

71
00:04:54,840 --> 00:04:58,440
بدنا نبرهنهم ونثبت صحتهم، limit L of X لما X تروح 

72
00:04:58,440 --> 00:05:01,740
لـ 0 من اليمين بساوي -∞، and limit L of X

73
00:05:01,740 --> 00:05:07,340
لما X تروح لـ ∞ بتساوي ∞، خلينا

74
00:05:07,340 --> 00:05:14,840
نحن نشوف نبرهن اللي هي اللي مطلوب، الآن الـ L is

75
00:05:14,840 --> 00:05:17,560
strictly increasing with domain X element alone

76
00:05:17,560 --> 00:05:20,880
and range R follows from the fact that E is 

77
00:05:20,880 --> 00:05:24,840
strictly increasing with domain R and range اللي 

78
00:05:24,840 --> 00:05:33,320
هو اللي عندي، الآن عندي الـ L is strictly increasing

79
00:05:33,320 --> 00:05:37,560
بناء على مين؟ على الـ E نفسها strictly increasing،

80
00:05:37,560 --> 00:05:48,560
الآن E composite L، E composite L of Y ايش بتساوي؟ Y

81
00:05:48,560 --> 00:05:55,320
لكل Y، و Y الموجودة لكل Y element in (0, ∞)،

82
00:05:55,320 --> 00:06:00,780
مظبوط؟ الآن فاضل الجهتين، الآن طبعًا احنا بنعرف

83
00:06:00,780 --> 00:06:06,360
أنه من الأصل مدام الـ E is اللي هو differentiable،

84
00:06:06,360 --> 00:06:10,480
أكيد اللي هي الـ inverse إلها is differentiable by

85
00:06:10,480 --> 00:06:14,680
theorem 6.9 كده مش عارف ايش في اللي هو chapter 6

86
00:06:14,680 --> 00:06:18,200
قدامة، الـ function اللي هي is differentiable، الـ

87
00:06:18,200 --> 00:06:20,880
inverse إلها برضه is differentiable في حالة وجودها

88
00:06:20,880 --> 00:06:27,480
الآن E فاضل الجهتين بيصير عندي E prime of L of Y

89
00:06:27,480 --> 00:06:36,600
في L prime of Y بساوي ايش؟ 1، ماشي الحال، الآن واضح

90
00:06:36,600 --> 00:06:41,900
أن هذا حاصل الضرب صار أكبر من مين؟ strictly من 0

91
00:06:41,900 --> 00:06:47,920
وبما أن الـ E is strictly increasing، أثبتنا E' of

92
00:06:47,920 --> 00:06:53,420
L of Y is strictly أكبر من 0، إذا بيظلها L' of Y is 

93
00:06:53,420 --> 00:06:57,180
strictly أكبر من 0 لكل Y هنا، إذا صارت الـ L is 

94
00:06:57,180 --> 00:07:02,740
strictly increasing، الآن طبعًا الـ domain مدام أن هذه

95
00:07:02,740 --> 00:07:07,000
الـ inverse لـ الـ E، الـ domain اللي هو الـ inverse هو 

96
00:07:07,000 --> 00:07:11,380
range الـ function الأصلية وبيصير sub wave في

97
00:07:11,380 --> 00:07:18,460
الفرع، إذا الآن احنا أثبتنا أن الـ L is strictly

98
00:07:18,460 --> 00:07:23,530
increasing، الآن و rangeها اللي هو صار domain اللي 

99
00:07:23,530 --> 00:07:28,310
هو أو range اللي هو الـ .. هذه اللي صار domainها

100
00:07:28,310 --> 00:07:32,990
domain الـ L وهذه صارت اللي هو range الـ L زي ما

101
00:07:32,990 --> 00:07:37,330
قلنا قبل بشوية أو عندي الآن بدنا نثبت اللي هو 

102
00:07:37,330 --> 00:07:42,070
الجزء الثاني من النظرية، خليني أكتب هنا عشان نتذكر

103
00:07:42,070 --> 00:07:48,430
ايش اللي بدنا نثبته، الآن بدنا نثبت، ايش أثبتنا

104
00:07:48,430 --> 00:07:54,230
الأولى اللي في النص بتقولي L prime of X اللي نكتبهم

105
00:07:54,230 --> 00:07:59,330
اللي بدنا نثبتهم عشان نتذكرهم

106
00:07:59,330 --> 00:08:12,240
L prime of X = 1/X، 
 

107
00:08:12,240 --> 00:08:19,680
اثنين اللي هو L of XY = L X + L Y، طبعًا الـ Y

108
00:08:19,680 --> 00:08:25,780
هناك، L of 1 = 0، L of E = 1، كلهم

109
00:08:25,780 --> 00:08:34,440
بسيطات، L prime L of X<sup>R</sup> = R L of X، و Limit

