[ { "question": "$\\sqrt{256}$의 음의 제곱근을 $A$, $(-3)^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{256}$$=16$의 음의 제곱근은 $-4$이므로 $A=-4$ $(-3)^2$$=9$의 양의 제곱근은 $3$이므로 $B=3$ $∴ A+B$$=-4+3$$=-1$" }, { "question": "한 변의 길이가 $16$ $cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $16\\times16=256$ ($cm^2$) $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times256=128$ ($cm^2$) $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times128=64$ ($cm^2$) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ cm라 하면 $x^2=64$ $x>0$이므로 $x=8$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "제곱근 $9$를 $A$, $(-\\frac{4}{3})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $9$는 $3$이므로 $A=3$ $(-\\frac{4}{3}^2)$$=\\frac{16}{9}$의 음의 제곱근은 $-\\frac{4}{3}$이므로 $B=-\\frac{4}{3}$ $∴$ $AB$$=3\\times(-\\frac{4}{3})=-4$" }, { "question": "제곱근 $100$을 $A$, $(\\frac{2}{5})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $100$은 $10$이므로 $A=10$ $(\\frac{2}{5})^2$$=\\frac{4}{25}$의 음의 제곱근은 $-\\frac{2}{5}$이므로 $B=-\\frac{2}{5}$ $∴ AB$$=10\\times(-\\frac{2}{5})$$=-4$" }, { "question": "$(-12)^2$의 양의 제곱근을 $x$, $\\sqrt{\\frac{1}{81}}$의 음의 제곱근을 $y$라 할 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$(-12)^2$$=144$의 양의 제곱근은 $12$이므로 $x=12$ $\\sqrt{\\frac{1}{81}}$$=\\frac{1}{9}$의 음의 제곱근은 $-\\frac{1}{3}$이므로 $y=-\\frac{1}{3}$ $∴ xy$$=12\\times(-\\frac{1}{3})$$=-4$" }, { "question": "$\\sqrt{16}$의 음의 제곱근을 $A$, $(-3)^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{16}$$=4$의 음의 제곱근은 $-2$이므로 $A=-2$ $(-3)^2$$=9$의 양의 제곱근은 $3$이므로 $B=3$ $∴$ $A+B$$=-2+3$$=1$" }, { "question": "제곱근 $\\frac{49}{144}$를 $x$, $(-12)^2$의 양의 제곱근을 $y$라 할 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $\\frac{49}{144}$는 $\\frac{7}{12}$이므로 $x=\\frac{7}{12}$ $(-12)^2$$=144$의 양의 제곱근은 $12$이므로 $y=12$ $∴$ $xy$$=\\frac{7}{12}\\times12$$=7$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{81}{16}}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-4)^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A-B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{81}{16}}=\\frac{9}{4}$의 양의 제곱근은 $\\frac{3}{2}$이므로 $A=\\frac{3}{2}$ $(-4)^2=16$의 음의 제곱근은 $-4$이므로 $B=-4$ $∴ A-B=\\frac{3}{2}-(-4)=\\frac{11}{2}$" }, { "question": "$a$, $b$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{156}{a}}=b$일 때, $b$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{156}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{156}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{156}{a}=\\frac{2^2\\times3\\times13}{a}$이므로 $a$는 $156$의 약수이면서 $3\\times13\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $b$의 값은 최대이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=3\\times13\\times1^2$$=39$ $a=39$를 대입하면 $b$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{156}{a}}=\\sqrt{\\frac{156}{39}}=\\sqrt{4}=2$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{16}{81}}$의 음의 제곱근을 $a$, $(-6)^2$의 양의 제곱근을 $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{16}{81}}$$=\\frac{4}{9}$의 음의 제곱근은 $-\\frac{2}{3}$이므로 $a=-\\frac{2}{3}$ $(-6)^2$$=36$의 양의 제곱근은 $6$이므로 $b=6$ $∴ ab=(-\\frac{2}{3})\\times6=-4$" }, { "question": "제곱근 $81$을 $A$, $(-\\frac{1}{3})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $81$은 $9$이므로 $A=9$ $(-\\frac{1}{3})^2$$=\\frac{1}{9}$의 음의 제곱근은 $-\\frac{1}{3}$이므로 $B=-\\frac{1}{3}$ $∴$ $AB$$=9\\times(-\\frac{1}{3})$$=-3$" }, { "question": "$(-21)^2$의 양의 제곱근을 $x$, $(-\\sqrt{\\frac{1}{7}})^2$의 음의 제곱근을 $y$라 할 때, $xy^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(-21)^2$$=441$의 양의 제곱근은 $21$이므로 $x=21$ $(-\\sqrt{\\frac{1}{7}})^2$$=\\frac{1}{7}$의 음의 제곱근은 $-\\sqrt{\\frac{1}{7}}$이므로 $y=-\\sqrt{\\frac{1}{7}}$ $∴ xy^2$$=21\\times(-\\sqrt{\\frac{1}{7}})^2$$=3$" }, { "question": "가로의 길이가 $7$, 세로의 길이가 $6$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $7\\times6$$=42$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=42$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{42}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{42}$이다." }, { "question": "가로의 길이가 $6$, 세로의 길이가 $11$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $6\\times11$$=66$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=66$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{66}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{66}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{81}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-6)^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{81}$$=9$의 양의 제곱근은 $3$이므로 $A=3$ $(-6)^2$$=36$의 음의 제곱근은 $-6$이므로 $B=-6$ $\\therefore A+B$$=3+(-6)$$=-3$" }, { "question": "제곱근 $0.36$을 $A$, $(-10)^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $0.36$은 $0.6$이므로 $A=0.6$ $(-10)^2$$=100$의 양의 제곱근은 $10$이므로 $B=10$ $∴ AB$$=0.6\\times10$$=6$" }, { "question": "가로의 길이가 $7$, 세로의 길이가 $2$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $7\\times2$$=14$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=14$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{14}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{14}$이다." }, { "question": "가로의 길이가 $5$, 세로의 길이가 $7$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $5\\times7$$=35$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=35$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{35}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{35}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{4^2}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-\\sqrt{9})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{4^2}$$=4$의 양의 제곱근은 $2$이므로 $A=2$ $(-\\sqrt{9})^2$$=9$의 음의 제곱근은 $-3$이므로 $B=-3$ $∴ A+B$$=2+(-3)$$=-1$" }, { "question": "한 변의 길이가 $20 cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $20\\times20=400$ ($cm^2)\\\\$ $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times400=200$ ($cm^2$) $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times200=100$ ($cm^2$) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $xcm$ 라 하면 $x^2=100$ $x>0$이므로 $x=10$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $10cm$ 이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $14$, 높이가 $5$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times14\\times5$$=35$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=35$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{35}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{35}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $2$, 아랫변의 길이가 $6$, 높이가 $5$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(2+6)\\times5$$=20$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=20$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{20}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{20}$이다." }, { "question": "제곱근 $16$을 $A$, $(-\\frac{1}{2})^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $16$은 $4$이므로 $A=4$ $(-\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$의 양의 제곱근은 $\\frac{1}{2}$이므로 $B=\\frac{1}{2}$ $∴$ $AB$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2$" }, { "question": "$(\\sqrt{3})^2$의 양의 제곱근을 $m$, $(-3)^2$의 음의 제곱근을 $n$이라 할 때, $m^2n$의 값을 구하여라.", "answer": "$(\\sqrt{3})^2=3$의 양의 제곱근은 $\\sqrt{3}$이므로 $m=\\sqrt{3}$ $(-3)^2=9$의 음의 제곱근은 $-3$이므로 $n=-3$ $∴ m^2n=(\\sqrt{3})^2\\times(-3)=-9$" }, { "question": "$(-\\sqrt{4})^2$의 음의 제곱근을 $A$, $\\sqrt{(-36)^2}$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $2A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$(-\\sqrt{4})^2$$=4$의 음의 제곱근은 $-2$이므로 $A=-2$ $\\sqrt{(-36)^2}$$=36$의 양의 제곱근은 $6$이므로 $B=6$ $∴ 2A+B$$=2\\times(-2)+6$$=2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $4$, 아랫변의 길이가 $7$, 높이가 $6$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(4+7)\\times6$$=33$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=33$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{33}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{33}$이다." }, { "question": "가로의 길이가 $5$, 세로의 길이가 $11$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $5\\times11$$=55$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=55$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{55}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{55}$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $4$, 높이가 $11$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times4\\times11$$=22$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=22$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{22}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{22}$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $10$, 높이가 $6$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times10\\times6$$=30$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=30$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{30}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{30}$이다." }, { "question": "제곱근 $25$를 $A$, $(-13)^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $25$는 $5$이므로 $A=5$ $(-13)^2$$=169$의 음의 제곱근은 $-13$이므로 $B=-13$ $∴ $$A+B$$=5+(-13)$$=-8$" }, { "question": "가로의 길이가 $10$, 세로의 길이가 $7$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $10\\times7$$=70$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=70$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{70}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{70}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $5$, 아랫변의 길이가 $9$, 높이가 $6$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(5+9)\\times6$$=42$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=42$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{42}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{42}$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 $4cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $3번$ 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $4\\times4=16$ $(cm^2)\\\\$ $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times16=8$ $(cm^2)\\\\$ $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times8=4$ $(cm^2)\\\\$ $3$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times4=2$ $(cm^2)\\\\$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=2$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{2}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{2} cm$이다." }, { "question": "제곱근 $0.49$를 $a$, $(-9)^2$의 음의 제곱근을 $b$라 할 때, $10a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "제곱근 $0.49$는 $0.7$이므로 $a=0.7$ $(-9)^2$$=81$의 음의 제곱근은 $-9$이므로 $b=-9$ $∴ 10a+b$$=10\\times0.7+(-9)$$=-2$" }, { "question": "가로의 길이가 $5$, 세로의 길이가 $6$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $5\\times6$$=30$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=30$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{30}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{30}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{(-81)^2}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-\\sqrt{16})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{(-81)^2}=81$의 양의 제곱근은 $9$이므로 $A=9$ $(-\\sqrt{16})^2=16$의 음의 제곱근은 $-4$이므로 $B=-4$ $∴ A+B=9+(-4)=5$" }, { "question": "밑변의 길이가 $14$, 높이가 $11$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times14\\times11$$=77$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=77$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{77}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{77}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $4$, 아랫변의 길이가 $6$, 높이가 $5$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(4+6)\\times5=25$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=25$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $5$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $4$, 높이가 $5$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times4\\times5$$=10$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=10$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{10}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{10}$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $5$, 높이가 $6$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times5\\times6$$=15$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=15$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{15}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{15}$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 $30 cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $30\\times30=900$ ($cm^2$) $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times900=450$ ($cm^2$) $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times450=225$ ($cm^2$) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=225$ $x>0$이므로 $x=15$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $15 cm$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $6$, 높이가 $11$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times6\\times11$$=33$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=33$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{33}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{33}$이다." }, { "question": "밑변의 길이가 $7$, 높이가 $10$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times7\\times10$$=35$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=35$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{35}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{35}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{49^2}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-\\sqrt{36})^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{49^2}$$=49$의 양의 제곱근은 $7$이므로 $A=7$ $(-\\sqrt{36})^2$$=36$의 음의 제곱근은 $-6$이므로 $B=-6$ $∴ AB$$=7\\times(-6)$$=-42$" }, { "question": "$(\\sqrt{6})^2$의 양의 제곱근을 $A$, $(-12)^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A^2-B$의 값을 구하여라.", "answer": "$(\\sqrt{6})^2=6$의 양의 제곱근은 $\\sqrt{6}$이므로 $A=\\sqrt{6}$ $(-12)^2=144$의 음의 제곱근은 $-12$이므로 $B=-12$ $\\therefore$ $A^2-B=(\\sqrt{6})^2-(-12)=18$" }, { "question": "$\\sqrt{4^2}$의 양의 제곱근을 $x$, $(\\sqrt{9})^2$의 음의 제곱근을 $y$라 할 때, $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{4^2}$$=4$의 양의 제곱근은 $2$이므로 $x=2$ $(\\sqrt{9})^2$$=9$의 음의 제곱근은 $-3$이므로 $y=-3$ $∴$ $x-y$$=2-(-3)$$=5$" }, { "question": "$(-\\sqrt{21})^2$의 음의 제곱근을 $A$, $7^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $A^2+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$(-\\sqrt{21})^2$$=21$의 음의 제곱근은 $-\\sqrt{21}$이므로 $A=-\\sqrt{21}$ $7^2$$=49$의 양의 제곱근은 $7$이므로 $B=7$ $∴ A^2+B$$=(-\\sqrt{21})^2+7$$=28$" }, { "question": "두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{\\frac{18a}{5}}=b$일 때, $a+b$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{18a}{5}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{18a}{5}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{18a}{5}=\\frac{2\\times3^2\\times a}{5}$이므로 $a$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $a+b$의 값이 최소이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=2\\times5\\times1^2$$=10$ $a=10$을 대입하면 $b$$=$$\\sqrt{\\frac{18a}{5}}$$=$$\\sqrt{\\frac{18\\times10}{5}}$$=$$\\sqrt{36}$$=$$6$ $∴$ $a+b$$=10+6$$=16$" }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $10$, 아랫변의 길이가 $6$, 높이가 $8$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(10+6)\\times8$$=64$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=64$ $x>0$이므로 $x=8$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $8$이다." }, { "question": "두 자연수 $m$, $n$에 대하여 $\\sqrt{30n}=m$일 때, $m+n$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{30n}$이 자연수가 되려면 $30n$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $30n=2\\times3\\times5\\times n$이므로 $n$은 $2\\times3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $n$의 값이 최소일 때, $m+n$의 값이 최소이므로 가장 작은 $n$의 값을 구하면 $n$$=2\\times3\\times5\\times1^2$$=30$ $n=30$을 대입하면 $m$$=$$\\sqrt{30n}$$=$$\\sqrt{30\\times30}$$=$$\\sqrt{900}$$=$$30$ $∴ m+n$$=30+30$$=60$" }, { "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $5$, 아랫변의 길이가 $7$, 높이가 $6$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(5+7)\\times6$$=36$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=36$ $x>0$이므로 $x=6$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $6$이다." }, { "question": "$(\\sqrt{25})^2$의 양의 제곱근을 $a$, $\\sqrt{(-49)^2}$의 음의 제곱근을 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(\\sqrt{25})^2$$=25$의 양의 제곱근은 $5$이므로 $a=5$ $\\sqrt{(-49)^2}$$=49$의 음의 제곱근은 $-7$이므로 $b=-7$ $∴ a+b$$=5+(-7)$$=-2$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{54}{x}}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{54}{x}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{54}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{54}{x}=\\frac{2\\times3^3}{x}$이므로 $x$는 $54$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2\\times3\\times1^2$$=6$" }, { "question": "밑변의 길이가 $7$, 높이가 $6$인 삼각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times7\\times6$$=21$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x^2=21$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{21}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{21}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{(-64)^2}$의 음의 제곱근을 $A$, $(-\\sqrt{25})^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{(-64)^2}$$=64$의 음의 제곱근은 $-8$이므로 $A=-8$ $(-\\sqrt{25})^2$$=25$의 양의 제곱근은 $5$이므로 $B=5$ $∴ A+B$$=-8+5$$=-3$" }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{16}+\\sqrt{(-2)^2}-(\\sqrt{5})^2$ $B=\\sqrt{100}\\times\\sqrt{(-\\frac{1}{5})^2}$", "answer": "$A$$=\\sqrt{16}+\\sqrt{(-2)^2}-(\\sqrt{5})^2$$=4+2-5$$=1$ $B$$=\\sqrt{100}\\times\\sqrt{(\\frac{1}{5})^2}$$=10\\times\\frac{1}{5}$$=2$ $∴ A+B$$=1+2$$=3$" }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $B-A$의 값을 구하여라. $A=(\\sqrt{8})^2\\div\\sqrt{16}\\times\\sqrt{(-5)^2}$ $B=\\sqrt{6^2}\\times(-\\sqrt{7})^2\\div\\sqrt{(\\frac{3}{4})^2}$", "answer": "$A$$=(\\sqrt{8})^2\\div\\sqrt{16}\\times\\sqrt{(-5)^2}$$=8\\div4\\times5$$=10$ $B$$=\\sqrt{6^2}\\times(-\\sqrt{7})^2\\div\\sqrt{(\\frac{3}{4})^2}$$=6\\times7\\div\\frac{3}{4}$$=56$ $∴ B-A$$=56-10$$=46$" }, { "question": "한 변의 길이가 $14$ $cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $14\\times14=196 (cm^2)$ $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times196=98 (cm^2)$ $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times98=49 (cm^2)$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $x^2=49$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $7$ $cm$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 $12cm$ 인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $12\\times12=144$ ($cm^2$) $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times144=72$ ($cm^2$) $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times72=36$ ($cm^2$) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=36$ $x>0$이므로 $x=6$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $6cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{(-10)^2}$의 양의 제곱근을 $a$, $(-5)^2$의 음의 제곱근을 $b$라 할 때, $a^2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{(-10)^2}$$=10$의 양의 제곱근은 $\\sqrt{10}$이므로 $a=\\sqrt{10}$ $(-5)^2$$=25$의 음의 제곱근은 $-5$이므로 $b=-5$ $∴$ $a^2b$$=(\\sqrt{10})^2\\times(-5)$$=-50$" }, { "question": "$a$, $b$가 다음과 같을 때, $a+b$의 값을 구하여라. $a=\\sqrt{144}-\\sqrt{(-5)^2}-\\sqrt{(-3)^2}$ $b=\\sqrt{(-4)^2}\\div(-\\sqrt{2})^2+\\sqrt{49}$", "answer": "$a$$=\\sqrt{144}-\\sqrt{(-5)^2}-\\sqrt{(-3)^2}$$=12-5-3$$=4$ $b$$=\\sqrt{(-4)^2}\\div(-\\sqrt{2})^2+\\sqrt{49}$$=4\\div2+7$$=2+7$$=9$ $∴ a+b$$=4+9$$=13$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{96}{a}}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{96}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{96}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{96}{a}=\\frac{2^5\\times3}{a}$이므로 $a$는 $96$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $2\\times3\\times1^2$$=6$" }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $\\frac{A}{B}$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{4^2}+\\sqrt{(-3)^2}\\times(\\sqrt{\\frac{5}{3}})^2$ $B=(-\\sqrt{2})^2\\times\\sqrt{9}-\\sqrt{3^2}$", "answer": "$A$$=\\sqrt{4^2}+\\sqrt{(-3)^2}\\times(\\sqrt{\\frac{5}{3}})^2$$=4+3\\times\\frac{5}{3}$$=4+5$$=9$ $B$$=(-\\sqrt{2})^2\\times\\sqrt{9}-\\sqrt{3^2}$$=2\\times3-3$$=6-3$$=3$ $∴$ $\\frac{A}{B}$$=\\frac{9}{3}$$=3$" }, { "question": "$\\sqrt{120x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 세 자리의 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{120x}$가 자연수가 되려면 $120x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $120x=2^3\\times3\\times5\\times x$이므로 $x$는 $2\\times3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $x$의 값은 $2\\times3\\times5\\times1^2=30$$,$ $2\\times3\\times5\\times2^2=120$$,$ $2\\times3\\times5\\times3^2=270$$,$ $2\\times3\\times5\\times4^2=480$, $···$이다. 따라서 가장 작은 세 자리의 자연수 $x$의 값은 $120$이다." }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{49}+\\sqrt{(-1)^2}-(\\sqrt{5})^2$ $B=\\sqrt{121}-\\sqrt{(-4)^2}$", "answer": "$A$$=\\sqrt{49}+\\sqrt{(-1)^2}-(\\sqrt{5})^2$$=7+1-5$$=3$ $B$$=\\sqrt{121}-\\sqrt{(-4)^2}$$=11-4$$=7$ $∴$ $A+B$$=3+7$$=10$" }, { "question": "$\\sqrt{72-x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{72-x}$가 자연수가 되려면 $72-x$는 $72$보다 작은 제곱수이어야 한다. $72$보다 작은 제곱수는 $64$, $49$, $36$,$ ···$, $4$, $1$이고 $x$는 가장 작은 자연수이므로 $72-x=64$ $∴ x=8$" }, { "question": "$(-\\sqrt{15})^2$의 양의 제곱근을 $A$, $5^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A^2+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$(-\\sqrt{15})^2$$=15$의 양의 제곱근은 $\\sqrt{15}$이므로 $A=\\sqrt{15}$ $5^2$$=25$의 음의 제곱근은 $-5$이므로 $B=-5$ $\\therefore A^2+B$$=(\\sqrt{15})^2+(-5)$$=10$" }, { "question": "$x$, $y$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{54}{x}}=y$일 때, $y$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{54}{x}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{54}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{54}{x}=\\frac{2\\times3^3}{x}$이므로 $x$는 $54$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $x$의 값이 최소일 때, $y$의 값은 최대이므로 가장 작은 $x$의 값을 구하면 $x$$=2\\times3\\times1^2$$=6$ $x=6$을 대입하면 $y$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{54}{x}}=\\sqrt{\\frac{54}{6}}=\\sqrt{9}=3$" }, { "question": "한 변의 길이가 $18cm$인 정사각형 모양의 색종이를 넓이가 반인 정사각형이 되도록 접는 과정을 $2$ 번 반복하였다. 이때 생긴 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 정사각형의 넓이는 $18\\times18=324 (cm^2)$ $1$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times324=162 (cm^2)$ $2$ 번 접었을 때 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times162=81 (cm^2)$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=81$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "$m$, $n$이 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{60}{m}}=n$일 때, $n$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{60}{m}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{60}{m}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{60}{m}=\\frac{2^2\\times3\\times5}{m}$이므로 $m$은 $60$의 약수이면서 $3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $m$의 값이 최소일 때, $n$의 값은 최대이므로 가장 작은 $m$의 값을 구하면 $m$$=3\\times5\\times1^2$$=15$ $m=15$를 대입하면 $n$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{60}{m}}=\\sqrt{\\frac{60}{15}}=\\sqrt{4}=2$" }, { "question": "$\\sqrt{216a}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 두 자리의 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{216a}$가 자연수가 되려면 $216a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $216a=2^3\\times3^3\\times a$이므로 $a$는 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $a$의 값은 $2\\times3\\times1^2=6$$,$ $2\\times3\\times2^2=24$$,$ $2\\times3\\times3^2=54$$,$ $2\\times3\\times4^2=96$, ···이다. 따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 $a$의 값은 $24$이다." }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{(-1)^2}\\times\\sqrt{2^2}\\div(\\sqrt{0.1})^2$ $B=\\sqrt{36}-(\\sqrt{16})^2$", "answer": "$A$$=\\sqrt{(-1)^2}\\times\\sqrt{2^2}\\div(\\sqrt{0.1})^2$$=1\\times2\\div0.1$$=20$ $B$$=\\sqrt{36}-(\\sqrt{16})^2$$=6-16$$=-10$ $∴ A+B$$=20+(-10)$$=10$" }, { "question": "$\\sqrt{20x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 두 자리의 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{20x}$가 자연수가 되려면 $20x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $20x=2^2\\times5\\times x$이므로 $x$는 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $x$의 값은 $5\\times1^2=5$$,$ $5\\times2^2=20$$,$ $5\\times3^2=45$$,$ $5\\times4^2=80, ···$이다. 따라서 가장 작은 두 자리의 자연수 $x$의 값은 $20$이다." }, { "question": "$x$, $y$가 다음과 같을 때, $x-y$의 값을 구하여라. $x=\\sqrt{400}-\\sqrt{(-8)^2}+(-\\sqrt{6})^2$ $y=\\sqrt{121}-\\sqrt{(-5)^2}\\div\\sqrt{\\frac{25}{16}}$", "answer": "$x$$=\\sqrt{400}-\\sqrt{(-8)^2}+(-\\sqrt{6})^2$$=20-8+6$$=18$ $y$$=\\sqrt{121}-\\sqrt{(-5)^2}\\div\\sqrt{\\frac{25}{16}}$$=11-5\\div\\frac{5}{4}$$=11-4$$=7$ $∴$ $x-y$$=18-7$$=11$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{12}{13}x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 세 자리의 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{12}{13}x}$가 자연수가 되려면 $\\frac{12}{13}x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{12}{13}x=\\frac{2^2\\times3}{13}\\times x$이므로 $x$는 $3\\times13\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $x$의 값은 $3\\times13\\times1^2=39$$,$ $3\\times13\\times2^2=156$$,$ $3\\times13\\times3^2=351$$,$ $3\\times13\\times4^2=624$, ···이다. 따라서 가장 작은 세 자리의 자연수 $x$의 값은 $156$이다." }, { "question": "$\\sqrt{48a}$가 자연수가 되도록 하는 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{48a}$가 자연수가 되려면 $48a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $48a=2^4\\times3\\times a$이므로 $a$는 $3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $a$의 값은 $3\\times1^2=3$,$3\\times2^2=12$,$3\\times3^2=27$, $···$이다. 따라서 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값은 $12$이다." }, { "question": "$A$, $B$가 다음과 같을 때, $A-B$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{2^2}-\\sqrt{(-3)^2}$ $B=-\\sqrt{1.69}+\\sqrt{0.09}$", "answer": "$A$$=\\sqrt{2^2}-\\sqrt{(-3)^2}$$=2-3$$=-1$ $B$$=-\\sqrt{1.69}+\\sqrt{0.09}$$=-1.3+0.3$$=-1$ $∴$ $A-B$$=(-1)-(-1)$$=0$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{72}{5}a}$가 자연수가 되도록 하는 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{72}{5}a}$가 자연수가 되려면 $\\frac{72}{5}a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{72}{5}a=\\frac{2^3\\times3^2}{5}\\times a$이므로 $a$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $a$의 값은 $2\\times5\\times1^2=10$$,$ $2\\times5\\times2^2=40$$,$ $2\\times5\\times3^2=90$, $···$이다. 따라서 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값은 $40$이다." }, { "question": "$\\sqrt{84a}$가 자연수가 되도록 하는 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{84a}$가 자연수가 되려면 $84a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $84a=2^2\\times3\\times7\\times a$이므로 $a$는 $3\\times7\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $a$의 값은 $3\\times7\\times1^2=21$$,$ $3\\times7\\times2^2=84$$,$ $3\\times7\\times3^2=189$, ···이다. 따라서 두 번째로 작은 자연수 $a$의 값은 $84$이다." }, { "question": "$a$, $b$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{150}{a}}=b$일 때, $b$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{150}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{150}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{150}{a}=\\frac{2\\times3\\times5^2}{a}$이므로 $a$는 $150$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $b$의 값은 최대이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=2\\times3\\times1^2$$=6$ $a=6$을 대입하면 $b$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{150}{a}}=\\sqrt{\\frac{150}{6}}=\\sqrt{25}=5$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{72}{x}}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{72}{x}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{72}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{72}{x}=\\frac{2^3\\times3^2}{x}$이므로 $x$는 $72$의 약수이면서 $2\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2\\times1^2$$=2$" }, { "question": "$\\sqrt{300-x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{300-x}$가 자연수가 되려면 $300-x$는 $300$보다 작은 제곱수이어야 한다. $300$보다 작은 제곱수는 $289$, $256$, $225$, ···, $4$, $1$이고 $x$는 가장 작은 자연수이므로 $300-x=289$ $∴$ $x=11$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\\sqrt{72ab}$가 가장 작은 자연수가 되는 경우의 수를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{72ab}$가 자연수가 되려면 $72ab$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $72ab=2^3\\times3^2\\times a\\times b$이므로 $ab$는 $2\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $ab$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $ab$$=2\\times1^2$$=2$ $ab=2$가 되는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(1, 2)$, $(2, 1)$이고 그 경우의 수는 $2$이다." }, { "question": "$\\sqrt{42+a}=b$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$의 값이 최소일 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{42+a}$가 자연수가 되려면 $42+a$는 $42$보다 큰 제곱수이어야 한다. $42$보다 큰 제곱수는 $49$, $64$, $81$, ···이고 $a$의 값이 최소이므로 $42+a=49$ $∴$ $a=7$ $a=7$을 대입하면 $b$$=\\sqrt{42+a}$$=\\sqrt{42+7}$$=\\sqrt{49}$$=7$ $∴$ $ab$$=7\\times7$$=49$" }, { "question": "$\\sqrt{31-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{31-x}$가 정수가 되려면 $31-x$는 $31$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $31-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$ $∴$ $x=31$, $30$, $27$, $22$, $15$, $6$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $6$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{250a}$가 자연수가 되도록 하는 세 번째로 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{250a}$가 자연수가 되려면 $250a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $250a=2\\times5^3\\times a$이므로 $a$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $a$의 값은 $2\\times5\\times1^2=10$$,$ $2\\times5\\times2^2=40$$,$ $2\\times5\\times3^2=90$$,$ $2\\times5\\times4^2=160$, ···이다. 따라서 세 번째로 작은 자연수 $a$의 값은 $90$이다." }, { "question": "두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{\\frac{8}{15}a}=b$일 때, $ab$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{8}{15}a}$가 자연수가 되려면 $\\frac{8}{15}a$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{8}{15}a=\\frac{2^3}{3\\times5}\\times a$이므로 $a$는 $2\\times3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $ab$의 값이 최소이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=2\\times3\\times5\\times1^2$$=30$ $a=30$을 대입하면 $b$$=$$\\sqrt{\\frac{8}{15}a}$$=$$\\sqrt{\\frac{8}{15}\\times30}$$=$$\\sqrt{16}$$=$$4$ $∴$$ab$$=30\\times4$$=120$" }, { "question": "$a$, $b$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{80}{a}}=b$일 때, $b$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{80}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{80}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{80}{a}=\\frac{2^4\\times5}{a}$이므로 $a$는 $80$의 약수이면서 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $b$의 값은 최대이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=5\\times1^2$$=5$ $a=5$를 대입하면 $b$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{80}{a}}=\\sqrt{\\frac{80}{5}}=\\sqrt{16}=4$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{120}{a}}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{120}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{120}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{120}{a}=\\frac{2^3\\times3\\times5}{a}$이므로 $a$는 $120$의 약수이면서 $2\\times3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $2\\times3\\times5\\times1^2=30$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{630}{x}}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{630}{x}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{630}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{630}{x}=\\frac{2\\times3^2\\times5\\times7}{x}$이므로 $x$는 $630$의 약수이면서 $2\\times5\\times7\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2\\times5\\times7\\times1^2$$=70$" }, { "question": "$x$, $y$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{240}{x}}=y$일 때, $y$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{240}{x}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{240}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{240}{x}=\\frac{2^4\\times3\\times5}{x}$이므로 $x$는 $240$의 약수이면서 $3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $x$의 값이 최소일 때, $y$의 값은 최대이므로 가장 작은 $x$의 값을 구하면 $x$$=3\\times5\\times1^2$$=15$ $x=15$를 대입하면 $y$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{240}{x}}=\\sqrt{\\frac{240}{15}}=\\sqrt{16}=4$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{180}{a}}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{180}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{180}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{180}{a}=\\frac{2^2\\times3^2\\times5}{a}$이므로 $a$는 $180$의 약수이면서 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $5\\times1^2$$=5$" }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{150}{x}}$이 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{150}{x}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{150}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{150}{x}=\\frac{2\\times3\\times5^2}{x}$이므로 $x$는 $150$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2\\times3\\times1^2$$=6$" }, { "question": "$\\sqrt{26+x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{26+x}$가 자연수가 되려면 $26+x$는 $26$보다 큰 제곱수이어야 한다. $26$보다 큰 제곱수는 $36$, $49$, $64$, ···이고 $x$는 가장 작은 자연수이므로 $26+x=36$ ∴ $x=10$" }, { "question": "두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{\\frac{20a}{3}}=b$일 때, $ab$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{20a}{3}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{20a}{3}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{20a}{3}=\\frac{2^2\\times5\\times a}{3}$이므로 $a$는 $3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $ab$의 값이 최소이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a=3\\times5\\times1^2=15$ $a=15$를 대입하면 $b=\\sqrt{\\frac{20a}{3}}=\\sqrt{\\frac{20\\times15}{3}}=\\sqrt{100}=10$ $∴ ab=15\\times10=150$" }, { "question": "$\\sqrt{81+a}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{81+a}$가 자연수가 되려면 $81+a$는 $81$보다 큰 제곱수이어야 한다. $81$보다 큰 제곱수는 $100$, $121$, $144$, ···이고 $a$는 가장 작은 자연수이므로 $81+a=100$ ∴ $a=19$" }, { "question": "$\\sqrt{22-x}$가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{22-x}$가 자연수가 되려면 $22-x$는 $22$보다 작은 제곱수이어야 한다. $22-x=1$, $4$, $9$, $16$ $∴$ $x=21$, $18$, $13$, $6$ 따라서 구하는 자연수 $x$의 합은 $21+18+13+6$$=58$" }, { "question": "$\\sqrt{20-x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{20-x}$가 자연수가 되려면 $20-x$는 $20$보다 작은 제곱수이어야 한다. $20$보다 작은 제곱수는 $16$, $9$, $4$, $1$이고 $x$는 가장 작은 자연수이므로 $20-x=16$ $∴$ $x=4$" }, { "question": "$\\sqrt{128x}$가 자연수가 되도록 하는 두 번째로 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{128x}$가 자연수가 되려면 $128x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $128x=2^7\\times x$이므로 $x$는 $2\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가능한 $x$의 값은 $2\\times1^2=2$$,$ $2\\times2^2=8$$,$ $2\\times3^2=18$, ···이다. 따라서 두 번째로 작은 자연수 $x$의 값은 $8$이다." }, { "question": "두 자연수 $x$, $y$에 대하여 $\\sqrt{40x}=y$일 때, $x+y$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{40x}$가 자연수가 되려면 $40x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $40x=2^3\\times5\\times x$이므로 $x$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $x$의 값이 최소일 때, $x+y$의 값이 최소이므로 가장 작은 $x$의 값을 구하면 $x$$=2\\times5\\times1^2$$=10$ $x=10$을 대입하면 $y$$=$$\\sqrt{40x}$$=$$\\sqrt{40\\times10}$$=$$\\sqrt{400}$$=$$20$ $∴$ $x+y$$=10+20$$=30$" }, { "question": "$\\sqrt{56-a}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $a$의 개수를 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{56-a}$가 정수가 되려면 $56-a$는 $56$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $56-a=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$ $∴ a=56$, $55$, $52$, $47$, $40$, $31$, $20$, $7$ 따라서 구하는 자연수 $a$는 $8$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{32-a}$가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{32-a}$가 자연수가 되려면 $32-a$는 $32$보다 작은 제곱수이어야 한다. $32-a=1$, $4$, $9$, $16$, $25$ $∴ a=31$, $28$, $23$, $16$, $7$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 합은 $31+28+23+16+7$$=105$" }, { "question": "$\\sqrt{44-a}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $a$의 개수를 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{44-a}$가 정수가 되려면 $44-a$는 $44$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $44-a=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$ $∴ a=44$, $43$, $40$, $35$, $28$, $19$, $8$ 따라서 구하는 자연수 $a$는 $7$ 개이다." }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{20xy}$가 가장 작은 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{20xy}$가 자연수가 되려면 $20xy$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $20xy=2^2\\times5\\times xy$이므로 $xy$는 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $xy$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $xy=5\\times1^2=5$ 주사위를 던져서 나오는 모든 경우의 수는 $36$ $xy=5$인 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 5)$, $(5, 1)$이고 그 경우의 수는 $2$ 따라서 $\\sqrt{20xy}$가 가장 작은 자연수가 될 확률은 $\\frac{2}{36}=\\frac{1}{18}$" }, { "question": "$a$, $b$가 자연수이고 $\\sqrt{\\frac{200}{a}}=b$일 때, $b$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{200}{a}}$이 자연수가 되려면 $\\frac{200}{a}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{200}{a}=\\frac{2^3\\times5^2}{a}$이므로 $a$는 $200$의 약수이면서 $2\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $a$의 값이 최소일 때, $b$의 값은 최대이므로 가장 작은 $a$의 값을 구하면 $a$$=2\\times1^2$$=2$ $a=2$를 대입하면 $b$의 최댓값은 $\\sqrt{\\frac{200}{a}}=\\sqrt{\\frac{200}{2}}=\\sqrt{100}=10$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\\sqrt{250ab}$가 가장 작은 자연수가 되는 경우의 수를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{250ab}$가 자연수가 되려면 $250ab$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $250ab=2\\times5^3\\times a\\times b$이므로 $ab$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $ab$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $ab$$=2\\times5\\times1^2$$=10$ $ab=10$이 되는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(2, 5)$, $(5, 2)$이고 그 경우의 수는 $2$이다." }, { "question": "$\\sqrt{24-a}$가 정수가 되도록 하는 모든 자연수 $a$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{24-a}$가 정수가 되려면 $24-a$는 $24$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $24-a=0$, $1$, $4$, $9$, $16$ $∴$ $a=24$, $23$, $20$, $15$, $8$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 합은 $24+23+20+15+8$$=90$" }, { "question": "$\\sqrt{38-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{38-x}$가 정수가 되려면 $38-x$는 $38$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $38-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$ $∴ x=38$, $37$, $34$, $29$, $22$, $13$, $2$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $7$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{25-x}$가 정수가 되도록 하는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{25-x}$가 정수가 되려면 $25-x$는 $25$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $25-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$ $∴ x=25$, $24$, $21$, $16$, $9$ 따라서 구하는 자연수 $x$의 합은 $25+24+21+16+9$$=95$" }, { "question": "$\\sqrt{17-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{17-x}$가 정수가 되려면 $17-x$는 $17$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $17-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$ $∴ x=17$, $16$, $13$, $8$, $1$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $5$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{25-x}=y$를 만족시키는 자연수 $x, y$에 대하여 $x$의 값이 최소일 때, $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{25-x}$가 자연수가 되려면 $25-x$는 $25$보다 작은 제곱수이어야 한다. $25$보다 작은 제곱수는 $16$, $9$, $4$, $1$이고 $x$의 값이 최소이므로 $25-x=16$ ∴ $x=9$ $x=9$를 대입하면 $y$$=\\sqrt{25-x}$$=\\sqrt{25-9}$$=\\sqrt{16}$$=4$ ∴ $x+y$$=9+4$$=13$" }, { "question": "$\\sqrt{27-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{27-x}$가 정수가 되려면 $27-x$는 $27$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $27-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$ $∴ $$x=27$, $26$, $23$, $18$, $11$, $2$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $6$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{108+m}=n$을 만족시키는 자연수 $m$, $n$에 대하여 $m$의 값이 최소일 때, $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$이 자연수이므로 $\\sqrt{108+m}$이 자연수가 되려면 $108+m$은 $108$보다 큰 제곱수이어야 한다. $108$보다 큰 제곱수는 $121$, $144$, $169$, ···이고 $m$의 값이 최소이므로 $108+m=121$ $∴ m=13$ $m=13$을 대입하면 $n$$=\\sqrt{108+m}$$=\\sqrt{108+13}$$=\\sqrt{121}$$=11$ $∴ m+n$$=13+11$$=24$" }, { "question": "$\\sqrt{48-a}=b$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$의 값이 최소일 때, $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{48-a}$가 자연수가 되려면 $48-a$는 $48$보다 작은 제곱수이어야 한다. $48$보다 작은 제곱수는 $36$, $25$, $16$, $9$, $4$, $1$이고 $a$의 값이 최소이므로 $48-a=36$ $∴$ $a=12$ $a=12$를 대입하면 $b$$=\\sqrt{48-a}$$=\\sqrt{48-12}$$=\\sqrt{36}$$=6$ $∴$ $\\frac{b}{a}$$=\\frac{6}{12}$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{150-x}=y$를 만족시키는 자연수 $x$, $y$에 대하여 $x$의 값이 최소일 때, $\\frac{x}{y}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{150-x}$가 자연수가 되려면 $150-x$는 $150$보다 작은 제곱수이어야 한다. $150$보다 작은 제곱수는 $144$, $121$, $100$, ···, $4$, $1$이고 $x$의 값이 최소이므로 $150-x=144$ $∴ x=6$ $x=6$을 대입하면 $y$$=\\sqrt{150-x}$$=\\sqrt{150-6}$$=\\sqrt{144}$$=12$ $∴ \\frac{x}{y}$$=\\frac{6}{12}$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{160xy}$가 가장 작은 자연수가 되는 경우의 수를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{160xy}$가 자연수가 되려면 $160xy$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $160xy=2^5\\times5\\times x\\times y$이므로 $xy$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $xy$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $xy$$=2\\times5\\times1^2$$=10$ $xy=10$이 되는 순서쌍 ($x$, $y$)를 구하면 ($2$, $5$), ($5$,$ 2$)이고 그 경우의 수는 $2$이다." }, { "question": "$\\sqrt{105+a}=b$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$의 값이 최소일 때, $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{105+a}$가 자연수가 되려면 $105+a$는 $105$보다 큰 제곱수이어야 한다. $105$보다 큰 제곱수는 $121$, $144$, $169$, $···$이고 $a$의 값이 최소이므로 $105+a=121$ $∴$ $a=16$ $a=16$을 대입하면 $b$$=\\sqrt{105+a}$$=\\sqrt{105+16}$$=\\sqrt{121}$$=11$ $∴$ $a-b$$=16-11$$=5$" }, { "question": "$\\sqrt{88-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.", "answer": "$x$는 자연수이므로 $\\sqrt{88-x}$가 정수가 되려면 $88-x$는 $88$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $88-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ $∴ x=88$, $87$, $84$, $79$, $72$, $63$, $52$, $39$, $24$, $7$ $x$의 값이 될 수 있는 수 중 최댓값은 $88$, 최솟값은 $7$이므로 그 합은 $88+7=95$" }, { "question": "$\\sqrt{64-x}$가 자연수가 되도록 하는 자연수 $x$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라.", "answer": "$x$는 자연수이므로 $\\sqrt{64-x}$가 자연수가 되려면 $64-x$는 $64$보다 작은 제곱수이어야 한다. $64-x=1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$ $∴ x=63$, $60$, $55$, $48$, $39$, $28$, $15$ $x$의 값이 될 수 있는 수 중 최댓값은 $63$, 최솟값은 $15$이므로 그 차는 $63-15=48$" }, { "question": "$\\sqrt{16-x}$가 정수가 되도록 하는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{16-x}$가 정수가 되려면 $16-x$는 $16$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $16-x=0$, $1$, $4$, $9$ $∴$ $x=16$, $15$, $12$, $7$ 따라서 구하는 자연수 $x$의 합은 $16+15+12+7$$=50$" }, { "question": "$1<\\sqrt{x-1}<2$를 만족시키는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$1<\\sqrt{x-1}<2$에서 $\\sqrt{1}<\\sqrt{x-1}<\\sqrt{4}$이므로 $1$$0$이므로 $a>b$ $∴ b$$0$이므로 $a>b$ $∴$ $b$$0$이므로 $a>b$ $∴$ $b0$이므로 $a>c$ $b-c$$=(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})-(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})=-2\\sqrt{3}<0$이므로 $b0$이므로 $x$$=\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}$ 따라서 한 변의 길이는 $2\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "$6\\le\\sqrt{12a}\\le12$를 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라.", "answer": "$6\\le\\sqrt{12a}\\le12$에서 $\\sqrt{36}\\le\\sqrt{12a}\\le\\sqrt{144}$이므로 $36\\le12a\\le144$ $∴ 3\\le a\\le12$ 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 $a$는 $3$, $4$, $5$, ···, $11$, $12$의 $10$ 개이다." }, { "question": "유리수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $\\sqrt{600}=a\\sqrt{6}$, $\\sqrt{50}=5\\sqrt{b}$, $\\sqrt{240}=c\\sqrt{15}$일 때, $\\sqrt{abc}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{600}=\\sqrt{10^2\\times6}=10\\sqrt{6}$ $∴ a=10$ $\\sqrt{50}=\\sqrt{5^2\\times2}=5\\sqrt{2}$ $∴ b=2$ $\\sqrt{240}=\\sqrt{4^2\\times15}=4\\sqrt{15}$ $∴ c=4$ $∴ \\sqrt{abc}=\\sqrt{10\\times2\\times4}=\\sqrt{4^2\\times5}=4\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{25-x}-\\sqrt{15+y}$가 가장 큰 정수가 되도록 하는 자연수 $x$, $y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "$A-B$가 가장 큰 정수가 되려면 $A$는 가장 크고 $B$는 가장 작은 정수가 되어야 한다. $x$는 자연수이므로 $\\sqrt{25-x}$가 가장 큰 정수가 되려면 $25-x$는 $25$보다 작은 제곱수 중 가장 큰 수여야 한다. $25-x=16$ $∴$ $x=9$ $y$는 자연수이므로 $\\sqrt{15+y}$가 가장 작은 정수가 되려면 $15+y$는 $15$보다 큰 제곱수 중 가장 작은 수여야 한다. $15+y=16$ $∴$ $y=1$ $∴$ $x+y$$=9+1$$=10$" }, { "question": "유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{50}=a\\sqrt{2}$, $\\sqrt{40}=2\\sqrt{b}$일 때, $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{50}$$=\\sqrt{5^2\\times2}$$=5\\sqrt{2}$ $∴$ $a=5$ $\\sqrt{40}$$=\\sqrt{2^2\\times10}$$=2\\sqrt{10}$ $∴$ $b=10$ $∴$ $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$$=\\sqrt{\\frac{10}{5}}$$=\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{3}\\le\\sqrt{5x}<\\sqrt{50}$을 만족시키는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{3}\\le\\sqrt{5x}<\\sqrt{50}$에서 $3\\le5x<50$ $∴ \\frac{3}{5}\\le x<10$ 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 $x$는 $1$, $2$, $3$, $···$, $8$, $9$의 $9$ 개이다." }, { "question": "다음 식을 만족시키는 양의 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $\\sqrt{\\frac{21}{4}}\\times\\sqrt{\\frac{8}{3}}\\times\\sqrt{\\frac{5}{7}}=\\sqrt{a}$$, $$\\frac{\\sqrt{24}}{\\sqrt{45}}\\div\\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{15}}=\\sqrt{b}$", "answer": "$\\sqrt{\\frac{21}{4}}\\times\\sqrt{\\frac{8}{3}}\\times\\sqrt{\\frac{5}{7}}$$=\\sqrt{\\frac{21}{4}\\times\\frac{8}{3}\\times\\frac{5}{7}}$$=\\sqrt{10}$ $∴ a=10$ $\\frac{\\sqrt{24}}{\\sqrt{45}}\\div\\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{15}}$$=\\sqrt{\\frac{24}{45}}\\times\\sqrt{\\frac{15}{4}}$$=\\sqrt{\\frac{24}{45}\\times\\frac{15}{4}}$$=\\sqrt{2}$ $∴ b=2$ $∴ a+b$$=10+2$$=12$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 밑변 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $x\\times\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{40}\\times\\sqrt{18}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{10}\\times3\\sqrt{2}=6\\sqrt{5}$ $2\\sqrt{3}x=6\\sqrt{5}$ $∴ x$$=\\frac{6\\sqrt{5}}{2\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{15}$" }, { "question": "다음 식을 만족시키는 양의 유리수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라. $\\sqrt{\\frac{3}{2}}\\times\\sqrt{10}\\times\\sqrt{\\frac{1}{3}}=\\sqrt{a}$$, $$\\frac{\\sqrt{14}}{\\sqrt{2}}\\div\\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{6}}=\\sqrt{b}$", "answer": "$\\sqrt{\\frac{3}{2}}\\times\\sqrt{10}\\times\\sqrt{\\frac{1}{3}}$$=\\sqrt{\\frac{3}{2}\\times10\\times\\frac{1}{3}}$$=\\sqrt{5}$ $∴ a=5$ $\\frac{\\sqrt{14}}{\\sqrt{2}}\\div\\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{6}}$$=\\sqrt{\\frac{14}{2}}\\times\\sqrt{\\frac{6}{7}}$$=\\sqrt{\\frac{14}{2}\\times\\frac{6}{7}}$$=\\sqrt{6}$ $∴ b=6$ $∴ b-a$$=6-5$$=1$" }, { "question": "$4\\le\\sqrt{4x}<6$을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$4\\le\\sqrt{4x}<6$에서 $\\sqrt{16}\\le\\sqrt{4x}<\\sqrt{36}$이므로 $16\\le4x<36$ $∴4\\le x<9$ 부등식을 만족시키는 자연수 $x$는 $4$, $5$, $6$, $7$, $8$이다. 따라서 $x$의 값의 합은 $4+5+6+7+8$$=30$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\\sqrt{90ab}$가 가장 작은 자연수가 되는 경우의 수를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{90ab}$가 자연수가 되려면 $90ab$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $90ab=2\\times3^2\\times5\\times a\\times b$이므로 $ab$는 $2\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $ab$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $ab$$=2\\times5\\times1^2$$=10$ $ab=10$이 되는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(2, 5)$, $(5, 2)$이고 그 경우의 수는 $2$이다." }, { "question": "$\\sqrt{33-x}$가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{33-x}$가 자연수가 되려면 $33-x$는 $33$보다 작은 제곱수이어야 한다. $33-x=1$, $4$, $9$, $16$, $25$ $∴ x=32$, $29$, $24$, $17$, $8$ 따라서 구하는 자연수 $x$의 합은 $32+29+24+17+8$$=110$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $2\\sqrt{3}$ $cm$인 원뿔의 부피가 $12\\sqrt{3}\\pi$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "원뿔의 높이를 $x$ $cm$라 하면 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\times x=12\\sqrt{3}\\pi$ $4\\pi x=12\\sqrt{3}\\pi$ $∴$ $x$$=\\frac{12\\sqrt{3}\\pi}{4\\pi}$$=3\\sqrt{3}$ 따라서 원뿔의 높이는 $3\\sqrt{3}$ $cm$이다." }, { "question": "다음 식을 만족시키는 양의 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $\\frac{\\sqrt{20}}{\\sqrt{8}}\\div\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}=\\sqrt{a}$$, $$\\sqrt{12}\\times\\sqrt{\\frac{6}{9}}\\times\\sqrt{\\frac{5}{8}}=\\sqrt{b}$", "answer": "$\\frac{\\sqrt{20}}{\\sqrt{8}}\\div\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}$$=\\sqrt{\\frac{20}{8}}\\times\\sqrt{\\frac{6}{5}}$$=\\sqrt{\\frac{20}{8}\\times\\frac{6}{5}}$$=\\sqrt{3}$ $∴ a=3$ $\\sqrt{12}\\times\\sqrt{\\frac{6}{9}}\\times\\sqrt{\\frac{5}{8}}$$=\\sqrt{12\\times\\frac{6}{9}\\times\\frac{5}{8}}$$=\\sqrt{5}$ $∴ b=5$ $∴ a+b$$=3+5$$=8$" }, { "question": "다음 식을 만족시키는 양의 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-2b$의 값을 구하여라. $\\sqrt{30}\\div\\sqrt{\\frac{5}{7}}=\\sqrt{a}$$, $$\\sqrt{\\frac{3}{7}}\\times\\sqrt{\\frac{10}{6}}\\times\\sqrt{21}=\\sqrt{b}$", "answer": "$\\sqrt{30}\\div\\sqrt{\\frac{5}{7}}$$=\\sqrt{30}\\times\\sqrt{\\frac{7}{5}}$$=\\sqrt{30\\times\\frac{7}{5}}$$=\\sqrt{42}$ $∴ a=42$ $\\sqrt{\\frac{3}{7}}\\times\\sqrt{\\frac{10}{6}}\\times\\sqrt{21}$$=\\sqrt{\\frac{3}{7}\\times\\frac{10}{6}\\times21}$$=\\sqrt{15}$ $∴ b=15$ $∴ a-2b$$=42-2\\times15$$=12$" }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $10\\sqrt{3}$$ cm$, $2\\sqrt{5}$$ cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm (r>0$)라 하면 $\\pi\\times(10\\sqrt{3})^2+\\pi\\times(2\\sqrt{5})^2$$=\\pi r^2$ $300\\pi+20\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=320$ $ \\therefore r=\\sqrt{320}=8\\sqrt{5}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $8\\sqrt{5} cm$이다." }, { "question": "$3<\\sqrt{3(x+1)}<5$를 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{3(x+1)}<5$에서 $\\sqrt{9}<\\sqrt{3(x+1)}<\\sqrt{25}$이므로 $9<3(x+1)<25$ $3$$0$이므로 $b>c$ $a-c$$=(\\sqrt{3}+2)-(\\sqrt{3}+\\sqrt{5})$$=2-\\sqrt{5}$$=\\sqrt{4}-\\sqrt{5}$$<$$0$이므로 $a0$이므로 $x$$=\\sqrt{40}$$=2\\sqrt{10}$ 따라서 한 변의 길이는 $2\\sqrt{10} cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 밑변 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $x\\times\\sqrt{20}$$=2\\sqrt{5}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{55}\\times\\sqrt{32}=\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{55}\\times4\\sqrt{2}=2\\sqrt{110}$ $2\\sqrt{5}x=2\\sqrt{110}$ ∴ $x$$=\\frac{2\\sqrt{110}}{2\\sqrt{5}}$$=\\sqrt{22}$" }, { "question": "$\\frac{4}{\\sqrt{6}}=a\\sqrt{6}$, $\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{27}}=b\\sqrt{6}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{4}{\\sqrt{6}}$$=\\frac{4\\times\\sqrt{6}}{\\sqrt{6}\\times\\sqrt{6}}$$=\\frac{4\\sqrt{6}}{6}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{3}$ $∴ a=\\frac{2}{3}$ $\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{27}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{3\\sqrt{3}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}}{3\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{3\\sqrt{6}}{9}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $∴b=\\frac{1}{3}$ $∴\\sqrt{ab}$$=\\sqrt{\\frac{2}{3}\\times\\frac{1}{3}}$$=\\sqrt{\\frac{2}{9}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "$\\frac{9\\sqrt{5}}{2\\sqrt{3}}=a\\sqrt{15}$, $\\frac{2}{3\\sqrt{2}}=b\\sqrt{2}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{9\\sqrt{5}}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{9\\sqrt{5}\\times\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{9\\sqrt{15}}{6}$$=\\frac{3\\sqrt{15}}{2}$ $∴ a=\\frac{3}{2}$ $\\frac{2}{3\\sqrt{2}}$$=\\frac{2\\times\\sqrt{2}}{3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{2}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$ $∴ b=\\frac{1}{3}$ $∴ \\sqrt{ab}$$=\\sqrt{\\frac{3}{2}\\times\\frac{1}{3}}$$=\\sqrt{\\frac{1}{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{2}0$이므로 $x$$=\\sqrt{20}$$=2\\sqrt{5}$ 따라서 한 변의 길이는 $2\\sqrt{5} cm$이다." }, { "question": "$\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{12}}=a\\sqrt{6}$, $\\frac{15}{\\sqrt{5}}=b\\sqrt{5}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{12}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{3\\sqrt{6}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{2}$ $ \\therefore a=\\frac{1}{2}$ $\\frac{15}{\\sqrt{5}}$$=\\frac{15\\times\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}\\times\\sqrt{5}}$$=\\frac{15\\sqrt{5}}{5}$$=3\\sqrt{5}$ $ \\therefore b=3$ $ \\therefore \\sqrt{ab}$$=\\sqrt{\\frac{1}{2}\\times3}$$=\\sqrt{\\frac{3}{2}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{2}$" }, { "question": "가로의 길이가 $\\sqrt{12} cm$, 세로의 길이가 $\\sqrt{3} cm$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $\\sqrt{12}\\times\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=6$ ($cm^2$) 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=6$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{6}$ 따라서 한 변의 길이는 $\\sqrt{6} cm$이다." }, { "question": "유리수 $a$, $b$에 대하여 $2\\sqrt{63}=a\\sqrt{7}$, $\\sqrt{120}=2\\sqrt{b}$일 때, $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$2\\sqrt{63}$$=2\\sqrt{3^2\\times7}$$=6\\sqrt{7}$ $∴$ $a=6$ $\\sqrt{120}$$=\\sqrt{2^2\\times30}$$=2\\sqrt{30}$ $∴$ $b=30$ $∴$ $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$$=\\sqrt{\\frac{30}{6}}$$=\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\frac{5\\sqrt{7}}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{21}$, $\\frac{6}{\\sqrt{150}}=b\\sqrt{6}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{5\\sqrt{7}}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{5\\sqrt{7}\\times\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}} =\\frac{5\\sqrt{21}}{3}$ $∴ a=\\frac{5}{3}$ $\\frac{6}{\\sqrt{150}} =\\frac{6}{5\\sqrt{6}} =\\frac{6\\times\\sqrt{6}}{5\\sqrt{6}\\times\\sqrt{6}} =\\frac{6\\sqrt{6}}{30}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{5}$ $∴ b=\\frac{1}{5}$ $∴ \\sqrt{ab} =\\sqrt{\\frac{5}{3}\\times\\frac{1}{5}} =\\sqrt{\\frac{1}{3}} =\\frac{\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{108}=a\\sqrt{3}$, $\\sqrt{112}=b\\sqrt{7}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{108}$$=\\sqrt{6^2\\times3}$$=6\\sqrt{3}$ $∴$ $a=6$ $\\sqrt{112}$$=\\sqrt{4^2\\times7}$$=4\\sqrt{7}$ $∴ $$b=4$ $∴$$\\sqrt{ab}$$=\\sqrt{6\\times4}$$=\\sqrt{2^2\\times6}$$=2\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $7$, $35$가 되었다. 이때 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $7$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{7}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $35$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{35}$ 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 $\\sqrt{7}\\times\\sqrt{35}$$=7\\sqrt{5}$" }, { "question": "유리수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $\\sqrt{112}=a\\sqrt{7}$, $\\sqrt{120}=2\\sqrt{b}$, $\\sqrt{45}=3\\sqrt{c}$일 때, $\\sqrt{\\frac{ab}{c}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{112}$$=\\sqrt{4^2\\times7}$$=4\\sqrt{7}$ ∴ $a=4$ $\\sqrt{120}$$=\\sqrt{2^2\\times30}$$=2\\sqrt{30}$ ∴ $b=30$ $\\sqrt{45}$$=\\sqrt{3^2\\times5}$$=3\\sqrt{5}$ ∴ $c=5$ ∴ $\\sqrt{\\frac{ab}{c}}$$=\\sqrt{\\frac{4\\times30}{5}}$$=\\sqrt{2^2\\times6}$$=2\\sqrt{6}$" }, { "question": "가로의 길이가 $\\sqrt{7} cm$, 세로의 길이가 $\\sqrt{28} cm$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 넓이는 $\\sqrt{7}\\times\\sqrt{28}$$=\\sqrt{7}\\times2\\sqrt{7}$$=14$ ($cm^2)\\\\$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=14$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{14}$ 따라서 한 변의 길이는 $\\sqrt{14} cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{28}\\times x$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}\\times x$$=\\sqrt{7}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{18}\\times\\sqrt{14}$$=3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{14}$$=6\\sqrt{7}$ $\\sqrt{7}x=6\\sqrt{7}$ $∴$ $x$$=\\frac{6\\sqrt{7}}{\\sqrt{7}}$$=6$" }, { "question": "$\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{6}$, $\\frac{5}{\\sqrt{8}}=b\\sqrt{2}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{3}$ $∴ a=\\frac{2}{3}$ $\\frac{5}{\\sqrt{8}}$$=\\frac{5}{2\\sqrt{2}}$$=\\frac{5\\times\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}\\times\\sqrt{2}}$$=\\frac{5\\sqrt{2}}{4}$ $∴ b=\\frac{5}{4}$ $∴ \\sqrt{ab}$$=\\sqrt{\\frac{2}{3}\\times\\frac{5}{4}}$$=\\sqrt{\\frac{5}{6}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{30}}{6}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 밑변의 길이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times\\sqrt{20}$$=\\frac{1}{2}\\times x\\times2\\sqrt{5}$$=\\sqrt{5}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{15}\\times\\sqrt{12}$$=\\sqrt{15}\\times2\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{5}$ $\\sqrt{5}x=6\\sqrt{5}$ $ \\therefore x$$=\\frac{6\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}}$$=6$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 밑변의 길이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times\\sqrt{24}$$=\\frac{1}{2}\\times x\\times2\\sqrt{6}$$=\\sqrt{6}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{18}\\times\\sqrt{10}$$=3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{10}$$=6\\sqrt{5}$ $\\sqrt{6}x=6\\sqrt{5}$ $∴ x=\\frac{6\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}$$=\\sqrt{30}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{32}\\times x$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times x$$=2\\sqrt{2}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{12}\\times\\sqrt{30}$$=2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{30}$$=6\\sqrt{10}$ $2\\sqrt{2}x=6\\sqrt{10}$ $∴ $$x$$=\\frac{6\\sqrt{10}}{2\\sqrt{2}}$$=3\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{60}\\times x$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{15}\\times x$$=\\sqrt{15}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{27}\\times\\sqrt{40}$$=3\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{10}$$=6\\sqrt{30}$ $\\sqrt{15}x=6\\sqrt{30}$ $∴ x$$=\\frac{6\\sqrt{30}}{\\sqrt{15}}$$=6\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times x$$=\\sqrt{3}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $2\\sqrt{2}\\times\\sqrt{15}$$=2\\sqrt{30}$ $\\sqrt{3}x=2\\sqrt{30}$ $∴ x$$=\\frac{2\\sqrt{30}}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{10}$" }, { "question": "유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{48}=4\\sqrt{a}$, $\\sqrt{72}=b\\sqrt{2}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{48}=\\sqrt{4^2\\times3}=4\\sqrt{3}$ $∴ a=3$ $\\sqrt{72}=\\sqrt{6^2\\times2}=6\\sqrt{2}$ $∴ b=6$ $∴\\sqrt{ab}=\\sqrt{3\\times6}=\\sqrt{3^2\\times2}=3\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times x$$=2\\sqrt{3}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $2\\sqrt{6}\\times\\sqrt{21}$$=6\\sqrt{14}$ $2\\sqrt{3}x=6\\sqrt{14}$ $∴ x$$=\\frac{6\\sqrt{14}}{2\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{42}$" }, { "question": "$\\frac{5\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{15}$, $\\frac{9}{\\sqrt{300}}=b\\sqrt{3}$일 때, $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$\\frac{5\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{5\\sqrt{5}\\times\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{5\\sqrt{15}}{3}$ $∴$ $a=\\frac{5}{3}$ $\\frac{9}{\\sqrt{300}}$$=\\frac{9}{10\\sqrt{3}}$$=\\frac{9\\times\\sqrt{3}}{10\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}}$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{30}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{10}$ $∴$ $b=\\frac{3}{10}$ $∴$ $\\sqrt{ab}$$=\\sqrt{\\frac{5}{3}\\times\\frac{3}{10}}$$=\\sqrt{\\frac{1}{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{28}\\times x$$=2\\sqrt{7}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{70}\\times\\sqrt{48}=\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{70}\\times4\\sqrt{3}=2\\sqrt{210}$ $2\\sqrt{7}x=2\\sqrt{210}$ $∴ x$$=\\frac{2\\sqrt{210}}{2\\sqrt{7}}$$=\\sqrt{30}$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{27}\\times x$$=3\\sqrt{3}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{30}\\times\\sqrt{20}=\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{30}\\times2\\sqrt{5}=5\\sqrt{6}$ $3\\sqrt{3}x=5\\sqrt{6}$ $\\therefore$ $x$$=\\frac{5\\sqrt{6}}{3\\sqrt{3}}$$=\\frac{5\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $3\\sqrt{2}$ $cm$, $3\\sqrt{3}$ $cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $54\\sqrt{2}$ $cm^3$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직육면체의 가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $x\\times3\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{3}=54\\sqrt{2}$ $9\\sqrt{6}x=54\\sqrt{2}$ $∴$ $x$$=\\frac{54\\sqrt{2}}{9\\sqrt{6}}$$=\\frac{6}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3}$ 따라서 이 직육면체의 가로의 길이는 $2\\sqrt{3}$ $cm$이다." }, { "question": "$3\\sqrt{a}+2=5\\sqrt{a}-4$를 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3\\sqrt{a}+2=5\\sqrt{a}-4$에서 $(3-5)\\sqrt{a}=-4-2$ $-2\\sqrt{a}=-6$ $\\sqrt{a}=3$ $∴ a=9$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 밑변 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $x\\times\\sqrt{21}$$=\\sqrt{21}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{28}\\times\\sqrt{30}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}\\times\\sqrt{30}=\\sqrt{210}$ $\\sqrt{21}x=\\sqrt{210}$ $∴ x$$=\\frac{\\sqrt{210}}{\\sqrt{21}}$$=\\sqrt{10}$" }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $4\\sqrt{3}$ $cm$, $2\\sqrt{2}$ $cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm(r>0)$라 하면 $\\pi\\times(4\\sqrt{3})^2+\\pi\\times(2\\sqrt{2})^2$$=\\pi r^2$ $48\\pi+8\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=56$ $∴ r=\\sqrt{56}=2\\sqrt{14}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{14} cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{45}\\times x$$=3\\sqrt{5}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{32}\\times\\sqrt{27}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{3}=6\\sqrt{6}$ $3\\sqrt{5}x=6\\sqrt{6}$ $∴$ $x$$=\\frac{6\\sqrt{6}}{3\\sqrt{5}}$$=\\frac{2\\sqrt{30}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $3\\sqrt{3}cm$ 인 원뿔의 부피가 $36\\sqrt{5}\\pi$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "원뿔의 높이를 $x cm$라 하면 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\times x=36\\sqrt{5}\\pi$ $9\\pi x=36\\sqrt{5}\\pi$ $\\therefore$ $x$$=\\frac{36\\sqrt{5}\\pi}{9\\pi}$$=4\\sqrt{5}$ 따라서 원뿔의 높이는 $4\\sqrt{5} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $15$, $40$이 되었다. 이때 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $15$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{15}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $40$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $\\sqrt{15}\\times2\\sqrt{10}$$=10\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 밑변 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $x\\times\\sqrt{24}$$=2\\sqrt{6}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{56}\\times\\sqrt{60}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{14}\\times2\\sqrt{15}=2\\sqrt{210}$ $2\\sqrt{6}x=2\\sqrt{210}$ ∴ $x$$=\\frac{2\\sqrt{210}}{2\\sqrt{6}}$$=\\sqrt{35}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같을 때, 삼각형의 높이 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{15}\\times x$$=\\sqrt{15}x$ 직사각형의 넓이를 구하면 $\\sqrt{21}\\times\\sqrt{10}$$=\\sqrt{210}$ $\\sqrt{15}x=\\sqrt{210}$ $∴$ $x$$=\\frac{\\sqrt{210}}{\\sqrt{15}}$$=\\sqrt{14}$" }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $2\\sqrt{14}cm$, $4\\sqrt{2} cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm$ $(r>0)$라 하면 $\\pi\\times(2\\sqrt{14})^2+\\pi\\times(4\\sqrt{2})^2$$=\\pi r^2$ $56\\pi+32\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=88$ ∴ $r=\\sqrt{88}=2\\sqrt{22}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{22}$ $cm$이다." }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $4\\sqrt{3}$ $cm$, $2\\sqrt{6}$ $cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm(r>0)$라 하면 $\\pi\\times(4\\sqrt{3})^2+\\pi\\times(2\\sqrt{6})^2$$=\\pi r^2$ $48\\pi+24\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=72$ $\\therefore$ $r=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $6\\sqrt{2} cm$이다." }, { "question": "$x=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{7}}{2}$, $y=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{2}$일 때, $(x+y)(x-y)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+y=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{7}}{2}+\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{2}$ $=(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})\\sqrt{6}+(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})\\sqrt{7}=\\sqrt{6}$ $x-y=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{7}}{2}-\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{7}}{2}$ $=(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})\\sqrt{6}+(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})\\sqrt{7}=\\sqrt{7}$ ∴ $(x+y)(x-y)$$=\\sqrt{6}\\times\\sqrt{7}$$=\\sqrt{42}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $2\\sqrt{6}cm$인 원뿔의 부피가 $32\\sqrt{5}\\pi$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "원뿔의 높이를 $x$ cm라 하면 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times(2\\sqrt{6})^2\\times x=32\\sqrt{5}\\pi$ $8\\pi x=32\\sqrt{5}\\pi$ $∴$ $x$$=\\frac{32\\sqrt{5}\\pi}{8\\pi}$$=4\\sqrt{5}$ 따라서 원뿔의 높이는 $4\\sqrt{5}$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}, \\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $5$, $30$이 되었다. 이때 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $5$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{5}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $30$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{30}$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $\\sqrt{5}\\times\\sqrt{30}$$=5\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$$cm$라 하면 $2\\pi r=4\\sqrt{5}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{4\\sqrt{5}\\pi}{2\\pi}$$=2\\sqrt{5}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(2\\sqrt{5})^2\\times5\\sqrt{3}$$=100\\sqrt{3}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $3\\sqrt{10}$ $cm$, $5\\sqrt{6}$ $cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $rcm(r>0$)라 하면 $\\pi\\times{(3\\sqrt{10})}^2+\\pi\\times(5\\sqrt{6})^2=\\pi r^2$ $90\\pi+150\\pi=\\pi r^2$ $r^2=240$ $∴ r=\\sqrt{240}=4\\sqrt{15}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $4\\sqrt{15} cm$이다." }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $5\\sqrt{2} cm$, $2\\sqrt{10} cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r$ $cm$$(r>0$)라 하면 $\\pi\\times(5\\sqrt{2})^2+\\pi\\times(2\\sqrt{10})^2$$=\\pi r^2$ $50\\pi+40\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=90$ $∴$ $r=\\sqrt{90}=3\\sqrt{10}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $3\\sqrt{10}$ cm이다." }, { "question": "$3\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+\\frac{1}{\\sqrt{6}})-4\\sqrt{3}(\\sqrt{2}-1)=x\\sqrt{3}+y\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $x, y$에 대하여 $\\sqrt{2(x+y)}$의 값을 구하여라.", "answer": "$3\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+\\frac{1}{\\sqrt{6}})-4\\sqrt{3}(\\sqrt{2}-1)$ $=$$3\\sqrt{6}+\\sqrt{3}-4\\sqrt{6}+4\\sqrt{3}$ $=$$5\\sqrt{3}-\\sqrt{6}$ ∴ $x=5$, $y=-1$ ∴ $\\sqrt{2(x+y)}$$=\\sqrt{2\\lbrace5+(-1)\\rbrace}$$=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $2\\sqrt{14} cm$, $3\\sqrt{2} cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $48\\sqrt{35}$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "직육면체의 높이를 $x cm$라 하면 $2\\sqrt{14}\\times3\\sqrt{2}\\times x=48\\sqrt{35}$ $12\\sqrt{7}x=48\\sqrt{35}$ $∴$ $x$$=\\frac{48\\sqrt{35}}{12\\sqrt{7}}$$=4\\sqrt{5}$ 따라서 이 직육면체의 높이는 $4\\sqrt{5} cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 평행사변형과 삼각형의 넓이가 서로 같을 때, 평행사변형의 밑변 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이를 구하면 $x\\times\\sqrt{45}$$=3\\sqrt{5}x$ 삼각형의 넓이를 구하면 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{60}\\times\\sqrt{54}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{15}\\times3\\sqrt{6}=9\\sqrt{10}$ $3\\sqrt{5}x=9\\sqrt{10}$ $∴ x$$=\\frac{9\\sqrt{10}}{3\\sqrt{5}}$$=3\\sqrt{2}$" }, { "question": "$a\\sqrt{8}+\\sqrt{98}-\\sqrt{18}=\\sqrt{128}$에서 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a\\sqrt{8}+\\sqrt{98}-\\sqrt{18}=\\sqrt{128}$에서 $2a\\sqrt{2}+7\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}=8\\sqrt{2}$ $(2a+4)\\sqrt{2}=8\\sqrt{2}$ $2a+4=8$ $∴ a=2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $4\\sqrt{6}cm$ 인 원뿔의 부피가 $64\\sqrt{15}\\pi$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "원뿔의 높이를 $xcm$라 하면 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times(4\\sqrt{6})^2\\times x=64\\sqrt{15}\\pi$ $32\\pi x=64\\sqrt{15}\\pi$ $\\therefore x$$=\\frac{64\\sqrt{15}\\pi}{32\\pi}$$=2\\sqrt{15}$ 따라서 원뿔의 높이는 $2\\sqrt{15} cm$이다." }, { "question": "반지름의 길이가 각각 $3\\sqrt{2} cm$, $5\\sqrt{6} cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm(r>0)$라 하면 $\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2+\\pi\\times(5\\sqrt{6})^2$$=\\pi r^2$ $18\\pi+150\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=168$ $∴ r=\\sqrt{168}=2\\sqrt{42}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{42}$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$ $cm$라 하면 $2\\pi r=6\\sqrt{3}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{6\\sqrt{3}\\pi}{2\\pi}$$=3\\sqrt{3}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\times2\\sqrt{15}$$=54\\sqrt{15}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 $2\\sqrt{15} cm$인 원뿔의 부피가 $80\\sqrt{7}\\pi$ $cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "원뿔의 높이를 $x$ $cm$라 하면 $\\frac{1}{3}\\times\\pi\\times(2\\sqrt{15})^2\\times x=80\\sqrt{7}\\pi$ $20\\pi x=80\\sqrt{7}\\pi$ $∴ x$$=\\frac{80\\sqrt{7}\\pi}{20\\pi}$$=4\\sqrt{7}$ 따라서 원뿔의 높이는 $4\\sqrt{7}$ $cm$이다." }, { "question": "$P=3\\sqrt{5}+\\sqrt{11}+3\\sqrt{11}$, $Q=6\\sqrt{5}+\\sqrt{11}-7\\sqrt{5}$일 때, $P+Q$의 값을 구하여라.", "answer": "$P=3\\sqrt{5}+\\sqrt{11}+3\\sqrt{11}$ $=3\\sqrt{5}+(1+3)\\sqrt{11}$ $=$$3\\sqrt{5}+4\\sqrt{11}$ $Q=6\\sqrt{5}+\\sqrt{11}-7\\sqrt{5}$ $=(6-7)\\sqrt{5}+\\sqrt{11}$ $=$$-\\sqrt{5}+\\sqrt{11}$ $\\therefore P+Q=(3\\sqrt{5}+4\\sqrt{11})+(-\\sqrt{5}+\\sqrt{11})$ $=$$2\\sqrt{5}+5\\sqrt{11}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $11$, $110$이 되었다. 이때 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $11$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{11}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $110$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{110}$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $\\sqrt{11}\\times\\sqrt{110}$$=11\\sqrt{10}$" }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$ $cm$라 하면 $2\\pi r=4\\sqrt{3}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{4\\sqrt{3}\\pi}{2\\pi}$$=2\\sqrt{3}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\times2\\sqrt{7}$$=24\\sqrt{7}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "$A=3\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}-7\\sqrt{7}$, $B=6\\sqrt{7}-4\\sqrt{7}-3\\sqrt{2}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A =3 \\sqrt{2}+2 \\sqrt{2}-7 \\sqrt{7} $ $ =(3+2) \\sqrt{2}-7 \\sqrt{7} $ $ =5 \\sqrt{2}-7 \\sqrt{7} $ $B =6 \\sqrt{7}-4 \\sqrt{7}-3 \\sqrt{2} $ $ =(6-4) \\sqrt{7}-3 \\sqrt{2} $ $=-3 \\sqrt{2}+2 \\sqrt{7} $ $\\therefore $$A +B=(5 \\sqrt{2}-7 \\sqrt{7})+(-3 \\sqrt{2}+2 \\sqrt{7})$ $ =2 \\sqrt{2}-5 \\sqrt{7}$" }, { "question": "$\\sqrt{a}-2=1-3\\sqrt{a}$를 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a}-2=1-3\\sqrt{a}$에서 $(1+3)\\sqrt{a}=1+2$ $4\\sqrt{a}=3$ $\\sqrt{a}=\\frac{3}{4}$ $∴ a=\\frac{9}{16}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $\\sqrt{10}$ $cm$, $2\\sqrt{5}$ $cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $20\\sqrt{2}$ $cm^3$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직육면체의 가로의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times\\sqrt{10}\\times2\\sqrt{5}=20\\sqrt{2}$ $10\\sqrt{2}x=20\\sqrt{2}$ $∴ x$$=\\frac{20\\sqrt{2}}{10\\sqrt{2}}$$=2$ 따라서 이 직육면체의 가로의 길이는 $2 cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{a}+1=7-2\\sqrt{a}$를 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a}+1=7-2\\sqrt{a}$에서 $(1+2)\\sqrt{a}=7-1$ $3\\sqrt{a}=6$ $\\sqrt{a}=2$ $∴ a=4$" }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $rcm$ 라 하면 $2\\pi r=2\\sqrt{5}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{2\\sqrt{5}\\pi}{2\\pi}$$=\\sqrt{5}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(\\sqrt{5})^2\\times3\\sqrt{6}$$=15\\sqrt{6}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "$4\\sqrt{a}-2=-2\\sqrt{a}+1$을 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$4\\sqrt{a}-2=-2\\sqrt{a}+1$에서 $(4+2)\\sqrt{a}=1+2$ $6\\sqrt{a}=3$ $\\sqrt{a}=\\frac{1}{2}$ $∴$ $a=\\frac{1}{4}$" }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$ $cm$라 하면 $2\\pi r=6\\sqrt{3}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{6\\sqrt{3}\\pi}{2\\pi}$$=3\\sqrt{3}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\times2\\sqrt{7}$$=54\\sqrt{7}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $5\\sqrt{2} cm$, $4\\sqrt{3} cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $60\\sqrt{10}cm^3$일 때, 높이를 구하여라.", "answer": "직육면체의 높이를 $x cm$라 하면 $5\\sqrt{2}\\times4\\sqrt{3}\\times x=60\\sqrt{10}$ $20\\sqrt{6}x=60\\sqrt{10}$ $∴ x=\\frac{60\\sqrt{10}}{20\\sqrt{6}}=\\frac{3\\sqrt{5}}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{15}$ 따라서 이 직육면체의 높이는 $\\sqrt{15}cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{500}-\\sqrt{45}-\\sqrt{k}=\\sqrt{125}$일 때, 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{500}-\\sqrt{45}-\\sqrt{k}=\\sqrt{125}$에서 $10\\sqrt{5}-3\\sqrt{5}-\\sqrt{k}=5\\sqrt{5}$ $-\\sqrt{k}=-2\\sqrt{5}$ $\\sqrt{k}=2\\sqrt{5}$ $∴ k=20$" }, { "question": "$\\frac{\\sqrt{a}}{2}-\\frac{\\sqrt{a}}{3}=1$을 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{a}}{2}-\\frac{\\sqrt{a}}{3}=1$에서 $(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3})\\sqrt{a}=1$ $\\frac{\\sqrt{a}}{6}=1$ $\\sqrt{a}=6$ $\\therefore$ $a=36$" }, { "question": "$\\sqrt{6}(\\frac{2}{\\sqrt{32}}+\\frac{5}{\\sqrt{3}})-\\sqrt{3}(\\frac{1}{\\sqrt{6}}+\\frac{10}{\\sqrt{54}})=a\\sqrt{2}+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{a+b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{6}(\\frac{2}{\\sqrt{32}}+\\frac{5}{\\sqrt{3}})-\\sqrt{3}(\\frac{1}{\\sqrt{6}}+\\frac{10}{\\sqrt{54}})$ $=$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}+5\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{2}-\\frac{5\\sqrt{2}}{3}$ $=$$\\frac{17\\sqrt{2}}{6}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $∴ a=\\frac{17}{6}$, $b=\\frac{1}{2}$ $∴ \\sqrt{a+b}$$=\\sqrt{\\frac{17}{6}+\\frac{1}{2}}$$=\\frac{\\sqrt{30}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $5\\sqrt{3} cm$, $2\\sqrt{2} cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $30\\sqrt{6}$ $cm^3$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직육면체의 가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $x\\times5\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{2}=30\\sqrt{6}$ $10\\sqrt{6}x=30\\sqrt{6}$ $∴ x=\\frac{30\\sqrt{6}}{10\\sqrt{6}}$$=3$ 따라서 이 직육면체의 가로의 길이는 $3$ $cm$이다." }, { "question": "$A=\\sqrt{2}+\\frac{2}{\\sqrt{5}}$, $B=\\sqrt{2}+\\frac{\\sqrt{5}}{4}$일 때, $\\sqrt{5}A+4\\sqrt{2}B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{5}A+4\\sqrt{2}B=\\sqrt{5}(\\sqrt{2}+\\frac{2}{\\sqrt{5}})+4\\sqrt{2}(\\sqrt{2}+\\frac{\\sqrt{5}}{4})$ $=$ $\\sqrt{10}+2+8+\\sqrt{10}=10+2\\sqrt{10}$" }, { "question": "$A=\\sqrt{3}+2\\sqrt{6}+2\\sqrt{3}$, $B=10\\sqrt{3}-7\\sqrt{6}+\\sqrt{3}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A=\\sqrt{3}+2\\sqrt{6}+2\\sqrt{3}$ $=(1+2)\\sqrt{3}+2\\sqrt{6}$ $=3\\sqrt{3}+2\\sqrt{6}$ $B=10\\sqrt{3}-7\\sqrt{6}+\\sqrt{3}$ $=(10+1)\\sqrt{3}-7\\sqrt{6}$ $=11\\sqrt{3}-7\\sqrt{6}$ $ \\therefore A+B=(3\\sqrt{3}+2\\sqrt{6})+(11\\sqrt{3}-7\\sqrt{6})$ $=14\\sqrt{3}-5\\sqrt{6}$" }, { "question": "$p=\\frac{\\sqrt{5}+\\sqrt{3}}{2}$, $q=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{5}}{2}$일 때, $(p+q)(p-q)$의 값을 구하여라.", "answer": "$p+q=\\frac{\\sqrt5+\\sqrt3}{2}+\\frac{\\sqrt3-\\sqrt5}{2} =(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})\\sqrt3+(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})\\sqrt5 =\\sqrt3$ $p-q=\\frac{\\sqrt5+\\sqrt3}{2}-\\frac{\\sqrt3-\\sqrt5}{2} =(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})\\sqrt3+(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})\\sqrt5 =\\sqrt5$ $∴ (p+q)(p-q)=\\sqrt{3}\\times\\sqrt{5}=\\sqrt{15}$" }, { "question": "$A=4\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}-3\\sqrt{7}$, $B=\\sqrt{2}-2\\sqrt{7}+2\\sqrt{2}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A=4\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}-3\\sqrt{7}=(4+2)\\sqrt{2}-3\\sqrt{7}=6\\sqrt{2}-3\\sqrt{7}$ $B=\\sqrt{2}-2\\sqrt{7}+2\\sqrt{2}=(1+2)\\sqrt{2}-2\\sqrt{7}=3\\sqrt{2}-2\\sqrt{7}$ $∴A+B=(6\\sqrt{2}-3\\sqrt{7})+(3\\sqrt{2}-2\\sqrt{7})=9\\sqrt{2}-5\\sqrt{7} $" }, { "question": "$\\sqrt{8}-\\sqrt{2}+a\\sqrt{32}=5\\sqrt{2}$에서 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{8}-\\sqrt{2}+a\\sqrt{32}=5\\sqrt{2}$에서 $2\\sqrt{2}-\\sqrt{2}+4a\\sqrt{2}=5\\sqrt{2}$ $(4a+1)\\sqrt{2}=5\\sqrt{2}$ $4a+1=5$ $∴ a=1$" }, { "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$ $cm$라 하면 $2\\pi r=6\\sqrt{6}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{6\\sqrt{6}\\pi}{2\\pi}$$=3\\sqrt{6}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(3\\sqrt{6})^2\\times5\\sqrt{2}$$=270\\sqrt{2}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "$\\frac{\\sqrt{a}}{3}+\\frac{\\sqrt{a}}{4}=1$을 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{a}}{3}+\\frac{\\sqrt{a}}{4}=1$에서 $(\\frac{1}{3}+\\frac{4}{1})$$\\sqrt{2}=1$ $\\frac{7\\sqrt{a}}{12}=1$ $\\sqrt{a}=\\frac{12}{7}$ $∴ a=\\frac{144}{49}$" }, { "question": "$A=2\\sqrt{2}+\\sqrt{2}-2\\sqrt{3}$, $B=4\\sqrt{2}-3\\sqrt{3}+\\sqrt{2}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A = 2\\sqrt{2} + \\sqrt{2} - 2\\sqrt{3} \\\\ = (2+1) \\sqrt{2} - 2\\sqrt{3} \\\\ = 3\\sqrt{2} - 2\\sqrt{3} \\\\ B = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} \\\\ =5\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} \\\\ \\therefore A+B = (3\\sqrt{2} - 2\\sqrt{3}) + (5\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3}) \\\\ = 8\\sqrt{2} - 5\\sqrt{3}$" }, { "question": "$P=4\\sqrt{3}+2\\sqrt{5}-3\\sqrt{3}$, $Q=2\\sqrt{3}-3\\sqrt{5}-\\sqrt{5}$일 때, $P+Q$의 값을 구하여라.", "answer": "$P$ $=$$4\\sqrt{3}+2\\sqrt{5}-3\\sqrt{3}$ $=$$(4-3)\\sqrt{3}+2\\sqrt{5}$ $=$$\\sqrt{3}+2\\sqrt{5}$ $Q$ $=$$2\\sqrt{3}-3\\sqrt{5}-\\sqrt{5}$ $=$$2\\sqrt{3}+(-3-1)\\sqrt{5}$ $=$$2\\sqrt{3}-4\\sqrt{5}$ $∴$$P+Q$$=$$(\\sqrt{3}+2\\sqrt{5})$$+$$(2\\sqrt{3}-4\\sqrt{5})$ $=$$3\\sqrt{3}-2\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{125}-2\\sqrt{k}+\\sqrt{5}+\\sqrt{80}=\\sqrt{180}$일 때, 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{125}-2\\sqrt{k}+\\sqrt{5}+\\sqrt{80}=\\sqrt{180}$에서 $5\\sqrt{5}-2\\sqrt{k}+\\sqrt{5}+4\\sqrt{5}=6\\sqrt{5}$ $-2\\sqrt{k}=-4\\sqrt{5}$ $\\sqrt{k}=2\\sqrt{5}$ $∴ k=20$" }, { "question": "$a=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{3}}{2}$, $b=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{3}}{2}$일 때, $(a+b)(a-b)$의 값을 구하여라.", "answer": "$a+b=\\frac{\\sqrt6-\\sqrt3}{2}+\\frac{\\sqrt6+\\sqrt3}{2}$ $=$$(-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})$$\\sqrt{3}+(\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2})\\sqrt{6}$ $=\\sqrt{6}$ $a-b=\\frac{\\sqrt6-\\sqrt3}{2}-\\frac{\\sqrt6+\\sqrt3}{2}$ $=$$(-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})$$\\sqrt{3}+(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2})\\sqrt{6}$ $=$$-\\sqrt{3}$ $∴ (a+b)(a-b)$$=\\sqrt{6}\\times(-\\sqrt{3})$$=-\\sqrt{18}$$=-3\\sqrt{2}$" }, { "question": "$x=\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{7}}{5}$, $y=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{7}}{5}$일 때, $(x+y)(x-y)$의 값을 구하여라.", "answer": "\\[ \\begin{aligned} x+y & =\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{7}}{5}+\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{7}}{5} \\\\ & =\\left(\\frac{1}{5}+\\frac{1}{5}\\right) \\sqrt{3}+\\left(\\frac{1}{5}-\\frac{1}{5}\\right) \\sqrt{7} \\\\ & =\\frac{2 \\sqrt{3}}{5} \\\\ x-y & =\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{7}}{5}-\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{7}}{5} \\\\ & =\\left(\\frac{1}{5}-\\frac{1}{5}\\right) \\sqrt{3}+\\left(\\frac{1}{5}+\\frac{1}{5}\\right) \\sqrt{7} \\\\ & =\\frac{2 \\sqrt{7}}{5} \\end{aligned} \\] $\\therefore(x+y)(x-y)=\\frac{2 \\sqrt{3}}{5} \\times \\frac{2 \\sqrt{7}}{5}=\\frac{4 \\sqrt{21}}{25}$" }, { "question": "$P=\\sqrt{3}-7\\sqrt{5}+2\\sqrt{3}$, $Q=2\\sqrt{3}-\\sqrt{5}+2\\sqrt{5}$일 때, $P+Q$의 값을 구하여라.", "answer": "$P=$ $\\sqrt{3}-7\\sqrt{5}+2\\sqrt{3} $ $= (1+2)\\sqrt{3} - 7\\sqrt{5}$ $=$$3\\sqrt{3}-7\\sqrt{5}$ $Q=$ $2\\sqrt{3}-\\sqrt{5} +2\\sqrt{5}$ $=$$2\\sqrt{3}+(-1+2)\\sqrt{5}$ $=$$2\\sqrt{3}+\\sqrt{5} $ $∴$ $P+Q= (3\\sqrt{3}-7\\sqrt{5}) +(2\\sqrt{3}+\\sqrt{5})$ $=$$5\\sqrt{3}-6\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{32}-2\\sqrt{2}+\\sqrt{k}=\\sqrt{50}$일 때, 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{32}-2\\sqrt{2}+\\sqrt{k}=\\sqrt{50}$에서 $4\\sqrt{2}-2\\sqrt{2}+\\sqrt{k}=5\\sqrt{2}$ $\\sqrt{k}=3\\sqrt{2}$ $∴ k=18$" }, { "question": "$a=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{3}$, $b=\\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{3}$일 때, $(a+b)(a-b)$의 값을 구하여라.", "answer": "$a+b=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{3}+\\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{3}$ $=$$(\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3})\\sqrt{2}+(-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3})\\sqrt{3}$ $=$$\\frac{2\\sqrt{2}}{3}$ $a-b=\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{3}-\\frac{\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{3}$ $=$$(\\frac{1}{3}-\\frac{1}{3})\\sqrt{2}+(-\\frac{1}{3}-\\frac{1}{3})\\sqrt{3}$ $=$$-\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$ $∴ (a+b)(a-b)$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\times(-\\frac{2\\sqrt{3}}{3})$$=-\\frac{4\\sqrt{6}}{9}$" }, { "question": "$A=8\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}-5\\sqrt{2}$, $B=2\\sqrt{2}-5\\sqrt{3}+4\\sqrt{3}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A=8\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}-5\\sqrt{2}=(8-5)\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}$ $=$$3\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}$ $B=2\\sqrt{2}-5\\sqrt{3}+4\\sqrt{3}=2\\sqrt{2}+(-5+4)\\sqrt{3}$ $=$$2\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$ $∴A+B=(3\\sqrt{2}+3\\sqrt{3})+(2\\sqrt{2}-\\sqrt{3})$ $=$$5\\sqrt{2}+2\\sqrt{3}$" }, { "question": "$a\\sqrt{20}-a\\sqrt{45}+2a\\sqrt{5}=7\\sqrt{5}$에서 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a\\sqrt{20}-a\\sqrt{45}+2a\\sqrt{5}=7\\sqrt{5}$에서 $2a\\sqrt{5}-3a\\sqrt{5}+2a\\sqrt{5}=7\\sqrt{5}$ $a\\sqrt{5}=7\\sqrt{5}$ $ \\therefore a=7$" }, { "question": "$\\frac{3}{\\sqrt{3}}-\\frac{4}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{2}(3+\\sqrt{6})=a\\sqrt{2}+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{3}{\\sqrt{3}}-\\frac{4}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{2}(3+\\sqrt{6})$ $=$$\\sqrt{3}-2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}+2\\sqrt{3}$ $=$$\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}$ $∴$ $a=1$, $b=3$ $∴$ $a+b$$=1+3$$=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $48cm^2$, $27cm^2$, $12cm^2$인 정사각형이 있다. 이때 세 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a cm$, $b cm$, $c cm$$(a>b>c>0$)라 하면 $a^2=48$에서 $a=4\\sqrt{3}$ $b^2=27$에서 $b=3\\sqrt{3}$ $c^2=12$에서 $c=2\\sqrt{3}$ 따라서 세 정사각형의 둘레의 길이의 합은 $4\\times4\\sqrt{3}+4\\times3\\sqrt{3}+4\\times2\\sqrt{3}$ $=$$16\\sqrt{3}+12\\sqrt{3}+8\\sqrt{3}$ $=$$36\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "$\\sqrt{48}+2\\sqrt{x}-\\sqrt{27}+\\sqrt{3}=\\sqrt{108}$일 때, 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{48}+2\\sqrt{x}-\\sqrt{27}+\\sqrt{3}=\\sqrt{108}$에서 $4\\sqrt{3}+2\\sqrt{x}-3\\sqrt{3}+\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}$ $2\\sqrt{x}=4\\sqrt{3}$ $\\sqrt{x}=2\\sqrt{3}$ $∴$ $x=12$" }, { "question": "$5\\sqrt{3}+\\sqrt{12}+\\sqrt{a}=\\sqrt{243}$일 때, 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$5\\sqrt{3}+\\sqrt{12}+\\sqrt{a}=\\sqrt{243}$에서 $5\\sqrt{3}+2\\sqrt{3}+\\sqrt{a}=9\\sqrt{3}$ $\\sqrt{a}=2\\sqrt{3}$ $∴$ $a=12$" }, { "question": "$a=\\sqrt{3}+1$, $b=2\\sqrt{3}-2$일 때, $3\\sqrt{2}a+\\frac{b}{\\sqrt{2}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$3\\sqrt{2}a+\\frac{b}{\\sqrt{2}}=3\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+1)+\\frac{2\\sqrt{3}-2}{\\sqrt{2}}$ =$3\\sqrt{6}+3\\sqrt{2}-\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$ $=$$2\\sqrt{2}+4\\sqrt{6}$" }, { "question": "$\\frac{a}{\\sqrt{3}}(\\sqrt{27}+3)+\\sqrt{24}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{1}{\\sqrt{6}})$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{a}{\\sqrt{3}}(\\sqrt{27}+3)+\\sqrt{24}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{1}{\\sqrt{6}})$ $=$$3a+a\\sqrt{3}+2\\sqrt{3}-2$ $=$$(3a-2)+(a+2)\\sqrt{3}$ $a+2=0$ $∴ a=-2$" }, { "question": "$\\frac{10}{\\sqrt{5}}-\\frac{2}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{5}(2-\\sqrt{10})=a\\sqrt{2}+b\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{10}{\\sqrt{5}}-\\frac{2}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{5}(2-\\sqrt{10})$ $=$$2\\sqrt{5}-\\sqrt{2}+2\\sqrt{5}-5\\sqrt{2}$ $=$$-6\\sqrt{2}+4\\sqrt{5}$ $∴ a=-6$, $b=4$ $∴ a+b$$=-6+4$$=-2$" }, { "question": "$\\frac{18+\\sqrt{72}}{\\sqrt{12}}$의 분모를 유리화하였더니 $a\\sqrt{3}+b\\sqrt{6}$이 되었다. 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{18+\\sqrt{72}}{\\sqrt{12}}=\\frac{(18+6\\sqrt2)\\times \\sqrt3}{2\\sqrt3 \\times \\sqrt3}$ $=\\frac{18\\sqrt3+6\\sqrt6}{6}$ $=$$3\\sqrt{3}+\\sqrt{6}$ $∴$ $a=3$, $b=1$ $∴$ $a-b$$=3-1$$=2$" }, { "question": "한 변의 길이가 $2\\sqrt{10}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 세로의 길이가 $2\\sqrt{3}$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$라 하면 $a\\times2\\sqrt{3}$$=(2\\sqrt{10})^2$ $2\\sqrt{3}a=40$ $∴$ $a$$=\\frac{40}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{40\\sqrt{3}}{6}$$=\\frac{20\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 가로의 길이는 $\\frac{20\\sqrt{3}}{3}$이다." }, { "question": "$A=2\\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sqrt{5}}$, $B=\\sqrt{5}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}$일 때, $\\sqrt{5}A+4\\sqrt{3}B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{5} A+4 \\sqrt{3} B =\\sqrt{5}\\left(2 \\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\right)+4 \\sqrt{3}\\left(\\sqrt{5}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) =2 \\sqrt{15}-1+4 \\sqrt{15}+6 =5+6 \\sqrt{15}$" }, { "question": "$\\frac{\\sqrt{12}+4}{\\sqrt{2}}$의 분모를 유리화하였더니 $a\\sqrt{2}+b\\sqrt{6}$이 되었다. 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{12}+4}{\\sqrt{2}}$$=$$\\frac{2\\sqrt{3}+4)\\times\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}\\times\\sqrt{2}}$$=$$\\frac{2\\sqrt{6}+4\\sqrt{2}}{2}$$=$$2\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$ $∴$ $a=2$, $b=1$ $∴$ $a+b$$=2+1$$=3$" }, { "question": "밑변의 길이가 $(6\\sqrt{2}+a\\sqrt{5})cm$ , 높이가 $2\\sqrt{10}cm$인 삼각형의 넓이가 $(12\\sqrt{5}+10\\sqrt{2})$ $cm^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(6\\sqrt{2}+a\\sqrt{5})\\times2\\sqrt{10}=12\\sqrt{5}+10\\sqrt{2}$ $12\\sqrt{5}+5a\\sqrt{2}=12\\sqrt{5}+10\\sqrt{2}$ $5a=10$ $∴ a=2$" }, { "question": "$\\frac{\\sqrt{72}+48}{\\sqrt{24}}$의 분모를 유리화하였더니 $a\\sqrt{3}+b\\sqrt{6}$이 되었다. 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{72}+48}{\\sqrt{24}}=\\frac{(6\\sqrt{2}+48)\\times\\sqrt{6}}{2\\sqrt{6}\\times\\sqrt{6}}$ $=\\frac{12\\sqrt{3}+48\\sqrt{6}}{12}$ $=$$\\sqrt{3}+4\\sqrt{6}$ $∴ a=1$, $b=4$ $∴ a+b$$=1+4$$=5$" }, { "question": "$k\\sqrt{24}-3k\\sqrt{6}+\\sqrt{54}=5\\sqrt{6}$에서 유리수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$k\\sqrt{24}-3k\\sqrt{6}+\\sqrt{54}=5\\sqrt{6}$에서 $2k\\sqrt{6}-3k\\sqrt{6}+3\\sqrt{6}=5\\sqrt{6}$ $(-k+3)\\sqrt{6}=5\\sqrt{6}$ $-k+3=5$ $∴ k=-2$" }, { "question": "$\\frac{4\\sqrt{3}+2\\sqrt{30}}{2\\sqrt{6}}$의 분모를 유리화하였더니 $a\\sqrt{2}+b\\sqrt{5}$가 되었다. 유리수 $a, b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{4\\sqrt{3} + 2\\sqrt{30}}{2\\sqrt{6}}$ $=$ $\\frac{(4\\sqrt{3} + 2\\sqrt{30}) \\times \\sqrt{6}}{2\\sqrt{6} \\times \\sqrt{6}}$ $=$ $\\frac{12\\sqrt{2} + 12\\sqrt{5}}{12}$ $=$$\\sqrt{2}+\\sqrt{5}$ $∴ a=1$, $b=1$ $∴ a-b$$=1-1$$=0$" }, { "question": "$\\frac{2\\sqrt{5}-3\\sqrt{10}}{\\sqrt{2}}$의 분모를 유리화하였더니 $a\\sqrt{10}+b\\sqrt{5}$가 되었다. 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a^2+b^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{2\\sqrt{5}-3\\sqrt{10}}{\\sqrt{2}} = \\frac{(2\\sqrt{5}-3\\sqrt{10)}\\times\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{2\\sqrt{10}-6\\sqrt{5}}{2}$ $=$$-3\\sqrt{5}+\\sqrt{10}$ $∴$ $a=1$, $b=-3$ $∴$ $a^2+b^2$$=1^2+(-3)^2$$=10$" }, { "question": "$k\\sqrt{8}+\\sqrt{18}+\\sqrt{50}=20\\sqrt{2}$에서 유리수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$k\\sqrt{8}+\\sqrt{18}+\\sqrt{50}=20\\sqrt{2}$에서 $2k\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=20\\sqrt{2}$ $(2k+8)\\sqrt{2}=20\\sqrt{2}$ $2k+8=20$ $\\therefore k=6$" }, { "question": "$\\frac{3\\sqrt{2}}{2}(4+5\\sqrt{3})-\\frac{8-3\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}=a\\sqrt{2}+b\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{3\\sqrt{2}}{2}(4+5\\sqrt{3})-\\frac{8-3\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}$ $=$$6\\sqrt{2}+\\frac{15\\sqrt{6}}{2}-4\\sqrt{2}+\\frac{3\\sqrt{6}}{2}$ $=$$2\\sqrt{2}+9\\sqrt{6}$ $∴ a=2$, $b=9$ $∴ \\sqrt{ab}$$=\\sqrt{2\\times9}$$=3\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\frac{3\\sqrt{5}-6}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{3}(2\\sqrt{5}-4)=a\\sqrt{3}+b\\sqrt{15}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{3\\sqrt{5}-6}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{3}(2\\sqrt{5}-4)$ $=$$\\sqrt{15}-2\\sqrt{3}-2\\sqrt{15}+4\\sqrt{3}$ $=$$2\\sqrt{3}-\\sqrt{15}$ $∴ a=2$, $b=-1$ $∴ \\frac{b}{a}$$=\\frac{-1}{2}$$=-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "$k\\sqrt{28}+k\\sqrt{7}+\\sqrt{63}=\\sqrt{112}$에서 유리수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$k\\sqrt{28}+k\\sqrt{7}+\\sqrt{63}=\\sqrt{112}$에서 $2k\\sqrt{7}+k\\sqrt{7}+3\\sqrt{7}=4\\sqrt{7}$ $(3k+3)\\sqrt{7}=4\\sqrt{7}$ $3k+3=4$ $∴ k=\\frac{1}{3}$" }, { "question": "$p=\\frac{\\sqrt{10}+\\sqrt{3}}{5}$, $q=\\frac{\\sqrt{10}-\\sqrt{3}}{5}$일 때, $(p+q)(p-q)$의 값을 구하여라.", "answer": "$p+q = \\frac{\\sqrt{10}+\\sqrt{3}}{5} + \\frac{\\sqrt{10}-\\sqrt{3}}{5}=(\\frac{1}{5} - \\frac{1}{5})\\sqrt{3} + (\\frac{1}{5} + \\frac{1}{5}\\sqrt{10} = \\frac{2\\sqrt{10}}{5}$ $p-q = \\frac{\\sqrt{10}+\\sqrt{3}}{5}- \\frac{\\sqrt{10}-\\sqrt{3}}{5} = (\\frac{1}{5}+\\frac{1}{5})\\sqrt{3} +(\\frac{1}{5}-\\frac{1}{5})\\sqrt{10} = \\frac{2\\sqrt{3}}{5}$ $∴ (p+q)(p-q)=\\frac{2\\sqrt{10}}{5}\\times\\frac{2\\sqrt{3}}{5}$$=\\frac{4\\sqrt{30}}{25}$" }, { "question": "$4\\sqrt{5}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\sqrt{10})+\\frac{\\sqrt{96}-\\sqrt{30}}{\\sqrt{3}}=x\\sqrt{2}+y\\sqrt{10}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $y-x$의 값을 구하여라.", "answer": "$4\\sqrt{5}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\sqrt{10})+\\frac{\\sqrt{96}-\\sqrt{30}}{\\sqrt{3}}$ $=$$2\\sqrt{10}-20\\sqrt{2}+4\\sqrt{2}-\\sqrt{10}$ $=$$-16\\sqrt{2}+\\sqrt{10}$ $∴$ $x=-16$, $y=1$ $∴$ $y-x$$=1-(-16)$$=17$" }, { "question": "$\\sqrt{3}(\\sqrt{6}+\\sqrt{21})-\\frac{5\\sqrt{14}-35}{\\sqrt{7}}=m\\sqrt{2}+n\\sqrt{7}$일 때, 유리수 $m$, $n$에 대하여 $\\sqrt{n-m}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{3}(\\sqrt{6}+\\sqrt{21})-\\frac{5\\sqrt{14}-35}{\\sqrt{7}}$ $=$$3\\sqrt{2}+3\\sqrt{7}-5\\sqrt{2}+5\\sqrt{7}$ $=$$-2\\sqrt{2}+8\\sqrt{7}$ $∴ m=-2$, $n=8$ $∴ \\sqrt{n-m}$$=\\sqrt{8-(-2)}$$=\\sqrt{10}$" }, { "question": "$3a\\sqrt{7}-5+2a-9\\sqrt{7}$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3a\\sqrt{7}-5+2a-9\\sqrt{7}$ $=$$(-5+2a)+(3a-9)\\sqrt{7}$ $3a-9=0$ $∴$ $a=3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $2\\sqrt{7} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}$$=\\sqrt{7} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(2\\sqrt{7})^2-(\\sqrt{7})^2$$=21 (cm)$ $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{21} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}\\times\\sqrt{21}$$=7\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "$A=\\sqrt{2}+5\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}$, $B=3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$A=\\sqrt{2}+5\\sqrt{3}-2\\sqrt{3}=\\sqrt{2}+(5-2)\\sqrt{3}=\\sqrt{2}+3\\sqrt{3}$ $B=3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}-\\sqrt{3}=(3+5)\\sqrt{2}-\\sqrt{3}=$$8\\sqrt{2}-\\sqrt{3}$ $∴ A+B=(\\sqrt{2}+3\\sqrt{3})+(8\\sqrt{2}-\\sqrt{3})=$$9\\sqrt{2}+2\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\frac{6}{\\sqrt{3}}-\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\sqrt{5}(\\frac{3}{5}-\\frac{3}{\\sqrt{15}})=a\\sqrt{3}+b\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{3a+b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{6}{\\sqrt{3}}-\\frac{2}{\\sqrt{5}}+\\sqrt{5}(\\frac{3}{5}-\\frac{3}{\\sqrt{15}})$ $=$$2\\sqrt{3}-\\frac{2\\sqrt{5}}{5}+\\frac{3\\sqrt{5}}{5}-\\sqrt{3}$ $=$$\\sqrt{3}+\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $∴$ $a=1$, $b=\\frac{1}{5}$ $∴$ $\\sqrt{3a+b}$$=\\sqrt{3\\times1+\\frac{1}{5}}$$=\\frac{4\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "한 변의 길이가 $5\\sqrt{6}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 가로의 길이가 $3\\sqrt{10}$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 세로의 길이를 $a$라 하면 $3\\sqrt{10}\\times a$$=(5\\sqrt{6})^2$ $3\\sqrt{10}a=150$ $∴$ $a=\\frac{150}{3\\sqrt{10}}=\\frac{150\\sqrt{10}}{30}=5\\sqrt{10}$ 따라서 세로의 길이는 $5\\sqrt{10}$이다." }, { "question": "$A=2\\sqrt{2}-\\frac{1}{\\sqrt{7}}$, $B=\\sqrt{2}+\\frac{\\sqrt{7}}{2}$일 때, $\\sqrt{7}A-2\\sqrt{2}B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{7}A-2\\sqrt{2}B=\\sqrt{7}(2\\sqrt{2}-\\cfrac{1}{\\sqrt{7}})-2\\sqrt{2}(\\sqrt{2}+\\cfrac{\\sqrt{7}}{2})=$ $=2\\sqrt{14}-1-4-\\sqrt{14}$ $=-5+\\sqrt{14}$" }, { "question": "$x=\\sqrt{6}+2$, $y=\\sqrt{10}-\\sqrt{15}$일 때, $\\sqrt{2}x+\\frac{2y}{\\sqrt{5}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{2}x+\\frac{2y}{\\sqrt5}=\\sqrt{2}(\\sqrt{6}+2)+\\frac{2(\\sqrt{10}-\\sqrt{15})}{\\sqrt5}$ $=$ $2\\sqrt{3}+2\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}-2\\sqrt{3}$ $=$ $4\\sqrt{2}$" }, { "question": "$A=\\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sqrt{7}}$, $B=3\\sqrt{3}+\\frac{\\sqrt{7}}{2}$일 때, $\\sqrt{7}A+2\\sqrt{3}B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{7}A+2\\sqrt{3}B=\\sqrt{7}(\\sqrt{3}-\\frac{1}{\\sqrt{7}})+2\\sqrt{3}(3\\sqrt{3}+\\frac{\\sqrt{7}}{2})=\\sqrt{21}-1+18+\\sqrt{21}=17+2\\sqrt{21}$" }, { "question": "$\\frac{2\\sqrt{5}}{5}(5+4\\sqrt{2})+\\frac{10+2\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}=a\\sqrt{5}+b\\sqrt{10}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{2\\sqrt{5}}{5}(5+4\\sqrt{2})+\\frac{10+2\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}$ $=$$2\\sqrt{5}+\\frac{8\\sqrt{10}}{5}+2\\sqrt{5}+\\frac{2\\sqrt{10}}{5}$ $=$$4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}$ $∴$ $a=4$, $b=2$ $∴$ $\\sqrt{\\frac{b}{a}}$$=\\sqrt{\\frac{2}{4}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{3}(2-\\sqrt{15})+\\frac{5}{\\sqrt{5}}-\\frac{12}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{3}+b\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{3}(2-\\sqrt{15})+\\frac{5}{\\sqrt{5}}-\\frac{12}{\\sqrt{3}}$ $=$$2\\sqrt{3}-3\\sqrt{5}+\\sqrt{5}-4\\sqrt{3}$ $=$$-2\\sqrt{3}-2\\sqrt{5}$ $∴$ $a=-2$, $b=-2$ $∴$ $a+b$$=(-2)+(-2)$$=-4$" }, { "question": "$A=\\sqrt{15}+\\sqrt{5}$, $B=3-\\frac{2}{\\sqrt{3}}$일 때, $\\sqrt{5}A-3B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{5}A-3B=\\sqrt{5}(\\sqrt{15}+\\sqrt{5})-3(3-\\frac{2}{\\sqrt{3}})$ =$5\\sqrt{3}+5-9+2\\sqrt{3}$$=$$-4+7\\sqrt{3}$" }, { "question": "$6\\sqrt{2}-3a+5-3a\\sqrt{2}$가 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$6\\sqrt{2}-3a+5-3a\\sqrt{2}$ $=$$(-3a+5)+(6-3a)\\sqrt{2}$ $6-3a=0$ $∴ a=2$" }, { "question": "$\\sqrt{5}(4-2\\sqrt{5})+a(2\\sqrt{5}+3)$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{5}(4-2\\sqrt{5})+a(2\\sqrt{5}+3)$ $=$$4\\sqrt{5}-10+2a\\sqrt{5}+3a$ $=$$(-10+3a)+(4+2a)\\sqrt{5}$ $4+2a=0$ $∴ a=-2$" }, { "question": "$k\\sqrt{48}-k\\sqrt{3}-\\sqrt{75}=-\\sqrt{3}$에서 유리수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$k\\sqrt{48}-k\\sqrt{3}-\\sqrt{75}=-\\sqrt{3}$에서 $4k\\sqrt{3}-k\\sqrt{3}-5\\sqrt{3}=-\\sqrt{3}$ $(3k-5)\\sqrt{3}=-\\sqrt{3}$ $3k-5=-1$ $∴ k=\\frac{4}{3}$" }, { "question": "한 변의 길이가 $2\\sqrt{30}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 세로의 길이가 $5\\sqrt{6}$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$라 하면 $a\\times5\\sqrt{6}$$=(2\\sqrt{30})^2$ $5\\sqrt{6}a=120$ $∴ a$$=\\frac{120}{5\\sqrt{6}}$$=\\frac{120\\sqrt{6}}{30}$$=4\\sqrt{6}$ 따라서 가로의 길이는 $4\\sqrt{6}$이다." }, { "question": "$a=\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$, $b=\\sqrt{15}-\\sqrt{10}$일 때, $\\frac{10a}{\\sqrt{5}}+2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{10a}{\\sqrt{5}}+2b=\\frac{10(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})}{\\sqrt{5}}+2(\\sqrt{15}-\\sqrt{10})$ $=2\\sqrt{10}+2\\sqrt{15}+2\\sqrt{15}-2\\sqrt{10}$ $=4\\sqrt{15}$" }, { "question": "$\\frac{a}{\\sqrt{2}}(\\sqrt{32}+10)+\\sqrt{24}(\\frac{2}{\\sqrt{6}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}})$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{a}{\\sqrt{2}}(\\sqrt{32}+10)+\\sqrt{24}(\\frac{2}{\\sqrt{6}}+\\frac{1}{\\sqrt{3}})$ $=$$4a+5a\\sqrt{2}+4+2\\sqrt{2}$ $=$$(4a+4)+(5a+2)\\sqrt{2}$ $5a+2=0$ $\\therefore$$a=-\\frac{2}{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{24}(\\frac{1}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{6})-\\frac{a}{\\sqrt{2}}(\\sqrt{32}-2)$가 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{24}(\\frac{1}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{6})-\\frac{a}{\\sqrt{2}}(\\sqrt{32}-2)$ $=$$2\\sqrt{2}-12-4a+a\\sqrt{2}$ $=$$(-12-4a)+(2+a)\\sqrt{2}$ $2+a=0$ $∴ a=-2$" }, { "question": "밑변의 길이가 $(\\sqrt{2}+a\\sqrt{3})$ cm, 높이가 $2\\sqrt{2}$ cm인 삼각형의 넓이가 $(2+3\\sqrt{6})$ $cm^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(\\sqrt{2}+a\\sqrt{3})\\times2\\sqrt{2}=2+3\\sqrt{6}$ $2+a\\sqrt{6}=2+3\\sqrt{6}$ $∴ a=3$" }, { "question": "$12\\sqrt{5}-3a-3a\\sqrt{5}$가 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$12\\sqrt{5}-3a-3a\\sqrt{5}$ $=$$-3a+(12-3a)\\sqrt{5}$ $12-3a=0$ ∴ $a=4$" }, { "question": "두 수 $\\sqrt{3}-2$와 $7-\\sqrt{3}$ 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{1}<\\sqrt{3}<\\sqrt{4}$에서 $1<\\sqrt{3}<2$이므로 $-1<\\sqrt{3}-2<0$이고, $-2<-\\sqrt{3}<-1$이므로 $5<7-\\sqrt{3}<6$ 따라서 $\\sqrt{3}-2$와 $7-\\sqrt{3}$ 사이에 있는 정수는 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이므로 구하는 합은 $0+1+2+3+4+5=15$" }, { "question": "$\\frac{\\sqrt{3}}{2}(4-\\sqrt{2})-\\frac{12+\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{3}+b\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{\\sqrt{3}}{2}(4-\\sqrt{2})-\\frac{12+\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$ $=$$2\\sqrt{3}-\\frac{\\sqrt{6}}{2}-4\\sqrt{3}-\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $=$$-2\\sqrt{3}-\\frac{5\\sqrt{6}}{6}$ $∴ a=-2$, $b=-\\frac{5}{6}$ $∴ \\sqrt{ab}$$=\\sqrt{(-2)\\times(-\\frac{5}{6})}$$=\\frac{\\sqrt{15}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $32cm^2$, $18cm^2$, $8cm^2$인 정사각형이 있다. 이때 세 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $x cm$, $y cm$, $z cm(x>y>z>0)$라 하면 $x^2=32$에서 $x=4\\sqrt{2}$ $y^2=18$에서 $y=3\\sqrt{2}$ $z^2=8$에서 $z=2\\sqrt{2}$ 따라서 세 정사각형의 둘레의 길이의 합은 $4\\times4\\sqrt{2}+4\\times3\\sqrt{2}+4\\times2\\sqrt{2}$ $=$$16\\sqrt{2}+12\\sqrt{2}+8\\sqrt{2}$ $=$$36\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "밑변의 길이가 $(a\\sqrt{7}+2\\sqrt{14}) cm$, 높이가 $4\\sqrt{2} cm$인 삼각형의 넓이가 $(4\\sqrt{14}+8\\sqrt{7})$ $cm^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(a\\sqrt{7}+2\\sqrt{14})\\times4\\sqrt{2}=4\\sqrt{14}+8\\sqrt{7}$ $2a\\sqrt{14}+8\\sqrt{7}=4\\sqrt{14}+8\\sqrt{7}$ $2a=4$ $∴ a=2$" }, { "question": "밑변의 길이가 $(a\\sqrt{10}+2\\sqrt{6})$ cm, 높이가 $3\\sqrt{2}$ cm인 삼각형의 넓이가 $(9\\sqrt{5}+6\\sqrt{3})$ $cm^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(a\\sqrt{10}+2\\sqrt{6})\\times3\\sqrt{2}=9\\sqrt{5}+6\\sqrt{3}$ $3a\\sqrt{5}+6\\sqrt{3}=9\\sqrt{5}+6\\sqrt{3}$ $3a=9$ $∴$ $a=3$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 부피가 $72\\sqrt{3}$일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "직육면체의 높이를 $x$라 하면 $2\\sqrt{3}\\times3\\sqrt{3}\\times x=72\\sqrt{3}$ $18x=72\\sqrt{3}$ $∴ x=4\\sqrt{3}$ 모든 모서리의 길이의 합은 $4(2\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}+4\\sqrt{3})=4\\times9\\sqrt{3}$ $=$$36\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 부피가 $36\\sqrt{6}$일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "직육면체의 가로의 길이를 $x$라 하면 $x\\times2\\sqrt{6}\\times3\\sqrt{6}=36\\sqrt{6}$ $36x=36\\sqrt{6}$ $\\therefore$ $x=\\sqrt{6}$ 모든 모서리의 길이의 합은 $4(\\sqrt{6}+2\\sqrt{6}+3\\sqrt{6}) = 4\\times6\\sqrt{6}$ $=$$24\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $4\\sqrt{6} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(4\\sqrt{6})^2-(2\\sqrt{6})^2$$=72(cm)$ $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{72}$$=6\\sqrt{2} (cm)$ $∴ $$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}\\times6\\sqrt{2}$$=24\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "$\\sqrt{6}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{6})+a(3-2\\sqrt{3})$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{6}(\\frac{1}{\\sqrt{2}}+\\sqrt{6})+a(3-2\\sqrt{3})$ $=$$\\sqrt{3}+6+3a-2a\\sqrt{3}$ $=$$(6+3a)+(1-2a)\\sqrt{3}$ $1-2a=0$ $ \\therefore a=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "밑변의 길이가 $(2\\sqrt{6}+k\\sqrt{3})cm$, 높이가 $2\\sqrt{5}cm$인 삼각형의 넓이가 $(2\\sqrt{30}+5\\sqrt{15})cm^2$일 때, 유리수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(2\\sqrt{6}+k\\sqrt{3})\\times2\\sqrt{5}=2\\sqrt{30}+5\\sqrt{15}$ $2\\sqrt{30}+k\\sqrt{15}=2\\sqrt{30}+5\\sqrt{15}$ $∴$ $k=5$" }, { "question": "한 변의 길이가 $2\\sqrt{5}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 세로의 길이가 $2\\sqrt{2}$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $x$라 하면 $x\\times2\\sqrt{2}$$=(2\\sqrt{5})^2$ $2\\sqrt{2}x=20$ ∴ $x$$=\\frac{20}{2\\sqrt{2}}$$=\\frac{20\\sqrt{2}}{4}$$=5\\sqrt{2}$ 따라서 가로의 길이는 $5\\sqrt{2}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{3}(3-\\sqrt{6})+\\frac{5\\sqrt{6}-4}{\\sqrt{2}}=a\\sqrt{2}+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{3}(3-\\sqrt{6})+\\frac{5\\sqrt{6}-4}{\\sqrt{2}}$ $=$$3\\sqrt{3}-3\\sqrt{2}+5\\sqrt{3}-2\\sqrt{2}$ $=$$-5\\sqrt{2}+8\\sqrt{3}$ $∴$ $a=-5$, $b=8$ $∴$ $a+b$$=-5+8$$=3$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 부피가 $18\\sqrt{3}$일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "직육면체의 높이를 $h$라 하면 $2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}\\times h=18\\sqrt{3}$ $6h=18\\sqrt{3}$ $∴$ $h=3\\sqrt{3}$ 모든 모서리의 길이의 합은 $4(2\\sqrt{3}+\\sqrt{3}+3\\sqrt{3})=4\\times6\\sqrt{3}$ $=24\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $12$ $cm^2$, $75$ $cm^2$, $108$ $cm^2$인 정사각형이 있다. 이때 세 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$ $cm$, $b$ $cm$, $c$ $cm$($00$이므로 $x$$=\\sqrt{65}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{65} cm$이다." }, { "question": "자연수 $n$에 대하여 $10y>z>0)$라 하면 $x^2=80$에서 $x=4\\sqrt{5}$ $y^2=20$에서 $y=2\\sqrt{5}$ $z^2=5$에서 $z=\\sqrt{5}$ 따라서 세 정사각형의 둘레의 길이의 합은 $4\\times4\\sqrt{5}+4\\times2\\sqrt{5}+4\\times\\sqrt{5}$ $=$$16\\sqrt{5}+8\\sqrt{5}+4\\sqrt{5}$ $=$$28\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "두 수 $\\sqrt{10}-2$와 $10-\\sqrt{10}$ 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{9}<\\sqrt{10}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{10}<4$이므로 $1<\\sqrt{10}-2<2$이고, $-4<-\\sqrt{10}<-3$이므로 $6<10-\\sqrt{10}<7$ 따라서 $\\sqrt{10}-2$와 $10-\\sqrt{10}$ 사이에 있는 정수는 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이므로 구하는 합은 $2+3+4+5+6=20$" }, { "question": "한 변의 길이가 $6\\sqrt{2}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 세로의 길이가 $2\\sqrt{3}$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$라 하면 $a\\times2\\sqrt{3}$$=(6\\sqrt{2})^2$ $2\\sqrt{3}a=72$ $∴$ $a$$=\\frac{72}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{72\\sqrt{3}}{6}$$=12\\sqrt{3}$ 따라서 가로의 길이는 $12\\sqrt{3}$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 $4\\sqrt{5}$인 정사각형과 넓이가 같은 직사각형을 만들려고 한다. 이 직사각형의 세로의 길이가 $6\\sqrt{2}$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $a$라 하면 $a\\times6\\sqrt{2}$$=(4\\sqrt{5})^2$ $6\\sqrt{2}a=80$ $∴$ $a$$=\\frac{80}{6\\sqrt{2}}$$=\\frac{80\\sqrt{2}}{12}$$=\\frac{20\\sqrt{2}}{3}$ 따라서 가로의 길이는 $\\frac{20\\sqrt{2}}{3}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $5$ $cm^2$, $20$ $cm^2$, $45$ $cm^2$인 정사각형이 있다. 이때 세 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a~ cm$, $b ~cm$, $c~ cm$$(00$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{225}$$=15 (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\sqrt{3}\\times15$$=75\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림은 넓이가 $2$인 정사각형 $ABCD$를 수직선 위에 그린 것이다. $\\overline{CP}=\\overline{CD}$, $\\overline{CB}=\\overline{CQ}$이고 두 점 $P$, $Q$에 대응하는 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "넓이가 $2$인 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{2}$이다. $\\overline{CP}=\\overline{CD}=\\sqrt{2}$, $\\overline{CB}=\\overline{CQ}=\\sqrt{2}$이므로 $p=-1+\\sqrt{2}$, $q=-1-\\sqrt{2}$ $∴ p-q$$=-1+\\sqrt{2}-(-1-\\sqrt{2})$$=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "$A=k\\sqrt{6}(3+2\\sqrt{6})+\\sqrt{3}(\\sqrt{2}-\\sqrt{27})$에서 $A$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $k$는 유리수)", "answer": "$A=3k\\sqrt{6}+12k+\\sqrt{6}-9 =(12k-9)+(3k+1)\\sqrt{6}$ $A$가 유리수이므로 $3k+1=0$ $∴ k=-\\frac{1}{3}$ $∴ A=12k-9=12\\times(-\\frac{1}{3})-9=-13$" }, { "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 $P$, $Q$, $R$의 넓이를 $3$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 $P$의 넓이가 $3$이고 세 점 $A, B, C$에 대응하는 수를 각각 $a, $$b, $$c$라 할 때, $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $p$, $q$, $r$ $(00$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{45}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{15}\\times3\\sqrt{5}$$=15\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $12\\sqrt{5} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{5}$$=6\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(12\\sqrt{5})^2-(6\\sqrt{5})^2$$=540$ (cm) $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{540}$$=6\\sqrt{15} (cm)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{5}\\times6\\sqrt{15}$$=180\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림은 넓이가 $5$인 정사각형 $PQRS$를 수직선 위에 그린 것이다. $\\overline{RQ}=\\overline{RA}$, $\\overline{RS}=\\overline{RB}$이고 두 점 $A$, $B$에 대응하는 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $2a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "넓이가 $5$인 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{5}$이다. $\\overline{RQ}=\\overline{RA}=\\sqrt{5}$, $\\overline{RS}=\\overline{RB}=\\sqrt{5}$이므로 $a=-2-\\sqrt{5}$, $b=-2+\\sqrt{5}$ $∴$ $2a-b$$=2(-2-\\sqrt{5})-(-2+\\sqrt{5})$$=-2-3\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 눈금의 길이가 $1$인 모눈종이 위에 수직선과 직각삼각형 $ABC$를 그리고, 점 $A$를 중심으로 하고 $\\overline{AC}$를 반지름으로 하는 원을 그렸다. 원과 수직선이 만나는 두 점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 점 $Q$에 대응하는 수는 $2+\\sqrt{13}$이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라. (2) 점 $P$에 대응하는 수를 구하여라.", "answer": "(1) 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=2$, $\\overline{BC}=3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{2^2+3^2}=\\sqrt{13}$ (2) $\\overline{AQ}=\\overline{AC}=\\sqrt{13}$이고 점 $Q$에 대응하는 수가 $2+\\sqrt{13}$이므로 점 $A$에 대응하는 수는 $2$이다. $\\overline{AP}=\\overline{AC}=\\sqrt{13}$이므로 점 $P$에 대응하는 수는 $2-\\sqrt{13}$이다." }, { "question": "$A=2(k+3\\sqrt{3})-3\\sqrt{3}-6k\\sqrt{3}-10$에서 $A$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $k$는 유리수)", "answer": "$A=2k+6\\sqrt{3}-3\\sqrt{3}-6k\\sqrt{3}-10 =$$(2k-10)+(-6k+3)\\sqrt{3}$ $A$가 유리수이므로 $-6k+3=0$ $∴ k=\\frac{1}{2}$ $∴ A$$=2k-10$$=2\\times\\frac{1}{2}-10$$=-9$" }, { "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 $A$, $B$, $C$의 넓이를 $3$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 $A$의 넓이가 $6$이고 세 점 $P$, $Q$,$ R$에 대응하는 수를 각각 $p$,$q $,$r$라 할 때, $p-q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$p=\\sqrt{6}$, $q=\\sqrt{6}+3\\sqrt{2}$, $r=\\sqrt{6}+3\\sqrt{2}+3\\sqrt{6}$이므로 $p-q+r=\\sqrt{6}-(\\sqrt{6}+3\\sqrt{2})+(\\sqrt{6}+3\\sqrt{2})+3\\sqrt{6})$ $=$$4\\sqrt{6}$ 세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c$$(00$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{144}$$=12 (cm)$ ∴ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times12$$=48\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $2 cm$, $5 cm$인 두 정사각형의 넓이의 합과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $2 cm$인 정사각형의 넓이는 $2^2=4 (cm^2)$이고 한 변의 길이가 $5 cm$인 정사각형의 넓이는 $5^2=25 (cm^2)$이므로 두 정사각형의 넓이의 합은 $4+25=29 (cm^2)$ 넓이가 $29 cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=29$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{29}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{29} cm$이다." }, { "question": "$81$의 두 제곱근을 $a$, $b$라 할 때, 제곱근 $\\sqrt{b-4a+4}$의 값을 구하려고 한다. (단, $ab$) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 제곱근 $\\sqrt{2a+b+4}$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $25$의 두 제곱근은 $5$$,$ $-5$이고 $a>b$이므로 $a=5$$,$ $b=-5$ (2) $\\sqrt{2a+b+4}=\\sqrt{2\\times5+(-5)+4}=\\sqrt{9}=3$ 따라서 $(제곱근 \\sqrt{2a+b+4})$$=(제곱근 3)$$=\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림은 넓이가 $6$인 정사각형 $ABCD$를 수직선 위에 그린 것이다. $\\overline{CP}=\\overline{CD}$, $\\overline{CB}=\\overline{CQ}$이고 두 점 $P$, $Q$에 대응하는 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $p+2q$의 값을 구하여라.", "answer": "넓이가 $6$인 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{6}$이다. $\\overline{CP}=\\overline{CD}=\\sqrt{6}$, $\\overline{CB}=\\overline{CQ}=\\sqrt{6}$이므로 $p=2+\\sqrt{6}$, $q=2-\\sqrt{6}$ $∴$ $p+2q$$=2+\\sqrt{6}+2(2-\\sqrt{6})$$=6-\\sqrt{6}$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $2 cm$, $7 cm$인 두 정사각형의 넓이의 합과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $2 cm$인 정사각형의 넓이는 $2^2=4 (cm^2)$이고 한 변의 길이가 $7 cm$인 정사각형의 넓이는 $7^2=49 (cm^2)$이므로 두 정사각형의 넓이의 합은 $4+49=53 (cm^2)$ 넓이가 $53 cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=53$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{53}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{53} cm$이다." }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 각각 $3$, $2$인 두 정사각형을 수직선 위에 그린 것이다. $\\overline{PA}=\\overline{PQ}$, $\\overline{RB}=\\overline{RS}$가 되도록 수직선 위에 두 점 A, B를 정할 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{PA}=\\overline{PQ}$$=3\\sqrt{2}$이므로 점 $A$에 대응하는 수는 $-2-3\\sqrt{2}$ $\\overline{RB}=\\overline{RS}$$=2\\sqrt{2}$이므로 점 $B$에 대응하는 수는 $1+2\\sqrt{2}$ $∴ \\overline{AB}$$=(1+2\\sqrt{2})-(-2-3\\sqrt{2})$$=3+5\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{(4a-5)^2}=11$을 만족시키는 모든 $a$의 값의 곱을 구하여라.", "answer": "(ⅰ) $4a-5\\ge0$, 즉 $a\\ge\\frac{5}{4}$일 때, $\\sqrt{(4a-5)^2}=4a-5=11$$\\\\$ $4a=16$ ∴ $a=4$ (ⅱ) $4a-5<0$, 즉 $a<\\frac{5}{4}$일 때, $\\sqrt{(4a-5)^2}=-(4a-5)=-4a+5=11$$\\\\$ $-4a=6$ ∴ $a=-\\frac{3}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=4$ 또는 $a=-\\frac{3}{2}$이므로 구하는 곱은 $4\\times(-\\frac{3}{2})=-6$" }, { "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 $A$, $B$, $C$의 넓이를 $2$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 $A$의 넓이가 $2$이고 세 점 $P, Q, R$에 대응하는 수를 각각 $p, $$q, $$r$라 할 때, $p-q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c (0\\frac{7}{3}$일 때, $\\sqrt{(7-3a)^2}=-(7-3a)=-7+3a=11$ $3a=18$ ∴ $a=6$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=-\\frac{4}{3}$ 또는 $a=6$이므로 구하는 곱은 $(-\\frac{4}{3})\\times6=-8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $3cm^2$, $12cm^2$, $48cm^2$인 정사각형이 있다. 이때 세 정사각형의 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $x cm$, $y cm$, $z cm$($00$이므로 $x$$=\\sqrt{13}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{13} cm$이다." }, { "question": "닮음비가 $1 : 4$인 두 정사각형의 넓이의 합이 $68 cm^2$일 때, 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하려고 한다. (1) 두 정사각형의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라. (2) 큰 정사각형의 넓이를 구하여라. (3) 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)두 정사각형의 닮음비가 $1 : 4$이므로 넓이의 비는 $1^2 : 4^2$$=1 : 16$ (2)두 정사각형의 넓이의 합이 $68 cm^2$이므로 큰 정사각형의 넓이는 $68\\times\\frac{16}{1+16}=64 (cm^2)$ (3)큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=64$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{64}$$=8$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "닮음비가 $3 : 5$인 두 정사각형의 넓이의 합이 $136 cm^2$일 때, 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하려고 한다. (1) 두 정사각형의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라. (2) 작은 정사각형의 넓이를 구하여라. (3) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) 두 정사각형의 닮음비가 $3 : 5$이므로 넓이의 비는 $3^2 : 5^2$$=9 : 25$ (2) 두 정사각형의 넓이의 합이 $136 cm^2$이므로 작은 정사각형의 넓이는 $136\\times\\frac{9}{9+25}=36 (cm^2)$ (3) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=36$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{36}$$=6$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 두 부등식을 동시에 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라.$\\\\$ $2\\le \\sqrt{x}<3$, $\\sqrt{15}0$이므로 $x$$=\\sqrt{81}$$=9$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "$169$의 제곱근을 $x$, $\\sqrt{256}$의 제곱근을 $y$라 할 때, $x+y$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$169$의 제곱근은 $\\pm13$이므로 $x=\\pm13$ $\\sqrt{256}$$=16$의 제곱근은 $\\pm4$이므로 $y=\\pm4$ $x+y$가 최솟값을 가지려면 $x$, $y$는 모두 음수여야 한다. 따라서 $x+y=(-13)+(-4)=-17$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $3 cm$, $5 cm$인 두 정사각형의 넓이의 합과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $3 cm$인 정사각형의 넓이는 $3^2=9 (cm^2)$이고 한 변의 길이가 $5 cm$인 정사각형의 넓이는 $5^2=25 (cm^2)$이므로 두 정사각형의 넓이의 합은 $9+25=34 (cm^2)$ 넓이가 $34 cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=34$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{34}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{34} cm$이다." }, { "question": "$16$의 제곱근을 $a$, $\\sqrt{81}$의 제곱근을 $b$라 할 때, $a+b$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$16$의 제곱근은 $\\pm4$이므로 $a=\\pm4$ $\\sqrt{81}$$=9$의 제곱근은 $\\pm3$이므로 $b=\\pm3$ $a+b$가 최솟값을 가지려면 $a$, $b$는 모두 음수여야 한다. 따라서 $a+b=(-4)+(-3)=-7$" }, { "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 $A$, $B$, $C$의 넓이를 $3$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 $A$의 넓이가 $2$이고 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대응하는 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c(00$이므로 $x$$=\\sqrt{144}$$=12$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $12 cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{81}$의 제곱근을 $x$, $64$의 제곱근을 $y$라 할 때, $x+y$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{81}$$=9$의 제곱근은 $\\pm3$이므로 $x=\\pm3$ $64$의 제곱근은 $\\pm8$이므로 $y=\\pm8$ $x+y$가 최솟값을 가지려면 $x$, $y$는 모두 음수여야 한다. 따라서 $x+y=(-3)+(-8)=-11$" }, { "question": "세 자연수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $\\sqrt{44x}+\\sqrt{72y}=z$일 때, $x-y+z$의 값을 구하여라. (단, $100$이므로 $x$$=\\sqrt{11}$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{11} cm$이다." }, { "question": "자연수 $x$에 대하여 $\\sqrt{x}$ 이하의 자연수 중 가장 큰 수를 $f(4x+2)$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $f(54)$의 값을 구하여라. (2) $f(150)$의 값을 구하여라. (3) $f(54)+f(150)$의 값을 구하여라.", "answer": "(1)$4x+2=54$에서 $4x=52$ $∴$ $x=13$ $\\sqrt{9}<\\sqrt{13}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{13}<4$이므로 $f(54)=3$ (2)$4x+2=150$에서 $4x=148$ $∴$ $x=37$ $\\sqrt{36}<\\sqrt{37}<\\sqrt{49}$에서 $6<\\sqrt{37}<7$이므로 $f(150)=6$ (3)$f(54)+f(150)$$=3+6$$=9$" }, { "question": "자연수 $x$에 대하여 $\\sqrt{x}$ 이하의 자연수 중 가장 큰 수를 $f(4x-1)$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $f(155)$의 값을 구하여라. (2) $f(61)$의 값을 구하여라. (3) $f(155)+f(61)$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x-1=155$에서 $4x=156$ $∴$ $x=39$ $\\sqrt{36}<\\sqrt{39}<\\sqrt{49}$에서 $6<\\sqrt{39}<7$이므로 $f(155)=6$ $4x-1=61$에서 $4x=62$ $∴$ $x=\\frac{31}{2}$ $\\sqrt{9}<\\sqrt{\\frac{31}{2}}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{\\frac{31}{2}}<4$이므로 $f(61)=3$ $f(155)+f(61)$$=6+3$$=9$" }, { "question": "세 자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $\\sqrt{84a}+\\sqrt{56b}=c$일 때, $a-b+c$의 값을 구하여라. (단, $20\\frac{5}{4}$일 때, $\\sqrt{(5-4a)^2}=-(5-4a)=-5+4a=7$ $4a=12$ $∴ a=3$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=-\\frac{1}{2}$ 또는 $a=3$이므로 구하는 합은 $-\\frac{1}{2}+3=\\frac{5}{2}$" }, { "question": "다음 두 부등식을 동시에 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라. $\\sqrt{100}\\le x\\le\\sqrt{150}$ , $3\\le\\sqrt{x}<4$", "answer": "$\\sqrt{100}\\le x\\le\\sqrt{150}$에서 $\\sqrt{100}\\le\\sqrt{x^2}\\le\\sqrt{150}$이므로 $100\\le x^2\\le150$을 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $10$, $11$, $12$이다. $3\\le\\sqrt{x}<4$에서 $\\sqrt{9}\\le\\sqrt{x}<\\sqrt{16}$이므로 $9\\le x<16$을 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$이다. 두 부등식을 동시에 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $10$, $11$, $12$이므로 구하는 합은 $10+11+12=33$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $2$보다 크고, $4$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $2$보다 크고, $4$보다 작으므로 $2<\\sqrt{a}<4$에서 $\\sqrt{4}<\\sqrt{a}<\\sqrt{16}$ $∴ 40$이므로 $x$$=\\sqrt{58}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{58} cm$이다." }, { "question": "다음 두 부등식을 동시에 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라. $3\\le\\sqrt{x}\\lt4$$, $$\\sqrt{65}\\le x\\lt\\sqrt{110}$", "answer": "$3\\le\\sqrt{x}<4$에서 $\\sqrt{9}\\le\\sqrt{x}<\\sqrt{16}$이므로 $9\\le x<16$을 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, $14$, $15$이다. $\\sqrt{65}\\le x<\\sqrt{110}$에서 $\\sqrt{65}\\le\\sqrt{x^2}<\\sqrt{110}$이므로 $65\\le x^2<110$을 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $9$, $10$이다. 두 부등식을 동시에 만족시키는 자연수 $x$의 값은 $9$, $10$이므로 구하는 합은 $9+10=19$" }, { "question": "다음 두 부등식을 동시에 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라. $\\sqrt{5}\\frac{5}{2}$일 때, $\\sqrt{(5-2a)^2}=-(5-2a)=-5+2a=3$ $2a=8$ $∴$ $a=4$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=1$ 또는 $a=4$이므로 구하는 합은 $1+4=5$" }, { "question": "다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 $1$인 모눈종이 위에 좌표평면과 정사각형 $ABCD$를 그린 것이다. 좌표축 위의 두 점 $P$, $Q$에 대하여 $\\overline{AD}=\\overline{AP}$, $\\overline{DC}=\\overline{DQ}$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림의 직각삼각형 $AMD$에서 $\\overline{DM}=1$, $\\overline{AM}=3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}=\\sqrt{1^2+3^2}=\\sqrt{10}$ $\\overline{AD}=\\overline{DC}=\\sqrt{10}$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{AD}=\\sqrt{10}$, $\\overline{DQ}=\\overline{DC}=\\sqrt{10}$ 점 $A$의 좌표는 $A(1, 0)$이므로 $P(1-\\sqrt{10}, 0)$ 점 $D$의 좌표는 $D(0, 3)$이므로 $Q(0, 3+\\sqrt{10})$" }, { "question": "$\\sqrt{315a}=b\\sqrt{5}$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값 중 가장 작은 값을 구하여라.", "answer": "$a+b$의 값이 가장 작으려면 $a$, $b$의 값이 모두 가장 작아야 한다. $\\sqrt{315a}=\\sqrt{3^2\\times5\\times7\\times a}=b\\sqrt{5}$에서 $a=7\\times(자연수)^2$의 꼴이어야 하므로 가장 작은 $a$의 값은 $7\\times1^2=7$ $\\sqrt{3^2\\times5\\times7\\times a}=\\sqrt{3^2\\times5\\times7\\times7}=21\\sqrt{5}$이므로 가장 작은 $b$의 값은 $21$이다. 따라서 $a+b$의 값 중 가장 작은 값은 $7+21=28$" }, { "question": "다음 두 부등식을 동시에 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하여라. $2<\\sqrt{x}<3,$ $\\sqrt{30}0$이므로 $x$$=\\sqrt{36}$$=6$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{300000}$은 $\\sqrt{30}$의 $A$ 배이고, $\\frac{\\sqrt{0.003}}{\\sqrt{30}}=B$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $A$의 값을 구하여라. (2) $B$의 값을 구하여라. (3) $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{300000}=\\sqrt{10000\\times30}=100\\sqrt{30}$이므로 $A=100$ (2) $\\frac{\\sqrt{0.003}}{\\sqrt{30}}=\\sqrt{\\frac{0.003}{30}}=\\sqrt{\\frac{1}{10000}}=\\frac{1}{100}$이므로 $B=\\frac{1}{100}$ (3) $AB$$=100\\times\\frac{1}{100}$$=1$" }, { "question": "다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 $1$인 모눈종이 위에 좌표평면과 정사각형 $ABCD$를 그린 것이다. 좌표축 위의 두 점 P, Q에 대하여 $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{DC}=\\overline{DQ}$일 때, 두 점 P, Q의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림의 직각삼각형 $ABM$에서 $\\overline{AM}=2$, $\\overline{BM}=3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+3^2}=\\sqrt{13}$ $\\overline{AB}=\\overline{DC}=\\sqrt{13}$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{AB}=\\sqrt{13}$, $\\overline{DQ}=\\overline{DC}=\\sqrt{13}$ 점 $A$의 좌표는 $A(2, 0)$이므로 $P(2+\\sqrt{13}, 0)$ 점 $D$의 좌표는 $D(0, 3)$이므로 $Q(0, 3+\\sqrt{13})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 눈금의 길이가 $1$인 모눈종이 위에 수직선과 직각삼각형 $ABC$를 그리고, 점 $A$를 중심으로 하고 $\\overline{AC}$를 반지름으로 하는 원을 그렸다. 원과 수직선이 만나는 두 점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 점 $Q$에 대응하는 수는 $2+\\sqrt{34}$이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라. (2) 점 $P$에 대응하는 수를 구하여라.", "answer": "(1) 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=5$, $\\overline{BC}=3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{5^2+3^2}=\\sqrt{34}$ (2) $\\overline{AQ}=\\overline{AC}=\\sqrt{34}$이고 점 $Q$에 대응하는 수가 $2+\\sqrt{34}$이므로 점 $A$에 대응하는 수는 $2$이다. $\\overline{AP}=\\overline{AC}=\\sqrt{34}$이므로 점 $P$에 대응하는 수는 $2-\\sqrt{34}$이다." }, { "question": "자연수 $x$에 대하여 $\\sqrt{x}$ 이하의 자연수 중 가장 큰 수를 $f(3x-1)$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $f(32)$의 값을 구하여라. (2) $f(104)$의 값을 구하여라. (3) $f(32)+f(104)$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $3x-1=32$에서 $3x=33$ $∴ x=11$ $\\sqrt{9}<\\sqrt{11}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{11}<4$이므로 $f(32)=3$ (2) $3x-1=104$에서 $3x=105$ $∴ x=35$ $\\sqrt{25}<\\sqrt{35}<\\sqrt{36}$에서 $5<\\sqrt{35}<6$이므로 $f(104)=5$ (3) $f(32)+f(104)$$=3+5$$=8$" }, { "question": "다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 $1$인 모눈종이 위에 좌표평면과 정사각형 $ABCD$를 그린 것이다. 좌표축 위의 두 점 $P, Q$에 대하여 $\\overline{AD}=\\overline{AP}$, $\\overline{DC}=\\overline{DQ}$일 때, 두 점$P, Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림의 직각삼각형 $AMD$에서 $\\overline{DM}=1$, $\\overline{AM}=2$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}=\\sqrt{1^2+2^2}=\\sqrt{5}$ $\\overline{AD}=\\overline{DC}=\\sqrt{5}$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{AD}=\\sqrt{5}$, $\\overline{DQ}=\\overline{DC}=\\sqrt{5}$ 점 $A$의 좌표는 $A(1, 0)$이므로 $P(1-\\sqrt{5}, 0)$ 점 $D$의 좌표는 $D(0, 2)$이므로 $Q(0, 2+\\sqrt{5})$" }, { "question": "다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 $1$인 모눈종이 위에 좌표평면과 정사각형 $ABCD$를 그린 것이다. 좌표축 위의 두 점 $P$, $Q$에 대하여 $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{DC}=\\overline{DQ}$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림의 직각삼각형 $ABM$에서 $\\overline{AM}=2$, $\\overline{BM}=4$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+4^2}=\\sqrt{20}$ $\\overline{AB}=\\overline{DC}=\\sqrt{20}$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{AB}=\\sqrt{20}$, $\\overline{DQ}=\\overline{DC}=\\sqrt{20}$ 점 $A$의 좌표는 $A(2, 0)$이므로 $P(2+\\sqrt{20}, 0)$ 점 $D$의 좌표는 $D(0, 4)$이므로 $Q(0, 4+\\sqrt{20})$" }, { "question": "다음 수직선 위의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$는 각각 네 수 $1+\\sqrt{6}$, $-\\sqrt{2}$, $\\sqrt{10}-3$, $\\sqrt{5}$ 중 하나에 대응한다. 점 $A$에 대응하는 수를 $a$, 점 $C$에 대응하는 수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $b^2-a^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{1}<\\sqrt{2}<\\sqrt{4}$에서 $1<\\sqrt{2}<2$이고 $-2<-\\sqrt{2}<-1$ 따라서 점 $A$에 대응하는 수는 $-\\sqrt{2}$이므로 $a=-\\sqrt{2}$ (2) $\\sqrt{4}<\\sqrt{5}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{5}<3$ 따라서 점 $C$에 대응하는 수는 $\\sqrt{5}$이므로 $b=\\sqrt{5}$ (3) $b^2-a^2$$=(\\sqrt{5})^2-(-\\sqrt{2})^2$$=5-2$$=3$" }, { "question": "$\\sqrt{3}\\times\\sqrt{4}\\times\\sqrt{5}\\times\\sqrt{6}\\times\\sqrt{7}\\times\\sqrt{8}\\times\\sqrt{9}=a\\sqrt{b}$일 때, $a-2b$의 값을 구하여라. (단, $a$는 자연수, $b$는 가장 작은 자연수)", "answer": "$\\sqrt{3}\\times\\sqrt{4}\\times\\sqrt{5}\\times\\sqrt{6}\\times\\sqrt{7}\\times\\sqrt{8}\\times\\sqrt{9}$ $=$$\\sqrt{3\\times4\\times5\\times6\\times7\\times8\\times9}$ $=$$\\sqrt{3\\times2^2\\times5\\times(2\\times3)\\times7\\times2^3\\times3^2}$ $=$$\\sqrt{2^6\\times3^4\\times5\\times7}$ $=$$\\sqrt{(2^3\\times3^2)^2\\times5\\times7}$ $=$$\\sqrt{72^2\\times35}$ $=$$72\\sqrt{35}$ $a=72$, $b=35$이므로 $a-2b$$=72-2\\times35$$=2$" }, { "question": "다음 수직선 위의 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$는 각각 네 수 $\\sqrt{7}$, $\\sqrt{11}-4$, $-\\sqrt{5}$, $3-\\sqrt{2}$ 중 하나에 대응한다. 점 $A$에 대응하는 수를 $a$, 점 $D$에 대응하는 수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a^2+b^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1)$\\sqrt{4}<\\sqrt{5}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{5}<3$이고 $-3<-\\sqrt{5}<-2$ 따라서 점 $A$에 대응하는 수는 $-\\sqrt{5}$이므로 $a=-\\sqrt{5}$ (2)$\\sqrt{4}<\\sqrt{7}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{7}<3$ 따라서 점 $D$에 대응하는 수는 $\\sqrt{7}$이므로 $b=\\sqrt{7}$ (3)$a^2+b^2$$=(-\\sqrt{5})^2+(\\sqrt{7})^2$$=5+7$$=12$" }, { "question": "자연수 $x$에 대하여 $\\sqrt{x}$ 이하의 자연수 중 가장 큰 수를 $f(3x+4)$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $f(103)$의 값을 구하여라. (2) $f(61)$의 값을 구하여라. (3) $f(103)-f(61)$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $3x+4=103$에서 $3x=99$ $∴ x=33$ $\\sqrt{25}<\\sqrt{33}<\\sqrt{36}$에서 $5<\\sqrt{33}<6$이므로 $f(103)=5$ (2) $3x+4=61$에서 $3x=57$ $∴ x=19$ $\\sqrt{16}<\\sqrt{19}<\\sqrt{25}$에서 $4<\\sqrt{19}<5$이므로 $f(61)=4$ (3) $f(103)-f(61)$$=5-4$$=1$" }, { "question": "다음 그림은 한 칸의 가로와 세로의 길이가 각각 $1$인 모눈종이 위에 좌표평면과 정사각형 $ABCD$를 그린 것이다. 좌표축 위의 두 점 $P $,$ Q$에 대하여 $\\overline{AD}=\\overline{AP}$, $\\overline{DC}=\\overline{DQ}$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림의 직각삼각형 $AMD$에서 $\\overline{DM}=2$, $\\overline{AM}=4$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}=\\sqrt{2^2+4^2}=\\sqrt{20}$ $\\overline{AD}=\\overline{DC}=\\sqrt{20}$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{AD}=\\sqrt{20}$, $\\overline{DQ}=\\overline{DC}=\\sqrt{20}$ 점 A의 좌표는 $A(2, 0)$이므로 $P(2-\\sqrt{20}, 0)$ 점 D의 좌표는 $D(0, 4)$이므로 $Q(0, 4+\\sqrt{20})$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $7$보다 크고, $9$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $7$보다 크고, $9$보다 작으므로 $7<\\sqrt{a}<9$에서 $\\sqrt{49}<\\sqrt{a}<\\sqrt{81}$ $∴$ $49 $2-\\sqrt{175}$ $\\qquad$ $x$ $5$ $3+\\sqrt{7}$ $\\qquad$ $6+\\sqrt{63}$ ", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+5+(3+\\sqrt{7})$$=x+5+3+\\sqrt{7}$$=(x+8)+\\sqrt{7}$ $(2-\\sqrt{175})+5+(6+\\sqrt{63})$$=2-5\\sqrt{7}+5+6+3\\sqrt{7}$$=13-2\\sqrt{7}$ $(x+8)+\\sqrt{7}=13-2\\sqrt{7}$이므로 $x$$=13-2\\sqrt{7}-8-\\sqrt{7}$$=5-3\\sqrt{7}$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $4$보다 크고, $6$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $4$보다 크고, $6$보다 작으므로 $4<\\sqrt{a}<6$에서 $\\sqrt{16}<\\sqrt{a}<\\sqrt{36}$ $∴$ $160$이므로 $x$$=\\sqrt{74}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{74} cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{(5-2\\sqrt{6})^2}-\\sqrt{(4\\sqrt{6}-10)^2}=x+y\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$5-2\\sqrt{6}=\\sqrt{25}-\\sqrt{24}>0$, $4\\sqrt{6}-10=\\sqrt{96}-\\sqrt{100}<0$이므로 $\\sqrt{(5-2\\sqrt{6})^2}-\\sqrt{(4\\sqrt{6}-10)^2}$ $=$$(5-2\\sqrt{6})-\\lbrace-(4\\sqrt{6}-10)\\rbrace$ $=$$5-2\\sqrt{6}+4\\sqrt{6}-10$ $=$$-5+2\\sqrt{6}$ $x=-5$, $y=2$이므로 $x-y$$=-5-2$$=-7$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $6$보다 크고, $8$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $6$보다 크고, $8$보다 작으므로 $6<\\sqrt{a}<8$에서 $\\sqrt{36}<\\sqrt{a}<\\sqrt{64}$ $∴ 36 $\\sqrt{27}$ $x$ $\\sqrt{12}$ $-3\\sqrt{75}$ $2-\\sqrt{3}$ ", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+\\sqrt{12}+(-3+\\sqrt{75})$$=x+2\\sqrt{3}-3+5\\sqrt{3}$$=(x-3)+7\\sqrt{3}$ $\\sqrt{27}+\\sqrt{12}+(2-\\sqrt{3})$$=3\\sqrt{3}+2\\sqrt{3}+2-\\sqrt{3}$$=2+4\\sqrt{3}$ $(x-3)+7\\sqrt{3}=2+4\\sqrt{3}$이므로 $x$$=2+4\\sqrt{3}+3-7\\sqrt{3}$$=5-3\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sqrt{240a}=b\\sqrt{3}$을 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값 중 가장 작은 값을 구하여라.", "answer": "$a+b$의 값이 가장 작으려면 $a$, $b$의 값이 모두 가장 작아야 한다. $\\sqrt{240a}=\\sqrt{2^4\\times3\\times5\\times a}=b\\sqrt{3}$에서 $a=5\\times(자연수)^2$의 꼴이어야 하므로 가장 작은 $a$의 값은 $5\\times1^2=5$ $\\sqrt{2^4\\times3\\times5\\times a}=\\sqrt{2^4\\times3\\times5\\times5}=20\\sqrt{3}$이므로 가장 작은 $b$의 값은 $20$이다. 따라서 $a+b$의 값 중 가장 작은 값은 $5+20=25$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $8$보다 크고, $10$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $8$보다 크고, $10$보다 작으므로 $8<\\sqrt{a}<10$에서 $\\sqrt{64}<\\sqrt{a}<\\sqrt{100}$ $ \\therefore 64 $-4+\\sqrt8$ $3$ $-\\sqrt8$ $2-\\sqrt{50}$ $x$ ", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $(-4+\\sqrt{8})+(-\\sqrt{18})+x$$=-4+2\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}+x$$=(x-4)-\\sqrt{2}$ $3+(-\\sqrt{18})+(2-\\sqrt{50})$$=3-3\\sqrt{2}+2-5\\sqrt{2}$$=5-8\\sqrt{2}$ $(x-4)-\\sqrt{2}=5-8\\sqrt{2}$이므로 $x$$=5-8\\sqrt{2}+4+\\sqrt{2}$$=9-7\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace\\sqrt{7}(2\\sqrt{7}+\\sqrt{2})+\\sqrt{7}\\times3\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}(2\\sqrt{7}+\\sqrt{2})\\rbrace$ $=$$2(14+\\sqrt{14}+3\\sqrt{14}+6\\sqrt{14}+6)$ $=$$2(20+10\\sqrt{14})$ $=$$40+20\\sqrt{14}$" }, { "question": "$a=\\sqrt{5}$이고 $b=3a+2\\sqrt{5}-\\frac{5}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수) (1) $b$의 값을 구하여라. (2) $k$의 값을 구하여라.", "answer": "(2) $b=3a+2\\sqrt{5}-\\frac{5}{a}$ $=3\\sqrt{5}+2\\sqrt{5}-\\frac{5}{\\sqrt{5}}$ $=3\\sqrt{5}+2\\sqrt{5}-\\sqrt{5}$ $=$$4 \\sqrt{5}$ (2) $b=4 \\sqrt{5}$이므로 $b=4a$ $∴$ $k=4$" }, { "question": "다음 표에서 두 대각선 위에 있는 세 수의 합이 서로 같을 때, $x$의 값을 구하여라.
$2+\\sqrt{32}$ $x$
$-2$
$5-\\sqrt{8}$ $-1-\\sqrt{18}$
", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+(-2)+(5-\\sqrt{8})$$=x-2+5-2\\sqrt{2}$$=(x+3)-2\\sqrt{2}$ $(2+\\sqrt{32})+(-2)+(-1-\\sqrt{18})$$=2+4\\sqrt{2}-2-1-3\\sqrt{2}$$=-1+\\sqrt{2}$ $(x+3)-2\\sqrt{2}=-1+\\sqrt{2}$이므로 $x$$=-1+\\sqrt{2}-3+2\\sqrt{2}$$=-4+3\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 수를 큰 것부터 순서대로 나열할 때, 세 번째에 오는 수를 구하여라. $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}}$ $ \\sqrt{5}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{5} $ $ \\frac{3}{\\sqrt{5}}$ $\\frac{3}{5} $", "answer": "$\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}}=\\frac{\\sqrt{15}}{5}$, $\\sqrt{5}=\\frac{5\\sqrt{5}}{5}=\\frac{\\sqrt{125}}{5}$, $\\frac{3}{\\sqrt{5}}=\\frac{3\\sqrt{5}}{5}=\\frac{\\sqrt{45}}{5}$, $\\frac{3}{5}=\\frac{\\sqrt{9}}{5}$이므로 $\\frac{\\sqrt{125}}{5}>\\frac{\\sqrt{45}}{5}>\\frac{\\sqrt{15}}{5}>\\frac{\\sqrt{9}}{5}>\\frac{\\sqrt{3}}{5}$ 큰 것부터 순서대로 나열하면 $\\sqrt{5}$, $\\frac{3}{\\sqrt{5}}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}}$, $\\frac{3}{5}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{5}$ 따라서 세 번째에 오는 수는 $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{6}\\times\\sqrt{8}\\times\\sqrt{10}\\times\\sqrt{12}\\times\\sqrt{14}\\times\\sqrt{16}=a\\sqrt{b}$일 때, $a-5b$의 값을 구하여라. (단, $a$는 자연수, $b$는 가장 작은 자연수)", "answer": "$\\sqrt{6}\\times\\sqrt{8}\\times\\sqrt{10}\\times\\sqrt{12}\\times\\sqrt{14}\\times\\sqrt{16}$ $=$$\\sqrt{6\\times8\\times10\\times12\\times14\\times16}$ $=$$\\sqrt{(2\\times3)\\times2^3\\times(2\\times5)\\times(2^2\\times3)\\times(2\\times7)\\times2^4}$ $=$$\\sqrt{2^{12}\\times3^2\\times5\\times7}$ $=$$\\sqrt{(2^6\\times3)^2\\times5\\times7}$ $=$$\\sqrt{192^2\\times35}$ $=$$192\\sqrt{35}$ $a=192$, $b=35$이므로 $a-5b$$=192-5\\times35$$=17$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라. ⦁ $\\sqrt{7}(3a-\\sqrt{7})-9\\sqrt{7}+2a$ ⦁ $3b-5\\sqrt{2}(\\sqrt{2}-2)+2b\\sqrt{2}$", "answer": "$\\sqrt{7}(3-\\sqrt{7})-9\\sqrt{7}+2a=3a\\sqrt{7}-7-9\\sqrt{7}+2a=$$(-7+2a)+(3a-9)\\sqrt{7}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $3a-9=0$이어야 하므로 $a=3$ $3b-5\\sqrt{2}(\\sqrt{2}-2)+2b\\sqrt{2}=3b-10+10\\sqrt{2}+2b\\sqrt{2}=(3b-10)+(10+2b)\\sqrt{2}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $10+2b=0$이어야 하므로 $b=-5$ $∴ a-b=3-(-5)=8$" }, { "question": "$\\sqrt{13}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{9}<\\sqrt{13}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{13}<4$이므로 $\\sqrt{13}$의 정수 부분은 $3$이다. $∴ a$$=3$ (2) $a=3$이므로 $a+\\sqrt{a}$$=3+\\sqrt{3}$ $\\sqrt{1}<\\sqrt{3}<\\sqrt{4}$에서 $1<\\sqrt{3}<2$이고 $4<3+\\sqrt{3}<5$이므로 $3+\\sqrt{3}$의 소수 부분은 $(3+\\sqrt{3})-4=\\sqrt{3}-1$ $∴ b=\\sqrt{3}-1$ (3) $a+b=3+(\\sqrt{3}-1)=2+\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sqrt{700000}$은 $\\sqrt{70}$의 $A$ 배이고, $\\frac{\\sqrt{0.5}}{\\sqrt{50}}=B$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $A$의 값을 구하여라. (2) $B$의 값을 구하여라. (3) $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "(1)$\\sqrt{700000}=\\sqrt{10000\\times70}=100\\sqrt{70}$이므로 $A=100$ (2) $\\frac{\\sqrt{0.5}}{\\sqrt{50}}=\\sqrt{\\frac{0.5}{50}}=\\sqrt{\\frac{1}{100}}=\\frac{1}{10}$이므로 $B=\\frac{1}{10}$ (3) $AB$ $=100\\times\\frac{1}{10}$ $=10$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라. $\\bullet$ $a(5-\\sqrt{2})+\\sqrt{8}(\\sqrt{2}-3)$ $\\bullet$ $3b\\sqrt{3}+2-\\sqrt{6}(4\\sqrt{2}-\\sqrt{6})$", "answer": "$a(5-\\sqrt{2}+\\sqrt{8}(\\sqrt{2}-3)=5a-a\\sqrt{2}+4-6\\sqrt{2}=(5a+4)+(-a-6)\\sqrt{2}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $-a-6=0$이어야 하므로 $a=-6$ $3b\\sqrt{3}+2-\\sqrt{6}(4\\sqrt{2}-\\sqrt{6})=3b\\sqrt{3}+2-8\\sqrt{3}+6=8+(3b-8)\\sqrt{3}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $3b-8=0$이어야 하므로 $b=\\frac{8}{3}$ $∴ ab=(-6)\\times\\frac{8}{3}=-16$" }, { "question": "$a=\\sqrt{2}$이고 $b=5a-3\\sqrt{2}+\\frac{10}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수) (1) $b$의 값을 구하여라. (2) $k$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $b = 5a-3\\sqrt{2}+\\frac{10}{a}$ $= $$5\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}+\\frac{10}{\\sqrt{2}}$ $=$ $5\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=7\\sqrt{2}$ (2) $b=7\\sqrt{2}$이므로 $b=7a$ $∴$ $k=7$" }, { "question": "다음 수를 큰 것부터 순서대로 나열할 때, 두 번째에 오는 수를 구하여라. $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $2$, $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}$, $\\frac{3}{\\sqrt{2}}$, $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$", "answer": "$2=\\frac{4}{2}=\\frac{\\sqrt{16}}{2}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{6}}{2}$, $\\frac{3}{\\sqrt{2}}=\\frac{3\\sqrt{2}}{2}=\\frac{\\sqrt{18}}{2}$, $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}=\\frac{\\sqrt{27}}{2}$ 이므로 $\\frac{\\sqrt{27}}{2}>\\frac{\\sqrt{18}}{2}>\\frac{\\sqrt{16}}{2}>\\frac{\\sqrt{6}}{2}>\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 큰 것부터 순서대로 나열하면 $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$, $\\frac{3}{\\sqrt{2}}$, $2$, $\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 따라서 두 번째에 오는 수는 $\\frac{3}{\\sqrt{2}}$이다." }, { "question": "$\\sqrt{120a}=b\\sqrt{5}$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값 중 가장 작은 값을 구하여라.", "answer": "$a+b$의 값이 가장 작으려면 $a$, $b$의 값이 모두 가장 작아야 한다. $\\sqrt{120a}=\\sqrt{2^3\\times3\\times5\\times a}=b\\sqrt{5}$에서 $a=2\\times3\\times(자연수)^2$의 꼴이어야 하므로 가장 작은 $a$의 값은 $2\\times3\\times1^2=6$ $\\sqrt{2^3\\times3\\times5\\times a}=\\sqrt{2^3\\times3\\times5\\times6}=12\\sqrt{5}$이므로 가장 작은 $b$의 값은 $12$이다. 따라서 $a+b$의 값 중 가장 작은 값은 $6+12=18$" }, { "question": "다음은 넓이가 각각 $9 cm^2$, $16 cm^2$, $25 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{BC}-\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=9$에서 $a^2=18$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=16$에서 $b^2=32$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=25$에서 $c^2=50$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=4\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=9\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=3\\sqrt{2}+4\\sqrt{2}=7\\sqrt{2} (cm)$ $\\therefore\\overline{BC}-\\overline{AB}=9\\sqrt{2}-7\\sqrt{2}=2\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "자연수 $x$에 대하여 $\\sqrt{x}$ 이하의 자연수 중 가장 큰 수를 $f(5x-1)$이라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $f(84)$의 값을 구하여라. (2) $f(134)$의 값을 구하여라. (3) $f(84)+f(134)$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $5x-1=84$에서 $5x=85$ $∴$ $x=17$ $\\sqrt{16}<\\sqrt{17}<\\sqrt{25}$에서 $4<\\sqrt{17}<5$이므로 $f(84)=4$ (2) $5x-1=134$에서 $5x=135$ $∴$ $x=27$ $\\sqrt{25}<\\sqrt{27}<\\sqrt{36}$에서 $5<\\sqrt{27}<6$이므로 $f(134)=5$ (3) $f(84)+f(134)$$=4+5$$=9$" }, { "question": "다음 표에서 두 대각선 위에 있는 세 수의 합이 서로 같을 때, $x$의 값을 구하여라.
$6-\\sqrt20$ $x$
$-4$
$5+\\sqrt125$ $3+\\sqrt5$
", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+(-4)+(5+\\sqrt{125})$$=x-4+5+5\\sqrt{5}$$=(x+1)+5\\sqrt{5}$ $(6-\\sqrt{20})+(-4)+(3+\\sqrt{5})$$=6-2\\sqrt{5}-4+3+\\sqrt{5}$$=5-\\sqrt{5}$ $(x+1)+5\\sqrt{5}=5-\\sqrt{5}$이므로 $x$$=5-\\sqrt{5}-1-5\\sqrt{5}$$=4-6\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{(3-\\sqrt{5})^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{5}-5)^2}=a+b\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$3-\\sqrt{5}=\\sqrt{9}-\\sqrt{5}>0$, $2\\sqrt{5}-5=\\sqrt{20}-\\sqrt{25}<0$이므로 $\\sqrt{(3-\\sqrt{5})^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{5}-5)^2}$ $=$$(3-\\sqrt{5})-\\lbrace-(2\\sqrt{5}-5)\\rbrace$ $=$$3-\\sqrt{5}+2\\sqrt{5}-5$ $=$$-2+\\sqrt{5}$ $a=-2$, $b=1$이므로 $a+b$$=-2+1$$=-1$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 자연수 $a$의 개수를 구하여라. $\\sqrt{a}$는 $5$보다 크고, $7$보다 작은 무리수이다.", "answer": "$\\sqrt{a}$가 $5$보다 크고, $7$보다 작으므로 $5<\\sqrt{a}<7$에서 $\\sqrt{25}<\\sqrt{a}<\\sqrt{49}$ ∴ $25\\frac{\\sqrt{28}}{5}>\\frac{\\sqrt{25}}{5}>\\frac{\\sqrt{20}}{5}>\\frac{\\sqrt{7}}{5}$ 큰 것부터 순서대로 나열하면 $\\frac{\\sqrt{7}}{\\sqrt{5}}$, $\\frac{2\\sqrt{7}}{5}$, $1$, $\\frac{2}{\\sqrt{5}}$, $\\frac{\\sqrt{7}}{5}$ 따라서 세 번째에 오는 수는 $1$이다." }, { "question": "$a=\\sqrt{6}$이고 $b=2a+3\\sqrt{6}-\\frac{18}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수) (1) $b$의 값을 구하여라. (2) $k$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $b=2a+3\\sqrt6 -\\frac{18}{a}$ $=2\\sqrt6 +3\\sqrt6 -\\frac{18}{\\sqrt6}$ $=2\\sqrt6 +3\\sqrt6 -3\\sqrt6$ $=$$2\\sqrt{6}$ (2) $b=2\\sqrt{6}$이므로 $b=2a$ $∴ k=2$" }, { "question": "$\\sqrt{(5\\sqrt{3}-9)^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{3}-3)^2}=a+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$5\\sqrt{3}-9=\\sqrt{75}-\\sqrt{81}<0$, $2\\sqrt{3}-3=\\sqrt{12}-\\sqrt{9}>0$이므로 $\\sqrt{(5\\sqrt{3}-9)^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{3}-3)^2}$ $=$$-(5\\sqrt{3}-9)-(2\\sqrt{3}-3)$ $=$$-5\\sqrt{3}+9-2\\sqrt{3}+3$ $=$$12-7\\sqrt{3}$ $a=12$, $b=-7$이므로 $a+b$$=12+(-7)$$=5$" }, { "question": "$a=\\sqrt{7}$이고 $b=3a-5\\sqrt{7}+\\frac{28}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수) (1) $b$의 값을 구하여라. (2) $k$의 값을 구하여라.", "answer": "(1)$ b=$$3a-5\\sqrt7+\\frac{28}{a}$$=$$3\\sqrt7-5\\sqrt7+\\frac{28}{\\sqrt7}$$=$$3\\sqrt7-5\\sqrt7+4\\sqrt7$$=$$2\\sqrt{7}$ (2) $b=2\\sqrt{7}$이므로 $b=2a$ $∴ k=2$" }, { "question": "다음 그림에서 점 B의 좌표는 $B(-4)$이고, 사각형 $ABCD$와 $CFDE$는 모두 정사각형이다. $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, 수직선 위의 점 $G$에 대응하는 수를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=$$4$$\\times \\triangle CDE$ $=4\\times$ $(\\frac{1}{2}\\times1$ $\\times1)=2$ $\\\\$ $\\overline{BC}$는 $\\square ABCD$의 한 변이므로 $\\overline{BC}$의 길이는 $\\sqrt{2}$ $\\\\$ 점 $C$는 점 $B$의 오른쪽에 있으므로 점 $C$에 대응하는 수는 $-4+\\sqrt{2}$ 사각형 $CFDE$는 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이므로 $\\overline{CF}=\\overline{CG}$$=1$이고, 점 $G$는 점 $C$의 오른쪽에 있으므로 점 G에 대응하는 수는 $(-4+\\sqrt{2})+1$$=-3+\\sqrt{2}$" }, { "question": "$a=\\sqrt{7}$이고 $b=4a+2\\sqrt{7}-\\frac{21}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수)$\\\\$ (1) $b$의 값을 구하여라. (2)$k$의 값을 구하여라", "answer": "(1) $b=4a+2\\sqrt{7}-\\frac{21}{a}$ $=4\\sqrt{7}+2\\sqrt{7}-\\frac{21}{\\sqrt{7}}$ $=4\\sqrt{7}+2\\sqrt{7}-3\\sqrt{7}$ $=$$3\\sqrt{7}$ (2) $b=3\\sqrt{7}$이므로 $b=3a$$∴$ $k=3$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=8$이고 $△ABD$의 넓이는 $16\\sqrt{3}$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라. (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle ABD$의 넓이가 $16\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{AD}=16\\sqrt{3}$ $4\\overline{AD}=16\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AD}=4\\sqrt{3}$ (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이는 $2(\\overline{AB}+\\overline{AD})=2(8+4\\sqrt{3})=16+8\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sqrt{(2\\sqrt{6}-4)^2}-\\sqrt{(7-3\\sqrt{6})^2}=x+y\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$2\\sqrt{6}-4=\\sqrt{24}-\\sqrt{16}>0$, $7-3\\sqrt{6}=\\sqrt{49}-\\sqrt{54}<0$이므로 $\\sqrt{(2\\sqrt{6}-4)^2}-\\sqrt{(7-3\\sqrt{6})^2}$ $=$$(2\\sqrt{6}-4)-\\lbrace-(7-3\\sqrt{6})\\rbrace$ $=$$2\\sqrt{6}-4+7-3\\sqrt{6}$ $=$$3-\\sqrt{6}$ $x=3$, $y=-1$이므로 $x-y$$=3-(-1)$$=4$" }, { "question": "$\\sqrt{(3\\sqrt{7}-9)^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{7}-5)^2}=a+b\\sqrt{7}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$3\\sqrt{7}-9=\\sqrt{63}-\\sqrt{81}<0$, $2\\sqrt{7}-5=\\sqrt{28}-\\sqrt{25}>0$이므로 $\\sqrt{(3\\sqrt{7}-9)^2}-\\sqrt{(2\\sqrt{7}-5)^2}$ $=$$-(3\\sqrt{7}-9)-(2\\sqrt{7}-5)$ $=$$-3\\sqrt{7}+9-2\\sqrt{7}+5$ $=$$14-5\\sqrt{7}$ $a=14$, $b=-5$이므로 $a+b$$=14+(-5)$$=9$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $16 cm^2$, $25 cm^2$인 두 정사각형 $ABCD$, $ECGF$를 세 점 $B$, $C$, $G$가 한 직선 위에 있도록 이어 붙여 놓았다. 이때 $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "정사각형 $ABCD$의 넓이가 $16 cm^2$이므로 $\\overline{BC}=4 cm $ 정사각형 $ECGF$의 넓이가 $25 cm^2$이므로 $\\overline{CG}=5cm$ $\\overline{BG}=\\overline{BC}+\\overline{CG}=4+5=9 (cm)$이고 $\\overline{FG}=\\overline{CG}=5 cm$이므로 $\\triangle BGF$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BF}^2=9^2+5^2=106$ $\\overline{BF}>0$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{106} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace4\\sqrt{2}(3\\sqrt{2}+\\sqrt{5})+4\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{5}+3\\sqrt{5}(3\\sqrt{2}+\\sqrt{5})\\rbrace$ $=$$2(24+4\\sqrt{10}+12\\sqrt{10}+9\\sqrt{10}+15)$ $=$$2(39+25\\sqrt{10})$ $=$$78+50\\sqrt{10}$" }, { "question": "다음은 넓이가 각각 $9 cm^2$, $16 cm^2$, $25 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{AB}+\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=9$에서 $a^2=18$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=16$에서 $b^2=32$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=25$에서 $c^2=50$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=3\\sqrt{2}+4\\sqrt{2}=7\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=4\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=9\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\overline{AB}+\\overline{BC}=7\\sqrt{2}+9\\sqrt{2}=16\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 표에서 두 대각선 위에 있는 세 수의 합이 서로 같을 때, $x$의 값을 구하여라.
$-5+\\sqrt{24}$ $x$
$5$
$4-\\sqrt{150}$ $2+\\sqrt{6}$
", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+5+(4-\\sqrt{150})$$=x+5+4-5\\sqrt{6}$$=(x+9)-5\\sqrt{6}$ $(-5+\\sqrt{24})+5+(2+\\sqrt{6})$$=-5+2\\sqrt{6}+5+2+\\sqrt{6}$$=2+3\\sqrt{6}$ $(x+9)-5\\sqrt{6}=2+3\\sqrt{6}$이므로 $x$$=2+3\\sqrt{6}-9+5\\sqrt{6}$$=-7+8\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음은 넓이가 각각 $16 cm^2$, $25 cm^2$, $36 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{BC}-\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=16$에서 $a^2=32$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=25$에서 $b^2=50$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=36$에서 $c^2=72$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2}$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=5\\sqrt{2}+6\\sqrt{2}=11\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=4\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=9\\sqrt{2} (cm)$ $ \\therefore \\overline{BC}-\\overline{AB}=11\\sqrt{2}-9\\sqrt{2}=2\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $\\bullet$ $\\sqrt{6}(a-2\\sqrt{6})-\\sqrt{2}(3\\sqrt{2}+5\\sqrt{3})$ $\\bullet$ $3b+\\sqrt{18}-\\sqrt{2}(b+4\\sqrt{2})$", "answer": "$\\sqrt{6}(a-2\\sqrt{6})$ $-$ $\\sqrt{2}(3\\sqrt{2}+5\\sqrt{3})$$=$$a\\sqrt{6}-12-6-5\\sqrt{6}$ $=$ $-18+(a-5)\\sqrt{6}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $a-5=0$이어야 하므로 $a=5$ $3b+\\sqrt{18}-\\sqrt{2}(b+4\\sqrt{2})$=$3b+3\\sqrt{2}-b\\sqrt{2} -8$ $=$$(3b-8)+(3-b)\\sqrt{2}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $3-b=0$이어야 하므로 $b=3$ $∴$ $a+b$$=5+3$$=8$" }, { "question": "$\\sqrt{41}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{36}<\\sqrt{41}<\\sqrt{49}$에서 $6<\\sqrt{41}<7$이므로 $\\sqrt{41}$의 정수 부분은 $6$이다. $∴$ $a=6$ (2) $a=6$이므로 $a+\\sqrt{a}=6+\\sqrt{6}$ $\\sqrt{4}<\\sqrt{6}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{6}<3$이고 $8<6+\\sqrt{6}<9$이므로 $6+\\sqrt{6}$의 소수 부분은 $(6+\\sqrt{6})-8=\\sqrt{6}-2$ $∴$ $b=\\sqrt{6}-2$ (3) $a+b=6+(\\sqrt{6}-2)=4+\\sqrt{6}$" }, { "question": "$a=\\sqrt{6}$이고 $b=4a-5\\sqrt{6}+\\frac{24}{a}$일 때, $b=ka$이다. 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 유리수) (1) $b$의 값을 구하여라. (2) $k$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $b=4a-5\\sqrt{6}+\\frac{24}{a}=4\\sqrt{6}-5\\sqrt{6}+\\frac{24}{\\sqrt{6}}=4\\sqrt{6}-5\\sqrt{6}+4\\sqrt{6}=$$3\\sqrt{6}$ (2) $b=3\\sqrt{6}$이므로 $b=3a$ $∴$ $k=3$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $\\bullet$ $5(\\sqrt{2}+a)-a\\sqrt{2}+1$ $\\bullet$ $b\\sqrt{3}-3b+\\sqrt{6}(\\sqrt{2}-\\sqrt{6})$", "answer": "$5(\\sqrt{2}+a)-a\\sqrt{2}+1=5\\sqrt{2}+5a-a\\sqrt{2}+1$ $=$$(5a+1)+(5-a)\\sqrt{2}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $5-a=0$이어야 하므로 $a=5$ $b\\sqrt{3}-3b+\\sqrt{6}(\\sqrt{2}-\\sqrt{6})=b\\sqrt{3}-3b+2\\sqrt{3}-6$ $=$$(-3b-6)+(b+2)\\sqrt{3}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $b+2=0$이어야 하므로 $b=-2$ ∴ $a+b$$=5+(-2)$$=3$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=10$이고 $\\triangle BCD$의 넓이는 $25\\sqrt{6}$일때, 다음 물음에 답하여라.$\\\\$ (1) $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라. (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle BCD$의 넓이가 $25\\sqrt{6}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{CD}=25\\sqrt{6}$ $5\\overline{CD}=25\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{CD}=5\\sqrt{6}$ (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이는 $2(\\overline{BC}+\\overline{CD})=2(10+5\\sqrt{6})=20+10\\sqrt{6}$" }, { "question": "$\\sqrt{29}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{25}<\\sqrt{29}<\\sqrt{36}$에서 $5<\\sqrt{29}<6$이므로 $\\sqrt{29}$의 정수 부분은 $5$이다. $∴ a$$=5$ (2) $a=5$이므로 $a+\\sqrt{a}$$=5+\\sqrt{5}$ $\\sqrt{4}<\\sqrt{5}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{5}<3$이고 $7<5+\\sqrt{5}<8$이므로 $5+\\sqrt{5}$의 소수 부분은 $(5+\\sqrt{5})-7=\\sqrt{5}-2$ $∴ b=\\sqrt{5}-2$ (3) $a-b=5-(\\sqrt{5}-2)=7-\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{11}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{9}<\\sqrt{11}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{11}<4$이므로 $\\sqrt{11}$의 정수 부분은 $3$이다. $∴ a=3$ (2) $a=3$이므로 $a+\\sqrt{a}=3+\\sqrt{3}$ $\\sqrt{1}<\\sqrt{3}<\\sqrt{4}$에서 $1<\\sqrt{3}<2$이고 $4<3+\\sqrt{3}<5$이므로 $3+\\sqrt{3}$의 소수 부분은 $(3+\\sqrt{3})-4=\\sqrt{3}-1$ $∴ b=\\sqrt{3}-1$ (3) $a+b=3+(\\sqrt{3}-1)=2+\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace2\\sqrt{6}(2\\sqrt{2}+\\sqrt{6})+2\\sqrt{6}\\times3\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}(2\\sqrt{2}+\\sqrt{6})\\rbrace =2(8\\sqrt{3}+12+12\\sqrt{3}+12+6\\sqrt{3}) =2(24+26\\sqrt{3}) =48+52\\sqrt{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=6$이고 $△ABD$의 넓이는 $15\\sqrt{3}$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라. (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)$\\triangle ABD$의 넓이가 $15\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times6=15\\sqrt{3}$ $3\\overline{AB}=15\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AB}=5\\sqrt{3}$ (2)직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이는 $2(\\overline{AB}+\\overline{AD})=2(5\\sqrt{3}+6)=12+10\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라. $\\cdot a(2+3\\sqrt{3})-\\sqrt{12}(\\sqrt{3}-4)$ $\\cdot 2b\\sqrt{6}+5-\\sqrt{3}(3\\sqrt{2}+\\sqrt{3})$", "answer": "$=$$(2a-6)+(3a+8)\\sqrt{3}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $3a+8=0$이어야 하므로 $a=-\\frac{8}{3}$ $=$$2+(2b-3)\\sqrt{6}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $2b-3=0$이어야 하므로 $b=\\frac{3}{2}$ $∴$ $ab$$=(-\\frac{8}{3})\\times\\frac{3}{2}$$=-4$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace2\\sqrt{3}(\\sqrt{13}+\\sqrt{3})+2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{13}+\\sqrt{13}(\\sqrt{13}+\\sqrt{3})\\rbrace$ $= 2(2\\sqrt{39}+6+2\\sqrt{39}+13+\\sqrt{39})$ $= 2(19+5\\sqrt{39})$ $= 38+10\\sqrt{39}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}$ = $8$이고 $\\triangle BCD$의 넓이는 $8\\sqrt{5}$일 떄, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라. (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle BCD$의 넓이가 $8\\sqrt{5}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{CD}=8\\sqrt{5}$ $4\\overline{CD}=8\\sqrt{5}$ $∴\\overline{CD}=2\\sqrt{5}$ (2) 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이는 $2(\\overline{BC}+\\overline{CD})=2(8+2\\sqrt{5})=16+4\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace2\\sqrt{7}(\\sqrt{3}+\\sqrt{7})+2\\sqrt{7}\\times3\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+\\sqrt{7})\\rbrace$ $=$$2(2\\sqrt{21}+14+6\\sqrt{21}+9+3\\sqrt{21})$ $=$$2(23+11\\sqrt{21})$ $=$$46+22\\sqrt{21}$" }, { "question": "다음 표에서 두 대각선 위에 있는 세 수의 합이 서로 같을 때, $x$의 값을 구하여라.
