Korean Math Dataset
Collection
ํ๊ตญ์ด ์ํ ๋ฐ์ดํฐ (๋ด๊ฐ ํธ์งํ ๊ฒ ์์ฃผ)
โข
14 items
โข
Updated
โข
5
problem_ko
stringlengths 15
2.54k
| solution_ko
stringlengths 29
3.75k
| level
stringclasses 5
values | type
stringclasses 7
values |
---|---|---|---|
$y=\frac{2}{x^2+x-6}$์ ๊ทธ๋ํ๋ ์์ง ์ ๊ทผ์ ์ ๋ช ๊ฐ ๊ฐ์ง๊ณ ์์ต๋๊น? | ์ ๋ฆฌ ํจ์์ ๋ถ๋ชจ๋ $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$๋ก ์ธ์๋ถํด๋ฉ๋๋ค. ๋ถ์๋ ํญ์ 0์ด ์๋๋ฏ๋ก ๋ถ๋ชจ๊ฐ $0$์ผ ๋๋ง๋ค ์์ง ์ ๊ทผ์ ์ด ์กด์ฌํ๋ฉฐ, ์ด๋ $x = 2$์ $x = -3$์์ ๋ฐ์ํฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ทธ๋ํ๋ $\boxed{2}$๊ฐ์ ์์ง ์ ๊ทผ์ ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
30์ $120\%$์ 20์ $130\%$์ ์์ ์ฐจ์ด๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | 30์ $120\%$๋ $120\cdot30\cdot\frac{1}{100}=36$์ด๊ณ , 20์ $130\%$๋ $ 130\cdot 20\cdot\frac{1}{100}=26$์
๋๋ค. 36๊ณผ 26์ ์ฐจ์ด๋ $\boxed{10}$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
$\lceil x \rceil + x = \dfrac{23}{7}$์ ๋ง์กฑํ๋ $x$๋ฅผ ๊ตฌํ์ญ์์ค. $x$๋ฅผ ๊ธฐ์ฝ๋ถ์๋ก ๋ํ๋ด์ญ์์ค. | ๋จผ์ , $\lceil x \rceil + x$๊ฐ ์์๊ฐ ์๋๊ธฐ ๋๋ฌธ์ $x$๋ ์์์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ค์์ผ๋ก, $x$์ ์์ ๋ถ๋ถ์ $\dfrac{2}{7}$์ด์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $n$์ $x$๋ณด๋ค ์๊ฑฐ๋ ๊ฐ์ ๊ฐ์ฅ ํฐ ์ ์๋ผ๊ณ ํ๋ฉด $x$๋ฅผ $n+\dfrac{2}{7}$๋ก ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $\lceil x \rceil = n + 1$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $\lceil x \rceil + x$๋ฅผ $n+1+n+\dfrac{2}{7}=\dfrac{23}{7}$๋ก ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. ์ด๋ฅผ ํ๋ฉด $n=1$์ ์ป์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๋ฐฉ์ ์์ ๋ง์กฑํ๋ $x$์ ๊ฐ์ $1+\dfrac{2}{7}=\boxed{\dfrac{9}{7}}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$i^5+i^{-25}+i^{45}$๋ฅผ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | $i^5 = i^4\cdot i = 1\cdot (i) = i$์
๋๋ค. ๋ํ $i^{-25} = 1/i^{25} = 1/(i^{24}\cdot i) = 1/[1\cdot (i)] = 1/i = \frac1{i}\cdot\frac{i}{i} = i/(-1) = -i$์ด๊ณ , $i^{45} = (i^{44})\cdot i= 1\cdot i =i$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์ด ์ธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ๋ํ๋ฉด $i^5 + i^{-25} + i^{45} = i+-i+i = \boxed{i}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$2^8=4^x$์ด๋ฉด $x$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $4$๋ฅผ $2^2$๋ก ๋ค์ ์ฐ๋ฉด $4^x=2^{2x}$์
๋๋ค. $2^8=2^{2x}$์ด๋ฏ๋ก $2x=8$์ด๊ณ , ๋ฐ๋ผ์ $x=\boxed{4}$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
6, 10, 14, 18, ...๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ง ๋ฑ์ฐจ์์ด์ 100๋ฒ์งธ ํญ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๊ณต์ฐจ๋ $10 - 6 = 4$์ด๋ฏ๋ก 100๋ฒ์งธ ํญ์ $6+99\cdot 4=\boxed{402}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
$x^2 - 5x - 4 \le 10$์ด ์ฑ๋ฆฝํ๋ $x$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? ๊ตฌ๊ฐ ํ๊ธฐ๋ฒ์ผ๋ก ๋ต์ ํํํ์ญ์์ค. | ์์ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด $x^2 - 5x - 14 \le 0$์
๋๋ค. ์ข๋ณ์ ์ด์ฐจ์์ $x^2 - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2) \le 0$์ผ๋ก ์ธ์๋ถํด๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $x-7$๊ณผ $x+2$๋ ๋ถํธ๊ฐ ๋ฐ๋์ด๋ฏ๋ก $-2 \le x \le 7$์ด๊ณ $\boxed{x \in [-2,7]}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
Madoff ์จ๋ ์ฐ์ด์จ๋ก ๋ณต๋ฆฌ ๊ณ์ฐ๋๋ ํ๋์ 1000๋ฌ๋ฌ๋ฅผ ํฌ์ํฉ๋๋ค. 3๋
ํ, ๊ทธ์ ํฌ์๊ธ์ 1225๋ฌ๋ฌ๋ก ์ฆ๊ฐํ์ต๋๋ค. ์ฐ์ด์จ์ ๋ฐฑ๋ถ์จ๋ก ์ผ๋ง์
๋๊น? (๋ต์ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด ์ ์๋ก ๋ฐ์ฌ๋ฆผํ์ญ์์ค.) | ์ฐ์ด์จ์ $r$์ด๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด 3๋
ํ Madoff ์จ์ ํฌ์๊ธ์ $1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3$์ด๋ฏ๋ก \[1000 \cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1225\]์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ \[\left( 1 + \frac{r}{100} \right)^3 = 1.225\]์ด๊ณ , \[1 + \frac{r}{100} = \sqrt[3]{1.225} = 1.069987 \dots\]์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $r$์ ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๊น์ด ์ ์๋ก ๋ฐ์ฌ๋ฆผํ๋ฉด $\boxed{7}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ค ๊ฐ์ ์๋ก ๋ค๋ฅธ ์ ์ $a$, $b$, $c$, $d$๋ฅผ ์์ผ๋ก ๋ํ์ ๋, ํฉ์ด 10, 18, 19, 20, 21, 29๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ๋ค ์ ์๋ฅผ ์ค๋ฆ์ฐจ์์ผ๋ก ๋์ดํ์ญ์์ค. (๊ฐ ์ ์ ์ฌ์ด์ ์ผํ์ ๊ณต๋ฐฑ์ ๋ฃ์ผ์ธ์) | ์ผ๋ฐ์ฑ์ ์์ง ์๊ณ , $a<b<c<d$๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค. ๊ฐ์ฅ ์์ ํฉ์ $a+b=10$์
๋๋ค. ๋ ๋ฒ์งธ๋ก ์์ ํฉ์ $a+c=18$์
๋๋ค. ๋ ๋ฒ์งธ๋ก ํฐ ํฉ์ $b+d=21$์
๋๋ค. ๊ฐ์ฅ ํฐ ํฉ์ $c+d=29$์
๋๋ค. ์์ฝํ๋ฉด, \begin{align*}\tag{1}
a+b&=10\\ \tag{2}
a+c&=18\\ \tag{3}
b+d&=21\\ \tag{4}
c+d&=29
\end{align*} $a+d$์ $b+c$๋ผ๋ ๋ ๊ฐ์ ํฉ์ด ๋จ์ ์์ต๋๋ค. ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํฉ์ด ๋ ๋ฒ์งธ ํฉ๋ณด๋ค ์์ ๊ฒฝ์ฐ์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํฉ์ด ๋ ๋ฒ์งธ ํฉ๋ณด๋ค ํฐ ๊ฒฝ์ฐ, ๋ ๊ฐ์ง ๊ฒฝ์ฐ๋ก ๋๋์ด ๋ฌธ์ ๋ฅผ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค.
์ฒซ ๋ฒ์งธ ๊ฒฝ์ฐ, \begin{align*} \tag{5}
a+d&=19\\ \tag{6}
b+c&=20
\end{align*} (1)๋ฒ ์๊ณผ (6)๋ฒ ์์ ๋ํ๊ณ (2)๋ฒ ์์ ๋นผ๋ฉด, $(a+b)+(b+c)-(a+c)=10+20-18\Rightarrow b = 6$์
๋๋ค. ์ด ๊ฐ์ (1)๋ฒ ์์ ๋์
ํ๋ฉด $a+6=10 \Rightarrow a=4$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. $a$์ ๊ฐ์ (2)๋ฒ ์์ ๋์
ํ๋ฉด $4+c=18 \Rightarrow c=14$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. $c$์ ๊ฐ์ (4)๋ฒ ์์ ๋์
ํ๋ฉด $14+d=29 \Rightarrow d=15$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๋ค ์ ์๋ $4,6,14,15$์
๋๋ค.
๋ ๋ฒ์งธ ๊ฒฝ์ฐ, \begin{align*} \tag{7}
b+c&=19\\ \tag{8}
a+d&=20
\end{align*} (1)๋ฒ ์๊ณผ (7)๋ฒ ์์ ๋ํ๊ณ (2)๋ฒ ์์ ๋นผ๋ฉด, $(a+b)+(b+c)-(a+c)=10+19-18 \Rightarrow b=5.5$์
๋๋ค. $b$๋ ์ ์๋ก ์ ์๋์์ผ๋ฏ๋ก ์ด ๊ฒฝ์ฐ๋ ๋ถ๊ฐ๋ฅํฉ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ ์ ์ผํ ํด๋ $\boxed{4,6,14,15}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$|5x - 1| = |3x + 2|$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ $x$์ ์ต์๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? ๋ต์ ๊ธฐ์ฝ๋ถ์๋ก ๋ํ๋ด์ธ์. | $5x-1=3x+2$์ธ ๊ฒฝ์ฐ์ $5x-1=-(3x+2)$์ธ ๊ฒฝ์ฐ, ๋ ๊ฐ์ง ๊ฒฝ์ฐ๊ฐ ์์ต๋๋ค. ๋ ๋ฐฉ์ ์์ ๊ฐ๊ฐ $x=\frac{3}{2}$์ $x=-\frac{1}{8}$์ ์ฐ์ถํ๋ฉฐ, ์ด ์ค $x=\boxed{-\frac{1}{8}}$์ด ๋ ์์ ํด์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$f(x)=7x+5$์ด๊ณ $g(x)=x-1$์
๋๋ค. $h(x)=f(g(x))$์ด๋ฉด, $h(x)$์ ์ญํจ์๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | \[h(x)=f(g(x))=7(x-1)+5=7x-2.\] ๊ฐ๋จํ๊ฒ ํ๊ธฐ ์ํด $h(x)$๋ฅผ $y$๋ก ๋ฐ๊พธ๋ฉด, \[y=7x-2.\] $h(x)$์ ์ญํจ์๋ฅผ ๊ตฌํ๊ธฐ ์ํด ์ด ๋ฐฉ์ ์์ $x$์ ๋ํด ํ ์ ์์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด \[y+2=7x\] ๋๋ \[x=\frac{y+2}{7}.\] ์ด๊ฒ์ $x$์ ๋ํ ์์ผ๋ก ์ฐ๋ฉด $h$์ ์ญํจ์๋ \[h^{-1}(x)=\boxed{\frac{x+2}{7}}.\]์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ค์ ์กฐ๊ฑด์ ๋ง์กฑํ๋ ๋ชจ๋ ์ ์์ ํฉ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. \[
|x|+1>7\text{ and }|x+1|\le7.
\] | ๋จผ์ , $|x| + 1 > 7$์ ์ดํด๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค. ์์ชฝ์์ 1์ ๋นผ๋ฉด $|x| > 6$์ด๋ฏ๋ก, $|x| + 1 > 7$์ ๋ง์กฑํ๋ ์ ์๋ 6๋ณด๋ค ํฌ๊ฑฐ๋ $-6$๋ณด๋ค ์์ ์ ์์
๋๋ค. ๋ถ๋ฑํธ๊ฐ $>\text{(์ด๊ณผ)}$์ด๊ณ $\ge\text{(์ด์)}$์ด ์๋๋ฏ๋ก, $x$๋ 6 ๋๋ $-6$์ด ๋ ์ ์์ต๋๋ค.
๋ค์์ผ๋ก $|x+1| \le 7$์ ๊ณ ๋ คํฉ๋๋ค. ์ด๊ฒ์ $|x-(-1)| \le 7$๋ก ์ฐ๋ฉด, $x$๋ ์์ง์ ์์ $-1$๋ก๋ถํฐ 7 ์ด๋ด์ ์์ด์ผ ํ๋ฏ๋ก, $-8$์์ 6๊น์ง์ ์ ์ ์ค ํ๋์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ถ๋ฑํธ๊ฐ $\le\text{(์ดํ)}$์ด๊ณ $<\text{(๋ฏธ๋ง)}$์ด ์๋๋ฏ๋ก, $x$๋ $-8$ ๋๋ 6์ด ๋ ์ ์์ต๋๋ค.
๋ ๋ถ๋ฑ์์ ๋ชจ๋ ๋ง์กฑํ๋ ์ ์๋ $-8$๊ณผ $-7$์ด๋ฉฐ, ๊ทธ ํฉ์ $\boxed{-15}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
์ขํ๊ณ์์ ์์ ์์ ์ $(-8,6)$๊น์ง์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ ๋ช ๋จ์์
๋๊น? | ๊ฑฐ๋ฆฌ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํฉ๋๋ค. $\sqrt{(-8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \boxed{10}$์
๋๋ค.
