[
    {
        "question": "다음 그림과 같이 총길이가 $850$ $m$인 산책로를 정은이는 벤치에서 출발하여 분속 $50 m$로, 승현이는 놀이터에서 출발하여 분속 $85 m$로 같은 방향으로 돈다고 한다. 두 사람이 오전 $9$ 시에 각자의 위치에서 동시에 출발할 때, 처음으로 다시 각자의 출발 위치에 동시에 서게 되는 시각을 구하여라.",
        "answer": "정은이와 승현이가 산책로를 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간은 각각 $850\\div50=17 (분)$, $850\\div85=10 (분)$ $\\\\$ 정은이와 승현이가 처음으로 다시 각자의 출발 위치에 동시에 설 때까지 걸리는 시간은 $17$과 $10$의 최소공배수이다. $17$과 $10$은 서로소이므로 최소공배수는 $17\\times10$$=170$ 두 사람이 다시 각자의 출발 위치에 동시에 설 때까지 걸리는 시간은 $170$ 분이다. 따라서 구하는 시각은 $170$ 분 후인 오전 $11$ 시 $50$ 분이다."
    },
    {
        "question": "$3^{2437}$의 일의 자리의 숫자를 구하여라.",
        "answer": "$3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$, ··· 일의 자리의 숫자는 $3$, $9$, $7$, $1$의 네 개의 숫자가 순서대로 반복되므로 $3^{2437}$의 지수를 $4$로 나눈 나머지에 따라 일의 자리의 숫자가 결정된다. $2437$$=4\\times609+1$이므로 $3^{2437}$의 일의 자리의 숫자는 $3^1$의 일의 자리의 숫자와 같은 $3$이다."
    },
    {
        "question": "자연수 $a$의 모든 약수들의 합을 $n(a)$, 약수의 개수를 $m(a)$로 나타낸다. 예를 들어 $n(4)=7$, $m(4)=3$이다. $n(15)=x$, $m(x)=y$일 때, $n(y)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$15$의 약수는 $1$, $3$, $5$, $15$이므로 $n(15)$$=1+3+5+15$$=24$ $∴ x=24$ $24$$=2^3\\times3$이므로 $m(x)$$=m(24)$$=(3+1)\\times(1+1)$$=8$ $∴ y=8$ $8$의 약수는 $1$, $2$, $4$, $8$이므로 $n(y)$$=n(8)$$=1+2+4+8$$=15$"
    },
    {
        "question": "M 회사에서 간식으로 과자 $770$ 개, 사탕 $520$ 개를 구입해 서비스 팀 직원들 모두에게 똑같이 나누어 주었더니 과자와 사탕이 모두 $20$ 개씩 남았다. 서비스 팀 직원 수를 $a$ 명, 한 직원이 받은 과자와 사탕의 개수를 각각 $b$ 개, $c$ 개라 할 때, $a-b-c$의 값을 구하여라. (단, 서비스 팀 직원은 $100$ 명보다 많고 $200$ 명보다 적다.)",
        "answer": "과자와 사탕이 모두 $20$ 개씩 남았으므로 직원들에게 나누어 준 과자는 $770-20=750 $(개), 사탕은 $520-20=500$ (개) 이때 서비스 팀 직원 수는 직원들에게 나누어 준 과자의 개수와 사탕의 개수의 공약수이다. $750$과 $500$의 최대공약수는 $2\\times5^3$$=250$이므로 직원 수는 $250$의 약수이면서 $100$보다 크고 $200$보다 작은 수이다. 서비스 팀 직원 수는 $125$ 명이므로 $a$$=125$ 한 직원이 받은 과자의 개수는 $750\\div125=6$ (개)이므로 $b=6$ 한 직원이 받은 사탕의 개수는 $500\\div125=4$ (개)이므로 $c=4$ $∴$ $a-b-c$$=125-6-4$$=115$"
    },
    {
        "question": "영우는 타일을 겹치지 않게 빈틈없이 붙여 정사각형 모양의 냄비 받침을 만들어 미술 수행평가에 제출하려고 한다. 타일은 가로, 세로의 길이가 각각 $4 cm,$ $5 cm$인 직사각형 모양이고 타일 한 장의 가격은 $250$ 원일 때, 이 냄비 받침을 만들기 위해 타일 구입에 필요한 최소 비용을 구하여라.",
        "answer": "냄비 받침의 한 변의 길이는 타일의 가로, 세로의 길이의 최소공배수이다. $4$와 $5$는 서로소이므로 최소공배수는 $4\\times5$$=20$ 한 변의 길이가 $20$$ cm$인 정사각형 모양의 냄비 받침을 만들려면 가로 방향으로 $20\\div4=5$ (장), 세로 방향으로 $20\\div5=4$ (장)을 붙여야 하므로 필요한 타일의 수는 $5\\times4$$=20$ (장) 따라서 타일 구입에 필요한 최소 비용은 $20\\times250$$=5000$ (원)"
    },
    {
        "question": "$2450$과 $3675$의 공약수 중 어떤 자연수의 제곱이 되는 모든 수의 합을 구하여라.",
        "answer": "$2450=2\\times5^2\\times7^2$, $3675=3\\times5^2\\times7^2$의 최대공약수는 $5^2\\times7^2$ $2450$과 $3675$의 공약수는 $5^2\\times7^2$의 약수이므로 $2450$과 $3675$의 공약수 중 어떤 자연수의 제곱이 되는 수는 $1$, $5^2=25$, $7^2=49$, $5^2\\times7^2=1225$ 따라서 구하는 합은 $1+25+49+1225$$=1300$"
    },
    {
        "question": "두 자연수 $2^2\\times3^a\\times5^2$, $2\\times3^2\\times5^b$의 약수가 각각 $45$ 개, $36$ 개일 때, $2^a$보다 크고 $2^b$보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)",
        "answer": "$2^2\\times3^a\\times5^2$의 약수의 개수가 $45$ 개이므로 $(2+1)\\times(a+1)\\times(2+1)=9\\times(a+1)=45$ $a+1=5$ $∴ a=4$ $2\\times3^2\\times5^b$의 약수의 개수가 $36$ 개이므로 $(1+1)\\times(2+1)\\times(b+1)=6\\times(b+1)=36$ $b+1=6$ $∴ b=5$ 따라서 $2^4=16$보다 크고 $2^5=32$보다 작은 자연수 중 소수는 $17$, $19$, $23$, $29$, $31$의 $5$ 개이다."
    },
    {
        "question": "$48$에 어떤 자연수를 곱하면 $18$과 $24$의 공배수가 된다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수를 구하여라.",
        "answer": "어떤 자연수를 $a$라 하면 $48\\times a$는 $18$과 $24$의 공배수이다. 두 자연수의 공배수는 두 수의 최소공배수의 배수와 같으므로 $18$과 $24$의 최소공배수를 구하면 다음과 같다. $∴$ $(최소공배수)$$=2\\times3\\times3\\times4$$=72$ $48\\times a$는 $72$의 배수이므로 $48\\times\\frac{3}{2}=72$, $48\\times3=144$, ··· 따라서 구하는 가장 작은 자연수는 $3$이다."
    },
    {
        "question": "$500$을 $a^x\\times b^y$으로 소인수분해하였을 때, 자연수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a\\times b+x\\times y$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 서로 다른 소수, $a<b$)",
        "answer": "$500$$=2^2\\times5^3$이므로 $a=2$, $b=5$, $x=2$, $y=3$ $∴ a\\times b+x\\times y=2\\times5+2\\times3$$=16$"
    },
    {
        "question": "두 수 $36$, $81$의 공약수의 개수를 $x$ 개, 최소공배수의 약수의 개수를 $y$ 개라 할 때, $y-x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$36$$=2^2\\times3^2$, $81$$=3^4$ 두 수의 공약수의 개수는 두 수의 최대공약수의 약수의 개수와 같다. 최대공약수는 $3^2$이므로 약수의 개수는 $2+1$$=3$ (개) $∴$ $x=3$ 두 수의 최소공배수는 $2^2\\times3^4$이므로 약수의 개수는 $(2+1)\\times(4+1)=15 (개)$ $∴$ $y=15$ $∴$ $y-x$$=15-3$$=12$"
    },
    {
        "question": "자연수 $n$의 모든 약수들의 합을 $A(n)$, 약수의 개수를 $B(n)$으로 나타낸다. 예를 들어 $A(8)=15$, $B(8)=4$이다. $A(12)=x$, $B(x)=y$일 때, $A(y)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$12$의 약수는 $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$이므로 $A(12)$$=1+2+3+4+6+12$$=28$ $\\therefore$ $x=28$ $28$$=2^2\\times7$이므로 $B(x)$$=B(28)$$=(2+1)\\times(1+1)$$=6$ $\\therefore$ $y=6$ $6$의 약수는 $1$, $2$, $3$, $6$이므로 $A(y)$$=A(6)$$=1+2+3+6$$=12$"
    },
    {
        "question": "두 수 $2\\times3^a\\times5$, $3^2\\times5^b\\times c$의 최대공약수가 $45$, 최소공배수가 $1890$일 때, $a+b+c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수, $c$는 소수)",
        "answer": "최대공약수 $45$를 소인수분해하면 $45$$=3^2\\times5$이고 최소공배수 $1890$을 소인수분해하면 $1890$$=2\\times3^3\\times5\\times7$이므로 최소공배수 : $2\\times3^3\\times5\\times7$ $∴ c=7$ $3^a=3^3$이므로 $a=3$, $5^b=5$이므로 $b=1$ $∴ a+b+c$$=3+1+7$$=11$"
    },
    {
        "question": "어떤 자연수는 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 $20=3+17=7+13$ 과 같이 나타낼 수 있다. $40$을 서로 다른 두 소수의 합으로 나타내는 방법은 모두 몇 가지인지 구하여라. (단, 더하는 순서는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "$40$보다 작은 소수는 $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$이므로 $40=3+37=11+29=17+23$ 따라서 구하는 방법은 $3$ 가지이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $24cm$, 세로의 길이가 $30cm$인 직사각형을 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 가장 작은 정사각형을 만들려고 한다. 이때 필요한 직사각형의 개수를 구하여라.",
        "answer": "가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는 직사각형의 가로, 세로의 길이의 최소공배수이다. $24$와 $30$의 최소공배수는 $2\\times3\\times4\\times5$$=120$이므로 정사각형의 한 변의 길이는 $120 cm$이다. 한 변의 길이가 $120 cm$가 되도록 붙일 수 있는 직사각형은 가로 방향으로 $120\\div24$$=5$ (개), 세로 방향으로 $120\\div30$$=4$ (개) 따라서 필요한 직사각형의 개수는 $5\\times4$$=20$ (개)"
    },
    {
        "question": "세 수 $2^2\\times7\\times11$, $3\\times7^2$, $2^3\\times11^2$의 최소공배수의 약수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$2^2\\quad\\times7\\times11$ $3\\times7^2$ $2^3\\qquad\\times11^2$ 최소공배수 : $2^3\\times3\\times7^2\\times11^2$ 따라서 주어진 세 수의 최소공배수의 약수의 개수는 $(3+1)\\times(1+1)\\times(2+1)\\times(2+1)=72 (개)$"
    },
    {
        "question": "$2^4\\times5^a\\times11$의 약수의 개수가 $60$ 개일 때, 자연수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^4\\times5^a\\times11$의 약수의 개수가 $60$ 개이므로 $(4+1)\\times(a+1)\\times(1+1)=60$ $10\\times(a+1)=60$ $a+1=6$ $∴$ $a=5$"
    },
    {
        "question": "두 수 $2^2\\times3^2\\times7^2$, $2^3\\times3\\times5$의 최대공약수를 $2^a\\times3$, 최소공배수를 $2^3\\times3^b\\times5\\times7^c$이라 할 때, 자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b-c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^2\\times3^2\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\times7^2\\\\$ $2^3\\times3\\times5\\\\$ 최대공약수 : $2^2\\times3$ 최소공배수 : $2^3\\times3^2\\times5\\times7^2$  따라서 $a=2$, $b=2$, $c=2$이므로 $a+b-c$$=2+2-2$$=2$"
    },
    {
        "question": "두 자연수의 최대공약수는 $2$이고 최소공배수는 $144$이다. 두 자연수의 합이 $34$일 때, 두 자연수의 차를 구하여라.",
        "answer": "두 자연수를 $A$, $B$($A>B$)라 하면 최대공약수가 $2$이므로 $A=2\\times a$, $B=2\\times b$ ($a>b$이고 $a$, $b$는 서로소)로 나타낼 수 있다.$\\\\$ $\\begin{array}{r} 2 \\underline{{\\big)} 2\\times a \\qquad 2\\times b} \\\\ \\quad a ~~~~~~\\qquad b \\quad \\end{array} \\\\$ $∴ (최소공배수)=2\\times a\\times b$ 두 수의 최소공배수가 $144$이므로 $2\\times a\\times b=144$ $∴$ $a\\times b=72$ ······ ㉠ 두 수의 합이 $34$이므로 $2\\times a+2\\times b=34$ $∴$ $a+b=17$ ······ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $a=9$, $b=8$ $∴$ $A=2\\times9=18$, $B=2\\times8=16$ 따라서 두 자연수의 차는 $A-B$$=18-16$$=2$"
    },
    {
        "question": "$7\\times7\\times7\\times7\\times11\\times11$을 거듭제곱으로 나타낼 때, $7$의 거듭제곱의 지수를 , $11$의 거듭제곱의 밑을 $n$이라 하자. 이때 $m+n$의 값을 구하여라. (단, $m$,$n$은 자연수)",
        "answer": "$7\\times7\\times7\\times7\\times11\\times11$$=7^4\\times11^2$ $7$의 거듭제곱 $7^4$의 지수는 $4$이므로 $m$$=4$ $11$의 거듭제곱 $11^2$의 밑은 $11$이므로 $n$$=11$ $ \\therefore m+n$$=4+11$$=15$"
    },
    {
        "question": "세 수 $3^2\\times5\\times7$, $525$, $3\\times5\\times7^2$의 공약수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "세 자연수의 공약수는 세 수의 최대공약수의 약수와 같다.  $525=3\\times5^2\\times7$이므로 세 수 $3^2\\times5\\times7$, $3\\times5^2\\times7$, $3\\times5\\times7^2$의 최대공약수를 구하면  $3^2\\times5\\times7$ $3\\times5^2\\times7$ $3\\times5\\times7^2$ 최대공약수 : $3\\times5\\times7$ 최대공약수 $3\\times5\\times7$의 약수의 개수는 $(1+1)\\times(1+1)\\times(1+1)=8 (개)$ 따라서 주어진 세 수의 공약수의 개수는 $8$ 개이다."
    },
    {
        "question": "어느 모임에서 실시하는 게임에 $80$ 명 이상 $90$ 명 이하의 회원이 참여하기로 하였다. 각 팀에 회원을 똑같이 배정할 때, 한 팀에 $6$ 명씩 배정하면 $4$ 명이 남고, $9$ 명씩 배정하면 $7$ 명이 남았다. 이 게임에 참여하는 회원 수를 구하여라.",
        "answer": "회원 수를 $x$ 명이라 하면 $x+2$는 $6$, $9$의 공배수이다. $6$과 $9$의 최소공배수는 $3\\times2\\times3$$=18$이므로 $x+2$는 $18$의 배수이다. $x+2$$=$$18$, $36$, $54$, $72$, $90$, $108$, $···$ $∴ x$$=$$16$, $34$, $52$, $70$, $88$, $106$, $···$ 회원 수는 $80$ 명 이상 $90$ 명 이하이므로 $88$ 명이다."
    },
    {
        "question": "두 수 $20$, $84$의 공약수의 개수를 $a$개, 최소공배수의 약수의 개수를 $b$개라 할 때, $b \\div a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$20$$=2^2\\times5$, $84$$=2^2\\times3\\times7$ 두 수의 공약수의 개수는 두 수의 최대공약수의 약수의 개수와 같다. 최대공약수는 $2^2$이므로 약수의 개수는 $2+1$$=3$ (개) $∴$ $a=3$ 두 수의 최소공배수는 $2^2\\times3\\times5\\times7$이므로 약수의 개수는  $(2+1)\\times(1+1)\\times(1+1)\\times(1+1)=24 (개)$ $∴$ $b=24$ $∴$ $b\\div a$$=24\\div3$$=8$"
    },
    {
        "question": "어떤 자연수를 소인수분해하면 $2^4\\times A^b$이고, 약수의 개수는 $15$ 개이다. $A$가 $5<A<14$인 자연수일 때, $A^b$의 값 중 가장 큰 자연수를 구하려고 한다. (1) $A$가 $5<A<14$인 자연수일 때, 소수인 $A$를 모두 구하여라. (2) 약수의 개수가 $15$ 개일 때, $b$의 값을 구하여라. (3) (1), (2)에서 구한 수를 이용하여 $A^b$의 값 중 가장 큰 자연수를 구하여라.",
        "answer": "(3) 가능한 $A^b$의 값은 $7^2$, $11^2$, $13^2$이므로 $A^b$의 값 중 가장 큰 자연수는  $13^2=169$ (1) $A$가 $5$인 자연수 중 소수인 수는 $7$, $11$, $13$이다. (2) 약수의 개수가 $15$ 개이므로 $(4+1)\\times(b+1)=15$ $5\\times(b+1)=15$ $b+1=3$ $∴ b=2$"
    },
    {
        "question": "두 자연수 $A$, $B$에 대하여 $A$, $B$의 곱이 $792$, 최대공약수가 $6$이고 그 합이 $78$일 때, $A-B$의 값을 구하여라. (단, $A>B$)",
        "answer": "두 자연수의 최대공약수가 $6$이므로 $A=6\\times a$, $B=6\\times b$($a>b$이고 $a$, $b$는 서로소)라 하면 $A\\times B=6\\times a\\times6\\times b=792$이므로 $a\\times b=22$ (ⅰ) $a=22$, $b=1$일 때, $A=132$, $B=6$ (ⅱ) $a=11$, $b=2$일 때, $A=66$, $B=12$ 두 수 $A$, $B$의 합이 $78$이므로 $A=66$, $B=12$ $∴$ $A-B$$=66-12$$=54$"
    },
    {
        "question": "$525=3\\times5^x\\times7$, $208=2^y\\times13$일 때, $y-x$의 값을 구하여라. (단, $x$, $y$는 자연수)",
        "answer": "$525$$=3\\times5^2\\times7$, $208$$=2^4\\times13$이므로 $x=2$, $y=4$ $∴ y-x$$=4-2$$=2$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $150$ $cm$, 세로의 길이가 $45$ $cm$인 직사각형 모양의 벽면에 같은 크기의 정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 붙이려고 한다. 타일을 가능한 한 적게 붙이려고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 필요한 타일의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 필요한 타일의 장수를 구하여라.",
        "answer": "정사각형 모양의 타일을 가능한 한 적게 붙이려면 타일의 한 변의 길이는 벽면의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이어야 한다. $150= 2 \\times 3 \\times 5^2$ $\\\\$ $45= 3^2 \\times5$ $\\\\$ $최대공약수 : 3 \\times 5 = 15$ $150$과 $45$의 최대공약수가 $15$이므로 구하는 타일의 한 변의 길이는 $15 cm$이다. (2) 벽면에 가로 방향으로 $150\\div15=10$ (장), 세로 방향으로 $45\\div15=3 (장)$만큼 붙일 수 있으므로 필요한 타일의 장수는 $10\\times3=30 (장)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $165m$, 세로의 길이가 $135m$인 직사각형 모양의 운동장의 둘레와 내부에 가로, 세로의 간격이 일정하도록 깃발을 꽂으려고 한다. 깃발을 가능한 한 적게 꽂으려고 할 때, 필요한 깃발은 몇 개인지 구하여라. (단, 네 모퉁이에 반드시 깃발을 꽂는다.)",
        "answer": "깃발을 가능한 한 적게 꽂으려면 깃발 사이의 간격은 가로의 길이, 세로의 길이의 최대공약수이어야 한다.  $165$와 $135$의 최대공약수는 $3\\times5=15$이므로 깃발 사이의 간격은 $15 m$이다. 따라서 $165\\div15$$=11$, $135\\div15$$=9$이므로 필요한 깃발의 수는 $(11+1)\\times(9+1)=120$ (개)"
    },
    {
        "question": "두 수 $2^a\\times3^3\\times5$, $2^4\\times3^b\\times11^2$의 최대공약수가 $36$이고 최소공배수가 $2^c\\times3^d\\times5\\times11^2$일 때, $a+b+c+d$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 자연수)",
        "answer": "$36$$=2^2\\times3^2$이므로 $\\begin{array}{r} 2^a\\times3^b\\times5~~~~~~~~~~\\\\ 2^4\\times3^b~~~~~~\\times11^2\\\\ \\hline 최대공약수:2^a\\times3^2~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\end{array}$ $2^a=2^2$, $3^b=3^2$ $∴ a=2$, $b=2$ $a$, $b$의 값을 각각 대입하면 두 수는 $2^2\\times3^3\\times5$, $2^4\\times3^2\\times11^2$이므로 $\\begin{array}{r} 2^2\\times3^3\\times5~~~~~~~~~~\\\\ 2^4\\times3^2~~~~~~~\\times11^2\\\\ \\hline 최소공배수:2^c\\times3^d\\times5\\times11^2 \\end{array}$ $2^4=2^c$, $3^3=3^d$ $∴ c=4$, $d=3$ $∴ a+b+c+d$$=2+2+4+3$$=11$"
    },
    {
        "question": "$N(x)$는 자연수 $x$를 소인수분해하였을 때, 소인수들의 합을 나타낸다. 예를 들어 $N(10)=7$이다. $N(56)=a$일 때, $N(a)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$56$$=2^3\\times7$이므로 소인수는 $2$, $7$이다. $∴ N(56)$$=2+7$$=9$ $∴ a=9$ $9$$=3^2$이므로 소인수는 $3$이다. $∴ N(a)$$=N(9)$$=3$"
    },
    {
        "question": "$2^m \\times 3^2$의 약수의 개수가 $9$ 개일 때, 자연수 $m$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2^m\\times3^2$의 약수의 개수가 $9$ 개이므로 $(m+1)\\times(2+1)=9$ $(m+1)\\times3=9$ $m+1=3$ $∴$ $m=2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $◆$는 아래 연결된 두 수의 최대공약수를, $■$는 위에 연결된 두 수의 최소공배수를 구한 것이다. 이때 자연수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $B+C$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(두 자연수의 곱)=(최대공약수)\\times(최소공배수)$이므로 $A\\times15=5\\times60$ $∴$ $A$$=(5\\times60)\\div15$$=20$ $B$는 $24$와 $20$의 최대공약수이므로 $B$$=2\\times2$$=4$ $C$는 $24$와 $20$의 최소공배수이므로 $C$$=2\\times2\\times6\\times5$$=120$ $∴$ $B+C$$=4+120$$=124$"
    },
    {
        "question": "두 자연수 $A$, $B$에 대하여 $A$, $B$의 곱이 $1440$, 최대공약수가 $12$이고 그 합이 $84$일 때, $A-B$의 값을 구하여라. (단, $A>B$)",
        "answer": "두 자연수의 최대공약수가 $12$이므로 $A=12\\times a$, $B=12\\times b(a>b$이고 $a$, $b$는 서로소)라 하면 $A\\times B=12\\times a\\times12\\times b=1440$이므로 $a\\times b=10$ (ⅰ) $a=10$, $b=1$일 때, $A=120$, $B=12$ (ⅱ) $a=5$, $b=2$일 때, $A=60$, $B=24$ 두 수 $A$, $B$의 합이 $84$이므로 $A=60$, $B=24$ $∴ A-B$$=60-24$$=36$"
    },
    {
        "question": "$180$의 약수의 개수와 $2^2\\times5^a\\times7^b$의 약수의 개수가 같을 때, 두 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$180$을 소인수분해하면 $180=2^2\\times3^2\\times5$이므로 $180$의 약수의 개수는 $(2+1)\\times(2+1)\\times(1+1)$$=18$ (개) $180$의 약수의 개수와 $2^2\\times5^a\\times7^b$의 약수의 개수가 같으므로 $18$$=(2+1)\\times(a+1)\\times(b+1)$ $6=(a+1)\\times(b+1)$ 이때 $a$, $b$가 자연수이므로 $a+1=2$, $b+1=3$ 또는 $a+1=3$, $b+1=2$ $∴$ $a=1$, $b=2$ 또는 $a=2$, $b=1$ $∴$ $a+b$$=1+2$$=2+1$$=3$"
    },
    {
        "question": "어떤 수를 $8$, $12$, $36$으로 나누었더니 나머지가 각각 $5$, $9$, $33$이었다. 이러한 세 자리의 자연수 중에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차를 구하여라.",
        "answer": "어떤 수를 $8$, $12$, $36$으로 나누면 모두 $3$이 부족하므로 어떤 수를 $x$라 하면 $x+3$은 $8$, $12$, $36$의 공배수이다. $8$, $12$, $36$의 최소공배수는 $2\\times2\\times3\\times2\\times1\\times3$$=72$이므로 $x+3$은 $72$의 배수이다. $x+3$$=72$, $144$, $216$, ···, $936$, $1008$, ··· ∴ $x$$=69$, $141$, $213$, ···, $933$, $1005$, ··· 따라서 세 자리의 자연수 중 가장 큰 수는 $933$, 가장 작은 수는 $141$이므로 그 차는 $933-141=792$"
    },
    {
        "question": "$10 $이상 $20 $이하의 자연수 중 약수가 $2$ 개인 수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "자연수 중 약수의 개수가 $2$ 개인 수는 소수이다. 따라서 $10 $이상 $20 $이하의 자연수 중 소수는 $11, $$13, $$17, $$19$의 $4 $개이다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $200 cm$, 세로의 길이가 $120 cm$인 직사각형 모양의 벽에 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 빈틈없이 붙이려고 한다. 타일을 가능한 한 적게 사용하려고 할 때, 필요한 타일의 수를 구하여라.",
        "answer": "타일을 가능한 한 적게 사용하려면 타일의 한 변의 길이가 가장 길어야 한다.  가장 긴 타일의 한 변의 길이는 벽의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이다. $200$과 $120$의 최대공약수는 $2\\times2\\times2\\times5$$=40$이므로 정사각형 모양의 타일의 한 변의 길이는 $40 cm$이다. 벽에 가로 방향으로 $200\\div40=5 (장)$, 세로 방향으로 $120\\div40=3 (장)$만큼 붙일 수 있으므로 필요한 타일의 수는 $5\\times3=15 (장)$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에서 $\\frac{7}{4}$을 뺀 후 $2$로 나누어야 할 것을 잘못하여 $\\frac{7}{4}$을 더한 후 $2$로 나누었더니 $-\\frac{9}{8}$가 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라 하면 $(□+\\frac{7}{4})\\div2=-\\frac{9}{8}$   $\\therefore□$$=$$(-\\frac{9}{8})\\times2-\\frac{7}{4}$ $=$$-\\frac{9}{4}-\\frac{7}{4}$ $=$$-4$ 바르게 계산하면 $(-4-\\frac{7}{4})\\div2$$=(\\frac{23}{4})\\times\\frac{1}{2}$$=-\\frac{23}{8}$"
    },
    {
        "question": "지민이와 지호가 운동장을 한 바퀴 도는 데 각각 $80$ 초, $64$ 초가 걸린다. 이와 같은 속력으로 출발점을 동시에 출발하여 같은 방향으로 운동장을 돌 때, 지민이와 지호가 처음으로 출발점에서 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 몇 초인지 구하여라.",
        "answer": "지민이와 지호가 처음으로 출발점에서 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 $80$과 $64$의 최소공배수이다. $∴ (최소공배수) =2\\times2\\times2\\times2\\times5\\times4$$=320$ 따라서 처음으로 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 $320$ 초이다."
    },
    {
        "question": "두 자연수의 최대공약수는 $5$이고 최소공배수는 $100$이다. 두 자연수의 차가 $5$일 때, 두 자연수의 합을 구하여라.",
        "answer": "두 자연수를 $A$, $B$$(A>B)$라 하면 최대공약수가 $5$이므로 $A=5\\times a$, $B=5\\times b$ ($a>b$이고 $a$, $b$는 서로소)로 나타낼 수 있다. $∴$ $(최소공배수)$$=5\\times a\\times b$ 두 수의 최소공배수가 $100$이므로 $5\\times a\\times b=100$ $∴$ $a\\times b=20$ ······ $㉠$ 두 수의 차가 $5$이므로 $5\\times a-5\\times b=5$ $∴$ $a-b=1$ ······ $㉡$ $㉠, ㉡$에 의하여 $a=5$, $b=4$ $∴$ $A=5\\times5=25$, $B=5\\times4=20$ 따라서 두 자연수의 합은 $A+B$$=25+20$$=45$"
    },
    {
        "question": "$60$ 이하의 자연수 중 $8$의 배수이지만 $12$의 배수가 아닌 수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$60$ 이하의 자연수 중 $8$의 배수는 $8$, $16$, $24$, $32$, $40$, $48$, $56$의 $7$ 개이고, 이 중 $12$의 배수는 $24$, $48$의 $2$ 개이다. 따라서 $60$ 이하의 자연수 중 $8$의 배수이지만 $12$의 배수가 아닌 수의 개수는 $7-2=5$ (개)"
    },
    {
        "question": "$48$에 가장 작은 자연수 $x$를 곱하여 어떤 자연수 $y$의 제곱이 되도록 할 때, $y\\div x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 자연수의 제곱인 수는 소인수분해했을 때 소인수의 지수가 모두 짝수여야 한다.  $48$$=2^4\\times3$이므로 모든 소인수의 지수가 짝수가 되도록 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 $3$이다. $∴$ $x$$=3$ $48\\times x=y^2$에서 $48\\times3$$=144$$=12^2$ $∴$ $y=12$ $∴$ $y\\div x$$=12\\div3$$=4$"
    },
    {
        "question": "S 회사에서 사무용품으로 지우개 $700$ 개, 테이프 $930$ 개를 구입해 회계 팀 직원들 모두에게 똑같이 나누어 주었더니 지우개와 테이프가 모두 $10$ 개씩 남았다. 회계 팀 직원 수를 $a$ 명, 한 직원이 받은 지우개와 테이프의 개수를 각각 $b$ 개, $c$ 개라 할 때, $a+b+c$의 값을 구하여라. (단, 회계 팀 직원은 $100$ 명보다 많고 $200$ 명보다 적다.)",
        "answer": "지우개와 테이프가 모두 $10$ 개씩 남았으므로 직원들에게 나누어 준 지우개는 $700-10=690 (개)$, 테이프는 $930-10=920 (개)$ 이때 회계 팀 직원 수는 직원들에게 나누어 준 지우개의 개수와 테이프의 개수의 공약수이다.  $690$과 $920$의 최대공약수는 $2\\times5\\times23$$=230$이므로 직원 수는 $230$의 약수이면서 $100$보다 크고 $200$보다 작은 수이다. 회계 팀 직원 수는 $115$ 명이므로 $a$$=115$ 한 직원이 받은 지우개의 개수는 $690\\div115=6$ (개)이므로 $b=6$ 한 직원이 받은 테이프의 개수는 $920\\div115=8$ (개)이므로 $c=8$ $∴$ $a+b+c$$=115+6+8$$=129$"
    },
    {
        "question": "총 $648 km$ 의 거리를 걷는 국토 대장정에 참여한 강준이와 준수는 같은 지점에서 동시에 출발하여 같은 길을 걸었다. 강준이는 하루에 $18km$씩, 준수는 하루에 $24km$씩 걷고, 하루의 일정을 마친 지점마다 자신의 깃발을 꽂아 두었다. 두 사람이 국토 대장정을 마쳤을 때, 두 사람의 깃발이 함께 꽂힌 지점은 모두 몇 개인지 구하여라. (단, 최종 도착 지점에도 깃발을 꽂는다.)",
        "answer": "두 사람의 깃발이 함께 꽂힌 두 지점 사이의 간격은 $18$과 $24$의 최소공배수이다. $∴ (최소공배수)=2\\times3\\times3\\times4=72$ 두 사람의 깃발은 $72$ $km$마다 함께 꽂힌다. 총거리가 $648 km$이므로 두 사람의 깃발이 함께 꽂힌 지점은 $648\\div72=9 (개)$"
    },
    {
        "question": "두 수 $2\\times3\\times5$, $2^2\\times3$의 최대공약수를 $x$, 최소공배수를 $y$라 할 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$2\\times3\\times5$, $2^2\\times3$의 최대공약수와 최소공배수를 구하면 $2\\times3\\times5$ $2^2\\times3$ 최대공약수:$2\\times3$ 최소공배수:$2^2\\times3\\times5$ $∴$ $x$$=2\\times3$$=6$, $y$$=2^2\\times3\\times5$$=60$ $∴$ $x+y$$=6+60$$=66$"
    },
    {
        "question": "두 수 $2^2\\times5\\times7^2\\times13$, $2^3\\times7\\times13^2$의 최대공약수를 $2^a\\times7\\times13$, 최소공배수를 $2^3\\times5\\times7^b\\times13^c$이라 할 때, 자연수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "따라서 $a=2$, $b=2$, $c=2$이므로 $a-b+c$$=2-2+2$$=2$"
    },
    {
        "question": "빵 $50$ 개, 음료수 $25$ 개, 사탕 $100$ 개를 되도록 많은 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 한다. 한 학생이 받는 빵은 $x$개, 음료수는 $y$개, 사탕은 $z$개 할 때, $x$, $y$, $z$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "빵, 음료수, 사탕을 되도록 많은 학생들에게 나누어 줄 때 학생 수는 빵, 음료수, 사탕 수의 최대공약수이다. $50$, $25$, $100$의 최대공약수는 $5\\times5=25$이므로 학생 수는 $25$ 명이다. 따라서 한 학생이 받는 빵은 $50\\div25=2$ (개), 음료수는 $25\\div25=1$ (개), 사탕은 $100\\div25=4$ (개)이므로 $x=2$, $y=1$, $z=4$"
    },
    {
        "question": "정윤이와 윤수가 운동장을 한 바퀴 도는 데 각각 $60$ 초, $48$ 초가 걸린다. 이와 같은 속력으로 출발점을 동시에 출발하여 같은 방향으로 운동장을 돌 때, 정윤이와 윤수가 처음으로 출발점에서 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 몇 초인지 구하여라.",
        "answer": "정윤이와 윤수가 처음으로 출발점에서 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 $60$과 $48$의 최소공배수이다. $∴$ $(최소공배수)=2\\times2\\times3\\times5\\times4$$=240$ 따라서 처음으로 다시 만나게 될 때까지 걸리는 시간은 $240$ 초이다."
    },
    {
        "question": "세 자연수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A$와 $C$의 최대공약수는 $14$, 최소공배수는 $56$이고 $B$와 $C$의 최대공약수는 $7$, 최소공배수는 $168$일 때, $C-B+A$의 값을 구하려고 한다. (단, $A<B<C$) $(1)A$와 $C$의 최대공약수는 $14$, 최소공배수는 $56$임을 이용하여 $A$, $C$의 값을 각각 구하여라.  $(2)B$와 $C$의 최대공약수는 $7$, 최소공배수는 $168$임을 이용하여 $B$의 값을 구하여라.  $(3)C-B+A$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$A$와 $C$의 최대공약수가 $14$이므로 $A=14\\times a$, $C=14\\times c$($a$이고 $a$, $c$는 서로소)라 하면 최소공배수가 $56$이므로 $14\\times a\\times c=56$ $a\\times c=4$이고 $a$이므로 $a=1$, $c=4$ $∴ A=14$, $C=56$ $C$$=56$$=7\\times8$이고 $B$와 $C$의 최대공약수가 $7$이므로 $B=7\\times b$($b$와 $8$은 서로소)라 하면 최소공배수가 $168$이므로 $7\\times b\\times8=168$ $b=3$이므로 $B=21$ (3) $C-B+A$$=56-21+14$$=49$"
    },
    {
        "question": "$35$를 자연수 $n$으로 나눈 나머지가 $0$이 되도록 하는 $n$의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$35$를 자연수 $n$으로 나눈 나머지가 $0$이 되려면 $n$은 $35$의 약수여야 한다. $35$의 약수는 $1$, $5$, $7$, $35$이므로 $n$의 개수는 $4$ 개이다."
    },
    {
        "question": "두 수 $3^3\\times7^m$, $3^n\\times5\\times7$의 최대공약수가 $3^2\\times7$, 최소공배수가 $3^3\\times5\\times7^2$일 때, 자연수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$3^3\\times7^m$ $3^n\\times5\\times7$ 최대공약수 : $3^2\\times7$ 최소공배수 : $3^3\\times5\\times7^2$ $7^m=7^2$, $3^n=3^2$이므로 $m=2$, $n=2$ $∴ m+n$$=2+2$$=4$"
    },
    {
        "question": "세 수 $2\\times3\\times5$, $3^2\\times5$, $2\\times3^3$의 공배수 중 $1000$에 가장 가까운 것을 구하여라.",
        "answer": "세 자연수의 공배수는 세 수의 최소공배수의 배수와 같다. \\[ \\begin{array}{r} 2 \\times 3 \\times 5 \\\\ 3^{2} \\times 5 \\\\ 2 \\times 3^{3} \\\\ \\hline \\end{array} \\]  최소공배수 : $2 \\times 3^{3} \\times 5$ $2 \\times 3^{3} \\times 5=270$ 이므로 $1000$ 에 가까운 $270$ 의 배수를 구하면 $270 \\times 3=810,270 \\times 4=1080$  따라서 가장 가까운 공배수는 $1080$ 이다."