$4+\\sqrt{45}$ $x$
$7$
$3$$-$$\\sqrt{5}$ $-2$$+$$\\sqrt{80}$
", "answer": "두 대각선 위에 있는 세 수의 합을 각각 구하면 $x+7+(3-\\sqrt{5})$$=x+7+3-\\sqrt{5}$$=(x+10)-\\sqrt{5}$ $(4+\\sqrt{45})+7+(-2+\\sqrt{80})$$=4+3\\sqrt{5}+7-2+4\\sqrt{5}$$=9+7\\sqrt{5}$ $(x+10)-\\sqrt{5}=9+7\\sqrt{5}$이므로 $x$$=9+7\\sqrt{5}-10+\\sqrt{5}$$=-1+8\\sqrt{5}$" }, { "question": "$\\sqrt{53}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{49}<\\sqrt{53}<\\sqrt{64}$에서 $7<\\sqrt{53}<8$이므로 $\\sqrt{53}$의 정수 부분은 $7$이다. $∴ a$$=7$ (2) $a=7$이므로 $a+\\sqrt{a}$$=7+\\sqrt{7}$ $\\sqrt{4}<\\sqrt{7}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{7}<3$이고 $9<7+\\sqrt{7}<10$이므로 $7+\\sqrt{7}$의 소수 부분은 $(7+\\sqrt{7})-9=\\sqrt{7}-2$ $∴ b=\\sqrt{7}-2$ (3) $a+b=7+(\\sqrt{7}-2)=5+\\sqrt{7}$" }, { "question": "$\\sqrt{13}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{9}<\\sqrt{13}<\\sqrt{16}$에서 $3<\\sqrt{13}<4$이므로 $\\sqrt{13}$의 정수 부분은 $3$이다. $\\therefore a=3$ 2) $a=3$이므로 $a+\\sqrt{a}$$=3+\\sqrt{3}$ $\\sqrt{1}<\\sqrt{3}<\\sqrt{4}$에서 $1<\\sqrt{3}<2$이고 $4<3+\\sqrt{3}<5$이므로 $3+\\sqrt{3}$의 소수 부분은 $(3+\\sqrt{3})-4=\\sqrt{3}-1$ $b \\therefore=\\sqrt{3}-1$ (3) $a-b=3-(\\sqrt{3}-1)=4-\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음은 넓이가 각각 $1 cm^2$, $4 cm^2$, $9 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{AB}+\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=1$에서 $a^2=2$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=4$에서 $b^2=8$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=9$에서 $c^2=18$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}=5\\sqrt{2} (cm)$ ∴ $\\overline{AB}+\\overline{BC}=3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=8\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $3$ $cm$, $5$ $cm$인 정사각형 모양의 두 색종이를 다음 그림과 같이 오려 붙여 한 개의 정사각형을 만들때, 새로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "새로 만들어진 정사각형의 넓이는 $3^2+5^2=34$ ($cm^2$) 넓이가 $34$ $cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ cm라 하면 $x^2=34$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{34}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{34}$ cm이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $9cm^2$, $36cm^2$인 두 정사각형 $ABCD$, $ECGF$를 세 점 $B, C, G$가 한 직선 위에 있도록 이어 붙여 놓았다. 이때 $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "정사각형 $ABCD$의 넓이가 $9 cm^2$이므로 $\\overline{BC}=3 cm$ 정사각형 $ECGF$의 넓이가 $36 cm^2$이므로 $\\overline{CG}=6 cm$ $\\overline{BG}=\\overline{BC}+\\overline{CG}=3+6=9 (cm)$이고 $\\overline{FG}=\\overline{CG}=6 cm$이므로 $\\triangle BGF$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BF}^2=9^2+6^2=117$ $\\overline{BF}>0$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{117}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $25 cm^2$, $36 cm^2$인 두 정사각형 $ABCD$, $ECGF$를 세 점 $B$, $C$, $G$가 한 직선 위에 있도록 이어 붙여 놓았다. 이때 $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "정사각형 $ABCD$의 넓이가 $25 cm^2$이므로 $\\overline{BC}=5cm$ 정사각형 $ECGF$의 넓이가 $36 cm^2$이므로 $\\overline{CG}=6cm$ $\\overline{BG}=\\overline{BC}+\\overline{CG}=5+6=11 (cm)$이고 $\\overline{FG}=\\overline{CG}=6 cm$이므로 $\\triangle BGF$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BF}^2=11^2+6^2=157$ $\\overline{BF}>0$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{157}(cm)$" }, { "question": "두 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+\\sqrt{21}$과 $b-\\sqrt{21}$ 사이에 있는 정수가 $7$ 개일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a+\\sqrt{21}0$이므로 $a=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=25$에서 $b^2=50$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=36$에서 $c^2=72$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2}$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=4\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}=9\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=5\\sqrt{2}+6\\sqrt{2}=11\\sqrt{2} (cm)$ ∴ $\\overline{AB}+\\overline{BC}=9\\sqrt{2}+11\\sqrt{2}=20\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "$\\sqrt{(4\\sqrt{3}-7)^2}-\\sqrt{(3\\sqrt{3}-5)^2}=a+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$4\\sqrt{3}-7=\\sqrt{48}-\\sqrt{49}<0$, $3\\sqrt{3}-5=\\sqrt{27}-\\sqrt{25}>0$이므로 $\\sqrt{(4\\sqrt{3}-7)^2}-\\sqrt{(3\\sqrt{3}-5)^2}$ $=$$-(4\\sqrt{3}-7)-(3\\sqrt{3}-5)$ $=$$-4\\sqrt{3}+7-3\\sqrt{3}+5$ $=$$12-7\\sqrt{3}$ $a=12$, $b=-7$이므로 $a+b$$=12+(-7)$$=5$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $1$ $cm$, $5$ $cm$인 정사각형 모양의 두 색종이를 다음 그림과 같이 오려 붙여 한 개의 정사각형을 만들때, 새로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "새로 만들어진 정사각형의 넓이는 $1^2+5^2=26$ ($cm^2)\\\\$ 넓이가 $26$ $cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $ cm$라 하면 $x^2=26$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{26}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{26}$ $cm$이다." }, { "question": "$\\sqrt{120+x}$가 자연수가 되도록 하는 $45$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{120+x}$가 자연수가 되려면 $120+x$는 $120$보다 큰 제곱수이어야 한다. $120+x$$=$$121$, $144$, $169, ···$이므로 $x=1, 24, 49, ··· $ 따라서 $45$ 이하의 자연수 $x$는 $1$, $24$의 $2$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{\\frac{48}{125}}=\\frac{a\\sqrt{3}}{5\\sqrt{5}}=b\\sqrt{15}$일 때, $25ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{\\frac{48}{125}}=\\frac{4\\sqrt{3}}{5\\sqrt{5}}$이므로 $a=4$ $\\frac{4\\sqrt{3}}{5\\sqrt{5}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}\\times\\sqrt{5}}{5\\sqrt{5}\\times\\sqrt{5}}$$=\\frac{4\\sqrt{15}}{25}$이므로 $b=\\frac{4}{25}$ $∴ 25ab$$=25\\times4\\times\\frac{4}{25}$$=16$" }, { "question": "다음 두 식을 계산한 결과가 각각 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라. $\\bullet$ $\\sqrt{2}(a+5\\sqrt{2})-\\sqrt{3}(2\\sqrt{3}-\\sqrt{6})$ $\\bullet$ $-1+\\sqrt{12}+2\\sqrt{3}(b+3\\sqrt{3})$", "answer": "$\\sqrt{2}(a+5\\sqrt{2})-\\sqrt{3}(2\\sqrt{3}-\\sqrt{6})=a\\sqrt{2}+10-6+3\\sqrt{2}=4+(a+3)\\sqrt{2}$ $=$$4+(a+3)\\sqrt{2}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $a+3=0$이어야 하므로 $a=-3$ $-1+\\sqrt{12}+2\\sqrt{3}(b+3\\sqrt{3})=-1+2\\sqrt{3}+2b\\sqrt{3}+18=17+(2+2b)\\sqrt{3}$ 위의 식의 계산 결과가 유리수가 되려면 $2+2b=0$이어야 하므로 $b=-1$ $∴ ab$$=(-3)\\times(-1)$$=3$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $3 cm$, $7 cm$인 정사각형 모양의 두 색종이를 다음 그림과 같이 오려 붙여 한 개의 정사각형을 만들때, 새로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "새로 만들어진 정사각형의 넓이는 $3^2+7^2=58 (cm^2)$ 넓이가 $58$ $cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $xcm$라 하면 $x^2=58$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{58}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{58} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $16 cm^2$, $36 cm^2$인 두 정사각형 $ABCD$, $ECGF$를 세 점$ B$,$ C$, $G$가 한 직선 위에 있도록 이어 붙여 놓았다. 이때 $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "정사각형 $ABCD$의 넓이가 $16 cm^2$이므로 $\\overline{BC}=4 cm$ 정사각형 $ECGF$의 넓이가 $36 cm^2$이므로 $\\overline{CG}=6 cm$ $\\overline{BG}=\\overline{BC}+\\overline{CG}=4+6=10 (cm)$이고 $\\overline{FG}=\\overline{CG}=6 cm$이므로 $\\triangle BGF$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BF}^2=10^2+6^2=136$ $\\overline{BF}>0$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{136} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{BC}$이고 $\\overline{AB}=13 cm$, $\\overline{BD}=5 cm$, $\\overline{CD}=8 cm$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}^2=13^2-5^2=144$ $\\overline{AD}>0$이므로 $\\overline{AD}$$=12 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}^2=8^2+12^2$$=208$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{208}$ (cm)" }, { "question": "다음은 넓이가 각각 $1 cm^2$, $4 cm^2$, $9 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{BC}-\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=1$에서 $a^2=2$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=4$에서 $b^2=8$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=9$에서 $c^2=18$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}=5\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}=3\\sqrt{2} (cm)$ $∴\\overline{BC}-\\overline{AB}=5\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}=2\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "$\\sqrt{105+x}$가 자연수가 되도록 하는 $60$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{105+x}$가 자연수가 되려면 $105+x$는 $105$보다 큰 제곱수이어야 한다. $105+x$$=$$121$, $144$, $169$, ···이므로 $x=16, 39, 64, ···$ 따라서 $60$ 이하의 자연수 $x$는 $16$, $39$의 $2$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{90+x}$가 자연수가 되도록 하는 $80$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{90+x}$가 자연수가 되려면 $90+x$는 $90$보다 큰 제곱수이어야 한다. $90+x$$=$$100$, $121$, $144$, $169$, $196$, ···이므로 $x=10, 31, 54, 79, 106, ···$ 따라서 $80$ 이하의 자연수 $x$는 $10$, $31$, $54$, $79$의 $4$ 개이다." }, { "question": "$\\sqrt{110+x}$가 자연수가 되도록 하는 $80$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{110+x}$가 자연수가 되려면 $110+x$는 $110$보다 큰 제곱수이어야 한다. $110+x$$=$$121$, $144$, $169$, $196$, $···$이므로 $x=11, 34, 59, 86, ···$ 따라서 $80$ 이하의 자연수 $x$는 $11$, $34$, $59$의 $3$ 개이다." }, { "question": "수직선에서 $\\sqrt{324}+\\sqrt{109}$에 대응하는 점은 두 정수 $a$, $a+1$에 각각 대응하는 두 점 사이에 있다. 이때 $3a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{324}+\\sqrt{109}$$=18+\\sqrt{109}$ 이때 $\\sqrt{100}<\\sqrt{109}<\\sqrt{121}$, 즉 $10<\\sqrt{109}<11$이므로 $28<18+\\sqrt{109}<29$ 따라서 수직선에서 $\\sqrt{324}+\\sqrt{109}$에 대응하는 점은 두 정수 $28$, $29$에 각각 대응하는 두 점 사이에 있으므로 $a=28$ $∴ 3a$$=3\\times28$$=84$" }, { "question": "$5<\\sqrt{n}<5.5$를 만족시키는 자연수 $n$의 값 중에서 가장 큰 수를 $a$, 가장 작은 수를 $b$라 할 때, $\\sqrt{\\frac{a}{b}\\times c}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $c$의 값을 구하여라.", "answer": "$5<\\sqrt{n}<5.5$에서 $\\sqrt{25}<\\sqrt{n}<\\sqrt{30.25}$이므로 $250$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{65} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{BC}$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{BD}=4 cm$, $\\overline{CD}=5 cm$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}^2=5^2-4^2=9$ $\\overline{AD}>0$이므로 $\\overline{AD}$$=3 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}^2=5^2+3^2$$=34$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{34} (cm)$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $4 cm$, $6 cm$인 정사각형 모양의 두 색종이를 다음 그림과 같이 오려 붙여 한 개의 정사각형을 만들때, 새로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "새로 만들어진 정사각형의 넓이는 $4^2+6^2=52(cm^2)$ 넓이가 $52$ $cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=52$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{52}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{52}cm$ 이다." }, { "question": "$\\sqrt{37}$의 정수 부분을 $a$, $a+\\sqrt{a}$의 소수 부분을 $b$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $\\sqrt{36}<\\sqrt{37}<\\sqrt{49}$에서 $6<\\sqrt{37}<7$이므로 $\\sqrt{37}$의 정수 부분은 $6$이다. $∴$ $a$$=6$ (2) $a=6$이므로 $a+\\sqrt{a}$$=6+\\sqrt{6}$ $\\sqrt{4}<\\sqrt{6}<\\sqrt{9}$에서 $2<\\sqrt{6}<3$이고 $8<6+\\sqrt{6}<9$이므로 $6+\\sqrt{6}$의 소수 부분은 $(6+\\sqrt{6})-8=\\sqrt{6}-2$ $∴$ $b=\\sqrt{6}-2$ (3) $a-b=6-(\\sqrt{6}-2)=8-\\sqrt{6}$" }, { "question": "$6.3\\le\\sqrt{n}<7$을 만족시키는 자연수 $n$의 값 중에서 가장 큰 수를 $a$, 가장 작은 수를 $b$라 할 때, $\\sqrt{\\frac{a}{b}\\times c}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $c$의 값을 구하여라.", "answer": "$6.3\\le\\sqrt{n}<7$에서 $\\sqrt{39.69}\\le\\sqrt{n}<\\sqrt{49}$이므로 $39.69\\le n<49$ 부등식을 만족시키는 자연수 $n$은 $40$, $41$, $42$, ···, $47$, $48$이므로 $a=48$, $b=40$ $\\sqrt{\\frac{a}{b}\\times c}$$=\\sqrt{\\frac{48}{40}\\times c}$$=\\sqrt{\\frac{6}{5}c}$가 자연수가 되려면 $\\frac{6}{5}c$는 자연수의 제곱이어야 한다. $\\frac{6}{5}c$가 자연수이므로 $c$는 $5$의 배수여야 하고, $\\frac{6}{5}c$$=\\frac{2\\times3}{5}c$가 자연수의 제곱이려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $c$는 $2\\times3\\times5\\times(자연수)^2$꼴이어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 $c$의 값은 $2\\times3\\times5\\times1^2$$=30$" }, { "question": "$\\sqrt{60+x}$가 자연수가 되도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{60+x}$가 자연수가 되려면 $60+x$는 $60$보다 큰 제곱수이어야 한다. $60+x=64$, $81$, $100$, $121$, $144$, $169$, ⋯이므로 $x=4$, $21$, $40$, $61$, $84$, $109$, $⋯$ 따라서 $100$ 이하의 자연수 $x$는 $4$, $21$, $40$, $61$, $84$의 $5$ 개이다." }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $4 cm$, $8 cm$인 정사각형 모양의 두 색종이를 다음 그림과 같이 오려 붙여 한 개의 정사각형을 만들때, 새로 만들어진 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "새로 만들어진 정사각형의 넓이는 $4^2+8^2=80$ ($cm^2$) 넓이가 $80$ $cm^2$인 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ cm라 하면 $x^2=80$ $x>0$이므로 $x=\\sqrt{80}$ 따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 $\\sqrt{80}$ cm이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 수직선 위에 직사각형 $ABCD$를 그리고, 직사각형 $ABCD$와 두 점 $C$, $D$에서 접하는 반원 $O$를 그렸다. $\\overline{AD}=2$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$에서 $\\overline{OD}$$=\\sqrt{5^2+2^2}$$=\\sqrt{29}$ $\\overline{OP}$$=\\overline{OQ}$$=\\overline{OD}=\\sqrt{29}$이므로 $P(3-\\sqrt{29})$, $Q(3+\\sqrt{29})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{BC}$이고 $\\overline{AB}=17 cm$, $\\overline{BD}=8 cm$, $\\overline{CD}=10 cm$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AD}^2=17^2-8^2=225$ $\\overline{AD}>0$이므로 $\\overline{AD}$$=15 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}^2=10^2+15^2$$=325$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{325} (cm)$" }, { "question": "$\\sqrt{90+x}$가 자연수가 되도록 하는 $60$ 이하의 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{90+x}$가 자연수가 되려면 $90+x$는 $90$보다 큰 제곱수이어야 한다. $90+x$$=$$100$, $121$, $144$, $169$, ···이므로 $x=10, 31, 54, 79, ···$ 따라서 $60$ 이하의 자연수 $x$는 $10$, $31$, $54$의 $3$ 개이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 수직선 위에 직사각형 $ABCD$를 그리고, 직사각형 $ABCD$와 두 점 $C$, $D$에서 접하는 반원 O를 그렸다. $\\overline{AD}=1$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$에서 $\\overline{OD}$$=\\sqrt{4^2+1^2}$$=\\sqrt{17}$ $\\overline{OP}$$=\\overline{OQ}$$=\\overline{OD}=\\sqrt{17}$이므로 $P(-2-\\sqrt{17})$, $Q(-2+\\sqrt{17})$" }, { "question": "$\\frac{7}{2}<\\sqrt{x-1}\\le5$를 만족시키는 자연수 $x$ 중에서 $6$의 배수의 합을 구하여라.", "answer": "$\\frac{7}{2}<\\sqrt{x-1}\\le5$에서 $\\sqrt{\\frac{49}{4}}<\\sqrt{x-1}\\le\\sqrt{25}$이므로 $\\frac{49}{4}0$이므로 $\\overline{AD}$$=6 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}^2=6^2+6^2$$=72$ $\\overline{AC}>0$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{72} (cm)$" }, { "question": "수직선에서 $\\sqrt{81}+\\sqrt{101}$에 대응하는 점은 두 정수 $a$, $a+1$에 각각 대응하는 두 점 사이에 있다. 이때 $4a$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{81}+\\sqrt{101}$$=9+\\sqrt{101}$ 이때 $\\sqrt{100}<\\sqrt{101}<\\sqrt{121}$, 즉 $10<\\sqrt{101}<11$이므로 $19<9+\\sqrt{101}<20$ 따라서 수직선에서 $\\sqrt{81}+\\sqrt{101}$에 대응하는 점은 두 정수 $19$, $20$에 각각 대응하는 두 점 사이에 있으므로 $a=19$ $∴ 4a$$=4\\times19$$=76$" }, { "question": "두 수 $a$, $b$에 대하여 $a • b=ab+a-3b$, $a △ b=\\frac{a-2b}{2a+b}$라 하자. $x=\\sqrt{5}, $$y=2+\\sqrt{5}$일 때, $(x • y) △ y$의 값을 구하여라.", "answer": "$x•$y=$\\sqrt{5}$•($2+\\sqrt{5})=$$\\sqrt{5}(2+$$\\sqrt{5}$)+$\\sqrt{5}$-$3($2+$\\sqrt{5}$)=$2\\sqrt{5}$+$5+\\sqrt{5}$-$6-$3$\\sqrt{5}$ $=$$-1$ $∴(x•y)△y=(-1)△(2+\\sqrt{5})$ $=$ $\\frac{-1-2(2+\\sqrt{5})}{2\\times(-1)+2+\\sqrt{5}}$ $=$ $\\frac{-5-2\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}}$ $=$$-2-\\sqrt{5}$" }, { "question": "$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}-\\frac{1}{\\sqrt{x+1}}$일 때, $f(5)+f(6)+···+f(79)$$=a\\sqrt{5}$를 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(5)+f(6)+···+f(79)$ $=$$(\\frac{1}{\\sqrt{5}}-\\frac{1}{\\sqrt{6}})+(\\frac{1}{\\sqrt{6}}-\\frac{1}{\\sqrt{7}})+(\\frac{1}{\\sqrt{7}}-\\frac{1}{\\sqrt{8}})+···$ $+(\\frac{1}{\\sqrt{79}}-\\frac{1}{\\sqrt{80}})$ $=$$\\frac{1}{\\sqrt{5}}-\\frac{1}{\\sqrt{80}}$$=$$\\frac{\\sqrt{5}}{5}-\\frac{\\sqrt{5}}{20}$ $=$$\\frac{3\\sqrt{5}}{20}$ 따라서 $a\\sqrt{5}=\\frac{3\\sqrt{5}}{20}$이므로 $a=\\frac{3}{20}$" }, { "question": "두 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+\\sqrt{23}$과 $b-\\sqrt{23}$ 사이에 있는 정수가 $4$ 개일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a+\\sqrt{23}0$ $∴$ $A>C$ 따라서 $C0$이므로 $x$$=\\sqrt{10}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $A$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. $①$ : $2\\pi\\times\\sqrt{5}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\pi$ $②$ : $2\\pi\\times\\sqrt{10}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{10}}{2}\\pi$ $③$ : $2\\pi\\times\\sqrt{5}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\pi$ 따라서 점 $A$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{10}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\pi$$=\\sqrt{5}\\pi+\\frac{\\sqrt{10}}{2}\\pi$" }, { "question": "어느 공원에서 다음 그림과 같이 산책로를 꾸미려고 한다. 산책로는 한 변의 길이가 $32m$인 정사각형에 네 변의 중점을 연결한 정사각형을 연속해서 세 번 그린 모양이다. 색칠한 부분의 둘레를 따라 울타리를 설치한다고 할 때, 울타리 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "네 변의 중점을 $1$ 번 연결하여 만든 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $32\\times32\\times\\frac{1}{2}$$=512 (m^2)$ 직각삼각형 ①의 빗변의 길이는 $\\sqrt{512}$$=16\\sqrt{2} (m)$이고 직각을 낀 두 변의 길이는 모두 $16m$이므로 직각삼각형 ①의 둘레의 길이는 $16+16+16\\sqrt{2}=32+16\\sqrt{2} (m)$ 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 ③의 둘레의 길이는 $(32+16\\sqrt{2}) m$이다. 네 변의 중점을 $3$ 번 연결하여 만든 정사각형 ②의 넓이는 $32\\times32\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=128 (m^2)$이므로 한 변의 길이는 $\\sqrt{128}=8\\sqrt{2} (m)$ 정사각형 ②의 둘레의 길이는 $8\\sqrt{2}\\times4$$=32\\sqrt{2} (m)$ 따라서 울타리의 둘레의 길이의 합은 $(32+16\\sqrt{2})\\times2+32\\sqrt{2}=64+64\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "두 수 $a$, $b$에 대하여 $a • b=ab-a+2b$, $a △ b=\\frac{2a+b}{3a-b}$라 하자. $x=\\sqrt{5}, $$y=3-\\sqrt{5}$일 때, $(x • y) △ y$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\bullet y=\\sqrt{5} \\bullet (3-\\sqrt{5})=\\sqrt{5}(3-\\sqrt{5})-\\sqrt{5}+2(3-\\sqrt{5})=3\\sqrt{5}-5-\\sqrt{5}+6-2\\sqrt{5}=1 \\therefore (x\\bullet y) \\triangle y=1 \\triangle(3-\\sqrt{5}) = \\frac{2\\times1+3-\\sqrt{5}}{3\\times1-(3-\\sqrt{5})}=\\frac{5-\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}}=-1+\\sqrt{5} $" }, { "question": "$\\sqrt{54-a}=4\\sqrt{3}$, $4\\sqrt{14+b}=8\\sqrt{6}$을 만족시키는 두 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$4\\sqrt{3}$$=\\sqrt{4^2\\times3}$$=\\sqrt{48}$이므로 $54-a=48$ $-a=-6$ ∴ $a=6$ $4\\sqrt{14+b}$$=\\sqrt{4^2\\times(14+b)}$$=\\sqrt{224+16b}$이고, $8\\sqrt{6}$$=\\sqrt{8^2\\times6}$$=\\sqrt{384}$이므로 $224+16b=384$ $16b=160$ $∴ b=10$ $∴ ab$$=6\\times10$$=60$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $4a$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $5$만큼 늘여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $4a+5$이므로 $(새로운 정사각형의 넓이)=(4a+5)^2=16a^2+40a+25$" }, { "question": "$(3x+4y)(3x-4y)+5(-2x-y)(-2x+y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x+4y)(3x-4y)+5(-2x-y)(-2x+y)$ $=$$9x^2-16y^2+20x^2-5y^2$ $=$$29x^2-21y^2$ $x^2$의 계수는 $29$이므로 $a=29$ $y^2$의 계수는 $-21$이므로 $b=-21$ $∴$ $a-b$$=29-(-21)$$=50$" }, { "question": "두 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+\\sqrt{19}$와 $b-\\sqrt{19}$ 사이에 있는 정수가 $5$ 개일 때, $b-a$의 값을 구하여라. (단, $a+\\sqrt{19}$$0$ $∴$ $A>C$ 따라서 $C$$0$ $∴ A>B$ $B-C = \\sqrt{18} - (3-\\sqrt{2})$ $=3\\sqrt{2} -3 +\\sqrt{2}$ $= 4\\sqrt{2}-3$$=$$\\sqrt{32}-\\sqrt{9}$$>$$0$ $∴ B>C$ 따라서 $C0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{63}$$=3\\sqrt{7} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $2\\sqrt{7}+\\sqrt{35}+3\\sqrt{7}$$=5\\sqrt{7}+\\sqrt{35} (cm)$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{14}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $P$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{14})^2+(\\sqrt{14})^2$$=28$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $P$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. $① :$ $2\\pi\\times\\sqrt{14}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi$ $② :$ $2\\pi\\times2\\sqrt{7}\\times\\frac{90}{360}=\\sqrt{7}\\pi$ $③ :$ $2\\pi\\times\\sqrt{14}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi$ 따라서 점 $P$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi+\\sqrt{7}\\pi+\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi$$=\\sqrt{7}\\pi+\\sqrt{14}\\pi$" }, { "question": "다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{AC}=\\overline{AQ}$이고, 점 $P$에 대응하는 수를 $a$, 점 $Q$에 대응하는 수를 $b$라고 할 때, $3a+2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\sqrt{3^2+2^2}$$=\\sqrt{13}$ $\\overline{AC}=\\sqrt{2^2+2^2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\overline{AP}$$=\\overline{AB}=\\sqrt{13}$이므로 $a=2+\\sqrt{13}$ $\\overline{AQ}$$=\\overline{AC}=2\\sqrt{2}$이므로 $b=2-2\\sqrt{2}$ $\\therefore 3a + 2b = 3(2+\\sqrt{13}) + 2(2-2\\sqrt{2})$ $=$$6+3\\sqrt{13}+4-4\\sqrt{2}$$=$$10-4\\sqrt{2}+3\\sqrt{13}$" }, { "question": "$(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)=a^m-n$일 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $n-m$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)$ $=$$(a^2-4)(a^2+4)(a^4+16)$ $=$$(a^4-16)(a^4+16)$ $=$$a^8-256$ $m=8$, $n=256$이므로 $n-m$$=256-8$$=248$" }, { "question": "다음 세 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 가장 큰 수를 $M$, 가장 작은 수를 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{8}+2$$, $$B=\\sqrt{32}$$, $$C=1-\\sqrt{2}$ $\\square$", "answer": "$A=\\sqrt{8}+2=2\\sqrt{2}+2$, $B=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$이므로 $A-B=(\\sqrt{8}+2)-\\sqrt{32}=2\\sqrt{2}+2-4\\sqrt{2}=-2\\sqrt{2}+2=-\\sqrt{8}+\\sqrt{4}<0$ $∴ A0$ $∴A>C$ 따라서 $C0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{50}$$=5\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $4\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}+5\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 세 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 가장 큰 수를 $M$, 가장 작은 수를 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하여라. $A=\\sqrt{150}-2$$, $$B=\\sqrt{96}$$, $$C=7+\\sqrt{6}$$\\square$", "answer": "$A=\\sqrt{150}-2=5\\sqrt{6}-2$, $B=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6}$이므로 $A-B=(\\sqrt{150}-2)-\\sqrt{96}$ $=5\\sqrt{6}-2-4\\sqrt{6}$ $=$$\\sqrt{6}-2$$=$$\\sqrt{6}-\\sqrt{4}$$>$$0$ $∴ A>B$ $B-C=\\sqrt{96}-(7+\\sqrt{6})$ $=4\\sqrt{6}-7-\\sqrt{6}$ $=$$3\\sqrt{6}-7$$=$$\\sqrt{54}-\\sqrt{49}$$>$$0$ $∴ B>C$ 따라서 $C0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{80}$$=4\\sqrt{5} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $2\\sqrt{15}+2\\sqrt{5}+4\\sqrt{5}$$=6\\sqrt{5}+2\\sqrt{15} (cm)$" }, { "question": "$(3-x)(3+x)(9+x^2)=a-x^b$일 때, 수 $a, b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3-x)(3+x)(9+x^2)$ $=$$(9-x^2)(9+x^2)$ $=$$81-x^4$ $a=81$, $b=4$이므로 $a-b$$=81-4$$=77$" }, { "question": "$2x+a$에 $5x+6$을 곱해야 하는데 $6x+5$를 곱했더니 $12x^2+28x+15$가 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(2x+a)(6x+5)$$=12x^2+(6a+10)x+5a$$=12x^2+28x+15$이므로 $5a=15$ $∴ a=3$ 바르게 계산한 식은 $(2x+3)(5x+6)$$=10x^2+27x+18$" }, { "question": "어느 마을에서 다음 그림과 같이 정원을 꾸미려고 한다. 정원은 한 변의 길이가 $8m$인 정사각형에 네 변의 중점을 연결한 정사각형을 연속해서 세 번 그린 모양이다. 색칠한 부분의 둘레를 따라 담장을 설치한다고 할 때, 담장 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "네 변의 중점을 $1$ 번 연결하여 만든 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $8\\times8\\times\\frac{1}{2}$$=32 (m^2)$ 직각삼각형 ㉠의 빗변의 길이는 $\\sqrt{32}$$=4\\sqrt{2} (m)$이고 직각을 낀 두 변의 길이는 모두 $4$ m이므로 직각삼각형 ㉠의 둘레의 길이는 $4+4+4\\sqrt{2}=8+4\\sqrt{2} (m)$ 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 ㉢의 둘레의 길이는 $(8+4\\sqrt{2}) m$이다. 네 변의 중점을 $3$ 번 연결하여 만든 정사각형 ㉡의 넓이는 $8\\times8\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=8 (m^2)$이므로 한 변의 길이는 $\\sqrt{8}=2\\sqrt{2} (m)$ 정사각형 ㉡의 둘레의 길이는 $2\\sqrt{2}\\times4$$=8\\sqrt{2} (m)$ 따라서 담장의 둘레의 길이의 합은 $(8+4\\sqrt{2})\\times2+8\\sqrt{2}=16+16\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "$(x-\\frac{1}{2})(x+\\frac{1}{2})(x^2+\\frac{1}{4})=x^a+b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-\\frac{1}{2})(x+\\frac{1}{2})(x^2+\\frac{1}{4})$ $=$$(x^2-\\frac{1}{4})(x^2+\\frac{1}{4})$ $=$$x^4-\\frac{1}{16}$ $a=4$, $b=-\\frac{1}{16}$이므로 $ab$$=4\\times(-\\frac{1}{16})$$=-\\frac{1}{4}$" }, { "question": "$(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)=a^x-y$일 때, 수 $x$, $y$에 대하여 $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+1)$ $=$$(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)$ $=$$(a^4-1)(a^4+1)$ $=$$a^8-1$ $x=8$, $y=1$이므로 $x-y$$=8-1$$=7$" }, { "question": "$(\\sqrt{20}-\\frac{\\sqrt{15}}{2\\sqrt{3}})^2$+$(\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{6}}{4\\sqrt{3}}-\\frac{3}{\\sqrt{2}})^2$=$\\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수)", "answer": "$\\sqrt{20}-\\frac{\\sqrt{15}}{2\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{5}-\\frac{\\sqrt{5}}{2}$$=\\frac{3\\sqrt{5}}{2}$ $\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{6}}{4\\sqrt{3}}-\\frac{3}{\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{4}-\\frac{3\\sqrt{2}}{2}$$=-\\frac{3\\sqrt{2}}{4}$ $\\therefore$ $(\\sqrt{20}-\\frac{\\sqrt{15}}{2\\sqrt{3}})^2+(\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{6}}{4\\sqrt{3}}-\\frac{3}{\\sqrt{2}})^2$ $=$$(\\frac{3\\sqrt{5}}{2})^2+(-\\frac{3\\sqrt{2}}{4})^2$ $=$$\\frac{45}{4}+\\frac{9}{8}$ $=$$\\frac{99}{8}$ 따라서 $p=8$, $q=99$이므로 $p+q$$=8+99$$=107$" }, { "question": "어느 아파트에서 다음 그림과 같이 정원을 꾸미려고 한다. 정원은 한 변의 길이가 $16m$인 정사각형에 네 변의 중점을 연결한 정사각형을 연속해서 세 번 그린 모양이다. 색칠한 부분의 둘레를 따라 울타리를 설치한다고 할 때, 울타리 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "네 변의 중점을 $1$ 번 연결하여 만든 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $16\\times16\\times\\frac{1}{2}$$=128 (m^2)$ 직각삼각형 ①의 빗변의 길이는 $\\sqrt{128}$$=8\\sqrt{2} (m)$이고 직각을 낀 두 변의 길이는 모두 $8 m$이므로 직각삼각형 ①의 둘레의 길이는 $8+8+8\\sqrt{2}=16+8\\sqrt{2} (m)$ 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 ③의 둘레의 길이는 $(16+8\\sqrt{2}) m$이다. 네 변의 중점을 $3$ 번 연결하여 만든 정사각형 ②의 넓이는 $16\\times16\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=32 (m^2)$이므로 한 변의 길이는 $\\sqrt{32}=4\\sqrt{2} (m)$ 정사각형 ②의 둘레의 길이는 $4\\sqrt{2}\\times4$$=16\\sqrt{2} (m)$ 따라서 울타리의 둘레의 길이의 합은 $(16+8\\sqrt{2})\\times2+16\\sqrt{2}=32+32\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "다음 그림은 직각삼각형 $ABC$의 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. $\\square ADEB$와 $\\square ACFG$의 넓이가 각각 $15 cm^2$, $12 cm^2$일 때, 직각삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ADEB$의 넓이가 $15 cm^2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{15} (cm)$ $\\overline{AC}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ACFG$의 넓이가 $12 cm^2$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}^2=(\\sqrt{15})^2+(2\\sqrt{3})^2$$=27$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{27}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $\\sqrt{15}+2\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{3}+\\sqrt{15} (cm)$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $6x-4$, 다른 한 대각선의 길이가 $2x+A$, 넓이가 $6x^2-x-B$이다. 이때 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(6x-4)(2x+A)$$=6x^2+(3A-4)x-2A$$=6x^2-x-B$ 이므로 $3A-4=-1$, $2A=B$ ∴ $A=1$, $B=2$" }, { "question": "어느 학교에서 다음 그림과 같이 화단을 꾸미려고 한다. 화단은 한 변의 길이가 $80 cm$인 정사각형에 네 변의 중점을 연결한 정사각형을 연속해서 세 번 그린 모양이다. 색칠한 부분의 둘레를 따라 울타리를 설치한다고 할 때, 울타리 둘레의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "네 변의 중점을 $1$ 번 연결하여 만든 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $80\\times80\\times\\frac{1}{2}$$=3200 (cm^2)$ 직각삼각형 ①의 빗변의 길이는 $\\sqrt{3200}$$=40\\sqrt{2} (cm)$이고 직각을 낀 두 변의 길이는 모두 $40 cm$이므로 직각삼각형 ①의 둘레의 길이는 $40+40+40\\sqrt{2}=80+40\\sqrt{2} (cm)$ 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 ③의 둘레의 길이는 $(80+40\\sqrt{2}) cm$이다. 네 변의 중점을 $3$ 번 연결하여 만든 정사각형 ②의 넓이는 $80\\times80\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=800 (cm^2)$이므로 한 변의 길이는 $\\sqrt{800}=20\\sqrt{2} (cm)$ 정사각형 ②의 둘레의 길이는 $20\\sqrt{2}\\times4$$=80\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 울타리의 둘레의 길이의 합은 $(80+40\\sqrt{2})\\times2+80\\sqrt{2}=160+160\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{13}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $A$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{13})^2+(\\sqrt{13})^2$$=26$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{26}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $A$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. ① : $2\\pi\\times\\sqrt{13}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{13}}{2}\\pi$ ② : $2\\pi\\times\\sqrt{26}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{26}}{2}\\pi$ ③: $2\\pi\\times\\sqrt{13}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{13}}{2}\\pi$ 따라서 점 $A$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{13}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{26}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{13}}{2}\\pi$$=\\sqrt{13}\\pi+\\frac{\\sqrt{26}}{2}\\pi$" }, { "question": "다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{AC}=\\overline{AQ}$이고, 점 P에 대응하는 수를 $a$, 점 $Q$에 대응하는 수를 $b$라고 할 때, $2a-3b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\sqrt{1^2+3^2}$$=\\sqrt{10}$ $\\overline{AC}=\\sqrt{3^2+2^2}$$=\\sqrt{13}$ $\\overline{AP}$$=\\overline{AB}=\\sqrt{10}$이므로 $a=4+\\sqrt{10}$ $\\overline{AQ}$$=\\overline{AC}=\\sqrt{13}$이므로 $b=4-\\sqrt{13}$ $∴$$2a-3b=2(4+\\sqrt{10})-3(4-\\sqrt{13}) =8+2\\sqrt{10}-12+3\\sqrt{13}$$=$$-4+2\\sqrt{10}+3\\sqrt{13}$" }, { "question": "$(ax+1)(x+b)=3x^2+cx-8$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+1)(x+b)$$=ax^2+(ab+1)x+b$$=3x^2+cx-8$이므로 $a=3$, $ab+1=c$, $b=-8$ $∴ a=3$, $b=-8$, $c=-23$ $∴ a+b-c$$=3+(-8)-(-23)$$=18$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $4x+8$, 다른 한 대각선의 길이가 $2x+a$, 넓이가 $4x^2+bx-28$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(4x+8)(2x+a)$$=4x^2+(2a+8)x+4a$$=4x^2+bx-28$ 이므로 $2a+8=b$, $4a=-28$ $∴ a=-7$, $b=-6$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{7}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $A$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{7})^2+(\\sqrt{7})^2$$=14$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{14}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 A가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. ① : $2\\pi\\times\\sqrt{7}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\pi$ ② : $2\\pi\\times\\sqrt{14}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi$ ③ : $2\\pi\\times\\sqrt{7}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\pi$ 따라서 점 A가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{7}}{2}\\pi$$=\\sqrt{7}\\pi+\\frac{\\sqrt{14}}{2}\\pi$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{11}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $P$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{11})^2+(\\sqrt{11})^2$$=22$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{22}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $P$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. ① : $2\\pi\\times\\sqrt{11}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{11}}{2}\\pi$ ② : $2\\pi\\times\\sqrt{22}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{22}}{2}\\pi$ ③ : $2\\pi\\times\\sqrt{11}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{11}}{2}\\pi$ 따라서 점 $P$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{11}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{22}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{11}}{2}\\pi$$=\\sqrt{11}\\pi+\\frac{\\sqrt{22}}{2}\\pi$" }, { "question": "다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{AC}=\\overline{AQ}$이고, 점 $P$에 대응하는 수를 $a$, 점 $Q$에 대응하는 수를 $b$라고 할 때, $4a+2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\sqrt{3^2+2^2}$$=\\sqrt{13}$ $\\overline{AC}=\\sqrt{2^2+3^2}$$=\\sqrt{13}$ $\\overline{AP}$$=\\overline{AB}=\\sqrt{13}$이므로 $a=2+\\sqrt{13}$ $\\overline{AQ}$$=\\overline{AC}=\\sqrt{13}$이므로 $b=2-\\sqrt{13}$ ∴$4a+2b=4(2+\\sqrt{13})+2(2-\\sqrt{13})$ $=$$8+4\\sqrt{13}+4-2\\sqrt{13}$$=$$12+2\\sqrt{13}$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{6}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $P$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{6})^2+(\\sqrt{6})^2$$=12$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $P$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. ① : $2\\pi\\times\\sqrt{6}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\pi$ ② : $2\\pi\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{90}{360}=\\sqrt{3}\\pi$ ③ : $2\\pi\\times\\sqrt{6}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\pi$ 따라서 점 $P$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\pi+\\sqrt{3}\\pi+\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\pi$$=\\sqrt{3}\\pi+\\sqrt{6}\\pi$" }, { "question": "다음 그림은 직각삼각형 $ABC$의 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. $\\square ADEB$와 $\\square ACFG$의 넓이가 각각 $54 cm^2$, $18 cm^2$일 때, 직각삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ADEB$의 넓이가 $54 cm^2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{54}=3\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{AC}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ACFG$의 넓이가 $18 cm^2$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}^2=(3\\sqrt{6})^2+(3\\sqrt{2})^2$$=72$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{72}$$=6\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $3\\sqrt{6}+3\\sqrt{2}+6\\sqrt{2}$$=9\\sqrt{2}+3\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "$(3x-a)(bx+1)=21x^2+cx-2$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x-a)(bx+1)$$=3bx^2+(-ab+3)x-a$$=21x^2+cx-2$이므로 $3b=21$, $-ab+3=c$, $a=2$ $∴$ $a=2$, $b=7$, $c=-11$ $∴$ $a+b-c$$=2+7-(-11)$$=20$" }, { "question": "$(ax+3)(2x-b)=8x^2+cx-3$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+3)(2x-b)$$=2ax^2+(-ab+6)x-3b$$=8x^2+cx-3$이므로 $2a=8$, $-ab+6=c$, $3b=3$ $∴$ $a=4$, $b=1$, $c=2$ $∴$ $a+b+c$$=4+1+2$$=7$" }, { "question": "$(Ax+3)(4x+B)=-8x^2+Cx+15$일 때, 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.", "answer": "$(Ax+3)(4x+B)$$=4Ax^2+(AB+12)x+3B$$=-8x^2+Cx+15$이므로 $4A=-8$, $AB+12=C$, $3B=15$ $∴ A=-2$, $B=5$, $C=2$ $∴ A+B+C$$=-2+5+2$$=5$" }, { "question": "다음 그림은 직각삼각형 $ABC$의 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. $\\square ADEB$와 $\\square ACFG$의 넓이가 각각 $75 cm^2$, $60 cm^2$일 때, 직각삼각형 $ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ADEB$의 넓이가 $75 cm^2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{75}=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}$를 한 변으로 하는 정사각형 $ACFG$의 넓이가 $60 cm^2$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{60}=2\\sqrt{15} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}^2=(5\\sqrt{3})^2+(2\\sqrt{15})^2$$=135$ $\\overline{BC}>0$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{135}$$=3\\sqrt{15} (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $5\\sqrt{3}+2\\sqrt{15}+3\\sqrt{15}$$=5\\sqrt{3}+5\\sqrt{15} (cm)$" }, { "question": "$x+a$에 $2x+3$을 곱해야 하는데 $3x+2$를 곱했더니 $3x^2-10x-8$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(x+a)(3x+2)$$=3x^2+(3a+2)x+2a$$=3x^2-10x-8$이므로 $2a=-8$ $∴ a=-4$ 바르게 계산한 식은 $(x-4)(2x+3)$$=2x^2-5x-12$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $4x+2$, 다른 한 대각선의 길이가 $x+a$, 넓이가 $2x^2+bx+6$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(4x+2)(x+a)$$=2x^2+(2a+1)x+a$$=2x^2+bx+6$ 이므로 $2a+1=b$, $a=6$ $\\therefore$ $a=6$, $b=13$" }, { "question": "$(ax+4)(5x-b)=15x^2+cx-4$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+4)(5x-b)$$=5ax^2+(-ab+20)x-4b$$=15x^2+cx-4$이므로 $5a=15$, $-ab+20=c$, $4b=4$ ∴ $a=3$, $b=1$, $c=17$ ∴ $a+b+c$$=3+1+17$$=21$" }, { "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 $\\sqrt{15}$인 정사각형을 미끄러지지 않게 한 바퀴 굴린 것이다. 이때 점 $A$가 움직인 거리를 구하여라.", "answer": "정사각형의 대각선의 길이를 $x$라 하면 피타고라스 정리에 의하여 $x^2$$=(\\sqrt{15})^2+(\\sqrt{15})^2$$=30$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{30}$ 정사각형을 한 바퀴 굴렸을 때 점 $A$가 움직인 거리를 나타내면 다음 그림과 같다. ① : $2\\pi\\times\\sqrt{15}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{15}}{2}\\pi$ ② : $2\\pi\\times\\sqrt{30}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{30}}{2}\\pi$ ③ : $2\\pi\\times\\sqrt{15}\\times\\frac{90}{360}=\\frac{\\sqrt{15}}{2}\\pi$ 따라서 점 $A$가 움직인 거리는 $\\frac{\\sqrt{15}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{30}}{2}\\pi+\\frac{\\sqrt{15}}{2}\\pi$$=\\sqrt{15}\\pi+\\frac{\\sqrt{30}}{2}\\pi$" }, { "question": "$(ax-1)(3x+b)=6x^2+cx-7$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax-1)(3x+b)$$=3ax^2+(ab-3)x-b$$=6x^2+cx-7$이므로 $3a=6$, $ab-3=c$, $b=7$ $ \\therefore a=2$, $b=7$, $c=11$ $ \\therefore a+b-c$$=2+7-11$$=-2$" }, { "question": "$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^a+b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ $=$$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)$ $=$$(x^4-1)(x^4+1)$ $=$$x^8-1$ $a=8$, $b=-1$이므로 $a+b$$=8+(-1)$$=7$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $4x$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $3$만큼 늘여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $4x+3$이므로 $(새로운 정사각형의 넓이)$$=(4x+3)^2=16x^2+24x+9$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $3x+4$, 다른 한 대각선의 길이가 $6x-a$, 넓이가 $9x^2+bx-4$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(3x+4)(6x-a)$$=9x^2+(-\\frac{3}{2}a+12)x-2a$$=9x^2+bx-4$ 이므로 $-\\frac{3}{2}a+12=b$, $2a=4$ $∴ a=2$, $b=9$" }, { "question": "다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{AC}=\\overline{AQ}$이고, 점 $P$에 대응하는 수를 $a$, 점 $Q$에 대응하는 수를 $b$라고 할 때, $2a-4b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+1^2}$$=\\sqrt{5}$ $\\overline{AC}=\\sqrt{1^2+2^2}$$=\\sqrt{5}$ $\\overline{AP}$$=\\overline{AB}=\\sqrt{5}$이므로 $a=2+\\sqrt{5}$ $\\overline{AQ}$$=\\overline{AC}=\\sqrt{5}$ 이므로 $b=2-\\sqrt{5}$ $∴ 2a-4b=2(2+\\sqrt{5})-4(2-\\sqrt{5})$ $=$$4+2\\sqrt{5}-8+4\\sqrt{5}$$=$$-4+6\\sqrt{5}$" }, { "question": "$(ax-7)(4x+b)=8x^2-cx-21$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $c-ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax-7)(4x+b)$$=4ax^2+(ab-28)x-7b$$=8x^2-cx-21$이므로 $4a=8$, $ab-28=-c$, $7b=21$ $∴ a=2$, $b=3$, $c=22$ $∴ c-ab$$=22-2\\times3$$=16$" }, { "question": "$x-a$에 $4x-3$을 곱해야 하는데 $3x-4$를 곱했더니 $3x^2-22x+24$가 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(x-a)(3x-4)$$=3x^2-(3a+4)x+4a$$=3x^2-22x+24$이므로 $4a=24$ $∴$ $a=6$ 바르게 계산한 식은 $(x-6)(4x-3)$$=4x^2-27x+18$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $6a$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $3$만큼 줄여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $6a-3$이므로 $(새로운 정사각형의 넓이) $$=(6a-3)^2$ $=36a^2-36a+9$" }, { "question": "$5x+a$에 $x-1$을 곱해야 하는데 $x+1$을 곱했더니 $5x^2+12x+7$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(5x+a)(x+1)$$=5x^2+(a+5)x+a$$=5x^2+12x+7$이므로 $a=7$ 바르게 계산한 식은 $(5x+7)(x-1)$$=5x^2+2x-7$" }, { "question": "$x+a$에 $2x-4$를 곱해야 하는데 $4x+2$를 곱했더니 $4x^2+22x+10$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(x+a)(4x+2)$$=4x^2+(4a+2)x+2a$$=4x^2+22x+10$이므로 $2a=10$ $∴ a=5$ 바르게 계산한 식은 $(x+5)(2x-4)$$=2x^2+6x-20$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $4x-5$, 다른 한 대각선의 길이가 $4x+a$, 넓이가 $8x^2+bx-15$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(4x-5)(4x+a)$$=8x^2+(2a-10)x-\\frac{5}{2}a$$=8x^2+bx-15$ 이므로 $2a-10=b$, $\\frac{5}{2}a=15$ $∴$ $a=6$, $b=2$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $6x-5$, 다른 한 대각선의 길이가 $4x-a$, 넓이가 $12x^2-bx+5$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(6x-5)(4x-a)$$=12x^2-(3a+10)x+\\frac{5}{2}a$$=12x^2-bx+5$ 이므로 $3a+10=b$, $\\frac{5}{2}a=5$ ∴ $a=2$, $b=16$" }, { "question": "$(x+2y)(x-2y)+3(-x+y)(-x-y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+2y)(x-2y)+3(-x+y)(-x-y)$ $=$$x^2-4y^2+3x^2-3y^2$ $=$$4x^2-7y^2$ $x^2$의 계수는 $4$이므로 $a=4$ $y^2$의 계수는 $-7$이므로 $b=-7$ $∴$ $a-b$$=4-(-7)$$=11$" }, { "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a-b+c-d$의 값을 구하여라. $(x-5)(x-1)(x+1)(x+5)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$", "answer": "$(x-5)(x-1)(x+1)(x+5)$ $=$$\\lbrace(x-5)(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2-25)(x^2-1)$ $=$$x^4-26x^2+25$ $a=0$, $b=-26$, $c=0$, $d=25$이므로 $a-b+c-d$$=0-(-26)+0-25$$=1$" }, { "question": "다음 등식에서 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라. $(a+1)(a-1)(a+3)(a-3)=a^4+ma^2+n$", "answer": "$(a+1)(a-1)(a+3)(a-3)$ $=$$\\lbrace(a+1)(a-1)\\rbrace\\lbrace(a+3)(a-3)\\rbrace$ $=$$(a^2-1)(a^2-9)$ $=$$a^4-10a^2+9$ $m=-10$, $n=9$이므로 $m+n$$=-10+9$$=-1$" }, { "question": "$(2x+3y)^2-2(-x-y)(-x+y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+3y)^2-2(-x-y)(-x+y)$ $=$$4x^2+12xy+9y^2-(2x^2-2y^2)$ $=$$2x^2+12xy+11y^2$ $x^2$의 계수는 $2$이므로 $a=2$ $y^2$의 계수는 $11$이므로 $b=11$ $∴ a+b=2+11=13$" }, { "question": "$(ax+1)(x+b)=5x^2+cx+6$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+1)(x+b)$$=ax^2+(ab+1)x+b$$=5x^2+cx+6$이므로 $a=5$, $ab+1=c$, $b=6$ $∴a=5$, $b=6$, $c=31$ $∴ab-c$$=5\\times6-31$$=-1$" }, { "question": "$3x-a$에 $6x+1$을 곱해야 하는데 $5x+1$을 곱했더니 $15x^2-17x-4$가 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(3x-a)(5x+1)$$=15x^2+(-5a+3)x-a$$=15x^2-17x-4$이므로 $a=4$ 바르게 계산한 식은 $(3x-4)(6x+1)$$=18x^2-21x-4$" }, { "question": "$x-a$에 $3x+1$을 곱해야 하는데 $2x+1$을 곱했더니 $2x^2-5x-3$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(x-a)(2x+1)$$=2x^2+(-2a+1)x-a$$=2x^2-5x-3$이므로 $a=3$ 바르게 계산한 식은 $(x-3)(3x+1)$$=3x^2-8x-3$" }, { "question": "$4x+a$에 $2x+1$을 곱해야 하는데 $2x-1$을 곱했더니 $8x^2+2x-3$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$(4x+a)(2x-1)$$=8x^2+(2a-4)x-a$$=8x^2+2x-3$이므로 $a=3$ 바르게 계산한 식은 $(4x+3)(2x+1)$$=8x^2+10x+3$" }, { "question": "$(x-3y)^2+(2x+y)(2x-y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-3y)^2+(2x+y)(2x-y)$ $=$$x^2-6xy+9y^2+4x^2-y^2$ $=$$5x^2-6xy+8y^2$ $x^2$의 계수는 $5$이므로 $a=5$ $y^2$의 계수는 $8$이므로 $b=8$ $∴$ $a+b$$=5+8$$=13$" }, { "question": "식 $(x-5)(x-2)(x+1)(x+4)$를 전개하여라.", "answer": "$(x-5)(x-2)(x+1)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x-5)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2-x-20)(x^2-x-2)$ $x^2-x=A$로 놓으면 $(x^2-x-20)(x^2-x-2)$ $=$$(A-20)(A-2)$ $=$$A^2-22A+40$ $=$$(x^2-x)^2-22(x^2-x)+40$ $=$$x^4-2x^3+x^2-22x^2+22x+40$ $=$$x^4-2x^3-21x^2+22x+40$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $5a$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $2$만큼 줄여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $5a-2$이므로 $(새로운 정사각형의 넓이)=(5a-2)^2$ $=$$25a^2-20a+4$" }, { "question": "$3(2x+y)^2-2(x-5y)(x+4y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $xy$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$3(2x+y)^2-2(x-5y)(x+4y)$ $=$$12x^2+12xy+3y^2-(2x^2-2xy-40y^2)$ $=$$10x^2+14xy+43y^2$ $x^2$의 계수는 $10$이므로 $a=10$ $xy$의 계수는 $14$이므로 $b=14$ $∴ a-b$$=10-14$$=-4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $12 a+6 b$ 이므로 반지름은 $6 a+3 b$ 이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi \\times(6 a+3 b)^{2}=36 \\pi a^{2}+36 \\pi a b+9 \\pi b^{2}$ 반지름이 $6 a$ 인 원의 넓이는 $\\pi \\times(6 a)^{2}=36 \\pi a^{2}$ 반지름이 $3 b$ 인 원의 넓이는 $\\pi \\times(3 b)^{2}=9 \\pi b^{2}$ $\\therefore$ $( 색칠한 부분의 넓이 )=36 \\pi a^{2}+36 \\pi a b+9 \\pi b^{2}-36 \\pi a^{2}-9 \\pi b^{2}$ $=36 \\pi a b$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $7x$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $2$만큼 늘여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $7x+2$이므로 $=$$49x^2+28x+4$" }, { "question": "$(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)=5^a-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(5-1)(5+1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)$ $=$$(5^2-1)(5^2+1)(5^4+1)(5^8+1)$ $=$$(5^4-1)(5^4+1)(5^8+1)$ $=$$(5^8-1)(5^8+1)$ $=$$5^{16}-1$ $∴ a=16$" }, { "question": "식 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)$를 전개하여라.", "answer": "$(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x-1)(x+3)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x+4)\\rbrace$ $=$$(x^2+2x-3)(x^2+2x-8)$ $x^2+2x=A$로 놓으면 $(x^2+2x-3)(x^2+2x-8)$ $=$$(A-3)(A-8)$ $=$$A^2-11A+24$ $=$$(x^2+2x)^2-11(x^2+2x)+24$ $=$$x^4+4x^3+4x^2-11x^2-22x+24$ $=$$x^4+4x^3-7x^2-22x+24$" }, { "question": "식 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$를 전개하여라.", "answer": "$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ $=$$\\lbrace(x-1)(x-4)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x-3)\\rbrace$ $=$$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$ $\\\\$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$ $=$$(A+4)(A+6)$ $=$$A^2+10A+24$ $=$$(x^2-5x)^2+10(x^2-5x)+24$ $=$$x^4-10x^3+25x^2+10x^2-50x+24$ $=$$x^4-10x^3+35x^2-50x+24$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $a$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $10$만큼 늘여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $a+10$ 이므로 $(새로운 정사각형의 넓이)$ $=(a+10)^{2}$ $=a^{2}+20 a+100$" }, { "question": "$(2x-3)(x+1)+(x-5)^2$을 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $x$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-3)(x+1)+(x-5)^2 =2x^2-x-3+x^2-10x+25 =3x^2-11x+22$ $x^2$의 계수는 $3$이므로 $a=3$ $x$의 계수는 $-11$이므로 $b=-11$ $∴ a-b=3-(-11)=14$" }, { "question": "$(x-6)(x-3)(x-2)(x+1)$의 전개식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-6)(x-3)(x-2)(x+1)$ $=$$\\lbrace(x-6)(x+1)\\rbrace\\lbrace(x-3)(x-2)\\rbrace$ $=$$(x^2-5x-6)(x^2-5x+6)$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x-6)(x^2-5x+6)$ $=$$(A-6)(A+6)$ $=$$A^2-36$ $=$$(x^2-5x)^2-36$ $=$$x^4-10x^3+25x^2-36$ $x^3$의 계수는 $-10$, $x^2$의 계수는 $25$이므로 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합은 $-10+25$$=15$" }, { "question": "$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)$의 전개식에서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x-1)(x+2)\\rbrace\\lbrace(x-3)(x+4)\\rbrace$ $=$$(x^2+x-2)(x^2+x-12)$ $x^2+x=A$로 놓으면 $(x^2+x-2)(x^2+x-12)$ $=$$(A-2)(A-12)$ $=$$A^2-14A+24$ $=$$(x^2+x)^2-14(x^2+x)+24$ $=$$x^4+2x^3+x^2-14x^2-14x+24$ $=$$x^4+2x^3-13x^2-14x+24$ $x^2$의 계수는 $-13$, $x$의 계수는 $-14$이므로 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $(-13)+(-14)$$=-27$" }, { "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $(x-4)(x-3)(x+3)(x+4)=x^4+ax^2+b$", "answer": "$(x-4)(x-3)(x+3)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x-4)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x-3)(x+3)\\rbrace$ $=$$(x^2-16)(x^2-9)$ $=$$x^4-25x^2+144$ $a=-25$, $b=144$이므로 $a+b$$=-25+144$$=119$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $6x+2y$이므로 반지름은 $3x+y$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(3x+y)^2$$=9\\pi x^2+6\\pi xy+\\pi y^2$ 반지름이 $3x$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(3x)^2$$=9\\pi x^2$ 반지름이 $y$인 원의 넓이는 $\\pi\\times y^2$$=\\pi y^2$ $∴ (색칠한 부분의 넓이) $$=9\\pi x^2+6\\pi xy+\\pi y^2-9\\pi x^2-\\pi y^2$ $=6\\pi xy$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $8a+20b$이므로 반지름은 $4a+10b$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(4a+10b)^2$$=16\\pi a^2+80\\pi ab+100\\pi b^2$ 반지름이 $4a$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(4a)^2$$=16\\pi a^2$ 반지름이 $10b$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(10b)^2$$=100\\pi b^2$ $\\therefore($색칠한 부분의 넓이$)=16\\pi a^2+80\\pi ab+100\\pi b^2-16\\pi b^2-100\\pi b^2$ $=$$80\\pi ab$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $2x+3$, 다른 한 대각선의 길이가 $4x-a$, 넓이가 $4x^2+bx-\\frac{3}{2}$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(2x+3)(4x-a)$$=4x^2+(-a+6)x-\\frac{3}{2}a$$=4x^2+bx-\\frac{3}{2}$ 이므로 $-a+6=b$, $\\frac{3}{2}a=\\frac{3}{2}$ $ \\therefore a=1$, $b=5$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $2a+14b$이므로 반지름은 $a+7b$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(a+7b)^2$$=\\pi a^2+14\\pi ab+49\\pi b^2$ 반지름이 $a$인 원의 넓이는 $\\pi\\times a^2$$=\\pi a^2$ 반지름이 $7b$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(7b)^2$$=49\\pi b^2$ $∴ (색칠한 부분의 넓이)=$ $\\pi a^2+14\\pi ab+49\\pi ab+49\\pi b^2-\\pi a^2-49\\pi b^2$ $=$$14\\pi ab$" }, { "question": "식 $(x-2)(x+3)(x-1)(x+2)$를 전개하여라.", "answer": "$(x-2)(x+3)(x-1)(x+2)$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+3)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+2)\\rbrace$ $=$$(x^2+x-6)(x^2+x-2)$ $x^2+x=A$로 놓으면 $(x^2+x-6)(x^2+x-2)$ $=$$(A-6)(A-2)$ $=$$A^2-8A+12$ $=$$(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12$ $=$$x^4+2x^3+x^2-8x^2-8x+12$ $=$$x^4+2x^3-7x^2-8x+12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $6a+8b$이므로 반지름은 $3a+4b$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(3a+4b)^2$$=9\\pi a^2+24\\pi ab+16\\pi b^2$ 반지름이 $3a$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(3a)^2$$=9\\pi a^2$ 반지름이 $4b$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(4b)^2$$=16\\pi b^2$ $\\therefore (색칠한 부분이 넓이)=9\\pi a^2 +24 \\pi ab + 16\\pi b^2 - 9\\pi a^2 - 16\\pi b^2$ $=$$24\\pi ab$" }, { "question": "$(x-3)^2-(x+2)(3x+1)$을 계산하면 $x^2$의 계수는 $A$, 상수항은 $B$이다. 수 $A$, $B$에 대하여 $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-3)^2-(x+2)(3x+1)$ $=$$x^2-6x+9-(3x^2+7x+2)$ $=$$-2x^2-13x+7$ $x^2$의 계수는 $-2$이므로 $A=-2$ 상수항은 $7$이므로 $B=7$ $∴ A+B$$=-2+7$$=5$" }, { "question": "$x-y=3\\sqrt{11}$, $x^2+y^2=45$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$이므로 $45=(3\\sqrt{11})^2+2xy$ $2xy=-54$ $∴ xy$$=-27$" }, { "question": "$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$의 전개식에서 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 곱을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+3)\\rbrace$ $=$$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$ $x^2+5x=A$로 놓으면 $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$ $=$$(A+4)(A+6)$ $=$$A^2+10A+24$ $=$$(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24$ $=$$x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24$ $=$$x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ $x^3$의 계수는 $10$, $x$의 계수는 $50$이므로 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 곱은 $10\\times50$$=500$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $20x+4y$이므로 반지름은 $10x+2y$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(10x+2y)^2$$=100\\pi x^2+40\\pi xy+4\\pi y^2$ 반지름이 $10x$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(10x)^2$$=100\\pi x^2$ 반지름이 $2y$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(2y)^2$$=4\\pi y^2$ $∴$$(색칠한 부분의 넓이)=$$100\\pi x^2+40\\pi xy+4\\pi y^2$-$100\\pi x^2-4\\pi y^2$ $=40\\pi xy$" }, { "question": "$a-b=-2$, $a^2+b^2=20$일 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$이므로 $20=(-2)^2+2ab$ $2ab=16$ $∴ ab$$=8$" }, { "question": "$a-b=-2\\sqrt{3}$, $a^2+b^2=18$일 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$이므로 $18=(-2\\sqrt{3})^2+2ab$ $2ab=6$ $∴$ $ab$$=3$" }, { "question": "그림과 같이 한 변의 길이가 $2x$인 정사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 $1$만큼 줄여서 만든 새로운 정사각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "새로운 정사각형의 한 변의 길이는 $2x-1$이므로 $(새로운 정사각형의 넓이) $$= $$(2x-1)^2$ $=$$4x^2-4x+1$" }, { "question": "$(3\\sqrt{11}+10)^{100}(3\\sqrt{11}-10)^{100}$을 계산하여라.", "answer": "$(3\\sqrt{11}+10)^{100}(3\\sqrt{11}-10)^{100}$ $=$$\\lbrace(3\\sqrt{11}+10)(3\\sqrt{11}-10)\\rbrace^{100}$ $=$$(99-100)^{100}$ $=$$(-1)^{100}$ $=$$1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "가장 큰 원의 지름은 $2x+4y$이므로 반지름은 $x+2y$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(x+2y)^2$$=\\pi x^2+4\\pi xy+4\\pi y^2$ 반지름이 $x$인 원의 넓이는 $\\pi\\times x^2$$=\\pi x^2$ 반지름이 $2y$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(2y)^2$$=4\\pi y^2$ $\\therefore (색칠한 부분의 넓이)=\\pi x^2+4\\pi xy+4\\pi y^2-\\pi x^2-4\\pi y^2$ $=$$4\\pi xy$" }, { "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $(x-4)(x-1)(x+1)(x+4)=x^4+ax^2+b$$\\square$", "answer": "$(x-4)(x-1)(x+1)(x+4)$ $=$$\\lbrace(x-4)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2-16)(x^2-1)$ $=$$x^4-17x^2+16$ $a=-17$, $b=16$이므로 $a+b$$=-17+16$$=-1$" }, { "question": "$a+b=\\sqrt{10}$, $a^2+b^2=6$일 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$이므로 $6=(\\sqrt{10})^2-2ab$ $2ab=4$ $∴ ab$$=2$" }, { "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $4x+1$, 다른 한 대각선의 길이가 $6x+a$, 넓이가 $12x^2+bx-\\frac{3}{2}$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}(4x+1)(6x+a)$$=12x^2+(2a+3)x+\\frac{1}{2}a$$=12x^2+bx-\\frac{3}{2}$ 이므로 $2a+3=b$, $\\frac{1}{2}a=-\\frac{3}{2}$ $∴ a=-3$, $b=-3$" }, { "question": "$(20-1)(20+1)(20^2+1)(20^4+1)=20^n-1$일 때, 수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$(20-1)(20+1)(20^2+1)(20^4+1)$ $=$$(20^2-1)(20^2+1)(20^4+1)$ $=$$(20^4-1)(20^4+1)$ $=$$20^8-1$ $∴ n=8$" }, { "question": "$a-b=5$, $a^2+b^2=29$일 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$이므로 $29=5^2+2ab$ $2ab=4$ $∴$ $ab$$=2$" }, { "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하여라. $(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$", "answer": "$(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)$ $=$$\\lbrace(x-3)(x+3)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2-9)(x^2-1)$ $=$$x^4-10x^2+9$ $a=0$, $b=-10$, $c=0$, $d=9$이므로 $a+b+c+d$$=0+(-10)+0+9$$=-1$" }, { "question": "$x^2+10x+1=0$일 때, $x^2+x+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+10x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+10+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}$$=-10$ $∴$ $x^2+x+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x+\\frac{1}{x}$ $=(x+\\frac{1}{x})^2-2+x+\\frac{1}{x}$ $=$$(-10)^2-2-10$$=$$88$" }, { "question": "$(10-1)(10+1)(10^2+1)(10^4+1)=10^k-1$일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(10-1)(10+1)(10^2+1)(10^4+1)$ $=$$(10^2-1)(10^2+1)(10^4+1)$ $=$$(10^4-1)(10^4+1)$ $=$$10^8-1$ $∴$ $k=8$" }, { "question": "$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$의 전개식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 곱을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$ $=\\lbrace(x+1)(x-2)\\rbrace\\lbrace(x+3)(x-4)\\rbrace$ $=(x^2-x-2)(x^2-x-12)$ $x^2-x=A$로 놓으면 $(x^2-x-2)(x^2-x-12)$ $=(A-2)(A-12)$ $=A^2-14A+24$ $=(x^2-x)^2-14(x^2-x)+24$ $=x^4-2x^3+x^2-14x^2+14x+24$ $=x^4-2x^3-13x^2+14x+24$ $x^3$의 계수는 $-2$, $x^2$의 계수는 $-13$이므로 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 곱은 $(-2)\\times(-13)=26$" }, { "question": "$x^2-4x+1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x≠0$이므로 $x^2-4x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-4+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x+\\frac{1}{x}$$=4$ $∴ x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=4^2-2$$=14$" }, { "question": "$(x-2)(x-3)(x+5)(x+6)$의 전개식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-2)(x-3)(x+5)(x+6)$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-3)(x+6)\\rbrace$ $=$$(x^2+3x-10)(x^2+3x-18)$ $x^2+3x=A$로 놓으면 $(x^2+3x-10)(x^2+3x-18)$ $=$$(A-10)(A-18)$ $=$$A^2-28A+180$ $=$$(x^2+3x)^2-28(x^2+3x)+180$ $=$$x^4+6x^3+9x^2-28x^2-84x+180$ $=$$x^4+6x^3-19x^2-84x+180$ $x^3$의 계수는 $6$, $x^2$의 계수는 $-19$이므로 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합은 $6+(-19)$$=-13$" }, { "question": "$x^2-10x-1=0$일 때, $x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2-10x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-10-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}$$=10$ $∴ x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x-\\frac{1}{x}=(x-\\frac{1}{x})^2+2+x-\\frac{1}{x} =10^2+2+10=112$" }, { "question": "$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)=2^n-1$일 때, 수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$ $=$$(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$ $=$$(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)$ $=$$(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)$ $=$$(2^{16}-1)(2^{16}+1)$ $=$$2^{32}-1$ $∴$ $n=32$" }, { "question": "식 $(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$를 전개하여라.", "answer": "$(x+1)(x-1)(x-2)(x-4)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x-4)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x-2)\\rbrace$ $=$$(x^2-3x-4)(x^2-3x+2)$ $x^2-3x=A$로 놓으면 $(x^2-3x-4)(x^2-3x+2)$ $=$$(A-4)(A+2)$ $=$$A^2-2A-8$ $=$$(x^2-3x)^2-2(x^2-3x)-8$ $=$$x^4-6x^3+9x^2-2x^2+6x-8$ $=$$x^4-6x^3+7x^2+6x-8$" }, { "question": "$(x+4)(x+2)(x-1)(x+1)$의 전개식에서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(x+4)(x+2)(x-1)(x+1)$ $=$$\\lbrace(x+4)(x-1)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)$ $x^2+3x=A$로 놓으면 $(x^2+3x-4)(x^2+3x+2)$ $=$$(A-4)(A+2)$ $=$$A^2-2A-8$ $=$$(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8$ $=$$x^4+6x^3+9x^2-2x^2-6x-8$ $=$$x^4+6x^3+7x^2-6x-8$ $x^2$의 계수는 $7$, $x$의 계수는 $-6$이므로 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $7+(-6)$$=1$" }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=3$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=3^2+2$$=11$" }, { "question": "$x^2-6x+1=0$일 때, $x^2-4+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x≠0$이므로 $x^2-6x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-6+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x+\\frac{1}{x}$$=6$ $∴ x^2-4+\\frac{1}{x^2}=(x^2+\\frac{1}{x^2})-4$ $=(x+\\frac{1}{x})^2-2-4$ $=$$6^2-6$$=$$30$" }, { "question": "$(3\\sqrt{2}-\\sqrt{17})^{100}(3\\sqrt{2}+\\sqrt{17})^{100}$을 계산하여라.", "answer": "$(3\\sqrt{2}-\\sqrt{17})^{100}(3\\sqrt{2}+\\sqrt{17})^{100}$ $=$$\\lbrace(3\\sqrt{2}-\\sqrt{17})(3\\sqrt{2}+\\sqrt{17})\\rbrace^{100}$ $=$$(18-17)^{100}$ $=$$1^{100}$ $=$$1$" }, { "question": "$(4-\\sqrt{15})^{99}(4+\\sqrt{15})^{99}$을 계산하여라.", "answer": "$(4-\\sqrt{15})^{99}(4+\\sqrt{15})^{99}$ $=$$\\lbrace(4-\\sqrt{15})(4+\\sqrt{15})\\rbrace^{99}$ $=$$(16-15)^{99}$ $=$$1^{99}$ $=$$1$" }, { "question": "$x^2-9x-1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x≠0$이므로 $x^2-9x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-9-\\frac{1}{x}=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}=9$ $∴ x^2+\\frac{1}{x^2}=(x-\\frac{1}{x})^2+2=9^2+2=83$" }, { "question": "$x^2-5x+1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x \\neq 0$이므로 $x^2-5x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-5+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x+\\frac{1}{x}$$=5$ $∴ x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=5^2-2$$=23$" }, { "question": "$x-y=1$, $x^2+y^2=13$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$이므로 $13=1^2+2xy$ $2xy=12$ $∴$ $xy$$=6$" }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=10$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=10^2+2$$=102$" }, { "question": "$(6-1)(6+1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)=6^a-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(6-1)(6+1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)$ $=$$(6^2-1)(6^2+1)(6^4+1)(6^8+1)$ $=$$(6^4-1)(6^4+1)(6^8+1)$ $=$$(6^8-1)(6^8+1)$ $=$$6^{16}-1$ $∴ a=16$" }, { "question": "$x^2+5x+1=0$일 때, $x^2-1+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+5x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+5+\\frac{1}{x}=0$ $∴ x+\\frac{1}{x}=-5$ $=(-5)^2-3=22$" }, { "question": "$x+y=-2$, $x^2+y^2=10$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$이므로 $10=(-2)^2-2xy$ $2xy=-6$ $∴$ $xy$$=-3$" }, { "question": "$x^2+7x-1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x ≠ 0$이므로 $x^2+7x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+7-\\frac{1}{x}$$=0$ $ \\therefore x-\\frac{1}{x}$$=-7$ $ \\therefore x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=(-7)^2+2$$=51$" }, { "question": "$x+\\frac{1}{x}=\\frac{5}{2}$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=(\\frac{5}{2})^2-2$$=\\frac{17}{4}$" }, { "question": "$x+\\frac{1}{x}=5$일 때, $(x-\\frac{1}{x})^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-\\frac{1}{x})^2$$=(x+\\frac{1}{x})^2-4$$=5^2-4$$=21$" }, { "question": "$x+\\frac{1}{x}=9$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=9^2-2$$=79$" }, { "question": "$x^2+4x-1=0$일 때, $x^2-3+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라. $\\\\$", "answer": "$x ≠ 0$이므로 $x^2+4x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+4-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x-\\frac{1}{x}$$=-4$ $∴$ $x^2-3+\\frac{1}{x^2}=(x^2+\\frac{1}{x^2})-3$ $=$$(x-\\frac{1}{x})^2+2-3$ $=$$(-4)^2-1$$=$$15$" }, { "question": "$x^2-7x-1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x≠0$이므로 $x^2-7x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-7-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x-\\frac{1}{x}$$=7$ $∴$ $x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=7^2+2$$=51$" }, { "question": "$x^2+5x-1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x ≠ 0$이므로 $x^2+5x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+5-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}$$=-5$ $∴ x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=(-5)^2+2$$=27$" }, { "question": "$x=\\sqrt{7}$, $y=\\sqrt{3}$일 때, $(x+3y)^2+(3x-2y)^2+6xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+3y)^2+(3x-2y)^2+6xy$ $=$$(x^2+6xy+9y^2)+(9x^2-12xy+4y^2)+6xy$ $=$$10x^2+13y^2$ $=$$10\\times(\\sqrt{7})^2+13\\times(\\sqrt{3})^2$ $=$$70+39$ $=$$109$" }, { "question": "$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$의 전개식에서 $x^3$의 계수와 상수항의 합을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x-3)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x-4)\\rbrace$ $=$$(x^2-2x-3)(x^2-2x-8)$ $x^2-2x=A$로 놓으면 $(x^2-2x-3)(x^2-2x-8)$ $=$$(A-3)(A-8)$ $=$$A^2-11A+24$ $=$$(x^2-2x)^2-11(x^2-2x)+24$ $=$$x^4-4x^3+4x^2-11x^2+22x+24$ $=$$x^4-4x^3-7x^2+22x+24$ $x^3$의 계수는 $-4$, 상수항은 $24$이므로 $x^3$의 계수와 상수항의 합은 $-4+24$$=20$" }, { "question": "$a=\\frac{2\\sqrt{2}+\\sqrt{6}}{2\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}$일 때, $a^2-14a+10$의 값을 구하여라.", "answer": "$a=\\frac{2\\sqrt2+\\sqrt6}{2\\sqrt2-\\sqrt6}=\\frac{(2\\sqrt2+\\sqrt6)^2}{(2\\sqrt2-\\sqrt6)(2\\sqrt2+\\sqrt6)}=\\frac{8+8\\sqrt3+6}{2}$ $=$$7+4\\sqrt{3}$ $a-7=4\\sqrt{3}$이므로 $(a-7)^2=48$ $a^2-14a+49=48$ $a^2-14a=-1$ $∴ a^2-14a+10$$=-1+10$$=9$" }, { "question": "$x^2-6x+1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x ≠ 0$이므로 $x^2-6x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-6+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}$$=6$ $∴$ $x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=6^2-2$$=34$" }, { "question": "$x^2+3x-1=0$일 때, $x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+3x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+3-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x-\\frac{1}{x}$$=-3$ $=$$(-3)^2+2-3$$=$$8$" }, { "question": "$x^2-4x-1=0$일 때, $x^2+3+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x ≠ 0$이므로 $x^2-4x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-4-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}$$=4$ $∴ x^2+3+\\frac{1}{x^2}=(x^2+\\frac{1}{x^2})+3$ $=$$(x-\\frac{1}{x})^2+2+3$ $=$$4^2+5$$=$$21$" }, { "question": "$x^2+7x+1=0$일 때, $x^2+5+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+7x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+7+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}$$=-7$ $\\therefore x^{2}+5+\\frac{1}{x^{2}}=\\left(x^{2}+\\frac{1}{x^{2}}\\right)+5 $ $\\quad=\\left(x+\\frac{1}{x}\\right)^{2}-2+5$ $\\quad=(-7)^{2}+3=52$" }, { "question": "$x^2-7x-1=0$일 때, $x^2-5+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x≠0$이므로 $x^2-7x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-7-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x-\\frac{1}{x}$$=7$ $∴ $$x^2+5\\frac{1}{x^2}=(x^2+\\frac{1}{x^2})-5=(x-\\frac{1}{x})^2+2-5$ $=$$7^2-3$$=$$46$" }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=\\frac{1}{2}$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=(\\frac{1}{2})^2+2$$=\\frac{9}{4}$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}$, $b=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$일 때, $a^2+b^2+3ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$ \\begin{array}{l} a=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})}=-\\sqrt{2}+\\sqrt{3} \\\\ b=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})}=\\sqrt{2}+\\sqrt{3} \\\\ a+b=2 \\sqrt{3}, a b=1 \\end{array} $ 이므로 $a^{2}+b^{2}+3 a b=(a+b)^{2}+a b=(2 \\sqrt{3})^{2}+1 $ $=13$" }, { "question": "$x^2-7x+1=0$일 때, $x^2+x+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2-7x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-7+\\frac{1}{x}$$=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}$$=7$ $\\therefore x^2+x+\\frac{1}{x}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x+\\frac{1}{x}$ $=(x+\\frac{1}{x})^2-2+x+\\frac{1}{x}$ $=$$7^2-2+7$$=$$54$" }, { "question": "$(3\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(2\\sqrt{5}+\\sqrt{10})=a+b\\sqrt{2}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{a}{b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3\\sqrt{5}-\\sqrt{10})(2\\sqrt{5}+\\sqrt{10})$$=30+5\\sqrt{2}-10$$=20+5\\sqrt{2}$ $a=20$, $b=5$이므로 $\\frac{a}{b}$$=\\frac{20}{5}$$=4$" }, { "question": "$(4\\sqrt{3}+7)^{999}(4\\sqrt{3}-7)^{999}$을 계산하여라.", "answer": "$(4\\sqrt{3}+7)^{999}(4\\sqrt{3}-7)^{999}$ $=$$\\lbrace(4\\sqrt{3}+7)(4\\sqrt{3}-7)\\rbrace^{999}$ $=$$(48-49)^{999}$ $=$$(-1)^{999}$ $=$$-1$" }, { "question": "$a=\\frac{\\sqrt{6}+2\\sqrt{3}}{\\sqrt{6}-2\\sqrt{3}}$일 때, $a^2+6a-9$의 값을 구하여라.", "answer": "$a=\\frac{\\sqrt{6}+2 \\sqrt{3}}{\\sqrt{6}-2 \\sqrt{3}}=\\frac{(\\sqrt{6}+2 \\sqrt{3})^{2}}{(\\sqrt{6}-2 \\sqrt{3})(\\sqrt{6}+2 \\sqrt{3})}$ $=$$\\frac{6+12\\sqrt{2}+12}{-6}$$=$$-3-2\\sqrt{2}$ $a+3=-2\\sqrt{2}$이므로 $(a+3)^2=8$ $a^2+6a+9=8$ $a^2+6a=-1$ $∴ a^2+6a-9$$=-1-9$$=-10$" }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=3$일 때, $(x+\\frac{1}{x})^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+\\frac{1}{x})^2$ = ($x-\\frac{1}{x})^2+4$ $=3^2+4=13$" }, { "question": "$(4\\sqrt{5}+9)^{2015}(4\\sqrt{5}-9)^{2015}$을 계산하여라.", "answer": "$(4\\sqrt{5}+9)^{2015}(4\\sqrt{5}-9)^{2015}$ $=$$\\lbrace(4\\sqrt{5}+9)(4\\sqrt{5}-9)\\rbrace^{2015}$ $=$$(80-81)^{2015}$ $=$$(-1)^{2015}$ $=$$-1$" }, { "question": "$x^2-5x-1=0$일 때, $x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2-5x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-5-\\frac{1}{x}=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}=5$ $∴ x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x-\\frac{1}{x}$ $=(x-\\frac{1}{x})^2+2+x-\\frac{1}{x}$ $=5^2+2+5=32$" }, { "question": "$x+y=3$, $x^2+y^2=15$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$이므로 $15=3^2-2xy$ $2xy=-6$ $ \\therefore xy$$=-3$" }, { "question": "$(5-2\\sqrt{6})^{50}(5+2\\sqrt{6})^{50}$을 계산하여라.", "answer": "$(5-2\\sqrt{6})^{50}(5+2\\sqrt{6})^{50}$ $=$$\\lbrace(5-2\\sqrt{6})(5+2\\sqrt{6})\\rbrace^{50}$ $=$$(25-24)^{50}$ $=$$1^{50}$ $=$$1$" }, { "question": "$x^2-5x-1=0$일 때, $x^2-7+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$≠$$0$이므로 $x^2-5x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-5-\\frac{1}{x}$$=0$ $ \\therefore x-\\frac{1}{x}$$=5$ $ \\therefore x^2-7+\\frac{1}{x^2}=(x^2+\\frac{1}{x^2})-7=(x-\\frac{1}{x})^2+2-7$ $=$$5^2-5$$=$$20$" }, { "question": "$x^2+8x-1=0$일 때, $x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+8x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+8-\\frac{1}{x}=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}=-8$ $∴ x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x-\\frac{1}{x}=(x-\\frac{1}{x})^2+2+x-\\frac{1}{x}=(-8)^2+2-8=58$" }, { "question": "$(\\sqrt{11}-2\\sqrt{3})^{99}(\\sqrt{11}+2\\sqrt{3})^{99}$을 계산하여라.", "answer": "$(\\sqrt{11}-2\\sqrt{3})^{99}(\\sqrt{11}+2\\sqrt{3})^{99}$ $=$$\\lbrace(\\sqrt{11}-2\\sqrt{3})(\\sqrt{11}+2\\sqrt{3})\\rbrace^{99}$ $=$$(11-12)^{99}$ $=$$(-1)^{99}$ $=$$-1$" }, { "question": "$(\\sqrt{7}-1)(2\\sqrt{7}+4)=a+b\\sqrt{7}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{a}{b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$(\\sqrt{7}-1)(2\\sqrt{7}+4)$$=14+2\\sqrt{7}-4$$=10+2\\sqrt{7}$ $a=10$, $b=2$이므로 $\\frac{a}{b}$$=\\frac{10}{2}$$=5$" }, { "question": "$x+y=4\\sqrt{2}$, $xy=6$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "$(x-y)^2 = (x+y)^2-4xy = (4\\sqrt{2})^2-4\\times6$ $=$$32-24$$=$$8$ $∴ x-y$$=\\pm\\sqrt{8}$$=\\pm2\\sqrt{2}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "두 수 $A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=(2\\sqrt{5}-1)(3\\sqrt{5}+2)$, $B=(\\sqrt{10}-\\sqrt{2})^2$", "answer": "$A$$=(2\\sqrt{5}-1)(3\\sqrt{5}+2)$$=30+\\sqrt{5}-2$$=28+\\sqrt{5}$ $B$$=(\\sqrt{10}-\\sqrt{2})^2$$=10-4\\sqrt{5}+2$$=12-4\\sqrt{5}$ $∴$ $A+B$$=(28+\\sqrt{5})+(12-4\\sqrt{5})$$=40-3\\sqrt{5}$" }, { "question": "식 $(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)$를 전개하여라.", "answer": "$(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)$ $=$$\\lbrace(x-5)(x-2)\\rbrace\\lbrace(x-4)(x-3)\\rbrace$ $=$$(x^2-7x+10)(x^2-7x+12)$ $x^2-7x=A$로 놓으면 $(x^2-7x+10)(x^2-7x+12)$ $=$$(A+10)(A+12)$ $=$$A^2+22A+120$ $=$$(x^2-7x)^2+22(x^2-7x)+120$ $=$$x^4-14x^3+49x^2+22x^2-154x+120$ $=$$x^4-14x^3+71x^2-154x+120$" }, { "question": "$(2\\sqrt{2}-\\sqrt{6})(3\\sqrt{2}+\\sqrt{6})=a+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2\\sqrt{2}-\\sqrt{6})(3\\sqrt{2}+\\sqrt{6})$$=12-2\\sqrt{3}-6$$=6-2\\sqrt{3}$ $a=6$, $b=-2$이므로 $ab$$=6\\times(-2)$$=-12$" }, { "question": "$x=\\sqrt{5}$, $y=3\\sqrt{10}$일 때, $(2x+y)^2-(x-y)^2-6xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+y)^2-(x-y)^2-6xy$ $=$$(4x^2+4xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)-6xy$ $=$$3x^2$ $=$$3\\times(\\sqrt{5})^2$ $=$$3\\times5$ $=$$15$" }, { "question": "두 수 $x$, $y$가 다음과 같을 때, $x-y$의 값을 구하여라. $x=(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})(2\\sqrt{6}+\\sqrt{2})$$, $$y=(\\sqrt{3}-1)^2$", "answer": "$x$$=(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})(2\\sqrt{6}+\\sqrt{2})$$=12-2\\sqrt{3}-2$$=10-2\\sqrt{3}$ $y$$=(\\sqrt{3}-1)^2$$=3-2\\sqrt{3}+1$$=4-2\\sqrt{3}$ ∴ $x-y$$=(10-2\\sqrt{3})-(4-2\\sqrt{3})$$=6$" }, { "question": "$(2\\sqrt{6}-\\sqrt{3})(\\sqrt{6}-\\sqrt{3})=a+b\\sqrt{2}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2\\sqrt{6}-\\sqrt{3})(\\sqrt{6}-\\sqrt{3})$$=12-9\\sqrt{2}+3$$=15-9\\sqrt{2}$ $a=15$, $b=-9$이므로 $a+b$$=15+(-9)$$=6$" }, { "question": "두 수 $A$, $B$가 다음과 같을 때, $A-B$의 값을 구하여라. $A=(\\sqrt{5}-3)^2$, $B=(5\\sqrt{2}+\\sqrt{10})(\\sqrt{2}-\\sqrt{10})$", "answer": "$A$$=(\\sqrt{5}-3)^2$$=5-6\\sqrt{5}+9$$=14-6\\sqrt{5}$ $B$$=(5\\sqrt{2}+\\sqrt{10})(\\sqrt{2}-\\sqrt{10})$$=10-8\\sqrt{5}-10$$=-8\\sqrt{5}$ $∴$ $A-B$$=(14-6\\sqrt{5})-(-8\\sqrt{5})$$=14+2\\sqrt{5}$" }, { "question": "$x^2-9x-1=0$일 때, $x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x \\ne0$이므로 $x^2-9x-1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x-9-\\frac{1}{x}$$=0$ $∴ x-\\frac{1}{x}$$=9$ $∴ x^2+x-\\frac{1}{x}+\\frac{1}{x^2}=x^2+\\frac{1}{x^2}+x-\\frac{1}{x}$ $=(x-\\frac{1}{x})^2+2+x-\\frac{1}{x}$ $=$$9^2+2+9$$=$$92$" }, { "question": "$(2\\sqrt{6}-\\sqrt{2})^2=a+b\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2\\sqrt{6}-\\sqrt{2})^2$$=24-8\\sqrt{3}+2$$=26-8\\sqrt{3}$ $a=26$, $b=-8$이므로 $a+b$$=26+(-8)$$=18$" }, { "question": "$(3\\sqrt{2}-\\sqrt{5})(\\sqrt{2}+2\\sqrt{5})=a+b\\sqrt{10}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3\\sqrt{2}-\\sqrt{5})(\\sqrt{2}+2\\sqrt{5})$$=6+5\\sqrt{10}-10$$=-4+5\\sqrt{10}$ $a=-4$, $b=5$이므로 $a+b$$=-4+5$$=1$" }, { "question": "$x=3\\sqrt{2}$, $y=2\\sqrt{6}$일 때, $(x-2y)^2+(2x+y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-2y)^2+(2x+y)^2$ $=$$x^2-4xy+4y^2+4x^2+4xy+y^2$ $=$$5x^2+5y^2$ $=$$5\\times(3\\sqrt{2})^2+5\\times(2\\sqrt{6})^2$ $=$$90+120$ $=$$210$" }, { "question": "$(\\sqrt{15}-2\\sqrt{2})(2\\sqrt{15}-\\sqrt{2})=a+b\\sqrt{30}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(\\sqrt{15}-2\\sqrt{2})(2\\sqrt{15}-\\sqrt{2})$$=30-5\\sqrt{30}+4$$=34-5\\sqrt{30}$ $a=34$, $b=-5$이므로 $a+b$$=34+(-5)$$=29$" }, { "question": "$x=2\\sqrt{2}$, $y=-1$일 때, $(2x-5y)^2-(x-4y)^2+12xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-5y)^2-(x-4y)^2+12xy$ $=$$(4x^2-20xy+25y^2)-(x^2-8xy+16y^2)+12xy$ $=$$3x^2+9y^2$ $=$$3\\times(2\\sqrt{2})^2+9\\times(-1)^2$ $=$$24+9$ $=$$33$" }, { "question": "두 수 $a$, $b$가 다음과 같을 때, $a-b$의 값을 구하여라. $a=(\\sqrt{2}+3)^2$$, $$b=(3\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)$", "answer": "$a$$=(\\sqrt{2}+3)^2$$=2+6\\sqrt{2}+9$$=11+6\\sqrt{2}$. $b$$=(3\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)$$=6+2\\sqrt{2}-1$$=5+2\\sqrt{2}$ $∴$ $a-b$$=(11+6\\sqrt{2})-(5+2\\sqrt{2})$$=6+4\\sqrt{2}$" }, { "question": "두 수 $A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=(2\\sqrt{2}-\\sqrt{5})(3\\sqrt{2}+\\sqrt{5})$, $B=(\\sqrt{10}+3)^2$", "answer": "$A=(2\\sqrt{2}-\\sqrt{5})(3\\sqrt{2}+\\sqrt{5})$$=12-\\sqrt{10}-5=7-\\sqrt{10}$ $B=(\\sqrt{10}+3)^2=10+6\\sqrt{10}+9=19+6\\sqrt{10}$ $\\therefore$ $A+B=(7-\\sqrt{10})+(19+6\\sqrt{10})=26+5\\sqrt{10}$" }, { "question": "$(2\\sqrt{2}-\\sqrt{14})(\\sqrt{2}-2\\sqrt{14})=a+b\\sqrt{7}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2\\sqrt{2}-\\sqrt{14})(\\sqrt{2}-2\\sqrt{14})$$=4-10\\sqrt{7}+28$$=32-10\\sqrt{7}$ $a=32$, $b=-10$이므로 $a-b$$=32-(-10)$$=42$" }, { "question": "$a=\\sqrt{3}$, $b=\\sqrt{2}$일 때, $(a-2b)^2+(3a+b)(a+b)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a-2b)^2+(3a+b)(a+b)$ $=$$a^2-4ab+4b^2+4ab+3a^2+b^2$ $=$$4a^2+5b^2$ $=$$4\\times(\\sqrt{3})^2+5\\times(\\sqrt{2})^2$ $=$$12+10$ $=$$22$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$, $y=\\frac{1}{3+2\\sqrt{2}}$일 때, $x^2+y^2+5xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$$=\\frac{3+2\\sqrt{2}}{(3-2\\sqrt{2})(3+2\\sqrt{2})}$$=3+2\\sqrt{2}$ $y$$=\\frac{1}{3+2\\sqrt{2}}$$=\\frac{3-2\\sqrt{2}}{(3+2\\sqrt{2})(3-2\\sqrt{2})}$$=3-2\\sqrt{2}$ $x+y=6$, $xy=1$이므로 $x^2+y^2+5xy=(x+y)^2+3xy=6^2+3\\times1$ $=39$" }, { "question": "$x=3-\\sqrt{5}$일 때, $x^2-6x+7$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-3=-\\sqrt{5}$이므로 $(x-3)^2=5$ $x^2-6x+9=5$ $x^2-6x=-4$ $∴$ $x^2-6x+7$$=-4+7$$=3$" }, { "question": "$x=3\\sqrt{2}+1$일 때, $x^2-2x-5$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-1=3\\sqrt{2}$이므로 $(x-1)^2=18$ $x^2-2x+1=18$ $x^2-2x=17$ $∴$ $x^2-2x-5$$=17-5$$=12$" }, { "question": "$x=\\sqrt{10}-2$일 때, $x^2+4x+5$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+2=\\sqrt{10}$이므로 $(x+2)^2=10$ $x^2+4x+4=10$ $x^2+4x=6$ $∴ x^2+4x+5$$=6+5$$=11$" }, { "question": "두 수 $x$, $y$가 다음과 같을 때, $x-y$의 값을 구하여라. $\\\\$$x=(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})(4\\sqrt{3}-\\sqrt{2})$, $y=(\\sqrt{6}-3)^2$", "answer": "$x$$=(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})(4\\sqrt{3}-\\sqrt{2})$$=12-5\\sqrt{6}+2$$=14-5\\sqrt{6}$ $y$$=(\\sqrt{6}-3)^2$$=6-6\\sqrt{6}+9$$=15-6\\sqrt{6}$ ∴ $x-y$$=(14-5\\sqrt{6})-(15-6\\sqrt{6})$$=-1+\\sqrt{6}$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{5-2\\sqrt{6}}$일 때, $a^2-10a+2$의 값을 구하여라.", "answer": "$a=$$\\frac{1}{5-2\\sqrt{6}}$$=$$\\frac{5+2\\sqrt{6}}{(5-2\\sqrt{6})(5+2\\sqrt{6})}$$=$$5+2\\sqrt{6}$ $a-5=2\\sqrt{6}$이므로 $(a-5)^2=24$ $a^2-10a+25=24$ $a^2-10a=-1$ $∴$ $a^2-10a+2$$=-1+2$$=1$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7}}$, $b=\\frac{1}{3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7}}$일 때, $a^2+b^2-5ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$$=\\frac{1}{3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7}}$$=\\frac{3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7}}{(3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7})(3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7})}$$=-3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7}$ $b$$=\\frac{1}{3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7}}$$=\\frac{3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7}}{(3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7})(3\\sqrt{3}+2\\sqrt{7})}$$=-3\\sqrt{3}-2\\sqrt{7}$ $a-b=4\\sqrt{7}$, $ab=-1$이므로 $a^2+b^2-5ab=(a-b)^2-3ab=(4\\sqrt{7})^2-3\\times(-1)$ $=$$112+3$$=$$115$" }, { "question": "$a=\\sqrt{2}$, $b=\\sqrt{6}$일 때, $(a+b)^2-(a-b)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a+b)^2-(a-b)^2$ $=$$a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)$ $=$$4ab$ $=$$4\\sqrt{2}\\times\\sqrt{6}$ $=$$8\\sqrt{3}$" }, { "question": "$x=2\\sqrt{2}+4$일 때, $x^2-8x+1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-4=2\\sqrt{2}$이므로 $(x-4)^2=8$ $x^2-8x+16=8$ $x^2-8x=-8$ $∴$ $x^2-8x+1$$=-8+1$$=-7$" }, { "question": "$(x-3)(x+1)+6(x-3)$은 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-3)(x+1)+6(x-3)$ $=$$(x-3)\\lbrace(x+1)+6\\rbrace$ $=$$(x-3)(x+7)$ 두 일차식은 $x-3$, $x+7$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-3)+(x+7)$$=2x+4$" }, { "question": "$x=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}+\\sqrt{5}}$일 때, $x^2-22x+10$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}+\\sqrt{5}}=\\frac{(\\sqrt{6}-\\sqrt{5})^2}{(\\sqrt{6}+\\sqrt{5})(\\sqrt{6}-\\sqrt{5}})=6-2\\sqrt{30}+5$ $=11-2\\sqrt{30}$ $x-11=-2\\sqrt{30}$이므로 $(x-11)^2=120$ $x^2-22x+121=120$ $x^2-22x=-1$ $∴ x^2-22x+10$$=-1+10$$=9$" }, { "question": "$x=2\\sqrt{5}-1$일 때, $x^2+2x+11$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+1=2\\sqrt{5}$이므로 $(x+1)^2=20$ $x^2+2x+1=20$ $x^2+2x=19$ $∴$ $x^2+2x+11$$=19+11$$=30$" }, { "question": "$a=2\\sqrt{3}$, $b=3\\sqrt{2}$일 때, $(a+b)^2-2ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a+b)^2-2ab$ $=$$(a^2+2ab+b^2)-2ab$ $=$$a^2+b^2$ $=$$(2\\sqrt{3})^2+(3\\sqrt{2})^2$ $=$$12+18$ $=$$30$" }, { "question": "$(2\\sqrt{5}-3)^2=a+b\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2\\sqrt{5}-3)^2$$=20-12\\sqrt{5}+9$$=29-12\\sqrt{5}$ $a=29$, $b=-12$이므로 $a+b$$=29+(-12)$$=17$" }, { "question": "$a=\\sqrt{5}$, $b=2\\sqrt{3}$일 때, $(a+2b)^2-(a-b)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a+2b)^2-(a-b)^2$ $=$$(a^2+4ab+4b^2)-(a^2-2ab+b^2)$ $=$$6ab+3b^2$ $=$$6\\times\\sqrt{5}\\times2\\sqrt{3}+3\\times(2\\sqrt{3})^2$ $=$$36+12\\sqrt{15}$" }, { "question": "$a=\\sqrt{5}$, $b=\\sqrt{7}$일 때, $(a+b)(a-b)+2b^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(a+b)(a-b)+2b^2$ $=(a^2-b^2)+2b^2$ $=a^2+b^2$ $=(\\sqrt{5})^2+(\\sqrt{7})^2$ $=5+7$ $=12$" }, { "question": "$x=\\sqrt{5}-2$일 때, $x^2+4x+1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+2=\\sqrt{5}$이므로 $(x+2)^2=5$ $x^2+4x+4=5$ $x^2+4x=1$ $\\therefore$$x^2+4x+1$$=1+1$$=2$" }, { "question": "두 수 $A$, $B$가 다음과 같을 때, $A-B$의 값을 구하여라. $A=(\\sqrt{14}-\\sqrt{2})(\\sqrt{14}-3\\sqrt{2})$, $B=(\\sqrt{7}-3)^2$", "answer": "$A$$=(\\sqrt{14}-\\sqrt{2})(\\sqrt{14}-3\\sqrt{2})$$=14-8\\sqrt{7}+6$$=20-8\\sqrt{7}$ $B$$=(\\sqrt{7}-3)^2$$=7-6\\sqrt{7}+9$$=16-6\\sqrt{7}$ $∴$ $A-B$$=(20-8\\sqrt{7})-(16-6\\sqrt{7})$$=4-2\\sqrt{7}$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{\\sqrt{10}-3}$, $b=\\frac{1}{\\sqrt{10}+3}$일 때, $a^2+b^2+4ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$$=\\frac{1}{\\sqrt{10}-3}$$=\\frac{\\sqrt{10}+3}{(\\sqrt{10}-3)(\\sqrt{10}+3)}$$=3+\\sqrt{10}$ $b$$=\\frac{1}{\\sqrt{10}+3}$$=\\frac{\\sqrt{10}-3}{(\\sqrt{10}+3)(\\sqrt{10}-3)}$$=-3+\\sqrt{10}$ $a+b=2\\sqrt{10}$, $ab=1$이므로 $a^2+b^2+$$4ab=(a+b)^2+2ab=(2\\sqrt{10})^2+2\\times1$ $=$$40+2$$=$$42$" }, { "question": "$x=\\sqrt{5}+1$일 때, $x^2-2x-2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-1=\\sqrt{5}$이므로 $(x-1)^2=5$ $x^2-2x+1=5$ $x^2-2x=4$ $∴ x^2-2x-2$$=4-2$$=2$" }, { "question": "$x=\\frac{2}{\\sqrt{2}-1}$, $y=\\frac{2}{\\sqrt{2}+1}$일 때, $x^2+y^2-xy$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=\\frac{2}{\\sqrt{2}-1}=\\frac{2(\\sqrt{2}+1)}{(\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)}=2+2\\sqrt{2}$ $y=\\frac{2}{\\sqrt{2}+1}=\\frac{2(\\sqrt{2}-1)}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)}=-2+2\\sqrt{2}$ $x+y=4\\sqrt{2}$, $xy=4$이므로 $x^2+y^2-xy=(x+y)^2-3xy=(4\\sqrt{2})^2-3\\times4$ $=32-12$$=$$20$" }, { "question": "$16x^2-24x+3+k$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$16x^2-24x+3+k=(4x)^2-2\\times4x\\times3+3+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $3+k$$=3^2$$=9$ $∴$$k=6$" }, { "question": "$x=2\\sqrt{3}+1$일 때, $x^2-2x+4$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-1=2\\sqrt{3}$이므로 $(x-1)^2=12$ $x^2-2x+1=12$ $x^2-2x=11$ $∴$ $x^2-2x+4$$=11+4$$=15$" }, { "question": "$(x+5)(x-2)-4(x-2)$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x+5)(x-2)-4(x-2)$ $=$$(x-2)\\lbrace(x+5)-4\\rbrace$ $=$$(x-2)(x+1)$ 두 일차식은 $x-2$, $x+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-2)+(x+1)$$=2x-1$" }, { "question": "$(x-8)(x-2)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-8)(x-2)+k=x^2-10x+k+16$ $=x^2-2\\times x\\times5+k+16$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+16=5^2=25$ $\\therefore$ $k=9$" }, { "question": "$a=\\frac{\\sqrt{10}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{10}-\\sqrt{5}}$일 때, $a^2-6a+3$의 값을 구하여라.", "answer": "$a=$$\\frac{\\sqrt{10}+\\sqrt{5}}{\\sqrt{10}-\\sqrt{5}}=\\frac{(\\sqrt{10}+\\sqrt{5})^2}{(\\sqrt{10}-\\sqrt{5})(\\sqrt{10}+\\sqrt{5})}$ $=$$\\frac{10+10\\sqrt{2}+5}{5}$$=$$3+2\\sqrt{2}$ $a-3=2\\sqrt{2}$이므로 $(a-3)^2=8$ $a^2-6a+9=8$ $a^2-6a=-1$ $∴ a^2-6a+3$$=-1+3$$=2$" }, { "question": "$(x-3)(1-2x)-(3x+4)(3-x)$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-3)(1-2x)-(3x+4)(3-x)$ $=$$(x-3)(1-2x)+(3x+4)(x-3)$ $=$$(x-3)\\lbrace(1-2x)+(3x+4)\\rbrace$ $=$$(x-3)(x+5)$ 두 일차식은 $x-3$, $x+5$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-3)+(x+5)$$=2x+2$" }, { "question": "$x+y=\\frac{3\\sqrt{2}}{2}$, $xy=\\frac{5}{8}$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $xy$)", "answer": "$(x-y)^2$$=$$(x+y)^2-4xy$ $=$$(\\sqrt{7})^2-4\\times\\frac{1}{2}$ $=$$7-2=5$ $∴ x-y$$=$$\\pm\\sqrt{5}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=$$\\sqrt{5}$" }, { "question": "$x+y=5$, $xy=\\frac{3}{4}$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ $=5^2-4\\times\\frac{3}{4}$ $=$$25-3$$=$$22$ $∴ x-y$$=\\pm\\sqrt{22}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=\\sqrt{22}$" }, { "question": "$(3x+1)(x-1)+(1-x)(2x+3)$은 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(3x+1)(x-1)+(1-x)(2x+3)$ $=$$(3x+1)(x-1)-(x-1)(2x+3)$ $=$$(x-1)\\lbrace(3x+1)-(2x+3)\\rbrace$ $=$$(x-1)(x-2)$ 두 일차식은 $x-1$, $x-2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-1)+(x-2)$$=2x-3$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$일 때, $a^2-6a+7$의 값을 구하여라.", "answer": "$a=$$\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$$=$$\\frac{3+2\\sqrt{2}}{(3-2\\sqrt{2})(3+2\\sqrt{2})}$$=$$3+2\\sqrt{2}$ $a-3=2\\sqrt{2}$이므로 $(a-3)^2=8$ $a^2-6a+9=8$ $a^2-6a=-1$ $∴ a^2-6a+7$$=-1+7$$=6$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{\\sqrt{5}+\\sqrt{6}}$, $b=\\frac{1}{\\sqrt{5}-\\sqrt{6}}$일 때, $a^2+b^2-ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}+\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{5}-\\sqrt{6}}{(\\sqrt{5}+\\sqrt{6})(\\sqrt{5}-\\sqrt{6})}$$=-\\sqrt{5}+\\sqrt{6}$ $b$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}-\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{5}+\\sqrt{6}}{(\\sqrt{5}-\\sqrt{6})(\\sqrt{5}+\\sqrt{6})}$$=-\\sqrt{5}-\\sqrt{6}$ $a+b=-2\\sqrt{5}$, $ab=-1$이므로 $=$$20+3$$=$$23$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$) $x(x+a)+9=(x+b)^2$", "answer": "$x(x+a)+9=(x+b)^2$에서 $x^2+ax+9=x^2+2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $9=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=6$, $b=3$ $∴$ $a+b$$=6+3$$=9$" }, { "question": "$x+y=2\\sqrt{5}$, $xy=2$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ $=(2\\sqrt{5})^2-4\\times2$ $=20-8=12$ ∴ $x-y$$=\\pm\\sqrt{12}$$=\\pm2\\sqrt{3}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=2\\sqrt{3}$" }, { "question": "$x+y=5$, $xy=2$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ $=5^2-4\\times2$ $=$$25-8$$=$$17$ $∴ x-y$$=\\pm\\sqrt{17}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=\\sqrt{17}$" }, { "question": "$(a-2)(4a+1)-(-3a+2)(2-a)$는 $a$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(a-2)(4a+1)-(-3a+2)(2-a)$ $=$$(a-2)(4a+1)+(-3a+2)(a-2)$ $=$$(a-2)\\lbrace(4a+1)+(-3a+2)\\rbrace$ $=$$(a-2)(a+3)$ 두 일차식은 $a-2$, $a+3$이므로 이 두 일차식의 합은 $(a-2)+(a+3)$$=2a+1$" }, { "question": "$x+y=3\\sqrt{3}$, $xy=\\frac{3}{4}$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ $=(3\\sqrt{3})^2-4\\times\\frac{3}{4}$ $=27-3=24$ $∴ x-y$$=\\pm\\sqrt{24}$$=\\pm2\\sqrt{6}$ $x-y>0$이므로 $x-y$$=2\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$) $x(x+a)+49=(x+b)^2$", "answer": "$x(x+a)+49=(x+b)^2$에서 $x^2+ax+49=x^2+2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $49=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=14$, $b=7$ $∴ a-b$$=14-7$$=7$" }, { "question": "$5(x-7)-(7-x)(x-4)$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$5(x-7)-(7-x)(x-4)$ $=$$5(x-7)+(x-7)(x-4)$ $=$$(x-7)\\lbrace5+(x-4)\\rbrace$ $=$$(x-7)(x+1)$ 두 일차식은 $x-7$, $x+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-7)+(x+1)$$=2x-6$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$) $x(x+a)+81=(x-b)^2$", "answer": "$x(x+a)+81=(x-b)^2$에서 $x^2+ax+81=x^2-2bx+b^2$ 즉, $a=-2b$, $81=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=-18$, $b=9$ $∴$ $a+b$$=-18+9$$=-9$" }, { "question": "$(x-1)(x+3)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-1) \\times( x+ 3)+ k= x^2+ 2x+ k- 3 = x^2+2\\times x\\times1+k-3$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-3$$=1^2$$=1$ $∴ k=4$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라. (단, $b>0$) $x(x-a)+1=(x-b)^2$", "answer": "$x(x-a)+1=(x-b)^2$에서 $x^2-ax+1=x^2-2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $1=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=2$, $b=1$ $∴$ $ab=2\\times1$$=2$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라. (단, $b>0)$ $x(x+a)+64=(x+b)^2$", "answer": "$x(x+a)+64=(x+b)^2$에서 $x^2+ax+64=x^2+2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $64=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=16$, $b=8$ $∴ a-b$$=16-8$$=8$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{2\\sqrt{2}+\\sqrt{7}}$, $b=\\frac{1}{2\\sqrt{2}-\\sqrt{7}}$일 때, $a^2+b^2-ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$$=\\frac{1}{2\\sqrt{2}+\\sqrt{7}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}-\\sqrt{7}}{(2\\sqrt{2}+\\sqrt{7})(2\\sqrt{2}-\\sqrt{7})}$$=2\\sqrt{2}-\\sqrt{7}$ $b$$=\\frac{1}{2\\sqrt{2}-\\sqrt{7}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}+\\sqrt{7}}{(2\\sqrt{2}-\\sqrt{7})(2\\sqrt{2}+\\sqrt{7})}$$=2\\sqrt{2}+\\sqrt{7}$ $a-b=-2\\sqrt{7}$, $ab=1$이므로 $a^2+b^2-ab=(a-b)^2 +ab=(-2\\sqrt{7})^2+1=29$" }, { "question": "$(2x+1)(2x-5)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+1)(2x-5) + k=4x^2-8x+k-5$ $=$$(2x)^2-2\\times2x\\times2+k-5$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-5$$=2^2$$=4$ $∴ k=9$" }, { "question": "$16x^2+40x+17+k$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$16x^2+40x+17+k$$=(4x)^2+2\\times4x\\times5+17+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $17+k$$=5^2$$=25$ $∴$ $k=8$" }, { "question": "$(x+5)(x-2)-2(2-x)$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x+5)(x-2)-2(2-x)$ $=$$(x+5)(x-2)+2(x-2)$ $=$$(x-2)\\lbrace(x+5)+2\\rbrace$ $=$$(x-2)(x+7)$ 두 일차식은 $x-2$, $x+7$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-2)+(x+7)$$=2x+5$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$) $x(x-a)+25=(x-b)^2$", "answer": "$x(x-a)+25=(x-b)^2$에서 $x^2-ax+25=x^2-2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $25=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=10$, $b=5$ $∴ a+b$$=10+5$$=15$" }, { "question": "$a=\\frac{1}{5-2\\sqrt{6}}$, $b=\\frac{1}{5+2\\sqrt{6}}$일 때, $a^2+b^2+ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$$=\\frac{1}{5-2\\sqrt{6}}$$=\\frac{5+2\\sqrt{6}}{(5-2\\sqrt{6})(5+2\\sqrt{6})}$$=5+2\\sqrt{6}$ $b$$=\\frac{1}{5+2\\sqrt{6}}$$=\\frac{5-2\\sqrt{6}}{(5+2\\sqrt{6})(5-2\\sqrt{6})}$$=5-2\\sqrt{6}$ $a+b=10$, $ab=1$이므로 $a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=10^2-1 =99$" }, { "question": "$(2x-3a)(2x+2a-5)$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-3a=2a-5$ $∴ a=1$" }, { "question": "$4x^2+20x+k+6$이 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+20x+k+6$$=(2x)^2+2\\times2x\\times5+k+6$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+6$$=5^2$$=25$ $ \\therefore k=19$" }, { "question": "$00$이므로 $(주어진 식) =-(a-5b)+(a+5b)$ $=-a+5b+a+5b$ $=10b$" }, { "question": "$(x-3)(x+5)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-3)(x+5)+k=x^2+2x+k-15$ $=$$x^2+2\\times x\\times1+k-15$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-15$$=1^2$$=1$ $∴ k=16$" }, { "question": "$4x^2-81=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-81$$=(2x)^2-9^2$$=(2x+9)(2x-9)$ $Ax+B=2x+9$이므로 $A=2$, $B=9$ $∴ $$AB$$=2\\times9$$=18$" }, { "question": "$9x^2+24x+k+5$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$9x^2+24x+k+5$$=(3x)^2+2\\times3x\\times4+k+5$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+5$$=4^2$$=16$ $\\therefore k=11$" }, { "question": "$25x^2+20x+90+k$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$25x^2+20x+90+k$$=(5x)^2+2\\times5x\\times2+90+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $90+k$$=2^2$$=4$ $∴ k=-86$" }, { "question": "$x+y=2\\sqrt{3}$, $xy=-3$일 때, $x-y$의 값을 구하여라. (단, $x0$) $x(x+a)+36=(x+b)^2$", "answer": "$x(x+a)+36=(x+b)^2$에서 $x^2+ax+36=x^2+2bx+b^2$ 즉, $a=2b$, $36=b^2$에서 $b>0$이므로 $a=12$, $b=6$ $∴$ $2a-b$$=2\\times12-6$$=18$" }, { "question": "$-10$, $x-4<0$이므로 $=$$5$" }, { "question": "$-50x^2+72y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-50x^2+72y^2$$=-2(25x^2-36y^2)$$=-2(5x+6y)(5x-6y)$ $a=-2$, $b=5$, $c=6$이므로 $ab-c$$=(-2)\\times5-6$$=-16$" }, { "question": "$(3x+4)(3x-2)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$=$$(3x)^2+2\\times3x\\times1+k-8$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-8$$=1^2$$=1$ ∴ $k=9$" }, { "question": "$x^2-16x+40+k$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-16x+40+k$$=x^2-2\\times x\\times8+40+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $40+k$$=8^2$$=64$ $∴ k=24$" }, { "question": "$25x^2-20x+8+k$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$25x^2-20x+8+k$$=(5x)^2-2\\times5x\\times2+8+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $8+k$$=2^2$$=4$ $∴ k=-4$" }, { "question": "$0<2a<3b$일 때, $\\sqrt{4a^2+12ab+9b^2}+\\sqrt{4a^2-12ab+9b^2}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{4a^2+12ab+9b^2}+\\sqrt{4a^2-12ab+9b^2} =\\sqrt{(2a+3b)^2}+\\sqrt{(2a-3b)^2}$ 이때 $0<2a<3b$에서 $2a+3b>0$, $2a-3b<0$이므로 (주어진 식)=$(2a+3a)+\\lbrace -(2a-3b)\\rbrace$ =$2a+3b-2a+3b$ =$6b$" }, { "question": "$(x-a+1)(x+2a-5)$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-a+1=2a-5$ $∴ a=2$" }, { "question": "$(x+2)(x+4)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+2)(x+4)+k=x^2+6x+k+8$ $=x^2+2\\times x\\times3+k+8$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+8$$=3^2$$=9$ $∴ k=1$" }, { "question": "$(x-a+3)(x+11-3a)$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-a+3=11-3a$ $∴ a=4$" }, { "question": "$(x-4)(x+6)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-4)(x+6)+k=x^2+2x+k-24$ $=$$x^2+2\\times x\\times1+k-24$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-24$$=1^2$$=1$ $∴$ $k=25$" }, { "question": "$00$, $x-2<0$이므로 $(주어진 식) = (x+1)+${$-(x-2)$}$ $$=x+1-x+2$ $=3$" }, { "question": "$20$, $x-5<0$이므로 $(주어진 식)=$$(x+2)+\\lbrace -(x-5)\\rbrace$ =$x+2-x+5$ =$7$" }, { "question": "$00$, $a-4b<0$이므로 $(주어진식)=(a+4b)-{-(a-4b)}=a+4b+a-4b=2a$" }, { "question": "$00$, $x-4<0$이므로 $(주어진 식)=(x+4)-\\lbrace-(x-4)\\rbrace$ $=x+4+x-4$ $=$$2x$" }, { "question": "$(x+3a-2)(x-4a+5)$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $3a-2=-4a+5$ $∴ a=1$" }, { "question": "$x^2-x-a=(x-2)(x+b)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-x-a=(x-2)(x+b)=x^2+(-2+b)x-2b$ 즉, $-1=-2+b$, $a=2b$이므로 $a=2$, $b=1$ $∴ ab=2\\times1=2$" }, { "question": "$(2x-a+4)(2x-3a+8)$이 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-a+4=-3a+8$ $∴ a=2$" }, { "question": "$(x-\\frac{1}{3}a+5)(x-3+a)$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-\\frac{1}{3}a+5=-3+a$ $∴ a=6$" }, { "question": "$4x^2-12x+k+5$가 완전제곱식이 될 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-12x+k+5$$=(2x)^2-2\\times2x\\times3+k+5$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+5$$=3^2$$=9$ $∴ k=4$" }, { "question": "$-40$, $x-4<0$이므로 $(주어진 식)=(x+4)-\\lbrace-(x-4)\\rbrace$ $=$$x+4+x-4$ $=$$2x$" }, { "question": "$(2x+3)(2x+1)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$=$$(2x)^2+2\\times2x\\times2+k+3$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+3$$=2^2$$=4$ $∴$ $k=1$" }, { "question": "$00$이므로 $(주어진 식)=-(x-3)(x+3)$ $=$$-x+3+x+3$ $=$$6$" }, { "question": "$5x^2+(7a+2)x+18$을 인수분해하면 $(5x-3)(x+b)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$5x^2+(7a+2)x+18=(5x-3)(x+b)=5x^2+(5b-3)x-3b$ 즉, $7a+2=5b-3$, $18=-3b$이므로 $a=-5$, $b=-6$ $∴ab=(-5)\\times(-6)=30$" }, { "question": "$(2x-a+3)(2x-2a+1)$이 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $-a+3=-2a+1$ $∴ a=-2$" }, { "question": "$-50$이므로 $(주어진 식)=-(x-5)-(x+5)$ $=-x+5-x-5$ $=$$-2x$" }, { "question": "$00$, $x-3y<0$이므로 $(주어진 식)$$=(x+3y)-\\lbrace-(x-3y)\\rbrace$ $=x+3y+x-3y$ $=$$2x$" }, { "question": "$00$이므로 (주어진 식) = $-(a-2b)+(a+2b)$ $= $$-a+2b+a+2b$ $=$$4b$" }, { "question": "$25x^2-81y^2=(Ax+By)(Ax-By)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$25x^2-81y^2$$=(5x)^2-(9y)^2$$=(5x+9y)(5x-9y)$ $Ax+By=5x+9y$이므로 $A=5$, $B=9$ $∴$ $A+B$$=5+9$$=14$" }, { "question": "$0<3a0$, $3a-b<0$이므로 $(주어진 식) =(3a+b)+\\lbrace-3(3a-b)\\rbrace =3a+b-3a+b =2b$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(x-5)(x+2)-8$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-5)(x+2)-8=(x^2-3x-10)-8$ $=x^2-3x-18$ $=$$(x+3)(x-6)$ 두 일차식은 $x+3$, $x-6$이므로 $(x+3)+(x-6)$$=2x-3$" }, { "question": "$6x^2-13x+6$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$6x^2-13x+6$$=(2x-3)(3x-2)$ 두 일차식은 $2x-3$, $3x-2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2x-3)+(3x-2)$$=5x-5$" }, { "question": "$10$, $x-3<0$이므로 (주어진 식)$=(x-1)+\\lbrace-(x-3)\\rbrace$ $=x-1-x+3$ $=$$2$" }, { "question": "$x^2+ax+6=(x+b)(x+3)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax+6=(x+b)(x+3)=x^2+(b+3)x+3b$ 즉, $a=b+3$, $6=3b$이므로 $a=5$, $b=2$ $∴ \\frac{b}{a}$$=\\frac{2}{5}$" }, { "question": "$(2x-1)(2x+5)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-1)(2x+5)+k=4x^2+8x+k-5$ $=$$(2x)^2+2\\times2x\\times2+k-5$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-5$$=2^2$$=4$ $∴ k=9$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(a-4)(a+9)+4a$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(a-4)(a+9)+4a=(a^2+5a-36)+4a =a^2+9a-36$ $=$$(a-3)(a+12)$ 두 일차식은 $a-3$, $a+12$이므로 $(a-3)+(a+12)$$=2a+9$" }, { "question": "$00$, $x-y<0$이므로 $(주어진 식) = (x+y)+{-(x-y)}$ $=x+y-x+y$ $=$$2y$" }, { "question": "$x^2-x-132$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-x-132=(x+11)(x-12)$ 두 일차식은 $x+11$, $x-12$이므로 두 일차식의 합은 $(x+11)+(x-12)=2x-1$" }, { "question": "$2x^2+(3m-2)x-15$를 인수분해하면 $(2x-3)(x+n)$일 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $\\frac{m}{n}$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+(3m-2)x-15=(2x-3)(x+n)=2x^2+(2n-3)x-3n$ 즉, $3m-2=2n-3$, $15=3n$이므로 $m=3$, $n=5$ $ \\therefore \\frac{m}{n}$$=\\frac{3}{5}$" }, { "question": "$16x^2-49=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $B-A$의 값을 구하여라.", "answer": "$16x^2-49=(4x)^2-7^2$$=(4x+7)(4x-7)$ $Ax+B=4x+7$이므로 $A=4$, $B=7$ $∴ B-A$$=7-4=3$" }, { "question": "$49x^2-36y^2=(Ax+By)(Ax-By)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $A-B$의 값을 구하여라.", "answer": "$49x^2-36y^2$$=(7x)^2-(6y)^2$$=(7x+6y)(7x-6y)$ $Ax+By=7x+6y$이므로 $A=7$, $B=6$ $∴$ $A-B$$=7-6$$=1$" }, { "question": "$-64x^2+100y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+bc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-64x^2+100y^2$$=-4(16x^2-25y^2)$$=-4(4x+5y)(4x-5y)$ $a=-4$, $b=4$, $c=5$이므로 $a+bc$$=-4+4\\times5$$=16$" }, { "question": "$25x^2-64=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$25x^2-64$$=(5x)^2-8^2$$=(5x+8)(5x-8)$ $Ax+B=5x+8$이므로 $A=5$, $B=8$ $∴$ $AB$$=5\\times8$$=40$" }, { "question": "$4x^2-25=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $B-A$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-25$$=(2x)^2-5^2$$=(2x+5)(2x-5)$ $Ax+B=2x+5$이므로 $A=2$, $B=5$ $ \\therefore B-A$$=5-2$$=3$" }, { "question": "$x^2+4x-77$은 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x-77$$=(x-7)(x+11)$ 두 일차식은 $x-7$, $x+11$이므로 두 일차식의 합은 $(x-7)+(x+11)$$=2x+4$" }, { "question": "$6x^2-24=a(bx+c)(bx-c)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b-c$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0)\\\\$", "answer": "$6x^2-24$$=6(x^2-4)$$=6(x+2)(x-2)$ $a=6$, $b=1$, $c=2$이므로 $a-b-c$$=6-1-2$$=3$" }, { "question": "$4x^2+(1-2a)x+5$를 인수분해하면 $(4x-5)(x-b)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+(1-2a)x+5=(4x-5)(x-b)=4x^2-(4b+5)x+5b$ 즉, $1-2a=-4b-5$, $5=5b$이므로 $a=5$, $b=1$ ∴ $a+b$$=5+1$$=6$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(a+6b)(a+b)+6b^2$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(a+6b)(a+b)+6b^2=(a^2+7ab+6b^2)+6b^2 =a^2+7ab+12b^2$ $=$$(a+3b)(a+4b)$ 두 일차식은 $a+3b$, $a+4b$이므로 $(a+3b)+(a+4b)$$=2a+7b$" }, { "question": "$9x^2-49=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$9x^2-49$$=(3x)^2-7^2$$=(3x+7)(3x-7)$ $Ax+B=3x+7$이므로 $A=3$, $B=7$ $ \\therefore AB$$=3\\times7$$=21$" }, { "question": "$98x^2-32y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$98x^2-32y^2$$=2(49x^2-16y^2)$$=2(7x+4y)(7x-4y)$ $a=2$, $b=7$, $c=4$이므로 $a+b-c$$=2+7-4$$=5$" }, { "question": "$x^2+ax-15=(x+b)(x-3)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax-15=(x+b)(x-3)=x^2+(b-3)x-3b$ 즉, $a=b-3$, $15=3b$이므로 $a=2$, $b=5$ $∴ a+b=2+5=7$" }, { "question": "$-18x^2+200y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-18x^2+200y^2$$=-2(9x^2-100y^2)$$=-2(3x+10y)(3x-10y)$ $a=-2$, $b=3$, $c=10$이므로 $abc$$=(-2)\\times3\\times10$$=-60$" }, { "question": "$x-7$이 $x^2+ax-28$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax-28=(x-7)(x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $x^2+ax-28=x^2+(-7+m)x-7m$ 즉, $a=-7+m$, $28=7m$이므로 $m=4$, $a=-3$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(x-5)^2-9$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$=$$(x-2)(x-8)$ 두 일차식은 $x-2$, $x-8$이므로 $(x-2)+(x-8)$$=2x-10$" }, { "question": "$81x^2-64=(Ax+B)(Ax-B)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $A-B$의 값을 구하여라.", "answer": "$81x^2-64$$=(9x)^2-8^2$$=(9x+8)(9x-8)$ $Ax+B=9x+8$이므로 $A=9$, $B=8$ $∴ A-B$$=9-8=1$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(x-2)(x-4)-15$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-2)(x-4)-15=(x^2-6x+8)-15$ $=x^2-6x-7$ $=(x+1)(x-7)$ 두 일차식은 $x+1$, $x-7$이므로 $(x+1)+(x-7)=2x-6$" }, { "question": "$x^2+ax-14=(x+b)(x-2)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax-14=(x+b)(x-2)=x^2+(b-2)x-2b$ 즉, $a=b-2$, $14=2b$이므로 $a=5$, $b=7$ $∴$ $a+b$$=5+7$$=12$" }, { "question": "$a^2-5ab-6b^2$은 $a$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$a^2-5ab-6b^2=(a+b)(a-6b)$ 두 일차식은 $a+b$, $a-6b$이므로 두 일차식의 합은 $(a+b)+(a-6b)=2a-5b$" }, { "question": "$x^2-ax-12=(x-4)(x+b)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-ax-12=(x-4)(x+b)=x^2+(-4+b)x-4b$ 즉, $-a=-4+b$, $12=4b$이므로 $a=1$, $b=3$ $∴ ab=1\\times3$$=3$" }, { "question": "$x^2-x-56$은 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-x-56$$=(x+7)(x-8)$ 두 일차식은 $x+7$, $x-8$이므로 두 일차식의 합은 $(x+7)+(x-8)$$=2x-1$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(x+y)(x-5y)-16y^2$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(x+y)(x-5y)-16y^2=(x^2-4xy-5y^2)-16y^2 = x^2-4xy-21y^2 =(x+3y)(x-7y)$ 두 일차식은 $x+3y$, $x-7y$이므로 $(x+3y)+(x-7y)$$=2x-4y$" }, { "question": "$15x^2-16x-7$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$15x^2-16x-7$$=(3x+1)(5x-7)$ 두 일차식은 $3x+1$, $5x-7$이므로 이 두 일차식의 합은 $(3x+1)+(5x-7)$$=8x-6$" }, { "question": "$x^2-7xy+12y^2$은 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-7xy+12y^2$$=(x-3y)(x-4y)$ 두 일차식은 $x-3y$, $x-4y$이므로 두 일차식의 합은 $(x-3y)+(x-4y)$$=2x-7y$" }, { "question": "$2x^2+5x-3$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$2x^2+5x-3=(x+3)(2x-1)$ 두 일차식은 $x+3$, $2x-1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+3)+(2x-1)=3x+2$" }, { "question": "$15x^2+11x-12$를 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$15x^2+11x-12$$=(3x+4)(5x-3)$ 두 일차식은 $3x+4$, $5x-3$이므로 이 두 일차식의 합은 $(3x+4)+(5x-3)$$=8x+1$" }, { "question": "$ax^2+13x-b$를 인수분해하면 $(2x+5)(3x-c)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$ax^2+13x-b=(2x+5)(3x-c)=6x^2+(-2c+15)x-5c$ 즉, $a=6$, $13=-2c+15$, $b=5c$이므로 $a=6$, $b=5$, $c=1$ $∴ a+b+c=6+5+1=12$" }, { "question": "$ax^2+7x-6$을 인수분해하면 $(5x+b)(x+2)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$ax^2+7x-6=(5x+b)(x+2)=5x^2+(b+10)x+2b$ 즉, $a=5$, $7=b+10$, $-6=2b$이므로 $a=5$, $b=-3$ $∴$ $ab$$=5\\times(-3)$$=-15$" }, { "question": "$10x^2+13x-3=(2x+m)(5x+n)$일 때, 정수 $m$, $n$에 대하여 $m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "$10x^2+13x-3$$=(2x+3)(5x-1)$ $m=3$, $n=-1$이므로 $m-n$$=3-(-1)$$=4$" }, { "question": "$8x^2-32y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-bc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$8x^2-32y^2$$=8(x^2-4y^2)$$=8(x+2y)(x-2y)$ $a=8$, $b=1$, $c=2$이므로 $a-bc$$=8-1\\times2$$=6$" }, { "question": "$-27x^2+75y^2=a(bx+cy)(bx-cy)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-27x^2+75y^2$$=-3(9x^2-25y^2)$$=-3(3x+5y)(3x-5y)$ $a=-3$, $b=3$, $c=5$이므로 $abc$$=(-3)\\times3\\times5$$=-45$" }, { "question": "$5x^2-14x-3$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$5x^2-14x-3$$=(x-3)(5x+1)$ 두 일차식은 $x-3$, $5x+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-3)+(5x+1)$$=6x-2$" }, { "question": "$6x^2-7x-20=(2x+m)(3x+n)$일 때, 정수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2-7x-20$$=(2x-5)(3x+4)$ $m=-5$, $n=4$이므로 $m+n$$=-5+4$$=-1$" }, { "question": "$a^2-3ab-10b^2$은 $a$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$a^2-3ab-10b^2$$=(a+2b)(a-5b)$ 두 일차식은 $a+2b$, $a-5b$이므로 두 일차식의 합은 $(a+2b)+(a-5b)$$=2a-3b$" }, { "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(a+6)^2+3a$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$(a+6)^2+3a=(a^2+12a+36)+3a = a^2+15a+36=(a+3)(a+12)$ 두 일차식은 $a+3$, $a+12$이므로 $(a+3)+(a+12)$$=2a+15$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라. $x^2-6x+9=(x-a)^2$ $3x^2+7x-6=(x+3)(3x+b)$ $x^2-5x-14=(x+2)(x+c)$", "answer": "$x^2-6x+9$$=(x-3)^2$이므로 $a=3$ $3x^2+7x-6$$=(x+3)(3x-2)$이므로 $b=-2$ $x^2-5x-14$$=(x+2)(x-7)$이므로 $c=-7$ ∴ $a+b+c$$=3+(-2)+(-7)$$=-6$" }, { "question": "$3x^2+x-24=(x+m)(3x+n)$일 때, 정수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+x-24$$=(x+3)(3x-8)$ $m=3$, $n=-8$이므로 $m+n=3+(-8)=-5$" }, { "question": "$12x^2-x-6$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$12x^2-x-6$$=(3x+2)(4x-3)$ 두 일차식은 $3x+2$, $4x-3$이므로 이 두 일차식의 합은 $(3x+2)+(4x-3)$$=7x-1$" }, { "question": "$ax^2+32x-b$를 인수분해하면 $(x+c)(5x-3)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$ax^2+32x-b=(x+c)(5x-3)=5x^2+(5c-3)x-3c$ 즉, $a=5$, $32=5c-3$, $b=3c$이므로 $a=5$, $b=21$, $c=7$ $∴ a-b-c$$=5-21-7$$=-23$" }, { "question": "$x^2-ax-10=(x+2)(x+b)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-ax-10=(x+2)(x+b)=x^2+(2+b)x+2b$ 즉, $-a=2+b$, $-10=2b$이므로 $a=3$, $b=-5$ $∴ ab$$=3\\times(-5)$$=-15$" }, { "question": "$3x^2-16x-12=(x+a)(3x+b)$일 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-16x-12$$=(x-6)(3x+2)$ $a=-6$, $b=2$이므로 $a+b$$=-6+2$$=-4$" }, { "question": "$x^2-36y^2+x-6y$는 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-36y^2+x-6y=(x+6y)(x-6y)+(x-6y)=(x-6y)(x+6y+1)$ 두 일차식은 $x-6y$, $x+6y+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-6y)+(x+6y+1)=2x+1$" }, { "question": "$6x^2+7x-5=(2x+a)(3x+b)$일 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2+7x-5$$=(2x-1)(3x+5)$ $a=-1$, $b=5$이므로 $a-b$$=-1-5$$=-6$" }, { "question": "$3x^2-16x+5=(x+m)(3x+n)$일 때, 정수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-16x+5$$=(x-5)(3x-1)$ $m=-5$, $n=-1$이므로 $m+n=(-5)+(-1)=-6$" }, { "question": "두 다항식 $2x^2-3xy-ay^2$, $3x^2-bxy+8y^2$의 공통인 인수가 $x-2y$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$2x^2-3xy-ay^2=(x-2y)(2x+my)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2-3xy-ay^2=2x^2+(m-4)xy-2my^2$ 즉, $-3=m-4$, $a=2m$이므로 $m=1$, $a=2$ $3x^2-bxy+8y^2=(x-2y)(3x+ny)$($n$은 수)으로 놓으면 $3x^2-bxy+8y^2=3x^2+(n-6)xy-2ny^2$ 즉, $-b=n-6$, $8=-2n$이므로 $n=-4$, $b=10$ $∴ a+b$$=2+10$$=12$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b-c-d$의 값을 구하여라. $7x^2-3x-4=(x-1)(7x+a)$ $x^2-121=(x+11)(x-b)$ $x^2-13x+40=(x-5)(x-c)$ $9x^2+12x+4=(3x+d)^2$", "answer": "$7x^2-3x-4$$=(x-1)(7x+4)$이므로 $a=4$ $x^2-121$$=(x+11)(x-11)$이므로 $b=11$ $x^2-13x+40$$=(x-5)(x-8)$이므로 $c=8$ $9x^2+12x+4$$=(3x+2)^2$이므로 $d=2$ $∴ a+b-c-d$$=4+11-8-2$$=5$" }, { "question": "$x^2+ax-30=(x+b)(x-5)$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax-30=(x+b)(x-5)=x^2+(b-5)x-5b$ 즉, $a=b-5$, $30=5b$이므로 $a=1$, $b=6$ $∴$ $ab$$=1\\times6$$=6$" }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $3x^2+5x-2$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x+1)+(5x-3)\\rbrace\\times(높이)$$=3x^2+5x-2$이므로 $(3x-1)\\times(높이)=(x+2)(3x-1)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x+2$이다." }, { "question": "두 다항식 $2x^2+axy-6y^2$, $3x^2+11xy+by^2$의 공통인 인수가 $x+3y$일 때, $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$2x^2+axy-6y^2=(x+3y)(2x+my)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2+axy-6y^2=2x^2+(m+6)xy+3my^2$ 즉, $a=m+6$, $-6=3m$이므로 $m=-2$, $a=4$ $3x^2+11xy+by^2=(x+3y)(3x+ny)$($n$은 수)으로 놓으면 $3x^2+11xy+by^2=3x^2+(n+9)xy+3ny^2$ 즉, $11=n+9$, $b=3n$이므로 $n=2$, $b=6$ $∴$ $\\frac{b}{a}$$=\\frac{6}{4}$$=\\frac{3}{2}$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab+cd$의 값을 구하여라. $2x^2+6x=2x(x+a)$ $x^2-49=(x+b)(x-7)$ $x^2-x-6=(x+c)(x-3)$ $3x^2-11x-4=(x-4)(3x+d)$", "answer": "$2x^2+6x$$=2x(x+3)$이므로 $a=3$ $x^2-49$$=(x+7)(x-7)$이므로 $b=7$ $x^2-x-6$$=(x+2)(x-3)$이므로 $c=2$ $3x^2-11x-4$$=(x-4)(3x+1)$이므로 $d=1$ $∴$ $ab+cd$$=3\\times7+2\\times1$$=23$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하여라. $x^2+3xy-10y^2=(x+ay)(x-2y)$ $2x^2+7x-15=(2x-3)(x+b)$ $x^2-20x+100=(x-c)^2$ $4x^2-\\frac{1}{9}=(dx+\\frac{1}{3})(2x-\\frac{1}{3})$", "answer": "$x^2+3xy-10y^2$$=(x-2y)(x+5y)$이므로 $a=5$ $2x^2+7x-15$$=(x+5)(2x-3)$이므로 $b=5$ $x^2-20x+100$$=(x-10)^2$이므로 $c=10$ $4x^2-\\frac{1}{9}$$=(2x+\\frac{1}{3})(2x-\\frac{1}{3})$이므로 $d=2$ $∴ ab-cd$$=5\\times5-10\\times2$$=5$" }, { "question": "두 다항식 $3x^2-ax-3$, $x^2-x+b$의 공통인 인수가 $x-3$일 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$3x^2-ax-3=(x-3)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2-ax-3=3x^2+(m-9)x-3m$ 즉, $-a=m-9$, $3=3m$이므로 $m=1$, $a=8$ $x^2-x+b=(x-3)(x+n)(n은 수)$으로 놓으면 $x^2-x+b=x^2+(-3+n)x-3n$ 즉, $-1=-3+n$, $b=-3n$이므로 $n=2$, $b=-6$ $∴ ab$$=8\\times(-6)$$=-48$" }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이) =(주어진 직사각형의 넓이의 합) =4x^2+4x+1=(2x+1)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $2x+1$이다." }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하여라. $x^2-3x=x(x-a)$ $x^2+2x-8=(x-2)(x+b)$ $x^2-36=(x+c)(x-6)$ $8x^2+6x-5=(2x-1)(4x+d)$", "answer": "$x^2-3x$$=x(x-3)$이므로 $a=3$$\\\\$ $x^2+2x-8$$=(x-2)(x+4)$이므로 $b=4$$\\\\$ $x^2-36$$=(x+6)(x-6)$이므로 $c=6$$\\\\$ $8x^2+6x-5$$=(2x-1)(4x+5)$이므로 $d=5$$\\\\$ $∴$ $a+b+c+d$$=3+4+6+5$$=18$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $3$인 어떤 이차식을 동재는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x+1)(3x-5)$가 되었고, 동훈이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(3x+1)(x-8)$이 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "동재는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+1)(3x-5)=3x^2-2x-5$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-2$이다. 동훈이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(3x+1)(x-8)=3x^2-23x-8$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-8$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $3x^2-2x-8$$=(x-2)(3x+4)$" }, { "question": "두 다항식 $-a^2b+2ab^2$, $a^2-4ab+4b^2$의 공통인 인수를 구하여라.", "answer": "$-a^2b+2ab^2$$=-ab(a-2b)$ $a^2-4ab+4b^2$$=a^2-2\\times a\\times2b+(2b)^2$$=(a-2b)^2$ 따라서 공통인 인수는 $a-2b$이다." }, { "question": "두 다항식 $-2a^2-8a$, $a^2+2a-8$의 공통인 인수를 구하여라.", "answer": "$-2a^2-8a$$=-2a(a+4)$ $a^2+2a-8$$=(a-2)(a+4)$ 따라서 공통인 인수는 $a+4$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-x-2$, $x^2+x-6$의 공통인 인수를 구하여라.", "answer": "$x^2-x-2$$=(x+1)(x-2)$ $x^2+x-6$$=(x-2)(x+3)$ 따라서 공통인 인수는 $x-2$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-x-20$, $2x^2-11x+5$의 공통인 인수를 구하여라.", "answer": "$x^2-x-20$$=(x+4)(x-5)$ $2x^2-11x+5$$=(x-5)(2x-1)$ 따라서 공통인 인수는 $x-5$이다." }, { "question": "$4y^2+(5-2p)y+9$를 인수분해하면 $(4y+q)(y+3)$일 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$4y^2+(5-2p)y+9=(4y+q)(y+3)=4y^2+(q+12)y+3q$ 즉, $5-2p=q+12$, $9=3q$이므로 $p=-5$, $q=3$ $∴ p-q=-5-3=-8$" }, { "question": "두 다항식 $2x^2-3x+a$, $x^2-5x+b$의 공통인 인수가 $x-2$일 때, $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$2x^2-3x+a=(x-2)(2x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2-3x+a=2x^2+(m-4)x-2m$ 즉, $-3=m-4$, $a=-2m$이므로 $m=1$, $a=-2$ $x^2-5x+b=(x-2)(x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $x^2-5x+b=x^2+(-2+n)x-2n$ 즉, $-5=-2+n$, $b=-2n$이므로 $n=-3$, $b=6$ $∴ \\frac{b}{a}=\\frac{6}{-2}=-3$" }, { "question": "$x+6$이 $x^2+ax-18$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax-18=(x+6)(x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $x^2+ax-18=x^2+(6+m)x+6m$ 즉, $a=6+m$, $-18=6m$이므로 $m=-3$, $a=3$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하여라.$\\\\$ $2x^2+14x=2x(x+a)$$\\\\$ $x^2+3x-18=(x-3)(x+b)$$\\\\$ $x^2-49=(x+7)(x-c)$$\\\\$ $15x^2-2x-1=(3x-1)(5x+d)$", "answer": "$2x^2+14x$$=2x(x+7)$이므로 $a=7$ $x^2+3x-18$$=(x-3)(x+6)$이므로 $b=6$ $x^2-49$$=(x+7)(x-7)$이므로 $c=7$ $15x^2-2x-1$$=(3x-1)(5x+1)$이므로 $d=1$ $∴ a+b+c+d$$=7+6+7+1$$=21$" }, { "question": "$x-2$가 $x^2+ax+6$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+ax+6=(x-2)(x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $x^2+ax+6=x^2+(-2+m)x-2m$ 즉, $a=-2+m$, $6=-2m$이므로 $m=-3$, $a=-5$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $abcd$의 값을 구하여라.$\\\\$ $-3x^2+6x=-3x(x-a)$$\\\\$ $x^2-x-12=(x+b)(x-4)$$\\\\$ $x^2-\\frac{1}{25}=(x+c)(x-\\frac{1}{5})$$\\\\$ $4x^2-4x-3=(2x-3)(2x+d)$", "answer": "$-3x^2+6x$$=-3x(x-2)$이므로 $a=2$ $x^2-x-12$$=(x+3)(x-4)$이므로 $b=3$ $x^2-\\frac{1}{25}$$=(x+\\frac{1}{5})$$(x-\\frac{1}{5})$이므로 $c=\\frac{1}{5}$ $4x^2-4x-3$$=(2x-3)(2x+1)$이므로 $d=1$ $∴$ $abcd$$=2\\times3\\times\\frac{1}{5}\\times1$$=\\frac{6}{5}$" }, { "question": "두 다항식 $3x^2+ax+10$, $x^2+5x+b$의 공통인 인수가 $x-2$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$3x^2+ax+10=(x-2)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+ax+10=3x^2+(m-6)x-2m$ 즉, $a=m-6$, $10=-2m$이므로 $m=-5$, $a=-11$ $x^2+5x+b=(x-2)(x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $x^2+5x+b=x^2+(-2+n)x-2n$ 즉, $5=-2+n$, $b=-2n$이므로 $n=7$, $b=-14$ $∴ a+b=(-11)+(-14)=-25$" }, { "question": "$3x-4$가 $3x^2+ax-8$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+ax-8=(3x-4)(x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+ax-8=3x^2+(3m-4)x-4m$ 즉, $a=3m-4$, $8=4m$이므로 $m=2$, $a=2$" }, { "question": "$3x-2$가 $12x^2+x+a$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$12x^2+x+a=(3x-2)(4x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $12x^2+x+a=12x^2+(3m-8)x-2m$ 즉, $1=3m-8$, $a=-2m$이므로 $m=3$, $a=-6$" }, { "question": "넓이가 $x^2-3x-18$인 직사각형의 가로의 길이가 $x-6$일 때, 이 직사각형의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=x^2-3x-18$$=(x+3)(x-6)$ 직사각형의 가로의 길이가 $x-6$이므로 세로의 길이는 $x+3$이다." }, { "question": "$2x-1$이 $10x^2+x-a$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$10x^2+x-a=(2x-1)(5x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $10x^2+x-a=10x^2+(2m-5)x-m$ 즉, $1=2m-5$, $a=m$이므로 $m=3$, $a=3$" }, { "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab-cd$의 값을 구하여라. $2x^2+4x=2x(x+a)\\\\$ $x^2-25=(x+b)(x-5)\\\\$ $x^2+4x-21=(x-3)(x+c)\\\\$ $3x^2-5x-2=(x-d)(3x+1)\\\\$", "answer": "$2x^2+4x$$=2x(x+2)$이므로 $a=2$ $x^2-25$$=(x+5)(x-5)$이므로 $b=5$ $x^2+4x-21$$=(x-3)(x+7)$이므로 $c=7$ $3x^2-5x-2$$=(x-2)(3x+1)$이므로 $d=2$ $∴$ $ab-cd$$=2\\times5-7\\times2$$=-4$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $3$인 어떤 이차식을 혜원이는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x+2)(3x-2)$가 되었고, 영민이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(x-3)(3x+5)$가 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "혜원이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+2)(3x-2)=3x^2+4x-4$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $4$이다. 영민이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-3)(3x+5)=3x^2-4x-15$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-15$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $3x^2+4x-15=(x+3)(3x-5)$" }, { "question": "$x+1$이 $2x^2-x+a$의 인수일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2-x+a=(x+1)(2x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2-x+a=2x^2+(m+2)x+m$ 즉, $-1=m+2$, $a=m$이므로 $m=-3$, $a=-3$" }, { "question": "넓이가 $10x^2+x-2$인 직사각형의 가로의 길이가 $2x+1$일 때, 이 직사각형의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=10x^2+x-2$$=(2x+1)(5x-2)$ $\\\\$ 직사각형의 가로의 길이가 $2x+1$이므로 세로의 길이는 $5x-2$이다." }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$2x^2+5x+3$$=$$(x+1)(2x+3)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+1)+(2x+3)\\rbrace=6x+8$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 혜미는 상수항을 잘못 보고 $(x-4)(x-1)$로, 영재는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x-3)(x+2)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "혜미는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-4)(x-1)=x^2-5x+4$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-5$이다. 영재는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-3)(x+2)=x^2-x-6$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-6$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-5x-6$$=(x+1)(x-6)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 민희는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x-1)(x-8)$로, 민준이는 상수항을 잘못 보고 $(x+1)(x-7)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "민희는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-1)(x-8)=x^2-9x+8$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $8$이다. 민준이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+1)(x-7)=x^2-6x-7$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-6$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-6x+8$$=(x-2)(x-4)$" }, { "question": "원 모양의 화단의 넓이가 $(4a^2-12ab+9b^2)\\pi$ $m^2$일 때, 이 화단의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(화단의 넓이)$$=(4a^2-12ab+9b^2)\\pi$$=\\pi(2a-3b)^2$ $(m^2)$ 화단의 반지름의 길이는 $(2a-3b)$ $m$이므로 지름의 길이는 $(4a-6b) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $2a^2-7a-15$이고, 가로의 길이가 $2a+3$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=2a^2-7a-15$$=(a-5)(2a+3)$ 직사각형의 가로의 길이가 $2a+3$이므로 세로의 길이는 $a-5$이다. $\\therefore (직사각형의 둘레의 길이)=2 \\{(2a+3)+(a-5)\\}=2(3a -2)=6a-4$" }, { "question": "두 다항식 $x^2+axy+28y^2$, $2x^2+7xy+by^2$의 공통인 인수가 $x+4y$일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$x^2+axy+28y^2=(x+4y)(x+my)(m$은 수)으로 놓으면 $x^2+axy+28y^2=x^2+(4+m)xy+4my^2$ 즉, $a=4+m$, $28=4m$이므로 $m=7$, $a=11$ $2x^2+7xy+by^2=(x+4y)(2x+ny)(n$은 수)으로 놓으면 $2x^2+7xy+by^2=2x^2+(8+n)xy+4ny^2$ 즉, $7=8+n$, $b=4n$이므로 $n=-1$, $b=-4$ $ \\therefore a-b$$=11-(-4)$$=15$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 성주는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+3)(x-1)$로, 민호는 상수항을 잘못 보고 $(x-4)(x+2)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "성주는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-3$이다. 민호는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-4)(x+2)=x^2-2x-8$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-2$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-2x-3$$=(x+1)(x-3)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 재민이는 상수항을 잘못 보고 $(x-3)(x-4)$로, 하윤이는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+2)(x+5)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "재민이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-3)(x-4)=x^2-7x+12$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-7$이다. 하윤이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $10$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-7x+10$$=(x-2)(x-5)$" }, { "question": "두 다항식 $2x^2-x-15$, $4x^2-25$의 공통인 인수를 구하여라.", "answer": "$2x^2-x-15=(x-3)(2x+5)$ $4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$ 따라서 공통인 인수는 $2x+5$이다." }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이) =(주어진 직사각형의 넓이의 합) =x^2+8x+16$$=$$(x+4)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $x+4$이다." }, { "question": "$x^2$의 계수가 $3$인 어떤 이차식을 수정이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(x-3)(3x+4)$가 되었고, 은수는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x-4)(3x-4)$가 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "수정이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-3)(3x+4)=3x^2-5x-12$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-12$이다. 은수는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-4)(3x-4)=3x^2-16x+16$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-16$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $3x^2-16x-12$$=(x-6)(3x+2)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $2$인 어떤 이차식을 승아는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(x+4)(2x+1)$이 되었고, 진수는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(2x+5)(x-7)$이 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "승아는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+4)(2x+1)=2x^2+9x+4$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $4$이다. 진수는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(2x+5)(x-7)=2x^2-9x-35$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-9$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $2x^2-9x+4$$=(x-4)(2x-1)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 민규는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+9)(x-2)$로, 지영이는 상수항을 잘못 보고 $(x+1)(x+2)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "민규는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+9)(x-2)=x^2+7x-18$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-18$이다. 지영이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $3$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2+3x-18$$=(x-3)(x+6)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 희준이는 상수항을 잘못 보고 $(x-1)(x-7)$로, 승호는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+3)(x+5)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "희준이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-1)(x-7)=x^2-8x+7$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-8$이다. 승호는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $15$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-8x+15$$=(x-3)(x-5)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 소은이는 상수항을 잘못 보고 $(x-2)(x-3)$으로, 영준이는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+1)(x+4)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "소은이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-5$이다. 영준이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $4$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2-5x+4$$=(x-1)(x-4)$" }, { "question": "두 다항식 $8x^2+10x-a$, $4x^2-bx+5$의 공통인 인수가 $4x-1$일 때, $b-a$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$8x^2+10x-a=(4x-1)(2x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $8x^2+10x-a=8x^2+(4m-2)x-m$ 즉, $10=4m-2$, $a=m$이므로 $m=3$, $a=3$ $4x^2-bx+5=(4x-1)(x+n)(n$은 수)으로 놓으면 $4x^2-bx+5=4x^2+(4n-1)x-n$ 즉, $-b=4n-1$, $5=-n$이므로 $n=-5$, $b=21$ $∴$ $b-a$$=21-3$$=18$" }, { "question": "넓이가 $6x^2-x-2$인 직사각형의 세로의 길이가 $3x-2$일 때, 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=6x^2-x-2$$=(2x+1)(3x-2)$ 직사각형의 세로의 길이가 $3x-2$이므로 가로의 길이는 $2x+1$이다." }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$9x^2+6x+1$$=$$(3x+1)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $3x+1$이다." }, { "question": "두 다항식 $6x^2+x-a$, $2x^2-bx-5$의 공통인 인수가 $2x+1$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$6x^2+x-a=$$(2x+1)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $6x^2+x-a=6x^2+(2m+3)x+m$ 즉, $1=2m+3$, $-a=m$이므로 $m=-1$, $a=1$ $2x^2-bx-5=$$(2x+1)(x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $2x^2-bx-5=2x^2+(2n+1)x+n$ 즉, $-b=2n+1$, $-5=n$이므로 $n=-5$, $b=9$ $∴$ $a+b$$=1+9$$=10$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $1$인 어떤 이차식을 인수분해하는데 은수는 상수항을 잘못 보고 $(x+6)(x-2)$로, 현우는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x-5)(x+1)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "은수는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+6)(x-2)=x^2+4x-12$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $4$이다. 현우는 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-5)(x+1)=x^2-4x-5$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-5$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $x^2+4x-5$$=(x-1)(x+5)$" }, { "question": "$ax^2-x-b$를 인수분해하면 $(2x-5)(x+c)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$ax^2-x-b=(2x-5)(x+c)=2x^2+(2c-5)x-5c$ 즉, $a=2$, $-1=2c-5$, $b=5c$이므로 $a=2$, $b=10$, $c=2$ $∴ a-b-c$$=2-10-2$$=-10$" }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$4x^2+8x+3$$=$$(2x+3)(2x+1)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(2x+3)+(2x+1)\\rbrace=8x+8$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $4$인 어떤 이차식을 여운이는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x+1)(4x-5)$가 되었고, 현종이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(2x-1)(2x+3)$이 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "여운이는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+1)(4x-5)=4x^2-x-5$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-1$이다. 현종이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(2x-1)(2x+3)=4x^2+4x-3$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-3$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $4x^2-x-3$$=(4x+3)(x-1)$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $5$인 어떤 이차식을 정현이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(5x+2)(x-3)$이 되었고, 수지는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x+1)(5x+2)$가 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "정현이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(5x+2)(x-3)=5x^2-13x-6$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-6$이다. 수지는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x+1)(5x+2)=5x^2+7x+2$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $7$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $5x^2+7x-6$$=(x+2)(5x-3)$" }, { "question": "넓이가 $10a^2+23a-5$인 직사각형의 세로의 길이가 $2a+5$일 때, 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=10a^2+23a-5$$=(2a+5)(5a-1)$ 직사각형의 세로의 길이가 $2a+5$이므로 가로의 길이는 $5a-1$이다." }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이)$ $=(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$x^2+10x+25$$=$$(x+5)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $x+5$이다." }, { "question": "$x^2$의 계수가 $2$인 어떤 이차식을 소연이는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(2x+3)(x+6)$이 되었고, 현지는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(x-2)(2x-11)$이 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "소연이는 상수항을 제대로 보았으므로 $(2x+3)(x+6)=2x^2+15x+18$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $18$이다. 현지는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(x-2)(2x-11)=2x^2-15x+22$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-15$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $2x^2-15x+18$$=(x-6)(2x-3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $x^2+xy-2y^2$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x-y)+(x+5y)\\rbrace\\times(높이)$$=x^2+xy-2y^2$이므로 $(x+2y)\\times(높이)=(x-y)(x+2y)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x-y$이다." }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$x^2+5x+4$$=$$(x+1)(x+4)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+1)+(x+4)\\rbrace=4x+10$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $2x^2+7x+3$이고, 세로의 길이가 $x+3$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=2x^2+7x+3$$=(x+3)(2x+1)$ 직사각형의 세로의 길이가 $x+3$이므로 가로의 길이는 $2x+1$이다. $\\therefore(직사각형의 둘레의 길이)$$=$$2{(2x+1)+(x+3)}=2(3x+4)=$$6x+8$" }, { "question": "$x^2$의 계수가 $6$인 어떤 이차식을 민규는 $x$의 계수를 잘못 보고 인수분해하여 $(6x+1)(x-3)$이 되었고, 현수는 상수항을 잘못 보고 인수분해하여 $(2x+1)(3x+2)$가 되었다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "민규는 상수항을 제대로 보았으므로 $(6x+1)(x-3)=6x^2-17x-3$ 에서 처음 이차식의 상수항은 $-3$이다. 현수는 $x$의 계수를 제대로 보았으므로 $(2x+1)(3x+2)=6x^2+7x+2$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $7$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $6x^2+7x-3$$=(2x+3)(3x-1)$" }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이)$ $=(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$4x^2+12x+9$$=$$(2x+3)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $2x+3$이다." }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이)$ $=(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$x^2+2x+1$$=$$(x+1)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $x+1$이다." }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$x^2+5x+6$$=$$(x+2)(x+3)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+2)+(x+3)\\rbrace=4x+10$" }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이) =(주어진 직사각형의 넓이의 합) =2x^2+3x+1$$=$$(x+1)(2x+1)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+1)+(2x+1)\\rbrace=6x+4$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 A, B의 넓이가 같을 때, 도형 B의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 A의 넓이) = $$(x+5)^2-2^2=x^2+10x+21$ $=$$(x+3)(x+7)$ 도형 B는 도형 A와 넓이가 같고, 세로의 길이가 $x+3$이므로 가로의 길이는 $x+7$이다." }, { "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(큰 직사각형의 넓이) =(주어진 직사각형의 넓이의 합) =2x^2+5x+2=(x+2)(2x+1)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+2)+(2x+1)\\rbrace=6x+6$" }, { "question": "넓이가 $a^2b-ab^2$인 직사각형의 세로의 길이가 $ab$일 때, 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)=a^2b-ab^2=ab(a-b)$ 직사각형의 세로의 길이가 $ab$이므로 가로의 길이는 $a-b$이다." }, { "question": "다음 그림의 모든 직사각형의 넓이의 합과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "$(정사각형의 넓이) =(주어진 직사각형의 넓이의 합) =x^2+6x+9=(x+3)^2$ 따라서 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이는 $x+3$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $8x^2+2x-1$이고, 세로의 길이가 $4x-1$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=8x^2+2x-1$$=(2x+1)(4x-1)$ 직사각형의 세로의 길이가 $4x-1$이므로 가로의 길이는 $2x+1$이다. $(직사각형의 둘레의 길이)$=$2\\lbrace(2x+1)+(4x-1)\\rbrace$ $=$$2\\times6x$ $=$$12x$" }, { "question": "넓이가 $2x^2-7x-4$인 직사각형의 세로의 길이가 $2x+1$일 때, 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=2x^2-7x-4$$=(x-4)(2x+1)$ 직사각형의 세로의 길이가 $2x+1$이므로 가로의 길이는 $x-4$이다." }, { "question": "넓이가 $3a^2+a-2$인 직사각형의 가로의 길이가 $a+1$일 때, 이 직사각형의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=3a^2+a-2$$=(a+1)(3a-2)$ 직사각형의 가로의 길이가 $a+1$이므로 세로의 길이는 $3a-2$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+13x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $13$, 곱은 $k$이다.
합이 13인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$,$12$ $12$
$2$, $11$ $22$
$3$,$10$ $30$
$4$,$9$ $36$
$5$,$8$ $40$
$6$,$7$ $42$
따라서 $k$의 최댓값은 $42$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 $A$, $B$의 넓이가 같을 때, 도형 $B$의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 A의 넓이)$ $=(2x+1)^2-6^2=4x^2+4x-35$ $=(2x+7)(2x-5)$ 도형 B는 도형 A와 넓이가 같고, 세로의 길이가 $2x-5$이므로 가로의 길이는 $2x+7$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎와 넓이)$ $=$$(x+7)^2-3^2=x^2+14x+40$ $=$$(x+4)(x+10)$ 도형 $㈏$는 도형$ ㈎$와 넓이가 같고, 가로의 길이가 $x+10$이므로 세로의 길이는 $x+4$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)$ $=(2x+3)^2-8^2=4x^2+12x-55$ $=(2x+11)(2x-5)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎와 넓이가 같고, 세로의 길이가 $2x-5$이므로 가로의 길이는 $2x+11$이다." }, { "question": "두 다항식 $2x^2-5xy-12y^2$, $6x^2+7xy-ay^2$이 $2x+by$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2-5xy-12y^2$$=(x-4y)(2x+3y)$이므로 $b=3$ $6x^2+7xy-ay^2=(2x+3y)(3x+ky)(k는 수)$로 놓으면 $6x^2+7xy-ay^2=6x^2+(2k+9)xy+3ky^2$ 즉, $7=2k+9$, $-a=3k$이므로 $k=-1$, $a=3$ $∴ a+b=3+3=6$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)$$=$$(x+3)^2-2^2$$=$$x^2+6x+5$$=$$(x+1)(x+5)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎와 넓이가 같고, 가로의 길이가 $x+1$이므로 세로의 길이는 $x+5$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-11x+10$과 $2x^2-ax+1$은 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-11x+10$$=(x-1)(x-10)$이므로 $2x^2-ax+1$은 $x-1$ 또는 $x-10$을 인수로 갖는다. (i) $2x^2-ax+1=(x-1)(2x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2-ax+1=2x^2+(m-2)x-m$ 즉, $-a=m-2$, $1=-m$이므로 $m=-1$, $a=3$ (ii) $2x^2-ax+1=(x-10)(2x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $2x^2-ax+1=2x^2+(n-20)x-10n$ 즉, $-a=n-20$, $1=-10n$이므로 $n=-\\frac{1}{10}$, $a=\\frac{201}{10}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $3$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 $㈎, ㈏$의 넓이가 같을 때, 도형 $㈏$의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)$$=$$(x+5)^2-2^2$$=$$x^2+10x+21$ $=$$(x+3)(x+7)$ 도형 $㈏$는 도형 $㈎$와 넓이가 같고, 가로의 길이가 $x+7$이므로 세로의 길이는 $x+3$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $x^2+6xy+5y^2$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x-2y)+(x+4y)\\rbrace\\times(높이)$$=x^2+6xy+5y^2$이므로 $(x+y)\\times(높이)=(x+y)(x+5y)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x+5y$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $x^2+3x-4$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x-3)+(x+1)\\rbrace\\times(높이)$$=x^2+3x-4$이므로 $(x-1)\\times(높이)=(x-1)(x+4)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x+4$이다." }, { "question": "원 모양의 꽃밭의 넓이가 $(x^2+12xy+36y^2)\\pi$ $m^2$일 때, 이 꽃밭의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(꽃밭의 넓이)$$=(x^2+12xy+36y^2)\\pi$$=\\pi(x+6y)^2$ $(m^2)$ 꽃밭의 반지름의 길이는 $(x+6y) m$이므로 지름의 길이는 $(2x+12y) m$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+11x+p$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $p$의 최솟값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $11$, 곱은 $p$이다.
합이 $11$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $10$ $10$
$2$, $9$ $18$
$3$, $8$ $24$
$4$, $7$ $28$
$5$, $6$ $30$
따라서 $p$의 최솟값은 $10$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $3x^2-2x-8$이고, 세로의 길이가 $x-2$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=3x^2-2x-8$$=(x-2)(3x+4)$ 직사각형의 세로의 길이가 $x-2$이므로 가로의 길이는 $3x+4$이다. $\\therefore (직사각형의 둘레의 길이)= 2{(3x+4)+(x-2)}$ $=2(4x+2)$ $=8x+4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $6a^2+11a-10$이고, 세로의 길이가 $2a+5$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=6a^2+11a-10$$=(2a+5)(3a-2)$ 직사각형의 세로의 길이가 $2a+5$이므로 가로의 길이는 $3a-2$이다. $=$$10a+6$" }, { "question": "두 다항식 $6x^2+5x-4$, $2x^2+ax-4$가 $bx-1$을 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2+5x-4=(2x-1)(3x+4)$이므로 $b=2$ $\\\\$ $2x^2+ax-4=(2x-1)(x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2+ax-4=2x^2+(2m-1)x-m$ 즉, $a=2m-1$, $4=m$이므로 $m=4$, $a=7$ $∴$ $a+b$$=7+2=9$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 A, B의 넓이가 같을 때, 도형 B의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 A의 넓이)=(2m+3)^2-4^2=4m^2+12m-7=$$(2m+7)(2m-1)$ 도형 $B$는 도형 $A$와 넓이가 같고, 세로의 길이가 $2m-1$이므로 가로의 길이는 $2m+7$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+11x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $11$, 곱은 $k$이다.
합이 $11$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $10$ $10$
$2$, $9$ $18$
$3$, $8$ $24$
$4$, $7$ $28$
$5$, $6$ $30$
따라서 $k$의 최댓값은 $30$이다." }, { "question": "식 $(2x-3)^2-(3y+1)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$2x-3=A$, $3y+1=B$로 놓으면 $(2x-3)^2-(3y+1)^2$ $=$$A^2-B^2$ $=$$(A+B)(A-B)$ $=$$(2x-3+3y+1)\\lbrace2x-3-(3y+1)\\rbrace$ $=$$(2x+3y-2)(2x-3y-4)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $4x^2-1$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x+3)+(3x-1)\\rbrace\\times(높이)$$=4x^2-1$이므로 $(2x+1)\\times(높이)=(2x+1)(2x-1)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $2x-1$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $2a^2+7a-15$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(a+4)+(a+6)\\rbrace\\times(높이)$$=2a^2+7a-15$이므로 $(a+5)\\times(높이)=(a+5)(2a-3)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $2a-3$이다." }, { "question": "$y$에 대한 이차식 $y^2+15y+k$가 $(y+a)(y+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $15$, 곱은 $k$이다.
합이 $15$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $14$ $14$
$2$, $13$ $26$
$3$, $12$ $36$
$4$, $11$ $44$
$5$, $10$ $50$
$6$, $9$ $54$
$7$, $8$ $56$
$k$의 최댓값은 $56$, 최솟값은 $14$이므로 $k$의 최댓값과 최솟값의 합은 $56+14=70$" }, { "question": "원 모양의 그릇의 넓이가 $(16a^2-40ab+25b^2)\\pi$ $cm^2$일 때, 이 그릇의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(그릇의 넓이)$$=(16a^2-40ab+25b^2)\\pi$$=\\pi(4a-5b)^2$ $(cm^2)$ 그릇의 반지름의 길이는 $(4a-5b)$ $cm$이므로 지름의 길이는 $(8a-10b) cm$이다." }, { "question": "두 다항식 $3x^2+8x-3$, $2x^2+ax+3$이 $x+b$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+8x-3$$=(x+3)(3x-1)$이므로 $b=3$ $2x^2+ax+3=(x+3)(2x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $2x^2+ax+3=2x^2+(m+6)x+3m$ 즉, $a=m+6$, $3=3m$이므로 $m=1$, $a=7$ ∴ $a+b$$=7+3$$=10$" }, { "question": "원 모양의 시계의 넓이가 $(16x^2+8xy+y^2)\\pi$ ${cm}^2$일 때, 이 시계의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(시계의 넓이)=(16x^2+8xy+y^2)\\pi=\\pi(4x+y)^2 (cm^2)$ 시계의 반지름의 길이는 $(4x+y) cm$이므로 지름의 길이는 $(8x+2y) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $2x^2+11x+5$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x+3)+(3x-1)\\rbrace\\times(높이)$$=2x^2+11x+5$이므로 $(2x+1)\\times(높이)=(x+5)(2x+1)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x+5$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)=(x+7)^2-3^2=x^2+14x+40 =(x+4)(x+10)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎와 넓이가 같고, 가로의 길이가 $x+10$이므로 세로의 길이는 $x+4$이다." }, { "question": "두 다항식 $2x^2+xy-3y^2$, $3x^2-2xy+ay^2$이 $x+by$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+xy-3y^2$$=(x-y)(2x+3y)$이므로 $b=-1$ $3x^2-2xy+ay^2=(x-y)(3x+my)(m은 수)$으로 놓으면 $3x^2-2xy+ay^2=3x^2+(m-3)xy-my^2$ 즉, $-2=m-3$, $a=-m$이므로 $m=1$, $a=-1$ $∴ \\frac{b}{a}$$=\\frac{-1}{-1}$$=1$" }, { "question": "두 다항식 $x^2-17x+72$와 $2x^2-ax-63$은 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-17x+72$$=(x-8)(x-9)$이므로 $2x^2-ax-63$은 $x-8$ 또는 $x-9$를 인수로 갖는다. (i) $2x^2-ax-63=(x-8)(2x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $2x^2-ax-63=2x^2+(m-16)x-8m$ 즉, $-a=m-16$, $63=8m$이므로 $m=\\frac{63}{8}$, $a=\\frac{65}{8}$ (ii) $2x^2-ax-63=(x-9)(2x+n)$$n$은 수)으로 놓으면 $2x^2-ax-63=2x^2+(n-18)x-9n$ 즉, $-a=n-18$, $63=9n$이므로 $n=7$, $a=11$ 따라서 정수 $a$의 값은 $11$이다." }, { "question": "두 다항식 $4x^2+15x+9$, $3x^2+15x+a$가 $x+b$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+15x+9$$=(4x+3)(x+3)$이므로 $b=3$ $3x^2+15x+a=(x+3)(3x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+15x+a=3x^2+(m+9)x+3m$ 즉, $15=m+9$, $a=3m$이므로 $m=6$, $a=18$ ∴ $\\frac{b}{a}$$=\\frac{3}{18}$$=\\frac{1}{6}$" }, { "question": "두 다항식 $3x^2-13x-10$, $6x^2+ax+2$가 $bx+2$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-13x-10$$=(x-5)(3x+2)$이므로 $b=3$ $6x^2+ax+2=(3x+2)(2x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $6x^2+ax+2=6x^2+(3m+4)x+2m$ 즉, $a=3m+4$, $2=2m$이므로 $m=1$, $a=7$ $∴$ $ab$$=7\\times3$$=21$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $12^2-9^2+6^2-3^2$", "answer": "$12^2-9^2+6^2-3^2$ $=$$(12^2-9^2)+(6^2-3^2)$ $=$$(12+9)(12-9)+(6+3)(6-3)$ $=$$21\\times3+9\\times3$ $=$$3\\times(21+9)$ $=$$3\\times30$ $=$$90$" }, { "question": "두 다항식 $2x^2-3xy-2y^2$, $10x^2+7xy+ay^2$이 $bx+y$를 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2-3xy-2y^2$$=(x-2y)(2x+y)$이므로 $b=2$ $10x^2+7xy+ay^2=(2x+y)(5x+my)$($m$은 수)으로 놓으면 $10x^2+7xy+ay^2=10x^2+(2m+5)xy+my^2$ 즉, $7=2m+5$, $a=m$이므로 $m=1$, $a=1$ $∴$ $b-a$$=2-1$$=1$" }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+10x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최솟값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $10$, 곱은 $k$이다.
합이 $10$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$,$9$ $9$
$2$,$8$ $16$
$3$,$7$ $21$
$4$,$6$ $24$
$5$,$5$ $25$
따라서 $k$의 최솟값은 $9$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴의 넓이가 $x^2-4y^2$일 때, 이 사다리꼴의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(x+y)+(x+3y)\\rbrace\\times(높이)$$=x^2-4y^2$이므로 $(x+2y)\\times(높이)=(x+2y)(x-2y)$ 따라서 이 사다리꼴의 높이는 $x-2y$이다." }, { "question": "원 모양의 쟁반의 넓이가 $(36x^2+84xy+49y^2)\\pi$ $cm^2$일 때, 이 쟁반의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(쟁반의 넓이)$$=(36x^2+84xy+49y^2)\\pi$$=\\pi(6x+7y)^2$ $(cm^2)$ 쟁반의 반지름의 길이는 $(6x+7y)cm$이므로 지름의 길이는 $(12x+14y) cm$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-5x-6$과 $2x^2+ax+3$은 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-5x-6$$=(x+1)(x-6)$이므로 $2x^2+ax+3$은 $x+1$ 또는 $x-6$을 인수로 갖는다. (i) $2x^2+ax+3=(x+1)(2x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $2x^2+ax+3=2x^2+(m+2)x+m$ 즉, $a=m+2$, $3=m$이므로 $m=3$, $a=5$ (ii) $2x^2+ax+3=(x-6)(2x+n)(n$은 수)으로 놓으면 $2x^2+ax+3=2x^2+(n-12)x-6n$ 즉, $a=n-12$, $3=-6n$이므로 $n=-\\frac{1}{2}$, $a=-\\frac{25}{2}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $5$이다." }, { "question": "원 모양의 접시의 넓이가 $(49x^2+14x+1)\\pi$ $cm^2$일 때, 이 접시의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(접시의 넓이)$$=(49x^2+14x+1)\\pi$$=\\pi(7x+1)^2$ $(cm^2)$ 접시의 반지름의 길이는 $(7x+1) cm$이므로 지름의 길이는 $(14x+2) cm$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2+7x+12$와 $5x^2+ax-6$은 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+7x+12$$=(x+3)(x+4)$이므로 $5x^2+ax-6$은 $x+3$ 또는 $x+4$를 인수로 갖는다. (ⅰ) $5x^2+ax-6=(x+3)(5x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $5x^2+ax-6=5x^2+(m+15)x+3m$ 즉, $a=m+15$, $-6=3m$이므로 $m=-2$, $a=13$ (ⅱ) $5x^2+ax-6=(x+4)(5x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $5x^2+ax-6=5x^2+(n+20)x+4n$ 즉, $a=n+20$, $-6=4n$이므로 $n=-\\frac{3}{2}$, $a=\\frac{37}{2}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $13$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 $㈎$, $㈏$의 넓이가 같을 때, 도형 $㈏$의 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 (가)의 넓이)=(x+4)^2-2^2=x^2+8x+12=(x+2)(x+6)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎와 넓이가 같고, 세로의 길이가 $x+6$이므로 가로의 길이는 $x+2$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+13x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최솟값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $13$, 곱은 $k$이다.
합이 $13$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $12$ $12$
$2$, $11$ $22$
$3$, $10$ $30$
$4$, $9$ $36$
$5$, $8$ $40$
$6$, $7$ $42$
따라서 $k$의 최솟값은 $12$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+9x+p$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $p$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $9$, 곱은 $p$이다.
합이 $9$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $8$ $8$
$2$, $7$ $14$
$3$, $6$ $18$
$4$, $5$ $20$
$p$의 최댓값은 $20$, 최솟값은 $8$이므로 $p$의 최댓값과 최솟값의 차는 $20-8=12$" }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+8x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $8$, 곱은 $k$이다.
합이 8인두 자연수 두 자연수의 곱
$1,7$ $7$
$2$, $6$ $12$
$3$,$5$ $15$
$4$,$4$ $16$
따라서 $k$의 최댓값은 $16$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-5x+4$와 $4x^2-ax+3$은 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-5x+4$$=(x-1)(x-4)$이므로 $4x^2-ax+3$은 $x-1$ 또는 $x-4$를 인수로 갖는다. $(ⅰ)$$4x^2-ax+3=(x-1)(4x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $4x^2-ax+3=4x^2+(m-4)x-m$ 즉, $-a=m-4$, $3=-m$이므로 $m=-3$, $a=7$ $(ⅱ)$$4x^2-ax+3=(x-4)(4x+n)(n$은 수)으로 놓으면 $4x^2-ax+3=4x^2+(n-16)x-4n$ 즉, $-a=n-16$, $3=-4n$이므로 $n=-\\frac{3}{4}$, $a=\\frac{67}{4}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $7$이다." }, { "question": "식 $2(a-b)^2+5(a-b)(2a+b)+2(2a+b)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$a-b=X$, $2a+b=Y$로 놓으면 $2(a-b)^2+5(a-b)(2a+b)+2(2a+b)^2$ $=$$2X^2+5XY+2Y^2$ $=$$(X+2Y)(2X+Y)$ $=$$\\lbrace a-b+2(2a+b)\\rbrace\\lbrace2(a-b)+2a+b\\rbrace$ $=$$(5a+b)(4a-b)$" }, { "question": "$x^2+ax-27$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최댓값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $-27$이다.
Title
곱이 $- 27$인 두 정수 두 정수의 합
$1$,$-27$ $-26$
$3$,$-9$ $-6$
$-1$,$27$ $26$
$-3$,$9$ $6$
따라서 $a$의 최댓값은 $26$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+7x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $7$, 곱은 $k$이다.
합이 $7$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $6$ $6$
$2$, $5$ $10$
$3$, $4$ $12$
$k$의 최댓값은 $12$, 최솟값은 $6$이므로 $k$의 최댓값과 최솟값의 차는 $12-6=6$" }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+6x+k$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최솟값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $6$, 곱은 $k$이다.
합이 $6$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1,5$ $5$
$2,4$ $8$
$3,3$ $9$
따라서 $k$의 최솟값은 $5$이다." }, { "question": "$x^2+ax-70$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최댓값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $-70$이다. $3$ 따라서 $a$의 최댓값은 $69$이다." }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}$, $y=\\frac{1}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}$일 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}{(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})(\\sqrt{7}+\\sqrt{5})}$$=\\frac{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}{2}$ $y$$=\\frac{1}{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}{(\\sqrt{7}+\\sqrt{5})(\\sqrt{7}-\\sqrt{5})}$$=\\frac{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}{2}$ $x=\\frac{\\sqrt{7}+\\sqrt{5}}{2}$, $y=\\frac{\\sqrt{7}-\\sqrt{5}}{2}$이므로 $x+y=\\sqrt{7}$, $x-y=\\sqrt{5}$ ∴$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ $=$$\\sqrt{7}\\times\\sqrt{5}$$=$$\\sqrt{35}$" }, { "question": "$x^2+ax+75$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최솟값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $75$이다.
곱이 $75$인 두 정수 두 정수의 합
$1$, $75$ $76$
$3$, $25$ $28$
$5$, $15$ $20$
$-1$, $-75$ $-76$
$-3$, $-25$ $-28$
$-5$, $-15$ $-20$
따라서 $a$의 최솟값은 $-76$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2-3x-4$와 $3x^2-ax+2$는 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-3x-4$$=(x+1)(x-4)$이므로 $3x^2-ax+2$는 $x+1$ 또는 $x-4$를 인수로 갖는다. (ⅰ) $3x^2-ax+2=(x+1)(3x+m)(m$은 수)으로 놓으면 $3x^2-ax+2=3x^2+(m+3)x+m$ 즉, $-a=m+3$, $2=m$이므로 $m=2$, $a=-5$ (ⅱ) $3x^2-ax+2=(x-4)(3x+n)(n$은 수)으로 놓으면 $3x^2-ax+2=3x^2+(n-12)x-4n$ 즉, $-a=n-12$, $2=-4n$이므로 $n=-\\frac{1}{2}$, $a=\\frac{25}{2}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $-5$이다." }, { "question": "$x^2+ax-18$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최솟값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $-18$이다.
곱이$-18$인 두 정수 두 정수의 합
$1$,$-18$ $-17$
$2$,$-9$ $-7$
$3$,$-6$ $-3$
$-1$,$18$ $17$
$-2$,$9$ $7$
$-3$,$6$ $3$
따라서 $a$의 최솟값은 $-17$이다." }, { "question": "식 $(3x+1)^2-(2x-5)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$3x+1=A$, $2x-5=B$로 놓으면 $(3x+1)^2-(2x-5)^2$ $=$$A^2-B^2$ $=$$(A+B)(A-B)$ $=$$(3x+1+2x-5)\\lbrace3x+1-(2x-5)\\rbrace$ $=$$(5x-4)(x+6)$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $2^2-4^2+6^2-8^2$", "answer": "$2^2-4^2+6^2-8^2$ $=$$(2^2-4^2)+(6^2-8^2)$ $=$$(2+4)(2-4)+(6+8)(6-8)$ $=$$6\\times(-2)+14\\times(-2)$ $=$$(-2)\\times(6+14)$ $=$$(-2)\\times20$ $=$$-40$" }, { "question": "$x+y=5$, $xy=3$일 때, $(3x+2y)^2-(2x+3y)^2$의 값을 구하여라. (단, $x-y>0$)", "answer": "$(3x+2y)^2-(2x+3y)^2$ $=$$(3x+2y+2x+3y)\\lbrace3x+2y-(2x+3y)\\rbrace$ $=$$(5x+5y)(x-y)$ $=$$5(x+y)(x-y)$ 이때 $(x-y)^2$$=(x+y)^2-4xy$$=25-12$$=$$13$이고 $x-y>0$이므로 $x-y$$=\\sqrt{13}$ $∴$ $(3x+2y)^2-(2x+3y)^2$ $=$$5(x+y)(x-y)$ $=$$5\\times5\\sqrt{13}$ $=$$25\\sqrt{13}$" }, { "question": "$a+b=4$, $ab=2$일 때, $(2a-b)^2-(a-2b)^2$의 값을 구하여라. (단, $a-b>0$)", "answer": "$(2a-b)^2-(a-2b)^2$ $=$$(2a-b+a-2b)\\lbrace2a-b-(a-2b)\\rbrace$ $=$$(3a-3b)(a+b)$ $=$$3(a-b)(a+b)$ 이때 $(a-b)^2$$=(a+b)^2-4ab$$=16-8$$=$$8$이고 $a-b>0$이므로 $a-b$$=2\\sqrt{2}$ $∴(2a-b)^2-(a-2b)^2=3(a-b)(a+b)$ $=3\\times2\\sqrt{2}\\times4$ $=24\\sqrt{2}$" }, { "question": "$2\\sqrt{3}$의 소수 부분을 $x$, $\\sqrt{15}$의 정수 부분을 $y$라 할 때, $x^2y-y^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<2\\sqrt{3}<4$이므로 $x=2\\sqrt{3}-3$ $3<\\sqrt{15}<4$이므로 $y=3$ $∴ x^2y-y^3=y(x^2-y^2)$ $=y(x+y)(x-y)$ $=3\\lbrace(2\\sqrt{3}-3)+3\\rbrace\\lbrace(2\\sqrt{3}-3)-3\\rbrace$ $=3\\times2\\sqrt{3}(-6+2\\sqrt{3})$ $=$$36-36\\sqrt{3}$" }, { "question": "$5^8-1$은 $3$과 $10$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$5^8-1=(5^4+1)(5^4-1)$ $=$$(5^4+1)(5^2+1)(5^2-1)$ $=$$(5^4+1)(5^2+1)(5+1)(5-1)$ $5^8-1$은 $5+1=6$, $5-1=4$로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $4+6$$=10$" }, { "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+9x+p$가 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $p$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $9$, 곱은 $p$이다.
합이 $9$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $8$ $8$
$2$, $7$ $14$
$3$, $6$ $18$
$4$, $5$ $20$
$p$의 최댓값은 $20$, 최솟값은 $8$이므로 $p$의 최댓값과 최솟값의 합은 $20+8=28$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}$, $y=\\frac{1}{2+\\sqrt{3}}$일 때, $x^3y-xy^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}$$=\\frac{2+\\sqrt{3}}{(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})}$$=2+\\sqrt{3}$ $y$$=\\frac{1}{2+\\sqrt{3}}$$=\\frac{2-\\sqrt{3}}{(2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3})}$$=2-\\sqrt{3}$ $x=2+\\sqrt{3}$, $y=2-\\sqrt{3}$이므로 $xy=1$, $x+y=4$, $x-y=2\\sqrt{3}$ ∴$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y)$ $=$$1\\times4\\times2\\sqrt{3}$$=$$8\\sqrt{3}$" }, { "question": "식 $(3x+4)^2-(x-1)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$3x+4=A$, $x-1=B$로 놓으면 $(3x+4)^2-(x-1)^2$ $=$$A^2-B^2$ $=$$(A+B)(A-B)$ $=$$(3x+4+x-1)\\lbrace3x+4-(x-1)\\rbrace$ $=$$(4x+3)(2x+5)$" }, { "question": "$y$에 대한 이차식 $y^2+13y+k$가 $(y+a)(y+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $13$, 곱은 $k$이다.
합이 13인 두 자연수 두 자연수의 곱
1, 12 12
2,11 22
3,10 30
4,9 36
5,8 40
6,7 42
$k$의 최댓값은 $42$, 최솟값은 $12$이므로 $k$의 최댓값과 최솟값의 차는 $42-12=30$" }, { "question": "식 $(x-1)^2+(x-1)(x+2)-6(x+2)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$x-1=A$, $x+2=B$로 놓으면 $(x-1)^2+(x-1)(x+2)-6(x+2)^2$ $=$$A^2+AB-6B^2$ $=$$(A-2B)(A+3B)$ $=$$\\lbrace x-1-2(x+2)\\rbrace\\lbrace x-1+3(x+2)\\rbrace$ $=$$(-x-5)(4x+5)$ $=$$-(x+5)(4x+5)$" }, { "question": "$y$에 대한 이차식 $y^2+13y+k$가 $(y+a)(y+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $13$, 곱은 $k$이다.
합이 $13$인 두 자연수 두 자연수의 곱
$1$, $12$ $12$
$2$, $11$ $22$
$3$, $10$ $30$
$4$, $9$ $36$
$5$, $8$ $40$
$6$, $7$ $42$
$k$의 최댓값은 $42$, 최솟값은 $12$이므로 $k$의 최댓값과 최솟값의 합은 $42+12=54$" }, { "question": "$3^8-1$은 $1$과 $5$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$3^8-1=(3^4+1)(3^4-1)$ $=$$(3^4+1)(3^2+1)(3^2-1)$ $=$$(3^4+1)(3^2+1)(3+1)(3-1)$ $3^8-1$은 $3+1=4$, $3-1=2$로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $2+4$$=6$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $1^2-3^2+5^2-7^2+9^2-11^2$$\\square$", "answer": "$1^2-3^2+5^2-7^2+9^2-11^2$ $=$$(1^2-3^2)+(5^2-7^2)+(9^2-11^2)$ $=$$(1+3)(1-3)+(5+7)(5-7)+(9+11)(9-11)$ $=$$4\\times(-2)+12\\times(-2)+20\\times(-2)$ $=$$(-2)\\times(4+12+20)$ $=$$(-2)\\times36$ $=$$-72$" }, { "question": "두 다항식 $x^2+4x+3$과 $3x^2+ax-2$는 일차식을 공통인 인수로 갖는다. 이때 정수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x+3$$=(x+1)(x+3)$이므로 $3x^2+ax-2$는 $x+1$ 또는 $x+3$을 인수로 갖는다. $3x^2+ax-2=(x+1)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+ax-2=3x^2+(m+3)x+m$ 즉, $a=m+3$, $-2=m$이므로 $m=-2$, $a=1$ $3x^2+ax-2=(x+3)(3x+n)$($n$은 수)으로 놓으면 $3x^2+ax-2=3x^2+(n+9)x+3n$ 즉, $a=n+9$, $-2=3n$이므로 $n=-\\frac{2}{3}$, $a=\\frac{25}{3}$ 따라서 정수 $a$의 값은 $1$이다." }, { "question": "$x^2+ax+28$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최솟값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $28$이다.