110
00:08:34,440 --> 00:08:39,720
L of X لما X تروح إلى 0 من اليمين = -∞ لما

111
00:08:39,720 --> 00:08:45,140
لنهاية، و Limit لـ L of X لما X تروح إلى ما لا نهاية 

112
00:08:45,140 --> 00:08:48,520
= ∞، خليني أشوف أن دول على السريع، فنّوا 

113
00:08:48,520 --> 00:08:53,640
كلها شغلات يعني بأعتقد أنه سهل أنك تثبتها 

114
00:08:55,730 --> 00:09:02,210
عندي، لأن زي ما عملت قبل بشوية اللي هو لما فضلت هذه

115
00:09:02,210 --> 00:09:07,290
تفاضلها، E composite L of X لما عملتها قبل بشوية

116
00:09:07,290 --> 00:09:14,250
اللي هي كانت عندي هين أعمل E composite L of X الكل

117
00:09:14,250 --> 00:09:19,370
اللي هي = X، فاضل هذا يصير E prime 

118
00:09:26,060 --> 00:09:29,100
بنسبة لـ X = أقل الـ prime of X 

119
00:09:34,780 --> 00:09:40,160
اللي هو 1 على الـ E prime of L of X، إذا الـ E

120
00:09:40,160 --> 00:09:44,300
القلي prime of X = 1 على E prime composite

121
00:09:44,300 --> 00:09:48,340
L of X، والـ E prime هي نفس الـ E زي ما قلنا، إذا 

122
00:09:48,340 --> 00:09:51,140
بيصير 1 على E composite L of X، إلى الـ E

123
00:09:51,140 --> 00:09:54,640
composite L of X، زي ما قلنا ايش بتساوي؟ بساوي X

124
00:09:54,640 --> 00:09:57,660
فبتساوي 1 على X، فـ L prime = 1/X،

125
00:09:57,660 --> 00:10:02,910
لكل X في الموجودة في الفترة (0, ∞)، نيجي الآن نشوف

126
00:10:02,910 --> 00:10:06,710
اللي هي اللي بعدها، الخاصية اللي بعدها، خلينا نثبت

127
00:10:06,710 --> 00:10:12,690
اللي هو L of X في Y = L of X زائد مين؟ زائد L of 

128
00:10:12,690 --> 00:10:17,270
Y، برضه الإثبات سهل وانتبهوا معايا وسهل، عندي الآن

129
00:10:24,240 --> 00:10:27,240
X > 0, Y > 0, X > 0, Y

130
00:10:27,240 --> 00:10:27,740
> 0, X > 0, Y > 0, X

131
00:10:27,740 --> 00:10:27,900
> 0, X > 0, X > 0, X >

132
00:10:27,900 --> 00:10:28,100
0, X > 0, X > 0, X >

133
00:10:28,100 --> 00:10:28,700
0, X > 0, X > 0, X >

134
00:10:28,700 --> 00:10:28,920
0, X > 0, X > 0, X >

135
00:10:28,920 --> 00:10:32,100
0, X > 0, X > 0, X >

136
00:10:32,100 --> 00:10:43,400
0, X > 0, X > 0, X 

137
00:10:43,400 --> 00:10:51,850
> 0، لأن الـ E والـ L انعكاس بعض، الآن من 

138
00:10:51,850 --> 00:10:55,130
الخاصية تبع الـ exponential بدنا نصل لمين؟ للـ

139
00:10:55,130 --> 00:11:00,970
logarithmic، إذا أضرب لـ X في Y بيطلع عند X في Y

140
00:11:00,970 --> 00:11:05,190
= E of U في E of V، E of U في E of V ايش 

141
00:11:05,190 --> 00:11:10,010
بتساوي؟ E of U زائد V أثبتناها إذاً من هذا الكلام

142
00:11:10,970 --> 00:11:15,270
خذ الـ L للجهتين لأنه اللي هي ال inverse لبعض

143
00:11:15,270 --> 00:11:20,450
بيصير عندي L of X في Y بساوي L of E of U زائد V

144
00:11:20,450 --> 00:11:24,410
اللي هي إيش بتساوي U زائد V، U اللي هي عبارة عن L

145
00:11:24,410 --> 00:11:30,750
of X و V عبارة عن L of Y، إذا أثبتت L of X زائد Y

146
00:11:30,750 --> 00:11:39,370
في Y بساوي L of X زائد L of Y، الآن عندي اللي هي E

147
00:11:39,370 --> 00:11:47,050
of Zero بيساوي واحد، خذ لي ال L للجهتين بيصير L of

148
00:11:47,050 --> 00:11:53,010
E of Zero بيساوي L of واحد، ال L of E of Zero هذيك

149
00:11:53,010 --> 00:11:59,450
inverse التانية بيساوي Zero، نفس الشيء الـ L of E of

150
00:11:59,450 --> 00:12:07,270
1 بيساوي L of E، مظبوط؟ الـ L of E of 1 بيساوي 1، 

