| [ | |
| { | |
| "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a$, $b$라 할 때, $\\sqrt{20ab}$가 가장 작은 자연수가 되는 경우의 수를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{20ab}$가 자연수가 되려면 $20ab$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $20ab=2^2\\times5\\times a\\times b$이므로 $ab$는 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $ab$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $ab$$=5\\times1^2$$=5$ $ab=5$가 되는 순서쌍 $(a, b)$를 구하면 $(1, 5)$, $(5, 1)$이고 그 경우의 수는 $2$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $2\\sqrt{2}$ $cm$, $\\sqrt{10}$ $cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $20\\sqrt{3}$ $cm^3$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "직육면체의 세로의 길이를 $x$ $cm$라 하면 $2\\sqrt{2}\\times x\\times\\sqrt{10}=20\\sqrt{3}$ $4\\sqrt{5}x=20\\sqrt{3}$ $∴$ $x$$=\\frac{20\\sqrt{3}}{4\\sqrt{5}}$$=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\sqrt{5}}$$=\\sqrt{15}$ 따라서 이 직육면체의 세로의 길이는 $\\sqrt{15}$ $cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{45}+2\\sqrt{a}-\\sqrt{245}=\\sqrt{80}$일 때, 자연수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{45}+2\\sqrt{a}-\\sqrt{245}=\\sqrt{80}$에서 $3\\sqrt{5}+2\\sqrt{a}-7\\sqrt{5}=4\\sqrt{5}$ $2\\sqrt{a}=8\\sqrt{5}$ $\\sqrt{a}=4\\sqrt{5}$ $∴$ $a=80$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 직사각형 ABCD에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $3$, $32$가 되었다. 이때 직사각형 ABCD의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $3$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $32$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $\\sqrt{3}\\times4\\sqrt{2}$$=4\\sqrt{6}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(\\sqrt{15})^2$의 음의 제곱근을 $A$, $(-7)^2$의 양의 제곱근을 $B$라 할 때, $A^2-B$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(\\sqrt{15})^2$$=15$의 음의 제곱근은 $-\\sqrt{15}$이므로 $A=-\\sqrt{15}$ $(-7)^2$$=49$의 양의 제곱근은 $7$이므로 $B=7$ ∴ $A^2-B$$=(-\\sqrt{15})^2-7$$=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 밑면의 가로의 길이, 높이가 각각 $2\\sqrt{3} cm$, $2\\sqrt{14} cm$인 직육면체가 있다. 이 직육면체의 부피가 $72\\sqrt{7}$ $cm^3$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "직육면체의 세로의 길이를 $x cm$라 하면 $2\\sqrt{3}\\times x\\times2\\sqrt{14}=72\\sqrt{7}$ $4\\sqrt{42}x=72\\sqrt{7}$ $∴ x$$=\\frac{72\\sqrt{7}}{4\\sqrt{42}}$$=\\frac{18}{\\sqrt{6}}$$=3\\sqrt{6}$ 따라서 이 직육면체의 세로의 길이는 $3\\sqrt{6} cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$2a\\sqrt{3}+a\\sqrt{27}+\\sqrt{75}=6\\sqrt{3}$에서 유리수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$2a\\sqrt{3}+a\\sqrt{27}+\\sqrt{75}=6\\sqrt{3}$에서 $2a\\sqrt{3}+3a\\sqrt{3}+5\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}$ $(5a+5)\\sqrt{3}=6\\sqrt{3}$ $5a+5=6$ $ ∴ a=\\frac{1}{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{98-x}$가 정수가 되도록 하는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", | |
| "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{98-x}$가 정수가 되려면 $98-x$는 $98$보다 작은 제곱수이거나 $0$이어야 한다. $98-x=0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$, $64$, $81$ ∴ $x=98$, $97$, $94$, $89$, $82$, $73$, $62$, $49$, $34$, $17$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $10$ 개이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{81}$의 양의 제곱근을 $A$, $(-4)^2$의 음의 제곱근을 $B$라 할 때, $A-B$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{81}=9$의 양의 제곱근은 $3$이므로 $A=3$ $(-4)^2=16$의 음의 제곱근은 $-4$이므로 $B=-4$ $∴$ $A-B=3-(-4)=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{200-x}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x$가 자연수이므로 $\\sqrt{200-x}$가 자연수가 되려면 $200-x$는 $200$보다 작은 제곱수이어야 한다. $200$보다 작은 제곱수는 $196$, $169$, $144$,$ ···$, $4$, $1$이고 $x$는 가장 작은 자연수이므로 $200-x=196$ $∴$ $x=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$일 때, $x^2+4x+3$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=$$\\frac{1}{\\sqrt{5}+2}$$=$$\\frac{\\sqrt{5}-2}{(\\sqrt{5}+2)(\\sqrt{5}-2)}$$=$$-2+\\sqrt{5}$ $x+2=\\sqrt{5}$이므로 $(x+2)^2=5$ $x^2+4x+4=5$ $x^2+4x=1$ $∴ x^2+4x+3$$=1+3$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 세 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합을 구하여라. $a=\\sqrt{3}+\\sqrt{7}$, $b=2+\\sqrt{3}$, $c=2-\\sqrt{7}$", | |
| "answer": "$a-b$$=(\\sqrt{3}+\\sqrt{7})-(2+\\sqrt{3})$$=\\sqrt{7}-2$$=\\sqrt{7}-\\sqrt{4}$$>$$0$이므로 $a>b$ $b-c$$=(2+\\sqrt{3})-(2-\\sqrt{7})$$=\\sqrt{3}+\\sqrt{7}$$>$$0$이므로 $b>c$ $ \\therefore c<b<a$ 가장 큰 수는 $a=\\sqrt{3}+\\sqrt{7}$, 가장 작은 수는 $c=2-\\sqrt{7}$이므로 두 수의 합은 $(\\sqrt{3}+\\sqrt{7})+(2-\\sqrt{7})$$=2+\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{150+a}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{150+a}$가 자연수가 되려면 $150+a$는 $150$보다 큰 제곱수이어야 한다. $150$보다 큰 제곱수는 $169$, $196$, $225$, $\\dots$이고 $a$는 가장 작은 자연수이므로 $150+a=169$ $∴$ $a=19$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{2}(3\\sqrt{6}-3)-\\frac{\\sqrt{24}-\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}}=x\\sqrt{2}+y\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $xy$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{2}(3\\sqrt{6}-3)-\\frac{\\sqrt{24}-\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}}$ $=$$6\\sqrt{3}-3\\sqrt{2}-2\\sqrt{2}+\\sqrt{2}$ $=$$-4\\sqrt{2}+6\\sqrt{3}$ $∴ x=-4$, $y=6$ $∴ xy$$=(-4)\\times6$$=-24$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x+3)(x-3)(x^2+9)=x^a+b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x+3)(x-3)(x^2+9)$ $=$$(x^2-9)(x^2+9)$ $=$$x^4-81$ $a=4$, $b=-81$이므로 $a-b$$=4-(-81)$$=85$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{55-a}=b$를 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a$의 값이 최소일 때, $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$a$가 자연수이므로 $\\sqrt{55-a}$가 자연수가 되려면 $55-a$는 $55$보다 작은 제곱수이어야 한다. $55$보다 작은 제곱수는 $49$, $36$, $25$, $···$, $4$, $1$이고 $a$의 값이 최소이므로 $55-a=49$ $∴ a=6$ $a=6$을 대입하면 $b=\\sqrt{55-a}=\\sqrt{55-6}=\\sqrt{49}=7$ $∴ a-b=6-7=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 넓이가 각각 $4 cm^2$, $25 cm^2$인 두 정사각형 $ABCD$, $ECGF$를 세 점 $B$, $C$, $G$가 한 직선 위에 있도록 이어 붙여 놓았다. 이때 $\\overline{BF}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "정사각형 $ABCD$의 넓이가 $4 cm^2$이므로 $\\overline{BC}=2 cm$ 정사각형 $ECGF$의 넓이가 $25 cm^2$이므로 $\\overline{CG}=5 cm$ $\\overline{BG}=\\overline{BC}+\\overline{CG}=2+5=7 (cm)$이고 $\\overline{FG}=\\overline{CG}=5 cm$이므로 $\\triangle BGF$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{BF}^2=7^2+5^2=74$ $\\overline{BF}>0$이므로 $\\overline{BF}=\\sqrt{74}$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $4\\sqrt{10} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{10}$$=2\\sqrt{10} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(4\\sqrt{10})^2-(2\\sqrt{10})^2$$=120 (cm)$ $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{120}$$=2\\sqrt{30} (cm)$ $ \\therefore \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{10}\\times2\\sqrt{30}$$=40\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{\\frac{24}{x}}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{\\frac{24}{x}}$가 자연수가 되려면 $\\frac{24}{x}$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $\\frac{24}{x}=\\frac{2^3\\times3}{x}$이므로 $x$는 $24$의 약수이면서 $2\\times3\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 가장 작은 자연수 $x$의 값은 $2\\times3\\times1^2$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AB}$, $\\overline{BC}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그렸더니 그 넓이가 각각 $8$, $20$이 되었다. 이때 직사각형 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $8$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$ $\\overline{BC}$를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 $20$이므로 $\\overline{BC}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}$ 따라서 직사각형 $ABCD$의 넓이는 $2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{5}$$=4\\sqrt{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 넓이가 각각 $4 cm^2$, $9 cm^2$, $16 cm^2$인 직각이등변삼각형 $3$ 개를 빗변이 일직선상에 놓이도록 붙여 놓은 것이다. $\\overline{AD}=\\overline{AE}$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}$일 때, $\\overline{AB}+\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AD}=\\overline{AE}=a cm$, $\\overline{BE}=\\overline{BF}=b cm$, $\\overline{CF}=\\overline{CG}=c cm$라 하면 $\\triangle ADE=\\frac{1}{2}\\times a\\times a=4$에서 $a^2=8$ 이때 $a>0$이므로 $a=\\sqrt{8}=2\\sqrt{2}$ $\\triangle BFE=\\frac{1}{2}\\times b\\times b=9$에서 $b^2=18$ 이때 $b>0$이므로 $b=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2}$ $\\triangle CFG=\\frac{1}{2}\\times c\\times c=16$에서 $c^2=32$ 이때 $c>0$이므로 $c=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\overline{AB}=\\overline{AE}+\\overline{BE}=2\\sqrt{2}+3\\sqrt{2}=5\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{BC}=\\overline{BF}+\\overline{CF}=3\\sqrt{2}+4\\sqrt{2}=7\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\overline{AB}+\\overline{BC}=5\\sqrt{2}+7\\sqrt{2}=12\\sqrt{2} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{9}<\\sqrt{5a-1}<\\sqrt{33}$을 만족시키는 모든 자연수 $a$ 중에서 가장 큰 수를 $ㅡ,$ 가장 작은 수를 $m$이라 할 때, $\\frac{M}{m}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{9}<\\sqrt{5a-1}<\\sqrt{33}$에서 $9<5a-1<33$ $10<5a<34$ ∴ $2<a<\\frac{34}{5}$ 부등식을 만족시키는 자연수 $a$는 $3$, $4$, $5$, $6$이므로 $M=6$, $m=3$ $∴ $$\\frac{M}{m}$$=\\frac{6}{3}$$=2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$2<\\sqrt{x+1}\\le3$을 만족시키는 자연수 $x$의 개수를 구하여라.", | |
| "answer": "$2<\\sqrt{x+1}\\le3$에서 $\\sqrt{4}<\\sqrt{x+1}\\le\\sqrt{9}$이므로 $4<x+1\\le9$ ∴ $3<x\\le8$ 따라서 부등식을 만족시키는 $자연수 x$는 $4$, $5$, $6$, $7$, $8$의 $5$ 개이다. ." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{60xy}$가 가장 작은 자연수가 될 확률을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{60xy}$가 자연수가 되려면 $60xy$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $60xy=2^2\\times3\\times5\\times xy$이므로 $xy$는 $3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $xy$가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로 $xy=3\\times5\\times1^2=15$ 주사위를 던져서 나오는 모든 경우의 수는 $36$ $xy=15$인 순서쌍 $(x, y)$는 $(3, 5)$, $(5, 3)$이고 그 경우의 수는 $2$ 따라서 $\\sqrt{60xy}$가 가장 작은 자연수가 될 확률은 $\\frac{2}{36}=\\frac{1}{18}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "밑변의 길이가 $(2\\sqrt{5}+a\\sqrt{6})$ $cm$, 높이가 $2\\sqrt{15}$ $cm$인 삼각형의 넓이가 $(10\\sqrt{3}+9\\sqrt{10})$ $cm^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(2\\sqrt{5}+a\\sqrt{6})\\times2\\sqrt{15}=10\\sqrt{3}+9\\sqrt{10}$ $10\\sqrt{3}+3a\\sqrt{10}=10\\sqrt{3}+9\\sqrt{10}$ $3a=9$ $∴ a=3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "반지름의 길이가 각각 $3\\sqrt{5}cm, 3\\sqrt{7}cm$인 두 원의 넓이의 합과 넓이가 같은 원의 반지름의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "구하는 원의 반지름의 길이를 $r cm$$(r>0$)라 하면 $\\pi\\times(3\\sqrt{5})^2+\\pi\\times(3\\sqrt{7})^2$$=\\pi r^2$ $45\\pi+63\\pi$$=\\pi r^2$ $r^2=108$ $∴ r=\\sqrt{108}=6\\sqrt{3}$ 따라서 원의 반지름의 길이는 $6\\sqrt{3} cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r$ $cm$라 하면 $2\\pi r=4\\sqrt{2}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{4\\sqrt{2}\\pi}{2\\pi}$$=2\\sqrt{2}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(2\\sqrt{2})^2\\times2\\sqrt{15}$$=16\\sqrt{15}\\pi (cm^3)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$6a-a\\sqrt{10}+\\sqrt{10}(1+\\sqrt{10})$이 유리수가 되도록 하는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$6a-a\\sqrt{10}+\\sqrt{10}(1+\\sqrt{10})$ $=$$6a-a\\sqrt{10}+\\sqrt{10}+10$ $=$$(6a+10)+(-a+1)\\sqrt{10}$ $-a+1=0$ $∴$ $a=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$5\\sqrt{2}(1+\\sqrt{6})+\\frac{3}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{32}=x\\sqrt{2}+y\\sqrt{3}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $y-x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$5\\sqrt{2}(1+\\sqrt{6})+\\frac{3}{\\sqrt{3}}-\\sqrt{32}$ $=$$5\\sqrt{2}+10\\sqrt{3}+\\sqrt{3}-4\\sqrt{2}$ $=$$\\sqrt{2}+11\\sqrt{3}$ $∴$ $x=1$, $y=11$ $∴$ $y-x$$=11-1$$=10$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 원기둥의 전개도이다. 이 전개도로 만들어지는 원기둥의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "밑면의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $2\\pi r=2\\sqrt{10}\\pi$ $∴$ $r$$=\\frac{2\\sqrt{10}\\pi}{2\\pi}$$=\\sqrt{10}$ 원기둥의 부피는 $\\pi\\times(\\sqrt{10})^2\\times8\\sqrt{7}$$=80\\sqrt{7}\\pi (cm^3)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "자연수 $n$에 대하여 $1<n<40$일 때, $\\sqrt{2n}$이 자연수가 되도록 하는 모든 $n$의 값의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{2\\times n}$이 자연수가 되려면 $2\\times n$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $n$은 $2\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $1<n<40$을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $2\\times1^2=2$, $2\\times2^2=8$, $2\\times3^2=18$, $2\\times4^2=32$이므로 모든 $n$의 값을 합하면 $2+8+18+32=60$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 수를 작은 것부터 순서대로 나열할 때, 세 번째에 오는 수를 구하여라. $1$ $\\frac{\\sqrt{5}}{6}$ $\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}$ $\\frac{2\\sqrt{5}}{6}$ $\\frac{2}{\\sqrt{6}}$", | |
| "answer": "$1=\\frac{6}{6}=\\frac{\\sqrt{36}}{6}$, $\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{30}}{6}$, $\\frac{2\\sqrt{5}}{6}=\\frac{\\sqrt{20}}{6}$, $\\frac{2}{\\sqrt{6}}=\\frac{2\\sqrt{6}}{6}=\\frac{\\sqrt{24}}{6}$이므로 $\\frac{\\sqrt{5}}{6}<\\frac{\\sqrt{20}}{6}<\\frac{\\sqrt{24}}{6}<\\frac{\\sqrt{30}}{6}<\\frac{\\sqrt{36}}{6}$ 작은 것부터 순서대로 나열하면 $\\frac{\\sqrt{5}}{6}$, $\\frac{2\\sqrt{5}}{6}$, $\\frac{2}{\\sqrt{6}}$, $\\frac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}}$, $1$ 따라서 세 번째에 오는 수는 $\\frac{2}{\\sqrt{6}}$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$A=4(k+\\sqrt{5})+6\\sqrt{5}+2k\\sqrt{5}-3$에서 $A$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $k$는 유리수)", | |
| "answer": "$A=$$4k+4\\sqrt{5}+6\\sqrt{5}+2k\\sqrt{5}-3$ $=(4k-3)+(2k+10)\\sqrt{5}$ $A$가 유리수이므로 $2k+10=0$ ∴ $k=-5$ ∴ $A$$=4k-3$$=4\\times(-5)-3$$=-23$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a-b+c-d$의 값을 구하여라. $(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$", | |
| "answer": "$(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+2)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+1)\\rbrace$ $=$$(x^2-4)(x^2-1)$ $=$$x^4-5x^2+4$ $a=0$, $b=-5$, $c=0$, $d=4$이므로 $a-b+c-d$$=0-(-5)+0-4$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\frac{2\\sqrt{3}}{3}(2-5\\sqrt{2})-\\frac{6-2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=a\\sqrt{3}+b\\sqrt{6}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $\\sqrt{ab}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{2\\sqrt{3}}{3}(2-5\\sqrt{2})-\\frac{6-2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$ $=$$\\frac{4\\sqrt{3}}{3}-\\frac{10\\sqrt{6}}{3}-2\\sqrt{3}+\\frac{2\\sqrt{6}}{3}$ $=$$-\\frac{2\\sqrt{3}}{3}-\\frac{8\\sqrt{6}}{3}$ $∴$ $a=-\\frac{2}{3}$, $b=-\\frac{8}{3}$ $∴$ $\\sqrt{ab}$$=\\sqrt{(-\\frac{2}{3})\\times(-\\frac{8}{3})}$$=\\frac{4}{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\frac{11}{2}<\\sqrt{x-3}\\le7$을 만족시키는 자연수 $x$ 중에서 $6$의 배수의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{11}{2}<\\sqrt{x-3}\\le7$에서 $\\sqrt{\\frac{121}{4}}<\\sqrt{x-3}\\le\\sqrt{49}$이므로 $\\frac{121}{4}<x-3\\le49$ $∴$ $\\frac{133}{4}<x\\le52$ 부등식을 만족시키는 $x$는 $34$, $35$, $36$, ···, $52$이고 이 중 $6$의 배수는 $36, $$42, $$48$이다. 따라서 구하는 합은 $36+42+48$$=126$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$A=10(k+\\sqrt{3})+5\\sqrt{3}-3k\\sqrt{3}-11$에서 $A$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $k$는 유리수)", | |
| "answer": "$A=10 k+10 \\sqrt{3}+5 \\sqrt{3}-3 k \\sqrt{3}-11 $ $=$$(10k-11)+(-3k+15)\\sqrt{3}$ $A$가 유리수이므로 $-3k+15=0$ $∴ $$k=5$ $∴$ $A$$=10k-11$$=10\\times5-11$$=39$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 A, B, C의 넓이를 $2$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 A의 넓이가 $5$이고 세 점 $P$, $Q$, $R$에 대응하는 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때, $p+q-r$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c(0<a<b<c)$라 하면 $a^2=5$에서 $a=\\sqrt{5}$ $b^2=5\\times2=10$에서 $b=\\sqrt{10}$ $c^2=10\\times2=20$에서 $c=2\\sqrt{5}$ $p=\\sqrt{5}$,$q=\\sqrt{5}+\\sqrt{10}$, $r=\\sqrt{5}+\\sqrt{10}+2\\sqrt{5}$이므로 $p+q-r=\\sqrt{5}+(\\sqrt{5}+\\sqrt{10})-(\\sqrt{5}+\\sqrt{10}+2\\sqrt{5})$ $=$$-\\sqrt{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $4\\sqrt{11} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{11}$$=2\\sqrt{11} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(4\\sqrt{11})^2-(2\\sqrt{11})^2$$=132$ (cm) $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{132}$$=2\\sqrt{33} (cm)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{11}\\times2\\sqrt{33}$$=44\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{(3a-2)^2}=7$을 만족시키는 모든 $a$의 값의 곱을 구하여라.", | |
| "answer": "(ⅰ)$3a-2\\ge0$, 즉 $a\\ge\\frac{2}{3}$일 때, $\\sqrt{(3a-2)^2}=3a-2=7$ $3a=9$ $∴$$a=3$ $(ⅱ)$ $3a-2<0$, 즉 $a<\\frac{2}{3}$일 때, $\\sqrt{(3a-2)^2}=-(3a-2)=-3a+2=7$ $-3a=5$ $∴$$a=-\\frac{5}{3}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=3$ 또는 $a=-\\frac{5}{3}$이므로 구하는 곱은 $3$$\\times$$(-\\frac{5}{3})$=$-5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{126a}=b\\sqrt{7}$을 만족시키는 자연수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값 중 가장 작은 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$a+b$의 값이 가장 작으려면 $a$, $b$의 값이 모두 가장 작아야 한다. $\\sqrt{126a}=\\sqrt{2\\times3^2\\times7\\times a}=b\\sqrt{7}$에서 $a=2\\times(자연수)^2$의 꼴이어야 하므로 가장 작은 $a$의 값은 $2\\times1^2=2$ $\\sqrt{2\\times3^2\\times7\\times a}=\\sqrt{2\\times3^2\\times7\\times2}=6\\sqrt{7}$이므로 가장 작은 $b$의 값은 $6$이다. 따라서 $a+b$의 값 중 가장 작은 값은 $2+6=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "가로의 길이가 $\\sqrt{48} cm$, 세로의 길이가 $\\sqrt{12} cm$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 한 $변$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "직사각형의 넓이는 $\\sqrt{48}\\times\\sqrt{12}$$=4\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}$$=24$ $(cm^2)\\\\$ 구하는 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x^2=24$ $x>0$이므로 $x$$=\\sqrt{24}$$=2\\sqrt{6}$ 따라서 한 변의 길이는 $2\\sqrt{6} cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 수직선 위에 직사각형 $ABCD$를 그리고, 직사각형 $ABCD$와 두 점 $C$,$ D$에서 접하는 반원 $O$를 그렸다. $\\overline{AD}=4$일 때, 두 점 $P$, $Q$의 좌표를 각각 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$에서 $\\overline{OD}$$=\\sqrt{5^2+4^2}$$=\\sqrt{41}$ $\\overline{OP}$$=\\overline{OQ}$$=\\overline{OD}=\\sqrt{41}$이므로 $P(3-\\sqrt{41})$, $Q(3+\\sqrt{41})$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 수직선 위에 정사각형 $A$, $B$, $C$의 넓이를 $3$ 배씩 늘여 차례대로 그린 것이다. 정사각형 $A$의 넓이가 $5$이고 세 점 $P, Q, R$에 대응하는 수를 각각 $p,q,r$라 할 때, $p-q+r$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "세 정사각형의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, $c(0<a<b<c$)라 하면 $a^2=5$에서 $a=\\sqrt{5}$ $b^2=5\\times3=15$에서 $b=\\sqrt{15}$ $c^2=15\\times3=45$에서 $c=3\\sqrt{5}$ $p=\\sqrt{5}$, $q=\\sqrt{5}+\\sqrt{15}$, $r=\\sqrt{5}+\\sqrt{15}+3\\sqrt{5}$이므로 $p-q+r=\\sqrt{5}-(\\sqrt{5}+\\sqrt{15})+(\\sqrt{5}+\\sqrt{15}+3\\sqrt{5})$ $=$$4\\sqrt{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "식 $(2a-b)^2-(a-3b)^2$을 인수분해하여라.", | |
| "answer": "$2a-b=A$, $a-3b=B$로 놓으면 $(2a-b)^2-(a-3b)^2$ $=$$A^2-B^2$ $=$$(A+B)(A-B)$ $=$$(2a-b+a-3b)\\lbrace2a-b-(a-3b)\\rbrace$ $=$$(3a-4b)(a+2b)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{(5\\sqrt{5}-10)^2}-\\sqrt{(4-2\\sqrt{5})^2}=x+y\\sqrt{5}$일 때, 유리수 $x$, $y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$5\\sqrt{5}-10=\\sqrt{125}-\\sqrt{100}>0$, $4-2\\sqrt{5}=\\sqrt{16}-\\sqrt{20}<0$이므로 $\\sqrt{(5\\sqrt{5}-10)^2}-\\sqrt{(4-2\\sqrt{5})^2}$ $=$$(5\\sqrt{5}-10)-\\lbrace-(4-2\\sqrt{5})\\rbrace$ $=$$5\\sqrt{5}-10+4-2\\sqrt{5}$ $=$$-6+3\\sqrt{5}$ $x=-6$, $y=3$이므로 $x+y$$=-6+3$$=-3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$-(3x-y)(5x+2y)+2(x-3y)(3y+x)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$-(3x-y)(5x+2y)+2(x-3y)(3y+x)$ $=$$-15x^2-xy+2y^2+2x^2-18y^2$ $=$$-13x^2-xy-16y^2$ $x^2$의 계수는 $-13$이므로 $a=-13$ $y^2$의 계수는 $-16$이므로 $b=-16$ $∴$ $a-b$$=(-13)-(-16)$$=3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 수를 작은 것부터 순서대로 나열할 때, 세 번째에 오는 수를 구하여라. $\\frac{2\\sqrt{2}}{5}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}$ $\\frac{2}{5}$ $\\frac{4}{\\sqrt{5}}$ $1$", | |
| "answer": "$\\frac{2\\sqrt{2}}{5}=\\frac{\\sqrt{8}}{5}$, $\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}=\\frac{\\sqrt{10}}{5}$, $\\frac{2}{5}=\\frac{\\sqrt{4}}{5}$, $\\frac{4}{\\sqrt{5}}=\\frac{4\\sqrt{5}}{5}=\\frac{\\sqrt{80}}{5}$, $1=\\frac{5}{5}=\\frac{\\sqrt{25}}{5}$이므로 $\\frac{\\sqrt{4}}{5}<\\frac{\\sqrt{8}}{5}<\\frac{\\sqrt{10}}{5}<\\frac{\\sqrt{25}}{5}<\\frac{\\sqrt{80}}{5}$ 작은 것부터 순서대로 나열하면 $\\frac{2}{5}$, $\\frac{2\\sqrt{2}}{5}$, $\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}$, $1$, $\\frac{4}{\\sqrt{5}}$ 따라서 세 번째에 오는 수는 $\\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{5}}$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$64$의 제곱근을 $a$, $\\sqrt{625}$의 제곱근을 $b$라 할 때, $a-b$의 최댓값을 구하여라.", | |
| "answer": "$64$의 제곱근은 $\\pm8$이므로 $a=\\pm8$ $\\sqrt{625}$$=25$의 제곱근은 $\\pm5$이므로 $b=\\pm5$ $a-b$가 최댓값을 가지려면 $a$는 양수, $b$는 음수여야 한다. 따라서 $a-b=8-(-5)=13$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 수 $A$, $B$가 다음과 같을 때, $A+B$의 값을 구하여라. $A=(\\sqrt{3}-2)(3\\sqrt{3}+1)$, $B=(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})^2$", | |
| "answer": "$A$$=(\\sqrt{3}-2)(3\\sqrt{3}+1)$$=9-5\\sqrt{3}-2$$=7-5\\sqrt{3}$ $B$$=(\\sqrt{6}-\\sqrt{2})^2$$=6-4\\sqrt{3}+2$$=8-4\\sqrt{3}$ $∴$ $A+B$$=(7-5\\sqrt{3})+(8-4\\sqrt{3})$$=15-9\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x-1}}-\\frac{1}{\\sqrt{x}}$일 때, $f(3)+f(4)+···+f(72)$$=a\\sqrt{2}$를 만족시키는 유리수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$f(3)+f(4)+ ··· +f(72)$ $=$$(\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{1}{\\sqrt{3}})+(\\frac{1}{\\sqrt{3}}-\\frac{1}{\\sqrt{4}})+(\\frac{1}{\\sqrt{4}}-\\frac{1}{\\sqrt{5}})+ ··· $ $ +(\\frac{1}{\\sqrt{71}}-\\frac{1}{\\sqrt{72}})$ $=$$\\frac{1}{\\sqrt{2}}-\\frac{1}{\\sqrt{72}}$$=$$\\frac{\\sqrt{2}}{2}-\\frac{\\sqrt{2}}{12}$ $=$$\\frac{5\\sqrt{2}}{12}$ 따라서 $a\\sqrt{2}=\\frac{5\\sqrt{2}}{12}$이므로 $a=\\frac{5}{12}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "세 자연수 $x$, $y$, $z$에 대하여 $\\sqrt{80x}+\\sqrt{99y}=z$일 때, $x+y+z$의 값을 구하여라. (단, $0<x<10$, $10<y<20$)", | |
| "answer": "$\\sqrt{80x}+\\sqrt{99y}$가 자연수 $z$이려면 $\\sqrt{80x}$, $\\sqrt{99y}$는 모두 자연수여야 한다. $\\sqrt{80x}$가 자연수가 되려면 $80x$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $80x=2^4\\times5\\times x$이므로 $x$는 $5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $0<x<10$이므로 $x$$=5\\times1^2$$=5$ 또, $\\sqrt{99y}$가 자연수가 되려면 $99y$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하고, $99y=3^2\\times11\\times y$이므로 $y$는 $11\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $10<y<20$이므로 $y$$=11\\times1^2$$=11$ $∴$ $z=\\sqrt{80x}+\\sqrt{99y}=\\sqrt{80\\times5}+\\sqrt{99\\times11}=20+33=53$ $∴$ $x+y+z$$=5+11+53$$=69$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 겉넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "주어진 직육면체의 겉넓이를 구하면 $2\\lbrace2\\sqrt{7}(\\sqrt{7}+\\sqrt{5})+2\\sqrt{7}\\times3\\sqrt{5}+3\\sqrt{5}(\\sqrt{7}+\\sqrt{5})\\rbrace$ $=$$2(14+2\\sqrt{35}+6\\sqrt{35}+3\\sqrt{35}+15)$ $=$$2(29+11\\sqrt{35})$ $=$$58+22\\sqrt{35}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $6\\sqrt{10} cm$인 정삼각형 $ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{CH}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{10}$$=3\\sqrt{10} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}^2$$=(6\\sqrt{10})^2-(3\\sqrt{10})^2$$=270(cm)$ $\\overline{AH}>0$이므로 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{270}$$=3\\sqrt{30} (cm)$ $∴$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{10}\\times3\\sqrt{30}$$=90\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x+a)(x+3a-6)$이 완전제곱식이 되도록 하는 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "완전제곱식이 되려면 두 일차식이 서로 같아야 하므로 $a=3a-6$ $∴ a=3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$A=2(3k-\\sqrt{5})-6\\sqrt{5}+k\\sqrt{5}-1$에서 $A$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $k$는 유리수)", | |
| "answer": "$A=6k-2\\sqrt{5}-6\\sqrt{5}-1$ $=$$(6k-1)+(k-8)\\sqrt{5}$ $A$가 유리수이므로 $k-8=0$ ∴ $k=8$ ∴ $A$$=6k-1$$=6\\times8-1$$=47$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$인 정사각형이다. $\\overline{AB}=\\overline{AP}$, $\\overline{AC}=\\overline{AQ}$이고, 점 $P$에 대응하는 수를 $a$, 점 $Q$에 대응하는 수를 $b$라고 할 때, $2a+3b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB}=\\sqrt{2^2+3^2}$$=\\sqrt{13}$ $\\overline{AC}=\\sqrt{2^2+2^2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\overline{AP}$$=\\overline{AB}=\\sqrt{13}$이므로 $a=4+\\sqrt{13}$ $\\overline{AQ}$$=\\overline{AC}=2\\sqrt{2}$이므로 $b=4-2\\sqrt{2}$ $∴$ $2a+3b=2(4+\\sqrt{13})+3(4-2\\sqrt{2})$ $=$$8+2\\sqrt{13}+12-6\\sqrt{2}$$=$$20-6\\sqrt{2}+2\\sqrt{13}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sqrt{3}\\times\\sqrt{6}\\times\\sqrt{9}\\times\\sqrt{12}\\times\\sqrt{15}\\times\\sqrt{18}=a\\sqrt{b}$일 때, $a-60b$의 값을 구하여라. (단, $a$는 자연수, $b$는 가장 작은 자연수)", | |
| "answer": "$\\sqrt{3}\\times\\sqrt{6}\\times\\sqrt{9}\\times\\sqrt{12}\\times\\sqrt{15}\\times\\sqrt{18}$ $=$$\\sqrt{3\\times6\\times9\\times12\\times15\\times18}$ $=$$\\sqrt{3\\times(2\\times3)\\times3^2\\times(2^2\\times3)\\times(3\\times5)\\times(2\\times3^2)}$ $=$$\\sqrt{2^4\\times3^8\\times5}$ $=$$\\sqrt{(2^2\\times3^4)^2\\times5}$ $=$$\\sqrt{324^2\\times5}$ $=$$324\\sqrt{5}$ $a=324$, $b=5$이므로 $a-60b$$=324-60\\times5$$=24$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "어느 마을에서 다음 그림과 같이 산책로를 꾸미려고 한다. 산책로는 한 변의 길이가 $48m$인 정사각형에 네 변의 중점을 연결한 정사각형을 연속해서 세 번 그린 모양이다. 색칠한 부분의 둘레를 따라 울타리를 설치한다고 할 때, 울타리 둘레의 길이의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "네 변의 중점을 $1$ 번 연결하여 만든 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 $\\frac{1}{2}$이므로 $48\\times48\\times\\frac{1}{2}$$=1152 (m^2)$ 직각삼각형 $㉠$의 빗변의 길이는 $\\sqrt{1152}$$=24\\sqrt{2} (m)$이고 직각을 낀 두 변의 길이는 모두 $24 m$이므로 직각삼각형 $㉠$의 둘레의 길이는 $24+24+24\\sqrt{2}=48+24\\sqrt{2} (m)$ 같은 방법으로 구하면 직각삼각형 $㉢$의 둘레의 길이는 $(48+24\\sqrt{2}) m$이다. 네 변의 중점을 $3$ 번 연결하여 만든 정사각형 $㉡$의 넓이는 $48\\times48\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\frac{1}{2}=288 (m^2)$이므로 한 변의 길이는 $\\sqrt{288}=12\\sqrt{2} (m)$ 정사각형 $㉡$의 둘레의 길이는 $12\\sqrt{2}\\times4$$=48\\sqrt{2} (m)$ 따라서 울타리의 둘레의 길이의 합은 $(48+24\\sqrt{2})\\times2+48\\sqrt{2}=96+96\\sqrt{2} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체의 부피가 $108\\sqrt{3}$일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "직육면체의 세로의 길이를 $x$라 하면 $3\\sqrt{3}\\times x\\times4\\sqrt{3}=108\\sqrt{3}$ $36x=108\\sqrt{3}$ $∴ x=3\\sqrt{3}$ 모든 모서리의 길이의 합은 $4(3\\sqrt{3}+3\\sqrt{3}+4\\sqrt{3})=4\\times10\\sqrt{3}$ $=40\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "식 $(x+3)(x+4)(x-2)(x-3)$을 전개하여라.", | |