곱이 $28$인 두 정수 두 정수의 합
$1$,$28$ $29$
$2$,$14$ $16$
$4$,$7$ $11$
$-1$,$-28$ $-29$
$-2$,$-14$ $-16$
$-4$,$-7$ $-11$
따라서 $a$의 최솟값은 $-29$이다." }, { "question": "$2^{28}-1$은 $125$와 $130$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$2^{28}-1=(2^{14}+1)(2^{14}-1)$ $=(2^{14}+1)(2^7+1)(2^7-1)$ $2^{28}-1$은 $2^7+1=129$, $2^7-1=127$로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $127+129$$=256$" }, { "question": "$\\sqrt{7}$의 정수 부분을 $x$, $2\\sqrt{2}$의 소수 부분을 $y$라 할 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{7}<3$이므로 $x=2$ $2<2\\sqrt{2}<3$이므로 $y=2\\sqrt{2}-2$ $\\therefore$ $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ $={2+(x\\sqrt{2}-2)}{2-(2\\sqrt{2}-2)}$ $=2\\sqrt{2}(4-2\\sqrt{2})$ $=-8+8\\sqrt{2}$" }, { "question": "$4^8-1$은 $1$과 $10$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$4^8-1=(4^4+1)(4^4-1)$ $=$$(4^4+1)(4^2+1)(4^2-1)$ $=$$(4^4+1)(4^2+1)(4+1)(4-1)$ $=$$(4^4+1)(4^2+1)(4+1)(2+1)(2-1)$ $4^8-1$은 $4+1=5$, $2+1=3$으로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $3+5$$=8$" }, { "question": "$2^{12}-1$은 $5$와 $10$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$2^{12} -1=(2^6+1)((2^6-1)$ $=$$(2^6+1)(2^3+1)(2^3-1)$ $2^{12}-1$은 $2^3+1=9$, $2^3-1=7$로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $7+9$$=16$" }, { "question": "$4^{12}-1$은 $60$과 $70$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$4^{12}-1=(4^6+1)(4^6-1)$ $=$$(4^6+1)(4^3+1)(4^3-1)$ $4^{12}-1$은 $4^3+1=65$, $4^3-1=63$으로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $63+65$$=128$" }, { "question": "식 $3(2a+3b)^2-2(2a+3b)(a-2b)-(a-2b)^2$을 인수분해하여라.", "answer": "$2a+3b=A$, $a-2b=B$로 놓으면 $3(2a+3b)^2-2(2a+3b)(a-2b)-(a-2b)^2$ $=$$3A^2-2AB-B^2$ $=$$(A-B)(3A+B)$ $=$$\\lbrace2a+3b-(a-2b)\\rbrace\\lbrace3(2a+3b)+a-2b\\rbrace$ $=$$(a+5b)(7a+7b)$ $=$$7(a+5b)(a+b)$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $20^2-15^2+10^2-5^2$", "answer": "$20^2-15^2+10^2-5^2$ $=$$(20^2-15^2)+(10^2-5^2)$ $=$$(20+15)(20-15)+(10+5)(10-5)$ $=$$35\\times5+15\\times5$ $=$$5\\times(35+15)$ $=$$5\\times50$ $=$$250$" }, { "question": "$\\sqrt{11}$의 정수 부분을 $x$, $2\\sqrt{3}$의 소수 부분을 $y$라 할 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{11}<4$이므로 $x=3$ $3<2\\sqrt{3}<4$이므로 $y=2\\sqrt{3}-3$ $\\therefore x^2-y^2=(x+y)(x-y)=\\lbrace3+(2\\sqrt3-3)\\rbrace\\lbrace3-(2\\sqrt3-3)\\rbrace=2\\sqrt3(6-2\\sqrt3)=$$-12+12\\sqrt{3}$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}$, $y=\\frac{1}{\\sqrt{6}+\\sqrt{5}}$일 때, $x^3y-xy^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{5}}{(\\sqrt{6}-\\sqrt{5})(\\sqrt{6}+\\sqrt{5})}$$=\\sqrt{5}+\\sqrt{6}$ $y$$=\\frac{1}{\\sqrt{6}+\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}{(\\sqrt{6}+\\sqrt{5})(\\sqrt{6}-\\sqrt{5})}$$=-\\sqrt{5}+\\sqrt{6}$ $x=\\sqrt{5}+\\sqrt{6}$, $y=-\\sqrt{5}+\\sqrt{6}$이므로 $xy=1$, $x+y=2\\sqrt{6}$, $x-y=2\\sqrt{5}$ $∴x^3y-xy^3 = xy(x^2 - y^2) = xy(x + y)(x - y)$ $=$$1\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{5}$$=$$4\\sqrt{30}$" }, { "question": "$6x^2-xy-2y^2=-4$이고 $3x-2y=-1$일 때, $2x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2-xy-2y^2$$=(2x+y)(3x-2y)$$=-4$ $3x-2y=-1$이므로 $(2x+y)\\times(-1)=-4$ $∴$ $2x+y=4$" }, { "question": "$\\sqrt{7}$의 소수 부분을 $x$, $\\sqrt{11}$의 정수 부분을 $y$라 할 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$ 2<\\sqrt{7}<3$ 이므로 $ x=\\sqrt{7}-2 $ $3<\\sqrt{11}<4 $이므로 $ y=3 $ \\[ \\begin{aligned} \\therefore x^{2}-y^{2} & =(x+y)(x-y) \\\\ & =\\{(\\sqrt{7}-2)+3\\}\\{(\\sqrt{7}-2)-3\\} \\\\ & =(1+\\sqrt{7})(-5+\\sqrt{7}) \\\\ & =2-4 \\sqrt{7} \\end{aligned} \\]" }, { "question": "$x=\\frac{4}{3+\\sqrt{5}}$, $y=\\frac{4}{3-\\sqrt{5}}$일 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{4}{3+\\sqrt{5}}$$=\\frac{4(3-\\sqrt{5})}{(3+\\sqrt{5})(3-\\sqrt{5})}$$=3-\\sqrt{5}$ $y$$=\\frac{4}{3-\\sqrt{5}}$$=\\frac{4(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})}$$=3+\\sqrt{5}$ $x=3-\\sqrt{5}$, $y=3+\\sqrt{5}$이므로 $x+y=6$, $x-y=-2\\sqrt{5}$ $∴x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ $=$$6\\times(-2\\sqrt{5})$$=$$-12\\sqrt{5}$" }, { "question": "$2^{16}-1$은 $1$과 $10$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$2^{16}-1=(2^8+1)(2^8-1)$ $=$ $(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)$ $=$ $(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)$ $=$ $(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)(2-1)$ $2^{16}-1$은 $2^2+1=5$, $2+1=3$으로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $3+5$$=8$" }, { "question": "$x^2+Ax+12$$=(x+B)(x+C)$일 때, 수 $A$의 최댓값을 구하여라. (단, $B$, $C$는 정수)", "answer": "두 정수 $B$, $C$의 합은 $A$, 곱은 $12$이다. \t
곱이 $12$인 두 정수 두 정수의 합
$1$, $12$ $13$
$2$, $6$ $8$
$3$, $4$ $7$
$-1$, $-12$ $-13$
$-2$, $-6$ $-8$
$-3$, $-4$ $-7$
따라서 $A$의 최댓값은 $13$이다." }, { "question": "$5^{12}-1$은 $120$과 $130$ 사이에 있는 두 자연수에 의하여 나누어떨어진다. 이 두 자연수의 합을 구하여라.", "answer": "$5^{12}-1=(5^6+1)(5^6-1)$ $=$$(5^6+1)(5^3+1)(5^3-1)$ $5^{12}-1$은 $5^3+1=126$, $5^3-1=124$로 나누어떨어진다. 따라서 두 자연수의 합은 $124+126$$=250$" }, { "question": "$x+y=\\frac{1}{\\sqrt{3}-2}$, $x-y=\\frac{1}{\\sqrt{3}+2}$일 때, $x^2-4x+4-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+y$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}-2}$$=\\frac{\\sqrt{3}+2}{(\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2)}$$=-2-\\sqrt{3}$ $x-y$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}+2}$$=\\frac{\\sqrt{3}-2}{(\\sqrt{3}+2)(\\sqrt{3}-2)}$$=2-\\sqrt{3}$ $∴ x^2-4x+4-y^2$ $=$$(x-2)^2-y^2$ $=$$(x+y-2)(x-y-2)$ $=$$\\lbrace(-2-\\sqrt{3})-2\\rbrace\\lbrace(2-\\sqrt{3})-2\\rbrace$ $=$$(-4-\\sqrt{3})\\times(-\\sqrt{3})$ $=$$3+4\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sqrt{5}$의 정수 부분을 $a$, $\\sqrt{2}$의 소수 부분을 $b$라 할 때, $ab^2+2ab+a$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{5}<3$이므로 $a=2$ $1<\\sqrt{2}<2$이므로 $b=\\sqrt{2}-1$ $∴ab^2+2ab+a=a(b^2+2b+1) =a(b+1)^2 =2\\lbrace(\\sqrt{2}-1)+1\\rbrace^2 =2\\times(\\sqrt{2})^2 =4$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$, $y=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}$일 때, $x^3y-xy^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})}$$=\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ $ { }$ $y$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})}$$=-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$$ { }$ $x=\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$, $y=-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$이므로 $xy=1$, $x+y=2\\sqrt{3}$, $x-y=2\\sqrt{2}$ $∴$$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y)$ $=$$1\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{2}$$=$$4\\sqrt{6}$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $13^2-11^2+9^2-7^2$", "answer": "$13^2-11^2+9^2-7^2$ $=$$(13^2-11^2)+(9^2-7^2)$ $=$$(13+11)(13-11)+(9+7)(9-7)$ $=$$24\\times2+16\\times2$ $=$$2\\times(24+16)$ $=$$2\\times40$ $=$$80$" }, { "question": "$x-y=1-\\sqrt{3}$, $x+y=2\\sqrt{3}$일 때, $x^2-y^2+2x+1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-y^2+2x+1=x^2+2x+1-y^2=(x+1)^2-t^2=(x+y+1)(x-y+1)=(2\\sqrt{3}+1){(1-\\sqrt{3})+1}=$$-4+3\\sqrt{3}$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $101^2-91^2+81^2-71^2$", "answer": "$101^2-91^2+81^2-71^2$ $=$$(101^2-91^2)+(81^2-71^2)$ $=$$(101+91)(101-91)+(81+71)(81-71)$ $=$$192\\times10+152\\times10$ $=$$10\\times(192+152)$ $=$$10\\times344$ $=$$3440$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$, $y=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$일 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$$=\\frac{\\sqrt{5}+2}{(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2)}$$=2+\\sqrt{5}$ $y$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$$=\\frac{\\sqrt{5}-2}{(\\sqrt{5}+2)(\\sqrt{5}-2)}$$=-2+\\sqrt{5}$ $x=2+\\sqrt{5}$, $y=-2+\\sqrt{5}$이므로 $x+y=2\\sqrt{5}$, $x-y=4$ $∴$ $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ $=$$2\\sqrt{5}\\times4$$=$$8\\sqrt{5}$" }, { "question": "원 모양의 놀이터의 넓이가 $(25x^2-20xy+4y^2)\\pi$ $m^2$일 때, 이 놀이터의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$(놀이터의 넓이)=(25x^2-20xy+4y^2)\\pi=\\pi(5x-2y)^2(m^2)$ 놀이터의 반지름의 길이는 $(5x-2y) m$이므로 지름의 길이는 $(10x-4y) m$이다." }, { "question": "$x-y=2$, $x+y=3\\sqrt{2}$일 때, $x^2-y^2+2y-1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-y^2+2y-1 = x^2-(y^2-2y+1)$ $=x^2-(y-1)^2$ $=(x+y-1)(x-y+1)$ $=(3\\sqrt{2}-1)(2+1)$ $=(3\\sqrt{2}-1)\\times3$ $=$$-3+9\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\sqrt{5}$의 정수 부분을 $x$, $2\\sqrt{3}$의 소수 부분을 $y$라 할 때, $x^3-x^2y$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{5}<3$이므로 $x=2$ $3<2\\sqrt{3}<4$이므로 $y=2\\sqrt{3}-3$ $∴ x^3-x^2y=x^2(x-y)$ $=2^2\\times${$2-(2\\sqrt{3}-3)$} $=4(5-\\sqrt{3})$ $=20-8\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sqrt{7}$의 소수 부분을 $a$, $2\\sqrt{2}$의 정수 부분을 $b$라 할 때, $ab^2-b^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{7}<3$이므로 $a=\\sqrt{7}-2$ $2<2\\sqrt{2}<3$이므로 $b=2$ $∴ab^2-b^3=b^2(2-b)$$=2^2\\times{(\\sqrt{7}-2)-2}$ $=4(-4+\\sqrt{7})$$=-16+4\\sqrt{7}$" }, { "question": "$x+y=\\sqrt{7}-2$, $x-y=2\\sqrt{7}$일 때, $x^2-y^2+x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "$ x^{2}-y^{2}+x+y =(x+y)(x-y)+(x+y) =(x+y)(x-y+1) =(\\sqrt{7}-2)(2 \\sqrt{7}+1) =12-3 \\sqrt{7} $" }, { "question": "$4x^2-y^2=12$이고 $2x-y=-6$일 때, $2x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-y^2$$=(2x+y)(2x-y)$$=12$ $2x-y=-6$이므로 $(2x+y)\\times(-6)=12$ $∴ 2x+y=-2$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$, $y=\\frac{1}{3+2\\sqrt{2}}$일 때, $x^3y-xy^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{3-2\\sqrt{2}}$$=\\frac{3+2\\sqrt{2}}{(3-2\\sqrt{2})(3+2\\sqrt{2})}$$=3+2\\sqrt{2}$ $y$$=\\frac{1}{3+2\\sqrt{2}}$$=\\frac{3-2\\sqrt{2}}{(3+2\\sqrt{2})(3-2\\sqrt{2})}$$=3-2\\sqrt{2}$ $x=3+2\\sqrt{2}$, $y=3-2\\sqrt{2}$이므로 $xy=1$, $x+y=6$, $x-y=4\\sqrt{2}$ $∴ x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y)$ $=$$1\\times6\\times4\\sqrt{2}$$=$$24\\sqrt{2}$" }, { "question": "$x-y=\\sqrt{5}$, $x+y=-3\\sqrt{5}$일 때, $x^2+x-y^2-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+x-y^2-y=x^2-y^2+x-y$ $=(x+y)(x-y)+(x-y)$ $=(x-y)(x+y+1)$ $=\\sqrt{5}(-3\\sqrt{5}+1)$ $=-15+\\sqrt{5}$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{2+\\sqrt{5}}$, $y=\\frac{1}{2-\\sqrt{5}}$일 때, $x^3y-xy^3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{2+\\sqrt{5}}$$=\\frac{2-\\sqrt{5}}{(2+\\sqrt{5})(2-\\sqrt{5})}$$=-2+\\sqrt{5}$ $y$$=\\frac{1}{2-\\sqrt{5}}$$=\\frac{2+\\sqrt{5}}{(2-\\sqrt{5})(2+\\sqrt{5})}$$=-2-\\sqrt{5}$ $x=-2+\\sqrt{5}$, $y=-2-\\sqrt{5}$이므로 $xy=-1$, $x+y=-4$, $x-y=2\\sqrt{5}$ $∴$$x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2)=xy(x+y)(x-y)$ $=$$(-1)\\times(-4)\\times2\\sqrt{5}$$=$$8\\sqrt{5}$" }, { "question": "지성이는 색도화지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $x cm$, $y cm$인 정사각형 모양의 축하 카드를 만들었다. 이 두 카드의 둘레의 길이의 합이 $72 cm$이고 넓이의 차가 $36 cm^2$일 때, 두 카드의 둘레의 길이의 차를 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "두 카드의 둘레의 길이의 합이 $72$ $cm$이므로 $4x+4y=72$ 두 카드의 넓이의 차가 $36 cm^2$이고 $x>y$이므로 $x^2-y^2=36$ $x^2-y^2=36$에서 $(x+y)(x-y)=36$ $4x+4y$$=4(x+y)$$=72$에서 $x+y=18$이므로 $18(x-y)=36$ $∴ $$x-y=2$ 따라서 두 카드의 둘레의 길이의 차는 $4x-4y$$=4(x-y)$$=4\\times2$$=8$ $(cm)$" }, { "question": "부피가 $xy^2+y^2-25x-25$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $y+5$, $y-5$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$xy^2+y^2-25x-25=y^2(x+1)-25(x+1)=(x+1)(y^2-25)$ $=(x+1)(y+5)(y-5)$ 직육면체의 부피가 $(x+1)(y+5)(y-5)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $y+5$, $y-5$이므로 높이는 $x+1$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace{(y+5)(y-5)+(y-5)(x+1)+(x+1)(y+5)}\\rbrace$ $=2\\lbrace(y^2-25)+(xy+y-5x-5)+(xy+5x+y+5)\\rbrace$ $=2(2xy+y^2+2y-25)$ $=4xy+2y^2+4y-50$" }, { "question": "$\\sqrt{15}$의 정수 부분을 $a$, $\\sqrt{2}$의 소수 부분을 $b$라 할 때, $ab^2+2ab+a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{15}<4$이므로 $a=3$ $1<\\sqrt{2}<2$이므로 $b=\\sqrt{2}-1$ $∴ab^2+2ab+a$ $=$$a(b^2+2b+1)$ $=$$a(b+1)^2$ $=$$3\\lbrace(\\sqrt{2}-1)+1\\rbrace^2$ $=$$3\\times(\\sqrt{2})^2$ $=$$6$" }, { "question": "$x+y=\\frac{3}{\\sqrt{7}+2}$, $x-y=\\frac{3}{\\sqrt{7}-2}$일 때, $x^2-y^2-2y-1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+y$$=\\frac{3}{\\sqrt{7}+2}$$=\\frac{3(\\sqrt{7}-2)}{(\\sqrt{7}+2)(\\sqrt{7}-2)}$$=-2+\\sqrt{7}$ $x-y$$=\\frac{3}{\\sqrt{7}-2}$$=\\frac{3(\\sqrt{7}+2)}{(\\sqrt{7}-2)(\\sqrt{7}+2)}$$=2+\\sqrt{7}$ $\\therefore$$x^2-y^2-2y-1$ $=$$x^2-(y^2+2y+1)$ $=$$x^2-(y+1)^2$ $=$$(x+y+1)(x-y-1)$ $=$$\\lbrace(-2+\\sqrt{7})+1\\rbrace\\lbrace(2+\\sqrt{7})-1\\rbrace$ $=$$(-1+\\sqrt{7})(1+\\sqrt{7})$ $=$$6$" }, { "question": "부피가 $2x^3-x^2y-2xy^2+y^3$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $2x-y$, $x-y$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$2x^3-x^2y-2xy^2+y^3=x^2(2x-y)-y^2(2x-y)$ $=(2x-y)(x^2-y^2)$$=$$(2x-y)(x+y)(x-y)$ 직육면체의 부피가 $(2x-y)(x+y)(x-y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $2x-y$, $x-y$이므로 높이는 $x+y$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(2x-y)(x-y)+(x-y)(x+y)+(x+y)(2x-y)\\rbrace$ $=2\\lbrace(2x^2-3xy+y^2)+(x^2-y^2)+(2x^2+xy-y^2)\\rbrace$ $=2(5x^2-2xy-y^2)$ $=10x^2-4xy-2y^2$" }, { "question": "$\\sqrt{5}$의 정수 부분을 $a$, $2\\sqrt{2}$의 소수 부분을 $b$라 할 때, $a^3-ab^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{5}<3$이므로 $a=2$ $2<2\\sqrt{2}<3$이므로 $b=2\\sqrt{2}-2$ $∴ a^3-ab^2=a(a^2-b^2)$ $=a(a+b)(a-b)$ $=2\\lbrace2+(2\\sqrt{2}-2)\\rbrace\\lbrace2-(2\\sqrt{2}-2)\\rbrace$ $=2\\times2\\sqrt{2}(4-2\\sqrt{2})$ $=$$-16+16\\sqrt{2}$" }, { "question": "$5x^2+13xy-6y^2=12$이고 $5x-2y=4$일 때, $x+3y$의 값을 구하여라.", "answer": "$5x^2+13xy-6y^2$$=(x+3y)(5x-2y)$$=12$ $5x-2y=4$이므로 $(x+3y)\\times4=12$ $∴ x+3y=3$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $x^2+2xy-8y-16$, $x^2y-4xy+2x-8$", "answer": "$x^2+2xy-8y-16=x^2-16+2xy-8y=(x+4)(x-4)+2y(x-4)=$$(x-4)(x+2y+4)$ $x^2y-4xy+2x-8=$$xy(x-4)+2(x-4)$$=$$(x-4)(xy+2)$ 따라서 공통인 인수는 $x-4$이다." }, { "question": "$x^2+y^2=10$, $xy=4$일 때, $x^3-x^2y+xy^2-y^3$의 값을 구하여라. (단, $x-y>0$)", "answer": "$x^3-x^2y+xy^2-y^3$ $=x^2(x-y)+y^2(x-y)$ $=(x-y)(x^2+y^2)$ 이때 $(x-y)^2$$=x^2+y^2-2xy$$=10-8$$=$$2$이고 $x-y>0$이므로 $x-y=\\sqrt{2}$ $∴ x^3-x^2y+xy^2-y^3=(x-y)(x^2+y^2)$ $=\\sqrt{2}\\times10$ $=10\\sqrt{2}$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $1^2-4^2+7^2-10^2+13^2-16^2$", "answer": "$1^2-4^2+7^2-10^2+13^2-16^2$ $=$$(1^2-4^2)+(7^2-10^2)+(13^2-16^2)$ $=$$(1+4)(1-4)+(7+10)(7-10)+(13+16)(13-16)$ $=$$5\\times(-3)+17\\times(-3)+29\\times(-3)$ $=$$(-3)\\times(5+17+29)$ $=$$(-3)\\times51$ $=$$-153$" }, { "question": "소라는 색한지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $a cm$, $b cm$인 정사각형 모양의 편지지를 만들었다. 이 두 편지지의 둘레의 길이의 합이 $120 cm$이고 넓이의 차가 $480 cm^2$일 때, 두 편지지의 둘레의 길이의 차를 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "두 편지지의 둘레의 길이의 합이 $120$ $cm$이므로 $4a+4b=120$ 두 편지지의 넓이의 차가 $480 cm^2$이고 $a>b$이므로 $a^2-b^2=480$ $a^2-b^2=480$에서 $(a+b)(a-b)=480$ $4a+4b$$=4(a+b)$$=120$에서 $a+b=30$이므로 $30(a-b)=480$ $∴ a-b=16$ 따라서 두 편지지의 둘레의 길이의 차는 $4a-4b$$=4(a-b)$$=4\\times16$$=64$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이) =(4x+6)^2-3^2=16x^2+48x+27$ $=(4x+9)(4x+3)$ 도형 $㈏$는 도형 $㈎$의 넓이와 같고, 세로의 길이가 $4x+3$이므로 가로의 길이는 $4x+9$이다. $∴ (도형 ㈏의 둘레의 길이)=2${$(4x+9)+(4x+3)$} $=2(8x+12)$ $=16x+24$" }, { "question": "$x-y=2\\sqrt{2}$, $x+y=-2\\sqrt{2}$일 때, $x^2+x-y^2-y$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+x-y^2-y=x^2-y^2+x-y$$=(x+y)(x-y)+(x-y)$$=(x-y)(x+y+1)$$=2\\sqrt{2}(-2\\sqrt{2}+1)$ $=$$-8+2\\sqrt{2}$" }, { "question": "$a+4b=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}$, $a-4b=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$일 때, $a^2-16b^2-8b-1$의 값을 구하여라.", "answer": "$a+4b$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})}$$=-\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ $a-4b$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}-\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{3}+\\sqrt{2}}{(\\sqrt{3}-\\sqrt{2})(\\sqrt{3}+\\sqrt{2})}$$=\\sqrt{2}+\\sqrt{3}$ $\\therefore a^2-16b^2-8b-1$ $=$$a^2-(16b^2+8b+1)$ $=$$a^2-(4b+1)^2$ $=$$(a+4b+1)(a-4b-1)$ $=$$\\lbrace(-\\sqrt{2}+\\sqrt{3})+1\\rbrace\\lbrace(\\sqrt{2}+\\sqrt{3})-1\\rbrace$ $=$$2\\sqrt{2}$" }, { "question": "$x+y=4$, $xy=2$일 때, $(x+2y)^2-(2x+y)^2$의 값을 구하여라. (단, $x-y>0$)", "answer": "$(x+2y)^2-(2x+y)^2 =(x+2y+2x+y)\\lbrace x+2y-(2x+y)\\rbrace =(3x+3y)(-x+y) =-3(x+y)(x-y)$ 이때 $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=16-8=8$이고 $x-y>0$이므로 $x-y=2\\sqrt{2}$ $∴ (x+2y)^2-(2x+y)^2=-3(x+y)(x-y) =(-3)\\times4\\times2\\sqrt{2} =-24\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)$ $=(7x-3)^2-2^2=49x^2-42x+5$ $=(7x-5)(7x-1)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎의 넓이와 같고, 세로의 길이가 $7x-1$이므로 가로의 길이는 $7x-5$이다. $(도형 ㈏의 둘레의 길이)$ $=2\\lbrace (7x-5)+(7x-1)\\rbrace$ $=2(14x-6)$ $=28x-12$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $a^2c+3a^2-3b^2-b^2c$일 때, 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $a+b$, $c+3$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$a^2c+3a^2-3b^2-b^2c$ $=$$a^2(c+3)-b^2(3+c)$ $=$$(a^2-b^2)(c+3)$ $=$$(a+b)(a-b)(c+3)$ 직육면체의 부피가 $(a+b)(a-b)(c+3)$이고 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $a+b$, $c+3$이므로 밑면의 세로의 길이는 $a-b$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a+b+a-b+c+3)$$=4(2a+c+3)$$=8a+4c+12$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $2x^3+x^2y-8xy^2-4y^3$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-2y$, $2x+y$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$2x^3+x^2y-8xy^2-4y^3$ $=$$x^2(2x+y)-4y^2(2x+y)$ $=$$(2x+y)(x^2-4y^2)$ $=$$(2x+y)(x+2y)(x-2y)$ 직육면체의 부피가 $(2x+y)(x+2y)(x-2y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-2y$, $2x+y$이므로 높이는 $x+2y$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x-2y+2x+y+x+2y)$$=4(4x+y)$$=16x+4y$" }, { "question": "부피가 $3x^3+2x^2y-3xy^2-2y^3$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $3x+2y$, $x-y$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$3x^3+2x^2y-3xy^2-2y^3=x^2(3x+2y)-y^2(3x+2y)$ $=(3x+2y)(x^2-y^2)$ $=(3x+2y)(x+y)(x-y)$ 직육면체의 부피가 $(3x+2y)(x+y)(x-y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $3x+2y$, $x-y$이므로 높이는 $x+y$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(3x+2y)(x-y)+(x-y)(x+y)+(x+y)(3x+2y)\\rbrace$ $=2\\lbrace(3x^2-xy-2y^2)+(x^2-y^2)+(3x^2+5xy+2y^2)\\rbrace$ $=$$2(7x^2+4xy-y^2)$ $=$$14x^2+8xy-2y^2$" }, { "question": "$2x^2+5xy-3y^2=-40$이고 $2x-y=-5$일 때, $x+3y$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+5xy-3y^2$$=(x+3y)(2x-y)$$=-40$ $2x-y=-5$이므로 $(x+3y)\\times(-5)=-40$ $∴$ $x+3y=8$" }, { "question": "$a^2+b^2=7$, $ab=2$일 때, $a^3-a^2b+ab^2-b^3$의 값을 구하여라. (단, $a-b<0$)", "answer": "$a^3-a^2b+ab^2-b^3$ $=$$a^2(a-b)+b^2(a-b)$ $=$$(a-b)(a^2+b^2)$ 이때 $(a-b)^2$$=a^2+b^2-2ab$$=7-4$$=$$3$이고 $a-b<0$이므로 $a-b$$=-\\sqrt{3}$ $\\therefore$ $a^3-a^2b+ab^2-b^3 = (a-b)(a^2+b^2)$ $=(-\\sqrt{3})\\times7$ $=$$-7\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $x^3-x^2+5x-5, x^2-2xy+2y-1$", "answer": "$x^3-x^2+5x-5=x^2(x-1)+5(x-1)=(x-1)(x^2+5)$ $x^2-2xy+2y-1=x^2-1-2xy+2y=(x+1)(x-1)-2y(x-1)$ $=$$(x-1)(x-2y+1)$ 따라서 공통인 인수는 $x-1$이다." }, { "question": "$x+y=\\frac{2}{3+\\sqrt{5}}$, $x-y=\\frac{2}{3-\\sqrt{5}}$일 때, $x^2-y^2-2y-1$의 값을 구하여라.", "answer": "$x+y$$=\\frac{2}{3+\\sqrt{5}}$$=\\frac{2(3-\\sqrt{5})}{(3+\\sqrt{5})(3-\\sqrt{5})}$$=\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}$ $x-y$$=\\frac{2}{3-\\sqrt{5}}$$=\\frac{2(3+\\sqrt{5})}{(3-\\sqrt{5})(3+\\sqrt{5})}$$=\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}$ $∴$$x^2-y^2-2y-1$ $=$$x^2-(y^2+2y+1)$ $=$$x^2-(y+1)^2$ $=$$(x+y+1)(x-y-1)$ $=$$(\\frac{3-\\sqrt{5}}{2}+1)(\\frac{3+\\sqrt{5}}{2}-1)$ $=$$(\\frac{5}{2}-\\frac{\\sqrt{5}}{2})(\\frac{1}{2}+\\frac{\\sqrt{5}}{2})$ $=$$\\sqrt{5}$" }, { "question": "$x^2-2x-y^2-2y$는 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-2x-y^2-2y=x^2-y^2-2x-2y$ $=$$(x+y)(x-y)-2(x+y)$ $=$$(x+y)(x-y-2)$ 두 일차식은 $x+y$, $x-y-2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+y)+(x-y-2)=2x-2$" }, { "question": "$x+y=3\\sqrt{2}$, $xy=4$일 때, $(x-2y)^2-(y-2x)^2$의 값을 구하여라. (단, $x-y<0$)", "answer": "$(x-2y)^2-(y-2x)^2 =(x-2y+y-2x)\\lbrace x-2y-(y-2x)\\rbrace =(-x-y)(3x-3y) =-3(x+y)(x-y)$ 이때 $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=18-16=2$이고 $x-y<0$이므로 $x-y=-\\sqrt{2}$ $∴ (x-2y)^2-(y-2x)^2=-3(x+y)(x-y)=(-3)\\times3\\sqrt{2}\\times(-\\sqrt{2}) =18$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 $㈎$, $㈏$의 넓이가 같을 때, 도형 $㈏$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 (가)의 넓이)=(7x+2)^2-3^2$$=$$49x^2+28x-5$$=$$(7x+5)(7x-1)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎의 넓이와 같고, 가로의 길이가 $7x-1$이므로 세로의 길이는 $7x+5$이다. $\\therefore (도형 (나)의 둘레의 길이)=2{(7x-1)+(7x+5)}=2(14x+4)$ $=$$28x+8$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)$ $=(5x+3)^2-4^2=25x^2+30x-7$ $=(5x+7)(5x-1)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎의 넓이와 같고, 세로의 길이가 $5x+7$이므로 가로의 길이는 $5x-1$이다. $∴ (도형 ㈏의 둘레의 길이)$ $=2${$(5x-1)+(5x+7)$} $=2(10x+6)$ $=20x+12$" }, { "question": "지수는 색도화지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $a cm$, $b cm$인 정사각형 모양의 엽서를 만들었다. 이 두 엽서의 둘레의 길이의 차가 $20 cm$이고 넓이의 차가 $125 cm^2$일 때, 두 엽서의 둘레의 길이의 합을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "두 엽서의 둘레의 길이의 차가 $20cm$ 이므로 $4a-4b=20$ 두 엽서의 넓이의 차가 $125 cm^2$이고 $a>b$이므로 $a^2-b^2=125$ $a^2-b^2=125$에서 $(a+b)(a-b)=125$ $4a-4b$$=4(a-b)$$=20$에서 $a-b=5$이므로 $(a+b)\\times5=125$ $∴$ $a+b=25$ 따라서 두 엽서의 둘레의 길이의 합은 $4a+4b$$=4(a+b)$$=4\\times25$$=100$ $(cm)$" }, { "question": "$a^2+b^2=4$, $ab=1$일 때, $a^3+a^2b+ab^2+b^3$의 값을 구하여라. (단, $a+b<0$)", "answer": "$a^3+a^2b+ab^2+b^3$ $=$$a^2(a+b)+b^2(a+b)$ $=$$(a+b)(a^2+b^2)$ 이때 $(a+b)^2$$=a^2+b^2+2ab$$=4+2$$=$$6$이고 $a+b<0$이므로 $a+b$$=-\\sqrt{6}$ $∴ a^3+a^2b+ab^2+b^3=(a+b)(a^2+b^2)$ $=(-\\sqrt{6})\\times4$ $=$$-4\\sqrt{6}$" }, { "question": "$x^2+y^2=5$, $xy=2$일 때, $x^3+x^2y+xy^2+y^3$의 값을 구하여라. (단, $x+y>0$)", "answer": "$x^3+x^2y+xy^2+y^3$ $=$$x^2(x+y)+y^2(x+y)$ $=$$(x+y)(x^2+y^2)$ 이때 $(x+y)^2$$=x^2+y^2+2xy$$=5+4$$=$$9$이고 $x+y>0$이므로 $x+y$$=3$ $∴x^3+x^2y+xy^2+y^3=(x+y)(x^2+y^2)$ $=3\\times5=15$" }, { "question": "$a+5b=\\frac{1}{\\sqrt{2}-1}$, $a-5b=\\frac{1}{\\sqrt{2}+1}$일 때, $a^2-25b^2-10b-1$의 값을 구하여라.", "answer": "$a+5b$$=\\frac{1}{\\sqrt{2}-1}$$=\\frac{\\sqrt{2}+1}{(\\sqrt{2}-1)(\\sqrt{2}+1)}$$=1+\\sqrt{2}$ $a-5b$$=\\frac{1}{\\sqrt{2}+1}$$=\\frac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)}$$=-1+\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $a^2-25b^2-10b-1$ $=$$a^2-(25b^2+10b+1)$ $=$$a^2-(5b+1)^2$ $=$$(a+5b+1)(a-5b-1)$ $=$$\\lbrace(1+\\sqrt{2})+1\\rbrace\\lbrace(-1+\\sqrt{2})-1\\rbrace$ $=$$(2+\\sqrt{2})(-2+\\sqrt{2})$ $=$$-2$" }, { "question": "$4x^2-9y^2=24$이고 $2x-3y=-6$일 때, $2x+3y$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-9y^2$$=(2x+3y)(2x-3y)$$=24$ $2x-3y=-6$이므로 $(2x+3y)\\times(-6)=24$ ∴ $2x+3y=-4$" }, { "question": "효진이는 색도화지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $a cm$, $b cm$인 정사각형 모양의 축하 카드를 만들었다. 이 두 카드의 둘레의 길이의 차가 $16 cm$이고 넓이의 차가 $80 cm^2$일 때, 두 카드의 둘레의 길이의 합을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "두 카드의 둘레의 길이의 차가 $16$ cm이므로 $4a-4b=16$ 두 카드의 넓이의 차가 $80 cm^2$이고 $a>b$이므로 $a^2-b^2=80$ $a^2-b^2=80$에서 $(a+b)(a-b)=80$ $4a-4b$$=4(a-b)$$=16$에서 $a-b=4$이므로 $(a+b)\\times4=80$ $∴$ $a+b=20$ 따라서 두 카드의 둘레의 길이의 합은 $4a+4b$$=4(a+b)$$=4\\times20$$=80$ $(cm)$" }, { "question": "하진이는 색한지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $x cm$, $y cm$인 정사각형 모양의 편지지를 만들었다. 이 두 편지지의 둘레의 길이의 차가 $24 cm$이고 넓이의 차가 $252 cm^2$일 때, 두 편지지의 둘레의 길이의 합을 구하여라. (단, $x>y$)", "answer": "두 편지지의 둘레의 길이의 차가 $24cm$이므로 $4x-4y=24$ 두 편지지의 넓이의 차가 $252 cm^2$이고 $x>y$이므로 $x^2-y^2=252$ $x^2-y^2=252$에서 $(x+y)(x-y)=252$ $4x-4y$$=4(x-y)$$=24$에서 $x-y=6$이므로 $(x+y)\\times6=252$ $∴$$x+y=42$ 따라서 두 편지지의 둘레의 길이의 합은 $4x+4y$$=4(x+y)$$=4\\times42$$=168$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 ㈎의 넓이)=$$(9x - 5)^2 - 6^2 = 81x^2 - 90x -11$ $=$$(9x-11)(9x+1)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎의 넓이와 같고, 가로의 길이가 $9x-11$이므로 세로의 길이는 $9x+1$이다. $∴$$(도형 ㈏의 둘레의 길이)=2\\lbrace(9x - 11) + (9x + 1)\\rbrace =2(18x - 10) =36x-20$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $x^3+x^2y-4xy^2-4y^3$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x+2y$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$x^3+x^2y-4xy^2-4y^3$ $=$$x^2(x+y)-4y^2(x+y)$ $=$$(x+y)(x^2-4y^2)$ $=$$(x+y)(x+2y)(x-2y)$ 직육면체의 부피가 $(x+y)(x+2y)(x-2y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x+2y$이므로 높이는 $x-2y$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x+y+x+2y+x-2y)$$=4(3x+y)$$=12x+4y$" }, { "question": "$a+b=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$, $a-b=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$일 때, $a^2-4a+4-b^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$a+b$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$$=\\frac{\\sqrt{5}-2}{(\\sqrt{5}+2)(\\sqrt{5}-2)}$$=-2+\\sqrt{5}$ $a-b$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$$=\\frac{\\sqrt{5}+2}{(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2)}$$=2+\\sqrt{5}$ $∴$ $a^2-4a+4-b^2$ $=$$(a-2)^2-b^2$ $=$$(a+b-2)(a-b-2)$ $=$$\\lbrace(-2+\\sqrt{5})-2\\rbrace\\lbrace(2+\\sqrt{5})-2\\rbrace$ $=$$(-4+\\sqrt{5})\\times\\sqrt{5}$ $=$$5-4\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림에서 두 도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같을 때, 도형 ㈏의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$(도형 (가)의 넓이)$$=$$(5x+1)^2-3^2+25x^2+10x-8$$=$$(5x+4)(5x-2)$ 도형 ㈏는 도형 ㈎의 넓이와 같고, 가로의 길이가 $5x+4$이므로 세로의 길이는 $5x-2$이다. $\\therefore(도형 (나)의 둘레의 길이)$=$2{(5x+4)+(5x-2)}=2(10x+2)$ $=20x+4$" }, { "question": "$6x^2-xy-2y^2=-15$이고 $2x+y=5$일 때, $3x-2y$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2-xy-2y^2$$=(2x+y)(3x-2y)$$=-15$ $2x+y=5$이므로 $5(3x-2y)=-15$ $∴$ $3x-2y=-3$" }, { "question": "부피가 $x^3+x^2y-4x-4y$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+2$, $x-2$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$x^3+x^2y-4x-4y=x^2(x+y)-4(x+y)=(x+y)(x^2-4)$ $=(x+y)(x+2)(x-2)$ 직육면체의 부피가 $(x+y)(x+2)(x-2)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+2$, $x-2$이므로 높이는 $x+y$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(x+2)(x-2)+(x-2)(x+y)+(x+y)(x+2)\\rbrace$ $=2\\lbrace(x^2-4)+(x^2+xy-2x-2y)+(x^2+xy+2x+2y)\\rbrace$ $=2(3x^2+2xy-4)$ $=6x^2+4xy-8$" }, { "question": "부피가 $x^3+2x^2y-xy^2-2y^3$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x+2y$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$=$$(x+2y)(x^2-y^2)$$=$$(x+2y)(x+y)(x-y)$ 직육면체의 부피가 $(x+2y)(x+y)(x-y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x+2y$이므로 높이는 $x-y$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(x+y)(x+2y)+(x+2y)(x-y)+(x-y)(x+y)\\rbrace$ $=$$2\\lbrace(x^2+3xy+2y^2)+(x^2+xy-2y^2)+(x^2-y^2)\\rbrace$ $=$$2(3x^2+4xy-y^2)$ $=$$6x^2+8xy-2y^2$" }, { "question": "$9a^2-4b^2+6a-4b$는 $a$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$9a^2-4b^2+6a-4b$$=(3a+2b)(3a-2b)+2(3a-2b)$ $=$$(3a-2b)(3a+2b+2)$ 두 일차식은 $3a-2b$, $3a+2b+2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(3a-2b)+(3a+2b+2)=6a+2$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $a^2+ab+bc+ac$$, $$ac-a+bc-b$", "answer": "$a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(b+a)$$=$$(a+b)(a+c)$ $ac-a+bc-b=(c-1)+b(c-1)$$=$$(a+b)(c-1)$ 따라서 공통인 인수는 $a+b$이다." }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $x^2+3x+xy+3y$, $x^2-4xy-12y-9$", "answer": "$=$$x(x+3)+y(x+3)$$=$$(x+3)(x+y)$ $=$$(x+3)(x-4y-3)$ 따라서 공통인 인수는 $x+3$이다." }, { "question": "$3a+2b=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}}$, $3a-2b=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}}$일 때, $9a^2-4b^2-6a+1$의 값을 구하여라.", "answer": "$3a+2b$$=\\frac{1}{1+\\sqrt{2}}$$=\\frac{1-\\sqrt{2}}{(1+\\sqrt{2})(1-\\sqrt{2})}$$=-1+\\sqrt{2}$ $3a-2b$$=\\frac{1}{1-\\sqrt{2}}$$=\\frac{1+\\sqrt{2}}{(1-\\sqrt{2})(1+\\sqrt{2})}$$=-1-\\sqrt{2}$ $\\therefore 9a^2-4b^2-6a+1$ $=$$9a^2-6a+1-4b^2$ $=$$(3a-1)^2-(2b)^2$ $=$$(3a+2b-1)(3a-2b-1)$ $=$$\\lbrace(-1+\\sqrt{2})-1\\rbrace\\lbrace(-1-\\sqrt{2})-1\\rbrace$ $=$$(-2+\\sqrt{2})(-2-\\sqrt{2})$ $=$$2$" }, { "question": "부피가 $x^2y+3x^2-y-3$인 직육면체의 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $x+1$, $x-1$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$x^2y+3x^2-y-3=x^2(y+3)-(y+3)=(x^2-1)(y+3)$ $=$$(x+1)(x-1)(y+3)$ 직육면체의 부피가 $(x+1)(x-1)(y+3)$이고 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $x+1$, $x-1$이므로 밑면의 가로의 길이는 $y+3$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(y+3)(x+1)+(x+1)(x-1)+(x-1)(y+3)\\rbrace$ $=$$2\\lbrace(xy+y+3x+3)+(x^2-1)+(xy+3x-y-3)\\rbrace$ $=$$2(x^2+2xy+6x-1)$ $=$$2x^2+4xy+12x-2$" }, { "question": "현민이는 도화지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $a cm$, $b cm$인 정사각형 모양의 엽서를 만들었다. 이 두 엽서의 둘레의 길이의 합이 $160 cm$이고 넓이의 차가 $480 cm^2$일 때, 두 엽서의 둘레의 길이의 차를 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "두 엽서의 둘레의 길이의 합이 $160cm$ 이므로 $4a+4b=160$ 두 엽서의 넓이의 차가 $480 cm^2$이고 $a>b$이므로 $a^2-b^2=480$ $a^2-b^2=480$에서 $(a+b)(a-b)=480$ $4a+4b$$=4(a+b)$$=160$에서 $a+b=40$이므로 $40(a-b)=480$ $∴$ $a-b=12$ 따라서 두 엽서의 둘레의 길이의 차는 $4a-4b$$=4(a-b)$$=4\\times12$$=48$ $(cm)$" }, { "question": "다항식 $9x^2-12x+a$가 $3x-5$로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$9x^2-12x+a=(3x-5)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $9x^2-12x+a=9x^2+(3m-15)x-5m$ 즉, $-12=3m-15$, $a=-5m$이므로 $m=1$, $a=-5$" }, { "question": "다항식 $6x^2+ax-10$이 $2x+5$로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$6x^2+ax-10=(2x+5)(3x+m)(m은 수)$으로 놓으면 $6x^2+ax-10=6x^2+(2m+15)x+5m$ 즉, $a=2m+15$, $-10=5m$이므로 $m=-2$, $a=11$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $a^3-3a^2-4ab^2+12b^2$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $a-3$, $a-2b$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$a^3-3a^2-4ab^2+12b^2$ $=$$a^2(a-3)-4b^2(a-3)$ $=$$(a-3)(a^2-4b^2)$ $=$$(a-3)(a+2b)(a-2b)$ 직육면체의 부피가 $(a-3)(a+2b)(a-2b)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $a-3$, $a-2b$이므로 높이는 $a+2b$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(a-3+a-2b+a+2b)$$=4(3a-3)$$=12a-12$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $2x^2+x-4xy-2y$$, $$x^2-2xy+2x-4y$", "answer": "$2x^2+x-4xy-2y=x(2x+1)-2y(2x+1) =(2x+1)(x-2y)$ $x^2-2xy+2x-4y =x(x-2y)+2(x-2y) =(x-2y)(x+2)$ 따라서 공통인 인수는 $x-2y$이다." }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $2x^3+x^2y-2xy^2-y^3$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x-y$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$2x^3+x^2y-2xy^2-y^3$ $=$$x^2(2x+y)-y^2(2x+y)$ $=$$(2x+y)(x^2-y^2)$ $=$$(2x+y)(x+y)(x-y)$ 직육면체의 부피가 $(2x+y)(x+y)(x-y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x+y$, $x-y$이므로 높이는 $2x+y$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x+y+x-y+2x+y)$$=4(4x+y)$$=16x+4y$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $a$, $b$의 곱을 구하여라. $a=5.5^2-4.5^2$ $b=0.65^2-0.35^2$", "answer": "$a=5.5^2-4.5^2$ $=(5.5+4.5)(5.5-4.5)$ $=10\\times1$ $=$$10$ $b=0.65^2-0.35^2$ $=(0.65+0.35)(0.65-0.35)$ $=1\\times0.3$ $=$$0.3$ $∴$ $ab$$=10\\times0.3$$=3$" }, { "question": "다항식 $5x^2+ax+3$이 $x-3$으로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$5x^2+ax+3=(x-3)(5x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $5x^2+ax+3=5x^2+(m-15)x-3m$ 즉, $a=m-15$, $3=-3m$이므로 $m=-1$, $a=-16$" }, { "question": "부피가 $4x^3+8x^2y-x-2y$인 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $2x-1$, $2x+1$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$4x^3+8x^2y-x-2y=4x^2(x+2y)-(x+2y)=(x+2y)(4x^2-1)=$$(x+2y)(2x+1)(2x-1)$ 직육면체의 부피가 $(x+2y)(2x+1)(2x-1)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $2x-1$, $2x+1$이므로 높이는 $x+2y$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(2x-1)(2x+1)+(2x+1)(x+2y)+(x+2y)(2x-1)\\rbrace$ $=$$2\\lbrace(4x^2-1)+(2x^2+4xy+x+2y)+(2x^2-x+4xy-2y)\\rbrace$ $=$$2(8x^2+8xy-1)$ $=$$16x^2+16xy-2$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $x^3-3x^2y-xy^2+3y^3$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-3y$, $x+y$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$x^3-3x^2y-xy^2+3y^3$ $=$$x^2(x-3y)-y^2(x-3y)$ $=$$(x-3y)(x^2-y^2)$ $=$$(x-3y)(x+y)(x-y)$ 직육면체의 부피가 $(x-3y)(x+y)(x-y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-3y$, $x+y$이므로 높이는 $x-y$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x-3y+x+y+x-y)$$=4(3x-3y)$$=12x-12y$" }, { "question": "$49a^2-b^2+14a-2b$는 $a$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$49a^2-b^2+14a-2b=(7a+b)(7a-b)+2(7a-b)=(7a-b)(7a+b+2)$ 두 일차식은 $7a-b$, $7a+b+2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(7a-b)+(7a+b+2)=14a+2$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $xy^2-4x+5y^2-20$일 때, 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $y+2$, $y-2$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$xy^2-4x+5y^2-20$ $=$$x(y^2-4)+5(y^2-4)$ $=$$(x+5)(y^2-4)$ $=$$(x+5)(y+2)(y-2)$ 직육면체의 부피가 $(x+5)(y+2)(y-2)$이고 밑면의 세로의 길이, 높이가 각각 $y+2$, $y-2$이므로 밑면의 가로의 길이는 $x+5$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x+5+y+2+y-2)$$=4(x+2y+5)$$=4x+8y+20$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2-10x+1$인 정사각형의 한 변의 길이가 $5x-B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $5x-B$인 정사각형의 넓이는 $(5x-B)^2$이다. $Ax^2-10x+1=(5x-B)^2=25x^2-10Bx+B^2$ 즉, $A=25$, $10=10B$, $1=B^2$이므로 $A=25$, $B=1$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $xy^2+x-y^2-1$, $x^2+xy-x-y$", "answer": "$x y^{2}+x-y^{2}-1 =x\\left(y^{2}+1\\right)-\\left(y^{2}+1\\right)$ $=$$(x-1)(y^2+1)$ $=$$x(x+y)-(x+y)$$=$$(x+y)(x-1)$ 따라서 공통인 인수는 $x-1$이다." }, { "question": "다항식 $2x^2-3x+a$가 $x-3$으로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2-3x+a=(x-3)(2x+m)(m은 수)$으로 놓으면 $2x^2-3x+a=2x^2+(m-6)x-3m$ 즉, $-3=m-6$, $a=-3m$이므로 $m=3$, $a=-9$" }, { "question": "어떤 직육면체의 부피가 $x^3-x^2y-9xy^2+9y^3$일 때, 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-y$, $x-3y$이라고 한다. 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", "answer": "$x^3-x^2y-9xy^2+9y^3$ $=$$x^2(x-y)-9y^2(x-y)$ $=$$(x-y)(x^2-9y^2)$ $=$$(x-y)(x+3y)(x-3y)$ 직육면체의 부피가 $(x-y)(x+3y)(x-3y)$이고 밑면의 가로, 세로의 길이가 각각 $x-y$, $x-3y$이므로 높이는 $x+3y$이다. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 $4(x-y+x-3y+x+3y)$$=4(3x-y)$$=12x-4y$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $xy-y^2-2x+2y$$, $$xy-y^2+xz-yz$", "answer": "$xy-y^2-2x+2y$$=$$y(x-y)-2(x-y)$$=$$(x-y)(y-2)$ $xy-y^2+xz-yz$$=$$y(x-y)+z(x-y)$$=$$(x-y)(y+z)$ 따라서 공통인 인수는 $x-y$이다." }, { "question": "$4x^2-81y^2+2x-9y$는 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$4x^2-81y^2+2x-9y=(2x+9y)(2x-9y)+(2x-9y)$ $=(2x-9y)(2x+9y+1)$ 두 일차식은 $2x-9y$, $2x+9y+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2x-9y)+(2x+9y+1)=4x+1$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라. $9x^2-3x+a$$, $$4x^2+bx+25$", "answer": "$9x^2-3x+a$$=(3x)^2-2\\times3x\\times\\frac{1}{2}+a$이므로 $a$$=(\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$ $4x^2+bx+25$$=(2x)^2+bx+5^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times2\\times5$$=\\pm20$ $b>0$이므로 $b=20$ $∴ b-a$$=20-\\frac{1}{4}$$=\\frac{79}{4}$" }, { "question": "다항식 $4x^2+7x+a$가 $x+2$로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+7x+a=(x+2)(4x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $4x^2+7x+a=4x^2+(m+8)x+2m$ 즉, $7=m+8$, $a=2m$이므로 $m=-1$, $a=-2$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $a^2b+ab+2a+2$$, $$ab^2+b^2+ac+c$", "answer": "$a^2b+ab+2a+2=ab(a+1)+2(a+1)=(a+1)(ab+2)$ $ab^2+b^2+ac+c=b^2(a+1)+c(a+1)=(a+1)(b^2+c)$ 따라서 공통인 인수는 $a+1$이다." }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $x$, $y$의 곱을 구하여라. $x=51^2 - 2\\times51+1$, $y=5.15^2 - 4.85^2$", "answer": "$x$$=51^2-2\\times51+1$ $=$$51^2-2\\times51\\times1+1^2$ $=$$(51-1)^2$ $=$$50^2$ $=$$2500$ $y$$=5.15^2-4.85^2$ $=$$(5.15+4.85)(5.15+4.85)$ $=$$10\\times0.3$ $=$$3$ $∴ xy$$=2500\\times3$$=7500$" }, { "question": "$4a^2-25b^2+4a-10b$는 $a$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$4a^2-25b^2+4a-10b$ = $(2a+5b)(2a-5b)+2(2a-5b)$$=$$(2a-5b)(2a+5b+2)$ 두 일차식은 $2a-5b$, $2a+5b+2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2a-5b)+(2a+5b+2)=4a+2$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $4x^2-4x+a$$, $$x^2+bx+1$", "answer": "$4x^2-4x+a$$=(2x)^2-2\\times2x\\times1+a$이므로 $a$$=1^2$$=1$ $x^2+bx+1$$=x^2+bx+1^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times1\\times1$$=\\pm2$ $b>0$이므로 $b=2$" }, { "question": "다항식 $3x^2+ax-20$이 $x-5$로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+ax-20=(x-5)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+ax-20=3x^2+(m-15)x-5m$ 즉, $a=m-15$, $20=5m$이므로 $m=4$, $a=-11$" }, { "question": "부피가 $x^3+x^2y-9x-9y$인 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $x+y$, $x-3$일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", "answer": "$x^3+x^2y-9x-9x^2(x+y)-9(x+y)=9(x+y)(x^2-9)$ $=(x+y)(x+3)(x-3)$ 직육면체의 부피가 $(x+y)(x+3)(x-3)$이고 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $x+y$, $x-3$이므로 밑면의 세로의 길이는 $x+3$이다. 따라서 직육면체의 겉넓이는 $2\\lbrace(x+y)(x+3)+(x+3)(x-3)+(x-3)(x+y)\\rbrace$ $=2\\lbrace(x^2+xy+3x+3y)+(x^2-9)+(x^2+xy-3x-3y)\\rbrace$ $=2(3x^2+2xy-9)$ $=6x^2+4xy-18$" }, { "question": "$49a^2-b^2+10b-25$가 $a$의 계수가 $7$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$49a^2-b^2+10b-25$ $=$$49a^2-(b^2-10b+25)$ $=$$(7a)^2-(b-5)^2$ $=$$(7a+b-5)(7a-b+5)$ 두 일차식은 $7a+b-5$, $7a-b+5$이므로 이 두 일차식의 합은 $(7a+b-5)+(7a-b+5)$$=14a$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $x^2+ax+\\frac{9}{4}$, $25x^2+20x+b$", "answer": "$x^2+ax+\\frac{9}{4}$$=x^2+ax+(\\frac{3}{2})^2$이므로 $a$$=\\pm2\\times1\\times\\frac{3}{2}$$=\\pm3$ $a>0$이므로 $a=3$ $25x^2+20x+b$$=(5x)^2+2\\times5x\\times2+b$이므로 $b$$=2^2$$=4$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}$일 때, $(x-3)^2+2(x-3)-15$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=\\frac{1}{2-\\sqrt{3}}$$=\\frac{2+\\sqrt{3}}{(2-\\sqrt{3})(2+\\sqrt{3})}=2+\\sqrt{3}$ $x-3=A$로 놓으면 $(x-3)^2+2(x-3)-15$ $=A^2+2A-15$ $=(A-3)(A+5)$ $=(x-3-3)(x-3+5)$ $=(x-6)(x+2)$ $x=2+\\sqrt{3}$을 대입하면 $(x-6)(x+2)=$ {$(2+\\sqrt{3})-6$}{$(2+\\sqrt{3})+2$} $=(-4+\\sqrt{3})(4+\\sqrt{3})$ $=-13$" }, { "question": "$4a^2-4b^2+4b-1$이 $a$의 계수가 $2$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$4a^2-4b^2+4b-1$ $=$$4a^2-(4b^2-4b+1)$ $=$$(2a)^2-(2b-1)^2$ $=$$(2a+2b-1)(2a-2b+1)$ 두 일차식은 $2a+2b-1$, $2a-2b+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2a+2b-1)+(2a-2b+1)$$=4a$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2-8x+1$인 정사각형의 한 변의 길이가 $4x-B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $4x-B$인 정사각형의 넓이는 $(4x-B)^2$이다. $Ax^2-8x+1=(4x-B)^2=16x^2-8Bx+B^2$ 즉, $A=16$, $8=8B$, $1=B^2$이므로 $A=16$, $B=1$" }, { "question": "$4a^2-b^2+6a-3b$는 $a$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이때 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$4a^2-b^2+6a-3b$=$(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)$ $=$$(2a-b)(2a+b+3)$ 두 일차식은 $2a-b$, $2a+b+3$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2a-b)+(2a+b+3)=4a+3$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $x^2-14x+a$, $9x^2+bx+4$", "answer": "$x^2-14x+a$$=x^2-2\\times x\\times7+a$이므로 $a$$=7^2$$=49$ $9x^2+bx+4$$=(3x)^2+bx+2^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times3\\times2$$=\\pm12$ $b>0$이므로 $b=12$" }, { "question": "$25x^2-y^2+10x+1$이 $x$의 계수가 $5$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$25x^2-y^2+10x+1$ $=$$25x^2+10x+1-y^2$ $=$$(5x+1)^2-y^2$ $=$$(5x+y+1)(5x-y+1)$ 두 일차식은 $5x+y+1$, $5x-y+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(5x+y+1)+(5x-y+1)$$=10x+2$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2-20x+4$인 정사각형의 한 변의 길이가 $5x-B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $5x-B$인 정사각형의 넓이는 $(5x-B)^2$이다. $Ax^2-20x+4=(5x-B)^2=25x^2-10Bx+B^2$ 즉, $A=25$, $20=10B$, $4=B^2$이므로 $A=25$, $B=2$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $9x^2+ax+25$$, $$x^2-8x+b$", "answer": "$9x^2+ax+25$$=(3x)^2+ax+5^2$이므로 $a$$=\\pm2\\times3\\times5$$=\\pm30$ $a>0$이므로 $a=30$ $x^2-8x+b$$=x^2-2\\times x\\times4+b$이므로 $b$$=4^2$$=16$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $A$, $B$의 곱을 구하여라. $A=9.2^2+1.6\\times9.2+0.8^2$ $B=37^2-27^2$", "answer": "$A=9.2^2+1.6\\times9.2+0.8^2$ $=9.2^2+2\\times9.2\\times0.8+0.8^2$ $=(9.2+0.8)^2$ $=10^2$ $=100$ $B=37^2-27^2$ $=(37+27)(37-27)$ $=64\\times10$ $=640$ $∴ AB$$=100\\times640$$=64000$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2+20x+25$인 정사각형의 한 변의 길이가 $2x+B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $2x+B$인 정사각형의 넓이는 $(2x+B)^2$이다. $Ax^2+20x+25=(2x+B)^2=4x^2+4Bx+B^2$ 즉, $A=4$, $20=4B$, $25=B^2$이므로 $A=4$, $B=5$" }, { "question": "$x^2+10xy+25y^2-49$가 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+10xy+25y^2-49$ $=$$(x+5y)^2-7^2$ $=$$(x+5y+7)(x+5y-7)$ 두 일차식은 $x+5y+7$, $x+5y-7$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+5y+7)+(x+5y-7)$$=2x+10y$" }, { "question": "$x^2-y^2-8y-16$이 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2-y^2-8y-16$ $=$$x^2-(y^2+8y+16)$ $=$$x^2-(y+4)^2$ $=$$(x+y+4)(x-y-4)$ 두 일차식은 $x+y+4$, $x-y-4$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+y+4)+(x-y-4)$$=2x$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2+12x+9$인 정사각형의 한 변의 길이가 $2x+B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $2x+B$인 정사각형의 넓이는 $(2x+B)^2$이다. $Ax^2+12x+9=(2x+B)^2=4x^2+4Bx+B^2$ 즉, $A=4$, $12=4B$, $9=B^2$이므로 $A=4$, $B=3$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $x$, $y$의 합을 구하여라. $x=99^2 + 2 \\times 99 + 1$ $y=27 \\times 31 - 27 \\times 21$", "answer": "$x=99^2+2\\times99+1$ $=99^2+2\\times99\\times1+1^2$ $=$$(99+1)^2$ $=$$100^2$ $=$$10000$ $y=27\\times31-27\\times21$ $=$$27\\times(31-21)$ $=$$27\\times10$ $=$$270$ $\\therefore$ $x+y$$=10000+270$$=10270$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라. $16x^2+20x+a$$, $$9x^2+bx+25$", "answer": "$16x^2+20x+a$$=(4x)^2+2\\times4x\\times\\frac{5}{2}+a$이므로 $a$$=(\\frac{5}{2})^2$$=\\frac{25}{4}$ $9x^2+bx+25$$=(3x)^2+bx+5^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times3\\times5$$=\\pm30$ $b>0$이므로 $b=30$ $∴ a-b$$=\\frac{25}{4}-30$$=-\\frac{95}{4}$" }, { "question": "부피가 $(3x^2-3x-6)$ $cm^3$이고 높이가 $3cm$인 직육면체의 세로의 길이는 가로의 길이보다 $3 cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 세로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=3x^2-3x-6$$=3(x+1)(x-2)$ $(cm^3)$ 높이가 $3 cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x+1)(x-2)$ $cm^2$이다. 세로의 길이는 가로의 길이보다 $3 cm$만큼 길므로 직육면체의 세로의 길이는 $(x+1) cm$이다." }, { "question": "넓이가 $Ax^2+30x+25$인 정사각형의 한 변의 길이가 $3x+B$일 때, 수 $A, B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $3x+B$인 정사각형의 넓이는 $(3x+B)^2$이다. $Ax^2+30x+25=(3x+B)^2=9x^2+6Bx+B^2$ 즉, $A=9$, $30=6B$, $25=B^2$이므로 $A=9$, $B=5$" }, { "question": "넓이가 $Ax^2+28x+49$인 정사각형의 한 변의 길이가 $2x+B$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $2x+B$인 정사각형의 넓이는 $(2x+B)^2$이다. $Ax^2+28x+49=(2x+B)^2=4x^2+4Bx+B^2$ 즉, $A=4$, $28=4B$, $49=B^2$이므로 $A=4$, $B=7$" }, { "question": "다음 두 다항식의 공통인 인수를 구하여라. $ab+b-a-1$$, $$b^2-bc+c-1$", "answer": "$ab+b-a-1=b(a+1)-(a+1)=(a+1)(b-1)$ $b^2-bc+c-1=b^2-1-bc+c=(b+1)(b-1)-c(b-1)$ $=$$(b-1)(b-c+1)$ 따라서 공통인 인수는 $b-1$이다." }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $A$, $B$의 합을 구하여라. $\\\\$$A = \\frac{1}{2} \\times 101^2 - \\frac{1}{2} \\times 99^2$ $\\\\$$B= 92^2 + 16\\times92 +8^2$", "answer": "\\[ \\begin{aligned} A & =\\frac{1}{2} \\times 101^{2}-\\frac{1}{2} \\times 99^{2} \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times\\left(101^{2}-99^{2}\\right) \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times(101+99) \\times(101-99) \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times 200 \\times 2 \\\\ & =200 \\\\ B & =92^{2}+16 \\times 92+8^{2} \\\\ & =92^{2}+2 \\times 92 \\times 8+8^{2} \\\\ & =(92+8)^{2} \\\\ & =100^{2} \\\\ & =10000 \\\\ \\therefore & A+B=200+10000=10200 \\end{aligned} \\]" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $a$, $b$의 합을 구하여라. $a=37.4^2-27.4^2$ $b=97^2+6\\times97+3^2$", "answer": "$a=37.4^2-27.4^2$$=$$(37.4+27.4)(37.4-27.4)$$=$$64.8\\times10$$=$$648$ $b=97^2+6\\times97+3^2$$=$$97^2+2\\times97\\times3+3^2$$=$$(97+3)^2$$=$$100^2$ $=$$10000$ $\\therefore$ $a+b$$=648+10000$$=10648$" }, { "question": "$4x^2-25y^2+4x+1$이 $x$의 계수가 $2$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$4x^2-25y^2+4x+1$ $=$$4x^2+4x+1-25y^2$ $=$$(2x+1)^2-(5y)^2$ $=$$(2x+5y+1)(2x-5y+1)$ 두 일차식은 $2x+5y+1$, $2x-5y+1$이므로 이 두 일차식의 합은 $(2x+5y+1)+(2x-5y+1)$$=4x+2$" }, { "question": "넓이가 $9x^2-12x+A$인 정사각형의 한 변의 길이가 $Bx-2$일 때, 수 $A$, $B$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $Bx-2$인 정사각형의 넓이는 $(Bx-2)^2$이다. $9x^2-12x+A=(Bx-2)^2=B^2x^2-4Bx+4$ 즉, $9=B^2$, $12=4B$, $A=4$이므로 $A=4$, $B=3$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $x^2+ax+4$$, $$16x^2+bx+25$", "answer": "$x^2+ax+4$$=x^2+ax+2^2$이므로 $a$$=\\pm2\\times1\\times2$$=\\pm4$ $a>0$이므로 $a=4$ $16x^2+bx+25$$=(4x)^2+bx+5^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times4\\times5$$=\\pm40$ $b>0$이므로 $b=40$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라. $x^2+ax+9$, $25x^2-5x+b$", "answer": "$x^2+ax+9$$=x^2+ax+3^2$이므로 $a$$=\\pm2\\times1\\times3$$=\\pm6$ $a>0$이므로 $a=6$ $25x^2-5x+b$$=(5x)^2-2\\times5x\\times\\frac{1}{2}+b$이므로 $b$$(\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$ $∴ ab$$=6\\times\\frac{1}{4}$$=\\frac{3}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 반지름의 길이가 $7.7cm$ , 높이가 $10 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $2.3cm$ 이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피)$ $=$$\\pi\\times7.7^2\\times10-\\pi\\times2.3^2\\times10$ $=$$10\\pi\\times(7.7^2-2.3^2)$ $=$$10\\pi\\times(7.7+2.3)\\times(7.7-2.3)$ $=$$10\\pi\\times10\\times5.4$ $=$$540\\pi$ $(cm^3)$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(3x-1)(3x+1)=9x^2-1$ $B=(3x-1)(x+2)=3x^2+5x-2$ $∴ A+B$$=(9x^2-1)+(3x^2+5x-2)$$=12x^2+5x-3$" }, { "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $a$, $b$의 합을 구하여라. $a=17.8^2-7.8^2$ $b=22^2-40\\times22+20^2$", "answer": "$a=17.8^2-7.8^2$$=$$(17.8+7.8)(17.8-7.8)$$=$$25.6\\times10$ $=$$256$ $b=22^2-40\\times22+20^2$$=$$22^2-2\\times22\\times20+20^2$$=$$(22-20)^2$$=$$2^2$ $=$$4$ $∴ a+b$$=256+4$$=260$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $9x^2+12x+a$, $x^2+bx+25$", "answer": "$9x^2+12x+a$$=(3x)^2+2\\times3x\\times2+a$이므로 $a=2^2=4$ $\\\\$ $x^2+bx+25=x^2+bx+5^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times1\\times5=\\pm10$ $\\\\$ $b>0$이므로 $b=10$" }, { "question": "$9x^2+(k+2)x+16$이 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$9x^2+(k+2)x+16$$=(3x)^2+(k+2)x+4^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+2$$=\\pm2\\times3\\times4$$=\\pm24$ $(ⅰ)$ $k+2=24$일 때, $k=22$ $(ⅱ)$ $k+2=-24$일 때, $k=-26$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합은 $22+(-26)=-4$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 지름의 길이가 $13 cm$, 높이가 $10 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 지름의 길이는 $3 cm$이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "(두루마리 화장지의 부피) $=$$\\pi\\times(\\frac{13}{2})^2\\times10-\\pi\\times(\\frac{3}{2})^2\\times10$ $=$$10\\pi\\times\\lbrace(\\frac{13}{2})^2-(\\frac{3}{2})^2\\rbrace$ $=$$10\\pi\\times(\\frac{13}{2}+\\frac{3}{2})\\times(\\frac{13}{2}-\\frac{3}{2})$ $=$$10\\pi\\times8\\times5$ $=$$400\\pi$ ($cm^3$)" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $x^2+ax+9$, $4x^2+12x+b$", "answer": "$x^2+ax+9$$=x^2+ax+3^2$이므로 $a$$=\\pm2\\times1\\times3$$=\\pm6$ $a>0$이므로 $a=6$ $4x^2+12x+b$$=(2x)^2+2\\times2x\\times3+b$이므로 $b$$=3^2$$=9$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 반지름의 길이가 $7.4$ $cm$, 높이가 $8 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $2.6$ $cm$이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피)$ $=$$\\pi\\times7.4^2\\times8-\\pi\\times2.6^2\\times8$ $=$$8\\pi\\times(7.4^2-2.6^2)$ $=$$8\\pi\\times(7.4+2.6)\\times(7.4-2.6)$ $=$$8\\pi\\times10\\times4.8$ $=$$384\\pi$ $(cm^3)$" }, { "question": "부피가 $(2x^2+14x+24)$ $cm^3$이고 높이가 $2cm$ 인 직육면체의 세로의 길이는 가로의 길이보다 $1cm$ 만큼 길다. 이때 직육면체의 세로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=2x^2+14x+24$$=2(x+3)(x+4)$ $(cm^3)$ 높이가 $2$ $cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x+3)(x+4)$ $cm^2$이다. 세로의 길이는 가로의 길이보다 $1$ $cm$만큼 길므로 직육면체의 세로의 길이는 $(x+4)$ $cm$이다." }, { "question": "$5\\times7^3\\times a+15\\times7^3\\times(a+1)$이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$5\\times7^3\\times a+15\\times7^3\\times(a+1)$ $=$$5\\times7^3\\times a+3\\times5\\times7^3\\times(a+1)$ $=$$5\\times7^3\\times\\lbrace a+3(a+1)\\rbrace$ $=$$5\\times7^3\\times(4a+3)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $4a+3$은 $5\\times7\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $4a+3=5\\times7\\times1^2=35$ $∴ a=8$ 따라서 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $8$이다." }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $a-2b$의 값을 구하여라. $25x^2-5x+a, \\quad x^2+bx+16$", "answer": "$25x^2-5x+a$$=(5x)^2-2\\times5x\\times\\frac{1}{2}+a$이므로 $a$$=(\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$ $x^2+bx+16$$=x^2+bx+4^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times1\\times4$$=\\pm8$ $b>0$이므로 $b=8$ $∴ a-2b$$=\\frac{1}{4}-2\\times8$$=-\\frac{63}{4}$" }, { "question": "$4x^2+(k+1)x+9$가 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$4x ^2+(k+1)x+9$$=(2x)^2+(k+1)x+3^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+1$$=\\pm2\\times2\\times3$$=\\pm12$ $(ⅰ)$ $k+1=12$일 때, $k=11$ $(ⅱ)$ $k+1=-12$일 때, $k=-13$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합은 $11+(-13)=-2$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(x-1)(x+1)=x^2-1$ $B=(2x-1)(x+1)=2x^2+x-1$ $∴ A+B$$=(x^2-1)+(2x^2+x-1)$$=3x^2+x-2$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라. $9x^2-2x+a$, $16x^2+bx+1$", "answer": "$9x^2-2x+a$$=(3x)^2-2\\times3x\\times\\frac{1}{3}+a$이므로 $a$$=(\\frac{1}{3})^2$$=\\frac{1}{9}$ $16x^2+bx+1$$=(4x)^2+bx+1^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times4\\times1$$=\\pm8$ $b>0$이므로 $b=8$ $∴$ $a+b$$=\\frac{1}{9}+8$$=\\frac{73}{9}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 반지름의 길이가 $6.1 cm$, 높이가 $8 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $3.9 cm$이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피)$ $=$$\\pi\\times6.1^2\\times8-\\pi\\times3.9^2\\times8$ $=$$8\\pi\\times(6.1^2-3.9^2)$ $=$$8\\pi\\times(6.1+3.9)\\times(6.1-3.9)$ $=$$8\\pi\\times10\\times2.2$ $=$$176\\pi$ $(cm^3)$" }, { "question": "부피가 $(2x^2+6x-8)$ $cm^3$이고 높이가 $2$ $cm$인 직육면체의 가로의 길이는 세로의 길이보다 $5$ $cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 가로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=2x^2+6x-8$$=2(x-1)(x+4)$ $(cm^3)$ 높이가 $2$ $cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x-1)(x+4)$ $cm^2$이다. 가로의 길이는 세로의 길이보다 $5$ $cm$만큼 길므로 직육면체의 가로의 길이는 $(x+4)$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 지름의 길이가 $17$ $cm$, 높이가 $12$ $cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 지름의 길이는 $3$ $cm$이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피) =\\pi\\times(\\frac{17}{2})^2\\times12-\\pi\\times(\\frac{3}{2})^2\\times12 =12\\pi\\times{(\\frac{17}{2})^2-(\\frac{3}{2})^2} =12\\pi\\times(\\frac{17}{2}+\\frac{3}{2})\\times(\\frac{17}{2}-\\frac{3}{2}) =12\\pi\\times10\\times7 =840\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 되도록 하는 양수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라. $4x^2-\\frac{4}{3}x+a$$, $$25x^2+bx+4$", "answer": "$4x^2-\\frac{4}{3}x+a$$=(2x)^2-2\\times2x\\times\\frac{1}{3}+a$이므로 $a$$=(\\frac{1}{3})^2$$=\\frac{1}{9}$ $25x^2+bx+4$$=(5x)^2+bx+2^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times5\\times2$$=\\pm20$ $b>0$이므로 $b=20$ $\\therefore b-a$$=20-\\frac{1}{9}$$=\\frac{179}{9}$" }, { "question": "$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1$이 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $bc$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1$ $=$$\\lbrace(x-1)(x-4)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x-3)\\rbrace+1$ $=$$(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)+1$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)+1$ $=$$(A+4)(A+6)+1$ $=$$A^2+10A+25$ $=$$(A+5)^2$ $=$$(x^2-5x+5)^2$ $b=-5$, $c=5$이므로 $bc$$=(-5)\\times5$$=-25$" }, { "question": "$16x^2+(n+1)x+1$이 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $n$의 값의 곱을 구하여라.", "answer": "$16x^2+(n+1)x+1$$=(4x)^2+(n+1^2)x+1^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $n+1$$=\\pm2\\times4\\times1$$=\\pm8$ $(ⅰ)$ $n+1=8$일 때, $n=7$ $(ⅱ)$ $n+1=-8$일 때, $n=-9$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $n$의 값의 곱은 $7\\times(-9)=-63$" }, { "question": "부피가 $(3x^2+9x-12)$ $cm^3$이고 높이가 $3 cm$인 직육면체의 세로의 길이는 가로의 길이보다 $5 cm$만큼 짧다. 이때 직육면체의 세로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=3x^2+9x-12$$=3(x-1)(x+4)$ $(cm^3)$ 높이가 $3 cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x-1)(x+4)$ $cm^2$이다. 세로의 길이는 가로의 길이보다 $5 cm$만큼 짧으므로 직육면체의 세로의 길이는 $(x-1) cm$이다." }, { "question": "부피가 $(2x^2+2x-12)$ $cm^3$이고 높이가 $2cm$인 직육면체의 세로의 길이는 가로의 길이보다 $5 cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 세로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=2x^2+2x-12$$=2(x-2)(x+3)$ $(cm^3)$ 높이가 $2 cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x-2)(x+3)$ $cm^2$이다. 세로의 길이는 가로의 길이보다 $5 cm$만큼 길므로 직육면체의 세로의 길이는 $(x+3) cm$이다." }, { "question": "$x^2+(k-3)x+36$이 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k-3)x+36$$=x^2+(k-3)x+6^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-3$$=\\pm2\\times1\\times6$$=\\pm12$ (ⅰ) $k-3=12$일 때, $k=15$ (ⅱ) $k-3=-12$일 때, $k=-9$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합은 $15+(-9)=6$" }, { "question": "다음 두 식이 모두 완전제곱식이 될 때, 양수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $x^2+4x+a$$, $$x^2+bx+36$", "answer": "$x^2+4x+a$$=x^2+2\\times x\\times2+a$이므로 $a$$=2^2$$=4$ $x^2+bx+36$$=x^2+bx+6^2$이므로 $b$$=\\pm2\\times1\\times6$$=\\pm12$ $b>0$이므로 $b=12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $5a$, 세로의 길이가 $4a$인 직사각형 모양의 화단에 폭이 $1$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 화단의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 화단의 넓이는 가로의 길이가 $5a-1$, 세로의 길이가 $4a-1$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길은 제외한 화단의 넓이) $$=(5a-1)(4a-1)$ $=20a^2-9a+1$" }, { "question": "$4x^2+(k+5)x+25$가 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$4x^2+(k+5)x+25$$=(2x)^2+(k+5)x+5^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k+5$$=\\pm2\\times2\\times5$$=\\pm20$ (ⅰ) $k+5=20$일 때, $k=15$ (ⅱ) $k+5=-20$일 때, $k=-25$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합은 $15+(-25)=-10$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 지름의 길이가 $13cm$ , 높이가 $10 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 지름의 길이는 $7cm$ 이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피)$ $=$$\\pi\\times(\\frac{13}{2})^2\\times10-\\pi\\times(\\frac{7}{2})^2\\times10$ $=$$10\\pi\\times\\lbrace(\\frac{13}{2})^2-(\\frac{7}{2})^2\\rbrace$ $=$$10\\pi\\times(\\frac{13}{2}+\\frac{7}{2})\\times(\\frac{13}{2}-\\frac{7}{2})$ $=$$10\\pi\\times10\\times3$ $=$$300\\pi$ $(cm^3)$" }, { "question": "$(-x+2y)(ax+3y-4)$를 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $(-x)\\times ax$$=-ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $-a$ $xy$항은 $(-x)\\times3y+2y\\times ax$$=-3xy+2axy$$=(-3+2a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $-3+2a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $-a$$=-3+2a$ $∴$ $a=1$" }, { "question": "한 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{4a^2-99}=b$가 성립할 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{4a^2-99}=b$의 양변을 제곱하면 $4a^2-99=b^2$ $4a^2-b^2=99$ ∴ $(2a+b)(2a-b)=99$ $a$, $b$는 자연수이므로 $\\begin{cases} 2a+b=99\\\\ 2a-b=1\\\\ \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} 2a+b=33\\\\ 2a-b=3\\\\ \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} 2a+b=11\\\\ 2a-b=9\\\\ \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} 2a+b=99\\\\ 2a-b=1\\\\ \\end{cases}$ 을 풀면 $a=25,\\; b=49$ $\\begin{cases} 2a+b=33\\\\ 2a-b=3\\\\ \\end{cases}$ 을 풀면 $a=9,\\; b=15$ $\\begin{cases} 2a+b=11\\\\ 2a-b=9\\\\ \\end{cases}$ 을 풀면 $a=5,\\; b=1$ 이때 $a$, $b$는 한 자리의 자연수이므로 $a=5$, $b=1$ ∴ $ab=5\\times1=5$" }, { "question": "$(4x+3y)(ax+y-1)$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $4x\\times ax$$=4ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $4a$ $xy$항은 $4x\\times y+3y\\times ax$$=4xy+3axy$$=(4+3a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $4+3a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $4a$$=4+3a$ $∴ a=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $4a$, 세로의 길이가 $6a$인 직사각형 모양의 화단에 폭이 $1$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 화단의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 화단의 넓이는 가로의 길이가 $4a-1$, 세로의 길이가 $6a-1$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 화단의 넓이)=(4a-1)(6a-1)$ $=$$24a^2-10a+1$" }, { "question": "$(-2x+y)(ax+3y-1)$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $(-2x)\\times ax$$=-2ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $-2a$ $xy$항은 $(-2x)\\times3y+y\\times ax$$=-6xy+axy$$=(-6+a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $-6+a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $-2a$$=-6+a$ $∴a=2$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$ $B=(2x+3)(3x-1)=6x^2+7x-3$ $∴ A+B$$=(4x^2-9)+(6x^2+7x-3)$$=10x^2+7x-12$" }, { "question": "$(-x+y)(ax-4y-7)$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $(-x)\\times ax$$=-ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $-a$ $xy$항은 $(-x)\\times(-4y)+y\\times ax$$=4xy+axy$$=(4+a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $4+a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $-a$$=4+a$ $∴ a=-2$" }, { "question": "$(5x+4y)(ax+y-1)$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $5x\\times ax$$=5ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $5a$ $xy$항은 $5x\\times y+4y\\times ax$$=5xy+4axy$$=(5+4a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $5+4a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $5a$$=5+4a$ $∴ a=5$" }, { "question": "$-3x^2+12x-12=a(bx-c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-3x^2+12x-12$$=-3(x^2-4x+4)$$=-3(x-2)^2$ $a=-3$, $b=1$, $c=2$이므로 $abc$$=(-3)\\times1\\times2$$=-6$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $4a$, 세로의 길이가 $3a$인 직사각형 모양의 땅에 폭이 $3$으로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 땅의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가 $4a-3$, 세로의 길이가 $3a-3$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 땅의 넓이)$$=(4a-3)(3a-3)$ $=$$12a^2-21a+9$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(3x-2)(3x+2)=9x^2-4$ $B=(x+1)(3x-2)=3x^2+x-2$ $∴$ $A+B$$=(9x^2-4)+(3x^2+x-2)$$=12x^2+x-6$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(x+3)(x-3)=x^2-9$ $B=(x-3)(2x-5)=2x^2-11x+15$ $∴ A+B=(x^2-9)+(2x^2-11x+15)$$=3x^2-11x+6$" }, { "question": "부피가 $(2x^2+20x+32)$ $cm^3$이고 높이가 $2 cm$인 직육면체의 가로의 길이는 세로의 길이보다 $6 cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 가로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=2x^2+20x+32$$=2(x+2)(x+8)$ $(cm^3)$ 높이가 $2$ $cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x+2)(x+8)$ $cm^2$이다. 가로의 길이는 세로의 길이보다 $6$ $cm$만큼 길므로 직육면체의 가로의 길이는 $(x+8)$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $5a$, 세로의 길이가 $2a$인 직사각형 모양의 땅에 폭이 $2$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 땅의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가 $5a-2$, 세로의 길이가 $2a-2$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 땅의 넓이)=(5a-2)(2a-2)=10a^2-14a+4$" }, { "question": "$(x+ay)(2x-4y-3)$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $x \\times 2x$$=2x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $2$ $xy$항은 $x \\times (-4y)+ay \\times 2x$$=-4xy+2axy$$=(-4+2a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $-4+2a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $2$$=-4+2a$ $∴$ $a=3$" }, { "question": "$-3x^2-24x-48=a(bx+c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-3x^2-24x-48=-3(x^2+8x+16)=-3(x+4)^2$ $a=-3$, $b=1$, $c=4$이므로 $abc=(-3)\\times1\\times4=-12$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(x-1)(2x+5)=2x^2+3x-5$ $B=(2x-5)(2x+5)=4x^2-25$ $∴$ $A+B$$=(2x^2+3x-5)+(4x^2-25)$$=6x^2+3x-30$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $2a$, 세로의 길이가 $3a$인 직사각형 모양의 화단에 폭이 $2$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 화단의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 화단의 넓이는 가로의 길이가 $2a-2$, 세로의 길이가 $3a-2$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 화단의 넓이)=(2a-2)(3a-2) =6a^2-10a+4$" }, { "question": "다음 그림과 같은 두루마리 화장지는 밑면의 지름의 길이가 $15cm$, 높이가 $10 cm$인 원기둥 모양이고, 화장지가 감기지 않은 안쪽 원기둥의 밑면의 지름의 길이는 $5cm$이다. 이때 두루마리 화장지의 부피를 구하여라.", "answer": "$(두루마리 화장지의 부피)$ $=$$\\pi\\times(\\frac{15}{2})^2\\times10-\\pi\\times(\\frac{5}{2})^2\\times10$ $=$$10\\pi\\times\\lbrace(\\frac{15}{2})^2-(\\frac{5}{2})^2\\rbrace$ $=$$10\\pi\\times(\\frac{15}{2}+\\frac{5}{2})\\times(\\frac{15}{2}-\\frac{5}{2})$ $=$$10\\pi\\times10\\times5$ $=$$500\\pi$ ($cm^3$)" }, { "question": "$3x^2-12x+12=a(bx-c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$3x^2-12x+12$$=3(x^2-4x+4)$$=3(x-2)^2$ $a=3$, $b=1$, $c=2$이므로 $abc$$=3\\times1\\times2$$=6$" }, { "question": "$-5x^2+20x-20=a(bx-c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-5x^2+20x-20$$=-5(x^2-4x+4)$$=-5(x-2)^2$ $a=-5$, $b=1$, $c=2$이므로 $abc$$=(-5)\\times1\\times2$$=-10$" }, { "question": "$3x^2+24x+48=a(bx+c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$3x^2+24x+48$$=3(x^2+8x+16)$$=3(x+4)^2$ $a=3$, $b=1$, $c=4$이므로 $abc$$=3\\times1\\times4$$=12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $3a$, 세로의 길이가 $5a$인 직사각형 모양의 땅에 폭이 $3$으로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 땅의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가 $3a-3$, 세로의 길이가 $5a-3$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 땅의 넓이)$ $=$ $(3a-3)(5a-3)$ $=15a^2-24a+9$" }, { "question": "$x=\\frac{3}{\\sqrt{7}+2}$일 때, $(x-3)^2+4(x-3)-12$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{3}{\\sqrt{7}+2}$$=\\frac{3(\\sqrt{7}-2)}{(\\sqrt{7}+2)(\\sqrt{7}-2)}$$=-2+\\sqrt{7}$ $x-3=A$로 놓으면 $(x-3)^2+4(x-3)-12$ $=$$A^2+4A-12$ $=$$(A-2)(A+6)$ $=$$(x-3-2)(x-3+6)$ $=$$(x-5)(x+3)$ $x=-2+\\sqrt{7}$을 대입하면 $(x-5)(x+3)=\\lbrace(-2+\\sqrt{7})-5 \\rbrace\\lbrace(-2+\\sqrt{7})+3 \\rbrace$$=$$(-7+\\sqrt{7})(1+\\sqrt{7})$ $=$$-6\\sqrt{7}$" }, { "question": "$-4x^2+16x-16=a(bx-c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", "answer": "$-4x^2+16x-16=-4(x^2-4x+4)=-4(x-2)^2$ $a=-4$, $b=1$, $c=2$이므로 $abc=(-4)\\times1\\times2=-8$" }, { "question": "$x^2+(k-4)x+49$가 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k-4)x+49$$=x^2+(k-4)x+7^2$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k-4$$=\\pm2\\times1\\times7$$=\\pm14$ $(ⅰ)$ $k-4=14$일 때, $k=18$ $(ⅱ)$ $k-4=-14$일 때, $k=-10$ 따라서 완전제곱식이 되도록 하는 모든 수 $k$의 값의 합은 $18+(-10)=8$" }, { "question": "$(x-2)(x+2)(x+4)(x+8)+144$가 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $b-c$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$(x-2)(x+2)(x+4)(x+8)+144$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+8)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+4)\\rbrace+144$ $=$$(x^2+6x-16)(x^2+6x+8)+144$ $x^2+6x=A$로 놓으면 $(x^2+6x-16)(x^2+6x+8)+144$ $=$$(A-16)(A+8)+144$ $=$$A^2-8A+16$ $=$$(A-4)^2$ $=$$(x^2+6x-4)^2$ $b=6$, $c=-4$이므로 $b-c$$=6-(-4)$$=10$" }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $4x$, 세로의 길이가 $7x$인 직사각형 모양의 땅에 폭이 $2$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 땅의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 땅의 넓이는 가로의 길이가 $4x-2$, 세로의 길이가 $7x-2$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 땅의 넓이)=(4x-2)(7x-2)$ $=$$28x^2-22x+4$" }, { "question": "한 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{a^2-33}=b$가 성립할 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a^2-33}=b$의 양변을 제곱하면 $a^2-33=b^2$ $a^2-b^2=33$ ∴ $(a+b)(a-b)=33$ $a$, $b$는 자연수이므로 $\\begin{cases} a+b=33 \\\\a-b=1 \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} a+b=11 \\\\a-b=3 \\end{cases}$$\\\\$ $\\begin{cases} a+b=33 \\\\a-b=1 \\end{cases}$ 을 풀면 $a=17$, $b=16$ $\\\\$ $\\begin{cases} a+b=11 \\\\a-b=3 \\end{cases}$ 을 풀면 $a=7$, $b=4$ 이때 $a$, $b$는 한 자리의 자연수이므로 $a=7$, $b=4$ ∴ $ab=7\\times4=28$" }, { "question": "한 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{4a^2-27}=b$가 성립할 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{4a^2-27}=b$의 양변을 제곱하면 $4a^2-27=b^2$ $4a^2-b^2=27$ $∴$ $(2a+b)(2a-b)=27$ $a$, $b$는 자연수이므로 $\\begin{cases} 2a+b=27\\\\ 2a-b=1 \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} 2a+b=9\\\\ 2a-b=3\\end{cases}$ $\\begin{cases} 2a+b=27\\\\ 2a-b=1 \\end{cases}$을 풀면 $a=7$, $b=13$ $\\begin{cases} 2a+b=9\\\\ 2a-b=3 \\end{cases}$을 풀면 $a=3$, $b=3$ 이때 $a$, $b$는 한 자리의 자연수이므로 $a=3$, $b=3$ $∴ $$ab=3\\times3=9$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $x-3y$, $\\frac{1}{4}x-2y$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1) 한 변의 길이가 $x-3y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2) 한 변의 길이가 $\\frac{1}{4}x-2y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1) 한 변의 길이가 $x-3y$인 정사각형의 넓이는 $(x-3y)^2=x^2-6xy+9y^2$ (2) 한 변의 길이가 $\\frac{1}{4}x-2y$인 정사각형의 넓이는 ($\\frac{1}{4}x - 2y)^2 $=$ \\frac{1}{16}x^2-xy+4y^2$ (3) 구하는 넓이의 합은 $(x^2-6xy+9y^2) +(\\frac{1}{16}x^2-xy+4y^2) $=$ \\frac{17}{16}x^2-7xy+13y^2$" }, { "question": "부피가 $(5x^2+20x+15)$ $cm^3$이고 높이가 $5$ $cm$인 직육면체의 가로의 길이는 세로의 길이보다 $2$ $cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 가로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", "answer": "$(직육면체의 부피)$$=5x^2+20x+15$$=5(x+1)(x+3)$ $(cm^3)$ 높이가 $5$ $cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x+1)(x+3)$ $cm^2$이다. 가로의 길이는 세로의 길이보다 $2 cm$만큼 길므로 직육면체의 가로의 길이는 $(x+3)$ $cm$이다." }, { "question": "$11\\times5^2\\times x+33\\times5^2\\times(x+1)$이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$11\\times5^2\\times x+33\\times5^2\\times(x+1)$ $=$$11\\times5^2\\times x+3\\times11\\times5^2\\times(x+1)$ $=$$11\\times5^2\\times\\lbrace x+3(x+1)\\rbrace$ $=$$11\\times5^2\\times(4x+3)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $4x+3$은 $11\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $4x+3=11\\times1^2=11$ $∴$ $x=2$ 따라서 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $6x$, 세로의 길이가 $5x$인 직사각형 모양의 잔디밭에 폭이 $1$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 잔디밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 가로의 길이가 $6x-1$, 세로의 길이가 $5x-1$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 잔디밭의 넓이)=(6x-1)(5x-1)=$$30x^2-11x+1$" }, { "question": "다음 그림의 두 도형 $A$, $B$의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 $A$의 넓이가 $x^2-4x+p$일 때, 도형 $B$의 넓이를 구하여라. (단, $p$는 수)", "answer": "$x^2-4x+p=(x+3)(x+q)$($q$는 수)로 놓으면 $x^2-4x+p=x^2+(3+q)x+3q$ 즉, $-4=3+q$, $p=3q$이므로 $p=-21$, $q=-7$ 도형 A의 넓이가 $(x+3)(x-7)$이고, 가로의 길이가 $x+3$이므로 세로의 길이는 $x-7$이다. $(도형 A의 둘레의 길이)=2\\{(x+3)+(x-7)\\}=2(2x-4) = 4x-8$ 도형 B의 둘레의 길이가 $4x-8=4(x-2)$이므로 한 변의 길이는 $x-2$이다. 따라서 도형 B의 넓이는 $(x-2)^2=x^2-4x+4$" }, { "question": "두 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{a^2-45}=b$가 성립할 때, $2a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a^2-45}=b$의 양변을 제곱하면 $a^2-45=b^2$ $a^2-b^2=45$ $∴ (a+b)(a-b)=45$ $a$, $b$는 자연수이므로 $\\begin{cases} a+b=45 \\\\ a-b=1 \\end{cases}$ 또는$\\begin{cases} a+b=15 \\\\ a-b=3 \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} a+b=9 \\\\ a-b=5 \\end{cases}$ $\\begin{cases} a+b=45 \\\\ a-b=1 \\end{cases}$ 을 풀면 $a=23$, $b=22$ $\\begin{cases} a+b=15 \\\\ a-b=3 \\end{cases}$ 을 풀면 $a=9$, $b=6$ $\\begin{cases} a+b=9 \\\\ a-b=5 \\end{cases}$ 를 풀면 $a=7$, $b=2$ 이때 $a$, $b$는 두 자리의 자연수이므로 $a=23$, $b=22$ $∴ 2a-b=2\\times23-22=24$" }, { "question": "두 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{4a^2-63}=b$가 성립할 때, $2a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{4 a^{2}-63}=b$ 의 양변을 제곱하면 $4 a^{2}-63=b^{2}$ $4 a^{2}-b^{2}=63$ $\\therefore(2 a+b)(2 a-b)=63$ $a, b$ 는 자연수이므로 $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=63 \\\\ 2 a-b=1\\end{array}\\right.$ 또는 $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=21 \\\\ 2 a-b=3\\end{array}\\right.$ 또는 $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=9 \\\\ 2 a-b=7\\end{array}\\right.$ $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=63 \\\\ 2 a-b=1\\end{array}\\right.$ 을 풀면 $a=16, b=31$ $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=21 \\\\ 2 a-b=3\\end{array}\\right.$ 을 풀면 $a=6, b=9$ $\\left\\{\\begin{array}{l}2 a+b=9 \\\\ 2 a-b=7\\end{array}\\right.$ 을 풀면 $a=4, b=1$ 이때 $a, b$ 는 두 자리의 자연수이므로 $a=16, b=31$ $\\therefore 2 a-b=2 \\times 16-31=1$" }, { "question": "다음 그림의 두 도형 ㈎, ㈏의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 ㈎의 넓이가 $x^2+18x+a$일 때, 도형 ㈏의 넓이를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x^2+18x+a=(x+3)(x+b)$($b$는 수)로 놓으면 $x^2+18x+a=x^2+(3+b)x+3b$ 즉, $18=3+b$, $a=3b$이므로 $a=45$, $b=15$ 도형 ㈎의 넓이가 $(x+3)(x+15)$이고, 가로의 길이가 $x+3$이므로 세로의 길이는 $x+15$이다. $(도형 ㈎의 둘레의 길이$ $=$$2\\lbrace(x+3)+(x+15)\\rbrace$$=$$2(2x+18)$$=)4x+36$ 도형 ㈏의 둘레의 길이가 $4x+36=4(x+9)$이므로 한 변의 길이는 $x+9$이다. 따라서 도형 ㈏의 넓이는 $(x+9)^2=x^2+18x+81$" }, { "question": "$(2x-y)(ax+3y-5)$를 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $x^2$항은 $2x\\times ax$$=2ax^2$이므로 $x^2$의 계수는 $2a$ $xy$항은 $2x\\times3y+(-y)\\times ax$$=6xy-axy$$=(6-a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $6-a$ 이때 $x^2$의 계수와 $xy$의 계수가 같으므로 $2a$$=6-a$ $∴ $$a=2$" }, { "question": "$(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+25$가 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $b-c$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$(x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+25$ $=$$\\lbrace(x-3)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+2)\\rbrace+25$ $=$$(x^2+x-12)(x^2+x-2)+25$ $x^2+x=A$로 놓으면 $(x^2+x-12)(x^2+x-2)+25$ $=$$(A-12)(A-2)+25$ $=$$A^2-14A+49$ $=$$(A-7)^2$ $=$$(x^2+x-7)^2$ $b=1$, $c=-7$이므로 $b-c$$=1-(-7)$$=8$" }, { "question": "$5\\times11^3\\times x+30\\times11^3\\times(x+1)$이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$5\\times11^3\\times x+30\\times11^3\\times(x+1)$ $=$$5\\times11^3\\times x+6\\times5\\times11^3\\times(x+1)$ $=$$5\\times11^3\\times\\lbrace x+6(x+1)\\rbrace$ $=$$5\\times11^3\\times(7x+6)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $7x+6$은 $5\\times11\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $7x+6=5\\times11\\times1^2=55$ ∴ $x=7$ 따라서 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $7$이다." }, { "question": "다음 그림의 두 도형 $㈎$, $㈏$의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 $㈎$의 넓이가 $x^2-6x+p$일 때, 도형 $㈏$의 넓이를 구하여라. (단, $p$는 수)", "answer": "$x^2-6x+p=(x-2)(x+q)$($q$는 수)로 놓으면 $x^2-6x+p=x^2+(-2+q)x-2q$ 즉, $-6=-2+q$, $p=-2q$이므로 $p=8$, $q=-4$ 도형 ㈎의 넓이가 $(x-2)(x-4)$이고, 세로의 길이가 $x-2$이므로 가로의 길이는 $x-4$이다. $ (도형 ㈎의 둘레의 길이)$ $=$$2\\lbrace(x-4)+(x-2)\\rbrace$$=$$2(2x-6)$$=$$4x-12$ 도형 ㈏의 둘레의 길이가 $4x-12=4(x-3)$이므로 한 변의 길이는 $x-3$이다. 따라서 도형 ㈏의 넓이는 $(x-3)^2=x^2-6x+9$" }, { "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", "answer": "$A=(3x+5)(x-4)=3x^2-7x-20$ $B=(x-4)(x+4)=x^2-16$ $∴$ $A+B$$=(3x^2-7x-20)+(x^2-16)$$=4x^2-7x-36$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$일 때, $(x+3)^2+6(x+3)-7$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$$=\\frac{\\sqrt{5}-2}{(\\sqrt{5}+2)(\\sqrt{5}-2)}$$=-2+\\sqrt{5}$ $x+3=A$로 놓으면 $(x+3)^2+6(x+3)-7$ $=$$A^2+6A-7$ $=$$(A-1)(A+7)$ $=$$(x+3-1)(x+3+7)$ $=$$(x+2)(x+10)$ $x=-2+\\sqrt{5}$를 대입하면 $(x+2)(x+10)=$$\\{(-2+\\sqrt{5})+2\\}\\{(-2+\\sqrt{5})+10\\} $$=\\sqrt{5}+(8\\sqrt{5})$ $=5+8\\sqrt{5}$" }, { "question": "두 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{a^2-63}=b$가 성립할 때, $a-2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a^2-63}=b$의 양변을 제곱하면 $a^2-63=b^2$ $a^2-b^2=63$ $∴ (a+b)(a-b)=63$ $a$, $b$는 자연수이므로 또는 또는 을 풀면 $a=32$, $b=31$ 을 풀면 $a=12$, $b=9$ 을 풀면 $a=8$, $b=1$ 이때 $a$, $b$는 두 자리의 자연수이므로 $a=32$, $b=31$ $∴ a-2b=32-2\\times31=-30$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $3x+5$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $\\frac{1}{2}x+1$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(3x+5)-2(\\frac{1}{2}x+1)=3x+5-x-2$$=2x+3$ (2) 사진의 넓이는 $(2x+3)^2$$=4x^2+12x+9$" }, { "question": "$x=\\frac{2}{\\sqrt{2}+1}$일 때, $(x+2)^2+4(x+2)+3$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{2}{\\sqrt{2}+1}$$=\\frac{2(\\sqrt{2}-1)}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)}$$=-2+2\\sqrt{2}$ $x+2=A$로 놓으면 $(x+2)^2+4(x+2)+3$ $=$$A^2+4A+3$ $=$$(A+1)(A+3)$ $=$$(x+2+1)(x+2+3)$ $=$$(x+3)(x+5)$ $x=-2+2\\sqrt{2}$를 대입하면 $(x+3)(x+5)$ $=$$\\lbrace(-2+2\\sqrt{2})+3\\rbrace\\lbrace(-2+2\\sqrt{2})+5\\rbrace$ $=$$(1+2\\sqrt{2})(3+2\\sqrt{2})$ $=$$11+8\\sqrt{2}$" }, { "question": "$(6x-2)(5x+2)$의 전개식에서 $x^2$의 계수를 $a$, $(x+3)^2$의 전개식에서 $x$의 계수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. $(2)$ $b$의 값을 구하여라. $(3)$ $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(6x-2)(5x+2)$$=30x^2+2x-4$에서 $x^2$의 계수는 $30$이므로 $a=30$ (2) $(x+3)^2$$=x^2+6x+9$에서 $x$의 계수는 $6$이므로 $b=6$ (3) $ab$$=30\\times6$$=180$" }, { "question": "$3\\times7^3\\times a+12\\times7^3\\times(a+4)$가 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3\\times7^3\\times a+12\\times7^3\\times(a+4)$ $=$$3\\times7^3\\times a+4\\times3\\times7^3\\times(a+4)$ $=$$3\\times7^3\\times\\lbrace a+4(a+4)\\rbrace$ $=$$3\\times7^3\\times(5a+16)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $5a+16$은 $3\\times7\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $5a+16=3\\times7\\times1^2=21$ $∴$ $a=1$ 따라서 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $1$이다." }, { "question": "$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$이 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $bc$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$ $=$$\\lbrace(x+1)(x+4)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+3)\\rbrace+1$ $=$$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$ $x^2+5x=A$로 놓으면 $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$ $=$$(A+4)(A+6)+1$ $=$$A^2+10A+25$ $=$$(A+5)^2$ $=$$(x^2+5x+5)^2$ $b=5$, $c=5$이므로 $bc$$=5\\times5$$=25$" }, { "question": "$(2x+1)^2$의 전개식에서 상수항을 $a$, $(x+3)(2x-1)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. $(1)$ $a$의 값을 구하여라. $(2)$ $b$의 값을 구하여라. $(3)$ $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(2x+1)^2=4x^2+4x+1$에서 상수항은 $1$이므로 $a=1$ (2) $(x+3)(2x-1)=2x^2+5x-3$에서 $x$의 계수는 $5$이므로 $b=5$ (3) $ab=1\\times5=5$" }, { "question": "$(x-3)(2x+a)$의 전개식에서 $x$의 계수가 상수항보다 $2$만큼 작다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-3)(2x+a)$$=2x^2+(a-6)x-3a$ $x$의 계수 $a-6$이 상수항 $-3a$보다 $2$만큼 작으므로 $a-6=-3a-2$ $4a=4$ $∴ a=1$" }, { "question": "다음 그림의 두 도형 $A$, $B$의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 $A$의 넓이가 $x^2-12x+p$일 때, 도형 $B$의 넓이를 구하여라. (단, $p$는 수)", "answer": "$x^2-12x+p=(x+4)(x+q)$($q$는 수)로 놓으면 $x^2-12x+p=x^2+(4+q)x+4q$ 즉, $-12=4+q$, $p=4q$이므로 $p=-64$, $q=-16$ 도형 $A$의 넓이가 $(x+4)(x-16)$이고, 세로의 길이가 $x+4$이므로 가로의 길이는 $x-16$이다. $(도형 A의 둘레의 길이) =2\\lbrace(x-16)+(x+4)\\rbrace=2(2x-12)$$=$$4x-24$ 도형 $B$의 둘레의 길이가 $4x-24=4(x-6)$이므로 한 변의 길이는 $x-6$이다. 따라서 도형 $B$의 넓이는 $(x-6)^2=x^2-12x+36$" }, { "question": "$(4x+a)(x-1)$의 전개식에서 $x$의 계수가 상수항보다 $2$만큼 크다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(4x+a)(x-1)$$=4x^2+(a-4)x-a$ $x$의 계수 $a-4$가 상수항 $-a$보다 $2$만큼 크므로 $a-4=-a+2$ $2a=6$ $ \\therefore a=3$" }, { "question": "다음 그림의 두 도형 ㈎, ㈏의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 ㈎의 넓이가 $x^2+14x+p$일 때, 도형 ㈏의 넓이를 구하여라. (단, $p$는 수)", "answer": "$x^2+14x+p=(x+2)(x+q)$($q$는 수)로 놓으면 $x^2+14x+p=x^2+(2+q)x+2q$ 즉, $14=2+q$, $p=2q$이므로 $p=24$, $q=12$ 도형 ㈎의 넓이가 $(x+2)(x+12)$이고, 가로의 길이가 $x+2$이므로 세로의 길이는 $x+12$이다. $=$$2\\lbrace(x+2)+(x+12)\\rbrace$$=$$2(2x+14)$$=$$4x+28$ 도형 ㈏의 둘레의 길이가 $4x+28=4(x+7)$이므로 한 변의 길이는 $x+7$이다. 따라서 도형 ㈏의 넓이는 $(x+7)^2=x^2+14x+49$" }, { "question": "$7\\times11^3\\times x+35\\times11^3\\times(x+1)$이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$7\\times11^3\\times x+35\\times11^3\\times(x+1) =7\\times11^3\\times x+5\\times7\\times11^3\\times(x+1) =7\\times11^3\\times\\lbrace x+5(x+1)\\rbrace =7\\times11^3\\times(6x+5)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $6x+5$는 $7\\times11\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $6x+5=7\\times11\\times1^2=77$ $∴ x=12$ 따라서 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $12$이다." }, { "question": "다음 그림의 두 도형 A, B의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 A의 넓이가 $x^2+16x+a$일 때, 도형 B의 넓이를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x^2+16x+a=(x+6)(x+b)$($b$는 수)로 놓으면 $x^2+16x+a=x^2+(6+b)x+6b$ 즉, $16=6+b$, $a=6b$이므로 $a=60$, $b=10$ 도형 A의 넓이가 $(x+6)(x+10)$이고, 세로의 길이가 $x+6$이므로 가로의 길이는 $x+10$이다. $(도형 B의 둘레의 길이=$$2\\lbrace(x+10)+(x+6)\\rbrace$$=$$2(2x+16)$$=$$4x+32)$ 도형 B의 둘레의 길이가 $4x+32=4(x+8)$이므로 한 변의 길이는 $x+8$이다. 따라서 도형 B의 넓이는 $(x+8)^2=x^2+16x+64$" }, { "question": "다음 그림의 두 도형 $㈎$, $㈏$의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 $㈎$의 넓이가 $x^2+6x+a$일 때, 도형 $㈏$의 넓이를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x^2+6x+a=(x+1)(x+b)$($b$는 수)로 놓으면 $x^2+6x+a=x^2+(1+b)x+b$ 즉, $6=1+b$, $a=b$이므로 $a=5$, $b=5$ 도형 ㈎의 넓이가 $(x+1)(x+5)$이고, 세로의 길이가 $x+1$이므로 가로의 길이는 $x+5$이다. $(도형 ㈎의 둘레의 길이)=2\\lbrace(x+5)+(x+1)\\rbrace=2(2x+6)=4x+12$ 도형 ㈏의 둘레의 길이가 $4x+12=4(x+3)$이므로 한 변의 길이는 $x+3$이다. 따라서 도형 ㈏의 넓이는 $(x+3)^2=x^2+6x+9$" }, { "question": "$(x-2)(x-1)(x+4)(x+5)+9$가 $(x^2+ax+b)^2$으로 인수분해될 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "$(x-2)(x-1)(x+4)(x+5)+9$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+4)\\rbrace+9$ $=$$(x^2+3x-10)(x^2+3x-4)+9$ $x^2+3x=A$로 놓으면 $(x^2+3x-10)(x^2+3x-4)+9$ $=$$(A-10)(A-4)+9$ $=$$A^2-14A+49$ $=$$(A-7)^2$ $=$$(x^2+3x-7)^2$ $a=3$, $b=-7$이므로 $a+b$$=3+(-7)$$=-4$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $x+\\frac{1}{2}y$, $3x-y$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1) 한 변의 길이가 $x+\\frac{1}{2}y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2) 한 변의 길이가 $3x-y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1)한 변의 길이가 $x+\\frac{1}{2}y$인 정사각형의 넓이는 $(x+\\frac{1}{2}y)^2=x^2+xy+\\frac{1}{4}y^2$ (2)한 변의 길이가 $3x-y$인 정사각형의 넓이는 $(3x-y)^2=9x^2-6xy+y^2$ (3)구하는 넓이의 합은 $(x^2+xy+\\frac{1}{4}y^2)+(9x^2-6xy+y^2)$$=10x^2-5xy+\\frac{5}{4}y^2$" }, { "question": "$(3x+a)(2x-1)$의 전개식에서 상수항이 $x$의 계수보다 $9$만큼 크다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x+a)(2x-1)$$=6x^2+(2a-3)x-a$ 상수항 $-a$가 $x$의 계수 $2a-3$보다 $9$만큼 크므로 $-a=(2a-3)+9$ $-3a=6$ $∴ a=-2$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $x+2y$, $\\frac{1}{2}x-3y$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. $(1)$한 변의 길이가 $x+2y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. $(2)$ 한 변의 길이가 $\\frac{1}{2}x-3y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. $(3)$ 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "한 변의 길이가 $x+2y$인 정사각형의 넓이는 $(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2$ 한 변의 길이가 $\\frac{1}{2}x-3y$인 정사각형의 넓이는 $(\\frac{1}{2}x-3y)^2=\\frac{1}{4}x^2-3xy+9y^2$ 구하는 넓이의 합은 $(x^2+4xy+4y^2)+(\\frac{1}{4}x^2-3xy+9y^2)$$=\\frac{5}{4}x^2+xy+13y^2$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $3a-4b$, $5a-b$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1) 한 변의 길이가 $3a-4b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2) 한 변의 길이가 $5a-b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1) 한 변의 길이가 $3a-4b$인 정사각형의 넓이는 $(3a-4b)^2=9a^2-24ab+16b^2$ (2) 한 변의 길이가 $5a-b$인 정사각형의 넓이는 $(5a-b)^2=25a^2-10ab+b^2$ (3) 구하는 넓이의 합은 $(9a^2-24ab+16b^2)+(25a^2-10ab+b^2)$ $=34a^2-34ab+17b^2$" }, { "question": "$x=\\frac{2}{\\sqrt{6}+2}$일 때, $(x-3)^2+(x-3)-12$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{2}{\\sqrt{6}+2}$$=\\frac{2(\\sqrt{6}-2)}{(\\sqrt{6}+2)(\\sqrt{6}-2)}$$=-2+\\sqrt{6}$ $x-3=A$로 놓으면 $(x-3)^2+(x-3)-12$ $=$$A^2+A-12$ $=$$(A-3)(A+4)$ $=$$(x-3-3)(x-3+4)$ $=$$(x-6)(x+1)$ $x=-2+\\sqrt{6}$을 대입하면 $(x-6)(x+1)=\\lbrace {(-2+\\sqrt{6})} -6 \\rbrace \\lbrace {(-2+\\sqrt{6})} +1 \\rbrace =(-8+\\sqrt{6})(-1+\\sqrt{6})=$$14-9\\sqrt{6}$" }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax-8$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. $(단, a, b, A는 정수)$", "answer": "$(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$$=x^2+Ax-8$이므로 $ab=-8$을 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, -8)$, $(2, -4)$, $(4, -2)$, $(8, -1)$, $(-1, 8)$, $(-2, 4)$, $(-4, 2)$, $(-8, 1)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $-7$, $-2$, $2$, $7$이다." }, { "question": "$x(x+2)(x+4)(x+6)+16$이 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $b+c$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$x(x+2)(x+4)(x+6)+16$ $=$$\\lbrace x(x+6)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+4)\\rbrace+16$ $=$$(x^2+6x)(x^2+6x+8)+16$ $x^2+6x=A$로 놓으면 $(x^2+6x)(x^2+6x+8)+16$ $=$$A(A+8)+16$ $=$$A^2+8A+16$ $=$$(A+4)^2$ $=$$(x^2+6x+4)^2$ $b=6$, $c=4$이므로 $b+c$$=6+4$$=10$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$일 때, $(x-2)^2-3(x-2)+2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{5}-2}$$=\\frac{\\sqrt{5}+2}{(\\sqrt{5}-2)(\\sqrt{5}+2)}$$=2+\\sqrt{5}$ $x-2=A$로 놓으면 $(x-2)^2-3(x-2)+2$ $=$$A^2-3A+2$ $=$$(A-1)(A-2)$ $=$$(x-2-1)(x-2-2)$ $=$$(x-3)(x-4)$ $x=2+\\sqrt{5}$를 대입하면 $(x-3)(x-4)=\\lbrace(2+\\sqrt{5})-3\\rbrace \\lbrace(2+\\sqrt{5})-4\\rbrace$ $=(-1+\\sqrt{5})(-2+\\sqrt{5})$ $=$$7-3\\sqrt{5}$" }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax+9$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. (단, $a, b, A$는 정수)", "answer": "$(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$$=x^2+Ax+9$이므로 $ab=9$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, 9)$, $(3, 3)$, $(9, 1)$, $(-1, -9)$, $(-3, -3)$, $(-9, -1)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $10$, $6$, $-10$, $-6$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $x-\\frac{1}{3}y$, $2x-y$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1)한 변의 길이가 $x-\\frac{1}{3}y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2)한 변의 길이가 $2x-y$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1) 한 변의 길이가 $x-\\frac{1}{3}y$인 정사각형의 넓이는 $(x-\\frac{1}{3}y)^2$$=x^2-\\frac{2}{3}xy+\\frac{1}{9}y^2$ (2) 한 변의 길이가 $2x-y$인 정사각형의 넓이는 $(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2$ (3) 구하는 넓이의 합은 $(x^2-\\frac{2}{3}xy+\\frac{1}{9}y^2)+(4x^2-4xy+y^2)$$=5x^2-\\frac{14}{3}xy+\\frac{10}{9}y^2$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $2a+3b$, $4a-b$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1) 한 변의 길이가 $2a+3b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2) 한 변의 길이가 $4a-b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1) 한 변의 길이가 $2a+3b$인 정사각형의 넓이는 $(2a+3b)^2=4a^2+12ab+9b^2$ (2) 한 변의 길이가 $4a-b$인 정사각형의 넓이는 $(4a-b)^2=16a^2-8ab+b^2$ (3) 구하는 넓이의 합은 $(4a^2+12ab+9b^2)+(16a^2-8ab+b^2)$$=20a^2+4ab+10b^2$" }, { "question": "$(2x+1)(x-3)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $a$, $(3x-1)(3x+1)$의 전개식에서 상수항을 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(2x+1)(x-3)$$=2x^2-5x-3$에서 $x$의 계수는 $-5$이므로 $a=-5$ (2) $(3x-1)(3x+1)$$=9x^2-1$에서 상수항은 $-1$이므로 $b=-1$ (3) $a-b$$=(-5)-(-1)$$=-4$" }, { "question": "한 변의 길이가 각각 $a-2b$, $3a+b$인 두 정사각형이 있다. 다음 물음에 답하여라. (1) 한 변의 길이가 $a-2b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (2) 한 변의 길이가 $3a+b$인 정사각형의 넓이를 전개식으로 나타내어라. (3) 두 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "(1) 한 변의 길이가 $a-2b$인 정사각형의 넓이는 $(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2$ (2) 한 변의 길이가 $3a+b$인 정사각형의 넓이는 $(3a+b)^2=9a^2+6ab+b^2$ (3) 구하는 넓이의 합은 $(a^2-4ab+4b^2)+(9a^2+6ab+b^2)$$=10a^2+2ab+5b^2$" }, { "question": "$x=\\frac{2}{\\sqrt{6}-2}$일 때, $(x+1)^2+5(x+1)-24$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{2}{\\sqrt{6}-2}$$=\\frac{2(\\sqrt{6}+2)}{(\\sqrt{6}-2)(\\sqrt{6}+2)}$$=2+\\sqrt{6}$ $x+1=A$로 놓으면 $(x+1)^2+5(x+1)-24$ $=$$A^2+5A-24$ $=$$(A-3)(A+8)$ $=$$(x+1-3)(x+1+8)$ $=$$(x-2)(x+9)$ $x=2+\\sqrt{6}$을 대입하면 $=$$6+11\\sqrt{6}$" }, { "question": "$(2x-5)(3x+a)$의 전개식에서 $x$의 계수가 상수항보다 $1$만큼 작다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-5)(3x+a)$$=6x^2+(2a-15)x-5a$ $x$의 계수 $2a-15$가 상수항 $-5a$보다 $1$만큼 작으므로 $2a-15=-5a-1$ $7a=14$ $∴ a=2$" }, { "question": "$(4x-1)(3x-2)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $a$, $(x-5)(2x+1)$의 전개식에서 $x^2$의 계수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라", "answer": "(1) $(4x-1)(3x-2)$$=12x^2-11x+2$에서 $x$의 계수는 $-11$이므로 $a=-11$ (2) $(x-5)(2x+1)$$=2x^2-9x-5$에서 $x^2$의 계수는 $2$이므로 $b=2$ (3) $a+b$$=-11+2$$=-9$" }, { "question": "$x(x-2)(x-1)(x+1)+1$이 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $bc$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$x(x-2)(x-1)(x+1)+1$ $=$$\\lbrace x(x-1)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x+1)\\rbrace+1$ $=$$(x^2-x)(x^2-x-2)+1$ $x^2-x=A$로 놓으면 $(x^2-x)(x^2-x-2)+1$ $=$$A(A-2)+1$ $=$$A^2-2A+1$ $=$$(A-1)^2$ $=$$(x^2-x-1)^2$ $b=-1$, $c=-1$이므로 $bc$$=(-1)\\times(-1)$$=1$" }, { "question": "$(x+a)(5x+3)$의 전개식에서 상수항이 $x$의 계수보다 $3$만큼 크다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+a)(5x+3)$$=5x^2+(5a+3)x+3a$ 상수항 $3a$가 $x$의 계수 $5a+3$보다 $3$만큼 크므로 $3a=(5a+3)+3$ $-2a=6$ $∴a=-3$" }, { "question": "두 자리의 자연수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{a^2-21}=b$가 성립할 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{a^2-21}=b$의 양변을 제곱하면 $a^2-21=b^2$ $a^2-b^2=21$ $∴ (a+b)(a-b)=21$ $a$, $b$는 자연수이므로 $\\begin{cases} a+b=21\\\\ a-b=1\\\\ \\end{cases}$ 또는 $\\begin{cases} a+b=7\\\\ a-b=3\\\\ \\end{cases}$ $\\begin{cases} a+b=21\\\\ a-b=1\\\\ \\end{cases}$을 풀면 $a=11$, $b=10$ $\\begin{cases} a+b=7\\\\ a-b=3\\\\ \\end{cases}$을 풀면 $a=5$, $b=2$ 이때 $a$, $b$는 두 자리의 자연수이므로 $a=11$, $b=10$ $∴ ab=11\\times10=110$" }, { "question": "$(4x-1)(2x+a)$의 전개식에서 $x$의 계수가 상수항보다 $3$만큼 크다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(4x-1)(2x+a)$$=8x^2+(4a-2)x-a$ $x$의 계수 $4a-2$가 상수항 $-a$보다 $3$만큼 크므로 $4a-2=-a+3$ $5a=5$ $∴$ $a=1$" }, { "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{2}+1}$일 때, $(x-4)^2+8(x-4)+15$의 값을 구하여라.", "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{2}+1}$$=\\frac{\\sqrt{2}-1}{(\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}-1)}$$=-1+\\sqrt{2}$ $x-4=A$로 놓으면 $(x-4)^2+8(x-4)+15$ $=$$A^2+8A+15$ $=$$(A+3)(A+5)$ $=$$(x-4+3)(x-4+5)$ $=$$(x-1)(x+1)$ $x=-1+\\sqrt{2}$를 대입하면 $(x-1)(x+1)=\\lbrace(-1+\\sqrt{2})-1\\rbrace\\lbrace(-1+\\sqrt{2})+1\\rbrace$ $=(-2+\\sqrt{2})\\times\\sqrt{2}$ $=$$2-2\\sqrt{2}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $3x+7$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가$ x-\\frac{1}{2}$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(3x+7)-2(x-\\frac{1}{2})$$=3x+7-2x+1$$=x+8$ (2) 사진의 넓이는 $(x+8)^2$$=x^2+16x+64$" }, { "question": "$(2x-1)(3x+a)$의 전개식에서 $x$의 계수가 상수항보다 $3$만큼 크다고 할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-1)(3x+a)$$=6x^2+(2a-3)x-a$ $x$의 계수 $2a-3$이 상수항 $-a$보다 $3$만큼 크므로 $2a-3=-a+3$ $3a=6$ $∴ a=2$" }, { "question": "$(2x+3)(2x-3)$의 전개식에서 $x^2$의 계수를 $a$, $(x+3)(x-4)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(2x+3)(2x-3)$$=4x^2-9$에서 $x^2$의 계수는 $4$이므로 $a=4$ (2) $(x+3)(x-4)$$=x^2-x-12$에서 $x$의 계수는 $-1$이므로 $b=-1$ (3) $a+b$$=4+(-1)$$=3$" }, { "question": "$(3x+2)(2x-3)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $a$, $(x+5)(x-5)$의 전개식에서 상수항을 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(3x+2)(2x-3)$$=6x^2-5x-6$에서 $x$의 계수는 $-5$이므로 $a=-5$ (2) $(x+5)(x-5)$$=x^2-25$에서 상수항은 $-25$이므로 $b=-25$ (3) $a-b=(-5)-(-25)=20$" }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax-28$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. (단, $a$, $b$, $A$는 정수)", "answer": "$(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$$=x^2+Ax-28$이므로 $ab=-28$을 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, -28)$, $(2, -14)$, $(4, -7)$, $(7, -4)$, $(14, -2)$, $(28, -1)$, $(-1, 28)$, $(-2, 14)$, $(-4, 7)$, $(-7, 4)$, $(-14, 2)$, $(-28, 1)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $-27$, $-12$, $-3$, $3$, $12$, $27$이다." }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax-12$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. (단, $a$, $b$, $A$는 정수)", "answer": "$(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$$=x^2+Ax-12$이므로 $ab=-12$를 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, -12)$, $(2, -6)$, $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(6, -2)$, $(12, -1)$, $(-1, 12)$, $(-2, 6)$, $(-3, 4)$, $(-4, 3)$, $(-6, 2)$, $(-12, 1)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $-11$, $-4$, $-1$, $1$, $4$, $11$이다." }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{928^2-9}{925}$를 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) $925=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{928^2-9}{925}$를 계산하여라.", "answer": "(1)$925=A$이므로 $928=A+3$1을 대입하면 $\\frac{928^2-9}{925}$=$\\frac{(A+3)^2-9}{A}$=$\\frac{A^2+6A+9-9}{A}$ $=$$\\frac{A^2+6A}{A}$$=$$A+6$ (2) $A=925$이므로 $\\frac{928^2-9}{925}=A+6=925+6=931$" }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $2a$만큼 줄이고 세로의 길이를 $5a$만큼 늘여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2+6x-2b$라 한다. 이때 $b-a$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x-2a$, 세로의 길이는 $x+5a$이므로 넓이는 $(x-2a)(x+5a)=x^2+3ax-10a^2$ $3a=6$, $10a^2=2b$이므로 $a=2$, $b=5a^2=5\\times2^2=20$ $∴$ $b-a$$=20-2$$=18$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $5x+1$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $\\frac{3}{2}x-2$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(5x+1)-2(\\frac{3}{2}x-2)$$=5x+1-3x+4$$=2x+5$ (2) 사진의 넓이는 $(2x+5)^2$$=4x^2+20x+25$" }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax+10$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. (단, $a$, $b$, $A$는 정수)", "answer": "$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab=x^2+Ax+10$이므로 $ab=10$을 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$, $(10, 1)$, $(-1, -10)$, $(-2, -5)$, $(-5, -2)$, $(-10, -1)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $11$, $7$, $-11$, $-7$이다." }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $5x - 4$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $\\frac{1}{2}x -1$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(5x-4)-2(\\frac{1}{2}x-1)$$=5x-4-x+2$$=4x-2$ (2) 사진의 넓이는 $(4x-2)^2$$=16x^2-16x+4$" }, { "question": "다음 세 다항식이 모두 완전제곱식이 될 때, $a+b+c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수이고 $abc<0$) $x^2-2x+a$ $x^2+bx+144$ $cx^2+6x+1$", "answer": "$x^2-2x+a$$=x^2-2\\times x\\times1+a$이므로 완전제곱식이 되려면 $a$$=1^2$$=1$ $x^2+bx+144$$=x^2+bx+12^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $b$$=\\pm2\\times1\\times12$$=\\pm24$ $cx^2+6x+1$$=cx^2+2\\times3x\\times1+1^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $c$$=3^2$$=9$ 이때 $abc<0$이고, $a>0$, $c>0$이므로 $b<0$ 따라서 $a=1$, $b=-24$, $c=9$이므로 $a+b+c$$=1+(-24)+9$$=-14$" }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $8a$만큼 늘이고 세로의 길이를 $5a$만큼 줄여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2+15x-10b$라 한다. 이때 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x+8a$, 세로의 길이는 $x-5a$이므로 넓이는 $(x+8a)(x-5a)=x^2+3ax-40a^2$ $3a=15$, $40a^2=10b$이므로 $a=5$, $b=4a^2=4\\times5^2=100$ $∴ \\frac{b}{a}$$=\\frac{100}{5}$$=20$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $5x-3$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $x+\\frac{1}{2}$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(5x-3)-2(x+\\frac{1}{2})$$=5x-3-2x-1$$=3x-4$ (2) 사진의 넓이는 $(3x-4)^2$$=9x^2-24x+16$" }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{850^2-36}{856}$을 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) 856=$A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2)(1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{850^2-36}{856}$을 계산하여라.", "answer": "(1) $856 = A$이므로 $850 = A - 6$을 대입하면 $\\frac{850^2-36}{856}$=$\\frac{(A-6)^2-36}{A}$=$\\frac{A^2-124+36-36}{A}$ $=$$\\frac{A^2-12A}{A}$$=$$A-12$ (2)$A=856$이므로 $\\frac{850^2-36}{856}=A-12=856-12=844$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a+b=2$, $ab=-8$, $x+y=3$, $xy=2$일 때, ($ax-by$)($bx-ay$)의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax-by)(bx-ay)=abx^2-a^2xy-b^2xy+aby^2$ $=$$ab(x^2+y^2)-xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=3^2-2\\times2$$=5$ $a^2+b^2$$=(a+b)^2-2ab$$=2^2-2\\times(-8)$$=20$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)-xy(a^2+b^2)=(-8)\\times5-2\\times20=-80$" }, { "question": "$x(x-4)(x+1)(x+5)+100$이 $(x^2+bx+c)^2$으로 인수분해될 때, $b-c$의 값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 수)", "answer": "$x(x-4)(x+1)(x+5)+100$ $=$$\\lbrace x(x+1)\\rbrace\\lbrace(x-4)(x+5)\\rbrace+100$ $=$$(x^2+x)(x^2+x-20)+100$ $x^2+x=A$로 놓으면 $(x^2+x)(x^2+x-20)+100$ $=$$A(A-20)+100$ $=$$A^2-20A+100$ $=$$(A-10)^2$ $=$$(x^2+x-10)^2$ $b=1$, $c=-10$이므로 $b-c$$=1-(-10)$$=11$" }, { "question": "$(x+a)(x+b)$를 전개한 식이 $x^2+Ax-16$일 때, 가능한 $A$의 값을 모두 구하여라. (단, $a$, $b$,$A$는 정수)", "answer": "$(x+a)(x+b)$$=x^2+(a+b)x+ab$$=x^2+Ax-16$이므로 $ab=-16$을 만족시키는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, -16)$, $(2, -8)$, $(4, -4)$, $(8, -2)$, $(16, -1)$, $(-1, 16)$, $(-2, 8)$, $(-4, 4)$, $(-8, 2)$ 이때 $A=a+b$이므로 가능한 $A$의 값은 $-15$, $-6$, $0$, $6$, $15$이다." }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $7a$만큼 줄이고 세로의 길이를 $11a$만큼 늘여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2+12x-7b$라 한다. 이때 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x-7a$, 세로의 길이는 $x+11a$이므로 넓이는 $(x-7a)(x+11a)=x^2+4ax-77a^2$ $4a=12$, $77a^2=7b$이므로 $a=3$, $b=11a^2=11\\times3^2=99$ $ \\therefore \\frac{b}{a}$$=\\frac{99}{3}$$=33$" }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{2019^2-1}{2020}$을 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) $2020=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{2019^2-1}{2020}$을 계산하여라.", "answer": "(1) $2020=A$ 이므로 $2019=A-1$을 대입하면 $\\frac{2019^2-1}{2020}=\\frac{(A-1)^2-1}{A}=\\frac{A^2-2A+1-1}{A}=\\frac{A^2-2A}{A}=A-2$ $A=2020$이므로 $\\frac{2019^2-1}{2020}=A-2=2020-2=2018$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $4x+5$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $\\frac{3}{2}x-1$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1)사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1) 사진의 한 변의 길이는 $(4x+5)-2(\\frac{3}{2}x-1)$$=4x+5-3x+2$$=x+7$ (2) 사진의 넓이는 $(x+7)^2$$=x^2+14x+49$" }, { "question": "다음 세 다항식이 모두 완전제곱식이 될 때, $abc$의 값을 구하여라. (단, $a, b, c$는 수이고 $abc<0$) $\\\\$ $4x^2+12x+a~~~$ $x^2+bx+81~~~~~$ $x^2-\\frac{2}{3}x+c$", "answer": "$4x^2+12x+a$$=(2x)^2+2\\times2x\\times3+a$이므로 완전제곱식이 되려면 $a$$=3^2$$=9$ $x^2+bx+81$$=x^2+bx+9^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $b$$=\\pm2\\times1\\times9$$=\\pm18$ $x^2-\\frac{2}{3}x+c$$=x^2-2\\times x\\times\\frac{1}{3}+c$이므로 완전제곱식이 되려면 $c$$=(\\frac{1}{3})^2$$=\\frac{1}{9}$ 이때 $abc<0$이고, $a>0$, $c>0$이므로 $b<0$ 따라서 $a=9$, $b=-18$, $c=\\frac{1}{9}$이므로 $abc$$=9\\times(-18)\\times\\frac{1}{9}$$=-18$" }, { "question": "$-50$, $x-5<0$이므로 $\\sqrt{(x-5)^2+20x}-\\sqrt{(x+5)^2-20x}$ $=$$\\sqrt{x^2+10x+25}-\\sqrt{x^2-10x+25}$ $=$$\\sqrt{(x+5)^2}-\\sqrt{(x-5)^2}$ $=$$(x+5)-\\lbrace-(x-5)\\rbrace$ $=$$x+5+x-5$ $=$$2x$" }, { "question": "$ax^2-\\frac{1}{4}=(bx+\\frac{1}{2})(6x+c)$일 때, $a-b+2c$의 값을 구하여라. (단, $a, b, c$는 수)", "answer": "$ax^2-\\frac{1}{4}=(bx+\\frac{1}{2})(6x+c)=6bx^2+(bc+3)x+\\frac{1}{2}c$ $-\\frac{1}{4}=\\frac{1}{2}c$이므로 $c=-\\frac{1}{2}$ $0=bc+3$이므로 $0=-\\frac{1}{2}b+3$에서 $b=6$ $a=6b$이므로 $a=6\\times6=36$ $∴ a-b+2c$$=36-6+2\\times(-\\frac{1}{2})$$=29$" }, { "question": "$ax^2-49=(5x+b)(cx-7)$일 때, $a-b-c$의 값을 구하여라. (단, $a$,$ b$, $c$는 수)", "answer": "$ax^2-49=(5x+b)(cx-7)=5cx^2+(bc-35)x-7b$ $-49=-7b$이므로 $b=7$ $0=bc-35$이므로 $0=7c-35$에서 $c=5$ $a=5c$이므로 $a=5\\times5=25$ $∴$ $a-b-c$$=25-7-5$$=13$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $3x+7$인 정사각형 모양의 액자가 있다. 테두리의 두께가 $x+2$로 일정할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 사진의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 사진의 넓이를 전개식으로 나타내어라.", "answer": "(1)사진의 한 변의 길이는 $(3x+7)-2(x+2)$$=3x+7-2x-4$$=x+3$ (2) 사진의 넓이는 $(x+3)^2$$=x^2+6x+9$" }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{518^2-16}{514}$을 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) $514=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{518^2-16}{514}$을 계산하여라.", "answer": "(1)$514=A$이므로$518=A+4$를 대입하면 $\\frac{518^2-16}{514}=\\frac{(A+4)^2-16}{A}=\\frac{A^2+8A+16-16}{A}$ $=$$\\frac{A^2+8A}{A}$$=$$A+8$ (2)$A=514$이므로 $\\frac{518^2-16}{514}=A+8=514+8=522$" }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{397^2-25}{402}$를 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) $402=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{397^2-25}{402}$를 계산하여라.", "answer": "(1) $402=A$ 이므로 $397=A-5$ 를 대입하면 \\[ \\begin{aligned} \\frac{397^{2}-25}{402} & =\\frac{(A-5)^{2}-25}{A}=\\frac{A^{2}-10 A+25-25}{A} \\\\ & =\\frac{A^{2}-10 A}{A}=A-10 \\end{aligned} \\] $A=402$이므로 $\\frac{397^2-25}{402}=A-10=402-10=392$" }, { "question": "$-40$이므로 $\\sqrt{(x+4)^2-16x}-\\sqrt{(x-4)^2+16x}$ $=$$\\sqrt{x^2-8x+16}-\\sqrt{x^2+8x+16}$ $=$$\\sqrt{(x-4)^2}-\\sqrt{(x+4)^2}$ $=$$-(x-4)-(x+4)$ $=$$-x+4-x-4$ $=$$-2x$" }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $6a$만큼 늘이고 세로의 길이를 $10a$만큼 줄여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2-8x+4b$라 한다. 이때 $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x+6a$, 세로의 길이는 $x-10a$이므로 넓이는 $(x+6a)(x-10a)=x^2-4ax-60a^2$ $4a=8$, $-60a^2=4b$이므로 $a=2$, $b=-15a^2=(-15)\\times2^2=-60$ $∴ a-b$$=2-(-60)$$=2+60$$=62$" }, { "question": "다음 세 다항식이 $1$이 아닌 공통인 인수를 가질 때, 수 $a$의 값을 구하여라. $9x^2-4\\\\3x^2+17x+a \\\\3x^2-7x-6$", "answer": "$9x^2-4$$=(3x+2)(3x-2)$, $3x^2-7x-6=(x-3)(3x+2)$ 즉, 두 다항식의 공통인 인수는 $3x+2$이므로 $3x^2+17x+a$도 $3x+2$를 인수로 갖는다. $3x^2+17x+a=(3x+2)(x+m)$ ($m$은 수)으로 놓으면 $3x^2+17x+a=3x^2+(3m+2)x+2m$ $17=3m+2$에서 $m=5$이므로 $a=2m=2\\times5=10$" }, { "question": "다항식 $9x^2+(m+3)x+4$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $m$의 값을 $m_1$, $m_2$라 할 때, $m_1-m_2$의 값을 구하여라. (단, $m_1>m_2$)", "answer": "$9x^2+(m+3)x+4=(3x)^2+(m+3)x+2^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $m+3$$=\\pm2\\times3\\times2$$=\\pm12$ $m+3=12$일 때, $m=9$ $m+3=-12$일 때, $m=-15$ $m_1>m_2$에서 $m_1=9$, $m_2=-15$이므로 $m_1-m_2$$=9-(-15)$$=24$" }, { "question": "$x=\\sqrt{6}+2$일 때, $\\sqrt{x^2-12x+36}+\\sqrt{x^2-2x+1}$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{6}<3$에서 $4<\\sqrt{6}+2<5$이므로 $40$이므로 $\\sqrt{x^2-12x+36}+\\sqrt{x^2-2x+1}$ $=$$\\sqrt{(x-6)^2}+\\sqrt{(x-1)^2}$ $=$$-(x-6)+(x-1)$ $=$$-x+6+x-1$ $=$$5$" }, { "question": "다음 세 다항식이 $1$이 아닌 공통인 인수를 가질 때, 수 $a$의 값을 구하여라. $6x^2-2x$ $3x^2+2x-1$ $12x^2+5x+a$", "answer": "$6x^2-2x$$=2x(3x-1)$, $3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)$ 즉, 두 다항식의 공통인 인수는 $3x-1$이므로 $12x^2+5x+a$도 $3x-1$을 인수로 갖는다. $12x^2+5x+a=(3x-1)(4x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $12x^2+5x+a=12x^2+(3m-4)x-m$ $5=3m-4$에서 $m=3$이므로 $a=-m=-3$" }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $6a$만큼 줄이고 세로의 길이를 $4a$만큼 늘여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2-8x-12b$라 한다. 이때 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x-6a$, 세로의 길이는 $x+4a$이므로 넓이는 $(x-6a)(x+4a)=x^2-2ax-24a^2$ $2a=8$, $24a^2=12b$이므로 $a=4$, $b=2a^2=2\\times4^2=32$ $∴ \\frac{b}{a}$$=\\frac{32}{4}$$=8$" }, { "question": "다항식 $x^2+(m+3)x+25$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $m$의 값을 $m_1$, $m_2$라 할 때, $m_2-m_1$의 값을 구하여라. (단, $m_1>m_2$)", "answer": "$x^2+(m+3)x+25=x^2+(m+3)x+5^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $m+3$$=\\pm2\\times1\\times5$$=\\pm10$ $m+3=10$일 때, $m=7$ $m+3=-10$일 때, $m=-13$ $m_1>m_2$에서 $m_1=7$, $m_2=-13$이므로 $m_2-m_1$$=-13-7$$=-20$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a-b=2$, $ab=-4$, $x-y=-3$, $xy=5$일 때, $(ax+by)(bx+ay)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+by)(bx+ay)=abx^2+a^2xy+b^2xy+aby^2=ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2) $$ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=(-3)^2+2\\times5$$=19$ $a^2+b^2$$=(a-b)^2+2ab$$=2^2+2\\times(-4)$$=-4$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)=(-4)\\times19+5\\times(-4)=-96$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a+b=4$, $ab=3$, $x+y=-1$, $xy=-6$일 때, $(ax+by)(bx+ay)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+by)(bx+ay)=abx^2+a^2xy+b^2xy+aby^2$ $=$$ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=(-1)^2-2\\times(-6)$$=13$ $a^2+b^2$$=(a+b)^2-2ab$$=4^2-2\\times3$$=10$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)=3\\times13+(-6)\\times10=-21$" }, { "question": "한 변의 길이가 $x$인 정사각형에서 가로의 길이를 $4a$만큼 줄이고 세로의 길이를 $3a$만큼 늘여서 만든 직사각형의 넓이가 $x^2-3x-4b$라 한다. 이때 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)", "answer": "새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 $x-4a$, 세로의 길이는 $x+3a$이므로 넓이는 $(x-4a)(x+3a)=x^2-ax-12a^2$ $a=3$, $12a^2=4b$이므로 $a=3$, $b=3a^2=3\\times3^2=27$ $∴$ $a+b$$=3+27$$=30$" }, { "question": "다항식 $x^2+(k-3)x+16$이 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 $k_1$, $k_2$라 할 때, $k_1-k_2$의 값을 구하여라. (단, $k_1>k_2$)", "answer": "$x^2+(k-3)x+16=x^2+(k-3)x+4^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $k-3$$=\\pm2\\times1\\times4$$=\\pm8$ $k-3=8$일 때, $k=11$ $k-3=-8$일 때, $k=-5$ $k_1>k_2$에서 $k_1=11$, $k_2=-5$이므로 $k_1-k_2$$=11-(-5)$$=16$" }, { "question": "다항식 $49x^2+(k+3)x+16$이 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 $k_1$, $k_2$라 할 때, $k_1+k_2$의 값을 구하여라. $(단, k_1>k_2)$", "answer": "$49x^2+(k+3)x+16=(7x)^2+(k+3)x+4^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $k+3$$=\\pm2\\times7\\times4$$=\\pm56$ $k+3=56$일 때, $k=53$ $k+3=-56$일 때, $k=-59$ $k_1>k_2$에서 $k_1=53$, $k_2=-59$이므로 $k_1+k_2$$=53+(-59)$$=-6$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a+b=-3$, $ab=5$, $x+y=2$, $xy=7$일 때, $(ax+by)(bx+ay)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+by)$$(bx+ay)=abx^2+a^2xy+b^2xy+aby^2$$=$$ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=2^2-2\\times7$$=-10$ $a^2+b^2$$=(a+b)^2-2ab$$=(-3)^2-2\\times5$$=-1$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)=5\\times(-10)+7\\times(-1)=-57$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a-b=2$, $ab=3$, $x-y=3$, $xy=4$일 때, $(ax-by)(bx-ay)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax-by)(bx-ay)=abx^2-a^2xy-b^2xy+aby^2$ $=$$ab(x^2+y^2)-xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=3^2+2\\times4$$=17$ $a^2+b^2$$=(a-b)^2+2ab$$=2^2+2\\times3$$=10$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)-xy(a^2+b^2)=3\\times17-4\\times10=11$" }, { "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{275^2-16}{271}$을 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라.$\\\\$ (1) $271=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{275^2-16}{271}$을 계산하여라.", "answer": "(1) $271=A$이므로 $275=A+4$를 대입하면 $\\frac{275^2+16}{271} $=$\\frac{(A+A)^2-16}{A}$ $=$$\\frac{A^2-8A+16-16}{A}$ $=$$\\frac{A^2+8A}{A}$$=$$A+8$ (2) $A=271$이므로 $\\frac{275^2-16}{271}=A+8=271+8=279$" }, { "question": "다음 세 다항식이 모두 완전제곱식이 될 때, $abc$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수이고 $abc<0$) $4x^2-2x+a$ $bx^2+20x+25$ $x^2+cx+49$", "answer": "$4x^2-2x+a$$=(2x)^2-2\\times2x\\times\\frac{1}{2}+a$이므로 완전제곱식이 되려면 $a$$=(\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$ $bx^2+20x+25$$=bx^2+2\\times2x\\times5+5^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $b$$=2^2$$=4$ $x^2+cx+49$$=x^2+cx+7^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $c$$=\\pm2\\times1\\times7$$=\\pm14$ 이때 $abc<0$이고, $a>0$, $b>0$이므로 $c<0$ 따라서 $a=\\frac{1}{4}$, $b=4$, $c=-14$이므로 $abc$$=\\frac{1}{4}\\times4\\times(-14)$$=-14$" }, { "question": "$x=\\sqrt{10}-2$일 때, $\\sqrt{x^2-10x+25}+\\sqrt{x^2-2x+1}$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{10}<4$에서 $1<\\sqrt{10}-2<2$이므로 $10$이므로 $\\sqrt{x^2-10x+25}+\\sqrt{x^2-2x+1}$ $=$$\\sqrt{(x-5)^2}+\\sqrt{(x-1)^2}$ $=$$-(x-5)+(x-1)$ $=$$-x+5+x-1$ $=$$4$" }, { "question": "다음 세 다항식이 모두 완전제곱식이 될 때, $a-b+c$의 값을 구하여라. (단, $a, b, c$는 수이고 $abc>0$) $x²-8x+a$ $bx²+20x+4$ $x²+cx+64$", "answer": "$x^2-8x+a$$=x^2-2\\times x\\times4+a$이므로 완전제곱식이 되려면 $a$$=4^2$$=16$ $bx^2+20x+4$$=bx^2+2\\times5x\\times2+2^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $b$$=5^2$$=25$ $x^2+cx+64$$=x^2+cx+8^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $c$$=\\pm2\\times1\\times8$$=\\pm16$ 이때 $abc>0$이고, $a>0$, $b>0$이므로 $c>0$ 따라서 $a=16$, $b=25$, $c=16$이므로 $a-b+c$$=16-25+16$$=7$" }, { "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a-b=-3$, $ab=4$, $x-y=5$, $xy=-2$일 때, $(ax+by)(bx+ay)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(ax+by)(bx+ay)=abx^2+a^2xy+b^2xy+aby^2$ $=$$ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=5^2+2\\times(-2)$$=21$ $a^2+b^2$$=(a-b)^2+2ab$$=(-3)^2+2\\times4$$=17$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)=4\\times21+(-2)\\times17=50$" }, { "question": "다항식 $49x^2+(m+3)x+4$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $m$의 값을 $m_1$, $m_2$라 할 때, $m_2-m_1$의 값을 구하여라. $(단, m_1>m_2)$", "answer": "$49x^2+(m+3)x+4=(7x)^2+(m+3)x+2^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $m+3$$=\\pm2\\times7\\times2$$=\\pm28$ $m+3=28$일 때, $m=25$ $m+3=-28$일 때, $m=-31$ $m_1>m_2$에서 $m_1=25$, $m_2=-31$이므로 $m_2-m_1$$=-31-25$$=-56$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 원의 중심은 모두 $\\overline{AC}$위에 있고, $\\overline{BC}=4 cm$이다. 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $24\\pi cm$이고 큰 원의 반지름의 길이는 $Rcm$, 작은 원의 반지름의 길이는 $rcm$라고 할때, 다음 물음에 답하여라. (1) $R-r$의 값을 구하여라. (2) $R+r$의 값을 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 인수분해를 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2R-2r=4$이므로 $R-r=2$ (2) 색칠한 부분의 둘레의 길이가 $24\\pi cm$이므로 $2\\pi R+2\\pi r=24\\pi$ $2\\pi(R+r)=24\\pi$ $∴ R+r=12$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\pi(R+r)(R-r)=\\pi\\times12\\times2=24\\pi (cm^2)$" }, { "question": "$xy=5$, $x^2y-xy^2+3x-3y=32$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y-xy^2+3x-3y$를 인수분해하여라. (2) $x-y$의 값을 구하여라. (3) $(x+y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y-xy^2+3x-3y$$=xy(x-y)+3(x-y)$$=(x-y)(xy+3)$ (2) $(x-y)(xy+3)=32$에 $xy=5$를 대입하면 $(x-y)(5+3)=32$ $∴$ $x-y$$=4$ (3) $(x+y)^2$$=(x-y)^2+4xy$$=4^2+4\\times5$$=36$" }, { "question": "$x^2+2x-m$이 $x$의 계수가 $1$이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, $10$보다 크고 $80$보다 작은 양수 $m$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2+2x-m=(x+a)(x+b)$$(a>b)$라 하면 $a+b=2$, $ab=-m$ 이때 $100$, $b<0$, $-800$, $b>0$이므로 $c<0$ 따라서 $a=16$, $b=36$, $c=-2$이므로 $b+ac$$=36+16\\times(-2)$$=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $(4x+3) cm$인 삼각형의 넓이가 $(12x^2+x-6) cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 삼각형의 넓이를 인수분해하여라. (2) 삼각형의 밑변의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) 삼각형의 넓이를 인수분해하면 $12x^2+x-6$$=(3x-2)(4x+3)(cm^2)$ (2) $(3x-2)(4x+3)=\\frac{1}{2}\\times(밑변의 길이)\\times(4x+3)$ $∴ (밑변의 길이)$$=2(3x-2)$$=6x-4 (cm)$" }, { "question": "$x=\\sqrt{10}-3$일 때, $\\sqrt{x^2+8x+16}+\\sqrt{x^2-10x+25}$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{10}<4$에서 $0<\\sqrt{10}-3<1$이므로 $00$, $x-5<0$이므로 $\\sqrt{x^2+8x+16}+\\sqrt{x^2-10x+25}$ $=$$\\sqrt{(x+4)^2}+\\sqrt{(x-5)^2}$ $=$$(x+4)+\\lbrace-(x-5)\\rbrace$ $=$$x+4-x+5$ $=$$9$" }, { "question": "$ax^2-9=(4x+b)(cx-3)$일 때, $a+b-c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수)", "answer": "$ax^2-9=(4x+b)(cx-3)=4cx^2+(bc-12)x-3b$ $-9=-3b$이므로 $b=3$ $0=bc-12$이므로 $0=3c-12$에서 $c=4$ $a=4c$이므로 $a=4\\times4=16$ $∴ a+b-c$$=16+3-4$$=15$" }, { "question": "$-10$, $x-1<0$이므로 $\\sqrt{(x-1)^2+4x}-\\sqrt{(x+1)^2-4x}$ $=$$\\sqrt{x^2+2x+1}-\\sqrt{x^2-2x+1}$ $=$$\\sqrt{(x+1)^2}-\\sqrt{(x-1)^2}$ $=$$(x+1)-\\lbrace-(x-1)\\rbrace$ $=$$x+1+x-1$ $=$$2x$" }, { "question": "다항식 $9x^2+(m-1)x+25$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $m$의 값을 $m_1$, $m_2$라 할 때, $m_2-m_1$의 값을 구하여라. (단, $m_10$) $ax^2-16x+4$ $x^2+x+b$ $x^2+cx+9$", "answer": "$ax^2-16x+4$$=ax^2-2\\times4x\\times2+2^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $a=4^2=16$ $x^2+x+b$$=x^2+2\\times x\\times\\frac{1}{2}+b$이므로 완전제곱식이 되려면 $b=(\\frac{1}{2})^2$$=\\frac{1}{4}$ $x^2+cx+9$$=x^2+cx+3^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $c=\\pm2\\times1\\times3$$=\\pm6$ 이때 $abc>0$이고, $a>0$, $b>0$이므로 $c>0$ 따라서 $a=16$, $b=\\frac{1}{4}$, $c=6$이므로 $ab+c=16\\times\\frac{1}{4}+6=10$" }, { "question": "$x=\\sqrt{7}-3$일 때, $\\sqrt{x^2+6x+9}+\\sqrt{x^2-8x+16}$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{7}<3$에서 $-1<\\sqrt{7}-3<0$이므로 $-10$, $x-4<0$이므로 $\\sqrt{x^2+6x+9}+\\sqrt{x^2-8x+16}$ $=$$\\sqrt{(x+3)^2}+\\sqrt{(x-4)^2}$ $=$$(x+3)+\\lbrace-(x-4)\\rbrace$ $=$$x+3-x+4$ $=$$7$" }, { "question": "$-40$, $x-4<0$이므로 $\\sqrt{(x-4)^2+16x}-\\sqrt{(x+4)^2-16x}$ $=$$\\sqrt{x^2+8x+16}-\\sqrt{x^2-8x+16}$ $=$$\\sqrt{(x+4)^2}-\\sqrt{(x-4)^2}$ $=$$(x+4)-\\lbrace-(x-4)\\rbrace$ $=$$x+4+x-4$ $=$$2x$" }, { "question": "$x^2+4xy+3y^2=24$이고 $x+y=6$일 때, $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2+4xy+3y^2$$=(x+y)(x+3y)$ $x+y=6$이므로 $6(x+3y)=24$ $∴ $$x+3y=4$ 연립방정식을 세우면 $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $x=7$, $y=-1$ $∴ $$x-y$$=7-(-1)$$=8$" }, { "question": "$x^2-2xy-3y^2=60$이고 $x+y=10$일 때, $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2-2xy-3y^2$$=(x+y)(x-3y)$ $x+y=10$이므로 $10(x-3y)=60$ $∴ x-3y=6$ 연립방정식을 세우면 $\\begin{cases} x+y=10 \\cdots\\cdots㉠ \\\\ x-3y=6 \\cdots\\cdots㉡ \\end{cases}$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $x=9$, $y=1$ $∴ x-y$$=9-1$$=8$" }, { "question": "$xy=1$, $x^2y+xy^2+2x+2y=-9$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y+xy^2+2x+2y$를 인수분해하여라. (2) $x+y$의 값을 구하여라. (3) $(x-y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y+xy^2+2x+2y$$=xy(x+y)+2(x+y)$$=(x+y)(xy+2)$ (2) $(x+y)(xy+2)=-9$에 $xy=1$을 대입하면 $(x+y)(1+2)=-9$ $∴ x+y$$=-3$ (3) $(x-y)^2$$=(x+y)^2-4xy$$=(-3)^2-4\\times1$$=5$" }, { "question": "$x^2-2xy-15y^2=84$이고 $x+3y=14$일 때, $x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2-2xy-15y^2$$=(x+3y)(x-5y)$ $x+3y=14$이므로 $14(x-5y)=84$ $∴ $$x-5y=6$ 연립방정식을 세우면 $\\begin{cases} x+3y=14 ········ ㉠\\\\ x - 5y=6 ·········· ㉡\\\\ \\end{cases}$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $x=11$, $y=1$ $∴$ $x-y$$=11-1$$=10$" }, { "question": "$ax^2$-$\\frac{25}{49}$=($bx$+$\\frac{5}{7})(3x+c)$일 때, $a-b+7c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수)", "answer": "$ax^2-\\frac{25}{49}=(bx+\\frac{5}{7})(3x+c)=3bx^2+(bc+\\frac{15}{7})x+\\frac{5}{7}c$ $-\\frac{25}{49}=\\frac{5}{7}c$이므로 $c=-\\frac{5}{7}$ $0=bc+\\frac{15}{7}$이므로 $0=-\\frac{5}{7}b+\\frac{15}{7}$에서 $b=3$ $a=3b$이므로 $a=3\\times3=9$ $∴ a-b+7c$$=9-3+7\\times(-\\frac{5}{7})$$=1$" }, { "question": "$x^2+3xy-10y^2=44$이고 $x-2y=4$일 때, $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2+3xy-10y^2=(x-2y)(x+5y)$ $x-2y=4$이므로 $4(x+5y)=44$ $∴ x+5y=11$ 연립방정식을 세우면 $ \\begin{cases} x-2y=4 \\cdots\\cdot\\cdot\\cdot ㉠ \\\\ x+5y=11 \\cdots\\cdot\\cdot\\cdot ㉡ \\end{cases} $ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $x=6$, $y=1$ $∴ x+y=6+1=7$" }, { "question": "$x^2-4xy-21y^2=24$이고 $x+3y=2$일 때, $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2-4xy-21y^2$$=(x+3y)(x-7y)$ $x+3y=2$이므로 $2(x-7y)=24$ $∴ x-7y=12$ 연립방정식을 세우면 $\\begin{cases} x+3y=2 ······㉠\\\\ x-7y=12 ······㉡\\\\ \\end{cases}$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $x=5$, $y=-1$ $∴$ $x+y$$=5+(-1)$$=4$" }, { "question": "$x^2-3x-m$이 $x$의 계수가 $1$이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, $50$보다 크고 $100$보다 작은 양수 $m$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-3x-m=(x+a)(x+b)(a>b)$라 하면 $a+b=-3$, $ab=-m$ 이때 $500$, $b<0$, $-1000$이므로 $\\sqrt{x^2-6x+9}+\\sqrt{x^2+14x+49}$ $=$$\\sqrt{(x-3)^2}+\\sqrt{(x+7)^2}$ $=$$-(x-3)+(x+7)$ $=$$-x+3+x+7$ $=$$10$" }, { "question": "$x^2-xy-6y^2=14$이고 $x+2y=7$일 때, $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 식의 좌변을 인수분해하면 $x^2-xy-6y^2$$=(x+2y)(x-3y)$ $x+2y=7$이므로 $7(x-3y)=14$ $∴ x-3y=2$ 연립방정식을 세우면 $\\begin{cases} x+2y=7 ······㉠ \\\\ x-3y=2 ······ ㉡ \\\\ \\end{cases}$ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $x=5$, $y=1$ $∴ x+y$$=5+1$$=6$" }, { "question": "$ax^2-\\frac{4}{25}=(bx+\\frac{2}{5})(2x+c)$일 때, $a+b+5c$의 값을 구하여라. (단, $a, b, c$는 수)", "answer": "$ax^2-\\frac{4}{25}=(bx+\\frac{2}{5})(2x+c)=2bx^2+(bc+\\frac{4}{5})x+\\frac{2}{5}c$ $-\\frac{4}{25}=\\frac{2}{5}c$이므로 $c=-\\frac{2}{5}$ $0=bc+\\frac{4}{5}$이므로 $0=-\\frac{2}{5}b+\\frac{4}{5}$에서 $b=2$ $a=2b$이므로 $a=2\\times2=4$ $∴ a+b+5c$$=4+2+5\\times(-\\frac{2}{5})$$=4$" }, { "question": "$x=\\sqrt{3}-2$일 때, $\\sqrt{x^2+6x+9}+\\sqrt{x^2-4x+4}$의 값을 구하여라.", "answer": "$1<\\sqrt{3}<2$에서 $-1<\\sqrt{3}-2<0$이므로 $-10$, $x-2<0$이므로 $\\sqrt{x^2+6x+9}+\\sqrt{x^2-4x+4}$ $=$$\\sqrt{(x+3)^2}+\\sqrt{(x-2)^2}$ $=$$(x+3)+\\lbrace-(x-2)\\rbrace$ $=$$x+3-x+2$ $=$$5$" }, { "question": "$-60$이므로 $\\sqrt{(x+6)^2-24x}-\\sqrt{(x-6)^2+24x}$ $=$$\\sqrt{x^2-12x+36}-\\sqrt{x^2+12x+36}$ $=$$\\sqrt{(x-6)^2}-\\sqrt{(x+6)^2}$ $=$$-(x-6)-(x+6)$ $=$$-x+6-x-6$ $=$$-2x$" }, { "question": "$(x+2)(3x-2)-3x=(ax+b)(cx+d)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ab+c+d$의 값을 구하려고 한다. (단, $ab)$라 하면 $a+b=3$, $ab=-k$ 이때 $200$, $b<0$, $-50c$) (1) 식 $(x+2)(3x-4)-12x$를 인수분해하여라. (2) $ab-cd$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $(x+2)(3x-4)-12x$ $= $$(3x^2+2x-8)-12x$ $=$ $3x^2-10x-8$$ =$ $(x-4)(3x+2)$ (2) $(ax+b)(cx+d)=(x-4)(3x+2)$에서 $a>c$이므로 $a=3$, $b=2$, $c=1$, $d=-4$ $∴$ $ab-cd$$=3\\times 2-1\\times(-4)$$=10$" }, { "question": "$x^2+5x-k$가 $x$의 계수가 $1$이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, $30$보다 크고 $80$보다 작은 양수 $k$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2+5x-k=(x+a)(x+b)(a>b)$라 하면 $a+b=5$, $ab=-k$ 이때 $300$, $b<0$, $-80 $a-3$ $1$ $7$ $-1$ $-7$ $b-2$ $7$ $1$ $-7$ $-1$ $\\rightarrow$
$a$ $4$ $10$ $2$ $-4$
$b$ $9$ $3$ $-5$ $1$
따라서 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(4, 9)$, $(10, 3)$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2+ax+4$와 $x^2+2x+b$의 공통인 인수가 $x-4$일 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) 다항식 $x^2+ax+4$가 $(x-4)(x+p)$로 인수분해될 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $p$는 수) (2) 다항식 $x^2+2x+b$가 $(x-4)(x+q)$로 인수분해될 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $q$는 수) (3) 다항식 $x^2+ax+b$를 인수분해하여라.", "answer": "(1)$x^2+ax+4$$=(x-4)(x+p)$$=x^2+(-4+p)x-4p$ $4=-4p$이므로 $p=-1$ $∴$ $a=-4+p=(-4)+(-1)=-5$ (2)$x^2+2x+b$$=(x-4)(x+q)$$=x^2+(-4+q)x-4q$ $2=-4+q$이므로 $q=6$ $∴$ $b=-4q=-4\\times6=-24$ (3)$x^2+ax+b$$=x^2-5x-24$$=(x+3)(x-8)$" }, { "question": "$x^2-4x-k$가 $x$의 계수가 $1$이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, $10$보다 크고 $50$보다 작은 양수 $k$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-4x-k=(x+a)(x+b)(a>b$)라 하면 $a+b=-4$, $ab=-k$ 이때 $100$, $b<0$, $-50b$)라면 $a+b=-5$, $ab=-k$ 이때 $200$, $b<0$, $-60 $x-3$ $1 $ $3 $ $9 $ $-1 $ $-3$ $-9 $ $y-1$ $9$$3$$1$$-9$$-3$$-1$ $\\rightarrow$ 따라서 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$는 $(4, 10)$, $(6, 4)$, $(12, 2)$이다." }, { "question": "다음 세 다항식이 $1$이 아닌 공통인 인수를 가질 때, 수 $a$의 값을 구하여라. $15x^2+2x-1$ $9x^2-1$ $6x^2+5x+a$", "answer": "$15x^2+2x-1$$=(3x+1)(5x-1)$, $9x^2-1=(3x+1)(3x-1)$ 즉, 두 다항식의 공통인 인수는 $3x+1$이므로 $6x^2+5x+a$도 $3x+1$을 인수로 갖는다. $6x^2+5x+a=(3x+1)(2x+m)(m은 수)$으로 놓으면 $6x^2+5x+a$ $=6x^2+(3m+2)x$ + $m$ $5=3m+2$에서 $m=1$이므로 $a=m=1$" }, { "question": "$3(x+4)^2+5(x+4)(2x+1)-2(2x+1)^2$이 $x$의 계수와 상수항이 모두 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x+4=A$, $2x+1=B$로 놓으면 $3(x+4)^2+5(x+4)(2x+1)-2(2x+1)^2 =3A^2+5AB-2B^2 =(A+2B)(3A-B) =\\lbrace x+4+2(2x+1)\\rbrace\\lbrace3(x+4)-(2x+1)\\rbrace =(5x+6)(x+11)$ 따라서 두 일차식의 합은 $(5x+6)+(x+11)=6x+17$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $9$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. (가) $A$를 $9$로 나누었을 떄의 나머지는 $7$이다. (나) $B$를 $9$로 나누었을 떄의 나머지는 $4$이다.", "answer": "조건 ㈎에서 $A=9a+7$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 ㈏에서 $B=9b+4$ ($b$는 음이 아닌 정수) $\\therefore AB=(9a+7)(9b+4)=81ab+36a+63b+28 =9(9ab+4a+7b+3)+1$ 따라서 $AB$를 $9$로 나누었을 때의 나머지는 $1$이다." }, { "question": "두 다항식 $x^2+ax-33$과 $x^2-7x+b$의 공통인 인수가 $x-3$일 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) 다항식 $x^2+ax-33$이 $(x-3)(x+p)$로 인수분해될 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $p$는 수) (2) 다항식 $x^2-7x+b$가 $(x-3)(x+q)$로 인수분해될 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $q$는 수) (3) 다항식 $x^2+ax+b$를 인수분해하여라.", "answer": "(1) $x^2+ax-33=(x-3)(x+p)$ $=x^2+(-3+p)x-3p$ $33=3p$이므로 $p=11$ $∴ a=-3+p=-3+11=8$ (2) $x^2-7x+b$ $=(x-3)(x+q)$ $=x^2+(-3+q)x-3q$ $-7=-3+q$이므로 $q=-4$ $∴ b=-3q=-3\\times(-4)=12$ (3) $x^2+ax+b$ $=x^2+8x+12$ $=(x+2)(x+6)$" }, { "question": "두 다항식 $x^2+ax-6$과 $x^2+7x+b$의 공통인 인수가 $x+1$일 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1)다항식 $x^2+ax-6$이 $(x+1)(x+m)$으로 인수분해될 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $m$은 수) (2) 다항식 $x^2+7x+b$가 $(x+1)(x+n)$으로 인수분해될 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $n$은 수) (3)다항식 $x^2+ax+b$를 인수분해하여라.", "answer": "(1) $x^2+ax-6=(x+1)(x+m)=x^2+(1+m)x+m -6=m$이므로 $m=-6$ $∴ a=1+m=1+(-6)=-5$ (2) $x^2+7x+b=(x+1)(x+n)=x^2+(1+n)x+n$ $7=1+n$이므로 $n=6$ $∴b=n=6$ (3) $x^2+ax+b=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $(2x+1) cm$인 삼각형의 넓이가 $(10x^2+3x-1) cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 삼각형의 넓이를 인수분해하여라. (2) 삼각형의 밑변의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) 삼각형의 넓이를 인수분해하면 $10x^2+3x-1$$=(2x+1)(5x-1)$ ($cm^2$) (2) $(2x+1)(5x-1)=\\frac{1}{2}\\times(밑변의 길이)\\times(2x+1)$ $∴$ $(밑변의 길이)$$=2(5x-1)$$=10x-2 (cm)$" }, { "question": "$2(x+5)^2+(x+5)(x-2)-(x-2)^2$이 $x$의 계수와 상수항이 모두 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x+5=A$, $x-2=B$로 놓으면 $2(x+5)^2+(x+5)(x-2)-(x-2)^2$ $=$$2A^2+AB-B^2$ $=$$(A+B)(2A-B)$ $=$$(x+5+x-2)\\lbrace2(x+5)-(x-2)\\rbrace$ $=$$(2x+3)(x+12)$ 따라서 두 일차식의 합은 $(2x+3)+(x+12)$$=3x+15$" }, { "question": "$8(x+5)^2-10(x+5)(x-1)+3(x-1)^2$이 $x$의 계수와 상수항이 모두 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x+5=A$, $x-1=B$로 놓으면 $8(x+5)^2-10(x+5)(x-1)+3(x-1)^2$ $=$$8A^2-10AB+3B^2$ $=$$(2A-B)(4A-3B)$ $=$$\\lbrace2(x+5)-(x-1)\\rbrace\\lbrace4(x+5)-3(x-1)\\rbrace$ $=$$(x+11)(x+23)$ 따라서 두 일차식의 합은 $(x+11)+(x+23)$$=2x+34$" }, { "question": "$xy-2x+2y-4=9$를 만족시키는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하여라.", "answer": "$xy-2x+2y-4$$=x(y-2)+2(y-2)$$=(x+2)(y-2)$이므로 $(x+2)(y-2)=9$
$x$ $4 $ $6$ $12 $ $2$ $0 $$-6$
$ y $ $10$$4$$2$$-8$$-2$$0$
$x+2$ $1$ $3$$9$$-1$$-3$$-9$
$y-2$ $9$ $3$$1$$-9$$-3$$-1$
$\\Rightarrow$
$x$ $-1$ $1$$7$$-3$$-5$$-11$
$y$ $11$ $5$$3$$-7$$-1$$1$
따라서 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 5)$, $(7, 3)$이다." }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 원의 중심은 모두 $\\overline{AC}$위에 있고, $\\overline{BC}=12cm$이다. 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $24\\pi cm$이고 큰 원의 반지름의 길이는 $Rcm$, 작은 원의 반지름의 길이는 $rcm$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $R-r$의 값을 구하여라. (2) $R+r$의 값을 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 인수분해를 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2R-2r=12$이므로 $R-r=6$ (2) 색칠한 부분의 둘레의 길이가 $24\\pi cm$이므로 $2\\pi R+2\\pi r=24\\pi$ $2\\pi(R+r)=24\\pi$ $∴ R+r=12$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\pi(R+r)(R-r)=\\pi\\times12\\times6=72\\pi (cm^2)$" }, { "question": "$xy-5x-y+5=4$를 만족시키는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$를 모두 구하여라.", "answer": "$xy-5x-y+5$$=x(y-5)-(y-5)$$=(x-1)(y-5)$이므로 $(x-1)(y-5)=4$
$x-1$ $1$ $2$ $4$ $-1$ $-2$ $-4$
$y-5$ $4$ $2$ $1$ $-4$ $-2$ $-1$
$\\rightarrow$
$x-1$ $1$ $2$ $4$ $-1$ $-2$ $-4$
$y-5$ $4$ $2$ $1$ $-4$ $-2$ $-1$
따라서 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$는 $(2, 9)$, $(3, 7)$, $(5, 6)$이다." }, { "question": "$9x^2-16y^2+8y-1$을 인수분해하였더니 $(ax+by-1)(ax-4y+c)$가 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$=$$(3x+4y-1)(3x-4y+1)$ 따라서 $a=3$, $b=4$, $c=1$이므로 $ab-c$$=3\\times4-1$$=11$" }, { "question": "$10(2x+1)^2+7(2x+1)(x-1)+(x-1)^2$이 $x$의 계수와 상수항이 모두 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$2x+1=A$, $x-1=B$로 놓으면 $10(2x+1)^2+7(2x+1)(x-1)+(x-1)^2$ $=$$10A^2+7AB+B^2$ $=$$(2A+B)(5A+B)$ $=$$\\lbrace2(2x+1)+x-1\\rbrace\\lbrace5(2x+1)+x-1\\rbrace$ $=$$(5x+1)(11x+4)$ 따라서 두 일차식의 합은 $(5x+1)+(11x+4)$$=16x+5$" }, { "question": "$4x^2+28x-25y^2+49$를 인수분해하였더니 $(ax+by+7)(ax-5y+c)$가 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+28x-25y^2+49=4x^2+28x+49-25y^2$ $=(2x+7)^2-(5y)^2$ $=$$(2x+5y+7)(2x-5y+7)$ 따라서 $a=2$, $b=5$, $c=7$이므로 $ab-c$$=2\\times5-7$$=3$" }, { "question": "$ab-6a-4b+24=5$를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하여라.", "answer": "$ab-6a-4b+24$$=a(b-6)-4(b-6)$$=(a-4)(b-6)$이므로 $(a-4)(b-6)=5$
$a-4$ $1$ $5$ $-1$ $-5$
$b-6$ $5$ $1$ $-5$ $-1$
$\\rightarrow$
$a$ $5$ $9$ $3$ $-1$
$b$ $11$ $7$ $1$ $5$
따라서 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(5, 11)$, $(9, 7)$, $(3, 1)$이다." }, { "question": "$a-\\frac{1}{a}=-2$일 때, $a^4+\\frac{1}{a^4}$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a-\\frac{1}{a})^2+2$$=(-2)^2+2$$=6$이므로 $a^4+\\frac{1}{a^4}$$=(a^2+\\frac{1}{a^2})^2-2$$=6^2-2$$=34$" }, { "question": "$6(x+4)^2-(x+4)(x-1)-(x-1)^2$이 $x$의 계수와 상수항이 모두 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", "answer": "$x+4=A$, $x-1=B$로 놓으면 $6(x+4)^2-(x+4)(x-1)-(x-1)^2$ $=$$6A^2-AB-B^2$ $=$$(2A-B)(3A+B)$ $=$$\\lbrace2(x+4)-(x-1)\\rbrace\\lbrace3(x+4)+x-1\\rbrace$ $=$$(x+9)(4x+11)$ 따라서 두 일차식의 합은 $(x+9)+(4x+11)$$=5x+20$" }, { "question": "$xy=7$, $x^2y-5x-xy^2+5y=-6$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y-5x-xy^2+5y$를 인수분해하여라. (2) $x-y$의 값을 구하여라. (3) $(x+y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y-5x-xy^2+5y$$=x(xy-5)-y(xy-5)$$=(x-y)(xy-5)$ (2) $(x-y)(xy-5)=-6$에 $xy=7$을 대입하면 $(x-y)(7-5)=-6$ $∴ x-y$$=-3$ (3) $(x+y)^2$$=(x-y)^2+4xy$$=(-3)^2+4\\times7$$=37$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 원의 중심은 모두 $\\overline{AC}$ 위에 있고, $\\overline{BC}$ = $8 cm$이다. 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $32\\pi cm$ 이고 큰 원의 반지름의 길이는 $R cm$ 이고 작은 원의 반지름의 길이는 $r cm$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. $(1)$ $R-r$의 값을 구하여라. (2) $R+r$의 값을 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 인수분해를 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2R-2r=8$이므로 $R-r=4$ (2) 색칠한 부분의 둘레의 길이가 $32\\pi cm$이므로 $2\\pi R+2\\pi r=32\\pi$ $2\\pi(R+r)=32\\pi$ $∴ R+r=16$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\pi(R+r)(R-r)=\\pi\\times16\\times4=64\\pi (cm^2)$" }, { "question": "$ab-2a-4b+8=4$를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하여라.", "answer": "$ab-2a-4b+8$$=a(b-2)-4(b-2)$$=(a-4)(b-2)$이므로 $(a-4)(b-2)=4$
$a-4$ $1$$2$$4$$-1$$-2$$-4$
$b-2$ $4$$2$$1$$-4$$-2$$-1$
⇨
$a$ $5$$6$$8$$3$$2$$0$
$b$ $6$$4$$3$$-2$$0$$1$
따라서 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(5, 6)$, $(6, 4)$, $(8, 3)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 밑변의 길이가 $(2a-3) cm$인 삼각형의 넓이가 $(6a^2-7a-3) cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 삼각형의 넓이를 인수분해하여라. (2) 삼각형의 높이를 구하여라.", "answer": "(1) 삼각형의 넓이를 인수분해하면 $6a^2-7a-3$$=(2a-3)(3a+1) (cm^2)$ (2) $(2a-3)(3a+1)=\\frac{1}{2}\\times(2a-3)\\times(높이)$ ∴ $(높이)$$=2(3a+1)$$=6a+2 (cm)$" }, { "question": "$A=(\\sqrt{5}-3a)(\\sqrt{5}+7)+14\\sqrt{5}$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$A=(\\sqrt5-3a)(\\sqrt5+7)+14\\sqrt5=5+(7-3a)\\sqrt5-21a+14\\sqrt5$$=$$(5-21a)+(21-3a)\\sqrt{5}$ $A$가 유리수이므로 $21-3a=0$ $∴$ $a=7$ $∴$ $A=5-21a=5-21\\times7=-142$" }, { "question": "$xy=6$, $x^2y-4x+xy^2-4y=10$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y-4x+xy^2-4y$를 인수분해하여라. (2) $x+y$의 값을 구하여라. (3) $x^2+y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y-4x+xy^2-4y$$=x(xy-4)+y(xy-4)$$=(x+y)(xy-4)$ (2) $(x+y)(xy-4)=10$에 $xy=6$을 대입하면 $(x+y)(6-4)=10$ $∴$ $x+y$$=5$ (3) $x^2+y^2$$=(x+y)^2-2xy$$=5^2-2\\times6$$=13$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 원의 중심은 모두 $\\overline{AC}$ 위에 있고,$\\overline{BC}=2cm$이다. 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $10 \\pi cm$이고 큰 원의 반지름의 길이는 $Rcm$, 작은 원의 반지름의 길이는 $rcm$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $R-r$의 값을 구하여라. (2) $R+r$의 값을 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 인수분해를 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2R-2r=2$이므로 $R-r=1$ (2) 색칠한 부분의 둘레의 길이가 $10\\pi cm$이므로 $2\\pi R+2\\pi r=10\\pi$ $2\\pi(R+r)=10\\pi$ $\\therefore R+r=5$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\pi(R+r)(R-r)=\\pi\\times5\\times1=5\\pi (cm^2)$" }, { "question": "$x^2-9y^2+6y-1$을 인수분해하였더니 $(ax+by-1)(ax-3y+c)$가 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-9y^2+6y-1=x^2-(9y^2-6y+1)=x^2-(3y-1)^2=(x+3y-1)(x-3y+1)$ 따라서 $a=1$, $b=3$, $c=1$이므로 $ab-c=1\\times3-1=2$" }, { "question": "$25x^2+(m-4)xy+9y^2$이 $(5x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하여라.", "answer": "$25x^2+(m-4)xy+9y^2$$=(5x+ny)^2$$=25x^2+10nxy+n^2y^2$ $m-4=10n$, $9=n^2$ $9=n^2$에서 $n=\\pm3$ (ⅰ) $n=3$일 때 $m-4=30$이므로 $m=34$ (ⅱ) $n=-3$일 때 $m-4=-30$이므로 $m=-26$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(34, 3)$, $(-26, -3)$이다." }, { "question": "$x^2+8x+7=0$일 때, $(x+2)(x+3)(x+5)(x+6)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+2)(x+3)(x+5)(x+6)$ $=$$\\lbrace(x+2)(x+6)\\rbrace\\lbrace(x+3)(x+5)\\rbrace$ $=$$(x^2+8x+12)(x^2+8x+15)$ 이때 $x^2+8x+7=0$에서 $x^2+8x=-7$이므로 $(x^2+8x+12)(x^2+8x+15)$$=(-7+12)(-7+15)$$=40$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $6$으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. (가) $A$를 $6$으로 나누었을 때의 나머지는 $2$이다. (나) $B$를 $6$으로 나누었을 때의 나머지는 $4$이다.", "answer": "조건 $㈎$에서 $A=6a+2$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건$ ㈏$에서 $B=6b+4$ ($b$는 음이 아닌 정수) $∴$ $AB=(6a+2)(6b+4)$ $=35ab+24a+12b+8$ $=$$6(6ab+4a+2b+1)+2$ 따라서 $AB$를 $6$으로 나누었을 때의 나머지는 $2$이다." }, { "question": "$(5x^2+4x-2)^2$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(5x^2+4x-2)^2=(5x^2+4x-2)(5x^2+4x-2)$를 전개한 식에서 $x^2$항은 $5x^2\\times(-2)+4x\\times4x+(-2)\\times5x^2$$=-4x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $-4$ $x$항은 $4x\\times(-2)+(-2)\\times4x$$=-16x$이므로 $x$의 계수는 $-16$ 따라서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $(-4)+(-16)$$=-20$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $4$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. (가) $A$를 $4$로 나누었을 때의 나머지는 $3$이다. (나) $B$를 $4$로 나누었을 때의 나머지는 $1$이다.", "answer": "조건 $㈎$에서 $A=4a+3$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 $㈏$에서 $B=4b+1$ ($b$는 음이 아닌 정수) $∴$ $AB=(4a+3)(4b+1) =16ab+4a+12b+3$ $=$$4(4ab+a+3b)+3$ 따라서 $AB$를 $4$로 나누었을 때의 나머지는 $3$이다." }, { "question": "$0<4x<1$일 때, $\\sqrt{x^2+\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{16}}+\\sqrt{x^2-\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{16}}-\\sqrt{x^2}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2+\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{16}}+\\sqrt{x^2-\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{16}}-\\sqrt{x^2}$ $\\\\$ $=\\sqrt{(x+\\frac{1}{4})^2}+\\sqrt{(x-\\frac{1}{4})^2}-\\sqrt{x^2}$ $\\\\$ 이때 $0<4x<1$에서 $00$, $x-\\frac{1}{4}<0$, $x>0$ $\\\\$ $(주어진 식)=(x+\\frac{1}{4})+\\{-(x-\\frac{1}{4})\\}-x$ $\\\\$ $=x+\\frac{1}{4}-x+\\frac{1}{4}-x$ $\\\\$ $=$$-x+\\frac{1}{2}$" }, { "question": "$49x^2-42x-25y^2+9$를 인수분해하였더니 $(ax+5y+b)(ax+cy-3)$이 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$49x^2-42x-25y^2+9=49x^2-42x+9-25y^2$ $=(7x-3)^2-(5y)^2$ $=$$(7x+5y-3)(7x-5y-3)$ 따라서 $a=7$, $b=-3$, $c=-5$이므로 $a-b+c$$=7-(-3)+(-5)$$=5$" }, { "question": "나은이는 $(2x+1)(-x+3)$을 전개하는데 $x$의 계수 $2$를 $A$로 잘못 보아서 $-Ax^2+8x+3$으로 전개하였고, 윤성이는 $(x-2)(x+3)$을 전개하는데 상수항 $3$을 $B$로 잘못 보아서 $x^2-x+C$로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+2B-3C$의 값을 구하여라.", "answer": "나은이가 전개한 식은 $(Ax+1)(-x+3)$$=-Ax^2+(3A-1)x+3$$=-Ax^2+8x+3$ 이므로 $3A-1=8$ $∴ A=3$ 윤성이가 전개한 식은 $(x-2)(x+B)$$=x^2+(-2+B)x-2B$$=x^2-x+C$ 이므로 $-2+B=-1$, $-2B=C$ $∴ B=1$, $C=-2$ $∴ A+2B-3C$$=3+2\\times1-3\\times(-2)$$=11$" }, { "question": "$xy=3$, $x^2y+xy^2-7x-7y=20$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y+xy^2-7x-7y$를 인수분해하여라. (2) $x+y$의 값을 구하여라. (3) $(x-y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y+xy^2-7x-7y$$=xy(x+y)-7(x+y)$$=(x+y)(xy-7)$ (2) $(x+y)(xy-7)=20$에 $xy=3$을 대입하면 $(x+y)(3-7)=20$ $∴$ $x+y$$=-5$ (3) $(x-y)^2$$=(x+y)^2-4xy$$=(-5)^2-4\\times3$$=13$" }, { "question": "$xy=-2$, $x^2y-xy^2+7x-7y=15$일 때, 다음 물음에 답하여라.$\\\\$ (1) 식 $x^2y-xy^2+7x-7y$를 인수분해하여라. (2) $x-y$의 값을 구하여라. (3) $x^2+y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2y-xy^2+7x-7y$$=xy(x-y)+7(x-y)$$=(x-y)(xy+7)$ (2) $(x-y)(xy+7)=15$에 $xy=-2$를 대입하면 $(x-y)(-2+7)=15$ $\\therefore$ $x-y$$=3$ (3) $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=3^2+2\\times(-2)$$=5$" }, { "question": "(1) $R-r$의 값을 구하여라. (2) $R+r$의 값을 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 인수분해를 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2R-2r=12$이므로 $R-r=6$ (2) 색칠한 부분의 둘레의 길이가 $28\\pi cm$이므로 $2\\pi R+2\\pi r=28\\pi$ $2\\pi(R+r)=28\\pi$ $∴ R+r=14$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\pi(R+r)(R-r)=\\pi\\times14\\times6=84\\pi (cm^2)$" }, { "question": "$(3x^2+5x-2)^2$을 전개한 식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(3x^2+5x-2)^2=(3x^2+5x-2)(3x^2+5x-2)$를 전개한 식에서 $x^3$항은 $3x^2\\times5x+5x\\times3x^2$$=30x^3$이므로 $x^3$의 계수는 $30$ $x^2$항은 $3x^2\\times(-2)+5x\\times5x+(-2)\\times3x^2$$=13x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $13$ 따라서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합은 $30+13$$=43$" }, { "question": "$(-2x^2+4x-5)^2$을 전개한 식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(-2x^2+4x-5)^2=(-2x^2+4x-5)(-2x^2+4x-5)$를 전개한 식에서 $x^3$항은 $(-2x^2)\\times4x+4x\\times(-2x^2)$$=-16x^3$이므로 $x^3$의 계수는 $-16$ $x^2$항은 $(-2x^2)\\times(-5)+4x\\times4x+(-5)\\times(-2x^2)$$=36x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $36$ 따라서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합은 $-16+36$$=20$" }, { "question": "$x^2+7x-3=0$일 때, $(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x+6)\\rbrace\\lbrace(x+3)(x+4)\\rbrace$ $=$$(x^2+7x+6)(x^2+7x+12)$ 이때 $x^2+7x-3=0$에서 $x^2+7x=3$이므로 $(x^2+7x+6)(x^2+7x+12)$$=(3+6)(3+12)$$=135$" }, { "question": "$(6x^2-3x+4)^2$을 전개한 식에서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(6x^2-3x+4)^2=(6x^2-3x+4)(6x^2-3x+4)$를 전개한 식에서 $x^2$항은 $6x^2\\times4+(-3x)\\times(-3x)+4\\times6x^2$$=57x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $57$ $x$항은 $(-3x)\\times4+4\\times(-3x)$$=-24x$이므로 $x$의 계수는 $-24$ 따라서 $x^2$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $57+(-24)$$=33$" }, { "question": "주아는 $(x+3)(x-6)$을 전개하는데 상수항 $3$을 $A$로 잘못 보아서 $x^2+Bx-12$로 전개하였고, 은성이는 $(3x-1)(x+3)$을 전개하는데 $x$의 계수 $3$을 $C$로 잘못 보아서 $Cx^2+11x-3$으로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B-C$의 값을 구하여라.", "answer": "주아가 전개한 식은 $(x+A)(x-6)$$=x^2+(A-6)x-6A$$=x^2+Bx-12$ 이므로 $A-6=B$, $6A=12$ $∴ A=2$, $B=-4$ 은성이가 전개한 식은 $(Cx-1)(x+3)$$=Cx^2+(3C-1)x-3$$=Cx^2+11x-3$ 이므로 $3C-1=11$ $∴ C=4$ $∴ A+B-C$$=2+(-4)-4$$=-6$" }, { "question": "$10$이므로 $=$$-2a-1$" }, { "question": "$x^2+8x-4=0$일 때, $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x+7)\\rbrace\\lbrace(x+3)(x+5)\\rbrace$ $=$$(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)$ 이때 $x^2+8x-4=0$에서 $x^2+8x=4$이므로 $(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)$$=(4+7)(4+15)$$=209$" }, { "question": "$(-4x^2-5x+3)^2$을 전개한 식에서 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(-4x^2-5x+3)^2=(-4x^2-5x+3)(-4x^2-5x+3)$을 전개한 식에서 $x^3$항은 $(-4x^2)\\times(-5x)+(-5x)\\times(-4x^2)$$=40x^3$이므로 $x^3$의 계수는 $40$ $x$항은 $(-5x)\\times3+3\\times(-5x)$$=-30x$이므로 $x$의 계수는 $-30$ 따라서 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $40+(-30)$$=10$" }, { "question": "$A=(\\sqrt{2}+5)(\\sqrt{2}-4a)+11\\sqrt{2}$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$A$ $=(\\sqrt{2}+5)(\\sqrt{2}-4a)+11\\sqrt{2} $$= 2+(-4a+5)\\sqrt{2}-20a+11\\sqrt{2}$ $=$$(2-20a)+(-4a+16)\\sqrt{2}$ $A$가 유리수이므로 $-4a+16=0$ $∴ a=4$ $∴ A=2-20a=2-20\\times4=-78$" }, { "question": "$(-3x^2+2x-1)^2$을 전개한 식에서 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(-3x^2+2x-1)^2=(-3x^2+2x-1)(-3x^2+2x-1)$을 전개한 식에서 $x^3$항은 $(-3x^2)\\times2x+2x\\times(-3x^2)$$=-12x^3$이므로 $x^3$의 계수는 $-12$ $x$항은 $2x\\times(-1)+(-1)\\times2x$$=-4x$이므로 $x$의 계수는 $-4$ 따라서 $x^3$의 계수와 $x$의 계수의 합은 $(-12)+(-4)$$=-16$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $3$으로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. (가) $A$를 $3$으로 나누었을 때의 나머지는 $2$이다. (나) $B$를 $3$으로 나누었을 때의 나머지는 $1$이다.", "answer": "조건 ㈎에서 $A=3a+2$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 ㈏에서 $B=3b+1$ ($b$는 음이 아닌 정수) $\\therefore$ $AB=(3a+2)(3b+1)$ $=9ab+3a+6b+2$ $=$$3(3ab+a+2b)+2$ 따라서 $AB$를 $3$으로 나누었을 때의 나머지는 $2$이다." }, { "question": "시현이는 $(4x+3)(x+5)$를 전개하는데 $x$의 계수 $4$를 $A$로 잘못 보아서 $Ax^2-7x+15$로 전개하였고, 지선이는 $(x+6)(x-4)$를 전개하는데 상수항 $6$을 $B$로 잘못 보아서 $x^2+Cx-28$로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.", "answer": "시현이가 전개한 식은 $(Ax+3)(x+5)$$=Ax^2+(5A+3)x+15$$=Ax^2-7x+15$ 이므로 $5A+3=-7$ ∴ $A=-2$ 지선이가 전개한 식은 $(x+B)(x-4)$$=x^2+(B-4)x-4B$$=x^2+Cx-28$ 이므로 $B-4=C$, $4B=28$ ∴ $B=7$, $C=3$ ∴ $A+B+C$$=-2+7+3$$=8$" }, { "question": "$A=(\\sqrt{3}-7)(\\sqrt{3}+4a)-9\\sqrt{3}$이 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$A=(\\sqrt{3}-7)(\\sqrt{3}+4a)-9\\sqrt{3}$ $=3+(4a-7)\\sqrt{3}-28a-9\\sqrt{3}$ $=(3-28a)+(4a-16)\\sqrt{3}$ $A$가 유리수이므로 $4a-16=0$ $∴ a=4$ $∴ A=3-28a=3-28\\times4=-109$" }, { "question": "$16x^2+(m+5)xy+25y^2$이 $(4x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하여라.", "answer": "$16x^2+(m+5)xy+25y^2$$=(4x+ny)^2$$=16x^2+8nxy+n^2y^2$ $m+5=8n$, $25=n^2$ $25=n^2$에서 $n=\\pm5$ (ⅰ) $n=5$일 때 $m+5=40$이므로 $m=35$ (ⅱ) $n=-5$일 때 $m+5=-40$이므로 $m=-45$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(35, 5)$, $(-45, -5)$이다." }, { "question": "$2x^2+kx-3$이 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 큰 수를 구하여라.", "answer": "$2x^2+kx-3$$=(x+a)(2x+b)(a$, $b$는 정수)라 하면 $(x+a)(2x+b)$$=2x^2+(2a+b)x+ab$이므로 $k=2a+b$, $-3=ab$ 두 수의 곱이 $-3$인 정수 $a$, $b$의 순서쌍 ($a$, $b$)는 $(-3, 1)$, $(-1, 3)$, $(1, -3)$, $(3, -1)$이므로 $k$의 값은 $-5$, $1$, $-1$, $5$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 큰 수는 $5$이다." }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=-4$일 때, $x^4+\\frac{1}{x^4}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=(-4)^2+2$$=18$이므로 $x^4+\\frac{1}{x^4}$$=(x^2+\\frac{1}{x^2})^2-2$$=18^2-2$$=322$" }, { "question": "$x^2+10x+11=0$일 때, $(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)$ $=$$\\lbrace(x+2)(x+8)\\rbrace\\lbrace(x+4)(x+6)\\rbrace$ $=$$(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)$ 이때 $x^2+10x+11=0$에서 $x^2+10x=-11$이므로 $(x^2+10x+16)(x^2+10x+24)$$=(-11+16)(-11+24)$$=65$" }, { "question": "$(4x^2-2x+3)^2$을 전개한 식에서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합을 구하여라.", "answer": "$(4x^2-2x+3)^2=(4x^2-2x+3)(4x^2-2x+3)$을 전개한 식에서 $x^3$항은 $4x^2\\times(-2x)+(-2x)\\times4x^2$$=-16x^3$이므로 $x^3$의 계수는 $-16$ $x^2$항은 $4x^2\\times3+(-2x)\\times(-2x)+3\\times4x^2$$=28x^2$이므로 $x^2$의 계수는 $28$ 따라서 $x^3$의 계수와 $x^2$의 계수의 합은 $-16+28$$=12$" }, { "question": "$0<2x<3$일 때, $\\sqrt{x^2+3x+\\frac{9}{4}}+\\sqrt{x^2-3x+\\frac{9}{4}}-\\sqrt{x^2}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2+3x+\\frac{9}{4}}+\\sqrt{x^2-3x+\\frac{9}{4}}-\\sqrt{x^2}$$=\\sqrt{(+\\frac{3}{2})^2}+\\sqrt{(x-\\frac{3}{2})^2}-\\sqrt{x^2}$ 이때 $0<2x<3$에서 $00$, $x-\\frac{3}{2}<0$, $x>0$ $(주어진식) = (x+\\frac{3}{2})+ \\{-(x-\\frac{3}{2})\\} -x = x+\\frac{3}{2}-x+\\frac{3}{2}-x =-x+3$ $-x+3$" }, { "question": "다항식 $x^2-2ax+4b$에 다항식 $-6ax+b$를 빼면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $50$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$(x^2-2ax+4b)-(-6ax+b)=x^2+4ab+3b$ $=x^2+2\\times x\\times2a+3b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $3b$$=(2a)^2$$=4a^2$ $∴ b=\\frac{4}{3}a^2$ 따라서 $50$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(3, 12)$, $(6, 48)$의 $2$ 개이다." }, { "question": "$0<2x<1$일 때, $\\sqrt{x^2}-\\sqrt{x^2-x+\\frac{1}{4}}-\\sqrt{x^2+x+\\frac{1}{4}}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2}-\\sqrt{x^2-x+\\frac{1}{4}}-\\sqrt{x^2+x+\\frac{1}{4}}= \\sqrt{x^2} -\\sqrt{(x-\\frac{1}{2}})^2-\\sqrt{(x+\\frac{1}{2}})^2$ 이때 $0<2x<1$에서 $00$, $x-\\frac{1}{2}<0$, $x+\\frac{1}{2}>0$ (주어진 식)=$x-\\lbrace-(x-\\frac{1}{2}) \\rbrace$$-(x+\\frac{1}{2})=$$x$$+$$x-\\frac{1}{2}-x-\\frac{1}{2}$$=$$x-1$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $9$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. ㈎ $A$를 $9$로 나누었을 때의 나머지는 $2$이다. ㈏ $B$를 $9$로 나누었을 때의 나머지는 $6$이다.", "answer": "조건 ㈎에서 $A=9a+2$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 ㈏에서 $B=9b+6$ ($b$는 음이 아닌 정수) $∴$$AB=(9a+2)(9b+6)=81a+54a+18b+12$ $=$$9(9ab+6a+2b+1)+3$ 따라서 $AB$를 $9$로 나누었을 때의 나머지는 $3$이다." }, { "question": "$A=(\\sqrt{3}+2a)(\\sqrt{3}-6)+8\\sqrt{3}$이 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$A$$=$$(\\sqrt3+2a)(\\sqrt3-6)+8\\sqrt3$ $=$$3+(-6+2a)\\sqrt3-12a+8\\sqrt3$ $=$$(3-12a)+(2+2a)\\sqrt{3}$ $A$가 유리수이므로 $2+2a=0$ $∴$ $a=-1$ $∴$ $A=3-12a=3-12\\times(-1)=15$" }, { "question": "$a+\\frac{1}{a}=-3$일 때, $a^4+\\frac{1}{a^4}$의 값을 구하여라.", "answer": "$a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a+\\frac{1}{a})^2-2=(-3)^2-2$$=7$이므로 $a^4+\\frac{1}{a^4}$$=(a^2+\\frac{1}{a^2})^2-2=7^2-2$$=47$" }, { "question": "다항식 $4x^2-5ax+4b$에 다항식 $7ax+b$를 빼면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $30$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$(4x^2-5ax+4b)-(7ax+b)$$=$$4x^2-12ax+3b$ $=$$(2x)^2-2\\times2x\\times3a+3b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $3b$$=(3a)^2$$=9a^2$ $∴ b=3a^2$ 따라서 $30$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, 3)$, $(2, 12)$, $(3, 27)$의 $3$ 개이다." }, { "question": "$10$이므로 $(주어진 식)=-(a-3)-(a+5)$ $=-a+3-a-5$ $=-2a-2$" }, { "question": "$9x^2+(m+4)xy+4y^2$이 $(3x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하여라.", "answer": "$9x^2+(m+4)xy+4y^2$$=(3x+ny)^2$$=9x^2+6nxy+n^2y^2$ $m+4=6n$, $4=n^2$ $4=n^2$에서 $n=\\pm2$ (ⅰ) $n=2$일 때 $m+4=12$이므로 $m=8$ (ⅱ) $n=-2$일 때 $m+4=-12$이므로 $m=-16$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(8, 2)$, $(-16, -2)$이다." }, { "question": "$00$, $a-2<0$이므로 $(주어진$ $식) =$ $(a + 1) - \\{-(a - 2)\\}$ $= a + 1 + a - 2 = 2a-1$" }, { "question": "$10$, $a-4<0$이므로 $(주어진식)=(a+5)-\\{-(a-4)\\}$ $=a+5+a-4$ $=$$2a+1$" }, { "question": "$\\frac{1}{4}x^2-1-2xy+4y^2$을 인수분해하였더니 $(ax-2y+b)(ax+cy-1)$이 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{4}x^2-1-2xy+4y^2=\\frac{1}{4}x^2-2xy+4y^2-1$ $=(\\frac{1}{2}x-2y)^2-1^2 $=$(\\frac{1}{2}x-2y+1)(\\frac{1}{2}x-2y-1)$ 따라서 $a=\\frac{1}{2}$, $b=1$, $c=-2$이므로 $abc$$=\\frac{1}{2}\\times1\\times(-2)$$=-1$" }, { "question": "강윤이는 $(x-2)(x+4)$를 전개하는데 상수항 $-2$를 $A$로 잘못 보아서 $x^2+6x+B$로 전개하였고, 채원이는 $(4x-1)(x+2)$를 전개하는데 $x$의 계수 $4$를 $C$로 잘못 보아서 $Cx^2+3x-2$로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $AB+2C$의 값을 구하여라.", "answer": "강윤이가 전개한 식은 $(x+A)(x+4)=x^2+(A+4)x+4A=x^2+6x+B$ 이므로 $A+4=6$, $4A=B$ $∴ A=2$, $B=8$ 채원이가 전개한 식은 $(Cx-1)(x+2)=Cx^2+(2C-1)x-2=Cx^2+3x-2$ 이므로 $2C-1=3$ $∴ C=2$ $∴ AB+2C=2\\times8+2\\times2=20$" }, { "question": "$7x^2+kx-3$이 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.", "answer": "$7x^2+kx-3$$=(x+m)(7x+n)$($m$, $n$은 정수)라 하면 $(x+m)(7x+n)$$=7x^2+(7m+n)x+mn$이므로 $k=7m+n$, $-3=mn$ 두 수의 곱이 $-3$인 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$은 $(-3, 1)$, $(-1, 3)$, $(1, -3)$, $(3, -1)$이므로 $k$의 값은 $-20$, $-4$, $4$, $20$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수는 $-20$이다." }, { "question": "$25x^2+(m-2)xy+4y^2$이 $(5x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$을 모두 구하여라.", "answer": "$25x^2+(m-2)xy+4y^2$$=(5x+ny)^2$$=25x^2+10nxy+n^2y^2$ $m-2=10n$, $4=n^2$ $4=n^2$에서 $n=\\pm2$ (ⅰ) $n=2$일 때 $m-2=20$이므로 $m=22$ (ⅱ) $n=-2$일 때 $m-2=-20$이므로 $m=-18$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(22, 2)$, $(-18, -2)$이다." }, { "question": "이차방정식 $(1-a)x^2+x+6a=0$의 한 근이 $x=-2$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-2$를 $(1-a)x^2+x+6a=0$에 대입하면 $(1-a)\\times(-2)^2+(-2)+6a=0$ $2a+2=0$ $∴$ $a=-1$" }, { "question": "$0<2x<5$일 때, $\\sqrt{x^2+5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2-5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2+5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2-5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2}$$=\\sqrt{(x+\\frac{5}{2})^2}$$+\\sqrt{(x-\\frac{5}{2})^2}$$+\\sqrt{x^2}$ 이때 $0<2x<5$에서 $00$, $x-\\frac{5}{2}<0$, $x>0$ $(주어진 식)=(x+\\frac{5}{2})$$+$$\\lbrace$$-(x-\\frac{5}{2})$$\\rbrace$$+x$ $= x+\\frac{5}{2}-x+\\frac{5}{2}+x=$$x+5$" }, { "question": "$16x^2-49y^2+8x+1$을 인수분해하였더니 $(ax+7y+b)(ax+cy+1)$이 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$=$$(4x+7y+1)(4x-7y+1)$ 따라서 $a=4$, $b=1$, $c=-7$이므로 $a-b+c$$=4-1+(-7)$$=-4$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $7$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. (가) $A$를 $7$로 나누었을 때의 나머지는 $5$이다. (나) $B$를 $7$로 나누었을 때의 나머지는 $4$이다.", "answer": "조건 ㈎에서 $A=7a+5$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 ㈏에서 $B=7b+4$ ($b$는 음이 아닌 정수) $∴$ $AB=(7a+5)(7b+4)=49ab+28a+35b+20$ $=$$7(7ab+4a+5b+2)+6$ 따라서 $AB$를 $7$로 나누었을 때의 나머지는 $6$이다." }, { "question": "$9x^2+(m+4)xy+25y^2$이 $(3x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하여라.", "answer": "$9x^2+(m+4)xy+25y^2=(3x+ny)^2=9x^2+6nxy+n^2y^2$ $m+4=6n$, $25=n^2$ $25=n^2$에서 $n=\\pm5$ (ⅰ) $n=5$일 때 $m+4=30$이므로 $m=26$ (ⅱ) $n=-5$일 때 $m+4=-30$이므로 $m=-34$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(26, 5)$, $(-34, -5)$이다." }, { "question": "다항식 $x^2+3ax+3b$에 다항식 $3ax+b$를 더하면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $50$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$=$$x^2+2\\times x\\times3a+4b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $4b$$=(3a)^2$$=9a^2$ $∴ b=\\frac{9}{4}a^2$ 따라서 $50$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(2, 9)$, $(4, 36)$의 $2$ 개이다." }, { "question": "$4x^2+(m+1)xy+25y^2$이 $(2x+ny)^2$으로 인수분해될 때, 이를 만족시키는 두 정수 $m$, $n$의 순서쌍 ($m$,$n$)을 모두 구하여라.", "answer": "$4x^2+(m+1)xy+25y^2$$=(2x+ny)^2$$=4x^2+4nxy+n^2y^2$ $m+1=4n$, $25=n^2$ $25=n^2$에서 $n=\\pm5$ (ⅰ) $n=5$일 때 $m+1=20$이므로 $m=19$ (ⅱ) $n=-5$일 때 $m+1=-20$이므로 $m=-21$ 따라서 구하는 순서쌍 $(m, n)$은 $(19, 5)$, $(-21, -5)$이다." }, { "question": "$x-\\frac{1}{x}=-5$일 때, $x^4+\\frac{1}{x^4}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x-\\frac{1}{x})^2+2$$=(-5)^2+2$$=27$이므로 $x^4+\\frac{1}{x^4}$$=(x^2+\\frac{1}{x^2})^2-2$$=27^2-2$$=727$" }, { "question": "다항식 $x^2-4ax+4b$에 다항식 $-6ax+b$를 더하면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $20$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$(x^2-4ax+4b)+(-6ax+b)$$=$$x^2-10ax+5b$ $=$$x^2-2\\times x\\times5a+5b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $5b$$=(5a)^2$$=25a^2$ $ \\therefore b=5a^2$ 따라서 $20$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(1, 5)$, $(2, 20)$의 $2$ 개이다." }, { "question": "$10$, $a-5<0$이므로 $(주어진식)=(a+2)-\\{-(a-5)\\}$ $=a+2+a-5$ $=2a-3$ $=$$2a-3$" }, { "question": "$10$이므로 $(주어진 식)=-(a-6)-(a+1)$ $=$$-a+6-a-1$ $=$$-2a+5$" }, { "question": "$a$, $b$가 양의 정수이고 $a^2-b^2=59$일 때, $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$a^2-b^2=59$에서 $(a+b)(a-b)=59\\times1$이므로 $a+b=59$, $a-b=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $a=30$, $b=29$" }, { "question": "다항식 $x^2+5ax+4b$에 다항식 $-3ax-b$를 빼면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $100$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$(x^2+5ax+4b)-(-3ax-b)=x^2+8ax+5b$ $=$$x^2+2\\times x\\times4a+5b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $5b$$=(4a)^2$$=16a^2$ $∴$ $b=\\frac{16}{5}a^2$ 따라서 $100$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(5, 80)$의 $1$ 개이다." }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-4x-y+4}$가 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy-4x-y+4=x(y-4)-(y-4)=(x-1)(y-4)$ $\\sqrt{(x-1)(y-4)}$가 자연수가 되려면 $(x-1)(y-4)$가 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-1$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이고 $y-4$의 값은 $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$이다. 각 경우에 대하여 $(x-1)(y-4)$가 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-1=1$, $y-4=1$일 때, $(x-1)(y-4)=1=1^2$ → $(2, 5)$ $x-1=2$, $y-4=2$일 때, $(x-1)(y-4)=4=2^2$ → $(3, 6)$ $x-1=4$, $y-4=1$일 때, $(x-1)(y-4)=4=2^2$ → $(5, 5)$ 즉, $\\sqrt{xy-4x-y+4}$가 자연수가 될 경우의 수는 $3$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{3}{36}=\\frac{1}{12}$" }, { "question": "$(4x+3)^2-(4x+3)(x+2)-6(x+2)^2$이 $(ax+b)(x+c)$로 인수분해될 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x+3=A$, $x+2=B$로 놓으면 $(4x+3)^2-(4x+3)(x+2)-6(x+2)^2$ $=$$A^2-AB-6B^2$ $=$$(A+2B)(A-3B)$ $=$$\\lbrace4x+3+2(x+2)\\rbrace\\lbrace4x+3-3(x+2)\\rbrace$ $=$$(6x+7)(x-3)$ $a=6$, $b=7$, $c=-3$이므로 $ab+c$$=6\\times7+(-3)$$=39$" }, { "question": "$n^2+8n-65$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+8n-65$$=(n-5)(n+13)$ $n$이 자연수이므로 $(n-5)(n+13)$의 값이 소수가 되려면 $n-5=1$, $n+13$은 소수이어야 한다. $∴ n=6$" }, { "question": "$3x^2+kx-5$가 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.", "answer": "$3x^2+kx-5$$=(x+m)(3x+n)(m$, $n$은 정수)라 하면 $(x+m)(3x+n)$$=3x^2+(3m+n)x+mn$이므로 $k=3m+n$, $-5=mn$ 두 수의 곱이 $-5$인 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$은 $(-5, 1)$, $(-1, 5)$, $(1, -5)$, $(5, -1)$이므로 $k$의 값은 $-14$, $2$, $-2$, $14$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수는 $-14$이다." }, { "question": "$p$, $q$가 양의 정수이고 $p^2-q^2=71$일 때, $p$, $q$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$p^2-q^2=71$에서 $(p+q)(p-q)=71\\times1$이므로 $p+q=71$, $p-q=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $p=36$, $q=35$" }, { "question": "$0<5x<1$일 때, $\\sqrt{x^2}+\\sqrt{x^2+\\frac{2}{5}x+\\frac{1}{25}}-\\sqrt{x^2-\\frac{2}{5}x+\\frac{1}{25}}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2}+\\sqrt{x^2+\\frac{2}{5}x+\\frac{1}{25}}-\\sqrt{x^2-\\frac{2}{5}x+\\frac{1}{25}}$ $=$ $\\sqrt{x^2}+\\sqrt{(x+\\frac{1}{5})^2}-\\sqrt{(x-\\frac{1}{5})^2}$ 이때 $0<5x<1$에서 $00$, $x+\\frac{1}{5}>0$, $x-\\frac{1}{5}<0$ $(주어진 식)$$=x+(x+\\frac{1}{5})-\\lbrace-(x-\\frac{1}{5})\\rbrace$ $=$ $x+x+\\frac{1}{5}+x-\\frac{1}{5}$ $=$$3x$" }, { "question": "$m$, $n$이 양의 정수이고 $m^2-n^2=61$일 때, $m$, $n$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$m^2-n^2=61$에서 $(m+n)(m-n)=61\\times1$이므로 $m+n=61$, $m-n=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $m=31$, $n=30$" }, { "question": "$m$, $n$이 양의 정수이고 $m^2-n^2=59$일 때, $m$, $n$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$m^2-n^2=59$에서 $(m+n)(m-n)=59\\times1$이므로 $m+n=59$, $m-n=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $m=30$, $n=29$" }, { "question": "$24\\times23\\times20\\times19+4=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$24=x$로 놓으면 $24\\times23\\times20\\times19+4$ $=$$x(x-1)(x-4)(x-5)+4$ $=$$\\lbrace x(x-5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x-4)\\rbrace+4$ $=$$(x^2-5x)(x^2-5x+4)+4$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x)(x^2-5x+4)+4$ $=$$A(A+4)+4$ $=$$A^2+4A+4$ $=$$(A+2)^2$ $=$$(x^2-5x+2)^2$ $=$$(24^2-5\\times24+2)^2$ $=$$458^2$ $N>0$이므로 $N=458$" }, { "question": "$n^2+10n-39$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+10n-39$$=(n-3)(n+13)$ $n$이 자연수이므로 $(n-3)(n+13)$의 값이 소수가 되려면 $n-3=1$, $n+13$은 소수이어야 한다. $ \\therefore n=4$" }, { "question": "$n^2+2n-63$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+2n-63$$=(n-7)(n+9)$ $n$이 자연수이므로 $(n-7)(n+9)$의 값이 소수가 되려면 $n-7=1$, $n+9$는 소수이어야 한다. $∴ $ $n=8$" }, { "question": "$(3x+y)^2-6(3x+y)-27$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$3x+y=A$로 놓으면 $(3x+y)^2-6(3x+y)-27$ $=$$A^2-6A-27$ $=$$(A+3)(A-9)$ $=$$(3x+y+3)(3x+y-9)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(3x+y+3)(3x+y-9)$의 값이 소수가 되려면 $3x+y-9=1$, $3x+y+3$은 소수이어야 한다. $∴ 3x+y=10$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 7)$, $(2, 4)$, $(3, 1)$의 $3$ 개이다." }, { "question": "$0<2x<5$일 때, $\\sqrt{x^2+5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2-5x+\\frac{25}{4}}-\\sqrt{x^2}$을 간단히 하여라.", "answer": "$\\sqrt{x^2+5x+\\frac{25}{4}}+\\sqrt{x^2-5x+\\frac{25}{4}}-\\sqrt{x^2}$$=\\sqrt{(x+\\frac{5}{2})^2}+\\sqrt{(x-\\frac{5}{2})^2}-\\sqrt{x^2}$ 이때 $0<2x<5$에서 $00$, $x-\\frac{5}{2}<0$, $x>0$ $(주어진 식)=(x+\\frac{5}{2})+\\lbrace -(x-\\frac{5}{2})\\rbrace -x$ $=$$x+\\frac{5}{2}-x+\\frac{5}{2}-x$ $=$$-x+5$" }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 민수는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(x+1)(12x-5)$로, 은서는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(3x+1)(2x-5)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "민수는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+1)(12x-5)=12x^2+7x-5$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $7$, 상수항은 $-5$이다. 은서는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(3x+1)(2x-5)=6x^2-13x-5$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $6$, 상수항은 $-5$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $6x^2+7x-5$$=(2x-1)(3x+5)$" }, { "question": "$20$, $a-3<0$이므로 (주어진 식) $=(a+4)-\\lbrace-(a-3)\\rbrace=a+4+a-3$ $=$$2a+1$" }, { "question": "$n^2+6n-72$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+6n-72$$=(n-6)(n+12)$ $n$이 자연수이므로 $(n-6)(n+12)$의 값이 소수가 되려면 $n-6=1$, $n+12$는 소수이어야 한다. $∴$ $n=7$" }, { "question": "$3(x-2)^2+2(x-2)(x-3)-(x-3)^2$이 $(ax+b)(cx-3)$으로 인수분해될 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-2=A$, $x-3=B$로 놓으면 $3(x-2)^2+2(x-2)(x-3)-(x-3)^2$ $=$$3A^2+2AB-B^2$ $=$$(A+B)(3A-B)$ $=$$(x-2+x-3)\\lbrace3(x-2)-(x-3)\\rbrace$ $=$$(2x-5)(2x-3)$ $a=2$, $b=-5$, $c=2$이므로 $ab+c$$=2\\times(-5)+2$$=-8$" }, { "question": "$x(x+1)(x+7)(x+8)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x+1)(x+7)(x+8)+k$ $=$$\\lbrace x(x+8)\\rbrace\\lbrace(x+1)(x+7)\\rbrace+k$ $=$$(x^2+8x)(x^2+8x+7)+k$ $x^2+8x=A$로 놓으면 $(x^2+8x)(x^2+8x+7)+k$ $=$$A(A+7)+k$ $=$$A^2+7A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=(\\frac{7}{2})^2$$=\\frac{49}{4}$" }, { "question": "$4(x-4)^2+3(x-4)(x+1)-(x+1)^2$이 $(ax+b)(2x+c)$로 인수분해될 때, 정수 $a, b, c$에 대하여 $a+bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$x-4=A$, $x+1=B$로 놓으면 $4(x-4)^2+3(x-4)(x+1)-(x+1)^2$ $=$$4A^2+3AB-B^2$ $=$$(4A-B)(A+B)$ $=$$\\lbrace4(x-4)-(x+1)\\rbrace(x-4+x+1)$ $=$$(3x-17)(2x-3)$ $a=3$, $b=-17$, $c=-3$이므로 $a+bc$$=3+(-17)\\times(-3)$$=54$" }, { "question": "$n^2+16n-57$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+16n-57$$=(n-3)(n+19)$ $n$이 자연수이므로 $(n-3)(n+19)$의 값이 소수가 되려면 $n-3=1$, $n+19$는 소수이어야 한다. $∴ n=4$" }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 선구는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(x-1)(8x+3)$으로, 현서는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(4x+3)(3x-1)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "선구는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-1)(8x+3)=8x^2-5x-3$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-5$, 상수항은 $-3$이다. 현서는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(4x+3)(3x-1)=12x^2+5x-3$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $12$, 상수항은 $-3$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $12x^2-5x-3$$=(3x+1)(4x-3)$" }, { "question": "$m$, $n$이 양의 정수이고 $m^2-n^2=67$일 때, $m$, $n$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$m^2-n^2=67$에서 $(m+n)(m-n)=67\\times1$이므로 $m+n=67$, $m-n=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $m=34$, $n=33$" }, { "question": "$(2x+y)^2+2(2x+y)-80$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$2x+y=A$로 놓으면 $(2x+y)^2+2(2x+y)-80$ $=$$A^2+2A-80$ $=$$(A-8)(A+10)$ $=$$(2x+y-8)(2x+y+10)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(2x+y-8)(2x+y+10)$의 값이 소수가 되려면 $2x+y-8=1$, $2x+y+10$은 소수이어야 한다. $\\therefore$ $ 2x+y=9$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 7)$, $(2, 5)$, $(3, 3)$, $(4, 1)$의 $4$ 개이다." }, { "question": "$A=(\\sqrt{7}-11)(\\sqrt{7}+5a)+6\\sqrt{7}$이 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수) $A=$ $\\square$", "answer": "$A=(\\sqrt{7}-11)(\\sqrt{7}+5a)+6\\sqrt{7}$ $=7+(5a-11)\\sqrt{7}-55a+6\\sqrt{7}$ $=$$(7-55a)+(5a-5)\\sqrt{7}$ $A$가 유리수이므로 $5a-5=0$ $∴ a=1$ $∴ A=7-55a=7-55\\times1=-48$" }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 현지는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(2x+1)(5x-6)$으로, 진주는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x-3)(5x+2)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "현지는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(2x+1)(5x-6)=10x^2-7x-6$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $-7$, 상수항은 $-6$이다. 진주는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x-3)(5x+2)=5x^2-13x-6$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $5$, 상수항은 $-6$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $5x^2-7x-6$$=(x-2)(5x+3)$" }, { "question": "$(3x-4y)^2=Ax^2+Bxy+Cy^2$일 때, 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x-4y)^2$$=9x^2-24xy+16y^2$ $A=9$, $B=-24$, $C=16$이므로 $A+B+C$$=9+(-24)+16$$=1$" }, { "question": "$p$, $q$가 양의 정수이고 $p^2-q^2=53$일 때, $p$, $q$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$p^2-q^2=53$에서 $(p+q)(p-q)=53\\times1$이므로 $p+q=53$, $p-q=1$ 위의 두 식을 연립하여 풀면 $p=27$, $q=26$" }, { "question": "$n^2+6n-112$의 값이 소수가 되도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$n^2+6n-112$$=(n-8)(n+14)$ $n$이 자연수이므로 $(n-8)(n+14)$의 값이 소수가 되려면 $n-8=1$, $n+14$는 소수이어야 한다. $∴ n=9$" }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 경수는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(x+1)(10x-8)$로, 세희는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(x+4)(3x-2)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "경수는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+1)(10x-8)=10x^2+2x-8$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $2$, 상수항은 $-8$이다. 세희는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+4)(3x-2)=3x^2+10x-8$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $3$, 상수항은 $-8$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $3x^2+2x-8$$=(x+2)(3x-4)$" }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 신우는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(x+1)(8x-3)$으로, 미혜는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(2x-3)(6x+1)$로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "신우는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(x+1)(8x-3)=8x^2+5x-3$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $5$, 상수항은 $-3$이다. 미혜는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(2x-3)(6x+1)=12x^2-16x-3$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $12$, 상수항은 $-3$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $12x^2+5x-3$$=(3x-1)(4x+3)$" }, { "question": "$\\sqrt{3}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-5)^2+12(x-5)+36$의 값을 구하여라.", "answer": "$1<\\sqrt{3}<2$이므로 $x=\\sqrt{3}-1$ $x-5=A$로 놓으면 $(x-5)^2+12(x-5)+36=A^2+12A+36$ $=(A+6)^2$ $=(x-5+6)^2$ $=(x+1)^2$ $=\\lbrace(\\sqrt{3}-1)+1\\rbrace^2$ $=$$3$" }, { "question": "$(2x+y)^2-2(2x+y)-80$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$2x+y=A$로 놓으면 $(2x+y)^2-2(2x+y)-80$ $=$$A^2-2A-80$ $=$$(A+8)(A-10)$ $=$$(2x+y+8)(2x+y-10)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(2x+y+8)(2x+y-10)$의 값이 소수가 되려면 $2x+y-10=1$, $2x+y+8$은 소수이어야 한다. $∴ 2x+y=11$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(1, 9)$, $(2, 7)$, $(3, 5)$, $(4, 3)$, $(5, 1)$의 $5$ 개이다." }, { "question": "어떤 이차식을 인수분해하는데 지호는 $x^2$의 계수를 잘못 보고 $(3x+5)(2x-3)$으로, 은지는 $x$의 계수를 잘못 보고 $(2x+5)(x-3)$으로 인수분해하였다. 처음 이차식을 바르게 인수분해하여라.", "answer": "지호는 $x$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(3x+5)(2x-3)=6x^2+x-15$ 에서 처음 이차식의 $x$의 계수는 $1$, 상수항은 $-15$이다. 은지는 $x^2$의 계수와 상수항을 제대로 보았으므로 $(2x+5)(x-3)=2x^2-x-15$ 에서 처음 이차식의 $x^2$의 계수는 $2$, 상수항은 $-15$이다. 따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 $2x^2+x-15$$=(x+3)(2x-5)$" }, { "question": "$(x+2y)^2-6(x+2y)-16$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x+2y=A$로 놓으면 $(x+2y)^2-6(x+2y)-16$ $=$$A^2-6A-16$ $=$$(A+2)(A-8)$ $=$$(x+2y+2)(x+2y-8)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(x+2y+2)(x+2y-8)$의 값이 소수가 되려면 $x+2y-8=1$, $x+2y+2$는 소수이어야 한다. $∴ x+2y=9$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(7, 1)$, $(5, 2)$, $(3, 3)$, $(1, 4)$의 $4$ 개이다." }, { "question": "$(3x+y)^2=Ax^2+Bxy+Cy^2$일 때, 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x+y)^2$$=9x^2+6xy+y^2$ $A=9$, $B=6$, $C=1$이므로 $A+B+C$$=9+6+1$$=16$" }, { "question": "$15\\times14\\times20\\times21+9=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$15=x$로 놓으면 $15\\times14\\times20\\times21+9$ $=$$x(x-1)(x+5)(x+6)+9$ $=$$\\lbrace x(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+6)\\rbrace+9$ $=$$(x^2+5x)(x^2+5x-6)+9$ $x^2+5x=A$로 놓으면 $(x^2+5x)(x^2+5x-6)+9$ $=$$A(A-6)+9$ $=$$A^2-6A+9$ $=$$(A-3)^2$ $=$$(x^2+5x-3)^2$ $=$$(15^2+5\\times15-3)^2$ $=$$297^2$ $N>0$이므로 $N=297$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x-a=0$의 한 근이 $x=-1$이고, $x^2+5x+3b=0$의 한 근이 $x=3$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $x^2+3x-a=0$에 대입하면 $(-1)^2+3\\times(-1)-a=0$ $-a-2=0$ $∴ a=-2$ $x=3$을 $x^2+5x+3b=0$에 대입하면 $3^2+5\\times3+3b=0$ $3b+24=0$ $∴ b=-8$ $∴ a=-2$, $b=-8$" }, { "question": "$(x+3y)^2-4(x+3y)-60$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x+3y=A$로 놓으면 $(x+3y)^2-4(x+3y)-60$ $=$$A^2-4A-60$ $=$$(A+6)(A-10)$ $=$$(x+3y+6)(x+3y-10)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(x+3y+6)(x+3y-10)$의 값이 소수가 되려면 $x+3y-10=1$, $x+3y+6$은 소수이어야 한다. $ \\therefore x+3y=11$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(8, 1)$, $(5, 2)$, $(2, 3)$의 $3$ 개이다." }, { "question": "$x(x+2)(x+8)(x+10)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x+2)(x+8)(x+10)+k$ $=$$\\lbrace x(x+10)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+8)\\rbrace+k$ $=$$(x^2+10x)(x^2+10x+16)+k$ $x^2+10x=A$로 놓으면 $(x^2+10x)(x^2+10x+16)+k$ $=$$A(A+16)+k$ $=$$A^2+16A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=8^2$$=64$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-3x-y+3}$이 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy-3x-y+3=x(y-3)-(y-3)$ $=$$(x-1)(y-3)$ $\\sqrt{(x-1)(y-3)}$이 자연수가 되려면 $(x-1)(y-3)$이 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-1$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이고 $y-3$의 값은 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$이다. 각 경우에 대하여 $(x-1)(y-3)$이 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-1=1$, $y-3=1$일 때, $(x-1)(y-3)=1=1^2$ → $(2, 4)$ $x-1=2$, $y-3=2$일 때, $(x-1)(y-3)=4=2^2$ → $(3, 5)$ $x-1=3$, $y-3=3$일 때, $(x-1)(y-3)=9=3^2$ → $(4, 6)$ $x-1=4$, $y-3=1$일 때, $(x-1)(y-3)=4=2^2$ → $(5, 4)$ 즉, $\\sqrt{xy-3x-y+3}$이 자연수가 될 경우의 수는 $4$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{4}{36}$$=\\frac{1}{9}$" }, { "question": "$(x+4y)^2-10(x+4y)-96$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x, y)$의 개수를 구하여라.", "answer": "$x+4y=A$로 놓으면 $(x+4y)^2-10(x+4y)-96$ $=$$A^2-10A-96$ $=$$(A+6)(A-16)$ $=$$(x+4y+6)(x+4y-16)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(x+4y+6)(x+4y-16)$의 값이 소수가 되려면 $x+4y-16=1$, $x+4y+6$은 소수이어야 한다. $∴$ $x+4y=17$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(13, 1)$, $(9, 2)$, $(5, 3)$, $(1, 4)$의 $4$ 개이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+(2a-1)x+6=0$의 한 근이 $x=2$이고, $(2b+1)x^2-3x+6=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $x^2+(2a-1)x+6=0$에 대입하면 $2^2+(2a-1)\\times2+6=0$ $4a+8=0$ $∴$ $a=-2$ $x=1$을 $(2b+1)x^2-3x+6=0$에 대입하면 $(2b+1)\\times1^2-3\\times1+6=0$ $2b+4=0$ $∴$ $b=-2$ $∴$ $a=-2$, $b=-2$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-3x-3y+9}$가 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy-3x-3y+9=x(y-3)-3(y-3)$ $=$$(x-3)(y-3)$ $\\sqrt{(x-3)(y-3)}$이 자연수가 되려면 $(x-3)(y-3)$이 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-3$의 값은 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$이고 $y-3$의 값은 $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$이다. 각 경우에 대하여 $(x-3)(y-3)$이 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-3=-2$, $y-3=-2$일 때, $(x-3)(y-3)=4=2^2$ $→ $$(1, 1)$ $x-3=-1$, $y-3=-1$일 때, $(x-3)(y-3)=1=1^2$$ →$ $(2, 2)$ $x-3=1$, $y-3=1$일 때, $(x-3)(y-3)=1=1^2$$ →$ $(4, 4)$ $x-3=2$, $y-3=2$일 때, $(x-3)(y-3)=4=2^2$ $→$ $(5, 5)$ $x-3=3$, $y-3=3$일 때, $(x-3)(y-3)=9=3^2$$ →$ $(6, 6)$ 즉, $\\sqrt{xy-3x-3y+9}$가 자연수가 될 경우의 수는 $5$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{5}{36}$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-2x-y+2}$가 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy-2x-y+2=x(y-2)-(y-2)$ $=$$(x-1)(y-2)$ $\\sqrt{(x-1)(y-2)}$가 자연수가 되려면 $(x-1)(y-2)$가 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-1$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이고 $y-2$의 값은 $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$이다. 각 경우에 대하여 $(x-1)(y-2)$가 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-1=1$, $y-2=1$일 때, $(x-1)(y-2)=1=1^2$ $\\rightarrow$ $(2, 3)$ $x-1=1$, $y-2=4$일 때, $(x-1)(y-2)=4=2^2$ $\\rightarrow$ $(2, 6)$ $x-1=2$, $y-2=2$일 때, $(x-1)(y-2)=4=2^2$ $\\rightarrow$ $(3, 4)$ $x-1=3$, $y-2=3$일 때, $(x-1)(y-2)=9=3^2$ $\\rightarrow$ $(4, 5)$ $x-1=4$, $y-2=1$일 때, $(x-1)(y-2)=4=2^2$ $\\rightarrow$ $(5, 3)$ $x-1=4$, $y-2=4$일 때, $(x-1)(y-2)=16=4^2$ $\\rightarrow$ $(5, 6)$ 즉, $\\sqrt{xy-2x-y+2}$가 자연수가 될 경우의 수는 $6$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{6}{36}$$=\\frac{1}{6}$" }, { "question": "$x(x-1)(x-4)(x-5)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x-1)(x-4)(x-5)+k$ $=$$\\lbrace x(x-5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x-4)\\rbrace+k$ $=$$(x^2-5x)(x^2-5x+4)+k$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x)(x^2-5x+4)+k$ $=$$A(A+4)+k$ $=$$A^2+4A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=2^2$$=4$" }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-4x-2y+8}$이 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $=$$(x-2)(y-4)$ $\\sqrt{(x-2)(y-4)}$가 자연수가 되려면 $(x-2)(y-4)$가 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-2$의 값은 $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$이고 $y-4$의 값은 $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$이다. 각 경우에 대하여 $(x-2)(y-4)$가 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-2=-1$, $y-4=-1$일 때, $(x-2)(y-4)=1=1^2$ $→$ $(1, 3)$ $x-2=1$, $y-4=1$일 때, $(x-2)(y-4)=1=1^2$ $→$ $(3, 5)$ $x-2=2$, $y-4=2$일 때, $(x-2)(y-4)=4=2^2$ $→$ $(4, 6)$ $x-2=4$, $y-4=1$일 때, $(x-2)(y-4)=4=2^2$ $→$ $(6, 5)$ 즉, $\\sqrt{xy-4x-2y+8}$이 자연수가 될 경우의 수는 $4$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{4}{36}$$=\\frac{1}{9}$" }, { "question": "$2\\sqrt{2}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-4)^2+12(x-4)+36$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<2\\sqrt{2}<3$이므로 $x=2\\sqrt{2}-2$ $x-4=A$로 놓으면 $(x-4)^2+12(x-4)+36=A^2+12A+36$ $=(A+6)^2$ $=(x-4+6)^2$ $=(x+2)^2$ $={(2\\sqrt{2}-2)+2}^2$ $=$$8$" }, { "question": "$(x+3y)^2-8(x+3y)-48$의 값이 소수가 되도록 하는 두 자연수 $x$, $y$의 순서쌍 ($x$, $y$)의 개수를 구하여라.", "answer": "$x+3y=A$로 놓으면 $(x+3y)^2-8(x+3y)-48$ $=$$A^2-8A-48$ $=$$(A+4)(A-12)$ $=$$(x+3y+4)(x+3y-12)$ $x$, $y$가 자연수이므로 $(x+3y+4)(x+3y-12)$의 값이 소수가 되려면 $x+3y-12=1$, $x+3y+4$는 소수이어야 한다. $∴$ $x+3y=13$ 이를 만족시키는 순서쌍 $(x, y)$는 $(10, 1)$, $(7, 2)$, $(4, 3)$, $(1, 4)$의 $4$ 개이다." }, { "question": "$(x-7y)^2=Ax^2-Bxy+Cy^2$일 때, 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+B+C$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-7y)^2$$=x^2-14xy+49y^2$ $A=1$, $B=14$, $C=49$이므로 $A+B+C$$=1+14+49$$=64$" }, { "question": "$x(x+2)(x+4)(x+6)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x+2)(x+4)(x+6)+k$ $=$$\\lbrace x(x+6)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+4)\\rbrace+k$ $=$$(x^2+6x)(x^2+6x+8)+k$ $x^2+6x=A$로 놓으면 $(x^2+6x)(x^2+6x+8)+k$ $=$$A(A+8)+k$ $=$$A^2+8A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=4^2$$=16$" }, { "question": "$30\\times28\\times26\\times24+16=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$30=x$로 놓으면 $30\\times28\\times26\\times24+16$ $=$$x(x-2)(x-4)(x-6)+16$ $=$$\\lbrace x(x-6)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x-4)\\rbrace+16$ $=$$(x^2-6x)(x^2-6x+8)+16$ $x^2-6x=A$로 놓으면 $(x^2-6x)(x^2-6x+8)+16$ $=$$A(A+8)+16$ $=$$A^2+8A+16$ $=$$(A+4)^2$ $=$$(x^2-6x+4)^2$ $=$$(30^2-6\\times30+4)^2$ $=$$724^2$ $N>0$이므로 $N=724$" }, { "question": "$25\\times24\\times19\\times18+9=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$25=x$로 놓으면 $25\\times24\\times19\\times18+9$ $=$$x(x-1)(x-6)(x-7)+9$ $=$$\\lbrace x(x-7)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x-6)\\rbrace+9$ $=$$(x^2-7x)(x^2-7x+6)+9$ $x^2-7x=A$로 놓으면 $(x^2-7x)(x^2-7x+6)+9$ $=$$A(A+6)+9$ $=$$A^2+6A+9$ $=$$(A+3)^2$ $=$$(x^2-7x+3)^2$ $=$$(25^2-7\\times25+3)^2$ $=$$453^2$ $N>0$이므로 $N=453$" }, { "question": "$\\sqrt{11}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-7)^2+20(x-7)+100$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{11}<4$이므로 $x=\\sqrt{11}-3$ $x-7=A$로 놓으면 $(x-7)^2+20(x-7)+100=A^2+20A+100$ $=(A+10)^2$ $=(x-7+10)^2$ $=(x+3)^2$ $=${$(\\sqrt{11-3}+3)$}$^2$ $=11$" }, { "question": "$(3x-5)^2=ax^2-bx+c$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3x-5)^2$$=9x^2-30x+25$ $a=9$, $b=30$, $c=25$이므로 $a+b-c=9+30-25=14$" }, { "question": "$23\\times24\\times18\\times17+9=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$23=x$로 놓으면 $23\\times24\\times18\\times17+9$ $=$$x(x+1)(x-5)(x-6)+9$ $=$$\\lbrace x(x-5)\\rbrace\\lbrace(x+1)(x-6)\\rbrace+9$ $=$$(x^2-5x)(x^2-5x-6)+9$ $x^2-5x=A$로 놓으면 $(x^2-5x)(x^2-5x-6)+9$ $=$$A(A-6)+9$ $=$$A^2-6A+9$ $=$$(A-3)^2$ $=$$(x^2-5x-3)^2$ $=$$(23^2-5\\times23-3)^2$ $=$$411^2$ $N>0$이므로 $N=411$" }, { "question": "이차방정식 $(a+2)x^2+3x-2=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $(a+2)x^2+3x-2=0$에 대입하면 $(a+2)\\times2^2+3\\times2-2=0$ $4a+12=0$ $∴ a=-3$" }, { "question": "$(4x+y)^2=Ax^2+Bxy+Cy^2$일 때, 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A-B-C$의 값을 구하여라.", "answer": "$(4x+y)^2$$=16x^2+8xy+y^2$ $A=16$, $B=8$, $C=1$이므로 $A-B-C$$=16-8-1$$=7$" }, { "question": "$13\\times11\\times16\\times18+25=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", "answer": "$13=x$로 놓으면 $13\\times11\\times16\\times18+25$ $=$$x(x-2)(x+3)(x+5)+25$ $=$$\\lbrace x(x+3)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x+5)\\rbrace+25$ $=$$(x^2+3x)(x^2+3x-10)+25$ $x^2+3x=A$로 놓으면 $(x^2+3x)(x^2+3x-10)+25$ $=$$A(A-10)+25$ $=$$A^2-10A+25$ $=$$(A-5)^2$ $=$$(x^2+3x-5)^2$ $=$$(13^2+3\\times13-5)^2$ $=$$203^2$ $N>0$이므로 $N=203$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+x-7=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2+a+5)(b^2+b-1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$ 를 $x^2+x-7=0$에 대입하면 $a^2+a-7=0$ $∴ a^2+a=7$ $x=b$ 를 $x^2+x-7=0$에 대입하면 $b^2+b-7=0$ $∴ b^2+b=7$ $∴ (a^2+a+5)(b^2+b-1)=(7+5)(7-1)$ $=12\\times6=72$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-x-2a=0$의 한 근이 $x=2$이고, $x^2+4x-b=0$의 한 근이 $x=-2$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $3x^2-x-2a=0$에 대입하면 $3\\times2^2-2-2a=0$ $-2a+10=0$ ∴ $a=5$ $x=-2$를 $x^2+4x-b=0$에 대입하면 $(-2)^2+4\\times(-2)-b=0$ $-b-4=0$ $∴ b=-4$ $∴ a=5$, $b=-4$" }, { "question": "$2x^2+kx-7$이 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.", "answer": "$2x^2+kx-7$$=(x+a)(2x+b)$$(a, b는 정수)$라 하면 $(x+a)(2x+b)$$=2x^2+(2a+b)x+ab$이므로 $k=2a+b$, $-7=ab$ 두 수의 곱이 $-7$인 정수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(-7, 1)$, $(-1, 7)$, $(1, -7)$, $(7, -1)$이므로 $k$의 값은 $-13$, $5$, $-5$, $13$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수는 $-13$이다." }, { "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-x-4y+4}$가 자연수가 될 확률을 구하여라.", "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy - x - 4y + 4 =$ $x(y-1) - 4(y-1)$ $=$ $(x-4)(y-1)$ $\\sqrt{(x-4)(y-1)}$이 자연수가 되려면 $(x-4)(y-1)$이 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-4$의 값은 $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$이고 $y-1$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이다. 각 경우에 대하여 $(x-4)(y-1)$이 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-4=1$, $y-1=1$일 때, $(x-4)(y-1)=1=1^2$ → $(5, 2)$ $x-4=1$, $y-1=4$일 때, $(x-4)(y-1)=4=2^2$ → $(5, 5)$ $x-4=2$, $y-1=2$일 때, $(x-4)(y-1)=4=2^2$ → $(6, 3)$ 즉, $\\sqrt{xy-x-4y+4}$가 자연수가 될 경우의 수는 $3$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{3}{36}$ $=\\frac{1}{12}$" }, { "question": "이차방정식 $(x-3)(x-1)=0$을 풀어라.", "answer": "$(x-3)(x-1)=0$에서 $x-3=0$ 또는 $x-1=0$ ∴ $x=3$ 또는 $x=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2ax+8=0$의 한 근이 $x=-4$이고, $x^2-7x+3b=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=-4$를 $x^2+2ax+8=0$에 대입하면 $(-4)^2+2a\\times(-4)+8=0$ $-8a+24=0$ $∴ a=3$ $x=1$을 $x^2-7x+3b=0$에 대입하면 $1^2-7\\times1+3b=0$ $3b-6=0$ $∴ b=2$ $∴ a=3$, $b=2$" }, { "question": "$\\sqrt{10}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-4)^2+14(x-4)+49$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{10}<4$이므로 $x=\\sqrt{10}-3$ $x-4=A$로 놓으면 $(x-4)^2+14(x-4)+49=A^2+14A+49 =(A+7)^2 =(x-4+7)^2 =(x+3)^2 ={(\\sqrt10-3)+3}^2 =10$" }, { "question": "$(4x+3)^2=ax^2+bx+c$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(4x+3)^2$$=16x^2+24x+9$ $a=16$, $b=24$, $c=9$이므로 $a-b+c$$=16-24+9$$=1$" }, { "question": "$(5x+1)^2-4(5x+1)(x+2)+3(x+2)^2$이 $(ax+b)(2x+c)$로 인수분해될 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라.", "answer": "$5x+1=A$, $x+2=B$로 놓으면 $(5x+1)^2-4(5x+1)(x+2)+3(x+2)^2$ $=$$A^2-4AB+3B^2$ $=$$(A-B)(A-3B)$ $=$$\\lbrace5x+1-(x+2)\\rbrace\\lbrace5x+1-3(x+2)\\rbrace$ $=$$(4x-1)(2x-5)$ $a=4$, $b=-1$, $c=-5$이므로 $abc$$=4\\times(-1)\\times(-5)$$=20$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-5x+4=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2+2x-8=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $a^2-b^2-5a-2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-5x+4=0$에 대입하면 $a^2-5a+4=0$ $∴$ $a^2-5a=-4$ $x=b$를 $x^2+2x-8=0$에 대입하면 $b^2+2b-8=0$ $∴$ $b^2+2b=8$ $∴$$a^2-b^2-5a-2b=(a^2-5a)-(b^2+2b)=$$-4-8$$=$$-12$" }, { "question": "이차방정식 $ax^2-(2a+1)x+15-a=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $ax^2-(2a+1)x+15-a=0$에 대입하면 $a\\times1^2-(2a+1)\\times1+15-a=0$ $-2a+14=0$ $∴$ $a=7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+x+2a=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $x^2+x+2a=0$에 대입하면 $1^2+1+2a=0$ $2a+2=0$ $\\therefore$ $a=-1$" }, { "question": "$\\sqrt{7}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-6)^2+16(x-6)+64$의 값을 구하여라.", "answer": "$2<\\sqrt{7}<3$이므로 $x=\\sqrt{7}-2$ $x-6=A$로 놓으면 $(x-6)^2+16(x-6)+64=A^2+16A+64$ $= (A+8)^2$ $= (x-6+8)^2$ $= (x+2)^2$ $=$ ${(\\sqrt{7}-2)+2}$$^2$ $=7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x-5=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2+2a+2)(b^2+2b-4)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+2x-5=0$에 대입하면 $a^2+2a-5=0$ $∴ a^2+2a=5$ $x=b$를 $x^2+2x-5=0$에 대입하면 $b^2+2b-5=0$ $∴ b^2+2b=5$ $∴(a^2+2a+2)(b^2+2b-4)=(5+2)(5-4)$ $=$$7\\times1$$=$$7$" }, { "question": "$(2x-5y)^2=ax^2-bxy+cy^2$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-5y)^2$$=4x^2-20xy+25y^2$ $a=4$, $b=20$, $c=25$이므로 $a+b-c$$=4+20-25$$=-1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-ax+4a=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $x^2-ax+4a=0$에 대입하면 $2^2-a\\times2+4a=0$ $2a+4=0$ $∴$ $a=-2$" }, { "question": "이차방정식 $(3x-1)(x+3)=0$을 풀어라.", "answer": "$(3x-1)(x+3)=0$에서 $3x-1=0$ 또는 $x+3=0$ $∴$ $x=\\frac{1}{3}$ 또는 $x=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax-40=0$의 한 근이 $x=-5$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-5$를 $x^2+ax-40=0$에 대입하면 $(-5)^2+a\\times(-5)-40=0$ $-5a-15=0$ $∴$$a=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-x-10=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2+2x+2=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $\\frac{a^2-a}{b^2+2b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-x-10=0$에 대입하면 $a^2-a-10=0$ $∴$ $a^2-a=10$ $x=b$를 $x^2+2x+2=0$에 대입하면 $b^2+2b+2=0$ $∴$ $b^2+2b=-2$ $∴$ $\\frac{a^2-a}{b^2+2b}$$=\\frac{10}{-2}$$=-5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-2x+1=0$에 대입하면 $a^2-2a+1=0$ $a $≠$ 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-2+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a+\\frac{1}{a}$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x-5=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2-4a+3)(b^2-4b+1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-4x-5=0$에 대입하면 $a^2-4a-5=0$ $∴$ $a^2-4a=5$ $x=b$를 $x^2-4x-5=0$에 대입하면 $b^2-4b-5=0$ $∴$ $b^2-4b=5$ $∴$ $(a^2-4a+3)(b^2-4b+1)=(5+3)(5+1)$ $=$$8\\times6$$=$$48$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2+2x-a=0$의 한 근이 $x=1$이고, $4x^2-3x+2b=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $3x^2+2x-a=0$에 대입하면 $3\\times1^2+2\\times1-a=0$ $-a+5=0$ $∴$ $a=5$ $x=2$를 $4x^2-3x+2b=0$에 대입하면 $4\\times2^2-3\\times2+2b=0$ $2b+10=0$ $∴$ $b=-5$ $∴$ $a=5$, $b=-5$" }, { "question": "$x(x-1)(x-5)(x-6)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x-1)(x-5)(x-6)+k$ $=$$\\lbrace x(x-6)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x-5)\\rbrace+k$ $=$$(x^2-6x)(x^2-6x+5)+k$ $x^2-6x=A$로 놓으면 $(x^2-6x)(x^2-6x+5)+k$ $=$$A(A+5)+k$ $=$$A^2+5A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=(\\frac{5}{2})^2$$=\\frac{25}{4}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+6=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $x^2+ax+6=0$에 대입하면 $(-1)^2+a\\times(-1)+6=0$ $-a+7=0$ $∴ a=7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-5x+3=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2-5a+7)(b^2-5b-1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-5x+3=0$에 대입하면 $a^2-5a+3=0$ ∴ $a^2-5a=-3$ $x=b$를 $x^2-5x+3=0$에 대입하면 $b^2-5b+3=0$ ∴ $b^2-5b=-3$ ∴ $(a^2-5a+7)(b^2-5b-1)=(-3+7)(-3-1)$ $=$$4\\times(-4)$$=$$-16$" }, { "question": "$(2x+3y)^2=ax^2+bxy+cy^2$일 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+3y)^2$$=4x^2+12xy+9y^2$ $a=4$, $b=12$, $c=9$이므로 $a+b+c$$=4+12+9$$=25$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x-1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a-\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+3x-1=0$에 대입하면 $a^2+3a-1=0$ $a ≠ 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a+3-\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a-\\frac{1}{a}$$=-3$" }, { "question": "이차방정식 $(2x+3)(x-5)=0$을 풀어라.", "answer": "$(2x+3)(x-5)=0$에서 $2x+3=0$ 또는 $x-5=0$ $∴ x=-\\frac{3}{2}$ 또는 $x=5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x-1=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2+2a+1)(b^2+2b+5)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+2x-1=0$에 대입하면 $a^2+2a-1=0$ $∴ a^2+2a=1$ $x=b$를 $x^2+2x-1=0$에 대입하면 $b^2+2b-1=0$ $∴ b^2+2b=1$ $∴ (a^2+2a+1)(b^2+2b+5)=(1+1)(1+5)$ $=$$2\\times6$$=$$12$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+8x+1=0$에 대입하면 $a^2+8a+1=0$ $a≠0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a+8+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴a+\\frac{1}{a}$$=-8$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x-3=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $2x^2+3x-2=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $a^2+2b^2-2a+3b+5$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-2x-3=0$에 대입하면 $a^2-2a-3=0$ $∴ a^2-2a=3$ $x=b$를 $2x^2+3x-2=0$에 대입하면 $2b^2+3b-2=0$ $∴ 2b^2+3b=2$ $\\therefore a^2+2b^2-2a+3b+5=(a^2-2a)+(2b^2+3b)+5$ $=$$3+2+5$$=$$10$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+10x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+10x+1=0$에 대입하면 $a^2+10a+1=0$ $a$ $\\ne$ $0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a+10+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴$ $a+\\frac{1}{a}$$=-10$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a+1)x+3=0$의 한 근이 $x=-3$이고, $(b-1)x^2+4x+4=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=-3$을 $x^2+(a+1)x+3=0$에 대입하면 $(-3)^2+(a+1)\\times(-3)+3=0$ $-3a+9=0$ $∴$ $a=3$ $x=2$를 $(b-1)x^2+4x+4=0$에 대입하면 $(b-1)\\times2^2+4\\times2+4=0$ $4b+8=0$ $∴$ $b=-2$ $∴$ $a=3$, $b=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x-7=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2+3a-4)(b^2+3b-5)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+3x-7=0$에 대입하면 $a^2+3a-7=0$ $∴$ $a^2+3a=7$ $x=b$를 $x^2+3x-7=0$에 대입하면 $b^2+3b-7=0$ $∴$ $b^2+3b=7$ $∴$ $(a^2+3a-4)(b^2+3b-5)=(7-4)(7-5)$ $=$$3\\times2$$=$$6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+x-5=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2-2x-7=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $a^2-b^2+a+2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+x-5=0$에 대입하면 $a^2+a-5=0$ $∴$ $a^2+a=5$ $x=b$를 $x^2-2x-7=0$에 대입하면 $b^2-2b-7=0$ $∴$ $b^2-2b=7$ $∴$ $a^2-b^2+a+2b$ $=$$(a^2+a)-(b^2-2b)$ $=$$5-7$ $=$$-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-10x+1=0$에 대입하면 $a^2-10a+1=0$ $a\\ne0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-10+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a+\\frac{1}{a}$$=10$" }, { "question": "이차방정식 $(2a+4)x^2-3x+1=0$의 한 근이 $x=1$이고, $x^2-6x+3b+2=0$의 한 근이 $x=5$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $(2a+4)x^2-3x+1=0$에 대입하면 $(2a+4)\\times1^2-3\\times1+1=0$ $2a+2=0$ $∴$ $a=-1$ $x=5$를 $x^2-6x+3b+2=0$에 대입하면 $5^2-6\\times5+3b+2=0$ $3b-3=0$ $∴$$b=1$ $∴$ $a=-1$, $b=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-5x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-5x+1=0$에 대입하면 $a^2-5a+1=0$ $a \\ne 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-5+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a+\\frac{1}{a}$$=5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+5x-4=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2+5a-3)(b^2+5b+1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+5x-4=0$에 대입하면 $a^2+5a-4=0$ $∴$ $a^2+5a=4$ $x=b$를 $x^2+5x-4=0$에 대입하면 $b^2+5b-4=0$ $∴ $$b^2+5b=4$ $\\therefore$ $(a^2+5a-3)(b^2+5b+1)=(4-3)(4+1)=$$1\\times5$$=$$5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-x+2=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a^2-a+4)(b^2-b-2)$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-x+2=0$에 대입하면 $a^2-a+2=0$ $∴ a^2-a=-2$ $x=b$를 $x^2-x+2=0$에 대입하면 $b^2-b+2=0$ $∴ b^2-b=-2$ $=$$2\\times(-4)$$=$$-8$" }, { "question": "$\\sqrt{13}$의 소수 부분을 $x$라 할 때, $(x-2)^2+10(x-2)+25$의 값을 구하여라.", "answer": "$3<\\sqrt{13}<4$이므로 $x=\\sqrt{13}-3$ $x-2=A$로 놓으면 $(x-2)^2+10(x-2)+25=A^2+104-A+25$ $=$$(A+5)^2$ $=$$(x-2+5)^2$ $=$$(x+3)^2$ $=$$\\lbrace(\\sqrt{13}-3)+3\\rbrace^2$ $=$$13$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+6x-1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a-\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+6x-1=0$에 대입하면 $a^2+6a-1=0$ $a\\neq 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a+6-\\frac{1}{a}$$=0$ $∴$ $a-\\frac{1}{a}$$=-6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-\\sqrt{3}x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a^2+\\frac{1}{a^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-\\sqrt{3}x+1=0$에 대입하면 $a^2-\\sqrt{3}a+1=0$ $a≠0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-\\sqrt{3}+\\frac{1}{a}$$=0$ ∴ $a+\\frac{1}{a}$$=\\sqrt{3}$ ∴ $a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a+\\frac{1}{a})^2-2$$=(\\sqrt{3})^2-2$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+5x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a^2+\\frac{1}{a^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+5x+1=0$에 대입하면 $a^2+5a+1=0$ $a$≠$0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a+5+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a+\\frac{1}{a}$$=-5$ $∴ a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a+\\frac{1}{a})^2-2$$=(-5)^2-2$$=23$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x+5=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $3x^2-2x-3=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $a^2+3b^2+3a-2b-2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+3x+5=0$에 대입하면 $a^2+3a+5=0$ $∴ a^2+3a=-5$ $x=b$를 $3x^2-2x-3=0$에 대입하면 $3b^2-2b-3=0$ $∴ 3b^2-2b=3$ $∴ a^2+3b^2+3a-2b-2=(a^2+3a)+(3b^2-2b)-2$ $=$$-5+3-2$$=$$-4$" }, { "question": "이차방정식 $5x(x+3)=0$을 풀어라.", "answer": "$5x(x+3)=0$에서 $x=0$ 또는 $x+3=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-\\sqrt{5}x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a^2+\\frac{1}{a^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-\\sqrt{5}x+1=0$에 대입하면 $a^2-\\sqrt{5}a+1=0$ $a$ $≠$ $0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-\\sqrt{5}+\\frac{1}{a}$$=0$ $∴$ $a+\\frac{1}{a}$$=\\sqrt{5}$ $∴ $$a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a+\\frac{1}{a})^2-2$$=(\\sqrt{5})^2-2$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-9x+7k-8=0$의 한 근이 $x=k$일 때, 양수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=k$를 $x^2-9x+7k-8=0$에 대입하면 $k^2-9k+7k-8=0$ $k^2-2k-8=0$ $(k+2)(k-4)=0$ $ \\therefore k=-2$ 또는 $k=4$ 따라서 양수 $k$의 값은 $4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-9x-1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a^2+\\frac{1}{a^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-9x-1=0$에 대입하면 $a^2-9a-1=0$ $a\\ne0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-9-\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a-\\frac{1}{a}$$=9$ $∴ a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a-\\frac{1}{a})^2+2$$=9^2+2$$=83$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)(x-6)=0$의 두 근을 $m$, $n$이라 할 때, $(m+n)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-1)(x-6)=0$에서 $x=1$ 또는 $x=6$ $m=1$, $n=6$이라 하면 $(m+n)^2$$=(1+6)^2$$=49$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x-3=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2+4x-9=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $\\frac{b^2+4b+1}{a^2+2a-1}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2+2x-3=0$에 대입하면 $a^2+2a-3=0$ $∴ a^2+2a=3$ $x=b$를 $x^2+4x-9=0$에 대입하면 $b^2+4b-9=0$ $∴ b^2+4b=9$ $∴ \\frac{b^2+4b+1}{a^2+2a-1}=\\frac{9+1}{3-1}=\\frac{10}{2}=5$" }, { "question": "이차방정식 $(x-2)^2=5x-16$을 풀어라.", "answer": "$(x-2)^2=5x-16$에서 $x^2-4x+4=5x-16$ $x^2-9x+20=0$ $(x-4)(x-5)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=5$" }, { "question": "이차방정식 $(x-2)(x-4)=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a^2+b^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-2)(x-4)=0$에서 $x=2$ 또는 $x=4$ $a=2$, $b=4$라 하면 $a^2+b^2$$=2^2+4^2$$=20$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-x-8=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2-2x+2=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $\\frac{a^2-a+4}{b^2-2b-2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-x-8=0$에 대입하면 $a^2-a-8=0$ $∴ a^2-a=8$ $x=b$를 $x^2-2x+2=0$에 대입하면 $b^2-2b+2=0$ $∴ b^2-2b=-2$ $∴ \\frac{a^2-a+4}{b^2-2b-2}$$=\\frac{8+4}{-2-2}$$=\\frac{12}{-4}$$=-3$" }, { "question": "이차방정식 $(x+2)(x-3)=0$의 두 근을 $p$, $q$라 할 때, $p^2+q^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+2)(x-3)=0$에서 $x=-2$ 또는 $x=3$ $p=-2$, $q=3$이라 하면 $p^2+q^2$$=(-2)^2+3^2$$=13$" }, { "question": "이차방정식 $(2x+1)(x-4)=0$을 풀어라.", "answer": "$(2x+1)(x-4)=0$에서 $2x+1=0$ 또는 $x-4=0$ $∴ x=-\\frac{1}{2}$ 또는 $x=4$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-\\sqrt{6}x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a^2+\\frac{1}{a^2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-\\sqrt{6}x+1=0$에 대입하면 $a^2-\\sqrt{6}a+1=0$ $a ≠ 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-\\sqrt{6}+\\frac{1}{a}=0$ $∴ a+\\frac{1}{a}=\\sqrt{6}$ $∴ a^2+\\frac{1}{a^2}=(a+\\frac{1}{a})^2-2=(\\sqrt{6})^2-2=4$" }, { "question": "이차방정식 $(x+4)(x+5)=0$의 두 근을 $m$, $n$이라 할 때, $(m+n)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+4)(x+5)=0$에서 $x=-4$ 또는 $x=-5$ $m=-4$, $n=-5$라 하면 $(m+n)^2$$=\\lbrace(-4)+(-5)\\rbrace^2$$=81$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-\\sqrt{7}x-1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $(a+\\frac{1}{a})^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=a$를 $x^2-\\sqrt{7}x-1=0$에 대입하면 $a^2-\\sqrt{7}a-1=0$ $a$≠$0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-\\sqrt{7}-\\frac{1}{a}$$=0$ $∴ a-\\frac{1}{a}$$=\\sqrt{7}$ $∴ (a+\\frac{1}{a})^2$$=(a-\\frac{1}{a})^2+4$$=(\\sqrt{7})^2+4$$=11$" }, { "question": "이차방정식 $(x-3)(x+4)=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a+b)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-3)(x+4)=0$에서 $x=3$ 또는 $x=-4$ $a=3$, $b=-4$라 하면 $(a+b)^2$$=\\lbrace3+(-4)\\rbrace^2$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x-21=0$을 풀어라.", "answer": "$x^2+4x-21=0$에서 $(x-3)(x+7)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-7$" }, { "question": "이차방정식 $(x-4)(x+3)=0$의 두 근을 $p$, $q$라 할 때, $p^2+q^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-4)(x+3)=0$에서 $x=4$ 또는 $x=-3$ $p=4$, $q=-3$이라 하면 $p^2+q^2$$=4^2+(-3)^2$$=25$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+x-3=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a+4b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$2x^2+x-3=0$에서 $(x-1)(2x+3)=0$ $∴$$x=1$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ $a>b$이므로 $a=1$, $b=-\\frac{3}{2}$ $∴$$a+4b$$=1+4\\times(-\\frac{3}{2})=-5$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2+5x-2=0$을 풀어라.", "answer": "$3x^2+5x-2=0$에서 $(x+2)(3x-1)=0$ $ \\therefore x=-2$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $(x+3)(x-2)=0$의 두 근을 $m$, $n$이라 할 때, $m^2+n^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+3)(x-2)=0$에서 $x=-3$ 또는 $x=2$ $m=-3$, $n=2$라 하면 $m^2+n^2$$=(-3)^2+2^2$$=13$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-16=0$을 풀어라.", "answer": "$x^2-16=0$에서 $(x+4)(x-4)=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=4$" }, { "question": "이차방정식 $(x-2)^2=-6x+7$을 풀어라.", "answer": "$(x-2)^2=-6x+7$에서 $x^2-4x+4=-6x+7$ $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x-15=0$을 풀어라.", "answer": "$x^2+2x-15=0$에서 $(x-3)(x+5)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-5$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-14x+8=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a-3b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$3x^2-14x+8=0$에서 $(x-4)(3x-2)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=\\frac{2}{3}$ $a>b$이므로 $a=4$, $b=\\frac{2}{3}$ $∴ a-3b$$=4-3\\times\\frac{2}{3}$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $(x-5)(x+4)=0$을 풀어라.", "answer": "$(x-5)(x+4)=0$에서 $x-5=0$ 또는 $x+4=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-4$" }, { "question": "이차방정식 $(x-4)(x+5)=0$의 두 근을 $p$, $q$라 할 때, $(p+q)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-4)(x+5)=0$에서 $x=4$ 또는 $x=-5$ $p=4$, $q=-5$라 하면 $(p+q)^2$$=\\lbrace4+(-5)\\rbrace^2$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+7x+12=0$을 풀어라.", "answer": "$x^2+7x+12=0$에서 $(x+3)(x+4)=0$ ∴ $x=-3$ 또는 $x=-4$" }, { "question": "이차방정식 $(x+4)(x-2)=0$을 풀어라.", "answer": "$(x+4)(x-2)=0$에서 $x+4=0$ 또는 $x-2=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-36=0$을 풀어라.", "answer": "$x^2-36=0$에서 $(x+6)(x-6)=0$ $∴ x=-6$ 또는 $x=6$" }, { "question": "이차방정식 $(x+9)(x-1)=8x$의 두 근을 $m$, $n$이라 할 때, $m^2+n^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+9)(x-1)=8x$에서 $x^2+8x-9=8x$ $x^2-9=0$ $(x+3)(x-3)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=3$ $m=-3$, $n=3$이라 하면 $m^2+n^2=(-3)^2+3^2=18$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+8x=0$을 풀어라.", "answer": "$2x^2+8x=0$에서 $2x(x+4)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=-4$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+7x-15=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a+2b$의 값을 구하여라. (단, $ab$)", "answer": "$4x^2-8x-5=0$에서 $(2x-5)(2x+1)=0$ $∴$ $x=\\frac{5}{2}$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $a>b$이므로 $a=\\frac{5}{2}$, $b=-\\frac{1}{2}$ $∴$ $a-b$$=\\frac{5}{2}-(-\\frac{1}{2})$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $(a-1)x^2-10x+3=0$의 한 근이 $x=3$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=3$을 $(a-1)x^2-10x+3=0$에 대입하여 정리하면 $9a-36=0$ $∴ a=4$ $a=4$를 $(a-1)x^2-10x+3=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-10x+3=0$ $(x-3)(3x-1)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ 따라서 다른 한 근은 $x=\\frac{1}{3}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax-a^2-11=0$의 한 근이 $x=-3$일 때, 수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x=-3$을 $x^2+ax-a^2-11=0$에 대입하면 $(-3)^2+a\\times(-3)-a^2-11=0$ $a^2+3a+2=0$ $(a+1)(a+2)=0$ $∴$ $a=-1$ 또는 $a=-2$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-3ax+a^2=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $2x^2-3ax+a^2=0$에 대입하면 $2\\times2^2-3a\\times2+a^2=0$ $a^2-6a+8=0$ $(a-2)(a-4)=0$ $∴ a=2$ 또는 $a=4$" }, { "question": "이차방정식 $(a-1)x^2+a(a+2)x-3=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $(a-1)x^2+a(a+2)x-3=0$에 대입하면 $(a-1)\\times1^2+a(a+2)\\times1-3=0$ $a^2+3a-4=0$ $(a-1)(a+4)=0$ $∴$ $a=1$ 또는 $a=-4$ $(a-1)x^2+a(a+2)x-3=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-1≠0$ 즉, $a≠1$이므로 $a=-4$" }, { "question": "이차방정식 $(a-1)x^2+4ax+a^2+3=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=-1$을 $(a-1)x^2+4ax+a^2+3=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-3a+2=0$ $(a-1)(a-2)=0$ $∴a=1$ 또는 $a=2$ $(a-1)x^2+4ax+a^2+3=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-1$≠$0$ 즉, $a\\neq1$이므로 $a=2$ $a=2$를 $(a-1)x^2+4ax+a^2+3=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+8x+7=0$ $(x+1)(x+7)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=-7$ 따라서 다른 한 근은 $x=-7$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x=2(x+8)$의 두 근을 $p$, $q$라 할 때, $(p-q)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+2x=2(x+8)$에서 $x^2+2x=2x+16$ $x^2-16=0$ $(x+4)(x-4)=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=4$ $p=-4$, $q=4$라 하면 $(p-q)^2$$=(-4-4)^2$$=64$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라.