151
00:12:07,270 --> 00:12:12,230
بيصير L of E بيساوي 1، بيصير أثبتنا L of E بيساوي 1

152
00:12:12,230 --> 00:12:19,730
و L of 1 بيساوي 0، وهذا الكلام كلام سهل، طيب بيصير

153
00:12:19,730 --> 00:12:23,710
علاقة أنه سهل اللي بنحكيه، الآن

154
00:12:27,210 --> 00:12:32,730
نأتي نثبت اللي هو اللي هي L of X to the R بساوي

155
00:12:32,730 --> 00:12:37,010
Zero، بساوي R في L of X، هذه برضه بنثبتها By

156
00:12:37,010 --> 00:12:41,910
Mathematical Induction، عملناها قبل هيك باللي هو

157
00:12:41,910 --> 00:12:47,330
ال section اللي قبله أو اللي هو ال exponential

158
00:12:47,330 --> 00:12:52,830
على السريع نشوف التفاصيل لأنه التفاصيل معادة

159
00:13:07,050 --> 00:13:11,430
التفاصيل حتلاقيها معادة فخليني بسرعة نمر عليها

160
00:13:11,430 --> 00:13:17,730
عندي we show by induction L of X بساوي L of X زي

161
00:13:17,730 --> 00:13:21,850
ما قلنا عشان نثبتها هذه، أثبتنا اللي قبل بشوية، L of

162
00:13:21,850 --> 00:13:27,190
X، ما أعرفش الرقم أصلاً، أفصل ولا لأ؟ لكن بدي أفصل لو

163
00:13:27,190 --> 00:13:32,790
إنتو عندي، لو إتفّقنا أن نفصل ولا لأ، L of X في Y

164
00:13:32,790 --> 00:13:39,580
بساوي L of X في L of Y، of x was n بساوي n في L of x

165
00:13:39,580 --> 00:13:44,060
طبعاً for n بتساوي واحد اللي هي a trivial، نفترض

166
00:13:44,060 --> 00:13:48,180
أنها صحيحة لـ L لـ n بتساوي k بيصير L of x was k

167
00:13:48,180 --> 00:13:53,080
بساوي k L of x، الآن بدنا نحسب لـ L of x was k زائد

168
00:13:53,080 --> 00:13:59,480
واحد اللي هي بساوي L of x was k في x، هذه الـ L لها

169
00:13:59,480 --> 00:14:04,760
حسب اللي هي الخاصية هذه، بساوي L الأولى X plus K في

170
00:14:04,760 --> 00:14:09,860
L التانية، L of X اللي هو مفترض إنها صحيحة على K ده

171
00:14:09,860 --> 00:14:19,600
بساوي K في L of X، آسف زائد، هذه بساوي K L of X لأنها

172
00:14:19,600 --> 00:14:26,400
صحيحة لـ K زائد L of X ويساوي K زائد واحد في L of

173
00:14:26,400 --> 00:14:31,520
X، إذا صارت هذه صحيحة اللي هي L لـ K زائد واحد، إذا

174
00:14:31,520 --> 00:14:36,760
صارت صحيحة لكل من، لكل N element in N حسب اللي هو

175
00:14:36,760 --> 00:14:43,080
ال induction اللي بنحكي فيه، إذاً الآن أثبتنا أن L

176
00:14:43,080 --> 00:14:49,710
of X هو N لـ L of X لكل اللي هي عندي الآن، by VI اللي

177
00:14:49,710 --> 00:14:53,530
هو زي .. مشابه للي حكيناها قبل بشوية بالضبط، في حد

178
00:14:53,530 --> 00:14:58,890
ال exponential بس خليني مش وشكلة نعاودها، الآن شوف L

179
00:14:58,890 --> 00:15:03,680
of XM minus M أيش بتساوي؟ L of واحد اللي هي لأن هذا

180
00:15:03,680 --> 00:15:05,860
X هو صفر اللي هي L of واحد، L of واحد مش قولنا

181
00:15:05,860 --> 00:15:11,040
عنها صفر هو يساوي L of XM في XM minus واحد، ال

182
00:15:11,040 --> 00:15:16,300
logarithmic بطلع إن تجمع L of XM زائد L of X minus M

183
00:15:16,300 --> 00:15:21,920
لأن هذه أثبتناها عبارة عن M L of X زائد L of X

184
00:15:21,920 --> 00:15:27,500
minus M، صار عندي الآن M في L of X زائد L of X

185
00:15:27,500 --> 00:15:32,040
minus M بساوي صفر، انقل لي هذا على الجهة الثانية بيطلع

186
00:15:32,040 --> 00:15:35,760
L of X minus M اللي قعدت لحالها بساوي ناقص M في L

187
00:15:35,760 --> 00:15:41,720
of X، إذا صار عندي الآن لكل M سواء موجبة أو سالبة

188
00:15:41,720 --> 00:15:48,940
بيطلع عندي اللي هي L of X ناقص M بساوي M في L of X