| "answer": "$(x+3)(x+4)(x-2)(x-3)$ $=$$\\lbrace(x+3)(x-2)\\rbrace\\lbrace(x+4)(x-3)\\rbrace$ $=$$(x^2+x-6)(x^2+x-12)$ $x^2+x=A$로 놓으면 $(x^2+x-6)(x^2+x-12)$ $=$$(A-6)(A-12)$ $=$$A^2-18A+72$ $=$$(x^2+x)^2-18(x^2+x)+72$ $=$$x^4+2x^3+x^2-18x^2-18x+72$ $=$$x^4+2x^3-17x^2-18x+72$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)=3^x-1$일 때, 수 $x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)$ $=$$(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)$ $=$$(3^4-1)(3^4+1)$ $=$$3^8-1$ $∴ x=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$4x+a$에 $2x-3$을 곱해야 하는데 $3x-2$를 곱했더니 $12x^2+7x-10$이 되었다. 이때 바르게 계산한 식을 구하여라. (단, $a$는 수)", | |
| "answer": "$(4x+a)(3x-2)$$=12x^2+(3a-8)x-2a$$=12x^2+7x-10$이므로 $2a=10$ $ \\therefore a=5$ 바르게 계산한 식은 $(4x+5)(2x-3)$$=8x^2-2x-15$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)$의 전개식에서 $x$의 계수와 상수항의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x-3)(x-1)(x+3)(x+5)$ $=$$\\lbrace(x-3)(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+3)\\rbrace$ $=$$(x^2+2x-15)(x^2+2x-3)$ $x^2+2x=A$로 놓으면 $(x^2+2x-15)(x^2+2x-3)$ $=$$(A-15)(A-3)$ $=$$A^2-18A+45$ $=$$(x^2+2x)^2-18(x^2+2x)+45$ $=$$x^4+4x^3+4x^2-18x^2-36x+45$ $=$$x^4+4x^3-14x^2-36x+45$ $x$의 계수는 $-36$, 상수항은 $45$이므로 $x$의 계수와 상수항의 합은 $-36+45$$=9$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x-\\frac{1}{3})(x+\\frac{1}{3})(x^2+\\frac{1}{9})=x^a-b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x-\\frac{1}{3})(x+\\frac{1}{3})(x^2+\\frac{1}{9})$ $=$$(x^2-\\frac{1}{9})(x^2+\\frac{1}{9})$ $=$$x^4-\\frac{1}{81}$ $a=4$, $b=\\frac{1}{81}$이므로 $ab$$=4\\times\\frac{1}{81}$$=\\frac{4}{81}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$ax^2-\\frac{4}{9}=(bx+\\frac{2}{3})(2x+c)$일 때, $a-b+3c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수)", | |
| "answer": "$ax^2-\\frac{4}{9}=(bx+\\frac{2}{3})(2x+c)=2bx^2+(bc+\\frac{4}{3})x+\\frac{2}{3}c$ $-\\frac{4}{9}=\\frac{2}{3}c$이므로 $c=-\\frac{2}{3}$ $0=bc+\\frac{4}{3}$이므로 $0=-\\frac{2}{3}b+\\frac{4}{3}$에서 $b=2$ $a=2b$이므로 $a=2\\times2=4$ $∴$ $a-b+3c=4-2+3\\times(-\\frac{2}{3})=0$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 세 원의 중심이 한 직선 위에 있을 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "가장 큰 원의 지름은 $8x+10y$이므로 반지름은 $4x+5y$이다. 가장 큰 원의 넓이는 $\\pi\\times(4x+5y)^2$$=16\\pi x^2+40\\pi xy+25\\pi y^2$ 반지름이 $4x$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(4x)^2$$=16\\pi x^2$ 반지름이 $5y$인 원의 넓이는 $\\pi\\times(5y)^2$$=25\\pi y^2$ $∴ (색칠한 부분의 넓이)$$=16\\pi x^2+40\\pi xy+25\\pi y^2-16\\pi x^2-25\\pi y^2$ $=40\\pi xy$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 등식에서 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a-b-c+d$의 값을 구하여라. $\\\\$$(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$", | |
| "answer": "$(x-3)(x-2)(x+2)(x+3)$ $=$$\\lbrace(x-3)(x+3)\\rbrace\\lbrace(x-2)(x+2)\\rbrace$ $=$$(x^2-9)(x^2-4)$ $=$$x^4-13x^2+36$ $a=0$, $b=-13$, $c=0$, $d=36$이므로 $a-b-c+d$$=0-(-13)-0+36$$=49$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$4.5\\le\\sqrt{n}<6$을 만족시키는 자연수 $n$의 값 중에서 가장 큰 수를 $a$, 가장 작은 수를 $b$라 할 때, $\\sqrt{\\frac{a}{b}\\times c}$가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $c$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$4.5\\le\\sqrt{n}<6$에서 $\\sqrt{20.25}\\le\\sqrt{n}<\\sqrt{36}$이므로 $20.25\\le n<36$ 부등식을 만족시키는 자연수 $n$은 $21$, $22$, $23$, ···, $34$, $35$이므로 $a=35$, $b=21$ $\\sqrt{\\frac{a}{b}\\times c}$$=\\sqrt{\\frac{35}{21}\\times c}$$=\\sqrt{\\frac{5}{3}c}$가 자연수가 되려면 $\\frac{5}{3}c$는 자연수의 제곱이어야 한다. $\\frac{5}{3}c$가 자연수이므로 $c$는 $3$의 배수여야 하고, $\\frac{5}{3}c$가 자연수의 제곱이려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $c$는 $3\\times5\\times(자연수)^2$꼴이어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 $c$의 값은 $3\\times5\\times1^2$$=15$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $2a^2+5ab-12b^2$이고, 가로의 길이가 $a+4b$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=2a^2+5ab-12b^2$$=(a+4b)(2a-3b)$ 직사각형의 가로의 길이가 $a+4b$이므로 세로의 길이는 $2a-3b$이다. $\\therefore (직사각형의 둘레의 길이) = 2\\lbrace(a+4b) + (2a-3b)\\rbrace = 2(3a+b) = 6a+2b$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "어떤 마름모의 한 대각선의 길이가 $2x+5$, 다른 한 대각선의 길이가 $12x+a$, 넓이가 $12x^2+bx+\\frac{15}{2}$이다. 이때 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}(2x+5)(12x+a)$$=12x^2+(a+30)x+\\frac{5}{2}a$$=12x^2+bx+\\frac{15}{2}$ 이므로 $a+30=b$, $\\frac{5}{2}a=\\frac{15}{2}$ $∴$ $a=3$, $b=33$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "밑변의 길이가 $(\\sqrt{5}+a\\sqrt{15})$ $cm$, 높이가 $2\\sqrt{6}$ $cm$인 삼각형의 넓이가 $(4\\sqrt{10}+\\sqrt{30})$ ${cm}^2$일 때, 유리수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}\\times(\\sqrt{5}+a\\sqrt{15})\\times2\\sqrt{6}=4\\sqrt{10}+\\sqrt{30}$ $\\sqrt{30}+3a\\sqrt{10}=4\\sqrt{10}+\\sqrt{30}$ $3a=4$ $∴$ $a=\\frac{4}{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(a+1)(a-9)+24$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$(a+1)(a-9)+24=(a^2-8a-9)+24 = a^2-8a+15$$=$$(a-3)(a-5)$ 두 일차식은 $a-3$, $a-5$이므로 $(a-3)+(a-5)$$=2a-8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(2x+y)^2-2(-x+y)(-x-y)$를 계산하면 $x^2$의 계수는 $a$, $y^2$의 계수는 $b$이다. 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(2x+y)^2-2(-x+y)(-x-y)$ $=$$4x^2+4xy+y^2-(2x^2-2y^2)$ $=$$2x^2+4xy+3y^2$ $x^2$의 계수는 $2$이므로 $a=2$ $y^2$의 계수는 $3$이므로 $b=3$ $∴$ $ab$$=2\\times3$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+10x+1=0$일 때, $x^2-3+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x\\ne0$이므로 $x^2+10x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+10+\\frac{1}{x}$$=0$ ∴ $x+\\frac{1}{x}$$=-10$ ∴ $x^2-3+\\frac{1}{x^2}$=$(x^2+\\frac{1}{x^2})$$-3$ $=(x+\\frac{1}{x})^2 -2 -3$ $=$$(-10)^2-5$$=$$95$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x+\\frac{1}{x}=4$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=4^2-2$$=14$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x=\\sqrt{7}-3$일 때, $x^2+6x+3$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x+3=\\sqrt{7}$이므로 $(x+3)^2=7$ $x^2+6x+9=7$ $x^2+6x=-2$ $∴$ $x^2+6x+3$$=-2+3$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(3+2\\sqrt{2})^{100}(3-2\\sqrt{2})^{100}$을 계산하여라.", | |
| "answer": "$(3+2\\sqrt{2})^{100}(3-2\\sqrt{2})^{100}$ $=$$\\lbrace(3+2\\sqrt{2})(3-2\\sqrt{2})\\rbrace^{100}$ $=$$(9-8)^{100}$ $=$$1^{100}$ $=$$1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)=3^n-1$일 때, 수 $n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)$ $=(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)$ $=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)$ $=(3^8-1)(3^8+1)$ $=3^{16}-1$ $∴ n=16$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "자연수 $n$에 대하여 $10<n<100$일 때, $\\sqrt{11n}$이 자연수가 되도록 하는 모든 $n$의 값의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\sqrt{11\\times n}$이 자연수가 되려면 $11\\times n$의 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $n$은 $11\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $10<n<100$을 만족시키는 자연수 $n$의 값은 $11\\times1^2=11$, $11\\times2^2=44$, $11\\times3^2=99$이므로 모든 $n$의 값을 합하면 $11+44+99=154$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "식 $(x+1)(x-3)(x+4)(x-6)$을 전개하여라.", | |
| "answer": "$(x+1)(x-3)(x+4)(x-6)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x-3)\\rbrace\\lbrace(x+4)(x-6)\\rbrace$ $=$$(x^2-2x-3)(x^2-2x-24)$ $x^2-2x=A$로 놓으면 $(x^2-2x-3)(x^2-2x-24)$ $=$$(A-3)(A-24)$ $=$$A^2-27A+72$ $=$$(x^2-2x)^2-27(x^2-2x)+72$ $=$$x^4-4x^3+4x^2-27x^2+54x+72$ $=$$x^4-4x^3-23x^2+54x+72$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 수 $a$, $b$에 대하여 $a \\bullet b=ab-a-b$, $a \\triangle b=\\frac{5a+2b}{-2a+b}$라 하자. $x=\\sqrt{3}, $$y=2+\\sqrt{3}$일 때, $(x \\bullet y) \\triangle y$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x \\bullet y=\\sqrt{3} \\bullet(2+\\sqrt{3})$ $=\\sqrt{3}(2+\\sqrt{3})-\\sqrt{3}-(2+\\sqrt{3})$ $=2\\sqrt{3}+3-\\sqrt{3}-2-\\sqrt{3}=1$ $∴(x\\bullet y)\\triangle y=1\\triangle (2+\\sqrt{3})$ $=\\frac{5\\times1+2(2+\\sqrt{3})}{-2\\times1+2+\\sqrt{3}}$ $=\\frac{9+2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}=2+3\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$3x^2+11x+6=(x+a)(3x+b)$일 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$3x^2+11x+6$$=(x+3)(3x+2)$ $a=3$, $b=2$이므로 $a-b$$=3-2$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$3x^2-7x-6$을 인수분해하면 $x$의 계수가 자연수인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$3x^2-7x-6$$=(x-3)(3x+2)$ 두 일차식은 $x-3$, $3x+2$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x-3)+(3x+2)$$=4x-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 표의 가로 방향과 세로 방향은 모두 두 다항식의 곱셈을 전개하여 나타낸 것이다. 두 식 $A$, $B$의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$A=(x+5)(2x+7)=2x^2+17x+35$ $B=(x-5)(x+5)=x^2-25$ ∴ $A+B$$=(2x^2+17x+35)+(x^2-25)$$=3x^2+17x+10$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x-y=\\sqrt{2}$, $x+y=3\\sqrt{2}$일 때, $x^2-y^2+2x+1$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-y^2+2x+1=x^2+2x+1-y^2=(x+1)^2-y^2=(x+y+1)(x-y+1)=(3\\sqrt{2}+1)(\\sqrt{2}+1)$ $=$$7+4\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x+y=2\\sqrt{7}$, $x^2+y^2=18$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$이므로 $18=(2\\sqrt{7})^2-2xy$ $2xy=10$ $∴ $$xy$$=5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 등식을 만족시키는 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a+b+c+d$의 값을 구하여라. $-3x^2-3x=-3x(x+a)$ $x^2-4x-5=(x+1)(x-b)$ $x^2+x-12=(x-3)(x+c)$ $6x^2-7x-5=(2x+1)(3x+d)$", | |
| "answer": "$-3x^2-3x$$=-3x(x+1)$이므로 $a=1$ $x^2-4x-5$$=(x+1)(x-5)$이므로 $b=5$ $x^2+x-12$$=(x-3)(x+4)$이므로 $c=4$ $6x^2-7x-5$$=(2x+1)(3x-5)$이므로 $d=-5$ $∴$ $a+b+c+d$$=1+5+4+(-5)$$=5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "일차항의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱이 $(x-y)(x-3y)-8y^2$일 때, 이 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x-y)(x-3y)-8y^2$=$(x^2-4xy+3y^2)-8y^2$=$x^2-4xy-5y^2=(x+y)(x-5y)$ 두 일차식은 $x+y$, $x-5y$이므로 $(x+y)+(x-5y)$$=2x-4y$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(ax+y)(3x-y+1)$을 전개한 식에서 $xy$의 계수와 $y^2$의 계수가 같을 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "주어진 식을 전개한 식에서 $xy$항은 $ax\\times(-y)+y\\times3x=-axy+3xy$$=(3-a)xy$이므로 $xy$의 계수는 $3-a$ $y^2$항은 $y\\times(-y)=-y^2$이므로 $y^2$의 계수는 $-1$ 이때 $xy$의 계수와 $y^2$의 계수가 같으므로 $3-a=-1$ $∴ a=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$49x^2-64y^2=(Ax+By)(Ax-By)$일 때, 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$49x^2-64y^2$$=(7x)^2-(8y)^2$$=(7x+8y)(7x-8y)$ $Ax+By=7x+8y$이므로 $A=7$, $B=8$ ∴ $AB$$=7\\times8$$=56$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 다항식 $2x^2-x-3$, $x^2-5x-6$의 공통인 인수를 구하여라.", | |
| "answer": "$2x^2-x-3$$=(x+1)(2x-3)$ $x^2-5x-6$$=(x+1)(x-6)$ 따라서 공통인 인수는 $x+1$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$2x^2+7x+3=(x+m)(2x+n)$일 때, 정수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$2x^2+7x+3$$=(x+3)(2x+1)$ $m=3$, $n=1$이므로 $m+n$$=3+1$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2-12x+35$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-12x+35$$=(x-5)(x-7)$ 두 일차식은 $x-5$, $x-7$이므로 두 일차식의 합은 $(x-5)+(x-7)$$=2x-12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+8x+1=0$일 때, $x^2+\\frac{1}{x^2}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x$$≠$$0$이므로 $x^2+8x+1=0$의 양변을 $x$로 나누면 $x+8+\\frac{1}{x}=0$ $∴$ $x+\\frac{1}{x}=-8$ $∴$ $x^2+\\frac{1}{x^2}$=$(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=(-8)^2-2=62$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$y$에 대한 이차식 $y^2+15y+k$가 $(y+a)(y+b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 차를 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", | |
| "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $15$, 곱은 $k$이다. <table border> <tbody> <tr> <td>합이 $15$인 두 자연수</td> <td>두 자연수의 곱</td> </tr> <tr> <td>$1$, $14$</td> <td>$14$</td> </tr> <tr> <td>$2$, $13$</td> <td>$26$</td> <tr> <td>$3$, $12$</td> <td>$36$</td> </tr> <tr> <td>$4$, $11$</td> <td>$44$</td> </tr> <tr> <td>$5$, $10$</td> <td>$50$</td> </tr> <tr> <td>$6$, $9$</td> <td>$54$</td> </tr> <tr> <td>$7$, $8$</td> <td>$56$</td> </tr> </tr> </tbody> </table> $k$의 최댓값은 $56$, 최솟값은 $14$이므로 $k$의 최댓값과 최솟값의 차는 $56-14=42$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "성재는 색지를 이용하여 다음과 같이 한 변의 길이가 각각 $x cm$, $y cm$인 정사각형 모양의 롤링 페이퍼를 만들었다. 이 두 롤링 페이퍼의 둘레의 길이의 합이 $200 cm$이고 넓이의 차가 $500 cm^2$일 때, 두 롤링 페이퍼의 둘레의 길이의 차를 구하여라. (단, $x>y$)", | |
| "answer": "두 롤링 페이퍼의 둘레의 길이의 합이 $200$ $cm$이므로 $4x+4y=200$ 두 롤링 페이퍼의 넓이의 차가 $500 cm^2$이고 $x>y$이므로 $x^2-y^2=500$ $x^2-y^2=500$에서 $(x+y)(x-y)=500$ $4x+4y$$=4(x+y)$$=200$에서 $x+y=50$이므로 $50(x-y)=500$ $∴$ $x-y=10$ 따라서 두 롤링 페이퍼의 둘레의 길이의 차는 $4x-4y$$=4(x-y)$$=4\\times10$$=40$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x=\\frac{1}{\\sqrt{3}-2}$, $y=\\frac{1}{\\sqrt{3}+2}$일 때, $x^2-y^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}-2}$$=\\frac{\\sqrt{3}+2}{(\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2)}$$=-2-\\sqrt{3}$ $y$$=\\frac{1}{\\sqrt{3}+2}$$=\\frac{\\sqrt{3}-2}{(\\sqrt{3}+2)(\\sqrt{3}-2)}$$=2-\\sqrt{3}$ $x=-2-\\sqrt{3}$, $y=2-\\sqrt{3}$이므로 $x+y=-2\\sqrt{3}$, $x-y=-4$ $ \\therefore x^2-y^2=(x+y)(x-y)=(-2\\sqrt{3})\\times(-4)=8\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 다항식 $x^2y-xy^2$, $2x^2-xy-y^2$의 공통인 인수를 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2y-xy^2$$=xy(x-y)$ $2x^2-xy-y^2$$=(x-y)(2x+y)$ 따라서 공통인 인수는 $x-y$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에 주어진 직사각형을 모두 사용하여 하나의 큰 직사각형을 만들 때, 그 직사각형 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$(큰 직사각형의 넓이)$ $=$$(주어진 직사각형의 넓이의 합)$ $=$$3x^2+4x+1$$=$$(x+1)(3x+1)$ 따라서 큰 직사각형의 둘레의 길이는 $2\\lbrace(x+1)+(3x+1)\\rbrace=8x+4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 다항식 $2x^2-7x+3$, $6x^2+ax+1$이 $bx-1$을 공통인 인수로 가질 때, 정수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$2x^2-7x+3$$=(x-3)(2x-1)$이므로 $b=2$ $6x^2+ax+1=(2x-1)(3x+m)$($m$은 수)으로 놓으면 $6x^2+ax+1=6x^2+(2m-3)x-m$ 즉, $a=2m-3$, $1=-m$이므로 $m=-1$, $a=-5$ $∴$ $b-a$$=2-(-5)$$=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+12xy+36y^2-25$가 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+12xy+36y^2-25$ $=$$(x+6y)^2-5^2$ $=$$(x+6y+5)(x+6y-5)$ 두 일차식은 $x+6y+5$, $x+6y-5$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+6y+5)+(x+6y-5)$$=2x+12y$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x$에 대한 이차식 $x^2+7x+m$이 $(x+a)(x+b)$로 인수분해될 때, $m$의 최솟값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 자연수)", | |
| "answer": "두 자연수 $a$, $b$의 합은 $7$, 곱은 $m$이다. <table border> <tbody> <tr> <td>합이 $7$인 두 자연수</td> <td>두 자연수의 곱</td> </tr> <tr> <td>$1$,$6$</td> <td>$6$</td> </tr> <tr> <td>$2$,$5$</td> <td>$10$</td> </tr> <tr> <td>$3$,$4$</td> <td>$12$</td> </tr> </tbody> </table> 따라서 $m$의 최솟값은 $6$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "식 $(5x-1)^2-(5x-1)(x+3)-2(x+3)^2$을 인수분해하여라.", | |
| "answer": "$5x-1=X$, $x+3=Y$로 놓으면 $(5x-1)^2-(5x-1)(x+3)-2(x+3)^2$ $=$$X^2-XY-2Y^2$ $=$$(X+Y)(X-2Y)$ $=$$(5x-1+x+3)\\lbrace5x-1-2(x+3)\\rbrace$ $=$$(6x+2)(3x-7)$ $=$$2(3x+1)(3x-7)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$5x^2+kx-2$가 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 큰 수를 구하여라.", | |
| "answer": "$5x^2+kx-2$$=(x+m)(5x+n)$($m$, $n$은 정수)라 하면 $(x+m)(5x+n)$$=5x^2+(5m+n)x+mn$이므로 $k=5m+n$, $-2=mn$ 두 수의 곱이 $-2$인 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$은 $(-2, 1)$, $(-1, 2)$, $(1, -2)$, $(2, -1)$이므로 $k$의 값은 $-9$, $-3$, $3$, $9$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 큰 수는 $9$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "곱셈 공식을 이용하여 $\\frac{720^2-9}{723}$를 계산하려고 한다. 다음 물음에 답하여라. (1) $723=A$라 할 때, 위의 식을 $A$를 사용하여 간단히 나타내어라. (2) (1)에서 구한 결과를 이용하여 $\\frac{720^2-9}{723}$를 계산하여라.", | |
| "answer": "(1) $723=A$이므로 $720=A-3$을 대입하면 $\\frac{720^2-9}{723}=\\frac{(A-3)^2-9}{A}=\\frac{A^2-6A+9-9}{A}$ $=$$\\frac{A^2-6A}{A}$$=$$A-6$ (2) $A=723$이므로 $\\frac{720^2-9}{723}=A-6=723-6=717$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 눈의 수를 각각 $x$, $y$라 할 때, $\\sqrt{xy-x-2y+2}$가 자연수가 될 확률을 구하여라.", | |
| "answer": "모든 경우의 수는 $6\\times6=36$ $xy-x-2y+2=x(y-1)-2(y-1)$ $=(x-2)(y-1)$ $\\sqrt{(x-2)(y-1)}$이 자연수가 되려면 $(x-2)(y-1)$이 $(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. 이때 $x$, $y$는 주사위의 눈의 수이므로 $x-2$의 값은 $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$이고 $y-1$의 값은 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$이다. 각 경우에 대하여 $(x-2)(y-1)$이 $(자연수)^2$ 꼴이 되는 순서쌍 $(x, y)$는 다음과 같다. $x-2=1$, $y-1=1$일 때, $(x-2)(y-1)=1=1^2$ $→$ $(3, 2)$ $x-2=1$, $y-1=4$일 때, $(x-2)(y-1)=4=2^2$ $→$ $(3, 5)$ $x-2=2$, $y-1=2$일 때, $(x-2)(y-1)=4=2^2$ $→$ $(4, 3)$ $x-2=3$, $y-1=3$일 때, $(x-2)(y-1)=9=3^2$ $→$ $(5, 4)$ $x-2=4$, $y-1=1$일 때, $(x-2)(y-1)=4=2^2$ $→$ $(6, 2)$ $x-2=4$, $y-1=4$일 때, $(x-2)(y-1)=16=4^2$ $→$ $(6, 5)$ 즉, $\\sqrt{xy-x-2y+2}$가 자연수가 될 경우의 수는 $6$이다. 따라서 구하는 확률은 $\\frac{6}{36}$$=\\frac{1}{6}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다항식 $x^2-5ax+4b$에 다항식 $3ax+b$를 빼면 완전제곱식이 된다고 한다. $a, $$b$가 모두 $100$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", | |
| "answer": "$(x^2-5ax+4b)-(3ax+b)=x^2-8ax+3b$ $=x^2-2\\times x\\times4a+3b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $3b$$=(4a)^2$$=16a^2$ ∴ $b=\\frac{16}{3}a^2$ 따라서 $100$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(3, 48)$의 $1$ 개이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "네 실수 $a$, $b$, $x$, $y$에 대하여 $a-b=5$, $ab=-6$, $x-y=1$, $xy=2$일 때, $(ax+by)(bx+ay)$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(ax+by)(bx+ay)=abx^2+a^2xy+b^2xy+aby^2$ $=$$ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)$ $x^2+y^2$$=(x-y)^2+2xy$$=1^2+2\\times2$$=5$ $a^2+b^2$$=(a-b)^2+2ab$$=5^2+2\\times(-6)$$=13$ 따라서 주어진 식의 값을 구하면 $ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)=(-6)\\times5+2\\times13=-4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하여라. $10^2-20^2+30^2-40^2$", | |
| "answer": "$10^2-20^2+30^2-40^2$ $=$$(10^2-20^2)+(30^2-40^2)$ $=$$(10+20)(10-20)+(30+40)(30-40)$ $=$$30\\times(-10)+70\\times(-10)$ $=$$(-10)\\times(30+70)$ $=$$(-10)\\times100$ $=$$-1000$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 가로의 길이가 $8a$, 세로의 길이가 $10a$인 직사각형 모양의 화단에 폭이 $1$로 일정한 길을 내었을 때, 길을 제외한 화단의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 떨어진 부분을 이동하여 붙이면 길을 제외한 화단의 넓이는 가로의 길이가 $8a-1$, 세로의 길이가 $10a-1$인 직사각형의 넓이와 같으므로 $(길을 제외한 화단의 넓이)=(8a-1)(10a-1)$ $=$$80a^2-18a+1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$3\\times5^3\\times a+18\\times5^3\\times(a-1)$이 어떤 정수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 자연수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$3\\times5^3\\times a+18\\times5^3\\times(a-1)$ $=$$3\\times5^3\\times a+6\\times3\\times5^3\\times(a-1)$ $=$$3\\times5^3\\times\\lbrace a+6(a-1)\\rbrace$ $=$$3\\times5^3\\times(7a-6)$ 주어진 수가 어떤 정수의 제곱이 되려면 모든 소인수의 지수는 짝수여야 하므로 $7a-6$은 $3\\times5\\times(자연수)^2$ 꼴이어야 한다. $7a-6=3\\times5\\times1^2=15$ $∴$ $a=3$ 따라서 가장 작은 자연수 $a$의 값은 $3$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "인수분해 공식을 이용하여 다음 두 수 $x$, $y$의 합을 구하여라. $x=42.5^2+15\\times42.5+7.5^2$ $y=63^2=37^2$", | |
| "answer": "$x=42.5^2+15\\times42.5+7.5^2 =42.5^2+2\\times42.5 \\times7.5+7.5^2 =(42.5+7.5)^2 =50^2~~ =2500$ $y=63^2-37^2 = (63+37)(63-37) = 100 \\times26 =2600$ $∴ x+y$$=2500+2600$$=5100$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "부피가 $(3x^2-3x-36)$ $cm^3$이고 높이가 $3$ $cm$인 직육면체의 가로의 길이는 세로의 길이보다 $7$ $cm$만큼 길다. 이때 직육면체의 가로의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타내어라.", | |
| "answer": "$(직육면체의 부피)$$=3x^2-3x-36$$=3(x+3)(x-4)$ $(cm^3)$ 높이가 $3cm$이므로 밑면의 넓이는 $(x+3)(x-4)$ $cm^2$이다. 가로의 길이는 세로의 길이보다 $7 cm$만큼 길므로 직육면체의 가로의 길이는 $(x+3) cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 밑변의 길이가 $(5a-1) cm$인 삼각형의 넓이가 $(15a^2-23a+4) cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 삼각형의 넓이를 인수분해하여라. (2) 삼각형의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 삼각형의 넓이를 인수분해하면 $15a^2-23a+4$$=(3a-4)(5a-1)$ ($cm^2)\\\\$ (2) $(3a-4)(5a-1)=\\frac{1}{2}\\times(5a-1)\\times(높이)$ $∴$ $(높이)$$=2(3a-4)=6a-8 (cm) $" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 $A$, $B$에 대하여 $AB$를 $8$로 나누었을 때의 나머지를 구하여라. ㈎ $A$를 $8$로 나누었을 때의 나머지는 $5$이다. ㈏ $B$를 $8$로 나누었을 때의 나머지는 $3$이다.", | |
| "answer": "조건 ㈎에서 $A=8a+5$ ($a$는 음이 아닌 정수) 조건 ㈏에서 $B=8b+3$ ($b$는 음이 아닌 정수) $\\therefore AB=(8a+5)(8b+3)$ $=64ab+24a+40b+15$ $=$$8(8ab+3a+5b+1)+7$ 따라서 $AB$를 $8$로 나누었을 때의 나머지는 $7$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x+4)(2x-5)-(x-2)(x+4)$는 $x$의 계수가 $1$인 두 일차식의 곱으로 인수분해된다. 이 두 일차식의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x+4)(2x-5)-(x-2)(x+4)$ $=$$(x+4)\\lbrace(2x-5)-(x-2)\\rbrace$ $=$$(x+4)(x-3)$ 두 일차식은 $x+4$, $x-3$이므로 이 두 일차식의 합은 $(x+4)+(x-3)$$=2x+1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 세 다항식이 모두 완전제곱식이 될 때, $a+b+c$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 수이고 $abc<0$) $x^2-2x+a$ $bx^2-16x+4 $ $9x^2+cx+1$", | |
| "answer": "$x^2-2x+a$ $=x^2-2\\times x\\times1+a$이므로 완전제곱식이 되려면 $a$ $=1^2$$=1$ $bx^2-16x+4$ $=bx^2-2\\times4x\\times2+2^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $b$ $=4^2$ $=16$ $9x^2+cx+1$$=(3x)^2+cx+1^2$이므로 완전제곱식이 되려면 $c$ $=\\pm2\\times3\\times1$ $=\\pm6$ 이때 $abc<0$이고, $a>0$, $b>0$이므로 $c<0$ 따라서 $a=1$, $b=16$, $c=-6$이므로 $a+b+c$ $=1+16+(-6)$ $=11$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x=\\sqrt{5}-3$일 때, $\\sqrt{x^2+14x+49}+\\sqrt{x^2-12x+36}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$2<\\sqrt{5}<3$에서 $-1<\\sqrt{5}-3<0$이므로 $-1<x<0$ 따라서 $x+7>0$, $x-6<0$이므로 $\\sqrt{x^2+14x+49}+\\sqrt{x^2-12x+36}$ $=$$\\sqrt{(x+7)^2}+\\sqrt{(x-6)^2}$ $=$$(x+7)+\\lbrace-(x-6)\\rbrace$ $=$$x+7-x+6$ $=$$13$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "윤서는 $(x+4)(x-7)$을 전개하는데 상수항 $4$를 $A$로 잘못 보아서 $x^2-6x+B$로 전개하였고, 동현이는 $(5x+2)(x-3)$을 전개하는데 $x$의 계수 $5$를 $C$로 잘못 보아서 $Cx^2-10x-6$으로 전개하였다. 이때 수 $B$, $C$, $A$에 대하여 $BC-A$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "윤서가 전개한 식은 $(x+A)(x-7)$$=x^2+(A-7)x-7A$$=x^2-6x+B$ 이므로 $A-7=-6$, $-7A=B$ $∴ A=1$, $B=-7$ 동현이가 전개한 식은 $(Cx+2)(x-3)$$=Cx^2+(-3C+2)x-6$$=Cx^2-10x-6$ 이므로 $-3C+2=-10$ $∴ C=4$ $∴ BC-A$$=(-7)\\times4-1$$=-29$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(x+5)(x-3)$의 전개식에서 $x$의 계수를 $a$, $(3x+2)(3x-2)$의 전개식에서 상수항을 $b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$의 값을 구하여라. (2) $b$의 값을 구하여라. (3) $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $(x+5)(x-3)$$=x^2+2x-15$에서 $x$의 계수는 $2$이므로 $a=2$ (2) $(3x+2)(3x-2)$$=9x^2-4$에서 상수항은 $-4$이므로 $b=-4$ (3) $a-b$$=2-(-4)$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다항식 $6x^2+ax-4$가 $2x+1$로 나누어 떨어질 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$6x^2+ax-4=(2x+1)(3x+m)$$(m은 수)$으로 놓으면 $6x^2+ax-4=6x^2+(2m+3)x+m$ 즉, $a=2m+3$, $-4=m$이므로 $m=-4$, $a=-5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 넓이가 $6a^2+7a-20$이고, 가로의 길이가 $3a-4$인 직사각형의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$(직사각형의 넓이)$$=6a^2+7a-20$$=(2a+5)(3a-4)$ 직사각형의 가로의 길이가 $3a-4$이므로 세로의 길이는 $2a+5$이다. $∴$ $(직사각형의 둘레의 길이)=2\\lbrace (3a-4)+(2a+5)\\rbrace =2(5a+1)$ $=$$10a+2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$ab-4a-b+4=5$를 만족시키는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$를 모두 구하여라.", | |
| "answer": "$ab-4a-b+4$$=a(b-4)-(b-4)$$=(a-1)(b-4)$이므로 $(a-1)(b-4)=5$ <table border> <thead> <tr> <th>$a-1$</th> <th>$1$</th> <th>$5$</th> <th>-$1$</th> <th>-$5$</th> <th>$\\rightarrow$</th> <th>$a$</th> <th>$2$</th> <th>$6$</th> <th>$0$</th> <th>-$4$</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>$b-4$</td> <td>$5$</td> <td>$1$</td> <td>-$5$</td> <td>-$1$</td> <th>$\\rightarrow$</th> <td>$b$</td> <td>$9$</td> <td>$5$</td> <td>-$1$</td> <td>$3$</td> </tr> </tbody> </table> 따라서 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(2, 9)$, $(6, 5)$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x-y=\\sqrt{2}$, $x+y=\\sqrt{3}$일 때, $x^2-y^2+5x-5y$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-y^2+5x-5y=(x+y)(x-y)+5(x-y) =(x-y)(x+y+5) =\\sqrt{2}(\\sqrt{3}+5) =5\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-4x+3=0$의 한 근을 $a$, 이차방정식 $x^2-2x-8=0$의 한 근을 $b$라 할 때, $a^2+b^2-4a-2b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=a$를 $x^2-4x+3=0$에 대입하면 $a^2-4a+3=0$ $∴$ $a^2-4a=-3$ $x=b$를 $x^2-2x-8=0$에 대입하면 $b^2-2b-8=0$ $∴$ $b^2-2b=8$ $∴$ $a^2+b^2-4a-2b=(a^2-4a)+(b^2-2b)$ $=$$-3+8$$=$$5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$-2x^2-12x-18=a(bx+c)^2$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라. (단, $b>0$, $c>0$)", | |
| "answer": "$-2x^2-12x-18$$=-2(x^2+6x+9)$$=-2(x+3)^2$ $a=-2$, $b=1$, $c=3$이므로 $abc$$=(-2)\\times1\\times3$$=-6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-6x+4a=0$의 한 근이 $x=2$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=2$를 $x^2-6x+4a=0$에 대입하면 $2^2-6\\times2+4a=0$ $4a-8=0$ $∴ a=2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+ax+56$$=(x+b)(x+c)$일 때, 수 $a$의 최솟값을 구하여라. (단, $b$, $c$는 정수)", | |
| "answer": "두 정수 $b$, $c$의 합은 $a$, 곱은 $56$이다. <table border> <caption>Title</caption> <tbody> <tr> <td colspan=4>곱이 56인 두정수</td> <td>두 정수의 합</td> </tr> <tr> <td colspan=4>1,56</td> <td>57</td> </tr> <tr> <td colspan=4>2, 28</td> <td>30</td> </tr> <tr> <td colspan=4>4,14</td> <td>18</td> </tr> <tr> <td colspan=4>7,8</td> <td>15</td> </tr> <tr> <td colspan=4>-1,-56</td> <td>-57</td> </tr> <tr> <td colspan=4>-2, - 28</td> <td>-30</td> </tr> <tr> <td colspan=4>-4,-14</td> <td>-18</td> </tr> <tr> <td colspan=4>-7,-8</td> <td>-15</td> </tr> <tr> <td colspan=5></td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </tbody> </table> 따라서 $a$의 최솟값은 $-57$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 두 도형 A, B의 둘레의 길이가 서로 같다. 도형 A의 넓이가 $x^2+8x+a$일 때, 도형 B의 넓이를 구하여라. (단, $a$는 수)", | |