    },
    {
        "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 서로 다른 세 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a-b+c$의 값을 구하여라. ㈎ $a$, $b$의 값은 $3$보다 작다. ㈏ $b$의 절댓값은 $4$이다. ㈐ $\\vert a \\vert -1 = \\vert b \\vert +5$ ㈑ $a+b-c=1$",
        "answer": "㈎, ㈏에서 $b<3$이고$\\vert b \\vert=4$이므로 $b=-4$ ㈐에서 $\\vert a \\vert-1=9$이므로$\\vert a \\vert=10$ $∴$ $a=-10$ 또는 $a=10$ ㈎에서 $a<3$이므로 $a=-10$ ㈑에서 $a+b-c=1$이므로 $-10+(-4)-c=1$ $-14-c=1$ $∴$ $c=-15$ $∴$ $a-b+c$$=(-10)-(-4)+(-15)$$=-21$"
    },
    {
        "question": "$270$을 자연수 $x$로 나누어 어떤 자연수 $y$의 제곱이 되도록 할 때, 가장 작은 $x\\div y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 자연수의 제곱인 수는 소인수분해했을 때 소인수의 지수가 모두 짝수여야 한다. $270$$=2\\times3^3\\times5$이므로 모든 소인수의 지수가 짝수가 되도록 나눌 수 있는 가장 작은 자연수는 $2\\times3\\times5$$=30$ $∴$ $x$$=30$ $270\\div x=y^2$에서 $270\\div30$$=9$$=3^2$ $∴$ $y=3$ $∴$ $x\\div y$$=30\\div3$$=10$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 서로 맞물려 도는 두 톱니바퀴 P, Q에 대하여 P의 톱니의 개수는 $32$ 개, Q의 톱니의 개수는 $24$ 개이다. 두 톱니바퀴가 회전하기 시작하여 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니바퀴 P의 톱니의 개수를 구하여라.",
        "answer": "두 톱니바퀴가 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 개수는 $32$와 $24$의 최소공배수이다.$\\\\$  $\\begin{array} {r} 2\\underline{{\\big)} \\;\\; 32~~24} \\\\  2\\underline{{\\big)} \\;\\; 16~~12} \\\\ 2\\underline{{\\big)} \\;\\; 8~~~~~6} \\\\4~~~~~~3 \\end{array}$$\\\\$ ∴ (최소공배수)$=2\\times2\\times2\\times4\\times3$$=96$ 따라서 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니바퀴 $P$의 톱니의 개수는 $96$ 개이다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 $21$ $cm$, $14$ $cm$, $7$ $cm$인 직육면체 모양의 상자를 빈틈없이 쌓아서 가장 작은 정육면체를 만들려고 한다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 $a$ $cm$, 필요한 상자의 개수를 $b$ 개라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "가장 작은 정육면체의 한 모서리의 길이는 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이의 최소공배수이다. $21$, $14$, $7$의 최소공배수는 $7\\times3\\times2\\times1$$=42$이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 $42 cm$이다. $∴ a=42$ 각각의 방향에서 개수를 셀 때 쌓을 수 있는 상자는 가로 방향으로 $42\\div21=2$ (개), 세로 방향으로 $42\\div14=3$ (개), 높이 방향으로 $42\\div7=6$ (개) 필요한 상자의 개수는 $2\\times3\\times6$$=36$ (개)이므로 $b$$=36$ $∴$ $a-b$$=42-36$$=6$"
    },
    {
        "question": "$X=4a-b$, $Y=3a-2b$일 때, $-(X-2)+4(2Y+1)$을 $a$, $b$를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "$-(X-2)+4(2Y+1)=-X+2+8Y+4=-X+8Y+6$ $X=4a-b$, $Y=3a-2b$를 대입하면 $-X+8Y+6=-(4a-b)+8(3a-2b)+6=-4a+b+24a-16b+6$ $=$$20a-15b+6$"
    },
    {
        "question": "$2\\times9\\times15$의 약수의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$2\\times9\\times15$$=2\\times3^3\\times5$이고, 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 $1$을 더한 값들의 곱이므로 $2\\times9\\times15$의 약수의 개수는 $(1+1)\\times(3+1)\\times(1+1)=16 (개)$"
    },
    {
        "question": "공책 $20$ 권, 연필 $35$ 자루, 지우개 $40$ 개를 남김없이 학생들에게 똑같이 나누어 줄 때, 최대 몇 명에게 나누어 줄 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "가능한 한 많은 수의 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 할 때, 나누어 줄 수 있는 학생 수는 공책, 연필, 지우개 수의 최대공약수이다.  따라서 $20$, $35$, $40$의 최대공약수가 $5$이므로 최대 $5$ 명에게 나누어 줄 수 있다."
    },
    {
        "question": "가로, 세로의 길이가 각각 $126 cm$, $84 cm$인 직사각형 모양의 게시판에 크기가 같은 정사각형 모양의 도화지를 빈틈없이 붙이려고 한다. 도화지를 가능한 한 적게 사용하려고 할 때, 도화지의 한 변의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$126$과 $84$의 최대공약수는 $2\\times3\\times7$$=42$ 따라서 정사각형 모양의 도화지의 한 변의 길이는 $42$ $cm$이다. 도화지를 가능한 한 적게 사용하려면 도화지의 한 변의 길이가 가장 길어야 한다. 가장 긴 도화지의 한 변의 길이는 게시판의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이다."
    },
    {
        "question": "공책 $75$ 권과 연필 $117$ 자루를 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 했더니 공책은 $3$권이 남고, 연필은 $3$ 자루가 부족하였다. 이때 학생은 최대 몇 명인지 구하여라.",
        "answer": "공책 $75$ 권을 나누어 주는 데 $3$ 권이 남았으므로 학생들에게 나누어 준 공책은 $75-3$$=72$ (권) 연필 $117$ 자루를 나누어 주려고 하는 데 $3$ 자루가 부족하였으므로 학생들에게 나누어 주려고 한 연필은 $117+3$$=120$ (자루) 가능한 한 많은 수의 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 할 때, 나누어 줄 수 있는 학생 수는 공책과 연필 수의 최대공약수이다. $72$와 $120$의 최대공약수는 $2\\times2\\times2\\times3$$=24$ 따라서 최대 $24$ 명에게 나누어 줄 수 있다."
    },
    {
        "question": "어느 역에서 대구행 기차는 $24$ 분, 부산행 기차는 $32$ 분 간격으로 출발한다. 오전 $10$ 시에 두 기차가 동시에 출발하였을 때, 그다음에 처음으로 동시에 출발하는 시각을 구하여라.$\\\\$",
        "answer": "두 기차가 다시 동시에 출발할 때까지 걸리는 시간은 $24$와 $32$의 최소공배수이다. $\\therefore (최소공배 수)$$=2\\times2\\times2\\times3\\times4$$=96$ 따라서 다시 동시에 출발하는 시각은 $96$ 분 후인 오전 $11$ 시 $36$ 분이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 서로 맞물려 도는 두 톱니바퀴 $A, B$에 대하여 $A$의 톱니의 개수는 $24$ 개, $B$의 톱니의 개수는 $16$ 개이다. 두 톱니바퀴가 회전하기 시작하여 처음으로 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니바퀴 $A$의 톱니의 개수를 구하여라.",
        "answer": "두 톱니바퀴가 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니의 개수는 $24$와 $16$의 최소공배수이다.  $∴$$ (최소공배수)$$=2\\times2\\times2\\times3\\times2$$=48$ 따라서 다시 같은 톱니에서 맞물릴 때까지 돌아간 톱니바퀴 $A$의 톱니의 개수는 $48$ 개이다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $96$ $m$, 세로의 길이가 $132$ $m$인 직사각형 모양의 공원 둘레에 일정한 간격으로 가로등을 세우려고 한다. 가로등의 개수를 최소로 할 때, 가로등 사이의 간격을 구하여라. (단, 네 모퉁이에 반드시 가로등을 세운다.)",
        "answer": "가로등의 개수를 최소로 하려면 가로등 사이의 간격이 최대가 되어야 한다. 간격이 최대가 되는 가로등 사이의 간격은 직사각형의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이다.  $96$과 $132$의 최대공약수는 $2\\times2\\times3$$=12$ 따라서 구하는 가로등 사이의 간격은 $12$ $m$이다."
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $105$ cm, 세로의 길이가 $140$ cm인 직사각형 모양의 포장지를 남는 부분이 없도록 크기가 같은 정사각형 모양의 조각으로 자르려고 한다. 잘려진 조각의 넓이가 최대가 되도록 할 때, 조각의 한 변의 길이를 $a$ cm, 잘려진 조각의 개수를 $b$ 개라 하자. 이때 $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "넓이가 최대가 되려면 변의 길이가 최대여야 하므로 가능한 큰 정사각형 조각의 한 변의 길이는 직사각형의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이다.  $105$와 $140$의 최대공약수는 $5\\times7$$=35$이므로 조각의 한 변의 길이는 $35 cm$이다. $∴ a$$=35$ 포장지는 가로 방향으로 $105\\div35$$=3$ (개), 세로 방향으로 $140\\div35=4$ (개)만큼 자를 수 있으므로 조각의 개수는 $3\\times4$$=12$ (개) $∴ b$$=12$ $∴ a-b$$=35-12$$=23$"
    },
    {
        "question": "$9$, $10$, $12$ 중 어느 수로 나누어도 $3$이 부족한 세 자리의 자연수를 모두 구하여라.",
        "answer": "$9$, $10$, $12$ 중 어느 수로 나누어도 $3$이 부족한 자연수를 $x$라 할 때, $x+3$은 $9, $$10, $$12$의 공배수이다. $9$, $10$, $12$의 최소공배수는 $3\\times2\\times3\\times5\\times2$$=180$이므로 $x+3$은 $180$의 배수이다. $x+3$$=180$, $360$, $540$, $720$, $900$, $1080$, ··· $∴$ $x$$=177$, $357$, $537$, $717$, $897$, $1077$, ··· 따라서 세 자리의 자연수는 $177$, $357$, $537$, $717$, $897$이다."
    },
    {
        "question": "수직선 위에서 두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점 사이의 거리가 $12$이고 두 점의 한가운데에 있는 점이 나타내는 수가 $1$일 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$)",
        "answer": "두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점의 한가운데에 있는 점이 나타내는 수가 $1$이므로 $1$을 나타내는 점과 두 수 $a$, $b$를 나타내는 점 사이의 거리는 $\\frac{12}{2}=6$ $b>0$이므로 수직선에 나타내면 다음과 같다. $∴b=7$"
    },
    {
        "question": "세 유리수 $a$, $b$, $c$는 서로 다른 양수이다. 다음 세 식을 계산한 값이 모두 같을 때, 세 수 $a$, $b$, $c$를 크기가 작은 순서대로 나열하여라. $a\\div\\frac{3}{5}\\div\\frac{25}{7}$ $b\\times(-\\frac{2}{3})\\div(-\\frac{1}{6})$ $c\\div\\frac{5}{2}\\times(-\\frac{2}{3})^2$",
        "answer": "세 식을 간단히 하면 $a\\div\\frac{3}{5}\\div\\frac{25}{7}$$=a\\times\\frac{5}{3}\\times\\frac{7}{25}$$=a\\times\\frac{7}{15}$ $b\\times(-$$\\frac{2}{3})\\div$$(-\\frac{1}{6})=$$b$$\\times(-$$\\frac{2}{3})\\times(-6)$$=b\\times4$ $c\\div\\frac{5}{2}$$\\times(-$$\\frac{2}{3})^2$$=c\\times\\frac{2}{5}\\times\\frac{4}{9}$$=c\\times\\frac{8}{45}$ 세 유리수 $a$, $b$, $c$가 서로 다른 양수이고 세 식을 계산한 값이 모두 같으므로 $a$, $b$, $c$ 각각의 값은 뒤에 곱해진 수가 클수록 작다. $4>\\frac{7}{15}>\\frac{8}{45}$이므로 $b<a<c$"
    },
    {
        "question": "$A$=($-\\frac{4}{3})^2$ $\\times$ $\\frac{1}{5}$ $\\times$ $(-\\frac{5}{2})$일 때, $A\\times B=1$이 되도록 하는 유리수 $B$의 값을 구하려고 한다. (1) $A$의 값을 구하여라.  (2) $B$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) $A=(-\\frac{4}{3})^2\\times \\frac{1}{5} \\times(-\\frac{5}{2})$  $=\\lbrace(-\\frac{4}{3}) \\times (-\\frac{4}{3})\\rbrace \\times(+ \\frac{1}{5}) \\times(-\\frac{5}{2})$  $=(+\\frac{16}{9})\\times(+\\frac{1}{5}) \\times(-\\frac{5}{2})$   $=-(\\frac{16}{9}\\times+\\frac{1}{5} \\times-\\frac{5}{2})$ $=-\\frac{8}{9}$ (2) $A\\times B=1$이므로 $B$는 $A$의 역수이다. $A=-\\frac{8}{9}$이므로 $B$는 $A$의 역수인 $-\\frac{9}{8}$이다."
    },
    {
        "question": "다음 조건을 만족시키는 두 정수 $x$, $y$에 대하여 $x+y$의 최솟값을 구하여라. (가)$x$는 수직선에서 $-1$을 나타내는 점과의 거리가 $3$이하인 정수이다. (나)$y$는 $\\vert y\\vert<3$인 정수이다.",
        "answer": "㈎에서 $x$는 수직선에서 $-1$을 나타내는 점과의 거리가 $3$ 이하인 정수이다.  $∴$ $x$$=$$-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ ㈏에서 $y$는 수직선에서 $0$을 나타내는 점으로부터의 거리가 $3$ 미만인 점들이 나타내는 수 중 정수이다. $∴ $$y$$=$$-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ 따라서 $x+y$의 최솟값은 $(-4)+(-2)$$=-6$"
    },
    {
        "question": "다음 수직선 위의 두 점 $A$, $B$ 사이의 거리를 $3$ 등분하였을 때, 점 $C$에 대응하는 유리수를 구하여라.",
        "answer": "두 점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $\\frac{9}{4}$-(-$\\frac{3}{10})=\\frac{9}{4}+\\frac{3}{10}$$=\\frac{45}{20}+\\frac{6}{20}$$=\\frac{51}{20}$ $\\frac{51}{20}$을 $3$ 등분하면 $\\frac{51}{20}\\div3$$=\\frac{51}{20}\\times\\frac{1}{3}$$=\\frac{17}{20}$ 따라서 점 $C$는 $-\\frac{3}{10}$에서 오른쪽으로 $\\frac{17}{20}$만큼 이동한 점이므로 $-\\frac{3}{10}+\\frac{17}{20}$$=-\\frac{6}{20}+\\frac{17}{20}$$=\\frac{11}{20}$"
    },
    {
        "question": "$-1$보다 $3$만큼 작은 수를 $x$, $5$보다 $-2$만큼 작은 수를 $y$라 할 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-1$보다 $3$만큼 작은 수는 $-1-3=-4$이므로 $x=-4$ $5$보다 $-2$만큼 작은 수는 $5-(-2)=5+2=7$이므로 $y=7$ $∴ x+y$$=-4+7$$=3$"
    },
    {
        "question": "절댓값이 서로 다른 $x$, $y$에 대하여 절댓값이 큰 수를 $x ○ y$, 절댓값이 작은 수를 $x ● y$라고 할 때, $(-1) ● \\frac{3}{2}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\mid-1\\mid$ $=1$,  $\\mid\\frac{3}{2}\\mid$$=\\frac{3}{2}$ 따라서 $1<\\frac{3}{2}$이므로 $(-1) ● \\frac{3}{2}$$=-1$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도로 정육면체를 만들었다. 마주 보는 면에 적힌 두 수의 합이 $-\\frac{3}{4}$일 때, $A-B-C$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$A$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $\\frac{3}{2}$이므로 $A+\\frac{3}{2}=-\\frac{3}{4}$ $∴ A=-\\frac{3}{4}-\\frac{3}{2}=-\\frac{3}{4}-\\frac{6}{4}=-\\frac{9}{4}$ $B$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-\\frac{2}{5}$이므로  $B+(-\\frac{2}{5})=-\\frac{3}{4}$ $∴ B=-\\frac{3}{4}-(-\\frac{2}{5})=-\\frac{3}{4}+\\frac{2}{5}=-\\frac{15}{20}+\\frac{8}{20}=-\\frac{7}{20}$ $C$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-\\frac{1}{3}$이므로  $C+(-\\frac{1}{3})=-\\frac{3}{4}$ $∴ C=-\\frac{3}{4}-(-\\frac{1}{3})=-\\frac{3}{4}+\\frac{1}{3}=-\\frac{9}{12}+\\frac{4}{12}=-\\frac{5}{12}$ $∴ A-B-C=(-\\frac{9}{4})-(-\\frac{7}{20})-(-\\frac{5}{12})=-\\frac{9}{4}+\\frac{7}{20}+\\frac{5}{12}$ $=-\\frac{135}{60}+\\frac{21}{60}+\\frac{25}{60}$$=$$-\\frac{89}{60}$"
    },
    {
        "question": "두 자연수 $3^2\\times5\\times7^3$, $A$의 최대공약수가 $5\\times7$이고 최소공배수가 $2^2\\times3^2\\times5^2\\times7^3$일 때, $A$의 값을 소인수의 거듭제곱으로 나타내어라.",
        "answer": "$(두 자연수의 곱)=(최대공약수)\\times(최소공배수)$이므로 $(3^2\\times5\\times7^3)\\times A=(5\\times7)\\times(2^2\\times3^2\\times5^2\\times7^3)$ $∴A=\\lbrace(5\\times7)\\times(2^2\\times3^2\\times5^2\\times7^3)\\rbrace\\div(3^2\\times5\\times7^3)=2^2\\times5^2\\times7$"
    },
    {
        "question": "세 자연수의 비가 $2 : 5 : 8$이고 최소공배수가 $200$일 때, 세 자연수의 합을 구하여라.",
        "answer": "세 자연수를 $2\\times x$, $5\\times x$, $8\\times x$라 할 때, 최소공배수를 구하면  $(최소공배수)=x\\times2\\times1\\times5\\times4=200$ $x\\times40=200$ $∴ x=5$ 세 자연수는 $2\\times5=10$, $5\\times5=25$, $8\\times5=40$이고, 세 자연수의 합은 $10+25+40=75$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에 $-\\frac{1}{2}$을 더한 후 $4$를 곱해야 할 것을 잘못하여 $-\\frac{1}{2}$을 뺀 후 $4$를 곱했더니 $\\frac{7}{3}$이 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라 하면 $\\lbrace□-(-\\frac{1}{2}) \\rbrace\\times4=\\frac{7}{3}$ $\\therefore□=\\frac{7}{3} \\div 4 - \\frac{1}{2} $ $=\\frac{7}{3}\\times \\frac{1}{4}-\\frac{1}{2}$ $=\\frac{7}{12} - \\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{1}{12}$ 바르게 계산하면 $\\lbrace\\frac{1}{12}+(-\\frac{1}{2})\\rbrace\\times4$$=(-\\frac{5}{12})\\times4$$=-\\frac{5}{3}$"
    },
    {
        "question": "절댓값이 서로 다른 $x$, $y$에 대하여 절댓값이 큰 수를 $x ○ y$, 절댓값이 작은 수를 $x ◇ y$라고 할 때, $\\frac{10}{9} ○ (-2)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\vert \\frac{10}{9}\\vert =\\frac{10}{9}$, $\\vert -2\\vert =2$ 따라서 $\\frac{10}{9}<2$이므로 $\\frac{10}{9} ○ (-2)$$=-2$"
    },
    {
        "question": "$50$보다 큰 어떤 자연수와 $63$의 최대공약수가 $9$이다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수를 구하여라.",
        "answer": "$63=9\\times7$이므로 $63$과 최대공약수가 $9$인 자연수는 $9\\times x$($x$는 $7$과 서로소)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $9\\times x>50$이어야 하므로 $x$는 적어도 $6$ 이상이고, $7$과 서로소인 수이다. 따라서 가장 작은 자연수는 $9\\times6=54$"
    },
    {
        "question": "$25$보다 큰 어떤 자연수와 $28$의 최대공약수가 $7$이다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수를 구하여라.",
        "answer": "$28=7\\times4$이므로 $28$과 최대공약수가 $7$인 자연수는 $7\\times x(x$는 $4$와 서로소)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $7\\times x>25$이어야 하므로 $x$는 적어도 $4$ 이상이고, $4$와 서로소인 수이다. 따라서 가장 작은 자연수는 $7\\times5=35$"
    },
    {
        "question": "$50$보다 큰 어떤 자연수와 $40$의 최대공약수가 $8$이다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수를 구하여라.",
        "answer": "$40=8\\times5$이므로 $40$과 최대공약수가 $8$인 자연수는 $8\\times x$($x$는 $5$와 서로소)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $8\\times x>50$이어야 하므로 $x$는 적어도 $7$ 이상이고, $5$와 서로소인 수이다. 따라서 가장 작은 자연수는 $8\\times7=56$"
    },
    {
        "question": "두 분수 $\\frac{n}{12}$, $\\frac{n}{28}$이 자연수가 되게 하는 $n$의 값 중 가장 작은 세 자리의 자연수를 구하여라.",
        "answer": "구하는 수는 $12$와 $28$의 공배수이다. $12$, $28$의 최소공배수는 $2\\times2\\times3\\times7$$=84$이므로 자연수 $n$은 $84$의 배수이다. $84\\times1=84$, $84\\times2=168$ 따라서 가장 작은 세 자리의 자연수는 $168$이다."
    },
    {
        "question": "$40$보다 큰 어떤 자연수와 $36$의 최대공약수가 $9$이다. 이러한 자연수 중 가장 작은 수를 구하여라.",
        "answer": "$36=9\\times4$이므로 $36$과 최대공약수가 $9$인 자연수는 $9\\times x$($x$는 $4$와 서로소)의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 $9\\times x>40$이어야 하므로 $x$는 적어도 $5$ 이상이고, $4$와 서로소인 수이다. 따라서 가장 작은 자연수는 $9\\times5=45$"
    },
    {
        "question": "수직선 위에서 $-\\frac{12}{5}$보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수를 $a$, $\\frac{9}{7}$에 가장 가까운 정수를 $b$라 할 때, $ \\vert a \\vert - \\vert b \\vert $의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-\\frac{12}{5}$보다 작은 수 중에서 가장 큰 정수는 $-3$이므로 $a=-3$ $\\frac{9}{7}$에 가장 가까운 정수는 $1$이므로 $b=1$ $\\therefore$ $| a |-| b |$ $=| -3 |-| 1|=3-1=2$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수를 $-\\frac{5}{2}$로 나눈 후 $2$를 더해야 할 것을 잘못하여 $-\\frac{5}{2}$를 곱한 후 $2$를 더했더니 $-4$가 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라 하면 $□\\times(-\\frac{5}{2})+2=-4$ $=$$\\frac{12}{5}$ $∴$ $□$ = $(-4-2)\\div(-\\frac{5}{2}) = (-6)\\times(-\\frac{2}{5})$=$\\frac{12}{5}$ 바르게 계산하면 $\\frac{12}{5}\\div(-\\frac{5}{2})+2$$=\\frac{12}{5}\\times(-\\frac{2}{5})+2$$=-\\frac{24}{25}+2$$=\\frac{26}{25}$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $68$ $m$, 세로의 길이가 $112$ $m$인 직사각형 모양의 잔디밭 둘레에 일정한 간격으로 표지판을 세우려고 한다. 표지판의 개수를 최소로 할 때, 표지판 사이의 간격을 구하여라. (단, 네 모퉁이에 반드시 표지판을 세운다.)",
        "answer": "표지판의 개수를 최소로 하려면 표지판 사이의 간격이 최대가 되어야 한다. 간격이 최대가 되는 표지판 사이의 간격은 직사각형의 가로, 세로의 길이의 최대공약수이다. $\\begin{array}{r} \\\\ 2 \\underline{{\\big)} 68~~~~112} \\\\ 2 \\underline{{\\big)} 34~~~~~~56} \\\\ 17~~~~~~~28 \\end{array}$ $68$과 $112$의 최대공약수는 $2\\times2$$=4$ 따라서 구하는 표지판 사이의 간격은 $4 m$이다."
    },
    {
        "question": "부호가 반대인 두 정수 $x$, $y$에 대하여 $\\left\\vert x\\right\\vert=3\\times\\left\\vert y \\right\\vert$이고, 수직선 위에서 $x$, $y$를 나타내는 두 점 사이의 거리가 $12$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. (단, $x<y$)",
        "answer": "두 정수 $x$, $y$는 $x<y$이고 부호가 반대이므로 $x<0$, $y>0$ $\\left\\vert x \\right\\vert =3\\times$$\\left\\vert y \\right\\vert$ 이므로 수직선 위에서 원점으로부터 $x$를 나타내는 점까지의 거리는 원점으로부터 $y$를 나타내는 점까지의 거리의 $3$ 배이다. 수직선 위에서 $x$, $y$를 나타내는 두 점 사이의 거리가 $12$이므로 두 수 $x$, $y$를 나타내는 점을 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.  $∴ x=-9$, $y=3$"
    },
    {
        "question": "수직선 위에 $1.6$을 나타내는 점을 $P$, 점 $P$와 절댓값이 같은 음수를 나타내는 점을 $Q$라 할 때, 두 점 $P$, $Q$ 사이의 거리를 구하여라.",
        "answer": "점 $P$가 나타내는 수의 절댓값은 $1.6$이다. 절댓값이 $1.6$인 수는 $1.6$, $-1.6$이고, 점 $Q$가 나타내는 수는 절댓값이 $1.6$인 음수이므로 $-1.6$이다. 점 $P$와 $Q$를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다. 따라서 두 점 사이의 거리는 $3.2$이다."
    },
    {
        "question": "어떤 유리수를 $-2$로 나눈 후 $-\\frac{3}{2}$을 빼야 할 것을 잘못하여 $-2$를 곱한 후 $-\\frac{3}{2}$을 뺐더니 $-\\frac{5}{6}$가 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라 하면 $□\\times (-2)-(-\\frac{3}{2})=-\\frac{5}{6}$ $ \\therefore □ = (-\\frac{5}{6} - \\frac{3}{2}) \\div (-2)  = (-\\frac{7}{3} \\times (-\\frac{1}{2})  = \\frac{7}{6} \\\\$  바르게 계산하면 $\\frac{7}{6}\\div(-2) - (-\\frac{3}{2} ) =\\frac{7}{6}\\times(-\\frac{1}{2})-(-\\frac{3}{2})=(-\\frac{7}{12})-( -\\frac{3}{2})=\\frac{11}{12}$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $6$ $cm$, 세로의 길이가 $8$ $cm$, 높이가 $5$ $cm$인 직육면체에서 가로의 길이를 $\\frac{1}{7}$ $cm$ 늘이고, 세로의 길이를 $\\frac{2}{5}$ $cm$ 늘여서 만든 직육면체의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(새로 만든 직육면체의 부피)$ $=$$(가로의 길이)\\times(세로의 길이)\\times(높이)$ $=$$(6+\\frac{1}{7})\\times(8+\\frac{2}{5})\\times5$ $=$$\\frac{43}{7}\\times\\frac{42}{5}\\times5$ $=$$258$ $(cm^3)$"
    },
    {
        "question": "세 유리수 $a$, $b$, $c$는 서로 다른 양수이다. 다음 세 식을 계산한 값이 모두 같을 때, 세 수 $a$, $b$, $c$를 크기가 작은 순서대로 나열하여라.$\\\\$ $a   \\div \\frac{3}{7} \\div \\frac{14}{9}    $$\\\\$ $b  \\times ($$-$$\\frac{5}{3}) \\div($$-$$\\frac{1}{4} ) $$\\\\$ $c   \\div  \\frac{5}{2} \\times (-\\frac{2}{3} )^2$",
        "answer": "세 식을 간단히 하면 $a\\div\\frac{3}{7}\\div\\frac{14}{9}$$=a\\times\\frac{7}{3}\\times\\frac{9}{14}$$=a\\times\\frac{3}{2}$ $b\\times(-\\frac{5}{3})\\div(-\\frac{1}{4})$$=b\\times(-\\frac{5}{3})\\times(-4)$$=b\\times\\frac{20}{3}$ $c\\div\\frac{5}{2}\\times(-\\frac{2}{3})^2$$=c\\times\\frac{2}{5}\\times\\frac{4}{9}$$=c\\times\\frac{8}{45}$ 세 유리수 $a$, $b$, $c$가 서로 다른 양수이고 세 식을 계산한 값이 모두 같으므로 $a$, $b$, $c$ 각각의 값은 뒤에 곱해진 수가 클수록 작다. $\\frac{20}{3}>\\frac{3}{2}>\\frac{8}{45}$이므로 $b<a<c$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에 $-2$를 곱한 후 $\\frac{3}{4}$을 더해야 할 것을 잘못하여 $-2$로 나눈 후 $\\frac{3}{4}$을 더했더니 $-\\frac{9}{2}$가 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라 하면 $□\\div(-2)+\\frac{3}{4}=-\\frac{9}{2}$ $∴ □=(-\\frac{2}{9}-\\frac{3}{3})\\times(-2)$ $=(-\\frac{21}{4})\\times(-2)$ $=\\frac{21}{2}$ 바르게 계산하면 $\\frac{21}{2}\\times(-2)+\\frac{3}{4}$$=-21+\\frac{3}{4}$$=-\\frac{81}{4}$"
    },
    {
        "question": "수직선 위에서 두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점 사이의 거리가 $10$이고 두 점의 한가운데에 있는 점이 나타내는 수가 $3$일 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $b>0$)",
        "answer": "두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점의 한가운데에 있는 점이 나타내는 수가 $3$이므로 $3$을 나타내는 점과 두 수 $a$, $b$를 나타내는 점 사이의 거리는 $\\frac{10}{2}=5$ $b>0$이므로 수직선에 나타내면 다음과 같다. $∴ b=8$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도를 접어 정육면체를 만들면 마주 보는 면에 적힌 두 수의 곱이 $1$이다. 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$a$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $\\frac{2}{3}$이므로 $a\\times\\frac{2}{3}=1$ $∴ a=\\frac{3}{2}$ $b$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-7$이므로 $b\\times(-7)=1$ $∴ b=-\\frac{1}{7}$ $c$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-\\frac{5}{2}$이므로 $c\\times(-\\frac{5}{2})=1$ $∴ c=-\\frac{2}{5}$ $∴ a+b+c=\\frac{3}{2}+(-\\frac{1}{7})+(-\\frac{2}{5})=\\frac{3}{2}-\\frac{1}{7}-\\frac{2}{5}=\\frac{105}{70}-\\frac{10}{70}-\\frac{28}{70} =\\frac{67}{70}$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이, 세로의 길이, 높이가 각각 $12$ $cm$, $16 cm$, $24$ $cm$인 직육면체 모양의 벽돌을 빈틈없이 쌓아서 가장 작은 정육면체를 만들려고 한다. 정육면체의 한 모서리의 길이를 $x$ $cm$, 필요한 벽돌의 개수를 $y$ 개라 할 때, $x\\div y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "가장 작은 정육면체의 한 모서리의 길이는 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이의 최소공배수이다. $12$, $16$, $24$의 최소공배수는 $2\\times2\\times3\\times2\\times1\\times2\\times1$$=48$이므로 정육면체의 한 모서리의 길이는 $48 cm$이다. $∴ x=48$ 각각의 방향에서 개수를 셀 때 쌓을 수 있는 벽돌은 가로 방향으로 $48\\div12=4 (개)$, 세로 방향으로 $48\\div16=3 (개)$, 높이 방향으로 $48\\div24=2 (개)$ 필요한 벽돌의 개수는 $4\\times3\\times2$$=24$ (개)이므로 $y$$=24$ $∴ x\\div y$$=48\\div24$$=2$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에 $\\frac{2}{5}$를 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 그 결과가 $1$이 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라고 하면 $□-\\frac{2}{5}=1$ $∴ □$$=1+\\frac{2}{5}$$=\\frac{5}{5}+\\frac{2}{5}$$=\\frac{7}{5}$ 바르게 계산한 값은 어떤 수에 $\\frac{2}{5}$를 더한 것이므로 $\\frac{7}{5}+\\frac{2}{5}$$=\\frac{9}{5}$"
    },
    {
        "question": "다음 식의 ㉠, ㉡, ㉢에 세 수 $-\\frac{1}{8}$, $\\frac{1}{4}$, $\\frac{1}{6}$을 한 번씩 넣어 계산한 결과 중 가장 큰 값을 구하여라. $㉠+㉡-㉢$",
        "answer": "계산한 결과가 가장 크려면$ ㉢$에는 세 수 중 가장 작은 수를 넣어야 한다. $-\\frac{1}{8}<\\frac{1}{6}<\\frac{1}{4}$이므로$ ㉢$에 $-\\frac{1}{8}$을 넣어 계산하면 $\\frac{1}{4}+\\frac{1}{6}-(-\\frac{1}{8})=\\frac{6}{24}+\\frac{4}{24}+\\frac{3}{24}=$$\\frac{13}{24}$"
    },
    {
        "question": "$a<b$인 두 정수 $a$, $b$에 대하여 $\\left\\vert a \\right\\vert + \\left\\vert b \\right\\vert=5$를 만족시키는 $a$, $b$의 값을 $(a, b)$로 나타낼 때, $(a, b)$의 개수를 구하여라.",
        "answer": "$\\vert$$a$$\\vert$$+\\vert$$b\\vert=5$이고 $a<b$인 경우는 $(ⅰ)$ $\\vert$$a\\vert$$=0$, $\\vert$$b\\vert=5$일 때, $a=0$, $b=5$ $(ⅱ)$ $\\vert$$a\\vert=1$, $\\vert$$b\\vert=4$일 때, $a=1$, $b=4$ 또는 $a=-1$$,$ $b=4$ $(ⅲ)$ $\\vert$$a\\vert=2$, $\\vert$$b\\vert=3$일 때, $a=2$, $b=3$ 또는 $a=-2$$,$ $b=3$ $(ⅳ)$ $\\vert$$a\\vert=3$, $\\vert$$b\\vert=2$일 때, $a=-3$, $b=2$ 또는 $a=-3$$,$ $b=-2$ $(ⅴ)$ $\\vert$$a\\vert=4$, $\\vert$$b\\vert=1$일 때, $a=-4$, $b=1$ 또는 $a=-4$$,$ $b=-1$ $(ⅵ)$ $\\vert$$a\\vert=5$, $\\vert$$b\\vert=0$일 때, $a=-5$, $b=0$$(ⅰ)$$∼$$(ⅵ)$에서 $(a, b)$는 $(0, 5), $$(1, 4), $$(-1, 4), $$(2, 3), $$(-2, 3), $$(-3, 2), $$(-3, -2), $$(-4, 1), $$(-4, -1), $$(-5, 0)$의 $10 개$이다."
    },
    {
        "question": "재환이는 며칠 동안 여행을 다녀왔다. 전체 여행 기간의 $\\frac{1}{4}$은 취침, $\\frac{1}{8}$은 식사, $35$ 시간은 관광, $25$ 시간은 이동을 했다. 이때 여행 기간을 구하여라.",
        "answer": "여행 기간을 $x$ 일이라 하자. 취침 시간은 $\\frac{1}{4}x $,일 식사 시간은 $\\frac{1}{8}x $일, 관광 시간은 $35\\times\\frac{1}{24}=\\frac{35}{24} $(일), 이동 시간은 $25\\times\\frac{1}{24}=\\frac{25}{24}$ (일)이므로 $\\frac{1}{4}x+\\frac{1}{8}x+\\frac{35}{24}+\\frac{25}{24}=x$ $6x+3x+35+25=24x$ $9x+60=24x$ $-15x=-60$ $∴ $$x=4$ 따라서 여행 기간은 $4$ 일이다."
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에 $\\frac{6}{5}$을 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 그 결과가 $-1$이 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라고 하면 $□-\\frac{6}{5}=-1$ $∴$ $□$$=-1+\\frac{6}{5}$$=-\\frac{5}{5}+\\frac{6}{5}$$=\\frac{1}{5}$ 바르게 계산한 값은 어떤 수에 $\\frac{6}{5}$을 더한 것이므로 $\\frac{1}{5}+\\frac{6}{5}$$=\\frac{7}{5}$"
    },
    {
        "question": "$-7$의 절댓값을 $a$, 절댓값이 $8$인 수 중 양수를 $b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-7$의 절댓값은 $\\vert -7\\vert =7$이므로 $a$$=7$ 절댓값이 $8$인 수는 $8$, $-8$이고, 이 중 양수는 $8$이므로 $b$$=8$ $∴ a+b$$=7+8$$=15$"
    },
    {
        "question": "다음 조건을 만족시키는 두 정수 $x$, $y$에 대하여 $x+y$의 최솟값을 구하여라. (가) $x$는 수직선에서 $2$를 나타내는 점과의 거리가 $3$ 이하인 정수이다 (나) $y$는 $\\left\\vert y \\right\\vert <2$인 정수이다.",
        "answer": "㈎에서 $x$는 수직선에서 $2$를 나타내는 점과의 거리가 $3$ 이하인 정수이다.  $∴ x$$=$$-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ㈏에서 $y$는 수직선에서 $0$을 나타내는 점으로부터의 거리가 $2$ 미만인 점들이 나타내는 수 중 정수이다.  $∴ y$$=$$-1$, $0$, $1$ 따라서 $x+y$의 최솟값은 $(-1)+(-1)$$=-2$"
    },
    {
        "question": "다음 수직선 위의 두 점 $A, B$ 사이의 거리를 $3:4$로 나누는 점이 $C$일 때, 점 $C$가 나타내는 수를 구하여라.",
        "answer": "두 점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $4-(-\\frac{2}{3})$$=4+\\frac{2}{3}$$=\\frac{12}{3}+\\frac{2}{3}$$=\\frac{14}{3}$ 점 $C$는 두 점 $A$, $B$ 사이의 거리를 $3 : 4$로 나누는 점이므로 두 점 $A$와 $C$ 사이의 거리는 두 점 $A$와 $B$ 사이의 거리의 $\\frac{3}{7}$이다. 두 점 $A$, $C$의 거리는 $\\frac{14}{3}\\times\\frac{3}{7}$$=2$ 따라서 점 $C$는 $-\\frac{2}{3}$에서 오른쪽으로 $2$만큼 이동한 점이므로 $-\\frac{2}{3}+2$$=\\frac{4}{3}$"
    },
    {
        "question": "식 $\\frac{x+1}{2}+\\frac{2x-1}{4}-\\frac{x+2}{5}$를 계산하였을 때, $x$의 계수와 상수항의 합을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{x+1}{2}+\\frac{2x-1}{4}-\\frac{x+2}{5}=\\frac{10(x+1)}{20}+\\frac{5(2x-1)}{20}-\\frac{4(x+2)}{20}$ $=\\frac{10x+10+10x-5-4x-8}{20}$ $=\\frac{16x-3}{20}$ $=$$\\frac{4}{5}x-\\frac{3}{20}$ 따라서 $x$의 계수는 $\\frac{4}{5}$, 상수항은 $-\\frac{3}{20}$이므로 $\\frac{4}{5}+(-\\frac{3}{20})$$=\\frac{13}{20}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도로 정육면체를 만들었다. 마주 보는 면에 적힌 두 수의 합이 $-\\frac{1}{4}$일 때, $a-b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$a$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-2$이므로 $a+(-2)=-\\frac{1}{4}$ $∴$ $a$$=-\\frac{1}{4}-(-2)$$=-\\frac{1}{4}+2$$=-\\frac{1}{4}+\\frac{8}{4}$$=\\frac{7}{4}$ $b$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-\\frac{1}{3}$이므로 $b+(-\\frac{1}{3})=-\\frac{1}{4}$ $∴$ $b$$=-\\frac{1}{4}-(-\\frac{1}{3})$$=-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{3}$$=-\\frac{3}{12}+\\frac{4}{12}$$=\\frac{1}{12}$ $c$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $\\frac{4}{5}$이므로 $c+\\frac{4}{5}=-\\frac{1}{4}$ $∴$ $c$$=-\\frac{1}{4}-\\frac{4}{5}$$=-\\frac{5}{20}-\\frac{16}{20}$$=-\\frac{21}{20}$ $=$$\\frac{105}{60}-\\frac{5}{60}-\\frac{63}{60}$$=$$\\frac{37}{60}$"
    },
    {
        "question": "'$x$의 절댓값이 $\\frac{11}{3}$보다 작거나 같다.'를 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하여라.",
        "answer": "'$x$의 절댓값이 $\\frac{11}{3}$보다 작거나 같다.'를 부등호를 사용한 식으로 나타내면 $\\vert x\\vert \\le\\frac{11}{3}$이고, $\\vert x\\vert\\le\\frac{11}{3}$을 만족시키는 $\\vert x\\vert$ 중 정수는 $0$, $1$, $2$, $3$이다. 절댓값이 $0$인 수는 $0$ 절댓값이 $1$인 수는 $-1$, $1$ 절댓값이 $2$인 수는 $-2$, $2$ 절댓값이 $3$인 수는 $-3$, $3$ 따라서 구하는 정수 $x$의 개수는 $7$ 개이다."