189
00:15:48,940 --> 00:15:53,860
سواء كانت موجبة أو سالبة، نيجي الآن منها بدنا نأخذ

190
00:15:53,860 --> 00:15:57,360
لمين؟ لـ اللي هي ال R، لأن therefore for any M

191
00:15:57,360 --> 00:16:02,800
element in Z و N element in N، عندي احسب لي الآن L of

192
00:16:02,800 --> 00:16:07,020
X أس M على N، بس ضرب ليها في N بعد إذنك، Y ساوي اللي

193
00:16:07,020 --> 00:16:12,460
هي L of X أس M على N لكل ما له أس N لإنه صحيحة هذه

194
00:16:12,460 --> 00:16:18,080
لل N اللي هي في N واتفقنا عليها الآن، هذه بتساوي

195
00:16:18,080 --> 00:16:21,520
هذه واضحة لأن هذه هي ال X تبعتنا وهذه ال N بتطلع

196
00:16:21,520 --> 00:16:27,410
برا، الآن هذه الآن مع الآن بيصير L of X plus M L of

197
00:16:27,410 --> 00:16:30,870
X plus M قبل بشوية بقى قولنا عنها بيساوي M L of X

198
00:16:30,870 --> 00:16:34,270
سواء كانت M positive أو اللي هو negative صار هذه

199
00:16:34,270 --> 00:16:40,930
بتساوي هذه، إذا انقل لي الآن، الآن هذه ان بيصير عندي L

200
00:16:40,930 --> 00:16:44,910
of X of M على N بيساوي M على N في L of X، إذا صار

201
00:16:44,910 --> 00:16:49,490
عندي لأي rational number، صار عندي L of X R بيساوي R

202
00:16:49,490 --> 00:16:55,670
L of X لكل R اللي بتنتمي ل NQ، نيجي الآن لـ اللي هي

203
00:16:55,670 --> 00:16:57,230
الجزء الأخير من النظرية

204
00:17:08,180 --> 00:17:11,120
الكلام مشابه للي حكيناها قبل بشوية في الإثبات اللي

205
00:17:11,120 --> 00:17:15,260
هو ال limit تبع ال exponential عند 2 أصغر من E

206
00:17:15,260 --> 00:17:19,380
وقلنا ليش الآن، ال E n هنا بيصير 2 أصغر من E أصغر

207
00:17:19,380 --> 00:17:19,920
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

208
00:17:19,920 --> 00:17:21,140
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

209
00:17:21,140 --> 00:17:22,840
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

210
00:17:22,840 --> 00:17:23,240
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

211
00:17:23,240 --> 00:17:26,700
من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر من E أصغر

212
00:17:26,700 --> 00:17:30,620
من E أصغر

213
00:17:33,960 --> 00:17:39,580
لكن اللي هو L of E N بساوي N واللي هي L of E

214
00:17:39,580 --> 00:17:44,020
minus N بساوي ناقص N، خليني في الذاكرة هذول، إذا for

215
00:17:44,020 --> 00:17:47,480
every N element in R there exists X element in R

216
00:17:47,480 --> 00:17:52,670
بحيث أن X أكبر من مين؟ من N، لكل N element in N في X

217
00:17:52,670 --> 00:17:56,350
element in R، أكيد X أكبر من مين؟ من E N لأنه أخذت

218
00:17:56,350 --> 00:18:00,590
N بين إيديا حسبت ال E N طلع عندي رقم أخذت ال X أكبر

219
00:18:00,590 --> 00:18:03,310
منها، كيد بالله، طيب، لأنه unbounded real numbers

220
00:18:03,310 --> 00:18:06,710
then L في هذه أكبر أو من L في هذه، لأنه ال L

221
00:18:06,710 --> 00:18:10,810
strictly increasing، إذا صار L في X أكبر من مين؟ من

222
00:18:10,810 --> 00:18:16,130
ال N ألف E N، يعني أكبر من الآن، لأن limit هذه as

223
00:18:16,130 --> 00:18:21,210
x goes to infinity اللي هو بيكون أكبر أو يساوي اللي

224
00:18:21,210 --> 00:18:23,950
هي limit هذه as n goes to infinity ويساوي infinity

225
00:18:23,950 --> 00:18:27,550
لأن لكل لما الآن تروح لما لا نهاية أكيد ال X بتروح

226
00:18:27,550 --> 00:18:31,270
لمين؟ إلى ما لا نهاية، فصار عندي هذه بتروح إلى ما

227
00:18:31,270 --> 00:18:34,970
لا نهاية، الآن صار عندي limit L of X لما X تروح لما

228
00:18:34,970 --> 00:18:41,040
لا نهاية بيساوي ما لا نهاية، similarly الآن لكل ناقص any

229
00:18:41,040 --> 00:18:43,100
element in z positive بلاقي x element in r

230
00:18:43,100 --> 00:18:45,740
positive بحيث أن x أكبر من صفر وأصغر من صفر و

231
00:18:45,740 --> 00:18:46,340
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من