| "answer": "$x^2+8x+a=(x+3)(x+b)(b는 수)$로 놓으면 $x^2+8x+a=x^2+(3+b)x+3b$ 즉, $8=3+b$, $a=3b$이므로 $a=15$, $b=5$ 도형 A의 넓이가 $(x+3)(x+5)$이고, 가로의 길이가 $x+3$이므로 세로의 길이는 $x+5$이다. $(도형 A의 둘레의 길이)$ $=$$2\\lbrace(x+3)+(x+5)\\rbrace$$=$$2(2x+8)$$=$$4x+16$ 도형 B의 둘레의 길이가 $4x+16=4(x+4)$이므로 한 변의 길이는 $x+4$이다. 따라서 도형 B의 넓이는 $(x+4)^2=x^2+8x+16$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$xy=-6$, $x^2y+xy^2+5x+5y=1$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 식 $x^2y+xy^2+5x+5y$를 인수분해하여라. (2) $x+y$의 값을 구하여라. (3) $(x-y)^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $x^2y+xy^2+5x+5y$$=xy(x+y)+5(x+y)$$=(x+y)(xy+5)$ (2) $(x+y)(xy+5)=1$에 $xy=-6$을 대입하면 $(x+y)(-6+5)=1$ $∴ x+y$$=-1$ (3) $(x-y)^2$$=(x+y)^2-4xy$$=(-1)^2-4\\times(-6)$$=25$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $mx^2-4x-3=0$의 근이 $x=\\frac{2\\pm\\sqrt{n}}{3}$일 때, $m-n$의 값을 구하여라. (단, $m$, $n$은 유리수)", | |
| "answer": "$mx^2-4x-3=0$에서 $x=\\frac{-(-4)\\pm\\sqrt{(-4)^2-4\\times m \\times(-3)}}{2\\times m}=\\frac{4\\pm\\sqrt{12m+16}}{2m}$ $=$$\\frac{2\\pm\\sqrt{3m+4}}{m}$ $m=3$, $3m+4=n$이므로 $m=3$, $n=13$ $∴$ $m-n$$=3-13$$=-10$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+(2a+1)x-4=0$의 한 근이 $x=1$이고, $(3b-1)x^2-2x-7=0$의 한 근이 $x=-1$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "$x=1$을 $x^2+(2a+1)x-4=0$에 대입하면 $1^2+(2a+1)\\times1-4=0$ $2a-2=0$ $∴$ $a=1$ $x=-1$을 $(3b-1)x^2-2x-7=0$에 대입하면 $(3b-1)\\times(-1)^2-2\\times(-1)-7=0$ $3b-6=0$ $∴ $ $b=2$ $∴$ $a=1$, $b=2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x+\\frac{1}{x}=3$일 때, $x^4+\\frac{1}{x^4}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+\\frac{1}{x^2}$$=(x+\\frac{1}{x})^2-2$$=3^2-2$$=7$이므로 $x^4+\\frac{1}{x^4}$$=(x^2+\\frac{1}{x^2})^2-2$$=7^2-2$$=47$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "준영이는 $(2x-5)(x+3)$을 전개하는데 $x$의 계수 $2$를 $A$로 잘못 보아서 $Ax^2+16x-15$로 전개하였고, 보미는 $(x-3)(x+5)$를 전개하는데 상수항 $5$를 $B$로 잘못 보아서 $x^2-x+C$로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A+BC$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "준영이가 전개한 식은 $(Ax-5)(x+3)$$=Ax^2+(3A-5)x-15$$=Ax^2+16x-15$ 이므로 $3A-5=16$ $∴ A=7$ 보미가 전개한 식은 $(x-3)(x+B)$$=x^2+(-3+B)x-3B$$=x^2-x+C$ 이므로 $-3+B=-1$, $-3B=C$ $∴ B=2$, $C=-6$ $∴ A+BC$$=7+2\\times(-6)$$=-5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 다항식 $x^2+ax+10$과 $x^2+2x+b$의 공통인 인수가 $x-2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) 다항식 $x^2+ax+10$이 $(x-2)(x+p)$로 인수분해될 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $p$는 수) (2) 다항식 $x^2+2x+b$가 $(x-2)(x+q)$로 인수분해될 때, $b$의 값을 구하여라. (단, $q$는 수) (3) 다항식 $x^2+ax+b$를 인수분해하여라.", | |
| "answer": "(1) $x^2+ax+10$$=(x-2)(x+p)$$=x^2+(-2+p)x-2p$ $10=-2p$이므로 $p=-5$ ∴ $a=-2+p=(-2)+(-5)=-7$ (2) $x^2+2x+b$$=(x-2)(x+q)$$=x^2+(-2+q)x-2q$ $2=-2+q$이므로 $q=4$ ∴ $b=-2q=-2\\times4=-8$ (3) $x^2+ax+b$$=x^2-7x-8$$=(x+1)(x-8)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "윤정이는 $(x-1)(x+3)$을 전개하는데 상수항 $3$을 $A$로 잘못 보아서 $x^2+Bx-4$로 전개하였고, 민호는 $(x+4)(2x+6)$을 전개하는데 $x$의 계수 $2$를 $C$로 잘못 보아서 $Cx^2-10x+24$로 전개하였다. 이때 수 $A$, $B$, $C$에 대하여 $AB+C$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "윤정이가 전개한 식은 $(x-1)(x+A)$$=x^2+(-1+A)x-A$$=x^2+Bx-4$ 이므로 $-1+A=B$, $A=4$ $∴$ $A=4$, $B=3$ 민호가 전개한 식은 $(x+4)(Cx+6)$$=Cx^2+(6+4C)x+24$$=Cx^2-10x+24$ 이므로 $6+4C=-10$ $∴$ $C=-4$ $∴$ $AB+C$$=4\\times3+(-4)$$=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2=2(12-x)$의 두 근을 $p$, $q$라 할 때, $p^2+q^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2=2(12-x)$에서 $x^2=24-2x$ $x^2+2x-24=0$ $(x-4)(x+6)=0$ $∴$ $x=4$ 또는 $x=-6$ $p=4$, $q=-6$이라 하면 $p^2+q^2$$=4^2+(-6)^2$$=52$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\frac{1}{9}x^2-2xy+9y^2-4$를 인수분해하였더니 $(ax-3y+b)(ax+cy-2)$가 되었다. 이때 수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $abc$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{9}x^2-2xy+9y^2-4=(\\frac{1}{3}x-3y)^2-2^2$ $=$$(\\frac{1}{3}x-3y+2)(\\frac{1}{3}x-3y-2)$ 따라서 $a=\\frac{1}{3}$, $b=2$, $c=-3$이므로 $abc$$=\\frac{1}{3}\\times2\\times(-3)$$=-2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+y^2=5$, $xy=2$일 때, $x^3-y^3-x^2y+xy^2$의 값을 구하여라. (단, $x-y>0$)", | |
| "answer": "$x^3-y^3-x^2y+xy^2$ $=$$x^3+xy^2-y^3-x^2y$ $=$$x(x^2+y^2)-y(y^2+x^2)$ $=$$(x^2+y^2)(x-y)$ 이때 $(x-y)^2$$=x^2+y^2-2xy$$=5-4$$=$$1$이고 $x-y>0$이므로 $x-y$$=1$ $\\therefore$$x^3-y^3-x^2y+xy^2=(x^2+y^2)(x-y)$ $=5\\times1$ $=$$5$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+3x-7=0$일 때, $(x-2)(x-1)(x+4)(x+5)$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x-2)(x-1)(x+4)(x+5)$ $=$$\\lbrace(x-2)(x+5)\\rbrace\\lbrace(x-1)(x+4)\\rbrace$ $=$$(x^2+3x-10)(x^2+3x-4)$ 이때 $x^2+3x-7=0$에서 $x^2+3x=7$이므로 $(x^2+3x-10)(x^2+3x-4)$$=(7-10)(7-4)$$=-9$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(3x+1)^2-3(3x+1)(x-2)+2(x-2)^2$이 $(ax+b)(x+c)$로 인수분해될 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+b+c$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$3x+1=A$, $x-2=B$로 놓으면 $(3x+1)^2-3(3x+1)(x-2)+2(x-2)^2$ $=$$A^2-3AB+2B^2$ $=$$(A-B)(A-2B)$ $=$$\\lbrace3x+1-(x-2)\\rbrace\\lbrace3x+1-2(x-2)\\rbrace$ $=$$(2x+3)(x+5)$ $a=2$, $b=3$, $c=5$이므로 $a+b+c$$=2+3+5$$=10$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(a+1)x^2+a(a-5)x-30=0$의 한 근이 $x=5$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=5$를 $(a+1)x^2+a(a-5)x-30=0$에 대입하면 $(a+1)\\times5^2+a(a-5)\\times5-30=0$ $a^2-1=0$ $(a+1)(a-1)=0$ $∴ a=-1$ 또는 $a=1$ $(a+1)x^2+a(a-5)x-30=0$이 $x$에 대한 이차방정식이므로 $a+1\\neq0$ 즉, $a\\neq-1$이므로 $a=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$A=(\\sqrt{5}-6)(\\sqrt{5}+7a)-8\\sqrt{5}$가 유리수일 때, $A$의 값을 구하여라. (단, $a$는 유리수)", | |
| "answer": "$A=(\\sqrt{5}-6)(\\sqrt{5}+7a)-8\\sqrt{5}$ $=$$5+(7a-6)\\sqrt5-42a-8\\sqrt{5}$ $=$$(5-42a)+(7a-14)\\sqrt{5}$ $A$가 유리수이므로 $7a-14=0$ $∴$ $a=2$ $∴$ $A=5-42a=5-42\\times2=-79$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(9x+5)^2-6(9x+5)(x+2)+8(x+2)^2$이 $(ax+b)(5x+c)$로 인수분해될 때, 정수 $a$, $b$, $c$에 대하여 $a+bc$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$9x+5=A$, $x+2=B$로 놓으면 $(9x+5)^2-6(9x+5)(x+2)+8(x+2)^2$ $=$$A^2-6AB+8B^2$ $=$$(A-2B)(A-4B)$ $=$$\\lbrace9x+5-2(x+2)\\rbrace\\lbrace9x+5-4(x+2)\\rbrace$ $=$$(7x+1)(5x-3)$ $a=7$, $b=1$, $c=-3$이므로 $a+bc$$=7+1\\times(-3)$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x-6)(x+2)=0$을 풀어라.", | |
| "answer": "$(x-6)(x+2)=0$에서 $x-6=0$ 또는 $x+2=0$ $∴ x=6$ 또는 $x=-2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x^2+9x-5=0$일 때, $(x+1)(x+2)(x+7)(x+8)$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$(x+1)(x+2)(x+7)(x+8)$ $=$$\\lbrace(x+1)(x+8)\\rbrace\\lbrace(x+2)(x+7)\\rbrace$ $=$$(x^2+9x+8)(x^2+9x+14)$ 이때 $x^2+9x-5=0$에서 $x^2+9x=5$이므로 $(x^2+9x+8)(x^2+9x+14)$$=(5+8)(5+14)$$=247$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$(2x+3)(2x-1)-3x=(ax+b)(cx+d)$일 때, 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $a-b+c-d$의 값을 구하려고 한다. (단, $a<c$) (1) 식 $(2x+3)(2x-1)-3x$를 인수분해하여라. (2) $a-b+c-d$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $(2x+3)(2x-1)-3x = (4x^2+4x-3)-3x= 4x^2+x-3= (4x-3)(x+1)$ (2) $(ax+b)(cx+d)=(4x-3)(x+1)$에서 $a < c$ 이므로 $a=1$, $b=1$, $c=4$, $d=-3$ $\\therefore a-b+c-d=1-1+4-(-3)= 7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$a-\\frac{1}{a}=4$일 때, $a^4+\\frac{1}{a^4}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$a^2+\\frac{1}{a^2}$$=(a-\\frac{1}{a})^2+2$$=4^2+2$$=18$이므로 $a^4+\\frac{1}{a^4}$$=(a^2+\\frac{1}{a^2})^2-2$$=18^2-2$$=322$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-3x-1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $(a+\\frac{1}{a})^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=a$를 $x^2-3x-1=0$에 대입하면 $a^2-3a-1=0$ $a≠0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-3-\\frac{1}{a}=0$ $∴ a-\\frac{1}{a}=3$ $∴ (a+\\frac{1}{a})^2 =(a-\\frac{1}{a})^2+4 =3^2+4=13$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$21\\times22\\times25\\times26+4=N^2$을 만족시키는 자연수 $N$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$21=x$로 놓으면 $21\\times22\\times25\\times26+4$ $=$$x(x+1)(x+4)(x+5)+4$ $=$$\\lbrace x(x+5)\\rbrace\\lbrace(x+1)(x+4)\\rbrace+4$ $=$$(x^2+5x)(x^2+5x+4)+4$ $\\\\$ $x^2+5x=A$로 놓으면 $(x^2+5x)(x^2+5x+4)+4$ $=A(A+4)+4$ $=A^2+4A+4$ $=(A+2)^2$ $=(x^2+5x+2)^2$ $=(21^2+5\\times21+2)^2$ $=548^2$ $N>0$이므로 $N=548$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 ABCD의 꼭짓점 A, 꼭짓점 D에서 변 BC에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AE}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $108 cm^2$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AD}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+6)$ $cm$이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+6)\\rbrace\\times x=108$ $x^2+3x-108=0$ $(x-9)(x+12)=0$ $∴ x=9$ 또는 $x=-12$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $15$ $cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-4x+1=0$의 한 근이 $x=a$일 때, $a+\\frac{1}{a}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=a$를 $x^2-4x+1=0$에 대입하면 $a^2-4a+1=0$ $a≠ 0$이므로 양변을 $a$로 나누면 $a-4+\\frac{1}{a}=0$ $∴a+\\frac{1}{a}=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x(x+3)(x+4)(x+7)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x(x+3)(x+4)(x+7)+k$ $=$$\\lbrace x(x+7)\\rbrace\\lbrace(x+3)(x+4)\\rbrace+k$ $=$$(x^2+7x)(x^2+7x+12)+k$ $x^2+7x=A$로 놓으면 $(x^2+7x)(x^2+7x+12)+k$ $=$$A(A+12)+k$ $=$$A^2+12A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=6^2$$=36$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+ax-6=0$의 한 근이 $x=-3$일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=-3$을 $x^2+ax-6=0$에 대입하면 $(-3)^2+a\\times(-3)-6=0$ $-3a+3=0$ $∴ a=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $3x^2-11x-20=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a-\\frac{1}{3}b$의 값을 구하여라. (단, $a<b$)", | |
| "answer": "$3x^2-11x-20=0$에서 $(x-5)(3x+4)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=-\\frac{4}{3}$ $a<b$이므로 $a=-\\frac{4}{3}$, $b=5$ $∴$ $a-\\frac{1}{3}b$$=-\\frac{4}{3}-\\frac{1}{3}\\times5$$=-3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $-x^2+8x-3=0$을 $(x-a)^2=b$의 꼴로 나타낼 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$-x^2+8x-3=0$에서 $x^2-8x+3=0$ $x^2-8x=-3$ $x^2-8x+16=-3+16$ $∴ (x-4)^2=13$ $a=4$, $b=13$이므로 $b-a$$=13-4$$=9$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 두 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $2x^2+\\frac{1}{2}x-\\frac{15}{4}=0$ $0.8x^2-2.2x+1.5=0$", | |
| "answer": "$2x^2+\\frac{1}{2}x-\\frac{15}{4}=0$의 양변에 $4$를 곱하면 $8x^2+2x-15=0$ $(2x+3)(4x-5)=0$ $∴ x=-\\frac{3}{2}$ 또는 $x=\\frac{5}{4}$ $0.8x^2-2.2x+1.5=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $8x^2-22x+15=0$ $(2x-3)(4x-5)=0$ $∴$ $x=\\frac{3}{2}$ 또는 $x=\\frac{5}{4}$ 따라서 공통인 근은 $x=\\frac{5}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 밑변의 길이가 $(5x+y) cm$인 삼각형의 넓이가 $(10x^2+7xy+y^2) cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. $(1)$ 삼각형의 넓이를 인수분해하여라. $(2)$ 삼각형의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 삼각형의 넓이를 인수분해하면 $10x^2+7xy+y^2$$=(2x+y)(5x+y)$ $(cm^2)$ (2) $(2x+y)(5x+y)=\\frac{1}{2}\\times(5x+y)\\times(높이)$ $∴$ $(높이)$$=2(2x+y)$$=4x+2y (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다항식 $9x^2+7ax+2b$에 다항식 $5ax+b$를 더하면 완전제곱식이 된다고 한다. $a$, $b$가 모두 $50$ 이하의 자연수일 때, 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 구하여라.", | |
| "answer": "$(9x^2+7ax+2b)+(5ax+b)=9x^2+12ax+3b$ $=$$(3x)^2+2\\times3x\\times2a+3b$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $3b$$=(2a)^2$$=4a^2$ $∴ b=\\frac{4}{3}a^2$ 따라서 $50$ 이하의 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a, b)$는 $(3, 12)$, $(6, 48)$의 $2$ 개이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-2ax+a^2-1=0$의 한 근이 $x=6$일 때, 수 $a$의 값을 모두 구하여라.", | |
| "answer": "$x=6$을 $x^2-2ax+a^2-1=0$에 대입하면 $6^2-2a\\times6+a^2-1=0$ $a^2-12a+35=0$ $(a-5)(a-7)=0$ $∴$ $a=5$ 또는 $a=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=6$을 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a-b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=6$을 가지므로 $(x-6)^2=0$ $x^2-12x+36=0$이므로 $a=-12$, $b=36$ $∴ a-b$$=-12-36$$=-48$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-6x+k-2=0$이 중근을 가질 때, $x^2+(k+1)x+32=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", | |
| "answer": "$x^2-6x+k-2=0$이 중근을 가지므로 $k-2=(\\frac{-6}{2})^2$ $\\therefore k=11$ $k=11$을 $x^2+(k+1)x+32=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+12x+32=0$ $(x+4)(x+8)=0$ $\\therefore x=-4$ 또는 $x=-8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x(x-4)(x-5)(x-9)+k$가 완전제곱식이 되도록 하는 수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x(x-4)(x-5)(x-9)+k$ $=$$\\lbrace x(x-9)\\rbrace\\lbrace(x-4)(x-5)\\rbrace+k$ $=$$(x^2-9x)(x^2-9x+20)+k$ $x^2-9x=A$로 놓으면 $(x^2-9x)(x^2-9x+20)+k$ $=$$A(A+20)+k$ $=$$A^2+20A+k$ 이 식이 완전제곱식이 되려면 $k$$=10^2$$=100$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$2x^2+kx-5$가 $x$의 계수가 자연수이고 상수항이 정수인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수를 구하여라.", | |
| "answer": "$2x^2+kx-5$$=(x+m)(2x+n)$($m$, $n$은 정수)라 하면 $(x+m)(2x+n)$$=2x^2+(2m+n)x+mn$이므로 $k=2m+n$, $-5=mn$ 두 수의 곱이 $-5$인 정수 $m$, $n$의 순서쌍 $(m, n)$은 $(-5, 1)$, $(-1, 5)$, $(1, -5)$, $(5, -1)$이므로 $k$의 값은 $-9$, $3$, $-3$, $9$이다. 따라서 정수 $k$의 값 중 가장 작은 수는 $-9$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+ax+b=0$이 중근 $x=-4$를 가질 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "주어진 이차방정식이 중근 $x=-4$를 가지므로 $(x+4)^2=0$ $x^2+8x+16=0$이므로 $a=8$, $b=16$ $∴$ $a+b$$=8+16$$=24$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $4x^2+(3a+1)x-2=0$의 한 근이 $x=-2$이고, $(b+1)x^2-x+3=0$의 한 근이 $x=3$일 때, 수 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "$x=-2$를 $4x^2+(3a+1)x-2=0$에 대입하면 $4\\times(-2)^2+(3a+1)\\times(-2)-2=0$ $-6a+12=0$ $∴$ $a=2$ $x=3$을 $(b+1)x^2-x+3=0$에 대입하면 $(b+1)\\times3^2-3+3=0$ $9b+9=0$ $∴$ $b=-1$ $∴$ $a=2$, $b=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+6x-k-2=0$이 해를 갖도록 하는 가장 작은 정수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+6x-k-2=0$이 해를 가지려면 $6^2-4\\times1\\times(-k-2)\\ge0$ $4k+44\\ge0$ $∴ k\\ge-11$ 따라서 가장 작은 정수 $k$의 값은 $-11$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $6x^2-5x+1=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $6a-2b$의 값을 구하여라. (단, $a<b$)", | |
| "answer": "$6x^2-5x+1=0$에서 $(2x-1)(3x-1)=0$ $\\therefore$ $x=\\frac{1}{2}$ 또는 $x=\\frac{1}{3}$ $a<b$이므로 $a=\\frac{1}{3}$, $b=\\frac{1}{2}$ $\\therefore$ $6a-2b$$=6\\times\\frac{1}{3}-2\\times\\frac{1}{2}$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2=3(x+6)$의 두 근을 $m$, $n$이라 할 때, $(m+n)^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2=3(x+6)$에서 $x^2=3x+18$ $x^2-3x-18=0$ $(x+3)(x-6)=0$ $∴ x=-3$ 또는 $x=6$ $m=-3$$,$ $n=6$이라 하면 $(m+n)^2$$=(-3+6)^2$$=9$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(a-3)x^2+7x+2=0$의 한 근이 $x=-2$일 때, 수 $a$의 값과 다른 한 근을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "$x=-2$를 $(a-3)x^2+7x+2=0$에 대입하여 정리하면 $4a-24=0$ $∴ a=6$ $a=6$을 $(a-3)x^2+7x+2=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+7x+2=0$ $(x+2)(3x+1)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=-\\frac{1}{3}$ 따라서 다른 한 근은 $x=-\\frac{1}{3}$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $6x^2+11x+5=0$을 풀어라.", | |
| "answer": "$6x^2+11x+5=0$에서 $(x+1)(6x+5)=0$ $∴$ $x=-1$ 또는 $x=-\\frac{5}{6}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+6x+k+3=0$이 중근을 가질 때, $x^2+(k-2)x-12=0$의 근을 구하여라. (단, $k$는 수)", | |
| "answer": "$x^2+6x+k+3=0$이 중근을 가지므로 $k+3=(\\frac{6}{2})^2$ $ \\therefore k=6$ $k=6$을 $x^2+(k-2)x-12=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+4x-12=0$ $(x-2)(x+6)=0$ $ \\therefore x=2$ 또는 $x=-6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+4x+k+3=0$이 해를 갖도록 하는 가장 큰 정수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+4x+k+3=0$이 해를 가지려면 $4^2-4\\times1\\times(k+3)\\ge0$ $-4k+4\\ge0$ $∴ k\\le1$ 따라서 가장 큰 정수 $k$의 값은 $1$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "어떤 양수에 그 수보다 $1$이 더 큰 수를 곱해야 하는데 잘못하여 $1$이 더 작은 수를 곱하였더니 $156$이 되었다. 처음에 구하려던 두 수의 곱을 구하여라.", | |
| "answer": "어떤 양수를 $x$라 하면 $x(x-1)=156$ $x^2-x-156=0$ $(x+12)(x-13)=0$ ∴ $x=-12$ 또는 $x=13$ $x>0$이므로 $x=13$ 따라서 처음에 구하려던 두 수 $13$$,$ $14$의 곱은 $13\\times14=182$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=x^2+4x+3$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $p, $$q$이고, $y$축과 만나는 점의 $y$좌표가 $r$일 때, $p+q+r$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y=x^2+4x+3$에 $y=0$을 대입하면 $0=x^2+4x+3$ $(x+1)(x+3)=0$ $∴ x=-1$ 또는 $x=-3$ $∴ p=-1$, $q=-3$ 또는 $p=-3$, $q=-1$ 또, $x=0$을 대입하면 $y=3$ $∴ r=3$ $∴ p+q+r=-1+(-3)+3=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 세 이차방정식의 공통인 근을 구하여라. $x^2-15=-2x $ $x^2+3x-18=0$ $2x^2-x-15=0$", | |
| "answer": "$x^2-15=-2x$에서 $x^2+2x-15=0$ $(x-3)(x+5)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-5$ $x^2+3x-18=0$에서 $(x-3)(x+6)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-6$ $2x^2-x-15=0$에서 $(x-3)(2x+5)=0$ $∴ x=3$ 또는 $x=-\\frac{5}{2}$ 따라서 공통인 근은 $x=3$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $4x^2-10x+3=0$의 근이 $x=\\frac{A\\pm\\sqrt{B}}{4}$일 때, $A+B$의 값을 구하여라. (단, $A$, $B$는 유리수)", | |
| "answer": "$4x^2-10x+3=0$에서 $x=\\frac{-(-10)\\pm\\sqrt{(-10)^2-4\\times4\\times3}}{2\\times4}=\\frac{10\\pm\\sqrt{52}}{8}$ $=$$\\frac{5\\pm\\sqrt{13}}{4}$ $A=5$, $B=13$이므로 $A+B$$=5+13$$=18$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x-2)(2x+1)=(x-1)^2+7$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha+\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", | |
| "answer": "$(x-2)(2x+1)=(x-1)^2+7$에서 $2x^2-3x-2=x^2-2x+8$ $x^2-x-10=0$ $=$$\\frac{-(-1)\\pm\\sqrt{(-1)^2-4\\times1\\times(-10)}}{2\\times1}$$=$$\\frac{1\\pm\\sqrt{41}}{2}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=\\frac{1-\\sqrt{41}}{2}$, $\\beta=\\frac{1+\\sqrt{41}}{2}$ $∴$$\\alpha+\\beta=$$\\frac{1-\\sqrt{41}}{2}+\\frac{1+\\sqrt{41}}{2}$$=$$1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x+3)(x+1)=6(x+1)$을 풀어라.", | |
| "answer": "$(x+3)(x+1)=6(x+1)$에서 $x^2+4x+3=6x+6$ $x^2-2x-3=0$ $(x+1)(x-3)=0$ $\\therefore$ $x=-1$ 또는 $x=3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=24 cm$인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 $\\angle C$의 이등분선이 $\\overline{AB}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ADC$, $\\triangle CDB$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{CD}=\\overline{BC}=x$ $cm$ $\\overline{BD}=\\overline{AB}-\\overline{AD}=\\overline{AC}-\\overline{AD}=24-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$$\\sim$$\\triangle CBD$이므로 $\\overline{AC} : \\overline{CD}=\\overline{BC} : \\overline{BD}$ $24 : x=x : (24-x)$ $24(24-x)=x^2$ $x^2+24x-576=0$ $∴$ $x=-12\\pm12\\sqrt{5}$ $x>0$이므로 $x=-12+12\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $(-12+12\\sqrt{5})$ $cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+kx+1=0$이 중근을 가질 때의 수 $k$의 값 중 작은 값이 이차방정식 $(a-1)x^2-4x+a^2=0$의 한 근일 때, 수 $a$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+kx+1=0$이 중근을 가지려면 $k^2-4\\times1\\times1=0$ $k^2-4=0$ $(k+2)(k-2)=0$ $∴ $$k=-2$ 또는 $k=2$ $(a-1)x^2-4x+a^2=0$의 한 근이 $-2$이므로 $x=-2$를 대입하여 정리하면 $a^2+4a+4=0$ $(a+2)^2=0$ $∴ $$a=-2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$1$부터 $n$까지의 자연수의 합은 $\\frac{n(n+1)}{2}$이다. 합이 $171$이 되려면 $1$부터 얼마까지의 자연수를 더해야 하는지 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{n(n+1)}{2}$$=171$이므로 $n^2+n-342=0$ $(n-18)(n+19)=0$ $∴$ $n=18$ 또는 $n=-19$ $n>0$이므로 $n=18$ 따라서 $1$부터 $18$까지의 자연수를 더해야 한다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(2x+1)^2=x+3$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha+\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", | |
| "answer": "$(2x+1)^2=x+3$에서 $4x^2+4x+1=x+3$ $4x^2+3x-2=0$ $\\therefore x=$$\\frac{-3\\pm\\sqrt{3^2-4\\times4\\times(-2)}}{2\\times4}$$=$$\\frac{-3\\pm\\sqrt{41}}{8}$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=\\frac{-3-\\sqrt{41}}{8}$, $\\beta=\\frac{-3+\\sqrt{41}}{8}$ $\\therefore \\alpha + \\beta=$$\\frac{-3-\\sqrt{41}}{8}+\\frac{-3+\\sqrt{41}}{8}$$=$$-\\frac{3}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 이차함수 $y=ax^2+q$의 그래프이다. 수 $a$, $q$에 대하여 $2a-q$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y=ax^2+q$의 그래프가 점 $(-1, 1)$을 지나므로 $1=a\\times(-1)^2+q$ $∴ 1=a+q ······ ㉠$ 또, 점 $(3, -7)$을 지나므로 $-7=a\\times3^2+q$ $∴ -7=9a+q ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$에 의해 $a=-1$, $q=2$ $∴ 2a-q$$=2\\times(-1)-2$$=-4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $3(x-2)^2-18=0$의 해가 $x=a\\pm\\sqrt{b}$일 때, $b-a$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", | |
| "answer": "$3(x-2)^2-18=0$에서 $(x-2)^2=6$ $x-2=\\pm\\sqrt{6}$ ∴ $x=2\\pm\\sqrt{6}$ $a=2$$,$ $b=6$이므로 $b-a$$=6-2$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x-1)^2=20$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, $a-b$의 값을 구하여라. (단, $a>b$)", | |
| "answer": "$(x-1)^2=20$에서 $x-1=\\pm2\\sqrt{5}$ $∴ x=1\\pm2\\sqrt{5}$ $a>b$이므로 $a=1+2\\sqrt{5}$, $b=1-2\\sqrt{5}$ $∴ a-b$$=(1+2\\sqrt{5})-(1-2\\sqrt{5})$$=4\\sqrt{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+16x+p=0$이 $x=q$를 중근으로 가질 때, 수 $p$, $q$에 대하여 $p-q$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2+16x+p=0$이 중근을 가지므로 $p=(\\frac{16}{2})^2$ $∴$ $p=64$ $x^2+16x+64=0$에서 $(x+8)^2=0$ $∴$ $x=-8$ $∴$ $q=-8$ $∴$ $p-q$$=64-(-8)$$=72$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 사다리꼴 $ABCD$의 꼭짓점 $A$, 꼭짓점 $D$에서 변 $BC$에 내린 수선의 발을 각각 $E$, $F$라 하면 $\\overline{AD}$$=\\overline{AE}$이다. $\\square ABCD$의 넓이가 $30 cm^2$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AD}$$=xcm$ 라 하면 $\\overline{BC}$$=(x+7) cm$ 이므로 $\\frac{1}{2}\\times\\lbrace x+(x+7)\\rbrace\\times x=30$ $2x^2+7x-60=0$ $(x-4)(2x+15)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-\\frac{15}{2}$ $x>0$이므로 $x=4$ 따라서 $\\overline{AD}$의 길이는 $4 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-4x+2k-3=0$의 한 근이 $x=k$일 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=k$를 $x^2-4x+2k-3=0$에 대입하면 $k^2-4k+2k-3=0$ $k^2-2k-3=0$ $(k+1)(k-3)=0$ $∴ k=-1$ 또는 $k=3$ 따라서 음수 $k$의 값은 $-1$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $4\\sqrt{6}$인 정사면체에서 $\\overline{BM}=\\overline{CM}$이고 $\\angle AMD=\\angle x$일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABM$은 $\\angle AMB=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{6})^2-(2\\sqrt{6})^2}$$=\\sqrt{72}$$=6\\sqrt{2}$ $\\overline{DM}=\\overline{AM}=6\\sqrt{2}$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 점 $H$는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{HM}$$=\\frac{1}{3}\\overline{DM}$$=\\frac{1}{3}\\times6\\sqrt{2}$$=2\\sqrt{2}$ $∴ \\cos x$$=\\frac{\\overline{HM}}{\\overline{AM}}$$=\\frac{2\\sqrt{2}}{6\\sqrt{2}}$$=\\frac{1}{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "세로의 길이가 가로의 길이보다 $7$ $cm$ 더 긴 직사각형의 넓이가 $44$ $cm^2$일 때, 가로의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "가로의 길이를 $x cm$라 하면 세로의 길이는 $(x+7) cm$이므로 $x(x+7)=44$ $x^2+7x-44=0$ $(x-4)(x+11)=0$ $∴ x=4$ 또는 $x=-11$ $x>0$이므로 $x=4$ 따라서 가로의 길이는 $4 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "둘레의 길이가 $30$ $cm$인 직사각형의 넓이가 $54$ $cm^2$이다. 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길 때, 가로의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "가로의 길이를 $xcm$라 하면 세로의 길이는 $(15-x)cm$이므로 $x(15-x)=54$ $x^2-15x+54=0$ $(x-6)(x-9)=0$ $∴$ $x=6$ 또는 $x=9$ 가로의 길이가 세로의 길이보다 더 길므로 $x=9$ 따라서 가로의 길이는 $9cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+(5-2a)x+4a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=1$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", | |
| "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+4ax+5-2a=0$ $x=1$을 $x^2+4ax+5-2a=0$에 대입하여 정리하면 $2a+6=0$ $∴$ $a=-3$ 처음 이차방정식은 $x^2+11x-12=0$이므로 $(x-1)(x+12)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=a(x-p)^2+q$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라.(단, $a$,$p$,$q$는 수) (1) $a$,$p$,$q$의 부호를 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=p(x+a)^2-q$의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 위로 볼록한 그래프이므로 $a<0$ 꼭짓점 $(p, q)$가 제$4$사분면 위에 있으므로 $p>0, $$q<0$ (2) $y=p(x+a)^2-q$의 그래프는 $p>0$이므로 아래로 볼록하다. 또, 꼭짓점의 좌표가 $(-a, -q)$이고 $-a>0$, $-q>0$이므로 꼭짓점은 제$1$사분면 위에 있다. 따라서 그래프는 다음 그림과 같이 제$1$사분면과 제$2$사분면을 지난다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $2(x-a)^2=10$의 해가 $x=3\\pm\\sqrt{b}$일 때, $a+b$의 값을 구하여라. (단, $a$, $b$는 유리수)", | |
| "answer": "$2(x-a)^2=10$에서 $(x-a)^2=5$ $x-a=\\pm\\sqrt{5}$ $∴ x=a\\pm\\sqrt{5}$ $a=3$$,$ $b=5$이므로 $a+b$$=3+5$$=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+(7-5a)x+7a=0$의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸어 놓고 이차방정식을 풀었더니 한 근이 $x=1$이었다. 처음 이차방정식의 해를 구하여라. (단, $a$는 수)", | |
| "answer": "주어진 이차방정식의 $x$의 계수와 상수항을 바꾸면 $x^2+7ax+7-5a=0$ $x=1$을 $x^2+7ax+7-5a=0$에 대입하여 정리하면 $2a+8=0$ $∴$ $a=-4$ 처음 이차방정식은 $x^2+27x-28=0$이므로 $(x-1)(x+28)=0$ $∴$ $x=1$ 또는 $x=-28$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x+3)^2=2(x+5)$의 두 근을 $\\alpha$, $\\beta$라 할 때, $\\alpha\\beta$의 값을 구하여라. (단, $\\alpha<\\beta$)", | |
| "answer": "$(x+3)^2=2(x+5)$에서 $x^2+6x+9=2x+10$ $x^2+4x-1=0$ $\\\\$ $∴$ $x=\\frac{-4\\pm\\sqrt{4^2-4\\times1\\times(-1)}}{2\\times1}=\\frac{-4\\pm\\sqrt{20}}{2}$ $=$$-2\\pm\\sqrt{5}$ $\\\\$ $\\alpha<\\beta$이므로 $\\alpha=-2-\\sqrt{5}$, $\\beta=-2+\\sqrt{5}$ $∴$ $\\alpha\\beta$ $=$$(-2-\\sqrt{5})(-2+\\sqrt{5})$$=$$-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 길이가 $8cm$인 선분을 두 부분으로 나누어 각각의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 만들었더니 두 정사각형의 넓이의 합이 $40 cm^2$이었다. 이때 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x$ $cm$라 하면 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(8-x)$ cm이므로 $x^2+(8-x)^2=40$ $x^2-8x+12=0$ $(x-2)(x-6)=0$ ∴ $x=2$ 또는 $x=6$ $0<x<4$이므로 $x=2$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $2$ $cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-10x+k=0$을 완전제곱식을 이용하여 풀었더니 해가 $x=5\\pm\\sqrt{7}$였다. 이때 수 $k$의 값을 구하여라. (단, $k<25$)", | |
| "answer": "$x^2-10x+k=0$에서 $x^2-10x=-k$ $x^2-10x+25=-k+25$ $(x-5)^2=-k+25$ $x-5=\\pm\\sqrt{-k+25}$ $∴ x=5\\pm\\sqrt{-k+25}$ $-k+25=7$이므로 $k=18$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "수정이네 가족은 가족 여행을 $2$ 박 $3$ 일 동안 가기로 했다. $3$ 일간의 날짜를 각각 제곱하여 더했더니 $869$였을 때, 가족 여행의 출발 날짜를 구하여라.", | |