    },
    {
        "question": "수직선에서 두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수가 $-2$이다. $a$의 절댓값이 $3$일 때, $b$가 될 수 있는 모든 수의 합을 구하여라.",
        "answer": "$a$의 절댓값이 $3$이므로 $a=-3$ 또는 $a=3$ 두 수 $a$, $b$를 나타내는 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수가 $-2$이므로 (i) $a=-3$일 때, $-3$과 $-2$ 사이의 거리는 $(-2)-(-3)$$=1$이므로  $b=-2+1=-1$ 따라서 $b$가 될 수 있는 수는 $-1$과 $-7$이므로 합은 $-8$이다. (ii) $a=3$일 때, $3$과 $-2$ 사이의 거리는 $3-(-2)$$=5$이므로  $b=-2-5=-7$"
    },
    {
        "question": "세 유리수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a\\times b=4$, $a\\times c=-6$일 때, $a\\times(b+c)$의 값을 구하여라.",
        "answer": "분배법칙을 이용하여 식을 계산하면 $a\\times(b+c)$$=a\\times b+a\\times c$$=4+(-6)$$=-2$"
    },
    {
        "question": "수지와 정혜는 자신의 집에서 출발하여 약속 장소에서 만나기로 하였다. 수지는 분속 $45$ $m$로 출발하였고 정혜는 늦장을 부리다가 수지보다 $50$ 분 늦게 분속 $65$ $m$로 출발하였다. 두 사람이 수지가 출발한 지 $x$ 분 후에 약속 장소에 동시에 도착하였을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 수지의 집에서 약속 장소까지의 거리를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) 정혜의 집에서 약속 장소까지의 거리를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "(1)$(거리)=(속력)\\times(시간)$이므로 수지가 이동한 거리는 $45\\times x=45x (m)$ 따라서 수지의 집에서 약속 장소까지의 거리는 $45x m$이다. (2)정혜는 수지보다 $50$ 분 늦게 출발하였으므로 걸린 시간은 $(x-50) 분$이다. $(거리)=(속력)\\times(시간)$이므로 정혜가 이동한 거리는 $65\\times(x-50)=65x-3250(m)$ 따라서 정혜의 집에서 약속 장소까지의 거리는 $(65x-3250) m$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도를 접어 정육면체를 만들면 마주 보는 면에 적힌 두 수의 곱이 $1$이다. 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$a$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $\\frac{1}{3}$이므로 $a\\times\\frac{1}{3}=1$ ∴ $a=3$ $b$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $-\\frac{2}{7}$이므로 $b \\times (-\\frac{2}{7})=1$ ∴ $b=-\\frac{7}{2}$ $c$가 적힌 면과 마주 보는 면에 적힌 수는 $7$이므로 $c\\times7=1$ $∴ c=\\frac{1}{7}$ $=$$-\\frac{5}{14}$"
    },
    {
        "question": "$-7$보다 크고 $-3$보다 작거나 같은 정수의 개수를 $a$ 개, $-\\frac{11}{3}$보다 크고 $1$보다 작은 정수의 개수를 $b$ 개라 할 때, $a\\div b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-7$보다 크고 $-3$보다 작거나 같은 정수는 $-6$, $-5$, $-4$, $-3$의 $4$ 개이므로 $a=4$ $-\\frac{11}{3}$보다 크고 $1$보다 작은 정수는 $-3$, $-2$, $-1$, $0$의 $4$ 개이므로 $b=4$ $∴ a\\div b$$=4\\div4$$=1$"
    },
    {
        "question": "$x$를 $3$으로 나눈 수에 $1$을 더한 수를 $A$, $2x$에서 $4$를 뺀 수에 $5$ 배 한 수를 $B$라 할 때, $3A-B$를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (단, 동류항은 계산)",
        "answer": "$A$$=x\\div3+1$$=\\frac{x}{3}+1$ $B$$=(2x-4)\\times5$$=5(2x-4)$ $∴ 3A-B=3(\\frac{x}{3}+1)-5(2x-4)$ $=x+3-10x+20$ $=$$-9x+23$"
    },
    {
        "question": "네 수 $-3$, $5$, $6$, $-7$ 중에서 서로 다른 두 수를 뽑아 곱한 값 중 가장 작은 수를 $m$, 가장 큰 수를 $M$이라 할 때, $m<x<M$을 만족시키는 정수 $x$의 개수를 구하여라.",
        "answer": "주어진 네 수 중에서 두 수를 뽑아 곱한 값이 가장 작으려면 $(양수)\\times(음수)$ 꼴이어야 한다. 이때 두 수의 곱의 절댓값이 가장 큰 수이어야 하므로 $m=6\\times(-7)=-42$ 또, 두 수를 뽑아 곱한 값이 가장 크려면 $(양수)\\times(양수)$ 또는 $(음수)\\times(음수)$ 꼴이어야 한다. 이때 두 수의 곱의 절댓값이 가장 큰 수이어야 하므로 $M=5\\times6=30$ 따라서 $-42<x<30$이므로 정수 $x$는 $-41$, $-40$, $-39$, ···, $29$의 $71$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직사각형 모양의 운동장에서 놀이터를 제외한 부분의 넓이를 구하려고 한다. (1) 놀이터의 가로의 길이와 세로의 길이를 각각 구하여라. (2) 놀이터를 제외한 운동장의 넓이를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "(1) 놀이터의 가로의 길이는 $7-(7-x)=x (m)$ 세로의 길이는 $9-7=2 (m)$ (2) $(놀이터를 제외한 운동장의 넓이)$ $=$$(운동장 전체의 넓이)$$-$$(놀이터의 넓이)$ $=$$7\\times9-x\\times2$ $=$$63-2x$ $(m^2)$"
    },
    {
        "question": "어떤 유리수에서 $\\frac{2}{9}$를 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 그 결과가 $\\frac{1}{3}$이 되었다. 바르게 계산한 값을 구하여라.",
        "answer": "어떤 유리수를 $□$라고 하면 $□+\\frac{2}{9}=\\frac{1}{3}$ $∴ □$$=\\frac{1}{3}-\\frac{2}{9}$$=\\frac{3}{9}+(-\\frac{2}{9})$$=\\frac{1}{9}$ 바르게 계산한 값은 어떤 유리수에서 $\\frac{2}{9}$를 뺀 것이므로 $\\frac{1}{9}-\\frac{2}{9}$$=\\frac{1}{9}+(-\\frac{2}{9})$$=-\\frac{1}{9}$"
    },
    {
        "question": "세 유리수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a\\times b=15$, $a\\times(b-c)=22$일 때, $a\\times c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "분배법칙을 이용하면 $a\\times(b-c)=a\\times b-a\\times c$ $22=15-a\\times c$ $∴ a\\times c$$=15-22$$=-7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 사각형의 넓이를 문자를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times x+\\frac{1}{2}\\times y\\times5$$=5x+\\frac{5}{2}y$"
    },
    {
        "question": "형과 동생이 길이가 $8$ $m$인 끈을 나누어 가졌다. 형이 가진 끈의 길이가 동생이 가진 끈의 길이의 $2$ 배보다 $\\frac{2}{3}$ $m$만큼 길 때, 형이 가진 끈의 길이를 구하여라.",
        "answer": "형이 가진 끈의 길이를 $x$ $m$라 하면 동생이 가진 끈의 길이는 $(8-x) m$이므로 $x=2(8-x)+\\frac{2}{3}$ $x=-2x+\\frac{50}{3}$ $x+2x=\\frac{50}{3}$ $3x=\\frac{50}{3}$ $∴$ $x=\\frac{50}{9}$ 따라서 형이 가진 끈의 길이는 $\\frac{50}{9}$ $m$이다.  형이 가진 끈의 길이가 $\\frac{50}{9}$ $m$이면 동생이 가진 끈의 길이는 $8-\\frac{50}{9}=\\frac{22}{9}$ $(m)$이고, $\\frac{22}{9}\\times2+\\frac{2}{3}=\\frac{50}{9}$ $(m)$이므로 형이 가진 끈의 길이는 동생이 가진 끈의 길이의 $2$ 배보다 $\\frac{2}{3}$ $m$만큼 길다. 따라서 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "$\\left\\vert a \\right\\vert$=$2.5$일 때, $5-a$의 값 중 큰 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\vert a\\vert =2.5$인 $a$의 값을 모두 구하면 $2.5$, $-2.5$이다. (ⅰ) $a=2.5$일 때, $5-a$$=5-2.5$$=5+(-2.5)$$=2.5$ (ⅱ) $a=-2.5$일 때, $5-a$$=5-(-2.5)$$=5+(+2.5)$$=7.5$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $5-a$의 값 중 큰 값은 $7.5$이다."
    },
    {
        "question": "$-6$보다 $2.7$만큼 큰 수를 $x$, $x$보다 $-1.3$만큼 작은 수를 $y$라 할 때, $y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-6$보다 $2.7$만큼 큰 수는 $-6+2.7=-3.3$이므로 $x=-3.3$ $-3.3$보다 $-1.3$만큼 작은 수는 $(-3.3)-(-1.3)=-3.3+1.3=-2$이므로 $y=-2$"
    },
    {
        "question": "오늘쪽 표는$A$열에는 자연수를 $1$부터 차례대로 적고, $B$열에는 $A$열에 적혀 있는 수의 $4$배보다 $3$만큼 큰 값을 적은 것이다.다음 물음에 답하여라. <table border> <tbody> <tr> <td></td> <td>A</td> <td>B</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$1$</td> <td>$7$</td> </tr> <td>$2$</td> <td>$2$</td> <td>$11$</td> </tr> <td>$3$</td> <td>$3$</td> <td>$15$</td> </tr> <td>$4$</td> <td>$4$</td> <td></td> </tr> <td>$5$</td> <td>$5$</td> <td></td> </tr> <td> $ \\vdots $</td> <td>$ \\vdots $</td> <td>$ \\vdots $</td> </tbody> </table> (1)$A$ 열의 어떤 칸에 적혀 있는 수를 $x$라 할 때, 같은 줄의 $B$ 열에 나타나는 수를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (2)$B$ 열의 어떤 칸에 나타나는 수가 $59$일 때, 등식의 성질을 이용하여 같은 줄의 $A$ 열에 적혀 있는 수를 구하여라.",
        "answer": "(1) B 열에는 A 열에 적혀 있는 수의 $4$ 배보다 $3$만큼 큰 값이 나타나므로 $4x+3$ (2) $4x+3=59$의 양변에서 $3$을 빼면 $4x=56$ 양변을 $4$로 나누면 $x=14$ 따라서 A 열에 적혀 있는 수는 $14$이다."
    },
    {
        "question": "길이가 $x m$인 자동차가 일정한 속력으로 달리고 있다. 길이가 $500 m$인 다리를 완전히 통과하는 데 $40$ 초가 걸렸다. 이 자동차의 속력은 시속 몇 $m$인지 문자를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "다리를 완전히 통과했을 때 자동차가 이동한 총거리는 다리와 자동차의 길이의 합과 같으므로 $(500+x) m$이고 걸린 시간은 $40$ 초이다. $(속력)=\\frac{(거리)}{(시간)}$이므로 이 자동차의 속력을 구하면 $\\frac{500+x}{40} m/s$, 즉 $\\frac{500+x}{40}\\times3600=90(500+x) (m/h)$ 따라서 이 자동차의 속력은 시속 $90(500+x) m$이다."
    },
    {
        "question": "$-\\frac{9}{2}$보다 $3$만큼 큰 수를 $a$, $a$보다 $1.3$만큼 큰 수를 $b$라 할 때, $b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-\\frac{9}{2}$보다 $3$만큼 큰 수는 $-\\frac{9}{2}+3=-\\frac{9}{2}+\\frac{6}{2}=-\\frac{3}{2}$이므로 $a=-\\frac{3}{2}$ $-\\frac{3}{2}$보다 $1.3$만큼 큰 수는 $-\\frac{3}{2}+1.3=-\\frac{3}{2}+\\frac{13}{10}=-\\frac{15}{10}+\\frac{13}{10}=-\\frac{1}{5}$이므로 $b=-\\frac{1}{5}$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $14$, 세로의 길이가 $8$인 직사각형 모양의 공원에서 다음 그림과 같이 너비가 일정한 길을 만들려고 한다. 길의 넓이를 $a$, $b$를 사용한 식으로 나타내어라. $a=\\frac{3}{2}$, $b=2$일 때, 길의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "(1) $(길이의 넓이)$  $=$$14a+8b-ab$ (2) $14a+8b-ab$$=14\\times\\frac{3}{2}+8\\times2-\\frac{3}{2}\\times2$$=34$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 규칙으로 바둑돌을 배열하려고 할 때, 물음에 답하여라. (1) [$x$ 단계]에서 필요한 바둑돌의 개수를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) [$15$ 단계]에서 필요한 바둑돌의 개수를 구하여라.",
        "answer": "(1) [$1$ 단계]의 바둑돌은 $1 개$, [$2$ 단계]의 바둑돌은 $5 개$, [$3$ 단계]의 바둑돌은 $9 개$, $···$ 단계가 올라갈 때마다 늘어나는 바둑돌은 $4$ 개이다. [$1$ 단계]의 바둑돌이 $1$ 개이고 단계가 올라갈 때마다 바둑돌이 $4$ 개씩 늘어나므로 [$x$ 단계]를 만들 때 필요한 바둑돌의 개수는 $1+4\\times(x-1)$$=4x-3$ (개) (2) $x=15$를 $4x-3$에 대입하면 $4x-3$$=4\\times15-3$$=57$ 따라서 필요한 바둑돌의 개수는 $57$ 개이다."
    },
    {
        "question": "$x$가 $15$의 약수일 때, 방정식 $\\frac{1}{5}(3x-4)=2x-5$의 해를 구하여라.",
        "answer": "$x$가 $15$의 약수이므로 $x$$=$$1$, $3$, $5$, $15$ $x=1$일 때, $(좌변)=\\frac{1}{5}\\times(3\\times1-4)$$=-\\frac{1}{5}$, $(우변)=2\\times1-5$$=-3$ $x=3$일 때, $(좌변)=\\frac{1}{5}\\times(3\\times3-4)$$=1$, $(우변)=2\\times3-5$$=1$ $x=5$일 때, $(좌변)=\\frac{1}{5}\\times(3\\times5-4)$$=\\frac{11}{5}$, $(우변)=2\\times5-5$$=5$ $x=15$일 때, $(좌변)=\\frac{1}{5}\\times(3\\times15-4)$$=\\frac{41}{5}$, $(우변)=2\\times15-5$$=25$ 따라서 주어진 방정식의 해는 $x=3$"
    },
    {
        "question": "식 $\\frac{x+3}{4}-\\frac{x-1}{6}$을 계산하였을 때, $x$의 계수와 상수항의 합을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{x+3}{4}-\\frac{x-1}{6}$ $=$$\\frac{3(x+3)}{12}-\\frac{2(x-1)}{12}$ $=$$\\frac{3x+9-2x+2}{12}$ $=$$\\frac{x+11}{12}$ $=$$\\frac{1}{12}x+\\frac{11}{12}$ 따라서 $x$의 계수는 $\\frac{1}{12}$, 상수항은 $\\frac{11}{12}$이므로 $\\frac{1}{12}+\\frac{11}{12}$$=1$"
    },
    {
        "question": "두 유리수 $x$, $y$에 대하여 $x ★ y$$=(x-1)\\times(y-2)$, $x △ y=(x+1)\\times(y+2)$라 할 때, $\\frac{1}{3} △ \\lbrace2 ★ (-\\frac{1}{3})\\rbrace$의 값을 구하여라.",
        "answer": "괄호 안을 먼저 계산하면 $2 ★ (-\\frac{1}{3})=(2-1)\\times(-\\frac{1}{3}-2)$ $=1\\times(-\\frac{7}{3})$ $=-\\frac{7}{3}$ 계산된 값과 나머지를 계산하면 $\\frac{1}{3} △ (-\\frac{7}{3})=(\\frac{1}{3})\\times(-\\frac{7}{3}+2)$ $=\\frac{4}{3}\\times(-\\frac{1}{3})$ $=-\\frac{4}{9}$ $∴ \\frac{1}{3} △ \\lbrace2 ★ (-\\frac{1}{3})\\rbrace=-\\frac{4}{9}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 위 칸의 식은 바로 아랫줄의 양 옆에 있는 식의 합이다. 이때 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(-2x+1)+3(x-2)=x-5$ $(\\frac{1}{2}x+1)+(\\frac{3}{2}x+5)=2x+6$ 일차방정식 $(x-5)+(2x+6)=6$을 풀면 $3x+1=6$ $3x=6-1$ $3x=5$ $∴$ $x=\\frac{5}{3}$"
    },
    {
        "question": "비례식 $(\\frac{2}{3}x-1) : 3=\\frac{x-1}{2} : 2$를 만족시키는 $x$의 값이 다음 두 일차방정식의 해일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라. $\\frac{3x+1}{4}-\\frac{2x-a}{2}=5$, $x+b=-11$",
        "answer": "$(\\frac{2}{3}x-1) : 3=\\frac{x-1}{2} : 2$에서 $2(\\frac{2}{3}x-1)=\\frac{3(x-1)}{2}$ $8x-12=9x-9$ $8x-9x=-9+12$  $-x=3$ $∴ x=-3$ $\\frac{3x+1}{4}-\\frac{2x-a}{2}=5$에 $x=-3$을 대입하여 정리하면 $\\frac{a}{2}+1=5$ $\\frac{a}{2}=5-1$ $\\frac{a}{2}=4$ $∴ a=8$ $x+b=-11$에 $x=-3$을 대입하면 $-3+b=-11$ $b=-11+3$ $∴ b=-8$ $∴ a-b$$=8-(-8)$$=16$"
    },
    {
        "question": "기온이 $x$ °C일 때, 소리의 빠르기는 초속 $(331+0.6x)$ m이다. 기온이 $-20{°C}$일 때, 소리의 빠르기를 구하여라.",
        "answer": "$x=-20$일 때, $331+0.6x$의 값을 구하면 $331+0.6x$$=331+0.6\\times(-20)$$=319$ 따라서 기온이 $-20$ °C일 때, 소리의 빠르기는 초속 $319$ m이다."
    },
    {
        "question": "기호 $◎$를 다음과 같이 계산한다고 할 때, $\\lbrace(-2) ◎ 5\\rbrace ◎ \\lbrace3 ◎ (-4)\\rbrace$의 값을 구하여라. $ x◎y \\begin{cases} xy+y-1~~(x>y) \\\\  xy+x-1~~ (x\\le y)\\\\  \\end{cases} $",
        "answer": "$-2<5$이므로 $(-2) ◎ 5$$=(-2)\\times5+(-2)-1$$=-10+(-2)-1$$=-13$ ······ ㉠ $3>-4$이므로 $3 ◎ (-4)=3\\times(-4)+(-4)-1$$=-12+(-4)-1=-17$ ······ ㉡ ㉠과 ㉡에서 $-13>-17$이므로 $ \\lbrace (-2) ◎ 5\\rbrace ◎  \\lbrace 3 ◎ (-4) \\rbrace=(-13) ◎ (-17) = (-13)\\times(-17)+(-17)-1=-221+(-17)-1=203$"
    },
    {
        "question": "$a=\\frac{1}{4}$, $b=\\frac{1}{2}$, $c=\\frac{1}{7}$일 때, $\\frac{5}{a}-\\frac{3}{b}+\\frac{7}{c}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{5}{a}-\\frac{3}{b}+\\frac{7}{c}$에 $a=\\frac{1}{4}$, $b=\\frac{1}{2}$, $c=\\frac{1}{7}$을 대입하면 $ \\begin{array}{l} \\frac{5}{a}-\\frac{3}{b}+\\frac{7}{c}  =5 \\div \\frac{1}{4}-3 \\div \\frac{1}{2}+7 \\div \\frac{1}{7} \\\\  =5 \\times 4-3 \\times 2+7 \\times 7 \\\\  =20-6+49 \\\\  =63 \\end{array} $"
    },
    {
        "question": "네 개의 컵 A, B, C, D에 물을 부어 컵으로 연주를 하려고 한다. 다음 그림과 같이 A 컵에 물을 부은 뒤, 차례대로 $16 mL$씩 차이가 나도록 나머지 컵에 물을 부었다. 네 컵에 들어 있는 물의 양의 합이 $400 mL$일 때, B 컵에 들어 있는 물의 양을 구하여라.",
        "answer": "A 컵에 들어 있는 물의 양을 $x mL$라 하면 나머지 세 개의 컵 B, C, D에 들어 있는 물의 양은 각각 $(x+16)$ $mL$, $(x+32)$ $mL$, $(x+48)$ $mL$이므로 $x+(x+16)+(x+32)+(x+48)=400$ $4x+96=400$ $4x=304$ $ \\therefore x=76$ 따라서 B 컵에 들어 있는 물의 양은 $76+16$$=92 (mL)$ <확인> A, B, C, D 컵에 들어 있는 물의 양이 각각 $76 mL$, $92 mL$, $108 mL$, $124 mL$이고, 네 컵에 들어 있는 물의 양의 합이 $76+92+108+124=400 (mL)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같은 접시저울이 평형을 이루고 있다. 파란색 공 한개의 무게가 $a$ $g$이고 빨간색 공 한개의 무게를 4 $g$이라고 할 때, 등식의 성질을 이용하여 파란색 공 한 개의 무게를 구하려고 한다.  (1) 그림을 보고 $a$를 사용한 등식으로 나타내어라. (2) 등식의 성질을 이용하여 파란색 공 한 개의 무게를 구하여라.",
        "answer": "(1) 접시저울의 왼쪽에 파란색 공 $6$ 개와 빨간색 공 $3$ 개, 오른쪽에 빨간색 공 $12$ 개가 있으므로 $a\\times6+4\\times3=4\\times12$ $∴$ $6a+12=48$ (2) $6a+12=48$의 양변에서 $12$를 빼면 $6a=36$ 양변을 $6$으로 나누면 $a=6$ 따라서 파란색 공 한 개의 무게는 $6$ $g$이다."
    },
    {
        "question": "오른쪽 표는 A열에는 자연수를 $1$부터 차례대로 적고, B열에는 A열에 적혀 있는 수의 $5$배보다 $3$만큼 큰 값을 적은 것이다. 다음 물음에 답하여라. <table border> <tbody> <tr> <td></td> <td>A</td> <td>B</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$1$</td> <td>$8$</td> </tr> <tr> <td>$2$</td> <td>$2$</td> <td>$13$</td> </tr> <tr> <td>$3$</td> <td>$3$</td> <td>$18$</td> </tr> <tr> <td>$4$</td> <td>$4$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$5$</td> <td>$5$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$\\vdots$</td> <td>$\\vdots$</td> <td>$\\vdots$</td> </tr> </tbody> </table> (1)A 열의 어떤 칸에 적혀 있는 수를 $x$라 할 때, 같은 줄의 B 열에 나타나는 수를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라.  (2)B 열의 어떤 칸에 나타나는 수가 $98$일 때, 등식의 성질을 이용하여 같은 줄의 A 열에 적혀 있는 수를 구하여라.",
        "answer": "(1) B 열에는 A 열에 적혀 있는 수의 $5$ 배보다 $3$만큼 큰 값이 나타나므로 $5x+3$ (2) $5x+3=98$의 양변에서 $3$을 빼면 $5x=95$ 양변을 $5$로 나누면 $x=19$ 따라서 A 열에 적혀 있는 수는 $19$이다."
    },
    {
        "question": "$a=\\frac{1}{5}$, $b=\\frac{1}{3}$, $c=2$일 때, $\\frac{3}{a}+\\frac{6}{b}-\\frac{4}{c}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{3}{a}+\\frac{6}{b}-\\frac{4}{c}$에 $a=\\frac{1}{5}$, $b=\\frac{1}{3}$, $c=2$를 대입하면 $\\frac{3}{a}+\\frac{6}{b}-\\frac{4}{c}$ $=$ $3\\div\\frac{1}{5}+6\\div\\frac{1}{3} -\\frac{4}{2}$ $=$ $3\\times5+6\\times3-2$ $=$ $15+18-2$ $=$$31$"
    },
    {
        "question": "가로의 길이가 $15$, 세로의 길이가 $6$인 직사각형 모양의 공원에서 다음 그림과 같이 너비가 일정한 길을 만들려고 한다. (1) 길의 넓이를 $x,y$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) $x=1$$,$ $y=3$일 때, 길의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "(1)(길의 넓이) $=15x+6y-xy$ (2) $15x+6y-xy$$=15\\times1+6\\times3-1\\times3$$=30$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 표는 $A$열에는 자연수를 1부터 차례대로 적고, $B$열에는 $A$열에 적혀 있는 수의 $2$배보다 $4$만큼 큰 값을 적은 것이다. 다음 물음에 답하여라. <table border> <tbody> <tr> <td></td> <td>A</td> <td>B</td> </tr> <tr> <td>$1$</td> <td>$1$</td> <td>$6$</td> </tr> <tr> <td>$2$</td> <td>$2$</td> <td>$8$</td> </tr><tr> <td>$3$</td> <td>$3$</td> <td>$10$</td> </tr><tr> <td>$4$</td> <td>$4$</td> <td></td> </tr><tr> <td>$5$</td> <td>$5$</td> <td></td> </tr> </tbody> </table>  (1) $A$ 열의 어떤 칸에 적혀 있는 수를 $x$라 할 때, 같은 줄의 $B$ 열에 나타나는 수를 $x$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) $B$ 열의 어떤 칸에 나타나는 수가 $66$일 때, 등식의 성질을 이용하여 같은 줄의 $ A$ 열에 적혀 있는 수를 구하여라.",
        "answer": "(1)B 열에는 A 열에 적혀 있는 수의 $2$ 배보다 $4$만큼 큰 값이 나타나므로 $2x+4$   (2)$2x+4=66$의 양변에서 $4$를 빼면 $2x=62$ 양변을 $2$로 나누면 $x=31$ 따라서 A 열에 적혀 있는 수는 $31$이다."
    },
    {
        "question": "$x$가 절댓값이 $2$인 수일 때, 방정식 $2x-3(x-3)=11$의 해를 구하여라.",
        "answer": "절댓값이 $2$인 수는 $2$, $-2$이므로 $x$$=$$2$, $-2$ $x$$=2$일 때, $(좌변)$$=2\\times2-3\\times(2-3)$$=7$, $(우변)$$=11$ $x$$=-2$일 때, $(좌변)$$=2\\times(-2)-3\\times(-2-3)$$=11$, $(우변)$$=11$ 따라서 해는 $x=-2$"
    },
    {
        "question": "다음 표에서 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합이 모두 같을 때, $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$6+2+(-2)$$=6+2-2$$=6$이므로 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합은 $6$이다. $a+2+5=6$이므로 $a=6-2-5=-1$ $b+6+(-1)=6$이므로 $b=6-6-(-1)=6-6+1=1$"
    },
    {
        "question": "강당의 긴 의자에 학생들이 앉는데 한 의자에 $6$ 명씩 앉으면 $3$ 명의 학생이 앉지 못하고, 한 의자에 $7$ 명씩 앉으면 마지막 의자에는 $2$ 명이 앉고 완전히 빈 의자 $3$ 개가 남는다. 이때 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "긴 의자의 개수를 $x$ 개라 하면 한 의자에 $6$ 명씩 앉을 때의 학생 수는 $(6x+3) 명$ $\\cdots\\cdots$ $㉠$ 한 의자에 $7$ 명씩 앉으면 $7$ 명이 모두 앉게 되는 의자는 $(x-4)$ 개이므로 학생 수는 $\\lbrace7(x-4)+2\\rbrace$ 명 $\\cdots\\cdots$$㉡$ 이때 $㉠$과 $㉡$이 같으므로 $6x+3=7(x-4)+2$ $6x+3=7x-26$ $-x=-29$ ∴ $x=29$ 따라서 긴 의자의 개수는 $29$ 개이고, 학생 수는 $6\\times29+3=177$ (명)  $177$ 명의 학생이 $29$ 개의 긴 의자에 $6$ 명씩 앉으면 $3$ 명의 학생이 앉지 못하고, $7$ 명씩 앉으면 빈 의자 $3$ 개가 남고 마지막 의자에는 $2$ 명이 앉으므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "$\\vert a\\vert$$=2$일 때, $-1.3+a$의 값 중 큰 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\vert a \\vert=2$인 $a$의 값을 모두 구하면 $2$, $-2$이다. (ⅰ)$a=2$일 때, $-1.3+a$$=-1.3+2$$=0.7$ (ⅱ)$a=-2$일 때, $-1.3+a$$=(-1.3)+(-2)$$=-3.3$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $-1.3+a$의 값 중 큰 값은 $0.7$이다."
    },
    {
        "question": "세 유리수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a\\times c=8$, $(a+b)\\times c=20$일 때, $b\\times c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "분배법칙을 이용하면 $(a+b)\\times c=a\\times c+b\\times c$ $20=8+b\\times c$ ∴ $b\\times c$$=20-8$$=12$"
    },
    {
        "question": "기온이 $x$ $°C$일 때, 공기 중에서 소리의 속력은 초속 $(331+0.6x)$ $m$이다. 기온이 $32$ $°C$일 때 $A$ 지점에 있는 사람이 들은 소리를 $3$ 초 후에 $B$ 지점에 있는 사람이 들었다고 할 때, $A $지점과 $B$ 지점 사이의 거리를 구하여라. (단, 소리가 난 지점, $A$ 지점, $B$ 지점은 이 순서로 한 직선 위에 있다.)",
        "answer": "$x=32$일 때, $331+0.6x$의 값을 구하면 $331+0.6x$$=331+0.6\\times32$$=350.2$ 기온이 $32 °C$일 때, 소리의 속력은 초속 $350.2 m$이다. $(거리)=(속력)\\times(시간)$이고 A 지점에서 B 지점까지 소리가 도달하는 데 $3 초$가 걸렸으므로 A 지점과 B 지점 사이의 거리는 $350.2\\times3$$=1050.6 (m)$"
    },
    {
        "question": "현재 은행에 경욱이는 $10000$ 원, 예나는 $5000$ 원이 예금되어 있다. 경욱이는 매달 $2000$ 원씩, 예나는 매달 $x$ 원씩 예금할 때, 경욱이와 예나의 예금액이 같아지는 것은 $10$ 개월 후이다. 이때 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$10$ 개월 후 경욱이의 예금액은 $10000+2000\\times10$$=30000$ (원), 예나의 예금액은 $5000+x\\times10$$=5000+10x$ (원) 이때 경욱이의 예금액과 예나의 예금액이 같아지므로 $30000=5000+10x$ $-10x=-25000$ $ \\therefore x=2500$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $9(5-x)=n$의 해가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하여라.",
        "answer": "$9(5-x)=n$에서 $45-9x=n$ $-9x=n-45$  $\\therefore x=\\frac{-n+45}{9}$ $\\frac{-n+45}{9}$가 자연수가 되려면 $n<45$이고 $-n+45$는 $9$의 배수이어야 한다. 따라서 구하는 자연수 $n$의 값은 $9$, $18$, $27$, $36$이고 그 합은 $9+18+27+36=90$"
    },
    {
        "question": "둘레의 길이가 $6km$인 둘레길의 같은 지점에 현지와 민준이가 서 있다. 현지가 분속 $60m$로 걷기 시작한 지 $20분$ 후에 민준이가 반대 방향으로 분속 $90m$로 걷는다면 민준이는 출발한 지 몇 분 후에 처음으로 현지를 만나는지 구하여라.",
        "answer": "민준이가 출발한 지 $x$ 분 후에 처음으로 현지를 만난다고 하면 현지는 출발한 지 $(x+20)$ 분 후에 처음으로 민준이를 만난다. $(거리)=(속력)\\times(시간)$이므로 두 사람이 만날 때까지 현지가 걸은 거리는 $60(x+20) m,$ 민준이가 걸은 거리는 $90x m$이다. 두 사람이 걸은 거리의 합은 둘레길 둘레의 길이와 같고 $6 km$는 $6000 m$이므로 $60(x+20)+90x=6000$ $150x+1200=6000$ $150x=4800$ $∴ x=32$ 따라서 민준이가 출발한 지 $32 분$ 후에 처음으로 현지를 만난다."
    },
    {
        "question": "세은이는 가지고 있는 젤리의 $\\frac{1}{12}$은 아빠에게, $\\frac{1}{6}$은 엄마에게, $\\frac{1}{4}$은 오빠에게 주고, $2$ 개를 동생에게 주었다. 세은이에게 남은 젤리가 엄마에게 준 젤리보다 $3$ 개 더 많을 때, 처음에 세은이가 가지고 있던 젤리의 개수를 구하여라.",
        "answer": "세은이가 처음에 가지고 있던 젤리의 개수를 $x$ 개라 하자.  아빠에게 $\\frac{1}{12}x$ 개, 엄마에게 $\\frac{1}{6}x$ 개, 오빠에게 $\\frac{1}{4}x$ 개, 동생에게 $2$ 개의 젤리를 주었다. 세은이에게 남은 젤리의 개수는 엄마에게 준 젤리보다 $3$ 개 더 많으므로 $(\\frac{1}{6}x+3)$ 개이다. $\\frac{1}{12}x+\\frac{1}{6}x+\\frac{1}{4}x+2+\\frac{1}{6}x+3=x$ $x+2x+3x+24+2x+36=12x$ $8x+60=12x$ $-4x=-60$ $∴$ $x=15$ 따라서 처음에 세은이가 가지고 있던 젤리의 개수는 $15$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다항식 $A$에 $x-3$을 더했더니 $4x+1$이 되었고, 다항식 $B$에서 다항식 $A$를 뺐더니 $-2x-5$가 되었다. 다음 물음에 답하여라. (1) 다항식 $A$를 구하여라. (2) 다항식 $B$를 구하여라.",
        "answer": "(1) $A+(x-3)=4x+1$이므로 $A$$=4x+1-(x-3)$$=4x+1-x+3$$=3x+4$ (2) $B-A=-2x-5$이므로 $B-(3x+4)=-2x-5$ $∴ B$$=-2x-5+(3x+4)$$=x-1$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 ㅌ에 직선을 하나 그으면 ㅌ은 $4$ 조각으로 나누어지고, ㅌ에 직선을 $2$ 개 그으면 ㅌ은 $7$ 조각으로 나누어진다. ㅌ을 $28$ 조각으로 나누려면 몇 개의 직선을 그어야 하는지 구하여라.",
        "answer": "직선을 하나 그으면 ㅌ이 $4$ 조각으로 나누어지고, 직선을 한 개씩 더 그을 때마다 조각이 $3$ 개씩 늘어나므로 직선을 $x$ 개 그으면 나누어지는 조각의 개수는 $4+3(x-1)=3x+1$ (개) $3x+1$$=28$에서 $3x=27$ $∴ x=9$ 따라서 $28$ 조각으로 나누려면 $9$ 개의 직선을 그어야 한다.  확인 직선을 $9$ 개 그으면 나누어지는 조각의 개수는 $3\\times9+1=28$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 무게가 $8$ $g$인 구슬을 몇 개 넣은 바구니와 무게가 $6$ $g$인 구슬 $12$ 개를 저울 위에 올려 놓아 수평이 되게 하였다. 이때 무게가 $8 g$인 구슬의 개수를 구하여라. (단, 바구니의 무게는 무시한다.)",
        "answer": "무게가 $8 g$인 구슬을 $x$ 개라 하면 바구니에 들어 있는 구슬의 무게는 $8x g$이다. 무게가 $6 g$인 구슬 $12$ 개의 무게는 $6\\times12=72 (g)$이므로 $8x=72$ $∴ x=9$ 따라서 무게가 $8 g$인 구슬은 $9$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 윗변의 길이가 $5a$, 아랫변의 길이가 $a+3$, 높이가 $10$인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴에서 윗변의 길이를 $30$ $\\% $줄이고, 아랫변의 길이를 $20$ $\\%$ 늘여서 만든 사다리꼴의 넓이를 $a$를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "새로 만든 사다리꼴의 윗변의 길이는 $5a-5a\\times\\frac{30}{100}$ $=$$\\frac{7}{2}a$ 아랫변의 길이는 $(a+3)+(a+3)\\times\\frac{20}{100}=a+3+\\frac{1}{5}$$a+\\frac{3}{5}$ $=$$\\frac{6}{5}a+\\frac{18}{5}$ 따라서 구하는 사다리꼴의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times$$\\{$$\\frac{7}{2}a+(\\frac{6}{5}a+\\frac{18}{5})$$\\}$$\\times10$$=5(\\frac{47}{10}a+\\frac{18}{5})=$$\\frac{47}{2}a+18$"
    },
    {
        "question": "두 식 $A$, $B$에 대하여 $A ◎ B=-3A+B$, $A ◇ B=A-2B$라 할 때, $\\lbrace(x-3y) ◎ (2x+y)\\rbrace-\\lbrace(-x+4y) ◇ (5x-y)\\rbrace$를 계산하면 $ax+by$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(x-3 y) ◎ (2 x+y)=-3(x-3 y)+(2 x+y) $ $=-3 x+9 y+2 x+y $ $=$$-x+10y$ $(-x+4 y) \\diamond(5 x-y)=(-x+4 y)-2(5 x-y)  =-x+4 y-10 x+2 y $ $=$$-11x+6y$ $\\lbrace(x-3y) ◎ (2x+y)\\rbrace-\\lbrace(-x+4y) \\diamond (5x-y)\\rbrace$ $=$$(-x+10y)-(-11x+6y)$ $=$$-x+10y+11x-6y$ $=$$10x+4y$ $a=10$, $b=4$이므로 $a+b$$=10+4$$=14$"
    },
    {
        "question": "$A$ 회사에서 신입 사원을 모집하는데 지원자의 남자와 여자의 비는 $5 : 3$, 합격자의 남자와 여자의 비는 $3 : 2$, 불합격자의 남자와 여자의 비는 $2 : 1$이었다. 합격자 수가 $30$ 명일 때, 전체 지원자 수를 구하여라.",
        "answer": "합격한 남자 수는 $30\\times\\frac{3}{5}=18$ (명) 합격한 여자 수는 $30\\times\\frac{2}{5}=12$ (명) 불합격한 여자 수를 $x$ 명이라 하면 불합격한 남자 수는 $2x$ 명이고, 지원한 남자 수는 $(18+2x)$ 명, 지원한 여자 수는 $(12+x)$ 명이다. 이때 지원자의 남자와 여자의 비가 $5 : 3$이므로 $(18+2x) : (12+x)=5 : 3$ $3(18+2x)=5(12+x)$ $54+6x=60+5x$ $∴ x=6$ 따라서 지원한 남자 수는 $18+2x=18+2\\times6=30$ (명), 지원한 여자 수는 $12+x=12+6=18$ (명)이므로 전체 지원자 수는 $30+18=48 (명)$"
    },
    {
        "question": "지면에서 $1$ km 높아질 때마다 기온은 $6$ °C씩 낮아진다고 한다. 현재 지면의 온도가 $25$ °C일 때, 다음 물음에 답하여라.  $(1)$ 지면에서 높이가 $h$ m인 곳의 기온을 $h$를 사용한 식으로 나타내어라.  ( \\square ) $\\degree$C  $(2)$ 지면에서 높이가 $2500$ m인 곳의 기온을 구하여라.",
        "answer": "(1) $1 m$ 높아질 때마다 온도는 $0.006 °C$씩 낮아지므로 $h m$ 높아지면 $0.006\\times h=0.006h (°C)$ 낮아진다. 따라서 지면의 온도가 $25 °C$일 때, $h m$에서의 기온은 $(25-0.006h) °C$ (2) $h=2500$을 $25-0.006h$에 대입하면 $25-0.006h$$=25-0.006\\times2500$$=10$ 따라서 높이가 $2500 m$인 곳의 기온은 $10 °C$이다."