232
00:18:46,340 --> 00:18:47,840
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر و

233
00:18:47,840 --> 00:18:51,500
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من

234
00:18:51,500 --> 00:18:57,960
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر و

235
00:18:57,960 --> 00:19:02,520
أصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأصغر من

236
00:19:02,520 --> 00:19:09,620
صفر وأصغر من صفر وأصغر من صفر وأطيب، then L of X

237
00:19:09,620 --> 00:19:13,660
هيكون أصغر أو يساوي ال E to the minus N، يعني L of X

238
00:19:13,660 --> 00:19:17,800
اللي هي أصغر أو يساوي ناقص N، إذا as N goes to

239
00:19:17,800 --> 00:19:22,700
infinity، as N goes to infinity اللي هو ال E to the

240
00:19:22,700 --> 00:19:26,540
minus N بيروح لل 0 من اليمين، إذا ال X بتروح لل 0 من

241
00:19:26,540 --> 00:19:30,820
اليمين، إذا عندي ال X بتروح لل 0 من اليمين، اللي هو

242
00:19:30,820 --> 00:19:34,580
أصغر لما الـ limit L of X أصغر من limit E to the

243
00:19:34,580 --> 00:19:37,900
minus N لما هذا يروح لـ 0 من اليمين، أو بمعنى آخر

244
00:19:37,900 --> 00:19:41,680
لما الـ N تروح لما لا نهاية وهذا بيروح لمين؟ لـ

245
00:19:41,680 --> 00:19:44,760
Infinity، إذا limit L of X لما X تروح لما لا نهاية

246
00:19:44,760 --> 00:19:50,920
بساوي سالب Infinity وهو المطلوب، hence limit L of

247
00:19:50,920 --> 00:19:54,460
X لما X تروح لـ 0 من اليمين بساوي سالب Infinity

248
00:19:54,460 --> 00:19:58,500
طيب

249
00:20:12,260 --> 00:20:16,320
الآن سارّعنا، الآن نقدر أن اللي هو نحكي عن ال bar

250
00:20:16,320 --> 00:20:20,080
functions، بدنا نعرف ال bar functions اللي هي بناء

251
00:20:20,080 --> 00:20:25,060
على اللي حكيناه واللي هي موضوع ال bar functions

252
00:20:25,060 --> 00:20:28,880
كل ما فيه تقريباً يعني بنعتبره exercises احنا لكن

253
00:20:28,880 --> 00:20:32,520
خلينا نعرف التعريفات والنظريات بتكون اللي هي

254
00:20:32,520 --> 00:20:35,900
معاكم exercises بسيطة بناء على التعريف اللي

255
00:20:35,900 --> 00:20:40,720
بنعرفها، اللي هناخذه α يليمنتان R و X أكبر من 0، The

256
00:20:40,720 --> 00:20:43,320
number X to the Alpha is defined to be .. الآن بدي

257
00:20:43,320 --> 00:20:46,940
أعرف حاجة اسمها X to the Alpha، X to the Alpha بدي

258
00:20:46,940 --> 00:20:49,900
أعرفها .. إيش بدي أعرفها؟ بإيش أنا معرف عندي من

259
00:20:49,900 --> 00:20:54,440
الأصل ال exponential معرفة .. خلصنا منها وال ln

260
00:20:54,440 --> 00:20:59,000
معرفة .. إذا E to the Alpha في ln ال X، هذه المقدار

261
00:20:59,000 --> 00:21:03,820
لهذا معرف وهذا معرف بدي أسميه X to the Min to the

262
00:21:03,820 --> 00:21:07,400
Alpha اللي هو في الواقع عبارة عن Min E to the

263
00:21:07,400 --> 00:21:12,040
Alpha L of X، L of X معرفة والـ E معرفة إذا كل هذه

264
00:21:12,040 --> 00:21:16,000
معرفة بتسميها X to the main to the alpha، الآن صارت

265
00:21:16,000 --> 00:21:19,540
عندي يعني قيمة الـ X under this function اللي

266
00:21:19,540 --> 00:21:23,120
عرفتها لجديدة يعني إذا بتسميها دي ال function الـ

267
00:21:23,120 --> 00:21:28,240
R of X إيش عرفتها أنا بتساوي X to the alpha؟ يعني

268
00:21:28,240 --> 00:21:31,680
كل ال X بتصير يشمل X to the Alpha و X أكبر من 0

269
00:21:31,680 --> 00:21:36,780
هذه ال X to the Alpha هي اللي بدي أسميها ال power

270
00:21:36,780 --> 00:21:42,000
function، بدي أسميها power function with exponent

271
00:21:42,000 --> 00:21:47,540
mean Alpha وال X هي أشمالها المتغيرة اللي أكبر من