- ๋๋ -
์์ , ์ $(-8, 6)$, ์ $(-8, 0)$์ ๊ธธ์ด๊ฐ 6๊ณผ 8์ธ ๋ ๋ณ์ ๊ฐ๋ ์ง๊ฐ์ผ๊ฐํ์ ํ์ฑํฉ๋๋ค. ์ด๊ฒ์ ํผํ๊ณ ๋ผ์ค ์ผ์กฐ์ด๋ฏ๋ก ๋น๋ณ์ ๊ธธ์ด๋ $\boxed{10}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
์ ๋ถ์ ๋ ๋์ ์ด $(1,4)$์ $(1,10)$์ ์์ต๋๋ค. ์ ๋ถ์ ์ค์ ์ ์ขํ์ ํฉ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ ๋ถ์ ์ค์ ์ $\left(\frac{1+1}{2},\frac{4+10}{2}\right)=(1,7)$์ด๋ฏ๋ก ์ขํ์ ํฉ์ $1+7=\boxed{8}$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
์ฐ $ABCD$ (๋ ์์ ์ธ์ ํ ๋ณ์ ๊ธธ์ด๊ฐ ๊ฐ์ ์ฌ๊ฐํ)์ ์ขํ๋ $A\ (0,7),\ B\ (1,0),\ C\ (12,-2),$ ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ $D\ (7,8)$์
๋๋ค. ์ฐ์ ๋์ด๊ฐ ๋ ๋๊ฐ์ ๊ธธ์ด์ ๊ณฑ์ ์ ๋ฐ๊ณผ ๊ฐ๋ค๊ณ ํ ๋, $ABCD$์ ๋์ด๋ ์ผ๋ง์
๋๊น?
[asy]
string sp(pair P, string P2){return "$" + P2 + "\,(" + string(P.x) + "," + string(P.y) + ")$";}
size(150); defaultpen(fontsize(10)); draw((-5,0)--(15,0),Arrows(4)); draw((0,-5)--(0,10),Arrows(4)); pair A=(0,7),B=(1,0),C=(12,-2),D=(7,8); draw(A--B--C--D--cycle, linewidth(0.7)); draw(A--C, dashed); draw(B--D, dashed); label(sp(A,"A"),A,W); label(sp(B,"B"),B,S); label(sp(C,"C"),C,E); label(sp(D,"D"),D,N);
[/asy] | ๋ฌธ์ ์์ ์ ์๋ ๊ฒ์ฒ๋ผ ๋๊ฐ์ $\overline{AC}$์ $\overline{BD}$์ ๊ธธ์ด๋ฅผ ๊ณ์ฐํด์ผ ํฉ๋๋ค. ๊ฑฐ๋ฆฌ ๊ณต์์ ์ํด,
\begin{align*}
AC &= \sqrt{(12 -0)^2 + (-2-7)^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\\
BD &= \sqrt{(7-1)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\\
\end{align*}๋ฐ๋ผ์ ๋ต์ $\frac 12 \cdot 10 \cdot 15 = \boxed{75}$์
๋๋ค.
์ถ๊ฐ ๊ณผ์ ๋ก, ์ฐ์ ๋์ด๊ฐ ๋ ๋๊ฐ์ ๊ธธ์ด์ ๊ณฑ์ ์ ๋ฐ๊ณผ ๊ฐ์ ์ด์ ๋ฅผ ์์๋ผ ์ ์์ต๋๊น? | Level 3 | Algebra |
ํจ์ $$g(x) = \sqrt{(x-3)^2-(x-8)^2}$$์ ์ ์์ญ์ ์๋ ๊ฐ์ฅ ์์ ์ค์ $x$๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ค์ $x$๊ฐ $g$์ ์ ์์ญ์ ์๋ ๊ฒ์ $$(x-3)^2 - (x-8)^2 \ge 0$$์ผ ๋๋ง ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค. ์ด๋ฅผ ์ ๊ฐํ๊ณ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด $$10x - 55\ge 0$$์ด ๋๊ณ , ๊ฐ์ฅ ์์ ํด๋ $x=\frac{55}{10}=\boxed{\frac{11}{2}}$์
๋๋ค.
๋๋, ์ด์ฐจ ๋ฐฉ์ ์ $$(x-3)^2 - (x-8)^2 \ge 0$$์ ์ป์ ํ ์ ๊ฐํ๋ ๋์ , $(x-3)^2$์ ์์ง์ ์์ $x$์์ 3๊น์ง์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ ์ ๊ณฑ์ด๊ณ , $(x-8)^2$์ $x$์์ 8๊น์ง์ ๊ฑฐ๋ฆฌ์ ์ ๊ณฑ์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $(x-3)^2-(x-8)^2\ge 0$์ $x$๊ฐ 3๋ณด๋ค 8์ ๋ ๊ฐ๊น์ธ ๋ ์ฐธ์ด๋ฉฐ, ์ด๋ $x\ge \frac{8+3}{2} = \boxed{\frac{11}{2}}$์ผ ๋๋ง ์ฐธ์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ์๋ ํจ์ $f(x)$๊ฐ ์์ต๋๋ค. \[f(x) =
\begin{cases}
3x + 5 &\text{if }x<-3, \\
7-4x&\text{if }x\ge -3.
\end{cases}
\] $f(-10)$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | $-10 < -3$ ์ด๋ฏ๋ก, ์ฒซ ๋ฒ์งธ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ฌ $f(-10)$์ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค. $f(-10) = 3(-10) + 5 = \boxed{-25}$ ์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
$A$, $B$, $C$๊ฐ ์์ ์ ์์ด๊ณ $\frac{A\sqrt{B}}{C} = \frac{9}{2\sqrt{3}}$ ์ผ ๋, $A$์ $C$๋ ์๋ก์์ด๊ณ $B$๋ 1 ์ด์ธ์ ์์ ์ ๊ณฑ์ ์ธ์๋ฅผ ๊ฐ์ง์ง ์๋๋ค๊ณ ํฉ๋๋ค. ์ด๋ $A+B+C$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ฃผ์ด์ง ๋ฐฉ์ ์์ ์ฐ๋ณ์ ๋ถ๋ชจ์ ๋ถ์์ $\sqrt{3}$์ ๊ณฑํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \[\frac{A\sqrt{B}}{C}=\frac{9}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\] ๋ฐ๋ผ์ $A=3$, $B=3$, $C=2$ ์ด๋ฏ๋ก $A+B+C=3+3+2=\boxed{8}$ ์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
ํธ๋ฆฌํฌ(treek) 10๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ๋ ์คํด๊ทธ(squig) 3๊ฐ์ ๊ตฌ๋ฆฌ(goolee) 1๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. ํธ๋ฆฌํฌ 2๊ฐ์ ๊ตฌ๋ฆฌ 1๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ๋ ์คํด๊ทธ 1๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. ์คํด๊ทธ 1๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ๋ ํธ๋ฆฌํฌ ๋ช ๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ์ ๊ฐ์ต๋๊น? | ํธ๋ฆฌํฌ ํ๋์ ๋ฌด๊ฒ๋ฅผ $t$, ์คํด๊ทธ ํ๋์ ๋ฌด๊ฒ๋ฅผ $s$, ๊ตฌ๋ฆฌ ํ๋์ ๋ฌด๊ฒ๋ฅผ $g$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ์ฃผ์ด์ง ์ ๋ณด์ ๋ฐ๋ผ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์์ ์ธ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. \begin{align*}
10t &=3s+g\\
2t +g &= s.
\end{align*} $s$๋ฅผ $t$๋ก ๋ํ๋ด๊ธฐ ์ํด $g$๋ฅผ ์๊ฑฐํด์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ ์์ ๋ํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
10t+2t+g &= 3s+g+s\\
\Rightarrow 10t+2t &= 3s+s\\
\Rightarrow 4s &= 12t\\
\Rightarrow s &=3t.
\end{align*} ๋ฐ๋ผ์ ์คํด๊ทธ ํ๋์ ๋ฌด๊ฒ๋ ํธ๋ฆฌํฌ $\boxed{3}$๊ฐ์ ๋ฌด๊ฒ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
8 ์ก๋ ์จ์ค ๋ณ์ ๋ด๊ธด ๋นํ๋ฏผ ์ํฐ์๋ 125 ์นผ๋ก๋ฆฌ๊ฐ ์์ต๋๋ค. 12 ์ก๋ ์จ์ค ๋ณ์๋ ๋ช ์นผ๋ก๋ฆฌ๊ฐ ์์ต๋๊น? ๋ต์ ์์๋ก ๋ํ๋ด์ญ์์ค. | 8 ์ก๋ ์จ์ค์ ๋นํ๋ฏผ ์ํฐ์ 125 ์นผ๋ก๋ฆฌ๊ฐ ์๋ค๋ ๊ฒ์ ์๊ณ ์์ผ๋ฏ๋ก, 12 ์ก๋ ์จ์ค ๋ณ์ ์๋ ์นผ๋ก๋ฆฌ์ ์์ $x$๋ผ๊ณ ํ๋ฉด $\frac{125}{8}=\frac{x}{12}$๋ผ๋ ๋น๋ก์์ ์ธ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. $x$์ ๋ํด ํ๋ฉด $x=\left(\frac{125}{8}\right)(12)=\boxed{187.5}$ ์นผ๋ก๋ฆฌ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
๋คํญ์ $x^2 - mx + n$์ ๊ทผ์ด (๋ฐ๋์ ์๋ก ๋ค๋ฅผ ํ์๋ ์๋) ์์ ์์๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค. $m < 20$์ผ ๋, ๊ฐ๋ฅํ $n$์ ๊ฐ์ ๋ช ๊ฐ์
๋๊น? | $p$์ $q$๋ฅผ ์์ ๊ทผ์ด๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $m = p+q$์ด๊ณ $n = pq$์
๋๋ค. $m < 20$์ด๋ฏ๋ก ์์ $p$์ $q$๋ ๋ชจ๋ $20$๋ณด๋ค ์์์ผ ํฉ๋๋ค.