| "answer": "가족 여행 날짜를 $(x-1)$ 일, $x$ 일, $(x+1)$ 일이라 하면 $(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=869$ $x^2-289=0$ $(x+17)(x-17)=0$ $∴ x=-17$ 또는 $x=17$ $x>1$이므로 $x=17$ 따라서 출발 날짜는 $16$ 일이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$$=\\overline{AC}$$=9$ $cm$인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 $\\angle B$의 이등분선이 $\\overline{AC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ABD$, $\\triangle BCD$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=x$ cm라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=\\overline{BC}=x$ cm $\\overline{CD}=\\overline{AC}-\\overline{AD}=\\overline{AB}-\\overline{AD}=9-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$~$\\triangle BCD$이므로 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\overline{BC} : \\overline{CD}$ $9 : x=x : (9-x)$ $9(9-x)=x^2$ $x^2+9x-81=0$ ∴ $x=\\frac{-9\\pm9\\sqrt{5}}{2}$ $x>0$이므로 $x=\\frac{-9+9\\sqrt{5}}{2}$ 따라서 $\\overline{BC}$의 길이는 $\\frac{-9+9\\sqrt{5}}{2}$ cm이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$x$에 대한 이차방정식 $x^2-2kx-2k^2-12k-12=0$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 이차방정식을 $(x+A)^2=B$의 꼴로 나타내어라. (단, $A$, $B$는 $k$에 대한 다항식) (2) $x$에 대한 이차방정식이 중근을 가지도록 하는 수 $k$의 값을 (1)을 이용하여 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $x^2-2kx-2k^2-12k-12=0$ $x^2-2kx+k^2-3k^2-12k-12=0$ $∴ (x-k)^2=3k^2+12k+12$ (2) $(x-k)^2=3k^2+12k+12$가 중근을 가지려면 $(완전제곱식)=0$의 꼴이어야 한다. $3k^2+12k+12=0$에서 $k^2+4k+4=0$ $(k+2)^2=0$ $∴ k=-2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+6x+6=0$을 $(x+a)^2=b$의 꼴로 나타내어 풀었더니 $x=c$ 또는 $x=d$가 근이 되었다. 수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여 $ad+bc$의 값을 구하여라. (단, $c<d$)", | |
| "answer": "$x^2+6x+6=0$에서 $x^2+6x=-6$ $x^2+6x+9=-6+9$ $(x+3)^2=3$ $x+3=\\pm\\sqrt{3}$ $∴$ $x=-3\\pm\\sqrt{3}$ $a=3$, $b=3$이고 $c<d$이므로 $c=-3-\\sqrt{3}$, $d=-3+\\sqrt{3}$ $∴$ $ad+bc$$=3(-3+\\sqrt{3})+3(-3-\\sqrt{3})$$=-18$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $\\frac{1}{2}(x-3)^2=5$의 해 중 일차부등식 $5x+7<9x-17$을 만족시키는 해를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}(x-3)^2=5$에서 $(x-3)^2=10$ $x-3=\\pm\\sqrt{10}$ $∴ x=3\\pm\\sqrt{10}$ $5x+7<9x-17$에서 $-4x<-24$ $∴ x>6$ 따라서 이차방정식의 해 중 $x>6$을 만족시키는 해는 $x=3+\\sqrt{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$$=\\overline{BC}$$=8$ cm인 이등변삼각형 $ABC$에 대하여 $\\angle A$의 이등분선이 $\\overline{BC}$와 만나는 점을 $D$라 할 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$, $\\triangle ABD$, $\\triangle ADC$는 이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}$$=x$ $cm$라 하면 $\\overline{CD}=\\overline{AD}=\\overline{AB}=x$ $cm$ $\\overline{BD}=\\overline{BC}-\\overline{CD}=\\overline{AC}-\\overline{CD}=8-x$ $(cm)$ $\\triangle ABC$$\\backsim$$\\triangle BDA$이므로 $\\overline{CA} : \\overline{AB}=\\overline{AB} : \\overline{BD}$ $8 : x=x : (8-x)$ $8(8-x)=x^2$ $x^2+8x-64=0$ $∴ x=-4\\pm4\\sqrt{5}$ $x>0$이므로 $x=-4+4\\sqrt{5}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $(-4+4\\sqrt{5})cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "밑면의 반지름의 길이가 높이보다 $6 cm$ 더 긴 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $54\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 높이는 $(x-6) cm$이다. 옆넓이가 $54\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times x\\times(x-6)=54\\pi$에서 $2x^2-12x=54$ $x^2-6x-27=0$ $(x+3)(x-9)=0$ $∴ $$x=-3$ 또는 $x=9$ $x>6$이므로 $x=9$ 따라서 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $9 cm$이다. 확인: 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $9 cm$이면 높이는 $3 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times9\\times3=54\\pi$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $4x^2+4x-2=0$의 해가 $x=\\frac{a\\pm\\sqrt{b}}{2}$일 때, 유리수 $a$, $b$에 대하여 $a^2+b^2$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$4x^2+4x-2=0$에서 $x^2+x-\\frac{1}{2}=0$ $x^2+x=\\frac{1}{2}$ $x^2+x+\\frac{1}{4}=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}$ $(x+\\frac{1}{2})^2=\\frac{3}{4}$ $x+\\frac{1}{2}=\\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $ \\therefore x=-\\frac{1}{2}\\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2}=\\frac{-1\\pm\\sqrt{3}}{2}$ $a=-1$, $b=3$이므로 $a^2+b^2$$=(-1)^2+3^2$$=10$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "가로의 길이가 세로의 길이보다 $3$ cm 더 긴 직사각형의 넓이가 $70$ $cm^2$일 때, 세로의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "세로의 길이를 $x$ cm라 하면 가로의 길이는 $(x+3) cm$이므로 $x(x+3)=70$ $x^2+3x-70=0$ $(x-7)(x+10)=0$ $∴ x=7$ 또는 $x=-10$ $x>0$이므로 $x=7$ 따라서 세로의 길이는 $7 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. (단, $n$은 자연수) (2) 바둑돌 $320$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", | |
| "answer": "(1) 1 단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times5=5$ (개) (2) 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times6=12$ (개) (3) 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times7=21$ (개) 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times(n+4)=n^2+4n$ (개) (2) $n^2+4n=320$에서 $n^2+4n-320=0$ $(n-16)(n+20)=0$ $∴$ $n=16$ 또는 $n=-20$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=16$ 따라서 바둑돌 $320$ 개로 이루어진 직사각형은 $16$ 단계이다. 확인 $16$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $16\\times20$$=320$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $0.4x^2-0.3x-1=0$의 두 근을 $a$, $b$라 할 때, 일차방정식 $ax+b=0$의 해를 구하여라. (단, $a<b$)", | |
| "answer": "$0.4x^2-0.3x-1=0$의 양변에 $10$을 곱하면 $4x^2-3x-10=0$ $(4x+5)(x-2)=0$ $∴$ $x=-\\frac{5}{4}$ 또는 $x=2$ 이때 $a<b$이므로 $a=-\\frac{5}{4}$, $b=2$ $ax+b=0$에서 $-\\frac{5}{4}x+2=0$이므로 $x=\\frac{8}{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $\\frac{x^2-4x}{3}-1=0.5(x-6)$의 정수인 근이 이차방정식 $x^2-2x+k=0$의 한 근일 때, 수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{x^2-4x}{3}-1=0.5(x-6)$의 양변에 $6$을 곱하면 $2x^2-8x-6=3x-18$ $2x^2-11x+12=0$ $(x-4)(2x-3)=0$ $∴$ $x=4$ 또는 $x=\\frac{3}{2}$ $x^2-2x+k=0$의 한 근이 $4$이므로 $x=4$를 대입하여 정리하면 $k+8=0$ $∴$ $k=-8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2+(a-1)x-3a=0$의 한 근은 $x=2$이고, 다른 한 근은 이차방정식 $2x^2+(b+2)x-b=0$의 근일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x=2$를 $x^2+(a-1)x-3a=0$에 대입하여 정리하면 $-a+2=0$ $∴ a=2$ $a=2$를 $x^2+(a-1)x-3a=0$에 대입하여 정리하면 $x^2+x-6=0$ $(x-2)(x+3)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=-3$ 따라서 다른 한 근은 $x=-3$이므로 $x=-3$을 $2x^2+(b+2)x-b=0$에 대입하여 정리하면 $-4b+12=0$ $∴ b=3$ $∴ ab$$=2\\times3$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림고 같이 두 이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2$,$y=-x^2$의 그래프 위의 $x$좌표가 $3$인 저을 각각$A$,$B$라 할 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$y=\\frac{1}{3}x^2$에 $x=3$을 대입하면 $y$$=\\frac{1}{3}\\times3^2$$=3$이므로 $A(3, 3)$ $y=-x^2$에 $x=3$을 대입하면 $y$$=-3^2$$=-9$이므로 $B(3, -9)$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $3-(-9)$$=12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $3(x-7)^2=9k$의 해가 모두 정수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$3(x-7)^2=9k$에서 $(x-7)^2=3k$ $x-7=\\pm\\sqrt{3k}$ $∴$ $x=7\\pm\\sqrt{3k}$ 이때 해가 모두 정수가 되려면 $\\sqrt{3k}$가 정수이어야 한다. 즉, $3k$는 $0$ 또는 $(자연수)^2$의 꼴인 수이어야 하므로 $3k$$=0, 1, 4, 9, ···$ $∴$ $k$$=0, \\frac{1}{3}, \\frac{4}{3}, 3, \\cdot$ 따라서 가장 작은 자연수 $k$의 값은 $3$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\sin A+\\cos A$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AC}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2+(\\sqrt{5})^2}=\\sqrt{25}=5$ $\\sin A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}$ $\\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$ ∴ $\\sin A+\\cos A$$=\\frac{\\sqrt{5}}{5}+\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$$=\\frac{3\\sqrt{5}}{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-2kx+2k+8=0$이 중근을 갖도록 하는 모든 $k$의 값이 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 근일 때, $m+n$의 값을 구하여라. (단, $k$, $m$, $n$은 수)", | |
| "answer": "$x^2-2kx+2k+8=0$이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이 되어야 한다. $2k+8=(\\frac{-2k}{2})^2$에서 $2k+8=k^2 k^2-2k-8=0$ $(k+2)(k-4)=0$ $∴ k=-2$ 또는 $k=4$ 따라서 이차방정식 $2x^2+mx+n=0$의 두 근이 $-2$와 $4$이다. $x=-2$를 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $8-2m+n=0 ······ ㉠$ $x=4$를 $2x^2+mx+n=0$에 대입하면 $32+4m+n=0 ······ ㉡$ $㉠$, $㉡$을 연립하여 풀면 $m=-4$, $n=-16$ $∴ m+n$$=(-4)+(-16)$$=-20$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "밑면의 반지름의 길이가 높이보다 $6 cm$ 더 짧은 원기둥이 있다. 이 원기둥의 옆넓이가 $270\\pi cm^2$일 때, 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 $x cm$라 하면 높이는 $(x+6) cm$이다. 옆넓이가 $270\\pi cm^2$이므로 $2\\pi\\times x\\times(x+6)=270\\pi$에서 $2x^2+12x=270$ $x^2+6x-135=0$ $(x-9)(x+15)=0$ ∴ $x=9$ 또는 $x=-15$ $x>0$이므로 $x=9$ 따라서 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 $9 cm$이다. 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $9 cm$이면 높이는 $15 cm$이고, 옆넓이가 $2\\pi\\times9\\times15=270\\pi$ ($cm^2$)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-\\frac{1}{2}x+2=0$의 근의 개수를 $p$ 개, $0.3x^2+0.2x=1$의 근의 개수를 $q$ 개, $x(x+8)=-16$의 근의 개수를 $r$ 개라 할 때, $p-q+r$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-\\frac{1}{2}x+2=0$에서 $2x^2-x+4=0$이므로 $(-1)^2-4\\times2\\times4=-31<0$ $∴ p=0$ $0.3x^2+0.2x=1$에서 $3x^2+2x-10=0$이므로 $2^2-4\\times3\\times(-10)=124>0$ $∴ q=2$ $x(x+8)=-16$에서 $x^2+8x+16=0$이므로 $8^2-4\\times1\\times16=0$ $∴ r=1$ $∴ p-q+r$$=0-2+1$$=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $f(x)=-x^2+ax+5$에서 $f(2)=7$, $f(-1)=b$일 때, 수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$f(2)=7$에서 $-2^2+a\\times2+5=7$ $2a+1=7$ $∴$ $a=3$ $f(-1)=b$에서 $-(-1)^2+3\\times(-1)+5$$=b$ $∴$ $b=1$ $∴$ $a+b$$=3+1$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 각 단계마다 바둑돌의 개수를 늘려가며 직사각형 모양으로 배열한 것이다. 다음 물음에 답하여라. (1) $n$ 단계에서 배열되는 바둑돌의 개수를 $n$을 사용한 식으로 나타내어라. (단, $n$은 자연수) (2) 바둑돌 $300$ 개로 이루어진 직사각형은 몇 단계인지 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", | |
| "answer": "(1) $1$단계의 바둑돌의 개수는 $1\\times3=3$ (개) $2$ 단계의 바둑돌의 개수는 $2\\times5=10$ (개) $3$ 단계의 바둑돌의 개수는 $3\\times7=21$ (개) $⋮$ 따라서 $n$ 단계의 바둑돌의 개수는 $n\\times(2n+1)=2n^2+n$ (개) (2) $2n^2+n=300$에서 $2n^2+n-300=0$ $(n-12)(2n+25)=0$ ∴ $n=12$ 또는 $n=-\\frac{25}{2}$ 이때 $n$은 자연수이므로 $n=12$ 따라서 바둑돌 $300$ 개로 이루어진 직사각형은 $12$ 단계이다. 확인 $12$ 단계이면 바둑돌의 개수가 $12\\times25$$=300$ (개)이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$1$ 인당 입장료가 $2800$ 원인 동물원의 하루 입장객 수는 $1500$ 명이다. $1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장객 수는 $\\frac{1}{2}x$ 명이 줄어들어 결국 입장료에 대한 수입이 같아진다. 이때 $x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$1$ 인당 입장료를 $x$ 원 올리면 입장료는 $(2800+x)$ 원, 입장객 수는 $(1500-\\frac{1}{2}x)$ 명이므로 $(2800+x)(1500-\\frac{1}{2}x)=2800\\times1500$ $x^2-200x=0$ $x(x-200)=0$ $∴ x=0$ 또는 $x=200$ $x>0$이므로 $x=200$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-4x+3a-3=0$의 해가 모두 유리수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 모두 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-4x+3a-3=0$에서 $x=$$\\frac{-(-4)\\pm\\sqrt{(-4)^2-4 \\times 1 \\times (3a-3)}}{2\\times1}$ $x=$$\\frac{4\\pm\\sqrt{-12a+28}}{2}$$=$$2\\pm\\sqrt{-3a+7}$ 이때 $2\\pm\\sqrt{-3a+7}$가 유리수가 되려면 $-3a+7$의 값이 $0$ 또는 자연수의 제곱이어야 한다. $-3a+7=0$에서 $a=\\frac{7}{3}$ $-3a+7=1$에서 $a=2$ $-3a+7=4$에서 $a=1$ 따라서 구하는 자연수 $a$의 값은 $1$$,$ $2$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=ax^2+px+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 수 $a$, $p$, $q$에 대하여 $a+p-q$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(3, 5)$이므로 $y=a(x-3)^2+5$ 이 그래프가 점 $(1, 13)$을 지나므로 $13=a\\times(1-3)^2+5$ $∴ a=2$ $y=2(x-3)^2+5=2x^2-12x+23$이므로 $a=2$, $p=-12$, $q=23$ $∴a+p-q=2+(-12)-23=-33$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(2, -12)$, $(k, -27)$을 지날 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(2, -12)$를 지나므로 $-12=a\\times2^2$ $∴ a=-3$ $y=-3x^2$의 그래프가 점 $(k, -27)$을 지나므로 $-27=-3k^2$ $k^2=9$ $∴ k=\\pm3$ $k$는 음수이므로 $k=-3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $(x-1)(x+3)=4x+5$의 두 근을 $x=a$ 또는 $x=b$라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a<b$) (2) 이차방정식 $3x^2+(a+b)x+ab=0$의 해를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $(x-1)(x+3)=4x+5$에서 $x^2+2x-3=4x+5$ $x^2-2x-8=0$ $(x+2)(x-4)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=4$ $a<b$이므로 $a=-2$$,$ $b=4$ (2) $a=-2$, $b=4$를 $3x^2+(a+b)x+ab=0$에 대입하여 정리하면 $3x^2+2x-8=0$에서 $(x+2)(3x-4)=0$ $∴ x=-2$ 또는 $x=\\frac{4}{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\triangle ABC$의 외접원의 중심 $O$에서 세 변 $AB$, $BC$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. $\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이고 $\\overline{AB}=12 cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{OD}=\\overline{OE}=\\overline{OF}$이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$는 정삼각형이므로 $\\angle BAC=60\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle ADO\\equiv\\triangle AFO(RHS 합동)$이므로 $\\angle DAO=\\angle FAO=\\frac{1}{2}\\times60\\degree=30\\degree$ 이때 $\\overline{AD}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times12$$=6 (cm)$이므로 $\\triangle ADO$에서 $\\overline{OA}=\\frac{6}{\\cos30\\degree}=6\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}=6\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}=4\\sqrt{3} (cm)$ $∴ (원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(4\\sqrt{3})^2$$=48\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 지점 $B$, $C$사이에 다리를 건설하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AB}=6 km, $$\\overline{AC}=8 km, $$\\angle A=60\\degree$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=6\\sin60\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{3} (km)$ $\\overline{AH}=6\\cos60\\degree$$=6\\times\\frac{1}{2}$$=3 (km)$ $\\overline{CH}$$=8-3$$=5$ $(km)$이므로 $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(3\\sqrt{3})^2+5^2}$$=\\sqrt{52}$$=2\\sqrt{13}$$ (km)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=-2(x+3)^2+5$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(-1, 5)$를 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(-2, 8)$을 지난다. 이때 $a+b$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y=-2(x+3-a)^2+5$의 그래프가 점 $(-1, 5)$를 지나므로 $5=-2(-1+3-a)^2+5$ $a^2-4a+4=0$ $(a-2)^2=0$ $∴ a=2$ $y=-2(x+3)^2+5+b$의 그래프가 점 $(-2, 8)$을 지나므로 $8=(-2)\\times(-2+3)^2+5+b$ $∴ b=5$ $∴ a+b=2+5=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "길이가 $64 cm$인 끈을 잘라서 크기가 서로 다른 두 개의 정사각형을 만들었다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $146 cm^2$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 할 때, $x$에 대한 이차방정식을 $x^2+ax+b=0$의 꼴로 나타내어라. (2) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 문제의 뜻에 맞는지 확인하여라.", | |
| "answer": "(1) 작은 정사각형의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 작은 정사각형의 둘레의 길이는 $4x cm$이므로 큰 정사각형의 둘레의 길이는 $(64-4x) cm$이고, 큰 정사각형의 한 변의 길이는 $(16-x) cm$이다. 두 정사각형의 넓이의 합이 $146 cm^2$이므로 $x^2+(16-x)^2=146$에서 $2x^2-32x+256=146$ ∴ $x^2-16x+55=0$ (2) $x^2-16x+55=0$에서 $(x-5)(x-11)=0$ $∴$ $x=5$ 또는 $x=11$ $0 < x < 8$이므로 $x=5$ 따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 $5 cm$이다. 확인 작은 정사각형의 한 변의 길이가 $5 cm$이면 큰 정사각형의 한 변의 길이가 $11 cm$이고, 두 정사각형의 넓이의 합이 $5^2+11^2$=$146(cm^2)$이므로 구한 해는 문제의 뜻에 맞는다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=x^2+4x+m$의 그래프와 $y=-\\frac{1}{2}x^2-2nx+1$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m-n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y$$=x^2+4x+m$$=(x+2)^2+m-4$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-2, m-4)$ $y$$=-\\frac{1}{2}x^2-2nx+1$$=-\\frac{1}{2}(x+2n)^2+2n^2+1$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-2n, 2n^2+1)$ $-2n=-2$, $2n^2+1=m-4$이므로 $m=7$, $n=1$ $∴$ $m-n$$=7-1$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=3(x-p)^2-5p^2$의 그래프의 꼭짓점이 직선 $y=2x-3$ 위에 있을 때, 수 $p$의 값을 구하여라. (단, $p<0$)", | |
| "answer": "$y=3(x-p)^2-5p^2$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(p, -5p^2)$ 점 $(p, -5p^2)$이 직선 $y=2x-3$ 위에 있으므로 $-5p^2=2p-3$ $5p^2+2p-3=0$ $(p+1)(5p-3)=0$ $∴$ $p=-1$ 또는 $p=\\frac{3}{5}$ $p<0$이므로 $p=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 눈높이가 $1.7 m$인 연재가 석상으로부터 $6 m$ 떨어진 곳에 서 있다. 연재가 석상의 꼭대기를 올려다본 각의 크기를 재었더니 $13\\degree$일 때, 석상의 높이를 구하여라. (단, $\\sin13\\degree=0.23$, $\\cos13\\degree=0.97$, $\\tan13\\degree=0.23$으로 계산한다.)", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6\\tan13\\degree$$=6\\times0.23$$=1.38 (m)$ 따라서 석상의 높이는 $1.38+1.7$$=3.08 (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\angle DFH=\\angle x$라 할 때, $\\tan x\\times\\cos x\\div\\sin x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle FGH$에서 $\\overline{FH}$$=\\sqrt{(6\\sqrt{3})^2+6^2}$$=\\sqrt{144}$$=12$ $\\triangle DFH$는 $\\angle DHF=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{DF}$$=\\sqrt{12^2+9^2}$$=\\sqrt{225}$$=15$ $\\tan x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{FH}}$$=\\frac{9}{12}$$=\\frac{3}{4}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{FH}}{\\overline{DF}}$$=\\frac{12}{15}$$=\\frac{4}{5}$ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{DH}}{\\overline{DF}}$$=\\frac{9}{15}$$=\\frac{3}{5}$ $ \\therefore \\tan x\\times\\cos x\\div\\sin x$$=\\frac{3}{4}\\times\\frac{4}{5}\\div\\frac{3}{5}$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{2}$일 때, $\\sin B$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AC} : \\overline{BC}=1 : \\sqrt{2}$이므로 $\\overline{AC}=k$, $\\overline{BC}=\\sqrt{2}k(k>0)$라 하면 $\\sin B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{k}{\\sqrt{2}k}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $5$인 정사각형일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{BC}=5$이므로 $\\overline{AB}=5\\sin30\\degree=5\\times\\frac{1}{2}=\\frac{5}{2}$ $\\angle ABC=60\\degree$이므로 $\\angle ABD= 60\\degree+90\\degree=150\\degree$ $∴\\triangle ABD =\\frac{1}{2} \\times \\frac{5}{2} \\times 5 \\times sin(180\\degree-150\\degree) =\\frac{1}{2} \\times \\frac{5}{2} \\times 5 \\times$ $sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2} \\times \\frac{5}{2} \\times 5 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{25}{8}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=-(x+2)^2+6$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동하면 점 $(-1, 2)$를 지나고, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동하면 점 $(2, -14)$를 지난다. 이때 $ab$의 값을 구하여라. (단, $a<0$)", | |
| "answer": "$y=-(x+2-a)^2+6$의 그래프가 점 $(-1, 2)$를 지나므로 $2=-(-1+2-a)^2+6$ $a^2-2a-3=0$ $(a+1)(a-3)=0$ $∴$ $a=-1$ 또는 $a=3$ $a<0$이므로 $a=-1$ $y=-(x+2)^2+6+b$의 그래프가 점 $(2, -14)$를 지나므로 $-14=-(2+2)^2+6+b$ $∴$ $b=-4$ $∴$ $ab$$=(-1)\\times(-4)$$=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=a(x+p)^2+q$의 그래프가 다음 그림과 같을 때, $ap+q$의 값을 구하여라. (단, $a$, $p$, $q$는 수)", | |
| "answer": "$y=a(x+p)^2+q$의 그래프의 꼭짓점의 좌표가 $(-4, -3)$이므로 $p=4$, $q=-3$ $y=a(x+4)^2-3$의 그래프가 점 $(0, 5)$를 지나므로 $5=16a-3$ $∴ a=\\frac{1}{2}$ $∴ ap+q$$=\\frac{1}{2}\\times4+(-3)$$=-1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=3x^2-mx+6$의 그래프와 $y=-2x^2+4x+n$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $m+n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y$$=3x^2-mx+6$$=3$$(x-\\frac{1}{6}m)^2$$-\\frac{1}{12}m^2+6$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(\\frac{1}{6}m,-\\frac{1}{12}m^2+6)$ $y$$=-2x^2+4x+n$$=-2(x-1)^2+n+2$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(1, n+2)$ $\\frac{1}{6}m=1$, $n+2=-\\frac{1}{12}m^2+6$이므로 $m=6$, $n=1$ $∴ m+n$$=6+1$$=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a$, $b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=x^2+(a-1)x+b$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 두 점 $(1, 0)$, $(0, 3)$을 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{3-0}{0-1}$$=-3$ $y$절편은 $3$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=-3x+3$ $∴ a=-3$, $b=3$ $=$$(x-2)^2-1$ (2) $a=-3,b=3$이므로 이차함수의 식은 $y=x^2-4x+3$ $y=x^2-4x+3$ $=(x^2-4x+4-4)+3$ $=(x-2)^2-1$ 이므로 구하는 꼭지점의 좌표는 $(2,-1)$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "완전제곱식을 이용하여 이차방정식 $x^2-6x+4a-3=0$의 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 $a$의 값을 구하여라. (단, $a<3$)", | |
| "answer": "$x^2-6x+4a-3=0$에서 $x^2-6x=-4a+3$ $x^2-6x+9=-4a+3+9$ $(x-3)^2=-4a+12$ $x-3=\\pm\\sqrt{-4a+12}$ $∴ x=3\\pm\\sqrt{-4a+12}$ 이때 서로 다른 두 근이 모두 자연수가 되려면 $\\sqrt{-4a+12}$가 $3$보다 작은 자연수이어야 하므로 $\\sqrt{-4a+12}$$=1, 2$ $-4a+12$$=1, 4$ $∴ a$$=\\frac{11}{4}, 2$ 따라서 자연수 $a$의 값은 $2$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2+8$의 그래프이다. 꼭짓점을 $A$, $x$축과의 두 교점을 각각 $B$, $C$라 할 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "꼭짓점의 좌표는 $A(0, 8)$ $y=-\\frac{1}{2}x^2+8$에 $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2+8$ $x^2-16=0$ $(x+4)(x-4)=0$ $∴ x=\\pm4$ $∴ B(-4, 0)$, $C(4, 0)$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times8$$=32$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프가 점 $(-1, -4)$를 지나고, 꼭짓점의 좌표가 $(-4, 5)$일 때, 수 $a$, $b$, $c$의 값을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "꼭짓점의 좌표가 $(-4, 5)$이므로 주어진 이차함수는 $y=a(x+4)^2+5$로 나타낼 수 있다. 이 그래프가 점 $(-1, -4)$를 지나므로 $-4=a\\times(-1+4)^2+5$ $∴ $$a=-1$ 따라서 $y$$=-(x+4)^2+5$$=-x^2-8x-11$이므로 $a=-1$, $b=-8$, $c=-11$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 두 점 $(-2, 16)$, $(k, 12)$를 지날 때, 음수 $k$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은 $y=ax^2$의 꼴이다. $y=ax^2$의 그래프가 점 $(-2, 16)$을 지나므로 $16=a\\times(-2)^2$ $∴ a=4$ $y=4x^2$의 그래프가 점 $(k, 12)$를 지나므로 $12=4k^2$ $k^2=3$ $∴ k=\\pm\\sqrt{3}$ $k$는 음수이므로 $k=-\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 이차함수 $y=-\\frac{1}{2}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $18$만큼 평행이동한 그래프와 $y=\\frac{1}{4}x^2$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $-9$만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 색칠한 사각형 $ABDC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$y=-\\frac{1}{2}x^2+18$에서 $A(0, 18)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=-\\frac{1}{2}x^2+18$ $x^2=36$ $∴ x=\\pm6$ $∴ B(-6, 0)$, $C(6, 0)$ $y=\\frac{1}{4}x^2-9$에서 $D(0, -9)$ $∴ (사각형 ABCD의 넓이)=\\triangle ABC+\\triangle BDC$ $=\\frac{1}{2}\\times12\\times18+\\frac{1}{2}\\times12\\times9$ $=$$162$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=ax^2$의 그래프는 점 $(3, b)$를 지나고, 이차함수 $y=\\frac{1}{3}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이다. 이때 $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$는 수)", | |
| "answer": "$y=ax^2$의 그래프는 $y=\\frac{1}{3}x^2$의 그래프와 $x$축에 대하여 서로 대칭이므로 $a=-\\frac{1}{3}$ $y=-\\frac{1}{3}x^2$의 그래프가 점 $(3, b)$를 지나므로 $b$$=(-\\frac{1}{3})\\times3^2=-3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=-3x^2-2mx$의 그래프와 $y=x^2+2x+n$의 그래프의 꼭짓점이 일치할 때, 수 $m$, $n$에 대하여 $mn$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$y$$=-3x^2-2mx$$=-3(x+\\frac{1}{3}m)^2+\\frac{1}{3}m^2$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-\\frac{1}{3}m, \\frac{1}{3}m^2)$ $y$$=x^2+2x+n$$=(x+1)^2+n-1$이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $(-1, n-1)$ $-\\frac{1}{3}m=-1$, $n-1=\\frac{1}{3}m^2$이므로 $m=3$, $n=4$ $∴$ $mn$$=3\\times4$$=12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\sin90\\degree+\\sin^260\\degree-\\tan45\\degree\\times\\cos0\\degree$를 계산하여라.", | |
| "answer": "$\\sin90\\degree+\\sin^260\\degree-\\tan45\\degree\\times\\cos0\\degree$ $=$$1+(\\frac{\\sqrt{3}}{2})^2-1\\times1$ $=$$\\frac{3}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림은 이차함수 $y=x^2+3x-4$의 그래프이다. $y$축과의 교점을 $R$, 꼭짓점을 $Q$, $x$축의 음의 부분과의 교점을 $P$라 할 때, $\\square OPQR$의 넓이를 구하여라. (단, $O$는 원점)", | |
| "answer": "$y=x^2+3x-4$에 $x=0$을 대입하면 $y=-4$이므로 $R(0, -4)$ 또, $y=0$을 대입하면 $0=x^2+3x-4$ $(x-1)(x+4)=0$ $∴ x=1$ 또는 $x=-4$ $∴ P(-4, 0)$ $y$$=x^2+3x-4$$=(x+\\frac{3}{2})^2-\\frac{25}{4}$이므로 $Q(-\\frac{3}{2}, -\\frac{25}{4})$ $=$$\\frac{31}{2}$ $\\therefore \\square \\mathrm{OPQR} =\\triangle \\mathrm{OQR}+\\triangle \\mathrm{OPQ} $ $ =\\frac{1}{2} \\times 4 \\times \\frac{3}{2}+\\frac{1}{2} \\times 4 \\times \\frac{25}{4} $ $ =\\frac{31}{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림은 이차함수 $y=-x^2-4x+2$의 그래프이다. y축과의 교점을 $A$, 꼭지점을 $B$라 하고, 점$B$에서 x축에 내린 수선의 발을 $C$라 할 때 $□ABCO$의 넓이를 구하여라.(단, $O$는 원점)", | |
| "answer": "주어진 그래프와 $y$축과의 교점 $A$의 좌표는 $(0, 2)$이고, $y= -x^2 -4x +2 = -(x^2 +4x +4 -4) +2 = -(x+2)^2+6$ 이므로 이 그래프의 꼭짓점 $B$의 좌표는 $(-2, 6)$이다. $\\overline{OA}=2$, $\\overline{BC}=6$, $\\overline{OC}=2$이므로 $\\square ABCO$의 넓이는 $\\frac{1}{2}\\times(2+6)\\times2=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=90\\degree$인 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AC}$$\\bot$$\\overline{BD}$, $\\overline{AB}=3$, $\\tan x=\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$와 $\\triangle BDC$에서 $\\angle C$는 공통, $\\angle ABC=\\angle BDC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC$ ∽ $\\triangle BDC$ ($AA$ 닮음) $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle DBC$$=\\angle x$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{\\overline{BC}}{3}$$=\\sqrt{3}$이므로 $\\overline{BC}$$=3\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AC}=\\sqrt{3^2+(3\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{36}=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차방정식 $x^2-12x+21=0$의 두 근 사이에 있는 정수의 개수를 구하여라.", | |