272
00:21:47,540 --> 00:21:54,340
0، شوف الآن نشوف بعض الخواص اللي هو هذه اللي هي

273
00:21:54,340 --> 00:21:56,460
الدالة، طيب

274
00:22:04,730 --> 00:22:08,690
الآن if x أكبر من 0 and alpha بساوي m على n where

275
00:22:08,690 --> 00:22:12,770
m element in z و n element in n then we define x

276
00:22:12,770 --> 00:22:17,790
to the alpha بساوي x to the m أس واحد على n in

277
00:22:17,790 --> 00:22:23,110
section mean خمسة وستة هتعرفناها زمان إنه في حالة

278
00:22:23,110 --> 00:22:26,570
بس اللي هي ال rational number عرفنا x to the m على

279
00:22:26,570 --> 00:22:30,630
n بساوي x to the m لكل أس واحد على n، ماشي الحال

280
00:22:30,630 --> 00:22:34,510
..الآن بدنا نشوف هذا التعريف مطابق لتعريفنا اليوم 

281
00:22:34,510 --> 00:22:41,670
ولأ hence we have لن ال X to the Alpha لن ال X 

282
00:22:41,670 --> 00:22:45,370
to the Alpha لن ال X to the Alpha بيساوي Alpha لن

283
00:22:45,370 --> 00:22:51,540
ال X عرفناها هذه طيب where X to the Alpha بيساوي E

284
00:22:51,540 --> 00:22:56,260
to the Ln X to the Min to the Alpha اللي هو بيساوي

285
00:22:56,260 --> 00:23:01,020
E to the Alpha في Min في Ln ال X كلام كله سهل ال

286
00:23:01,020 --> 00:23:05,740
X to the Alpha هو اللي عرفناها اللي عبارة عن E

287
00:23:05,740 --> 00:23:10,570
بتصير to the Ln X to the Alpha لأنه استبدلت الـ x 

288
00:23:10,570 --> 00:23:15,090
to the alpha بقيمتها اللي هي عبارة عن اللي هي

289
00:23:15,090 --> 00:23:18,630
Alpha Ln x اللي هي بيساوي E to the Ln x to the

290
00:23:18,630 --> 00:23:24,510
Min to the Alpha إذا سواء احنا بالتعريف اللي هو

291
00:23:24,510 --> 00:23:28,190
احنا هذا بال Exponent أو بال ال Function اللي

292
00:23:28,190 --> 00:23:33,110
عرفناها بالشكل هذا هيطلع عندي اللي هو القيمتين نفس

293
00:23:33,110 --> 00:23:34,790
القيمة طيب

294
00:23:37,160 --> 00:23:42,300
نجي الآن لبعض الخواص اللي هي تبعت ال Exponential 

295
00:23:42,300 --> 00:23:47,180
ال Power Function و الخواص هنتركه لكم إياه لأنها

296
00:23:47,180 --> 00:23:54,600
مباشرة على التعريف تبعنا مباشرة

297
00:23:54,600 --> 00:24:01,100
على اللي هي التعريف اللي عندنا و هيكون في عندي

298
00:24:01,100 --> 00:24:05,760
الآن النظرية الأولى اللي هي 8 3 11 لو كانت Alpha

299
00:24:05,760 --> 00:24:11,340
element in R و X و Y اللي هو تنتمي للفترة Zero و

300
00:24:11,340 --> 00:24:16,500
ثمانية Zero و ما لا نهاية آسف then معلش عشان ده طلعت

301
00:24:16,500 --> 00:24:20,450
الكهربا قعد نقلف الكهربا أنا If α element in R و X

302
00:24:20,450 --> 00:24:26,350
Y belongs to 0 α then 1 to the α بيساوي 1 و X to the

303
00:24:26,350 --> 00:24:30,270
α أكبر من 0 و X Y to the α بيساوي X to the α و Y to

304
00:24:30,270 --> 00:24:35,590
the α و X على Y to the α بيساوي X to the α على Y to

305
00:24:35,590 --> 00:24:39,370
the α هذه اللي هي النظرية طبعا اللي هي مباشرة على

306
00:24:39,370 --> 00:24:45,100
تعريفنا اللي هو X to the α بيساوي E of α Ln X يعني

307
00:24:45,100 --> 00:24:49,800
بدك تيجي تستخدم تعريفك اللي هو اللي عرفناه وعليه

308
00:24:49,800 --> 00:24:53,480
اللي هو بتبدأ تشتغل و تبني اللي هو اللي هي

309
00:24:53,480 --> 00:24:57,680
القوانين اللي بنحكي عنها اللي هو تعريفنا اللي هو X

310
00:24:58,570 --> 00:25:05,210
to the alpha بتساوي E of alpha Len اللي هي L of X

311
00:25:05,210 --> 00:25:10,650
أو حسب ال Notation تبعتنا E to the alpha Len ال X 

312
00:25:10,650 --> 00:25:15,710
هذا الآن التعريف اللي عليه بدك اللي هو تبدأ اللي