    },
    {
        "question": "원가가 $25000$ 원인 가방을 정가의 $20\\%$ 를 할인하여 팔아 $1$ 개를 팔 때마다 원가의 $12$ %의 이익을 남기려고 한다. 원가에 얼마의 이익을 붙여 정가를 매겨야 하는지 구하여라.",
        "answer": "정가를 $x$ 원이라 하자. 정가의 $20\\%$를 할인하여 팔 때 판매 금액은 $x-x\\times\\frac{20}{100}$$=\\frac{4}{5}x$ (원) 이익은 원가의 $12\\%$이므로 $25000\\times\\frac{12}{100}=3000$ (원) $(판매 금액)$$-(원가)=(이익)$이므로 $\\frac{4}{5}x-25000=3000$ $\\frac{4}{5}x=28000$ $∴$ $x=35000$ 따라서 정가는 $35000$ 원이므로 원가에 $35000-25000$$=10000$ (원)의 이익을 붙여 정가를 매겨야 한다."
    },
    {
        "question": "어느 동아리에서 여행을 위해 필요한 경비를 알아보았더니 다음 표와 같았다. 이 동아리의 여행에 참여하는 학생이 $25$ 명일 때, 필요한 경비를 $x$, $y$를 사용한 식으로 나타내어라.  <table border> <tbody> <tr> <td>$~~~~~~~$항목</td> <td>$~~~~~~~~~~~~$비용</td> </tr> <tr> <td>$~~$버스 임대료</td> <td>$~~~~~~~~~~~~y$원</td> </tr> <tr> <td>도시락($1$ 인당)</td> <td>$~~~~~~~~~5000$원</td> </tr> <tr> <td>$~$간식($1$ 인당)</td> <td>$1500$ 원짜리 과자 $x$ 개 $\\\\$ $600$ 원짜리 음료수 $2$ 개 </td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "한 사람에게 $5000$ 원짜리 도시락 $1$ 개, $1500$ 원짜리 과자 $x$ 개, $600$ 원짜리 음료수 $2$ 개를 줄 때 한 사람의 경비는 $5000+1500x+1200=1500x+6200$ (원) $25$명의 경비는 $(1500x+6200)\\times25 =37500x+155000$ (원) 따라서 버스 임대료와 $25$명의 경비를 더하면 $(y+37500x+155000)$ 원"
    },
    {
        "question": "식 $□-(2x+1)=-3x+4$에서 $□$에 알맞은 식을 구하여라.$\\\\$",
        "answer": "$□$에 알맞은 식을 구하기 위해서는 $□=(-3x+4)+(2x+1)$을 계산하면 된다. $∴□$$=(-3x+4)(2x+1)$ $=$$-x+5$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $5(x-3)+10=3x-9$의 해의 역수가 $x$에 대한 일차방정식 $3(2x+3)=2(2x+a)$의 해일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$5(x-3)+10=3x-9$의 해를 구하기 위해 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리하면 $5x-5=3x-9$ $5x-3x=-9+5$ $2x=-4$  $∴ x=-2$ $3(2x+3)=2(2x+a)$의 해는 $x=-\\frac{1}{2}$이므로 대입하여 정리하면 $6=-2+2a$ $-2a=-2-6$  $-2a=-8$ $∴ a=4$"
    },
    {
        "question": "식 $-2ax^2-ax+1+x+6x^2+b$를 계산하면 $x$에 대한 일차식이 되고 상수항이 $-3$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-2ax^2-ax+1+x+6x^2+b$$=(-2a+6)x^2+(-a+1)x+b+1$ 일차식이 되려면 이차항의 계수가 $0$이어야 하므로 $-2a+6=0$ $∴ a=3$ 상수항이 $-3$이므로 $b+1 =-3$ $∴ b=-4$ $∴ ab$$=3\\times(-4)$ $=-12$"
    },
    {
        "question": "강당의 긴 의자에 영진이네 반 전체 여학생들이 앉는데 한 의자에 $3$ 명씩 앉으면 $2$ 명이 앉지 못하고, $5$ 명씩 앉으면 마지막 의자에는 $2$ 명이 앉고 완전히 빈 의자 $1$ 개가 남는다. 의자의 개수를 $x$ 개, 영진이네 반 전체 여학생 수를 $y$ 명이라 할 때, $4x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "한 의자에 $3$ 명씩 앉을 때의 학생 수는 $(3x+2)$ 명이고, 한 의자에 $5$ 명씩 앉으면 $5$ 명이 모두 앉게 되는 의자는 ($x-2$) 개이므로 학생 수는 $5(x-2)+2=5x-8 (명)$ $3x+2=5x-8$ $-2x=-10$ ∴ $x=5$ 영진이네 반 전체 여학생 수는 $3x+2$$=3\\times5+2$$=17$ (명)이므로  $y=17$ ∴ $4x-y$$=4\\times5-17$$=3$"
    },
    {
        "question": "식 $□+5x-2=2x+3$에서 $□$에 알맞은 식을 구하여라.",
        "answer": "$□$에 알맞은 식을 구하기 위해서는 $□=(2x+3)-(5x-2)$를 계산하면 된다. $∴□=(2x+3)-(5x-2)$ $=$$2x+3-5x+2$ $=$$-3x+5$"
    },
    {
        "question": "부모의 키의 합에서 $12 cm$를 뺀 후 $2$로 나누면 딸의 키를 예측할 수 있다고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 아버지의 키가 $x cm$, 어머니의 키가 $y cm$일 때, 딸의 키를 예측한 값을 $x$,$y$를 사용한 식으로 나타내어라.  (2) 아버지의 키가 $174 cm$, 어머니의 키가 $160 cm$일 때, 여자아이 다혜의 키를 예측한 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) 딸의 키를 예측한 식은 부모의 키의 합에서 $12$ $cm$를 뺀 후 $2$로 나눈 것이므로 $\\frac{x+y-12}{2}$ $(cm)$ (2) $x=174$, $y=160$을 $\\frac{x+y-12}{2}$에 대입하면 $\\frac{x+y-12}{2}$$=\\frac{174+160-12}{2}$$=161$ 따라서 다혜의 키를 예측하면 $161$ $cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $10 cm$, 세로의 길이가 $8 cm$인 직사각형에서 가로의 길이를 $2x cm$, 세로의 길이를 $(3-x) cm$만큼 줄였더니 색칠한 직사각형이 되었다. 이때 색칠한 직사각형의 둘레의 길이를 $x$에 대한 일차식으로 나타내어라.",
        "answer": "색칠한 직사각형의 가로의 길이는 $(10-2x)$ $cm$, 세로의 길이는 $8-(3-x)=x+5 (cm)$ $(직사각형의 둘레의 길이)=2\\times\\lbrace(가로의 길이)+(세로의 길이)\\rbrace$이므로 $=$$-2x+30$ $(cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 표에서 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합이 모두 같을 때, $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. <table border> <tbody>   <tr>     <td>4</td>     <td>a</td>     <td>0</td>   </tr>   <tr>     <td></td>     <td>1</td>     <td></td>   </tr>   <tr>     <td></td>     <td>b</td>     <td>-2</td>   </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "$4+1+(-2)$$=4+1-2$$=3$이므로 가로, 세로, 대각선에 있는 세 수의 합은 $3$이다. $4+a+0=3$이므로 $a=3-4=-1$ $-1+1+b=3$이므로 $b=3-(-1)-1=3+1-1=3$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $0.5x+0.15=-0.4x-0.3$의 해를 $x$$=a$라 할 때, $4a^2+2a+3$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.5x+0.15=-0.4x-0.3$에서 $50x+15=-40x-30$ $50x+40x=-30-15$ $90x=-45$ $∴ x=-\\frac{1}{2}$ $a=-\\frac{1}{2}$이므로 $a=-\\frac{1}{2}$을 $4a^2+2a+3$에 대입하면 $4a^2+2a+3=4\\times(-\\frac{1}{2})^2+2\\times(-\\frac{1}{2})+3=3$"
    },
    {
        "question": "효진이는 가지고 있는 사탕의 $\\frac{1}{8}$은 아빠에게, $\\frac{1}{8}$은 엄마에게, $\\frac{1}{4}$은 언니에게 주고, $5$ 개를 동생에게 주었다. 효진이에게 남은 사탕이 언니에게 준 사탕보다 $1$개 더 많을 때, 처음에 효진이가 가지고 있던 사탕의 개수를 구하여라.",
        "answer": "효진이가 처음에 가지고 있던 사탕의 개수를 $x$ 개라 하자. 아빠에게 $\\frac{1}{8}x$ 개, 엄마에게 $\\frac{1}{8}x$ 개, 언니에게 $\\frac{1}{4}x$ 개, 동생에게 $5$ 개의 사탕을 주었다. 효진이에게 남은 사탕의 개수는 언니에게 준 사탕보다 $1$ 개 더 많으므로 $(\\frac{1}{4}x+1)$ 개이다. $\\frac{1}{8}x+\\frac{1}{8}x+\\frac{1}{4}x+5+\\frac{1}{4}x+1=x$ $x+x+2x+40+2x+8=8x$ $6x+48=8x$ $-2x=-48$ $∴ x=24$ 따라서 처음에 효진이가 가지고 있던 사탕의 개수는 $24$ 개이다."
    },
    {
        "question": "두 가지 신문을 구독하는 어느 마을의 지난달 A 신문을 보는 가구의 수는 $100$가구이고, B 신문을 보는 가구의 수는 $150$ 가구였다. 이번 달은 지난달에 비해 A 신문을 보는 가구의 수는 $a\\%$ 감소하고, B 신문을 보는 가구의 수는 $b\\%$증가하였다고 할 때, 이번 달 신문을 보는 전체 가구의 수를 문자를 사용한 식으로 나타내어라.",
        "answer": "이번 달 A 신문을 보는 가구의 수는 $100-100\\times\\frac{a}{100}=100-a$ (가구) 이번 달 B 신문을 보는 가구의 수는 $150+150\\times\\frac{b}{100}$$=150+\\frac{3}{2}b$ (가구) 신문을 보는 전체 가구의 수는 A 신문을 보는 가구의 수와 B 신문을 보는 가구의 수의 합이므로 $(100-a)+(150+\\frac{3}{2}b)$$=250-a+\\frac{3}{2}b$ (가구)"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $\\frac{3}{4}x+1=\\frac{2}{3}x$의 해가 $x=m$이고 일차방정식 $-2(x+3)=x+1$의 해가 $x=n$일 때, $5m+3n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{3}{4}x+1=\\frac{2}{3}x$에서 $9x+12=8x$ $9x-8x=-12$ $x=-12$이므로 $m=-12$ $-2(x+3)=x+1$에서 $-2x-6=x+1$ $-2x-x=1+6$ $-3x=7$ $x=-\\frac{7}{3}$이므로 $n=-\\frac{7}{3}$ $∴$ $5m+3n$$=5\\times(-12)+3\\times(-\\frac{7}{3})$$=-67$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 삼각형에서 세 변에 놓인 네 수의 합이 모두 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라.",
        "answer": "한 변에 놓인 네 수의 합을 구하면 $9+4+(-2)+(-3)$$=9+4-2-3$$=8$ 각 변에 놓인 네 수의 합은 모두 $8$이다. $-1+5+A+9=8$이므로 $A=8-(-1)-5-9=8+1-5-9=-5$ $-1+B+2+(-3)=8$이므로 $B=8-(-1)-2-(-3)=8+1-2+3=10$ $∴ A+B$$=-5+10$$=5$"
    },
    {
        "question": "식 $\\square-4x+1=-x-2$에서 $\\square$에 알맞은 식을 구하여라.",
        "answer": "$□$에 알맞은 식을 구하기 위해서는 $□=(-x-2)-(-4x+1)$을 계산하면 된다. $∴□=(-x-2)-(-4x+1) =-x-2+4x-1 =3x-3$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $\\frac{2}{5}x=\\frac{x-2}{4}+2$의 해를 $x$$=a$라 할 때, $\\frac{a}{5}+3$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{2}{5}x=\\frac{x-2}{4}+2$에서 $8x=5(x-2)+40$ $8x=5x+30$ $8x-5x=30$ $3x=30$ $ \\therefore x=10$ $a=10$이므로 $a=10$을 $\\frac{a}{5}+3$에 대입하면 $\\frac{a}{5}+3$$=\\frac{10}{5}+3$$=5$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $-3(x+2)=\\frac{5}{3}(x-4)$의 해가 $x=m$이고 일차방정식 $\\frac{2x-1}{3}=x-\\frac{6}{5}$의 해가 $x=n$일 때, $7m+5n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$-3(x+2)=\\frac{5}{3}(x-4)$에서 $-9(x+2)=5(x-4)$ $-9x-18=5x-20$ $-9x-5x=-20+18$ $-14x=-2$ $x=\\frac{1}{7}$이므로 $m=\\frac{1}{7}$ $\\frac{2x-1}{3}=x-\\frac{6}{5}$에서 $5(2x-1)=15x-18$ $10x-5=15x-18$ $10x-15x=-18+5$ $-5x=-13$ $x=\\frac{13}{5}$이므로 $n=\\frac{13}{5}$ $∴$ $7m+5n$$=7\\times\\frac{1}{7}+5\\times\\frac{13}{5}$$=14$"
    },
    {
        "question": "어떤 다항식에서 $-5y+15$를 뺐더니 $11y-9$가 되었다. 어떤 다항식을 구하여라.",
        "answer": "어떤 다항식을 $□$라 하고 식을 세우면 $□-(-5y+15)=11y-9$ $\\therefore\\square=(11y-9)+(-5y+15) $=6y+6$"
    },
    {
        "question": "등식 $-x+9=-2x+7$을 이항만을 이용하여 $ax+b=0(a>0)$의 꼴로 바꾸었을 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 수)",
        "answer": "우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 계산하면 $x+2=0$이므로 $a=1$, $b=2$ $∴$ $a-b$$=1-2$$=-1$"
    },
    {
        "question": "현재 은지 이모의 나이는 은지의 나이의 $4$ 배이고, $8$ 년 후에는 은지의 나이의 $3$ 배가 된다. 현재 은지의 나이를 구하여라.",
        "answer": "현재 은지의 나이를 $x$ 세라 하면 이모의 나이는 $4x$ 세이다. $8$ 년 후 은지의 나이는 $(x+8)$ 세, 이모의 나이는 $(4x+8)$ 세이고 $8$ 년 후 이모의 나이가 은지 나이의 $3$ 배이므로 $4x+8=3(x+8)$ $4x+8=3x+24$ ∴ $x=16$ 따라서 현재 은지의 나이는 $16$ 세이다."
    },
    {
        "question": "햇빛에 의해 생기는 물체의 그림자의 길이는 물체의 길이에 정비례한다고 한다. 길이가 $1.5 m$인 막대를 지면과 수직으로 세웠을 때 그림자의 길이가 $1.8m$가 되었다. 같은 시각, 같은 위치에서 길이가 $xm$인 막대를 지면과 수직으로 세울 때 생기는 그림자의 길이를 $ym$라 하자. 이때 $x$와 $y$ 사이의 관계식을 구하여라.",
        "answer": "그림자의 길이는 물체의 길이에 정비례하므로 $x$와 $y$ 사이의 관계식을 $y=ax(a\\neq0)$로 나타낼 수 있다. $y=ax$에 $x=1.5$, $y=1.8$을 대입하면 $1.8=1.5a$ $\\therefore a=\\frac{6}{5}$ 따라서 $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{6}{5}x$"
    },
    {
        "question": "현재 윤아 큰 언니의 나이는 윤아의 나이의 $3$ 배이고, $5$ 년 후에는 윤아의 나이의 $2$ 배가 된다. 현재 큰 언니의 나이를 구하여라.",
        "answer": "현재 큰 언니의 나이를 $x$ 세라 하면 윤아의 나이는 $\\frac{x}{3}$ 세이다. $5$ 년 후 윤아의 나이는 $(\\frac{x}{3}+5)$ 세, 큰 언니의 나이는 $(x+5)$ 세이고 $5$ 년 후 큰 언니의 나이가 윤아 나이의 $2$ 배이므로 $x+5=2(\\frac{x}{3}+5)$ $3x+15=2x+30$ $ \\therefore x=15$ 따라서 현재 큰 언니의 나이는 $15$ 세이다."
    },
    {
        "question": "현우는 $8000$ 원을 가지고 있고, 진희는 $12000$ 원을 가지고 있다. 현우가 장미 $9$ 송이와 $2000$ 원짜리 안개꽃 $2$ 다발을 사고 남은 돈과 진희가 장미 $4$ 송이와 $2000$ 원짜리 안개꽃 $5$ 다발을 사고 남은 돈이 서로 같다고 할 때, 장미 한 송이의 가격을 구하여라.",
        "answer": "장미 한 송이의 가격을 $x$ 원이라 하자. 현우는 장미 $9$ 송이와 $2000$ 원짜리 안개꽃 $2$ 다발을 샀으므로 남은 돈은 $8000-(x\\times9+2000\\times2)=-9x+4000$ (원) 진희는 장미 $4$ 송이와 $2000$ 원짜리 안개꽃 $5$ 다발을 샀으므로 남은 돈은 $12000-(x\\times4+2000\\times5)=-4x+2000 (원)$ $-9x+4000=-4x+2000$ $-5x=-2000$ $∴$ $x=400$ 따라서 장미 한 송이의 가격은 $400$ 원이다."
    },
    {
        "question": "일차방정식 $\\frac{1}{6}(x+10)=\\frac{1}{2}x+\\frac{5}{6}$의 해의 역수가 $x$에 대한 일차방정식 $6x+1=x+a$의 해일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{1}{6}(x+10)=\\frac{1}{2}x+\\frac{5}{6}$의 해를 구하기 위해 분모의 두 수 $6$, $2$의 최소공배수 $6$을 양변에 곱하면 $x+10=3x+5$ $x-3x=5-10$ $-2x=-5$ $∴$ $x=\\frac{5}{2}$ $6x+1=x+a$의 해는 $x=\\frac{2}{5}$이므로 대입하여 정리하면 $\\frac{17}{5}=\\frac{2}{5}+a$ $-a=\\frac{2}{5}-\\frac{17}{5}$  $-a=-3$ $∴$ $a=3$"
    },
    {
        "question": "어떤 다항식에 $7a-4$를 더했더니 $5a-10$이 되었다. 어떤 다항식을 구하여라.",
        "answer": "어떤 다항식을 $□$라 하고 식을 세우면 $□+(7a-4)=5a-10$$\\\\$ $\\therefore\\square=(5a-10)-(7a-4)=5a-10-7a+4=-2a-6$"
    },
    {
        "question": "어떤 다항식에 $2a-b$를 더해야 할 것을 잘못하여 뺐더니 $a-2b$가 되었다. 바르게 계산한 식을 구하여라.",
        "answer": "어떤 다항식을 $□$라 하고 식을 세우면 $□-(2a-b)=a-2b$ $\\therefore$$□=(a-2b)+(2a-b)$$=$$3a-3b$ 바르게 계산한 식은 $3a-3b$에 $2a-b$를 더하는 것이므로 $(3a-3b)+(2a-b)$$=$$5a-4b$"
    },
    {
        "question": "네 유리수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $(a, b) ◎ (c, d)$$=ad-bc$라 할 때, $(1-2x, 4) ◎ (3, -2)$$=x$를 만족시키는 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(1-2x, 4) ◎ (3, -2)=(1-2x)\\times(-2)-4\\times3$ $=$$-2(1-2x)-12$ 이때 $-2(1-2x)-12$$=x$이므로 $4x-14=x$ $4x-x=14$ $3x=14$ $ \\therefore x=\\frac{14}{3}$"
    },
    {
        "question": "부모의 키의 합에서 $13$ $cm$를 뺀 후 $2$로 나누면 딸의 키를 예측할 수 있다고 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 아버지의 키가 $x$ $cm$, 어머니의 키가 $y$ $cm$일 때, 딸의 키를 예측한 값을 $x, y$를 사용한 식으로 나타내어라. (2) 아버지의 키가 $182$ $cm$, 어머니의 키가 $167$ $cm$일 때, 여자아이 진아의 키를 예측한 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) 딸의 키를 예측한 식은 부모의 키의 합에서 $13$ $cm$를 뺀 후 $2$로 나눈 것이므로 $\\frac{x+y-13}{2}$ $(cm)$ (2) $x=182$, $y=167$을 $\\frac{x+y-13}{2}$에 대입하면 $\\frac{x+y-13}{2}$$=\\frac{182+167-13}{2}$$=168$ 따라서 진아의 키를 예측하면 $168$ $cm$이다."
    },
    {
        "question": "세 일차방정식 $0.3x-0.4=1.6-0.2x$, $\\frac{x-2}{3}=2x-\\frac{5}{6}$, $\\frac{x+6}{8}=\\frac{x+2}{4}$ 의 해를 차례대로 $x=a$, $x=b$, $x=c$라 할 때, 가장 큰 수부터 차례대로 문자 $a, $$b, $$c$를 나열하여라.",
        "answer": "$0.3x-0.4=1.6-0.2x$에서 $3x-4=16-2x$ $3x+2x=16+4$ $5x=20$ $x=4$이므로 $a=4$ $\\frac{x-2}{3}=2x-\\frac{5}{6}$에서 $2(x-2)=12x-5$ $2x-4=12x-5$ $2x-12x=-5+4$ $-10x=-1$ $x=\\frac{1}{10}$이므로 $b=\\frac{1}{10}$ $\\frac{x+6}{8}=\\frac{x+2}{4}$에서 $x+6=2(x+2)$ $x+6=2x+4$ $x-2x=4-6$ $-x=-2$ $x=2$이므로 $c=2$ 따라서 큰 수부터 차례대로 나열하면 $a$, $c$, $b$이다."
    },
    {
        "question": "일차방정식 $6x+a=2(x-3)$의 해가 $x=-1$일 때, $a^2-6$의 값을 구하여라. (단, $a$는 수)",
        "answer": "일차방정식 $6x+a=2(x-3)$에 $x=-1$을 대입하여 정리하면 $-6+a=-8$ $a=-8+6$ $\\therefore$ $  a=-2$ $a^2-6$에 $a=-2$를 대입하면 $a^2-6=(-2)^2-6=-2$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 두 일차방정식 $\\frac{x}{2}-\\frac{8+3x}{10}=-1$과 $3a-4ax+5=-9$의 해가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\frac{x}{2}-\\frac{8+3x}{10}=-1$의 해를 구하기 위해 분모의 두 수 $2$, $10$의 최소공배수 $10$을 양변에 곱하면 $5x-(8+3x)=-10$ $2x-8=-10$ $2x=-10+8$ $2x=-2$  $∴x=-1$ 두 일차방정식의 해가 서로 같으므로 $x=-1$을 일차방정식 $3a-4ax+5=-9$에 대입하여 정리하면 $7a+5=-9$ $7a=-9-5$ $7a=-14$ $∴ a=-2$"
    },
    {
        "question": "비례식 $4 : 3=\\frac{2}{3}(x-1) : \\frac{1}{2}(2x+1)$을 만족시키는 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$4 : 3=\\frac{2}{3}(x-1) : \\frac{1}{2}(2x+1)$에서 $2(2x+1)=2(x-1)$ $4x+2=2x-2$ $4x-2x=-2-2$ $2x=-4$ $∴$ $x=-2$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $-2-ax=6x+a$에서 수 $a$의 부호를 잘못 보고 풀었더니 해가 $x=1$이 되었다. 주어진 방정식의 올바른 해를 구하여라.",
        "answer": "$-2-ax=6x+a$에서 수 $a$의 부호를 잘못 보았다면 $-2+ax=6x-a$ $-2+ax=6x-a$의 해는 $x=1$이므로 대입하여 정리하면 $-2+a=6-a$ $a+a=6+2$  $2a=8$ $∴ a=4$ 원래 방정식은 $-2-4x=6x+4$ $-4x-6x=4+2$ $-10x=6$ $∴ x=-\\frac{3}{5}$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $3x-3=-12-2x$에서 좌변의 $-3$을 잘못 보고 풀었더니 해가 $x=-2$가 되었다. $-3$을 어떤 수로 잘못 보았는지 구하여라.",
        "answer": "좌변의 $-3$을 $a$로 잘못 보고 풀었다면 $3x+a=-12-2x$ $3x+a=-12-2x$의 해는 $x=-2$이므로 대입하여 정리하면 $-6+a=-8$ $a=-8+6$  $∴$ $a=-2$ 따라서 $-3$을 $-2$로 잘못 보았다."
    },
    {
        "question": "두 일차방정식 $\\frac{x-2}{3}+a=x-3$, $2(x-b)=-x+7$의 해가 모두 $x=5$일 때, 수 $a, b$에 대하여 $\\frac{b}{a}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x=5$를 일차방정식 $\\frac{x-2}{3}+a=x-3$에 대입하여 정리하면 $a+1=2$ $a=2-1$ $∴$ $a=1$ $x=5$를 일차방정식 $2(x-b)=-x+7$에 대입하여 정리하면 $10-2b=2$ $-2b=2-10$ $-2b=-8$ $∴$ $b=4$ $∴$ $\\frac{b}{a}$$=\\frac{4}{1}$$=4$"
    },
    {
        "question": "현재 윤서는 $8000$ 원, 윤아는 $5200$ 원이 저금통에 들어 있다. 윤서는 매일 $1000$ 원씩, 윤아는 매일 $1400$ 원씩 저금통에 넣을 때, 윤서와 윤아의 저금통에 들어 있는 금액이 같아지는 것은 며칠 후인지 구하여라.",
        "answer": "$x$ 일 후에 두 저금통에 들어 있는 금액이 같아진다고 하자. $x$ 일 후 윤서의 저금통에는 $8000+1000\\times x=8000+1000x$ (원), 윤아의 저금통에는 $5200+1400\\times x=5200+1400x$ (원)이 들어 있다. 이때 두 저금통에 들어 있는 금액이 같아지므로 $8000+1000x=5200+1400x$ $-400x=-2800$ $∴ x=7$ 따라서 금액이 같아지는 것은 $7$ 일 후이다."
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $3x+1=x+a$의 해가 일차방정식 $0.3x+0.6=\\frac{4x-2}{5}$의 해의 $2$ 배일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.3x+0.6=\\frac{4x-2}{5}$의 해를 구하기 위해 소수를 분수로 바꿔서 방정식을 나타내면 $\\frac{3}{10}x+\\frac{3}{5}=\\frac{4x-2}{5}$ $\\\\$ $3x+6=2(4x-2)$ $\\\\$ $3x+6=8x-4$ $\\\\$ $3x-8x=-4-6$ $\\\\$ $-5x=-10$ $\\\\$ $∴ x=2$ $\\\\$ $3x+1=x+a$의 해는 $x=4$이므로 대입하여 정리하면 $13=4+a$ $\\\\$ $-a=4-13$ $\\\\$  $-a=-9$ $\\\\$ $∴ a=9$"
    },
    {
        "question": "$36$ 개의 지우개를 $x$ 명의 학생에게 $y$ 개씩 나누어 준다고 할 때, 한 학생이 $3$ 개씩 받는다면 지우개를 받은 학생은 모두 몇 명인지 구하여라.",
        "answer": "$36$ 개의 지우개를 $x$ 명의 학생에게 나누어 줄 때 한 학생이 받는 지우개의 개수는 $\\frac{36}{x} 개$이다. $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{36}{x}$ $y=\\frac{36}{x}$에 $y=3$을 대입하면 $3=\\frac{36}{x}$ $∴ x=12$ 따라서 지우개를 받은 학생은 모두 $12$ 명이다."
    },
    {
        "question": "일차방정식 $-0.3x+0.4=0.2x-1.6$의 해를 $x=a$라 할 때, 일차방정식 $2x-a=11-x$의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)",
        "answer": "$-0.3x+0.4=0.2x-1.6$에서 $-3x+4=2x-16$ $-3x-2x=-16-4$ $-5x=-20$ $x=4$이므로 $a=4$ $2x-a=11-x$에 $a=4$를 대입하면 $2x-4=11-x$ $2x+x=11+4$ $3x=15$ $∴$ $x=5$"
    },
    {
        "question": "일차방정식 $-0.4x+1=2x-0.2$의 해를 $x=a$라 할 때, 일차방정식 $a(x+4)=1$의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)",
        "answer": "$-0.4x+1=2x-0.2$에서 $-4x+10=20x-2$ $-4x-20x=-2-10$ $-24x=-12$ $x=\\frac{1}{2}$이므로 $a=\\frac{1}{2}$ $a(x+4)=1$에 $a=\\frac{1}{2}$을 대입하면 $\\frac{1}{2}x+2=1$ $\\frac{1}{2}x=1-2$ $\\frac{1}{2}x=-1$  $∴ x=-2$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 두 일차방정식 $\\frac{1}{3}x+2=0.5x+3$과 $2x+a=-ax+8$의 해가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.$\\\\$",
        "answer": "$\\frac{1}{3}x+2=0.5x+3$의 해를 구하기 위해 소수를 분수로 바꿔서 방정식을 나타내면 $\\frac{1}{3}x+2=\\frac{1}{2}x+3$ $2x+12=3x+18$ $2x-3x=18-12$ $-x=6$ $∴ x=-6$ 두 일차방정식의 해가 서로 같으므로 $x=-6$을 일차방정식 $2x+a=-ax+8$에 대입하여 정리하면 $-12+a=6a+8$ $a-6a=8+12$ $-5a=20$ $∴ a=-4$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax$$(a\\neq0)$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=ax$에 $x=2$, $y=\\frac{1}{2}$을 대입하면 $\\frac{1}{2}=2a$ $∴ a=\\frac{1}{4}$"
    },
    {
        "question": "등식 $3x+2b=2ax+5$가 $x$의 값에 관계없이 항상 성립할 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $2a-4b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$x$의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식은 항등식이다. $3=2a$, $2b=5$ $∴$ $a=\\frac{3}{2}$, $b=\\frac{5}{2}$ $∴$ $2a-4b$$=2\\times\\frac{3}{2}-4\\times\\frac{5}{2}$$=-7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 서로 같고, 평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $2x+(5x-20)+(x+40)=180$ $8x+20=180$ $8x=160$ ∴ $x=20$"
    },
    {
        "question": "학생들에게 색종이를 나누어 주는데 $7$ 장씩 나누어 주면 $3$ 장이 남고, $9 $장씩 나누어 주면 $7$ 장이 부족하다. 이때 색종이가 총 몇 장인지 구하여라.",
        "answer": "학생 수를 $x$ 명이라고 하자. 색종이를 $7$ 장씩 나누어 주면 $3$ 장이 남으므로 $(7x+3)$ 장이고, $9 장$씩 나누어 주면 $7 장이$ 부족하므로 $(9x-7)$ 장이다. $7x+3=9x-7$ $-2x=-10$ $\\therefore$ $x=5$ 학생 수는 $5$ 명이므로 색종이의 수는 $x=5$를 $7x+3$에 대입하면 $7\\times5+3=38 (장)$"
    },
    {
        "question": "다음 표에서 가로, 세로, 대각선 각각에 있는 세 식의 합이 모두 같을 때, $x$의 값을 구하여라.  <table border>   <tr>     <th>$8$</th>     <th>$9$</th>     <th>$3x-2$</th>   </tr> <tbody>   <tr>     <td></td>     <td>$7$</td>     <td></td>   </tr>   <tr>     <td></td>     <td></td>     <td>$x+4$</td>   </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "가로, 대각선 각각에 있는 세 식의 합이 모두 같으므로 $8+9+(3x-2)=8+7+(x+4)$ $3x+15=x+19$ $3x-x=19-15$ $2x=4$ $\\therefore$ $x=2$"
    },
    {
        "question": "아랫변의 길이가 윗변의 길이보다 $1 cm$만큼 길고, 높이가 $8 cm$인 사다리꼴의 넓이가 $52$ $cm^2$이다. 이 사다리꼴의 윗변의 길이를 구하여라.",
        "answer": "윗변의 길이를 $x cm$ 하면 아랫변의 길이는 $(x+1)cm$ 이고,  $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)\\rbrace\\times(높이)$$=$$(사다리꼴의 넓이)$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+1)\\rbrace\\times8$$=52$ $8x+4=52$ $8x=48$ $∴$ $x=6$ 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 $6cm$ 이다."
    },
    {
        "question": "언니가 동생보다 $3$ 세 많고 두 사람의 나이의 합이 $19$ 세일 때, 언니의 나이를 구하여라.",
        "answer": "언니의 나이를 $x$ 세라 하면 동생의 나이는 ($x-3$) 세이다. 두 사람의 나이의 합은 $19$ 세이므로 $x+(x-3)=19$ $2x-3=19$ $2x=22$ $∴$ $x=11$ 따라서 언니의 나이는 $11$ 세이다."
    },
    {
        "question": "쌓기나무가 A 주머니에 $9$ 개, B 주머니에 $15$ 개가 들어 있다. A 주머니에 들어 있는 쌓기나무의 개수가 B 주머니에 들어 있는 쌓기나무의 개수의 $3$ 배가 되도록 하려고 할 때, B 주머니에서 A 주머니로 옮겨야 하는 쌓기나무의 개수를 구하여라.",
        "answer": "옮기는 쌓기나무의 개수를 $x$ 개라 하자. B 주머니에서 A 주머니로 $x$ 개를 옮기면 A 주머니에는 $(9+x)$ 개, B 주머니에는 $(15-x) 개$의 쌓기나무가 들어 있게 된다. 이때 A 주머니에 들어 있는 쌓기나무의 개수가 B 주머니에 들어 있는 쌓기나무의 개수의 $3$ 배이므로 $9+x=3(15-x)$ $9+x=45-3x$ $4x=36$ $∴ x=9$ 따라서 옮겨야 하는 쌓기나무의 개수는 $9$ 개이다."
    },
    {
        "question": "주머니에 초콜릿을 담는데 $10$ 개씩 담으면 $7$ 개가 부족하고, $8$ 개씩 담으면 $5$ 개가 남는다. 이때 주머니가 몇 개인지 구하여라.",
        "answer": "주머니의 수를 $x$ 개라 하자. 초콜릿을 $10$ 개씩 담으면 $7$ 개가 부족하므로 $(10x-7)$ 개이고, $8$ 개씩 담으면 $5 개$가 남으므로 $(8x+5)$ 개이다. $10x-7=8x+5$ $2x=12$ $∴$ $x=6$ 따라서 주머니는 $6$ 개이다."
    },
    {
        "question": "미진이가 윤서보다 $2$ 세 많고 두 사람의 나이의 합이 $30$ 세일 때, 윤서의 나이를 구하여라.",
        "answer": "윤서의 나이를 $x$ 세라 하면 미진이의 나이는 ($x+2$) 세이다. 두 사람의 나이의 합은 $30$ 세이므로 $x+(x+2)=30$ $2x+2=30$ $2x=28$ $ \\therefore x=14$ 따라서 윤서의 나이는 $14$ 세이다."
    },
    {
        "question": "어느 중학교의 올해의 학생 수는 작년에 비하여 $16$ % 증가하여 올해는 $1015$ 명이 되었다. 작년의 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "작년 학생 수를 $x$ 명이라 하자. $x$ 명에서 $16\\%$ 증가한 학생 수는 $x+\\frac{16}{100}x=\\frac{29}{25}x$ (명)이므로 $\\frac{29}{25}x=1015$ $∴ x=875$ 따라서 작년의 학생 수는 $875$ 명이다."