$\\\\$ $2x^2-11x+5=0$$\\\\$ $6x^2-x-1=0$", "answer": "$2x^2-11x+5=0$에서 $(x-5)(2x-1)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ $6x^2-x-1=0$에서 $(2x-1)(3x+1)=0$ $∴$ $x=\\frac{1}{2}$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{1}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-3ax+a^2-2a+1=0$의 한 근이 $x=-3$일 때, 수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x=-3$을 $x^2-3ax+a^2-2a+1=0$에 대입하면 $(-3)^2-3a\\times(-3)+a^2-2a+1=0$ $a^2+7a+10=0$ $(a+2)(a+5)=0$ $∴ a=-2$ 또는 $a=-5$" }, { "question": "이차방정식 $(a+4)x^2-a(a-2)x-24=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $(a+4)x^2-a(a-2)x-24=0$에 대입하면 $(a+4)\\times(-1)^2-a(a-2)\\times(-1)-24=0$ $a^2-a-20=0$ $(a+4)(a-5)=0$ $∴ a=-4$ 또는 $a=5$ $(a+4)x^2-a(a-2)x-24=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a+4 ≠ 0$ 즉, $a ≠ -4$이므로 $a=5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+7x-5k=0$의 한 근이 $x=k$일 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=k$를 $x^2+7x-5k=0$에 대입하면 $k^2+7k-5k=0$ $k^2+2k=0$ $k(k+2)=0$ $∴ k=0$ 또는 $k=-2$ 따라서 음수 $k$의 값은 $-2$이다." }, { "question": "이차방정식 $(a-4)x^2+(a^2-8)x-4a=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=2$를 $(a-4)x^2+(a^2-8)x-4a=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-16=0$ $(a+4)(a-4)=0$ $∴$ $a=-4$ 또는 $a=4$ $(a-4)x^2+(a^2-8)x-4a=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-4\\ne0$ 즉, $a\\ne4$이므로 $a=-4$ $a=-4$를 $(a-4)x^2+(a^2-8)x-4a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-x-2=0$ $(x+1)(x-2)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=2$ 따라서 다른 한 근은 $x=-1$이다." }, { "question": "이차방정식 $(a-2)x^2+a(a-8)x+12=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=1$을 $(a-2)x^2+a(a-8)x+12=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-7a+10=0$ $(a-2)(a-5)=0$ $∴$ $a=2$ 또는 $a=5$ $(a-2)x^2+a(a-8)x+12=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-2$≠$0$ 즉, $a$≠$2$이므로 $a=5$ $a=5$를 $(a-2)x^2+a(a-8)x+12=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-5x+4=0$ $(x-1)(x-4)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=4$ 따라서 다른 한 근은 $x=4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+mx+25=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+mx+25=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $25=(\\frac{m}{2})^2$에서 $m^2=100$ $∴$ $m=10$ 또는 $m=-10$ 따라서 수 $m$의 값의 합은 $10+(-10)$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $(a-2)x^2-x-12=0$의 한 근이 $x=4$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=4$를 $(a-2)x^2-x-12=0$에 대입하여 정리하면 $16a-48=0$ $ \\therefore a=3$ $a=3$을 $(a-2)x^2-x-12=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-x-12=0$ $(x+3)(x-4)=0$ $ \\therefore x=-3$ 또는 $x=4$ 따라서 다른 한 근은 $x=-3$이다." }, { "question": "이차방정식 $5x^2+x-4=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $5a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$5x^2+x-4=0$에서 $(x+1)(5x-4)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=\\frac{4}{5}$ $a>b$이므로 $a=\\frac{4}{5}$, $b=-1$ $∴ 5a+b$$=5\\times\\frac{4}{5}+(-1)$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $(a+3)x^2+(a^2+5a)x-18=0$의 한 근이 $x=-3$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=-3$을 $(a+3)x^2+(a^2+5a)x-18=0$에 대입하여 정리하면 $a^2+2a-3=0$ $(a-1)(a+3)=0$ $∴$ $a=1$ 또는 $a=-3$ $(a+3)x^2+(a^2+5a)x-18=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a+3$$≠$$0$ 즉, $a$ $≠$ $-3$이므로 $a=1$ $a=1$을 $(a+3)x^2+(a^2+5a)x-18=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+3x-9=0$ $(x+3)(2x-3)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ 따라서 다른 한 근은 $x=\\frac{3}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $(a-5)x^2-(3a-5)x+a^2-5=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=2$를 $(a-5)x^2-(3a-5)x+a^2-5=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-2a-15=0$ $(a+3)(a-5)=0$ $∴$ $a=-3$ 또는 $a=5$ $(a-5)x^2-(3a-5)x+a^2-5=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-5 ≠ 0$ 즉, $a ≠ 5$이므로 $a=-3$ $a=-3$을 $(a-5)x^2-(3a-5)x+a^2-5=0$에 대입하여 정리하면 $4x^2-7x-2=0$ $(4x+1)(x-2)=0$ $∴$ $x=-\\frac{1}{4}$ 또는 $x=2$ 따라서 다른 한 근은 $x=-\\frac{1}{4}$이다." }, { "question": "이차방정식 $2x^2-5x-2k-15=0$의 한 근이 $x=k$일 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=k$를 $2x^2-5x-2k-15=0$에 대입하면 $2k^2-5k-2k-15=0$ $2k^2-7k-15=0$ $(k-5)(2k+3)=0$ $∴ k=5$ 또는 $k=-\\frac{3}{2}$ 따라서 음수 $k$의 값은 $-\\frac{3}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $(a-3)x^2+(6-a^2)x-9=0$의 한 근이 $x=-3$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-3$을 $(a-3)x^2+(6-a^2)x-9=0$에 대입하면 $(a-3)\\times(-3)^2+(6-a^2)\\times(-3)-9=0$ $a^2+3a-18=0$ $(a-3)(a+6)=0$ $∴ a=3$ 또는 $a=-6$ $(a-3)x^2+(6-a^2)x-9=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-3≠0$ 즉, $a≠3$이므로 $a=-6$" }, { "question": "이차방정식 $(a-1)x^2-a(a+8)x-26a+8=0$의 한 근이 $x=-2$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=-2$를 $(a-1)x^2-a(a+8)x-26a+8=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-3a+2=0$ $(a-1)(a-2)=0$ $∴$ $a=1$ 또는 $a=2$ $(a-1)x^2-a(a+8)x-26a+8=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-1$≠$0$ 즉, $a $≠$1$이므로 $a=2$ $a=2$를 $(a-1)x^2-a(a+8)x-26a+8=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-20x-44=0$ $(x+2)(x-22)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=22$ 따라서 다른 한 근은 $x=22$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x-k-1=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(k+2)x^2-8x+3=0$의 두 근의 합을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2+4x-k-1=0$이 중근을 가지므로 $-k-1=(\\frac{4}{2})^2$ $∴$ $k=-5$ $k=-5$를 $(k+2)x^2-8x+3=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+8x-3=0$ $(x+3)(3x-1)=0$ $∴$$x=-3$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ 따라서 두 근의 합은 $-3+\\frac{1}{3}$$=-\\frac{8}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x-21=0$의 두 근 중 음수인 근이 $x^2-ax-35=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x-21=0$에서 $(x-3)(x+7)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-7$ 따라서 음수인 근이 $x=-7$이므로 $x=-7$을 $x^2-ax-35=0$에 대입하여 정리하면 $7a+14=0$ $∴ a=-2$" }, { "question": "이차방정식 $(a+2)x^2+a^2x+4=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $(a+2)x^2+a^2x+4=0$에 대입하면 $(a+2)\\times(-1)^2+a^2\\times(-1)+4=0$ $a^2-a-6=0$ $(a+2)(a-3)=0$ $∴$ $a=-2$ 또는 $a=3$ $(a+2)x^2+a^2x+4=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a+2 \\ne 0$ 즉, $a \\ne -2$이므로 $a=3$" }, { "question": "이차방정식 $(a+4)x^2-5x+2=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $(a+4)x^2-5x+2=0$에 대입하여 정리하면 $4a+8=0$ $\\therefore$ $a=-2$ $a=-2$를 $(a+4)x^2-5x+2=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2-5x+2=0$ $(x-2)(2x-1)=0$ $\\therefore$ $x=2$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 다른 한 근은 $x=\\frac{1}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $(a-5)x^2-13x-7=0$의 한 근이 $x=7$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=7$을 $(a-5)x^2-13x-7=0$에 대입하여 정리하면 $49a-343=0$ $∴$ $a=7$ $a=7$을 $(a-5)x^2-13x-7=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2-13x-7=0$ $(x-7)(2x+1)=0$ $∴$ $x=7$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ 따라서 다른 한 근은 $x=-\\frac{1}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $3x^2-ax+a(a-3)=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $3x^2-ax+a(a-3)=0$에 대입하면 $3\\times1^2-a\\times1+a(a-3)=0$ $a^2-4a+3=0$ $(a-1)(a-3)=0$ ∴ $a=1$ 또는 $a=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+6x-k-3=0$이 중근을 가질 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+6x-k-3=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $-k-3=(\\frac{6}{2})^2$ $∴ k=-12$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+6-k=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(k+1)x^2-2x-5=0$의 두 근의 합을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-4x+6-k=0$이 중근을 가지므로 $-k+6=(\\frac{-4}{2})^2$ $∴$ $k=2$ $k=2$를 $(k+1)x^2-2x-5=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-2x-5=0$ $(x+1)(3x-5)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{5}{3}$ 따라서 두 근의 합은 $-1+\\frac{5}{3}$$=\\frac{2}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $(a-4)x^2-2(2a-7)x+a(a-2)=0$의 한 근이 $x=4$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$x=4$를 $(a-4)x^2-2(2a-7)x+a(a-2)=0$에 대입하여 정리하면 $a^2-2a-8=0$ $(a+2)(a-4)=0$ $∴$ $a=-2$ 또는 $a=4$ $(a-4)x^2-2(2a-7)x+a(a-2)=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-4\\ne0$ 즉, $a$$≠$$4$이므로 $a=-2$ $a=-2$를 $(a-4)x^2-2(2a-7)x+a(a-2)=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-11x-4=0$ $(x-4)(3x+1)=0$ $∴$ $x=4$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ 따라서 다른 한 근은 $x=-\\frac{1}{3}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+10x+24=0$의 두 근 중 큰 근이 $x^2+ax-4=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+10x+24=0$에서 $(x+4)(x+6)=0$ $∴ x=-4$ 또는 $x=-6$ 따라서 큰 근이 $x=-4$이므로 $x=-4$를 $x^2+ax-4=0$에 대입하여 정리하면 $-4a+12=0$ $∴ a=3$" }, { "question": "이차방정식 $(a+2)x^2+x-20=0$의 한 근이 $x=-5$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=-5$를 $(a+2)x^2+x-20=0$에 대입하여 정리하면 $25a+25=0$ $∴ a=-1$ $a=-1$을 $(a+2)x^2+x-20=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+x-20=0$ $(x-4)(x+5)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-5$ 따라서 다른 한 근은 $x=4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+k+1=0$이 중근을 가질 때, $(k-6)x^2+4x-1=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-4x+k+1=0$이 중근을 가지므로 $k+1=(\\frac{-4}{2})^2$ $\\therefore$$ k=3$ $k=3$을 $(k-6)x^2+4x-1=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-4x+1=0$ $(x-1)(3x-1)=0$ $\\therefore$$ x=1$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+6x-16=0$의 두 근 중 작은 근이 $x^2+ax+32=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+6x-16=0$에서 $(x-2)(x+8)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-8$ 따라서 작은 근이 $x=-8$이므로 $x=-8$을 $x^2+ax+32=0$에 대입하여 정리하면 $-8a+96=0$ $∴ a=12$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x-18=0$의 두 근 중 양수인 근이 $x^2+ax+12=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+3x-18=0$에서 $(x-3)(x+6)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-6$ 따라서 양수인 근이 $x=3$이므로 $x=3$을 $x^2+ax+12=0$에 대입하여 정리하면 $3a+21=0$ $∴ a=-7$" }, { "question": "이차방정식 $(a-2)x^2+(a^2-1)x-3=0$의 한 근이 $x=1$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $(a-2)x^2+(a^2-1)x-3=0$에 대입하면 $(a-2)\\times1^2+(a^2-1)\\times1-3=0$ $a^2+a-6=0$ $(a-2)(a+3)=0$ $∴$ $a=2$ 또는 $a=-3$ $(a-2)x^2+(a^2-1)x-3=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a-2≠0$ 즉, $a≠2$이므로 $a=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+16=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $a$의 값의 차를 구하여라.", "answer": "$x^2+ax+16=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $16=\\frac{a}{2}^2$에서 $a^2=64$ $ \\therefore a=8$ 또는 $a=-8$ 따라서 수 $a$의 값의 차는 $8-(-8)$$=16$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x-10=0$의 두 근 중 양수인 근이 $2x^2+ax-5=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-3x-10=0$에서 $(x+2)(x-5)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=5$ 따라서 양수인 근이 $x=5$이므로 $x=5$를 $2x^2+ax-5=0$에 대입하여 정리하면 $5a+45=0$ $∴ a=-9$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-x-20=0$의 두 근 중 큰 근이 $x^2-ax+30=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-x-20=0$에서 $(x+4)(x-5)=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=5$ 따라서 큰 근이 $x=5$이므로 $x=5$를 $x^2-ax+30=0$에 대입하여 정리하면 $-5a+55=0$ $∴$$a=11$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=2$를 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{a}{b}$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=2$를 가지므로 $(x-2)^2=0$ $x^2-4x+4=0$이므로 $a=-4$, $b=4$ $∴ \\frac{a}{b}$$=\\frac{-4}{4}$$=-1$" }, { "question": "이차방정식 $(a+1)x^2+x-3=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $(a+1)x^2+x-3=0$에 대입하여 정리하면 $a-3=0$ $∴$ $a=3$ $a=3$을 $(a+1)x^2+x-3=0$에 대입하여 정리하면 $4x^2+x-3=0$ $(4x-3)(x+1)=0$ $∴$ $x=\\frac{3}{4}$ 또는 $x=-1$ 따라서 다른 한 근은 $x=\\frac{3}{4}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+k-2=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(k-2)x^2-x-15=0$의 두 근의 합을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2+8x+k-2=0$이 중근을 가지므로 $k-2=(\\frac{8}{2})^2$ $∴ $$k=18$ $k=18$을 $(k-2)x^2-x-15=0$에 대입하여 정리하면 $16x^2-x-15=0$ $(16x+15)(x-1)=0$ $∴ $$x=-\\frac{15}{16}$ 또는 $x=1$ 따라서 두 근의 합은 $-\\frac{15}{16}+1$$=\\frac{1}{16}$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-5x+4k-3=0$의 한 근이 $x=k$일 때, 양수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=k$를 $2x^2-5x+4k-3=0$에 대입하면 $2k^2-5k+4k-3=0$ $2k^2-k-3=0$ $(k+1)(2k-3)=0$ ∴ $k=-1$ 또는 $k=\\frac{3}{2}$ 따라서 양수 $k$의 값은 $\\frac{3}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $3x^2-11x-4=0$의 두 근 중 양수인 근이 $x^2+ax-4=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-11x-4=0$에서 $(x-4)(3x+1)=0$ $\\therefore$ $x=4$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ 따라서 양수인 근이 $x=4$이므로 $x=4$를 $x^2+ax-4=0$에 대입하여 정리하면 $4a+12=0$ $\\therefore$ $a=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=-2$를 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=-2$를 가지므로 $(x+2)^2=0$ $x^2+4x+4=0$이므로 $a=4$, $b=4$ $∴$ $b-a$$=4-4$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+mx+9=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+mx+9=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $9(\\frac{m}{2})^2$에서 $m^2=36$ $∴ m=6$ 또는 $m=-6$ 따라서 수 $m$의 값의 합은 $6+(-6)$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+k+4=0$이 중근을 가질 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+k+4=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $k+4$$=$$(\\frac{-6}{2})^2$ $\\therefore$ $k=5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x=-2x+5m$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(1-m)x^2+11x+3=0$의 두 근의 곱을 구하여라. (단, $m$은 수)", "answer": "$x^2+8x=-2x+5m$이 중근을 가지므로 $-5m=(\\frac{10}{2})^2$ $∴ m=-5$ $m=-5$를 $(1-m)x^2+11x+3=0$에 대입하여 정리하면 $6x^2+11x+3=0$ $(2x+3)(3x+1)=0$ $∴ x=-\\frac{3}{2}$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ 따라서 두 근의 곱은 $(-\\frac{3}{2})\\times(-\\frac{1}{3})$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=5$를 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=5$를 가지므로 $(x-5)^2=0$ $x^2-10x+25=0$이므로 $a=-10$, $b=25$ $∴$ $a+b$$=-10+25$$=15$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x-7=0$의 두 근 중 음수인 근이 $x^2+ax-7=0$의 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x-7=0$에서 $(x+1)(x-7)=0$ $\\therefore$ $x=-1$ 또는 $x=7$ 따라서 음수인 근이 $x=-1$이므로 $x=-1$을 $x^2+ax-7=0$에 대입하여 정리하면 $-a-6=0$ $\\therefore$ $a=-6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+12x+5k+11=0$이 중근을 가질 때, $x^2+(k-3)x-35=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2+12x+5k+11=0$이 중근을 가지므로 $5k+11=(\\frac{12}{2})^2$ $∴$ $k=5$ $k=5$를 $x^2+(k-3)x-35=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+2x-35=0$ $(x-5)(x+7)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=-7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+18x+6k+9=0$이 중근을 가질 때, $x^2+(k-4)x+15=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2+18x+6k+9=0$이 중근을 가지므로 $6k+9=(\\frac{18}{2})^2$ $∴ k=12$ $k=12$를 $x^2+(k-4)x+15=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+8x+15=0$ $(x+3)(x+5)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=-5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-18x+k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $k+m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-18x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{-18}{2})^2$ $∴$ $k=81$ $x^2-18x+81=0$에서 $(x-9)^2=0$ $∴$ $x=9$ $∴$ $m=9$ $∴$ $k+m$$=81+9$$=90$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+81=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값의 차를 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+81=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $81=(\\frac{k}{2})^2$에서 $k^2=324$ $∴ k=18$ 또는 $k=-18$ 따라서 수 $k$의 값의 차는 $18-(-18)$$=36$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=-3$을 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=-3$을 가지므로 $(x+3)^2=0$ $x^2+6x+9=0$이므로 $a=6$, $b=9$ $ \\therefore ab$$=6\\times9$$=54$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+64=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값의 차를 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+64=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $64=(\\frac{k}{2})^2$에서 $k^2=256$ $∴ k=16$ 또는 $k=-16$ 따라서 수 $k$의 값의 차는 $16-(-16)$$=32$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+12x+k+13=0$이 중근을 가질 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+12x+k+13=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $k+13=(\\frac{12}{2})^2$ $\\therefore$$k=23$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $k+m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-2x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{-2}{2})^2$ $∴ k=1$ $x^2-2x+1=0$에서 $(x-1)^2=0$ $∴ x=1$ $∴ m=1$ $∴ k+m$$=1+1$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=-1$을 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=-1$을 가지므로 $(x+1)^2=0$ $x^2+2x+1=0$이므로 $a=2$, $b=1$ $∴ a+b=2+1=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+14x+k+4=0$이 중근을 가질 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+14x+k+4=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $k+4=(\\frac{14}{2})^2$ $\\therefore k=45$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+10x+p=0$이 $x=q$를 중근으로 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+10x+p=0$이 중근을 가지므로 $p=(\\frac{10}{2})^2$ $∴$ $p=25$ $x^2+10x+25=0$에서 $(x+5)^2=0$ $∴ $$x=-5$ $∴$ $q=-5$ $∴$ $p+q$$=25+(-5)$$=20$" }, { "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2+3x-28=0$ $x^2-x-12=0$ $3x^2-10x-8=0$", "answer": "$x^2+3x-28=0$에서 $(x-4)(x+7)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-7$ $x^2-x-12=0$에서 $(x+3)(x-4)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=4$ $3x^2-10x-8=0$에서 $(x-4)(3x+2)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-\\frac{2}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+m-3=0$이 중근을 가질 때, 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-4x+m-3=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $m-3=(\\frac{-4}{2})^2$ $∴ m=7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-20x+k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $k-m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-20x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{-20}{2})^2$ $∴ k=100$ $x^2-20x+100=0$에서 $(x-10)^2=0$ $∴ x=10$ $∴ m=10$ $∴ k-m$$=100-10$$=90$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+mx+36=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+mx+36=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $36=(\\frac{m}{2})^2$에서 $m^2=144$ $\\therefore$ $m=12$ 또는 $m=-12$ 따라서 수 $m$의 값의 합은 $12+(-12)$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+49=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+49=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $49=(\\frac{k}{2})^2$에서 $k^2=196$ $∴$ $k=14$ 또는 $k=-14$ 따라서 수 $k$의 값의 합은 $14+(-14)$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $5(x-3)^2-30=0$의 해가 $x=p\\pm\\sqrt{q}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$5(x-3)^2-30=0$에서 $(x-3)^2=6$ $x-3=\\pm\\sqrt{6}$ $∴$ $x=3\\pm\\sqrt{6}$ $p=3$$,$ $q=6$이므로 $p+q$$=3+6$$=9$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+k-1=0$이 중근을 가질 때, $x^2+(k-5)x+27=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-8x+k-1=0$이 중근을 가지므로 $k-1=(\\frac{-8}{2})^2$ $∴$ $k=17$ $k=17$을 $x^2+(k-5)x+27=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+12x+27=0$ $(x+3)(x+9)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=-9$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+14x-k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $k+m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+14x-k=0$이 중근을 가지므로 $-k=(\\frac{14}{2})^2$ $∴$ $k=-49$ $x^2+14x+49=0$에서 $(x+7)^2=0$ $∴$ $x=-7$ $∴$ $m=-7$ $∴$ $k+m$$=(-49)+(-7)$$=-56$" }, { "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2+4x-32=0$ $7x^2-26x-8=0$ $2x^2-5x=x(x-1)$", "answer": "$x^2+4x-32=0$에서 $(x-4)(x+8)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-8$ $7x^2-26x-8=0$에서 $(x-4)(7x+2)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-\\frac{2}{7}$ $2x^2-5x=x(x-1)$에서 $2x^2-5x=x^2-x$ $x^2-4x=0$ $x(x-4)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=4$ 따라서 공통인 근은 $x=4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수) $x^2+(m-13)x-10=0$ $2x^2+(m-3)x+15=0$", "answer": "$x^2+8x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{8}{2})^2$ $∴$ $m=16$ $m=16$을 $x^2+(m-13)x-10=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+3x-10=0$ $(x-2)(x+5)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=-5$ $m=16$을 $2x^2+(m-3)x+15=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+13x+15=0$ $(x+5)(2x+3)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=-5$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+m=0$이 중근을 가질 때, $(m-5)x^2-15x-5=0$의 근을 구하여라. (단, $m$은 수)", "answer": "$x^2-10x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{-10}{2})^2$ $∴ m=25$ $m=25$를 $(m-5)x^2-15x-5=0$에 대입하여 정리하면 $4x^2-3x-1=0$ $(4x+1)(x-1)=0$ $∴ x=-\\frac{1}{4}$ 또는 $x=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+7k-3=0$이 중근을 가질 때, $(k+1)x^2+3x-2=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-10x+7k-3=0$이 중근을 가지므로 $7k-3=(\\frac{-10}{2})^2$ $∴$ $k=4$ $k=4$를 $(k+1)x^2+3x-2=0$에 대입하여 정리하면 $5x^2+3x-2=0$ $(x+1)(5x-2)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{2}{5}$" }, { "question": "이차방정식 $-2(x-1)^2+10=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$-2(x-1)^2+10=0$에서 $(x-1)^2=5$ $x-1=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=1\\pm\\sqrt{5}$ $a>b$이므로 $a=1+\\sqrt{5}$, $b=1-\\sqrt{5}$ $∴ a+b$$=(1+\\sqrt{5})+(1-\\sqrt{5})$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+12x-4k+12=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(1-k)x^2+6x-1=0$의 두 근의 합을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2+12x-4k+12=0$이 중근을 가지므로 $-4k+12=(\\frac{12}{2})^2$ $∴$ $k=-6$ $k=-6$을 $(1-k)x^2+6x-1=0$에 대입하여 정리하면 $7x^2+6x-1=0$ $(x+1)(7x-1)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{1}{7}$ 따라서 두 근의 합은 $-1+\\frac{1}{7}$$=-\\frac{6}{7}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+3k-5=0$이 중근을 가질 때, $kx^2-5x-k-1=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-2x+3k-5=0$이 중근을 가지므로 $3k-5=(\\frac{-2}{2})^2$ $∴$ $k=2$ $k=2$를 $kx^2-5x-k-1=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2-5x-3=0$ $(x-3)(2x+1)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+m+10=0$이 중근을 가질 때, 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+8x+m+10=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $m+10=(\\frac{8}{2})^2$ $∴$ $m=6$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+5x+1=0$의 해가 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{4}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+5x+1=0$에서 $x^2+\\frac{5}{2}x+\\frac{1}{2}=0$ $x^2+\\frac{5}{2}x=-\\frac{1}{2}$ $x^2+\\frac{5}{2}x+\\frac{25}{16}=-\\frac{1}{2}+\\frac{25}{16}$ $(x+\\frac{5}{4})^2=\\frac{17}{16}$ $x+\\frac{5}{4}=\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}$ $∴$ $x=-\\frac{5}{4}\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}=\\frac{-5\\pm\\sqrt{17}}{4}$ $a=-5$, $b=17$이므로 $a+b$$=-5+17$$=12$" }, { "question": "이차방정식 $(x-2)^2=3$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$(x-2)^2=3$에서 $x-2=\\pm\\sqrt{3}$ $∴$ $x=2\\pm\\sqrt{3}$ $a>b$이므로 $a=2+\\sqrt{3}$, $b=2-\\sqrt{3}$ $∴$ $ab$$=(2+\\sqrt{3})(2-\\sqrt{3})$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x-m=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(m+2)x^2-x+1=0$의 두 근의 곱을 구하여라. (단, $m$은 수)", "answer": "$x^2+4x-m=0$이 중근을 가지므로 $-m=(\\frac{4}{2})^2$ ∴ $m=-4$ $m=-4$를 $(m+2)x^2-x+1=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+x-1=0$ $(x+1)(2x-1)=0$ ∴ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 두 근의 곱은 $(-1)\\times\\frac{1}{2}$$=-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $2x^2+5x-3=0$ $6x^2+5x-4=0$ $4x^2+4x-3=0$", "answer": "$2x^2+5x-3=0$에서 $(x+3)(2x-1)=0$ $\\therefore$ $x=-3$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ $6x^2+5x-4=0$에서 $(2x-1)(3x+4)=0$ $\\therefore$ $x=\\frac{1}{2}$ 또는 $x=-\\frac{4}{3}$ $4x^2+4x-3=0$에서 $(2x+3)(2x-1)=0$ $\\therefore$ $x=-\\frac{3}{2}$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{1}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-12x+k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $k+m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-12x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{-12}{2})^2$ $∴ k=36$ $x^2-12x+36=0$에서 $(x-6)^2=0$ $∴ x=6$ $∴ m=6$ $∴ k+m$$=36+6$$=42$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+100=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값의 합을 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+100=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $100=(\\frac{k}{2})^2$에서 $k^2=400$ $∴$ $k=20$ 또는 $k=-20$ 따라서 수 $k$의 값의 합은 $20+(-20)$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+3x-1=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$2x^2+3x-1=0$에서 $x^2+\\frac{3}{2}x-\\frac{1}{2}=0$ $x^2+\\frac{3}{2}x=\\frac{1}{2}$ $x^2+\\frac{3}{2}x+\\frac{9}{16}=\\frac{1}{2}+\\frac{9}{16}$ $(x+\\frac{3}{4})^2=\\frac{17}{16}$ $x+\\frac{3}{4}=\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}$ $∴ x=-\\frac{3}{4}\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}=\\frac{-3\\pm\\sqrt{17}}{4}$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2-3x-4=0$ $3x^2-2x-5=0$", "answer": "$x^2-3x-4=0$에서 $(x+1)(x-4)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=4$ $3x^2-2x-5=0$에서 $(x+1)(3x-5)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{5}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=-1$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+k=0$이 $x=m$을 중근으로 가질 때, 수 $k$, $m$에 대하여 $\\frac{k}{m}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+8x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{8}{2})^2$ $∴ k=16$ $x^2+8x+16=0$에서 $(x+4)^2=0$ $∴ x=-4$ $∴ m=-4$ $∴ \\frac{k}{m}$$=\\frac{16}{-4}$$=-4$" }, { "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2-2=x$ $5x^2-11x+2=0$ $x^2+2x-8=0$", "answer": "$x^2-2=x$에서 $x^2-x-2=0$ $(x+1)(x-2)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=2$ $5x^2-11x+2=0$에서 $(x-2)(5x-1)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=\\frac{1}{5}$ $x^2+2x-8=0$에서 $(x-2)(x+4)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-4$ 따라서 공통인 근은 $x=2$이다." }, { "question": "이차방정식 $3x^2+18x-5=0$을 $(x-p)^2=q$의 꼴로 나타낼 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+18x-5=0$에서 $x^2+6x-\\frac{5}{3}=0$ $x^2+6x=\\frac{5}{3}$ $x^2+6x+9=\\frac{5}{3}+9$ $∴ (x+3)^2=\\frac{32}{3}$ $p=-3$, $q=\\frac{32}{3}$이므로 $pq$$=(-3)\\times\\frac{32}{3}$$=-32$" }, { "question": "이차방정식 $-(x+3)^2+6=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$-(x+3)^2+6=0$에서 $(x+3)^2=6$ $x+3=\\pm\\sqrt{6}$ $∴$ $x=-3\\pm\\sqrt{6}$ $a>b$이므로 $a=-3+\\sqrt{6}$, $b=-3-\\sqrt{6}$ $∴ $$ab$$=(-3+\\sqrt{6})(-3-\\sqrt{6})$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+6x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수) $x^2+(m-6)x-10=0$ $3x^2+(2m-4)x-5=0$", "answer": "$x^2+6x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{6}{2})^2$ $∴$ $m=9$ $m=9$를 $x^2+(m-6)x-10=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+3x-10=0$ $(x-2)(x+5)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=-5$ $m=9$를 $3x^2+(2m-4)x-5=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+14x-5=0$ $(x+5)(3x-1)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=-5$이다." }, { "question": "이차방정식 $7(x-3)^2=14$의 해가 $x=p\\pm\\sqrt{q}$일 때, $pq$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$7(x-3)^2=14$에서 $(x-3)^2=2$ $x-3=\\pm\\sqrt{2}$ $∴ x=3\\pm\\sqrt{2}$ $p=3$, $q=2$이므로 $pq=3\\times2=6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2=3$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $(a+1)(b-2)$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$x^2=3$에서 $x=\\pm\\sqrt{3}$ $a>b$이므로 $a=\\sqrt{3}$, $b=-\\sqrt{3}$ $∴ (a+1)(b-2)$$=(\\sqrt{3}+1)(-\\sqrt{3}-2)$$=-5-3\\sqrt{3}$" }, { "question": "이차방정식 $4(x+3)^2=20$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{b}$일 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$4(x+3)^2=20$에서 $(x+3)^2=5$ $x+3=\\pm\\sqrt{5}$ $∴$ $x=-3\\pm\\sqrt{5}$ $a=-3$, $b=5$이므로 $ab$$=(-3)\\times5$$=-15$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2-5x-14=0$ $(x-5)^2=4$", "answer": "$x^2-5x-14=0$에서 $(x+2)(x-7)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=7$ $(x-5)^2=4$에서 $x-5=\\pm2$ $∴ x=7$ 또는 $x=3$ 따라서 공통인 근은 $x=7$이다." }, { "question": "이차방정식 $\\frac{(x-3)^2}{5}=2$의 해가 $x=p\\pm\\sqrt{q}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{(x-3)^2}{5}=2$에서 $(x-3)^2=10$ $x-3=\\pm\\sqrt{10}$ $∴$ $x=3\\pm\\sqrt{10}$ $p=3$$,$ $q=10$이므로 $p+q$$=3+10$$=13$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-5x-1=0$의 해가 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{4}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2-5x-1=0$에서 $x^2-\\frac{5}{2}x-\\frac{1}{2}=0$ $x^2-\\frac{5}{2}x=\\frac{1}{2}$ $x^2-\\frac{5}{2}x+\\frac{25}{16}=\\frac{1}{2}+\\frac{25}{16}$ $(x-\\frac{5}{4})^2=\\frac{33}{16}$ $x-\\frac{5}{4}=\\pm\\frac{\\sqrt{33}}{4}$ $∴ x=\\frac{5}{4}\\pm\\frac{\\sqrt{33}}{4}=\\frac{5\\pm\\sqrt{33}}{4}$ $a=5$, $b=33$이므로 $a+b=5+33=38$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수)$\\\\$ $x^2+(m+1)x-3=0$$\\\\$ $2x^2+(5m-2)x-5=0$", "answer": "$x^2-2x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{-2}{2})^2$ $∴ m=1$ $m=1$을 $x^2+(m+1)x-3=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-3$ $m=1$을 $2x^2+(5m-2)x-5=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+3x-5=0$ $(x-1)(2x+5)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=1$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수)$\\\\$ $x^2+(m-5)x-12=0$ $\\\\$ $2x^2+(2m+3)x+15=0$$\\\\$", "answer": "$x^2-4x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{-4}{2})^2$ $∴$ $m=4$ $m=4$를 $x^2+(m-5)x-12=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-x-12=0$ $(x+3)(x-4)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=4$ $m=4$를 $2x^2+(2m+3)x+15=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+11x+15=0$ $(x+3)(2x+5)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=-3$이다." }, { "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $\\\\x^2=x+12\\\\$ $x^2+2x-3=0\\\\$ $2x^2+7x+3=0$", "answer": "$x^2=x+12$에서 $x^2-x-12=0$ $(x+3)(x-4)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=4$ $x^2+2x-3=0$에서 $(x-1)(x+3)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-3$ $2x^2+7x+3=0$에서 $(x+3)(2x+1)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=-3$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x-1)^2=a$의 한 근이 $x=1+\\sqrt{6}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 유리수이고 $a>0$)", "answer": "$(x-1)^2=a$에서 $x-1=\\pm\\sqrt{a}$ $∴ x=1\\pm\\sqrt{a}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=1+\\sqrt{6}$이므로 $a=6$ 따라서 다른 한 근은 $x=1-\\sqrt{6}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+k-3=0$이 중근을 가질 때, 이차방정식 $(k-2)x^2-x-15=0$의 두 근의 합을 구하여라. (단, $k$는 수)", "answer": "$x^2-2x+k-3=0$이 중근을 가지므로 $k-3=(\\frac{-2}{2})^2$ $∴ k=4$ $k=4$를 $(k-2)x^2-x-15=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2-x-15=0$ $(x-3)(2x+5)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ 따라서 두 근의 합은 $3+(-\\frac{5}{2})$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $2(x-5)^2=14$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$2(x-5)^2=14$에서 $(x-5)^2=7$ $x-5=\\pm\\sqrt{7}$ $∴$ $x=5\\pm\\sqrt{7}$ $a>b$이므로 $a=5+\\sqrt{7}$, $b=5-\\sqrt{7}$ $∴ $$a-b$$=(5+\\sqrt{7})-(5-\\sqrt{7})$$=2\\sqrt{7}$" }, { "question": "이차방정식 $-3(x+2)^2+9=0$의 두 근을 $a, b$라 할 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$-3(x+2)^2+9=0$에서 $(x+2)^2=3$ $x+2=\\pm\\sqrt{3}$ $∴$ $x=-2\\pm\\sqrt{3}$ $a>b$이므로 $a=-2+\\sqrt{3}$, $b=-2-\\sqrt{3}$ $∴ $$ab$$=(-2+\\sqrt{3})(-2-\\sqrt{3})$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $5x^2-20x+15=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$5x^2-20x+15=0$에서 $x^2-4x+3=0$ $x^2-4x=-3$ $x^2-4x+4=-3+4$ $∴ $$(x-2)^2=1$ $a=-2$, $b=1$이므로 $ab$$=(-2)\\times1$$=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=3\\pm\\sqrt{7}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<9)\\\\$", "answer": "$x^2-6x+k=0$에서 $x^2-6x=-k$ $x^2-6x+9=-k+9$ $(x-3)^2=-k+9$ $x-3=\\pm\\sqrt{-k+9}$ $∴$ $x=3\\pm\\sqrt{-k+9}$ $-k+9=7$이므로 $k=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+10x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수) $x^2(m-13)x+35=0$ $3x^2+(2-m)x+40=0$", "answer": "$x^2+10x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{10}{2})^2$ $∴ m=25$ $m=25$를 $x^2-(m-13)x+35=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-12x+35=0$ $(x-5)(x-7)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=7$ $m=25$를 $3x^2+(2-m)x+40=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-23x+40=0$ $(x-5)(3x-8)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=\\frac{8}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=5$이다." }, { "question": "이차방정식 $\\frac{(x-1)^2}{3}=1$의 해가 $x=p\\pm\\sqrt{q}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{(x-1)^2}{3}=1$에서 $(x-1)^2=3$ $x-1=\\pm\\sqrt{3}$ $∴ x=1\\pm\\sqrt{3}$ $p=1$, $q=3$이므로 $p+q=1+3=4$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $(x-2)^2=9$ $x^2-5x-6=0$", "answer": "$(x-2)^2=9$에서 $x-2=\\pm3$ $∴ x=5$ 또는 $x=-1$ $x^2-5x-6=0$에서 $(x+1)(x-6)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=6$ 따라서 공통인 근은 $x=-1$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x+k=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $k$는 수) $(k+2)x^2+5x-2=0$ $ 3x^2-10x+3k=0$", "answer": "$x^2+2x+k=0$이 중근을 가지므로 $k=(\\frac{2}{2})^2$ $∴$ $k=1$ $k=1$을 $(k+2)x^2+5x-2=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+5x-2=0$ $(x+2)(3x-1)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ $k=1$을 $3x^2-10x+3k=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2-10x+3=0$ $(x-3)(3x-1)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{1}{3}$이다." }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2 + 3x - 10 = 0$ $(x + 2)^2 = 9 $", "answer": "$x^2+3x-10=0$에서 $(x-2)(x+5)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-5$ $(x+2)^2=9$에서 $x+2=\\pm3$ $∴ x=1$ 또는 $x=-5$ 따라서 공통인 근은 $x=-5$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x-2=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$x^2-3x-2=0$에서 $x^2-3x=2$ $x^2-3x+\\frac{9}{4}=2+\\frac{9}{4}$ $(x-\\frac{3}{2})^2=\\frac{17}{4}$ $x-\\frac{3}{2}=\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{2}$ $∴ x=\\frac{3}{2}\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{2}=\\frac{3\\pm\\sqrt{17}}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{2}x^2-4x-1=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$\\frac{1}{2}x^2-4x-1=0$에서 $x^2-8x-2=0$ $x^2-8x=2$ $x^2-8x+16=2+16$ $(x-4)^2=18$ $x-4=\\pm3\\sqrt{2}$ $∴$ $x=4\\pm3\\sqrt{2}$" }, { "question": "이차방정식 $2(x+3)^2=12$의 해가 $x=p\\pm\\sqrt{q}$일 때, $\\frac{q}{p}$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$2(x+3)^2=12$에서 $(x+3)^2=6$ $x+3=\\pm\\sqrt{6}$ $∴$ $x=-3\\pm\\sqrt{6}$ $p=-3$$,$ $q=6$이므로 $\\frac{q}{p}$$=\\frac{6}{-3}$$=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x+m=0$이 중근을 가질 때, 다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. (단, $m$은 수) $x^2 + 6x + 2m = 0$ $2x^2 + (m+3)x - 4 = 0$", "answer": "$x^2+4x+m=0$이 중근을 가지므로 $m=(\\frac{4}{2})^2$ $∴$ $m=4$ $m=4$를 $x^2+6x+2m=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+6x+8=0$ $(x+2)(x+4)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=-4$ $m=4$를 $2x^2+(m+3)x-4=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2+7x-4=0$ $(x+4)(2x-1)=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=-4$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x+4)^2=q$의 한 근이 $x=-4-\\sqrt{2}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $q$는 유리수이고 $q>0$)", "answer": "$(x+4)^2=q$에서 $x+4=\\pm\\sqrt{q}$ $∴ x=-4\\pm\\sqrt{q}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=-4-\\sqrt{2}$이므로 $q=2$ 따라서 다른 한 근은 $x=-4+\\sqrt{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $3(x-a)^2=15$의 한 근이 $x=-1+\\sqrt{5}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$3(x-a)^2=15$에서 $(x-a)^2=5$ $x-a=\\pm\\sqrt{5}$ $∴$ $x=a\\pm\\sqrt{5}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=-1+\\sqrt{5}$이므로 $a=-1$ 따라서 다른 한 근은 $x=-1-\\sqrt{5}$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x+3)^2=m$의 한 근이 $x=-3-\\sqrt{13}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $m$은 유리수이고 $m>0$)", "answer": "$(x+3)^2=m$에서 $x+3=\\pm\\sqrt{m}$ $∴ x=-3\\pm\\sqrt{m}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=-3-\\sqrt{13}$이므로 $m=13$ 따라서 다른 한 근은 $x=-3+\\sqrt{13}$이다." }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $2(x+3)^2=32$ $2x^2+11x-21=0$", "answer": "$2(x+3)^2=32$에서 $(x+3)^2=16$ $x+3=\\pm4$ $∴ x=1$ 또는 $x=-7$ $2x^2+11x-21=0$에서 $(x+7)(2x-3)=0$ $∴ x=-7$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=-7$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x-p)^2=7$의 한 근이 $x=\\frac{3}{4}+\\sqrt{7}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $p$는 유리수)", "answer": "$(x-p)^2=7$에서 $x-p=\\pm\\sqrt{7}$ $∴ x=p\\pm\\sqrt{7}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=\\frac{3}{4}+\\sqrt{7}$이므로 $p=\\frac{3}{4}$ 따라서 다른 한 근은 $x=\\frac{3}{4}-\\sqrt{7}$이다." }, { "question": "이차방정식 $4(x-a)^2=12$의 한 근이 $x=2+\\sqrt{3}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", "answer": "$4(x-a)^2=12$에서 $(x-a)^2=3$ $x-a=\\pm\\sqrt{3}$ $∴ x=a\\pm\\sqrt{3}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=2+\\sqrt{3}$이므로 $a=2$ 따라서 다른 한 근은 $x=2-\\sqrt{3}$이다." }, { "question": "이차방정식 $3(x+5)^2=9$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{b}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$3(x+5)^2=9$에서 $(x+5)^2=3$ $x+5=\\pm\\sqrt{3}$ $∴ x=-5\\pm\\sqrt{3}$ $a=-5$$,$ $b=3$이므로 $a+b$$=-5+3$$=-2$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $\\frac{1}{2}(x-5)^2=2$ $x^2-35=2x$", "answer": "$\\frac{1}{2}(x-5)^2=2$에서 $(x-5)^2=4$ $x-5=\\pm2$ $∴ x=7$ 또는 $x=3$ $x^2-35=2x$에서 $x^2-2x-35=0$ $(x+5)(x-7)=0$ $∴ x=-5$ 또는 $x=7$ 따라서 공통인 근은 $x=7$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x-1)^2=q$의 한 근이 $x=1-\\sqrt{10}$일 때, 다른 한 근을 구하여라. (단, $q$는 유리수이고 $q>0$)", "answer": "$(x-1)^2=q$에서 $x-1=\\pm\\sqrt{q}$ $\\therefore$ $x=1\\pm\\sqrt{q}$ 주어진 이차방정식의 한 근이 $x=1-\\sqrt{10}$이므로 $q=10$ 따라서 다른 한 근은 $x=1+\\sqrt{10}$이다." }, { "question": "이차방정식 $3x^2-12x-8=0$을 $(x-a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-12x-8=0$에서 $x^2-4x-\\frac{8}{3}=0$ $x^2-4x=\\frac{8}{3}$ $x^2-4x+4=\\frac{8}{3}+4$ $∴ (x-2)^2=\\frac{20}{3}$ $a=2$, $b=\\frac{20}{3}$이므로 $ab$$=2\\times\\frac{20}{3}$$=\\frac{40}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-6x-6=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$3x^2-6x-6=0$에서 $x^2-2x-2=0$ $x^2-2x=2$ $x^2-2x+1=2+1$ $(x-1)^2=3$ $x-1=\\pm\\sqrt{3}$ $∴ x=1\\pm\\sqrt{3}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=1\\pm\\sqrt{2}$ 였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<1$)", "answer": "$x^2-2x+k=0$에서 $x^2-2x=-k$$ $$ $ $x^2-2x+1=-k+1$ $(x-1)^2=-k+1$$ $$ $ $x-1=\\pm\\sqrt{-k+1}$ $\\therefore$ $x=1\\pm\\sqrt{-k+1}$ $-k+1=2$이므로 $k=-1$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $3x^2+5x-2=0$ $(x-1)^2=9$", "answer": "$3x^2+5x-2=0$에서 $(x+2)(3x-1)=0$ $\\therefore$ $x=-2$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ $(x-1)^2=9$에서 $x-1=\\pm3$ $\\therefore$ $x=4$ 또는 $x=-2$ 따라서 공통인 근은 $x=-2$이다." }, { "question": "이차방정식 $2x^2+8x+5=0$을 $(x+p)^2=q$의 꼴로 나타낼 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+8x+5=0$에서 $x^2+4x+\\frac{5}{2}=0$ $x^2+4x=-\\frac{5}{2}$ $x^2+4x+4=-\\frac{5}{2}+4$ $∴ (x+2)^2=\\frac{3}{2}$ $p=2$, $q=\\frac{3}{2}$이므로 $pq$$=2\\times\\frac{3}{2}$$=3$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2=4$ $3x^2+2x=8$", "answer": "$x^2=4$에서 $x=\\pm2$ $3x^2+2x=8$에서 $3x^2+2x-8=0$ $(x+2)(3x-4)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=\\frac{4}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=-2$이다." }, { "question": "이차방정식 $2x^2+3x-1=0$의 해가 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{4}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+3x-1=0$에서 $x^2+\\frac{3}{2}x-\\frac{1}{2}=0$ $x^2+\\frac{3}{2}x=\\frac{1}{2}$ $x^2+\\frac{3}{2}x+\\frac{9}{16}=\\frac{1}{2}+\\frac{9}{16}$ $(x+\\frac{3}{4})^2=\\frac{17}{16}$ $x+\\frac{3}{4}=\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}$ $∴$ $x=-\\frac{3}{4}\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}=\\frac{-3\\pm\\sqrt{17}}{4}$ $a=-3$, $b=17$이므로 $a-b$$=-3-17$$=-20$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $(x-3)^2=4$ $x^2-2x-15=0$", "answer": "$(x-3)^2=4$에서 $x-3=\\pm2$ $∴ x=5$ 또는 $x=1$ $x^2-2x-15=0$에서 $(x+3)(x-5)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=5$ 따라서 공통인 근은 $x=5$이다." }, { "question": "이차방정식 $4x^2-8x-20=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-8x-20=0$에서 $x^2-2x-5=0$ $x^2-2x=5$ $x^2-2x+1=5+1$ $∴$ $(x-1)^2=6$ $a=-1$, $b=6$이므로 $ab$$=(-1)\\times6$$=-6$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2-1=0$ $x^2-2x+1=0$", "answer": "$x^2-1=0$에서 $x^2=1$ ∴ $x=\\pm1$ $x^2-2x+1=0$에서 $(x-1)^2=0$ ∴ $x=1$ 따라서 공통인 근은 $x=1$이다." }, { "question": "이차방정식 $4x^2+12x=p$가 중근 $x=q$를 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+2q$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+12x=p$, 즉 $4x^2+12x-p=0$이 중근을 가지려면 $12^2-4\\times4\\times(-p)=0$ $144+16p=0$ $∴ p=-9$ $p=-9$를 $4x^2+12x-p=0$에 대입하여 정리하면 $4x^2+12x+9=0$ $(2x+3)^2=0$ $∴ x=-\\frac{3}{2}$ $∴ q=-\\frac{3}{2}$ $∴ p+2q$$=-9+2\\times(-\\frac{3}{2})$$=-12$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=4\\pm\\sqrt{21}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<16$)", "answer": "$x^2-8x+k=0$에서 $x^2-8x=-k$ $x^2-8x+16=-k+16$ $(x-4)^2=-k+16$ $x-4=\\pm\\sqrt{-k+16}$ $∴$ $x=4\\pm\\sqrt{-k+16}$ $-k+16=21$이므로 $k=-5$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)(x-5)=4$를 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$(x-1)(x-5)=4$에서 $x^2-6x+1=0$ $x^2-6x=-1$ $x^2-6x+9=-1+9$ $(x-3)^2=8$ $x-3=\\pm2\\sqrt{2}$ $∴$ $x=3\\pm2\\sqrt{2}$" }, { "question": "이차방정식 $px^2+4x-5=0$의 근이 $x=\\frac{-2\\pm\\sqrt{q}}{2}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$px^2+4x-5=0$에서 $x=\\frac{-4\\pm\\sqrt{4^2-4 \\times p\\times(-5)}}{2\\times p}=\\frac{-4\\pm\\sqrt{20p+16}}{2p}$ $=\\frac{-2\\pm\\sqrt{5p+4}}{p}$ $p=2$, $5p+4=q$이므로 $p=2$, $q=14$ $∴ p+q$$=2+14$$=16$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2-8x+2=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$4x^2-8x+2=0$에서 $x^2-2x+\\frac{1}{2}=0$ $x^2-2x=-\\frac{1}{2}$ $x^2-2x+1=-\\frac{1}{2}+1$ $(x-1)^2=\\frac{1}{2}$ $x-1=\\pm\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴$ $x=1\\pm\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2-8x-8=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2-8x-8=0$에서 $x^2-2x-2=0$ $x^2-2x=2$ $x^2-2x+1=2+1$ $∴ (x-1)^2=3$ $a=-1$, $b=3$이므로 $\\frac{b}{a}$$=\\frac{3}{-1}$$=-3$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{3}{4}x^2-\\frac{1}{2}x-\\frac{5}{6}=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$\\frac{3}{4}x^2-\\frac{1}{2}x-\\frac{5}{6}=0$에서 $9x^2-6x-10=0$ $x^2-\\frac{2}{3}x-\\frac{10}{9}=0$ $x^2-\\frac{2}{3}x=\\frac{10}{9}$ $x^2-\\frac{2}{3}x+\\frac{1}{9}=\\frac{10}{9}+\\frac{1}{9}$ $(x-\\frac{1}{3})^2=\\frac{11}{9}$ $x-\\frac{1}{3}=\\pm\\frac{\\sqrt{11}}{3}$ $∴$ $x=\\frac{1}{3}\\pm\\frac{\\sqrt{11}}{3}=\\frac{1\\pm\\sqrt{11}}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $-3x^2-12x+3=0$을 $(x+p)^2=q$의 꼴로 나타낼 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $q-p$의 값을 구하여라.", "answer": "$-3x^2-12x+3=0$에서 $x^2+4x-1=0$ $x^2+4x=1$ $x^2+4x+4=1+4$ $∴ (x+2)^2=5$ $p=2$, $q=5$이므로 $q-p=5-2=3$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)(2x-5)=1$을 완전제곱식을 이용하여 풀어라.", "answer": "$(x-1)(2x-5)=1$에서 $2x^2-7x+4=0$ $x^2-\\frac{7}{2}x+2=0$ $x^2-\\frac{7}{2}x=-2$ $x^2-\\frac{7}{2}x+\\frac{49}{16}=-2+\\frac{49}{16}$ $(x-\\frac{7}{4})^2=\\frac{17}{16}$ $x-\\frac{7}{4}=\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}$ $∴ x=\\frac{7}{4}\\pm\\frac{\\sqrt{17}}{4}=\\frac{7\\pm\\sqrt{17}}{4}$" }, { "question": "이차방정식 $-2x^2+8x+12=0$을 $(x-a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a, b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$-2x^2+8x+12=0$에서 $x^2-4x-6=0$ $x^2-4x=6$ $x^2-4x+4=6+4$ $∴$ $(x-2)^2=10$ $a=2$, $b=10$이므로 $ab$$=2\\times10$$=20$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2+18x-6=0$을 $(x-p)^2=q$의 꼴로 나타낼 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+18x-6=0$에서 $x^2+6x-2=0$ $x^2+6x=2$ $x^2+6x+9=2+9$ $∴ (x+3)^2=11$ $p=-3$, $q=11$이므로 $p+q=-3+11=8$" }, { "question": "이차방정식 $0.3x^2-0.8x-1=0$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{2q}}{3}$일 때, $q-p$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$0.3x^2-0.8x-1=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $3x^2-8x-10=0$ $∴x=\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{(-8)^2-4\\times3\\times(-10)}}{2\\times3}$ =$\\frac{8\\pm\\sqrt{184}}{6}$ $=$$\\frac{4\\pm\\sqrt{46}}{3}$ $4=p$, $46=2q$이므로 $p=4$, $q=23$ $∴ q-p$$=23-4$$=19$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-8x+2=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{B}}{3}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$3x^2-8x+2=0$에서 $=$$\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{(-8)^2-4\\times3\\times2}}{2\\times3}$$=$$\\frac{8\\pm\\sqrt{40}}{6}$$=$$\\frac{4\\pm\\sqrt{10}}{3}$ $A=4$, $B=10$이므로 $A+B$$=4+10$$=14$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2-8x-9=0$의 근이 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{2}$일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$4x^2-8x-9=0$에서 $x$$=\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{(-8)^2-4\\times4\\times(-9)}}{2\\times4}=\\frac{8\\pm\\sqrt{208}}{8}$ $=$$\\frac{2\\pm\\sqrt{13}}{2}$ $a=2$, $b=13$이므로 $a-b$$=2-13$$=-11$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+x-1=0$의 해가 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{2}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+x-1=0$에서 $x^2+x=1$ $x^2+x+\\frac{1}{4}=1+\\frac{1}{4}$ $(x+\\frac{1}{2})^2=\\frac{5}{4}$ $x+\\frac{1}{2}=\\pm\\frac{\\sqrt{5}}{2}$ $∴ x=-\\frac{1}{2}\\pm\\frac{\\sqrt{5}}{2}=\\frac{-1\\pm\\sqrt{5}}{2}$ $a=-1$, $b=5$이므로 $ab$$=(-1)\\times5$$=-5$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-x-2=0$의 근이 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{4}$일 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$2x^2-x-2=0$에서 $x=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times2\\times(-2)}}{2\\times2}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{17}}{4}$ $a=1$, $b=17$이므로 $ab$$=1\\times17$$=17$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=-1\\pm\\sqrt{3}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<1$)", "answer": "$x^2+2x+k=0$에서 $x^2+2x=-k$ $x^2+2x+1=-k+1$ $(x+1)^2=-k+1$ $x+1=\\pm\\sqrt{-k+1}$ $∴ x=-1\\pm\\sqrt{-k+1}$ $-k+1=3$이므로 $k=-2$" }, { "question": "두 이차방정식 $4x^2+12x+m=0$, $x^2+(m-1)x+n=0$이 모두 중근을 가질 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+12x+m=0$이 중근을 가지려면 $12^2-4\\times4\\times m=0$ $144-16m=0$ $∴ m=9$ $x^2+(m-1)x+n=0$에 $m=9$를 대입하여 정리하면 $x^2+8x+n=0$ 이 이차방정식이 중근을 가지려면 $8^2-4\\times1\\times n=0$ $64-4n=0$ $∴n=16$ $∴ m+n=9+16=25$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+3x+7=0$의 근의 개수를 $p$ 개, $\\frac{1}{4}x^2+x+\\frac{1}{2}=0$의 근의 개수를 $q$ 개, $0.1x^2-0.2x=0.3$의 근의 개수를 $r$ 개라 할 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+3x+7=0$에서 $3^2-4\\times2\\times7=-47<0$ $∴ p=0$ $\\frac{1}{4}x^2+x+\\frac{1}{2}=0$에서 $x^2+4x+2=0$이므로 $4^2-4\\times1\\times2=8>0$ $∴ q=2$ $0.1x^2-0.2x=0.3$에서 $x^2-2x-3=0$이므로 $(-2)^2-4\\times1\\times(-3)=16>0$ $∴ r=2$ $∴ p+q+r=0+2+2=4$" }, { "question": "이차방정식 $(x+1)(x+5)=2$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\beta-\\alpha$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", "answer": "$(x+1)(x+5)=2$에서 $x^2+6x+5=2$ $x^2+6x+3=0$ $\\therefore x=\\frac{-6 \\pm \\sqrt{6^2-4\\times1\\times3}}{2\\times1}=\\frac{-6 \\pm \\sqrt{24}}{2}$$=-3\\pm\\sqrt{6}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=-3-\\sqrt{6}$, $\\beta=-3+\\sqrt{6}$ $\\therefore \\beta - \\alpha=$$(-3+\\sqrt{6})-(-3-\\sqrt{6})$$=$$2\\sqrt{6}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x-2=0$의 근이 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{2}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$x^2-3x-2=0$에서 $x=\\frac{-(-3)\\pm\\sqrt{(-3)^2-4\\times1\\times(-2)}}{2\\times1}=\\frac{3\\pm\\sqrt{17}}{2} a=3, b=17$이므로 $a+b$$=3+17$$=20$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-7x+4=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{B}}{4}$일 때, $B-A$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$2x^2-7x+4=0$에서 $=$$\\frac{-(-7)\\pm\\sqrt{(-7)^2-4\\times2\\times4}}{2\\times2}$$=$$\\frac{7\\pm\\sqrt{17}}{4}$ $A=7$, $B=17$이므로 $B-A$$=17-7$$=10$" }, { "question": "이차방정식 $5x^2-7x+1=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{B}}{10}$일 때, $B-A$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$5x^2-7x+1=0$에서 $=$$\\frac{-(-7)\\pm\\sqrt{(-7)^2-4\\times5\\times1}}{2\\times5}$$=$$\\frac{7\\pm\\sqrt{29}}{10}$ $A=7$, $B=29$이므로 $B-A$$=29-7$$=22$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=4\\pm\\sqrt{14}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<16$)", "answer": "$x^2-8x+k=0$에서 $x^2-8x=-k$ $x^2-8x+16=-k+16$ $(x-4)^2=-k+16$ $x-4=\\pm\\sqrt{-k+16}$ $\\therefore$ $x=4\\pm\\sqrt{-k+16}$ $-k+16=14$이므로 $k=2$" }, { "question": "이차방정식 $0.3x^2-0.1x+1=0$의 근의 개수를 $a$ 개, $(2x-3)(x+1)=5$의 근의 개수를 $b$ 개, $x^2-4x=8$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$0.3x^2-0.1x+1=0$에서 $3x^2-x+10=0$이므로 $(-1)^2-4\\times3\\times10=-119<0$ $∴$ $a=0$ $(2x-3)(x+1)=5$에서 $2x^2-x-8=0$이므로 $(-1)^2-4\\times2\\times(-8)=65>0$ $∴$ $b=2$ $x^2-4x=8$에서 $x^2-4x-8=0$이므로 $(-4)^2-4\\times1\\times(-8)=48>0$ $∴$$c=2$ $∴$ $a-b+c$$=0-2+2$$=0$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+16x-10=0$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{b}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+16x-10=0$에서 $x^2+16x=10$ $x^2+16x+64=10+64$ $(x+8)^2=74$ $x+8=\\pm\\sqrt{74}$ $\\therefore$ $x=-8\\pm\\sqrt{74}$ $a=-8$, $b=74$이므로 $a+b$$=-8+74$$=66$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2+10x+1=0$의 해가 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{q}}{3}$일 때, 유리수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2+10x+1=0$에서 $x^2+\\frac{10}{3}x+\\frac{1}{3}=0$ $x^2+\\frac{10}{3}x=-\\frac{1}{3}$ $x^2+\\frac{10}{3}x+\\frac{25}{9}=-\\frac{1}{3}+\\frac{25}{9}$ $(x+\\frac{5}{3})^2=\\frac{22}{9}$ $x+\\frac{5}{3}=\\pm\\frac{\\sqrt{22}}{3}$ $∴ x=-\\frac{5}{3}\\pm\\frac{\\sqrt{22}}{3}=\\frac{-5\\pm\\sqrt{22}}{3}$ $p=-5, q=22$이므로 $p+q=-5+22=17$" }, { "question": "이차방정식 $px^2-2x-5=0$의 근이 $x=\\frac{1\\pm\\sqrt{q}}{4}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$px^2-2x-5=0$에서 $x=\\frac{-(-2)\\pm\\sqrt{(-2)^2-4\\times p \\times(-5)}}{2\\times p}=\\frac{2\\pm\\sqrt{20p+4}}{2p}$ $=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{5p+1}}{p}$ $p=4$, $5p+1=q$이므로 $p=4$, $q=21$ $∴ p+q$$=4+21$$=25$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x-1=0$의 근이 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{2}$일 때, $b-a$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$x^2+3x-1=0$에서 $x=$$\\frac{-3\\pm\\sqrt{3^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{-3\\pm\\sqrt{13}}{2}$ $a=-3$, $b=13$이므로 $b-a$$=13-(-3)$$=16$" }, { "question": "이차방정식 $mx^2+7x+1=0$의 근이 $x=\\frac{-7\\pm\\sqrt{n}}{10}$일 때, $n-m$의 값을 구하여라. (단, $n$, $m$은 유리수)", "answer": "$mx^2+7x+1=0$에서 $x=$$\\frac{-7\\pm\\sqrt{7^2-4\\times m\\times1}}{2\\times m}$$=$$\\frac{-7\\pm\\sqrt{-4m+49}}{2m}$ $2m=10$, $-4m+49=n$이므로 $m=5$, $n=29$ $\\therefore$$n-m$$=29-5$$=24$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=-4\\pm\\sqrt{7}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<16$)", "answer": "$x^2+8x+k=0$에서 $x^2+8x=-k$ $x^2+8x+16=-k+16$ $(x+4)^2=-k+16$ $x+4=\\pm\\sqrt{-k+16}$ $∴ x=-4\\pm\\sqrt{-k+16}$ $-k+16=7$이므로 $k=9$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-8x+m=0$의 근이 $x=\\frac{n\\pm\\sqrt{6}}{2}$일 때, $mn$의 값을 구하여라. (단, $m$, $n$은 유리수)", "answer": "$2x^2-8x+m=0$에서 $x=\\frac{-(-8)\\pm\\sqrt{(-8)^2-4\\times2×m}}{2\\times2}$ $=$$\\frac{8\\pm\\sqrt{-8m+64}}{4}$ $=$$\\frac{4\\pm\\sqrt{-2m+16}}{2}$ $4=n$, $-2m+16=6$이므로 $n=4$, $m=5$ $∴mn$$=5\\times4$$=20$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-8x+3=0$의 해가 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{q}}{3}$일 때, 유리수 $p$, $q$에 대하여 $q-p$의 값을 구하여라.", "answer": "$3x^2-8x+3=0$에서 $x^2-\\frac{8}{3}x+1=0$ $x^2-\\frac{8}{3}x=-1$ $x^2-\\frac{8}{3}x+\\frac{16}{9}=-1+\\frac{16}{9}$ $(x-\\frac{4}{3})^2=\\frac{7}{9}$ $x-\\frac{4}{3}=\\pm\\frac{\\sqrt{7}}{3}$ $∴$ $x=\\frac{4}{3}\\pm\\frac{\\sqrt{7}}{3}=\\frac{4\\pm\\sqrt{7}}{3}$ $p=4$, $q=7$이므로 $q-p$$=7-4$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $0.3x^2+x-0.5=0$의 근의 개수를 $a$ 개, $(2x-1)(x+1)=4$의 근의 개수를 $b$ 개, $x^2-x+\\frac{1}{4}=0$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$0.3x^2+x-0.5=0$에서 $3x^2+10x-5=0$이므로 $10^2-4\\times3\\times(-5)=160>0$ $ \\therefore a=2$ $(2x-1)(x+1)=4$에서 $2x^2+x-5=0$이므로 $1^2-4\\times2\\times(-5)=41>0$ $ \\therefore b=2$ $x^2-x+\\frac{1}{4}=0$에서 $4x^2-4x+1=0$이므로 $(-4)^2-4\\times4\\times1=0$ $ \\therefore c=1$ $ \\therefore a-b+c$$=2-2+1$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $px^2-2x-5=0$의 근이 $x=\\frac{1\\pm\\sqrt{q}}{5}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$px^2-2x-5=0$에서 $x=\\frac{-(-2)\\pm\\sqrt{(-2)^2-4\\times p \\times(-5)}}{2\\times p } =\\frac{2\\pm\\sqrt{20p+4}}{2p}$ $=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{5p+1}}{p}$ $p=5$, $5p+1=q$이므로 $p=5$, $q=26$ $∴ p+q$$=5+26$$=31$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+6x-1=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{B}}{2}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$2x^2+6x-1=0$에서 $=$$\\frac{-6\\pm\\sqrt{6^2-4\\times2\\times(-1)}}{2\\times2}$$=$$\\frac{-6\\pm\\sqrt{44}}{4}$$=$$\\frac{-3\\pm\\sqrt{11}}{2}$ $A=-3$, $B=11$이므로 $A+B$$=-3+11$$=8$" }, { "question": "이차방정식 $mx^2-6x-3=0$의 근이 $x=\\frac{3\\pm\\sqrt{n}}{2}$일 때, $m+n$의 값을 구하여라. (단, $m$, $n$은 유리수)", "answer": "$mx^2-6x-3=0$에서 $x=\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\times m\\times(-3)}}{2\\times m}=\\frac{6\\pm\\sqrt{12m+36}}{2m}$ $=\\frac{3\\pm\\sqrt{3m+9}}{m}$ $m=2$, $3m+9=n$이므로 $m=2$, $n=15$ $ \\therefore m+n$$=2+15$$=17$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{x(x+1)}{4}=\\frac{2x+3}{6}$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{1+B}}{6}$일 때, $AB$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$\\frac{x(x+1)}{4}=\\frac{2x+3}{6}$의 양변에 $12$를 곱하면 $3x^2+3x=4x+6$ $3x^2-x-6=0$ $ \\therefore$$x=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times3\\times(-6)}}{2\\times3}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{73}}{6}$ $1=A$, $73=1+B$이므로 $A=1$, $B=72$ $∴ AB$$=1\\times72$$=72$" }, { "question": "이차방정식 $0.3x^2+\\frac{2}{5}x=\\frac{1}{2}$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{2q+5}}{3}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$0.3x^2+\\frac{2}{5}x=\\frac{1}{2}$의 양변에 $10$을 곱하면 $3x^2+4x=5$ $3x^2+4x-5=0$ $∴$ $x=$$\\frac{-4\\pm\\sqrt{4^2-4\\times3\\times(-5)}}{2\\times3}$$=$$\\frac{-4\\pm\\sqrt{76}}{6}$$=$$\\frac{-2\\pm\\sqrt{19}}{3}$ $-2=p$, $19=2q+5$이므로 $p=-2$, $q=7$ $∴ p+q$$=-2+7$$=5$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{2}x^2-0.2x=\\frac{1}{2}$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{2q}}{5}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{1}{2}x^2-0.2x=\\frac{1}{2}$의 양변에 $10$을 곱하면 $5x^2-2x=5$ $5x^2-2x-5=0$ $∴$$x$$=$$\\frac{-(-2)\\pm\\sqrt{(-2)^2-4\\times 5\\times(-5)}}{2\\times5}$$=$$\\frac{2\\pm\\sqrt{104}}{10}$ $=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{26}}{5}$ $1=p$, $26=2q$이므로 $p=1$, $q=13$ $∴$ $p+q$$=1+13$$=14$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x-k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=3\\pm\\sqrt{13}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k>-9$)", "answer": "$x^2-6x-k=0$에서 $x^2-6x=k$ $x^2-6x+9=k+9$ $(x-3)^2=k+9$ $x-3=\\pm\\sqrt{k+9}$ $∴ x=3\\pm\\sqrt{k+9}$ $k+9=13$이므로 $k=4$" }, { "question": "두 이차방정식 $x^2-4x+m=0$, $4x^2+(2m-1)x+n=0$이 모두 중근을 가질 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-4x+m=0$이 중근을 가지려면 $(-4)^2-4\\times1\\times m=0$ $16-4m=0$ $∴ m=4$ $4x^2+(2m-1)x+n=0$에 $m=4$를 대입하여 정리하면 $4x^2+7x+n=0$ 이 이차방정식이 중근을 가지려면 $7^2-4\\times4\\times n=0$ $49-16n=0$ $∴ n=\\frac{49}{16}$ $∴ mn=4\\times\\frac{49}{16}=\\frac{49}{4}$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.2x^2-0.1x-2.1=0$ $\\frac{2}{7}x^2+\\frac{1}{2}x-\\frac{15}{14}=0$", "answer": "$0.2x^2-0.1x-2.1=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-x-21=0$ $(x+3)(2x-7)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=\\frac{7}{2}$ $\\frac{2}{7}x^2+\\frac{1}{2}x-\\frac{15}{14}=0$의 양변에 $14$를 곱하면 $4x^2+7x-15=0$ $(4x-5)(x+3)=0$ $∴ x=\\frac{5}{4}$ 또는 $x=-3$ 따라서 공통인 근은 $x=-3$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2-x+p=0$의 근이 $x=\\frac{q\\pm\\sqrt{17}}{4}$일 때, $pq$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$2x^2-x+p=0$에서 $=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times2\\times p}}{2\\times2}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{-8p+1}}{4}$ $1=q$, $-8p+1=17$이므로 $q=1$, $p=-2$ $∴ pq$$=(-2)\\times1$$=-2$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{5}x^2+\\frac{2}{5}x=0.3$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{5q}}{2}$일 때, $pq$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{1}{5}x^2+\\frac{2}{5}x=0.3$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2+4x=3$ $2x^2+4x-3=0$ $\\therefore =\\frac{-4\\pm\\sqrt{4^2-4\\times2\\times(-3)}}{2\\times2} =\\frac{-4\\pm\\sqrt{40}}{4} =\\frac{-2\\pm\\sqrt{10}}{2}$ $-2=p$, $10=5q$이므로 $p=-2$, $q=2$ $∴ pq=(-2)\\times2=-4$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.3x^2 + 0.7x - 4 = 0$ $\\frac{1}{6}x^2 + \\frac{1}{2}x - \\frac{5}{3} = 0$", "answer": "$0.3x^2+0.7x-4=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $3x^2+7x-40=0$ $(x+5)(3x-8)=0$ $∴ x=-5$ 또는 $x=\\frac{8}{3}$ $\\frac{1}{6}x^2+\\frac{1}{2}x-\\frac{5}{3}=0$의 양변에 $6$을 곱하면 $x^2+3x-10=0$ $(x-2)(x+5)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-5$ 따라서 공통인 근은 $x=-5$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.6x^2=1.3x-0.5$ $\\frac{2}{3}x^2-\\frac{7}{3}x+1=0$", "answer": "$0.6x^2=1.3x-0.5$의 양변에 $10$을 곱하여 정리하면 $6x^2-13x+5=0$ $(2x-1)(3x-5)=0$ $∴ x=\\frac{1}{2}$ 또는 $x=\\frac{5}{3}$ $\\frac{2}{3}x^2-\\frac{7}{3}x+1=0$의 양변에 $3$을 곱하면 $2x^2-7x+3=0$ $(x-3)(2x-1)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $\\frac{1}{4}x^2+x-8=0$ $0.1x^2+1.7x+7.2=0$", "answer": "$\\frac{1}{4}x^2+x-8=0$의 양변에 $4$를 곱하면 $x^2+4x-32=0$ $(x-4)(x+8)=0$ $\\therefore$ $x=4$ 또는 $x=-8$ $0.1x^2+1.7x+7.2=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $x^2+17x+72=0$ $(x+8)(x+9)=0$ $\\therefore$ $x=-8$ 또는 $x=-9$ 따라서 공통인 근은 $x=-8$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x-k+5=0$이 서로 다른 두 근을 갖도록 하는 가장 작은 정수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x-k+5=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-6)^2-4\\times1\\times(-k+5)>0$ $4k+16>0$ $∴ k>-4$ 따라서 가장 작은 정수 $k$의 값은 $-3$이다." }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2+\\frac{9}{5}x-\\frac{2}{5}=0$ $0.1x^2+0.1x-0.2=0$", "answer": "$x^2+\\frac{9}{5}x-\\frac{2}{5}=0$의 양변에 $5$를 곱하면 $5x^2+9x-2=0$ $(x+2)(5x-1)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=\\frac{1}{5}$ $0.1x^2+0.1x-0.2=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $x^2+x-2=0$ $(x-1)(x+2)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-2$ 따라서 공통인 근은 $x=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=2\\pm\\sqrt{2}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<4$)", "answer": "$x^2-4x+k=0$에서 $x^2-4x=-k$ $x^2-4x+4=-k+4$ $(x-2)^2=-k+4$ $x-2=\\pm\\sqrt{-k+4}$ $\\therefore$ $x=2\\pm\\sqrt{-k+4}$ $-k+4=2$이므로 $k=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+11=0$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{b}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-8x+11=0$에서 $x^2-8x=-11$ $x^2-8x+16=-11+16$ $(x-4)^2=5$ $x-4=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=4\\pm\\sqrt{5}$ $a=4$, $b=5$이므로 $ab=4\\times5=20$" }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 짝수가 있다. 가장 큰 짝수의 제곱이 나머지 두 짝수의 제곱의 합보다 $48$만큼 작을 때, 이 세 짝수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 짝수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-48$ $x^2-8x-48=0$ $(x+4)(x-12)=0$ ∴ $x=-4$ 또는 $x=12$ $x>2$이므로 $x=12$ 따라서 세 짝수는 $10$, $12$, $14$이므로 구하는 합은 $10+12+14$$=36$" }, { "question": "이차방정식 $3x^2-5x+p=0$의 근이 $x=\\frac{q\\pm\\sqrt{13}}{6}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$3x^2-5x+p=0$에서 $x=$$\\frac{-(-5)\\pm\\sqrt{(-5)^2-4\\times3\\times p}}{2\\times3}$$=$$\\frac{5\\pm\\sqrt{-12p+25}}{6}$ $5=q$, $-12p+25=13$이므로 $q=5$, $p=1$ $∴$ $p+q$$=1+5$$=6$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.3x^2 - 0.8x -1.1 = 0$ $\\\\$ $\\frac{5}{6}x^2 - \\frac{2}{3}x - \\frac{3}{2} = 0$", "answer": "$0.3x^2-0.8x-1.1=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $3x^2-8x-11=0$ $(x+1)(3x-11)=0$ $ \\therefore x=-1$ 또는 $x=\\frac{11}{3}$ $\\frac{5}{6}x^2-\\frac{2}{3}x-\\frac{3}{2}=0$의 양변에 $6$을 곱하면 $5x^2-4x-9=0$ $(x+1)(5x-9)=0$ $ \\therefore x=-1$ 또는 $x=\\frac{9}{5}$ 따라서 공통인 근은 $x=-1$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.2x^2 - 0.9x - 0.5 = 0$ $\\frac{1}{5}x^2 - \\frac{2}{5}x - \\frac{5}{3} = 0$", "answer": "$0.2x^2-0.9x-0.5=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-9x-5=0$ $(x-5)(2x+1)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $\\frac{1}{5}x^2-\\frac{2}{3}x-\\frac{5}{3}=0$의 양변에 $15$를 곱하면 $3x^2-10x-25=0$ $(x-5)(3x+5)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-\\frac{5}{3}$ 따라서 공통인 근은 $x=5$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)(x-4)=6$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha-\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", "answer": "$(x-1)(x-4)=6$에서 $x^2-5x+4=6$ $x^2-5x-2=0$ $\\therefore x=\\frac{-(-5)\\pm\\sqrt{(-5)^2-4\\times1\\times(-2)}}{2\\times1}=\\frac{5\\pm\\sqrt{33}}{2}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=\\frac{5-\\sqrt{33}}{2}$, $\\beta=\\frac{5+\\sqrt{33}}{2}$ $\\therefore \\alpha-\\beta=\\frac{5-\\sqrt{33}}{2}-\\frac{5+\\sqrt{33}}{2}=-\\sqrt{33}$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a △ b=ab+2a+b$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $(x-1) △ (2x+1)=7$", "answer": "$(x-1) △ (2x+1)$$=7$에서 $(x-1)(2x+1)+2(x-1)+(2x+1)$$=7$ $2x^2+3x-2=7$ $2x^2+3x-9=0$ $(x+3)(2x-3)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $-3+\\frac{3}{2}$$=-\\frac{3}{2}$" }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $1$이 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $1$이 더 작은 수를 곱하였더니 $72$가 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-1)=72$ $x^2-x-72=0$ $(x+8)(x-9)=0$ $∴ x=-8$ 또는 $x=9$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $9$$,$ $10$의 곱은 $9\\times10=90$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{2}{5}x^2-\\frac{1}{5}x=0.5$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{3q}}{4}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{2}{5}x^2-\\frac{1}{5}x=0.5$의 양변에 $10$을 곱하면 $4x^2-2x=5$ $4x^2-2x-5=0$ $\\therefore$$x=\\frac{-(-2)\\pm\\sqrt{(-2)^2-4\\times4\\times(-5)}}{2\\times4}$$=$$\\frac{2\\pm\\sqrt{84}}{8}$ $=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{21}}{4}$ $1=p$, $21=3q$이므로 $p=1$, $q=7$ $\\therefore p+q$$=1+7$$=8$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+A=0$이 중근 $x=B$를 가질 때, 수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-4x+A=0$이 중근을 가지려면 $(-4)^2-4\\times1\\times A=0$ $16-4A=0$ $∴ A=4$ $A=4$를 $x^2-4x+A=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-4x+4=0$ $(x-2)^2=0$ $∴ x=2$ $∴ B=2$ $∴ AB$$=4\\times2$$=8$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{10}x^2-0.5x+\\frac{1}{5}=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{3B+2}}{2}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", "answer": "$\\frac{1}{10}x^2-0.5x+\\frac{1}{5}=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $x^2-5x+2=0$ $∴x = $$\\frac{-(-5)\\pm\\sqrt{(-5)^2-4\\times1\\times2}}{2\\times1}$$=$$\\frac{5\\pm\\sqrt{17}}{2}$ $5=A$, $17=3B+2$이므로 $A=5$, $B=5$ $∴ A+B$$=5+5$$=10$" }, { "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $0.2x^2-0.1x-0.3=0$ $\\frac{1}{2}x^2 + \\frac{5}{4}x-3=0$", "answer": "$0.2x^2-0.1x-0.3=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-x-3=0$ $(x+1)(2x-3)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ $\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{4}x-3=0$의 양변에 $4$를 곱하면 $2x^2+5x-12=0$ $(x+4)(2x-3)=0$ $∴$ $x=-4$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{3}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-x-p=0$의 근이 $x=\\frac{q\\pm\\sqrt{21}}{2}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$x^2-x-p=0$에서 $=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times1\\times(-p)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{4p+1}}{2}$ $1=q$, $4p+1=21$이므로 $q=1$, $p=5$ $∴$ $p+q$$=5+1$$=6$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가)십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $10$이다. (나)각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $12$가 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $10-x$이므로 $x(10-x)=10x+(10-x)-12$ $x^2-x-2=0$ $(x+1)(x-2)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=2$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=2$ 따라서 구하는 자연수는 $28$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x=9$의 근의 개수를 $a$ 개, $\\frac{1}{2}x(2x+1)=\\frac{3}{2}$의 근의 개수를 $b$ 개, $0.5x^2-0.2x+2=0$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $ab+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x=9$에서 $x^2-6x-9=0$이므로 $(-6)^2-4\\times1\\times(-9)=72>0$ $∴ a=2$ $\\frac{1}{2}x(2x+1)=\\frac{3}{2}$에서 $2x^2+x-3=0$이므로 $1^2-4\\times2\\times(-3)=25>0$ $∴ b=2$ $0.5x^2-0.2x+2=0$에서 $5x^2-2x+20=0$이므로 $(-2)^2-4\\times5\\times20=-396<0$ $∴$ $c=0$ $∴$ $ab+c$$=2\\times2+0$$=4$" }, { "question": "이차방정식 $x(x+2)=p$가 중근 $x=q$를 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x+2)=p$, 즉 $x^2+2x-p=0$이 중근을 가지려면 $2^2-4\\times1\\times(-p)=0$ $4+4p=0$ $ \\therefore p=-1$ $p=-1$을 $x^2+2x-p=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+2x+1=0$ $(x+1)^2=0$ $ \\therefore x=-1$ $ \\therefore q=-1$ $ \\therefore pq$$=(-1)\\times(-1)$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(k-1)x+1=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 작은 값이 이차방정식 $2x^2-2ax+a^2-1=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k-1)x+1=0$이 중근을 가지려면 $(k-1)^2-4\\times1\\times1=0$ $k^2-2k-3=0$ $(k+1)(k-3)=0$ $∴ k=-1$ 또는 $k=3$ $2x^2-2ax+a^2-1=0$의 한 근이 $-1$이므로 $x=-1$을 대입하여 정리하면 $a^2+2a+1=0$ $(a+1)^2=0$ $∴ a=-1$" }, { "question": "이차방정식 $16x(x-1)=A$가 중근 $x=B$를 가질 때, 수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", "answer": "$16x(x-1)=A$, 즉 $16x^2-16x-A=0$이 중근을 가지려면 $(-16)^2-4\\times16\\times(-A)=0$ $256+64A=0$ $∴$ $A=-4$ $A=-4$를 $16x^2-16x-A=0$에 대입하여 정리하면 $16x^2-16x-(-4)=0$ $4x^2-4x+1=0$ $(2x-1)^2=0$ $∴$ $x=\\frac{1}{2}$ $∴$ $B=\\frac{1}{2}$ $∴$ $AB$$=(-4)\\times\\frac{1}{2}$$=-2$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2=4x-1$의 근의 개수를 $p$ 개, $x^2+2x+4=0$의 근의 개수를 $q$ 개, $3x^2=2(2x+1)$의 근의 개수를 $r$ 개라 할 때, $pq+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2=4x-1$에서 $4x^2-4x+1=0$이므로 $(-4)^2-4\\times4\\times1=0$ $∴ p=1$ $x^2+2x+4=0$에서 $2^2-4\\times1\\times4=-12<0$ $∴ q=0$ $3x^2=2(2x+1)$에서 $3x^2-4x-2=0$이므로 $(-4)^2-4\\times3\\times(-2)=40>0$ $∴ r=2$ $∴ pq+r$$=1\\times0+2$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $(3x-2)^2=2x+1$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha+\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", "answer": "$(3x-2)^2=2x+1$에서 $9x^2-12x+4=2x+1$ $9x^2-14x+3=0$ $∴ x=$ $\\frac{-(-14)\\pm\\sqrt{(-14)^2-4\\times9\\times3}}{2\\times9}=\\frac{14\\pm\\sqrt{88}}{18}$ $=$ $\\frac{7\\pm\\sqrt{22}}{9}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=\\frac{7-\\sqrt{22}}{9}$, $\\beta=\\frac{7+\\sqrt{22}}{9}$ $∴\\alpha+\\beta$=$\\frac{7-\\sqrt{22}}{9}+\\frac{7+\\sqrt{22}}{9}$$=$$\\frac{14}{9}$" }, { "question": "이차방정식 $2x(x+3)=1$의 근의 개수를 $a$ 개, $\\frac{2}{3}x^2+x-\\frac{1}{2}=0$의 근의 개수를 $b$ 개, $x^2-4x+4=0$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $a+bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x(x+3)=1$에서 $2x^2+6x-1=0$이므로 $6^2-4\\times2\\times(-1)=44>0$ $∴$ $a=2$ $\\frac{2}{3}x^2+x-\\frac{1}{2}=0$에서 $4x^2+6x-3=0$이므로 $6^2-4\\times4\\times(-3)=84>0$ $∴$ $b=2$ $x^2-4x+4=0$에서 $(-4)^2-4\\times1\\times4=0$ $∴$ $c=1$ $∴$ $a+bc$$=2+2\\times1$$=4$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+4=0$의 근의 개수를 $a$ 개, $(x+2)(x-2)=2x-7$의 근의 개수를 $b$ 개, $x^2-5x+3=x-6$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $a+b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-8x+4=0$에서 $(-8)^2-4\\times1\\times4=48>0$ $∴$ $a=2$ $(x+2)(x-2)=2x-7$에서 $x^2-2x+3=0$이므로 $(-2)^2-4\\times1\\times3=-8<0$ $∴$ $b=0$ $x^2-5x+3=x-6$에서 $x^2-6x+9=0$이므로 $(-6)^2-4\\times1\\times9=0$ $∴$ $c=1$ $∴$ $a+b-c$$=2+0-1$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x=15$의 근의 개수를 $p$ 개, $4(x-3)^2=20$의 근의 개수를 $q$ 개, $-\\frac{1}{2}x^2+x=1$의 근의 개수를 $r$ 개라 할 때, $p+q-r$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+2x=15$에서 $x^2+2x-15=0$이므로 $2^2-4\\times1\\times(-15)=64>0$ $∴$ $p=2$ $4(x-3)^2=20$에서 $x^2-6x+4=0$이므로 $(-6)^2-4\\times1\\times4=20>0$ $∴$$q=2$ $-\\frac{1}{2}x^2+x=1$에서 $x^2-2x+2=0$이므로 $(-2)^2-4\\times1\\times2=-4<0$ $∴$ $r=0$ $∴$ $p+q-r$$=2+2-0$$=4$" }, { "question": "이차방정식 $1-3x^2=x$의 근의 개수를 $a$ 개, $x^2=14x-49$의 근의 개수를 $b$ 개, $\\frac{1}{2}(x+1)^2=-3$의 근의 개수를 $c$ 개라 할 때, $a+bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$1-3x^2=x$에서 $3x^2+x-1=0$이므로 $1^2-4\\times3\\times(-1)=13>0$ $∴ a=2$ $x^2=14x-49$에서 $x^2-14x+49=0$이므로 $(-14)^2-4\\times1\\times49=0$ $∴ b=1$ $\\frac{1}{2}(x+1)^2=-3$에서 $x^2+2x+7=0$이므로 $2^2-4\\times1\\times7=-24<0$ $∴ c=0$ $∴ a+bc$$=2+1\\times0$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2+3x+p=0$이 중근 $x=q$를 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $4p-2q$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+3x+p=0$이 중근을 가지려면 $3^2-4\\times4\\times p=0$ $9-16p=0$ $∴$ $p=\\frac{9}{16}$ $p=\\frac{9}{16}$를 $4x^2+3x+p=0$에 대입하여 정리하면 $4x^2+3x+\\frac{9}{16}=0$ $64x^2+48x+9=0$ $(8x+3)^2=0$ $∴$ $x=-\\frac{3}{8}$ $∴$ $q=-\\frac{3}{8}$ $∴$ $4p-2q$$=4\\times\\frac{9}{16}-2\\times(-\\frac{3}{8})$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{5}x^2+\\frac{1}{5}x=0.2$의 근이 $x=\\frac{p\\pm\\sqrt{2q+1}}{2}$일 때, $p+q$의 값을 구하여라. (단, $p$, $q$는 유리수)", "answer": "$\\frac{1}{5}x^2+\\frac{1}{5}x=0.2$의 양변에 $5$를 곱하면 $x^2+x=1$ $x^2+x-1=0$ $∴ x=$$\\frac{-1\\pm\\sqrt{1^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{-1\\pm\\sqrt{5}}{2}$ $-1=p$, $5=2q+1$이므로 $p=-1$, $q=2$ $∴ p+q$$=-1+2$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $(3x+1)(x-1)=(x+2)^2+1$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", "answer": "$(3x+1)(x-1)=(x+2)^2+1$에서 $3x^2-2x-1=x^2+4x+5$ $2x^2-6x-6=0$ $x^2-3x-3=0$ $∴ x=\\frac{-(-3)\\pm\\sqrt{(-3)^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times1}=\\frac{3\\pm\\sqrt{21}}{2}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=\\frac{3-\\sqrt{21}}{2}, \\beta=\\frac{3+\\sqrt{21}}{2}$ $∴ \\alpha\\beta=\\frac{3-\\sqrt{21}}{2}\\times\\frac{3+\\sqrt{21}}{2}=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x(x-1)=A$가 중근 $x=B$를 가질 때, 수 $A$, $B$에 대하여 $2A+B$의 값을 구하여라.", "answer": "$x(x-1)=A$, 즉 $x^2-x-A=0$이 중근을 가지려면 $(-1)^2-4\\times1\\times(-A)=0$ $1+4A=0$ $∴ A=-\\frac{1}{4}$ $A=-\\frac{1}{4}$을 $x^2-x-A=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-x-(-\\frac{1}{4})=0$ $4x^2-4x+1=0$ $(2x-1)^2=0$ $∴ x=\\frac{1}{2}$ $∴ B=\\frac{1}{2}$ $∴ 2A+B$$=2\\times(-\\frac{1}{4})+\\frac{1}{2}$$=0$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a △ b$$=ab-a+3b$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $2x △ (x-3)$$=3$", "answer": "$2x △ (x-3)$$=3$에서 $2x(x-3)-2x+3(x-3)$$=3$ $2x^2-5x-9=3$ $2x^2-5x-12=0$ $(x-4)(2x+3)=0$ $∴$ $x=4$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $4+(-\\frac{3}{2})$$=\\frac{5}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(k+5)x+1=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 큰 값이 이차방정식 $2x^2-2ax+a^2-9=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k+5)x+1=0$이 중근을 가지려면 $(k+5)^2-4\\times1\\times1=0$ $k^2+10k+21=0$ $(k+3)(k+7)=0$ $∴$ $k=-3$ 또는 $k=-7$ $2x^2-2ax+a^2-9=0$의 한 근이 $-3$이므로 $x=-3$을 대입하여 정리하면 $a^2+6a+9=0$ $(a+3)^2=0$ $∴$ $a=-3$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a ◎ b$$=a+b+ab$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $2x ◎ (3x-1)$$=2$", "answer": "$2x ◎ (3x-1)$$=2$에서 $2x+(3x-1)+2x(3x-1)$$=2$ $6x^2+3x-1=2$ $2x^2+x-1=0$ $(x+1)(2x-1)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $-1+\\frac{1}{2}$$=-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "두 이차방정식 $4x^2+12x+p=0$, $x^2-2(p-2)x+q=0$이 모두 중근을 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+12x+p=0$이 중근을 가지려면 $12^2-4\\times4\\times p=0$ $144-16p=0$ $∴ p=9$ $x^2-2(p-2)x+q=0$에 $p=9$를 대입하여 정리하면 $x^2-14x+q=0$ 이 이차방정식이 중근을 가지려면 $(-14)^2-4\\times1\\times q=0$ $196-4q=0$ $∴ q=49$ $∴ p-q$$=9-49$$=-40$" }, { "question": "두 이차방정식 $x^2+10x+p=0$, $x^2+(p-5)x+q=0$이 모두 중근을 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $\\frac{p}{q}$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+10x+p=0$이 중근을 가지려면 $10^2-4\\times1\\times p=0$ $100-4p=0$ $∴ p=25$ $x^2+(p-5)x+q=0$에 $p=25$를 대입하여 정리하면 $x^2+20x+q=0$ 이 이차방정식이 중근을 가지려면 $20^2-4\\times1\\times q=0$ $400-4q=0$ $∴ q=100$ $∴ \\frac{p}{q}$$=\\frac{25}{100}$$=\\frac{1}{4}$" }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $153$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=153$이므로 $n^2+n-306=0$ $(n-17)(n+18)=0$ $∴$$n=17$ 또는 $n=-18$ $n>0$이므로 $n=17$ 따라서 $1$부터 $17$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "이차방정식 $9x(x-2)=p$가 중근 $x=q$를 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$9x(x-2)=p$, 즉 $9x^2-18x-p=0$이 중근을 가지려면 $(-18)^2-4\\times9\\times(-p)=0$ $324+36p=0$ $\\therefore$ $p=-9$ $p=-9$를 $9x^2-18x-p=0$에 대입하여 정리하면 $9x^2-18x-(-9)=0$ $x^2-2x+1=0$ $(x-1)^2=0$ $\\therefore$ $x=1$ $\\therefore$ $q=1$ $\\therefore$ $p+q$$=-9+1$$=-8$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x+2k-5=0$이 해를 갖도록 하는 가장 큰 정수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-3x+2k-5=0$이 해를 가지려면 $(-3)^2-4\\times1\\times(2k-5)\\ge0$ $-8k+29\\ge0$ ∴ $k\\le\\frac{29}{8}$ 따라서 가장 큰 정수 $k$의 값은 $3$이다." }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a ◎ b=ab-6(a-b)$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $(2x-1) ◎ (x-2)=2$", "answer": "$(2x-1) ◎ (x-2)$$=2$에서 $(2x-1)(x-2)-6\\lbrace(2x-1)-(x-2)\\rbrace$$=2$ $2x^2-11x-4=2$ $2x^2-11x-6=0$ $(x-6)(2x+1)=0$ $∴$ $x=6$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $6+(-\\frac{1}{2})$$=\\frac{11}{2}$" }, { "question": "두 이차방정식 $16x^2+8x+p=0$, $x^2+(p+2)x+q=0$이 모두 중근을 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하여라.", "answer": "$16x^2+8x+p=0$이 중근을 가지려면 $8^2-4\\times16\\times p=0$ $64-64p=0$ $∴ p=1$ $x^2+(p+2)x+q=0$에 $p=1$을 대입하여 정리하면 $x^2+3x+q=0$ 이 이차방정식이 중근을 가지려면 $3^2-4\\times1\\times q=0$ $9-4q=0$ $∴ q=\\frac{9}{4}$ $∴ pq$$=1\\times\\frac{9}{4}$$=\\frac{9}{4}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x+k+1=0$이 서로 다른 두 근을 갖도록 하는 가장 큰 정수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-3x+k+1=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-3)^2-4\\times1\\times(k+1)>0$ $-4k+5>0$ $∴ k<\\frac{5}{4}$ 따라서 가장 큰 정수 $k$의 값은 $1$이다." }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $1$이 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $1$이 더 작은 수를 곱하였더니 $30$이 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-1)=30$ $x^2-x-30=0$ $(x+5)(x-6)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=6$ $x>0$이므로 $x=6$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $6$$,$ $7$의 곱은 $6\\times7=42$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+(m-2)x+2=0$이 중근을 가질 때의 수 $m$의 값 중 작은 값이 이차방정식 $x^2-2nx+n^2=0$의 한 근일 때, 수 $n$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+(m-2)x+2=0$이 중근을 가지려면 $(m-2)^2-4\\times2\\times2=0$ $m^2-4m-12=0$ $(m+2)(m-6)=0$ $∴$ $m=-2$ 또는 $m=6$ $x^2-2nx+n^2=0$의 한 근이 $-2$이므로 $x=-2$를 대입하여 정리하면 $n^2+4n+4=0$ $(n+2)^2=0$ $∴$ $n=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(k-3)x+1=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 큰 값이 이차방정식 $x^2+2ax+a^2=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k-3)x+1=0$이 중근을 가지려면 $(k-3)^2-4\\times1\\times1=0$ $k^2-6k+5=0$ $(k-1)(k-5)=0$ $∴ k=1$ 또는 $k=5$ $x^2+2ax+a^2=0$의 한 근이 $5$이므로 $x=5$를 대입하여 정리하면 $a^2+10a+25=0$ $(a+5)^2=0$ $∴ a=-5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(k+8)x+4=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 큰 값이 이차방정식 $x^2-ax+a^2-12=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k+8)x+4=0$이 중근을 가지려면 $(k+8)^2-4\\times1\\times4=0$ $k^2+16k+48=0$ $(k+4)(k+12)=0$ $∴ k=-4$ 또는 $k=-12$ $x^2-ax+a^2-12=0$의 한 근이 $-4$이므로 $x=-4$를 대입하여 정리하면 $a^2+4a+4=0$ $(a+2)^2=0$ $∴ a=-2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(k-4)x+1=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 작은 값이 이차방정식 $2x^2-2ax+a^2-4=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(k-4)x+1=0$이 중근을 가지려면 $(k-4)^2-4\\times1\\times1=0$ $k^2-8k+12=0$ $(k-2)(k-6)=0$ $∴$ $k=2$ 또는 $k=6$ $2x^2-2ax+a^2-4=0$의 한 근이 $2$이므로 $x=2$를 대입하여 정리하면 $a^2-4a+4=0$ $(a-2)^2=0$ $∴$ $a=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(2m-3)x+4=0$이 중근을 가질 때의 수 $m$의 값 중 큰 값이 이차방정식 $4x^2+2ax+a^2+5a-13=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+(2m-3)x+4=0$이 중근을 가지려면 $(2m-3)^2-4\\times1\\times4=0$ $4m^2-12m-7=0$ $(2m-7)(2m+1)=0$ $∴ m=\\frac{7}{2}$ 또는 $m=-\\frac{1}{2}$ $4x^2+2ax+a^2+5a-13=0$의 한 근이 $\\frac{7}{2}$이므로 $x=\\frac{7}{2}$을 대입하여 정리하면 $a^2+12a+36=0$ $(a+6)^2=0$ $∴ a=-6$" }, { "question": "$1$ 개당 가격이 $8000$ 원인 멜론의 하루 판매량은 $600$ 개이다. $1$ 개당 가격을 $x$ 원 올리면 판매량은 $\\frac{1}{20}x$ 개가 줄어들어 결국 가격에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 개당 가격을 $x$ 원 올리면 가격은 $(8000+x)$ 원, 판매량은 $(600-\\frac{1}{20}x)$ 개이므로 $(8000+x)(600-\\frac{1}{20}x)=8000\\times600$ $x^2-4000x=0$ $x(x-4000)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=4000$ $x>0$이므로 $x=4000$" }, { "question": "둘레의 길이가 $50$ cm인 직사각형의 넓이가 $150{cm}^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x cm$라 하면 세로의 길이는 $(25-x)cm$이므로 $x(25-x)=150$ $x^2-25x+150=0$ $(x-10)(x-15)=0$ $∴ x=10$ 또는 $x=15$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=15$ 따라서 가로의 길이는 $15 cm$이다." }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가) 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자으 합은 $8$이다. (나) 각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $38$이 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $8-x$이므로 $x(8-x)=10x+(8-x)-38$ $x^2+x-30=0$ $(x-5)(x+6)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-6$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=5$ 따라서 구하는 자연수는 $53$이다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $136$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=136$이므로 $n^2+n-272=0$ $(n-16)(n+17)=0$ $∴$ $n=16$ 또는 $n=-17$ $n>0$이므로 $n=16$ 따라서 $1$부터 $16$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $55$가 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=55$이므로 $n^2+n-110=0$ $(n-10)(n+11)=0$ $∴ n=10$ 또는 $n=-11$ $n>0$이므로 $n=10$ 따라서 $1$부터 $10$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 홀수의 제곱이 나머지 두 홀수의 제곱의 합보다 $65$만큼 작을 때, 이 세 홀수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 홀수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-65$ $x^2-8x-65=0$ $(x+5)(x-13)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=13$ $x>2$이므로 $x=13$ 따라서 세 홀수는 $11$, $13$, $15$이므로 구하는 합은 $11+13+15$$=39$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a ◎ b=ab-4a$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $x ◎ (x+3)$$=20$", "answer": "$x ◎ (x+3)$$=20$에서 $x(x+3)-4x$$=20$ $x^2-x=20$ $x^2-x-20=0$ $(x+4)(x-5)=0$ $∴ x=-4$ 또는 $x=5$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $-4+5$$=1$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a \\circledcirc b =ab+3a$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $2x \\circledcirc (x-1) =6$", "answer": "$2x ◎ (x-1)$$=6$에서 $2x(x-1)+3\\times2x$$=6$ $2x^2+4x=6$ $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴ $$x=1$ 또는 $x=-3$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $1+(-3)$$=-2$" }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 홀수가 있다. 가운데 홀수의 제곱이 나머지 두 홀수의 제곱의 합보다 $33$만큼 작을 때, 이 세 홀수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 홀수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $x^2=(x-2)^2+(x+2)^2-33$ $x^2-25=0$ $(x+5)(x-5)=0$ $∴ x=-5$ 또는 $x=5$ $x>2$이므로 $x=5$ 따라서 세 홀수는 $3$, $5$, $7$이므로 구하는 합은 $3+5+7=15$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3x+k+3=0$이 해를 갖도록 하는 가장 큰 정수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+3x+k+3=0$이 해를 가지려면 $3^2-4\\times1\\times(k+3)\\ge0$ $-4k-3\\ge0$ $\\therefore$ $k\\le-\\frac{3}{4}$ 따라서 가장 큰 정수 $k$의 값은 $-1$이다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $66$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=66$이므로 $n^2+n-132=0$ $(n-11)(n+12)=0$ $∴ n=11$ 또는 $n=-12$ $n>0$이므로 $n=11$ 따라서 $1$부터 $11$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "$1$ 개당 가격이 $35000$ 원인 인형의 하루 판매량은 $4000$ 개이다. $1$ 개당 가격을 $x$ 원 내리면 판매량은 $\\frac{1}{8}x$ 개가 늘어 결국 가격에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 개당 가격을 $x$ 원 내리면 가격은 $(35000-x)$ 원, 판매량은 $(4000+\\frac{1}{8}x)$ 개이므로 $(35000-x)(4000+\\frac{1}{8}x)=35000\\times4000$ $x^2-3000x=0$ $x(x-3000)=0$ $∴$ $x=0$ 또는 $x=3000$ $x>0$이므로 $x=3000$" }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 짝수가 있다. 가장 큰 짝수의 제곱이 나머지 두 짝수의 제곱의 합보다 $20$만큼 작을 때, 이 세 짝수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 짝수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-20$ $x^2-8x-20=0$ $(x+2)(x-10)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=10$ $x>2$이므로 $x=10$ 따라서 세 짝수는 $8$, $10$, $12$이므로 구하는 합은 $8+10+12$$=30$" }, { "question": "이차방정식 $2x^2+8x+k-7=0$이 해를 갖도록 하는 가장 큰 정수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x^2+8x+k-7=0$이 해를 가지려면 $8^2-4\\times2\\times(k-7)\\ge0$ $-8k+120\\ge0$ $∴ $$k\\le15$ 따라서 가장 큰 정수 $k$의 값은 $15$이다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $91$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=91$이므로 $n^2+n-182=0$ $(n-13)(n+14)=0$ $∴ n=13$ 또는 $n=-14$ $n>0$이므로 $n=13$ 따라서 $1$부터 $13$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 홀수의 제곱이 나머지 두 홀수의 제곱의 합보다 $7$만큼 클 때, 이 세 홀수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 홀수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2+7$ $x^2-8x+7=0$ $(x-1)(x-7)=0$ $ \\therefore x=1$ 또는 $x=7$ $x>2$이므로 $x=7$ 따라서 세 홀수는 $5$, $7$, $9$이므로 구하는 합은 $5+7+9$$=21$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a △ b$$=ab+3a-b$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $\\\\$ $(x+1) △ (3x-2)$$=13$", "answer": "$(x+1) △ (3x-2)=13$에서 $(x+1)(3x-2)+3(x+1)-(3x-2)=13$ $3x^2+x+3=13$ $3x^2+x-10=0$ $(x+2)(3x-5)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=\\frac{5}{3}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $-2+\\frac{5}{3}=-\\frac{1}{3}$" }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $325$가 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=325$이므로 $n^2+n-650=0$ $(n-25)(n+26)=0$ $∴ n=25$ 또는 $n=-26$ $n>0$이므로 $n=25$ 따라서 $1$부터 $25$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $105$가 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=105$이므로 $n^2+n-210=0$ $(n-14)(n+15)=0$ ∴ $n=14$ 또는 $n=-15$ $n>0$이므로 $n=14$ 따라서 $1$부터 $14$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "둘레의 길이가 $42cm$인 직사각형의 넓이가 $108cm^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $(21-x)$ $cm$이므로 $x(21-x)=108$ $x^2-21x+108=0$ $(x-9)(x-12)=0$ $\\therefore$ $x=9$ 또는 $x=12$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=12$ 따라서 가로의 길이는 $12$ $cm$이다." }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 홀수의 제곱이 나머지 두 홀수의 제곱의 합보다 $9$만큼 작을 때, 이 세 홀수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 홀수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2-9$ $x^2-8x-9=0$ $(x+1)(x-9)=0$ ∴ $x=-1$ 또는 $x=9$ $x>2$이므로 $x=9$ 따라서 세 홀수는 $7$, $9$, $11$이므로 구하는 합은 $7+9+11$$=27$" }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 짝수가 있다. 가장 작은 짝수의 제곱이 나머지 두 짝수의 제곱의 합보다 $84$만큼 작을 때, 이 세 짝수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 짝수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x-2)^2=x^2+(x+2)^2-84$ $x^2+8x-84=0$ $(x-6)(x+14)=0$ ∴ $x=6$ 또는 $x=-14$ $x>2$이므로 $x=6$ 따라서 세 짝수는 $4$, $6$, $8$이므로 구하는 합은 $4+6+8$$=18$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가) 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $10$이다. (나) 각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $16$이 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $10-x$이므로 $x(10-x)=10x+(10-x)-16$ $x^2-x-6=0$ $(x+2)(x-3)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=3$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=3$ 따라서 구하는 자연수는 $37$이다." }, { "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $78$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=78$이므로 $n^2+n-156=0$ $(n-12)(n+13)=0$ $∴$ $n=12$ 또는 $n=-13$ $n>0$이므로 $n=12$ 따라서 $1$부터 $12$까지의 자연수를 더해야 한다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점 $A$, 꼭짓점 $D$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AE}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $104 cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+10)$ $cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+10)\\rbrace\\times x=104$ $x^2+5x-104=0$ $(x-8)(x+13)=0$ $∴$ $x=8$ 또는 $x=-13$ $x>0$이므로 $x=8$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $18$ $cm$이다." }, { "question": "자연수 중 연속하는 세 짝수가 있다. 가장 큰 짝수의 제곱이 나머지 두 짝수의 제곱의 합보다 $12$만큼 클 때, 이 세 짝수의 합을 구하여라.", "answer": "연속하는 세 짝수를 $x-2$, $x$, $x+2$라 하면 $(x+2)^2=(x-2)^2+x^2+12$ $x^2-8x+12=0$ $(x-2)(x-6)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=6$ $x>2$이므로 $x=6$ 따라서 세 짝수는 $4$, $6$, $8$이므로 구하는 합은 $4+6+8$$=18$" }, { "question": "둘레의 길이가 $46 cm$인 직사각형의 넓이가 $126$ $cm^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $(23-x)$$cm$이므로 $x(23-x)=126$ $x^2-23x+126=0$ $(x-9)(x-14)=0$ $∴ x=9$ 또는 $x=14$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=14$ 따라서 가로의 길이는 $14$ $cm$이다." }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $2$가 더 작은 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $2$가 더 큰 수를 곱하였더니 $99$가 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x+2)=99$ $x^2+2x-99=0$ $(x-9)(x+11)=0$ $∴ x=9$ 또는 $x=-11$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $7$$,$ $9$의 곱은 $7\\times9=63$" }, { "question": "다음 그림과 같은 등변사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AH}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $48 cm^2$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+4)$ $cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+4)\\rbrace\\times x=48$ $x^2+2x-48=0$ $(x-6)(x+8)=0$ $∴$ $x=6$ 또는 $x=-8$ $x>0$이므로 $x=6$ 따라서 $\\overline{AD}$의 길이는 $6$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점 $A$, 꼭짓점 $D$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AE}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $84 cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}$$=xcm$ 라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+10)cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+10)\\rbrace\\times x=84$ $x^2+5x-84=0$ $(x-7)(x+12)=0$ $∴$ $x=7$ 또는 $x=-12$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $17cm$이다." }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $3$이 더 작은 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $3$이 더 큰 수를 곱하였더니 $154$가 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x+3)=154$ $x^2+3x-154=0$ $(x-11)(x+14)=0$ $∴ x=11$ 또는 $x=-14$ $x>0$이므로 $x=11$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $8$$,$ $11$의 곱은 $8\\times11=88$" }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $2$가 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $2$가 더 작은 수를 곱하였더니 $80$이 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-2)=80$ $x^2-2x-80=0$ $(x+8)(x-10)=0$ $∴ x=-8$ 또는 $x=10$ $x>0$이므로 $x=10$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $10$, $12$의 곱은 $10\\times12=120$" }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $2$가 더 작은 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $2$가 더 큰 수를 곱하였더니 $80$이 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x+2)=80$ $x^2+2x-80=0$ $(x-8)(x+10)=0$ $∴ x=8$ 또는 $x=-10$ $x>0$이므로 $x=8$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $6$$,$ $8$의 곱은 $6\\times8=48$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가) 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $12$이다. (나)각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $22$가 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $12-x$이므로 $x(12-x)=10x+(12-x)-22$ $x^2-3x-10=0$ $(x+2)(x-5)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=5$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=5$ 따라서 구하는 자연수는 $57$이다." }, { "question": "둘레의 길이가 $48 cm$인 직사각형의 넓이가 $135$ $cm^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "세로의 길이를 $x cm$라 하면 가로의 길이는 $(24-x) cm$이므로 $x(24-x)=135$ $x^2-24x+135=0$ $(x-9)(x-15)=0$ $∴ x=9$ 또는 $x=15$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=9$ 따라서 세로의 길이는 $9cm$이다." }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가) 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $10$이다. (나) 각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $40$이 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $10-x$이므로 $x(10-x)=10x+(10-x)-40$ $x^2-x-30=0$ $(x+5)(x-6)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=6$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=6$ 따라서 구하는 자연수는 $64$이다." }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $3$이 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $3$이 더 작은 수를 곱하였더니 $54$가 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-3)=54$ $x^2-3x-54=0$ $(x+6)(x-9)=0$ ∴ $x=-6$ 또는 $x=9$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $9$$,$ $12$의 곱은 $9\\times12=108$" }, { "question": "두 실수 $a$, $b$에 대하여 $a △ b=ab-5a+2b$로 나타낼 때, 다음을 만족시키는 모든 실수 $x$의 값의 합을 구하여라. $(2x+1) △ (x-3)=10$", "answer": "$(2x+1) △ (x-3)$$=10$에서 $(2x+1)(x-3)-5(2x+1)+2(x-3)$$=10$ $2x^2-13x-14=10$ $2x^2-13x-24=0$ $(x-8)(2x+3)=0$ $∴ x=8$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ 따라서 모든 실수 $x$의 값의 합은 $8+(-\\frac{3}{2})$$=\\frac{13}{2}$" }, { "question": "둘레의 길이가 $60 cm$인 직사각형의 넓이가 $216cm^2$이다. 세로의 길이가 가로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$$cm$라 하면 세로의 길이는 $(30-x)$$cm$이므로 $x(30-x)=216$ $x^2-30x+216=0$ $(x-12)(x-18)=0$ $∴$ $x=12$ 또는 $x=18$ 세로의 길이가 가로의 길이보다 더 길므로 $x=12$ 따라서 가로의 길이는 $12$$cm$이다." }, { "question": "지은이는 경수보다 $3$ 살이 많다고 한다. 지은이의 나이를 제곱하면 경수의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $31$ 살이 더 적어진다고 할 때, 경수의 나이를 구하여라.", "answer": "경수의 나이를 $x$ 살이라 하면 지은이의 나이는 $(x+3)$ 살이므로 $(x+3)^2=2x^2-31$ $x^2-6x-40=0$ $(x+4)(x-10)=0$ $∴ x=-4$ 또는 $x=10$ $x>0$이므로 $x=10$ 따라서 경수의 나이는 $10$ 살이다." }, { "question": "어떤 양수에 그 수보다 $2$가 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $2$가 더 작은 수를 곱하였더니 $143$이 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-2)=143$ $x^2-2x-143=0$ $(x+11)(x-13)=0$ $∴ x=-11$ 또는 $x=13$ $x>0$이므로 $x=13$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $13$$,$ $15$의 곱은 $13\\times15=195$" }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. (가) 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $15$이다. (나) 각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $22$가 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $15-x$이므로 $x(15-x)=10x+(15-x)-22$ $x^2-6x-7=0$ $(x+1)(x-7)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=7$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=7$ 따라서 구하는 자연수는 $78$이다." }, { "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 두 자리의 자연수를 구하여라. ㈎ 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합은 $5$이다. ㈏ 각 자리의 숫자의 곱은 원래 두 자리의 자연수보다 $26$이 작다.", "answer": "십의 자리의 숫자를 $x$라 하면 일의 자리의 숫자는 $5-x$이므로 $x(5-x)=10x+(5-x)-26$ $x^2+4x-21=0$ $(x-3)(x+7)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-7$ 십의 자리의 숫자는 한 자리의 자연수이므로 $x=3$ 따라서 구하는 자연수는 $32$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $10$ $cm$인 선분을 두 부분으로 나누어 각각의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 만들었더니 두 정사각형의 넓이의 합이 $52cm^2$이었다. 이때 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ $cm$라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $(10-x)$ $cm$이므로 $x^2+(10-x)^2=52$ $x^2-10x+24=0$ $(x-4)(x-6)=0$ ∴ $x=4$ 또는 $x=6$ $50$이므로 $x=-3+3\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $(-3+3\\sqrt{5})$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+2=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타내어 풀었더니 $x=c$ 또는 $x=d$가 근이 되었다. 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ad+bc$의 값을 구하여라. (단, $c0$이므로 $x=3$ 따라서 가로의 길이는 처음보다 $3$ $m$ 늘어났다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$$=20 cm$인 이등변삼각형 ABC에 대하여 $\\angle B$의 이등분선이 $\\overline{AC}$와 만나는 점을 D라 할 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ABD$, $\\triangle BCD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=\\overline{BC}=x$ $cm$ $\\overline{CD}=\\overline{AC}-\\overline{AD}=\\overline{AB}-\\overline{AD}=20-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$$\\sim$$\\triangle BCD$이므로 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\overline{BC} : \\overline{CD}$ $20 : x=x : (20-x)$ $20(20-x)=x^2$ $x^2+20x-400=0$ $∴$ $x=-10\\pm10\\sqrt{5}$ $x>0$이므로 $x=-10+10\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $(-10+10\\sqrt{5})$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$$=\\overline{BC}$$=16cm$ 인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 $\\angle A$의 이등분선이 $\\overline{BC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ABD$, $\\triangle ADC$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CD}=\\overline{AD}=\\overline{AB}=x cm$ $\\overline{BD}=\\overline{BC}-\\overline{CD}=\\overline{AC}-\\overline{CD}=16-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$~$\\triangle BDA$이므로 $\\overline{CA} : \\overline{AB}=\\overline{AB} : \\overline{BD}$ $16 : x=x : (16-x)$ $16(16-x)=x^2$ $x^2+16x-256=0$ $∴ x=-8\\pm8\\sqrt{5}$ $x>0$이므로 $x=-8+8\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $(-8+8\\sqrt{5}) cm$이다." }, { "question": "형은 동생보다 $5$ 살이 많다고 한다. 형의 나이를 제곱하면 동생의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $14$ 살이 더 적어진다고 할 때, 동생의 나이를 구하여라.", "answer": "동생의 나이를 $x$ 살이라 하면 형의 나이는 $(x+5)$ 살이므로 $(x+5)^2=2x^2-14$ $x^2-10x-39=0$ $(x+3)(x-13)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=13$ $x>0$이므로 $x=13$ 따라서 동생의 나이는 $13$ 살이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $16 cm$인 선분을 두 부분으로 나누어 각각의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 만들었더니 두 정사각형의 넓이의 합이 $130 cm^2$이었다. 이때 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ $cm$라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $(16-x)$ $cm$이므로 $x^2+(16-x)^2=130$ $x^2-16x+63=0$ $(x-7)(x-9)=0$ $∴$ $x=7$ 또는 $x=9$ $80$이므로 $x=-6+6\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $(-6+6\\sqrt{5})$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$$=14 cm$인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 $\\angle B$의 이등분선이 $\\overline{AC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ABD$, $\\triangle BCD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=\\overline{BC}=x$ $cm$ $\\overline{CD}=\\overline{AC}-\\overline{AD}=\\overline{AB}-\\overline{AD}=14-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$$~$$\\triangle BCD$이므로 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\overline{BC} : \\overline{CD}$ $14 : x=x : (14-x)$ $14(14-x)=x^2$ $x^2+14x-196=0$ $∴ x=-7\\pm7\\sqrt{5}$ $x>0$이므로 $x=-7+7\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $(-7+7\\sqrt{5})$ $cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 등변사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점 $A$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AH}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $40 cm^2$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}$$=x cm$라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+6) cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+6)\\rbrace\\times x=40$ $x^2+3x-40=0$ $(x-5)(x+8)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-8$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 $\\overline{AD}$의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $(2x+1)(3x-1)=x^2+2x$를 $5x^2+bx+c=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+1)(3x-1)=x^2+2x$에서 $6x^2+x-1=x^2+2x$ $5x^2-x-1=0$ $b=-1$, $c=-1$이므로 $bc$$=(-1)\\times(-1)$$=1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $9 cm$인 선분을 두 부분으로 나누어 각각의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 만들었더니 두 정사각형의 넓이의 합이 $45 cm^2$이었다. 이때 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(9-x) cm$이므로 $x^2+(9-x)^2=45$ $x^2-9x+18=0$ $(x-3)(x-6)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=6$ $00$이므로 $x=4$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $16cm$ 이다." }, { "question": "폭이 $28$ $cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $98$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(28-2x) cm$, 세로의 길이는 $x cm$이므로 $x(28-2x)=98$ $x^2-14x+49=0$ $(x-7)^2=0$ $∴ x=7$ 따라서 물받이의 높이는 $7 cm$이다." }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $8cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $4$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 $\\pi(x+8)^2=4\\pi x^2$ $x^2+16x+64=4x^2$ $3x^2-16x-64=0$ $(x-8)(3x+8)=0$ $∴$ $x=8$ 또는 $x=-\\frac{8}{3}$ $x>0$이므로 $x=8$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $13$ cm인 선분을 두 부분으로 나누어 각각의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 만들었더니 두 정사각형의 넓이의 합이 $97 cm^2$이었다. 이때 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ $cm$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(13-x) cm$이므로 $x^2+(13-x)^2=97$ $x^2-13x+36=0$ $(x-4)(x-9)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=9$ $05$이므로 $x=19$ 따라서 언니의 나이는 $19$ 살이다." }, { "question": "지면에서 초속 $60$ m로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이가 $(60t-5t^2){m}$일 때, 공이 지면으로부터 높이가 $160 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 몇 초 동안인지 구하여라.", "answer": "$t$ 초 후 공의 높이가 $160 m$라 하면 $60t-5t^2=160$ $t^2-12t+32=0$ $(t-4)(t-8)=0$ $∴ t=4$ 또는 $t=8$ 따라서 높이가 $160 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 $4$ 초부터 $8$ 초까지이므로 $4$ 초 동안이다." }, { "question": "둘레의 길이가 $30$ $cm$인 직사각형의 넓이가 $56$ $cm^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$ cm라 하면 세로의 길이는 $(15-x)$ cm이므로 $x(15-x)=56$ $x^2-15x+56=0$ $(x-7)(x-8)=0$ $∴ x=7$ 또는 $x=8$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=8$ 따라서 가로의 길이는 $8$ cm이다." }, { "question": "준혁이는 예지보다 $2$ 살이 적다고 한다. 예지의 나이를 제곱하면 준혁이의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $28$ 살이 더 적어진다고 할 때, 예지의 나이를 구하여라.", "answer": "예지의 나이를 $x$ 살이라 하면 준혁이의 나이는 $(x-2)$ 살이므로 $x^2=2(x-2)^2-28$ $x^2-8x-20=0$ $(x+2)(x-10)=0$ $\\therefore$ $ x=-2$ 또는 $x=10$ $x>2$이므로 $x=10$ 따라서 예지의 나이는 $10$ 살이다." }, { "question": "이차방정식 $(2m-1)x^2-(2m-1)x+3=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2m-1)x^2-(2m-1)x+3=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace-(2m-1)\\rbrace^2-4\\times(2m-1)\\times3=0$ $4m^2-28m+13=0$ $(2m-13)(2m-1)=0$ $∴ m=\\frac{13}{2}$ 또는 $m=\\frac{1}{2}$ $(2m-1)x^2-(2m-1)x+3=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $2m-1\\ne0$ 즉, $m\\ne\\frac{1}{2}$이므로 $m=\\frac{13}{2}$" }, { "question": "준수는 혜인이보다 $3$ 살이 적다고 한다. 혜인이의 나이를 제곱하면 준수의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $46$ 살이 더 적어진다고 할 때, 혜인이의 나이를 구하여라.", "answer": "혜인이의 나이를 $x$ 살이라 하면 준수의 나이는 $(x-3)$ 살이므로 $x^2=2(x-3)^2-46$$\\\\$ $x^2-12x-28=0$ $\\\\$ $(x+2)(x-14)=0$ $\\\\$ $∴$$x=-2$ 또는 $x=14$ $x>3$이므로 $x=14$ 따라서 혜인이의 나이는 $14$ 살이다." }, { "question": "$1$ 개당 가격이 $15000$ 원인 선물 상자의 하루 판매량은 $500$ 개이다. $1$ 개당 가격을 $x$ 원 내리면 판매량은 $\\frac{1}{20}x$ 개가 늘어 결국 가격에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 개당 가격을 $x$ 원 내리면 가격은 $(15000-x)$ 원, 판매량은 $(500+\\frac{1}{20}x)$ 개이므로 $(15000-x)(500+\\frac{1}{20}x) =15000\\times500$ $x^2-5000x= 0$ $x(x-5000)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=5000$ $x>0$이므로 $x=5000$" }, { "question": "언니는 동생보다 $5$ 살이 많다고 한다. 언니의 나이를 제곱하면 동생의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $14$ 살이 더 많아진다고 할 때, 동생의 나이를 구하여라.", "answer": "동생의 나이를 $x$ 살이라 하면 언니의 나이는 $(x+5)$ 살이므로 $(x+5)^2=2x^2+14$ $x^2-10x-11=0$ $(x+1)(x-11)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=11$ $x>0$이므로 $x=11$ 따라서 동생의 나이는 $11$ 살이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2(3x+1)-a=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x-a-2=0$이 중근을 가지므로 $-a-2=(\\frac{-6}{2})^2$ $∴a$=$-11$ $a$=$-11$을 $x^2-2(3x+1)-a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-6x+9=0$ $(x-3)^2=0$ $\\therefore$ $x=3$ $\\therefore$ $b=3$ $\\therefore$ $a-b$$=-11-3$$=-14$" }, { "question": "$1$ 권당 가격이 $1200$ 원인 연습장의 하루 판매량은 $20$ 권이다. $1$ 권당 가격을 $x$ 원 내리면 판매량은 $\\frac{1}{50}x$ 권이 늘어 결국 가격에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 권당 가격을 $x$ 원 내리면 가격은 $(1200-x)$ 원, 판매량은 $(20+\\frac{1}{50}x)$ 권이므로 $(1200-x)(20+\\frac{1}{50}x)=1200\\times20$ $x^2-200x=0$ $x(x-200)=0$ $ \\therefore x=0$ 또는 $x=200$ $x>0$이므로 $x=200$" }, { "question": "지면에서 초속 $45 m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이가 $(45t-5t^2) m$일 때, 공이 지면으로부터 높이가 $40 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 몇 초 동안인지 구하여라.", "answer": "$t$ 초 후 공의 높이가 $40$ $m$라 하면 $45t-5t^2=40$ $t^2-9t+8=0$ $(t-1)(t-8)=0$ $∴ t=1$ 또는 $t=8$ 따라서 높이가 $40$ $m$ 이상인 지점을 지나는 것은 $1$ 초부터 $8$ 초까지이므로 $7$ 초 동안이다." }, { "question": "예은이는 지은이보다 $6$ 살이 많다고 한다. 예은이의 나이를 제곱하면 지은이의 나이의 제곱의 $3$ 배보다 $44$ 살이 더 적어진다고 할 때, 지은이의 나이를 구하여라.", "answer": "지은이의 나이를 $x$ 살이라 하면 예은이의 나이는 $(x+6)$ 살이므로 $(x+6)^2=3x^2-44$ $x^2-6x-40=0$ $(x+4)(x-10)=0$ $∴ x=-4$ 또는 $x=10$ $x>0$이므로 $x=10$ 따라서 지은이의 나이는 $10$ 살이다." }, { "question": "폭이 $170$ $cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $3500$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ $cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(170-2x)$ cm, 세로의 길이는 $x$ $cm$이므로 $x(170-2x)=3500$ $x^2-85x+1750=0$ $(x-35)(x-50)=0$ ∴ $x=35$ 또는 $x=50$ 따라서 물받이의 높이는 $35$ $cm$ 또는 $50$ $cm$이다." }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $1cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $4$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $\\pi(x+1)^2=4\\pi x^2$ $x^2+2x+1=4x^2$ $3x^2-2x-1=0$ $(x-1)(3x+1)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ $x>0$이므로 $x=1$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $1$ $cm$이다." }, { "question": "폭이 $44cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $242 cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ $cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(44-2x)$$ cm$, 세로의 길이는 $x$ $cm$이므로 $x(44-2x)=242$ $x^2-22x+121=0$ $(x-11)^2=0$ $∴ x=11$ 따라서 물받이의 높이는 $11$ $cm$이다." }, { "question": "$1$ 인당 입장료가 $30000$ 원인 놀이공원의 하루 입장객 수는 $12000$ 명이다. $1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장객 수는 $\\frac{1}{3}x$ 명이 줄어들어 결국 입장료에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장료는 $(30000+x)$ 원, 입장객 수는 $(12000-\\frac{1}{3}x)$ 명이므로 $(30000+x)(12000-\\frac{1}{3}x)=30000\\times12000$ $x^2-6000x=0$ $x(x-6000)=0$ $∴ $$x=0$ 또는 $x=6000$ $x>0$이므로 $x=6000$" }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $4 cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $9$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $\\pi(x+4)^2=9\\pi x^2$ $x^2+8x+16=9x^2$ $x^2-x-2=0$ $(x+1)(x-2)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=2$ $x>0$이므로 $x=2$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $2$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $(2x+1)(2x-1)=x^2+5x$를 $ax^2+bx-1=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+1)(2x-1)=x^2+5x$에서 $4x^2-1=x^2+5x$ $3x^2-5x-1=0$ $a=3$, $b=-5$이므로 $ab$$=3\\times(-5)$$=-15$" }, { "question": "$1$ 일 이용료가 $5000$ 원인 독서실의 하루 이용객 수는 $600$ 명이다. $1$ 일 이용료를 $x$ 원 올리면 이용객 수는 $\\frac{1}{10}x$ 명이 줄어들어 결국 이용료에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 일 이용료를 $x$ 원 올리면 이용료는 $(5000+x)$ 원, 이용객 수는 $(600-\\frac{1}{10}x)$ 명이므로 $(5000+x)(600-\\frac{1}{10}x)=5000\\times600$ $x^2-1000x=0$ $x(x-1000)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=1000$ $x>0$이므로 $x=1000$" }, { "question": "이차방정식 $(2x+1)(2x-1)=2x+9$를 $ax^2+bx-10=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $\\frac{a}{b}$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x+1)(2x-1)=2x+9$에서 $4x^2-1=2x+9$ $4x^2-2x-10=0$ $a=4$, $b=-2$이므로 $\\frac{a}{b}$$=\\frac{4}{-2}$$=-2$" }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $6$ $cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $9$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $xcm$ 라 하면 $\\pi(x+6)^2=9\\pi x^2$ $x^2+12x+36=9x^2$ $2x^2-3x-9=0$ $(x-3)(2x+3)=0$ $∴ $$x=3$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $3cm$ 이다." }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $6cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $4$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $x$ cm라 하면 $\\pi(x+6)^2=4\\pi x^2$ $x^2+12x+36=4x^2$ $x^2-4x-12=0$ $(x+2)(x-6)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=6$ $x>0$이므로 $x=6$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $6cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 등변사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점$ A$에서 변$ BC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AH}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $35 cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}$$=x cm$라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+4) cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+4)\\rbrace\\times x=35$ $x^2+2x-35=0$ $(x-5)(x+7)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-7$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "가로, 세로의 길이가 각각 $9 m$, $12 m$인 직사각형 모양의 토마토 밭이 있다. 가로, 세로의 길이를 똑같은 길이만큼 늘였더니 넓이가 처음 토마토 밭의 넓이보다 $72 m^2$만큼 늘어났다. 세로의 길이는 처음보다 몇 $m$ 늘어났는지 구하여라.", "answer": "가로, 세로의 길이를 각각 $x m$만큼 늘였다고 하면 $(9+x)(12+x)=9\\times12+72$ $x^2+21x-72=0$ $(x-3)(x+24)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-24$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 세로의 길이는 처음보다 $3 m$ 늘어났다." }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $3$ $cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $4$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $\\pi(x+3)^2=4\\pi x^2$ $x^2+6x+9=4x^2$ $x^2-2x-3=0$ $(x+1)(x-3)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=3$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $3$ $cm$이다." }, { "question": "폭이 $24$ $cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $72$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(24-2x) cm$, 세로의 길이는 $xcm$이므로 $x(24-2x)=72$ $x^2-12x+36=0$ $(x-6)^2=0$ $∴$ $x=6$ 따라서 물받이의 높이는 $6 cm$이다." }, { "question": "$1$ 인당 입장료가 $3000$ 원인 식물원의 하루 입장객 수는 $4000$ 명이다. $1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장객 수는 $x$ 명이 줄어들어 결국 입장료에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장료는 $(3000+x)$ 원, 입장객 수는 $(4000-x)$ 명이므로 $(3000+x)(4000-x)=3000\\times4000$ $-x^2+1000x+12000000=12000000$ $x^2-1000x=0$ $x(x-1000)=0$ ∴ $x=0$ 또는 $x=1000$ $x>0$이므로 $x=1000$" }, { "question": "어떤 원의 반지름의 길이를 $2 cm$만큼 늘였더니 그 넓이는 처음 원의 넓이의 $\\frac{9}{4}$ 배가 되었다. 처음 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "처음 원의 반지름의 길이를 $xcm$라 하면 $\\pi(x+2)^2=\\frac{9}{4}\\pi x^2$ $4x^2+16x+16=9x^2$ $5x^2-16x-16=0$ $(x-4)(5x+4)=0$ $∴ $$x=4$ 또는 $x=-\\frac{4}{5}$ $x>0$이므로 $x=4$ 따라서 처음 원의 반지름의 길이는 $4cm$이다." }, { "question": "가로, 세로의 길이가 각각 $12 m$, $9 m$인 직사각형 모양의 정원이 있다. 가로, 세로의 길이를 똑같은 길이만큼 늘였더니 넓이가 처음 정원의 넓이보다 $72 m^2$만큼 늘어났다. 가로의 길이는 처음보다 몇 $m$ 늘어났는지 구하여라.", "answer": "가로, 세로의 길이를 각각 $x m$만큼 늘였다고 하면 $(12+x)(9+x)=12\\times9+72$ $x^2+21x-72=0$ $(x-3)(x+24)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-24$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 가로의 길이는 처음보다 $3m$ 늘어났다." }, { "question": "지면에서 초속 $35$ $m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이가 $(35t-5t^2) m$일 때, 공이 지면으로부터 높이가 $50$ $m$ 이상인 지점을 지나는 것은 몇 초 동안인지 구하여라.", "answer": "$t$ 초 후 공의 높이가 $50$ m라 하면 $35t-5t^2=50$ $t^2-7t+10=0$ $(t-2)(t-5)=0$ $∴ t=2$ 또는 $t=5$ 따라서 높이가 $50 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 $2$ 초부터 $5$ 초까지이므로 $3$ 초 동안이다." }, { "question": "폭이 $30 cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $108$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ cm라 하면 단면의 가로의 길이는 $(30-2x)$ cm, 세로의 길이는 $x$ cm이므로 $x(30-2x)=108$ $x^2-15x+54=0$ $(x-6)(x-9)=0$ $\\therefore x=6$ 또는 $x=9$ 따라서 물받이의 높이는 $6$ cm 또는 $9$ cm이다." }, { "question": "폭이 $32$ cm인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $128$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $xcm$ 라 하면 단면의 가로의 길이는 $(32-2x)cm$ , 세로의 길이는 $xcm$ 이므로 $x(32-2x)=128$ $x^2-16x+64=0$ $(x-8)^2=0$ $∴$ $x=8$ 따라서 물받이의 높이는 $8cm$ 이다." }, { "question": "민수는 진수보다 $4$ 살이 적다고 한다. 진수의 나이를 제곱하면 민수의 나이의 제곱의 $2$ 배보다 $32$ 살이 더 적어진다고 할 때, 진수의 나이를 구하여라.", "answer": "진수의 나이를 $x$ 살이라 하면 민수의 나이는 $(x-4)$ 살이므로 $x^2=2(x-4)^2-32$ $x^2-16x=0$ $x(x-16)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=16$ $x>4$이므로 $x=16$ 따라서 진수의 나이는 $16$ 살이다." }, { "question": "지면에서 초속 $40 m$로 똑바로 위로 던진 물체의 $t$ 초 후의 높이가 $(40t-5t^2) m$일 때, 물체가 지면으로부터 높이가 $60m$ 이상인 지점을 지나는 것은 몇 초 동안인지 구하여라.", "answer": "$t$ 초 후 물체의 높이가 $60 m$라 하면 $40t-5t^2=60$ $t^2-8t+12=0$ $(t-2)(t-6)=0$ $∴$ $t=2$ 또는 $t=6$ 따라서 높이가 $60 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 $2$ 초부터 $6$ 초까지이므로 $4$ 초 동안이다." }, { "question": "폭이 $40$ $cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $200$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ cm라 하면 단면의 가로의 길이는 $(40-2x)$ $cm$, 세로의 길이는 $x$ $cm$이므로 $x(40-2x)=200$ $x^2-20x+100=0$ $(x-10)^2=0$ $∴$ $x=10$ 따라서 물받이의 높이는 $10$ $cm$이다." }, { "question": "폭이 $60$ $cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $450$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(60-2x) cm$, 세로의 길이는 $x cm$이므로 $x(60-2x)=450$ $x^2-30x+225=0$ $(x-15)^2=0$ $∴ x=15$ 따라서 물받이의 높이는 $15cm$이다." }, { "question": "폭이 $36 cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $162$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(36-2x) cm$, 세로의 길이는 $x cm$이므로 $x(36-2x)=162$ $x^2-18x+81=0$ $(x-9)^2=0$ $∴ x=9$ 따라서 물받이의 높이는 $9 cm$이다." }, { "question": "가로, 세로의 길이가 각각 $10 m$, $15 m$인 직사각형 모양의 화단이 있다. 가로, 세로의 길이를 똑같은 길이만큼 늘였더니 넓이가 처음 화단의 넓이보다 $84 m^2$만큼 늘어났다. 가로의 길이는 처음보다 몇 $m$ 늘어났는지 구하여라.", "answer": "가로, 세로의 길이를 각각 $xm$ 만큼 늘였다고 하면 $(10+x)(15+x)=10\\times15+84$ $x^2+25x-84=0$ $(x-3)(x+28)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-28$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 가로의 길이는 처음보다 $3m$ 늘어났다." }, { "question": "폭이 $48 cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $288$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ $cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(48-2x)$ $cm$, 세로의 길이는 $x$ $cm$이므로 $x(48-2x)=288$ $x^2-24x+144=0$ $(x-12)^2=0$ $∴ x=12$ 따라서 물받이의 높이는 $12$ $cm$이다." }, { "question": "지면에서 초속 $55 m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이가 $(55t-5t^2) m$일 때, 공이 지면으로부터 높이가 $120 m$ 이상인 지점을 지나는 것은 몇 초 동안인지 구하여라.", "answer": "$t$ 초 후 공의 높이가 $120$ $m$라 하면 $55t-5t^2=120$ $t^2-11t+24=0$ $(t-3)(t-8)=0$ $∴$ $t=3$ 또는 $t=8$ 따라서 높이가 $120$ $m$ 이상인 지점을 지나는 것은 $3$ 초부터 $8$ 초까지이므로 $5$ 초 동안이다." }, { "question": "폭이 $70 cm$인 철판의 양쪽을 같은 길이만큼 직각으로 접어 올려 다음 그림과 같이 색칠한 부분인 단면의 넓이가 $600$ $cm^2$인 물받이를 만들려고 한다. 이때 물받이의 높이를 구하여라.", "answer": "접어 올린 길이를 $x$ $ cm$라 하면 단면의 가로의 길이는 $(70-2x)$ $ cm$, 세로의 길이는 $x$ $ cm$이므로 $x(70-2x)=600$ $x^2-35x+300=0$ $(x-15)(x-20)=0$ $∴$ $x=15$ 또는 $x=20$ 따라서 물받이의 높이는 $15$ $ cm$ 또는 $20$ $ cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-14x+49=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $4x^2-4x+1=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $a-2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-14x+49=0$에서 $(x-7)^2=0$ $x=7$이므로 $a=7$ $4x^2-4x+1=0$에서 $(2x-1)^2=0$ $x=\\frac{1}{2}$이므로 $b=\\frac{1}{2}$ ∴ $a-2b$$=7-2\\times\\frac{1}{2}$$=6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-ax+b=0$을 $(x+p)^2=0$의 꼴로 나타내었다. $a+b=24$일 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$, $a$, $b$는 수)", "answer": "$x^2-ax+b=(x+p)^2=x^2+2px+p^2$이므로 $a=-2p$, $b=p^2$ 이때 $a+b=24$이므로 $-2p+p^2=24$ $p^2-2p-24=0$ $(p+4)(p-6)=0$ $∴ p=-4$ 또는 $p=6$ $p>0$이므로 $p=6$" }, { "question": "이차방정식 $(x+1)(2x+3)=7x-6$을 $ax^2+bx+9=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+1)(2x+3)=7x-6$에서 $2x^2+5x+3=7x-6$ $2x^2-2x+9=0$ $a=2$, $b=-2$이므로 $ab$$=2\\times(-2)$$=-4$" }, { "question": "이차방정식 $3(x+a)^2-15=0$의 해가 $x=1\\pm\\sqrt{b}$일 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$3(x+a)^2-15=0$에서 $(x+a)^2=5$ $x+a=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=-a\\pm\\sqrt{5}$ $a=-1$$,$ $b=5$이므로 $a-b$$=-1-5$$=-6$" }, { "question": "이차방정식 $(x+a)^2=3$의 해가 $x=2\\pm\\sqrt{b}$일 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$(x+a)^2=3$에서 $x+a=\\pm\\sqrt{3}$ $∴x=-a\\pm\\sqrt{3}$ $a=-2$, $b=3$이므로 $ab=(-2)\\times3=-6$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)^2=b(b>0)$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{7}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$(x-1)^2=b$에서 $x-1=\\pm\\sqrt{b}$ $∴ x=1\\pm\\sqrt{b}$ $a=1$, $b=7$이므로 $a+b$$=1+7$$=8$" }, { "question": "이차방정식 $2(x-a)^2=14$의 해가 $x=3\\pm\\sqrt{b}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$2(x-a)^2=14$에서 $(x-a)^2=7$ $x-a=\\pm\\sqrt{7}$ $∴$ $x=a\\pm\\sqrt{7}$ $a=3$$,$ $b=7$이므로 $a+b$$=3+7$$=10$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2(2x-3)+2a=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x+2a-6=0$이 중근을 가지므로 $2a-6(\\frac{4}{2})^2$ $∴ a=5$ $a=5$를 $x^2+2(2x-3)+2a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+4x+4=0$ $(x+2)^2=0$ $∴ x=-2$ $∴ b=-2$ $∴ a+b$$=5+(-2)$$=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+25=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $4x^2+12x+9=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $a+4b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-10x+25=0$에서 $(x-5)^2=0$ $x=5$이므로 $a=5$ $4x^2+12x+9=0$에서 $(2x+3)^2=0$ $x=-\\frac{3}{2}$이므로 $b=-\\frac{3}{2}$ $∴$ $a+4b$$=5+4\\times(-\\frac{3}{2})$$=-1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-18x+81=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $9x^2+6x+1=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $a-3b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-18x+81=0$에서 $(x-9)^2=0$ $x=9$이므로 $a=9$ $9x^2+6x+1=0$에서 $(3x+1)^2=0$ $x=-\\frac{1}{3}$이므로 $b=-\\frac{1}{3}$ $∴$ $a-3b$$=9-3\\times(-\\frac{1}{3})$$=10$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4(x-3)-2a=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x-2a-12=0$이 중근을 가지므로 $-2a-12=(\\frac{4}{2})^2$ $∴$ $a=-8$ $a=-8$을 $x^2+4(x-3)-2a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+4x+4=0$ $(x+2)^2=0$ $∴$ $x=-2$ $∴$ $b=-2$ $∴$ $a-b$$=(-8)-(-2)$$=-6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4(2x-1)-5a=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+8x-5a-4=0$이 중근을 가지므로 $-5a-4=(\\frac{8}{2})^2$ $∴$ $a=-4$ $a=-4$를 $x^2+4(2x-1)-5a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+8x+16=0$ $(x+4)^2=0$ $∴$ $x=-4$ $∴$ $b=-4$ $∴$ $a+b$$=(-4)+(-4)$$=-8$" }, { "question": "이차방정식 $(x+m)^2=5$의 해가 $x=\\frac{1}{3}\\pm\\sqrt{n}$일 때, $mn$의 값을 구하여라. (단, $m$, $n$은 유리수)", "answer": "$(x+m)^2=5$에서 $x+m=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=-m\\pm\\sqrt{5}$ $m=-\\frac{1}{3}$$,$ $n=5$이므로 $mn$$=(-\\frac{1}{3})\\times5$$=-\\frac{5}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $(x+5)(2x-1)=x^2+1$을 $x^2+bx+c=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x+5)(2x-1)=x^2+1$에서 $2x^2+9x-5=x^2+1$ $x^2+9x-6=0$ $b=9$, $c=-6$이므로 $b-c$$=9-(-6)$$=15$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+14x+49=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $25x^2+10x+1=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $5ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+14x+49=0$에서 $(x+7)^2=0$ $x=-7$이므로 $a=-7$ $25x^2+10x+1=0$에서 $(5x+1)^2=0$ $x=-\\frac{1}{5}$이므로 $b=-\\frac{1}{5}$ $∴ 5ab=5\\times(-7)\\times(-\\frac{1}{5})=7$" }, { "question": "이차방정식 $(2x-3)(4x+1)=5x(x+2)$를 $3x^2+bx+c=0$의 꼴로 나타낼 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2x-3)(4x+1)=5x(x+2)$에서 $8x^2-10x-3=5x^2+10x$ $3x^2-20x-3=0$ $b=-20$, $c=-3$이므로 $bc$$=(-20)\\times(-3)$$=60$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2(5x-1)-a=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-10x-a+2=0$이 중근을 가지므로 $-a+2=(\\frac{-10}{2})^2$ $∴ a=-23$ $a=-23$을 $x^2-2(5x-1)-a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-10x+25=0$ $(x-5)^2=0$ $∴ x=5$ $∴ b=5$ $∴ a-b$$=-23-5$$=-28$" }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 동아리 회원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $78$일 때, 동아리 회원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=78$이므로 $n^2-n-156=0$ $(n+12)(n-13)=0$ $∴$ $n=-12$ 또는 $n=13$ $n>0$이므로 $n=13$ 따라서 동아리 회원은 $13$ 명이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+9=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $64x^2-16x+1=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $a+8b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+9=0$에서 $(x-3)^2=0$ $x=3$이므로 $a=3$ $64x^2-16x+1=0$에서 $(8x-1)^2=0$ $x=\\frac{1}{8}$이므로 $b=\\frac{1}{8}$ $\\therefore$ $a+8b$$=3+8\\times\\frac{1}{8}$$=4$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+16=0$이 $x=a$를 중근으로 갖고, 이차방정식 $4x^2+20x+25=0$이 $x=b$를 중근으로 가질 때, $a+2b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-8x+16=0$에서 $(x-4)^2=0$ $x=4$이므로 $a=4$ $4x^2+20x+25=0$에서 $(2x+5)^2=0$ $x=-\\frac{5}{2}$이므로 $b=-\\frac{5}{2}$ $∴$ $a+2b$$=4+2\\times(-\\frac{5}{2})$$=-1$" }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 피구 선수 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $120$일 때, 피구 선수는 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=120$이므로 $n^2-n-240=0$ $(n+15)(n-16)=0$ ∴ $n=-15$ 또는 $n=16$ $n>0$이므로 $n=16$ 따라서 피구 선수는 $16$ 명이다." }, { "question": "이차방정식 $0.2x^2-0.3x-2.7=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax+b=0$의 해를 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$0.2x^2-0.3x-2.7=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-3x-27=0$ $(x+3)(2x-9)=0$ $\\therefore x=-3$ 또는 $x=\\frac{9}{2}$ 이때 $a>b$이므로 $a=\\frac{9}{2}$, $b=-3$ $ax+b=0$에서 $\\frac{9}{2}x-3=0$이므로 $x=\\frac{2}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $4(x+a)^2-8=0$의 해가 $x=-2\\pm\\sqrt{b}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", "answer": "$4(x+a)^2-8=0$에서 $(x+a)^2=2$ $x+a=\\pm\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $x=-a\\pm\\sqrt{2}$ $a=2$$,$ $b=2$이므로 $a+b$$=2+2$$=4$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+20=0$을 $(x-a)^2=b$의 꼴로 나타내어 풀었더니 $x=c$ 또는 $x=d$가 근이 되었다. 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ad-bc$의 값을 구하여라. (단, $c0$, $a$, $b$는 수)", "answer": "$x^2+ax+b=(x+p)^2=x^2+2px+p^2$이므로 $a=2p$, $b=p^2$ 이때 $a+b=35$이므로 $2p+p^2=35$ $p^2+2p-35=0$ $(p-5)(p+7)=0$ $∴$ $p=5$ 또는 $p=-7$ $p>0$이므로 $p=5$" }, { "question": "이차방정식 $0.2x^2-0.3x-0.9=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax-b=0$의 해를 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$0.2x^2-0.3x-0.9=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-3x-9=0$ $(x-3)(2x+3)=0$ $ \\therefore x=3$ 또는 $x=-\\frac{3}{2}$ 이때 $a>b$이므로 $a=3$, $b=-\\frac{3}{2}$ $ax-b=0$에서 $3x+\\frac{3}{2}=0$이므로 $x=-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+14x+42=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타내어 풀었더니 $x=c$ 또는 $x=d$가 근이 되었다. 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ad+bc$의 값을 구하여라. (단, $c0$, $a$, $b$는 수)", "answer": "$x^2+ax+b=(x+p)^2=x^2+2px+p^2$이므로 $a=2p$, $b=p^2$ 이때 $a+b=15$이므로 $2p+p^2=15$ $p^2+2p-15=0$ $(p-3)(p+5)=0$ $∴$ $p=3$ 또는 $p=-5$ $p>0$이므로 $p=3$" }, { "question": "이차방정식 $(3k+1)x^2-(3k+1)x+1=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(3k+1)x^2-(3k+1)x+1=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace-(3k+1)\\rbrace^2-4\\times(3k+1)\\times1=0$ $3k^2-2k-1=0$ $(k-1)(3k+1)=0$ $∴ k=1$ 또는 $k=-\\frac{1}{3}$ $(3k+1)x^2-(3k+1)x+1=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $3k+1≠0$ 즉, $k≠$$-\\frac{1}{3}$이므로 $k=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$을 $(x+p)^2=0$의 꼴로 나타내었다. $a+b=80$일 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p<0$, $a$, $b$는 수)", "answer": "$x^2+ax+b=(x+p)^2=x^2+2px+p^2$이므로 $a=2p$, $b=p^2$ 이때 $a+b=80$이므로 $2p+p^2=80$ $p^2+2p-80=0$ $(p-8)(p+10)=0$ $∴ p=8$ 또는 $p=-10$ $p<0$이므로 $p=-10$" }, { "question": "이차방정식 $(m+3)x^2-(m+3)x-1=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$(m+3)x^2-(m+3)x-1=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace-(m+3)\\rbrace^2-4\\times(m+3)\\times(-1)=0$ $m^2+10m+21=0$ $(m+3)(m+7)=0$ $∴ m=-3$ 또는 $m=-7$ $(m+3)x^2-(m+3)x-1=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $m+3 \\ne 0$ 즉, $m \\ne -3$이므로 $m=-7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a+4)x-2=0$의 한 근은 $x=1$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $(1-b)x^2+x+6b=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $x^2+(a+4)x-2=0$에 대입하여 정리하면 $a+3=0$ $∴ a=-3$ $a=-3$을 $x^2+(a+4)x-2=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+x-2=0$ $(x-1)(x+2)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-2$ 따라서 다른 한 근은 $x=-2$이므로 $x=-2$를 $(1-b)x^2+x+6b=0$에 대입하여 정리하면 $2b+2=0$ $∴ b=-1$ $∴ ab=(-3)\\times(-1)=3$" }, { "question": "이차방정식 $0.03x^2+0.07x-0.2=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax-b=0$의 해를 구하여라. (단, $a0$ $-4m-8>0$ $∴ m<-2$ $(m^2+3)x^2+2(m-3)x+3=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace2(m-3)\\rbrace^2-4\\times(m^2+3)\\times3=0$ $m^2+3m=0$ $m(m+3)=0$ $m=0$ 또는 $m=-3$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $-3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+23+m=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $(m^2+4)x^2+2(m+6)x+5=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-10x+23+m=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-10)^2-4\\times1\\times(23+m)>0$ $-4m+8>0$ $∴ m<2$ $(m^2+4)x^2+2(m+6)x+5=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace2(m+6)\\rbrace^2-4\\times(m^2+4)\\times5=0$ $m^2-3m-4=0$ $(m+1)(m-4)=0$ $m=-1$ 또는 $m=4$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $-1$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+12x+30=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타내어 풀었더니 $x=c$ 또는 $x=d$가 근이 되었다. 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ad+bc$의 값을 구하여라. (단, $c1$이므로 $x=21$ 따라서 출발 날짜는 $20$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $(3x-1)(x-1)=9(x-1)$의 두 근 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하여라.", "answer": "$(3x-1)(x-1)=9(x-1)$에서 $3x^2-4x+1=9x-9$ $3x^2-13x+10=0$ $(x-1)(3x-10)=0$ $ \\therefore x=1$ 또는 $x=\\frac{10}{3}$ 따라서 두 근 사이에 있는 모든 정수는 $2$, $3$이므로 구하는 합은 $2+3=5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x-m+6=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $m^2x^2+2(m+3)x+4=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-4x-m+6=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-4)^2-4\\times1\\times(-m+6)>0$ $4m-8>0$ $∴ m>2$ $m^2x^2+2(m+3)x+4=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace2(m+3)\\rbrace^2-4\\times m^2\\times4=0$ $m^2-2m-3=0$ $(m+1)(m-3)=0$ $m=-1$ 또는 $m=3$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+15-m=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $(m+5)x^2+4(m+2)x+16=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-8x+15-m=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-8)^2-4\\times1\\times(15-m)>0$ $4m+4>0$ $∴$ $m>-1$ $(m+5)x^2+4(m+2)x+16=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace4(m+2)\\rbrace^2-4\\times(m+5)\\times16=0$ $m^2-16=0$ $m^2=16$ $m=4$ 또는 $m=-4$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $4$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+m+7=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $m^2x^2+(m+3)x+1=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+m+7=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $(-6)^2-4\\times1\\times(m+7)>0$ $-4m+8>0$ $∴$ $m<2$ $m^2x^2+(m+3)x+1=0$이 중근을 가지려면 $(m+3)^2-4\\times m^2\\times1=0$ $m^2-2m-3=0$ $(m+1)(m-3)=0$ $m=-1$ 또는 $m=3$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $-1$이다." }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 산악회 회원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $45$일 때, 산악회 회원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=45$이므로 $n^2-n-90=0$ $(n+9)(n-10)=0$ $∴$ $n=-9$ 또는 $n=10$ $n>0$이므로 $n=10$ 따라서 산악회 회원은 $10$ 명이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a-3)x-a-2=0$의 한 근은 $x=-3$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $x^2-(3b-5)x+b+1=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-3$을 $x^2+(a-3)x-a-2=0$에 대입하여 정리하면 $-4a+16=0$ $∴ $$a=4$ $a=4$를 $x^2+(a-3)x-a-2=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+x-6=0$ $(x-2)(x+3)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=-3$ 따라서 다른 한 근은 $x=2$이므로 $x=2$를 $x^2-(3b-5)x+b+1=0$에 대입하여 정리하면 $-5b+15=0$ $∴ $$b=3$ $∴$ $a+b$$=4+3$$=7$" }, { "question": "이차방정식 $(4m-1)x^2-(4m-1)x+1=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$(4m-1)x^2-(4m-1)x+1=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace-(4m-1)\\rbrace^2-4\\times(4m-1)\\times1=0$ $16m^2-24m+5=0$ $(4m-5)(4m-1)=0$ ∴ $m=\\frac{5}{4}$ 또는 $m=\\frac{1}{4}$ $(4m-1)x^2-(4m-1)x+1=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $4m-1$ ≠ $0$ 즉, $m$.≠ $\\frac{1}{4}$이므로 $m=\\frac{5}{4}$" }, { "question": "은지네 학교는 수학여행을 $2$ 박 $3$ 일 동안 가기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $365$였을 때, 수학여행의 출발 날짜를 구하여라.", "answer": "수학여행 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=365$ $x^2-121=0$ $(x+11)(x-11)=0$ $∴$ $x=-11$ 또는 $x=11$ $x>1$이므로 $x=11$ 따라서 출발 날짜는 $10$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $(2k+1)x^2+(2k+1)x-1=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(2k+1)x^2+(2k+1)x-1=0$이 중근을 가지려면 $(2k+1)^2-4\\times(2k+1)\\times(-1)=0$ $4k^2+12k+5=0$ $(2k+5)(2k+1)=0$ ∴ $k=-\\frac{5}{2}$ 또는 $k=-\\frac{1}{2}$ $(2k+1)x^2+(2k+1)x-1=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $2k+1$ $≠$ $0$ 즉, $k$ $≠$ $-\\frac{1}{2}$이므로 $k=-\\frac{5}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $0.06x^2+0.07x-0.2=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax-b=0$의 해를 구하여라. (단, $a>b$)", "answer": "$0.06x^2+0.07x-0.2=0$의 양변에 $100$을 곱하면 $6x^2+7x-20=0$ $(2x+5)(3x-4)=0$ $∴$ $x=-\\frac{5}{2}$ 또는 $x=\\frac{4}{3}$ 이때 $a>b$이므로 $a=\\frac{4}{3}$, $b=-\\frac{5}{2}$ $ax-b=0$에서 $\\frac{4}{3}x+\\frac{5}{2}=0$이므로 $x=-\\frac{15}{8}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x+3+m=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $m^2x^2+2(4-m)x+9=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x+3+m=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $4^2-4\\times1\\times(3+m)>0$ $-4m+4>0$ ∴ $m<1$ $m^2x^2+2(4-m)x+9=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace2(4-m)\\rbrace^2-4\\times m^2\\times9=0$ $m^2+m-2=0$ $(m-1)(m+2)=0$ $m=1$ 또는 $m=-2$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $-2$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x+3-m=0$은 서로 다른 두 개의 근을 갖고, 이차방정식 $(m^2+2)x^2+2(m+4)x+3=0$은 중근을 갖는다. 이때 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+2x+3-m=0$이 서로 다른 두 근을 가지려면 $2^2-4\\times1\\times(3-m)>0$ $4m-8>0$ $∴$ $m>2$ $(m^2+2)x^2+2(m+4)x+3=0$이 중근을 가지려면 $\\lbrace2(m+4)\\rbrace^2-4\\times(m^2+2)\\times3=0$ $m^2-4m-5=0$ $(m+1)(m-5)=0$ $m=-1$ 또는 $m=5$ 따라서 두 조건을 만족시키는 수 $m$의 값은 $5$이다." }, { "question": "소영이네 학교는 수련회를 $2$ 박 $3$ 일 동안 하기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $245$였을 때, 수련회의 출발 날짜를 구하여라.", "answer": "수련회 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=245$ $x^2-81=0$ $(x+9)(x-9)=0$ $\\therefore$ $x=-9$ 또는 $x=9$ $x>1$이므로 $x=9$ 따라서 출발 날짜는 $8$ 일이다." }, { "question": "$n명$ 중 대표 $2명$을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 야구 동호회원 중 대표 $2명$을 뽑는 경우의 수가 $136$일 때, 야구 동호회원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=136$이므로 $n^2-n-272=0$ $(n+16)(n-17)=0$ $∴ n=-16$ 또는 $n=17$ $n>0$이므로 $n=17$ 따라서 야구 동호회원은 $17$ 명이다." }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 동아리 회원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $210$일 때, 동아리 회원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=210$이므로 $n^2-n-420=0$ $(n+20)(n-21)=0$ $∴ n=-20$ 또는 $n=21$ $n>0$이므로 $n=21$ 따라서 동아리 회원은 $21$ 명이다." }, { "question": "이차방정식 $5x^2-2x-7=0$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, $\\left\\vert a+2b\\right \\vert$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$5x^2-2x-7=0$에서 $(x+1)(5x-7)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{7}{5}$ $a=-1$, $b=\\frac{7}{5}$일 때, $\\vert a+2b\\vert=\\vert-1+2\\times\\frac{7}{5}\\vert=\\vert\\frac{9}{5}\\vert=\\frac{9}{5}$ $a=\\frac{7}{5}$, $b=-1$일 때, $\\vert a+2b\\vert=\\vert\\frac{7}{5}+2\\times(-1)\\vert=\\vert-\\frac{3}{5}\\vert=\\frac{3}{5}$ 따라서 $\\vert a+2b\\vert$의 최솟값은 $\\frac{3}{5}$이다." }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 동아리 회원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $91$일 때, 동아리 회원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=91$이므로 $n^2-n-182=0$ $(n+13)(n-14)=0$ $∴$ $n=-13$ 또는 $n=14$ $n>0$이므로 $n=14$ 따라서 동아리 회원은 $14$ 명이다." }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 모둠원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $36$일 때, 모둠원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=36$이므로 $n^2-n-72=0$ $(n+8)(n-9)=0$ $∴ $$n=-8$ 또는 $n=9$ $n>0$이므로 $n=9$ 따라서 모둠원은 $9$ 명이다." }, { "question": "가로의 길이가 세로의 길이보다 $3 cm$ 더 긴 직사각형의 넓이가 $180$ $cm^2$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "세로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 가로의 길이는 $(x+3)$ $cm$이므로 $x(x+3)=180$ $x^2+3x-180=0$ $(x-12)(x+15)=0$ $∴ x=12$ 또는 $x=-15$ $x>0$이므로 $x=12$ 따라서 세로의 길이는 $12$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $(x-1)^2=3x-5$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a1$이므로 $x=4$ 따라서 시작 날짜는 $3$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a-3)x-3=0$의 한 근은 $x=1$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $x^2+(2b-1)x+b-2=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=1$을 $x^2+(a-3)x-3=0$에 대입하여 정리하면 $a-5=0$ $ \\therefore a=5$ $a=5$를 $x^2+(a-3)x-3=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $ \\therefore x=1$ 또는 $x=-3$ 따라서 다른 한 근은 $x=-3$이므로 $x=-3$을 $x^2+(2b-1)x+b-2=0$에 대입하여 정리하면 $-5b+10=0$ $ \\therefore b=2$ $ \\therefore a+b$$=5+2$$=7$" }, { "question": "세형이네 학교 운동부는 합숙 훈련을 $3$ 일 동안 하기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $110$이었을 때, 합숙 훈련의 시작 날짜를 구하여라.", "answer": "합숙 훈련 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=110$ $x^2-36=0$ $(x+6)(x-6)=0$ $∴ x=-6$ 또는 $x=6$ $x>1$이므로 $x=6$ 따라서 시작 날짜는 $5$ 일이다." }, { "question": "세로의 길이가 가로의 길이보다 $3 cm$ 더 긴 직사각형의 넓이가 $40$ $cm^2$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$ cm라 하면 세로의 길이는 $(x+3)$ cm이므로 $x(x+3)=40$ $x^2+3x-40=0$ $(x-5)(x+8)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=-8$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 가로의 길이는 $5$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $(m+1)x^2+(m+1)x+2=0$이 중근을 갖도록 하는 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$(m+1)x^2+(m+1)x+2=0$이 중근을 가지려면 $(m+1)^2-4\\times(m+1)\\times2=0$ $m^2-6m-7=0$ $(m+1)(m-7)=0$ $∴ m=-1$ 또는 $m=7$ $(m+1)x^2+(m+1)x+2=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $m+1≠0$ 즉, $m ≠ -1$이므로 $m=7$" }, { "question": "이차방정식 $0.02x^2+0.07x-0.3=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax+b=0$의 해를 구하여라. (단, $ab$)", "answer": "$0.03x^2-0.22x+0.35=0$의 양변에 $100$을 곱하면 $3x^2-22x+35=0$ $(x-5)(3x-7)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=\\frac{7}{3}$ 이때 $a>b$이므로 $a=5$, $b=\\frac{7}{3}$ $ax-b=0$에서 $5x-\\frac{7}{3}=0$이므로 $x=\\frac{7}{15}$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{3}(x+a)^2=b$의 해가 $x=2\\pm\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{3}(x+a)^2=b$에서 $(x+a)^2=3b$ $x+a=\\pm\\sqrt{3b}$ $∴ x=-a\\pm\\sqrt{3b}$ $-a=2$, $3b=6$이므로 $a=-2$, $b=2$ $∴ ab$$=(-2)\\times2$$=-4$" }, { "question": "이차방정식 $(x-5)(7x+5)=3(x-5)$의 두 근 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하여라.", "answer": "$(x-5)(7x+5)=3(x-5)$에서 $7x^2-30x-25=3x-15$ $7x^2-33x-10=0$ $(x-5)(7x+2)=0$ $∴$$x=5$ 또는 $x=-\\frac{2}{7}$ 따라서 두 근 사이에 있는 모든 정수는 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$이므로 구하는 합은 $0+1+2+3+4=10$" }, { "question": "$n$ 명 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수는 $\\frac{n(n-1)}{2}$이다. 농구 동아리원 중 대표 $2$ 명을 뽑는 경우의 수가 $105$일 때, 농구 동아리원은 몇 명인지 구하여라.", "answer": "$\\frac{n(n-1)}{2}=105$이므로 $n^2-n-210=0$ $(n+14)(n-15)=0$ $∴$ $n=-14$ 또는 $n=15$ $n>0$이므로 $n=15$ 따라서 농구 동아리원은 $15$ 명이다." }, { "question": "가로의 길이가 세로의 길이보다 $5 cm$ 더 긴 직사각형의 넓이가 $84cm^2$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", "answer": "세로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 가로의 길이는 $(x+5)$ $cm$이므로 $x(x+5)=84$ $x^2+5x-84=0$ $(x-7)(x+12)=0$ $\\\\$ $∴$ $x=7$ 또는 $x=-12$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 세로의 길이는 $7$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+6x+a-2=0$이 중근 $x=m$을 갖고, 이차방정식 $x^2-14x+b=0$이 중근 $x=n$을 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $m$의 값을 각각 구하여라. (2) $b$, $n$의 값을 각각 구하여라. (3) $a+b+m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+6x+a-2=0$이 중근을 가지므로 $a-2=(\\frac{6}{2})^2=9$ $∴ a=11$ $x^2+6x+9=0$에서 $(x+3)^2=0$ $∴ x=-3$ $∴ m=-3$ (2) $x^2-14x+b=0$이 중근을 가지므로 $b=(\\frac{-14}{2})^2=49$ $x^2-14x+49=0$에서 $(x-7)^2=0$ $∴ x=7$ $∴ n=7$ (3) $a+b+m-n$$=11+49+(-3)-7$$=50$" }, { "question": "재이네 가족은 여행을 $2$ 박 $3$ 일 동안 가기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $194$였을 때, 여행의 출발 날짜를 구하여라.", "answer": "여행 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=194$ $x^2-64=0$ $(x+8)(x-8)=0$ $∴ x=-8$ 또는 $x=8$ $x>1$이므로 $x=8$ 따라서 출발 날짜는 $7$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $(x+4)(x-3)=2(x-3)$의 두 근 사이에 있는 모든 자연수의 곱을 구하여라.", "answer": "$(x+4)(x-3)=2(x-3)$에서 $x^2+x-12=2x-6$ $x^2-x-6=0$ $(x+2)(x-3)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=3$ 따라서 두 근 사이에 있는 모든 자연수는 $1$, $2$이므로 구하는 곱은 $1\\times2=2$" }, { "question": "이차방정식 $(x+2)^2=x+14$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a0$이므로 $x=5$ 따라서 가로의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $4x^2+12x-7=0$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, $\\left\\vert 2a+b \\right\\vert$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+12x-7=0$에서 $(2x+7)(2x-1)=0$ $\\therefore x=-\\frac{7}{2}$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$ $a=-\\frac{7}{2}$, $b=\\frac{1}{2}$일 때,$|2a+b|=|2\\times (-\\frac{7}{2})+\\frac{1}{2}|=|-\\frac{13}{2}|=\\frac{13}{12} a= -\\frac{1}{2},b=-\\frac{7}{2}$ 일 때,$ |2a+b|=|2\\times \\frac{1}{2}+(-\\frac{7}{2})|=|-\\frac{5}{2}|=\\frac{5}{2} $ 따라서 $|2a+b|의 최댓값은 \\frac{13}{2}이다.$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x=3(x+4)$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a>b$) (2) 이차방정식 $2x^2+bx+a+b=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+2x=3(x+4)$에서 $x^2+2x=3x+12$ $x^2-x-12=0$ $(x+3)(x-4)=0$ $∴ $$x=-3$ 또는 $x=4$ $a>b$이므로 $a=4$$,$ $b=-3$ (2)$a=4$, $b=-3$을 $2x^2+bx+a+b=0$에 대입하여 정리하면 $2x^2-3x+1=0$에서 $(x-1)(2x-1)=0$ $∴ $$x=1$ 또는 $x=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $(2x+1)(2x-3)=2(2x+1)$의 두 근 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하여라.", "answer": "$(2x+1)(2x-3)=2(2x+1)$에서 $4x^2-4x-3=4x+2$ $4x^2-8x-5=0$ $(2x-5)(2x+1)=0$ $∴ x=\\frac{5}{2}$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ 따라서 두 근 사이에 있는 모든 정수는 $0$, $1$, $2$이므로 구하는 합은 $0+1+2=3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+3kx+k-1=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=3$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+3kx+k-1=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k-1)x+3k=0$ 위의 식에 $x=3$을 대입하여 정리하면 $6k+6=0$ $∴ k=-1$ (2) 처음 방정식은 $x^2-3x-2=0$이므로 $x=$$\\frac{-(-3)\\pm\\sqrt{(-3)^2-4\\times1\\times(-2)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{3\\pm\\sqrt{17}}{2}$" }, { "question": "두 이차방정식 $x^2+mx+5=0$, $2x^2-x+n=0$이 모두 $x=1$을 해로 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $m$, $n$은 수) (1) $m$의 값을 구하여라. (2) $n$의 값을 구하여라. (3) 이차방정식 $x^2+mx+n=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x=1$을 $x^2+mx+5=0$에 대입하여 정리하면 $m+6=0$ $∴ m=-6$ (2) $x=1$을 $2x^2-x+n=0$에 대입하여 정리하면 $n+1=0$ $∴ n=-1$ (3) $x^2-6x-1=0$에서 $x$=$\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}=\\frac{6\\pm\\sqrt{40}}{2}=3\\pm\\sqrt{10}$" }, { "question": "윗변과 아랫변의 길이의 비가 $1 : 3$이고 높이는 윗변의 길이보다 $5 cm$ 더 긴 사다리꼴의 넓이가 $28 cm^2$일 때, 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 윗변의 길이를 $x cm$라 하면 아랫변의 길이는 $3x cm$, 높이는 $(x+5) cm$이다. 사다리꼴의 넓이가 $28 cm^2$이므로 $\\frac{1}{2}\\times(x+3x)\\times(x+5)=28$에서 $x^2+5x-14=0$ $(x-2)(x+7)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=-7$ $x>0$이므로 $x=2$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $2 cm$이다. 윗변의 길이가 $2 cm$이면 아랫변의 길이가 $6 cm$, 높이가 $7 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(2+6)\\times7=28$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "서연이는 가족 여행을 $2$ 박 $3$ 일 동안 가기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $149$였을 때, 가족 여행의 출발 날짜를 구하여라.", "answer": "가족 여행 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=149$ $x^2-49=0$ $(x+7)(x-7)=0$ $∴ x=-7$ 또는 $x=7$ $x>1$이므로 $x=7$ 따라서 출발 날짜는 $6$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x+1=0$의 서로 다른 두 근의 합이 이차방정식 $2x^2+3x+3k-5=0$의 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+4x+1=0$에서 $x=\\frac{-4\\pm{\\sqrt{4^2-4\\times1\\times1}}}{2\\times1}=\\frac{\\sqrt{-4\\pm{\\sqrt{12}}}}{2}$ $=-2\\pm\\sqrt{3}$ 두 근의 합은 $(-2+\\sqrt{3})+(-2-\\sqrt{3})$$=-4$ $x=-4$를 $2x^2+3x+3k-5=0$에 대입하여 정리하면 $3k+15=0$ $∴ k=-5$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+8x+14=0$의 서로 다른 두 근의 합이 이차방정식 $x^2+4x+3k+1=0$의 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+8x+14=0$에서 $x=\\frac{-8\\pm\\sqrt{8^2-4\\times1\\times14}}{2\\times1} = \\frac{-8\\pm\\sqrt{8}}{2}=-4\\pm\\sqrt{2}$ 두 근의 합은 $(-4+\\sqrt{2})+(-4-\\sqrt{2})$$=-8$ $x=-8$을 $x^2+4x+3k+1=0$에 대입하여 정리하면 $3k+33=0$ $∴$ $k=-11$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+a=0$이 중근 $x=p$를 갖고, 이차방정식 $x^2+4x+b=0$이 중근 $x=q$를 가질 때, 다음 물음에 답하여라. ($단, a, b는 수$) (1) $a$, $p$의 값을 각각 구하여라. (2)$b$, $q$의 값을 각각 구하여라. (3) $a-b-p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2-8x+a=0$이 중근을 가지므로 $a=(\\frac{-8}{2})^2=16$ $x^2-8x+16=0$에서 $(x-4)^2=0$ $∴$ $x=4$ $∴$ $p=4$ (2) $x^2+4x+b=0$이 중근을 가지므로 $b=(\\frac{4}{2})^2=4$ $x^2+4x+4=0$에서 $(x+2)^2=0$ $∴$ $x=-2$ $∴$ $q=-2$ (3) $a-b-p-q$$=16-4-4-(-2)$$=10$" }, { "question": "세로의 길이가 가로의 길이보다 $4 cm$ 더 긴 직사각형의 넓이가 $45cm^2$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", "answer": "가로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $(x+4)$ $cm$이므로 $x(x+4)=45$ $x^2+4x-45=0$ $(x-5)(x+9)=0$ ∴ $x=5$ 또는 $x=-9$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 가로의 길이는 $5$ $cm$이다." }, { "question": "이차방정식 $\\frac{1}{5}(x-a)^2=b$의 해가 $x=4\\pm\\sqrt{10}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{5}(x-a)^2=b$에서 $(x-a)^2=5b$ $x-a=\\pm\\sqrt{5b}$ $∴$ $x=a\\pm\\sqrt{5b}$ $a=4$, $5b=10$이므로 $a=4$, $b=2$ $∴$ $a-b$$=4-2$$=2$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x+a+3=0$이 중근 $x=m$을 갖고, 이차방정식 $x^2-4x+b=0$이 중근 $x=n$을 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $m$의 값을 각각 구하여라. (2) $b$, $n$의 값을 각각 구하여라. (3) $a+b-m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+2x+a+3=0$이 중근을 가지므로 $a+3=(\\frac{2}{2})^2=1$ $∴ a=-2$ $x^2+2x+1=0$에서 $(x+1)^2=0$ $∴ x=-1$ $∴ m=-1$ (2) $x^2-4x+b=0$이 중근을 가지므로 $b=(\\frac{-4}{2})^2=4$ $x^2-4x+4=0$에서 $(x-2)^2=0$ $∴ x=2$ $∴ n=2$ (3) $a+b-m-n$$=-2+4-(-1)-2$$=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+2=0$의 서로 다른 두 근의 합이 이차방정식 $x^2-5x+2k=0$의 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+2=0$에서 $x= \\frac{-(-6 \\pm \\sqrt{(-6)^2 -4 \\times 1 \\times 2} }{2 \\times 1}=\\frac{6 \\pm \\sqrt{28}}{2}=3\\pm\\sqrt{7}$ 두 근의 합은 $(3+\\sqrt{7})+(3-\\sqrt{7})$$=6$ $x=6$을 $x^2-5x+2k=0$에 대입하여 정리하면 $2k+6=0$ $ \\therefore k=-3$" }, { "question": "두 이차방정식 $3x^2-mx-3=0$, $x^2-2x+n=0$이 모두 $x=3$을 해로 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $m$, $n$은 수) (1) $m$의 값을 구하여라. (2) $n$의 값을 구하여라. (3) 이차방정식 $x^2+mx+n=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1)$x=3$을 $3x^2-mx-3=0$에 대입하여 정리하면 $-3m+24=0$ $\\therefore $$=8$ (2)$x=3$을 $x^2-2x+n=0$에 대입하여 정리하면 $n+3=0$ $\\therefore n=-3$ (3) $x^2+8x-3=0$에서 $x$$=$$\\frac{-8\\pm\\sqrt{8^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{-8\\pm\\sqrt{76}}{2}$ $=$$-4\\pm\\sqrt{19}$" }, { "question": "이차방정식 $4x^2+3x-1=0$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, $\\left\\vert a - 4b \\right\\vert$의 최솟값을 구하여라.", "answer": "$4x^2+3x-1=0$에서 $(4x-1)(x+1)=0$ $∴ x=\\frac{1}{4}$ 또는 $x=-1$ $a=\\frac{1}{4}$, $b=-1$일 때, $|a-4b|=|\\frac{1}{4}-4\\times(-1)|=|\\frac{17}{4}|=\\frac{17}{4}$ $a=-1$, $b=\\frac{1}{4}$일 때, $|a-4b|=|-1-4\\times\\frac{1}{4}|=|-2|=2$ 따라서 $|a-4b|$의 최솟값은 $2$이다." }, { "question": "이차방정식 $(2x-1)(x-3)=2(3-x)$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a>b$) (2) 이차방정식 $ax^2+7x+4ab=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $(2x-1)(x-3)=2(3-x)$에서 $2x^2-7x+3=6-2x$ $2x^2-5x-3=0$ $(x-3)(2x+1)=0$ $∴ $$x=3$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $a>b$이므로 $a=3$$,$ $b=-\\frac{1}{2}$ (2) $a=3$, $b=-\\frac{1}{2}$을 $ax^2+7x+4ab=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+7x-6=0$에서 $(x+3)(3x-2)=0$ $∴ $$x=-3$ 또는 $x=\\frac{2}{3}$" }, { "question": "이차방정식 $6x^2+7x-5=0$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, $|3a-b|$의 최댓값을 구하여라.", "answer": "$6x^2+7x-5=0$에서 $(2x-1)(3x+5)=0$ $∴ x=\\frac{1}{2}$ 또는 $x=-\\frac{5}{3}$ $a=\\frac{1}{2}$, $b=-\\frac{5}{3}$일 때, $\\left\\vert3a-b\\right\\vert=\\left\\vert3\\times\\frac{1}{2}-(-\\frac{5}{3})\\right\\vert=\\left\\vert\\frac{19}{6}\\right\\vert=\\frac{19}{6}$ $a=-\\frac{5}{3}$, $b=\\frac{1}{2}$일 때, $\\left\\vert3a-b\\right\\vert$=$\\left\\vert3\\times(-\\frac{5}{3})-\\frac{1}{2}\\right\\vert$=$\\left\\vert-\\frac{11}{2}\\right\\vert=\\frac{11}{2}$ 따라서 $\\left\\vert3a-b\\right\\vert$의 최댓값은 $\\frac{11}{2}$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+2a-3=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+2a-3=0$에서 $x=\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\times1\\times(2a-3)}}{2\\times1}$ $=\\frac{6\\pm\\sqrt{-8a+48}}{2}$ $=$$3\\pm\\sqrt{-2a+12}$ 이때 $3\\pm\\sqrt{-2a+12}$가 유리수가 되려면 $-2a+12$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-2a+12=0$에서 $a=6$ $-2a+12=1$에서 $a=\\frac{11}{2}$ $-2a+12=4$에서 $a=4$ $-2a+12=9$에서 $a=\\frac{3}{2}$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $4$, $6$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $4x^2+16kx+12k^2+24k-36=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라.(1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$, $B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 (1)을 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $4x^2+16kx+12k^2+24k-36=0$에서 $x^2+4kx+3k^2+6k-9=0$ $x^2+4kx+4k^2-k^2+6k-9=0$ $∴$ $(x+2k)^2=k^2-6k+9$ (2) $(x+2k)^2=k^2-6k+9$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $k^2-6k+9=0$ $(k-3)^2=0$ $∴$ $k=3$" }, { "question": "진혁이네 가족은 제주도 여행을 $2$ 박 $3$ 일 동안 하기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $677$이었을 때, 제주도 여행의 출발 날짜를 구하여라.", "answer": "제주도 여행 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=677$ $x^2-225=0$ $(x+15)(x-15)=0$ $∴ x=-15$ 또는 $x=15$ $x>1$이므로 $x=15$ 따라서 출발 날짜는 $14$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $(x+1)^2=5$의 해 중 일차부등식 $2x+1<3(x+1)$을 만족시키는 해를 구하여라.", "answer": "$(x+1)^2=5$에서 $x+1=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=-1\\pm\\sqrt{5}$ $2x+1<3(x+1)$에서 $2x+1<3x+3$ $-x<2$ $∴ x>-2$ 따라서 이차방정식의 해 중 $x>-2$를 만족시키는 해는 $x=-1+\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1)$n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. $(단, n은 자연수)$ (2) 바둑돌 $450$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $1$ 단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times2=2$ (개) $2$ 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times4=8$ (개) $3$ 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times6=18$ (개) $\\vdots$ 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times2n=2n^2$ (개) (2) $2n^2=450$에서 $n^2=225$ $∴ n=\\pm15$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=15$ 따라서 바둑돌 $450$ 개로 이루어진 직사각형은 $15$ 단계이다. $\\boxed{확인} 15$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $15\\times30$$=450$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+20=0$의 서로 다른 두 근의 합이 이차방정식 $x^2-4x+5m=0$의 근일 때, 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2-10x+20=0$에서 $=$$5\\pm\\sqrt{5}$ $x= \\frac{-(-10)\\pm\\sqrt{(-10)^2-4\\times 1 \\times 20}}{2 \\times 1} = \\frac{10\\pm\\sqrt{20}}{2}$ 두 근의 합은 $(5+\\sqrt{5})+(5-\\sqrt{5})$$=10$ $x=10$을 $x^2-4x+5m=0$에 대입하여 정리하면 $5m+60=0$ $∴ m=-12$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+4a=0$의 한 근은 $x=2$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $x^2+(2b-1)x-4b=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=2$를 $x^2-6x+4a=0$에 대입하여 정리하면 $4a-8=0$ $∴ a=2$ $a=2$를 $x^2-6x+4a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-6x+8=0$ $(x-2)(x-4)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=4$ 따라서 다른 한 근은 $x=4$이므로 $x=4$를 $x^2+(2b-1)x-4b=0$에 대입하여 정리하면 $4b+12=0$ $∴ b=-3$ $∴ a+b=2+(-3)=-1$" }, { "question": "이차방정식 $(x+3)^2=7$의 해 중 일차부등식 $3(x+1)<2x-1$을 만족시키는 해를 구하여라.", "answer": "$(x+3)^2=7$에서 $x+3=\\pm\\sqrt{7}$ $∴ x=-3\\pm\\sqrt{7}$ $3(x+1)<2x-1$에서 $3x+3<2x-1$ $∴ x<-4$ 따라서 이차방정식의 해 중 $x<-4$를 만족시키는 해는 $x=-3-\\sqrt{7}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+a+5=0$이 중근 $x=p$를 갖고, 이차방정식 $x^2+12x+b=0$이 중근 $x=q$를 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $p$의 값을 각각 구하여라. (2) $b$, $q$의 값을 각각 구하여라. (3) $a+b-p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "(1) $x^2-6x+a+5=0$이 중근을 가지므로 $a+5=(\\frac{-6}{2})^2=9$ $∴$ $a=4$ $x^2-6x+9=0$에서 $(x-3)^2=0$ $∴$ $x=3$ $∴$ $p=3$ (2) $x^2+12x+b=0$이 중근을 가지므로 $b=(\\frac{12}{2})^2=36$ $x^2+12x+36=0$에서 $(x+6)^2=0$ $∴$ $x=-6$ $∴$ $q=-6$ (3) $a+b-p+q$$=4+36-3+(-6)$$=31$" }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $4x^2+8kx-4k^2-16k-8=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$, $B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 (1)을 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $4x^2+8kx-4k^2-16k-8=0$에서 $x^2+2kx-k^2-4k-2=0$ $x^2+2kx+k^2-2k^2-4k-2=0$ $∴$ $(x+k)^2=2k^2+4k+2$ (2) $(x+k)^2=2k^2+4k+2$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $2k^2+4k+2=0$에서 $k^2+2k+1=0$ $(k+1)^2=0$ $∴$ $k=-1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2x-1=0$의 서로 다른 두 근의 합이 이차방정식 $3x^2-x+1-m=0$의 근일 때, 수 $m$의 값을 구하여라.", "answer": "$x^2+2x-1=0$에서 $x=\\frac{-2\\pm\\sqrt{2^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}=\\frac{-2\\pm\\sqrt{8}}{2}$ $=$$-1\\pm\\sqrt{2}$ 두 근의 합은 $(-1+\\sqrt{2})+(-1-\\sqrt{2})$$=-2$ $x=-2$를 $3x^2-x+1-m=0$에 대입하여 정리하면 $-m+15=0$ $∴ m=15$" }, { "question": "이차방정식 $(x+2)(x-2)=-x+8$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a6$ 따라서 이차방정식의 해 중 $x>6$을 만족시키는 해는 $x=5+\\sqrt{6}$" }, { "question": "이차방정식 $5(x-a)^2=b$의 해가 $x=3\\pm\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$5(x-a)^2=b$에서 $(x-a)^2=\\frac{b}{5}$ $x-a=\\pm\\sqrt{\\frac{b}{5}}$ ∴ $x=a\\pm\\sqrt{\\frac{b}{5}}$ $a=3$, $\\frac{b}{5}=6$이므로 $a=3$, $b=30$ ∴ $a+b$$=3+30$$=33$" }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $2x^2+8kx+4k^2-8k-4=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$, $B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 $(1)$을 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $2x^2+8kx+4k^2-8k-4=0$에서 $x^2+4kx+2k^2-4k-2=0$ $x^2+4kx+4k^2-2k^2-4k-2=0$ $∴$ $(x+2k)^2=2k^2+4k+2$ (2) $(x+2k)^2=2k^2+4k+2$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $2k^2+4k+2=0$에서 $k^2+2k+1=0$ $(k+1)^2=0$ $∴$ $k=-1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+a+3=0$이 중근 $x=p$를 갖고, 이차방정식 $x^2+10x+b-1=0$이 중근 $x=q$를 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a, b$는 수) (1) $a$, $p$의 값을 각각 구하여라. (2) $b$, $q$의 값을 각각 구하여라. (3) $a+b-p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "(1)$x^2-6x+a+3=0$이 중근을 가지므로 $a+3=(\\frac{-6}{2})^2=9$ $∴ a=6$ $x^2-6x+9=0$에서 $(x-3)^2=0$ $∴ x=3$ $∴ p=3$ (2)$x^2+10x+b-1=0$이 중근을 가지므로 $b-1=(\\frac{10}{2})^2=25$ $∴ b=26$ $x^2+10x+25=0$에서 $(x+5)^2=0$ $∴ x=-5$ $∴ q=-5$ (3)$a+b-p+q$$=6+26-3+(-5)$$=24$" }, { "question": "두 이차방정식 $x^2-x+p=0$, $4x^2-qx-15=0$이 모두 $x=-3$을 해로 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $p$, $q$는 수) (1) $p$의 값을 구하여라. (2) $q$의 값을 구하여라. (3) 이차방정식 $x^2+px-q=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1)$x=-3$을 $x^2-x+p=0$에 대입하여 정리하면 $p+12=0$ $∴ p=-12$ $x=-3$을 $4x^2-qx-15=0$에 대입하여 정리하면 $3q+21=0$ $∴ q=-7$ (3) $x^{2}-12 x+7=0 $에서 $x =\\frac{-(-12) \\pm \\sqrt{(-12)^{2}-4 \\times 1 \\times 7}}{2 \\times 1}=\\frac{12 \\pm \\sqrt{116}}{2}$ $=$$6\\pm\\sqrt{29}$" }, { "question": "이차방정식 $(x-1)^2=2$의 해 중 일차부등식 $3(x-3)>x-5$를 만족시키는 해를 구하여라.", "answer": "$(x-1)^2=2$에서 $x-1=\\pm\\sqrt{2}$ $∴$ $x=1\\pm\\sqrt{2}$ $3(x-3)>x-5$에서 $3x-9>x-5$ $2x>4$ $∴$ $x>2$ 따라서 이차방정식의 해 중 $x>2$를 만족시키는 해는 $x=1+\\sqrt{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-(a+2)x+a-7=0$의 한 근은 $x=-1$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $x^2-(3b-2)x-3-b=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$x=-1$을 $x^2-(a+2)x+a-7=0$에 대입하여 정리하면 $2a-4=0$ $∴ a=2$ $a=2$를 $x^2-(a+2)x+a-7=0$에 대입하여 정리하면 $x^2-4x-5=0$ $(x+1)(x-5)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=5$ 따라서 다른 한 근은 $x=5$이므로 $x=5$를 $x^2-(3b-2)x-3-b=0$에 대입하여 정리하면 $-16b+32=0$ $∴ b=2$ $∴ a+b$$=2+2$$=4$" }, { "question": "책상 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $210$이었다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=210$ $x^2+x-210=0$ $(x-14)(x+15)=0$ $∴$ $x=14$ 또는 $x=-15$ $x>0$이므로 $x=14$ 따라서 두 면의 쪽수는 $14$, $15$이므로 구하는 합은 $14+15$$=29$ 확인 두 면의 쪽수가 $14$, $15$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $14\\times15$$=210$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지면에서 초속 $25m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이는 $(25t-5t^2) m$이다. $1$ 초 후의 공의 높이를 $k m$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 위로 던진 지 몇 초 후에 높이가 $k m$인 지점을 두 번째로 지나는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $k=25\\times1-5\\times1^2=20$ (2) $25t-5t^2=20$에서 $t^2-5t+4=0$ $(t-1)(t-4)=0$ $∴$ $t=1$ 또는 $t=4$ 따라서 공을 던진 지 $4$ 초 후에 높이가 $20 m$인 지점을 두 번째로 지난다. 확인 위로 던진 지 $4$ 초 후의 높이는 $25\\times4-5\\times4^2=20 (m)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $3x^2-6kx-3k^2+12k-6=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$, $B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 (1)을 이용하여 구하여라.", "answer": "(1)$3x^2-6kx-3k^2+12k-6=0$에서 $x^2-2kx-k^2+4k-2=0$ $x^2-2kx+k^2-2k^2+4k-2=0$ $∴$ $(x-k)^2=2k^2-4k+2$ (2)$(x-k)^2=2k^2-4k+2$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $2k^2-4k+2=0$에서 $k^2-2k+1=0$ $(k-1)^2=0$ $∴$ $k=1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+k+5=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=-2$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+k+5=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k+5)x+k=0$ 위의 식에 $x=-2$를 대입하여 정리하면 $-k-6=0$ $∴$ $k=-6$ 처음 방정식은 $x^2-6x-1=0$이므로 $x=\\frac{-(-6) \\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}$ $=$$3\\pm\\sqrt{10}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+2kx+k+2=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=5$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1 )수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+2kx+k+2=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k+2)x+2k=0$ 위의 식에 $x=5$를 대입하여 정리하면 $7k+35=0$ $∴$ $k=-5$ (2) 처음 방정식은 $x^2-10x-3=0$ 이므로 $ x= \\frac{-(-10)\\pm \\sqrt{-10)^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times 1}$ $=$$5\\pm2\\sqrt{7}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-3x+a-4=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x^2-3x+a-4=0$에서 $x=\\frac{-(-3)\\pm\\sqrt{(-3)^2-4\\times1\\times(a-4)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{3\\pm\\sqrt{-4a+25}}{2}$ 이때 $\\frac{3\\pm\\sqrt{-4a+25}}{2}$가 유리수가 되려면 $-4a+25$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-4a+25=0$에서 $a=\\frac{25}{4}$ $-4a+25=1$에서 $a=6$ $-4a+25=4$에서 $a=\\frac{21}{4}$ $-4a+25=9$에서 $a=4$ $-4a+25=16$에서 $a=\\frac{9}{4}$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $4$$,$ $6$이다." }, { "question": "$x$에 대한 이차방정식 $3x^2+12kx+9k^2-18k-27=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$,$B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 (1)을 이용하여 구하여라.", "answer": "(1) $3x^2+12kx+9k^2-18k-27=0$에서 $x^2+4kx+3k^2-6k-9=0$ $x^2+4kx+4k^2-k^2-6k-9=0$ $∴ (x+2k)^2=k^2+6k+9$ (2) $(x+2k)^2=k^2+6k+9$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $k^2+6k+9=0$ $(k+3)^2=0$ $∴ k=-3$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+k-5=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=-3$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2+kx+k-5=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k-5)x+k=0$ 위의 식에 $x=-3$을 대입하여 정리하면 $-2k+24=0$ $∴ k=12$ (2) 처음 방정식은 $x^2 + 12x + 7 =0 $이므로 $x=\\frac{-12 \\pm \\sqrt{12^2 - 4 \\times 1 \\times 7}}{2 \\times 1} = \\frac{-12 \\pm \\sqrt{116}}{2} $ $=-6\\pm\\sqrt{29}$" }, { "question": "길이가 $44 cm$인 끈을 잘라서 크기가 서로 다른 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $61 cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 할 때, $x$에 대한 이차방정식을 $x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내어라. (2) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 작은 정사각형의 둘레의 길이는 $4x cm$이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이는 $(44-4x) cm$이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(11-x) cm$이다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $61 cm^2$이므로 $x^2+(11-x)^2=61$에서 $2x^2-22x+121=61$ $∴ x^2-11x+30=0$ (2) $x^2-11x+30=0$에서 $(x-5)(x-6)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=6$ $08$이므로 $x=23$ 따라서 민지의 생일은 $3$ 월 $23$ 일이다. 확인 민지의 생일이 $3$ 월 $23$ 일이면 수아의 생일이 $3$ 월 $15$ 일이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $23\\times15$$=345$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx+k-2=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=4$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2-2kx+k-2=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k-2)x-2k=0$ 위의 식에 $x=4$를 대입하여 정리하면 $2k+8=0$ $∴ k=-4$ (2) 처음 방정식은 $x^2+8x-6=0$이므로 $x=\\frac{-8\\pm\\sqrt{8^2-4\\times1\\times(-6)}}{2\\times1}=\\frac{-8\\pm\\sqrt88}{2}$ $=$$-4\\pm\\sqrt{22}$" }, { "question": "두 이차방정식 $x^2+px-10=0$, $3x^2-5x-q=0$이 모두 $x=2$를 해로 가질 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $p$, $q$는 수) (1) $p$의 값을 구하여라. (2) $q$의 값을 구하여라. (3) 이차방정식 $x^2-px-q=0$의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x=2$를 $x^2+px-10=0$에 대입하여 정리하면 $2p-6=0$ $∴$ $p=3$ (2) $x=2$를 $3x^2-5x-q=0$에 대입하여 정리하면 $-q+2=0$ $∴$ $q=2$ (3) $x^2-3x-2=0$에서 $x$$=$$\\frac{-(-3)\\pm\\sqrt{(-3)^2-4\\times1\\times(-2)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{3\\pm\\sqrt{17}}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+3a-1=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+3a-1=0$에서 $x=$$\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4×1×(3a-1)}}{2×1}$$=$$\\frac{6\\pm\\sqrt{-12a+40}}{2}$$=$$3\\pm\\sqrt{-3a+10}$ 이때 $3\\pm\\sqrt{-3a+10}$가 유리수가 되려면 $-3a+10$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-3a+10=0$에서 $a=\\frac{10}{3}$ $-3a+10=1$에서 $a=3$ $-3a+10=4$에서 $a=2$ $-3a+10=9$에서 $a=\\frac{1}{3}$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $2$$,$ $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-4x+2a-6=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x^2-4x+2a-6=0$에서 $=$$2\\pm\\sqrt{-2a+10}$ 이때 $2\\pm\\sqrt{-2a+10}$가 유리수가 되려면 $-2a+10$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-2a+10=0$에서 $a=5$ $-2a+10=1$에서 $a=\\frac{9}{2}$ $-2a+10=4$에서 $a=3$ $-2a+10=9$에서 $a=\\frac{1}{2}$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $3$$,$ $5$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-3kx+k-3=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=-4$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "(1) $x^2-3kx+k-3=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k-3)x-3k=0$ 위의 식에 $x=-4$를 대입하여 정리하면 $-7k+28=0$ $∴$ $k=4$ (2) 처음 방정식은 $x^2-12x+1=0$이므로 $x=\\frac{-(-12)\\pm \\sqrt{(12)^2-4\\times 1 \\times 1}}{2\\times 1}=\\frac{12\\pm \\sqrt{140}}{2}=6\\pm \\sqrt{35} $" }, { "question": "같은 해 $7$ 월에 태어난 우주와 경서의 생일은 $12$ 일 차이가 난다. 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $133$이고 우주가 경서보다 늦게 태어났다고 할 때, 우주의 생일을 구하여라.", "answer": "우주의 생일을 $7$ 월 $x$ 일이라고 하면 경서의 생일은 $7$ 월 $(x-12)$ 일이므로 $x(x-12)=133$ $x^2-12x-133=0$ $(x+7)(x-19)=0$ $∴ $$x=-7$ 또는 $x=19$ $x>12$이므로 $x=19$ 따라서 우주의 생일은 $7$ 월 $19$ 일이다. 확인 우주의 생일이 $7$ 월 $19$ 일이면 경서의 생일이 $7$ 월 $7$ 일이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $19\\times7$$=133$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-x+a-5=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$x^2-x+a-5=0$에서 $x=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times1\\times(a-5)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{-4a+21}}{2}$ 이때 $\\frac{1\\pm\\sqrt{-4a+21}}{2}$가 유리수가 되려면 $-4a+21$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-4a+21=0$에서 $a=\\frac{21}{4}$ $-4a+21=1$에서 $a=5$ $-4a+21=4$에서 $a=\\frac{17}{4}$ $-4a+21=9$에서 $a=3$ $-4a+21=16$에서 $a=\\frac{5}{4}$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $3$$,$ $5$이다." }, { "question": "같은 해 $12$ 월에 태어난 민아와 태주의 생일은 $9$ 일 차이가 난다. 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $220$이고 민아가 태주보다 늦게 태어났다고 할 때, 민아의 생일을 구하여라.", "answer": "민아의 생일을 $12$ 월 $x$ 일이라고 하면 태주의 생일은 $12$ 월 $(x-9)$ 일이므로 $x(x-9)=220$ $x^2-9x-220=0$ $(x+11)(x-20)=0$ $∴$ $x=-11$ 또는 $x=20$ $x>9$이므로 $x=20$ 따라서 민아의 생일은 $12$ 월 $20$ 일이다. 민아의 생일이 $12$ 월 $20$ 일이면 태주의 생일이 $12$ 월 $11$ 일이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $20\\times11$$=220$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "올해 $1$ 월 한 달 동안 눈이 온 날이 며칠인지 조사하였더니 눈이 온 날수의 제곱이 눈이 오지 않은 날수의 $3$ 배보다 $5$가 작았다. 올해 $1$ 월 한 달 동안 눈이 온 날은 모두 며칠인지 구하여라. (단, $1$ 월은 $31$ 일까지 있다.)", "answer": "눈이 온 날을 $x$ 일이라 하면 눈이 오지 않은 날은 $(31-x)$ 일이므로 $x^2=3(31-x)-5$$\\\\$ $x^2+3x-88=0$$\\\\$ $(x-8)(x+11)=0$ $∴$ $x=8$ 또는 $x=-11$$\\\\$ $1\\le x\\le31$이므로 $x=8$ 따라서 눈이 온 날은 모두 $8$ 일이다. 눈이 온 날이 $8$ 일이면 눈이 오지 않은 날이 $23$ 일이고, $8^2=3\\times23-5$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "일차함수 $y=ax+2$의 그래프가 점 $(a-1, -a^2+4a+5)$를 지나고 제$4$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax+2$의 그래프가 점 $(a-1, -a^2+4a+5)$를 지나므로 $-a^2+4a+5=a(a-1)+2$ $2a^2-5a-3=0$ $(a-3)(2a+1)=0$ $∴$ $a=3$ 또는 $a=-\\frac{1}{2}$ 이때 일차함수 $y=ax+2$의 그래프가 제$4$사분면을 지나지 않으므로 $a>0$이어야 한다. $∴$ $a=3$" }, { "question": "탁자 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $420$이었다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=420$ $x^2+x-420=0$ $(x-20)(x+21)=0$ $∴$ $x=20$ 또는 $x=-21$ $x>0$이므로 $x=20$ 따라서 두 면의 쪽수는 $20$, $21$이므로 구하는 합은 $20+21$$=41$ 확인 두 면의 쪽수가 $20$, $21$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $20\\times21$$=420$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+kx+k+1=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 풀었더니 한 근이 $x=4$이었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수 $k$의 값을 구하여라. (2) 처음 방정식의 해를 구하여라.", "answer": "$x^2+kx+k+1=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+(k+1)x+k=0$ 위의 식에 $x=4$를 대입하여 정리하면 $5k+20=0$ $∴ k=-4$ (2) 처음 방정식은 $x^2-4x-3=0$이므로 $x=\\frac{-(-4)\\pm\\sqrt{(-4)^2-4\\times1\\times(-3)}}{2\\times1}$ $\\frac{4\\pm\\sqrt{28}}{2}$ $=$$2\\pm\\sqrt{7}$" }, { "question": "같은 해 $6$ 월에 태어난 지수와 세아의 생일은 $10$ 일 차이가 난다. 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $336$이고 지수가 세아보다 먼저 태어났다고 할 때, 지수의 생일을 구하여라.", "answer": "지수의 생일을 $6$ 월 $x$ 일이라고 하면 세아의 생일은 $6$ 월 $(x+10)$ 일이므로 $x(x+10)=336$ $x^2+10x-336=0$ $(x-14)(x+24)=0$ ∴ $x=14$ 또는 $x=-24$ $x>0$이므로 $x=14$ 따라서 지수의 생일은 $6$ 월 $14$ 일이다. $\\boxed{확인}$ 지수의 생일이 $6$ 월 $14$ 일이면 세아의 생일이 $6$ 월 $24$ 일이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $14\\times24$$=336$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "탁자 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $506$이었다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=506$ $x^2+x-506=0$ $(x-22)(x+23)=0$ $∴ x=22$ 또는 $x=-23$ $x>0$이므로 $x=22$ 따라서 두 면의 쪽수는 $22$, $23$이므로 구하는 합은 $22+23$$=45$ 확인 두 면의 쪽수가 $22$, $23$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $22\\times23$$=506$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "탁자 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $342$였다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=342$ $x^2+x-342=0$ $(x-18)(x+19)=0$ $∴$ $x=18$ 또는 $x=-19$ $x>0$이므로 $x=18$ 따라서 두 면의 쪽수는 $18$, $19$이므로 구하는 합은 $18+19$$=37$ 확인 두 면의 쪽수가 $18$, $19$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $18\\times19$$=342$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "올해 $12$ 월 한 달 동안 눈이 온 날이 며칠인지 조사하였더니 눈이 온 날수의 제곱이 눈이 오지 않은 날수의 $11$ 배보다 $9$가 컸다. 올해 $12$ 월 한 달 동안 눈이 온 날은 모두 며칠인지 구하여라. (단, $12$ 월은 $31$ 일까지 있다.)", "answer": "눈이 온 날을 $x$ 일이라 하면 눈이 오지 않은 날은 $(31-x)$ 일이므로 $x^2=11(31-x)+9$ $x^2+11x-350=0$ $(x-14)(x+25)=0$ $∴ x=14$ 또는 $x=-25$ $1\\le x\\le31$이므로 $x=14$ 따라서 눈이 온 날은 모두 $14$ 일이다. 확인 눈이 온 날이 $14$ 일이면 눈이 오지 않은 날이 $17$ 일이고, $14^2=11\\times17+9$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "탁자 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $930$이었다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=930$ $x^2+x-930=0$ $(x-30)(x+31)=0$ $∴$ $x=30$ 또는 $x=-31$ $x>0$이므로 $x=30$ 따라서 두 면의 쪽수는 $30$, $31$이므로 구하는 합은 $30+31$$=61$ 확인 두 면의 쪽수가 $30$, $31$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $30\\times31$$=930$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지면에서 초속 $40 m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이는 $(40t-5t^2) m$이다. $2$ 초 후의 공의 높이를 $k m$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 위로 던진 지 몇 초 후에 높이가 $k m$인 지점을 두 번째로 지나는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $k=40\\times2-5\\times2^2=60$ (2) $40t-5t^2=60$에서 $t^2-8t+12=0$ $(t-2)(t-6)=0$ $∴$ $t=2$ 또는 $t=6$ 따라서 공을 던진 지 $6$ 초 후에 높이가 $60 m$인 지점을 두 번째로 지난다. 확인 위로 던진 지 $6$ 초 후의 높이는 $40\\times6-5\\times6^2=60 (m)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "윗변과 아랫변의 길이의 비가 $1 : 5$이고 높이는 아랫변의 길이보다 $8 cm$ 더 짧은 사다리꼴의 넓이가 $63 cm^2$일 때, 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 윗변의 길이를 $x cm$라 하면 아랫변의 길이는 $5x cm$, 높이는 $(5x-8) cm$이다. 사다리꼴의 넓이가 $63 cm^2$이므로 $\\frac{1}{2}\\times(x+5x)\\times(5x-8)=63$에서 $5x^2-8x-21=0$ $(x-3)(5x+7)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-\\frac{7}{5}$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $3 cm$이다. 확인 윗변의 길이가 $3 cm$이면 아랫변의 길이가 $15 cm$, 높이가 $7 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(3+15)\\times7=63$ $(cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "같은 해 $3$ 월에 태어난 윤서와 시우의 생일은 일주일 차이가 난다. 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $98$이고 윤서가 시우보다 먼저 태어났다고 할 때, 윤서의 생일을 구하여라.", "answer": "윤서의 생일을 $3$ 월 $x$ 일이라고 하면 시우의 생일은 $3$ 월 $(x+7)$ 일이므로 $x(x+7)=98$ $x^2+7x-98=0$ $(x-7)(x+14)=0$ $∴ x=7$ 또는 $x=-14$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 윤서의 생일은 $3$ 월 $7$ 일이다. 확인 윤서의 생일이 $3$ 월 $7$ 일이면 시우의 생일이 $3$ 월 $14$ 일이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $7\\times14$$=98$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. $(1)$ $n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. (단, $n$은 자연수) $(2)$ 바둑돌 $520$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $1$ 단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times4=4$ (개) $2$ 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times7=14$ (개) $3$ 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times10=30$ (개) $：$ $：$ 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times(3n+1)=3n^2+n$ (개) (2) $3n^2+n=520$에서 $3n^2+n-520=0$ $(n-13)(3n+40)=0$ $∴ n=13$ 또는 $n=-\\frac{40}{3}$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=13$ 따라서 바둑돌 $520$ 개로 이루어진 직사각형은 $13$ 단계이다. 확인 $13$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $13\\times40=520$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지면에서 초속 $45m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이는 $(45t-5t^2) m$이다. $1$ 초 후의 공의 높이를 $km$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 위로 던진 지 몇 초 후에 높이가 $k m$인 지점을 두 번째로 지나는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $k=45\\times1-5\\times1^2=40$ (2) $45t-5t^2=40$에서 $t^2-9t+8=0$ $(t-1)(t-8)=0$ $∴ t=1$ 또는 $t=8$ 따라서 공을 던진 지 $8초$ 후에 높이가 $40m$인 지점을 두 번째로 지난다. 확인 위로 던진지 $8초$후의 높이는$45\\times8-5\\times8^2=40(m)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "윗변과 아랫변의 길이의 비가 $1$ : $2$이고 높이는 아랫변의 길이보다 $4 cm$ 더 짧은 사다리꼴의 넓이가 $45 cm^2$일 때, 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 윗변의 길이를 $x cm$라 하면 아랫변의 길이는 $2x cm$, 높이는 $(2x-4) cm$이다. 사다리꼴의 넓이가 $45 cm^2$이므로 $\\frac{1}{2}\\times(x+2x)\\times(2x-4)=45$에서 $x^2-2x-15=0$ $(x+3)(x-5)=0$ $\\therefore x=-3$ 또는 $x=5$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $5 cm$이다. 확인 윗변의 길이가 $5 cm$이면 아랫변의 길이가 $10 cm$, 높이가 $6 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(5+10)\\times6=45$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "길이가 $52 cm$인 끈을 잘라서 크기가 서로 다른 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $89 cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 할 때, $x$에 대한 이차방정식을 $x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내어라. (2) 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) 큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 큰 정사각형의 둘레의 길이는 $4x cm$이므로 작은 정사각형의 둘레의 길이는 $(52-4x) cm$이고, 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $(13-x) cm$이다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $89 cm^2$이므로 $x^2+(13-x)^2=89$에서 $2x^2-26x+169=89$ $∴$ $x^2-13x+40=0$ (2) $x^2-13x+40=0$에서 $(x-5)(x-8)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=8$ $\\frac{13}{2}0$이므로 $x=2$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $2 cm$이다. 확인 윗변의 길이가 $2 cm$이면 아랫변의 길이가 $8 cm$, 높이가 $6 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(2+8)\\times6=30$ $(cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. (단, $n$은 자연수) (2) 바둑돌 $460$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $1$ 단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times4=4 (개)$ $2$ 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times5=10 (개)$ $3$ 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times6=18 (개)$ $\\cdots$ 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times(n+3)=n^2+3n (개)$ (2) $n^2+3n=460$에서 $n^2+3n-460=0$ $(n-20)(n+23)=0$ $∴$ $n=20$ 또는 $n=-23$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=20$ 따라서 바둑돌 $460$ 개로 이루어진 직사각형은 $20$ 단계이다. 확인 $20$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $20\\times23$$=460 (개)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "부등식 $3x+2\\le x+10$을 만족시키는 자연수 $x$에 대하여 이차방정식 $x^2+2x-15=0$의 해를 구하여라.", "answer": "$3x+2\\le x+10$에서 $2x\\le8$ $∴$ $x\\le4$ $x=1$일 때, $1^2+2\\times1-15$≠$0$ $x=2$일 때, $2^2+2\\times2-15$≠$0$ $x=3$일 때, $3^2+2\\times3-15=0$ $x=4$일 때, $4^2+2\\times4-15$≠$0$ 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=3$이다." }, { "question": "책상 위에 펼쳐져 있는 책의 두 면의 쪽수의 곱이 $156$이었다. 이 두 면의 쪽수의 합을 구하여라.", "answer": "펼쳐진 두 면의 쪽수를 $x$, $x+1$이라 하면 $x(x+1)=156$ $x^2+x-156=0$ $(x-12)(x+13)=0$ $∴ x=12$ 또는 $x=-13$ $x>0$이므로 $x=12$ 따라서 두 면의 쪽수는 $12$, $13$이므로 구하는 합은 $12+13$$=25$ 두 면의 쪽수가 $12$, $13$이면 두 면의 쪽수의 곱이 $12\\times13$$=156$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "$6$ 월 한 달 동안 온 날이 며칠인지 조사하였더니 온 날수의 제곱이 오지 않은 날수의 $12$ 배보다 $4$가 컸다. $6$ 월 한 달 동안 온 날은 모두 며칠인지 구하여라. (단, $6$ 월은 $30$ 일까지 있다.)", "answer": "온 날을 $x$ 일이라 하면 오지 않은 날은 $(30-x)$ 일이므로 $x^2=12(30-x)+4$ $x^2+12x-364=0$ $(x-14)(x+26)=0$ ∴ $x=14$ 또는 $x=-26$ $1\\le x\\le30$이므로 $x=14$ 따라서 온 날은 모두 $14$ 일이다. 확인 온 날이 $14$ 일이면 오지 않은 날이 $16$ 일이고, $14^2=12\\times16+4$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지난해 $9$ 월 한 달 동안 비가 온 날이 며칠인지 조사하였더니 비가 온 날수의 제곱이 비가 오지 않은 날수의 $2$ 배보다 $3$이 컸다. 지난해 $9$ 월 한 달 동안 비가 온 날은 모두 며칠인지 구하여라. (단, $9$ 월은 $30$ 일까지 있다.)", "answer": "비가 온 날을 $x$ 일이라 하면 비가 오지 않은 날은 $(30-x)$ 일이므로 $x^2=2(30-x)+3$ $x^2+2x-63=0$ $(x-7)(x+9)=0$ $∴$ $x=7$ 또는 $x=-9$ $1\\le x\\le30$이므로 $x=7$ 따라서 비가 온 날은 모두 $7$ 일이다. 확인 비가 온 날이 $7$ 일이면 비가 오지 않은 날이 $23$ 일이고, $7^2=2\\times23+3$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "일차함수 $y=ax-2$의 그래프가 점 $(2a-3, a^2+8)$을 지나고 제$2$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax-2$의 그래프가 점 $(2a-3, a^2+8)$을 지나므로 $a^2+8=a(2a-3)-2$ $a^2-3a-10=0$ $(a+2)(a-5)=0$ $∴ a=-2$ 또는 $a=5$ 이때 일차함수 $y=ax-2$의 그래프가 제$2$사분면을 지나지 않으므로 $a>0$이어야 한다. $∴ a=5$" }, { "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. (단, $n$은 자연수) (2) 바둑돌 $180$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1)$1$ 단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times4=4$ (개) $2$ 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times6=12$ (개) $3$ 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times8=24$ (개) $\\vdots$ 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times(2n+2)=2n^2+2n$ (개) (2)$2n^2+2n=180$에서 $n^2+n-90=0$ $(n-9)(n+10)=0$ $∴$ $n=9$ 또는 $n=-10$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=9$ 따라서 바둑돌 $180$ 개로 이루어진 직사각형은 $9$ 단계이다. 확인 $9$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $9\\times20$$=180$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지면에서 초속 $30$ $m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이는 $(30t-5t^2) m$이다. $1$ 초 후의 공의 높이를 $k$$ m$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 위로 던진 지 몇 초 후에 높이가 $k$ $m$인 지점을 두 번째로 지나는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $k=30\\times1-5\\times1^2=25$ (2) $30t-5t^2=25$에서 $t^2-6t+5=0$ $(t-1)(t-5)=0$ $∴ t=1$ 또는 $t=5$ 따라서 공을 던진 지 $5$ 초 후에 높이가 $25m$인 지점을 두 번째로 지난다. 위로 던진 지 $5$ 초 후의 높이는 $30\\times5-5\\times5^2=25 (m)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "밑면의 반지름의 길이가 높이보다 $2 cm$ 더 짧은 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $70\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 높이는 $(x+2) cm$이다. 옆넓이가 $70\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times x\\times(x+2)=70\\pi$에서 $2x^2+4x=70$ $x^2+2x-35=0$ $(x-5)(x+7)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-7$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $5 cm$이다. 확인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $5 cm$이면 높이는 $7 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times5\\times7=70\\pi (cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지난해 $12$ 월 한 달 동안 비가 온 날이 며칠인지 조사하였더니 비가 온 날수의 제곱이 비가 오지 않은 날수의 $8$ 배보다 $8$이 작았다. 지난해 $12$ 월 한 달 동안 비가 온 날은 모두 며칠인지 구하여라. (단, $12$월은 $31$ 일까지 있다.)", "answer": "비가 온 날을 $x$ 일이라 하면 비가 오지 않은 날은 $(31-x)$ 일이므로 $x^2=8(31-x)-8$ $x^2+8x-240=0$ $(x-12)(x+20)=0$ ∴ $x=12$ 또는 $x=-20$ $1\\le x\\le31$이므로 $x=12$ 따라서 비가 온 날은 모두 $12$ 일이다. 확인 비가 온 날이 $12$ 일이면 비가 오지 않은 날이 $19$ 일이고, $12^2=8\\times19-8$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $2x+\\frac{x^2+5}{3}=0.5(x+2)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2-3x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$2x+\\frac{x^2+5}{3}=0.5(x+2)$의 양변에 $6$을 곱하면 $12x+2x^2+10=3x+6$ $2x^2+9x+4=0$ $(x+4)(2x+1)=0$ $∴ x=-4$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $x^2-3x+k=0$의 한 근이 $-4$이므로 $x=-4$를 대입하여 정리하면 $k+28=0$ $∴ k=-28$" }, { "question": "길이가 $32 cm$인 끈을 잘라서 크기가 서로 다른 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $34 cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 할 때, $x$에 대한 이차방정식을 $x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내어라. (2) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 작은 정사각형의 둘레의 길이는 $4x cm$이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이는 $(32-4x) cm$이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(8-x) cm$이다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $34 cm^2$이므로 $x^2+(8-x)^2=34$에서 $2x^2-16x+64=34$ $∴ x^2-8x+15=0$ $x^2-8x+15=0$에서 $(x-3)(x-5)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=5$ $00$이므로 $x=3$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $3 cm$이다. 확인 윗변의 길이가 $3 cm$이면 아랫변의 길이가 $6 cm$, 높이가 $8 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(3+6)\\times8=36$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx+5k-4=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $3x^2+mx+n=0$의 근일 때, $n-m$의 값을 구하여라. (단, $k$, $n$, $m$은 수)", "answer": "$x^2-2kx+5k-4=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $5k-4=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $5k-4=k^2$ $k^2-5k+4=0$ $(k-1)(k-4)=0$ $ \\therefore k=1$ 또는 $k=4$ 따라서 이차방정식 $3x^2+mx+n=0$의 두 근이 $1$과 $4$이다. $x=1$을 $3x^2+mx+n=0$에 대입하면 $3+m+n=0$ ······ ㉠ $x=4$를 $3x^2+mx+n=0$에 대입하면 $48+4m+n=0$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $m=-15$, $n=12$ $ \\therefore n-m$$=12-(-15)$$=27$" }, { "question": "밑면의 반지름의 길이가 높이보다 $4 cm$ 더 짧은 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $24\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 높이는 $(x+4) cm$이다. 옆넓이가 $24\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times x\\times(x+4)=24\\pi$에서 $2x^2+8x=24$ $x^2+4x-12=0$ $(x-2)(x+6)=0$ $ \\therefore x=2$ 또는 $x=-6$ $x>0$이므로 $x=2$ 따라서 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $2 cm$이다. 확인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $2 cm$이면 높이는 $6 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times2\\times6=24\\pi$ $(cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "길이가 $52 cm$인 끈을 잘라서 크기가 서로 다른 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $85 cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1)작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 할 때, $x$에 대한 이차방정식을 $x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내어라. (2)작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 작은 정사각형의 둘레의 길이는 $4x cm$이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이는 $(52-4x) cm$이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(13-x) cm$이다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $85 cm^2$이므로 $x^2+(13-x)^2=85$에서 $2x^2-26x+169=85$ $∴ x^2-13x+42=0$ (2) $x^2-13x+42=0$에서 $(x-6)(x-7)=0$ ∴ $x=6$ 또는 $x=7$ $0$이므로 $x=6$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $6 cm$이다. 확인 작은 정사각형의 한 변의 길이가 $6 cm$이면 큰 정사각형의 한 변의 길이가 $7 cm$이고, 두 정사각형의 넓이의 합이 $6^2+7^2=85 (cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다" }, { "question": "부등식 $2x+2\\le-x+14$를 만족시키는 자연수 $x$에 대하여 이차방정식 $x^2-x-12=0$의 해를 구하여라.", "answer": "$2x+2\\le-x+14$에서 $3x\\le12$ $∴ x\\le4$ $x=1$일 때, $1^2-1-12≠0$ $x=2$일 때, $2^2-2-12≠0$ $x=3$일 때, $3^2-3-12≠0$ $x=4$일 때, $4^2-4-12=0$ 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=4$이다." }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2+bx+c$에 대하여 $f(1)=8$, $f(-2)=5$일 때, $f(3)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=8$에서 $2\\times1^2+b\\times1+c=8$ $∴$ $2+b+c=8 ······ ㉠$ $f(-2)=5$에서 $2\\times(-2)^2+b\\times(-2)+c=5$ $∴$ $8-2b+c=5 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $b=3$, $c=3$ $f(x)=2x^2+3x+3$이므로 $f(3)$$=2\\times3^2+3\\times3+3$$=30$" }, { "question": "이차방정식 $2(x+1)^2=6k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$2(x+1)^2=6k$에서 $(x+1)^2=3k$ $x+1=\\pm\\sqrt{3k}$ $∴ x=-1\\pm\\sqrt{3k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{3k}$가 정수이어야 한다. 즉, $3k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $3k$$=0,1,4,9,···$ $∴ k$$=0,\\frac{1}{3},\\frac{4}{3},3,···$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $3$이다." }, { "question": "윗변과 아랫변의 길이의 비가 $1 : 3$이고 높이는 아랫변의 길이보다 $2 cm$ 더 짧은 사다리꼴의 넓이가 $42 cm^2$일 때, 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 윗변의 길이를 $x cm$라 하면 아랫변의 길이는 $3x cm$, 높이는 $(3x-2) cm$이다. 사다리꼴의 넓이가 $42 cm^2$이므로 $\\frac{1}{2}\\times(x+3x)\\times(3x-2)=42$에서 $3x^2-2x-21=0$ $(x-3)(3x+7)=0$ ∴ $x=3$ 또는 $x=-\\frac{7}{3}$ $x>0$이므로 $x=3$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $3 cm$이다. 윗변의 길이가 $3 cm$이면 아랫변의 길이가 $9 cm$, 높이가 $7 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(3+9)\\times7=42$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "부등식 $4x-2\\le x+10$을 만족시키는 자연수 $x$에 대하여 이차방정식 $x^2+3x-18=0$의 해를 구하여라.", "answer": "$4x-2\\le x+10$에서 $3x\\le12$ $∴$ $x\\le4$ $x=1$일 때, $1^2+3\\times1-18 \\ne 0$ $x=2$일 때, $2^2+3\\times2-18 \\ne 0$ $x=3$일 때, $3^2+3\\times3-18=0$ $x=4$일 때, $4^2+3\\times4-18 \\ne 0$ 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=3$이다." }, { "question": "윗변과 아랫변의 길이의 비가 $1 : 4$이고 높이는 윗변의 길이보다 $1 cm$ 더 긴 사다리꼴의 넓이가 $75 cm^2$일 때, 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.", "answer": "사다리꼴의 윗변의 길이를 $x cm$라 하면 아랫변의 길이는 $4x cm$, 높이는 $(x+1) cm$이다. 사다리꼴의 넓이가 $75 cm^2$이므로 $\\frac{1}{2}\\times(x+4x)\\times(x+1)=75$에서 $x^2+x-30=0$ $(x-5)(x+6)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-6$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $5 cm$이다. 확인 윗변의 길이가 $5 cm$이면 아랫변의 길이가 $20 cm$, 높이가 $6 cm$이고, 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(5+20)\\times6=75$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "지면에서 초속 $45$ $m$로 똑바로 위로 던진 공의 $t$ 초 후의 높이는 $(45t-5t^2)m$이다. $2$ 초 후의 공의 높이를 $k$ $m$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 위로 던진 지 몇 초 후에 높이가 $k$ $m$인 지점을 두 번째로 지나는지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", "answer": "(1) $k=45\\times2-5\\times2^2=70$ (2) $45t-5t^2=70$에서 $t^2-9t+14=0$ $(t-2)(t-7)=0$ $∴ t=$$2$ 또는 $t=7$ 따라서 공을 던진 지 $7$ 초 후에 높이가 $70 m$인 지점을 두 번째로 지난다. $\\boxed{확인}$위로 던진 지 $7$ 초 후의 높이는 $45\\times7-5\\times7^2=70 (m)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 점 $(a-4, -a^2-a+1)$을 지나고 제$1$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax-4$의 그래프가 점 $(a-4, -a^2-a+1)$을 지나므로 $-a^2-a+1=a(a-4)-4$ $2a^2-3a-5=0$ $(a+1)(2a-5)=0$ $∴ a=-1$ 또는 $a=\\frac{5}{2}$ 이때 일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 제$1$사분면을 지나지 않으므로 $a<0$이어야 한다. $∴ a=-1$" }, { "question": "일차함수 $y=ax-2$의 그래프가 점 $(2a-1, a^2+a+6)$을 지나고 제$2$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax-2$의 그래프가 점 $(2a-1, a^2+a+6)$을 지나므로 $a^2+a+6=a(2a-1)-2$ $a^2-2a-8=0$ $(a+2)(a-4)=0$ $∴ a=-2$ 또는 $a=4$ 이때 일차함수 $y=ax-2$의 그래프가 제$2$사분면을 지나지 않으므로 $a>0$이어야 한다. $∴ a=4$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(7-a)x+5a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=1$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+5ax+7-a=0$ $x=1$을 $x^2+5ax+7-a=0$에 대입하여 정리하면 $4a+8=0$ $∴$ $a=-2$ 처음 이차방정식은 $x^2+9x-10=0$이므로 $(x-1)(x+10)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-10$" }, { "question": "부등식 $x+2\\le-2x+11$을 만족시키는 자연수 $x$에 대하여 이차방정식 $x^2+4x-12=0$의 해를 구하여라.", "answer": "$x+2\\le-2x+11$에서 $3x\\le9$ $∴ $$x\\le3$ $x=1$일 때, $1^2+4\\times1-12$$≠0$ $x=2$일 때, $2^2+4\\times2-12=0$ $x=3$일 때, $3^2+4\\times3-12$$≠0$ 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=2$이다." }, { "question": "높이가 밑면의 반지름의 길이보다 $4 cm$ 더 긴 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $42\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 높이를 구하여라.", "answer": "원기둥의 높이를 $x cm$라 하면 밑면의 반지름의 길이는 $(x-4) cm$이다. 옆넓이가 $42\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times(x-4)\\times x=42\\pi$에서 $2x^2-8x=42$ $x^2-4x-21=0$ $(x+3)(x-7)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=7$ $x>4$이므로 $x=7$ 따라서 원기둥의 높이는 $7 cm$이다. 확인: 원기둥의 높이가 $7 cm$이면 밑면의 반지름의 길이는 $3 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times3\\times7=42\\pi$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx+3k+10=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $3x^2+mx-n=0$의 근일 때, $m+n$의 값을 구하여라. (단, $k$, $m$, $n$은 수)", "answer": "$x^2-2kx+3k+10=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $3k+10=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $3k+10=k^2$ $k^2-3k-10=0$ $(k+2)(k-5)=0$ $∴ k=-2$ 또는 $k=5$ 따라서 이차방정식 $3x^2+mx-n=0$의 두 근이 $-2$와 $5$이다. $x=-2$를 $3x^2+mx-n=0$에 대입하면 $12-2m-n=0$ $\\cdots\\cdots$ $㉠$ $x=5$를 $3x^2+mx-n=0$에 대입하면 $75+5m-n=0$ $\\cdots\\cdots$ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $m=-9$, $n=30$ $∴ m+n$$=-9+30$$=21$" }, { "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-8x+4a-4=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<5$)", "answer": "$x^2-8x+4a-4=0$에서 $x^2-8x=-4a+4$ $x^2-8x+16=-4a+4+16$ $(x-4)^2=-4a+20$ $x-4=\\pm\\sqrt{-4a+20}$ $∴ x=4\\pm\\sqrt{-4a+20}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-4a+20}$이 $4$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-4a+20}$$=1, 2, 3$ $-4a+20$$=1, 4, 9$ $∴ a$$=\\frac{19}{4}, 4, \\frac{11}{4}$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $4$이다." }, { "question": "밑면의 반지름의 길이가 높이보다 $5 cm$ 더 긴 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $28\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여라. 답:", "answer": "원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 높이는 $(x-5) cm$이다. 옆넓이가 $28\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times x\\times(x-5)=28\\pi$에서 $2x^2-10x=28$ $x^2-5x-14=0$ $(x+2)(x-7)=0$ $∴$ $x=-2$ 또는 $x=7$ $x>5$이므로 $x=7$ 따라서 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $7 cm$이다. 확인: 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $7 cm$이면 높이는 $2 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times7\\times2=28\\pi$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 점 $(2a+3,-a^2+a+1)$을 지나고 제$2$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax-4$의 그래프가 점 $(2a+3, -a^2+a+1)$을 지나므로 $-a^2+a+1=a(2a+3)-4$ $3a^2+2a-5=0$ $(a-1)(3a+5)=0$ $∴ a=1$ 또는 $a=-\\frac{5}{3}$ 이때 일차함수 $y=ax-4$의 그래프가 제$2$사분면을 지나지 않으므로 $a>0$이어야 한다. $∴ a=1$" }, { "question": "일차함수 $y=ax+1$의 그래프가 점 $(a-3, -a^2-2a+4)$를 지나고 제$3$사분면을 지나지 않을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax+1$의 그래프가 점 $(a-3, -a^2-2a+4)$를 지나므로 $-a^2-2a+4=a(a-3)+1$ $2a^2-a-3=0$ $(a+1)(2a-3)=0$ $∴ a=-1$ 또는 $a=\\frac{3}{2}$ 이때 일차함수 $y=ax+1$의 그래프가 제$3$사분면을 지나지 않으므로 $a<0$이어야 한다. $∴ a=-1$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a+4)x+6a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=-1$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+6ax+a+4=0$ $x=-1$을 $x^2+6ax+a+4=0$에 대입하여 정리하면 $-5a+5=0$ $∴ a=1$ 처음 이차방정식은 $x^2+5x+6=0$이므로 $(x+2)(x+3)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=-3$" }, { "question": "부등식 $x+3\\le-x+11$을 만족시키는 자연수 $x$에 대하여 이차방정식 $x^2+3x-10=0$의 해를 구하여라.", "answer": "$x+3\\le-x+11$에서 $2x\\le8$ $∴ x\\le4$ $x=1$일 때, $1^2+3\\times1-10≠0$ $x=2$일 때, $2^2+3\\times2-10=0$ $x=3$일 때, $3^2+3\\times3-10≠0$ $x=4$일 때, $4^2+3\\times4-10≠0$ 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=2$이다." }, { "question": "같은 해 $10월$에 태어난 수지와 지아의 생일은 $8일$ 차이가 난다. 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $425$이고 수지가 지아보다 먼저 태어났다고 할 때, 수지의 생일을 구하여라.", "answer": "수지의 생일을 $10 월x 일$이라고 하면 지아의 생일은 $10 월 (x+8) 일$이므로 $x(x+8)=425$ $x^2+8x-425=0$ $(x-17)(x+25)=0$ ∴ $x=17$ 또는 $x=-25$ $x>0$이므로 $x=17$ 따라서 수지의 생일은 $10 월 17 일$이다. 확인 수지의 생일이 $10 월 17 일$이면 지아의 생일이 $10 월 25 일$이고, 두 사람이 태어난 날짜의 곱이 $17\\times25$$=425$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+(a+4)x+4a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=3$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+4ax+a+4=0$ $x=3$을 $x^2+4ax+a+4=0$에 대입하여 정리하면 $13a+13=0$ $∴$ $a=-1$ 처음 이차방정식은 $x^2+3x-4=0$이므로 $(x-1)(x+4)=0$ $∴ $$x=1$ 또는 $x=-4$" }, { "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-8x+3a-2=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<6$)", "answer": "$x^2-8x+3a-2=0$에서 $x^2-8x=-3a+2$ $x^2-8x+16=-3a+2+16$ $(x-4)^2=-3a+18$ $x-4=\\pm\\sqrt{-3a+18}$ $∴ x=4\\pm\\sqrt{-3a+18}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-3a+18}$이 $4$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-3a+18}$$=1, 2, 3$ $-3a+18$$=1, 4, 9$ $∴ a$$=\\frac{17}{3}, \\frac{14}{3}, 3$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx+7k-10=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 근일 때, $m+n$의 값을 구하여라. (단, $k$, $m$, $n$은 수)", "answer": "$x^2-2kx+7k-10=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $7k-10=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $7k-10=k^2$ $k^2-7k+10=0$ $(k-2)(k-5)=0$ $∴ k=2$ 또는 $k=5$ 따라서 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 두 근이 $2$와 $5$이다. $x=2$를 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $8+2m+n=0$ ······ $㉠$ $x=5$를 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $50+5m+n=0$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $m=-14$, $n=20$ $∴ m+n$$=-14+20$$=6$" }, { "question": "이차방정식 $1+\\frac{x^2-4x}{5}=0.5(x+5)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2-2x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$1+\\frac{x^2-4x}{5}=0.5(x+5)$의 양변에 $10$을 곱하면 $10+2x^2-8x=5x+25$ $2x^2-13x-15=0$ $(x+1)(2x-15)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=\\frac{15}{2}$ $x^2-2x+k=0$의 한 근이 $-1$이므로 $x=-1$을 대입하여 정리하면 $k+3=0$ $∴$ $k=-3$" }, { "question": "이차방정식 $\\frac{x^2+5x}{5}-2=0.5(x+1)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2+3x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{x^2+5x}{5}-2=0.5(x+1)$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2+10x-20=5x+5$ $2x^2+5x-25=0$ $(x+5)(2x-5)=0$ $∴$ $x=-5$ 또는 $x=\\frac{5}{2}$ $x^2+3x+k=0$의 한 근이 $-5$이므로 $x=-5$를 대입하여 정리하면 $k+10=0$ $∴$ $k=-10$" }, { "question": "이차방정식 $(x-2)^2=3k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$(x-2)^2=3k$에서 $x-2=\\pm\\sqrt{3k}$ $∴ x=2\\pm\\sqrt{3k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{3k}$가 정수이어야 한다. 즉, $3k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $3k$$=0, 1, 4, 9, \\cdots$ $∴ k$$=0, \\frac{1}{3}, \\frac{4}{3}, 3, \\cdots$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx-4k+5=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $3x^2+mx+n=0$의 근일 때, $m-n$의 값을 구하여라. (단, $k$, $m$, $n$은 수)", "answer": "$x^2-2kx-4k+5=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $-4k+5=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $-4k+5=k^2$ $k^2+4k-5=0$ $(k-1)(k+5)=0$ $\\therefore$ $ k=1$ 또는 $k=-5$ 따라서 이차방정식 $3x^2+mx+n=0$의 두 근이 $1$과 $-5$이다. $x=1$을 $3x^2+mx+n=0$에 대입하면 $3+m+n=0 \\cdots ㉠$ $x=-5$를 $3x^2+mx+n=0$에 대입하면 $75-5m+n=0\\cdots ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $m=12$, $n=-15$ $\\therefore$ $ m-n$$=12-(-15)$$=27$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2-4x-5$에 대하여 $3f(1)+f(-2)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)$$=2\\times1^2-4\\times1-5$$=-7$ $f(-2)$$=2\\times(-2)^2-4\\times(-2)-5$$=11$ $∴ 3f(1)+f(-2)=3\\times(-7)+11=-10$" }, { "question": "높이가 밑면의 반지름의 길이보다 $5 cm$ 더 긴 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $132\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 높이를 구하여라.", "answer": "원기둥의 높이를 $x cm$라 하면 밑면의 반지름의 길이는 $(x-5) cm$이다. 옆넓이가 $132\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times(x-5)\\times x=132\\pi$에서 $2x^2-10x=132$ $x^2-5x-66=0$ $(x+6)(x-11)=0$ $∴$ $x=-6$ 또는 $x=11$ $x>5$이므로 $x=11$ 따라서 원기둥의 높이는 $11 cm$이다. 원기둥의 높이가 $11 cm$이면 밑면의 반지름의 길이는 $6 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times6\\times11=132\\pi$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." }, { "question": "이차방정식 $x^2+(5-a)x+3a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=1$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+3ax+5-a=0$ $x=1$을 $x^2+3ax+5-a=0$에 대입하여 정리하면 $2a+6=0$ $∴ a=-3$ 처음 이차방정식은 $x^2+8x-9=0$이므로 $(x-1)(x+9)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-9$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-10x+19=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-10x+19=0$에서 $x=\\frac{-(-10)\\pm\\sqrt{(-10)^2-4\\times1\\times19}}{2\\times1}=\\frac{10\\pm\\sqrt{24}}{2} =5\\pm\\sqrt{6}$ $2<\\sqrt{6}<3$이므로 $7<5+\\sqrt{6}<8$ $-3<-\\sqrt{6}<-2$이므로 $2<5-\\sqrt{6}<3$ 따라서 $5-\\sqrt{6}$과 $5+\\sqrt{6}$ 사이에 있는 정수는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$의 $5$ 개이다." }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 큰 정사각형의 한 변의 길이는 작은 정사각형의 한 변의 길이보다 $5$만큼 길다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $433$일 때, 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $x-5$이므로 $x^2+(x-5)^2=433$ $x^2-5x-204=0$ $(x+12)(x-17)=0$ $ \\therefore x=-12$ 또는 $x=17$ $x>5$이므로 $x=17$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $17$이다." }, { "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-10x+3a-2=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<9$)", "answer": "$x^2-10x+3a-2=0$에서 $x^2-10x=-3a+2$ $x^2-10x+25=-3a+2+25$ $(x-5)^2=-3a+27$ $x-5=\\pm\\sqrt{-3a+27}$ $∴$ $x=5\\pm\\sqrt{-3a+27}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-3a+27}$이 $5$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-3a+27}$$=1, 2, 3, 4$ $-3a+27$$=1, 4, 9, 16$ $∴$ $a$$=\\frac{26}{3}, \\frac{23}{3}, 6, \\frac{11}{3}$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $6$이다." }, { "question": "이차방정식 $3(x+2)^2=6k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$3(x+2)^2=6k$에서 $(x+2)^2=2k$ $x+2=\\pm \\sqrt{2k}$ $∴ x=-2\\pm \\sqrt{2k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{2k}$가 정수이어야 한다. 즉, $2k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $2k=0, 1, 4, ···$ $∴ k=0, \\frac{1}{2}, 2, ···$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $2$이다." }, { "question": "이차함수 $f(x)=x^2+bx-c$에 대하여 $f(1)=1$, $f(-2)=-17$일 때, $f(0)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=1$에서 $1^2+b\\times1-c=1$ ∴ $1+b-c=1 ······ ㉠$ $f(-2)=-17$에서 $(-2)^2+b\\times(-2)-c=-17$ ∴ $4-2b-c=-17 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $b=7$, $c=7$ $f(x)=x^2+7x-7$이므로 $f(0)$$=0^2+7\\times0-7$$=-7$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-6x+3=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-6x+3=0$에서 $x$$=$$\\frac{-(-6)\\pm\\sqrt{(-6)^2-4\\times1\\times3}}{2\\times1}=\\frac{6\\pm\\sqrt{24}}{2}$ $=$$3\\pm\\sqrt{6}$ $2<\\sqrt{6}<3$이므로 $5<3+\\sqrt{6}<6$ $-3<-\\sqrt{6}<-2$이므로 $0<3-\\sqrt{6}<1$ 따라서 $3-\\sqrt{6}$과 $3+\\sqrt{6}$ 사이에 있는 정수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$의 $5$ 개이다." }, { "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-12x+5a-4=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<8$)", "answer": "$x^2-12x+5a-4=0$에서 $x^2-12x=-5a+4$ $x^2-12x+36=-5a+4+36$ $(x-6)^2=-5a+40$ $x-6=\\pm\\sqrt{-5a+40}$ $∴ x=6\\pm\\sqrt{-5a+40}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-5a+40}$이 $6$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-5a+40}$$=1, 2, 3, 4, 5$ $-5a+40$$=1, 4, 9, 16, 25$ $∴ a$$=\\frac{39}{5}, \\frac{36}{5}, \\frac{31}{5}, \\frac{24}{5}, 3$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $4(x-3)^2=12k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$4(x-3)^2=12k$에서 $(x-3)^2=3k$ $x-3=\\pm\\sqrt{3k}$ $∴$ $x=3\\pm\\sqrt{3k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{3k}$가 정수이어야 한다. 즉, $3k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $3k$$=0, 1, 4, 9, ···$ $∴$ $k$$=0, \\frac{1}{3}, \\frac{4}{3}, 3, ···$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $3$이다." }, { "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-12x+3a-9=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<15$)", "answer": "$x^2-12x+3a-9=0$에서 $x^2-12x=-3a+9$ $x^2-12x+36=-3a+9+36$ $(x-6)^2=-3a+45$ $x-6=\\pm\\sqrt{-3a+45}$ $∴ x=6\\pm\\sqrt{-3a+45}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-3a+45}$가 $6$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-3a+45}$$=1, 2, 3, 4, 5$ $-3a+45$$=1, 4, 9, 16, 25$ $∴ a$$=\\frac{44}{3}, \\frac{41}{3}, 12, \\frac{29}{3}, \\frac{20}{3}$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $12$이다." }, { "question": "어느 달의 달력에서 둘째 주 월요일의 날짜와 셋째 주 토요일의 날짜를 곱해 보니 $85$가 되었다. 둘째 주 월요일의 날짜를 구하여라.", "answer": "둘째 주 월요일의 날짜가 $x$ 일이라 하면 셋째 주 토요일의 날짜는 $(x+12)$ 일이므로 $x(x+12)=85$ $x^2+12x-85=0$ $(x-5)(x+17)=0$ $∴ x=5$ 또는 $x=-17$ $x>0$이므로 $x=5$ 따라서 둘째 주 월요일의 날짜는 $5$ 일이다." }, { "question": "이차함수 $f(x)=-x^2-5x+3$에 대하여 $f(0)+2f(1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(0)$$=-0^2-5\\times0+3$$=3$ $f(1)$$=-1^2-5\\times1+3$$=-3$ $∴ $$f(0)+2f(1)=3+2\\times(-3)=-3$" }, { "question": "이차방정식 $2(x-3)^2=6k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$2(x-3)^2=6k$에서 $(x-3)^2=3k$ $x-3=\\pm\\sqrt{3k}$ $\\therefore$ $x=3\\pm\\sqrt{3k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{3k}$가 정수이어야 한다. 즉, $3k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $3k$=$0$,$1,$$4$,$9$,$\\cdots$ $\\therefore$ $k$$=0$, ${\\frac{1}{3}}$, $\\frac{4}{3}$,$3$,$\\cdots$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $3$이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-2kx+6k-5=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 근일 때, $mn$의 값을 구하여라. (단, $k$, $m$, $n$은 수)", "answer": "$x^2-2kx+6k-5=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $6k-5=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $6k-5=k^2$ $k^2-6k+5=0$ $(k-1)(k-5)=0$ $∴ k=1$ 또는 $k=5$ 따라서 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 두 근이 $1$과 $5$이다. $x=1$을 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $2+m+n=0 ······$ ㉠ $x=5$를 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $50+5m+n=0 ······ $㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $m=-12$, $n=10$ $∴ mn$$=(-12)\\times10$$=-120$" }, { "question": "어느 달의 달력에서 둘째 주 화요일의 날짜와 넷째 주 수요일의 날짜를 곱해 보니 $216$이 되었다. 넷째 주 수요일의 날짜를 구하여라.", "answer": "넷째 주 수요일의 날짜가 $x$ 일이라 하면 둘째 주 화요일의 날짜는 $(x-15)$ 일이므로 $x(x-15)=216$ $x^2-15x-216=0$ $(x+9)(x-24)=0$ $∴ x=-9$ 또는 $x=24$ $x>15$이므로 $x=24$ 따라서 넷째 주 수요일의 날짜는 $24$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $\\frac{x^2-4x}{5}-3=0.5(x+3)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2-3x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{x^2-4x}{5}-3=0.5(x+3)$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2-8x-30=5x+15$ $2x^2-13x-45=0$ $(x-9)(2x+5)=0$ $∴$ $x=9$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ $x^2-3x+k=0$의 한 근이 $9$이므로 $x=9$를 대입하여 정리하면 $k+54=0$ $∴ k=-54$" }, { "question": "어느 달의 달력에서 첫째 주 수요일의 날짜와 셋째 주 목요일의 날짜를 곱해 보니 $54$가 되었다. 셋째 주 목요일의 날짜를 구하여라.", "answer": "셋째 주 목요일의 날짜가 $x$ 일이라 하면 첫째 주 수요일의 날짜는 $(x-15)$ 일이므로 $x(x-15)=54$ $x^2-15x-54=0$ $(x+3)(x-18)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=18$ $x>15$이므로 $x=18$ 따라서 셋째 주 목요일의 날짜는 $18$ 일이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-14x+39=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-14x+39=0$에서 $x=\\frac{-(-14)\\pm\\sqrt{(-14)^2-4\\times1\\times39}}{2\\times1}=\\frac{14\\pm\\sqrt{40}}{2}$ $=$$7\\pm\\sqrt{10}$ $3<\\sqrt{10}<4$이므로 $10<7+\\sqrt{10}<11$ $-4<-\\sqrt{10}<-3$이므로 $3<7-\\sqrt{10}<4$ 따라서 $7-\\sqrt{10}$과 $7+\\sqrt{10}$ 사이에 있는 정수는 $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$의 $7$ 개이다." }, { "question": "이차방정식 $x^2-12x+33=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-12x+33=0$에서 $x=\\frac{-(-12)\\pm\\sqrt{(-12)^2-4\\times1\\times33}}{2\\times1}=\\frac{12\\pm\\sqrt{12}}{2}$ $=$$6\\pm\\sqrt{3}$ $\\\\$ $1<\\sqrt{3}<2$이므로 $7<6+\\sqrt{3}<8$ $\\\\$ $-2<-\\sqrt{3}<-1$이므로 $4<6-\\sqrt{3}<5$ $\\\\$ 따라서 $6-\\sqrt{3}$과 $6+\\sqrt{3}$ 사이에 있는 정수는 $5$, $6$, $7$의 $3 $개이다." }, { "question": "이차방정식 $\\frac{x^2+8x}{5}+1=0.5(x-1)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2+5x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\frac{x^2+8x}{5}+1=0.5(x-1)$의 양변에 $10$을 곱하면 $2x^2+16x+10=5x-5$ $2x^2+11x+15=0$ $(x+3)(2x+5)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ $x^2+5x+k=0$의 한 근이 $-3$이므로 $x=-3$을 대입하여 정리하면 $k-6=0$ $∴ k=6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-14x+47=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-14x+47=0$에서 $x$$=$$\\frac{-(-14)\\pm\\sqrt{(-14)^2-4\\times1\\times47}}{2\\times1}$$=$$\\frac{14\\pm\\sqrt{8}}{2}$ $=$$7\\pm\\sqrt{2}$ $1<\\sqrt{2}<2$이므로 $8<7+\\sqrt{2}<9$ $-2<-\\sqrt{2}<-1$이므로 $5<7-\\sqrt{2}<6$ 따라서 $7-\\sqrt{2}$와 $7+\\sqrt{2}$ 사이에 있는 정수는 $6$, $7$, $8$의 $3$ 개이다." }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 작은 정사각형의 한 변의 길이는 큰 정사각형의 한 변의 길이보다 $5$만큼 짧다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $493$일 때, 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $x+5$이므로 $x^2+(x+5)^2=493$ $x^2+5x-234=0$ $(x-13)(x+18)=0$ $∴$ $x=13$ 또는 $x=-18$ $x>0$이므로 $x=13$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $13$이다." }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2+mx+1$에서 $f(3)=4$, $f(2)=n$일 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(3)=4$에서 $2\\times3^2+m\\times3+1=4$ $3m+19=4$ $∴ m=-5$ $f(2)=n$에서 $2\\times2^2-5\\times2+1=n$ $∴ n=-1$ $∴ m+n=(-5)+(-1)=-6$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-8x+5=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", "answer": "$x^2-8x+5=0$에서 $=$$4\\pm\\sqrt{11}$ $3<\\sqrt{11}<4$이므로 $7<4+\\sqrt{11}<8$ $-4<-\\sqrt{11}<-3$이므로 $0<4-\\sqrt{11}<1$ 따라서 $4-\\sqrt{11}$과 $4+\\sqrt{11}$ 사이에 있는 정수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$의 $7$ 개이다." }, { "question": "어느 달의 달력에서 둘째 주 수요일의 날짜와 넷째 주 목요일의 날짜를 곱해 보니 $154$가 되었다. 둘째 주 수요일의 날짜를 구하여라.", "answer": "둘째 주 수요일의 날짜가 $x$ 일이라 하면 넷째 주 목요일의 날짜는 $(x+15)$ 일이므로 $x(x+15)=154$ $x^2+15x-154=0$ $(x-7)(x+22)=0$ $\\therefore x=7$ 또는 $x=-22$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 둘째 주 수요일의 날짜는 $7$ 일이다." }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 작은 정사각형의 한 변의 길이는 큰 정사각형의 한 변의 길이보다 $3$만큼 짧다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $549$일 때, 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $x+3$이므로 $x^2+(x+3)^2=549$ $x^2+3x-270=0$ $(x-15)(x+18)=0$ $∴ x=15$ 또는 $x=-18$ $x>0$이므로 $x=15$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $15$이다." }, { "question": "어느 달의 달력에서 둘째 주 금요일의 날짜와 셋째 주 토요일의 날짜를 곱해 보니 $209$가 되었다. 둘째 주 금요일의 날짜를 구하여라.", "answer": "둘째 주 금요일의 날짜가 $x$ 일이라 하면 셋째 주 토요일의 날짜는 $(x+8)$ 일이므로 $x(x+8)=209$ $x^2+8x-209=0$ $(x-11)(x+19)=0$ $∴$ $x=11$ 또는 $x=-19$ $x>0$이므로 $x=11$ 따라서 둘째 주 금요일의 날짜는 $11$ 일이다." }, { "question": "이차함수 $f(x)=4x^2+x+1$에 대하여 $f(2)-3f(1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(2)$$=4\\times2^2+2+1$$=19$ $f(1)$$=4\\times1^2+1+1$$=6$ $∴ $$f(2)-3f(1)=19-3\\times6=1$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2-9x+1$에 대하여 $f(1)+f(-1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)$$=2\\times1^2-9\\times1+1$$=-6$ $f(-1)$$=2\\times(-1)^2-9\\times(-1)+1$$=12$ $∴$ $f(1)+f(-1)=-6+12=6$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2+2x-3$에서 $f(1)=-2$, $f(-1)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=-2$에서 $a\\times1^2+2\\times1-3=-2$ $a-1=-2$ $∴$ $a=-1$ $f(-1)=b$에서 $-(-1)^2+2\\times(-1)-3$$=b$ $∴$ $b=-6$ $∴$ $a+b$$=(-1)+(-6)$$=-7$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2$의 그래프가 점 $(p, p+6)$을 지날 때, $p$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$y=2x^2$에 $x=p$, $y=p+6$을 대입하면 $p+6=2p^2$ $2p^2-p-6=0$ $(p-2)(2p+3)=0$ $∴$ $p=2$ 또는 $p=-\\frac{3}{2}$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프가 두 점 $(2, a)$, $(-1, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프가 점 $(2, a)$를 지나므로 $a=(-\\frac{1}{2})\\times2^2=-2$ 또, 점 $(-1, b)$를 지나므로 $b=(-\\frac{1}{2})\\times(-1)^2=-\\frac{1}{2}$ $\\therefore ab$$=(-2)\\times(-\\frac{1}{2})$$=1$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2-2x+4$에서 $f(-1)=9$, $f(2)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=9$에서 $a\\times(-1)^2-2\\times(-1)+4=9$ $a+6=9$ $∴ a=3$ $f(2)=b$에서 $3\\times2^2-2\\times2+4$$=b$ $∴ b=12$ $∴ a+b$$=3+12$$=15$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하면 두 점 $(-1, m)$, $(5, n)$을 지난다. 이때 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{3}(x-2)^2$ 이 그래프가 점 $(-1, m)$을 지나므로 $m=\\frac{1}{3}\\times(-1-2)^2=3$ 또, 점 $(5, n)$을 지나므로 $n=\\frac{1}{3}\\times(5-2)^2=3$ ∴ $m+n$$=3+3$$=6$" }, { "question": "어떤 상품의 가격을 $10x\\%$만큼 인상하였더니 판매량이 $6x\\%$만큼 줄어서 가격 인상 전과 매출액이 같았다. 이때 $x$의 값을 구하여라. (단, $x>0$)", "answer": "상품의 가격이 $A$ 원일 때의 판매량을 $B$ 개라 하면 $A$ 원에서 $10x \\%$만큼 인상한 가격은 $A(1+\\frac{10x}{100})$ 원, $B$ 개에서 $6x \\%$만큼 줄어든 판매량은 $B(1-\\frac{6x}{100})$ 개이다. 가격 인상 전과 매출액이 같으므로 $A(1+\\frac{10x}{100})\\times B(1-\\frac{6x}{100})=AB$ $(1+\\frac{x}{10})(1-\\frac{3x}{50})=1$ $3x^2-20x=0$ $x(3x-20)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=\\frac{20}{3}$ $x>0$이므로 $x=\\frac{20}{3}$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2-x+3$에서 $f(1)=4$, $f(3)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=4$에서 $a\\times1^2-1+3=4$ $a+2=4$ $∴ a=2$ $f(3)=b$에서 $2\\times3^2-3+3$$=b$ $∴ b=18$ $∴ a+b$$=2+18$$=20$" }, { "question": "이차함수 $y=3(x-p)^2-p^2-1$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=x-3$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=3(x-p)^2-p^2-1$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, -p^2-1)$ 점 $(p, -p^2-1)$이 직선 $y=x-3$ 위에 있으므로 $-p^2-1=p-3$ $p^2+p-2=0$ $(p-1)(p+2)=0$ $∴ p=1$ 또는 $p=-2$ $p>0$이므로 $p=1$" }, { "question": "어떤 상품의 가격을 $6x\\%$만큼 인하하였더니 판매량이 $8x\\%$만큼 늘어서 가격 인하 전과 매출액이 같았다. 이때 $x$의 값을 구하여라. (단, $x>0$)", "answer": "상품의 가격이 $A$ 원일 때의 판매량을 $B$ 개라 하면 $A$ 원에서 $6x \\%$만큼 인하한 가격은 $A(1-\\frac{6x}{100})$ 원, $B$ 개에서 $8x \\%$만큼 늘어난 판매량은 $B(1+\\frac{8x}{100})$ 개이다. 가격 인하 전과 매출액이 같으므로 $A(1-\\frac{6x}{100})\\times B(1+\\frac{8x}{100})=AB$ $(1-\\frac{3x}{50})(1+\\frac{2x}{25})=1$ $6x^2-25x=0$ $x(6x-25)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=\\frac{25}{6}$ $x>0$이므로 $x=\\frac{25}{6}$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프가 두 점 $(a, 12)$, $(-1, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a<0$)", "answer": "$y=3x^2$의 그래프가 $점$ $(a, 12)$를 지나므로 $12=3a^2$ $a^2=4$ $∴$ $a=\\pm2$ $a<0$이므로 $a=-2$ 또, 점 $(-1, b)$를 지나므로 $b=3\\times(-1)^2=3$ $∴$ $ab$$=(-2)\\times3$$=-6$" }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 작은 정사각형의 한 변의 길이는 큰 정사각형의 한 변의 길이보다 $6$만큼 짧다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $356$일 때, 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $x+6$이므로 $x^2+(x+6)^2=356$ $x^2+6x-160=0$ $(x-10)(x+16)=0$ $∴ x=10$ 또는 $x=-16$ $x>0$이므로 $x=10$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $10$이다." }, { "question": "어떤 상품의 가격을 $7x \\%$만큼 인상하였더니 판매량이 $5x \\%$만큼 줄어서 가격 인상 전과 매출액이 같았다. 이때 $x$의 값을 구하여라. (단, $x>0$)", "answer": "상품의 가격이 $A$ 원일 때의 판매량을 $B$ 개라 하면 $A$ 원에서 $7x$ $\\%$만큼 인상한 가격은 $A(1+\\frac{7x}{100})$ 원, $B$ 개에서 $5x$ $\\%$만큼 줄어든 판매량은 $B(1-\\frac{5x}{100})$ 개이다. 가격 인상 전과 매출액이 같으므로 $A(1+\\frac{7x}{100})\\times B(1-\\frac{5x}{100})=AB$ $(1+\\frac{7x}{100})(1-\\frac{x}{20})=1$ $7x^2-40x=0$ $x(7x-40)=0$ $∴$ $x=0$ 또는 $x=\\frac{40}{7}$ $x>0$이므로 $x=\\frac{40}{7}$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=-x^2-bx+c$에 대하여 $f(-1)=7$, $f(2)=-5$일 때, $f(0)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=7$에서 $-(-1)^2-b\\times(-1)+c=7$ $∴$ $-1+b+c=7$ ······ ㉠ $f(2)=-5$에서 $-2^2-b\\times2+c=-5$ $∴$ $-4-2b+c=-5$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에서 $b=3$, $c=5$ $f(x)=-x^2-3x+5$이므로 $f(0)$$=-0^2-3\\times0+5$$=5$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=3x^2-bx+c$에 대하여 $f(-1)=8$, $f(2)=11$일 때, $f(1)$의 값을 구하여라. $\\\\$", "answer": "$f(-1)=8$에서 $3\\times(-1)^2-b\\times(-1)+c=8$ $∴$ $3+b+c=8$ ······ $㉠$ $f(2)=11$에서 $3\\times2^2-b\\times2+c=11$ $∴$ $12-2b+c=11$ ······ $㉡$ $㉠, ㉡$에서 $b=2$, $c=3$ $f(x)=3x^2-2x+3$이므로 $f(1)$$=3\\times1^2-2\\times1+3$$=4$" }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 큰 정사각형의 한 변의 길이는 작은 정사각형의 한 변의 길이보다 $7$만큼 길다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $505$일 때, 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $x-7$이므로 $x^2+(x-7)^2=505$ $x^2-7x-228=0$ $(x+12)(x-19)=0$ $∴ x=-12$ 또는 $x=19$ $x>7$이므로 $x=19$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $19$이다." }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{3}{4}x^2$의 그래프가 점 $(a, -27)$을 지날 때, $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{3}{4}x^2$에 $x=a$, $y=-27$을 대입하면 $-27=-\\frac{3}{4}a^2$ $a^2=36$ $∴ $$a=\\pm6$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{2}{3}x^2$의 그래프가 두 점 $(a, 24)$, $(-3, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=\\frac{2}{3}x^2$의 그래프가 점 $(a, 24)$를 지나므로 $24=\\frac{2}{3}a^2$ $a^2=36$ $∴ $$a=\\pm6$ $a>0$이므로 $a=6$ 또, 점 $(-3, b)$를 지나므로 $b=\\frac{2}{3}\\times(-3)^2=6$ $∴$ $ab$$=6\\times6$$=36$" }, { "question": "어떤 상품의 가격을 $9x\\%$만큼 인상하였더니 판매량이 $6x \\%$만큼 줄어서 가격 인상 전과 매출액이 같았다. 이때 $x$의 값을 구하여라. (단, $x>0$)", "answer": "상품의 가격이 $A$ 원일 때의 판매량을 $B$ 개라 하면 $A$ 원에서 $9x \\%$만큼 인상한 가격은 $A(1+\\frac{9x}{100})$ 원, $B$ 개에서 $6x \\%$만큼 줄어든 판매량은 $B(1-\\frac{6x}{100})$ 개이다. 가격 인상 전과 매출액이 같으므로 $A(1+\\frac{9x}{100})\\times$ $B(1-\\frac{6x}{100})=AB$ $(1+\\frac{9x}{100})(1-\\frac{3x}{50})=1$ $9x^2-50x=0$ $x(9x-50)=0$ $∴$ $x=0$ 또는 $x=\\frac{50}{9}$ $x>0$이므로 $x=\\frac{50}{9}$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2+mx-1$에서 $f(2)=21$, $f(-2)=n$일 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(2)=21$에서 $2\\times2^2+m\\times2-1=21$ $2m+7=21$ $∴$ $m=7$ $f(-2)=n$에서 $2\\times(-2)^2+7\\times(-2)-1$$=n$ $∴$ $n=-7$ $∴$ $mn$$=7\\times(-7)$$=-49$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=x^2-bx+c$에 대하여 $f(-1)=8$, $f(2)=-4$일 때, $f(0)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=8$에서 $(-1)^2-b\\times(-1)+c=8$ $∴$ $1+b+c=8$ ······ ㉠ $f(2)=-4$에서 $2^2-b\\times2+c=-4$ $∴$ $4-2b+c=-4$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에서 $b=5$, $c=2$ $f(x)=x^2-5x+2$이므로 $f(0)$$=0^2-5\\times0+2$$=2$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2-4x+5$에 대하여 $2f(1)+f(2)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)$$=2\\times1^2-4\\times1+5$$=3$ $f(2)$$=2\\times2^2-4\\times2+5$$=5$ $∴ 2f(1)+f(2)=2\\times3+5=11$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2+x-5$에서 $f(-1)=-4$, $f(3)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=-4$에서 $a\\times(-1)^2+(-1)-5=-4$ $a-6=-4$ $∴$ $a=2$ $f(3)=b$에서 $2\\times3^2+3-5$$=b$ $∴$ $b=16$ $∴$ $ab$$=2\\times16$$=32$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2-x-2$에서 $f(-3)=-35$, $f(2)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-3)=-35$에서 $a\\times(-3)^2-(-3)-2=-35$ $9a+1=-35$ $∴$ $a=-4$ $f(2)=b$에서 $(-4)\\times2^2-2-2$$=b$ $∴$ $b=-20$ $∴$ $a+b$$=(-4)+(-20)$$=-24$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=2x^2+ax+b$에 대하여 $f(-1)=4$, $f(2)=7$일 때, $f(1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=4$에서 $2\\times(-1)^2+a\\times(-1)+b=4$ $∴ 2-a+b=4 ······ ㉠$ $f(2)=7$에서 $2\\times2^2+a\\times2+b=7$ $∴ 8+2a+b=7 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $a=-1$, $b=1$ $f(x)=2x^2-x+1$이므로 $f(1)$$=2\\times1^2-1+1$$=2$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(-2, -2)$, $(k, -18)$을 지날 때, 양수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(-2, -2)$를 지나므로 $-2=a\\times(-2)^2$ $∴$ $a=-\\frac{1}{2}$ $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프가 점 $(k, -18)$을 지나므로 $-18=-\\frac{1}{2}k^2$ $k^2=36$ $∴$ $k=\\pm6$ $k$는 양수이므로 $k=6$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{2}{3}x^2$의 그래프가 점 $(a, 24)$를 지날 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=\\frac{2}{3}x^2$에 $x=a$, $y=24$를 대입하면 $24=\\frac{2}{3}a^2$ $a^2=36$ $∴ a=\\pm6$ $a>0$이므로 $a=6$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=ax^2-6x+2$에서 $f(-1)=5$, $f(1)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(-1)=5$에서 $a\\times(-1)^2-6\\times(-1)+2=5$ $a+8=5$ $∴ a=-3$ $f(1)=b$에서 $(-3)\\times1^2-6\\times1+2=b$ $∴ b=-7$ $∴ a+b=(-3)+(-7)=-10$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2$의 그래프가 점 $(p, -9)$를 지날 때, $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=-x^2$에 $x=p$, $y=-9$를 대입하면 $-9=-p^2$ $p^2=9$ $∴ p=\\pm3$ $p>0$이므로 $p=3$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(2, -1)$, $(p, -4)$를 지날 때, 음수 $p$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times2^2$ $∴$ $a=-\\frac{1}{4}$ $y=-\\frac{1}{4}x^2$의 그래프가 점 $(p, -4)$를 지나므로 $-4=-\\frac{1}{4}p^2$ $p^2=16$ $∴$ $p=\\pm4$ $p$는 음수이므로 $p=-4$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프가 점 $(a, 2a+5)$를 지날 때, $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$y=3x^2$에 $x=a$, $y=2a+5$를 대입하면 $2a+5=3a^2$ $3a^2-2a-5=0$ $(a+1)(3a-5)=0$ $∴ $$a=-1$ 또는 $a=\\frac{5}{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=-4x^2$의 그래프가 두 점 $(a, -4)$, $(2, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a<0$)", "answer": "$y=-4x^2$의 그래프가 점 $(a, -4)$를 지나므로 $-4=-4a^2$ $a^2=1$ $∴$ $a=\\pm1$ $a<0$이므로 $a=-1$ 또, 점 $(2, b)$를 지나므로 $b=(-4)\\times2^2=-16$ $∴$ $ab$$=(-1)\\times(-16)$$=16$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $a-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-1, 1)$을 지나므로 $1=a\\times(-1)^2+q$ $∴ 1=a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(2, 7)$을 지나므로 $7=a\\times2^2+q$ $∴ 7=4a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=2$, $q=-1$ $∴ a-q$$=2-(-1)$$=3$" }, { "question": "이차함수 $y=-2x^2$의 그래프가 두 점 $(a, -8)$, $(\\frac{1}{2}, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라. (단, $a<0$)", "answer": "$y=-2x^2$의 그래프가 점 $(a, -8)$을 지나므로 $-8=-2a^2$ $a^2=4$ $∴ a=\\pm2$ $a<0$이므로 $a=-2$ 또, 점 $(\\frac{1}{2}, b)$를 지나므로 $b=(-2)$$\\times(\\frac{1}{2})^2=-\\frac{1}{2}$ $∴ ab$$=(-2)\\times(-\\frac{1}{2})$$=1$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2$의 그래프가 점 $(a, a+3)$을 지날 때, $a$의 값을 모두 구하여라.", "answer": "$y=2x^2$에 $x=a$, $y=a+3$을 대입하면 $a+3=2a^2$ $2a^2-a-3=0$ $(a+1)(2a-3)=0$ $∴ a=-1$ 또는 $a=\\frac{3}{2}$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=3x^2+mx+n$에 대하여 $f(1)=6$, $f(-2)=3$일 때, $f(3)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=6$에서 $3\\times1^2+m\\times1+n=6$ $∴ 3+m+n=6$ $······ ㉠$ $f(-2)=3$에서 $3\\times(-2)^2+m\\times(-2)+n=3$ $∴ 12-2m+n=3$ $······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $m=4$, $n=-1$ $f(x)=3x^2+4x-1$이므로 $f(3)$$=3\\times3^2+4\\times3-1$$=38$" }, { "question": "이차함수 $f(x)=x^2+ax+b$에 대하여 $f(1)=1$, $f(2)=-2$일 때, $f(3)$의 값을 구하여라.", "answer": "$f(1)=1$에서 $1^2+a\\times1+b=1$ $∴ $ $1+a+b=1$ ······ ㉠ $f(2)=-2$에서 $2^2+a\\times2+b=-2$ $∴ $ $4+2a+b=-2$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a=-6$, $b=6$ $f(x)=x^2-6x+6$이므로 $f(3)$$=3^2-6\\times3+6$$=-3$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $aq$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-1, -3)$을 지나므로 $-3=a\\times(-1)^2+q$ $∴$ $-3=a+q$ ······ $㉠$ 또, 점 $(2, -9)$를 지나므로 $-9=a\\times2^2+q$ $∴$ $-9=4a+q$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=-2$, $q=-1$ $∴$ $aq$$=(-2)\\times(-1)$$=2$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $a-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-2, 5)$를 지나므로 $5=a\\times(-2)^2+q$ $∴ 5=4a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(1, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times1^2+q$ $∴ -1=a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=2$,$q=-3$ $∴ a-q=2-(-3)=5$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{5}{4}x^2$의 그래프가 두 점 $(a,5)$, $(-6,b)$를 지날 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=\\frac{5}{4}x^2$의 그래프가 점 $(a, 5)$를 지나므로 $5=\\frac{5}{4}a^2$ $a^2=4$ $∴ a=\\pm2$ $a>0$이므로 $a=2$ 또, 점 $(-6, b)$를 지나므로 $b=\\frac{5}{4}\\times(-6)^2=45$ $∴ a+b=2+45=47$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $aq$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times2^2+q$ $∴ -1=4a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(-4, 8)$을 지나므로 $8=a\\times(-4)^2+q$ $∴ 8=16a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=\\frac{3}{4}$, $q=-4$ ∴ $aq=\\frac{3}{4}\\times(-4)=-3$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(2, 8)$, $(k, 10)$을 지날 때, 양수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(2, 8)$을 지나므로 $8=a\\times2^2$ $∴$ $a=2$ $y=2x^2$의 그래프가 점 $(k, 10)$을 지나므로 $10=2k^2$ $k^2=5$ $∴$ $k=\\pm\\sqrt{5}$ $k$는 양수이므로 $k=\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $2a+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(-2)^2+q$ $∴ -1=4a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(4, 5)$를 지나므로 $5=a\\times4^2+q$ $∴ 5=16a+q ······ ㉡$ $㉠, ㉡$에 의해 $a=\\frac{1}{2}$, $q=-3$ $∴2a+q$$=2\\times\\frac{1}{2}+(-3)$$=-2$" }, { "question": "이차함수 $y=-5x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-3$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동하면 점 $(-2, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-5x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-3$만큼, $y$축의 방향으로 $4$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-5(x+3)^2+4$ 이 그래프가 점 $(-2, k)$를 지나므로 $k=(-5)\\times(-2+3)^2+4=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2-2mx$의 그래프와 $y=x^2-2x-n$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$y$$=2x^2-2mx$$=2(x-\\frac{1}{2}m)^2-\\frac{1}{2}m^2$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(\\frac{1}{2}m, -\\frac{1}{2}m^2)$ $y$$=x^2-2x-n$$=(x-1)^2-n-1$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(1, -n-1)$ $\\frac{1}{2}m=1$, $-n-1=-\\frac{1}{2}m^2$이므로 $m=2$, $n=1$ $∴$ $mn$$=2\\times1$$=2$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{2}{5}x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 $B$라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $A$, $O$라 할 때, $\\triangle OAB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=-5$이므로 $A(-10, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $∴ y=\\frac{2}{5}x^2+bx$ 또, $A(-10, 0)$을 지나므로 $0=\\frac{2}{5}\\times(-10)^2+b\\times(-10)$ $∴ b=4$ $y=\\frac{2}{5}x^2+4x$의 그래프의 꼭짓점 $B$의 $x$좌표가 $-5$이므로 $y=\\frac{2}{5}\\times(-5)^2+4\\times(-5)=-10$ $∴ B(-5, -10)$ $∴ \\triangle OAB$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times10$$=50$" }, { "question": "이차함수 $y=-3(x+1)^2+4$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(2, 4)$를 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(1, 4)$를 지난다. 이때 $ab$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-3(x+1-a)^2+4$의 그래프가 점 $(2, 4)$를 지나므로 $4=-3(2+1-a)^2+4$ $a^2-6a+9=0$ $(a-3)^2=0$ $∴$ $a=3$ $y=-3(x+1)^2+4+b$의 그래프가 점 $(1, 4)$를 지나므로 $4=(-3)\\times(1+1)^2+4+b$ $∴$ $b=12$ $∴$ $ab$$=3\\times12$$=36$" }, { "question": "이차함수 $y=5x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동하면 두 점 $(0, m)$, $(2, n)$을 지난다. 이때 $m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=5x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=5(x-3)^2$ 이 그래프가 점 $(0, m)$을 지나므로 $m=5\\times(0-3)^2=45$ 또, 점 $(2, n)$을 지나므로 $n=5\\times(2-3)^2=5$ $∴$ $m-n$$=45-5$$=40$" }, { "question": "크고 작은 두 개의 정사각형 중 큰 정사각형의 한 변의 길이는 작은 정사각형의 한 변의 길이보다 $3$만큼 길다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $425$일 때, 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", "answer": "큰 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $x-3$이므로 $x^2+(x-3)^2=425$ $x^2-3x-208=0$ $(x+13)(x-16)=0$ $∴ x=-13$ 또는 $x=16$ $x>3$이므로 $x=16$ 따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $16$이다." }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $q-a$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(-2)^2+q$ $∴ -1=4a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(1, 2)$를 지나므로 $2=a\\times1^2+q$ $∴ 2=a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=-1$, $q=3$ $∴$ $q-a$$=3-(-1)$$=4$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(4, -8)$, $(k, -5)$를 지날 때, 양수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(4, -8)$을 지나므로 $-8=a\\times4^2$ $∴$ $a=-\\frac{1}{2}$ $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프가 점 $(k, -5)$를 지나므로 $-5=-\\frac{1}{2}k^2$ $k^2=10$ $∴$ $k=\\pm\\sqrt{10}$ $k$는 양수이므로 $k=\\sqrt{10}$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(4)-f(5)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-x^2+1$ $f(x)=-x^2+1$에 대하여 $f(4)$$=-4^2+1$$=-15$ $f(5)$$=-5^2+1$$=-24$ $∴ f(4)-f(5)=(-15)-(-24)=9$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{3}{4}(x-p)^2+2p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=3x+2$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=\\frac{3}{4}(x-p)^2+2p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, 2p^2)$ 점 $(p, 2p^2)$이 직선 $y=3x+2$ 위에 있으므로 $2p^2=3p+2$ $2p^2-3p-2=0$ $(p-2)(2p+1)=0$ $∴ p=2$ 또는 $p=-\\frac{1}{2}$ $p>0$이므로 $p=2$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $aq$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times(-2)^2+q$ $\\therefore$ $3=4a+q$ $\\cdots\\cdots ㉠$ 또, 점 $(3, 8)$을 지나므로 $8=a\\times3^2+q$ $\\therefore$ $8=9a+q$ $\\cdots\\cdots ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=1$, $q=-1$ $\\therefore$ $aq=1\\times(-1)=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프가 두 점 ($a$, $6$), ($4$, $b$)를 지날 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프가 점 $(a, 6)$을 지나므로 $6=\\frac{3}{2}a^2$ $a^2=4$ $ \\therefore a=\\pm2$ $a>0$이므로 $a=2$ 또, 점 $(4, b)$를 지나므로 $b=\\frac{3}{2}\\times4^2=24$ $ \\therefore a+b$$=2+24$$=26$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-4$만큼, $y$축의 방향으로 $6$만큼 평행이동하면 점 $(-3, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-4$만큼, $y$축의 방향으로 $6$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-(x+4)^2+6$ 이 그래프가 점 $(-3, k)$를 지나므로 $k=-(-3+4)^2+6=5$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(4)-f(-2)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{2}x^2-2$ $f(x)=\\frac{1}{2}x^2-2$에 대하여 $f(4)$$=\\frac{1}{2}\\times4^2-2$$=6$ $f(-2)$$=\\frac{1}{2}\\times(-2)^2-2$$=0$ $∴ $$f(4)-f(-2)=6-0=6$" }, { "question": "이차함수 $y=-6x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동하면 두 점 $(-1, m)$, $(1, n)$을 지난다. 이때 $m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=-6x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-6(x+2)^2$ 이 그래프가 점 $(-1, m)$을 지나므로 $m=(-6)\\times(-1+2)^2=-6$ 또, 점 $(1, n)$을 지나므로 $n=(-6)\\times(1+2)^2=-54$ $∴ m-n$$=(-6)-(-54)$$=48$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=2x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(-2)+f(1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=2x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=2x^2+2$ $f(x)=2x^2+2$에 대하여 $f(-2)$$=2\\times(-2)^2+2$$=10$ $f(1)$$=2\\times1^2+2$$=4$ $∴ f(-2)+f(1)=10+4=14$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(4)+f(-4)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-\\frac{1}{4}x^2-3$ $f(x)=-\\frac{1}{4}x^2-3$에 대하여 $f(4)$$=(-\\frac{1}{4})\\times4^2-3$$=-7$ $f(-4)$$=(-\\frac{1}{4})\\times(-4)^2-3$$=-7$ ∴ $f(4)+f(-4)=(-7)+(-7)=-14$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2+2bx-c$의 그래프가 점 $(1, 5)$를 지나고 꼭짓점이 직선 $y=4x+1$ 위에 있을 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라. (단, $b<0$)", "answer": "$y=2x^2+2bx-c$의 그래프가 점 $(1, 5)$를 지나므로 $5=2\\times1^2+2b\\times1-c$ $∴ c=2b-3$ $y=2x^2+2bx-2b+3=2(x+\\frac{1}{2}b(^2-\\frac{1}{2}b)^2-2b+3)$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-\\frac{1}{2}b, -\\frac{1}{2}b^2-2b+3)$이다. 점 $(-\\frac{1}{2}b, -\\frac{1}{2}b^2-2b+3)$이 직선 $y=4x+1$ 위에 있으므로 $-\\frac{1}{2}b^2-2b+3=4\\times(-\\frac{1}{2}b)+1$ $b^2-4=0$ $b^2=4$ $∴ b=\\pm2$ $b<0$이므로 $b=-2$ $b=-2$를 $c=2b-3$에 대입하면 $c=2\\times(-2)-3=-7$ $∴ bc=(-2)\\times(-7)=14$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{2}{3}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(2)-f(-1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{2}{3}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-\\frac{2}{3}x^2+3$ $f(x)=-\\frac{2}{3}x^2+3$에 대하여 $f(2)$$=(-\\frac{2}{3})\\times2^2+3$$=\\frac{1}{3}$ $f(-1)$$=(-\\frac{2}{3})\\times(-1)^2+3$$=\\frac{7}{3}$ $\\therefore f(2)-f(-1)=\\frac{1}{3}-\\frac{7}{3}=-2$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(2)-f(-1)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=x^2+3$ $f(x)=x^2+3$에 대하여 $f(2)$$=2^2+3$$=7$ $f(-1)$$=(-1)^2+3$$=4$ $∴$ $f(2)-f(-1)=7-4=3$" }, { "question": "이차함수 $y=-2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동하면 점 $(2, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $3$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-2(x-3)^2-1$ 이 그래프가 점 $(2, k)$를 지나므로 $k=(-2)\\times(2-3)^2-1=-3$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 두 점 $(-1, m)$, $(2, n)$을 지난다. 이때 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=3(x-1)^2$ 이 그래프가 점 $(-1, m)$을 지나므로 $m=3\\times(-1-1)^2=12$ 또, 점 $(2, n)$을 지나므로 $n=3\\times(2-1)^2=3$ $∴ $$mn$$=12\\times3$$=36$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동하면 점 $(4, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{2}(x-2)^2-1$ 이 그래프가 점 $(4, k)$를 지나므로 $k=\\frac{1}{2}\\times(4-2)^2-1=1$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $-4$만큼 평행이동하면 점 $(-2,k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=3x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼, $y$축의 방향으로 $-4$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=3(x+1)^2-4$ 이 그래프가 점 $(-2, k)$를 지나므로 $k=3\\times(-2+1)^2-4=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동하면 두 점 $(0, m)$, $(1, n)$을 지난다. 이때 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=2(x+1)^2$ 이 그래프가 점 $(0, m)$을 지나므로 $m=2\\times(0+1)^2=2$ 또, 점 $(1, n)$을 지나므로 $n=2\\times(1+1)^2=8$ $∴$ $m+n$$=2+8$$=10$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=\\frac{3}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(2)+f(-4)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{3}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{3}{4}x^2+1$ $f(x)=\\frac{3}{4}x^2+1$에 대하여 $f(2)$$=\\frac{3}{4}\\times2^2+1$$=4$ $f(-4)$$=\\frac{3}{4}\\times(-4)^2+1$$=13$ $∴ f(2)+f(-4)=4+13=17$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $pq-a$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x-p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(1, 2)$이므로 $p=1$, $q=2$ $y=a(x-1)^2+2$의 그래프가 점 $(0, -3)$을 지나므로 $-3=a+2$ $∴ a=-5$ $∴ pq-a$$=1\\times2-(-5)$$=7$" }, { "question": "이차함수 $y=-4x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동하면 점 $(3, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-4x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-4(x-1)^2+5$ 이 그래프가 점 $(3, k)$를 지나므로 $k=(-4)\\times(3-1)^2+5=-11$" }, { "question": "이차함수 $y=(x-3)^2+1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(2, 10)$을 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(1, 8)$을 지난다. 이때 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=(x-3-a)^2+1$의 그래프가 점 $(2, 10)$을 지나므로 $10=(2-3-a)^2+1$ $a^2+2a-8=0$ $(a-2)(a+4)=0$ $\\therefore$ $a=2$ 또는 $a=-4$ $a>0$이므로 $a=2$ $y=(x-3)^2+1+b$의 그래프가 점 $(1, 8)$을 지나므로 $8=(1-3)^2+1+b$ $\\therefore$ $b=3$ $\\therefore$ $a+b$$=2+3$$=5$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x+p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a+p+q$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x+p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-3, 3)$이므로 $p=3$, $q=3$ $y=a(x+3)^2+3$의 그래프가 점 $(0, -6)$을 지나므로 $-6=9a+3$ $∴$ $a=-1$ $∴$ $a+p+q$$=-1+3+3$$=5$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(4)-f(2)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{3}{2}x^2-2$ $f(x)=\\frac{3}{2}x^2-2$에 대하여 $f(4)$$=\\frac{3}{2}\\times4^2-2$$=22$ $f(2)$$=\\frac{3}{2}\\times2^2-2$$=4$ ∴ $f(4)-f(2)=22-4=18$" }, { "question": "이차함수 $y=6x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-4$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동하면 점 $(-3, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=6x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-4$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=6(x+4)^2-2$ 이 그래프가 점 $(-3, k)$를 지나므로 $k=6\\times(-3+4)^2-2=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-x^2+3x+10$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-x^2+3x+10$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+3x+10$ $x^2-3x-10=0$ $(x+2)(x-5)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=5$ $∴ A(-2, 0)$, $B(5, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=10$ $∴ C(0, 10)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times7\\times10$$=35$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(3, -27)$, $(k, -6)$을 지날 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(3, -27)$을 지나므로 $-27=a\\times3^2$ $∴ a=-3$ $y=-3x^2$의 그래프가 점 $(k, -6)$을 지나므로 $-6=-3k^2$ $k^2=2$ $∴ k=\\pm\\sqrt{2}$ $k$는 음수이므로 $k=-\\sqrt{2}$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{3}{5}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동하면 두 점 $(0, m)$, $(3, n)$을 지난다. 이때 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=\\frac{3}{5}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{3}{5}(x-5)^2$ 이 그래프가 점 $(0, m)$을 지나므로 $m=\\frac{3}{5}\\times(0-5)^2=15$ 또, 점 $(3, n)$을 지나므로 $n=\\frac{3}{5}\\times(3-5)^2=\\frac{12}{5}$ $∴$ $mn$$=15\\times\\frac{12}{5}$$=36$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{2}(x-p)^2-p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=-x-2$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=\\frac{1}{2}(x-p)^2-p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, -p^2)$ 점 $(p, -p^2)$이 직선 $y=-x-2$ 위에 있으므로 $-p^2=-p-2$ $p^2-p-2=0$ $(p+1)(p-2)=0$ ∴ $p=-1$ 또는 $p=2$ $p>0$이므로 $p=2$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $18$만큼 평행이동한 그래프와 $y=-\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $9$만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 색칠한 다각형 $ABDC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2+18$에서 $A(0, 18)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2+18$ $x^2=36$ $∴ x=\\pm6$ $∴ B(-6, 0)$, $C(6, 0)$ $y=-\\frac{1}{4}x^2+9$에서 $D(0, 9)$ $∴(다각형 ABCD의 넓이)=\\triangle ABC-\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times12\\times18-\\frac{1}{2}\\times12\\times9$ $=$$54$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동하면 점 $(0, k)$를 지난다. 이때 $k$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{4}(x-2)^2+3$ 이 그래프가 점 $(0, k)$를 지나므로 $k=\\frac{1}{4}\\times(0-2)^2+3=4$" }, { "question": "이차함수 $y=2(x+1)^2-4$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(-1, 4)$를 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(-2, -3)$을 지난다. 이때 $ab$의 값을 구하여라. (단, $a<0$)", "answer": "$y=2(x+1-a)^2-4$의 그래프가 점 $(-1, 4)$를 지나므로 $4=2(-1+1-a)^2-4$ $a^2-4=0$ $a^2=4$ $\\therefore$ $a=\\pm2$ $a<0$이므로 $a=-2$ $y=2(x+1)^2-4+b$의 그래프가 점 $(-2, -3)$을 지나므로 $-3=2\\times(-2+1)^2-4+b$ $\\therefore$ $b=-1$ $\\therefore$ $ab$$=(-2)\\times(-1)$$=2$" }, { "question": "이차함수 $y=4x^2-8x+m$의 그래프와 $y=-2x^2+4nx-3$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$y$$=4x^2-8x+m$$=4(x-1)^2+m-4$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(1$,$ m-4)$ $y$$=-2x^2+4nx-3$$=-2(x-n)^2+2n^2-3$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(n, 2n^2-3)$ $n=1$, $2n^2-3=m-4$이므로 $m=3$, $n=1$ $∴ m+n$$=3+1$$=4$" }, { "question": "이차함수 $y=-(x-p)^2+\\frac{3}{2}p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=x+\\frac{1}{2}$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=-(x-p)^2+\\frac{3}{2}p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, \\frac{3}{2}p^2)$ 점 $(p, \\frac{3}{2}p^2)$이 직선 $y=x+\\frac{1}{2}$ 위에 있으므로 $\\frac{3}{2}p^2=p+\\frac{1}{2}$ $3p^2-2p-1=0$ $(p-1)(3p+1)=0$ $∴$ $p=1$ 또는 $p=-\\frac{1}{3}$ $p>0$이므로 $p=1$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-2x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $8$만큼 평행이동한 그래프와 $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 색칠한 다각형 $ABDC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-2x^2+8$에서 $A(0, 8)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-2x^2+8$ $x^2=4$ $∴ x=\\pm2$ $∴ B(-2, 0)$, $C(2, 0)$ $y=-\\frac{1}{2}x^2+2$에서 $D(0, 2)$ $\\therefore (다각형 ABDC의 넓이)=\\triangle ABC - \\triangle BCD = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 8 - \\frac{1}{2} \\times4 \\times2 = 12 $" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2+5x-6$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p$,$q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $pq+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2+5x-6$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+5x-6$ $x^2-5x+6=0$ $(x-2)(x-3)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=3$ $∴$ $p=2$, $q=3$ 또는 $p=3$$,$ $q=2$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-6$ $∴$ $r=-6$ $∴$ $pq+r$$=2\\times3+(-6)$$=0$" }, { "question": "이차함수 $y=-(x-p)^2+p^2+2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=x+4$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=-(x-p)^2+p^2+2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, p^2+2)$ 점 $(p, p^2+2)$가 직선 $y=x+4$ 위에 있으므로 $p^2+2=p+4$ $p^2-p-2=0$ $(p+1)(p-2)=0$ $∴$ $p=-1$ 또는 $p=2$ $p>0$이므로 $p=2$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a+p+q$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x-p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(1, 1)$이므로 $p=1$, $q=1$ $y=a(x-1)^2+1$의 그래프가 점 $(0, 4)$를 지나므로 $4=a+1$ $∴$ $a=3$ $∴$ $a+p+q$$=3+1+1$$=5$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2-4mx+1$의 그래프와 $y=-3x^2-6x+n$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$y$$=2x^2-4mx+1$$=2(x-m)^2-2m^2+1$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(m, -2m^2+1)$ $y$$=-3x^2-6x+n$$=-3(x+1)^2+n+3$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-1, n+3)$ $m=-1$, $n+3=-2m^2+1$이므로 $m=-1$, $n=-4$ $\\therefore$ $mn$$=(-1)\\times(-4)$$=4$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 평행이동한 것이다. 이 그래프를 나타내는 식을 $y=f(x)$라 할 때, $f(1)-f(3)$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-x^2-1$ $f(x)=-x^2-1$에 대하여 $f(1)$$=-1^2-1$$=-2$ $f(3)$$=-3^2-1$$=-10$ $∴ f(1)-f(3)=(-2)-(-10)=8$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{3}(x-p)^2+2p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=-x+3$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p<0$)", "answer": "$y=\\frac{1}{3}(x-p)^2+2p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, 2p^2)$ 점 $(p, 2p^2)$이 직선 $y=-x+3$ 위에 있으므로 $2p^2=-p+3$ $2p^2+p-3=0$ $(p-1)(2p+3)=0$ $∴ p=1$ 또는 $p=-\\frac{3}{2}$ $p<0$이므로 $p=-\\frac{3}{2}$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a+p+q$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x-p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-1, -4)$이므로 $p=-1$, $q=-4$ $y=a(x+1)^2-4$의 그래프가 점 $(0, -2)$를 지나므로 $-2=a-4$ $∴$ $a=2$ $∴$ $a+p+q$$=2+(-1)+(-4)$$=-3$" }, { "question": "이차함수 $y=3(x-2)^2+1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(2, 4)$를 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(1, 10)$을 지난다. 이때 $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$y=3(x-2-a)^2+1$의 그래프가 점 $(2, 4)$를 지나므로 $4=3(2-2-a)^2+1$ $a^2-1=0$ $a^2=1$ $∴$ $a=\\pm1$ $a>0$이므로 $a=1$ $y=3(x-2)^2+1+b$의 그래프가 점 $(1, 10)$을 지나므로 $10=3\\times(1-2)^2+1+b$ $∴$ $b=6$ $∴$ $a+b$$=1+6$$=7$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{3}{4}x^2+3x+9$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$, $x$축의 양의 부분과의 교점을 $C$라 할 때, $\\square OCBA$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "$y=-\\frac{3}{4}x^2+3x+9$에 $x=0$을 대입하면 $y=9$이므로 $A(0, 9)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{3}{4}x^2+3x+9$ $x^2-4x-12=0$ $(x+2)(x-6)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=6$ $∴ C(6, 0)$ $y$$=-\\frac{3}{4}x^2+3x+9$$=-\\frac{3}{4}(x-2)^2+12$이므로 $B(2, 12)$ $∴ \\square$$OCBA=$$\\triangle$$OBA$+$\\triangle$$OCB$$=\\frac{1}{2}\\times9\\times2+\\frac{1}{2}\\times6\\times12$ $=$$45$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a+p+q$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x-p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(2, -5)$이므로 $p=2$, $q=-5$ $y=a(x-2)^2-5$의 그래프가 점 $(0, 3)$을 지나므로 $3=4a-5$ $∴ a=2$ $∴ a+p+q$$=2+2+(-5)$$=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2-5x-3$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $a$, $b$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $c$일 때, $2ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=2x^2-5x-3$에 $y=0$을 대입하면 $0=2x^2-5x-3$ $(x-3)(2x+1)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $∴ a=3$, $b=-\\frac{1}{2}$ 또는 $a=-\\frac{1}{2}$, $b=3$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-3$ $∴ c=-3$ $∴ 2ab-c$$=2\\times3\\times(-\\frac{1}{2})-(-3)$$=0$" }, { "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(1, -2)$, $(p, -8)$을 지날 때, 양수 $p$의 값을 구하여라.", "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(1, -2)$를 지나므로 $-2=a\\times1^2$ $∴$ $a=-2$ $y=-2x^2$의 그래프가 점 $(p, -8)$을 지나므로 $-8=-2p^2$ $p^2=4$ $∴$ $p=\\pm2$ $p$는 양수이므로 $p=2$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2+mx$의 그래프와 $y=2x^2-8x+n$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$y$$=-x^2+mx$$=-(x-\\frac{1}{2}m)^2+\\frac{1}{4}m^2$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(\\frac{1}{2}m, \\frac{1}{4}m^2)$ $y$$=2x^2-8x+n$$=2(x-2)^2+n-8$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(2, n-8)$ $\\frac{1}{2}m=2$, $n-8=\\frac{1}{4}m^2$이므로 $m=4$, $n=12$ $∴$ $m+n$$=4+12$$=16$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $apq$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", "answer": "$y=a(x-p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(3, 5)$이므로 $p=3$, $q=5$ $y=a(x-3)^2+5$의 그래프가 점 $(0, 2)$를 지나므로 $2=9a+5$ $∴$ $a=-\\frac{1}{3}$ $∴$ $apq$$=(-\\frac{1}{3})\\times3\\times5$$=-5$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, 0)$을 지나고 꼭짓점이 직선 $y=x-5$ 위에 있을 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라. $(단, b>0)$", "answer": "$y=x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, 0)$을 지나므로 $0=(-1)^2+2b\\times(-1)+c$ $∴$ $c=2b-1$ $y$$=x^2+2bx+2b-1$$=(x+b)^2-b^2+2b-1$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-b, -b^2+2b-1)$이다. 점 $(-b, -b^2+2b-1)$이 직선 $y=x-5$ 위에 있으므로 $-b^2+2b-1=-b-5$ $b^2-3b-4=0$ $(b+1)(b-4)=0$ $∴$ $b=-1$ 또는 $b=4$ $b>0$이므로 $b=4$ $b=4$를 $c=2b-1$에 대입하면 $c$$=2\\times4-1$$=7$ $∴$ $bc$$=4\\times7$$=28$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $9$만큼 평행이동한 그래프와 $y=\\frac{1}{3}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 색칠한 사각형 $ABDC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-x^2+9$에서 $A(0, 9)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+9$ $x^2=9$ $∴ x=\\pm3$ $∴$ $B(-3, 0)$, $C(3, 0)$ $y=\\frac{1}{3}x^2-3$에서 $D(0, -3)$ $∴$$(사각형 ABCD의 넓이)$$=$$\\triangle ABC+\\triangle BDC$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times9+\\frac{1}{2}\\times6\\times3$ $=$$36$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2-7x-6$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p$, $q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $pqr$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2-7x-6$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2-7x-6$ $x^2+7x+6=0$ $(x+1)(x+6)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=-6$ $∴ $$p=-1$, $q=-6$ 또는 $p=-6$$,$ $q=-1$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-6$ $∴ $$r=-6$ $∴$ $pqr$$=(-1)\\times(-6)\\times(-6)$$=-36$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+px+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a-p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(-2, 4)$이므로 $y=a(x+2)^2+4$ 이 그래프가 점 $(1, -5)$를 지나므로 $-5=a\\times(1+2)^2+4$ $∴ a=-1$ $y$$=-(x+2)^2+4$$=-x^2-4x$이므로 $a=-1$, $p=-4$, $q=0$ $∴ a-p+q$$=-1-(-4)+0$$=3$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나고 꼭짓점이 직선 $y=x-6$ 위에 있을 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라. (단, $b<0$)", "answer": "$y=3x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나므로 $-1=3\\times1^2+2b\\times1+c$ $∴ c=-2b-4$ $y$$=3x^2+2bx-2b-4$$=3(x+\\frac{1}{3}b)^2-\\frac{1}{3}b^2-2b-4$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-\\frac{1}{3}b, -\\frac{1}{3}b^2-2b-4)$이다. 점 $(-\\frac{1}{3}b, -\\frac{1}{3}b^2-2b-4)$가 직선 $y=x-6$ 위에 있으므로 $-\\frac{1}{3}b^2-2b-4=-\\frac{1}{3}b-6$ $b^2+5b-6=0$ $(b-1)(b+6)=0$ $∴ b=1$ 또는 $b=-6$ $b<0$이므로 $b=-6$ $b=-6$을 $c=-2b-4$에 대입하면 $c$$=(-2)\\times(-6)-4$$=8$ $∴ bc$$=(-6)\\times8$$=-48$" }, { "question": "이차함수 $y=-2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동하면 두 점 $(-2, m)$, $(1, n)$을 지난다. 이때 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "이차함수 $y=-2x^2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-2(x+1)^2$ 이 그래프가 점 $(-2, m)$을 지나므로 $m=(-2)\\times(-2+1)^2=-2$ 또, 점 $(1, n)$을 지나므로 $n=(-2)\\times(1+1)^2=-8$ $∴ mn$$=(-2)\\times(-8)$$=16$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-x^2+2x+8$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-x^2+2x+8$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+2x+8$ $x^2-2x-8=0$ $(x+2)(x-4)=0$ $ \\therefore x=-2$ 또는 $x=4$ $ \\therefore A(-2, 0)$, $B(4, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=8$ $ \\therefore C(0, 8)$ $ \\therefore \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times8$$=24$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=2x^2-4x-16$의 그래프이다. 꼭짓점을 $B$, $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=2x^2-4x-16$$=2(x-1)^2-18$이므로 $B(1, -18)$ $y=2x^2-4x-16$에 $y=0$을 대입하면 $0=2x^2-4x-16$ $x^2-2x-8=0$ $(x+2)(x-4)=0$ ∴ $x=-2$ 또는 $x=4$ ∴ $A(-2, 0)$, $C(4, 0)$ ∴ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times18$$=54$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{1}{4}x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 $B$라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $O$, $A$라 할 때, $\\triangle OAB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=8$이므로 $A(16, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $∴ y=-\\frac{1}{4}x^2+bx$ 또, $A(16, 0)$을 지나므로 $0=(-\\frac{1}{4})\\times16^2+b\\times16$ $∴ b=4$ $y=-\\frac{1}{4}x^2+4x$의 그래프의 꼭짓점 $B$의 $x$좌표가 $8$이므로 $y=-\\frac{1}{4}\\times8^2+4\\times8=16$ $∴ B(8, 16)$ $∴ \\triangle OAB$$=\\frac{1}{2}\\times16\\times16$$=128$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{2}{3}(x-p)^2+3p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=-x+4$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p>0$)", "answer": "$y=-\\frac{2}{3}(x-p)^2+3p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, 3p^2)$ 점 $(p, 3p^2)$이 직선 $y=-x+4$ 위에 있으므로 $3p^2=-p+4$ $3p^2+p-4=0$ $(p-1)(3p+4)=0$ $∴$ $p=1$ 또는 $p=-\\frac{4}{3}$ $p>0$이므로 $p=1$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 A라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $O$, $B$라 할 때, $\\triangle OAB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=2$이므로 $B(4, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $∴ y=2x^2+bx$ 또, $B(4, 0)$을 지나므로 $0=2\\times4^2+b\\times4$ $∴ b=-8$ $y=2x^2-8x$의 그래프의 꼭짓점 A의 $x$좌표가 $2$이므로 $y=2\\times2^2-8\\times2=-8$ $∴ A(2, -8)$ $∴ \\triangle OAB$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times8$$=16$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2+2mx-n$의 그래프가 점 $(-2, 7)$을 지나고 꼭짓점이 직선 $y=3x-5$ 위에 있을 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라. (단,$ m>0$)", "answer": "$y=x^2+2mx-n$의 그래프가 점 $(-2, 7)$을 지나므로 $7=(-2)^2+2m\\times(-2)-n$ $∴$ $n=-4m-3$ $y$$=x^2+2mx+4m+3$$=(x+m)^2-m^2+4m+3$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-m, -m^2+4m+3)$이다. 점 $(-m, -m^2+4m+3)$이 직선 $y=3x-5$ 위에 있으므로 $-m^2+4m+3=-3m-5$ $m^2-7m-8=0$ $(m+1)(m-8)=0$ $∴$ $m=-1$ 또는 $m=8$ $m>0$이므로 $m=8$ $m=8$을 $n=-4m-3$에 대입하면 $n$$=(-4)\\times8-3$$=-35$ $∴$ $m+n$$=8+(-35)$$=-27$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2-2x-8$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p$, $q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=3x^2-2x-8$에 $y=0$을 대입하면 $0=3x^2-2x-8$ $(x-2)(3x+4)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-\\frac{4}{3}$ $∴ p=2$, $q=-\\frac{4}{3}$ 또는 $p=-\\frac{4}{3}$, $q=2$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-8$ $∴ r=-8$ $∴ p+q+r$$=2+(-\\frac{4}{3})+(-8)$$=-\\frac{22}{3}$" }, { "question": "직선 $x=3$을 축으로 하고 두 점 $(1, 5)$, $(2, 2)$를 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $apq$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=3$이므로 $p=3$ 즉, $y=a(x-3)^2+q$의 그래프가 점 $(1, 5)$를 지나므로 $5=a\\times(1-3)^2+q$ $∴$ $5=4a+q$ ······ ㉠ 또, 점 $(2, 2)$를 지나므로 $2=a\\times(2-3)^2+q$ $∴$ $2=a+q$ ······ ㉡ $㉠, ㉡$을 연립하여 풀면 $a=1$, $q=1$ $∴$ $apq$$=1\\times3\\times1$$=3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2-3x+8$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 A, B라 하고, $y$축과의 교점을 C라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2-3x+8$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2-3x+8$ $x^2+6x-16=0$ $(x-2)(x+8)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-8$ $∴ A(-8, 0)$, $B(2, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=8$ $∴ C(0, 8)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times8$$=40$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, -3)$을 지나고 꼭짓점이 직선 $y=4x+3$ 위에 있을 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=2x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, -3)$을 지나므로 $-3=2\\times(-1)^2+2b\\times(-1)+c$ $∴ c=2b-5$ $y$$=2x^2+2bx+2b-5$$=2(x+\\frac{1}{2}b)^2-\\frac{1}{2}b^2+2b-5$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-\\frac{1}{2}b, -\\frac{1}{2}b^2+2b-5)$이다. 