313
00:25:15,710 --> 00:25:23,290
هو تشتغل على اللي هي النظرية و تبرهنها اللي عندنا

314
00:25:23,290 --> 00:25:27,630
النظرية الأولى اللي ذكرناها قبل بشوية اللي هي هذه

315
00:25:27,630 --> 00:25:32,090
النظرية على التعريف مباشرة و نظرية تانية أيضا برضه

316
00:25:32,090 --> 00:25:35,670
من الخواص إذا كانت Alpha و Beta element ر و X في

317
00:25:35,670 --> 00:25:40,640
الفترة Zero ولا نهاية إذا X to the Alpha زائد بيتا

318
00:25:40,640 --> 00:25:44,040
برضه نفس الاشياء طبعا هتلاقي اللي هو انت لما تيجي

319
00:25:44,040 --> 00:25:48,320
تفرد هذه هتصير تستخدم خواص المعرفة اللي هي

320
00:25:48,320 --> 00:25:52,360
بواسطتها معرفة هتستخدم خواص ال X Exponential و ال

321
00:25:52,360 --> 00:25:55,420
لي قبله بشوية هتلاقي حالك بتصل X to the Alpha

322
00:25:55,420 --> 00:25:58,310
زائد بيتا بيساوي X to the Alpha في X to the بيتا و نفس

323
00:25:58,310 --> 00:26:05,170
الشيء X²α²β بيساوي X α beta و يساوي X²β²α و هتيجي

324
00:26:05,170 --> 00:26:08,830
.. اللي هي كلها قوانين احنا بنعرفها X²-α بيساوي 1

325
00:26:08,830 --> 00:26:12,270
على X²α و نفس الشيء إذا كانت alpha أصغر من beta

326
00:26:12,270 --> 00:26:17,770
هيكون X²α أصغر من X²β لما ان X تكون أكبر من 1 و

327
00:26:17,770 --> 00:26:22,130
هذه كلها بتكون X Resources معاكم اللي هي مباشرة

328
00:26:22,130 --> 00:26:31,830
على هذه التعريف النظرية اللي عندنا على السريع let

329
00:26:31,830 --> 00:26:35,010
alpha element in R then the function X بالتروح للـ

330
00:26:35,010 --> 00:26:37,670
X alpha من 0 و 1 to R is continuous and

331
00:26:37,670 --> 00:26:41,210
differentiable and اللي هو ال Derivative لل X to

332
00:26:41,210 --> 00:26:43,630
the alpha بيساوي alpha to the X to the alpha minus 1

333
00:26:43,630 --> 00:26:47,650
for X element in 0 و 1 طبيعي أصلا هي Composition

334
00:26:47,650 --> 00:26:54,490
of two هي عندي Function هذه اللي هي Continuous هذا

335
00:26:54,490 --> 00:26:57,650
كلها على بعض الـ E كمان Continuous ده اللي هتطلع

336
00:26:57,650 --> 00:26:59,850
هذا Continuous و هذا Continuous و نفس الشيء ال

337
00:26:59,850 --> 00:27:02,870
Differentiability إذا أكيد اللي هي ال Function

338
00:27:02,870 --> 00:27:05,890
اللي عندنا X to the X to the Alpha حسب تعريفنا is

339
00:27:05,890 --> 00:27:09,410
Continuous and Differentiable و لو بدك تسمي اللي

340
00:27:09,410 --> 00:27:13,710
هو هذه ال Derivative و بدك تبدأ تفاضل دي اتفاضل DX

341
00:27:13,710 --> 00:27:17,050
Alpha يعني بدك تتفاضل هذه كيف تتفاضل هذه ال

342
00:27:17,050 --> 00:27:20,860
Exponential اللي هي E to the Alpha Ln ال X في

343
00:27:20,860 --> 00:27:25,580
التفاضل اللي هو اللي جوا اللي هو Alpha في واحد على

344
00:27:25,580 --> 00:27:30,120
X ماشي الحال اللي هي بمعنى آخر بصير عندي اللي هو

345
00:27:30,120 --> 00:27:35,260
عبارة عن E to the Alpha Ln ال X اللي هي عبارة عن

346
00:27:35,260 --> 00:27:38,480
ال X to the Alpha نفسها في التفاضل هذه اللي هي

347
00:27:38,480 --> 00:27:43,080
Alpha على X بيساوي Alpha أس X اللي هي هذه بتطلع

348
00:27:43,080 --> 00:27:46,680
ناقص واحد Alpha ناقص واحد for X element in zero

349
00:27:46,680 --> 00:27:53,250
و ما لا نهاية الآن بعض الملاحظات الأخرى اللي بيقولك

350
00:27:53,250 --> 00:28:01,010
إياها على هذه الدالة بيقول بيقول لك اللي هو عندي إذا