    },
    {
        "question": "길이가 $120 cm$인 철사를 구부려 직사각형을 만드는 데 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 $2 : 3$이 되도록 하려고 한다. 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $2x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $3x$ $cm$이다. $2\\times\\lbrace(가로의 길이)+(세로의 길이)\\rbrace=(직사각형의 둘레의 길이)$이므로 $2(2x+3x)=120$ $10x=120$ $\\therefore$ $x=12$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $2\\times12=24$ $(cm)$"
    },
    {
        "question": "찬영이는 며칠 동안 여행을 다녀왔다. 전체 여행 기간의 $\\frac{1}{4}$은 취침, $\\frac{1}{2}$은 관광, $\\frac{1}{8}$은 식사, $20$ 시간은 이동, $4$ 시간은 쇼핑을 했다. 이때 여행 기간을 구하여라.",
        "answer": "여행 기간을 $x$ 일이라 하자. 취침 시간은 $\\frac{1}{4}x 일$, 관광 시간은 $\\frac{1}{2}x 일$, 식사 시간은 $\\frac{1}{8}x 일$, 이동 시간은 $20\\times\\frac{1}{24}=\\frac{5}{6} (일)$, 쇼핑 시간은 $4\\times\\frac{1}{24}=\\frac{1}{6} (일)$이므로 $\\frac{1}{4}x+\\frac{1}{2}x+\\frac{1}{8}x+\\frac{5}{6}+\\frac{1}{6}=x$ $6x+12x+3x+20+4=24x$ $21x+24=24x$ $-3x=-24$ $ \\therefore x=8$ 따라서 여행 기간은 $8$ 일이다."
    },
    {
        "question": "어느 중학교의 올해의 학생 수는 작년에 비하여 $12\\%$ 증가하여 올해는 $1400 명$이 되었다. 작년의 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "작년 학생 수를 $x$ 명이라 하자. $x$ 명에서 $12\\%$ 증가한 학생 수는 $x+\\frac{12}{100}x=\\frac{28}{25}x$ (명)이므로 $\\frac{28}{25}x=1400$ $∴ x=1250$ 따라서 작년의 학생 수는 $1250$ 명이다."
    },
    {
        "question": "어느 중학교의 올해의 남학생 수는 작년에 비해 $9\\%$  증가했고 여학생 수는 작년에 비해 $9\\%$  감소했다. 작년의 여학생 수는 $x$ 명, 전체 학생 수는 $500$ 명이었고 올해는 작년에 비하여 전체적으로 $9$ 명 증가하였다. 올해의 여학생 수를 구하여라.",
        "answer": "작년 여학생 수가 $x$ 명일 때, 남학생은 $(500-x)$ 명이다. 올해 남학생은 작년에 비해 $9$ $%$ 증가하였으므로 증가한 남학생 수는 $(500-x)\\times\\frac{9}{100}=\\frac{9}{100}(500-x) $(명) 올해 여학생은 $9$ $%$ 감소하였으므로 감소한 여학생 수는 $x\\times\\frac{9}{100}=\\frac{9}{100}x $(명) 전체적으로는 $9$ 명 증가하였으므로 $\\frac{9}{100}(500-x)-\\frac{9}{100}x=9$ $9(500-x)-9x=900$ $-18x+4500=900$ $-18x=-3600$ $\\therefore$ $x=200$ 따라서 작년 여학생 수가 $200 $명이고 감소한 여학생 수는  $\\frac{9}{100}\\times200=18 $(명)이므로 올해의 여학생 수는 $200-18=182$ (명)"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $4(x-a)=5+3x$의 해가 일차방정식 $0.1(x-3)=\\frac{3x-2}{2}$의 해의 $2$ 배일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.1(x-3)=\\frac{3x-2}{2}$의 해를 구하기 위해 소수를 분수로 바꿔서 방정식을 나타내면 $\\frac{1}{10}(x-3)=\\frac{3x-2}{2}$ $x-3=15x-10$ $x-15x=-10+3$ $-14x=-7$ $∴$ $x=\\frac{1}{2}$ $4(x-a)=5+3x$의 해는 $x=1$이므로 대입하여 정리하면 $4-4a=8$ $-4a=8-4$  $-4a=4$ $∴$ $a=-1$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 일정한 규칙으로 바둑돌의 개수를 늘려 나갔다. 필요한 바둑돌이 $41$ 개일 때는 몇 단계인지 구하여라.",
        "answer": "[$1$ 단계]의 바둑돌은 $1$ 개, [$2$ 단계]의 바둑돌은 $5$ 개, [$3$ 단계]의 바둑돌은 $9$ 개, $···$ 단계가 올라갈 때마다 늘어나는 바둑돌은 $4$ 개이다. $[$$1$ 단계$]$의 바둑돌이 $1$ 개이고 단계가 올라갈 때마다 바둑돌이 $4$ 개씩 늘어나므로 [$n$ 단계]를 만들 때 필요한 바둑돌의 개수는 $1+4\\times(n-1)$$=4n-3 (개)$ 바둑돌 $41$ 개가 필요한 단계를 구하면  $4n-3=41$ $4n=44$ $∴$ $n=11$ 따라서 바둑돌 $41$ 개가 필요한 단계는 $11$ 단계이다."
    },
    {
        "question": "세로의 길이가 $5 cm$, 높이가 $7cm$인 직육면체의 부피가 $245$ $cm^3$이다. 이 직육면체의 가로의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직육면체의 가로의 길이를 $x$ $cm$라 하자. $(가로의 길이)\\times(세로의 길이)\\times(높이)$$=(직육면체의 부피)$이므로 $x\\times5\\times7$$=245$ $35x=245$ $\\therefore x=7$ 따라서 가로의 길이는 $7$ $cm$이다."
    },
    {
        "question": "길이가 $60 cm$인 철사를 구부려 직사각형을 만드는 데 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 $3 : 2$가 되도록 하려고 한다. 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $3x$ $cm$라 하면 세로의 길이는 $2x$ $cm$이다. $2\\times\\lbrace(가로의 길이)+(세로의 길이)\\rbrace$$=(직사각형의 둘레의 길이)$이므로 $2(3x+2x)=60$ $10x=60$ $∴$ $x=6$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $3\\times6$$=18$ $(cm)$"
    },
    {
        "question": "반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}$$(a≠0)$의 그래프가 두 점 $(3, -4)$, $(6, k)$를 지날 때, $k$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{a}{x}$에 $x=3$, $y=-4$를 대입하면 $-4=\\frac{a}{3}$ $∴ a=-12$ $y=-\\frac{12}{x}$에 $x=6$, $y=k$를 대입하면 $k$$=-\\frac{12}{6}$$=-2$"
    },
    {
        "question": "집과 체육관 사이를 자전거로 왕복하는데 갈 때는 시속 $15 km$, 올 때는 시속 $12 km$로 달렸더니 올 때는 갈 때보다 시간이 $12$ 분 더 걸렸다. 집과 체육관 사이의 거리를 구하여라.",
        "answer": "집과 체육관 사이의 거리를 $x$ $km$라 하자. $(시간)=\\frac{(거리)}{(속력)}$이므로 갈 때 걸린 시간은 $\\frac{x}{15}$ 시간, 올 때 걸린 시간은 $\\frac{x}{12} 시간$이다. 올 때는 갈 때보다 시간이 $12$ 분, 즉 $\\frac{1}{5}$ 시간 더 걸렸으므로  $\\frac{x}{12}-\\frac{x}{15}=\\frac{1}{5}$ $5x-4x=12$ $∴$ $x=12$ 따라서 집과 체육관 사이의 거리는 $12$ $km$이다."
    },
    {
        "question": "용량이 $150 L$인 빈 물탱크에 매분 $15 L$씩 물을 채우려고 한다. $x$ 분 동안 채운 물의 양을 $y L$라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계식을 구하고 물탱크에 물을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 구하여라. (단, $0\\le x\\le10$)",
        "answer": "매분 $15L$씩 물을 채우므로 $x$ 분 동안 $15x L$를 채운다. $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=15x$ $y=15x$에 $y=150$을 대입하면 $150=15x$ $∴ x=10$ 따라서 가득 채우는 데 걸리는 시간은 $10$ 분이다."
    },
    {
        "question": "일정한 온도에서 기체의 부피는 압력에 반비례한다. 일정한 온도에서 부피가 $24$ $cm^3$일 때 압력이 $7$ 기압인 기체는 부피가 $x$ $cm^3$일 때 압력은 $y$ 기압이다. $x$와 $y$ 사이의 관계식을 구하고, 압력이 $6$ 기압일 때 이 기체의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$x$와 $y$가 반비례하면 $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{a}{x}$$(a\\ne0)$이다. $y=\\frac{a}{x}$에 $x=24$, $y=7$을 대입하면 $7=\\frac{a}{24}$ $∴$ $a=168$ $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{168}{x}$ $y=\\frac{168}{x}$에 $y=6$을 대입하면 $6=\\frac{168}{x}$ $∴$ $x=28$ 따라서 이 기체의 부피는 $28$ $cm^3$이다."
    },
    {
        "question": "다음 표에서 $y$가 $x$에 정비례할 때, $pq$의 값을 구하여라. <table border> <tbody> <tr> <td>$x$</td> <td>$-3$</td> <td>$-1$</td> <td>$q$</td> </tr> <tr> <td>$y$</td> <td>$1$</td> <td>$p$</td> <td>$-1$</td> </tr>  </tbody> </table>",
        "answer": "$x$와 $y$가 정비례하므로 $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=ax$$(a \\ne 0)$ $y=ax$에 $x=-3$, $y=1$을 대입하면 $1=-3a$ $∴ a=-\\frac{1}{3}$ $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=-\\frac{1}{3}x$이므로 $x=-1$, $y=p$를 대입하면 $p$$=(-\\frac{1}{3})\\times(-1)$$=\\frac{1}{3}$ 또, $y=-\\frac{1}{3}x$에 $x=q$, $y=-1$을 대입하면 $-1=-\\frac{1}{3}q$ $∴ q=3$ $∴ pq$$=\\frac{1}{3}\\times3$$=1$"
    },
    {
        "question": "높이가 $6$ $cm$인 삼각형의 넓이가 $24$ $cm^2$일 때, 밑변의 길이를 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 밑변의 길이를 $a$ $cm$라 하자. $\\\\$ $\\frac{1}{2}\\times(밑변의 길이)\\times(높이)$$=(삼각형의 넓이)$이므로 $\\frac{1}{2}\\times a\\times6$$=24$ $\\\\$ $3a=24$ $\\\\$ $∴$ $a=8$ $\\\\$ 따라서 밑변의 길이는 $8$ $cm$이다."
    },
    {
        "question": "태민이와 지은이가 전체 일의 양이 $1$인 어떤 일을 하는데 태민이 혼자서 하면 $4$ 시간이 걸리고 지은이 혼자서 하면 $5$ 시간이 걸린다고 한다. 태민이와 지은이가 함께 $x$ 시간 동안 일한 양을 $y$라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 식으로 나타내어라.",
        "answer": "태민이가 $1$ 시간 동안 하는 일의 양은 $\\frac{1}{4}$, 지은이가 $1$ 시간 동안 하는 일의 양은 $\\frac{1}{5}$이므로 $1$ 시간 동안 태민이와 지은이가 함께 하는 일의 양은 $\\frac{1}{4}+\\frac{1}{5}=\\frac{9}{20}$ 따라서 $x$ 시간 동안 함께 일한 양은 $\\frac{9}{20}x$이므로 $y=\\frac{9}{20}x$"
    },
    {
        "question": "윤정이와 상현이가 전체 일의 양이 $1$인 어떤 일을 하는데 윤정이 혼자서 하면 $3$ 시간이 걸리고 상현이 혼자서 하면 $4$ 시간이 걸린다고 한다. 윤정이와 상현이가 함께 $x$ 시간 동안 일한 양을 $y$라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 식으로 나타내어라.",
        "answer": "윤정이가 $1$ 시간 동안 하는 일의 양은 $\\frac{1}{3}$, 상현이가 $1$ 시간 동안 하는 일의 양은 $\\frac{1}{4}$이므로 $1$ 시간 동안 윤정이와 상현이가 함께 하는 일의 양은 $\\frac{1}{3}+\\frac{1}{4}=\\frac{7}{12}$ 따라서 $x$ 시간 동안 함께 일한 양은 $\\frac{7}{12}x$이므로 $y=\\frac{7}{12}x$"
    },
    {
        "question": "수조의 물의 높이가 $2$ 분마다 $8 cm$씩 줄어든다고 한다. 수조의 현재 물의 높이가 $80 cm$일 때, 다음 물음에 답하여라. (단, 물의 높이는 일정하게 변화한다.) (1) $t$분 후의 물의 높이를 $t$를 사용한 식으로 나타내어라.  (2) $5$ 분 전의 물의 높이를 구하여라.",
        "answer": "(1)$1$ 분마다 물의 높이는 $4 cm$씩 줄어들므로 $t$ 분 동안 변화되는 물의 높이는 $4t cm$이다. 따라서 $t$ 분 후의 물의 높이는 $(80-4t) cm$ (2) $t=-5$를 $80-4t$에 대입하면 $80-4t$$=80-4\\times(-5)$$=100$ 따라서 $5$ 분 전의 물의 높이는 $100 cm$이다."
    },
    {
        "question": "물이 $A$ 물병에 $1600$ $mL$, $B$ 물병에 $500$ $mL$가 들어 있다. $A$ 물병에 들어 있는 물의 양이 $B$ 물병에 들어 있는 물의 양의 $4$ 배가 되도록 하려고 할 때, $B$ 물병에서 $A$ 물병으로 옮겨야 하는 물의 양을 구하여라.",
        "answer": "옮기는 물의 양을 $x mL$라 하자. B 물병에서 A 물병으로 $x mL$를 옮기면 A 물병에는 $(1600+x)mL$ , B 물병에는 $(500-x) mL$의 물이 들어 있게 된다. 이때 A 물병에 들어 있는 물의 양이 B 물병에 들어 있는 물의 양의 $4$ 배이므로 $1600+x=4(500-x)$ $1600+x=2000-4x$ $5x=400$ $∴$ $x=80$ 따라서 옮겨야 하는 물의 양은 $80mL$ 이다."
    },
    {
        "question": "어느 만화 카페에서는 이용 요금을 기본요금과 추가 요금으로 구성한다. $x $시간 이용할 때의 요금을 $y$ 원이라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 이 만화 카페를 $4$ 시간 $20$ 분 이용했을 때 내야 할 금액을 구하여라.",
        "answer": "만화 카페의 이용 요금은 기본요금 $2500$ 원에 $2$ 시간을 이용할 수 있고, $2$ 시간을 초과하면 $1$ 시간당 $1500$ 원, 즉 $1$ 분당 $\\frac{1500}{60}=25$ (원)씩 요금이 추가된다. 따라서 $4$ 시간 $20$ 분을 이용했을 때 내야 할 금액은 기본 $2$ 시간에 추가 $2 시간 20 분=140 분$을 이용한 금액이므로 $2500+140\\times25=2500+3500=6000$ (원)"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}(a\\neq0, x>0)$의 그래프이다. 그래프 위의 두 점 P, Q의 $x$좌표가 각각 $1$, $3$일 때, $y$좌표의 차가 $6$이다. 이때 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{a}{x}$에 $x=1$을 대입하면 $y$$=\\frac{a}{1}$$=a$이므로 점 $P$의 좌표는 $(1, a)$이고,  $y=\\frac{a}{x}$에 $x=3$을 대입하면 $y$$=\\frac{a}{3}$이므로 점 $Q$의 좌표는 ${(3, \\frac{a}{3})}$이다 두 점 $P, Q$의 $y$좌표의 차가 $6$이므로 $a-\\frac{a}{3}=6$ $\\frac{2}{3}a=6$ $∴$ $a=9$"
    },
    {
        "question": "컴퓨터로 $6000$ 자의 한글을 입력해야 하는 과제가 있다. $1$ 분당 $x$ 자를 입력할 수 있는 학생이 $6000$ 자를 모두 입력할 때까지 걸리는 시간을 $y$ 분이라고 하자. $1$ 분당 $500$ 자와 $400$ 자를 입력할 수 있는 두 학생이 동시에 과제를 시작했을 때, $1$ 분당 $500$ 자를 입력할 수 있는 학생이 몇 분 먼저 과제를 끝낼 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "$(1 분당 입력할 수 있는 글자 수)\\times(걸리는 시간)=xy=6000$이므로 $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{6000}{x}$ $1$ 분에 $500$ 자를 입력할 수 있는 학생이 걸리는 시간은 $y$$=\\frac{6000}{500}=12 $(분) $1$ 분에 $400$ 자를 입력할 수 있는 학생이 걸리는 시간은 $y$$=\\frac{6000}{400}=15 $(분) 따라서 $1$ 분에 $500$ 자를 입력할 수 있는 학생이 $15-12=3 $(분) 먼저 과제를 끝낼 수 있다."
    },
    {
        "question": "반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}$$(a$ ≠ $0)$의 그래프가 두 점 $(-1, 3)$, $(9, k)$를 지날 때, $k$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{a}{x}$에 $x=-1$, $y=3$을 대입하면 $3=\\frac{a}{-1}$ $∴ a=-3$ $y=-\\frac{3}{x}$에 $x=9$, $y=k$를 대입하면 $k$$=-\\frac{3}{9}$$=-\\frac{1}{3}$"
    },
    {
        "question": "점 $(-a, 4)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표와 점 $(5, b)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표가 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $(-a, 4)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구하여라. (2) 점 $(5, b)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "점 $(-a, 4)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표는 같고, $y$좌표의 부호가 반대이므로 $(-a, -4)$이다. 점 $(5, b)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표의 부호가 반대이고, $y$좌표는 같으므로 $(-5, b)$이다. $(-a, -4)=(-5, b)$이므로 $a=5$$,$ $b=-4$ $∴ a-b$$=5-(-4)$$=9$"
    },
    {
        "question": "비례식 $1 : (1-2x)=2 : (7-5x)$를 만족시키는 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$1 : (1-2x)=2 : (7-5x)$에서 $7-5x=2(1-2x)$ $7-5x=2-4x$ $-5x+4x=2-7$ $-x=-5$ $∴ x=5$"
    },
    {
        "question": "반비례 관계 $y=-\\frac{12}{x}$의 그래프가 두 점 $(a, -4)$, $(6, b)$를 지날 때, $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=-\\frac{12}{x}$에 $x=a$, $y=-4$를 대입하면 $-4=-\\frac{12}{a}$ $∴ $$a=3$ $y=-\\frac{12}{x}$에 $x=6$, $y=b$를 대입하면 $b$$=-\\frac{12}{6}$$=-2$ $∴$ $ab$$=3\\times(-2)$$=-6$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}(a\\neq0, x>0)$의 그래프이다. 그래프 위의 두 점 $P, Q$의 $x$좌표가 각각 $2$, $6$일 때, $y$좌표의 차가 $4$이다. 이때 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{a}{x}$에 $x=2$를 대입하면 $y$$=\\frac{a}{2}$이므로 점 $P$의 좌표는 $(2, \\frac{a}{2})$이고,  $y=\\frac{a}{x}$에 $x=6$을 대입하면 $y$$=\\frac{a}{6}$이므로 점 $Q$의 좌표는 $(6, \\frac{a}{6})$이다.  두 점 $P$, $Q$의 $y$좌표의 차가 $4$이므로 $\\frac{a}{2}-\\frac{a}{6}=4$ $\\frac{a}{3}=4$ $∴$ $a=12$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax$$(a\\neq0)$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=ax$에 $x=-3$, $y=5$를 대입하면 $5=-3a$ $\\therefore$$ a=-\\frac{5}{3}$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax$의 그래프와 반비례 관계 $y=\\frac{b}{x}$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $a$와 $b$의 값을 각각 구하여라. $($단, $a$와 $b$는 $0$이 아닌 수)",
        "answer": "$y=ax$에 $x=3$, $y=-1$을 대입하면 $-1=3a$ $∴$ $a=-\\frac{1}{3}$ $y=\\frac{b}{x}$에 $x=3$, $y=2$를 대입하면 $2=\\frac{b}{3}$ $∴$ $b=6$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax(a \\ne 0)$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=ax$에 $x=-5$, $y=5$를 대입하면 $5=-5a$ $∴ a=-1$"
    },
    {
        "question": "점 $(3a-6, 2b-4)$가 $x$축 위에 있고 점 $(-\\frac{1}{3}a+2, -2b-1)$이 $y$축 위에 있을 때, 점 $(a, b)$를 구하여라.",
        "answer": "점 $(3a-6, 2b-4)$가 $x$축 위에 있으므로 $y$좌표는 $0$이다. $2b-4=0$ $∴ b=2$ 점 $(-\\frac{1}{3}a+2, -2b-1)$이 $y$축 위에 있으므로 $x$좌표는 $0$이다. $-\\frac{1}{3}a+2=0$ $∴ a=6$ 따라서 구하는 좌표는 $(6, 2)$이다."
    },
    {
        "question": "어느 만화 카페에서는 이용 요금을 기본요금과 추가 요금으로 구성한다. $x$시간 이용할 때의 요금을 $y$원이라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 이 만화 카페를 $3$ 시간 $40$ 분 이용했을 때 내야 할 금액을 구하여라.",
        "answer": "만화 카페의 이용 요금은 기본요금 $2000$ 원에 $2$ 시간을 이용할 수 있고, $2 시간을$ 초과하면 $1$ 시간당 $1500$ 원, 즉 $1$ 분당 $\\frac{1500}{60}=25$ (원)씩 요금이 추가된다. 따라서 $3$ 시간 $40$ 분을 이용했을 때 내야 할 금액은 기본 $2$ 시간에 추가 $1 시간 40 분=100 분$을 이용한 금액이므로 $2000+100\\times25=2000+2500=4500$ (원)"
    },
    {
        "question": "길이가 $126cm$인 철사를 구부려 직사각형을 만드는 데 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 $4:3$이 되도록 하려고 한다. 이 직사각형의 가로의 길이를 구하여라.",
        "answer": "직사각형의 가로의 길이를 $4x cm$라 하면 세로의 길이는 $3xcm$이다. $2\\times\\lbrace(가로의 길이)+(세로의 길이)\\rbrace$$=(직사각형의 둘레의 길이)$이므로 $2(4x+3x)=126$ $14x=126$ $ \\therefore x=9$ 따라서 직사각형의 가로의 길이는 $4\\times9$$=36$ $(cm)$"
    },
    {
        "question": "점 $(-2, -a)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표와 점 $(b, 4)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표가 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 점 $(-2, -a)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구하여라. (2) 점 $(b, 4)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표를 구하여라. (3) $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "(1) 점 $(-2, -a)$와 $x$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표는 같고, $y$좌표의 부호가 반대이므로 $(-2, a)$이다.     (2) 점 $(b, 4)$와 $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표의 부호가 반대이고, $y$좌표는 같으므로 $(-b, 4)$이다. (3) $(-2, a)=(-b, 4)$이므로 $a=4$$,$ $b=2$ $∴ a+b$$=4+2$$=6$"
    },
    {
        "question": "$x$에 대한 일차방정식 $7x-3=3x-a$의 해가 $0.9x+0.6=0.3(-2+x)$의 해보다 $1$만큼 클 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$0.9x+0.6=0.3(-2+x)$의 해를 구하면 $9x+6=3(-2+x)$ $9x+6=-6+3x$ $9x-3x=-6-6$ $6x=-12$ $∴ x=-2$ $7x-3=3x-a$의 해는 $x=-1$이므로 대입하여 정리하면 $-10=-3-a$ $a=-3+10$  $∴ a=7$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax$의 그래프와 반비례 관계 $y=\\frac{b}{x}$의 그래프가 다음 그림과 같이 점 P에서 만날 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 $0$이 아닌 수)",
        "answer": "$y=ax$에 $x=-2$, $y=-4$를 대입하면 $-4=-2a$ $∴$ $a=2$ $y=2x$에 $x=1$을 대입하면 $y$$=2\\times1$$=2$ 점 P의 좌표가 $(1, 2)$이므로 $y=\\frac{b}{x}$에 $x=1$, $y=2$를 대입하면 $2=\\frac{b}{1}$ $∴$ $b=2$ $∴$ $a+b$$=2+2$$=4$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 두 점 $A(4, 2)$, $B(6, 9)$를 이은 선분 $AB$와 정비례 관계 $y=ax(a$≠$0)$의 그래프가 만나기 위한 수 $a$의 값의 범위를 $m\\le a\\le n$이라 할 때, $m+n$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(ⅰ)$ $y=ax$의 그래프가 점 $A(4, 2)$를 지나는 경우 $y=ax$에 $x=4$, $y=2$를 대입하면 $2=4a$ $∴$ $a=\\frac{1}{2}$ $(ⅱ)$ $y=ax$의 그래프가 점 $B(6, 9)$를 지나는 경우 $y=ax$에 $x=6$, $y=9$를 대입하면 $9=6a$ $∴$ $a=\\frac{3}{2}$ 따라서 구하는 수 $a$의 값의 범위는 $\\frac{1}{2}\\le a\\le\\frac{3}{2}$이고 $m=\\frac{1}{2}$, $n=\\frac{3}{2}$이므로 $m+n$$=\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}$$=2$"
    },
    {
        "question": "학교에서 $2800 m$ 떨어진 공원까지 솔지는 킥보드를 타고 가고, 승호는 걸어서 가기로 했다. 다음 그래프는 두 사람이 같은 지점에서 동시에 출발하여 갈 때, 걸린 시간 $x$ 분과 이동한 거리 $y m$ 사이의 관계를 나타낸 것이다. 솔지가 공원에 도착한 후 몇 분을 기다려야 승호가 도착하는지 구하여라.",
        "answer": "솔지와 승호의 걸린 시간 $x 분$과 이동한 거리 $y m$ 사이의 관계를 각각 식으로 나타내면 $y=700x$, $y=140x$ $\\\\$ $y=700x$에서 $y=2800$일 때 $x=4$이므로 솔지가 공원에 도착하는 데 걸린 시간은 $4 분$이고, $y=140x$에서 $y=2800$일 때 $x=20$이므로 승호가 공원에 도착하는 데 걸린 시간은 $20 분$이다. 따라서 솔지가 공원에 도착한 후 $20-4$$=16 (분)$을 기다려야 승호가 도착한다."
    },
    {
        "question": "$5$ 시와 $6$ 시 사이에 시계의 분침과 시침이 일치하는 시각을 구하여라.",
        "answer": "시계의 분침과 시침이 일치하는 시각을 $5$ 시 $x$ 분이라 하자. 분침과 시침은 $1$ 시간 동안 각각 $360\\degree$, $30\\degree$를 회전하므로 분침과 시침이 $1 $분 동안 회전하는 각도는 각각 $360\\degree\\div60=6\\degree$, $30\\degree\\div60=0.5\\degree$ 분침이 시계의 $12$를 가리킬 때부터 $x$ 분 동안 움직이는 각도는 $6x\\degree$, 시침이 시계의 $12$를 가리킬 때부터 $5$ 시 $x$ 분을 가리킬 때까지 움직인 각도는 $(150+0.5x)\\degree$이므로 $6x=150+0.5x$ $60x=1500+5x$ $55x=1500$ $∴$ $x=\\frac{300}{11}$ 따라서 구하는 시각은 $5$ 시 $\\frac{300}{11}$ 분이다."
    },
    {
        "question": "어떤 수조에 물을 가득 채우려면 $A$ 호스로는 $16$ 분, $B$ 호스로는 $8$ 분이 걸린다. $A$ 호스와 $B$ 호스로 $4$ 분 동안 물을 받다가 $A$ 호스로만 물을 받아서 수조를 가득 채웠다. 이 수조에 물을 가득 채우려면 $A$ 호스로 몇 분을 더 받아야 하는지 구하여라.",
        "answer": "수조에 가득 찬 물의 양을 $1$이라 하면 A 호스와 B 호스로 $1$ 분 동안 채우는 물의 양은 각각 $\\frac{1}{16}$, $\\frac{1}{8}$이다. A 호스로만 물을 받은 시간을 $x$ 분이라 하면 $(\\frac{1}{16}+\\frac{1}{8})\\times4+\\frac{1}{16}x=1$ $\\frac{3}{4}+\\frac{1}{16}x=1$ $12+x=16$ $∴$ $x=4$ 따라서 A 호스로 더 받아야 하는 시간은 $4$ 분이다."
    },
    {
        "question": "어느 중학교의 올해의 학생 수는 작년에 비하여 $10\\%$ 감소하여 올해는 $810$ 명이 되었다. 작년의 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "작년 학생 수를 $x$ 명이라 하자. $x$ 명에서 $10$ $\\%$ 감소한 학생 수는 $x-\\frac{10}{100}x=\\frac{9}{10}x$ (명)이므로 $\\frac{9}{10}x=810$ $∴ x=900$ 따라서 작년의 학생 수는 $900$ 명이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 점 A, C는 반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}$$(a\\ne0)$의 그래프 위의 점이다. 네 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행한 직사각형 $ABCD$의 넓이가 $24$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{a}{x}$에 $x=-4$를 대입하면 $y$$=-\\frac{a}{4}$이므로 점 $A$의 좌표는 $(-4, -\\frac{a}{4})$이고, $y=\\frac{a}{x}$에 $x=4$를 대입하면 $y$$=\\frac{a}{4}$이므로 점 $C$의 좌표는 $(4, \\frac{a}{4})$이다. 직사각형 $ABCD$의 넓이가 $24$이므로 $(선분 AD의 길이)\\times(선분 AB의 길이)$$=24$ $8\\times(-\\frac{1}{2}a)=24$ $-4a=24$ $∴ a=-6$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=ax$$(a \\ne 0)$의 그래프가 두 점 $(10, b)$, $(-5, -2)$를 지날 때, $b-5a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=ax$에 $x=-5$, $y=-2$를 대입하면 $-2=-5a$ $∴$ $a=\\frac{2}{5}$ $y=\\frac{2}{5}x$에 $x=10$, $y=b$를 대입하면 $b$$=\\frac{2}{5}\\times10$$=4$ $∴$ $b-5a$$=4-5\\times\\frac{2}{5}$$=2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $A$는 반비례 관계 $y=\\frac{12}{x}(x>0)$의 그래프와 정비례 관계 $y=ax$의 그래프의 교점이고, 점 $B$는 반비례 관계 $y=\\frac{12}{x}(x>0)$의 그래프와 정비례 관계 $y=bx$의 그래프의 교점일 때, $3a+4b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 $0$이 아닌 수)",
        "answer": "$y=\\frac{12}{x}$에 $y=4$를 대입하면 $4=\\frac{12}{x}$ $ \\therefore x=3$ 점 A의 좌표가 $(3, 4)$이므로 $y=ax$에 $x=3$, $y=4$를 대입하면 $4=3a$ $ \\therefore a=\\frac{4}{3}$ $y=\\frac{12}{x}$에 $x=4$를 대입하면 $y$$=\\frac{12}{4}$$=3$ 점 B의 좌표가 $(4, 3)$이므로 $y=bx$에 $x=4$, $y=3$을 대입하면 $3=4b$ $ \\therefore b=\\frac{3}{4}$ $ \\therefore 3a+4b$$=3\\times\\frac{4}{3}+4\\times\\frac{3}{4}$$=7$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 $y=-\\frac{16}{x}$의 그래프가 두 점 $(-2,a), (b,-4)$를 지날 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=-\\frac{16}{x}$의 그래프가 점 $(-2, a)$를 지나므로 $x=-2$, $y=a$를 대입하면 $a$$=-\\frac{16}{-2}$$=8$ $y=-\\frac{16}{x}$의 그래프가 점 $(b, -4)$를 지나므로 $x=b$, $y=-4$를 대입하면 $-4=-\\frac{16}{b}$ $∴ b=4$ $∴ a-b$$=8-4$$=4$"
    },
    {
        "question": "어느 스터디 카페에서는 이용 요금을 기본요금과 추가 요금으로 구성한다. $x 시간$ 이용할 때의 요금을 $y원$이라 할 때, $x$와 $y$ 사이의 관계를 그래프로 나타내면 다음과 같다. 이 스터디 카페를 $4시간 40$ 분 이용했을 때 내야 할 금액을 구하여라.",
        "answer": "스터디 카페의 이용 요금은 기본요금 $7000$ 원에 $3$ 시간을 이용할 수 있고, $3$ 시간을 초과하면 $1$ 시간당 $2400$ 원, 즉 $1$ 분당 $\\frac{2400}{60}=40$ (원)씩 요금이 추가된다. 따라서 $4$ 시간 $40$ 분을 이용했을 때 내야 할 금액은 기본 $3$ 시간에 추가 $1 시간 40 분=100 분$을 이용한 금액이므로 $7000+100\\times40=7000+4000=11000$ (원)"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 정비례 관계 $y = ax (a \\ne 0)$의 그래프가 삼각형 $AOB$의 넓이를 이등분할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "삼각형 $AOB$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times15\\times10$$=75$ 위 그림과 같이 $y=ax$의 그래프와 변 $AB$가 만나는 점을 $C(p, q)$라 하면 삼각형 $AOC$, $BCO$의 넓이는 각각 $\\frac{75}{2}$이므로 $(삼각형 AOC의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times10\\times p$$=\\frac{75}{2}$에서 $p=\\frac{15}{2}$ $(삼각형 BCO의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times15\\times q$$=\\frac{75}{2}$에서 $q=5$ $y=ax$의 그래프가 $C(\\frac{15}{2}, 5)$를 지나므로 $x=\\frac{15}{2}$, $y=5$를 대입하면 $5=\\frac{15}{2}a$ $∴ a=\\frac{2}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 정사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AE}=\\overline{DF}$이고, $\\angle\\text{AEB}=80\\degree$일 때, $\\angle ACF$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABE$와 $\\triangle DCF$에서 $\\overline{AB}$$=\\overline{DC}$, $\\overline{AE}$$=\\overline{DF}$, $\\angle BAE$$=\\angle CDF$$=90\\degree$ 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로 $\\triangle ABE\\equiv\\triangle DCF$ 합동인 삼각형에서 대응각의 크기는 같으므로 $\\angle DFC=\\angle AEB=80\\degree$ $\\triangle CDF$에서 $\\angle DCF$$=180\\degree-90\\degree-80\\degree$$=10\\degree$ $\\angle ACD=45\\degree$이므로 $\\angle ACF$$=\\angle ACD-\\angle DCF$$=45\\degree-10\\degree$$=35\\degree$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 $y=\\frac{18}{x}$의 그래프가 두 점 $(3, a)$, $(b,-9)$를 지날 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{18}{x}$의 그래프가 점 $(3, a)$를 지나므로 $x=3$, $y=a$를 대입하면 $a$$=\\frac{18}{3}$$=6$ $y=\\frac{18}{x}$의 그래프가 점 $(b, -9)$를 지나므로 $x=b$, $y=-9$를 대입하면 $-9=\\frac{18}{b}$ $ \\therefore b=-2$ $ \\therefore a-b$$=6-(-2)$$=8$"
    },
    {
        "question": "반비례 관계 $y=\\frac{a}{x}(a\\neq0$)의 그래프가 점 $(2, 7)$을 지날 때, 이 그래프 위의 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하려고 한다. (1) 수 $a$의 값을 구하여라. (2) $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점의 개수를 구하여라.",
        "answer": "(1) $y=\\frac{a}{x}$에 $x=2$, $y=7$을 대입하면 $\\\\ 7=\\frac{a}{2}$ $\\\\ ∴ a=2\\times7=14$  (2) 반비례 관계 $y=\\frac{14}{x}$의 그래프 위의 점 중에서 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 정수인 점은 $(1, 14), (2, 7),(7, 2),(14, 1),(-1, -14),(-2, -7),(-7, -2),(-14, -1)$의 $8$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 $4x+10=x+100$ $3x=90$ $∴$ $x=30$"
    },
    {
        "question": "지면에서 출발하여 위아래로 움직이는 놀이 기구가 출발한 지 $x$분 후의 지면으로부터의 높이를 $y m$라 하자. $x$와 $y$사이의 관계를 그래프로 나타내면 오른쪽과 같을 때, 놀이 기구의 평균 속력을 구하여라. (단, 놀이 기구는 지면과 수직인 방향으로만 움직인다.)",
        "answer": "$x$$=9$일 때 $y$의 값이 다시 $0$이 되므로 놀이 기구가 지면에 내려올 때까지 걸리는 시간은 $9$ 분이다. 놀이 기구는 출발 후 $2$ 분 동안 $90 m$ 상승, $3$ 분에서 $5$ 분 사이에 $90-50=40 (m)$ 하강, $5$ 분에서 $6$ 분 사이에 $80-50=30 (m)$ 상승, $7$ 분에서 $9$ 분 사이에 $80 m$ 하강하였으므로 지면에 다시 내려올 때까지 이동한 거리는 $90+40+30+80=240 (m)$ $(평균 속력)$$=\\frac{(전체 이동한 거리)}{(전체 걸린 시간)}$$=\\frac{240}{9}$$=\\frac{80}{3}(m/분)$이므로 놀이 기구의 평균 속력은 분속 $\\frac{80}{3}m$이다."