점 $(-\\frac{1}{2}b, -\\frac{1}{2}b^2+2b-5)$가 직선 $y=4x+3$ 위에 있으므로 $-\\frac{1}{2}b^2+2b-5=4\\times(-\\frac{1}{2}b)+3$ $b^2-8b+16=0$ $(b-4)^2=0$ $∴ b=4$ $b=4$를 $c=2b-5$에 대입하면 $c$$=2\\times4-5$$=3$ $∴ bc$$=4\\times3$$=12$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2+7x-10$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p, $$q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2+7x-10$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+7x-10$ $x^2-7x+10=0$ $(x-2)(x-5)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=5$ $∴ p=2$, $q=5$ 또는 $p=5$$,$ $q=2$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-10$ $∴ r=-10$ $∴ p+q+r$ $=2+5+(-10)$$=-3$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, 4)$를 지나고 꼭짓점이 직선 $y=2x+7$ 위에 있을 때, 수 $b$, $c$에 대하여 $bc$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=x^2+2bx+c$의 그래프가 점 $(-1, 4)$를 지나므로 $4=(-1)^2+2b\\times(-1)+c$ $∴ c=2b+3$ $y$$=x^2+2bx+2b+3$$=(x+b)^2-b^2+2b+3$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-b, -b^2+2b+3)$이다. 점 $(-b, -b^2+2b+3)$이 직선 $y=2x+7$ 위에 있으므로 $-b^2+2b+3=-2b+7$ $b^2-4b+4=0$ $(b-2)^2=0$ $∴ b=2$ $b=2$를 $c=2b+3$에 대입하면 $c$$=2\\times2+3$$=7$ $∴bc$$=2\\times7$$=14$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-2x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $8$만큼 평행이동한 그래프와 $y=\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 색칠한 사각형$ ABDC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-2x^2+8$에서 $A(0, 8)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-2x^2+8$ $x^2=4$ $∴ x=\\pm2$ $∴ B(-2, 0)$, $C(2, 0)$ $y=\\frac{1}{2}x^2-2$에서 $D(0, -2)$ $=$$20$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2-4x-5$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p, $$q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=x^2-4x-5$에 $y=0$을 대입하면 $0=x^2-4x-5$ $(x+1)(x-5)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=5$ $∴ p=-1$, $q=5$ 또는 $p=5$$,$ $q=-1$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-5$ $∴$ $r=-5$ $∴$ $p+q+r$$=-1+5+(-5)$$=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+px+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a+p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(-1, 7)$이므로 $y=a(x+1)^2+7$ 이 그래프가 점 $(0, 5)$를 지나므로 $5=a\\times(0+1)^2+7$ ∴ $a=-2$ $y$$=-2(x+1)^2+7$$=-2x^2-4x+5$이므로 $a=-2$, $p=-4$, $q=5$ ∴ $a+p+q$$=-2+(-4)+5$$=-1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2+x+4$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 A, B라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2+x+4$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2+x+4$ $x^2-2x-8=0$ $(x+2)(x-4)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=4$ $∴ A(-2, 0)$, $B(4, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=4$ $∴ C(0, 4)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times4$$=12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-\\frac{2}{3}x^2+4x+18$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{2}{3}x^2+4x+18$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{2}{3}x^2+4x+18$ $x^2-6x-27=0$ $(x+3)(x-9)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=9$ $∴$ $A(-3, 0)$, $B(9, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=18$ $∴$ $C(0, 18)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times18$$=108$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2-3x-2$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p, $$q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $pqr$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=2x^2-3x-2$에 $y=0$을 대입하면 $0=2x^2-3x-2$ $(x-2)(2x+1)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-\\frac{1}{2}$ $∴ p=2$, $q=-\\frac{1}{2}$ 또는 $p=-\\frac{1}{2}$$,$ $q=2$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=-2$ $∴ r=-2$ $∴ pqr=2\\times(-\\frac{1}{2})\\times(-2)=2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-\\frac{1}{3}x^2+x+6$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{3}x^2+x+6$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{3}x^2+x+6$ $x^2-3x-18=0$ $(x+3)(x-6)=0$ $\\\\$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=6$ $∴$ $A(-3, 0)$, $B(6, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=6$ $∴$ $C(0, 6)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times9\\times6$$=27$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-2x^2+4x+6$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각 $B, C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-2x^2+4x+6$$=-2(x-1)^2+8$이므로 $A(1, 8)$ $y=-2x^2+4x+6$에 $y=0$을 대입하면 $0=-2x^2+4x+6$ $x^2-2x-3=0$ $(x+1)(x-3)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=3$ $∴$ $B(-1, 0)$, $C(3, 0)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times8$$=16$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{5}{2}x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 $B$라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $A, O$라 할 때, $\\triangle AOB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=-2$이므로 $A(-4, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $\\therefore$ $y=-\\frac{5}{2}x^2+bx$ 또, $A(-4, 0)$을 지나므로 $0=(-\\frac{5}{2})\\times(-4)^2+b\\times(-4)$ $\\therefore$ $b=-10$ $y=-\\frac{5}{2}x^2-10x$의 그래프의 꼭짓점 B의 $x$좌표가 $-2$이므로 $y=-\\frac{5}{2}\\times(-2)^2-10\\times(-2)=10$ $\\therefore$ $B(-2, 10)$ $\\therefore$ $\\triangle AOB$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times10$$=20$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2-2x+3$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각 $B$, $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-x^2-2x+3$$=-(x+1)^2+4$이므로 $A(-1, 4)$ $y=-x^2-2x+3$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2-2x+3$ $x^2+2x-3=0$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-3$ $∴$ $B(-3, 0)$, $C(1, 0)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2-x+12$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $P$, $Q$라 하고, $y$축과의 교점을 $R$라 할 때, $\\triangle PQR$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2-x+12$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2-x+12$ $x^2+2x-24=0$ $(x-4)(x+6)=0$ $∴$ $x=4$ 또는 $x=-6$ $∴$ $P(-6, 0)$, $Q(4, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=12$ $∴$ $R(0, 12)$ $∴$ $\\triangle PQR$$=\\frac{1} {2}\\times10\\times12$$=60$" }, { "question": "다음 그림과 같이 이차함수 $y=-x^2-4x+5$의 그래프와 $x$축과의 두 교점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과의 교점을 $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y=-x^2-4x+5$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2-4x+5$ $x^2+4x-5=0$ $(x-1)(x+5)=0$ ∴ $x=1$ 또는 $x=-5$ ∴ $A(-5, 0)$, $B(1, 0)$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=5$ ∴ $C(0, 5)$ ∴ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times5$$=15$" }, { "question": "세 점 $(0, -4)$, $(-2, 4)$, $(1, -11)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 $점 (0, -4)$를 지나므로 $-4=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴$ $c=-4$ $y=ax^2+bx-4$의 그래프가 $점 (-2, 4)$를 지나므로 $4=a\\times(-2)^2+b\\times(-2)-4$ $∴$ $4=4a-2b-4$ ······ ㉠ 또, 점 $(1, -11)$을 지나므로 $-11=a\\times1^2+b\\times1-4$ $∴$ $-11=a+b-4$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a=-1$, $b=-6$ 따라서 $y=-x^2-6x-4=-(x+3)^2+5$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(-3, 5)$이다." }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2+2x-9$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $R$, 꼭짓점을 $Q$, $x$축의 음의 부분과의 교점을 $P$라 할 때, $\\square OPQR$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "$y=\\frac{1}{3}x^2+2x-9$에 $x=0$을 대입하면 $y=-9$이므로 $R(0, -9)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=\\frac{1}{3}x^2+2x-9$ $x^2+6x-27=0$ $(x-3)(x+9)=0$ $∴$ $x=3$ 또는 $x=-9$ $∴$ $P(-9, 0)$ $y$$=\\frac{1}{3}x^2+2x-9$$=\\frac{1}{3}(x+3)^2-12$이므로 $Q(-3, -12)$ $\\therefore$$\\square OPQR = \\triangle OQR+ \\triangle OPQ$ $=$$\\frac{1}{2}\\times9\\times3+\\frac{1}{2}\\times9\\times12$ $=$$\\frac{135}{2}$" }, { "question": "이차함수 $y=-2x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, -4)$, $(1, c)$, $(2, -2)$를 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-2x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, -4)$를 지나므로 $-4=(-2)\\times0^2+a\\times0+b$ $∴ b=-4$ $y=-2x^2+ax-4$의 그래프가 점 $(2, -2)$를 지나므로 $-2=-2\\times2^2+a\\times2-4$ $∴ a=5$ $y=-2x^2+5x-4$의 그래프가 점 $(1, c)$를 지나므로 $c=-2\\times1^2+5\\times1-4=-1$ $∴ a-b+c$$=5-(-4)+(-1)$$=8$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{4}x^2-x+3$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각 $B$, $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-\\frac{1}{4}x^2-x+3$$=-\\frac{1}{4}(x+2)^2+4$이므로 $A(-2, 4)$ $y=-\\frac{1}{4}x^2-x+3$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{4}x^2-x+3$ $x^2+4x-12=0$ $(x-2)(x+6)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-6$ $∴ B(-6, 0)$, $C(2, 0)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times4$$=16$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2-4mx-n$의 그래프가 점 $(1, -3)$을 지나고 꼭짓점이 직선 $y=x-10$ 위에 있을 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라. (단, $m<0$)", "answer": "$y=2x^2-4mx-n$의 그래프가 점 $(1, -3)$을 지나므로 $-3=2\\times1^2-4m\\times1-n$ $∴ n=-4m+5$ $y$$=2x^2-4mx+4m-5$$=2(x-m)^2-2m^2+4m-5$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(m, -2m^2+4m-5)$이다. 점 $(m, -2m^2+4m-5)$가 직선 $y=x-10$ 위에 있으므로 $-2m^2+4m-5=m-10$ $2m^2-3m-5=0$ $(m+1)(2m-5)=0$ $∴ m=-1$ 또는 $m=\\frac{5}{2}$ $m<0$이므로 $m=-1$ $m=-1$을 $n=-4m+5$에 대입하면 $n$$=(-4)\\times(-1)+5$$=9$ $∴ mn$$=(-1)\\times9$$=-9$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+6x+b$의 그래프가 세 점 $(0, 1)$, $(1, c)$, $(3, -8)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+6x+b$의 그래프가 점 $(0, 1)$을 지나므로 $1=a\\times0^2+6\\times0+b$ $∴$ $b=1$ $y=ax^2+6x+1$의 그래프가 점 $(3, -8)$을 지나므로 $-8=a\\times3^2+6\\times3+1$ $∴$ $a=-3$ $y=-3x^2+6x+1$의 그래프가 점 $(1, c)$를 지나므로 $c=-3\\times1^2+6\\times1+1=4$ $∴$ $abc$$=(-3)\\times1\\times4$$=-12$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2+4x+21$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각$ B$,$ C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-x^2+4x+21$$=-(x-2)^2+25$이므로 $A(2, 25)$ $y=-x^2+4x+21$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+4x+21$ $x^2-4x-21=0$ $(x+3)(x-7)=0$ $∴$ $x=-3$ 또는 $x=7$ $∴ $$B(-3, 0)$, $C(7, 0)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times25$$=125$" }, { "question": "이차함수 $y=-x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 $B$라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $A$, $O$라 할 때, $\\triangle AOB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=-2$이므로 $A(-4, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $∴ y=-x^2+bx$ 또, $A(-4, 0)$을 지나므로 $0=-(-4)^2+b\\times(-4)$ $∴b=-4$ $y=-x^2-4x$의 그래프의 꼭짓점 B의 $x$좌표가 $-2$이므로 $y=-(-2)^2-4\\times(-2)=4$ $∴B(-2, 4)$ $∴\\triangle AOB$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2-2x+8$의 그래프이다. y축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$, x축의 음의 부분과의 교점을 $C$라 할 때, $\\square OABC$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "$y=-x^2-2x+8$에 $x=0$을 대입하면 $y=8$이므로 $A(0, 8)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-x^2-2x+8$ $x^2+2x-8=0$ $(x-2)(x+4)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-4$ $∴ C(-4, 0)$ $y=-x^2-2x+8$$=-(x+1)^2+9$이므로 $B(-1, 9)$ $∴ □OABC=△OAB+△OBC=\\frac{1}{2}\\times8\\times1+\\frac{1}{2}\\times4\\times9$$=$$22$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{3}{4}x^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같다. 꼭짓점을 $B$라 하고, $x$축과의 교점을 각각 $O$, $A$라 할 때, $\\triangle OAB$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점이고 $b$, $c$는 수)", "answer": "축의 방정식이 $x=4$이므로 $A(8, 0)$ 이 그래프가 원점을 지나므로 $c=0$ $∴ y=-\\frac{3}{4}x^2+bx$ 또, $A(8, 0)$을 지나므로 $0=(-\\frac{3}{4})\\times8^2+b\\times8$ $∴ b=6$ $y=-\\frac{3}{4}x^2+6x$의 그래프의 꼭짓점 B의 $x$좌표가 $4$이므로 $y=-\\frac{3}{4}\\times4^2+6\\times4=12$ $∴ B(4, 12)$ $∴ \\triangle OAB=\\frac{1}{2}\\times8\\times12=48$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프이다. 꼭짓점을 A, $x$축과의 두 교점을 각각 $B, C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-x^2+4x+5$$=-(x-2)^2+9$이므로 $A(2, 9)$ $y=-x^2+4x+5$에 $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+4x+5$ $x^2-4x-5=0$ $(x+1)(x-5)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=5$ $∴$ $B(-1, 0)$, $C(5, 0)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times9$$=27$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2+4x+5$의 그래프이다. $y$축과의 교점을$ C$, 꼭짓점을 B, $x$축의 양의 부분과의 교점을 $A$라 할 때, $\\square OABC$의 넓이를 구하여라. (단, O는 원점)", "answer": "$y=-x^2+4x+5$에 $x=0$을 대입하면 $y=5$이므로 $C(0, 5)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+4x+5$ $x^2-4x-5=0$ $(x+1)(x-5)=0$ $ \\therefore x=-1$ 또는 $x=5$ $ \\therefore A(5, 0)$ $y$$=-x^2+4x+5$$=-(x-2)^2+9$이므로 $B(2, 9)$ $ \\therefore \\square{OABC}=\\triangle{OBC}+\\triangle{OAB}$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times2+\\frac{1}{2}\\times5\\times9$ $=$$\\frac{55}{2}$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(-1, 13)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(-3, 1)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(-3, 1)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x+3)^2+1$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(-1, 13)$을 지나므로 $13=a\\times(-1+3)^2+1$ $∴ a=3$ 따라서 $y$$=3(x+3)^2+1$$=3x^2+18x+28$이므로 $a=3$, $b=18$, $c=28$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=x^2-4x-5$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$, $x$축의 양의 부분과의 교점을 $C$라 할 때, $\\square$$OABC$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "$y=x^2-4x-5$에 $x=0$을 대입하면 $y=-5$이므로 $A(0, -5)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=x^2-4x-5$ $(x+1)(x-5)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=5$ $∴$ $C(5, 0)$ $y$$=x^2-4x-5$$=(x-2)^2-9$이므로 $B(2, -9)$ $\\therefore \\square OABC = \\triangle OAB + \\triangle OBC = \\frac{1}{2} \\times 5 \\times 2 + \\frac{1}{2} \\times 5 \\times 9 = $$\\frac{55}{2}$" }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-x^2+4x+12$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$, $x$축의 양의 부분과의 교점을 $C$라 할 때, $\\square OCBA$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "$y=-x^2+4x+12$에 $x=0$을 대입하면 $y=12$이므로 $A(0, 12)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-x^2+4x+12$ $x^2-4x-12=0$ $(x+2)(x-6)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=6$ $∴ C(6, 0)$ $y$$=-x^2+4x+12$$=-(x-2)^2+16$이므로 $B(2, 16)$ $∴ \\square OCBA = \\triangle OBA + \\triangle OCB = \\frac{1}{2} \\times 12 \\times 2 + \\frac{1}{2} \\times 6 \\times 16 =$$60$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 점 $(2, b)$를 지나고, 이차함수 $y=-\\frac{3}{2}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $(단, a는 수)$", "answer": "$y=ax^2$의 그래프는 $y=-\\frac{3}{2}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=\\frac{3}{2}$ $y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프가 점 $(2, b)$를 지나므로 $b$$=\\frac{3}{2}\\times2^2$$=6$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+px+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $ap+q$의 값을 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(1, 4)$이므로 $y=a(x-1)^2+4$ 이 그래프가 점 $(0, 7)$을 지나므로 $7=a\\times(0-1)^2+4$ $∴ a=3$ $y$$=3(x-1)^2+4$$=3x^2-6x+7$이므로 $a=3$, $p=-6$, $q=7$ $∴ ap+q$$=3\\times(-6)+7$$=-11$" }, { "question": "세 점 $(0, -1)$, $(-1, 5)$, $(2, -1)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴$ $c=-1$ $y=ax^2+bx-1$의 그래프가 점 $(-1, 5)$를 지나므로 $5=a\\times(-1)^2+b\\times(-1)-1$ $∴$ $5=a-b-1 ······ ㉠$ 또, 점 $(2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times2^2+b\\times2-1$ $∴$ $-1=4a+2b-1 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하면 $a=2$, $b=-4$ 따라서 $y=2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1, -3)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b-c$의 값을 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(2, 3)$이므로 $y=a(x-2)^2+3$ 이 그래프가 점 $(5, 0)$을 지나므로 $0=a\\times(5-2)^2+3$ $∴$ $a=-\\frac{1}{3}$ $y$$=-\\frac{1}{3}(x-2)^2+3$$=-\\frac{1}{3}x^2+\\frac{4}{3}x+\\frac{5}{3}$이므로 $a=-\\frac{1}{3}$, $b=\\frac{4}{3}$, $c=\\frac{5}{3}$ $∴$ $a-b-c$$=-\\frac{1}{3}-\\frac{4}{3}-\\frac{5}{3}$$=-\\frac{10}{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(2, 2)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(2, 2)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-2)^2+2$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(1-2)^2+2$ $∴ a=-3$ 따라서 $y=-3(x-2)^2+2=-3x^2+12x-10$이므로 $a=-3$, $b=12$, $c=-10$" }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, 1)$, $(2, c)$, $(-2, 3)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, 1)$을 지나므로 $1=(-\\frac{1}{2})\\times0^2+a\\times0+b$ $∴$ $b=1$ $y=-\\frac{1}{2}x^2+ax+1$의 그래프가 점 $(-2, 3)$을 지나므로 $3=-\\frac{1}{2}\\times(-2)^2+a\\times(-2)+1$ $∴$ $a=-2$ $y=-\\frac{1}{2}x^2-2x+1$의 그래프가 점 $(2, c)$를 지나므로 $c=-\\frac{1}{2}\\times2^2-2\\times2+1=-5$ $∴$ $abc=(-2)\\times1\\times(-5)=10$" }, { "question": "이차함수 $y=4x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, -2)$, $(-1, c)$, $(3, 10)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=4x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, -2)$를 지나므로 $-2=4\\times0^2+a\\times0+b$ $∴ $$b=-2$ $y=4x^2+ax-2$의 그래프가 점 $(3, 10)$을 지나므로 $10=4\\times3^2+a\\times3-2$ $∴$ $a=-8$ $y=4x^2-8x-2$의 그래프가 점 $(-1, c)$를 지나므로 $c=4\\times(-1)^2-8\\times(-1)-2=10$ $∴ $$a-b+c$$=-8-(-2)+10$$=4$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2+2x+k$의 그래프가 점 $(3, 12)$를 지날 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 수) $\\\\$(1) $k$의 값을 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+2x+k$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 좌표를 모두 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2+2x+k$의 그래프가 점 $(3, 12)$를 지나므로 $12=3^2+2\\times3+k$ $12=k+15$ $∴ k=-3$ (2) $y$$=x^2+2x+k$$=x^2+2x-3$에 $y=0$을 대입하면 $0=x^2+2x-3$ $(x-1)(x+3)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-3$ 따라서 구하는 점의 좌표는 $(1, 0)$, $(-3, 0)$이다." }, { "question": "직선 $x=-3$을 축으로 하고 두 점 $(1, -4)$, $(-1, 2)$를 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $apq$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=-3$이므로 $p=-3$ 즉, $y=a(x+3)^2+q$의 그래프가 점 $(1, -4)$를 지나므로 $-4=a\\times(1+3)^2+q$ $∴ -4=16a+q$ ······ ㉠ 또, 점 $(-1, 2)$를 지나므로 $2=a\\times(-1+3)^2+q$ $∴ 2=4a+q$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=-\\frac{1}{2}$, $q=4$ $∴ apq$$=-\\frac{1}{2}\\times(-3)\\times4$$=6$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(4, -1)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(2, -3)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(2, -3)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-2)^2-3$으로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(4, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(4-2)^2-3$ $∴ a=\\frac{1}{2}$ 따라서 $y$$=\\frac{1}{2}(x-2)^2-3$$=\\frac{1}{2}x^2-2x-1$이므로 $a=\\frac{1}{2}$, $b=-2$, $c=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(0, 1)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(2, -1)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(2, -1)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-2)^2-1$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(0, 1)$을 지나므로 $1=a\\times(0-2)^2-1$ $\\therefore a=\\frac{1}{2}$ 따라서 $y$$=\\frac{1}{2}(x-2)^2-1$$=\\frac{1}{2}x^2-2x+1$이므로 $a=\\frac{1}{2}$, $b=-2$, $c=1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(-1,6)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(-2,4)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(-2, 4)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x+2)^2+4$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(-1, 6)$을 지나므로 $6=a\\times(-1+2)^2+4$ $∴ a=2$ 따라서 $y$$=2(x+2)^2+4$$=2x^2+8x+12$이므로 $a=2$, $b=8$, $c=12$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 음의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=-4x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓고, $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=-4x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a>-4$이고, $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a<-\\frac{1}{2}$이다. 따라서 이를 만족시키는 음의 정수 $a$는 $-1$, $-2$, $-3$의 $3$ 개이다." }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(2, 1)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(1, 5)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(1, 5)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-1)^2+5$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(2, 1)$을 지나므로 $1=a\\times(2-1)^2+5$ $∴ a=-4$ 따라서 $y$$=-4(x-1)^2+5$$=-4x^2+8x+1$이므로 $a=-4$, $b=8$, $c=1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(4, 8)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(3, 6)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(3, 6)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-3)^2+6$으로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(4, 8)$을 지나므로 $8=a\\times(4-3)^2+6$ $∴ a=2$ 따라서 $y$$=2(x-3)^2+6$$=2x^2-12x+24$이므로 $a=2$, $b=-12$, $c=24$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, 3)$, $(1, -1)$, $(-2, c)$를 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, 3)$을 지나므로 $3=0^2+a\\times0+b$ $∴ b=3$ $y=x^2+ax+3$의 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나므로 $-1=1^2+a\\times1+3$ $∴ a=-5$ $y=x^2-5x+3$의 그래프가 점 $(-2, c)$를 지나므로 $c=(-2)^2-5\\times(-2)+3=17$ $∴ a+b+c$$=-5+3+17$$=15$" }, { "question": "이차함수 $y=5(x+a-1)^2-2a+2$의 그래프의 축이 $y$축의 왼쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=5(x+a-1)^2-2a+2$의 그래프의 축의 방정식은 $x=-a+1$ 축이 $y$축의 왼쪽에 위치하므로 $-a+1<0$ $∴ a>1$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-a+1, -2a+2)$이고 $a>1$이므로 $-2a<-2$ $∴-2a+2<0$ 따라서 꼭짓점 $(-a+1, -2a+2)$는 제$3$사분면 위에 있다." }, { "question": "세 점 $(0, 3)$, $(1, -3)$, $(-1, 13)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, 3)$을 지나므로 $3=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴ c=3$ $y=ax^2+bx+3$의 그래프가 점 $(1, -3)$을 지나므로 $-3=a\\times1^2+b\\times1+3$ $∴ -3=a+b+3$ ······ $㉠$ 또, 점 $(-1, 13)$을 지나므로 $13=a\\times(-1)^2+b\\times(-1)+3$ $∴ 13=a-b+3$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하면 $a=2$, $b=-8$ 따라서 $y=2x^2-8x+3=2(x-2)^2-5$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(2, -5)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(1, 2)$이므로 $y=a(x-1)^2+2$ 이 그래프가 점 $(0, 6)$을 지나므로 $6=a\\times(0-1)^2+2$ $∴ a=4$ $y$$=4(x-1)^2+2$$=4x^2-8x+6$이므로 $a=4$, $b=-8$, $c=6$ $∴ a-b+c$$=4-(-8)+6$$=18$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(-1, -3)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(1, 5)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(1, 5)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-1)^2+5$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(-1, -3)$을 지나므로 $-3=a\\times(-1-1)^2+5$ $∴ a=-2$ 따라서 $y=-2(x-1)^2+5=-2x^2+4x+3$이므로 $a=-2$, $b=4$, $c=3$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(3, 0)$을 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(1, 4)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.$a=$$\\square$.$b=$$\\square$.$c=$$\\square$", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(1, 4)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-1)^2+4$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(3, 0)$을 지나므로 $0=a\\times(3-1)^2+4$ $∴$ $a=-1$ 따라서 $y$$=-(x-1)^2+4$$=-x^2+2x+3$이므로 $a=-1$, $b=2$, $c=3$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $x$축과 평행한 직선이 이차함수 $y=5x^2$의 그래프와 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과 만나는 점을 C라 하자. $\\overline{AB}=2$일 때, $\\overline{OC}$의 길이를 구하여라.(단, $O$는 원점)", "answer": "이차함수 $y=5x^2$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이고 직선 $AB$가 $x$축과 평행하므로 $\\overline{AC}=\\overline{CB}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times2=1$이다. 점 $B$의 $x$좌표는 $1$이고 점 $B$가 $y=5x^2$의 그래프 위의 점이므로 $y$$=5\\times1^2$$=5$ $∴ B(1, 5)$ 이때 점 $C$의 $y$좌표는 점 $B$의 $y$좌표와 같으므로 $C(0, 5)$이다. 따라서 $\\overline{OC}$의 길이는 $5$이다." }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(2, -2)$를 지나고, 꼭짓점의 좌표가 ($4$, $6$)일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(4, 6)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x-4)^2+6$으로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(2, -2)$를 지나므로 $-2=a\\times(2-4)^2+6$ $∴$ $a=-2$ 따라서 $y$$=-2(x-4)^2+6$$=-2x^2+16x-26$이므로 $a=-2$, $b=16$, $c=-26$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, -4)$, $(9, c)$, $(3, -7)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{3}x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, -4)$를 지나므로 $-4=\\frac{1}{3}\\times0^2+a\\times0+b$ ∴ $b=-4$ $y=\\frac{1}{3}x^2+ax-4$의 그래프가 점 $(3, -7)$을 지나므로 $-7=\\frac{1}{3}\\times3^2+a\\times3-4$ ∴ $a=-2$ $y=\\frac{1}{3}x^2-2x-4$의 그래프가 점 $(9, c)$를 지나므로 $c=\\frac{1}{3}\\times9^2-2\\times9-4=5$ ∴ $a+b+c$$=-2+(-4)+5$$=-1$" }, { "question": "세 점 $(0, 4)$, $(3, 10)$, $(-2, 20)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, 4)$를 지나므로 $4=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴$ $c=4$ $y=ax^2+bx+4$의 그래프가 점 $(3, 10)$을 지나므로 $10=a\\times3^2+b\\times3+4$ $∴$ $10=9a+3b+4$ ······ ㉠ 또, 점 $(-2, 20)$을 지나므로 $20=a\\times(-2)^2+b\\times(-2)+4$ $∴$ $20=4a-2b+4$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a=2$, $b=-4$ 따라서 $y=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1, 2)$이다." }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 음의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=-\\frac{4}{3}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁고, $y=-5x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=-\\frac{4}{3}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a<-\\frac{4}{3}$이고, $y=-5x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a>-5$이다. 따라서 이를 만족시키는 음의 정수 $a$는 $-2$, $-3$, $-4$의 $3$ 개이다." }, { "question": "세 점 $(0, 11)$, $(1, 6)$, $(2, 3)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, 11)$을 지나므로 $11=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴ c=11$ $y=ax^2+bx+11$의 그래프가 점 $(1, 6)$을 지나므로 $6=a\\times1^2+b\\times1+11$ $∴ 6=a+b+11$ ······ ㉠ 또, 점 $(2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times2^2+b\\times2+11$ $∴ 3=4a+2b+11$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a=1$, $b=-6$ 따라서 $y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(3, 2)$이다." }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁고, $y=6x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=\\frac{3}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a>\\frac{3}{2}$이고, $y=6x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a<6$이다. 따라서 이를 만족시키는 양의 정수 $a$는 $2$, $3$, $4$, $5$의 $4$ 개이다." }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $x$축과 평행한 직선이 이차함수 $y=\\frac{2}{5}x^2$의 그래프와 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과 만나는 점을 $C$라 하자. $\\overline{AB}=5$일 때, $\\overline{OC}$의 길이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "이차함수 $y=\\frac{2}{5}x^2$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이고 직선 $AB$가 $x$축과 평행하므로 $\\overline{AC}=\\overline{CB}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times5=\\frac{5}{2}$이다. 점 $B$의 $x$좌표는 $\\frac{5}{2}$이고 점 $B$가 $y=\\frac{2}{5}x^2$의 그래프 위의 점이므로 $y=\\frac{2}{5}\\times(\\frac{5}{2})^2=\\frac{5}{2}$ $∴ B(\\frac{5}{2}, \\frac{5}{2})$ 이때 점 $C$의 $y$좌표는 점 $B$의 $y$좌표와 같으므로 $C(0, \\frac{5}{2})$이다. 따라서 $\\overline{OC}$의 길이는 $\\frac{5}{2}$이다." }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2+ax+b$의 그래프가 세 점 $(0, -5)$, $(2, c)$, $(-2, 1)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $ab-c$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2+ax+b$의 그래프가 점 $(0, -5)$를 지나므로 $-5=(-\\frac{1}{2})\\times0^2+a\\times0+b$ $∴$ $b=-5$ $y=-\\frac{1}{2}x^2+ax-5$의 그래프가 점 $(-2, 1)$을 지나므로 $1=-\\frac{1}{2}\\times(-2)^2+a\\times(-2)-5$ $∴$ $a=-4$ $y=-\\frac{1}{2}x^2-4x-5$의 그래프가 점 $(2, c)$를 지나므로 $c=-\\frac{1}{2}\\times2^2-4\\times2-5=-15$ $∴$ $ab-c$$=(-4)\\times(-5)-(-15)$$=35$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a,p,q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=p(x-a)^2+q$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", "answer": "(1) 위로 볼록한 그래프이므로 $a<0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$1$사분면 위에 있으므로 $p>0, $$q>0$ (2) $y=p(x-a)^2+q$의 그래프는 $p>0$이므로 아래로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(a, q)$이고 $a<0$, $q>0$이므로 꼭짓점은 제$2$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$1$사분면과 제$2$사분면을 지난다." }, { "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{3}x^2-2x+9$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각 $B, C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$y$$=-\\frac{1}{3}x^2-2x+9$$=-\\frac{1}{3}(x+3)^2+12$이므로 $A(-3, 12)$ $y=-\\frac{1}{3}x^2-2x+9$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{3}x^2-2x+9$ $x^2+6x-27=0$ $(x-3)(x+9)=0$ $\\therefore$ $x=3$ 또는 $x=-9$ $\\therefore$ $B(-9, 0)$, $C(3, 0)$ $\\therefore$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times12$$=72$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 음의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=-x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁고, $y=-6x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=-x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a<-1$이고, $y=-6x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a>-6$이다. 따라서 이를 만족시키는 음의 정수 $a$는 $-2$, $-3$, $-4$, $-5$의 $4$ 개이다." }, { "question": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 점 $(-\\frac{1}{2}, b)$를 지나고, 이차함수 $y=-4x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=ax^2$의 그래프는 $y=-4x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=4$ $y=4x^2$의 그래프가 점 $(-\\frac{1}{2}, b)$를 지나므로 $b$$=4\\times(-\\frac{1}{2})^2$$=1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2-3x+b$의 그래프가 세 점 $(0, 5)$, $(1, 4)$, $(-1, c)$를 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $\\frac{ab}{c}$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=ax^2-3x+b$의 그래프가 점 $(0, 5)$를 지나므로 $5=a\\times0^2-3\\times0+b$ $∴ b=5$ $y=ax^2-3x+5$의 그래프가 점 $(1, 4)$를 지나므로 $4=a\\times1^2-3\\times1+5$ $∴ a=2$ $y=2x^2-3x+5$의 그래프가 점 $(-1, c)$를 지나므로 $c=2\\times(-1)^2-3\\times(-1)+5=10$ $∴ \\frac{ab}{c}$$=\\frac{2\\times5}{10}$$=1$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 점 $(-3, b)$를 지나고, 이차함수 $y=\\frac{2}{3}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. $(단, a는 수)$", "answer": "$y=ax^2$의 그래프는 $y=\\frac{2}{3}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=-\\frac{2}{3}$ $y=-\\frac{2}{3}x^2$의 그래프가 점 $(-3, b)$를 지나므로 $b$ $=$ ($-\\frac{2}{3}$) $\\times (-3)^2= -6$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{2}(x+p)^2-q$의 그래프가 직선 $x=-2$를 축으로 하고, 이차함수 $y=-3(x-1)^2+15$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{2}(x+p)^2-q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=-2$이므로 $p=2$ $y=-3(x-1)^2+15$의 그래프의 $y$절편은 $y=(-3)\\times(0-1)^2+15=12$ $y=\\frac{1}{2}(x+2)^2-q$의 그래프가 점 $(0, 12)$를 지나므로 $12=\\frac{1}{2}\\times(0+2)^2-q$ $∴$ $q=-10$ $∴$ $p-q$$=2-(-10)$$=12$" }, { "question": "이차함수 $y=-2(x+a-2)^2+4a-8$의 그래프의 축이 $y$축의 왼쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=-2(x+a-2)^2+4a-8$의 그래프의 축의 방정식은 $x=-a+2$ 축이 $y$축의 왼쪽에 위치하므로 $-a+2<0$ $∴$ $a>2$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-a+2, 4a-8)$이고 $a>2$이므로 $4a>8$ $∴$ $4a-8>0$ 따라서 꼭짓점 $(-a+2, 4a-8)$은 제$2$사분면 위에 있다." }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2-8x+5$와 $y=x^2+8x+5$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2-8x+5$ $=$$(x^2-8x+16-16)+5$ $=$$(x-4)^2-11$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는 $(4,-11)$이다. (2) $y=x^2+8x+5$ $=$$(x^2+8x+16-16)+5$ $=$$(x+4)^2-11$ 따라서 꼭짓점 $Q$의 좌표는 $(-4,-11)$이다. (3) $P(4, -11)$, $Q(-4, -11)$이므로 $\\overline{PQ}$$=4-(-4)$$=8$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 두 이차함수 $y=\\frac{2}{3}x^2, y=-x^2$의 그래프 위의 $x$좌표가 $2$인 점을 각각,$ A, B$라 할 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{2}{3}x^2$에 $x=2$를 대입하면 $y$$=\\frac{2}{3}\\times2^2$$=\\frac{8}{3}$이므로 $A(2, \\frac{8}{3})$ $y=-x^2$에 $x=2$를 대입하면 $y$$=-2^2$$=-4$이므로 $B(2, -4)$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{8}{3}-(-4)$$=\\frac{20}{3}$" }, { "question": "이차함수 $y$=$ax^2$의 그래프는 점 ($\\frac{1}{2}, b$)를 지나고, 이차함수 $y=6x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a는 수$)", "answer": "$ y=a x^{2}$의 그래프는 $ y=6 x^{2}$의 그래프와 축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=-6 $ $y=-6 x^{2}$의 그래프가 점$\\left(\\frac{1}{2}, b\\right) $를 지나므로 $b=(-6) \\times \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{2}=-\\frac{3}{2}$ 답 $a=-6$, $b=-\\frac{3}{2}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 두 이차함수 y=2x^2, y=-x^2의 그래프 위의 x좌표가 1인 점을 각각 $A$,$B$라 할때,$\\overline {AB}$ 의 길이를 구하여라", "answer": "$y=2x^2$에 $x=1$을 대입하면 $y$$=2\\times1^2$$=2$이므로 $A(1, 2)$ $y=-x^2$에 $x=1$을 대입하면 $y$$=-1^2$$=-1$이므로 $B(1, -1)$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $2-(-1)$$=3$" }, { "question": "이차함수 $y=3(x-p)^2-q$의 그래프가 직선 $x=4$를 축으로 하고, 이차함수 $y=-3(x+2)^2+10$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=3(x-p)^2-q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=4$이므로 $p=4$ $y=-3(x+2)^2+10$의 그래프의 $y$절편은 $y=(-3)\\times(0+2)^2+10=-2$ $y=3(x-4)^2-q$의 그래프가 점 $(0, -2)$를 지나므로 $-2=3\\times(0-4)^2-q$ $∴$ $q=50$ $∴ $$p+q$$=4+50$$=54$" }, { "question": "세 점 $(0, -6)$, $(-2, 26)$, $(3, 6)$을 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, -6)$을 지나므로 $-6=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴ c=-6$ $y=ax^2+bx-6$의 그래프가 점 $(-2, 26)$을 지나므로 $26=a\\times(-2)^2+b\\times(-2)-6$ $∴ 26=4a-2b-6 \\cdots ㉠$ 또, 점 $(3, 6)$을 지나므로 $6=a\\times3^2+b\\times3-6$ $∴ 6=9a+3b-6 \\cdots ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하면 $a=4$, $b=-8$ 따라서 $y=4x^2-8x-6=4(x-1)^2-10$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(1, -10)$이다." }, { "question": "(2) 이차함수 $y=q(x+a)^2-p$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라. 이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. ( 단, $a$, $p$, $q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라.", "answer": "(2) $y=q(x+a)^2-p$의 그래프는 $q<0$이므로 위로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(-a, -p)$이고 $-a<0$, $-p<0$이므로 꼭짓점은 제$3$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$3$사분면과 제$4$사분면을 지난다. (1) 아래로 볼록한 그래프이므로 $a>0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$4$사분면 위에 있으므로 $p>0, $$q<0$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 점 $(2, b)$를 지나고, 이차함수 $y=4x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=ax^2$의 그래프는 $y=4x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=-4$ $y=-4x^2$의 그래프가 점 $(2, b)$를 지나므로 $b$$=(-4)\\times2^2$$=-16$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=5x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓고, $y=x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=5x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a<5$이고, $y=x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a>1$이다. 따라서 이를 만족시키는 양의 정수 $a$는 $2$, $3$, $4$의 $3$ 개이다." }, { "question": "직선 $x=2$를 축으로 하고 두 점 $(-1, 13)$, $(3, 5)$를 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a+p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=2$이므로 $p=2$ 즉, $y=a(x-2)^2+q$의 그래프가 점 $(-1, 13)$을 지나므로 $13=a\\times(-1-2)^2+q$ $∴ 13=9a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(3, 5)$를 지나므로 $5=a\\times(3-2)^2+q$ $∴ 5=a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=1$, $q=4$ $∴ a+p-q$$=1+2-4$$=-1$" }, { "question": "이차함수 $y=-2(x-a+1)^2+3a-3$의 그래프의 축이 $y$축의 왼쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=-2(x-a+1)^2+3a-3$의 그래프의 축의 방정식은 $x=a-1$ 축이 $y$축의 왼쪽에 위치하므로 $a-1<0$ $∴ a<1$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a-1, 3a-3)$이고 $a<1$이므로 $3a<3$ $∴ 3a-3<0$ 따라서 꼭짓점 $(a-1, 3a-3)$은 제$3$사분면 위에 있다." }, { "question": "직선 $x=4$를 축으로 하고 두 점 $(2, 3)$, $(1, 13)$을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a-p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=4$이므로 $p=4$ 즉, $y=a(x-4)^2+q$의 그래프가 점 $(2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times(2-4)^2+q$ $∴$$3=4a+q$ ······ ㉠ 또, 점 $(1, 13)$을 지나므로 $13=a\\times(1-4)^2+q$ $∴$$13=9a+q$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=2$, $q=-5$ $∴$$a-p+q$$=2-4+(-5)$$=-7$" }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2+10x+20$과 $y=x^2-10x+20$의 그래프의 꼭짓점을 각각$P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 P의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)$y=x^2+10x+20 =(x^2+10x+25-25)+20 =(x+5)^2-5$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는$(-5,-5)$이다. (2)$y=x^2-10x+20 =(x^2-10x+25-25)+20 =(x-5)^2-5$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는$(5,-5)$이다. $P(-5, -5)$, $Q(5, -5)$이므로 $\\overline{PQ}$$=5-(-5)$$=10$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $x$축과 평행한 직선이 이차함수 $y=3x^2$의 그래프와 만나는 두 점을 각 P, Q라 하고, $y$축과 만나는 점을 R라 하자. $\\overline{PQ}=4$일 때, $\\overline{OR}$의 길이를 구하여라. (단, O는 원점)", "answer": "이차함수 $y=3x^2$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이고 직선 $PQ$가 $x$축과 평행하므로 $\\overline{PR}=\\overline{RQ}=\\frac{1}{2}\\overline{PQ}=\\frac{1}{2}\\times4=2$이다. 점$ Q$의 $x$좌표는 $2$이고 점 $Q$가 $y=3x^2$의 그래프 위의 점이므로 $y$$=3\\times2^2$$=12$ $∴$ $Q(2, 12)$ 이때 점 $R$의 $y$좌표는 점$ Q$의 $y$좌표와 같으므로 $R(0, 12)$이다. 따라서 $\\overline{OR}$의 길이는 $12$이다." }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $a$, $p$, $q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=p(x-a)^2+q$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", "answer": "(1) 아래로 볼록한 그래프이므로 $a>0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$1$사분면 위에 있으므로 $p>0, $$q>0$ (2) $y=p(x-a)^2+q$의 그래프는 $p>0$이므로 아래로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(a, q)$이고 $a>0$, $q>0$이므로 꼭짓점은 제$1$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$1$사분면과 제$2$사분면을 지난다." }, { "question": "이차함수 $y=-2(x-a+2)^2-5a+10$의 그래프의 축이 $y$축의 오른쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=-2(x-a+2)^2-5a+10$의 그래프의 축의 방정식은 $x=a-2$ 축이 $y$축의 오른쪽에 위치하므로 $a-2>0$ $∴ a>2$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a-2, -5a+10)$이고 $a>2$이므로 $-5a<-10$ $∴ -5a+10<0$ 따라서 꼭짓점 $(a-2, -5a+10)$은 제$4$사분면 위에 있다." }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $x$축과 평행한 직선이 이차함수 $y=4x^2$의 그래프와 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하고, $y$축과 만나는 점을 $C$라 하자. $\\overline{AB} = 3$일 때, $\\overline{OC}$의 길이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "이차함수 $y=4x^2$의 그래프가 $y$축에 대하여 대칭이고 직선 $AB$가 $x$축과 평행하므로 $\\overline{AC}=\\overline{CB}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times3=\\frac{3}{2}$이다. 점 $B$의 $x$좌표는 $\\frac{3}{2}$이고 점 $B$가 $y=4x^2$의 그래프 위의 점이므로 $y$$=4\\times(\\frac{3}{2})^2$$=9$ ∴ $B(\\frac{3}{2}, 9)$ 이때 점 $C$의 $y$좌표는 점 $B$의 $y$좌표와 같으므로 $C(0, 9)$이다. 따라서 $\\overline{OC}$의 길이는 $9$이다." }, { "question": "이차함수 $y=-4(x-a-2)^2-3a-6$의 그래프의 축이 $y$축의 오른쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=-4(x-a-2)^2-3a-6$의 그래프의 축의 방정식은 $x=a+2$ 축이 $y$축의 오른쪽에 위치하므로 $a+2>0$ $∴ a>-2$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a+2, -3a-6)$이고 $a>-2$이므로 $-3a<6$ $∴ -3a-6<0$ 따라서 꼭짓점 $(a+2, -3a-6)$은 제$4$사분면 위에 있다." }, { "question": "이차함수 $y=4(x-p)^2-q$의 그래프가 직선 $x=4$를 축으로 하고, 이차함수 $y=-2(x+1)^2+8$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $q-p$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=4(x-p)^2-q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=4$이므로 $p=4$ $y=-2(x+1)^2+8$의 그래프의 $y$절편은 $y=(-2)\\times(0+1)^2+8=6$ $y=4(x-4)^2-q$의 그래프가 점 $(0, 6)$을 지나므로 $6=4\\times(0-4)^2-q$ $∴$ $q=58$ $∴ $$q-p$$=58-4$$=54$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단,$a$,$p$,$q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=p(x-a)^2-q$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", "answer": "(1) 아래로 볼록한 그래프이므로 $a>0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$4$사분면 위에 있으므로 $p>0$, $q<0$ (2) $y=p(x-a)^2-q$의 그래프는 $p>0$이므로 아래로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(a, -q)$이고 $a>0$, $-q>0$이므로 꼭짓점은 제$1$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$1$사분면과 제$2$사분면을 지난다." }, { "question": "이차함수 $y=-2(x-a-3)^2+3a+9$의 그래프의 축이 $y$축의 오른쪽에 위치할 때, 이 그래프의 꼭짓점이 있는 사분면을 구하여라. (단, $a$는 수)", "answer": "$y=-2(x-a-3)^2+3a+9$의 그래프의 축의 방정식은 $x=a+3$ 축이 $y$축의 오른쪽에 위치하므로 $a+3>0$ $∴$ $a>-3$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(a+3, 3a+9)$이고 $a>-3$이므로 $3a>-9$ $∴$ $3a+9>0$ 따라서 꼭짓점 $(a+3, 3a+9)$는 제$1$사분면 위에 있다." }, { "question": "직선 $x=-2$를 축으로 하고 두 점 $(-1, 4)$, $(2, -11)$을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a+p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=-2$이므로 $p=-2$ 즉, $y=a(x+2)^2+q$의 그래프가 점 $(-1, 4)$를 지나므로 $4=a\\times(-1+2)^2+q$ $∴ 4=a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(2, -11)$을 지나므로 $-11=a\\times(2+2)^2+q$ $∴ -11=16a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-1$, $q=5$ $∴ a+p-q$$=-1+(-2)-5$$=-8$" }, { "question": "다음 조건을 만족시키는 양의 정수 $a$는 모두 몇 개인지 구하여라. 이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 $y=2x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁고, $y=\\frac{11}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓다.", "answer": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프가 $y=2x^2$의 그래프보다 폭이 더 좁으므로 $a>2$이고, $y=\\frac{11}{2}x^2$의 그래프보다 폭이 더 넓으므로 $a<\\frac{11}{2}$이다. 따라서 이를 만족시키는 양의 정수 $a$는 $3$, $4$, $5$의 $3$ 개이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}$$\\bot$$\\overline{BD}$, $\\overline{AB}=6$, $\\tan x=\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle BDC$에서 $\\angle C$는 공통, $\\angle ABC=\\angle BDC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$~$\\triangle BDC$ (AA 닮음) $∴ \\angle BAC=\\angle DBC=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{\\overline{BC}}{6}=\\sqrt{2}$이므로 $\\overline{BC}=6\\sqrt{2}$ $∴ \\overline{AC}=\\sqrt{6^2+(6\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{108}=6\\sqrt{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=-2(x+p)^2-q$의 그래프가 직선 $x=-2$를 축으로 하고, 이차함수 $y=3(x-1)^2-4$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-2(x+p)^2-q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=-2$이므로 $p=2$ $y=3(x-1)^2-4$의 그래프의 $y$절편은 $y=3\\times(0-1)^2-4=-1$ $y=-2(x+2)^2-q$의 그래프가 점 $(0, -1)$을 지나므로 $-1=(-2)\\times(0+2)^2-q$ ∴ $q=-7$ ∴ $p-q$$=2-(-7)$$=9$" }, { "question": "일차함수 $y = ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+6ax+8-b$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "(1) 두 점 $(3, 0)$, $(0, 1)$을 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{1-0}{0-3}$$=-\\frac{1}{3}$ $y$절편은 $1$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=-\\frac{1}{3}x+1$ $∴$ $a=-\\frac{1}{3}$, $b=1$ (2) $a=-\\frac{1}{3}$, $b=1$이므로 이차함수의 식은 $y=x^2-2x+7$ $y=x^2-2x+7$ $=(x^2-2x+1-1)+7$ $=(x-1)^2+6$ 이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는$(1,6)$이다." }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2+8x+10$과 $y=x^2+8x+19$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2+8x+10$ $=(x^2+8x+16-16)+10$ $=(x+4)^2-6$ $=$$(x+4)^2-6$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는 $(-4, -6)$이다. (2) $=(x^2+8x+16-16)+19$ $=$$(x+4)^2+3$ 따라서 꼭짓점 $Q$의 좌표는 $(-4, 3)$이다. (3) $P(-4, -6)$, $Q(-4, 3)$이므로 $\\overline{PQ}$$=3-(-6)$$=9$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을때, 다음 물음에 답하여라.(단,$a$,$p$,$q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=p(x-q)^2+a$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", "answer": "(1) 위로 볼록한 그래프이므로 $a<0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$2$사분면 위에 있으므로 $p<0, $$q>0$ (2) $y=p(x-q)^2+a$의 그래프는 $p<0$이므로 위로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(q, a)$이고 $q>0$, $a<0$이므로 꼭짓점은 제$4$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$3$사분면과 제$4$사분면을 지난다." }, { "question": "이차함수 $y=-x^2-6x-5$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-2, n)$일 때, $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-x^2-6x-5 =-(x^2+6x+9-9)-5$ $=$$-(x+3)^2+4$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-(x+3-m)^2+4+1=-(x+3-m)^2+5$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-2, n)$이므로 $-3+m=-2$, $5=n$ $∴ m=1$, $n=5$ $∴ m+n$$=1+5$$=6$" }, { "question": "세 점 $(0, -4)$, $(-1, -19)$, $(1, 5)$를 지나는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "이차함수의 식을 $y=ax^2+bx+c$로 놓으면 이 그래프가 점 $(0, -4)$를 지나므로 $-4=a\\times0^2+b\\times0+c$ $∴$ $c=-4$ $y=ax^2+bx-4$의 그래프가 점 $(-1, -19)$를 지나므로 $-19=a\\times(-1)^2+b\\times(-1)-4$ $∴$ $-19=a-b-4$ ······ ㉠ 또, 점 $(1, 5)$를 지나므로 $5=a\\times1^2+b\\times1-4$ $∴$ $5=a+b-4$ ······ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $a=-3$, $b=12$ 따라서 $y=-3x^2+12x-4=-3(x-2)^2+8$이므로 꼭짓점의 좌표는 $(2, 8)$이다." }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2+6x+11$과 $y=x^2+6x+6$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y = x^2+6x+11 = (x^2+6x+9-9)+11 =(x+3)^2+2$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는 $(-3, 2)$이다. (2) $y = x^2+6x+6 = (x^2+6x+9-9)+6 =(x+3)^2-3$ 따라서 꼭짓점 $Q$의 좌표는 $(-3, -3)$이다. (3) $P(-3, 2)$, $Q(-3, -3)$이므로 $\\overline{PQ}=2-(-3)=5$" }, { "question": "이차함수 $y=4x^2-8x+3$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-1, n)$일 때, $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=4x^2-8x+3$ $=4(x^2-2x+1-1)+3$ $=4(x-1)^2-1$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $5$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=4(x-1-m)^2-1+5=4(x-1-m)^2+4$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-1, n)$이므로 $1+m=-1$, $4=n$ $∴ m=-2$, $n=4$ $∴ m+n$$=-2+4$$=2$" }, { "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $a, p, q$는 수) (1) $a$, $p$, $q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=q(x+a)^2+p$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", "answer": "(1) 아래로 볼록한 그래프이므로 $a>0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$1$사분면 위에 있으므로 $p>0, $$q>0$ (2) $y=q(x+a)^2+p$의 그래프는 $q>0$이므로 아래로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(-a, p)$이고 $-a<0$, $p>0$이므로 꼭짓점은 제$2$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$1$사분면과 제$2$사분면을 지난다." }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{2}x^2-4x+7$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(1, n)$일 때, $n-m$의 값을 구하여라.", "answer": "$y$$=\\frac{1}{2}x^2-4x+7$ $=$$\\frac{1}{2}(x^2-8x+16-16)+7$ $=$$\\frac{1}{2}(x-4)^2-1$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{2}(x-4-m)^2-1+2=\\frac{1}{2}(x-4-m)^2+1$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(1, n)$이므로 $4+m=1$, $1=n$ $ \\therefore m=-3$, $n=1$ $ \\therefore n-m$$=1-(-3)$$=4$" }, { "question": "이차함수 $y=-2x^2+8x+k-1$의 그래프의 꼭짓점이 제4사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y=-2x^2+8x+k-1$ $=-2(x^2-4x+4-4)+k-1$ $=-2(x-2)^2+k+7$ 이 그래프의 꼭짓점 $(2, k+7)$이 제$4$사분면 위에 있으므로 $k+7<0$ $∴k<-7$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-1$을 축으로 하고 두 점 $(-1, 1)$, $(-2, 3)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-1$을 축으로 하고 점 $(-1, 1)$을 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-1, 1)$이다. $y=a(x+1)^2+1$의 그래프가 점 $(-2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times(-2+1)^2+1$ $3=a+1$ $∴$ $a=2$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y$$=2(x+1)^2+1$$=2x^2+4x+3$이므로 $a=2$, $b=4$, $c=3$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx-3$의 그래프가 두 점 $(2, 7)$, $(1, 3)$을 지날 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx-3$의 그래프가 점 $(2, 7)$을 지나므로 $7=a\\times2^2+b\\times2-3$ $2a+b=5$$ ······ ㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(1, 3)$을 지나므로 $3=a\\times1^2+b\\times1-3$ $a+b=6$ $······ ㉡$ $㉠, ㉡$을 연립하여 풀면 $a=-1$, $b=7$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2-12x+5$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(4, n)$일 때, $m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=3x^2-12x+5$ $=3(x^2-4x+4-4)+5$ $=3(x-2)^2-7$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=3(x-2-m)^2-7+2=3(x-2-m)^2-5$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(4, n)$이므로 $2+m=4$, $-5=n$ $∴$ $m=2$, $n=-5$ $∴$ $m-n$$=2-(-5)$$=7$" }, { "question": "직선 $x=-1$을 축으로 하고 두 점 $(1, -6)$, $(-2, 3)$을 지나는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식을 $y=a(x-p)^2+q$라 할 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $apq$의 값을 구하여라.", "answer": "축의 방정식이 $x=-1$이므로 $p=-1$ 즉, $y=a(x+1)^2+q$의 그래프가 점 $(1, -6)$을 지나므로 $-6=a\\times(1+1)^2+q$ $∴$ $-6=4a+q$ ······ $㉠$ 또, 점 $(-2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times(-2+1)^2+q$ $∴$ $3=a+q$ ······ $㉡$ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=-3$, $q=6$ $∴$ $apq$$=(-3)\\times(-1)\\times6$$=18$" }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2-6x-4$와 $y=x^2+6x-4$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2-6x-4$ $=(x^2-6x+9-9)-4$ $=(x-3)^2-13$ 따라서 꼭짓점$P$의 좌표는 $(3,-13)$이다. (2) $y=x^2+6x-4$ $=(x^2+6x+9-9)-4$ $=(x+3)^2-13$ 따라서 꼭짓점$Q$의 좌표는 $(-3,-13)$이다. (3) $P(3, -13)$, $Q(-3, -13)$이므로 $\\overline{PQ}$$=3-(-3)$$=6$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-3$을 축으로 하고 두 점 $(-1, 10)$, $(-3, -2)$를 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-3$을 축으로 하고 점 $(-3, -2)$를 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-3, -2)$이다. $y=a(x+3)^2-2$의 그래프가 점 $(-1, 10)$을 지나므로 $10=a\\times(-1+3)^2-2$ $10=4a-2$ ∴ $a=3$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y$$=3(x+3)^2-2$$=3x^2+18x+25$이므로 $a=3$, $b=18$, $c=25$" }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2-4x+5$와 $y=x^2-4x+2$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2-4x+5$ $=$$(x^2-4x+4-4)+5$ $=$$(x-2)^2+1$ 따라서 꼭짓점 $P$의 좌표는 $(2,1)$이다. (2) $y=x^2-4x+2$ $=$$(x^2-4x+4-4)+2$ $=$$(x-2)^2-2$ 따라서 꼭짓점$Q$의 좌표는 $(2,-2)$이다. (3) $P(2, 1)$, $Q(2, -2)$이므로 $\\overline{PQ}$$=1-(-2)$$=3$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=2$를 축으로 하고 두 점 $(2, -3)$, $(1, -1)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=2$를 축으로 하고 점 $(2, -3)$을 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(2, -3)$이다. $y=a(x-2)^2-3$의 그래프가 점 $(1, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(1-2)^2-3$ $-1=a-3$ $∴ a=2$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y$$=2(x-2)^2-3$$=2x^2-8x+5$이므로 $a=2$, $b=-8$, $c=5$" }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{2}x^2-2x-k+3$의 그래프의 꼭짓점이 제$4$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{2}x^2-2x-k+3=\\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)-k+3=\\frac{1}{2}(x-2)^2-k+1$ $=$$\\frac{1}{2}(x-2)^2-k+1$ 이 그래프의 꼭짓점 $(2, -k+1)$이 제$4$사분면 위에 있으므로 $-k+1<0$ $-k<-1$ $∴ k>1$" }, { "question": "이차함수 $y=-4x^2-12x+k$의 그래프의 꼭짓점이 제$3$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y$$=$$-4x^2-12x+k$ $=$$-4(x^2+3x+\\frac{9}{4}-\\frac{9}{4})+k$ $=$$-4(x+\\frac{3}{2})^2+k+9$ 이 그래프의 꼭짓점 $(-\\frac{3}{2}, k+9)$가 제$3$사분면 위에 있으므로 $k+9<0$ $∴$ $k<-9$" }, { "question": "이차함수 $y=2x^2+4x+k+4$의 그래프의 꼭짓점이 제$2$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y=2x^2+4x+k+4 =2(x^2+2x+1-1)+k+4$ $=$$2(x+1)^2+k+2$ 이 그래프의 꼭짓점 $(-1, k+2)$가 제$2$사분면 위에 있으므로 $k+2>0$ $∴ k>-2$" }, { "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $a$,$b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+3ax+7-b$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "(1) 두 점 $(1, 0)$, $(0, 2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{2-0}{0-1}$$=-2$ $y$절편은 $2$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=-2x+2$ $∴$ $a=-2$, $b=2$ (2) $a=-2$, $b=2$이므로 이차함수의 식은 $y=x^2-6x+5$ $y=x^2-6x+5$ $=(x^2-6x+9-9)+5$ $=$$(x-3)^2-4$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx-1$의 그래프가 두 점 $(-2, -1)$, $(1, 5)$를 지날 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx-1$의 그래프가 점 $(-2, -1)$을 지나므로 $-1=a\\times(-2)^2+b\\times(-2)-1$ $-2a+b=0 ····· ㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(1, 5)$를 지나므로 $5=a\\times1^2+b\\times1-1$ $a+b=6 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=4$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx-2$의 그래프가 두 점 $(4, 6)$, $(1, 3)$을 지날 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx-2$의 그래프가 점 $(4, 6)$을 지나므로 $6=a\\times4^2+b\\times4-2$ $4a+b=2$ ······ $㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(1, 3)$을 지나므로 $3=a\\times1^2+b\\times1-2$ $a+b=5$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=-1$, $b=6$" }, { "question": "이차함수 $y=-3x^2-6x+1$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(2, n)$일 때, $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-3x^2-6x+1 =-3(x^2+2x+1-1)+1 =-3(x+1)^2+4$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-3(x+1-m)^2+4-2=-3(x+1-m)^2+2$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(2, n)$이므로 $-1+m=2$, $2=n$ $∴ m=3$, $n=2$ $∴ mn$$=3\\times2$$=6$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=1$을 축으로 하고 두 점 $(-1, 3)$, $(1, 11)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=1$을 축으로 하고 점 $(1, 11)$을 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(1, 11)$이다. $y=a(x-1)^2+11$의 그래프가 점 $(-1, 3)$을 지나므로 $3=a\\times(-1-1)^2+11$ $3=4a+11$ $∴$ $a=-2$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y$$=-2(x-1)^2+11$$=-2x^2+4x+9$이므로 $a=-2$, $b=4$, $c=9$" }, { "question": "두 이차함수 $y=x^2-10x+30$과 $y=x^2-10x+24$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $P$, $Q$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $P$의 좌표를 구하여라. (2) 점 $Q$의 좌표를 구하여라. (3) $\\overline{PQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2-10x+30$ $=$$(x^2-10x+25-25)+30$ $=$$(x-5)^2+5$ 띠리서 꼭짓점 $P$의 좌표는 $(5, 5)$이다. (2) $y=x^2-10x+24$ $=$$(x^2-10x+25-25)+24$ $=$$(x-5)^2-1$ 띠리서 꼭짓점 $Q$의 좌표는 $(5, -1)$이다. (3) $P(5, 5)$, $Q(5, -1)$이므로 $\\overline{PQ}$$=5-(-1)$$=6$" }, { "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a,b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+\\frac{2}{3}ax+b$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "(1) 두 점 $(-1, 0)$, $(0, 3)$을 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{3-0}{0-(-1)}$$=3$ $y$절편은 $3$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=3x+3$ $∴ a=3$, $b=3$ (2) $a=3, b=e$이므로 이차함수의 식은$y=x^2+2x+3$ $y=x^2+2x+3$ $=$$(x^2+2x+1-1)+3$ $=$$(x+1)^2+2$ 이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는 $(-1,2)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{4}x^2-x+8$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-2, n)$일 때, $n-m$의 값을 구하여라.", "answer": "$y = \\frac{1}{4}x^2 -x +8$ $= \\frac{1}{4}(x^2 -4x + 4 -4)+8$ $=$$\\frac{1}{4}(x-2)^2+7$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=\\frac{1}{4}(x-2-m)^2+7-1=\\frac{1}{4}(x-2-m)^2+6$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-2, n)$이므로 $2+m=-2$, $6=n$ $\\therefore$ $m=-4$, $n=6$ $\\therefore$ $n-m$$=6-(-4)$$=10$" }, { "question": "이차함수 $y=3x^2+6x+2k-5$의 그래프의 꼭짓점이 제$3$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y=3x^3+6x+2k-5$ $=3(x^2+2x+1-1)+2k-5$ $=$$3(x+1)^2+2k-8$ 이 그래프의 꼭짓점 $(-1, 2k-8)$이 제$3$사분면 위에 있으므로 $2k-8<0$ $2k<8$ $∴ k<4$" }, { "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+2ax+b+5$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "(1) 두 점 $(-3, 0)$, $(0, 3)$을 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{3-0}{0-(-3)}$$=1$ $y$절편은 $3$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=x+3$ $∴$$a=1$, $b=3$ (2) $a=1, b=3$이므로 이차함수의 식은 $y=x^2+2x+8$ $y=x^2+2x+8=(x^2+2x+1-1)+8=(x+1)^2+7$이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는 $(-1,7)$이다." }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin B\\times\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{9^2+(3\\sqrt{7})^2}=\\sqrt{144}=12$ $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3\\sqrt{7}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}$ $\\cos B$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{9}{12}$$=\\frac{3}{4}$ $∴ \\sin B\\times\\cos B$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}\\times\\frac{3}{4}$$=\\frac{3\\sqrt{7}}{16}$" }, { "question": "$\\frac{\\cos0\\degree\\times\\sin90\\degree}{\\tan60\\degree}$를 계산하여라.", "answer": "$\\frac{\\cos0\\degree\\times\\sin90\\degree}{\\tan60\\degree}$ $=$$\\frac{1\\times1}{\\sqrt{3}}$ $=$$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+3$의 그래프가 두 점 $(-1, 9)$, $(2, 3)$을 지날 때, 수 $a,$ $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+3$의 그래프가 점 $(-1, 9)$를 지나므로 $9=a\\times(-1)^2+b\\times(-1)+3$ $-a+b=-6$ $······ ㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(2, 3)$을 지나므로 $3=a\\times2^2+b\\times2+3$ $-2a-b=0$$ ······ $$㉡$ $㉠$,$ ㉡$을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=-4$" }, { "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $a, b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2-2ax+b+3$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", "answer": "(1) 두 점 $(-1, 0)$, $(0, -2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{-2-0}{0-(-1)}$$=-2$ $y$절편은 $-2$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=-2x-2$ $∴ a=-2$, $b=-2$ (2) $a=-2$, $b=-2$이므로 이차함수의 식은 $y=x^2+4x+1$ $y=x^2+4x+1$ $=(x^2+4x+4-4)+1$ $=$$(x+2)^2-3$ 이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는$(-2,-3)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=-\\frac{1}{4}(x+p)^2-q$의 그래프가 직선 $x=-4$를 축으로 하고, 이차함수 $y=-(x-3)^2+11$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $pq$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-\\frac{1}{4}(x+p)^2-q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=-4$이므로 $p=4$ $y=-(x-3)^2+11$의 그래프의 $y$절편은 $y=-(0-3)^2+11=2$ $y=-\\frac{1}{4}(x+4)^2-q$의 그래프가 점 $(0, 2)$를 지나므로 $2=(-\\frac{1}{4})\\times(0+4)^2-q$ $∴ -q=-6$ $∴ pq$$=4\\times(-6)$$=-24$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=3$을 축으로 하고 두 점 $(6, 2)$, $(3, -1)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=3$을 축으로 하고 점 $(3, -1)$을 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(3, -1)$이다. $y=a(x-3)^2-1$의 그래프가 점 $(6, 2)$를 지나므로 $2=a\\times(6-3)^2-1$ $2=9a-1$ $∴$ $a=\\frac{1}{3}$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y$$=\\frac{1}{3}(x-3)^2-1$$=\\frac{1}{3}x^2-2x+2$이므로 $a=\\frac{1}{3}$, $b=-2$, $c=2$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx-5$의 그래프가 두 점 $(2, 11)$, $(1, 5)$를 지날 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx-5$의 그래프가 점 $(2, 11)$을 지나므로 $11=a\\times2^2+b\\times2-5$ $2a+b=8 ······ ㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(1, 5)$를 지나므로 $5=a\\times1^2+b\\times1-5$ $a+b=10 ······ ㉡$ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a=-2$, $b=12$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{3}$일 때, $\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{3}$이므로 $\\overline{AB}=k$, $\\overline{BC}=\\sqrt{3}k(k>0)$라 하면 $\\cos B$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{k}{\\sqrt{3}k}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "이차함수 $y=-5x^2+10x+2$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-1, n)$일 때, $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-5x^2+10x+2 =-5(x^2-2x+1-1)+2 =-5(x-1)^2+7$ 주어진 그래프를 $x$축의 방향으로 $m$만큼, $y$축의 방향으로 $-3$만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=-5(x-1-m)^2+7-3=-5(x-1-m)^2+4$ 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-1, n)$이므로 $1+m=-1$, $4=n$ $∴$ $m=-2$, $n=4$ $∴$ $mn$$=(-2)\\times4$$=-8$" }, { "question": "이차함수 $y=x^2-x+k$의 그래프가 점 $(2, -4)$를 지날 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 수) (1) $k$의 값을 구하여라. (2)이차함수 $y=x^2-x+k$ 의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 좌표를 모두 구하여라.", "answer": "(1) $y=x^2-x+k$의 그래프가 점 $(2, -4)$를 지나므로 $-4=2^2-2+k$ $-4=k+2$ $∴ k=-6$ (2) $y$$=x^2-x+k$$=x^2-x-6$에 $y=0$을 대입하면 $0=x^2-x-6$ $(x+2)(x-3)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=3$ 따라서 구하는 점의 좌표는 $(-2, 0)$, $(3, 0)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=x^2-x+k$의 그래프가 점 $(3, 4)$를 지날 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $k$는 수) (1) $k$의 값을 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2-x+k$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 좌표를 모두 구하여라.", "answer": "⑴ $y=x^2-x+k$의 그래프가 점 $(3, 4)$를 지나므로 $4=3^2-3+k$ $4=k+6$ $∴$ $k=-2$ ⑵ $y$$=x^2-x+k$$=x^2-x-2$에 $y=0$을 대입하면 $0=x^2-x-2$ $(x+1)(x-2)=0$ $∴ $$x=-1$ 또는 $x=2$ 따라서 구하는 점의 좌표는 $(-1, 0)$, $(2, 0)$이다." }, { "question": "이차함수 $y=\\frac{1}{4}x^2-4x-3k+1$의 그래프의 꼭짓점이 제$1$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", "answer": "$y=\\frac{1}{4}x^2-4x-3k+1$ $=\\frac{1}{4}(x^2-16x+64-64)-3k+1$ $=$$\\frac{1}{4}(x-8)^2-3k-15$ 이 그래프의 꼭짓점 $(8, -3k-15)$가 제$1$사분면 위에 있으므로 $-3k-15>0$ $-3k>15$ $∴ k<-5$" }, { "question": "$\\frac{\\cos0\\degree\\times\\sin90\\degree}{\\tan45\\degree}$를 계산하여라.", "answer": "$\\frac{\\cos0\\degree\\times\\sin90\\degree}{\\tan45\\degree}$ $=$$\\frac{1\\times1}{1}$ $=$$1$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\tan C$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{9^2-7^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $\\tan C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4\\sqrt{2}}{7}$" }, { "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $y=\\frac{2}{3}x^2-4x-4$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $P$, 꼭짓점을 $Q$라 하고, 점 $Q$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $R$라 할 때, $\\square{OPQR}$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $P$의 좌표는 $(0,-4)$이고, $y=\\frac{2}{3}x^2-4x-4$ $=$$\\frac{2}{3}(x^2-6x+9-9)-4$ $=$$\\frac{2}{3}(x-3)^2-10$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $Q$의 좌표는 $(3, -10)$이다. $\\overline{OP}=4$, $\\overline{QR}=10$, $\\overline{OR}=3$이므로$\\square OPQR$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(4+10)\\times3=21$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin B\\times\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{8^2+4^2}=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$ $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos B$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{8}{4\\sqrt{5}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ ∴ $\\sin B\\times\\cos B$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\times\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$$=\\frac{2}{5}$" }, { "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $y=\\frac{1}{2}x^2-2x-3$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$라 하고, 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $C$라 할 때, $\\square{ABCO}$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $A$의 좌표는 $(0, -3)$이고, $=$$\\frac{1}{2}(x-2)^2-5$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(2, -5)$이다. $\\overline{OA}=3$, $\\overline{BC}=5$, $\\overline{OC}=2$이므로 $\\square ABCO$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(3+5)\\times2=8$" }, { "question": "이차함수 $y=-3(x+p)^2+q$의 그래프가 직선 $x=-1$을 축으로 하고, 이차함수 $y=(x-3)^2-7$의 그래프와 $y$축에서 만날 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$y=-3(x+p)^2+q$의 그래프의 축의 방정식이 $x=-1$이므로 $p=1$ $y=(x-3)^2-7$의 그래프의 $y$절편은 $y=(0-3)^2-7=2$ $y=-3(x+1)^2+q$의 그래프가 점 $(0, 2)$를 지나므로 $2=(-3)\\times(0+1)^2+q$ $∴ $$q=5$ $∴$ $p+q$$=1+5$$=6$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+4$의 그래프가 두 점 $(-2, 8)$, $(1, 8)$을 지날 때, 수 $a,$ $b$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+4$의 그래프가 점 $(-2, 8)$을 지나므로 $8=a\\times(-2)^2+b\\times(-2)+4$ $-2a+b=-2$ ······ $㉠$ 또, 이 그래프가 점 $(1, 8)$을 지나므로 $8=a\\times1^2+b\\times1+4$ $a+b=4$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $a=2$, $b=2$" }, { "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-1$을 축으로 하고 두 점 $(2, 12)$, $(-1, -6)$을 지날 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "$y=ax^2+bx+c$의 그래프가 직선 $x=-1$을 축으로 하고 점 $(-1, -6)$을 지나므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-1, -6)$이다. $y=a(x+1)^2-6$의 그래프가 점 $(2, 12)$를 지나므로 $12=a\\times(2+1)^2-6$ $12=9a-6$ $∴ a=2$ 따라서 구하는 이차함수의 식은 $y=2(x+1)^2-6=2x^2+4x-4$이므로 $a=2$, $b=4$, $c=-4$" }, { "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $ y^2=\\frac{1}{2}x^2-2x-1$의 그래프이다. y축과의 교점을 $S$, 꼭짓점을 $B$라 하고, 점$B$ 에서 x축에 내린 수선의 발을 $C$라 할 때, $\\square ABCO$ 의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $A$의 좌표는 $(0, -1)$이고, $y=\\frac{1}{2}x^2-2x-1 =\\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)-1$ $=$$\\frac{1}{2}(x-2)^2-3$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(2, -3)$이다. $\\overline{OA}=1$, $\\overline{BC}=3$, $\\overline{OC}=2$이므로 $\\square ABCO$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(1+3)\\times2=4$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}=\\sqrt{6^2-(2\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{16}=4$ $∴ \\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{5}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos C+\\sin C$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}=\\sqrt{12^2+5^2}=\\sqrt{169}=13$ $\\cos C$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{5}{13}$ $\\sin C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{12}{13}$ $∴ \\cos C+\\sin C$$=\\frac{5}{13}+\\frac{12}{13}$$=\\frac{17}{13}$" }, { "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $y=-x^2-6x+3$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$라 하고, 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $C$라 할때, $\\square{ABCO}$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $A$의 좌표는 $(0, 3)$이고, $y=-x^2-6x+3$$\\\\$ $=-(x^2+6x+9-9)+3$$\\\\$ $=-(x+3)^2+12$$\\\\$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(-3, 12)$이다. $\\overline{OA}=3$, $\\overline{BC}=12$, $\\overline{OC}=3$이므로 $\\square$$ABCO$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(3+12)\\times3=\\frac{45}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AC}=8$, $\\tan x=\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle ACB=\\angle CDB=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$~$\\triangle CBD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle BAC$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\overline{BC}}{8}$$=\\sqrt{3}$이므로 $\\overline{BC}$$=8\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AB}=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2+8^2}=\\sqrt{256}=16$" }, { "question": "$\\cos90\\degree+\\cos60\\degree\\times\\sin45\\degree$를 계산하여라.", "answer": "$\\cos90\\degree+\\cos60\\degree\\times\\sin45\\degree$ $=$$0+\\frac{1}{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{\\sqrt{2}}{4}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin B\\times\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{9^2-(3\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{36}=6$ $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{6}{9}$$=\\frac{2}{3}$ $\\cos B$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{3\\sqrt{5}}{9}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{3}$ $∴$ $\\sin B\\times\\cos B$$=\\frac{2}{3}\\times\\frac{\\sqrt{5}}{3}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{9}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos C\\times\\sin C$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}=\\sqrt{(\\sqrt{2})^2+2^2}=\\sqrt{6}$ $\\cos C$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{2}{\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\sin C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $∴ \\cos C\\times\\sin C$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2-2x-4$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $A$, 꼭짓점을 $B$라 하고, 점 $B$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $C$라 할때, $\\square ABCO$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $A$의 좌표는 $(0, -4)$이고, $y=$$\\frac{1}{3}x^2-2x-4$ $=$$\\frac{1}{3}(x^2-6x+9-9)-4$ $=$$\\frac{1}{3}(x-3)^2-7$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(3, -7)$이다. $\\overline{OA}=4$, $\\overline{BC}=7$, $\\overline{OC}=3$이므로 $\\square ABCO$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(4+7)\\times3=\\frac{33}{2}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 ABC에서 $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}=\\sqrt{14^2-6^2}=\\sqrt{160}=4\\sqrt{10}$ $∴$ $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4\\sqrt{10}}{6}$$=\\frac{2\\sqrt{10}}{3}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin B+\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{(2\\sqrt{13})^2-6^2}=\\sqrt{16}=4$ $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{6}{2\\sqrt{13}}$$=\\frac{3\\sqrt{13}}{13}$ $\\cos B$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{13}}$$=\\frac{2\\sqrt{13}}{13}$ $∴ \\sin B+\\cos B$$=\\frac{3\\sqrt{13}}{13}+\\frac{2\\sqrt{13}}{13}$$=\\frac{5\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AC}=12\\sqrt{3}$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{12\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=36$ $∴ \\overline{AB}$$=18$ $\\cos60\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{12\\sqrt{3}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=6\\sqrt{3}$ 이때 $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}=3\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{18^2+(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{351}=3\\sqrt{39}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC} : \\overline{BC}=2 : \\sqrt{5}$일 때, $\\sin B$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC} : \\overline{BC}=2 : \\sqrt{5}$이므로 $\\overline{AC}=2k$, $\\overline{BC}=\\sqrt{5}k(k>0)$라 하면 $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{2k}{\\sqrt{5}k}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AC}=16$, $\\angle C=30\\degree$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{16}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=16$ $∴$ $\\overline{AB}$$=8$ $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{16}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=16\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=8\\sqrt{3}$ 이때 $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}=4\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{8^2+(4\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{112}=4\\sqrt{7}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{3^2+2^2}=\\sqrt{13}$ $∴$ $\\sin A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3}{\\sqrt{13}}$$=\\frac{3\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB} : \\overline{AC}=9 : 12$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{AC}=9 : 12$이므로 $\\overline{AB}=9k$, $\\overline{AC}=12k(k>0)$라 하면 $\\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{9k}{12k}$$=\\frac{3}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AB}=24$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{24}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=24$ $∴ \\overline{AC}$$=12$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{CD}$$=6\\sqrt{3}$ $\\triangle CDE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{6\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=18$ $∴ \\overline{DE}$$=9$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}$$\\bot$$\\overline{BD}$, $\\overline{AB}=4$, $\\tan x=\\sqrt{6}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle BDC$에서 $\\angle C$는 공통, $\\angle ABC=\\angle BDC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\sim\\triangle BDC$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle DBC$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\overline{BC}}{4}$$=\\sqrt{6}$이므로 $\\overline{BC}$$=4\\sqrt{6}$ $∴$ $\\overline{AC}=\\sqrt{4^2+(4\\sqrt{6})^2}=\\sqrt{112}=4\\sqrt{7}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC} : \\overline{AC}=7 : 9$일 때, $\\cos C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC} : \\overline{AC}=7 : 9$이므로 $\\overline{BC}=7k$, $\\overline{AC}=9k(k>0)$라 하면 $\\cos C$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{7k}{9k}$$=\\frac{7}{9}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC}=4$이고 $\\tan C=\\frac{3}{2}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{\\overline{AB}}{4}$$=\\frac{3}{2}$이므로 $\\overline{AB}$$=6$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times6$$=12$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB} : \\overline{AC}=4 : 5$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{AC}=4 : 5$이므로 $\\overline{AB}=4k$, $\\overline{AC}=5k(k>0$)라 하면 $\\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4k}{5k}$$=\\frac{4}{5}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A\\times\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{5})^2+(\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\sin A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{10}$ $\\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3\\sqrt{5}}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{3\\sqrt{10}}{10}$ $\\therefore$ $\\sin A\\times\\cos A$$=\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\times\\frac{3\\sqrt{10}}{10}$$=\\frac{3}{10}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC}=12\\sqrt{2}$이고 $\\tan A=\\frac{12}{5}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{12\\sqrt{2}}{\\overline{AB}}=\\frac{12}{5}$이므로 $\\overline{AB}=5\\sqrt{2}$ $∴ \\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{2}\\times5\\sqrt{2}=60$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=12$, $\\overline{BC}=8$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=12\\sin60\\degree =12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=6\\sqrt{3}$ $\\overline{CH} =12\\cos60\\degree=12\\times\\frac{1}{2}=6$ $\\overline{BH}=8-6=2$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+(6\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{112}=4\\sqrt{7}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BC}=\\sqrt{7^2-3^2}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}$ $∴$ $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{2\\sqrt{10}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2}$이고 $\\tan C=\\frac{3}{4}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{3}{4}$이므로 $\\overline{BC}$$=8\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{2}\\times6\\sqrt{2}$$=48$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}=13\\sqrt{5}$이고 $\\tan B=\\frac{13}{10}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{13\\sqrt{5}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{13}{10}$이므로 $\\overline{AB}$$=10\\sqrt{5}$ $∴ $$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times13\\sqrt{5}\\times10\\sqrt{5}$$=325$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}=9$이고 $\\tan B=\\frac{3}{8}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{9}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3}{8}$이므로 $\\overline{AB}$$=24$ $∴\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times9\\times24$$=108$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AC}=10$, $\\angle C=30\\degree$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{10}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=10$ $∴$ $\\overline{AB}$$=5$ $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{10}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=10\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=5\\sqrt{3}$ 이때 $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{3}=\\frac{5\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{5^2+(\\frac{5\\sqrt{3}}{2})^2}=\\sqrt{\\frac{175}{4}}=\\frac{5\\sqrt{7}}{2}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\tan C$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{(2\\sqrt{13})^2-4^2}=\\sqrt{36}=6$ $∴ \\tan C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{6}{4}$$=\\frac{3}{2}$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\tan B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{9^2-8^2}=\\sqrt{17}$ $∴$ $\\tan B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\sqrt{17}}{8}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AB}=16 cm$, $\\angle A=60\\degree$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{16}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=16\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ $\\cos60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{16}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=16$ $∴ \\overline{AC}$$=8 (cm)$ 이때 $\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\overline{AC}=\\frac{1}{2}\\times8=4 (cm)$이므로 $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2+4^2}=\\sqrt{208}=4\\sqrt{13} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC}=9$이고 $\\tan A=\\frac{3}{4}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{9}{\\overline{AB}}=\\frac{3}{4}$이므로 $\\overline{AB}=12$ $∴ \\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times9\\times12=54$" }, { "question": "$\\sin60\\degree\\times\\cos90\\degree+\\sin90\\degree\\times\\tan45\\degree$를 계산하여라.", "answer": "$\\sin60\\degree\\times\\cos90\\degree+\\sin90\\degree\\times\\tan45\\degree$ $=$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times0+1\\times1$ $=$$1$" }, { "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin B\\times\\cos B$의 값을 구하여라.", "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{(7\\sqrt{3})^2-(7\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{49}=7$ $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{7\\sqrt{2}}{7\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\cos B$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{7}{7\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $∴$$\\sin B\\times\\cos B$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle DFH=\\angle x$라 할 때, $\\sin x+\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{3^2+(\\sqrt{7})^2}$$=\\sqrt{16}$$=4$ $\\triangle DFH$는 $\\angle DHF=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{DF}$$=\\sqrt{4^2+3^2}$$=\\sqrt{25}$$=5$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{DF}}$$=\\frac{3}{5}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{DF}}$$=\\frac{4}{5}$ ∴ $\\sin x+\\cos x$$=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}$$=\\frac{7}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AC}=24$, $\\angle C=30\\degree$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{24}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=24$ $∴ \\overline{AB}$$=12$ $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{24}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=24\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=12\\sqrt{3}$ 이때 $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{12^2+(6\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{252}=6\\sqrt{7}$" }, { "question": "$\\sin45\\degree\\times\\cos45\\degree+\\sin60\\degree\\times\\tan0\\degree$를 계산하여라.", "answer": "$\\sin45\\degree\\times\\cos45\\degree+\\sin60\\degree\\times\\tan0\\degree$ $=$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times0$ $=$$\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=20$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}h+h=20$ $\\frac{\\sqrt{3}+3}{3}h=20$ $∴$ $h$$=\\frac{60}{3+\\sqrt{3}}$$=10(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $10(3-\\sqrt{3})$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AC}=6$, $\\tan x=\\frac{4}{3}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle ACB=\\angle CDB=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC∽\\triangle CBD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle BAC=\\angle BCD=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{\\overline{BC}}{6}=\\frac{4}{3}$이므로 $\\overline{BC}=8$ $∴ \\overline{AB}=\\sqrt{8^2+6^2}=\\sqrt{100}=10$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+4^2}=\\sqrt{64}=8(cm)$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\sqrt{6^2+8^2}=\\sqrt{100}=10(cm)$ $\\sin x=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{BH}}=\\frac{6}{10}=\\frac{3}{5}$ $\\tan x=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}=\\frac{6}{8}=\\frac{3}{4}$ $∴ \\sin x\\times\\tan x=\\frac{3}{5}\\times\\frac{3}{4}=\\frac{9}{20}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}\\bot\\overline{BD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle C=30\\degree,$ $\\overline{AC}=32$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{32}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=32$ $∴$ $\\overline{AB}$$=16$ $\\triangle ABD$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{BD}}{16}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BD}=16\\sqrt{3}$ $∴$$\\overline{BD}$$=8\\sqrt{3}$ $\\triangle BED$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{8\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=24$ $∴$ $\\overline{DE}$$=12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AC}=20$, $\\angle C=30\\degree$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{20}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=20$ $∴ $$\\overline{AB}$$=10$ $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{20}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=20\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=10\\sqrt{3}$ 이때 $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times10\\sqrt{3}=5\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{10^2+(5\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{175}=5\\sqrt{7}$" }, { "question": "$\\tan45\\degree+\\cos45\\degree-\\sin90\\degree$를 계산하여라.", "answer": "$\\tan45\\degree+\\cos45\\degree-\\sin90\\degree$ $=$$1+\\frac{\\sqrt{2}}{2}-1$ $=$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\cos x\\times\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{3^2+4^2}$$=\\sqrt{25}$$=5$ $(cm)$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{5^2+5^2}$$=\\sqrt{50}$$=5\\sqrt{2}$ $(cm)$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{5}{5}$$=1$ $∴$ $\\cos x\\times\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\times1$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=8$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=8$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=8$ $∴$ $h$$=\\frac{24}{3+\\sqrt{3}}$$=4(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $4(3-\\sqrt{3})$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}\\bot\\overline{BD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle C=30\\degree,$ $\\overline{AC}=16 cm$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{16}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=16$ $∴ \\overline{AB}$$=8 (cm)$ $\\triangle ABD$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{BD}}{8}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BD}=8\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BD}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle BED$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{4\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=12 ∴ \\overline{DE}$$=6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AC}=4 cm$, $\\tan x=\\sqrt{5}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle CBD$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle ACB=\\angle CDB=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle CBD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle BAC$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\overline{BC}}{4}$$=\\sqrt{5}$이므로 $\\overline{BC}$$=4\\sqrt{5} (cm)$ $∴ \\overline{AB}=\\sqrt{(4\\sqrt{5})^2+4^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이고 $\\overline{AB}=5 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=5\\sin B$$=5\\times\\frac{\\sqrt{5}}{5}$$=\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{5^2-(\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sin C}$$=\\sqrt{5}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{5}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{10}(cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{(\\sqrt{10})^2-(\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{5} (cm)$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=2\\sqrt{5}+\\sqrt{5}$$=3\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "$\\cos30\\degree+\\sin90\\degree\\times\\sin60\\degree$를 계산하여라.", "answer": "$\\cos30\\degree+\\sin90\\degree\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}+1\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$, $\\angle C=120\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을$ H$라 하면 $\\angle ACH$$=180\\degree-\\angle ACB$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{CH}=8\\cos60\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ $\\overline{BH}$$=6+4$$=10 (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{10^2+(4\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{148}$$=2\\sqrt{37} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle B=30\\degree,$ $\\overline{AB}=16\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{CE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{16\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=16\\sqrt{2}$ $∴ \\overline{AC}$$=8\\sqrt{2}$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{8\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=8\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{CD}$$=4\\sqrt{6}$ $\\triangle CDE$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{CE}}{4\\sqrt{6}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{CE}=4\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{CE}$$=2\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}$$\\bot$$\\overline{BD}$, $\\overline{AB}=2 cm$, $\\tan x=\\frac{\\sqrt{6}}{2}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle BDC$에서 $\\angle C$는 공통, $\\angle ABC=\\angle BDC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$$\\backsim$$\\triangle BDC$ ($AA$ 닮음) $ \\therefore \\angle BAC$$=\\angle DBC$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\overline{BC}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{2}$이므로 $\\overline{BC}$$=\\sqrt{6} (cm)$ $ \\therefore \\overline{AC}=\\sqrt{2^2+(\\sqrt{6})^2}=\\sqrt{10} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BC}=8$이고 $\\tan A=\\frac{4}{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{8}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4}{3}$이므로 $\\overline{AB}$$=6$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times6$$=24$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\cos x\\div\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{5^2+(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{100}$$=10$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{5^2+10^2}$$=\\sqrt{125}$$=5\\sqrt{5}$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{10}{5\\sqrt{5}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{5}{10}$$=\\frac{1}{2}$ $∴$ $\\sin x\\times\\cos x\\div\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\times\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\div\\frac{1}{2}$$=\\frac{4}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AD}=\\overline{CD}$이고 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\angle A=60\\degree$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{8}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=8\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\cos60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{8}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=8$ $∴ overline{AC}$$=4 (cm)$ 이때 $\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\overline{AC}=\\frac{1}{2}\\times4=2 (cm)$이므로 $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+2^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=16 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=16$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=16$ $∴ h$$=\\frac{48}{3+\\sqrt{3}}$$=8(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $8(3-\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{(5\\sqrt{2})^2+5^2}$$=\\sqrt{75}$$=5\\sqrt{3}$$(cm)$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{5^2+(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{100}$$=10$$(cm)$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5}{10}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{10}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $∴$ $\\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AB}=8$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{8}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=8$ $∴ \\overline{AC}$$=4$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=4\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{CD}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle CDE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{2\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=6$ $∴ \\overline{DE}$$=3$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle B=30\\degree,$ $\\overline{AB}=20\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20\\sqrt{2}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=20\\sqrt{2}$ $∴$ $\\overline{AC}$$=10\\sqrt{2}$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{10\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=10\\sqrt{6}$ $∴$ $\\overline{CD}$$=5\\sqrt{6}$ $\\triangle CDE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{5\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=15\\sqrt{2}$ $∴$ $\\overline{DE}$$=\\frac{15\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=120\\degree$, $\\overline{BC}=10 cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h$ cm라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle CAH$이므로 $\\angle CAH=30\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{CH}$$=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=10$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=10$ $∴ h=\\frac{30}{3-\\sqrt{3}}=5(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{DE}$이고 $\\angle B=30\\degree,$ $\\overline{AB}=12\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{DE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{12\\sqrt{3}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}$$=6\\sqrt{3}$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{6\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=18$ $∴ \\overline{CD}$$=9$ $\\triangle CDE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{DE}}{9}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{DE}=9\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{DE}$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4$, $\\overline{AC}=5$, $\\angle A=120\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 B에서 $\\overline{AC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH$$=180\\degree-\\angle BAC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\overline{AH}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2$ $\\overline{CH}$$=5+2$$=7$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+7^2}$$=\\sqrt{61}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle DFH=\\angle x$라 할 때, $\\sin x+\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}=\\sqrt{6^2+12^2}=\\sqrt{180}=6\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle DFH$는 $\\angle DHF=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{DF}=\\sqrt{(6\\sqrt{5})^2+(3\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $\\sin x=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{DF}}=\\frac{3\\sqrt{5}}{15}=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos x=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{DF}}=\\frac{6\\sqrt{5}}{15}=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ $∴ \\sin x+\\cos x=\\frac{\\sqrt{5}}{5}+\\frac{2\\sqrt{5}}{5}=\\frac{3\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=120\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=6cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $hcm$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle BAH$이므로 $\\angle BAH=30\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ ($cm$) $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{CH}-\\overline{BH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=6$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=6$ $∴ h$$=\\frac{18}{3-\\sqrt{3}}$$=3(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=120\\degree, \\angle C=45\\degree, \\overline{BC}=7$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle BAH$이므로 $\\angle BAH=30\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h$ $\\overline{CH}-\\overline{BH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=7$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=7$ $∴$ $h$$=\\frac{21}{3-\\sqrt{3}}$$=\\frac{21+7\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}\\bot\\overline{BC}$이고 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=20 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ ($cm$) $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=20$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=20$ $∴ h$$=\\frac{60}{3+\\sqrt{3}}$$=10(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $10(3-\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=120\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=12 cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h cm$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle BAH$이므로 $\\angle BAH=30\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{CH}-\\overline{BH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=12$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=12$ $∴ h$$=\\frac{36}{3-\\sqrt{3}}$$=6(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=5$, $\\overline{BC}=6$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=5\\sin60\\degree$$=5\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{2}$ $\\overline{BH}=5\\cos60\\degree$$=5\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{5}{2}$ $\\overline{CH}$$=6-\\frac{5}{2}$$=\\frac{7}{2}$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\frac{5\\sqrt{3}}{2})^2+(\\frac{7}{2})^2}$$=\\sqrt{31}$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=2 cm$, $\\overline{BC}=4 cm$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을$H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=2\\sin60\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{CH}=2\\cos60\\degree$$=2\\times\\frac{1}{2}$$=1 (cm)$ $\\overline{BH}$$=4-1$$=3$$ (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{3^2+(\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}$$ (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8{cm}$, $\\overline{BC}=10{cm}$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=8\\cos60\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ $\\overline{CH}$$=10-4$$=6 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+6^2}$$=\\sqrt{84}$$=2\\sqrt{21}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=10$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=10$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=10$ $∴ h$$=\\frac{30}{3+\\sqrt{3}}$$=5(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $5(3-\\sqrt{3})$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{7}{8}$, $\\sin C=\\frac{14}{15}$이고 $\\overline{AB}=16 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=16\\sin B$$=16\\times\\frac{7}{8}$$=14 (cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{16^2-14^2}=\\sqrt{60}=2\\sqrt{15} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{14}{\\sin C}$$=14\\div\\frac{14}{15}$$=14\\times\\frac{15}{14}$$=15 (cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{15^2-14^2}=\\sqrt{29} (cm)$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=2\\sqrt{15}+\\sqrt{29} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}=8 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이고, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{7}}{4}$, $\\cos C=\\frac{3}{4}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=8\\sin C$$=8\\times\\frac{\\sqrt{7}}{4}$$=2\\sqrt{7}(cm)$ $\\overline{CH}=8\\cos C$$=8\\times\\frac{3}{4}$$=6 (cm)$ $\\overline{BH}$$=10-6$$=4(cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{4^2+(2\\sqrt{7})^2}$$=\\sqrt{44}$$=2\\sqrt{11}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=120\\degree$, $\\overline{BC}=8 cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h cm$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle CAH$이므로 $\\angle CAH=30\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{CH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h(cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=8$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=8$ $∴ h=\\frac{24}{3-\\sqrt{3}}$$=4(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=120\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=3 cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h cm$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle BAH$이므로 $\\angle BAH=30\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{CH}-\\overline{BH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=3$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=3$ $∴$ $h$$=\\frac{9}{3-\\sqrt{3}}$$=\\frac{9+3\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=18 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ (cm) $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=18$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=18$ $∴$ $h$$=\\frac{54}{3+\\sqrt{3}}$$=9(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $9(3-\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 눈높이가 $1.4 m$인 대한이가 첨성대로부터 $10 m$ 떨어진 곳에 서 있다. 대한이가 첨성대의 꼭대기를 올려다본 각의 크기를 재었더니 $39\\degree$일 때, 첨성대의 높이를 구하여라. (단, $\\sin39\\degree=0.63$, $\\cos39\\degree=0.78$, $\\tan39\\degree=0.81$로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=10\\tan39\\degree$$=10\\times0.81$$=8.1 (m)$ 따라서 첨성대의 높이는 $8.1+1.4$$=9.5 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=120\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=5$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $h$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle BAH$이므로 $\\angle BAH=30\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h$ $\\overline{CH}-\\overline{BH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=5$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=5$ $∴$ $h$$=\\frac{15}{3-\\sqrt{3}}$$=\\frac{15+5\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=6$, $\\overline{BC}=10$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\overline{CH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $\\overline{BH}$$=10-3$$=7$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{7^2+(3\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{76}$$=2\\sqrt{19}$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=3 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=3\\sin60\\degree$$=3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{2} (cm)$ $\\overline{CH}=3\\cos60\\degree$$=3\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{3}{2} (cm)$ $\\overline{BH}$$=6-\\frac{3}{2}$$=\\frac{9}{2} (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{(\\frac{9}{2})^2+(\\frac{3\\sqrt{3}}{2})^2}$$=\\sqrt{27}$$=3\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\sin C=\\frac{1}{2}$이고 $\\overline{AB}=18 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=18\\sin B$$=18\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=9\\sqrt{3}$$ (cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{18^2-(9\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{81}=9 (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{9\\sqrt{3}}{\\sin C}$$=9\\sqrt{3}\\div\\frac{1}{2}$$=9\\sqrt{3}\\times2$$=18\\sqrt{3}$ $(cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{(18\\sqrt{3})^2-(9\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{729}=27 (cm)$ ∴ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=9+27$$=36$$ (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=15 cm$이고, $\\sin B=\\frac{3}{5}, $$\\cos B=\\frac{4}{5}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=15\\sin B$$=15\\times\\frac{3}{5}$$=9$ $(cm)$ $\\overline{BH}=15\\cos B$$=15\\times\\frac{4}{5}$$=12$ $(cm)$ $\\overline{CH}$$=15-12$$=3$ $(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{9^2+3^2}$$=\\sqrt{90}$$=3\\sqrt{10}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$이고 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=6 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ (cm) $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}h+h=6$ $\\frac{\\sqrt{3}+3}{3}h=6$ $∴ h$$=\\frac{18}{3+\\sqrt{3}}$$=3(3-\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $3(3-\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림은 국기 게양대를 $A$ 지점에서 관측한 결과를 나타낸 것이다. $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$에서 $\\overline{AD}=\\frac{18}{\\tan30\\degree}$$=18\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=18\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=18\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AD}=18\\sqrt{3} m$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=18\\sqrt{3}-18$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=10$, $\\overline{BC}=18$이고, $\\sin B=\\frac{4}{5}, $$\\cos B=\\frac{3}{5}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=10\\sin B$$=10\\times\\frac{4}{5}$$=8$ $\\overline{BH}=10\\cos B$$=10\\times\\frac{3}{5}$$=6$ $\\overline{CH}$$=18-6$$=12$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{8^2+12^2}$$=\\sqrt{208}$$=4\\sqrt{13}$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{CH}$$=8-3$$=5 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+5^2}$$=\\sqrt{52}$$=2\\sqrt{13}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=120\\degree$, $\\overline{BC}=2cm$인 $\\triangle ABC$의 높이를 $hcm$라 할 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$120\\degree=90\\degree+\\angle CAH$이므로 $\\angle CAH=30\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{CH}$$=h\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=2$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=2$ $∴$ $h$$=\\frac{6}{3-\\sqrt{3}}$$=3+\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 바위의 높이를 재기 위해 $B$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $15\\degree$이고, $B$ 지점에서 바위를 향해 $3 m$ 걸어간 $D$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $30\\degree$였다. 바위의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $30\\degree=\\angle BAD+15\\degree$ $∴ \\angle BAD=15\\degree$ $\\triangle ABD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=3 m$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AC}=3\\sin30\\degree$$=3\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{3}{2} (m)$ 따라서 바위의 높이는 $\\frac{3}{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=4 cm$, $\\angle B=120\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-\\angle ABC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{CH}$$=4+3$$=7 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+7^2}$$=\\sqrt{76}$$=2\\sqrt{19} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=3\\sqrt{2}$, $\\angle B=120\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH=180\\degree-\\angle ABC=180\\degree-120\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=4\\sqrt{2}\\sin60\\degree=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{6}$ $\\overline{BH}=4\\sqrt{2}\\cos60\\degree=4\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}=2\\sqrt{2}$ $\\overline{CH}=3\\sqrt{2}+2\\sqrt{2}=5\\sqrt{2}$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(2\\sqrt{6})^2+(5\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{74}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\cos x\\times\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{12^2+5^2}$$=\\sqrt{169}$$=13 (cm)$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{13^2+13^2}$$=\\sqrt{338}$$=13\\sqrt{2} (cm)$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{13}{13\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{13}{13\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{13}{13}$$=1$ $∴ \\sin x\\times\\cos x\\times\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\times1$$=\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다음 그림은 건물에 설치된 간판의 세로의 길이를 구하기 위하여 $B$ 지점에서 관측한 결과를 나타낸 것이다. $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{12}{\\tan30\\degree}$$=12\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=12\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=12\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AC}=\\overline{BC}=12\\sqrt{3} m$ $∴ \\overline{AD}$$=\\overline{AC}-\\overline{CD}$$=12\\sqrt{3}-12$ $(m) $" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=2\\sqrt{2} cm$, $\\overline{BC}=3\\sqrt{2} cm$, $\\angle C=120\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ACH$$=180\\degree-\\angle ACB$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=2\\sqrt{2}\\sin60\\degree$$=2\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{CH}=2\\sqrt{2}\\cos60\\degree$$=2\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}$$=\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BH}$$=3\\sqrt{2}+\\sqrt{2}$$=4\\sqrt{2} (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2+(\\sqrt{6})^2}$$=\\sqrt{38} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=8\\sqrt{5} cm$이고, $\\sin B=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}, $$\\cos B=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=10\\sin B$$=10\\times\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$$=4\\sqrt{5}$ $(cm)$ $\\overline{BH}=10\\cos B$$=10\\times\\frac{\\sqrt{5}}{5}$$=2\\sqrt{5}$ $(cm)$ $\\overline{CH}$$=8\\sqrt{5}-2\\sqrt{5}$$=6\\sqrt{5}$ $(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(4\\sqrt{5})^2+(6\\sqrt{5})^2}$$=\\sqrt{260}$$=2\\sqrt{65}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=4 cm$, $\\overline{BC}=3 cm$, $\\angle C=120\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ACH$$=180\\degree-\\angle ACB$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{CH}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (cm)$ $\\overline{BH}$$=3+2$$=5 (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{5^2+(2\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{37} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 영훈이가 연을 올려다본 각의 크기는 $53\\degree$이고, 영훈이의 손에서 연까지의 거리는 $20 m$이다. 지면에서 영훈이의 손까지의 높이가 $1.5 m$일 때, 지면에서 연까지의 높이를 구하여라. (단, $\\sin53\\degree=0.8$, $\\cos53\\degree=0.6$, $\\tan53\\degree=1.3$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=20\\sin53\\degree$$=20\\times0.8$$=16 (m)$ 따라서 지면에서 연까지의 높이는 $16+1.5$$=17.5 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}=7 cm$, $\\overline{BC}=9 cm$이고, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{13}}{7}, $$\\cos C=\\frac{6}{7}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=7\\sin C$$=7\\times\\frac{\\sqrt{13}}{7}$$=\\sqrt{13}$ $(cm)$ $\\overline{CH}=7\\cos C$$=7\\times\\frac{6}{7}$$=6$ $(cm)$ $\\overline{BH}$$=9-6$$=3$ $(cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{3^2+(\\sqrt{13})^2}$$=\\sqrt{22}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=3 cm$, $\\angle B=120\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-\\angle ABC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{CH}$$=3+3$$=6$ (cm)이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+6^2}$$=\\sqrt{63}$$=3\\sqrt{7}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=14$, $\\overline{BC}=9\\sqrt{3}$이고, $\\sin B=\\frac{1}{2}$, $\\cos B=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=14\\sin B$$=14\\times\\frac{1}{2}$$=7$ $\\overline{BH}=14\\cos B$$=14\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=7\\sqrt{3}$ $\\overline{CH}$$=9\\sqrt{3}-7\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{7^2+(2\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{61}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6$, $\\overline{AC}=8$, $\\angle A=120\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=180\\degree-\\angle BAC=180\\degree-120\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=6\\sin60\\degree=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt{3}$ $\\overline{AH}=6\\cos60\\degree=6\\times\\frac{1}{2}=3$ $\\overline{CH}=8+3=11$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{11^2+(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{148}=2\\sqrt{37}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이고 $\\overline{AC}=6 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=6\\sin C$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $(cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{6^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sin B}$$=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{5}}{5}$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{5}{\\sqrt{5}}$$=3\\sqrt{10}$ $(cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{(3\\sqrt{10})^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=6\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}$$=9\\sqrt{2}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 상준이가 연을 올려다본 각의 크기는 $32\\degree$이고, 상준이의 손에서 연까지의 거리는 $50 m$이다. 지면에서 상준이의 손까지의 높이가 $1.7 m$일 때, 지면에서 연까지의 높이를 구하여라. (단, $\\sin32\\degree=0.53$, $\\cos32\\degree=0.85$, $\\tan32\\degree=0.62$로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=50\\sin32\\degree$$=50\\times0.53$$=26.5 (m)$ 따라서 지면에서 연까지의 높이는 $26.5+1.7$$=28.2 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=10 cm$, $\\angle A=75\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=10\\sin60\\degree=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle B$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\sin45\\degree}=5\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=5\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$이고 $\\overline{AB}=6 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=6\\sin B$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $(cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{6^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sin C}$$=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{5}}{5}$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{5}{\\sqrt{5}}$$=3\\sqrt{10}$ $(cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{(3\\sqrt{10})^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2} (cm)$ $∴ $$\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=3\\sqrt{2}+6\\sqrt{2}$$=9\\sqrt{2}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\angle A=75\\degree$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sin60\\degree=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle C$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\sin45\\degree}=4\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 은행과 아파트 사이의 거리가 $15 m$라고 한다. 은행 옥상의 $B$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $A$지점을 올려다본 각의 크기는 $60\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 B에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle BCH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{BH}=15 m$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=15\\tan60\\degree$$=15\\times\\sqrt{3}$$=15\\sqrt{3} (m)$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{AC}=\\overline{AH}+\\overline{CH}=15\\sqrt{3}+15 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{11}{13}$, $\\sin C=\\frac{11}{12}$이고 $\\overline{AB}=13 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=13\\sin B$$=13\\times\\frac{11}{13}$$=11$ $(cm)$ $\\overline{BH}=\\sqrt{13^2-11^2}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{11}{\\sin C}$$=11\\div\\frac{11}{12}$$=11\\times\\frac{12}{11}$$=12$ $(cm)$ $\\overline{CH}=\\sqrt{12^2-11^2}=\\sqrt{23} (cm)$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=4\\sqrt{3}+\\sqrt{23}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 수연이가 연을 올려다본 각의 크기는 $25\\degree$이고, 수연이의 손에서 연까지의 거리는 $60 m$이다. 지면에서 수연이의 손까지의 높이가 $1.6 m$일 때, 지면에서 연까지의 높이를 구하여라. (단, $\\sin25\\degree=0.42$, $\\cos25\\degree=0.91$, $\\tan25\\degree=0.47$로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=60\\sin25\\degree$$=60\\times0.42$$=25.2 (m)$ 따라서 지면에서 연까지의 높이는 $25.2+1.6$$=26.8 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=4\\sqrt{2} cm$, $\\angle A=75\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=4\\sqrt{2}\\sin60\\degree=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{6} (cm)$ $\\angle B$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}=2\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 빌딩과 아파트 사이의 거리가 $24 m$라고 한다. 빌딩 옥상의 $B$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $45\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $60\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{CH}=24\\tan60\\degree$$=24\\times\\sqrt{3}$$=24\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=24 m$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{AC}=\\overline{AH}+\\overline{CH}=24+24\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3} cm$, $\\angle A=75\\degree$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sqrt{3}\\sin60\\degree=8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12 (cm)$ $\\angle C$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{12}{\\sin45\\degree}=12\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=12\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 건물로부터 $12 m$ 떨어진 A 지점에서 국기 게양대의 양 끝 B, C 지점을 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$일 때, 국기 게양대의 높이 $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$에서 $\\overline{CD}=12\\tan30\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AD}=12 m$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=12-4\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $9 m$인 건물의 꼭대기 $A$ 지점에서 타워의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, 타워의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $30\\degree$이다. 이 타워의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=\\frac{9}{\\tan30\\degree}$$=9\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=9\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=9\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle AHB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=9\\sqrt{3} m$ 따라서 타워의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=9\\sqrt{3}+9 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 빌딩과 아파트 사이의 거리가 $6 m$라고 한다. 빌딩 옥상의 $B$지점에서 아파트의 꼭대기 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $60\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle BCH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{BH}=6 m$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=6\\tan60\\degree$$=6\\times\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{3} (m)$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{AC}=\\overline{AH}+\\overline{CH}=6\\sqrt{3}+6 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=4\\sqrt{3} cm$, $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=75\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{CH}=4\\sqrt{3}\\sin60\\degree=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=6 (cm)$ $\\angle A=180\\degree-(60\\degree+75\\degree)=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{6}{\\sin45\\degree}=6\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=6\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=6\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 눈높이가 $1.6 m$인 유진이가 탑으로부터 $7 m$ 떨어진 곳에 서 있다. 유진이가 탑의 꼭대기를 올려다본 각의 크기를 재었더니 $57\\degree$일 때, 탑의 높이를 구하여라. (단, $\\sin57\\degree=0.84$, $\\cos57\\degree=0.54$, $\\tan57\\degree=1.54$로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=7\\tan57\\degree$$=7\\times1.54$$=10.78 (m)$ 따라서 탑의 높이는 $10.78+1.6$$=12.38 (m)$" }, { "question": "다음 그림은 건물에 설치된 간판의 세로의 길이를 구하기 위하여 $A$ 지점에서 관측한 결과를 나타낸 것이다. $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{CD}=5 m$ $\\triangle ADB$에서 $\\overline{BD}=5\\tan60\\degree$$=5\\times\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{3} (m)$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=5\\sqrt{3}-5$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 은행과 빌딩 사이의 거리가 $10\\text{ }\\text{m}$라고 한다. 은행 옥상의 B 지점에서 빌딩의 꼭대기 A 지점을 올려다본 각의 크기는 $60\\degree$이고, 빌딩과 지면이 만나는 C 지점을 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$일 때, 빌딩의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle BCH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{BH}=10 m$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=10\\tan60\\degree$$=10\\times\\sqrt{3}$$=10\\sqrt{3} (m)$ 따라서 이 빌딩의 높이는 $\\overline{AC}=\\overline{AH}+\\overline{CH}=10\\sqrt{3}+10 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 바위의 높이를 재기 위해 $B$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $15\\degree$이고, $B$ 지점에서 바위를 향해 $8 m$ 걸어간 $D$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $30\\degree$였다. 바위의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $30\\degree=\\angle BAD+15\\degree$ $\\therefore$ $\\angle BAD=15\\degree$ $\\triangle ABD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=8 m$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AC}=8\\sin30\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (m)$ 따라서 바위의 높이는 $4 m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $10 m$인 우체국의 꼭대기 $A$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이고, 아파트의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $30\\degree$이다. 이 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점$ $A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=\\frac{10}{\\tan30\\degree}$$=10\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=10\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=10\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=10\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=10\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=30 (m)$ 따라서 아파트의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=10+30$$=$$40 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3}$, $\\angle A=75\\degree$, $\\angle B=60\\degree$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sqrt{3}\\sin60\\degree=8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12$ $\\angle C$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{12}{\\sin45\\degree}=12\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=12\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 학교와 아파트 사이의 거리가 $30 m$라고 한다. 학교 옥상의 $A$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $45\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{CH}=30\\tan30\\degree=30\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}=10\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle AHB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=30 m$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=30+10\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 건물과 아파트 사이의 거리가 $12 m$라고 한다. 건물 옥상의 $B$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $45\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $60\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{CH}=12\\tan60\\degree$$=12\\times\\sqrt{3}$$=12\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=12 m$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{AC}=\\overline{AH}+\\overline{CH}=12+12\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=4 cm$, $\\angle B=75\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BH}=4\\sin60\\degree=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle A$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin45\\degree}=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=2\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림은 건물에 설치된 간판의 세로의 길이를 구하기 위하여 B 지점에서 관측한 결과를 나타낸 것이다. $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{12\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=12\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=12\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=36 (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AC}=\\overline{BC}=36 m$ ∴ $\\overline{AD}$$=\\overline{AC}-\\overline{CD}$$=36-12\\sqrt{3}$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림은 건물에 설치된 간판의 세로의 길이를 구하기 위하여 A 지점에서 관측한 결과를 나타낸 것이다. $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{CD}=6 m$ $\\triangle ADB$에서 $\\overline{BD}=6\\tan60\\degree$$=6\\times\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{3} (m)$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=6\\sqrt{3}-6$ ($m$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $6 m$인 상가의 꼭대기 $A$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, 아파트의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $30\\degree$이다. 이 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=\\frac{6}{\\tan30\\degree}$$=6\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=6\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=6\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle AHB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=6\\sqrt{3} m$ 따라서 아파트의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=6\\sqrt{3}+6$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 건물로부터 $6 m$ 떨어진 $A$ 지점에서 국기 게양대의 양 끝 $B$, $C$ 지점을 올려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $45\\degree$일 때, 국기 게양대의 높이 $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AD}=6 m$ $\\triangle ADB$에서 $\\overline{BD}=6\\tan60\\degree$$=6\\times\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{3} (m)$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=6\\sqrt{3}-6$ ($m$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 과일 가게로부터 $2 m$ 떨어진 $A$ 지점에서 간판의 양 끝 $B$, $C$ 지점을 올려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $45\\degree$일 때, 간판의 높이 $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AD}=2 m$ $\\triangle ADB$에서 $\\overline{BD}=2\\tan60\\degree$$=2\\times\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3} (m)$ $∴ \\overline{BC}$$=\\overline{BD}-\\overline{CD}$$=2\\sqrt{3}-2$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $6 m$인 상가의 꼭대기 $A$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이고, 아파트의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $30\\degree$이다. 이 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=\\frac{6}{\\tan30\\degree}$$=6\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=6\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=6\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=6\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=18 (m)$ 따라서 아파트의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=6+18$$=$$24 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $4 m$ 높이에 있는 조명을 $A$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, $B$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이다. 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 조명의 위치 P에서 지면에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle APH$에서 $\\overline{AH}=\\frac{4}{\\tan30\\degree}$$=4\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=4\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BPH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{HP}=4 m$ 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=4\\sqrt{3}-4 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 빌딩과 백화점 사이의 거리가 $21 m$라고 한다. 백화점 옥상의 $A $지점에서 빌딩의 꼭대기$ B$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, 빌딩과 지면이 만나는$ C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $60\\degree$일 때, 빌딩의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=21\\tan60\\degree$$=21\\times\\sqrt{3}$$=21\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=21\\tan30\\degree$$=21\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=7\\sqrt{3} (m)$ 따라서 이 빌딩의 높이는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=21\\sqrt{3}+7\\sqrt{3}=28\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $3 m$ 높이에 있는 연을 $A$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, $B$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이다. 두 지점 $A$,$ B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 연의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHP$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{HP}=3 m$ $\\triangle BHP$에서 $\\overline{BH}=\\frac{3}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=3-\\sqrt{3}$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 은우가 가로등을 올려다보고 있다. $\\angle BCD=45\\degree$, $\\angle ACB=60\\degree$이고 $\\overline{BD}=\\sqrt{3} m$이다. 은우의 눈높이가 $1.7 m$일 때, 가로등의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=\\sqrt{3} m$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=3 (m)$ 따라서 가로등의 높이는 $3+1.7$$=4.7 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $2\\sqrt{3} m$ 높이에 있는 조명을 $A$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, $B$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이다. 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 조명의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle APH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{HP}=2\\sqrt{3} m$ $\\triangle BPH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=2 (m)$ 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=2\\sqrt{3}-2$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $20 m$ 높이에 있는 열기구를 A 지점에서 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, B 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이다. 두 지점 A, B 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 열기구의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHP$에서 $\\overline{AH}=\\frac{20}{\\tan30\\degree}$$=20\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=20\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=20\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BHP$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{HP}=20 m$ 따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=20\\sqrt{3}-20 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $18 m$인 백화점의 꼭대기 A 지점에서 아파트의 꼭대기 B 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 아파트의 아랫부분 C 지점을 내려다본 각의 크기가 $45\\degree$이다. 이 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=18 m$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=18\\tan30\\degree$$=18\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=6\\sqrt{3} (m)$ 따라서 아파트의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=6\\sqrt{3}+18$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $6 m$ 높이에 있는 조명을 A 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, B 지점에서 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이다. 두 지점 A, B 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 조명의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle APH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{HP}=6 m$ $\\triangle BPH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{6}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{6}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=6-2\\sqrt{3}(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 탑의 높이를 재기 위해 $B$ 지점에서 탑의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $15\\degree$이고, $B$ 지점에서 탑을 향해 $16 m$ 걸어간 $D$ 지점에서 탑의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $30\\degree$였다. 탑의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $30\\degree=\\angle BAD+15\\degree$ $∴$ $\\angle BAD=15\\degree$ $\\triangle ABD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=16 m$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AC}=16\\sin30\\degree$$=16\\times\\frac{1}{2}$$=8 (m)$ 따라서 탑의 높이는 $8 m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $A$ 지점에서 $B$ 지점을 거쳐 $C$ 지점까지 상수도관을 설치하려고 한다. $\\overline{AB}=2 km$, $\\angle A=45\\degree$, $\\angle C=30\\degree$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=2\\sin45\\degree=2\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2} (km)$ $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=2\\sqrt{2} (km)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $2\\sqrt{2} km$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 아파트와 학교 사이의 거리가 $60 m$라고 한다. 학교 옥상의 $A$ 지점에서 아파트의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기는 $45\\degree$이고, 아파트와 지면이 만나는 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$일 때, 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=60\\tan30\\degree$$=60\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=20\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=60 m$ 따라서 이 아파트의 높이는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=20\\sqrt{3}+60 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $2{km}$ 높이에 있는 비행기를 A 지점에서 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, B 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이다. 두 지점 A, B 사이의 거리를 구하여라. $\\\\$", "answer": "위 그림과 같이 비행기의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHP$에서 $\\overline{AH}=\\frac{2}{\\tan30\\degree}$$=2\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=2\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3} (km)$ $\\triangle BHP$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{HP}=2 km$ 따라서 두 지점 $A$,$ B$ 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=2\\sqrt{3}-2$ (km)" }, { "question": "다음 그림과 같이 $D$ 지점에서 학교의 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 학교 쪽으로 $22 m$ 다가간 $C$ 지점에서$ A $지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 학교의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 이 학교의 높이 $\\overline{AB}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD=60\\degree$이므로 $\\overline{BD}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{AB}=h m$ $\\overline{BD}-\\overline{BC}=\\overline{CD}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=22$ $(\\sqrt{3}-1)h=22$ $∴$ $h$$=\\frac{22}{\\sqrt{3}-1}$$=11(1+\\sqrt{3})$ 따라서 학교의 높이는 $11(1+\\sqrt{3}) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 진욱이가 빌딩을 올려다보고 있다. $\\angle BCD=45\\degree$, $\\angle ACB=60\\degree$이고 $\\overline{BD}=2\\sqrt{3} m$이다. 진욱이의 눈높이가 $1.8 m$일 때, 빌딩의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=2\\sqrt{3} m$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=6 (m)$ 따라서 빌딩의 높이는 $6+1.8$$=7.8 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $D$ 지점에서 가로등의 꼭대기$ A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 가로등 쪽으로 $14 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 가로등의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 이 가로등의 높이 $\\overline{AB}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD=60\\degree$이므로 $\\overline{BD}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{AB}=h m$ $\\overline{BD}-\\overline{BC}=\\overline{CD}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=14$ $(\\sqrt{3}-1)h=14$ $∴ h$$=\\frac{14}{\\sqrt{3}-1}$$=7(1+\\sqrt{3})$ 따라서 가로등의 높이는 $7(1+\\sqrt{3}) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $120\\sqrt{2} m$ 떨어진 두 지점 $A$, $B$에서 우리 안의 사자를 바라본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. $B$ 지점에서 사자 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=120\\sqrt{2}\\sin45\\degree=120\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=120 (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{120}{\\sin60\\degree}=120\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=120\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=80\\sqrt{3} (m)$ 따라서 $B$ 지점에서 사자 $C$까지의 거리는 $80\\sqrt{3} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 바위의 높이를 재기 위해 $B$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $15\\degree$이고, $B$ 지점에서 바위를 향해 $6 m$ 걸어간 $D$ 지점에서 바위의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $30\\degree$였다. 바위의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $30\\degree=\\angle BAD+15\\degree$ $∴$ $\\angle BAD=15\\degree$ $\\triangle ABD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=6 m$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AC}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (m)$ 따라서 바위의 높이는 $3 m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 연의 높이를 재기 위해 $C$ 지점에서 연의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $22.5\\degree$이고, $C$ 지점에서 연을 향해 $10 m$ 걸어간 $B$ 지점에서 연의 꼭대기 $A$ 지점을 바라본 각의 크기는 $45\\degree$였다. 연의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $45\\degree=\\angle BAC+22.5\\degree$ $∴ \\angle BAC=22.5\\degree$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=10 m$ $\\triangle AHB$는 $\\overline{AH}=10\\sin45\\degree=10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5\\sqrt{2} (m)$ 따라서 연의 높이는 $5\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 혜원이가 국기 게양대를 올려다보고 있다. $\\angle CBD=30\\degree$, $\\angle ABD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=2\\sqrt{3} m$이다. 혜원이의 눈높이가 $1.7 m$일 때, 국기 게양대의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BDC$에서 $\\overline{BD}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=6 (m)$ $\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=6 m$ 따라서 국기 게양대의 높이는 $6+1.7$$=7.7 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $D$ 지점에서 아파트의 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 아파트 쪽으로 $32 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 아파트의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 이 아파트의 높이 $\\overline{AB}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD=60\\degree$이므로 $\\overline{BD}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ $(m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{AB}=h m$ $\\overline{BD}-\\overline{BC}=\\overline{CD}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=32$ $(\\sqrt{3}-1)h=32$ $∴$ $h$$=\\frac{32}{\\sqrt{3}-1}$$=16(1+\\sqrt{3})$ 따라서 아파트의 높이는 $16(1+\\sqrt{3}) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $21 m$인 건물의 꼭대기 $A$지점에서 타워의 꼭대기 $B$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 타워의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $60\\degree$이다. 이 타워의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=\\frac{21}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{21}{\\sqrt{3}}$$=7\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=7\\sqrt{3}\\tan30\\degree$$=7\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=7 (m)$ 따라서 타워의 높이는 $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=21+7$$=$$28 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $5 m$인 서점의 꼭대기 $B$ 지점에서 빌딩의 꼭대기 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이고, 빌딩의 아랫부분 $C$ 지점을 내려다본 각의 크기가 $45\\degree$이다. 이 빌딩의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을$ H$라 하면 $\\triangle BCH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{CH}=5 m$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=5\\tan60\\degree$$=5\\times\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{3} (m)$ 따라서 빌딩의 높이는 $\\overline{AC}$$=\\overline{AH}+\\overline{CH}$$=5\\sqrt{3}+5$$ (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $B$ 지점에서 송전탑의 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 송전탑 쪽으로 $50 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 송전탑의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 이 송전탑의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=50$ $(\\sqrt{3}-1)h=50$ $∴ h=\\frac{50}{\\sqrt{3}-1}=25(1+\\sqrt{3})$ 따라서 송전탑의 높이는 $25(1+\\sqrt{3}) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 학교의 높이를 재기 위해 C 지점에서 학교의 꼭대기 A 지점을 바라본 각의 크기는 $30\\degree$이고, C 지점에서 학교를 향해 $16 m$ 걸어간 B 지점에서 학교의 꼭대기 A 지점을 바라본 각의 크기는 $60\\degree$였다. 학교의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $60\\degree=\\angle BAC+30\\degree$ $∴ $$\\angle BAC=30\\degree$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=16 m$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=16\\sin60\\degree$$=16\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=8\\sqrt{3} (m)$ 따라서 학교의 높이는 $8\\sqrt{3} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 A 지점에서 C 지점을 거쳐 B 지점까지 지하 배수 터널을 건설하려고 한다. $\\overline{AC}=500 m$, $\\angle A=30\\degree$, $\\angle B=45\\degree$일 때, 두 지점 B, C 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=500\\sin30\\degree$$=500\\times\\frac{1}{2}$$=250 (m)$ $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{250}{\\sin45\\degree}$$=250\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=250\\sqrt{2} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $250\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 B 지점에서 A 지점을 거쳐 C 지점까지 상수도관을 설치하려고 한다. $\\overline{AB}=1200 m$, $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, 두 지점 A, C 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=1200\\sin30\\degree$$=1200\\times\\frac{1}{2}$$=600 (m)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{600}{\\sin45\\degree}$$=600\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=600\\sqrt{2} (m)$ 따라서 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리는 $600\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=3\\sqrt{2} cm$, $\\overline{BC}=8 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $6\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree \\lt \\angle B \\lt 90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{2}\\times8\\times\\sin B$$=6\\sqrt{2}$이므로 $12\\sqrt{2}\\sin B=6\\sqrt{2}$ $∴$ $\\sin B=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle B=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $120 m$ 떨어진 두 지점 $A$, $B$에서 인공 폭포의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. $B$ 지점에서 폭포의 꼭대기 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=120\\sin45\\degree=120\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=60\\sqrt{2} (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{60\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}=60\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=60\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=40\\sqrt{6} (m)$ 따라서 $B$ 지점에서 폭포의 꼭대기 $C$까지의 거리는 $40\\sqrt{6} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 수지가 가로등을 올려다보고 있다. $\\angle BCD=30\\degree$, $\\angle ACB=45\\degree$이고 $\\overline{BD}=3\\sqrt{3} m$이다. 수지의 눈높이가 $1.6 m$일 때, 가로등의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=9 (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=9 m$ 따라서 가로등의 높이는 $9+1.6$$=10.6 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 보영이가 나무를 올려다보고 있다. $\\angle BCD=30\\degree$, $\\angle ACB=45\\degree$이고 $\\overline{BD}=12\\sqrt{3} m$이다. 보영이의 눈높이가 $1.5 m$일 때, 나무의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{12\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=12\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=12\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=36 (m)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=36 m$ 따라서 나무의 높이는 $36+1.5$$=37.5 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지은이가 학교를 올려다보고 있다. $\\angle{BCD}=30\\degree$, $\\angle{ACB}=60\\degree$이고 $\\overline{BD}=3 m$이다. 지은이의 눈높이가 $1.6 m$일 때, 학교의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{3}{\\tan30\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=3\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=3\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=3\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=9 (m)$ 따라서 학교의 높이는 $9+1.6$$=10.6 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 준수가 건물을 올려다보고 있다. $\\angle CBD=45\\degree$, $\\angle ABC=60\\degree$이고 $\\overline{CD}=2\\sqrt{3} m$이다. 준수의 눈높이가 $1.6 m$일 때, 건물의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{CD}=2\\sqrt{3} m$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=2\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=6 (m)$ 따라서 건물의 높이는 $6+1.6$$=7.6 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $90\\sqrt{2} m$ 떨어진 두 지점 A, B에서 우리 안의 토끼를 바라본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. B 지점에서 토끼 C까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=90\\sqrt{2}\\sin45\\degree=90\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=90 (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{90}{\\sin60\\degree}=90\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=90\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=60\\sqrt{3} (m)$ 따라서 $B$ 지점에서 토끼 $C$까지의 거리는 $60\\sqrt{3} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $B$ 지점에서 $A$ 지점을 거쳐 $C$ 지점까지 지하 배수 터널을 건설하려고 한다. $\\overline{AB}=30\\sqrt{2} m$, $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=30\\degree$일 때, 두 지점 $A$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=30\\sqrt{2}\\sin45\\degree=30\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=30 (m)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{30}{\\sin30\\degree}=30\\div\\frac{1}{2}=60 (m)$ 따라서 두 지점 A, C 사이의 거리는 $60 m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $24 m$ 떨어진 두 지점$ A$, $B$에서 인공 폭포의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 각각 $75\\degree$, $45\\degree$이었다.$ A$ 지점에서 폭포의 꼭대기$ C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $ \\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=24\\sin45\\degree=24\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=12\\sqrt{2} (m)$ $ \\angle C=180\\degree-(75\\degree+45\\degree)=60\\degree$이므로 $ \\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{12\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}=12\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=8\\sqrt{6} (m)$ 따라서 $A$ 지점에서 폭포의 꼭대기 $C$까지의 거리는 $8\\sqrt{6} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 눈높이가 $1.5 m$인 지연이가 동상으로부터 $4 m$ 떨어진 곳에 서 있다. 지연이가 동상의 꼭대기를 올려다본 각의 크기를 재었더니 $50\\degree$일 때, 동상의 높이를 구하여라. (단, $\\sin50\\degree=0.77$, $\\cos50\\degree=0.64$, $\\tan50\\degree=1.19$로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=4\\tan50\\degree=4\\times1.19=4.76 (m)$ 따라서 동상의 높이는 $4.76+1.5=6.26 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2} cm$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{3} cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $6\\sqrt{6} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times4\\sqrt{3}\\times\\sin B$$=6\\sqrt{6}$이므로 $12\\sqrt{6}\\sin B=6\\sqrt{6}$ $∴$ $\\sin B=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle B=30\\degree$" }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 나무가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 나무의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 나무가 부러진 지점을 $A$, 나무의 밑부분을 $B$, 나무의 꼭대기를 $C$라 하면 원래 나무의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{3}\\tan30\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4 (m)$ $\\overline{AC}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\cos30\\degree}$$=4\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=8 (m)$ 따라서 부러지기 전의 나무의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=4+8=12 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle\\text{A}=120\\degree$이고 $\\overline{\\text{A}\\text{B}}=\\overline{\\text{A}\\text{C}}$인 이등변삼각형 $\\text{A}\\text{B}\\text{C}$의 넓이가 $14\\sqrt{3}\\text{ }\\text{cm}^2$일 때, $\\overline{\\text{A}\\text{B}}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=14\\sqrt{3}$ $ { }$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin60\\degree=14\\sqrt{3}$ $ { }$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2=14\\sqrt{3}$ $ { }$ $x^2=56$ 이때 $x>0$ 이므로 $x=\\sqrt{56}=2\\sqrt{14}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $2\\sqrt{14} cm$이다." }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 나무가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 나무의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 나무가 부러진 지점을 A, 나무의 밑부분을 C, 나무의 꼭대기를 B라 하면 원래 나무의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5}{\\cos60\\degree}$$=5\\div\\frac{1}{2}$$=5\\times2$$=10 (m)$ $\\overline{AC}=5\\tan60\\degree$$=5\\times\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{3} (m)$ 따라서 부러지기 전의 나무의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=10+5\\sqrt{3}=10+5\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "혜민이가 해변에서 배까지의 거리를 구하기 위하여 아래 그림과 같이 $150\\sqrt{2} m$ 떨어진 두 지점 $A$, $C$에서 각의 크기를 측정하였더니 각각 $105\\degree$, $45\\degree$이었다. $C$ 지점에서 배의 위치 $B$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=150\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=150\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=150 (m)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=150 m$ $\\angle B$$=180\\degree-(105\\degree+45\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{150}{\\tan30\\degree}=150\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=150\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=150\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=150\\sqrt{3}+150 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 준민이가 건물을 올려다보고 있다. $\\angle CBD=45\\degree$, $\\angle ABC=60\\degree$이고 $\\overline{CD}=4\\sqrt{3} m$이다. 준민이의 눈높이가 $1.5 m$일 때, 건물의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{CD}=4\\sqrt{3} m$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=4\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=12 (m)$ 따라서 건물의 높이는 $12+1.5$$=13.5 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 두 파라솔 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AC}=10 m$, $\\overline{BC}=14 m$, $\\angle C=60\\degree$일 때, 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{CH}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (m)$ $\\overline{BH}$$=14-5$$=9$ $(m)$이므로 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{9^2+(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{156}$$=2\\sqrt{39}$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $12\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\times8\\times\\sin B$$=12\\sqrt{2}$이므로 $24\\sin B=12\\sqrt{2}$ $∴$ $\\sin B=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\angle B=45\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 거쳐 $B$ 지점까지 수도관을 설치하려고 한다. $\\overline{AC}=800 m$, $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=800\\sin45\\degree=800\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=400\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{400\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=400\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=800\\sqrt{2} (m)$ 따라서 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $800\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 나무 막대가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 나무 막대의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 나무 막대가 부러진 지점을 $A$, 나무 막대의 밑부분을 $C$, 나무 막대의 꼭대기를 $B$라 하면 원래 나무 막대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\cos30\\degree}$$=6\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=12 (m)$ $\\overline{AC}=6\\sqrt{3}\\tan30\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=6 (m)$ 따라서 부러지기 전의 나무 막대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=12+6=18 (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하기 위하여 $C$ 지점과 같은 쪽에 $\\overline{AC}=1200 m$인 지점 $A$를 잡았다. $\\angle A=105\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=1200\\cos45\\degree$$=1200\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=600\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=600\\sqrt{2} m$ $\\angle B$$=180\\degree-(105\\degree+45\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{600\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}=600\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=600\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=600\\sqrt{6} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=600\\sqrt{6}+600\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 나무 막대가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 나무 막대의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 나무 막대가 부러진 지점을 $A$, 나무 막대의 밑부분을 $C$, 나무 막대의 꼭대기를 $B$라 하면 원래 나무 막대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\frac{2}{\\cos30\\degree}$$=2\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{3} (m)$ $\\overline{AC}=2\\tan30\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{3} (m)$ 따라서 부러지기 전의 나무 막대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=\\frac{4\\sqrt{3}}{3}+\\frac{2\\sqrt{3}}{3}=2\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $B$ 지점에서 나무의 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 나무 쪽으로 $8 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 나무의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 이 나무의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=8$ $(\\sqrt{3}-1)h=8$ $∴ h$$=\\frac{8}{\\sqrt{3}-1}$$=4(1+\\sqrt{3})$ 따라서 나무의 높이는 $4(1+\\sqrt{3}) m$이다." }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 신호등이 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 신호등의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 신호등이 부러진 지점을 $A$, 신호등의 밑부분을 $C$, 신호등의 꼭대기를 $B$라 하면 원래 신호등의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\frac{11}{\\cos30\\degree}$$=11\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=11\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{22\\sqrt{3}}{3} (m)$ $\\overline{AC}=11\\tan30\\degree$$=11\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{11\\sqrt{3}}{3} (m)$ 따라서 부러지기 전의 신호등의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=\\frac{22\\sqrt{3}}{3}+\\frac{11\\sqrt{3}}{3}=11\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "지면에 수직으로 서 있던 전봇대가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 전봇대의 높이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 전봇대가 부러진 지점을 $A$, 전봇대의 밑부분을 $B$, 전봇대의 꼭대기를 $C$라 하면 원래 전봇대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=9\\tan30\\degree$$=9\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{AC}=\\frac{9}{\\cos30\\degree}$$=9\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=9\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=6\\sqrt{3} (m)$ 따라서 부러지기 전의 전봇대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=3\\sqrt{3}+6\\sqrt{3}=9\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $24\\sqrt{3} m$ 떨어진 두 지점 $A$, $B$에서 우리 안의 말을 바라본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. $B$ 지점에서 말 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=24\\sqrt{3}\\sin45\\degree=24\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=12\\sqrt{6} (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{12\\sqrt{6}}{\\sin60\\degree}=12\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=24\\sqrt{2} (m)$ 따라서 $B$ 지점에서 말 $C$까지의 거리는 $24\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $16\\sqrt{3} m$ 떨어진 두 지점 $A, B$에서 월드컵 분수의 물줄기의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. $B$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=16\\sqrt{3}\\sin45\\degree=16\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=8\\sqrt{6} (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{8\\sqrt{6}}{\\sin60\\degree}=8\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=8\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=16\\sqrt{2} (m)$ 따라서 $B$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기 $C$까지의 거리는 $16\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $30 m$ 떨어진 두 지점 $A, B$에서 호수에 있는 분수의 물줄기의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $75\\degree$이었다. $B$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=30\\sin45\\degree=30\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=15\\sqrt{2} (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{15\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}=15\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=15\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=10\\sqrt{6} (m)$ 따라서$ B$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기$ C$까지의 거리는 $10\\sqrt{6} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 C 지점에서 A 지점을 거쳐 B 지점까지 수도관을 설치하려고 한다. $\\overline{AC}=6\\sqrt{2} km$, $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, 두 지점 A, B 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=6\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6 (km)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{6}{\\sin30\\degree}$$=6\\div\\frac{1}{2}$$=12 (km)$ 따라서 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $12 km$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $A$ 지점에서 $B$ 지점을 거쳐 $C$ 지점까지 수도관을 설치하려고 한다. $\\overline{AB}=300 m$, $\\angle A=45\\degree$, $\\angle C=30\\degree$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=300\\sin45\\degree$$=300\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=150\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{150\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}$$=150\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}$$=300\\sqrt{2} (m)$ 따라서 두 지점 $B, C$ 사이의 거리는 $300\\sqrt{2} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 두 지점 $A, B$ 사이에 다리를 건설하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AC}=4 km, $$\\overline{BC}=3 km, $$\\angle C=60\\degree$일 때, 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (km)$ $\\overline{CH}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (km)$ $\\overline{BH}$$=3-2$$=1$ $(km)$이므로 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+1^2}$$=\\sqrt{13}$ $(km)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 윤아가 나무를 올려다보고 있다. $\\angle CBD=30\\degree$, $\\angle ABD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=3\\sqrt{3} m$이다. 윤아의 눈높이가 $1.4 m$일 때, 나무의 높이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BDC$에서 $\\overline{BD}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=9 (m)$ $\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=9 m$ 따라서 나무의 높이는 $9+1.4$$=10.4 (m)$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 운동장의 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 점 $B$로부터 $150 m$ 떨어진 운동장 밖의 한 지점을 점 $C$로 정하였다. 점 $C$에서 점 $A$와 점 $B$를 바라본 각의 크기는 $105\\degree$, 점 $B$에서 점 $A$와 점 $C$를 바라본 각의 크기는 $45\\degree$일 때, 두 지점 $A$, $B$사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점$ C$ 에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BH}=150\\cos45\\degree$$=150\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=75\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle BCH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{BH}=75\\sqrt{2} m$ $\\angle A$$=180\\degree-(45\\degree+105\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=\\frac{75\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}=75\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=75\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=75\\sqrt{6} (m)$ 따라서 두 지점 $ A$ , $ B$ 사이의 거리는 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=75\\sqrt{6}+75\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC = \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 3\\sqrt{6} \\times \\sin (180 \\degree - 135 \\degree) \\\\ = \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 3\\sqrt{6} \\times \\sin 45 \\degree \\\\ = \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 3\\sqrt{6} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\\\ =12\\sqrt{3} $" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC =\\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times 3 \\times sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times 3 \\times sin60\\degree =\\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times 3 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 9(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하기 위하여 $B$ 지점과 같은 쪽에 $\\overline{AB}=60 m$인 지점 $A$를 잡았다. $\\angle A=105\\degree$, $\\angle B=45\\degree$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=60\\cos45\\degree$$=60\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=30\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=30\\sqrt{2} m$ $\\angle C$$=180\\degree-(105\\degree+45\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\frac{30\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}=30\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=30\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=30\\sqrt{6} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=30\\sqrt{2}+30\\sqrt{6} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 섬의 A 지점에서 출발하여 B 지점까지 배가 움직인 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AC}=6 km, $$\\overline{BC}=5\\sqrt{3} km, $$\\angle C=30\\degree$일 때, 두 지점 A, B 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (km)$ $\\overline{CH}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (km)$ $\\overline{BH}$$=5\\sqrt{3}-3\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3} (km)$이므로 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+3^2}$$=\\sqrt{21} (km)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=7 cm$, $\\overline{AC}=2\\sqrt{5} cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $\\frac{7\\sqrt{15}}{2} cm^2$일 때, $\\angle A$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle A<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times7\\times2\\sqrt{5}\\times\\sin A$$=\\frac{7\\sqrt{15}}{2}$이므로 $7\\sqrt{5}\\sin A=\\frac{7\\sqrt{15}}{2}$ $∴$ $\\sin A=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\angle A=60\\degree$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$ $=$$\\sqrt{1}{2}\\times5\\times8\\times\\sin(18\\degree-135\\degree)$ $=$$\\sqrt{1}{2}\\times5\\times8\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\sqrt{1}{2}\\times5\\times8\\times\\frac{\\sqrt2}{2} =10\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=3\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=6 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $\\frac{27}{2} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times6\\times\\sin B=\\frac{27}{2}$이므로 $9\\sqrt{3}\\sin B=\\frac{27}{2}$ $∴ \\sin B=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\angle B=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AC}=10 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $30\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\angle C$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle C<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times\\sin C$$=30\\sqrt{2}$이므로 $60\\sin C=30\\sqrt{2}$ $∴ \\sin C=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\angle C=45\\degree$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC =\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\times sin(180\\degree-120\\degree)=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\times sin60\\degree=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=20\\sqrt{3}(cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\times10\\times14\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times14\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=35\\sqrt{3}(cm^2)$ $\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times4\\times10\\times sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times10\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times10\\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=10\\sqrt{3}(cm^2)$ $ ∴ \\square ABCD=\\triangle ABD +\\triangle BCD$ $=35\\sqrt{3}+10\\sqrt{3}=45\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $15\\sqrt{2} m$ 떨어진 두 지점 $A, B$에서 노래하는 분수의 물줄기의 꼭대기를 올려다본 각의 크기가 각각 $75\\degree$, $45\\degree$이었다. $A$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기 $C$까지의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=15\\sqrt{2}\\sin45\\degree=15\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=15 (m)$ $\\angle C$$=180\\degree-(75\\degree+45\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{15}{\\sin60\\degree}=15\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=15\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=10\\sqrt{3} (m)$ 따라서 $A$ 지점에서 분수의 물줄기의 꼭대기 $C$까지의 거리는 $10\\sqrt{3} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 두 파라솔 B, C 사이의 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AB}=8 m, $$\\overline{AC}=9 m, $$\\angle A=60\\degree$일 때, 두 지점 B, C 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점$ B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{AH}=8\\cos60\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (m)$ $\\overline{CH}$$=9-4$$=5$ $(m)$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+5^2}$$=\\sqrt{73}$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 연못의 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AC}=6 m, $$\\overline{BC}=7 m, $$\\angle C=60\\degree$일 때, 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{CH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (m)$ $\\overline{BH}$$=7-3$$=4 (m)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{4^2+(3\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{43} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=120\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $12\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=12\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin60\\degree=12\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2=12\\sqrt{3}$ $x^2=48$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 섬의 $P$ 지점에서 출발하여 $A$ 지점까지 배가 움직인 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AB}=5 km, $$\\overline{BP}=4 km, $$\\angle B=60\\degree$일 때, 두 지점 $A, P$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을$ H$라 하면 $\\triangle BPH$에서 $\\overline{HP}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (km)$ $\\overline{BH}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (km)$ $\\overline{AH}$$=5-2$$=3$ $(km)$이므로 $\\triangle AHP$에서 $\\overline{AP}=\\sqrt{3^2+(2\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{21}$ $(km)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=3\\sqrt{2} cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=30\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-30\\degree\\times2$$=120\\degree$ $∴\\triangle ABC$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times sin(180\\degree - 120\\degree)$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times sin60\\degree$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times 3\\sqrt{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{9\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=4 cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle C=15\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle A$$=\\angle C$$=15\\degree$이므로 $\\angle B$$=180\\degree-15\\degree\\times2$$=150\\degree$ $ ∴ $$\\triangle ABC=$ $\\frac{1}{2}\\times4$ $ \\times4$$\\times sin$$( 180\\degree-150$$\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4$ $ \\times4$$\\times sin$$30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4$ $ \\times4$$\\times\\frac{1}{2}$ $=$$4 (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle \\mathrm{ABC} =\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 4 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-150^{\\circ}\\right)$ $=\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 4 \\times \\sin 30^{\\circ}$ $=\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 4 \\times \\frac{1}{2}$ $=5\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle A$$=180\\degree-(37\\degree+23\\degree)$$=120\\degree$이므로 $\\triangle ABD$ $=$$\\frac{1}{2}\\times$$6$$\\times4$$\\times$$sin(180$$\\degree$-$120$$\\degree) $$=$$\\frac{1}{2}\\times$$6$$\\times4$$\\times$$sin$$60$$\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times$$6$$\\times4$$\\times$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$6\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle A$$=180\\degree-(32\\degree+28\\degree)$$=120\\degree$이므로 $=$$\\frac{3\\sqrt{6}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$ \\mathrm{B}=180^{\\circ}-\\left(35^{\\circ}+25^{\\circ}\\right)=120^{\\circ}$ 이므로 $ \\triangle \\mathrm{ABC} =\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{2} \\times 7 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-120^{\\circ}\\right)$ $=\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{2} \\times 7 \\times \\sin 60^{\\circ}$ $=\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{2} \\times 7 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} $ $=\\frac{7 \\sqrt{6}}{2}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 7 \\times sin (180\\degree - 150\\degree)$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 7 \\times sin 30\\degree$ $=$ $\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 7 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$14$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle B$$=180\\degree-(25\\degree+20\\degree)$$=135\\degree$이므로 $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\sin{(180\\degree-135\\degree)}$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\sin{45\\degree}$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=5\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=135\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $4\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=4\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin45\\degree=4\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}x^2=4\\sqrt{2}$ $x^2=16$ 이때 $x>0$이므로 $x=4$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=135\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $28\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=28\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin45\\degree=28\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}x^2=28\\sqrt{2}$ $x^2=112$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{112}=4\\sqrt{7}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4\\sqrt{7} cm$이다." }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times5\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times5\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times5\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$15$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=6 cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=22.5\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=22.5\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-22.5\\degree\\times2$$=135\\degree$ $∴ \\triangle ABC = \\frac{1}{2}$ $\\times 6 \\times 6 \\times sin($$180\\degree-135\\degree)$ $=$ $\\frac{1}{2}$ $\\times 6 \\times 6 \\times sin45$$\\degree$ $=$ $\\frac{1}{2}$ $\\times 6 \\times 6 \\times $$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$9\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=180\\degree-(31\\degree+29\\degree)$$=120\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{3}\\times sin(180\\degree - 120\\degree)\\\\$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{3}\\times sin 60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$54$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=3\\sqrt{3} cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=15\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=15\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-15\\degree\\times2$$=150\\degree$ $∴\\triangle ABC$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times3\\sqrt{3}\\times sin(180\\degree-180\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times3\\sqrt{3}\\times sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times3\\sqrt{3}\\times \\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{27}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=5 cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C=\\angle B =30^{\\circ} $이므로 \\[ \\begin{aligned}\\angle A=180^{\\circ}-30^{\\circ} \\times 2=120^{\\circ} \\\\ \\therefore \\triangle ABC =\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 5 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-120^{\\circ}\\right) \\\\ =\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 5 \\times \\sin 60^{\\circ} \\\\ =\\frac{1}{2} \\times 5 \\times 5 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ =\\frac{25 \\sqrt{3}}{4}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) \\end{aligned} \\]" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\times\\sin(180\\degree-135\\degree) =\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\times\\sin45\\degree=\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$6\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times5\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times5\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times5\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$15$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle B$$=180\\degree-(35\\degree+25\\degree)$$=120\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\sqrt{2}\\times sin(180\\degree-120\\degree)=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\sqrt{2}\\times sin 60\\degree = \\frac{1}{2}\\times4\\times5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=5\\sqrt{6}(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=14 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $35 cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times14\\times10\\times\\sin(180\\degree-B)$$=35$이므로 $70\\sin(180\\degree-B)=35$ $∴ \\sin(180\\degree-B)=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $180\\degree-B=30\\degree$ $∴ \\angle B=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=8\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=12$, $\\overline{CD}=6$이고 $\\angle B=45\\degree, $$\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC = \\frac{1}{2} \\times 8\\sqrt2 \\times 12 \\times sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 8\\sqrt2 \\times 12 \\times \\frac{\\sqrt2}{2}$ $=$$48$ 위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=8$ $\\overline{CH}$$=12-8$$=4$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{8^2+4^2}$$=\\sqrt{80}$$=4\\sqrt{5}$ $=$$6\\sqrt{5}$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=48+6\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=4 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $10 cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times4\\times\\sin(180\\degree-B)$$=10$이므로 $20\\sin(180\\degree-B)=10$ $∴ \\sin(180\\degree-B)=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $180\\degree-B=30\\degree$ $∴ \\angle B=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $12\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times8\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=12\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times8\\times\\sin60\\degree=12\\sqrt{3}$ $2\\sqrt{3}\\overline{BC}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}=6$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=4\\sqrt{7} cm$, $\\overline{BC}=8 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $8\\sqrt{7} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{7}\\times8\\times\\sin B$$=8\\sqrt{7}$이므로 $16\\sqrt{7}\\sin B=8\\sqrt{7}$ $∴ \\sin B=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle B=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=135\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $20\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=20\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin45\\degree=20\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}x^2=20\\sqrt{2}$ $x^2=80$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4\\sqrt{5} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $18\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times12\\times\\overline{BC}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=18\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times12\\times\\overline{BC}\\times\\sin60\\degree=18\\sqrt{3}$ $3\\sqrt{3}\\overline{BC}=18\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}=6$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=2\\sqrt{6} cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=22.5\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=22.5\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-22.5\\degree\\times2$$=135\\degree$ $∴ \\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{6}\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{6}\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$6\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle A$$=180\\degree-(35\\degree+10\\degree)$$=135\\degree$이므로 $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times5\\times2\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times2\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times2\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{5\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $\\mathrm{BD}$ 를 그으면 \\[ \\begin{aligned} \\triangle \\mathrm{ABD} & =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 2 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-120^{\\circ}\\right) \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 2 \\times \\sin 60^{\\circ} \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 2 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ & =3 \\sqrt{3}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) \\\\ \\triangle \\mathrm{BCD} & =\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{13} \\times 2 \\sqrt{13} \\times \\sin 60^{\\circ} \\\\ & =\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{13} \\times 2 \\sqrt{13} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\\\ & =13 \\sqrt{3}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) \\\\ \\therefore \\square \\mathrm{ABCD} & =\\triangle \\mathrm{ABD}+\\triangle \\mathrm{BCD} \\\\ & =3 \\sqrt{3}+13 \\sqrt{3}=16 \\sqrt{3}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) \\end{aligned} \\]" }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $9 cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{BC}\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=9$이므로 $\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{BC}\\times\\sin45\\degree=9$ $\\frac{3\\sqrt{2}}{2}\\overline{BC}=9$ $∴$ $\\overline{BC}=3\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=135\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $12\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=12\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin45\\degree=12\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}x^2=12\\sqrt{2}$ $x^2=48$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle ABD$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\times4\\times sin(180\\degree -120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\times4\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\times4\\times\\frac{\\sqrt3}{2} $ $=$$3\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle BCD$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\times6\\sqrt2\\times sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\times6\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt2}{2} $ $=$$15 (cm^2)$ $∴ \\square ABCD$ $=\\triangle ABD+\\triangle BCD$ $=$$15+3\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{BC}=5\\sqrt{3} cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $30 cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times8\\times5\\sqrt{3}\\times\\sin(180\\degree-B)$$=30$이므로 $20\\sqrt{3}\\sin(180\\degree-B)=30$ $∴$ $\\sin(180\\degree-B)=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $180\\degree-B=60\\degree$ $∴$ $\\angle B=120\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $12$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{AB}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)=12$이므로 $\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{AB}\\times\\sin30\\degree=12$ $\\frac{3}{2}\\overline{AB}=12$ $∴$ $\\overline{AB}=8$" }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $21 cm^2$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times7\\times\\overline{AC}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=21$이므로 $\\frac{1}{2}\\times7\\times\\overline{AC}\\times\\sin60\\degree=21$ $\\frac{7\\sqrt{3}}{4}\\overline{AC}=21$ $∴ \\overline{AC}=4\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=6\\sqrt{5} cm$, $\\overline{BC}=18 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $27\\sqrt{5} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}\\times18\\times\\sin(180\\degree-B)$$=27\\sqrt{5}$이므로 $54\\sqrt{5}\\sin(180\\degree-B)=27\\sqrt{5}$ $∴$ $\\sin(180\\degree-B)=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $180\\degree-B=30\\degree$ $∴$ $\\angle B=150\\degree$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\times6\\times8\\times sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times8\\times sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$12\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times10\\times2\\sqrt{2}\\times sin(180\\degree - 135\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times2\\sqrt{2}\\times sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times2\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$10 (cm^2)$ ∴$\\square ABCD=\\triangle ABD+\\triangle BCD$ $=$$10+12\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=120\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $6\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=6\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin60\\degree=6\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2=6\\sqrt{3}$ $x^2=24$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $2\\sqrt{6} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{5}$, $\\overline{CD}=2$이고 $\\angle ACD=60\\degree, $$\\angle BAC=135\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ACD$에서 $\\overline{AD}=2\\tan60\\degree$$=2\\times\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3}$이므로 $\\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle ACD$에서 $\\overline{AC}=\\frac{2}{\\cos60\\degree}=2\\div\\frac{1}{2}=2\\times2=4$이므로 $\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times\\sqrt{5}\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times\\sqrt{5}\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times\\sqrt{5}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\sqrt{10}$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ACD+\\triangle ABC$$=2\\sqrt{3}+\\sqrt{10}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $10\\sqrt{3} cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin60\\degree=10\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{2}x^2=10\\sqrt{3}$ $x^2=20$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}$ 마름모의 한 변의 길이는 $2\\sqrt{5} cm$이므로 둘레의 길이는 $2\\sqrt{5}\\times4=8\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle{ABD}=\\frac{1}{2}\\times6\\times\\sqrt{3}\\times$$sin$$(180\\degree-150\\degree)$ =$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\sqrt{3}\\times$$sin$$30\\degree$=$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$9\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{7}\\times6\\sqrt{7}\\times$$sin$$60\\degree$ =$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{7}\\times6\\sqrt{7}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$63\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$$\\square{ABCD}=\\triangle{ABD}+\\triangle{BCD}=9\\sqrt{3}+63\\sqrt{3}=72\\sqrt{3}$ $cm^2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2} cm$, $\\overline{BC}=6 cm$인 $\\triangle ABC$의 넓이가 $9\\sqrt{2} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times6\\times\\sin(180\\degree-B)$$=9\\sqrt{2}$이므로 $18\\sqrt{2}\\sin(180\\degree-B)=9\\sqrt{2}$ $∴ \\sin(180\\degree-B)=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $180\\degree-B=30\\degree$ $∴ \\angle B=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=6\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\overline{CD}=7 cm$이고 $\\angle B=30\\degree, $$\\angle ACD=60\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC= \\frac{1}{2}\\times 6\\sqrt{3}\\times12\\times sin 30\\degree $=$\\frac{1}{2}\\times 6\\sqrt{3}\\times12\\times\\frac{1}{2}$ $=$$18\\sqrt{3} (cm^2)$ 위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=6\\sqrt{3}\\sin30\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\sqrt{3}\\cos30\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=9 (cm)$ $\\overline{CH}$$=12-9$$=3 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+3^2}$$=\\sqrt{36}$$=6 (cm)$ $=$$\\frac{21\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=18\\sqrt{3}+\\frac{21\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{57\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AD}=4$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{2}$이고 $\\angle ADB=45\\degree, $$\\angle CBD=60\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{AD}=4$ $∴ \\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\frac{4}{\\cos45\\degree}=4\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4\\sqrt{2}$이므로 $\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt3}{2}=8\\sqrt{3}$ $∴\\square ABCD=\\triangle ABD+\\triangle BCD=8+8\\sqrt3$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=5\\sqrt{2}$, $\\overline{CD}=3$이고 $\\angle ACD=120\\degree, $$\\angle BAC=45\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{AB}=5\\sqrt{2}$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{2}\\times5\\sqrt{2}$$=25$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{5\\sqrt{2}}{\\cos45\\degree}=5\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=10$이므로 $=$$\\frac{15\\sqrt{3}}{2}$ $∴$ $\\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=25+\\frac{15\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=120\\degree$이고 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$인 이등변삼각형 $ABC$의 넓이가 $10\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}=x cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=10\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times x^2\\times\\sin60\\degree=10\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}x^2=10\\sqrt{3}$ $x^2=40$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $2\\sqrt{10} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $5\\sqrt{3} cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=5\\sqrt{3}$ $x^2\\times\\sin60\\degree=5\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{2}x^2=5\\sqrt{3}$ $x^2=10$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{10}$ 마름모의 한 변의 길이는 $\\sqrt{10} cm$이므로 둘레의 길이는 $\\sqrt{10}\\times4=4\\sqrt{10} (cm)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle{ABD}=\\frac{1}{2}\\times1\\times2\\sqrt2\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=\\frac{1}{2}\\times1\\times2\\sqrt2\\times\\sin45\\degree=\\frac{1}{2}\\times1\\times2\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt2}{2} =1 (cm^2)$ $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times3\\times4\\times\\sin60\\degree=\\frac{1}{2}\\times3\\times4\\times\\frac{\\sqrt3}{2}=3\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\therefore\\square{ABCD}=\\triangle{ABD}+\\triangle{BCD}=1+3\\sqrt3(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=3\\sqrt{2} cm$, $\\overline{CD}=4\\sqrt{3} cm$이고 $\\angle BAC=45\\degree$, $\\angle ACD=120\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}=\\overline{AB}=3\\sqrt{2} cm$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{2}$$=9 (cm^2)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\cos45\\degree}=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=3\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=6 (cm)$이므로 $\\triangle ACB$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\sqrt3 \\times \\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times4\\sqrt3\\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 18(cm^2)$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=9+18$$=27$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $8 cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin30\\degree=8$ $\\frac{1}{2}x^2=8$ $x^2=16$ 이때 $x>0$이므로 $x=4$ 마름모의 한 변의 길이는 $4 cm$이므로 둘레의 길이는 $4\\times4=16 (cm)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. ", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle{ABD}=\\frac{1}{2}\\times8\\times6\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$12\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$30 (cm^2)$ $∴ \\square{ABCD}=\\triangle{ABD}+\\triangle{BCD}$ $=$$30+12\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle{ABD}=\\frac{1}{2}\\times5\\times3\\times sin(180\\degree-120\\degree)$$=$$\\frac{1}{2}\\times5\\times3\\times sin60\\degree$$=$$\\frac{1}{2}\\times5\\times3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{15\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$ $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times7\\times7\\times sin 60\\degree$$=$$\\frac{1}{2}\\times7\\times7\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{49\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$ $∴$ $\\square{ABCD}=\\triangle{ABD}+\\triangle{BCD}$ $=$$\\frac{15\\sqrt{3}}{4}+\\frac{49\\sqrt{3}}{4}$$=$$16\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$이고 $\\angle B=60\\degree, $$\\angle ACD=60\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$20\\sqrt{3} (cm^2)$ 위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ $\\overline{CH}$$=8-5$$=3$ $(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(5\\sqrt{3})^2+3^2}$$=\\sqrt{84}$$=2\\sqrt{21}$ $(cm)$ $∴$ $\\triangle{ACD}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{21}\\times6\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{21}\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$9\\sqrt{7} (cm^2)$ $∴$ $\\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=20\\sqrt{3}+9\\sqrt{7} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AD}=4\\sqrt{3}$, $\\overline{BC}=6\\sqrt{3}$이고 $\\angle ADB=30\\degree$, $\\angle CBD=60\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{3}\\tan30\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4$이므로 $\\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4$$=8\\sqrt{3}$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\cos30\\degree}=4\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=4\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=8$이므로 $\\triangle BCD$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times6\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times6\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$36$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABD+\\triangle BCD$$=8\\sqrt{3}+36$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\squareABCD$에서 $\\overline{AD}=2\\sqrt{17} cm$, $\\overline{BC}=12 cm$이고 $\\angle ADB=45\\degree, $$\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{AD}=2\\sqrt{17} cm$ $∴ \\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{17}\\times2\\sqrt{17}$$=34 (cm^2)$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\frac{2\\sqrt{17}}{\\cos45\\degree}=2\\sqrt{17}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2\\sqrt{17}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=2\\sqrt{34} (cm)$이므로 $\\\\ \\triangle BCD = \\frac{1}{2} \\times 2\\sqrt{34} \\times 12 \\times \\sin 30 \\degree \\\\ = \\frac{1}{2} \\times 2\\sqrt{34} \\times 12 \\times \\frac{1}{2} \\\\ =6\\sqrt{34} (cm^2)$ $\\\\∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABD+\\triangle BCD$$=34+6\\sqrt{34} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=1 : 3$이고 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{AD}=8\\sqrt{2} cm$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{1}{4}=45\\degree$이므로 $\\square$$ABCD=8\\times8\\sqrt2\\times45\\degree =8\\times8\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt2}{2} =64 (cm^2)$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP$$=\\frac{1}{2}$$\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times64$$=32 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle BCG$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times4\\times3\\sqrt{2}\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\times3\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2} =3\\sqrt{2} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle{BCG}=\\frac{1}{3}\\triangle{ABC} =\\frac{1}{3}\\times3\\sqrt{2} =\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=8\\sqrt{2} cm$, $\\overline{CD}=6 cm$이고 $\\angle B=45\\degree, $$\\angle ACD=60\\degree$일 때, $ \\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\sqrt{2}\\times \\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$40 (cm^2)$ 위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=10\\sin45\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=5\\sqrt{2} cm$ $\\overline{CH}$$=8\\sqrt{2}-5\\sqrt{2}$$=3\\sqrt{2}$ $(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(5\\sqrt{2})^2+(3\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{68}$$=2\\sqrt{17}$ $(cm)$ $∴$ $\\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{17}\\times6\\times \\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{17}\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$3\\sqrt{51} (cm^2)$ $∴$ $\\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=40+3\\sqrt{51} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=3 : 1$이고 $\\overline{AB}=9\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=12$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{4}=45\\degree$이므로 $\\square ABCD = 9\\sqrt{2}\\times12\\times\\sin45\\degree$ $=9\\sqrt{2}\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$108$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times108=54$" }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $24\\sqrt{2} cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=24\\sqrt{2}$ $x^2\\times\\sin45\\degree=24\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{2}x^2=24\\sqrt{2}$ $x^2=48$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$ 마름모의 한 변의 길이는 $4\\sqrt{3} cm$이므로 둘레의 길이는 $4\\sqrt{3}\\times4=16\\sqrt{3}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=4\\sqrt{6} cm$, $\\overline{BC}=5\\sqrt{6} cm$, $\\overline{CD}=5\\sqrt{2} cm$이고 $\\angle B=60\\degree, $$\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}\\times5\\sqrt{6}\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}\\times5\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=30\\sqrt{3}(cm^2)$ 위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=4\\sqrt{6}\\sin60\\degree$$=4\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BH}=4\\sqrt{6}\\cos60\\degree$$=4\\sqrt{6}\\times\\frac{1}{2}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{CH}$$=5\\sqrt{6}-2\\sqrt{6}$$=3\\sqrt{6}(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(6\\sqrt{2})^2+(3\\sqrt{6})^2}=\\sqrt{126}=3\\sqrt{14}(cm)$ $=\\frac{15\\sqrt{7}}{2}(cm^2)$ $∴$ $\\square ABCD=\\triangle ABC+\\triangle ACD=30\\sqrt{3}+\\frac{15\\sqrt{7}}{2}(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 O라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(65\\degree+55\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\Box ABCD=\\frac{1}{2}\\times8\\times7\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times8\\times7\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =14\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=4$, $\\overline{AC}=8$이고 $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{BC}$일 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle DBA$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle BAC=\\angle BDA=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\thicksim\\triangle DBA$ ($AA$ 닮음) $\\\\$ $∴$ $\\angle ACB$$=\\angle DAB$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{4^2+8^2}=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{5}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square$$ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(60\\degree+75\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times 10\\times12\\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$30\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $16\\sqrt{2} cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=16\\sqrt{2}$ $x^2\\times\\sin45\\degree=16\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{2}x^2=16\\sqrt{2}$ $x^2=32$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 마름모의 한 변의 길이는 $4\\sqrt{2} cm$이므로 둘레의 길이는 $4\\sqrt{2}\\times4=16\\sqrt{2}(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle BCG$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times9\\times6\\times sin60\\degree=\\frac{1}{2}\\times9\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{27{\\sqrt3}}{2}$ 점$G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle BCG =\\frac{1}{3}\\triangle ABC=\\frac{1}{3}\\times\\frac{9{\\sqrt3}}{2}$" }, { "question": "폭이 $3 cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=3 cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{3}{\\sin45\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) $∴ \\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=3\\sqrt{2} cm$ $=$$\\frac{9\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=4 cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=30\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-30\\degree\\times2$$=120\\degree$ $∴$$\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$4\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\\frac{35\\sqrt{3}}{2}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{AB}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=\\frac{35\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{AB}\\times\\sin60\\degree=\\frac{35\\sqrt{3}}{2}$ $\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\overline{AB}=\\frac{35\\sqrt{3}}{2}$ $∴$ $\\overline{AB}=7$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $25\\sqrt{2} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $135\\degree$인 부채꼴 $AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=25\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=25\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=25\\sqrt{2}$ $r^2=100$ 이때 $r>0$이므로 $r=10$ 따라서 부채꼴 $AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times10\\times\\frac{135}{360}$$=\\frac{15}{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(65\\degree+70\\degree)$$=45\\degree$이므로 $=$$\\frac{35\\sqrt{2}}{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=8\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=12$, $\\overline{CD}=2\\sqrt{3}$이고 $\\angle B=45\\degree, $$\\angle ACD=60\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{2}\\times12\\times \\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{2}\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$48$ 위 그림과 같이 꼭짓점$A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=8\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=8$ $\\overline{CH}$$=12-8$$=4$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{8^2+4^2}$$=\\sqrt{80}$$=4\\sqrt{5}$ $∴$ $\\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{5}\\times2\\sqrt{3}\\times \\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{5}\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$6\\sqrt{5}$ $∴$ $\\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=48+6\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=5 : 1$이고 $\\overline{AB}=4\\sqrt{3}$, $\\overline{BC}=7$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 P를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{6}=30\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$4\\sqrt{3}\\times7\\times sin30\\degree$$=$$4\\sqrt{3}\\times7\\times\\frac{1}{2}$ $=$$14\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times14\\sqrt{3}$$=7\\sqrt{3}$" }, { "question": "폭이 $\\sqrt{6} cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\sqrt{6} cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}$$=\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=2\\sqrt{3} cm$ $∴$$\\triangle ABC$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3} \\times2\\sqrt{3} \\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3} \\times2\\sqrt{3} \\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$3\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=2\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=5$이고 $\\angle ADB=45\\degree, $$\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{AB}=2\\sqrt{2}$ $∴ \\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{2}$$=4$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sin45\\degree}=2\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4$이므로 $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\frac{1}{2} =5$ $∴ \\square ABCD=\\triangle ABD+\\triangle BCD=4+5$$=9$" }, { "question": "다음 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. ", "answer": "위 그림과 같이 대각선 $BD$를 그으면 $\\triangle ABD = \\frac{1}{2} \\times 7 \\times 6\\sqrt{2} \\times \\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 7 \\times 6\\sqrt{2} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=21(cm^2)$ $\\triangle BCD$ $= \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 4 \\times \\sin (180 \\degree - 120 \\degree)$ $= \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 4 \\times \\sin (60 \\degree)$ $= \\frac{1}{2} \\times 3 \\times 4 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$3\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\therefore \\square ABCD = \\triangle ABD + \\triangle BCD$ $=$$21+3\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle AGC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times sin 60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$30\\sqrt{3} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle AGC$$=\\frac{1}{3}\\triangle ABC$ $=\\frac{1}{3}\\times 30\\sqrt{3}$ $=$$10\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $12\\sqrt{2} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $135\\degree$인 $부채꼴 AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=12\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=12\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=12\\sqrt{2}$ $r^2=48$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$ 따라서 $부채꼴 AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times4\\sqrt{3}\\times\\frac{135}{360}$$=3\\sqrt{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 O라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$$=180\\degree-(85\\degree+50\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\Box ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times5\\sqrt{2} \\times sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$10\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=3 : 1$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=9$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{4}=45\\degree$이므로 $\\square ABCD=6\\sqrt{2}\\times9\\times\\sin45\\degree$ $=$ $6\\sqrt{2}\\times9\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$ $54$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times54$$=27$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하면 $\\triangle CDO$에서 $\\angle COD$$=180\\degree-(37\\degree+83\\degree)$$=60\\degree$이므로 $□ABCD=\\frac{1}{2}\\times9\\times6\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times9\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=\\frac{27\\sqrt{3}}{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O $위의 점이고 $\\triangle ABO$의 넓이가 $24$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r$이므로 $\\triangle ABO$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)=24$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin30\\degree=24$ $\\frac{1}{4}r^2=24$ $r^2=96$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6}$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times(4\\sqrt{6})^2$$=96\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle ABC : \\angle BCD=1 : 2$이고 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle APD$와 $\\triangle BCP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\square{ABCD}=6\\times10\\times\\sin60\\degree$ $=6\\times10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$30\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle APD+\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times30\\sqrt{3}$$=15\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle AGC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\sqrt{2}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times8\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$20\\sqrt{2}$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle{AGC}=\\frac{1}{3}\\triangle{ABC}$ $=\\frac{1}{3}\\times20\\sqrt{2}$ $=$$\\frac{20\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=8$, $\\overline{BC}=7\\sqrt{3}$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\square{ABCD}$$=8\\times7\\sqrt{3}\\times sin 60\\degree$ $=$$8\\times7\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$84$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP$$=\\frac{1}{2}\\square{ABCD}$$=\\frac{1}{2}\\times84$$=42$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 반원 $O$에서 $\\angle CAO=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AOC$는 $\\overline{OA}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle AOC=180\\degree-2\\times30\\degree=120\\degree$ 이때 $부채꼴 AOC$의 넓이는 $\\pi\\times6^2\\times\\frac{120}{360}$$=12\\pi (cm^2)$ $\\triangle AOC=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$9\\sqrt{3} (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(부채꼴 AOC의 넓이)-(\\triangle AOC의 넓이)=12\\pi-9\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $16\\sqrt{3}$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $x\\times x\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=16\\sqrt{3}$ $x^2\\times\\sin60\\degree=16\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{2}x^2=16\\sqrt{3}$ $x^2=32$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 마름모의 한 변의 길이는 $4\\sqrt{2}$이므로 둘레의 길이는 $4\\sqrt{2}\\times4=16\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle AGC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times8\\times \\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times8\\times\\frac{1}{2}$ $=$$12\\sqrt{2} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle AGC$$=\\frac{1}{3}\\triangle ABC$ $=$$\\frac{1}{3}\\times12\\sqrt{2}$ $=$$4\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $27\\sqrt{3} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $120\\degree$인 부채꼴 $AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=27\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=27\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=27\\sqrt{3}$ $r^2=108$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{108}=6\\sqrt{3}$ 따라서 $부채꼴 AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times6\\sqrt{3}\\times\\frac{120}{360}$$=4\\sqrt{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "폭이 $5 cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\overline{AH}=5 cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{5}{\\sin45\\degree}$$=5\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=5\\sqrt{2} (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) ∴ $\\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=5\\sqrt{2} cm$ $\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{2}\\times5\\sqrt{2}\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{2}\\times5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{25\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle{ABC}$의 무게중심일 때, $\\triangle{AGC}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle$$ABC$ $=$ $\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}\\times12$$\\times sin45$$\\degree$ = $\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt6\\times12$ $=$$24\\sqrt{3} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle$$AGC$ $=$ $\\frac{1}{3}\\triangle$$ABC$ $=$ $\\frac{1}{3}\\times24\\sqrt{3}$ $=$$8\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8cm$인 반원 O에서 $\\angle ABC=22.5\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle BCO$는 $\\overline{OB}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BOC=180\\degree-2\\times22.5\\degree=135\\degree$ 이때 부채꼴 $BOC$의 넓이는 $\\pi\\times8^2\\times\\frac{135}{360}$$=24\\pi (cm^2)$ $=$$16\\sqrt{2} (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(부채꼴 BOC의 넓이)-(\\triangle BCO의 넓이)=24\\pi-16\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 반원 $O$에서 $\\angle ABC=15\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle BCO$는 $\\overline{OB}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BOC=180\\degree-2\\times15\\degree=150\\degree$ 이때 부채꼴 $BOC$의 넓이는 $\\pi\\times6^2\\times\\frac{150}{360}$$=15\\pi (cm^2)$ $\\triangle BCO$$=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin(180\\degree-150\\degree)$$=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin30\\degree$$=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=$$9 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$-$$(\\triangle BCO의 넓이)$$=$$15\\pi-9 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $ O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(42\\degree+78\\degree)$$=60\\degree$이므로 $□ABCD$ $=\\frac{1}{2}\\times9\\times8\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times9\\times8\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=18\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=3$, $\\overline{AC}=5$이고 $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{BC}$일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle DBA$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle BAC=\\angle BDA=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle DBA$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle ACB$$=\\angle DAB$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{3^2+5^2}=\\sqrt{34}$이므로 $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{5}{\\sqrt{34}}$$=\\frac{5\\sqrt{34}}{34}$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle BCG$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4\\sqrt3 \\times sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4\\sqrt3 \\times \\frac{\\sqrt2}{2}$ $=$$4\\sqrt{6} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle BCG = \\frac{1}{3} \\triangle ABC$ $=\\frac{1}{3} \\times 4\\sqrt6$ $=$$\\frac{4\\sqrt{6}}{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A, B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $8\\sqrt{2} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $135\\degree$인 부채꼴 $AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=8\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=8\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=8\\sqrt{2}$ $r^2=32$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 따라서 부채꼴 $AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times4\\sqrt{2}\\times\\frac{135}{360}$$=3\\sqrt{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(81\\degree+54\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\square{ABCD}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$15\\sqrt{6}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(75\\degree+60\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\square{ABCD}$$=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times14\\times sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times14\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$35\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 $D$가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(5\\sqrt{5})^2-5^2}=\\sqrt{100}=10$ $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times10=5$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{5^2+5^2}=\\sqrt{50}=5\\sqrt{2}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3\\sqrt{2} cm$인 반원 $O$에서 $\\angle CAO=15\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AOC$는 $\\overline{OA}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle AOC=180\\degree-2\\times15\\degree=150\\degree$ 이때 $부채꼴 AOC$의 넓이는 $\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2\\times\\frac{150}{360}$$=\\frac{15}{2}\\pi (cm^2)$ $=$$\\frac{9}{2} (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 ($부채꼴 AOC$의 넓이)$-(\\triangle AOC$의 넓이)$=$$\\frac{15}{2}\\pi-\\frac{9}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=6$, $\\overline{BC}=10\\sqrt{2}$이고 $\\angle B=45\\degree$인 등변사다리꼴 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 등변사다리꼴 $ABCD$의 두 꼭짓점 $A$,$ D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각$H$, $H'$이라 하면 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{6}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{AH}=6\\sqrt{2}$ ∴ $\\overline{AH}$$=3\\sqrt{2}$ $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{6}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{BH}=6\\sqrt{2}$ ∴ $\\overline{BH}$$=3\\sqrt{2}$ $\\overline{AD}$$=\\overline{HH}'$$=10\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}-3\\sqrt{2}$$=4\\sqrt{2}$이므로 $\\square ABCD=\\frac{1}{2}$ $\\times(\\overline{AD}+\\overline{BC})$ $\\times \\overline{AH}$ $=\\frac{1}{2}\\times(4\\sqrt{2}+10\\sqrt{2})\\times3\\sqrt{2}$ $=$$42$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $9\\sqrt{3} cm^2$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=9\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=9\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=9\\sqrt{3}$ $r^2=36$ 이때 $r>0$이므로 $r=6$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times6^2$$=36\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $36\\sqrt{2} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $135\\degree$인 부채꼴 $AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=36\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=36\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=36\\sqrt{2}$ $r^2=144$ 이때 $r>0$이므로 $r=12$ 따라서 부채꼴 $AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times12\\times\\frac{135}{360}$$=9\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "두 대각선 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을$ O$라 하면 $\\triangle BCO$에서 $\\angle BOC$$=180\\degree-(45\\degree+75\\degree)$$=60\\degree$이므로 $□ABCD=\\frac{1}{2}\\times8\\times7\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times7\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=14\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $16\\sqrt{2} cm^2$일 때, 원 O의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=16\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=16\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=16\\sqrt{2}$ $r^2=64$ 이때 $r>0$이므로 $r=8$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times8^2$$=64\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 A, B가 원 O 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $36\\sqrt{3} cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $120\\degree$인 부채꼴 $AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=36\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=36\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=36\\sqrt{3}$ $r^2=144$ 이때 $r>0$이므로 $r=12$ 따라서 $부채꼴 AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times12\\times\\frac{120}{360}$$=8\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $30\\sqrt{2} cm^2$일 때, 원$O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=30\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=30\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=30\\sqrt{2}$ $r^2=120$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{120}=2\\sqrt{30}$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times(2\\sqrt{30})^2$$=120\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\angle C=30\\degree$, $\\angle ADB=45\\degree$이고 $\\overline{AB}=4$일 때, $\\triangle ADC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\tan30\\degree=\\frac{4}{\\overline{BC}}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $\\sqrt{3}\\overline{BC}=12$ $∴$ $\\overline{BC}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ABD$에서 $\\tan45\\degree=\\frac{4}{\\overline{BD}}=1$이므로 $\\overline{BD}$$=4$ $∴$ $\\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=4\\sqrt{3}-4$ $∴ $$\\triangle ADC$$=\\frac{1}{2}\\times(4\\sqrt{3}-4)\\times4$$=8\\sqrt{3}-8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3 cm$인 반원 O에서 $\\angle ABC=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle BCO$는 $\\overline{OB}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BOC=180\\degree-2\\times30\\degree=120\\degree$ 이때 부채꼴 $BOC$의 넓이는 $\\pi\\times3^2\\times\\frac{120}{360}$$=3\\pi (cm^2)$ $\\triangle{BCO}=\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =\\frac{9\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(부채꼴 BOC 의 넓이) -(\\triangle BCO 의 넓이) = 3\\pi-\\frac{9\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{AC}=8 cm$이고 $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{BC}$일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle DBA$에서 $\\angle B$는 공통, $\\angle BAC=\\angle BDA=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$~$\\triangle DBA$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle ACB$$=\\angle DAB$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{12^2+8^2}=\\sqrt{208}=4\\sqrt{13} (cm)$이므로 $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{8}{4\\sqrt{13}}$$=\\frac{2\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 $D$가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(2\\sqrt{21})^2-(2\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{64}=8$ $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times8=4$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2+4^2}=\\sqrt{36}=6$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $8\\sqrt{2}$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 O의 반지름의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=8\\sqrt{2}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin45\\degree=8\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{4}r^2=8\\sqrt{2}$ $r^2=32$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 따라서 원 O의 넓이는 $\\pi\\times(4\\sqrt{2})^2$$=32\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 $D$가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(2\\sqrt{10})^2-2^2}=\\sqrt{36}=6$ $\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6=3$이므로 $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{3^2+2^2}=\\sqrt{13}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{2}{\\sqrt{13}}$$=\\frac{2\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle ABO$의 넓이가 $25\\sqrt{3} cm^2$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle ABO$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=25\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=25\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=25\\sqrt{3}$ $r^2=100$ 이때 $r>0$이므로 $r=10$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times10^2$$=100\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle{ABC}$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$, $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{AC}=8 cm$, $\\sin B=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$일 때, $\\cos C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\overline{AH}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$이므로 $\\overline{AH}$$=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{8^2-(2\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{56}=2\\sqrt{14} (cm)$ $∴ \\cos C$$=\\frac{\\overline{CH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{2\\sqrt{14}}{8}$$=\\frac{\\sqrt{14}}{4}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AD}=12\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AD}$$=6\\sqrt{3}$ $\\triangle ABD$에서 $\\sin45\\degree$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\sqrt{2}\\overline{AB}=12\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AB}$$=6\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AD}=4\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AD}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ADC$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\sqrt{2}\\overline{AC}=4\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}$$=2\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $16\\sqrt{3} cm^2$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=16\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=16\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=16\\sqrt{3}$ $r^2=64$ 이때 $r>0$이므로 $r=8$ 따라서 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times8^2$$=64\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\tan45\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{9}=1$이므로 $\\overline{BC}$$=9$ $\\triangle BCD$에서 $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{CD}}$$=\\frac{9}{\\overline{CD}}$$=\\sqrt{3}$이므로 $\\sqrt{3}\\overline{CD}=9$ $∴ \\overline{CD}$$=3\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=8$, $\\overline{BC}=14$이고 $\\angle B=60\\degree$인 등변사다리꼴 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 등변사다리꼴 $ABCD$의 두 꼭짓점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $H$, $H'$이라 하면 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{8}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AH}=8\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AH}$$=4\\sqrt{3}$ $\\cos60\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{8}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BH}=8$ $∴$ $\\overline{BH}$$=4$ $\\overline{AD}$$=\\overline{HH'}$$=14-4-4$$=6$이므로 $\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times(\\overline{AD}+\\overline{BC})\\times\\overline{AH}$ $=$$\\frac{1}{2}\\times(6+14)\\times4\\sqrt{3}$ $=$$40\\sqrt{3}$" }, { "question": "폭이 $2\\sqrt{3} cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=2\\sqrt{3} cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin45\\degree}$$=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=2\\sqrt{6} cm$ $∴$ $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{6}\\times\\sin45\\degree$ =$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times2\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$6\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{3} cm$인 반원 $O$에서 $\\angle CAO=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AOC$는 $\\overline{OA}=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle AOC=180\\degree-2\\times30\\degree=120\\degree$ 이때 $부채꼴 AOC$의 넓이는 $\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\times\\frac{120}{360}$$=4\\pi (cm^2)$ $=$$3\\sqrt{3} (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(부채꼴 AOC의 넓이)$$-(\\triangle AOC의 넓이)$$=$$4\\pi-3\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle ABO$의 넓이가 $15\\sqrt{3}$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원 O의 반지름의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r$이므로 $\\triangle ABO$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=15\\sqrt{3}$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin60\\degree=15\\sqrt{3}$ $\\frac{\\sqrt{3}}{4}r^2=15\\sqrt{3}$ $r^2=60$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{60}=2\\sqrt{15}$ 따라서 원 O의 넓이는 $\\pi\\times(2\\sqrt{15})^2=60\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 점 $A$, $B$가 원 $O$ 위의 점이고 $\\triangle AOB$의 넓이가 $9 cm^2$일 때, 중심각의 크기가 $150\\degree$인 $부채꼴 AOB$의 호의 길이를 구하여라.", "answer": "원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=r cm$이므로 $\\triangle AOB$에서 $\\frac{1}{2}\\times r\\times r\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)=9$ $\\frac{1}{2}\\times r^2\\times\\sin30\\degree=9$ $\\frac{1}{4}r^2=9$ $r^2=36$ 이때 $r>0$이므로 $r=6$ 따라서 부채꼴 $AOB$의 호의 길이는 $2\\pi\\times6\\times\\frac{150}{360}$$=5\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{3}$이므로 $\\overline{AD}$$=3 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\sqrt{2}\\overline{AC}=6$ $∴ \\overline{AC}$$=3\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "폭이 $3 cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle{ABC}=30\\degree$일 때, $\\triangle{ABC}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=3 cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{3}{\\sin30\\degree}$$=3\\div\\frac{1}{2}$$=3\\times2$$=6 (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB(엇각)$ $∴ \\angle BAC=\\angle ACB$ $ \\\\ \\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=6 cm$ $\\\\ \\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin 30\\degree =\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{1}{2} =9 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 $D$가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(4\\sqrt{10})^2-4^2}=\\sqrt{144}=12$ $\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times12=6$이므로 $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{6^2+4^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{13}}$$=\\frac{2\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "폭이 $2 cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=2 cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{2}{\\sin30\\degree}$$=2\\div\\frac{1}{2}$$=2\\times2$$=4 (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) $∴ \\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=4 cm$ $∴ \\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{1}{2}$ $=$$4 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{4\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{AD}=8\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AD}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ADC$에서 $\\sin60\\degree$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\sqrt{3}\\overline{AC}=8\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AC}$$=8$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$, $\\overline{AB}=6$, $\\overline{AC}=8$, $\\sin B=\\frac{2}{3}$일 때, $\\cos C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\overline{AH}}{6}$$=\\frac{2}{3}$이므로 $\\overline{AH}$$=4$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{8^2-4^2}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3}$ $∴\\cos C$$=\\frac{\\overline{CH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{8}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2+4x-5=0$의 두 근 중 큰 근을 $\\tan a$라 할 때, $a$의 크기를 구하여라. (단, $0\\degree0$, $\\sin A-\\tan A<0$ $\\sqrt{(\\sin A+\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\sin A-\\tan A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\tan A)-\\lbrace-(\\sin A-\\tan A)\\rbrace$ $=$$\\sin A+\\tan A+\\sin A-\\tan A$ $=$$2\\sin A$ 이때 $45\\degree0$, $\\cos A-\\sin A<0$ $\\sqrt{(\\sin A+\\cos A)^2}+\\sqrt{(\\cos A-\\sin A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\cos A)+\\lbrace-(\\cos A-\\sin A)\\rbrace$ $=$$\\sin A+\\cos A-\\cos A+\\sin A$ $=$$2\\sin A$ 이때 $45\\degree0$, $\\sin A-\\cos A<0$ $∴$$\\sqrt{(\\sin A+\\cos A)^2}-\\sqrt{(\\sin A-\\cos A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\cos A)-\\lbrace-(\\sin A-\\cos A)\\rbrace$ $=$$\\sin A+\\cos A+\\sin A-\\cos A$ $=$$2\\sin A$ 이때 $0\\degree0$, $\\cos A-\\sin A>0$ $∴$$\\sqrt{(\\sin A+\\cos A)^2}+\\sqrt{(\\cos A-\\sin A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\cos A)+(\\cos A-\\sin A)$ $=$$2\\cos A$ 이때 $0\\degree0$, $\\sin A-\\cos A<0$ $∴ \\sqrt{(\\sin A+\\cos A)^2}+\\sqrt{(\\sin A-\\cos A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\cos A)+\\lbrace-(\\sin A-\\cos A)\\rbrace$ $=$$\\sin A+\\cos A-\\sin A+\\cos A$ $=$$2\\cos A$ 이때 $0\\degree0$, $\\tan A-\\sin A>0$ $∴ \\sqrt{(\\sin A+\\tan A)^2}+\\sqrt{(\\tan A-\\sin A)^2}$ $=$$(\\sin A+\\tan A)+(\\tan A-\\sin A)$ $=$$2\\tan A$ 이때 $45\\degree 각도 사인($sin$) 코사인($cos$)탄젠트($tan$) $14\\degree$ $0.2419$ $0.9703$$0.2493$ $15\\degree$ $0.2588$ $0.9659$$0.2679$ $16\\degree$ $0.2756$ $0.9613$$0.2867$ $17\\degree$ $0.2924$ $0.9563$$0.3057$ $18\\degree$ $0.3090$ $0.9511$$0.3249$ ", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\sin17\\degree=0.2924$이므로 $x=17\\degree$ $∴ \\tan x$$=\\tan17\\degree$$=0.3057$ $\\cos14\\degree=0.9703$이므로 $y=14\\degree$ $∴\\sin y$$=\\sin14\\degree$$=0.2419$ $∴ \\tan x+\\sin y$$=0.3057+0.2419$$=0.5476$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $10$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=2$, $\\overline{OA}=7$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=7$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=7-2=5$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{7^2-5^2}$$=\\sqrt{24}$$=2\\sqrt{6}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{10}{2\\sqrt{6}}$$=\\frac{5\\sqrt{6}}{6}$" }, { "question": "점 $(2\\sqrt{3}, 5)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(2\\sqrt{3}, 5)$를 지나므로 $5=\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}+n$ $∴ n=-1$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x-1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $8{cm}$이다. $\\overline{CD}$, $\\overline{BE}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고 $\\angle AMN=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ACD$에서 $\\overline{CM}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times8=4 (cm)$ $\\triangle ACM$은 $\\angle AMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}=\\sqrt{8^2-4^2}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3} (cm)$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HM}=\\frac{1}{2}\\overline{MN}=\\frac{1}{2}\\times8=4 (cm)$ $\\triangle AMH$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2-4^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\tan x=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{HM}}=\\frac{4\\sqrt{2}}{4}=\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $10\\sqrt{3} cm$인 정사면체에서 $\\overline{BM}=\\overline{CM}$이고 $\\angle AMD=\\angle x$일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM$은 $\\angle AMB=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(10\\sqrt{3})^2-(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{225}$$=15 (cm)$ $\\overline{DM}=\\overline{AM}=15 cm$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{HM}$$=\\frac{1}{3}\\overline{DM}$$=\\frac{1}{3}\\times15$$=5(cm)$ $ \\therefore \\cos x$$=\\frac{\\overline{HM}}{\\overline{AM}}$$=\\frac{5}{15}$$=\\frac{1}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $8\\sqrt{3}$인 정사면체에서 $\\overline{CD}$의 중점을 $M$이라 하자. $\\angle ABM=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCM$은 $\\angle BMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BM}$$=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2-(4\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{144}$$=12$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{BH}$$=\\frac{2}{3}\\overline{BM}$$=\\frac{2}{3}\\times12$$=8$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2-8^2}$$=\\sqrt{128}$$=8\\sqrt{2}$ $∴ \\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{8\\sqrt{2}}{8\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $6 cm$인 정사면체에서 $\\overline{CD}$의 중점을 $M$이라 하자. $\\angle ABM=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCM$은 $\\angle BMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BM}$$=\\sqrt{6^2-3^2}$$=\\sqrt{27}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{BH}$$=\\frac{2}{3}\\overline{BM}$$=\\frac{2}{3}\\times3\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{6^2-(2\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{24}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ $∴$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $12$인 정사면체에서 $\\overline{CD}$의 중점을 $M$이라 하자. $\\angle ABM=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCM$은 $\\angle BMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BM}$$=\\sqrt{12^2-6^2}$$=\\sqrt{108}$$=6\\sqrt{3}$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{BH}$$=\\frac{2}{3}\\overline{BM}$$=\\frac{2}{3}\\times6\\sqrt{3}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{12^2-(4\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{96}$$=4\\sqrt{6}$ $∴ \\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4\\sqrt{6}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "일차방정식 $3y-3x+4\\sqrt{2}=0$의 그래프가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 구하여라.", "answer": "$3y-3x+4\\sqrt{2}=0$에서 $y=x-\\frac{4\\sqrt{2}}{3}$ 구하는 예각의 크기를 $a$라 하면 $\\tan a=1$이므로 $a=45\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\angle B=22.5\\degree$이고 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=4\\sqrt{2}$일 때, $\\tan22.5\\degree$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle BAD$$=\\angle ABD$$=22.5\\degree$ $∴ \\angle ADC=22.5\\degree+22.5\\degree=45\\degree$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{4\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{AC}=8$ $∴ \\overline{AC}$$=4$ $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{4\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{CD}=8$ $∴ \\overline{CD}$$=4$ $∴ \\tan22.5\\degree$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{2}+4}$$=\\sqrt{2}-1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $6\\sqrt{3}$인 정사면체에서 $\\overline{BM}=\\overline{CM}$이고 $\\angle AMD=\\angle x$일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM$은 $\\angle AMB=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}=\\sqrt{(6\\sqrt{3})^2-(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{81}=9$ $\\overline{DM}=\\overline{AM}=9$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{HM}=\\frac{1}{3}\\overline{DM}=\\frac{1}{3}\\times9=3$ $∴ \\cos x=\\frac{\\overline{HM}}{\\overline{AM}}=\\frac{3}{9}=\\frac{1}{3}$" }, { "question": "점 $(4, 6)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan45\\degree$$=1$ 직선 $y=x+n$이 점 $(4, 6)$을 지나므로 $6=4+n$ $∴ n=2$ $∴ y=x+2$ 이때 $x$절편은 $-2$, $y$절편은 $2$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times2\\times2$$=2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $20$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=8$, $\\overline{OA}=12$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=12$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=12-8=4$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{12^2-4^2}$$=\\sqrt{128}$$=8\\sqrt{2}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{20}{8\\sqrt{2}}$$=\\frac{5\\sqrt{2}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $12$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=2$, $\\overline{OA}=8$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=8$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=8-2=6$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{8^2-6^2}$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{12}{2\\sqrt{7}}$$=\\frac{6\\sqrt{7}}{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $8\\sqrt{3}$이다. $\\overline{BC}$, $\\overline{DE}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고 $\\angle ANM=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\overline{DN}=\\frac{1}{2}\\overline{DE}=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ADN$은 $\\angle AND=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AN}$$=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2-(4\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{144}$$=12$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HN}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle AHN$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{12^2-(4\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6}$ $∴ \\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AN}}$$=\\frac{4\\sqrt{6}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=45\\degree$, $\\angle BCO=30\\degree$, $\\overline{OB}=4$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=4\\tan45\\degree$$=4\\times1$$=4$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{4}{\\tan30\\degree}$$=4\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=4\\sqrt{3}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4)\\times4$$=\\frac{32\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 5)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$이므로 $y=\\sqrt{3}x+n$ 이때 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 5)$를 지나므로 $5=\\sqrt{3}\\times(-2\\sqrt{3})+n$ $ \\therefore n=11$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x+11$ $ \\therefore mn$$=\\sqrt{3}\\times11$$=11\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $4\\sqrt{2} cm$이다. $\\overline{CD}$, $\\overline{BE}$의 중점을 각각 $M, N$이라 하고 $\\angle AMN=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ACD$에서 $\\overline{CM}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ACM$은 $\\angle AMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2-(2\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{24}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}$$=2\\sqrt{2}(cm)$ $\\triangle AMH$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(2\\sqrt{6})^2-(2\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{16}=4 (cm)$ $∴$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{HM}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{2}$" }, { "question": "점 $(3, 1)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan45\\degree$$=1$ 직선 $y=x+n$이 점 $(3, 1)$을 지나므로 $1=3+n$ $∴ n=-2$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x-2$" }, { "question": "점 $(-2, 5)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan45\\degree$$=1$ 직선 $y=x+n$이 점 $(-2, 5)$를 지나므로 $5=-2+n$ $∴ n=7$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x+7$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $18$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=6$, $\\overline{OA}=10$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=10$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=10-6=4$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{10^2-4^2}$$=\\sqrt{84}$$=2\\sqrt{21}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{18}{2\\sqrt{21}}$$=\\frac{3\\sqrt{21}}{7}$" }, { "question": "일차방정식 $5y-5x+7=0$의 그래프가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 구하여라.", "answer": "$5y-5x+7=0$에서 $y=x-\\frac{7}{5}$ 구하는 예각의 크기를 $a$라 하면 $\\tan a$$=1$이므로 $a=45\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-2, 1)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan45\\degree$$=1$이므로 $y=1\\times x+n$ 이때 직선 $y=x+n$이 점 $(-2, 1)$을 지나므로 $1=-2+n$ $∴$ $n=3$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x+3$ $∴$ $m+n$$=1+3$$=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $6\\sqrt{2} cm$이다. $\\overline{CD}$, $\\overline{BE}$의 중점을 각각$ M$, $N$이라 하고 $\\angle AMN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ACD$에서 $\\overline{CM}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ACM$은 $\\angle AMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(6\\sqrt{2})^2-(3\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{54}$$=3\\sqrt{6} (cm)$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AMH$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(3\\sqrt{6})^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ $∴$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AM}}$$=\\frac{6}{3\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $15 cm$인 정사면체에서 $\\overline{CD}$의 중점을 $M$이라 하자. $\\angle ABM=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCM$은 $\\angle BMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BM}$$=\\sqrt{15^2-\\frac{15}{2}^2}$$=\\sqrt{\\frac{675}{4}}$$=\\frac{15\\sqrt{3}}{2} (cm)$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{BH}$$=\\frac{2}{3}\\overline{BM}$$=\\frac{2}{3}\\times\\frac{15\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{15^2-(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{150}$$=5\\sqrt{6} (cm)$ $∴ \\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{5\\sqrt{6}}{15}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "일차방정식 $3y-\\sqrt{3}x+1=0$의 그래프가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 구하여라.", "answer": "$3y-\\sqrt{3}x+1=0$에서 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x-\\frac{1}{3}$ 구하는 예각의 크기를 $a$라 하면 $\\tan a$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $a=30\\degree$" }, { "question": "점 $(2\\sqrt{3}, 7)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(2\\sqrt{3}, 7)$을 지나므로 $7=\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}+n$ $∴$ $n=1$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x+1$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 3)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $3mn$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$ 이때 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 3)$을 지나므로 $3=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times(-2\\sqrt{3})+n$ $∴$ $n=5$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+5$ $∴$ $3mn$$=3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times5$$=5\\sqrt{3}$" }, { "question": "$\\sin a=0.2419$, $\\tan b=0.2867$을 만족시키는 $a$, $b$에 대하여 $\\cos a-\\sin b$의 값을 구하여라.