$20$๋ณด๋ค ์์ ์์๋ $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ $17,$ $19$์
๋๋ค. ์ด์ $p + q < 20$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ ๋ชจ๋ ๊ฐ๋ฅํ ์ $(p, q)$๋ฅผ ๋์ดํฉ๋๋ค. $p=q$์ธ ๊ฒฝ์ฐ๋ ํฌํจํด์ผ ํฉ๋๋ค. \[\begin{aligned} & (2,2),(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17) \\
&(3,3),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13) \\
&(5,5),(5,7),(5,11),(5,13) \\
&(7,7),(7,11) \end{aligned}\]์ด $7 + 5 + 4 + 2 = 18$๊ฐ์ ์์ด ์์ต๋๋ค. ๊ฐ ์์ $n$์ ๊ฐ์ ์์ฑํ๋ฉฐ, ๋ชจ๋ ์์ ์ ์๋ ๊ณ ์ ํ ์์ธ์๋ถํด๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ฏ๋ก ์ด ๊ฐ๋ค์ ๋ชจ๋ ๋ค๋ฆ
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $n$์ ๊ฐ๋ฅํ ๊ฐ์ $\boxed{18}$๊ฐ์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
Mike๋ 3๋
์ ์ ์ฐํ๋ฅผ 1.25๋ฌ๋ฌ์ ์์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ ๋ฐฉ๊ธ ๊ทธ ์ฐํ์ ๋ํด ๋ ๋ฐฐ์ ๊ธ์ก์ ์ ์๋ฐ์์ต๋๋ค. ์ฐํ์ ์ ์ ๊ฐ๊ฒฉ์ด 3๋
๋ง๋ค ๋ ๋ฐฐ๊ฐ ๋๋ค๊ณ ๊ฐ์ ํ ๋, 12๋
ํ์๋ ๋ช ๋ฌ๋ฌ๋ฅผ ์ ์๋ฐ๊ฒ ๋ ๊น์? | ํ์ฌ ์ฐํ์ ๊ฐ์น๋ $2.50์
๋๋ค. 12๋
์ 3๋
์ฉ ๋ค ๋ฒ์ ๊ธฐ๊ฐ์ด๋ฏ๋ก, 12๋
ํ ์ฐํ์ ๊ฐ์น๋ ํ์ฌ ๊ฐ์น์ $2^4=16$๋ฐฐ๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $16(\$2.50)=\boxed{\$40}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$(17^6-17^5)\div16=17^x$ ๋ฐฉ์ ์์์ $x$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๊ดํธ ์์ ๋ ํญ์์ $17^5$๋ฅผ ์ธ์๋ถํดํ๋ฉด $17^5(17-1)\div16=17^5$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $x=\boxed{5}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
์ผ์ ํ ์จ๋์์ ๊ธฐ์ฒด ์ํ์ ์๋ ฅ์ ๋ถํผ์ ๋ฐ๋น๋กํฉ๋๋ค. 3.67๋ฆฌํฐ ์ฉ๊ธฐ์ 4kPa์ ์๋ ฅ์ผ๋ก ์์๊ฐ ์์ต๋๋ค. ๊ฐ์ ์จ๋์์ ์ด ์์๋ฅผ ๋ชจ๋ 1.835๋ฆฌํฐ ์ฉ๊ธฐ๋ก ์ฎ๊ธฐ๋ฉด ์๋ก์ด ์๋ ฅ์ ๋ช kPa๊ฐ ๋ ๊น์? | ์์์ ์๋ ฅ $p$์ ๋ถํผ $v$๋ ๋ฐ๋น๋กํ๋ฏ๋ก, ์ด๋ค ์์ $k$์ ๋ํด $pv=k$์
๋๋ค. ์ฒซ ๋ฒ์งธ ์ฉ๊ธฐ์์ $k=3.67\cdot4=14.68$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ 1.835๋ฆฌํฐ ์ฉ๊ธฐ๋ก ์ฎ๊ธฐ๋ฉด $1.835p=14.68$์ด๋ฏ๋ก $p=\boxed{8}$ kPa์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$a= 5$์ผ ๋, $a^3\cdot a^2$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์์ค. | ์ฃผ์ด์ง ์์ $a^{3+2}=a^5$์ ๊ฐ์ต๋๋ค. $a$์ ๊ฐ์ ๋์
ํ๋ฉด, ์์ $5^5=\boxed{3125}$๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
ํจ์ $f(x) = \sqrt{x^2}$์ ์น์ญ์ ๊ตฌํ์์ค. | $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ($x$๊ฐ ์์์ผ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก $f(x) \not = x$์
๋๋ค.) $|x|$๋ ๋ชจ๋ ์์ด ์๋ ๊ฐ์ ๊ฐ์ง๋ฏ๋ก, ์น์ญ์ $\boxed{[0,\infty)}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$(2x+5)(x-3)=14$์ผ ๋, ๊ฐ๋ฅํ $x$ ๊ฐ๋ค์ ํฉ์ ๊ตฌํ์์ค. | ์ฃผ์ด์ง ๋ฐฉ์ ์์ ์ข๋ณ์ ์ ๊ฐํ๋ฉด $2x^2-x-15=14 \Rightarrow 2x^2-x-29=0$์
๋๋ค. $ax^2+bx+c=0$ ํํ์ ์ด์ฐจ๋ฐฉ์ ์์์ ๊ทผ์ ํฉ์ $-b/a$์ด๋ฏ๋ก, ์ฃผ์ด์ง ๋ฐฉ์ ์์ ๊ทผ์ ํฉ์ $1/2=\boxed{.5}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ฐฉ์ ์ $x^2-7x+c=0$์ ๊ทผ์ด ์ค์์ด๊ณ ์ ๋ฆฌ์์ผ ๋, ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ์์ ์ ์ $c$ ๊ฐ์ ๊ตฌํ๊ณ , ๋ด๋ฆผ์ฐจ์์ผ๋ก ์ผํ๋ก ๊ตฌ๋ถํ์ฌ ๋ํ๋ด์์ค. | ๊ทผ์ด ์ค์์ด๊ณ ์ ๋ฆฌ์๊ฐ ๋๋ ค๋ฉด ํ๋ณ์์ด ์์ ์ ๊ณฑ์์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot c = 49-4c$๋ ์์ ์ ๊ณฑ์์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. 49๋ณด๋ค ์์ ์์ ์์ ์ ๊ณฑ์๋ 1, 4, 9, 16, 25, 36์
๋๋ค. $c$๊ฐ ์ ์๊ฐ ๋๋ ์์ ์ ๊ณฑ์๋ 1, 9, 25์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $49-4c=1$, $49-4c=9$, $49-4c=25$๋ผ๋ ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ต๋๋ค. ์ด๋ฅผ ํ๋ฉด, ์์ ์ ์ $c$ ๊ฐ์ $\boxed{12, 10, 6}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$a$์ $b$๊ฐ ๋ฐฉ์ ์ $x^{2} - 5x + 9= 0$์ ํด์ผ ๋, $(a - 1)(b - 1)$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ด์ฐจ๋ฐฉ์ ์์ ๊ทผ์ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ๋ฐฉ์ ์์ ๊ทผ์ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - (4)(1)(9)}}{2} = \frac{5 \pm i\sqrt{11}}{2}.$$ $(a - 1)(b - 1)$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ๊ณ ์ ํฉ๋๋ค. ์ด๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
\left(\frac{5 + i\sqrt{11}}{2} - 1\right)\left(\frac{5 - i\sqrt{11}}{2} - 1\right) &= \left(\frac{3 + i\sqrt{11}}{2}\right)\left(\frac{3 - i\sqrt{11}}{2}\right) \\
&= \frac{9 + 11}{4}\\
&= \boxed{5}
\end{align*}
$$\text{- ๋๋ -}$$
$(a - 1)(b - 1) = ab - (a + b) + 1$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ๊ณ ์ ํฉ๋๋ค. $a$์ $b$๊ฐ ์ด ์ด์ฐจ๋ฐฉ์ ์์ ๊ทผ์ด๋ฉด, ๋น์ํ์ ๊ณต์์ ์ํด $ab = 9$์ด๊ณ $a + b = 5$์
๋๋ค. ์ด ๊ฐ๋ค์ ๋์
ํ๋ฉด $(a - 1)(b - 1) = 9 - 5 + 1 = \boxed{5}$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
๋ฐฉ์ ์ $x^2+bx+48=0$์ ๋ ๊ทผ์ ๋น๊ฐ $b$์ ์ด๋ค ๊ฐ์ ๋ํด 3:1์
๋๋ค. $b$์ ์ต๋๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ด ๋ฌธ์ ์์๋ ๊ทผ๊ณผ ๊ณ์์ ๊ด๊ณ๋ฅผ ์ด์ฉํฉ๋๋ค.
๋ฐฉ์ ์์ ๋ ๊ทผ์ $\alpha$์ $\beta$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. $\alpha\beta = 48$์ด๊ณ $\alpha/\beta = 3$์ด๋ฏ๋ก $\alpha = 3\beta$์
๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ $ b = -\alpha - \beta = -4\beta$์
๋๋ค. $b$๋ฅผ ์ต๋ํํ๋ ค๋ฉด $\beta$๋ฅผ ์์์ด๊ณ ๊ฐ๋ฅํ ํ ํฌ๊ฒ ๋ง๋ค์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $\alpha = 3\beta$์ด๊ณ $\alpha*\beta = 48$๋ผ๋ ๊ด๊ณ๊ฐ ์ฃผ์ด์ง๋ฉด $\beta = 4$ ๋๋ $-4$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. $-4$์ผ ๋ $b$๊ฐ ์ต๋ํ๋๊ณ , $b = \boxed{16}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๊นํธ 8ํ์ด๋์ ๊ธ 2์จ์ค์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ด 932๋ฌ๋ฌ์
๋๋ค. ๊นํธ 14ํ์ด๋์ ๊ธ 3์จ์ค์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ด 1402๋ฌ๋ฌ์
๋๋ค. ๊นํธ 5ํ์ด๋์ ๊ธ 5์จ์ค์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ผ๋ง์
๋๊น? | ๊นํธ 1ํ์ด๋์ ๊ฐ๊ฒฉ์ $f$, ๊ธ 1์จ์ค์ ๊ฐ๊ฒฉ์ $g$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์ฐ๋ฆฝ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ต๋๋ค. \begin{align*}
8f+2g&=932 \\
14f+3g&=1402
\end{align*}์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ $g$์ ๋ํด ํ๋ฉด $g=466-4f$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. ์ด๋ฅผ ๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ ๋์
ํ์ฌ \[
14f+3(466-4f)=1402
\]๋ฅผ ํ๋ฉด $f=2$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. $g=466-4f$์ ๋์
ํ๋ฉด $g=458$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊นํธ 5ํ์ด๋์ ๊ธ 5์จ์ค์ ๊ฐ๊ฒฉ์ $5(f+g)=\boxed{2300}$๋ฌ๋ฌ์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
๋ฐฉ์ ์ $x^2 + 8x + y^2 - 6y = 0$์ ๊ฐ์ง๋ ์์ ๋ฐ์ง๋ฆ์ ๊ตฌํ์์ค. | ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ฐ๊พธ๋ฉด $(x +4)^2 + (y -3)^2 -25 = 0$์
๋๋ค. ํญ์ ์ฌ์ ๋ ฌํ๋ฉด $(x +4)^2 + (y -3)^2 = 25$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๋ฐ์ง๋ฆ์ ์ ๊ณฑ์ 25์ด๋ฏ๋ก ๋ฐ์ง๋ฆ์ $\boxed{5}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
John์ $\{1,2,3,4,5,6\}$์ ๋ ์์๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ง 15๊ฐ์ ๋ถ๋ถ์งํฉ ๊ฐ๊ฐ์ ์์์ ํฉ์ ๊ณ์ฐํฉ๋๋ค. ์ด 15๊ฐ์ ํฉ์ ์ดํฉ์ ์ผ๋ง์
๋๊น? | $\{1,2,3,4,5,6\}$์ ๋ ์์๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ง ๋ถ๋ถ์งํฉ๋ค ์ค์์, $\{1,2,3,4,5,6\}$์ ๊ฐ ์์๋ ๋ค๋ฅธ ๋ชจ๋ ์์์ ํ ๋ฒ์ฉ ๊ฐ์ ๋ถ๋ถ์งํฉ์ ์ํ๋ฏ๋ก 5๋ฒ์ฉ ๋ํ๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ตฌํ๋ ํฉ์ $5(1+2+3+4+5+6)=5\left(\frac{6\cdot7}{2}\right)=\boxed{105}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
ํ์ ๋ํ๋ ์ $(x, y)$์ ์ง์ ์์ ์์ต๋๋ค. ์ $(13, q)$๋ ๊ฐ์ ์ง์ ์์ ์์ต๋๋ค. $p + q$์ ๊ฐ์ ์ผ๋ง์
๋๊น? ๋ต์ ์์์ ์ฒซ์งธ ์๋ฆฌ๊น์ง ๋ํ๋ด์ญ์์ค. $$\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
2 & -5 \\
p & -14 \\
p+2 & -17 \\
\end{array}$$ | ์ง์ ์์ ๋ ์ $(x_1,y_1)$๊ณผ $(x_2,y_2)$์ด ์ฃผ์ด์ก์ ๋, ์ง์ ์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๋ $\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์ฃผ์ด์ง ์ง์ ์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๋ $\dfrac{(-5)-(-14)}{2-p}=\dfrac{9}{2-p}$์ด๊ณ , ๋ํ $\dfrac{(-14)-(-17)}{p-(p+2)}=\dfrac{3}{-2}$์
๋๋ค. ์ด ๋ ๊ฐ์ ๊ฐ๋ค๊ณ ๋์ผ๋ฉด $$\dfrac{9}{2-p}=-\dfrac{3}{2}$$์
๋๋ค. ์๋ณ์ ๋ถ๋ชจ์ ๊ณฑ์ ๊ณฑํ๊ณ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด \begin{align*}
(2-p)(3)&=(-2)(9)\\
6-3p&=-18 \\
p&=8
\end{align*}์
๋๋ค. ์ด์ $q$๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค. ์์ ๊ฐ์ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด \begin{align*}
\frac{q-(-5)}{13-2}&=\frac{3}{-2} \\
(11)(3)&=(-2)(q+5)\\
33&=-2q-10 \\
q&=-21.5
\end{align*}์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $p+q=8+(-21.5)=\boxed{-13.5}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
๋ฑ๋น์์ด $\frac{125}{9}, \frac{25}{3}, 5, 3, \ldots$์ ์๊ฐํด ๋ด
์๋ค. ์ด ์์ด์ ์ฌ๋ ๋ฒ์งธ ํญ์ ๋ฌด์์
๋๊น? ๋ต์ ๊ธฐ์ฝ๋ถ์๋ก ๋ํ๋ด์ญ์์ค. | ์ฐ์๋ ํญ ์ฌ์ด์ ๊ณต๋น๋ $\frac{3}{5}$์
๋๋ค (์ฐ์๋ ๋ ํญ์ ์ ํํ๊ณ ๋ ๋ฒ์งธ ํญ์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํญ์ผ๋ก ๋๋์ด ๊ณต๋น๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค). ๋ฐ๋ผ์ ์์ด์ $n$๋ฒ์งธ ํญ์ $\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{n-1}$์
๋๋ค. $n=8$์ ๋์
ํ๋ฉด $$
\frac{125}{9} \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^{7} = \frac{5^3}{3^2} \cdot \frac{3^7}{5^7}
= \frac{3^5}{5^4}
= \boxed{\frac{243}{625}}
$$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$9^{18n}=27^{24}$์ด๋ฉด $n$์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ๋ฐฉ์ ์์ ์๋ณ์ ๋ฐ์ด 3์ธ ๊ฑฐ๋ญ์ ๊ณฑ์ผ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด $(3^2)^{18n}=(3^3)^{24}$ ๋๋ $3^{36n}=3^{72}$์
๋๋ค. ์ง์๋ฅผ ๊ฐ๊ฒ ๋์ผ๋ฉด $36n=72$ ๋๋ $n=\frac{72}{36}=\boxed{2}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$-4<x^{4}+4x^{2}<21$์ ๋ง์กฑํ๋ ์ค์ $x$๋ ๋ฌด์์
๋๊น? ๋ต์ ๊ตฌ๊ฐ ํ๊ธฐ๋ฒ์ผ๋ก ๋ํ๋ด์ญ์์ค. | ๋จผ์ $y=x^{2}$๋ผ๊ณ ์ ์ํฉ์๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ์ด ๊ฐ์ ๋ถ๋ฑ์์ ๋์
ํ๊ณ $-4$, $x^4+4x^2$, ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ 21์ 4๋ฅผ ๋ํ๋ฉด $$0<y^{2}+4y+4<25$$์
๋๋ค. $y^2+4y+4$๋ฅผ ์ธ์๋ถํดํ๋ฉด $$0<(y+2)^{2}<25$$์
๋๋ค. ์ ๊ณฑ๊ทผ์ ์ทจํ๋ฉด $0<|y+2|<5$์ด๊ณ , ์ด๋ $y$์ ํด์ ๋ํด ๋ ๊ตฌ๊ฐ $-2<y<3$ ๋๋ $-7<y<-2$๋ฅผ ์ ๊ณตํฉ๋๋ค.