    },
    {
        "question": "컴퓨터로 $4000$ 자의 한글을 입력해야 하는 과제가 있다. $1$ 분당 $x$ 자를 입력할 수 있는 학생이 $4000$ 자를 모두 입력할 때까지 걸리는 시간을 $y$ 분이라고 하자. $1$ 분당 $250$ 자와 $400$ 자를 입력할 수 있는 두 학생이 동시에 과제를 시작했을 때, $1$ 분당 $400$ 자를 입력할 수 있는 학생이 몇 분 먼저 과제를 끝낼 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "$(1 분당 입력할 수 있는 글자 수)\\times(걸리는 시간)$$=xy$$=4000$이므로 $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=\\frac{4000}{x}$ $1$ 분에 $250$ 자를 입력할 수 있는 학생이 걸리는 시간은 $y$$=\\frac{4000}{250}$$=16$ (분) $1$ 분에 $400$ 자를 입력할 수 있는 학생이 걸리는 시간은 $y$$=\\frac{4000}{400}$$=10$ (분) 따라서 $1$ 분에 $400$ 자를 입력할 수 있는 학생이 $16-10$$=6$ (분) 먼저 과제를 끝낼 수 있다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$$=(부채꼴 AOB의 넓이) - (\\triangle ABO의 넓이)$ $(부채꼴 AOB의 넓이)$$=\\pi\\times12^2\\times\\frac{90}{360}$$=36\\pi (cm^2)$ $(\\triangle ABO의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times12$$=72 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(36\\pi-72) cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle BDE$이고, $\\angle A=28\\degree$, $\\angle E=62\\degree$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC\\equiv\\triangle BDE$이므로 $\\angle ACB=\\angle BED=62\\degree$ $\\angle DBE=\\angle BAC=28\\degree$  $\\triangle BCG$에서 $28\\degree+62\\degree+\\angle BGC=180\\degree$ $∴$ $\\angle BGC=90\\degree$ 맞꼭지각의 크기는 같으므로 $\\angle AGE=\\angle BGC=90\\degree$ $∴$ $x=90$"
    },
    {
        "question": "점 $P(2, -4)$와 원점에 대하여 대칭인 점을 $A$, $y$축에 대하여 대칭인 점을 $B$, $x$축에 대하여 대칭인 점을 $C$라 할 때, 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "점 $P(2, -4)$와 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표, $y$좌표의 부호가 모두 반대이므로 $A(-2, 4)$ $y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표의 부호가 반대이고 $y$좌표는 같으므로 $B(-2, -4)$ $x$축에 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표는 같고 $y$좌표의 부호가 반대이므로 $C(2, 4)$ 세 점 $A$, $B$, $C$를 좌표평면 위에 나타내면 위 그림과 같으므로 $(선분 AC의 길이)=2-(-2)=4$ $(선분 BC의 길이)=4-(-4)=8$ 따라서 삼각형 $ABC$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times4\\times8=16$"
    },
    {
        "question": "점 $(4a-1, -a+1)$이 $x$축 위에 있고 점 $(\\frac{b}{2}-2, 1-b)$가 $y$축 위에 있을 때, $ab$의 값을 구하여라.",
        "answer": "점 $(4a-1, -a+1)$이 $x$축 위에 있으므로 $y$좌표는 $0$이다. $-a+1=0$ $∴ a=1$ 점 $(\\frac{b}{2}-2, 1-b)$가 $y$축 위에 있으므로 $x$좌표는 $0$이다. $\\frac{b}{2}-2=0$ $∴ b=4$ $∴ ab$$=1\\times4$$=4$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=\\frac{7}{6}x$의 그래프가 두 점 $(12, a)$, $(b, -14)$를 지날 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{7}{6}x$에 $x=12$, $y=a$를 대입하면 $a$$=\\frac{7}{6}\\times12$$=14$ $y=\\frac{7}{6}x$에 $x=b$, $y=-14$를 대입하면 $-14=\\frac{7}{6}b$ $∴ b=-12$ $∴a-b$$=14-(-12)$$=26$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 정비례 관계 $y=-x$의 그래프 위의 점 $A$와 정비례 관계 $y=ax(a\\neq0)$의 그래프 위의 점 $B$를 이은 선분 $AB$가 $x$축에 평행할 때, 수 $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=-x$에 $x=-5$를 대입하면 $y=-(-5)=5$ $∴$ $A(-5, 5)$ 선분 $AB$가 $x$축에 평행하므로 $B(4, 5)$ $y=ax$의 그래프가 점 $B(4, 5)$를 지나므로 $x=4$, $y=5$를 대입하면 $5=4a$ $∴$ $a=\\frac{5}{4}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 반비례 관계의 두 그래프이다. 이때 $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "첫 번째 그래프의 식을 $y=\\frac{k}{x}$$(k ≠ 0)$라 하고 $x=2$, $y=9$를 대입하면 $9=\\frac{k}{2}$ $∴ k=18$ $∴ y=\\frac{18}{x}$ 이 그래프가 점 $(-6, a)$를 지나므로 $y=\\frac{18}{x}$에 $x=-6$, $y=a$를 대입하면 $a$$=\\frac{18}{-6}$$=-3$ 두 번째 그래프의 식을 $y=\\frac{l}{x}$$(l ≠ 0)$라 하고 $x=-2$, $y=9$를 대입하면 $9=\\frac{l}{-2}$ $∴ l=-18$ $∴ y=-\\frac{18}{x}$ 이 그래프가 점 $(b, -3)$을 지나므로 $y=-\\frac{18}{x}$에 $x=b$, $y=-3$을 대입하면 $-3=-\\frac{18}{b}$ $∴ b=6$ $∴ a+b$$=-3+6$$=3$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$, $k // n$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$l // m$이므로 $\\angle a+135\\degree=180\\degree$ $∴ $$\\angle a$$=45\\degree$ $k // n$이므로 $110\\degree+\\angle b=180\\degree$ $∴ $$\\angle b$$=70\\degree$ $\\angle a+\\angle x+\\angle b=180\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-45\\degree-70\\degree$$=65\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 엇각과 $\\angle y$의 크기의 합을 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x$의 엇각은 $\\angle a$이고 $\\angle a+115\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle a$$=65\\degree$ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 $\\angle y$$=80\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle y$$=65\\degree+80\\degree$$=145\\degree$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림은 직육면체를 세 꼭짓점 $B,C,F$ 를 지나는 평면으로 잘라 내고 남은 입체도형이다. 모서리 $CG$와 평행한 모서리의 개수를 $a$개, 면 $ABED$와 수직인 모서리의 개수를 $b$개라 할때, $3a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "모서리 $CG$와 평행한 모서리는 모서리 $AD$, 모서리 $BE$의 $2$ 개이므로 $a=2$ 면 $ABED$와 수직인 모서리는 모서리 $AC$, 모서리 $DG$, 모서리 $EF$의 $3$ 개이므로 $b=3$ $∴$ $3a-b=3\\times2-3=3$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l//m$, $k//n$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$l // m$이므로 $\\angle a+108\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle a$$=72\\degree$ $k // n$이므로 $125\\degree+\\angle b=180\\degree$ $∴ \\angle b$$=55\\degree$ $\\angle a+\\angle x+\\angle b=180\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-72\\degree-55\\degree$$=53\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle BOC=\\frac{2}{3}\\angle AOC$, $\\angle COD=\\frac{2}{3}\\angle COE$일 때, $\\angle BOD$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BOC=\\frac{2}{3}\\angle AOC$, $\\angle COD=\\frac{2}{3}\\angle COE$이고 $\\angle AOC+\\angle COE=180\\degree$(평각)이므로 $\\angle BOD=\\angle BOC+\\angle COD$ $=$$\\frac{2}{3}\\angle AOC+\\frac{2}{3}\\angle COE$ $=$$\\frac{2}{3}(\\angle AOC+\\angle COE)$ $=$$\\frac{2}{3}\\times180\\degree$ $=$$120\\degree$"
    },
    {
        "question": "정비례 관계 $y=\\frac{4}{5}x$의 그래프가 두 점 $(a, -8)$, $(20, b)$를 지날 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{4}{5}x$에 $x=a$, $y=-8$을 대입하면 $-8=\\frac{4}{5}a$ $∴$ $a=-10$ $y=\\frac{4}{5}x$에 $x=20$, $y=b$를 대입하면 $b$$=\\frac{4}{5}\\times20$$=16$ $∴$ $a+b$$=-10+16$$=6$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 직육면체의 일부를 잘라 낸 입체도형이다. 모서리 $CG$와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 $x$ 개, 면 $BFGC$와 수직인 면의 개수를 $y$ 개라 할 때, $xy$의 값을 구하여라.",
        "answer": "모서리 $CG$와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 $AB,$ 모서리 $AD,$ 모서리 $EF,$ 모서리 $EH$의 $4 개$이므로 $x=4$ 면 $BFGC$와 수직인 면은 면 $ABCD$, 면 $ABFE$, 면 $EFGH$의 $3 개$이므로  $y=3$ $∴ xy$$=4\\times3$$=12$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 점 $B$, $D$는 반비례 관계 $y=\\frac{8}{x}$의 그래프 위의 점이다. 이때 네 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행한 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{8}{x}$에 $x=-4$를 대입하면 $y$$=\\frac{8}{-4}$$=-2$ 점 $B$의 좌표는 $(-4, -2)$이다. $y=\\frac{8}{x}$에 $x=1$을 대입하면 $y$$=\\frac{8}{1}$$=8$ 점 $D$의 좌표는 $(1, 8)$이다. 직사각형 $ABCD$의 네 변이 $x$축 또는 $y$축에 평행하므로 $A(-4, 8)$, $C(1, -2)$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $(선분 AD의 길이)$$\\times$$(선분 AB의 길이)$$=5\\times10$$=50$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 사각형 $ABCD$와 $EFGH$가 합동일 때, $y-x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{BC}=\\overline{FG}=5 cm$이므로 $x=5\\angle E$$=\\angle A=60\\degree$이므로 $60+y+90+90=360$ $∴ y=120$ $∴ y-x=120-5=115$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 $y=\\frac{10}{x}$의 그래프가 두 점$(5,a), (b, -3)$을 지날 때, $a+b$ 의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y=\\frac{10}{x}$의 그래프가 점 $(5, a)$를 지나므로 $x=5$, $y=a$를 대입하면 $a$$=\\frac{10}{5}$$=2$ $y=\\frac{10}{x}$의 그래프가 점 $(b, -3)$을 지나므로 $x=b$, $y=-3$을 대입하면 $-3=\\frac{10}{b}$ $∴$ $b=-\\frac{10}{3}$ $∴$ $a+b=2+(-\\frac{10}{3})=-\\frac{4}{3}$"
    },
    {
        "question": "두 점 $(2a+1, 5)$, $(1, b+3)$이 $y$축에 대하여 대칭일 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$y$축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 $x$좌표의 부호가 반대이고, $y$좌표는 같으므로 $2a+1=-1$, $5=b+3$ $∴  a=-1$, $b=2$ $∴  a-b$$=-1-2$$=-3$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도를 접어서 만든 입체도형에서 모서리 $AJ$와 수직인 모서리의 개수를 $x$ 개, 면 $ABCJ$와 수직인 면의 개수를 $y$ 개라 할 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "주어진 전개도로 입체도형을 만들면 그림과 같다.  모서리 $AJ$와 수직인 모서리는 모서리 $AB,$ 모서리 $CJ,$ 모서리 $HJ$의 $3$ 개이므로 $x=3$ 면 $ABCJ$와 수직인 면은 $AHJ$, $CEHJ$, $BEC$의 $3$ 개이므로 $y=3$ $∴$ $x+y$$=3+3$$=6$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$와 $\\triangle CDE$는 정삼각형이고 $\\overline{BD}=9 cm$, $\\overline{DE}=6 cm$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ADC$와 $\\triangle BEC$에서 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$ $\\\\$ $\\overline{CD}=\\overline{CE}$ $\\\\$ $\\angle ACD$$=\\angle ACB+\\angle BCD$$=60\\degree+\\angle BCD$$=\\angle DCE+\\angle BCD$$=\\angle BCE$ $\\\\$ 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므로 $\\triangle ADC\\equiv\\triangle BEC$ $\\\\$ 합동인 두 삼각형에서 대응하는 변의 길이는 같으므로 $\\overline{AD}$$=\\overline{BE}$$=9+6$$=15 (cm)$"
    },
    {
        "question": "대각선의 개수가 $14$개인 다각형의 내각의 크기의 합을 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=14$ $n(n-3)=28$ $n(n-3)=7\\times4$ $∴ n=7$ 구하는 다각형은 칠각형이므로 내각의 크기의 합은 $180\\degree\\times5$$=900\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle EAD$이고, $\\angle C=61\\degree$, $\\angle E=26\\degree$일 때, $\\angle CFE$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC\\equiv\\triangle EAD$이므로 $\\angle BAC=\\angle AED=26\\degree$ $\\angle EDA=\\angle ACB=61\\degree$  $\\triangle ADF$에서 $26\\degree+61\\degree+\\angle AFD=180\\degree$ $∴$ $\\angle AFD=93\\degree$ 맞꼭지각의 크기는 같으므로 $\\angle CFE=\\angle AFD=93\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle BOC=\\frac{3}{5}\\angle AOC$, $\\angle COD=\\frac{3}{5}\\angle COE$일 때, $\\angle BOD$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle BOC=\\frac{3}{5}\\angle AOC$, $\\angle COD=\\frac{3}{5}\\angle COE$이고 $\\angle AOC+\\angle COE=180\\degree$(평각)이므로 $\\angle BOD=\\angle BOC+\\angle COD$ $=$ $\\frac{3}{5}\\angle AOC+\\frac{3}{5}\\angle COE$ $=$ $\\frac{3}{5}(\\angle AOC+\\angle COE)$ $=$ $\\frac{3}{5}\\times180\\degree$ $=$$108\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 조건을 만족시키는 $x$, $y$에 대하여 $x=-8$일 때, $y$의 값을 구하여라. (가) $xy$의 값은 일정한 음수이다. (나) $x=3$일 때의 $y$의 값과  $x=6$일때의 $y$의 값의 차가 $3$이다.",
        "answer": "조건 ㈎에서 $xy=a(a<0)$라 하면 $y=\\frac{a}{x}$ 조건 ㈏에서 $x=3$일 때의 $y$의 값과 $x=6$일 때의 $y$의 값의 차가 $3$이므로 $\\vert\\frac{a}{3}-\\frac{a}{6}\\vert=3$ $\\vert\\frac{a}{6}\\vert=3$ $\\vert a\\vert=18$ $∴ a=18$ 또는 $a=-18$ 이때 $a<0$이므로 $a=-18$ $x$와 $y$ 사이의 관계식은 $y=-\\frac{18}{x}$이므로 $x=-8$일 때 $y$의 값은 $y$$=-\\frac{18}{-8}$$=\\frac{9}{4}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle y$$=90\\degree-15\\degree$$=75\\degree$ $\\angle x$$=180\\degree-15\\degree-75\\degree-70\\degree$$=20\\degree$ $∴$ $\\angle y-\\angle x$$=75\\degree-20\\degree$$=55\\degree$"
    },
    {
        "question": "호의 길이가 $6\\pi cm$, 넓이가 $27\\pi cm^2$인 부채꼴의 반지름의 길이와 중심각의 크기를 구하여라.",
        "answer": "반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times r\\times6\\pi$$=27\\pi$ $∴ r=9$ 중심각의 크기를 $x\\degree$라 하면 $2\\pi\\times9\\times\\frac{x}{360}$$=6\\pi$ $∴ x=120$ 따라서 반지름의 길이는 $9 cm$, 중심각의 크기는 $120\\degree$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 직선 $l$과 $m$에 평행한 직선 $n$을 그으면 $l // n$이므로 $\\angle a$$=2x\\degree+10\\degree$ (동위각) $n // m$이므로 $\\angle b$$=3x\\degree-14\\degree$ (동위각) $(2x+10)+(3x-14)=126$ $5x-4=126$ $5x=130$ $∴$ $x=26$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle DAE$이고, $\\angle E=66\\degree$, $\\angle B=24\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC\\equiv\\triangle DAE$이므로 $\\angle DAE=\\angle ABC=24\\degree$ $\\angle ACB=\\angle DEA=66\\degree$ $\\triangle AOC$에서 $24\\degree+66\\degree+\\angle AOC=180\\degree$ $∴$ $\\angle AOC=90\\degree$ 맞꼭지각의 크기는 같으므로 $\\angle x=\\angle AOC=90\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 정육면체의 일부를 잘라 낸 입체도형이다. 면 $ABDC$와 수직인 면의 개수를 $a$ 개, 면$ACF$와 평행한 면의 개수를 $b$ 개라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "면 $ABDC$와 수직인 면은 면 $ACF$, 면 $BDE$, 면 $CDEF$의 $3$ 개이므로 $a=3$ 면 $ACF$와 평행한 면은 면 $BDE$의 $1$ 개이므로 $b=1$ $∴ a-b$$=3-1$$=2$"
    },
    {
        "question": "네 점 $A(-1, 0)$, $B(-1, -4)$, $C(9, -4)$, $D(7, 0)$을 꼭짓점으로 하는 사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "네 점 $A(-1, 0)$, $B(-1, -4)$, $C(9, -4)$, $D(7, 0)$을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같이 사다리꼴이다.  사다리꼴 $ABCD$에서 선분 $AD$의 길이는 $7-(-1)=8$, 선분 $BC$의 길이는 $9-(-1)=10$, 선분 $AB$의 길이는 $0-(-4)=4$ 따라서 사다리꼴 $ABCD$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(8+10)\\times4=36$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$ $\\angle y$$=180\\degree-30\\degree-60\\degree-45\\degree$$=45\\degree$  $∴ $ $\\angle x-\\angle y$$=60\\degree-45\\degree$$=15\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 $3x+45=5x+5$ $∴ x=20$ $3x\\degree+45\\degree$$=3\\times20\\degree+45\\degree$$=105\\degree$이므로 $y+105=180$ $∴ y=75$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$이고, $\\angle y=5\\angle x$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "그림과 같이 두 직선 $l$, $m$에 평행한 직선 $n$을 그으면 $\\angle x+\\angle y=120\\degree$, $\\angle y=5\\angle x$이므로 $\\angle x+5\\angle x=120\\degree$ $6\\angle x=120\\degree$ $∴ \\angle x=20\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$l // m$이므로 $\\angle a$$=2x\\degree-3\\degree$ (엇각) 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $48+(x+15)+(2x-3)=180$ $3x+60=180$ $3x=120$ $∴$ $x=40$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle c$의 동위각을 모두 찾고, 그 크기를 각각 구하여라.",
        "answer": "서로 다른 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 각 중에서 색칠된 각과 같이 같은 위치에 있는 각을 서로 동위각이라 한다. $\\angle c$의 동위각은 $\\angle h$, $\\angle f$이다. $\\angle h+130\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle h$$=50\\degree$ $\\angle f+120\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle f$$=60\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 종이 $ABCD$를 $\\overline{CF}$를 접는 선으로 하여 접었을 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle CDF$에서 $\\angle CFD$$=180\\degree-\\angle CDF-\\angle DCF$$=180\\degree-90\\degree-27\\degree$$=63\\degree$ $\\angle CFE$$=\\angle CFD$$=63\\degree$ (접은 각)  $∴\\angle x$$=180\\degree-(63\\degree+63\\degree)$$=54\\degree$ $\\angle ECF$$=\\angle DCF$$=27\\degree$ (접은 각)  $∴\\angle y$$=90\\degree-(27\\degree+27\\degree)$$=36\\degree$  $∴\\angle x-\\angle y$$=54\\degree-36\\degree$$=18\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 서로 같고, 평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $\\angle x+25\\degree+45\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x$$=110\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "한 원에서 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례한다. $12 : x=90 : 150$ $12 : x=3 : 5$ $3x=60$ $∴ x=20$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 종이를 $\\overline{EG}$를 접는 선으로 하여 접었을 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle DEG$$=\\angle EGF$$=42\\degree$ (엇각)  $\\angle FEG=\\angle DEG=42\\degree (접은 각)$ $\\angle x$$=\\angle DEF$ (엇각)이므로 $\\angle x=42\\degree+42\\degree=84\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 두 직선 $l$, $m$에 평행한 두 직선 $p$, $q$를 그으면 $(68-x)+y=54$이므로 $x-y=68-54=14$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 $\\angle A=90\\degree$이고 $\\overline{AB} = \\overline{AC}$인 직각이등변삼각형 $ABC$의 두 꼭짓점 $B,C$에서 점$A$를 지나는 직선$l$에 내린 수선의 발을 각각 $P,Q$라고 하자. $\\overline{CQ} = 7$cm, $\\overline{PQ} = 15$cm일 때,  $\\overline{BP}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CQA$에서 $\\overline{AB}=\\overline{CA}$ $\\angle BAP=90\\degree-\\angle CAQ=\\angle ACQ$ $\\angle ABP=90\\degree-\\angle BAP=\\angle CAQ$ $∴ \\triangle APB\\equiv\\triangle CQA$ ($ASA $합동) $\\triangle APB\\equiv\\triangle CQA$이므로 $\\overline{AP}=\\overline{CQ}=7 cm$ $∴ \\overline{BP}$$=\\overline{AQ}=\\overline{PQ}-\\overline{AP}=15-7=8$ $(cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 같으므로 $3x+2x=120$ $5x=120$ $∴$ $x=24$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로 $y+34=2y-48$ $∴ y=82$ $y\\degree+34\\degree$$=82\\degree+34\\degree$$=116\\degree$이므로 $x+116=180$ $∴ x=64$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 색종이를 접었을 때, $\\angle EGF$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle FEG=\\angle AEF=34\\degree (접은 각)$, $\\angle EFG=\\angle AEF=34\\degree (엇각)$이므로 삼각형 $EFG$에서 $34\\degree+34\\degree+\\angle EGF=180\\degree$ $∴ \\angle EGF=112\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 색종이를 $\\angle CIH=116\\degree$가 되도록 접었을 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle DEI$$=\\angle CIH$$=116\\degree$ (동위각), $\\angle AEF=\\angle FEI=x\\degree$ (접은 각) $\\\\$ 평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $x+x+116=180$ $2x+116=180$ $2x=64$ $∴$ $x=32$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle{ABC}\\equiv\\triangle{BDE}$이고, $\\angle{E}=70\\degree$, $\\angle{A}=28\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC\\equiv\\triangle BDE$이므로 $\\angle ACB=\\angle BED=70\\degree$ $\\angle DBE=\\angle BAC=28\\degree$ $\\triangle BCG$에서 $28\\degree+70\\degree+\\angle BGC=180\\degree$ $∴$ $\\angle BGC=82\\degree$ 맞꼭지각의 크기는 같으므로 $\\angle x=\\angle BGC=82\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC\\equiv\\triangle DEC$일 때, $\\angle ACB$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "합동인 두 삼각형의 대응각의 크기는 서로 같다. $\\angle B$의 대응각은 $\\angle E$이므로 $\\angle B=\\angle E=60\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $40\\degree+60\\degree+\\angle ACB=180\\degree$ $∴ \\angle ACB=80\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 종이 $ABCD$를 $\\overline{CF}$를 접는 선으로 하여 접었을 때, $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle CDF$에서 $\\angle CFD$$=180\\degree-\\angle CDF-\\angle DCF$$=180\\degree-90\\degree-38\\degree$$=52\\degree$ $\\angle CFE$$=\\angle CFD$$=52\\degree$ (접은 각) $∴$ $\\angle x$$=180\\degree-(52\\degree+52\\degree)$$=76\\degree$ $\\angle ECF$$=\\angle DCF$$=38\\degree$ (접은 각) $∴$ $\\angle y$$=90\\degree-(38\\degree+38\\degree)$$=14\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=76\\degree-14\\degree$$=62\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle d$의 엇각을 찾고, 그 크기를 구하여라. ",
        "answer": "서로 다른 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 생기는 각 중에서 색칠된 각과 같이 엇갈린 위치에 있는 각을 서로 엇각이라고 한다. $\\angle d$의 엇각은 $\\angle c$이다. $60\\degree+\\angle c=180\\degree$ $∴ \\angle c$$=120\\degree$"
    },
    {
        "question": "길이가 $30 cm$이고, 좌우로 $145\\degree$의 각도로 움직이는 자동차 와이퍼가 있다. 이 와이퍼가 한 번 지나가는 자리의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "와이퍼가 지나가는 자리의 넓이는 부채꼴에서 색칠한 부분의 넓이와 같다. $(큰 부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times36^2\\times\\frac{145}{360}$$=522\\pi (cm^2)$ $(작은 부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times6^2\\times\\frac{145}{360}$$=\\frac{29}{2}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $522\\pi-\\frac{29}{2}\\pi$$=\\frac{1015}{2}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times x\\times\\frac{160}{360}$$=\\frac{8}{9}\\pi x (cm)$ 부채꼴의 호의 길이가 $6\\pi cm$이므로 $\\frac{8}{9}\\pi x=6\\pi$ $∴ x=\\frac{27}{4}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$l // m$이므로 $\\angle a$$=48\\degree$ (엇각) $\\angle b+95\\degree=180\\degree$  $∴\\angle b$$=85\\degree$ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $48\\degree+85\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴ \\angle x=47\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림을 보고 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "다음 그림과 같이 보조선을 그어서 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. $(부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times16^2\\times\\frac{90}{360}$$=64\\pi (cm^2)$ $(삼각형의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times16\\times16$$=128 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(64\\pi-128) cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$l // p // q // m$이 되도록 직선 $p$, $q$를 그으면 다음 그림과 같다. $p // q$이므로 $107+(x-30)$$=180$ $x+77=180$ $∴$ $x=103$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 반원 $O$에서 $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$\\angle AOC$$=180\\degree-100\\degree$$=80\\degree$  한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다. $10 : x=100 : 80$ $10 : x=5 : 4$ $5x=40$ $∴$ $x=8$ $y : 24=100 : 80$ $y : 24=5 : 4$ $4y=120$ $∴$ $y=30$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직사각형 모양의 색 테이프를 $\\angle AGF=82\\degree$가 되도록 접었을 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle BHG$$=\\angle AGF$$=82\\degree$ (동위각), $\\angle CHI=\\angle GHI=x\\degree$ (접은 각) 평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $82+x+x=180$ $2x+82=180$ $2x=98$ $∴ x=49$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변이 공통인 정팔각형과 정오각형에서 $\\angle a+\\angle b$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "정팔각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$ 정오각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{5}=72\\degree$ $\\angle x$$=45\\degree+72\\degree$$=117\\degree$ 색칠한 삼각형에서 $\\angle a+117\\degree+\\angle b=180\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b=63\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 두 점 $M$, $N$은 각각 $\\overline{AC}$, $\\overline{CB}$의 중점이고 $\\overline{MN}=18 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "두 점 $M$, $N$이 각각 $\\overline{AC}$, $\\overline{CB}$의 중점이므로  $\\overline{AM}$$=\\overline{MC}$, $\\overline{CN}$$=\\overline{NB}$ $∴$$\\overline{AB}$ = $\\overline{AM}$ + $\\overline{MC}$ + $\\overline{CN}$ + $\\overline{NB}$ = $2(\\overline{MC}$ + $\\overline{CN}$) =$2\\overline{MN}$ $=$$2\\times18$$=$$36 (cm)$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림은 직육면체를 세 꼭지점 $A$,$B$,$E$를 지나는 평면으로 잘라 내고 남은 입체도형이다. 모서리 $AB$와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 $x$개, 면 $DEFG$와 수직인 모서리의 개수를 $y$개라 할 때, $x-y$의 값을 구하여라. ",
        "answer": "모서리 $AB$와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 $CG$, 모서리 $DE$, 모서리 $DG$, 모서리 $EF$, 모서리 $FG$의 $5$ 개이므로 $x=5$ 면 $DEFG$와 수직인 모서리는 모서리 $AD$, 모서리 $BF$, 모서리 $CG$의 $3$ 개이므로 $y=3$ $∴$$x-y=5-3=2$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "반원의 중심각의 크기는 $180\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}=2\\pi\\times5\\times\\frac{180}{360}$$=5\\pi (cm)$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times\\frac{3}{2}\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{3}{2}\\pi (cm)$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=2\\pi\\times\\frac{7}{2}\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{7}{2}\\pi (cm)$ 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $5\\pi+\\frac{3}{2}\\pi+\\frac{7}{2}\\pi$$=10\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 직사각형 모양의 색종이를 두 번 접은 것이다. $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle BHM=\\angle GHM=36\\degree (접은 각)$, $\\angle DIJ=\\angle HIJ=x\\degree (접은 각)$, $\\angle DIH$$=\\angle BHI$ (엇각) $x+x=36+36+58$ $2x=130$  ∴ $x=65$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 직사각형 모양의 색 테이프를 두 번 접은 것이다. $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle CHL=\\angle JHL=34\\degree$ (접은 각), $\\angle FEH=\\angle AEF=x\\degree$ (접은 각), $\\angle AEH$$=\\angle CHE$ (엇각) $x+x=34+34+58$ $\\\\$ $2x=126$ $\\\\$ $∴$ $x=63$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 원 O에서 $\\overline{AB} // \\overline{CO}$이고 $\\angle BAO=20\\degree$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} =14\\pi cm$일 때, 부채꼴 $COD$의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OB}$를 그으면 $\\triangle AOB$에서 $\\overline{OA}=\\overline{OB}$이므로 $20\\degree+20\\degree+\\angle AOB=180\\degree$ $∴$ $\\angle AOB=140\\degree$ 원의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 $2\\pi\\times x\\times\\frac{140}{360}$$=14\\pi$ ∴ $x=18$ 즉, 원의 반지름의 길이는 $18 cm$이다. $\\overline{AB}$$ // $$\\overline{CO}$이므로 $\\angle COD$$=\\angle BAO$$=20\\degree$ (동위각) $∴$ $(부채꼴 COD의 넓이)$$=\\pi\\times18^2\\times\\frac{20}{360}$$=18\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 직선 $l$과 $m$에 평행한 직선 $n$을 그으면 $l // n$이므로 $\\angle a$$=3x\\degree-40\\degree$ (엇각) $n // m$이므로 $\\angle b$$=x\\degree+20\\degree$ (엇각) $(3x-40)+(x+20)=112$ $4x-20=112$ $4x=132$ $∴ x=33$"
    },
    {
        "question": "반지름의 길이가 $12 cm$인 두 원 $O$, $P$가 다음 그림과 같이 서로 다른 원의 중심을 지날 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OB}$, $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$를 그으면 $\\overline{OA}$$=\\overline{OP}$$=\\overline{AP}$이므로  $\\triangle AOP는$ 정삼각형이다. $∴ \\angle AOP=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AP}$$=2\\pi\\times12\\times\\frac{60}{360}$$=4\\pi (cm)$ 같은 방법으로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AO}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BO}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BP}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AP}​$$=4\\pi cm$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $4\\pi\\times4$$=16\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 지름의 길이가 $6 cm$인 반원을 점 A를 중심으로 $60\\degree$만큼 회전한 것이다. 이때 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이) =(지름이 \\overline{AC}인 반원의 넓이)+(부채꼴 BAC의 넓이)  -(지름이 \\overline{AB}인 반원의 넓이)$ $(지름이 \\overline{AC}인 반원의 넓이)$$=\\pi\\times3^2\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{9}{2}\\pi (cm^2)$ $(부채꼴 BAC의 넓이)$$=\\pi\\times6^2\\times\\frac{60}{360}$$=6\\pi (cm^2)$ $(지름이 \\overline{AB}인 반원의 넓이)$$=\\pi\\times3^2\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{9}{2}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\frac{9}{2}\\pi+6\\pi-\\frac{9}{2}\\pi$$=6\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 지름의 길이가 $4 cm$인 반원을 점 $C$를 중심으로 $36\\degree$만큼 회전한 것이다. 이때 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이) =(지름이 \\overline{BC}인 반원의 넓이)+(부채꼴 ACB의 넓이) -(지름이 \\overline{AC}인 반원의 넓이)$ $(지름이 \\overline{BC}인 반원의 넓이)=\\pi\\times2^2\\times\\frac{180}{360}=2\\pi (cm^2)$ $(부채꼴 ACB의 넓이)=\\pi\\times4^2\\times\\frac{36}{360}=\\frac{8}{5}\\pi (cm^2)$ $(지름이 \\overline{AC}인 반원의 넓이)=\\pi\\times2^2\\times\\frac{180}{360}=2\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는  $2\\pi+\\frac{8}{5}\\pi-2\\pi=\\frac{8}{5}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l//m$일 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$l // p // q // m$이 되도록 직선 $p$, $q$를 그으면 다음 그림과 같다. $p // q$이므로 $(x-38)+(y-36)$$=180$ $x+y-74=180$ $∴ x+y=254$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "반원의 중심각의 크기는 $180\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}$$=2\\pi\\times\\frac{25}{2}\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{25}{2}\\pi (cm)$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times5\\times\\frac{180}{360}$$=5\\pi (cm)$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=2\\pi\\times\\frac{15}{2}\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{15}{2}\\pi (cm)$ 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\frac{25}{2}\\pi+5\\pi+\\frac{15}{2}\\pi$$=25\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$, $\\angle COD=40\\degree$, $\\overline{OD}=4 cm$일 때, $\\overset{\\large\\frown} {BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle BCO$$=\\angle COD$$=40\\degree$ (엇각) $\\triangle BCO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CBO$$=\\angle BCO$$=40\\degree$ $\\angle BOC+40\\degree+40\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BOC$$=100\\degree$   $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=2\\pi\\times4\\times\\frac{100}{360}$$=\\frac{20}{9}\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $l // m$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$l // m$이므로 $\\angle x$$=60\\degree$ (동위각) 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $82\\degree+\\angle y+60\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle y=38\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$ $=60\\degree+38\\degree$$=98\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 직사각형 모양의 색종이를 두 번 접은 것이다. $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle BHP=\\angle PHQ=29\\degree (접은 각)$, $\\angle DRS=\\angle HRS=x\\degree (접은 각)$, $\\angle DRH$$=\\angle BHR$ $(엇각)$ $x+x=29+29+66$ $2x=124$  $∴ x=62$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 지름의 길이가 $8 cm$인 반원을 점 $P$를 중심으로 $45\\degree$만큼 회전한 것이다. 이때 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$ $=$$(지름이 \\overline{PR}인 반원의 넓이)$$+$$(부채꼴 QPR의 넓이)$  $-$$(지름이 \\overline{PQ}인 반원의 넓이)$ $(지름이 \\overline{PR}인 반원의 넓이)$$=\\pi\\times4^2\\times\\frac{180}{360}$$=8\\pi (cm^2)$ $(부채꼴 QPR의 넓이)$$=\\pi\\times8^2\\times\\frac{45}{360}$$=8\\pi (cm^2)$ $(지름이 \\overline{PQ}인 반원의 넓이)$$=\\pi\\times4^2\\times\\frac{180}{360}$$=8\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $8\\pi+8\\pi-8\\pi$$=8\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 직사각형 모양의 종이테이프를 두 번 접은 것이다. $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\angle BTP=\\angle PTQ=40\\degree (접은 각)$, $\\angle DRS=\\angle SRT=x\\degree (접은 각)$, $\\angle DRT=\\angle BTR (엇각)$ $x+x=40+40+60$ $2x=140$  $∴ x=70$"
    },
    {
        "question": "호의 길이가 $8\\pi cm$이고 중심각의 크기가 $80\\degree$인 부채꼴의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "부채꼴의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 $2\\pi\\times x\\times\\frac{80}{360}$$=\\frac{4}{9}\\pi x (cm)$ 부채꼴의 호의 길이가 $8\\pi cm$이므로 $\\frac{4}{9}\\pi x=8\\pi$ $∴ x=18$ 따라서 부채꼴의 반지름의 길이가 $18 cm$이므로 $(부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times18^2\\times\\frac{80}{360}$$=72\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 정사각형 내부에 호와 선분을 그렸다. 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CE}$$=\\overline{BE}$이므로 $\\triangle BCE$는 정삼각형이다. $\\angle CBE$$=\\angle BCE$$=60\\degree$이므로 $\\angle ABE$$=\\angle DCE$$=90\\degree-60\\degree$$=30\\degree$ $(정사각형 ABCD의 넓이)$$=10^2$$=100 (cm^2)$ $(부채꼴 ABE의 넓이)$$=\\pi\\times10^2\\times\\frac{30}{360}$$=\\frac{25}{3}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $100-2\\times\\frac{25}{3}\\pi$$=100-\\frac{50}{3}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 부채꼴에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이)$$=(부채꼴 AOB의 넓이) - (부채꼴 COD의 넓이)$ $(부채꼴 AOB의 넓이)$$=\\pi\\times10^2\\times\\frac{210}{360}$$=\\frac{175}{3}\\pi (cm^2)$ $(부채꼴 COD의 넓이)$$=\\pi\\times4^2\\times\\frac{210}{360}$$=\\frac{28}{3}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\frac{175}{3}\\pi-\\frac{28}{3}\\pi$$=49\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "내각의 크기의 합이 $2340\\degree$인 다각형의 변의 개수를 $x$ 개, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 $y$ 개라 할 때, $x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $180\\degree\\times(n-2)=2340\\degree$ $n-2=13$ $∴ n=15$ 십오각형의 변의 개수는 $15$ 개이므로 $x=15$ 십오각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $15-3=12$ (개)이므로 $y=12$ $∴ x-y=15-12=3$"
    },
    {
        "question": "정사각형의 한 외각의 크기를 $x\\degree$, 정십각형의 한 외각의 크기를 $y\\degree$라고 할 때, $x+y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "정사각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{4}=90\\degree$ $∴$ $x=90$ 정십각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{10}=36\\degree$ $∴$ $y=36$ $∴$ $x+y$$=90+36$$=126$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle a+\\angle b$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ACG$에서 $\\angle DGF$$=\\angle a+30\\degree$ $\\triangle BFE$에서 $\\angle DFG$$=25\\degree+35\\degree$$=60\\degree$ $\\triangle DGF$에서 $(\\angle a+30\\degree)+60\\degree+\\angle b=180\\degree$ $∴$ $\\angle a+\\angle b$$=90\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B$와 $\\angle C$의 각각의 이등분선의 교점을 $I$라 할 때, $\\angle A$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle BCI$에서 $\\angle CBI+\\angle BCI+134\\degree=180\\degree$ ∴ $\\angle CBI+\\angle BCI=46\\degree$ $\\angle ABC=2\\angle CBI$, $\\angle ACB=2\\angle BCI$이므로 $=$$92\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle A+\\angle ABC+\\angle ACB=180\\degree$ $\\angle A+92\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle A=88\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{\\text{A}\\text{B}}$$=\\overline{\\text{C}\\text{D}}$$=\\overline{\\text{D}\\text{E}}$이고 $\\angle\\text{A}\\text{O}\\text{B}=32\\degree$, $\\angle\\text{C}\\text{O}\\text{E}=x\\degree$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$$=\\overline{DE}$이므로 $\\angle AOB$$=\\angle COD$$=\\angle DOE$ $∴ x=32+32=64$"
    },
    {
        "question": "대각선의 개수가 $90$ 개인 다각형의 한 꼭짓점에서는 몇 개의 대각선을 그을 수 있는지 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=90$ $n(n-3)=180$ $n(n-3)=15\\times12$ $∴ n=15$ 즉, 구하는 다각형이 십오각형이므로 십오각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $15-3=12 (개)$"
    },
    {