각도 사인($sin$) 코사인($cos$) 탄젠트($tan$)
$13\\degree$ $0.2280$ $0.9744$ $0.2309$
$14\\degree$ $0.2419$ $0.9703$ $0.2493$
$15\\degree$ $0.2588$ $0.9659$ $0.2679$
$16\\degree$ $0.2756$ $0.9613$ $0.2867$
$17\\degree$ $0.2924$ $0.9563$ $0.3057$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\sin14\\degree=0.2419$이므로 $a=14\\degree$ $∴$ $\\cos a$$=\\cos14\\degree$$=0.9703$ $\\tan16\\degree=0.2867$이므로 $b=16\\degree$ $∴$ $\\sin b$$=\\sin16\\degree$$=0.2756$ $∴$ $\\cos a-\\sin b$$=0.9703-0.2756$$=0.6947$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $16$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=4$, $\\overline{OA}=9$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=9$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=9-4=5$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{9^2-5^2}$$=\\sqrt{56}$$=2\\sqrt{14}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{16}{2\\sqrt{14}}$$=\\frac{4\\sqrt{14}}{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 높이가 $16$인 원기둥이 있다. 위쪽 밑면의 둘레 위의 점 $P$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $H$에서 아래쪽 밑면의 지름 $AB$에 내린 수선의 발을 $Q$라 하면 $\\overline{AQ}=2$, $\\overline{OA}=8$이다. $\\angle HQP=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OH}$를 그으면 $\\triangle HQO$에서 $\\overline{OH}=8$, $\\overline{OQ}=\\overline{OA}-\\overline{AQ}=8-2=6$이므로 $\\overline{HQ}$$=\\sqrt{8^2-6^2}$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ 따라서 $\\triangle HPQ$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{HP}}{\\overline{HQ}}$$=\\frac{16}{2\\sqrt{7}}$$=\\frac{8\\sqrt{7}}{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-\\sqrt{3},\\text{ }4)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $\\sqrt{3}m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$이므로 $y=\\sqrt{3}x+n$ 이때 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(-\\sqrt{3}, 4)$를 지나므로 $4=\\sqrt{3}\\times(-\\sqrt{3})+n$ $∴$ $n=7$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x+7$ $∴$ $\\sqrt{3}m+n$$=\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}+7$$=10$" }, { "question": "다음 그림과 같이 기울기가 $\\frac{1}{3}$이고 점 $(-3, 1)$을 지나는 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\angle BAO=\\angle a$일 때, $\\sin a$의 값을 구하여라.", "answer": "주어진 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하자. 기울기가 $\\frac{1}{3}$이므로 $y=\\frac{1}{3}x+n$에 $x=-3$, $y=1$을 대입하면 $1=\\frac{1}{3}\\times(-3)+n$ $∴$ $n=2$ $∴$ $y=\\frac{1}{3}x+2$ $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 구하면 $A(-6, 0)$, $B(0, 2)$ 직각삼각형 $AOB$에서 $\\overline{AO}=6$, $\\overline{BO}=2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{6^2+2^2}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}$ $∴$ $\\sin a$$=\\frac{\\overline{BO}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2}{2\\sqrt{10}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{10}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $4$이다. $\\overline{CD}$, $\\overline{BE}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고 $\\angle AMN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ACD$에서 $\\overline{CM}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times4=2$ $\\triangle ACM$은 $\\angle AMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{4^2-2^2}$$=\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2$ $\\triangle AMH$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2-2^2}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$ $∴$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AM}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "점 $(-\\sqrt{3}, 2)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(-\\sqrt{3}, 2)$를 지나므로 $2=\\sqrt{3}\\times(-\\sqrt{3})+n$ $∴ n=5$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x+5$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-5\\sqrt{3}, 3)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $\\sqrt{3}m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$ 이때 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(-5\\sqrt{3}, 3)$을 지나므로 $3=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times(-5\\sqrt{3})+n$ $∴ n=8$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+8$ $∴ \\sqrt{3}m+n$$=\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}+8$$=9$" }, { "question": "점 $(\\sqrt{3}, 4)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(\\sqrt{3}, 4)$를 지나므로 $4=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times\\sqrt{3}+n$ $∴ n=3$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-\\sqrt{3}, 1)$을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $\\sqrt{3}m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "$m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$이므로 $y=\\sqrt{3}x+n$ 이때 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(-\\sqrt{3}, 1)$을 지나므로 $1=\\sqrt{3}\\times(-\\sqrt{3})+n$ $∴ n=4$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\sqrt{3}x+4$ $∴ \\sqrt{3}m-n$$=\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}-4$$=-1$" }, { "question": "점 $(3, 10)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan45\\degree$$=1$ 직선 $y=x+n$이 점 $(3, 10)$을 지나므로 $10=3+n$ $\\therefore n=7$ $\\therefore y=x+7$ 이때 $x$절편은 $-7$, $y$절편은 $7$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times7\\times7$$=\\frac{49}{2}$" }, { "question": "점 $(\\sqrt{3}, 6)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(\\sqrt{3}, 6)$을 지나므로 $6=\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}+n$ $∴ n=3$ $∴ y=\\sqrt{3}x+3$ 이때 $x$절편은 $-\\sqrt{3}$, $y$절편은 $3$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{3}\\times3$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $20 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 O라 할 때, $\\angle ABO=30\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=20\\sin30\\degree$$=20\\times\\frac{1}{2}$$=10 (cm)$ $\\overline{BO}=20\\cos30\\degree$$=20\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=10\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(10\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times10$$=1000\\pi (cm^3)$" }, { "question": "점 $(-2\\sqrt{3}, 4)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$인 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 4)$를 지나므로 $4=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times(-2\\sqrt{3})+n$ $\\\\$ $∴$ $n=6$ $\\\\$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+6$" }, { "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $10\\sqrt{2} cm$이다. $\\overline{BC}$, $\\overline{DE}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고 $\\angle ANM=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\overline{DN}=\\frac{1}{2}\\overline{DE}=\\frac{1}{2}\\times10\\sqrt{2}=5\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ADN$은 $\\angle AND=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AN}$$=\\sqrt{(10\\sqrt{2})^2-(5\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{150}$$=5\\sqrt{6}$ $(cm)$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HN}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times10\\sqrt{2}$$=5\\sqrt{2}$$ (cm)$ $\\triangle AHN$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(5\\sqrt{6})^2-(5\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{100}=10 (cm)$ $∴ \\tan x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{HN}}$$=\\frac{10}{5\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=8 cm$, $\\overline{GH}=4 cm$이고 $\\angle CEG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{4^2+8^2}$$=\\sqrt{80}$$=4\\sqrt{5}$ $(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=4\\sqrt{5}\\tan30\\degree$$=4\\sqrt{5}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{4\\sqrt{15}}{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $8\\times4\\times\\frac{4\\sqrt{15}}{3}$$=\\frac{128\\sqrt{15}}{3} (cm^3)$" }, { "question": "점 $(-2\\sqrt{3}, 4)$를 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $60\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 직선 $y=\\sqrt{3}x+n$이 점 $(-2\\sqrt{3}, 4)$를 지나므로 $4=\\sqrt{3}\\times(-2\\sqrt{3})+n$ $∴ n=10$ $∴ y=\\sqrt{3}x+10$ 이때 $x$절편은 $-\\frac{10\\sqrt{3}}{3}$, $y$절편은 $10$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times\\frac{10\\sqrt{3}}{3}\\times10$$=\\frac{50\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "일차방정식 $3y-\\sqrt{3}x-6=0$의 그래프가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 구하여라.", "answer": "$3y-\\sqrt{3}x-6=0$에서 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+2$ 구하는 예각의 크기를 $a$라 하면 $\\tan a$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $a=30\\degree$" }, { "question": "점 $(-2, 3)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan45\\degree$$=1$ 직선 $y=x+n$이 점 $(-2, 3)$을 지나므로 $3=-2+n$ $∴ n=5$ $∴y=x+5$ 이때 $x$절편은 $-5$, $y$절편은 $5$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times5\\times5$$=\\frac{25}{2}$" }, { "question": "$\\sin a=0.7314$, $\\cos b=0.6947$을 만족시키는 $a$, $b$에 대하여 $\\tan a+\\sin b$의 값을 구하여라.
각도 사인$(\\sin)$ 코사인$(\\cos)$탄젠트$(\\tan)$
$46\\degree$ $0.7193$ $0.6947$$1.0355$
$47\\degree$ $0.7314$ $0.6820$$1.0724$
$48\\degree$ $0.7431$ $0.6691$$1.1106$
$49\\degree$ $0.7547$ $0.6561$$1.1504$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\sin47\\degree=0.7314$이므로 $a=47\\degree$ $∴$ $\\tan a$$=\\tan47\\degree$$=1.0724$ $\\cos46\\degree=0.6947$이므로 $b=46\\degree$ $∴$ $\\sin b$$=\\sin46\\degree$$=0.7193$ $∴$ $\\tan a+\\sin b$$=1.0724+0.7193$$=1.7917$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=16$, $\\overline{BC}=12$이고 $\\cos C=\\frac{5}{8}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=16\\cos C$$=16\\times\\frac{5}{8}$$=10$ $\\overline{AH}=\\sqrt{16^2-10^2}=\\sqrt{156}=2\\sqrt{39}$ $\\overline{BH}$$=12-10$$=2$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+(2\\sqrt{39})^2}$$=\\sqrt{160}$$=4\\sqrt{10}$" }, { "question": "$\\sin a=0.7986$, $\\cos b=0.5736$을 만족시키는 $a$, $b$에 대하여 $\\cos a+\\tan b$의 값을 구하여라.
각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan)
$52 \\degree$ $0.7889$ $0.6157$ $1.2799$
$53 \\degree$ $0.7986$ $0.6018$ $1.3270$
$54 \\degree$ $0.8090$ $0.5878$ $1.3764$
$55 \\degree$ $0.8192$ $0.5736$ $1.4281$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\sin53\\degree=0.7986$이므로 $a=53\\degree$ $∴ \\cos a$$=\\cos53\\degree$$=0.6018$ $\\cos55\\degree=0.5736$이므로 $b=55\\degree$ $∴ \\tan b$$=\\tan55\\degree$$=1.4281$ $∴ \\cos a+\\tan b$$=0.6018+1.4281$$=2.0299$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=4 cm$, $\\overline{GH}=3 cm$이고 $\\angle CEG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{3^2+4^2}$$=\\sqrt{25}$$=5$ $(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=5\\tan60\\degree$$=5\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $4\\times3\\times5\\sqrt{3}$$=60\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=60\\degree$, $\\angle BCO=45\\degree$, $\\overline{OB}=\\sqrt{6}$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{6}\\tan60\\degree$$=\\sqrt{6}\\times\\sqrt{3}$$=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{\\sqrt{6}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{1}$$=\\sqrt{6}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{6}\\times\\sqrt{6})\\times3\\sqrt{2}$$=3\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\cos x=0.7314$, $\\tan y=0.8693$을 만족시키는 $x$, $y$에 대하여 $\\tan x-\\sin y$의 값을 구하여라.
각도 사인($\\sin$) 코사인($\\cos$) 탄젠트($\\tan$)
$41\\degree$ $0.6561$ $0.7547$ $0.8693$
$42\\degree$ $0.6691$ $0.7431$ $0.9004$
$43\\degree$ $0.6820$ $0.7314$ $0.9325$
$44\\degree$ $0.6947$ $0.7193$ $0.9657$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\cos43\\degree=0.7314$이므로 $x=43\\degree$ $\\\\$ $∴$ $\\tan x$$=\\tan43\\degree$$=0.9325$ $\\\\$ $\\tan41\\degree=0.8693$이므로 $y=41\\degree$ $\\\\$ $∴$ $\\sin y$$=\\sin41\\degree$$=0.6561$ $\\\\$ $∴$ $\\tan x-\\sin y$$=0.9325-0.6561$$=0.2764$" }, { "question": "일차방정식 $\\sqrt{3}y-x-2=0$의 그래프가 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\sqrt{3}y-x-2=0$에서 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$ 구하는 예각의 크기를 $a$라 하면 $\\tan a$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $a=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=4 cm$, $\\overline{GH}=2 cm$이고 $\\angle CEG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{2^2+4^2}$$=\\sqrt{20}$$=2\\sqrt{5}$ $(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=2\\sqrt{5}\\tan60\\degree$$=2\\sqrt{5}\\times\\sqrt{3}$$=2\\sqrt{15} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $4\\times2\\times2\\sqrt{15}$$=16\\sqrt{15} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=6 cm$, $\\overline{GH}=3 cm$이고 $\\angle CEG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{3^2+6^2}$$=\\sqrt{45}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=3\\sqrt{5}\\tan60\\degree$$=3\\sqrt{5}\\times\\sqrt{3}$$=3\\sqrt{15} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $6\\times3\\times3\\sqrt{15}$$=54\\sqrt{15} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=\\overline{GH}=5 cm$이고 $\\angle CEG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{5^2+5^2}$$=\\sqrt{50}$$=5\\sqrt{2}(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=5\\sqrt{2}\\tan60\\degree$$=5\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{6} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $5\\times5\\times5\\sqrt{6}$$=125\\sqrt{6} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=3 cm$, $\\overline{GH}=2 cm$이고 $\\angle CEG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{2^2+3^2}$$=\\sqrt{13} (cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=\\sqrt{13}\\tan30\\degree$$=\\sqrt{13}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{39}}{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $3\\times2\\times\\frac{\\sqrt{39}}{3}$$=2\\sqrt{39} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{CF}=6 cm$, $\\angle CFG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{FG}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $3\\sqrt{3}\\times6\\times3$$=54\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "$\\tan x=9.5144$, $\\cos y=0.1392$를 만족시키는 $x$, $y$에 대하여 $\\cos x+\\sin y$의 값을 구하여라.
각도 사인$(sin)$ 코사인$(cos)$탄젠트$(tan)$
$81\\degree$ $0.9877$ $0.1564$$6.3138$
$82\\degree$ $0.9903$ $0.1392$$701154$
$83\\degree$ $0.9925$ $0.1219$$8.1443$
$84\\degree$ $0.9945$ $0.1045$$9.5144$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\tan84\\degree=9.5144$이므로 $x=84\\degree$ $∴\\cos x$$=\\cos84\\degree$$=0.1045$ $\\cos82\\degree=0.1392$이므로 $y=82\\degree$ $∴\\sin y$$=\\sin82\\degree$$=0.9903$ $∴\\cos x+\\sin y$$=0.1045+0.9903$$=1.0948$" }, { "question": "점 $(5\\sqrt{3}, 8)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(5\\sqrt{3}, 8)$을 지나므로 $8=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times5\\sqrt{3}+n$ $∴ n=3$ $∴ y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+3$ 이때 $x$절편은 $-3\\sqrt{3}$, $y$절편은 $3$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times3$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=9 cm$, $\\overline{EF}=8\\sqrt{2} cm$, $\\angle ABC=45\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8 (cm)$ $\\overline{AC}=8\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8 (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times8\\times8)\\times9=288 (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{CF}=12 cm$, $\\angle CFG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=12\\sin30\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (cm)$ $\\overline{FG}=12\\cos30\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $6\\sqrt{3}\\times10\\times6$$=360\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "점 $(-\\sqrt{3}, 1)$을 지나는 직선이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $30\\degree$일 때, 이 직선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하면 $m$$=\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ 직선 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+n$이 점 $(-\\sqrt{3}, 1)$을 지나므로 $1=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times(-\\sqrt{3})+n$ $∴ n=2$ $∴ y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+2$ 이때 $x$절편은 $-2\\sqrt{3}$, $y$절편은 $2$이므로 다음 그림과 같다. 따라서 구하는 삼각형의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2$$=2\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=7 cm$, $\\overline{CF}=8 cm$, $\\angle CFG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=8\\sin30\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ $\\overline{FG}=8\\cos30\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $4\\sqrt{3}\\times7\\times4$$=112\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "어느 아파트 동 사이의 거리 $\\overline{AB}$를 구하기 위하여 지점 C에서 지점 A, B까지의 거리와 $\\angle BAC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 아파트 동 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=20\\cos45\\degree$$=20\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=10\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=10\\sqrt{2} m$ $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{30^2-(10\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{700}=10\\sqrt{7} (m)$ 따라서 아파트 동 사이의 거리는 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=10\\sqrt{2}+10\\sqrt{7} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=4 cm$, $\\overline{EF}=6 cm$, $\\angle ABC=30\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times3)\\times4=18\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=8 cm$, $\\overline{GH}=6 cm$이고 $\\angle CEG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{6^2+8^2}$$=\\sqrt{100}$$=10(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=10\\tan60\\degree$$=10\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $8\\times6\\times10\\sqrt{3}$$=480\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=10 cm$, $\\overline{EF}=8\\sqrt{2} cm$, $\\angle ABC=30\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{2}\\cos30\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{AC}=8\\sqrt{2}\\sin30\\degree$$=8\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}$$=4\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}\\times4\\sqrt{2})\\times10=160\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=9 cm$, $\\overline{GH}=6 cm$이고 $\\angle CEG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{6^2+9^2}$$=\\sqrt{117}$$=3\\sqrt{13}$ $(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=3\\sqrt{13}\\tan30\\degree$$=3\\sqrt{13}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\sqrt{39} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $9\\times6\\times\\sqrt{39}$$=54\\sqrt{39} (cm^3)$" }, { "question": "$\\cos a=0.2588$, $\\tan b=3.2709$를 만족시키는 $a$, $b$에 대하여 $\\sin a-\\cos b$의 값을 구하여라.
각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan)
$72\\degree$ $0.9511$ $0.3090$ $0.0777$
$73\\degree$ $0.9563$ $0.2924$ $3.2709$
$74\\degree$ $0.9613$ $0.2756$ $3.4874$
$75\\degree$ $0.9659$ $0.2588$ $3.7321$
$76\\degree$ $0.9703$ $0.2419$ $4.0108$
$77\\degree$ $0.9744$ $0.2250$ $4.3315$
", "answer": "주어진 삼각비의 표에서 $\\cos75\\degree=0.2588$이므로 $a=75\\degree$ $∴$ $\\sin a$$=\\sin75\\degree$$=0.9659$ $\\tan73\\degree=3.2709$이므로 $b=73\\degree$ $∴$ $\\cos b$$=\\cos73\\degree$$=0.2924$ $∴ $$\\sin a-\\cos b$$=0.9659-0.2924$$=0.6735$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $12 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=60\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BO}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times6^2)\\times6\\sqrt{3}$$=72\\sqrt{3}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{CF}=10 cm$, $\\angle CFG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{FG}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $5\\times8\\times5\\sqrt{3}$$=200\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=13 cm$, $\\overline{EF}=8\\sqrt{3} cm$, $\\angle ABC=60\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3}\\cos60\\degree$$=8\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=8\\sqrt{3}\\sin60\\degree$$=8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=12 (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times12)\\times13=312\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=8 cm$, $\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\angle D=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (cm)$ $\\overline{CH}$$=8+6$$=14(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(6\\sqrt{3})^2+14^2}$$=\\sqrt{304}$$=4\\sqrt{19}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{CF}=12 cm$, $\\angle CFG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{FG}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $6\\times8\\times6\\sqrt{3}$$=288\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=45\\degree$, $\\angle BCO=60\\degree$, $\\overline{OB}=2\\sqrt{3}$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=2\\sqrt{3}\\tan45\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times1$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=2$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\times2\\sqrt{3})\\times2\\sqrt{3}$$=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=7 cm$, $\\overline{EF}=10 cm$, $\\angle ABC=30\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=10\\cos30\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=10\\sin30\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{3}\\times5)\\times7=\\frac{175\\sqrt{3}}{2} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $6 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=60\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=6\\sin60\\degree=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BO}=6\\cos60\\degree=6\\times\\frac{1}{2}=3 (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times3^2)\\times3\\sqrt{3}=9\\sqrt{3}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{CF}=10 cm$, $\\angle CFG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=10\\sin30\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ $\\overline{FG}=10\\cos30\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $5\\sqrt{3}\\times6\\times5$$=150\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $4 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=30\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=4\\sin30\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (cm)$ $\\overline{BO}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times2$$=8\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{CF}=4 cm$, $\\angle CFG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=4\\sin30\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (cm)$ $\\overline{FG}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $2\\sqrt{3}\\times5\\times2$$=20\\sqrt{3} (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $A$ 나무의 꼭대기 $P$ 지점에 있던 새가 지면의 $C$ 지점에 있는 먹이를 잡아서 $B$ 나무의 꼭대기 $Q$ 지점으로 올라갔다. $A$ 나무의 높이가 $2\\sqrt{3}m$이고, 두 나무 $A, B$ 사이의 거리가 $7m$일 때, 새가 날아간 거리를 구하여라. (단, 새는 직선으로 날아간다.)", "answer": "$\\triangle ACP$에서 $\\overline{CP}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4 (m)$ $\\triangle ACP$에서 $\\overline{AC}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=2 (m)$ $\\overline{BC}$$=7-2$$=5 (m)$이므로 $\\triangle BQC$에서 $\\overline{CQ}=\\frac{5}{\\cos45\\degree}$$=5\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=5\\sqrt{2} (m)$ 따라서 새가 날아간 거리는 $\\overline{CP}+\\overline{CQ}$$=4+5\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=30\\degree$, $\\angle BCO=45\\degree$, $\\overline{OB}=4\\sqrt{3}$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=4\\sqrt{3}\\tan30\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=4$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{1}$$=4\\sqrt{3}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{3})\\times4$$=32$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $6\\sqrt{2} cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=45\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=6\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6 (cm)$ $\\overline{BO}=6\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6 (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times6^2)\\times6$$=72\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 A 나무의 꼭대기 P 지점에 있던 새가 지면의 C 지점에 있는 먹이를 잡아서 B 나무의 꼭대기 Q 지점으로 올라갔다. A 나무의 높이가 $4\\sqrt{3} m$이고, 두 나무 A, B 사이의 거리가 $20 m$일 때, 새가 날아간 거리를 구하여라. (단, 새는 직선으로 날아간다.)", "answer": "$\\triangle ACP$에서 $\\overline{CP}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\sin30\\degree}$$=4\\sqrt{3}\\div\\frac{1}{2}$$=8\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle ACP$에서 $\\overline{AC}=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=4\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=12 (m)$ $\\overline{BC}$$=20-12$$=8 (m)$이므로 $\\triangle BQC$에서 $\\overline{CQ}=\\frac{8}{\\cos45\\degree}$$=8\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=8\\sqrt{2} (m)$ 따라서 새가 날아간 거리는 $\\overline{CP}+\\overline{CQ}$$=8\\sqrt{3}+8\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=14 cm$이고 $\\cos B=\\frac{3}{4}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=14\\cos B$$=14\\times\\frac{3}{4}$$=\\frac{21}{2} (cm)$ $\\overline{AH}=\\sqrt{14^2-(\\frac{21}{2})^2}=\\sqrt{\\frac{343}{4}}=\\frac{7\\sqrt{7}}{2} (cm)$ $\\overline{CH}$$=14-\\frac{21}{2}$$=\\frac{7}{2} (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\frac{7\\sqrt{7}}{2})^2+(\\frac{7}{2})^2}$$=\\sqrt{98}$$=7\\sqrt{2}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $6 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=45\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=6\\sin45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BO}=6\\cos45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2\\rbrace\\times3\\sqrt{2}$$=18\\sqrt{2}\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=60\\degree$, $\\angle BCO=45\\degree$, $\\overline{OB}=3$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=3\\tan60\\degree$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{3}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{3}{1}$$=3$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times3)\\times3\\sqrt{3}$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "어느 도로의 폭 $\\overline{AB}$를 구하기 위하여 지점 C에서 지점 A, B까지의 거리와 $\\angle BAC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 도로의 폭을 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=4\\cos45\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=2\\sqrt{2} m$ $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{6^2-(2\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{28}=2\\sqrt{7} (m)$ 따라서 도로의 폭은 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=2\\sqrt{2}+2\\sqrt{7} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=10 ~cm$, $\\overline{EF}=6\\sqrt{3} ~cm$, $\\angle ABC=60\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\sqrt{3}\\cos60\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=6\\sqrt{3}\\sin60\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=9 (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $\\left(\\frac{1}{2} \\times 3 \\sqrt{3} \\times 9\\right) \\times 10=135 \\sqrt{3}\\left(\\mathrm{~cm}^{3}\\right)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=10$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}h+h=10$ $\\frac{\\sqrt{3}+3}{3}h=10$ $ \\therefore h$$=\\frac{30}{3+\\sqrt{3}}$$=5(3-\\sqrt{3})$ $ \\therefore \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times5(3-\\sqrt{3})$$=25(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 A에서 호수의 가장자리의 두 지점 $B$, $C$를 내려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $45\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $300 m$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=300\\tan30\\degree=300\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}=100\\sqrt{3} (m)$ $\\angle CAH=45\\degree$이고 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=300 m$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=300+100\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 A에서 호수의 가장자리의 두 지점 B, C를 내려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $60\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $180 m$일 때, 두 지점 B, C 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\angle BAH=45\\degree$이고 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=180 m$ $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=180\\tan30\\degree$$=180\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=60\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=180+60\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 풍선을 두 지점 $A$, $B$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $39\\degree$이고 $\\overline{AB}=22 m$일 때, 지면으로부터 풍선까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan51\\degree=1.2$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 풍선까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=51\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan51\\degree=1.2h (m)$ $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+1.2h=22$ $2.2h=22$ $\\therefore$ $h=10$ 따라서 지면으로부터 풍선까지의 높이는 $10 m$이다." }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=60\\degree$, $\\angle BCO=45\\degree$, $\\overline{OB}=3\\sqrt{2}$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=3\\sqrt{2}\\tan60\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}$$=3\\sqrt{6}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{1}$$=3\\sqrt{2}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{2})\\times3\\sqrt{6}$$=9\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $A$ 나무의 꼭대기 $P$ 지점에 있던 새가 지면의 $C$ 지점에 있는 먹이를 잡아서 $B$ 나무의 꼭대기 $Q$ 지점으로 올라갔다. $A$ 나무의 높이가 $2 m$이고, 두 나무 $A$, $B$ 사이의 거리가 $5 m$일 때, 새가 날아간 거리를 구하여라. (단, 새는 직선으로 날아간다.)", "answer": "$\\triangle ACP$에서 $\\overline{CP}=\\frac{2}{\\sin45\\degree}$$=2\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACP$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AC}=\\overline{AP}=2 m$ $\\overline{BC}$$=5-2$$=3 (m)$이므로 $\\triangle BQC$에서 $\\overline{CQ}=\\frac{3}{\\cos30\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3} (m)$ 따라서 새가 날아간 거리는 $\\overline{CP}+\\overline{CQ}$$=2\\sqrt{2}+2\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 A에서 호수의 가장자리의 두 지점 B, C를 내려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $180 m$일 때, 두 지점 B, C 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점$A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=45\\degree$이고 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=180 m$ $\\angle CAH=60\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=180\\tan60\\degree$$=180\\times\\sqrt{3}$$=180\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=180+180\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=45\\degree$, $\\angle BCO=60\\degree$, $\\overline{OB}=6$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=6\\tan45\\degree$$=6\\times1$$=6$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{6}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{6}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times6)\\times6$$=12\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $3\\sqrt{2} cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=45\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=3\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{BO}=3\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3 (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times3^2)\\times3$$=9\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\overline{BC}=8$이고 $\\cos C=\\frac{3}{4}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=8\\cos C$$=8\\times\\frac{3}{4}$$=6$ $\\overline{AH}=\\sqrt{8^2-6^2}=\\sqrt{28}=2\\sqrt{7}$ $\\overline{BH}$$=8-6$$=2$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+(2\\sqrt{7})^2}$$=\\sqrt{32}$$=4\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $A$ 나무의 꼭대기 $P$ 지점에 있던 새가 지면의 $C$ 지점에 있는 먹이를 잡아서 $B$ 나무의 꼭대기 $Q$ 지점으로 올라갔다. $A$ 나무의 높이가 $2\\sqrt{3} m$이고, 두 나무 $A$, $B$ 사이의 거리가 $8 m$일 때, 새가 날아간 거리를 구하여라. (단, 새는 직선으로 날아간다.)", "answer": "$\\triangle ACP$에서 $\\overline{CP}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4 (m)$ $\\triangle ACP$에서 $\\overline{AC}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=2 (m)$ $\\overline{BC}$$=8-2$$=6 (m)$이므로 $\\triangle BQC$에서 $\\overline{CQ}=\\frac{6}{\\cos45\\degree}$$=6\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=6\\sqrt{2} (m)$ 따라서 새가 날아간 거리는 $\\overline{CP}+\\overline{CQ}$$=4+6\\sqrt{2} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=14 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=14$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=14$ $∴ h$$=\\frac{42}{3-\\sqrt{3}}$$=7(3+\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $7(3+\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 삼각뿔에서 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$가 서로 직교하고 $\\angle ABO=60\\degree$, $\\angle BCO=45\\degree$, $\\overline{OB}=6\\sqrt{3}$일 때, 이 삼각뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{OA}=6\\sqrt{3}\\tan60\\degree$$=6\\sqrt{3}\\times\\sqrt{3}$$=18$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{OC}=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{1}$$=6\\sqrt{3}$ 따라서 삼각뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}$$\\times$$(\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times6\\sqrt{3})\\times18$$=324$" }, { "question": "다음 그림과 같이 모선 $AB$의 길이가 $6 cm$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=30\\degree$이다. 이 원뿔의 부피를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AO}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{BO}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 원뿔의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times3$$=27\\pi (cm^3)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 $A$에서 호수의 가장자리의 두 지점 $B$, $C$를 내려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $45\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $120 m$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=120\\tan30\\degree$$=120\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=40\\sqrt{3} (m)$ $\\angle CAH=45\\degree$이고 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=120 m$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=120+40\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3}$, $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=8\\sqrt{3}\\cos45\\degree$$=8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=4\\sqrt{6}$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=4\\sqrt{6}$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\frac{4\\sqrt{6}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{4\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}}$$=4\\sqrt{2}$ $\\\\$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=4\\sqrt{6}+4\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=4$, $\\overline{BC}=5$이고 $\\angle A=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle BCD$의 꼭짓점 D에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\angle DCH=180\\degree-120\\degree=60\\degree$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{DH}=4\\sin60\\degree=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{3}$ $\\overline{CH}=4\\cos60\\degree=4\\times\\frac{1}{2}=2$ $\\overline{BH}=5+2=7$이므로 $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{7^2+(2\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{61}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 $A$에서 호수의 가장자리의 두 지점 $B$, $C$를 내려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $45\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $150 m$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=150\\tan30\\degree$$=150\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=50\\sqrt{3} (m)$ $\\angle CAH=45\\degree$이고 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=150 m$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=150+50\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "어느 고속도로의 폭 $\\overline{BC}$를 구하기 위하여 지점 $A$에서 지점 $B$, $C$까지의 거리와 $\\angle ABC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 고속도로의 폭을 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=6\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6 (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=6 m$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{9^2-6^2}=\\sqrt{45}=3\\sqrt{5} (m)$ 따라서 고속도로의 폭은 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=6+3\\sqrt{5} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 크리스마스 트리의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $30\\degree$, $45\\degree$이다. $\\overline{BC}=24 m$일 때, 이 트리의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 트리의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h+h=24$ $(\\sqrt{3}+1)h=24$ $∴ h=\\frac{24}{\\sqrt{3}+1}=12(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 트리의 높이는 $12(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "어느 연못의 폭 $\\overline{AB}$를 구하기 위하여 지점 $C$에서 지점 A, B까지의 거리와 $\\angle BAC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 연못의 폭을 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=400\\cos30\\degree$$=400\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=200\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{CH}=400\\sin30\\degree$$=400\\times\\frac{1}{2}$$=200 (m)$ $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{300^2-200^2}=\\sqrt{50000}=100\\sqrt{5} (m)$ 따라서 연못의 폭은 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=200\\sqrt{3}+100\\sqrt{5} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=5 cm$, $\\overline{CD}=3\\sqrt{2} cm$이고 $\\angle D=135\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-135\\degree$$=45\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=3\\sqrt{2}\\sin45\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3 (cm)$ $\\triangle AHB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=3 cm$ $\\overline{CH}$$=5+3$$=8 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{3^2+8^2}$$=\\sqrt{73}(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=10$, $\\overline{BC}=12$이고 $\\angle A=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle BCD$의 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle DCH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{DH}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3}$ $\\overline{CH}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5$ $\\overline{BH}$$=12+5$$=17$이므로 $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{17^2+(5\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{364}$$=2\\sqrt{91}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 철탑의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$이다. $\\overline{BC}=50m$일 때, 이 철탑의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 철탑의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h m$ $\\triangle AHC$는 $\\angle CAH=60\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ (m) $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=50$ $(1+\\sqrt{3})h=50$ $∴ h$$=\\frac{50}{1+\\sqrt{3}}$$=25(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 철탑의 높이는 $25(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "어느 도로의 폭 $\\overline{AB}$를 구하기 위하여 지점 $C$에서 지점 $A$, $B$까지의 거리와 $\\angle BAC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 도로의 폭을 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=2\\cos45\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=\\sqrt{2} m$ $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{3^2-(\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{7} (m)$ 따라서 도로의 폭은 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\sqrt{2}+\\sqrt{7} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=9$ $cm$, $\\overline{CD}=6$ $cm$이고 $\\angle D=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{CH}$$=9+3$$=12 (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+12^2}$$=\\sqrt{171}$$=3\\sqrt{19} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=4 cm$, $\\overline{CD}=3 cm$이고 $\\angle D=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=3\\sin60\\degree$$=3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{2} (cm)$ $\\overline{BH}=3\\cos60\\degree$$=3\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{3}{2} (cm)$ $\\overline{CH}$$=4+\\frac{3}{2}$$=\\frac{11}{2}$ $(cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\frac{3\\sqrt{3}}{2})^2+(\\frac{11}{2})^2}$$=\\sqrt{37}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 $A$에서 호수의 가장자리의 두 지점 $B$, $C$를 내려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $60\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $168 m$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=45\\degree$이고 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=168 m$ $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=168\\tan30\\degree$$=168\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=56\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=168+56\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이고 $\\angle A=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle BCD$의 꼭짓점 D에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle DCH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{DH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $(cm)$ $\\overline{CH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $(cm)$ $\\overline{BH}$$=10+3$$=13$ $(cm)$이므로 $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{13^2+(3\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{196}$$=14$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=10 cm$이고 $\\cos B=\\frac{3}{4}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=10\\cos B$$=10\\times\\frac{3}{4}$$=\\frac{15}{2}$ $(cm)$ $\\overline{AH}=\\sqrt{10^2-(\\frac{15}{2})^2}=\\sqrt{\\frac{175}{4}}=\\frac{5\\sqrt{7}}{2} (cm)$ $\\overline{CH}$$=10-\\frac{15}{2}$$=\\frac{5}{2}$$ (cm)$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\frac{5\\sqrt{7}}{2})^2+(\\frac{5}{2})^2}$$=\\sqrt{50}$$=5\\sqrt{2}$$ (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=12$, $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=12\\cos45\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6\\sqrt{2}$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=6\\sqrt{2}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{6}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=2\\sqrt{6}+6\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=12$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=12$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=12$ $∴ h$$=\\frac{36}{3+\\sqrt{3}}$$=6(3-\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times6(3-\\sqrt{3})$$=36(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=105\\degree$, $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AC}=12$인 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle C$$=180\\degree-(105\\degree+30\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=12\\sin45\\degree=12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=6\\sqrt{2}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=6\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=6\\sqrt{2}\\times2=12\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=3\\sqrt{2}$, $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=3\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=3$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{3}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\sqrt{3}+3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=105\\degree$, $\\angle B=30\\degree$, $\\overline {AC}$=$10$인 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle C=180\\degree-(105\\degree+30\\degree)=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=10\\sin45\\degree=10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5\\sqrt{2}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=5\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=5\\sqrt{2}\\times2=10\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=10$, $\\overline{BC}=16$이고 $\\cos B=\\frac{3}{5}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=10\\cos B$$=10\\times\\frac{3}{5}$$=6$ $\\overline{AH}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8$ $\\overline{CH}$$=16-6$$=10$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{8^2+10^2}$$=\\sqrt{164}$$=2\\sqrt{41}$" }, { "question": "어느 연못의 폭 $\\overline{BC}$를 구하기 위하여 지점 $A$에서 지점 $B$, $C$까지의 거리와 $\\angle ABC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 연못의 폭을 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=4\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=4 (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=4 m$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{7^2-4^2}=\\sqrt{33} (m)$ 따라서 연못의 폭은 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=4+\\sqrt{33} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=12\\sqrt{2} cm$, $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=12\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=12\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=12 (cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=12 cm$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\frac{12}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{12}{\\sqrt{3}}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ ∴ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=4\\sqrt{3}+12(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BC}=8$, $\\overline{CD}=6$이고 $\\angle D=120\\degree$일 때, 대각선 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle ABH$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\overline{BH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $\\overline{CH}$$=8+3$$=11$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+11^2}$$=\\sqrt{148}$$=2\\sqrt{37}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 풍선을 두 지점 $A, B$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $72\\degree$이고 $\\overline{AB}=30 m$일 때, 지면으로부터 풍선까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan18\\degree=0.3$으로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 풍선까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=18\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan18\\degree$$=0.3h$$ (m)$ $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.3h=30$ $1.3h=30$ $\\therefore$ $h=\\frac{300}{13}$ 따라서 지면으로부터 풍선까지의 높이는 $\\frac{300}{13} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle{ABC}$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=2$일 때, $\\triangle{ABC}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=2$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=2$ $∴ h$$=\\frac{6}{3+\\sqrt{3}}$$=3-\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times2\\times(3-\\sqrt{3})$$=3-\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{3} cm$, $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=4\\sqrt{3}\\cos45\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=2\\sqrt{6} cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{2} (cm)$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=2\\sqrt{6}+2\\sqrt{2}$ (cm)" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=6 cm$, $\\angle ADB=150\\degree$이고 $\\tan B=\\frac{1}{4}$이다. 이때 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}=h cm$라 하면 $\\triangle ADC$에서 $\\angle CAD=60\\degree$이므로 $\\overline{CD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h$ $(cm)$ $\\tan B=\\frac{h}{6+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{6+\\sqrt{3}h}=\\frac{1}{4}$ $4h=6+\\sqrt{3}h$ $(-\\sqrt{3}+4)h=6$ $∴ h$$=\\frac{6}{-\\sqrt{3}+4}$$=\\frac{24+6\\sqrt{3}}{13}$ 따라서 $\\overline{AC}$의 길이는 $\\frac{24+6\\sqrt{3}}{13} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=30\\degree$, $\\angle C=105\\degree$, $\\overline{BC}=8 cm$인 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle B$$=180\\degree-(30\\degree+105\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{CH}=8\\sin45\\degree=8\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{4\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=4\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=4\\sqrt{2}\\times2=8\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle ACH=45\\degree$, $\\overline{BC}=4$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=4$ $(\\sqrt{3}-1)h=4$ $∴ h$$=\\frac{4}{\\sqrt{3}-1}$$=2(1+\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times2(1+\\sqrt{3})$$=4(1+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 A 지점에 설치된 조명은 지면 위의 B 지점에서 C 지점까지를 비춘다고 한다. 두 지점 B, C에서 조명을 올려다본 각의 크기가 각각 $15\\degree$, $60\\degree$이고 두 지점 B, C 사이의 거리가 $28 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h$$ (m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$$ (m)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=28$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=28$ $∴ h$$=\\frac{84}{6+2\\sqrt{3}}$$=7(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=14$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=14$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=14$ $∴$ $h$$=\\frac{42}{3+\\sqrt{3}}$$=7(3-\\sqrt{3})$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times14\\times7(3-\\sqrt{3})$$=49(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "어느 두 건물 사이의 거리 $\\overline{AB}$를 구하기 위하여 지점 $C$에서 지점 $A$, $B$까지의 거리와 $\\angle BAC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 두 건물 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=20\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=20\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=20 (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=20 m$ $\\triangle BHC$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{40^2-20^2}=\\sqrt{1200}=20\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 건물 사이의 거리는 $\\overline{AB}=\\overline{AH}+\\overline{BH}=20+20\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 송전탑의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $30\\degree$, $45\\degree$이다. $\\overline{BC}=36 m$일 때, 이 송전탑의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 송전탑의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ $(m)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h+h=36$ $(\\sqrt{3}+1)h=36$ $∴ h$$=\\frac{36}{\\sqrt{3}+1}$$=18(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 송전탑의 높이는 $18(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $hm$인 $C$ 지점에 설치된 카메라는 지면 위의 $A$ 지점에서 $B$ 지점까지를 찍는다고 한다. 두 지점 $A, B$에서 카메라를 올려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $15\\degree$이고 두 지점 $A, B$ 사이의 거리가 $20m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle BCH$에서 $\\angle BCH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h$ (m) $\\triangle ACH$에서 $\\angle ACH=30\\degree$이므로 $\\overline{AH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ (m) $\\overline{BH}-\\overline{AH}=\\overline{AB}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=20$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=20$ $∴$ $h$$=\\frac{60}{6+2\\sqrt{3}}$$=5(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=2 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ (cm) $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=2$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=2$ ∴ $h$$=\\frac{6}{3-\\sqrt{3}}$$=3+\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $(3+\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=16$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=16$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=16$ $∴ h$$=\\frac{48}{3+\\sqrt{3}}$$=8(3-\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times16\\times8(3-\\sqrt{3})$$=64(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 드론을 두 지점 A, B에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $56\\degree$이고 $\\overline{AB}=34 m$일 때, 지면으로부터 드론까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan34\\degree=0.7$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 드론까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=34\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan34\\degree$$=0.7h$ (m) $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.7h=34$ $1.7h=34$ $∴$ $h$$=20$ 따라서 지면으로부터 드론까지의 높이는 $20 m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 O라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=10$ $cm$, $\\overline{BC}=6$ $cm$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\triangle ABC $ $ = \\frac{1}{2}\\times10\\times6\\times \\sin60\\degree$ $ = \\frac{1}{2}\\times10\\times6\\times \\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$15\\sqrt{3} (cm^2)$ ∴ $\\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times15\\sqrt{3}=\\frac{15\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=12\\cos60\\degree=12\\times\\frac{1}{2}=6 (cm)$ $\\overline{AH}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=6\\sqrt{3} cm$ $∴ $$\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=6+6\\sqrt{3}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=16 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h(cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=16$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=16$ $∴ h$$=\\frac{48}{3-\\sqrt{3}}$$=8(3+\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $8(3+\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 $C$ 지점에 설치된 카메라는 지면 위의 $A$ 지점에서 $B$ 지점까지를 찍는다고 한다. 두 지점 $A$, $B$에서 카메라를 올려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $15\\degree$이고 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리가 $5 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle BCH$에서 $\\angle BCH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h$ $(m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle ACH=30\\degree$이므로 $\\overline{AH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(m)$ $\\overline{BH}-\\overline{AH}=\\overline{AB}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=5$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=5$ $∴ h$$=\\frac{15}{6+2\\sqrt{3}}$$=\\frac{15-5\\sqrt{3}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=8 cm$, $\\angle ADB=150\\degree$이고 $\\tan B=\\frac{\\sqrt{3}}{4}$이다. 이때 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}=h cm$라 하면 $\\triangle ADC$에서 $\\angle CAD=60\\degree$이므로 $\\overline{CD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h$ $(cm)$ $\\tan B=\\frac{h}{8+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{8+\\sqrt{3}h}=\\frac{\\sqrt{3}}{4}$ $4h=3h+8\\sqrt{3}$ $∴ h$$=8\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AC}$의 길이는 $8\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=3 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=3$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=3$ $∴ h=\\frac{9}{3-\\sqrt{3}}=\\frac{9+3\\sqrt{3}}{2}$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $\\frac{9+3\\sqrt{3}}{2} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 $A$ 지점에 설치된 조명은 지면 위의 $B$ 지점에서 $C$ 지점까지를 비춘다고 한다. 두 지점 $B$, $C$에서 조명을 올려다본 각의 크기가 각각 $15\\degree$, $60\\degree$이고 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리가 $4 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h (m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (m)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=4$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=4$ $∴ h$$=\\frac{12}{6+2\\sqrt{3}}$$=3-\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 A 지점에 설치된 가로등은 지면 위의 B 지점에서 C 지점까지를 비춘다고 한다. 두 지점 B, C에서 가로등을 올려다본 각의 크기가 각각 $15\\degree$, $60\\degree$이고 두 지점 B, C 사이의 거리가 $7 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h (m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (m)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=7$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=7$ $∴$ $h$$=\\frac{21}{6+2\\sqrt{3}}$$=\\frac{21-7\\sqrt{3}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{AC}=10 cm$이고 $\\tan A=1$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle A<90\\degree$)", "answer": "$\\tan45\\degree=1$이므로 $\\angle A=45\\degree$ $∴$ $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times6\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$15\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 송전탑의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $30\\degree$, $45\\degree$이다. $\\overline{BC}=16 m$일 때, 이 송전탑의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 송전탑의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ ($m$) $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h+h=16$ $(\\sqrt{3}+1)h=16$ $∴ h$$=\\frac{16}{\\sqrt{3}+1}$$=8(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 송전탑의 높이는 $8(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=3 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=3$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=3$ ∴ $h$$=\\frac{9}{3-\\sqrt{3}}$$=\\frac{9+3\\sqrt{3}}{2}$ ∴ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times3\\times\\frac{9+3\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{27+9\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=20$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=20$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=20$ $∴ $ $h$$=\\frac{60}{3-\\sqrt{3}}$$=10(3+\\sqrt{3})$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $10(3+\\sqrt{3})$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=4$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\angle C=75\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle \\mathrm{B}=\\angle \\mathrm{C} =75^{\\circ}$ 이므로 $\\angle \\mathrm{A}=180^{\\circ}-75^{\\circ} \\times 2=30^{\\circ}$ $\\therefore \\triangle \\mathrm{ABC} =\\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\sin 30^{\\circ}$ $=\\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\frac{1}{2}$ $=4$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle ABD=\\angle CBD$이고 $\\overline{AB}=7 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$이다. $\\triangle ABD$의 넓이가 $28 cm^2$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABD$와 $\\triangle BCD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle ABD=\\angle CBD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABD$에서 $\\frac{1}{2}\\times7\\times\\overline{BD}\\times\\sin x=28$이므로 $\\overline{BD}\\times\\sin x=8$ $∴ \\triangle BCD$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times8$$=32$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 $A$ 지점에 설치된 가로등은 지면 위의 $B$ 지점에서 $C$ 지점까지를 비춘다고 한다. 두 지점 $B$, $C$에서 가로등을 올려다본 각의 크기가 각각 $15\\degree$, $60\\degree$이고 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리가 $16 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h(m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h(m)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=16$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=16$ $∴$ $h$$=\\frac{48}{6+2\\sqrt{3}}$$=4(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{2}{3}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=3\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle ADE$ $=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AE}\\times\\overline{AD}\\times\\sin A$ $=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$ $=2\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A)$ $=$$2\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $2$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle ACH=45\\degree$, $\\overline{BC}=8 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (cm)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=8$ $(\\sqrt{3}-1)h=8$ $∴ h$$=\\frac{8}{\\sqrt{3}-1}$$=4(1+\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times4(1+\\sqrt{3})$$=16(1+\\sqrt{3}) (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=4 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=4$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=4$ $∴ h$$=\\frac{12}{3-\\sqrt{3}}$$=2(3+\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times2(3+\\sqrt{3})$$=4(3+\\sqrt{3}) (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{CD}=10 cm$, $\\angle ADC=150\\degree$이고 $\\tan C=\\frac{\\sqrt{3}}{6}$이다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=h cm$라 하면 $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD=60\\degree$이므로 $\\overline{BD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h$ $(cm)$ $\\tan C=\\frac{h}{10+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{10+\\sqrt{3}h}=\\frac{\\sqrt{3}}{6}$ $6h=3h+10\\sqrt{3}$ $3h=10\\sqrt{3}$ $∴$ $h=\\frac{10\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{10\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 드론을 두 지점 $A, B$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $61\\degree$이고 $\\overline{AB}=22 m$일 때, 지면으로부터 드론까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan29\\degree=0.6$으로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 드론까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=29\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan29\\degree$$=0.6h$ ($m$) $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.6h=22$ $1.6h=22$ ∴ $h$$=\\frac{55}{4}$ 따라서 지면으로부터 드론까지의 높이는 $\\frac{55}{4} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 크리스마스 트리의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$,$ C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$이다. $\\overline{BC}=10 m$일 때, 이 트리의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 트리의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h m$ $\\triangle AHC$는 $\\angle CAH=60\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=10$ $(1+\\sqrt{3})h=10$ $∴ h$$=\\frac{10}{1+\\sqrt{3}}$$=5(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 트리의 높이는 $5(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=10$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=10$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=10$ $∴h$$=\\frac{30}{3-\\sqrt{3}}$$=5(3+\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times5(3+\\sqrt{3})$$=25(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle ACH=45\\degree$, $\\overline{BC}=6 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (cm)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=6$ $(\\sqrt{3}-1)h=6$ $∴ h$$=\\frac{6}{\\sqrt{3}-1}$$=3(1+\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times3(1+\\sqrt{3})$$=9(1+\\sqrt{3}) (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}h+h=12$ $\\frac{\\sqrt{3}+3}{3}h=12$ $∴$ $h$$=\\frac{36}{3+\\sqrt{3}}$$=6(3-\\sqrt{3})$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times6(3-\\sqrt{3})$$=36(3-\\sqrt{3}) (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 전봇대의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$이다. $\\overline{BC}=30 m$일 때, 이 전봇대의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 전봇대의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h m$ $\\triangle AHC$는 $\\angle CAH=60\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=30$ $(1+\\sqrt{3})h=30$ $∴ h$$=\\frac{30}{1+\\sqrt{3}}$$=15(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 전봇대의 높이는 $15(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=8 cm$, $\\angle ADB=150\\degree$이고 $\\tan B=\\frac{1}{3}$이다. 이때 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}=h cm$라 하면 $\\triangle ADC$에서 $\\angle CAD=60\\degree$이므로 $\\overline{CD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h(cm)$ $\\tan B=\\frac{h}{8+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{8+\\sqrt{3}h}=\\frac{1}{3}$ $3h=8+\\sqrt{3}h$ $(-\\sqrt{3}+3)h=8$ $\\therefore h$$=\\frac{8}{-\\sqrt{3}+3}$$=\\frac{12+4\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 $\\overline{AC}$의 길이는 $\\frac{12+4\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$이고 $\\tan B=\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$이므로 $\\angle B=60\\degree$ $\\triangle ABC$ $= \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 12 \\times \\sin 60\\degree$ $= \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 12 \\times \\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$24\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=7$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=7$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=7$ $∴ h$$=\\frac{21}{3-\\sqrt{3}}$$=\\frac{21+7\\sqrt{3}}{2}$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $\\frac{21+7\\sqrt{3}}{2}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 연을 두 지점 A, B에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $69\\degree$이고 $\\overline{AB}=36 m$일 때, 지면으로부터 연까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan21\\degree=0.4$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 연까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=21\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan21\\degree$$=0.4h (m)$ $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.4h=36$ $1.4h=36$ $∴ h=\\frac{180}{7}$ 따라서 지면으로부터 연까지의 높이는 $\\frac{180}{7} m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 A 지점에 설치된 카메라는 지면 위의 B 지점에서 C 지점까지를 찍는다고 한다. 두 지점 B, C에서 카메라를 올려다본 각의 크기가 각각 $15\\degree$, $60\\degree$이고 두 지점 B, C 사이의 거리가 $8 m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h(m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (m)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=8$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=8$ $∴ h$$=\\frac{24}{6+2\\sqrt{3}}$$=2(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $10 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴ \\triangle DEF =\\triangle ABC-3\\triangle ADF = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10 \\times \\sin60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times6\\times\\sin60\\degree) =25\\sqrt{3}-18\\sqrt{3} =7\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle ABD=\\angle CBD$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{BC}=3 cm$이다. $\\triangle ABD$의 넓이가 $\\frac{15}{2} cm^2$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABD$와 $\\triangle BCD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle ABD=\\angle CBD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABD$에서 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BD}\\times\\sin x=\\frac{15}{2}$이므로 $\\overline{BD}\\times\\sin x=3$ $∴$ $\\triangle BCD$$=\\frac{1}{2}\\times3\\times\\overline{BD}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times3\\times3$$=\\frac{9}{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $9 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴$$\\triangle DEF$$=\\triangle ABC-3\\triangle ADF$ $=$$\\frac{1}{2}\\times9\\times9\\times \\sin60\\degree-\\times3\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times6\\times \\sin60\\degree)$ $=$$\\frac{81\\sqrt{3}}{4}-\\frac{27\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{27\\sqrt{3}}{4}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle BAC=\\angle CAD$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $30 cm^2$일 때, $\\triangle ACD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{AC}\\times\\sin x=30$이므로 $\\overline{AC}\\times\\sin x=12$ $∴$ $\\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{AC}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times12$$=48$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle BAC=\\angle CAD$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{AD}=7 cm$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $10 cm^2$일 때, $\\triangle ACD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{AC}\\times\\sin x=10$이므로 $\\overline{AC}\\times\\sin x=4$ $∴ \\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times7\\times\\overline{AC}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times7\\times4$$=14$$ (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 피라미드의 끝 부분 $A$를 두 지점 $B$, $C$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $30\\degree$, $45\\degree$이다. $\\overline{BC}=120 m$일 때, 이 피라미드의 높이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하자. 피라미드의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$는 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h+h=120$ $(\\sqrt{3}+1)h=120$ $∴ h$$=\\frac{120}{\\sqrt{3}+1}$$=60(\\sqrt{3}-1)$ 따라서 피라미드의 높이는 $60(\\sqrt{3}-1) m$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $4 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴ \\triangle{DEF}=\\triangle{ABC}-3\\triangle{ADF}$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times1\\times\\sin60\\degree)$ $=4\\sqrt{3}-\\frac{9\\sqrt{3}}{4}$ $=$$\\frac{7\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{BD}=13 cm$, $\\angle ADB=150\\degree$이고 $\\tan B=\\frac{1}{4}$이다. 이때 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}=h cm$라 하면 $\\triangle ADC$에서 $\\angle CAD=60\\degree$이므로 $\\overline{CD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h (cm)$ $\\tan B=\\frac{h}{13+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{13+\\sqrt{3}h}=\\frac{1}{4}$ $4h=13+\\sqrt{3}h$ $(-\\sqrt{3}+4)h=13$ $∴$ $h$$=\\frac{13}{-\\sqrt{3}+4}$$=4+\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AC}$의 길이는 $(4+\\sqrt{3}) cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=11 cm$이고 $\\tan B=\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$이므로 $\\angle B=60\\degree$ $∴\\triangle$$ABC$$=$$\\frac{1}{2}$$\\times$$4\\sqrt{3}$$\\times$$11$$\\times$$\\sin$$60\\degree$$=$$\\frac{1}{2}$$\\times$$4\\sqrt{3}$$\\times$$11$$\\times$$\\frac{\\sqrt{3} }{2}$ $=$$33 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=10 cm$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\angle C=75\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle B$$=\\angle C$$=75\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $∴$ $\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{1}{2}$ $=$$25 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=14$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=14$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=14$ $∴$ $h$$=\\frac{42}{3-\\sqrt{3}}$$=7(3+\\sqrt{3})$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times14\\times7(3+\\sqrt{3})$$=49(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지면으로부터 높이가 $h m$인 $C$ 지점에 설치된 가로등은 지면 위의 $A$ 지점에서 $B$ 지점까지를 비춘다고 한다. 두 지점 $A$, $B$에서 가로등을 올려다본 각의 크기가 각각 $60\\degree$, $15\\degree$이고 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리가 $12m$일 때, $h$의 값을 구하여라. (단, $\\tan75\\degree=2+\\sqrt{3}$으로 계산한다.)", "answer": "$\\triangle BCH$에서 $\\angle BCH=75\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan75\\degree$$=(2+\\sqrt{3})h (m)$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle ACH=30\\degree$이므로 $\\overline{AH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (m)$ $\\overline{BH}-\\overline{AH}=\\overline{AB}$이므로 $(2+\\sqrt{3})h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=12$ $\\frac{6+2\\sqrt{3}}{3}h=12$ $∴ h$$=\\frac{36}{6+2\\sqrt{3}}$$=3(3-\\sqrt{3})$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle BAC=\\angle CAD$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{AD}=6 cm$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $\\frac{25}{2} cm^2$일 때, $\\triangle ACD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{AC}\\times\\sin x=\\frac{25}{2}$이므로 $\\overline{AC}\\times\\sin x=5$ $∴ \\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{AC}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times5$$=15$ ($cm^2)\\\\$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=3\\sqrt{2} cm$, $\\overline{BC}=6 cm$이고 $\\tan B=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $\\angle B=30\\degree$ $\\therefore$ $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{2}\\times6\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{2}\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{9\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8 cm$, $\\overline{BC}=11 cm$이고 $\\tan C=\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle C<90\\degree$)", "answer": "$\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$이므로 $\\angle C=60\\degree$ $∴$ $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times8\\times11\\times \\sin{60\\degree}$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times11\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=22\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=5 cm$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\angle B=75\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=75\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $∴\\triangle ABC$ = $\\frac{1}{2}\\times5\\times5\\sin30\\degree$ = $\\frac{1}{2}\\times5\\times5\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{25}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $\\text{A}\\text{B}\\text{C}\\text{D}$의 넓이가 $48cm^2$일 때, $\\angle\\text{B}$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$", "answer": "$12\\times8\\times\\sin(180\\degree-B)$$=48$이므로 $96\\sin(180\\degree-B)=48$ $∴$ $\\sin(180\\degree-B)=\\frac{1}{2}$ $\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $180\\degree-B=30\\degree$ $∴$ $\\angle B=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{CD}=9 cm$, $\\angle ADC=150\\degree$이고 $\\tan C=\\frac{\\sqrt{3}}{6}$이다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=h cm$라 하면 $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD=60\\degree$이므로 $\\overline{BD}$$=h\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}h$ $(cm)$ $\\tan C=\\frac{h}{9+\\sqrt{3}h}$이므로 $\\frac{h}{9+\\sqrt{3}h}=\\frac{\\sqrt{3}}{6}$ $6h=3h+9\\sqrt{3}$ $3h=9\\sqrt{3}$ $∴ h=3\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $3\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangleABC$에서 $\\overline{AC}=7 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$이고 $\\tan C=1$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0 \\degree<\\angle C<90\\degree$)", "answer": "$\\tan45\\degree=1$이므로 $\\angle C=45\\degree$ $\\therefore\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times7\\times8$sin$45\\degree$ =$\\frac{1}{2}\\times7\\times8\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$14\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4 cm$, $\\overline{BC}=5 cm$이고 $\\tan B=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle B<90\\degree$)", "answer": "$\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$이므로 $\\angle B=30\\degree$ $∴$$\\triangle ABC = \\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times \\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times5\\times\\frac{1}{2}$ $=$$5 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $6 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴$$\\triangle{DEF}=\\triangle{ABC}-3\\triangle{ADF}$$=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin 60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\times\\sin 60\\degree)$$=$$9\\sqrt{3}- 6\\sqrt{3}$ $=$$3\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle BAC=\\angle CAD$이고 $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $30 cm^2$일 때, $\\triangle ACD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times9\\times\\overline{AC}\\times\\sin x=30$이므로 $\\overline{AC}\\times\\sin x=\\frac{20}{3}$ $∴ \\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{AC}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\frac{20}{3}$$=\\frac{80}{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{1}{2}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=3\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AE}\\times\\overline{AD}\\times\\sin{A}$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\overline{AC}\\times3\\overline{AB}\\times\\sin{A}$ $=\\frac{3}{2}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin{A})$ $=\\frac{3}{2}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{3}{2}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ADC=2 : 1$이고 $\\overline{AD}=5 cm$, $\\overline{CD}=3 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ADC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\triangle{ACD}=\\frac{1}{2}\\times5\\times3\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{15\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$ $∴ $$\\triangle CDO=\\frac{1}{2}\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times\\frac{15\\sqrt{3}}{4}=\\frac{15\\sqrt{3}}{8} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $10cm$인 원 $O$에 내접한다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA}$$=4:3:5$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{4}{4+3+5}=120\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{3}{4+3+5}=90\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{5}{4+3+5}=150\\degree$ $\\therefore \\triangle ABO = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10\\times \\sin(180\\degree - 120\\degree)$ $=\\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$25 (cm^2)$ $=25\\sqrt{3}(cm^2)$ $\\triangle BCO = \\frac {1}{2} \\times 10 \\times 10 = 50 (cm^2)$ $\\triangle AOC = \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10 \\times \\sin(180\\degree - 150\\degree)$ $= \\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10\\times \\sin(30\\degree)$ $=\\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$25 (cm^2)$ $\\therefore$ $\\triangle ABC = $$\\triangle ABO + \\triangle BCO + \\triangle AOC$ $=25\\sqrt{3}+50+25$ $=$$75+25\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{3}{4}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=\\frac{5}{3}\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle{ADE}=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AE}\\times\\overline{AD}\\times\\sin A$ =$\\frac{1}{2}\\times\\frac{3}{4}\\overline{AC}\\times\\frac{5}{3}\\overline{AB}\\times\\sin A$ =$\\frac{5}{4}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A)$ $=$$\\frac{5}{4}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{5}{4}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=20 cm$, $\\overline{BC}=12\\sqrt{3} cm$, $\\angle ABD=120\\degree$, $\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times20\\times12\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times20\\times12\\sqrt3\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times20\\times12\\sqrt3\\times\\frac{1}{2}$ $=$$60\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{BD}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$5\\sqrt{3}\\overline{BD} (cm^2)$ $\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt3\\times\\overline{BD}\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt3\\times\\overline{BD}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$3\\sqrt{3}\\overline{BD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle ABD+\\triangle BCD$이므로 $60\\sqrt{3}=5\\sqrt{3}\\overline{BD}+3\\sqrt{3}\\overline{BD}$ $60\\sqrt{3}=8\\sqrt{3}\\overline{BD}$ $∴$ $\\overline{BD}=\\frac{15}{2}$$ (cm)$ $∴$ $\\triangle ABD=5\\sqrt{3}\\overline{BD}$$=5\\sqrt{3}\\times\\frac{15}{2}$$=\\frac{75\\sqrt{3}}{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 O라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ADC=5 : 1$이고 $\\overline{AD}=12 cm$, $\\overline{CD}=9 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ADC=180\\degree\\times\\frac{1}{6}=30\\degree$이므로 $\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times12\\times9\\sin30\\degree =$$\\frac{1}{2}\\times12\\times9\\times\\frac{1}{2} =27 (cm^2)$ $∴ \\triangle CDO=\\frac{1}{2}\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times27=\\frac{27}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{AC}=14 cm$이고 $\\tan A=\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $0\\degree<\\angle A<90\\degree$)", "answer": "$\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$이므로 $\\angle A=60\\degree$ $=$$42\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times12\\times14\\times\\sin 60\\degree$ =$\\frac{1}{2}\\times12\\times14\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$=$42\\sqrt{3} cm^2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=9cm$인 이등변삼각형 ${ABC}$에서 $\\angle{B}=75\\degree$일 때, $\\triangle{ABC}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=75\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $\\therefore \\triangle ABC = \\frac{1}{2} \\times 9 \\times 9 \\times sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 9 \\times 9 \\times \\frac{1}{2} $ $=$$\\frac{81}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $16 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴$$\\triangle DEF=\\triangle ABC-3\\triangle ADF$ $=$$\\frac{1}{2}\\times16\\times16\\times\\sin60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times6\\times10\\times\\sin60\\degree)$ $=$$64\\sqrt{3}-45\\sqrt{3}$ $=$$19\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "폭이 $5 cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=10 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{5}{10}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5}{\\sin60\\degree}$$=5\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{10\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $\\therefore \\triangle \\mathrm{ABC} =\\frac{1}{2} \\times 10 \\times \\frac{10 \\sqrt{3}}{3} \\times \\sin 30^{\\circ}$ $=\\frac{1}{2} \\times 10 \\times \\frac{10 \\sqrt{3}}{3} \\times \\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{25\\sqrt{3}}{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $8 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴$ $\\triangle{DEF}=\\triangle{ABC}-3\\triangle{ADF}$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\times6\\sin60\\degree)$ $=16\\sqrt{3}-9\\sqrt{3}$ $=$$7\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{1}{3}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=2\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle ADE$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$$=$$\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{3} \\overline{AC}\\times2\\overline{AB}\\times\\sin A$ $=$$\\frac{2}{3}\\times(\\frac{1}{2} \\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$) $=$$\\frac{2}{3}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{2}{3}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{3}{4}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=2\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $=$$\\frac{3}{2}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{3}{2}$ 배이다." }, { "question": "폭이 $4 cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=8 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{4}{8}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{4}{\\sin60\\degree}$$=4\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{8\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴ \\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\frac{8\\sqrt{3}}{3}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\frac{8\\sqrt{3}}{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{16\\sqrt{3}}{3} (cm^2)$" }, { "question": "폭이 $\\sqrt{3} cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=2\\sqrt{3} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2 (cm)$ $∴$ $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\times\\sin 30\\degree$=$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ABC=5 : 1$이고 $\\overline{AB}$=$14$, $\\overline{BC}$=$12$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{6}=30\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times 14\\times 12\\times \\sin30\\degree = $ $\\frac{1}{2} \\times 14\\times 12\\times \\frac{1}{2}$ $=$$42$ $∴ \\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times42=21$" }, { "question": "폭이 $3 cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=6 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3}{6}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{3}{\\sin60\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $∴ \\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times6\\times2\\sqrt{3}\\times$sin$30\\degree$=$\\frac{1}{2}\\times6\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$3\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "폭이 $\\sqrt{5} cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=2\\sqrt{5} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{2\\sqrt{5}}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sin60\\degree}$$=\\sqrt{5}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{5}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{2\\sqrt{15}}{3} (cm)$ $∴$$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{5}\\times\\frac{2\\sqrt{15}}{3}\\times sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{5}\\times\\frac{2\\sqrt{15}}{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{5\\sqrt{3}}{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=8\\sqrt{2}$, $\\overline{AD}=6$, $\\angle A=135\\degree$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square{ABCD}=8\\sqrt{2}\\times6\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=8\\sqrt{2}\\times6\\times\\sin 45\\degree$ $=8\\sqrt{2}\\times6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$48$ $\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times48$$=24$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$ $∴ \\triangle BQP=\\frac{2}{3}\\triangle BCP=\\frac{2}{3}\\times24=16$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $12$인 정사각형일 때, $\\triangle AEC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}=12$이므로 $\\overline{AC}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3}$ $\\angle ACB=30\\degree$이므로 $\\angle ACE=30\\degree+90\\degree=120\\degree$ $\\therefore \\triangle AEC$$=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt3\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt3\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$54$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $4 cm$인 원 $O$에 내접한다. $\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CA}=5 : 3 : 4$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\\\$ $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{5}{5+3+4}=150\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{3}{5+3+4}=90\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{4}{5+3+4}=120\\degree$ $\\\\$ $\\therefore \\triangle ABO = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\times sin(180\\degree - 150 \\degree) = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times sin30\\degree = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\frac{1}{2} = 4(cm^2) \\triangle BCO = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 = 8(cm^2) \\triangle AOC = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\times sin(180\\degree - 120 \\degree) = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times sin60\\degree = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt3(cm^2) $ $\\\\$ $ \\therefore \\triangle ABO + \\triangle BCO +\\triangle AOC = 4 + 8 + 4\\sqrt{3} = 12 + 4\\sqrt{3}(cm^2) $" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ADC$$=\\angle ABC$$=135\\degree$이므로$\\square ABCD$ $=3\\sqrt{3}\\times5\\times sin(180\\degree - 135\\degree)$ $=3\\sqrt{3}\\times5\\times sin 45\\degree$ $ =3\\sqrt{3}\\times5\\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{15\\sqrt{6}}{2} (cm^2)$ $\\therefore$ $\\triangle ABE$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{15\\sqrt{6}}{2}$$=\\frac{15\\sqrt{6}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times12\\times8\\times sin 60\\degree=\\frac{1}{2}\\times12\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$24\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times24\\sqrt{3}=12\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "폭이 $3\\sqrt{2} cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=6\\sqrt{2} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{6\\sqrt{2}}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}$$=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ $∴$ $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{6}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{6}\\times\\frac{1}{2}$ $=6\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle BAC=\\angle CAD$이고 $\\overline{AB}=4 cm$, $\\overline{AD}=5 cm$이다. $\\triangle ABC$의 넓이가 $6 cm^2$일 때, $\\triangle ACD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$는 예각삼각형이다.)", "answer": "$\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABC$에서 $\\frac{1}{2}\\times4\\times\\overline{AC}\\times\\sin x=6$이므로 $\\overline{AC}\\times\\sin x=3$ $∴ \\triangle ACD$$=\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{AC}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times5\\times3$$=\\frac{15}{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4\\sqrt{3} cm$인 반원 O에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=45\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times45\\degree$$=90\\degree$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{3}$$=24 (cm^2)$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=45\\degree$ $\\therefore \\triangle BCO = \\triangle CDO$ $=\\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times 4\\sqrt{3} \\times \\sin 45 \\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$12\\sqrt{2} (cm^2)$ $\\therefore \\square ABCD = \\triangle AOD + \\triangle BCO + \\triangle CDO$ $=24 + 12\\sqrt{2} + 12\\sqrt{2}$ $=$$24+24\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $8 cm$인 정사각형일 때, $\\triangle AEC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}=8 cm$이므로 $\\overline{AC}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle ACB=30\\degree$이므로 $\\angle ACE=30\\degree+90\\degree=120\\degree$ $=$$24 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $4 cm$인 정사각형일 때, $\\triangle AEC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}=4 cm$이므로 $\\overline{AC}=4\\sin60\\degree=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle ACB=30\\degree$이므로 $\\angle ACE=30\\degree+90\\degree=120\\degree$ $∴ \\triangle AEC=\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2} =6 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{1}{2}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=\\frac{4}{3}\\overline{AB}$일 때, $\\triangleADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times \\overline{AB}\\times\\sin A$ 이므로 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AE}\\times\\overline{AD}\\times\\sin A=\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\overline{AC}\\times\\frac{4}{3}\\overline{AB}\\times\\sin A=\\frac{2}{3}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A)=\\frac{2}{3}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{2}{3}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=24 cm$, $\\overline{BC}=18\\sqrt{3} cm$, $\\angle ABD=120\\degree$, $\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2} \\times24\\times18\\sqrt{3}\\times \\sin(180\\degree-150\\degree)=\\frac{1}{2} \\times24\\times18\\sqrt{3}\\times \\sin30\\degree=\\frac{1}{2} \\times24\\times18\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}=$$108\\sqrt{3} (cm^2)\\\\$ $\\triangle ABD=\\frac{1}{2} \\times24 \\times\\overline{BD}\\times(180\\degree-120\\degree)\\frac{1}{2} \\times24 \\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2} \\times24\\times\\overline{BD}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=$$6\\sqrt{3}\\overline{BD} (cm^2)\\\\$ $\\triangle BCD= \\frac{1}{2} \\times18\\sqrt{3}\\times\\overline{BD}\\times \\sin30\\degree=\\frac{1}{2} \\times18\\sqrt{3}\\times\\overline{BD}\\times \\frac{1}{2}=$$\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\overline{BD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle ABD+\\triangle BCD$이므로 $108\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}\\overline{BD}+\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\overline{BD}$ $108\\sqrt{3}=\\frac{21\\sqrt{3}}{2}\\overline{BD}$ $∴$ $\\overline{BD}=\\frac{72}{7}$ $(cm)$ $∴$ $\\triangle ABD=6\\sqrt{3}\\overline{BD}$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{72}{7}$$=\\frac{432\\sqrt{3}}{7}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $12$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $10 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $24$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{12}=30\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $24\\times(\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin30\\degree)$ $=$$24\\times(\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{1}{2})$ $=$$600$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $7$인 정사각형일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}=7$이므로 $\\overline{AB}=7\\sin30\\degree=7\\times\\frac{1}{2}=\\frac{7}{2}$ $\\angle ABC=60\\degree$이므로 $\\angle ABD=60\\degree+90\\degree=150\\degree$ $∴ \\triangle ABD = \\frac{1}{2}\\times\\frac{7}{2}\\times7\\times sin(180\\degree-150\\degree) = \\frac{1}{2}\\times\\frac{7}{2}\\times7\\times sin30\\degree = \\frac{1}{2}\\times\\frac{7}{2}\\times7\\times\\frac{1}{2} =\\frac{49}{8}$" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{3}{5}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=2\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AD}\\times\\sin{A}$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{3}{5}\\overline{AC}\\times2\\overline{AB}\\times\\sin{A}$ $=\\frac{6}{5}\\times(\\frac{1}{2}\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin{A})$ $=\\frac{6}{5}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{6}{5}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $6$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $7 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $12$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $12\\times(\\frac{1}{2}\\times7\\times7\\times\\sin60\\degree)$ $=$$12\\times(\\frac{1}{2}\\times7\\times7\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$147\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $10 cm$인 정사각형일 때, $\\triangle AEC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}=10 cm$이므로 $\\overline{AC}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle ACB=30\\degree$이므로 $\\angle ACE=30\\degree+90\\degree=120\\degree$ $∴$ $\\triangle{AEC}=\\frac{1}{2}\\times10\\times5\\sqrt{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times5\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times5\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{75}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 정육각형의 넓이가 $6\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정육각형은 합동인 $6$ 개의 정삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AD}$와 $\\overline{BE}$의 교점을 O, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 $(정육각형의 넓이)$ $=6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times \\sin{60}\\degree)$ $=6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times \\frac{\\sqrt3}{2})$ $=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2=6\\sqrt{3}$ $x^2=4$ 이때 $x>0$이므로 $x=2$ $∴ \\overline{AD}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times2$$=4$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $20 cm$인 원 O에 내접한다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA}=5 : 3 : 4$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{5}{5+3+4}=150\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{3}{5+3+4}=90\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{4}{5+3+4}=120\\degree$ $∴$ $\\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\sin(180\\degree-150\\degree) =\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\frac{1}{2} =100 (cm^2)$ $\\triangle BCO=\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times200 (cm^2)$ $\\triangle AOC=\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times20\\times20\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =100\\sqrt3 (cm^2)$ $∴$$\\triangle ABC=\\triangle ABO+\\triangle BCO+\\triangle AOC$ $=$$100+200+100\\sqrt3$ $=$$300+100\\sqrt3(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=9\\sqrt{3} cm$, $\\angle ABD=120\\degree$, $\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$=$$27\\sqrt{3} (cm^2)$ $=$$3\\sqrt{3}\\overline{BD} (cm^2)$ $=$$\\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\overline{BD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle ABD+\\triangle BCD$이므로 $27\\sqrt{3}=3\\sqrt{3}\\overline{BD}+\\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\overline{BD}$ $27\\sqrt{3}=\\frac{21\\sqrt{3}}{4}\\overline{BD}$ $∴ \\overline{BD}=\\frac{36}{7}$ (cm) $∴ \\triangle ABD=3\\sqrt{3}\\overline{BD}$$=3\\sqrt{3}\\times\\frac{36}{7}$$=\\frac{108\\sqrt{3}}{7}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$와 $\\triangle ADE$에 대하여 $\\overline{AE}=\\frac{2}{5}\\overline{AC}$, $\\overline{AD}=3\\overline{AB}$일 때, $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 몇 배가 되는지 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle{ADE}=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AE}\\times\\overline{AD}\\times\\sin A$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{2}{5}\\overline{AC}\\times3\\overline{AB}\\times\\sin A$ $=\\frac{6}{5}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{AB}\\times\\sin A)$ $=$$\\frac{6}{5}\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle ADE$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이의 $\\frac{6}{5}$ 배이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=6\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\angle BCD=120\\degree$, $\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{3}\\times \\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{3}\\times \\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times6\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$18\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle BCD$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times\\overline{CD}\\times \\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times\\overline{CD}\\times \\sin 60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times\\overline{CD}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$3\\sqrt{3}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\triangle ADC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times\\overline{CD}\\times \\sin 30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times\\overline{CD}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle BCD+\\triangle ADC$이므로 $18\\sqrt{3}=3\\sqrt{3}\\overline{CD}+\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD}$ $18\\sqrt{3}=\\frac{9\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD}$ $\\therefore$ $\\overline{CD}=4 (cm) $ $\\therefore$ $\\triangle BCD=3\\sqrt{3}\\overline{CD}$$=3\\sqrt{3}\\times4$$=12\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=16 cm$, $\\angle BCD=120\\degree$, $\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times16\\times8\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-150\\degree) =\\frac{1}{2}\\times16\\times8\\sqrt3\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times16\\times8\\sqrt3\\times\\frac{1}{2} =32\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle BCD=\\frac{1}{2}\\times16\\times\\overline{CD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times16\\times\\overline{CD}\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times16\\times\\overline{CD}\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =4\\sqrt{3}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\triangle BDC=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt3\\times\\overline{CD}\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt3\\times\\overline{CD}\\times\\frac{1}{2} =$$2\\sqrt{3}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle BCD+\\triangle ADC$이므로 $32\\sqrt{3}=4\\sqrt{3}\\overline{CD}+2\\sqrt{3}\\overline{CD}$ $32\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}\\overline{CD}$ $∴$ $\\overline{CD}=\\frac{16}{3}(cm)$ $∴$ $\\triangle BCD=4\\sqrt{3}\\overline{CD}$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{16}{3}$$=\\frac{64\\sqrt{3}}{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=14\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=20 cm$, $\\angle BCD=120\\degree$, $\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times20\\times14\\sqrt{3}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times20\\times14\\sqrt{3}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times20\\times14\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$70\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\\\$ $\\triangle{BCD}=\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{CD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{CD}\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times20\\times\\overline{CD}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$5\\sqrt{3}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\\\$ $\\triangle{ADC}=\\frac{1}{2}\\times14\\sqrt{3}\\times\\overline{CD}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times14\\sqrt{3}\\times\\overline{CD}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{7\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD} (cm^2)$ $\\triangle ABC=\\triangle BCD+\\triangle ADC$이므로 $70\\sqrt{3}=5\\sqrt{3}\\overline{CD}+\\frac{7\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD}$ $70\\sqrt{3}=\\frac{17\\sqrt{3}}{2}\\overline{CD}$ $\\\\$ $∴$ $\\overline{CD}=\\frac{140}{17} (cm)$ $\\\\$ $∴$ $\\triangle BCD=5\\sqrt{3}\\overline{CD}$$=5\\sqrt{3}\\times\\frac{140}{17}$$=\\frac{700\\sqrt{3}}{17}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $2$인 원 $O$에 내접한다. $\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CA}=3 : 4 : 5$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{3}{3+4+5}=90\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=120\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{5}{3+4+5}=150\\degree$ $ \\therefore \\triangle ABO=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2=2$ $\\triangle BCO=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times sin160\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times \\frac{\\sqrt3}{2}=\\sqrt3$ $\\triangle AOC=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times sin(180\\degree-150\\degree)$ $=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times2 \\times2 \\times \\frac{1}{2}=1$ $ \\therefore \\triangle ABC=\\triangle ABO+\\triangle BCO+\\triangle AOC=2+\\sqrt3+1=3+\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 내접한다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​ : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​ :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA}​ =3 : 4 : 5$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{3}{3+4+5}=90\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=120\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{5}{3+4+5}=150\\degree$ $∴$ $\\triangle{ABO}=\\frac{1}{2}\\times6\\times6=18 (cm^2)$ $\\triangle{BCO}=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=9\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle{AOC}=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=$$9 (cm^2)$ $∴$ $\\triangle{ABC}=\\triangle{ABO}+\\triangle{BCO}+\\triangle{AOC}$ $=18+9\\sqrt{3}+9$ $=$$27+9\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $12 cm$인 원 O에 내접한다. $\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CA}=5 : 3 : 4$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{5}{5+3+4}=150\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{3}{5+3+4}=90\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{4}{5+3+4}=120\\degree$ $∴ $ $\\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times \\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times \\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\frac{1}{2}$ $=$$36$ ($cm^2$) $\\triangle BCO=\\frac{1}{2}\\times12\\times12=72$ ($cm^2)\\\\$ $∴$ $\\triangle AOC=\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times \\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times \\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$36\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle ABC=\\triangle ABO+\\triangle BCO +\\triangle AOC$ $=$$36+72+36\\sqrt{3}$ $=$$108+36\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $6$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $10 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $12$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $12\\times(\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin60\\degree)$ $=$$12\\times(\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$300\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $8$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $5 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $16$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $16\\times(\\frac{1}{2}\\times5\\times5\\times\\sin45\\degree)$ $=$$16\\times(\\frac{1}{2}\\times5\\times5\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=$$100\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $6$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $8 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $12$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $12\\times(\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin60\\degree)$ $=$$12\\times(\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$192\\sqrt{3}$ ($cm^2)\\\\$" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $12$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $5 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $24$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{12}=30\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $24$$\\times$$(\\frac{1}{2}$$\\times$$5$$\\times$$5$$\\times$$\\sin30\\degree)$$=$$24$$\\times$$(\\frac{1}{2}$$\\times$$5$$\\times$$5$$\\times$$\\frac{1}{2})=$$150 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle ABC=60\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=5\\times8\\times\\sin60\\degree$$=5\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=20\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}$$\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times20\\sqrt{3}$$=5\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $8$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $4 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $16$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $16\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin45\\degree)$ $=$$16\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=$$64\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{2}$인 반원 O에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=30\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times30\\degree$$=120\\degree$ ∴$\\triangle AOD=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt2\\times2\\sqrt2\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt2\\times2\\sqrt2\\times\\sin60 =\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt2\\times2\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =2\\sqrt{3}$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=30\\degree$ ∴$\\triangle BCO=\\triangle CDO=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt2\\times2\\sqrt2\\times\\sin30 =\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt2\\times2\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt1}{2} =2$ $\\Box ABCD=\\triangle AOD+\\triangle BCO+\\triangle CDO =2\\sqrt3+2+2 =4+2\\sqrt3$" }, { "question": "다음 그림과 같은 정팔각형의 넓이가 $64\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라. $\\overline{AE}$=$\\square$", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정팔각형은 합동인 $8$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AE}$와 $\\overline{BF}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 $(정팔각형의 넓이)$$=$$8\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin45\\degree)$ $=$$8\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=$$2\\sqrt{2}x^2$ $2\\sqrt{2}x^2=64\\sqrt{2}$ $x^2=32$ 이때 $x>0$이므로 $x=4\\sqrt{2}$ ∴ $\\overline{AE}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times4\\sqrt{2}$$=8\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{3} cm$인 반원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=45\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times45\\degree$$=90\\degree$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}$$=6 (cm^2)$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=45\\degree$ $∴ \\triangle BCO$$=$$\\triangle CDO$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$3\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴\\square ABCD$$=$$\\triangle AOD+ \\triangle BCO+\\triangle CDO$ $=$$6+3\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}$ $=$$6+6\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 정팔각형의 넓이가 $32\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정팔각형은 합동인 $8$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AE}$와 $\\overline{BF}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 $(정팔각형의 넓이)=8\\times(\\frac{1}{2}\\times x \\times x \\times\\sin 45\\degree)=8\\times(\\frac{1}{2}\\times x \\times x \\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=2\\sqrt{2}x^2$ $2\\sqrt{2}x^2=32\\sqrt{2}$ $x^2=16$ 이때 $x>0$이므로 $x=4$ $∴$ $\\overline{AE}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times4$$=8$" }, { "question": "다음 그림과 같은 정팔각형의 넓이가 $72\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정팔각형은 합동인 $8$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AE}$와 $\\overline{BF}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 $=$$2\\sqrt{2}x^2$ $2\\sqrt{2}x^2=72\\sqrt{2}$ $x^2=36$ 이때 $x>0$이므로 $x=6$ $\\therefore$$\\overline{AE}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times6$$=12$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4$인 반원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=45\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times45\\degree$$=90\\degree$ $∴$ $\\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=45\\degree$ $ ∴$ $\\triangle BCO=\\triangle CDO$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin{45}\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=4\\sqrt{2}$ $∴$ $\\square ABCD=\\triangle AOD+\\triangle BCO+\\triangle CDO$ $=8+4\\sqrt{2}+4\\sqrt{2}$ $=8+8\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5\\sqrt{2}cm$인 반원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=45\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times45\\degree$$=90\\degree$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{2}\\times5\\sqrt{2}$$=25 (cm^2)$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=45\\degree$ $=$$\\frac{25\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$ $=$$25+25\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$이고 $\\overline{AC}=8$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $24\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=24\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree=24\\sqrt{3}$ $2\\sqrt{3}\\overline{BD}=24\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BD}=12$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{BC}$ 위의 점일 때, $\\triangle AED$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD$$=\\angle BCD$$=60\\degree$이므로 $\\square ABCD=7\\sqrt{6}\\times6\\sqrt{2}\\times\\sin60\\degree$ $=$$7\\sqrt{6}\\times6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$126 (cm^2)$ $∴$ $\\triangle AED$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times126$$=63 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8 cm$인 반원 O에 내접하는 $\\square$$ABCD$가 있다. $\\angle A=45\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square$$ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD=180\\degree-2\\times45\\degree=90\\degree$ $\\therefore \\triangle AOD=\\frac{1}{2}\\times8\\times8=32 (cm^2)$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=45\\degree$ $\\therefore \\triangle BCO =\\triangle CDO=45\\degree$ $ =\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 8 \\times \\sin 45\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 8 \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=16\\sqrt{2} (cm^2)$ $\\therefore \\square ABCD=\\triangle AOD+\\triangle BCO+\\triangle CDO$ $=32+16 \\sqrt{2}+16 \\sqrt{2}$ $=32+32\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 정육각형의 넓이가 $9\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정육각형은 합동인 $6$ 개의 정삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AD}$와 $\\overline{BE}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 $(정육각형의 넓이)$$=$$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\sin60\\degree)$ $=$$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2=9\\sqrt{3}$ $x^2=6$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{AD}$$=2\\overline{AO}$$=2\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $150\\degree$이고 $\\overline{AC}=10$인 $\\square$$ABCD$의 넓이가 $32$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)=32$이므로 $\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{BD}\\times\\sin30\\degree=32$ $\\frac{5}{2}\\overline{BD}=32$ $∴ \\overline{BD}=\\frac{64}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=3 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{3}{4}=135\\degree$이므로 $\\square ABCD$ $=$$6\\times10\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=$$6\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=$$6\\times10\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=$$30\\sqrt{2}$ ∴ $\\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times 30\\sqrt{2}$$=\\frac{15\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$이고 $\\overline{AC}=6$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $15\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=15\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree=15\\sqrt{3}$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\overline{BD}=15\\sqrt{3}$ $\\therefore$ $\\overline{BD}=10$" }, { "question": "다음 그림과 같은 정육각형의 넓이가 $24\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정육각형은 합동인 $6$ 개의 정삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AD}$와 $\\overline{BE}$의 교점을 O, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 $(정육각형의 넓이)=6 x (\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times sin60\\degree)$ $=6\\times (\\frac{1}{2} \\times x \\times x \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2=24\\sqrt{3}$ $x^2=16$ 이때 $x>0$이므로 $x=4$ $∴ \\overline{AD}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times4$$=8$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\angle ABC=30\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=10\\times12\\times\\sin30\\degree$$=10\\times12\\times\\frac{1}{2}$$=60 (cm^2)$ $∴ \\triangle BMD=\\frac{1}{4}\\square ABCD=\\frac{1}{4}\\times60=15 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 E가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD$$=\\angle BCD$$=120\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$6\\sqrt{3}\\times4\\times sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$6\\sqrt{3}\\times4\\times sin60\\degree$ $=$$6\\sqrt{3}\\times4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$36 (cm^2)$ $∴ \\triangle ABE$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times36$$=18 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $8$인 원 $O$에 내접한다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA} =3 : 5 : 4$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{3}{3+5+4}=90\\degree$ $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{5}{3+5+4}=150\\degree$ $\\angle AOC=360\\degree\\times\\frac{4}{3+5+4}=120\\degree$ $∴$ $\\triangle{ABO}=\\frac{1}{2}\\times8\\times8=32$ $\\triangle{BCO}=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\frac{1}{2}$ $=16$ $\\triangle{AOC}=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$16\\sqrt{3}$ $∴$ $\\triangle{ABC}=\\triangle{ABO}+\\triangle{BCO}+\\triangle{AOC}$ $=32+16+16\\sqrt{3}$ $=$$48+16\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 반원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=30\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD=180\\degree-2\\times30\\degree=120\\degree$ $∴ \\triangle{AOD}=\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times sin 60\\degree =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} =9\\sqrt{3}$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=30\\degree$ $∴ \\triangle{BCO}=\\triangle{CDO}=\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times sin30\\degree =\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times \\frac{1}{2} =9$ $\\square{ABCD}=\\triangle{AOD}+\\triangle{BCO}+\\triangle{CDO} =9\\sqrt{3}+9+9 =18+9\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=1 : 2$이고 $\\overline{AD}=10$, $\\overline{CD}=12$, $\\angle D=60\\degree$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD =$$ 10 \\times 12 \\times sin60\\degree$$ =10\\times12 \\times$$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$60\\sqrt{3}$ $\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times60\\sqrt{3}$$=30\\sqrt{3}$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=1 : 2$ $∴\\triangle BQP=\\frac{1}{3}\\triangle BCP=\\frac{1}{3}\\times30\\sqrt{3}=10\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=30\\degree$이므로 $\\square ABCD =$$6\\sqrt{2}\\times 2 \\sqrt{2} \\times$ $\\sin 30\\degree=6\\sqrt{2}\\times 2 \\sqrt{2} \\times \\frac{1}{2}=12 $ $\\therefore \\triangle ABE=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times12=6$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=5 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{5}{6}=150\\degree$이므로 $\\Box ABCD$ = $6\\times8\\times sin(180\\degree - 150\\degree)$ = $6\\times8\\times sin30\\degree$ = $6\\times8\\times\\frac{1}{2}$ $=$$24$ $∴$ $\\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\Box ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times24$$=6$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=45\\degree$이므로 $\\square{ABCD}=5\\sqrt{6}\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=5\\sqrt{6}\\times10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$50\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle ABE=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times50\\sqrt{3}=25\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=10$, $\\overline{AD}=14$, $\\angle A=150\\degree$일 때, $\\triangle CPQ$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square{ABCD}=10\\times14\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=10\\times14\\times\\sin30\\degree$ $=10\\times14\\times\\frac{1}{2}$ $=$$70$ $\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times70$$=35$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$ $∴ \\triangle CPQ=\\frac{1}{3}\\triangle BCP=\\frac{1}{3}\\times35=\\frac{35}{3}$" }, { "question": "폭이 $7 cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=14 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{7}{14}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{7}{\\sin60\\degree}$$=7\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=7\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{14\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴$$\\triangle ABC$$=$$\\frac{1}{2}\\times14\\times\\frac{14\\sqrt3}{3}\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times14\\times\\frac{14\\sqrt3}{3}\\times\\frac{1}{2}$$ =$$\\frac{49\\sqrt{3}}{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD$$=\\angle BCD$$=60\\degree$이므로 $\\Box ABCD$$=$$9\\times6\\times sin60\\degree$ $=$$9\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$27\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle ABE$ $=\\frac{1}{2} \\Box ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times27\\sqrt{3}$$=\\frac{27\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 점 $O$는 두 대각선의 교점이다. $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$, $\\angle ADC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=45\\degree$이므로 $\\square{ABCD}=8\\times6\\times\\sin45\\degree$ $=8\\times6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$24\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴ \\triangle ABO$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times24\\sqrt{2}$$=6\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=8cm$, $\\overline{BC}=12cm$, $\\angle ABC=45\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=8\\times12\\times\\sin45\\degree$$=8\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=48\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴ \\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times48\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{2}{3}=120\\degree$이므로 $\\square ABCD=7\\times12\\times sin(180\\degree-120\\degree) =7\\times12\\times sin60\\degree =7\\times12\\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} =42\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle AMC=\\frac{1}{4}\\square ABCD=\\frac{1}{4}\\times42\\sqrt{3}=\\frac{21\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $E$가 $\\overline{BC}$ 위의 점일 때, $\\triangle AED$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=\\angle BCD=135\\degree$이므로 $\\square ABCD = 4\\times5\\sqrt{2}\\times \\sin(180\\degree-135\\degree) =4\\times5\\sqrt{2}\\times \\sin45\\degree =4\\times5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2} =20 (cm^2)$ $∴ \\triangle AED=\\frac{1}{2}\\square ABCD=\\frac{1}{2}\\times20=10 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2}$, $\\overline{AD}=8$, $\\angle A=120\\degree$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square \\mathrm{ABCD}=6 \\sqrt{2} \\times 8 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-120^{\\circ}\\right) $ $ =6 \\sqrt{2} \\times 8 \\times \\sin 60^{\\circ} $ $ =6 \\sqrt{2} \\times 8 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $ =24 \\sqrt{6} $ $ \\triangle \\mathrm{BCP}=\\frac{1}{2} \\square \\mathrm{ABCD}=\\frac{1}{2} \\times 24 \\sqrt{6}=12 \\sqrt{6} $ $ \\triangle \\mathrm{BQP}: \\triangle \\mathrm{CPQ}=\\overline{\\mathrm{BQ}}: \\overline{\\mathrm{QC}}=2: 1 $ $\\therefore \\triangle \\mathrm{BQP}=\\frac{2}{3} \\triangle \\mathrm{BCP}=\\frac{2}{3} \\times 12 \\sqrt{6}=8 \\sqrt{6} $" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$, $\\angle ABC=45\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=9\\times6\\times\\sin45\\degree$$=9\\times6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=27\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴$ $\\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times27\\sqrt{2}$$=\\frac{27\\sqrt{2}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 점 $O$는 두 대각선의 교점이다. $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle ADC=120\\degree$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=120\\degree$이므로 $\\square$$ABCD$ = $6\\times8 \\times sin (180\\degree -120\\degree) =6\\times8 \\times sin 60\\degree = 6\\times8 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} =$$24\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ \\triangle AOD$$=$$\\frac{1}{4} $$\\square$$ABCD$ =$\\frac{1}{4}\\times24\\sqrt{3}$$=$$6\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\square{ABCD}$에서 $\\overline{AB}=10cm$, $\\overline{BC}=12cm$, $\\angle{B}=30\\degree$이다. $\\overline{AE}//\\overline{CD}$일 때, $\\square{ABED}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AE} // \\overline{CD}$이므로 $\\triangle AED$$=\\triangle AEC$ $\\square{ABED}=\\triangle{ABE}+\\triangle{AED}$ $=\\triangle{ABE}+\\triangle{AEC}$ $=\\triangle{ABC}$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times12\\times\\frac{1}{2}$ $=$$30$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=1 : 2$이고 $\\overline{AD}=12$, $\\overline{CD}=9\\sqrt{2}$, $\\angle D=45\\degree$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=12\\times9\\sqrt{2}\\times \\sin45\\degree$ $=$$12\\times9\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$108$ $\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times108$$=54$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=1 : 2$ $∴ \\triangle BQP=\\frac{1}{3}\\triangle BCP=\\frac{1}{3}\\times54=18$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle ABC=30\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=5\\times8\\times\\sin30\\degree$$=5\\times8\\times\\frac{1}{2}$$=20 (cm^2)$ $∴ \\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times20$$=5 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $12$ 장을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $3 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $24$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{12}=30\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 \\[\\begin{array}{l} 24 \\times\\left(\\frac{1}{2} \\times 3 \\times 3 \\times \\sin 30^{\\circ}\\right) \\\\ =24 \\times\\left(\\frac{1}{2} \\times 3 \\times 3 \\times \\frac{1}{2}\\right) \\\\ =54\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) \\end{array}\\]" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $20\\sqrt{2}$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=3 : 2$일 때, $\\square$$ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=3 : 2$이므로 $\\overline{AB}=3a$($a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=2a$이다. $3a\\times2a\\times\\sin45\\degree=20\\sqrt{2}$이므로 $3\\sqrt{2}a^2=20\\sqrt{2}$ $a^2=\\frac{20}{3}$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{\\frac{20}{3}}=\\frac{2\\sqrt{15}}{3}$ $∴(\\square ABCD의 둘레의 길이)=2(3a+2a)=10a$ $=$$10\\times\\frac{2\\sqrt{15}}{3}$$=$$\\frac{20\\sqrt{15}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=5 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{5}{6}=150\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$12\\times15\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$12\\times15\\times\\sin30\\degree$ $=$$12\\times15\\times\\frac{1}{2}$ $=$$90$ $∴ \\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times90$$=\\frac{45}{2}$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\angle ABC=45\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=9\\times12\\times\\sin45\\degree$$=9\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=54\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴ \\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times54\\sqrt{2}$$=\\frac{27\\sqrt{2}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=15 cm$, $\\angle ABC=30\\degree$이고 $\\overline{CM}=\\overline{DM}$일 때, $\\triangle BMD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$$=12\\times15\\times\\sin30\\degree$$=12\\times15\\times\\frac{1}{2}$$=90 (cm^2)$ $∴$ $\\triangle BMD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times90$$=\\frac{45}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 점 $O$는 두 대각선의 교점이다. $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle ADC=135\\degree$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=135\\degree$이므로 $\\square{ABCD}=12\\times8\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=12\\times8\\times\\sin45\\degree$ $=12\\times8\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$48\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴ \\triangle ABO$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times48\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 E가 $\\overline{CD}$ 위의 점일 때, $\\triangle ABE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD$$=\\angle BCD$$=60\\degree$이므로 $\\square ABCD = 12 \\times 8 \\times sin60\\degree$ $=12 \\times 8 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$48\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ \\triangle ABE$$=\\frac{1}{2} \\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times48\\sqrt{3}$$=24\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=12$, $\\overline{AD}=16$, $\\angle A=150\\degree$일 때, $\\triangle BQP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$ =$12\\times 16 \\times \\sin(180\\degree-150\\degree) $=$12\\times 16 \\times \\sin30\\degree$ =$12\\times 16 \\times \\frac{1}{2}$= $96$ $\\triangle BCP$=$\\frac{1}{2}$$\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times96$$=48$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=2 : 1$ $∴$ $\\triangle BQP=\\frac{2}{3}\\triangle BCP=\\frac{2}{3}\\times48=32$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 M은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=5 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{5}{6}=150\\degree$이므로 $\\Box ABCD$ $= 9 \\times 12 \\times sin(180 \\degree - 150 \\degree$) $= 9 \\times 12 \\times sin30 \\degree$ $= 9 \\times 12 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$54$ $∴$ $\\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\Box ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times54$$=\\frac{27}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\overline{BQ}: \\overline{QC}=1:2$이고 $\\overline{AD}=10, \\overline{CD}=8, \\angle D=60\\degree$일 때, $\\triangle CPQ$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD=10\\times8\\times sin60\\degree$ $=10\\times8\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$$=$$40\\sqrt{3}$ $\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times40\\sqrt{3}$$=20\\sqrt{3}$ $\\triangle BQP : \\triangle CPQ$$=\\overline{BQ} : \\overline{QC}=1 : 2$ $∴$ $\\triangle CPQ=\\frac{2}{3}\\triangle BCP=\\frac{2}{3}\\times20\\sqrt{3}=\\frac{40\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle{A}=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$의 변 $AC$ 위의 점 $D$가 있다. $\\overline{AB}=2$, $\\overline{BD}=\\sqrt5$, $\\overline{CD}=2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)$\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{(\\sqrt{5})^2-2^2}=\\sqrt{1}=1$ (2)$\\overline{AC}$$=1+2$$=3$이므로 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{2^2+3^2}$$=\\sqrt{13}$ (3)$\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{3}{\\sqrt{13}}$$=\\frac{3\\sqrt{13}}{13}$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 점 $O$는 두 대각선의 교점이다. $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\angle ADC=60\\degree$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=60\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=9\\times12\\times \\sin60\\degree$ $=$$9\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$54\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ \\triangle ABO$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times54\\sqrt{3}$$=\\frac{27\\sqrt{3}}{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 평행사변형 $ABCD$에서 점 $O$는 두 대각선의 교점이다. $\\overline{AB}=15 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle ADC=60\\degree$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=\\angle ADC$$=60\\degree$이므로 $\\square$$ABCD = 15\\times8\\times sin60\\degree$ $=$$15\\times8\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$60\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times60\\sqrt{3}$$=15\\sqrt{3}$ $(cm^2)\\\\$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $12\\sqrt{3}$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 2$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 2$이므로 $\\overline{AB}=a(a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=2a$이다. $a\\times2a\\times\\sin60\\degree=12\\sqrt{3}$이므로 $\\sqrt{3}a^2=12\\sqrt{3}$ $a^2=12$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$ $∴ (\\square ABCD의 둘레의 길이)$$=2(a+2a)$$=6a$$=6\\times2\\sqrt{3}$$=12\\sqrt{3}$" }, { "question": "이차방정식 $x^2-2x+1=0$의 한 근을 $\\tan A$라 할 때, $\\frac{\\cos2A}{\\tan(A+15\\degree)}+\\sin2A$의 값을 구하여라. (단, $0\\degree0$)라 하면 $\\overline{BC}=2a$이다. $a\\times2a\\times\\sin60\\degree=36\\sqrt{3}$이므로 $\\sqrt{3}a^2=36\\sqrt{3}$ $a^2=36$ 이때 $a>0$이므로 $a=6$ $∴ (\\square ABCD$$의 둘레의 길이)$$=2(a+2a)$$=6a$$=6\\times6$$=36$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $30$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", "answer": "$5\\times6\\sqrt{2}\\times\\sin(180\\degree-B)$$=30$이므로 $30\\sqrt{2}\\sin(180\\degree-B)=30$ $∴ \\sin(180\\degree-B)=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $180\\degree-B=45\\degree$ $∴ \\angle B=135\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $150\\degree$이고 $\\overline{AC}=5$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $12$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)=12$이므로 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BD}\\times\\sin30\\degree=12$ $\\frac{5}{4}\\overline{BD}=12$ $∴ \\overline{BD}=\\frac{48}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=3 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{3}{4}=135\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$10\\times12\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=$$10\\times12\\times\\sin45\\degree$ $=$$10\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$60\\sqrt{2}$ $∴$ $\\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times60\\sqrt{2}$$=15\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $4\\overline{AB}^2=5\\overline{BC}^2$일 때, $\\tan C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}>0$, $\\overline{BC}>0$이므로 $4\\overline{AB}^2=5\\overline{BC}^2$에서 $2\\overline{AB}=\\sqrt{5}\\overline{BC}$ $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{5} : 2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{5}k$, $\\overline{BC}=2k(k>0$)라 하면 $∴$ $\\tan C$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{\\sqrt{5}k}{2k}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $18$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 2$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 2$이므로 $\\overline{AB}=a(a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=2a$이다. $a\\times2a\\times\\sin30\\degree=18$이므로 $a^2=18$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $∴$ $(\\square ABCD의 둘레의 길이)$$=2(a+2a)$$=6a$$=6\\times3\\sqrt{2}$$=18\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 M은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=3 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{3}{4}=135\\degree$이므로 $=$$120$ $\\square ABCD$ $=10\\times12\\sqrt{2}\\times sin(180\\degree -135\\degree)$ $=10\\times12\\sqrt{2}\\times sin45\\degree$ $=10\\times12\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=120$ $∴$ $\\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times120$$=30$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $135\\degree$이고 $\\overline{AC}=8$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $12\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=12\\sqrt{2}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin45\\degree=12\\sqrt{2}$ $2\\sqrt{2}\\overline{BD}=12\\sqrt{2}$ $∴$ $\\overline{BD}=6$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$이고 $\\overline{AC}=5$인 $\\square{ABCD}$의 넓이가 $15\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=15\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree=15\\sqrt{3}$ $\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\overline{BD}=15\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BD}=12$" }, { "question": "$\\triangle ABC$에서 세 내각의 크기의 비는 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle A<\\angle B<\\angle C$일 때, $\\sin(A-15\\degree)\\times\\cos B\\times\\tan(C-15\\degree)$의 값을 구하여라.", "answer": "세 내각의 크기의 비가 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle A<\\angle B<\\angle C$이므로 $\\angle A=180\\degree\\times\\frac{3}{3+4+5}=45\\degree$ $\\angle B=180\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=60\\degree$ $\\angle C=180\\degree\\times\\frac{5}{3+4+5}=75\\degree$ $ \\therefore\\sin(A-15\\degree)=\\sin(45\\degree-15\\degree)=\\sin30\\degree=\\frac{1}{2}$ $\\cos B=\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$ $\\tan(C-15\\degree)=\\tan(75\\degree-15\\degree)=\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$ $ \\therefore \\sin(A-15\\degree)\\times\\cos B\\times\\tan(C-15\\degree)$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{3}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{4}$" }, { "question": "$3\\tan A-4=0$일 때, $25\\sin A\\times\\cos A$의 값을 구하여라. (단, $0\\degree0$, $\\overline{AC}>0$이므로 $5\\overline{AB}^2=3\\overline{AC}^2$에서 $\\sqrt{5}\\overline{AB}=\\sqrt{3}\\overline{AC}$ $\\overline{AB} : \\overline{AC}=\\sqrt{3} : \\sqrt{5}$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}k$, $\\overline{AC}=\\sqrt{5}k(k>0$)라 하면 $∴ \\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{3}k}{\\sqrt{5}k}$$=\\frac{\\sqrt{15}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $20$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : 3$일 때, $\\square$$ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : 3$이므로 $\\overline{AB}=2a$($a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=3a$이다. $2a\\times3a\\times\\sin30\\degree=20$이므로 $3a^2=20$ $a^2=\\frac{20}{3}$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{\\frac{20}{3}}=\\frac{2\\sqrt{15}}{3}$ $∴(□ABCD의 둘레의 길이)$ $=2(2a+3a)=10a$ $=10\\times\\frac{2\\sqrt{15}}{3}$$=$$\\frac{20\\sqrt{15}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $7\\overline{AC}^2=9\\overline{BC}^2$일 때, $\\sin A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}>0$, $\\overline{BC}>0$이므로 $7\\overline{AC}^2=9\\overline{BC}^2$에서 $\\sqrt{7}\\overline{AC}=3\\overline{BC}$ $\\overline{AC} : \\overline{BC}=3 : \\sqrt{7}$이므로 $\\overline{AC}=3k$, $\\overline{BC}=\\sqrt{7}k(k>0$)라 하면 $∴ \\sin A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{7}k}{3k}$$=\\frac{\\sqrt{7}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $60\\sqrt{3}$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=3 : 2$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=3 : 2$이므로 $\\overline{AB}=3a(a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=2a$이다. $3a\\times2a\\times\\sin60\\degree=60\\sqrt{3}$이므로 $3\\sqrt{3}a^2=60\\sqrt{3}$ $a^2=20$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}$ $∴ (\\square ABCD의 둘레의 길이)$$=2(3a+2a)$$=10a$$=10\\times2\\sqrt{5}$$=20\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $5\\overline{AC}^2=6\\overline{BC}^2$일 때, $\\cos C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AC}>0$, $\\overline{BC}>0$이므로 $5\\overline{AC}^2=6\\overline{BC}^2$에서 $\\sqrt{5}\\overline{AC}=\\sqrt{6}\\overline{BC}$ $\\overline{AC} : \\overline{BC}=\\sqrt{6} : \\sqrt{5}$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{6}k$, $\\overline{BC}=\\sqrt{5}k(k>0$)라 하면 $∴ \\cos C$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{5}k}{\\sqrt{6}k}$$=\\frac{\\sqrt{30}}{6}$" }, { "question": "$5\\sin A-4=0$일 때, $20\\cos A\\times\\tan A$의 값을 구하여라. (단, $0\\degree 각도 사인(sin) 코사인(cos)탄젠트(tan) $39\\degree$ $0.6293$ $0.7771$ $0.8098$ $40\\degree$ $0.6428$ $0.7660$ $0.8391$ $41\\degree$ $0.6561$ $0.7547$ $0.8693$ ", "answer": "$\\angle AOB=\\angle x$라 하면 $\\triangle AOB$에서 $\\overline{AB}=\\sin x=0.6561$ 주어진 삼각비의 표에서 $\\sin41\\degree=0.6561$이므로 $\\angle x=41\\degree$ $\\triangle COD$에서 $\\overline{CD}$$=\\tan41\\degree$$=0.8693$ $\\triangle AOB$에서 $\\overline{OB}$$=\\cos41\\degree$$=0.7547$이므로 $\\overline{BD}$$=\\overline{OD}-\\overline{OB}$$=1-0.7547$$=0.2453$ ∴ $\\overline{CD}-\\overline{BD}$$=0.8693-0.2453$$=0.624$" }, { "question": "$A=\\cos30\\degree\\times\\tan60\\degree$, $B=\\sin30\\degree+\\tan45\\degree$일 때, $(A+B)^2-(A-B)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$A$$=\\cos30\\degree\\times\\tan60\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times\\sqrt{3}$$=\\frac{3}{2}$ $B$$=\\sin30\\degree+\\tan45\\degree$$=\\frac{1}{2}+1$$=\\frac{3}{2}$ $\\therefore (A+B)^2-(A-B)^2=(A^2+2AB+B^2)-(A^2-2AB+B^2)=4AB$ $=4 \\times\\frac{3}{2}\\times\\frac{3}{2}$ $=$$9$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $8$인 정육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$라 할 때, $\\sqrt3 cos x +2 \\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}=\\sqrt{8^2+8^2}=\\sqrt{128}=8\\sqrt{2}$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\sqrt{8^2+(8\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{192}=8\\sqrt{3}$ $\\cos x=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}=\\frac{8\\sqrt{2}}{8\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\tan x=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}=\\frac{8}{8\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\sqrt{3}cos x+2tan x=\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{6}}{3} +2\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\sqrt{2}+\\sqrt{2}=2\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $y$절편이 $3$이고 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기가 $a$인 직선이 있다. $\\cos a=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$일 때, 이 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하자. $\\cos45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $a=45\\degree$ $∴ m=\\tan45\\degree=1$ $y$절편이 $3$이므로 $n=3$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x+3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $y$절편이 $4$이고 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기가 $a$인 직선이 있다. $\\sin a=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$일 때, 이 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하자. $\\sin45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $a=45\\degree$ $∴ m=\\tan45\\degree=1$ $y$절편이 $4$이므로 $n=4$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x+4$" }, { "question": "$X=\\tan45\\degree+\\sin30\\degree$, $Y=\\sin45\\degree+\\cos45\\degree$일 때, $(X+Y)^2-(X-Y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$X$$=\\tan45\\degree+\\sin30\\degree$$=1+\\frac{1}{2}$$=\\frac{3}{2}$ $Y$$=\\sin45\\degree+\\cos45\\degree$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{2}$ $∴(X+Y)^2-(X-Y)^2=(X^2+2XY+Y^2)-(2^2-2XY+Y^2)=4XY $ $= 4 \\times \\frac{3}{2} $$ \\times \\sqrt{2}=6\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle=\\frac{1}{2}\\times4\\times8\\times sin 60\\degree=\\frac{1}{2}\\times4\\times8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=8\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AC}=4\\sqrt{3} cm$ $\\angle ACB$$=180\\degree-(90\\degree+60\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\angle ACD$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$ $ \\triangle ACD = \\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{3}\\times sin 60\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{3}\\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} =12\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\therefore \\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=8\\sqrt{3}+12\\sqrt{3}$$=20\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $6$인 정육면체에서 $\\angle{BHF}$=$\\angle{x}$ 라 할때, $\\sqrt{3}$$cosx$-$tanx$ 의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{6^2+6^2}$$=\\sqrt{72}$$=6\\sqrt{2}$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{6^2+(6\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{108}$$=6\\sqrt{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{6\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{6}{6\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\therefore \\sqrt{3} \\cos x - \\tan x = \\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{6}}{3} - \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\sqrt{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" }, { "question": "산의 높이를 구하기 위해 다음 그림과 같이 산 아래쪽의 수평면 위에 거리가 $680 m$가 되도록 두 지점 $C, D$를 잡고 필요한 각의 크기를 재었다. 이때 산의 높이인 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=680\\sin45\\degree$$=680\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=340\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=340\\sqrt{2}\\tan60\\degree$$=340\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}$$=340\\sqrt{6} (m)$" }, { "question": "$0\\degree0$ $\\tan A-\\tan45\\degree=\\tan A-1<0$ $∴ \\sqrt{(1-\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\tan A-\\tan45\\degree)^2}$ $=\\sqrt{(1-\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\tan A-1)^2}$ $=(1-\\tan A)-\\lbrace-(\\tan A-1)\\rbrace$ $=1-\\tan A+\\tan A-1$ $=0$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=70\\degree$이고 $\\overline{BC}$$=$$28$$cm$인 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $tan20\\degree=0.4$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}$$=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=20\\degree$이므로 $\\overline{CH}$$=h\\tan20\\degree$$=0.4h$ $(cm)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+0.4h=28$ $1.4h=28$ $∴ h$$=20$ 따라서 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times28\\times20$$=280 (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 나무의 밑부분과 언덕이 맞닿은 지점을 $A$라 하자. $A$지점에서의 경사가 $30\\degree$인 언덕을 $8$m 올라간 $B$지점에서 나무 꼭대기를 올려본 각의 크니가 $45\\degree$일 때, 나무의 높이인 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADB$에서 $\\angle BAD$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\overline{AD}=8\\cos60\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (m)$ $\\overline{BD}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CD}=\\overline{BD}=4\\sqrt{3} m$ $∴$ $\\overline{AC}$$=\\overline{AD}+\\overline{CD}$$=4+4\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "산의 높이를 구하기 위해 다음 그림과 같이 산 아래쪽의 수평면 위에 거리가 $700 m$가 되도록 두 지점 C, D를 잡고 필요한 각의 크기를 재었다. 이때 산의 높이인 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=700\\sin45\\degree$$=700\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=350\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=350\\sqrt{2}\\tan60\\degree$$=350\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}$$=350\\sqrt{6} (m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $5$인 정육면체에서 $\\angle BHF=\\angle x$ 할 때, $\\sqrt{3}$ $cosx\\times tanx$의 갑을 구하여라", "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{5^2+5^2}$$=\\sqrt{50}$$=5\\sqrt{2}$ $\\triangle BFH$는 $\\angle BFH=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{5^2+(5\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{75}$$=5\\sqrt{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5\\sqrt{2}}{5\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BF}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴\\sqrt{3} \\cos x \\times \\tan x=\\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{6}}{3} \\times \\frac{\\sqrt{2}}{2} =1$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle C= 30\\degree$이고 $\\overline{AB}=2\\sqrt{2} cm$, $\\overline{AC}=4cm$ 일때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=4\\sin30\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2 (cm)$ $\\overline{CH}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{(2\\sqrt{2})^2-2^2}=\\sqrt{4}=2 (cm)$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=2+2\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $y$절편이 $2$이고 $x$축의 양의 방향과 이루는 예각의 크기가 $a$인 직선이 있다. $\\cos a=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$일 때, 이 직선의 방정식을 구하여라.", "answer": "구하는 직선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하자. $\\cos30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $a=30\\degree$ $∴m=\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $y$절편이 $2$이므로 $n=2$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=\\frac{\\sqrt{3}}{3}x+2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $5$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 N이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\cos x\\div\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD$$\\backsim$$\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{5^2+5^2}$$=5\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(5\\sqrt{2})^2+5^2}$$=5\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5\\sqrt{2}}{5\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴$ $\\cos x\\div\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$이고 $\\overline{AC}=8$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $20\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=20\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree=20\\sqrt{3}$ $2\\sqrt{3}~\\overline{BD}=20\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BD}=10$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 A 나무의 높이가 $24 m$이고 $\\angle BDH = 68\\degree$, $\\angle CDH = 24\\degree$ 일 때, 두 나무 A, B의 높이의 차이를 구하려고 한다. (단, $tan68\\degree = \\frac{12}{5}, tan24\\degree = \\frac{2}{5}$로 계산한다. (1) $\\overline{DH}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{CH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=24$ $m$이므로 $\\overline{DH}=\\frac{24}{\\tan68\\degree}=24\\div\\frac{12}{5}=24\\times\\frac{5}{12}=10$ $(m)$ (2) $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=10\\tan 24 \\degree=10\\times \\frac{2}{5} = 4$ $(m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 높이 $\\overline{AO}$가 $8\\sqrt{3}$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=60\\degree$이다. 이 원뿔의 옆면의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AB}=\\frac{8\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=8\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=8\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=16$ $\\overline{BO}=\\frac{8\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{8\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=8$ 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 $2\\pi\\times8=16\\pi$이므로 원뿔의 옆면의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times16\\times16\\pi=128\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$인 사분원에서 $\\overline{AB}=0.8192$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}-\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인(sin) 코사인(cos) 탄젠트(tan)
$53\\degree$ $0.7986$ $0.6018$ $1.3270$
$54\\degree$ $0.8090$ $0.5878$ $1.3764$
$55\\degree$ $0.8192$ $0.5736$ $1.4281$
$56\\degree$ $0.8290$ $0.5592$ $1.4826$
$57\\degree$ $0.8387$ $0.5446$ $1.5399$
", "answer": "$\\angle AOB=\\angle x$라 하면 $\\triangle AOB$에서 $\\overline{AB}=\\sin x=0.8192$ 주어진 삼각비의 표에서 $\\sin55\\degree=0.8192$이므로 $\\angle x=55\\degree$ $\\triangle COD$에서 $\\overline{CD}$$=\\tan55\\degree$$=1.4281$ $\\triangle AOB$에서 $\\overline{OB}$$=\\cos55\\degree$$=0.5736$이므로 $\\overline{BD}$$=\\overline{OD}-\\overline{OB}$$=1-0.5736$$=0.4264$ $∴$ $\\overline{CD}-\\overline{BD}$$=1.4281-0.4264$$=1.0017$" }, { "question": "오른쪽 그림의 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BD}$이고 $\\angle DAH=\\angle x $, $\\overline{AB}=3$, $\\overline{BC}=\\sqrt{7}$일 때, $\\sin x \\times \\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABD$와 $\\triangle HAD$에서 $\\angle ADB$는 공통, $\\angle BAD=\\angle AHD=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABD\\sim\\triangle HAD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABD$$=\\angle HAD$$=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{3^2+(\\sqrt{7})^2}=\\sqrt{16}=4$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{3}{4}$ $∴ \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}\\times\\frac{3}{4}$$=\\frac{3\\sqrt{7}}{16}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=10cm$이고 $\\angle BAC=15\\degree$, $\\angle B=45\\degree$일 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACH=15\\degree+45\\degree=60\\degree$이고 $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH$$=180\\degree-(60\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $(cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=10$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=10$ $∴$ $h$$=\\frac{30}{3-\\sqrt{3}}$$=5(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 높이 $\\overline{AO}$가 $6\\sqrt{3}$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle ABO=60\\degree$이다. 이 원뿔의 옆면의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AB}=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=6\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=12$ $\\overline{BO}=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=6$ 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 $2\\pi\\times6=12\\pi$이므로 원뿔의 옆면의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\pi=72\\pi$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 나무의 밑부분과 언덕이 맞닿은 지점을 $A$라하자. $A지점$에서의 $30\\degree$인 언덕을 $10m$올라간 $B지점$에서 나무 꼭대기를 올려본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 나무 높이인 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADB$에서 $\\angle BAD$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\overline{AD}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (m)$ $\\overline{BD}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CD}=\\overline{BD}=5\\sqrt{3} m$ $∴ $ $\\overline{AC}$$=\\overline{AD}+\\overline{CD}$$=5+5\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "$X=\\sin60\\degree\\times\\tan30\\degree$, $Y=\\tan60\\degree-\\cos30\\degree$일 때, $(X+Y)^2-(X-Y)^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$X$$=\\sin60\\degree\\times\\tan30\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{1}{2}$ $Y$$=\\tan60\\degree-\\cos30\\degree$$=\\sqrt{3}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ ∴ $(X+Y)^2-(X-Y)^2=(X^2+2XY+Y^2)-(X^2-2XY+Y^2)$ $=4XY$ $=4\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=24$, $\\overline{AC}=16\\sqrt{6}$이고 $\\angle BAD=60\\degree, $$\\angle CAD=45\\degree$일 때, $\\overline{BD} : \\overline{DC}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같으므로 $\\triangle ABD : \\triangle ADC=\\overline{BD} : \\overline{DC}$ $\\overline{AD}=a$라 하면 $\\triangle ABD=\\frac{1}{2}\\times24\\times a \\times\\sin 60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times24\\times a \\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$6\\sqrt{3}a$ $\\triangle ADC=\\frac{1}{2}\\times a\\times16\\sqrt{6} \\times\\sin 45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times a\\times16\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$8\\sqrt{3}a$ $∴$ $\\overline{BD} : \\overline{DC}=6\\sqrt{3}a : 8\\sqrt{3}a=3 : 4$" }, { "question": "오른쪽그림과 같이 나무의 밑부분과 언덕이 맟닿은 지점을 $A$라하자, $A$ 지점에서의 경사가 $30\\degree$인 언덕을 $12$$m$ 올라간 $B$ 지점에서 나무 꼭대기를 올려본 각 의 크기가 $45\\degree$ 일때, 나무의 높이인 $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라", "answer": "$\\triangle ADB$에서 $\\angle BAD$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\overline{AD}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (m)$ $\\overline{BD}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CD}=\\overline{BD}=6\\sqrt{3} m$ $∴ \\overline{AC}$$=\\overline{AD}+\\overline{CD}$$=6+6\\sqrt{3} (m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 A 철탑의 높이가 $60m$ 이고 $\\angle BDH=37\\degree$, $\\angle CDH=28\\degree$일 때, 두 철탑 A, B의 높이의 차이를 구하려고 한다. (단, $\\tan37\\degree=\\frac{3}{4}, \\tan28\\degree=\\frac{1}{2}$로 계산한다.) (1) $\\overline{DH}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{CH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "⑵$\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=80\\tan28\\degree=80\\times\\frac{1}{2}=40 (m)$ ⑴$\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=60 m$이므로 $\\overline{DH}=\\frac{60}{\\tan37\\degree}=60\\div\\frac{3}{4}=60\\times\\frac{4}{3}=80 (m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $A$나무의 높이가 $11$m이고 $\\angle BDH=48\\degree, \\angle CDH=32\\degree$일 때, 두 나무 $A ,B$의 높이의 차이를 구하려고 한다. (단, $\\tan48\\degree=\\frac{11}{10}, \\tan32\\degree=\\frac{3}{5}$으로 계산한다. ) (1) $\\overline{DH}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{CH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=11 m$이므로 $\\overline{DH}=\\frac{11}{\\tan48\\degree}=11\\div\\frac{11}{10}=11\\times\\frac{10}{11}=10 (m)$ (2) $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=10\\tan32\\degree=10\\times\\frac{3}{5}=6 (m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=60\\degree$이고 $\\overline{AB}=2\\sqrt6cm$, $\\overline{AC}=3\\sqrt5cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점$A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=2\\sqrt{6}\\sin60\\degree$$=2\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BH}=2\\sqrt{6}\\cos60\\degree$$=2\\sqrt{6}\\times\\frac{1}{2}$$=\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{(3\\sqrt{5})^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{27}=3\\sqrt{3} (cm)$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\sqrt{6}+3\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "산의 높이를 구하기 위해 다음 그림과 같이 산 아래쪽의 수평면 위에 거리가 $520 m$가 되도록 두 지점 $C, D$를 잡고 필요한 각의 크기를 재었다. 이때 산의 높이인 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=520\\sin45\\degree$$=520\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=260\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=260\\sqrt{2}\\tan60\\degree$$=260\\sqrt{2}\\times\\sqrt{3}$$=260\\sqrt{6} (m)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=2$이고 $\\angle BAC=15\\degree$, $\\angle B=45\\degree$일 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACH=15\\degree+45\\degree=60\\degree$이고 $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH$$=180\\degree-(60\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=2$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=2$ ∴ $h$$=\\frac{6}{3-\\sqrt{3}}$$=3+\\sqrt{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=60\\degree$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2}cm$,$\\overline{AC}=12cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}=6\\sqrt{2}\\sin60\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{BH}=6\\sqrt{2}\\cos60\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{12^2-(3\\sqrt{6})^2}=\\sqrt{90}=3\\sqrt{10} (cm)$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=3\\sqrt{2}+3\\sqrt{10} (cm)$" }, { "question": "일차방정식 $x\\tan45\\degree-y\\sin30\\degree+1=0$의 그래프가 $x$축과 이루는 예각의 크기를 $a$라 할 때, $\\sin a$의 값을 구하여라.", "answer": "$x\\tan45\\degree-y\\sin30\\degree+1=0$에서 $x-\\frac{1}{2}y+1=0$ 이 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하면 $A(-1, 0)$, $B(0, 2)$이므로 $x-\\frac{1}{2}y+1=0$의 그래프는 다음과 같다. 직각삼각형 $AOB$에서 $\\overline{AO}=1$, $\\overline{BO}=2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{1^2+2^2}=\\sqrt{5}$ $∴$ $\\sin a$$=\\frac{\\overline{BO}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2}{\\sqrt{5}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$" }, { "question": "$\\sin A : \\cos A=8 : 15$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A : \\cos A =\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}} =\\overline{BC} : \\overline{AB} \\overline{BC} : \\overline{AB}=8 : 15$이므로 $\\overline{BC}=8k$, $\\overline{AB}=15k(k>0$)라 하면 $\\tan A =\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}} =\\frac{8k}{15k} =\\frac{8}{15}$" }, { "question": "오른족 그림과 같이 $\\triangle{B}=45\\degree$인 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $P$라 할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 $4$ 등분되므로 $\\triangle ABP=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CDP=\\frac{1}{4}\\square ABCD$ $\\square ABCD$에서 $\\overline{BC}$$=\\overline{AD}$$=4 cm$이므로 $\\triangle{ABP}+\\triangle{CDP}=\\frac{1}{4}\\square{ABCD}+\\frac{1}{4}\\square{ABCD}$ $=\\frac{1}{2}\\square{ABCD}$ $=\\frac{1}{2}(2\\sqrt{2}\\times4\\times\\sin45\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times(2\\sqrt{2}\\times4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=$$4 (cm^2)$" }, { "question": "$0\\degree0$ $\\sin A-\\tan45\\degree$$=\\sin A-1<0$ $\\therefore$ $\\sqrt{(\\sin A+1)^2}+\\sqrt{(\\sin A-\\tan45\\degree)^2}$ $=$$\\sqrt{(\\sin A+1)^2}+\\sqrt{(\\sin A-1)^2}$ $=$$(\\sin A+1)+\\lbrace-(\\sin A-1)\\rbrace$ $=$$\\sin A+1-\\sin A+1$ $=$$2$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=20\\sqrt{6}$, $\\overline{AC}=24\\sqrt{3}$이고 $\\angle BAD=30\\degree, $$\\angle CAD=45\\degree$일 때, $\\overline{BD} : \\overline{DC}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같으므로 $\\triangle ABD : \\triangle ADC=\\overline{BD} : \\overline{DC}$ $\\overline{AD}=a$라 하면 $=$$5\\sqrt{6}a$ $=$$6\\sqrt{6}a$ $∴$ $\\overline{BD} : \\overline{DC}=5\\sqrt{6}a : 6\\sqrt{6}a=5 : 6$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12$, $\\overline{AC}=8\\sqrt{2}$이고 $\\angle BAD=45\\degree, $$\\angle CAD=30\\degree$일 때, $\\overline{BD} : \\overline{DC}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같으므로 $\\triangle ABD : \\triangle ADC=\\overline{BD} : \\overline{DC}$ $\\overline{AD}=a$라 하면 $\\triangle{ABD}=\\frac{1}{2}\\times12\\times a\\times\\sin45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times12\\times a\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=3\\sqrt{2}a$ $\\triangle{ADC}=\\frac{1}{2}\\times a\\times8\\sqrt2\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times a\\times8\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=2\\sqrt{2}a$ $∴ \\overline{BD} : \\overline{DC}=3\\sqrt{2}a : 2\\sqrt{2}a=3 : 2$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=12$이고 $\\angle BAC$$=15\\degree$, $\\angle B$$=45\\degree$ 일 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACH=15\\degree+45\\degree=60\\degree$이고 $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH$$=180\\degree-(60\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=12$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=12$ $ \\therefore h$$=\\frac{36}{3-\\sqrt{3}}$$=6(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle{B}=45\\degree$, $\\angle{C}=63\\degree$이고 $\\overline{BC}=15 cm$인 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라. (단, $\\tan 27\\degree=0.5$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}$$=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=27\\degree$이므로 $\\overline{CH}$$=h\\tan27\\degree$$=0.5h (cm)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+0.5h=15$ $1.5h=15$ $∴ h$$=10$ 따라서 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times15\\times10$$=75 (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 높이 $\\overline{AO}$가 $5\\sqrt{3}$인 원뿔의 밑면의 중심을 $O$라 할 때, $\\angle{ABO}=60\\degree$이다. 이 원뿔의 옆면의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=5\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=10$ $\\overline{BO}=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=5$ 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 $2\\pi\\times5=10\\pi$이므로 원뿔의 옆면의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\pi=50\\pi$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $4$인 원 $O$에 정육각형이 내접할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하려고 한다. (1) 원 $O$의 넓이를 구하여라. (2) 정육각형의 넓이를 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times4^2$$=16\\pi$ (2) 정육각형은 합동인 $6$개의 정삼삭형으로 나누어지므로 $(정육각형의 넓이)$$=$$6$$\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$\\times$$sin60$$\\degree)$$=$$6\\times(\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$$=$$24\\sqrt{3}$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $16\\pi-24\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $4$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\div\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD\\backsim\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{4^2+4^2}$$=4\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2+4^2}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\sin x\\div\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\triangle{ABC}$에서 $\\overline{BC}=8$이고 $\\angle{BAC} = 15\\degree$, $\\angle{B} = 45\\degree$일 때, $h$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACH=15\\degree+45\\degree=60\\degree$이고 $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH$$=180\\degree-(60\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=8$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=8$ $∴ h$$=\\frac{24}{3-\\sqrt{3}}$$=4(3+\\sqrt{3})$" }, { "question": "$\\sin A : \\cos A=11 : 18$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A : \\cos A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\overline{BC} : \\overline{AB}$ $\\overline{BC} : \\overline{AB}=11 : 18$이므로 $\\overline{BC}=11k$, $\\overline{AB}=18k(k>0$)라 하면 $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{11k}{18k}$$=\\frac{11}{18}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $4cm$ 인 원 $O$에 내접하고 \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) :\\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} \\) :\\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA} \\) $=5:4:3$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\angle AOB$의 크기를 구하여라. (2) $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\angle AOB=360\\degree\\times\\frac{5}{5+4+3}=150\\degree$ (2) $\\overline{OA}=\\overline{OB}=4cm$이므로 $\\triangle ABO$$=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\frac{1}{2}$ $=$$4 (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=5cm$, $\\overline{BC}=8 cm$, $\\angle B=45\\degree$이다. $\\overline{AE} // \\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AE} // \\overline{CD}$이므로 $\\triangle AED$$=\\triangle AEC$ $□ABED=\\triangle ABE+\\triangle AED$ $=\\triangle ABE+\\triangle AEC$ $=\\triangle ABC$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times8\\times\\sin{45\\degree}$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times8\\times\\frac{\\sqrt2}{2}$ $=10\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 꼭지각의 크기가 $30\\degree$인 이등변삼각형이고 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=4$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}$이므로 $\\angle ABC$$=\\angle ACB$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-30\\degree)$$=75\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle CBD$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ ∴ $\\angle ABD$$=\\angle ABC-\\angle CBD$$=75\\degree-30\\degree$$=45\\degree$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{BE}=4\\cos45\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\overline{DE}=4\\sin45\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\triangle AED$에서 $\\overline{AE}=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}$$=2\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=2\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{6}$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\overline{AE}+\\overline{BE}$$=2\\sqrt{6}+2\\sqrt{2}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $4\\sqrt{2}$인 원 $O$에 내접하고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}:\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}:\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA}=3:4:5$일때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\angle BOC$의 크기를 구하여라. (2) $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=120\\degree$ (2) $\\overline{OB}$=$\\overline{OC}=4\\sqrt{2}$이므로 $\\triangle{BCO}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times4\\sqrt{2}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times4\\sqrt{2}\\times\\sin 60\\degree=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=8\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD\\sim\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $\\therefore \\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{2^2+2^2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(2\\sqrt{2})^2+2^2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{2}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{2\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\therefore \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{6}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 마름모 $ABCD$에서 $\\angle B=120\\degree$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 마름모 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 $4x-2=10-2x$ $6x=12$ $∴$ $x=2$ 따라서 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이는 $4x-2=4\\times2-2=6 (cm)$ (2)$ (마름모 ABCD의 넓이)$ $=6\\times6\\times\\sin{(180\\degree-120\\degree)}$ $=6\\times6\\times\\sin{60\\degree}=6\\times6\\times6\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=18\\sqrt{3}$ ($cm^2)\\\\$" }, { "question": "$\\cos A : \\sin A=22 : 9$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos A : \\sin A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\overline{AB} : \\overline{BC}$ $\\overline{AB} : \\overline{BC}=22 : 9$이므로 $\\overline{AB}=22k$, $\\overline{BC}=9k(k>0$)라 하면 $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{9k}{22k}$$=\\frac{9}{22}$" }, { "question": "$\\cos A : \\sin A=14 : 9$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos A : \\sin A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\overline{AB} : \\overline{BC}$ $\\overline{AB} : \\overline{BC}=14 : 9$이므로 $\\overline{AB}=14k$, $\\overline{BC}=9k(k>0$)라 하면 $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{9k}{14k}$$=\\frac{9}{14}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABC =\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6} \\times 4\\sqrt{2} \\times \\sin30\\degree = \\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6} \\times 4\\sqrt{2} \\times \\frac{1}{2} = 4\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC} = 4\\sqrt{2}\\sin30\\degree$$ = 2\\sqrt{2} (cm)$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AC}=2\\sqrt{2} cm$ $\\angle ACB$$=180\\degree-(90\\degree+30\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\angle ACD$$=120\\degree-60\\degree$ $ \\therefore\\triangle ACD = \\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2} \\times 2\\sqrt{2} \\times \\sin60\\degree = \\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2} \\times 2\\sqrt{2} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ \\square ABCD =\\triangle ABC+\\triangle ACD =4\\sqrt{3}+2\\sqrt{3} =6\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $4$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\tan x\\div\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD$$\\backsim$$\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{4^2+4^2}$$=4\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2+4^2}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{4}{4\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{4\\sqrt{2}}{4\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $∴ \\tan x\\div\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\div\\frac{\\sqrt{6}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle{B}=60\\degree$인 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $P$라 할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 $4$ 등분되므로 $\\triangle ABP=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CDP=\\frac{1}{4}\\square ABCD$ $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$$=8 cm$이므로 $\\triangle ABP + \\triangle CDP = \\frac{1}{4} \\square ABCD + \\frac{1}{4} \\square ABCD$ $=\\frac{1}{2} \\square ABCD$ $=\\frac{1}{2}\\times(8\\times12\\times sin60\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times(8\\times12\\times\\frac{\\sqrt3}{2})$ $=$$24\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $3$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\cos x\\div\\sin x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD$$~$$\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{3^2+3^2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(3\\sqrt{2})^2+3^2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BD}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{3\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{3}{3\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $∴ \\cos x\\div\\sin x$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\sqrt{2}$" }, { "question": "$\\sin A : \\cos A=8 : 17$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A : \\cos A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\overline{BC} : \\overline{AB}$ $\\overline{BC} : \\overline{AB}=8 : 17$이므로 $\\overline{BC}=8k$, $\\overline{AB}=17k(k>0$)라 하면 $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{8k}{17k}$$=\\frac{8}{17}$" }, { "question": "$\\cos A : \\sin A=20 : 11$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos A : \\sin A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\overline{AB} : \\overline{BC}$ $\\overline{AB} : \\overline{BC}=20 : 11$이므로 $\\overline{AB}=20k$, $\\overline{BC}=11k(k>0)$라 하면 $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{11k}{20k}$$=\\frac{11}{20}$" }, { "question": "$\\cos A : \\sin A=15 : 7$일 때, $\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\cos A : \\sin A=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}} : \\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\overline{AB} : \\overline{BC}$ $\\overline{AB} : \\overline{BC}=15 : 7$이므로 $\\overline{AB}=15k$, $\\overline{BC}=7k$($k>0$)라 하면 $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{7k}{15k}=\\frac{7}{15}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\angle BAC=90\\degree$인 직각삼각형이고, $\\overline{AB}=10$, $\\angle CAE=45\\degree$, $\\angle ABC=60\\degree$이다. $\\triangle DEF$가 정삼각형일 때, $\\overline{EF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{AF}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{10}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴$ $\\overline{AH}=5\\sqrt{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{10}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴$ $\\overline{BH}=5\\sqrt{2}$ 또 $\\triangle BHF$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{5\\sqrt{2}}{\\overline{FH}}=\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{FH}=\\frac{5\\sqrt{6}}{3}$ $∴$$\\overline{AF}$$=\\overline{AH}+\\overline{FH}$$=5\\sqrt{2}+\\frac{5\\sqrt{6}}{3}$$ ······ ㉠$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{10}=\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AC}$$=10\\sqrt{3}$ 이때 $\\triangle ACE∽\\triangle ABF$ ($AA$ 닮음)이므로 $\\overline{AC} : \\overline{AB}=\\overline{AE} : \\overline{AF}$ $10\\sqrt{3} : 10=\\overline{AE}$$:(5\\sqrt{2}$+$\\frac{5\\sqrt{6}}{3}$) $∴$ $\\overline{AE}$$=5\\sqrt{2}+5\\sqrt{6}$$ ······ ㉡$ $㉠$,$ ㉡$에서 $\\overline{EF}=\\overline{AE}+\\overline{AF}$ =$(5\\sqrt{2}+5\\sqrt{6})+(5\\sqrt{2}+\\frac{5\\sqrt{6}}{3})$ $=10\\sqrt{2}+\\frac{20\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3}$, $\\overline{AC}=8\\sqrt{6}$이고 $\\angle BAD=30\\degree$, $\\angle CAD=45\\degree$일 때, $\\overline{BD} : \\overline{DC}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같으므로 $\\triangle ABD : \\triangle ADC=\\overline{BD} : \\overline{DC}$ $\\overline{AD}=a$라 하면 $\\triangle ABD$$=$$\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times a\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times a\\times\\frac{1}{2}$ $=$$2\\sqrt{3}a$ $\\triangle ADC$$=$$\\frac{1}{2}\\times a\\times8\\sqrt{6}\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times a\\times8\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$4\\sqrt{3}a$ $∴ \\overline{BD} : \\overline{DC}=2\\sqrt{3}a : 4\\sqrt{3}a=1 : 2$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=30\\degree$, $\\angle B=\\angle ACD=\\angle ADE=90\\degree$이고 $\\overline{AE}=4\\sqrt{15} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{4\\sqrt{15}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AD}=12\\sqrt{5}$ $∴$ $\\overline{AD}$$=6\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{6\\sqrt{5}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=6\\sqrt{15}$ $∴$ $\\overline{AC}$$=3\\sqrt{15} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{3\\sqrt{15}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=9\\sqrt{5}$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\frac{9\\sqrt{5}}{2} (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{3\\sqrt{15}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=3\\sqrt{15}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\frac{3\\sqrt{15}}{2} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{9\\sqrt{5}}{2}\\times\\frac{3\\sqrt{15}}{2}$$=\\frac{135\\sqrt{3}}{8} (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 마름모 $ABCD$에서 $\\angle B=135\\degree$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 마름모 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 $x+11=2-2x$ $3x=-9$ $∴$ $x=-3$ 따라서 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이는 $x+11=-3+11=8 (cm)$ (2) $(마름모 ABCD의 넓이)=8\\times8\\times sin(180\\degree-135\\degree)$ $=8\\times8\\times sin45\\degree=8\\times 8\\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$32\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle B = 45\\degree$, $\\angle C = 63\\degree$이고 $\\overline{BC} = 30 cm$인 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라. (단 $tan27 \\degree = 0.5$로 계산한다.)", "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을$ H$라 하자. $\\overline{AH}$$=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=27\\degree$이므로 $\\overline{CH}$$=h\\tan27\\degree$$=0.5h (cm)$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+0.5h=30$ $1.5h=30$ $∴ h$$=20$ 따라서 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times30\\times20$$=300 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=4\\sqrt{3}$, $\\angle AFE=60\\degree$, $\\angle CFG=45\\degree$이다. $\\angle CAF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\overline{CF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{CF}$$=4\\sqrt{6}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{4\\sqrt{3}}=1$ $∴ \\overline{CG}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin60\\degree$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $∴ \\overline{AF}$$=8$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\overline{EF}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{EF}$$=4$ 위 그림과 같이 $\\angle CAF$의 이등분선이 $\\overline{CF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{AC}=\\overline{AF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{AM}\\bot\\overline{CF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{CF}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}=2\\sqrt{6}$ $\\triangle AFM$에서 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{8^2-(2\\sqrt{6})^2}$$=2\\sqrt{10}$ $∴ \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FAM)$$=\\frac{\\overline{AM}}{\\overline{AF}}$$=\\frac{2\\sqrt{10}}{8}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $3$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD$~$\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) ∴ $\\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{3^2+3^2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(3\\sqrt{2})^2+3^2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{3}{3\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{3}{3\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ∴ $\\sin x\\times\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=20\\sqrt{3}$이다. $\\angle BAD=16\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라. \t
각도 사인($\\sin$) 코사인($\\cos$) 탄젠트($\\tan$)
$14$$\\degree$ $0.2419$ $0.9703$ $0.2493$
$15$$\\degree$ $0.2588$ $0.9659$ $0.2679$
$16$$\\degree$ $0.2756$ $0.9613$ $0.2867$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=60$ $∴$ $\\overline{AC}$$=30$ $\\angle BAC$$=90\\degree-60\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=30\\degree-16\\degree$$=14\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan14\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{30}=0.2493$ $∴$ $\\overline{CD}=7.479$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\angle BAC=90\\degree$인 직각삼각형이고, $\\overline{AB}=14$, $\\angle CAE=45\\degree$, $\\angle ABC=60\\degree$이다. $\\triangle DEF$가 정삼각형일 때, $\\overline{EF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{AF}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{14}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{AH}=7\\sqrt{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{14}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{BH}=7\\sqrt{2}$ 또 $\\triangle BHF$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{7\\sqrt{2}}{\\overline{FH}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{FH}=\\frac{7\\sqrt{6}}{3}$ $∴ \\overline{AF}$$=\\overline{AH}+\\overline{FH}$$=7\\sqrt{2}+\\frac{7\\sqrt{6}}{3}\\cdots ㉠$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{14}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}$$=14\\sqrt{3}$ 이때 $\\triangle ACE \\backsim \\triangle ABF$ ($AA$ 닮음)이므로 $\\overline{AC} : \\overline{AB}=\\overline{AE} : \\overline{AF}$ $14\\sqrt{3} : 14$$=$$\\overline{AE} :( 7\\sqrt{2}+\\frac{7\\sqrt{6}}{3})$ $∴ \\overline{AE}$$=7\\sqrt{2}+7\\sqrt{6}\\cdots ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $\\overline{EF}=\\overline{AE}+\\overline{AF}$ $=$$(7\\sqrt2+7\\sqrt6)+(7\\sqrt2+\\frac{7\\sqrt6}{3})$ $=$$14\\sqrt2+\\frac{28\\sqrt6}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=10\\sqrt{2}$이다. $\\angle BAD=24\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인($sin$) 코사인($cos$) 탄젠트($tan$)
$21\\degree$ $0.3584$ $0.9336$ $0.3839$
$22\\degree$ $0.3746$ $0.9272$ $0.4040$
$23\\degree$ $0.3907$ $0.9205$ $0.4245$
$24\\degree$ $0.4067$ $0.9135$ $0.4452$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{10\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$ $ $2\\overline{AC}=20$ $∴ \\overline{AC}$$=10$ $\\angle BAC$$=90\\degree-45\\degree$$=45\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=45\\degree-24\\degree$$=21\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan21\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{10}=0.3839$ $∴ \\overline{CD}=3.839$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{2} $인 원 $O$에 정팔각형이 내접할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하려고 한다. (1) 원 $O$의 넓이를 구하여라. (2) 정팔각형의 넓이를 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(2\\sqrt{2})^2$$=8\\pi$ (2) 정팔각형은 합동인 $8$개의 이등변삼각형으로 나누어지고 이등변 삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$ 이므로 $(정팔각형의 넓이)=8\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\times2\\sqrt{2}\\times sin45\\degree)$ $=8\\times (\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\times2\\sqrt{2}\\times \\frac{\\sqrt{2}}{2}) $ $=$$16\\sqrt{2}$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $8\\pi-16\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=6\\sqrt{3}$, $\\angle AFE=60\\degree$, $\\angle CFG=45\\degree$이다. $\\angle CAF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\overline{CF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $ \\therefore \\overline{CF}$$=6\\sqrt{6}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{6\\sqrt{3}}=1$ $ \\therefore \\overline{CG}$$=6\\sqrt{3}$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin60\\degree$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $ \\therefore \\overline{AF}$$=12$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{\\overline{EF}}=\\sqrt{3}$ $ \\therefore \\overline{EF}$$=6$ 위 그림과 같이 $\\angle CAF$의 이등분선이 $\\overline{CF}$와 만나는 점을 M이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{AC}=\\overline{AF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{AM}\\bot\\overline{CF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{CF}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{6}=3\\sqrt{6}$ $\\triangle AFM$에서 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{12^2-(3\\sqrt{6})^2}$$=3\\sqrt{10}$ $ \\therefore \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FAM)$$=\\frac{\\overline{AM}}{\\overline{AF}}$$=\\frac{3\\sqrt{10}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\angle BAC=90\\degree$인 직각삼각형이고, $\\overline{AB}=8$, $\\angle CAE=45\\degree$, $\\angle ABC=60\\degree$이다. $\\triangle DEF$가 정삼각형일 때, $\\overline{EF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{AF}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{8}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{AH}=4\\sqrt{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{8}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{BH}=4\\sqrt{2}$ 또 $\\triangle BHF$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{4\\sqrt{2}}{\\overline{FH}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{FH}=\\frac{4\\sqrt{6}}{3}$ $∴ \\overline{AF}$$=\\overline{AH}+\\overline{FH}$$=4\\sqrt{2}+\\frac{4\\sqrt{6}}{3}$ ······ $㉠$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{8}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}$$=8\\sqrt{3}$ 이때 $\\triangle ACE \\sim \\triangle ABF$ ($AA$ 닮음)이므로 $\\overline {AC} : \\overline {AB}=\\overline{ AE} : \\overline {AF}$ $8\\sqrt{3} : 8=\\overline{AE} : 4\\sqrt{2}+\\frac{4\\sqrt{6}}{3}$ $∴ \\overline{AE}$$=4\\sqrt{2}+4\\sqrt{6}$ ······ $㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $\\overline {EF} = \\overline {AE} +\\overline {AF}$ $=$$8\\sqrt{2}+\\frac{16\\sqrt{6}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=2\\sqrt{3}\\cos60\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$$=\\sqrt{3}$ $\\overline{CO}=2\\sqrt{3}\\sin60\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{3}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{3}{1}$$=3$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times3^2)\\times\\sqrt{3}$$+$$\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times3^2)\\times3$$=(9+3\\sqrt{3})\\pi$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=30\\degree$, $\\angle B=\\angle ACD=\\angle ADE=90\\degree$이고 $\\overline{AE}=16 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{16}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AD}=16\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AD}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{8\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=24$ $∴ \\overline{AC}$$=12 (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AB}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{12}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=12$ $∴\\overline{BC}$$=6 (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times6$$=18\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=\\angle EAF=30\\degree$, $\\angle {B}=\\angle ACD=\\angle ADE=\\angle AEF=90\\degree$이고 $\\overline AF=16{cm}$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AEF$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AE}}{16}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AE}=16\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AE}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{8\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AD}=24$ $∴ \\overline{AD}$$=12 (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{6\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=18$ $∴ \\overline{AB}$$=9 (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{6\\sqrt{3}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=6\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times9\\times3\\sqrt{3}$$=\\frac{27\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이$ \\angle B=$$30\\degree$인 평행사변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 $P$라 할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "평행사변형의 넓이는 두 대각선에 의해 $4$ 등분되므로 $\\triangle ABP=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CDP = \\frac{1}{4} \\square ABCD $ $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$$=6 cm$이므로 $\\triangle ABP + \\triangle CDP = \\frac{1}{4} \\square ABCD + \\frac{1}{4}\\square ABCD $ $=\\frac{1}{2} \\square ABCD $ $=\\frac{1}{2} \\times (6 \\times 8 \\times \\sin30 \\degree)$ $= \\frac{1}{2}\\times (6 \\times 8 \\times \\frac{1}{2})$ $=$$12 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=2\\sqrt{6}$, $\\angle{AFE}=45\\degree$, $\\angle{CFG}=60\\degree$이다. $\\angle{ACF}=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos60\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\overline{CF}}=\\frac{1}{2}$ $∴ \\overline{CF}$$=4\\sqrt{6}$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{2\\sqrt{6}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{CG}$$=6\\sqrt{2}$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin45\\degree$$=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{AF}$$=12$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\overline{EF}}=1$ $∴ \\overline{EF}$$=6\\sqrt{2}$ 위 그림과 같이 $\\angle ACF$의 이등분선이 $\\overline{AF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{CA}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{CM}\\bot\\overline{AF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{AF}=\\frac{1}{2}\\times12=6$ $\\triangle CMF$에서 $\\overline{CM}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{6})^2-6^2}$$=2\\sqrt{15}$ $∴ \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FCM)$$=\\frac{\\overline{CM}}{\\overline{CF}}$$=\\frac{2\\sqrt{15}}{4\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=20\\sqrt{2}$이다. $\\angle BAD=27\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인( sin ) 코사인( cos ) 탄젠트( tan )
$17\\degree$ $0.2924$ $0.9563$ $0.3057$
$18\\degree$ $0.3090$ $0.9511$ $0.3249$
$19\\degree$ $0.3256$ $0.9455$ $0.3443$
$20\\degree$ $0.3420$ $0.9397$ $0.3640$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $2\\overline{AC}=40$ $ ∴ \\overline{AC}$$=20$ $\\angle BAC$$=90\\degree-45\\degree$$=45\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=45\\degree-27\\degree$$=18\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan18\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{20}=0.3249$ $∴ \\overline{CD}=6.498$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $\\overline{CO}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{1}$$=3\\sqrt{3}$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times3$$+$$\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times3\\sqrt{3}$ $=(27+27\\sqrt{3})\\pi$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같은 $\\square{ABCD}$에서 $\\overline{AB}=4 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$, $\\angle{B}=45\\degree$이다. $\\overline{AE}//\\overline{CD}$일 때, $\\square{ABED}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AE} // \\overline{CD}$이므로 $\\triangle AED$$=\\triangle AEC$ $\\square ABED=\\triangle ABE+\\triangle AED$ $=\\triangle ABE+\\triangle AEC$ $=\\triangle ABC$ $=\\frac{1}{2}\\times 4\\times 6\\times sin 45\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times 4\\times 6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$6\\sqrt{2}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=\\angle EAF=30\\degree$, $\\angle B=\\angle ACD=\\angle ADE=\\angle AEF=90\\degree$이고 $\\overline{AF}=8\\sqrt{5} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AEF$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AE}}{8\\sqrt{5}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AE}=8\\sqrt{15}$ $∴ \\overline{AE}$$=4\\sqrt{15} (cm)$ $\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{4\\sqrt{15}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AD}=12\\sqrt{5}$ $∴ \\overline{AD}$$=6\\sqrt{5} (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{6\\sqrt{5}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=6\\sqrt{15}$ $∴ \\overline{AC}$$=3\\sqrt{15} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{3\\sqrt{15}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=9\\sqrt{5}$ $∴ \\overline{AB}$$=\\frac{9\\sqrt{5}}{2} (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{3\\sqrt{15}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=3\\sqrt{15}$ $∴ \\overline{BC}$$=\\frac{3\\sqrt{15}}{2} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{9\\sqrt{5}}{2}\\times\\frac{3\\sqrt{15}}{2}$$=\\frac{135\\sqrt{3}}{8} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=20\\sqrt{3}$이다. $\\angle BAD=14\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인($\\sin$) 코사인($\\cos$) 탄젠트($\\tan$)
$14\\degree$ $0.2419$ $0.9703$ $0.2493$
$15\\degree$ $0.2588$ $0.9659$ $0.2679$