๊ทธ๋ฌ๋ $y=x^{2}$์ด๋ฏ๋ก $y$๋ ์์๊ฐ ์๋์ด์ผ ํ๋ฏ๋ก $0\leq y<3$์
๋๋ค. ์ฆ, $-\sqrt{3}< x<\sqrt{3}$๊ฐ ์๋ ๋ถ๋ฑ์์ ๋ง์กฑํฉ๋๋ค. ๊ตฌ๊ฐ ํ๊ธฐ๋ฒ์ผ๋ก๋ $\boxed{(-\sqrt{3}, \sqrt{3})}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}$์ $\dfrac{a\sqrt{2} + b\sqrt{3}}{c}$ ํํ๋ก ์ฐ๊ณ , $a$, $b$, $c$๋ ์์ ์ ์์ด๊ณ $c$๋ ๊ฐ๋ฅํ ํ ์๋ค๊ณ ํ ๋, $a+b+c$๋ ์ผ๋ง์
๋๊น? | ์ํ๋ ๊ณตํต ๋ถ๋ชจ๋ $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{6}$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์ด ์์ $\frac{\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3})+1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$์ด ๋ฉ๋๋ค. ์ด๋ฅผ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{2}+3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$์
๋๋ค. ์ ๋ฆฌํํ๊ธฐ ์ํด ๋ถ์์ ๋ถ๋ชจ์ $\sqrt{6}$์ ๊ณฑํ๋ฉด $\frac{4\sqrt{2}\sqrt{6}+3\sqrt{3}\sqrt{6}}{6}$์
๋๋ค. ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด ${\frac{9\sqrt{2}+8\sqrt{3}}{6}}$์ด๋ฏ๋ก ์ํ๋ ํฉ์ $9+8+6=\boxed{23}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$(x,y)$๋ฅผ ๋ฐฉ์ ์ $x^2+y^2=14x+48y$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ ์ค์ ์์์์ด๋ผ๊ณ ํฉ์๋ค. $y$์ ์ต๋๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋ชจ๋ ํญ์ ์ข๋ณ์ผ๋ก ์ฎ๊ธฐ๋ฉด $x^2-14x+y^2-48y=0$์ด๋ผ๋ ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ต๋๋ค. $x$์ ๋ํ ์ด์ฐจ์์ ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ง๋ค๊ธฐ ์ํด ์๋ณ์ $(14/2)^2=49$๋ฅผ ๋ํฉ๋๋ค. $y$์ ๋ํ ์ด์ฐจ์์ ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ง๋ค๊ธฐ ์ํด ์๋ณ์ $(48/2)^2=576$์ ๋ํฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด \[(x^2-14x+49)+(y^2-48y+576)=625 \Rightarrow (x-7)^2+(y-24)^2=625\]๋ผ๋ ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ต๋๋ค. ๋ค์ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด $(y-24)^2=625-(x-7)^2$์
๋๋ค. ์ ๊ณฑ๊ทผ์ ์ทจํ๊ณ $y$์ ๋ํด ํ๋ฉด $y=\pm \sqrt{625-(x-7)^2}+24$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. $\sqrt{625-(x-7)^2}$๋ ํญ์ ์์๊ฐ ์๋๋ฏ๋ก $y$์ ์ต๋๊ฐ์ ์ ๊ณฑ๊ทผ ์์ ์์ ๋ถํธ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ ๋ ์ป์ด์ง๋๋ค. ์ด์ ์ ๊ณฑ๊ทผ์ ๊ฐ๋ฅํ ์ต๋๊ฐ์ ์ํฉ๋๋ค. ์ฆ, $625-(x-7)^2$๋ฅผ ์ต๋ํํ๋ ค๊ณ ํฉ๋๋ค. $(x-7)^2$๋ ํญ์ ์์๊ฐ ์๋๋ฏ๋ก $625-(x-7)^2$๋ $(x-7)^2=0$์ผ ๋, ์ฆ $x=7$์ผ ๋ ์ต๋ํ๋ฉ๋๋ค. ์ด๋ $625-(x-7)^2=625$์ด๊ณ $y=\sqrt{625}+24=49$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $y$์ ์ต๋๊ฐ์ $\boxed{49}$์
๋๋ค.
--๋๋--
์์ ํ์ด์ ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก ์์ ์ ๊ณฑ์์ ๋ง๋ค์ด $(x-7)^2+(y-24)^2=625$๋ผ๋ ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์ ์ ์์ต๋๋ค. ์ด ๋ฐฉ์ ์์ ์ค์ฌ์ด $(7,24)$์ด๊ณ ๋ฐ์ง๋ฆ์ด $\sqrt{625}=25$์ธ ์์ ๋ํ๋
๋๋ค. $y$์ ์ต๋๊ฐ์ ์์ ๋งจ ์์ ์๋ ์ $(7,24+25)=(7,49)$์์ ์ป์ด์ง๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $y$์ ์ต๋๊ฐ์ $\boxed{49}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8)$์ ์ ๊ฐํ์ญ์์ค. | ๋ถ๋ฐฐ๋ฒ์น์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด \begin{align*}
&(2x^5 + 3x^2)(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^5(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) + 3x^2(x^4 - 4x^2 + 3x - 8) \\
&\qquad= 2x^9 - 8x^7 + 6x^6 - 16x^5 + 3x^6 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2 \\
&\qquad= \boxed{2x^9 - 8x^7 + 9x^6 - 16x^5 - 12x^4 + 9x^3 - 24x^2}
\end{align*}์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$m$์ด ์ค์์ด๊ณ $2x^2+mx+8$์ด ์๋ก ๋ค๋ฅธ ๋ ์ค๊ทผ์ ๊ฐ์ง ๋, $m$์ ๊ฐ๋ฅํ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? ๊ตฌ๊ฐ ํ๊ธฐ๋ฒ์ผ๋ก ๋ต์ ํํํ์ญ์์ค. | $ax^2+bx+c$์ ๊ทผ์ ๋ํ ์ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ๋ฉด, ํ๋ณ์ $b^2-4ac$๊ฐ ์์์ผ ๋๋ง ๊ทผ์ด ์ค์์ด๊ณ ์๋ก ๋ค๋ฆ์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $2x^2+mx+8$์ ๊ทผ์ $m^2-4(2)(8) > 0$์ผ ๋ ์ค์์ด๊ณ ์๋ก ๋ค๋ฆ
๋๋ค. ์ข๋ณ์ ๊ฐ๋จํ ํ๊ณ ์ธ์๋ถํดํ๋ฉด $(m-8)(m+8) > 0$์ด ๋๊ณ , ์ด๋ $m\in \boxed{(-\infty,-8)\cup (8,\infty)}$์์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
์ $(a, b)$์ ๋ฐฉ์ ์ $3x + 2y = 12$๋ฅผ ๊ฐ์ง๋ ์ง์ ์์ ์์ต๋๋ค. $a = 4$์ผ ๋, $b$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $x = 4$๋ฅผ ๋์
ํฉ๋๋ค: \begin{align*}
3(4) + 2y &= 12\\
12 + 2y &= 12\\
y &= 0.
\end{align*}
๋ฐ๋ผ์, $b = \boxed{0}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
$|x-1| = 7$์ ๋ง์กฑํ๋ ๋ชจ๋ $x$ ๊ฐ์ ํฉ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | $x-1 = 7$ ๋๋ $x-1=-7$์ด์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $x-1=7$์ด๋ฉด $x=8$์ด๊ณ , $x-1 = -7$์ด๋ฉด $x= -6$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ๋ฅํ $x$ ๊ฐ์ ํฉ์ $8+(-6) = \boxed{2}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
ํ ์์ ์์ ์ด๋ค ์ฑ
์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ ํ๋ ค๊ณ ํฉ๋๋ค. ์กฐ์ฌ ๊ฒฐ๊ณผ, ์ฑ
์ ๊ฐ๊ฒฉ์ด $p$ ๋ฌ๋ฌ($p \le 32$)์ด๋ฉด ์๋ณ ํ๋งค๋์ $128-4p$๋ผ๋ ๊ฒ์ ์๊ฒ ๋์์ต๋๋ค. ์์ ์ ์์ต์ ์ต๋ํํ๊ธฐ ์ํด ์ฑ
์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ผ๋ง๋ก ์ฑ
์ ํด์ผ ํฉ๋๊น? | ์์ ์ ์์ต์ ํ๋งค๋ ์ฑ
์ ์ $\times$ ๊ฐ ์ฑ
์ ๊ฐ๊ฒฉ, ์ฆ $p(128-4p)=128p-4p^2$๋ก ์ฃผ์ด์ง๋๋ค. ์ด ์์ ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ง๋ค์ด ์ต๋๊ฐ์ ๊ตฌํ๋ ค๊ณ ํฉ๋๋ค. $-4$๋ฅผ ๋ฌถ์ด๋ด๋ฉด $-4(p^2-32p)$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค.
์์ ์ ๊ณฑ์์ ๋ง๋ค๊ธฐ ์ํด ๊ดํธ ์์ $(32/2)^2=256$์ ๋ํ๊ณ ๋ฐ์ $-4\cdot256=-1024$๋ฅผ ๋บ๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ๋ค์ ์์ด ๋จ์ต๋๋ค.
\[-4(p^2-32p+256)+1024=-4(p-16)^2+1024.\]$-4(p-16)^2$ ํญ์ ์์ ์ ๊ณฑ์์ด ํญ์ 0 ์ด์์ด๋ฏ๋ก ํญ์ 0 ์ดํ์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์์ต์ $-4(p-16)^2$๊ฐ 0์ผ ๋, ์ฆ $p=16$์ผ ๋ ์ต๋๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์์ ์ ์ฑ
๊ฐ๊ฒฉ์ $\boxed{16}$ ๋ฌ๋ฌ๋ก ์ฑ
์ ํด์ผ ํฉ๋๋ค.
๋๋, $p(128-4p)$์ ๊ทผ์ด 0๊ณผ 32์ด๋ฏ๋ก ๋์นญ์ฑ์ ์ํด $p=16$์์ ๊ทน๊ฐ์ ๊ฐ์ง๋๋ค. $p^2$์ ๊ณ์๊ฐ ์์์ด๋ฏ๋ก ์ด ๊ฐ์ ์ต๋๊ฐ์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$w$์ ๋ํด ํ๊ณ ๊ธฐ์ฝ๋ถ์๋ก ๋ํ๋ด์ญ์์ค: $\frac{1\frac16}w=\frac{42}3$. | ์ข๋ณ์ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด \[\frac{1\frac16}{w} = \frac{\frac{7}{6}}{w} = \frac{7}{6}\cdot\frac1w = \frac{7}{6w}\] ์ด๋ฏ๋ก ๋ฐฉ์ ์์ \[\frac{7}{6w} = \frac{42}{3} = 14\]์
๋๋ค. ์๋ณ์ $6w$๋ฅผ ๊ณฑํ๋ฉด $7=14(6w)$์
๋๋ค. ์๋ณ์ 7๋ก ๋๋๋ฉด $1=2(6w)$์ด๊ณ , ์๋ณ์ 12๋ก ๋๋๋ฉด $w = \boxed{\frac{1}{12}}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
$(1+2i)6-3i$๋ฅผ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | 6์ ๋ถ๋ฐฐํ๊ณ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด $(1+2i)6-3i=6+12i-3i=\boxed{6+9i}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$\frac{4a+3b}{a-2b}=5$์ผ ๋, $\frac{a+11b}{a-b}$์ ๊ฐ๋จํ ์์น๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ฃผ์ด์ง ์กฐ๊ฑด์ ์กฐ๊ธ ๋ณํํด ๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค. ๋ถ๋ชจ๋ฅผ ์์ ๋ฉด $4a+3b=5(a-2b)=5a-10b$์
๋๋ค. ์๋ณ์ $9b-4a$๋ฅผ ๋ํ์ฌ ๋๋ฅํญ๋ผ๋ฆฌ ์ ๋ฆฌํ๋ฉด $12b=a-b$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. ์ด๋ $\dfrac{12b}{a-b}=1$์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.
์ด์ $\dfrac{a+11b}{a-b}$๋ฅผ ๊ตฌํ๋ ค๊ณ ํฉ๋๋ค. ์ด ์์ $\dfrac{a-b+12b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}+\dfrac{12b}{a-b}=1+1=\boxed{2}$๋ก ๋ค์ ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๋ต์ 2์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$i^2 = -1$์ผ ๋, $(2-2i)(5+5i)$๋ฅผ ๊ฐ๋จํ ํ์ญ์์ค. | $(2-2i)(5+5i) = 2(5) + 2(5i) -2i(5) -2i(5i) = 10+10i-10i +10 = \boxed{20}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
๋ค์ ์์ ์ธ์๋ถํดํ์ญ์์ค: $7x^2-63$. | ๋ ํญ์์ $7$์ ๋นผ๋ด๋ฉด $7(x^2-9)$์ด ๋ฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ ๋ค์ ๋ ๋ฒ์งธ ์์ ์ ๊ณฑ์ ์ฐจ๋ก ์ธ์๋ถํดํ๋ฉด $\boxed{7(x+3) (x-3)}$๋ผ๋ ๋ต์ ์ป์ต๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$f(y) = y^4 -3y^3 +y - 3$์ด๊ณ $g(y) = y^3 + 7y^2 -2$์ผ ๋, $f(y) + g(y)$๋ฅผ ๊ตฌํ์ญ์์ค. ๋ต์ ์ฐจ์๊ฐ ๊ฐ์ํ๋ ํญ์ ๊ฐ์ง ๋คํญ์์ผ๋ก ์ฐ์ญ์์ค. | $f(y) + g(y) = y^4 -3y^3+y-3 +y^3+7y^2-2$์
๋๋ค. ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด $\boxed{y^4-2y^3+7y^2+y-5}$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
์๋๋ ์ ์์ญ $0\le x\le 18$์์ ์ ์๋ ๋ ํจ์ $f(x)$์ $g(x)$์ ๊ทธ๋ํ์
๋๋ค.