        "question": "반지름의 길이가 $6 cm$인 두 원 $P$, $Q$가 다음 그림과 같이 서로 다른 원의 중심을 지날 때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{PA}$, $\\overline{PB}$, $\\overline{QA}$, $\\overline{QB}$를 그으면 $\\overline{QA}$$=\\overline{QP}$$=\\overline{AP}$이므로 $\\triangle AQP는$ 정삼각형이다. $∴$ $\\angle AQP=60\\degree$  $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AP}=2\\pi\\times6\\times\\frac{60}{360}=2\\pi(cm)$ 같은 방법으로 $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AQ}=\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BQ}=\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BP}=\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AP}$$=2\\pi cm$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times4$$=8\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{AC}$는 $\\angle BAD$의 이등분선일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. $\\triangle ABD$에서 $120\\degree=\\angle BAD+70\\degree$ $∴$ $\\angle BAD=50\\degree$ 이때, $\\angle BAC$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=25\\degree$이므로 $\\triangle ABC$에서 $120=25+x$ $∴$ $x=95$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle AGE$에서 $\\angle CGH$$=63\\degree+30\\degree$$=93\\degree$ $\\triangle BHF$에서 $\\angle DHG$$=27\\degree+40\\degree$$=67\\degree$ 사각형 $CDHG$의 내각의 크기의 합은 $360\\degree$이므로 $\\angle x+\\angle y+67\\degree+93\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=200\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$, $\\angle COD=45\\degree$, $\\overline{OD}=8 cm$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle BCO$$=\\angle COD$$=45\\degree$ (엇각) $\\triangle BCO$는 $\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CBO$$=\\angle BCO$$=45\\degree$ $\\angle BOC+45\\degree+45\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle BOC$$=90\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=2\\pi\\times8\\times\\frac{90}{360}$$=4\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "호의 길이가 $7\\pi cm$이고 중심각의 크기가 $63\\degree$인 부채꼴의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "부채꼴의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 $2\\pi\\times x\\times\\frac{63}{360}$$=\\frac{7}{20}\\pi x (cm)$ 부채꼴의 호의 길이가 $7\\pi cm$이므로 $\\frac{7}{20}\\pi x=7\\pi$ $∴ x=20$ 따라서 부채꼴의 반지름의 길이가 $20 cm$이므로 $(부채꼴의 넓이)=\\pi\\times20^2\\times\\frac{63}{360}$$=70\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 $\\triangle ABC$에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $x+2x+45=180$ $3x+45=180$ $3x=135$ $∴$ $x=45$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ACD$$=\\angle BCD$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. $\\triangle ADC$에서 $100\\degree=68\\degree+\\angle ACD$ $∴$ $\\angle ACD=32\\degree$ 이때 $\\angle BCD$$=\\angle ACD$$=32\\degree$이므로 $\\triangle BCD$에서 $\\angle x+32\\degree+100\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=48\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 한 변의 길이가 서로 같은 정팔각형과 정사각형의 한 변을 서로 붙여 놓고, 서로 다른 두 변을 연장하여 그린 것이다. 이때 $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "정팔각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$ 정사각형의 한 외각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{4}=90\\degree$ $∴$ $\\angle a$$=45\\degree+90\\degree$$=135\\degree$, $\\angle b$$=45\\degree$, $\\angle c$$=90\\degree$ 색칠한 사각형에서 $45\\degree+135\\degree+90\\degree+\\angle x=360\\degree$ $∴$ $\\angle x=90\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 반원에서 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$$=2\\pi\\times6\\times\\frac{180}{360}$$=6\\pi (cm)$ $ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=2\\pi\\times6\\times\\frac{60}{360}$$=2\\pi (cm)$ ∴ $ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}+ \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$$= \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}- \\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=6\\pi-2\\pi$$=4\\pi (cm)$ $\\overline{OA}$$=\\overline{OB}$$=\\overline{OC}$$=\\overline{OD}$$=6 cm$ 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $4\\pi+6\\times4$$=4\\pi+24 (cm)$"
    },
    {
        "question": "길이가 $22 cm$이고, 좌우로 $130\\degree$의 각도로 움직이는 자동차 와이퍼가 있다. 이 와이퍼가 한 번 지나가는 자리의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "와이퍼가 지나가는 자리의 넓이는 부채꼴에서 색칠한 부분의 넓이와 같다. $(큰 부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times27^2\\times\\frac{130}{360}$$=\\frac{1053}{4}\\pi (cm^2)$ $(작은 부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times5^2\\times\\frac{130}{360}$$=\\frac{325}{36}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\frac{1053}{4}\\pi-\\frac{325}{36}\\pi$$=\\frac{2288}{9}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $12cm$인 원에서 색칠한 부분의 넓이의 합을 구하여라.",
        "answer": "색칠한 부분을 모으면 중심각의 크기가 $130\\degree$인 부채꼴이 되므로 $\\pi\\times12^2\\times\\frac{130}{360}$$=52\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이의 합은 $52\\pi cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "다각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 $180\\degree$이다. $\\angle x$$=180\\degree-100\\degree$$=80\\degree$ $\\angle y$$=180\\degree-125\\degree$$=55\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x-\\angle y$$=80\\degree-55\\degree$$=25\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $\\angle a$$=180\\degree-2x\\degree$ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $3x+30=(x+2)+(180-2x)$ $3x+30=-x+182$ $4x=152$ $∴$ $x=38$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 원 $ O$에서 $\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$, $\\angle AOB=30\\degree$, $\\overline{OB}=12 cm$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD}$의 길이를 구하여라.",
        "answer": "$\\overline{AD}$$ // $$\\overline{BC}$이므로 $\\angle DAO$$=\\angle AOB$$=30\\degree$ (엇각) $\\triangle AOD$는 $\\overline{OA}$$=\\overline{OD}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle ADO$$=\\angle DAO$$=30\\degree$ $\\angle AOD+30\\degree+30\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle AOD$$=120\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AD} $$=2\\pi\\times12\\times\\frac{120}{360}$$=8\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\angle x=25\\degree+112\\degree=137\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $112\\degree=30\\degree+\\angle y$ $\\therefore \\angle y=82\\degree$ $\\therefore \\angle x+\\angle y=137\\degree+82\\degree=219\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 정사각형의 한 변을 지름으로 하는 반원을 그렸을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 보조선을 그으면 색칠한 부분의 넓이는 $A$, $B$의 넓이의 합과 같다. $(A의 넓이)$$=12^2-\\pi\\times12^2\\times\\frac{90}{360}$$=144-36\\pi (cm^2)$ $(B의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times12$$=72 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(144-36\\pi)+72$$=216-36\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "다음 그림과 같이 보조선을 그어서 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. $(부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times12^2\\times\\frac{45}{360}$$=18\\pi (cm^2)$ $(삼각형의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times6$$=36 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(18\\pi-36) cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. $\\triangle ABC$에서 $123=(2x+3)+(3x+5)$ $123=5x+8$ $-5x=-115$ $ \\therefore x=23$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(부채꼴의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times x$$=2x (cm^2)$ 부채꼴의 넓이가 $6\\pi cm^2$이므로 $2x=6\\pi$ $∴$ $x=3\\pi$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle AGE$에서 $\\angle CGH$$=52\\degree+30\\degree$$= 82\\degree$ $\\triangle BHF$에서 $\\angle DHG$$=27\\degree+45\\degree$$=72\\degree$ 사각형 $CDHG$의 내각의 크기의 합은 $360\\degree$이므로 $\\angle x+\\angle y+72\\degree+82\\degree=360\\degree$ $∴$ $\\angle x+\\angle y$$=206\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\overline{\\text{A}\\text{C}}=\\overline{\\text{B}\\text{C}}=\\overline{\\text{B}\\text{D}}$이고 $\\angle\\text{D}\\text{B}\\text{E}=81\\degree$일 때, $x$와 $y$의 값을 각각 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$이므로 $\\angle ABC=\\angle A=x\\degree$ $\\angle BCD$$=x\\degree+x\\degree$$=2x\\degree$ $\\triangle BDC$에서 $\\overline{BC}=\\overline{BD}$이므로 $\\angle D=\\angle BCD=2x\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $81=2x+x$ $81=3x$ $∴$ $x=27$ $∴$ $y$$=180-(27+81)$$=180-108$$=72$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=\\angle A-30\\degree$, $\\angle C=\\frac{3}{2}\\angle A$일 때, $\\angle A$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle A+\\angle B+\\angle C=180\\degree$ $\\angle A+(\\angle A-30\\degree)+\\frac{3}{2}\\angle A=180\\degree$ $\\frac{7}{2}\\angle A-30\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle A=60\\degree$"
    },
    {
        "question": "대각선의 개수가 $44$ 개인 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 $a$, 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는 삼각형의 개수를 $b$ 라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=44$ $n(n-3)=88$ $n(n-3)=11\\times8$ $∴ n=11$ 따라서 십일각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $a=11-3=8$ 십일각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는  $b=11-2=9$ $∴ a+b=8+9=17$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}$$=\\overline{BD}$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\overline{BC}$$=\\overline{BD}$이므로 $\\angle C=\\angle BDC$ $2\\angle BDC+50\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BDC=65\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $65\\degree=35\\degree+\\angle x$ $∴ \\angle x=30\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ",
        "answer": "다음 그림과 같이 보조선을 그어서 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다.  $(부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times20^2\\times\\frac{45}{360}$$=50\\pi (cm^2)$ $(삼각형의 넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times20\\times10$$=100 (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $(50\\pi-100) cm^2$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 점 $I$는 $\\angle B$와 $\\angle C$의 이등분선의 교점이고 $\\angle A$의 외각의 크기가 $124\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $\\angle ABC+\\angle ACB=124\\degree$ 점 $I$는 $\\angle B$와 $\\angle C$의 이등분선의 교점이므로 $\\angle CBI+\\angle BCI=\\frac{1}{2}\\times124\\degree=62\\degree$ $\\triangle BCI$에서 $\\angle x=180\\degree-62\\degree=118\\degree$"
    },
    {
        "question": "호의 길이가 $2\\pi{cm}$이고 중심각의 크기가 $72\\degree$인 부채꼴의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "부채꼴의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 $2\\pi\\times x\\times\\frac{72}{360}$$=\\frac{2}{5}\\pi x (cm)$ 부채꼴의 호의 길이가 $2\\pi cm$이므로 $\\frac{2}{5}\\pi x=2\\pi$ $∴$ $x=5$ 따라서 부채꼴의 반지름의 길이가 $5 cm$이므로 $(부채꼴의 넓이)$$=\\pi\\times5^2\\times\\frac{72}{360}$$=5\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(색칠한 부분의 넓이) =(반원 O의 넓이) + (반원 O'의 넓이) + (반원 O''의 넓이)$ $(반원 O의 넓이)$$=\\pi\\times5^2\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{25}{2}\\pi (cm^2)$ $(반원 O'의 넓이)$$=\\pi\\times(\\frac{7}{2})^2\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{49}{8}\\pi (cm^2)$ $(반원 O''의 넓이)$$=\\pi\\times(\\frac{3}{2})^2\\times\\frac{180}{360}$$=\\frac{9}{8}\\pi (cm^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\frac{25}{2}\\pi+\\frac{49}{8}\\pi+\\frac{9}{8}\\pi$$=\\frac{79}{4}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "평각의 크기는 $180\\degree$이므로 $\\angle a$$=180\\degree-(5x\\degree-1\\degree)$$=-5x\\degree+181\\degree$ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $6x-8=(3x+11)+(-5x+181)$ $6x-8=-2x+192$ $8x=200$ $∴$ $x=25$"
    },
    {
        "question": "호의 길이가 $4\\pi~cm$, 넓이가 $12\\pi~cm^2$인 부채꼴의 반지름의 길이와 중심각의 크기를 구하여라.",
        "answer": "반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\frac{1}{2}\\times r\\times4\\pi$$=12\\pi$ $∴ r=6$ 중심각의 크기를 $x\\degree$라 하면 $2\\pi\\times6\\times\\frac{x}{360}$$=4\\pi$ $∴ x=120$ 따라서 반지름의 길이는 $6 cm$, 중심각의 크기는 $120\\degree$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $E$라 할 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $73\\degree+90\\degree+\\angle ACB=180\\degree$이므로 $\\angle ACB=17\\degree$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle CBD+90\\degree+60\\degree=180\\degree$이므로 $\\angle CBD=30\\degree$ $\\triangle BCE$에서 $30\\degree+17\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴ \\angle x=133\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 같은 정다각형들을 변끼리 이어 붙였을 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "정오각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(5-2)}{5}=108\\degree$ 정사각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(4-2)}{4}=90\\degree$ $90\\degree+108\\degree+90\\degree+x\\degree=360\\degree$ $∴ x=72$"
    },
    {
        "question": "어떤 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 $a$, 이때 생기는 삼각형의 개수를 $b$라 하자. $a+b=19$일 때, 이 다각형의 대각선의 개수를 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $a=n-3$, $b=n-2$ $a+b=19$이므로 $(n-3)+(n-2)=19$ $2n-5=19$ $∴ n=12$ 따라서 십이각형의 대각선의 개수는 $\\frac{12\\times(12-3)}{2}=54$ (개)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $8 m$, 세로의 길이가 $6 m$인 직사각형 모양의 가축 우리가 있다. 이 우리의 A 지점에 말이 길이 $12 m$인 끈에 묶여 있을 때, 말이 움직일 수 있는 영역의 최대 넓이를 구하여라. (단, 말의 크기와 끈의 매듭의 길이는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "말이 움직일 수 있는 영역의 최대 넓이는 위 그림의 색칠한 부분의 넓이와 같다. 직사각형의 한 내각의 크기는 $90\\degree$이므로 $(부채꼴 BAC의 넓이)$$=\\pi\\times12^2\\times\\frac{270}{360}$$=108\\pi (m^2)$ $(부채꼴 BDE의 넓이)$$=\\pi\\times4^2\\times\\frac{90}{360}$$=4\\pi (m^2)$ $(부채꼴 CFG의 넓이)$$=\\pi\\times6^2\\times\\frac{90}{360}$$=9\\pi (m^2)$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $108\\pi+4\\pi+9\\pi$$=121\\pi (m^2)$"
    },
    {
        "question": "대각선의 개수가 $35$ 개인 다각형의 내각의 크기의 합을 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=35$ $n(n-3)=70$ $n(n-3)=10\\times7$ $∴ n=10$ 구하는 다각형은 십각형이므로 내각의 크기의 합은 $180\\degree\\times8$$=1440\\degree$"
    },
    {
        "question": "한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 $3:2$인 정다각형의 내각의 크기의 합을 $a\\degree$, 외각의 크기의 합을 $b\\degree$라 할 때, $a+b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "한 꼭짓점에서 내각과 외각의 크기의 합은 $180\\degree$이고 한 내각의 크기와 한 외각의 크기의 비가 $3 : 2$이므로 $(한 외각의 크기)$$=180\\degree\\times\\frac{2}{3+2}$$=72\\degree$ 구하는 정다각형을 정$n$각형이라 하면 $\\frac{360\\degree}{n}=72\\degree$이므로 $n=5$ 정오각형의 내각의 크기의 합은 $180\\degree\\times(5-2)=540\\degree$, 외각의 크기의 합은 $360\\degree$이므로 $a=540$, $b=360$ $∴ a+b$$=540+360$$=900$"
    },
    {
        "question": "대각선의 개수가 $14$ 개인 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수를 $a$, 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는 삼각형의 개수를 $b$ 라 할 때, $2b-a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 $n$각형이라 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=14$ $n(n-3)=28$ $n(n-3)=7\\times4$ $∴ n=7$ 따라서 칠각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $a$$=7-3$$=4$ 칠각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는  $b$$=7-2$$=5$ $∴ 2b-a$$=2\\times5-4$$=6$"
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가$ 8cm$인 정사각형에서 각 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가$ 8cm$인 부채꼴릏 그렸을때, 색칠한 부분의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "위 그림에서 $\\triangle AOD$, $\\triangle BCO$가 정삼각형이므로 $\\angle AOC$$=90\\degree-60\\degree$$=30\\degree$, $\\angle BOD$$=90\\degree-60\\degree$$=30\\degree$ $\\angle COD$$=90\\degree-\\angle AOC-\\angle BOD$$=30\\degree$이므로  $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}=2\\pi\\times8\\times\\frac{30}{360}=\\frac{4}{3}\\pi (cm)$ 색칠한 부분의 둘레의 길이는 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$ 의 길이의 $4$ 배이므로 $\\frac{4}{3}\\pi\\times4=\\frac{16}{3}\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반구와 반구를 붙여서 만든 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(입체도형의 부피) = (위쪽 반구의 부피)+(아래쪽 반구의 부피) = \\frac{1}{2} \\times (\\frac{4}{3}\\pi \\times 3^3)+  \\frac{1}{2} \\times (\\frac{4}{3}\\pi \\times 9^3) = 18\\pi + 486\\pi$ $=$$504\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 세 개의 원과 세 개의 정사각형이 있다. 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이가 $8 cm$이고 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이가 $16 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. (단, 정사각형의 각 변끼리 평행하다.)",
        "answer": "위 그림과 같이 화살표로 표시한 부분의 넓이를 이동하면 다음과 같이 색칠한 부분의 넓이를 구할 수 있다. 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $8\\times16-\\pi\\times4^2\\times\\frac{1}{2}$$=128-8\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e+\\angle f$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 보조선을 그으면 $\\angle g+\\angle h=30\\degree+65\\degree=95\\degree$이고 육각형의 내각의 크기의 합은 $720\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e+\\angle f+\\angle g+\\angle h$ $=$$\\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e+\\angle f+95\\degree$ $=$$720\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e+\\angle f$$=720\\degree-95\\degree$$=625\\degree$"
    },
    {
        "question": "한 변의 길이가 모두 $10cm$인 정사각형,정육각형, 정팔각형의 한 꼭짓점이 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $10cm$인 원의 중심과 일치할때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. (단, 다각형을 겹치지 않게 이어 붙인다.)",
        "answer": "정사각형의 한 내각의 크기는 $90\\degree$ 정육각형의 한 내각의 크기는 $120\\degree$ 정팔각형의 한 내각의 크기는 $135\\degree$ 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는 $360\\degree-(90\\degree+120\\degree+135\\degree)=15\\degree$이므로 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi\\times10^2\\times\\frac{15}{360}$$=\\frac{25}{6}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 보조선을 그으면 오각형의 내각의 크기의 합은 $540\\degree$이므로 $135\\degree+46\\degree+\\angle a+\\angle b+58\\degree+107\\degree+103\\degree=540\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b=91\\degree$ 색칠된 삼각형에서 $\\angle x+\\angle a+\\angle b=180\\degree$ $\\angle x+91\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=89\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle a+\\angle b$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ACG$에서 $\\angle DGF$$=\\angle a+30\\degree$ $\\triangle BFE$에서 $\\angle DFG$$=35\\degree+50\\degree$$=85\\degree$ $\\triangle DGF$에서 $(\\angle a+30\\degree)+85\\degree+\\angle b=180\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b$$=65\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $E$는 삼각형 $ABC$에서 $\\angle ABC$의 이등분선과 $\\angle ACB$의 외각의 이등분선의 교점이다. 이때 $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\angle ACD=\\angle ABC+\\angle x$이므로 $\\angle DCE=\\frac{1}{2}\\angle ACD=\\angle CBE+\\frac{1}{2}\\angle x······ ㉠$ $\\triangle BCE$에서 $\\angle DCE=\\angle CBE+35\\degree ······ ㉡$ $㉠, ㉡$에서 $\\frac{1}{2}\\angle x=35\\degree$ $∴$ $\\angle x$$=70\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $3cm$, $6cm$인 두 원 $O$, $O'$이 겹쳐 있다. 두 원 $O$, $O'$에서 겹쳐 있지 않은 부분의 넓이를 각각 $P$, $Q$라 할 때, $P$와 $Q$의 차를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 겹쳐 있는 부분의 넓이를 $R$라 하면 $Q-P=(\\pi\\times6^2-R)-(\\pi\\times3^2-R)$ $=$ $36\\pi-R-9\\pi+R$ $=$$27\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B$와 $\\angle C$의 각각의 이등분선의 교점을 I라 할 때, $\\angle A$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCI$에서 $\\angle CBI+\\angle BCI+106\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle CBI+\\angle BCI=74\\degree$ $\\angle ABC=2\\angle CBI$, $\\angle ACB=2\\angle BCI$이므로 $\\angle ABC+\\angle ACB=2\\angle CBI+2\\angle BCI=2(\\angle CBI+\\angle BCI)=$$2$$\\times$$74\\degree$ $=$$148\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle A+\\angle ABC+\\angle ACB=180\\degree$ $\\angle A+148\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle A=32\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle AGE$에서 $\\angle CGH$$=63\\degree+37\\degree$$=100\\degree$ $\\triangle BHF$에서 $\\angle DHG$$=25\\degree+45\\degree$$=70\\degree$ 사각형 $CDHG$의 내각의 크기의 합은 $360\\degree$이므로 $\\angle x+\\angle y+70\\degree+100\\degree=360\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x+\\angle y$$=190\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle ABD=47\\degree$, $\\angle ACD=36\\degree$, $\\angle D=147\\degree$일 때, $\\angle A$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\angle CBD+\\angle BCD+147\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle CBD+\\angle BCD=33\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle A+47\\degree+\\angle CBD+36\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $\\angle A+47\\degree+33\\degree+36\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle A=64\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$와 $\\overline{BD}$의 교점을 $E$라 할 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $64\\degree+90\\degree+\\angle ACB=180\\degree$이므로 $\\angle ACB=26\\degree$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle CBD+90\\degree+57\\degree=180\\degree$이므로 $\\angle CBD=33\\degree$ $\\triangle BCE$에서 $33\\degree+26\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=121\\degree$"
    },
    {
        "question": "현서와 태희는 요리 실습 시간에 각각 반지름의 길이가 $6cm$, $5cm$인 원 모양의 호두파이를 만든 후 다음 그림과 같이 부채꼴 모양으로 조각내었다. 누구의 조각 호두파이의 양이 더 적은지 선택하여라. (단, 호두파이의 두께는 무시한다.)",
        "answer": "현서의 조각 호두파이의 넓이는 $\\pi\\times6^2\\times\\frac{40}{360}$$=4\\pi (cm^2)$이고, 태희의 조각 호두파이의 넓이는 $\\pi\\times5^2\\times\\frac{60}{360}$$=\\frac{25}{6}\\pi (cm^2)$이다. 따라서 현서의 조각 호두파이가 태희의 조각 호두파이보다 양이 더 적다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x=\\angle c+\\angle e$ $\\angle y=\\angle b+\\angle d$ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle x+\\angle y=180\\degree$ $\\angle a+(\\angle c+\\angle e)+(\\angle b+\\angle d)=180\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e$$=180\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 보조선을 그으면 색칠한 삼각형에서 $\\angle a+\\angle b+100\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b=80\\degree$ 오각형의 내각의 크기의 합은 $540\\degree$이므로 $\\angle x+60\\degree+\\angle a+\\angle b+70\\degree+102\\degree+83\\degree=540\\degree$ $\\angle x+60\\degree+80\\degree+70\\degree+102\\degree+83\\degree=540\\degree$ $∴ \\angle x$$=145\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 각기둥의 부피가 $180 cm^3$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 부피)=(밑넓이) \\times (높이)= \\{ \\frac{1}{2} \\times(3+6)\\times x \\} \\times10=45x (cm^3)$ 각기둥의 부피가 $180 cm^3$이므로 $45x=180$ ∴ $x=4$"
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같은 각기둥의 부피가 $360cm^3$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 부피)=(밑넓이)\\times(높이) =(\\frac{1}{2}\\times8\\times x)\\times15 =60x (cm^3)$ 각기둥의 부피가 $360 cm^3$이므로 $60x=360$ $∴ x=6$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $30 cm$인 정육면체 모양의 그릇에 물이 가득 차 있다. 이 그릇 안에 한 모서리의 길이가 $10 cm$인 정육면체 모양의 물체를 물에 잠기게 넣었다 꺼내면 수면이 몇 $cm$ 내려가는지 구하여라. (단, 물체를 꺼내는 과정에서 손실되는 물의 양은 없고 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "물체를 넣었을 때 그릇에 남아 있는 물의 부피는 그릇의 부피에서 물체의 부피를 뺀 것과 같으므로 $30\\times30\\times30$$-$$10\\times10\\times10$$=26000 (cm^3)$ 물체를 꺼냈을 때의 물의 높이를 $h cm$라 하면 $30\\times30\\times h=26000$ $∴$ $h=\\frac{260}{9}$ 따라서 수면은 $30-\\frac{260}{9}=\\frac{10}{9} (cm)$ 내려간다."
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같은 각기둥의 부피가 $576 cm^3$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 부피)= (밑넓이)\\times(높이)$  $=$$(x\\times8)\\times12$ $=$$96x (cm^3)$ 각기둥의 부피가 $576 cm^3$이므로 $96x=576$ $∴ x=6$"
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같은 원뿔의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)=\\pi\\times3^2$$=9\\pi (cm^2)$, $(옆넓이)=\\frac{1}{2}\\times10\\times(2\\pi\\times3)$$=30\\pi (cm^2)$이므로 $(겉넓이)=9\\pi+30\\pi$$=39\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 지역 $A$ 중학교 학생 $100$ 명과 $B$ 중학교 학생 $150$ 명의 키에 대한 상대도수의 분포를 나타낸 그래프이다. 키가 $160 cm$ 이상인 학생은 $B$ 중학교 학생이 $A$ 중학교 학생보다 몇 명 더 많은지 구하여라.",
        "answer": "A 중학교 학생 중 키가 $160 cm $이상인 학생의 상대도수의 합은 $0.26+0.12=0.38$이므로 $100\\times0.38$$=38$ (명) B 중학교 학생 중 키가 $160cm$ 이상인 학생의 상대도수의 합은 $0.22+0.08=0.3$이므로 $150\\times0.3=45$ (명) 따라서 B 중학교 학생이 A 중학교 학생보다 $45-38$$=7$ (명) 더 많다."
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $D$는 삼각형 ${ABC}$에서 $\\angle{ACB}$의 이등분선과 $\\angle{ABC}$의 외각의 이등분선의 교점이다. 이때 $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\angle ABE=\\angle ACB+48\\degree$이므로 $\\angle DBE=\\frac{1}{2}\\angle ABE=\\angle BCD+24\\degree$ ······ $㉠$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle DBE=\\angle BCD+\\angle x$ ······ $㉡$ $㉠, ㉡$에서 $\\angle x$$=24\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x=\\angle b+\\angle d$ $\\angle y=\\angle c+\\angle e$ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle a+\\angle x+\\angle y=180\\degree$ $\\angle a+(\\angle b+\\angle d)+(\\angle c+\\angle e)=180\\degree$ $∴ \\angle a+\\angle b+\\angle c+\\angle d+\\angle e$$=180\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 각기둥의 부피가 $800 cm^3$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 부피)=(밑넓이)$$\\times$$(높이)=(10$$\\times$$8)\\times x$ $=$$80x (cm^3)$ 각기둥의 부피가 $800 cm^3$이므로 $80x=800$ $∴$ $x=10$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle A$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle ABC=180\\degree-64\\degree$$=116\\degree$ 오각형의 내각의 크기의 합은 $540\\degree$이므로 $\\angle A+116\\degree+105\\degree+107\\degree+114\\degree=540\\degree$ $∴$ $\\angle A=98\\degree$"
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같고 옆면이 모두 합동인 각뿔의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "(뿔의 겉넓이)$=(밑넓이)+(옆넓이)$이고 (밑넓이)$=5^2$$=25 (cm^2)$, (옆넓이)$=(\\frac{1}{2}\\times5\\times10)\\times4$$=100 (cm^2)$이므로 (겉넓이)$=25+100$$=125 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같은 원뿔의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)=\\pi\\times4^2$$=16\\pi (cm^2)$, $(옆넓이)=\\frac{1}{2}\\times6\\times(2\\pi\\times4)$$=24\\pi (cm^2)$이므로 $(겉넓이)=16\\pi+24\\pi$$=40\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "반지름의 길이가 $9 cm$, $3 cm$인 구의 부피를 각각 $A cm^3$, $B cm^3$라고 할 때, $A\\div B$의 값을 구하여라.",
        "answer": "반지름의 길이가 $9 cm$인 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi\\times9^3$$=972\\pi (cm^3)$ $∴$ $A=972\\pi$ 반지름의 길이가 $3 cm$인 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi\\times3^3$$=36\\pi (cm^3)$ $∴$ $B=36\\pi$ $∴$ $A\\div B$$=972\\pi\\div36\\pi$$=27$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 같은 정다각형들을 변끼리 이어 붙였을 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "정육각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(6-2)}{6}=120\\degree$ 정사각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(4-2)}{4}=90\\degree$ $120\\degree+90\\degree+\\angle x=360\\degree$ $ \\therefore \\angle x=150\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이를 구하여라.",
        "answer": "부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같다. $(원의 둘레의 길이)$$=2\\pi\\times4$$=8\\pi (cm)$ 따라서 부채꼴의 호의 길이는 $8\\pi cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 각기둥의 겉넓이가 $174 cm^2$일 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 겉넓이)$$=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)$$=\\frac{1}{2}\\times(x+3)\\times3$$=\\frac{3}{2}x+\\frac{9}{2} (cm^2)$, $(옆넓이)$$=(3+3+x+5)\\times8$$=8x+88 (cm^2)$이므로 $(겉넓이)$$=(\\frac{3}{2}x+\\frac{9}{2})\\times2+(8x+88)$$=11x+97 (cm^2)$ 각기둥의 겉넓이가 $174 cm^2$이므로 $11x+97=174$ $∴$ $x=7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 각뿔의 겉넓이를 구하여라. (단, 옆면은 모두 합동이다.)",
        "answer": "$(뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)이고 (밑넓이)=10^2=100 (cm^2), (옆넓이)=(\\frac{1}{2}\\times10\\times12)\\times4=240 (cm^2)이므로 (겉넓이)=100+240=340 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 $\\triangle\\text{A}\\text{B}\\text{C}$에서 $\\overline{\\text{B}\\text{D}}$가 $\\angle\\text{A}\\text{B}\\text{C}$의 이등분선일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle ABC$$=180\\degree-124\\degree$$=56\\degree$ $\\overline{BD}$가 $\\angle ABC$의 이등분선이므로 $\\angle CBD$$=\\frac{1}{2}\\angle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times56\\degree$$=28\\degree$ $\\angle BDC$$=180\\degree-\\angle ADB$$=180\\degree-85\\degree$$=95\\degree$ 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $\\triangle BCD$에서 $\\angle x=95\\degree+28\\degree=123\\degree$"
    },
    {
        "question": "한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 $2$ 개의 삼각형이 생기는 정다각형의 한 내각의 크기를 구하여라.",
        "answer": "구하는 다각형을 정$n$각형이라 하면 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때 생기는 삼각형의 개수는 $(n-2)$ 개이므로 $n-2=2$ $∴$ $n=4$ 구하는 다각형은 정사각형이므로 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(4-2)}{4}=90\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 구멍이 뚫린 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(입체도형의 부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피) =(\\pi\\times7^2)\\times5-(\\pi\\times2^2)\\times5 =225\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 색칠한 부분을 직선 $l$을 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "주어진 도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 그림과 같다. $(입체도형의 부피)$$=$$(원기둥의 부피)$$-$$(반구의 부피)$ $=$$(\\pi\\times10^2)\\times15-\\frac{1}{2}\\times(\\frac{4}{3}\\pi\\times6^3)$ $=$$1500\\pi-144\\pi$ $=$$1356\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "위 그림과 같이 보조선을 그으면 오각형의 내각의 크기의 합은 $540\\degree$이므로 $97\\degree+\\angle a+\\angle b+45\\degree+108\\degree+83\\degree+115\\degree=540\\degree$ $∴$ $\\angle a+\\angle b=92\\degree$ 색칠된 삼각형에서 $\\angle a+\\angle b+\\angle x=180\\degree$ $92\\degree+\\angle x=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=88\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원뿔대의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(원뿔대의 부피) =$$(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)$ $=$$\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times8^2)\\times8-\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times4^2)\\times4$ $=$$\\frac{512}{3}\\pi-\\frac{64}{3}\\pi$$=$$\\frac{448}{3}\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $11 cm$, $9 cm$인 두 원 $O$, $O'$이 겹쳐 있다. 두 원 $O$, $O'$에서 겹쳐 있지 않은 부분의 넓이를 각각 $P$, $Q$라 할 때, $P$와 $Q$의 차를 구하여라.",
        "answer": "위 그림과 같이 겹쳐 있는 부분의 넓이를 $R$라 하면  \\[ \\begin{aligned} P-Q & =\\left(\\pi \\times 11^{2}-R\\right)-\\left(\\pi \\times 9^{2}-R\\right) \\\\ & =121 \\pi-R-81 \\pi+R \\\\ & =40 \\pi\\left(\\mathrm{cm}^{2}\\right) \\end{aligned} \\]"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반구와 반구를 붙여서 만든 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(입체도형의 부피)=(위쪽 반구의 부피)+(아래쪽 반구의 부피)$ $=\\frac{1}{2}\\times(\\frac{4}{3}\\pi\\times9^3)+\\frac{1}{2}\\times(\\frac{4}{3}\\pi\\times12^3)$ $=486\\pi+1152\\pi$ $=$$1638\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(전체 부피)$ $=$$(큰 원기둥의 부피)+(작은 원기둥의 부피)$ $=$$(\\pi\\times5^2)\\times6+(\\pi\\times2^2)\\times3$ $=$$162\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 사다리꼴과 직각삼각형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 각각 $A$, $B$라고 할 때, $\\frac{A}{B}$의 값을 구하여라.",
        "answer": "주어진 사다리꼴을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형과 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 아래 그림과 같다.   $∴ $$A$$=\\frac{1}{2}\\times(12+18)\\times12$$=180$ 주어진 직각삼각형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형과 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 아래 그림과 같다. $∴ $$B$$=\\frac{1}{2}\\times18\\times12$$=108$ $∴$ $\\frac{A}{B}$$=\\frac{180}{108}$$=\\frac{5}{3}$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 같은 정다각형들을 변끼리 이어 붙였을 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "정오각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(5-2)}{5}=108\\degree$ 정사각형의 한 내각의 크기는 $\\frac{180\\degree\\times(4-2)}{4}=90\\degree$ $90\\degree+108\\degree+90\\degree+\\angle x=360\\degree$ ∴ $\\angle x=72\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 직각삼각형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "주어진 직각삼각형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형과 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 아래 그림과 같다. 따라서 단면의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times10\\times9$$=45 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 $\\angle x+\\angle y+\\angle z$의 크기를 구하여라.",
        "answer": "$\\angle x=43\\degree+25\\degree=68\\degree$ $\\angle y=30\\degree+45\\degree=75\\degree$ $\\angle z=25\\degree+75\\degree=100\\degree$ ∴ $\\angle x+\\angle y+\\angle z$$=68\\degree+75\\degree+100\\degree$$=243\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 색칠한 부분을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "주어진 도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 그림과 같다. $(회전체의 부피)=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피)$ $=(\\pi\\times3^2)\\times5-\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times3^2)\\times5$ $=$$45\\pi-15\\pi$$=$$30\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음은 수정이네 반 학생 $40$ 명의 키를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 키가 $145 cm$ 이상 $150 cm$ 미만인 학생이 전체의 $15\\%$일 때, 키가 $10$ 번째로 작은 학생이 속한 계급을 구하여라. <table border> <tbody> <caption>키</caption> <tr> <td>키($cm$)</td> <td>도수(명)</td> </tr> <tr> <td>$140^{이상} \\sim 145^{미만}$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$145 \\sim 150$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$150 \\sim 155$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$155 \\sim 160$</td> <td>$12$</td> </tr> <tr> <td>$160 \\sim 165$</td> <td>$10$</td> </tr> <tr> <td>$165 \\sim 170$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$40$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "키가 $145 cm$ 이상 $150 cm$ 미만인 학생 수는 $40\\times\\frac{15}{100}=6$ (명) 키가 $150 cm$ 이상 $155 cm$ 미만인 학생 수는 $40-(3+6+12+10+2)=7$ (명) 따라서 키가 $10$ 번째로 작은 학생이 속한 계급은 $150 cm$ 이상 $155 cm$ 미만이다."