$16\\degree$ $0.2756$ $0.9613$ $0.2867$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin60\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20\\sqrt{3}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=60$ $∴ \\overline{AC}=30$ $\\angle BAC=90\\degree-60\\degree=30\\degree$이므로 $\\angle CAD=30\\degree-14\\degree=16\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan16\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{30}=0.2867$ $∴ \\overline{CD}=8.601$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\triangle{ABC}$는 반지름의 길이가 $8 cm$인 원 $O$에 내접하고 \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) : \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} \\) : \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA} \\) $=5 : 4 : 3$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\angle BOC$의 크기를 구하여라. (2) $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{4}{5+4+3}=120\\degree$ (2) $\\overline {OB}=\\overline{OC}=8cm$이므로 $\\triangle BCO = \\frac{1}{2} \\times 8 \\times 8 \\times \\sin(180\\degree - 120\\degree)$ $=\\frac{1}{2} \\times 8 \\times8 \\times \\sin(60\\degree) $ $=\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 8 \\times \\frac {\\sqrt{3}}{2}$ $=$$16\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $5$인 정육면체의 한 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하자. $\\angle HDN=\\angle x$라 할 때, $\\sin x\\times\\tan x$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\triangle BHD$와 $\\triangle DHN$에서 $\\angle BHD$는 공통, $\\angle BDH$$=\\angle DNH$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BHD$~$\\triangle DHN$ ($AA$ 닮음) $ \\therefore \\angle DBH$$=\\angle HDN$$=\\angle x$ $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}$$=\\sqrt{5^2+5^2}$$=5\\sqrt{2}$ $\\triangle BHD$에서 $\\overline{BH}$$=\\sqrt{(5\\sqrt{2})^2+5^2}$$=5\\sqrt{3}$ $\\triangle BHD$에서 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{5}{5\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $ \\therefore \\sin x\\times\\tan x$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $22 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $45\\degree$씩 흔들리고 있다. $B$ 지점이 $A$ 지점보다 $xcm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 B에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=22\\cos45\\degree$$=22\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=11\\sqrt{2}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=22-11\\sqrt{2}$ $(cm)$ $∴ x=22-11\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=2\\sqrt{6}\\cos45\\degree$$=2\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\overline{CO}=2\\sqrt{6}\\sin45\\degree$$=2\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=2$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times2\\sqrt{3}$$+$$\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times2$$=(8+8\\sqrt{3})\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=2$, $\\angle AFE=45\\degree$, $\\angle CFG=60\\degree$이다. $\\angle ACF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos60\\degree$$=\\frac{2}{\\overline{CF}}=\\frac{1}{2}$ $∴$ $\\overline{CF}$$=4$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{2}=\\sqrt{3}$ $∴ $$\\overline{CG}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin45\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴$ $\\overline{AF}$$=2\\sqrt{6}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\overline{EF}}=1$ $∴$ $\\overline{EF}$$=2\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 $\\angle ACF$의 이등분선이 $\\overline{AF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{CA}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{CM}\\bot\\overline{AF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{AF}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}=\\sqrt{6}$ $\\triangle CMF$에서 $\\overline{CM}$$=\\sqrt{4^2-(\\sqrt{6})^2}$$=\\sqrt{10}$ $∴$ $\\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FCM)$$=\\frac{\\overline{CM}}{\\overline{CF}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=2\\sqrt{3}$, $\\angle AFE=45\\degree$, $\\angle CFG=60\\degree$이다. $\\angle ACF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos60\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\overline{CF}}=\\frac{1}{2}$ $∴ \\overline{CF}$$=4\\sqrt{3}$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{2\\sqrt{3}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{CG}$$=6$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin45\\degree$$=\\frac{6}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{AF}$$=6\\sqrt{2}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{6}{\\overline{EF}}=1$ $∴ \\overline{EF}$$=6$ 위 그림과 같이 $\\angle ACF$의 이등분선이 $\\overline{AF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{CA}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{CM}\\bot\\overline{AF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{AF}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}=3\\sqrt{2}$ $\\triangle CMF$에서 $\\overline{CM}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2-(3\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{30}$ $∴ \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FCM)$$=\\frac{\\overline{CM}}{\\overline{CF}}$$=\\frac{\\sqrt{30}}{4\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 돌담 위에 지면과 수직으로 세워진 기념비의 높이 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선이 만나는 점을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{DE}=4\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=4$ $(m)$ $∴ \\overline{CE}$$=\\overline{CD}+\\overline{DE}$$=3+4$$=7 (m)$ $\\triangle ACE$에서 $\\overline{AE}=7\\tan60\\degree$$=7\\times\\sqrt{3}$$=7\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BE}=\\overline{DE}=4 m$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{AE}-\\overline{BE}$$=7\\sqrt{3}-4$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=30\\degree$, $\\angle B=\\angle ACD=\\angle ADE=90\\degree$이고 $\\overline{AE}=8\\sqrt{6} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree =\\frac{\\overline{AD}}{8\\sqrt{6}} =\\frac{\\sqrt{3}}{2}2\\overline{AD} =24\\sqrt{2}$ $∴ \\overline{AD}$$=12\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{12\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=12\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{AC}=6\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{6\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=18\\sqrt{2}$ $∴ \\overline{AB}=9\\sqrt{2} (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{6\\sqrt{6}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=6\\sqrt{6}$ $∴ \\overline{BC}=3\\sqrt{6} (cm)$ $∴ \\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times9\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{6}=27\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $28 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $30\\degree$씩 흔들리고 있다. $B$ 지점이 $A$ 지점보다 $x$ $cm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=28\\cos30\\degree$$=28\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=14\\sqrt{3}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=28-14\\sqrt{3}$ $(cm)$ $∴ x=28-14\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 꼭지각의 크기가 $30\\degree$인 이등변삼각형이고 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=2\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}$이므로 $\\angle ABC$$=\\angle ACB$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-30\\degree)$$=75\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle CBD$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $∴ \\angle ABD$$=\\angle ABC-\\angle CBD$$=75\\degree-30\\degree$$=45\\degree$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{BE}=2\\sqrt{3}\\cos45\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{6}$ $\\overline{DE}=2\\sqrt{3}\\sin45\\degree$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{6}$ $\\triangle AED$에서 $\\overline{AE}=\\frac{\\sqrt{6}}{\\tan30\\degree}$$=\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\sqrt{6}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=3\\sqrt{2}$ $∴\\overline{AB}$$=\\overline{AE}+\\overline{BE}$$=3\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=20$이다. $\\angle BAD=29\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인($sin$) 코사인($cos$) 탄젠트($tan$)
$29 \\degree C$ $0.4848$ $0.8746$ $0.5543$
$30\\degree C$ $0.5000$ $0.8660$ $0.5774$
$31\\degree C$ $0.5150$ $0.8572$ $0.6009$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20}=\\frac{1}{2}$ $2\\overline{AC}=20$ $∴$$\\overline{AC}$$=10$ $\\angle BAC$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=60\\degree-29\\degree$$=31\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan31\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{10}=0.6009$ $∴$ $\\overline{CD}=6.009$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $32 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $45\\degree$씩 흔들리고 있다. B 지점이 A 지점보다 $x$ $cm $위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=32\\cos45\\degree$$=32\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=16\\sqrt{2}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=32-16\\sqrt{2}$ $(cm)$ $∴$ $x=32-16\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $16 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $45\\degree$씩 흔들리고 있다. $B$ 지점이 $A$ 지점보다 $x cm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=16\\cos45\\degree$$=16\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=8\\sqrt{2}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=16-8\\sqrt{2}$ $(cm)$ $\\therefore x=16-8\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=12$, $\\angle AFE=60\\degree$, $\\angle CFG=45\\degree$이다. $\\angle CAF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{12}{\\overline{CF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{CF}$$=12\\sqrt{2}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{12}=1$ $∴ \\overline{CG}$$=12$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin60\\degree$$=\\frac{12}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $∴ \\overline{AF}$$=8\\sqrt{3}$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{12}{\\overline{EF}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{EF}$$=4\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 $\\angle CAF$의 이등분선이 $\\overline{CF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{AC}=\\overline{AF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{AM}\\bot\\overline{CF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{CF}=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{2}=6\\sqrt{2}$ $\\triangle AFM$에서 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2-(6\\sqrt{2})^2}$$=2\\sqrt{30}$ $∴ \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FAM)$$=\\frac{\\overline{AM}}{\\overline{AF}}$$=\\frac{2\\sqrt{30}}{8\\sqrt{3}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 꼭지각의 크기가 $30\\degree$인 이등변삼각형이고 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=6$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}$이므로 $\\angle ABC$$=\\angle ACB$ $=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-30\\degree)$$=75\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle CBD$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $∴$ $\\angle ABD$$=\\angle ABC-\\angle CBD$$=75\\degree-30\\degree$$=45\\degree$ 위 그림과 같이 점$ D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{BE}=6\\cos45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\overline{DE}=6\\sin45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\triangle AED$에서 $\\overline{AE}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}$$=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=3\\sqrt{6}$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\overline{AE}+\\overline{BE}$$=3\\sqrt{6}+3\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2$ $\\overline{CO}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{1}$$=2\\sqrt{3}$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times2$$+$$\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times2\\sqrt{3}$$=(8+8\\sqrt{3})\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=4\\sqrt{2}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{4\\sqrt{2}}{\\sin45\\degree}$$=4\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=4\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=8$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을$ H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=8$ $(1+\\sqrt{3})h=8$ $∴$ $h$$=\\frac{8}{1+\\sqrt{3}}$$=4(\\sqrt{3}-1)$ $∴$ $\\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times4(\\sqrt{3}-1)$$=16\\sqrt{3}-16$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 꼭지각의 크기가 $30\\degree$인 이등변삼각형이고 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=3\\sqrt{6}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}$이므로 $\\angle ABC$$=\\angle ACB$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-30\\degree)$$=75\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle CBD$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $∴ \\angle ABD$$=\\angle ABC-\\angle CBD$$=75\\degree-30\\degree$$=45\\degree$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{BE}=3\\sqrt{6}\\cos45\\degree$$=3\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\overline{DE}=3\\sqrt{6}\\sin45\\degree$$=3\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle AED$에서 $\\overline{AE}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan30\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=3\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=9$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{AE}+\\overline{BE}$$=9+3\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 꼭지각의 크기가 $30\\degree$인 이등변삼각형이고 $\\overline{BC}=\\overline{BD}=2\\sqrt{2}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}=\\overline{AC}$이므로 $\\angle ABC=\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-30\\degree)=75\\degree$ $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle CBD=180\\degree-75\\degree\\times2=30\\degree$ ∴ $\\angle ABD=\\angle ABC-\\angle CBD=75\\degree-30\\degree=45\\degree$ 위 그림과 같이 점 D에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 E라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{BE}=2\\sqrt{2}\\cos45\\degree=2\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2$ $\\overline{DE}=2\\sqrt{2}\\sin45\\degree=2\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2$ $\\triangle AED$에서 $\\overline{AE}=\\frac{2}{\\tan30\\degree}=2\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=2\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=2\\sqrt{3}$ ∴ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=2\\sqrt{3}+2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $3 : 4$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\angle ABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=3$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 F라 할 때, $\\triangle CDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 B, C, E는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=3\\cos30\\degree$$=3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$ $∴ \\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $3 : 4$이므로 $3 : \\overline{CD}=3 : 4$ $∴ \\overline{CD}=4$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times4\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times4\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $3\\sqrt{3}$$=\\frac{7\\sqrt{3}}{4}\\overline{CF}$ $∴ \\overline{CF}$$=\\frac{12}{7}$ $∴ \\triangle CDF$ = $\\frac{1}{2}\\times\\frac{12}{7}\\times4\\times sin(180\\degree-120\\degree)$ =$\\frac{1}{2}\\times\\frac{12}{7}\\times4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{12\\sqrt{3}}{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 세 점 $P, Q, R$는 $\\overline{AC}$의 사등분점이고, 두 점 $M, N$은 $\\overline{BC}$의 삼등분점이다. $\\square ABMP$, $\\triangle CQN$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_1}{S_2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CN}=a$, $\\overline{CR}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times4b\\times\\sin x$$=6ab\\sin x$ $\\triangle CPM$$=\\frac{1}{2}\\times2a\\times3b\\times\\sin x$$=3ab\\sin x$ $\\triangle CQN$$=\\frac{1}{2}\\times a\\times2b\\times\\sin x$$=ab\\sin x$ $∴$ $S_1$$=\\triangle ABC-\\triangle CPM$$=6ab\\sin x-3ab\\sin x$$=3ab\\sin x$ $∴$ $S_2$$=\\triangle CQN$$=\\frac{1}{2}\\times a\\times2b\\times\\sin x$$=ab\\sin x$ $∴$ $\\frac{S_1}{S_2}$$=\\frac{3ab\\sin x}{ab\\sin x}$$=3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $24 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $45\\degree$씩 흔들리고 있다. B 지점이 A 지점보다 $xcm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=24\\cos45\\degree$$=24\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=12\\sqrt{2}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=24-12\\sqrt{2}$ $(cm)$ $∴$ $x=24-12\\sqrt{2}$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $18 km$, $15 km$로 달려서 $20$ 분 후 두 지점 $P, $Q에 각각 이르렀다. $\\angle POR=40\\degree$, $\\angle QOR=20\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=18\\times\\frac{20}{60}$$=6$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=15\\times\\frac{20}{60}$$=5$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=5-3$$=2$ $(km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+2^2}$$=\\sqrt{31}$ $(km)$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $24 km$, $20 km$로 달려서 $30$ 분 후 두 지점 $P,$ $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=40\\degree, $$\\angle QOR=20\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=24\\times\\frac{30}{60}$$=12$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=20\\times\\frac{30}{60}$$=10$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=10-6$$=4 (km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(6\\sqrt{3})^2+4^2}$$=\\sqrt{124}$$=2\\sqrt{31} (km)$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $9 km$, $12 km$로 달려서 $40$ 분 후 두 지점 $P$, $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=20\\degree, $$\\angle QOR=40\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=9\\times\\frac{40}{60}$$=6$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=12\\times\\frac{40}{60}$$=8$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=8-3$$=5$ $(km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+5^2}$$=\\sqrt{52}$$=2\\sqrt{13}$ $(km)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=3\\sqrt{6}\\cos45\\degree$$=3\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{3}$$ { }$ $\\overline{CO}=3\\sqrt{6}\\sin45\\degree$$=3\\sqrt{6}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=3$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times3\\sqrt{3}$$+$$\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2\\rbrace\\times3$$=(27+27\\sqrt{3})\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=5\\sqrt{2}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{5\\sqrt{2}}{\\sin45\\degree}$$=5\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=10$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=10$ $(1+\\sqrt{3})h=10$ $∴$ $h$$=\\frac{10}{1+\\sqrt{3}}$$=5(\\sqrt{3}-1)$ $∴$ $\\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times5(\\sqrt{3}-1)$$=25\\sqrt{3}-25$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 세 점 $P$, $Q$, $R$는 $\\overline{AC}$의 사등분점이고, 네 점 $L$, $M$, $N$, $O$는 $\\overline{BC}$의 오등분점이다. $\\square ABLP$, $\\square LMQP$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_2}{S_1}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CO}=a$, $\\overline{CR}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times5a\\times4b\\times\\sin x$$=10ab\\sin x$ $\\triangle CPL$$=\\frac{1}{2}\\times4a\\times3b\\times\\sin x$$=6ab\\sin x$ $\\triangle CQM$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times2b\\times\\sin x$$=3ab\\sin x$ $∴$ $S_1$$=\\triangle ABC-\\triangle CPL$$=10ab\\sin x-6ab\\sin x$$=4ab\\sin x$ $∴$ $S_2$$=\\triangle CPL-\\triangle CQM$$=6ab\\sin x-3ab\\sin x$$=3ab\\sin x$ $∴$ $\\frac{S_2}{S_1}$$=\\frac{3ab\\sin x}{4ab\\sin x}$$=\\frac{3}{4}$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $4 km$, $6 km$로 달려서 $30$ 분 후 두 지점 $P$, $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=20\\degree$, $\\angle QOR=40\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=4\\times\\frac{30}{60}$$=2$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=6\\times\\frac{30}{60}$$=3$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=2\\sin60\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=2\\cos60\\degree$$=2\\times\\frac{1}{2}$$=1$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=3-1$$=2$ $(km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(\\sqrt{3})^2+2^2}$$=\\sqrt{7}$ $(km)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $46 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $30\\degree$씩 흔들리고 있다. $B$ 지점이 A 지점보다 $x cm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점$B$에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=46\\cos30\\degree$$=46\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=23\\sqrt{3}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=46-23\\sqrt{3}$ $(cm)$ $\\therefore x=46-23\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=4\\sqrt{6}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{4\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}$$=4\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=4\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=8\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=8\\sqrt{3}$ $(1+\\sqrt{3})h=8\\sqrt{3}$ $∴ h$$=\\frac{8\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}}$$=4(3-\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times4(3-\\sqrt{3})$$=48\\sqrt{3}-48$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=\\sqrt{6}$일 때,$\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}$$=\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=2\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=2\\sqrt{3}$ $(1+\\sqrt{3})h=2\\sqrt{3}$ $∴ h$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}}$$=3-\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times(3-\\sqrt{3})$$=3\\sqrt{3}-3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $3 : 5$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\angle ABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=2$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $F$라 할 때, $\\triangle CDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 $B$,$ C$,$ E$는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=2\\cos30\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $3 : 5$이므로 $2 : \\overline{CD}=3 : 5$ $∴ \\overline{CD}=\\frac{10}{3}$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{10}{3}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times\\frac{10}{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $\\frac{5\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\overline{CF}$ $∴ \\overline{CF}$$=\\frac{5}{4}$ $∴ \\triangle{CDF}$$=$$\\frac{1}{2}\\times\\frac{5}{4}\\times\\frac{10}{3}\\times\\sin (180\\degree-120\\degree)$$=$$\\frac{1}{2}\\times\\frac{5}{4}\\times\\frac{10}{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{25\\sqrt{3}}{24}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 돌담 위에 지면과 수직으로 세워진 기념비의 높이 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선이 만나는 점을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{DE}=6\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6$ $(m)$ $∴\\overline{CE}$$=\\overline{CD}+\\overline{DE}$$=3+6$$=9 (m)$ $\\triangle ACE$에서 $\\overline{AE}=9\\tan60\\degree$$=9\\times\\sqrt{3}$$=9\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BE}=\\overline{DE}=6 m$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{AE}-\\overline{BE}$$=9\\sqrt{3}-6$ $(m)$" }, { "question": "수면으로부터 높이가 $8 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $2분$ 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $2$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=8\\tan60\\degree$$=8\\times\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=8 m$ $∴ \\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=8\\sqrt{3}-8$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $2$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{8\\sqrt{3}-8}{2}$$=4\\sqrt{3}-4$ $(m/min)$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $12 km$, $8 km$로 달려서 $30$ 분 후 두 지점 $P$, $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=40\\degree$, $\\angle QOR=20\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=12\\times\\frac{30}{60}$$=6$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=8\\times\\frac{30}{60}$$=4$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=4-3$$=1$ $(km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+1^2}$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ $(km)$" }, { "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $12 km$, $16 km$로 달려서 $30$ 분 후 두 지점 $P$, $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=20\\degree$, $\\angle QOR=40\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OP}$$=12\\times\\frac{30}{60}$$=6$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=16\\times\\frac{30}{60}$$=8$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=8-3$$=5 (km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+5^2}$$=\\sqrt{52}$$=2\\sqrt{13} (km)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=6\\sqrt{2}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{6\\sqrt{2}}{\\sin45\\degree}$$=6\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=12$ 위 그림과 같이 점 E에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=12$ $(1+\\sqrt{3})h=12$ $∴$ $h$$=\\frac{12}{1+\\sqrt{3}}$$=6(\\sqrt{3}-1)$ $∴$ $\\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times6(\\sqrt{3}-1)$$=36\\sqrt{3}-36$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $6 cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{6}{\\sin60\\degree}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=60\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{6}{\\sin60\\degree}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $4\\sqrt3\\times4\\sqrt3\\times\\sin{(180\\degree-120\\degree)}=4\\sqrt3\\times4\\sqrt3\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=24\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=3\\sqrt{6}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{3\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}$$=3\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=6\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=6\\sqrt{3}$ $(1+\\sqrt{3})h=6\\sqrt{3}$ $∴ h$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}}$$=3(3-\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times3(3-\\sqrt{3})$$=27\\sqrt{3}-27$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=4\\sqrt{3} cm$, $\\overline{CD}=12 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}k cm$, $\\overline{BC}=2k cm(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=30\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=12\\sin30\\degree=12\\times\\frac{1}{2}=6 (cm)$ $\\overline{DH}=12\\cos30\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(10\\sqrt{3})^2+6^2}$$=4\\sqrt{21} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\sqrt{3}k)^2+(2k)^2}$$=\\sqrt{7}k (cm)$ $\\sqrt{7}k=4\\sqrt{21}$ $∴$ $k=4\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=8\\sqrt{3} cm$이므로 $\\square ABCD=\\triangle{ABC}+\\triangle{ACD}$ $=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times12+\\frac{1}{2}\\times12\\times4\\sqrt{3}\\times\\sin{(180\\degree-150\\degree)}$ $=48\\sqrt{3}+12\\sqrt{3}$ $=60\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=20$이다. $\\angle BAD=20\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인($\\sin$) 코사인($\\cos$) 탄젠트($\\tan$)
$38\\degree$ $0.6157$ $0.7880$ $0.7813$
$39\\degree$ $0.6293$ $0.7771$ $0.8098$
$40\\degree$ $0.6428$ $0.7760$ $0.8391$
$41\\degree$ $0.6561$ $0.7547$ $0.8693$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{20}=\\frac{1}{2}$ $2\\overline{AC}=20$ $∴ \\overline{AC}$$=10$ $\\angle BAC$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=60\\degree-20\\degree$$=40\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan40\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{10}=0.8391$ $∴ \\overline{CD}=8.391$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 $10$$\\%$ 늘이고, $\\overline{AC}$의 길이를 $20$$\\%$ 줄여서 새로운 $\\triangle AB'C'$을 만들 때, $\\triangle AB'C'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB'}$은 $\\overline{AB}$의 길이를 $10 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{AB'}=\\frac{110}{100}\\overline{AB}=\\frac{11}{10}\\overline{AB}$ $\\overline{AC'}$은 $\\overline{AC}$의 길이를 $20\\%$ 줄였으므로 $\\overline{AC'}=\\frac{80}{100}\\overline{AC}=\\frac{4}{5}\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{AC}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle {AB}^{\\prime}{C}^{\\prime} =\\frac{1}{2} \\times \\overline{\\mathrm{AB}^{\\prime}} \\times \\overline{\\mathrm{AC}^{\\prime}} \\times \\sin A $ $=\\frac{1}{2} \\times \\frac{11}{10} \\overline{\\mathrm{AB}} \\times \\frac{4}{5} \\overline{\\mathrm{AC}} \\times \\sin A $ $ =\\frac{22}{25} \\times\\left(\\frac{1}{2} \\times \\overline{\\mathrm{AB}} \\times \\overline{\\mathrm{AC}} \\times \\sin A\\right) $ $=\\frac{22}{25} \\times \\triangle \\mathrm{ABC}$ $=$$0.88\\times\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle AB'C'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $12\\%$ 줄어든다." }, { "question": "다음 그림과 같이 길이가 $42 cm$인 실에 매달린 추가 좌우로 $30\\degree$씩 흔들리고 있다. B 지점이 A 지점보다 $x cm$ 위에 있을 때, $x$의 값을 구하여라. (단, 추의 크기는 무시한다.)", "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 B에서 $\\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\overline{AH}=x cm$ 직각삼각형 $OHB$에서 $\\overline{OH}=42\\cos30\\degree$$=42\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=21\\sqrt{3}$ $(cm)$이므로 $\\overline{AH}$$=\\overline{OA}-\\overline{OH}$$=42-21\\sqrt{3}$ $(cm)$ $∴ x=42-21\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=2\\sqrt{3} cm$, $\\overline{CD}=6 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}k cm$, $\\overline{BC}=2k cm$$(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=30\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서$\\overline{CH}=6\\sin30\\degree=6\\times\\frac{1}{2}=3 (cm)$ $\\overline{DH}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(5\\sqrt{3})^2+3^2}$$=2\\sqrt{21} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\sqrt{3}k)^2+(2k)^2}$$=\\sqrt{7}k (cm)$ $\\sqrt{7}k=2\\sqrt{21}$ $∴$ $k=2\\sqrt{3}$ 따라서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{3} cm$이므로 $\\square$$ABCD=\\triangle ABC+\\triangle ACD$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times6+\\frac{1}{2}\\times6\\times2\\sqrt{3}\\times \\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$12\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}$ $=$$15\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=3 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=120\\degree$인 $\\square{ABCD}$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : \\sqrt{3}$일 때, $\\square{ABCD}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : {3}$이므로 $\\overline{AB}=2k cm$, $\\overline{BC}=\\sqrt{3}k cm$$(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 C에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=60\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=6\\sin60\\degree=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{DH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{6^2+(3\\sqrt{3})^2}$$=3\\sqrt{7} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(2k)^2+(\\sqrt{3}k)^2}$$=\\sqrt{7}k (cm)$ $\\sqrt{7}k=3\\sqrt{7}$ $∴$ $k=3$ 따라서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=3\\sqrt{3} cm$이므로 $\\Box ABCD$$=$$\\triangle ABC+\\triangle ACD $$=$$\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt3\\times6+\\frac{1}{2}\\times6\\times3\\times\\pi(180\\degree-120\\degree)$ $=$$9\\sqrt3+\\frac{9\\sqrt3}{2}$ $=$$\\frac{27\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 겹쳐진 두 직각삼각형 $ABC$와 $BCD$에서 $\\angle BAC=60\\degree$, $\\angle CBD=45\\degree$이고 $\\overline{CD}=2\\sqrt{6}$일 때, $\\triangle BCE$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\sin45\\degree}$$=2\\sqrt{6}\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=2\\sqrt{6}\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=4\\sqrt{3}$ 위 그림과 같이 점 $E$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{EH}=h$라 하면 $\\angle BEH=45\\degree$, $\\angle CEH=60\\degree$이다. $\\triangle BHE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{EH}=h$ $\\triangle CEH$에서 $\\overline{CH}=h\\tan60\\degree$$=h\\times\\sqrt{3}$$=\\sqrt{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\sqrt{3}h=4\\sqrt{3}$ $(1+\\sqrt{3})h=4\\sqrt{3}$ $ \\therefore h$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{1+\\sqrt{3}}$$=2(3-\\sqrt{3})$ $ \\therefore \\triangle BCE$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times2(3-\\sqrt{3})$$=12\\sqrt{3}-12$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 세 점$ P, Q, R$는 $\\overline{AC}$의 사등분점이고, 네 점$ L, M, N, O$는 $\\overline{BC}$의 오등분점이다. $\\square ABLP$, $\\triangle CQM$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_1}{S_2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CO}=a$, $\\overline{CR}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times5a\\times4b\\times\\sin x$$=10ab\\sin x$ $\\triangle CPL$$=\\frac{1}{2}\\times4a\\times3b\\times\\sin x$$=6ab\\sin x$ $\\triangle CQM$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times2b\\times\\sin x$$=3ab\\sin x$ $∴S_1$$=\\triangle ABC-\\triangle CPL$$=10ab\\sin x-6ab\\sin x$$=4ab\\sin x$ $∴ S_2$$=\\triangle CQM$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times2b\\times\\sin x$$=3ab\\sin x$ $∴ \\frac{S_1}{S_2}$$=\\frac{4ab\\sin x}{3ab\\sin x}$$=\\frac{4}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}$의 길이를 $20 %$ 늘이고, $\\overline{BC}$의 길이를 $15 %$ 줄여서 새로운 $\\triangle A'B'C$를 만들 때, $\\triangle A'B'C$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", "answer": "$\\overline{A'C}$는 $\\overline{AC}$의 길이를 $20 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{A'C}=\\frac{120}{100}\\overline{AC}=\\frac{6}{5}\\overline{AC}$ $\\overline{B'C}$는 $\\overline{BC}$의 길이를 $15 \\%$ 줄였으므로 $\\overline{B'C}=\\frac{85}{100}\\overline{BC}=\\frac{17}{20}\\overline{BC}$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{BC}\\times\\sin C$이므로 $\\triangle A'B'C$$=\\frac{1}{2}\\times{\\overline{A'C}}\\times{\\overline{B'C}}\\times sinC$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{6}{5}\\overline{AC}\\times\\frac{17}{20}\\overline{BC}\\times\\sin C$ $=\\frac{51}{50}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{BC}\\times\\sin C)$ $=\\frac{51}{50} \\times \\triangle ABC$ $=$$1.02\\times\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle A'B'C$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $2 \\%$ 늘어난다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 네 점 $O$, $P$, $Q$, $R$는 $\\overline{AC}$의 오등분점이고, 두 점 $M$, $N$은 $\\overline{BC}$의 삼등분점이다. $\\square ABMO,$$\\triangle CPN$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_1}{S_2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CN}=a$, $\\overline{CR}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$ $=\\frac{1}{2}\\times3a\\times5b\\times\\sin x$ $=\\frac{15}{2}ab\\sin x$ $\\\\$ $\\triangle COM$ $=\\frac{1}{2}\\times2a\\times4b\\times\\sin x$ $=4ab\\sin x$ $\\\\$ $\\triangle CPN$ $=\\frac{1}{2}\\times a\\times3b\\times\\sin x $ $=\\frac{3}{2}ab\\sin x$ $\\\\$ $∴$ $S_1$ $=\\triangle ABC-\\triangle COM$ $=\\frac{15}{2}ab\\sin x-4ab\\sin x$ $=\\frac{7}{2}ab\\sin x$ $∴$ $S_2$ $=\\triangle CPN$ $=\\frac{1}{2}\\times a\\times3b\\times\\sin x $ $=\\frac{3}{2}ab\\sin x$ $∴$ $\\frac{S_1}{S_2}$ $=\\frac{7}{2}ab\\sin x\\div\\frac{3}{2}ab\\sin x$ $=\\frac{7}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 네 점 $O$, $P$, $Q$, $R$는 $\\overline{AC}$의 오등분점이고, 두 점 $M$, $N$은 $\\overline{BC}$의 삼등분점이다. $\\square ABMO$, $\\square MNPO$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_1}{S_2}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CN}=a$, $\\overline{CR}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times5b\\times\\sin x$$=\\frac{15}{2}ab\\sin x$ $\\triangle COM$$=\\frac{1}{2}\\times2a\\times4b\\times\\sin x$$=4ab\\sin x$ $\\triangle CPN$$=\\frac{1}{2}\\times a\\times3b\\times\\sin x$$=\\frac{3}{2}ab\\sin x$ $∴$ $S_1$$=\\triangle ABC-\\triangle COM$$=\\frac{15}{2}ab\\sin x-4ab\\sin x$$=\\frac{7}{2}ab\\sin x$ $∴$ $S_2$$=\\triangle COM-\\triangle CPN$$=4ab\\sin x-\\frac{3}{2}ab\\sin x$$=\\frac{5}{2}ab\\sin x$ $∴$ $\\frac{S_1}{S_2}$$=\\frac{7}{2}ab\\sin x\\div\\frac{5}{2}ab\\sin x$$=\\frac{7}{5}$" }, { "question": "수면으로부터 높이가 $14 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $2$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $2$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=14\\tan60\\degree$$=14\\times\\sqrt{3}$$=14\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=14 m$ $∴ \\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=14\\sqrt{3}-14$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $2$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{14\\sqrt{3}-14}{2}$$=7\\sqrt{3}-7$ $(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 돌담 위에 지면과 수직으로 세워진 기념비의 높이 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라. $\\overline{AB}$=($\\square$)$m$", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선이 만나는 점을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{DE}=4\\sqrt{2}\\cos45\\degree=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4(m)$ $∴$ $\\overline{CE}=\\overline{CD}+\\overline{DE}=2+4$$=6 (m)$ $\\triangle ACE$에서 $\\overline{AE}=6\\tan60\\degree=6\\times\\sqrt{3}=6\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDE$는 직각이등변삼각형이므로$\\overline{BE}=\\overline{DE}=4 m$ $∴\\overline{AB}=\\overline{AE}-\\overline{BE}=6\\sqrt{3}-4$ $(m)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $1 : 3$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\angle ABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=4$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $F$라 할 때, $\\triangle CDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 $B$,$ C$,$ E$는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $1 : 3$이므로 $4 : \\overline{CD}=1 : 3$ $∴$ $\\overline{CD}=12$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times12\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times12\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $12\\sqrt{3}$$=4\\sqrt{3}\\overline{CF}$ $∴$ $\\overline{CF}$$=3$ $∴$$\\triangle CDF$$=$$\\frac{1}{2}\\times3\\times12\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times3\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$9\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=30$, $\\overline{OC}=5$, $\\overline{OD}=4$이고 $\\triangle BCO$의 넓이가 $10\\sqrt{3}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", "answer": "$\\angle BOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\overline{BO}\\times\\sin60\\degree=10\\sqrt{3}$ $\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\overline{BO}=10\\sqrt{3}$ $ \\therefore \\overline{BO}=8$ $\\overline{BD}=4+8=12$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=30$이므로 $\\overline{AC}=30-12=18$ $ \\therefore \\square ABCD$$=$$\\frac{1}{2}\\times18\\times12\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times18\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$54\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle C=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=40$이다. $\\angle BAD=32\\degree$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.
각도 사인($\\sin$) 코사인{$\\cos$} 탄젠트{$\\tan$}
$28\\degree$ $0.4695$ $0.8829$ $0.5317$
$29\\degree$ $0.4848$ $0.8746$ $0.5543$
$30\\degree$ $0.5000$ $0.8660$ $0.5774$
$31\\degree$ $0.5150$ $0.8572$ $0.6009$
$32\\degree$ $0.5299$ $0.8480$ $0.6249$
", "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{40}=\\frac{1}{2}$ $2\\overline{AC}=40$ $\\therefore$ $\\overline{AC}$$=20$ $\\angle BAC$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=60\\degree-32\\degree$$=28\\degree$ 따라서 $\\triangle ADC$에서 $\\tan28\\degree=\\frac{\\overline{CD}}{20}=0.5317$ $\\therefore$ $\\overline{CD}=10.634$" }, { "question": "수면으로부터 높이가 $20 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $4$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $4$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=20\\tan60\\degree=20\\times\\sqrt{3}=20\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=20 m$ $∴ \\overline{CD}=\\overline{BC}-\\overline{BD}=20\\sqrt{3}-20(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $4$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{20\\sqrt{3}-20}{4}=5\\sqrt{3}-5(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $2 : 3$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\angle ABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=2$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $F$라 할 때, $\\triangle CDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 $B$,$ C$,$ E$는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=2\\cos30\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $2 : 3$이므로 $2 : \\overline{CD}=2 : 3$ $∴ \\overline{CD}=3$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times3\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{4}\\overline{CF}$ $∴ \\overline{CF}$$=\\frac{6}{5}$ $∴ \\triangle{CDF}=\\frac{1}{2}\\times\\frac{6}{5}\\times3\\times\\sin{180\\degree-120\\degree}$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{6}{5}\\times3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=\\frac{9\\sqrt{3}}{10}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 $25$ % 줄이고, $\\overline{BC}$의 길이를 $20$ % 늘여서 새로운 $\\triangle A'BC'$을 만들 때, $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", "answer": "$\\overline{A'B}$는 $\\overline{AB}$의 길이를 $25 \\%$ 줄였으므로 $\\overline{A'B}=\\frac{75}{100}\\overline{AB}=\\frac{3}{4}\\overline{AB}$ $\\overline{BC'}$은 $\\overline{BC}$의 길이를 $20 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{BC'}=\\frac{120}{100}\\overline{BC}=\\frac{6}{5}\\overline{BC}$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{BC}\\times\\sin B$이므로 $\\\\ \\triangle A'BC' = \\frac{1}{2} \\times \\overline{A'B} \\times \\overline{BC'} \\times \\sin B \\\\ = \\frac{1}{2} \\times \\frac{3}{4}\\overline{AB} \\times \\frac{6}{5}\\overline{BC} \\times \\sin B \\\\= \\frac{9}{10} \\times (\\frac{1}{2} \\times \\overline{AB} \\times \\overline{BC} \\times \\sin B) \\\\ = \\frac{9}{10} \\times \\triangle{ABC} \\\\ = 0.9 \\times \\triangle ABC \\\\$ 따라서 $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $10\\%$ 줄어든다." }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 $20$ % 줄이고, $\\overline{BC}$의 길이를 $30$ $\\% $늘여서 새로운 $\\triangle A'BC'$을 만들 때, $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", "answer": "$\\overline{A'B}$는 $\\overline{AB}$의 길이를 $20 \\%$ 줄였으므로 $\\overline{A'B}=\\frac{80}{100}\\overline{AB}=\\frac{4}{5}\\overline{AB}$ $\\overline{BC'}$은 $\\overline{BC}$의 길이를 $30 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{BC'}=\\frac{130}{100}\\overline{BC}=\\frac{13}{10}\\overline{BC}$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{BC}\\times\\sin B$이므로 $\\triangle A'BC' = \\frac{1}{2} \\times \\overline{A'B} \\times \\overline{BC'} \\times sinB $ $= \\frac{1}{2} \\times \\frac{4}{5} \\overline{AB} \\times \\frac{13}{10} \\times sin B$ $= \\frac{26}{25} \\times (\\frac{1}{2} \\times \\overline{AB} \\times \\overline{BC} \\times sinB) = \\frac{26}{25} \\times \\triangle ABC $ $=$$1.04\\times\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $4\\%$ 늘어난다." }, { "question": "수면으로부터 높이가 $16 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $2$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $2$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=16\\tan60\\degree$$=16\\times\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=16 m$ ∴ $\\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=16\\sqrt{3}-16$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $2$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{16\\sqrt{3}-16}{2}$$=8\\sqrt{3}-8$ $(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=6\\cos45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\overline{CO}=6\\sin45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2}$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{6}$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2\\rbrace\\times3\\sqrt{2}$$+$$\\frac{1}{3}\\times\\lbrace\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2\\rbrace\\times\\sqrt{6}$$=(18\\sqrt{2}+6\\sqrt{6})\\pi$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=4\\sqrt{3} cm$, $\\overline{CD}=8 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{3}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{3}$이므로 $\\overline{AB}=k cm$, $\\overline{BC}=\\sqrt{3}k cm$$(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=30\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=8\\sin30\\degree=8\\times\\frac{1}{2}=4 (cm)$ $\\overline{DH}=8\\cos30\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(8\\sqrt{3})^2+4^2}$$=4\\sqrt{13} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{k^2+(\\sqrt{3}k)^2}$$=2k (cm)$ $2k=4\\sqrt{13}$ $∴ k=2\\sqrt{13}$ 따라서 $\\overline{AB}=2\\sqrt{13} cm$, $\\overline{BC}=2\\sqrt{39} cm$이므로 $\\square \\mathrm{ABCD} =\\triangle \\mathrm{ABC}+ \\triangle \\mathrm{ACD}$ $=\\frac{1}{2} \\times 2 \\sqrt{39} \\times 2 \\sqrt{13}+\\frac{1}{2} \\times 8 \\times 4 \\sqrt{3} \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-150^{\\circ}\\right) =26 \\sqrt{3}+8 \\sqrt{3} \\\\ $ $=$$34\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $5\\sqrt{3}$, $5$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)$$=$$(부채꼴A\\acute{O}B의 넓이)$$-(△AB\\acute{O}의 넓이)$ $=$$(\\pi\\times5^2\\times\\frac{120}{360})-\\lbrace\\frac{1}{2}\\times5\\times5\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)\\rbrace$ $=$$\\frac{25}{3}\\pi-\\frac{25\\sqrt{3}}{4}$ $(Q의 넓이)$$=$$(부채꼴AOB의 넓이)$$-(△ABO의 넓이)$ $=$$\\lbrace\\pi\\times(5\\sqrt{3})^2\\times\\frac{60}{360}\\rbrace-(\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{3}\\times5\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree)$ $=$$\\frac{25}{2}\\pi-\\frac{75\\sqrt{3}}{4}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(\\frac{25}{3}\\pi-\\frac{25\\sqrt{3}}{4})+(\\frac{25}{2}\\pi-\\frac{75\\sqrt{3}}{4})=\\frac{125}{6}\\pi-25\\sqrt{3}$" }, { "question": "수면으로부터 높이가 $27 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $3$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 C, $3$ 분 후의 배의 위치를 D라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=27\\tan60\\degree$$=27\\times\\sqrt{3}$$=27\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=27 m$ $∴$ $\\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=27\\sqrt{3}-27$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $3$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{27\\sqrt{3}-27}{3}$$=9\\sqrt{3}-9$ $(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AB}=16 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이고 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle AND=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CNM=\\frac{1}{8}\\square ABCD$ 이므로 $\\triangle AMN=\\square ABCD-(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM$ $=$$\\square ABCD-(\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{8}\\square ABCD)$ $=$$\\frac{3}{8}\\square ABCD$ $=$$\\frac{3}{8}\\times(16\\times10\\times\\frac{1}{2})$ $=$$30$ $(cm^2)$" }, { "question": "수면으로부터 높이가 $26 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $2$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $2$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=26\\tan60\\degree$$=26\\times\\sqrt{3}$$=26\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=26 m$ $∴$ $\\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=26\\sqrt{3}-26$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $2$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{26\\sqrt{3}-26}{2}$$=13\\sqrt{3}-13$ $(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle{ACB}$에서 $\\overline{AC}$의 길이를 $30\\%$ 줄이고, $\\overline{BC}$의 길이를 $20\\%$ 늘여서 새로운 $\\triangle{A'CB'}$을 만들 때, $\\triangle{A'CB'}$의 넓이는 $\\triangle{ACB}$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", "answer": "$\\overline{A'C}$는 $\\overline{AC}$의 길이를 $30 \\%$ 줄였으므로 $\\overline{A'C}=\\frac{70}{100}\\overline{AC}=\\frac{7}{10}\\overline{AC}$ $\\overline{B'C}$는 $\\overline{BC}$의 길이를 $20 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{B'C}=\\frac{120}{100}\\overline{BC}=\\frac{6}{5}\\overline{BC}$ $\\triangle ACB$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times\\overline{BC}\\times\\sin C$이므로 $=$$0.84\\times\\triangle ACB$ 따라서 $\\triangle A'CB'$의 넓이는 $\\triangle ACB$의 넓이에 비해 $16 \\%$ 줄어든다." }, { "question": "수면으로부터 높이가 $24 m$인 등대에서 처음 배를 내려다본 각의 크기는 $30\\degree$이고, $4$ 분 후에 같은 배를 내려다본 각의 크기는 $45\\degree$이었다. 이 배가 일정한 속력으로 움직였다고 할 때, 이 배의 움직이는 속력을 구하여라. (단, 배는 등대를 향해 일직선으로 움직인다.)", "answer": "처음 배의 위치를 $C$, $4$ 분 후의 배의 위치를 $D$라 하자. 위 그림에서 $\\angle BAC=60\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{BC}=24\\tan60\\degree$$=24\\times\\sqrt{3}$$=24\\sqrt{3} (m)$ $\\angle BAD=45\\degree$이고 $\\triangle ADB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BD}=\\overline{AB}=24 m$ $∴$ $\\overline{CD}$$=\\overline{BC}-\\overline{BD}$$=24\\sqrt{3}-24$ $(m)$ $\\overline{CD}$의 길이는 배가 $4$ 분 동안 이동한 거리이므로 배의 속력은 $\\frac{24\\sqrt{3}-24}{4}$$=6\\sqrt{3}-6$ $(m/min)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 두 점 $P$, $Q$는 $\\overline{AC}$의 삼등분점이고, 네 점 $L$, $M$, $N$, $O$는 $\\overline{BC}$의 오등분점이다. $\\square ABLP$, $\\square LMQP$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$라 할 때, $\\frac{S_2}{S_1}$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CO}=a$, $\\overline{CQ}=b$, $\\angle C=\\angle x$라 하면 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times5a\\times3b\\times\\sin x$$=\\frac{15}{2}ab\\sin x$ $\\triangle CPL$$=\\frac{1}{2}\\times4a\\times2b\\times\\sin x$$=4ab\\sin x$ $\\triangle CQM$$=\\frac{1}{2}\\times3a\\times b\\times\\sin x$$=\\frac{3}{2}ab\\sin x$ $∴$ $S_1$$=\\triangle ABC-\\triangle CPL$$=\\frac{15}{2}ab\\sin x-4ab\\sin x$$=\\frac{7}{2}ab\\sin x$ $∴$ $S_2$$=\\triangle CPL-\\triangle CQM$$=4ab\\sin x-\\frac{3}{2}ab\\sin x$$=\\frac{5}{2}ab\\sin x$ $∴$ $\\frac{S_2}{S_1}$$=\\frac{5}{2}ab\\sin x\\div\\frac{7}{2}ab\\sin x$$=\\frac{5}{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이고 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle AND=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CNM=\\frac{1}{8}\\square ABCD$ 이므로 $ \\triangle AMN = \\square ABCD -(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM)$ $\\square \\mathrm{ABCD}-(\\frac{1}{4}\\square \\mathrm{ABCD}+\\frac{1}{4}\\square \\mathrm{ABCD}+\\frac{1}{8}\\square \\mathrm{ABCD})$ $=\\frac{3}{8}\\square ABCD$ $=\\frac{3}{8} \\times\\left(8 \\times 10 \\times \\sin 30^{\\circ}\\right)$ $=\\frac{3}{8} \\times\\left(8 \\times 10 \\times \\frac{1}{2}\\right)$ $=$$15$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=20 cm$이고 점 $M, N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline {CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle AND=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CNM=\\frac{1}{8}\\square ABCD$ 이므로 $\\triangle AMN=\\square ABCD-(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM)$ $=\\square ABCD-(\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{8}\\square ABCD)=\\frac{3}{8}\\square ABCD =\\frac{3}{8}\\times(12\\times20\\times sin60\\degree)=\\frac{3}{8}\\times(12\\times20\\times\\frac{\\sqrt3}{2})=45\\sqrt{3}(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AB}=20 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$이고 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM$=$\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle AND$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CNM$$=\\frac{1}{8}\\square ABCD$ 이므로 $\\triangle AMN$$=\\square ABCD$$-(\\triangle ABM$$+\\triangle AND$$+\\triangle CNM)$$=$$\\square ABCD$$-(\\frac{1}{4} \\square ABCD+\\frac{1}{4} \\square ABCD+\\frac{1}{8}\\square ABCD)$$=frac{3}{8}\\square ABCD=\\frac{3}{8}\\times(20\\times12\\times sin30\\degree)$$=\\frac{3}{8}\\times(20\\times12\\times\\frac{1}{2})=45(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times43\\degree$$=94\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times94\\degree=47\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times116\\degree$$=232\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-232\\degree$$=128\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times128\\degree=64\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=232\\degree+64\\degree$$=296\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $2 cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{2}{\\sin30\\degree}$$=4 (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=30\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{2}{\\sin30\\degree}$$=4 (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $4\\times4\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$$=4\\times4\\times\\frac{1}{2}$ $=$$8$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $2 : 3$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\angle ABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=4$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 F라 할 때, $\\triangle CDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 $B$,$ C$,$ E$는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=4\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $2 : 3$이므로 $4 : \\overline{CD}=2 : 3$ $∴$ $\\overline{CD}=6$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times6\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times6\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $6\\sqrt{3}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\overline{CF}$ $∴$ $\\overline{CF}$$=\\frac{12}{5}$ $∴$ $\\triangle{CDF}=\\frac{1}{2}\\times\\frac{12}{5}\\times6\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{12}{5}\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{18\\sqrt{3}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\overline{AB}=16 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이고 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM$$=$$\\frac{1}{4}$$\\square$$ABCD$, $\\triangle$$AND$$=$$\\frac{1}{4}$$\\square$$ABCD$, $\\triangle$$CNM$$=$$\\frac{1}{8}$$\\square$$ABCD$ 이므로 $\\triangle AMN=□ABCD-(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM)$ $=□ABCD-(\\frac{1}{4}□ABCD+\\frac{1}{4}□ABCD+\\frac{1}{8}□ABCD)$ $=\\frac{3}{8}□ABCD$ $=\\frac{3}{8}\\times(16\\times10\\times\\sin{60\\degree)}$ $=\\frac{3}{8}\\times(16\\times10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=30\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $8\\sqrt{3}$, $8$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)=(부채꼴 AO'B의 넓이)-(\\triangle{ABO'}의 넓이) =(pi\\times8^2\\times\\frac{120}{360})-\\lbrace\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)\\rbrace =\\frac{64}{3}\\pi-16\\sqrt{3}$ $\\\\$ $(Q의 넓이)=(부채꼴 AOB의 넓이)-(\\triangle{AOB}의 넓이)=\\lbrace\\pi\\times(8\\sqrt{3})^2\\times\\frac{60}{360}\\rbrace-(\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times8\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree)$ $=$$32\\pi-48\\sqrt{3}$ $\\\\$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(\\frac{64}{3}\\pi-16\\sqrt{3})+(32\\pi-48\\sqrt{3})=\\frac{160}{3}\\pi-64\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=16 cm$이고 점 M, N이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM=\\frac{1}{4} \\square ABCD, \\triangle AND=\\frac{1}{4} \\square ABCD, \\triangle CNM=\\frac{1}{8} \\square ABCD $ 이므로 $\\triangle AMN=\\square ABCD-(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM)$ $=\\square ABCD-(\\frac{1}{4} \\square ABCD+\\frac{1}{4} \\square ABCD+\\frac{1}{8} \\square ABCD) $ $=\\frac{3}{8} \\square ABCD$ $=\\frac{3}{8} \\times(12 \\times 16 \\times \\sin 60^{\\circ})$ $=\\frac{3}{8} \\times(12 \\times 16 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=36 \\sqrt{3}(\\mathrm{~cm}^{2}) $" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=20$, $\\overline{OC}=6$, $\\overline{OD}=4$이고 $\\triangle BCO$의 넓이가 $9$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", "answer": "$\\angle BOC$$=180\\degree-150\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{BO}\\times\\sin30\\degree=9$ $\\frac{3}{2}\\overline{BO}=9$ $∴ \\overline{BO}=6$ $\\overline{BD}=4+6=10$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=20$이므로 $\\overline{AC}=20-10=10$ $∴ \\square{ABCD}=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin 30\\degree=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{1}{2}$ $=$$25$" }, { "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\overline{AB}=16 cm$, $\\overline{BC}=18 cm$이고 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{BC}$와 $\\overline{CD}$의 중점일 때, $\\triangle AMN$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABM=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle AND=\\frac{1}{4}\\square ABCD$, $\\triangle CNM=\\frac{1}{8}\\square ABCD$ 이므로 $\\triangle AMN=\\square ABCD-(\\triangle ABM+\\triangle AND+\\triangle CNM)$ $=\\square ABCD-(\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{4}\\square ABCD+\\frac{1}{8}\\square ABCD) $ $=\\frac{3}{8}\\square ABCD$ $=\\frac{3}{8}\\times(16\\times18\\times\\sin 60\\degree)$ $=\\frac{3}{8}\\times(16\\times18\\times\\frac{\\sqrt3}{2})$ $=$$54\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $4 cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{4}{\\sin30\\degree}$$=8 (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=30\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{4}{\\sin30\\degree}$$=8 (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $=$$32$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $6\\sqrt{3}$, $6$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)$$=$$(부채꼴 AO'B의 넓이)$$-(\\triangle{ABO'}의 넓이)$ $=(\\pi\\times6^2\\times\\frac{120}{360})-\\lbrace\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)\\rbrace$ $=$$12\\pi-9\\sqrt{3}$ $(Q의 넓이)$$=$$(부채꼴 AOB의 넓이)$$-(\\triangle{AOB}의 넓이)$ $=\\lbrace\\pi\\times(6\\sqrt{3})^2\\times\\frac{60}{360}\\rbrace-(\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times6\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree)$ $=$$18\\pi-27\\sqrt{3}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(12\\pi-9\\sqrt{3})+(18\\pi-27\\sqrt{3})=30\\pi-36\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $3$ cm로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{3}{\\sin60\\degree}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=60\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{3}{\\sin60\\degree}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $2\\sqrt3\\times2\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =2\\sqrt3\\times2\\sqrt3\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =6\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $6$, $2\\sqrt{3}$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 A, B에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)=(부채꼴 AO'B의 넓이)-(\\triangle ABO'의 넓이) =\\{ \\pi \\times (2\\sqrt{3})^2 \\times \\frac{120}{360} \\}-\\{ \\frac{1}{2} \\times 2\\sqrt{3} \\times 2\\sqrt{3} \\times \\sin(180\\degree-120\\degree)\\}=4\\pi-3\\sqrt{3}$ $(Q의 넓이)=(부채꼴 AOB의 넓이)-(\\triangle AOB의 넓이) =(\\pi \\times 6^2 \\times \\frac{60}{360})-(\\frac{1}{2} \\times 6 \\times 6 \\times \\sin60\\degree)=6\\pi-9\\sqrt{3}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(4\\pi-3\\sqrt{3})+(6\\pi-9\\sqrt{3})=10\\pi-12\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=27$, $\\overline{OC}=4$, $\\overline{OD}=6$이고 $\\triangle BCO$의 넓이가 $9\\sqrt{3}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", "answer": "$\\angle BOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times4\\times\\overline{BO}\\times\\sin60\\degree=9\\sqrt{3}$ $\\sqrt{3}\\overline{BO}=9\\sqrt{3}$ $\\therefore \\overline{BO}=9$ $\\overline{BD}=6+9=15$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=27$이므로 $\\overline{AC}=27-15=12$ $\\therefore \\square{ABCD}=\\frac{1}{2}\\times12\\times15\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times12\\times15\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$45\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $4\\sqrt{3}$, $4$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)$$=(부채꼴 AO'B의 넓이)-(\\triangle{ABO'}의 넓이)$ $=(\\pi\\times4^2\\times\\frac{120}{360})-\\lbrace\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)\\rbrace$ $=$$\\frac{16}{3}\\pi-4\\sqrt{3}$ $(Q의 넓이)$$=(부채꼴 AOB의 넓이)-(\\triangle{AOB}의 넓이)$ $=\\lbrace\\pi\\times(4\\sqrt{3})^2\\times\\frac{60}{260}\\rbrace-(\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree)$ $=$$8\\pi-12\\sqrt{3}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(\\frac{16}{3}\\pi-4\\sqrt{3})+(8\\pi-12\\sqrt{3})=\\frac{40}{3}\\pi-16\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. $\\angle{APB}=58\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square APBO$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+58\\degree+90\\degree)=122\\degree$ $∴ \\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times122\\degree=61\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 닮음비가 $3 : 4$인 두 이등변삼각형 $ABC$, $DCE$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$이고 $\\anglevABC=30\\degree$, $\\overline{AB}=2$이다. $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $F$라 할 때, $\\trianglevCDF$의 넓이를 구하여라. (단, 세 점 $B$,$ C$,$ E$는 한 직선 위의 점이다.)", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=2\\cos30\\degree$$=2\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{BC}$$=2\\overline{BH}$$=2\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle DCE$의 닮음비가 $3 : 4$이므로 $2 : \\overline{CD}=3 : 4$ $∴$ $\\overline{CD}=\\frac{8}{3}$ $\\angle BCD$$=180\\degree-\\angle DCE$$=180\\degree-30\\degree$$=150\\degree$ $\\angle DCF$$=\\angle BCD-\\angle ACB$$=150\\degree-30\\degree$$=120\\degree$ $\\triangle BCD$$=\\triangle BCF+\\triangle CDF$이므로 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{8}{3}\\times\\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times\\overline{CF}\\times\\sin30\\degree+\\frac{1}{2}\\times\\overline{CF}\\times\\frac{8}{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $\\frac{4\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{7\\sqrt{3}}{6}\\overline{CF}$ $∴$ $\\overline{CF}$$=\\frac{8}{7}$ $\\triangle CDF=\\frac{1}{2}\\times\\frac{8}{7}\\times\\frac{8}{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{8}{7}\\times\\frac{8}{3}\\times\\frac{\\sqrt3}{2}$ $=\\frac{16\\sqrt{3}}{21}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=2\\sqrt{3} cm$, $\\overline{CD}=4 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : 3$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=2 : 3$이므로 $\\overline{AB}=2k cm$, $\\overline{BC}=3k cm$$(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=30\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=4\\sin30\\degree=4\\times\\frac{1}{2}=2 (cm)$ $\\overline{DH}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+2^2}$$=2\\sqrt{13} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(2k)^2+(3k)^2}$$=\\sqrt{13}k (cm)$ $\\sqrt{13}k=2\\sqrt{13}$ $∴$ $k=2$ 따라서 $\\overline{AB}=4 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$이므로 $\\square ABCD=\\triangle ABC+\\triangle ACD$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times4+\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{2}\\times \\sin(180\\degree-150\\degree)$ $=$$12+2\\sqrt{3}$ $=$$12+2\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $2\\sqrt{3} cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square$$ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=4 (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=60\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=4 (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $ 4 \\times 4 \\times sin(180\\degree - 120\\degree$) $= 4\\times4 \\times $$\\frac{\\sqrt{3}}2 =$ $8\\sqrt{3}$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle ABC=95\\degree$, $\\angle ACD=30\\degree$, $\\angle BDC=37\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $95\\degree+(\\angle x+37\\degree)=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=48\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. $\\angle APB=88\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square APBO$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+88\\degree+90\\degree)=92\\degree$ $∴$ $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times92\\degree=46\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 A, B는 접점이다. $\\angle APB=74\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square APBO$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+74\\degree+90\\degree)=106\\degree$ $∴$ $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times106\\degree=53\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times33\\degree$$=114\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle APB=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times114\\degree=57\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times118\\degree$$=236\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-236\\degree$$=124\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times124\\degree=62\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y$$=236\\degree-62\\degree$$=174\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $9$, $3\\sqrt{3}$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이)=(부채꼴 AO'B 넓이)-(△ABO'의 넓이) =\\{\\pi\\times(3\\sqrt3)^2\\times\\frac{120}{360}\\}-\\{\\frac{1}{2}\\times3\\sqrt3\\times3\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)\\} =9\\pi-\\frac{27\\sqrt{3}}{4}$ $(Q의 넓이)=(부채꼴 AOB 넓이)-(△AOB의 넓이) =(\\pi\\times9^2\\times\\frac{60}{360})-(\\frac{1}{2}\\times9\\times9\\times\\pi60\\degree) =\\frac{27}{2}\\pi-\\frac{81\\sqrt{3}}{4}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(9\\pi-\\frac{27\\sqrt{3}}{4})-(\\frac{27}{2}\\pi-\\frac{81\\sqrt{3}}{4})$$=$$\\frac{45}{2}\\pi-27\\sqrt3$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB=180\\degree-2\\times30\\degree=120\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle APB=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times120\\degree=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$가 원 $O$의 지름이고 $\\angle CAD=23\\degree$, $\\angle ADB=40\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ABD$$=90\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(23\\degree+90\\degree+40\\degree)$$=27\\degree$ $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times27\\degree$$=54\\degree$ 따라서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 중심각의 크기는 $54\\degree$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$가 원 O의 지름이고 $\\angle CAD=18\\degree$, $\\angle\\ ADB=51\\degree$일 때, $\\widehat{BC}$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ABD$$=90\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(18\\degree+90\\degree+51\\degree)$$=21\\degree$ $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times21\\degree$$=42\\degree$ 따라서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 중심각의 크기는 $42\\degree$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x=2\\angle BCD=2\\times130\\degree=260\\degree$ 이때 $\\angle BOD=360\\degree-260\\degree=100\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times100\\degree=50\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y=260\\degree-50\\degree=210\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times32\\degree$$=116\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times116\\degree=58\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $\\sqrt{5} cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sin30\\degree}$$=2\\sqrt{5} (cm)$ $\\angle BCI$$=\\angle DCH$$=30\\degree$ (맞꼭지각)이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sin30\\degree}$$=2\\sqrt{5} (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $2\\sqrt{5}\\times2\\sqrt{5}\\times \\sin(180\\degree - 150\\degree)$$=2\\sqrt{5}\\times2\\sqrt{5}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$10$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAD=95\\degree$, $\\angle CBD=35\\degree$, $\\angle ACB=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. $\\angle x$$=$$\\square$$\\degree$", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $95\\degree+(47\\degree+\\angle x)=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=38\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times119\\degree$$=238\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-238\\degree$$=122\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times122\\degree=61\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=238\\degree-61\\degree$$=177\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A, B$는 접점이다. $\\angle APB=66\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+90\\degree+66\\degree)=114\\degree$ $∴$ $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times114\\degree=57\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. $\\angle APB=68\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square APBO$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+68\\degree+90\\degree)=112\\degree$ $ \\therefore \\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times112\\degree=56\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times36\\degree$$=108\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times108\\degree=54\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times38\\degree$$=104\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle APB=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times104\\degree=52\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $18$, $6\\sqrt{3}$인 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $A, B$에서 만나고, $\\angle AOB=60\\degree$, $\\angle AO'B=120\\degree$일 때, 두 원이 겹치는 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $P$, $Q$의 넓이의 합과 같다. $(P의 넓이) = (부채꼴 AO^\\prime B의 넓이)-(\\triangle ABO^\\prime 의 넓이)$ $=\\{\\pi \\times (6\\sqrt{3})^2 \\times \\frac{120}{360} \\}$ $-\\{\\frac{1}{2} \\times 6\\sqrt{3} \\times 6\\sqrt{3} \\times \\sin(180\\degree -120\\degree)\\}$ $=36\\pi-27\\sqrt{3}$ $(Q의 넓이) = (부채꼴 AOB의 넓이)-(\\triangle ABO의 넓이)$ $=(\\pi \\times 18^2 \\times \\frac{60}{360} )-(\\frac{1}{2} \\times 18 \\times 18 \\times \\sin 60\\degree)$ $=54\\pi-81\\sqrt{3}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(36\\pi-27\\sqrt{3})+(54\\pi-81\\sqrt{3})=90\\pi-108\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 폭이 $\\sqrt{2} cm$로 같은 직사각형 모양의 두 테이프를 겹쳐 놓았을 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$, 점 $B$에서 $\\overline{CD}$의 연장선 위에 내린 수선의 발을 $I$라 하자. $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CD}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\angle BCI=\\angle DCH=30\\degree(맞꼭지각)$이므로 $\\triangle BIC$에서 $\\overline{BC}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\square ABCD$는 평행사변형이므로 구하는 넓이는 $2\\sqrt{2} \\times2\\sqrt{2} \\times sin(180\\degree-150\\degree) =2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2} =4(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times132\\degree$$=264\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-264\\degree$$=96\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times96\\degree=48\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y$$=264\\degree-48\\degree$$=216\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square{ABCD}$가 원에 내접하고 $\\angle{BAD}=97\\degree$, $\\angle{CBD}=47\\degree$, $\\angle{ACB}=53\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $97\\degree+(53\\degree+\\angle x)=180\\degree$ $∴ \\angle x=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. $\\angle APB=36\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+90\\degree+36\\degree)=144\\degree$ $∴$ $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times144\\degree=72\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. $\\angle APB=56\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+90\\degree+56\\degree)=124\\degree$ $∴ \\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times124\\degree=62\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$가 원 $O$의 지름이고 $\\angle CAD=43\\degree$, $\\angle ADB=28\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ABD$$=90\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(43\\degree+90\\degree+28\\degree)$$=19\\degree$ $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times19\\degree$$=38\\degree$ 따라서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 중심각의 크기는 $38\\degree$이다." }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PA$, $PB$는 원 $O$의 접선이고 두 점 $A, B$는 접점이다. $\\angle APB=40\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$를 그으면 $\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle AOB=360\\degree-(90\\degree+90\\degree+40\\degree)=140\\degree$ $ \\therefore \\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times140\\degree=70\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOB$$=180\\degree-2\\times54\\degree$$=72\\degree$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle x=\\frac{1}{2}\\angle AOB=\\frac{1}{2}\\times72\\degree=36\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$일 때, $\\angle{y}-\\angle{x}$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=53\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times53\\degree$$=106\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times53\\degree$$=106\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=106\\degree+106\\degree$$=212\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x$$=212\\degree-53\\degree$$=159\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{BC}$$=\\widehat{CD}$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=32\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times32\\degree$$=64\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times32\\degree$$=64\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=64\\degree+64\\degree$$=128\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x$$=128\\degree-32\\degree$$=96\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC}$가 원 $O$의 지름이고 $\\angle CBD=35\\degree$, $\\angle ACB=23\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CD}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle BDC$$=90\\degree$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle ACD$$=180\\degree-(35\\degree+23\\degree+90\\degree)$$=32\\degree$ $\\angle AOD$$=2\\angle ACD$$=2\\times32\\degree$$=64\\degree$ 따라서 \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} \\) 에 대한 중심각의 크기는 $64\\degree$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CD}$가 원 $O$의 지름이고 $\\angle ACD=29\\degree$, $\\angle BDC=23\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle CAD$$=90\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $\\angle ADB$$=180\\degree-(90\\degree+29\\degree+23\\degree)$$=38\\degree$ $\\angle AOB$$=2\\angle ADB$$=2\\times38\\degree$$=76\\degree$ 따라서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 중심각의 크기는 $76\\degree$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle ACB=19\\degree$, $\\angle CPD=28\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y$$=\\angle ACB$$=19\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=19\\degree+28\\degree=47\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=47\\degree+19\\degree$$=66\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 O의 지름이고 $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}=\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이다. $\\angle ABC=34\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAD=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle x+(34\\degree+\\angle x)+90\\degree=180\\degree$ $2\\angle x+124\\degree=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x=28\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APD=35\\degree$, $\\angle BDC=25\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+2\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y=\\angle BDC=25\\degree$ $\\triangle APC$에서 $\\angle x=25\\degree+35\\degree=60\\degree$ $∴ \\angle x+2\\angle y$$=60\\degree+2\\times25\\degree=110\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle ABC=105\\degree$, $\\angle ACD=50\\degree$, $\\angle BDC=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. $\\angle x$=$\\square$$\\degree$", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $105\\degree+(\\angle x+47\\degree)=180\\degree$ ∴ $\\angle x=28\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 $O$의 지름이고 $\\widehat{BD}$$=\\widehat{CD}$이다. $\\angle ABC=26\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAD=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle x+(26\\degree+\\angle x)+90\\degree=180\\degree$ $2\\angle x+116\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=32\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle ABC=93\\degree$, $\\angle ACD=28\\degree$, $\\angle BDC=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $93\\degree+(\\angle x+47\\degree)=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x=40\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=55\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times55\\degree$$=110\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times55\\degree$$=110\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=110\\degree+110\\degree$$=220\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x$$=220\\degree-55\\degree$$=165\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{BC}$$=\\widehat{CD}$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=42\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times42\\degree$$=84\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times42\\degree$$=84\\degree$ $∴$ $\\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=84\\degree+84\\degree$$=168\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=42\\degree+168\\degree$$=210\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 $O$의 지름이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이다. $\\angle BAC=32\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle ABD=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $(32\\degree+\\angle x)+\\angle x+90\\degree=180\\degree$ $2\\angle x+122\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=29\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{BC}$$=\\widehat{CD}$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=24\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times24\\degree$$=48\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times24\\degree$$=48\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=48\\degree+48\\degree$$=96\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=24\\degree+96\\degree$$=120\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 P라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $∴$ $\\triangle APB\\backsim\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $3 : 6=4 : \\overline{DP}$ $3\\overline{DP}=24$ $∴$ $\\overline{DP}$$=8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=34$, $\\overline{OC}=\\overline{OD}=4$이고 $\\triangle BCO$의 넓이가 $12\\sqrt{3}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", "answer": "$\\angle BOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times4\\times\\overline{BO}\\times\\sin60\\degree=12\\sqrt{3}$ $\\sqrt{3}\\overline{BO}=12\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BO}=12$ $\\overline{BD}=4+12=16$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=34$이므로 $\\overline{AC}=34-16=18$ $=$$72\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times112\\degree$$=224\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-224\\degree$$=136\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times136\\degree=68\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y$$=224\\degree-68\\degree$$=156\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=39\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times39\\degree$$=78\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times39\\degree$$=78\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=78\\degree+78\\degree$$=156\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=39\\degree+156\\degree$$=195\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle ACB=26\\degree$, $\\angle CPD=32\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y$$=\\angle ACB$$=26\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=26\\degree+32\\degree=58\\degree$ $ \\therefore \\angle x+\\angle y$$=58\\degree+26\\degree$$=84\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle ACB=23\\degree$, $\\angle CPD=46\\degree$이고 네 점 $A, B, C, D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y=\\angle ACB=23\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=23\\degree+46\\degree=69\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=69\\degree+23\\degree$$=92\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle ACB=24\\degree$, $\\angle CPD=32\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y$$=\\angle ACB$$=24\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=24\\degree+32\\degree=56\\degree$ $ \\therefore \\angle x+\\angle y$$=56\\degree+24\\degree$$=80\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\squareABCD$는 원 O에 내접하고 $\\angle BAD=48\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times48\\degree$$=96\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $48\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴$ $\\angle BCD=132\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle x+132\\degree+\\angle y+96\\degree=360\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=132\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APB=47\\degree$, $\\angle CAD=19\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y=\\angle CAD=19\\degree$ $\\triangle BPD$에서 $\\angle x=19\\degree+47\\degree=66\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y=66\\degree+19\\degree=85\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 $O$의 지름이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}​=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이다. $\\angle ABC=30\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}​=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​$이므로 $\\angle BAD=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle x+(30\\degree+\\angle x)+90\\degree=180\\degree$ $2\\angle x+120\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle x$$=\\angle BAC$$=34\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times34\\degree$$=68\\degree$ $\\angle COD$$=2\\angle CED$$=2\\times34\\degree$$=68\\degree$ $∴ \\angle y$$=\\angle BOC+\\angle COD$$=68\\degree+68\\degree$$=136\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=34\\degree+136\\degree$$=170\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=68\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times68\\degree$$=136\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $68\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴ \\angle BCD=112\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle x+112\\degree+\\angle y+136\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=112\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle ABC=85\\degree$, $\\angle ACD=24\\degree$, $\\angle BDC=56\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $85\\degree+(\\angle x+56\\degree)=180\\degree$ $∴ \\angle x=39\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\angle APB=42\\degree$, $\\angle CAD=15\\degree$이고 네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있을 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "네 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 한 원 위에 있으므로 $\\angle y$$=\\angle CAD$$=15\\degree$ $\\triangle BPD$에서 $\\angle x=15\\degree+42\\degree=57\\degree$ $∴\\angle x+\\angle y$$=57\\degree+15\\degree$$=72\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle ABO=76\\degree$, $\\angle ADO=21\\degree$일 때, $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ABO$, $\\triangle ADO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAO$$=\\angle ABO$$=76\\degree$, $\\angle DAO$$=\\angle ADO$$=21\\degree$ $ \\therefore \\angle BAD$$=76\\degree-21\\degree$$=55\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $55\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $ \\therefore \\angle BCD=125\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $A$,$ B$, $C$,$ D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{AD}$, $\\overline{BE}$의 교점이다. $\\angle ABE=36\\degree$, $\\angle BED=60\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square BCDE$가 원에 내접하므로 $\\angle BCD+\\angle BED=180\\degree$ $\\angle x+60\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=120\\degree$ $\\stackrel\\frown{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ADE$$=\\angle ABE$$=36\\degree$ $\\triangle DEF$에서 $\\angle y=36\\degree+60\\degree=96\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=120\\degree-96\\degree$$=24\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle CAD=42\\degree$, $\\angle BCD=85\\degree$, $\\angle ADB=33\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $(\\angle x+42\\degree)+85\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=53\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{AC}$, $\\overline{BD}$의 교점이다. $\\angle BAC=47\\degree$, $\\angle ACD=69\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square ACDE$가 원에 내접하므로 $\\angle ACD+\\angle AED=180\\degree$ $69\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴ \\angle x=111\\degree$ $\\widehat{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=47\\degree$ $\\triangle CDF$에서 $\\angle y=69\\degree+47\\degree=116\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y=111\\degree+116\\degree=227\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고, $\\overline{AB}$와 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 $P$, $\\overline{AD}$와 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $Q$라 하자. $\\angle P=40\\degree$, $\\angle Q=38\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAQ$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCP$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+40\\degree$ $\\triangle AQB$에서 $\\angle x+38\\degree+(\\angle x+40\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+78\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=51\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+51\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=129\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAC=39\\degree$, $\\angle BCD=106\\degree$, $\\angle ADB=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. 4", "answer": "$\\widehat{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=39\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle x$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=47\\degree+39\\degree$$=86\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{AD}$, $\\overline{BE}$의 교점이다. $\\angle BAD=65\\degree$, $\\angle ADE=34\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $65\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=115\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE$$=\\angle ADE$$=34\\degree$ $\\triangle ABF$에서 $\\angle y=65\\degree+34\\degree=99\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=115\\degree+99\\degree$$=214\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점$A$, $B$, $C$, $D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{AD}$, $\\overline{BE}$의 교점이다. $\\angle ABE=33\\degree$, $\\angle BED=55\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square BCDE$가 원에 내접하므로 $\\angle BCD+\\angle BED=180\\degree$ $\\angle x+55\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=125\\degree$ $\\widehat{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ADE$$=\\angle ABE$$=33\\degree$ $\\triangle DEF$에서 $\\angle y=33\\degree+55\\degree=88\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=125\\degree+88\\degree$$=213\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=61\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times61\\degree$$=122\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $61\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $ \\therefore \\angle BCD=119\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle x+119\\degree+\\angle y+122\\degree=360\\degree$ $ \\therefore \\angle x+\\angle y$$=119\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle ABO=41\\degree$, $\\angle ADO=20\\degree$일 때, $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ABO$, $\\triangle ADO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAO$$=\\angle ABO$$=41\\degree$, $\\angle DAO$$=\\angle ADO$$=20\\degree$ $ \\therefore \\angle BAD$$=41\\degree-20\\degree$$=21\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $21\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $ \\therefore \\angle BCD=159\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=58\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times58\\degree$$=116\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $58\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴ \\angle BCD=122\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle x+122\\degree+\\angle y+116\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=122\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=67\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times67\\degree$$=134\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $67\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴ \\angle BCD=113\\degree$ $\\square$$BCDO$에서 $\\angle x+113\\degree+\\angle y+134\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=113\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{BD}$, $\\overline{CE}$의 교점이다. $\\angle CBD=42\\degree$, $\\angle BDE=54\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square ABDE$가 원에 내접하므로 $\\angle BAE+\\angle BDE=180\\degree$ $\\angle x+54\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=126\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle CED$$=\\angle CBD$$=42\\degree$ $\\triangle DEF$에서 $\\angle y=54\\degree+42\\degree=96\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=126\\degree-96\\degree$$=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=46\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times46\\degree$$=92\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $46\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴$ $\\angle BCD=134\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle y+134\\degree+\\angle x+92\\degree=360\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=134\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square$$ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAC=29\\degree$, $\\angle BCD=106\\degree$, $\\angle ADB=77\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\stackrel\\frown{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=29\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle x$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=77\\degree+29\\degree$$=106\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $점 A, B, C, D, E$는 한 원 위에 있고 $점 F$는 $\\overline{AD}$, $\\overline{BE}$의 교점이다. $\\angle BAD=75\\degree$, $\\angle ADE=34\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $75\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=105\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE$$=\\angle ADE$$=34\\degree$ $\\triangle ABF$에서 $\\angle y=75\\degree+34\\degree=109\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=105\\degree+109\\degree$$=214\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAC=19\\degree$, $\\angle BCD=98\\degree$, $\\angle ADB=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} $에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=19\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle x$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=47\\degree+19\\degree$$=66\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 O에 내접하고 $\\angle ABO=67\\degree$, $\\angle ADO=20\\degree$일 때, $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ABO$, $\\triangle ADO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAO$$=\\angle ABO$$=67\\degree$, $\\angle DAO$$=\\angle ADO$$=20\\degree$ $∴$ $\\angle BAD$$=67\\degree-20\\degree$$=47\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $47\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴$ $\\angle BCD=133\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square$$ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle CAD=38\\degree$, $\\angle ABC=82\\degree$, $\\angle BDC=50\\degree$일 때, $\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$$=50\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=\\angle BAC+\\angle CAD$$=50\\degree+38\\degree$$=88\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle ABO=76\\degree$, $\\angle ADO=13\\degree$일 때, $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ABO$, $\\triangle ADO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAO$$=\\angle ABO$$=76\\degree$, $\\angle DAO$$=\\angle ADO$$=13\\degree$ $∴$ $\\angle BAD$$=76\\degree-13\\degree$$=63\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $63\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴$ $\\angle BCD=117\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle CBO=30\\degree$, $\\angle CDO=60\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle CDO$, $\\triangle BOC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle DCO$$=\\angle CDO$$=60\\degree$, $\\angle BCO$$=\\angle CBO$$=30\\degree$ $∴$ $\\angle BCD$$=60\\degree-30\\degree$$=30\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $\\angle BAD+30\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle BAD=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $∴ \\triangle APB\\backsim\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $4 : 8=5 : \\overline{DP}$ $4\\overline{DP}=40$ $∴ \\overline{DP}$$=10 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름 $BC$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고, 점 $P$에서 원 $O$에 접선 $PT$를 그어 접점을 $A$라 하자. $\\overline{AC}$$=\\overline{AP}$일 때, $\\angle CAT$의 크기를 구하여라. ", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\angle BAC$$=90\\degree$ $\\angle ACP=\\angle x$라 하면 $\\triangle APC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle APC=\\angle ACP=\\angle x$ $\\triangle APC$에서 $\\angle CAT=\\angle x+\\angle x=2\\angle x$ 직선 $AT$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABC=\\angle CAT$$=2\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $90\\degree+2\\angle x+\\angle x=180\\degree$ $3\\angle x+90\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=30\\degree$ $∴ \\angle CAT=2\\angle x=2\\times30\\degree=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원에 내접하고, $\\overline{AD}$와 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 P, $\\overline{AB}$와 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 Q라 하자. $\\angle P=51\\degree$, $\\angle Q=49\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAP$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCQ$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+49\\degree$ $\\triangle APB$에서 $\\angle x+51\\degree+(\\angle x+49\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+100\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=40\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+40\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=140\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAC=26\\degree$, $\\angle BCD=111\\degree$, $\\angle ADB=22\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} $에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=26\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle x$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=22\\degree+26\\degree$$=48\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle CBO=23\\degree$, $\\angle CDO=76\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle CDO$, $\\triangle BOC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle DCO$$=\\angle CDO$$=76\\degree$, $\\angle BCO$$=\\angle CBO$$=23\\degree$ $∴$ $\\angle BCD$$=76\\degree-23\\degree$$=53\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $\\angle BAD+53\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle BAD=127\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle ABO=81\\degree$, $\\angle ADO=16\\degree$일 때, $\\angle BCD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ABO$, $\\triangle ADO$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAO$$=\\angle ABO$$=81\\degree$, $\\angle DAO$$=\\angle ADO$$=16\\degree$ $∴ \\angle BAD$$=81\\degree-16\\degree$$=65\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $65\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴\\angle BCD=115\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$는 한 원 위에 있고 점 $F$는 $\\overline{AD}$, $\\overline{BE}$의 교점이다. $\\angle BAD=32\\degree$, $\\angle ADE=29\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $32\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴ \\angle x=148\\degree$ \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AE} \\) 에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE$$=\\angle ADE$$=29\\degree$ $\\triangle ABF$에서 $\\angle y=32\\degree+29\\degree=61\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y=148\\degree-61\\degree=87\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=2\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{2} cm$일 때, 원 $O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\tan A$$=\\tan D$$=\\frac{4\\sqrt{2}}{\\overline{CD}}=2\\sqrt{2}$이므로 $\\overline{CD}$$=2 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2+2^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\angle BAT=26\\degree$, $\\angle ACT=130\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "아래 그림과 같이 $\\overline{BT}$를 그으면 $\\square ABTC$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABT+\\angle ACT=180\\degree$ $\\angle ABT+130\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABT=50\\degree$ $\\overline{PT}$가 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BTP$$=\\angle BAT$$=26\\degree$ 따라서 $\\triangle BPT$에서 $\\angle x=50\\degree-26\\degree=24\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAC=28\\degree$, $\\angle BCD=101\\degree$, $\\angle ADB=27\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=28\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle x$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=27\\degree+28\\degree$$=55\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle ATP=27\\degree$일 때, $\\widehat{AT} : \\widehat{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=27\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABT$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(27\\degree+90\\degree)=63\\degree$ $∴$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=27 : 63$$=3 : 7$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square{A}{B}{C}{D}$는 원에 내접하고, $\\overline{{A}{D}}$와 $\\overline{{B}{C}}$의 연장선의 교점을 $P$, $\\overline{{A}{B}}$와 $\\overline{{C}{D}}$의 연장선의 교점을 Q라 하자. $\\angle{P}=43\\degree$, $\\angle{Q}=41\\degree$일 때, $\\angle{B}{A}{D}$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAP$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCQ$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+41\\degree$ $\\triangle APB$에서 $\\angle x+43\\degree+(\\angle x+41\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+84\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=48\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+48\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=132\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $∴ \\triangle APB\\backsim\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $3 : 6=5 : \\overline{DP}$ $3\\overline{DP}=30$ $∴ \\overline{DP}=10 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O, O'$의 접선일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=72\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(40\\degree+72\\degree)$$=68\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times106\\degree=53\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=53\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=68\\degree+53\\degree$$=121\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $\\therefore$ $\\triangle APB$~$\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $5 : 15=9 : \\overline{DP}$ $5\\overline{DP}=135$ $\\therefore$ $\\overline{DP}$$=27 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin C+\\cos C+\\tan C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=2\\overline{OA}=10$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{10^2-8^2}$$=\\sqrt{36}$$=6$ $\\sin C=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}=\\frac{8}{10}=\\frac{4}{5}$ $\\cos C=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{6}{10}=\\frac{3}{5}$ $\\tan C=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}=\\frac{8}{6}=\\frac{4}{3}$ $∴$ $\\sin C+\\cos C+\\tan C$$=\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{3}$$=\\frac{41}{15}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AP}$는 원 O의 접선이고 점 A는 그 접점이다. $\\overline{BC}$는 원 O의 지름이고 $\\angle BAP=26\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{AP}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ACB$$=\\angle BAP$$=26\\degree$ $\\angle BAC$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC=180\\degree-(90\\degree+26\\degree)=64\\degree$ $∴ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}$$=\\angle ACB : \\angle ABC$$=26 : 64$$=13 : 32$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원에 내접하고, $\\overline{AD}$와 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $P$, $\\overline{AB}$와 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 $Q$라 하자. $\\angle P=50\\degree$, $\\angle Q=36\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAP$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCQ$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+36\\degree$ $\\triangle APB$에서 $\\angle x+50\\degree+(\\angle x+36\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+86\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=47\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+47\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=133\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $∴ \\triangle APB\\backsim\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $4 : 10=6 : \\overline{DP}$ $4\\overline{DP}=60$ $∴ \\overline{DP}$$=15 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 $\\overline{AB}$를 지름으로 하고 반지름의 길이가 $8 cm$인 $원 O$의 접선이고 $점 T$는 그 접점이다. $\\angle ATP=30\\degree$일 때, $\\triangle ATB$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=30\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 직각삼각형 $ATB$에서 $\\overline{AT}=16\\sin30\\degree$$=16\\times\\frac{1}{2}$$=8 (cm)$ $\\overline{BT}=16\\cos30\\degree$$=16\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ $∴ \\triangle ATB$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\sqrt{3}$$=32\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle BOC=60\\degree$일 때, $\\sin^2A-\\cos^2A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$이므로 $\\sin^2 A-\\cos^2 A=\\sin^2 30\\degree=(\\frac{1}{2})^2-(\\frac{\\sqrt3}{2})^2$ $=$$-\\frac{1}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle BAD=77\\degree$, $\\angle ACB=45\\degree$, $\\angle BDC=44\\degree$일 때, $\\angle ABP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ADB$$=\\angle ACB$$=45\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle ABP$$=\\angle ADC$$=\\angle ADB+\\angle BDC$$=45\\degree+44\\degree$$=89\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=70\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(40\\degree+70\\degree)$$=70\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times120\\degree=60\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=60\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=70\\degree-60\\degree$$=10\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\angle BAT=35\\degree$, $\\angle ACT=94\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "아래 그림과 같이 $\\overline{BT}$를 그으면 $\\square ABTC$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABT+\\angle ACT=180\\degree$ $\\angle ABT+94\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle ABT=86\\degree$ $\\overline{PT}$가 원$ O$의 접선이므로 $\\angle BTP$$=\\angle BAT$$=35\\degree$ 따라서 $\\triangle BPT$에서 $\\angle x=86\\degree-35\\degree=51\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BAE=108\\degree$, $\\angle BOC=62\\degree$일 때, $\\angle CDE$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BDC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times62\\degree=31\\degree$ $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle BAE+\\angle BDE=180\\degree$ $108\\degree+\\angle BDE=180\\degree$ $∴ \\angle BDE=72\\degree$ $∴ \\angle CDE$$=\\angle BDC+\\angle BDE=31\\degree+72\\degree=103\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square{ABCD}$는 원에 내접하고, $\\overline{AD}$와 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $P$, $\\overline{AB}$와 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 $Q$라 하자. $\\angle P=44\\degree$, $\\angle Q=36\\degree$일 때, $\\angle{BAD}$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAP$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCQ$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+36\\degree$ $\\triangle APB$에서 $\\angle x+44\\degree+(\\angle x+36\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+80\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=50\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+50\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=130\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AC$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고, 점 $P$에서 원 $O$에 접선 $PT$를 그어 접점을 $B$라 하자. $\\overline{AB}$ $=\\overline {BP}$일 때, $\\angle ABT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ABC$$=90\\degree$ $\\angle BAP=\\angle a$라 하면 $\\triangle ABP$는 이등변삼각형이므로 $\\angle APB=\\angle BAP=\\angle a$ $\\triangle ABP$에서 $\\angle ABT$$=\\angle a+\\angle a$$=2\\angle a$ 직선 $BT$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=2\\angle a$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle a+90\\degree+2\\angle a=180\\degree$ $3\\angle a+90\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle a=30\\degree$ $ \\therefore \\angle ABT=2\\angle a=2\\times30\\degree=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=54\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(30\\degree+54\\degree)$$=96\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times110\\degree=55\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=55\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=96\\degree+55\\degree$$=151\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\angle BAT=35\\degree$, $\\angle ACT=108\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "아래 그림과 같이 $\\overline{BT}$를 그으면 $\\Box ABTC$가 원 O에 내접하므로 $\\angle ABT+\\angle ACT=180\\degree$ $\\angle ABT+108\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle ABT=72\\degree$ $\\overline{PT}$가 원 O의 접선이므로 $\\angle BTP$$=\\angle BAT$$=35\\degree$ 따라서 $\\triangle BPT$에서 $\\angle x=72\\degree-35\\degree=37\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle ATP=24\\degree$일 때, $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT}$ : $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=24\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABT$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(24\\degree+90\\degree)=66\\degree$ $∴ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=24 : 66$$=4 : 11$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=35\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(50\\degree+35\\degree)$$=95\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times110\\degree=55\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=55\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x-\\angle y$$=95\\degree-55\\degree$$=40\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{DN}=9 cm$일 때, $3x-y$의 값을 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\overline{DN}=9 cm$ $∴ x$$=9$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=9+9=18 (cm)$ $∴ y$$=18$ $∴ 3x-y$$=3\\times9-18$$=9$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\angle BAT=40\\degree$, $\\angle ACT=83\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "아래 그림과 같이 $\\overline{BT}$를 그으면 $\\square ABTC$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABT+\\angle ACT=180\\degree$ $\\angle ABT+83\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABT=97\\degree$ $\\overline{PT}$가 원 O의 접선이므로 $\\angle BTP$$=\\angle BAT$$=40\\degree$ 따라서 $\\triangle BPT$에서 $\\angle x=97\\degree-40\\degree=57\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O, O'$의 접선일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=52\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(43\\degree+52\\degree)$$=85\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times114\\degree=57\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=57\\degree$ ∴ $\\angle x-\\angle y$$=85\\degree-57\\degree$$=28\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=68\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(60\\degree+68\\degree)$$=52\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times66\\degree=33\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=33\\degree$ ∴ $\\angle x-\\angle y$$=52\\degree-33\\degree$$=19\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AC$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고, 점 $P$에서 원 $O$에 접선 $PT$를 그어 접점을 $B$라 하자. $\\overline{AB}$$=\\overline{BP}$일 때, $\\angle ABT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ABC$$=90\\degree$ $\\angle BAP=\\angle a$라 하면 $\\triangle ABP$는 이등변삼각형이므로 $\\angle APB=\\angle BAP=\\angle a$ $\\triangle ABP$에서 $\\angle ABT$$=\\angle a+\\angle a$$=2\\angle a$ 직선 $BT$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=2\\angle a$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle a+90\\degree+2\\angle a=180\\degree$ $3\\angle a+90\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle a=30\\degree$ $∴ \\angle ABT=2\\angle a=2\\times30\\degree=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3 cm$인 원 O에 내접하는 $\\triangle ACB$에서 $\\angle BAC=30\\degree$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$는 직각삼각형이다. $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=6 cm$이므로 $\\overline{BC}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $\\overline{AC}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 $\\triangle ACB$의 둘레의 길이는 $\\overline{AC}+\\overline{BC}+\\overline{AB}$$=3\\sqrt{3}+3+6$$=9+3\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=50\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(74\\degree+50\\degree)$$=56\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times102\\degree=51\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=51\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=56\\degree+51\\degree$$=107\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BCD=100\\degree$, $\\angle DOE=54\\degree$일 때, $\\angle BAE$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle DAE=\\frac{1}{2}\\angle DOE=\\frac{1}{2}\\times54\\degree=27\\degree$ $\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $\\angle BAD+100\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle BAD=80\\degree$ $ \\therefore \\angle BAE$$=\\angle BAD+\\angle DAE$$=80\\degree+27\\degree$$=107\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=20$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{20^2-12^2}$$=\\sqrt{256}$$=16$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{12}{20}=\\frac{3}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{16}{20}=\\frac{4}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{12}{16}=\\frac{3}{4}$ $∴ \\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}+\\frac{3}{4}$$=\\frac{43}{20}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$이므로 $\\overline{BC}=12\\sin45\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=6\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AC}=\\overline{BC}=6\\sqrt{2} cm$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=12+6\\sqrt{2}+6\\sqrt{2}$$=12+12\\sqrt{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ACB$에서 $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$는 직각삼각형이다. $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=6 cm$이므로 $\\overline{BC}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ 따라서 $\\triangle ACB$의 둘레의 길이는 $\\overline{AC}+\\overline{BC}+\\overline{AB}$$=3+3\\sqrt{3}+6$$=9+3\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=40$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{40^2-32^2}$$=\\sqrt{576}$$=24$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{32}{40}=\\frac{4}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{24}{40}=\\frac{3}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{32}{24}=\\frac{4}{3}$ $∴$ $\\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{3}$$=\\frac{41}{15}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle BOC=90\\degree$일 때, $2\\sin^2A+\\cos^2A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times90\\degree=45\\degree$이므로 $2sin^2A+cos^2A$ $=$ $2sin^2 45\\degree + cos^2 45\\degree$ $=$ $2\\times (\\frac{\\sqrt2}{2})^2+ (\\frac{\\sqrt2}{2})^2$ $=$$\\frac{3}{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle ATP=33\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT}: \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=33\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ATB$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(90\\degree+33\\degree)=57\\degree$ $∴ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT}​: \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}​$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=33 : 57$$=11 : 19$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle ATP=35\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=35\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABT$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(35\\degree+90\\degree)=55\\degree$ $∴$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=35 : 55$$=7 : 11$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=30$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{30^2-24^2}$$=\\sqrt{324}$$=18$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{24}{30}=\\frac{4}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{18}{30}=\\frac{3}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{24}{18}=\\frac{4}{3}$ ∴ $\\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{3}$$=\\frac{41}{15}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=4$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=6$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{6^2-4^2}$$=\\sqrt{20}$$=2\\sqrt{5}$ $∴ $$\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{3}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin C+\\cos C+\\tan C$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=2\\overline{OA}=10$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{10^2-6^2}$$=\\sqrt{64}$$=8$ $\\sin C=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}=\\frac{6}{10}=\\frac{3}{5}$ $\\cos C=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{8}{10}=\\frac{4}{5}$ $\\tan C=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BC}}=\\frac{6}{8}=\\frac{3}{4}$ $∴$ $\\sin C+\\cos C+\\tan C$$=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}+\\frac{3}{4}$$=\\frac{43}{20}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$가 원 O에 내접하고 $\\angle BOC=60\\degree$일 때, $\\sin A+\\cos^2A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$이므로 $sinA+cos^2A=sin30\\degree+cos^230\\degree$ $=\\frac{2}{1}+(\\frac{\\sqrt{3}}{2})^2=\\frac{5}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ACB$에서 $\\angle ABC=30\\degree$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$는 직각삼각형이다. $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=8 cm$이므로 $\\overline{AC} =8\\sin30\\degree =8\\times\\frac{1}{2}=4 (cm)$ $\\overline{BC} =8\\cos30\\degree =8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2} =4\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 $\\triangle ACB$의 둘레의 길이는 $\\overline{AC}+\\overline{BC}+\\overline{AB}=4+4\\sqrt{3}+8=12+4\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AC$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고, 점 $P$에서 원 $O$에 접선 $PT$를 그어 접점을 $B$라 하자. $\\overline{BC}$$=\\overline{BP}$일 때, $\\angle CBT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\angle ABC$$=90\\degree$ $\\angle BCP=\\angle x$라 하면 $\\triangle BCP$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BPC=\\angle BCP=\\angle x$ $\\triangle BCP$에서 $\\angle CBT$$=\\angle x+\\angle x$$=2\\angle x$ 직선 $BT$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBT$$=2\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $2\\angle x+90\\degree+\\angle x=180\\degree$ $3\\angle x+90\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=30\\degree$ $∴$ $\\angle CBT=2\\angle x=2\\times30\\degree=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=10$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=12$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{12^2-10^2}$$=\\sqrt{44}$$=2\\sqrt{11}$ $∴$ $\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{2\\sqrt{11}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{11}}{6}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4$인 원 O에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=6$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=8$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{8^2-6^2}$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ ∴ $\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{2\\sqrt{7}}{8}$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=12 cm$이므로 $\\overline{BC}=12\\sin60\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=12\\cos60\\degree$$=12\\times\\frac{1}{2}$$=6 (cm)$ 따라서 $\\triangle ABC$의 둘레의 길이는 $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=12+6\\sqrt{3}+6$$=18+6\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle ATP=32\\degree$일 때, $\\widehat{AT} : \\widehat{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 O의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=32\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ATB$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(32\\degree+90\\degree)=58\\degree$ $∴$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=32 : 58$$=16 : 29$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 $\\overline{AB}$를 지름으로 하고 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\angle ATP=30\\degree$일 때, $\\triangle ATB$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ABT=\\angle ATP=30\\degree$ $\\angle ATB=90\\degree$이므로 직각삼각형 $ATB$에서 $\\overline{AT}=12\\sin30\\degree=12\\times\\frac{1}{2}=6 (cm)$ $\\overline{BT}=12\\cos30\\degree=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=6\\sqrt{3} (cm)$ $∴ \\triangle ATB=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\sqrt{3}=18\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원$ O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=6$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=10$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{10^2-6^2}$$=\\sqrt{64}$$=8$ $∴$ $\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{8}{10}$$=\\frac{4}{5}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BP}$는 $\\overline{AC}$를 지름으로 하고 반지름의 길이가 $3 cm$인 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle CBP=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BP}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBP$$=30\\degree$ $\\angle ABC$$=90\\degree$이므로 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BC}=6\\sin30\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (cm)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\sqrt{3}$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ACB$에서 $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$는 직각삼각형이다. $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=20 cm$이므로 $\\overline{BC}=20\\sin60\\degree$$=20\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=10\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=20\\cos60\\degree$$=20\\times\\frac{1}{2}$$=10 (cm)$ 따라서 $\\triangle ACB$의 둘레의 길이는 $\\overline{AC}+\\overline{BC}+\\overline{AB}$$=10+10\\sqrt{3}+20$$=30+10\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$가 원 $O$에 내접하고 $\\angle BOC=120\\degree$일 때, $\\tan^2A-2\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times120\\degree=60\\degree$이므로 $\\tan ^{2} A-2 \\cos A=\\tan ^{2} 60\\degree-2 \\cos 60\\degree \\\\ =(\\sqrt{3})^{2}-2 \\times \\frac{1}{2} \\\\ =2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=\\sqrt{15}$, $\\overline{BC}=2\\sqrt{15} cm$일 때, 원 $O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\tan A$$=\\tan D$$=\\frac{2\\sqrt{15}}{\\overline{CD}}=\\sqrt{15}$이므로 $\\overline{CD}$$=2 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(2\\sqrt{15})^2+2^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=3$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원$ O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=4$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{4^2-3^2}$$=\\sqrt{7}$ $∴$ $\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{\\sqrt{7}}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=118\\degree$, $\\angle COD=74\\degree$일 때, $\\angle AED$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CE}$를 그으면 $\\angle CED=\\frac{1}{2}\\angle COD=\\frac{1}{2}\\times74\\degree=37\\degree$ $\\square ABCE$가 원 O에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle AEC=180\\degree$ $118\\degree+\\angle AEC=180\\degree$ ∴ $\\angle AEC=62\\degree$ ∴ $\\angle AED$$=\\angle AEC+\\angle CED$$=62\\degree+37\\degree$$=99\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 $O$의 접선이고 점 $T$는 그 접점이다. $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고 $\\angle{ATP}=25\\degree$일 때, $\\widehat{AT} : \\widehat{BT}$를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "$\\overline{PT}$는 원 O의 접선이므로 $\\angle ABT$$=\\angle ATP$$=25\\degree$ $\\angle ATB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ATB$에서 $\\angle BAT=180\\degree-(25\\degree+90\\degree)=65\\degree$ $∴ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AT} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BT}$$=\\angle ABT : \\angle BAT$$=25 : 65$$=5 : 13$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $원 O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=3\\sqrt{2} cm$일 때, $원 O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다 $\\tan A=\\tan D=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\overline{CD}}=\\sqrt{2}$ 이므로 $\\overline{CD}=3 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(3\\sqrt{2})^2+3^2}=\\sqrt{27}=3\\sqrt{3} (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $3\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=20$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{20^2-16^2}$$=\\sqrt{144}$$=12$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{16}{20}=\\frac{4}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{12}{20}=\\frac{3}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{16}{12}=\\frac{4}{3}$ $∴$ $\\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{3}$$=\\frac{41}{15}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=40$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{40^2-24^2}$$=\\sqrt{1024}$$=32$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{24}{40}=\\frac{3}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{32}{40}=\\frac{4}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{24}{32}=\\frac{3}{4}$ $∴ \\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{3}{5}+\\frac{4}{5}+\\frac{3}{4}$$=\\frac{43}{20}$" }, { "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{OH}=4 cm$일 때, 원 O의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{6^2+4^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13} (cm)$ 따라서 원$ O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times2\\sqrt{13}$$=4\\sqrt{13}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=\\sqrt{5}$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{5} cm$일 때, 원 $O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$ 이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\tan A=\\tan D=\\frac{4\\sqrt{5}}{\\overline{CD}}=\\sqrt{5}$이므로 $\\overline{CD}$$=4 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(4\\sqrt{5})^2+4^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $4\\sqrt{6} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}=6 cm$, $\\overline{ON}=9 cm$, $\\overline{CD}=24 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle CON$에서 $\\overline{OC}=\\sqrt{12^2+9^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$$=15 cm$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{15^2-6^2}$$=\\sqrt{189}$$=3\\sqrt{21}$ (cm) $\\therefore$ $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times3\\sqrt{21}$$=6\\sqrt{21} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$,$ N$이라고 하자. $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. ", "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=2\\sqrt{3} cm$ $ \\therefore x=2\\sqrt{3}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{DN}=\\overline{CN}=\\overline{AM}=\\overline{BM}=5 cm$ $\\triangle DNO$에서 $y=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+5^2}=\\sqrt{37}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=2 cm$ $∴$ $x=2$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{CN}=\\overline{DN}=\\overline{BM}=\\overline{AM}=3 cm$ $\\triangle CNO$에서 $y=\\sqrt{2^2+3^2}=\\sqrt{13}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{ON}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{OM}=5 cm$, $\\overline{ON}=6 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AN}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AON$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+6^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13} (cm)$ $\\overline{OC}$$=\\overline{OA}$$=2\\sqrt{13} cm$ $\\triangle COM$에서 $\\overline{CM}=\\sqrt{(2\\sqrt{13})^2-5^2}$$=\\sqrt{27}$$=3\\sqrt{3}$ ($cm$) $∴$ $\\overline{BC}=2\\overline{CM}$$=2\\times3\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10$인 원 O에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=12$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\triangle BCD$에서 $\\overline{BD}=2\\overline{OB}=20$이므로 $\\overline{CD}=\\sqrt{20^2-12^2}$$=\\sqrt{256}$$=16$ $∴$ $\\cos A$$=\\cos D$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{16}{20}$$=\\frac{4}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O의 중심에서 두 현 $AD$, $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}=\\overline{OM}=5 cm$ $∴ x=5$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}$이므로 $\\overline{DM} =\\overline{AM} =\\overline{BN}=\\overline{CN}=12 cm$ $\\triangle DMO$에서 $y=\\sqrt{5^2+12^2}=\\sqrt{169}=13$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{AB}=15 cm$일 때, $y-x$의 값을 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times15$$=\\frac{15}{2} (cm)$ $∴ x$$=\\frac{15}{2}$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=15 cm$ $∴ y$$=15$ $∴ y-x$$=15-\\frac{15}{2}$$=\\frac{15}{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $13$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $24$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 P에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times24=12$ $\\overline{OA}=13$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5$ $∴\\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=13+5=18$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times24\\times18=216$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ACB$에서 $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$는 직각삼각형이다. $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AB}=10 cm$이므로 $\\overline{BC}=10\\sin60\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AC}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ 따라서 $\\triangle ACB$의 둘레의 길이는 $\\overline{AC}+\\overline{BC}+\\overline{AB}$$=5+5\\sqrt{3}+10$$=15+5\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OD}=4\\sqrt{5} cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=4 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{(4\\sqrt{5})^2-4^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times8$$=16 (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=16 cm$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB}$는 반지름의 길이가 $9 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{AH}=\\overline{BH},$ $\\overline{AB}\\bot\\overline{HP}$이고 $\\overline{HP}=3 cm$일 때, $\\triangle APB$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OP}=\\overline{OA}=9 cm$이므로 $\\overline{OH}=9-3=6 (cm)$ $\\triangle AHO$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{9^2-6^2}$$=\\sqrt{45}$$=3\\sqrt{5}$ $(cm)$ $\\overline{AB}=2\\overline{AH}=2\\times3\\sqrt{5}=6\\sqrt{5}$ $(cm)$이므로 $\\triangle APB=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}\\times3=9\\sqrt{5}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $∴$ $x$$=6$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$ $∴$ $y$$=12$ $∴$ $x+y$$=6+12$$=18$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{ON}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{OM}=6 cm$, $\\overline{ON}=7 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AN}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AON$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+7^2}=\\sqrt{65} (cm)$ $\\overline{OC}$$=\\overline{OA}$$=\\sqrt{65} cm$ $\\triangle COM$에서 $\\overline{CM}=\\sqrt{(\\sqrt{65})^2-6^2}$$=\\sqrt{29} (cm)$ $∴$ $\\overline{BC}=2\\overline{CM}$$=2\\sqrt{29} (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$이다. $\\overline{OC}=4\\sqrt{10} cm$, $\\overline{OM}=4 cm$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $BC$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=4 cm$ $\\triangle CON$에서 $\\overline{CN}=\\sqrt{(4\\sqrt{10})^2-4^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BC}=2\\overline{CN}$$=2\\times12$$=24 (cm)$ $∴$$\\triangle BCO$$=\\frac{1}{2}\\times24\\times4$$=48 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=\\sqrt{3}$, $\\overline{BC}=2\\sqrt{3} cm$일 때, 원 $O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\tan A$$=\\tan D$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\overline{CD}}=\\sqrt{3}이므로 \\overline{CD}$$=2 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+2^2}=\\sqrt{16}=4 (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $4 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $17$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $30$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times30$$=15$ $\\overline{OA}=17$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{17^2-15^2}=\\sqrt{64}=8$ $∴$ $\\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=17+8=25$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times30\\times25=375$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OD}=9 cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=3\\sqrt{5} cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{9^2-(3\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times6$$=12 (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\frac{1}{2}\\times(32+18)=25$ $(cm)$ $\\overline{OB}=\\overline{OD}=25$ $cm$이므로 $\\overline{OP}=25-18=7$ $(cm)$ $\\triangle DOP$에서 $\\overline{DP}=\\sqrt{25^2-7^2}=\\sqrt{576}=24 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DP}$$=2\\times24$$=48 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OA}=2\\sqrt{5} cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=2 cm$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2-2^2}=\\sqrt{16}=4 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times4$$=8 (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=8 cm$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=9 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{\\mathrm{AH}}=\\frac{1}{2} \\overline{\\mathrm{AB}}=\\frac{1}{2} \\times 9=\\frac{9}{2}(\\mathrm{~cm})$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R \\mathrm{~cm}$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r \\mathrm{~cm}$ 라 하 면 $\\triangle \\mathrm{AHO}$ 에서 $\\left(\\frac{9}{2}\\right)^{2}+r^{2}=R^{2}$ 이므로 $R^{2}-r^{2}=\\frac{81}{4}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^{2}-\\pi r^{2}=\\pi\\left(R^{2}-r^{2}\\right)=\\frac{81}{4} \\pi\\left(\\mathrm{cm}^{2}\\right)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=14$, $\\overline{CD}=4$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r$이므로 $\\overline{OD}=r-4$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times14=7$이므로 $\\triangle AOD$에서 $7^2+(r-4)^2=r^2$ $8r=65$ $∴ r=\\frac{65}{8}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{65}{8}$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BP}$는 $\\overline{AC}$를 지름으로 하고 반지름의 길이가 $4 cm$인 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle CBP=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BP}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBP$$=30\\degree$ $\\angle ABC$$=90\\degree$이므로 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=8\\cos30\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BC}=8\\sin30\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=30 cm$, $\\overline{OH}=8 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times30$$=15 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AOH$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{15^2+8^2}=\\sqrt{289}=17 (cm)$ 따라서 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times17$$=34\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}=2 cm$, $\\overline{ON}=4 cm$, $\\overline{CD}=8 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle CON$에서 $\\overline{OC}=\\sqrt{4^2+4^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$$=4\\sqrt{2} cm$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2-2^2}$$=\\sqrt{28}$$=2\\sqrt{7}$ $(cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times2\\sqrt{7}$$=4\\sqrt{7} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{ON}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{OM}=4 cm$, $\\overline{ON}=6 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AN}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AON$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+6^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13} (cm)$ $\\overline{OC}$$=\\overline{OA}$$=2\\sqrt{13} cm$ $\\triangle COM$에서 $\\overline{CM}=\\sqrt{(2\\sqrt{13})^2-4^2}$$=\\sqrt{36}$$=6$ $(cm$) ∴ $\\overline{BC}=2\\overline{CM}$$=2\\times6$$=12 (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{CD}=16 cm$일 때, $3x+2y$의 값을 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ $\\therefore$ $x=8$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=16 cm$ $\\therefore$ $y=16$ $\\therefore$ $3x+2y=3\\times8+2\\times16=56$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{OH}=6 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{6^2+6^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 원 O의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times6\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 두 현 $AD$, $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=3 cm$ $∴ x=3$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}$이므로 $\\overline{BN}=\\overline{CN}=\\overline{AM}=\\overline{DM}=9 cm$ $\\triangle BNO$에서 $y=\\sqrt{9^2+3^2}=\\sqrt{90}=3\\sqrt{10}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 O의 지름이고, $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\frac{1}{2}\\times(3+17)=10 (cm)$ $\\overline{OA}=\\overline{OD}=10$ $cm$이므로 $\\overline{OP}=10-3=7 (cm)$ $\\triangle DPO$에서 $\\overline{DP}=\\sqrt{10^2-7^2}=\\sqrt{51} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DP}$$=2\\sqrt{51} (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$이다. $\\overline{OD}=9 cm$, $\\overline{OM}=7 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $CD$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=7 cm$ $\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{9^2-7^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times4\\sqrt{2}$$=8\\sqrt{2} (cm)$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{2}\\times7$$=28\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OD}=8 cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=4 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{8^2-4^2}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times4\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=8\\sqrt{3} cm$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}=5 cm$, $\\overline{ON}=6 cm$, $\\overline{CD}=16 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OB}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle CON$에서 $\\overline{OC}=\\sqrt{8^2+6^2}=\\sqrt{100}=10 (cm)$ $\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$$=10 cm$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{10^2-5^2}$$=\\sqrt{75}$$=5\\sqrt{3}$$(cm)$ $∴ $$\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times5\\sqrt{3}$$=10\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{AM}=4 cm$일 때, $2x+y$의 값을 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BM}=\\overline{AM}=4 cm$ $∴ x$$=4$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=4+4=8 (cm)$ $∴ y$$=8$ $∴ 2x+y$$=2\\times4+8$$=16$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\tan A=2\\sqrt{3}$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{3} cm$일 때, 원 $O$의 지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$를 지나는 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $\\angle BCD$$=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\tan A$$=\\tan D$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{\\overline{CD}}=2\\sqrt{3}$이므로 $\\overline{CD}$$=2 (cm)$ $\\overline{BD}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2+2^2}=\\sqrt{52}=2\\sqrt{13} (cm)$ 따라서 원 $O$의 지름의 길이는 $2\\sqrt{13} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$인 원 모양의 접시에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=14 cm$, $\\overline{OM}=3 cm$일 때, 이 접시의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{7^2+3^2}=\\sqrt{58} (cm)$ 따라서 이 접시의 넓이는 $\\pi\\times(\\sqrt{58})^2$$=58\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$일 때, $\\triangle COD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6$$(cm)$이므로 $\\triangle COH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{6^2-3^2}=\\sqrt{27}=3\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $\\triangle COD$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times3\\sqrt{3}$$=9\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$이다. $\\overline{OD}=2\\sqrt{5} cm$, $\\overline{OM}=4 cm$일 때, $\\triangle{CDO}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 현 $CD$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=4 cm$ $\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2-4^2}=\\sqrt{4}=2 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times2$$=4 (cm)$ $∴ \\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이다. $\\overline{OD}=10 cm$, $\\overline{OM}=8 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $CD$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=8 cm$ $\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{10^2-8^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times6$$=12 (cm)$ ∴ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times8$$=48 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{\\text{A}\\text{B}}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{\\text{A}\\text{B}}=18$, $\\overline{\\text{C}\\text{D}}=10$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 O에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times18=9$이므로 $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{9^2-5^2}=\\sqrt{56}=2\\sqrt{14}$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times2\\sqrt{14}$$=10\\sqrt{14}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 O인 원 모양의 시계에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=18 cm$, $\\overline{OH}=6 cm$일 때, 이 시계의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{9^2+6^2}=\\sqrt{117}=3\\sqrt{13} (cm)$ 따라서 이 시계의 넓이는 $\\pi\\times(3\\sqrt{13})^2$$=117\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 O의 지름이다. $\\overline{AB}=26 cm$, $\\overline{CD}=10 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라. $cm^2$", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times26=13$ $(cm)$이므로 $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times12$$=60 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=2\\sqrt{21}$, $\\overline{CD}=6$일 때, $\\triangle COD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{21}=\\sqrt{21}$이므로 $\\triangle COH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(\\sqrt{21})^2-3^2}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$ $∴$ $\\triangle COD$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times2\\sqrt{3}$$=6\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OD}=5 cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=\\sqrt{15} cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{5^2-(\\sqrt{15})^2}=\\sqrt{10} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\sqrt{10} (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=2\\sqrt{10} cm$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=20 cm$, $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times20=10 (cm)$이므로 $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times8$$=48 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$인 원 모양의 원반에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=48 cm$, $\\overline{OM}=10 cm$일 때, 이 원반의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times48$$=24 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{24^2+10^2}=\\sqrt{676}=26 (cm)$ 따라서 이 원반의 넓이는 $\\pi\\times26^2$$=676\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $ O$에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하자. $\\overline{OD}=5 cm$, $\\overline{OM}=\\overline{ON}=2 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{5^2-2^2}=\\sqrt{21} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}=2\\sqrt{21} (cm)$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=2\\sqrt{21} cm$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$이다. $\\overline{OD}=2\\sqrt{10} cm$, $\\overline{OM}=5 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $CD$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=5 cm$ $\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{(2\\sqrt{10})^2-5^2}=\\sqrt{15} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\sqrt{15}$ $(cm)$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{15}\\times5$$=5\\sqrt{15} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=8 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times8=4$ $(cm)$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{8^2-4^2}=\\sqrt{48}=4\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times4\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{5} cm$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $8 cm$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ $\\overline{OA}=2\\sqrt{5} cm$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2-4^2}=\\sqrt{4}=2 (cm)$ $∴ \\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=2\\sqrt{5}+2 (cm)$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times8\\times(2\\sqrt{5}+2)$$=8+8\\sqrt{5} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=2\\sqrt{13} cm$, $\\overline{CD}=4 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$ $\\\\$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{13}=\\sqrt{13}$ $(cm)$이므로 $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(\\sqrt{13})^2-2^2}=\\sqrt{9}=3 (cm)$ $\\\\$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times3$$=6 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 반지름 $OC$의 수직이등분선이고 원 $O$의 반지름의 길이는 $8\\sqrt{2} cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=8\\sqrt{2} cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{2}=4\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{(8\\sqrt{2})^2-(4\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times4\\sqrt{6}$$=8\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=6\\sqrt{5}$, $\\overline{CD}=6$일 때, $\\triangle COD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}=3\\sqrt{5}$이므로 $\\triangle COH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(3\\sqrt{5})^2-3^2}=\\sqrt{36}=6$ $∴ \\triangle COD$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times6$$=18$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 반지름 $OC$의 수직이등분선이고 원 $O$의 반지름의 길이는 $14 cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=14 cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times14=7(cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{14^2-7^2}=\\sqrt{147}=7\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times7\\sqrt{3}$$=14\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 O인 원 모양의 액자에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=16 cm$, $\\overline{OM}=6 cm$일 때, 이 액자의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{8^2+6^2}=\\sqrt{100}=10 (cm)$ 따라서 이 액자의 넓이는 $\\pi\\times10^2$$=100\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 반지름 $OC$의 수직이등분선이고 원 $O$의 반지름의 길이는 $4 cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=4 cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times4=2$ $(cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{4^2-2^2}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times2\\sqrt{3}$$=4\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이다. $\\overline{AB}=4\\sqrt{7} cm$, $\\overline{CD}=6 cm$일 때, $\\triangle COD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{7}=2\\sqrt{7} (cm)$이므로 $\\triangle COH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(2\\sqrt{7})^2-3^2}=\\sqrt{19} (cm)$ $∴ \\triangle COD$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times\\sqrt{19}$$=3\\sqrt{19} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.", "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=2$ $cm$ $∴$ $x=2$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{DN}=\\overline{CN}=\\overline{AM}=\\overline{BM}=\\sqrt{5} cm$ $\\triangle DNO$에서 $y=\\sqrt{2^2+(\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{9}=3$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10$ cm인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM},$ $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=10 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times10=5$$ (cm)$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{10^2-5^2}=\\sqrt{75}=5\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times5\\sqrt{3}$$=10\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$, $H$라 하자. $\\overline{\\text{O}\\text{M}}=\\overline{\\text{O}\\text{N}}$이고 $\\angle\\text{A}\\text{C}\\text{B}=80\\degree$일 때, $\\angle\\text{M}\\text{O}\\text{N}$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-80\\degree\\times2$$=20\\degree$ 따라서 $\\square AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(20\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=160\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\frac{1}{2}\\times(4+24)=14 (cm)$ $\\overline{OA}=\\overline{OD}=14 cm$이므로 $\\overline{OP}=14-4=10 (cm)$ $\\triangle DPO$에서 $\\overline{DP}=\\sqrt{14^2-10^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DP}$$=2\\times4\\sqrt{6}$$=8\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10 cm$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $16 cm$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 P에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ $\\overline{OA}=10 cm$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{10^2-8^2}$$=\\sqrt{36}$$=6 (cm)$ $∴$ $\\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=10+6=16 (cm)$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times16\\times16$$=128 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5cm$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $8cm$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ $\\overline{OB}=5 cm$이므로 $\\triangle BOH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{5^2-4^2}$$=\\sqrt{9}$$=3 (cm)$ $∴$$\\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=5+3=8 (cm)$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times8\\times8$$=32 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=6$, $\\overline{CD}=2$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r$이므로 $\\overline{OD}=r-2$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6=3$이므로 $\\triangle AOD$에서 $3^2+(r-2)^2=r^2$ $4r=13$ $∴$ $r=\\frac{13}{4}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{13}{4}$이다." }, { "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{OA}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=4\\sqrt{5} cm$ 원의 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OD}=(r-4) cm$이므로 $\\triangle AOD$에서 $(r-4)^2+(4\\sqrt{5})^2=r^2$ $8r=96$ $\\therefore r=12$ 따라서 $\\overline{OA}$의 길이는 $12 cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BD}=\\overline{AD}=3\\sqrt{5} cm$ 원의 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OD}=(r-3) cm$이므로 $\\triangle BOD$에서 $(r-3)^2+(3\\sqrt{5})^2=r^2$ $6r=54$ $∴$ $r=9$ 따라서 $\\overline{OB}$의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $20cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=20 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times20=10$ $(cm)$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{20^2-10^2}=\\sqrt{300}=10\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times10\\sqrt{3}$$=20\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 반지름의 길이가 $10 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{CM}$이 $\\overline{AB}$를 수직이등분하고 $\\overline{AB}=12 cm$일 때, $\\overline{CM}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=10 cm$, $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $\\overline{OC}=10 cm$이므로 $\\overline{CM}$$=10-8$$=2 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 접시를 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=6 cm$, $\\overline{CM}=4 cm$일 때, 원래 이 접시의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-4) cm$ $\\triangle BOM$에서 $6^2+(r-4)^2=r^2$ $8r=52$ $∴$ $r=\\frac{13}{2}$ 따라서 이 접시의 반지름의 길이는 $\\frac{13}{2} cm$이므로 원래 이 접시의 넓이는 $\\pi\\times(\\frac{13}{2})^2$$=\\frac{169}{4}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $14 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM},$ $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OA}=14 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times14=7$ $(cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{14^2-7^2}=\\sqrt{147}=7\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times7\\sqrt{3}$$=14\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=24 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OD}=(r-6) cm$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times24=12 (cm)$이므로 $\\triangle AOD$에서 $12^2+(r-6)^2=r^2$ $12r=180$ $∴ r=15$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $15 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}\\bot\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\frac{1}{2}\\times(12+6)=9$ $\\overline{OB}=\\overline{OD}=9$이므로 $\\overline{OP}=9-6=3$ $\\triangle DOP$에서 $\\overline{DP}=\\sqrt{9^2-3^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DP}$$=2\\times6\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $9 cm$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $6\\sqrt{5} cm$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{OA}=9 cm$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{9^2-(3\\sqrt{5})^2}$$=\\sqrt{36}$$=6 (cm)$$∴$$\\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=9+6=15 (cm)$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}\\times15$$=45\\sqrt{5} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $18 cm$인 원 O에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM},$ $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=18 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times18=9$ (cm) $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{18^2-9^2}=\\sqrt{243}=9\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times9\\sqrt{3}$$=18\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$이다. $\\overline{OD}=4\\sqrt{5}$ $cm$, $\\overline{OM}=8$ $cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $CD$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=8 cm$ $\\triangle DON$에서 $\\overline{DN}=\\sqrt{(4\\sqrt{5})^2-8^2}=\\sqrt{16}=4 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DN}$$=2\\times4$$=8 (cm)$ $∴$ $\\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times8$$=32 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{7}$인 원 $O$에서 현 $AB$의 길이는 $8$이다. 원 $O$ 위의 한 점 $P$에 대하여 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값을 구하여라.", "answer": "점 $P$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABP$의 밑변의 길이는 일정하므로 다음 그림과 같이 $\\overline{PH}$가 원의 중심을 지날 때, 높이가 최대이므로 $\\triangle ABP$의 넓이가 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4$ $\\overline{OA}=2\\sqrt{7}$이므로 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{(2\\sqrt{7})^2-4^2}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{PH}=\\overline{OP}+\\overline{OH}=2\\sqrt{7}+2\\sqrt{3}$ 따라서 $\\triangle ABP$의 넓이의 최댓값은 $\\frac{1}{2}\\times8\\times(2\\sqrt{7}+2\\sqrt{3})=8\\sqrt{3}+8\\sqrt{7}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $24$ $cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $12^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $r^2=192$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{192}$$=8\\sqrt{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $8\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $26 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM},$ $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=26 cm$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times26=13 (cm)$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{26^2-13^2}=\\sqrt{507}=13\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times13\\sqrt{3}$$=26\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $16$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM},$ $\\overline{OM}=\\overline{CM}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OC}=\\overline{OB}=16$이므로 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times16=8$ $\\triangle BMO$에서 $\\overline{BM}=\\sqrt{16^2-8^2}=\\sqrt{192}=8\\sqrt{3}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{BM}$$=2\\times8\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=8\\sqrt{15} cm$, $\\overline{CD}=12 cm$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을$ O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OD}=(r-12) cm$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{15}=4\\sqrt{15} (cm)$이므로 $\\triangle AOD$에서 $(4\\sqrt{15})^2+(r-12)^2=r^2$ $24r=384$ $∴$ $r=16$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $16 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{AB}$는 반지름 OC의 수직이등분선이고 원 O의 반지름의 길이는 $\\sqrt{13} cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=\\sqrt{13} cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{13}=\\frac{\\sqrt{13}}{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{(\\sqrt{13})^2-\\frac{\\sqrt{13}}{2}^2}=\\sqrt{\\frac{39}{4}}=\\frac{\\sqrt{39}}{2} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}=2\\times\\frac{\\sqrt{39}}{2}=\\sqrt{39} (cm)$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=24 cm$ 원의 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OH}=(r-16) cm$이므로 $\\triangle BHO$에서 $(r-16)^2+24^2=r^2$ $32r=832$ ∴ $r=26$ 따라서 $\\overline{OB}$의 길이는 $26 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times(4+9)=\\frac{13}{2}$ $(cm)$ $\\overline{OA}=\\overline{OC}=\\frac{13}{2}$ $cm$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{13}{2}-4=\\frac{5}{2}$ $(cm)$ $\\triangle CPO$에서 $\\overline{CP}=\\sqrt{{(\\frac{13}{2})^2}-(\\frac{5}{2})^2} =\\sqrt{36}=6 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CP}$$=2\\times6$$=12 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원의 중심 $O$와 두 현 $AB$, $AC$ 사이의 거리가 같고 $\\overline{AC}=9 cm$, $\\angle BAC=45\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=9 cm$ $∴$ $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times9\\times9\\times \\sin90\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times9\\times9\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$\\frac{81\\sqrt{2}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=10$, $\\overline{CD}=4$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 O라 하고 반지름 OA의 길이를 $r$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r$이므로 $\\overline{OD}=r-4$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times10=5$이므로 $\\triangle AOD$에서 $5^2+(r-4)^2=r^2$ $8r=41$ ∴ $r=\\frac{41}{8}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{41}{8}$이다." }, { "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=12 cm$ 원의 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OH}=(r-6) cm$이므로 $\\triangle BHO$에서 $(r-6)^2+12^2=r^2$ $12r=180$ $∴ r=15$ 따라서 $\\overline{OB}$의 길이는 $15 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 접시를 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{AM}=8 cm$, $\\overline{CM}=4 cm$일 때, 원래 이 접시의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-4) cm$ $\\triangle AOM$에서 $8^2+(r-4)^2=r^2$ $8r=80$ $\\therefore$ $r=10$ 따라서 이 접시의 반지름의 길이는 $10 cm$이므로 원래 이 접시의 넓이는 $\\pi\\times10^2$$=100\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\frown}{AB}$는 반지름의 길이가 $25 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{AH}=\\overline{BH},$ $\\overline{AB}\\bot\\overline{HP}$이고 $\\overline{HP}=18 cm$일 때, $\\triangle APB$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을$ O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OP}=\\overline{OA}=25 cm$이므로 $\\overline{OH}=25-18=7 (cm)$ $\\triangle AHO$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{25^2-7^2}$$=\\sqrt{576}$$=24$$ (cm)$ $\\overline{AB}=2\\overline{AH}=2\\times24=48$$ (cm)$이므로 $\\triangle APB=\\frac{1}{2}\\times48\\times18=432$ ($cm^2)\\\\$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 반지름 $OC$의 수직이등분선이고 원 $O$의 반지름의 길이는 $10 cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=10 cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times10=5$ (cm) $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{10^2-5^2}=\\sqrt{75}=5\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times5\\sqrt{3}$$=10\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=6\\sqrt{5} cm$, $\\overline{CD}=3 cm$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OD}=(r-3) cm$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}=3\\sqrt{5} (cm)$이므로 $\\triangle AOD$에서 $(3\\sqrt{5})^2+(r-3)^2=r^2$ $6r=54$ $∴ r=9$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 원반을 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=12 cm$, $\\overline{CM}=6 cm$일 때, 원래 이 원반의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-6) cm$ $\\triangle BOM$에서 $12^2+(r-6)^2=r^2$ $12r=180$ $∴ r=15$ 따라서 이 원반의 반지름의 길이는 $15 cm$이므로 원래 이 원반의 넓이는 $\\pi\\times15^2$$=225\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=30 cm$, $\\overline{CD}=9 cm$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OD}=(r-9) cm$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times30=15 (cm)$이므로 $\\triangle AOD$에서 $15^2+(r-9)^2=r^2$ $18r=306$ $∴ r=17$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $17 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 거울을 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=9 cm$, $\\overline{CM}=3 cm$일 때, 원래 이 거울의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-3) cm$ $\\triangle BOM$에서 $9^2+(r-3)^2=r^2$ $6r=90$ $∴ r=15$ 따라서 이 거울의 반지름의 길이는 $15 cm$이므로 원래 이 거울의 넓이는 $\\pi\\times15^2$$=225\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB}$는 반지름의 길이가 $5 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{AH}=\\overline{BH},$ $\\overline{AB}\\bot\\overline{HP}$이고 $\\overline{HP}=3 cm$일 때, $\\triangle ABP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OB}$를 그으면 $\\overline{OP}=\\overline{OB}=5 cm$이므로 $\\overline{OH}=5-3=2 (cm)$ $\\triangle BHO$에서 $\\overline{BH}=\\sqrt{5^2-2^2}$$=\\sqrt{21}$ (cm) $\\overline{AB}=2\\overline{BH}=2\\sqrt{21}(cm)$이므로 $\\triangle ABP=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{21}\\times3=3\\sqrt{21}$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 반지름 $OC$의 수직이등분선이고 원 $O$의 반지름의 길이는 $16 cm$이다. $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\overline{OC}=16 cm$ $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times16=8 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{16^2-8^2}=\\sqrt{192}=8\\sqrt{3} (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times8\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 반지름의 길이가 $15 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{CM}$이 $\\overline{AB}$를 수직이등분하고 $\\overline{AB}=24 cm$일 때, $\\overline{CM}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OB}$를 그으면 $\\overline{OB}=15 cm$, $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times24=12 (cm)$ $\\triangle BOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{15^2-12^2}=\\sqrt{81}=9 (cm)$ $\\overline{OC}=15 cm$이므로 $\\overline{CM}$$=15-9$$=6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $20 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 O와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=20 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times20$$=10 (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{20^2-10^2}=\\sqrt{300}=10\\sqrt{3} (cm)$ ∴ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times10\\sqrt{3}$$=20\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 거울을 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{AM}=3 cm$, $\\overline{CM}=1 cm$일 때, 원래 이 거울의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-1) cm$ $\\triangle AOM$에서 $(r-1)^2+3^2=r^2$ $2r=10$ $∴$ $r=5$ 따라서 이 거울의 반지름의 길이는 $5 cm$이므로 원래 이 거울의 넓이는 $\\pi\\times5^2$$=25\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 반지름의 길이가 $13 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{CM}$이 $\\overline{AB}$를 수직이등분하고 $\\overline{AB}=24 cm$일 때, $\\overline{CM}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=13 cm$, $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times24=12 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $\\overline{OC}=13 cm$이므로 $\\overline{CM}$$=13-5$$=8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4\\sqrt{2} cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심$O$와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=4\\sqrt{2} cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}$$=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2-(2\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times2\\sqrt{6}$$=4\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $14 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=14 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{14^2-7^2}=\\sqrt{147}=7\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times7\\sqrt{3}$$=14\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심$ O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $6 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6=3 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $3^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $r^2=12$ 이때 $r>0$이므로 $r=\\sqrt{12}$$=2\\sqrt{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A, B, E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=3 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$10 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$3 cm$이므로 $\\overline{CD}=10+3=13 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=3 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=10-3$$=7 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{13^2-7^2}=\\sqrt{120}=2\\sqrt{30} (cm)$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=2\\sqrt{30} cm$" }, { "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 원의 일부분이고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{AD}=\\overline{BD}$이다. $\\overline{AB}=32 cm$, $\\overline{CD}=8 cm$일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OA$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=r cm$이므로 $\\overline{OD}=(r-8) cm$ $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times32=16 (cm)$이므로 $\\triangle AOD$에서 $16^2+(r-8)^2=r^2$ $16r=320$ $∴ r=20$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $20 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=17 cm$, $\\overline{OE}=8 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOE$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AE}=\\sqrt{17^2-8^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $\\overline{BD}=\\overline{BF}$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 ($\\triangle ABC$의 둘레의 길이) $=$$\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=$$\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AE}$ $=$$2\\times15$$=$$30 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심$O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $4 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$ 반지름 OA를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $2^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $-3r^2=-16$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{\\frac{16}{3}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{4\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=150\\degree$, $\\overline{AB}=10 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-150\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{5}{\\sin30\\degree}=5\\div\\frac{1}{2}=5\\times2=10 (cm)$ 반지름의 길이는 $10 cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times10$$=20\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $16 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $8^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $-3r^2=-256$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{\\frac{256}{3}}$$=\\frac{16\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{16\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=10 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{10^2-5^2}=\\sqrt{75}=5\\sqrt{3} (cm)$ $∴ $$\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times5\\sqrt{3}$$=10\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $12 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=12 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{12^2-6^2}=\\sqrt{108}=6\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times6\\sqrt{3}$$=12\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $18 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 O와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=18 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{18^2-9^2}=\\sqrt{243}=9\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times9\\sqrt{3}$$=18\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=150\\degree$, $\\overline{AB}=14 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라. $\\square$$cm$", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$ $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-150\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OA}=\\frac{7}{\\sin30\\degree}=7\\div\\frac{1}{2}=7\\times2=14 (cm)$ 반지름의 길이는 $14 cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times14$$=28\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $7 cm$인 원 $O$에 외접하는 $\\square ABCD$에서 $\\angle B=90\\degree$, $\\overline{BC}=14 cm$, $\\overline{CD}=16 cm$일 때, $\\overline{DS}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square BQOP$는 정사각형이므로 $\\overline{BQ}$$=\\overline{OP}$$=7 cm$ $\\overline{CR}=\\overline{CQ}=14-7=7 (cm)$ $\\overline{DS}=\\overline{DR}=16-7=9 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D, E, F$는 그 접점이다. $\\angle BAC=60\\degree$, $\\overline{OA}=4\\sqrt{2}$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADO\\equiv\\triangle AEO$($RHS$ 합동)이므로 $\\angle DAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ $\\triangle ADO$에서 $\\overline{AD}=4\\sqrt{2}\\cos30\\degree=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\sqrt{6}$ $∴$ $(\\triangle ABC의 둘레의 길이) $$=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AD}$ $=2\\times2\\sqrt{6}$$=$$4\\sqrt{6}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A$, $B$, $E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=6 cm$, $\\overline{BC}=15 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$15 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$6 cm$이므로 $\\overline{CD}=15+6=21 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=6 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=15-6$$=9 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{21^2-9^2}=\\sqrt{360}=6\\sqrt{10} (cm)$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=6\\sqrt{10} cm$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BD}$$=x cm$라고 하면 $\\overline{BE}=\\overline{BD}=x cm$ $\\overline{AF}=\\overline{AD}=(10-x)$ $cm$ $\\overline{CF}=\\overline{CE}=(15-x)$ $cm$ $A(10-x)cm$ $\\overline{AC}=\\overline{AF}+\\overline{CF}$이므로 $13=(10-x)+(15-x)$ $2x=12$ $∴$ $x=6$ 따라서 $\\overline{BD}$의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $14 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $7^2+(\\frac{r}{2})$ $^2=r^2$ $-3r^2=-196$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{\\frac{196}{3}}$$=\\frac{14\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{14\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A$, $B$, $E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=7 cm$, $\\overline{BC}=16 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$16 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$7 cm$이므로 $\\overline{CD}=16+7=23 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=7 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=16-7$$=9 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{23^2-9^2}=\\sqrt{448}=8\\sqrt{7} (cm)$ $\\\\$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=8\\sqrt{7} cm$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$, $H$라 하자. $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\angle ABC=72\\degree$일 때, $\\angle MON$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-72\\degree\\times2$$=36\\degree$ 따라서 $\\square AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(36\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=144\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$, $H$라 하자. $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\angle ACB=51\\degree$일 때, $\\angle MON$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-51\\degree\\times2$$=78\\degree$ 따라서 $\\Box AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(78\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=102\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $10 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $5^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $-3r^2=-100$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{\\frac{100}{3}}$$=\\frac{10\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{10\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=15$ $cm$, $\\overline{OD}=9$ $cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ADO$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\sqrt{15^2-9^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{BD}=\\overline{BF}$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$ $=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=\\overline{AD}+\\overline{AE}$ $=2\\overline{AD}$ $=$$2\\times12$$=$$24 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 거울을 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=6 cm$, $\\overline{CM}=3 cm$일 때, 원래 이 거울의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-3) cm$ $\\triangle BOM$에서 $6^2+(r-3)^2=r^2$ $6r=45$ $∴$ $r=\\frac{15}{2}$ 따라서 이 거울의 반지름의 길이는 $\\frac{15}{2} cm$이므로 원래 이 거울의 넓이는 $\\pi\\times(\\frac{15}{2})^2$$=\\frac{225}{4}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 M, N, H라 하자. $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\angle ACB=57\\degree$일 때, $\\angle MON$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-57\\degree\\times2$$=66\\degree$ 따라서 $\\square AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(66\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=114\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle BOC=120\\degree$, $\\overline{AB}=24 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$ $\\angle BOM$$=180\\degree-\\angle BOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\triangle BOM$에서 $\\overline{OB}=\\frac{12}{\\sin60\\degree}=12\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=8\\sqrt{3} (cm)$ 반지름의 길이는 $8\\sqrt{3} cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times8\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=120\\degree$, $\\overline{AB}=18 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OA}=\\frac{9}{\\sin60\\degree}=9\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=9\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=6\\sqrt{3} (cm)$ 반지름의 길이는 $6\\sqrt{3} cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times6\\sqrt{3}$$=12\\sqrt{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 원반을 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=12 cm$, $\\overline{CM}=8 cm$일 때, 원래 이 원반의 넓이를 구하여라.", "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-8) cm$ $\\triangle BOM$에서 $(r-8)^2+12^2=r^2$ $16r=208$ $∴ $$r=13$ 따라서 이 원반의 반지름의 길이는 $13 cm$이므로 원래 이 원반의 넓이는 $\\pi\\times13^2$$=169\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O의 지름의 양 끝 점 A, D에서 그은 두 접선과 원 위의 점 P에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 B, C라 하자. $\\overline{OA}=10 cm$, $\\overline{CD}=20 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$20 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+20) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(20-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times10=20 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $20^2+(20-x)^2=(x+20)^2$ $80x=400$ $∴$ $x=5$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $M, N, H$라 하자. $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\angle ACB=75\\degree$일 때, $\\angle MON$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ 따라서 $\\square AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(30\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=135\\degree$, $\\overline{AB}=8 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-135\\degree$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{4}{\\sin45\\degree}=4\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4\\sqrt{2} (cm)$ 반지름의 길이는 $4\\sqrt{2} cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times4\\sqrt{2}$$=8\\sqrt{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $18 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $9^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $r^2=108$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{108}$$=6\\sqrt{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $6\\sqrt{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 원 $O$에 외접하는 $\\squareABCD$에서 $\\angle C=90\\degree$, $\\overline{AB}=15$, $\\overline{BC}=13$일 때, $\\overline{AS}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square CROQ$는 정사각형이므로 $\\overline{CQ}$$=\\overline{OR}$$=6$ $\\overline{BP}=\\overline{BQ}=13-6=7$ $\\overline{AS}=\\overline{AP}=15-7=8$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $27 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AD}=x cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}=4 cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=5 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=x+4+4+5+5+x$$=27$ $2x=9$ ∴ $x=\\frac{9}{2}$ ∴ $\\overline{AB}=\\overline{AD}+\\overline{BD}=\\frac{9}{2}+4=\\frac{17}{2}$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=120\\degree$, $\\overline{AB}=6\\sqrt{3} cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}=3\\sqrt{3} (cm)$ $\\angle AOM=180\\degree-\\angle AOC=180\\degree-120\\degree=60\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=6 (cm)$ 반지름의 길이는 $6 cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times6=12\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AF}$$=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=x cm$ $\\overline{BE}=\\overline{BD}=(12-x) cm$ $\\overline{CE}=\\overline{CF}=(11-x) cm$ $\\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}$이므로 $13=(12-x)+(11-x)$ $2x=10$ $∴$ $x=5$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5 cm$인 원 $O$에 외접하는 $\\square ABCD$에서 $\\angle C=90\\degree$, $\\overline{AB}=13 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, $\\overline{AS}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square CROQ$는 정사각형이므로 $\\overline{CQ}$$=\\overline{OR}$$=5 cm$ $\\overline{BP}=\\overline{BQ}=12-5=7$ $(cm)$ $\\overline{AS}=\\overline{AP}=13-7=6$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 O는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점$ D$, $E$,$ F$는 그 접점일 때, $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AF}$$=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=x cm$ $\\overline{BE}=\\overline{BD}=(16-x) cm$ $\\overline{CE}=\\overline{CF}=(11-x) cm$ $\\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}$이므로 $15=(16-x)+(11-x)$ $2x=12$ $∴$ $x=6$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D, E, F$는 그 접점이다. $\\angle BAC=60\\degree$, $\\overline{OD}=2 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AEO$(RHS 합동)이므로 $\\angle DAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ $\\triangle ADO$에서 $\\overline{AD}=\\frac{2}{\\tan30\\degree}=2\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=2\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=2\\sqrt{3} (cm)$ $=$$2\\times2\\sqrt{3}$$=$$4\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=13 cm$, $\\overline{OE}=5 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOE$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AE}=\\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{BD}=\\overline{BF}$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=$$\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=$$\\overline{AD}+\\overline{AE}$ $=$$2\\overline{AE}$ $=$$2\\times12$$=$$24 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=12 cm$, $\\overline{OD}=8 cm$일 때, $\\triangle{ABC}$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOD$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\sqrt{12^2-8^2}=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CD}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 ($\\triangle ABC의 둘레의 길이)=$$\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=$$\\overline{AE}+\\overline{AD}=2\\overline{AD}$ $=$$2\\times4\\sqrt{5}$$=$$8\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원$ O$의 접선이고 세 점 $D$,$ E$,$ F$는 그 접점이다. $\\angle BAC=60\\degree$, $\\overline{OD}=8 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AEO$($RHS$ 합동)이므로 $\\angle DAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ $\\triangle ADO$에서 $\\overline{AD}=\\frac{8}{\\tan30\\degree}=8\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=8\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=8\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $(\\triangle{ABC}의 둘레의 길이)$ $=\\overline{AB} + \\overline{BC} + \\overline{AC}$ $=\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AD}$ $=2\\times8\\sqrt{3}=16\\sqrt{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}$$=x cm$라고 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$ $\\overline{AF}=\\overline{AD}=(8-x)$ $cm$ $\\overline{CF}=\\overline{CE}=(11-x)$ $cm$ $\\overline{AC}=\\overline{AF}+\\overline{CF}$이므로 $7=(8-x)+(11-x)$ $2x=12$ $∴$ $x=6$ 따라서 $\\overline{BE}$의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$에 겹치도록 접었을 때, 접힌 현의 길이가 $8 cm$이었다. 이때 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 반지름 $OA$를 긋고 $\\overline{OA}=r cm$라 하면 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times r$$=\\frac{r}{2} (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $4^2+(\\frac{r}{2})^2=r^2$ $-3r^2=-64$ 이때 $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{\\frac{64}{3}}$$=\\frac{8\\sqrt{3}}{3}$ 따라서 이 원의 반지름의 길이는 $\\frac{8\\sqrt{3}}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{CF}=\\overline{CE}=x cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=(17-x) cm$ $\\overline{BD}=\\overline{BE}=(14-x) cm$ $\\overline{AB}=\\overline{AD}+\\overline{BD}$이므로 $18=(17-x)+(14-x)$ $2x=13$ $∴ x=\\frac{13}{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=9 cm$, $\\overline{OE}=6 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOE$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AE}=\\sqrt{9^2-6^2}=\\sqrt{45}=3\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{BD}=\\overline{BF}$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 ($\\triangle{ABC}$의 둘레의 길이)$=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$ $=\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AE}$ $=$$2\\times3\\sqrt{5}$$=$$6\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC}$는 반원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$, $\\overline{AD}$는 반원 $O$의 접선이다. 점$ P$는 반원 $O$와 $\\overline{AD}$의 접점이고 $\\overline{AB}=6$, $\\overline{CD}=9$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\overline{CH}=\\overline{AB}=6$이므로 $\\overline{DH}$$=9-6$$=3$ $\\triangle AHD$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{15^2-3^2}=\\sqrt{216}=6\\sqrt{6}$ $\\overline{BC}$$=\\overline{AH}$$=6\\sqrt{6}$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{6}=3\\sqrt{6}$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times15\\times3\\sqrt{6}$$=\\frac{45\\sqrt{6}}{2}$ $\\overline{AP}=\\overline{AB}$$=$$6$, $\\overline{DP}=\\overline{DC}$$=$$9$이므로 $\\overline{AD}=6+9=15$" }, { "question": "다음 그림에서 원 O는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AF}$$=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=x cm$ $\\overline{BE}=\\overline{BD}=(10-x)$ $cm$ $\\overline{CE}=\\overline{CF}=(8-x)$ $cm$ $\\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}$이므로 $9=(10-x)+(8-x)$ $2x=9$ ∴ $x=\\frac{9}{2}$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $\\frac{9}{2} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원$ O$의 지름이고, $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 반원 $O$의 접선이다. 점 $P$는 반원 $O$와 $\\overline{CD}$의 접점이고 $\\overline{AD}=4 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CP}=\\overline{CB}$$=$$6 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DA}$$=$$4 cm$이므로 $\\overline{CD}=6+4=10 (cm)$ 위 그림과 같이 점 D에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=4 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=6-4$$=2 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{10^2-2^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=4\\sqrt{6} cm$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}=2\\sqrt{6}$ $(cm)$ $∴ \\triangle CDO$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times2\\sqrt{6}$$=10\\sqrt{6} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=12 cm$, $\\overline{OD}=9 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOD$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\sqrt{12^2-9^2}=\\sqrt{63}=3\\sqrt{7} (cm)$ $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CD}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 $(\\triangle{ABC}의 둘레의 길이)=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC} =\\overline{AE}+\\overline{AD}+2\\overline{AD} =2\\times3\\sqrt{7}=6\\sqrt{7} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\angle BAC=60\\degree$, $\\overline{OA}=6\\sqrt{2} cm$일 때, $\\triangle ACB$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle AOD\\equiv\\triangle AOE$($RHS$ 합동)이므로 $\\angle DAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ $\\triangle AOD$에서 $\\overline{AD}=6\\sqrt{2}\\cos30\\degree=6\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt{6} (cm)$ $∴ (\\triangle{ACB}의 둘레의 길이)=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}=\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AD} =2\\times3\\sqrt{6}=6\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 O에 외접하는 $\\square ABCD$에서 $\\angle B=90\\degree$, $\\overline{BC}=17 cm$, $\\overline{CD}=16 cm$일 때, $\\overline{DS}$의 길이를 구하여라.", "answer": "(사각형 안에 접하는 원) 위 그림과 같이 $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square BQOP$는 정사각형이므로 $\\overline{BQ}=\\overline{OP}=6 cm$ $\\overline{CR}=\\overline{CQ}=17-6=11 (cm)$ $\\overline{DS}=\\overline{DR}=16-11=5 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 A, B, E를 접점으로 하는 반원 O의 접선이다. $\\overline{AD}=5 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$12 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$5 cm$이므로 $\\overline{CD}=12+5=17 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=5 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=12-5$$=7 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{17^2-7^2}=\\sqrt{240}=4\\sqrt{15} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=4\\sqrt{15} cm$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점일 때, $x$의 값을 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AF}=x cm$ $\\overline{BE}=\\overline{BD}=(17-x) cm$ $\\overline{CE}=\\overline{CF}=(12-x) cm$ $\\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}$이므로 $15=(17-x)+(12-x)$ $2x=14$ $∴ x=7$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 A, B, E를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=2 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$8 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$2 cm$이므로 $\\overline{CD}=8+2=10 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=8-2$$=6 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ ∴ $\\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=8 cm$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A$, $B$, $E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=3 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$12 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$3 cm$이므로 $\\overline{CD}=12+3=15 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=3 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=12-3$$=9 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{15^2-9^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $∴ $ $\\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=12 cm$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 외접하는 $\\square ABCD$에서 $\\angle C=90\\degree$, $\\overline{AD}=11 cm$, $\\overline{CD}=9 cm$일 때, $\\overline{AP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OR}$를 그으면 $\\square CROQ$는 정사각형이므로 $\\overline{CR}$$=\\overline{OQ}$$=6 cm$ $\\overline{DS}=\\overline{DR}=9-6=3 (cm)$ $\\overline{AP}=\\overline{AS}=11-3=8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $15 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=15 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(15+x) cm$, $\\overline{DE}=(15-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $15^2+(15-x)^2=(15+x)^2$ $60x=225$ $∴$ $x=\\frac{15}{4}$ $∴$ $\\overline{AE}$$=15+\\frac{15}{4}$$=\\frac{75}{4} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $20 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=20 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(20+x) cm$, $\\overline{DE}=(20-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $20^2+(20-x)^2=(20+x)^2$ $80x=400$ $∴ x=5$ $∴ \\overline{AE}$$=20+5$$=25 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A$, $B$, $E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=9 cm$, $\\overline{BC}=19 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$19 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$9 cm$이므로 $\\overline{CD}=19+9=28 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=9 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=19-9$$=10 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{28^2-10^2}=\\sqrt{684}=6\\sqrt{19} (cm)$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=6\\sqrt{19} cm$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC}$는 반원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$, $\\overline{AD}$는 반원 $O$의 접선이다. 점 $P$는 반원 $O$와 $\\overline{AD}$의 접점이고 $\\overline{AB}=5$, $\\overline{CD}=9$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AP}=\\overline{AB}$$=$$5$, $\\overline{DP}=\\overline{DC}$$=$$9$이므로 $\\overline{AD}=5+9=14$ 위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\overline{CH}=\\overline{AB}=5$이므로 $\\overline{DH}$$=9-5$$=4$ $\\triangle AHD$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{14^2-4^2}=\\sqrt{180}=6\\sqrt{5}$ $\\overline{BC}$$=\\overline{AH}$$=6\\sqrt{5}$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}=3\\sqrt{5}$ $∴$ $\\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times14\\times3\\sqrt{5}$$=21\\sqrt{5}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC}$는 반원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$, $\\overline{AD}$는 반원 $O$의 접선이다. 점 $P$는 반원 $O$와 $\\overline{AD}$의 접점이고 $\\overline{AB}=5$, $\\overline{CD}=7$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AP}=\\overline{AB}$$=$$5$, $\\overline{DP}=\\overline{DC}$$=$$7$이므로 $\\overline{AD}=5+7=12$ 위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\overline{CH}=\\overline{AB}=5$이므로 $\\overline{DH}$$=7-5$$=2$ $\\triangle AHD$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{12^2-2^2}=\\sqrt{140}=2\\sqrt{35}$ $\\overline{BC}$$=\\overline{AH}$$=2\\sqrt{35}$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{35}=\\sqrt{35}$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times\\sqrt{35}$$=6\\sqrt{35}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{BC}$, $\\overline{CD}$는 각각 세 점 $A$, $B$, $E$를 접점으로 하는 반원 $O$의 접선이다. $\\overline{AD}=6 cm$, $\\overline{BC}=10 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CE}=\\overline{CB}$$=$$10 cm$, $\\overline{DE}=\\overline{DA}$$=$$6 cm$이므로 $\\overline{CD}=10+6=16 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AD}=6 cm$이므로 $\\overline{CH}$$=10-6$$=4 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{16^2-4^2}=\\sqrt{240}=4\\sqrt{15} (cm)$ $∴ \\overline{AB}$$=\\overline{DH}$$=4\\sqrt{15} cm$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OD}=10$, $\\overline{AB}=12$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 C에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 $\\overline{CD}=x$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$12$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$x$이므로 $\\overline{BC}=12+x$ $\\overline{AH}=\\overline{CD}=x$이므로 $\\overline{BH}$$=12-x$ , $\\overline{CH}=\\overline{AD}=2\\overline{OD}=2\\times10=20$ $\\triangle BCH$에서 $(12-x)^2+20^2=(12+x)^2$ , $48x=400$ $∴ x=\\frac{25}{3}$ 따라서 $\\overline{CD}$의 길이는 $\\frac{25}{3}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A, D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B, C$라 하자. $\\overline{OD}=6 cm$, $\\overline{AB}=8 cm$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 C에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{CD}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$8 cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$x cm$이므로 $\\overline{BC}=(8+x) cm$ $\\overline{AH}=\\overline{CD}=x cm$이므로 $\\overline{BH}$$=(8-x) cm$ $\\overline{CH}=\\overline{AD}=2\\overline{OD}=2\\times6=12 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $(8-x)^2+12^2=(8+x)^2$ $32x=144$ ∴ $x=\\frac{9}{2}$ 따라서 $\\overline{CD}$의 길이는 $\\frac{9}{2} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $7 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $ O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=7 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(7+x) cm$, $\\overline{DE}=(7-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $7^2+(7-x)^2=(7+x)^2$ $28x=49$ $\\therefore$ $x=\\frac{7}{4}$ $\\therefore$ $\\overline{AE}$$=7+\\frac{7}{4}$$=\\frac{35}{4} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $16 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=16 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(16+x) cm$, $\\overline{DE}=(16-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $16^2+(16-x)^2=(16+x)^2$ $64x=256$ $∴ x=4$ $∴ \\overline{AE}$$=16+4$$=20 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $6 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=6 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(6+x) cm$, $\\overline{DE}=(6-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $6^2+(6-x)^2=(6+x)^2$ $24x=36$ $∴$ $x=\\frac{3}{2}$ $∴$ $\\overline{AE}$$=6+\\frac{3}{2}$$=\\frac{15}{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $9 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라. $\\overline{AE}$ = $\\square$$cm$", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=9 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(9+x) cm$, $\\overline{DE}=(9-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $9^2+(9-x)^2=(9+x)^2$ $36x=81$ $∴ x=\\frac{9}{4}$ $∴ \\overline{AE}$$=9+\\frac{9}{4}$$=\\frac{45}{4} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{BC}$는 반원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$, $\\overline{AD}$는 반원 $O$의 접선이다. 점 $P$는 반원 $O$와 $\\overline{AD}$의 접점이고 $\\overline{AB}=9 cm$, $\\overline{CD}=4 cm$일 때, $\\triangle AOD$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AP}=\\overline{AB}$$=$$9 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DC}$$=$$4 cm$이므로 $\\overline{AD}=9+4=13 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $D$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\overline{BH}=\\overline{CD}=4 cm$이므로 $\\overline{AH}$$=9-4$$=5 (cm)$ $\\triangle AHD$에서 $\\overline{DH}=\\sqrt{13^2-5^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{BC}$$=\\overline{DH}$$=12 cm$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $∴ \\triangle AOD$$=\\frac{1}{2}\\times13\\times6$$=39 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$에 수직이다. $\\angle AOC=135\\degree$, $\\overline{AB}=10 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-135\\degree$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{5}{\\sin45\\degree}=5\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=5\\sqrt{2} (cm)$ 반지름의 길이는 $5\\sqrt{2} cm$이므로 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times5\\sqrt{2}$$=10\\sqrt{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OA}=8 cm$, $\\overline{CD}=16 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$16 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+16) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(16-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times8=16 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $16^2+(16-x)^2=(x+16)^2$ $64x=256$ $∴ x=4$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $4 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 외접하는 $\\square ABCD$에서 $\\angle C=90\\degree$, $\\overline{AB}=16 cm$, $\\overline{BC}=14 cm$일 때, $\\overline{AS}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\squareCROQ$는 정사각형이므로 $\\overline{CQ}$$=\\overline{OR}$$=6 cm$ $\\overline{BP}=\\overline{BQ}=14-6=8 (cm)$ $\\overline{AS}=\\overline{AP}=16-8=8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 O는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AB$, $AD$, $BC$와 접한다. $\\overline{DE}$가 원 O의 접선일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{15^2-9^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=9 cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(x+12) cm$ $\\overline{AB}+\\overline{DE}=\\overline{AD}+\\overline{BE}$이므로 $9+15=(x+12)+x$ $2x=12$ $∴ x=6$ 따라서 $\\overline{BE}$의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $5$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=75\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times75\\degree$$=150\\degree$이므로 $=$$\\frac{25}{4}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=3 cm$, $\\overline{BC}=5 cm$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=3+5$$=8 (cm)$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=8$ $∴$ $\\overline{AB}=4$ $(cm)$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=3 cm$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=1 cm$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{4^2-1^2}=\\sqrt{15} (cm)$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $\\sqrt{15} cm$이다. 따라서 반지름의 길이는 $\\frac{\\sqrt{15}}{2} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=8 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=8+12$$=20 (cm)$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=20$ $∴$ $\\overline{AB}=10$ $(cm)$ 위 그림과 같이 점 $A$,$D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=8 cm$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=2 cm$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{10^2-2^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $4\\sqrt{6} cm$이다. 따라서 반지름의 길이는 $2\\sqrt{6} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $60 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=15 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=6+x+x+15+15+6$$=60$ $2x=18$ $∴ x=9$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}=9+15=24$ ($cm$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3 cm$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times60\\degree$$=120\\degree$이므로 $\\triangle BCO=\\frac{1}{2} \\times 3\\times3 \\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\sin60\\degree=\\frac{1}{2}\\times3\\times\\times3\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{9\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OA}=7 cm$, $\\overline{CD}=11 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$11 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+11) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(11-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times7=14 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $14^2+(11-x)^2=(x+11)^2$ $44x=196$ $∴$ $x=\\frac{49}{11}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{49}{11} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=10$, $\\overline{BC}=12$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=10+12$$=22$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=22$ $∴$ $\\overline{AB}=11$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=10$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=1$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{11^2-1^2}=\\sqrt{120}=2\\sqrt{30}$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $2\\sqrt{30}$이다. 따라서 반지름의 길이는 $\\sqrt{30}$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원$ O$의 지름의 양 끝 점$ A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점$ P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OA}=8 cm$, $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$12 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+12) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(12-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times8=16 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $16^2+(12-x)^2=(x+12)^2$ $48x=256$ $∴$ $x=\\frac{16}{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{16}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $38 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=4 cm$, $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=9 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=4+x+x+9+9+4$$=38$ $2x=12$ $∴ x=6$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}=6+9=15 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{2}$일 때, $\\angle ACB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle ABD=90\\degree$이므로 $\\triangle ABD$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=8$이고 $\\sin D=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AD}}=\\frac{4\\sqrt{2}}{8}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\sin45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $\\angle D=45\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ADB$$=45\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O의 중심에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{AC}$, $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 M, N, H라 하자. $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\angle ABC=64\\degree$일 때, $\\angle MON$의 크기를 구하여라.", "answer": "한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AB}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=180\\degree-64\\degree\\times2$$=52\\degree$ 따라서 $\\square AMON$에서 $\\angle MON$$=360\\degree-(52\\degree+90\\degree+90\\degree)$$=128\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $30 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AD}=x cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}=8 cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=3 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=x+8+8+3+3+x$$=30$ $2x=8$ $∴ x=4$ $∴ \\overline{AB}=\\overline{AD}+\\overline{BD}=4+8=12$ ($cm$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O에 지름 $CD$와 이에 평행한 현 $AB$를 그었다. $\\overline{CD}=8 cm$이고 $\\overline{AB}=4 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times8=4$ ($cm$) 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2$ ($cm$) $\\triangle AOH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{4^2-2^2}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$ ($cm$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=10 cm$, $\\overline{BC}=16 cm$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=10+16$$=26 (cm)$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=26$ $∴ \\overline{AB}=13$ $(cm)$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=10 cm$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=3 cm$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{13^2-3^2}=\\sqrt{160}=4\\sqrt{10} (cm)$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $4\\sqrt{10} cm$이다. 따라서 반지름의 길이는 $2\\sqrt{10} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10 cm$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=10\\sqrt{3} cm$일 때, $\\angle ACB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D라 하면 $\\angle ABD=90\\degree$이므로 $\\triangle ABD$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=20 cm$이고 $\\sin D$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{10\\sqrt{3}}{20}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\angle D=60\\degree$ $\\widehat{AB}에 대한 원주각의 크기는 같으므로 \\angle ACB$=$\\angle ADB$$=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $원 O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 $E, F, G, H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=15-6=9$ $\\overline{HP}=x$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=9$이므로 $\\overline{DP}=9-x$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x$이므로 $\\overline{CP}=9+x$ $\\triangle CDP$에서 $(9-x)^2+12^2=(9+x)^2$ $36x=144$ ∴ $x=4$ ∴ $\\overline{DP}=9-4=5$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=4$, $\\overline{BC}=8$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=4+8$$=12$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=12$ $∴$ $\\overline{AB}=6$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=4$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=2$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{6^2-2^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $4\\sqrt{2}$이다. 따라서 반지름의 길이는 $2\\sqrt{2}$이다." }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AB$, $AD$, $BC$와 접한다. $\\overline{DE}$가 원 $O$의 접선일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle CDE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(x+5) cm$ $\\overline{AB}+\\overline{DE}=\\overline{AD}+\\overline{BE}$이므로 $12+13=(x+5)+x$ $2x=20$ $∴$ $x=10$ 따라서 $\\overline{BE}$의 길이는 $10 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OA}=7 cm$, $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 점 B에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$12 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+12) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(12-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times7=14 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $14^2+(12-x)^2=(x+12)^2$ $48x=196$ $∴ x=\\frac{49}{12}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{49}{12} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=7 cm$, $\\overline{CM}=5 cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=5 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=7 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{7^2-5^2}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6} (cm)$ $∴ \\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}\\times5$$=5\\sqrt{6} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D, E, F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $28 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AD}=4 cm$, $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=7 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=4+x+x+7+7+4$$=28$ $2x=6$ ∴ $x=3$ ∴ $\\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}=3+7=10$ (cm)" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $30 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=3 cm$, $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=8 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=3+x+x+8+8+3$$=30$ $2x=8$ $∴ x=4$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}=4+8=12$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AD$, $BC$, $CD$와 접한다. $\\overline{AE}$가 원 $O$의 접선일 때, $\\overline{CE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle ABE$에서 $\\overline{BE}=\\sqrt{17^2-8^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $\\overline{CE}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(15+x) cm$이고 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=8 cm$ $\\overline{AD}+\\overline{CE}=\\overline{AE}+\\overline{CD}$이므로 $(15+x)+x=17+8$ $2x=10$ $∴ x=5$ 따라서 $\\overline{CE}$의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $O$를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $12 cm$, $18 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=18 cm$, $\\overline{OM}=12 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{18^2-12^2}=\\sqrt{180}=6\\sqrt{5} (cm)$ $ \\therefore \\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times6\\sqrt{5}$$=12\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $3 cm$인 원 O에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=75\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle \\mathrm{BOC} =2 \\angle \\mathrm{BAC}=2 \\times 75^{\\circ}=150^{\\circ} $이므로 $\\triangle \\mathrm{BCO} =\\frac{1}{2} \\times 3 \\times 3 \\times \\sin \\left(180^{\\circ}-150^{\\circ}\\right) =\\frac{1}{2} \\times 3 \\times 3 \\times \\sin 30^{\\circ} =\\frac{1}{2} \\times 3 \\times 3 \\times \\frac{1}{2} =\\frac{9}{4}\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) $" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=13cm$, $\\overline{CM}=12cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=12 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=13 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $∴ \\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times5\\times12$$=30 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=28 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times28$$=14 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $14^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=196$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=196\\pi ( m^2 )$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $O$를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $15 cm$, $20 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=20 cm$, $\\overline{OM}=15 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{20^2-15^2}=\\sqrt{175}=5\\sqrt{7} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times5\\sqrt{7}$$=10\\sqrt{7} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4\\sqrt{2}$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=75\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times75\\degree$$=150\\degree$이므로 $=$$8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 지름 $AB$와 이에 평행한 현 $CD$를 그었다. $\\overline{AB}=18 cm$이고 $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times18=9 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{9^2-6^2}=\\sqrt{45}=3\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $2$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times60\\degree$$=120\\degree$이므로 $\\triangle BCO = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times 2 \\times \\sin (180 \\degree - 120 \\degree) = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times 2 \\times \\sin 60 \\degree = \\frac{1}{2} \\times 2 \\times 2 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} $ $=$$\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=11 cm$, $\\overline{CM}=7 cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=7 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=11 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{11^2-7^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2} (cm)$ $∴\\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}\\times7$$=21\\sqrt{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=12 cm$, $\\overline{CM}=9 cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=9 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=12 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{12^2-9^2}=\\sqrt{63}=3\\sqrt{7} (cm)$ $∴$ $\\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times9\\times3\\sqrt{7}$$=\\frac{27\\sqrt{7}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AB$, $AD$, $BC$와 접한다. $\\overline{DE}$가 원 $O$의 접선일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle CDE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{17^2-15^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=15 cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(x+8) cm$ $\\overline{AB}+\\overline{DE}=\\overline{AD}+\\overline{BE}$이므로 $15+17=(x+8)+x$ $2x=24$ $∴$ $x=12$ 따라서 $\\overline{BE}$의 길이는 $12 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 지름 $CD$와 이에 평행한 현 $AB$를 그었다. $\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\overline{AB}=8 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times12=6$ $(cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ $\\triangle AOH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{6^2-4^2}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=4$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=10$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=10$이므로 $\\overline{OH}=10-4=6$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\times8$$=16$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=3$, $\\angle MON=150\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times3$$=6$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=6$ $\\square AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+150\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=$$9$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=10 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $5^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=25$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=25\\pi$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6$인 원 $O$에 내접하는 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\sqrt{3}$일 때, $\\angle ACB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BO}$의 연장선이 원 $O$와 만나는 점을 $D$라 하면 $\\angle BAD=90\\degree$이므로 $\\triangle ABD$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=12$이고 $\\sin D$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{6\\sqrt{3}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $\\angle D=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ADB$$=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 지름 $CD$와 이에 평행한 현 $AB$를 그었다. $\\overline{CD}=14 cm$이고 $\\overline{AB}=8 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times14=7 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ $\\triangle AOH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{7^2-4^2}=\\sqrt{33} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=6 cm$, $\\overline{BC}=16 cm$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=6+16$$=22 (cm)$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=22$ $∴$ $\\overline{AB}=11$ $(cm)$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=6 cm$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=5 cm$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{11^2-5^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $4\\sqrt{6} cm$이다. 따라서 반지름의 길이는 $2\\sqrt{6} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $9$인 원 O에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=6$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=9$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=9$이므로 $\\overline{OH}=9-6=3$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{9^2-3^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\times6\\sqrt{2}$$=12\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=6$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라. $\\overline{CD}=$ $\\square$", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=10$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=10$이므로 $\\overline{OH}=10-6=4$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{10^2-4^2}=\\sqrt{84}=2\\sqrt{21}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\times2\\sqrt{21}$$=4\\sqrt{21}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O에 지름 $CD$와 이에 평행한 현 $AB$를 그었다. $\\overline{CD}=18{cm}$이고 $\\overline{AB}=10{cm}$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times18=9$ (cm) 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\triangle AOH$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{9^2-5^2}=\\sqrt{56}=2\\sqrt{14} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=6 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $3^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=9$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=9\\pi$$(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=26 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times26$$=13 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $13^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=169$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=169\\pi$ $(m^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 O는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AD$, $BC$, $CD$와 접한다. $\\overline{AE}$가 원 $O$의 접선일 때, $\\overline{CE}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "$\\triangle ABE$에서 $\\overline{BE}=\\sqrt{20^2-16^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{CE}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(12+x) cm$이고 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=16 cm$ $\\overline{AD}+\\overline{CE}=\\overline{AE}+\\overline{CD}$이므로 $(12+x)+x=20+16$ $2x=24$ $∴ x=12$ 따라서 $\\overline{CE}$의 길이는 $12 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 외접하고 $\\overline{AD} // \\overline{BC}$인 등변사다리꼴 $ABCD$에서 $\\overline{AD}=10$, $\\overline{BC}=14$일 때, 원 $O$의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}$$=\\overline{AD}+\\overline{BC}$$=10+14$$=24$이고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=2\\overline{AB}=24$ $∴ \\overline{AB}=12$ 위 그림과 같이 점 $A$, $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라고 하면 $\\overline{EF}=\\overline{AD}=10$이고 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$이므로 $\\overline{BE}=\\overline{CF}=2$ $\\triangle ABE$에서 $\\overline{AE}=\\sqrt{12^2-2^2}=\\sqrt{140}=2\\sqrt{35}$ 원 $O$의 지름의 길이는 $\\overline{AE}$의 길이와 같으므로 $2\\sqrt{35}$이다. 