[asy]
import graph; size(8cm); real lsf=0.5; pen dps=linewidth(0.7)+fontsize(10); defaultpen(dps); pen ds=black; real xmin=-1.5,xmax=18.5,ymin=-1.5,ymax=12.5;
pen cqcqcq=rgb(0.75,0.75,0.75);
/*grid*/ pen gs=linewidth(0.7)+cqcqcq+linetype("2 2"); real gx=1,gy=1;
for(real i=ceil(xmin/gx)*gx;i<=floor(xmax/gx)*gx;i+=gx) draw((i,ymin)--(i,ymax),gs); for(real i=ceil(ymin/gy)*gy;i<=floor(ymax/gy)*gy;i+=gy) draw((xmin,i)--(xmax,i),gs);
Label laxis; laxis.p=fontsize(10);
xaxis("",xmin,xmax,Ticks(laxis,Step=2.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true); yaxis("",ymin,ymax,Ticks(laxis,Step=2.0,Size=2,NoZero),Arrows(6),above=true);
draw((0,10)--(2,10)--(8,4)--(10,4)--(18,12),darkgreen+1.5);
draw((0,2)--(6,8)--(10,8)--(12,10)--(18,10),orange+dashed+1.5);
[/asy]
$f(x)$์ ๊ทธ๋ํ๊ฐ ์ ์ ์ฃผํฉ์ ์ ์ด๊ณ $g(x)$์ ๊ทธ๋ํ๊ฐ ์ค์ ๋
น์ ์ ์ผ ๋, $f(x)-g(x)$์ ์ต๋๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $|f(x)-g(x)|$๋ $x$์์ ๋ ๊ทธ๋ํ ์ฌ์ด์ ์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ก ์ธก์ ํ ์ ์์ต๋๋ค. $f(x)>g(x)$์ด๋ฉด $f(x)-g(x)$์ ๋ถํธ๋ ์์์ด๋ฏ๋ก ์ ์ ์ฃผํฉ์ ์ ์ด ์ค์ ๋
น์ ์ ์์ ์๋ ๊ทธ๋ํ ๋ถ๋ถ์ ์ง์คํฉ๋๋ค. ์ด ๊ทธ๋ํ ๋ถ๋ถ์์ ์ฃผํฉ์ ์ ๊ณผ ๋
น์ ์ ์ฌ์ด์ ์ต๋ ์์ง ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ $\boxed{4}$์
๋๋ค ($8$์์ $12$๊น์ง์ ๋ชจ๋ $x$์ ๋ํด). | Level 4 | Algebra |
$f$๊ฐ $(-\infty,\infty)$์์ $(-\infty,\infty)$๋ก์ ๊ฐ์ญ ํจ์๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค. $f(f(x))=x$์ด๋ฉด $f(x)-f^{-1}(x)$๋ฅผ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ๋ฐฉ์ ์ $f(f(x)) = x$์ ์๋ณ์ $f^{-1}$์ ์ ์ฉํ๋ฉด $f^{-1}(f(f(x))) = f^{-1}(x)$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. ์ญํจ์์ ์ ์์ ๋ฐ๋ผ $f^{-1}(f(x)) = x$์ด๋ฏ๋ก $f^{-1}(f(f(x))) = f(x)$์
๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $f(x) = f^{-1}(x)$์ด๋ฏ๋ก $f(x) - f^{-1}(x) = \boxed{0}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ฑ์ฐจ์์ด $1000, ~987, ~974, ~961, \ldots$ ์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ์์ ์ ์๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ด ๋ฑ์ฐจ์์ด์ ๊ณต์ฐจ๋ $987 - 1000= -13$์ด๋ฏ๋ก ์ด ์์ด์ $n$๋ฒ์งธ ํญ์ $1000 - 13(n - 1) = 1013 - 13n$์
๋๋ค. ์ด ์์ $1013 - 13n > 0$ ๋๋ \[n < \frac{1013}{13} = 77 + \frac{12}{13}\]์ผ ๋๋ง ์์์
๋๋ค. $n$์ ์์ ์ ์์ฌ์ผ ํ๋ฏ๋ก $n \le 77$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์ด ์์ด์์ ๊ฐ์ฅ ์์ ์์ ์ ์๋ $n = 77$์ ํด๋นํ๋ฉฐ, ์ด ๊ฒฝ์ฐ $1013 - 13n = 1013 - 13 \cdot 77 = \boxed{12}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$\log_28\sqrt{2}$๋ฅผ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | $x=\log_28\sqrt{2}$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $2^x = 8\sqrt{2}$์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. $8=2^3$์ด๊ณ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$์ด๋ฏ๋ก $2^x = 2^3\cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $x=\boxed{\frac{7}{2}}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
์ด๋ค ๋์ด๊ณต์์์๋ ํฐ์ผ์ ๋๋์ผ๋ก ๊ตฌ๋งคํ ๊ฒฝ์ฐ ํ ์ธ์ ํด ์ค๋๋ค. ํ ๋ฒ์ 60์ฅ ์ดํ์ ํฐ์ผ์ ๊ตฌ๋งคํ๋ฉด ํฐ์ผ๋น ๊ฐ๊ฒฉ์ $\$70$์
๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ ํ ๋ฒ์ 60์ฅ์ ์ด๊ณผํ๋ ํฐ์ผ์ ๊ตฌ๋งคํ๋ฉด ์ถ๊ฐ๋ก ๊ตฌ๋งคํ๋ ํฐ์ผ๋น ๋ชจ๋ ํฐ์ผ์ ๊ฐ๊ฒฉ์ด $\$1$์ฉ ๊ฐ์ํฉ๋๋ค. $t$๊ฐ ํ ๋ฒ์ ๋๋์ผ๋ก ๊ตฌ๋งคํ ํฐ์ผ ์๋ผ๋ฉด ๋์ด๊ณต์์ ์์ต์ด $\$4200$๋ณด๋ค ๋ง๋๋ก ํ๋ ๊ฐ์ฅ ํฐ $t$๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | ํ ๋ฒ์ ํ๋งค๋๋ ํฐ์ผ ์๋ฅผ $t$๋ผ๊ณ ํ๋ฉด ๋ค์ ๋ถ๋ฑ์์ ์ป์ต๋๋ค. \begin{align*} 4200&<(70-(t-60))(t)
\\4200&<(130-t)(t)
\\4200&<130t-t^2
\\\Rightarrow\qquad t^2-130t+4200&<0
\\\Rightarrow\qquad (t-60)(t-70)&<0
\end{align*} ์ข๋ณ์ ๋ ๊ทผ์ 60๊ณผ 70์ด๋ฏ๋ก ๋ถ๋ฑ์์ ์ด ๋ ์ง์ ์์ ๋ถํธ๊ฐ ๋ฐ๋์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $t<60$์ ๋ํด ๋ถ๋ฑ์์ ๋ ์ธ์๋ ๋ชจ๋ ์์์ด๋ฏ๋ก ์์๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. $60<t<70$์ ๋ํด $t-70$๋ง ์์์ด๋ฏ๋ก ๋ถ๋ฑ์์ ์์์
๋๋ค. ๋ง์ง๋ง์ผ๋ก $t>70$์ ๋ํด ๋ ์ธ์๋ ๋ชจ๋ ์์์ด๋ฏ๋ก ๋ถ๋ฑ์์ ๋ค์ ์์๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $\$4200$๋ณด๋ค ํฐ ์์ต์ ๋ด๋ $t$์ ๋ฒ์๋ $(60,70)$์
๋๋ค. ํ ๋ฒ์ ๊ตฌ๋งคํ๋ ํฐ์ผ ์๋ ์ ์์ฌ์ผ ํ๋ฏ๋ก $\$4200$๋ณด๋ค ํฐ ์์ต์ ๋ด๋ ๊ฐ์ฅ ํฐ ํฐ์ผ ์๋ $t=\boxed{69}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$\log_{\sqrt8}(64\sqrt{8})$๋ฅผ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | $x=\log_{\sqrt8}(64\sqrt{8})$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ์ง์ ํํ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด $64\sqrt8=(\sqrt8)^{x}$์
๋๋ค. $64\sqrt{8}$์ $(\sqrt{8})^5$๋ก ์ธ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก $(\sqrt{8})^5=(\sqrt{8})^x$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $x=\boxed{5}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
ํจ์ $$k(y) = \frac{1}{2y+1}$$์ ์ ์์ญ์ ๋ฌด์์
๋๊น? ๊ตฌ๊ฐ ํ๊ธฐ๋ฒ์ผ๋ก ๋ต์ ํํํ์ญ์์ค. | ๋ถ์ $\frac{1}{2y+1}$์ ๋ถ๋ชจ๊ฐ 0์ธ ๊ฒฝ์ฐ์๋ง ์ ์๋์ง ์์ต๋๋ค. ์ด๋ $y$๊ฐ ๋ฐฉ์ ์ $$2y+1=0$$์ ํด์ธ $y=-\frac 12$์ผ ๋ ๋ฐ์ํฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $k(y)$์ ์ ์์ญ์ $$\boxed{\left(-\infty,-\frac 12\right)\cup \left(-\frac 12,\infty\right)}$$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
1๋ถํฐ 10๊น์ง์ ์ ์ $n$์ ์์๋ก ์ ํํฉ๋๋ค. ์ ํํ $n$์ ๋ํด ๋ฐฉ์ ์ $x(x+5) = -n$์ ์ค์ ํด๊ฐ ์กด์ฌํ์ง ์์ ํ๋ฅ ์ ์ผ๋ง์
๋๊น? ๊ธฐ์ฝ๋ถ์๋ก ๋ต์ ํํํ์ญ์์ค. | ๋จผ์ ๋ฐฉ์ ์์ด ์ค์ ํด๋ฅผ ๊ฐ์ง ์๋๋ก ํ๋ ํด ์งํฉ์ ์ฐพ์ต๋๋ค. ๋ฐฉ์ ์ $x(x+5) = -n$์ $x^2 + 5x + n = 0$์ผ๋ก ์ ๋ฆฌํ๋ ๊ฒ๋ถํฐ ์์ํฉ๋๋ค. ํ๋ณ์ $b^2 - 4ac < 0$์ด๋ฉด ์ค์ ํด๊ฐ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๋ถ๋ฑ์ $25 - 4n < 0$์์ $n$์ ๋ํด ํ์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $4n$์ ๋ํ๊ณ 4๋ก ๋๋๋ฉด $n>6.25$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. 7, 8, 9 ๋๋ 10 ์ค ํ๋๋ฅผ ์ ํํ ํ๋ฅ ์ $\boxed{\frac{2}{5}}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$f(x)$๊ฐ $f(1)=2$, $f(4)=3$, $f(7)=4$๋ฅผ ๋ง์กฑํ๋ ํจ์์ด๊ณ , $f^{-1}(x)$๊ฐ $f(x)$์ ์ญํจ์์ผ ๋, $f^{-1}(f^{-1}(3))$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋จผ์ $f(4)=3$์ด๋ฏ๋ก $f^{-1}(3)=4$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $f^{-1}(f^{-1}(3))=f^{-1}(4)$์
๋๋ค. ์ฌ๊ธฐ์ $f(7)=4$์ด๋ฏ๋ก $f^{-1}(4)=7$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $f^{-1}(f^{-1}(3))=\boxed{7}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$(3-i)(6+2i)$๋ฅผ ๊ฐ๋จํ ํ์ญ์์ค. | $(3-i)(6+2i) = 3(6) + 3(2i) -i(6) -i(2i) = 18+6i-6i +2 = \boxed{20}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$x^2- 14x + 3$์ ์ต์๊ฐ์ ๋ง๋๋ $x$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ฐ๊พธ๋ ๊ฒ๋ถํฐ ์์ํฉ๋๋ค.
\begin{align*}
x^2-14x+3&= x^2-14x +\left(\frac{14}{2}\right)^2 - \left(\frac{14}{2}\right)^2 + 3\\
& = x^2 -14x + 7^2 - 49 + 3\\
&=(x-7)^2 - 46.\end{align*}
์ค์์ ์ ๊ณฑ์ 0 ์ด์์ด๋ฏ๋ก $$(x-7)^2\ge 0$$์ด๊ณ , $(x-7)^2 =0$์ $x=7$์ผ ๋๋ง ์ฑ๋ฆฝํฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $(x-7)^2 - 46$์ $x=\boxed{7}$์ผ ๋ ์ต์๊ฐ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$
\root 3 \of {x \root 3 \of {x \root 3 \of {x \sqrt{x}}}}
$์ ๊ฐ๋จํ ํ์ญ์์ค. ๊ฐ์ฅ ๊ฐ๋จํ ๊ทผํธ ํํ๋ก $x$์ ๋ํ ๋ต์ ํํํ์ญ์์ค. | ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๊ณ์ฐํฉ๋๋ค.
\begin{align*}
\root 3 \of {x \root 3 \of {x \root 3 \of {x\sqrt{x}}}}
&= (x(x(x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \\
&= (x(x(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} \\
&= (x(x \cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}}\\
&= (x(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = (x\cdot x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}
= (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}}=\boxed{\sqrt{x}}.