| "answer": "$x^2-12x+21=0$에서 $x=\\frac{-(-12)\\pm\\sqrt{(-12)^2-4\\times1\\times21}}{2\\times1}=\\frac{12\\pm\\sqrt{60}}{2}$ $=$$6\\pm\\sqrt{15}$ $3<\\sqrt{15}<4$이므로 $9<6+\\sqrt{15}<10$ $-4<-\\sqrt{15}<-3$이므로 $2<6-\\sqrt{15}<3$ 따라서 $6-\\sqrt{15}$와 $6+\\sqrt{15}$ 사이에 있는 정수는 $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$의 $7$ 개이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\triangle ABC$는 $\\overline{BC}=\\overline{AC}=8 cm$인 이등변삼각형이다. $\\angle B=15\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle A$$=\\angle B$$=15\\degree$이므로 $\\angle C$$=180\\degree-15\\degree\\times2$$=150\\degree$ $∴$$\\triangle ABC$ = $\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times sin(180\\degree - 150\\degree)$ = $\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times sin 30\\degree$ = $\\frac{1}{2}\\times8\\times8\\times\\frac{1}{2}$ $=$$16 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=12$, $\\overline{BC}=16\\sqrt{2}$이고 $\\angle B=45\\degree$인 등변사다리꼴 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 등변사다리꼴 $ABCD$의 두 꼭짓점 A, D에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 H, $H'$이라 하면 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AH}}{12}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{AH}=12\\sqrt{2}$ $∴$ $\\overline{AH}$$=6\\sqrt{2}$ $\\cos45\\degree=\\frac{\\overline{BH}}{12}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{BH}=12\\sqrt{2}$ $∴$ $\\overline{BH}$$=6\\sqrt{2}$ $\\overline{AD}$$=\\overline{HH}'$$=16\\sqrt{2}-6\\sqrt{2}-6\\sqrt{2}$$=4\\sqrt{2}$이므로 $\\square$ $ABCD$ $=$ $\\frac{1}{2}$$\\times(\\overline{AD}$+$\\overline{BC})$$\\times$$\\overline{AH}$ $=$ $\\frac{1}{2}$$\\times$$(4\\sqrt{2}+16\\sqrt{2})\\times$$6\\sqrt{2}$ $=$$120$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "일차함수 $y=ax+b$의 그래프가 오른쪽 그림과 같을때, 다음 물음에 답하여라. (단, $a, b$는 수) (1) $a$, $b$의 값을 각각 구하여라. (2) 이차함수 $y=-x^2+8ax+b+1$의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 두 점 $(-2, 0)$, $(0, 1)$을 지나는 직선의 기울기는 $\\frac{1-0}{0-(-2)}$$=\\frac{1}{2}$ $y$절편은 $1$이므로 구하는 일차함수의 식은 $y=\\frac{1}{2}x+1$ $∴$ $a=\\frac{1}{2}$, $b=1$ (2) $a=\\frac{1}{2}, b=1$이므로 이차함수의 식은 $y=-x^2+4x+2$ $y$$=$$-x^2+4x+2$ $=$$-(x^2-4x+4-4)+2$ $=$$-(x-2)^2+6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\sin B=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$, $\\sin C=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이고 $\\overline{AC}=10 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=10\\sin C$$=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=5\\sqrt{3}$ $(cm)$ $\\\\$ $\\overline{CH}=\\sqrt{10^2-(5\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ $\\\\$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{5\\sqrt{3}}{\\sin B}$$=5\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}} {3}$$=5\\sqrt{3}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}$$=15$ $(cm)$ $\\\\$ $\\overline{BH}=\\sqrt{15^2-(5\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{150}=5\\sqrt{6} (cm)$ $\\\\$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}$$=5\\sqrt{6}+5$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $B$ 지점에서 학교의 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 학교 쪽으로 $16 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 학교의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 이 학교의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h$ (m) $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=16$ $(\\sqrt{3}-1)h=16$ $∴ h$$=\\frac{16}{\\sqrt{3}-1}$$=8(1+\\sqrt{3})$ 따라서 학교의 높이는 $8(1+\\sqrt{3}) m$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "이차함수 $y=4x^2-12x+k+1$의 그래프의 꼭짓점이 제$1$사분면 위에 있을 때, 수 $k$의 값의 범위를 구하여라.", | |
| "answer": "$y=4x^2-12x+k+1$ $=$$4(x^2-3x+\\frac{9}{4}-\\frac{9}{4})+k+1$ $=$$4(x-\\frac{3}{2})^2+k-8$ 이 그래프의 꼭짓점 $(\\frac{3}{2}, k-8)$이 제$1$사분면 위에 있으므로 $k-8>0$ $∴k>8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 눈높이가 $1.5 m$인 효진이가 가로수로부터 $4 m$ 떨어진 곳에 서 있다. 효진이가 가로수의 꼭대기를 올려다본 각의 크기를 재었더니 $37\\degree$일 때, 가로수의 높이를 구하여라. (단, $\\sin37\\degree=0.6$, $\\cos37\\degree=0.8$, $\\tan37\\degree=0.8$로 계산한다.)", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\tan37\\degree$$=4\\times0.8$$=3.2 (m)$ 따라서 가로수의 높이는 $3.2+1.5$$=4.7 (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "지면에 수직으로 서 있던 교통안전 표지판이 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 교통안전 표지판의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 교통안전 표지판이 부러진 지점을 A, 교통안전 표지판의 밑부분을 B, 교통안전 표지판의 꼭대기를 C라 하면 원래 교통안전 표지판의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AB}=\\overline{BC}=50 cm$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\frac{50}{\\cos45\\degree}$$=50\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=50\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}$$=50\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 부러지기 전의 교통안전 표지판의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=50+50\\sqrt{2}=50+50\\sqrt{2} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB} : \\overline{AC}=5 : 2\\sqrt{5}$일 때, $\\cos A$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{AC}=5 : 2\\sqrt{5}$이므로 $\\overline{AB}=5k$, $\\overline{AC}=2\\sqrt{5}k(k>0)$라 하면 $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{2\\sqrt{5}k}{5k}=\\frac{2\\sqrt{5}}{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 밑면이 정사각형이고 옆면이 정삼각형인 사각뿔의 한 모서리의 길이가 $14 cm$이다. $\\overline{BC}$, $\\overline{DE}$의 중점을 각각 $M$, $N$이라 하고 $\\angle ANM=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ADE$에서 $\\overline{DN}=\\frac{1}{2}\\overline{DE}=\\frac{1}{2}\\times14=7$ $(cm)$ $\\triangle ADN$은 $\\angle AND=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{AN}$$=\\sqrt{14^2-7^2}$$=\\sqrt{147}$$=7\\sqrt{3}$ $(cm)$ 위 그림에서 $\\triangle AMN$은 $\\overline{AM}=\\overline{AN}$인 이등변삼각형이므로 점 $A$에서 $\\overline{MN}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{HN}$$=\\frac{1}{2}\\overline{MN}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7$ $(cm)$ $\\triangle AHN$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{(7\\sqrt{3})^2-7^2}=\\sqrt{98}=7\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\tan x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{HN}}$$=\\frac{7\\sqrt{2}}{7}$$=\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라. ", | |
| "answer": "$\\triangle BCD$에서 $\\tan45\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{12}=1$이므로 $\\overline{BC}$$=12 (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{12}{\\overline{AB}}$$=\\sqrt{3}$이므로 $\\sqrt{3}\\overline{AB}=12$ $∴ \\overline{AB}$$=4\\sqrt{3} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=16 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을$ H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=16\\sin60\\degree$$=16\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=8\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{CH}=16\\cos60\\degree$$=16\\times\\frac{1}{2}$$=8 (cm)$ $\\overline{BH}$$=12-8$$=4$$ (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{4^2+(8\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{208}$$=4\\sqrt{13}$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{BE}=6 cm$, $\\overline{EF}=4\\sqrt{2} cm$, $\\angle ABC=60\\degree$, $\\angle BAC=90\\degree$인 삼각기둥의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=4\\sqrt{2}\\cos60\\degree$$=4\\sqrt{2}\\times\\frac{1}{2}$$=2\\sqrt{2} (cm)$ $\\overline{AC}=4\\sqrt{2}\\sin60\\degree$$=4\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{6} (cm)$ 따라서 삼각기둥의 부피는 $(\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times2\\sqrt{6})\\times6=24\\sqrt{3} (cm^3)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 점 $G$가 $\\triangle ABC$의 무게중심일 때, $\\triangle BCG$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times14\\times12\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times14\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$42\\sqrt{3} (cm^2)$ 점 $G$는 $\\triangle ABC$의 무게중심이므로 $\\triangle{BCG}=\\frac{1}{3}\\triangle{ABC}$$=\\frac{1}{3}\\times42\\sqrt{3}$ $=$$14\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "폭이 $\\sqrt{5} cm$로 일정한 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\angle ABC=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\overline{AH}=\\sqrt{5} cm$이므로 $\\overline{AB}=\\frac{\\sqrt{5}}{\\sin30\\degree}$$=\\sqrt{5}\\div\\frac{1}{2}$$=\\sqrt{5}\\times2$$=2\\sqrt{5} (cm)$ 접은 각의 크기는 같으므로 $\\angle CAD=\\angle BAC$ $\\overline{AD} // \\overline{BC}$이므로 $\\angle CAD=\\angle ACB$ (엇각) $∴$ $\\angle BAC$$=\\angle ACB$ $\\triangle ABC$는 $\\overline{AB}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{BC}$$=\\overline{AB}$$=2\\sqrt{5} cm$ $=$$5 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\square ABCD$에서 $\\angle ABD=\\angle CBD$이고 $\\overline{AB}=10 cm$, $\\overline{BC}=8 cm$이다. $\\triangle ABD$의 넓이가 $32 cm^2$일 때, $\\triangle BCD$의 넓이를 구하여라. (단, $\\triangle ABD$와 $\\triangle BCD$는 예각삼각형이다.)", | |
| "answer": "$\\angle ABD=\\angle CBD=\\angle x$라 하자. $\\triangle ABD$에서 $\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{BD}\\times\\sin x=32$이므로 $\\overline{BD}\\times\\sin x=\\frac{32}{5}$ $∴ \\triangle BCD$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BD}\\times\\sin x$$=\\frac{1}{2}\\times8\\times\\frac{32}{5}$$=\\frac{128}{5}$ ($cm^2$)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "폭이 $\\sqrt{2} cm$로 일정한 직사각형 모양의 종이테이프를 다음 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 접는 선으로 하여 접었다. $\\overline{AC}=2\\sqrt{2} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 점 A에서 $\\overline{BC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\sin(\\angle ACH)$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2\\sqrt{2}}$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle ACH=30\\degree$ $\\angle BAC=\\angle CAD$ (접은 각), $\\angle ACH=\\angle CAD$ (엇각)이므로 $\\angle BAC$$=\\angle ACH$$=30\\degree$ $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABH=30\\degree+30\\degree=60\\degree$ $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\frac{\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}$$=\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{3} (cm)$ $∴ \\triangle{ABC}=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\times\\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{2}\\times\\frac{2\\sqrt{6}}{3}\\times\\frac{1}{2}$ $=$$\\frac{2\\sqrt{3}}{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "지면에 수직으로 서 있던 전봇대가 다음 그림과 같이 부러졌다. 이때 부러지기 전의 전봇대의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 전봇대가 부러진 지점을 $A$, 전봇대의 밑부분을 $C$, 전봇대의 꼭대기를 $B$라 하면 원래 전봇대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}$와 같다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=\\frac{12}{\\cos30\\degree}$$=12\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=12\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=8\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{AC}=12\\tan30\\degree=12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}=4\\sqrt{3} (m)$ 따라서 부러지기 전의 전봇대의 높이는 $\\overline{AB}+\\overline{AC}=8\\sqrt{3}+4\\sqrt{3}=12\\sqrt{3} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $B$ 지점에서 분수대의 꼭대기 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 분수대 쪽으로 $6 m$ 다가간 $C$ 지점에서 $A$ 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 분수대의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 이 분수대의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h (m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=6$ $(\\sqrt{3}-1)h=6$ $∴ h$$=\\frac{6}{\\sqrt{3}-1}$$=3(1+\\sqrt{3})$ 따라서 분수대의 높이는 $3(1+\\sqrt{3}) m$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 지면에서 $3\\sqrt{3} m$ 높이에 있는 조명을 $A$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$이고, $B$ 지점에서 올려다본 각의 크기가 $60\\degree$이다. 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 조명의 위치 $P$에서 지면에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHP$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{HP}=3\\sqrt{3} m$ $\\triangle BHP$에서 $\\overline{BH}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=3 (m)$ 따라서 두 지점 $A$, $B$ 사이의 거리는 $\\overline{AB}$$=\\overline{AH}-\\overline{BH}$$=3\\sqrt{3}-3$ (m)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 $D$가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라. ", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(4\\sqrt{3})^2-4^2}=\\sqrt{32}=4\\sqrt{2}$ $\\overline{CD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}=2\\sqrt{2}$이므로 $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{(2\\sqrt{2})^2+4^2}=\\sqrt{24}=2\\sqrt{6}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{6}}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 A 나무의 꼭대기 $P$ 지점에 있던 새가 지면의 $C$ 지점에 있는 먹이를 잡아서 B 나무의 꼭대기 $Q$ 지점으로 올라갔다. A 나무의 높이가 $3\\sqrt{3} m$이고, 두 나무 A, B 사이의 거리가 $6 m$일 때, 새가 날아간 거리를 구하여라. (단, 새는 직선으로 날아간다.)", | |
| "answer": "$\\triangle ACP$에서 $\\overline{CP}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sin60\\degree}$$=3\\sqrt{3}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6 (m)$ $\\triangle ACP$에서 $\\overline{AC}=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}$$=3 (m)$ $\\overline{BC}$$=6-3$$=3 (m)$이므로 $\\triangle BQC$에서 $\\overline{CQ}=\\frac{3}{\\cos30\\degree}$$=3\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{3} (m)$ 따라서 새가 날아간 거리는 $\\overline{CP}+\\overline{CQ}$$=6+2\\sqrt{3} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{CD}=3\\overline{BD}$이고 $\\overline{AC}=8 cm$, $\\tan B=\\frac{1}{4}$이다. $\\angle CAD=\\angle x$일 때, $\\sin x$의 값을 구하여라. $\\sin x=$$\\square$", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\tan B$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{BC}}$$=\\frac{8}{\\overline{BC}}$$=\\frac{1}{4}$이므로 $\\overline{BC}$$=32 (cm)$ $\\overline{CD}=3\\overline{BD}$이므로 $\\overline{CD}=\\frac{3}{4}\\overline{BC}=\\frac{3}{4}\\times32=24 (cm)$ $\\triangle ADC$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{24^2+8^2}=\\sqrt{640}=8\\sqrt{10} (cm)$ ∴ $\\sin x$$=\\frac{\\overline{CD}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{24}{8\\sqrt{10}}$$=\\frac{3\\sqrt{10}}{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=6\\sqrt{2}$, $\\overline{BC}=9$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle ABP$와 $\\triangle CDP$의 넓이의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$6\\sqrt{2}\\times9\\times\\sin60\\degree$ $=$$6\\sqrt{2}\\times9\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$27\\sqrt{6}$ $∴ \\triangle ABP+\\triangle CDP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times27\\sqrt{6}$$=\\frac{27\\sqrt{6}}{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 삼각형 $ABC$를 직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "직선 $AB$를 회전축으로 하여 $1$회전 시킬 때 생기는 입체도형은 다음과 같다. $\\triangle AOC$에서 $\\overline{AO}=4\\sqrt{3}\\cos60\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{1}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $\\overline{CO}=4\\sqrt{3}\\sin60\\degree$$=4\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=6$ $\\triangle BCO$에서 $\\overline{BO}=\\frac{6}{\\tan45\\degree}$$=\\frac{6}{1}$$=6$ 따라서 입체도형의 부피는 $\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times6^2)\\times2\\sqrt{3}$$+$$\\frac{1}{3}\\times(\\pi\\times6^2)\\times6$$=(72+24\\sqrt{3})\\pi$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\square$$ABCD$에서 $\\overline{AB}=4$, $\\overline{BC}=6$이고 $\\angle ADB=45\\degree$, $\\angle CBD=30\\degree$일 때, $\\square$$ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABD$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{AB}=4$ ∴ $\\triangle ABD$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times4$$=8$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\frac{4}{\\sin45\\degree}=4\\div\\frac{\\sqrt{2}}{2}=4\\times\\frac{2}{\\sqrt{2}}=4\\sqrt{2}$이므로 $\\triangle BCD$=$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times6\\times\\sin30\\degree$ =$\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{2}\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=6\\sqrt{2}$ $∴$$\\square ABCD=\\triangle ABD+\\triangle BCD=8+6\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 호수 위에 떠 있는 열기구 $A$에서 호수의 가장자리의 두 지점 $B$, $C$를 내려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $30\\degree$이었다. 호수의 수면으로부터 열기구까지의 높이가 $250 m$일 때, 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle BAH=45\\degree$이고 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=250 m$ $\\angle CAH=60\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=250\\tan60\\degree$$=250\\times\\sqrt{3}$$=250\\sqrt{3} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=250+250\\sqrt{3} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 드론을 두 지점 $A$, $B$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $70\\degree$이고 $\\overline{AB}=26 m$일 때, 지면으로부터 드론까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan20\\degree=0.4$로 계산한다.)", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하자. 지면으로부터 드론까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=20\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan20\\degree$$=0.4h$ (m) $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.4h=26$ $1.4h=26$ $\\therefore$$h$$=\\frac{130}{7}$ 따라서 지면으로부터 드론까지의 높이는 $\\frac{130}{7} m$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8 cm$, $\\overline{BC}=12 cm$이고 $\\cos C=\\frac{1}{4}$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=8\\cos C$$=8\\times\\frac{1}{4}$$=2(cm)$ $\\overline{AH}=\\sqrt{8^2-2^2}=\\sqrt{60}=2\\sqrt{15} (cm)$ $\\overline{BH}$$=12-2$$=10 (cm)$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{10^2+(2\\sqrt{15})^2}$$=\\sqrt{160}$$=4\\sqrt{10} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 B 지점에서 아파트의 A 지점을 올려다본 각의 크기가 $30\\degree$이고, 아파트 쪽으로 $50{m}$ 다가간 C 지점에서 A 지점을 올려다본 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 이 아파트의 높이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 이 아파트의 높이 $\\overline{AH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=60\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan60\\degree=\\sqrt{3}h(m)$ $\\triangle ACH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h m$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\sqrt{3}h-h=50$ $(\\sqrt{3}-1)h=50$ $ ∴$ $h$$=\\frac{50}{\\sqrt{3}-1}$$=25(1+\\sqrt{3})$ 따라서 아파트의 높이는 $25(1+\\sqrt{3}) m$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\sin45\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{6\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$이므로 $2\\overline{AD}=12$ $\\therefore$ $\\overline{AD}$$=6$ $\\triangle ADC$에서 $\\tan60\\degree$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{CD}}$$=\\frac{6}{\\overline{CD}}$$=\\sqrt{3}$이므로 $\\sqrt{3}\\overline{CD}=6$ $\\therefore$ $\\overline{CD}$$=2\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 사분원에서 $\\angle BAE=60\\degree$이고, $\\overline{AE}\\bot\\overline{BC}$, $\\overline{AE}\\bot\\overline{DE}$일 때, 사각형 $BCED$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ACB에서 \\overline{BC}=\\frac{\\overline{BC}}{1}=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\sin60\\degree$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\triangle AED에서 \\overline{DE}=\\frac{\\overline{DE}}{1}=\\frac{\\overline{DE}}{\\overline{AE}}=\\tan60\\degree$$=\\sqrt{3}$ 이때 $\\triangle ACB$에서 $\\overline{AC}=\\frac{\\overline{AC}}{1}=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\cos60\\degree$$=\\frac{1}{2}$이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{AE}-\\overline{AC}$$=1-\\frac{1}{2}$$=\\frac{1}{2}$ $∴ $$\\square BCED$$=\\frac{1}{2}\\times(\\frac{\\sqrt{3}}{2}+\\sqrt{3})\\times\\frac{1}{2}$$=\\frac{3\\sqrt{3}}{8}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 호수의 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하기 위하여 각의 크기와 거리를 측정하였다. $\\overline{AC}=20 m, $$\\overline{BC}=16 m, $$\\angle C=60\\degree$일 때, 두 지점 $A, B$ 사이의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AH}=20\\sin60\\degree$$=20\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=10\\sqrt{3} (m)$ $\\overline{CH}=20\\cos60\\degree$$=20\\times\\frac{1}{2}$$=10 (m)$ $\\overline{BH}$$=16-10$$=6(m)$이므로 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{AB}=\\sqrt{6^2+(10\\sqrt{3})^2}$$=\\sqrt{336}$$=4\\sqrt{21}(m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 직선 $y=mx+n$이 점 $(-3, 4)$를 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $45\\degree$일 때, 상수 $m$, $n$에 대하여 $5m+n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$m$$=\\tan45\\degree$$=1$이므로 $y=1\\times x+n$ 이때 직선 $y=x+n$이 점 $(-3, 4)$를 지나므로 $4=-3+n$ $∴ n=7$ 따라서 구하는 직선의 방정식은 $y=x+7$ $∴ 5m+n$$=5\\times1+7$$=12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 $\\angle BAD : \\angle ADC=1 : 3$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{AD}=6\\sqrt{2} cm$이다. 이 평행사변형의 내부에 임의의 한 점 $P$를 잡을 때, $\\triangle APD$와 $\\triangle BCP$의 넓이의 합을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{1}{4}=45\\degree$이므로 $\\square ABCD$=$5\\times6\\sqrt{2}\\times$$\\sin45\\degree=5\\times6\\sqrt{2}\\times$$\\frac{\\sqrt{2} }{2}$$=$$30 (cm^2)$ $∴ \\triangle APD+\\triangle BCP$$=\\frac{1}{2}\\square ABCD$$=\\frac{1}{2}\\times30$$=15 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}=\\overline{AC}=12 cm$인 이등변삼각형 $ABC$에서 $\\angle B=75\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle C$$=\\angle B$$=75\\degree$이므로 $\\angle A$$=180\\degree-75\\degree\\times2$$=30\\degree$ $\\therefore \\triangle \\mathrm{ABC} =$$\\frac{1}{2} \\times 12$ $\\times 12 \\times \\sin 30^{\\circ}$ $=\\frac{1}{2} \\times 12 \\times 12 \\times \\frac{1}{2} \\\\ =36\\left(\\mathrm{~cm}^{2}\\right) $" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=6 cm$, $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=6\\cos45\\degree$$=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=3\\sqrt{2} cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}$$=\\sqrt{6} (cm)$ $∴$ $\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=3\\sqrt{2}+\\sqrt{6}$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 점 D가 $\\overline{BC}$의 중점일 때, $\\cos x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}=\\sqrt{(3\\sqrt{13})^2-9^2}=\\sqrt{36}=6$ $\\overline{BD}=\\frac{1}{2}\\overline{BC}=\\frac{1}{2}\\times6=3$이므로 $\\triangle ABD$에서 $\\overline{AD}=\\sqrt{9^2+3^2}=\\sqrt{90}=3\\sqrt{10}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AD}}$$=\\frac{9}{3\\sqrt{10}}$$=\\frac{3\\sqrt{10}}{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 삼각형 $ABC$의 넓이가 $20\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{AC}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=20\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{AC}\\times\\sin60\\degree=20\\sqrt{3}$ $2\\sqrt{3}\\overline{AC}=20\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{AC}=10(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{CF}=8 cm$, $\\angle CFG=60\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\overline{CG}=8\\sin60\\degree$$=8\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=4\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{FG}=8\\cos60\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $4\\times5\\times4\\sqrt{3}$$=80\\sqrt{3} (cm^3)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=14$, $\\overline{BC}=18$이고 $\\cos B=\\frac{3}{7}$일 때, $\\overline{AC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=14\\cos B$$=14\\times\\frac{3}{7}$$=6$ $\\overline{AH}=\\sqrt{14^2-6^2}=\\sqrt{160}=4\\sqrt{10}$ $\\overline{CH}$$=18-6$$=12$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(4\\sqrt{10})^2+12^2}$$=\\sqrt{304}$$=4\\sqrt{19}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{PT}$는 원 O의 접선이고 점 T는 그 접점이다. $\\angle BAT=30\\degree$, $\\angle ACT=106\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "아래 그림과 같이 $\\overline{BT}$를 그으면 $\\square ABTC$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABT+\\angle ACT=180\\degree$ $\\angle ABT+106\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABT=74\\degree$ $\\overline{PT}$가 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BTP$$=\\angle BAT$$=30\\degree$ 따라서 $\\triangle BPT$에서 $\\angle x=74\\degree-30\\degree=44\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$0\\degree<a<45\\degree$이고, $\\sqrt{(\\cos A+\\sin A)^2}-\\sqrt{(\\cos A-\\sin A)^2}=\\frac{20}{17}$을 만족시키는 $A$에 대하여 $\\cos A\\times\\tan A$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$0\\degree<a<45\\degree$일 때, $0<\\sin A<\\cos A$이므로 $\\cos A+\\sin A>0$, $\\cos A-\\sin A>0$ $\\sqrt{(\\cos A+\\sin A)^2}-\\sqrt{(\\cos A-\\sin A)^2}$ $=$$(\\cos A+\\sin A)-(\\cos A-\\sin A)$ $=$$\\cos A+\\sin A-\\cos A+\\sin A$ $=$$2\\sin A$ 이때 $0\\degree<a<45\\degree$이고 $2\\sin A=\\frac{20}{17}$에서 $\\sin A=\\frac{10}{17}$이므로 $\\angle B=90\\degree, $$\\overline{AC}=17, $$\\overline{BC}=10$인 직각삼각형 $ABC$를 생각할 수 있다. 