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림의 직육면체와 겉넓이가 같은 정육면체의 한 면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(직육면체의 겉넓이)$$=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)$$=3\\times9$$=27 (cm^2)$, $(옆넓이)$$=(9+3+9+3)\\times10$$=240 (cm^2)$이므로 $(겉넓이)$$=27\\times2+240$$=294 (cm^2)$ 따라서 구하는 정육면체의 한 면의 넓이는 $294\\div6$$=49 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림에서 점 $D$는 삼각형 $ABC$에서 $\\angle ACB$의 이등분선과 $\\angle ABC$의 외각의 이등분선의 교점이다. 이때 $\\angle x$의 크기를 구하여라. ",
        "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\angle ABE=\\angle ACB+\\angle x$이므로 $\\angle DBE=\\frac{1}{2}\\angle ABE=\\angle BCD+\\frac{1}{2}\\angle x ······ ㉠$ $\\triangle BCD$에서 $\\angle DBE=\\angle BCD+36\\degree ······ ㉡$ $㉠, ㉡$에서 $\\frac{1}{2}\\angle x=36\\degree$ $∴ \\angle x$$=72\\degree$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 구멍이 뚫린 입체도형의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(밑넓이)$$=81\\pi-9\\pi$$=72\\pi (cm^2)$ $(큰 원기둥의 옆넓이)$$=(2\\pi\\times9)\\times12$$=216\\pi (cm^2)$ $(작은 원기둥의 옆넓이)$$=(2\\pi\\times3)\\times12$$=72\\pi (cm^2)$ $(입체도형의 겉넓이)$$=72\\pi\\times2+216\\pi+72\\pi$$=432\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "밑면의 넓이가 $36\\pi cm^2$인 원뿔의 부피가 $84\\pi cm^3$일 때, 원뿔의 높이를 구하여라.",
        "answer": "원뿔의 높이를 $h cm$라 하면 $(뿔의 부피)$$=$$\\frac{1}{3}\\times(밑넓이)\\times(높이)$ $=$$\\frac{1}{3}\\times36\\pi\\times h$ $=$$12\\pi h (cm^3)$ 원뿔의 부피가 $84\\pi cm^3$이므로 $12\\pi h=84\\pi$ ∴ $h=7$ 따라서 원뿔의 높이는 $7 cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 원기둥 안에 구와 원뿔이 꼭 맞게 들어 있다. 구의 부피가 $\\frac{256}{3}\\pi cm^3$일 때, 원뿔과 원기둥의 부피의 합을 구하여라.",
        "answer": "구의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 (구의 부피)$=$$\\frac{4}{3}\\pi r^3=\\frac{256}{3}\\pi$ $r^3=64=4^3$ $∴ r=4$  $(원뿔의 부피)$$=\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times4^2)\\times8$$=\\frac{128}{3}\\pi (cm^3)$ $(원기둥의 부피)$$=(\\pi\\times4^2)\\times8$$=128\\pi (cm^3)$ 따라서 원뿔과 원기둥의 부피의 합은 $\\frac{128}{3}\\pi+128\\pi$$=\\frac{512}{3}\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "어떤 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면과 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면이 각각 아래 그림과 같다. 이때 이 회전체의 겉넓이와 부피를 각각 구하여라. ",
        "answer": "주어진 회전체는 밑면의 반지름의 길이가 $5$, 높이가 $10$인 원기둥이다. $(겉넓이)=(\\pi\\times5^2)\\times2+(2\\pi\\times5)\\times10$$=50\\pi+100\\pi$$=150\\pi$ $(부피)=(\\pi\\times5^2)\\times10$$=250\\pi$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도로 만든 각기둥의 겉넓이가 $138 cm^2$일 때, 각기둥의 높이를 구하여라.",
        "answer": "각기둥의 높이를 $h cm$라 하면 $(기둥의 겉넓이)=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)=\\frac{1}{2}\\times6\\times3$$=9 (cm^2)$, $(옆넓이)=(4+6+5)\\times h$$=15h (cm^2)$이므로 $(겉넓이)=9\\times2+15h$$=15h+18 (cm^2)$ 각기둥의 겉넓이가 $138 cm^2$이므로 $15h+18=138$ $∴ h=8$ 따라서 각기둥의 높이는 $8 cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 구멍이 뚫린 입체도형의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(밑넓이)=64\\pi-25\\pi$$=39\\pi (cm^2)$ $(큰 원기둥의 옆넓이)$$=(2\\pi\\times8)\\times10$$=160\\pi (cm^2)$ $(작은 원기둥의 옆넓이)$$=(2\\pi\\times5)\\times10$$=100\\pi (cm^2)$ $(입체도형의 겉넓이)$$=39\\pi\\times2+160\\pi+100\\pi$$=338\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 가장 많은 정다면체의 모서리의 개수를 $a 개$, 모서리의 개수가 가장 적은 정다면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수를 $b 개$라고 할 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "<table border>   <tbody>     <tr>       <td>정다면체</td>       <td>한 꼭짓점에 모인 면의 개수</td>       <td>모서리의 개수</td>            </tr>     <tr>       <td>정사면체</td>       <td>$3$</td>       <td>$6$</td>    </tr>     <tr>       <td>정육면체</td>       <td>$3$</td>       <td>$12$</td>    </tr>     <tr>       <td>정팔면체</td>       <td>$4$</td>       <td>$12$</td>    </tr>     <tr>       <td>정십이면체</td>       <td>$3$</td>       <td>$30$</td>    </tr>     <tr>       <td>정이십면체</td>       <td>$5$</td>       <td>$30$</td>    </tr>   </tbody> </table> 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 가장 많은 정다면체는 정이십면체이고, 정이십면체의 모서리의 개수는 $30$ 개이므로 $a=30$ 모서리의 개수가 가장 적은 정다면체는 정사면체이고, 정사면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 $3$ 개이므로 $b=3$ $ \\therefore a-b$$=30-3$$=27$"
    },
    {
        "question": "밑면의 반지름의 길이가 $9cm$, 높이가 $12cm$인 원기둥 $A$와 밑면의 반지름의 길이가 $7cm$, 높이가 $hcm$인 원기둥 $B$의 겉넓이가 같을 때, $h$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 겉넓이)=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이므로 $(A의 겉넓이)=(\\pi\\times9^2)\\times2+(2\\pi\\times9)\\times12 =81\\pi\\times2+216\\pi =378\\pi (cm^2)$ $(B의 겉넓이)=(\\pi\\times7^2)\\times2+(2\\pi\\times7)\\times h =49\\pi\\times2+14\\pi h =98\\pi+14\\pi h (cm^2)$ 원기둥 $A$와 $B$의 겉넓이가 같으므로 $98\\pi+14\\pi h=378\\pi$ $∴ h=20$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원뿔 모양의 그릇에 $1$ 분에 $8\\pi cm^3$씩 물을 넣을 때, 빈 그릇을 가득 채우는 데 걸리는 시간을 구하여라. (단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)",
        "answer": "그릇의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times8^2)\\times12$$=256\\pi (cm^3)$ $1$ 분에 $8\\pi cm^3$씩 넣으므로 빈 그릇을 가득 채우는 데 걸리는 시간은 $\\frac{256\\pi}{8\\pi}=32$ (분)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 구의 겉넓이가 $100\\pi cm^2$일 때, 이 구의 부피를 구하여라.",
        "answer": "구의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $4\\pi r^2=100\\pi$ $r^2=25$ $∴$ $r=5(r>0$) $(구의 부피)$$=\\frac{4}{3}\\pi\\times5^3$$=\\frac{500}{3}\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 두 가지 종류의 원기둥 모양의 컵이 있다. 작은 컵을 이용하여 큰 컵에 물을 가득 채우려고 할 때, 최소한 몇 번을 부어야 하는지 구하여라. (단, 컵의 두께는 무시한다.)",
        "answer": "$(작은 컵의 부피)$$=(\\pi\\times4^2)\\times6$$=96\\pi (cm^3)$ $(큰 컵의 부피)$$=(\\pi\\times6^2)\\times8$$=288\\pi (cm^3)$ $\\frac{288\\pi}{96\\pi}$$=3$이므로 최소한 $3$ 번 부어야 한다."
    },
    {
        "question": "다음은 어느 독서 동아리 회원 $40$ 명의 $1$ 년 동안 대여한 책의 수를 조사하여 나타낸 히스토그램인데 일부가 찢어져 보이지 않는다. 도수가 가장 큰 계급에 속하는 사람은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라.",
        "answer": "$9 권$ 이상 $12 권$ 미만인 계급의 도수는  $40-(12+9+6+3)=10 (명)$ 도수가 가장 큰 계급은 $3 권 $이상 $6 권 $미만이고 도수는 $12$ 명이므로  $\\frac{12}{40}\\times100=30$ ($\\%$)"
    },
    {
        "question": "다음은 초희네 반 학생 $40$ 명의 오래 매달리기 기록을 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 기록이 $30$ 초 이상 $40$ 초 미만인 학생이 전체의 $60 \\%$일 때, 기록이 $40$ 초 이상인 학생은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라. <table border> <caption>오래 매달리기 기록</caption> <tbody> <tr> <td>기록(초)</td> <td>학생 수(명)</td> </tr> <tr> <td>$0$이상$\\sim 10$미만</td> <td>$3$</td> </tr> <tr>  <td>$10\\sim20$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>$20\\sim30$</td> <td>$5$</td> </tr> <tr> <td>$30\\sim40$</td> <td>$\\quad$</td> </tr> <tr> <td>$40\\sim50$</td> <td>$\\quad$</td> </tr> <tr> <td>$50\\sim60$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$40$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "기록이 $30 초 $이상 $40 초 $미만인 학생이 전체의 $60 \\%$이고, 초희네 반 전체 학생은 $40$ 명이므로 기록이 $30 초 $이상 $40 초 $미만인 학생 수는 $40\\times\\frac{60}{100}=24 (명)$ 기록이 $40 초$ 이상인 학생 수는 $40-(3+2+5+24)=6 (명)$ 따라서 기록이 $40 초$ 이상인 학생은 전체의 $\\frac{6}{40}\\times100=15 (\\%)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림의 사다리꼴을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "주어진 사다리꼴을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형과 회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 아래 그림과 같다. 따라서 단면의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(14+6)\\times6$$=60 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 구멍이 뚫린 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(입체도형의 부피) = (큰 원기둥의 부피) - (작은 원기둥의 부피) =(\\pi \\times 6^2) \\times 7 - (\\pi \\times 3^2) \\times 7 =189\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평면도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형을 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "주어진 평면도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시켜서 생긴 입체도형과 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 아래 그림과 같다.  따라서 단면의 넓이는 $25\\pi-4\\pi$$=21\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 반구와 반구를 붙여서 만든 입체도형의 부피를 구하여라.",
        "answer": "$(입체도형의 부피) = (위쪽 반구의 부피)+(아래쪽 반구의 부피)$ $=\\frac{1}{2} \\times\\left(\\frac{4}{3} \\pi \\times 3^{3}\\right)+\\frac{1}{2} \\times\\left(\\frac{4}{3} \\pi \\times 8^{3}\\right) $ $=18 \\pi+\\frac{1024}{3} \\pi $ $=\\frac{1078}{3} \\pi\\left(\\mathrm{cm}^{3}\\right)$"
    },
    {
        "question": "다음은 은수네 반 학생들의 영어 성적을 조사하여 나타낸 줄기와 잎 그림이다. 줄기가 $5$인 학생들이 받은 점수의 합과 줄기가 $7$인 학생들이 받은 점수의 합이 $800$ $점$일 때, $a$의 값을 구하여라.",
        "answer": "줄기가 $5$인 학생들이 받은 점수의 합은 $52+55+56+58+59=280$ (점) 줄기가 $7$인 학생들이 받은 점수의 합은 $70+71+72+74+(70+a)+77+79=a+513$ (점) 합이 $800$ 점이므로 $280+(a+513)=800$ $a+793=800$ $∴ $$a=7$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 밑면이 정사각형인 사각뿔이다. 밑면의 한 변의 길이가 $5 cm$이고 부피가 $75 cm^3$일 때, 이 사각뿔의 높이를 구하여라.",
        "answer": "사각뿔의 높이를 $h cm$라 하면 $(뿔의 부피) = \\frac{1}{3} \\times (밑넓이) \\times (높이)$ $=$$\\frac{25}{3}h (cm^3)$ 사각뿔의 부피가 $75 cm^3$이므로 $\\frac{25}{3}h=75$ $∴ h=9$ 따라서 사각뿔의 높이는 $9 cm$이다."
    },
    {
        "question": "밑넓이가 $14 cm^2$인 사각기둥의 부피가 $84 cm^3$일 때, 이 사각기둥과 높이는 같고, 밑면의 반지름의 길이가 $4 cm$인 원뿔의 부피를 구하여라.",
        "answer": "사각기둥의 높이를 $h cm$라 하면 $(기둥의 부피) = (밑넓이) \\times (높이)$ $=14 \\times h$ $=14h (cm^3)$ 사각기둥의 부피가 $84 cm^3$이므로 $14h=84$ $∴ h=6$ $(뿔의 부피)=\\frac{1}{3}\\times(밑넓이)\\times(높이)$ $=\\frac{1}{3} \\times ( \\pi\\ \\times4^2)  \\times 6$ $=32\\pi (cm^3)$"
    },
    {
        "question": "밑면은 내각의 크기의 합이 $900\\degree$인 다각형이고 옆면이 삼각형인 다면체의 모서리의 개수를 구하여라.",
        "answer": "주어진 다면체의 밑면을 $n$각형이라 하면 $180\\degree\\times(n-2)=900\\degree$ $n-2=5$ $∴ n=7$ 밑면이 칠각형이고 옆면이 삼각형인 다면체는 각뿔이므로 주어진 다면체는 칠각뿔이다. 따라서 구하는 모서리의 개수는 $7\\times2=14 $(개)"
    },
    {
        "question": "밑면의 대각선의 개수가 $5$ 개인 각뿔의 모서리의 개수를 구하여라.",
        "answer": "각뿔의 밑면을 $n$각형이라고 하면 $\\frac{n(n-3)}{2}=5$ $n(n-3)=10$ $n(n-3)=5\\times2$ $∴ n=5$ 따라서 밑면이 오각형인 각뿔은 오각뿔이므로 모서리의 개수는 $10$ 개이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 각기둥의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "$(기둥의 겉넓이)=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)=5\\times9-4\\times3=33 (cm^2)$, $(옆넓이)=(5+3+4+2+9+5)\\times9=252 (cm^2)$이므로 $(겉넓이)=33\\times2+252=318 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 한영이네 반 학생들의 키를 조사하여 나타낸 줄기와 잎 그림인데, 일부가 가려져 보이지 않는다. 키가 $150 cm $이상 $170 cm $미만인 학생이 전체의 $25\\%$일 때, 전체 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "$150 cm $이상 $170 cm $미만인 학생을 $a$ 명이라 하면 전체 학생 수는 $5+8+a+5$$=a+18$ (명) 키가 $150 cm $이상 $170 cm $미만인 학생이 전체의 $25$$\\%$이므로 $a=(a+18)\\times\\frac{25}{100}$ $100a=25a+450$ $100a-25a=450$  $75a=450$ $∴ a=6$ 따라서 구하는 전체 학생 수는 $6+18$$=24$ (명)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 원기둥을 회전축에 수직인 평면으로 잘라서 생긴 단면의 넓이와 회전축을 포함하는 평면으로 잘라서 생긴 단면의 넓이가 같다. 이 원기둥의 높이를 구하여라.",
        "answer": "회전축에 수직인 평면으로 잘라서 생긴 단면은 반지름의 길이가 $5 cm$인 원이므로 그 넓이는 $\\pi\\times5^2=25\\pi$ ($cm^2$) 회전축을 포함하는 평면으로 잘라서 생긴 단면은 가로의 길이가 $10 cm$인 직사각형이므로 원기둥의 높이를 $h cm$라고 하면 그 넓이는 $10\\times h=10h (cm^2)$ 두 단면의 넓이가 같으므로 $10h=25\\pi$ $∴$ $h=\\frac{25\\pi}{10}=\\frac{5}{2}\\pi$ 따라서 원기둥의 높이는 $\\frac{5}{2}\\pi cm$이다."
    },
    {
        "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $5cm$인 원을 직선 $l$로부터 $3cm$ 떨어진 위치에서 직선 $l$을 회전축으로 하여 1회전 시켰다. 이때 생기는 회전체를 원의 중심 $O$를 지나면서 직선 $l$에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "회전체는 도넛 모양이고 원의 중심 $O$를 지나면서 직선 $l$에 수직인 평면으로 자른 단면은 아래 그림과 같다. $∴ (단면의 넓이)=\\pi\\times13^2-\\pi\\times3^2$ $=169\\pi-9\\pi$ $=$$160\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 입체도형의 꼭짓점의 개수를 $x$ 개, 모서리의 개수를 $y$ 개라고 할 때, $2x+y$의 값을 구하여라. (가) 육면체이다. (나) 밑면이 한 개이다. (다) 옆면의 모양은 이등변삼각형이다.",
        "answer": "두 조건 ㈏, ㈐를 모두 만족시키는 입체도형의 종류는 각뿔이므로 조건 ㈎를 동시에 만족시키는 입체도형은 오각뿔이다. 오각뿔의 꼭짓점의 개수는 $5+1$$=6$ (개)이므로 $x$$=6$ 오각뿔의 모서리의 개수는 $5\\times2$$=10$ (개)이므로 $y$$=10$ $∴$ $2x+y$$=2\\times6+10$$=22$"
    },
    {
        "question": "반지름의 길이가 $8 cm$, $5 cm$인 구의 부피를 각각 $A cm^3$, $B cm^3$라고 할 때, $A-B$의 값을 구하여라.",
        "answer": "반지름의 길이가 $8 cm$인 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi\\times8^3$$=\\frac{2048}{3}\\pi (cm^3)$ $∴ A=\\frac{2048}{3}\\pi$ 반지름의 길이가 $5 cm$인 구의 부피는 $\\frac{4}{3}\\pi\\times5^3$$=\\frac{500}{3}\\pi (cm^3)$ $∴ B=\\frac{500}{3}\\pi$ $∴ A-B$$=\\frac{2048}{3}\\pi-\\frac{500}{3}\\pi$$=516\\pi$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 야구공의 겉면은 합동인 두 개의 조각으로 이루어져 있다. 야구공의 지름의 길이가 $6 cm$일 때, 겉면을 이루는 조각 한 개의 넓이를 구하여라. (단, 조각이 겹치는 부분은 없다.)",
        "answer": "야구공의 겉넓이는 $4\\pi\\times3^2$$=36\\pi (cm^2)$ 겉면을 이루는 한 조각의 넓이는 야구공의 겉넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로  $\\frac{1}{2}\\times36\\pi=18\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 야구단 선수 $20$ 명의 한 시즌 홈런 수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다.  $\\square$안에 알맞은 수를 써넣어라.  <table border> <caption>한 시즌 홈런 수</caption> <tbody> <tr> <td>홈런 수 (개) </td> <td>선수 수 (명)</td> </tr> <tr> <td>$0^{이상}$~$10^{미만}$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$10$~$20$</td> <td>$5$</td> </tr> <tr> <td>$20$~$30$</td> <td>$\\square$</td> </tr> <tr> <td>$30$~$40$</td> <td>$4$</td> </tr> <tr> <td>$40$~$50$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$20$</td> </tr>",
        "answer": "$20-(3+5+4+2)=6 $(명)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $22 cm$인 정사각형을 오려서 밑면이 정사각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변삼각형으로 이루어진 사각뿔의 전개도를 만들었다. 오려 낸 사각뿔의 겉넓이가 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{4}{11}$일 때, 사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 구하여라.",
        "answer": "사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 옆면인 이등변삼각형의 높이는 $\\frac{22-x}{2} cm$이므로 오려 낸 사각뿔의 겉넓이는 $x^2+(\\frac{1}{2}\\times x\\times\\frac{22-x}{2})\\times4$$=22x$ 사각뿔의 겉넓이는 처음 정사각형 넓이의 $\\frac{4}{11}$이므로 $22x$$=22^2\\times\\frac{4}{11}$ $∴ x=8$ 따라서 밑면의 한 변의 길이는 $8 cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형을 직선 $l$을 회전축으로 하여 $1$회전 시켰다. 이 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 넓이가 회전체의 밑면의 넓이의 $\\frac{4}{9}$일 때, 이 단면의 둘레의 길이를 구하여라.",
        "answer": "주어진 직각삼각형을 직선 $l$을 회전축으로 하여 $1$회전 시키면 그림과 같이 원뿔이 된다. 원뿔의 밑면의 넓이는 $\\pi\\times6^2$$=36\\pi (cm^2)$이므로 원뿔을 회전축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면인 원의 넓이는 $\\frac{4}{9}\\times36\\pi=16\\pi (cm^2)$ 단면인 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\pi\\times r^2=16\\pi$ $r^2=16$ $∴$ $r=4$ 따라서 구하는 둘레의 길이는 $2\\pi\\times4=8\\pi (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 야구공의 겉면은 합동인 두 개의 조각으로 이루어져 있다. 야구공의 반지름의 길이가 $\\frac{13}{4} cm$일 때, 겉면을 이루는 조각 한 개의 넓이를 구하여라. (단, 조각이 겹치는 부분은 없다.)",
        "answer": "야구공의 겉넓이는 $4\\pi\\times(\\frac{13}{4})^2$$=\\frac{169}{4}\\pi (cm^2)$ 겉면을 이루는 한 조각의 넓이는 야구공의 겉넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\frac{169}{4}\\pi=\\frac{169}{8}\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 어느 제과점에서 만드는 제품 $25$ 개의 설탕 사용량을 조사하여 나타낸 히스토그램인데 일부가 찢어져 보이지 않는다. 도수가 가장 작은 계급에 속하는 제품은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라.",
        "answer": "$30 g$ 이상 $40 g$ 미만인 계급의 도수는  $25-(7+4+5+3+4)=2$ (개) 도수가 가장 작은 계급은 $30 g $이상 $40 g $미만이고 도수는 $2$ 개이므로 $\\frac{2}{25}\\times100=8$ $(\\%)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 한 모서리의 길이가 $17 cm$인 정팔면체이다. 모서리 $AB$와 모서리 $EF$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 할 때, 점 $M$에서 출발하여 세 모서리 $AC$, $CD$, $DF$를 거쳐 점 $N$까지 이르는 최단 거리를 구하여라.",
        "answer": "전개도의 일부를 이용하여 나타내면 최단 거리는 다음 그림의 $\\overline{MN}$과 같다.  $\\overline{MN}$$=\\overline{AE}$$=2\\overline{AD}$$=2\\times17$$=34 (cm)$"
    },
    {
        "question": "다음은 재호네 반 학생 $32$ 명의 키를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 키가 $150cm$ 이상 $155cm$ 미만인 학생이 전체의 $25$ %일 때, 키가 $10$ 번째로 작은 학생이 속한 계급을 구하여라.   <table border> <tbody> <tr> <td colspan=7 align=\"center\">키</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">키($cm$)</td> <td align=\"center\">도수(명)</td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">$140^{이상}\\sim145^{미만}$</td> <td align=\"center\">$1$</td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">$145\\sim150$</td> <td align=\"center\"></td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">$150\\sim155$</td> <td align=\"center\"></td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">$155\\sim160$</td> <td align=\"center\">$11$</td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">$160\\sim165$</td> <td align=\"center\">$6$</td> </tr> <tr> <td align=\"center\">$165\\sim170$</td> <td align=\"center\">$1$</td>  </tr> <tr> <td align=\"center\">합계</td> <td align=\"center\">$32$</td>  </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "키가 $150 cm$ 이상 $155 cm$ 미만인 학생 수는 $32\\times\\frac{25}{100}=8$ (명) 키가 $145 cm$ 이상 $150 cm$ 미만인 학생 수는 $32-(1+8+11+6+1)=5$ (명) 따라서 키가 $10$ 번째로 작은 학생이 속한 계급은 $150 cm$ 이상 $155 cm$ 미만이다."
    },
    {
        "question": "다음 두 입체도형의 부피가 같을 때, $x$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(뿔의 부피)$ $=\\frac{1}{3}\\times$$ (밑넓이)$ $\\times$$ (높이)$ $=\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times6^2)\\times12$ $=144\\pi (cm^3)$ $(기둥의 부피)$ $=$ $(밑넓이)$ $\\times$$ (높이)$ $=(\\pi\\times4^2)\\times x$ $=16\\pi x (cm^3)$ 원뿔의 부피와 원기둥의 부피가 같으므로 $144\\pi=16\\pi x$ $∴$ $x=9$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 전개도에서 부채꼴의 반지름의 길이가 $9 cm$이고, 중심각의 크기가 $240\\degree$일 때, 이 전개도로 만들어지는 원뿔의 밑면의 넓이를 구하여라.",
        "answer": "밑면의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이와 같으므로 밑면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $2\\pi\\times9\\times\\frac{240}{360}$$=2\\pi r$ $∴$ $r=6$ 따라서 원뿔의 밑면의 넓이는 $\\pi\\times6^2$$=36\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 승열이네 반 학생 $50$ 명의 한 달 동안 읽은 책의 수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. $A$의 값을 구하여라.  한 달 동안 읽은 책의 수  <table border> <thead>   <tr>     <th>책의 수 (권)</th>     <th>학생 수 (명)</th>   </tr> </thead> <tbody>   <tr>     <td>$0$ 이상 ~ $2$ 미만</td>     <td>$6$</td>   </tr>   <tr>     <td>$2$~$4$</td>     <td>$14$</td>   </tr>   <tr>     <td>$4$~$6$</td>     <td>$A$</td>   </tr>   <tr>     <td>$6$~$8$</td>     <td>$10$</td>   </tr>   <tr>     <td>$8$~$10$</td>     <td>$4$</td>   </tr>   <tr>     <td>합계</td>     <td>$50$</td>   </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "$A=50-(6+14+10+4)=16$"
    },
    {
        "question": "전개도가 다음 그림과 같은 원기둥의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "옆면의 가로의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같다. 밑면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $2\\pi r=6\\pi$이므로 $r=3$ (기둥의 겉넓이)$=(밑넓이)\\times2+(옆넓이)$이고 $(밑넓이)=\\pi\\times3^2$$=9\\pi (cm^2)$, $(옆넓이)=6\\pi\\times5$$=30\\pi (cm^2)$이므로 $(겉넓이)=9\\times\\pi\\times2+30\\pi$$=48\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 서율이네 반 학생 $40$ 명이 지난 학기에 잰 키를 조사하여 나타낸 히스토그램인데 일부가 찢어져 보이지 않는다. 키가 $150 cm $이상 $160 cm $미만인 학생 수가 $170 cm $이상 $180 cm $미만인 학생 수보다 $3$만큼 클 때, 키가 $150 cm $이상 $160 cm $미만인 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "키가 $150 cm $이상 $160 cm $미만인 학생 수를 $x$ 명이라 하면 $170 cm $이상 $180 cm $미만인 학생 수는 $(x-3)$ 명이므로 $3+6+x+12+(x-3)=40$ $2x+18=40$ $∴ x=11$ 따라서 키가 $150 cm $이상 $160 cm $미만인 학생 수는 $11$ 명이다."
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 직육면체 모양의 어항에 칸막이가 설치되어 있다. 칸막이를 치울 때, 물의 높이를 구하여라. (단, 어항과 칸막이의 두께는 무시한다.)",
        "answer": "칸막이의 왼쪽 부분에 들어 있는 물의 부피는 $30\\times18\\times7$$=3780 (cm^3)$ 칸막이의 오른쪽 부분에 들어 있는 물의 부피는 $15\\times18\\times13=3510 (cm^3)$ 따라서 물의 부피는 $3780+3510=7290 (cm^3)$ 이때 어항의 밑넓이는 $(30+15)\\times18=810 (cm^2)$이므로 칸막이를 치웠을 때 물의 높이는 $7290\\div810$$=9 (cm)$"
    },
    {
        "question": "사각기둥의 모서리의 개수를 $a$ 개, 칠각뿔대의 꼭짓점의 개수를 $b$ 개, 오각뿔의 면의 개수를 $c$ 개라고 할 때, $a+b+c$의 값을 구하여라.",
        "answer": "사각기둥의 모서리의 개수는 $4\\times3$$=12$ (개)이므로 $a=12$ 칠각뿔대의 꼭짓점의 개수는 $7\\times2$$=14$ (개)이므로 $b=14$ 오각뿔의 면의 개수는 $5+1$$=6$ (개)이므로 $c=6$ $∴ a+b+c$$=12+14+6$$=32$"
    },
    {
        "question": "다음은 주미네 반 학생들의 필기구 개수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 이 도수분포표가 다음 조건을 모두 만족한다고 할 때, 필기구를 $9 개$ 이상 갖고 있는 학생 수를 구하여라. 필기구 개수 <table border> <tbody> <tr> <td>개수 (개)</td> <td>도수 (명)</td>  </tr> <tr> <td>$1이상~3미만$</td> <td>$2$</td>  </tr> <tr> <td>$3\\sim5$</td> <td>$5$</td> </tr> <tr> <td>$5\\sim7$</td> <td>$5$</td> </tr> <tr> <td>$7\\sim9$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$9\\sim11$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$11\\sim13$</td> <td>$6$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> </tr> </tbody> </table> (가) 필기구를 $7$ 개 미만 갖고 있는 학생은 전체의 $40\\%$ 이다. (나)$7 개$ 이상 $9 개$ 미만인 계급의 도수는 $9 개$ 이상 $11 개$ 미만인 계급의 도수의 $3$ 배이다.",
        "answer": "필기구를 $7 개$ 미만 갖고 있는 학생 수는 $2+5+5=12$ (명)이므로 전체 학생 수를 $a$ 명이라 하면 조건 ㈎에 의하여 $12=a\\times\\frac{40}{100}$ $∴$ $a=30$ 필기구를 $9 개$ 이상 $11 개$ 미만 갖고 있는 학생 수를 $b$ 명이라 하면 조건 ㈏에 의하여 필기구를 $7 개$ 이상 $9 개$ 미만 갖고 있는 학생 수는 $3b$ 명이다. 이때 전체 학생 수가 $30$ 명이므로 $2+5+5+3b+b+6=30$ $4b=12$ $∴$ $b=3$ 따라서 필기구를 $9 개$ 이상 갖고 있는 학생 수는 $3+6$$=9$ (명)"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $20 cm$인 정사각형을 오려서 밑면이 정사각형이고 옆면이 모두 합동인 이등변삼각형으로 이루어진 사각뿔의 전개도를 만들었다. 오려 낸 사각뿔의 겉넓이가 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{3}{8}$일 때, 사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 구하여라.",
        "answer": "사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 옆면인 이등변삼각형의 높이는 $\\frac{20-x}{2} cm$이므로 오려 낸 사각뿔의 겉넓이는 $x^2+(\\frac{1}{2}\\times x\\times\\frac{20-x}{2})\\times4$$=20x$ 사각뿔의 겉넓이는 처음 정사각형 넓이의 $\\frac{3}{8}$이므로 $20x$$=20^2\\times\\frac{3}{8}$ ∴ $x=\\frac{15}{2}$ 따라서 밑면의 한 변의 길이는 $\\frac{15}{2} cm$이다."
    },
    {
        "question": "다음은 효주네 반 학생들의 키를 조사하여 계급의 크기가 다른 두 개의 도수분포표로 나타낸 것이다. $A$, $B$, $C$의 값을 각각 구하여라. 학생들의 키 <table border> <tbody> <tr> <td>키($cm$)</td> <td>학생 수(명)</td> </tr> <tr> <td>$130^{이상} \\sim 140^{미만}$</td> <td>$1$</td> </tr> <tr> <td>$140 \\sim 150$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$150\\sim 160$</td> <td>$14$</td> </tr> <tr> <td>$160\\sim 170$</td> <td>$12$</td> </tr> <tr> <td>$170\\sim 180$</td> <td>$A$</td> </tr> <tr> <td>$180\\sim 180$</td> <td>$1$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$32$</td> </tr> </tbody> </table> 학생들의 키 <table border> <tbody> <tr> <td>키($cm$)</td> <td>학생 수(명)</td> </tr> <tr> <td>$130^{이상} \\sim 145^{미만}$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>$145 \\sim 160$</td> <td>$B$</td> </tr> <tr> <td>$160\\sim 175$</td> <td>$C$</td> </tr> <tr> <td>$175\\sim 190$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$32$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "효주네 반 전체 학생 수는 $32$ 명이므로 $1+3+14+12+A+1=32$ $A+31=32$ $∴$ $A=1$ 키가 $160cm$  미만인 학생 수는 $1+3+14=18$ (명) $2+B=18$ $∴$ $B=16$ 전체 학생 수는 $32$ 명이므로 $2+16+C+3=32$ $C+21=32$ $∴$ $C=11$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 입체도형의 겉넓이를 $xcm^2$, 부피를 $y cm^3$라 할 때, $x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(밑넓이)$$=5\\times5-\\pi\\times2^2$$=25-4\\pi (cm^2)$ $(옆넓이)$$=$$(5+5+5+5)\\times6$ $+$ $(2\\pi\\times2)\\times6$$=120+24\\pi (cm^2)$ $(입체도형의 겉넓이)$$=(25-4\\pi)\\times2+120+24\\pi$$=170+16\\pi (cm^2)$ $∴$ $x=170+16\\pi$ $(사각기둥의 부피)$$=5^2\\times6$$=150 (cm^3)$ $(원기둥의 부피)$$=(\\pi\\times2^2)\\times6$$=24\\pi (cm^3)$ $(입체도형의 부피)$$=150-24\\pi (cm^2)$ $∴$ $y=150-24\\pi$ $∴$ $x-y$$=(170+16\\pi)-(150-24\\pi)$$=20+40\\pi$"
    },
    {
        "question": "어느 중학교 학생들의 좋아하는 운동을 조사하였다. $1$ 반과 $2$ 반의 학생 수의 비는 $4~:~5$이고 농구를 좋아하는 학생 수의 비는 $3~:~5$일 때, $1$ 반과 $2$ 반의 농구를 좋아하는 학생의 상대도수의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.",
        "answer": "$1$ 반과 $2$ 반의 학생 수의 비는 $4 : 5$$=4a : 5a$, 농구를 좋아하는 학생 수의 비는 $3 : 5$$=3b : 5b$로 나타낼 수 있다. (단, $a$, $b$는 자연수) 농구를 좋아하는 학생의 상대도수는 $1$ 반은 $\\frac{3b}{4a}$, $2$ 반은 $\\frac{5b}{5a}$$=\\frac{b}{a}$이므로 $\\frac{3b}{4a} : \\frac{b}{a}$$=\\frac{3}{4} : 1$$=3 : 4$"
    },
    {
        "question": "다음 그림은 한 모서리의 길이가 $6 cm$인 정육면체 $4$ 개를 쌓아서 만든 입체도형이다. 이 입체도형의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "한 모서리의 길이가 $6 cm$인 정육면체 한 개의 겉넓이는 $(6\\times6)\\times6$$=216 (cm^2)$ 주어진 입체도형에서 맞닿아 있는 면이 $3$ 쌍, 즉 $6$ 개이므로 $(겉넓이)$$=216\\times4-6^2\\times6$$=648 (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 도진이네 반 학생들의 국어 성적을 조사하여 나타낸 히스토그램이다. 전체 학생 수를 $a$ 명, 계급의 크기를 $b$ 점이라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라.",
        "answer": "전체 학생 수는 $1+6+8+7+3$$=25$ (명) $∴ a=25$ 계급의 크기는 $60-50=70-60=$···$=100-90=10$ (점) $∴ b=10$ $∴ a-b$$=25-10$$=15$"
    },
    {
        "question": "다음은 나라네 반 학생들의 필기구 개수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 이 도수분포표가 다음 조건을 모두 만족한다고 할 때, 필기구를 $7$개 미만 갖고 있는 학생 수를 구하여라.   필기구 개수  <table border> <tbody> <tr> <td>개수(개)</td> <td>도수(명)</td> </tr> <tr> <td>$1^{이상} \\sim 3^{미만}$</td> <td>$3$</td> </tr> <tr> <td>$3\\sim 5$</td> <td>$9$</td> </tr> <tr> <td>$5\\sim 7$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$7\\sim9$</td> <td></td> </tr> <tr> <td>$9\\sim11$</td> <td>$7$</td> </tr> <tr> <td>$11\\sim13$</td> <td>$2$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td></td> </tr> </tbody> </table> (가) 필기구를 9개 이상 갖고 있는 학생은 전체의 $30\\%$이다. (나) $7$개 이상 $9$개 미만인 계급의 도수는 $5$개 이상 $7$개 미만인 계급의 도수의 $2$배이다.",
        "answer": "필기구를 $9 개$ 이상 갖고 있는 학생 수는 $7+2=9$ (명)이므로 전체 학생 수를 $a$ 명이라 하면 조건 ㈎에 의하여 $9=a\\times\\frac{30}{100}$ $∴$ $a=30$ 필기구를 $5 개$ 이상 $7 개$ 미만 갖고 있는 학생 수를 $b$ 명이라 하면 조건 ㈏에 의하여 필기구를 $7 개$ 이상 $9 개$ 미만 갖고 있는 학생 수는 $2b$ 명이다. 이때 전체 학생 수가 $30$ 명이므로 $3+9+b+2b+7+2=30$ $3b=9$ $∴$ $b=3$ 따라서 필기구를 $7 개$ 미만 갖고 있는 학생 수는 $3+9+3$$=15$ (명)"
    },
    {
        "question": "밑면은 내각의 크기의 합이 $720\\degree$인 다각형이고 옆면이 사다리꼴인 다면체의 모서리의 개수를 구하여라.",
        "answer": "주어진 다면체의 밑면을 $n$각형이라 하면 $180\\degree\\times(n-2)=720\\degree$ $n-2=4$ $\\therefore n=6$ 밑면이 육각형이고 옆면이 사다리꼴인 다면체는 각뿔대이므로 주어진 다면체는 육각뿔대이다. 따라서 구하는 모서리의 개수는 $6\\times3=18 (개)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 평면도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 겉넓이를 구하여라.",
        "answer": "주어진 도형을 직선 $l$을 축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 그림과 같다. (입체도형의 겉넓이) $\\\\$$=(구멍 뚫린 밑넓이) + \\frac{1}{2}\\times(구의 겉넓이) + (원뿔의 옆넓이)$ $\\\\$$=(\\pi\\times8^2-\\pi\\times6^2) + \\frac{1}{2}\\times(4\\pi\\times8^2) + \\frac{1}{2}\\times10\\times(2\\pi\\times6)$ $\\\\$$=$$28\\pi+128\\pi+60\\pi$ $\\\\$$=$$216\\pi (cm^2)$"
    },
    {
        "question": "다음은 유진이네 반 학생 $35$ 명의 수행 평가 점수를 조사하여 나타낸 도수분포표이다. 수행 평가 점수가 $8$ 점 이상 $12$ 점 미만인 학생은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라.$\\\\$ 수행 평가 점수 <table border> <tbody> <tr> <td>점수(점)</td> <td>학생 수 (명)</td> </tr> <tr> <td>$0^{이상} \\sim 4^{미만}$</td> <td>$1$</td> </tr> <tr> <td>$4 \\sim 8$</td> <td>$4$</td> </tr> <tr> <td>$8 \\sim 12$</td> <td>$A$</td> </tr> <tr> <td>$12 \\sim 16$</td> <td>$10$</td> </tr> <tr> <td>$16 \\sim 20$</td> <td>$6$</td> </tr> <tr> <td>합계</td> <td>$35$</td> </tr> </tbody> </table>",
        "answer": "$A=35-(1+4+10+6)=14$ 수행 평가 점수가 $8$ 점 이상 $12$ 점 미만인 학생은 $14$ 명이므로 $\\frac{14}{35}\\times100$$=40(\\%)$"
    },
    {
        "question": "다음 그림과 같은 입체도형의 겉넓이를 $x$ $cm^2$, 부피를 $y$ $cm^3$라 할 때, $x-y$의 값을 구하여라.",
        "answer": "$(밑넓이)$$=7\\times7-\\pi\\times2^2$$=49-4\\pi (cm^2)$ $(옆넓이)$$=$$(7+7+7+7)\\times4+(2\\pi\\times2)\\times4$$=112+16\\pi (cm^2)$  $(입체도형의 겉넓이)$$=(49-4\\pi)\\times2+112+16\\pi$$=210+8\\pi (cm^2)$ $∴ x=210+8\\pi$  $(사각기둥의 부피)$$=7^2\\times4$$=196 (cm^3)$  $(원기둥의 부피)$$=(\\pi\\times2^2)\\times4$$=16\\pi (cm^3)$ $(입체도형의 부피)$$=196-16\\pi (cm^2)$  $∴ y=196-16\\pi$  $∴ x-y$$=(210+8\\pi)-(196-16\\pi)$$=14+24\\pi$"
    },
    {
        "question": "다음은 예영이네 반 학생 $25$ 명의 제자리멀리뛰기 기록에 대한 상대도수의 분포를 나타낸 그래프인데 일부가 찢어져 보이지 않는다. 제자리멀리뛰기 기록이 $200 cm$ 이상 $210 cm$ 미만인 학생 수를 구하여라.",
        "answer": "제자리멀리뛰기 기록이 $200 cm$ 이상 $210 cm$ 미만인 계급의 상대도수는 $1-(0.08+0.16+0.2+0.16+0.08+0.04)$$=1-0.72$$=0.28$이므로 이 계급의 학생 수는 $25\\times0.28$$=7$ (명)"
    }
]