\end{align*} | Level 4 | Algebra |
$x(x-3)=1$์ ํด๋ $a$, $b$, $c$๊ฐ ์์์ผ ๋ $\frac{a+\sqrt{b}}{c}$์ $\frac{a-\sqrt{b}}{c}$์ ํํ๋ก ๋ํ๋ผ ์ ์์ต๋๋ค. $abc$๋ฅผ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ์ข๋ณ์ ์ ๊ฐํ๊ณ ์๋ณ์์ 1์ ๋นผ๋ฉด $x^2-3x-1=0$์ ์ป์ต๋๋ค. $x^2-3x-1$์ ์ฝ๊ฒ ์ธ์๋ถํด๋์ง ์์ผ๋ฏ๋ก ๊ณ์ 1, $-3$, $-1$์ ๊ทผ์ ๊ณต์์ ๋์
ํฉ๋๋ค.
\[
\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-(4)(1)(-1)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
\]
๋ฐ๋ผ์ $a=3$, $b=13$, $c=2$์ด๋ฏ๋ก $abc=(3)(13)(2)=\boxed{78}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$2x^2 + 13x + 6 = 0$์ ํด์ ์ ๊ณฑ์ ๊ณฑ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋น์ํ์ ๊ณต์์ ์ํด ํด์ ๊ณฑ์ $6/2 = 3$์ด๋ฏ๋ก ํด์ ์ ๊ณฑ์ ๊ณฑ์ $3^2 = \boxed{9}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$a = 8$์ผ ๋, $\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac 13}$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $a^2 = 64$์ด๊ณ $\sqrt[3]{64} = 4$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์, $$\left(16\sqrt[3]{a^2}\right)^{\frac {1}{3}} = \left(16 \times 4\right)^{\frac{1}{3}} = 64^\frac{1}{3} = \boxed{4}$$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
$m$๊ณผ $n$์ด $mn=7$๊ณผ $m+n=8$์ ๋ง์กฑํ ๋, $|m-n|$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋ ๊ฐ์ ๋ณ์์ ๋ ๊ฐ์ ๋ฐฉ์ ์์ด ์ฃผ์ด์ก์ผ๋ฏ๋ก, $m$๊ณผ $n$์ ๊ฐ์ ์ง์ ๊ตฌํ ํ $|m-n|$์ ๊ณ์ฐํ ์ ์์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ ์ด ๋ฐฉ๋ฒ์ ๋ณต์กํ๋ฏ๋ก ๋ค๋ฅธ ์ ๊ทผ๋ฒ์ ์ฐพ์๋ณด๊ฒ ์ต๋๋ค. ๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ ์ ๊ณฑํ๋ฉด $(m+n)^2 = m^2 + 2mn +n^2 = 64$๋ฅผ ์ป์ต๋๋ค. $mn=7$์ด๋ฏ๋ก, $4mn=28$์ ๋นผ๋ฉด $m^2 -2mn + n^2 = (m-n)^2 = 36$์ ์ป์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $m-n=\pm 6$์ด๋ฏ๋ก $|m-n|=\boxed{6}$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
์์ ๊ณผ ๊ทธ๋ํ $y=\frac{1}{2}x^2-9$ ์์ ์ ์ฌ์ด์ ์ต์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ $a$๋ผ๊ณ ํ ๋, $a^2$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ๊ฑฐ๋ฆฌ ๊ณต์์ ์ํด, $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^4-9x^2+81}$์ ์ต์ํํ๋ ๋ฌธ์ ์
๋๋ค. ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก ์ด๋ฌํ ์ต์ํ ๋ฌธ์ ๋ ๋ฏธ์ ๋ถ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ํด๊ฒฐํ์ง๋ง, ๋๋๋ก ์์ ์ ๊ณฑ์์ ์ด์ฉํ๋ ์ต์ ํ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ํจ๊ณผ์ ์ผ ์ ์์ต๋๋ค. ๊ทผํธ ์์์ $\frac{1}{4}$๋ฅผ ๋นผ๋ด๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+x^4-36x^2+324}&=\frac{1}{2}\sqrt{(x^4-32x^2+256)+68} \\
&= \frac{1}{2}\sqrt{(x^2-16)^2+68}
\end{align*} ์ด ๋ง์ง๋ง ์์ ์ ๊ณฑ์ด $0$์ผ ๋, ์ฆ $x^2=16$์ผ ๋ ์ต์๊ฐ์ ๊ฐ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ $\frac{\sqrt{68}}{2}=\sqrt{17}$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ตฌํ๋ ๋ต์ $\sqrt{17}^2 = \boxed{17}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$P$๊ฐ ์ $(5,3)$์ด๊ณ $Q$๊ฐ ์ $(-3,6)$์ผ ๋, $\overline{PQ}$์ ์ค์ ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $\overline{PQ}$์ ์ค์ ์ $\displaystyle \left(\frac{5+(-3)}{2}, \frac{3+6}{2}\right) = \boxed{\left(1,\frac{9}{2}\right)}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
๋ถ๋ชจ๊ฐ $(n+1)$์ธ ์์ ์ง๋ถ์๋ฅผ $n$๋ฒ์งธ ํ์ ์ผ๊ฐํ ๋ชจ์์ผ๋ก ๋ฐฐ์ดํ๋ ํจํด์ ์๊ฐํด ๋ณด์ญ์์ค. 1๋ฒ์งธ ํ๋ถํฐ 4๋ฒ์งธ ํ๊น์ง๋ ์๋์ ๊ฐ์ผ๋ฉฐ, ๊ฐ ํ์ ์ด์ ํ๋ณด๋ค ํญ๋ชฉ์ด ํ๋ ๋ ๋ง์ต๋๋ค. 15๋ฒ์งธ ํ์ ์๋ ๋ถ์์ ํฉ์ ๋ฌด์์
๋๊น?
[asy]
label("$\frac{1}{2}$",(0,0),S);
label("$\frac{1}{3}$",(-5,-5),S);
label("$\frac{2}{3}$",(5,-5),S);
label("$\frac{1}{4}$",(-10,-10),S);
label("$\frac{2}{4}$",(0,-10),S);
label("$\frac{3}{4}$",(10,-10),S);
label("$\frac{1}{5}$",(-15,-15),S);
label("$\frac{2}{5}$",(-5,-15),S);
label("$\frac{3}{5}$",(5,-15),S);
label("$\frac{4}{5}$",(15,-15),S);
dot((0,-22));
dot((0,-20));
dot((0,-24));
[/asy] | $n$๋ฒ์งธ ํ์ ๋ถ์๋ค์ $1/(n + 1)$, $2/(n + 1)$, $\dots$, $n/(n + 1)$์ด๋ฏ๋ก, ๊ทธ ํฉ์ \[\frac{1 + 2 + \dots + n}{n + 1}\]์
๋๋ค. ๋ชจ๋ $n$์ ๋ํด $1 + 2 + \dots + n = n(n + 1)/2$์ด๋ฏ๋ก \[\frac{1 + 2 + \dots + n}{n + 1} = \frac{n}{2}\]์
๋๋ค. ํนํ, 15๋ฒ์งธ ํ์ ์๋ ๋ถ์์ ํฉ์ $\boxed{\frac{15}{2}}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$x^2 + 4x + 5$๋ฅผ $a(x - h)^2 + k$์ ํํ๋ก ๋ํ๋ผ ๋, $h$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์์ ์ ๊ณฑ์์ผ๋ก ๋ณํํฉ๋๋ค. $x + 2$๋ฅผ ์ ๊ณฑํ๋ฉด $x^2 + 4x + 4$๋ฅผ ์ป์ผ๋ฏ๋ก $h = \boxed{-2}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$(x,y) = (3,9)$์ผ ๋, $y^2 - 3xy + 8$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $y^2 -3xy + 8 = 9^2 - 3(3)(9) + 8 = 81 - 81 + 8 = \boxed{8}$์
๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
๋ ์์ ๋น์จ์ด $3:5$์
๋๋ค. ๋ ์ ์ค ์์ ์์์ 4๋ฅผ ๋นผ๊ณ ํฐ ์์ 8์ ๋ํ๋ฉด ์๋ก์ด ๋น์จ์ $2:7$์ด ๋ฉ๋๋ค. 8์ ๋ํ๊ธฐ ์ ์ ๋ ์ ์ค ํฐ ์๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์์ ์๋ฅผ $a$, ํฐ ์๋ฅผ $b$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$์ด๋ฏ๋ก $5a=3b$์
๋๋ค. ๋ํ, $\dfrac{a-4}{b+8}=\dfrac{2}{7}$์ด๋ฏ๋ก ์ธํญ์ ๊ณฑ๊ณผ ๋ดํญ์ ๊ณฑ์ด ๊ฐ๋ค๋ ์ฑ์ง์ ์ด์ฉํ๋ฉด $7(a-4)=2(b+8)$์
๋๋ค. ์ด์ ๋ ๊ฐ์ ์ ํ ๋ฐฉ์ ์์ผ๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ง ์ฐ๋ฆฝ๋ฐฉ์ ์์ ์ป์์ผ๋ฉฐ, ์ด๋ฅผ ํ๋ฉด $a=12$, $b=20$์
๋๋ค. ๋ฌธ์ ์์ $b$์ ๊ฐ์ ๋ฌป๊ณ ์์ผ๋ฏ๋ก, ๋ต์ $\boxed{20}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$j$์ $k$๊ฐ ๋ฐ๋น๋กํ๊ณ $k = 21$์ผ ๋ $j = 16$์ด๋ฉด, $k = 14$์ผ ๋ $j$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋ฐ๋น๋ก์ ์ ์์ ์ํด, $jk=C$ ($C$๋ ์์)์
๋๋ค. ์ฃผ์ด์ง ๊ฐ์ ๋์
ํ๋ฉด $16\cdot 21=336=C$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ์ด $C$ ๊ฐ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ $k=14$์ผ ๋ $j$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค:
\begin{align*}
j\cdot 14&=336\\
\Rightarrow\qquad j&=\frac{336}{14}=\boxed{24}
\end{align*} | Level 2 | Algebra |
$k$์ ์ด๋ค ์คๆฐๅค์ ๋ํด $\frac{13-\sqrt{131}}{4}$๊ฐ $2x^2-13x+k$์ ๊ทผ์ด ๋ฉ๋๊น? | $(13-\sqrt{131})/4$๋ฅผ ๋ฐฉ์ ์์ $x$์ ๋์
ํ ์ ์์ง๋ง, ๊ทผ์ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ๋ ๋น ๋ฅด๊ฒ ํ ์ ์์ต๋๋ค. $2$, $-13$, $k$๋ฅผ ๊ทผ์ ๊ณต์์ ๋์
ํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
\[
\frac{-(-13)\pm\sqrt{(-13)^2-4(2)(k)}}{2(2)}= \frac{13\pm\sqrt{169-8k}}{4}.
\]$(13+\sqrt{169-8k})/4$์ $(13-\sqrt{169-8k})/4$๋ฅผ $(13-\sqrt{131})/4$์ ๊ฐ๋ค๊ณ ๋์ผ๋ฉด, ์ฒซ ๋ฒ์งธ ๊ฒฝ์ฐ์๋ ํด๊ฐ ์๊ณ ๋ ๋ฒ์งธ ๊ฒฝ์ฐ์๋ $169-8k=131$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. ์ด๋ฅผ ํ๋ฉด $k=(169-131)/8=38/8=\boxed{\frac{19}{4}}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$2x(x-10)=-50$์ ๋ง์กฑํ๋ ๋ชจ๋ $x$ ๊ฐ์ ํฉ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋จผ์ ์๋ณ์ 2๋ก ๋๋๋ฉด $x(x-10)=-25$๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ์ข๋ณ์ ์ ๊ฐํ๊ณ ์์ํญ์ ์ฎ๊ธฐ๋ฉด $x^2-10x+25=0$์ด ๋ฉ๋๋ค. ์ด๋ $(x-5)(x-5)$๋ก ์ธ์๋ถํด๋๋ฏ๋ก $x$์ ๊ฐ๋ฅํ ๊ฐ์ $\boxed{5}$๋ฟ์ด๋ฉฐ, ์ด๊ฒ์ด ๋ต์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
ํฌ๋ฌผ์ $ax^2+bx+c$๊ฐ ์ $(-1,0)$, $(0,5)$, $(5,0)$์ ์ง๋ฉ๋๋ค. $100a+10b+c$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ์ $(-1,0)$๊ณผ $(5,0)$์ $y$ ๊ฐ์ด ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก ํฌ๋ฌผ์ ์ ๋์นญ์ถ์ ์ด ๋ ์ ์ฌ์ด์ ์์ด์ผ ํฉ๋๋ค. $-1$๊ณผ $5$์ ์ค๊ฐ $x$ ๊ฐ์ $x=2$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ํฌ๋ฌผ์ ์ ๊ผญ์ง์ ์ ์ด๋ค $k$์ ๋ํด $(2,k)$์ด๊ณ ํฌ๋ฌผ์ ์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ธ ์ ์์ต๋๋ค.
\[a(x-2)^2+k.\]
์ด์ ๊ฐ์ ๋์
ํฉ๋๋ค. ์ $(5,0)$์ ๋์
ํ๋ฉด
\[0=a(5-2)^2+k,\] ๋๋
\[9a+k=0.\]
์ $(0,5)$๋ฅผ ๋์
ํ๋ฉด
\[5=a(0-2)^2+k\] ๋๋
\[4a+k=5.\]
๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์์ ๋นผ๋ฉด
\[(9a+k)-(4a+k)=0-5\]
์ด๋ฏ๋ก $5a=-5$์ด๊ณ $a=-1$์
๋๋ค.
$a=-1$์ด๊ณ $9a+k=0$์ด๋ฏ๋ก $k=9$์ด๊ณ ํฌ๋ฌผ์ ์
\[ax^2+bx+c=-(x-2)^2+9.\]
$100a+10b+c$๋ฅผ ๊ณ์ฐํ๊ธฐ ์ํด $x=10$์ ๋์
ํ๋ฉด
\[100a+10b+c=-(10-2)^2+9=\boxed{-55}.\] | Level 5 | Algebra |
$\sqrt[3]{12}\times \sqrt[3]{20}\times \sqrt[3]{15}\times \sqrt[3]{60}$์ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๊ณ์ฐํ ์ ์์ต๋๋ค.
\begin{align*}
&\sqrt[3]{12}\times \sqrt[3]{20}\times \sqrt[3]{15}\times \sqrt[3]{60}\\
&\qquad=\sqrt[3]{2^2\cdot 3^1}\times \sqrt[3]{2^2\cdot 5^1}\times \sqrt[3]{3^1\cdot 5^1}\times \sqrt[3]{2^2\cdot 3^1\cdot 5^1}\\
&\qquad=\sqrt[3]{(2^2\cdot 3^1)(2^2\cdot 5^1)(3^1\cdot 5^1)(2^2\cdot 3^1\cdot 5^1)}\\
&\qquad=\sqrt[3]{(2^2\cdot 2^2\cdot 2^2)(3^1\cdot 3^1\cdot 3^1)(5^1\cdot 5^1\cdot 5^1)}\\
&\qquad=\sqrt[3]{(2^6)(3^3)(5^3)}\\
&\qquad=\sqrt[3]{2^6}\times\sqrt[3]{3^3}\times \sqrt[3]{5^3}\\
&\qquad=(2^2)(3)(5) = \boxed{60}.