피타고라스 정리에 의하여 $\\overline{AB}=\\sqrt{17^2-10^2}=\\sqrt{189}=3\\sqrt{21}$ $\\cos A$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3\\sqrt{21}}{17}$ $\\tan A$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{10}{3\\sqrt{21}}$$=\\frac{10\\sqrt{21}}{63}$ $∴$ $\\cos A\\times\\tan A$$=\\frac{3\\sqrt{21}}{17}\\times\\frac{10\\sqrt{21}}{63}$$=\\frac{10}{17}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직각삼각형 $ABC$에서 $\\angle B=30\\degree$, $\\angle ADC=60\\degree$이고 $\\overline{CD}=4$일 때, $xy$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABD$에서 $\\angle BAD$$=\\angle ADC-\\angle ABD$$=60\\degree-30\\degree=30\\degree$ $\\triangle ABD$는 $\\overline{AD}=\\overline{BD}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\overline{BD}=x$ $\\triangle ADC$에서 $\\cos60\\degree=\\frac{4}{x}=\\frac{1}{2}$이므로 $x=8$ $\\tan60\\degree=\\frac{y}{4}=\\sqrt{3}$이므로 $y=4\\sqrt{3}$ $∴ xy=8\\times4\\sqrt{3}=32\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=10\\sqrt{3} cm$, $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=10\\sqrt{3}\\cos45\\degree$$=10\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=5\\sqrt{6} cm$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\frac{5\\sqrt{6}}{\\tan60\\degree}$$=\\frac{5\\sqrt{6}}{\\sqrt{3}}$$=5\\sqrt{2} (cm)$ $∴$$\\overline{BC}$$=\\overline{BH}+\\overline{CH}=5\\sqrt{6}+5\\sqrt{2}$ $(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\angle A=105\\degree$, $\\angle B=30\\degree$, $\\overline{AC}=6$인 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle C$$=180\\degree-(105\\degree+30\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle AHC$에서 $\\overline{AH}=6\\sin45\\degree=6\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=3\\sqrt{2}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AB}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=3\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=3\\sqrt{2}\\times2=6\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AH}$$\\bot$$\\overline{BC}$, $\\overline{AB}=12 cm$, $\\overline{AC}=6 cm$, $\\sin B=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$일 때, $\\cos C$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABH$에서 $\\sin B=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{AB}}=\\frac{\\overline{AH}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{4}$이므로 $\\overline{AH}=3\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{6^2-(3\\sqrt{2})^2}=\\sqrt{18}=3\\sqrt{2} (cm)$ $∴ \\cos C$$=\\frac{\\overline{CH}}{\\overline{AC}}$$=\\frac{3\\sqrt{2}}{6}$$=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle ACH=60\\degree$, $\\overline{BC}=5 cm$일 때, $\\overline{AH}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\triangle ACH$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h (cm)$ $\\overline{BH}-\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h-\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=5$ $\\frac{3-\\sqrt{3}}{3}h=5$ $∴ h=\\frac{15}{3-\\sqrt{3}}=\\frac{15+5\\sqrt{3}}{2}$ 따라서 $\\overline{AH}$의 길이는 $\\frac{15+5\\sqrt{3}}{2} cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=60\\degree$, $\\angle C=45\\degree$, $\\overline{BC}=6 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하자. $\\overline{AH}=h cm$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\angle BAH=30\\degree$이므로 $\\overline{BH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h(cm)$ $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{CH}=\\overline{AH}=h cm$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}h+h=6$ $\\frac{\\sqrt{3}+3}{3}h=6$ ∴ $h$$=\\frac{18}{3+\\sqrt{3}}$$=3(3-\\sqrt{3})$ ∴ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times6\\times3(3-\\sqrt{3})$$=9(3-\\sqrt{3}) (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 공중에 떠 있는 연을 두 지점 $A$, $B$에서 올려다본 각의 크기가 각각 $45\\degree$, $74\\degree$이고 $\\overline{AB}=24 m$일 때, 지면으로부터 연까지의 높이를 구하여라. (단, $\\tan16\\degree=0.3$으로 계산한다.)", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 지면으로부터 연까지의 높이 $\\overline{CH}$를 $h m$라 하면 $\\triangle AHC$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{CH}=h m$ $\\triangle BCH$는 $\\angle BCH=16\\degree$이므로 $\\overline{BH}$$=h\\tan16\\degree$$=0.3h (m)$ $\\overline{AH}+\\overline{BH}=\\overline{AB}$이므로 $h+0.3h=24$ $1.3h=24$ $∴ h$$=\\frac{240}{13}$ 따라서 지면으로부터 연까지의 높이는 $\\frac{240}{13} m$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=\\overline{GH}=3 cm$이고 $\\angle CEG=30\\degree$일 때, 이 직육면체의 부피를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle EFG$에서 $\\overline{EG}$$=\\sqrt{3^2+3^2}$$=\\sqrt{18}$$=3\\sqrt{2}$ $(cm)$ $\\triangle CEG$에서 $\\overline{CG}=3\\sqrt{2}\\tan30\\degree$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{3}$$=\\sqrt{6}$ $(cm)$ 따라서 직육면체의 부피는 $3\\times3\\times\\sqrt{6}$$=9\\sqrt{6} $$(cm^3)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 사분원에서 점 B의 좌표 $x$가 $\\frac{1}{2}$일때, $mn$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle BDO$에서 $\\cos a=\\overline{OB}=\\frac{1}{2}$이고 $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle a=60\\degree$ $m=\\overline{BD}=\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $n=\\overline{AC}=\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$ ∴ $mn$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times\\sqrt{3}$$=\\frac{3}{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "인규가 공원에서 집까지의 거리를 구하기 위하여 아래 그림과 같이 $300 m$ 떨어진 두 지점 A, B에서 각의 크기를 측정하였더니 각각 $105\\degree$, $45\\degree$이었다. B 지점에서 집의 위치 C까지의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle AHB$에서 $\\overline{BH}=300\\cos45\\degree$$=300\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=150\\sqrt{2} (m)$ $\\triangle AHB$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=150\\sqrt{2} m$ $\\angle C$$=180\\degree-(105\\degree+45\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\triangle ACH$에서 $\\overline{CH}=\\frac{150\\sqrt{2}}{\\tan30\\degree}=150\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{3}=150\\sqrt{2}\\times\\frac{3}{\\sqrt{3}}=150\\sqrt{6} (m)$ 따라서 두 지점 $B$, $C$ 사이의 거리는 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=150\\sqrt{2}+150\\sqrt{6} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ADC=2 : 1$이고 $\\overline{AD}=4 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle ADC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times4\\times6\\times \\sin60\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times4\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$6\\sqrt{3} (cm^2)$ $∴ $$\\triangle CDO=\\frac{1}{2}\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times6\\sqrt{3}=3\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 정육각형의 넓이가 $72\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정육각형은 합동인 $6$ 개의 정삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AD}$와 $\\overline{BE}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 $(정육각형의 넓이) = $$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times sin60 \\degree)$ =$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x\\times x\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}) $=$\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2=72\\sqrt{3}$ $x^2=48$ 이때 $x>0$이므로 $x=4\\sqrt{3}$ $∴ $ $\\overline{AD}$$=2\\overline{AO}$$=2\\times4\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$이고 $\\overline{AB}=5 cm$, $\\overline{BC}=6 cm$일 때, $\\triangle ABO$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle ABC=180\\degree\\times\\frac{1}{3}=60\\degree$이므로 $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times5\\times6\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times5\\times6\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=\\frac{15\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$ $∴$$\\triangle ABO=\\frac{1}{2}\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times\\frac{15\\sqrt{3}}{2}=\\frac{15\\sqrt{3}}{4} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\angle B=45\\degree$, $\\angle C=60\\degree$, $\\overline{BC}=18$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. $\\overline{AH}=h$라 하면 $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=h$ $\\triangle AHC$에서 $\\angle CAH=30\\degree$이므로 $\\overline{CH}=h\\tan30\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{3}h$ $\\overline{BH}+\\overline{CH}=\\overline{BC}$이므로 $h+\\frac{\\sqrt{3}}{3}h=18$ $\\frac{3+\\sqrt{3}}{3}h=18$ $∴ h$$=\\frac{54}{3+\\sqrt{3}}$$=9(3-\\sqrt{3})$ $∴ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times18\\times9(3-\\sqrt{3})$$=81(3-\\sqrt{3})$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $12 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle{DEF}$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $\\therefore \\triangle DEF=\\triangle ABC -3\\triangle ADF$ $= \\frac{1}{2}\\times 12\\times12\\times sin60\\degree - 3\\times(\\frac{1}{2}\\times 4\\times8\\times sin60\\degree)$ $=36\\sqrt3 - 24\\sqrt3$ $=$$12\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 돌담 위에 지면과 수직으로 세워진 기념비의 높이 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라. ", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선이 만나는 점을 $E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{DE}=5\\sqrt{2}\\cos45\\degree =5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=5(m)$ $\\\\$ $∴ \\overline{CE}=\\overline{CD}+\\overline{DE} =2+5=7 (m)$ $\\\\$ $\\triangle ACE$에서 $\\overline{AE}=7\\tan60\\degree=7\\times\\sqrt{3}=7\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BE}=\\overline{DE}=5 m$ $\\\\$ $∴ \\overline{AB}=\\overline{AE}-\\overline{BE}=7\\sqrt{3}-5(m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 $2\\sqrt{6}$인 정사면체에서 $\\overline{CD}$의 중점을 M이라 하자. $\\angle ABM=\\angle x$라 할 때, $\\tan x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle BCM$은 $\\angle BMC=90\\degree$인 직각삼각형이므로 $\\overline{BM}$$=\\sqrt{(2\\sqrt{6})^2-(\\sqrt{6})^2}$$=\\sqrt{18}$$=3\\sqrt{2}$ 아래 그림과 같이 꼭짓점 A에서 $\\triangle BCD$에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 $\\triangle BCD$의 무게중심이므로 $\\overline{BH}$$=\\frac{2}{3}\\overline{BM}$$=\\frac{2}{3}\\times3\\sqrt{2}$$=2\\sqrt{2}$ $\\triangle ABH$에서 $\\overline{AH}$$=\\sqrt{(2\\sqrt{6})^2-(2\\sqrt{2})^2}$$=\\sqrt{16}$$=4$ $∴ \\tan x$$=\\frac{\\overline{AH}}{\\overline{BH}}$$=\\frac{4}{2\\sqrt{2}}$$=\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 정육각형의 넓이가 $15\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{AD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 선을 그으면 정육각형은 합동인 $6$ 개의 정삼각형으로 나누어진다. $\\overline{AD}$와 $\\overline{BE}$의 교점을 $O$, $\\overline{AO}$$=\\overline{BO}$$=x$라 하면 $\\triangle ABO$에서 $\\angle AOB$의 크기는 $\\frac{360\\degree}{6}=60\\degree$이므로 (정육각형의 넓이)=$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x \\times x \\times \\sin60\\degree)$ =$6\\times(\\frac{1}{2}\\times x \\times x \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}x^2=15\\sqrt{3}$ $x^2=10$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{10}$ $∴$ $\\overline{AD}$$=2\\overline{AO}$$=2\\sqrt{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 마름모 $ABCD$의 넓이가 $10\\sqrt{2} cm^2$일 때, 마름모 $ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 $x cm$라 하면 $x\\times x\\times\\sin(180\\degree-135\\degree)=10\\sqrt{2}$ $x^2\\times\\sin45\\degree=10\\sqrt{2}$ $\\frac{\\sqrt{2}}{2}x^2=10\\sqrt{2}$ $x^2=20$ 이때 $x>0$이므로 $x=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}$ 마름모의 한 변의 길이는 $2\\sqrt{5} cm$이므로 둘레의 길이는 $2\\sqrt{5}\\times4=8\\sqrt{5} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\angle B=105\\degree$, $\\angle C=30\\degree$, $\\overline{AB}=4$인 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 꼭짓점 $B$에서 $\\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle A$$=180\\degree-(105\\degree+30\\degree)$$=45\\degree$이므로 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=4\\sin45\\degree=4\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}=2\\sqrt{2}$ $\\triangle BCH$에서 $\\overline{BC}=\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sin30\\degree}=2\\sqrt{2}\\div\\frac{1}{2}=2\\sqrt{2}\\times2=4\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "어느 호수의 폭 $\\overline{BC}$를 구하기 위하여 지점$A$에서 지점 $B$, $C$까지의 거리와 $\\angle ABC$의 크기를 측정하였더니 다음 그림과 같았다. 이 호수의 폭을 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 꼭짓점 $A$에서 $\\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle ABH$에서 $\\overline{BH}=300\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=300\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=300 (m)$ $\\triangle ABH$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{AH}=\\overline{BH}=300 m$ $\\triangle AHC$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{400^2-300^2}=\\sqrt{70000}=100\\sqrt{7} (m)$ 따라서 호수의 폭은 $\\overline{BC}=\\overline{BH}+\\overline{CH}=300+100\\sqrt{7} (m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 한 변의 길이가 $7 cm$인 정삼각형 $ABC$에 정삼각형 $DEF$가 내접할 때, $\\triangle DEF$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ADF\\equiv\\triangle BED\\equiv\\triangle CFE$이므로 그 넓이가 모두 같다. $∴ \\triangle{DEF}=\\triangle{ABC}-3\\triangle{ADF}$ $=\\frac{1}{2}\\times7\\times7\\times\\sin60\\degree-3\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\times5\\times\\sin60\\degree)$ $=\\frac{49\\sqrt{3}}{4}-\\frac{15\\sqrt{3}}{2}$ $=$$\\frac{19\\sqrt{3}}{4}$ $(cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$45\\degree<a<90\\degree$일 때, $\\sqrt{(1-\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\tan A+\\tan45\\degree)^2}$을 간단히 하여라.", | |
| "answer": "$45\\degree<a<90\\degree$일 때, $0<\\tan45\\degree=1<\\tan A$이므로 $1-\\tan A<0$ $\\tan A+\\tan45\\degree$$=\\tan A+1>0$ $∴ \\sqrt{(1-\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\tan A+\\tan45\\degree)^2}$ $=$$\\sqrt{(1-\\tan A)^2}-\\sqrt{(\\tan A+1)^2}$ $=$$-(1-\\tan A)-(\\tan A+1)$ $=$$-1+\\tan A-\\tan A-1$ $=$$-2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같은 마름모 $ABCD$에서 $\\angle B=135\\degree$일때, 다음 물음에 답하여라. (1) 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이를 구하여라. (2) 마름모 $ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 $5x-3=x+9$ $4x=12$ ∴ $x=3$ 따라서 마름모 $ABCD$의 한 변의 길이는 $5x-3=5\\times3-3=12 (cm)$ (2) (마름모 $ABCD$의 넓이) = $12\\times12\\times\\times \\sin(180\\degree - 135\\degree)$ $=$$12\\times12\\times\\times \\sin45\\degree =12 \\times 12 \\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$72\\sqrt{2}$ ($cm^2)\\\\$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 직육면체에서 $\\overline{FG}=2\\sqrt{6}$, $\\angle AFE=60\\degree$, $\\angle CFG=45\\degree$이다. $\\angle CAF=\\angle x$라 할 때, $\\cos\\frac{x}{2}$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle CFG$에서 $\\cos45\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\overline{CF}}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $∴ \\overline{CF}$$=4\\sqrt{3}$ $\\tan45\\degree$$=\\frac{\\overline{CG}}{2\\sqrt{6}}=1$ $∴ \\overline{CG}$$=2\\sqrt{6}$ $\\triangle AEF$에서 $\\sin60\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\overline{AF}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $∴ \\overline{AF}$$=4\\sqrt{2}$ $\\tan60\\degree$$=\\frac{2\\sqrt{6}}{\\overline{EF}}=\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{EF}$$=2\\sqrt{2}$ 위 그림과 같이 $\\angle CAF$의 이등분선이 $\\overline{CF}$와 만나는 점을 $M$이라 하면 $\\triangle AFC$는 $\\overline{AC}=\\overline{AF}$인 이등변삼각형이므로 $\\overline{AM}\\bot\\overline{CF}$이고 $\\overline{FM}=\\frac{1}{2}\\overline{CF}=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{3}=2\\sqrt{3}$ $\\triangle AFM$에서 $\\overline{AM}$$=\\sqrt{(4\\sqrt{2})^2-(2\\sqrt{3})^2}$$=2\\sqrt{5}$ $∴ \\cos\\frac{x}{2}$$=\\cos(\\angle FAM)$$=\\frac{\\overline{AM}}{\\overline{AF}}$$=\\frac{2\\sqrt{5}}{4\\sqrt{2}}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times142\\degree$$=284\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-284\\degree$$=76\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times76\\degree=38\\degree$ $∴$ $\\angle x-\\angle y$$=284\\degree-38\\degree$$=246\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $2\\sqrt{3}$인 원 $O$에 정육각형이 내접할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하려고 한다. (1) 원 $O$의 넓이를 구하여라. (2) 정육각형의 넓이를 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times(2\\sqrt{3})^2$$=12\\pi$ (2) 정육각형은 합동인 $6$개의 정삼각형으로 나누어지므로 $(정육각형의 넓이)$$=6\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}\\times\\sin60\\degree)$ $=6\\times(\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{3}\\times2\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2})$ $=$$18\\sqrt{3}$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $12\\pi-18\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\triangle ABC$에서 세 내각의 크기의 비는 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle B<\\angle A<\\angle C$일 때, $\\sin A\\times\\cos(B+15\\degree)\\times\\tan(C-15\\degree)$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "세 내각의 크기의 비가 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle B<\\angle A<\\angle C$이므로 $\\angle A=180\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=60\\degree$ $\\angle B=180\\degree\\times\\frac{3}{3+4+5}=45\\degree$ $\\angle C=180\\degree\\times\\frac{5}{3+4+5}=75\\degree$ $∴\\sin A=\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\cos(B+15\\degree)=\\cos(45\\degree+15\\degree)=\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$ $\\tan(C-15\\degree)=\\tan(75\\degree-15\\degree)=\\tan60\\degree=\\sqrt{3}$ $∴ \\sin A\\times\\cos(B+15\\degree)\\times\\tan(C-15\\degree)=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times\\frac{1}{2}\\times\\sqrt{3}=\\frac{3}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 돌담 위에 지면과 수직으로 세워진 기념비의 높이 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$의 연장선과 $\\overline{CD}$의 연장선이 만나는 점을$E$라 하면 $\\triangle BDE$에서 $\\overline{DE}=5\\sqrt{2}\\cos45\\degree$$=5\\sqrt{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$=5$ $(m)$ $∴$ $\\overline{CE}$$=\\overline{CD}+\\overline{DE}$$=3+5$$=8 (m)$ $\\triangle ACE$에서 $\\overline{AE}=8\\tan60\\degree$$=8\\times\\sqrt{3}$$=8\\sqrt{3} (m)$ $\\triangle BDE$는 직각이등변삼각형이므로 $\\overline{BE}=\\overline{DE}=5 m$ $∴$ $\\overline{AB}$$=\\overline{AE}-\\overline{BE}$$=8\\sqrt{3}-5$ $(m)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "(2) $\\triangle{BCO}$의 넓이를 구하여라. 오른쪽 그림과 같이 $\\triangle{ABC}$는 반지름의 길이가 $10$인 원 $O$에 내접하고 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} :\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CA} =3:5:4$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $\\angle {BOC}$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $\\angle BOC=360\\degree\\times\\frac{5}{3+5+4}=150\\degree$ (2) $\\overline{OB}=\\overline{OC}=10$이므로 $\\triangle{BCO}=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times sin(180\\degree-150\\degree)=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\sin 30\\degree=\\frac{1}{2}\\times10\\times10\\times\\frac{1}{2}$ $=$$25$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림의 직사각형 $ABCD$에서 $\\overline{AH}\\bot\\overline{BD}$이고 $\\angle{DAH}=\\angle{X}$, $\\overline{AB}=8$, $\\overline{BC}=15$일 때, $\\sin x-\\cos x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ABD$와 $\\triangle HAD$에서 $\\angle ADB$는 공통, $\\angle BAD=\\angle AHD=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABD \\backsim \\triangle HAD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABD$$=\\angle HAD$$=\\angle x$ $\\triangle ABD$에서 $\\overline{BD}=\\sqrt{8^2+15^2}=\\sqrt{289}=17$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AD}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{15}{17}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{AB}}{\\overline{BD}}$$=\\frac{8}{17}$ $∴ \\sin x-\\cos x$$=\\frac{15}{17}-\\frac{8}{17}$$=\\frac{7}{17}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $4\\sqrt{2} cm$인 반원 $O$에 내접하는 $\\square ABCD$가 있다. $\\angle A=30\\degree$, $\\overline{BC}=\\overline{CD}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$, $\\overline{OD}$를 그으면 $\\triangle AOD$는 이등변삼각형이므로 $\\angle AOD$$=180\\degree-2\\times30\\degree$$=120\\degree$ $∴$$\\triangle AOD=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\sin(180\\degree-120\\degree) =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\sin60\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\frac{\\sqrt3}{2} =8\\sqrt{3} (cm^2)$ 한 원에서 현의 길이가 같은 부채꼴은 중심각의 크기가 같으므로 $\\angle BOC=\\angle COD=30\\degree$ $∴$$\\triangle BCO=\\triangle CDO =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\sin30\\degree =\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt2\\times4\\sqrt2\\times\\frac{1}{2} =8 (cm^2)$ $∴$$□ABCD =\\triangle AOD+\\triangle BCO+\\triangle CDO =8\\sqrt{3}+8+8 =16+8\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 점 $M$은 $\\overline{BC}$의 중점이고 $\\angle BAD : \\angle ABC=2 : 1$일 때, $\\triangle AMC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BAD=180\\degree\\times\\frac{2}{3}=120\\degree$이므로 $\\square ABCD$$=$$8\\times12\\times \\sin(180\\degree-120\\degree)$ $=$$8\\times12\\times \\sin60\\degree$ $=$$8\\times12\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $=$$48\\sqrt{3}$ $∴ \\triangle AMC$$=\\frac{1}{4}\\square ABCD$$=\\frac{1}{4}\\times48\\sqrt{3}$$=12\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $1$인 사분원에서 $\\overline{AB}=0.7431$일 때, 삼각비의 표를 이용하여 $\\overline{CD}-\\overline{BD}$의 길이를 구하여라. <table border> <tbody> <tr> <td>각도</td> <td>사인$(\\sin)$</td> <td>코사인$(\\cos)$</td><td>탄젠트$(\\tan)$</td> </tr> <tr> <td>$47\\degree$</td> <td>$0.7314$</td> <td>$0.6820$</td><td>$1.0724$</td> </tr> <tr> <td>$48\\degree$</td> <td>$0.7431$</td> <td>$0.6691$</td><td>$1.1106$</td> </tr> <tr> <td>$49\\degree$</td> <td>$0.7547$</td> <td>$0.6561$</td><td>$1.1504$</td> </tr> <tr> <td>$50\\degree$</td> <td>$0.7660$</td> <td>$0.6428$</td><td>$1.1918$</td> </tr> </tbody> </table>", | |
| "answer": "$\\angle AOB=\\angle x$라 하면 $\\triangle AOB$에서 $\\overline{AB}=\\sin x=0.7431$ 주어진 삼각비의 표에서 $\\sin48\\degree=0.7431$이므로 $\\angle x=48\\degree$ $\\triangle COD$에서 $\\overline{CD}=\\tan48\\degree=1.1106$ $\\triangle AOB$에서 $\\overline{OB}=\\cos48\\degree=0.6691$이므로 $\\overline{BD}=\\overline{OD}-\\overline{OB}=1-0.6691=0.3309$ $∴ \\overline{CD}-\\overline{BD}=1.1106-0.3309=0.7797$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $150\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=33$, $ \\overline{OC}=8$, $\\overline{OD}=6$이고 $\\triangle BCO$의 넓이가 $30$일 때, $ \\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", | |
| "answer": "$\\angle BOC$$=180\\degree-150\\degree$$=30\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times8\\times\\overline{BO}\\times\\sin30\\degree=30$ $2\\overline{BO}=30$ $∴$ $\\overline{BO}=15$ $\\overline{BD}=6+15=21$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=33$이므로 $\\overline{AC}=33-21=12$ $ \\therefore \\square ABCD = \\frac{1}{2} \\times 12 \\times 21 \\times sin 30\\degree=\\frac{1}{2} \\times 12 \\times 21 \\times \\frac{1}{2} $ $=63$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square BDEC$는 한 변의 길이가 $8 cm$인 정사각형일 때, $\\triangle ABD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{BC}=8 cm$이므로 $\\overline{AB}=8\\sin30\\degree$$=8\\times\\frac{1}{2}$$=4 (cm)$ $\\angle ABC=60\\degree$이므로 $\\angle ABD=60\\degree+90\\degree=150\\degree$ $∴$ $\\triangle ABD$ $ = \\frac{1}{2}\\times 4 \\times 8 \\times \\sin(180\\degree -150\\degree$) $=\\frac{1}{2}\\times 4 \\times 8 \\times \\sin30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times 4 \\times 8 \\times \\frac{1}{2}$ $=$$8 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $90\\sqrt{3} cm^2$일 때, $\\angle B$의 크기를 구하여라. (단, $90\\degree<\\angle B<180\\degree$)", | |
| "answer": "$15\\times12\\times\\sin(180\\degree-B)$$=90\\sqrt{3}$이므로 $180\\sin(180\\degree-B)=90\\sqrt{3}$ $\\therefore$ $\\sin(180\\degree-B)=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $180\\degree-B=60\\degree$ $\\therefore$ $\\angle B=120\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$0\\degree<a<90\\degree$일 때, $\\sqrt{(1-\\cos A)^2}-\\sqrt{(\\cos A-\\tan45\\degree)^2}$을 간단히 하여라.", | |
| "answer": "$0\\degree<A<90\\degree$일 때, $0<\\cos A<1$이므로 $1-\\cos A>0$ $\\cos A-\\tan45\\degree$$=\\cos A-1<0$ ∴ $\\sqrt{(1-\\cos A)^2}-\\sqrt{(\\cos A-\\tan45\\degree)^2}$ $=$$\\sqrt{(1-\\cos A)^2}-\\sqrt{(\\cos A-1)^2}$ $=$$(1-\\cos A)-\\lbrace-(\\cos A-1)\\rbrace$ $=$$1-\\cos A+\\cos A-1$ $=$$0$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "두 척의 배가 지점 $O$에서 동시에 출발하여 서로 다른 방향으로 시속 $12 km$, $9 km$로 달려서 $20$ 분 후 두 지점 $P$, $Q$에 각각 이르렀다. $\\angle POR=40\\degree$, $\\angle QOR=20\\degree$일 때, 두 배 사이의 거리를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{OP}$$=12\\times\\frac{20}{60}$$=4$ $(km)$ $\\overline{OQ}$$=9\\times\\frac{20}{60}$$=3$ $(km)$ 위 그림과 같이 점 $P$에서 $\\overline{OQ}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\triangle HPO$에서 $\\overline{PH}=4\\sin60\\degree$$=4\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=2\\sqrt{3}$ $(km)$ $\\overline{OH}=4\\cos60\\degree$$=4\\times\\frac{1}{2}$$=2$ $(km)$ 따라서 $\\overline{HQ}$$=3-2$$=1 (km)$이므로 $\\overline{PQ}=\\sqrt{(2\\sqrt{3})^2+1^2}$$=\\sqrt{13} (km)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 합동인 마름모 모양의 종이 $8장$을 서로 겹치는 부분이 없도록 이어 붙인 도형이 있다. 마름모의 한 변의 길이가 $3 cm$일 때, 이 도형의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 마름모에 각각 대각선을 그으면 주어진 도형은 합동인 $16$ 개의 이등변삼각형으로 나누어진다. 이때 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}=45\\degree$이므로 구하는 도형의 넓이는 $16\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\sin45\\degree)$ $=$$16\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$ $=$$36\\sqrt{2}$ ($cm^2$)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$이고 $\\overline{AC}=10$인 $\\square ABCD$의 넓이가 $30\\sqrt{3}$일 때, $\\overline{BD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{BD}\\times\\sin(180\\degree-120\\degree)=30\\sqrt{3}$이므로 $\\frac{1}{2}\\times10\\times\\overline{BD}\\times\\sin60\\degree=30\\sqrt{3}$ $\\frac{5\\sqrt{3}}{2}\\overline{BD}=30\\sqrt{3}$ $∴ \\overline{BD}=12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$에서 두 대각선의 교점을 $O$라고 하자. $\\angle BAD : \\angle ADC=3 : 1$이고 $\\overline{AD}=12 cm$, $\\overline{CD}=10 cm$일 때, $\\triangle CDO$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle ADC=180\\degree\\times\\frac{1}{4}=45\\degree$이므로 $\\triangle$$=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times10\\times\\sin45\\degree$ $=$$\\frac{1}{2}\\times12\\times10\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $=$$30\\sqrt{2} (cm^2)$ $∴ \\triangle CDO=\\frac{1}{2}\\triangle ACD=\\frac{1}{2}\\times30\\sqrt{2}=15\\sqrt{2} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$\\triangle ABC$에서 세 내각의 크기의 비는 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle C\\lt\\angle B\\lt\\angle A$일 때, $\\sin(A-15\\degree)\\times\\cos(B-15\\degree)\\times\\tan C$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "세 내각의 크기의 비가 $3 : 4 : 5$이고 $\\angle C<\\angle B<\\angle A$이므로 $\\angle A=180\\degree\\times\\frac{5}{3+4+5}=75\\degree$ $\\angle B=180\\degree\\times\\frac{4}{3+4+5}=60\\degree$ $\\angle C=180\\degree\\times\\frac{3}{3+4+5}=45\\degree$ $∴$$\\sin(A-15\\degree)=\\sin(75\\degree-15\\degree)=\\sin60\\degree=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $\\cos(B-15\\degree)=\\cos(60\\degree-15\\degree)=\\cos45\\degree=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ $\\tan C=\\tan45\\degree=1$ $∴$ $\\sin(A-15\\degree)\\times\\cos(B-15\\degree)\\times\\tan C$$=\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\times1$$=\\frac{\\sqrt{6}}{4}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 $3$인 원O에 정팔각형이 내접할 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하려고 한다. (1) 원 O의 넓이를 구하여라. (2) 정팔각형의 넓이를 구하여라. (3) 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times3^2$$=9\\pi$ (2) 정팔각형은 합동인$8$ 개의 이등변삼각형으로 나누어지고 이등변삼각형의 꼭지각의 크기는 $\\frac{360\\degree}{8}$$=45\\degree$이므로 $(정팔각형의 넓이)$$= 8\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\ \\sin45\\degree)$ $=$$8\\times(\\frac{1}{2}\\times3\\times3\\times\\frac{\\sqrt{2}}{2})$$=$$18\\sqrt{2}$ (3) 색칠한 부분의 넓이는 $9\\pi-18\\sqrt{2}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 점 $H$에서 작은 원에 접한다. 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $3 : 4$이고 $\\overline{AB}=4\\sqrt{7}$ 일때, 큰 원의 반지름의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times4\\sqrt{7}$$=2\\sqrt{7}$ 작은 원과 큰 원의 반지름의 길이의 비는 $3 : 4$이므로 $\\overline{OA}=4a$, $\\overline{OH}=3a$$(a>0)$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $(2\\sqrt{7})^2+(3a)^2=(4a)^2$ $a^2=4$ 이때 $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{4}$$=2$ 따라서 큰 원의 반지름의 길이는 $4a=4\\times2=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 중심에서 두 현 $AB$, $CD$에 내린 수선의 발을 각각 $M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AB}$$=\\overline{CD}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. ", | |