따라서 반지름의 길이는 $\\sqrt{35}$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 한 변의 길이가 $10 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=10 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(10+x) cm$, $\\overline{DE}=(10-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $10^2+(10-x)^2=(10+x)^2$ $40x=100$ $ \\therefore x=\\frac{5}{2}$ $ \\therefore \\overline{AE}$$=10+\\frac{5}{2}$$=\\frac{25}{2} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=7 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times7$$=\\frac{7}{2} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(\\frac{7}{2})^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=\\frac{49}{4}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\frac{49}{4}\\pi$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=4 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $2^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=4$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=4\\pi$ $(m^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{1}{4}$, $\\frac{1}{15}$일 때, $\\angle APC$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{4}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{4})=45\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{15}$이므로 $\\angle CAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{15})=12\\degree$ 따라서 $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC=45\\degree-12\\degree=33\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $2 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square{CFOE}$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=2 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=7-2=5 (cm)$ $\\overline{AB}=(5+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+2) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+2)^2+7^2=(5+x)^2$ $6x=28$ $∴ x=\\frac{14}{3}$ $\\overline{BC}=\\frac{14}{3}+2=\\frac{20}{3}(cm)$이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\frac{20}{3}\\times7$$=\\frac{70}{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=6$, $\\angle MON=135\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times6$$=12$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=12$ $\\square AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+135\\degree+90\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABC= \\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\sin 45^{\\circ}= \\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2} $$=36\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원$ O$에 지름 $AB$와 이에 평행한 현 $CD$를 그었다. $\\overline{AB}=16 cm$이고 $\\overline{CD}=10 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times16=8 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$ $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{8^2-5^2}=\\sqrt{39} (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $3 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=3 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=7-3=4 (cm)$ $\\overline{AB}=(4+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+3) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+3)^2+7^2=(4+x)^2$ $2x=42$ $∴$ $x=21$ $\\overline{BC}=21+3=24(cm)$ 이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times24\\times7$$=84 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AC$, $BD$의 교점이다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{9}$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$일 때, $\\angle CPD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{9}$이므로 $\\angle ACB$$=$$\\frac{1}{2}\\times $ $360\\degree$$\\times\\frac{1}{9}$$)=20\\degree$ $\\\\$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$이므로 $\\angle CBD$$=$$\\frac{1}{2}\\times $ $360\\degree$$\\times\\frac{1}{3}$$)=20\\degree$ $\\\\$ 따라서 $\\triangle BCP$에서 $\\angle CPD=60\\degree+20\\degree=80\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8$인 원 O에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=3$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=8$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=8$이므로 $\\overline{OH}=8-3=5$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{8^2-5^2}=\\sqrt{39}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\sqrt{39}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8\\sqrt{3} cm$인 원$ O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times60\\degree$$=120\\degree$이므로 $\\triangle BCO$$=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times8\\sqrt{3}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times8\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}\\times8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$48\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $13$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=6$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=13$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=13$이므로 $\\overline{OH}=13-6=7$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{13^2-7^2}=\\sqrt{120}=2\\sqrt{30}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\times2\\sqrt{30}$$=4\\sqrt{30}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=12 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $6^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=36$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=36\\pi$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $O$를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $15 cm$, $17 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=17 cm$, $\\overline{OM}=15 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{17^2-15^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $∴ \\overline{AB}=2\\overline{AM}=2\\times8=16 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $12$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=8$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=12$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=12$이므로 $\\overline{OH}=12-8=4$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{12^2-4^2}=\\sqrt{128}=8\\sqrt{2}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}=2\\times8\\sqrt{2}=16\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. $\\triangle ABC$의 둘레의 길이가 $48 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BE}=x cm$라고 하면 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=5 cm$, $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=12 cm$이므로 $(\\triangle ABC의 둘레의 길이)$$=5+x+x+12+12+5$$=48$ $2x=14$ $∴ x=7$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BE}+\\overline{CE}=7+12=19 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점$H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A, B$라 하자. $\\overline{AB}=16 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $8^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=64$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=64\\pi$ $(cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=6 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $3^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=9$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=9\\pi$ ($m^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 지름 $AB$와 이에 평행한 현 $CD$를 그었다. $\\overline{AB}=20 cm$이고 $\\overline{CD}=12 cm$일 때, $\\overline{OH}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times20=10$ $(cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\triangle CHO$에서 $\\overline{OH}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=5$, $\\angle MON=120\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times5$$=10$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=10$ $\\square AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+120\\degree+90\\degree)$$=60\\degree$이므로 $\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$25\\sqrt{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $O$를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $10 cm$, $15 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=15 cm$, $\\overline{OM}=10 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{15^2-10^2}=\\sqrt{125}=5\\sqrt{5} (cm)$ $∴ \\overline{AB}=2\\overline{AM}=2\\times5\\sqrt{5}=10\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 H에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=5 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times5$$=\\frac{5}{2} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(\\frac{5}{2})^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=\\frac{25}{4}$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=\\frac{25}{4}\\pi$ ($cm^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=24 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $12^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=144$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=144\\pi$ ($m^2$)" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=110\\degree$, $\\angle AED=95\\degree$일 때, $\\angle COD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+95\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABD=85\\degree$ $\\angle CBD$$=110\\degree-85\\degree$$=25\\degree$이므로 $\\angle COD$$=2\\angle CBD$$=2\\times25\\degree$$=50\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=9$, $\\angle MON=135\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times9$$=18$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=18$ $\\Box AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+135\\degree+90\\degree)$$=45\\degree$이므로 $=$$81\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $O$를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $8 cm$, $10 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=10 cm$, $\\overline{OM}=8 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{10^2-8^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ $∴ \\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times6$$=12 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 외접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점이다. $\\overline{OF}=8$, $\\overline{CD}=20$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square AEOH$, $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BF}=8$ 꼭짓점 D에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $I$라고 하면 $\\overline{DI}=2\\overline{OF}=2\\times8=16$이므로 $\\triangle CDI$에서 $\\overline{CI}=\\sqrt{20^2-16^2}=\\sqrt{144}=12$ $\\overline{DH}=x$라고 하면 $\\overline{FI}=\\overline{DH}=x$이므로 $\\overline{CF}=12+x$ $\\overline{DG}=\\overline{DH}=x$이므로 $\\overline{CG}=20-x$ 이때 $\\overline{CF}=\\overline{CG}$이므로 $12+x=20-x$ $2x=8$ $∴$ $x=4$ $∴$ $\\overline{AD}=\\overline{AH}+\\overline{DH}=8+4=12$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 $E, F, G, H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times8=4(cm)$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=10-4=6 (cm)$ $\\overline{HP}=x cm$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=6 cm$이므로 $\\overline{DP}=(6-x) cm$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x cm$이므로 $\\overline{CP}=(6+x) cm$ $\\triangle CDP$에서 $(6-x)^2+8^2=(6+x)^2$ $24x=64$ $∴ x=\\frac{8}{3}$ $∴ \\overline{DP}=6-\\frac{8}{3}=\\frac{10}{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원으로 둘러싸인 꽃밭이 있다. 꽃밭의 작은 원의 접선이 큰 원과 만나는 점을 각각 $A$, $B$라 하자. $\\overline{AB}=18 m$일 때, 꽃밭의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 큰 원의 반지름의 길이를 $R m$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r m$라 하면 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (m)$ $\\triangle AHO$에서 $9^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=81$ 따라서 꽃밭의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=81\\pi$ ($m^2$)" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원 $O$에 외접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점이다. $\\overline{OF}=6$, $\\overline{CD}=13$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\Box AEOH$, $\\Box BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BF}=6$ 꼭짓점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $I$라고 하면 $\\overline{DI}=2\\overline{OF}=2\\times6=12$이므로 $\\triangle CDI$에서 $\\overline{CI}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5$ $\\overline{DH}=x$라고 하면 $\\overline{FI}=\\overline{DH}=x$이므로 $\\overline{CF}=5+x$ $\\overline{DG}=\\overline{DH}=x$이므로 $\\overline{CG}=13-x$ 이때 $\\overline{CF}=\\overline{CG}$이므로 $5+x=13-x$ $2x=8$ $∴$ $x=4$ $∴$ $\\overline{AD}=\\overline{AH}+\\overline{DH}=6+4=10$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원 $O$에 외접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점이다. $\\overline{CD}=26$, $\\overline{OH}=12$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square AEOH$, $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BF}=12$ 꼭짓점 C에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $I$라고 하면 $\\overline{CI}=2\\overline{OH}=2\\times12=24$이므로 $\\triangle CDI$에서 $\\overline{DI}=\\sqrt{26^2-24^2}=\\sqrt{100}=10$ $\\overline{CF}=x$라고 하면 $\\overline{HI}=\\overline{CF}=x$이므로 $\\overline{DH}=10+x$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=x$이므로 $\\overline{DG}=26-x$ 이때 $\\overline{DG}=\\overline{DH}$이므로 $26-x=10+x$ $-2x=-16$ $∴ x=8$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=12+8=20$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $A$는 그 접점이다. $\\angle BAT'=68\\degree, $$\\angle BOC=136\\degree$일 때, $\\angle ABC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times136\\degree=68\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle BAT'$$=68\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(68\\degree+68\\degree)$$=44\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=2 : 2 : 3 : 3 : 5$일 때, $\\angle AED$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}:\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}: \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}:\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=2 : 2 : 3 : 3 : 5$ $\\angle AED$는 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABD}$에 대한 원주각이고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABD}$는 원주의 $\\frac{2+2+3}{2+2+3+3+5}=\\frac{7}{15}$이므로 $\\angle AED=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{7}{15})=84\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=9$, $\\angle MON=150\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times9$$=18$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=18$ $\\square AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+150\\degree+90\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times18\\times18\\times sin30\\degree=\\frac{1}{2}\\times18\\times18\\times\\frac{1}{2}=81$" }, { "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이고 $\\overline{AM}=10$, $\\angle MON=135\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times10$$=20$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{AC}=\\overline{AB}=20$ $\\square AMON$에서 $\\angle MAN$$=360\\degree-(90\\degree+135\\degree+90\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABC$=$\\frac{1}{2}$$\\times$$20$$\\times$$20$$\\times$$sin45\\degree$=$\\frac{1}{2}$$\\times$$20$$\\times$$20$$\\times$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$100\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 원$ O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점$ E$,$ F$, $G$, $H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times10=5$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=15-5=10$ $\\overline{HP}=x$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=10$이므로 $\\overline{DP}=10-x$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x$이므로 $\\overline{CP}=10+x$ $\\triangle CDP$에서 $(10-x)^2+10^2=(10+x)^2$ $40x=100$ $∴$ $x=\\frac{5}{2}$ $∴$ $\\overline{DP}=10-\\frac{5}{2}=\\frac{15}{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{1}{4}, \\frac{1}{9}$일 때, $\\angle{APC}$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\widehat{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{4}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{4})=45\\degree$ $\\widehat{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{9}$이므로 $\\angle CAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{9})=20\\degree$ 따라서 $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC=45\\degree-20\\degree=25\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $A$는 그 접점이다. $\\angle BAT'=74\\degree, $$\\angle BOC=130\\degree$일 때, $\\angle ABC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times130\\degree=65\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle BAT'$$=74\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(65\\degree+74\\degree)$$=41\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $3 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}=\\overline{CF}=3 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=10-3=7 (cm)$ $\\overline{AB}=(7+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+3) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+3)^2+10^2=(7+x)^2$ $8x=60$ $∴ x=\\frac{15}{2}$ $\\overline{BC}=\\frac{15}{2}+3=\\frac{21}{2} (cm)$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times\\frac{21}{2}\\times10=\\frac{105}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=110\\degree$, $\\angle AED=84\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+84\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle ABD=96\\degree$ $\\angle CBD$$=110\\degree-96\\degree$$=14\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle CBD$$=2\\times14\\degree$$=28\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 O는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 E, F, G, H는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6=3$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=9-3=6$ $\\overline{HP}=x$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=6$이므로 $\\overline{DP}=6-x$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x$이므로 $\\overline{CP}=6+x$ $\\triangle CDP$에서 $(6-x)^2+6^2=(6+x)^2$ $24x=36$ $∴$ $x=\\frac{3}{2}$ $∴$ $\\overline{DP}=6-\\frac{3}{2}=\\frac{9}{2}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 외접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점이다. $\\overline{CD}=20 cm$, $\\overline{OH}=6 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square AEOH$, $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BF}=6 cm$ 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $I$라고 하면 $\\overline{CI}=2\\overline{OH}=2\\times6=12 (cm)$이므로 $\\triangle CDI$에서 $\\overline{DI}=\\sqrt{20^2-12^2}=\\sqrt{256}=16 (cm)$ $\\overline{CF}=x cm$라고 하면 $\\overline{HI}=\\overline{CF}=x cm$이므로 $\\overline{DH}=(16+x)$ $cm$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=x cm$이므로 $\\overline{DG}=(20-x)$ $cm$ 이때 $\\overline{DG}=\\overline{DH}$이므로 $20-x=16+x$ $-2x=-4$ $∴ x=2$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=6+2=8$ $(cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) : \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} \\) : \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} \\) : \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DA} \\) =$2$ : $2$ : $4$ : $1$일 때, $\\angle ADC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}:\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DA}=2:2:4:1$ $\\angle ADC$는 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$에 대한 원주각이고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$는 원주의 $\\frac{2+2}{2+2+4+1}=\\frac{4}{9}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{4}{9})=80\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라. $\\overline{DP}=$ $\\square$cm", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times4=2 (cm)$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=6-2=4 (cm)$ $\\overline{HP}=x cm$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=4 cm$이므로 $\\overline{DP}=(4-x) cm$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x cm$이므로 $\\overline{CP}=(4+x) cm$ $\\triangle CDP$에서 $(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$ $16x=16$ $∴ x=1$ $∴ \\overline{DP}=4-1=3 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $P$는 두 현 $AC$, $BD$의 교점이다. \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) 의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$이고 \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) 의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$일 때, $\\angle CPD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{6})=30\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$이므로 $\\angle CBD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{3})=60\\degree$ 따라서 $\\triangle BCP$에서 $\\angle CPD=60\\degree+30\\degree=90\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=2 : 3 : 3 : 2 : 2$일 때, $\\angle AED$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CD} : \\widehat{DE} : \\widehat{EA}=2 : 3 : 3 : 2 : 2$ $\\angle AED$는 $\\widehat{ABD}$에 대한 원주각이고 $\\widehat{ABD}$는 원주의 $\\frac{2+3+3}{2+3+3+2+2}=\\frac{8}{12}=\\frac{2}{3}$이므로 $\\angle AED=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{2}{3})=120\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점$ D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $3 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=3 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=8-3=5 (cm)$ $\\overline{AB}=(5+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+3) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+3)^2+8^2=(5+x)^2$ $4x=48$ $∴ x=12$ $\\overline{BC}=12+3=15 (cm)$이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times15\\times8$$=60 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CD} : \\widehat{DA}=1 : 3 : 2 : 3$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DA}=1 : 3 : 2 : 3$ $\\angle BAD$는 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$에 대한 원주각이고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$는 원주의 $\\frac{3+2}{1+3+2+3}=\\frac{5}{9}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2} \\times (360 \\degree \\times \\frac{5}{9}) =100\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT^{\\prime}$은 원 $O$의 접선이고 점 $A$는 그 접점이다. $\\angle BAT^{\\prime}=78\\degree$, $\\angle BOC=134\\degree$일 때, $\\angle ABC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times134\\degree=67\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle BAT'$$=78\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(67\\degree+78\\degree)$$=35\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원$ O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times16=8$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=20-8=12$ $\\overline{HP}=x$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=12$이므로 $\\overline{DP}=12-x$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x$이므로 $\\overline{CP}=12+x$ $\\triangle CDP$에서 $(12-x)^2+16^2=(12+x)^2$ $48x=256$ $∴$ $x=\\frac{16}{3}$ $∴$ $\\overline{DP}=12-\\frac{16}{3}=\\frac{20}{3}$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$, $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{1}{2}$, $\\frac{5}{12}$일 때, $\\angle ABC+\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{2})=90\\degree$ $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이는 원주의 $\\frac{5}{12}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{5}{12})=75\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+90\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle ABC=90\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=75\\degree$ $∴$ $\\angle ABC+\\angle DCE=90\\degree+75\\degree=165\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=3 : 3 : 2 : 4 : 3$일 때, $\\angle BAE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA} =3 : 3 : 2 : 4 : 3$ $\\angle BAE$는 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCE} $에 대한 원주각이고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCE}$는 원주의 $\\frac{3+2+4}{3+3+2+4+3}=\\frac{9}{15}=\\frac{3}{5}$이므로 $\\angle BAE$ = $\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{3}{5})$ = $108\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\widehat{ABC}$ $\\widehat{BCD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{2}{5}$, $\\frac{1}{3}$일 때, $\\angle ABC+\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\widehat{ABC}$의 길이는 원주의 $\\frac{2}{5}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{2}{5})=72\\degree$ $\\widehat{BCD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{3})=60\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+72\\degree=180\\degree$ ∴ $\\angle ABC=108\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=60\\degree$ ∴ $\\angle ABC+\\angle DCE=108\\degree+60\\degree=168\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=122\\degree$, $\\angle AED=102\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle DCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CE}$를 그으면 $\\square ABCE$가 원에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle AEC=180\\degree$ $122\\degree+\\angle AEC=180\\degree$ $∴$ $\\angle AEC=58\\degree$ $\\angle CED$$=102\\degree-58\\degree$$=44\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle DCT=\\angle CED=44\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle ABT=66\\degree$, $\\angle AOC=142\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\angle AOC=\\frac{1}{2}\\times142\\degree=71\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=66\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(71\\degree+66\\degree)$$=43\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=1 : 2 : 2 : 3 : 2$일 때, $\\angle BAE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}=1 : 2 : 2 : 3 : 2$ $\\angle BAE$는 $\\overset{\\Huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCE}$에 대한 원주각이고 $\\overset{\\Huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCE}$는 원주의 $\\frac{2+2+3}{1+2+2+3+2}=\\frac{7}{10}$이므로 $\\angle BAE=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{7}{10})=126\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 외접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점이다. $\\overline{CD}=10 cm$, $\\overline{OH}=4 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square$$AEOH$, $\\square$$BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BF}=4 cm$ 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $I$라고 하면 $\\overline{CI}=2\\overline{OH}=2\\times4=8 (cm)$이므로 $\\triangle CDI$에서 $\\overline{DI}=\\sqrt{10^2-8^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ $\\overline{CF}=x cm$라고 하면 $\\overline{HI}=\\overline{CF}=x cm$이므로 $\\overline{DH}=(6+x) cm$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=x cm$이므로 $\\overline{DG}=(10-x) cm$ 이때 $\\overline{DG}=\\overline{DH}$이므로 $10-x=6+x$ $-2x=-4$ $∴ x=2$ $∴ \\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=4+2=6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AC$, $BD$의 교점이다. $\\widehat{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{5}$이고 $\\widehat{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$일 때, $\\angle CPD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{5}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{5})=36\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$이므로 $\\angle CBD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{3})=60\\degree$ 따라서 $\\triangle BCP$에서 $\\angle CPD=60\\degree+36\\degree=96\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $5 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=5 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=12-5=7$ $(cm)$ $\\overline{AB}=(7+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+5) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+5)^2+12^2=(7+x)^2$ $4x=120$ ∴ $x=30$ $\\overline{BC}=30+5=35$ $(cm)$이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times35\\times12$$=210 (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\overline{CM}$은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이다. $\\overline{AB}= 6cm$, $\\angle AOC= 135 \\degree$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{AM}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OA}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ (2) $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-135\\degree$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{3}{\\sin45\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ (3) 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2$$=18\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=122\\degree$, $\\angle AED=92\\degree$일 때, $\\angle COD$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+92\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABD=88\\degree$ $\\angle CBD$$=122\\degree-88\\degree$$=34\\degree$이므로 $\\angle COD$$=2\\angle CBD$$=2\\times34\\degree$$=68\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 원 O, O'이 두 점 $P$, $Q$에서 만나고 $\\angle BOP=136\\degree$일 때, $\\angle CDP$의 크기를 구하여라. $\\angle CDP$ = $\\square$ $\\degree$", "answer": "$\\angle BAP=\\frac{1}{2}\\angle BOP=\\frac{1}{2}\\times136\\degree=68\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\square ABQP$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle CQP$$=\\angle BAP$$=68\\degree$ $\\square CDPQ$가 원 $O'$에 내접하므로 $\\angle CDP+\\angle CQP=180\\degree$ $\\angle CDP+68\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle CDP=112\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}​$, $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}​$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{5}{12}$, $\\frac{3}{4}$일 때, $\\angle ABC+\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\widehat{ABC}$의 길이는 원주의 $\\frac{5}{12}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{5}{12})=75\\degree$ $\\widehat{BCD}$의 길이는 원주의 $\\frac{3}{4}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{3}{4})=135\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+75\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABC=105\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=135\\degree$ $∴ \\angle ABC+\\angle DCE=105\\degree+135\\degree=240\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 원 $O$, $O'$이 두 점 $P$, $Q$에서 만나고 $\\angle BOP=134\\degree$일 때, $\\angle CDP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAP=\\frac{1}{2}\\angle BOP=\\frac{1}{2}\\times134\\degree=67\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\square ABQP$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle CQP$$=\\angle BAP$$=67\\degree$ $\\square CDPQ$가 원 $O'$에 내접하므로 $\\angle CDP+\\angle CQP=180\\degree$ $\\angle CDP+67\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle CDP=113\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$ :$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$ : $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$ : $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$ : $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{EA}$=$3 : 2 : 2 : 3 : 2$일 때, $\\angle BAE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\widehat{AB} : \\widehat{BC} : \\widehat{CD} : \\widehat{DE} : \\widehat{EA}=3 : 2 : 2 : 3 : 2$ $\\angle BAE$는 $\\widehat{BCE}$에 대한 원주각이고 $\\widehat{BCE}$는 원주의 $\\frac{2+2+3}{3+2+2+3+2}=\\frac{7}{12}$이므로 $\\angle BAE=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{7}{12})=105\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}​ $, $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}​ $의 길이가 각각 원주의 $\\frac{7}{12}$, $\\frac{2}{3}$일 때, $\\angle ABC+\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$ 의 길이는 원주의 $\\frac{7}{12}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{7}{12})=105\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이는 원주의 $\\frac{2}{3}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{2}{3})=120\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+105\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABC=75\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=120\\degree$ $∴ \\angle ABC+\\angle DCE=75\\degree+120\\degree=195\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $원O$의 지름 $AB$의 양 끝점에서 그은 접선과 원위의 한점 $P$에서그은 접선이 만나는 점을 각각 $C, D$라 하자.$\\overline {AC}=4cm,\\overline {BD}=8cm$일 때, $원O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CP}=\\overline{CA}$$=$$4 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DB}$$=$$8 cm$이므로 $\\overline{CD}=4+8=12 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{BD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AC}=4 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=8-4$$=4 (cm)$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{12^2-4^2}=\\sqrt{128}=8\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{CH}=8\\sqrt{2} cm$이므로 원 O의 반지름의 길이는 $4\\sqrt{2} cm$이다. $∴$ $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(4\\sqrt{2})^2$$=32\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AC$, $BD$의 교점이다. $\\arc{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{5}$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$일 때, $\\angle CPD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{5}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{5})=36\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$이므로 $\\angle CBD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{6})=30\\degree$ 따라서 $\\triangle BCP$에서 $\\angle CPD=30\\degree+36\\degree=66\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점이다. $\\angle AOB=45\\degree$이고 $\\overline{PA}=2\\sqrt{2}$일 때 $\\triangle ABP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle APB$$=360\\degree-(90\\degree+45\\degree+90\\degree)$$=135\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PB}=\\overline{PA}=2\\sqrt{2}$ $∴$ $\\triangle ABP = \\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{2}\\times \\sin(180\\degree-135\\degree)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{2}\\times \\sin 45 \\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$2\\sqrt{2}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=132\\degree$, $\\angle AED=92\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+92\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABD=88\\degree$ $\\angle CBD$$=132\\degree-88\\degree$$=44\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle CBD$$=2\\times44\\degree$$=88\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle{ABC}$의 내접원이면서 $\\triangle{DEF}$의 외접원이다. $\\angle{ABC}=64\\degree$, $\\angle{EDF}=58\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BED$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-64\\degree)$$=58\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 O의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle BED$$=58\\degree$ $\\angle CEF$$=\\angle EDF$$=58\\degree$이고 $\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-58\\degree\\times2$$=64\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y=58\\degree+64\\degree=122\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $P$는 두 현 $AC$, $BD$의 교점이다. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{4}$일 때, $\\angle CPD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{6}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{6})=30\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{4}$이므로 $\\angle CBD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{4})=45\\degree$ 따라서 $\\triangle BCP$에서 $\\angle CPD=45\\degree+30\\degree=75\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle ABT=70\\degree$, $\\angle AOC=150\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\angle AOC=\\frac{1}{2}\\times150\\degree=75\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=70\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(75\\degree+70\\degree)$$=35\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle{ABC}=126\\degree$, $\\angle{AED}=88\\degree$일 때, $\\angle{COD}$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+88\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABD=92\\degree$ $\\angle CBD$$=126\\degree-92\\degree$$=34\\degree$이므로 $\\angle COD$$=2\\angle CBD$$=2\\times34\\degree$$=68\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AB$의 양끝 점에서 그은 접선과 원 위의 한 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $C$,$ D$라 하자. $\\overline{AC}=5cm, \\overline{BD}=9cm$일 때, 원$O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CP}=\\overline{CA}$$=$$5 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DB}$$=$$9 cm$이므로 $\\overline{CD}=5+9=14 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{BD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AC}=5 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=9-5$$=4 (cm)$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{14^2-4^2}=\\sqrt{180}=6\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{CH}=6\\sqrt{5} cm$이므로 원 $O$의 반지름의 길이는 $3\\sqrt{5} cm$이다. $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(3\\sqrt{5})^2$$=45\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 ABCDE에서 $\\angle BAE=86\\degree$, $\\angle CDE=127\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle BCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\square ACDE$가 원에 내접하므로 $\\angle CAE+\\angle CDE=180\\degree$ $\\angle CAE+127\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle CAE=53\\degree$ $\\angle BAC$$=86\\degree-53\\degree$$=33\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle BCT=\\angle BAC=33\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=110\\degree$, $\\angle AED=106\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle DCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CE}$를 그으면 $\\square ABCE$가 원에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle AEC=180\\degree$ $110\\degree+\\angle AEC=180\\degree$ $∴$ $\\angle AEC=70\\degree$ $\\angle CED$$=106\\degree-70\\degree$$=36\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle DCT=\\angle CED=36\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\overline{CM}$ 은 원 $O$의 중심을 지나고 $\\overline{AB}⊥\\overline{CM}$ 이다 $\\overline{AB} = 12cm$ (1)$\\overline{AM}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OA}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ (2) $\\angle AOM$$=180\\degree-\\angle AOC$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{6}{\\sin60\\degree}$$=6\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ (3) $원 O$의 넓이는 $\\pi\\times(4\\sqrt{3})^2$$=48\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 두 원 $O, O'$이 두 점 $P, Q$ 에서 만나고 $\\angle BOP=128\\degree$일 때, $\\angle CDP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAP=\\frac{1}{2}\\angle BOP=\\frac{1}{2}\\times128\\degree=64\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\square ABQP$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle CQP=\\angle BAP=64\\degree$ $\\square CDPQ$가 원 $O'$에 내접하므로 $\\angle CDP+\\angle CQP=180\\degree$ $\\angle CDP+64\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle CDP=116\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BAE=109\\degree$, $\\angle CDE=130\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle BCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\square ACDE$가 원에 내접하므로 $\\angle CAE+\\angle CDE=180\\degree$ $\\angle CAE+130\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle CAE=50\\degree$ $\\angle BAC$$=109\\degree-50\\degree$$=59\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle BCT=\\angle BAC=59\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 O에 내접하는 오각형 ABCDE에서 $\\angleABC=120\\degree$, $\\angleAED=90\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABD+\\angle AED=180\\degree$ $\\angle ABD+90\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABD=90\\degree$ $\\angle CBD$$=120\\degree-90\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle CBD$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ABC=70\\degree$, $\\angle EDF=52\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BED$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-70\\degree)$$=55\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle BED$$=55\\degree$ $\\angle CEF$$=\\angle EDF$$=52\\degree$이고 $\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-52\\degree\\times2$$=76\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x=76\\degree-55\\degree=21\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle{ABC}$의 내접원이면서 $\\triangle{DEF}$의 외접원이다. $\\angle{ECF}=44\\degree$, $\\angle{DFE}=50\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CEF$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-44\\degree)$$=68\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 O의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle CEF$$=68\\degree$ $\\angle BED$$=\\angle DFE$$=50\\degree$이고 $\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-50\\degree\\times2$$=80\\degree$ ∴ $\\angle y-\\angle x=80\\degree-68\\degree=12\\degree$" }, { "question": "오른쪽그림과같이반지름의길이가$10$$cm$인 원$O$에서 $\\overline{AB}{\\bot}\\overline{OM}$,$\\overline{BC}{\\bot}\\overline{ON}$이고$\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\angle AOC=108\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$ $\\overline{AB}=\\overline{BC}$에서 $\\widehat{AB}=\\widehat{BC}$이므로 $\\angle AOB=\\angle BOC$ $\\angle AOC+\\angle AOB+\\angle BOC=360\\degree$이므로 $108\\degree+2\\angle AOB=360\\degree$ $∴ \\angle AOB=126\\degree$ 따라서 색칠한 부분은 반지름의 길이가 $10 cm$이고 중심각의 크기가 $126\\degree$인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 $\\pi\\times10^2\\times\\frac{126}{360}$$=35\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle ABT=54\\degree$, $\\angle AOC=144\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\angle AOC=\\frac{1}{2}\\times144\\degree=72\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=54\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(72\\degree+54\\degree)$$=54\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 점 $A$, $B$는 원 밖의 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점이다. 원 위의 한 점 $C$에 대하여 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$이고 $\\angle CAP=35\\degree$, $\\angle ACB=96\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\triangle ACB$는 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-96\\degree)$$=42\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이고 $\\angle BAP=42\\degree+35\\degree=77\\degree$이므로 $\\angle APB$$=180\\degree-77\\degree\\times2$$=26\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $TT'$은 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle ABT=72\\degree$, $\\angle AOC=138\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABC=\\frac{1}{2}\\angle AOC=\\frac{1}{2}\\times138\\degree=69\\degree$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같으므로 $\\angle ACB$$=\\angle ABT$$=72\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(69\\degree+72\\degree)$$=39\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ECF=56\\degree$, $\\angle DFE=63\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CEF$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-56\\degree)$$=62\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle CEF$$=62\\degree$ $\\angle BED$$=\\angle DFE$$=63\\degree$이고 $\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-63\\degree\\times2$$=54\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y=62\\degree+54\\degree=116\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 원 위의 한 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AC}=4cm$, $\\overline{BD}=10cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CP}=\\overline{CA}$$=$$4 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DB}$$=$$10 cm$이므로 $\\overline{CD}=4+10=14 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{BD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AC}=4 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=10-4$$=6 (cm)$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{14^2-6^2}=\\sqrt{160}=4\\sqrt{10} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{CH}=4\\sqrt{10} cm$이므로 원 O의 반지름의 길이는 $2\\sqrt{10} cm$이다. $ \\therefore (원 $O$의 넓이)$$=\\pi\\times(2\\sqrt{10})^2$$=40\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{1}{3}$, $\\frac{1}{10}$일 때, $\\angle APC$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$길이는 원주의 \\frac{1}{3}이므로 $$\\angle$$ACB$$=\\frac{1}{2}$$\\times$$(360\\degree$$\\times$$\\frac{1}{3}$)=$60\\degree \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$$의 길이는 원주의 \\frac{1}{10}$이므로 $\\angle$$CAD$$=\\frac{1}{2}$$\\times$$(360\\degree\\times\\frac{1}{10})=18\\degree$ 따라서 $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC=60\\degree-18\\degree=42\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ECF=52\\degree$, $\\angle DFE=47\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CEF$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-52\\degree)$$=64\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle CEF$$=64\\degree$ $\\angle BED$$=\\angle DFE$$=47\\degree$이고 $\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-47\\degree\\times2$$=86\\degree$ ∴ $\\angle x+\\angle y=64\\degree+86\\degree=150\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\angle OAP=22\\degree$, $\\angle OBP=33\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\triangle AOP$는 $\\overline{OA}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle APO$$=\\angle OAP$$=22\\degree$ $\\triangle BPO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BPO$$=\\angle OBP$$=33\\degree$ $\\angle APB=22\\degree+33\\degree=55\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle APB$$=2\\times55\\degree$$=110\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BAE=98\\degree$, $\\angle CDE=128\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle BCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\square ACDE$가 원에 내접하므로 $\\angle CAE+\\angle CDE=180\\degree$ $\\angle CAE+128\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle CAE=52\\degree$ $\\angle BAC$$=98\\degree-52\\degree$$=46\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle BCT=\\angle BAC=46\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle ABC=118\\degree$, $\\angle AED=125\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle DCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{CE}$를 그으면 $\\square ABCE$가 원에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle AEC=180\\degree$ $118\\degree+\\angle AEC=180\\degree$ $∴ \\angle AEC=62\\degree$ $\\angle CED$$=125\\degree-62\\degree$$=63\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle DCT=\\angle CED=63\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 집점이다. $\\angle{ABO}=45\\degree$이고 $\\overline{PA}=6$잂때, $\\triangle ABP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle APB$$=360\\degree-(90\\degree+45\\degree+90\\degree)$$=135\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PB}=\\overline{PA}=6$ $∴ \\triangle ABP= \\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin(180\\degree - 135\\degree)$ $=$ $\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\sin45\\degree$ $=$ $\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$ $9\\sqrt{2}$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot \\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot \\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}= \\overline{ON}$이다. $\\angle MBO=45\\degree$, $\\overline{CD}=6cm$ 일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{BM}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=6 cm$ $∴\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ (2) $\\triangle BOM$에서 $\\overline{OB}=\\frac{3}{\\cos45\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ (3) 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times3\\sqrt{2}$$=6\\sqrt{2}\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 점 $H$에서 작은 원에 접한다. 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $2:3$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{5}$ $cm$일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $2 : 3$이므로 $\\overline{OA}=3a cm$, $\\overline{OH}=2a cm$$(a>0)$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(3\\sqrt{5})^2+(2a)^2=(3a)^2$ $a^2=9$ 이때 $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{9}$$=3$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $2a=2\\times3=6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C, D$라 하자. $\\overline{AD}=10 cm$, $\\overline{BC}=3 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}$$=$$3 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}$$=$$10 cm$이므로 $\\overline{CD}=3+10=13 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=3 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=10-3$$=7 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{13^2-7^2}=\\sqrt{120}=2\\sqrt{30} (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{CH}$$=2\\sqrt{30} cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{30}=\\sqrt{30} (cm)$ $(색칠한 부분의 넓이)$ $=$$(사다리꼴 ABCD의 넓이)$$-(반원 O의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times(3+10)\\times2\\sqrt{30}$$-$$\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(\\sqrt{30})^2$ $=$$13\\sqrt{30}-15\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$ : $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} =7 : 4$이고 $\\angle APB=27\\degree$일 때, $\\angle ADB$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}=7 : 4$이므로 $\\angle ADB : \\angle CBD=7 : 4$ $\\angle ADB=\\angle x$라 하면 $\\angle CBD=\\frac{4}{7}\\angle x$ $\\triangle BPD$에서 $\\angle x=\\frac{4}{7}\\angle x+27\\degree$ $\\frac{3}{7}\\angle x=27\\degree$ $∴ \\angle x=63\\degree$ $∴ \\angle ADB=63\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $6cm$인 원 $O$에서 이다. $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{ON}$ 이고 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이다. $\\angle{AOC}=100\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라", "answer": "$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$ $\\overline{AB}=\\overline{BC}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\angle AOB=\\angle BOC$ $\\angle AOC+\\angle AOB+\\angle BOC=360\\degree$이므로 $100\\degree+2\\angle AOB=360\\degree$ $∴ $$\\angle AOB=130\\degree$ 따라서 색칠한 부분은 반지름의 길이가 $6 cm$이고 중심각의 크기가 $130\\degree$인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 $\\pi\\times6^2\\times\\frac{130}{360}$$=13\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ECF=62\\degree$, $\\angle DFE=64\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CEF$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-62\\degree)$$=59\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle CEF$$=59\\degree$ $\\angle BED$$=\\angle DFE$$=64\\degree$이고 $\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-64\\degree\\times2$$=52\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y=59\\degree+52\\degree=111\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $5cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB} \\bot \\overline{OM}$, $\\overline{BC} \\bot \\overline{ON}$이고 $\\overline{OM} = \\overline{ON}$이다. $\\angle{AOC} = 72\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$ $\\overline{AB}=\\overline{BC}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$이므로 $\\angle AOB=\\angle BOC$ $\\angle AOC+\\angle AOB+\\angle BOC=360\\degree$이므로 $72\\degree+2\\angle AOB=360\\degree$ $∴ \\angle AOB=144\\degree$ 따라서 색칠한 부분은 반지름의 길이가 $5 cm$이고 중심각의 크기가 $144\\degree$인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 $\\pi\\times5^2\\times\\frac{144}{360}$$=10\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 점 $A, B$는 원 $O$의 외부의 한 점 $P$에서 원 $O$에 그은 접선의 접점이고 $\\overline{AC}$는 원 $O$의 지름이다. $\\angle APB=46\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로 수직이므로 $\\angle OAP$$=90\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-46\\degree)$$=67\\degree$ $∴ \\angle BAC$$=90\\degree-67\\degree$$=23\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$가 원$O$에 외접하고, 세 점 $P$,$Q$,$R$는 각각 원 $O$의 접점이다. $\\overline{AR}=6cm$, $\\overline{CR}=4cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$, $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square BQOP$는 정사각형이므로 원$O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BP}$$=\\overline{BQ}$$=r cm$ $\\overline{AP}=\\overline{AR}=6 cm$, $\\overline{CQ}=\\overline{CR}=4 cm$ $\\overline{AB}=(6+r) cm$, $\\overline{AC}=10 cm$, $\\overline{BC}=(r+4) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(6+r)^2+(r+4)^2=10^2$ $r^2+10r-24=0$ $(r-2)(r+12)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=2$ 따라서 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times2$$=4\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $12$m인 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM} = \\overline{ON}$이다. $\\angle AOC = 150\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$ $\\overline{AB}=\\overline{BC}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\angle AOB=\\angle BOC$ $\\angle AOC+\\angle AOB+\\angle BOC=360\\degree$이므로 $150\\degree+2\\angle AOB=360\\degree$ $∴$ $\\angle AOB=105\\degree$ 따라서 색칠한 부분은 반지름의 길이가 $12 cm$이고 중심각의 크기가 $105\\degree$인 부채꼴이므로 구하는 넓이는 $\\pi\\times12^2\\times\\frac{105}{360}$$=42\\pi (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $ \\overline{AB} \\perp \\overline{OM}$, $\\overline{CD} \\perp \\overline{ON}$이고 $\\overline{OM} = \\overline{ON}$이다. $ \\angle MBO = 30 \\degree $, $\\overline{CD}=24cm$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{BM}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=24 cm$ $∴ \\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$ (2)$\\triangle BOM$에서 $\\overline{OB}=\\frac{12}{\\cos30\\degree}$$=12\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ (3)원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times8\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle{B}=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$가 원 $O$에 외접하고, 세 점 $P,Q,R$ 는 각각 원 $O$의 접점이다. $\\overline{AR}=8$cm, $\\overline{CR}=12$cm일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$, $\\overline{OQ}$를 그으면 $\\square BQOP$는 정사각형이므로 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BP}$$=\\overline{BQ}$$=r cm$ $\\overline{AP}=\\overline{AR}=8 cm$, $\\overline{CQ}=\\overline{CR}=12 cm$ $\\overline{AB}=(8+r) cm$, $\\overline{AC}=20 cm$, $\\overline{BC}=(r+12) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(8+r)^2+(r+12)^2=20^2$ $r^2+20r-96=0$ $(r-4)(r+24)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=4$ 따라서 원 O의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times4$$=8\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$의 지금 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 원 위의 한 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각 각 $C, D$라 하자. $\\overline{AC}=3cm$, $\\overline{BD}=5cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CP}=\\overline{CA}$$=$$3 cm$, $\\overline{DP}=\\overline{DB}$$=$$5 cm$이므로 $\\overline{CD}=3+5=8 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{BD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{BH}=\\overline{AC}=3 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=5-3$$=2 (cm)$ $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{8^2-2^2}=\\sqrt{60}=2\\sqrt{15} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{CH}=2\\sqrt{15} cm$이므로 원 $O$의 반지름의 길이는 $\\sqrt{15} cm$이다. $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(\\sqrt{15})^2$$=15\\pi (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 점 $H$에서 작은 원에 접한다. 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $3:4$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{7} cm$ 일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{7}$$=3\\sqrt{7} (cm)$ 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $3 : 4$이므로 $\\overline{OA}=4a cm$, $\\overline{OH}=3a cm$$(a>0)$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(3\\sqrt{7})^2+(3a)^2=(4a)^2$ $a^2=9$ 이때 $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{9}$$=3$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $3a=3\\times3=9 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 P에서 원에 접하는 직선과 현 $AB$의 연장선의 교점을 T라 하자. $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$이고 $\\angle BTP=46\\degree$일 때, $\\angle BAP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BTP$는 $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle PBT=\\angle BTP=46\\degree$ $\\overline{PT}$가 원의 접선이므로 $\\angle APT$$=\\angle PBT$$=46\\degree$ 따라서 $\\triangle ATP$에서 $\\angle BAP$$=\\angle APT+\\angle ATP$$=46\\degree+46\\degree$$=92\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}, \\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이다. $\\angle{MBO}=60\\degree$,$ \\overline{CD}=4$$cm$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{BM}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=4 cm$ $∴ \\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$ (2) $\\triangle BOM$에서 $\\overline{OB}=\\frac{2}{\\cos60\\degree}$$=2\\div\\frac{1}{2}$$=2\\times2$$=4 (cm)$ (3) 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times4$$=8\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 두 점 A, B는 원 O의 외부의 한 점 P에서 원 O에 그은 접선의 접점이고 $\\overline{AC}$는 원 O의 지름이다. $\\angle APB=54\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로 수직이므로 $\\angle OAP$$=90\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-54\\degree)$$=63\\degree$ $∴$ $\\angle BAC$$=90\\degree-63\\degree$$=27\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 두 점 $A$, $B$는 원 $O$의 외부의 한 점 $P$에서 원 $O$에 그은 접선의 접점이고 $\\overline{AC}$는 원 $O$의 지름이다. $\\angle APB=70\\degree$일 때, $\\angle BAC$의 크기를 구하여라.", "answer": "원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로 수직이므로 $\\angle OAP$$=90\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle ABP$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-70\\degree)$$=55\\degree$ $\\therefore$ $\\angle BAC$$=90\\degree-55\\degree$$=35\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$, $\\angle ADB=40\\degree$이고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이가 원주의 $\\frac{1}{5}$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$이므로 $\\angle ABD=\\angle ADB=40\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{5}$이므로 $\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{5})$$=36\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle x$$=180\\degree-(36\\degree+40\\degree+40\\degree)$$=64\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\square ABCD$는 점 O에 내접하고 $\\angle ADC=124\\degree, \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$일 때, $\\angle y - \\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 O에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle x+124\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=56\\degree$ $\\widehat{AB}=\\widehat{BC}$이므로 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이다. $∴$ $\\angle y$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-56\\degree)$$=62\\degree$ $∴$ $\\angle y-\\angle x=62\\degree-56\\degree=6\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$이다. $\\angle NCO=30\\degree$, $\\overline{AB}=6\\sqrt{3}$일때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\overline{CN}$의 길이를 구하여라. (2) $\\overline{OC}$의 길이를 구하여라. (3) 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "(1)$\\overline{OM}=\\overline{ON}$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=6\\sqrt{3}$ ∴ $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}$$=3\\sqrt{3}$ (2)$\\triangle CON$에서 $\\overline{OC}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\cos30\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=3\\sqrt3\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=6$ $원 O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times6$$=12\\pi$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 점 $H$에서 작은 원에 접한다. 작은 원과 큰 원의 발지름의 길이의 비는 $1:2$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{3}cm$일 때, 큰 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $1 : 2$이므로 $\\overline{OA}=2a cm$, $\\overline{OH}=a cm$$(a>0)$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(3\\sqrt{3})^2+a^2=(2a)^2$ $a^2=9$ 이때 $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{9}$$=3$ 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 $2a=2\\times3=6 (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $9cm$인 원 O에 외접하고 세 점 $D, E, F$는 그 접점일 때, 원$ O$와 $\\overline{OB}$의 교점을 $G$라고 하자. $\\overline{AB}=27cm$, $\\overline{AF}=15cm$, $\\overline{OG}=9cm$일때, $\\overline{BG}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AF}=15 cm$이므로 $\\overline{BD}=27-15=12 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\overline{OG}=9 cm$이고 $\\triangle BOD$는 직각삼각형이므로 $\\overline{OB}=\\sqrt{12^2+9^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $∴$ $\\overline{BG}=\\overline{OB}-\\overline{OG}=15-9=6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BAE=104\\degree$, $\\angle\\ CDE=132\\degree$이다. 직선 $CT$가 원의 접선일 때, $\\angle BCT$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\square ACDE$가 원에 내접하므로 $\\angle CAE+\\angle CDE=180\\degree$ $\\angle CAE+132\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle CAE=48\\degree$ $\\angle BAC$$=104\\degree-48\\degree$$=56\\degree$이고 직선 $CT$가 원의 접선이므로 $\\angle BCT=\\angle BAC=56\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$가 원 $O$에 외접하고, 세 점 $D$, $E$, $F$는 각각 원 $O$ 의 접점이다. $\\overline{AF}=6cm$, $\\overline{CF}=9cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 그으면 $\\square BEOD$는 정사각형이므로 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}$$=\\overline{BE}$$=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=9 cm$ $\\overline{AB}=(6+r) cm$, $\\overline{AC}=15 cm$, $\\overline{BC}=(r+9) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(6+r)^2+(r+9)^2=15^2$ $r^2+15r-54=0$ $(r-3)(r+18)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=3$ 따라서 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times3$$=6\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\triangle ABC$는 반지름의 길이가 $3cm$인 원$O$에 외접하고 세 점 $D,E,F$는 그 접접일 때, 원 $O$와 $\\overline{OB}$의 교점을 $G$라고 하자. $\\overline{AB}=10cm, \\overline{AF}=6cm, \\overline{OG}=3cm$일 때, $\\overline{BG}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AF}=6 cm$이므로 $\\overline{BD}=10-6=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\overline{OG}=3 cm$이고 $\\triangle BOD$는 직각삼각형이므로 $\\overline{OB}=\\sqrt{4^2+3^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $ \\therefore \\overline{BG}=\\overline{OB}-\\overline{OG}=5-3=2 (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 접점이다. $\\angle AOB= 60\\degree$이고 $\\overline{PA} = 4\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle APB$$=360\\degree-(90\\degree+60\\degree+90\\degree)$$=120\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PB}=\\overline{PA}=4\\sqrt{3}$ $∴$$\\triangle{ABP}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times4\\sqrt3\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times4\\sqrt3\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt3\\times4\\sqrt3\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =$$12\\sqrt{3}$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$가 각 $O$에 외접하고, 세 점 $D,E,F$는 각각 원$O$의 접점이다. $\\overline{BE}=10cm,$ $\\overline{CE}=3cm$일때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square ADOF$는 정사각형이므로 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AF}$$=r cm$ $\\overline{BD}=\\overline{BE}=10 cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}=3 cm$ $\\overline{AB}=(r+10) cm$, $\\overline{AC}=(r+3) cm$, $\\overline{BC}=13 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(r+10)^2+(r+3)^2=13^2$ $r^2+13r-30=0$ $(r-2)(r+15)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=2$ 따라서 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times2$$=4\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\angle APB=30\\degree$, $\\widehat{AB}=5\\pi cm$일 때, 원$O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle AOB$$=2\\angle APB$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$ 원 O의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $2\\pi\\times r\\times\\frac{60}{360}$$=5\\pi$ $\\frac{1}{3}\\pi r=5\\pi$ $ \\therefore r=15$ 원 O의 반지름의 길이는 $15 cm$이므로 $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times15^2$$=225\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원 $O$에 외접할 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}=\\overline{AD}+\\overline{BC}$이므로 $2x+3=5+(7-x)$ $3x=9$ $∴ x=3$ 이때 $\\overline{AB}=2x=2\\times3=6$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=6+3=9$ $∴(□ABCD의 둘레의 길이)$$=$$\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=$$(\\overline{AB}+\\overline{CD})+(\\overline{AD}+\\overline{BC})$ $=$$9+9$ $=$$18$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원 $O$에 외접할 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}=\\overline{AD}+\\overline{BC}$이므로 $(x+16)+10=7+(7-3x)$ $4x=-12$ $∴ x=-3$ 이때 $\\overline{AB}=x+16=-3+16=13$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=13+10=23$ $∴ (□ABCD의 둘레의 길이)=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=(\\overline{AB}+\\overline{CD})+(\\overline{AD}+\\overline{BC})$ $=23+23$ $=46$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 A,B는 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점이다. $\\angle CBE=38\\degree,\\angle APB=42\\degree$일 때,$\\angle CAD$의 크기를 구하려고 한다. $(1) \\angle BAP$의 크기를 구하여라. $(2) \\angle BAC$의 크기를 구하여라. $(3) \\angle CAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle ABP$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-42\\degree)$$=69\\degree$ (2) 직선 $BE$가 원의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBE$$=38\\degree$ (3) $\\angle CAD$$=180\\degree-(38\\degree+69\\degree)$$=73\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원 O에 외접할 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{AB}+\\overline{CD}=\\overline{AD}+\\overline{BC}$이므로 $(x+12)+13=15+(2-3x)$ $4x=-8$ $∴$ $x=-2$ 이때 $\\overline{AB}=x+12=-2+12=10$이므로 $\\overline{AB}+\\overline{CD}=10+13=23$ $\\therefore(\\square ABCD의 둘레의 길이)=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=(\\overline{AB}+\\overline{CD})+(\\overline{AD}+\\overline{BC})$ $=23+23$ $=$$46$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 □$ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle ADC=106\\degree, \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle x+106\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=74\\degree$ \\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) =\\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} \\) 이므로 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이다. $∴ \\angle y$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-74\\degree)$$=53\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y=74\\degree-53\\degree=21\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\angle{CAD}=26\\degree$, $\\angle{DBE}=30\\degree$, $\\angle{ADB}=437\\degree$일 때, $\\angle a+ \\angle b$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC=\\angle BEC=\\angle a$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE=\\angle ACE=\\angle b$ $\\triangle ABD$에서 $(26\\degree+\\angle a)+(\\angle b+30\\degree)+37\\degree=180\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle b+93\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle a+\\angle b$$=87\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $P$에서 원에 접하는 직선과 현 $AB$의 연장선의 교점을 $T$라 하자. $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$이고 $\\angle BTP=37\\degree$일 때, $\\angle BAP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BPT$는 $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle PBT=\\angle BTP=37\\degree$ $\\overline{PT}$가 원의 접선이므로 $\\angle APT$$=\\angle PBT$$=37\\degree$ 따라서 $\\triangle APT$에서 $\\angle BAP$$=\\angle APT+\\angle ATP$$=37\\degree+37\\degree$$=74\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $\\text{O}$에서 $\\angle {APB}=30\\degree, \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=3\\pi$$cm$일 때, 원 $\\text{O}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle AOB$$=2\\angle APB$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$ 원 O의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $2\\pi\\times r\\times\\frac{60}{360}$$=3\\pi$ $\\frac{1}{3}\\pi r=3\\pi$ $∴$ $r=9$ 원 O의 반지름의 길이는 $9 cm$이므로 $(원~ O의~ 넓이)$$=\\pi\\times9^2$$=81\\pi (cm^2)$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\angle{CAD} = 24\\degree$,$ \\angle{DBE} = 35\\degree$,$ \\angle{ADB} = 40\\degree$ 일 때, $\\angle{a}+\\angle{b}$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$ 에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC$$=\\angle BEC=\\angle a$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE=\\angle ACE=\\angle b$ $\\triangle ABD$에서 $(24\\degree+\\angle a)+(\\angle b+35\\degree)+40\\degree=180\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle b+99\\degree=180\\degree$ ∴ $\\angle a+\\angle b$$=81\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\angle OAP=20\\degree$, $\\angle OBP=37\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\triangle AOP$는 $\\overline{OA}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle APO$$=\\angle OAP$$=20\\degree$ $\\triangle BPO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BPO$$=\\angle OBP$$=37\\degree$ $\\angle APB=20\\degree+37\\degree=57\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle APB$$=2\\times57\\degree$$=114\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\angle OAP=25\\degree$, $\\angle OBP=40\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\triangle AOP$는 $\\overline{OA}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle APO$$=\\angle OAP$$=25\\degree$ $\\triangle BPO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BPO$$=\\angle OBP$$=40\\degree$ $\\angle APB=25\\degree+40\\degree=65\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle APB$$=2\\times65\\degree$$=130\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원$O$의 지름 $AB$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고 점 $P$에서 원$O$에 접선을 그을 때, 그 접점을 $C$라 하자. $\\overline{AC} : \\overline{BC}$ = $1 : 2$일 때, $\\angle ACP$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ACB=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\angle ABC+\\angle BAC=90\\degree$ $\\angle ABC : \\angle BAC=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=1 : 2$이므로 $\\angle ABC=90\\degree\\times\\frac{1}{1+2}=30\\degree$ $\\overline{CP}$가 원$ O$의 접선이므로 $\\angle ACP$$=\\angle ABC$$=30\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=14\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times14\\sqrt{3}=7\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(7\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=196$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{196}$$=14$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{7}{14}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times14\\times\\frac{120}{360}$$=\\frac{28}{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 직선 $AT$는 원의 접선이고 $\\angle ACB=43\\degree$, $\\angle BDC = 65\\degree$일 때, $\\angle CAT$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle BAC$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle ABC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CAT$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$$=65\\degree$ (2) $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(65\\degree+43\\degree)$$=72\\degree$ (3) 직선 $AT$가 원의 접선이므로 $\\angle CAT$$=\\angle ABC$$=72\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB} : \\widehat{CD}=8 : 5$이고 $\\angle APB=24\\degree$일 때, $\\angle ADB$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\widehat{AB} : \\widehat{CD}=8 : 5$이므로 $\\angle ADB : \\angle CBD=8 : 5$ $\\angle ADB=\\angle x$라 하면 $\\angle CBD=\\frac{5}{8}\\angle x$ $\\triangle BPD$에서 $\\angle x=\\frac{5}{8}\\angle x+24\\degree$ $\\frac{3}{8}\\angle x=24\\degree$ ∴ $\\angle x=64\\degree$ ∴ $\\angle ADB=64\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\widehat{AB}$$=$$\\widehat{AD}$, $\\angle ADB$$=25\\degree$이고 $\\widehat{CD}$의 길이가 원주의 $\\frac{5}{18}$ 일 때, $\\angle a$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$이므로 $\\angle ABD=\\angle ADB=25\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{5}{18}$이므로 $\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{5}{18})$$=50\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle a$$=180\\degree-(50\\degree+25\\degree+25\\degree)$$=80\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$이고 $\\angle CAD=37\\degree$, $\\angle CBD=37\\degree$, $\\angle ACB=42\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle CAD=\\angle CBD=37\\degree$이므로 $\\square ABCD$는 원에 내접한다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ADB=\\angle ACB=42\\degree$이고 $\\triangle ABD$는 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ABD=\\angle ADB=42\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle x$$=180\\degree-(42\\degree+37\\degree+42\\degree)$$=59\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\square$$ABCD$에서 $\\overline {BC}$는 원 $O$의 지름이다. $\\angle$$BAD=120\\degree$ $\\overline {BC}=3\\sqrt{3}$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $120\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $\\therefore$ $ \\angle BCD=60\\degree$ $\\angle BDC=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $\\therefore$ $ \\overline{BC}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=6$ 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\times6=3$이므로 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times3^2$$=9\\pi$" }, { "question": "다음 그림의 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AD}=\\overline{CD}$이고 $\\angle BAC=56\\degree$, $\\angle ABD=48\\degree$, $\\angle BDC=56\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BDC=\\angle BAC=56\\degree$이므로 $\\square ABCD$는 원에 내접한다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ACD=\\angle ABD=48\\degree$이고 $\\triangle ACD$는 $\\overline{AD}=\\overline{CD}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CAD=\\angle ACD=48\\degree$ 따라서 $\\triangle ABD$에서 $\\angle x$$=180\\degree-(48\\degree+56\\degree+48\\degree)$$=28\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}=3 : 5$이고 $\\angle CPD=30\\degree$일 때, $\\angle CBD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}=3 : 5$이므로 $\\angle ADB : \\angle CBD=3 : 5$ $\\angle CBD=\\angle x$라 하면 $\\angle ADB=\\frac{3}{5}\\angle x$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=\\frac{3}{5}\\angle x+30\\degree$ $\\frac{2}{5}\\angle x=30\\degree$ $∴$ $\\angle x=75\\degree$ $∴$ $\\angle CBD=75\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 O의 접선이고 세 점 $A, B, E$는 접점이다. $\\overline{PQ}$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=10 cm$, $\\overline{CQ}=4 cm$, $\\overline{DP}=15 cm$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $10 : 15=4 : \\overline{DQ}$ $10\\overline{DQ}=60$ $∴ \\overline{DQ}$$=6 (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(4+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(6-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(4+x)+10=(6-x)+15$ $2x=7$ $∴ x=\\frac{7}{2}$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $\\frac{7}{2} cm$이다." }, { "question": "다음 그림의 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$이고 $\\angle CAD=23\\degree$, $\\angle CBD=23\\degree$, $\\angle ACB=47\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle CAD=\\angle CBD=23\\degree$이므로 $\\square ABCD$는 원에 내접한다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}​$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ADB=\\angle ACB=47\\degree$이고 $\\triangle ABD$는 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ABD=\\angle ADB=47\\degree$ 따라서 $\\triangle ABC$에서 $\\angle x$$=180\\degree-(47\\degree+23\\degree+47\\degree)$$=63\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 점 $P$에서 원에 접하는 직선과 현 $AB$의 연장선의 교점을 $T$라 하자. $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$이고 $\\angle BTP=50\\degree$일 때, $\\angle BAP$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\triangle BTP$는 $\\overline{BP}$$=\\overline{PT}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle PBT=\\angle BTP=50\\degree$ $\\overline{PT}$가 원의 접선이므로 $\\angle APT$$=\\angle PBT$$=50\\degree$ 따라서 $\\triangle ATP$에서 $\\angle BAP$$=\\angle APT+\\angle ATP$$=50\\degree+50\\degree$$=100\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원$O$에 내접하는 $\\square ABCD$에서 $\\overline{BC}$는 원 $O$의 지름이다. $\\angle BAD=120\\degree$, $\\overline{BC}=9$일 때. 원$O$의 넓이를 구하여라..", "answer": "$\\square{ABCD}$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $120\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴ \\angle BCD=60\\degree$ $\\angle BDC=90\\degree$이므로 $\\triangle BCD$는 직각삼각형이다. $∴ \\overline{BC}=\\frac{9}{\\sin60\\degree}$$=9\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=9\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=6\\sqrt{3}$ 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}=3\\sqrt{3}$이므로 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times(3\\sqrt{3})^2$$=27\\pi$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $3 cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $57 cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $\\triangle{ABC}=\\triangle{ABO}+\\triangle{BCO}+\\triangle{AOC} =\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times3+\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times3+\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times3 =\\frac{3}{2}\\times(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}) =57 (cm^2)$ $∴ \\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=38 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times38$$=19 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}: \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}=3:5$이고 $\\angle CPD=28\\degree$일 때, $\\angle CBD$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD} =3 : 5$이므로 $\\angle ADB : \\angle CBD=3 : 5$ $\\angle CBD=\\angle x$라 하면 $\\angle ADB=\\frac{3}{5}\\angle x$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle x=\\frac{3}{5}\\angle x+28\\degree$ $\\frac{2}{5}\\angle x=28\\degree$ $∴ \\angle x=70\\degree$ $∴ \\angle CBD=70\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\angle CAC=41\\degree$, $\\angle DBE=33\\degree$, $\\angle ADB=47\\degree$일 때, $\\angle a+\\angle b$의 크기를 구하려라", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC=\\angle BEC=\\angle a$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AE}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle ABE=\\angle ACE=\\angle b$ $\\triangle ABD$에서 $(41\\degree+\\angle a)+(\\angle b+33\\degree)+47\\degree=180\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle b+121\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle a+\\angle b$$=59\\degree$" }, { "question": "오른족 그림에서 직선 $AT$는 원의 접선이고 $\\angle ACB=32\\degree$, $\\angle BDC = 45\\degree$ 일 때, $\\angle CAT$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle BAC$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle ABC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CAT$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$$=54\\degree$ (2) $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(54\\degree+32\\degree)$$=94\\degree$ (3) 직선 $AT$가 원의 접선이므로 $\\angle CAT$$=\\angle ABC$$=94\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\square$$ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle$$ADC$=$80$$\\degree$,\\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} \\) =\\(\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} \\)일때, $\\angle$$x$+$\\angle$$y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle x+80\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=100\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이다. $∴$ $\\angle y$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-100\\degree)$$=40\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y=100\\degree+40\\degree=140\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AB$의 연장선 위에 점$P$를 잡고 점 $P$에서 원$O$에 접선을 그을 때, 그 접점을 $C$라 하자. $\\overset{\\frown}{AC}:\\overset{\\frown}{BC} $$=$$ 3:7$일 때, $\\angle ACP$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ACB=90\\degree$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\angle ABC+\\angle BAC=90\\degree$ $\\angle ABC : \\angle BAC=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=3 : 7$이므로 $\\angle ABC=90\\degree\\times\\frac{3}{3+7}=27\\degree$ $\\overline{CP}$가 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ACP$$=\\angle ABC$$=27\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 직선 $AT$는 원의 접선이고 $\\angle ACB=40\\degree$, $\\angle BDC=43\\degree$일 때, $\\angle CAT$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle BAC$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle ABC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CAT$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므로 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$ $=43\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC$$=180\\degree-(43\\degree+40\\degree)$$=97\\degree$ 직선 $AT$가 원의 접선이므로 $\\angle CAT$$=\\angle ABC$$=97\\degree$" }, { "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\angle OAP=34\\degree$, $\\angle OBP=28\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OP}$를 그으면 $\\triangle AOP$는 $\\overline{OA}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle APO$$=\\angle OAP$$=34\\degree$ $\\triangle BPO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OP}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BPO$$=\\angle OBP$$=28\\degree$ $\\angle APB=34\\degree+28\\degree=62\\degree$이므로 $\\angle x$$=2\\angle APB$$=2\\times62\\degree$$=124\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=2\\sqrt{5} cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $10 cm$일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{5}$$=\\sqrt{5} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=10$ $······ $㉠ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-(3\\sqrt{5})^2=R^2-45$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-(\\sqrt{5})^2=r^2-5$ $R^2-45=r^2-5$ $R^2-r^2=40$ $(R+r)(R-r)=40$ $R+r=10$이므로 $R-r=4$ $······ $㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $R=7$, $r=3$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $3 cm$이다." }, { "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\angle APB = 45\\degree$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} = 2\\pi cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle AOB$$=2\\angle APB$$=2\\times45\\degree$$=90\\degree$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $2\\pi\\times r\\times\\frac{90}{360}$$=2\\pi$ $\\frac{1}{2}\\pi r=2\\pi$ $∴ r=4$ 원 $O$의 반지름의 길이는 $4 cm$이므로 $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times4^2$$=16\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=4 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO$($RHS$ 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{2}{\\cos30\\degree}=2\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=2\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=\\frac{4\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)=\\pi\\times\\frac{4\\sqrt{3}}{3}^2=\\frac{16}{3}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 O로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=2\\sqrt{7} cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $14 cm$일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{7}=3\\sqrt{7} (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}=\\sqrt{7} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=14 ······ ㉠$ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-(3\\sqrt{7})^2=R^2-63$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-(\\sqrt{7})^2=r^2-7$ $R^2-63=r^2-7$ $R^2-r^2=56$ $(R+r)(R-r)=56$ $R+r=14$이므로 $R-r=4 ······ ㉡$ $㉠$과 $㉡$을 연립하여 풀면 $R=9$, $r=5$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $5 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $20 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$일 때, 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $\\overline{OA}=10 cm$이므로 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{10^2-6^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$ 따라서 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $\\overline{MN}=2\\overline{OM}=2\\times8=16 (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원에 그은 두 접선의 접점이다. $\\angle{CAD}= 62\\degree$, $\\angle{APB}= 50\\degree$일 때, $\\angle{CBE}$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle ABP$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle ABC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CBE$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ABP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-50\\degree)$$=65\\degree$ (2) 직선 $AD$가 원의 접선이므로 $\\angle ABC$$=\\angle CAD$$=62\\degree$ (3) $\\angle CBE$$=180\\degree-(62\\degree+65\\degree)$$=53\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$에서 $\\overline{BC}$는 원 $O$의 지름이다. $\\angle ADC=120\\degree$, $\\overline{AC}=2\\sqrt{3}$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+120\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABC=60\\degree$ $\\angle BAC=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $∴ \\overline{BC}=\\frac{2\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=2\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=4$ 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\times4=2$이므로 원 O의 넓이는 $\\pi\\times2^2$$=4\\pi$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 $\\square ABCD$는 원$O$에 내접하고 $\\angle BCD=78\\degree$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$일 때, $\\angle x$ - $\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\square ABCD$가 원 O에 내접하므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $\\angle x+78\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=102\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$이므로 $\\triangle ABD$는 $\\overline{AB}=\\overline{AD}$인 이등변삼각형이다. $∴ \\angle y$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-102\\degree)$$=39\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y=102\\degree-39\\degree=63\\degree$" }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원에 그은 두 접선의 접점이다. $\\angle CBE=58\\degree, \\angle APB=76\\degree$ 일때, $\\angle CAD$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle BAP$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle BAC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CAD$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle ABP$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-76\\degree)$$=52\\degree$ (2) 직선 $BE$가 원의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBE$$=58\\degree$ (3) $\\angle CAD$$=180\\degree-(58\\degree+52\\degree)$$=70\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $A, B, E$는 접점이다. $\\overline{PQ}$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=12 cm$, $\\overline{CQ}=4 cm$, $\\overline{DP}=15 cm$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $12 : 15=4 : \\overline{DQ}$ $12\\overline{DQ}=60$ $∴ \\overline{DQ}$$=5 (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(4+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(5-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(4+x)+12=(5-x)+15$ $2x=4$ $∴ x=2$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $2 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=4 cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $16 cm$일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $ O $에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $ M $이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=16$ ······ ㉠ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-6^2=R^2-36$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-2^2=r^2-4$ $R^2-36=r^2-4$ $R^2-r^2=32$ $(R+r)(R-r)=32$ $R+r=16$이므로 $R-r=2$ ······ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $R=9$, $r=7$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $7 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $14 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=10 cm$이고 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$일 때, 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times10=5 (cm)$ $\\overline{OA}=7 cm$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{7^2-5^2}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6} (cm)$ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$ 따라서 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $\\overline{MN}=2\\overline{OM}=2\\times2\\sqrt{6}=4\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=4 cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $16 cm$일 때, 큰 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times4$$=2 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=16$ ······ ㉠ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-6^2=R^2-36$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-2^2=r^2-4$ $R^2-36=r^2-4$ $R^2-r^2=32$ $(R+r)(R-r)=32$ $R+r=16$이므로 $R-r=2$ ······ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $R=9$, $r=7$ 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원에 그은 두 접선의 접점이다. $ \\angle CAD = 72 \\degree$, $ \\angle APB = 44 \\degree$일 때, $ \\angle CBE$의 크기를 구하려고 한다. (1) $\\angle ABP$의 크기를 구하여라. (2) $\\angle ABC$의 크기를 구하여라. (3) $\\angle CBE$의 크기를 구하여라.", "answer": "(1) $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ABP$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-44\\degree)$$=68\\degree$ (2) 직선 $AD$가 원의 접선이므로 $\\angle ABC$$=\\angle CAD$$=72\\degree$ (3) $\\angle CBE$$=180\\degree-(72\\degree+68\\degree)$$=40\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=10\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times10\\sqrt{3}=5\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$ 이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(5\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=100$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{100}$$=10$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{5}{10}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times10\\times\\frac{120}{360}$$=\\frac{20}{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AD}=10 cm$, $\\overline{BC}=4 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}$$=$$4 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}$$=$$10 cm$이므로 $\\overline{CD}=4+10=14 (cm)$ 위 그림과 같이 점 C에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=4 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=10-4$$=6 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{14^2-6^2}=\\sqrt{160}=4\\sqrt{10} (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{CH}$$=4\\sqrt{10} cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{10}=2\\sqrt{10} (cm)$ $∴$ $(색칠한 부분의 넓이)$ $=$$(사다리꼴 ABCD의 넓이)$$-(반원 O의 넓이) =\\frac{1}{2}\\times(4+10)\\times4\\sqrt{10}$$-$$\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(2\\sqrt{10})^2$ $=$$28\\sqrt{10}-20\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=8\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\large\\frown} {AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times8\\sqrt{3}=4\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(4\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=64$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{64}$$=8$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{4}{8}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times8\\times\\frac{120}{360}$$=\\frac{16}{3}\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 O로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=6 cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $18 cm$일 때, 작은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times6$$=3 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=18$ ······ $㉠$ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-9^2=R^2-81$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-3^2=r^2-9$ $R^2-81=r^2-9$ $R^2-r^2=72$ $(R+r)(R-r)=72$ $R+r=18$이므로 $R-r=4$ ······ $㉡$ $㉠$과 $㉡$을 연립하여 풀면 $R=11$, $r=7$ 따라서 작은 원의 반지름의 길이는 $7 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=18\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times18\\sqrt{3}=9\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(9\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=324$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{324}$$=18$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{9}{18}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times18\\times\\frac{120}{360}$$=12\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=12\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\large\\frown} {AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 O에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{3}=6\\sqrt{3} (cm)$ 원 O의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(6\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=144$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{144}$$=12$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{6}{12}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\widehat{AB}$$=2\\pi\\times12\\times\\frac{120}{360}$$=8\\pi (cm)$" }, { "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$의 지름 $AB$의 연장선 위에 점 $P$를 잡고 점 $P$에서 원 $O$에 접선을 그을 때, 그 접점을 $C$라 하자. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} = 7:11$일 때, $\\angle ACP$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ACB=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC+\\angle BAC=90\\degree$ $\\angle ABC : \\angle BAC=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=7 : 11$이므로 $\\angle ABC=90\\degree\\times\\frac{7}{7+11}=35\\degree$ $\\overline{CP}$가 원 $O$의 접선이므로 $\\angle ACP$$=\\angle ABC$$=35\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=2\\sqrt{5} cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $10 cm$일 때, 큰 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{5}$$=3\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{5}$$=\\sqrt{5} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=10$ ······ ㉠ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-(3\\sqrt{5})^2=R^2-45$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-(\\sqrt{5})^2=r^2-5$ $R^2-45=r^2-5$ $R^2-r^2=40$ $(R+r)(R-r)=40$ $R+r=10$이므로 $R-r=4$ ······ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $R=7$, $r=3$ 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 $7 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $5 cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $150 cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $ \\triangle ABC$= $\\triangle ABO+\\triangle BCO+\\triangle AOC$ =$ \\frac{1}{2}\\times \\overline{AB}\\times5+\\frac{1}{2}\\times \\overline{BC}\\times5+\\frac{1}{2}\\times \\overline{AC}\\times5$=$\\frac{5}{2}\\times(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$ $=$$150 (cm^2)$ $∴ \\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=60 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times60$$=30 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=20 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO($RHS 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times20$$=10 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{10}{\\cos30\\degree}=10\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=10\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=\\frac{20\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(\\frac{20\\sqrt{3}}{3})^2$$=\\frac{400}{3}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=6\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\widehat{AB}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}=3\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(3\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=36$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{36}$$=6$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{3}{6}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times6\\times\\frac{120}{360}$$=4\\pi (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AD}=12{cm}$, $\\overline{BC}=3{cm}$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}$$=$$3 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}$$=$$12 cm$이므로 $\\overline{CD}=3+12=15 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=3 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=12-3$$=9 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{15^2-9^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{CH}$$=12 cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $(색칠한 부분의 넓이)$ $=$$(사다리꼴 ABCD의 넓이)$$-(반원 O의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times(3+12)\\times12$$-$$\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times6^2$ $=$$90-18\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $8 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=6 cm$이고 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$일 때, 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6=3 (cm)$ $\\overline{OA}=4 cm$이므로 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{4^2-3^2}=\\sqrt{7} (cm)$ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$ 따라서 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $\\overline{MN}=2\\overline{OM}=2\\times\\sqrt{7}=2\\sqrt{7} (cm)$" }, { "question": "부성이네 반 학생 $27$ 명의 몸무게의 평균은 $64$ kg이었다. 세 명의 학생이 전학을 온 후 전체 학생들의 몸무게의 평균이 $64.5$ $kg$이 되었을 때, 전학을 온 세 학생의 몸무게의 평균을 구하여라.", "answer": "$27$ 명의 몸무게의 총합은 $64\\times27=1728 (kg)$ 전학을 온 세 학생의 몸무게를 각각 $x kg$, $y kg$, $z kg$이라 하면 $\\frac{1728+(x+y+z)}{30}=64.5$ $1728+(x+y+z)=1935$ $∴ x+y+z=207$ 전학을 온 세 학생의 몸무게의 평균은 $\\frac{x+y+z}{3}=\\frac{207}{3}=69 (kg)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 중심이 O로 같은 두 원에서 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{CD}=2\\sqrt{7} cm$이고 두 원의 반지름의 길이의 합이 $14 cm$일 때, 큰 원의 반지름의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{7}$$=3\\sqrt{7} (cm)$ $\\overline{BM}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}$$=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{7}$$=\\sqrt{7} (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $R+r=14$ ······ ㉠ 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}^2=R^2-(3\\sqrt{7})^2=R^2-63$ 직각삼각형 $BMO$에서 $\\overline{OM}^2=r^2-(\\sqrt{7})^2=r^2-7$ $R^2-63=r^2-7$ $R^2-r^2=56$ $(R+r)(R-r)=56$ $R+r=14$이므로 $R-r=4$ ······ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 $R=9$, $r=5$ 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 $9 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $A$, $B$, $E$는 접점이다. $\\overline PQ$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=8{cm}$, $\\overline{CQ}=4{cm}$, $\\overline{DP}=12{cm}$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $8 : 12=4 : \\overline{DQ}$ $8\\overline{DQ}=48$ ∴ $\\overline{DQ}$$=6 (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(4+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(6-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(4+x)+8=(6-x)+12$ $2x=6$ $∴ x=3$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $3 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $A$, $B$, $E$는 접점이다. $\\overline{PQ}$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=12cm$, $\\overline{CQ}=6cm$, $\\overline{DP}=16cm$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $12 : 16=6 : \\overline{DQ}$ $12\\overline{DQ}=96$ $∴ \\overline{DQ}$$=8 (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(6+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(8-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(6+x)+12=(8-x)+16$ $2x=6$ $∴ x=3$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $3 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 $O$의 접선이고 세 점 $A$, $B$, $E$는 접점이다. $\\overline{PQ}$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=6 cm$, $\\overline{CQ}=3 cm$, $\\overline{DP}=9 cm$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $6 : 9=3 : \\overline{DQ}$ $6\\overline{DQ}=27$ $∴ \\overline{DQ}=\\frac{9}{2} (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(3+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(\\frac{9}{2}-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(3+x)+6=(\\frac{9}{2}-x)+9$ $2x=\\frac{9}{2}$ $∴ x=\\frac{9}{4}$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $\\frac{9}{4} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=24 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO$(RHS 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{12}{\\cos30\\degree}=12\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=8\\sqrt{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(8\\sqrt{3})^2$$=192\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AD}=8 cm$, $\\overline{BC}=3 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}$$=$$3 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}$$=$$8 cm$이므로 $\\overline{CD}=3+8=11 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=3 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=8-3$$=5 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{11^2-5^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6} (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{CH}$$=4\\sqrt{6} cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{6}=2\\sqrt{6} (cm)$ $\\therefore$(색칠한 부분의 넓이) $=$(사다리꼴 $ABCD$의 넓이)$-$(반원 $O$의 넓이) $=$$\\frac{1}{2}\\times(3+8)\\times4\\sqrt{6}$$-$$\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(2\\sqrt{6})^2$ $=$$22\\sqrt{6}-12\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 $O$에 외접한다. $\\overline{AB}=8cm$, $\\overline{BC}=16cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=8 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times8=4 (cm)$ $∴ \\overline{CH}=\\overline{CG}=16-4=12 (cm)$ $\\overline{DE}=\\overline{DH}$$=x cm$라 하고 점 $I$는 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $8^2+(12-x)^2=(12+x)^2$ $48x=64$ $∴ x=\\frac{4}{3}$ $∴ (\\square{ABCD} 의 둘레의 길이)$$=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=8+16+\\frac{40}{3}+\\frac{16}{3}$ $=$$\\frac{128}{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=5, \\overline{BC}=\\sqrt{15}, $$\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{5^2-(\\sqrt{15})^2}=\\sqrt{10}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{5}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\sqrt{15}}{5}$ $∴ \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{10}}{5}\\times\\frac{\\sqrt{15}}{5}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AD}=9 cm$, $\\overline{BC}=2 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}=2 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}=9 cm$이므로 $\\overline{CD}=2+9=11 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=2 cm$이므로 $\\overline{DH}=9-2=7 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{11^2-7^2}=\\sqrt{72}=6\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AB}=\\overline{CH}=6\\sqrt{2} cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{2}=3\\sqrt{2} (cm)$ $∴ (색칠한 부분의 넓이) =(사다리꼴 ABCD의 넓이)-(반원 O의 넓이) =\\frac{1}{2}\\times(2+9)\\times6\\sqrt{2}-\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(3\\sqrt{2})^2 =33\\sqrt{2}-9\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=10, \\overline{BC}=2\\sqrt{5}, $$\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$~$\\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{10^2-(2\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4\\sqrt{5}}{10}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{10}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $∴ \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\times\\frac{\\sqrt{5}}{5}$$=\\frac{2}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. $\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{CF}=4 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=4 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(6+r)^2+(r+4)^2=10^2$ $r^2+10r-24=0$ $(r-2)(r+12)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=2$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}+\\overline{BE}+\\widehat{DE}$$=$$2+2$$+$$2\\pi\\times2\\times\\frac{90}{360}$$=\\pi+4 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 O에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=14 cm$일 때, 원 O의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO$($ RHS$ 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{7}{\\cos30\\degree}=7\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=7\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=\\frac{14\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(\\frac{14\\sqrt{3}}{3})^2$$=\\frac{196}{3}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 $B$를 중심으로 하고 점 $A$를 지나는 원을 그린 후 점 $C$에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 $E$, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 $F$라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=8 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{10^2-8^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=10 cm$이므로 $\\overline{DF}=(10-x)$ $cm$ $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(6+x)$ $cm$ $\\triangle CDF$에서 $(10-x)^2+8^2=(6+x)^2$ $32x=128$ $∴ x=4$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $4 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D, E, F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=18 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO$(RHS 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times18$$=9 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{9}{\\cos30\\degree}=9\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=9\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=6\\sqrt{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(6\\sqrt{3})^2$$=108\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 O에 외접한다. $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=15 cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=10 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times10=5 (cm)$ $∴$ $\\overline{CH}=\\overline{CG}=15-5=10$ $(cm)$ $\\overline{DE}=\\overline{DH}$$=x cm$라 하고 점$ I$는 점$ D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $10^2+(10-x)^2=(10+x)^2$ $40x=100$ $∴$ $x=\\frac{5}{2}$ $∴$ $(\\square ABCD의 둘레의 길이) =$$\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=$$10+15+\\frac{25}{2}+\\frac{15}{2}$ $=$$45 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. $\\overline{AF}=15 cm$, $\\overline{CF}=10 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=15 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=10 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(15+r)^2+(r+10)^2=25^2$ $r^2+25r-150=0$ $(r-5)(r+30)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=5$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}+\\overline{BE}+\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$$=$$5+5$$+$$2\\pi\\times5\\times\\frac{90}{360}$$=\\frac{5}{2}\\pi+10 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{CD}$는 원 O의 접선이고 세 점 $A$, $B$, $E$는 접점이다. $\\overline{PQ}$가 $\\angle CPD$의 이등분선이고 $\\overline{CP}=12 cm$, $\\overline{CQ}=4 cm$, $\\overline{DP}=16 cm$일 때, $\\overline{EQ}$의 길이를 구하여라.", "answer": "$\\triangle CDP$에서 $\\overline{CP} : \\overline{DP}=\\overline{CQ} : \\overline{DQ}$ $12 : 16=4 : \\overline{DQ}$ $12\\overline{DQ}=64$ $∴ \\overline{DQ}$$=\\frac{16}{3} (cm)$ $\\overline{EQ}$$=x cm$라 하면 $\\overline{CA}=\\overline{CE}=(4+x) cm$ $\\overline{DB}=\\overline{DE}=(\\frac{16}{3}-x) cm$ $\\overline{PA}=\\overline{PB}$이므로 $(4+x)+12=(\\frac{16}{3}-x)+16$ $2x=\\frac{16}{3}$ $∴ x=\\frac{8}{3}$ 따라서 $\\overline{EQ}$의 길이는 $\\frac{8}{3} cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=10 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO$(RHS 합동)이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times10$$=5 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{5}{\\cos30\\degree}=5\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=5\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=\\frac{10\\sqrt{3}}{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(\\frac{10\\sqrt{3}}{3})^2$$=\\frac{100}{3}\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반원의 호 $AB$ 위의 한 점 $T$를 지나는 접선이 지름 $AB$의 양 끝 점에서 그은 접선과 만나는 점을 각각 $C$, $D$라 하자. $\\overline{AD}=5 cm$, $\\overline{BC}=2 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\overline{CT}=\\overline{CB}$$=$$2 cm$, $\\overline{DT}=\\overline{DA}$$=$$5 cm$이므로 $\\overline{CD}=2+5=7 (cm)$ 위 그림과 같이 점 $C$에서 $\\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\overline{BC}=2 cm$이므로 $\\overline{DH}$$=5-2$$=3 (cm)$ $\\triangle CDH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{7^2-3^2}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10} (cm)$ $\\overline{AB}$$=\\overline{CH}$$=2\\sqrt{10} cm$이므로 $\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{10}=\\sqrt{10} (cm)$ $\\therefore (색칠한 부분의 넓이)$ $=(사다리꼴 ABCD의 넓이)-(반원 O의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times(2+5)\\times2\\sqrt{10}$$-$$\\frac{1}{2}\\times\\pi\\times(\\sqrt{10})^2$ $=$$7\\sqrt{10}-5\\pi (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $3 cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $54 cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $\\triangle{ABC}=\\triangle{ABO}+\\triangle{BCO}+\\triangle{AOC}$ $=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times3+\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times3+\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times3$ $=\\frac{3}{2}\\times(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$ $=$$54 (cm^2)$ $∴$ $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=36 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times36$$=18 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D, E, F$는 접점이다. $\\overline{AF}=5 cm$, $\\overline{CF}=12 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=5 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=12 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(5+r)^2+(r+12)^2=17^2$ $r^2+17r-60=0$ $(r-3)(r+20)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=3$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}+\\overline{BE}+\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$$=$$3+3$$+$$2\\pi\\times3\\times\\frac{90}{360}$$=\\frac{3}{2}\\pi+6 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$,$ E$,$ F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $4 cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $100 cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $\\triangle{ABC}$=$\\triangle{ABO}+\\triangle{BCO}+\\triangle{AOC}$ =$\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times4+\\frac{1}{2}\\times\\overline{BC}\\times4+\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC}\\times4$ =$2\\times(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$ $=$$100 (cm^2)$ $∴$ $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=50 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times50$$=25 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $18 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$일 때, 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$,$N$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $\\overline{OA}=9 cm$이므로 직각삼각형 $AMO$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{9^2-6^2}=\\sqrt{45}=3\\sqrt{5} (cm)$ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$ 따라서 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $\\overline{MN}=2\\overline{OM}=2\\times3\\sqrt{5}=6\\sqrt{5} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. $\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{CF}=20 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원 O의 반지름의 길이를 $r~cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=6 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=20 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(6+r)^2+(r+20)^2=26^2$ $r^2+26r-120=0$ $(r-4)(r+30)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=4$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}$+$\\overline{BE}$+$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$$=$$4+4$$+$$2\\pi\\times4\\times\\frac{90}{360}$$=2\\pi+8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $4$ $cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $96$ $cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $\\triangle ABC =\\triangle ABO +\\triangle BCO+\\triangle AOC$ $=\\frac{1}{2} \\times \\overline{AB} \\times 4 +\\frac{1}{2} \\times \\overline{BC}\\times 4+\\frac{1}{2}\\times\\overline{AC} \\times 4$ $=2\\times(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$ $=96(cm^2)$ $∴ \\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=48 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times48$$=24 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 $O$에 외접한다. $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=18 cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=12 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $∴$ $\\overline{CH}=\\overline{CG}=18-6=12$ (cm) $\\overline{DE}=\\overline{DH}$$=x cm$라 하고 점 I는 점 D에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $12^2+(12-x)^2=(12+x)^2$ $48x=144$ $∴$ $x=3$ $∴$ $(□ABCD)의 둘레의 길이) = \\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=12+18+15+9$ $=54 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 지름의 길이가 $16 cm$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12 cm$이고 $\\overline{AB} // \\overline{CD}$일 때, 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라 하면 $\\overline{CN}=\\frac{1}{2}\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $\\overline{OC}=8 cm$이므로 직각삼각형 $CON$에서 $\\overline{ON}=\\sqrt{8^2-6^2}=\\sqrt{28}=2\\sqrt{7} (cm)$ 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}$ 따라서 두 현 $AB$와 $CD$ 사이의 거리는 $\\overline{MN}=2\\overline{ON}=2\\times2\\sqrt{7}=4\\sqrt{7} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times6^2\\times\\frac{60}{360}$$=6\\pi (cm^2)$ $\\triangle BCO의 넓이)= \\frac{1}{2} \\times6 \\times6 \\times sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=$$9\\sqrt{3} (cm^2)$ $=$$6\\pi-9\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\therefore (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴BOC의 넓이)-\\triangle BCO의 넓이) =$ $(6\\pi-9\\sqrt{3}) cm^2$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 두 현 $AB$, $CD$의 연장선의 교점을 $P$라 하자. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이고 $\\angle P=24\\degree$일 때, $\\angle ADC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=\\angle x$라고 하면 $\\triangle ADP$에서 $\\angle ADC=\\angle x+24\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\widehat{AB}=\\widehat{AC}=\\widehat{CD}$이므로 $\\angle ACB=\\angle ADC=\\angle CAD=\\angle x+24\\degree$ $\\angle BAD=\\angle BCD=\\angle x$이므로 $\\triangle ACD$에서 $(\\angle x+24\\degree)+(\\angle x+24\\degree)+\\angle x+(\\angle x+24\\degree)=180\\degree$ $4\\angle x+72\\degree=180\\degree$ $∴\\angle x=27\\degree$ $∴ $ $\\angle ADC$$=\\angle x+24\\degree$$=27\\degree+24\\degree$$=51\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 두 현 $AB$, $CD$의 연장선의 교점을 P라 하자. $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이고 $\\angle P=32\\degree$일 때, $\\angle ADC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=\\angle x$라고 하면 $\\triangle ADP$에서 $\\angle ADC=\\angle x+32\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle ACB=\\angle ADC=\\angle CAD=\\angle x+32\\degree$ $\\angle BAD=\\angle BCD=\\angle x$이므로 $\\triangle ACD$에서 $(\\angle x+32\\degree)+(\\angle x+32\\degree)+\\angle x+(\\angle x+32\\degree)=180\\degree$ $4\\angle x+96\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=21\\degree$ $∴ \\angle ADC$$=\\angle x+32\\degree$$=21\\degree+32\\degree$$=53\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $P$는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{BD}=10cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}=5\\pi cm$,$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=10\\pi cm$,$\\angle{BAC}=60\\degree$일 때, $\\triangle{BDP}$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABD : \\angle BAC$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\angle ABD : 60$$=5\\pi : 10\\pi$ $\\therefore \\angle ABD=30\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=60\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle BPD$$=180\\degree-(30\\degree+60\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $BDP$에서 $\\overline{BP}=10\\cos30\\degree$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\therefore \\triangle BDP$$=$$\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{3}\\times10\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times5\\sqrt{3}\\times10\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{25\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=80\\degree$, $\\angle ABC=120\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ $∴ \\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times80\\degree$$=40\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=40\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $120\\degree+(\\angle x+40\\degree)=180\\degree$ $∴ \\angle x=20\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $40\\degree+\\angle y+20\\degree+40\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle y=80\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=20\\degree+80\\degree$$=100\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 $B$를 중심으로 하고 점 $A$를 지나는 원을 그린 후 점 $C$에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 $E$, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 $F$라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=12 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{13^2-12^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=13 cm$이므로 $\\overline{DF}=(13-x)$ cm $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(5+x) cm$ $\\triangle CDF$에서 $(13-x)^2+12^2=(5+x)^2$ $36x=288$ $∴ x=8$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=5, \\overline{BC}=2\\sqrt{5}, $$\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$~$\\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $ \\therefore \\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{5^2-(2\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{5}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ $ \\therefore \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\times\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$$=\\frac{2}{5}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. $\\overline{AF}=12 cm$, $\\overline{CF}=8 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=12 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=8 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(12+r)^2+(r+8)^2=20^2$ $r^2+20r-96=0$ $(r-4)(r+24)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=4$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}+\\overline{BE}+\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$$=$$4+4$$+$$2\\pi\\times4\\times\\frac{90}{360}$$=2\\pi+8 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 O의 지름이고 점 P는 두 현 $AC$, $BD$의 연장선의 교점이다. $\\angle BOD=70\\degree$, $\\angle P=50\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}​ $와 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​ $의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ADP$에서 $\\angle DAP$$=180\\degree-(90\\degree+50\\degree)$$=40\\degree$ $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times70\\degree=35\\degree$ $∴$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$$=\\angle BAD : \\angle CAD$$=35 : 40$$=7 : 8$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 $O$에 외접한다. $\\overline{AB}=6 cm$, $\\overline{BC}=9 cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=6 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times6=3 (cm)$ $∴ \\overline{CH}=\\overline{CG}=9-3=6(cm)$ $\\overline{DE}=\\overline{DH}$$=x cm$라 하고 점 $I$는 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $6^2+(6-x)^2=(6+x)^2$ $24x=36$ $∴ x=\\frac{3}{2}$ $=$$27 (cm)$" }, { "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $4 cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $84 cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $=$$84 (cm^2)$ $∴$ $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=42 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times42$$=21 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $12 cm$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=45\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times45\\degree$$=90\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times12^2\\times\\frac{90}{360}$$=36\\pi (cm^2)$ $(\\triangle BCO의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times12$ $=$$72 (cm^2)$ $\\therefore$ $(색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 BOC의 넓이)-(\\triangle BCO의 넓이)$ $=$$36\\pi-72 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6 cm$인 원 O에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=45\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC=2\\angle BAC=2\\times45\\degree=90\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)=\\pi\\times6^2\\times\\frac{90}{360}=9\\pi (cm^2)$ $(\\triangle BCO의 넓이)=\\frac{1}{2}\\times6\\times6 =18 (cm^2)$ $\\therefore$ $(색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 BOC의 넓이)-(\\triangle BCO의 넓이)$ $=9\\pi-18 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 $B$를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원을 그린 후 점 $C$에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 $E$, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 $F$라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=12 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{15^2-12^2}=\\sqrt{81}=9 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=15 cm$이므로 $\\overline{DF}=(15-x) cm$ $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(9+x) cm$ $\\triangle CDF$에서 $(15-x)^2+12^2=(9+x)^2$ $48x=288$ $∴ x=6$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $6 cm$이다." }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=120\\degree$, $\\angle ABC=80\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}​$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ $∴ \\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times120\\degree$$=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}​$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=60\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $80\\degree+(\\angle x+60\\degree)=180\\degree$ $∴ \\angle x=40\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $60\\degree+\\angle y+40\\degree+60\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle y=20\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y$$=40\\degree-20\\degree$$=20\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 B를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원을 그린 후 점 C에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 E, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 F라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라. ", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=9 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{15^2-9^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=15 cm$이므로 $\\overline{DF}=(15-x)$ $cm$ $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(12+x)$ $cm$ $\\triangle CDF$에서 $(15-x)^2+9^2=(12+x)^2$ $54x=162$ $∴$ $x=3$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $3 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 $O$에 외접한다. $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{BC}=24 cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=12 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times12=6 (cm)$ $∴ \\overline{CH}=\\overline{CG}=24-6=18$ $(cm)$ $\\overline{DE}=\\overline{DH}$$=x cm$라 하고 점 $I$는 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $12^2+(18-x)^2=(18+x)^2$ $72x=144$ $∴ x=2$ $∴ (\\square ABCD둘레의 길이) $$=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD}$ $=12+24+20+8$ $=64 (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $8 cm$인 원 O에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=45\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ($\\square$)$ cm^2$", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times45\\degree$$=90\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times8^2\\times\\frac{90}{360}$$=16\\pi (cm^2)$ $(\\triangle BCO의 넓이)=\\frac{1}{2}\\times8\\times8$ $=$$32 (cm^2)$ $∴ (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 BOC의 넓이)-(\\triangle BCO의 넓이)$ $=$$16\\pi-32 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=\\angle B=90\\degree$인 사다리꼴 $ABCD$가 원 O에 외접한다. $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=20 cm$일 때, $\\square ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 네 접점을 $E$, $F$, $G$, $H$라 하고 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OG}$, $\\overline{DI}$를 그으면 $\\overline{EG}=\\overline{AB}=10 cm$ 원의 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로 $\\square AFOE$와 $\\square BGOF$는 정사각형이다. $\\overline{AE}=\\overline{BG}=\\frac{1}{2}\\overline{EG}=\\frac{1}{2}\\times10=5 (cm)$ $∴ \\overline{CH}=\\overline{CG}=20-5=15 (cm)$ $\\overline{DE}=\\overline{DH}=x cm$라 하고 점 $I$는 점 $D$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발이므로 직각삼각형 $CDI$에서 $10^2+(15-x)^2=(15+x)^2$ $60x=100$ $∴ x=\\frac{5}{3}$ $∴ (\\square ABCD의 둘레의 길이) =\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{CD}+\\overline{AD} =10+20+\\frac{50}{3}+\\frac{20}{3} =\\frac{160}{3} (cm)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10 cm$인 원 O에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times10^2\\times\\frac{60}{360}$$=\\frac{50}{3}\\pi (cm^2)$ $(\\triangle BCO의 넓이)$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=$$25\\sqrt{3} (cm^2)$ $\\therefore$$(색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 BOC의 넓이) -(\\triangle BCO의 넓이)$ $=$$\\frac{50}{3}\\pi-25\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. 두 점 $P$, $Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=24\\degree$, $\\angle PBQ=32\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+24\\degree)+(\\angle ABQ+32\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+24\\degree)+(\\angle BPQ+32\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+24\\degree+32\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+56\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle APB=62\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 $B$를 중심으로 하고 점 $A$를 지나는 원을 그린 후 점 $C$에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 $E$, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 $F$라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=16 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{20^2-16^2}=\\sqrt{144}=12 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=20 cm$이므로 $\\overline{DF}=(20-x)$ $cm$ $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(12+x)$ $cm$ $\\triangle CDF$에서 $(20-x)^2+16^2=(12+x)^2$ $64x=512$ $∴$ $x=8$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $8 cm$이다." }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=12$, $\\overline{BC}=4\\sqrt{3}$, $\\angle ACD=\\angle x$일 때 , $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\sim\\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{12^2-(4\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{96}=4\\sqrt{6}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4\\sqrt{6}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{4\\sqrt{3}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $∴ \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $12 cm$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=30\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times30\\degree$$=60\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times12^2\\times\\frac{60}{360}$$=24\\pi (cm^2)$ $(\\triangle{BCO}의 넓이)$=$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\sin 60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=$$36\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 BOC의 넓이)-(\\triangle{BCO} 의 넓이)$ $=$$24\\pi-36\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=6$, $\\overline{BC}=2\\sqrt{6}$, $\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\sim\\triangle ACD$ (AA 닮음) $∴$ $\\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{6^2-(2\\sqrt{6})^2}=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2\\sqrt{3}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $∴$ $\\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{6}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=9$, $\\overline{BC}=3\\sqrt{3}$, $\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC\\backsim\\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{9^2-(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{54}=3\\sqrt{6}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3\\sqrt{6}}{9}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{9}$$=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ $∴$ $\\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{3}$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 두 현 $AB$, $CD$의 연장선의 교점을 $P$라 하자. $\\widehat{AB}=\\widehat{AC}=\\widehat{CD}$이고 $\\angle P=44\\degree$일 때, $\\angle ADC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BAD=\\angle x$라고 하면 $\\triangle ADP$에서 $\\angle ADC=\\angle x+44\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle ACB=\\angle ADC=\\angle CAD=\\angle x+44\\degree$ $\\angle BAD=\\angle BCD=\\angle x$이므로 $\\triangle ACD$에서 $(\\angle x+44\\degree)+(\\angle x+44\\degree)+\\angle x+(\\angle x+44\\degree)=180\\degree$ $4\\angle x+132\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=12\\degree$ $∴$ $\\angle ADC$$=\\angle x+44\\degree$$=12\\degree+44\\degree$$=56\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. 두 점 $P$, $Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=37\\degree$, $\\angle PBQ=29\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+37\\degree)+(\\angle ABQ+29\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+37\\degree)+(\\angle BPQ+29\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+37\\degree+29\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+66\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle APB=57\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 두 현 $AB$, $CD$의 연장선의 교점을 $P$라 하자. $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이고 $\\angle P=36\\degree$일 때, $\\angle ABC$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라고 하면 $\\triangle BCP$에서 $\\angle ABC=\\angle x+36\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle ACB=\\angle ABC=\\angle CAD=\\angle x+36\\degree$ $\\angle BAD=\\angle BCD=\\angle x$이므로 $\\triangle ACB$에서 $\\angle x+(\\angle x+36\\degree)+(\\angle x+36\\degree)+(\\angle x+36\\degree)=180\\degree$ $4\\angle x+108\\degree=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x=18\\degree$ $\\therefore$ $\\angle ABC$$=\\angle x+36\\degree$$=18\\degree+36\\degree$$=54\\degree$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $84$일 때, $x$의 값을 구하여라. $90$ $x$ $85$ $78$", "answer": "자료가 $4$ 개이므로 중앙값은 $2$ 번째와 $3$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $84$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $78 $, $x$, $85$, $90$이어야 한다. $\\frac{x+85}{2}=84$ $x+85=168$ $∴$ $x=83$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $P$는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{AC}=5cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}=3\\pi cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=6\\pi cm$, $\\angle ABD=30\\degree$일 때, $\\triangle ACP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABD : \\angle BAC$ $=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $30 : \\angle BAC$ $=3\\pi : 6\\pi$ $\\therefore$ $\\angle BAC=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$에 대하여 $\\angle ACD$ $=\\angle ABD$ $=30\\degree$ $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC$ $=180\\degree-(60\\degree+30\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $ACP$에서 $\\overline{CP}=5\\cos30\\degree$$=5\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{2} (cm)$ $\\therefore$ $\\triangle ACP=\\frac{1}{2}\\times5\\times\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\times\\sin30\\degree$ $=$ $\\frac{1}{2}\\times5\\times\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\times\\frac{1}{2}$ $=$ $\\frac{25\\sqrt{3}}{8} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=120\\degree$, $\\angle ABC=85\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ ∴ $\\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times120\\degree$$=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=60\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $85\\degree+(\\angle x+60\\degree)=180\\degree$ $ \\therefore \\angle x=35\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $60\\degree+\\angle y+35\\degree+60\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle y=25\\degree$ $ \\therefore \\angle x-\\angle y$$=35\\degree-25\\degree$$=10\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=120\\degree$, $\\angle ABC=100\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ $∴ \\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times120\\degree$$=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=60\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $100\\degree+(\\angle x+60\\degree)=180\\degree$ $∴ \\angle x=20\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $60\\degree+\\angle y+20\\degree+60\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle y=40\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x$$=40\\degree-20\\degree$$=20\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 O의 지름이고 점 P는 두 현 $AC$, $BD$의 연장선의 교점이다. $\\angle BOD=60\\degree$, $\\angle P=65\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD}$와 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ADP$에서 $\\angle DAP$$=180\\degree-(90\\degree+65\\degree)$$=25\\degree$ $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ $∴$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$$=\\angle BAD : \\angle CAD$$=30 : 25$$=6 : 5$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{BD}=9 cm, $$\\widehat{AD}=4\\pi cm, $$\\widehat{BC}=8\\pi cm, $$\\angle ACD=30\\degree$일 때, $\\triangle BDP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACD : \\angle BDC$$=\\widehat{AD} : \\widehat{BC}$이므로 $30 : \\angle BDC$$=4\\pi : 8\\pi$ $∴$ $\\angle BDC=60\\degree$ $\\widehat{AD}$에 대하여 $\\angle ABD$$=\\angle ACD$$=30\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle BPD$$=180\\degree-(30\\degree+60\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $BDP$에서 $\\overline{BP}=9\\cos30\\degree$$=9\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\frac{9\\sqrt{3}}{2} (cm)$ $∴$ $\\angle BDP$ $=\\frac{1}{2}\\times\\frac{9\\sqrt{3}}{2}$ $\\times9 \\times sin30\\degree $=$\\frac{1}{2}\\times\\frac{9\\sqrt{3}}{2}$ $\\times9 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{81\\sqrt{3}}{8} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $10{cm}$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접하고 있다. $\\angle BAC=45\\degree$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times45\\degree$$=90\\degree$이므로 $(부채꼴 BOC의 넓이)$$=\\pi\\times10^2\\times\\frac{90}{360}$$=25\\pi (cm^2)$ $(△BCO의 넓이) =$ $\\frac{1}{2} \\times 10 \\times 10$ $=$$50 (cm^2)$ $∴$ $(색칠한 부분의 넓이) = (부채꼴 BOC의 넓이) - (△BCO의 넓이)$ $=$$25\\pi-50 (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 $O$의 지름이고 점 $P$는 두 현 $AC$, $BD$의 연장선의 교점이다. $\\angle BOD=50\\degree$, $\\angle P=55\\degree$일 때, $\\widehat{BD}$와 $\\widehat{CD}$의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ADP$에서 $\\angle DAP$$=180\\degree-(90\\degree+55\\degree)$$=35\\degree$ $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times50\\degree=25\\degree$ $∴ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$$=\\angle BAD : \\angle CAD$$=25 : 35$$=5 : 7$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{AC}=4 cm, \\overset{\\frown}{AD}=2\\pi cm, \\overset{\\frown}{BC}=4\\pi cm, \\angle BDC=60\\degree$일 때, $\\triangle ACP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ACD : \\angle BDC$$=\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} : \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\angle ACD : 60$$=2\\pi : 4\\pi$ $\\therefore$ $\\angle ACD=30\\degree$ $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BAC$$=\\angle BDC$$=60\\degree$ $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC$$=180\\degree-(60\\degree+30\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $ACP$에서 $\\overline{CP}=4\\cos30\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3} (cm)$ $\\therefore$$\\triangle ACP$$=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{3}\\times\\sin 30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$2\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=100\\degree$, $\\angle ABC=85\\degree$일 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times100\\degree$$=50\\degree$ $ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=50\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $85\\degree+(\\angle x+50\\degree)=180\\degree$ $∴ $$\\angle x=45\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $50\\degree+\\angle y+45\\degree+50\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle y=35\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=45\\degree-35\\degree$$=10\\degree$" }, { "question": "다음 그림과 같이 원$O$는 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에 내접하고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. $\\overline{AF}=10 cm$, $\\overline{CF}=15 cm$일 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$, $\\overline{OE}$를 긋고 원$ O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=r cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}=10 cm$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}=15 cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(10+r)^2+(r+15)^2=25^2$ $r^2+25r-150=0$ $(r-5)(r+30)=0$ 이때 $r>0$이므로 $r=5$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overline{BD}+\\overline{BE}+\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{DE}$$=$$5+5$$+$$2\\pi\\times5\\times\\frac{90}{360}$$=\\frac{5}{2}\\pi+10 (cm)$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $7.5$일 때, $x$의 값을 구하여라. $10~ 5~ x~ 9~ 7~ 6$", "answer": "자료가 $6$ 개이므로 중앙값은 $3$ 번째와 $4$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $7.5$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $5$, $6$, $7$, $x$, $9$, $10$이어야 한다. $\\frac{7+x}{2}=7.5$ $7+x=15$ $∴$ $x=8$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점$ A, B$는 접점이다. 두 점$ P, Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=37\\degree$, $\\angle PBQ=27\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+37\\degree)+(\\angle ABQ+27\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+37\\degree)+(\\angle BPQ+27\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+37\\degree+27\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+64\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle APB=58\\degree$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $71$일 때, $x$의 값을 구하여라. $70$ $65$ $75$ $x$", "answer": "자료가 $4$ 개이므로 중앙값은 $2$ 번째와 $3$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $71$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $65$, $70$, $x$, $75$이어야 한다. $\\frac{70+x}{2}=71$ $70+x=142$ $∴ x=72$" }, { "question": "다음은 $5$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $3$ $5$ $9$ $x$ $14$", "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $9$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{3+5+9+x+14}{5}$$=\\frac{x+31}{5}$$=9$ $x+31=45$ $∴ x=14$ 따라서 자료의 최빈값은 $14$이다." }, { "question": "다음은 평균이 $62$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $c+2x$의 값을 구하여라.", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $3+(-6)+x+9=0$ $∴ x=-6$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $c$$=$$62+(-6)$$=56$ $∴ c+2x$$=56+2\\times(-6)$$=44$" }, { "question": "$8$ 개의 수 $57$, $60$, $55$, $60$, $63$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $58$, 최빈값이 $55$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. $(단, a, b, c는 자연수, a 학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $F$ 편차(회) $-1$ $3$ $x$ $3$ $y$ $z$ ", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-1+3+x+2+y+z=0$ $∴ x+y+z$$=-4$" }, { "question": "다음 그림에서 점 $P$는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{BD}=12 cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}=5\\pi cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=10\\pi cm$, $\\angle BAC=60\\degree$일 때, $\\triangle BDP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABD : \\angle BAC$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $\\angle ABD : 60$$=5\\pi : 10\\pi$ $∴ \\angle ABD=30\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=60\\degree$ $\\triangle BDP$에서 $\\angle BPD$$=180\\degree-(30\\degree+60\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $BDP$에서 $\\overline{BP}=12\\cos30\\degree$$=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $∴\\triangle BDP$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times12\\times\\sin30\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}\\times12\\times\\frac{1}{2}$ $=$$18\\sqrt{3} (cm^2)$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $6$일 때, $a$의 값을 구하여라. $1$ $8$ $8$ $a$ $1$ $7$ $1$ $7$", "answer": "자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $6$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $1, $$1, $$1, $$a, $$7, $$7, $$8, $$8$이어야 한다. $\\frac{a+7}{2}=6$ $a+7=12$ $∴ a=5$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. 두 점 $P$, $Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=36\\degree$, $\\angle PBQ=30\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+36\\degree)+(\\angle ABQ+30\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+36\\degree)+(\\angle BPQ+30\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+36\\degree+30\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+66\\degree=180\\degree$ ∴ $\\angle APB=57\\degree$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $13$일 때, $x$의 값을 구하여라. $12$ $ $ $11$ $ $ $x$ $8$ $ $ $19$ $ $ $17$", "answer": "자료가 $6$ 개이므로 중앙값은 $3$ 번째와 $4$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $13$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $8, $$11, $$12, $$x, $$17, $$19$이어야 한다. $\\frac{12+x}{2}=13$ $12+x=26$ $∴ x=14$" }, { "question": "다음 그림에서 점 P는 두 현 $AB$와 $CD$의 교점이고 $\\overline{AC}=6 cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}=3\\pi cm$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}=6\\pi cm$, $\\angle ABD=30\\degree$일 때, $\\triangle ACP$의 넓이를 구하여라.", "answer": "$\\angle ABD : \\angle BAC$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} : \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$이므로 $30 : \\angle BAC$$=3\\pi : 6\\pi$ $∴$ $\\angle BAC=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$에대하여 $\\angle ACD$$=\\angle ABD$$=30\\degree$ $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC$$=180\\degree-(60\\degree+30\\degree)$$=90\\degree$ 따라서 직각삼각형 $ACP$에서 $\\overline{CP}=6\\cos30\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (cm)$ $∴$ $\\triangle{ACP}=\\frac{1}{2}\\times6\\times3\\sqrt{3}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times3\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{9\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. 두 점 $P$, $Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=35\\degree$, $\\angle PBQ=29\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+35\\degree)+(\\angle ABQ+29\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+35\\degree)+(\\angle BPQ+29\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+35\\degree+29\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+64\\degree=180\\degree$ $ \\therefore \\angle APB=58\\degree$" }, { "question": "다음 그림에서 직선 $AB$는 두 원 $O$, $O'$의 공통인 접선이고 두 점 $A$, $B$는 접점이다. 두 점 $P$, $Q$가 두 원의 교점이고 $\\angle PAQ=26\\degree$, $\\angle PBQ=30\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\angle APQ$$=\\angle BAQ$, $\\angle BPQ$$=\\angle ABQ$ $\\triangle ABP$에서 $(\\angle BAQ+26\\degree)+(\\angle ABQ+30\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $(\\angle APQ+26\\degree)+(\\angle BPQ+30\\degree)+\\angle APB=180\\degree$ $\\angle APB+26\\degree+30\\degree+\\angle APB=180\\degree$ $2\\angle APB+56\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle APB=62\\degree$" }, { "question": "슬아네 반 학생 $30$ 명의 몸무게의 평균은 $47 kg$이었다. 두 명의 학생이 전학을 간 후 나머지 학생들의 몸무게의 평균이 $47.5 kg$이 되었을 때, 전학을 간 두 학생의 몸무게의 평균을 구하여라.", "answer": "$30$ 명의 몸무게의 총합은 $47\\times30$$=1410 (kg)$ 전학을 간 두 학생의 몸무게를 각각 $x$ $kg$, $y$ $kg$이라 하면 $\\frac{1410-(x+y)}{28}=47.5$ $1410-(x+y)=1330$ $∴ x+y=80$ 전학을 간 두 학생의 몸무게의 평균은 $\\frac{x+y}{2}=\\frac{80}{2}=40 (kg)$" }, { "question": "$8$ 개의 수 $20$, $24$, $27$, $27$, $30$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $23$, 최빈값이 $20$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a, b, c$는 자연수, $b 학생 A B C D E 편차 (점) $-4$ $5$ $a$ $3$ $b$ ", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-4+5+a+3+b=0$ $∴ a+b$$=-4$" }, { "question": "$8$ 개의 수 $12$, $14$, $14$, $19$, $21$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $17$, 최빈값이 $21$일 때, $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 자연수, $b0$)", "answer": "$(평균)=\\frac{(3+a)+(3+2a)+3}{3}=\\frac{3a+9}{3}=a+3$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $3+a$ $3+2a$ $3$
편차 $0$ $a$ $-a$
$(분산)=\\frac{0^2+a^2+(-a)^2}{3}=\\frac{2a^2}{3}$ 이때 분산이 $6$이므로 $\\frac{2a^2}{3}=6$ $a^2=9$ $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{9}$$=3$" }, { "question": "다음 자료의 평균과 최빈값이 같을 때, $x$의 값을 구하여라.$\\\\$ $45$ $50$ $43$ $42$ $x$", "answer": "$x$를 제외한 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 $x$이다. 평균과 최빈값이 같으므로 $\\frac{45+50+43+42+x}{5}$$=\\frac{x+180}{5}$$=x$ $x+180=5x$ $-4x=-180$ $∴$ $x=45$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $7$일 때, $x$의 값을 구하여라. $10$$5$$x$$5$$9$$6$", "answer": "자료가 $6$ 개이므로 중앙값은 $3$ 번째와 $4$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $7$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $5, $$5, $$6, $$x, $$9, $$10$이어야 한다. $\\frac{6+x}{2}=7$ $6+x=14$ $∴ x=8$" }, { "question": "다음은 $5$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $24$ $26$ $30$ $x$ $35$", "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $30$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{24+26+30+x+35}{5}$$=\\frac{x+115}{5}$$=30$ $x+115=150$ $∴$ $x=35$ 따라서 자료의 최빈값은 $35$이다." }, { "question": "다음은 $7$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $7$ $9$ $x$ $12$ $14$ $16$ $17$", "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $12$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{7+9+x+12+14+16+17}{7}$$=\\frac{x+75}{7}$$=12$ $x+75=84$ $∴ x=9$ 따라서 자료의 최빈값은 $9$이다." }, { "question": "영재네 반 학생 $27$ 명의 키의 평균은 $165 cm$이었다. 세 명의 학생이 전학을 온 후 전체 학생들의 키의 평균이 $165.9 cm$가 되었을 때, 전학을 온 세 학생의 키의 평균을 구하여라.", "answer": "$27$ 명의 키의 총합은 $165\\times27$$=4455 (cm)$ 전학을 온 세 학생의 키를 각각 $x cm, y cm, z cm$라 하면 $\\frac{4455+(x+y+z)}{30}=165.9$ $4455+(x+y+z)=4977$ $∴ x+y+z=522$ 전학을 온 세 학생의 키의 평균은 $\\frac{x+y+z}{3}=\\frac{522}{3}=174 (cm)$" }, { "question": "다음은 $6$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $2$ $3$ $4$ $7$ $x$ $10$", "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $\\frac{4+7}{2}=5.5$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{2+3+4+7+x+10}{6}$$=\\frac{x+26}{6}$$=5.5$ $x+26=33$ $∴ x=7$ 따라서 자료의 최빈값은 $7$이다." }, { "question": "다음은 $5$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $1$ $2$ $3$ $x$ $6$", "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $3$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{1+2+3+x+6}{5}$$=\\frac{x+12}{5}$$=3$ $x+12=15$ $∴ x=3$ 따라서 자료의 최빈값은 $3$이다." }, { "question": "경헌이네 반 학생 $32$ 명의 키의 평균은 $157cm$이었다. 두 명의 학생이 전학을 온 후 전체 학생들의 키의 평균이 $158cm$가 되었을 때, 전학을 온 두 학생의 키의 평균을 구하여라.", "answer": "$32$ 명의 키의 총합은 $157\\times32$$=5024$ $(cm)$ 전학을 온 두 학생의 키를 각각 $x$ $cm$, $y$ $cm$라 하면 $\\frac{5024+(x+y)}{34}=158$ $5024+(x+y)=5372$ $∴ x+y=348$ 전학을 온 두 학생의 키의 평균은 $\\frac{x+y}{2}=\\frac{348}{2}=174$ $(cm)$" }, { "question": "세 수 $2a+5$, $a+5$, $5$의 분산이 $2$일 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$(평균)=\\frac{(2a+5)+(a+5)+5}{3}=\\frac{3a+15}{3}=a+5$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $2a+5$ $a+5$ $5$
편차 $a$ $0$ $-a$
$(분산)=\\frac{a^2+0^2+(-a)^2}{3}=\\frac{2a^2}{3}$ 이때 분산이 $2$이므로 $\\frac{2a^2}{3}=2$ $a^2=3$ $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{3}$" }, { "question": "$8$ 개의 수 $20$, $21$, $21$, $29$, $31$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $28$, 최빈값이 $31$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 자연수, $a 야구선수 $A$ $B$$C$$D$$E$ 편차 (개) $4$ $a$$-2$$b$$-1$ ", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $4+a+(-2)+b+(-1)=0$ $∴$ $a+b$$=-1$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E, F 학생 $6$ 명의 통학 시간의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. $x+y$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E F
편차 (분) 12 -4 3 5 x y
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $12+(-4)+3+5+x+y=0$ $∴ x+y=-16$" }, { "question": "다음은 평균이 $32$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $b+3x$의 값을 구하여라.
변량 $a$ $b$ $c$ $d$ $e$
편차 $3$ $x$ $-5$ $2$ $-1$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $3+x+(-5)+2+(-1)=0$ $∴$ $x=1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $b$$=$$32+1$$=33$ $∴$ $b+3x$$=33+3\\times1$$=36$" }, { "question": "$8$ 개의 수 $16$, $17$, $17$, $25$, $27$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $24$, 최빈값이 $27$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 자연수, $a 학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ 편차(타/분) $a-30$ $a+20$ $a$ $a-30$ $a-10$ ", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(a-30)+(a+20)+a+(a-30)+(a-10)=0$ $5a-50=0$ $ \\therefore a=10$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(C의 자판 입력 속도)=$ $300+a=300+10=310$ (타/분)" }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 체육 실기 성적의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 체육 실기 성적의 평균이 $86$ 점일 때, $A$의 실기 성적을 구하여라.
학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차(점) $x+3$ $x-5$ $x+6$ $x$ $x+11$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(x+3)+(x-5)+(x+6)+x+(x+11)=0$ $5x+15=0$ $∴ x=-3$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(A의 실기 성적)=86+(x+3)=86+0=86$ (점)" }, { "question": "다음은 평균이 $25$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $c-5x$의 값을 구하여라.
변량 $a$ $b$ $c$ $d$ $e$
편차 $-1$ $7$ $x$ $3$ $2$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-1+7+x+3+2=0$ $ ∴$ $x=-11$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $c$$=$$25+(-11)$$=14$ $∴$ $c-5x$$=14-5\\times(-11)$$=69$" }, { "question": "다음은 $8$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값이 $45$일 때, 다음 물음에 답하여라. $30$ $35$ $40$ $x$ $46$ $48$ $50$ $51$ (1) $x$의 값을 구하여라. (2) 이 자료의 평균을 구하여라.", "answer": "(1)자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. $\\frac{x+46}{2}=45$ $x+46=90$ $∴x=44$ (2)$(평균)$$=\\frac{30+35+40+44+46+48+50+51}{8}$$=\\frac{344}{8}$$=43$" }, { "question": "다음은 평균이 $32$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $a+3x$의 값을 구하여라.
변량 a b c d e
편차 x -3 5 2 -1
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $x+(-3)+5+2+(-1)=0$ $∴$ $x=-3$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a$$=$$32+(-3)$$=29$ $∴$ $a+3x$$=29+3\\times(-3)$$=20$" }, { "question": "다음 자료의 중앙값이 $5$일 때, $x$의 값을 구하여라. $3~~9~~2~~x~~1~~6~~7~~6$", "answer": "자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. 중앙값이 $5$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $1, $$2, $$3, $$x, $$6, $$6, $$7, $$9$이어야 한다. $\\frac{x+6}{2}=5$ $x+6=10$ $∴$ $x=4$" }, { "question": "다음은 어느 학급 학생 $5$ 명이 제기를 찬 횟수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $2\\sqrt{2}$ 회일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
편차(회) $-1$ $x$ $2$ $1$ $y$
", "answer": "$(분산)=\\frac{(-1)^2+x^2+2^2+1^2+y^2}{5}=\\frac{x^2+y^2+6}{5}$ 이때 분산은 $(2\\sqrt{2})^2=8$이므로 $\\frac{x^2+y^2+6}{5}=8$ $x^2+y^2+6=40$ $∴ x^2+y^2=34$" }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 체육 실기 성적의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 체육 실기 성적의 평균이 $86$ 점일 때, $C$의 실기 성적을 구하여라.
학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차 (점) $x+3$ $x-5$ $x+6$ $x$ $x+11$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(x+3)+(x-5)+(x+6)+x+(x+11)=0$ $5x+15=0$ $∴$ $x=-3$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(C의 실기 성적)= 86+(x+6)=86+3=89$ (점)" }, { "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $9$이고 표준편차가 $3$일 때, 변량 $a+2, $$b+2, $$c+2, $$d+2$의 평균은 $m$, 분산은 $n$이다. 이때 $m+n$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $9$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=9$ $∴$ $a+b+c+d=36$ $a+2$, $b+2$, $c+2$, $d+2$의 평균은 $\\frac{(a+2)+(b+2)+(c+2)+(d+2)}{4}$$=$$\\frac{a+b+c+d+8}{4}$ $=$$\\frac{36+8}{4}$ $=$$11$ $∴$ $m$$=11$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $3^2=9$이므로 $\\frac{(a-9)^2+(b-9)^2+(c-9)^2+(d-9)^2}{4}=9$ $(a-9)^2+(b-9)^2+(c-9)^2+(d-9)^2=36$ $a+2$, $b+2$, $c+2$, $d+2$의 평균이 $11$이므로 $(분산)=$$\\frac{(a+2-11)^2+(b+2-11)^2+(c+2-11)^2+(d+2-11)^2}{4}$ $=$$\\frac{(a-9)^2+(b-9)^2+(c-9)^2+(d-9)^2}{4}$ $=$$\\frac{36}{4}$ $=$$9$ $∴$ $n$$=9$ $∴$ $m+n$$=11+9$$=20$" }, { "question": "다음은 평균이 $62$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $a+2x$의 값을 구하여라.
변량 $a$ $b$ $c$ $d$
편차 $x$ $-6$ $3$ $9$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $x+(-6)+3+9=0$ $ ∴ x=-6$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a$$=$$62+(-6)$$=56$ $∴ a+2x$$=56+2\\times(-6)$$=44$" }, { "question": "다음은 평균이 $56$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $d-2x$의 값을 구하여라.
변량 $a$ $b$ $c$ $d$
편차 $2$ $-5$ $4$ $x$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $2+(-5)+4+x=0$ $∴ $$x=-1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $d$$=$$56+(-1)$$=55$ $∴$ $d-2x$$=55-2\\times(-1)$$=57$" }, { "question": "다음은 평균이 $36$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $e+2x$의 값을 구하여라.
변량 $a$ $b$ $c$ $d$ $e$
편차 $2$ $4$ $-5$ $-3$ $x$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $2+4+(-5)+(-3)+x=0$ $∴ x=2$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $e$$=$$36+2$$=38$ $∴ e+2x$$=38+2\\times2$$=42$" }, { "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ $5$ 명의 축구 선수의 득점의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. $a+b$의 값을 구하여라.
선수 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차(점) $a$ $4$ $-2$ $b$ $-1$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $a+4+(-2)+b+(-1)=0$ $∴$ $a+b$$=-1$" }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 윗몸 말아 올리기 횟수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 윗몸 말아 올리기 횟수의 평균이 $26$ 회일 때, B의 횟수를 구하여라.
학생 A B C D E
편차 (회) $a-5$ $a+12$ $a$ $a-8$ $a-9$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(a-5)+(a+12)+a+(a-8)+(a-9)=0$ $5a-10=0$ $\\therefore$ $a=2$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(B의 횟수)$ $=$ $26+(a+12)=26+14=40$ (회)" }, { "question": "다음은 평균이 $47$인 변량 $a$, $b$, $c$, $d$에 대한 편차를 나타낸 표이다. $2c+x$의 값을 구하여라.
변량 $a$$b$$c$$d$
편차 $5$ $-2$$x$$-9$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $5+(-2)+x+(-9)=0$ $∴ x=6$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $c$$=$$47+6$$=53$ $∴ 2c+x$$=2\\times53+6$$=112$" }, { "question": "다음은 어느 학급 학생 $5$ 명이 등교하는 데 걸리는 시간의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $\\sqrt{26}$ 분일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
편차 (분) $5$ $-2$ $x$ $y$ $-9$
", "answer": "$(분산)=\\frac{5^2+(-2)^2+x^2+y^2+(-9)^2}{5}=\\frac{x^2+y^2+110}{5}$ 이때 분산은 $(\\sqrt{26})^2=26$이므로 $\\frac{x^2+y^2+110}{5}=26$ $x^2+y^2+110=130$ ∴ $x^2+y^2=20$" }, { "question": "다음은 고등학생 $5$ 명이 자유투를 성공한 개수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $\\sqrt{10.4}$ 개일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
편차(개) $x$ $-3$ $1$ $-4$ $y$
", "answer": "$(분산)=\\frac{x^2+(-3)^2+1^2+(-4)^2+y^2}{5}=\\frac{x^2+y^2+26}{5}$ 이때 분산은 $(\\sqrt{10.4})^2=10.4$이므로 $\\frac{x^2+y^2+26}{5}=10.4$ $x^2+y^2+26=52$ $∴ x^2+y^2=26$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $9$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. $\\\\$ $8~~6~~4~~a~~6~~5~~9~~11~~9~~3$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $6$과 $9$가 두 번씩 나타나고 최빈값이 $9$이므로 $a=9$ $(평균)$$=\\frac{8+6+4+9+6+5+9+11+9+3}{10}$$=\\frac{70}{10}$$=7$ $∴$ $b=7$ $∴$ $a-b$$=9-7$$=2$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $10$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $b-a$의 값을 구하여라. $10$ $a$ $9$ $14$ $9$ $10$ $14$ $12$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $9$, $10$, $14$가 두 번씩 나타나고 최빈값이 $10$이므로 $a=10$ $(평균)=\\frac{10+10+9+14+9+10+14+12}{8}$$=\\frac{88}{8}$$=11$ $∴ b=11$ $∴ b-a$$=11-10$$=1$" }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 사회 성적의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 사회 성적의 평균이 $74$ 점일 때, E의 사회 성적을 구하여라.
학생 A B C D E
편차(점) $x$ $x+15$ $x-10$ $x+8$ $x+7$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $x+(x+15)+(x-10)+(x+8)+(x+7)=0$ $5x+20=0$ $∴ x=-4$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(E의 사회 성적)$$=$ $74+(x+7)=74+3=77$ (점)" }, { "question": "다음 자료의 평균이 $11$이고 분산이 $10$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $9$ $x$ $15$ $12$ $y$", "answer": "$(평균)=$$\\frac{9+x+15+12+y}{5}$$=$$11$ $x+y+36=55$ $∴ x+y=19 ······ ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $9$ $x$ $15$ $12$ $y$
편차 $-2$ $x-11$ $4$ $1$ $y-11$
$(분산)=\\frac{(-2)^2+(x-11)^@+4^2+1^2+(y-11)^2}{5}$$=\\frac{x^2-22x+y^2-22y+263}{5}$ 이때 분산이 $10$이므로 $\\frac{x^2-22x+y^2-22y+263}{5}=10$ $∴ x^2+y^2-22(x+y)+263=50$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^2+y^2=22(x+y)-263+50$ $=22\\times19-263+50$ $=$$205$" }, { "question": "다음은 민수네 반의 여학생과 남학생의 사회 성적의 평균과 표준편차, 학생 수를 나타낸 표이다. 민수네 반 전체 학생의 사회 성적의 분산을 구하여라.
여학생 남학생
$~~~$평균(점) $~~75$ $~~65$
평균편차(점) $~~~4$ $~~~6$
학생 수(명) $~~20$ $~~20$
", "answer": "여학생과 남학생의 평균이 같고 분산이 각각 $4^2=16$, $6^2=36$이므로 여학생의 $(편차)^2의 총합$은 $16\\times20=320$ 남학생의 $(편차)^2의 총합$은 $36\\times20=720$ $∴$$(반 전체 학생의 분산)$$=\\frac{\\lbrace반 전체 학생의(편차)^2의 총합\\rbrace}{(전체 학생 수)}$ $=$$\\frac{320+720}{20+20}$ $=$$\\frac{1040}{40}$$=$$26$" }, { "question": "다음 자료의 평균이 $6$이고 분산이 $2$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $4$ $x$ $y$ $6$ $7$", "answer": "$(평균)=$$\\frac{4+x+y+6+7}{5}$$=$$6$ $x+y+17=30$ ∴ $x+y=13$ ······ ㉠ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $4$ $x$ $y$ $6$ $7$
편차 $-2$ $x-6$ $y-6$ $0$ $1$
$(분산)=\\frac{(-2)^2+(x-6)^2+(y-6)^2+0^2+1^2}{5}$ $=$$\\frac{x^2-12x+y^2-12y+77}{5}$ 이때 분산이 $2$이므로 $\\frac{x^2-12x+y^2-12y+77}{5}=2$ ∴ $x^2+y^2-12(x+y)+77=10$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^2+y^2=12(x+y)-77+10$ $=12\\times13-77+10$ $=$$89$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $13$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. $13$ $7$ $8$ $13$ $a$ $10$ $9$ $16$ $10$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $10$과 $13$이 두 번씩 나타나고 최빈값이 $13$이므로 $a=13$ (평균)$=\\frac{13+7+8+13+13+10+9+16+10}{9}$$=\\frac{99}{9}$$=11$ $∴ $$b=11$ $∴ $$a-b$$=13-11$$=2$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E 학생 $5$ 명의 팔 굽혀 펴기 횟수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $2\\sqrt{2}$ 회일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
편차(회) $-1$ $x$ $2$ $y$ $1$
", "answer": "$(분산)=\\frac{(-1)^2+x^2+2^2+y^2+1^2}{5}=\\frac{x^2+y^2+6}{5}$ 이때 분산은 $(2\\sqrt{2})^2=8$이므로 $\\frac{x^2+y^2+6}{5}=8$ $x^2+y^2+6=40$ $∴$ $x^2+y^2=34$" }, { "question": "다음은 $2$ 반 학생 $5$ 명이 기말고사에서 받은 영어 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $\\sqrt{6}$ 점일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차 (점) $4$ $-2$ $x$ $-3$ $y$
", "answer": "$(분산)=\\frac{4^2+(-2)^2+x^2+(-3)^2+y^2}{5}=\\frac{x^2+y^2+29}{5}$ 이때 분산은 $(\\sqrt{6})^2=6$이므로 $\\frac{x^2+y^2+29}{5}=6$ $x^2+y^2+29=30$ $∴$ $x^2+y^2=1$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $55$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. $50$ $55$ $43$ $50$ $a$ $56$ $55$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $50$과 $55$가 두 번씩 나타나고 최빈값이 $55$이므로 $a=55$ $(평균)=\\frac{50+55+43+50+55+56+55}{7}$$=\\frac{364}{7}$$=52$ $∴ b=52$ $∴ a-b$$=55-52$$=3$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D $4$ 명의 학생이 한 달 동안 사용한 데이터 사용량의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $\\sqrt{3} GB$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.", "answer": "$(분산)=\\frac{3^2+x^2+y^2+(-1)^2}{4}=\\frac{x^2+y^2+10}{4}$ 이때 분산은 $(\\sqrt{3})^2=3$이므로 $\\frac{x^2+y^2+10}{4}=3$ $x^2+y^2+10=12$ ∴ $x^2+y^2=2$" }, { "question": "세 수 $a+6$, $2$, $7+2a$의 분산이 $38$일 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$(평균)=\\frac{(a+6)+2+(7+2a)}{3}=\\frac{3a+15}{3}=a+5$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $a+6$ $2$ $7+2a$
편차 $1$ $-a-3$ $a+2$
$(분산)=\\frac{1^2+(-a-3)^2+(a+2)^2}{3}=\\frac{2a^2+10a+14}{3}$ 이때 분산이 $38$이므로 $\\frac{2a^2+10a+14}{3}=38$ $a^2+5a-50=0$ $(a-5)(a+10)=0$ $\\therefore a=5$ 또는 $a=-10$ $a>0$이므로 $a=5$" }, { "question": "다음은 어느 독서 동아리 회원 $4$ 명이 $1$ 년 동안 읽은 책의 수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 이 자료의 표준편차가 $\\sqrt{21}$ 권일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라.
회원 A B C D
편차(권) $-1$ $x$ $y$ $5$
", "answer": "$(분산)=\\frac{(-1)^2+x^2+y^2+5^2}{4}=\\frac{x^2+y^2+26}{4}$ 이때 분산은 $(\\sqrt{21})^2=21$이므로 $\\frac{x^2+y^2+26}{4}=21$ $x^2+y^2+26=84$ $∴ x^2+y^2=58$" }, { "question": "다음 자료의 평균은 $5$, 분산은 $3.2$이다. $x>y$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. $x$ $4$ $6$ $7$ $y$", "answer": "평균이 $5$이므로 $\\frac{x+4+6+7+y}{5}=5$ ∴ $x+y=8$ $······$ ㉠ 각 변량의 편차를 구하면 아래 표와 같다.
변량 $x$ $4$ $6$ $7$ $y$
편차 $x-5$ $-1$ $1$ $2$ $y-5$
이때 분산이 $3.2$이므로 $\\frac{(x-5)^2+(-1)^2+1^2+2^2+(y-5)^2}{5}=3.2$ $∴$ $(x-5)^2+(y-5)^2=10$ $······$ ㉡ ㉠에서 $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내면 $y=8-x$ $······$ ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 $x^2-8x+12=0$ $(x-2)(x-6)=0$ $∴$ $x=2$ 또는 $x=6$ 이때 $x>y$이므로 $x=6$$,$ $y=2$" }, { "question": "$5$ 개의 자료 $10$, $a$, $17$, $7$, $15$의 중앙값이 $12$일 때, $6$ 개의 자료 $15, $$a, $$16, $$10, $$9, $$18$의 중앙값을 구하여라.", "answer": "자료가 $5$ 개이면 작은 값부터 크기순으로 $3$ 번째 값이 중앙값이므로 $a=12$ $6$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $9$, $10$, $12$, $15$, $16$, $18$ 이므로 중앙값은 $\\frac{12+15}{2}=13.5$" }, { "question": "다음 자료의 평균이 $6$이고 분산이 $4.4$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $\\\\$ $4$ $10$ $x$ $y$ $5$", "answer": "$(평균 )=\\frac{4+10+x+y+5}{5}=6$ $x+y+19=30$ $\\therefore x+y=11 \\cdots \\cdots ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $4$ $10$ $x$ $y$ $5$
편차 $-2$ $4$ $x-6$ $y-6$ $-1$
$(분산) = \\frac{(-2)^2 + 4^2 + (x-6)^2 + (y-6)^2 + (-1)^2}{5}$ $=$$\\frac{x^2-12x+y^2-12y+93}{5}$ 이때 분산이 $4.4$이므로 $\\frac{x^2-12x+y^2-12y+93}{5}=4.4$ $∴ x^2+y^2-12(x+y)+93=22$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^{2}+y^{2} =12(x+y)-93+22 $ $=12 \\times 11-93+22$ $=61$" }, { "question": "다음은 형준이의 $5$ 일 동안의 라디오 청취 시간의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 라디오 청취 시간의 표준편차를 구하여라.
요일 월 화 수 목 금
편차(시간) $-4$ $x$ $-3$ $0$ $-1$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-4+x+(-3)+0+(-1)=0$ $∴ x=8$ $(분산)$$=\\frac{(-4)^2+8^2+(-3)^2+0^2+(-1)^2}{5}$$=\\frac{90}{5}$$=18$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ (시간)" }, { "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $8$이고 표준편차가 $2$일 때, 변량 $a+1, $$b+1, $$c+1, $$d+1$의 평균은 $p$, 분산은 $q$이다. 이때 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $8$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=8$ $∴$ $a+b+c+d=32$ $a+1$, $b+1$, $c+1$, $d+1$의 평균은 $\\frac{(a+1)+(b+1)+(c+1)+(d+1)}{4}=\\frac{a+b+c+d+4}{4}=\\frac{32+4}{4}$ $=$$9$ $∴$ $p$$=9$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $2^2=4$이므로 $\\frac{(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2}{4}=4$ $(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2=16$ $a+1$, $b+1$, $c+1$, $d+1$의 평균이 $9$이므로 (분산)$=\\frac{(a+1-9)^2+(b+1-9)^2+(c+1-9)^2+(d+1-9)^2}{4}$ $=\\frac{(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2}{4}$ $=\\frac{16}{4}$ $=$$4$ $∴$ $q$$=4$ $∴$ $p+q$$=9+4$$=13$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E $5$ 명의 학생이 $7$ 월 한 달 동안 읽은 책의 권수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 학생 $5$ 명의 읽은 책의 권수의 표준편차를 구하여라.
학생 A B C D E
편차 (권) $-4$ $2$ $5$ $-1$ $x$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-4+2+5+(-1)+x=0$ $∴$ $x=-2$ (분산)$=\\frac{(-4)^2+2^2+5^2+(-1)^2+(-2)^2}{5}$$=\\frac{50}{5}$$=10$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{10}$ (권)" }, { "question": "세 수 $2$, $a-2$, $2a+3$의 분산이 $18$일 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$(평균)=\\frac{2+(a-2)+(2a+3)}{3}=\\frac{3a+3}{3}=a+1$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $2$ $a-2$ $2a+3$
편차 $-a+1$ $-3$ $a+2$
$(분산)=\\frac{(-a+1)^2+(-3)^2+(a+2)^2}{3}=\\frac{2a^2+2a+14}{3}$ 이때 분산이 $18$이므로 $\\frac{2a^2+2a+14}{3}=18$ $a^2+a-20=0$ $(a-4)(a+5)=0$ $∴ a=4$ 또는 $a=-5$ $a>0$이므로 $a$$=4$" }, { "question": "다음은 어느 학급의 남학생과 여학생의 영어 성적의 평균과 표준편차, 학생 수를 나타낸 표이다. 이 학급 전체 학생의 영어 성적의 분산을 구하여라.
남학생 여학생
평균 (점) $70$ $70$
표준편차 (점) $7$ $3$
학생수 (명) $15$ $15$
", "answer": "남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 $7^2=49$, $3^2=9$이므로 남학생의 $(편차)^2$의 총합은 $49\\times15=735$ 여학생의 $(편차)^2$의 총합은 $9\\times15=135$ $∴(학급 전체 학생의 분산)$$=$ $\\frac{학급 전체 학생의 (편차)^2의 총합}{전체 학생 수}$ $=$$\\frac{735+135}{15+15}$ $=$$\\frac{870}{30}$$=$$29$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $30$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $b-a$의 값을 구하여라. $20$ $30$ $30$ $40$ $50$ $a$ $20$ $60$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $20$과 $30$이 두 번씩 나타나고 최빈값이 $30$이므로 $a=30$ $(평균)=\\frac{20+30+30+40+50+30+20+60}{8}=\\frac{280}{8}=35$ $∴ b=35$ $∴ b-a=35-30=5$" }, { "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $7$이고 표준편차가 $5$일 때, 변량 $a-4$, $b-4$, $c-4$, $d-4$의 평균은 $p$, 분산은 $q$이다. 이때 $p+q$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $7$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=7$ $∴$ $a+b+c+d=28$ $a-4$, $b-4$, $c-4$, $d-4$의 평균은 $=$$\\frac{(a-4)+(b-4)+(c-4)+(d-4)}{4}$$=\\frac{a+b+c+d-16}{4}$ $=$$\\frac{28-16}{4}$ $=$$3$ $∴$ $p$$=3$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $5^2=25$이므로 $\\frac{(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2}{4}=25$ $(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2=100$ $a-4$, $b-4$, $c-4$, $d-4$의 평균이 $3$이므로 $(분산)$$=\\frac{(a-4-3)^2+(b-4-3)^2+(c-4-3)^2+(d-4-3)^2}{4}$ $=$$\\frac{(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2}{4}$ $=$$\\frac{100}{4}$ $=$$25$ $∴$ $q$$=25$ $∴$ $p+q$$=3+25$$=28$" }, { "question": "다음 자료의 평균이 $3$이고 분산이 $2$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $2$ $4$ $x$ $0$ $y$", "answer": "$(평균)=\\frac{2+4+x+0+y}{5}=3$ $x+y+6=15$ $∴ x+y=9 ······ ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $2$ $4$ $x$ $0$ $y$
편차 $-1$ $1$ $x-3$ $-3$ $y-3$
$(분산)=\\frac{(-1)^2+1^2+(x-3)^2+(-3)^2+(y-3)^2}{5} = \\frac{x^2-6x+y^2-6y+29}{5}$ $=$$\\frac{x^2-6x+y^2-6y+29}{5}$ 이때 분산이 $2$이므로 $\\frac{x^2-6x+y^2-6y+29}{5}=2$ $∴ x^2+y^2-6(x+y)+29=10$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^2+y^2=6(x+y)-29+10=6 \\times 9 -29 +10=35$" }, { "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $20$이고 표준편차가 $4$일 때, 변량 $a+4, $$b+4, $$c+4, $$d+4$의 평균은 $m$, 분산은 $n$이다. 이때 $m-n$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $20$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=20$ $∴ a+b+c+d=80$ $a+4$, $b+4$, $c+4$, $d+4$의 평균은 $=$$\\frac{(a+4)+(b+4)+(c+4)+(d+4)}{4}$$=\\frac{a+b+c+d+16}{4}$ $=$$\\frac{80+16}{4}$ $=$$24$ $∴ m$$=24$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $4^2=16$이므로 $\\frac{(a-20)^2+(b-20)^2+(c-20)^2+(d-20)^2}{4}=16$ $(a-20)^2+(b-20)^2+(c-20)^2+(d-20)^2=64$ $a+4$, $b+4$, $c+4$, $d+4$의 평균이 $24$이므로 (분산)$=$$\\frac{(a+4-24)^2+(b+4-24)^2+(c+4-24)^2+(d+4-24)^2}{4}$ $=$$\\frac{(a-20)^2+(b-20)^2+(c-20)^2+(d-20)^2}{4}$ $=$$\\frac{64}{4}$ $=$$16$ $∴ n$$=16$ $∴ m-n$$=24-16$$=8$" }, { "question": "다음은 $A, B, C, D, E$ $5$ 명의 수학 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 수학 점수의 평균이 $72$ 점일 때, 두 학생 $C$와 $D$의 점수의 평균을 구하여라.
$~~$학생 $~~~A$ $~~~B$ $~~~C$ $~~~D$ $~~~E$
편차(점) $a-3$ $a+9$ $a+1$ $a-7$ $a-5$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(a-3)+(a+9)+(a+1)+(a-7)+(a-5)=0$ $5a-5=0$ $∴$ $a=1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(C의 점수)$$=$$72+(a+1)=72+2=74$ (점) $(D의 점수)$$=$$72+(a-7)=72+(-6)=66$ (점) 따라서$ C$와 $D$의 점수의 평균은 $\\frac{74+66}{2}=\\frac{140}{2}=70$ (점)" }, { "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$,$E$ $5명$의 수학 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 수학 점수의 평균이 $72점$일 때, 두 학생 A와 D의 점수의 평균을 구하여라.", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $a+(a+3)+(a+1)+(a-9)+(a-5)=0$ $5a-10=0$ $∴ a=2$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(A의 점수)=$$72+a=72+2=74$ (점) $(D의 점수)=$$72+(a-9)=72+(-7)=65$ (점) 따라서 $A$와 $D$의 점수의 평균은 $\\frac{74+65}{2}=\\frac{139}{2}=69.5$ (점)" }, { "question": "다음은 민혁이네 반 학생 $10$ 명의 집에서 학교까지 등교하는 데 걸리는 시간을 조사하여 나타낸 것이다. 이 자료의 최빈값은 한 개이고, 최빈값과 평균이 같을 때, $x$의 값을 구하여라. 등교하는 데 걸리는 시간 (단위:분) $5 12 8 7 10\\\\10 13 x 12 13$", "answer": "최빈값은 $10 분, 12 분, 13 분$ 중 하나이고, $x$의 값에 따라 최빈값이 결정되므로 최빈값은 $x$ 분이다. 이때 최빈값과 평균이 같으므로 $\\frac{5+12+8+7+10+10+13+x+12+13}{10}=x$ $ { }$ $x+90=10x$ $ { }$ $-9x=-90$ $∴ x=10$" }, { "question": "세 수 $9$, $a+3$, $2a+3$의 분산이 $8$일 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", "answer": "$(평균)=\\frac{9+(a+3)+(2a+3)}{3}=\\frac{3a+15}{3}=a+5$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $9$ $a+3$ $2a+3$
편차 $-a+4$ $-2$ $a-2$
$(분산)=\\frac{(-a+4)^2+(-2)^2+(a-2)^2}{3}=\\frac{2a^2-12a+24}{3}$ 이때 분산이 $8$이므로 $\\frac{2a^2-12a+24}{3}=8$ $a^2-6a=0$ $a(a-6)=0$ $∴ a=0$ 또는 $a=6$ $a>0$이므로 $a$$=6$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E $5$ 명의 하루 데이터 사용량의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 데이터 사용량의 평균이 $300MB$일 때, 두 학생 C와 E의 사용량의 평균을 구하여라.", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $2+(-4)+x+(-2)+(1-2x)=0$ $-x-3=0$ $∴$ $x=-3$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(C의 사용량)$$=$$300+x=300+(-3)=297$ $(MB)$ $(E의 사용량)$$=$$300+(1-2x)=300+7=307$$ (MB)$ 따라서 C와 E의 사용량의 평균은 $\\frac{297+307}{2}=\\frac{604}{2}=302$ $(MB)$" }, { "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $12$이고 표준편차가 $9$일 때, 변량 $a+5, $$b+5, $$c+5, $$d+5$의 평균은 $m$, 분산은 $n$이다. 이때 $n-m$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $12$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=12$ $∴$ $a+b+c+d=48$ $a+5$, $b+5$, $c+5$, $d+5$의 평균은 $\\frac{(a+5)+(b+5)+(c+5)+(d+5)}{4}=\\frac{a+b+c+d+20}{4} =\\frac{48+20}{4} =17$ $∴$ $m$$=17$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $9^2=81$이므로 $\\frac{(a-12)^2+(b-12)^2+(c-12)^2+(d-12)^2}{4}=81$ $(a-12)^2+(b-12)^2+(c-12)^2+(d-12)^2=324$ $a+5$, $b+5$, $c+5$, $d+5$의 평균이 $17$이므로 $(분산)=\\frac{(a+5-17)^2+(b+5-17)^2+(c+5-17)^2+(d+5-17)^2}{4} =\\frac{(a-12)^2+(b-12)^2+(c-12)^2+(d-12)^2}{4} =\\frac{324}{4} =81$ $∴$ $n$$=81$ $∴$ $n-m$$=81-17$$=64$" }, { "question": "$7$ 개의 자료 $14$, $25$, $20$, $30$, $a$, $17$, $17$의 중앙값이 $19$일 때, $8$ 개의 자료 $25$, $16$, $a$, $17$, $16$, $25$, $11$, $20$의 중앙값을 구하여라.", "answer": "자료가 $7$ 개이면 작은 값부터 크기순으로 $4$ 번째 값이 중앙값이므로 $a=19$ $8$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $11$, $16$, $16$, $17$, $19$, $20$, $25$, $25$ 이므로 중앙값은 $\\frac{17+19}{2}=18$" }, { "question": "다음 자료의 평균이 $4$이고 분산이 $6$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $1$ $x$ $2$ $y$ $5$", "answer": "$(평균)=$$\\frac{1+x+2+y+5}{5}$$=$$4$ $x+y+8=20$ $∴ x+y=12 ······ ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면
변량 $1$ $x$ $2$ $y$ $5$
편차 $-3$ $x-4$ $-2$ $y-4$ $1$
$(분산)=\\frac{(-3)^2+(x-4)^2+(-2)^2+(y-4)^2+1^2}{5}$ $=$$\\frac{x^2-8x+y^2-8y+46}{5}$ 이때 분산이 $6$이므로 $\\frac{x^2-8x+y^2-8y+46}{5}=6$ $∴ x^2+y^2-8(x+y)+46=30$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^2+y^2=8(x+y)-46+30$ $=8\\times12-46+30$ $=$$80$" }, { "question": "다음은 $8$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값이 $12$일 때, 다음 물음에 답하여라. $7$ $9$ $10$ $11$ $x$ $14$ $15$ $17$ (1) $x$의 값을 구하여라. (2) 이 자료의 평균을 구하여라.", "answer": "(1)자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. $\\frac{11+x}{2}=12$ $11+x=24$ $∴ x=13$ (2)$(평균)$$=\\frac{7+9+10+11+13+14+15+17}{8}$$=\\frac{96}{8}$$=12$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $22$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $b-a$의 값을 구하여라. $27$ $a$ $22$ $25$ $22$ $31$ $25$ $26$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $22$와 $25$가 두 번씩 나타나고 최빈값이 $22$이므로 $a=22$ $(평균)$$=\\frac{27+22+22+25+22+31+25+26}{8}$$=\\frac{200}{8}$$=25$ $∴ b=25$ $∴ b-a$$=25-22$$=3$" }, { "question": "다음은 소연이네 반의 여학생과 남학생의 영어 성적의 평균과 표준편차, 학생 수를 나타낸 표이다. 소연이네 반 전체 학생의 영어 성적의 분산을 구하여라.
여학생 남학생
평균 (점) $82$ $82$
표준편차 (점) $\\sqrt5$ $3$
학생 수 (명) $15$ $15$
", "answer": "여학생과 남학생의 평균이 같고 분산이 각각 $(\\sqrt{5})^2=5$, $3^2=9$이므로 여학생의 $(편차)^2$의 총합은 $5\\times15=75$ 남학생의 $(편차)^2$의 총합은 $9\\times15=135$ $∴ (반 전체 학생의 분산) = \\frac{\\lbrace반 전체 학생의 (편차)^2의 총합\\rbrace}{(전체 학생 수)}$ $=$$\\frac{75-135}{15+15}$ $=$$\\frac{210}{30}$$=$$7$" }, { "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ $5$ 명의 체육 실기 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 체육 실기 점수의 평균이 $72$ 점일 때, 두 학생 $C$와 $E$의 점수의 평균을 구하여라.", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(a-3)+(a+9)+(a+1)+(a-7)+(a-5)=0$ $5a-5=0$ $∴$ $a=1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(C의 점수)$$=$$72+(a+1)=72+2=74$ (점) $(E의 점수)$$=$$72+(a-5)=72+(-4)=68$ (점) 따라서 $C$와 $E$의 점수의 평균은 $\\frac{74+68}{2}=\\frac{142}{2}=71$ (점)" }, { "question": "다음은 어느 문구점에서 $5$ 일 동안 판매한 줄넘기의 개수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 판매한 줄넘기 개수의 표준편차를 구하여라.
요일 월 화 수 목 금
편차 (개) $-2$ $-1$ $2$ $0$ $x$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-2+(-1)+2+0+x=0$ $∴ x=1$ $(분산)=\\frac{(-2)^2+(-1)^2+2^2+0^2+1^2}{5}$$=\\frac{10}{5}$$=2$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{2}$ (개)" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $8$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. $5$ $5$ $7$ $a$ $10$ $8$ $5$ $8$ $9$ $8$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $5$와 $8$이 세 번씩 나타나고 최빈값이 $8$이므로 $a=8$ $(평균)=\\frac{5+5+7+8+10+8+5+8+9+8}{10}$$=\\frac{73}{10}$$=7.3$ $∴ b=7.3$ $∴ a-b$$=8-7.3$$=0.7$" }, { "question": "다음 자료의 최빈값이 $4$뿐이다. 이 자료의 평균을 $b$라 할 때, $b-a$의 값을 구하여라. $9$ $4$ $2$ $a$ $9$ $10$ $4$ $6$ $6$", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $4$, $6$, $9$가 두 번씩 나타나고 최빈값이 $4$이므로 $a=4$ $\\\\$ $(평균)=\\frac{9+4+2+4+9+10+4+6+6}{9}$$=\\frac{54}{9}$$=6$ $\\\\$ $∴$ $b=6$ $\\\\$ $∴$ $b-a$$=6-4=2$" }, { "question": "다음은 어느 버스 정류장을 지나가는 $5$ 개의 버스 노선의 배차 간격의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 배차 간격의 평균이 $12$ 분일 때, 두 노선 B와 E의 배차 간격의 평균을 구하여라.
노선 A B C D E
편차 (분) $-1$ $a+3$ $a+1$ $6$ $a-3$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-1+(a+3)+(a+1)+6+(a-3)=0$ $3a+6=0$ $∴ a=-2$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(B의 배차 간격)$$=$$12+(a+3)=12+1=13$ (분) $(E의 배차 간격)$$=$$12+(a-3)=12+(-5)=7$ (분) 따라서 B와 E의 배차 간격의 평균은 $\\frac{13+7}{2}=\\frac{20}{2}=10$ (분)" }, { "question": "다음은 채영이네 반 학생 $17$ 명이 올해 $1$ 학기와 $2$ 학기에 지각을 한 횟수를 조사하여 나타낸 산점도이다. $1$ 학기에 지각 횟수가 $4$ 회 미만인 학생들이 $2$ 학기에 지각한 횟수의 평균을 구하여라.", "answer": "$1$ 학기에 지각 횟수가 $4$ 회 미만인 학생들은 색칠한 부분(경계선 제외)에 속하므로 그 학생들이 $2$ 학기에 지각한 횟수는 $2$ 회, $3$ 회, $1$ 회, $4$ 회, $0$ 회이다. $ \\therefore (평균)=\\frac{2+3+1+4+0}{5}$$=\\frac{10}{5}$$=2$ (회)" }, { "question": "다음은 어느 학급의 여학생과 남학생의 $1$ 분 동안 윗몸 말아 올리기 횟수의 평균과 표준편차, 학생 수를 나타낸 표이다. 이 학급 전체 학생의 $1$ 분 동안 윗몸 말아 올리기 횟수의 분산을 구하여라.
여학생 남학생
평균 (회) $~~25$ $~~25$
표준편차 (회) $~~~8$ $~~~2$
학생 수 (명) $~~20$ $~~20$
", "answer": "여학생과 남학생의 평균이 같고 분산이 각각 $8^2=64$, $2^2=4$이므로 여학생의 $(편차)^2의 총합$은 $64\\times20=1280$ 남학생의 $(편차)^2$의 총합은 $4\\times20=80$ $=$$\\frac{1360}{40}$$=$$34$ $∴$ $(학급 전체 학생의 분산)=\\frac{\\lbrace학급 전체 학생의(편차)^2의 총합\\rbrace}{(전체 학생 수)}$ $=$ $\\frac{1280+80}{20+20}$ $=$ $\\frac{1360}{40}=34$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E $5$ 명의 키의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 학생 $5$ 명의 키의 표준편차를 구하여라.
학생
 A B C D E
편차 ($cm$) $-4$ $6$ $x$ $-9$ $11$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-4+6+x+(-9)+11=0$ $∴ x=-4$ $(분산)=\\frac{(-4)^2+6^2+(-4)^2+(-9)^2+11^2}{5}=\\frac{270}{5}=54$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{54}=3\\sqrt{6} (cm)$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E $5$ 명의 학생의 줄넘기 횟수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 줄넘기 횟수의 표준편차를 구하여라.
학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차 (회) $-3$ $-1$ $2$ $0$ $x$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-3+(-1)+2+0+x=0$ $∴ x=2$ $(분산)=\\frac{(-3)^2+(-1)^2+2^2+0^2+2^2}{5}$$=\\frac{18}{5}$$=3.6$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{3.6}$ (회)" }, { "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ $5$ 명의 하루 데이터 사용량의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 데이터 사용량의 평균이 $250$ $MB$일 때, 두 학생 $B$와 $C$의 사용량의 평균을 구하여라.
학생 $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
편차 ($MB$) $-1$ $x+9$ $x+1$ $-7$ $x-5$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-1+(x+9)+(x+1)+(-7)+(x-5)=0$ $3x-3=0$ ∴ $x=1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(B의 사용량)=250+(x+9)=250+10=260$ (MB) $(C의 사용량)=250+(x+1)=250+2=252$ (MB) 따라서 $B$와 $C$의 사용량의 평균은 $\\frac{260+252}{2}=\\frac{512}{2}=256$ (MB)" }, { "question": "다음은 선혜네 반 학생 $12$ 명이 지난달과 이번 달에 봉사 활동을 한 시간을 조사하여 나타낸 산점도이다. 지난달에 봉사 활동을 한 시간이 $3$ 시간 이상인 학생들이 이번 달에 봉사 활동을 한 시간의 평균을 구하여라.", "answer": "지난달에 봉사 활동을 한 시간이 $3$ 시간 이상인 학생들은 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 학생들이 이번 달에 봉사 활동을 한 시간은 $3$ 시간, $4$ 시간, $4$ 시간, $5$ 시간이다. $∴ (평균)$$=\\frac{3+4+4+5}{4}$$=\\frac{16}{4}$$=4$ (시간)" }, { "question": "다음은 성주의 $6$ 회 동안의 수학 점수를 조사하여 나타낸 막대그래프이다. 수학 점수의 표준편차를 구하여라.", "answer": "$(평균)$$=\\frac{76+82+72+69+81+76}{6}$$=\\frac{456}{6}$$=76$ (점) 각 변량의 편차를 구하면
회 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
편차 (점) $0$ $6$ $-4$ $-7$ $5$ $0$
$(분산)$$=\\frac{0^2+6^2+(-4)^2+(-7)^2+5^2+0^2}{6}$$=\\frac{126}{6}$$=21$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{21}$ (점)" }, { "question": "다음은 효은이네 반의 남학생과 여학생의 국어 수행 평가 점수의 평균과 표준편차, 학생 수를 나타낸 표이다. 효은이네 반 전체 학생의 국어 수행 평가 점수의 분산을 구하여라.
남학생 여학생
평균 (점) $17$$17$
표준편차 (점) $4$ $8$
학생 수 (명) $10$$10$
", "answer": "남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 $4^2=16$, $8^2=64$이므로 남학생의 $(편차)^2$의 총합은 $16\\times10=160$ 여학생의 $(편차)^2$의 총합은 $64\\times10=640$ $\\therefore$ $(반 전체 학생의 분산)=\\frac{ {반 전체 학생의 (편차)^2의 종합} }{(전체 학생 수)}$$=$$\\frac{160+640}{10+10}$ $=\\frac{800}{20}=40$" }, { "question": "다음 자료의 평균은 $7$, 분산은 $5.2$이다. $x 변량 $4$ $5$ $x$ $10$ $y$ 변량 $-3$ $-2$ $x-7$ $3$ $y-7$ 이때 분산이 $5.2$이므로 $\\frac{(-3)^2+(-2)^2+(x-7)^2+3^2+(y-7)^2}{5}=5.2$ $∴ (x-7)^2+(y-7)^2=4 ······ ㉡$ $㉠$에서 $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내면 $y=16-x ······ ㉢$ $㉢$을 $㉡$에 대입하여 정리하면 $x^2-16x+63=0$ $(x-7)(x-9)=0$ $∴ x=7$ 또는 $x=9$ 이때 $x 경기 (회) $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ 편차 (점) $-1$ $-2$ $-2$ $-1$ $3$ $3$ $\\\\$ $(분산)$$=\\frac{(-1)^2+(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2+3^2+3^2}{6}$$=\\frac{28}{6}$$=\\frac{14}{3}$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{\\frac{14}{3}}=\\frac{\\sqrt{42}}{3}$ (점)" }, { "question": "다음은 어느 야구 팀 선수 $5$ 명의 나이에 대한 설명이다. 이때 선수 $5$ 명의 나이의 중앙값을 구하여라. $\\\\$• 나이가 가장 적은 선수는 $20$ 세이다. $\\\\$• 선수 중에서 한 사람의 나이는 $25$ 세이다. $\\\\$• 나이의 최빈값은 $23$ 세이다. $\\\\$• 선수 $5$ 명의 평균 나이는 $24.2$ 세이다.", "answer": "최빈값이 $23$ 세이므로 $5$ 명의 나이를 $20$ 세, $23$ 세, $23$ 세, $25$ 세, $x$ 세라 하면 평균이 $24.2$ 세이므로 $\\frac{20+23+23+25+x}{5}=24.2$ $x+91=121$ $∴$ $x=30$ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $20$, $23$, $23$, $25$, $30$ 이므로 중앙값은 $23$ 세이다." }, { "question": "다음은 혜미네 동아리 학생 $8$ 명이 작년과 올해 헌혈을 한 횟수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 작년에 헌혈을 $4$ 회 이하 한 학생들이 올해 헌혈을 한 횟수의 평균을 구하여라.", "answer": "작년에 헌혈을 $4$ 회 이하 한 학생들은 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 학생들이 올해 헌혈을 한 횟수는 $3$ 회, $4$ 회, $2$ 회이다. $∴ (평균)=\\frac{3+4+2}{3}$$=\\frac{9}{3}$$=3$ (회)" }, { "question": "다음은 지수네 학교 $3$ 학년 $6$ 개 반의 영화 동아리의 회원 수를 조사하여 나타낸 막대그래프이다. 회원 수의 표준편차를 구하여라.", "answer": "$(평균)=\\frac{3+4+6+1+7+3}{6}$$=\\frac{24}{6}$$=4$ (명) 각 변량의 편차를 구하면
반 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
편차(명) -$1$ $0$ $2$ $-3$ $3$ $-1$
$(분산)=\\frac{(-1)^2+0^2+2^2+(-3)^2+3^2+(-1)^2}{6}$$=\\frac{24}{6}$$=4$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{4}=2$ (명)" }, { "question": "다음은 어느 동호회 회원 $5$ 명의 나이에 대한 설명이다. 이때 회원 $5$ 명의 나이의 중앙값을 구하여라. • 회원 $5$ 명의 평균 나이는 $16.2$ 세이다. • 나이의 최빈값은 $15$ 세이다. • 회원 중에서 한 사람의 나이는 $17$ 세이다. • 나이가 가장 많은 회원은 $20$ 세이다.", "answer": "최빈값이 $15$ 세이므로 $5$ 명의 나이를 $15$ 세, $15$ 세, $17$ 세, $20$ 세, $x$ 세라 하면 평균이 $16.2$ 세이므로 $\\frac{15+15+17+20+x}{5}=16.2$ $x+67=81$ $ \\therefore x=14$ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $14$, $15$, $15$, $17$, $20$ 이므로 중앙값은 $15$ 세이다." }, { "question": "다음은 어느 회사 직원 $5$ 명의 나이에 대한 설명이다. 이때 직원 $5$ 명의 나이의 중앙값을 구하여라. 나이의 최빈값은 $32$ 세이다. 나이가 가장 적은 직원은 $24$ 세이다. 직원 중에서 한 사람의 나이는 $28$ 세이다. 직원 $5$ 명의 평균 나이는 $29.4$ 세이다.", "answer": "최빈값이 $32$ 세이므로 $5$ 명의 나이를 $24$ 세, $28$ 세, $32$ 세, $32$ 세, $x$ 세라 하면 평균이 $29.4$ 세이므로 $\\frac{24+28+32+32+x}{5}=29.4$ $x+116=147$ $∴ x=31$ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $24$, $28$, $31$, $32$, $32$ 이므로 중앙값은 $31$ 세이다." }, { "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ $5$ 명의 키의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 학생 $5$ 명의 키의 표준편차를 구하여라.", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $5+(-3)+(-7)+x+9=0$ ∴ $x=-4$ $(분산)$$=\\frac{5^2+(-3)^2+(-7)^2+(-4)^2+9^2}{5}$$=\\frac{180}{5}$$=36$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{36}=6$$ (cm)$" }, { "question": "다음은 어느 서점에서 $5$ 일 동안 판매한 책의 권수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 판매한 책의 권수의 표준편차를 구하여라.
요일 월 화 수 목 금
편차 (권) $-8$ $x$ $6$ $0$ $-2$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-8+x+6+0+(-2)=0$ $∴$ $x=4$ (분산)$=\\frac{(-8)^2+4^2+6^2+0^2+(-2)^2}{5}$$=\\frac{120}{5}$$=24$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6}$ (권)" }, { "question": "다음은 태인이네 모둠 $5$ 명이 $1$ 년 동안 본 영화 편수를 조사하여 나타낸 표이다. 이때 $a+b-c$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
영화 편수 (편) $10$ $8$ $a$ $7$ $b$
편차 (편) $3$ $1$ $c$ $0$ $-1$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $3+1+c+0+(-1)=0 \\therefore c=-3$ $10$ 편의 편차가 $3$ 편이므로 $10-(평균)=3 \\therefore (평균)=7 (편)$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a=7+(-3)=4 b=7+(-1)=6 \\therefore a+b-c=4+6-(-3)=13$" }, { "question": "다음은 다인이가 $5$ 개월 동안 매달 자신이 읽은 책의 수를 조사하여 나타낸 막대그래프이다. 다인이가 매달 읽은 책 수의 표준편차를 구하여라.", "answer": "$(평균)$$=\\frac{4+7+5+4+5}{5}$$=\\frac{25}{5}$$=5$ (권) 각 변량의 편차를 구하면
월 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
편차(권) $-1$ $2$ $0$ $-1$ $0$
$(분산)=\\frac{(-1)^2+2^2+0^2+(-1)^2+0^2}{5}$$=\\frac{6}{5}$$=1.2$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{1.2}$ (권)" }, { "question": "다음은 지우네 반 학생 $10$ 명이 $1$ 년 동안 문화 예술 공연을 관람한 횟수를 조사하여 나타낸 것이다. 이 자료의 최빈값은 한 개이고, 최빈값과 평균이 같을 때, $x$의 값을 구하여라. 공연 관람 횟수 (단위: 회) $1$ $0$ $0$ $2$ $2$ $3$ $4$ $x$ $5$ $1$", "answer": "최빈값은 $0 회, 1 회, 2 회$ 중 하나이고, $x$의 값에 따라 최빈값이 결정되므로 최빈값은 $x$ 회이다. 이때 최빈값과 평균이 같으므로 $\\frac{1+0+0+2+2+3+4+x+5+1}{10}=x$ $x+18=10x$ $-9x=-18$ ∴ $x=2$" }, { "question": "다음은 A, B, C, D, E $5$ 명의 몸무게의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 학생 $5$ 명의 몸무게의 표준편차를 구하여라.
학생 A B C D E
편차 (kg) x -1 2 0 -4
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $x+(-1)+2+0+(-4)=0$ $∴ $$x=3$ (분산)$=\\frac{3^2+(-1)^2+2^2+0^2+(-4)^2}{5}$$=\\frac{30}{5}$$=6$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{6}$$ (kg)$" }, { "question": "다음은 어느 농구 선수가 $5$ 회의 경기 동안 자신의 득점을 조사하여 나타낸 막대그래프이다. 이 선수의 득점의 표준편차를 구하여라.", "answer": "$(평균)$$=\\frac{15+20+11+16+13}{5}$$=\\frac{75}{5}$$=15$ (점) 각 변량의 편차를 구하면
경기(회) $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
편차(점) $0$ $5$ $-4$ $1$ $-2$
$(분산)$$=\\frac{0^2+5^2+(-4)^2+1^2+(-2)^2}{5}$$=\\frac{46}{5}$$=9.2$ $∴$ $(표준편차)=\\sqrt{9.2}$ (점)" }, { "question": "다음은 어느 야구 팀 선수 $10$ 명의 도루 개수를 조사하여 나타낸 것이다. 이 자료의 최빈값은 한 개이고, 최빈값과 평균이 같을 때, $x$의 값을 구하여라. 도루 개수(단위 : 개) $0$ $1$ $3$ $3$ $x$ $2$ $5$ $7$ $2$ $4$", "answer": "최빈값은 $2$ 개와 $3$ 개 중 하나이고, $x$의 값에 따라 최빈값이 결정되므로 최빈값은 $x$ 개이다. 이때 최빈값과 평균이 같으므로 $\\frac{0+1+3+3+x+2+5+7+2+4}{10}=x$ $x+27=10x$ $-9x=-27$ $∴ x=3$" }, { "question": "다음은 $8$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값이 $7.5$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $x$의 값을 구하여라. (2) 이 자료의 평균을 구하여라.", "answer": "(1) 자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. $\\frac{7+x}{2}=7.5$ $7+x=15$ ∴ $x=8$ (2) $(평균)$$=\\frac{3+4+5+7+8+10+13+14}{8}$$=\\frac{64}{8}$$=8$" }, { "question": "다음은 가연이가 $5$ 개월 동안 매달 자신의 데이터 사용량을 조사하여 나타낸 막대그래프이다. 가연이의 데이터 사용량의 표준편차를 구하여라.", "answer": "$(평균)=\\frac{8+7+9+10+11}{5}$$=\\frac{45}{5}$$=9 (GB)$ 각 변량의 편차를 구하면
월 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
편차($GB$) $-1$ $-2$ $0$ $1$ $2$
$(분산)=\\frac{(-1)^2+(-2)^2+0^2+1^2+2^2}{5}$$=\\frac{10}{5}$$=2$ $∴ (표준편차)=\\sqrt{2} (GB)$" }, { "question": "다음은 $8$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값이 $8.5$일 때, 다음 물음에 답하여라. $5 \\quad 5 \\quad 7 \\quad x \\quad 9 \\quad 12 \\quad 13 \\quad 19$ (1) $x$의 값을 구하여라. (2) 이 자료의 평균을 구하여라.", "answer": "(1)자료가 $8$ 개이므로 중앙값은 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이다. $\\frac{x+9}{2}=8.5$ $x+9=17$ ∴ $x=8$ (2)$(평균)$$=\\frac{5+5+7+8+9+12+13+19}{8}$$=\\frac{78}{8}$$=9.75$" }, { "question": "오른쪽은 수영이네 반 학생 $20$명의 중간고사와 기말고사의 영어 점수에 대한 산점도이다. 중간고사보다 기말고사에서 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점을 $a$점, 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점을 $b$점이라고 할때,$b-a$의 값을 구하여라.", "answer": "중간고사보다 기말고사 점수가 오른 학생은 위 그림에서 파란색 선 위쪽의 점이다. 이 중 점 $A(20, 60)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점은 $20+60=80$ (점) $\\therefore a=80$ 중간고사보다 기말고사 점수가 떨어진 학생은 위 그림에서 파란색 선 아래쪽의 점이다. 이 중 점 $B(80, 40)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점은 $80+40=120$ (점) $\\therefore b=120$ $\\therefore b-a$$=120-80$$=40$" }, { "question": "(2) $a$, $b$, $c$, $8$, $12$의 표준편차를 구하여라. $3$ 개의 수 $a$, $b$, $c$의 평균이 $10$이고 분산이 $14$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$, $c$, $8$, $12$의 평균을 구하여라.", "answer": "$a$$,$ $b$$,$ $c$의 평균이 $10$이므로 $\\frac{a+b+c}{3}=10$ $∴$ $a+b+c=30$ 따라서 $a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $8$$,$ $12$의 평균은 $\\frac{a+b+c+8+12}{5}=\\frac{30+8+12}{5}=\\frac{50}{5}=10$ $a$, $b$, $c$의 분산이 $14$이므로 $\\frac{(a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2}{3}=14$ $\\therefore(a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2=42$ $a$, $b$, $c$, $8$, $12$의 평균이 $10$이므로 $(분산)=\\frac{(a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2+(8-10)^2+(12-10)^2}{5}$ $=\\frac{(a-10)^2+(b-10)^2+(c-10)^2+4+4}{5}$ $=\\frac{42+4+4}{5}=\\frac{50}{5}=10$ 따라서 표준편차는 $\\sqrt{10}$이다." }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 하루 수면 시간을 조사하여 나타낸 표이다. 이때 $a+b+c$의 값을 구하여라.
학생 A B C D E
수면시간(시간) $6$ $a$ $8$ $5$ $b$
편차(시간) $-1$ $c$ $1$ $-2$ $3$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-1+c+1+(-2)+3=0$ $∴$ $c=-1$ $6$ 시간의 편차가 $-1$ 시간이므로 $6-(평균)=-1$ $∴ (평균)=7 (시간)$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a$$=7+(-1)$$=6$ $b$$=7+3$$=10$ $∴$ $a+b+c$$=6+10+(-1)$$=15$" }, { "question": "다음은 진규네 반 학생 $10$ 명의 수학 중간고사 점수와 기말고사 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. 중간고사 점수와 기말고사 점수의 평균이 각각 $74$ 점, $73$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 중간고사 점수와 기말고사 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 (중간고사 점수, 기말고사 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x, y는$ $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 중간고사 점수의 평균이 $74$ 점이므로 $\\frac{60\\times3+70\\times2+80\\times3+100+x}{10}$$=74$ $x+660=740$ $∴ x=80$ 학생 $10$ 명의 기말고사 점수의 평균이 $73$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times3+70+80\\times2+90\\times2+y}{10}$$=73$ $y+640=730$ $∴ y=90$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 중간고사 점수는 $80$ 점, 기말고사 점수는 $90 점$이므로 그 합은 $80+90$$=170 (점)$" }, { "question": "자료 $23$, $27$, $a$, $22$, $25$, $23$, $26$, $25$의 중앙값은 $a+1$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $23$, $25$가 두 번씩 나타나므로 $a$가 $23$, $25$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $23$, $25$이다. (ⅰ) $a=23$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $22$, $23$, $23$, $23$, $25$, $25$, $26$, $27$ 이므로 중앙값은 $\\frac{23+25}{2}=24$ 이때 $a+1$$=24$이므로 중앙값은 $a+1$과 같다. (ⅱ) $a=25$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $22$, $23$, $23$, $25$, $25$, $25$, $26$, $27$ 이므로 중앙값은 $\\frac{25+25}{2}=25$ 이때 $a+1$$=26$이므로 중앙값은 $a+1$과 다르다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=23$" }, { "question": "오른쪽은 도윤이네 반 학생 $25$ 명의 수학 성적과 영어 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 두 과목의 성적의 합이 하위 $8 \\%$ 이내에 드는 학생은 보충 수업을 받아야 한다고 할 때, 보충 수업을 받아야 하는 학생들의 영어 성적의 평균을 구하여라.", "answer": "두 과목의 성적의 합이 하위 $8$ $\\%$ 이내에 드는 학생 수는 $25\\times\\frac{8}{100}=2 $(명) 두 과목의 성적을 순서쌍 (수학, 영어)로 나타낼 때, 성적의 합이 낮은 쪽에서 $2$ 명인 학생들의 성적은 $(20, 40)$, $(20, 50)$이므로 이 학생들의 영어 성적은 각각 $40$ 점, $50$ 점이다. 따라서 구하는 평균은 $\\frac{40+50}{2}$$=\\frac{90}{2}$$=45$ (점)" }, { "question": "다음 자료의 평균은 $6$, 분산은 $4.8$이다. $x 변량 $7$ $x$ $3$ $9$ $y$ 편차 $1$ $x-6$ $-3$ $3$ $y-6$ $y-6$ 이때 분산이 $4.8$이므로 $\\frac{1^2+(x-6)^2+(-3)^2+3^2+(y-6)^2}{5}=4.8$ $∴ $$(x-6)^2+(y-6)^2=5$ ······ ㉡ ㉠에서 $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내면 $y=11-x$ ······ ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 $x^2-11x+28=0$ $(x-4)(x-7)=0$ $∴ $ $x=4$ 또는 $x=7$ 이때 $x 회 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ 편차 (점) $0$ $-1$ $-2$ $5$ $1$ $a$ $4$ ", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $0+(-1)+(-2)+5+1+a+4=0$ $∴$ $a=-7$ $(분산)$$=\\frac{0^2+(-1)^2+(-2)^2+5^2+1^2+(-7)^2+4^2}{7}$$=\\frac{96}{7}$이므로 $b=\\frac{96}{7}$ $∴$ $ab$$=(-7)\\times\\frac{96}{7}$$=-96$" }, { "question": "다음은 서진이네 반 학생 $16$ 명이 지난달과 이번 달에 읽은 책의 수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 지난달에 읽은 책의 수가 $3$ 권 이상인 학생들이 이번 달에 읽은 책의 수의 평균을 구하여라.", "answer": "지난달에 읽은 책의 수가 $3$ 권 이상인 학생들은 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 학생들이 이번 달에 읽은 책의 수는 $3$ 권, $1$ 권, $1$ 권, $2$ 권, $3$ 권이다. $∴ (평균$)$=\\frac{3+1+1+2+3}{5}$$=\\frac{10}{5}$$=2$ (권)" }, { "question": "오른쪽은 승아네 반 학생 $25$ 명의 국어 성적과 사회 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 승아보다 두 과목의 성적의 평균이 높은 학생은 전체의 몇$\\%$인지 구하여라.", "answer": "승아보다 두 과목의 성적의 평균이 높은 학생은 두 과목의 성적의 합이 승아의 두 과목의 성적의 합보다 높다. 승아의 두 과목의 성적의 합은 $60+70=130$ (점) 두 과목의 성적의 합이 $130$ 점보다 높은 학생의 수는 위 그림의 색칠한 부분(경계선 제외)에 속하는 점의 개수와 같으므로 $15$ 명이다. 따라서 구하는 학생은 전체의 $\\frac{15}{25}\\times100=60 (\\%)$" }, { "question": "오른쪽은 영은이네 반 학생 $15$ 명이 $1$ 차, $2$ 차에 걸쳐 치른 음악 수행 평가 점수에 대한 산점도이다. $1$ 차보다 $2$ 차 에서 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점을 $a$점, 점수가 가장 많이떨어진 학생의 총점을 $b$ 점이라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 차보다 $2$ 차 점수가 오른 학생은 위 그림에서 파란색 선 위쪽의 점이다. 이 중 점 $A(4, 8)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점은 $4+8=12$ (점) $∴ a=12$ $1$ 차보다 $2$ 차 점수가 떨어진 학생은 위 그림에서 파란색 선 아래쪽의 점이다. 이 중 점 $B(8, 3)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점은 $8+3=11$ (점) $∴ b=11$ $∴ a+b$$=12+11$$=23$" }, { "question": "다음은 세형이의 $7$ 회에 걸친 영어 수행 평가 점수에 대한 편차를 조사하여 나타낸 표이다. $5$ 회의 점수에 대한 편차가 $a$ 점이고, 영어 수행 평가 점수의 분산이 $b$일 때, $a+b$의 값을 구하여라.
회 $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
편차 (점) $1$ $-2$ $3$ $-1$ $a$ $-1$ $2$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $1+(-2)+3+(-1)+a+(-1)+2=0$ $∴ a=-2$ $(분산)=\\frac{1^2+(-2)^2+3^2+(-1)^2+(-2)^2+(-1)^2+2^2}{7}$$=\\frac{24}{7}$이므로 $b=\\frac{24}{7}$ $∴ a+b$$=-2+\\frac{24}{7}$$=\\frac{10}{7}$" }, { "question": "다음은 진영이네 반 학생 $13$ 명이 지난달과 이번 달에 읽은 소설책의 수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 지난달에 읽은 소설책의 수가 $2$ 권 초과인 학생들이 이번 달에 읽은 소설책의 수의 평균을 구하여라.", "answer": "지난달에 읽은 소설책의 수가 $2$ 권 초과인 학생들은 색칠한 부분(경계선 제외)에 속하므로 그 학생들이 이번 달에 읽은 소설책의 수는 $2$ 권, $6$ 권, $3$ 권, $1$ 권이다. $∴$ $(평균)$$=\\frac{2+6+3+1}{4}$$=\\frac{12}{4}$$=3$ (권)" }, { "question": "다음은 어느 동호회 회원 $5$ 명의 나이에 대한 설명이다. 이때 회원 $5$ 명의 나이의 중앙값을 구하여라. $\\bullet$ 나이가 가장 적은 회원은 $15$ 세이다. $\\bullet$ 회원 $5$ 명의 평균 나이는 $16.6$ 세이다. $\\bullet$ 나이의 최빈값은 $17$ 세이다. $\\bullet$ 회원 중에서 한 사람의 나이는 $16$ 세이다.", "answer": "최빈값이 $17$ 세이므로 $5$ 명의 나이를 $15$ 세, $16$ 세, $17$ 세, $17$ 세, $x$ 세라 하면 평균이 $16.6$ 세이므로 $\\frac{15+16+17+17+x}{5}=16.6$ $x+65=83$ $∴ x=18$ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $15$, $16$, $17$, $17$, $18$ 이므로 중앙값은 $17$ 세이다." }, { "question": "자료 $4$, $9$, $a$, $8$, $2$, $4$, $3$, $8$, $6$의 중앙값은 $a-2$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $4$, $8$이 두 번씩 나타나므로 $a$가 $4$, $8$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $4$, $8$이다. (ⅰ)$a=4$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $2$, $3$, $4$, $4$, $4$, $6$, $8$, $8$, $9$ 이므로 중앙값은 $4$이다. 이때 $a-2$$=2$이므로 중앙값은 $a-2$와 다르다. (ⅱ)$a=8$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $2$, $3$, $4$, $4$, $6$, $8$, $8$, $8$, $9$ 이므로 중앙값은 $6$이다. 이때 $a-2$$=6$이므로 중앙값은 $a-2$와 같다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=8$" }, { "question": "다음은 선호네 반 학생 $5$ 명이 일주일 동안 운동한 시간을 조사하여 나타낸 표이다. 이때 $a+b+c$의 값을 구하여라.
학생$\\,$A $\\,$B$\\,$C $\\,$D$\\,$E
운동 시간 (시간)$~~14~~$ $~~a~~$$~~10~~$ $~~b~~$$~~11~~$
편차 (시간) $~~3~~$ $~~1~~$$~-1~~$ $~~c~~$$~~~0~~$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $3+1+(-1)+c+0=0$ $∴$ $c=-3$ $14$ 시간의 편차가 $3$ 시간이므로 $14-(평균)=3$ $∴$ $(평균)$$=11 (시간)$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a$$=11+1$$=12$ $b$$=11+(-3)$$=8$ $∴$ $a+b+c$$=12+8+(-3)$$=17$" }, { "question": "다음은 어느 날 지역 $20$ 곳의 미세 먼지 농도와 그 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 미세 먼지 상태가 '매우 나쁨'인 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수의 평균을 구하여라.
미세먼지상태 미세먼지농도(㎍/㎥)
좋음 0이상30미만
보통 30이상80미만
나쁨 80이상150미만
매우나쁨 150이상
", "answer": "미세 먼지 상태가 '매우 나쁨'일 때의 미세 먼지 농도는 $150$ $μg/m^3$ 이상이다. '매우 나쁨'인 지역은 위 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 지역들의 호흡기 질환 환자 수는 $30$ 명, $40$ 명, $25$ 명, $45$ 명이다. $∴ (평균)=\\frac{30+40+25+45}{4}=\\frac{140}{4}=35$ (명)" }, { "question": "수빈이가 중간고사 $5$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $83$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $1$ 점 더 높게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$83$ 점을 받은 과목을 제외한 $4$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $83 $점 $x$ 점 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+83}{5}+1=\\frac{A+x}{5}$ $A+83+5=A+x$ $∴$ $x=88$ 따라서 수빈이가 잘못 본 점수는 $88$ 점이다." }, { "question": "다음은 지현이의 $5$ 회에 걸친 영어 성적에 대한 편차를 조사하여 나타낸 표이다. $2$ 회의 성적에 대한 편차가 $a$ 점이고, 영어 성적의 분산이 $b$일 때, $a+b$의 값을 구하여라.
회 1 2 3 4 5
편차 (점) 1 a -3 5 -2
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $1+a+(-3)+5+(-2)=0$ ∴ $a=-1$ (분산)$=\\frac{1^2+(-1)^2+(-3)^2+5^2+(-2)^2}{5}$$=\\frac{40}{5}$$=8$이므로 $b=8$ $∴ a+b$$=-1+8$$=7$" }, { "question": "오른쪽은 선율이네 반 학생 $20$명의 중간고사와 기말고사 과학 점수에 대한 산점도이다. 중간고사보다 기말고사에서 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점을 $a$점, 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점을 $b$점이라 할 때, $a - b$의 값을 구하여라.", "answer": "중간고사보다 기말고사 점수가 오른 학생은 위 그림에서 파란색 선 위쪽의 점이다. 이 중 점 $A(50, 90)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점은 $50+90=140$ (점) $∴ a=140$ 중간고사보다 기말고사 점수가 떨어진 학생은 위 그림에서 파란색 선 아래쪽의 점이다. 이 중 점 $B(90, 50)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점은 $90+50=140$ (점) $∴ b=140$ $∴ a-b$$=140-140$$=0$" }, { "question": "다음은 학생 $5$ 명의 수학 성적을 조사하여 나타낸 표이다. 이때 $a+b+c$의 값을 구하여라.
학생 $A$$B$$C$$D$$E$
수학 성적 (점) $76$ $a$$73$$63$$b$
편차 (점) $6$ $-4$$3$$-7$$c$
", "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $6+(-4)+3+(-7)+c=0$ $∴ c=2$ $76$ 점의 편차가 $6$ 점이므로 $76-(평균)=6$ $∴ (평균)=70 (점)$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $a$$=70+(-4)$$=66$ $b$$=70+2$$=72$ $∴ a+b+c$$=66+72+2$$=140$" }, { "question": "자료 $34$, $30$, $a$, $36$, $42$, $30$, $23$, $36$의 중앙값은 $a+2$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $30$, $36$이 두 번씩 나타나므로 $a$가 $30$, $36$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $30$, $36$이다. $(ⅰ)$ $a=30$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $23$, $30$, $30$, $30$, $34$, $36$, $36$, $42$ 이므로 중앙값은 $\\frac{30+34}{2}=32$ 이때 $a+2$$=32$이므로 중앙값은 $a+2$와 같다. $(ⅱ)$ $a=36$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $23$, $30$, $30$, $34$, $36$, $36$, $36$, $42$ 이므로 중앙값은 $\\frac{34+36}{2}=35$ 이때 $a+2$$=38$이므로 중앙값은 $a+2$와 다르다. $(ⅰ)$, $(ⅱ)$에서 $a=30$" }, { "question": "자료 $21$, $16$, $19$, $a$, $17$, $16$, $21$, $22$의 중앙값은 $a-1$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $16$, $21$이 두 번씩 나타나므로 $a$가 $16$, $21$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $16$, $21$이다. (ⅰ) $a=16$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $16$, $16$, $16$, $17$, $19$, $21$, $21$, $22$ 이므로 중앙값은 $\\frac{17+19}{2}=18$ 이때 $a-1$$=15$이므로 중앙값은 $a-1$과 다르다. (ⅱ) $a=21$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $16$, $16$, $17$, $19$, $21$, $21$, $21$, $22$ 이므로 중앙값은 $\\frac{19+21}{2}=20$ 이때 $a-1$$=20$이므로 중앙값은 $a-1$과 같다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=21$" }, { "question": "자료 $3$, $6$, $11$, $a$, $1$, $4$, $6$, $1$, $13$의 중앙값은 $a+3$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $1$, $6$이 두 번씩 나타나므로 $a$가 $1$, $6$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $1$, $6$이다. (ⅰ)$a=1$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $1$, $1$, $1$, $3$, $4$, $6$, $6$, $11$, $13$ 이므로 중앙값은 $4$이다. 이때 $a+3$$=4$이므로 중앙값은 $a+3$과 같다. (ⅱ) $a=6$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $1$, $1$, $3$, $4$, $6$, $6$, $6$, $11$, $13$ 이므로 중앙값은 $6$이다. 이때 $a+3$$=9$이므로 중앙값은 $a+3$과 다르다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=1$" }, { "question": "다음은 어느 날 지역 $20$ 곳의 미세 먼지 농도와 그 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 미세 먼지 상태가 '나쁨'인 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수의 평균을 구하여라.", "answer": "미세 먼지 상태가 '나쁨'일 때의 미세 먼지 농도는 $80$ $μg/m^3$ 이상 $150 μg/m^3$ 미만이다. '나쁨'인 지역은 위 그림의 색칠한 부분(경계선 $l$은 포함, 경계선 $m$은 제외)에 속하므로 그 지역들의 호흡기 질환 환자 수는 $20 $명, $30$ 명, $25$ 명, $35$ 명, $25$ 명, $30$ 명, $40$ 명, $35$ 명이다. $∴$$ (평균)$$=\\frac{20+30+25+35+25+30+40+35}{8}$$=\\frac{240}{8}$$=30 (명)$" }, { "question": "현서가 기말고사 $6$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $86$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $3$ 점 더 낮게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$86$ 점을 받은 과목을 제외한 $5$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $86$ 점을 $x$ 점으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+86}{6}-3=\\frac{A+x}{6}$ $A+86-18=A+x$ $∴$ $x=68$ 따라서 현서가 잘못 본 점수는 $68$ 점이다." }, { "question": "어느 중학교 $3$ 학년 학생 A, B, C, D, E의 키의 평균은 $164.5 cm$이고 중앙값은 $165 cm$이다. A 대신 키가 $161 cm$인 F를 포함한 $5$ 명의 키의 평균이 $164 cm$일 때, B, C, D, E, F의 키의 중앙값을 구하여라.", "answer": "$A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 키를 각각 $a cm$, $b cm$, $c cm$, $d cm$, $e cm$라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e}{5}=164.5$ $∴ a+b+c+d+e=822.5 ······ ㉠$ $F$의 키가 $161 cm$이므로 $\\frac{b+c+d+e+161}{5}=164$ $b+c+d+e+161=820$ $∴ b+c+d+e=659 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $a+659=822.5$ $∴ a=163.5$ $A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 키의 중앙값이 $165 cm$이고 $163.5<165$, $161<165$이므로 $A$ 대신 $F$를 포함한 $B$, $C$, $D$, $E$, $F$의 키의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 $B$, $C$, $D$, $E$, $F$의 키의 중앙값은 $165 cm$이다." }, { "question": "서진이가 기말고사 $6$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $82$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $0.5$ 점 더 높게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$82$ 점을 받은 과목을 제외한 $5$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $82 점$을 $x $점으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+82}{6}+0.5=\\frac{A+x}{6}$ $A+82+3=A+x$ $∴ $$x=85$ 따라서 서진이가 잘못 본 점수는 $85$ 점이다." }, { "question": "오른쪽은 승연이네 반 학생$20$명이 $1$차,$2$차에 걸쳐 치른 미술 수행 평가 점수에 대한 산점도이다.$1$차보다 $2$차에서 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점을 $a$점,점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점을 $b$점이라 할 때,$a-b$의 값을 구하여라.", "answer": "$1$ 차보다 $2$ 차 점수가 오른 학생은 위 그림에서 파란색 선 위쪽의 점이다. 이 중 점 $A(25, 45)$가 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 오른 학생의 총점은 $25+45=70$ (점) $\\therefore a=70$ $1$ 차보다 $2$ 차 점수가 떨어진 학생은 위 그림에서 파란색 선 아래쪽의 점이다. 이 중 점 $B(40, 20)$이 파란색 선에서 가장 멀리 떨어져 있으므로 점수가 가장 많이 떨어진 학생의 총점은 $40+20=60$ (점) $\\therefore b=60$ $\\therefore a-b$$=70-60$$=10$" }, { "question": "민혁이가 기말고사 $6$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $78$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $1.5$ 점 더 높게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$78$ 점을 받은 과목을 제외한 $5$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $78$ 점을 $x$ 점으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+78}{6}+1.5=\\frac{A+x}{6}$ $A+78+9=A+x$ $ \\therefore x=87$ 따라서 민혁이가 잘못 본 점수는 $87$ 점이다." }, { "question": "어느 운동선수 A, B, C, D, E의 몸무게의 평균은 $76.8 kg$이고 중앙값은 $72 kg$이다. B 대신 몸무게가 $75 kg$인 F를 포함한 $5$ 명의 몸무게의 평균이 $77.2 kg$일 때, A, C, D, E, F의 몸무게의 중앙값을 구하여라.", "answer": "A, B, C, D, E의 몸무게를 각각 $a kg$, $b kg$, $c kg$, $d kg$, $e kg$이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e}{5}=76.8$ $∴ a+b+c+d+e=384 ······ ㉠$ F의 몸무게가 $75 kg$이므로 $\\frac{a+c+d+e+75}{5}=77.2$ $a+c+d+e+75=386$ $∴ a+c+d+e=311 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $311+b=384$ $∴ b=73$ A, B, C, D, E의 몸무게의 중앙값이 $72 kg$이고 $73>72$, $75>72$이므로 B 대신 F를 포함한 A, C, D, E, F의 몸무게의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 A, C, D, E, F의 몸무게의 중앙값은 $72 kg$이다." }, { "question": "$4$ 개의 수 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $5$이고 분산이 $10$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$, $c$, $d$, $6$, $4$의 평균을 구하여라. (2) $a$, $b$, $c$, $d$, $6$, $4$의 표준편차를 구하여라.", "answer": "(1) $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $5$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=5$ ∴ $a+b+c+d=20$ 따라서 $a$, $b$, $c$, $d$, $6$, $4$의 평균은 $\\frac{a+b+c+d+6+4}{6}=\\frac{20+6+4}{6}=\\frac{30}{6}=5$ (2) $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $10$이므로 $\\frac{(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2+(d-5)^2}{4}=10$ ∴ $(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2+(d-5)^2=40$ $a$, $b$, $c$, $d$, $6$, $4$의 평균이 $5$이므로 $(분산)=\\frac{(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2+(d-5)^2+(6-5)^2+(4-5)^2}{6}$ $=\\frac{(a-5)^2+(b-5)^2+(c-5)^2+(d-5)^2+1+1}{6}$ $=\\frac{40+1+1}{6}=\\frac{42}{6}=7$ 따라서 표준편차는 $\\sqrt{7}$이다." }, { "question": "예서가 중간고사 $5$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $89$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $2$ 점 더 높게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$89$ 점을 받은 과목을 제외한 $4$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $89$ 점을 $x $점으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+89}{5}+2=\\frac{A+x}{5}$ $A+89+10=A+x$ $∴$ $x=99$ 따라서 예서가 잘못 본 점수는 $99$ 점이다." }, { "question": "다음은 철우네 반 학생 $10$ 명의 사회 점수와 과학 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. 사회 점수와 과학 점수의 평균이 각각 $78$ 점, $72$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 사회 점수와 과학 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 (사회 점수, 과학 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x, y는$ $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 사회 점수의 평균이 $78$ 점이므로 $\\frac{50+60+70\\times2+80\\times2+90\\times2+100+x}{10}$$=78$ $x+690=780$ $∴ x=90$ 학생 $10$ 명의 과학 점수의 평균이 $72$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times2+70\\times3+80\\times2+90+y}{10}$$=72$ $y+630=720$ $∴ y=90$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 사회 점수는 $90$ 점, 과학 점수는 $90 점$이므로 그 합은 $90+90$$=180 (점)$" }, { "question": "윤철이가 기말고사 $8$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $98$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $1.5$ 점 더 낮게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$98$ 점을 받은 과목을 제외한 $7$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $98 점$을 $x 점$으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+98}{8}-1.5=\\frac{A+x}{8}$ $A+98-12=A+x$ $∴ x=86$ 따라서 윤철이가 잘못 본 점수는 $86$ 점이다." }, { "question": "자료 $96$, $89$, $100$, $a$, $92$, $88$, $96$, $92$의 중앙값은 $a-2$이고 최빈값은 $a$뿐일 때, $a$의 값을 구하여라.", "answer": "$a$를 제외한 자료에서 $92$, $96$이 두 번씩 나타나므로 $a$가 $92$, $96$ 중에 하나와 같을 경우 그 값이 최빈값이 된다. 즉, $a$의 값으로 가능한 수는 $92$, $96$이다. (i) $a=92$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $88$, $89$, $92$, $92$, $92$, $96$, $96$, $100$ 이므로 중앙값은 $\\frac{92+92}{2}=92$ 이때 $a-2$$=90$이므로 중앙값은 $a-2$와 다르다. (ii) $a=96$일 때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $88$, $89$, $92$, $92$, $96$, $96$, $96$, $100$ 이므로 중앙값은 $\\frac{92+96}{2}=94$ 이때 $a-2$$=94$이므로 중앙값은 $a-2$와 같다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=96$" }, { "question": "어느 중학교 $3$ 학년 학생$ A, B, C, D, E, F, G$의 수학 점수의 평균은 $91.8 점$이고 중앙값은 $90.5 점$이다. A 대신 수학 점수가 $95 점$인 H를 포함한 $7$ 명의 수학 점수의 평균이 $92 점$일 때, $B, C, D, E, F, G, H$의 수학 점수의 중앙값을 구하여라.", "answer": "$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$의 수학 점수를 각각 $a 점$, $b 점$, $c 점$, $d 점$, $e 점$, $f 점$, $g 점$이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=91.8$ $∴ a+b+c+d+e+f+g=642.6$ ······ ㉠ $H$의 수학 점수가 $95 점$이므로 $\\frac{b+c+d+e+f+g+95}{7}=92$ $b+c+d+e+f+g+95=644$ $∴ b+c+d+e+f+g=549$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a+549=642.6$ $∴ a=93.6$ $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$의 수학 점수의 중앙값이 $90.5 점$이고 $93.6>90.5$, $95>90.5$이므로 $A$ 대신 $H$를 포함한 $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$의 수학 점수의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$의 수학 점수의 중앙값은 $90.5 점$이다." }, { "question": "기준이가 중간고사 $7$ 개 과목의 성적의 평균을 구하는 데 $77$ 점인 어느 과목의 점수를 잘못 보아 평균이 $2$ 점 더 높게 나왔을 때, 몇 점으로 잘못 보았는지 구하여라.", "answer": "$77$ 점을 받은 과목을 제외한 $6$ 개 과목의 총점을 $A$ 점이라 하고, $77 점$을 $x 점$으로 잘못 보았다고 하면 $\\frac{A+77}{7}+2=\\frac{A+x}{7}$ $A+77+14=A+x$ $∴ x=91$ 따라서 기준이가 잘못 본 점수는 $91$ 점이다." }, { "question": "다음은 어느 학급 학생 $10$ 명의 미술 점수와 음악 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. 미술 점수와 음악 점수의 평균이 각각 $74$ 점, $70$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 미술 점수와 음악 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 (미술 점수, 음악 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x, y는$ $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 미술 점수의 평균이 $74$ 점이므로 $\\frac{50+60+70\\times3+80\\times2+90+100+x}{10}$$=74$ $x+670=740$ $∴ x=70$ 학생 $10$ 명의 음악 점수의 평균이 $70$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times3+70\\times2+80\\times2+90+y}{10}$$=70$ $y+620=700$ $∴ y=80$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 미술 점수는 $70$ 점, 음악 점수는 $80$점이므로 그 합은 $70+80$$=150$ (점)" }, { "question": "다음은 미수네 반 학생 $10$ 명의 수학 수행 평가 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 평균이 각각 $75$ 점, $72$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 ($1$ 차 점수, $2$ 차 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x, y$는 $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 $1$ 차 점수의 평균이 $75$ 점이므로 $\\frac{50+60+70\\times2+80\\times2+90\\times2+100+x}{10}$$=75$ $x+690=750$ $∴ x=60$ 학생 $10$ 명의 $2$ 차 점수의 평균이 $72$ 점이므로 $\\frac{60\\times2+70\\times4+80+90\\times2+y}{10}$$=72$ $y+660=720$ $∴ y=60$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수는 $60$ 점, $2$ 차 점수는 $60$ 점이므로 그 합은 $60+60=120$ (점)" }, { "question": "다음은 혜진이네 반 학생 $10$ 명의 과학 중간고사 점수와 기말고사 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. 중간고사 점수와 기말고사 점수의 평균이 각각 $74$ 점, $69$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 중간고사 점수와 기말고사 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 (중간고사 점수, 기말고사 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x,$ $y$는 $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 중간고사 점수의 평균이 $74$ 점이므로 $\\frac{60\\times2+70\\times3+80\\times2+90\\times2+x}{10}$$=74$ $x+670=740$ $∴$ $x=70$ 학생 $10$ 명의 기말고사 점수의 평균이 $69$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times2+70\\times4+80+90+y}{10}$$=69$ $y+620=690$ $∴$ $y=70$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 중간고사 점수는 $70$ 점, 기말고사 점수는 $70 점$이므로 그 합은 $70+70$$=140 (점)$" }, { "question": "어느 운동선수 A, B, C, D, E의 몸무게의 평균은 $60.6 kg$이고 중앙값은 $60 kg$이다. C 대신 몸무게가 $58 kg$인 F를 포함한 $5$ 명의 몸무게의 평균이 $62.4 kg$일 때, A, B, D, E, F의 몸무게의 중앙값을 구하여라.", "answer": "$A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 몸무게를 각각 $a kg$, $b kg$, $c kg$, $d kg$, $e kg$이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e}{5}=60.6$ $∴ a+b+c+d+e=303 ······ ㉠$ $F$의 몸무게가 $58 kg$이므로 $\\frac{a+b+d+e+58}{5}=62.4$ $a+b+d+e+58=312$ $∴ a+b+d+e=254 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $254+c=303$ ∴ $c=49$ $A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 몸무게의 중앙값이 $60 kg$이고 $49<60$, $58<60$이므로 $C$ 대신 $F$를 포함한 $A$, $B$, $D$, $E$, $F$의 몸무게의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 $A$, $B$, $D$, $E$, $F$의 몸무게의 중앙값은 $60 kg$이다." }, { "question": "다음은 영은이네 반 학생 $10$ 명의 영어 수행 평가 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 평균이 각각 $72$ 점, $73$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 ($1$ 차 점수, $2$ 차 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x$, $y$는 $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 $1$ 차 점수의 평균이 $72$ 점이므로 $\\frac{50+60+70\\times2+80\\times3+90\\times2+x}{10}$$=72$ $x+670=720$ $∴ x=50$ 학생 $10$ 명의 $2$ 차 점수의 평균이 $73$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times2+70\\times2+80\\times2+90\\times2+y}{10}$$=73$ $y+650=730$ $∴ y=80$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수는 $50$ 점, $2$ 차 점수는 $80$ 점이므로 그 합은 $50+80$$=130$ (점)" }, { "question": "어느 중학교 $3$ 학년 학생 A, B, C, D, E의 연간 독서량의 평균은 $22.8$ 권이고 중앙값은 $23$ 권이다. A 대신 연간 독서량이 $14$ 권인 F를 포함한 $5$ 명의 연간 독서량의 평균이 $22.4$ 권일 때, B, C, D, E, F의 연간 독서량의 중앙값을 구하여라.", "answer": "A, B, C, D, E의 연간 독서량을 각각 $a$ 권, $b$ 권, $c $권, $d$ 권, $e $권이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e}{5}=22.8$ $∴ a+b+c+d+e=114 ······ ㉠$ F의 연간 독서량이 $14$ 권이므로 $\\frac{b+c+d+e+14}{5}=22.4$ $b+c+d+e+14=112$ $∴ b+c+d+e=98 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $a+98=114$ $∴ a=16$ A, B, C, D, E의 연간 독서량의 중앙값이 $23$ 권이고 $16<23$, $14<23$이므로 A 대신 F를 포함한 B, C, D, E, F의 연간 독서량의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 B, C, D, E, F의 연간 독서량의 중앙값은 $23$ 권이다." }, { "question": "오른쪽은 정혁이네 반 학생 $25$ 명의 수학 성적과 과학 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 정혁이보다 두 과목의 성적의 평균이 높은 학생은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라.", "answer": "정혁이보다 두 과목의 성적의 평균이 높은 학생은 두 과목의 성적의 합이 정혁이의 두 과목의 성적의 합보다 높다. 정혁이의 두 과목의 성적의 합은 $80+80=160$ (점) 두 과목의 성적의 합이 $160$ 점보다 높은 학생의 수는 위 그림의 색칠한 부분(경계선 제외)에 속하는 점의 개수와 같으므로 $4$ 명이다. 따라서 구하는 학생은 전체의 $\\frac{4}{25}\\times100=16 (\\%)$" }, { "question": "다음은 지호네 반 학생 $10$ 명의 국어 수행 평가 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 이 산점도에서 $9$ 개의 점수 중 한 점이 $2$ 명의 학생을 중복하여 나타낸다. $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 평균이 각각 $78$ 점, $72$ 점일 때, 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수와 $2$ 차 점수의 합을 구하여라.", "answer": "두 학생을 중복하여 나타내는 점의 순서쌍 ($1$ 차 점수, $2$ 차 점수)를 $(x, y)$라 하자. (단, $x, y$는 $100$ 이하의 자연수) 학생 $10$ 명의 $1$ 차 점수의 평균이 $78$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times2+70\\times2+80+90+100\\times2+x}{10}$$=78$ $x+680=780$ $∴ x=100$ 학생 $10$ 명의 $2$ 차 점수의 평균이 $72$ 점이므로 $\\frac{50+60\\times2+70\\times2+80\\times3+90+y}{10}$$=72$ $y+640=720$ $∴ y=80$ 따라서 중복된 점에 해당하는 학생의 $1$ 차 점수는 $100$ 점, $2$ 차 점수는 $80 점$이므로 그 합은 $100+80$$=180 (점)$" }, { "question": "어느 중학교 $3$ 학년 학생 $A, B, C, D, E$의 연간 독서량의 평균은 $25.4$권이고 중앙값은 $24$권이다.$E$ 대신 연간 독서량이 $31$권인 $F$를 포함한 $5$ 명의 연간 독서량의 평균이 $26.6$권일 때, $A, B, C, D, F$의 연간 독서량의 중앙값을 구하여라.", "answer": "$A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 연간 독서량을 각각 $a$ 권, $b$ 권, $c$ 권, $d$ 권, $e$ 권이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e}{5}=25.4$ $∴$ $a+b+c+d+e=127 ······ ㉠$ $F$의 연간 독서량이 $31$ 권이므로 $\\frac{a+b+c+d+31}{5}=26.6$ $a+b+c+d+31=133$ $∴$ $a+b+c+d=102 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에서 $102+e=127$ $∴$ $e=25$ $A$, $B$, $C$, $D$, $E$의 연간 독서량의 중앙값이 $24$ 권이고 $25>24$, $31>24$이므로 $E$ 대신 $F$를 포함한 $A$, $B$, $C$, $D$, $F$의 연간 독서량의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 $A$, $B$, $C$, $D$, $F$의 연간 독서량의 중앙값은 $24$ 권이다." }, { "question": "어느 중학교 $3$ 학년 학생 A, B, C, D, E, F, G의 수학 점수의 평균은 $93.6 점$이고 중앙값은 $94.2 점$이다. A 대신 수학 점수가 $98 점$인 H를 포함한 $7$ 명의 수학 점수의 평균이 $94 점$일 때, B, C, D, E, F, G, H의 수학 점수의 중앙값을 구하여라.", "answer": "A, B, C, D, E, F, G의 수학 점수를 각각 $a$ 점, $b$ 점, $c$ 점, $d$ 점, $e$ 점, $f$ 점, $g$ 점이라 하면 $\\frac{a+b+c+d+e+f+g}{7}=93.6$ ∴ $a+b+c+d+e+f+g=655.2$ ······ ㉠ H의 수학 점수가 $98$ 점이므로 $\\frac{b+c+d+e+f+g+98}{7}=94$ $b+c+d+e+f+g+98=658$ ∴ $b+c+d+e+f+g=560$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에서 $a+560=655.2$ ∴ $a=95.2$ A, B, C, D, E, F, G의 수학 점수의 중앙값이 $94.2 점$이고 $95.2>94.2$, $98>94.2$이므로 A 대신 H를 포함한 B, C, D, E, F, G, H의 수학 점수의 중앙값은 변하지 않는다. 따라서 B, C, D, E, F, G, H의 수학 점수의 중앙값은 $94.2$ 점이다." } ]