\end{align*} | Level 2 | Algebra |
$x$์ ์ด๋ค ๊ฐ์ ๋ํด $\frac{2x-1}{2x+2}$์ $\frac{x-3}{x-1}$์ด ๊ฐ์ต๋๊น? | ๋ฐฉ์ ์ $\frac{2x-1}{2x+2}=\frac{x-3}{x-1}$์ด ์์ต๋๋ค. ์๋ณ์ ๊ต์ฐจ ๊ณฑ์
์ ํ๊ณ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
\begin{align*}
(2x-1)(x-1)&=(2x+2)(x-3)\\
2x^2 - x - 2x + 1 &= 2x^2 + 2x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 2 \\
2x^2 - 3x + 1&=2x^2-4x-6\\
x&=\boxed{-7}
\end{align*} | Level 4 | Algebra |
๋ฐฉ์ ์ $y = -4.9t^2 - 3.5t + 2.4$๋ ์ง๋ฉด์์ 2.4๋ฏธํฐ ๋์ด์์ ์ด์ 3.5๋ฏธํฐ๋ก ์๋์ชฝ์ผ๋ก ๋์ง ๊ณต์ ๊ฒฝ๊ณผ ์๊ฐ $t$ (์ด)์ ๋ํ ๋์ด $y$ (๋ฏธํฐ)์ ๊ด๊ณ๋ฅผ ๋ํ๋
๋๋ค. ๊ณต์ด ์ง๋ฉด์ ๋ฟ๋ ๋ฐ ๋ช ์ด๊ฐ ๊ฑธ๋ฆฝ๋๊น? ๋ต์ ์์์ ๋์งธ ์๋ฆฌ๊น์ง ๋ฐ์ฌ๋ฆผํ์ฌ ๋ํ๋ด์ญ์์ค. | $y$๋ฅผ 0์ผ๋ก ์ค์ ํ๋ฉด ๋ค์์ ์ป์ต๋๋ค.
\begin{align*}
0& = -4.9t^2 -3.5t + 2.4\\
& = 49t^2 + 35t - 24\\
& = (7t-3)(7t + 8)\\
\end{align*}
$t$๋ ์์์ฌ์ผ ํ๋ฏ๋ก $t = \frac{3}{7} \approx \boxed{0.43}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
ํ์ ๋ชฉ๋ง ์ค์ฌ์์ 64ํผํธ ๋จ์ด์ง ๋ง์ด 27๋ฐํด ํ์ ํฉ๋๋ค. ๊ฐ์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์ด๋ํ๋ ค๋ฉด ์ค์ฌ์์ 16ํผํธ ๋จ์ด์ง ๋ง์ ๋ช ๋ฐํด๋ฅผ ๋์์ผ ํฉ๋๊น? | ์ค์ฌ์ ๋ ๊ฐ๊น์ด ๋ง์ ์ํ ๊ฒฝ๋ก ๋ฐ์ง๋ฆ์ ์ค์ฌ์์ ๋ ๋ฉ๋ฆฌ ๋จ์ด์ง ๋ง์ ๊ฒฝ๋ก ๋ฐ์ง๋ฆ์ $\frac{1}{4}$์
๋๋ค. ์์ฃผ๋ ๋ฐ์ง๋ฆ์ ์ ๋น๋กํ๋ฏ๋ก ๋ ์งง์ ๊ฒฝ๋ก์ ๊ธธ์ด๋ ๋ ๊ธด ๊ฒฝ๋ก ๊ธธ์ด์ $\frac{1}{4}$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ์ ๊ฑฐ๋ฆฌ๋ฅผ ์ด๋ํ๋ ค๋ฉด 4๋ฐฐ ๋ ๋ง์ ํ์ ์ ํด์ผ ํ๋ฏ๋ก $27\times4=\boxed{108}$๋ฐํด ํ์ ํด์ผ ํฉ๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
100๊ณผ 200 ์ฌ์ด์ ์๋ ๋ชจ๋ 3์ ๋ฐฐ์์ ํฉ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | 100๊ณผ 200 ์ฌ์ด์ ์๋ 3์ ๊ฐ์ฅ ์์ ๋ฐฐ์๋ 102์ด๊ณ , ๊ฐ์ฅ ํฐ ๋ฐฐ์๋ 198์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์, ์ฐ๋ฆฌ๋ ๋ฑ์ฐจ์์ด $102 + 105 + \dots + 198$์ ํฉ์ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค.
์ด ๋ฑ์ฐจ์์ด์ $n$๋ฒ์งธ ํญ์ $102 + 3(n - 1) = 3n + 99$์
๋๋ค. $3n + 99 = 198$์ด๋ฉด, $n = 33$์ด๋ฏ๋ก ์ด ์์ด์ ํญ์ ๊ฐ์๋ 33์
๋๋ค.
๋ฑ์ฐจ์์ด์ ํฉ์ ์ฒซ์งธ ํญ๊ณผ ๋ง์ง๋ง ํญ์ ํ๊ท ์ ํญ์ ๊ฐ์๋ฅผ ๊ณฑํ ๊ฒ๊ณผ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก, ํฉ์ $(102 + 198)/2 \cdot 33 = \boxed{4950}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$x$์ ๋ํด ํ์ดํ์ญ์์ค: $$(\sqrt{12x}+12)(\sqrt{3x}-6)=4(x+3)+x-34$$ | ๋จผ์ , $\sqrt{12x}$๋ $x<0$์ด๋ฉด ์ ์๋์ง ์์ผ๋ฏ๋ก $x$๋ ์์ด ์๋ ๊ฐ์ด์ด์ผ ํฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ ๋ค์ ๋ฐฉ์ ์์ ์๋ณ์ ๊ฐ๋จํ ํฉ๋๋ค. ์ข๋ณ์ ๊ณฑ์ ์ ๊ฐํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
(\sqrt{12x} + 12)(\sqrt{3x} - 6) &= \sqrt{12x}(\sqrt{3x} - 6) + 12(\sqrt{3x} - 6)\\
&= \sqrt{36x^2} - 6\sqrt{12x} + 12\sqrt{3x} - 72.
\end{align*} ๋ค์์ผ๋ก, $x>0$์ด๋ฏ๋ก $\sqrt{36x^2} = 6x$์
๋๋ค. ๋ํ, $\sqrt{12x} = \sqrt{4\cdot 3 x} = 2\sqrt{3x}$์ด๋ฏ๋ก \[\sqrt{36x^2} - 6\sqrt{12x} + 12\sqrt{3x} - 72 = 6x -6(2\sqrt{3x}) + 12\sqrt{3x} - 72 = 6x- 72\]์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์๋ ๋ฐฉ์ ์์ ์ข๋ณ์ $6x-72$์ ๊ฐ์ต๋๋ค. ์ฐ๋ณ์ ๊ฐ๋จํ ํ๋ฉด $$6x-72=5x-22$$๊ฐ ๋ฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ ๋ค์ ๋๋ฅํญ์ ๋ชจ์ผ๋ฉด $$x=\boxed{50}$$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ ๊ฐ์ 5์๋ฆฌ ์ซ์ $AMC10$๊ณผ $AMC12$์ ํฉ์ $123422$์
๋๋ค. $A + M + C$๋ ๋ฌด์์
๋๊น? | $AMC10$๊ณผ $AMC12$์ ๋ง์ง๋ง ๋ ์๋ฆฌ ์์ ํฉ์ด $22$์ด๋ฏ๋ก, ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \[
AMC + AMC = 2(AMC) = 1234.
\] ๋ฐ๋ผ์ $AMC=617$์ด๋ฏ๋ก $A=6$, $M=1$, $C=7$์ด๊ณ $A+M+C = 6+1+7 = \boxed{14}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
์ด๋ค ์๋ฆฌ๋ฒ์ ๋ฌผ 1์ฟผํธ๋น ์๊ธ $\frac14$ ํฐ์คํผ์ ์๊ตฌํฉ๋๋ค. ์๊ธ 2 ํฐ์คํผ์๋ ๋ฌผ ๋ช ์ฟผํธ๊ฐ ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๊น? | ์๊ธ 2 ํฐ์คํผ์ ๋ง๋ค๋ ค๋ฉด $\frac14$ ํฐ์คํผ์ ์๊ธ 8๊ฐ๊ฐ ํ์ํ๋ฏ๋ก $\boxed{8}$ ์ฟผํธ์ ๋ฌผ์ด ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
$a\ast b = 2a+5b-ab$์ด๋ฉด, $3\ast10$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ ์๋ ํจ์์์ $3\ast 10 = 2(3)+5(10)-(3)(10) = 6+50-30=\boxed{26}$์์ ์ ์ ์์ต๋๋ค. | Level 1 | Algebra |
์์ด 0, 1, 1, 3, 6, 9, 27, ...์์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํญ์ 0์
๋๋ค. ์ดํ ํญ์ 1๋ถํฐ ์์ํ๋ ๊ฐ๊ฐ์ ์ฐ์๋ ์ ์๋ฅผ ๋ฒ๊ฐ์ ๋ํ๊ณ ๊ณฑํ์ฌ ์์ฑ๋ฉ๋๋ค. ์๋ฅผ ๋ค์ด, ๋ ๋ฒ์งธ ํญ์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํญ์ 1์ ๋ํ์ฌ ์์ฑ๋๊ณ , ์ธ ๋ฒ์งธ ํญ์ ๋ ๋ฒ์งธ ํญ์ 1์ ๊ณฑํ์ฌ ์์ฑ๋๊ณ , ๋ค ๋ฒ์งธ ํญ์ ์ธ ๋ฒ์งธ ํญ์ 2๋ฅผ ๋ํ์ฌ ์์ฑ๋๋ ์์
๋๋ค. 125๋ณด๋ค ํฐ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํญ์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ด ์์ด์ 27์์ ๊ณ์ํ๋ฉด 4๋ฅผ ๋ํ์ฌ 31์ ๋ง๋ค๊ณ , 31์ 4๋ฅผ ๊ณฑํ์ฌ 124๋ฅผ ๋ง๋ค๊ณ , 124์ 5๋ฅผ ๋ํ์ฌ 129๋ฅผ ๋ง๋ญ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $\boxed{129}$๋ 125๋ณด๋ค ํฐ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ํญ์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$\log_21$์ ๊ณ์ฐํ์ญ์์ค. | $2^0=1$์ด๋ฏ๋ก $\log_2 1 = \boxed{0}$์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
$-4$๊ฐ $x^2 + bx -36 = 0$์ ํด๋ผ๊ณ ํ ๋, $b$์ ๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ์ด ์ด์ฐจ๋ฐฉ์ ์์ ๊ทผ์ ๊ณฑ์ $-36/1=-36$์ด๋ฏ๋ก ๋ค๋ฅธ ํด๋ $-36/-4=9$์ฌ์ผ ํฉ๋๋ค. ์ฆ, ํด์ ํฉ์ $-4+9=5$์
๋๋ค. ๋ํ ํด์ ํฉ์ $-b/1=-b$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $-b=5$์ด๊ณ $b=\boxed{-5}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
$e$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์ธ์. $2d$๋ $17e$๋ณด๋ค $8$ ์๊ณ , $2e$๋ $d$๋ณด๋ค $9$ ์์ต๋๋ค. | ๋ ๊ฐ์ ๋ฐฉ์ ์์ผ๋ก ์ด๋ฃจ์ด์ง ์ฐ๋ฆฝ๋ฐฉ์ ์์ผ๋ก ์์ํฉ๋๋ค. \begin{align*}
2d&=17e-8
\\2e&=d-9
\end{align*}๋ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ $d=2e+9$๋ก ๋ค์ ์ธ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก, $d$์ ๋ํ ์ด ์์ ์ฒซ ๋ฒ์งธ ๋ฐฉ์ ์์ ๋์
ํ์ฌ $e$์ ๋ํด ํ ์ ์์ต๋๋ค. \begin{align*}
2d&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad 2(2e+9)&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad 4e+18&=17e-8
\\\Rightarrow \qquad -13e&=-26
\\\Rightarrow \qquad e&=\boxed{2}.
\end{align*} | Level 3 | Algebra |
$x$๊ฐ ์ ์์ผ ๋, $x^2 - 6x +13$์ ์ต์๊ฐ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $x^2-6x+13 = x^2-6x+9+4 = (x-3)^2 + 4$๋ก ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $(x-3)^2$๋ ์์๊ฐ ๋ ์ ์์ง๋ง $x=3$์ผ ๋ $0$์ด ๋ ์ ์์ผ๋ฏ๋ก, $x$๊ฐ ์ ์์ผ ๋ $x^2-6x+13$์ ์ต์๊ฐ์ $\boxed{4}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
๋ ๊ฐ์ ์ฐ์์ ์ธ ์์ ์ง์๋ฅผ ๊ฐ๊ฐ ์ ๊ณฑํ์ต๋๋ค. ์ ๊ณฑ์ ์ฐจ๋ 60์
๋๋ค. ์๋ ๋ ์์ ํฉ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋ ์๋ฅผ $x$์ $x + 2$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ์ฌ๊ธฐ์ $x$๋ ์ง์์
๋๋ค. ์ฐ๋ฆฌ๋ $x + (x + 2) = 2x + 2$๋ฅผ ๊ตฌํ๊ณ ์ ํ๋ฉฐ, $(x + 2)^2 - x^2 = 60$์ด๋ผ๋ ๊ฒ์ ์๊ณ ์์ต๋๋ค. ์ด ๋ง์ง๋ง ๋ฐฉ์ ์์ ์ ๊ณฑ์ ์ฐจ๋ก ์ธ์๋ถํด๋ ์ ์์ต๋๋ค. $(x + 2 + x)(x + 2 - x) = (2x + 2)(2) = 60$. ๋ฐ๋ผ์ $2x + 2 = 60/2 = \boxed{30}$์
๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
๋ ์์ $p$์ $q$๋ ํฉ๊ณผ ๊ณฑ์ด ๊ฐ์ต๋๋ค. ๋ ์์ ์ฐจ๊ฐ $7$์ด๋ฉด, $\frac{1}{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}$๋ ๋ฌด์์
๋๊น? ๋ต์ $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ ํํ์ด๋ฉฐ, $a$์ $b$๋ $d$์ ๊ณตํต ์ธ์๋ฅผ ๊ฐ์ง ์๊ณ $c$๋ ์ ๊ณฑ ์ธ์๋ฅผ ๊ฐ์ง ์์ต๋๋ค. $a+b+c+d$๋ฅผ ๊ตฌํ์ธ์. | $p+q=pq=s$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $(p+q)^2=p^2+q^2+2pq=s^2$์
๋๋ค. ์๋ณ์์ $4pq=4s$๋ฅผ ๋นผ๋ฉด $$p^2+q^2-2pq=(p-q)^2=s^2-4s$$์
๋๋ค. $p$์ $q$์ ์ฐจ๊ฐ $7$์ด๋ฏ๋ก $p-q=\pm 7$์ด๊ณ $(p-q)^2=(\pm 7)^2=49$์ด๋ฏ๋ก ๋ฐฉ์ ์์ $49=s^2-4s$ ๋๋ $s^2-4s-49=0$์ด ๋ฉ๋๋ค. ์ด์ฐจ๋ฐฉ์ ์์ ์ด์ฉํ์ฌ $s$๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์์ต๋๋ค. \begin{align*}
s&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4(-49)(1)}}{2(1)}\\
&=\frac{4\pm\sqrt{4(4+49)}}{2}\\
&=2\pm\sqrt{53}.