| "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=5 cm$ $∴$$x=5$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AB}=\\overline{CD}$이므로 $\\overline{CN}=\\overline{DN}=\\overline{BM}=\\overline{AM}=15 cm$ $\\triangle CNO$에서 $y=\\sqrt{5^2+15^2}=\\sqrt{250}=5\\sqrt{10}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고, $\\overline{AB}$와 $\\overline{CD}$의 연장선의 교점을 $P$, $\\overline{AD}$와 $\\overline{BC}$의 연장선의 교점을 $Q$라 하자. $\\angle P=42\\degree$, $\\angle Q=26\\degree$일 때, $\\angle BAD$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BCD=\\angle x$라 하면 $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $\\angle BAQ$$=\\angle BCD$$=\\angle x$ $\\triangle BCP$에서 $\\angle PBQ$$=\\angle x+42\\degree$ $\\triangle AQB$에서 $\\angle x+26\\degree+(\\angle x+42\\degree)=180\\degree$ $2\\angle x+68\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle x=56\\degree$ 이때 $\\angle BAD+\\angle x=180\\degree$이므로 $\\angle BAD+56\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle BAD=124\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원 $O$에 내접하고 $\\angle BAD=77\\degree$일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BOD$$=2\\angle BAD$$=2\\times77\\degree$$=154\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle BAD+\\angle BCD=180\\degree$ $77\\degree+\\angle BCD=180\\degree$ $∴ \\angle BCD=103\\degree$ $\\square BCDO$에서 $\\angle x+103\\degree+\\angle y+154\\degree=360\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=103\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 평행사변형 $ABCD$의 넓이가 $24\\sqrt{2}$이고 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 3$일 때, $\\square$$ABCD$의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=1 : 3$이므로 $\\overline{AB}=a(a>0$)라 하면 $\\overline{BC}=3a$이다. $a\\times3a\\times\\sin45\\degree=24\\sqrt{2}$이므로 $\\frac{3\\sqrt{2}}{2}a^2=24\\sqrt{2}$ $a^2=16$ 이때 $a>0$이므로 $a=4$ $ \\therefore (\\square ABCD의 둘레의 길이)$$=2(a+3a)$$=8a$$=8\\times4$$=32$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\angle BAC=\\angle CAD=\\angle DAE=\\angle EAF=30\\degree$, $\\angle B=\\angle ACD=\\angle ADE=\\angle AEF=90\\degree$이고 $\\overline{AF}=16\\sqrt{2} cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle AEF$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AE}}{16\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AE}=16\\sqrt{6}$ $\\therefore$ $\\overline{AE}$$=8\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle ADE$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AD}}{8\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AD}=24\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $\\overline{AD}$$=12\\sqrt{2} (cm)$ $\\triangle ACD$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AC}}{12\\sqrt{2}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ $2\\overline{AC}=12\\sqrt{6}$ $\\therefore$ $\\overline{AC}$$=6\\sqrt{6} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\cos30\\degree=\\frac{\\overline{AB}}{6\\sqrt{6}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$이므로 $2\\overline{AB}=18\\sqrt{2}$ $\\therefore$ $\\overline{AB}$$=9\\sqrt{2} (cm)$ $\\sin30\\degree=\\frac{\\overline{BC}}{6\\sqrt{6}}=\\frac{1}{2}$이므로 $2\\overline{BC}=6\\sqrt{6}$ $\\therefore$ $\\overline{BC}$$=3\\sqrt{6} (cm)$ $\\therefore$ $ \\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times9\\sqrt{2}\\times3\\sqrt{6}$$=27\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$=$$24\\sqrt{3}$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=8\\sqrt{3}\\sin60\\degree$$=8\\sqrt{3}\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=12$이므로 $\\overline{CD}=\\overline{AC}=12$ $\\angle ACB$$=180\\degree-(90\\degree+60\\degree)$$=30\\degree$이므로 $\\angle ACD$$=90\\degree-30\\degree$$=60\\degree$ $=$$36\\sqrt{3}$ $∴ \\square ABCD$$=\\triangle ABC+\\triangle ACD$$=24\\sqrt{3}+36\\sqrt{3}$$=60\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$에서 $\\angle BAE=110\\degree$, $\\angle BOC=64\\degree$일 때, $\\angle CDE$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BD}$를 그으면 $\\angle BDC=\\frac{1}{2}\\angle BOC=\\frac{1}{2}\\times64\\degree=32\\degree$ $\\square ABDE$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle BAE+\\angle BDE=180\\degree$ $110\\degree+\\angle BDE=180\\degree$ $∴ \\angle BDE=70\\degree$ $∴ \\angle CDE$$=\\angle BDC+\\angle BDE$$=32\\degree+70\\degree$$=102\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 반지름의 길이가 $5 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{CM}$이 $\\overline{AB}$를 수직이등분하고 $\\overline{AB}=8 cm$일 때, $\\overline{CM}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=5 cm$, $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times8=4 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{5^2-4^2}=\\sqrt{9}=3 (cm)$ $\\overline{OC}=5 cm$이므로 $\\overline{CM}$$=5-3$$=2 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 \\(15\\%\\)늘이고, $\\overline{AC}$의 길이를 \\(20\\%\\) 줄여서 새로운 $\\triangle AB'C'$을 만들 때, $\\triangle AB'C'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB'}$은 $\\overline{AB}$의 길이를 $15 \\%$ 늘였으므로 $\\overline{AB'}=\\frac{115}{100}\\overline{AB}=\\frac{23}{20}\\overline{AB}$ $\\overline{AC'}$은 $\\overline{AC}$의 길이를 $20 \\%$ 줄였으므로 $\\overline{AC'}=\\frac{80}{100}\\overline{AC}=\\frac{4}{5}\\overline{AC}$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{AC}\\times\\sin A$이므로 $\\triangle AB'C'$$=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB'}\\times\\overline{AC'}\\times\\sin A$ $=$$\\frac{1}{2}\\times\\frac{23}{20}\\overline{AB}\\times\\frac{4}{5}\\overline{AC}\\times\\sin A$ $=$$\\frac{23}{25}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{AC}\\times\\sin A)$ $=$$\\frac{23}{25}\\times\\triangle ABC$ $=$$0.92\\times\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle AB'C'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $8$ $\\%$ 줄어든다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변 $AB$, $AD$, $BC$와 접한다. $\\overline{DE}$가 원 $O$의 접선일 때, $\\overline{BE}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle CDE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{25^2-20^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{AB}=\\overline{CD}=20 cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=(x+15) cm$ $\\overline{AB}+\\overline{DE}=\\overline{AD}+\\overline{BE}$이므로 $20+25=(x+15)+x$ $2x=30$ $∴ x=15$ 따라서 $\\overline{BE}$의 길이는 $15 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 O의 중심에서 두 현 $AD,BC$에 내린 수선의 발을 각각$ M$, $N$이라고 하자. $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라.", | |
| "answer": "한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{OM}=\\overline{ON}=10$ cm $∴$ $x=10$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고 $\\overline{AD}=\\overline{BC}$이므로 $\\overline{BN}=\\overline{CN}=\\overline{AM}=\\overline{DM}=24 cm$ $\\triangle BNO$에서 $y=\\sqrt{24^2+10^2}=\\sqrt{676}=26$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AD}=5 cm$, $\\overline{CD}=10 cm$, $\\angle B=90\\degree$, $\\angle D=120\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AB} : \\overline{BC}=\\sqrt{3} : 2$이므로 $\\overline{AB}=\\sqrt{3}k cm$, $\\overline{BC}=2k cm$$(k>0)$라 하자. 위 그림과 같이 꼭짓점 $C$에서 $\\overline{AD}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\\angle CDH=60\\degree$이므로 $\\triangle CHD$에서 $\\overline{CH}=10\\sin60\\degree=10\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}=5\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{DH}=10\\cos60\\degree$$=10\\times\\frac{1}{2}$$=5 (cm)$ $\\triangle ACH$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{10^2+(5\\sqrt{3})^2}$$=5\\sqrt{7} (cm)$ $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AC}=\\sqrt{(\\sqrt{3}k)^2+(2k)^2}$$=\\sqrt{7}k (cm)$ $\\sqrt{7}k=5\\sqrt{7}$ $∴$ $k=5$ 따라서 $\\overline{AB}=5\\sqrt{3} cm$, $\\overline{BC}=10 cm$이므로 $=$$\\frac{75\\sqrt{3}}{2} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 두 직선 $PT$, $QT'$이 각각 두 원 $O$, $O'$의 접선일 때, $\\angle x+\\angle y$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 원 $O$에서 $\\angle APT$$=\\angle ABP$$=64\\degree$이므로 $\\angle x$$=180\\degree-(58\\degree+64\\degree)$$=58\\degree$ 원 $O'$에서 $\\angle DCQ=\\frac{1}{2}\\angle DO'Q=\\frac{1}{2}\\times70\\degree=35\\degree$이므로 $\\angle y$$=\\angle DCQ$$=35\\degree$ $∴ \\angle x+\\angle y$$=58\\degree+35\\degree$$=93\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$, $\\overline{CD}\\bot\\overline{ON}$이고 $\\overline{OM}$$=\\overline{ON}$이다. $\\overline{AM}=8 cm$일 때, $3x-y$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BM}=\\overline{AM}=8 cm$ $∴$ $x$$=8$ 한 원에서 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로 $\\overline{CD}=\\overline{AB}=8+8=16 (cm)$ $∴$ $y$$=16$ $∴$ $3x-y$$=3\\times8-16$$=8$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 모양의 깨진 접시를 복원하려고 한다. $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CM}$이고 $\\overline{BM}=8\\sqrt{2} cm$, $\\overline{CM}=8 cm$일 때, 원래 이 접시의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OC}=\\overline{OB}=r cm$이므로 $\\overline{OM}=(r-8) cm$ $\\triangle BOM$에서 $(8\\sqrt{2})^2+(r-8)^2=r^2$ $16r=192$ $∴$ $r=12$ 따라서 이 접시의 반지름의 길이는 $12 cm$이므로 원래 이 접시의 넓이는 $\\pi\\times12^2$$=144\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\angle CBD=37\\degree$, $\\angle ACB=52\\degree$, $\\angle ADC=90\\degree$일 때, $\\angle x$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $(\\angle x+37\\degree)+90\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle x=53\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ ∴ $\\triangle APB\\sim\\triangle CPD$ (AA 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $4 : 8=6 : \\overline{DP}$ $4\\overline{DP}=48$ $∴$ $\\overline{DP}$$=12 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ECF=62\\degree$, $\\angle DFE=54\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle CEF$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-62\\degree)$$=59\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle CEF$$=59\\degree$ $\\angle BED$$=\\angle DFE$$=54\\degree$이고 $\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-54\\degree\\times2$$=72\\degree$ $∴ \\angle y-\\angle x=72\\degree-59\\degree=13\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$가 원 $O$의 지름이고 $\\angle CAD=23\\degree$, $\\angle ADB=22\\degree$일 때, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대한 중심각의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ABD$$=90\\degree$ $\\triangle ABD$에서 $\\angle BAC$$=180\\degree-(23\\degree+90\\degree+22\\degree)$$=45\\degree$ $\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times45\\degree$$=90\\degree$ 따라서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC} $에 대한 중심각의 크기는 $90\\degree$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\angle x-\\angle y$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "한 호에 대한 중심각의 크기는 그 호에 대한 원주각의 크기의 $2$ 배이므로 $\\angle x$$=2\\angle BCD$$=2\\times124\\degree$$=248\\degree$ 이때 $\\angle BOD$$=360\\degree-248\\degree$$=112\\degree$이고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle y=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times112\\degree=56\\degree$ $∴ \\angle x-\\angle y$$=248\\degree-56\\degree$$=192\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 현 $AD$, $BC$의 연장선의 교점을 $P$라 할 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle APB$와 $\\triangle CPD$에서 $\\angle P$는 공통, $\\angle PBA=\\angle PDC$ $∴ \\triangle APB\\sim\\triangle CPD$ ($AA$ 닮음) $\\overline{AB} : \\overline{CD}=\\overline{BP} : \\overline{DP}$ $5 : 8=8 : \\overline{DP}$ $5\\overline{DP}=64$ $∴ \\overline{DP}$$=\\frac{64}{5} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{BP}$는 $\\overline{AC}$를 지름으로 하고 반지름의 길이가 $12 cm$인 원 $O$의 접선이고 점 $B$는 그 접점이다. $\\angle CBP=30\\degree$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{BP}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CBP$$=30\\degree$ $\\angle ABC$$=90\\degree$이므로 직각삼각형 $ABC$에서 $\\overline{AB}=24\\cos30\\degree$$=24\\times\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=12\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{BC}=24\\sin30\\degree$$=24\\times\\frac{1}{2}$$=12 (cm)$ $\\therefore$ $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times12\\times12\\sqrt{3}$$=72\\sqrt{3} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$인 원 모양의 접시에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=26 cm$, $\\overline{OM}=6 cm$일 때, 이 접시의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times26$$=13 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{13^2+6^2}=\\sqrt{205} (cm)$ 따라서 이 접시의 넓이는 $\\pi\\times(\\sqrt{205})^2$$=205\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{OB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BH}=\\overline{AH}=12 cm$ 원의 반지름 $OB$의 길이를 $r cm$라고 하면 $\\overline{OH}=(r-8) cm$이므로 $\\triangle BHO$에서 $(r-8)^2+12^2=r^2$ $16r=208$ ∴ $r=13$ 따라서 $\\overline{OB}$의 길이는 $13 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 원 O에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{ON}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{OM}=3 cm$, $\\overline{ON}=2 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AN}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AON$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+2^2}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5} (cm)$ $\\overline{OC}$$=\\overline{OA}$$=2\\sqrt{5} cm$ $\\triangle COM$에서 $\\overline{CM}=\\sqrt{(2\\sqrt{5})^2-3^2}$$=\\sqrt{11}(cm)$ $∴$ $\\overline{BC}=2\\overline{CM}$$=2\\sqrt{11}(cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AD}$, $\\overline{AE}$, $\\overline{BC}$는 $원 O$의 접선이고 $세 점 D, E, F$는 그 접점이다. $\\overline{OA}=\\sqrt{13}cm$, $\\overline{OD}=2cm$일 때, $\\triangle{ABC}$의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle ADO$는 직각삼각형이므로 $\\overline{AD}=\\sqrt{(\\sqrt{13})^2-2^2}=\\sqrt{9}=3 (cm)$ $\\overline{BD}=\\overline{BF}$, $\\overline{CE}=\\overline{CF}$, $\\overline{AD}=\\overline{AE}$이므로 $(\\triangle{ABC}의 둘레의 길이)=\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}=\\overline{AD}+\\overline{AE}=2\\overline{AD}$ $=$$2\\times3$$=$$6 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 대각선이 이루는 각의 크기가 $120\\degree$인 $\\square ABCD$에서 $\\overline{AC}+\\overline{BD}=30$, $\\overline{OC}=8$, $\\overline{OD}=6$이고 $\\triangle AOD$의 넓이가 $6\\sqrt{3}$일 때, $\\square ABCD$의 넓이를 구하여라. (단, 점 $O$는 두 대각선의 교점이다.)", | |
| "answer": "$\\angle AOD$$=180\\degree-120\\degree$$=60\\degree$이므로 $\\frac{1}{2}\\times6\\times\\overline{AO}\\times\\sin60\\degree=6\\sqrt{3}$ $\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\overline{AO}=6\\sqrt{3}$ $∴$ $\\overline{AO}=4$ $\\overline{AC}=4+8=12$, $\\overline{AC}+\\overline{BD}=30$이므로 $\\overline{BD}=30-12=18$ $ ∴$ $\\square ABCD = \\frac{1}{2}\\times12\\times18\\times sin60\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times12\\times18\\times \\frac{\\sqrt3}{2}$ $=$$54\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=8 cm$, $\\overline{OH}=3 cm$일 때, 원 $O$의 둘레의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+3^2}=\\sqrt{25}=5 (cm)$ 따라서 원 $O$의 둘레의 길이는 $2\\pi\\times5$$=10\\pi (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square$$ABCD$는 한 변의 길이가 $12 cm$인 정사각형이다. $\\overline{AE}$는 $\\overline{BC}$가 지름인 반원 $O$의 접선이고 점 $F$는 그 접점일 때, $\\overline{AE}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{EF}=x cm$라고 하면 $\\overline{AF}=\\overline{AB}=12 cm$이고 $\\overline{EC}=\\overline{EF}=x cm$이므로 $\\overline{AE}=(12+x) cm$, $\\overline{DE}=(12-x) cm$ $\\triangle AED$에서 $12^2+(12-x)^2=(12+x)^2$ $48x=144$ $∴ x=3$ $∴ \\overline{AE}$$=12+3$$=15 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AD}\\bot\\overline{ON}$, $\\overline{BC}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{OM}=6 cm$, $\\overline{ON}=5 cm$, $\\overline{AD}=8 cm$일 때, $\\overline{BC}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AN}=\\frac{1}{2}\\overline{AD}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$, $\\overline{OC}$를 그으면 $\\triangle AON$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{4^2+5^2}=\\sqrt{41} (cm)$ $\\overline{OC}$$=\\overline{OA}$$=\\sqrt{41} cm$ $\\triangle COM$에서 $\\overline{CM}=\\sqrt{(\\sqrt{41})^2-6^2}$$=\\sqrt{5}(cm)$ $ ∴ $ $\\overline{BC}=2\\overline{CM}$$=2\\sqrt{5}$ $ (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$8$ 개의 수 $12$, $9$, $13$, $8$, $12$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $10$, 최빈값이 $8$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 자연수, $a<c$)", | |
| "answer": "$12$가 두 번 나타나는데 최빈값이 $8$이므로 $8$은 세 번 이상 나타나야 한다. $a$, $b$, $c$ 중에서 적어도 두 수는 $8$이고 $a<c$이므로 $a=b=8$ 또는 $b=c=8$ $(ⅰ)$ $b=c=8$인 경우 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $a$, $8$, $8$, $8$, $9$, $12$, $12$, $13$ 이므로 중앙값은 $\\frac{8+9}{2}=8.5$가 되어 주어진 중앙값과 다르다. $(ⅱ)$ $a=b=8$인 경우 중앙값이 $10$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $8$, $8$, $8$, $9$, $c$, $12$, $12$, $13$이어야 한다. $\\frac{9+c}{2}=10$에서 $c=11$ $∴$ $a=8$, $b=8$, $c=11$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$인 원 모양의 시계에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OM}$이고 $\\overline{AB}=24 cm$, $\\overline{OM}=9 cm$일 때, 이 시계의 넓이를 구하여라. $cm^2$", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times24$$=12 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AMO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{12^2+9^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ 따라서 이 시계의 넓이는 $\\pi\\times15^2$$=225\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB} \\bot \\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\frac{1}{2}\\times(9+25)=17$ ($cm$) $\\overline{OA}=\\overline{OC}=17$ $cm$이므로 $\\overline{OP}=17-9=8$ ($cm$) $\\triangle CPO$에서 $\\overline{CP}=\\sqrt{17^2-8^2}=\\sqrt{225}=15 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CP}$$=2\\times15$$=30 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 호 $AB$는 반지름의 길이가 $10 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{CM}$이 $\\overline{AB}$를 수직이등분하고 $\\overline{AB}=16 cm$일 때, $\\overline{CM}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=10 cm$, $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times16=8 (cm)$ $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{10^2-8^2}=\\sqrt{36}=6 (cm)$ $\\overline{OC}=10 cm$이므로 $\\overline{CM}$$=10-6$$=4 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 $O$ 위의 점 $C$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자. $\\overline{AB}=12, \\overline{BC}=3\\sqrt{10}, $$\\angle ACD=\\angle x$일 때, $\\sin x\\times\\cos x$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "반원에 대한 원주각의 크기는 $90\\degree$이므로 $\\angle ACB$$=90\\degree$ $\\triangle ABC$와 $\\triangle ACD$에서 $\\angle BAC$는 공통, $\\angle ACB=\\angle ADC=90\\degree$ 이므로 $\\triangle ABC \\backsim \\triangle ACD$ ($AA$ 닮음) $∴ \\angle ABC=\\angle ACD=\\angle x$ $\\overline{AC}=\\sqrt{12^2-(3\\sqrt{10})^2}=\\sqrt{54}=3\\sqrt{6}$이므로 $\\sin x$$=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3\\sqrt{6}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{6}}{4}$ $\\cos x$$=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}$$=\\frac{3\\sqrt{10}}{12}$$=\\frac{\\sqrt{10}}{4}$ $∴ \\sin x\\times\\cos x$$=\\frac{\\sqrt{6}}{4}\\times\\frac{\\sqrt{10}}{4}$$=\\frac{\\sqrt{15}}{8}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 중심이 $O$인 원 모양의 액자에서 $\\overline{AB}\\bot\\overline{OH}$이고 $\\overline{AB}=14 cm$, $\\overline{OH}=7 cm$일 때, 이 액자의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times14$$=7 (cm)$ 위 그림과 같이 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\triangle AHO$에서 $\\overline{OA}=\\sqrt{7^2+7^2}=\\sqrt{98}=7\\sqrt{2} (cm)$ 따라서 이 액자의 넓이는 $\\pi\\times(7\\sqrt{2})^2$$=98\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림의 원 $O$에서 $\\overline{AD}$$\\bot$$\\overline{OM}$이고 $\\overline{AD}$$=\\overline{BC}$이다. $\\overline{OC}=26 cm$, $\\overline{OM}=10 cm$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 현 $BC$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하면 한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있으므로 $\\overline{ON}$$=\\overline{OM}$$=10 cm$ $\\triangle CON$에서 $\\overline{CN}=\\sqrt{26^2-10^2}=\\sqrt{576}=24 (cm)$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{BC}=2\\overline{CN}$$=2\\times24$$=48 (cm)$ $∴$ $\\triangle BCO$$=\\frac{1}{2}\\times48\\times10$$=240 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 원 $O$의 지름이고, $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OD}$를 그으면 $\\overline{OD}=\\frac{1}{2}\\times(9+4)=\\frac{13}{2}$ $\\overline{OB}=\\overline{OD}=\\frac{13}{2}$이므로 $\\overline{OP}=\\frac{13}{2}-4=\\frac{5}{2}$ $\\triangle DOP$에서 $\\overline{DP}=\\sqrt{(\\frac{13}{2})^2-(\\frac{5}{2})^2}=\\sqrt{36}=6$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{DP}$$=2\\times6$$=12$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$,$ \\overset{\\large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{4}{9},\\frac{2}{3}$일 때, $\\angle ABC + \\angle DCE$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "\\(\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC} \\) 의 길이는 원주의 $\\frac{4}{9}$이므로 $\\angle ADC=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{4}{9})=80\\degree$ \\(\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD} \\) 의 길이는 원주의 $\\frac{2}{3}$이므로 $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{2}{3})=120\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+80\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABC=100\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=120\\degree$ $∴ \\angle ABC+\\angle DCE=100\\degree+120\\degree=220\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$가 원 $O$의 지름일 때, $\\sin A+\\cos A+\\tan A$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle ACB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}=2\\overline{OB}=10$이므로 $\\overline{AC}=\\sqrt{10^2-8^2}$$=\\sqrt{36}$$=6$ $\\sin A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AB}}=\\frac{8}{10}=\\frac{4}{5}$ $\\cos A=\\frac{\\overline{AC}}{\\overline{AB}}=\\frac{6}{10}=\\frac{3}{5}$ $\\tan A=\\frac{\\overline{BC}}{\\overline{AC}}=\\frac{8}{6}=\\frac{4}{3}$ $∴$ $\\sin A+\\cos A+\\tan A$$=\\frac{4}{5}+\\frac{3}{5}+\\frac{4}{3}$$=\\frac{41}{15}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $16 cm$인 원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 원의 중심 $O$와 겹치도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었다. 이때 $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 점 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=16 cm$이고 $\\overline{OM}$$=\\frac{1}{2}\\overline{OA}$$=\\frac{1}{2}\\times16$$=8 (cm)$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{16^2-8^2}=\\sqrt{192}=8\\sqrt{3} (cm)$ $∴ $$\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times8\\sqrt{3}$$=16\\sqrt{3} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=17 cm$, $\\overline{CM}=15 cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=15 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=17 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{17^2-15^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $∴ $$\\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times15\\times8$$=60 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB}$는 반지름의 길이가 $12 cm$인 원의 일부분이다. $\\overline{AH}=\\overline{BH},$ $\\overline{AB}\\bot\\overline{HP}$이고 $\\overline{HP}=6 cm$일 때, $\\triangle APB$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위의 그림과 같이 원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지나므로 원의 중심을 $O$라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OP}=\\overline{OA}=12 cm$이므로 $\\overline{OH}=12-6=6 (cm)$ $\\triangle AHO$에서 $\\overline{AH}=\\sqrt{12^2-6^2}$$=\\sqrt{108}$$=6\\sqrt{3} (cm)$ $\\overline{AB}=2\\overline{AH}=2\\times6\\sqrt{3}=12\\sqrt{3} (cm)$이므로 $\\triangle APB=\\frac{1}{2}\\times12\\sqrt{3}\\times6=36\\sqrt{3}$ ($cm^2$)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$4$ 개의 수 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $8$이고 분산이 $10$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$, $c$, $d$, $9$, $7$의 평균을 구하여라. (2) $a$, $b$, $c$, $d$, $9$, $7$의 표준편차를 구하여라.", | |