351
00:28:01,010 --> 00:28:07,610
كانت Alpha أكبر من 0 فبصير 

352
00:28:07,610 --> 00:28:11,970
عندي اللي هي ال Function من X and X alpha is

353
00:28:11,970 --> 00:28:15,930
strictly increasing على فترة 0 و ما لا نهاية طبيعي

354
00:28:15,930 --> 00:28:19,890
لما Alpha أكبر من 0 هيصير عندي الان المقدر هذا

355
00:28:19,890 --> 00:28:24,120
بيظل موجبو هذه ألف أكبر من صفر بيكون بيبقى أكبر من

356
00:28:24,120 --> 00:28:27,180
صفر إذا صارت عندي اللي هي ال Derivative أكبر من

357
00:28:27,180 --> 00:28:31,160
صفر إذا صارت عند الدالة Strictly Increasing لو كانت

358
00:28:31,160 --> 00:28:34,520
ألف أصغر من صفر هتصير اللي هي العكس Strictly

359
00:28:34,520 --> 00:28:38,420
Decreasing لإنه هتكون هذه سالبة و هذه مدلة موجبة

360
00:28:38,420 --> 00:28:42,180
بتظل هذه كلها موجبة إذا صارت Strictly Decreasing

361
00:28:42,180 --> 00:28:45,360
عند ألف بتساوي صفر بيكون احنا ال Derivative للواحد

362
00:28:45,360 --> 00:28:48,880
اللي هو بيكون عبارة عن Constant Function اللي هو

363
00:28:48,880 --> 00:28:51,300
في حالة الألف بتساوي صفر

364
00:28:53,910 --> 00:29:02,970
الآن نيجي الى اللي هي هيك بنكون اللي هو وصلنا

365
00:29:02,970 --> 00:29:09,190
لآخر تعريف بده يعرف اللي هو ال Log Function للأساس

366
00:29:09,190 --> 00:29:13,090
a احنا اللي عرفناه ال Ln اللي هو للأساس e بمعنى

367
00:29:13,090 --> 00:29:16,530
آخر كيف بده اعرفه الآن احنا لسه ما عرفنا الأساسات

368
00:29:16,530 --> 00:29:19,930
هدا كصمنا ال Ln و ال Exponential الآن بدنا نعرف

369
00:29:19,930 --> 00:29:25,920
اللي هو نسمي ال Log الغاريثم للأساس A نفترض أن A

370
00:29:25,920 --> 00:29:28,860
أكبر من 0 و A لا تساوي 1 it is sometimes useful to

371
00:29:28,860 --> 00:29:34,820
define the function Log للأساس A كمالي الآن Log A

372
00:29:34,820 --> 00:29:39,560
of X كده اللي بيساوي Ln ال X على Ln ال A حيث ال A

373
00:29:39,560 --> 00:29:43,940
عدد ثابت ماشي الحال هذه الآن صارت اللي هي ال Log 

374
00:29:43,940 --> 00:29:49,540
العامة هي نفس ال Exponential بس مضروبة في ثابت الآن

375
00:29:49,540 --> 00:29:52,920
إذا الـ Exponential الأصلية عليها هو معرف الآن

376
00:29:52,920 --> 00:29:59,140
بيقولك إنه اللي هي هذه بنسميها Log أو ال Logarithm

377
00:29:59,140 --> 00:30:04,620
للأساس A لو كان الأساس E هذا بصير Ln ال E واحد

378
00:30:04,620 --> 00:30:09,320
بنصير نرجع لن ال X اللي هي الدالة الأصلية إذا لو

379
00:30:09,320 --> 00:30:14,000
كانت ال A هي ال E بنرجع للدالة الأصلية اللي هي زي

380
00:30:14,000 --> 00:30:17,060
ما قلنا is called the logarithm of X to the base A

381
00:30:19,560 --> 00:30:23,400
Yields دا الـ Logarithm العادي الآن اللي مشهور

382
00:30:23,400 --> 00:30:28,020
عندنا للحسابات اللي هو للأساس عشرة اللي هو بنسمي

383
00:30:28,020 --> 00:30:32,220
اللي هو Log to the base عشرة أو اللي بنسمي common

384
00:30:32,220 --> 00:30:36,720
Logarithm اللي هو اللي بنستخدمه عادة في الحسابات و

385
00:30:36,720 --> 00:30:41,620
هيك بكون عندنا احنا انهينا اللي هو ال Section اللي

386
00:30:41,620 --> 00:30:46,180
هو ثمانية تلاتة و بكون خلصنا اللي هي الجزء الثاني

387
00:30:46,180 --> 00:30:52,240
من المحاضرة اللي هو ما يتعلق بال .. اللي هو ال

388
00:30:52,240 --> 00:30:54,660
Logarithmic Function و ال Power Function و ال

389
00:30:54,660 --> 00:31:00,040
Logarithmic للأساس اللي هو زي ما قلنا ايه و إلى

390
00:31:00,040 --> 00:31:00,640
لقاء