\end{align*}$p$์ $q$๋ ์์์ด๋ฏ๋ก $s=pq=p+q$๋ ์์์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์์ ํด์ธ $s=2+\sqrt{53}$๋ฅผ ์ทจํฉ๋๋ค.
์ด์ $\frac{1}{\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}}$๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ถ๋ชจ์ ๋ถ์๋ค์ ๊ณตํต๋ถ๋ชจ๋ฅผ ์ฐพ์ ๊ฒฐํฉํ ์ ์์ต๋๋ค. $$\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}=\frac{1}{p^2}\cdot\frac{q^2}{q^2}+\frac{1}{q^2}\cdot\frac{p^2}{p^2}=\frac{q^2+p^2}{p^2q^2}.$$์์์ $p^2+q^2=s^2-2pq=s^2-2s$์ด๊ณ $p^2q^2=(pq)^2=s^2$์์ ์์์ผ๋ฏ๋ก \begin{align*}
\frac{1}{\frac{s^2-2s}{s^2}}&=\frac{s^2}{s^2-2s}\\
&=\frac{s}{s-2}\\
&=\frac{2+\sqrt{53}}{2+\sqrt{53}-2}\\
&=\frac{2+\sqrt{53}}{\sqrt{53}}.
\end{align*}๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค. ๋ถ๋ชจ๋ฅผ ์ ๋ฆฌํํ๋ฉด $\boxed{\frac{2\sqrt{53}+53}{53}}$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์์ฒญ๋ ํํ์์ $a=53$, $b=2$, $c=53$, $d=53$์ด๋ฏ๋ก \begin{align*}
a+b+c+d&=53+2+53+53\\
&=\boxed{161}.
\end{align*}์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
$f$๊ฐ ํจ์์ด๊ณ $f^{-1}$๊ฐ $f$์ ์ญํจ์๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค. $f(1)=2$, $f(2) = 6$, $f(3)=5$์ด๋ฉด $f^{-1}(f^{-1}(6))$์ ๋ฌด์์
๋๊น? | $f(2) = 6$์ด๋ฏ๋ก $f^{-1}(6)=2$์
๋๋ค. ($f$๊ฐ ์ญํจ์๋ฅผ ๊ฐ๋๋ค๋ ๊ฐ์ ์ $f(x) = 6$์ธ ๋ค๋ฅธ $x$ ๊ฐ์ด ์๋ค๋ ๊ฒ์ ์๋ฏธํฉ๋๋ค.) ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก $f(1) =2$์ด๋ฏ๋ก $f^{-1}(2)=1$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $f^{-1}(f^{-1}(6))=f^{-1}(2)=\boxed{1}$์
๋๋ค. | Level 4 | Algebra |
$a$์ $2b$์ ํ๊ท ์ด 7์ด๊ณ $a$์ $2c$์ ํ๊ท ์ด 8์ด๋ฉด ์ ์ $a$, $b$, $c$์ ํ๊ท ์ ๋ฌด์์
๋๊น? | ๋ฌธ์ ๋ฅผ ๋ค์ ์ฐ๋ฆฝ๋ฐฉ์ ์์ผ๋ก ๋ฐ๊ฟ ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. \begin{align*}
\frac{a+2b}{2} &= 7\\
\frac{a+2c}{2} &= 8
\end{align*} ์ด๋ค์ ๋ํ๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
\frac{a+2b}{2}+\frac{a+2c}{2} &= 7+8\\
\frac{2a+2b+2c}{2} &= 15\\
a+b+c &= 15\\
\frac{a+b+c}{3} &= \frac{15}{3} = \boxed{5}
\end{align*} | Level 4 | Algebra |
$\frac{2s^5}{s^3} - 6s^2 + \frac{7s^3}{s}$๋ฅผ ๊ฐ๋จํ ํ์ธ์. | ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค. \begin{align*}
\frac{2s^5}{s^3} - 6s^2 + \frac{7s^3}{s}&=
2s^{5-3} - 6s^2 + 7s^{3-1}\\
&=2s^2 - 6s^2 + 7s^2\\
&=\boxed{3s^2}.
\end{align*} | Level 2 | Algebra |
๋ฌดํ ๋ฑ๋น ๊ธ์์ ํฉ์ 2000์
๋๋ค. ์๋ ๊ธ์์ ๊ฐ ํญ์ ์ ๊ณฑํ์ฌ ์ป์ ์๋ก์ด ๊ธ์์ ํฉ์ ์๋ ๊ธ์ ํฉ์ 16๋ฐฐ์
๋๋ค. ์๋ ๊ธ์์ ๊ณต๋น๋ $m/n$์ด๋ฉฐ, $m$๊ณผ $n$์ ์๋ก์์ธ ์์ ์ ์์
๋๋ค. $m+n$์ ๊ตฌํ์ธ์. | ์๋ ๊ธ์์ ์ฒซ์งธํญ์ $a$, ๊ณต๋น๋ฅผ $r$์ด๋ผ๊ณ ํ๊ณ , $S=2000$๋ผ๊ณ ํ๊ฒ ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $\displaystyle{a\over{1-r}}=S$์ด๊ณ $\displaystyle{{a^2}\over{1-r^2}}=16S$์
๋๋ค. ์ธ์๋ถํดํ๋ฉด $16S=\displaystyle\left({a\over{1-r}}\right)
\left({a\over{1+r}}\right)=S\cdot{a\over{1+r}}$์
๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $16=\displaystyle{a\over{1+r}}$์ด๊ณ $S=\displaystyle{a\over{1-r}}$์ด๋ฏ๋ก $S(1-r)=16(1+r)$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $r=\displaystyle{{S-16}\over{S+16}}=\frac{1984}{2016}=\frac{62}{63}$์ด๊ณ $m+n=62+63=\boxed{125}$์
๋๋ค. | Level 5 | Algebra |
12๋ช
์ ์ฌ๋๋ค์ด 10์ผ๊ฐ์ ์บ ํ ์ฌํ์ ์ํด ๋ฌผํ์ ๊ตฌ๋งคํ์ต๋๋ค. ๊ฐ ์ฌ๋์ ๋งค์ผ ๋๊ฐ์ ์์ ๋ฌผํ์ ์ฌ์ฉํ๊ธฐ๋ก ํ์ต๋๋ค. ๊ทธ๋ฐ๋ฐ 3๋ช
์ ์ฌ๋์ด ๋ ํฉ๋ฅํ์ง๋ง, ์ถ๊ฐ ๋ฌผํ ๊ตฌ๋งค๋ ํ์ง ์์์ต๋๋ค. ๋ง์ฝ ๊ฐ ์ฌ๋์ ํ๋ฃจ ์ฌ์ฉ๋์ด ๋ณํ์ง ์๋๋ค๋ฉด, ๋ฌผํ์ ๋ฉฐ์น ๋์ ์ง์๋ ์ ์์ต๋๊น? | ์ฒ์ 12๋ช
์ ๊ฐ๊ฐ 10์ผ์น์ ๋ฌผํ์ ๊ฐ์ง๊ณ ์์์ผ๋ฏ๋ก, ์ด ๋ฌผํ์ 120์ผ์น์ ํด๋นํฉ๋๋ค. 3๋ช
์ด ์ถ๊ฐ๋ก ํฉ๋ฅํ๋ฉด ์ด ์ธ์์ 15๋ช
์ด ๋ฉ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ์๋ก์ด ๊ทธ๋ฃน์ ๊ฐ ์ฌ๋์ $\frac{120}{15}$ ์ฆ, 8์ผ์น์ ๋ฌผํ์ ๊ฐ๊ฒ ๋ฉ๋๋ค. ๊ทธ๋ฌ๋ฏ๋ก ๋ฌผํ์ $\boxed{8}$์ผ ๋์ ์ง์๋ ๊ฒ์
๋๋ค. | Level 2 | Algebra |
๋ฑ์ฐจ์์ด 13, 20, 27, 34, $\dots$, 2008์ ์ํ๋ ์ ์๋ ๋ช ๊ฐ์
๋๊น? | ๊ณต์ฐจ๋ $20 - 13 = 7$์
๋๋ค. ์ด ์์ด์ $n$๊ฐ์ ํญ์ด ์๋ค๋ฉด, $13 + 7(n - 1) = 2008$์
๋๋ค. $n$์ ๋ํด ํ๋ฉด, $n = \boxed{286}$์ ์ป์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
๋ค ์ $(2,2)$, $(9,11)$, $(5,7)$, $(11,17)$ ์ค ์ธ ์ ์ ๊ฐ์ ์ง์ ์์ ์์ต๋๋ค. ์ด๋ค ์ ์ด ์ง์ ์์ ์์ง ์์ต๋๊น? | ์ $P$, $Q$, $R$์ ์๊ฐํด ๋ด
์๋ค. ์ $P$์ ์ $Q$ ์ฌ์ด์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๊ฐ ์ $Q$์ ์ $R$ ์ฌ์ด์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ์ ๊ฐ์ผ๋ฉด $P$, $Q$, $R$์ ๊ณต์ ์ (collinear)์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ์ ์ ์ฌ์ด์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๋ฅผ ๊ตฌํด์ผ ํฉ๋๋ค. ์ ๋ค์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ด๋ฆ ๋ถ์ด๊ฒ ์ต๋๋ค. $A=(2,2)$, $B=(9,11)$, $C=(5,7)$, $D=(11,17)$. ๊ฐ๋ฅํ ๋ชจ๋ ์ ์๊ณผ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๋ฅผ ํ๋ก ๋ํ๋ด๋ฉด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ต๋๋ค.
\begin{tabular}{c|c}
์ & ๊ธฐ์ธ๊ธฐ \\ \hline
\vspace{0.05in} A,B&$\frac{11-2}{9-2}=\frac{9}{7}$\\ \vspace{0.05in}
$A,C$&$\frac{7-2}{5-2}=\frac{5}{3}$\\ \vspace{0.05in}
$A,D$&$\frac{17-2}{11-2}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$\\ \vspace{0.05in}
$B,C$&$\frac{7-11}{5-9}=\frac{-4}{-4}=1$\\ \vspace{0.05in}
$B,D$&$\frac{17-11}{11-9}=\frac{6}{2}=3$\\ \vspace{0.05in}
$C,D$&$\frac{17-7}{11-5}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$
\end{tabular}
๋ณด์๋ค์ํผ, $A$์ $C$, $A$์ $D$, $C$์ $D$ ์ฌ์ด์ ๊ธฐ์ธ๊ธฐ๊ฐ ๊ฐ์ผ๋ฏ๋ก $A$, $C$, $D$๋ ํ ์ง์ ์์ ์์ต๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $B$, ์ฆ ์ $\boxed{(9,11)}$์ ์ง์ ์์ ์์ง ์์ต๋๋ค. | Level 3 | Algebra |
ํจ์ $f(x)=\dfrac{x+5}{3}$ ์ $g(x)=\dfrac{1}{f^{-1}(x)+1}$ ๊ฐ ์ฃผ์ด์ก์ ๋, $g(3)$์ ๊ฐ์ ๊ตฌํ์ญ์์ค. | ๋จผ์ ์ญํจ์ $f^{-1}(x)$๋ฅผ ๊ตฌํฉ๋๋ค. $f^{-1}(x)$๋ฅผ ํจ์ $f(x) = \frac{x + 5}{3}$์ ๋์
ํ๋ฉด \[f(f^{-1}(x))=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}\]์
๋๋ค. $f^{-1}$์ ์ ์์ญ์ ์๋ ๋ชจ๋ $x$์ ๋ํด $f(f^{-1}(x)) = x$์ด๋ฏ๋ก, \[x=\dfrac{f^{-1}(x)+5}{3}\]์
๋๋ค. $f^{-1}(x)$์ ๋ํด ํ๋ฉด $$f^{-1}(x)=3x-5$$์
๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ $g(x)$๋ฅผ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ๋ค์ ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. $$g(x)=\dfrac{1}{3x-5+1}=\dfrac{1}{3x-4}.$$ ๊ทธ๋ฌ๋ฉด $$g(3)=\dfrac{1}{3 \cdot 3 - 4}=\boxed{\dfrac{1}{5}}.$$ | Level 4 | Algebra |
This is a Korean translated version of MATH dataset ([lighteval/MATH]).