| "answer": "(1) $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $8$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=8$ $∴$ $a+b+c+d=32$ 따라서 $a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $d$$,$ $9$$,$ $7$의 평균은 $\\frac{a+b+c+d+9+7}{6}=\\frac{32+9+7}{6}=\\frac{48}{6}=8$ (2) $a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $d$의 분산이 $10$이므로 $\\frac{(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2}{4}=10$ $∴$ $(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2=40$ $a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $d$, $9$, $7$의 평균이 $8$이므로 $(분산) $$=\\frac{(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2}{6}$ $=\\frac{(a-8)^2+(b-8)^2+(c-8)^2+(d-8)^2+1+1}{6}$ $=\\frac{40+1+1}{6}=\\frac{42}{6}=7$ 따라서 표준편차는 $\\sqrt7$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 $O$의 지름의 양 끝 점 $A$, $D$에서 그은 두 접선과 원 위의 점 $P$에서 그은 접선이 만나는 점을 각각 $B$, $C$라 하자. $\\overline{OA}=4 cm$, $\\overline{CD}=6 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 점 $B$에서 $\\overline{CD}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하고 $\\overline{AB}=x cm$라고 하면 $\\overline{BP}=\\overline{BA}$$=$$x cm$, $\\overline{CP}=\\overline{CD}$$=$$6 cm$이므로 $\\overline{BC}=(x+6) cm$ $\\overline{DH}=\\overline{AB}=x cm$이므로 $\\overline{CH}$$=(6-x) cm$ $\\overline{BH}=\\overline{AD}=2\\overline{OA}=2\\times4=8 (cm)$ $\\triangle BCH$에서 $8^2+(6-x)^2=(x+6)^2$ $24x=64$ $∴ x=\\frac{8}{3}$ 따라서 $\\overline{AB}$의 길이는 $\\frac{8}{3} cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 중심이 같은 두 원이 있다. 작은 원 위의 점 $H$에서 그은 접선이 큰 원과 만나는 두 점을 각각 $A, B$라 하자. $\\overline{AB}=8 cm$일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{AH}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}$$=\\frac{1}{2}\\times8$$=4 (cm)$ 큰 원의 반지름의 길이를 $R cm$, 작은 원의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\triangle AHO$에서 $4^2+r^2=R^2$이므로 $R^2-r^2=16$ 따라서 색칠한 부분의 넓이는 $\\pi R^2-\\pi r^2=\\pi(R^2-r^2)=16\\pi$ $(cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 원 O의 원주 위의 한 점이 원의 중심을 지나도록 $\\overline{AB}$를 접는 선으로 하여 접었더니 $\\overline{AB}=20\\sqrt{3} cm$이었다. 이때 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하면 $\\overline{AM}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times20\\sqrt{3}=10\\sqrt{3} (cm)$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라 하면 $\\overline{OM}=\\frac{1}{2}\\overline{OA}=\\frac{1}{2}\\times r=\\frac{r}{2} (cm)$ 이므로 직각삼각형 $AOM$에서 $(\\frac{r}{2})^2+(10\\sqrt{3})^2=r^2$ $r^2=400$ $r>0$이므로 $r$$=\\sqrt{400}$$=20$ $\\cos(\\angle AOM)$$=\\frac{\\overline{OM}}{\\overline{OA}}$$=\\frac{10}{20}$$=\\frac{1}{2}$ $\\cos60\\degree=\\frac{1}{2}$이므로 $\\angle AOM=60\\degree$ 따라서 $\\angle AOB=2\\angle AOM=2\\times60\\degree=120\\degree$이므로 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$$=2\\pi\\times20\\times\\frac{120}{360}$$=\\frac{40}{3}\\pi (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $4 cm$일 때, $\\triangle ABC$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=4 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=10-4=6$ $(cm)$ $\\overline{AB}=(6+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+4) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+4)^2+10^2=(6+x)^2$ $4x=80$ $∴$ $x=20$ $\\overline{BC}=20+4=24$ $(cm)$이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times24\\times10$$=120 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 접점이다. 원 $O$의 반지름의 길이는 $5$ $cm$이고 $\\triangle ABC$의 넓이는 $130$ $cm^2$일 때, $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AO}$, $\\overline{BO}$, $\\overline{CO}$를 그으면 $=$$130 (cm^2)$ ∴ $\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC}$$=52 cm$ $\\overline{AD}=\\overline{AF}$, $\\overline{BE}=\\overline{BD}$, $\\overline{CF}=\\overline{CE}$이므로 $\\overline{AD}+\\overline{BE}+\\overline{CF}$$=\\frac{1}{2}(\\overline{AB}+\\overline{BC}+\\overline{AC})$$=\\frac{1}{2}\\times52$$=26 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 $\\triangle ABC$의 내접원이면서 $\\triangle DEF$의 외접원이다. $\\angle ABC=48\\degree$, $\\angle EDF=46\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\triangle BED$는 $\\overline{BD}=\\overline{BE}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BED$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-48\\degree)$$=66\\degree$ $\\overline{BC}$는 원 $O$의 접선이므로 $\\angle x$$=\\angle BED$$=66\\degree$ $\\angle CEF$$=\\angle EDF$$=46\\degree$이고 $\\triangle CFE$는 $\\overline{CE}=\\overline{CF}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle y$$=180\\degree-46\\degree\\times2$$=88\\degree$ $∴$ $\\angle y-\\angle x=88\\degree-66\\degree=22\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 점 O를 중심으로 하는 두 원에서 큰 원의 현 $AB$가 작은 원에 접한다. 두 원의 반지름의 길이가 각각 $8 cm$, $14 cm$일 때, $\\overline{AB}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 두 원의 중심 $O$에서 $\\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $M$이라 하고 $\\overline{OA}$를 그으면 $\\overline{OA}=14 cm$, $\\overline{OM}=8 cm$ $\\triangle AMO$에서 $\\overline{AM}=\\sqrt{14^2-8^2}=\\sqrt{132}=2\\sqrt{33} (cm)$ $∴$ $\\overline{AB}=2\\overline{AM}$$=2\\times2\\sqrt{33}$$=4\\sqrt{33} (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직각삼각형 $ABC$의 내접원이고 세 점 $D$, $E$, $F$는 그 접점이다. 내접원의 반지름의 길이가 $4 cm$일 때, $\\triangle{ABC}$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OF}$를 그으면 $\\square CFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{CE}$$=\\overline{CF}$$=4 cm$ $\\overline{BE}=x cm$라 하면 $\\overline{BD}=\\overline{BE}=x cm$이고 $\\overline{AD}=\\overline{AF}=9-4=5$ $(cm)$ $\\overline{AB}=(5+x) cm$, $\\overline{BC}=(x+4) cm$이므로 $\\triangle ABC$에서 $(x+4)^2+9^2=(5+x)^2$ $2x=72$ $∴$ $x=36$ $\\overline{BC}=36+4=40 (cm)$이므로 $\\triangle ABC$$=\\frac{1}{2}\\times40\\times9$$=180 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 원 $O$에서 $\\overline{AB}$는 지름이고 $\\overline{OM}$$\\bot$$\\overline{AC}$이다. $\\overline{OB}=7 cm$, $\\overline{CM}=4 cm$일 때, $\\triangle AOM$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{AM}=\\overline{CM}=4 cm$ $\\overline{OA}=\\overline{OB}=7 cm$이므로 $\\triangle AOM$에서 $\\overline{OM}=\\sqrt{7^2-4^2}=\\sqrt{33} (cm)$ $∴$ $\\triangle AOM$$=\\frac{1}{2}\\times4\\times\\sqrt{33}$$=2\\sqrt{33} (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $6cm$인 원 $O$에 $\\triangle ABC$가 내접한다. $\\angle BAC=75\\degree$일 때, $\\triangle BCO$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BOC$$=2\\angle BAC$$=2\\times75\\degree$$=150\\degree$이므로 $\\triangle BCO=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin(180\\degree-150\\degree)$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times sin 30\\degree$ $=\\frac{1}{2}\\times6\\times6\\times\\frac{1}{2}$ $=$$9 (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같은 $\\triangle ABC$에서 $\\overline{AB}$의 길이를 $30$ $\\% $ 줄이고, $\\overline{BC}$의 길이를 $40$ $\\% $늘여서 새로운 $\\triangle A'BC'$을 만들 때, $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 얼마나 변하는지 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{A'B}$는 $\\overline{AB}$의 길이를 $30\\%$ 줄였으므로 $\\overline{A'B}=\\frac{70}{100}\\overline{AB}=\\frac{7}{10}\\overline{AB}$ $\\overline{BC'}$은 $\\overline{BC}$의 길이를 $40\\%$ 늘였으므로 $\\overline{BC'}=\\frac{140}{100}\\overline{BC}=\\frac{7}{5}\\overline{BC}$ $\\triangle ABC=\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{BC}\\times\\sin B$이므로 $\\triangle{A'BC'}=\\frac{1}{2}\\times\\overline{A'B}\\times\\overline{BC'}\\times\\sin B=\\frac{1}{2}\\times\\frac{7}{10}\\overline{AB}\\times\\frac{7}{5}\\overline{BC}\\times\\sin B =\\frac{49}{50}\\times(\\frac{1}{2}\\times\\overline{AB}\\times\\overline{BC}\\times\\sin B)=\\frac{49}{50}\\times\\triangle{ABC} =0.98\\times\\triangle ABC$ 따라서 $\\triangle A'BC'$의 넓이는 $\\triangle ABC$의 넓이에 비해 $2\\%$ 줄어든다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$4$ 개의 변량 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $6$이고 표준편차가 $2$일 때, 변량 $a-3, $$b-3, $$c-3, $$d-3$의 평균은 $m$, 분산은 $n$이다. 이때 $m+n$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "$a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $6$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=6$ $∴$ $a+b+c+d=24$ $a-3$, $b-3$, $c-3$, $d-3$의 평균은 $\\frac{(a-3)+(b-3)+(c-3)+(d-3)}{4}=\\frac{a+b+C+D-12}{4}$ $=\\frac{24-12}{4}$ $=$$3$ $∴$ $m$$=3$ $a$, $b$, $c$, $d$의 분산이 $2^2=4$이므로 $\\frac{(a-6)^2+(b-6)^2+(c-6)^2+(d-6)^2}{4}=4$ $(a-6)^2+(b-6)^2+(c-6)^2+(d-6)^2=16$ $a-3$, $b-3$, $c-3$, $d-3$의 평균이 $3$이므로 $(분산)$$=\\frac{(a-3-3)^2+(b-3-3)^2+(c-3-3)^2+(d-3-3)^2}{4}$ $=\\frac{(a-6)^2+(b-6)^2+(c-6)^2+(d-6)^2}{4}$ $=\\frac{16}{4}$ $=$$4$ $∴$ $n$$=4$ $∴$ $m+n$$=3+4$$=7$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 원 $O$는 직사각형 $ABCD$의 세 변과 $\\overline{CP}$에 접하고 네 점 $E$, $F$, $G$, $H$는 그 접점일 때, $\\overline{DP}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OE}$, $\\overline{OF}$, $\\overline{OH}$를 그으면 $\\square BFOE$는 정사각형이므로 $\\overline{BF}=\\frac{1}{2}\\overline{AB}=\\frac{1}{2}\\times12=6$ $\\overline{CG}=\\overline{CF}=16-6=10$ $\\overline{HP}=x$라 하면 $\\overline{DH}=\\overline{CF}=10$이므로 $\\overline{DP}=10-x$ $\\overline{GP}=\\overline{HP}=x$이므로 $\\overline{CP}=10+x$ $\\triangle CDP$에서 $(10-x)^2+12^2=(10+x)^2$ $40x=144$ $∴ x=\\frac{18}{5}$ $∴ \\overline{DP}=10-\\frac{18}{5}=\\frac{32}{5}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 $원O$의 지름 $AB$의 연장선 위에 $점P$를 잡고 $점P$에서 $원O$에 접선을 그을때, 그 접점을 $C$라 하자.$\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AC}~$:$~\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}= 2 : 3$일 때, $\\angle{ACP}$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BC}$를 그으면 $\\angle ACB=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$에서 $\\angle ABC+\\angle BAC=90\\degree$ $\\angle ABC : \\angle BAC=\\widehat{AC} : \\widehat{BC}=2 : 3$이므로 $\\angle ABC=90\\degree\\times\\frac{2}{2+3}=36\\degree$ $\\overline{CP}$가 원 O의 접선이므로 $\\angle ACP$$=\\angle ABC$$=36\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 두 점 A, B는 원 밖의 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이다. 원 위의 한 점 C에 대하여 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$이고 $\\angle CAP=30\\degree$, $\\angle ACB=104\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\triangle ACB$는 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-104\\degree)$$=38\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이고 $\\angle BAP=38\\degree+30\\degree=68\\degree$이므로 $\\angle APB$$=180\\degree-68\\degree\\times2$$=44\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\overline{AB}$는 반원 $O$의 지름이고 점 $P$는 두 현 $AC$, $BD$의 연장선의 교점이다. $\\angle BOD=40\\degree$, $\\angle P=60\\degree$일 때, $\\widehat{BD}$와 $\\widehat{CD}$의 길이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AD}$를 그으면 $\\angle ADB$$=90\\degree$이므로 $\\triangle ADP$에서 $\\angle DAP$$=180\\degree-(90\\degree+60\\degree)$$=30\\degree$ $\\angle BAD=\\frac{1}{2}\\angle BOD=\\frac{1}{2}\\times40\\degree=20\\degree$ $∴$ $\\widehat{BD} : \\widehat{CD}$$=\\angle BAD : \\angle CAD$$=20 : 30$$=2 : 3$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$는 원에 내접하고 $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$, $\\overset{\\huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{2}{5}$, $\\frac{7}{12}$일 때, $\\angle ABC+\\angle DCE$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overset{\\Huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{ABC}$의 길이는 원주의 $\\frac{2}{5}$이므로 $\\angle{ADC}$$=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{2}{5})=72\\degree$ $\\overset{\\Huge\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BCD}$의 길이는 원주의 $\\frac{7}{12}$이므로 $\\angle{BAD}$$=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{7}{12})=105\\degree$ 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 $180\\degree$이므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+72\\degree=180\\degree$ $∴ \\angle ABC=108\\degree$ 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각의 크기와 같으므로 $\\angle DCE$$=\\angle BAD$$=105\\degree$ $∴ \\angle ABC+\\angle DCE=108\\degree+105\\degree=213\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 두 원 $O, O'$이 두 점 $P, Q$에서 만나고 $\\angle BOP=152\\degree$일 때, $\\angle CDP$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle BAP=\\frac{1}{2}\\angle BOP=\\frac{1}{2}\\times152\\degree=76\\degree$ 위 그림과 같이 $\\overline{PQ}$를 그으면 $\\square ABQP$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle CQP$$=\\angle BAP$$=76\\degree$ $\\ $가 원 $O'$에 내접하므로 $\\angle CDP+\\angle CQP=180\\degree$ $\\angle CDP+76\\degree=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle CDP=104\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 직사각형 $ABCD$의 점 $B$를 중심으로 하고 점 $A$를 지나는 원을 그린 후 점 $C$에서 이 원에 접선을 그어 원과의 접점을 $E$, $\\overline{AD}$와 만나는 점을 F라 하자. 이때 $\\overline{AF}$의 길이를 구하여라. ", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{BE}$를 그으면 $\\overline{BE}$$=\\overline{BA}$$=15 cm$ 직각삼각형 $BCE$에서 $\\overline{CE}=\\sqrt{17^2-15^2}=\\sqrt{64}=8 (cm)$ $\\overline{AF}=x cm$라 하면 $\\overline{AD}=\\overline{BC}=17 cm$이므로 $\\overline{DF}=(17-x)$ $cm$ $\\overline{EF}=\\overline{AF}=x cm$이므로 $\\overline{CF}=(8+x)$ $cm$ $\\triangle CDF$에서 $(17-x)^2+15^2=(8+x)^2$ $50x=450$ $∴$ $x=9$ 따라서 $\\overline{AF}$의 길이는 $9 cm$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\widehat{AB}$, $\\widehat{CD}$의 길이가 각각 원주의 $\\frac{1}{3}$, $\\frac{1}{15}$일 때, $\\angle APC$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AC}$를 그으면 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{3}$이므로 $\\angle ACB=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{3})=60\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$의 길이는 원주의 $\\frac{1}{15}$이므로 $\\angle CAD=\\frac{1}{2}\\times(360\\degree\\times\\frac{1}{15})=12\\degree$ 따라서 $\\triangle ACP$에서 $\\angle APC=60\\degree-12\\degree=48\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림과 같이 반지름의 길이가 $14$인 원 $O$에서 $\\overline{AB}$$\\bot$$\\overline{CD}$, $\\overline{BH}=9$일 때, $\\overline{CD}$의 길이를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{OC}$를 그으면 $\\overline{OC}=\\overline{OA}=14$ $\\overline{OB}=\\overline{OA}=14$이므로 $\\overline{OH}=14-9=5$ $\\triangle COH$에서 $\\overline{CH}=\\sqrt{14^2-5^2}=\\sqrt{171}=3\\sqrt{19}$ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 $\\overline{CD}=2\\overline{CH}$$=2\\times3\\sqrt{19}$$=6\\sqrt{19}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 $\\square ABCD$가 원에 내접하고 $\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$이다. $\\angle BAD=80\\degree$, $\\angle ABC=110\\degree$일 때, $\\angle y-\\angle x$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\overline{BC}$$=\\overline{CD}$에서 $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$$=\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{CD}$이므로 $\\angle BAC$$=\\angle CAD$ $\\therefore$ $\\angle BAC$$=\\angle CAD$$=\\frac{1}{2}\\angle BAD$$=\\frac{1}{2}\\times80\\degree$$=40\\degree$ $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{BC}$에 대하여 $\\angle BDC$$=\\angle BAC$$=40\\degree$ $\\square ABCD$가 원에 내접하므로 $110\\degree+(\\angle x+40\\degree)=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle x=30\\degree$ $\\triangle ACD$에서 $40\\degree+\\angle y+30\\degree+40\\degree=180\\degree$ $\\therefore$ $\\angle y=70\\degree$ ∴ $\\angle y-\\angle x$$=70\\degree-30\\degree$$=40\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 어느 농구부 선수 $5$ 명의 자유투 기록의 편차를 조사하여 나타낸 것이다. $x+y$의 값을 구하여라.", | |
| "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $-3+x+2+0+y=0$ $∴ x+y$$=1$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$4$ 개의 수 $a$, $b$, $c$, $d$의 평균이 $7$이고 분산이 $3$일 때, 다음 물음에 답하여라. (1) $a$, $b$, $c$, $d$, $4$, $10$의 평균을 구하여라. (2) $a$, $b$, $c$, $d$, $4$, $10$의 표준편차를 구하여라.", | |
| "answer": "(1)$a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $d$의 평균이 $7$이므로 $\\frac{a+b+c+d}{4}=7$ $∴ a+b+c+d=28$ 따라서 $a$$,$ $b$$,$ $c$$,$ $d$$,$ $4$$,$ $10$의 평균은 $\\frac{a+b+c+d+4+10}{6}=\\frac{28+4+10}{6}=\\frac{42}{6}=7$ (2) $a$,$b$,$c$,$d$의 분산이 $3$이므로 $\\frac{(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2}{4}=3$ $∴(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2=12$ $a$,$b$,$c$,$d$,$4$,$10$의 평균이 $7$이므로 $(분산)=\\frac{(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2+(4+7)^2+(10-7)^2}{6}$ $=\\frac{(a-7)^2+(b-7)^2+(c-7)^2+(d-7)^2+9+9}{6}$ $=\\frac{12+9+9}{6}=\\frac{30}{6}=5$ 따라서 표준편차는 $\\sqrt{5}$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 그림에서 두 점 A, B는 원 밖의 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이다. 원 위의 한 점 C에 대하여 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$이고 $\\angle CAP=24\\degree$, $\\angle ACB=116\\degree$일 때, $\\angle APB$의 크기를 구하여라.", | |
| "answer": "위 그림과 같이 $\\overline{AB}$를 그으면 $\\triangle ACB$는 $\\overline{AC}=\\overline{BC}$인 이등변삼각형이므로 $\\angle BAC$$=\\frac{1}{2}\\times(180\\degree-116\\degree)$$=32\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$ $\\triangle APB$는 $\\overline{PA}=\\overline{PB}$인 이등변삼각형이고 $\\angle BAP=32\\degree+24\\degree=56\\degree$이므로 $\\angle APB$$=180\\degree-56\\degree\\times2$$=68\\degree$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림과 같이 원 $O$에 내접하는 □ABCD에서 $\\overline{BC}$는 $O$의 지름이다. $\\angle ADC = 120\\degree, \\overline{AC} = 3{\\sqrt{2}}$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\square ABCD$가 원 $O$에 내접하므로 $\\angle ABC+\\angle ADC=180\\degree$ $\\angle ABC+120\\degree=180\\degree$ $∴$ $\\angle ABC=60\\degree$ $\\angle BAC=90\\degree$이므로 $\\triangle ABC$는 직각삼각형이다. $∴$ $\\overline{BC}=\\frac{3\\sqrt{2}}{\\sin60\\degree}$$=3\\sqrt{2}\\div\\frac{\\sqrt{3}}{2}$$=3\\sqrt{2}\\times\\frac{2}{\\sqrt{3}}$$=2\\sqrt{6}$ 반지름의 길이는 $\\frac{1}{2}\\times2\\sqrt{6}=\\sqrt{6}$이므로 원 $O$의 넓이는 $\\pi\\times(\\sqrt{6})^2$$=6\\pi$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$7$ 개의 자료 $37$, $23$, $a$, $31$, $17$, $20$, $38$의 중앙값이 $30$일 때, $6$ 개의 자료 $12, $$40, $$28, $$a, $$35, $$32$의 중앙값을 구하여라.", | |
| "answer": "자료가 $7$ 개이면 작은 값부터 크기순으로 $4$ 번째 값이 중앙값이므로 $a=30$ $6$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $12$, $28$, $30$, $32$, $35$, $40$ 이므로 중앙값은 $\\frac{30+32}{2}=31$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$5$ 개의 자료 $9$, $18$, $20$, $a$, $14$의 중앙값이 $15$일 때, $6$ 개의 자료 $18, $$9, $$22, $$a, $$15, $$17$의 중앙값을 구하여라.", | |
| "answer": "자료가 $5$ 개이면 작은 값부터 크기순으로 $3$ 번째 값이 중앙값이므로 $a=15$ $6$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $9$, $15$, $15$, $17$, $18$, $22$ 이므로 중앙값은 $\\frac{15+17}{2}=16$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림에서 두 점 $A$, $B$는 점 $P$에서 원 $O$에 그은 두 접선의 집점이다. $\\angle AOB=60\\degree$이고 $\\overline{PA}=2\\sqrt{3}$일 때, $\\triangle ABP$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle OAP$$=\\angle OBP$$=90\\degree$이므로 $\\square AOBP$에서 $\\angle APB$$=360\\degree-(90\\degree+60\\degree+90\\degree)$$=120\\degree$ 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같으므로 $\\overline{PB}=\\overline{PA}=2\\sqrt{3}$ $=$$3\\sqrt{3}$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 $6$ 개의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이다. 이 자료의 평균과 중앙값이 같을 때, 최빈값을 구하여라. $ $ $13$$ $ $15$$ $ $17$$ $ $19$$ $ $x$$ $ $22$$ $", | |
| "answer": "주어진 자료의 중앙값은 $\\frac{17+19}{2}=18$이고 평균과 중앙값이 같으므로 $\\frac{13+15+17+19+x+22}{6}$$=\\frac{x+86}{6}$$=18$ $x+86=108$ $∴$ $x=22$ 따라서 자료의 최빈값은 $22$이다." | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽 그림의 원 $O$에서 $\\angle APB = 60 \\degree$, $\\overset{\\Large\\frown}{\\phantom{\\scriptsize;}}\\llap{AB}=6 \\pi cm$일 때, 원 $O$의 넓이를 구하여라.", | |
| "answer": "$\\angle AOB$$=2\\angle APB$$=2\\times60\\degree$$=120\\degree$ 원 $O$의 반지름의 길이를 $r cm$라고 하면 $2\\pi\\times r\\times\\frac{120}{360}$$=6\\pi$ $\\frac{2}{3}\\pi r=6\\pi$ $∴$ $r=9$ 원 $O$의 반지름의 길이는 $9 cm$이므로 $(원 O의 넓이)$$=\\pi\\times9^2$$=81\\pi (cm^2)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 재이네 반 학생 $10$ 명이 한 학기 동안 읽은 책의 권수를 조사하여 나타낸 것이다. 이 자료의 최빈값은 한 개이고, 최빈값과 평균이 같을 때, $x$의 값을 구하여라. 읽은 책의 권수 (단위:권) $4$ $3$ $3$ $5$ $8$ $x$ $2$ $4$ $6$ $1$", | |
| "answer": "최빈값은 $3$ 권과 $4$ 권 중 하나이고, $x$의 값에 따라 최빈값이 결정되므로 최빈값은 $x$ 권이다. 이때 최빈값과 평균이 같으므로 $\\frac{4+3+3+5+8+x+2+4+6+1}{10}=x$ $x+36=10x$ $-9x=-36$ $∴ x=4$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "규리네 반 학생 $30$ 명의 키의 평균은 $162cm$이었다. 두 명의 학생이 전학을 간 후 나머지 학생들의 키의 평균이 $161.5cm$가 되었을 때, 전학을 간 두 학생의 키의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "$30$ 명의 키의 총합은 $162\\times30$$=4860 (cm)$ 전학을 간 두 학생의 키를 각각 $x$ $cm$, $y$ $cm$라 하면 $\\frac{4860-(x+y)}{28}=161.5$ $4860-(x+y)=4522$ $∴ x+y=338$ 전학을 간 두 학생의 키의 평균은 $\\frac{x+y}{2}=\\frac{338}{2}=169 (cm)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 중학생 $5$ 명이 받은 수학 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. $x+y$의 값을 구하여라.<table border> <tbody> <tr> <td>학생</td> <td>A</td> <td>B</td> <td>C</td> <td>D</td> <td>E</td> </tr> <tr> <td>편차 (점)</td> <td>$10$</td> <td>$x$</td> <td>$y$</td> <td>$-7$</td> <td>$-5$</td> </tr> </tbody> </table>", | |
| "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $10+x+y+(-7)+(-5)=0$ $∴ x+y$$=2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽은 서연이네반 학생 $30$ 명의 국어 성적과 사회 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 두 과목의 성적의 합이 하위 $10\\%$ 이내에 드는 학생은 보충 수업을 받아야 한다고 할 때, 보충 수업을 받아야 하는 학생들의 사회 성적의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "두 과목의 성적의 합이 하위 $10$ $\\ %$ 이내에 드는 학생 수는 $30\\times\\frac{10}{100}=3 (명)$ 두 과목의 성적을 순서쌍 (국어, 사회)로 나타낼 때, 성적의 합이 낮은 쪽에서 $ 3$$명$인 학생들의 성적은 $(20, 20)$, $(20, 40)$, $(30, 30)$이므로 이 학생들의 사회 성적은 각각 $20$ 점, $40$ 점, $30$ 점이다. 따라서 구하는 평균은 $\\frac{20+40+30}{3}$$=\\frac{90}{3}$$=30$ (점)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "$8$ 개의 수 $30$, $31$, $31$, $25$, $28$, $a$, $b$, $c$의 중앙값이 $27$, 최빈값이 $25$일 때, $a, $$b, $$c$의 값을 각각 구하여라. (단, $a$, $b$, $c$는 자연수, $a<c$)", | |
| "answer": "$31$이 두 번 나타나는데 최빈값이 $25$이므로 $25$는 세 번 이상 나타나야 한다. $a$, $b$, $c$ 중에서 적어도 두 수는 $25$이고 $a<c$이므로 $a=b=25$ 또는 $b=c=25$ (i) $b=c=25$인 경우 작은 값부터 크기순으로 나열하면 $a$, $25$, $25$, $25$, $28$, $30$, $31$, $31$ 이므로 중앙값은 $\\frac{25+28}{2}=26.5$가 되어 주어진 중앙값과 다르다. (ii) $a=b=25$인 경우 중앙값이 $27$이려면 작은 값부터 크기순으로 나열한 것이 $25$, $25$, $25$, $c$, $28$, $30$, $31$, $31$이어야 한다. $\\frac{c+28}{2}=27$에서 $c=26$ $∴ a=25$, $b=25$, $c=26$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 자료의 평균과 최빈값이 같을 때, $x$의 값을 구하여라. $34 21 25 36 19 x 5$", | |
| "answer": "$x$를 제외한 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 $x$이다. 평균과 최빈값이 같으므로 $\\frac{34+21+25+36+19+x+15}{7}=\\frac{x+150}{7}=x$ $x+150=7x$ $-6x=-150$ $∴ x=25$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 어느 날 지역 $17$ 곳의 초미세 먼지 농도와 그 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 초미세 먼지 상태가 '매우 나쁨'인 지역에 있는 호흡기 질환 환자 수의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "초미세 먼지 상태가 '매우 나쁨'일 때의 초미세 먼지 농도는 $75$ $μg/m^3$ 이상이다. '매우 나쁨'인 지역은 위 그림의 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 지역들의 호흡기 질환 환자 수는 $40$ 명, $35$ 명, $40$ 명, $30$ 명, $45$ 명이다. $∴ (평균)$$=\\frac{40+35+40+30+45}{5}$$=\\frac{190}{5}$$=38 (명)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽은 준민이네 반 학생 $25$명의 수학 성적과 과학 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 두 과목의 성적의 합이 하위 $16\\%$이내에 드는 학생은 보충 수업을 받아야 한다고 할 때, 보충 수업을 받아야 하는 학생들의 과학 성적의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "두 과목의 성적의 합이 하위 $16$ $\\%$ 이내에 드는 학생 수는 $25\\times\\frac{16}{100}=4 $(명) 두 과목의 성적을 순서쌍 $(수학, 과학)$으로 나타낼 때, 성적의 합이 낮은 쪽에서 $4$ 명인 학생들의 성적은 $(20, 10)$, $(20, 20)$, $(10, 40)$, $(30, 20)$이므로 이 학생들의 과학 성적은 각각 $10$ 점, $20$ 점, $40$ 점, $20$ 점이다. 따라서 구하는 평균은 $\\frac{10+20+40+20}{4}$$=\\frac{90}{4}$$=22.5$ (점)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 자료의 평균이 $3$이고 분산이 $2$일 때, $x^2+y^2$의 값을 구하여라. $2$ $6$ $x$ $2$ $y$", | |
| "answer": "$(평균)=$$\\frac{2+6+x+2+y}{5}$$=$$3$ $x+y+10=15$ $∴ x+y=5 ······ ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면<table border> <tbody> <tr> <td>변량</td> <td>$2$</td> <td>$6$</td> <td>$x$</td> <td>$2$</td> <td>$y$</td> </tr> <tr> <td>편차</td> <td>$-1$</td> <td>$3$</td> <td>$x-3$</td> <td>$-1$</td> <td>$y-3$</td> </tr> </tbody> </table> $(분산)=\\frac{(-1)^2+3^2+(x-3)^2+(-1)^2+(y-3)^2}{5}$ $=$$\\frac{x^2-6x+y^2-6y+29}{5}$ 이때 분산이 $2$이므로 $\\frac{x^2-6x+y^2-6y+29}{5}=2$ ∴ $x^2+y^2-6(x+y)+29=10$ 위의 식에 $㉠$을 대입하면 $x^2+y^2=6(x+y)-29+10=6\\times5-29+10=11$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음 자료의 평균은 $4$, 분산은 $5.2$이다. $x>y$일 때, $x$, $y$의 값을 각각 구하여라. $2$ $x$ $5$ $3$ $y$", | |
| "answer": "평균이 $4$이므로 $\\frac{2+x+5+3+y}{5}=4$ $∴ x+y=10 ······ ㉠$ 각 변량의 편차를 구하면 아래 표와 같다. <table border> <caption></caption> <tbody> <tr> <td>변량</td> <td>$2$</td> <td>$x$</td> <td>$5$</td> <td>$3$</td> <td>$y$</td> </tr> <tr> <td>편차</td> <td>$-2$</td> <td>$x-4$</td> <td>$1$</td> <td>$-1$</td> <td>$y-4$</td> </tr> </tbody> </table> $y-4$ 이때 분산이 $5.2$이므로 $\\frac{(-2)^2+(x-4)^2+1^2+(-1)^2+(y-4)^2}{5}=5.2$ $∴ (x-4)^2+(y-4)^2=20 ······ ㉡$ $㉠$에서 $y$를 $x$에 대한 식으로 나타내면 $y=10-x ······ ㉢$ $㉢$을 $㉡$에 대입하여 정리하면 $x^2-10x+16=0$ $(x-2)(x-8)=0$ $∴ x=2$ 또는 $x=8$ 이때 $x>y$이므로 $x=8$, $y=2$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽은 동호네 반 학생 $24$명의 국어 성적과 영어 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 동호보다 두 과목의 성적의 평균이 낮은 학생은 전체의 몇 $\\%$인지 구하여라.", | |
| "answer": "동호보다 두 과목의 성적의 평균이 낮은 학생은 두 과목의 성적의 합이 동호의 두 과목의 성적의 합보다 낮다. 동호의 두 과목의 성적의 합은 $50+60=110$ (점) 두 과목의 성적의 합이 $110$ 점보다 낮은 학생의 수는 위 그림의 색칠한 부분(경계선 제외)에 속하는 점의 개수와 같으므로 $6$ 명이다. 따라서 구하는 학생은 전체의 $\\frac{6}{24}\\times100=25$ $(\\%)$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "세 수 $a+20$, $20$, $2a+20$의 분산이 $24$일 때, $a$의 값을 구하여라. (단, $a>0$)", | |
| "answer": "$(평균)=\\frac{(a+20)+20+(2a+20)}{3}=\\frac{3a+60}{3}=a+20$ 각 변량의 편차를 구하면 $a$ $(분산)=\\frac{0^2+(-a)^2+a^2}{3}=\\frac{2a^2}{3}$ 이때 분산이 $24$이므로 $\\frac{2a^2}{3}=24$ $a^2=36$ $a>0$이므로 $a$$=\\sqrt{36}$$=6$" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "오른쪽은 지유네 반 학생 $25$명의 수학 성적과 영어 성적을 조사하여 나타낸 산점도이다. 두 과목의 성적의 합이 하위 $16\\%$ 이내에 드는 학생은 보충 수업을 받아야 한다고 할때, 보충 수업을 받아야 하는 학생들의 수학 성적의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "두 과목의 성적의 합이 하위 $16\\%$ 이내에 드는 학생 수는 $25\\times\\frac{16}{100}=4$ (명) 두 과목의 성적을 순서쌍 (수학, 영어)로 나타낼 때, 성적의 합이 낮은 쪽에서 $4$ 명인 학생들의 성적은 $(20, 30)$, $(30, 20)$, $(20, 40)$, $(40, 30)$이므로 이 학생들의 수학 성적은 각각 $20$ 점, $30$ 점, $20$ 점, $40$ 점이다. 따라서 구하는 평균은 $\\frac{20+30+20+40}{4}$$=\\frac{110}{4}$$=27.5$ (점)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 가람이네 반 학생 $16$ 명이 작년과 올해 체험 학습을 한 일수를 조사하여 나타낸 산점도이다. 작년에 체험 학습을 한 일수가 $5$ 일 이상인 학생들이 올해 체험 학습을 한 일수의 평균을 구하여라.", | |
| "answer": "작년에 체험 학습을 한 일수가 $5$ 일 이상인 학생들은 색칠한 부분(경계선 포함)에 속하므로 그 학생들이 올해 체험 학습을 한 일수는 $7$ 일, $5$ 일, $6$ 일, $3$ 일, $4$ 일이다. $∴ (평균)=\\frac{7+5+6+3+4}{5}$$=\\frac{25}{5}$$=5$ (일)" | |
| }, | |
| { | |
| "question": "다음은 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ $5명$의 국어 점수의 편차를 조사하여 나타낸 표이다. 국어 점수의 평균이 $85$ 점일 때, 두 학생 A와 B의 점수의 평균을 구하여라. <table border> <tbody> <tr align=\"center\"> <td>학생</td> <td>$A$</td> <td>$B$</td> <td>$C$</td> <td>$D$</td> <td>$E$</td> </tr> <tr align=\"center\"> <td>편차(점)</td> <td>$X-3$</td> <td>$X+9$</td> <td>$X+1$</td> <td>$X-7$</td> <td>$X-5$</td> </tr> </tbody> </table>", | |
| "answer": "편차의 총합은 항상 $0$이므로 $(x-3)+(x+9)+(x+1)+(x-7)+(x-5)=0$ $5x-5=0$ $∴$ $x=1$ $(변량)=(평균)+(편차)$이므로 $(A의 점수)$ $=$$85+(x-3)=85+(-2)=83$ (점) $(B의 점수)$ $=$$85+(x+9)=85+10=95$ (점) 따라서 $A$와 $B$의 점수의 평균은 $\\frac{83+95}{2}=\\frac{178}{2}=89$ (점)" | |
| } | |
| ] |